4 Hauck, neue Constructionen der Perspective u. Photogrammetrie.

dieselben Schlüsse ergeben, dass in derjenigen trilinearen Verwandtschaft, in welcher die Geraden dreifach gebunden sind, den Punkten ein zweifacher Verband zukommt. —

Am anschaulichsten wird wohl — um wieder zu der ursprünglichen Frage der Erzeugung durch Projection und durch Schnitt zurückzukehren — das gegenseitige Verhältniss zwischen unseren vier Einzelverwandtschaften sowie deren zwei 'Combinationen klargelegt durch folgenden Satz:

Bezieht man die Punkte, Geraden und Ebenen eines räumlichen Systems auf drei beliebige feste Projectionsebenen, indem man von allen Punkten und Geraden die Projectionen (von drei festen Centren aus, welche event. auch ins Unendliche fallen können) —, ferner von allen Geraden und Ebenen deren Spuren (Tracen) bestimmt und je drei solche Elemente der drei Ebenen einander zuordnet, welche die Projectionen oder die Spuren eines und desselben Raumelements vorstellen, so erhält man:

1. in der Gesammtheit der Punktprojectionen: drei dreibündig-trilineare Punktsysteme,

2. in der Gesammtheit der Geradenprojectionen: drei zwei-bündig-trilineare Geradensysteme,

3. in der Gesammtheit der Geradenspuren: drei zweibündigtrilineare Punktsysteme,

4. in der Gesammtheit der Ebenenspuren: drei dreibündig-trilineare Geradensysteme.

Es ist damit nicht gesagt, dass man durch das genannte Verfahren jedesmal den allgemeinsten Fall der betreffenden. Verwandtschaft erhalte. In der That wird sich im Verlauf unserer Untersuchungen ergeben, dass dies nur bei 1. und 2., nicht aber bei 3. und 4. der Fall ist. Vorerst mag man sich damit begnügen, den Satz durch Illustration an Specialbeispielen sich zu veranschaulichen und daraus vorgreifend die Veranlassung zu entnehmen, dass wir von den besprochenen zwei combinirten Verwandtschaften diejenige, in welcher die Punkte dreifach, die Geraden zweifach gebunden sind, als projectiv-trilineare Verwandtschaft —, dagegen diejenige, bei welcher die Geraden dreifach, die Punkte zweifach gebunden sind, als sectiv-trilineare Verwandtschaft bezeichnen.

Durch das Gesagte ist zugleich die innige Zugehörigkeit der Theorie der trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme in das Gebiet der Descrip-tiven Geometrie gekennzeichnet. In der That dürfte diese Theorie in

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