NOTES DE M. G. DARBOUX

NOTE I

Nouvelle démonstration des formules d’Euler et d’Olinde Rodrigues.

La démonstration suivante est directe et offre une interprétation immédiate des paramètres qui figurent dans ces formules.

Considérons un déplacement d’une figure autour d’un point fixe dans l’espace.

Un point de la figure, qui occupait primitivement la position M, vient occuper, après le déplacement, une position Mr Soit A l’axe de la rotation équivalente à ce déplacement, et 0 l’amplitude de cette rotation.

Les points M, Mt sont sur une même circonférence de cercle, dont le centre est en P sur l’axe A et dont le plan est normal à cet axe.

L’angle MPMj est justement égal à l’angle 0. Menons en M, les tangentes à ce cercle; ces tangentes se coupent en un point Q et la droite PQ bissecte l’angle MPMt.

Concevons que la figure se trouve animée autour de l’axe A d’une

rotation continue avec une vitesse angulaire représentée par tang le

A

segment MQ représente évidemment la vitesse linéaire du point M dans ce mouvement.

Si donc a, [3, y sont les cosinus directeurs de l’axe A; x, y, z les coordonnées du point M, les projections du segment MQ seront fournies par les formules connues qz — ry, ..., où les composantes de la

rotation p, q, r sont ici atg -> (3tg -? ytg -• Ces projections seront

A A A

donc

(P* — YP)

(ïx — as) tg ->

(aï/ — [3æ) tg--

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