NOTES DE L’AUTEUR

Décomposition d’un segment suivant les arêtes l’un tétraèdre.

I

Coordonnées tétraédriques des segments.

1. Soit un tétraèdre dont les sommets seront désignés par 1, 2, 3, 4 et AB un segment. Joignons le point A à trois des sommets, à 1, 2, 3, par exemple; on peut regarder AB comme la somme géométrique de trois segments portés par les droites 1 A, 2 A, 3 A. Ces trois segments, à leur tour, peuvent être décomposés en d’autres portés par les six arêtes du tétraèdre, et en composant entre eux les segments portés par une même arête, on arrive à constater l’exactitude de ce théorème :

Tout segment AB est équivalent à un système de six segments portés par les arêtes d’un tétraèdre donné.

On peut ajouterque cette représentation n’a lieu que d’une manière. Soient, en effet, plus généralement, (S12, S13, SH, S23, St2,S3{) et (SJj, SJ3,..., S34, ) deux systèmes de segments équivalents portés par les six arêtes d’un même tétraèdre, S12 et par l’arète 12, S13 et Si3 par l’arête 13, etc. L’équivalence de ces deux systèmes exige que leurs moments résultants relativement à tout axe de l’espace soient les mêmes. Prenons les moments par rapport à l’axe dirigé suivant l’arête 12, tous ces moments sont nuis sauf ceux des segments S3t et S34 portés par l’arète opposée; l’égalité des moments entraîne ici celle de ces deux segments eux-mêmes. Même démonstration pour tous les autres segments.

Ceci posé, considérons le segment SfJb- porté par l’arête i/c; on peut regarder ce segment comme le produit du segment ik par un nombre algébrique pik. La valeur absolue de pa. est le rapport des longueurs

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