NOTES DE L’AUTEUR

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V

Sur les volumes engendrés par un ' fermé.

J’ai dit dans l’introduction que la théorie de segments peut avoir d’autres applications que la statique et la cinématique du corps solide. En voici un exemple que j’ai déjà fait connaître ailleurs (Comptes rendus de l’Académie des Sciences et Journal de Mathématiques.)

On connaît les curieux théorèmes de Guldin, dont on trouve le germe dans un énoncé obscur de Pappus et qui concernent soit le volume, soit la surface engendrés par la rotation d’un contour plan fermé tournant autour d’un axe tracé dans son plan.

Le théorème relatif au volume est susceptible d’une extension remarquable qui nous fournira précisément la nouvelle application à laquelle j’ai fait allusion.

Considérons en premier lieu un petit élément de surface plane w, dont x, y, z seront les coordonnées du centre de gravité, et imprimons à cet élément un déplacement hélicoïdal dont le système des rotations ait les coordonnées (p, q, r, E, y;, Ç).

Cet élément engendre un petit volume qu’on peut assimiler, si le mouvement a lieu pendant un temps infiniment petit St, à un cylindre oblique dont w serait la base et dont l’arête serait égale au déplacement infiniment petit du centre de gravité de l’élément. Ce déplacement a pour projections

l == (ç + qz — ry) St, m = (r\ + rx — jpz)lt} n — (Ç + py — qx) St.

Soient a, (3, y les cosinus directeurs de la normale à l’élément. Le volume du cylindre est égal au produit de sa section droite par la longueur de son arête. Or, la section droite a pour valeur

w cos 0,

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