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198 SECONDE PARTIE. — CONFÉRENCES ET COMMUNICATIONS. — SECTION I.

différence entre /(oc) et l’intégrale (i), i] résulte que, pour

s é. ix loga?

Vexpression

Li(a?) — 1 ■■ ^ <x{x,s,p)——-

v ' loga?^p v ’ ’ V! p(s — p)

ne diffère de la fonction f(oc) que par une quantité inférieure ci un nombre fixe.

Il est facile de démontrer que la série qui figure dans cette expression converge absolument et uniformément par rapport à x dans tout intervalle fini. Ce sont là des avantages que présente cette série sur celle qui figure dans la formule de Riemann.

On pourrait se servir de ce résultat pour le calcul de la fonction f(x). Mais, pour cela, il faudrait calculer les racines p, ce qui paraît extrêmement difficile; et d’ailleurs la série présente encore cet inconvénient que la convergence devient moins rapide à mesure que x augmente.

Si' la formule obtenue n’est pas commode pour le calcul de f(x), elle est, semble-t-il, intéressante pour Vétude des propriétés de cette fonction. Ainsi, elle permet de démontrer (') le théorème suivant, sur l’ordre de grandeur de la différence f(x) —Li(^) :

Si l’on admet, avec Riemann, que la partie réelle de chacun des zéros p est égale ci\ (2), on obtient

| f{x) — Li(x) | < k logx\/x

k désignant une constante.

Comme la différence f(oc) —- F(^r) est de l’ordre de sjx, cette même formule s’applique à la fonction F(#), qui exprime combien il j a de nombres premiers inférieurs à x.

(* 1) Une autre démonstration, fondée également sur l’emploi de la fonction

i — e~x\ se trouve dans mon Mémoire Sur la distribution des nombres premiers ( Acta mathematica, t. XXIV).

(2) On sait que Riemann {Math. Werke, I. Aufl., p. 139) a énoncé comme très probable ce théorème, qui paraît être d’une importance fondamentale pour la théorie des nombres premiers. Malgré bien des efforts, on n’a pu encore le démontrer rigoureusement. Mais, d’après une Note récente de M. Jensen (Acta mathematica, t. XXII), on peut espérer que cette lacune ne tardera pas à être comblée.

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