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•>.5o SECONDE PARTIE. — CONFÉRENCES ET COMMUNICATIONS. — SECTION I.

Le système des postulats doit être irréductible; en d’autres termes, les postulats doivent être absolument indépendants ; c’est-à-dire : il faut c[u 'aucun des postulats ne puisse être déduit des autres ; ou bien encore : il faut qu’en remplaçant séparément chaque postulat par sa négation on obtienne un système de propositions compatibles.

Pour démontrer Virréductibilité cl’un système de postulais, il faut trouver, pour chacun d’eux, une interprétation des symboles non définis, qui ne vérifie pas le postulat considéré, mais qui vérifie simultanément tous les autres.

Le système des symboles non définis doit être irréductible par rapport au système des postulats; en d’autres termes, il faut que des postulats on ne puisse déduire aucune proposition qui soit une définition possible d’un des symboles non définis au moyen des autres (').

Pour démontrer l’irréductibilité cl’un système de symboles non définis par rapporta un système de postulats, il faut trouver une interprétation des symboles non définis, qui vérifie simultanément tous les postulats, et qui continue ci les vérifier lorsqu’on change convenablement la signification cl’un seul clés symboles non définis, et cela pour chacun d’eux.

îl. — Nos symboles non définis et nos postulats.

Nos symboles non définis (I) sont au nombre de trois :

\. entier,

2. le successif de (abrégé par suc),

3. le symétrique de (abrégé par sym).

Nos postulats (I) sont au nombre de sept :

Si a est un entier quelconque :

1. suça est un entier,

2. syma est un entier,

3. sym(syma) = a (2),

4. sym j suc[sym(suca)]j == a.

5. Il y a un entier (3) x, tel que syma: = x. (*)

(*) Ici nous considérons les seules définitions nominales (et non les définitions par induction, par abstraction, etc.).

(2) Le symbole = (qu’on peut lire est égal à ou bien est la même chose que) appartient à la logique générale, ainsi que les symboles classe, est un, etc.

(3) Sans exclure qu’il y en ait plusieurs.

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