258 SECONDE PARTIE. — CONFÉRENCES ET COMMUNICATIONS. — SECTION I.

2. Considérons le cas de la fonction exponentielle

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cinq développements en fractions continues de cette fonction ont été donnés avant ces dix dernières années (1 ). Deux proviennent des formules générales d’Euler et de Gauss; les trois autres ont été donnés spécialement pour la fonction ex par Lagrange.. *

Par leur aspect extérieur, ces cinq développements présentent à la fois des analogies et des différences faciles à apercevoir; mais si l’on fait le calcul des premières réduites de chacun cl’eux, on reconnaît immédiatement qu’il n’en est pas deux pour lesquels ces réduites ne soient différentes; et c’est alors que l’on se trouve en face de cette question : Quel sens précis faut-il attribuer à cette locution de développement en fraction continue d’une fonction? Et, en outre : Quel est le nombre de ces développements? par qui sont-ils caractérisés? quelles relations ont-ils entre eux? etc. (2).

C’est ainsi que, dans une Communication faite, le 7 février 1876, à la Société royale d’Edimbourg, M. Thomas Muir remarque que deux développements en fractions continues de arc tang x (dont l’un est celui d’Euler) ne s'accordent pas dans le fond, en ce sens qu’ils n’ont pas les mêmes réduites. Dans une autre Communication, du 10 février 1876, à la Société mathématique de Londres, il met en parallèle le développement classique de Gauss avec la fraction continue déduite, pour la fonction

j. F (g-4- 1, j3-+- i,y-w,a?)

F (a, (i, Y»#)

(A) Les auditeurs de cette Communication avaient reçu une feuille où étaient reproduites les formules nécessaires pour suivre aisément mon exposition; ces formules n’étant pas données ici, je renverrai simplement à mon Mémoire : Sur les développements en fractions continues de la fonction exponentielle (Annales scientifiques de VEcole Normale supérieure, 3e série, t. XVI; 1899), d'où elles avaient été en grande partie extraites.

(2) Après avoir donné sa célèbre fraction continue et celles qui en découlent, Gauss s’exprime ainsi : asserique potest vix ullas fractiones continuas secun-dum legem obviant progredientes ab analystis hactenus erutas esse, quœ suh nostris tanquam casus spéciales non sint contentœ. En réalité, la fraction continue de Gauss, pour ez\ est distincte, comme nous venons de le dire, des fractions continues, relatives à la meme fonction, d’Euler et de Lagrange, qui lui sont antérieures. La fraction de Gauss ne renferme, comme cas particulier, aucune des fractions données antérieurement; elle ajoute seulement, pour les fonctions particulières auxquelles elle s’applique, une nouvelle fraction à celles déjà connues antérieurement.

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