REMARQUES RELATIVES

â– *

A LA

COMMUNICATION DE M. MITTAG-LEFFLER,

Pau M. Émile BOREL (Paris).

M. Borel demande ]a parole pour présenter quelques observations à l’occasion de la remarquable Communication de M. Mittag-Leffler.

11 rappelle d’abord comment, dès la publication de la belle découverte de l’éminent géomètre suédois, il a donné dans les Annales de VEcole Normale supérieure (189,9) une démonstration extrêmement simple du premier théorème fondamental. Cette démonstration était basée sur l’emploi de l’intégrale de Cauchy et se rattachait immédiatement à un principe antérieurement développé par M. Borel dans ses mémoires sur les séries divergentes. On peut le résumer brièvement: l’intégrale de Cauchy donne l’expression de toute fonction analytique

comme somme d’une infinité d’éléments simples de la forme •—-—: il en

1 ^ — x

résulte aisément que, pour démontrer le théorème de M. Miltag-Leffler pour une fonction quelconque, il suffit de le démontrer pour la fonction

simple ^ 1 ; or, pour cette fonction simple, des propositions équiva-

lentes (développements en séries de polynômes) résultent de recherches de MM. Runge, Hilbert et Painlevé.

Soit maintenant, au lieu d’une intégrale telle que celle de Cauchy, une série, somme d’une infinité dénombrable de fractions rationnelles; la même remarque subsiste, d’où la conséquence suivante déjà indiquée par M. Borel dans les Annales de VEcole Normale : le théorème de M. Mittag-Leffler peut s’appliquer dans des cas où le prolongement analytique ne s’applique pas; il peut fournir un prolongement dans des cas où il rfy a pas de prolongement, au sens de Weierstrass. Il en résulte que l’étoile principale n’est pas nécessairement une étoile de convergence pour l’expression limite simple donnée primitivement par M. Mittag-Leffler.

---

Le texte affiché peut comporter un certain nombre d'erreurs. En effet, le mode texte de ce document a été généré de façon automatique par un programme de reconnaissance optique de caractères (OCR). Le taux de reconnaissance estimé pour cette page est de 98,01 %.

La langue de reconnaissance de l'OCR est le Français.

---