3l4 SECONDE PARTIE. — CONFÉRENCES ET COMMUNICATIONS. — SECTION III.

2. — Méthodes et nomenclature pour l’étude de la gonalité.

3. Au point de vue analytique, la recherche de la gonalité d’une courbe se réduit à la recherche des fonctions spéciales des surfaces de Riemann, pourvu qu’on fasse abstraction des surfaces de genre zéro et des surfaces elliptiques. A ce propos, M. Klein dit : « L’exposition et la recherche des fonctions spéciales appartenant à une surface F« est une des parties les plus intéressantes, mais aussi des plus difficiles, de la Théorie des surfaces de Riemann ; et, jusqu’à présent, on n’a pu s’approcher, en aucune façon, cl’une résolution concluante (J). » (Klein-Fricke, Elliptischen Modul-functionen, Rd I, p. 555).

C’est pourquoi il convenait d’aborder la résolution du problème par la méthode algébrico-géométrique; mais,par ce moyen aussi, la recherche présente de grandes difficultés; car, lorsqu’on passe des courbes hyper-elliptiques aux courbes de gonalité plus élevée, les théorèmes trouvés ont été toujours regardés comme douteux, parce qu’ils manquent d’une complète généralité en ce qui concerne le genre.

4. Nous avons tenté cette voie, et nous sommes parvenu à y faire quelques pas, et à nous débarrasser des grandes difficultés que le sujet présentait, et cela tout simplement en pensant, en opposition avec ce que MM. Rrill et Nôther avaient affirmé dans leur Mémoire classique, fondamental, sur la théorie de la Géométrie sur une courbe algébrique (Malh. Ann., VU), qu’il devait y avoir une importance capitale dans l’étude directe des courbes adjointes à la courbe d’un ordre m—3, et surtout des courbes adjointes ayant le plus petit ordre compatible avec l’ordre et le genre de la courbe donnée. Ce sont ces courbes que nous avons appelées courbes adjointes minimes. Par intuition, nous nous convainquîmes que ces courbes devaient jouer, pour les courbes de gonalité >- 2, le même rôle que les courbes adjointes de l’ordre m — 3 sur les courbes hyperelliptiques ; et nous ne nous trompions pas, parce que toutes nos recherches ont confirmé et démontré ce fait essentiel de la théorie. Cette méthode de recherche nous a obligé à adopter une nomenclature plus minutieuse que celle qu’on employait auparavant; c’est pourquoi nous

O Die Aufstellung und Untersuchung der zu einer Flaclie F,t gehorenden Spe-cialfunctionen gehürt zu den interessantesten, aber auch schwiei'igsten Theilen der Riemann’schen Théorie und ist bislang keineswegs einer ahgeschlossenen Losung zugânglich gewesen.

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