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34o SECONDE PARTIE. — CONFÉRENCES ET COMMUNICATIONS. — SECTION III.

ait une racine double; soit x cette racine, et soit £ l’abscisse du point où la droite (2) coupe la courbe; £ est la racine simple de l’équation (2). En vertu des relations entre les coefficients et les racines d’une même équation, on trouvera

a( -H x) — m2—b, ax2\ = n2— e,

puis, par l’élimination de x,

4 a

(it) T = —----------------

2. Soit, d’ailleurs,

J" ( t ) = ci fë H— b t 2 —f— c t —j— c.

De ce que l’équation (3) admet la racine £ résulte l’égalité

mt + n = ±\//(0)

et l’on peut transformer comme il suit l’égalité (4)

4a[(±v//(Ê) — »^)2 — &] = (m2 — b — a\f\.

Il en résulte

(5) hci^aï,2 b \ c zm\J= (m2 — b — a\)2

ou bien encore, en désignant par u une constante, provisoirement indéterminée

(6) (m-— b — + «)2= (/ja^ + 2tt)mî4:8am \/AO

-t- 4«(«£2-1- ^ + c)-<2(6 + fl?)«+ u2.

L’introduction de cette constante a pour but de former une résolvante de l’équation (5), où l’inconnue est m. En effet, déterminons u de telle sorte que le second membre de (6) soit le carré d’un binôme du premier degré en m ; nous trouvons

— i6a2/(£) + (4«£-l-2M)[4«(a£2H-6£-t-c) — i(b a%)u a2] = 0,

et cette équation présente une particularité remarquable : si on l’ordonne par rapport aux puissances de u, on trouve une équation du troisième degré, dont les coefficients sont indépendants de £.

C’est l’équation suivante

u3 — 2 6 m2 -t- ^acu — 8 a2 e = o;

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