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354 SECONDE PARTIE. — CONFÉRENCES ET COMMUNICATIONS. — SECTION III.

Nous- citerons seulement trois géomètres qui se sont préoccupés de cette question et qui ont réduit successivement le nombre des symboles non définis, au moyen desquels (et au moyen des symboles qui appartiennent à la logique pure) on peut définir tous les autres symboles (*).

D’abord, M. Pasch, qui en 1882 (2) a réussi à définir tous les autres symboles, au moyen des quatre suivants :

1. point, 2. segment (de droite) (3),

3. plan (4), 4. est superposable à.

Ensuite, M. Peano, qui en 1889 (3) a réussi à définir plan, au moyen de point et segment, et qui en 1894 (6) remplaça dans le système des symboles non définis est superposable à par mouvement (7) en réduisant ce

(*) Il n’est pas inutile de remarquer qu’on peut répéter, à propos des propositions et des démonstrations, tout ce que nous venons d’avancer au sujet des symboles et des définitions. [En effet : Parmi les propositions (définitions exceptées) qu’on rencontre en Géométrie, il y en a nécessairement qui ne sont pas démontrées, même en présupposant celles qui appartiennent à la logique pure (axiomes). Comme il y a de l’arbitraire dans leur choix, il faut énoncer le système choisi des propositions non démontrées (postulats), au moyen desquelles (et au moyen des axiomes et des définitions) on peut démontrer toutes les autres propositions. ] Malgré cette frappante analogie entre leur rôle, la préoccupation du choix des postulats est très ancienne, tandis que la préoccupation du choix des symboles non définis est tout à fait moderne. Sans en donner une démonstration historique, qui nous semble superflue, nous en donnons une philologique, moins banale qu’elle peut paraître : Pour remplacer la phrase proposition non démontrée, il y a le mot postulat, mais on n’a pas encore inventé un mot pour remplacer la phrase symbole non défini, car celte phrase a été employée si peu jusqu’à présent, qu’on n’a pas trouvé nécessaire de l’abréger.

(2) Vorlesungen über neuere Géométrie. Teubner, Leipzig.

(3) On doit donner au mot segment sa signification élémentaire et non sa signification projective; par conséquent, deux points sont toujours les extrêmes d’un seul segment.

Si a et b sont des points distincts, au lieu de la figure continue « segment ab », on peut considérer d’abord (comme symbole non défini) la relation entre trois points « x est un point placé entre a et b, » grâce à laquelle on peut donner cette définition : « segment ab » signifie « figure à laquelle appartiennent a, b et tous les points x qui sont placés entre a et b. »

(4) Même seulement partie finie d'un plan.

(5) Iprincipii di geometria, logicamente esposli. Bocca, Torino.

(6) Sui fondamenti délia geometria (Revue de Mathématiques, Turin).

(7) Au lieu de considérer Y infinité des positions successives d’une figure en mouvement, il ne faut considérer que sa première et sa dernière position.

Si a est un point (ou une figure') et si m est un mouvement, on représente par

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