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A. PADOA. — UN NOUVEAU SYSTÈME DE DÉFINITIONS.

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système aux symboles :

1. point, 2. segment, 3. mouvement.

Enfin, M. Pieri, qui en 1899 (1 ) a réussi à définir segment, au moyen de point et mouvement.

Par conséquent, tous les symboles qu'on rencontre dans la Géométrie euclidienne peuvent être définis à l’aide de deux seuls d'entre eux, savoir

1. point, 2. mouvement (2).

2. Question.

Maintenant, on peut se poser cette question : Pour simple que soit le système de symboles non définis choisi par M. Pieri, est-ce qu'on ne pourrait en trouver un plus simple encore?

Il faut d’abord préciser cette question, en ôtant à la simplicité dont il s’agit son caractère de relativité et de subjectivité.

Chaque mouvement, selon MM. Peano et Pieri, est une fonction qui transforme d’une certaine manière les points en points. Or, puisque :

ma ce que devient le point (ou la figure) a après le mouvement m. En d’autres termes, il faut considérer chaque mouvement comme un signe particulier de fonction qui transforme les points en points.

Le lien logique entre le quatrième symbole non défini de M. Pasch et le troisième de M. Peano devient alors évident : on peut les définir l'un par Vautre, à l’aide du premier seulement.

En effet, la signification du symbole est superposable à étant présupposée : « m est un mouvement » signifie « m est un signe de fonction qui transforme chaque figure en une figure qui est superposable à la figure donnée » ;

Et réciproquement, la signification du symbole mouvement étant présupposée : si a et b sont des figures, alors « a est superposable à b » signifie : « il existe au moins un mouvement m tel que ma coïncide avec b ».

(!) Délia geometria elementare corne sistema ipotetico deduttivo {Memorie délia R. Ace. clelle Scienze di Torino).

(2) Il paraît que tout ce que je viens de rappeler est très peu connu, car dans plusieurs ouvrages qui ont pour but l’analyse des principes de la Géométrie, on rencontre un nombre bien plus grand de symboles non définis. Voir, par exemple :

Killing, Einführung in die Grundlagen der Geometrie, 1898,

Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 1900,

Enriques, Questioni riguardanti la geometria elementare, 1900.

Ce qui, évidemment, n’empêche pas que ces ouvrages puissent être intéressants à d’autres points de vue.

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