374 SECONDE PARTIE. — CONFÉRENCES ET COMMUNICATIONS. — SECTION IV.

pour celle écjuation, le problème de Cauchy est possible el déterminé lorsque la multiplicité iniliale est t — o. Mais il n’en est pas de même si Von prend, pour multiplicité initiale, la multiplicité x=o, si l’on

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se donne, par conséquent, pour x = o, les valeurs de Y et de — * En

effet, supposons, en particulier, que ces valeurs soient indépendantes de t ; alors, ou bien la solution sera indéterminée (ce qui est peu probable, bien que je n’aie pu le démontrer rigoureusement jusqu’ici) (' ), ou bien elle sera unique et alors indépendanle de t. Mais, dans ces conditions, l’équation donnée se réduit à A Y = o et nous savons qu’alors le problème de Cauchy n’est pas possible en général.

L’équation précédente est celle du son. Lorsqu’il s’agit d’une atmosphère entièrement illimitée, sans la présence d’aucun solide, et qu’on donne.la position et les vitesses initiales des différents points, le problème qui est ainsi posé est celui de Cauchy. Mais (et ceci est d’accord avec ce c[ui précède) la question est tout autre lorsqu’il s’agit du mouvement d’un milieu limité, remplissant, par exemple, dans sa position d’équilibre, la région f[x,y, z)<Lo. Dans ces conditions, les données initiales font connaître :

i° Sur la variété M< définie par t = o, f (x, y, z) ^ o : la fonction cherchée et sa dérivée normale;

2° Sur la variété M2 définie par f (x, y, z) = o, t ^ o : la dérivée normale seule.

En fait, on reconnaît aisément que le problème qui consisté à se donner, en même temps que la donnée ordinaire sur Mn la fonction seule ou sa dérivée normale seule sur M2, ne peut admettre plus d’une solution. Un fait tout semblable se produit pour l’équation .à deux variables indépendantes, lorsque les données aux limites se rapportent à une courbe coupée par une caractéristique en plus d’un point.

L’analogie partielle avec le cas des caractéristiques imaginaires est ici bien manifeste : elle en entraîne une autre relative aux solutions qui peuvent être données de ces différentes questions. Les méthodes par lesquelles on a pu résoudre le problème de Cauchy (telles que celle de Riemann pour l’équation à deux variables, celle de Kirchhoff pour l’équation du son) sont entièrement indépendantes de la forme de la multiplicité sur laquelle sont données les conditions aux limites. Au contraire, les solutions du problème de Dirichlet (ou des problèmes analogues) sont

O J’ai obtenu cette démonstration ultérieurement (février 1901). Voir Notice sur les Travaux scientifiques de M. J. Hadamard. Paris, Gauthier-Villars, 1901.

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