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J. IIYDAMARI). — SUR UES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 375

toutes liées de la manière la plus étroite à la forme de cette multiplicité. Notre problème mixte possède également ce dernier caractère (ainsi qu’il est aisé de le reconnaître pour l’équation à deux variables), non pas relativement ù la multiplicité M, sur laquelle les données sont celles de Cauchy, mais relativement à la multiplicité M2 sur laquelle les données sont celles de Dirichlet (').

Signalons encore une dernière analogie. La fonction fondamentale qui sert à la résolution du problème de Dirichlet est la fonction de Green g (x, y ; x0,y0), laquelle est infinie pour x = x0, y —y0. Dans le cas des caractéristiques réelles et du problème de Cauchy, un rôle analogue est rempli par la fonction de Riemann, laquelle reste finie dans les mêmes conditions. Cependant cette fonction de Riemann est liée aux intégrales à singularités qui s’introduisent dans les théories relatives aux équations à caractéristiques imaginaires, et cela de la manière suivante. M. Picard a remarqué que les intégrales analogues à logr, qu’il convient d’introduire pour l’étude des équations telles que Au — cil — o, sont de la lorme A log/’-t-R, A et R étant des fonctions régulières. Dans le cas de

l’équation a ^ 4~ ci ~ -4- b ^ -f eu = o, l’intégrale analogue devra

avoir la forme Alog[(^r — x0) (y—-JKo)] + B. On trouve aisément les conditions auxquelles doit satisfaire A et le résultat obtenu est le suivant : La fonction A n’est autre que la fonction de Riemann.

(0 Voir mon Mémoire Sur Vintégrale résiduelle (Bulletin de la Société mathématique de France, p. 79 et suiv. ; 1900).

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