92 Serie XXXII.

dimensionalem Material erst erzeugt werden soll, sie bilden das Modelliernetz in einfachster Anordnung und bieten eine durch Analogien leicht verständliche Anweisung zur Erzeugung.

Um aus den umstehenden Netze einen Würfel zu erzeugen, könnte folgende Anweisung dienen:

Man biege die Bestandteile (Quadrate) des zweidimensionalen Netzes, ohne sie zu verzerren, so in die Richtung der dritten Dimension, dass die gleichbezeichneten Kanten sich decken.

Dem analog müsste zu den vorliegenden Modellen folgende Anweisung gegeben werden:

Man biege die Bestandteile (Tetraeder, Würfel) des dreidimensionalen Gebildes, ohne sie zu verzerren, so in die Richtung der vierten Dimension, dass die gleichbezeichneten (gleichfarbigen) Flächen sich decken.

Diese Anweisung kann zwar in unserem dreidimensionalen Raume nicht befolgt werden, aber gerade in dem Versuche, sie zu befolgen, liegt die Belehrung. Besonders hübsch ist an dem zweiten Modell die Art und Weise ersichtlich, wie der achte Würfel den Schlusstein des Ganzen bildet, entsprechend dem obersten Quadrat in der nebenstehenden Figur.

Würde man die dreidimensionalen Netze im dreidimensionalen Raume mit gleichmässiger Verzerrung der Bestandteile so biegen, dass die gleichfarbigen Flächen sich deckten, so erhielte man eine dreidimensionale Projection.

Die Modelle sind aus Carton hergestellt und mit farbigen Papieren überzogen.

Modell Nr. 6. Wenn drei Punkte A, B, C einer Geraden von drei zugehörigen Punkten einer anderen Geraden dieselben Abstände behalten, so hat jeder andere Punkt M der Geraden A B auch eine bestimmte gleichbleibende Entfernung von dem zugehörigen Punkte Mi der Geraden A1B1. Die Doppelverhältnisse{M, A, B, C)uud(Mi, Ai} Bi , Ci) sind gleich,, und die Punkte M und M\ entsprechen sich also homographisch. Es gibt nun einen Punkt P auf der Geraden AB, dessen zugehöriger Punkt Pi auf der Geraden AxBi unendlich weit entfernt ist. Wenn man nun die Gerade Ai Bi festlegt, so beschreiben alle Punkte M der Geraden AB Kugeln oder Kugelzonen, deren Mittelpunkt Mx auf der Geraden A i Bi liegen. Im besonderen beschreibt der Punkt P eine Ebene, die senkrecht zu AxBi liegt. Auf diesem Lehrsatz des Professors Darboux in Paris beruht der vorliegende Planigraph. Professor

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