Serie XXXIII.

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Modelle Nr. 2 u. 3. Die allgemeine Gleichung vierten Grades lässt sich durch eine einfache Transformation in die Form überführen:

f(t) — ti 6ü2 t2 -\-4as t-\- di = 0.

Deutet man a2, 0.3, ö4 als rechtwinkliche Raumkoordinaten x, y, Z, so stellt diese Gleichung eine Schar von Ebenen mit dem Parameter t dar. Die Enveloppe dieser Ebenenschar ist eine abwickelbare Fläche fünfter Ordnung, die ,,Discriminantenfläche der Gleichung“. Die Fläche hat in ihrer Symmetrieebene als Doppelcurve eine Parabel und ihre Rückkehrkante, deren Punkte als Schnitt je dreier unendlich benachbarten Ebenen bestimmt sind, wird durch die Gleichungen gegeben:

X = — t2, y=2tz, Z = — 3ti.

Die Fläche zerlegt den ganzen Raum in drei Gebiete, von deren Punkten aus vier, zwei oder keine Schmiegungsebene an die Rückkehr-curve gelegt werden können, entsprechend den Zahlen reeller Wurzeln, die bei einer Gleichung vierten Grades auftreten können. Die allgemeinen Punkte der Discriminantenfläche entsprechen Gleichungen mit einer reellen Doppelwurzel, und die Punkte der Rückkehrcurve Gleichungen mit einer dreifachen Wurzel, die Spitze der Rückkehrcurve endlich der Gleichung ti = 0 mit der vierfachen Wurzel null.

Diese Verhältnisse werden durch das erste Modell veranschaulicht.

Das zweite Modell enthält ausser der Discriminantenfläche noch zwei ihrer Schmiegungsebenen, die den Werten zb 10 entsprechen. Hierdurch wird der ganze Raum in neun wesentlich verschiedene Gebiete geteilt,' die einen Überblick über die Gleichungen vierten Grades im Hinblick auf die Anzahl der reellen Wurzeln zwischen zt gestatten.

Eine ausführliche Abhandlung wird beigefügt.

Veröffentlicht 1908 u. 1909.

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