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II. Algebraische Flächen 8. Ordnung: a) Nichltgeradlinige Flächen.

II. Algebraische Flächen dritter Ordnung.

a) Nichtgeradlinige Flächen 3. Ordnung.

Diese Serie nach Prof, Dr. C. Rodenberg umfasst alle wesentlichen Typen in dem Sinn, dass aus den modellierten durch leicht zu übersehende Gestaltsänderungen alle Formen von Flächen 8. Ord. ableitbar sind. Insbesondere bietet sie für jede Art von singulären Punkten, die auf diesen Flächen Vorkommen können, ein charakteristisches Beispiel. Vergl. Rodenberg’s Aufsatz: „Zur Classification der Flächen 8. Ord.“, Math. Annalen Bd. XIV, pag. 46 ff. Der Serie ist eine von dem Urheber verfasste Abhandlung beigegeben.

44. (VII, 1.) Die Diagonalfläche mit 27

reellen Geraden (Bezeichnung von Clebsch, s. Salmon-Fiedler, Analyt. Geom. d. R. II. Art. 289) kann als Repräsentant der allgemeinen F3 mit 27 reellen Geraden angesehen werden. Zwar sind von den geradlinigen Dreiecken, welche die allgemeine Fläche enthält, auf dieser Fläche 10 in Punkte zusammengeschrumpft. Hiermit zugleich sind die diesen Dreiecken einbeschriebenen 10 Ovale der „parabolischen“ Curve (derjenigen Curve auf der Fläche, welche die Partien positiver Krümmung von denen negativer trennt) auf Punkte (Ovalpunkte) reduciert. — Aber mit Hilfe eines Deformationspro-cesses, dem eine Constanten-Aenderung der Flächen gl ei chung parallel läuft, lässt sich

aus der Diagonalfläche die (nicht so übersichtlich darstellbare) allgemeine Fläche leicht ableiten.

Solche Deformationsprocesse sind es überhaupt, die nicht nur von den hier vorliegenden Haupttypen zu allen möglichen Formen von Flächen dritter Ordnung hinführen, sondern auch den Zusammenhang zwischen den einzelnen Typen der Serie herstellen.

Die 15 roten Geraden besitzen je zwei reelle Asymptotenpunkte, d. h. unter den Kegelschnitten, nach welchen alle durch eine solche hindurchgehenden Ebenen die Fläche schneiden, befinden sich 2 reelle, diese Gerade in den vorhin genannten Punkten berührende. Die 12 weissen Geraden bilden eine Doppelsechs, auf ihnen sind die Asymptotenpunkte imaginär. Mit Ausnahme der Ovalpunkte und der erwähnten Asymptotenpunkte ist die ganze Fläche negativ gekrümmt. (15x24 cm.) . . Mk. 25.—.

45. (VII, 2.) Fläche mit 4 reellen co-nischen Knotenpunkten C2*). Man erhält dieselbe aus der Diagonalfläche durch Zusammenziehen der 4 Hälse. Von den 27 Geraden sind 4.6 in die 6 Kanten des aus den Knoten gebildeten Tetraeders zusammengerückt.

Beseitigt man einen Teil der Knoten durch Abschnüren, während man die anderen wieder in Hälse verwandelt, so erhält man einen der Flächentypen mit weniger als 27 Geraden. Beim Abschnüren z. B. eines Knotens werden 4.3 = 12 Gerade imaginär, man hat also den Typus einer Fläche mit nur 15 reellen Geraden u. s. f.

In die 6 roten Verbindungsstrahlen je zweier Knoten (Knotenstrahlen) sind je

*) Die Buchstaben C, B, U bedeuten conische, biplanare, uniplanare Knoten; der angehängte Zeiger gibt die Anzahl der Einheiten an, um welche die Klasse durch die betreffende Singularität erniedrigt wird.

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