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II. Algebraische Flächen 8. Ordnung: a) Nichtgeradlinige Flächen.

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4 Gerade hinein gefallen; die 8 weissen Geraden dagegen sind einfach (un är). Der durch die 4 Eckpunkte bestimmte tetraederförmige Flächenteil liegt ganz im Endlichen und ist positiv gekrümmt. (13x15 cm.) Mk. 12.—.

46. 47. 48. 49. (VII, 3, 4, 5, 6.) Sämtlich collinear verwandt der Fläche Nr. 45. Je nachdem man zur Gegenebene (Ebene, die bei der Collineation zur unendlich fernen Ebene gemacht wird) eine Ebene wählt, welche den tetraederförmigen Teil nicht trifft und die Fläche nach einer Kurve dritter Ordnung mit Oval schneidet, oder von diesem Teil eine Kuppe abtrennt, oder einen Knoten des tetraederförmigen Teils von den 3 übrigen, oder endlich 2 Knoten desselben von den 2 übrigen abschneidet, erhält man der Reihe nach aus Nr. 45 die Flächen Nr. 46, 47, 48, 49.

In den drei ersten Fällen wurde ausserdem die Gegenebene horizontal gewählt, im letzten durch eine der unären Geraden (s. Nr. 45) gelegt, so dass beim Modell Nr. 49 eine dieser 3 Geraden im Unendlichen liegt. Der tetraederförmige Teil erstreckt sich bei allen, mit Ausnahme von Nr. 46, ins Unendliche und ist immer positiv gekrümmt. (13x15 cm.) Nr. 46, 48 je Mk. 12.—, Nr. 47, 49 je Mk. 11.—.

50. (VII, 7.) Fläche mit 3 conischen Knotenpunkten C.2. Sie ist aus Nr. 45 direct nicht ableitbar, aber entsteht aus der Diagonalfläche durch Zusammenziehen der 3 unteren ellipsenförmigen Oeffnungen zu Knoten.

Die 3 weissen Geraden sind daher unär und besitzen reelle Asymptotenpunkte, in die blauen sind 2, in die roten (Knotenstrahlen) 4 Gerade hineingefallen. Die parabolische Curve besteht, abgesehen von den 3 als Teile derselben doppelt zählenden Knotenstrahlen, aus einer Curve sechster Ordnung mit. 3 Doppelpunkten in den Knoten, deren Tangenten daselbst die blau gezeichneten Geraden sind. (11x15 cm.) Mk. 11.—.

51. (VII, 8.) Dieselbe Fläche, aber von der anderen Flächenseite betrachtet (der andere Raumteil ausgefüllt).

Sie veranschaulicht die Bildung des U6 von Nr. 59 aus 3 C2. (11x15 cm.) Mk. 11.—.

52. (VII, 9.) Fläche mit 3 reellen bipla-naren Knoten Ba, von denen jeder die Klasse um 3 erniedrigt, und für welche sämtlich die Tangentialebenenpaare reell sind.

Die 3 verschiedenen Hauptebenen gehen durch je 2 der 3 Knotenstrahlen, in welche je4Gerade hineingefallen sind, und osculieren die Fläche längs derselben. Die Fläche ist durchaus positiv gekrümmt mit Ausnahme der Knotenstrahlen, welche, jeder als Teil der parabolischen Curve vierfach zählend, die parabolische Curve repräsentieren. (11x15 cm.)

Mk. 10.—.

53. (VII, 10.) Fläche mit einem biplanaren Knoten Bs, dessen 2 Tangentialebenen (auch Hauptebenen genannt) reell sind und der die Klasse um 3 erniedrigt.

Ausser den 6 durch den B3 gehenden, dreifach zählenden Geraden (rot), existieren noch 9 unäre (s. oben) Gerade (weiss), wovon 5 reelle, 4 imaginäre Asymptotenpunkte besitzen. Die parabolische Curve besteht aus einem paaren Zug mit 4 Schleifen und 2 Ovalen. Bs ist ein achtfacher Punkt derselben, es gehen aber nur 4 reelle Aeste durch ihn hindurch, welche zu je zweien die beiden Hauptebenen, nicht aber die Knotenstrahlen berühren, die in denselben liegen. Die Fläche veranschaulicht die Entstehung des Uq aus dem B3 durch Vereinigung seiner Ebenen. (10x15 cm.) . . . Mk. 10.—.

54. (VII, 11.) Fläche mit einem biplanaren Knoten B3, dessen Hauptebenen conjugiert imaginär sind.

Die parabolische Curve, welche im Allgemeinen bei Flächen mit einem solchen Knoten eine ans 3 reellen Ovalen bestehende Curve zwölfter Ordnung mit einem isolierten achtfachen Punkt im Knoten ist, degeneriert hier in eine ebene Curve dritter Ordnung und eine Raumcurve neunter Ordnung. Die Fläche enthält nur noch 3 reelle unäre Gerade mit reellen Asymptotenpunkten. (12x15 cm.)................. • Mk. 10.-.

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