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II. Algebraische Flächen 3. Ordnung: a) Nichtgeradlinige Flächen.

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Die Tangentialebene längs der letzteren Geraden enthält die einzige unäre Gerade der Fläche mit 2 reellen Äsymptotenpunkten. Die parabolische Curve ist, von den dazu gehörigen Geraden abgesehen (grüne sechsfach, rote doppelt), eine Curve vierter Ordnung, welche aus einem einzigen Oval besteht und in U7 eine Spitze mit den grünen Geraden als Tangente daselbst besitzt. Durch diese Fläche findet der Übergang von Nr. 59 zu 60 statt. (12x15 cm.)

Mk. 10.—.

62. (\TI, 19.) Fläche mit einem unipla-naren Knoten U9, durch welche die Klassen= zahl um 8 vermindert wird.

Die Tangentialebene in U8 osculiert die Fläche längs der einzigen siebenundzwanzig-fach zählenden Geraden. Sieht man von dieser als Teil der parabolischen Curve zehnfach zu rechnenden Geraden ab, so ist die parabolische Curve ein Kegelschnitt, der in U8 die Gerade der Fläche berührt. (12x15 cm.)....................Mk. 7.50

63. (VII, 26.) Drahtmodell, darstellend die Abbildung der Flächen mit I, 2, 3, 4 conischen Knoten C2, welche einem reellen Pentaeder angehören, auf den Punktraum.

Im Allgemeinen läßt sich die Gleichung einer jeden Fläche dritter Ordnung als die Summe von 5 Cuben von linearen Ausdrücken in den Coordinaten darstellen, und zwar nur auf eine Weise. Diese 5 Ebenen bilden das zu dieser Fläche gehörige Pentaeder, sie bestimmen 10 Schnittgerade (Pentaederkanten), und 10 Schnittpunkte (Pentaederecken); ausserdem gibt es noch 10 Ebenen, welche je durch eine Pentaederecke und die gegenüberliegende Kante gehen (Diagonalebenen). Das vorliegende Drahtmodell stellt nun schematisch das allen Flächen mit nur conischen Knoten (Nr. 44 bis 51) gemeinsame Pentaeder dar. (Für die Diagonalfläche Nr. 44 lässt sich dasselbe sofort angeben. Die 10 Ovalpunkte dieser Fläche sind die 10 Eckpunkte des Pentaeders; die 5 Ebenen desselben sind diejenigen Ebenen, welche je 3 nicht durch einen

| Punkt gehende rote Gerade enthalten; die [ 10 Diagonalebenen sind die Tangentialebenen in den Ovalpunkten.) Die gelben Drähte sind die Kanten des Pentaeders, dazu gehört noch die in der Horizontalebene gelegene, unendlich ferne Gerade, ihre Schnittpunkte (wovon 3 im Unendlichen) die Ecken desselben; die roten Geraden Schnitte von Pentaeder- und Diagonalebenen; die grünen von Diagonalebenen mit einander. | Die Diagonal- und Pentaederebenen teilen ■ den Raum im ganzen in 15 Kammern, wo-j von 5 von 4 (Tetraederkammern), 10 von 5 Ebenen (Pentaederkammern) begrenzt werden. In jedem Pentaeder gibt es im Allgemeinen nur eine einzige Fläche, welche in einem gegebenen Punkt einen Doppelpunkt besitzt. Je nachdem nun dieser Punkt in verschiedenen Kammern gewählt wird, gibt es verschiedene Arten von Flächen dritter Ordnung, die durch die römischen Zahlen im Modell gekennzeichnet sind. Ausser der beiliegenden Erklärung, von Rodenberg verfasst, vergleiche dessen Abhandlung in den Mathem. Annalen Bd. 14, pag. 46 ff.; bezüglich des Pentaeders ferner die Abhandlung von Clebsch im Crelle’schen Journal Bd. 59, pag. 194ff.; ferner Salmon-Fiedler, Geom. d. Raumes, II. Teil, Art. 269, | 282. 2. Aufl. (14x22 cm.) . . Mk. 10.—.

64. (VII, 24 a.) Hesse’sche Fläche zu Nr. 45 und 48.

Sie ist eine Fläche vierter Ordnung mit 14 reellen Doppelpunkten, von denen im vorliegenden Fall 3 im Unendlichen liegen.

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