III. Algebraische Flächen 4. Ordnung: a) Cycliden.

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Kegelmantel sich entweder durch drei Dreikante oder durch drei Vierkante hindurchwindet, die durch jene drei Berührebenen und die Ebene der drei Wendekanten begrenzt werden.

Dem entsprechen die folgenden Modelle:

81. (XXV, 4.) Der Kegel besteht aus einem paaren und einem unpaareu Mantel.

Mk. 20.—.

82. (XXV, 5.) Der Kegel besteht aus einem einzigen unpaaren Mantel und durchzieht die Dreikante .... Mk. 16.—.

83. (XXV, 6.) Der Kegel besteht aus einem einzigen unpaaren Mantel und durchzieht die Vierkante .... Mk. 20.—.

84. (XXV, 7.) Der Kegel besteht aus

einem einzigen unpaaren Mantel und besitzt drei durch eine Gerade gehende Wendeberührebenen .................Mk. 16.—.

(Höhe der Modelle 17 cm.)

Ganze Serie Mk. 128.—.

Vgl. die Modelle Nr. 170, 171 (XVII, 2); hier sind die Schnittcurven der Kegel dritter Ordnung mit Kugeln dargestellt, die um ihre Spitzen beschrieben werden.

III. Algebraische Flächen vierter Ordnung.

a) Cycliden.

Unter Cycliden im allgemeinen Sinn (nach Darboux) versteht man alle diejenigen Flächen vierter Ordnung, welche den unendlich fernen imaginären Kugelkreis zur \ Doppelcurve haben. Sie sind die Enveloppen ; aller Kugeln, deren Mittelpunkte auf einer Fläche zweiten Grades liegen und eine gegebene Kugel stets orthogonal schneiden. Sie besitzen Scharen von Kreisen, die teilweise zugleich Krümmungslinien sein können; die Krümmungslinien sind im Allgemeinen jedoch höhere algebraische Curven. Diese Flächen können bis 4 Knotenpunkte enthalten.

Die Flächen mit 1, 2, 8, 4 Doppelpunkten erhält man auch durch Transformation mittelst reciproker Radien beziehungsweise aus folgenden Flächen zweiter Ordnung:

a) allgemeine Fläche zweiter Ordnung,

b) beliebiger Kegel, c) Rotationsfläche, d) Kreiskegel. Da die Krümmungslinien dabei erhalten bleiben, und Gerade und Kreise im Allgemeinen in Kreise, Ebenen und Kugeln in Kugeln übergeführt werden, so besteht im Falle b) und c) das eine System von Krümmungslinien aus Kreisen, die sich in 2 Doppelpunkten der Fläche schneiden, das andere wird durch Kugeln ausgeschnitten (ist sphärisch). Im Falle d) sind die beiden Kreisscharen, welche aus den Erzeugenden, resp. Parallelkreisen des Rotationskegels sich ergeben, von denen die ersteren sich in den 2 reellen, die anderen sich in den 2 imaginären Knotenpunkten schneiden, zugleich Krümmungslinien. Man nennt diese letzteren Dupin’sche Cycliden. Dieselben ergeben sich auch als Enveloppen aller Kugeln, welche 8 gegebene berühren.

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