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III. Algebraische Flächen 4. Ordnung: a) Cycliden.

Vergl. die Abhandlung von Maxwell in Quart. Journ. of Math. Bd. 9, pag. 111, sowie Salmon - Fiedler, Geometrie des Baumes, II. Teil, Art. 313—323 (2. Aufl.).

85—91. Dupin’sche Cycliden. Sie wurden mit Ausnahme von Nr. 86, 87 u. 91 von Assistenten Dr. P. Vogel in München modelliert. (B).

85. (V, 5 a.) Ringcyclide mit 4 imaginären Knotenpunkten (davon ist die gewöhnliche Wulstfläche ein specieller Fall). Die aufgezeichneten 2 Kreisscharen sind die Krümmungslinien. (7x14 cm.) Mk. 10.50.

86.87. (IX, 7u. 8.) Dieselbe in anderen Verhältnissen. Auf beiden sind ausser den Krümmungslinien noch Schnittcurven mehrerer doppelt berührender Ebenen aufgezeichnet. Diese beiden Modelle sind Abgüsse der im Besitze des mathematischen Seminars in Berlin befindlichen, von Herrn Kummer angefertigten Originale. (12x5 u. 9x6 cm.) . Preis zusammen Mk. 14.—.

88. (V, 5 b.) Horncyclide. Sie besitzt neben 2 imaginären 2 reelle Knotenpunkte, wrelche 2 auseinander liegende Flächenmäntel vereinigen; die aufgezeichneten Kreise sind Krümmungslinien. (19x6 cm.) Mk. 13.50.

89. (V, 5 c.) Spindelcyclide. Sie besitzt neben 2 imaginären 2 reelle Knotenpunkte, welche 2 ineinander liegende Flächenmäntel vereinigen; die aufgezeichneten Kreise sind Krümmungslinien. (10x11 cm.) Mk. 7.50.

90. (V, 5d.) Parabolische Horncyclide. Sie besitzt 2 reelle Knotenpunkte, welche durch eine auf der Fläche liegende Gerade verbunden sind; die 2 imaginären Knotenpunkte liegen ebenfalls auf einer zur ersten senkrechten Geraden; die Fläche ist bloss dritter Ordnung (die reelle unendlich ferne

Ebene sondert sich ab). (15x12 cm.)

Mk. 13.50.

91. (X, 5.) Parabolische Ringcyclide.

Bei ihr sind alle vier Knotenpunkte imaginär, die Verbindungsgeraden beider Paare, welche ganz auf der Fläche liegen, dagegen reell. Ausser diesen befinden sich noch 2 sich schneidende Geraden und eine unendlich ferne auf der Fläche, die von der dritten Ordnung ist. Die aufgezeichneten Curven (Kreise) sind Krümmungslinien. Die Fläche enthält, wie Nr. 90, den unendlich fernen imaginären Kugelkreis nur noch einfach, es sondert sich die unendlich ferne Ebene als ein Bestandteil ab. Von stud. math. Finster-walder. Erklärung beigegeben. (20x12 cm.)

Mk. 12.—.

92—94. (X, 8.) Diese 3 Flächen sind

Cycliden im weiteren Sinne mit 3, bezw. 2 Knotenpunkten. Sie wurden von stud. math. Finsterwalder in München angefertigt. Erläuterung beigegeben.

Preis zusammen Mk. 14.—.

92. (X, 8 a.) Cycliden-Fläche mit 2 con-jugiert imaginären Doppelpunkten. (10x7 cm.)

93. (X, 8 b.) Cycliden-Fläche mit 2 con-jugiert imaginären Doppelpunkten und einem reellen. (10x5 cm)

94. (X, 8 c.) Cycliden-Fläche mit einem uniplanaren Knoten, der durch Zusammenziehen der 3 Knoten in Nr. 93 entsteht.

Die beiden letzteren Flächen sind Orthogonalflächen desjenigen Strahlensystems, welches durch Reflexion eines Strahlenbüschels an einem unendlich dünnen Kreisringe entsteht. Im Falle Nr. 93 liegt der leuchtende Punkt ausserhalb des Kreises in der Ebene desselben, im Falle Nr. 94 auf dem Kreise selbst.

Als Cycliden entsprechen die Flächen Nr. 92—94 dem pag. 123 unter b) erwähnten Fall; sie sind also durch Inversion aus einem Kegel erzeugt, und zwar im Fälle der ringförmigen (Nr. 92) und der hornförmigen (Nr. 93) Fläche mittelst eines imaginären In-! versionscentrums; die herzförmige (Nr. 94)

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