III. Algebraische Flächen 4. Ordnung.

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entsteht durch Inversion aus einem parabolischen Cylinder, wobei das Centrum auf der Scheitelgeraden gelegen ist.

Die 3 Flächen sind Repräsentanten von Flächen 4. Ordnung, für die ein "Mantel der Centrafläche sich auf einen Kreis reduciert.

b) Kummer’sche Flächen.

Die Kummer’sche Fläche (Singularitätenfläche eines Complexes zweiten Grades) ist von der vierten Ordnung und von der vierten Klasse und besitzt 16 Knotenpunkte und ebensoviele Doppeltangentialebenen, welche je 6 Knotenpunkte enthalten. Vergl. Kummer, Abhandlungen der Berliner Akademie von 1886 pag. 62ff.; Plückers Werk: Neue Geometrie des Raumes etc., Leipzig 1868; Salmon, Geometrie des Raumes II. pag. 411—414, sowie Kapitel XII.

95. (II, la.) Alle 16 Knotenpunkte und Doppeltangentialebenen sind reell. (21x18 cm.)

Mk. 28.-.

96. (II, lb.) 8 der Knotenpunkte und Doppeltangentialebenen sind reell. (30x20 cm.)

Mk. 32.50.

97. (II, lc.) 4 der 16 Knotenpunkte und Doppeltangentialebenen sind reell. (20x15cm.)

Mk. 21.-.

Alle 3 Modelle wurden von stud. math. Rohn in München (K) modelliert; Erläuterungen werden beigegeben.

Zu den Kummer’schenFlächen sind ferner noch die unter Nr. 361 (X, 7) und Nr. 363 (VI, 2) aufgeführten Wellenflächen zu rechnen.

c) Flächen 4. Ordnung mit 4 längs Kreisen berührenden Ebenen.

98—103. (IX, 1—6.) Diese Modelle sind Copien nach den im Besitze des mathematischen Seminars der k. Universität zu Berlin befindlichen Originalen, von Herrn Kummer besprochen in den Monatsberichten der k. Akademie zu Berlin von 1862, 1866, 1872. Abdrücke werden beigelegt.

Die Gleichung aller dieser Flächen lässt sich in die Form bringen: y>2 — Xpqrs = o, wo y = o die Gleichung einer Fläche zweiter Ord.; p,q,r,s = 0 die von 4 Ebenen bedeuten; es sind dies diejenigen 4 Tangentialebenen, welche die Flächen längs einer Curve berühren. Die 4 Ebenen bilden in den Modellen ein reguläres Tetraeder:

p — x —(— 3/ —z — a q =— x-\-y— z — a r — — x —y -\- z — a s = x— y — z — a, und die 12 Schnittpunkte der 6 Kanten desselben mit der Fläche zweiter Ord., einer Kugel, deren Mittelpunkt mit dem des Tetraeders zusammenfällt unfl deren Gleichung daher ist:

9p = x2 -j-3/2 + z- — f- = 0, sind Knotenpunkte der dargestellten Fläche vierter Ord. Je nach der Annahme des Radius der Kugel r und des Parameters l (das Tetraeder als gegeben betrachtet) erhält man verschiedene Typen, von denen die charakteristischen modelliert sind.

98. (IX, 1.) Die Fläche besteht aus 4 con-gruenten Teilen, die in 6 biplanaren Knotenpunkten Zusammenhängen. Die zwei Tangentialebenen in jedem solchen Punkt sind reell und berühren die Fläche in Kreisen. Sie entsteht, indem die Kugel die Kanten des Tetraeders berührt, d. h. indem a = r, X < o ist Die aufgezeichneten Curven sind die Kegel-' schnittpaare, nach welchen die Fläche von jeder Tetraederfläche geschnitten wird. Die biplanaren Knoten besitzen hier die Eigentümlichkeit, dass in denselben jede durch den Schnitt der beiden Tangentialebenen

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