III. Algebraische Flächen 4. Ordnung: e) Regelflächen.

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e) Regelflächen vierter Ordnung.

Durch Seidenfäden in Metallrahmen dargestellte Modelle

nach Prof. Dr. K, Rohn in Dresden. Vergl. Rolm’s Aufsatz: Die verschiedenen Arten der Regelflächen vierter Ord., Math. Annal. Bd. XXVIII; der Serie ist diese Abhandlung beigegeben und ist daselbst auf die Modelle verwiesen.

Diese Regelflächen zerfallen nach der Art ihrer Doppelcurve in 4 verschiedene Klassen; nämlich:

1) solche mit 2 Doppelgeraden,

2) solche mit Doppelgerade und Doppelkegelschnitt,

8) solche mit Doppelcurve dritter Ord.,

4) solche mit dreifacher Geraden.

Jede dieser Klassen zerfällt weiter in Unterklassen, je nach der Anzahl ihrer j reellen Zwickpunkte, welche sich auf der Doppelcurve vorfinden. Die verschiedene Art der Doppelcurve einerseits und die Realität der Zwickpunkte andererseits bedingen die Verschiedenheit der Flächengestalten und damit zugleich ihrer Pro-jectionen, die sich als Curven vierter Klasse mit zwei, resp. drei Doppeltangenten oder einer dreifachen Tangente erweisen. Die einzelnen Flächen sind möglichst symmetrisch construiert, ohne ihre Gestalt zu specialisieren.

106. (XIII, 1.) Regelfläche 4. Ord. mit 2 Doppelgeraden und 8 reellen Zwickpunkten; sie besteht aus zwei congruenten Teilen, auf denen je ein Stück von jeder Doppelgeraden verläuft..............Mk. 42.—.

107. (XIII, 2.) Regelfläche 4. Ord. mit 2

; Doppelgeraden ohne reelle Zwickpunkte; sie

besteht aus zwei congruenten Mänteln, die ' sich längs der beiden Doppelgeraden gegenseitig durchsetzen..............Mk. 49.—.

108. (XIII, 3.) Regelfläche 4. Ord. mit 2 Doppelgeraden; auf der einen liegen 4 reelle, auf der andern 4 imaginäre Zwickpunkte.

Sie besitzt zwei congruente Mäntel, die sich längs der einen Doppelgeraden durch-schneiden, während jeder Mantel ein Stück ; der anderen Doppelgeraden enthält. Mk.45.—.

109. (XIII, 4.) Regelfläche 4. Ord. mit 2 imaginären Doppelgeraden; sie besitzt zwei

I congruente Mäntel, die Hyperboloiden ähnlich : sehen. Die Projection eines solchen Mantels i besteht aus zwei hyperbelartigen Aesten, deren einer zwei Spitzen mit Doppelpunkt aufweist........................Mk. 42.—.

110. (XIII, 5.) Regelfläche 4. Ord. mit

Selbstberührungsgeraden und 4 reellen Zwickpunkten; sie besteht aus zwei congruenten Teilen und erscheint als interessanter Special -fall der Fläche 106 .... Mk. 42.—.

111. (XIII, 6.) Regelfläche 4. Ord. mit dreifacher Geraden und 4 reellen Zwickpunkten; alle Erzeugende treffen eine Leitgerade. Diese Fläche besitzt nur einen Mantel, der

{ an 4 Stellen eine Faltung zeigt. Mk, 45.—.

! 112. (XIII, 7.) Regelfläche 4. Ord. mit

dreifacher Geraden, deren Punkte zwei con-stante und eine bewegliche Tangentialebene aufweisen. Während die Erzeugende die Regelfläche beschreibt, passiert sie zweimal die Lage der dreifachen Geraden, auf der zwei höhere singuläre Punkte entstehen. Mk.45.—.

113. (XIII, 8.) Regelfläche 4. Ord. mit Doppelkreis und Doppelgeraden, die sich recht-

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