128 IV. Algebraische Flächen von höherer als 4. Ordnung. Liniengeometrie.

winklig schneiden; auf jeder Doppelcurve liegen zwei reelle Zwickpunkte. Die Fläche ist mehrfach symmetrisch; der Selbstberührungspunkt (Schnittpunkt von Kreis und Geraden) liegt reell auf der Fläche. Mk. 49.—.

114. (XIII, 9.) Regelfläche 4. Ord. mit Doppelcurve 3 Ord. und vier reellen Zwickpunkten. Die Fläche besteht aus einem Mantel, auf dem zwei Stücke der Doppelcurve liegen; die Erzeugenden sind teils reelle, teils ideelle Doppelsecanten der Raumcurve 3. Ord., darunter vier Tangenten . . Mk. 45.—.

115. (XIII, 10.) Regelfläche 4. Ord. mit Doppelcurve 3. Ord. ohne reelle Zwickpunkte.

Auch diese Fläche besitzt nur einen Mantel, der sich jedoch längs der ganzen Doppelcurve selbst durchsetzt. Gleichwohl sind die Erzeugenden wieder zum Teil reelle, zum Teil ideelle Doppelsecanten der Raumcurve 3. Ord., unter denen sich wieder vier Tangenten befinden...............Mk. 45.—.

(Grösse aller Modelle 18x18 cm.)

Ganze Serie Mk. 430.—.

IV. Algebraische Flächen von höherer als 4. Ordnung.

Liniengeometrie.

116. (X, 9.) Fläche 8. Ord. Sie besitzt 2 zu einander senkrechte, sich schneidende Selbstberührungsgeraden, von denen jede in 2 uniplanaren Punkten höherer Ordnung (durch Zusammenziehen von 2 Zwickpunkten entstanden) aus ihr heraustritt, 2 congruente ebene Doppelcurven 4. Ord., die im Mittelpunkt (hohe Singularität) einen Selbstberührungspunkt besitzen und aus der Fläche in zusammen 8 Zwickpunkten heraustreten, endlich 2 Doppeltangentialebenen, welche | die Fläche längs zweier Kreise berühren. Sie | entsteht durch die Bewegung eines Kreises j von unveränderlichem Radius dadurch, dass ; die Endpunkte eines Durchmessers desselben j stets auf 2 zu einander senkrechten Geraden j gleiten (die beiden Selbstberührungsgeraden), j während die Ebene des beweglichen Kreises j stets auf der Ebene der beiden Geraden senkrecht steht. Die genannte Fläche enthält den unendlich fernen imaginären Kugelkreis als Doppelcurve. Von stud. math. Finsterwalder in München (B). (7x5 cm.)

Mk. 4.75.

117. (VIII, 3.) Fläche 12. Ord. Ihre Horizontalschnitte sind solche Brennlinien, wie sie durch Reflexion eines von einem Punkt ausgehenden Strahlen-

büschels an einem Kreise entstehen. Dieselben sind so auf einander geschichtet, dass die reflektierenden Kreise einen Kreiscylinder bilden, während die leuchtenden Punkte eine um 45° gegen die Horizontal ebene geneigte Gerade ausfüllen. Die Fläche kann angesehen werden als ein Teil der Brennfläche der von einer leuchtenden Linie ausgehenden Strahlen nach ihrer Reflexion an einem Cylinder, dessen Axe die Linie trifft. Die Fläche besitzt als Rückkehrkanten 2 sich in einem Punkte berührende gleichseitige Hyperbeln und eine weitere Raumcurve, die sich selbst und die Hyperbeln in dem genannten Punkte berührt. Von stud. math. Finsterwalder in München (B); hierzu eine Erläuterung. (13x20x12 cm.) ..... Mk. 17.50.

118—120. (I, 2.) Fläche 12. Ordnung. Brennfläche, welche von einem zur Axe wenig geneigten Parallelstrahlen-System nach deren Durchgang durch ein centriertes Linsensystem eingehüllt wird. (Vergl. .Seidel, Schuhmachers Astron. Nachrichten, Nr. 1027ff., Monatsberichte der Berliner Academie, Dec. 1872, Finsterwalder, Abh. der bayer. Acad. von 1891.) Das Modell ist affin zu der Centra-fläche des Paraboloids:

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