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VI. Raumcurven und abwickelbare Flächen.

Tangente und die Schmiegungsebene. Dabei kann es sich ereignen, dass von den 3 Elementen eines oder zwei oder alle drei stationär werden. Den 8 verschiedenen Fällen, die hierbei eintreten können, entsprechen 8 Typen eines Elements einer Raumcurve mit im Allgemeinen singulärem Verhalten. Vergl. Ausführung zu Serie XI im I. Teil.

Zusammen Mk. 60.—.

142—150. (XXXIV, 1—9.) Die Singularitäten von Raumcurven, unter Leitung von Prof. H. G. Zeuthen von Frl. Helga Lund in Kopenhagen. Die Modelle stellen in einer neuen Art die acht verschiedenen Singularitäten der Raumcurven (die eine in zwei verschiedenen Fällen) mit ihren Tangenten und abwickelbaren Flächen dar. Während bisher derartige Curven durch gebogene Drähte, vermittelst Seidenfäden oder auf Körpern veranschaulicht wurden, bilden hier die Schnitte von Kartonblättern die Raumcurven, und Gerade, die auf Blättern eingeritzt sind, die Tangenten. Den Modellen wird eine Erläuterung beigegeben, die über die verschiedenen bemerkenswerten Verhältnisse der einzelnen Fälle, auch über die Form von Nachbarschnitten und über die Lage der Raumwinkel, in die die Kurven sich fortsetzen, Aufschluss gibt, (ca. 16x21 cm.) . . Zusammen Mk. 40.—.

151. (VI, 6 a, b, c, d.) Die Raumcurven 3. Ord. auf Cylindern 2. Ord. Je nachdem die unendlich ferne Ebene einer solchen Curve in einem reellen, oder in 3 reellen, oder in einem reellen und 2 zusammenfallenden (Berührung), oder endlich in 3 zusammenfallenden (Osculation) Punkten getroffen wird, unterscheidet man 4 verschiedene Typen, welche cubische Ellipse, Hyperbel, cubisch-hyperbolische Parabel und cubische Parahel genannt werden, und die auf elliptischen, hyperbolischen (Hyperbel und cubisch - hyperbolische Parabel) und parabolisch en Cylindern liegen. Verg]. Salmon-Fiedler, Geom. des Raumes, II. Teil, pag. 88 ff. (2. Aufl.) Von stud. math. Lange modelliert und mit einer Erläuterung ver-

sehen (K). (10,5x6,5 cm.)

Zusammen Mk. 20.50.

152—157. (XXVIII, 1—6.) Sechs Modelle zur Theorie der cubischen Raumcurve und

ihrer Anwendung in der physiologischen Optik. (K., Sg.) Mit einer Abhandlung. Von Dr. W. Ludwig, Breslau.

Die cubische Raumcurve kann definiert werden als der Ort der Schnittpunkte je dreier entsprechender Ebenen aus drei pro-jectiven Ebenenbüscheln oder als der Ort der Punkte, in deren jedem sich zwei entsprechende Strahlen aus zwei kollinearen Bündeln begegnen, oder endlich als Grund-curve eines besonderen Bündels (Netzes) von Flächen 2. Grades. Aus jedem ihrer Punkte wird sie durch einen Kegel 2. Grades projiciert, aus ihren drei unendlich fernen Punkten also durch drei Cylinder 2. Grades; dabei treten vier gestaltlich ganz verschiedene Typen der Curve auf, die auf Celluloid-cylindern in Metallrahmen dargestellt sind.

152. (XXVIII, 1.) Die cubische Ellipse

mit nur einem reellen unendlich fernen Punkte und einer reellen Asymptote; mit dieser zusammen liegt sie auf einem elliptischen Cylinder. (12x14x40 cm.) Mk. 25.—.

153. (XXVIH, 2.) Die cubische Hyperbel

mit drei getrennten reellen unendlich fernen Punkten und drei reellen Asymptoten; sie liegt mit jeder der letzteren zusammen auf einem hyperbolischen Cylinder, in dessen Asymptotenehenen sich jedesmal ihre beiden anderen Asymptoten befinden; die Curve ist auf dem einen dieser drei Cylinder dargestellt. (19x28x40 , cm.) . . Mk. 40.—

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