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VII. Infinitesimalgeometrie der Flächen.

vereinigt. Die andere Kugel (Nr. 171) enthält die Typen mit Oval, mit Doppel-, Rückkehr- und isoliertem Punkt.

Construiert von stud. Dollinger in Tü hingen (B). (10 cm.)

Beide Kugeln zusammen Mk. 12.—.

VII. Infinitesimalgeometrie der Flächen.

a) Krümmung der Flächen im einzelnen Punkte.

172—174. (XXII, 1-3.) Cartonmodelle über die Krümmung der Flächen, entworfen von Ingenieur C. Tesch in Karlsruhe (W).

Sind r1 und r2 die Hauptkrümmungsradien einer Fläche in einem gewissen Punkte, so sind für das Ganss’sche Krümmungsmass die drei Fälle zu unterscheiden:

— ■ — = 0. fi r%<

Ihnen entsprechend liegen die Krümmungskreise auf derselben Seite der Berührungsebene, oder der eine der Hauptkrümmungskreise ist in eine Gerade übergegangen, oder die Krümmungskreise liegen auf beiden Seiten der Berührungsebene.

Jedes der diese 3 Fälle darstellenden Modelle zeigt ausser 12 Krümmungskreisen noch die Schar der Schnittcurven der von den Krümmungskreisen gebildeten Fläche mit zur Flächennormale senkrechten Ebenen.

Zusammen Mk. 16.—. 175. (XXX, 3.) Fläche mit parabolischem Punkte. Auf Veranlassung von Prof. Släckel in Kiel ausgeführt von cand. math. 0. Lose-

hand und cand. math. W, Quidde. Die Fläche enthält auf der vorderen Seite hyperbolische, auf der hinteren Seite elliptische Punkte. Beide Gebiete werden getrennt durch eine Curve parabolischer Punkte, und zwar ist diese Curve eine Parabel 2. Ordnung. Die Fläche enthält also alle 3 Arten des Krümmungsmasses. Zugleich stellt sie die erste Annäherung in der Nähe eines parabolischen Punktes dar. Der parabolische Punkt, für den die Fläche Osculationsfläche ist, wird auf der Fläche kenntlich gemacht durch den Schnitt einer conischen, einer cubischen und einer semicubischen Parabel. Eine Abhandlung von Prof.Dr. Stäckel ist beigelegt. (15x15x15 cm.)

Mk. 7.50.

176. (XXX, 8.) Fläche 4. Ordnung, für deren singulären Nullpunkt

d2z _j_ d-z dxdy "T" dydx

ist, nach Prof. Sommer und Prof. Schilling von cand. mach. W. Fischer in Danzig.

Das Modell stellt die Fläche x2 — y2

dar. Die dargestellte Fläche enthält insgesamt vier gerade Linien, nämlich die x-und y-Axen, sowie die Halbierungslinien ihrer Winkel. Man erkennt am Modell leicht die verschiedenen Symmetrieeigenschaften, welche die Fläche besitzt. Anscheinendweist dieselbe keine Singularitäten auf, sie hat in jedem im Endlichen gelegenen Punkt eine bestimmte Tangentialebene. Der Nullpunkt ist dagegen ein singulärer (Ausnahme-) Punkt der Fläche. In der Tat ist auch die Indikatrix für diesen Flächen-

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