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VII. Infinitesimalgeometrie der Flächen.

218°. (X, 12b.) Dasselbe, grösserer

Massstab. Durch einen im Punkte A befestigten Faden kann man die Erzeugung der Enveloppen demonstrieren. (18x13 cm.)

219°. (X, 12 a.) Dreiaxiges Ellipsoid nebst Andeutung der Enveloppe von geodätischen Linien, welche von einem Punkt ausgehen. Durch den Ausgangspunkt der geodätischen Linien gehen 2 Krümmungslinien; die 4 Spitzen der Enveloppe (auch hier ist sie ein vierspitziger Curvenzug) liegen zu je zweien auf denjenigen Krümmungslinien, welche zu den durch den Ausgangspunkt gehenden beiden symmetrisch liegen. Vgl. Dr. A. v. Braunmühl’s Abhandl. in den Math. Annalen, Bd.20, pag.557ff. (19x11 cm.) Nr. 216, 218 u. 219 zus. Mk. 16.—.

Die Modelle Nr. 215—219 wurden von Dr. A. von Braunmühl in München (B) con-struiert. Vergl. dessen Abhandlung in den Math. Annalen Bd. 14, pag. 553 ff. u. Bd. 20. Erläuterung beigegeben.

Geodätische Linien finden sich auch auf den Flächen von constantem Krümmungs-mass Nr. 220, 221, 228—230 und von con-stanter mittlerer Krümmung Nr. 239—243.

e) Flächen von constantem Krümmungsmass und aufeinander abwickelbare Flächen.

Für die Flächen von constantem Krümmungsmass ist das Product der beiden Hauptkrümmungsradien, dessen reciproker Wert nach Gauss gleich dem Krümmungsmass der Fläche in dem betrachteten Punkt ist, an jeder Stelle dasselbe. Nach dem Vorzeichen dieses Productes unterscheidet man Flächen von constanter positiver oder negativer Krümmung oder von der Krümmung Null. Alle Flächen von gleichem eonstanten Krümmungsmass sind ohne Dehnung und Schrumpfung auf einander aufbiegbar und in sich selbst verschiebbar, wie z. B. die Ebene oder die Kugel. Man kann auf solchen Flächen daher von Congruenz

der Figuren reden, weil man getrennt gelegene Flächenstücke durch Verschiebung in der Fläche selbst zur Deckung bringen und mit einander vergleichen kann. Die notwendige Bedingung zum Aufbau einer Geometrie, im Euklidischen Sinn, ist damit für diese Flächen gegeben; an die Stelle der „Geraden“ tritt hier nur die kürzeste, d. h. die „geodätische Linie“. Die Geometrie auf den Flächen von constanter positiver Krümmung ist die gewöhnliche sphärische Geometrie; die auf den Flächen von constanter negativer Krümmung wird Nicht-Euklidische Geometrie genannt und deckt sich mit der durch Lobatschewsky begründeten, welche des elften Axioms von Euklid entbehrt. Der Unterschied zwischen dieser und der sphärischen hat ein verschiedenes Verhalten der unbegrenzt verlängerten geodätischen Linien zur Folge. (Vergl. die diesbezüglichen Anmerkungen zu den Modellen beider Flächengattungen).

Die nachfolgenden Flächenmodelle sind bestimmt, dem Studium dieser Geometrie zu dienen. Zu diesem Zweck sind einzelnen Nummern verbiegbare Messingbleche von dem Krümmungsmass der Flächen beigegeben, welche jeder beliebigen Stelle einer Fläche von dem gleichen Krümmungsmass, wie es der Streifen besitzt, sich anschmiegen.

Die partielle Differentialgleichung, durch welche diese Flächen definiert sind, wird unter Voraussetzung einer Kotations-fläche zu einer gewöhnlichen integrierbaren und liefert für die Meridiancurve der Fläche die Gleichung

wobei +1* der reciproke Wert des Krüm-mungsmasses der Fläche ist.

Sowohl für die Flächen positiver wie für die negativer Krümmung erhält man 2 verschiedene Typen, zwischen denen ein Übergangsfall mit einfacheren’Eigenschaften liegt (Kugel und Tractrixfläche).

220—222. (V, 2.) Rotationsflächen von constantem positiven Krümmungsmass mit

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