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VII. Infinitesimalgeometrie der Flächen.

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geodätischen Linien. Drei Typen mit gleichem

Krümmungsmass

(in Centimeter-

4,332

mass). Da diese Flächen auf eine Kugel abwickelbar sind und geodätische Linien bei der Abwickelung erhalten bleiben, so treffen sich alle von einem Punkt ausgehenden geodätischen Linien wieder in einem Punkt. Nach Zeichnungen von E. Bour, Journal de l’Ecole Polytechnique, Tome 22 modelliert und mit geodätischen Linien versehen von Assistenten Dr. P. Vogel (B).

220. (V, 2b.) Spindeltypus; die Meridian-curve trifft die Axe. (11x7 cm.) Mk. 4.60.

221. (V, 2c.) Wulsttypus; die Meridian*

curve der Fläche trifft die Axe nicht. (10x12 cm.).....................Mk. 10.50.

222. (V,2a.) Kugel; Zwischenfall, Radius

4,33 cm.........................Mk. 1.25.

Die Flächen von constanter Krümmung sind, als dünne Haut gedacht, wie bereits erwähnt, in sich selbst verschiebbar und auf einander abwickelbar. Man kann dies durch die folgenden biegsamen, auf diese Flächen aufgepassten Streifen von Messingblech erproben.

223°. (X, 6 a.) Flächenstreifen von constanter positiver Krümmung aus Messingblech.

Kugelzone, einem Centriwinkel von fast 90° entsprechend.

224°. (X, 6 b.) Hohle Halbkugel aus

Messingblech. Beide zusammen Mk. 4.50.

225. (V, 3.) Schraubenfläche von con-stantem positiven Krümmungsmass, auf die

vorhergehenden 3 Flächen abwickelbar, indem das Krümmungsmass mit dem der vorhergehenden Flächen übereinstimmt. Die Gleichung der Meridian curve führt auf elliptische Functionen. Ganghöhe der Schraube 10,9 cm. Schneidet man aus der vorherigen Kugel eine von 2 gleich grossen Parallelkreisen begrenzte Zone (einem Centriwinkel von 90° entsprechend) heraus, so geht diese durch gegenseitige Verschiebung der Endschnitte in diese Schraubenfläche

über, wie sich dies mit Hülfe der Kugelzone aus Messingblech zeigen lässt.

(24x15 cm.)....................Mk. 15.—.

Von stud. math. Kuen in München (B). Erläuterung hierzu und auch zu den vorhergehenden Rotationsflächen beigegeben.

226. 227. (XVII, 3.) Zwei Flächen von constantein positiven Krümmungsmass mit einem System ebener Krümmungslinien. Die eine (Nr. 226) repräsentiert den allgemeinen, von Enneper zuerst (Göttinger Nachrichten 1868) untersuchten Fall, dass die Coordinaten der Fläche elliptische Functionen von 2 Parametern sind; die andere (Nr.227) den von Kuen (Bayr. Acad. Sitzungsber. 1884) nachgewiesenen besonderen, wo Kreisfunctionen für die Coordinatendarstellung ausreichen. Letzterer entspricht dem Typus der Bianchi-schen Fläche (Nr. 232) für Flächen von negativem Krümmungsmass.

Die Flächen sind beide auf die Kugel Nr. 222 abwickelbar. (16x16x8 u. 16x 15x14 cm.) . . . Zusammen Mk. 21.—.

Die Flächen von constantem negativen Krümmungsmass unterscheiden sich wesentlich durch die Eigenschaften ihrer geodätischen Linien von denen positiver Krümmung. Die von einem Punkt ausgehenden Linien treffen sich überhaupt nicht mehr. Durch einen Punkt der Fläche gehen unendlich viele Linien, die eine gegebene geodätische Linie schneiden, zwei (nach jeder Seite eine) zu ihr parallele (sie im Unendlichen treffende) und unendlich viele sie nicht schneidende. Unter einem geodätischen Kreis versteht man diejenige Curve, die der Endpunkt eines am anderen Endpunkte befestigten auf der Fläche aufliegenden angespannten Fadens beschreibt. — Um Vieldeutigkeit zu vermeiden, hat man sich eine Rotationsfläche als unendlich dünne, über das Modell der Rotationsfläche unendlich oft gewickelte Haut zu denken (als Schraubenfläche von der Ganghöhe Null).

228. (11,4.) Rotationsfläche von constantem negativen Krümmungsmass (Kegeltypus), nebst geodätischen Linien (blau) und einer

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