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VII. Infinitesimalgeometrie der Flächen.

f) Flächen von constanter mittlerer Krümmung, Minimalflächen.

Die Flächen von constanter mittlerer Krümmung sind dadurch definiert, dass die Summe der reciproken Werte ihrer 2 Hauptkrümmungsradien an jeder Stelle denselben Zahlenwert besitzt. Die partielle Differentialgleichung, durch welche sie definiert sind, geht in eine integrierbare totale über, wenn man sich auf Rotationsflächenbeschränkt, und zwar erhält man für die Meridiancurve die Gleichung

r- + a. a,

- ~ =dr.

i (fl,-—/*«) (r- — a.z2)

Nach Delaunay (Comptes rendus XIII, 1841) ergibt sich die Meridiancurve dieser Flächen auch als diejenige Curve, die der Brennpunkt eines Kegelschnittes beim Abrollen auf einer Geraden beschreibt, welche dann Rotationsaxe wird. Den 8 Kegelschnitten Ellipse, Hyperbel, Parabel entsprechend, erhält man 3 verschiedene Typen, die von Plateau in seinem Werke „Statique experimentale et theorique des liquides etc.“ Onduloid, Nodoid, Catenoid genannt wurden. Nach Laplace werden die Gleichgewichtsfiguren von Flüssigkeiten, welche der Einwirkung der Schwere entzogen sind, von Flächen constanter mittlerer Krümmung begrenzt. Geometrisch lassen sie sich auch als gewisse Parallelflächen zu Flächen von constantem positiven Krümmungsmass definieren. Einen speciellen Fall davon bilden die Minimalflächen, deren mittlere Krümmung Null ist. Dieselben haben die Eigenschaft, einen kleineren Flächeninhalt zu besitzen als jede andere benachbarte Fläche, die durch eine beliebige auf ihr geführte geschlossene Randcurve hin durchgelegt wird. Sie ergeben sich mechanisch als diejenigen Flächen, welche die zwischen eine gegebene Randcurve sich einspannende Flüssigkeitshaut (z. B. durch Eintauchen eines Drahtes von der Form der Curve in Seifenlösung) annimmt.

Die Minimalflächen werden sowohl durch

ihre Krümmungs- wie durch ihre Asymptoten-curven in unendlich kleine Quadrate geteilt. (Die Indicatrix ist für diese Flächen eine gleichseitige Hyperbel, deshalb stehen auch die Asymptotencurven aufeinander senkrecht). Zu jeder Minimalfläche gibt es eine zweite, ihre sog. Bonnet’sche Biegungsfläche, welche auf sie derart abwickelbar ist, dass die Krümmungslinien der einen in die Asymptotencurven der andern übergehen. Vergl. Schwarz in Crelle’s Journ. Bd. 80.

239—242. (II, 3.) Drei Typen von Rotationsflächen constanter mittlerer Krümmung mit geodätischen Linien. Das Verhalten der letzteren ist je nach dem Winkel, unter dem eine den grössten Parallelkreis trifft, ein verschiedenes. Entweder bewegt sie sich zwischen 2 Parallelkreisen (blau) oder sie nähert sich asymptotisch dem Kehlkreis, d. i. Parallelkreis vom kleinsten Radius (grün), oder sie läuft über die ganze Fläche hin. Von stud. math. A. v. Braunmühl in München (B). Erläuterung beigegeben.

239. (II, 3 a.) Onduloid. Die Meridian-

curve ergibt sich für ^ = 1 cm., a.2 = 5,77 cm. aus der oben angegebenen Gleichung, wenn von den 2 daselbst vorkommenden Vorzeichen das obere (positive) gewählt wird. (12x26 cm.)......................Mk. 10.50.

240. (II, 3 b.) Nodoid. und a2 wie oben, aber in der Gleichung ist das untere (negative) Vorzeichen zu wählen. (11x8 cm.)

Mk. 9.50.

241. (II, 3 c.) Ring des Nodoids, durch Umdrehung der Schleife der Meridiancurve von b entstanden. (9x3 cm.) Mk. 2.50.

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