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2-)

V

+

W

(a — K) 3 (a — y) a (a — b) J

Z = ±-

b 2

und K Parameter sind.

(b—K)*(b — r)

b (b-a) >w0 r

Auf den Modellen ist die Doppelkurve der Fläche eingezeichnet, soweit sie Durchdringungskurve der beiden Mäntel ist. (Sie setzt sich nämlich über die Krümmungszentren C\ und Ca der Nabelpunkte hinaus, die reellen Mäntel der Fläche verlassend, in isolierten Zweigen fort) Besonders interessant sind die Schnitte der Symmetrieebene, die die Punkte Ci und Ca enthält, da sie sich in beiden Mänteln aus Stücken einer Rückkehrkante (K—a) und einer für die Fläche regulären Kurve (y = ü), die in Ci und Ca aneinanderstoßen, zusammensetzt. Das Modell 3 stellt die Kombination der beiden Mäntel dar. Da infolge der Durchdringung nicht sämtliche Teile der Fläche sichtbar gemacht werden können, sind in einem der durch die Symmetrieebenen gebildeten Raumquadranten die in den übrigen sichtbaren Teile von der Durchdringungskurve an fortgelassen, sodaß gerade die sonst verdeckten Teile zum Vorschein kommen. Auf diese Weise gelingt es gleichzeitig, sichtbar zu machen, wie die Rückkehrkante K—a und die reguläre Kurve y — a in den Punkten Ci und Ca sich berühren und von einem Mantel in den anderen übergehen.

Die beiden Mäntel der Zentrafläche des hyperbolischen Paraboloides, die durch die Gleichungen 2) für ö • 6 < 0 dargestellt wird,. gehen längs zweier unendlich fernen Geraden in einander über und durchdringen sich in einer Doppelkurve, die aus vier im Endlichen getrennten Zweigen besteht. Gestaltlich sind sie im Wesentlichen gleich. Deshalb konnte davon abgesehen werden, sie einzeln zu modellieren. Das Modell 4 besteht aus zwei Teilen, die zusammen die Kombination der Mäntel geben. Auseinandergenommen kann jeder einen Mantel veranschaulichen, wenn man sich die Flächenstücke, die bei der Durchdringung der andere Mantel ausschneidet, ergänzt denkt.

Dieselben Singularitäten wie die Zentrafläche des elliptischen Paraboloides zeigen auch die des Ellipsoides und des zweischaligen Hyperboloides. Deshalb wurde davon abgesehen, die Zentrafläche des Hyperboloides zu modellieren. Hingegen sollen die drei Modelle 5—7 der Zentrafläche des Ellipsoides insbesondere noch veranschaulichen, welchen Einfluß die Wahl der Achsen des Ellipsoides hat. Sind nämlich a, b, C die Achsenquadrate des Ellipsoides, so rücken für a—b — b—C die Rückkehrpunkte der Doppelkurve zu je zweien in einen Punkt zusammen. Die drei Modelle stellen diesen Fall und zwei benachbarte Fälle dar. Bei der Zentrafläche des hyperbolischen Paraboloides können Modelle den Unterschied der drei Fälle nicht liefern, da für a — b <Lb — C die Spitzen der Doppelkurve in der unendlich fernen Ebene liegen.

Bei allen Modellen ist eine Reihe von Kurven y — Const. und K — Const. eingezeichnet, längs denen die Mäntel der Zentrafläche von den Normalen der Urfläche in den Punkten einer Krümmungskurve berührt werden. Die speziellen Werten der Parameter y und K entsprechenden Kurven (Schnitte der Symmetrieebenen) sind durch Einschreiben dieser Werte hervorgehoben.

Genauere Ausführungen enthält die Arbeit des Herrn Schröder: „Die Zentiaflächen der Paraboloide und Mittelpunktsflächen zweiten Grades“ (Dissertation Halle a. S. 1913), die den Modellen gratis beigegeben wird.

Die Preise verstehen sich exklusive Emballage und Versendungskosten.

In der Hoffnung, daß diese neuen Modelle überall anerkennende Aufnahme finden, bitte ich um gütige Ueberweisung auch Ihrer Aufträge und zeichne

in vollkommener Hochachtung

ergebenst

Martin Schilling.

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