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Serie XLVI, No. 1.

Gipsmodell des Gauss’schen Pentagramms mirificum

auf der Kugel,

herausgegeben von

Professor Dr. Heinrich Liebmann in München.

Kugeldurchmesser io cm Preis Mark Hl—

Das Modell des Gauß’schen Pentagramma mirificum zeigt, wie man, ausgehend von einer einzigen Formel aus der Trigonometrie des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks, alle anderen in einfachster Weise gewinnen kann.

Man braucht dazu nur die beiden ganz elementaren Sätze:

1. Die Endpunkte zweier nach derselben Seite hin senkrecht auf einen Hauptkreisbogen errichteten (Hauptkreis-) Quadranten fallen zusammen; jeder durch diesen Punkt gehende Hauptkreis schneidet den ersten senkrecht und es wird von ihm ein Quadrant abgeschnitten.

2. Der Winkel zwischen zwei von einem Punkte ausgehenden Quadranten ist gleich dem (in Winkelmaß gemessenen) sphärischen Abstand ihrer Endpunkte, und die Quadranten stehen auf ihm senkrecht.

Mit Rücksicht auf (2) sind im Modell Winkel und Bogen beide in gleicher Weise mit griechischen Buchstaben bezeichnet. Zu einander komplementäre Winkel werden durch Akzente unterschieden, also a und a', ß und ß' u. s. w. ergänzen sich zu einem rechten Winkel; dieselbe Bezeichnung ist natürlich auch für komplementäre Bögen gewählt, d. h. für Bögen, die einander zu einem Quadranten ergänzen. —

Verlängert man jetzt im (bei dem Modell farbig hervorgehobenen) Ausgangsdreieck dessen Bestimmungs-stücke mit a, ß (Katheten), y (Hypotenuse), X, (Winkel) bezeichnet sind, ß um ß' und y um yr (über die nicht zusammenfallenden Endpunkte), so ist der Abstand der Endpunkte nach (2) gleich X. Verlängert man X um X' und a um a\ so fallen die Endpunkte nach (1) zusammen, und es entsteht ein zweites rechtwinkliges Dreieck.

A,: X, y\ a ; u, ß’.

Überdies ist die Diagonale (Xßr), welche die Scheitelpunkte der Winkel X und ß' verbindet, wegen (2) ein Quadrant und steht auf den Katheten ß und X senkrecht.

Ebenso gewinnt man das rechtwinklige Dreieck:

und endlich aus A4 noch

Aa: li, r, ß'\ , K a

Ab: li, i ^ j ß\ r,

aus Aa aber

A4; X', ß, a, y.

Die Diagonalen y) und (X y) stehen beide auf der Hypotenuse y senkrecht und sind Quadranten, also fallen nach (1) die Ecken (y) von A3 und A4 zusammen. Ferner steht (uy) auf der Kathete f.i von A3, (Xy) auf der Kathete X von A4 senkrecht, und es schließen in A3 die Seiten (.i und X, in A4 die Seiten X' und (x, ebenso aber (nach 2) die Diagonalen (fxy) und (Xy) den Winkel y ein. Hieraus folgt, daß /li die komplementäre Fortsetzung (ohne Knick) von /i, ebenso X die von X ist, d. h. auch A3 und A4 schließen sich genau so aneinander, wie die übrigen Nachbarpaare von Dreiecken.

Diese geschlossene Kette von fünf rechtwinkligen Dreiecken bildet eben das Pentagramma mirificum. Jetzt kann die oben erwähnte Ableitung leicht erfolgen. Aus

cos y=cos a • cos ß,

der bekannten Beziehung zwischen Hypotenuse und Katheten, folgt z. B. wenn man Ax betrachtet:

cos a'=cos Xr • cos y'

oder . . ,

sm a = sm X • sin y,

und aus A3 folgt

cos X — cos a • cos [X — cos a • sin /i Durch wiederholte Anwendung und Division folgt endlich

cos y = cos a • cos ß = cot X • cot /x.

Alle Formeln überhaupt werden zusammengefaßt durch die eine Regel:

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