MRRTIN SCHILLING, LEIPZIG

Verlag von Modellen für den höheren mathematischen Unterricht.

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Leipzig, im November 1913.

Hochgeehrter Herr!

Hiermit beehre ich mich, Ihnen ergebenst anzuzeigen, dass in meinem Verlage soeben die nachstehend näher beschriebenen Modelle erschienen sind:

Serie XL, No. 4—19.

16 Modelle von Kurven konstanter Breite,.

herausgegeben von

Professor Dr. Fr. Schilling in Danzig.

Grösse jedes Modelles 12X12 cm.

Preis der 16 Modelle mit dem Messapparat Mk. 235.—.

n des einzelnen Modelles.............„ 14.-.

„ des Messapparates allein ..... „ 16.—.

Unter einer (ebenen) Kurve konstanter Breite oder einer C-Kurve versteht man eine solche im Endlichen verlaufende konvexe Kurve, dass der Abstand je zweier parallelen Stützgeraden, d. h. die Kurve gerade zwischen

sich einschliessenden Parallelgeraden, konstant ist. In den vorliegenden Modellen ist die konstante Breite gleich

12 cm gewählt. Auf die Kurven konstanter Breite hat zuerst Reuleaux in seinem Lehrbuch der Kinematik (Bd. I, S. 130ff.) hingewiesen; später sind sie insbesondere mit Hilfe Fourier’scher Reihen von A. Hurwitz, H. Minkowski und E. Meissner und geometrisch ausführlich von Fr. Schilling behandelt worden. Diese Kurven haben unter

anderen die einfachen Eigenschaften, dass jede Stützgerade die Kurve nur in einem einzigen Punkte trifft, dass die Normale in einem solchen Punkte R zugleich normal zu der parallelen Stützgeraden und zwar wieder in ihrem Kurvenpunkte Pi ist, dass eine teilweise geradlinige Begrenzung der Kurve nicht möglich ist, dass alle Kurven derselben konstanten Breite b denselben Umfang r (Satz von Minkowski) besitzen. Von Herrn Schilling ist ferner gezeigt, dass für die einzelne Kurve konstanter Breite ausser der sogenannten C’-Kurve, d. h. dem geometrischen Ort der Mitten für die Doppelnormale Pi P3, insbesondere die /(-Kurve, d. h. der geometrische Ort der Krümmungsmittelpunkte oder die Evolute der Kurve konstanter Breite, grundlegende Bedeutung besitzt. Es zeigt sich nämlich, dass durch gewisse Festsetzungen die /(Kurve zu einer (endlichen) geschlossenen Kurve gemacht werden kann und dann folgende wichtige Eigenschaften besitzt: Die tangierende Gerade der /(Kurve hat sich insgesamt um den Winkel jr gedreht, wenn der Berührungspunkt die Kurve gerade einmal durchlaufen hat; die /(Kurve besitzt ferner (ebenso wie die Cf-Kurve) eine ungerade Anzahl von „Umkehrpunkten“ und zwar mindestens drei. (Durch Zerschneiden in den Umkehrpunkten zerfallt also die /(Kurve in die gleiche Anzahl von konvexen Bogen). Diese Tatsachen gestatten alle /(Kurven leicht zu konstruieren und zwar sowohl die /(-Polygone mit oder ohne konvexe Ecken, insbesondere die /(Kreispolygone, wie auch die allgemeinen /(-Kurven. Zu jeder einzelnen /(-Kurve ergeben sich die zugehörigen Kurven konstanter Breite dann sehr einfach als diejenigen Evolventen, deren beschreibender Punkt bei der Abrollung der tangierenden Geraden auf der /(Kurve keinfcn ihrer konvexen Bogen innerlich trifft. Unter diesen zu derselben /(-Kurve als deren Evolventen gehörenden Kurven konstanter Breite gibt es also eine „äusserste C-Kurve“, die dann entsteht, wenn der sie beschreibende

Messapparat mit dem Modell Nr. 6.

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