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Serie XIII.

Schon verschiedentlich sind specielle Flächen vierter Ordnung modelliert worden; es sei nur erinnert an die Flächen mit 16 Knotenpunkten, an die Plücker’schen Complexflächen, an eine Art von Flächen mit 12 Knoten, sowie an die Cycliden. Das Modellieren solcher Flächen ist in der Regel eine Folge der genaueren Kenntnis der Eigenschaften derselben. Die Kenntnis verschiedener Eigenschaften der Regelflächen vierter Ordnung ist aber bereits früher durch mehrere Abhandlungen und ein Einblick in ihre verschiedenen Gestalten neuerdings durch die Abhandlung des Verfassers gewonnen worden, so dass die Modelle dieser Regelflächen schon aus diesem Grunde ein allgemeineres Interesse verdienen. Einen zweiten wesentlichen Grund für die Bedeutung und den Wert dieser Modelle findet der Verfasser aber darin, dass sie in der

grossen Gattung der Regelflächen so ziemlich die ersten sind. Ausser einigen abwickelbaren Flächen — also Regelflächen speciellster Art — und den drei Regelflächen dritter Ordnung sind Regelflächen nicht modelliert. Und doch sind gerade die Regelflächen besonders instructiv, und die Fadenmodelle haben den grossen Vorzug, das man ihre Con-turen ihrer ganzen Erstreckung nach wirklich sehen kann. Bei den vorliegenden Regelflächen ergeben sich als Projectionen Curven vierter

Klasse mit zwei resp. drei Doppeltangenten oder einer dreifachen Tangente, Curven, welche manche Eigentümlichkeiten aufweisen.

Je nach der Art der vielfachen Curve unterscheidet man Regelflächen mit zwei Doppelgeraden, Regelflächen mit einer dreifachen Geraden, Regelflächen mit einem Doppelkegelschnitt und einer Doppelgeraden und Regelflächen mit einer Doppelcurve dritter Ordnung. Flächen der ersten Art stellen die Modelle x, 2, 3, 4 und 5 vor, Flächen der zweiten Art die Modelle 6 und 7, eine Fläche der dritten Art das Modell 8, undendlich zwei Flächen der letzten Art die Modelle 9 und 10. Die Modelle 1 bis 5 geben über die Flächen der

ersten Art einen Ueberblick, während bei den übrigen Arten nur die

Fäjle modelliert wurden^ welche besonders interessant sind und ohne Modelle sich schwerer vorstellen lassen. Noch ist zu erwähnen, dass alle Modelle symmetrisch gebaut sind; dadurch gewinnen sie ungemein an Uebersichtlichkeit, ohne an ihrer Allgemeinheit einzubüssen. Bei den Flächen 1, 2, 3 und 8, 9, 10 sind die Constanten ausserdem so ge-

wählt, dass die Erzeugenden sich in windschiefe Vierseite anordnen lassen, was für die Gestalten dieser Flächen durchaus keine Specialisiöiung bedeutet.

Den Modellen ist eine 11/2 Bogen in gr. 8° umfassende Abhandlung beigefügt.

Veröffentlicht 1886.

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