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Serie XXI.

wickelbare Fläche liegt teils im Innern des Hyperboloids, teils ausserhalb; ihre Doppelcurve. ruht in zwei Spitzen auf demselben und durchdringt es in zwei anderen Punkten; letztere sind wieder Pinchpoints der Fläche. Das Stück der DoppiJcurve, welches ausserhalb des Hyperboloids sich befindet, verläuft isoliert. Mark 52.—.

Nr. 5. Raumcurve 4. Ord. mit zwei Streckungspunkten, in denen drei consecutive Curvenpunkte in gerader Linie liegen. Diese Curve ist speciell, sie bildet den Übergang von 1 nach 2. ' Die abwickelbare Fläche zeigt eine Doppelcurve von gleicher Beschaffenheit, wie die gegebene Raumcurve und ausserdem zwei Rückkehrgeraden, nämlich die Tangenten in den Streckungspunkten. Im Fall l verein'gen sich diese Rückkehrgeraden mit der Doppelcurve, wobei dann die Spitzen entstehen; im Fall 2 verschwinden sie. Mk. 48.—.

„ 6. Specialfall des vorigen. Die beiden Punkte mit Wendeebenen fallen mit den Schnittpunkten der beiden schneidenden Curventangenten zusammen. Natürlich ist auch diese Curve nur in Bezug auf eine Axe symmetrisch. Die abwickelbare Fläche besitzt eine dreifache Curve — im Modell ist sie ein Kreis —, die dadurch entsteht, dass im Fall 5 jede Spitze der Doppelcurve mit einem ihrer beiden Durchdringungspunkte (Pinchpoints der Fläche) zusammenrückt. Ein Teil des dreifachen Kreises liegt im Innern des Hyperboloids, durch ihn geht nur ein Flächenmantel, der andere Teil liegt aussserhalb und in ihm durchsetzen sich drei Flächenmäntel. Mark 49.—.

„ 7. Raumcurve 4. Klasse, die aus No. 6 durch reciproke Raumtransformation abgeleitet ist; sie liegt auf einem Kreiscylinder und besitzt zwei Spitzen. Die Erzeugenden ihrer abwickelbaren Fläche liegen zu drei und drei in den Tangentialebenen jenes Cylinders, und deren Doppelcurve ist wieder eine Raumcurve 4 Ord. Mark 49.—.

Äussere Begrenzung der Modelle 20 cm.

Preis der ganzen Serie 300 Mark

Von den Raumcurven 4. Ordnung erster Species und ihren abwickelbaren Flächen existieren bereits mehrfältig Fadenmodelle. Eine Modellierung der Raumcurven 4. Ordnung zweiter Species bietet indes in mancherlei Hinsicht noch grösseres Interesse als die vorerwähnten Raumcurven und scheint nur wegen der sich dabei darbietenden Schwierigkeiten bislang unterblieben zu sein. Einmal lassen sich die Curven 4. Ord. erster Species als Schnitt zweier Flächen 2. Grades (zweier Kegelflächen) leichter vorstellen und ihre verschiedenen Gestalten leichter übersehen, als dieses bei den Raumcurven 4. Ord. zweiter Species der Fall ist, die als teilweiser Schnitt eines Hyperboloids mit einer Fläche 3. Grades erscheinen. Zum andern ist der Reichtum der Gestalten bei letzteren grösser, als bei ersteren. Drittens zeigen sich bei letzteren Vorkommnisse, die bei ersteren nicht eintreten können, und die

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