Ebenflächige Raumgebilde.

9

Die Modelle Nr. 113 und 114 stellen in erster Linie die zwei KEPLERschen Vielflache dar, indem in das Dodekaeder und in das Ikosaeder solche Nebenkanten eingeschrieben sind, daß sie sich im Innern wieder in Ecken eines Ikosaeders und eines Dodekaeders treffen. Werden dann diese Linien als Kanten eines neuen Vielflachs betrachtet, und solche Flächen durch sie gelegt, daß sie an jeder Ecke ein gewöhnliches Vielkantbilden, so sind die so entstehenden Vielflache die beiden KEPLERschen. Es können diese noch auf eine zweite Art entstanden gedacht werden, nämlich durch Erweiterung der im Innern schwebenden PLATONischen Vielflache, die so als Kerne der KEPLERschen zu betrachten sind.

Diese beiden Modelle zeigen aber auch, wie die PoiNSOTSchen Vielflache durch Einschreiben oder Umschreiben (Erweitern der Seitenflächen) aus den PLATONischen entstehen, und in gleicher Weise behandeln die Modelle Nr. m und 112 die in mehrere gewöhnliche zerfallenden Vielflache; das erstere zeigt in übersichtlicher Anordnung die beiden Tetraeder als Halbflächner (Hemiedrien) des Oktaeders und ist deshalb im Unterricht der Kristallkunde vorteilhaft zu verwenden.

Die Modelle Nr. 115 und 116 bieten, wie die regelmäßigen Körper, eine Darstellung der Gruppen von Drehungen um einen festen Punkt und verdienen vor den regelmäßigen Körpern den Vorzug, da sie einmal auf die Gruppen eindeutig bezogen sind und außerdem für sie eine Erzeugung aus involutorischen Drehungen (Umwendungen oder Spiegelungen an Achsen) liefern. Die in den Modellen dargestellten Geraden bilden ein geschlossenes System von Spiegelachsen. Als Ergänzung der beiden ist das Modell Nr. 401 zu betrachten, an dem (als Durchmesser einer Kugel) drei zueinander senkrechte Geraden angebracht sind, die ein weiteres geschlossenes System ausmachen.

Der regelmäßige Fünfzehnstrahl Nr. 116 enthält fünf (durch Farben unterschiedene) Achsenkreuze, die so liegen, daß mit den Achsen (Strahlen) eines Kreuzes irgend eine weitere Achse die Winkel %, % und 2/5 eines Gestreckten einschließt. Dieser stereometrische Satz liefert den gruppentheoretischen: Wenn man die Spiegelung an jeder der drei Achsen eines Kreuzes mit der Spiegelung an irgend einer anderen der 15 Achsen zusammensetzt, so erhält man gerade die dreierlei in der Gruppe vorkommenden, einander nicht kongruenten, nicht involutorischen Drehungen. Aus diesem Satze folgt dann gruppentheoretisch, daß in der Ikosaedergruppe sechs einander nicht kongruente regelmäßige Vielflache auftreten: das Ikosaeder und das Dodekaeder und die vier KEPLERschen und PoiNSOTSchen Vielflache.

Die 6 Modelle sind vom Herausgeber zuerst für das mathematische Institut der Universität Halle angefertigt worden und waren auf den Ausstellungen mathematischer Modelle in München und Chicago im Jahre 1892 ausgestellt. Nur das Oktaeder in Nr. in ist nachträglich eingefügt. Man vergleiche den Katalog von W. Dyck (Nachtrag 1893, S. 54).

---

Le texte affiché peut comporter un certain nombre d'erreurs. En effet, le mode texte de ce document a été généré de façon automatique par un programme de reconnaissance optique de caractères (OCR). Le taux de reconnaissance estimé pour cette page est de 98,72 %.

La langue de reconnaissance de l'OCR est l'Allemand.

---