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H. Wieners Sammlung. Gelenksysteme.

Gegenkanten sowie die Winkel je zweier in einem der ebenen Vierecke gegenüberliegender Kanten unendlich klein im allgemeinen von der i. Ord. werden läßt, so erhält man als Entsprechendes zu dem vorigen Vielflach eine von zwei Scharen von Linien überzogene Fläche, die stets in diesen Linien gebogen werden kann. Dabei sind die beiden Scharen (wegen der Ebenheit der Maschen) konjugiert und (wegen der Achsenspiegelung) geodätische Linien. Die nach der angegebenen Regel hergestellten Modelle veranschaulichen also im Endlichen die Biegung einer mit zwei Scharen von konjugierten geodätischen Linien behafteten Fläche, und diese Linien bleiben auch für endliche Biegungen zwei Systeme einander zugeordneter Biegungslinien.

Diese Flächen, die nach ihrem ersten Bearbeiter Vosssche Flächen heißen, haben schon zu einer ganzen Reihe von Untersuchungen geführt1), die sich zum Teil auch auf ihre Biegung beziehen, während ihr Zusammenhang mit der Biegung endlicher Vielflache zum erstenmal von H. Wiener im Anschluß an die hier ausgeführten Modelle gezeigt worden ist. Nr. 135 bis 137 wurden auf der Naturforscherversammlung in Kassel2) (1903) und auf dem Mathematikerkongreß in Heidelberg (1904) in einer Ausführung aus Pappflächen mit Leinwandkanten vorgezeigt.

Ein einfaches Beispiel der Vossschen Flächen bildet die Wendelfläche, die in dem Modell 140 durch ein ihr eingeschriebenes Vielflach ersetzt ist. Dieses besteht aus gleichschenkligen Vierecken (am Rand aus ihren Teildreiecken), von denen die einen Diagonalen auf einer regelmäßigen Reihe von Erzeugenden der Wendelfläche liegen, während die anderen als Sehnen von Schraubenlinien angeordnet sind. Zur Konstruktion des Vielflachs ist von diesen Vierecken ein einziges, nämlich ein Quadrat, mit der einen Diagonale in der Achse liegend, gewählt; daraus bestimmt sich durch regelmäßige Wiederholung längs der Achse eine ganze Reihe solcher Quadrate' und aus diesen können nach der obigen Regel die' übrigen Vierecke der angegebenen Art auf eine einzige Weise eingefügt werden.

Das in seinen Kanten drehbare achsenspieglige Vierkant Nr. 135 a) und b), das die Beweglichkeit dieser Vielflache ermöglicht, hat auch noch eine andere wichtige Eigenschaft, die mit den Biegungseigenschaften stetiger Flächen zusammenhängt. Wenn man nämlich auf dem einen Paar von Gegenkanten zwei Punkte festlegt, die gleichen Abstand vom Scheitel haben, und ebenso auf dem zweiten Paar, so haben die beiden durch ein solches Punktepaar und den Scheitel gelegten Kreise bei den Veränderungen des Vierkants zwar veränderliche Radien, aber das Produkt der für irgend ein Vierkant genommenen Radien ist dasselbe wie bei allen übrigen, die aus ihm durch die gelenkige Veränderung entstehen.

1) Enz. d. math. W. IIID. 5. 39 und IIID. 6. 25.

2) Verhandlungen der Ges. D. Nat. u. Ä. 75. Vers, zu Kassel II, 1. S. 29.

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