Cours de mécanique à l'usage des écoles industrielles et professionnelles

- - COURS -DE MÉCANIQUE
  - A 1/ USAGE DES
  - ECOLES INDUSTRIELLES ET PROFESSIONNELLES
  - M. Wilmotte• — Cours de mécanique (2° édit.).
  - a
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- - COURS J)g//JL_
  - DE MÉCANIQUE
  - A I, USAGE
  - DES ECOLES INDUSTRIELLES ET PROFESSIONNELLES ^
  - PAR
  - MAURICE WILMOTTE
  - Ingénieur
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  - Ouvrage honoré d’une importante souscription du Ministère de l’Industrie et du Travail
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  - Tous droits réservés
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- - TABLE DES MATIÈRES
  - Pré fa ck
  - Pages.
  - XVII
  - .. Notions préliminaires.
  - Principes de la mécanique............................. 1
  - Division du cours de mécanique........................ 2
  - PREMIÈRE PARTIE
  - Statique.
  - ClIAPITRE PREMIER
  - Des forces.
  - Définitions et éléments d’une force.................
  - Espèces de forces...................................
  - Puissances et résistances...........................
  - Mesure des forces...................................
  - Peson à ressort................................... .
  - Dynamomètre Leroy...................................
  - — Poncelet....................................
  - Dynamomètres enregistreurs..........................
  - Mèsure des forces par le calcul......................
  - Action d’une force constante agissant sur un corps libre
  - Proportionnalité des forces aux vitesses............
  - — — — accélérations . . .
  - 5 _ 5
  - 5 <>
  - 6
  - 7
  - 8 8 8 8 9 9
  - 10
  - 11
  - Pesanteur Masse . .
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- - VI
  - COURS DE MÉCANIQUE
  - CHAPITRE II
  - Composition et décomposition des forces.
  - Pages.
  - Composition des forces de même direction.......... 13
  - Équilibre des forces concourantes................. 15
  - Composition de deux forces concourantes............. 16
  - — —plusieurs forces concourantes......... 17'
  - — — deux forces parallèles................ 18
  - Décomposition d’une force en deux autres............ 27
  - Couple.............................................. 28
  - Composition d’un nombre quelconque de forces parallèles 29 Décomposition d’une force en trois autres........... 32
  - CHAPITRE III
  - Moment des forces par rapport à un point.
  - Signes des moments.................................. 34
  - Théorème de Varignon................................ 35
  - Moments des forces-parallèles....................... 40
  - . CHAPITRE IV
  - Moments des forces par rapport à un plan.
  - Cas de deux forces de même sens..................... 42
  - — — — sens contraires................ 44
  - — de plusieurs forces............................ 47
  - CHAPITRE V
  - Centre de gravité.
  - Détermination expérimentale du centre de gravité. . . 48
  - Principes. . ....................................... 49
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- - Vil
  - TABLE DES MATIERES
  - Contre de gravité du périmètre d’un triangle . . .
  - — d’une ligne-polygonale régulière.
  - d’un arc do cercle..................
  - — de l’aire d’un triangle.............
  - — — d’un trapèze........................
  - — — — quadrilatère......................
  - — polygone quelconque............
  - ~ - — secteur circulaire...............
  - d’une zone sphérique................
  - — d’un prisme.........................
  - d’une pyramide......................
  - — d’un cône...........................
  - — secteur sphérique. ............
  - d’une demi-sphère...................
  - Théorème de Guldin....................................
  - Pages.
  - 50
  - 52
  - 54
  - 58
  - 50
  - 50
  - < 60 61 68 66' 66
  - 67
  - 68
  - CHAPITRE VI
  - Parallélipipède des forces, forces rectangulaire»
  - et quelconques.
  - Théorèmes et application
  - 6
  - CHAPITRE VII
  - Equilibre du solide.
  - Solide libre dans l’espace................................ 87
  - — gêné par un obstacle fixe....................... 88
  - — sous l’action de la pesanteur................... 03
  - Stabilité des corps...........’........................ 05
  - Pression sur les points d’appui........................... 05
  - Théorème d’Euler.......................................... 06
  - CHAPITRE VIII
  - Forces centrifuge et centripète.
  - Évaluation de la force centripète...................*98
  - Régulateur à force centrifuge.......................-102
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- - VIII
  - COURS DE MÉCANIQUE
  - CHAPITRE IX
  - Machines simples.
  - Pages.
  - Levier. —• Conditions d’équilibre.........................104
  - Genres de leviers.........................................106
  - Soupape de sûreté...............................• • 108
  - Combinaisons de leviers ..................................111
  - Balances. — Conditions de justesse et de sensibilité. . . 114
  - Balance de Roberval...................................... 120
  - — romaine.............................................121
  - Bascule de Quintenz.......................................122
  - Treuil. — Conditions d’équilibre................\ . 124
  - Poulie fixe...............................................127
  - — mobile..............................................128
  - Combinaison de poulies mobiles............................131
  - Moufle-palan............................................ 135
  - Palan différentiel...................................... 137
  - Cabestan................................................. 141
  - Treuil à engrenages..................................... 141
  - Cric . .................................................. 142
  - Treuil différentiel . ................................... 143
  - Grues.................................................... 144
  - Chèvre....................................................145
  - Plan incliné. — Conditions d’équilibre....................145
  - Coin......................................................149
  - Vis.......................................................150
  - Vérin.....................................................153
  - Vis différentielle de Prony............................. 154
  - — sans fin................................................155
  - -—à pas contraires........................................156
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- - TABLE DES MATIERES
  - 1 X
  - DEUXIÈME PARTIE
  - Cinématique.
  - CHAPITRE X
  - Du mouvement.
  - Pages.
  - Espèces de mouvements...............................1-50
  - Mouvement varié......................................160
  - uniforme..................................160
  - Représentation graphique du mouvement uniforme. . . 162
  - Diagramme de l’cspacq* parcouru d’un mouvement uni*
  - l'orme ............................................163
  - Mouvement uniformément accéléré......................164
  - Relation entre la vitesse et le temps dans le mouvement
  - uniformément accéléré..............................165
  - Yitesse moyenne du mouvement uniformément accéléré 165 Expression dé l’espace parcouru d’un mouvement uniformément accéléré...................................167
  - Relation entre les espaces et les temps dans le mouvement uniformément accéléré.......................168
  - Mouvement uniformément retardé.......................170
  - Expression de la vitesse.............................170
  - — —l’espace parcouru.........................170
  - CHAPITRE XI
  - Représentation graphique et diagramme du mouvement uniformément varié.
  - Représentation graphique de la vitesse dans le mouvement uniformément accéléré.......................171
  - Diagramme de l’espace parcouru dans lé mouvement
  - uniformément accéléré..............................172
  - Diagramme de l’espace parcouru dans le mouvement
  - uniformément retardé.............................. 173
  - Diagramme de l’espace parcouru calculé avec la vitesse moyenne..........................................174
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- - COURS UE MÉCANIQUE
  - CHAPITRE XII
  - Mouvement uniforme de rotation.
  - Pages.
  - Relation entre les vitesses et les rayons...........176
  - Vitesse angulaire...................................177
  - CHAPITRE XIII
  - Chute des corps.
  - *
  - Lois de la pesanteur................................186
  - Vérification des lois de la pesanteur...............181
  - Accélération due à la pesanteur.....................183
  - Corps lancés verticalement..........................184
  - Durée et hauteur de l’ascension d’un corps lancé de bas en haut.............................................184
  - CHAPITRE XIV
  - Mouvement périodique.
  - Application à la machine à vapeùr...................187
  - CHAPITRE XV
  - Représentation géométrique des mouvements.
  - Mouvement uniforme.................................189-
  - — varié ................................. 196
  - — uniformément accéléré.................196
  - — — retardé...................192
  - Corps lancés de bas en haut. .......................193
  - Mouvement périodique................................194
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- - TABLE DES MATIÈRES XI
  - CHAPITRE XVI
  - Mouvements composés.
  - Pages.
  - Mouvement absolu et relatif d’un corps...............195
  - Composition de deux mouvements rectilignes et uniformes ...............................................195
  - Composition d’un mouvement rectiligne uniforme et
  - d’un mouvement uniformément accéléré..............198
  - Trajectoire de l’écoulement d’un liquide par un orifice
  - latéral..............................................199
  - Mouvement hélicoïdal uniforme..........................200
  - CHAPITRE XVII
  - Production et transformation des mouvements.
  - Transformation du mouvement rectiligne continu en
  - rectiligne continu............................ 204
  - Transformation du mouvement rectiligne continu en circulaire continu ........................................205
  - Transformation du mouvement circulaire continu en
  - circulaire continu...................................205
  - Poulies et courroies. . 205
  - Transmission par courroie. Arbres parallèles...........208
  - Équipage des poulies.................................208
  - Largeur et épaisseur des courroies...................210
  - Vitesses variables...................................213
  - Poulie folle...........................................214
  - Transmission par courroie. Arbres non parallèles. ... 214
  - — — — font entre eux un certain angle 215
  - Rouleau de tension . ................................ 216
  - Transmission par corde-courroie...................... 217
  - — — câbles métalliques...................217
  - — — chaînes..............................219
  - Dimensions proportionnelles des poulies..............220
  - Engrenages................................ 223
  - Dimensions des roues d’engrenages....................227
  - Transformation du mouvement rectiligne alternatif en
  - circulaire continu................................233
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- - XII
  - COURS DE MECANIQUE
  - Pages.
  - Transformation du mouvement circulaire continu en
  - rectiligne alternatif................................ 233
  - Excentriques.............................................234
  - Cames....................................................235
  - CHAPITRE XVIII
  - Résistance aux mouvements.
  - Frottement..........................................237
  - Travail clu frottement des tourillons......... . . . 242
  - Raideur des cordes..................................244
  - Résistance des fluides...........................; 247
  - TROISIÈME PARTIE
  - Dynamique.
  - CHAPITRE XIX
  - Travail des forces.
  - Travail d’une machine................................251
  - Puissance d’une machine..............................251
  - Comparaison du cheval de trait au cheval-vapeur. . . 254
  - Cheval-heure. Poncelet. Calorie......................255
  - Relations entre les unités électriques et les unités Hier- iniques et mécaniques................................256
  - é
  - ,, CHAPITRE XX
  - Travail d’une force constante.
  - 1
  - Le point d’application de la force se meut dans sa direction ...................................................260
  - Le point d’application de la force se déplace en ligne droite dans une direction différente de celle de la force. 260
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- - TABLE DES MATIERES XIII
  - Pages.
  - Le point d’application de la force décrit une courbe et sa
  - direction est quelconque........................; 261
  - Le point d'application de la force décrit une courbe et sa direction est constamment tangente à cette courbe. . 262
  - CHAPITRE XXI
  - Travail de la pesanteur.
  - Définition et applications. .............................264
  - CHAPITRE XXII
  - Travail d’une force variable.
  - Cas général.........................................266
  - Méthode des trapèzes.....................................267
  - Formule de-Simpson.......................................268
  - Planimètre...............................................270
  - Travail de la vapeur dans une machine....................271
  - CHAPITRE XXIII
  - Machines considérées dans le mouvement uniforme.
  - Puissances et résistances.............................. 273-
  - Rendement..........i . .............................274
  - Mesure de travail utile......................' . . . 275
  - CHAPITRE XXIV
  - Travail de l’inertie.
  - Travail de l’inertie dans le mouvement de translation. . 27&
  - — — — — — rotation. . . 281
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- - XIV
  - COURS DE MÉCANIQUE
  - CHAPITRE XXV
  - Forces vives.
  - Pages.
  - Mesure du travail au moyen de la force vive..............283
  - Transmission du travail dans, les machines...............287
  - CHAPITRE XXVI
  - Mouvement d’une machine.
  - Application de l’équation du travail à la recherche des
  - conditions d’équilibre des machines simples...........288
  - Levier...................................................289
  - Treuil...................................................290
  - Poulie fixe...........................................291
  - — mobile..............................................292
  - Vis......................................................292
  - — sans fin......................................• • • 293
  - CHAPITRE XXVII
  - Moments d’inertie.
  - D'un corps par rapport à un axe. . . .•............. 295
  - D’une surface par rapport à un axe parallèle à l’axe
  - principal d’inertie.-................................295
  - Rayon de giration........................................297
  - Moment d’inertie polaire.............................. . 297
  - — d’une ligne...............................299
  - — — du rectangle........................302
  - — — — carré.............................. 307
  - — — — parallélogramme..................308
  - — — — triangle.........................309
  - — — — cercle..............................312
  - — — d’un demi-cercle....................314
  - — — —. quart de cercle..................315
  - — d’une couronne circulaire..............315
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- - TA.BLE DES MATIÈRES XV
  - Pages.
  - Moment d’inertie de l’éllipse......................... . 316
  - —. — d’un cylindre de révolution ...... 317
  - — anneau circulaire................319
  - — tube creux rectangulaire. . . . 321
  - d’une section en I.................321
  - — — — C...................322
  - - T.......................322
  - L. ... I .... 324
  - QUATRIÈME PARTIE Résistance des matériaux.
  - CHAPITRE XXVI11
  - Traction.
  - Définitions..........................................339
  - Lois de la traction.................................331
  - Cas où l’on ne tient pas compte du poids du corps. . . 332
  - — — tient compte du poids du corps...............333
  - Prisme ne supportant que son propre poids............334
  - Solide d’égale résistance à la traction..............335
  - Lois de l’élasticité.................................337
  - Module d’élasticité..................................337
  - Résultats des expériences à la traction..............338
  - CHAPITRE XXIX
  - Compression.
  - Lois de la compression...............................340
  - Poteaux en bois......................................340
  - Colonnes pleines en fer et en fonte..................343
  - Formules de Love.....................................345
  - Piliers en maçonnerie et fondations..................346
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- - XVI
  - COURS DE MÉCANIQUE
  - CHAPITRE XXX
  - Flexion.
  - Pages-
  - Lois do la flexion................................... 350>
  - Solide d’égale résistance à la flexion............... 352.
  - Poutres fléchies ........................................355
  - — encastrées à une extrémité.........................360
  - Dimensions des poutrelles de construction................362
  - Poutres reposant sur deux appuis..................... 368-
  - — encastrées aux deux extrémités.....................381
  - — — à une extrémité et reposant à i’autiv
  - sur un appui......................................385
  - Tableau récapitulatif des moments fléchissants. . . . 388.
  - CHAPITRE XXXI
  - Cisaillement.
  - Lois du cisaillement................................. 392
  - Rivets et rivures. ..................................393
  - Diamètre et écartement des riv,ets................... 393-
  - Pose des rivets. ........................................394
  - Résistance des rivures à recouvremeni....................394
  - — — à couvre-joint......................39fr
  - CHAPITRE XXXII
  - Torsion.
  - Lois de la torsion...................................393
  - Moment de torsion........................................398
  - Torsion simple . . .................................. 399-
  - Dimensions des arbres de transmission................400
  - Torsion composée.................................. • • • 401
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- - PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITION
  - Ce cours s’adresse aux jeunes gens fréquentant les écoles professionnelles et à ceux qui, après une journée laborieuse, ont le courage de consacrer une partie du repos auquel ils ont droit, à compléter leur instruction.
  - Nous nous sommes proposé, dans cet ouvrage, de leur faciliter l’étude de la mécanique. A cet effet, nous nous sommes attardé à leur donner toutes les déductions de formules et à l’occasion même, à leur rappeler les théorèmes de géométrie sur lesquels sont basées les démonstrations.
  - Maurice Wilmotte.
  - PRÉFACE DE LA DEUXIÈME ÉDITION
  - Cette édition diffère peu de la précédente. Les Directeurs et Professeurs d’écoles professionnelles et industrielles qui ont adopté notre ouvrage, ont bien voulu nous dire qu’il répond au but que nous nous sommes proposé.
  - Maurice Wilmotte.
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- - EXTRAIT
  - do la bibliographie du Bulletin Scientifique de VAssocia-
  - l
  - lion des Elèves des Ecoles spéciales de F Université de Liège (numéro de mars 1920) :
  - COURS DE MÉCANIQUE
  - PAU
  - Maurice WILMOTTE
  - Ce cours s’adresse aux élèves des Ecoles industrielles et professionnelles. 11 pourra cependant être consulté avec fruit par les élèves-ingénieurs, car le grand mérite de cet ouvrage est d’avoir en vue le côté pratique de la question étudiée. Les exemples et les exercices qu’on y rencontre sont choisis parmi les problèmes simples et usuels de la mécanique appliquée.
  - M. Wilmotte étudie, successivement la statique, la cinématque et la dynamique. Les derniers chapitres sont consacrés à la résistance des matériaux. Ces théories sont exposées avec une grande clarté et des exemples nombreux et intelligemment choisis facilitent la compréhension du texte.
  - a . M. V. (IVe Mines).
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- - NOTIONS PRÉLIMINAIRES
  - La mécanique est l’étude des forces et du mouvement.
  - 1. Principes de la mécanique. — L’étude de la mécanique repose sur trois principes :
  - 1° Principe de l’inertie. — Un corps ne peut de lui-même modifier son état de repos ou de mouvement, c’est-à-dire qu’on ne peut, sans l’action d’une cause extérieure, le mettre en mouvement, s’il est en repos, ou modifier son état de mouvement, soit en l’accélérant, soit en le retardant, soit en l’annulant, soit en changeant sa direction.
  - Ainsi une bille reposant sur une table restera immobile jusqu’au moment où une cause extérieure viendra la mettre en mouvement. Si nous la mettons en mouvement, il faudra l’action d’une force extérieure pour l’arrêter, retarder son mouvement, l’accélérer ou changer sa direction.
  - Ce principe est dû à Newton.
  - 2° Principe de l’égalité de l’action et de la réaction. — Pour bien faire saisir ce principe nous citerons deux exemples :
  - 1° Un cheval, traînant un camion, éprouve de la part du camion une résistance égale à l’effort qu’il fait pour déterminer le mouvement ;
  - 2° Dans le fil à plomb, le fil est tendu par un effort égal au poids du plomb.
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2e édit..). 1
- p.1 - vue 19/418
- - 2 NOTIONS PRÉLIMINAIRES
  - Ce principe a été découvert par Newton et s’énonce comme suit : La réaction est égale et contraire à Vaction.
  - 3° Principe de l’indépendance des effets des forces. —
  - Lorsque plusieurs forces agissent en même temps sur un corps, chacune (Velles produit son effet comme si les autres n' existaient pas.
  - Un individu laisse tomber un canif dans un compartiment de train ; le canif tombera perpendiculairement au plancher horizontal, que le train soit en marche ou en repos. » «...
  - Ce principe est dû à Galilée.J ( JÿA)
  - 2. — L’étude de la mécanique se divise en quatre parties :
  - 1° La Statique étudie les relations qui existent entre les forces dans le cas où celles-ci se font équilibre ;
  - 2° La Cinématique étudie les mouvements aux points de vue de l’espace parcouru et du temps employé à-le parcourir, indépendamment des forces qui les produisent ;
  - 3° La Dynamique étudie les relations qui existent entre les forces et les mouvements qu’elles impriment aux corps en faisant intervenir l’idée de temps ;
  - 4° La Mécanique appliquée est l’étude de l’adaptation des forces naturelles aux machines.
  - Nous ne traiterons dans cet ouvrage que des trois premières parties. '
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- - PREMIÈRE PARTIE
  - STATIQUE
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- - CHAPITRE PREMIER
  - DES FORCES
  - 3. — Une force est toute cause capable de produire ou de modifier un mouvement.
  - On distingue dans toute force :
  - 1° Le point d'application qui est le point matériel sur1 lequel la force agit ;
  - 2° La direction, c’est la droite suivant laquelle' se déplacerait le point d’application s’il obéissait uniquement à l’action de cette force ;
  - 3° \J intensité, ou le rapport de la force considérée à une autre force prise comme unité ;
  - 4° Le sens, qui fait distinguer les forces en positives ou négatives. Si l’on considère comme positives celles qui tirent dans un sens, celles qui agissent en sens contraire sont négatives.
  - 4. — Nous distinguerons deux espèces de forces :
  - 1° Les forces d'impulsion qui cessent d’agir sur les corps dès qu’elles ont produit leur effet ;
  - 2° Les forces constantes, qui continuent à exercer leur action^après avoir été appliquées aux corps.
  - 5. Puissances et résistances. — On entend par puissances, les forces qui favorisent le mouvement.
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- - 6
  - STATIOUE
  - V.
  - Les résistances sont des forces qui retardent ou empêchent le mouvement.
  - On les distingue en résistances utiles, qui sont le but de la machine et en résistances nuisibles, c’est-à-dire les frottements et, on général, tous les inconvénients que l’on ne peut éviter.
  - MESURE DES FORCES
  - G. — Mesurer une force, c’est la rapporter à une autre, prise comme unité.
  - L’unité de force adoptée est le kilogramme, poids d’un dm3 d’eau distillée à son maximum de densité.
  - Pour mesurer les forces, on se sert du dynamomètre. Cet appareil se compose d’une lame d’acier trempé formant ressort et se courbant d’une quantité proportionnelle aux intensités des forces.
  - Les principaux dynamomètres sont :
  - 1° Le peson à ressort ; 2° le dynamomètre Leroy ; 3° le dynamomètre Poncelet.
  - 7. Peson à ressort. — Cet appareil, (fig. 1) se compose d’un ressort recourbé ABC à une des extrémités duquel est fixé un arc métallique gradué EF traversant librement la lame supérieure du ressort.
  - Un second arc fixé en G, traverse librement la lame inférieure.
  - A l’autre extrémité de cet-arc est fixé un anneau qui permet de suspendre les poids à mesurer au moyen d’un crochet.
  - I S
  - Dès que le poids est appliqué, la lame supérieure AB est entraînée d’une quantité proportionnelle à la valeur du poids ; cette quantité se lit en IL En I se trouve un talon qui a pour but d’empêcher que la limite d’élasti-
- p.6 - vue 24/418
- - DES FORCES
  - 7
  - cité du ressort ne soit dépassée. Pour graduer cet appareil on applique au crochet des poids de 1, 2, 3, etc... kilogrammes et on indique, pour ces différents poids, l’intersection de l’arc EF avec le plan AJBIv.
  - Fig. 1.
  - 8. Dynamomètre Leroy.
  - — Cet instrument (fig. 2) se compose d’un ressort à boudin, renfermé dans un fourreau. Le ressort est comprimé par une tige terminée par un anneau.
  - Fig. 2.
  - A la partie inférieure du fourreau se trouve un crochet servant à suspendre les corps à peser.
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- - 8
  - ST ATI QU K
  - 9. Dynamomètre Poncelet. — Cet appareil (fig. 3) est
  - composé de deux ressorts d’acier, réunis par deux tiges rigides AC, BD articulées en A, B, C, D. En E, se trouve un anneau servant à suspendre le dynamomètre ; les corps à peser sont fixés à un crochet.
  - Fig. 3.
  - 10. Dynamomètres enregistreurs. — On peut avoir à évaluer une force dont l’intensité varie constamment entre des limites assez étendues. Le tracé représentatif de ces variations s’obtient au moyen des dynamomètres enregistreurs. Ces instruments tracent sur une feuille de papier le diagramme des valeurs successives de la force à mesurer.
  - **
  - 11. Mesure des forces par le calcul. — Les forces qui ne sont pas de nature à être appliquées à un dynamomètre peuvent être évaluées en les comparant à d’autres forces, au moyen des mouvements qu’elles produisent.
  - «
  - 12. Action d’une force constante agissant sur un corps libre. — Soit une force quelconque F appliquée à un corps et soit a la vitesse imprimée à ce corps après la
- p.8 - vue 26/418
- - DES FORCES
  - 9
  - première seconde. Si après ce temps la force cesse d’être appliquée, le corps, d’après le principe de l’inertie, continuera son mouvement avec la vitesse a. Supposons que cette même force F continue d’agir : elle imprimera au corps une vitesse a pendant la deuxième seconde. Cette vitesse, appelée accélération, s’ajoutant à la première sera égale à 2 a ; après la troisième seconde 3 a et après t secondes at.
  - Nous voyons donc que quand la vitesse s’accroît d’une quantité constante après chaque seconde on obtient un mouvement uniformément accéléré.
  - 13. Proportionnalité des forces aux vitesses. —
  - Nous basant sur le principe de l’indépendance des effets des forces, nous pouvons dire que : deux forces égales, de même direction et de même sens, agissant simultanément sur un mobile, ajoutent constamment leurs effets. Conséquemment, les chemins parcourus et les accroissements de vitesse seront doubles ou triples lorsque la force appliquée sera double ou triple.
  - Supposons qu’une force F imprime à un corps une vitesse V dans un certain temps ; une force 2 F imprimera une vitesse égale à 2 V, pendant le même temps :
  - F 2 F 3 F
  - - = — = ; remplaçant 2 F par F'; 3 F par F”
  - V p p, p„ 2 V par V'; 3 V par V" nous aurons c’est-à-dire que deux forces
  - constantes sont proportionnelles aux vitesses qu'elles font acquérir à un mobile durant le même temps.
  - 14. Proportionnalité des forces aux accélérations.
  - — Nous avons vu que V = at.
  - F F' F"
  - Dans la formule - = — = — nous pouvons remplacer
- p.9 - vue 27/418
- - 10
  - STATIQUE
  - V par at ; V' par a't ; V" par a"t, ce qui donne :
  - F F' F" al a't a"l'
  - simplifiant par t nous aurons :
  - F _ F _ F" a a1 a"
  - ce qui s’énonce comme suit : Des forces constantes, agissant pendant le même temps, sont proportionnelles aux accélérations qu'elles impriment aux corps.
  - 15. Pesanteur. — La pesanteur est une force accélératrice constante sollicitant les corps à tomber vers le centre de la terre.
  - La direction et le sens de cette force sont la verticale. L’intensité est le poids du corps. Son point d’application est le centre de gravité du corps.
  - F F' F V
  - De Informulé - = — , nous pouvons tirer — = — ; remplaçant l’une des forces par sa valeur P en kilogrammes F at
  - nous avons - = - g étant un nombre constant, valeur P gt
  - de l’accélération due à la pesanteur.
  - Simplifiant le second membre de l’égalité par l nous obtenons :
  - F_a
  - Applications : 1. — Calculer la force constante qu’il faut appliquer à un corps dont le poids est de 7 gr. pour que l’accélération produite par seconde soit de 3 m.
- p.10 - vue 28/418
- - DES FORCES
  - 11
  - Nous appliquons la formule : - = - <le laquelle nous
  - pouvons tirer la valeur de :
  - F :
  - aP 3 X 0,007
  - g
  - 9,81
  - = 0,00214 kg. = 2,14 gr.
  - 2. — Calculer le poids d’un corps sachant qu’une force constante de 30 gr. appliquée à ce corps lui communique une accélération de 15 m. par seconde.
  - F a
  - Reprenons la formule - = - de laquelle nous tirons :
  - F g _ 0,030 x 9,81 a 15
  - = 0,01962 kg. = 19,62 gr.
  - 3. — On applique une force constante de 6 gr. à un corps pesant 2 gr. Chercher l’accélération produite par seconde.
  - F a
  - De la formule - = - nous déduisons :
  - a
  - P
  - 0,006 x 9,81 “ 0.002
  - = 29,43 m.
  - Remarque. — Dans la formule ^ = - nous pouvons F V
  - remplacer ai par V et nous obtenons - = -, de laquelle
  - py * &
  - nous tirons F =' —. Cette dernière égalité nous permet
  - de calculer la valeur d’une force en fonction de la vitesse qu’elle imprime à un mobile au bout d’un certain temps.
  - 16. Masse. — Les poids d’un corps en différents lieux du globe sont entre eux comme les accélérations dues à la pesanteur en ces différents- lieux.
- p.11 - vue 29/418
- - 12
  - STATIQUE
  - P g
  - Nous avons donc la proportion — = - que nous pouvons écrire comme suit :
  - P' P
  - ce qui s’énonce : Le quotient du poids d'un corps par Vaccélération due à la pesanteur en différents lieux du globe, est constant dans toutes les parties du globe. Ce quotient s’appelle la masse du mobile et se représente par M.
  - F a
  - De la formule — = - nous pouvons tirer :
  - p g
  - Pa P
  - F = — = - X a = Ma,
  - 8 8
  - c’est-à-dire qu’une force a pour mesure le produit de la masse du corps sur lequel elle s’exerce par l’accélération que la force lui communique.
  - 17. Quantité de mouvement. — Reprenant la formule de la force en fonction de la masse, nous voyons que Y
  - nous pouvons y remplacer a par - ce qui donne :
  - Le produit MV se nomme quantité de mouvement. D’où, une force a pour mesure sa quantité de mouvement divisée par le temps.
- p.12 - vue 30/418
- - CHAPITRE II
  - COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION
  - DES FORCES
  - 18. — Composer des forces, c’est chercher leur résultante, c’est-à-dire la force unique qui, appliquée au corps, produirait le même effet que toutes les autres.
  - 19. — Décomposer des forces, c’est chercher plusieurs forces, de directions données, dont les effets sont identiques à ceux d’une force unique.
  - 20. — Nous composerons trois genres de forces :
  - 1° Les forces de meme direction ;
  - 2° — concourantes ;
  - 3° — parallèles.
  - >
  - 21. Composition des Forces de même direction.
  - 1° Forces de même sens. — Deux forces de même direction et de même sens, appliquées en un même point du corps ou en des points différents mais pris sur la même direction, ont une résultante qui prend la direction de ces forces et est égale à leur somme (fig. 4).
  - 2° Forces de sens contraires. — Lorsque les deux forces ont même direction et agissent en sens contraires,
- p.13 - vue 31/418
- - 14
  - STATIQUE
  - leur résultante est dirigée dans le sens de la plus grande et l’intensité est égale à la différence des intensités des composantes (11g. 5).
  - Remarque. — Deux forces égales et directement opposées se font équilibre.
  - 22. Propriété remarquable. — On peut transporter le point d’application d’une force agissant sur un corps en un point quelconque de sa direction pourvu que ce
  - point soit invariablement lié au premier.
  - Soit la force P appliquée en O.
  - Nous pouvons, sans détruire le système, appliquer, en C et en O deux forces Q et (V égales, de môme direction que P, de sens contraires et égales à P. Les forces P et Q' égales et directement opposées se détruisent et il ne reste plus que la force CQ qui remplace OP.
  - v
  - 23. Cas de plusieurs forces. — Lorsque plusieurs forces de même direction et de sens différents sont appliquées à un corps, elles ont une résultante égale à l’excès
- p.14 - vue 32/418
- - COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FORCES 15
  - de la somme des forces qui tirent dans un sens sur celle des forces qui tirent en sens contraire.
  - La direction est celle de la plus grande somme.
  - 25 + 22 + 30 = 77 kg.
  - 20 + 33 + 38 + 45 = 136 kg.
  - R = 136 — 77 = 59 kg.
  - 'F-25 F,*22 F1-30 Tr2C F*=33 F4=3£ Te-f5
  - R
  - Fie. 7.
  - 24. Equilibre des forces concourantes. — Si plusieurs forces, appliquées à un môme point se font équilibre, chacune de ces forces est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres.
  - Supposons qu’un point O soit en équilibre sous l’action du système des forces F, Fj, Fa, F3, F4. Nous devons démontrer que l’une des forces, F par exemple, est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres.
  - Soit R une force égale et directement opposée à la force F. Les forces F4, F2,
  - F3, F4, font équilibre à la force F, elles peuvent donc être remplacées par la force unique R qui est égale et directement opposée à F.
  - On démontrerait de même que les forces F4, F2, F3 et F4, sont respectivement égales et directement opposées à la résultante de toutes les autres.
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- - 16
  - STATIQUE
  - 25. Composition de deux forces concourantes. —
  - Nous pouvons démontrer expérimentalement que la résultante de deux forces concourantes est représentée en direction, sens et intensité par la diagonale du parallélogramme construit sur ces forces.
  - Soient les deux poulies mobiles p, p' situées dans un même plan vertical et fixées à un support horizontal.
  - Sur ces poulies passe une corde terminée à ses extrémités par deux plateaux P, P'. En O se trouve un troisième plateau. Mettons 3 kg., dans P' et 2 kg. dans P.
  - P"
  - Fig. 9.
  - Le point O est soumis à l’action de deux forces concourantes : l’une F de 3 kg. de direction Op' et l’autre F' de 2 kg. de direction Op.
  - Plaçons dans le plateau P" un poids supérieur à F — F7 et inférieur à F -f- F'. Soit par exemple Q = 4 kg. Nous constatons que la corde, après un certain mouvement prend la position p O p' (fig. 9).
  - A ce moment le point O est soumis à l’action de trois forces en équilibre :
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- - COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FORCES 17
  - F = 3 kg. F = 2 kg. et Q = 4 kg.
  - cette dernière agissant suivant la verticale, dans le plan p O //.
  - Si nous appliquons en O une force R égale et directement opposée à Q, cette force, d’après ce que nous avons démontré (24), produira le même effet que F et F' agissant simultanément.
  - Fig. 10.
  - 26. Composition de plusieurs forces concourantes.
  - — Pour trouver la résultante de plusieurs forces concourantes, il suffit de composer deux quelconques des forces puis la résultante trouvée avec une troisième force et ainsi de suite. Dans l’exemple ci-contre nous avons déterminé: 1° la résultante des forces F4 et F3; 2° la résultante de R 3 et de la force F2 ; 3° la résultante de R2 ef de la force F1 ; 4° la résultante de Rx et de la force F. R est la résultante demandée.
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2° édit.). 2
- p.17 - vue 35/418
- - 18
  - STATIQUE
  - 27. Composition des forces parallèles. 1° Forces de même sens. — La résultante d'un système de deux forces parallèles et de même sens, appliquées en deux points d'un
  - / s'i \ '
  - ' ' / I •
  - OiÂ'..S i /
  - /
  - /Qii
  - corps solide, est parallèle à ces forcés, de même sens qu'elles et égale à leur somme.
  - Le point d'application de la résultante divise la droite qui joint les points d'application des composantes, en segments additifs inversement proportionnels à leurs intensités.
  - Soient les deux forces P et Q appliquées aux deux points A et B d’un solide (fig. 11).
  - ' a) La résultante de ces forces est égale à leur somme.
  - Appliquons aux extrémités A et B et suivant la direction AB deux forces égales et contraires. L’état du système ne change pas.
  - La résultante des forces M et Q est O ; celle des forces N et P est S.
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- - COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES POUCES 19
  - Nous pouvons transporter ces forces O et S en un point quelconque H de leur direction pourvu que ce point soit invariablement lié aux points d’application A et 13.
  - Menons par le point H une parallèle à AB et décom-‘ posons les forces Ox et Sx respectivement en Mj, Q, et Nx, Pj, les forces et Nx étant respectivement égales et parallèles à M et N.,
  - Nous voyons que les forces Mi et Nj se faisant équilibre, le système se réduit à l’action des forces Qx et Pi. Or, la résultante de ces deux forces, qui est celle du système proposé, est égale à la somme de ces forces.
  - b) Le point (Vapplication de la résultante divise, la droite qui joint les points d'application des composantes en segments additifs inversement proportionnels à leurs intensités.
  - Le point d’application H de la résultante peut être transporté en 1. Considérons les triangles HAÏ et AOQ : nous voyons qu’ils sont semblables comme équiangles ; nous en déduisons la proportion :
  - AI OQ Hl = T)
  - 1
  - De la similitude des triangles HIB et BPS nous tirons :
  - B I _ PS Hï =“P
  - l'.21
  - Reprenant les proportions [1] et |2] et remarquant que OQ = M et PS = N, nous aurons :
  - AI M BI N
  - HÏ = Q ’ HÏ = P ’
  - faisant dans ces deux proportions le produit des extrêmes égal au produit des moyens nous obtenons :
  - AI x Q = HI X M ; BI x P = Hl X N
- p.19 - vue 37/418
- - 20
  - STATIQUE
  - Ces deux équations ont un membre commun, d’où : AI x Q = BI x P
  - ce qui peut s’écrire sous forme de proportion :
  - AI
  - BÏ
  - .P
  - -;c. q. f. d.
  - I
  - 28. Remarque. — Nous pouvons déterminer graphiquement le point d’application de la résultante de deux forces parallèles et de même sens de la façon suivante :
  - ' \
  - / \
  - Portons sur BP prolongé, à partir du point B, une longueur BQt égale à l’intensité de la force Q.
  - A partir du point A portons sur la direction de AQ mais en sens contraire del cette force une longueur APj égale à l’intensité de la for^e P ; joignons P1Ql.# Le point D sera le point d’application de la résultante.
  - En effet, à cause aie la similitude des triangles ADPj. et BDQj nous pouvons écrire :
  - A1 ) P, P
  - DÏÏ = Qi = Q
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- - COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FORCES 21
  - Applications 1. — Un ouvrier dispose d’une barre, de poids négligeable, pour transporter sur son épaule deux charges : l’une de 15 kg., l’autre de 25 kg. Sachant que les charges sont situées à 1,20 m. l’une de l’autre, calculer :
  - 1° L’effort déployé par l’ouvrier ;
  - 2° A quelle distance du point d’application du poids de 25 kg. il devra placer la barre sur son épaule.
  - R=25+15= 4-0 K Fig. 13.
  - 1° L’effort déployé par l’ouvrier est de :
  - 25 + 15 = 40 kg.
  - AG Q
  - 2° Nous avons démontré que : — =
  - Dans cette proportion nous avons deux inconnues : AG et BC.
  - Or nous avons vu en algèbre que dans toute proportion, la somme des deux premiers termes est au premier ou au second comme la somme des deux derniers est au troisième ou au quatrième. Donc : .
  - AG + BG Q + P BC “ “T-
  - remplaçant les termes connus par leurs valeurs nous obtenons :
  - 120 _ 40 BC = 25
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- - 22
  - STATIQUE
  - 120 X 25
  - d où : BC = -—— = 75 cm.
  - - 40
  - 2. — Une poutre supportant un poids de 1.800 kg. est placée sur deux murs dont les axes sont distants de 4,50 m. Quelle est la répartition des efforts sur chacun
  - /////7/////////////////777W
  - des murs, sachant que le poids est placé respectivement à 1,50 m. et 3 m. de chacun d’eux.
  - Remplaçons dans la proportion :
  - P BC Q = ÂC
  - les,termes connus par leurs valeurs :
  - P 3
  - Q =
  - /•
  - Si nous appliquons à cette proportion la propriété -énoncée dans le problème précédent, nous obtenons :
  - P + Q 3 + 1,5
  - Q ~ 1,5
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- - COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FORCES 23
  - ou bien :
  - d’où :
  - 1.800 4,5
  - Q =
  - 1.800 x 1,5 4^5
  - = 600 kg.
  - P = 1.800 — 600 = 1.200 kg.
  - 29. '2° Forces de sens contraires. — La résultante de deux forces parallèles inégales et de sens contraires est parallèle à ces forces, dirigée dans le sens de la plus grande et est égale à leur différence.
  - Fig. 15.
  - Le point d'application de la résultante est sur le prolongement de la droite qui joint les points d'application des composantes, du côté de la plus grande ; les distances de ce point aux points d'application des composantes sont en raison inverse de leurs intensités.
- p.23 - vue 41/418
- - 24
  - STATIQUE
  - Soient les forces P et Q parallèles, inégales et de sens contraires.
  - La force P peut être remplacée par deux autres, l’une Qi égale et directement opposée à Q et l’autre appliquée en un point de AB prolongé de façon à ce que la propor-
  - AB R
  - se vérifie. Nous pouvons
  - tion:BO Q,
  - nière proportion comme suit :
  - écrire cette der-
  - ou :
  - AB + BO R + Qx BO = ~Q~
  - OA P OA
  - ÔB = Q10rQl = Qd,°ÙÔB =
  - 30. Remarque. — On peut déterminer graphiquement le point d’application de la résultante de deux forces, parallèles et de sens contraires, en procédant comme suit :
  - 9
  - Sur AP à partir du point A portons une longueur égale à l’intensité de la force Q ; soit AQX.
  - En B appliquons une force directement opposée à Q et d’intensité égale à*P : soit BPj.
- p.24 - vue 42/418
- - COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FORCES
  - 25
  - Joignons PjQï et prolongeons jusqu’en O. Le point O est le point d’application de la résultante. En effet, à cause de la similitude des triangles OAQr et OBl^ nous
  - OA AQt
  - pouvons écrire : — = ——. Or AQi = Q et VA\ — P
  - vil-) 1.51 i
  - donc :
  - OA Q ÔB = P
  - Applications 1. — Deux forces de 50 et 80 kg. parallèles et de sens contraires sont appliquées en deux points d’une barre. Sachant que le point d’application de la
  - /O=50K '
  - Fig. 17.
  - plus petite force se trouve éloigné de 1,20 m. du point d’application de la résultante, calculer :
  - 1° L’intensité de la résultante de ces deux forces ; 2° A quelle distance du point d’application de la résultante doit se trouver la force de 80 kg.
  - 1° L’intensité de la résultante est de :
  - 80 — 50 = 30 kg.
- p.25 - vue 43/418
- - 20
  - STATIQUE
  - 2° La valeur de OA nous est donnée par la formule :
  - d’où
  - OA Q QB = P
  - OA 50
  - OA =
  - 1,2
  - 1,2 x 50 80
  - 80
  - = 0,75 m.
  - 2. — Calculer la distance qui sépare les points d’application de deux forces parallèles, de sens contraires, res-
  - O
  - pectivement égales à 50 et 12 kg-., sachant que la résultante est appliquée à 0,48 m. de la plus grande.
  - De la proportion :
  - P OA Q = OB’
  - P X OB
  - nous pouvons tirer la valeur de OA =
  - Q
  - Remplaçant les quantités connues par leurs valeurs nous obtenons :
  - ! 50 x 0,48
  - OA = ----—— = 2 m.
  - 12
  - D’où :
  - AB = 2 —0,48 = 1,52 m
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- - COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FORCES 27
  - 31. Décomposition d’une force en deux autres parallèles, appliquées en des points donnés. — Deux cas peuvent se présenter :
  - 1° Le point O est situé entre les points A et B sur la droite joignant ces deux points. — Considérons cette force R comme étant la résultante des deux forces dont nous cherchons l’intensité. A partir du point B menons une
  - C
  - droite, parallèle et égale à la résultante R soit la droite BE. Joignons AE qui sera parallèle à la droite partageant AB en deux segments, proportionnels aux intensités des forces mesurées par AC et R — AC appliquées en A et B.
  - En effet, les triangles AOC et DOB étant semblables, comme équiangles, nous pouvons écrire la proportion :
  - AC _ AO BD = BÔ
  - portons AC en BF' et BD en AF nous obtenons :
  - BF' _ AO ÂF = BÔ’
  - 2° Le point O est situé sur le prolongement de la droite joignant les points A et B. — Nous connaissons les distances
- p.27 - vue 45/418
- - 28
  - STATIQUE
  - OA et OB ainsi que l’intensité de OR. A partir des points A et B menons les parallèles à OR et portons BE = OR dans le sens de la résultante. Joignons AE et par le point O menons OD parallèle à AE.
  - AG et BD mesurent les deux forces cherchées. AC est appliquée suivant BF' et BD suivant AF.
  - F1
  - Fig. 20.
  - En effet, les triangles OAC et OBD sont semblables comme équiangles, d’où :
  - OB _ BD
  - OÂ^ÂC
  - remplaçant BD par AF et AC par BF' nous obtenons :
  - OB AF
  - ÔA = BF'-
  - 32. Couple. — On donne le nom de couple à un système de deux forces parallèles égales et de sens contraires mais non directement opposées.
  - La perpendiculaire AD, menée du point d’application de l’une des forces à la direction de l’autre, se nomme le bras de levier du couple. De telles forces ne pouvant être remplacées par une force unique, impriment un mouve-
- p.28 - vue 46/418
- - COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FORCES 29
  - ment, de rotation au corps sur lequel elles sont appliquées.
  - Fie. 21.
  - 3d. Composition d’un nombre quelconque de forces parallèles. — Nous considérerons deux cas :
  - 1° Les forces sont situées dans un même plan.
  - 2° Les forces ne sont pas situées dans un même plan.
  - 1° Les forces sont situées dans un même plan, a) Elles sont de même sens. — Soit à chercher la grandeur, la direction et le point d’application de la résultante des forces F, F' et F" appliquées aux points A, B et G. Nous savons que la résultante des deux forces F et F' est égale en intensité à F + F' ; nous avons démontré aussi que le point d’application de cette résultante se trouve en un point O' tel que :
  - AO' _ F'
  - BÔ' “ F”*
  - Remplaçons les deux forces F et F' par leur résultante Rj, et composons cette dernière avec la troisième force F'' nous obtenons comme valeur de la résultante :
  - R = Rx + F"
  - Or,
  - R, = F +. F'
- p.29 - vue 47/418
- - 30
  - STATIQUE
  - d’où :
  - R = F + F' + F"
  - Son point d’application nous est donné par la formule :
  - O'O F" F"
  - GÔ = Ri = F + F'
  - b) Les forces sont de sens contraires.— Dans ce cas nous chercherons d’abord, par le procédé que nous venons d’étudier,- la résultante des forces agissant dans un sens puis celle des forces agissant en sens inverse. Composant ces deux forces, nous obtenons la résultante demandée.
  - 2° Les forces sont situées dans des plans différents.
  - .a) Forces de même sens. — Soient les forces Fj, F2, F3, F.„ appliquées aux points A, B, C, 1) d’un même corps. Pour trouver le point d’application de la résultante de ces forces on procède comme suit :
- p.30 - vue 48/418
- - COMPOSITION KT DÉCOMPOSITION DES FORCES
  - 31
  - 1° Joindre AB et déterminer la résultante des forces F, et F2 ;
  - 2° Joindre le point d’application de la résultante Rx au point d’application de la troisième force et déterminer la résultante des forces Ri et F3 ;
  - Fig. 23.
  - 3° Joindre HD et chercher la résultante des forces R2 et F4. Cette résultante sera celle du système des forces Fx, F2, F3, F4. Le point d’application de cette résultante est appelé centre des forces parallèles proposées.
  - b) Forces de sens contraires.— 11 suffit dans ce cas de déterminer la résultante Rx des' forces agissant dans le même sens puis la résultante R2 des forces en sens contraire. On se trouve dès lors en présence d’un système
- p.31 - vue 49/418
- - STATIQU E
  - de deux forces parallèles et de sens contraires dont on déterminera la résultante en suivant le procédé indiqué plus haut.
  - 34. Décomposition d’une force en trois autres parallèles, passant par trois points donnés. — Soit à décomposer la force F en trois autres, parallèles, passant par les points A, B, et G. La force F rencontre en O le plan déterminé par les points A, B et C.
  - Joignons AO et BG et prolongeons ces lignes jusqu’en leur point d’intersection J).
  - Nous pouvons décomposer la force F en deux autres, parallèles, de même sens et appliquées en A et D, soit Fx et F' de façon à ce que les égalités :
  - F a + F' = F Fj. OD
  - Ct : F' = ÔÀ
  - se réalisent.
- p.32 - vue 50/418
- - COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FORCES
  - 33
  - De même la force F' peut être décomposée en deux autres. F3 et F3 parallèles et de sens contraires appliquées aux points lî et C de manière que l’on ait :
  - F2 — F3 = F'
  - F a BD
  - F3 = Cl)
  - Les trois composantes sont donc Fx, F2 et F3.
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2e édit.).
- p.33 - vue 51/418
- - CHAPITRE III
  - MOMENTS DES FORCES PAR RAPPORT A UN POINT
  - 35. — On entend, par moment d'une force par rapport à un point le produit de Vintensité de celte force par la distance du point à la direction de la force.
  - Ainsi le moment de la force F par rapport au point O a
  - O
  - pour valeur F X OA, c’est-à-dire deux fois la surface du triangle BOF ; O se nomme le centre du moment ; la perpendiculaire OA est appelée bras de levier de la force.
  - 36. Signes des moments. — Par convention on attribue le signe + aux moments des forces qui tendent à faire tourner leurs bras de levier dans un sens, et le signe — aux moments des forces qui sollicitent leurs bras de levier à tourner en sens contraire.
- p.34 - vue 52/418
- - MOMENTS DES FORCES PAR RAPPORT A UN POINT
  - Dans l’exemple ci-contre les forces P et Q tendent à faire tourner la figure dans un sens tandis que la force F tend à la faire tourner en sens inverse. Si donc nous attri-
  - - F
  - Fig. 26.
  - buons le signe à la force F les forces P et Q auront le signe —.
  - 37. Théorème de Varignon. — Pour tout point pris dans le plan de deux forces concourantes, le moment de la résultante est égal à la somme algébrique des moments des composantes.
  - 1° Le point est pris en dehors de l’angle des forces et de son opposé par le sommet. —Soient les forces F et Fx, leur résultante R et /, /x et r leurs bras de levier respectifs en prenant O comme centre des moments. Nous devons démontrer que :
  - R,- = F / + Fj/j.
  - Joignons le point O aux extrémités des forces ; nous déterminons ainsi les triangles AOF, AOFj et AO R qui F / F,/a R/-
  - ont respectivement pour mesure — : -p- et —. Nous
  - voyons que les moments des forces proposées et de leur résultante sont respectivement égaux au double des surfaces des triangles AOF ; AOFx et AOR.
- p.35 - vue 53/418
- - • >'> STATIQTK
  - IjO problème revient donc à prouver que :
  - triangle AO U = triangle AOF |- triangle AO F,
  - Nous voyons d’abord que ces triangles ont un côté commun AO ; prenant ce côté pour base, il nous resterait à démontrer que la hauteur du triangle AO R est égale à la hauteur du triangle AOF -(- celle du triangle AOFj.
  - /Il N
  - \T t
  - Menons AL) perpendiculaire sur OA et projetons les forces K, F et b\ sur Al). Ces projections sont les hauteurs des trois triangles, à savoir :
  - Ali hauteur du triangle AOL'
  - AC — — AOF,
  - Al ) — — AO R
  - Nous devons donc avoir :
  - . Al) = Ali + AC 11 J
  - Il est évident que AD = AC -j- CL) [2 | or nous voyons que AL> et CD sont les projections de deux côtés opposés
- p.36 - vue 54/418
- - MOMENTS DES FORCES PAR RAPPORT A UN POINT .‘>7
  - d’un parallélogramme : d’où AB = CD. En remplaçant dans l’égalité [2] CD par son égal AB nous obtenons : AD = AB + AC
  - 2° Le point est pris dans l’angle des forces. — Soient les forces F et Fi et leur résultante R ; le moment de Fi est de signe contraire à celui de F, donc nous devons avoir :
  - Rr = F/ - FiA,
  - Fig 28.
  - Joignons le centre des moments aux extrémités des forces. Nous déterminons ainsi les triangles AOR, AOF et AOFi qui ont respectivement pour mesure :
  - R r F / Fn/i
  - T’ ~2r*
  - Nous voyons que ces trois triangles valent chacun la
- p.37 - vue 55/418
- - 38
  - STATIQUE
  - moitié du moment de la force qu’ils comprennent. Le théorème revient donc à prouver que :
  - triangle AO R = triangle AOF — triangle AOFx
  - Ils ont tous trois même base AO ; il nous reste à démontrer que la hauteur du triangle AO R = la hauteur du triangle AOF moins c‘elle du triangle AOFj. Projetons ces différentes hauteurs sur la perpendiculaire menée en A à AO.
  - Il est d’abord évident que :
  - AI = AJ — IJ. .
  - Or 1.1 = AH comme projections de deux côtés opposés d'un parallélogramme.
  - D'où :
  - AI = AJ — AII
  - et par suite :
  - Rr = F/ — Fj/j.
  - 38. Corollaire. — Chaque point de la résultante est à des distances des forces inversement proportionnelles à leurs intensités.
  - Fig. 29.
  - Du fait que la résultante passe par le point O son'bras de levier est nul, d’où :
  - Rr = O
- p.38 - vue 56/418
- - MOMENTS DES FORCES PAR RAPPORT A UN POINT 30
  - Nous pouvons donc écrire :
  - O = F/ -
  - d’où F; = Fj/i et sous forme de proportion :
  - ^ F.
  - h F‘
  - 39. Cas de plusieurs forces. — Lorsque plusieurs forces situées clans un même plan sont appliquées à un point de ce plan, le moment de leur résultante est égal à la somme algébrique cleq moments des composantes.
  - Soient les forces F, îy F2, F3, etc. qui ont pour résultante R et pour bras de levier /, /l5 /2, /3.
  - Les forces F et F! ont pour résultante Rx dont le bras de levier est d’où :
  - R l'i = F/ + Fj/i, [1]
  - le bras de levier étant positif quand le moment est positif et négatif dans le cas contraire.
  - Composons Rj et F\> et nous aurons la résultante R2 :
  - R2,-2 = R ^ + F2/a. [2 J
  - Remplaçant dans l’égalité [2] Rp^ par sa valeur, nous aurons :
  - R2/-2 = F/ + F,/, + F2/2.
  - Nous composerions de même la nouvelle résultante et F3 et finalement nous obtiendrions :
  - Rr = F/ + F,/, ’+ F2/2 + ... = E F/
- p.39 - vue 57/418
- - 40 STATIQUE
  - 40. Moments des forces parallèles par rapport
  - à un point. — Pour tout point pris dans le plan de deux forces parallèles le moment de la résultante est égal à la somme algébrique des mo'menls des composantes.
  - Soient les forces P et Q ayant pour résultante H et pour centre des moments le point O.
  - A CB
  - Fie. 30.
  - Abaissons du point O la perpendiculaire à la direction des forces et représentons les bras de levier OD, OE, O K par p, r, q.
  - Nous devons démontrer que :
  - R,- = 1> p + O q
  - Les parallèles AD, CE et BF divisent les droites AB et DF en parties proportionnelles, d’où nous pouvons écrire :
  - DE EF
  - AC
  - CB
- p.40 - vue 58/418
- - MOMENTS DES FORCES PAR RAPPORT A UN POINT 41
  - or nous avons démontre antérieurement
  - que
  - AC
  - CB
  - donc
  - DE
  - EF
  - Q
  - p
  - mais D*H
  - r — /;, EF -= q — >
  - O
  - P’
  - Remplaçant nous obtenons :
  - r — p = Q. q — r P’
  - faisant le produit des extrêmes égal au produit des moyens nous aurons :
  - Pr — P p = Qq— Q/-,
  - P,- + Q,- = P p + Qq ;
  - mettons r en évidence dans le premier membre :
  - /• (P H- Q) = P p + Q q. or 1> + Q =r R.
  - d’où :
  - R,- = P p + Q/y.
  - Le point O pourrait se trouver entre les forces. Dans ce cas le moment de Pune des forces serait de sens contraire à celui de l’autre.
  - Le moment de la résultante serait nul si le point O se trouvait sur cette résultante. Les moments des deux forces seraient alors égaux et de signes contraires.
  - 4L Cas de plusieurs forces parallèles. — Pour trouver le moment de la résultante de plusieurs forces parallèles, on procède de la façon étudiée précédemment pour trouver le moment de la résultante de plusieurs forces concourantes.
- p.41 - vue 59/418
- - CHAPITRE IV
  - MOMENTS DES FORCES PARALLÈLES PAR RAPPORT A UN PLAN
  - 42. — Lorsqu’il s’agit de forces parallèles, on calcule souvent les moments par rapport à un plan ; dans ce cas il n’est pas nécessaire que ces forces soient situées dans un meme plan.
  - On appelle moment d'une force par rapport à un plan le produit de V intensité de cette force par la distance de son point d'application au plan.
  - Nous considérerons comme positives les forces parallèles dirigées dans un sens et comme négatives celles dirigées en sens contraire.
  - Le bras de levier sera positif ou négatif suivant qu’il se trouve au-dessus ou en dessous du plan.
  - Donc lorsque les deux facteurs (sens et bras de levier) seront positifs, le moment sera positif, il en sera de même lorsque les deux facteurs seront négatifs. Le moment sera négatif lorsque les facteurs seront de signes contraires.
  - 43. Théorème. — Le moment, par rapport à un plan, de la résultante d'un système quelconque de forces parallèles, est égal à la somme algébrique des moments de ces forces par rapport à ce plan.
  - 1° Les forces sont de même sens. — Soient les forces parallèles P et Q ayant pour résultante R ;
- p.42 - vue 60/418
- - MOMENTS DES FORCES PAR RAPPORT A UN PLAN 43
  - Représentons par M le plan des moments et par /;, q et r les bras de levier des forces et de leur résultante.
  - . Nous devons démontrer que : '
  - R,- = P p + Qq.
  - Fig. 31.
  - Par le point d’application de la résultante, menons DE parallèle à la projection de AG sur le plan des moments.
  - Nous avons déterminé deux triangles ABD et CBE semblables comme équiangles, d’où nous pouvons écrire la proportion
  - AB BC
  - AD
  - ËC
- p.43 - vue 61/418
- - 44
  - STATIQUE
  - AB Q
  - maisBC - P’doù:
  - AD Q KG = P’
  - or :
  - AD = p — /•, EG = /• — q.
  - [1] '
  - •[2J
  - [3]
  - Remplaçant dans la proportion [1 j AD et EG par leurs valeurs trouvées dans les égalités [2 ] et [3 ] nous aurons :
  - P~r = Q r — q P*
  - L’égalité entre les produits des extrêmes et des moyens donne :
  - P p — P/* = Q/’ — Q q P/- + Qr = P p + Q q, ou (P -f Q)/*= P p + Qq.
  - or : P + Q = R,
  - d’où :
  - R,. = P p + Qq.
  - 2° Les forces sont de sens contraires. — Le sens de la force P est contraire à celui de la force Q, de plus les bras de levier de ces forces sont tous deux au-dessus du plan des moments ; nous aurons donc :
  - Rr = Qq — P P-
  - Par le point d’application C de la résultante menons une parallèle à DF projection de AC sur le plan des moments : nous déterminons ainsi les triangles GGB et GHA semblables comme équiangles ; nous en tirons la proportion :
  - GB _ BG CA ~ AH’
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- - MOMENTS DES FORCES PAR RAPPORT A UN PLAN 45-or :
  - CD _ P C A ~ O
  - d’où :
  - BG_ P AH “ Q-
  - Nous avons :
  - BG = /• — q ; AH = r — p,
- p.45 - vue 63/418
- - 46
  - STATIQUE
  - d’où :
  - r — q _ P r — p Q’
  - Qr — Qq = P r — P p Q/' — P/ = Qq — Pp (Q — P)r=Qg—Pp et puisque Q — P = R :
  - R/’ = Qq — P p.
  - 3° Les forces sont de même sens et situées de part et d’autre du plan. — Nous remarquons d’abord que le
  - Fig. 33.
  - bras de levier de la force Q étant négatif, le moment de cette force sera négatif d’où nous avons à démontrer que :
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- - MOMENTS DES FORCES PAR RAPPORT A UN PLAN 47
  - Rr = P/> — Qr/.
  - Par le point d’application de la résultante menons une parallèle à ED ; nous déterminons ainsi deux triangles équiangles et conséquemment semblables : ABC et CBII d’où nous pouvons écrire :
  - AB _ AG B G ÏÏC’
  - mais nous avons déjà :
  - AB _ Q BC ” P’
  - d’où :
  - AG Q
  - iTc = P ’
  - or :
  - AG == p — r H G = q -f / remplaçant nous aurons :
  - PjZl = 9
  - q + / P,
  - P p — Pr = Qq + Qr.
  - P/1 + Qr = P p — Qq ou Rr = Pp — Qr/.
  - 44. Cas de plusieurs forces. — Il suffit, dans ce cas, de transformer le système de plusieurs forces parallèles en un système de deux forces parallèles (voir n° 33 — 2°). Nous sommes dès lors ramenés à l’un des cas prévus au n° 43.
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- - CHAPITRE V
  - CENTRE DE GRAVITÉ
  - 45. — Le centre de gravité d'un corps est le point d'application de la résultante de toutes les actions que la pesanteur exerce sur ce corps.
  - Le pouls d'un corps est la résultante de toutes ces actions. On dit en mécanique qu’un corps est homogène lorsque la matière est uniformément répartie dans toute son étendue, c’est-à-dire lorsque des volumes égaux de ce corps ont des poids égaux.
  - 4(5. Détermination expérimentale du centre de gravité. — Pour déterminer expérimentalement le centre de gravité d’un corps on le suspend par un point, soit 0 (f,g. 34).
  - Dès que le corps est au repos le centre de gravité se trouve sur la verticale OA.
  - Suspendons le corps par un autre point O' ; dans cette seconde position le centre de gravité se trouve sur O'R. Devant se trouver sur OA et sur O'B il se trouvera au point G intersection de ces deux droites.
  - Ce procédé est employé lorsque le poids du corps n’est pas considérable.
  - Pour déterminer le centre de gravité d’un corps dont le poids est plus conséquent, on place ce corps sur une arête d’un prisme triangulaire. Dès que le corps est en
- p.48 - vue 66/418
- - CENTRE DE GRAVITÉ
  - 49
  - équilibre le centre de gravité, se trouve dans le plan vertical qui passe par cette arête.
  - Si le corps a un axe de figure, l’intersection du plan vertical avec cet axe nous donnera le centre de gravité demandé.
  - Si, au contraire, le corps n’a pas d’axe de ligure, il faudra déterminer les plans verticaux pour trois positions d’équilibre sur l’arête du prisme ; l’intersection de ces trois plans nous donnera le point demandé.
  - 47. — Trois principes doivent nous guider dans la recherche du centre de gravité :
  - 1° Lorsqu'un corps peut se décomposer en plusieurs parties dont les centres de gravité sont sur une droite ou dans un plan, le centre de gravité du corps est sur cette droite ou dans ce plan ;
  - 2° Si une surface plane possède un diamètre rectiligne, le centre de gravité est sur ce diamètre ;
  - -M Wilmotte. — Cours de mécanique (2e Mit.). i
- p.49 - vue 67/418
- - STATIQUE
  - 50
  - Ce théorème s’étend aux surfaces et aux volumes ayant un plan diamétral ; dans ce cas le centre de gravité est sur ce plan ;
  - 3° Si une figure possède un centre, un axe ou un plan de symétrie, son centre de gravité est en ce. centre sur cet axe ou dans ce plan.
  - Nous pouvons conclure de ces principes que :
  - Le centre de gravité d’une ligne droite est en son milieu.
  - Le centre de gravité du périmètre d’un polygone régulier, d’un cercle, d’une ellipse, se trouve au centre de ligure ; celui du périmètre d’un parallélogramme est au point de rencontre de ses diagonales.
  - Le centre de gravité de la surface d’un polygone régulier, d’un cercle, d’une sphère, d’une ellipse, d’un ellipsoïde de révolution, d’un parallélépipède est au centre de figure. '
  - Nous admettons également comme application du principe 3 que le centre de gravité de la surface ou du volume d’un solide de révolution est sur son axe.
  - Nous allons déterminer géométriquement le centre de gravité des lignes, des surfaces et des volumes.
  - CENTRES DE GRAVITÉ DES LIGNES
  - 48. Centre de gravité du périmètre d’un triangle.
  - — Le centre de gravité du périmètre d'un triangle se trouve à Vintersection des bissectrices intérieures du triangle (pie F on obtient en. joignant les milieux des côtés.
  - Soit à déterminer le centre de gravité du périmètre du triangle ABC.
  - Nous savons que le centre de gravité d’une droite se trouve en son milieu d’où, chacun des côtés du triangle a son centre de gravité en son milieu. Le problème revient
- p.50 - vue 68/418
- - CENTRE DE GRAVITÉ
  - 51
  - donc à composer les trois forces parallèles appliquées aux points D ; E ; F et proportionnelles aux longueurs des côtés.
  - Composons d’abord les forces D et F. Le point d’application H de la résultante nous donne la proportion :
  - F H _ D HT) = F ‘
  - A
  - [i]
  - Mais nous savons que :
  - D _ UC
  - F ~~ AB’
  - Or :
  - EF vaut
  - BC
  - AB
  - et El) = —
  - d'où nous pouvons écrire :
  - D _ 2 EF __ EF
  - F _ 2 ED “ ËT)‘
  - 1)
  - Nous pouvons dans la proportion [1 ] remplacer - par
  - sa valeur dans l’égalité [2 ] et nous obtenons :
  - F H EF
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- - 52 STATIQUE
  - Nous voyons donc que dansle triangle FED la ligne EH partage le côté FD en deux segments proportionnels aux côtés EF et ED d’où nous concluons que EH est la bissectrice de l’angle FED.
  - Pour trouver le centre de gravité cherché, il nous suffit donc de composer la résultante H et la troisième force E ; ce centre sera le point d’application de la résultante de ces deux forces, donc, sur la droite EH.
  - Nous démontrerions de même que le centre de gravité se trouve sur une autre bissectrice FI par exemple.
  - Devant se trouver sur EH et sur FI il se trouvera en leur intersection.
  - 49. Centre de gravité d’une ligne polygonale régulière. — Le centre de gravité d'une ligne polygonale régulière est sur la droite qui joint le centre de la ligne polygonale au milieu de cette ligne ; sa distance aù centre est à Vapothème, comme la corde de'la ligne polygonale est à la longueur de cette ligne.
  - Nous remarquons d’abord que la figure a un axe de symétrie XY qui joint le centre X de la ligne polygonale au milieu Y de cette ligne.
  - Menons en X un plan perpendiculaire à XY et prenons les moments des poids des côtés par rapport à ce plan.
  - La somme de ces moments sera égale au moment de la ligne polygonale.
  - Représentant par / cette longueur, nous aurons :
  - /Iv = RG X HI + CD x XY + 1)E x OP. [1 j
  - Si nous considérons les triangles BCL et HIX nous voyons qu’ils ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun ; ils sont donc semblables, d’où la proportion :
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- - CENTRE DE GRAVITÉ 53
  - ce qui peut s’écrire :
  - BG X HI = BL X HX.
  - Or si nous examinons la figure nous voyons que :
  - BL = bc HX = apothème = a.
  - BG X HI — 6c X a [2]
  - C Y D
  - Fig. 36.
  - Le moment du poids de : %
  - CD = CD x XY = cd X a. [3]
  - Par un raisonnement analogue on démontrerait que :
  - DE X OP = de X a. [4]
  - Remplaçant le second membre de l’égalité [1] par les valeurs trouvées dans les égalités [2], [3] et [4] nous aurons :
  - /Iv = a X bc + a X cd + « X de.
  - Nous pouvons mettre a en évidence :
  - /Iv = a(bc + cd -f de)
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- - STATIQUE
  - 54
  - OU
  - ZK = a X be
  - ce que nous pouvons écrire sous forme de proportion :
  - K be
  - ~a = 7
  - a X be
  - rc’est-à-dire :
  - . apothème X corde
  - K- = --------7T~.---------
  - ligne
  - 50. Centre de gravité d’un arc de cercle. —
  - Le centre de gravité d'an arc de cercle est sur le rayon qui passe par le milieu de l'arc, sa distance au centre -du cercle est au rayon, comme la corde est à l'arc.
  - Nous pouvons considérer un arc de cerclé comme une ligne polygonale d’ un nombre infini de côtés ; T apot hème devient dès lors égal au rayon et la formule peut s’écrire :
  - rayon X corde R X c arc ~~ a
  - Dans le cas d’une demi-circonférence on aurait :
  - R X 2 R 2 R
  - CENTRE DE GRAVITÉ DES SURFACES
  - ii _
  - /
  - r ( \ '
  - 51. Centre de gravité de l’aire d’un triangle. — Le
  - centre de gravité de la surface d'un triangle se trouve au point de rencontre des médianes de ce triangle.
  - La médiane GM est un diamètr.e du triangle AGB
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- - CENTRE DE GRAVITÉ
  - 55
  - parce qu’elle divise en deux parties égales toutes les parallèles à AB.
  - Le centre de gravité demandé se trouve donc sur CM, il se trouvera également sur une autre médiane AN et conséquemment au point de rencontre G des médianes.
  - Or la géométrie nous apprend que les médianes d’un 2
  - triangle se coupent aux - de chacune d’elles à partir de leur sommet. ^
  - 52. Centre de gravité d’un trapèze. — Le centre de gravité du trapèze se trouve au point de rencontre du diamètre avec la ligne qui joint les centres de gravité des triangles déterminés en menant une diagonale du trapèze.
  - Le centre de gravité doit se trouver sur le diamètre EF,
  - Nous pouvons diviser le trapèze en deux triangles par la diagonale BD; les centres de gravité de ces triangles se trouvent sur une même droite : d’après un principe vu précédemment, le centre de gravité doit se trouver sur cette droite. Il se trouvera donc en G intersection de EF et de HI.
  - Nous allons déterminer dans quel rapport le point G divise la droite EF.
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- - 56
  - STATIQUE s
  - Représentons par x la distance MG et par y la distance GN ; la similitude des triangles G fifce t NGF nous donne la proportion :
  - GE _ x
  - ôf ~ 7'
  - Déterminons les moments de H et de I par rapport au plan DC mené perpendiculairement au plan du trapèze. Désignant par B et b les bases DC et AB, par h la hauteur MN et par T le trapèze nous aurons :
  - T y = DBG x IP + DAB x 1IL
  - A K E M O B
  - ' i -
  - • \ >
  - N F P
  - Fig. 38.
  - ou
  - B h
  - h -, bh 2 h
  - Ty = — X ô + i T x
  - L n.) ^
  - effectuant, nous obtenons :
  - Bh2
  - T y
  - 6 • h2
  - +
  - 2 b h ~~6~
  - Nous pouvons mettre — en évidence
  - T y
  - h2
  - 7*. (B + ^ b) b
  - 3
  - m
- p.56 - vue 74/418
- - CENTRE DE GRAVITÉ
  - Prenons également les moments des forces H et I et de leur résultante G par rapport au plan mené suivant AB perpendiculairement au trapèze.
  - 2 h h
  - Tx = DBG x y + ABD X -
  - B h 2 h bh
  - T X 3" + 2
  - 2 B h2 6
  - bh*-
  - ”6~
  - Tx = - (2 B + b).
  - Divisant [2 ] par [1 ] nous avons :
  - h2
  - Tx
  - t7/ :
  - (2 B + b) h2
  - g* (B +2 b)
  - simplifiant par — et par T nous obtenons : x ^ 2 B -j- b V X B + 2 f
  - Construction graphique. — Nous pouvons déterminer graphiquement le centre de gravité d’un trapèze de la
  - A M B iù
  - F'---
  - D N
  - Fig. 39.
  - façon suivante. On prolonge en sens contraires chacune1 des deux bases d’une longueur égale à l’autre.
- p.57 - vue 75/418
- - 58
  - STATIQUE
  - La droite EF qui joint les points obtenus coupe \LN en un point G qui est le centre de gravité du trapèze.
  - En effet, la similitude des triangles M EG et. X F G donne la proportion :
  - M G M E
  - N G
  - ce qui peut s’écrire :
  - M G NG
  - XF
  - b
  - .7 +B
  - 13
  - - -]-• b X 1
  - simplifiant il reste :
  - M G 2 13 + b
  - N G 2 b + B ' A
  - - - h -
  - Fig. 40
  - 53. Centre de gravité d’un quadrilatère. — Nous pouvons diviser le quadrilatère en deux triangles par la diagonale D13..
  - La droite PP' qui joint les centres de gravité de ces
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- - CENTRE DE GRAVITÉ
  - triangles, contient le centre de,gravité du quadrilatère.
  - Décomposons également le quadrilatère en deux triangles par la diagonale AC.
  - Le centre de gravité se trouve sur OO' ; devant se trouver sur PP' et sur 00' il se trouvera à l’intersection G de ces lignes.
  - 54. Centre de gravité d’un polygone quelconque.
  - — Pour trouver le centre de gravité d’un polygone quelconque on le divise en triangles.
  - Au centre de gravité de chacun de ces triangles est appliquée une force verticale proportionnelle à la surface du triangle. Le point d’application de la résultante de toutes ces forces est le centre de gravité cherché.
  - 55. Centre de gravité d’un secteur circulaire. —
  - Le secteur peut être considéré comme composé de
  - Fig. 41.
  - triangles ayant pour sommet commun le centre du cercle et pour bases, les éléments AF ; FH ; HI, etc... suffisamment petits pour être considérés comme des droites.
- p.59 - vue 77/418
- - GO
  - STATIQUE
  - Les centres de gravité de ces triangles se trouvent en 2
  - g ; gi ; g2 ; g3, etc... tous aux - du rayon à partir du
  - centre, c’est-à-dire sur l’arc CPD. Nous en concluons que le centre de gravité du secteur coïncide avec celui de l’arc CPD. Cherchons donc où se trouve ce point par l’application d’une formule étudiée dans la recherche du centre de gravité d’un arc de cercle :
  - OG
  - OD X CD CPD
  - 3RX3AB
  - - AEB
  - 2 rayon X corde
  - 3 arc
  - 56. Centre de gravité d’une zone sphérique. — Le
  - centre de gravité d'une zone sphérique est au milieu de la droite qui joint les centres de ses hases.
  - La droite OO' étant un axe de figure, contient le centre de gravité de la zone sphérique.
  - Fig. 42.
  - Si nous menons des plans équidistants, parallèles aux bases, nous déterminons des zones équivalentes dont les centres de gravité sont sur 00'.
  - En tous ces centres sont donc appliquées des forces, égales, quelle que soit la distance des plans ; ces poids
- p.60 - vue 78/418
- - CENTRE DE GRAVITÉ
  - (31
  - égaux sont répartis uniformément sur l’axe 00' ; leur résultante est donc appliquée au milieu de cet axe. Le point G est le centre de gravité demandé.
  - CENTRES DE GRAVITÉ DES VOLUMES
  - 57. Centre de gravité d’un prisme. — Le centre de gravite d'un prisme est au milieu de la droite qui joint les centres de gravité de ses bases.
  - A
  - Fig. 43.
  - Le plan CH IF mené par les médianes CH et FI est un
- p.61 - vue 79/418
- - STATIQUE
  - (>2
  - plan diamétral qui, conséquemment, contient le centre de gravité du prisme.
  - Le plan AIvLD le contient également.
  - Le centre de gravité se trouve donc sur 00' intersection des deux plans.
  - Le plan MPN mené par les milieux des arêtes latérales est le plan diamétral des parallèles aux arêtes ; il contient donc le centre de gravité du prisme.
  - Puisque ce centre doit se trouver sur 00' et sur le plan MPN il sera situé en G intersection de cette droite et de ce plan ; ce point est le milieu de la droite 00'.
  - 58. Centre de gravité d’un prisme quelconque. — Nous pouvons décomposer ce solide en prismes triangulaires dont les centres de gravité se trouvent respectivement en g ; Fie. 4L gl et g2.
  - Les centres de gravité se trouvent sur le plan LMNPQ mené par les milieux des arêtes et sont en même temps les centres de gravité des triangles LQP ; LPN ; LM N. Or, les prismes triangulaires ont même hauteur ; ils sont donc entre eux comme leurs bases. Les poids de ces prismes sont proportionnels aux
- p.62 - vue 80/418
- - CENTRE DE GRAVITÉ
  - 63
  - triangles LQP. LPN et LM N ; la résultante des forces g, g1 et g2 est appliquée au centre de gravité du polygone LMNPQ : or ce point est le 'milieu de la droite 00' qui joint les centres de gravité des bases du prisme.
  - ôf). Centre de gravité d’une pyramide. — Le centre de gracile d'une pyramide est sur la droite qui joint le
  - 1° Pyramide triangulaire. — Le plan SAN est un plan diamétral de la pyramide de même que le plan SGM.
  - Le centre de gravité se trouve donc sur l’intersectiôn de ces deux plans, c’est-à-dire sur SO droite qui joint le
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- - 64
  - STATIQUE
  - sommet de la pyramide au centre de gravité de la face opposée.
  - Nous en concluons que le centre de gravité est en G intersection de SO et de AO' droite partant du sommet A et aboutissant au centre de gravité de la base opposée.
  - Déterminons maintenant à quelle distance il se trouve de S.
  - Les triangles AGS et GOO' sont semblables d’où la proportion :
  - OG 00'
  - De même la similitude des triangles NOO' et ANS nous donne :
  - 00'_ ON AS “ AN
  - [2]
  - Les proportions [1] et [2] ont un rapport commun, nous pouvons donc écrire :
  - OG _ 00' _ ON GS ~ AS ~ AN’
  - ON 1 .
  - •or, —- = - et à cause de l’égalité [3].
  - AN 3
  - OG _ 1 GS ~ 3’
  - OG _ 1
  - °U : OG + GS “ IT3
  - OG _ 1 OS “ l'
  - GS 3
  - Or GS = 3 OG, d’où — =
  - (JS 4
  - SG _ 3
  - SO 4
  - •c’est-à-dire :
- p.64 - vue 82/418
- - CENTRE DE GRAVITÉ
  - 2° Pyramide quelconque. — Le centre de gravité se trouve sur SO droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base.
  - 3
  - Par le point H situé aux - de SA menons un plan
  - S
  - -Ht
  - parallèle à la base. Ce plan contient les centres de gravité des pyramides triangulaires qui composent la pyramide donnée.
  - Le centre de gravité doit donc se trouver sur le plan H K et sur Taxe SO, il est conséquemment en G intersection de cet axe avec le plan.
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2e édit.).
- p.65 - vue 83/418
- - 66
  - STATIQUE
  - 60. Centre de gravité d’un cône. — Le cône peut être considéré comme la limite d’une pyramide dont le nombre de faces augmente indéfiniment. D’où :
  - 3
  - Le centre de gravité d’un cône est aux - à partir du
  - sommet, de la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base.
  - 61. Centre de gravité d’un secteur sphérique. —
  - Soit le secteur sphérique ABCO. Nous pouvons considérer lé secteur comme composé d’une infinité de pyramides
  - —-*®--
  - Fig. 47.
  - égales ayant le centre,O pour sommet et le rayon pour hauteur. Les centres de gravité de ces pyramides élémen-3
  - taires se trouvent aux — du rayon à partir du centré ; ils
  - sont uniformément répartis sur la zone DEF dont le
  - 3
  - ravon OD = - AO.
  - ‘ 4
- p.66 - vue 84/418
- - CENTRE DE GRAVITÉ
  - 67
  - Le problème revient donc à chercher le centre de gravité de cette zone.
  - D'après ce que nous avons vu précédemment il se trouve en G milieu de sa hauteur EJ.
  - Il s’agit maintenant de déterminer la distance OG. Nous pouvons écrire :
  - 3 1
  - OG = OE — EG = —R — - EJ.
  - 4 2
  - Représentons B H par h et nous aurons :
  - d’où :
  - EJ = j BH = ~ h,
  - OG = ^ R -|/t = |(2R-A).
  - Représentons l’arc AB par a et nous aurons : h =R (1 — cos a)
  - d’où :
  - OG = g [2 R — R (1 — cos a)]
  - 3
  - — * = - (2 R — R + R cos a)
  - 3 3
  - = •- (R + R cos a) = - R (1 + cos a).
  - 62. Centre de gravité d’une demi-sphère. — Dans ce cas :
  - h = R
  - et la formule devient :
  - 3
  - OG = gR.
- p.67 - vue 85/418
- - 68
  - STATIQUE
  - THÉORÈMES DE GUILDIN
  - 63. Théorème 1. — L'aire â'une surface de révolution égale le produit de la longueur de la ligne plane génératrice par la circonférence que décrit le centre de gravité de celle même ligne.
  - Soit la ligne plane ABCDEFH située entièrement du même côté de l’axe XY.
  - Fig. 48.
  - Représentons par l la longueur de cette ligne développée et par r la distance de son centre de gravité G à Taxe.
- p.68 - vue 86/418
- - CENTRE DE GRAVITÉ
  - 69
  - La surface engendrée par cette ligne pour une révolution autour de XY sera :
  - S = 2tt rl.
  - Divisons cette ligne en n parties égales et représentons par 1 la longueur de chaque partie rectiligne, c’est-à-dire l
  - le rapport —. i,
  - Si n croit indéfiniment, le contour polygonal tend vers la ligne génératrice.
  - Considérons les éléments AB, BC, CD, etc... nous voyons que chacun d’eux décrit une surface que l’on peut considérer comme la surface latérale d’un tronc de cône.
  - La surface totale est donc :
  - S. = 2 ~/\l -f 2 izr2l + ... -|- 2 tui'i t + 2 tt rnl = 2 TC 2 /•;. [1 3
  - Si dans le second membre de l’égalité [1 ] nous mettons 2 - ën évidence nous obtenons :
  - S = 2 7ü {rxt -f- t’%t -f • • d- ?'n!)
  - Nous voyons que la quantité entre parenthèses n’est autre chose que la somme des moments de chaque élément de la ligne génératrice donnée par rapport au plan mené suivant XY perpendiculairement au plan de la figure. Nous pouvons donc écrire :
  - rxt + rJ -f ... + l'it + rni — moment de ADII d’où :
  - . S — 2 - (moment AD H)
  - = 2 :r (GO X ADH) = 2tt x GO X ADH = 2 tt rl
- p.69 - vue 87/418
- - 70
  - STATIQUE
  - 64. Théorème 2. — Le volume d’un corps de révolution égale le produit de la surface plane génératrice par la circonférence que décrit le centre de gravité de cette surface.
  - 1° Cas du carré. — Soit un carré ABCD. Le volume de l’anneau cylindrique engendré par la rotation de ce carré autour de l’axe XY sera :
  - v = 2 tz S S.
  - X
  - M
  - A
  - .G
  - B
  - D C
  - Y
  - F h:. 4(J.
  - En effet ce volume est la différence de 2 cylindres concentriques ; l’un :
  - ____o
  - V = 7r X BC X NB
  - v -
  - t
  - V — v
  - i
  - tz X BC x’ NA TT x BC (nB — NA*)'
  - et l’autre :
- p.70 - vue 88/418
- - CENTRE DE GRAVITÉ'
  - 71
  - ce qui peut s’écrire :
  - V — c = tc X BC(NB + NA) (NB — NA)
  - Or nous voyons que :
  - NB + NA = 28
  - NB — NA = AB
  - v = 7T X BC X AB x 2 8 AB X BC est la surface du carré.
  - Le volume de l’anneau cylindrique est donc :
  - V _ v = 2 TT 8 S.
  - 2° Cas d’une surface quelconque. — Soit une surface génératrice S. Partageons cette surface en carrés égaux
  - X
  - Fig. 50.
  - par des parallèles et des perpendiculaires à l’axe équidistantes entre elles d’une quantité a.
  - et : d’où :
  - V
- p.71 - vue 89/418
- - STATIQUE
  - /
  - •)
  - La surface totale des petites surfaces irrégulières des bords tend vers o à mesure que a diminue : la surface des carrés tend vers la mesure de la surface génératrice.
  - Comme nous venons de le voir, chaque carré engendre un volume = 2 tt8S = 2 tt8a2 et le volume total est :
  - V = 2 izi\u2 -J- 2 ixr2a2 -(-•••+ 2 iirva2 '
  - Nous pouvons mettre 2 tt en évidence :
  - V = 2tc (/‘id2 -j- r2a2-\- rna2)
  - Or la quantité entre parenthèses est égale a S/- donc :
  - V = 2 tc/’S.
  - G5. Remarque. — Les deux formules de Guldin que nous venons de trouver :
  - S = 2 7t rl et V = 2TîrS
  - permettent de résoudre deux genres de problèmes :
  - 1° Evaluer les surfaces et les volumes de révolution, quand on connaît les centres de gravité des figures génératrices et la grandeur de ces figures ;
  - 2° Trouver les centres de gravité des figures génératrices, quand on connaît les surfaces ou les volumes qu'elles engendrent.
  - Applications 1. — Chercher le volume engendré par un triangle quelconque.
  - Soit le triangle ABC tournant autour de Taxe XY situé dans son plan et qui passe par l’un de ses sommets A. D’après le deuxième théorème de Guldin nous avons :
  - Or :
  - V = 2 TT x GH X surface de ABC
  - BC X AE
  - }
  - i
  - surface de ABC =
  - 2
- p.72 - vue 90/418
- - CENTRE DE GRAVITÉ
  - de plus :
  - d’eù :
  - 9
  - GH = ^ FD
  - O
  - 9
  - V = 2 te X ^
  - O
  - FD X
  - BG X AE 2
  - Fig. 51.
  - Simplifiant par 2 et intervertissant l’ordre des facteurs nous obtenons :
  - V AE (2 TT X BG X FD).
  - Nous voyons que la quantité entre parenthèses est la surface engendrée par le côté BG tournant autour de l’axe XY.
- p.73 - vue 91/418
- - 74*'- STATIQUE -
  - 2..— Chercher le centre de gravité d’un secteur cir-
  - o
  - ciliaire.
  - Le secteur circulaire en tournant autour de Taxe XY engendre un secteur sphérique. Représentons par x la distance OG.
  - Le second théorème de Guldin donne :
  - V = 2~rS
  - or S pour le secteur sphérique
  - TC l'£ Il
  - “.360
  - ; la longueur de
  - — r ii rl
  - l are I pour n degrés = d’où S =
  - 180
  - V — 2-x
  - rl
  - T"
  - [1]
  - M
  - Nous avons vu en géométrie que le secteur sphérique
  - est équivalent aux — du cylindre qui aurait pour rayon
  - celui de la sphère, et pour hauteur celle de la zone qui lui sert de base, i
- p.74 - vue 92/418
- - CENTRE DE GRAVITE
  - 75
  - V= \nr*h [1]
  - Des égalités [1 ] et [2] nous pouvons tirer :
  - rl 2
  - “ 2 = 3 71
  - Simplifiant le premier membre de l’équation par 2 et les deux membres par rr il reste :
  - d’où
  - 2 /• x h.
  - x
  - 3 l
- p.75 - vue 93/418
- - CHAPITRE VI
  - PARALLÉLÉPIPÈDE DES FORCES
  - (36. Théorème. — Si trois forces appliquées à un point ne sont pas dans un même plan, leur résultante est la diagonale du parallélipipède construit sur ces forces.
  - Soit le système des trois forces F, Fx et F2. La résultante des forces F et F2 est AB ; composant AB et Fj nous
  - Fig. 53.
  - obtenons A R résultante des trois forces proposées. Cette résultante AR est la'diagonale du parallélipipède construit sur F, Fj et F2.
- p.76 - vue 94/418
- - PA RA Ll.ÉLIPI P K1) E DES l-üKCES
  - 77
  - FORCES RECTANGULAIRES
  - 67. Théorème 1. — Le carré construit sur la résultante de trois forces rectangulaires est égal à ht somme des carrés construits sur les composantes.
  - Dans ce cas, le parallélipipède est rectangle et le triangle AB R nous donne :
  - ___O ___O ___o
  - A R = AB -|- BR~ [J J
  - ___o ______o ______'Z
  - AB = ÂF + BF ' = F2 + \\2. [2 ]
  - O
  - Remplaçons dans l’égalité [1 ] AB par sa valeur trouvée dans l’égalité [2] et observant que BR = F., nous obtenons :
  - -R2 = F2 + FF ’+ F22.
  - 68. Théorème 2. — Lorsque trois forces sont rectangulaires, chaque composante est égale à la projection de la résultante sur la direction de cette force.
- p.77 - vue 95/418
- - 78
  - STATIQUE
  - ' Désignons par a, [3, y les angles formés par la résultante R et les composantes F, Fl5 F2.
  - Les triangles rectangles RFA, RFXA et RF2A nous donnent :
  - F = R cos a Fa = R cos [i . F2 = R cos y.
  - Fig. 55.
  - Application. — Décomposer une force F en trois autres de directions données AX, AY et AZ.
  - A) Les directions ne sont pas dans un même plan.'
  - Le plan déterminé par les droites AF et AZ coupe le-plan XAY suivant AB.
  - La force F peut être décomposée en AB et en AF3.
  - Mais AB étant dans un même plan avec AX et AY nous pouvons la remplacer par AFX et AF2.
  - ' Les forces F1? F2 et F3 sont les composantes demandées.
  - Cette solution est la seule que nous puissions trouver, car si par le point F nous menions trois plans parallèles, respectivement à XAY, XAZ et YAZ nous formerions le parallélipipède ayant-pour diagonale AF et pour arêtes'' les forces Fl5 F2 et F'3 cherchées.
- p.78 - vue 96/418
- - PARALLÉLIPIPÈDE DES FORCES
  - 79
  - f7
  - x
  - B
  - Fig. 56.
  - Fig. 57.
- p.79 - vue 97/418
- - 80
  - STATIQUE
  - Pratiquement on se contente de mener FB parallèle à AZ et par le point d’intersection de FB avec le plan XAY on tire BFX parallèle à AY et BF2 parallèle à AX.
  - Les droites AFX, AF2 et AF3 sont les intensités demandées.
  - B) Les trois directions et la force sont dans le même plan.
  - Fie. 58.
  - Soit la force F à décomposer en trois autres, suivant les directions AX, AY et AZ.
  - Menons dans le plan XAY une droite quelconque AV que nous pouvons considérer comme étant la direction de l’une des composantes de la force F. En terminant le parallélogramme nous trouvons l’autre composante F3.
  - Nous avons remplacé la force F par AF3 et AB ; décomposant cette dernière force, nous obtenons les intensités Fx et F2.
- p.80 - vue 98/418
- - PARALLÉLIPIPÈDE DES FORCES
  - 81
  - Remarque. — Pour décomposer une force suivant trois axes rectangulaires, il suffît de projeter cette force sur chacun des axes.
  - FORCES QUELCONQUES
  - 69. Théorème 1. — Toutes les forces appliquées à un solide, peuvent être ramenées à trois passant par trois points choisis arbitrairement.
  - /
  - K*
  - Fig. 59.
  - Soient A, B, C, trois points d’un solide choisis arbi-. trairement mais non en ligne droite, et soit F l’une des forces appliquées à ce solide au point O.
  - 3L Wilmotte. — Coure de mécanique (2e édit.).
- p.81 - vue 99/418
- - 82
  - STATIQUE
  - Nous pouvons décomposer cette force F en trois autres : /', /x et /2, agissant suivant les directions AO, BO et CO.
  - Toutes les forces appliquées au corps, peuvent être décomposées de la même façon.
  - Les composantes dont la direction passe par le point A peuvent ê.tre transportées en ce point qui est le point d’application de leur résultante R.
  - De même les composantes dont la direction passe par les points B et C peuvent être transportées en ces points et donnent les résultantes l-R et R2.
  - Toutes les forces du système peuvent donc être ramenées aux trois forces R, Ri et R2 appliquées aux points A. B et C.
  - 70. Théorème 2. — Un système de forces peut toujours être ramené à deux dont Vune passe par un point choisi arbitrairement.
  - Choisissons un point quelconque A ; nous venons de voir que toutes les forces appliquées au solide se ramènent à trois M. N et P.
  - Par le point A et la direction BN faisons passer un plan P, de même par le point A et la direction CP faisons passer le plan P'.
  - Prenons sur l’intersection AK de ces deux plans un point quelconque O et menons BA, BO, AC et CO.
  - La force N et les droites BA et BO sont dans un même plan : nous pouvons donc décomposer cette force en deux autres de directions B A et BO soit n et n/.
  - De même la force P donne les composantes p et //.
  - Les deux composantes n et p peuvent être transportées au point A de leur direction où elles deviennent et px ; les forces n' et p' peuvent être transportées en O où elles exercent leur action suivant n^ et /V-
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- - PARALLÉL1PIPÈD K J)ES FORCES
  - 83
  - Nous voyons que trois forces sont appliquées en A ; elles ont pour résultante la diagonale du parallélipipède construit sur ces trois forces, soit R.
  - Fn O sont appliquées deux forces /?,' et pî qui ont pour résultante
  - Donc, toutes les forces appliquées à un. solide peuvent être ramenées à deux dont l’une passe par un point choisi arbitrairement.
  - M
  - Fig. GO.
  - 71. Théorème 3. — Toutes les forces appliquées à un solide peuvent être ramenées à une force et à un couple.
  - Nous avons démontré dans le théorème précédent que
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- - 84
  - STATIQUE
  - toutes les forces appliquées à un solide se réduisent à deux forces AR et OS.
  - Appliquons en O deux forces directement opposées, égales et parallèles à R. Les forces Rx et S peuvent être remplacées par leur résultante P. Nous voyons donc que
  - R
  - Fig. 61.
  - le solide est soumis à l’action d’une force P et de deux forces R et R2 qui constituent un couple.
  - 72. Théorème 4. — Si trois forces appliquées à. un solide sont en équilibre elles sont dans le même plan.
  - Soient les trois forces F, Fx et F2 appliquées aux points A, B, G d’un corps solide.
  - Nous allons prouver que ces trois forces étant en équilibre, sont situées dans un même plan ABC déterminé en joignant leurs points d’application. Sans troubler l’équilibre, nous pouvons fixer deux des points d’application de ces forces, A et B par exemple. Le système se réduit dès lors à un corps solide mobile autour de l’axe AB et sollicité par une force F2.
  - Il faut, pour que l’équilibre existe, que la direction de
- p.84 - vue 102/418
- - PAUALLÉL1PIPÈDE DES FORCES
  - 85.
  - cette force rencontre l’axe AB. La droite CF2 a donc deux points dans le plan ABC d’où .nous concluons qu’elle est tout entière dans ce plan.
  - Fn;. 62.
  - Nous démontrerions de la même façon que chacune des autres forces est dans le plan ABC.
  - 73. Théorème 5. — Pour que deux forces appliquées à un solide aient une résultante, il faut qu'elles soient dans un même plan et ne forment pas un couple.
  - Cette condition suffit car, dans ce cas, les deux forces étant parallèles ou concourantes, se composent en une force unique.
  - Cette condition est indispensable car si les deux forces F et Fx par exemple ont une résultante, on peut les remplacer par une force Ri égale et directement opposée à cette résultante.
  - Mais alors le système se réduirait à trois forces en équilibre F, Fx et Ri, or nous venons de voir que cette con-
- p.85 - vue 103/418
- - 86
  - STATIQUE
  - dition d’équilibre n’a lieu que pour autant que les trois forces sont situées dans un même plan.
  - Fig. 63.
  - Ces forces ne forment pas un couple étant donné qu’elles ont une résultante.
- p.86 - vue 104/418
- - CHAPITRE VII
  - ÉQUILIBRE DU SOLIDE
  - f
  - 74. — Nous venons de voir qu’un système quelconque de forces appliquées à un solide, peut toujours être remplacé par deux forces dont l’une passe par un point choisi arbitrairement.
  - Nous allons déduire de ce théorème général les conditions d’équilibre :
  - 1° Du solide libre dans l'espace ;
  - 2° Du solide gêné par un obstacle.
  - 75. Solide libre dans l’espace. Théorème. — Pour qu'un solide libre soit en équilibre sous l'action d'un système quelconque de forces, il faut et il suffit qu'en réduisant. toutes ces forces ci deux on obtienne deux forces égales et directement opposées.
  - Nous prouverons d’abord que cette condition est nécessaire. En effet, nous basant sur le théorème 2 nous pouvons réduire à deux toutes les forces appliquées au solide.
  - Or, pour que l’équilibre existe, il est nécessaire que ces forces soient égales et directement opposées.
  - Cette condition est de plus suffisante car du fait que les deux forces, à l’action desquelles le système est soumis, sont égales et directement o'pposées, nous concluons qu’elles se font équilibre.
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- - 88
  - f
  - STATIQUE
  - 70. Solide gêné par un obstacle fixe. — L’obstacle peut être :
  - 1° Un point fixe-;
  - 2° Un axe fixe ;
  - 3° Un plan fixe.
  - 1° L’obstacle est un point fixe. — Un corps mobile autour d'un point fixe est en équilibre'lorsque toutes les forces appliquées ci ce corps ont une résultante unique passant par ce point.
  - Toutes les forces appliquées au solide peuvent être ramenées à deux forces F et Fj.
  - TL
  - Nous pouvons choisir le point O comme point d’application de la force F.
  - Supposons, comme l’indique la figure, que la force Fj ne passe pas par le point O. Dans ce cas l’action de la force F est détruite par’la fixité du point O ; d’autre part, le solide reste soumis à l’action de la force Fi.
  - Il est donc nécessaire pour que le solide soit en équilibre que la direction de la force Fx passe par le point O.
  - En effet, soient F et Fi', les deux forces remplissant cette condition. Nous pouvons sans rien changer au sys-
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- - ÉQUILIBRE DU SOLIDE
  - 89
  - tème, transporter le point d’application de la force F/ en un point O de sa direction. Le solide est alors soumis à l’action des forces F et F,' qui ont pour résultante R.
  - Or, cette force R agissant sur un point fixe est détruite par la fixité du point sur lequel elle tend à exercer son action.
  - 2° L'obstacle est un axe fixe. — Pour qu'un solide fixe, mobile autour d'un axe fixe soit en équilibre il faut que toutes les forces qui lui sont appliquées étant réduites à deux, l'une rencontre l'axe et Vautre soit dans le même plan avec cet axe.
  - Il est d’abord évident que la force qui rencontre l’axe est détruite par la fixité de celui-ci.
  - Si la seconde force est parallèle à l’axe, elle tend à faire glisser le corps le long de cet axe. Or, ce glissement est impossible puisque nous considérons le corps dans la position d’équilibre ; pour la même raison, le corps ne peut tourner autour de cet axe d’où nous concluons qu’elle est dans un même plan avec cet axe.
  - 3° L’obstacle est un plan fixe. — Pour qu'un corps reposant sur un plan fixe soit en équilibre il est nécessaire 'et. suffisant que le système des forces appliquées au corps ait une résultante unique, normale au plan, appuyant le corps sur le plan et passant ci l'intérieur du polygone d'appui.
  - Nous étudierons quatre cas :
  - 1° Le corps n'appuie sur le plan que par un point ;
  - 2° Le corps appuie sur le plan par une droite ;
  - 3° La surface d'appui est un triangle ;
  - 4° La surface d'appui, est un polygone.
  - 1° Un seul point d’appui. — Le corps n’appuie sur le plan P que par le point O. Le plan exerce sur le corps une réaction normale R.
  - Il faut donc pour que l’équilibre existe que le système
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- - •90
  - STATIQl'E
  - des forces F1? F2, etc... appliquées au corps ait une résultante unique égale et directement opposée à R. Cette résultante passe par le point O et appuie le corps sur le plan.
  - Dans ces conditions, le corps ne peut ni glisser sur le plan ni se mouvoir dans la direction de la résultante IV, dont l’action est détruite par la fixité du plan P. Le corps est donc en équilibre sous Faction des forces R et IV.
  - 2° Droite d’appui. — Le corps appuie sur le plan par des points situés sur une droite AB.
  - Les réactions parallèles et de même sens ont une résultante unique R égale à leur somme, normale au plan et dont le point d’application se trouve sur la ligne d'appui AB. Pour qu’il y ait équilibre il faut que le système des forces Fi, F2, F„ ait une résultante unique, égale et directement opposée à la réaction R ; cette résultante normale passe par le point O et appuie le corps sur le plan.
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- - EQUILIDKE DU SOLIDE
  - ' I
  - Lorsque ces conditions sont réalisées, la force IV peut se décomposer en deux forces R/ et R./ appliquées aux extrémités de la droite d’appui ; de même la réaction peut se décomposer en deux forces R, et R2.
  - 1';
  - Le corps est donc soumis à l’action de deux systèmes <le forces équivalents ; il est conséquemment en équilibre.
  - A
  - 3° Triangle d’appui. — Il existe dans ce cas trois réactions normales, Rj, R2 et R3.
  - Ces forces sont parallèles et peuvent se composer en une réaction unique R égale à leur somme et normale au plan.
  - Cette réaction est appliquée au centre de gravité du triangle, donc, à l’intérieur du triangle d’appui.
  - Pour que l’équilibre existe il faut que le système des forces Fj, F2..., Fn appliquées au corps ait une résultante IV unique, égale et directement opposée à la réaction R. Cette résultante normale doit passer par le point O et appuyer le corps sur le plan.
  - Ces conditions sont nécessaires et suffisantes car, les
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- - STATIQUE '
  - supposant réalisées, nous pouvons décomposer la force R* en trois forces R/, R2' et R3' appliquées respectivement en A, B et C.
  - R
  - Fig. 67.
  - De cette façon le corps est soumis à l’action de deux systèmes équivalents et est donc en équilibre.
  - 4° Polygone d’appui. — Le corps appuie sur le plan par n points ; il y a donc n réactions normales, lesquelles peuvent se composer en une réaction unique R dont le point d’application passe évidemment à l’intérieur du polygone d’appui.
  - Pour qu’il y ait équilibre il faut que le système des forces données ait une résultante R' unique égale et directement opposée à la réaction R.
  - Ces conditions étant réalisées, la force R' peut se décomposer d’une infinité de manières en n forces R1? R2,..., R« appliquées aux points d’appui.
  - Le corps est donc soumis à l’action de deux systèmes/ équivalents, d’où il est en équilibre.
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- - ÉQUILIBRE I)U SOUDE
  - ‘>3
  - 77. Solide sous l’action de la pesanteur. — Nous étudierons trois différents états d’équilibre des corps : 1° U équilibre stable ;
  - 2° — instable ;
  - )«
  - —- indifférent.
  - Equilibre stable.— Un corps est dit en équilibre stable lorsque, dérangé de sa position d'équilibre AB (fig. 68), il y revient sons l'influence des actions que la pesanteur exerce sur ses molécules.
  - A
  - Considérons un fil à plomb AB dans sa position d’équilibre.
  - L’action du poids P est détruite par suite de la résistance du fil ; dans la seconde position AB' le poids P peut se décomposer en deux forces rectangulaires dont l’une 1), dirigée suivant AB', tend le fil et l’autre F perpendiculaire à AB' tend à ramener le corps dans sa position d’équilibre.
- p.93 - vue 111/418
- - STATIQUE *
  - Dans le cas de Véquilibre, stable, le centre de gravité da corps se trouve en dessous du point de suspension.
  - Equilibre instable. — Un corps est dans cette position lorsque son centre de gravité est au-dessus du point de suspension.
  - O
  - Fig. 69.
  - Dans la position qui nous occupe la direction du poids P passe par le point fixe O : cette force est donc détruite. Dans la seconde position M' le poids P peut se décomposer en deux forces rectangulaires, l’une passe par le point fixe O est détruite, l’autre D fait tourner le corps et l’éloigne de sa position primitive pour l’amener dans celle de l’équilibre stable.
  - Equilibre indifférent. — TJ état di équilibre* d'un corps est indifférent lorsque,. dérangé de sa position, il reste en équilibre dans la nouvelle position où on le place. Il faut, pour que ce fait se produise, que l'axe de suspension passe par le centre de gravité du corps ou qu'il se confonde avec ce dernier, quelle que soit la position dans laquelle on le place.
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- - ÉQUILIBRE DU SOLIDE
  - flf)
  - L‘ t'-quilibre indifférent est recherché dans la plupart des machines animées d’un mouvement de rotation ; par exemple, les volants, les roues, les balanciers doivent avoir leur centre de gravité sur Taxe.
  - 78. Stabilité des porps. — Le degré de stabilité d’un corps est d'autant plus grand que le centre de gravité du corps est situé plus bas ; c’est pour cette raison que quand on charge un navire on met les objets les plus lourds au fond de la cale.
  - L'équilibre d'un corps reposant sur un plan horizontal a lieu lorsque la verticale menée par son centre de gravité passe à ïintérieur du polygone formé en joignant les points d'appui.
  - Cette stabilité est d’autant plus grande que le pied de cette verticale est plus éloigné du périmètre de la base de sustentation.
  - 7(J. Pression sur les points d’appui. — Lorsqu'un
  - Fig. 70.
  - corps est supporté par un seul point d'appui,, la charge de ce point est égale au poids du corps.
  - Si le torvs est supporté par deux points d'appui la charge
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- - STATIQUE
  - oo
  - de chacun d'eux dépend de la position du centre de gra cité.
  - Dans le cas du corps AB représenté figure 70, les pressions en A et en B sont inversement proportionnelles aux distances AG et BG.
  - Dans le cas où le corps repose sur le plan horizontal par trois points non en ligne droite, la charge de chacun îles points d’appui est donnée par le théorème suivant :
  - 80. Théorème d’Euler. — Si aux points A, B et G d'un corps on joint le point d'application O de la résultante unique des forces, les pressions des appuis sont prc-
  - i
  - /''JB
  - Vu
  - Fn;. 71.
  - portionnelles aux triangles BOC, AOG et AOB c'est-à-dire les triangles ayant pour sommets les points d'application des trois autres forces :
  - Nous pouvons décomposer la force R en deux autres dont l’une Rx est appliquée en A et l’autre Q est appliquée en D. Ces forces donnent la proportion :
  - AO Q
  - ôd = r;
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- - ÉQUILIBRE DU SOLIDE
  - 97
  - ce que nous pouvons écrire comme suit :
  - AO + OD Q + R,
  - ..OD - RÏ ’
  - AD R ÔD Ri
  - Les triangles ABC et BOC ont même base ; ils sont donc entre eux comme leurs hauteurs :
  - ABC Al
  - boc = ôTr 11 ]
  - Si nous considérons les triangles OHD et AID, nous voyons qu’ils sont semblables comme équiangles, d’où : AD AI
  - OD = ÔH' ^
  - AI
  - Remplaçant dans l’égalité [1] le rapport par sa
  - valeur trouvée dans l’égalité [2] nous obtenons :
  - ABC AD R BOC = ÔD = K‘
  - Nous pouvons déduire de cette dernière égalité :
  - Ri _ R BOC = ABC
  - Nous démontrerions de la même façon que :
  - R _ R2_________R^
  - ABC - ÀÔC “ ÂÔB*
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2e édit.).
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- - CHAPITRE VIII
  - FORCES CENTRIFUGE ET CENTRIPÈTE
  - 81. Lorsqu’un corps tourne autour cl’un axe en décrivant une circonférence, il développe un certain effort sur le fil qui le retient. Si ce fd venait à se rompre, le corps, d’après le principe de l’inertie, s’échapperait suivant une tangente à la circonférence décrite. Le corps est donc constamment ramené vers le centre par une force appelée force, centripète. Si l’on suppose une force égale et directement opposée à la force centripète on obtient la force centrifuge.
  - 82. Évaluation de la force centripète. — Soit un mobile de masse M tournant suivant la circonférence de centre O et animé d’une vitesse uniforme V ; le rayon 11 est très grand.
  - Soit F la force centripète qui agit sur le mobile, cette force est constante, elle animera donc le mobile d’un mouvement uniformément accéléré..
  - De la formule précédemment étudiée :
  - F - M«.
  - Nous pouvons tirer :
  - F
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- - FORCES CENTRIFUGE ET CENTRIPETE
  - 99
  - Supposons que le mobile passe de M en M' en un temps très court.
  - Si pendant ce temps le mobile n’était soumis qu’à l’action de la force centripète, il parcoure'rait d’un mou-
  - 1
  - vement uniformément accéléré un trajet MP égal - at2.
  - Remplaçant a par sa valeur trouvée dans Légalité [1 ] nous aurons : •
  - F 1 F
  - MP = — t2 = - — /2. M 2 M
  - 12]
  - Mais le mobile abandonné à lui-même suivrait la direction de la tangente MV ; d’autre part, la force centripète agit suivant MO.
  - La résultante de ces deux forces est MM' et les composantes sont MP et MT obtenues en menant des parallèles de M' aux deux directions MV et MO.
  - Nous avons pris l’arc MM' très petit, nous pouvons admettre qu’il a même longueur que sa corde ; le triangle MM'K. est donc rectangle en M'.
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- - 100
  - STATIQUE
  - Mais :
  - MM'2 = MP X MK.
  - Or nous avons fait la corcle égale à l’arc, d’où arc :
  - MM'2 = MP x MK. [3]
  - Or
  - d’où
  - MM' = \t MM'2 \H2.
  - MK = 2 R
  - Remplaçant les membres de l’égalité [3 ] par leur valeur nous aurons :
  - Y H2 = MP X 2 R.
  - d’où :
  - MP
  - WH2
  - ~2R'
  - [4]
  - Egalant les équations [2] et [4], nous aurons :
  - 1 F 2 __ Y2;2
  - 2 M 12 = Tr
  - d’où nous tirons :
  - Valeur de la force centripète et de la force centrifuge.
  - Nous pouvons donc dire : les forces centripète et centrifuge ont pour expression le produit de la masse du corps par le carré de sa vitesse, divisé par le rayon du cercle décrit.
  - 83. Remarque. — Nous pouvons évaluer la force centrifuge :
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- - FORCES CENTRIFUGE ET CENTRIPÈTE
  - 101
  - 1° En fonction du poids du corps, en remplaçant M P
  - par — :
  - 2° En fonction de la vitesse angulaire sachant que V = co K.
  - M<o2R2 P
  - F = —= Mco2R = -o)2 R.
  - R g
  - Il résulte de ce que nous venons d’étudier que toutes les parties d'un solide tournant autour d'un axe sont soumises à l'action de. la force centrifuge.
  - Deux masses égales placées aux extrémités d’un même diamètre sont donc soumises à la même force centrifuge et l’axe ne subit aucun effort, les deux forces agissant tangentiellement à la circonférence étant égales et de sens contraires.
  - C’est pour cette raison que les poulies de transmission ont un nombre pair de bras disposés symétriquement et que les jantes sont de même épaisseur tout autour de l’axe.
  - Applications -.1. — Calculer la valeur de la force centrifuge développée par une locomotive type vicinal pesant 27 tonnes parcourant une courbe de 40 m. de rayon avec une vitesse de 7 m. par seconde. Quelle inclinaison doit-on donner aux voies sachant que leur écartement est de 1,05 m.?
  - Nous devons employer la formule donnant la force centrifuge en fonction du poids :
  - P V2
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- - 102
  - STATIQUE
  - On remédie à cet inconvénient en inclinant la voie. Nous pouvons déduire l’inclinaison à donner, de la théorie du plan incliné.
  - F AC
  - De la proportion - = — nous pouvons tirer la valeur de :
  - F x AB 3.371,55 X 1,05
  - 27.000
  - • = 0,1 o.l m.
  - 2. — Calculer la force centrifuge développée par la jante d’un volant pesant 3.188,25 kg. sachant que le diamètre du volant mesure 5 m. et que sa vitesse angulaire est de 6 m.
  - L’expression de la valeur de la force centrifuge en fonction de la vitesse angulaire est :
  - P
  - F = - «2R
  - b
  - 3.188,25
  - F = - - • .... x 62 X 2,5 = 29.250 kg.
  - 84. Régulateur à force centrifuge. — Le régulateur à force centrifuge est un appareil qui a pour but de maintenir entre deux limites données le nombre de tours par minute d’une machine à vapeur dont le travail utile par minute doit pouvoir varier entre O et N chevaux.
  - Le mouvement de rotation de la machine est transmis
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- - FORCES CENTRIFUGE ET CENTRIPÈTE
  - 103
  - à une tige AB dont la tête porte un losange articulé AMCN.
  - Les deux côtés supérieurs AM et AN de ce losange se terminent par deux boules pesantes P et P'. Les deux autres côtés MC et NC sont reliés à un collier G qui glisse le long de la tige.
  - A
  - Lorsque le mouvement de la machine s’accélère, la tige AB tourne plus vite et par la force centrifuge, les boules s’écartent entraînant le collier C qui, par l’intermédiaire de leviers L, ferme partiellement ou totalement l’orifice d’admission.
  - Lorsque la machine ralentit, le contraire se produit.
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- - CHAPITRE IX
  - MACHINES SIMPLES
  - 85. — On entend par machine un corps ou un ensemble de corps gênés dans leurs mouvements par des obstacles fixes et destinés à transmettre faction des forces.
  - Les machines simples se réduisent à trois principales que l’on peut considérer relativement à la nature de l’obstacle qui gêne le mouvement du corps ; ce sont :
  - 1° Le levier ;
  - 2° Le treu il ;
  - 3° Le plan incliné.
  - 8G. 1° Levier. — Le levier est une barre rigide, droite ou courbe, mobile autour d’un point fixe. Tout levier est
  - C
  - / \
  - * '
  - * s
  - soumis à l’action de deux forces : la puissance et la résis tance.
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- - MACHINES SIMPLES
  - 105
  - Le point fixe se nomme le point d'appui.
  - Les bras de levier sont les perpendiculaires OC et OI> abaissées du point d’appui sur les directions des forces appliquées au levier.
  - 87. Equilibre du levier. — Soit un levier AOD (fig. 76) ayant pour bras de levier On et Om.
  - P'
  - 4
  - Fig. 7i
  - Appliquons au point fixe O les forces Pr et P/ ainsi que Q' et Q/ directement opposées par le sommet et respectivement égales et parallèles à P et à Q.
  - Nous avons remplacé les deux forces P et Q appliquées aux extrémités A et D par les deux couples : (Q — Q') (P — P') et par les forces P/ et Q/.
  - Etant soumis à ces différentes forces voyons dans quelles conditions le levier sera en équilibre.
  - 1° L’action de la résultante des forces P/ et Q/ est détruite par suite de la fixité du point O ;
  - 2° Les- deux couples (P — P') et (Q — Q') doivent
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- - 106
  - STATIQUE
  - être dans un même plan ; cette seconde condition est également remplie étant donné que nous avons mené P' •et Q' respectivement parallèles à P et à Q ;
  - 3° Les moments des couples agissant dans un sens doivent être égaux à ceux agissant en sens contraire.
  - Cette condition est remplie lorsque :
  - P x On = Q X Om
  - •c’est-à-dire, lorsque la proportion suivante se vérifie : P Om
  - Q On
  - Donc, pour qu’un levier soit en équilibre, il faut que les intensités des forces soient inversement proportionnelles à leurs bras de levier.
  - 88. Genres de leviers. — On distingue trois genres de leviers, d’après la position du point d’appui et des points d’application de la puissance et de la résistance.
  - 1er genre. — Le point (Vappui se trouve entre la puissance et la résistance (fîg. 75). — Les balances, les cisailles de ferblantiers, les tenailles, sont des leviers du premier igenre.
  - Application. — On doit soulever un fardeau pesant 425 kg. au moyen d’un levier du premier genre mesurant 2,70 m. et dont le point d’appui se trouve placé à 0,20 du point d’application de la charge.
  - Calculer : 1° l’effort qu’on aura à déployer ;
  - 2° Le trajet que la puissance aura à parcourir pour déplacer la résistance de 10 cm.
  - Le moment de la résistance = 425 x 0,20.
  - Le moment de la puissance = P X (2,70 — 0,20).
  - L’équilibre a lieu pour l’égalité des moments,
  - 425 x 0,20 = P (2,70 — 0,20)
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- - MACHINES SIMPLES
  - 107
  - •d’où :
  - •425 x 0,20
  - P = ^50 ' - = 34 k*
  - Le travail développé pour élever la résistance à une hauteur de 10 centimètres = (425 x 0,10) kgm.
  - Le même travail sera accompli par la puissance sur 425 x 0,10
  - un parcours de •----—— — 1,25 m.
  - 54
  - 2e genre. — La résistance est entre la paissance et le point d'appui. — L’équilibre a lieu lorsque :
  - P X O m = Q X On.
  - Les brouettes sont des leviers du deuxième genre.
  - F
  - A
  - O
  - IV
  - in.
  - Q
  - i.o
  - Application. — On utilise une brouette mesurant 1,70 m. de longueur et pesant 40 kg. pour conduire un fardeau pesant 110 kg. Sachant que le centre de gravité du système tombe à 0,425 m. de l’axe de la roue, calculer :
  - 1° L’effort à déployer à l’extrémité des bras ;
  - 2° La charge supportée par la roue?
  - Le poids appliqué au centre de gravité est de :
  - 110 + 40 = 150 kg.
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- - 108
  - STATIQUE
  - L’égalité des moments nous donne :
  - • 150 X 0,425 - P x 1,70
  - 150 x 0,425
  - Le poids de 150 kg. appliqué au centre de gravité peut être considéré comme la résultante de deux forces parallèles dont l’une est la puissance et dont l’autre est appliquée à l’axe de la roue ; l’intensité de cette dernière force est donc égale à 150 — 37,5 = 112,5 kg.
  - 3e genre. — La puissance se trouve entre le point“ d'appui et la résistance. — Nous rencontrons ce genre de
  - Fi<;. 78.
  - levier dans la pédale, du rémouleur, la pince à sucre et dans les soupapes de sûreté.
  - L’égalité des moments donne :
  - P X On = Q X O//?.
  - 89. Soupape de sûreté. —: Ce dispositif de sécurité sert à donner issue à la vapeur lorsque la tension est supérieure à la pression normale que peuvent supporter les tôles de la chaudière.
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- - MACHINES SIMPLES
  - 109
  - La soupape de sûreté se compose d’un disque D maintenu au moyen d’un levier du troisième genre AB.
  - A l’extrémité B de ce levier est appliqué un poids Q empêchant l’ouverture de la soupape sous l’action de la pression P exercée par la vapeur. Ce poids est calculé de telle sorte que la soupape se soulève dès que la tension de la vapeur est supérieure à celle de la pression effective maximum.
  - B
  - Fig. 79.
  - Applications 1. — Un levier de soupape de sûreté a une longueur de 0,70 ; la distance de l’axe de la soupape au point fixe est de 0,14 m. Calculer le poids à placer à l’extrémité du levier sachant que la puissance exercée est de 390 kilogrammes.
  - q X 0,70 = 390 x 0,14
  - Q =
  - 390 x 14 70
  - 78 kg.
  - 2. — Une chaudière a 50 m2 de surface de chauffe. Déterminer le contre-poids que l’on devra suspendre à l’extrémité du levier, sachant que : 1° le disque pèse 5 kg. ; 2° le levier mesure 60 cm. et pèse 4,800 kg. ;
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- - 110
  - STATIQUE
  - 3° le levier s’appuie sur la soupape à 0,09 m. du point d’articulation ; 4° la chaudière est timbrée à 5 atmosphères.
  - Connaissant la surface de chauffe nous pouvons déterminer le diamètre du disque au moyen de la formule :
  - cl = 2,6 y/w_0j412-
  - S représentant la surface de chauffe en mètres carrés ; n la tension intérieure en atmosphères. Cette tension s’obtient en ajoutant une unité à la pression indiquée au manomètre.
  - Il faut toutefois remarquer qu’au-dessus de 6 atmosphères de tension intérieure on fait n — 6.
  - Dans le cas qui nous occupe :
  - / 50
  - d = 2’6 \/ 6-<M12 = 7’774 cm'
  - La soupape du disque a donc une surface de :
  - 7,7742 x 3,14 4
  - = 47,44 cm2.
  - La pression par centimètre carré exercée sur la soupape est :
  - 1,033 X 5 = 5,165 kg.
  - d’où la pression totale est de :
  - 5,165 x 47,44 = 245 kg. -0.276.
  - Nous devons soustraire de cette pression le poids du disque :
  - 245,0276 — 5 = 240,0276 kg.
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- - MACHINES SIMPLES
  - 111-'
  - Le poids du levier agit au centre de gravité de celui-ciT il appuie sur la soupape, d’où nous pouvons déduire le poids du levier sur la soupape de la proportion :
  - P 30 4^8 = 9
  - P =
  - 30 x
  - 4,8
  - = 16 kg.
  - Le contre-poids doit donc équilibrer une force de : 240,0726 — 16 = 224,0726 kg.
  - Le problème revient donc à trouver le poids à appliquer à un levier du 3e genre pour équilibrer une force de 224,0726 kg., lés bras de levier étant respectivement 60 et 9 mm.
  - La proportion :
  - 224,0726 60
  - Q~ = Ô
  - nous donne :
  - Q = 33,610 k .
  - 90. Combinaisons de leviers. — Ces combinaisons ont pour but de maintenir de grands poids en équilibre au moyen de'faibles forces.
  - Elles peuvent se faire d’une infinité de manières, soit en employant plusieurs leviers du même genre, soit en combinant les actions de leviers de différents genres.
  - Application. — On dispose du système suivant de trois leviers combinés. Sachant qu’on déploie une force de 15 kg. Calculer*:
  - 1° La charge que l’on peut soulever ;
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- - 112
  - STATIQVE
  - 2° Le déplacement des points E, C et B pour soulever la résistance de 3 mm. *
  - 3° La charge exercée en chacun des points O, O' et O".
  - 1° La force / qui agit à l’extrémité B du levier AB (inter-appui), nous est donnée par la proportion :
  - / 60 15 6
  - d’où :
  - 60 X 15
  - /= -----r---- = 150 kg.
  - Cette résistance est transportée en c au moyen de la charnière BC ; elle agit comme puissance sur le levier CO' (inter-résistant).
  - Calculons l’effort f exercé au point I) de ce levier.
  - /' = 28 150 T
  - 150 X 28
  - j
  - 600.
  - Cette force est transmise en E ; nous pouvons la considérer comme la puissance agissant sur le levier EO" (inter-résistant).
  - R _ 72 = 18
  - R =
  - 72 X 600 18
  - 2.500 kg
  - 2° Le bras de levier 0"E = 4 x 0"F ; le point E devra donc se déplacer de 4 X 3 = 12 mm.
  - Le point D solidaire du point E se déplacera également de 12 mm. i
  - Le bras de levier O'C vaut 4 x 0/D. Le déplacement de C sera donc de 12 X 4 = 48 mm.
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- - MACHINES SIMPLES
  - 113
  - Enfin, le trajet décrit par la puissance =
  - 48 x 10 = 480 mm.
  - Connaissant le poids que l’on peut soulever nous pouvons déduire facilement le trajet parcouru par la puissance de l’égalité suivante :
  - 2.400 X 0,003 = 15 x x 2.400 x 0,003
  - x = -------—------= 480 mm.
  - lo
  - 0,fi0
  - Fu;.'80.
  - 3° La charge en O = 15 + 150.= 165 kg. ;
  - La charge en O' = 600 — 150 = 450 kg. ;
  - La charge en O" = 2.400 — 600 = 1.800 kg.
  - 91. Balances. — Les balances servent à déterminer le poids relatif des corps.
  - Nous étudierons :
  - 1° La balance ordinaire ;
  - 2° La balance de Roberval ;
  - 3° La balance romaine ;
  - 4° La balance de Quintenz.
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2e édit.).
- p.113 - vue 131/418
- - STATIQUE
  - 114
  - 92. Balance ordinaire. — La balance ordinaire est un levier dont les bras sont égaux.
  - On y distingue le fléau AB lequel est traversé en son milieu par un prisme triangulaire G appelé couteau. L’arête de ce couteau, dirigée vers le bas constitue Y axe de suspension du fléau. Les plateaux sont suspendus
  - Fig. 81
  - sur deux couteaux lixés aux extrémités du fléau et à égale distance de part et d’autre du point milieu. Une aiguille dirigée vers le haut ou vers le bas, est fixée au fléau perpendiculairement à sa direction.
  - L’extrémité de cette aiguille se meut devant un segment gradué, fixé à la colonne qui supporte la chape. Lorsque le fléau est horizontal, l’extrémité de l’aiguille
- p.114 - vue 132/418
- - .MACHINES SIMPLES
  - 1.1.5
  - doit se placer en regard du zéro, c’est-à-dire du point milieu de l’arc gradué.
  - Deux conditions sont requises dans une balance : 1° la précision ; 2° la sensibilité.
  - Une balance est, juste' lorsque le fléau reste horizontal quand on met des poids égaux sur les plateaux.
  - Une balance est sensible lorsqu'1 elle s'incline d'une quantité appréciable sous l'action d'une très petite différence entre les poids placés sur les plateaux.
  - 93. Conditions de justesse. — Trois conditions sont nécessaires et suffisantes pour qu’une balance soit juste :
  - 1° Les bras du levier doivent être égaux ;
  - l
  - A
  - IC
  - r
  - ^ V (4 V r'-..--'î \d\ ! V
  - P ' ! T
  - 1
  - P Î 1
  - Fig. 82
  - 2° La verticale menée par le centre de gravité doit passer par le point d'appui lorsque le fléau est horizontal ;
  - 3° Le centre de gravité doit se trouver au-dessous du point d'appui.
  - Soit AB l’axe du lléau horizontal en équilibre ; l et /' les bras de levier AC et BC, et P les poids égaux que l’on met dans les plateaux. . .
  - Supposons que le. centre de gravité se trouve en G à une distance d du point d’appui et représentons par p le poids du fléau appliqué en G.
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- - 116
  - STATIQUE -
  - Prenons les moments par rapport au point C des forces agissant sur le fléau.
  - La résultante de ces forces passe par ce point ; son moment est donc nul. Le moment de la force appliquée en B est de signe contraire à ceux des forces appliquées en A et en 1).
  - P/ — P/' + pd = 0
  - P(/ — O + /></= 0 [1]
  - • *
  - Or cette équation doit être réalisée quel que soit le poids
  - P placé sur les plateaux, donc :
  - l — V = 0
  - ce qui donne :
  - l = V
  - 2° Du fait que le premier terme de l’égalité [1J est nul, nous concluons que pd — 0. Or p ne peut pas être nul, d’où il faut que d = 0 ce qui veut dire que la verticale menée par le centre de gravité passe par le point d’appui lorsque le fléau est horizontal ;
  - 3° La troisième condition est évidente, car si le centre de gravité de la partie mobile se trouvait au-dessus du point de suspension, la balance serait en équilibre instable ; elle serait folle.
  - Vérification. — Pour nous assurer de la justesse d’une balance, examinons si le fléau est bien horizontal lorsque les plateaux sont vides;si cela est, la verticale du centre de gravité passe par,le point d’appui. Plaçons ensuite dans les plateaux des corps qui se font équilibre puis changeons ces corps de plateaux.
  - Si l’équilibre persiste, les bras de levier sont égaux et la balance est juste. En effet, appelons p et p' les poids qui se font équilibre en agissant sur les bras de levier l et l'.
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- - MACHINES SIMPLES
  - 117
  - L’égalité des moments donne :
  - />! = V'V [1]
  - et lorsque nous changeons les corps de plateaux, la position d’équilibre a lieu pour :
  - p'I = PV [2 ]
  - Multipliant les égalités [1] et [2] membre à membre nous obtenons :
  - PP'l* = PP'*'2
  - simplifiant il reste :
  - l2 = /'2 ou l — //.
  - Si nous faisons l = /' dans l’équation [1 | nous voyons que :
  - P = P'-
  - 94. Conditions de sensibilité. — Pour qu’une balance soit sensible, il faut :
  - 1° Que le fléau soit aussi long que possible 2° Que le poids du fléau soit faible ;
  - 3° Que le centre de gravité soit très près du point d'appui.
  - Soit AB l’axe du fléau, G son centre de gravité, G le point d’appui, l la longueur des bras du fléau, d la distance GGr et tc le poids du fléau.
  - Plaçons en B une faible charge p ; sous l’action de ce poids le fléau, prend la position A'B'. La balance est d’autant plus sensible que l’angle d’écart est plus grand.
  - Puisqu’il y a équilibre dans la position A'B' la résultante des forces 7C et p passe par le point G. Prenons les moments de ces forces par rapport à ce point :
  - tc x GE = p x CD
  - [1]
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- - STATIQUE
  - J 18'
  - Les triangles rectangles CEG' et R'CD sont semblables comme ayant leurs côtés perpendiculaires chacun, à chacun ; de plus, l’angle GCG', complément de l’angle G'CE = a.
  - Nous en tirons les égalités :
  - GE = 'GG' sin <z — d sin a [2]
  - GD = GIE cos a — l cos a [3]
  - A’
  - Fig. 83
  - Remplaçant dans l’équation fl ] GE et GD par leurs valeurs trouvées dans les égalités [2] et [3] nous obtenons :
  - 7rd sin a = pl cos a -
  - d’où nous tirons
  - sin a pl cos a 7v d
  - P1
  - ou : tg a = —
  - TCCt
  - or l’angle a est d’autant plus grand que l est plus grand
  - et que r: et d sont plus petits.
  - *
  - Applications 1. — Le fléau droit d’une balance „ mesure 0,20 m. et pèse 20 grammes. Calculer l’angle
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- - MACHINES SIMPLES
  - 119
  - d’inclinaison poui: un poids de 1 centigramme sachant que son centre de gravité est à 2 cm. au-dessous du point d’appui?
  - Appliquons la formule :
  - pl
  - tg a = ~
  - ~d
  - 0,01 gr. x 10 C 1 lK' a = 20 gr. X 2 C = 4ÔÔ
  - d’où :
  - a = 8'36". '
  - 2. — On équilibre un corps placé sur un des plateaux d’une balance au moyen d’un poids de 100 grammes.
  - Lorsqu'on le place sur l’autre plateau il faut 106 gr. pour l'équilibrer. Calculer :
  - 1° Le poids du corps ;
  - 2° Le rapport entre les deux bras du fléau. Représentons par P le poids cherché et par / et V les longueurs des bras de levier.
  - Dans le premier cas nous avons :
  - P/ = 0,100 X V |.1 )
  - et dans le second cas :
  - P/' = 0,106 X / [2 j
  - Multiplions ces deux égalités membre à membre :
  - P/ X PC = 0,100 x 0,106 x l X V p* = 0,100 x 0,106
  - P = V/0,100 X 0,106 = 0,10295 kg.
  - Divisons les égalités [1] et [2 ] membre à membre : P / 0,100 V /2 0,100 -
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- - STATIQUE
  - J 20
  - d’où
  - l
  - V
  - V
  - /o,ioo
  - 0,106 - 1,0295
  - = 0,9713
  - 95. Balance de Roberval. — Elle est employée dans les usages courants du commerce :
  - Elle se compose de deux fléaux AB et A 'B' mobiles autour des points lixes O et O' et articulés aux tiges verticales AA/ et BB' qui supportent les plateaux.
  - Fig. 84.
  - Le centre de gravité de chaque fléau est sur la verticale passant par le point d’appui, un peu en dessous de, ce point. Le corps à peser peut être placé en un point quelconque du plateau.
  - En effet, plaçons sur l’un des plateaux un corps S de poids P (fig. 84). Ce poids peut être décomposé en deux forces F et F' dont les 'directions passent par les points d’articulation A et A3 Nous pouvons transporter la force F en A et F' en A''où elles peuvent être remplacées par les composantes Oj — Ra et R/ — QV.
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- - MACHINES SIMPLES
  - 121
  - Les triangles rectangles PFHetA'Q', sont égaux, comme ayant l’hypothénuse égale et un angle aigu égal. D’où :
  - PII = A'Qj'
  - île même l’égalité des triangles rectangles FUS et F QXA donne : SH = AQX.
  - Donc :
  - SP = A'Q/ — AQx
  - c’est-à-dire :
  - p = Qi'-Qi-
  - Le poids P est ainsi transporté dans la direction AA' quelle que soit sa position sur le plateau.
  - 96. Balance romaine. — La balance romaine est un levier du premier genre à bras inégaux. Les anciens et surtout les Romains se servaient de cette balance dans les usages commerciaux.
  - Fig. 85.
  - Sur le grand bras du levier se déplace un curseur P. Supposons qu’il n’y ait pas de charge suspendue au crochet et représentons par E le point où le curseur doit se trouver pour que le levier soit horizontal, n le poids de
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- - j 22
  - STATIQUE
  - l’instrument et d la distance du point C à la direction du centre de gravité G. Le moment de la résultante par rapport au point C est nul, d’où nous avons :
  - O = ~<l — P X CE d’où itd = P x CE [1 |
  - Suspendons un poids au crochet : il faut, pour rétablir l'équilibre, reculer le curseur jusqu’en I).
  - H étant le poids et r son bras de levier, nous obtenons l'équation :
  - rul + IV = P X Cl). [2]
  - Betranchons l’égalité [1 | de l’égalité [2 ] :
  - - -d + Kr — izd = P x CD — P x CE IV = P (CD — CK) i\r = P X DE.
  - i
  - La distance DE est proportionnelle au poids du corps.
  - Pour graduer la balance romaine on procède comme suit : on suspend au crochet un poids connu, de 10 kg. par exemple •, à l’endroit où se trouve le curseur on marque un point et on divise l’espace parcouru par le curseur en dix parties égales. Chacune de ces parties indique le déplacement du curseur pour un poids d’un kilogramme.
  - 97. Bascule de Quintenz. — La bascule de Quintenz est employée dans le commerce pour peser les lourds fardeaux. Le corps à peser est placé sur un tablier AB, lequel est soutenu :
  - 1° Par la pièce AL fixée au levier inter-appui IK ;
  - 2° Par la tringle coudée KGE sur laquelle il s’appuie en F et qui se rattache jau fléau en K.
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- - MACHINES
  - SIMPLES
  - 1 23
  - Supposons qu’un fardeau de 100 kg. soit placé sur le plateau AH qui a deux points d’appui F et A.
  - Une partie du poids s’applique en A et de là directement en L ; l’autre partie de la charge appuie en F. Voyons quelle fraction de la charge se trouve appliquée en K, si les bras de levier FF et KG mesurent respectivement 15 et 75 centimètres.
  - iwimiiimimiimwwimwiimmimm/immif
  - 15 I
  - r-» - r
  - / O O
  - Or nous devons viser à ce que la charge de 100 kgv soit reportée en L ; il faut donc que les longueurs Civ et
  - 5 .
  - CL soient dans le rapport de —•
  - Le bras de levier IC étant égal à dix fois LC nous voyons qu’un poids de 10 kg. placé sur lé plateau R fera équilibre à un poids de 100 kg. placé enL et conséquemment sur le tablier AB.
  - Remarque. — Lorsque les corps à peser sont très lourds,, on dispose les leviers de manière à ce que le rapport des 1
  - poids soit .^qq , comme dans les ponts à bascule qui
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- - 124
  - STATIQUE
  - servent à peser les wagons et les voitures. A cet effet, on ajoute un levier supplémentaire dans le rapport — .
  - 98. Treuil. — Le treuil est un corps assujetti à tour-ner autour d’un axe fixe.
  - Fie. 87.
  - Il se compose ordinairement d’un cylindre terminé par deux tourillons, de même axe que le cylindre principal mais de rayon plus petit.
  - Les tourillons reposent sur des supports fixes nommés coussinets.
  - La résistance est fixée à une corde qui s’enroule sur le cylindre. La puissance agit tangentiellement à une circonférence dont le plan i est perpendiculaire à l’axe du cylindre, soit au moyen .d’une roue, souvent remplacée par une manivelle, soit au' moyen de leviers qui traversent le treuil. i
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- - MACHINES SIMPLES
  - 125-
  - 99. Equilibre du treuil. — Pour qu’un treuil soit en équilibre il faut : 1° que la puissance et la résistance tendent à faire tourner le treuil en sens contraires ;
  - 2° Que la puissance soit à la résistance comme le rayon du cylindre est au rayon de la roue.
  - Supposons que la puissance P agisse en A tangentielle-ment à une circonférence- de rayon R et que la résistance
  - Y
  - R
  - Fig. 88.
  - Q soit appliquée à l’extrémité du rayon horizontal O'B et soit OC le rayon horizontal de la roue.
  - Appliquons au point C, tangentiellement à la roue,.
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- - 126
  - v.
  - STÀTlQr K
  - deux forces de sens contraires et égales à P ; ces forces se font équilibre et ne changent donc rien au système.
  - Les forces P et 1Y étant égales, leur résultante est bissectrice de l’angle de ces forces et passe par le point O où elle est détruite par la fixité de l’axe.
  - Le treuil reste donc soumis à l’action de deux forces parallèles P' et Q. Pour qu’il y ait équilibre sous l’action de ces deux forces il faut que leur résultante rencontre l’axe. Elle sera donc appliquée en H où l’axe coupe la droite PC qui joint les points d’application des forces. Nous devons donc avoir la proportion :
  - P' PH
  - (J = ïït:
  - or les triangles PO'll et HOC sont semblables, comme équiangles, d’où :
  - PH O'P r
  - iïc = t)C = R
  - d’où :
  - P " /•
  - Q = R ‘
  - Donc, lorsque le treuil est en équilibre, la puissance et la résistance sont inversement proportionnelles aux rayons de la roue et du cylindre.
  - Application. — La manivelle d’un treuil a 0.50 m. de rayon. Calculer la puissance qu’il faut y appliquer pour maintenir un poids de 120 kg. suspendu au tambour, sachant que ce dernier mesure 0,20 m’. de rayon?
  - Nous venons d’obtenir la proportion :
  - P /
  - i
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- - MACHINES SIMPLES
  - 127
  - 120 0,50
  - 50 P = 1.20 x 20 = 2.400 2.400
  - p--m= 48 ks'
  - 100. Poulies. — La poulie est une roue en bois ou en métal dont la périphérie porte un creu appelé gorge, qui reçoit la.corde. La poulie est supportée au moyen d’un axe maintenu dans une fourche appelée chape.
  - L’axe peut être fixé à la poulie et tourner librement dans les ouvertures de la chape ou fixé à la chape et libre dans la poulie.
  - 101. Poulie fixe. — On en fait usage lorsqu’on ne veut modifier que la direction d’une force. La poulie fixe (fig. 89) est attachée à un point fixe D par un crochet faisant corps avec sa chape. La corde enroulée dans la gorge est tirée par une force P suivant la direction AP. L’autre brin supporte le poids Q à soulever.
  - L’équilibre a lieu pour l’égalité des moments autour de l’axe O, c’est-à-dire lorsque :
  - Q X B O = P x AO
  - mais nous avons BO = AO d’où :
  - P = Q
  - Remarque. — Nous devons tenir compte de la résistance due aux frottements et à la raideur de la corde ; pratiquement nous pouvons compter sur un rendement de 85 %.
  - Nous voyons donc que cet instrument n’est pas
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- - 128
  - STATIQUE
  - employé pour augmenter la puissance, mais uniquement pour faciliter certains travaux. Exemple : tirer de l’eau d'un puits, monter des sacs dans un grenier, etc.
  - 102. Poulie mobile. -— La poulie mobile (fig. 90) se différencie de la précédente en ce que la charge Q est suspendue au crochet de la chape. La poulie repose sur la corde dont l’un des bouts est fixé au crochet D.
  - La force P agit sur l’autre brin de la corde suivant BP.
  - Considérons les deux brins AF et BP dans la position parallèle ; nous pouvons les considérer comme étant les deux composantes de la résultante Q appliquée au-point O centre de la poulie. Nous avons donc la proportion :
  - F _ OB P = ÔÂ’
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- - MACHINES SIMPLES
  - 129
  - mais : d’où :
  - OB = OA, Q
  - F = P =
  - Donc, pour soulever un poids de 80 kg. à l’aide d’une poulie mobile il faudra déployer un effort de 80
  - — = 40 kg.
  - Fig. 90.
  - Pour amener la charge à 3 m. de hauteur il faudra tirer 6 m. de corde.
  - 9
  - M Wilmotte. — Cours de mécanique (2e édit.).
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- - STATIQUE
  - 130
  - Nous voyons que le crochet C supporte toute la charge et le crochet D la moitié de celle-ci.
  - Dans la pratique on augmente l’effort de 20 à 30 % par suite des résistances secondaires ou bien on compte sur un rendement de 70 à 80 %.
  - Supposons maintenant que les deux cordons ne soient pas parallèles (fîg. 91).
  - Lorsque la poulie fonctionne, les deux brins AB et BG sont également tendus, d’où nous avons :
  - Tension (T) de BG = force P.
  - Transportons ces deux forces en leur point de concours I ; elles ont pour résultante IR qui fait équilibre à la charge Q.
  - Nous voyons que cette résultante est perpendiculaire sur la corde AB.
  - Les deux triangles LRI et AOB sont semblables comme ayant leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun. D’où :
  - LI AO RÏ = ÂB’
  - ce que nous pouvons écrire comme suit :
  - P rayon de la poulie
  - Q corde de l’arc enveloppé
  - Il faut donc, pour qu’il y ait équilibre, que la puissance soit à la charge comme le rayon de la poulie est à la corde de l’arc enveloppé.
  - Pour faire monter la charge d’une longueur m, l’ouvrier doit tirer une longueur de corde égale à :
  - corde
  - m X -------•
  - rayon
  - Lorsque les deux brins sont parallèles, la corde de l’arc
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- - MACHINES SIMPLES
  - 131
  - enveloppé n’est autre que le diamètre de la poulie, la formule devient dans ce cas :
  - P AO 1 Q = 2ÂÔ = 2 '
  - Ce dernier raisonnement nous permet de conclure que dans le cas où les deux brins de la poulie mobile sont parallèles :
  - 1° La puissance est égale à la moitié de la charge;
  - 2° Pour faire monter un fardeau à m mètres de hauteur il faut tirer 2 m mètres de corde.
  - 103. Combinaison de poulies mobiles. -— Soit un système de trois poulies agissant simultanément les unes sur les autres. Les brins étant parallèles, chaque poulie divise en deux parties égales la charge de la poulie qui précède.
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- - 132
  - STATIQUE
  - Supposons qu’une charge de 100 'kilogrammes soit suspendue au crochet de la première poulie P. La tension supportée par chaque brin de cette poulie est égale à 100
  - ---== 50 kg. : cette, tension de 50 kg. se transmet au
  - Jà
  - crochet fixe A et au crochet de la deuxième poulie P7.
  - Chacun des cordons de cette poulie soutient également
  - 50 . . 100
  - un poids de — = 25 kg., c’est-à-dire -— •
  - Jà
  - Nous aurons donc en B et en P77 une tension de 25 kg. La moitié de la charge de cette dernière poulie, soit 25 1
  - — — 12 kg. - est supportée par chacun des brins de
  - Ji £
  - celle-ci.
  - Nous voyons donc que l’effort supporté par le crochet C de la dernière poulie nous est donné par la formule 100
  - —— c’est-à-dire la valeur de la charge à soulever divisée 23
  - par 2 affecté d’un exposant égal au nombre de poulies mobiles que renferme le système.
  - Afin de faciliter l’emploi des poulies mobiles combinées, le brin de la corde sur lequel s’applique la puissance est généralement enroulé dans la gorge d’une poulie fixe.
  - Dans l’exemple qui nous occupe, le crochet D de cette poulie fixe supporte une charge de 25 kg.
  - Par suite des résistances,-nous devons calculer sur un rendement de 70 %, c’est-à-dire que nous devons augmenter l’effort de 30 %.
  - Nous voyons également que pour élever la charge à m mètres, nous devons tirer une longueur de corde égale à 2n m mètres (n représentant le nombre de poulies).
  - Applications 1. — Calculer le poids que l’on peut, soulever au moyen de trois poulies mobiles en exerçant
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- - MACHINES SIMPLES
  - 133
  - Fig. 92.
- p.133 - vue 151/418
- - 134
  - STATIQUE
  - un effort de 25 kg. ? A quelle hauteur pourra-t-on amener la charge en tirant 6 m. de corde?
  - Nous savons que par suite des résistances passives, le rendement est égal à 70 % ; donc, en réalité, nous déployons un effort de :
  - 25 x 70 100
  - 17,50 kg.
  - Or, nous avons vu que la puissance = — (n repré-
  - sentant le nombre de poulies). D’où :
  - Q = P X 2n = 17,50 x 23 = 140 kg.
  - Si nous tirons 6 m. de corde, nous élèverons la charge
  - à — = 0,75 m.
  - 2. — Calculer l’effort à exercer pour soulever un poids de 320 kg. au moyen de trois poulies mobiles? Quelle longueur de corde doit-on tirer pour élever le fardeau à 1,50 m. de hauteur?
  - Nous avons la formule :
  - P
  - Q
  - 2n
  - 320
  - — = 40 kg.
  - Mais nous savons que le rendement est de 70 l’effort à exercer est en réalité de :
  - 40 X 100 7Ô
  - = 57,142 kg.
  - d’où
  - Pour élever le poids à 1,50 m. de hauteur nous devons tirer : 23 x 1,5 = 12 m. de corde.
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- - MACHINES SIMPLES
  - 135
  - 104. Moufle-palan. — La moufle est un assemblage de plusieurs poulies montées sur une même chape, souvent
  - Fig. 93.
  - Le palan est composé de deux moufles réunies par une corde qui, partant du crochet C de la moufle supérieure A, passe dans la gorge de la première poulie de la moufle
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- - 136
  - STATIQUE
  - inférieure B pour remonter à la première poulie de la moufle supérieure A.
  - La corde embrasse ensuite la deuxième poulie du bas puis la correspondante du haut et ainsi de suite.
  - La puissance P s’applique sur le brin libre de la dernière poulie supérieure ; la charge Q est suspendue au crochet D de la moufle inférieure.
  - Les cordons des poulies étant sensiblement parallèles, la charge se répartit uniformément sur les 6 cordons. D’où nous pouvons dire que la puissance est égale à la charge divisée par le nombre de poulies du palan.
  - Pratiquement, nous tiendrons compte des résistances passives et nous calculerons sur un rendement de 70 %.
  - Pour trouver la longueur de la corde à tirer, iPsuffit de multiplier le nombre de poulies du palan par l’espace que doit parcourir la charge.
  - Applications 1. — On veut utiliser un palan à 6 pou-.lies pour élever une barre' d’acier pesant 180 kg. Quel effort devra-t-on déployer? Quelle longueur de corde devra-t-on tirer pour l’élever à 3,50 m. de hauteur?
  - Nous avons vu que chaque cordon supporte le sixième de la charge, c’est-à-dire :
  - 180 : G = 30 kg.
  - Or le rendement est de 70 %, d’où l’effort à déployer 30 X 100
  - sera égal à
  - 70
  - = 42,857 kg.
  - Pour élever la charge à 3,50 m. nous devrons tirer : 3,5 x 6 = 21 m. de corde.
  - 2. — Quelle charge deux ouvriers capables d’une force constante l’un de 22 kg.; l’autre de 28 kg. pourront-ils élever au moyen d’un palan à 6 poulies? Quel temps
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- - MACHINES SIMPLES
  - 137
  - mettront-ils pour amener la charge à 2,80 m. sachant qu’ils tirent la corde avec une vitesse de 21 cm. par seconde?
  - Les deux forces s’ajoutant, l’effort continu sera de :
  - 22 + 28 - 50 kg.
  - Puisque le rendement est de 70 %, l’effort réel sera de :
  - 50 x 70 100
  - = 35 kg..
  - Q
  - De la formule P = — (n = nombre de poulies), nous
  - pouvons tirer :
  - Q = P X //, d’où, Q = 35 x 6 = 210 kg.
  - Si les ouvriers tirent 21 cm. de corde par seconde, nous concluons que pendant l’unité de temps la charge
  - 21
  - sera soulevée de — = 3,5 cm.
  - o
  - Pour élever la charge à 2,80 m. de hauteur il faudra donc :
  - 2,8 : 0,035 = 80 secondes = 1 minute 20".
  - 105. Palan différentiel. — Le palan différentiel se compose de deux poulies et d’une chaîne sans fin. La poulie supérieure A est fixe et porte deux gorges inégales dont les rayons valent, par exemple, 10 et 9 cm. ; la poulie inférieure est mobile et supporte' la charge à soulever.
  - Cette charge se répartit uniformément sur les brins 1 et 2. Nous allons déterminer avec quelle force on tire sur le brin 3.
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- - STATIQUE
  - 108
  - Nous savons qu’il y a équilibre lorsque les moments îles forces qui agissent sur la poulie A s’équilibrent.
  - D’un côté de l’axe nous-'avons les forces 1 et 8 ; la somme des moments de ces forces doit équilibrer le moment de la force agissant sur le brin 2.
  - Fig. 94.
  - Appliquons une charge de 200 kg. au crochet de la poulie B et voyons quelle force nous aurons à déployer en P pour soulever ce poids. '
  - Cette charge se répartit uniformément sur les brins i et.2, chacun de ceux-ci supporte donc :
  - 100 kg.
- p.138 - vue 156/418
- - MACHINES SIMPLES
  - .139
  - L’égalité (les moments nous donne :
  - • 200 200
  - P X 10 + — X 9 = — x 10
  - * -—J
  - ce que nous pouvons écrire :
  - 200 200
  - 1> X 10 = — X 10----------— X 9
  - 2i li
  - ou bien :
  - 200
  - p x 10 = — (10 — 9)
  - 10 P = 100 kg.
  - P = 10 kg.
  - Nous pouvons compter pratiquement sur un rendement de 70 %.
  - Pour élever la charge à i m. de hauteur nous devons développer un travail égal à 200 X 1. = 200 kgm. ;
  - 200
  - c’est-à-dire que nous devons tirer -7— = 20 m. de corde.
  - Si nous représentons le grand rayon de la poulie fixe par R et par r celui de la petite poulie fixe ; par Q la charge suspendue au crochet de la poulie mobile, la valeur de P se déduira de la formule :
  - P x R =^(R —/).
  - «
  - Application. — Calculer la charge que l’on peut soulever avec un palan différentiel dont les diamètres des deux poulies mesurent respectivement 26 et 28 cm. sachant que l’effort exercé est de 30 kg.
  - Combien de temps faudra-t-il pour amener le .fardeau à 80 cm. de hauteur, l’ouvrier tirant 24 cm. de corde par seconde.
- p.139 - vue 157/418
- - 140
  - STATIQUE
  - La charge que nous devons déterminer se décompose en deux forces égales s’exerçant sur les brins 1 et 2.
  - Une force de 30 kg. agit sur le brin 3,
  - Nous avons donc l’égalité suivante :
  - Q Q
  - X 13 + 30 X 14 = ^ X 14
  - Àk h
  - Q Q
  - .30 x 14 = x 14 —^ x 13.
  - J* JL
  - Ce qui peut s’écrire :
  - Q
  - 30 X 14 = ^ (14 — 13)
  - jLà
  - Q = 840 kg.
  - Mais le rendement n’est que de 70 % d’où on ne peut soulever que :
  - 840 x 70
  - = 588 kg-
  - Puisqu’il faut amener la charge à 80 cm. de hauteur, il faudra développer -
  - 840 x 0,80 = 672 kgm.
  - et puisque l’effort est de 30 kg. il faudra tirer :
  - 672
  - 22,40 m. de corde.
  - Or nous savons que l’ouvrier préposé à ce travail tire 24 cm. de corde par seconde ; pour tirer 22,40 m. il restera : ;
  - 22,40
  - ~QJÂ
  - i93" = l'33". •
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- - MACHINES SIMPLES
  - 141
  - 106. Cabestan. — Le cabestan est un treuil vertical employé principalement dans la marine pour les manœuvres.
  - A la tête du cabestan sont fixées des barres sur les-: quelles agissent les ouvriers pour rouler le câble.
  - Fig. 95.
  - Conditions d’équilibre. — Soit r le rayon du cylindre sur lequel s’enroule le câble, l la longueur des barres, p la puissance exercée sur chacun des leviers, n le nombre de leviers dont on se sert.
  - L’équation d’équilibre est :
  - npl = Qr
  - d’où nous tirons :
  - npl
  - 107. Treuil à engrenages. — On se sert de ce genre de treuil lorsqu’on veut obtenir une grande puissance sans avoir à donner à la roue motrice de trop grandes dimensions.
  - La puissance agit sur les deux manivelles, et par l’in-
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- - 142
  - STATIQUE
  - termédiaire d’une petite roue dentée appelée pignon, elle fait tourner une roue dentée de plus grand diamètre, fixée au cylindre du treuil.
  - Le cric est une machine servant à déplacer, d’une petite quantité, des fardeaux très lourds. Le cric ordinaire se compose d’une crémaillère C qui engrène avec un pignon et d’une manivelle M fixée sur l’axe du pignon.
  - L’extrémité inférieure de la crémaillère forme un butoir à pattes que l’on engage sous le corps à soulever ; parfois aussi, on bute les cornes de la tête contre le fardeau à déplacer.
  - Le mécanisme est renfermé dans une caisse métallique très solide et munie d’anneaux.
  - Conditions d’équilibre. — Représentons par /.la longueur de la manivelle et par r le rayon du pignon.
  - La résistance Q agit dans la direction de la crémaillère et peut être transportée en O sur les dents en contact avec le pignon.
  - L’équation d’équilibre est :
  - P / — Qr = 0 ;
  - d’où :
  - P = Qf
  - 109. Cric composé. — Il se différencie du cric ordinaire en ce qu’il possède une roue d’engrenage en plus, afin d’augmenter la puissance.
  - 108. Cric. —
  - Fig. 96.
- p.142 - vue 160/418
- - MACHINES SIMPLES
  - 143
  - 110. Treuil différentiel. —- Il se compose de deux cylindres de rayons différents, fixés sur un même axe,, sur lesquels s’enroulent, en sens contraires, les deux por-* lions d'une corde fixée à ses extrémités.
  - Les deux brins parallèles de cette corde soutiennent une poulie mobile à laquelle on suspend le fardeau.
  - La puissance s’exerce au moyen d’une ou de deux manivelles.
  - Soit R le rayon du grand cylindre, r celui du petit cylindre et R' le bras de levier de la manivelle.
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- - 144
  - STATIQUE
  - L’équation d’équilibre donne :
  - PR' +
  - d’où
  - (R-;-)
  - Application. — Les rayons des deux parties du rouleau d’un treuil différentiel mesurent 14 et 13 cm. La manivelle a 48' cm. Calculer la charge que l’on peut soulever à l’aide de ce treuil en exerçant un effort de 18 kg. à l’extrémité de la manivelle, le rendement étant de 0,70?
  - < -A
  - De la formule P
  - Q
  - R — r 2 R'
  - nous pouvons tirer :
  - 2 R'P 2 X 48 x 18 R — r = 14 — 13
  - 1.728 kg.
  - Le rendement étant de 0,70 nous élèverons en réalité :
  - 1.728 X 70
  - 10()---= 1.209,60 kg.
  - 111. Grues. — Les grues sont composées de treuils simples ou composés et de poulies mobiles, moufles ou palans.
  - Ces machines affectent des dispositions diverses ; elles sont très employées pour le maniement des lourds fardeaux. 1
  - Les grues ont pour principe l’obtention d’effets considérables au moyen de faibles efforts.
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- - MACHINES SIMPLES
  - 145
  - 112. Chèvre. — La chèvre, employée pour élever les matériaux, est une combinaison du treuil et de la poulie.
  - La chèvre est maintenue légèrement inclinée au moyen de cordes, nommées haubans. A la partie supérieure ou tête de la chèvre est installée une poulie de renvoi pour la corde de manœuvre qui s’enroule sur un treuil T.
  - Fig. 98.
  - Le fardeau est parfois suspendu à une poulie mobile afin de doubler l’effet de la puissance.
  - Si nous représentons par Q le poids à soulever, par r le rayon du cylindre et par R la longueur du levier, l’équation d’équilibre sera : *
  - Q
  - y X /' = P X R.
  - 113. III. Plan incliné. — On appelle plan incliné un plan qui fait un certain angle avec l’horizon.
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2e édit.)* 10
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- - 146
  - STATIQUE
  - D’un point P pris dans le plan incliné abaissons PP' perpendiculaire sur le plan horizontal H et PP/, perpendiculaire sur AB intersection des deux plans.
  - Nous obtenons le triangle PP'P/ dans lequel la ligne PP/ est appelée longueur du plan incliné; PP' en est la hauteur, et P'P/ la base.
  - Conditions générales d’équilibre. — Pour qu'un corps soit en. équilibre sur un plan incliné il faut et il suffit que toutes les forces appliquées à ce corps aient une résultante unique, normale au plan, qui appuie le corps sur ce plan, et dont la direction passe à Vintérieur du polygone d'appui.
  - 1° La puissance est parallèle au plan incliné. — Dans ce cas :
  - a) La puissance et le poids du corps sont proportionnels, à la hauteur et à la longueur du plan incliné;
  - b) La pression sur le plan et le poids du corps sont proportionnels à la base et à la longueur du plan incliné.
  - a) Soient AB la hauteur du plan incliné, AC sa hase et BG une de ses lignes cle plus grande pente.
  - Désignons par P la force parallèle à BC qui équilibre
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- - MACHINES SIMPLES
  - 147
  - le corps. Nous la supposerons appliquée au centre de gravité G.
  - Le poids Q se décompose en deux forces, Tune GM parallèle au plan doit être égale et directement opposée à P ; l’autre G N normale au plan est détruite par la résistance de ce plan.
  - Les triangles MGQ et ABC sont semblables, d’où la proportion :
  - GM AB G Q = BC ’
  - d’où :
  - P _ h
  - Q = r
  - b) Si nous désignons par N la pression sur le plan, nous aurons :
  - G N _ AG GQ = BC ’
  - N b
  - q = r
  - ou :
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- - 148
  - STATIQUE
  - 2° La puissance est horizontale. — Lorsque la puissance est horizontale :
  - V.
  - a) La puissance et le poids du corps sont dans le rapport de la hauteur à la base du plan incliné;
  - Fig. 101.
  - b) La pression sur le plan et le poids du corps sont dans le rapport de la longueur à la base clu plan incliné.
  - a) Les triangles rectangles semblables GMQ et ABC donnent :
  - GM _ AB GQ ” ÂC’
  - d’où :
  - P _ h Q~b'
  - b) Les triangles semblables GNQ et ABC donnent la proportion :
  - GN __ BC GQ “ ÂC
  - ou :
  - N _ l
  - Application. — Un corps pesant 600 kg. est placé sur un plan incliné de 3 m.i de hauteur et de 100 m. de Ion-
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- - MACHINES SIMPLES
  - 149
  - gueur. Quel effort faut-il déployer pour le maintenir en équilibre? (On fait abstraction du frottement.)
  - L’effort s’exerce parallèlement à la longueur du plan incliné ; nous devons appliquer la formule :
  - P _ h
  - ï
  - P __ 3
  - 600 ~ ÏÔÔ' . •
  - d’où
  - 1.800
  - “ÏÔÔ"
  - 18 kg.
  - 114. Coin. — Le coin est un double plan incliné servant à fendre des corps durs, à empêcher une fente incom-
  - Fig. 102.
  - plète de se refermer, à caler des pièces ou à soulever des fardeaux à de faibles hauteurs. Ordinairement le coin est un prisme triangulaire isocèlè, parfois aussi un .prisme triangulaire rectangle.
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- - 150
  - STATIQUE
  - Conditions d’équilibre. — Dans le coin isocèle, la puissance perpendiculaire à la tête et Vune des résistances perpendiculaires aux côtés sont dans le rapport de la longueur de la tête à la longueur du côté.
  - Supposons que les pressions Q normales aux faces du coin soient appliquées à leur point de concours D.
  - Ces deux forces ont une résultante DP' qui doit être perpendiculaire à la tête du coin, afin d’être directement opposée à la puissance P qu’elle doit équilibrer.
  - Les triangles P'DQ et ABC sont semblables comme ayant leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun d’où la proportion :
  - DP' _ AB DQ~ÂC P AB
  - 115. Vis. — Lavis est une machine simple assujettie à un mouvement hélicoïdal autour d’un axe. Ce mouve-
  - ment est assuré par le déplacement de la vis dans son écrou, qui est le moule en creux de la vis elle-même. Développons la surface de la vis sur la hauteur AB
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- - f
  - MACHINES SIMPLES
  - 151
  - d’une spire : nous obtenons le rectangle ABCD ; la spire devient la diagonale AC de ce rectangle.
  - Nous obtenons ainsi un triangle rectangle AGI) qui constitue un plan incliné ayant pour longueur AC, pour hauteur Cl) et pour base AD ou la circonférence de la vis.
  - Nous en concluons que l’équation d’équilibre de la vis sera la même que celle du plan incliné, la puissance étant appliquée parallèlement à la base.
  - Soit O la résistance appliquée en un point O et P la puissance.
  - La condition d’équilibre nous est donnée par l’équation :
  - P _ CD Q ~~ ÂD*
  - Or CD est le pas de la vis et AD la circonférence.
  - Si nous désignons par r le rayon, AD = 2 nr et l’égalité devient :
  - d’où
  - P pas Q=.2w’
  - P = 0 x
  - pas 2w-
  - c’est-à-dire que l’effort est à la résistance comme le pas de la vis est à la circonférence du cylindre.
  - Cette valeur de' P s’applique lorsqu’on agit tangen-tiellement, c’est-à-diré directement sur la vis, mais dans la pratique la vis est terminée par une tête munie d’un levier sur lequel on applique la puissance.
  - Désignant par R la longueur du bras de ce levier, nous pouvons remplacer le moment P/- par P'R (P' étant l’effort exercé à l'extrémité du bras).
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- - 152
  - STATIQU E
  - De l’égalité P/1 = P'R nous tirons
  - R
  - P = P' -r
  - niais nous avons trouvé que :
  - pas
  - P = Q X ,
  - 9-
  - en égalant ces deux valeurs de P nous obtenons •
  - R\ pas
  - P'
  - d’où :
  - -'«(S)'
  - Cette formule est indépendante du rayon de la vis et de la forme du filet ; elle est donc applicable à toutes les vis et nous pouyons dire que : L’effort est à la résistance comme le pas de la vis est à la circonférence que la puissance tend à décrire.
  - Applications 1. — Un ouvrier développe un effort de 25 kg. au bout d’une clef de 35 cm. de longueur.
  - Calculer : 1° La pression qu’il pourra exercer sur un écrou dont le pas est de 2 cm ; 2° le travail résistant et le travail moteur par tour?
  - 1° La circonférence mesure :
  - 2 7T X 35 = 219,80 cm.
  - Or le pas est de 2 cm., donc la circonférence contient : !
  - 219,80 , .
  - ^ = 109,90 fois le pas.
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- - MACHINES SIMPLES
  - J 53
  - La pression totale est donc égale à :
  - 109,90 X 25 = 2.747,50 kg.
  - Pour 1 tour la charge aura monté de 2 cm.
  - 2° Le travail de la résistance est donc égal à :
  - 2.747,50 X 0,02 = 54,95 kgm.
  - Le chemin parcouru par la puissance pour 1 tour est de :
  - 2 7i X 0,35 = 2,198 m.
  - Le travail développé pour la puissance est donc : 2,198 X 25 = 54,95 kgm.
  - 2. — Une vis a un pas de 2 mm. Calculer de combien on devra la faire tourner pour déplacer sa tête de 0,05 mm.?
  - Pour la déplacer de 2 mm. il faut la faire tourner de 360° ;
  - Pour la déplacer de 1. mm. il faut la faire tourner de 360 .
  - 1T ’
  - Pour la déplacer de 0,05 mm., il faut la faire tourner de :
  - 360 x 0,05
  - ’ _ dn
  - 116. Vérin. — Le vérin est un appareil employé pour soulever des corps très lourds, par exemple les locomotives, les wagons, etc.
  - Il consiste en une vis à large tête, munie d’un long levier ; cette vis est mobile dans un écrou fixe, monté sur un pied en fonte.
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- - 154
  - STATIQl1 E
  - Si nous désignons par p le pas de la vis, par 1 la longueur du levier et par Q le poids à soulever, l’équation d’équilibre sera :
  - P = Q X
  - P
  - Tzl
  - 117. Vis différentielle de Prony. — La vis différentielle de Prony se compose d’un noyau portant deux vis ;
  - l’une ab pénétrant dans un écrou fixe E et l’autre CI) pénétrant dans un écrou mobile E' assujetti à se déplacer parallèlement à l’axe diunoyau.
  - Quand le noyau fait un tour, la vis pénètre dans l’écrou
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- - MACHINES SIMPLES
  - 155
  - E cl’une quantité p ; pendant le même temps, l’écrou E' se déplace, parallèlement à l’axe du noyau, d’une longueur p'.
  - Si le pas de la vis ab est supérieur à celui de la vis ai, l’écrou l-y s’éloigne de E d’une distance égale k p — p1 ; si au contraire p est plus petit que p’ l’écrou E' se rapproche de E d’une longueur égale k p' — p.
  - La différence des deux pas peut être aussi petite qu’on veut. On peut donc obtenir, au moyen de cet appareil, des déplacements très faibles de l’écrou.
  - 118. Vis sans fin. — La vis sans fin est une vis mobile autour de son axe. Le filet s’engage entre les dents
  - Fig. 106.
  - d’une roue. Une révolution de la vis fait avancer la roue d'une dent. Il existe des vis à double ou triple filet : la vis avance alors de deux ou trois dents.
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- - 156
  - STATIQUE
  - Représentons par F l’effort qui s’exerce au contact de la vis et des dents de la roue. L’équation d’équilibre de la vis nous donne la relation :
  - P - F
  - P
  - 2 tcR
  - \ 4
  - [IJ
  - La force agit au bout d’un rayon R' de la roue ; si Q est la résistance sur le cylindre de rayon r nous aurons l’équation :
  - F X R'.
  - d’où
  - F
  - Remplaçant dans l’équation [1 ] F par sa valeur trouvée dans l’équation [2 ] nous aurons :
  - p = I-x d* = Q fe)x dhr
  - 119. -Vis à pas contraires. — Lorsqu’une vis présente deux filetages, l’un à droite, l’autre à gauche, une
  - révolution détermine, selon le sens de rotation, un éloignement ou un rapprochement des deux écrous égal â la somme des pas des deux filets. Cette propriété est utilisée dans les tendeurs, dans les freins et dans les embrayages à friction. |
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- - DEUXIÈME PARTIE
  - CINÉMATIQUE
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- - CHAPITRE X
  - DU MOUVEMENT
  - 120. Espèces de mouvements. — Nous considérons le mouvement :
  - 1° D’après la nature de la trajectoire : il sera rectiligne, curviligne ou circulaire;
  - 2° D’après le sens : il sera continu ou alternatif ;
  - 3° D’après la variation de la vitesse : il sera varié, uniforme, uniformément accéléré ou uniformément retardé.
  - 121. Mouvement d’après la trajectoire. — a) Le
  - mouvement est dit rectiligne lorsque la trajectoire est une ligne droite ;
  - b) Il est dit curviligne quand la trajectoire est une ligne courbe ;
  - c) Si la trajectoire est une circonférence le mouvement est dit de rotation ou circulaire.
  - On dit dans le mouvement de rotation que le mobile a fait un tour ou une révolution lorsqu’il est revenu à son point de départ ; les engrenages, les poulies, les volants des machines sont animés d’un mouvement de rotation.
  - Remarques 1. — Dans le mouvement rectiligne la direction est toujours la même : elle se confond avec la trajectoire.
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- - 160
  - CINEMATIQUE
  - 2. —- Dans le mouvement curviligne, la direction change à chaque instant.
  - 122. Mouvement d’après le sens. — a) Le mouvement est dit continu lorsqu’il se produit toujours dans le même sens. Exemple : l’eau du fleuve qui se dirige constamment vers la mer ;
  - b) Un corps est animé d’un mouvement alternatif, lorsque, après avoir parcouru une certaine distance, il revient à son point de départ en parcourant le même trajet en sens inverse. Exemple : le balancier d’une horloge, le.
  - • piston de la machine à vapeur.
  - 123. Mouvement d’après la variation de vitesse. a) Mouvement varié. — Le mouvement est carié lorsque le mobile ne parcourt pas des espaces égaux en des temps égaux.
  - Dans ce cas, pour être fixé sur l’allure du mobile, on calcule la vitesse moyenne qui s’obtient en divisant l’espace parcouru par le temps employé à le parcourir.
  - Application. — Un voyageur met 1 h. 1 /4pour faire le trajet d’une ville à une autre. Sachant que ces deux villes sont distantes de 6 km. 3 /4, calculer sa vitesse moyenne.
  - Dans 1 h. 1 /4 il y a 4.500 secondes.
  - La vitesse moyenne sera donc :
  - 6.750
  - I5ÔÔ = ^ “
  - b) Mouvement uniforme. — Le mouvement est dit uniforme lorsque le corps { parcourt des espaces égaux en des temps égaux.
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- - DU MOUVEMENT
  - 161
  - En tout temps l’espace parcouru est donc égal à la vitesse multipliée par le temps. Par exemple si un train parcourt 20 m. par seconde, en 15 secondes, il aura parcouru 20 X 15 = 300 m.
  - Représentons par e l’espace parcouru, par V la vitesse et par t le temps nous aurons les formules :
  - e = Vt [1] V = ~t m l=eÿ [3]
  - qui se traduisent comme suit en langage courant :
  - 1° L’espace parcouru est égal au produit de la vitesse par le temps;
  - 2° La vitesse est égale au quotient de l'espace par le temps;
  - 3° Le temps est égal au quotient de Vespace par la vitesse.
  - Applications 1. — Calculer l’espace parcouru au bout de 1 h. 3 /4 par un train allant à une vitesse de 18 m.
  - 1 li. 3 /4 = 6.300 secondes e = V x t = 18 X 6.300 = 113,400 km.
  - 2. — Un train a parcouru un espace de 144 km. en deux heures ; quelle était sa vitesse.
  - V = -t-
  - 144.000
  - 7.200
  - 20 m.
  - 3. — Une voiture automobile parcourt une distance de 9,360 km. en douze minutes. Calculer sa vitesse.
  - 12 minutes = 720 secondes
  - e
  - V = -
  - t
  - 9.360
  - ~72Ô
  - 13 m.
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2* édit.).
  - 11
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- - 162
  - CINÉMATIQUE
  - 4. — Une voiture, traînée par un cheval, est animée d’un mouvement uniforme. Calculer la durée de la course sachant qu’elle a parcouru 13,500 km. avec une vitesse de 2,50 m. ?
  - e 13.500
  - / = ÿ = ^ p. = 5.400 secondes = 1 h. 1 2.
  - 124. Représentation graphique du mouvement un'-forme. — On trace deux axes perpendiculaires AB et AC, l’axe AB est appelé axe des espaces et l’axe AC axe des temps.
  - Fig. 108.
  - Sur l’axe horizontal on porte des longueurs égales représentatives de la seconde ; ces longueurs sont menées au moyen d’une échelle conventionnelle, par exemple 0,01 m. par seconde. Sur l’axe vertical on porte, à l’échelle de 0,01 par mètre, par exemple, les espaces parcourus.
  - Si par les points de division de la droite AC on mène des parallèles à l’axe AB et si par les points de division de l’axe AB on mène des parallèles à l’axe AC les points d’intersection LM NO seront en ligne droite ; en effet, dans le mouvement uniforme les espaces parcourus sont
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- - OU MOUVEMENT
  - 103
  - proportionnels aux temps employés à les parcourir ; on peut donc écrire :
  - AI) DL
  - ÂÊ = e.yi
  - de plus, les angles D et E sont droits, donc les triangles ADL et AEM sont semblables ; il en résulte que l’angle UAL est égal à l’angle EAM donc AM est une droite.
  - Remarque. — Pour trouver à un moment donné l’espace parcouru, après 3" 1/ 2 par exemple, on porte sur l’axe des temps une longueur proportionnelle à 8" 1 /2 soit la longueur AP (fig. 108).
  - Du point P on élève la perpendiculaire PP'. La longueur AP' sera celle de l’espace parcouru.
  - 125. Diagramme de l’espace parcouru d’un mouvement uniforme. — Reprenons la formule de l’espace parcouru e = V/.
  - C
  - D B
  - Fig. 109.
  - Nous pouvons représenter graphiquement par un rectangle ce produit de deux facteurs. En effet, menons deux axes perpendiculaires AB, AC et sur l’un d’eux AB portons une longueur représentative du temps ; prenons sur l’axe AC une longueur représentant la valeur de la vitesse.
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- - 164
  - CINÉMATIQUE
  - \
  - En élevant aux points de division des perpendiculaires EF et DF nous obtenons un rectangle dont la surface représente l’espace parcouru.
  - 126. Mouvement uniformément accéléré. — Détermination de la vitesse.
  - Soit Y la vitesse après le temps t ; a l’accélération c’est-à-dire l’accroissement de vitesse après chaque seconde.
  - Si le corps part du repos sa vitesse après la première seconde sera a.
  - Mais d’après le principe de l’inertie, la vitesse acquise après la première seconde se conserve intégralement . Nous en concluons qu’après la deuxième seconde la vitesse sera :
  - a + a — 2 a
  - après la troisième seconde :
  - 2 a -(- a — o a
  - \
  - après la quatrième seconde :
  - • > a -f- a == 4 a
  - après t secondes :
  - al.
  - Donc, dans le mouvement uniformément accéléré la vitesse acquise au bout d’un temps donné est égale au produit de Vaccélération par le temps.
  - Applications 1. — Calculer la vitesse acquise par un mobile, partant du repos, après vingt minutes, sachant que l’accélération est de 2,75 m.
  - • ! V = al i
  - 20' = Î20 x 60 = 1.200"
  - V = 2,75 x 1.200' = 3.300 m.
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- - DU MOUVEMENT
  - 165
  - 2. — Calculer l’accélération à laquelle un corps est soumis sachant qu’il possède une vitesse de 325 m. au bout, de neuf secondes.
  - V 325
  - a = - — — = 36,11 m.
  - 127. Relation entre la vitesse et le temps dans le mouvement uniformément accéléré. — Nous avons obtenu la formule V = at d’où nous avons tiré :
  - V
  - a = r t1-'
  - Supposons que le temps varie, l’accélération restant la même, la vitesse variera nécessairement et nous aurons :
  - V'
  - V' = at' d’où a = —. [2]
  - Comparant les égalités [1] et [2] nous aurons :
  - V _ V' t ~~ T
  - et en changeant les moyens :
  - V _ t V' ~ t'
  - ce qui prouve que dans le mouvement uniformément accéléré les vitesses sont directement proportionnelles aux temps.
  - 128. Vitesse moyenne du mouvement uniformément accéléré. — La vitesse moyenne du mouvement uniformément accéléré est celle du mouvement uniforme qui ferait parcourir le même trajet pendant le même temps.
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- - 166
  - CINÉMATIQUE
  - Du fait que l’accroissement de vitesse est constant on peut conclure que la vitesse moyenne, dans un intervalle de temps considéré est celle que posséderait le mobile au milieu de cet intervalle.
  - Supposons un mobile partant du repos ; sa vitesse augmente avéc une accélération de 3 m.
  - Pendant les quatre secondes de sa course il passera successivement par les vitesses de 3 m., 6 m’:, 9 m., 12 m., d’un mouvement uniformément accéléré ; il aura ainsi parcouru un certain chemin. Ce même chemin aurait pu être parcouru pendant le même temps d’un mouvement uniforme, c’est-à-dire avec la vitesse que possède le mobile au milieu de l’intervalle de temps considéré.
  - Dans l’exemple donné la vitesse moyenne est de = 6 m.
  - 12
  - Nous pouvons donc dire que la vitesse moyenne est égale à la moitié de la vitesse que le mobile possède a la fin du mouvement. Cette vitesse est invariable et engendre un mouvement uniforme.
  - Représentons par Vx la vitesse moyenne et par V la vitesse du mouvement uniformément accéléré.
  - V
  - Nous venons de voir que Vx = — •
  - Or, V = ai
  - d’où : at
  - V* = 2-
  - 129. Vitesse initiale. — Dans les démonstrations précédentes nous avons supposé que le mobile part de l’état de repos ; il peut se faire que le mobile possède déjà une
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- - DU MOUVEMENT
  - 167
  - vitesse initiale quand on lui imprime un mouvement uniformément accéléré.
  - Représentons cette vitesse initiale par V0.
  - Nous savons d’après le principe de l’inertie que cette vitesse se conserve ; la vitesse finale sera donc :
  - V = V„ + al.
  - 130. Vitesse moyenne d’un mobile possédant une vitesse initiale. — Cette valeur s’obtient en prenant la moitié des vitesses extrêmes.
  - La vitesse initiale étant V0, la vitesse à la fin de la course sera V„ + al d’où :
  - Vo 4" Vo d- al at
  - y = —U-------= vn 4- - •
  - 1 2 0 ^ 2
  - Application. — La vitesse initiale d’un mobile étant de 8 m., calculer sa vitesse au bout de trois quarts d’heure sachant que l’accélération est de 0,20 m.
  - La vitesse à la fin de la course = V0 + al = 8 + (0,20 x 45 x 60)
  - = 8 + 540 = 548 m.
  - at
  - La vitesse moyenne de ce mobile Vx = V0 + -.
  - 540
  - Vi = 8 4- ~2~ = 278 m.
  - 131. Expression de l’espace parcouru d’un mouvement uniformément accéléré. — Représentons par e l’espace parcouru au bout du temps t l’accélération étant a.
  - Le mouvement peut être supposé uniforme, à la condition de remplacer la vitesse variable du mobile par la
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- - 168
  - CINÉMATIQUE
  - v T •
  - vitesse moyenne Y1 = —. Nous aurons dès lors comme
  - Zx
  - expression de l’espace parcouru :
  - V ai \
  - c = V1t=-t = - l = - al\
  - 't
  - Nous voyons donc que dans le mouvement uniformément accéléré Vespace parcouru est égal à la moitié du produit de Vaccélération par le carré du temps.
  - Application. — Un mobile se meut d’un mouvement uniformément accéléré durant trois quarts d’heure ; sachant que l’accélération est de 6 cm., calculer l’espace qu’il a parcouru.
  - 1 -----O
  - = - x 0,06 x 2.700“ = 218.700 m.
  - 132. Relation entre les espaces et les temps dans le mouvement uniformément accéléré. — Reprenons la 1
  - formule e — — al2 ; si la valeur de e change et que l’accé-2
  - lération reste la même nous aurons :
  - 1
  - Si, de ces deux égalités nous tirons la valeur de l’accélération. nous aurons :
  - 2 e 2 e'
  - a = —— a — —-
  - t2 l'2
  - Or deux quantités égales à une même troisième sont
  - égales entre elles, d’où :
  - 9
  - à e
  - 2 e'
  - i2
  - t'2
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- - DU MOUVEMENT
  - 1G9'
  - ce que nous pouvons écrire :
  - e f-
  - ce qui s’énonce comme suit : Dans le mouvement uniformément accéléré les espaces parcourus sont proportionnels-aux carrés des temps.
  - »
  - 133. Espace parcouru d’un mouvement uniformément accéléré avec vitesse initiale. — Dans ce cas nous voyons • que le mobile parcourt d’un mouvement uniforme l’espace depuis la vitesse initiale V0 jusque V pendant le temps t.
  - Nous aurons donc la formule :
  - 1
  - c = V0* + ai*-
  - U espace parcouru au bout du temps t par un mobile qui est animé d'une vitesse initiale, est égal au produit de la vitesse initiale par le temps, augmenté, de la moitié du produit de V accélération par le carré du temps.
  - Application. — La vitesse initiale d’un mobile est de 1,80 m. ; sachant que l’accélération est de 0,08 m., par seconde, calculer :
  - 1° Quelle sera sa vitesse après trente-quatre secondes ;
  - 2° Quel sera l’espace parcouru pendant ce même temps?
  - lo y = y0 + at = 1,80 + (0,08 x 34) = 4,52 m.
  - 1
  - 2o e = \y + - at2 1 -----------------2
  - = 1,80 x 34 + - 0,08 X 34 = 107,44 m.
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- - 170
  - CINÉMATIQUE
  - 134. Mouvement uniformément retardé. Expression de la vitesse. — Considérons dans ce cas que la vitesse initiale diminue pendant le temps t d’une quantité constante a après chaque seconde.
  - Après 1 seconde la vitesse sera V0 — a
  - — 2 secondes — — V0 — 'la
  - — 3 — — V0 —3a
  - • 1 — - — V,) — at.
  - Application. — Calculer quelle sera la vitesse d’un mobile après trois quarts d’heure sachant qu’étant animé d’une vitesse de 6,80 m. une cause extérieure a fait diminuer cette vitesse de 0,002 par seconde.
  - V = V0 — al
  - = 6,80 — (45 X 60 x 0,002)
  - = 6,80 — 5,40 = 1,40 m.
  - Expression de l’espace parcouru. — Considérons un mobile lancé avec une certaine vitesse ; en vertu de l’inertie, cette vitesse se continuera, invariable, pour autant que rien ne s’y oppose.
  - Supposons qu’une cause extérieure intervienne et retarde le mouvement d’une quantité a pendant chaque seconde. Après t secondes l’espace parcouru sera :
  - 1
  - e = \T0t — - ai2.
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- - CHAPITRE XI
  - REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ET DIAGRAMMES DU MOUVEMENT UNIFORMÉMENT VARIÉ
  - l.)5. Représentation graphique de V dans ie mouvement uniformément accéléré. — Traçons une ligne sur laquelle nous portons i fois une même longueur arbitraire représentative de la seconde. La longueur OA
  - représente donc le temps t. Par chacun des points de division ay b, c, cl, A élevons des perpendiculaires sur chacune desquelles nous portons' une longueur proportionnelle à la vitesse du mobile à l’instant considéré. Au point O la vitesse sera nulle ôtant donné que le mouvement commence à ce point.
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- - 172
  - CINÉMATIQUE
  - Nous aurons :
  - aa' — a b b' = 2 a ce' — 3 a dd' = 4 a.
  - La ligne, reliant les extrémités de ces perpendiculaires est la représentation graphique de la vitesse. Cette ligne est droite car les longueurs aa', bb', ce', etc., sont proportionnelles aux segments oa; ob; oc; etc...
  - La représentation graphique de la vitesse donne le moyen d’obtenir la valeur de cette dernière à un instant quelconque du mouvement. Il suffit pour cela de porter sur OA une longueur proportionnelle à t' et d’élever de ce point une perpendiculaire à OA. La longueur GH représente la vitesse cherchée.
  - 136. Diagramme de l’espace parcouru dans le mouvement uniformément accéléré. — 1° Sans vitesse initiale. — L’espace parcouru est égal à la surface du triangle représentatif de la vitesse.
  - B
  - En effet, surface de O AB,
  - OA x AB t x al
  - 1
  - 2
  - a/2.
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- - REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ET DIAGRAMMES 173
  - 2° Avec vitesse initiale. — Dans ce cas le diagramme se compose :
  - a) D’un triangle OAB représentant l’espace parcouru d’un mouvement uniformément accéléré ;
  - b) D’un rectangle représentant l’espace parcouru d’un mouvement uniforme avec la vitesse V0.
  - La valeur de l’espace parcouru sera égale à la surface du triangle plus celle du rectangle, c’est-à-dire à la surface du trapèze OBDC. Or surface :
  - OBDG
  - CD (
  - (CO + DB
  - d’où
  - VO Vo -f- ol 2 Vai2 . ol ~
  - e = tx - = ~xr~ + Y = V,,t + T
  - 137. Diagramme de l’espace parcouru dans le mouvement uniformément retardé. — L’espace parcouru égale la surface du trapèze :
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- - 138. Diagramme de l’espace parcouru calculé avec la vitesse moyenne. — «jSansV0. — L’espace parcouru en mouvement uniformément accéléré est représenté par la surface du triangle ABC. Or, cette sur-
  - face est égale à celle du rectangle ayant t pour base et V! pour hauteur. Nous pouvons donc écrire :
  - 1
  - Vit = 2 at~'
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- - REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ET DIAGRAMMES 175
  - Le rectangle ABED représente l’espace parcouru en mouvement uniforme avec la vitesse moyenne Vj.
  - bj Avec V0. — Nous savons que l’espace parcouru d’un mouvement uniformément accéléré avec V0 est égal à la surface du trapèze OBDE.
  - E
  - Fie. 115.
  - Or, par suite de l’égalité des triangles GPO et BPH, nous pouvons écrire :
  - Trapèze OBDE = rectangle GEDH, d’où :
  - \\t = W + - at\
  - Le rectangle GH DE représente l’espace parcouru avec la vitesse moyenne Vi.
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- - CHAPITRE XII
  - MOUVEMENT UNIFORME DE. ROTATION
  - 139. Ce mouvement a lieu lorsque le mobile décrit des arcs égaux en des temps égaux.
  - Considérons un point B d’un volant qui met t secondes pour faire un tour, la vitesse étant Y.
  - B
  - Fie. 116.
  - L’espace parcouru par le point B est \t ; mais cet espace n’est autre que la circonférence du volant.
  - Représentons par r le rayon du volant, nous aurons :
  - \t = 2~r. [1]
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- - MOUVEMENT UNIFORME DE ROTATION
  - 177
  - Considérons un autre point du volant, le point A situé sur OB. Il mettra le même temps pour faire un tour mais il est évident que sa vitesse sera inférieure à celle de B.
  - Soit Y' la vitesse du point A ; nous aurons comme expression de l’espace parcouru par ce point e = V'/. Cet espace est celui de la circonférence décrite par le point A donc :
  - X't — 2nr'. [2]
  - Divisons membre à membre les égalités [1] et [2], nous aurons :
  - Xt 2 nr Tt = 2 nr’
  - d’où :
  - V _ r
  - v' ~ y
  - C'est-à-dire que les vitesses de deux points, inégalement éloignés du centre, sont proportionnelles à leur distance à l’axe.
  - Vitesse angulaire. — De l’égalité : X't = 2 nr’ nous 2nr'
  - tirons la valeur de X' = —— valeur de la vitesse d’un
  - point situé sur une circonférence de rayon r'.
  - Si nous faisons r' — 1 m. nous obtenons :
  - 2 TC
  - V=T
  - formule de la vitesse angulaire donnant la vitesse d’un point d’une circonférence de 1 m. de rayon.
  - La vitesse angulaire est représentée par co.
  - V >r
  - Si dans la formule — = — nous remplaçons r' par l’unité nous aurons :
  - V _ r
  - w = I
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2e édit.). 12
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- - 178
  - CINÉMATIQUE
  - d’où nous tirons
  - V = co r
  - c’est-à-dire que la vitesse d’un point d’une poulie est égale à la vitesse angulaire multipliée par le rayon de la circonférence décrite par le point considéré.
  - Soit une poulie de 1 m. de rayon ; elle aura pour circonférence 2ix. Si elle fait N tours par minute, un quelconque de ses points aura parcouru en une seconde :
  - d’où :
  - 2 7c N
  - ~6Ô~
  - 6) =
  - 2-N lier = 30 3,1416 X N 30
  - = 0,10472 N.
  - *
  - Applications 1. — Calculer la vitesse d’un point situé sur la circonférence moyenne de la jante d’un volant qui fait 90 tours par minute, sachant que le diamètre moyen est de 5 m.
  - wN 3,1416 X 2,5 X 90 V = 1Ô = ~~~3Ô ~
  - 23,56
  - m.
  - 2. — Déterminer le nombre de tours que fait une poulie de 0,85 m. de rayon, la vitesse de la jante étant 7,12 m. De la formule :
  - nous tirons :
  - V =
  - -/•N
  - ~3Ô
  - 30 V
  - N = ------
  - rcr
  - 30 x 7,12 1,1416 x 0,85 =
  - 80 tours.
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- - MOUVEMENT UNIFORME RE ROTATION
  - 179
  - 3. — Un volant fait 100 tours par minute. Calculer le diamètre qu’on doit lui donner pour que sa vitesse soit de 25 m.
  - De V = -7^- nous tirons :
  - 30 x V
  - n X N
  - r
  - 30 X 25 3,1416 X 100
  - = 2,39 m.
  - le diamètre est donc 2 X 2,39 = 4,78 m.
  - 4. — Quelle est la vitesse angulaire d’une poulie qui fait 4Q tours à la minute.
  - Nous avons vu qu’un point situé à 1 m. de Taxe parcourt à chaque tour 2n ; donc, en 40 tours :
  - 2 7T X 40,
  - et en une seconde :
  - 2 x 7i X 40 ' 60
  - 251,33
  - ~G(T
  - = 4,19 m.
  - 5. — Sachant que la vitesse angulaire d’un point d’un volant est de 1,75 m., calculer la vitesse d’un point situé à 1,80 m. de l’axe de rotation.
  - V = oiR = 1,75 X 1,80 = 3,15 m.
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- - CHAPITRE XIII
  - CHUTE DES CORPS
  - 140. — La pesanteur est basée sur la grande loi suivante : Tous les corps s'al tirent en raison directe de leur masse-et, en raison inverse du carré de leur distance.
  - La terre exerce sur les corps une force constante qui les attire vers son centre. Cette force a pour effet de communiquer au corps libre un mouvement uniformément accéléré dirigé A^erticalement de haut en bas.
  - Les formules que nous avons étudiées dans le mouvement uniformément accéléré s’appliquent à la force qui nous occupe.
  - e devient h c’est-à-dire la hauteur de chute ;
  - a = g, nombre constant = 9,81,
  - [1]
  - C’est-à-dire que la hauteur de chute est proportionnelle an carré des temps.
  - De la formule [1] nous tirons : .
  - 2 h
  - d’où :
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- - CHUTE DES CORPS
  - 181
  - ce qui s’énonce : la durée de chute est proportionnelle à la racine carrée de la hauteur.
  - Nous avons également :
  - V = gt.
  - Remplaçant t par sa valeur nous obtenons :
  - ce qui s’énonce :
  - La vitesse d'un corps tombant d'une hauteur h est proportionnelle à la racine carrée de sa hauteur de chute.
  - 141. Vérification des lois précédentes. — Un
  - appareil, dû au général Morin, permet de vérifier les lois précédentes. Il se compose essentiellement d’un cylindre vertical À pouvant tourner d’un mouvement uniforme de rotation et d’un corps guidé B qui peut tomber en chute libre.
  - Le cylindre est recouvert d’une feuille de papier et le corps porte un crayon dont la pointe I trace sur la feuille la courbe des espaces du mobile B.
  - Fonctionnement de l’appareil. — Sur le cylindre A animé d’un mouvement uniforme, est enroulée une feuille de papier sur laquelle le diagramme est tracé de la façon suivante : Dès que le cylindre est animé d’un mouvement uniforme, obtenu par le régulateur à ailettes RR', on abandonne le poids d’expérience G qui tombe verticalement, guidé par deux fils métalliques verticaux ; un crayon, fixé en B, trace sur le papier une courbe dont l’examen nous révèle les lois de la pesanteur.
  - Si nous déroulons la feuille de papier, la courbe tracée aura la forme représentée (fig. 118). Traçons de l’extrémité E de la courbe une droite FE égale à la longueur de la circonférence développée et divisons cette ligne en
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- - 182
  - CINÉMATIQUE
  - quatre parties égales correspondantes à quatre fractions égales d’un tour du cylindre.
  - Par ces points de division menons des parallèles à AF génératrice du cylindre obtenue en abandonnant librement le corps 13 pendant l’immobilité du cylindre.
  - L Déclic
  - Poids
  - moteur
  - Par les points de rencontre de ces parallèles avec la courbe menons des parallèles à EF.
  - AI correspond à l’espace parcouru pendant 1 seconde. AH — — j — — 2 secondes.
  - AG —
  - AF —
  - 4
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- - CHUTE DES COUPS
  - 183
  - Or nous voyons que :
  - AH
  - AG
  - AF =
  - 4 x AI 9 x AI 10 x AI.
  - C’est-à-dire que pour 1" ; 2" ; 3" ; 4" ; les espaces parcourus sont respectivement 1 ; 4 ; 9 ; 16 ou bien 12 ; 22 ; d2 ; 42 ce qui vérifie la loi précédemment citée :
  - Les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir. '
  - A
  - Des constatations que nous venons de faire, nous pouvons conclure que la chute d’un corps se fait d’un mouvement uniformément accéléré.
  - 142. Accélération due à la pesanteur. — Une expérience a été faite dans le méridien de Paris pour obtenir la valeur de l’accélération due à la pesanteur ; on a trouvé
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- - 184
  - CINÉMATIQUE
  - que l’espace parcouru par un corps après la première seconde est égal à 4,0944.
  - Nous avons convenu de désigner par g la valeur de l’accélération due à la pesanteur.
  - 1
  - De la formule h — - gt2 nous pouvons tirer :
  - 2 h
  - l2
  - 2 x 4,9044
  - -- 9,8088 = 9,81.
  - 143. Corps lancés verticalement. — Un corps peut être lancé en l’air verticalement ou être abandonné à l’action directe de la pesanteur.
  - Dans le premier cas nous voyons que la pesanteur agit sur le mobile en sens contraire du mouvement imprimé ; le mouvement est donc uniformément retardé d’où :
  - 1
  - V = V0 — gt et h = V01 — ^ gt2-
  - Dans le second cas, au contraire, l’action de la pesanteur favorise le mouvement et nous avons :
  - 1
  - V = V0 -V gt et h = V0t + - gt2.
  - 144. Durée et hauteur de l’ascension d’un corps lancé de bas en haut. — L’ascension dure jusqu’à ce que la vitesse s’annule, dans ce cas :
  - V0 = gt.
  - La durée de l’ascension est donc :
  - g
  - LU
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- - CHUTE DES CORPS
  - I 85
  - La hauteur maxima est :
  - h = V0l
  - 1
  - — or/ 2
  - •> *
  - Nous pouvons, dans cette formule, remplacer t par sa valeur trouvée dans l’égalité 11 ], ce qui nous donne :
  - V0 i V02
  - 2 Vo
  - 2 g
  - 2 g
  - V 2 v o
  - 2 g
  - Applications 1. — Calculer la profondeur d’un puits sachant qu’une pierre qu’on y laisse tomber met cinq secondes pour arriver au fond.
  - Appliquons la formule :
  - J
  - h = y gi2
  - Z
  - 9,81 X 52
  - - -— -------- = 122,63 m.
  - Nous devons tenir compte de ce que le son produit par la pierre a mis un certain temps pour nous parvenir ; il a dû parcourir 122,63 m.
  - Or nous savons que le son parcourt 340 m. par seconde ; il a donc mis pour arriver :
  - 122,63 340 ~ U
  - le temps de la chute est donc réellement : (b" — 0"36), d’où :
  - 1
  - h = - X 9,81 X (5 — 0,36)2
  - Jj
  - 1
  - = - X 9,81 x 21,53 = 105,60 m.
  - /1
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- - Cî IKK MAT T QU K
  - 2. — Un touriste laisse tomber ses jumelles du sommet de la tour Eiffel. Sachant que la hauteur de la tour est de 300 m., calculer :
  - 1° Le temps qu’elles mettront pour arriver au sol; 2° A\ ’ec quelle vitesse elles parviendront au sol.
  - gl2 '
  - 1° De la formule // — — nous tirons :
  - 2
  - V
  - /2 h
  - 2 x 300
  - \/"i
  - 81
  - = 7"82.
  - >0
  - V = ÿ'2 gh = \J 19,62 x 300 = 76,72 m.
  - 3. — Un corps est lancé dans un puits de mine avec une vitesse initiale de 70 m. On demande la vitesse V au bout de 6" de chute et l’espace parcouru par le corps pendant ce temps.
  - 1° V = V„ + gt = 70 4- (9,81 X 6) — 128,80 m.
  - 00 h = v0/ 4- - gr- = 70 X G + ( - x 9,81 X 6 — 596,58 m.
  - 4. — Un corps est lancé verticalement de bas en haut avec une vitesse initiale de 18 m. Calculer la hauteur à laquelle il atteindra.
  - Nous avons vu que l’ascension dure jusqu’à ce que la vitesse s’annule, c’est-à-dire lorsque V„ - gl. La hauteur de l’ascension nous est donnée par la formule :
  - v 2
  - > o
  - . 182 19,62
  - 16,51 m.
  - d’où :
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- - CHAPITRE XIV
  - MOUVEMENT PÉRIODIQUE
  - 145. — Considérons un piston de machine à vapeur. Nous voyons qu’il est animé d’un mouvement de va-et-vient continuel dont l’étendue est limitée par la longueur du cylindre.
  - Nous pouvons compter le nombre d’allées et de venues du piston par minute ; si ce nombre n’est pas trop considérable, nous pouvons constater les phases du mouvement pour une course du piston. Nous remarquons que le mouvement s’accélère vers le milieu de la course et ralentit vers les extrémités.
  - Ce mouvement est donc bien un mouvement varié et il est dit périodique lorsque le piston bat le même nombre de coups par minute.
  - La vitesse moyenne de ce mouvement s’obtient en divisant le chemin parcouru durant une période par le nombre qui exprime la durée de cette période.
  - Application. — Calculer la vitesse moyenne d’un piston qui bat 30 coups par minute, la longueur de la course étant de 0,80 m.
  - Le chemin parcouru pendant une période = 0,80 X 2 = 1,60 m. ; la durée d’une période est de :
  - 60"
  - — = 2"
  - 30
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- - 188 CINÉMATIQUE
  - d’où : 1,60 Vm = —- = 0,80 m. 'A
  - Remarque. — Nous rencontrons également dans la pratique des mouvements tantôt retardés, tantôt accélérés, parfois sensiblement uniformes, entremêlés même de repos momentanés.
  - Dans ce cas on exprime la rapidité définitive de ces mouvements en cherchant la vitesse moyenne.
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- - CO lO
  - CHAPITRE XV
  - REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE DES MOUVEMENTS
  - 146. Mouvement uniforme. — Traçons deux axes perpendiculaires l’un sur l’autre ; sur l’axe horizontal portons à partir du point O les valeurs des temps et sur-l’axe vertical portons les valeurs des espaces.
  - X
  - Nous savons que les valeurs des temps et des espaces-sont proportionnelles.
  - Portons les longueurs OA ; OB ; OC représentant i" ;; " ; 5" et OD ; OE ; OF représentant 1 m., 3 m. et m. Par ces points de division élevons sur OY et sur-
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- - 190
  - CINÉMATIQUE
  - OX des perpendiculaires qui se coupent aux points G ; II ; I, joignons ces points par une ligne passant par l’origine O.
  - Du fait de la similitude des triangles O AG ; OBH et OCI, nous concluons que 01 est une droite.
  - 147. Mouvement varié. — La ligne représentative du mouvement varié sera quelconque étant donné que ce mouvement n’est soumis à aucune loi. Si nous portons la
  - X
  - Fk;. 120.
  - valeur des temps variés sur l’axe O Y et la valeur des espaces variés sur OX et si de ces points nous élevons des perpendiculaires les intersections de ces perpendiculaires donnent une ligne brisée qui représente le mouvement varié.
  - 148. Mouvement uniformément accéléré. -— Dans ce mouvement, les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps.
  - Le mouvement sera représenté par une parabole.
  - Soit OY l’axe des temps et OX l’axe des,espaces.
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- - REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE DES MOUVEMENTS 191 L’espace parcouru sous l’action de la pesanteur après: la première seconde = - gt* — - 9.81 x l2 — 4.90 m.
  - la deuxième — — — x 9.81 X 22 = 19.62 m.
  - la troisième — = - x 9.81 X 32 = 44.14 m.
  - la quatrième — = | x 9.81 X 42 = 78.48 m.
  - i. 121.
  - Divisons la ligne des temps en 4 parties égales représentatives de la seconde ; portons sur OX les longueurs déterminées par les espaces parcourus. Par tous ces points
- p.191 - vue 209/418
- - 102
  - j CINÉMATIQUE
  - de division élevons des perpendiculaires aux axes OX et GY ; les points d’intersection de ces perpendiculaires appartiennent à la ligne représentative du mouvement. Cette ligne PABCD est une parabole.
  - 149. Mouvement uniformément retardé. — Supposons que le corps partant du point O soit animé d’une vitesse initiale telle que pendant la première seconde le
  - Fig. 122.
  - chemin parcouru soit de 78,48 m. ; pendant chaque seconde successive, le chemin ira en diminuant.
  - A chaque instant le chemin total est représenté par la formule : .
  - I
  - 1
  - c = \ot — - ai2.
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- - REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE DES MOUVEMENTS 193
  - La courbe représentative de ce mouvement est une parabole dont la concavité est tournée en sens inverse de la courbe représentative du mouvement uniformément accéléré par rapport à la trajectoire OX du mouvement.
  - Remarque. — Nous pouvons trouver la vitesse en un point quelconque de la courbe du mouvement uniformément accéléré en procédant de la façon suivante :
  - Soit à déterminer la vitesse au point B de la courbe.
  - Menons la tangente CD à ce point et par le point B menons une parallèle à OX et égale à la longueur représentative de l’unité de temps. — Par le point E élevons EF perpendiculaire à BE. La ligne EF représente la vitesse demandée.
  - 150. Corps lancés de bas en haut. — Dans ce cas, Faction de la pesanteur ralentit le mouvement durant l’ascension du corps jusqu’à ce que sa vitesse soit nulle.
  - M. Wilmotte — Cours de mécanique (2° édit.).
  - 13
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- - 194
  - CINÉMATIQUE
  - A ce moment le corps retombe d’un mouvement uniformément accéléré.
  - *V=o
  - Fie. 124.
  - 151. Mouvement périodique. — La courbe représentative de ce mouvement est une courbe sinueuse. Voyons ce qui se passe durant une période.
  - C E
  - Fig. 125.
  - La vitesse, d’abord égale à O va en augmentant pour atteindre son maximum en x ; à partir de ce moment elle diminue en repassant par les mêmes phases.
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- - CHAPITRE XVI
  - MOUVEMENTS COMPOSÉS
  - 152. — Considérons un mobile se déplaçant sur le sol et notons sa trajectoire et sa position à un instant donné,
  - * par rapport à des points fixes du sol : nous aurons le mouvement absolu du corps.
  - Supposons maintenant un voyageur marchant dans l’un des wagons d’un train en marche. '
  - Cet homme participe en outre au mouvement du train ; son mouvement, considéré par rapport à des points de repères pris dans le wagon, sera un mouvement relatif.
  - 153. Composition de deux mouvements rectilignes et uniformes. 1° De même direction et même sens.
  - Dd>
  - Fig. 126.
  - — Considérons une barquette mue par un rameur et désignons par Vr sa vitesse relative ; c’est-à-dire celle qu’elle aurait dans une eau tranquille et par Ve la vitesse du courant.
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- - 196
  - CINÉMATIQUE
  - Prenons comme point de repère un anneau de berge D et voyons quelle distance la barque aura parcouru au bout d’un temps t en supposant que le rameur la dirige dans le sens du courant. Cette distance est égale à :
  - \rt + Vet = t (Vr + V,).
  - Le mouvement absolu est uniforme, de vitesse :
  - Va = Vr + Ve
  - somme des vitesses des deux mouvements simultanés.
  - 2° De même direction et de sens contraires. — C’est le cas de la barque conduite en sens inverse du courant.
  - ^_________Yi't__________
  - Yct "
  - Fig. 127.
  - La distance parcourue au bout du temps t par rapport à l’eau est :
  - BD' = Yrt ;
  - Mais le courant entraîne la barque en sens inverse sur un espace D'D = Net. L’espace absolu est donc :
  - Wrt — Yet = (Vr — Ve)t.
  - Nous voyons d’après cette formule que la barque remontera la rivière si Vr > Ve; elle restera au même endroit si Vr — Ve et enfin qu’elle sera vaincue par le courant si Vr < Ve.
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- - MOUVEMENTS COMPOSÉS
  - 197
  - 3° De directions différentes. — C’est le cas d’une barque qui, traversant la rivière, est entraînée par le courant. Le rameur partant de A mènerait la barque, au bout du temps t. en sur sa direction. Nous avons donc : AAj = Xrt.
  - Sous l’action du courant la barque est entraînée en A' de telle sorte que AjA' = Yel.
  - A' est donc la véritable position du mobile par rapport à des repères fixes de la berge.
  - Fie. 128.
  - Nous pouvons déterminer la position de la barque au bout d’un temps i' ce qui nous donnerait :
  - AB = Xrl' BB; = Y et1
  - Si nous joignons AB' et AA' nous obtenons 2 triangles AAXA' et ABB' qui sont semblables :
  - l’angle Ax — l’angle B ;
  - de plus :
  - AA2 AjA' t ÂB = BB7 = V
  - d’où nous concluons que AB' et AA' se confondent ; la trajectoire du mouvement est donc rectiligne.
  - AA' t
  - Par la proportion ÿ^ .== Ji n°us voyons que le mouvement est uniforme. Sa vitesse est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme
- p.197 - vue 215/418
- - 198
  - CINÉMATIQUE
  - construit sur la vitesse relative et la vitesse d’entraînement.
  - 154. Composition d’un mouvement rectiligne uniforme et d’un mouvement uniformément accéléré. 1° Les deux mouvements ont même direction. — Le chemin parcouru au bout du temps t est égal au chemin relatif plus ou moins le chemin d’entraînement, c’est-à-dire :
  - Vr* ±
  - at~ ~2 '
  - Dans le cas d’un corps lancé verticalement avec une vitesse initiale V0 et soumis à l’action de la pesanteur nous aurons :
  - g/,2
  - v°'±V
  - Nous aurons le signe + si les deux mouvements sont de même sens et le signe — dans le cas contraire.
  - Le mouvement résultant est donc uniformément accéléré ; sa vitesse est :
  - Vr + at.
  - 2° Les directions des mouvements sont différentes. —
  - Nous rencontrons ce cas dans l’usage de la fronde. La pierre, dès qu’elle quitte cet instrument, devrait, d’après le principe de l’inertie, continuer son mouvement. Mais cette pierre a un poids et elle est conséquemment entraînée vers le sol d’un mouvement uniformément accéléré. (Nous ne tenons pas compte de la résistance de l'air).
  - Consirérons un mobile M partant de O et entraîné d’un mouvement uniforme de vitesse V suivant OX.
  - Ce mobile est entraîné d’un mouvement accéléré, d’accélération a suivant OY. Pour obtenir la position
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- - MOUVEMENTS COMPOSÉS
  - 199
  - M' du mobile après le temps t portons sur OX une longueur MMX = Vf ; du point Ma menons une parallèle à 1
  - O Y et égale à - at2 chemin d’entraînement.
  - M' est l’intersection des parallèles à OX et OY menées par les positions Mx et M/ du mobile dans ses mouvements composants.
  - X
  - Fig. 129.
  - Nous déterminerons facilement la trajectoire du mobile en réunissant des points analogues.
  - 155. Trajectoire de l’écoulement d’un liquide par un orifice latéral. — D’après le principe de l’inertie, le liquide, à sa sortie de l’orifice, tend à s’échapper horizontalement d’un mouvement rectiligne uniforme de vitesse
  - V0.
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- - 200
  - CINÉMATIQUE
  - Mais le poids du liquide l’entraîne vers le sol.
  - Portons sur l’axe des X des longueurs proportionnelles à Y0t ; V0//, etc... et sur l’axe des Y des longueurs pro-
  - 11
  - portionnelles à - g/2 ; - g/'2, etc.
  - L’intersection des parallèles menées par Mx et M2 à MY et par M/ et M2' à MX, nous donne des points qui réunis forment une parabole.
  - Fig. 130,
  - En effet, d’après le principe de l’indépendance des effets des forces, nous savons que la descente de l’eau s’effectue aussi rapidement qu’en chute libre ; l’éloignement du liquide de la verticale est donc proportionnel au temps. i
  - i
  - 156. Mouvement hélicoïdal uniforme. — C’est le mouvement résultant de la composition de deux mouve-
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- - MOUVEMENTS COMPOSÉS
  - 201
  - ments uniformes, l’un de rotation autour d’un axer l’autre de translation autour du même axe.
  - La trajectoire de ce mouvement est une hélice. C’est la courbe tracée sur un cylindre, tournant régulièrement entre les pointes d’un tour par un outil qui se déplace uniformément le long de la pièce.
  - i
  - Yrl
  - Fig. 131.
  - On la détermine par la longueur du rayon du cylindre sur lequel elle s’enroule et par son pas, c’est-à-dire la longueur du déplacement de l’outil pour un tour de la pièce.
  - Avec la durée d’une révolution elle caractérise le mouvement hélicoïdal.
  - Nous pouvons obtenir la position du mobile à une époque r connaissant sa position initiale et les vitesses des deux mouvements de rotation et de translation Vr et
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- - 202
  - CINÉMATIQUE
  - Ye. Il nous suffit de prendre l’arc BBX = Xrt puis de porter sur la génératrice en Bi du cylindre une longueur BjB' = Net.
  - La vitesse du mouvement hélicoïdal uniforme est représentée en grandeur, direction et sens, par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux vitesses de rotation et de translation.
  - Ces vitesses sont perpendiculaires, d’où :
  - Va = \Av2T Ye2 = V/W2Br+ Ve2.
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- - CHAPITRE XVII
  - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS
  - 157. — Nous distinguons dans toute machine.
  - 1° Le moteur, c’est-à-dire toute cause qui produit un mouvement quelconque ;
  - 2° Le récepteur, organe qui reçoit directement l’action motrice ;
  - 3° ] J outil, appelé aussi opérateur, qui effectue le travail ;
  - 4° Les communicateurs, qui transmettent la force motrice à l’outil. Ce sont les poulies, les courroies, les engrenages ;
  - 5° Les régulateurs du mouvement.
  - 11 faut viser à avoir dans toute machine la plus grande régularité. Les principales causes qui contrarient la marche régulière d’une machine sont : l’augmentation de la puissance ou la diminution des résistances. La régularisation du mouvement est obtenue par les volants et les régulateurs à force centrifuge.
  - 158. — Nous étudierons les mouvements suivants :
  - 1° Rectiligne continu ;
  - 2° Rectiligne alternatif ;
  - 3° Circulaire continu ;
  - i
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- - 204
  - CINÉMATIQUE
  - 4° Circulaire alternatif ;
  - 5° Curviligne continu ;
  - 6° — alternatif.
  - Chacun de ces mouvements peut être transformé en un mouvement de même espèce ou d’espèce différente. Ces combinaisons de mouvements donnent lieu aux différents cas suivants :
  - .... ( continu,
  - rectiligne j alternatit.
  - circulaire j altematif
  - curviligne j alterIiatif.
  - rectiligne | alternatif.
  - 2° Le mouvement circulaire continu j circulaire j
  - peut être transformé en .... , c„„ti„u. '
  - f curvü,Sne j alternatit.
  - ! rectiligne | alternatif, circulaire j alternatif.
  - curviligne j a|temaü,_
  - ! rectiligne | alternatif.
  - , . ^ j continu, circu aire j alternatif.
  - curviligne | alternatif. 5° Le mouvement circulaire alternatif ( circulaire | alternatif, peut être transformé en .... ( curviligne | alternatif.
  - 1° Le mouvement rectiligne continu peut être transformé en ... .
  - 6° Le mouvement curviligne alternatif peut être transformé en. . .
  - curviligne | alternatif.
  - RECTILIGNE CONTINU EN RECTILIGNE CONTINU
  - 159. — Nous avons étudié cette transformation en statique ; les poulies fixes et mobiles, les moufles, etc.y sont des applications de cette transformation de mouvement.
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- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS 205
  - RECTILIGNE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU
  - 160. — Le courant de l’eau, agissant sur une roue est* une application de cette transformation de mouvement.
  - Le cric, la vis différentielle, les treuils étudiés précédemment transforment le mouvement circulaire continu •en rectiligne continu.
  - CIRCULAIRE CONTINU EN CIRCULAIRE CONTINU
  - 161. — Cette transformation de mouvement peut se faire :
  - 1° Par poulies et courroies ;
  - 2° Par roues de friction ;
  - 3° Par engrenages.
  - 162. 1° Poulies et courroies. — Ce mode de transmission est employé lorsque les arbres sont relativement éloignés.
  - Poulies de transmissions. — On les fabrique en fer, en acier et en bois,mais le plus généralement en fonte. Nous distinguons dans toute poulie trois parties distinctes.
  - 1° Le moyeu qui reçoit directement l’arbre dont il est rendu solidaire au moyen d’une clavette longitudinale ;
  - Dans les poulies folles, on ajuste dans le moyeu une douille en fonte extra dure ou en bronze phosphpreux;
  - 2° La jante; c’est la couronne extérieure de la poulie. La surface extérieure de cette couronne est bombée en dos d’âne afin d’empêcher la courroie de se dégager de la poulie, lorsque celle-ci est soumise à des vibrations, elle est munie d’un rebord qui empêche la chute de la courroie ;
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- - 3° Les bras, lesquels sont construits de façon à offrir le moins de résistance possible au déplacement de l’air.
  - Courroies. — On fait usage dans l’industrie de courroies en cuir, en colon et en caoutchouc.
  - Les plus répandues sont les courroies en cuir dont l’épaisseur est de 5 à 6 mm..
  - Lorsqu’une plus forte résistance de la courroie est requise on peut superposer plusieurs épaisseurs ; dans ce cas, il est évident que la souplesse diminue et il est préférable d’employer' une courroie de plus grande largeur.
  - Les courroies en coton sont très souples ; elles sont surtout employées lorsqu’on a de grands efforts à transmettre. Elles doivent être retendues souvent ; on les graisse afin de les soustraire à l’action de l’air.
  - Les courroies en caoutchouc sont chères. Elles conviennent dans les locaux humides ou renfermant des vapeurs acides. L’huile les dissout ; il faut donc éviter
  - tout contact avec ce produit.
  - %
  - Poulie menante — La poulie menante est celle qui est calée sur l’arbre moteur ; elle enroule le brin conducteur de la courroie.
  - Poulie menée. — Le brin conducteur 1 ' (fig. 132) entraîne la rotation de la poulie menée P' en se déroulant sur elle. Cette dernière poulie est. solidaire de l’arbre conduit.
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- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION
  - DES MOUVEMENTS
  - 207
  - Le brin 2 de. la courroie qui s’enroule .sur la poulie menée se nomme brin conduit, mou ou flottant.
  - 163. Proportionnalité entre les vitesses et les nombres de tours de deux poulies qui se conduisent.
  - — Les vitesses linéaires de deux poulies qui se conduisent sont identiques puisque c’est la vitesse de la courroie. Si donc nous représentons par R et IV les rayons des deux poulies et par N et N' leurs nombres de tours par minute nous aurons :
  - 2 TT R N 2 TT I V iV 00 = 60
  - TC
  - simplifiant par — il nous reste : RN = IV ÏS' ce que nous pouvons écrire sous forme de proportion :
  - R N' R7 = N*
  - ou bien
  - n n '
  - D7 = N*
  - ce qui s’énonce : les rayons ou les diamètres de deux roues qui se conduisent sont inversement proportionnels aux nombres de tours des deux poulies.
  - Remarque. — Il faut tenir compte de ce que la perte de travail due au glissement et à la raideur de la courroie est de 2,2 % 1 Ja perte due au frottement des tourillons est de 4 %.
  - Application. — Deux poulies, l’une de 72 cm., l’autre de 60 cm. de rayon, sont reliées par courroie. La première fait 170 tours par minute. Combien de tours fera la seconde? (On tient compte du coefficient de glissement).
  - Dans la formule
  - R
  - R7
  - nous pouvons remplacer les
  - quantités connues par leur valeur :
  - IL
  - V
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- - 208
  - > CINÉMATIQUE
  - d’où :
  - 72 x 170
  - N' = .-gô- = 204
  - Et en tenant compte du coefficient de glissement :
  - N' = 200 tours.
  - 164. Transmission par courroie. — Nous distinguerons deux cas :
  - 1° Les arbres sont parallèles ;
  - 2° Les arbres ne sont pas parallèles.
  - Arbres parallèles. — Si nous voulons obtenir une rotation des arbres dans le même sens nous utiliserons la courroie droite (fig. 132).
  - Si au contraire nous voulons que les arbres tournent en sens opposés nous employerons la courroie croisée (fig. 133).
  - Ces deux dispositifs permettent la conduite dans les deux sens ; toutefois, le rapport des vitesses ne peut pas 7
  - dépasser - . Si donc il est nécessaire d’obtenir un plus grand rapport, il faut grouper les poulies.
  - 165. Équipage des poulies. — Cette combinaison a pour but d’éviter l’emploi de poulies de trop grand diamètre lorsqu’on veut que la poulie menée fasse un nombre considérable de tours.
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- - ^1 ^
  - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS 209
  - Entre les deux poulies on interpose des arbres intermédiaires sur lesquels sont calées une grande poulie et une petite poulie.
  - Calculons la raison de Véquipage, c’est-à-dire le rapport de l’arbre O' et de l’arbre O.
  - Fig. 134.
  - Désignons par Ni et Na les nombres de tours des arbres intermédiaires A et A' et nous aurons les proportions suivantes :
  - 1° Pour la première courroie :
  - N, _ D N ~ D,
  - 2° Pour la deuxième courroie :
  - N2 _ D/
  - Ni “ Di-
  - eu
  - m
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2« édil. ).
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- - 210 CINÉMATIQUE
  - 3° Pour la troisième courroie :
  - Multipliant les égalités [1 ] ; [2 ] ; [3 ] membre à membre, nous obtenons :
  - Ni X N2 X N' _ D x Di' X D2'
  - N x Ni X No ~ Dx X D2 X D'
  - (Poil :
  - N' _ D X IV X D*'
  - N ~ Dr x D2 x D'
  - Nous pouvons donc dire que la raison d’un équipage de poulies est égale au quotient du produit des diamètres des roues menantes par le produit des diamètres des roues menées.
  - La raison sera donc d’autant plus grande que les diamètres des roues menantes sont plus grands et les diamètres des roues menées plus petits.
  - 166. Largeur et épaisseur des courroies. — Dans les calculs des dimensions des courroies on admet que le cuir résiste à un effort de 15 à 30 kg. par cm2.
  - Nous distinguons dans toute courroie :
  - a) Le brin moteur T qui va dans le sens du mouvement, donc, de la poulie menée P' à la poulie menante P.
  - b) Le brin conduit T1? qui va de la poulie menante P à la poulie menée P'.
  - Représentons par F, l’effort tangentiel à la poulie menante, qu’il s’agit de transmettre; le brin moteur tirera pour transmettre l’effort et devra vaincre la résistance du brin conduit. Nous avons l’équation :
  - F = T — Tx
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- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS 211
  - or on admet que Tx = F d’où :
  - T = 2 F.
  - Si nous désignons par V la vitesse à la circonférence nous aurons :
  - FV = 75 HP ;
  - d’où :
  - 75 HP
  - [1]
  - 'F
  - Nous pouvons calculer Y en fonction du diamètre et du nombre de tours par minute :
  - v=^.
  - 60
  - Remplaçant V par sa valeur dans l’égalité [1 ] nous avons :
  - 75 HP
  - 75 X 60 X HP ttDN
  - 1.433 HP DN
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- - 212
  - CINÉMATIQUE
  - Ayant trouvé la valeur de F nous trouverons celle de l’effort auquel la courroie doit résister en prenant 2 F.
  - Si e est l’épaisseur de la courroie, l sa largeur et 0,150 kg. sa résistance par mm2, nous aurons :
  - T = 0,150 X e x l;
  - d’où :
  - T 2 F
  - ~ 0,150 x e “ e x 0,150 '
  - Dans le cas où l’on ne veut prendre qu’une seule épaisseur on fait e = 0,005 m.
  - Application. — On achète un ventilateur mu par un volant-poulie de 3,8 m. de diamètre qui doit exécuter 40 tours par minute. On dispose, pour actionner ce ventilateur, d’une machine à vapeur de 50 HP. Calculer la largeur de la courroie sachant que son épaisseur est de 10 mm.
  - Nous avons la formule :
  - V =
  - TT X D X N
  - 60
  - 3,1416 x 3,8 x 40
  - 6Ô
  - 7 m. 95.
  - d’où :
  - Tr = 50 x 75 = 3.750 kgm.,
  - F
  - Tr
  - V
  - 3.750
  - 7,95
  - = 472 kg.
  - Nous aurons donc à déployer un effort :
  - T = 2 X 472 = 944 kg.
  - La résistance du cuir = 0,15 kg. par mm2 ; connaissant la valeur de T nous pouvons calculer la section S du cuir par la formule :
  - 0,15 x S = 944,
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- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS 213
  - d’où
  - 6.293 mm2.
  - Or S = Z x e d’où nous pouvons tirer :
  - 167. Vitesses variables. — La vitesse de rotation des machines dépend du travail que nous devons exécuter et de la plus ou moins grande dureté du métal que nous
  - Fig. 136.
  - travaillons. Nous devons donc viser à l’obtention d’une variation de vitesse au moyen d’un des procédés suivants :
  - a) Poulies étagées. — Pour obtenir une tension égale de la courroie sans devoir ni l’allonger, ni la raccourcir, il suffit de disposer les poulies de façon à ce que la somme
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- - 214
  - CINÉMATIQUE
  - «les rayons de deux poulies correspondantes soit une (fuantité constante.
  - La variation de vitesse s’obtient en faisant glisser la courroie de droite à gauche ou de gauche à droite au moyen d’une fourche.
  - b) Poulies cônes. — Leur principe est le même que celui des poulies étagées ; la fourche jouit en outre de la propriété de maintenir la courroie dans un plan perpendiculaire aux axes des arbres de transmission.
  - 168. Poulie folle. — Ce dispositif a pour but de pouvoir à volonté mettre en train ou arrêter les machines outils et cela indépendamment les unes des autres.
  - A cet effet, on dispose sur l’arbre XX' deux poulies dont l’une P fait corps avec cet arbre et l’autre P' appelée
  - poulie folle, tourne librement-autour de cet arbre.
  - . ; 1
  - 169. Arbres non parallèles. — Pour que deux poulies dont les arbres ne sont pas parallèles puissent être réunies
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- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS 215
  - par une courroie il faut et il suffit que le point où la courroie quitte chaque poulie soit dans le plan de l’autre poulie. Cette condition n’est possible que si la transmission se fait toujours dans le même sens.
  - a) Les arbres peuvent être placés à angle droit. — Nous pouvons employer les poulies dites à friction, le mouvement de l’une entraînant le mouvement de l’autre.
  - - 0—
  - b) Les arbres sont distants d’une certaine longueur. —
  - Si nous suivons le sens de rotation nous voyons que dans les deux cas, le point où la courroie quitte chacune des poulies se trouve dans le plan passant par le milieu de l’autre.
  - c) Les arbres font entre eux un certain angle. — Dans ce cas il est nécessaire de faire usage de poulies guides qui ont pour but de dévier la courroie sans modifier le rapport des vitesses des arbres.
  - La droite XX' est l’intersection des plans médians des poulies.
  - Si çn deux points de cette ligne, nous plaçons des pou-
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- - 216
  - CINÉMATIQUE
  - lies guides d’un certain diamètre et si nous menons les tangentes AC et BD aux poulies, la courroie prendra la direction CAC et DBD.
  - Fig. 141.
  - Nous voyons que dans ce cas, la transmission peut se faire dans les deux sens.
  - 170. Rouleau de tension. — Ce dispositif est employé lorsque la tension d’une courroie est insuffisante.
  - Il faut cependant viser à ne pas exagérer la tension d’une courroie au point de l’étendre, ce qui augmenterait les frottements sur les coussinets dans lesquels tournent les axes.
  - Pour amorcer une courroie neuve, il suffit de l’enduire
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- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS 217
  - de colophane en poudre de façon à augmenter l’adhérence sur la poulie et éviter le glissement.
  - 171. Transmission par corde-courroie. — Les courroies peuvent être remplacées par des câbles ronds en chanvre.
  - Fig. 142.
  - Les courroies de cette catégorie, sont montées sur des poulies garnies de rainures en forme de V ; chacune de ces rainures porte une corde-courroie dont le diamètre varie entre 25 et 50 mm.
  - Les dimensions des câbles sont calculées en prenant comme coefficient de résistance 10 kg. par centimètre carré.
  - Pour que ce genre de transmission fonctionne dans de bonnes conditions il est nécessaire que les poulies soient distantes d’au moins 6 m.
  - La longueur de l’épissure réunissant les deux bouts de la corde doit être de 2,50 m. à 3 m.
  - 172. Transmission par câbles métalliques. —
  - Ce genre de transmission est utilisé pour les forces considérables et à de grandes distances.
  - Les câbles ordinairement employés se composent de six torons disposés autour d’une âme en chanvre ; chacun
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- - 218
  - CI N H MA. TIQUE
  - de ces torons se compose de six fds et d’une âme également en chanvre.
  - Pour que le câble ne fatigue pas trop, et pour éviter son glissement sur la gorge de la poulie, son diamètre doit
  - 1
  - être inférieurà —- e du diamètre extérieur de la poulie de o 00
  - commande.
  - Nous pouvons pratiquement déterminer le diamètre du câble en appliquant la formule :
  - d =
  - /l = \/^
  - V 300 V 15
  - Q
  - jO
  - T représentant la tension maxima, c’est-à-dire le double de l’effort utile à produire (2 Q).
  - Pendant la marche et surtout lors de la mise en marche, la longueur du câble augmente. Lorsque la distance des arbres est inférieure à 15 m., il est nécessaire que l’arbre de commande soit mobile afin de pouvoir tendre le câble au moyen de vis de pression fixées aux paliers.
  - Au-delà de 30 m.,le poids même du câble donne une tension suffisante pour effectuer la transmission.
  - L’éqartement des arbres pouvant atteindre des longueurs allant jusque 1.000 m. et au-delà, il est nécessaire, pour éviter la rupture du câble, de guider le brin conducteur et le brin conduit au moyen de poulies placées à une quarantaine de mètres de distance les unes des autres.
  - Les câbles sont aussi utilisés pour les transports aériens, ils prennent alors le nom de chaînes flottantes. Ils se composent d’un câble porteur qui est fixe et sur lequel se meut
  - Fig. 1
  - h ‘I
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- - une poulie à gorge supportant le fardeau ; ce dernier est mis en mouvement par le câble tracteur qui s’enroule sur deux poulies ou tambours placés à de grandes distances. Sur leur parcours, les câbles sont supportés par des colonnes.
  - 173. Transmission par chaînes. — Nous étudierons successivement :
  - 1° Les chaînes ordinaires ;
  - 2° La chaîne Vaucanson ;
  - 3° La chaîne Galle.
  - 1° Chaînes ordinaires. — Elles sont à mailles -ouvertes (fig 144) ou à mailles étançonnées (fig. 145).
  - L’entraînement se-fait au moyen de poulies spéciales appelées noix à empreintes.
  - Des gorges sont ménagées dans ces poulies de façon à y admettre alternativement les maillons qui se présentent verticalement et ceux qui se présentent à plat.
  - 2° Chaîne de Vaucanson (lig. 146). — Ce genre de chaîne est à maillons détachables ; elle passe dans des pignons dont chaque dent s’engage dans le vide intérieur des maillons.
- p.219 - vue 237/418
- - 220
  - CINÉMATIQUE
  - Elle est utilisée dans les élévateurs à grains, les transporteurs, les monte-charge, etc.
  - 3° Chaîne Galle (fig. 147). — C’est la forme la plus ordinaire.
  - Cette chaîne comprend deux systèmes de flasques plats plus ou moins rapprochés.
  - Une roue dentée agit entre les deux systèmes de flasques et la dent engrène avec le pivot qui en traverse les extrémités.
  - Depuis quelques années, la transmission par chaîne est très employée pour actionner les bicyclettes ; elle entre généralement dans la construction des automobiles.
  - 174. Dimensions proportionnelles des poulies. Jante. — La jante d’une poulie est un peu plus large que le cuir qu’elle doit recevoir. Si nous représentons par L la largeur de la jante et par l la largeur de la courroie nous aurons :
  - L = jj {1 + 0,010 m.).
- p.220 - vue 238/418
- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS
  - La figure ci-dessous nous montre en coupe la forme de la jante. Son épaisseur a sur les rives nous est donnée par la formule :
  - a = 0,7 e + 0,005 D ;
  - e étant l’épaisseur de la courroie et D le diamètre de la
  - poulie. Le bombement de l’extérieur vaut — de la lar
  - 15
  - geur.
  - Bras. — Le nombre de bras dépend du diamètre de la poulie.
  - Jusque 0,60 m. on adopte 4 bras.
  - De 0,60 à 1,50 m., on adopte 6 bras ;
  - — 1,60 à 3 m., — 8 —
  - — 3,20 à 4,50 m., — 10 — .
  - — 4,75 à 6 m., — 12 —
  - -r~i- ^
  - Fig. 149.
  - Les bras sont à section segmentée ou elliptique, leur épaisseur égale la moitié de leur largeur. Ils sont droits ou courbes ; ces derniers présentent l’avantage d’être
- p.221 - vue 239/418
- - 222
  - CINÉMATIQUE
  - moins sujets à la rupture par suite du retrait dû au refroidissement. Les bras droits offrent l’avantage d’étre plus légers et plus résistants.
  - La section des bras va en diminuant du moyeu à la jante.
  - Si nous représentons par h et e la largeur et l’épaisseur du bras, prolongé jusqu’à l’axe vertical, la largeur et l’épaisseur à la jante nous sont données par les formules :
  - 2 2 h et - e.
  - Dans le cas où les bras ont la forme courbe la disposition de ceux-ci est indiquée par la figure 150 dans laquelle : r = 0,577 R.
  - Lorsque les bras affectent la forme d’un S (fig. 151) :
  - /•' = 0,471 R ;
  - /•i = 0,236 R.
  - Moyeu. — La longueur du moyeu nous est donnée 2 2
  - par la formule l = — L c’est-à-dire les - de la jante; o 3
- p.222 - vue 240/418
- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS 223
  - l’épaisseur du moyeu ='0,4 à 0,5 du diamètre de l’arbre.
  - On creuse une rainure dans le moyeu de façon à pouvoir y loger une clavette laquelle rend le mouvement de la poulie solidaire de celui de l’arbre.
  - 175. Engrenages. — Les engrenages servent à transformer un mouvement circulaire continu en circulaire continu.
  - Nous étudierons la dénomination des différentes parties des roues d’engrenages sur la figure suivante.
  - JL
  - Fie. 152.
  - Le cercle 00' est appelé cercle primitif ; la partie située au-dessus de ce cercle est la tête de la dent et la partie située en-dessous est le pied de la dent.
  - La face abcd constitue la base de la dent; le sommet se trouve en efgh. *
  - h' représente la hauteur de la dent, c’est-à-dire la distance entre la base et le sommet.
- p.223 - vue 241/418
- - CINÉMATIQUE
  - La largeur de la dent est la distance comprise entre les faces latérales.
  - L'épaisseur de la dent est la portion de Tare primitif compris entre les flancs latéraux de la dent. Le creux est la distance qui sépare deux dents ; il se mesure sur le cercle primitif. Cette distance est un peu plus grande que l’épaisseur de la dent.
  - Le pas p est la largeur d’un creux augmentée de celle d’une dent ; il est égal à la distance des axes de deux dents consécutives.
  - Comme nous l’avons dit plus haut, le creux de la dent est un peu plus large que son épaisseur ; on donne généralement au pas 2 e + 1 à 2 mm.
  - La largeur des dents est toujours un multiple de l’épaisseur, soit 3, 4, 5 ou 6 fois l’épaisseur.
  - 176. Relation entre les rayons et les nombres de tours. — Si nous considérons les cercles primitifs de deux roues d’engrenages qui se conduisent, nous pouvons remarquer que les vitesses des cercles primitifs sont égales.
  - Fig. 153.
  - La vitesse de la roue :
  - 2 rtRn.
  - V =
  - 60
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- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS 225
  - Celle du pignon :
  - V = 2.7rRn
  - 6Ô~
  - -fN .
  - 60~’ 2wN 60 '
  - 2tc
  - Simplifiant par -- il reste :
  - _ Rn = /-N ; et sous forme de proportion :
  - R N
  - r n '
  - ce qui s’énonce : Les rayons d'une roue et d'un pignon qui se conduisent sont en raison inverse du nombre de tours.
  - Applications : 1. — Un pignon ayant 0,30 m. de rayon et faisant 105 tours reçoit son mouvement d’une roue de 0,90 m. de rayon. Calculer le nombre de tours que fait la roue par minute.
  - Appliquons la formule :
  - R N
  - r n
  - x
  - 0,90 _ 105 0,90 105 x 0,30.
  - 105 x 0,30 (VH)
  - = 35 tours.
  - 2.— Une roue faisant 30 tours et ayant 0,80. m. de
  - M Wilmotte. — Cours de mécanique (2e édit.).
  - 15
- p.225 - vue 243/418
- - 226
  - CINÉMATIQUE
  - rayon, commande un pignon qui fait 120 tours. Quel rayon devra-t-on donner au pignon.
  - R n = rN.
  - R n “N
  - 0,80 x 30
  - Ï2Ô
  - = 0,20 m.
  - 177. Rayon du cercle primitif. — Soit une roue de N dents et de pas p.
  - Il est évident que la circonférence comprend N fois le pas ; d’où, si nous désignons le rayon de la roue par R nous aurons :
  - 2 ttR = N X p.
  - d’où :
  - N X p
  - R = ——- = 0,15915 x N x p.
  - 2i TC
  - Application. — Calculer le rayon du cercle primitif d’une roue de 30 dents ayant 0,010 m. de pas.
  - 30 X 10
  - R = —--------- = 0,15915 x 30 X 10 = 47,745 mm.
  - 178. Distance des centres. — Nous allons calculer le rayon qu’il faut donner à la roue et au pignon pour que la distance des centres étant donnée, nous obtenions un nombre de tours également imposé. Nous pouvons écrire R N
  - que OO' = R + / et que — = — .
  - r n
  - Or, dans toute proportion, la somme des deux premiers termes est au premier ou au deuxième comme la somme des deux derniers est au troisième ou au quatrième :
  - R + r _ N + n r n
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- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS 227
  - ou :
  - OO' N + n
  - (T où- :
  - et :
  - r
  - 00' x n N + n.'
  - R - 00' — c.
  - fl J [2 J
  - Fig. 154.
  - Application. — L’écartement des centres d’un pignon et d’une roue est de 0,90 m. Sachant qu’ils font respectivement 100 et 25 tours, calculer les rayons de la roue et du pignon.
  - Les formules [1 ] et [2] nous donnent :
  - 0,90 X 25 100 + 25
  - 0,18 m.
  - R = 0,90 — 0,18 = 0,72 m.
  - 179. Dimensions des roues d’engrenages. — Il
  - importe d’abord de calculer l’épaisseur des dents dont toutes les autres dimensions dépendent.
  - L’épaisseur des dents dépend de l’effort à transmettre.
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- - 228
  - A
  - CINÉMATIQUE
  - Représentons par P cet effort en kilogrammes, par G le coefficient de résistance du métal employé, par centimètre carré, par Zda largeur de la dent. L’épaisseur est donnée par la formule : .
  - 8 P
  - e X l = — -
  - La valeur de G étant :
  - Pour la fonte 200 kg.
  - — l’acier 500 —
  - — le bois 50 —
  - Le plus généralement, l — b e. Dans ce cas :
  - e == 0,09 y/P pour la fonte,
  - 0,06 y/P — l’acier,
  - 0,15 P — le bois.
  - 4
  - La hauteur de la dent vaut les - de l’épaisseur.
  - O
  - La largeur est un multiple de l’épaisseur ; elle vaut ordinairement 5 fois celle-ci.
  - L’épaisseur ou cercle de pied est à peu près égale à l’épaisseur du cercle primitif multipliée par 1,25.
  - On donne à la jante la longueur des dents ; on obtient son épaisseur en multipliant celle des dents par 1,25.
  - Lorsque le diamètre ne dépasse pas 1,5 rn., on met quatre bras ; on met six bras pour les diamètres de 1,5 m. à 4 m.
  - Si P est l’effort à transmettre exprimé en kilogrammes, e l’épaisseur des bras, Z leur largeur en centimètres, prise suivant l’axe de la roue, G le coefficient de résistance par centimètre carré et r le rayon du cercle primitif en mètres, nous aurons la relation :
  - f 6 IV
  - • Z X e2 =
  - G
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- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS 229
  - b
  - La largeur du moyeu vaut les - de celle de la jante :
  - son diamètre nous est donné par la formule :
  - d = 2, 2 d' + 2 cm.
  - Lorsqu’on connaît l’épaisseur des dents il faut déterminer le nombre de dents à placer sur les cercles primitifs des deux engrenages.
  - Il peut arriver que le pas ne soit pas contenu un nombre exact de fois dans les circonférences des cercles primitifs. Dans ce cas on se gardera bien de diminuer l’épaisseur des dents, ce qui pourrait compromettre leur résistance. Il faudra donc diminuer le nombre des dents tout en maintenant la vitesse requise par les engrenages.
  - Application. — Une arbre moteur faisant 30 tours par minute doit transmettre une puissance de 24 chevaux à un autre arbre qui doit faire 38 tours par minute.
  - Sachant que la distance des axes est de 1,70 m., calculer les dimensions des engrenages.
  - Déterminons d’abord les rayons des cercles primitifs.
  - Nous les obtiendrons au moyen de la formule précédemment étudiée :
  - 00' X n N + n 1,7 x 30 38 + 30
  - 75 cm.
  - R = 1,70 — 75 = 95 cm.
  - La roue devant transmettre 24 chevaux, le travail par seconde sera de 75 X 24 = 1.800 kg.
  - Le chemin parcouru par chaque point de la circonférence de la roue en l’unité de temps est :
  - 2 x 3,14 x 0,95 x 30
  - = 2,983 m.
  - 60
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- - 230
  - CINÉMATIQUE
  - Les dents supportent donc un effort de :
  - '1.800 : 2,983 - 604 kg.
  - Nous trouverons l’épaisseur par l’application de la formule :
  - 8 P
  - e x 1 = ~c '
  - Il s’agit d’engrenages en fonte, donc :
  - C - 200
  - 8 x 604
  - e x 1 =
  - 200
  - prenant / = 6 e nous aurons :
  - e X 6 e —
  - 6 c2 —
  - 8 x 604
  - 2ÔÔ
  - S X 604 200
  - d où
  - e —
  - /8 X 604
  - V 2ÔÔ1T7; = 2’006 cm'
  - Le pas est donc égal à :
  - 2,006 X 2,1 = 4,2126 cm.
  - Voyons combien de dents nous devrons placer sur la
  - roue.
  - La longueur de la circonférence du cercle primitif est : 95 X 2 X 3,14 et la roue aura :
  - 95 x 2 x 3,14
  - 4,2116 = ^ (*ents‘
  - Le pignon aura : I è
  - 75 x 2 x 3,14
  - 4,2216 —HZ dents.
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- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS 231
  - L’épaisseur du cercle de pied. :
  - = 2,006 x J ,25 - 2,5075 cm.
  - La hauteur des dents vaut :
  - 2,006 X 4
  - 3
  - = 2,675 cm
  - et leur largeur :
  - = 2,006 X 5 = 10,030 cm.
  - Nous avons vu que la largeur de la jante est la meme que celle des dents, donc 10,030 cm.
  - L’épaisseur de la jante est :
  - 2,006 x 1,25 = 2,5075 cm.
  - Supposons que la largeur des bras soit égale à 5 fois leur épaisseur, nous déduirons la valeur de cette épaisseur, de la formule :
  - 6 IV
  - l X c2 =
  - 5 e X c2 =
  - G
  - 6 x 604 x 0,95 200
  - ” = V
  - ' (> x 604 x 0,95
  - = 1,51 cm.
  - 200 x 5
  - la largeur des bras de la roue est don ' :
  - O
  - 1,51 x 5 - 7,55 cm.
  - Le rayon du pignon est de 0,75 m. ; l’épaisseur des bras du pignon :
  - 6 x 604 x 0,75
  - 200 X 5
  - la largeur des bras du pignon :
  - - J ,39 cm.
  - 1,39 x 5 = 6,95 cm.
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- - 232
  - CINÉMATIQUE
  - La largeur du moyeu des deux roues est égale aux -
  - 5
  - de celle de la jante, soit :
  - 10,030 x 5
  - ------;---- —^ 12,53 cm.
  - Si les arbres ont 14 cm. de diamètre, le diamètre des moyeux est :
  - 14 x 2,2 + 2 = 32,8 cm.
  - 180. Engrenages côniques. — Ils sont employés lorsque les axes sont perpendiculaires ou inclinés. L’épaisseur des dents diminue de la base du cône au sommet. Les dimensions se déterminent comme s’il s’agissait d’engrenages cylindriques mais l’épaisseur calculée se rapporte à l’épaisseur la plus faible.
  - 181. Pertes dues aux résistances passives. — Le
  - frottement des dents n’absorbe qu’une très faible partie du travail transmis. Il ne faut guère tenir compte que de la perte due au frottement des tourillons. On peut donc estimer que la perte du travail est d’environ de 4 à 5 %.
  - 182. Tracé des engrenages. — L’étude du tracé des engrenages appartient au cours de dessin. Nous nous bornerons à citer et à définir les courbes servant à ce tracé ; ce sont :
  - 1° La cycloïde, courbe décrite par un point d’une circonférence, qui roule sur une droite ;
  - 2° L' épicycloïde, courbe tracée par un point d’une circonférence, qui roule à l’extérieur d’une autre circonférence ;
  - 3° IJhypocycloide, courbe obtenue par un point d’une
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- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS 233
  - circonférence qui roule à l’intérieur d’une autre circonférence ;
  - 4° La développante de cercle, que l’on obtient en déroulant un fd autour d’une circonférence.
  - RECTILIGNE ALTERNATIF EN CIRCULAIRE CONTINU
  - 183. — Cette transformation se fait le plus ordinairement au moyen du mécanisme bielle et manivelle ; nous
  - \
  - r
  - Fig. 155.
  - en avons l’application dans la machine à vapeur. Le piston P se déplace d’un mouvement rectiligne alternatif et transmet un mouvement circulaire continu à l’arbre O, par l’intermédiaire de la manivelle M liée à la crosse de piston C par la bielle B.
  - CIRCULAIRE CONTINU EN RECTILIGNE ALTERNATIF
  - 184. — Cette transformation peut se faire :
  - 1° A l’aide d’excentriques ;
  - 2° — de cames.
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- - 234'
  - CINÉMATIQUE
  - *185. Excentriques. — Les excentriques constituent l’un des organes de transmission les plus employés. Ils servent à transformer le mouvement circulaire continu
  - Fig. 156.
  - en rectiligne alternatif. Le mouvement inverse ne peut être produit à cause des résistances occasionnées par le frottement.
  - Les excentriques sont surtout employés dans les machines à vapeur pour mouvoir les tiroirs de distribution.
  - L’excentrique circulaire comprend :
  - 1° Un disque excentré D calé sur l’arbre moteur O ;
  - 2° Un collier d'excentrique G en deux parties, assemblées par des boulons pour faciliter le montage ;
  - 3° Une barre ou bielle d,'excentrique B reliant le collier à la tige guidée recevant le mouvement rectiligne.
  - Cette tige commande généralement un tiroir à vapeur.
  - Le mouvement de l’excentrique se ramène à celui de la bielle et manivelle.
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- - PRODUCTION ET TRANSFORMATION DES MOUVEMENTS 235
  - En effet, représentons par O le centre du plateau ; les droites OE et BE conservent des longueurs constantes pendant la marche.
  - Le mouvement de la tige guidée BT est donc le même que si elle était entraînée par une bielle BE et une manivelle OE.
  - 186. Cames. — On entend par came toute pièce saillante calée sur un arbre et destinée à transformer sop mouvement circulaire continu en rectiligne alternatif d’une tige guidée, parfois aussi en circulaire alternatif d’un levier.
  - Les cames étant calées convenablement sur les arbres des cames, permettent d’obtenir le mouvement alternatif de la tige ou du levier et au moment voulu.
  - Leur emploi est tout indiqué pour la commande des organes assujettis à fonctionner à un moment déterminé par rapport à d’autres organes, par exemple, les soupapes d’admission et d’échappement des moteurs.
  - Les cames les plus usitées sont :
  - 1° La came en cœur qui communique à la tige un mouvement uniforme pendant la montée et la descente.
  - La courbe des espaces est formée de deux droites dont l’ordonnée du sommet égale la course à produire ;
  - 2° La came Morin qui a pour but d’éviter les chocs
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- - 236
  - CINÉMATIQUE
  - produits par la came en cœur à la fin de la montée et de la descente.
  - Pendant la première moitié de la montée on communique à la tige un mouvement uniformément accéléré ; pendant la seconde moitié le mouvement est uniformément retardé de telle sorte que la vitesse, nulle au départ, soit encore nulle à l’arrivée. Ce dispositif facilite le changement de sens du mouvement ;
  - 3° La came à chute qui transforme le mouvement de rotation continu en rectiligne alternatif intermittent.
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- - CHAPITRE XVIII
  - RÉSISTANCE AUX MOUVEMENTS
  - 187. — Les causes qui modifient l’état de mouvement des corps sont :
  - 1° Le frottement ;
  - 2° La raideur des cordes ;
  - 3° La résistance des fluides.
  - 188. Frottement. — On appelle force de froltemeiil la résistance qui s’oppose au mouvement de deux surfaces •l’une sur l’autre.
  - Elle est dirigée en sens contraire du mouvement. Cette résistance provient des aspérités existant à la surface des corps, même les mieux polis, et des déformations qui se produisent par compression sur les corps, même les plus durs.
  - Nous distinguons deux sortes de frottement :
  - 1° Le frottement de glissement ;
  - 2° Le frottement de roulement.
  - 189. Frottement de glissement. — Coulomb et Morin ont déduit de leurs expériences les lois suivantes :
  - 1° La force de frottement au glissement est proportionnelle à la pression normale ;
  - 2° Elle est indépendante de l’étendue des surfaces en contact ;
  - 3° Elle est indépendante de la vitesse pendant le mouvement ;
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- - 238
  - CINÉMATIQUE
  - 4° Elle dépend de la nature des surfaces en contact ;
  - 5° Le frottement au départ est plus grand que pendant le mouvement.
  - lre Loi. La force de frottement au glissement est proportionnelle à la pression normale. — Si une pression normale N, produit un frottement F, une pression double produira un frottement double, donc :
  - F _ 2 F 3 F "N = 2~N = 3N '
  - Nous en concluons que pour des corps de même nature le rapport du frottement F à la pression normale N est une quantité constante appelée coefficient de frottement et que Ton désigne par /.
  - / = l- d’où F - N/.
  - Donc le frottement est égal à la pression normale mul-' tipliée par le coefficient de frottement.
  - Angle de frottement. — L’intensité du frottement peut . aussi se mesurer par l’angle de frottement.
  - Soit un solide de poids Q reposant sur un plan horizontal (fig. 158) ; n’étant soumis qu’à l’action de son poids la réaction N du plan sera égale et directement opposée à Q.
  - Appliquons au point de contact A du corps avec le plan une force P qui ne puisse être augmentée sans que le solide ne se mette en mouvement. Cette force P est égale et directement opposée à la force F du frottement de départ.
  - Nous pouvons remplacer les forces N et F par leur résultante R et dès lors le corps est soumis à l’action des forces :
  - P, Q et R.
  - Pour que le corps soit en équilibre sous l’action de ces
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- - RÉSISTANCE AUX MOUVEMENTS
  - 239
  - trois forces il faut que la résultante de P et Q soit égale et directement opposée à R. L’angle a déterminé par la normale et la réaction R se nomme angle de frottement dont la valeur est déterminée par la trigonométrie en fonction du coefficient de frottement :
  - / = tg. NAR = tga.
  - Fig. 158.
  - 21' Loi. Le frottement est indépendant de Vétendue des surfaces en contact. — Cette loi n’est vraie que pour autant que la pression par unité de surface ne dépasse pas certaines limites.
  - Ainsi un corps pesant 150 kg. en contact avec une surface plane par une face de 15 cm2 exerce sur chaque cm2 une pression de 10 kg. ; si la surface de contact est
  - 150
  - de 25 cm2, la pression ne sera plus que —— = 6 kg. par
  - cm2. Dans les deux cas la pression est de 150 kg.
  - Dans les machines, la pression ne dépasse pas 60 kg. par cm2 dans les paliers, 15 kg. dans les glissières et 100 kg. dans les bielles.
  - En général, on se tient assez loin de ces limites.
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- - 240
  - CINÉMATIQUE
  - i
  - 3e Loi. L e frottement est indépendant de la oit esse. — Morin a vérifié cette loi pour des vitesses ne dépassant pas 4 m. par seconde.
  - Des expériences récentes prouvent que, lorsque la vitesse atteint 20 m. par seconde, le frottement diminue sensiblement à mesure que la vitesse augmente.
  - 42 Loi. Le frottement dépend de la nature des surfaces en contact.—Il diminue lorsque les corps sont de natures différentes. Il varie aussi avec le poli des surfaces et avec la-nature des enduits lubrifiants.
  - 5e Loi. Le frottement au départ est généralement plus grand que pendant la marche. — Les rugosités des surfaces en contact ont eu le temps et la facilité de se pénétrer pendant le repos. Pendant la marche ce fait ne se produit pas aussi facilement. Pour les corps durs, cette différence est négligeable.
  - Nous trouverons dans le tableau suivant les valeurs moyennes du frottement de glissement ainsi que les .angles de frottement pour diverses espèces de surfaces.
  - Application. — Un bloc de métal pesant 600 kg. repose sur une surface en bois sans enduit ; calculer l’effort horizontal qu’il faudra exercer après lui avoir fait prendre une certaine vitesse pour que son mouvement devienne uniforme.
  - Le rapport du frottement à la pression de métal sur bois sans enduit est de 0,42.
  - Le frottement sera donc :
  - 600 x 0,42 = 252 kg.
  - Si les corps en contact étaient graissés le frottement serait : i
  - 600 x 0,08 = 48 kg.
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- - Couru de mécanique (2e édit.).
  - Frottement de glissement.
  - NATURE DES SURFACES ] EN CONTACT ETAT DES SURFACES FROT' AU I>1 / TE ME NT U CPA U T E GLISSE!\ puni LE MOU r IENT IIANT VEMENT
  - Chêne sur chêne Sans enduit 0,56 29°, 15' 0,36 19°, 18'
  - — Mouillées d’eau 0,71 35,23 0,25 14,3
  - — Enduit de savon sec 0,44 23,45 0,16 9,6
  - — Enduit de suif 0,19 10,46 0,07 4,35
  - Fer sur chêne Sans enduit 0,62 31,48 0,42 22,22
  - — Mouillées d’eau 0,65 33,2 0,26 14,35
  - — Enduit de suif 0,12 6,51 0,08 4,40
  - Courroie en cuir sur poulie en fonte Sans.enduit 0,28 15,39 0,56 29,15
  - — — Mouillées d’eau 0,38 20,49 0,36 19,48
  - Métaux sur métaux Sans enduit 0,18 10,13 0,19 10,46
  - — Enduit de saindoux 0,10 6,0 0,09 4,50
  - — . . ... Avec huile d’olives 0,12 6,51 0,07 4,35
  - Cordes en chanvre sur bois .... Sans enduit 0,62 31,48 0,45 24,14
  - — 7 — fer Enduit de suif 0,19 10,46 0,15 8,32
- p.241 - vue 259/418
- - 242
  - CINÉMATIQUE
  - Tableau des coefficients de frottement des tourillons en mouvement sur leurs coussinets.
  - RAPPORT !
  - DU FROTTEMENT i
  - à la pression
  - NATURE DES SURFACES :
  - EN CONTACT ENDUIT GRAS renouvelé àlamanière ordinaire ENDUIT GRAS | sans cesse ; renouvelé
  - Tourillons : En fonte sur coussinets en fonte . . . 0,075 0,054 1
  - — — — bronze. . . 0,075 0,054
  - En fer — — fonte . . . 0,075 0,054
  - — — — bronze. . . 0,075 0,054
  - En bronze — — fonte . . . 0,100 0,070
  - — — — bronze. . . *0,080 0,050
  - 190. Travail du frottement des tourillons. — Si P
  - est la charge sur le tourillon, /, le coefficient de frottement du tourillon dans le coussinet, la résistance au frottement est P/.
  - Pour un tour cette résistance eèt 2tcR X P/ et si le tourillon fait n tours par minute la perte de puissance due au frottement est :
  - 2ttR X P/ X n 60 '
  - Nous voyons par cette formule que le travail de frottement croît avec la pression, sur le tourillon, avec le rayon du tourillon et avec le nombre de tours.
  - Pour les organes de rotation, il faut donc veiller :
  - 1° A ne pas augmenter la pression aux tourillons par un accroissement de poids inutile ;
- p.242 - vue 260/418
- - RÉSISTANCE AUX MOUVEMENTS
  - 243
  - 2° A ne donner aux tourillons que le diamètre nécessaire à la résistance et au bon fonctionnement ;
  - 3° A réduire autant que possible la vitesse de rotation.
  - 191. Frottement de roulement. — Si nous voulons faire rouler un cylindre sur une surface plane, il est nécessaire, pour maintenir le mouvement uniforme, de dépenser une certaine force. La nécessité d’exercer cette force provient de ce que le corps présente une résistance au roulement.
  - Fig. 159.
  - Coulomb et Morin ont étudié ce genre de frottement au moyen de l’appareil représenté (üg. 159).
  - Cet appareil se compose d’un cylindre roulant, par des tourillons d’extrémité, sur deux madriers horizontaux M et M'. Un cordon enroulé deux fois autour du cylindre
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- - 244
  - CINÉMATIQUE
  - J!
  - porte à ses extrémités deux poids égaux. L’appareil est mis en marche au moyen d’un poids supplémentaire p que l’on ajoute en P par exemple.
  - Pour trouver les lois du frottement de roulement Jes physiciens ont fait plusieurs expériences en changeant la nature des surfaces en contact et le diamètre des tourillons.
  - lrc Loi. — La résistance au roulement P est proportionnelle à la charge Q.
  - 2e Loi. — La résistance au roulement est en raison inverse des rayons des rouleaux.
  - Ces lois se traduisent par la formule :
  - P = fr X
  - Q
  - R’
  - // représentant le coefficient de frottement de roulement/ Les coefficients de roulement sont plus faibles que les coefficients de glissement ; c’est pourquoi on cherche à substituer le roulement au glissement.
  - 192. Raideur des cordes..— Jusqu’ici nous avons supposé que les cordes employées dans les transmissions sont parfaitement flexibles et qu’il ne faut aucun effort pour rouler ces cordes autour des machines. Cette supposition est inadmissible en pratique étant donné qu’il y a dans les cordes différents degrés de flexibilité.
  - A égalité de tension entre deux cordes, la plus mince est la plus flexible ; si au contraire la tension n’est pas la même, la corde tendue s’enroule moins facilement. Plus les fils sont tordus, moins ils sont flexibles ; plus le diamètre du cylindre est! grand plus petit sera l’effort à déployer pour y enrouler une corde.
  - Considérons une corde MBCN dans la gorge d’une
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- - RÉSISTANCE AUX MOUVEMENTS
  - 245
  - poulie fixe O portant à l’une de ses extrémités une charge Q et à l’autre supportant une puissance P.
  - Si la corde était parfaitement flexible, M et X pren-
  - Fig. 160.
  - ciraient des directions verticales et l’équation d’équilibre serait :
  - QR = PR.
  - Les cordes n’étant pas absolument flexibles, il se fait que ces cordons peuvent se maintenir dans une position non verticale et nous avons dès lors comme équation d’équilibre :
  - Q (R + d) = PR.
  - Coulomb a déduit de ses expériences que la raideur des cordes se compose de deux parties dont l’une nommée raison naturelle est indépendante de la charge Q et dont l’autre est proportionnelle à la charge ; il l’a nommée pour cette raison raideur proportionnelle. 11. a de plus observé que la raideur est en raison inverse du diamètre
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- - 246
  - CINÉMATIQUE
  - du cylindre ou de la poulie sur laquelle s’enroule la corde.
  - Si nous représentons par Q la charge ou la tension de la corde, par D le diamètre du tambour augmenté de celui de la corde, par A et B les coefficients de raideur naturelle et proportionnelle, la raideur R de la corde nous sera donnée par la formule :
  - A + BQ
  - d 1 x
  - NOMBRE DE FILS DE CARETsj cor F < DES BLANCHES VALEUR DELA RAIDEUR CORI H 'S JE S GOUDKONNÉES VALEUR DE LA RAIDEUR
  - naturelle A proportionnelle B naturelle A propirlionnelle B
  - 1 0,0089 0,0106038 0,002678 0,0105 0,021201 0,002512992
  - 9 0,0110 0,0225207 0,003267 0,0129 0,041143 0,003769488
  - 12 0,0127 0,0388476 0,004356 0,0149 0,067314 0,005025984
  - 15 0,0141 0,0595845 0,005445 0,0167 0,097712 0,006282480
  - 18 0,0155 0,0847314 0,006534 0,0183 0,138339 0,007538976
  - 21 0,0168 0,1142883 0,007623 0,0198 0,183193 0,008795472
  - 24 0,0179 0,1482552 0,008712 0,0211 0,234276 0,010051968
  - 2; 0,0190 0,1866321 0,009801 0,0224 0,291586 0,011808464
  - 30 0,0200 0,2294190 0,010890 0,0236 0,355125 0,012564963
  - 33 0,0210 0,2766159 0,011979 0,0247 0,424891 0,013821456
  - 36 0,0220 0,3282288 0,013068 0,0258 0,500886 0,015077952
  - 39 0,0228 0,4842397 0,014157 0,0268 0,534108 0,016334448
  - 42 0,0237 0,5466666 0,015216 0,0279 0,671559 0,017590944
  - 45 0,0246 0,3095035 0,016335 0,0289 0,766237 0,018847449
  - 48 0,0254 0,5787504 0,017424 0,0298 0,867144 0,020.103936
  - 51 0,0261 0,6524075 0,018513 0,0308 0,974278 0,021360432
  - 54 0,0268 0,7304742 0,019602 0,0316 1,078641 0,022616928
  - 57 0,0276 0,8129511 0,020691 0,0326 1,207231 0,023873424
  - 60 0,0283 0,8998380 0,021780 0,0334 1,333050 0,025120960
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- - RÉSISTANCE AUX MOUVEMENTS
  - 24:
  - Le tableau ci-contre dû au général Morin nous donne la valeur des coefficients de raideur naturelle et proportionnelle pour des cordes sèches, neuves, blanches ou goudronnées.
  - 11 faut tenir compte dans les machines des résistances passives qui absorbent une partie du travail. Ces coefh-cients sont d’autant plus élevés que les machines sont moins précises. Le tableau suivant nous donne la valeur des coefficients dont il faut tenir compte pour des mécanismes qui ne sont pas de grande précision.
  - Poulie fixe .............................20 %-
  - — mobile............................30 —
  - — niouflée..........................45 -
  - Treuil sans engrenages...................25 -
  - — avec engrenages...................40 -
  - Cric.....................................40 -
  - Grue. .'.................................50 -
  - Vis sans fin.............................60 —
  - 193. Résistances des fluides. — On entend par résistance des fluides, la force qui tend à s’opposer au mouvement relatif des corps solides par rapport aux fluides à la surface desquels ils flottent ou dans lesquels ils sont plongés. Lorsqu’un corps se meut dans un fluide tel que l’eau ou l’air il en déplace les molécules avec une vitesse proportionnelle à la sienne propre.
  - Les physiciens ont reconnu que la résistance opposée par un fluide au mouvement relatif d’un corps est, dans tous les cas, proportionnelle au carré de la vitesse relative du corps en mouvement, soit dans l’eau, soit dans l’air.
  - Iv étant le coefficient, déterminé expérimentalement;
  - A l’aire de la section droite du corps immergé;
  - V la vitesse du corps;
  - La formule devient :
  - R = K AV2.
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- - TROISIÈME PARTIE
  - DYNAMIQUE
  - Nous étudierons, dans cette troisième partie du cours, les relations qui existent entre les forces et les mouvements qu’elles produisent.
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- - CHAPITRE XIX
  - TRAVAIL DES FORCES
  - 194. — Lorsqu’un ouvrier transporte un poids à une certaine distance, nous disons qu’il développe un travail dont la valeur nous est donnée par le produit du poids en kilogrammes par le chemin parcouru en mètres.
  - Si nous soulevons un poids de 1 kg., à 1 m. de hauteur, nous développons un travail de 1 kilogrammètre. Ce travail est adopté comme unité de travail mécanique.
  - Si donc nous élevons un fardeau de 25 kg., à 4 m. de hauteur, nous développons un travail de 25 X 4 = 100 kgm.
  - o
  - Remarque. — Cette évaluation en kilogrammètres se fait indépendamment du temps.
  - 195. Puissance d’une machine. — Une même puissance peut être fournie par deux machines en des temps différents ; il est évident que celle des deux machines qui fournira cette puissance en moins de temps, sera supérieure à l’autre.
  - Il faut donc, dans l’évaluation de la puissance d’une machine, tenir compte du temps employé à la production du travail.
  - L'unité de puissance mécanique adoptée est le cheval-vapeur. qui correspond au travail nécessaire pour élever en une seconde 75 kg. à 1 m. de hauteur.
  - Le signe abréviatif de cheval-vapeur est HP.
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- - 252
  - DYNAMIQUE
  - Applications, 1. — Calculer en HP la puissance d’une machine qui élève un poids de 600 kg. à 3 m. de hauteur en trois secondes.
  - Le travail mécanique produit est de :
  - 600 X 3 = 1.800 kgm.
  - Ce travail a été produit en trois secondes, d’où en une 1.800
  - .seconde —— = 600 kgm.
  - tJ
  - La puissance de la machine est donc :
  - 600
  - 75
  - = 8 HP.
  - 2. — Déterminer en chevaux-vapeur la puissance d’une machine d’épuisement, qui élève 9 m3 d’eau à 200 m. de hauteur par minute.
  - 9 m3 d’eau pèsent 9.000 kg.
  - Le travail en kilogrammètres par minute =
  - 9.000 x 200 = 1.800.000 kgm.
  - et par seconde :
  - 1.800.000
  - ---—— = 30.000 kgm.
  - 60
  - La puissance est donc :
  - ' 30.000
  - - — = 400 1IP.
  - / o
  - 3. — Un ouvrier actionne une manivelle de 45 cm. de longueur avec une force de 25 kg. Sachant qu’il fait effectuer 25 tours par minute, calculer :
  - 1° Le travail qu’il fournit par minute ;
  - i
  - 2° La puissance développée.
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- - TRAVAIL MÉCANIQUE
  - Le trajet parcouru pour un tour est :
  - 2izr = 2 x 3,14 x 0,45 = 2,826 m. ; pour 25 tours :
  - = 2,826 x 25 — 70,65 m.
  - Le travail est donc :
  - 70,65 x 25 = 1.766,25 kgm. par minute La puissance égale :
  - 1.766,25
  - = 29,4375 kgm.
  - 60
  - 4. —Calculer la puissance d’une chute d’eau de 10 m. de hauteur débitant 3.600 m3 à l’heure.
  - Le poids de l’eau débitée par heure :
  - - = 3.600.000 kg. et en une seconde : .
  - 3.600.000 60 x 60
  - 1.000 kg.
  - Le travail développé par seconde est donc :
  - 1.000 x 10 — 10.000 kgm. et la puissance en HP :
  - 10.000
  - = 133,33 HP.
  - 75
  - 5. — Le piston du cylindre d’une machine à vapeur a 0,50 m. de diamètre ; la course du piston est de 0,80 m. et la pression de la vapeur dans le cylindre atteint 4 atmosphères. Calculer le travail en kilogrammmètres de cette-machine et sa puissance en HP.
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- - 254 .V DYNAMIQUE
  - La surface du piston est de :
  - 7tD2 3,14 x 0,50
  - 4
  - = 1.962,5 cm2.
  - La pression sur 1 cm2 de section est de :
  - 1,033 x 4 = 4,132 kg. d’où sur 1.962,5 cm2 la pression sera :
  - 1.962,5 x 4,132 = 8.109,05 kg.
  - Le. chemin parcouru étant :
  - I 0,80,
  - le travail développé sera : •
  - 8.109,05 x 0,80 = 6.487,240 kgm.
  - or, 1 11P vaut 75 kgm.
  - Donc la puissance de cette machine est de : 6.487,24
  - 75
  - 86 IIP.
  - 196. Comparaison du cheval de trait au HP. — Il
  - ne faut pas croire que le travail développé par un IIP est le même que celui développé par un cheval de trait.
  - Un cheval de trait ordinaire ne peut fournir qu’un travail de 40 kgm. en ne travaillant que huit heures par jour.
  - La machine produit au contraire un travail continu ; donc, le travail d’un HP sera en un jour :
  - 75 kgm. x 24 h. x 60' X 60" = 6.480.000 kgm.
  - Le cheval de trait fournira en un jour :
  - 40 kgm. X 8 h. x 60' x 60" = 1.152.000 kgm.
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- - TRAVAIL MÉCAXI
  - D’où le rapport :
  - 6.480.000
  - EïSïôôô “ 5’6 enïil'on'
  - Donc le cheval vapeur vaut environ 5,6 chevaux de trait.
  - 197. Cheval-heure. —r Cette unité dérivée du HP correspond au travail développé par une machine de un HP pendant une heure. Elle est égale à :
  - 75 x 60 X 60 — 270.000 kgm.
  - Ex. Une machine à vapeur consomme environ 1 kg. de houille à 8.000 calories (voir n° 199) par cheval-heure. La consommation d’un moteur à gaz pauvre est de 500 gr. d’anthracite par cheval-heure.
  - 4
  - 198. Poncelet. — Cette désignation pour l’évaluation du travail des machines correspond à un travail de 100 kgm en une seconde. Cette unité, bien que plus conforme au système décimal, est peu employée.
  - 199. Calorie. — On entend par là la quantité de chaleur, nécessaire pour élever de 1° la température d’un kilogramme d’eau distillée.
  - La calorie est l’unité d’énergie thermique ; on peut la transformer en énergie mécanique, sachant qu’elle est capable d’effectuer un travail de 425 kgm.
  - Ce travail est appelé équivalent mécanique de la chaleur.
  - Nous pouvons déduire de cette donnée que le cheval-270.000
  - heure vaut ——— = 635 calories.
  - 42o
  - 0
  - Remarque------On distingue la grande calorie, qui est
  - celle que nous venons de définir et la petite calorie qui vaut 0,425 km. La première est d’un emploi plus pratique.
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- - 250
  - DYNAMIQUE
  - 200. Relations entre les unités électriques et les unités thermiques et mécaniques. — Joule, physicien anglais, a adopté une unité de travail électrique qui porte
  - 1 .
  - son nom et qui vaut 0,102 kgm. soit — de kilogrammètre
  - i 10
  - environ. C’est le travail nécessaire pour élever,. 102 gr. à 1 m. de hauteur.
  - L’unité de puissance électrique est le Watt qui correspond à la puissance d’une machine capable d’effectuer un travail de 1 Joule par seconde,soit un travail de 0,102 kgm. en une seconde.
  - Le kilowatt vaut 1.000 joules seconde.
  - . En résumé nous avons donc : l’unité de travail électrique est le joule et l’unité de puissance électrique, le watt. 1 watt = i joule-seconde == 0,102 kgm.-seconde.
  - 1 kilowatt = 1.000 joules-seconde = 102 kgm.-seconde. Ces données nous permettent d’établir la relation existant entre le cheval-vapeur et le watt :
  - 0,102 kgm. = 1 joule
  - 1 kgm.
  - 1
  - 0,102
  - 9,81-joules
  - or 1 HP = 75 kgm.-seconde.
  - 1 HP = 9,81 x 75 = 735,75 = 736 joules seconde =-
  - 736 watts.
  - Un cheval-vapeur correspond donc à une puissance de 736 watts :
  - 1
  - i watt .= — = 0,00136 H P /36
  - 1 kilowatt = 1,36 HP.
  - D’où une puissance de 100 kw. équivaut à 136 I1P.
  - Le kilowatt tend à être de plus en plus adopté comme unité de puissance dans les installations où l’on emploie des machines électriques.
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- - TRAVAIL MÉCANIQUE
  - 2oJ
  - Nous dirons quelques mots des unités complémentaires : le volt, le coulomb et l’ampère.
  - Le volt est l’unité d’énergie électrique servant à établir le potentiel produit par le générateur d’électricité.
  - D’une façon générale, le potentiel est une somme d’énergie accumulée.
  - Pour l’énergie mécanique ce sera par exemple, une certaine quantité d’eau élevée à une certaine hauteur ; pour l’énergie thermique, le nombre de calories emmagasinées dans l’eau d’une chaudière.
  - En électricité on désigne aussi le potentiel par les mots : tension, force électromotrice, voltage.
  - Il 11e suffit pas, pour déterminer la puissance d'une chute d’eau, d’en connaître la hauteur. 11 faut aussi savoir la quantité d’eau tombant par seconde. Nous pouvons comparer la quantité (Vélectricité à la quantité (Veau.
  - De même que l’unité de poids est le kilogramme, l’unité de quantité d’électricité porte le nom de coulomb.
  - Nous avons la formule :
  - i coulomb X 1 volt = 1 joule, c’est-à-dire :
  - Un coulomb tombant d’une hauteur d’un volt, rend disponible (sous une forme quelconque) une quantité d’énergie égale à un joule.
  - L’intensité d’un courant électrique est la quantité d’électricité transportée par seconde.
  - L’unité d’intensité est Y ampère qui équivaut à un coulomb par seconde.
  - Nous dirons donc qu’un courant a une intensité de 1 ampère lorsqu’il transporte un coulomb par seconde ; réciproquement, un coulomb est la quantité d’électricité que transporte, pendant une seconde, un courant d’un ampère.
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2° 6dit.)«
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- - 258
  - DYNAMIQUE
  - On désigne souvent par débit d’un générateur d’électricité l’intensité du courant qu’il fournit, par analogie avec le débit ou dépense d’eau ou de vapeur, c’est-à-dire le volume d’eau oü de vapeur débité par seconde. Etablissons les relations existant entre les unités étudiées :
  - 1 ampère — 1 coulomb-seconde.
  - Nous avons aussi :
  - 1 coulomb-seconde x 1 volt = 1 joule-seconde.
  - 1 joule-seconde — 1 watt.
  - D’où :
  - 1 amp. X 1 volt = i watt.
  - Nous avons vu que le HP vaut 736 watts. Déterminons la puissance d’un appareil électrique en watts, kilowatts et HP.
  - La puissance en watts d’un appareil électrique est égale au produit de son intensité en ampères par sa force électromotrice en volts.
  - Désignons par :
  - W la puissance en watts ;
  - I l’intensité en ampères ;
  - E la force électrotrice en volts ;
  - N la puissance en HP.
  - . * sv
  - Nous aurons :
  - W = I X E 1 IIP = 736 watts i ,
  - d’où 1 watt = —— du HP.
  - 736
  - La puissance en IIP :
  - .! *
  - N ! 736 1 X E
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- - TRAVAIL MÉCANIQUE
  - 259
  - Remarque. — On peut écrire approximativement :
  - 1 cheval-vapeur —
  - 4
  - 1 kilowatt = - IIP.
  - O
  - 750 watts =
  - /
  - - kilowatt et 4
  - Application. — Un groupe chaudière-machine à vapeur consomme 900 gT. de houille par cheval-heure. Sachant que la combustion dans l’air de 1 gr. de houille dégage 7.000 petites calories, trouver la valeur du rendement?
  - L’énergie mécanique produite par la machine en une heure est égale à 1 clieval-heure.
  - Soit :
  - 75 x 60' X 60" = 270.000 kgm.
  - L’énergie calorifique dépensée dans la chaudière, en. une heure, est égale à
  - 900 x 7.000 calories x 0,425 = 2.677.500 kgm.
  - Or le rendement est égal au rapport entre l’énergie mécanique produite par la machine et l’énergie calorifique dépensée dans la chaudière, soit :
  - 270.000
  - 2lÏ77Sro = 0’10envil'on-
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- - CHAPITRE XX
  - TRAVAIL D’UNE FORCE CONSTANTE
  - 201.1° Le point d’application de la force se meut dans sa direction. — Nous avons vu que le travail est le produit d’une force par le chemin parcouru par cette force. Ce cas étant celui qui nous occupe nous pouvons- dire que :
  - = F x e.
  - Nous pouvons représenter ce produit par un rectangle dont les dimensions des côtés sont la force et l’espace parcouru et dont la surface nous donne le travail.
  - 2° Le point d’application se déplace en ligne droite dans une direction différente de celle de la force.— Soit AF une
  - ___e_____
  - force constante en intensité et en direction appliquée au point A qui se déplace suivant la direction AD faisant avec AF un angle a ; soit AB = e (chemin parcouru). , i
  - t
  - Par définition :
  - Travail de F. = Fe c-os a.
  - [1]
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- - TRAVAIL D’UNE FORCE CONSTANTE
  - 261
  - Ce qui s’énonce : le travail d’une force constante dont le point d'application se déplace en ligne droite dans une direction différente de celle de la force est égal au produit de la force par le chemin parcouru et par le cosinus de Vangle que forment entre elles les directions de la force et du chemin.
  - Remarque. — La formule [1J peut encore s’écrire de deux façons différentes :
  - 1° r. F = F X e cos a
  - c’est-à-dire au produit de la force par la projection du chemin parcouru sur la direction de la force.
  - 2° %r. F = e X F cos a.
  - c’est-à-dire au produit du chemin parcouru par la projec-lioh de la. force, sur la direction du chemin.
  - S° Le point d’application de la force décrit une courbe et sa direction est quelconque. — Soit une courbe AMB ; nous pouvons la considérer comme formée d’une infinité
  - de petites lignes droites telles que AM, .MMl5 MxMa... de longueurs infiniment petites.
  - Pour le trajet AM le travail de la force F a pour valeur F X AI.
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- - 262
  - DYNAMIQUE
  - AI étant la* projection du chemin parcouru' sur la direction de la force F.
  - Le travail correspondant au trajet :
  - mm; = F x MIj.
  - j
  - Le travail correspondant au trajet :
  - MjM2 = F x MJ,.
  - Nous continuerions de la même façon pour tous les éléments qui composent la courbe AMB.
  - Le travail total est égal à la somme des travaux partiels, d’où :
  - <Çr. F = (F X AI) + (F X MF) + (F X MJ2) -f ...
  - Mettant F en évidence :
  - Vr. F = F (AI + Mli + Mjl2 + ...) '
  - Si la force est de direction constante, c’est-à-dire si elle reste toujours parallèle à elle:même, la somme des projections AI, MI1? etc... n’est autre chose que la projection de la courbe entière AMB sur la direction de la force F.
  - Donc le travail d'une force constante de direction quelconque, dont, le point d'application décrit une courbe, a pour mesure le produit de son intensité par la projection de la courbe sur sa direction propre.
  - 4° Le point d’application de la force décrit une courbe et sa direction reste constamment tangente à cette courbe. —
  - Partageons la trajectoire MM' de longueur S, en arcs élémentaires MMX, MjM', etc. x
  - Les. travaux élémentaires ont respectivement pour valeur :
  - IF X MM,
  - F x MXM'
  - I
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- - TRAVAIL D’UNE FORCE CONSTANTE
  - 263
  - La somme de ces travaux partiels est donc :
  - Vf. F = F x MM, + F X MjM' + ... «= F (MMj + MXM' + ...)
  - = FS.
  - Fig. 163.
  - Le travail total est donc égal au produit de la force langentielle par Vespace curviligne.
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- - CHAPITRE XXI
  - TRAVAIL DE LA PESANTEUR
  - 202. — La pesanteur est une force sensiblement constante dans un même lieu pour autant que l’espace parcouru soit négligeable par rapport au rayon terrestre.
  - i
  - I
  - Fig. 164.
  - Supposons qu’un corps pesant P descende le long d’une trajectoire quelconque. Lorsqu’il a parcouru le trajet MMj la hauteur de chute est Mn?i = h ; le travail après ce chemin est 1?h. Après le trajet MM' le travail sera P X Mm' = P X. IL .
  - Le travail cle la pesanteur sur un corps est égal au produit du poids de ce corps par le déplacement vertical de son centre de gravité. 1
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- - TRAVAIL DE LA PESANTEUR
  - 265
  - Le travail de l’eau dans les roues hydrauliques est une application de ce principe.
  - Applications 1. — Une chute d’eau d’un . débit de 120 m3 par minute, fait tourner une roue hydraulique. La différence de niveau entre le canal d’amenée et le canal de fuite est de 4 m. Quelle est la puissance de cette chute?
  - Appliquons la formule :
  - Vr. P = PH.
  - Le débit par seconde est de —— = 2.000 1.
  - Le travail est 2.000 kg. x 4 = 8.000 kgm.
  - La puissance est donc :
  - 8.000 2
  - — - 106 HP -
  - 75 c!
  - 2. — Un cheval attelé à un manège exerce une tension constante de 40 kg. Le rayon de la piste est de 3 m., et le cheval exécute 10 tours en trois minutes. Calculer :
  - 1° Le travail en kilogrammètres par heure ;
  - 2° La puissance en chevaux-vapeur.
  - 1° Le travail pour un tour est F X 27cR.
  - = 40 X 2 X 3,14 x 3 = 753,60 kgm.
  - 60
  - par heure le cheval fait 10 X — = 200 tours et développe un travail de :
  - 753,60 X 200 = 150.720 kgm.
  - 2° La puissance ou le travail par seconde :
  - 150.720 42
  - “ âôTëô= 42 kgm ou 75 = °’56 HP-
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- - CHAPITRE XXII
  - TRAVAIL D’UNE FORCE VARIABLE
  - 203. — Nous étudierons le cas le plus général c'est-
  - ♦
  - à-dire le travail d’une force variable dont le point d’application décrit une courbe.
  - F2
  - Fig. 1(55.
  - Soit MN la courbe décrite par le point d’application ; divisons cette courbe en parties suffisamment petites pour qu’elles puissent être considérées comme rectilignes et que tandis que le point d’application décrit chacune d’elles, cette force puisse être considérée comme constante en direction et en intensité.
  - Soient MF, MxFt, M'2F2, etc..., les droites représentant la force en intensité et en direction pour chacune des positions correspondantes M, M1? M2, etc... de son point d’application.
- p.266 - vue 284/418
- - TRAVAIL D’UNE FORCE VARIABLE
  - 2(37
  - Des points d’application M, M1? M2 ... abaissons les perpendiculaires sur les directions respectives des forces.
  - Les éléments de travail de la force variable nous sont donnés par les produits :
  - MF x MP ; MJx x MJ0!, etc,
  - Sur une droite infinie AB portons les distances successives Ap, ppi, pip2-, etc... égales respectivement aux lon-
  - c
  - gueurs MP, Mj.Pi, M2P2, etc... et par les points A, p, /q, p2... élevons les perpendiculaires ACj, pr, pp-1? etc., respectivement égales aux droites MF, MjFj, M2F2, etc.
  - 1
  - L’expression numérique du travail nous est donnée par l’aire du trapèze curviligne ABDC. L’évaluation de la surface de ce trapèze peut se faire :
  - 1° Par la méthode des trapèzes ;
  - 2° Par la formule de Simpson ;
  - 3° Au moyen du planimètre.
  - a
  - 1° Méthode des trapèzes. — Soit à évaluer l’aire d’un trapèze curviligne représentant un travail. Partageons AH en six parties égales. Chaque surface ÂBB'A' peut
- p.267 - vue 285/418
- - 268
  - DYNAMIQUE
  - être assimilée à un trapèze de hauteur AB et de base moyenne :
  - f + h
  - • • y = ~ir
  - la surface totale est égale à :
  - d (;y + >Ji + y2 + ••• ?/«)•
  - Remarque. — Cette méthode ne donne pas une exac-
  - titude suffisante ; en effet, cette formule donnera un résultat trop faible pour des. courbes dont la concavité est toujours tournée vers la ligne'Ail, pour des courbes convexes par rapport à AU le résultat sera trop fort. H n’y aura donc compensation approximative que pour des courbes alternativement convexes et concaves. .
  - 2° Formule de Simpson. — Considérons l’espace compris entre les ordonnées KH et EE', et partageons HE en trois parties égales.
  - La valeur de l’aire sera plus rapprochée si nous remplaçons EHKE' par la somme des aires des trois trapèzes composant cette dernière surface.
  - \ EL (EE' + QL) + l2 LV (QL + IV) + \ VH (IV + KI1>
  - K !
  - = - EL (EE' + 2 QL + 2 IV + KI1).
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- - TRAVAIL ll’UNIi EORCE VARIABLE
  - 269
  - 2 2
  - Or : EL = - EF = - AB
  - O ' )
  - d’où l’aire des trois trapèzes —
  - J
  - • - AB | EE' + 2 (QL + IV) + KH ]
  - O
  - FO = -, (QL + IV)
  - Z\
  - F où
  - 2 (QL + IV) - 4 FO
  - d’où l’aire des trois trapèzes =
  - 1
  - - AB (EE' + 4 FO + KH).
  - i /
  - En prenant FO nous aurons une valeur plus petite que l’aire à mesurer ; si nous lui substituons FF' valeur un peu plus grande que FO nous obtiendrons une compensation approximative suffisante.-
  - Nous aurons donc une valeur plus rapprochée par l’expression :
  - 1
  - - AB (EE' + 4 FF' + KlI).
  - O
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- - 270
  - DYNAMIQUE
  - Les aires de surfaces AA'C/C et CC'E'E sont respectivement égales à :
  - 1
  - - AB (AA' + 4 BB' + GG')
  - O
  - - AB (CG/ + 4 DD' + EE').
  - O
  - La valeur approchée de la surface totale —
  - 1 1
  - - AB (AA' + 4 BB' + CG') + - AB (CC'
  - « J O
  - 1
  - . + 4 DD' + EIG) + - AB (EE' + 4 EF' + KH)
  - O
  - 1
  - . = - AB [AA' + 4 (BB' + T)TV + FF')
  - » )
  - + 2 (CC/ d- EE') + KH j.
  - Cette formule due à Simpson s’énonce comme suit : Taire qui mesure le travail d'une force variable a pour valeur approchée 1e. tiers du produit de la distance de deux ordonnées consécutives par la somme des ordonnées extrêmes, plus 4 fois la. somme des ordonnées de rang impair, plus 2 fois la somme des ordonnées de rang pair.
  - 3° Planimètre. — Cet appareil du à Amsler permet de déterminer. rapidement l’aire d’une surface quelconque ; il est employé pour la détermination des aires des diagrammes et de l’ordonnée moyenne, c’est-à-dire de la hauteur d’un rectangle qui aurait même base et même surface que la figure proposée.
  - S étant la surface trouvée au moyen du planimètre et L la longueur du diagramme, la hauteur de l’ordonnée sera :
  - II =
  - S ‘ L '
- p.270 - vue 288/418
- - TRAVAIL D’üNE FORCB VARIABLE
  - 271
  - TRAVAIL DE LA VAPEUR DANS UNE MACHINE
  - 204. Application. — Le cylindre d’une machine à vapeur mesure 60 cm. de diamètre et a 0,80 m. de course. Calculer le travail produit pendant une course du piston, les pressions de la vapeur étant représentées par le diagramme théorique ci-contre :
  - t, _
  - Ce diagramme se compose de deux parties.
  - 1° Du rectangle ABEO dont l’aire représente le travail sous pression constante ou travail d’admission ;
  - Fig. 169.
  - 2° De la surface BCDE qui représente le travail de la détente.
  - Calculons d’abord le travail d’admission.
  - La surface du piston :
  - ttD2 3,1416 x 602 = T = ------------4------ = 2.827,4 cm2.
  - La pression constante sur le piston :
  - 2.827,4 cm2 x 8 = 22.619,2 kg.
- p.271 - vue 289/418
- - 272
  - DYNAMIQUE
  - Le chemin parcouru étant 0,20 m. le travail sera : 22.619,2 x 0,2 = 4.523,84 kgm.
  - Nous pouvons évaluer le travail de détente au moyen de la formule de Simpson :
  - 0,05
  - 3
  - [8 H- 2 + 4 (6,40 + 4,57 + 3,55
  - + 2,91 + 2,46 + 2,13)
  - + 2 (5,93 + 4.00 + 3,20 + 2,67 + 2,29) ]
  - 0,05
  - — -rp-(10 + 88,08 + 34,98) = 2,22 kgin. par course,
  - Le travail de la détente tïD2
  - X 2,22 kgm. = 2V.827,4 X 2,22 - 6.276,83 kgm
  - 4
  - Le travail total par course de piston est donc : ' 4.523,84 + 6.276,83 = 10.800,67 kgm.
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- - CHAPITRE XXIII
  - MACHINES CONSIDÉRÉES DANS LE MOUVEMENT UNIFORME
  - 205. — Au point de vue de l’énergie mécanique on donne le nom de machine à tout système d’organes ou d’assemblages destinés à transmettre le travail mécanique des forces.
  - Dans toute machine on distingue :
  - 1° Le récepteur, organe recevant directement l’action de la puissance motrice ;
  - 2° L’opérateur ou Voutil qui effectue le travail sur la matière à transformer ;
  - 3° Les mécanismes de transformation de mouvement, lesquels sont disposés entre les premiers,de façon à communiquer à l’outil et à la pièce les mouvements convenant à la production du travail.
  - Les forces agissant sur une machine sont :
  - 1° Les puissances qui produisent le mouvement et engendrent des travaux moteurs ;
  - 2° Les résistances qui engendrent les travaux résistants.
  - Les puissances agissent dans lè sens du mouvement de la machine tandis que les résistances agissent en sens contraire de ce mouvement.
  - Nous avons distingué en statique les résistances en résistances utiles qui sont celles que l’on a en vue de vaincre pour produire un effet désiré et en résistances passives, telles que le frottement, qui absorbe en pure perte une partie de la puissance.
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2° édit.).
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- - 274
  - DYNAMIQUE
  - TRAVAIL DANS LES MACHINES
  - 206. — Si nous désignons par Vm, l’ensemble des travaux moteurs, par Vu les travaux utiles et Vf les travaux nuisibles, la condition du mouvement uniforme sera représentée par :
  - Vm = Va + Vf-
  - Cette équation porte souvent le nom d’équation de transmission du travail.
  - 207. Rendement. — De l’équation :
  - Vm = Va + Vf,
  - nous pouvons tirer la valeur du travail utile :
  - Va = Vm — Vf.
  - Nous voyons par cette formule que le travail utile est toujours plus petit que le travail moteur, car le travail dû aux résistances passives n’est jamais nul.
  - Le rendement d'une machine est le rapport entre le travail utile et le travail moteur. On le représente ordinairement par K.
  - Vu
  - K = — •
  - Vm
  - 4
  - Le rendement d’une machine est donc toujours exprimé par une fraction plus petite que l’unité.
  - Connaissant le rendement d’une machine,.la valeur de son travail utile nous sera donnée par la formule :
  - Va4= Vm X K.
  - !
  - i
  - Application. — Calculer le travail utile d’une machine
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- - MACHINES DANS LE MOUVEMENT UNIFORME 275
  - dont le travail moteur est de 24 chevaux-vapeur, sachant que le coefficient d’effet utile est de 0,75.
  - X K
  - u = 24 x 0,75 = 18 chevaux-vapeur.
  - 208. Mesure du travail utile. — Pour déterminer le travail utile d’une machine, on emploie généralement le frein de Prony, basé sur la résistance due au frottement.
  - Ce frein se compose de deux pièces en bois B et B' façonnées de manière à pouvoir embrasser l’arbre O du moteur dont on veut mesurer le travail.
  - Ces pièces en bois sont maintenues entre elles par des boulons et des écrous .que l’on peut serrer à volonté. La pièce supérieure se prolonge jusqu’en C où l’on suspend un plateau destiné à recevoir des poids marqués.
  - Pour se servir de cet appareil, on commence par enlever toutes les communications qui lient le mouvement de l’arbre au reste de la machine. On applique ensuite le
- p.275 - vue 293/418
- - DYNAMIQUE
  - 276
  - frein et on maintient la pièce IJ entre deux obstacles 1111' qui T'empêchent de s’abaisser ou de s’élever ; on serre les écrous jusqu’à ce que la vitesse de la machine soit redevenue égale à celle qu’elle possède dans sa marche ordinaire.
  - De cette façon le travail habituel de la machine est remplacé par le travail de frottement de l’arbre sur les pièces en bois B et B'.
  - La question revient donc à mesurer le travail de frottement qui a déterminé la marche ordinaire de la machine. Pour cela on supprime les cales II et H' et on applique des poids sur un plateau fixé en C jusqu’à ce que le bras IJ soit horizontal.
  - Soit P le poids qu’il faut placer sur le plateau pour équilibrer la force F agissant tangentiellement à la circonférence de l’arbre.
  - La position d’équilibre a lieu pour l’égalité des moments de F et de P.
  - Si R est le rayon de l’arbre et L le bras de levier du poids P nous obtenons :
  - F x R = P X L.
  - d’où :
  - PL
  - D’autre part le travail utile de la force F tangente à une circonférence de>rayon R est égal pour ri tours à :
  - F X 2tc\{ii 1 60
  - Remplaçant dans la formule [2 J F par sa valeur trouvée dans l’égalité [I] nous obtenons :
  - ^üu =-
  - P Xj I
  - II
  - 27rR«
  - PLun
  - X
  - 60
  - 30
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- - MACHINES DANS LE MOUVEMENT UNIFORME
  - 277
  - et en chevaux-vapeur :
  - cC>f
  - P Lun
  - 30 x 75
  - Applications î. — Calculer le travail utile en chevaux-vapeur d’une machine qui fait 50 tours, le bras de levier du frein mesurant 2,80 m. et le poids ajouté plus celui du frein étant de 275 kg.
  - PL un
  - 30 x 75
  - 275 X 2,8 x 3,14 X 50
  - 30 X
  - /o
  - 53,728 IIP.
  - 2. — Un frein de Prony dont le bras pèse 18 kg. est placé sur l’arbre d’une machine et est maintenu horizontal au moyen d’un poids de 35 kg. La distance de l’axe au point d’application de la charge est de 2,75 m. Le centre de gravité du frein se trouve à 0,9625 m. du. centre de l’arbre moteur ; la machine exécute 66 tours par minute. Quelle est sa puissance utile.
  - Le poids du frein à l’extrémité est de :
  - 18 x 0,9625 2/75
  - = 6,3 kg.
  - donc :
  - P = 35 kg. + 6,3 kg. = 11,3 kg.
  - La puissance utile de la machine est :
  - P X L X il X u
  - 41,3 x 2,75 X 66 X 3,1416
  - 30 X 75
  - 30 x 75
  - 1
  - 10 HP- .
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- - CHAPITRE XXIV
  - TRAVAIL DE L’INERTIE
  - 209. — Lorsque nous connaissons l’intensité d’une force et l’espace parcouru par son point d’application nous pouvons évaluer son travail. 11 arrive que l’on ne connaît pas la valeur du chemin parcouru mais bien la, vitesse dont est animé le mobile après un certain temps de mouvement. Pour imprimer cette vitesse, que le mobile ' conserve en vertu de l’inertie, il a fallu produire un certain travail que nous allons évaluer.-
  - Nous envisagerons deux cas :
  - 1° Le mobile possède un mouvement de translation ;
  - 2° - — — — — rotation.
  - 210. Travail de l’inertie dans le mouvement de translation. — Nous étudierons le cas le plus général.
  - La force est constante en direction et en intensité et le corps 1° part du repos. '
  - Soit F une force imprimant à un corps de poids P un mouvement uniformément accéléré pendant le temps t et soit V la vitesse finale..
  - Pour trouver la valeur du travail de cette force, nous devrions connaître e.
  - Mais nous savons qu’une vitesse V a été imprimée à ce corps par une force F.constante, d’accélération a durant t secondes. Voyons si nous pourrions calculer le travail
- p.278 - vue 296/418
- - 279
  - TRAVAIL .DE L INERTIE
  - qui a été dépensé à la production de ce mouvement. Les forces sont proportionnelles aux accélérations. D’où :
  - F a
  - P = ï
  - Multiplions le second rapport de cette proportion par/. F al F V
  - al F
  - - ou -gt P
  - gl ’
  - F =
  - P x V gt
  - Multiplions les deux membres de cette équation par e :
  - [1]
  - P V
  - F X c = - X - X e, g t
  - or
  - • V
  - c = - /.
  - P V V P V2 F x e = — x — X - t = - x —
  - p i 2 • p >,
  - Remplaçant dans le second membre de 1 équation [1 | e par sa valeur nous obtenons :
  - MV2
  - g t x g ‘
  - Expression de la force vive. •
  - La force vive d'un poinl matériel en mouvement est donnée par la moitié du produit de sa masse'par le carré de sa vitesse.
  - Application. — Une locomotive pesant 18.750 kg. possède une vitesse de 22 m. Le mécanicien apercevant un signal d’arrêt ferme le modérateur et les freins. Quel chemin parcourera encore la machine avant de s’arrêter, sachant que le coefficient de frottement des bandages contre les rails est de 0,1.
- p.279 - vue 297/418
- - 280
  - DYNAMIQUE
  - L’arrêt se produira lorsque le travail de l'inertie sera égal au travail de frottement, donc lorsque :
  - MV2
  - = Fxfi.
  - Tenant compte du coefficient de frottement. Nous aurons :
  - d’où :
  - 18.750
  - 9,81
  - 22
  - . = 18.750 X c x 0,1
  - 18.750 x 222 9,81 x 2 x 18.750 x 0,1
  - 246,68 m.
  - 2° Le corps a une vitesse initiale V0.
  - L’accroissement de vitesse imprimée par la force de V0 à V sera Y — V„.
  - F - * P—)-
  - g \ l J
  - / V -f Vo\
  - L’espace parcouru pendant le temps t est I —-— Jt.
  - Le travail est donc :
  - MV2
  - ~2~
  - YV02
  - MV2 MV02 . . . . ,
  - —— est la force vive finale, —— est la force vive initiale.
  - Le travail nécessaire pour imprimer à un mobile une vitesse V lorsqu’il possède une vitesse initiale est égal à la différence des forces vives finale et initiale.
- p.280 - vue 298/418
- - TRAVAIL DE L’iNERTIE
  - 281
  - 211. Travail de l’inertie dans le mouvement de rotation. 1° Le corps part du repos. —Soit un solide S assujetti à tourner autour de l’axe XX'.
  - Décomposons la masse M de ce corps en masses élémentaires in, nh... mn et voyons quel sera le travail d’inertie pour chacune de ces masses :
  - 1
  - eC’/\ I m — - m co2r2 i
  - *&/•: In?! = uh co2/\2
  - 1
  - cG/\ I mn =. - mn(ù2rn2.
  - Le travail d’inertie total est égal à la somme des travaux •d’inertie partiels :
- p.281 - vue 299/418
- - 282
  - DYNAMIQUE
  - 1 1 1 2 'W(°2/'2 + ô miC°2;'i2 + — + 2 mrW 1
  - = - <o2(/«r2 + m/!8 + ... -f mnrn2).
  - Or la quantité entre parenthèses est le moment d’inertie du corps par rapport à l’axe XX', donc le travail d’iner-1
  - lie total = - co2I.
  - 2° Le corps possède une vitesse initiale. — Soit co0 la vitesse initiale. Pour amener ce corps à cette vitesse
  - i
  - il a fallu dépenser un travail d’inertie = - to02I-
  - Le travail dépensé pour atteindre la vitesse finale : 1
  - ~ 2 21
  - Donc le travail nécessaire pour l’amener de co0 à w a pour expression :
  - 1
  - = 2 (“2 — w°2) ^
  - ce qui s’énonce : Le travail est égal au demi-produit de la différence des carrés des vitesses angulaires finale et initiale par le moment d'inertie du corps.
  - Application. — Le diamètre moyen d’un volant de machine à vapeur pesant 10 tonnes est de‘4 m. Quel est le travail emmagasiné lorsque le volant tourne uniformément à 120 tours par minute?
  - tcN 3,1416 X 120
  - = 12,60 m.,
  - C0=3Ô =
  - I = Mc2 =
  - 30
  - 10.000
  - 9,81
  - X 22 = 4.077
  - Vr = -0>2I :
  - X 12,602 X 4.077 = 323.632 kgm.
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- - CHAPITRE XXV
  - FORCES VIVES ‘
  - 212. — La force vive d’un système matériel est la somme des forces vives de ses divers points.
  - La plupart des auteurs, et nous nous ralierons à leur avis, emploient dans les théorèmes comme valeur de la MV2
  - force vive —— ; d’autres désignent cette valeur sous
  - ‘) 7 o >
  - Zi
  - le nom de puissance vive.
  - 213. Mesure du travail au moyen de la force vive.
  - — Le principe général des forces vives consiste en ce que la variation de la demi-force vive d’un système .matériel,, pendant un intervalle de temps quelconque, mesure la somme des travaux effectués pendant le même temps par toutes les forces qui agissent sur ce système. Nous étudierons plusieurs cas :
  - 1er cas. —Force constante agissant sur un point matériel.
  - Théorème. — Le travail d'urte force constante, appliquée seule à, un point matériel, est égal à la variation de la force vive de ce point.
  - a) Soit F la force constante agissant sur un point matériel dans la direction du chemin parcouru ; elle produit un mouVement uniformément accéléré.
  - Représentons par V0 la vitesse initiale, par a l’accélé-ration et par e l’espace parcouru pendant le temps /.
- p.283 - vue 301/418
- - 28 î
  - DYNAMIQUE
  - Nous aurons :
  - CT = F x ii F =
  - [ J J
  - i
  - e
  - Vj + ^ al
  - P
  - Remplaçons dans l’égalité [1 ] F et e par leurs valeurs-trouvées dans les égalités [2] et 13 ] :
  - >
  - 1
  - CT< = Ma (V0/. + - a/2).
  - Nous pouvons mettre - en évidence :
  - M
  - or : •d’où
  - CTF = - at (2 Y() + al)
  - 'i
  - V = Vo + al
  - [4]
  - al = V — V0.
  - En mettant cette valeur de al dans l’équation [4] nous obtenons :
  - M M
  - CT’F = - (V — V„) (V + V„) - - (V» — V02)
  - d’où
  - CTF = l MV2 - î M W,
  - ' b) La force peut avoir une direction différente du chemin parcouru. Le résultat serait le même, car cette force pourrait être remplacée par deux autres, l’une perpendiculaire au chemin ne produirait* aucun travail, l’autre dans la direction - du chemin parcouru dont le travaillerait celui de la force donnée.
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- - FORCES VIVES
  - 285-
  - 2a cas. — Forces quelconques appliquées à un point matériel.
  - Théorème. — Le travail total de toutes les forces appliquées cl un point matériel est égal ci la variation de la force vive de ce point.
  - Soit un point soumis à un nombre quelconque de forces constantes ou variables et décrivant une trajectoire quelconque ; la résultante de ces forces sera constante ou variable. .
  - Le travail de la résultante est égal à la somme algébrique des travaux des composantes ; nous pouvons donc ne considérer que le travail de cette résultante.
  - Nous pouvons admettre que la trajectoire est décomposée en éléments assez petits pour qu’ils puissent être regardés comme rectilignes, et considérons que, lorsqu’ils sont parcourus, la résultante ait une direction et une intensité constantes.
  - Si M est la masse du mobile, V0 sa vitesse initiale, Vl5 V2, V3.... Vn les vitesses du mobile au bout du premier, du second,... du dernier élément, on a CC.r développé pendant que le point parcourt le premier élément :
  - Le deuxième élément :
  - 1
  - Le troisième élément :
  - 1
  - 1
  - - MV32 — ^ MV22 ;
  - Le dernier élément :
  - - M V;t - - MV“ _ !.
  - 1 o *
- p.285 - vue 303/418
- - '286
  - DYNAMIQUE
  - La somme de ces travaux élémentaires nous donne, après réduction' :
  - Travail total
  - 9
  - MV
  - x MV0
  - Cas général. Forces quelconques appliquées à un système de points matériels. — Le théorème précédent est applicable à un système quelconque de points matériels, pourvu que l’on tienne compte de toutes les forces, tant intérieures qu’extérieures agissant sur lui ; des forces directement appliquées et des forces de liaison.
  - Théorème. — La somme des travaux de toutes les forces •agissant, sur un système de points matériels est égale à la somme des variations des forces vives des points de ce système.
  - En effet, pour chacun des points du système, le travail de la résultante de toutes les forces agissant sur ce point sera :
  - 1
  - 9
  - 1
  - MV02.
  - Le travail total est égal à la somme des travaux partiels ; cette somme se composera de termes semblables à
  - I. T . 1
  - - MV2 que nous représenterons par e - MV2 et de termes
  - 1 1
  - semblables à - MV02 dont la somme : s - MV02 doit être ^ A
  - retranchée de la première :
  - 1 1
  - £ <ür: F = - eMV2 — - eMV„*.
  - h Ju
  - Remarque. — L’équation des forces vives permet donc d’obtenir le travail d’une force sans que l’on connaisse
- p.286 - vue 304/418
- - FORCES VIVES
  - 28/
  - ni l’intensité de cette force, ni sa direction, ni le temps pendant lequel elle agit sur le mobile. Il suffit de connaître la valeur de la masse du mobile et la variation de vitesse que la force lui a fait subir.
  - 214. Transmission du travail dans les machines. Application aux machines du principe des forces vives. —
  - Les machines sont des corps ou assemblage de corps destinés à transmettre les forces. Les forces agissant sur les machines se distinguent :
  - 1° En forces motrices dont le travail se nomme travail moteur : ce sont les forces qui mettent la machine en mouvement ;
  - 2° En forces résistantes qui tendent à retarder, à arrêter le mouvement ; leur travail se nomme travail résistant.
- p.287 - vue 305/418
- - CHAPITRE XXVI
  - MOUVEMENT D’UNE MACHINE
  - 215. — Une machine peut être considérée comme un système de points que des liaisons assujettissent à se mouvoir d’une certaine manière.
  - Le principe des forces vives lui est applicable.
  - Le travail moteur et le travail résistant tendent à faire tourner la machine en sens contraires ; ces travaux doivent donc être pris en sens contraires.
  - étant le travail moteur et eCV le travail résistant nous aurons pour le travail de translation :
  - 1
  - 1
  - MV2 — - MVo2 ;
  - eCm — =
  - pour le travail de rotation :
  - 1
  - eGm — CCV - ^w2I
  - 216. Application de l’équation du travail à la recherche des conditions d’équilibre des machines simples. — L’équation du travail (TTw = u + Uj) est souvent troublée, mais on peut admettre que cette égalité subsiste entre deux instants très rapprochés, pendant lesquels le mouvement peut être considéré comme uniforme. Le travail considéré pendant cet instant se nomme travail élémentaire ou travail virtuel.
- p.288 - vue 306/418
- - MOUVEMENT D*UNE MACHINE
  - 289
  - Attribuons donc à la machine un déplacement infiniment petit, dirigé dans le sens du mouvement que la puissance tend à produire et soient m et n les chemins simultanés des points d’applications, estimés suivant la direction des forces.
  - Nous allons vérifier que l’on a :
  - P m — Qn — 0,
  - ou :
  - P/n = Qn.
  - 1° Levier. — Le frottement dans le levier étant insignifiant, nous pouvons faire abstraction du terme ‘C’/. La condition d’équilibre est donc :
  - eCm = ^u. ni
  - ''n
  - Supposons que pendant une seconde le levier se déplace autour du point o des arcs de cercle Am et Bn. Ces arcs représentent les espaces parcourus par la résistance et la puissance pendant un temps excessivement petit. Ces arcs étant très petits peuvent être considérés comme leurs tangentes ; co étant la vitesse angulaire, l’espace parcouru pendant une seconde par la puissance P sera co X on, et le
  - M, Wilmotte- — Cours de mécanique (2® édit.). 19
- p.289 - vue 307/418
- - 290
  - DYNAMIQUE
  - travail de la puissance P X ci X on ; l’espace parcouru par la résistance est co X om. Le cO de la résistance :
  - = Q X co X om ; le mouvement est uniforme, d’où :
  - P X co x on = Q X co X om,
  - cl’où :
  - P om
  - Q on
  - Ce qui s’énonce : les forces sont en raison inverse des bras de levier.
  - 2° Treuil. — Soit un treuil en équilibre sous l’action
  - Fig. 173.
  - des forces P et Q appliquées tangentiellement aux circonférences C et C' de rayon R et r.
  - L’équation d’équilibre du treuil, précédemment étudiée, est :
  - P r Q ^ R'
- p.290 - vue 308/418
- - MOUVEMENT D’UNE MACHINE
  - 291
  - D’où
  - PR = O
  - Si (o est le déplacement infiniment petit attribué à un point situé à l’imité de distance de l’axe de rotation les déplacements simultanés des points A et B seront :
  - m = Rco, [1 ]
  - n = riù. • [2]
  - Les forces restant constamment tangentes à ces arcs, leurs travaux élémentaires peuvent s’écrire P m et Qn..
  - Remplaçant m et n par les valeurs trouvées dans les égalités [1] et 12 ] nous obtenons P Rco et Qrco.
  - Si nous supprimons les frottements nous aurons l’équation, déjà trouvée pour l’équilibre statique :
  - P r Q = R'
  - "S'Osasjj;
  - Fig. 174.
  - 3° Poulie fixe. — Le travail de la puissance pendant une seconde est PcoR ; le travail de la résistance est QcoR.
- p.291 - vue 309/418
- - 292
  - DYNAMIQUE
  - L’équation du travail, le mouvement étant uniforme est :
  - PcoR = QcoR,
  - simplifiant par toR il reste :
  - Q = P.
  - 4° Poulie mobile (fig. 174). — Lorsque la résistance avance d’une quantité e la puissance parcourt 2 x e :
  - cCar de la puissance — P x 2 e, eO de la résistance = Q x e. •
  - L’équation d’équilibre donne :
  - P X 2 e = Q X e,
  - d’où :
  - P =
  - Q
  - L’équation d’équilibre pour les moufles serait :
  - d’où
  - P x ne — Qe,
  - n
  - 5° Vis. — Pour un tour le travail de la puissance est P X 2 71R.
  - Le. travail de la résistance est Qp, p étant le pas c’est-à-dire la hauteur dont s’élève ou s’abaisse la vis pour un tour.
  - L’égalité des travaux donne :
  - 2 7tR X P = Q X p ;
  - ' Q p
  - P = 2^-
- p.292 - vue 310/418
- - MOUVEMENT d’üNE MACHINÉ
  - 293
  - 6° Vis sans fin, — Supposons que le poids à soulever soit attaché à une corde s’enroulant sur un cylindre de rayon r faisant corps avec la roue d’engrenage de rayon R' ; soit p le pas de la vis et R le rayon de la manivelle.
  - Représentons par K la résistance qu’oppose la roue d’engrenage lorsque la vis est mise en mouvement. Pour un tour de la vis les travaux seront :
  - P x 2 ttR et p x K,
  - d’où :
  - P X 2ttR = p X K. [1]
  - Voyons les relations qui existent entre les travaux de Iv et de Q.
  - Pour un tour nous aurons :
  - 2 tcR' x K = 2 rcr X Q,
  - ou :
  - KR' = rQ. [2]
- p.293 - vue 311/418
- - -294
  - DYNAMIQUE
  - Multipliant membre à membre les égalités [1] et [2] nous obtenons :
  - P X 27rR X R'K == p X K x >-Q,
  - ou :
  - P X 2tcR X R' = Q X r X p,
  - P pr
  - Q = R' X 2tt R
  - Fig. 176.
  - équation analogue à celle que l’on déterminerait au moyen des couples.
- p.294 - vue 312/418
- - CHAPITRE XXVII
  - MOMENTS D’INERTIE
  - 217. Le moment d’inertie d’un corps par rapport à un axe, est la somme des produits des masses élémentaires du corps par Se carré de leurs distances à
  - l’axe. — Si le corps est homogène, les masses sont proportionnelles aux volumes élémentaires.
  - Si le corps est réduit à une surface homogène les masses sont proportionnelles aux surfaces élémentaires qui la composent.
  - Le moment d’inertie d’une surface homogène, par rapport à un axe, est la somme des produits des surfaces élémentaires par le carré de leurs distances à l’axe.
  - Si une/surface plane possède un axe de symétrie qui passe par le centre de gyavitc de la section, on l’appelle axe principal d’inertie.
  - Habituellement on'détermine les moments d’inertie par rapport aux axes principaux d’inertie ou à des axes parallèles car les moments d’inertie par rapport à ces axes parallèles se déduisent aisément des premiers à l’aide du théorème suivant :
  - Le moment d’inertie d’une surface par rapport à un axe, parallèle à l’axe principal d’inertie, est égal au moment d’inertie par rapport à cet axe principal, augmenté du produit de la surface totale par le carré de la distance des deux axes. — Soit une surface plane S et les deux axes parai-
- p.295 - vue 313/418
- - 296
  - JJ Y NAM 10 UE
  - H-
  - lèles XX' et YY' distants entre eux d’une longueur d.
  - L’axe principal XX' passe par le centre de gravité G de la section.
  - ._i___
  - Représentons par I le moment d’inertie de la section par rapport à l’axe XX' et par I' le moment d’inertie par rapport à l’axe YY'.
  - I' = I + S d2.
  - En effet, si nous considérons un élément s situé à une distance y de l’axe principal XX', son moment par rapport à cet axe est sy2, d’où :
  - I = S $y2.
  - De même :
  - I' = £s (y -f- d)2 = 2sy2 + 2 d Ssy + d2Jls.
  - Mais Tisy — 0 car, par suite de la symétrie par rapport à l’axe principal XX' les moments linéaires des surfaces élémentaires situées au-dessus et au-dessous de l’axe sont égaux et de signes contraires.
  - Il reste donc : i
  - * I' = 2sÿ2 + d2Hs.
  - Or :
  - Ssy2 = I et S = 2s,
- p.296 - vue 314/418
- - MOMENTS D’INERTIE
  - 297
  - d’où :
  - r = I + Sd2.
  - 218. Rayon de giration. — Le centre de l’effort d’inertie d’un corps tournant autour d’un axe ne peut coïncider avec le centre de gravité, car tous les points du corps, n’étant pas à la même distance de l’axe, ont des vitesses différentes.
  - Nous pouvons donc admettre qu’il existe un point du corps que l’on considère comme le point d’application de l’effort d’inertie.
  - On nomme rayon de giration, la distance qui sépare le point d’application de l’effort d’inertie de l’axe de rotation.
  - Soit R le rayon de giration d’un corps de masse M composé de petites masses m égales et homogènes situées à des distances égales de l’axe ; nous pouvons écrire :
  - mr2 + nu\2 + mr22 +......= R2Zm = MR2.
  - d’où :
  - I = MR2.
  - et :
  - Nous voyons par cette formule que l’on peut déterminer le moment d’inertie d’un corps lorsqu’on connaît son rayon de giration.
  - 219. Moment d’inertie polaire. — Dans la torsion, les moments d’inertie, déterminés par rapport à des axes normaux aux plans des sections, sont les moments d'inertie polaires.
  - Théorème. — Le moment dinertie polaire dune surface par rapport à un axe perpendiculaire à la surface en
- p.297 - vue 315/418
- - 298
  - DYNAMIQUE
  - un point 0 est égal à la somme des moments d'inertie par rapport à deux axes rectangulaires situés dans le plan et passant par le point 0.
  - Soit une surface S dont nous devons chercher le moment d’inertie par rapport à un point 0, c’est-à-dire par rapport à un axe perpendiculaire à la surface et projeté en 0.
  - Fig. 178.
  - Représentons par \x et Iy la somme des moments d’inertie par rapport aux deux axes rectangulaires XX' et
  - YY'.
  - Nous aurons :
  - IP = lx + I y.
  - En effet, pour toute section élémentaire s le moment d’inertie polaire est sr2 et les moments par rapport à XX' et YY' sont :
  - sy2 + sx2.
  - Mais nous voyons sur la figure que :
  - r2 = x2 + y2.
  - d’où nous avons pour la section élémentaire considérée : sr2 = sx2 + sy2.
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- - MOMENTS D’INERTIE
  - 299
  - et pour la surface totale :
  - 'Esr2 = ü.çæ2 -f Zs?/2,
  - c’est-à-dire que :
  - 1 p. = la? + I y.
  - 220. Moment d’inertie d’une ligne. — Nous supposerons que la ligne est un axe matériel homogène, dont les dimensions transversales sont infiniment petites.
  - 1° Moment d’inertie d’une ligne droite par rapport à
  - un axe. — Le moment d’inertie de la droite OA par rapport à un axe OB est égal au produit de sa longueur par le tiers du carré de la distance maxinva AB séparant les deux droites OA et OB.
  - O
  - Dans la figure ci-contre :
  - 1 •—2
  - I = - X AB X OA.
  - Divisons la droite OA en un nombre infiniment grand de parties égales : soit n ce nombre. Par les points de division, menons une série de plans perpendiculaires à OB. Ces plans détermineront sur OB un nombre de parties infiniment petites. .
- p.299 - vue 317/418
- - 300
  - DYNAMIQUE
  - Soit TM la distance de l’une de ces divisions à l’axe OB ; le moment d’inertie de cette division sera :
  - OA —2 I = — X MT .
  - n
  - [1]
  - Or, les triangles OMT et OBA étant équiangles, nous pouvons écrire :
  - MT
  - ÀËT
  - OT
  - ÔA
  - n
  - n
  - en supposant que nous ayons n' divisions de O à T.
  - Nous pouvons tirer de cette proportion la valeur de MT :
  - n'
  - MT = AB x -
  - n
  - Remplaçant MT par cette valeur, dans l’égalité [1 ] nous obtenons :
  - OA
  - o / o
  - - n -
  - n
  - '2
  - 1 = — X AB ~ = OA x AB x — n n2 • h3
  - En donnant successivement à n' toutes les valeurs comprises entre .1 et il et nous obtenons :
  - OA X AB
  - I = ------;--- (l2 + 22 + 32 + 42 + ...+ n2)
  - n
  - La série des termes compris entre parenthèses a pour valeur :
  - n(n + 1) (2 « + 1) -2 «3 3 n2 + n
  - 6
  - La valeur du moment d’inertie :
  - 6
  - 2 /9n3
  - I=OAx AB
  - tt3+3tt24- n 6 n3
  - —OA X AB
- p.300 - vue 318/418
- - MOMENTS D’INERTIE
  - 301
  - Or n est infiniment grand, conséquemment les quan-
  - 11 . 1 tités -— et -— sont négligeables vis-à-vis de -.
  - 2 n b n2 3
  - Le moment d’inertie a donc pour expression :
  - —2 1 I = OA X AB X r.
  - 2° Moment d’inertie d’une droite qui se meut autour d’un axe perpendiculaire à sa direction et qui passe par une de ses extrémités. — Soit la ligne AB de longueur /, tournant autour de l’axe AX passant par son extrémitéA.
  - La plus grande distance de la droite à l’axe de rotation est la longueur de la droite.
  - X
  - Fig. 18p.
  - Nous pouvons donc appliquer ici la formule trouvée dans le théorème précédent :
  - 1 —2 1 1
  - I = - AB x l = - l2 X l = r Z3.
  - O O O
  - 3° Moment d’inertie d’une droite qui se meut autour
  - d’une droite, perpendiculaire à sa direction et passant par
- p.301 - vue 319/418
- - 302:
  - DYNAMIQUE
  - son milieu.( — Appliquant la formule précédente, nous obtenons :
  - X
  - Y
  - Fig. 181
  - 2 P P
  - 3 X 8 ~ 12
  - MOMENT D’INERTIE DES SURFACES
  - 221. Moment d’inertie du rectangle. A) L’axe se confond avec un côté du rectangle. — Soit le rectangle ABCD tournant autour du côté CD.
  - Partageons la hauteur h en parties excessivement petites.
  - Par les points de division menons des parallèles à l’axe YY' (base du rectangle) de façon à déterminer des rectangles élémentaires don! les moments ont respectivement pour valeur : ;
- p.302 - vue 320/418
- - MOMENTS D’iNEKTIE
  - 303
  - y, y', y", etc., représentant les distances des rectangles élémentaires à l’axe.
  - Additionnant ces égalités nous obtenons :
  - I = b {ey* + e'y'2 + c"y"2 +...).
  - '-e-------b--------
  - Fig. 182.
  - Or la quantité entre parenthèses représente le moment d’inertie de la droite BD par rapport à l’axe CD : ce h3
  - moment d’inertie est égal à —. D’où .nous pouvons écrire :
  - I
  - bh3
  - T'
  - Le rayon de giration est :
  - R =
  - _ h\/3
  - Si le triangle tournait autour de son côté AC, la valeur de son moment d’inertie serait :
  - T hb3
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- - 304
  - DYNAMIQUE
  - B) L’axe est parallèle à l’un des côtés et passe par le milieu du rectangle, donc par le centre de gravité. — Soit I le moment d’inertie cherché :
  - 1 = 1' — S d2
  - Fig. 183.
  - la distance :
  - d’où :
  - bh3 I = —
  - h
  - d=2
  - h2 bli bh 4 = T
  - bh3
  - T
  - bh3
  - ~Ï2
  - La distance V des fibres les plus éloignées de l’axe neutre est :
  - d’où :
  - \
  - I bh2
  - v= T
  - Le rayon de giration ést :
  - /
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- - MOMENTS D’INERTIE •
  - 305
  - C) L axe est perpendiculaire au plan du rectangle, et passe par l’un des sommets. — Soit l’axe projeté en O. Menons par ce point deux axes rectangulaires OC et OA suivant les côtés du rectangle.
  - Fig. 184.
  - Nous avons démontré que le moment d’inertie d’une surface plane par rapport à un axe perpendiculaire au plan de cette surface est égal à la somme des moments d’inertie par rapport à deux axes perpendiculaires et passant par le point O.
  - Donc,
  - I = 1(50 + I0A
  - bh3
  - Or,
  - donc :
  - hb3
  - [°A = Y
  - bh3 t hb3 bh{b2-\-h2)
  - 1 = t + y = 3
  - b2 + b2 = d2. bhd2
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2e édit.). 30
- p.305 - vue 323/418
- - 306
  - DYNAMIQUE
  - D) L’axe est perpendiculaire au plan du rectangle et mené par le milieu d’un des côtés. — Soit O la projection
  - 0
  - c D
  - Fie. 185.
  - de l’axe passant par'le milieu du côté BD du rectangle. Menons OE parallèle à la base.
  - Le moment d’inertie sera égal à la somme des moments d’inertie de chaque partie du rectangle :
  - ' I — Il + 12* \
  - Dans le cas précédent nous avons vu que :
  - bh d2 bhd2
  - 6
  - d’où
  - bhd2 h = ~G~
  - . 2 bhd2 bhd2
  - E) L’axe est perpendiculaire au plan du rectangle et passe par son centre de gravité. — Par le point O menons deux axes .rectangulaires parallèles aux dimensions du rectangle. ,
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- - MOMENTS D’INERTIE
  - 307
  - Nous aurons :
  - I = W + W
  - bh3
  - I
  - I
  - YY
  - hbs
  - 12
  - bh3 M3 ô/i
  - Ï2 + 12 =I"2(6 +h ) =
  - bhd2
  - T2~'
  - A------
  - Fig. 186.
  - IVIoment d’inertie du carré. — Le carré est un rectangle dans lequel b = h.
  - Son moment par rapport à l’un des côtés est :
  - et par rapport à l’axe parallèle à l’un des côtés et passant par son centre de gravité :
  - _ bi 1 ~ 12'
- p.307 - vue 325/418
- - 308
  - DYNAMIQUE
  - La distance Y des fibres les plus éloignées de l’axe est :
  - 2
  - 222. Moment d’inertie du parallélogramme. A) L’axe se confond avec la base. — Par un raisonnement
  - X---f
  - Fie. 187.
  - analogue à celui vu dans le cas du rectangle nous obtiendrions :
  - _ bh3
  - 1 “ T"
  - B) L’axe, parallèle à la base, passe par le centre de gravité»
  - ------b -
  - Fig. 188.
  - — Nous trouverions par le même procédé :
  - M3
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- - MOMENTS D’INERTIE
  - 309
  - d’où :
  - I __ blv V - ~6
  - 223. IVIoment d’inertie d’un triangle. A) L’axe, parallèle à la base, passe par le centre de gravité. — Le
  - moment d’inertie du triangle par rapport à l’axe XX', parallèle à la base et passant par le milieu de la hauteur, est la moitié de celui du parallélogramme de même base et de même hauteur.
  - Fig. 189.
  - Mais la distance entre les axes XX' et ZZ\
  - bh3
  - 36
  - La distance de la fibre la plus éloignée :
  - 2
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- - 310
  - DYNAMIQUE
  - d’où
  - bh3
  - I 36 bh*
  - V = VTh = 24
  - ___ *
  - B) L’axe est la base. — La distance entre les axes
  - h '
  - XX' et YY' = d = -
  - O
  - D’où
  - I' = I +
  - bh*
  - 36
  - bh3
  - 36
  - bh3
  - 12
  - G) L’axe est parallèle à la base et passe par le sommet. —
  - X A X’
  - La valeur de ce moment d’inertie nous sera donnée par
  - l’égalité :
- p.310 - vue 328/418
- - MOMENTS D’INERTIE
  - 311
  - I' = I + s d*
  - I représentant le moment d’inertie du triangle par rapport à l’axe parallèle à la base et passant par le centre de gravité.
  - bh3 bk I' = +
  - 36 bh3 : 36
  - 2 vl*
  - 2 bh3 8
  - + 5 hh* = + ô* hh*
  - 36 36
  - 9 bh3
  - b = ô7' bhz — ~T ' 36 4
  - D) L’axe est perpendiculaire à la surface et passe par le sommet. — La valeur de ce moment nous est donnée
  - Fig. 192.
  - par la somme des moments par rapport aux axes XX' et OY.
- p.311 - vue 329/418
- - 312
  - DYNAMIQUE
  - Remarque. — Lorsque le triangle est isocèle :
  - l = V et ' 2 l = b
  - Nous en concluons :
  - b
  - et
  - l3
  - b3
  - ~s‘
  - Le moment d’inertie devient :
  - b h3 / hb3 \ bh3
  - I=T +-2 («ITs) " T +
  - bh ( b2'
  - I = r2 3ft,+ï
  - M3
  - 48
  - Si la base est très petite par rapport à la hauteur, le b2
  - terme — est négligeable ; le moment d’inertie a dès lors 4
  - pour valeur :
  - _ m ~ T"
  - Fig. i93.
  - 224. Moment d’inertie du cercle. A) L’axe est perpendiculaire au plan du cercle et passe par son centre. —
  - Représentons par Ip le moment d’inertie polaire, par
- p.312 - vue 330/418
- - 313
  - MOMENTS D’INERTIE
  - rapport à un axe normal au cercle et passant par le centre O.
  - Le cercle peut être décomposé en n petits triangles isocèles de base :
  - 2ttR
  - e =
  - n
  - infiniment petite par rapport au rayon. Pour chaque triangle élémentaire on a :
  - eR3
  - D où
  - cR3 TT R4 -D4
  - i,, *=» — = — = T2
  - I p 7tR3 7tD
  - v = ~r =
  - 16
  - Nous pouvons exprimer I en fonction de la surface. En effet, nous pouvons dans l’égalité :
  - TT R4
  - I - —
  - remplacer 7rR2 par S ce qui donne :
  - • SR2 1 =
  - . 2
  - Le rayon de giration nous est donné par l’égalité :
  - I
  - R
  - «2 — —
  - B) L’axe est un diamètre. — Par suite de la symétrie, les moments d’inertie par rapport aux diamètres rectangulaires XX' et Y Y' sont égaux :
  - \x = 1 y.
- p.313 - vue 331/418
- - 314
  - DYNAMIQUE
  - D’où
  - I p ttR4 tcD4 = 3"= T~ = "64
  - I tcR3 ttD3 V = ~T = "32
  - Si nous exprimons I en fonction de la surface, nous obtenons :
  - SR2
  - Nous tirons la valeur du rayon de giration de l’égalité : _____________________________ 1 ___' R2
  - r2 = s “ T
  - d’où :
  - P
  - 2
  - 225. Moment d’inertie d’un demi-cercle. — a) L’axe est un diamètre. — Ce moment d’inertie est égal à. la moitié du moment d’inertie du cercle :
  - Fig. 194. Fig. 195.
  - b) L’axe passe par le centre de gravité. — Nous avons vu que :
  - Iab == Ixx SgÊ2
- p.314 - vue 332/418
- - 001 ri
  - MOMENTS D’INERTIE
  - 315
  - TcR4
  - 1T
  - tcR2
  - 2
  - I* v' = ]
  - 4R
  - S d2
  - tcR2 /4R\ 2 tcR4
  - ~t x (3^) = ir
  - 16 R4 18 TC
  - 8 /tc 8 \ „ /3,14
  - "R497c_RV8 9 tc / 4|
  - = R4 X 0,10975.
  - _5_\
  - 9 X 3,14/
  - 226. Moment d’inertie d’un quart de cercle.
  - Fig. 196.
  - Iab
  - d
  - tcR4 16’ 4 R 3 TC ’’
  - Ïab = IXx' + St^>
  - ^xx' = ^AB S(l2,
  - __tcR4
  - ïxx' = Jq
  - tcR4 /tcR2 16 R*\
  - = \~T x "9Û2"/ ’
  - R2 16 R2\ tcR4 R4 X 16 4 X 9tu / lëf “36 X 3,14’
  - 3,14 R4 R4 X 16 ïxx' - 16 Ï13 ’
  - 1808 Ixx- — R4 (355 — 256),
  - _ 99
  - Ixx' ~ Ï8Ô8 R4’
  - Ixx, = 0,0547 R4.
  - 227. Moment d’inertie d’une couronne circulaire. a) L’axe est perpendiculaire au plan de la couronne. —
- p.315 - vue 333/418
- - 316
  - DYNAMIQUE
  - Ce moment d’inertie est égal à la différence des moments d’inertie des deux cercles.
  - I = Ii — la
  - I = ô (R
  - En fonction des diamètres nous obtenons :
  - b) L’axe est un diamètre. — Dans ce cas nous avons I
  - 7TR4 7t/'* 7Z
  - —-T = 4(R4-f,)
  - 4
  - et en fonction des diamètres :
  - TZ
  - I = - (D* - d‘)
  - 228. Moment de l’ellipse. — L’axe est un des axes principaux, par exemple le petit axe :
  - Décrivons un cercle ayant le grand axe pour diamètre.
  - Considérons une section ab de l’ellipse et la section correspondante a’b' du cercle.
  - Le rapport des moments d’inertie de ces deux sections est :
  - i b
  - T,=5 h
  - La somme des moments d’inertie partiels nous donne
- p.316 - vue 334/418
- - MOMENTS D’INERTIE
  - 317
  - Or,
  - 7tP4 _ Tl/*4
  - 64 64 ’
  - Fig. 198.
  - d’où :
  - t Vb Tc/t4 X b bh3
  - 1 = ~h = 64 h = 71 64’
  - V = 32 b>>‘-
  - MOMENT D’INERTIE DES VOLUMES
  - 229. Moment d’inertie d’un cylindre de révolution. —- Soit R le rayon du cylindre.
  - Nous pouvons le décomposer en portions très minces ayant pour hauteur la hauteur du cylindre et pour bases
  - les surfaces élémentaires s, s2 distantes de l’axe
  - XX' respectivement de d, du c/2, etc.
- p.317 - vue 335/418
- - 318
  - DYNAMIQUE
  - Les moments d’inertie de ces masses élémentaires sont :
  - i = sHd2,
  - h =
  - 1% =z
  - Additionnant ces égalités membre à membre, nous obtenons :
  - I = H {sd2 + s1dl2 -j- 6v42 + ..)♦
  - x
  - Fig. 199.
  - La quantité entre parenthèses est le moment d’inertie de la surface de la base dont nous avons trouvé la
  - ttR4
  - valeur : ——
  - \
  - Mais ttR2H
  - 1Ï7T R4 R2
  - I = = tcR2H X -e-
  - 2 1 \ 2
  - est le volume du cylindre, d’où nous pou-
  - vons écrire :
- p.318 - vue 336/418
- - MOMENTS D’INERTIE
  - 319
  - et en fonction de la masse :
  - 230. Moment d’inertie d’un anneau circulaire. —
  - Comme le montre la figure, l’arineau cylindrique a une section rectangulaire. Nous supposerons qu’il tourne autour de son axe.
  - Fig. 200.
  - Son moment d’inertie sera égal à la différence des moments d’inertie des cylindres de rayon R et r,
  - 7rR4/i Tzr*h
- p.319 - vue 337/418
- - 320
  - DYNAMIQUE
  - Or 7ih (R2 — r2) représente le volume Y de l’anneau, d’où :
  - l = ^(R2+>12). [l]
  - Nous pouvons trouver la valeur du moment d’inertie en fonction du rayon moyen. Représentons ce dernier par R'.
  - / b\ b2
  - R= (R/ + 2) et R2 = R'2 + bR' + 4’ t2]
  - /• = R'
  - •>
  - et 1
  - » 2
  - R'5 — 6R' + -r- [3]
  - . 4
  - Remplaçant dans la formule [1 ] R2 et r2 par leurs valeurs trouvées dans les égalités [2] et [3] nous obtenons :
  - V /
  - I = - R'2 + bW +
  - b2 b2
  - 4+R,2-^R'+4
  - v /
  - 2 R'2 +
  - - V
  - R,2 +
  - b2\
  - 4
  - ?
  - en fonction de la masse nous aurions :
  - b2
  - R'! + 7
  - /
  - Remarque. — Lorsque l’épaisseur de l’anneau est très
  - b2
  - petite par rapport au rayon moyen R', le terme — est négligeable et il reste :
  - I = MR'2,
  - et si P est le poids de l’anneau :
  - ! p
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- - MOMENTS D’INERTIE
  - 321
  - RECHERCHE DES MOMENTS D’INERTIE DE DIVERS PROFILS
  - 231. Tube creux rectangulaire. — L’axe passe par le milieu de la section et par le centre de gravité.
  - Ce moment d’inertie sera égal à la différence entre le moment d’inertie Ix de la surface du rectangle extérieur
  - Fig. 201. Fig. 202.
  - et le moment d’inertie 12 de la surface du rectangle intérieur.
  - BH3 _ bh3
  - 11 = ~Ï2~'’ Ia “ 12
  - d’où :
  - BH3 bh*
  - *xx' ~ TiT ~ TT
  - 232. Moment d’inertie d’une section en — Le
  - moment d’inertie d’une telle section par rapport à l’axe de symétrie XX' est égal au moment d’inertie du rectangle ayant pour dimensions B, H, moins deux fois le moment d’inertie du rectangle dont les côtés mesurent 6, h. BH3 2 bh3
  - Ixx' = "Ï2 Ï2~~
  - M- WilMotte. — Cours de mécanique (2° édit.).
  - 21
- p.321 - vue 339/418
- - 322
  - DYNAMIQUE
  - 233. Moment d’inertie d’une section — Le
  - moment d’inertie sera égal au moment d’inertie du rectangle B X H diminué du moment d’inertie du rec-
  - tangle b X h.
  - L*------B
  - Fig. 203.
  - BH3 bh* ~l2~i2"
  - Fig. 204.
  - 234. Moment d’inertie d’une section en —On
  - détermine d’abord le centre de gravité G de la section soit par le calcul, soit graphiquement.
  - La somme des moments linéaires des rectangles ABCD et LMQR par rapport à l’axe EF est nulle.
  - Puis on calcule les moments d’inertie partiels :
  - B(H — lu)3
  - du rectangle ABEF = Ix = ---------------;
  - bh i3
  - du rectangle NPQR = I2 = ;
  - des deux rectangles = U = (B g—-
  - Le moment d’inertie de la section :
  - B(H — hx)3 bh\ (B — b)Ii
  - + “3
  - I = I,+ I.-I:
  - 3
  - 3
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- - MOMENTS D’INERTIE
  - 323
  - Fers à X
  - DIMENSIONS POIDS par MÈTRE I Y
  - 80 X 40 X 5 ' kg 6,8 21.300
  - 100 X 50 X 5 9,1 38.880
  - ' 120 X 60 X 6 13,3 56.250
  - 140 X 70 X 7 , 17/. 99.050
  - 160 X 80 X 8 22,6 152.600
  - 180 X 90 X 8 25,8 166.100
  - 200 X 100 X 9 29,0 235.600
  - 220 X 100 X 10 33,0 324.800
  - 250 X 110 X 10 41,0 410.000
  - 300 X 125 X 11 58,0 705.400
  - 350 X 140 X 13 73,0 958.000
  - Fers à £
  - DIMENSIONS POIDS par MÈTRE I Ÿ
  - kg
  - 80 X 40 X 6 7,7 23.210
  - 100 X 50 X 6 10,1 41.320
  - 120 X 50 X 6 11,9 51.260
  - 140 X 60 X 7 15,0 75.400 .
  - 160 X 60 X 7 1 /2 17,8 106.150
  - 180 X 60 X 8 19,2 125.200
  - 200 x 70 X 8 1 /2 24,5 182.450
  - 220 X 70 X 9 25,5 212.250
  - 250 x 80 X 10 32,0 287.500
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- - 324
  - DYNAMIQUE
  - 235. Moment d’inertie d’une section L_. — Le
  - centre de gravité G étant trouvé, on cherche les moments d’inertie partiels :
  - du rectangle ABFE .=
  - 13(H — h])3 _ 3 ’
  - du rectangle EPRQ = I2
  - Fers cornières
  - DIMENSIONS POIDS par MÈTHE I V
  - kg
  - 40 X 40 X 4 2,4 1.610
  - 50 X 50 X 5 3,7 3.150
  - 60 X 60 X 6 5,4 5.450
  - 70 X 70 X 7 7,3 8.660
  - 80 X 80 X 8 9,5 13.220
  - 90 X 90 X 9 12,0 18.400
  - 100 X 100 X 10 15,0 25.240
  - Fers à
  - DIMENSIONS POIDS par MÈTRE i ; v |
  - 35 X 40 x 5 1/2 kg 3,0 2.090 j
  - 45 X 50 X 7 4,5 4.330 |
  - • 55 X 60 X 8 6,4 7.230 ;
  - 65 X 70 X 8 1 /2 8,3 10.360 !
  - 75 X 80 X 10 11,3 16.030 ;
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- - MOMENTS D INERTIE
  - (B — b)h2s
  - du rectangle CFPD — I3 =
  - <?
  - D’où
  - 3
  - * « j
  - %
  - |
  - 1 h, 1
  - /// // 1
  - '// % V/, s P —H
  - Y' D hic
  - wmmm~
  - Al*____
  - R
  - B
  - Fig. 205.
  - 325
  - B(H -IhY- blh3 (B — b)Ju*
  - I = Ii + la— I3 = ——0— - +
  - 3
  - 3
  - expression identique à la précédente.
- p.325 - vue 343/418
- p.326 - vue 344/418
- - QUATRIÈME PARTIE
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
- p.327 - vue 345/418
- p.328 - vue 346/418
- - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - 236. Définitions. — La résistance des matériaux a pour but de déterminer les dimensions qu’il faut donner à une pièce soumise à l’action des forces, pour qu’il n’y ait ni déformation permanente ni rupture. On peut se proposer également de vérifier une construction existante, au point de vue de la sécurité qu’elle présente ou au point de vue des efforts qu’elle peut supporter avec sécurité.
  - En vertu de son élasticité, un corps peut reprendre sa forme primitive après avoir été déformé sous l’action d’une force. Il peut cependant arriver que cette déformation subsiste : ce fait se produit lorsqu’on a dépassé la limite d'élasticité.
  - On entend par coefficient de résistance, la force maxima qu’un corps peut supporter sans se déformer.
  - Les coefficients de résistance varient :
  - 1° Avec la nature de la matière employée ; .
  - 2° Avec le genre d’effort auquel cette matière est soumise.
  - Les coefficients de résistance se déterminent :
  - 1° Par l’étude comparative de constructions existantes et reconnues bien établies ;
  - 2° Par les expériences faites au banc d’épreuve ;
  - Un échantillon convenablement découpé est soumis à un effort qui va en augmentant jusqu’à ce que la rupture se produise. Le quotient de cet effort' limite par la section de l’échantillon donne le coefficient de rupture.
- p.329 - vue 347/418
- - 330
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - La forme ordinaire de l’éprouvette est celle de la figure 206 : une partie cylindrique, terminée par deux têtes prismatiques.
  - La machine à essayer les métaux se compose d’un fort bâti, de l’appareil de traction et de l’appareil de mesure.
  - Fig. 206.
  - Pour passer du coefficient dô rupture au coefficient de résistance on le divise par un coefficient appelé coefficient de sécurité. Ce dernier varie entre 6 et 10.
  - Suivant leur mode d’action nous pouvons considérer les forces sous cinq aspects différents :
  - 1° Les forces de traction ;
  - 2° Les forces de compression ;
  - 3° Les forces de flexion ;
  - 4° Les forces de cisaillement ;
  - 5° Les forces de torsion.
- p.330 - vue 348/418
- - CHAPITRE XXVIII
  - TRACTION
  - 237. — Lorsque deux, forces égales P et Q de sens contraires, agissant dans la direction de l’axe de la pièce, sont appliquées aux extrémités d’un solide et tendent à en séparer les molécules, le corps est soumis à des forces de traction.
  - 9.
  - <
  - T
  - —
  - Fig. 207.
  - L’effort égal et contraire qu’oppose le solide porte le nom de résistance à la traction. -
  - 238. Lois de la traction. — Les lois de la traction peuvent se résumer comme suit :
  - 1° Lorsque la charge est relativement faible, rallongement du prisme disparaît lorsqu'on supprime Vaction de la charge;
  - 2° Si la charge est relativement forte, il se produit à la fois un allongement élastique et un allongement permanent ;
  - 3° Lorsque la charge ne dépasse pas Une valeur dite limite d'élasticité, les allongements sont sensiblement proportionnels aux charges.
  - Avant de calculer, l’effort auquel on peut soumettre un
- p.331 - vue 349/418
- - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - corps nous devons nous demander s’il y a lieu ou non de faire intervenir le poids du corps comme force s’ajoutant à celles s’exerçant sur ce corps.
  - 1er Cas. On ne tient pas compte du poids du corps. —
  - Lorsque le poids du corps est faible relativement à la résistance, on le néglige dans les calculs. ^
  - Représentons par S la section du prisme par cm2 et par Iv le coefficient de résistance par cm2.
  - L’effort total qu’opposera le prisme nous sera donné par la formule : P = SK.
  - Applications 1. — Calculer la charge que peut supporter un fil de fer de 0,003 m. de diamètre sachant que le coefficient de résistance est de 1.000 kg.
  - Appliquons la formule P = SK.
  - TtD2 3,14 X 0,0032
  - S — —— —-----------------— 0,07065 cm2 ;
  - 4 4
  - d’où :
  - P = 1.000 x 0,07065 = 70,65 kg.
  - 2, — Un cylindre à vapeur de 0,65 m. de diamètre supporte une pression effective de 5 atmosphères ; calculer le nombre de boulons en fer de 0,016 m. de diamètre, nécessaire pour maintenir ce fond de cylindre? Le coefficient de sécurité du fer des boulons est de 480 kg. par cm2.
  - La pression supportée par le fond du cylindre est égale à :
  - 1,032 X 5 = 5,165 kg. par cm2.
  - !
  - La surface du fond du cylindre est de : . ttD2 3,14 x 652
  - 4
  - = 3.316,62 cm2.
- p.332 - vue 350/418
- - TRACTION
  - 33..')
  - La pression totale est donc de :
  - 3316,62 x 5,165 = 17.130,34 kg. La surface d’un boulon est de :
  - 3,14 x 1,6 4
  - 2,0096 cm2.
  - Un boulon peut équilibrer une force de :
  - 2,0096 x 480 = 964,60 kg.
  - Il faudra donc :
  - 17.130,34 : 964,60 = 18 boulons.
  - 2e Cas. On tient compte du poids du corps. — Lorsque le prisme est d’une grande longueur, comme c’est le cas dans certains appareils de mine, il est nécessaire de tenir compte de la surcharge due à son propre poids.
  - Dans ce cas la section dangereuse, c’est-à-dire la section la plus fortement chargée, est celle qui, en plus de
  - zuwiiutuwtm
  - f L
  - J
  - v
  - Fig. 208.
  - la charge proprement dite, doit supporter le poids propre du prisme. C’est cette section que l’on doit calculer.
  - Représentons par L la longueur totale du prisme en cm, S la section en cm2 et (p) le poids par cm3, de la
- p.333 - vue 351/418
- - 334
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - matière dont il est formé. Le poids total du prisme est pLS et l’équation d’équilibre est :
  - SK = P + pLS.
  - Application. — Calculer la section à donner à un câble en fer destiné à soulever une charge de 4.500 kg. à 300 m. de hauteur. La densité du fer est de 1,1 et son coefficient de résistance de 700 kg. par cm2.
  - Le poids du câble étant conséquent, il y a lieu de le faire intervenir dans les calculs.
  - De la formule :
  - nous tirons : D’où :
  - SK = P + phS :
  - SK — pLS = P. S(K — ph) - P
  - donc :
  - S =
  - P
  - K — ph ’
  - 4.500
  - 700 — (0,0077 X 30.000)
  - 9,594 cm2.
  - 239. Prisme ne supportant que son propre poids.
  - — Dans ce cas, la formule devient :
  - KS = pLS ;
  - d’où :
  - !K = ph.~
  - Nous pouvons remarquer d’après cette formule que lorsque le prisme ne supporte que son poids propre, sa résistance est proportionnelle à sa longueur quelle que
- p.334 - vue 352/418
- - TRACTION
  - 335
  - soit sa section. Le rapport y- exprime donc la plus grande
  - longueur que l’on peut donner à un prisme quelconque, ne supportant que son propre poids et dont la résistance maximum est fixée à Iv.
  - 240. Solide d’égale résistance à la traction. — Afin d’éviter le surcroît d’effort dû au poids même du prisme lorsque celui-ci est assez long, on peut faire varier sa section ; les plus faibles, sont les plus rapprochées du point d’application de la charge.
  - 'lllniiliilliumnilininuii.
  - !- lz
  - Fig. 209.
  - Le coefficient de résistance ne sera atteint que dans la section dangereuse qui est la section supérieure.
  - Soit une tige de longueur totale L divisée en 4 tronçons de longueur /, Zj, Z2, Z3 dont nous voulons déterminer les sections respectives S, S1? S2, S3. Calculons d’abord le premier tronçon inférieur, son poids est :
  - P = S X l X S,
  - (8) étant le poids du mm3 de matière et (l) étant exprimé en millimètres.
- p.335 - vue 353/418
- - 336
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - •La charge totale exercée au bas de ce tronçon est :
  - Q + P = Q + S/S ;
  - d’où :
  - SK = Q + S/S,
  - nous en déduisons :
  - Slv — S/S - Q.
  - Mettant S en évidence, nous avons :
  - S (K —/S) - Q, .
  - Q
  - d’où.la formule
  - S =
  - K
  - / S
  - Le poids de ce premier tronçon doit être ajouté au second tronçon pour le calcul de sa section.
  - Donc la section du second tronçon sera :
  - Si
  - Son poids :
  - _ Q + P
  - ~ K — /x S
  - Pi = SAS.
  - Pour le troisième tronçon :
  - Q + P + Pi
  - S, =
  - et : .
  - Iv — /* S p2 = s 2/2S.
  - Pour le quatrième tronçon :
  - i •
  - !Q + P +. Pi + P,
  - Sa -
  - K — /aS
- p.336 - vue 354/418
- - TRACTION
  - 337
  - et : P3 = S3/3S.
  - Le poids total du prisme sera' :
  - P + Pi + Pt + P3.
  - 241. Lois d’élasticité. — Dans les limites d’élasticité admises, la résistance du prisme ou l’effort intérieur par unité de surface est proportionnelle :
  - 1° A Vallongement proportionnel du prisme, c'est-à-dire rallongement par unité de longueur;
  - 2° A un coefficient dépendant de la nature du prisme. Ce coefficient E est appelé module d'élasticité.
  - 242. Module d’élasticité. — (1) étant l’allongement élastique déterminé au cathétomètre et L la longueur du
  - l -
  - prisme, le rapport - représente l’allongement élastique
  - Li
  - par unité -de longueur.
  - Les lois précédentes nous donnent la formule :
  - l
  - K = - x E JL
  - E étant la limite d’élasticité, d’où :
  - K
  - E
  - a
  - Nous pouvons également calculer la valeur du module d’élasticité, en fonction du poids P appliqué au prisme et de sa section S.
  - P
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2e édit.).
  - 00
- p.337 - vue 355/418
- - 338
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - donc :
  - P X L P L K ~ S X l = S x T
  - Cette dernière formule nous permet de calculer la valeur de l’allongement total qu’éprouve un prisme do section et de longueur données sous l’action d’un poids donné :
  - P L L
  - ? - S ; K - K K'
  - RESULTATS DES EXPERIENCES A LA TRACTION
  - 243. — Nous trouverons dans le tableau ci-après le coefficient de résistance et d’élasticité, par centimètre carré, de certains matériaux.
  - Le coefficient d’élasticité a été calculé par des considérations sur la constitution moléculaire des corps.
  - Application 1. — L’effort total supporté par un piston de machine à vapeur est de 1.500 kg. Calculer le diamètre de la tige de piston, si l’on admet une charge de sécurité de 5 kg. par mm2 à la traction.
  - La section transversale :
  - T 1.500
  - S = — — —;— = 300 mm2,
  - Iv o
  - d où :
  - TT d2
  - = 300
  - d =
  - 300
  - =Ü4 = l0’5
  - 20 mm
  - 2. —Une machine transmet son travail par une courroie dont le brin tendu supporte un effort de 375 kg.
- p.338 - vue 356/418
- - TRACTION
  - 339
  - Coefficient de résistance et d’élasticité.
  - MATÉRIAUX COEFFICIENT DE RÉSISTANCE K COEFFICIENT, OU MODULE 1 D’ÉLASTICITÉ ' E |
  - Fer forgé de bonne qualité . . 700 2.000.000
  - — laminé 600 1.750.000
  - Fil de fer 1.000 2.000.000
  - Acier coulé ordinaire 900 1.500.000
  - — fondu au creuset .... 1 .000 2.200.000
  - — à ressort ' 1.500 2.200.000
  - — forgé ou laminé 1 .000 2.000.000
  - Fil d’acier 1.900 2.800.000
  - Fonte ordinaire 100 1.000.000
  - — de très bonne qualité. . 250 »
  - Bronze ordinaire 330 320.000
  - — phosphoreux 600 600.000 !
  - Laiton . . • 330 1.000.000
  - Cuivre rouge laminé 470 800.000
  - Laiton coulé 320 650.000
  - Fil de laiton 500 1.000.000
  - — — cuivre 650 1.300.000
  - Chêne 60 1.200.000
  - Sapin du Nord 70 150.000
  - Corde (chanvre ou aloès) . . . 80 »
  - Courroies en cuir 20 à 30 l.500 à 2.000
  - Calculer l’épaissseur de la courroie sachant que sa largeur est de 208 millimètres et que K = 0,30 par mm2.
  - S
  - T 375 K = 0^30
  - 1.250 mm2 ;
  - 1.250
  - 2Ô8~
  - 6 mm.
  - d’où l’épaisseur
- p.339 - vue 357/418
- - CHAPITRE XXIX
  - «
  - COMPRESSION
  - 244. — Un corps est soumis à l’effort de compressionT lorsque les forces qui lui sont appliquées tendent à refouler les fibres du corps dans le sens de sa longueur.
  - Lorsque le rapport entre la longueur de la pièce et sa section transversale est faible, la compression produit une augmentation de section et la pièce se brise en fragments. Dans le cas contraire, la pièce fléchit avant que la charge de rupture à l’écrasement ne soit atteinte.
  - Pour les pièces dont le rapport de la longueur à la plus
  - faible dimension est d’environ
  - 10
  - I’
  - les lois de la compres-
  - sion sont identiques à celles de la traction.
  - La compression est donc proportionnelle à la section sur laquelle s’exerce l’effort, d’où nous pouvons écrire la formule :
  - P = KS
  - K. étant le coefficient de résistance par unité de section.
  - Certains coefficients de résistance à la compression diffèrent des coefficients de résistance à la traction.
  - 245. Compression des colonnes et piliers. — Les
  - formules empiriques suivantes déterminent la compression des pièces de grande longueur comparativement à la section transversale.
  - ‘ 1° Poteaux en bois, •— On emploie la formule de Hoclgkinson. |
  - Pour des poteaux d’une longueur variant entre 25 et
- p.340 - vue 358/418
- - COMPRESSION
  - 341
  - 50 fois le plus petit côté de la section transversale, on a4
  - prend P = K — pour la section carrée ; et pour la section rectangulaire :
  - P étant la charge pratique en kilogrammes,!/)la longueur du poteau en décimètres, (a) le côté de la section carrée, ou le plus petit côté de la section rectangulaire en centimètres, (b) le grand côté de la section rectangulaire en centimètres.
  - K est un coefficient variant avec la qualité du bois. On lui donne ordinairement les valeurs suivantes :
  - Pour le chêne fort........ 256 kg. 5
  - — faible .... 180 kilogrammes
  - le sapin fort.........214 kg. 2
  - faible .... 160 kilogrammes
  - 11 convient de vérifier si la charge obtenue par les calculs n’est pas supérieure à la charge de sécurité admise pour les poteaux en chêne et en sapin. A cet effet, nous consulterons le tableau ci-après :
  - RAPPORT " (hauteur du poteau à sa plus petite dimension transversale) CHARGE EN KILOGRAMMES par cm2 RAPPORT " (hauteur du poteau à sa plus petite dimension transversale) CHARGE EN KILOGRAMMES par cin2
  - 12 44,5 28 26 |
  - 14 42 32 22
  - 16 39,5 36 16
  - 18 37 40 15,4
  - 20 35 48 10,2
  - 22 32,7 60 5,4
  - 24 36 72 2,5
  - 26 31
- p.341 - vue 359/418
- - 342
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - Pour les poteaux circulaires on prend la section
  - 7t d-
  - T
  - a- d’un poteau carré.
  - Applications 1. — Un poteau carré, en chêne ordinaire, a 6 m. de hauteur. Sachant qu’il doit supporter une charge de 7.500 kg., calculer le côté de la section.
  - Appliquons la formule :
  - Iv pour le chêne ordinaire = 180 ; d’où
  - a
  - 7.500 - 180 x r-,
  - 60“
  - n4 =
  - 602 x 7.500
  - Ï8Ô
  - = 150.000
  - a2 = y/l50.000 - 387,3 cm2 . a — y/387,3 = 19,67 cm2.
  - Voyons si cette charge peut être admise.
  - Le rapport de la longueur au côté est
  - II
  - nous voyons sur le tableau qu’au rapport — = 30 corres-
  - 600
  - 19,67
  - - = 30:
  - a
  - pond une charge de 24 kg. par cm2. Nous aurons donc :
  - P = 19,672 x 24 = 9.285,60 kg. .
  - Or cette charge est supérieure à celle appliquée au .poteau donc, les dimensions proposées peuvent être admises.
  - 2.— Un poteau en|sapin faible de 5m.de hauteur a une section rectangulaire dont la base mesure 24 cm.
- p.342 - vue 360/418
- - COMPRESSION
  - 343
  - Sachant que la charge est de 7.000 kg., calculer la hauteur de la section.
  - baA
  - p = Kxy
  - ‘24 x a3
  - 7.000 = 160 x
  - a =
  - 7.000 x 50" = i6i5
  - 11 500
  - le rapport - = —
  - a l6,o
  - 24 kg. par cm2.
  - 30 correspond à une charge de
  - 24 x 16,5 x 24 9.504 kg.
  - Les dimensions données peuvent donc être admises. 3. — Calculer la charge que peut supporter un poteau circulaire en chêne de 25 cm. de diamètre et de 7 m. de longueur. ,
  - La section transversale est :
  - ttD2 3,14 X 25 ~T = 4
  - 490,625 cm2.
  - Le côté du carré, ayant une section équivalente -
  - 1/490*625 = 22,15 cm.
  - Appliquons1 la formule :
  - 22,15
  - P = 60 x - 2.947,49 kg.
  - 2° Colonnes pleines en fer et en fonte. — Comme pour les poteaux en bois, la longueur des colonnes en fer et en
- p.343 - vue 361/418
- - 344
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - fonte a une grande influence sur leur résistance à la compression.
  - Reuleaux nous donne les formules suivantes, nous permettant de trouver, soit la charge en fonction de la longueur et dii diamètre, soit le^diamètre en fonction de la charge et de la longueur :
  - Pour les colonnes en fer foriré < ' /2
  - ( d = 0,13 [/ 7 >; y/'P
  - ( ' d*
  - V1 p > P = 1.900 -
  - Pour les colonnes en fonte \ /2
  - ( d= 0,15 ÿ'ï x y/F. l et d sont exprimés en millimètres.
  - Applications 1 — Une colonne pleine en fonte, d'une hauteur de 6 m. doit supporter une charge de 45.000 kg. Quel diamètre faut-il lui donner1?
  - Appliquons la formule :
  - d = 0,15 \/ l -|- {/P.
  - d = 0,15 V/6IÔÔÔ X y/45.000
  - . = 0,15 x 77,46 x \/212$3
  - = 0,15 x 77,46 x 14,56 = 169,173 mm.
  - 2. — Une colonne pleine, en fonte, a 78,54 cm2 de section ; sachant que sa hauteur est de 6 m., calculer la charge qu’elle peut supporter.
  - Pour la fonte la valeur de P est donnée par la formule :
  - ‘ - d*
  - P = 1.900
  - I2
  - y'
- p.344 - vue 362/418
- - COMPRESSION
  - o4o
  - Nous ne connaissons pas cl mais nous pouvons déduire sa valeur de l’expression suivante :
  - t:c12
  - 78,54 ±= —
  - /i
  - /78,54 X 4
  - '' = V "3Ü4ÎG~ = 10 n"'
  - remplaçant d et / par leur valeur nous obtenons :
  - 1004
  - P = 1.900 X
  - 6.0002
  - 100.000.000
  - = 1.900 x -
  - 36.000.000
  - 5.280 kff.
  - Formules de Love. — Nous pouvons également employer pour ces calculs les formules suivantes dues à Love.
  - a) Colonnes pleines. — Pour les colonnes en fer :
  - P = ------
  - 470 d2
  - il
  - 1,55 + 0,0005 f-
  - pour les colonnes en acier :
  - o
  - P fer X -
  - (rapport des coefficients d’élasticité de l’acier et du fer); pour les colonnes en fonte :
  - \ 980 d2
  - P = ------=----------:---
  - ‘ . 1,45 + 0,0034^-^2
  - dans lesquelles P est la charge pratique en kilogrammes, l la longueur exprimée en centimètres et d le diamètre en centimètres.
- p.345 - vue 363/418
- - 346
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - b) Colonnes creuses. — Représentons par d et d' les diamètres extérieur et intérieur en centimètres.
  - Il nous suffit de calculer la colonne comme si elle était pleine, à l’aide des formules précédentes.
  - Si D est le diamètre trouvé nous choisirons d et d' de façon à ce que D4 = rf4 — d'4.
  - Remarque. — Certaines exigences de fonderie conduisent à adopter les dimensions minima suivantes :
  - HAUTEUR DES COLONNES ÉPAISSEURS MINIMA
  - 2 à 3 mètres 12 millimètres
  - 3 à 4 — 15 —
  - 4 à 6 — 20 —
  - 6 à 8 — 25 —
  - c) Colonnes à section en T, en etc. — Elles sont employées pour les charges considérables dans les charpentes métalliques.
  - 3° Piliers en maçonnerie et fondations. — Les charges pratiques suivantes sont admises : a) Pour les piliers en maçonnerie.
  - Pierres de taille...............20 kg. par cm2
  - Briques.........................10
  - Mortier de cimeni...............10 —
  - — — chaux................. 5 —
  - Nous devons dans les calculs tenir compte du poids
  - propre du pilier et à cet effet il est nécessaire de connaître le poids du mètre cube des différents matériaux suivants :
  - 1 m3 de pierre de taille pèse. . . . 2.400 kg.
  - — —briques pèse........... 1.800 —
  - — —mortier de ciment pèse . . 2.000 — .
  - — —chaux pèse............. 1.700 —
- p.346 - vue 364/418
- - COMPRESSION
  - 47
  - b) Pour les fondations.
  - Sur terre moyenne.................. 1 kg.
  - — bon terrain..................... 4 —
  - — terrain très consistant, jusqu’à . . 20 —
  - Remarque. — Les massifs des fondations de machines doivent supporter des vibrations occasionnées par les organes en mouvement ; leurs charges pratiques sont
  - 1
  - généralement de celles indiquées dans les tableaux qui précèdent.
  - Applications 1. — Une tige de piston de 0,70 m. de longueur supporte un effort de 1.800 kg. Calculer r 1° son diamètre ; 2° la pression que la tige supporte par millimètre carré : a) si elle est en fer ; b) si elle est en acier.
  - Appliquons la formule :
  - 470 <7,2
  - P =z------------:----
  - 1,55 + 0,0005 Q-j" • / 70
  - dans laquelle nous ferons - — — = 35
  - (t JL
  - 1.800
  - 470 d*
  - 1,55 + 0,0005 x 35“
  - 470 d* = 1.800 (1,55 + 0,0005 x 35')
  - d
  - X
  - 1.800 (1,55 + 0,0005 x 35 ) " ‘ 470
  - V
  - 3.862,50
  - = v/8,2819 = 2,87, cm.
  - 28,7 mm.
- p.347 - vue 365/418
- - 348 •
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - Si la tige est en fer elle supporte par millimètre carré une tension égale à :
  - 1.800
  - ISF “ **
  - Si la tige est) en acier, la section peut être diminuée
  - . 4
  - proportionnellement au rapport - des coefficients
  - d’élasticité du fer et de l’acier. Dans ce cas :
  - <r = d x
  - V \=28’7
  - X 0,9 = 25,83 mm.
  - La charge par millimètre carré serait :
  - 2,78 x 7 = 3,475 kg.
  - 4
  - 2. — Calculer la charge que peut supporter une colonne creuse en fonte de 5 m. de longueur, les diamètres extérieur et intérieur étant respectivement 350 mm. et 300 mm.
  - Calculons le diamètre qu’il faudrait donner à une colonne pleine qui supporterait la charge maximum à laquelle peut résister la colonne creuse.
  - D4 - d4 — d'* = 35* — 304 = 690.625.
  - D’où :
  - D = y/6903325 = 28,83 cm.
  - Pour les colonnes eh fonte :
  - 980 D2
  - P = _-------------
  - 1,45 -f 0,0034
  - 3'
  - 980 x 28,832 1,45 + 0.0034} X 182
  - 319.429,61 kg.
- p.348 - vue 366/418
- - FLEXION
  - t \ t r\
  - Cette charge est répartie sur une section S :
  - ‘ S = 7 ((l2 — rf'2)
  - ' a
  - = 7 (35,0 — 300 ) = 25.525 mm2. 4
  - La charge par millimètre carré est donc : 319.429,61
  - 25.525
  - = 12,51 kg.
  - Cette charge est trop forte car la flexion se produirait avant T écrasement.
  - Adoptons pour lv, 7 kg. par millimètre carré et nous aurons
  - P = 25.525 x 7 = 178.675 kg.
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- - CHAPITRE XXX
  - FLEXION
  - I
  - 246. — Une pièce est soumise à l’effort de flexion lorsqu’elle est sollicitée par une force agissant soit perpendiculairement soit obliquement à son axe, de manière à lui faire prendre une certaine courbure, nommée flexion.
  - La flexion est dite simple ou composée suivant que les forces agissent perpendiculairement ou obliquement à l’axe.
  - Les forces agissant en certains points déterminés de la pièce sont dites forces locales.
  - Lorsque ces forces agissent sur toute la longueur de la pièce, elles sont dites uniformément réparties.
  - 247. Nature de la flexion. — Si un corps est encastré dans un mur à l’une de ses extrémités, et qu’on lui applique normalement à l’autre extrémité une force P, il fléchit progressivement à partir de la section d’encastrement.
  - Si le corps repose librement sur deux appuis,- C et D, et qu’on applique en son milieu une charge P, le corps se courbe également en arc de cercle A2B2.
  - Lois. — Nous constatons, par la figure ci-contre, que : 1° une partie des fibres a subi des allongements et l’autre des raccourcissements ; 2° que les fibres XX' appelées
- p.350 - vue 368/418
- - FLEXION
  - 351
  - fibres neutres n’ont subi ni allongement ni raccourcissement.
  - Fig. 210.
  - Nous voyons donc que ce qui caractérise la flexion, c’est qu’une section a1b1 d’abord parallèle à une section fixe ab devient oblique tandis que la distance des centres de gravité des sections ab et axbx reste invariable.
  - --h — -
  - F
  - Fig. 211.
  - Tout se passe comme si la section axbx s’était déplacée •en tournant autour d’un axe situé dans son plan et passant par son centre de gravité.
  - 248. Moment de la force de flexion. — Le moment •de flexion est égal, dans chaque section, au moment linéaire de la force de flexion.
  - La résultante générale des tensions élastiques est nulle puisqu’elles agissent suivant la longueur de la pièce, tandis que la force extérieure P lui est normale.
- p.351 - vue 369/418
- - 352
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - Le moment de la force élastique fait équilibre en chaque section a'b' située à une distance {p) de la force P, au moment linéaire de la force extérieure.
  - Fie 213.
  - 249. Solide d’égale résistance à la flexion. — Nous avons déjà vu qu’un solide d’égale résistance est une
  - Fig. 214.
  - pièce dans laquelle les tensions élastiques sont partout les mêmes. Nous pouvons le réaliser :
  - 1° Par des sections en £ ou en ^ qui concentrent la matière vers les fibres des bords les plus comprimées ;
  - 2° Par une diminution progressive depuis l’encastrement ab jusqu’à l’extrémité ; la résistance de chaque section est proportionnelle au moment :
  - Mfljij = Pp.
  - Soit un solide, encastré à une extrémité et chargé à l’autre d’un poids P tendant à le rompre. Si nous prenons les moments dans trois sections, nous voyons que la valeur de ces moments augmente à mesure que nous approchons de la section d’encastrement.
  - Il suit de là que théoriquement, les sections doivent
- p.352 - vue 370/418
- - FLEXION
  - 353
  - aller en augmentant en même temps que les efforts auxquels elles doivent résister.
  - Pratiquement, on fait usage de cette considération et on emploie le solide d’égale résistance à la flexion.
  - SjS, s
  - s; S’ S1
  - P
  - Fig. 215.
  - L’emploi de ce solide a pour but :
  - 1° D’économiser la matière sans nuire à la résistance ; 2° D’obtenir de la légèreté dans les pièces de construction.
  - Nous allons déterminer l’équation donnant à chaque
  - *J
  - Fig. 216.
  - instant la valeur de la section. Nous supposerons que b est constant.
  - Le moment par rapport à la section d’encastrement est :
  - V
  - R = PL
  - ce qui peut s’écrire :
  - bh2
  - X R = PL.
  - ° •
  - 6 PL = bha-R,
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2e Odit.).
  - 23
- p.353 - vue 371/418
- - 3:V>
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - d’où :
  - 6 P _ h2 bR~ h
  - En SS' nous avons :
  - I
  - — R = P.r.
  - ou :
  - R = Par,
  - [1.1
  - d’où :
  - 6 Par 6 P
  - VsiR=rR.XI-
  - [2] 6 P
  - Si dans cette dernière égalité nous remplaçons — par h2
  - sa valeur — trouvée dans l’égalité [1], nous aurons :
  - V =
  - A2
  - [3]
  - Nous pouvons donc, au moyen de cette dernière équation, déterminer toutes les valeurs A2, A3, etc., correspondantes aux valeurs de arx, x2, etc.
  - Nous pouvons également obtenir le solide d’égale résistance en donnant à A une valeur constante et en faisant varier b ou bien encore en faisant varier b et h.
  - Remarque. — Les pièces en font.e n’ont pas la même résistance à la traction qu’à la compression, c’est pourquoi on distribue le métal de façon à renforcer les parties où se développent les tensions d’extension.
  - La section en T est la plus convenable pour atteindre ce résultat.
  - En pratique, on se rapproche des solides d’égale résistance, surtout dans les pièces soumises à des efforts considérables; car ils permettent de réaliser d’importantes économies de matière.
  - Nous allons étudie^ les efforts auxquels peuvent résister :
- p.354 - vue 372/418
- - FLEXION
  - 355
  - 1° Les poutres fléchies ;
  - 2° — — encastrées à une extrémité ;
  - 3° — — reposant librement sur deux appuis ;
  - 4° — —- encastrées aux deux extrémités ;
  - 5° —. — — à une extrémité et reposant
  - à l’autre sur un appui.
  - 250. I. Poutres fléchies. — Les poutres chargées debout tendent à fléchir lorsque leur section transversale est faible comparativement à leur longueur.
  - La charge de fléchissement nous est donnée par la for^ mule :
  - P = K
  - Dans laquelle E est le coefficient d’élasticité longitudinale, I le plus petit moment d’inertie de la section transversale, L la longueur libre de la pièce.
  - K dépend des conditions de fixation des extrémités de la pièce soumise à l’effort de flexion.
  - Pour une pièce articulée à ses deux extrémités K = 1.
  - — — encastrée — — K = 4.
  - 1
  - — — — à une seule extrémité K = -
  - 4*
  - Rankine nous donne la formule suivante, pour trouver la tension au fléchissement des pièces articulées à leurs extrémités.
  - Tension au fléchissement
  - P
  - S
  - 1 +
  - '-T5)-
  - Le coefficient a vaut: pour la fonte et le bois 0,0008; pour le fer 0,0001.
  - Nous trouverons dans le tableau suivant les valeurs des moments d’inertie, des distances -V et des modules de flexion pour les principaux profils en usage.
- p.355 - vue 373/418
- - Valeurs des moments d'inertie, des distances V et des modules de flexion.
  - PROFILS
  - L— b
  - N
  - mm
  - mMX
  - «
  - VALEURS VALEURS
  - SURFACES DE IFN DE V
  - bit2 h
  - b X h 12 2
  - b h2 h
  - b X h 12 2
  - b (h2 — lh2) h
  - b (h — hj 12 i 2
  - VALEURS
  - I
  - DE —
  - b h2
  - ~6~
  - b h2
  - T"
  - b (h2 — /y») G h
  - co
  - Ü'
  - Gï
  - N
  - WM.
  - b____.
  - ..i
  - b2
  - b*
  - Ï2
  - b2
  - <T
  - Co
  - y
  - RESISTANCE DES MATERIAUX
- p.dbl.356 - vue 374/418
- - Valeurs des moments d’inertie, des distances V et des modules de flexion (suite).
  - CO
  - CO
  - PROFILS
  - * SURFACES
  - VALEURS DE IFN
  - VALEURS DE V
  - -I)2
  - -IJ4
  - 64
  - D
  - (D2 — Dj2) ~
  - ~ (H4 — IV)
  - 64
  - TClilI
  - -BU3
  - 64
  - 1
  - - D 2
  - - 11
  - 9
  - VALEURS
  - I
  - T.E -
  - 7ZB3
  - 32
  - - (IJ4 — Di4) 32 D
  - -B 112
  - 32
  - RÉSISTANCE DES MATERIAUX FLEXION
- p.dbl.358 - vue 375/418
- - 360
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - 251. II. Poutres encastrées à une extrémité. 1er Cas. Poutre encastrée à une extrémité et soumise à l’autre à une charge locale P. — Soit une pièce AB cle longueur L ; en un point C de cette longueur, à une distance x de l’encastrement A, supposons une section SS' et cherchons la valeur du moment fléchissant par rapport à cette section.
  - Le moment de la force P, par rapport à SS' est égal au produit de son intensité par la distance de son point d’application à la’section, c’est-à-dire P X BG, ou bien :
  - P X (L — x).
  - La valeur de ce moment augmente à mesure que x diminue et nous aurons sa valeur maximum pour x — 0, c’est-à-dire à l’encastrement A, c’est donc en ce point que se trouve la section dangereuse.
  - Le moment est nul à l’extrémité libre.
  - Pour avoir la valeur maximum du moment fléchissant, il suffit donc de faire x — 0 dans l’expression générale : P (L — x).
  - Cette formule nous permet de déterminer la valeur du moment fléchissant en tous les points de la longueur de la pièce. Il suffit de remplacer x dans la formule :
  - M =' P (L — x)
  - par toutes les valeurs comprises entre x — 0 et x — L. Les dents d’engrenages, les bras des volants, les mani-
- p.360 - vue 376/418
- - FLEXION
  - 361
  - relies et boutons de manivelles sont des pièces auxquelles
  - I
  - la formule M = PL ou — R = PL est applicable.
  - V
  - Applications 1. — Une barre de fer de 1,80 de longueur a une section de 4 X 8 centimètres et est encastrée à une de ses extrémités. Calculer la charge qu'elle peut supporter à l’autre extrémité.
  - Appliquons la formule :
  - ^ X R = PL ;
  - BIP*
  - I pour un rectangle =
  - 11
  - V - - -J,
  - d’où :
  - ' I _.BH8
  - . . v ~ ” = ~cT’
  - I 4 x 82 256 128
  - v = 6 = ~6~ = IP
  - 128 "
  - — X 600 = P'x 180,
  - Cj
  - 25.600 = 180 P.
  - d’où :
  - P = 142,22 kg. .
  - 2. — Une poutrelle en fer | | de 127 mm.
  - de hauteur, 6 mm. d’épaisseur et 75 mm. de largeur a une longueur de 2,50 m. Calculer la charge qu’elle peut supporter, à son extrémité libre lorsqu’elle est placée à plat.
  - I
- p.361 - vue 377/418
- - 362
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - R pour le fer = 6 kg. par mm2, 19.738 x 6 = 2.500 x P,
  - P =
  - 19.738 x 6 2.500
  - = 47.371 kg.
  - h l d C T*
  - A 1
  - 2 1 3 Ig <D fj ü 3 95 O 1 i
  - S B a c fl -S 'S ^ O 3 £3 s s es bà O Module de flexion Moment d’inertie Module de flexion Moment d’inertie
  - 3^ 02 " S S g l’unité l’unité 1* unité l’unité
  - i 1 2 m étant le mm. étant le mm. étant le mm. étant le mm.
  - w J WO S
  - 100 5 50 8 10 1.220 38.881 1.944.026 6.701 167.541
  - 120 6 50 8 12 1.420 51.258 3.077.166 6.748 168.718
  - 140 6 50 9 13 1.632 68.217 4.775.224 7.587 189.696
  - 160 7 55 10 16 2.082 106.042 7.797.333 10.229 281.293
  - 180 7 60 10,5 18,5 2.373 126.739 27.586.284 12.751 382.536
  - 80 4 40 5 5,75 680 16.942 677.666 2.685 53.706
  - 127 6 75 10,5 17 2.211 93.765 5.954.051 19.738 740.189
  - 140 7 70 10 17 2.240 99.067 6.934.666 16.424 574.847
  - 160 8 80 12 23 3.008 152.674 12.213.930 25.745 1.029.802
  - 180 9 90 10,5 26 3.321 184.524 16.607.167 28.564 1.285.408
  - 200 8 65 23 2.854. 165.445 16.544.511 15.725 511.074
  - 220 8 70 10 25 3.000 170.72.7 20.780.000 16.577 580.200
  - 180 10 100 12 30 3.960 230.662 20.759.616 40.260 2.013.000
  - 200 10 . 100 11 31 3.980 243.685 24.368.527 36.964 1.848.166
  - 235 10 95 12,5 34,5 4.475 316.109 37.142.885 37.972 1.803.696
  - 250 11 115 13 43 5.454 418.650 52.331.242 37.740 3.320.074
  - 235 10 90 12 33 4.270 295.386 34.707.855 32.790 1.475.583
  - 203 10 127 13 40 5.072 353.245 37.521.055 69.994 4.444.629
  - 237 8 92 11 30 3.744 274.181 32.490.448 31.810 1.436.751
  - 300 H 125 18 59 7.404 709.681 106.452.432 94.218 5.888.657
  - 317 17,25 159 21,5 90 11.564 1.129.880 179.086.063 182.642 14.353.404
  - 305 17 15? 20 80 10.585 983.792 150.028.302 155.454 11.481.522
- p.362 - vue 378/418
- - FLEXION
  - 363
  - 3. — L’extrémité (l’une dent d’engrenage supporte un effort de 400 kg. Calculer l’épaisseur à donner à la denture :
  - I L x e2
  - d’où :
  - V
  - L x e2
  - 6
  - X K = P X h.
  - K pour la fonte = 100 kg. par cm2.
  - Nous avons vu que :
  - h= 1,34 e; L = 5 c.
  - 5 £ ^ 2
  - - x 100 = 400 x 1,34 e,
  - 6
  - 5 e X e2 X 100 = 2.400 x 1,34 e, 5 e X e2 2.400
  - = Too ’
  - 1,34 e 5 e2
  - 1.34
  - = 9A
  - 5e2 = 24 x 1,34,
  - e —
  - 24 x 1,34 5
  - = 2,536 cm
  - 2 e Cas. Poutre encastrée à une extrémité et soumise à une charge Uniformément répartie. — Soit L la longueur de la pièce depuis son extrémité libre jusqu’à sa section d’encastrement.
  - (p) étant la charge par unité de longueur, la charge sur une longueur L est :
  - P = ph. ' '
  - Nous pouvons supposer que ce poids est concentré au milieu de la pièce.
- p.363 - vue 379/418
- - 364 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - Le moment maximum sera :
  - M = pL X £ >
  - pL2
  - M = '
  - Fifi. 218.
  - La section dangereuse se trouve à l'encastrement. P étant la charge totale :
  - P = Lp,
  - , P
  - et: p = -,
  - d’où :
  - 1 P PL
  - M = 2LxL,“T-
  - Application. — Quelle est la charge uniformément répartie que peut supporter une barre en fer de 2 mètres de longueur et d’une section de 5 X 10 cm.?
  - I pL2
  - vR = V>
  - I bh2 V = ~ 5 X 102
  - X 600
  - R - 600,
  - p X 2002
  - 250 x 600
  - P ~ 3 x 20.000 = 2,5 kg’
  - d’où :
- p.364 - vue 380/418
- - FLEXION
  - 365
  - La pièce a une longueur de 2 m., elle pourra donc supporter 2,5 x 200 = 500 kg.
  - 3e Cas. La poutre est encastrée à une extrémité et soumise à une charge locale P et à une charge uniformément répartie.
  - — Représentons par P' la charge locale, par p la charge par unité de longueur et par P le produit ph.
  - Fig. 219.
  - Ce cas est la combinaison des deux précédents ; P ex pression générale du moment fléchissant est :
  - PL ' pL2
  - M = P'L + — = P'L -P l— :
  - Zi Z
  - La section dangereuse est à l’encastrement.
  - Application. — Quelle largeur faut-il donner à une barre en fer de section rectangulaire, de 1,40 m. de longueur et de 12 cm. de hauteur, pour porter à son extrémité libre une charge locale de 450 kg. et une charge de 280 kg. uniformément répartie sur toute sa longueur ?
  - La poutre est rectangulaire, d’où :
  - I bh2 b X 122
  - La charge uniformément répartie est de 280 kg. ; pour une longueur de 1 cm., elle est égale à :
  - 280
- p.365 - vue 381/418
- - 366
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - L’expression du moment fléchissant maximum est : pL2
  - M = PL + LT,
  - 2 X Ï4Ô2
  - M = (450 X 140) + ——-— = 82.600.
  - Or,
  - d’où :
  - M = -R.
  - M = 24 b X 600 = 82.600
  - 82.600
  - 4 = 24^ 600 = 5'““-
  - 4e Cas. Poutre encastrée à une extrémité, soumise à une charge uniformément répartie p et à plusieurs forces locales P, l\ pa qui sont appliquées en différents points de sa Ion-
  - Pi Pd
  - Fig. 220.
  - gueur. — Le moment maximum de flexion est égal à la somme de tous les moments partiels, d’où : pL2
  - M. max. = —- + PL + P^ + P2L2.
  - Application. — Une poutre en fer de 2,60 m. de longueur d’une section rectangulaire et de 12 cm. de largeur, est soumise :
- p.366 - vue 382/418
- - FLEXION
  - 36'
  - 1° A une charge uniformément répartie de 780 kg. ; 2° A des charges locales de 60, 00, 180 kg. appliquées à des distances respectives de 2,60 m. ; 2,10 m. ; 1,60 m. de l’encastrement. Quelle hauteur faut-il lui donner? Appliquons la formule- :
  - I pL2
  - ÿ h = —+ RR + ïVRi +
  - P
  - 780
  - 260
  - = 3 kg.,
  - I bh2 12 X h2 X 600
  - v R = -7- x R = 9—--,
  - V 6 2
  - d’où :
  - 12 X h2 X 600 /3 X 260%
  - ----------= (—5— ) + (60 x 260)
  - + (90 x 210) -f (180 x 160)
  - d’où
  - 12 h
  - 1.647.
  - h
  - 4 /1.647
  - V ITT' = 1J>71
  - cm
  - 5e Cas. Poutre reposant sur un appui et sollicitée par deux forces situées de part et d’autre de cet appui et dont les moments par rapport à celui-ci sont égaux. — Soit une
  - A O B
  - ^pÀ F <7--^
  - Tp . ' i o
  - Fi'u. 221.
  - *
  - poutre AB reposant sur un appui et sollicitée par deux forces P et Q. Les distances de ces forces au point d’appli-
- p.367 - vue 383/418
- - 368
  - RÉSISTANCE I>ES MATÉRIAl X
  - cation étant respectivement p et g, les moments de ces forces seront P p et Q g.
  - Or ces moments se détruisent. On peut donc considérer la poutre comme encastrée au point O et le moment fléchissant maximum est P p ou son équivalent Qg.
  - 252. III. Poutres reposant sur deux appuis. — 1er Cas. La poutre est soumise à une charge locale P, appliquée au milieu de sa longueur. — La charge étant appliquée au milieu de sa longueur, les réactions des appuis valent
  - P
  - chacune la moitié de la charge, donc — . Le moment fléchissant est :
  - V
  - Fig. 222.
  - La section dangereuse se trouve au point d’application de la charge.
  - Applicationi 1. — Une .poutre en chêne, longue de 1,80 m., a une section rectangulaire 9 X 18. Calculer la charge qu’elle peut supporter en son milieu.
- p.368 - vue 384/418
- - FLEXION
  - 369
  - d’où
  - P =
  - 29.160 X 4
  - Ï8Ô
  - - 648 ks
  - 2. — Une poutrelle en fer I ayant les dimensions suivantes : hauteur = 180 mm., épaisseur de l’âme 9 mm., largeur de la table 90 mm., épaisseur moyenne de la table 10,5 mm., est placée I sur deux points d’appuis distants de 3,50 m. et supporte en son milieu une charge de 1.500 kg. Cette poutrelle sera-t-elle suffisamment résistante?
  - Nous trouvons dans le tableau des dimensions des poutrelles de construction (page 362), la valeur du module de flexion correspondant aux dimensions données dans le problème.
  - I
  - - = 184.524,
  - V
  - R
  - 184.524 R X =
  - PL
  - T’
  - 1.500 X 3.500
  - 1.500 X 3.500
  - R — - ---— = 7,112 kg.
  - 184.524 x 4 ’ *
  - Cette poutrelle sera donc suffisamment résistante.
  - 2e Cas. Poutre reposant sur deux appuis et soumise à une charge uniformément répartie. — Soit p cette charge par centimètre carré.
  - Le poids total est ph et la réaction sur chaque appui ph‘
  - est
  - 2 '
  - M. Wilmotte. — Cours de mécanique (2e édit.).
  - 24
- p.369 - vue 385/418
- - 370
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - On a donc :
  - ph x
  - M = — x x —- px x -
  - A JL
  - i i r
  - ^-x
  - lï
  - Fie. 223
  - Le moment est maximum pour x
  - M
  - L
  - ü
  - ph L L x .7 — P 7 x -
  - L
  - -, d’où
  - 0
  - 8
  - Il .1
  - or :
  - P
  - P
  - L’
  - remplaçant dans l’expression [1 ] (p) par sa valeur trouvée dans l’expression [2 ] nous aurons :
  - M
  - 5 XL-
  - i-J
  - PL
  - "8
  - La section dangereuse se trouve au milieu de la poutre.
  - Application. — Une poutrelle en fer I a une hauteur totale de 140 mm., l’épaisseur de l’âme est de 6 mm. et la largeur de la table dej50 mm., l’épaisseur moyenne de la table = 9 mm. Calculer la charge uniformément répartie qu’elle peut supporter sachant que les appuis sont distants de 2,50 m. !
  - 7 t
- p.370 - vue 386/418
- - FLEXION
  - 371
  - 8.217,
  - I nL2
  - vR=V’
  - 8.217 x 6 =
  - p X 2.500
  - 68.217 x 6 x 8
  - p --------------:--- = 0,5239 k.
  - 2.500
  - 3e Cas. Poutre reposant sur deux appuis, et soumise à une charge uniformément répartie p et à une charge locale P appliquée au milieu de sa longueur. — Ce cas est la com-
  - pr
  - Fig. 224.
  - binaison des deux précédents. Le moment maximum sera égal à la somme|des moments :
  - PL
  - 4
  - +
  - plJ
  - 8
  - La section dangereuse se trouve au milieu de la poutre.
  - Application. —Calculer la charge locale P que peut supporter en son milieu une poutrelle'en fer ayantles dimensions suivantes : h — 180 mm. ; e = 10 mm. ; l = 100 mm.; d = 12 mm. La poutrelle mesurant 2^m. est chargée debout et soumise à une charge uniformément répartie de 600 kg.
- p.371 - vue 387/418
- - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - 600
  - La charge p = t) ^ = 0,3 kg. par mm. de longueur.
  - PL />L2
  - M =— +
  - U O
  - P X 2.000 0,3 x 2.000
  - M = --------------1--------,----= 500 P + 150.000
  - 8
  - I
  - V
  - R = 230.662 x 6 = 1.383.072,
  - 1.383.972 = 500 P + 150.000, 500 P = 1.383.972 — 150.000 - 1.233.972, 1.233.972
  - F
  - 500
  - - 2.467,944 kg.
  - 4e Cas. Poutre reposant sur deux appuis et soumise à une charge locale appliquée en un point quelconque de sa longueur. — Les valeurs des réactions sur les points d’appuis sont :
  - RL = PL2, , [1],
  - 1 R'L = PLj. [2]
  - £
  - —L
  - ir —>
  - l
  - Li
  - or-
  - ---?
  - -L2-~
  - • Fig. 225.
  - Nous pouvons tirer des égalités [1] et [2]
  - i . PI,, ’
  - R =
  - 1 Pln
  - H' = TT
  - Lro
  - [3]
  - [4]
  - I
- p.372 - vue 388/418
- - FLEXION
  - 373
  - Considérons une section SS' pratiquée dans le solide. Nous ne devons tenir compte que de la force R agissant à gauche de la section. Le moment de cette force par rapport à la section S est : R x x.
  - Remplaçant R par sa valeur trouvée dans l’égalité [3] nous aurons :
  - La valeur de M augmente lorsque x augmente ; sa valeur est maximum pour x = L^
  - Le moment de flexion atteint donc son maximum en O.
  - M. max.
  - PL,
  - 17
  - X hi —
  - PL1L2
  - La section dangereuse se trouve en O.
  - Application. — Quel diamètre faut-il donner à un arbre en fer, porté sur deux paliers et chargé d’un volant pesant 4.400 kg. placé à 1,10 m. du palier de gauche et à 0,50 m. du palier de droite?
  - PL1L2
  - 4.400 X 110 X 50
  - Ï6Ô
  - =; 151.250,
  - I ttD3 V R_ "32
  - X
  - 600 = 58,90 D3,
  - 58,90 D3 = 151,250,
  - D =
  - v/'
  - 151.250
  - 58,90
  - 13,6 cm.
  - 5e Cas. Poutre reposant sur deux appuis et soumise à deux charges locales appliquées en deux points quelconques de sa longueur. — Appelons R et R' les réactions sur les appuis :
  - R + R' = P + Q.
- p.373 - vue 389/418
- - 374
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - Mais :
  - RL — PL2 — QL4 = 0 :
  - ÎR
  - R’,
  - D À\
  - -l3
  - . L
  - Fig. 226.
  - d’où :
  - R
  - pl2 + ql4
  - Or
  - R' = (P + Q) — R = (P + Q)
  - PL, + QL4
  - I(. ^ PL + QL — (PL, + QL4)
  - I.
  - Mettant P et Q en évidence nous obtenons :
  - P (L —L,) + Q(L — L4),
  - R'
  - L
  - Or :
  - d’où :
  - L, — Li et L — L
  - 3 5
  - R' =
  - PLi + QL.
  - L
  - Le moment en G égal :
  - RL, = ! -
  - IPIV+ Q L4
  - Lx-
  - L
  - [1]
- p.374 - vue 390/418
- - FLEXION
  - 375
  - Le moment en D est égal :
  - PL 3 + PLX.
  - PL2L3 + QLaL4 — PLL 3 + PLL
  - Il faudra introduire dans la formule de flexion, celui de ces deux moments dont la valeur est la plus grande.
  - Application. — Une pièce en fer d’une longueur de 3 m. doit supporter deux charges l’une de 550 kg. et l’autre de 300 kg. ; la première de ces charges est appliquée à 70 cm. de l’appui de gauche et la seconde à 1,70 m. du même appui. La section est rectangulaire et sa base mesure 5 cm. Calculer sa hauteur.
  - Le moment au point d’application C de la force de 550 kg.
  - P = 550 ; La = 300 — 70 = 230 ; L4 = 300 —170 = 130 ;
  - - -11 ô~* ISO ->-"S50 *300
  - Fig. 227.
  - d’où :
  - 550 X 230 -f 300 x 130
  - X 70= 38.617.
  - 300
- p.375 - vue 391/418
- - 376
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - Le moment au point d’application de la charge de 300 kg. :
  - PL* + QL4—PL
  - ----- X L, + PLX
  - L
  - 550 x 230 + 300 x 130—550 x 300
  - X170+ (550X70).
  - 300
  - M en D = 38.783.
  - Le plus grand de ces deux moments est celui pris par rapport au point D. Nous l’introduirons donc dans la f ormule :
  - ÿ R = Mniax.
  - ~ _ bh2 _ 5//,2
  - = IF = T ’
  - oh2
  - — X 600 = 38.783 ;
  - 6 ’
  - h
  - 38.783 x 6
  - = 77,566 ;
  - 5 x 600 h = \/77,566 = 8,807 cm. .
  - 6e Cas. — Poutre reposant sur deux appuis et soumise à deux charges locales égales P appliquées à des distances
  - I
  - Fig. 228.
  - égales des appuis. — Ce cas est une particularité du cas précédent dans lequel L4 = Lj :
- p.376 - vue 392/418
- - FLEXION
  - 37
  - Remplaçant L2 par L — Ri et Q par P, clans les formules vues au cinquième cas, nous obtenons :
  - P(L —LO + PL,
  - Al =---------------:---------lji
  - i-J -
  - PL
  - T x U = PLi,
  - Application. — Une barre de fer de 3 m. de longueur de section rectangulaire de 18 cm. de hauteur est soumise à deux charges locales- de 6.000 kg. appliquées à 0,60 m. des appuis. Quelle largeur faut-il donner à cette barre ?
  - Nous venons de voir que dans ce cas :
  - Mmax. = LLj = 6.000 X 60 = 360.000 ;
  - I b X 182
  - v“-— = 54";
  - I
  - M = - R = 54 b X 600 ;
  - 54 b X 600 = 360.000 ;
  - 360.000 54 X 600
  - 11,11 cm.
  - 7e Cas. Poutre reposant sur deux appuis, soumise à deux charges locales égales P appliquées à des distances égales
  - Fig. 229.
  - des appuis et à une charge uniformément répartie. — Ce
  - cas est la combinaison du deuxième et du sixième cas.
- p.377 - vue 393/418
- - 378
  - RÉSISTANCE IJ ES MATÉRIAUX
  - Le moment maximum sera égal à la somme des moments partiels et sera atteint au milieu de la poutre.
  - M
  - illiVX
  - PL] -j-
  - Pl
  - J2
  - 8
  - Application. — Une barre en fer d’une longueur de 2,20 m., d’une section rectangulaire de 9 X 18 supporte une charge uniformément répartie de 660 kilogrammes. Calculer les deux charges locales que l’on peut appliquer à 0,40 m. de chacun des appuis.
  - 660
  - 22Ô
  - = 3 kg. ;
  - pL2
  - Minax. =
  - 8 x 220
  - P X 40 + --------- = 40 P + 18.150 ;
  - I
  - V
  - B II2
  - 8
  - 9 x 182
  - - 486 ;
  - 6 6 40 P + 18.150 = 486 x,600 ;
  - P =
  - 486 x 600 — 18.150
  - 40
  - 6.836,25 kg.
  - 8° Cas. Poutre reposant sur deux appuis et soumise à trois charges locales égales P appliquées de manière à divi. ser la longueur de la poutre en quatre parties égales. —
  - Les réactions sont égales :
  - Le moment fléchissant en C est :
  - 3 L 3 . Mc = - P X £ = g PL-
- p.378 - vue 394/418
- - FLEXION
  - 379
  - Le moment est maximum en D et a pour valeur
  - M =
  - 3 1
  - L
  - L PL
  - X 2 P X 4 2
  - £R
  - —..— L
  - TT -->-
  - P *F *P
  - 3
  - |D. JE
  - L/rL4
  - Fig. 230.
  - 9e Cas. Poutre reposant sur deux appuis et soumise à deux charges égales P appliquées au-delà des appuis et à des distances égales Lr — Les réactions sur les appuis sont égales et ont pour valeur :
  - R = R' - 1\
  - Fig. 231.
  - Le moment est maximum lorsque Lj est maximum :
  - M •= PLj.
  - . La section dangereuse se trouve en l’un quelconque des points d’application des forces,
  - 10e Cas. Poutre reposant sur deux appuis et soumise à une charge uniformément répartie sur toute sa longueur, les appuis étant équidistants des extrémités. — Les réactions sur les appuis sont :
  - P
  - R — R; ~ 4"
  - N J.
- p.379 - vue 395/418
- - 380 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - Le moment fléchissant dans une section SS' :
  - Fig. 232.
  - Le moment est maximum pour Lx = 0,207 L.
  - Les sections dangereuses se trouvent en A, B, G.
  - Application. — Une poutre en chêne de 6 m. de longueur et de section constante, reposant sur deux appuis situés à 1 m. de distance des extrémités est soumise : .1° à deux charges égales de 250 kg. appliquées aux extrémités ; 2° à une charge de 500 kg. appliquée au point G à une distance de 2 m. de l’extrémité gauche ;
  - -----6
  - — + —<
  - Fig. 233.
  - 3° à une charge uniformément répartie de 60 kg. par mètre courant sur toute la longueur de la pièce. Calculer les dimensions de la section rectangulaire de cette poutre. La base mesure 5 cm.
  - La somme des réactions sur les appuis est :
  - R + R' = (250 X 2) + 500 +. (60 x 6) = 1.360 kg.
- p.380 - vue 396/418
- - FLEXION
  - 381
  - Prenons les moments par rapport à A :
  - (250 X 1) r ( - R' X — 4) + (500 X — 1)
  - + (360 X — 2) + (250 x — 5) - 0.
  - Effectuant nous aurons :
  - 250 + 4 R' — 500 — 720 — 1,250 == 0 ;
  - 250 + 4 R' — 2.470 = 0 ;
  - 4 R' = 2'.220 ;
  - 2-220
  - IV = —-— = 555 ;
  - R = 1.360 —r 555 = 805 kg.
  - Le moment maximum de flexion se trouve en G ; il a pour valeur :
  - MJ!lax (250 X 2) + (60 x 2) 1. — (805 x 1)= 185 kgm.
  - I AA2
  - Mmax. = V ^ = ~6~ X R ’
  - -— X 60 = 18.500 ;
  - 6
  - 50 A2 = 18.500 ;
  - A2 - 370 ;
  - A — \/ 370 = 19,23 cm.
  - Remarque.— Nous avons obtenu la valeur du moment maximum en tenant compte des forces situées à gauche clu point G. Nous arriverions au même résultat en envisageant les forces situées à droite de ce point. En effet :
  - . (250 X 4) — (555 X 3) + (60 X 4 x 2) = 185 kgm.
  - 253. IV. Poutres encastrées aux deux extrémités. 1er Cas. Poutre encastrée aux deux extrémités et soumise à une charge locale P appliquée au milieu de sa longueur. —
- p.381 - vue 397/418
- - 382
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - Le moment de flexion atteint son maximum au milieu de la poutre :
  - Mma
  - PL
  - Il a même expression aux encastrements ; mais il est de signe contraire.
  - 1
  - Nous voyons par là que le moment est nul au - delà
  - 4
  - portée et que la section dangereuse se trouve au milieu de la pièce et à l’encastrement.
  - p'
  - Fig. 234.
  - Remarque. — Nous avons vu précédemment que si la pièce est simplement appuyée, son moment maximum PL
  - est — ; donc, étant encastrée aux deux extrémités elle 4
  - supporte une charge double de ce qu’elle supporterait si elle était simplement appuyée.
  - Application. — Une pièce en chêne de section rectangulaire de 9 sur 18 est encastrée à ses deux extrémités. Calculer la charge qu’elle peut supporter en son milieu sachant que sa longueur est de 2,40 m. :
  - y R — -^max. î
  - I bit2 _ 9 X 18 V = ~6 ~~ 6
  - 486 ;
- p.382 - vue 398/418
- - FLEXION
  - 383
  - PL P X 240
  - Mmax. = -8=-------g = 30 P ;
  - 30 P = 486 X 60 ;
  - 486 X 60
  - P = 30 = 972 kg'
  - 2e Cas. Pièce encastrée aux deux extrémités et soumise à une charge uniformément répartie. — Le moment de flexion atteint son maximum aux encastrements ; sa valeur est donnée par :
  - 12 ' •
  - Le moment de flexion au milieu de la poutre a pour expression :
  - PL2
  - 24'
  - Fig. 235.
  - La section dangereuse se trouve donc aux encastrements.
  - Application. — A quelle charge uniformément répartie peut résister une poutrelle ^ ayant les dimensions suivantes :
  - h = 140 mm. ; e — 7 mm. ; Z = 70 mm. ; d = 10 mm. ; sachant que les appuis sont distants de 2,80 m.?
  - i
  - La valeur de - pour une poutrelle de cette dimension est de 99.067, d’où :
- p.383 - vue 399/418
- - 384
  - .99.067 x 6 = ~~ ;
  - 12 ’
  - 594.402 = 6533,33 p ;
  - 594,402
  - 3e Cas. Poutre encastrée aux deux extrémités, soumise à une charge uniformément répartie et à une charge locale P appliquée au milieu de sa longueur. — Ce cas est la combinaison des deux précédents. Le moment fléchissant atteint son maximum aux encastrements. Sa valeur v
  - i 1/
  - est donnée par :
  - 8 ' 12
  - pr
  - Fig. 236.
  - Le moment fléchissant, au milieu de la poutre a pour expression :
  - 8 ' 24
  - Nous voyons par laïque la fatigue aux encastrements est plus grande qu’au milieu de la portée; c’est donc aux encastrements que se trouvent les sections dangereuses. Le moment est nul en un point proche de l’encastrement.
  - Application. — Une poutrelle en acier I a les dimensions suivantes : ;
  - h = 180 ; c =10 ; 1 = 100 ; d = 12.
- p.384 - vue 400/418
- - 385
  - Sachant qu’elle mesure 2 m. et qu’elle est soumise à une charge uniformément répartie de 600 kg., calculer la charge qu’elle peut supporter en son milieu.
  - 600
  - 2.000
  - = 0,3 kg. par mm.' ;
  - PL ph2
  - ^max. “5 1“
  - 12 8 Mmax. = 250 P + 100.000 ;
  - P X 2.000 0,3 X 2.000
  - +
  - 12
  - V
  - = 230.662 ;
  - It — 10 kg. par mm2 ;
  - ^ X R = 230.662 x 10 = 2.306.620 ;
  - 250 P + 100.000 - 2.306.620 ;
  - 250 P = 2.306.620 — 100.000 ;
  - P =
  - 2.306.620 — 100.000
  - 250
  - = 8.826,48 kg.
  - 254. V. Poutres encastrées à une extrémité et reposant à l’autre sur un appui. — Nous distinguerons deux cas :
  - I--------------
  - T"
  - p T
  - Vie. 237.
  - Ab
  - 1er Cas. La poutre est soumise à une charge locale applL quée au milieu de sa longueur. — Le moment de flexion
  - Ai. Wilmoite. -i- Cours de mécanique (2e édit.).
- p.385 - vue 401/418
- - 386
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - est maximum à l’encastrement. Sa valeur est exprimée
  - p" r6 PL-
  - Au milieu 0 le moment a pour expression :
  - m = 52PL-
  - Au point B le moment est nul de même qu’en un point 3
  - situé à TT L de l’encastrement.
  - 11
  - La section dangereuse se trouve à l’encastrement.
  - Application. — Une poutre en fer de section rectangulaire de 6 X 9 et d’une longueur de 2 in. est encastrée
  - Pt
  - Fig. 238.
  - à une extrémité et supportée à l’autre par un appui. Calculer la charge que cette poutre peut supporter en son milieu.
  - 16
  - 600
  - 16
  - PL =
  - ! P X 200
  - P - 81 x 600 ;
  - 600
  - 16
  - p ;
  - 81 x 600 x 16 600
  - 1.290 kg.
  - 2e Cas. La poutre est soumise à une charge uniformément répartie. — Le moment de flexion est maximum
- p.386 - vue 402/418
- - FLEXION
  - 387
  - à l’encastrement, sa valeur y est exprimée par :
  - pL> .
  - M.nax. =
  - =4
  - le
  - Le moment est nul au point d’appui B et en un point
  - L
  - distant de l’encastrement d’une longueur —
  - Application. — Quelle charge uniformément répartie, une poutre en acier ordinaire peut-elle supporter sachant qu’elle a une section rectangulaire de 7 sur 10 et une longueur de 2,40 m.?
  - I
  - ^max. = ÿ ^ ’
  - R = 1.000 kg. par cm2 ;
  - I bh* 7 x 102
  - V = 6~ = 6
  - »L*
  - M = L________•
  - "'Mliax. n ?
  - = 117
  - P x 57.600
  - 7.200 p ;
  - 117 x 1.000
  - üôô—16>25k*i
  - P = p X 240 = 16,25 x 240 = 3.900 kg.
  - M. Wilmotie- — Cours de mécanique (2e édit.).
- p.387 - vue 403/418
- - 388
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - Tableau récapitulatif des moments fléchissants.
  - Poutre encastrée à une extrémité.
  - Soumise à l’autre à une charge locale P. PL
  - Soumise à une charge uniformément répartie. ^r~rrr~i PL
  - Soumise à une charge locale P et à une charge uniformément répartie. t , * pi PL +
  - Soumise à une charge uniformément répartie et à plusieurs charges locales. ir ! *V- Lu ni? -^---(-PL-rPiLj-f P2L2
  - Poutre reposant sur un appui et sollicitée par deux forces situées de part et d’autre cte cet appui et dont les moments par rapport à celui-ci sont égaux. l„_ j> _J*— - - '/ H 1„ * 4 Pp OU Qq
- p.388 - vue 404/418
- - FLEXION
  - 389
  - Poutre reposant sur deux appuis.
  - | Soumise à une charge tR , PL
  - locale P appliquée au milieu de sa longueur.
  - Soumise à une charge t* R’î PJJ
  - i [ h
  - luniformément répartie. 8
  - i Soumise à une charge uniformément répartie et. à une charge totale. PL plJ 4 + 8
  - 1 Soumise à une charge locale appliquée à un PLjLg
  - jpoint quelconque de sa [longueur. i.Tip ï I
  - j Soumise à deux charges jlocales appliquées en deux [points quelconques de sa 'longueur. , ^ en G : PL, + QL4 j en D : PL2 + QL4— plt L L“ + PLX
- p.389 - vue 405/418
- - 390
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - Poutre reposant sur deux appuis ( suite).
  - Soumise à deux charges locales égales appliquées à des distances égales des appuis.
  - Soumise à deux charges locales égales appliquées à des distances égales des appuis et à une charge uniformément répartie.
  - Soumise à trois charges locales appliquées de ma nière à diviser la longueur de la poutre en quatre parties égales.
  - Soumise à deux charges locales appliquées au-delà des appuis.
  - Soumise à une charge uniformément répartie sur toute sa longueur, les deux appuis étant équidistants des extrémités.
  - 4—
  - 3
  - &
  - P L2
  - PI'!
  - + -)
  - x )
- p.390 - vue 406/418
- - FLEXION
  - 391
  - Poutre encastrée aux deux extrémités.
  - Soumise à une charge locale appliquée au milieu de sa longueur. nA—1‘ — —r PL T
  - Soumise', à une charge h pu
  - uniformément répartie. f 1 12 1
  - Soumise à une charge
  - uniformément répartie et PL />L2
  - à une charge locale appliquée au milieu de sa lon- H P!' T + HT
  - gueur.
  - Poutre encastrée à une extrémité et reposant à l’autre sur un appui.
  - Soumise à une charge locale appliquée au milieu de sa longueur. ri- i —pi. 16
  - pi ^
  - Soumise à une charge plJ
  - uniformément répartie. $r 8
- p.391 - vue 407/418
- - CHAPITRE XXXI
  - CISAILLEMENT
  - 255. — L’effort de cisaillement a lieu lorsqu’une section plane a^bi soumise à l’action d’une force normale appelée effort tranchant, tend à glisser dans son plan pour venir en a2b2.
  - a Cbl
  - U
  - s —i :
  - ... j b,
  - A u I
  - f / 1 •*— L —* b2
  - Pï
  - Fie. 240.
  - Les cisailleuses, -les poinçonneuses exercent des efforts de cisaillement. L’effort qui tend à désunir deux tôles assemblées par des rivets ou des boulons est un effort de cisaillement.
  - 256. Lois du cisaillement. Jrc loi. — L’effort à exercer pour cisailler une section est proportionnel à cette section.
  - 2e loi.— Ce même effort est proportionnel au déplacement d.
  - 3Ç loi.— Cet effort est inversement proportionnel à la distance L.
  - 1
- p.392 - vue 408/418
- - CISAILLEMENT
  - 393
  - 257. Rivets et rivures. — Les rivets servent à assembler les tôles, les cornières, les charpentes métalliques, les pièces de chaudières, etc.
  - On distingue les rivures en :
  - 10 Rivures de force employées pour les ponts, les poutres, les fermes, etc. ;
  - 2° Rivures d’étanchéité pour la construction des gazomètres, des réservoirs de liquides, des coques de navires, etc.
  - 13ans les machines à vapeur, on réclame des rivures assurant à la fois la solidité et l’étanchéité. Suivant le mode d’assemblage des tôles et la disposition des rivets,
  - on distingue
  - 1° La rivure à recouvrement, lorsque les pièces à assembler sont superposées ;
  - 2° La rivure à couvre-joint., simple ou double, lorsque les pièces sont juxtaposées ;
  - 3° La rivure en chaîne, simple ou multiple ;
  - 4° La rivure en quinconce;
  - 5° Les rivures convergentes, dont on fait usage dans les constructions importantes, lorsqu’on a en vue d’obtenir des rivures de grande résistance.
  - 258. Diamètre et écartement des rivets. — 11 n’y a
  - pas de règle uniforme pour déterminer les dimensions des rivures.
  - L’épaisseur e de la tôle dépend de la résistance du métal et des efforts qu’elle supporte.
  - Le diamètre du rivet varie entre 1,15 e et 1,50 e pour les rivures étanches et de 1,75 e à 2,25 e pour les rivures d’assemblage.
  - Lemaître propose la règle suivante, pour les chaudières à vapeur :
  - d = 1,5 e -f- 4 mm.
- p.393 - vue 409/418
- - 394
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - L’écartement e entre deux axes varie de 2 d à 3 cl pour les rivures étanches et de 4 d à 7 d pour les rivures d’assemblage.
  - Pour les chaudières à vapeur on prend :
  - l = 2 d + 10 mm.
  - 259. Pose des rivets. — Le rivet avant sa pose, affecte une forme cylindrique terminée par une tête ; le rivetage consiste à façonner l’autre tête.
  - Le rivetage se fait à froid ou à chaud,à la main ou a la machine.
  - L’avantage de la pose des rivets à chaud est de serrer les tôles les unes contre les autres, à cause de la contraction du rivet lorsqu’il se refroidit ; la pose à la machine est plus économique.
  - 260. Résistance des rivures à recouvrement. —
  - Une rivure d’égale résistance est celle dont le métal des rivets présente la même résistance que la tôle comprise entre les trous.
  - Soit Rx la charge de sécurité des rivets au cisaillement et R celle de la tôle à la traction.
  - La résistance de la tôle doit être égale à celle du rivet, d’où :
  - "d1 4
  - 1 X - R = (l — d) e x R,
  - / ~ d
  - d’où : - -, = - X - + 1.
  - doc
  - Si on a n files de rivets parallèles :
  - l 7Z d
  - ri i
- p.394 - vue 410/418
- - CISAILLEMENT
  - 395-
  - Le coefficient de résistance est le rapport entre la résistance de la tôle percée et celle de la tôle pleine.
  - I — d 1
  - = 1 ------------------y 2]
  - Te a
  - 1 + e X -
  - K =
  - /
  - A^\
  - s,
  - A B
  - B-
  - 15
  - Le bord de la tôle pourrait être arraché par cisaillement de la portion ABCD. Pour que sa résistance soit égale à celle du rivet il faut que :
  - 7zd~ S TC /A2
  - TH‘ = 2»‘R* 0’°*. ë — 8 \ë) [3]
  - Application. — Calculer une rivure à recouvrement d’égale résistance pour assembler des tôles de 8 mm.
  - Prenons comme diamètre <i = 2c = 2x8 = 16 mm.
  - De la formule [1 ] nous tirons :
  - ; = d (ix t+ ‘)- .
- p.395 - vue 411/418
- - 396
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - l — 16 X 2 + 1) =36 mm.
  - La formule [3] donne :
  - 8 = e X - X
  - (;)'
  - 3,14
  - S = 8 x —- x 4 = 12,56 mm.
  - O
  - Le coefficient de résistance :
  - 36 — 16
  - l— tl
  - K = —'
  - 36
  - = 0,55.
  - 261. Résistance des rivures à couvre-joint. — Les
  - mêmes raisonnements s’appliquent à la rivure à couvre-joint. L’égalité de résistance de la tôle et du rivet donne :
  - d’où :
  - 2 Tid2 4
  - —— x - R == {l — d) e x R, 4 5
  - l TC Cl
  - - = 2 - X - + 1.
  - d 5 a
  - Pour n files on aurait :
  - l iz d
  - -- = 2 n - X - + 1.
  - d o e
  - Le coefficient de résistance de la rivure :
  - K-Lii-i - —1__________________
  - l , 2 je d
  - 1 + -7- X -
  - Enfin :
  - 71 /et
  - '' 4 \ë
  - [1]
  - [2]
  - [3]
- p.396 - vue 412/418
- - CISAILLEMENT
  - 397
  - Application. — Calculer une rivure à couvre-joint pour assembler des tôles de 14 mm.
  - Prenons d = 1,75 e —- 1,75 x 14 = 24,5 mm.
  - Fie. 242
  - Les formules [1 ], [2 ] et. [3 ] nous donnent :
  - / TC \
  - l = 24,5 ( 2 g x 1,75 + 1 j = 24,5 x 3,198 = 78,351 mm. lv = 1 —---------------------.y--------- - 0,688,
  - Jj TC
  - 1 -{- —~ x 1,75
  - o
  - 2
  - S = 14 x 7 X 1,75 = 33,674 mm2.
  - 4
- p.397 - vue 413/418
- - CHAPITRE XXXII
  - TORSION
  - 262. — Une section droite d’un prisme éprouve l’effort de torsion lorsqu’elle est soumise à l’action d’un couple-dont le plan se confond avec celui de la section.
  - Généralement, les prismes soumis à des efforts de torsion possèdent un axe de symétrie ; ordinairement aussi les sections droites de ces prismes sont des figures régulières.
  - L’action d’un couple unique sur une section d’un prisme a pour effet de faire tourner celle-ci dans son plan,, autour de son centre de symétrie ou de figure.
  - 263. Lois de la torsion. — Tout effort de torsion (ftt proportionnel :
  - 1° A la section ;
  - 2° A l’angle de torsion ;
  - 3° A la distance de la section à l’axe.
  - Tout effort de flexion est inversement proportionnel à la distance qui sépare la section considérée de la section d’encastrement.
  - 264. Moment de torsion. — Le moment de résistance à la torsion appelé aussi moment tordant, a pour expression :
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- - TORSION
  - 399
  - ï0 étant le moment d’inertie polaire de la section que l’on considère, V0 la distance de la fibre la plus fatiguée à la fibre neutre. Le moment tordant varie suivant les differents modes d’action des forces extérieures agissant sur la pièce par rapport à l’axe.
  - Nous pouvons écrire :
  - M = PR.
  - C’est-à-dire que le moment résistant doit être égal au moment tordant.
  - 265. Torsion simple. — Un prisme éprouve une torsion simple lorsqu’il est sollicité à ses extrémités par deux couples qui se font équilibre, et dont les plans sont perpendiculaires à l’axe du prisme.
  - Fig 243.
  - Dans le cas où l’une des extrémités est encastrée, la réaction déterminant l’équilibre est représentée par un couple égal et directement opposé au couple extérieur agissant à l’autre extrémité.
  - Si nous supposons le prisme coupé par un plan perpendiculaire aux fibres, les réactions des tensions moléculaires développées dans la section correspondante, se réduisent à un couple qui doit faire équilibre à celui des forces extérieures placées d’un côté ou de l’autre du plan considéré.
- p.399 - vue 415/418
- - 400'
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - Le module de torsion étant — et P X R le moment du
  - V o
  - couple extérieur nous aurons :
  - I,
  - Y
  - K = P X R.
  - Cette formule est encore applicable lorsque le prisme encastré est sollicité par un certain nombre de couples extérieurs de même sens.
  - Lorsque la pièce, encastrée à une extrémité, est soumise à un effort total de torsion PR, uniformément réparti sur toute la longueur de la pièce, nous employons la formule :
  - L étant la longueur de la pièce et l représentant la distance d’une section à l’extrémité libre.
  - 266. Dimensions des arbres de transmission. —
  - Dans les applications de l’effort de torsion il arrive que le moment PR du couple extérieur auquel résiste un arbre, doit être déterminé en fonction du nombre de HP que transmet cet arbre et du nombre de tours n qu’il effectue par minute.
  - Le travail de l’arbre par seconde est :
  - 2 tuRPtï 60
  - (n représentant le nombre de tours par minute), et en chevaux-vapeur :
  - N = PR
  - tu n
  - 30 x 75’
  - R étant exprimé en mètres nous devons, pour ne rien
- p.400 - vue 416/418
- - TORSION
  - 401
  - changer à cette égalité, diviser le second membre par 100 ce qui donne :
  - N
  - PR - 71.620 - .
  - n
  - Application. — Un arbre de 14 centimètres de diamètre transmet un travail de 140 HP avec une vitesse de 60 tours par minute. Calculer le coefficient de résistance adopté.
  - Nous venons de trouver la formule :
  - ï„ _ V0 =
  - 71.620
  - N n ’
  - 7T D3
  - TF’
  - -D3
  - Te
  - K =
  - 3,14 x 143 " 16
  - K = 71.620 x
  - 140
  - 60’
  - d’où :
  - K = 310,325 kg. par cm2.
  - 267. Torsion composée. —Un prisme encastré à une extrémité éprouve une torsion composée lorsqu’il est soumis, à son extrémité libre, à l’action d’un couple et d’une force unique.
  - Représentons par P la force agissant sur le prisme et par R sa distance à l’axe du prisme. Appliquons au centre de la section, dans le plan de la force P, deux forces directement opposées, parallèles et égales à P.
  - Nous voyons clairement qu’une section du prisme située à une distance l de l’extrémité libre est soumise :
  - 1° A l’action d’un couple extérieur de torsion, dont le moment est PR ;
- p.401 - vue 417/418
- - 402
  - RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
  - 2° A l’action d’un couple extérieur de flexion, dont la formule est Fl.
  - Nous aurons recours dans ce cas au moment idéal de flexion que nous trouverons au moyen des formules de Poncelet ou de Reuleaux.
  - Poncelet donne :
  - Reuleaux a trouvé :
  - Mi.f = 0,975 M/ + 0,25 Mi (lorsque M/ > tài),
  - Mi.f = 0,625 M/ -f 0,60 Ml (lorsque M/ < Mi).
  - Mi représente le moment de torsion ;
  - M/ —t — — flexion ;
  - Mi.f — — idéal de flexion.
  - IMPRIMERIE P. DUBREUIL ET A. LAROCHE - PARIS. — 7002-12-27.
- p.402 - vue 418/418