Traité des bicycles et bicyclettes suivi d'une application à la construction des vélodromes

- p.n.n. - vue 1/272
- - BOWEMJ&CHEVIllET
  - 22,rue de la Banque paris (Téléphoné) Livres Anglais, Allemands Italiens, Espagnols, Etc. Achat de livres étrangers.
  - flLLARS ET FILS
  - G.
  - MASSON
  - ÉDITEURS
  - ENCYCLOPÉDIE SCIENTIFIQUE DES AIDE-MÉMOIRE
  - DIRIGÉE PAR M. LÉAUTÉ, MEMBRE DE L’iNSTITUT Collection de 300 volumes petit in-8 ( 30 à 40 volumes publiés par an) CHAQUE VOLUME SE VEND SÉPARÉMENT : BROCHÉ, 2 FR. 50; CARTONNÉ, 3 FR..
  - Ouvrages parus
  - Section de l'Ingénieur
  - R.-V. Picou.— Distribution de l’électricité. — I. Installations isolées. II. Usines centrales.
  - A. Gouilly.— Transmission de laiorce par air comprimé ou raréfié.
  - Ddquksnay. — Résistance des matériaux.
  - Dwelshauvers-Dery.— Étude expérimentale calorimétrique de la machine à vapeur.
  - A. Madamet.—Tiroirs et distributeurs de vapeur.
  - Magnier de la Source.— Analyse des
  - Alheilig.— Recette, conservation et travail dos bois.
  - Aimé Witz. — Thermodynamique à l’usage des Ingénieurs.
  - LindeT.— La bière.
  - Th. Schlœsing fils. — Notions de chimie agricole.
  - Sauvage. — Divers types de moteurs à vapeur.
  - Le Chatelier. — Le Grisou.
  - Madamet. — Détente variable de la vapour. Dispositifs qui la produisent.
  - Dudebout. — Appareils d’essai des moteurs à vapeur.
  - Croneau. — Canon, torpilles et cuirasse .
  - H. Gautier. — Essais d’or et d’argent.
  - Lecomte.— Les textiles végétaux.
  - Alheilig. — Corderie. Cordages on chanvre et en fils métalliques.
  - De Launay. — Formation des gites métallifères.
  - Bertin. — État actuel de la marine de guerre.
  - Ferdinand Jean. — L’industrie des peaux et des cuirs.
  - Berthelot.— Traité pratique de calo-rimétrie chimique.
  - De Viaris. — L'art de chiffrer et déchiffrer les dépêches secrètes.
  - Madamet. — Épures de régulation.
  - Guillaume. — Unités et étalons.
  - Widmann.— Principes de la machine à vapeur.
  - Minel (P.). — Electricité industrielle. (2 vol.).
  - Section du Biologiste
  - Faisans.— Maladies des organes respiratoires. Méthodes d’exploration. Signes physiques.
  - Magnan etSÉRiwux. — Le délire chronique à évolution systématique.
  - Auvard.— Gynécologie. — Séméiologie génitale.
  - G. Weiss. — Technique d'électrophysiologie.
  - Bazy. — Maladies des voies urinaires.* — Urètre. Vessie.
  - Wurtz — Technique bactériologique.
  - Trousseau. — Ophtalmologie. Hygiène de l’œil.
  - Féré.— Epilepsie.
  - Laveran.— Paludisme.
  - Polin et Labit. ~ Examen des aliments suspects.
  - Bergonib. — Physique du physiologiste et do l’étudiant en médecine. Actions moléculaires, Acoustique Électricité.
  - Auvard.—Monstruat, on et fécondation.
  - Mégnin.— Les acariei s parasites.
  - Demelin.— Anatomie obstétricale.
  - Cuénot.— Les moyens ai défense dans la série animale.
  - A. Olivier. — La pratique de l’accouchement normal.
  - Berge.— Guide do l'étudiant à l’hôpital.
  - Charrin.— Les poisons de l'organisme . Poisons do l’urine.
  - Roger. — Physiologie normale et pathologique du foie.
  - .Brocq et Jacquet. — Précis élémentaire de dermatologie. — I. Pathologie générale cutanée. IL Maladies en particulier.
  - Hanot. — De l’endocardite aiguô.
  - Wkill-Mantou. — Guide du médecin d’assurances sur la vie.
  - Langlois. — Le lait.
  - De Brun.— Maladies des pays chauds. — I. Maladies climatériques et infectieuses. II, Maladies de l’appareil digostif, des lymphatiques et de la peau.
  - Broca. — Le traitement des ostéo-ar-thrites tuberculeuses des membres chez l’enfant.
- p.n.n. - vue 2/272
- p.n.n. - vue 3/272
- p.n.n. - vue 4/272
- - ENCYCLOPÉDIE SCIENTIFIQUE
  - DES
  - AIDE-MEMOIRE
  - PUBLIÉE
  - SOUS LA DIRECTION DE M. LÉAUTÉ, MEMRRE DE L'INSTITUT
  - Boublet — Traité des bicycles et bicyclettes
- p.n.n. - vue 5/272
- - Ce volume est une •publication de l’Encyclopédie scientifique des Aide-Mémoire; F. Lafargue, ancien élève de l’Ecole Polytechnique, Secrétaire général, 46, rue Jouffroy {boulevard Malesherbes), Pans.
  - N° n3 B
- p.n.n. - vue 6/272
- - «<4î£-
  - iwzr
  - PUBLIÉE SOUS LA DIRECTION
  - de M. LÉAUÏÉ, Membre de l’Institut.
  - ElICmOPÉDIE SCIENTIFIQUE DES AIDE-MÉMOIRE
  - - &L i
  - 7 JT Njf
  - TRAITE DES BICYCLÊt #
  - ET BICYCLETTES
  - SUIVI n UNE
  - APPLICATION A LA CONSTRUCTION
  - VÉLODROMES
  - PAR
  - C. BOURLET
  - Ancien élève de l’École Normale Supérieure Docteur ès-sciences Mathématiques Professeur au Lycée Henri IV
  - PARIS
  - TAUTHIER-VILLARS et fils,
  - IMPRIMEURS-ÉDITEURS
  - Quai des Grands-Augustins, 55
  - G. MASSON, ÉDITEUR,
  - LIBRAIRE DE L*ACADÉMIE DE MEDECINS
  - Boulevard Saint-Germain, 120
  - (Tous droits réservés}
- Page de titre n.n. - vue 7/272
- p.n.n. - vue 8/272
- - PREFACE
  - Les ouvrages sur la théorie mathématique du Bicycle et les applications qu’on peut en tirer sont, actuellement, peu nombreux. A notre connaissance, il n’en existe que deux et tous deux sont très succincts. Le premier en date est la Théorie du Vélocipède, de M. J. Macquorn Rankine qui a été traduite par Viollet et a paru à la librairie Gauthier-Villars, en 1870, dans la collection de l’abbé Moigno. C’est une petite brochure de 35 pages de texte qui contient les rudiments de la théorie de l’équilibre et de la direction et quelques notions sur le travail. Malgré ou peut-être à cause de sa brièveté, ce volume est encore fort intéressant à lire aujourd’hui comme le sont, d’ailleurs, tous les ouvrages du grand physicien anglais Rankine. Le second intitulé : Essai théorique et pratique sur le véhicule bicycle, a été présenté sous forme de mé-
- p.1x5 - vue 9/272
- - 6 TRAITÉ DES BICYCLES ET BICYCLETTES
  - moire, par M. Marcliegay, au Congrès de Lyon de 1873 de VAssociation française pour Vavancement des Sciences. Ce volume traite spécialement de l’ancien vélocipède et tend, comme conclusion, à prouver qu’on doit l’alléger et agrandir le diamètre de la roue motrice, ce qui conduit au grand bicycle actuel.
  - A part ces deux brochures déjà anciennes, puisque la plus récente remonte à vingt ans, il ne nous reste plus qu’à citer quelques articles de journaux récents. Personnellement, dans le courant des années 1892 et i8q3, j’ai fait dans un journal spécial hebdomadaire Le Cycle, quelques articles sur la Théorie mathématique du Cycle. Ce sont ces articles qui m’ont conduit à écrire ce livre. Dans le commencement de l’année 1893, il a paru trois ou quatre articles dans le journal La Nature et dans la Revue Scientifique (Revue Rose), relatifs à la dépense de travail d’un cycliste et à la résistance de l’air. J’ai cité ces articles, lorsqu’il y a eu lieu, dans le cours de cet ouvrage. Enfin, au commencement de cette année, ont paru dans le journal La Bicyclette, des articles fort ingénieux, signés du pseudonyme VHomme de la Montagne.
  - Je me suis servi, autant que possible, de ces travaux antérieurs aux miens, mais, comme ils
- p.1x6 - vue 10/272
- - PRÉFACE yf\7
  - Y
  - X.
  - sont peu étendus, j’ai été, dans la majorité des. cas, livré à mes propres réflexions.
  - Lorsqu’on s’attaque ainsi à un sujet aussi peu traité que celui dont je me suis occupé, on risque fort de ne faire qu'un ouvrage imparfait. Aussi, dois-je demander d’avance à mes lecteurs de vouloir bien m’accorder leur indulgence pour les imperfections que peut contenir ce Traité et je leur serai très reconnaissant s’ils voulaient bien me signaler celles qu’ils pourront apercevoir. Mon but a été de calculer pour les constructeurs de bicyclettes ou les architectes de vélodromes des formules qui puissent leur servir et d’expliquer aux bicyclistes, curieux de connaître le 'pourquoi des choses, les raisons mécaniques de la possibilité de l’équilibre et de la marche en bicycle. Je me considérerai comme suffisamment récompensé de nies efforts si les applications développées dans ce volume ont pu être de quelque utilité pratique.
  - Après une Introduction qui contient des définitions de termes, des généralités et un tableau servant à calculer le' développement et la multiplication d’une bicycletle, l’ouvrage est divisé en trois parties :
  - La Première Partie est, à peu près, complètement théorique. Elle contient les conditions ana-
- p.1x7 - vue 11/272
- - 8 TBA1TÉ DES BICYCLES ET BICYCLETTES
  - lytiques de l’équilibre, la discussion du maintien et du rétablissement de l’équilibre et l’étude de la direction.
  - Dans la Seconde Partie, se trouve l’étude du travail dépensé par un cycliste et la description de procédés de mesure de ce travail dans les diverses conditions qui peuvent se présenter. La discussion des résultats conduit à des conclusions sur le choix d’une machine et à l’explication de certains résultats d’expérience.
  - Enfin, la Troisième Partie contient toutes les formules relatives à la détermination de la forme de la surface d’une piste de vélodrome. Les formes de piste, actuellement employées, sont discutées et on montre que le virage qui donne les meilleurs résultats est le virage de forme semi-circulaire.
  - Le Traité contient, en outre, de nombreuses applications numériques qui donnent des exemples et indiquent la manière d'appliquer les formules établies.
  - Paris, le 4 Décembre 189^-
  - C. BOURLET,
- p.1x8 - vue 12/272
- - INTRODUCTION
  - Définitions de quelques termes. — L’emploi du bicycle comme moyen de locomotion rapide ayant pris depuis quelque temps une grande extension, nous croyons inutile de donner à nos lecteurs une description détaillée de cet appareil qu’il leur est facile de voir tous les jours. Nous nous contenterons de donner quelques définitions des termes que nous emploierons, pour éviter toute confusion.
  - Nous appellerons, d’une façon générale, cycle, un vélocipède à deux roues. De ces deux roues, qui sont placées l’une derrière l’autre, celle qui est à l’avant est mobile par rapport à l’ensemble de la machine et est appelée roue directrice, l’autre a un axe fixe par rapport à la machine, nous l’appellerons roue fiœe. Un cycle est mis en mouvement par son cavalier qui, par un système de transmission convenable, anime une des deux
- p.1x9 - vue 13/272
- - 10
  - TRAITÉ DES BICYCLES ET BICYCLETTES
  - roues d’un mouvement de rotation : cette roue est appelée roue motrice. 11 résulte, immédiatement, de là une distinction des cycles en deux espèces : les bicycles où la roue motrice est la roue d’avant qui, par suite, est, à la fois, mo-
  - Fig. 1
  - ,'3
  - trice et directrice ; les bicyclettes dans lesquelles la roue motrice est la roue d’arrière.
  - Au point de vue de la théorie générale, les bicycles et les bicyclettes ne présentent pas de différences essentielles et nous pourrons, dans la grande majorité des cas, faire une théorie d’ensemble des deux appareils, théorie qui permettra,
- p.1x10 - vue 14/272
- - INTRODUCTION
  - .11
  - d’ailleurs, de les comparer. Nous exposerons la théorie générale sur un appareil schématique, type qui comprendra tous les cycles.
  - La pièce principale d’un cycle, celle à laquelle toutes les autres sont fixées, est ce qu’on appelle le corps ou encore le cadre.
  - Dans les bicycles, le corps a la forme générale d’un arc RSE {fig. i). Dans les bicyclettes, le
  - /a
  - /
  - /
  - /X
  - 4
  - cadre alfecte généralement la forme d’un pentagone RQEIS (fig. 2)..
  - A 1’arrière du cadre, en R, est fixé l’axe de la roue fixe F (4). En avant, le cadre est muni d’une
  - (') Suivre en même temps sur les fig. 1 et 2.
- p.1x11 - vue 15/272
- - 12 TRAITÉ DES BICYCLES ET BICYCLETTES
  - douille El dans laquelle passe le tube de direction. Ce tube de direction est terminé, en bas, à la sortie de la douille, par une fourche EB' dans laquelle passe la roue directrice D dont l’axe est fixé à cette fourche en B'. A la sortie supérieure de la douille, le tube de direction porte le gouvernail ou guidon qui est un tube G sensiblement horizontal terminé par deux poignées, ou manettes, que le cycliste tient dans ses mains. Le cavalier est assis sur une selle S fixée au cadre dans la partie moyenne supérieure, il tient une poignée de chaque main et ses pieds reposent sur les pédales P qui sont adaptées à des manivelles.
  - Par un mouvement alternatif des pieds, le cycliste fait tourner les manivelles qui, par une transmission convenable, actionnent la roue motrice.
  - Le cadre d’une machine présente un plan de symétrie qui contient l’axe de la douille El, le centre de la selle S et le centre R de la roue fixe F. Nous appellerons ce plan le plan mo'jen du cycle. Nous appellerons encore plan d’une roue, le plan perpendiculaire à l’axe de celle roue et passant par son milieu. Le plan de la roue fixe coïncide toujours avec le plan moyen ; le plan de la roue directrice est variable par rap-
- p.1x12 - vue 16/272
- - INTRODUCTION
  - 13
  - port au plan moyen et, lorsqu’il coïncide avec lui, les deux poignées sont à égale distance du plan moyen, qui est alors un plan de symétrie pour l’appareil (abstraction faite de la chaîne et des engrenages dans la bicyclette).
  - Soient alors A et B, les points de contact des deux roues avec le sol. AB est ce que nous appellerons la base du cycle et la longueur AB, la longueur du cycle.
  - Nous supposerons, en général, que l’axe xy du tube de direction passe par le point de contact B de la roue directrice avec le sol; dans ces conditions, le point B est un point fixe du plan moyen, et la droite AB est la droite d’intersection du plan moyen avec le sol (supposé plan).
  - Nous supposerons, également, sauf exception, que le cavalier ne fait aucun mouvement du torse et reste toujours placé sur la machine de façon que le plan de symétrie de son corps coïncide avec le plan moyen. Le torse restera donc immobile par rapport au cadre : il n’y aura que les bras et les jambes qui feront les mouvements nécessaires à la direction et à la propulsion.
  - Dans ces conditions, le centre de gravité du cavalier sera sensiblement placé dans le plan
- p.1x13 - vue 17/272
- - 14 TRAITÉ DES BICYCLES ET BICYCLETTES
  - mo)'cn et Je centre de gravité total de l’ensemble du cavalier et de sa machine sera, très sensiblement, un point fixe de ce plan. Nous étudierons spécialement, quand cela sera utile, les modifications qui résulteraient de mouvements du torse. Appelons alors G (fig. 3) le centre de gravité de l’ensemble du cavalier et du cvcle.
  - Fig. 3
  - AC -B su.
  - nous désignerons sous le nom de point central d’appui, le pied C de la perpendiculaire abaissée du centre de gravité sur la base AB. Ce point C sera, dans les conditions précédentes, un point fixe de la base AB.
  - Traces des rçues sur le sol. — Lorsqu’un
- p.1x14 - vue 18/272
- - INTRODUCTION
  - 15
  - cycle est en mouvement, ses deux roues laissent sur le sol deux sillons, deux traces, qui sont les lieux géomélriques des points de contact des roues avec le sol. Supposons le sol plan et soient A et B les points de contact de la roue fixe et de la roue mobile avec le sol (pris pour plan de la figure) (fig. 4). Soient AR et BR' les intersections des plans des deux roues avec le sol.
  - Fig. 4
  - Comme AB est l’intersection du plan moyen avec le sol et que le plan de la roue fixe coïncide avec le plan moyen, AR coïncide, en direction, avec AB. Soit 0 l’angle de BR' avec AB. Si on connaît la loi suivant laquelle le cavalier fait tourner son guidon, on connaîtra 0 en fonction du temps ; d’autre part, si on connaît la vitesse de la machine on connaîtra la vitesse du point A sur sa trace T/c’est-à-dire, qu’on connaîtra l’arc s
- p.1x15 - vue 19/272
- - 46 TRAITÉ. DJ2S BICYCLES ET BICYCLETTES
  - décrit par le point A sur la courbe T en fonction du temps ; par suite, on connaîtra 0 en fonction de s. Supposons donc que 0 soit une fonction connue de s, nous allons montrer que les traces T et T' des deux roues seront alors parfaitement déterminées. Nous pouvons, très approximativement, admettre que les droites AR et BR' sont tangentes en A et B aux traces T et T' et on voit alors que ces traces sont des courbes jouissant des propriétés suivantes : pour deux positions correspondantes des points A et B, la droite AB est tangente à la courbe T et a une longueur constante b égale à la longueur du cycle ; de plus, la tangente BR' en B fait un angle 0 avec AB, qui est une fonction connue de l’arc s de la courbe T. — Soient x et y, les coordonnées du point A et a/, y1, celles du point B (par rapport à deux axes rectangulaires quelconques tracés dans le plan du sol). Soit s', l’arc de la courbe T'1, on a, évidemment, les relations différentielles suivantes :
  - dx dx' ds ' ds1
  - dy
  - Ts’
  - dy1
  - ds'
  - = cos
  - 0
  - (0
- p.1x16 - vue 20/272
- - INTRODUCTION
  - 17
  - De ces relations on déduit, par des calculs faciles, les suivantes :
  - D’abord on déduirait aisément de ces formules les équations des courbes T et T' au moyen de quadratures. On aurait pour la courbe T :
  - et des équations analogues pour la courbe T'.
  - Désignons par p et p' les rayons de courbure des courbes T et T' en A et B. Les formules (2) donnent immédiatement.
  - b , _ b
  - (4)
  - P tg 0 ’ ‘° si n 0
  - Ces formules importantes montrent d’abord que lorsque 0 reste constant p et p' restent constants. Donc, lorsque Vangle 0 dont on a tourné le guidon reste constant, les traces des roues sur le sol sont des cercles concentriques.
  - Bourlut — Traité des bicycles et bicyclettes
- p.17 - vue 21/272
- - 18 TRAITÉ DES BICYCLES ET BICYCLETTES
  - En second lieu, ces formules nous donnent une construction géométrique du centre de courbure commun des deux traces.
  - Soit, en effet, w {fig. 4) le point d’intersection des normales en A et B aux trajectoires : on a, dans le triangle rectangle ABo>,
  - AB
  - sin 6
  - AB
  - :tge:
  - donc, on obtient le centre de courbure commun w des traces des roues sur le sol en prenant le point de rencontre des perpendiculaires élevées en A et B aux droites d'intersection AR et BR' des plans des roues avec le sol.
  - Si 0 est constamment nul, le cycle décrit une ligne droite, ce qui était presque évident, et si 0 est accidentellement nul les deux traces T et T' ont en même temps un point d’inflexion.
  - Enfin, il résulte encore de là et de propositions cinématiques connues que w est le centre instantané de rotation et, par suite, qu'à chaque instant les vitesses des différents points de la droite AB sont les mômes que si cette droite était animée d'un mouvement de rotation autour du point w.
  - Les résultats que nous venons d’énoncer seront, comme on le verra, dans la suite, de la plus grande utilité.
- p.18 - vue 22/272
- - INTRODUCTION
  - 19
  - Multiplication dans les bicyclettes. — On
  - appelle multiplication d’une bicyclette ou d’un bicycleunulliplié le diamètre de la roue motrice^
  - d'un bicycle non multiplié qui avance çtulant
  - %
  - que le cycle considéré pour un tour d'une manivelle ou pour un double'coup de pédale. •»
  - On appelle développement d’une machine la longueur dont elle avance pour un double coup de pédale, c'est-à-dire pour un tour complet d'une manivelle. Il résulte de ces deux définitions que le développement est égal à la multiplication multipliée par tc = 3,14159.
  - Dans les bicyclettes il est facile de calculer la multiplication et le développement lorsqu’on connaît le nombre des dents des deux pignons et le diamètre de la roue motrice. En effet :
  - Si n est le nombre des dents du grand pignon, c’est-à-dire de la roue dentée fixée à Taxe dos manivelles, n!, le nombre des dents du petit pignon fixé à Ja roue motrice, et d, le diamètre de la roue motrice, la multiplication est égale à
  - nC^ et le développement à r.. . Pour éviter
  - n * •* n
  - ces calculs à nos lecteurs, nous avons dressé le
  - tableau suivant qui donne la multiplication et le développement dans les combinaisons les plus Usitées de roues dentées et de roue motrice :
- p.19 - vue 23/272
- - 20 traité des bicycles et bicyclettes
  - TABLEAU DE LA MULTIPLICATION ET DU DÉVELOPPEMENT DANS LES BICYCLETTES
  - Diamètre de la roue motrice
  - des dents
  - om,65 0m rjo om .75
  - grand petit
  - pignon pignon mult. dér. mult. dév. mult. dév.
  - 7 im^9 4m 37 im,5o 4m >7* Im,6o 5m,o4
  - i5 8 I, 21 3, 83 1, 3i 4» i3 I, 4° 4- 41
  - 9 i, 08 3, 4o 1, 16 3, 66 I, 25 3, 92
  - 7 i. 48 4, 66 1, 60 5, o3 I, 71 5, 38
  - 16 8 i, 3o 4, 08 1, 40 4. 4o 1, 5>o 4. 71
  - 9 i, i5 3, 63 1, 24 3, 90 1, 33 4, 18
  - 7 i, 57 4> 95 1, 70 5, 34 1, 82 5, 72
  - r7 8 j, 38 4» 34 1, 48 4- 67 i, 59 5, 01
  - 9 I, 23 3, 86 I, 32 4- i5 i, 41 4, 45
  - i, 67 5, 24 1, 80 5, 66 1, 92 6, 06
  - 18 8 1, 46 4* 60 r, 57 4. 95 1, 68 5, 3o
  - 9 1, 3o 4. 08 1, 4o 4» 4° 1, 5o 4. 71
  - 7 1, 76 5, 54 1, 90 5, 97 2, o3 6, 3g
  - *9 8 1, 54 4. 85 1, 66 5, 22 1, 78 5, 5g
  - 9 1, 37 4. 3i 1, 47 4. 64 1, 58 4i 97
  - n 1, 85 5, 83 2, 00 6, 28 6, 72
  - 20 8 1, 62 5, 10 1, 75 5, 5o i, 87 5, 88
  - 9 i, 44 4* 53 1, 55 4. 88 1, 66 5, 23
  - 7 1» 95 6, 12 2, 10 6, 60 2, 25 7, 06
  - 21 8 i> 7» ..5, 35 1, 83 5, 77 1, 96 6, 18
  - 9 i, 51 4* 76 1, 63 5, i3 1, 76 5, 49
- p.20 - vue 24/272
- - CHAPITRE PREMIER
  - L’ÉQUILIBRE ET LA DIRECTION
  - Conditions analytiques de l’équilibre sur un sol horizontal. — Lorsqu’un cycle est en marche, on dit qu’il est en équilibre lorsque le plan moyen conserve une inclinaison constante par rapport au sol. Imaginons alors un système de trois axes rectangulaires entraînés avec la machine et qui sont les suivants : l’origine C de ces axes (flg. 5) est le point central d’appui, c’est-à-dire le pied de la perpendiculaire abaissée du centre de gravité G de l'ensemble du cycle et de son cavalier sur la base AB (pour plus de clarté nous n’avons pas représenté le cavalier dans la ligure). L’axe C- est la base AB, l’axe C y la verticale du point C et l’axe C.r un axe perpendiculaire aux deux autres. Le plan xCy est donc un plan perpendiculaire au plan moyen
- p.21 - vue 25/272
- - 22
  - l’équilibre et la direction
  - qu’il coupe suivant une droite CM qui contient le centre de gravité G. Le sol étant horizontal, le plan xCz coïncide avec le sol et l’angle a = MC.z est l’angle du plan moyen avec le sol. Pour qu’il y ait équilibre il faut donc et il suffit que le cycle soit en équilibre relatif par rapport aux axes Cxyz. Soit, alors, œ le centre de courbure commun des traces des points A et B. Comme nous l’avons vu dans Y Introduction,
  - Fig. 5
  - les vitesses des différents points de AB sont à chaque instant les mêmes que si cette droite était animée d’un mouvement de rotation autour du point to. Il en résulte que le mouvement du trièdre Cxyz est un mouvement de rotation autour d’un axe vertical ww' passant par u>.
  - Pour écrire que le cycle est en équilibre relatif par rapport au trièdre Cxyz, il faut donc écrire, d’après les principes du mouvement relatif, qu’il
- p.22 - vue 26/272
- - ÉQUILIBRE SUR UN SOL HORIZONTAL
  - 23
  - y a équilibre entre la pesanteur et les forces centrifuges. La pesanteur a pour résultante le poids GP de l’ensemble du cycle et de son cavalier et les forces centrifuges, une force GF dirigée suivant la droite to'G perpendiculaire abaissée de G sur l’axe toto' (fig. G).
  - Soit GF4 la projection de GF sur le plan Cxg\ pour qu’il y ait équilibre, il faut et il suffit que
  - Fig. 6
  - la résultante GK de GFt et de GP passe par le point C, c’est-à-dire que l’on ait
  - tg * =
  - GP
  - Désignons par M la masse totale du cycle et de son cavalier ; par g, l’accélération due à la pesanteur ; par v, la vitesse du centre de gravité ; par r, le rayon to'G de la trajectoire du centre de gravité et, enfin, par 4s l’angle de to'G avec le plan
- p.23 - vue 27/272
- - 24 l’équilibre et la direction
  - des xy, on aura:
  - GP = M#
  - ri? Mt'2 i
  - GF, =------cos 4*.
  - 1 r T
  - Remarquons tout de suite que, si on mène par m' une perpendiculaire au plan Gw'w jusqu’à sa rencontre en 0' avec le plan xy, GO' sera parallèle à C.r et on aura
  - G0' = -H-.
  - COS
  - Désignons, alors, GO', par R, on aura :
  - GFi =
  - Mu2
  - R
  - c’est-à-dire que la force GFt est la force centrifuge qui serait développée si la rotation s’effec-tuail autour de l’axe vertical 00' au lieu de s’effectuer autour de mu/ et la condition d équilibré est la même que si la rotation s'effectuait autour de 00'. Comme il est plus commode de considérer l’axe 00' nous remplacerons l’axe mm' par celui-ci et nous appellerons la quantité R le rayon de courbure de la trajectoire de G. Cette expression est, d’ailleurs, justifiée car, comme l’angle ^ est, en général, très petit, R est très sensiblement égal à r et dans la pratique on pourra presque toujours les confondre. Avec ces notations la condition d’équilibre est
- p.24 - vue 28/272
- - ÉQUILIBRE SUR UN SOL HORIZONTAL
  - 25
  - mais cette condition n’est pas la seule. En effet, pour l’écrire nous avons supposé que l’adhérence de la machine avec le sol était parfaite et il n’en est rien. L’adhérence du cycle au sol résulte de ce qu’il ÿ a un frottement de glissement latéral qui évite tout déplacement latéral tant que la machine ne s’incline pas trop. Mais dès que la machine s’incline trop, elle glisse latéralement, elle chasse ou encore elle dérape, pour employer les locutions cyclistes. En d’autres termes, il existe un angle limite <p que nous appellerons angle de frottement tel que, si l’angle d’inclinaison du plan moyen devient inférieur à cp, il y ait, nécessairement, glissement latéral. Donc, pour qu’il y ait réellement équilibre, il faut encore que l’angle a fourni par la formule (1) soit supérieur ou égal à tp. On devra donc avoir, en outre,
  - a ^ a» ou tg a 3: tg <p.
  - Posons :
  - lg * “ r
  - f est ce qu’on appelle le coefficient de frottement de glissement latéral. On devra donc avoir
  - £5-
  - tg a ^
  - /'
  - Le coefficient f dépend à'la fois de la nature du bandage des roues et de la nature du sol.
- p.25 - vue 29/272
- - 2ij
  - l’équilibre et la. direction
  - En résumé, les conditions analytiques de l'équilibre sont les suivantes : il faut, d'abord, que le rayon R de la trajectoire et la vitesse v du centre de gravité vérifient l'inégalité
  - (H)
  - % > i
  - vï=7
  - puis, cette inégalité étant remplie, l'angle a du plan moyen avec le sol sera donné par
  - « 'g » = ÿ
  - Remarque I. — Pour écrire nos conditions d’équilibre nous avons considéré le cycle comme complètement immobile par rapport aux axes Cxyz sans tenir compte du mouvement de rotation des roues. Pour être tout à fait rigoureux il aurait fallu, évidemment, introduire ceci dans nos calculs, car on sait que lorsqu’une roue tourne autour d’un axe, cet axe présente une certaine résistance au déplacement. Cette résistance aurait pour effet, dans le cycle, d’augmenter sa stabilité, mais, dans les machines qu'on construit aujourd’hui on s’efforce de plus en plus à faire des roues légères ; comme, d’ailleurs, la plus grande masse de ces roues est placée près de l’axe, les roues n’ont qu’un moment d’inertie très faible et, par suite, l’influence de la résistance de leurs axes est négligeable. 11 nous suffira de retenir que le mouvement des roues aug-
- p.26 - vue 30/272
- - ÉQUILIBRE SUR UN SOL HORIZONTAL 27
  - mente la stabilité et qu’il l’augmente plus quand la vitesse est grande.
  - Remarque IL — En résolvant la condition (II) par rapport à R on a : R è -^.ceci nous montre qu’il y a une limite inférieure pour le rayon R, c’est-à-dire, qu'avec une vitesse donnée v on ne peut pas décrire un cercle de rayon inférieur à Ce rayon minimum croît comme le carré de la vitesse. Donc, en grande vitesse, on ne peut décrire sur un sol horizontal que des cercles de très grands rayons, c’est pour celte raison qu’on ne peut pas faire des pistes de vélodromes horizontales et qu’on a dû relever les virages. Nous expliquerons à la fin de l’ouvrage, en détails, comment une telle piste devra être établie.
  - Le rayon minimum croît encore quand le coef-ücient de frottement f diminue. Ainsi, sur un sol mouillé, le coefficient /‘est très faible, c’est ce qui explique combien les cyclistes tombent facilement lorsqu’ils veulent tourner court, sans ralentir leur vitesse, sur un sol humide.
  - Lorsque le sol est glissant, il faudra donc, pour faire un virage court, ralentir suffisamment la vitesse pour que la quantité ~tombe au-dessous du rayon du cercle qu’on veut décrire.
- p.27 - vue 31/272
- - 28
  - l’équilibre et la direction
  - En résolvant, d’autre part, la condition (II) par rapport à u2 on a :
  - y2 ^ Rgf.
  - Il y a donc au contraire une limite supérieure pour la vitesse, c’est-à-dire qu'on ne peut décrire un cercle de rayon lt qu'avec une vitesse inférieure à s/Rgf, sur un sol horizontal. Ceci est l’expression mathématique du principe, bien connu des cyclistes : Il faut ralentir aux virages.
  - Remarque III. — Pour qu’on puisse se rendre compte des grandeurs de l’angle a, voici trois tableaux donnant les valeurs de cet angle pour des vitesses de 4> 6 et 8 mètres à la seconde, c’est-à-dire pour des vitesses d’environ i4km,4oo; 2ikm,Goo et 28km,8oo à l'heure. On verra la rapidité avec laquelle l’angle a décroît.
  - R = iom a — 8o° 44’ n" R ioom a = 8y° 2' 20"
  - a = i5° 14' 35" a = 53o 43' 25” a = fig° 5o' 53" a = 870 53' 58"
  - R = im a = 8° 52"
  - R = 5m a = 37° 28'
  - R = iom a = 56° 52' 47”
  - R = ioom a = 86° 16' 2"
- p.28 - vue 32/272
- - ÉQUILIBRE SUR UN SOL HORIZONTAL 29
  - Or, pour des raisons que nous donnerons plus tard, le coefficient de frottement moyen sur un sol sec est environ f — o,3, ce qui donne pour l’angle <p = 73°i8'.
  - On voit, par suite, que, sur un sol horizontal, on ne peut pas décrire un virage de iom de rayon à une vitesse de 21 kilomètres à l’heure, mais que c’est possible à la vitesse de 14 kilomètres.
  - Voici un autre tableau indiquant les rayons minima qu’on peut décrire avec des vitesses données. Pour l’établir, nous avons supposé f = o,3.
  - Vitesse à l’heure Rayon minimum
  - 7km,200 im,35
  - 10, 800 3, o5
  - l/|, 4 00 r>, /,r>
  - 18 8, 85
  - 21, Goo 12, 2.5
  - 25, 200 iC, C5
  - 28, 800 21, 7.5
  - 32, 400 27, 55
  - 36 3',
  - Go 9b 4o
  - De ce tableau on déduirait, facilement, les nombres correspondants pour une autre valeur de f. Ainsi on aurait les rayons minima pour f = 0,6 en divisant les nombres de ce tableau par 2.
- p.29 - vue 33/272
- - 30
  - l’équilibre et la direction
  - D’ailleurs, si on lit ce tableau (l’une autre façon, il donne les vitesses maxima avec lesquelles on peut décrire des virages de rayons donnés. Ainsi, par exemple, nous voyons que la vitesse maxima avec laquelle on peut décrire un virage de i2m,25, sur un sol horizontal, avec
  - Fig. 7
  - une machine dont le coefficient de frottement est o,3, est 18 kilomètres à l’heure.
  - Conditions d’équilibre sur un sol quelconque. — Pratiquement, il n’y a que deux cas intéressants : celui où le cycliste gravit un plan suivant la ligne de plus grande pente, c’est le cas cl’une roule présentant des montées et des descentes, et celui où le cycliste suit la ligne de niveau d’une surface inclinée, c’est le cas d’un coureur sur piste, au virage.
  - i° Supposons le cycle roulant sur un plan in-
- p.30 - vue 34/272
- - ÉQUILIBRE SUR UN SOL INCLINÉ
  - 31
  - cliné et la base AB dirigée suivant Ja ligne de plus grande pente de ce plan {fxg. 7). Considérons, comme toujours, les trois axes Cxyz entraînés avec le cycle, C z suivant AB, Cx perpendiculaire à Gs dans le plan du sol. Comme nous l’avons vu, au point de vue de l’équilibre, tout se passe comme si le trièdre C xyz tournait autour d’un axe oo' du plan xy parallèle à C y. Soit GP le poids total du cycle monté. Pour qu’il y ait équilibre, il faut que la résultante de la force centrifuge GFj et de la projection GPt du poids sur le plan xy passe par C. C’est-à-dire, en appelant a l’angle GGr qui est l’angle du plan moyen avec le sol, il faut que l’on ait , _GPt
  - ^ — QFi'
  - or, si w est l’angle du plan du sol avec le plan horizontal (o> est aussi l’angle de la verticale GP avec sa projection GPt) on a :
  - GPt = GP. cos w =2 M^cos w.
  - D’ailleurs,
  - p TJ! _ Mu-
  - GF‘ =- TT
  - en conservant les notations précédentes.
  - Donc 011 doit avoir
- p.31 - vue 35/272
- - 32
  - l’équilibre et la direction
  - De plus, il faut toujours que l’angle a fourni par celle formule soit supérieur à l’angle de frolle-ment ©, c’est-à-dire que l’on ait :
  - ou
  - (IV)
  - tff a è tgo
  - O O i
  - > 1
  - —rr COS co ^ -V-
  - i
  - Les conditions analytiques de l’équilibre sont donc données par les formules (III) et (IV).
  - Si on compare la formule (III) à la formule (I) d’équilibre sur un plan horizontal, on voit que, comme cos co est plus petit que i,les valeurs fournies par la formule (III) pour tg a sont plus petites que celles données par la formule (1). Donc, toutes choses ê tan Inégales d’ailleurs, la machine doit être plus inclinée ci la montée ou à la descente qu’en terrain horizontal. Le rayon minimum qu’on peut décrire avec une vitesse donnée v est d’après la formule (IV) :
  - V* 1
  - —.-------. Ce rauon est donc plus grand que sur
  - gf COS co J X a J-
  - un sol horizontal. De même, la vitesse maxima avec laquelle on peut décrire le rayon R est v//^/Rcosco et cette vitesse maxima est plus petite que la vitesse correspondante sur un sol horizontal.
  - 11 faut remarquer que les conditions précé-
- p.32 - vue 36/272
- - ÉQUILIBRE SUR UN SOL INCLINÉ 33
  - dentes s’appliquent aussi bien à la montée qu’à la descente, car, dans notre raisonnement, nous n’avons pas tenu compte du sens de progression de la machine. Pour la montée, il faudrait supposer que la machine va dans le sens de G vers z [fig. 7) et pour la descente, supposer le contraire. Le poids GP a deux composantes, l’une GPt, dans le plan xy qui est équilibrée par la force centrifuge GF* l’autre GP2 parallèle à Cs et qui, suivant les cas, retarde ou accélère le mouvement de la machine.
  - 20 Etudions, maintenant, le cas d’un cycle qui suit les lignes de niveau d’une surface.
  - La hase AB est alors horizontale. Je prends l’axe Cy vertical et le plan Cxz horizontal, Q»z étant, comme toujours, la direction de AB. Soient CS, la trace du sol sur le plan xy (nous avons pris pour plan de la fig. 8, le plan xy, l’axe des z ne servant pas) et GM la trace du plan moyen qui contient le centre de gravité G {fig. 8). CS est la ligne de plus grande pente du sol, par suite, l’angle SCx est l’angle to du sol avec l’horizon. Soit, enfin, oo' l’axe de rotation dans le plan xy. Il y a lieu de distinguer deux cas, suivant que oo' est du côté de la descente {fig. 8) ou du côté de la montée {fig. 9).
  - Supposons, d’abord, 00' du côté de la des-
  - Boutu.KT — Traité des bicycles et bicyclettes 3
- p.33 - vue 37/272
- - 34
  - l’équilibre et la direction
  - cenle, c’est-à-dire supposons que le cycle tourne du côté de la descente (fig. 8). ôïi voit immédiatement que l’angle GCa? joue le môme rôle que l’angle a dans le cas du sol horizontal on a
  - Fig. S
  - H
  - donc,, en. conservant toujours1 les mômes notations (iR — GO')
  - tg(Gsr=^
  - or,
  - GCæ = a — a) on doit donc avoir
  - (V) |g(a_w)'.= M
  - condition, à laquelle il faut, toujours joindre la condition
  - a <p.
  - Mais, ici, il pourrai t arriverque* l’angle a, donné par la formule (V)4, soit plus grand que 900',. c’est-
- p.34 - vue 38/272
- - ÉQU1L1URE SUR UN SOL INCLINÉ
  - 35
  - à-dire que le cycle, tout eu tournant vers la droite, soit incliné, par rapport au sol, vers la gauche. Par exemple, dans le cas où la machine décrit une ligne droite, R est infiniment grand et le plan moyen doit être vertical, CM a la direction Cy et le plan moyen est incliné vers la gauche. Il y a donc une nouvelle condition : il faut que l’angle S'CM soit aussi plus grand que cp, il faut donc avoir
  - i8o° — a ^ cp
  - ce qui donne pour a la double inégalité CP — co ^ a — co fS l8o° —• cp — co.
  - Si © h- co est plus petit que 90°, la seconde inégalité est vérifiée, car a — co est toujours un angle au plus égal à 90°.
  - Si c? + co est plus grand que 90°, cette seconde inégalité n’est pas toujours vérifiée, par exemple, elle n’est pas vérifiée pour a — co == 90°, c’est-à-dire dans le cas de la marche en ligne droite, il y a non-seulement une limite inférieure, mais aussi une limite supérieure pour le rayon de courbure R.
  - Soit p la pente du plan : p = tg co. Dire que cp -1- co <" 90° c’est dire que
  - tg co < cotg cp OU
  - v<f.
- p.35 - vue 39/272
- - 36
  - l’équilibre et la direction
  - Donc i° si p est plus petit que f, il y a deux conditions d’équilibre :
  - fg (a — co) ^ tg (© — co) et
  - %
  - ' u* •
  - tg (a — co)
  - 2° Si p est plus grand que/1, il y a 3 conditions tg (cp — co) ^ tg (a — co) ^ — tg (co h- <p)
  - et
  - [s 0
  - co
  - x _ R/7 ' v-
  - En résumé, il y a les deux cas suivants : i° Si la pente du plan est plus petite que le
  - coefficient de frottement, on a deux conditions
  - d'équilibre •
  - (VI) % > 1 — Vf vl V f
  - (V) tg (a — co) = - Y
  - 2° Si la pente du plan est plus grande que le coefficient de frottement, il y a trois conditions
  - i — Vf < % < \ ± Vf v -h / v* p — f‘
  - x R/7
  - (Vil)
- p.36 - vue 40/272
- - ÉQUILIBRE SUR UN SOL INCLINÉ
  - Dans ce cas, on voit que si on avait
  - 37
  - i— Pf<o, P>
  - la première inégalité serait toujours vérifiée. Mais, dans la pratique, comme f est petit, est très grand, et on ne rencontre pas de pentes assez fortes paur remplir ces conditions.
  - De ces conditions on peut tirer les conclusions suivantes : Lorsqu'un cycle décrit une ligne de niveau d'une surface, en tournant du côté de la pente, avec une vitesse v, le rayon de la courbe décrite ne peut être inférieur à v2 î — pf
  - Ù' P +7 '
  - Et, de plus, si la pente du plan est supérieure au coefficient de frottement f, ce rayon ne pourra pas être supérieur à
  - v2 î H- pf
  - 1' p —7 ‘
  - Ainsi sur un plan de forte pente on ne peut pas décrire, sans tomber, la ligne droite de niveau.
  - ' 11 est bon de remarquer que le rayon minimum ~ . est plus petit que le rayon minimum
  - —^.correspondant au cas d’un sol horizontal et
- p.37 - vue 41/272
- - 38
  - j/jïïQUlLIBUE ET LA DIRECTION
  - que ce rayon minimum diminue lorsque la pente p du plan augmente.
  - En résolvant les inégalités (VI) et (VII) par rapport à u2 on en conclut que lorsqu’un cycle décrit une ligne de niveau, en tournant du côté de la pente et en décrivant une courbe de rayon R, sa vitesse doit être inférieure à
  - 'Rff (P±f)
  - i—pf
  - et si, de plus, la pente du plan est supérieure à f, cette vitesse doit être inférieure à
  - (P—Jl
  - 1 H- pf
  - Ainsi, si dans un vélodrome la pente du virage est très forte, on ne pourra pas aller lentement sur la piste et il y aura une vitesse limite au-dessous de laquelle on ne pourra pas parcourir la piste sans tomber au virage.
  - Les conditions que nous venons d’établir nous seront, précisément, plus tard, de la plus grande utilité pour déterminer la pente à donner à un virage de piste.
  - Il nous reste, enfin, à examiner le cas où Y axe oo' est situé du côté de la montée, cest-à-dire le cas où on tourne du côté où la surface monte (fig. 9).
- p.38 - vue 42/272
- - ÉQUILIBRE SUR UN S0L INCLINÉ 39
  - Ce cas étant d’un intérêt pratique moindre nous l’examinerons plus rapidement.
  - On a, comme avant,
  - %(GO)=ÿ
  - en posant,
  - R = GO',
  - mais, ici,
  - GCr — a 4- w.
  - D’où la condition
  - (vin) %(ï + w) = Ef
  - L’angle a + tu, donné par cette formule, étant plus petit que 90°, l’angle a est aussi plus petit
  - Fig. 9
  - que 90°, il n’y a donc, ici, qu’wne condition supplémentaire
  - c’est-à-dire
  - a 4- 10 ^ ©' 4- o).
- p.39 - vue 43/272
- - 40
  - l’équilibre et la direction
  - Pour que cette inégalité puisse avoir lieu, il faut, d’abord que if+ w soit un angle plus petit que 90°, d’où
  - 1» < 9o° — <p
  - tgco <cotg<p, p<f.
  - Donc, il est impossible de tourner du côté de la montée sur un sol dont la pente est supérieure au coefficient de frottement.
  - Si, au contraire, la pente est inférieure au coefficient de frottement de glissement latéral, l’équilibre sera possible en tournant du côté de la montée, si on a :
  - avec
  - (VIII) Ig (i+ «)=!?
  - La condition (IX) montre que, dans le cas où l'équilibre est possible, le rayon minimum R qu’on peut décrire avec la vitesse v est :
  - v- î -h pf
  - 7 7 ~—p'
  - Ce rayon minimum est plus grand que celui qui correspond au cas du sol horizontal. La vitesse maxima avec laquelle on peut décrire un rayon R est :
  - Î^SLrJp)
  - y 1
- p.40 - vue 44/272
- - ÉQUILIBRE SUR UN SOL INCLINÉ 41
  - elle est plus petite que dans le cas du sol horizontal.
  - En rapprochant, pour terminer, les résultats précédents du cas du sol horizontal, nous voyons que, lorsqu’on décrit une ligne de niveau sur le sol, la vitesse maxima pour faire un virage donné est plus grande quand on tourne du côté de la pente et plus petite quand on tourne du côté de la montée, que sur un sol horizontal ; môme dans ce dernier cas, il peut arriver que le virage soit impossible. Par suite, il est plus facile de tourner vers la descente et plus difficile, quelquefois impossible, de tourner vers la montée.
  - Considérons, par exemple, un cycliste qui fait un virage en suivant une route en dos d’âne. D’après ce que nous avons vu, s’il prend le bord de la route du côté où elle tourné (c’est-à-dire le plus petit tournant), il aura besoin de moins ralentir pour faire le virage que s’il prenait le milieu de la route. Au contraire, s’il prend le bord de la route opposé (c’est-à-dire le grand tournant), il devra ralentir plus qu’au milieu. Donc, le cycliste aura toujours avantage à prendre le tournant le plus court, qui est celui qui offrira le plus de sécurité. (Pour le raisonnement précédent nous n’avons pas tenu compte de la
- p.41 - vue 45/272
- - 42
  - l’équilibre et la direction
  - variation du rayon du virage «d’un ‘bord de la roule à l’autre, car en général cetle variation .est négligeable par rapport à ce rayon).
  - Les conclusions précédentes rendent encore aisément compte de ce fait que, lorsque la.roule est humide, il est très facile d’aller du milieu de la route à l’un des bords, mais qu'il est très difficile et quelquefois impossible de remonter, sans choir, du bord au milieu. Car, dans le premier cas, on tourne vers la descente et, dans le.second cas, on tourne au contraire vers la montée.
  - Influence du vent sur les conditions d’équilibre. — Un vent latéral soufflant sur un cycle monté produit une pression latérale, sur l’ensemble, qui peut modifier les conditions de l’équilibre.
  - Nous nous contenterons d’indiquer, rapidement, comment on pourra tenir compte de cette pression.
  - Le vent aura pour effet de produire des pressions que nous pouvons remplacer, d’après des principes de statique connus, par deux forces : l’une appliquée au centre de gravité G, l’autre rencontrant la base AB et qui est annulée par la résistance de AB. La force appliquée au point G peut, elle-même, se décomposer en deux : l’une située dans le plan moyen et qui n’a pour effet
- p.42 - vue 46/272
- - INFLUENCE DU VENT SUR L’ÉQUILIBRE 43
  - que de modifier la dépense de .travail du cycliste, l’auIre horizontale, située dans le plan central, c’est-à-dire dans le plan passant par le centre de gravité et le point central d’appui et perpendiculaire au plan moyen. .C’est cette dernière force q.ui, seule, modifiera l’équilibre.
  - Supposons le sol horizontal et prenons pour plan de la figure le plan central. Soient GV, la composante du vent; GP, le poids total du cycle et de son cavalier; CG, la trace du plan moyen sur le plan de la figure etCa?, la trace du
  - sol.
  - En marche rectiligne (fig. 10), le cycle doit
  - Fig. n
  - Fig. 10
  - être en équilibre sous l’infiuence des deux forces
  - GV et GP dont la résultante GK doit passer par G. On a donc
  - Soit K l’intensité de la force GV. On aura
- p.43 - vue 47/272
- - 44
  - L EQU1L1RRE ET LA DIRECTION
  - Le cycle, au lieu d’être vertical, sera donc incliné du côté du vent d’un angle a donné par la formule précédente.
  - En marche curviligne, soient K, le rayon de courbure de la trajectoire du centre de gravité et v, là vitesse du cycle, il faudra ajouter aux deux forces précédentes la force centrifuge
  - GF —
  - _ R .
  - i° Si le vent soufilc de façon à faire tomber le cycle du côté du centre de la courbe, GV et GF seront de sens contraire et auront une résultante GI égale à leur différence.
  - Si le vent est faible, GV < GF et GI (fig. 11) est de même sens que GF, le cycle sera incliné du côté du centre d’un angle a te! que
  - My
  - - K
  - (’)
  - I(r rL -
  - ° Mr2
  - lt
  - Si le vent est très fort, on pourra avoir GV> G F et Gl est du sens de GV (fig. 12). Le plan moyen devra être incliné du côté opposé au centre de courbure d’un angle a donné par
  - M q
  - “’W
  - (3)
  - Ig* =
  - K —
  - H
  - Comine cas limite, si GF = GV, le plan moyen serait vertical.
- p.44 - vue 48/272
- - INFLUENCE DU VENT SUR l’ÉQUILIHRE 45
  - 2° Si le vent pousse le cycle de façon à le faire tomber du côté opposé à celui du centre, les forces GF et GV seront .de même sens, leur
  - Fig. 12 Fig. 13
  - résultante GI sera de même sens qu'elles et égale à leur somme (fig. i3).
  - Le plan moyen devra être incliné du côté du centre de rotation de l’angle a
  - (4)
  - to-«— %_
  - En examinant les formules (2), (3) et (4), on voit que l’angle a fourni par les formules (2) et (3) est plus grand que l’angle a donné par la formule (1) d’équilibre normal, et que l’angle a donné par la formule (4) est plus petit que l’angle correspondant dans les conditions normales.
  - Donc, en résumé, sous l’influence d’un vent latéral, le cycle, en marche rectiligne devra être incliné du côté du vent ; en marche curviligne, lorsqu’on tourne du côté d’où vient le vent, le cycle devra être plus incliné que dans les con-
- p.45 - vue 49/272
- - 46
  - l’ÉQUILIBRE' ET LA DIRECTION
  - dilions normales, lorsqu’on tourne dm côté contraire au vent, c’est-à-dire’, de façon que le vent aide à la rotation, la machine'devra être moins inclinée que dans les conditions normales et il pourra même arriver que le plan moyen soit vertical ou: incliné du côté opposé à la courbure, dans le cas d’un vent très violent.
  - Rétablissement de l'équilibre au moyen du guidon. — Supposons que le cycle se déplace' sur un sol horizontal en décrivant une ligne droite. Dans ces conditions, le plan moyen devra être vertical-, Si, pour une’ cause quelconque, le plan moyen s’incline; brusquement; de façon à faire un angle a avec le sol, l’équilibre sera détruit.
  - D’après ce que nous avons vu, si cet angle a est plus petit que l’angle © de frottement' de glissement latéral, la machine chassera et la chute sera- inévitable. Mais, si l’angle a est plus grand que ©, d’après les conditions analytiques de l’équilibre,.il suffira de tourner instantanément le guidon d’un angle tel que le rayon de courbure de la trajectoire dm centre de gravité ait une valeur R vérifiant la relation
  - 0)
  - tga
  - _ %
  - v-> ’
  - la concavité de la trajectoire étant" tournée du
- p.46 - vue 50/272
- - 47
  - RÉTABLISSEMENT DE l’ÉQUILIBRE
  - coté où le cycle penche. Donc, théoriquement, pour rétablir l’équilibre rompu, il faudra tourner instantanément le.guidon du côté de la chute d'un angle 0 tel que la trajectoire du centre de gravité ail un rayon de courbure égal à
  - v-tg a
  - r" ' " - •
  - U
  - GetangleO'est facile à calculer. En effet, on peut, sensiblement, confondre' le1 rayons de* la- trajectoire du centre' de' gravite*et celui de’ la trajectoire du point de contact A de la roue fixe avec le soi. Or, ce rayon est, comme nous savons (voir
  - Y Introduction), ëgoXh v—q , b étant la longueur de la base du cycle. On devra donc avoir :
  - li> \j _ — —5---
  - ° vl tg. a
  - Il est clair que le1 rétablissement sera d’autant plus facile1 que l’angle 0. sera plus- petit. Cette formule nous montre, alors,, que* pour une' machine donnée et un écart d’un angle a donné, l’angle 0. diminue* quand' la- vitesse- augmente. Donc le. rétablissement de' l’équilibre est plus facile quand la vitesse est phis grande.-
  - Désignons par o,, la déviation du centre de gravité', c’est-à-dire* la- distance du centre* de
- p.47 - vue 51/272
- - 48
  - L’ÉQUILIBRE BT LA. DIRECTION
  - gravité G à la verticale du point central d’appui G, et par l, la longueur GC, que nous nommerons la hauteur du cycle. On a évidemment
  - : l cos a
  - et, par suite,
  - Cette nouvelle forme de la formule qui donne 0 nous montre que, pour les mêmes valeurs de o et de v, 0 diminue quand b diminue on quand l augmente. Donc, dans des conditions semblables, c’est-à-dire, pour la même vitesse et pour la même déviation, le rétablissement sera plus aisé avec les machines courtes et hautes qu’avec les machines basses et longues. Les bicycles ont donc l’avantage sur les bicyclettes.
  - Le rétablissement que nous venons d’éludier est tout à fait théorique mais n’est pas réalisable pratiquement. D’abord, parce qu’on ne peut pas tourner instantanément le guidon, et, en second lieu, parce qu’on ne pourra jamais le tourner exactement de l’angle 0 nécessaire au rétablissement. D’ailleurs, pratiquement, le rétablissement est insuffisant, car il modifie la. trajectoire du cycle, qui de rectiligne devient curviligne. Jl faut, non seulement rétablir l’équi-
- p.48 - vue 52/272
- - RÉTABLISSEMENT DE l’ÉQUILIBRE
  - 49
  - libre, mais, encore, conserver une trajecloire rectiligne et pour cela ramener le plan moyen vertical.
  - Voici, alors, comment on procédera : on tournera le guidon du côté de la chute, le cycle continuera à tomber pendant un certain temps, mais, si on tourne le guidon suffisamment vite, la force centrifuge développée sera bientôt assez grande pour arrêter la chute et si, de plus, on tourne le guidon un peu au-delà, la force centrifuge sera plus grande que la force nécessaire à l’équilibre. Le cycle sera tiré par une force horizontale qui le relèvera. Le cavalier exercé, dès que le relèvement commencera, redressera, en même temps, le guidon de façon que les plans des deux roues coïncident lorsque le plan moyen sera devenu vertical. Il reste à montrer que ces deux opérations sont possibles.
  - On voit qu’on peut scinder l’opération en deux : d’abord la période du rétablissement depuis l’instant où commence la chute jusqu’au moment où commence le relèvement, ensuite, la période du redressement jusqu’à l’instant où le plan moyen est à nouveau vertical.
  - Pour étudier ces deux périodes, considérons, comme d’ordinaire, un système de trois axes rectangulaires entraînés avec le cycle (fig. 5). L’ori-
  - Bouui.ut — Trnilû des bicycles et bicyclettes
- p.49 - vue 53/272
- - 50
  - L EQUILIBRE ET LA DIRECTION
  - Fis. 14
  - » /*
  - r+ / (x
  - ï A
  - gine C est le point central d’appui, Cx est la base AB, C y est vertical et Cx est dans le plan du sol. Le centre de gravité G reste dans le plan xCy
  - que nous appelons le plan central. Nous étudierons le mouvement du centre de gravité G dans le plan central que nous prenons pour
  - C x
  - plan de la figure (fig. i4). Soient a, l’angle GC# du plan moyen avec le sol et p, son complément.
  - i° Supposons que, la trajectoire étant rectiligne, le plan moyen ait l’inclinaison a0 et qu’à cet instant le cavalier commence à tourner le guidon avec une vitesse angulaire io. Prenons pour instant initial (t — o) l'instant où commence la chute ; de telle façon, que pour t = o,
  - TT
  - on a a = a0, fî- = ^ — a0 et que la vitesse rela-
  - tive de G dans le plan central est nulle. — Au temps t l’angle 0 aura la valeur oit et le rayon R
  - de la trajectoire, sera ; par suite, la force
  - Ma2
  - centrifuge MF sera égale à t g oit. Soit MK2
  - le moment d’inertie de l’ensemble du cycle et de son cavalier (supposé immobile par rapport à la machine) par rapport à un axe passant par G et
- p.50 - vue 54/272
- - RÉTABLISSEMENT DE L’ÉQUILIBRE 51
  - parallèle à la base AB. On aura, pour déterminer le mouvement de G, l’équation
  - i <*[m(P + K>) (§)“] = Mgl sin pdp -
  - Mu2 O
  - ----. tg o>t. I cos p ap
  - déduite du théorème des forces vives.
  - Cette équation simplifiée est /
  - V = g sin P •" TT ^cos P
  - en posant
  - (/' est de l’ordre de grandeur de / qui est la hauteur GC du cycle) nous intégrerons l’équation précédente d’une façon approchée.
  - Comme ^ et seront des angles toujours petits, nous pouvons remplacer, approximativement, sin p, cos p et tg u>t par p, t et tot. On aura, alors, pour le mouvement de G l’équation plus simple :
  - 1 (il1
  - 9P
  - WU2
  - T
  - t.
  - Posons, pour simplifier,
- p.51 - vue 55/272
- - 52
  - l’équilibre et la direction
  - L'intégrale de cette équation, telle que, pour
  - t = o
  - est, en désignant par e la base des logarithmes népériens
  - -ht j ,
  - ' — 2 ht
  - cherchant la valeur de l pour laquelle la vitesse de G s’annule, on trouve, en écartant la solution 1 — o, la solution
  - On voit d’abord que, pour que la valeur de G soit réelle, il faut que U >> (3o, c’est-à-dire que
  - La valeur de G est, alors, bien positive et il existe un instant G de rétablissement. Mais, pour que le rétablissement se fasse effectivement, il faut encore que la valeur (G de l’angle fS à l’instant G soit plus petite que le complément
  - - — © de l’angle de frottement. Or, on a : 2
- p.52 - vue 56/272
- - RÉTABLISSEMENT DE l’ÉQUILIBRE
  - 53
  - Comme est plus petit que 1 on peut développer le logarithme en série et on a
  - o O 2 (V 2
  - + 5- pi + 3- XP- +....
  - Nous pouvons limiter le développement au second terme et, par suite, on doit avoir
  - O 2 B 3 TT
  - k + sfos;-»
  - d’où
  - (0
  - u
  - ‘WA
  - ^ K — ?) '
  - Comme il est facile de le vérifier, on a généralement
  - gpn
  - C>1-
  - (ao — ?) '
  - De telle façon que la condition (î) entraîne la
  - condition
  - U > Po-
  - il résulte enfin de tout cela que le rétablissement est possible et qu’il suffit de tourner le guidon avec une vitesse angulaire to telle que l'on ait
  - (»)
  - . fto • bff
  - i / 2 Po9________
  - V 3 /' (a0 — <p) ‘
  - Il est clair que le rétablissement sera d’autant
- p.53 - vue 57/272
- - 54
  - L* ÉQUILIBRE ET LA DIRECTION
  - plus aisé que la vitesse angulaire w avec laquelle il suffira de tourner le guidon sera plus faible ; car la main du cavalier sera d’autant plus sûre que ses mouvements seront moins précipités. Le rétablissement sera donc plus aisé lorsque le minimum de w sera plus petit. L’inégalité (2) nous montre immédiatement que, toutes choses égales d’ailleurs, le minimum est inversement proportionnel au carré de la vitesse et par suite qu’il diminue quand la vitesse augmente. On peut donc dire que Y aisance du rétablissement Croit comme le carré de la vitesse. Désignons par 0, le déplacement qu’avait subi le centre de gravité et par f, le coefficient de frottement. On aura, approximativement,
  - La condition (2) devient donc :
  - Cette nouvelle forme nous montre (comme V varie dans le môme sens que ï) que le minimum de w diminue quand b diminue et quand l aug-, mente, 0 restant constant. Donc, pour un môme déplacement 8 et pour la môme vitesse v,le rétablissement est plus aisé avec les machines
- p.54 - vue 58/272
- - RÉTABLISSEMENT DE L'ÉQUILIBRE
  - 55
  - courtes et hautes qu'avec les machines longues et basses. Nous sommes donc amenés aux mômes conclusions que pour le rétablissement théorique instantané.
  - 2° Le rétablissement ayant été obtenu, le guidon est tourné d’un certain angle Oj = et le cycle au lieu de décrire une ligne droite décrit un cercle. Il reste à le relever.
  - Le guidon étant tourné de l’angle 0t, la machine est inclinée d’un angle ai tel que :
  - %ai = % cotS°i
  - ou, en désignant par l’angle du plan moyen avec la verticale (j3j. = 90° — 09),
  - tgp, = -6ÿ%0,
  - Pour redresser la machine, on tournera le guidon d’un angle un peu plus grand, de l’angle Oj -+- e, par exemple, la force centrifuge développée sera plus grande que la force nécessaire à équilibrer la pesanteur et la machine se redressera. Calculons le temps du redressement.
  - Le cycle est soumis à deux forces : son poids Mu2
  - ]% et la force centrifuge -y tg(0j -+- s), laquelle,
- p.55 - vue 59/272
- - 56
  - l'équilibre et la direction
  - puisque e est petit, peut s’écrire : — (tgOiH-eX1).
  - L’équation du mouvement du centre de gravité dans le plan central sera
  - + &•>{$)*] =
  - M„2
  - = Mgl sin p ------(tg Oj -
  - ou, en posant encore :
  - ) l cos p dji
  - di* '
  - - O si'1 P — (lg °1 H- £) cos p.
  - Celte équation peut s’écrire d’une manière
  - approchée, quand (3 est très petit :
  - ?0g0i + 0-
  - Comptons le temps à partir du commencement du redressement, pour t = o on devra avoir
  - p = et s=°-
  - En remplaçant ^ tg Gj par la quantité sensiblement égale Pi on trouve pour (3 :
  - (') 11 est inutile de parler de la force centrifuge composée qui disparaît dans les calculs.
- p.56 - vue 60/272
- - RÉTABLISSEMENT DE l’ÉQUJUHRE
  - 57
  - On voit immédiatement, que est toujours négatif et que, par conséquent, p décroît. Il y a donc relèvement. On aura le temps T du redressement en cherchant la valeur de t pour laquelle p s’annulle. On trouve alors
  - T = L(i+Ü+ vVtTTlP) en posant :
  - u=^.
  - Vh
  - D’ailleurs, si on désigne par o4 la valeur du déplacement du cenlre de gravité au commencement du redressement, on a :
  - et, par suite,
  - U =
  - Mi Ivh '
  - En développant T en série on trouve
  - T — - \/bM v X lz
  - .{i,
  - De cetle formule on tire le5 conclusions suivantes : pour- une machine donnée et pour un excès e donné, le temps T sera d’autant plus court que la vitesse v sera plus grande. Donc leredres-
- p.57 - vue 61/272
- - 58 l’équilibre et la. direction
  - sement est plus rapide quand la vitesse est plus grande.
  - D’autre part, comme V et l sont du même ordre de grandeur, le rapport
  - varie peu d’une machine à l’autre, donc la hauteur de la machine na pas d’influence sensible sur la rapidité du redressement.
  - Enfin, T augmente quand b augmente, donc le redressement est plus rapide (toutes choses égales d’ailleurs) dans les machines courtes que dans les machines longues. Ceci explique pourquoi une bicyclette-tandem est plus difficile à diriger qu’une bicyclette ordinaire.
  - Stabilité d’une machine. — Une machine sera d’autant plus stable que les déplacements latéraux que pourra recevoir le centre de gravité sans que la chute soit inévitable, seront plus grands. Nous pourrons donc prendre, comme mesure de la stabilité, la déviation latérale maxima que peut subir le centre de gravité, sur un sol horizontal, sans que le rétablissement soit impossible. Or, comme, nous l’avons vu, le rétablissement est toujours possible lorsque l’angle a du plan moyen avec le sol est su-
- p.58 - vue 62/272
- - STABILITÉ .D’UNE MACHINE 59
  - périeur à l’angle de frottement ep, c’est-à-dire lorsqu’on a :
  - tga^tgcp.
  - Or, si ô désigne la déviation du centre de gravité, c’est-à-dire sa distance à la verticale du point d’appui central et /, la hauteur du cycle, c’est-à-dire la distance du centre de gravité au point.central d’appui, on a :
  - comme, d’ailleurs,
  - ?
  - r
  - , f étant le
  - coeffi-
  - cient de frottement de glissement latéral, on en conclut qu’on doit avoir :
  - ô S fl.
  - Donc la déviation rnaxima est fl. Ce produit mesure donc la stabilité de la machine.
  - Le coefficient f dépend de la nature du bandage de la roue et du sol. 11 faudra qu’il soit le plus grand possible. C’est précisément pour augmenter la valeur de ce coefficient qu’on fait des bandages, dits antidérapants, dans lesquels la surface du bandage, au lieu d’être unie, est striée de lignes qu’on cherche à placer de telle sorte qu’elles n’augmentent pas sensiblement le coefficient de frottement de roulement tout en aug-
- p.59 - vue 63/272
- - 00
  - l'équilibre et la direction
  - mentant le coefficient f de frottement de glissement latéral.
  - On voit, d’autre part, qu’à bandage égal, la stabilité d’une machine croît avec sa hauteur. Donc, toutes choses égales d’ailleurs, les machines hautes sont plus stables que les machines basses.
  - En rapprochant ce résultat de ceux qui précèdent on voit que dans les hauts bicycles la stabilité est plus grande et l’équilibre plus facile à rétablir que dans les bicyclettes. Ceci semble en contradiction avec l’expérience, caron sait qu’on a abandonné presque complètement les bicycles comme étant beaucoup plus dangereux que les bicyclettes. Cela tient à ce que la chute à craindre à bicycle n’est pas une chute latérale mais une chute en avant. La moindre pierre, rencontrée sur la roule par la roue d’avant du bicycle (non multiplié) le fait basculer en avant et le cycliste tombe sur la tôle, chute qui est presque impossible à bicyclette.
  - Calcul des réactions du sol quand il y a équilibre. — Un cycle monté étant en marche et en équilibre, soient T et Y' les réactions du sol sur la machine aux points A et B de contact (fiçj. 5) Considérons, comme toujours, un système de trois axes C xyz entraînés avec le cycle
- p.60 - vue 64/272
- - RÉACTIONS DU SOL
  - 61
  - et soient Yx,Y'x,Yy, Y'y, Yz, Y'z, les projections des réactions V et V' sur ces axes. On aura ces réactions en écrivant qu’il y a équilibre relatif enlre ces deux réactions, la pesanteur et la force cen-trifuge -p-. Désignons pour cela par b, la base AB et par c, la distance AC du centre d’appui C au point de contact A de la roue fixe (fig. 5), on a :
  - V, -h Y'x —
  - Mü2
  - R
  - o
  - Yy ~+- Y'y — ^9 — 0 Yz -h V's = o.
  - C Yy --- (J) --- C) Y'y = O
  - — cïÆ -i- (b — c) Y'x = o.
  - Et la sixième équation d’équilibre fournirait précisément la condition d’équilibre (I) trouvée auparavant. De là, on tire :
  - '•
  - (X) { w C M U2 V_ï-C,
  - v = yMg,
  - = b M R’
  - ______: M -
  - b R
  - v. -+- r's = o.
  - Ces formules nous montrent que les deux composantes normales Yy et Y'y sont proportionnelles au poids total du cycle monté et chacune d’elle est proportionnelle à la distance de l’autre au point C. Les composantes Y* et V* perpendi-
- p.61 - vue 65/272
- - 62 l’équilibre et la direction
  - culaires, dans le sol, à la base AB sont pro-. porlionnelles à la force centrifuge et de sens contraire à elle, c’est-à-dire dirigées du côté du centre de courbure.
  - Knfin, les deux composantes Ts et rC ne sont pas complètement déterminées, nous savons seulement que leur somme est nulle.
  - Ces composantes auraient seulement pour effet d’augmenter ou de diminuer le travail du cavalier. En réalité, leur somme n’est pas nulle, mais est une grandeur appréciable dirigée en sens inverse du mouvement, c’est-à-dire de B vers A. Cela tient au frottement deroulement dont nous n’avons pas tenu compte jusqu’ici parce qu’il n’influe pas sur l’équilibre et que nous n’aurons à faire entrer dans nos calculs que lorsqu’il s’agira d’évaluer le travail dépensé par le cycliste.
  - Équilibre sans les mains. — Lorsque le cavalier abandonne les mains, à bicycle, il ne cesse pas d’avoir une action directe sur la roue directrice car, cette roue étant, à la fois, directrice et motrice, il agit encore sur elle au moyen des pieds qui reposent sur les pédales. Dans ce cas, il suffira au cycliste pour se diriger, sans les mains, de faire, au moyen des pédales, avec ses pieds, ce qu’il aurait fait avec les mains au moyen du guidon,
- p.62 - vue 66/272
- - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS G3
  - A bicyclette, il n’en est plus de môme. Lorsque le cavalier abandonne le guidon, il n’a plus aucune action directe sur la roue directrice. Il faut alors remarquer immédiatement que, si le point de contact B de la roue directrice avec le sol était exactement sur l’axe æy du tube de direction (,fi.g. 2), comme nous l’avons supposé jusqu’ici, la direction serait folle et le cavalier n’aurait aucun moyen d’agir sur elle. En effet, l’ensemble de la roue directrice de sa fourche et du tube de direction ne serait soumis qu’à des forces appliquées sur l’axe de rotation même, forces qui, par suite, ne pourraient pas faire tourner le plan de la roue. Si, dans ces conditions, le plan delà roue directrice venait à tourner, le cavalier ne pourrait pas le ramener dans sa position primitive sans toucher au guidon. Si, au contraire, le point de contact B n’est pas exactement sur l’axe xy, la réaction r' du sol sur la roue au point B pourra faire tourner le plan de la roue directrice.
  - Cherchons d’abord quelle est la position qu’il faut donner au point de contact B de la roue directrice et quelle est la disposition que doit avoir l’axe de la direction pour que la roue directrice puisse obéir au cavalier dans de bonnes conditions.
- p.63 - vue 67/272
- - 64
  - l’équilîbhe et la direction
  - i° Il faudra que le point 13 soit placé de telle façon que la roue directrice soit maintenue d'elle-même dans le plan moyen lorsque la marche est rectiligne. Il est aisé de voir, tout de suite, que, pour que cette condition soit remplie, il suffit que le point B soit en arrière de l’axe xy (fig. 2) de la direction. Prenons, en effet, pour plan de la
  - f%. 15 figure le plan du sol
  - [fig. i5 et 16) et
  - soient AR, BR' les traces des plans des
  - deux roues sur le sol. (Les fig. i5 et 16 sont en quelque sorte des projections du cycle sur le sol.) Soit I, le point d’intersection de l’axe xy de la direction avec le sol.
  - Le point I est un point fixe du plan moyen et, lorsque la roue directrice tourne autour de xy, le point B sort du plan moyen et BR' tourne autour de I. Le cycle marchant dans le sens de la
  - flèche, la réaction a, à cause du frottement de roulement, une compo-
  - F%. 18
  - sanie Br', dans le plan du sol dirigée en sens inverse du mouvement. Supposons, alors, que, pour une cause quelconque, le plan de la roue directrice tourne d’un certain angle 0; le point B
- p.64 - vue 68/272
- - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS
  - 65
  - sortira du plan moyen et, à la seule inspection des fig. i5 et 16, on voit que si le point B (fig. 16) était en avant du point I, la réaction Br' aurait pour effet d’augmenter l’écart du point B et le plan de la roue directrice, au lieu de revenir vers le plan moyen, s’en écarterait de plus en plus. Au contraire (fig. i5), si le point B est en arrière du point I, la réaction Br' ramènera le point B dans le plan moyen et la roue directrice viendra d’elle-même se remettre en place.
  - 2° Le point B étant ainsi placé en arrière, la roue directrice restera toujours dans le plan moyen lorsque le plan moyen sera vertical, et la machine décrira bien une ligne droite quand le plan moyen sera vertical. Mais il faut encore, pour que la marche soit possible, que le cavalier puisse effectuer un virage. Or, lorsque la machine tourne, il faut que le plan moyen soit incliné d’un certain angle et que le guidon soit tourné d’un angle convenable. Pour faire un virage ordinaire (les mains sur les poignées), le cavalier provoque l’inclinaison du plan moyen du côté du virage et, en même temps, tourne le guidon. Dans le cas présent, puisqu’il ne tient plus le guidon dans les mains, il faudra, pour que le virage soit possible, que, lorsque le plan
  - Bourlp.t Traité des bicycles et bicyclettes 5
- p.65 - vue 69/272
- - 6G l’équilibre et la direction
  - moyen s’incline, la roue directrice tourne d'elle-même du côté de la chute.
  - Le point B de contact de la roue directrice avec le sol étant en arrière du point d’intersection I de l’axe xy avec le sol (fig. 17), il peut y avoir trois dispositions possibles pour l’axe xy, à savoir les dispositions (1) (2) et (3) (fig. 17).
  - Kig. 17
  - Pour que, lorsque le plan moyen s’incline, la roue directrice tourne du côté de la chute, il faut que son centre de gravité soit au-dessus de l’axe de rotation xy. Parmi les trois dispositions (1) (2) et (3), la disposition (3) est la seule dans laquelle le centre 0 de la roue directrice soit au-dessus de l’axe xy, c’est donc la disposition qu’il faut adopter.
  - 3° La disposition (3) adoptée, il faut remar-
- p.66 - vue 70/272
- - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS
  - 67
  - quer que le point B, ne coïncidant plus avec le point I, comme nous l’avions supposé jusqu’ici, il en résulte que la droite AB ne reste pas dans le plan moyen lorsqu’on tourne le guidon, ou plutôt que le plan moyen subit un légèr déplacement lorsqu’on tourne le guidon. Ainsi (fig. i5) lorsqu'on tourne la roue directrice à droite, le plan moyen qui avait pour trace la base AB est dévié sur la droite et a pour trace AI. Ce déplacement, comme on le voit, a pour eiïet de transporter le centre de gravité du côté où on tourne la roue et, par suite, il nuit au rétablissement de l’équilibre. Il faut donc que la disposition de l’axe soit telle que cette déviation soit faible. Par exemple, on peut assigner une limite supérieure que la déviation ne doit pas dépasser : soit e. Désignons {fig. 17) par w, l’angle d’inclinaison de l’axe xy ; par cl, la distance OIv du centre 0 de la roue directrice à cet axe. Supposons qu’on tourne la roue directrice d’un angle G {fig. i5), le point B aura une position telle que sa distance p = IB au point I sera donnée par la formule
  - r cosio cosO — d
  - P = . / ü
  - y 1 — cos w.cos 0
  - r étant le rayon de la roue directrice. Soit S, la
- p.67 - vue 71/272
- - 68 l'équilibre et la direction
  - déviation du point B, o = BII (ftg.• i5),on aura
  - ^ . rcosco. cosO — d
  - o = p sinO = -v1 sinO.
  - y 1 — cos wcos 0
  - Lorsque 0 croît à partir de zéro, la déviation o croît depuis zéro jusqu’à un maximum, puis décroît pour reprendre la valeur zéro quand 0 a la valeur telle que
  - cosOi = —— rcosco
  - (cet angle Oi existe car, pour que l’axe xy ait la position (3) (fig. 17), il faut précisément que l’on ait d rcosco).
  - Pour que la déviation reste plus petite que e il suffit que le maximum de 0 soit plus petit que e. Or, le maximum de 0 est certainement plus petit que le produit du maximum de p par la plus grande valeur de sin0 qui est sinG1 donc
  - j i\____. rcosco — d . .
  - maximum de 0 <T---------------sinOi.
  - sinco
  - Il suffit donc que l’on ait
  - (0
  - - d \/ r2c<
  - d
  - 2
  - - ^ E.
  - D’autre part, pour que la réaction au point B agisse efficacement sur la roue directrice, il faut
- p.68 - vue 72/272
- - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS
  - que la distance BP,[fig. 17) (3),soit la plus grande possible ; or
  - BP — rcosoj — d.
  - Donc il faut que cosw soit leplusgrand possible. On devra donc prendre la plus grande valeur de cosw vérifiant l’inégalité (1), c’est-à-dire qu’on devra prendre w tel que l’on ait Y égalité (rcosw — <^)2(r2cos2to — d-) = eV2cos2w sin2w cosw devra donc être la racine de l’équation
  - (2) [cosw — ^ [cosw + —
  - — ~ COS2w(l — COS2to) = O
  - qui est comprise entre ^ et 1.
  - En résumé, pour que les conditions les plus favorables au lâche-mains soient remplies, il faudra que la disposition de l'axe xy de la fourche soit la disposition (3) {fig. 17) et que, r désignant le rayon de la roue directrice et de la distance de son centre O à l'axe xy, l’angle w de cet axe xy avec le sol soit tel que cos w vérifie l'équation (2).
  - La distance d est déterminée par la condition que le centre de gravité de la direction totale (roue directrice, fourche et guidon) soit au-dessus de l’axe xy. On prendra pour d la plus pe-
- p.69 - vue 73/272
- - 70
  - l’équilibre et la direction
  - tite valeur possible; d et r étant connus, w sera donné par l’équation (2).
  - Ainsi, par exemple, prenons une machine pour laquelle
  - r = 35cm, ‘ d = 4cm,5 ; si on veut que l’écart du point B ne surpasse pas 2 centimètres, on devra résoudre l’équation (2) en faisant
  - r = 35, d = 4)3, s — 2
  - et on trouve environ
  - 10 = 76°.
  - En prenant
  - e — 3cm,5
  - on trouve environ
  - ai = 68°.
  - Or, l’angle en général adopté par les constructeurs est 67°,5 (probablement parce que c’est les 3/4 de l’angle droit). Il en résulte que, dans les bicyclettes que l’on construit actuellement, la déviation du point B ne dépasse pas 35 millimètres.
  - Cette déviation est, comme on le voit, faible et, par suite, ceci légitime la supposition que nous avions faite jusqu’ici : à savoir, que les points B et I coïncident, car l’erreur provenant de cette hypothèse est négligeable.
- p.70 - vue 74/272
- - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS
  - 71
  - La roue directrice étant disposée de la façon la plus convenable, comme nous venons de l’indiquer, il nous reste à étudier de quelle manière le cavalier pourra maintenir et rétablir l’équilibre. Il est d’abord évident que le cavalier ne pourra modifier l’état de sa machine que par des mouvements du torse. D’après les principes de la mécanique, si le cavalier gardait le torse immobile, son centre de gravité resterait fixe par rapport à la machine et, machine et cavalier formeraient un système de forme invariable. Or, dans un tel système, on sait que les forces intérieures ne peuvent en rien modifier le mouvement du système. Par conséquent, si le torse du cavalier reste fixe par rapport à la machine, quelle que soit la violence ou l’inégalité des coups de pédale rien ne sera changé à l’état du système. S’il arrive souvent qu’un cavalier fait osciller sa machine à chaque coup de pédale, c’est qu’à chaque coup il incline le torse, il porte le corps du côté où il veut forcer. Lorsqu’on abandonne les manettes, il est difficile de pédaler sans aucun mouvement du torse, mais un cavalier exercé pourra constater, par expérience, que lorsque le haut du corps ne bouge pas, les inégalités de pression sur les pédales ne modifient pas l’équilibre. Ainsi, dans de telles conditions il est
- p.71 - vue 75/272
- - 72
  - l’équilibre et la. direction
  - très possible de marcher à bicyclette sans tenir le guidon et en ne pédalant que d'un seul pied.
  - Nous sommes alors amenés à étudier ce qui se passe lorsque le cavalier incline le haut du corps. En soumettant ceci au calcul on arrive à une équation différentielle, pour déterminer le mouvement du plan moyen, qui est compliquée. Nous nous contenterons de donner les conclusions qu’on peut en tirer.
  - i° Le plan moyen étant vertical (dans le lâche mains) si le cavalier incline le haut du corps d’un certain côté le plan moyen s’inclinera immédiatement de Vautre. Le cavalier prend point d’appui sur les pédales et s’il incline le torse vers la droite il avance les reins vers la gauche et il a l’impression de déplacer la selle d’un mouvement de reins vers la gauche. Ainsi, pour faire un virage d’un certain côté, le cavalier pourra ainsi provoquer l’inclinaison du plan moyen. Cette inclinaison, d’après la disposition de la roue directrice, fera tourner le plan de la roue directrice et le virage s’effectuera. (Le cavalier pendant le virage ramène le corps incliné du côté du virage.)
  - 2° Si, pour une cause quelconque, l’équilibre est détruit et si le plan moyen est incliné d’un certain côté, vers la gauche par exemple, si le
- p.72 - vue 76/272
- - ÉQUILIBRE SANS LES AI AINS
  - 73
  - cavalier incline le lorse du côté de la chute, il l'augmente. S’il incline le torse du côté opposé à.la cliule il y a deux cas : s’il le fait brusquement il augmente la chute, s’il le fait lentement la chute, continue d’abord quelque temps, puis s’arrête et le plan moyen se relève. 11 y a là un fait important à noter, 1 eméme mouvement, suivant qu’il est fait lentement ou brusquement, produit des effets contraires. Ceci explique la difficulté de l’équilibre sans les mains. Ce genre d’équilibre exige, de la part du cavalier, à bicyclette, une grande habitude de la machine et une certaine habileté. De ce qui précède, il résulte que si la machine tombe vers la gauche, le cavalier devra incliner le corps, doucement, vers la droite. D’ailleurs, d’après la disposition même de la machine, la roue directrice aura tourné du côté de la chute et il se développera une force centrifuge qui aidera au rétablissement de l’équi-libr.e comme dans le cas de l’équilibre avec les mains. Une bonne machine se redresse d'elle-même et les mouvements du torse du cavalier ne font que régler le redressement.
  - Do ce qui précède il résulte que l'équilibre et la direction d’une bicyclette sans tenir le guidon est une chose toujours délicate, mais que sa possibilité et son aisance dépendent surtoutde la forme
- p.73 - vue 77/272
- - 74
  - l’équiiadre et la direction
  - de la machine et moins du cavalier. Il y a des machines avec lesquelles le lâche-mains est très aisé (celles dans lesquelles la disposition de la direction est celle que nous avons donnée), il y a, au contraire des machines avec lesquelles le lâche-mains est presque impossible.
  - Direction dans la marche en ligne droite. —D’après ce que nous avons vu, pour qu’un c)rcle décrive une ligne droite il faut que le plan de la roue directrice coïncide avec le plan moyen, c’est-à-dire qu’il faut que le cavalier tienne les poignées du guidon à égale distance du plan moyen : nous dirons que, dans ces conditions, le cavalier tient le guidon droit. De plus, comme il doit y avoir équilibre, le plan moyen doit être vertical.
  - Pratiquement, ces conditions théoriques sont presque impossibles à remplir d’une façon continue. Aussi, le cycliste, qui s’efforce à suivre une ligne droite, n’y arrive jamais d’une façon parfaite. Si la machine était mue d’une façon continue, par exemple par un moteur électrique qui transmettrait d’une manière uniforme un mouvement de rotation à la roue motrice, et, de plus, si elle roulait sur un sol parfaitement plan il n’y aurait aucune raison pour que le plan moyen s’incline, soit à gauche, soit à droite,
- p.74 - vue 78/272
- - MARCHE EN LIGNE DROITE
  - 75
  - et, par suilc, l’équilibre pourrait être maintenu en progressant suivant une ligne droite parfaite. Mais, en réalité, l’action du cavalier est discontinue; il presse alternativement sur une pédale et sur l’autre et il résulte de ces pressions alternatives, qui sont presque toujours accompagnées de mouvements du torse, que la machine oscille légèrement de gauche à droite. D’autre part, les inégalités du sol sont aussi des causes de perturbations de l’équilibre et, ainsi, pour ces deux raisons, le plan moyen ne reste pas vertical.
  - Sur une machine munie de bons bandages pneumatiques qui amortissent les chocs et en plaine ou en descente les efforts sur les pédales sont faibles et l’oscillation est presque nulle; mais aux montées où il faut forcer sur les pédales, le cavalier, pour peser de tout son poids sur les pédales, transporte son corps de gauche à droite et, surtout avec un cavalier peu exercé, les oscillations son t assez fortes. EJour que l’équilibre ne soit pas rompu, il faudra que le cycle décrive, au lieu d’une ligne droite, une courbe sinusoïdale serpentant autour de la ligne que le cavalier désire suivre, de telle façon, qu’à chaque instant, la courbure de la trajectoire soit telle que la force centrifuge équilibre le cycle.
  - Lorsque le cavalier presse sur la pédale droite,
- p.75 - vue 79/272
- - 76
  - l’équilibre et la direction
  - par exemple, la machine est inclinée vers la droite et, pour que l'équilibre ne soit pas rompu, i! faudraquela trajectoire du centre de gravité soit une courbe dont la concavité soit tournée vers la droite. Le cavalier pressera, ensuite, sur la pédale gauche et le cycle devra décrire une courbe dont la concavité sera tournée vers la gauche. Pendant le premier coup de pédale, la trajectoire sera un arc AB (fig. 18) tournant sa concavité vers la droite et, pendant le coup de pédale sui-
  - Fig. 18
  - 3
  - ^^
  - vanl, elle sera un second arc BC concave vers la gauche. La trajectoire est donc une courbe harmonique ABGD... qui serpente autour de la ligne Ax que le cavalier veut suivre. Le chemin AMBPC composé de deux oscillations successives correspond, dans notre hypothèse, à deux coups de pédale successifs, c’est-à-dire à une révolution complète de l’une des deux manivelles.
  - Les points A, B, C,... d’inflexion sont les points qui correspondent aux instants ou les pédales sont au point mort. Soit, alors, a la
- p.76 - vue 80/272
- - MARCHE EN LIGNE DROITE
  - 77
  - multiplication de la machine, c’est-à-dire le diamètre de la roue motrice du bicycle qui avance autant que le cycle donné pour un tour complet d’une manivelle, à chaque tour d’une manivelle, le cycle avance de txa (7c = 3,14169) et, par suite, la longueur de l’arc AMBPC qui sépare les deux nœuds A et C est égale à tta. La trajectoire du centre de gravité étant une courbe harmonique, si on prend pour axes de coordonnées Ax et une perpendiculaire Ay, l’équation de cette courbe sera, sensiblement, de la forme :
  - 0 étant la déviation maxima. — Soit v la vitesse du cycle. Au bout du temps i, 011 aura, sensiblement, x = vt et, .r0 étant l’abcisse du point C où la période recommence, on aura : .
  - Donc
  - x vt
  - a?0 Tza
  - et, par suite
  - Cette formule donne l’écart y du centre de
- p.77 - vue 81/272
- - 78
  - l’équilibre et la direction
  - gravité en fonction du temps, dans Vhypothèse où les oscillations sont dues à Valternance des Fig. 19 coups de pédale et où la déviation maocima o reste la même.
  - Il est clair que les traces des deux roues sur le sol suivent une loi analogue où il suffit de remplacer o par une valeur convenablement choisie. Cherchons la relation qui existe entre les traces des roues sur le sol et la trajectoire du centre de gravité. Soient C {fig. 19), la trajectoire du point de contact de la roue fixe avec le sol; T, la projection de la trajectoire du centre de gravité G sur le sol. Supposons le point de contact de la roue fixe en M sur sa trajectoire C; comme la courbe C n’est pas rectiligne, le plan moyen ne sera pas vertical, mais sera incliné du côté de la concavité de la courbe C d’un angle a tel que
  - (>) =
  - La projection du centre de gravité sur le sol
- p.78 - vue 82/272
- - MARCHE EN'LIGNE DROITE
  - 79
  - sera un point M', ditïérent de M, situé du côté de la concavité de la courbe, c’est-à-dire plus près de la droite Ox que le point M. Nous pouvons, approximativement, supposer M' sur la perpendiculaire MP abaissée de M sur Ox ; on aura, alors, le point M' en diminuant l'ordonnée de M de la quantité MM' qui est précisément la déviation du centre de gravité. Soit y = MP l’ordonnée de M, y' = MP l’ordonnée de M on a : ^
  - y — y' = MM' == l COS oc
  - l étant la hauteur MG du cycle, Or, a étant voisin' de 90° on a, sensiblement,
  - cos a = tc—
  - %
  - R étant le rayon de courbure de la trajectoire du centre de gravité, c’est-à-dire de la courbe F; et, l’équation de la courbe F éteint comme nous l’avons vu,
  - y' — 0 sin on a, approximativement,
  - IX
  - a
  - R =
  - a2
  - w
  - 4 lv2y'
  - «V
  - d’où
- p.79 - vue 83/272
- - 80 l’équilibre et la direction
  - ce qui donne :
  - v =______y.__
  - (’) J ! +
  - a-g
  - Relation qui permet de déduire la courbe Y de la courbe G. De ce qui précède nous pouvons tirer les conclusions suivantes :
  - Les écarts du centre de granité sont toujours plus faibles que ceux du point central d’appui ou du point de contact de la roue fixe.
  - . La formule (1) nous montre, en outre, que y' diminue quand v augmente, donc, avec une machine donnée, décrivant sur le sol une trace donnée, les écarts du centre de gravité diminuent quand la vitesse augmente.
  - C’est à cela que tient cette impression que l’on a d’être beaucoup plus d’aplomb en vitesse qu’en allant lentement puisque, quand on va vite, les déplacements du buste sont moins considérables. Cette impression, malheureusement, est souvent très trompeuse, car la cause même qui fuit que les déplacements du centre de gravité sont moins considérables fait aussi que la machine s’incline plus dans les oscillations successives et, par suite, a plus de tendance à chasser latéralement. Ainsi s’explique ce phénomène bien connu des pratiquants du .cycle que, lors-
- p.80 - vue 84/272
- - uarche; en ligne droite
  - 81
  - qu’on marche en vitesse, sur un sol glissant, c’est, le plus souvent, au moment où on s’y attend le moins, au moment où il semble que l’on est le plus d’aplomb, que la machine s’abat sous vous.
  - Dans les bicycles on a sensiblement l=a, car la hauteur de la machine est, à peu près, égale au diamètre de la roue motrice. Par suite,
  - 4 h'1__4y2
  - ga}~~ fa
  - Cette quantité augmente quand a diminue. Donc, dans les bicycles les écarts du centre de gravité sont plus faibles avec les machines basses, à égalité de vitesse et de trajectoire. Au contraire, dans les bicyclettes, Z est différent de a ; l reste ù peu près le même pour toutes les bicy-cletles et ce qui varie c’est la multiplication a.
  - Donc, dans les bicyclettes les écarts dit centre de gravité sont plus faibles avec les machines à faible multiplication. 11 en résulte que, pour aller lentement à bicyclette, on devra prendre une machine à faible multiplication qui oscillera moins. Ainsi, pour les pays montueux où on avance lentement, il y aura avantage à prendre des machines à faible multiplication au point -de vue de l’oscillation. Nous verrons qu’il y a •aussi avantage au point de vue du travail.
  - Bourlet — Traita des bicycles et bicyclettes
- p.81 - vue 85/272
- - l’équilibre et la direction
  - Enfin, comparons en Ire eux le bicycle et la bicyclette ; à vitesse égale avec le même développement (ce qui donne les mômes valeurs pour v et a), la quantité est plus grande dans le bicycle que dans la bicyclette, puisque l est plus grand. Donc à bicycle, le centre de gravité oscille moins qu’à bicyclette.
  - Direction dans un virage. — Lorsqu’un cycliste veut changer de direction en machine, c’est-à-dire passer d’une direction rectiligne à une autre direction recliligne, il opère ce qu’on appelle un virage. A cet effet, le cavalier devra faire décrire à la machine une courbe de raccord entre ces deux directions. Cette courbe de raccord ne peut pas être un cercle, comme il est aisé de s’en rendre compte. En effet, pour qu’un cycle décrive un cercle (l’équilibre étant toujours maintenu) il faut, comme nous le savons, que le plan moyen fasse un angle convenable avec le sol (supposé horizontal). Or, lorsque le cycle décrit une ligne droite, le plan moyen est vertical il ne peut donc pas passer, brusquement, de la position verticale à une position inclinée. Il y aura, nécessairement, un temps appréciable pendant lequel la machine s’inclinera et, par suite, pendant lequel le cycle suivra une courbe qui ne sera ni une ligne droite ni un cercle.
- p.82 - vue 86/272
- - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - 83
  - Expliquons d’abord, sommairement, ce qui devra se passer et comment il faudra procéder. Supposons, pour fixer les idées, qu’on veuille faire un virage à gauche : le plan moyen devra s’incliner vers la gauche et, par suite, le cavalier hevra, provoquer une chute vers la gauche. En général, le cavalier provoquera cette chute en inclinant brusquement le corps vers la droite pour le ramener aussitôt vers la gauche. Le plan moyen s'inclinera, alors, vers la gauche et le cycliste tournera, en môme temps, le guidon jusqu’à ce que le rayon de courbure de la courbe décrite ait atteint la grandeur du rayon du cercle qu’il faut décrire. A partir de ce moment, le cavalier maintiendra son guidon fixe et la machine décrira une circonférence. Lorsque la machine aura suffisamment tourné, le cycliste fera l’opération inverse : il ramènera, graduellement, le guidon droit en relevant le corps vers la droite pour reprendre la ligne droite. On voit donc, en résumé, que, dans le virage, le cycle décrira une courbe formée d’une courbe de raccordement de la ligne droite à la circonférence, puis d’une circonférence, puis d’un nouvel arc de raccordement pour reprendre la ligne droite. Il pourra même arriver qu’il n’y ait pas d’arc de cercle et, seulement, deux arcs de raccordement successifs.
- p.83 - vue 87/272
- - 84
  - l'équilibre et la direction
  - Ce qu’il intéresse de connaître, c’est la forme de cet arc de courbe de raccordement de lu ligne droite au cercle. Pour cela, nous supposerons que le cavalier tourne le guidon d'un mouvement uniforme avec une vitesse angulaire connue «et nous compterons le temps t à partir de l’instant où il commence le virage. Soit 0, l’angle dont a tourné le plan de la roue directrice au temps t on aura 0 =r ut.
  - Soient v, la vitesse du cycle; s, l’arc de courbe décrit par le point de contact A de la roue fixe sur le sol, on a évidemment, s = v.t ; donc
  - 0
  - tü
  - -.s.
  - V
  - Comme nous connaissons 0 en fonction de l’arc s nous aurons immédiatement les équations de la trace de la roue fixe sur le sol en appliquant des formules trouvées précédemment {Introduction, formules(3)).
  - (0
  - -«U \.ds
  - ,s(:
  - En prenant pour origine des coordonnées O,
- p.84 - vue 88/272
- - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - 85
  - dans le plan du sol, la position du point A au commencement du virage et pour axe Oj? la direction rectiligne DO suivie précédemment par le cycle (fig. 20). Comme l’angle 0 est petit nous
  - Fiu. 20
  - pourrons sensiblement remplacer tgO par 0 c’est-à-dire s'j par^.s. Les formules (1) prennent alors la forme plus simple
  - qui donnent les coordonnées x et y du point À en fonction de l’arc s ou ce qui revient au même en fonction du temps, car : s = vt.
- p.85 - vue 89/272
- - 86
  - l’équimbre et la direction
  - Posons _
  - k=\/T^
  - I O
  - et, ainsi, x et y sont exprimés en fonction d’une variable s telle qu’à chaque instant on a
  - R étant le rayon de courbure de la trace de la roue fixe (rayon que nous pouvons toujours confondre avec le rayon de la trajectoire du centre de gravité).
  - Les formules (3) contiennent dans les seconds membres des intégrales dont on ne peut pas effectuer l’intégration en termes finis. Mais ces intégrales sont des intégrales qu’on rencontre dans
- p.86 - vue 90/272
- - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - 87
  - la théorie de la diffraction de la lumière et qui sont connues sous le nom d'intégrales de Fres-nel. Fresnel a donné dans les Annales de Chimie et de Physique (2e série, t. II, p. 289), une table des valeurs de ces intégrales pour des valeurs croissanles de z. On peut, ainsi, en se servant de ces tables, construire la courbe de raccordement point par point. Cetle courbe, qui est la courbe qui jouit de la propriété qu’en chaque point le rayon de courbure est inversement proportionnel à l’arc, a été étudiée par M. Cornu, dans ses travaux d’optique, nous l’appellerons, dorénavant, courbe de Cornu. Cette courbe alîecle une forme de spirale, mais il est bien clair que nous n’avons qu’à nous occuper d’un arc 01 (fig. 20) de cette courbe à partir de 0. Les formules (4) nous montrent que, quand t croît à partir de zéro, z croît aussi à partir de zéro et par suite le rayon de courbure R, d'abord infiniment grand, décroît et il arrivera un moment où il atteindra telle valeur que l’on voudra. Soit Rlt le rayon du cercle que le cycliste veut arriver à décrire pour opérer le virage. R atteindra la valeur Rx au temps ti
- p.87 - vue 91/272
- - 88
  - l’équilibre et la. direction
  - La longueur du virage élant déterminée, sur le sol, au temps tl on devra avoir parcouru un certain chemin connu et comme =vt1 on aura bv
  - C’est la formule qui donne la vitesse angulaire 10 avec laquelle il faut tourner le guidon pour faire un virage donné de longueur st et de rayon Rj connus, w croît proportionnellement à la vitesse et à la longueur b de la machine. 11 est évident que le virage sera d’autant plus facile qu’il faudra tourner le guidon plus lentement, on en conclut que
  - i° Les virages sont, avec une machine donnée, plus difficiles en vitesse.
  - 2° A égalité de vitesse, les virages sont plus faciles avec les machines courtes.
  - Il ne faut pas oublier d’ajouter à tout cela que pour que le virage soit possible il faut encore que la vitesse v avec laquelle on fait le virage soit plus petite que la vitesse maxima avec laquelle on peut décrire une courbe de rayon Rr v ^ ^Kgf-
  - La cou rbe de raccordement — courbe de Corn u — que nous venons d’étudier, nous sera d’une grande utilité, plus tard, pour la détermination du plan de la piste d'un vélodrome.
- p.88 - vue 92/272
- - CHAPITRE II
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - Les données numériques dont on dispose pour évaluer le travail d’un bicycliste sonl encore très rares et. souvent, on est forcé d’avoir recours à des formules dont les coefficients numériques ont été mesurés dans des conditions analogues, mais dont l’application n'est pas toujours légitime, pour les cycles. Aussi ne ferons-nous des applications numériques que sous toutes réserves et en indiquant la source de nos renseignements. Nous donnerons des formules générales pour évaluer le travail et, d’autre part, les expériences qu’on pourra faire pour mesurer les coefficients numériques qui y figureront.
  - Le travail que produit un bicycliste sur un sol horizontal sert uniquement à vaincre les résistances qui s’opposent à sa marche. On peut classer ces résistances dans quatre catégories :
- p.89 - vue 93/272
- - 90
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - iô Les résistances passives de la machine : à savoir les frottements des billes dans les roulements, les frottements dans la chaîne de transmission, la raideur de cette chaîne et les chocs intérieurs.
  - 2° La résistance de roulement qui est occasionnée par la rudesse du chemin.
  - 3° La perte de force vive due aux vibrations de la machine.
  - 4° La résistance de Vair.
  - Sur un sol incliné, il faudrait ajouter à ceci le travail nécessaire à l’élévation du poids total du cycle et de son cavalier dans le cas de la montée et, au contraire, diminuer le travail dû aux résistances de ce travail dans le cas de la descente.
  - Nous étudierons, d’abord, séparément, les quatre résistances.
  - Résistances passives de la machine. — La résistance provenant des frottements des billes dans les roulements est excessivement faible. Macquorn Rankine la suppose égale à o,ooi du poids total du cycle et du cavalier, mais il est très probable que dans les machines actuellement construites celte résistance est encore plus faible et négligeable vis-à-vis des autres résistances.
  - La résistance provenant de la transmission,
- p.90 - vue 94/272
- - RÉSISTANCES PASSIVES
  - 91
  - c’cst-à-dire cle la chaîne dans les bicyclettes, des engrenages dans les bicycles multipliés, est beaucoup plus considérable. La raideur de la chaîne est une constante qui dépend de son état de propreté. Chaque maillon, en quittant la roue dentée, frotte sur la dent et ce frottement est proportionnel à la tension de la chaîne qui est elle-même proportionnelle à la pression du pied sur la pédale. Ce frottement peut donc dépendre à la fois du poids total P et de la vitesse. Enfin, les maillons en engrenant donnent des chocs sur les dents. Dans une chaîne, bien construite, ces chocs sont faibles et, si on admet que chaque choc produit la même perte de force vive, comme le nombre des chocs est proportionnel à la vitesse, la perte de force vive occasionnée et, par suite, le travail necessaire pour ces chocs pendant une seconde est proportionnel à la vitesse et de la forme Kr. Ceci équivaut donc à une résistance égale à K. Comme première approximation on pourrait supposer K indépendant de la vitesse et proportionnel au poids et, alors, la résistance totale passive de la machine serait de la forme AP, le désignant un coefficient constant et P le poids total. L’expérience seule pourra permettre de voir si k est indépendant de la vitesse ou si k en dépend. Nous mon-
- p.91 - vue 95/272
- - 92
  - LB TRAVAIL ET SA MESURE
  - trerons plus loin comment on pourra mesurer cette résistance de la chaîne.
  - Résistance au roulement. — D’après les expériences de Morin, la résistance au roulement est composée de deux termes, l’un constant, l’autre proportionnel à la vitesse.
  - Celte seconde partie est négligeable sur un sol uni, élastique, avec un bandage pneumatique ; mais sur un sol dur, ayant beaucoup d’aspérités, particulièrement sur les routes pavées, elle n’est plus négligeable, ce qui s’explique par les chocs réitérés que les roues éprouvent de la part des aspérités du sol, chocs qui occasionnent des pertes de force vive et qui sont plus forts lorsque la vitesse augmente.
  - Le terme constant est proportionnel au poids total P et, inversement, proportionnel au rayon des roues. Ainsi, si p est le poids supporté par une roue de rayon r, le frottement de roulement sera k~, h étant un coefficient numérique qui dépend de la nature du sol et du bandage de la roue. Soient alors b, la longueur du cycle, c'est-à-dire la distance des points d’appui des deux roues; c,la distance du point central d’appui (pied de la perpendiculaire abaissée du centre de gravité sur la base) au point de contact de la roue d’arrière; P, le poids total du cycle et de son cavalier.
- p.92 - vue 96/272
- - RESISTANCE AU ROULEMENT
  - 93
  - Le poids supporté par la roue d’arrière sera
  - santés r'y et ry des réactions (voir Calcul des réaclio?is). La résistance au roulement (en négligeant le second terme) serait alors donnée par la formule
  - r étant le rayon de la roue d’arrière et r', celui
  - J 9
  - de la roue directrice.
  - Dans un article paru dans le journal La Nature ( i8<)3) M. Jacquot suppose /; = o,ooü, ce qui donnerait les nombres suivants en supposant le poids total P = 8okg.
  - Pour un grand bicycle où :
  - Pour un bicycle multiplié où :
- p.93 - vue 97/272
- - 94
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - et pour une bicyclette où :
  - 0,006 „ , „
  - p — - - X 80 = ok® 685.
  - 1 0,070 5
  - Ainsi, pour une bicyclette, la résistance au
  - roulement serait donnée par la formule
  - p = o,oo85 X P
  - P étant le poids total de la machine et du cavalier. Les quelques expériences que nous avons faites personnellement nous ont prouvé que cette formule serait très acceptable pour le roulement sur route avec pneumatique, mais trop forte pour le roulement sur piste, c’est-à-dire sur un sol parfaitement uni (bitume ou pavage en bois). Il est probable que la formule p = 0,004. P
  - serait bien suffisante sur piste (avec pneumatiques).
  - Dans des expériences, faites sur route, dont nous parlerons plus loin, M. Guye (Journal La Nature, 1893) avait trouvé k = o, 02. Mais ces expériences ont été faites sur des routes légèrement humides, avec une machine de 24 kilogrammes munie de caoutchoucs^fejns. Elles ne sont donc guère comparables à nos expériences avec des machines munies de pneumatiques,
- p.94 - vue 98/272
- - RESISTANCE AU ROULEMENT
  - 95
  - sur des routes sèches. D’ailleurs, comme nous Je montrerons, ces expériences n’étant pas comparables entre elles, on peut difficilement en tirer une conclusion de quelque valeur.
  - De nos expériences personnelles nous avons dégagé les conclusions suivantes :
  - Le tirage avec des bandages pneumatiques, est faible, indépendant de la vitesse sur une roule sèche et il varie de
  - o,oo5 P à 0,01 P
  - suivant la qualité do la roule.
  - Avec des caou tchoucs pleins ou creux, le tirage dépend probablement de la vilessc. En tous cas il existe, dans la formule qui donne la résistance totale, un terme proportionnel à la vitesse de la forme By..Ce terme provient soit du tirage, soit de la force vive perdue dans les vibrations, et il n’ est pas possible d'établir une démarcation nette entre ces deux causes de résistance. Quanta la partie constante de la résistance au roulement elle est, pour une même route, sensiblement égale au frottement de roulement d’un pneumatique.
  - Ceci met bien en évidence que la diminution de la résistance au roulement, obtenue par l’emploi des bandages pneumatiques, provient uniquement de ce que ces bandages servent comme
- p.95 - vue 99/272
- - 96
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - amortisseurs des chocs et des vibrations. Cela fait disparaître dans la résistance totale le terme proportionnel à la vitesse.
  - Force vive perdue dans les vibrations. — Les chocs répétés, provenant des aspérités du sol sur les roues, entretiennent dans la machine un état vibratoire qui dépense une partie du travail moteur. La plupart des auteurs ont négligé de parler de cette perle de force vive et ont, à notre avis, commis une grosse erreur en faisant cet oubli pour évaluer le travail de machines non munies de bandages pneumatiques.
  - Nous n’avons, malheureusement,quedetrès faibles données pour évaluer cette perte de force vive.
  - Dans les expériences que nous avons faites, nous avons trouvé que la résistance totale d’une machine munie de bandages pneumatiques n’avait, sensiblement, pas de terme proportionnel à la vitesse, d’où il résulterait que (dans les limites de vitesse de nos expériences, c’est-à-dire au-dessous de 24 kilomètres à l’heure) la force vive perdue dans les vibrations est négligeable sur une bonne roule ou sur piste.
  - Au contraire, avec une machine munie de caoutchoucs pleins, môme sur une bonne roule, celte perte de force vive n’est pas négligeable.
- p.96 - vue 100/272
- - EFFET DES VIBRATIONS
  - 97
  - Nos résultats sont, d’ailleurs, tout à fait en concordance, à ce point de vue, avec les expériences suivantes qui, sans donner les valeurs absolues de ces pertes de force vive en donnent les variations.
  - Dans un article du journal anglais The Cycle, du commencement de l’année 1894, se trouve la description des expériences suivantes :
  - L’expérimentateur monta, successivement, sur une même route, dans les mêmes conditions, avec la même vitesse (21 kilomètres à l’heure) deux machines de poids identiques (environ i5 kilogrammes)' l’une à bandages pneumatiques, l’autre à bandages de caoutchouc plein.
  - Dans ces expériences, il modifia en outre la selle et prit tantôt une selle à ressorts qui amortit les chocs et une selle de course sans ressorts; il modifia aussi sa manière de monter la machine qu’il monta tantôt en bon cavalier, tantôt en se laissant aller de tout son poids sur la selle. Dans ces conditions, le frottement des pièces de la machine, la résistance au roulement et la résistance de l’air restaient, très sensiblement, les mômes, il n’y avait donc qu’une chose qui variait ; c’est la vibration de la machine.
  - Sur la machine à caoutchoucs pleins, avec selle de course, et en se laissant aller de tout son
  - Bouri.f.t — Traité des bicycles et bicyclettes 7
- p.97 - vue 101/272
- - 98
  - LE travail et sa mesure
  - poids sur la selle, la vibration était évidemment la plus forte. C’est aussi le cas où la dépense de travail fut la plus grande.
  - L’expérimentateur recommença chaque expérience trois fois; il mesura, chaque fois, la dépense de travail et prit la moyenne des trois expériences.
  - Il y eut deux séries d’expériences aux environs de Londres, la première sur la route de Regent-Park à Barnet en passant par Finchley (route mauvaise), la seconde allant de Regent-Park à DU ton h travers Richmond-Parle (bonne roule). Dans les deux cas la distance parcourue fut environ de 49 kilomètres. Voici le tableau obtenu en comparant les dépenses de travail à la dépense la plus forte prise pour base (100) :
  - Dépenses de travail Barnet DiUon
  - [ •. * ^ \ plein Selle j / pneumat. de course) i plein /en montant légèrement} , ( b (pneumat. f ( plein c n \ en se laissant aller } . Selle j (pneumat. à ressorts] \ plein (en montant légèrementjpneumat> IOO «4,3 99,« «3,2 99, S «3.i 9«>9 83,i «8,7 "8,i ' 88,3 rr ] J-t'* 88,7 ' 77>« : 86 77>4
- p.98 - vue 102/272
- - EFFET DES VIBRATIONS
  - 99
  - Les résultats de ce tableau sont très intéressants pour le sujet qui nous occupe et on peut en tirer d'importantes conclusions.
  - En comparant entre eux les nombres d’une môme colonne on voit que le tableau donne les variations de la force vive perdue par les vibrations car, comme toutes les autres conditions restent les mêmes, la variation du travail total est égale à la variation du travail dépensé par les vibrations. Or, les résultats, pour la route de Barnet, montrent que le travail total a varié de 83,i à 100 la variation de la force vive de vibration a donc été de 16,9, dont le rapport à 100 est environ un sixième. Donc, on peut assurer que, dans l’expérience où le travail a été 100, il y a, au moins, le sixième du travail qui était employé à entretenir la vibration. D’ailleurs, dans le cas où le travail était 83,1 la vibration n’était certainement pas nulle car, même une machine munie d'un pneumatique, vibre, certainement, sur une mauvaise route à la vitesse de 21 kilomètres à l’heure. Donc, le travail dépensé dans la vibration pour l’expérience 100, était égal au sixième du travail total plus le travail dans l’expérience 83,1, donc, certainement, plus grand que ce sixième. Pour les deux expériences Bar-net et Ditton, le sol était, dans les deux cas, un
- p.99 - vue 103/272
- - 100
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - sol de macadam de nature analogue, et, comme, en outre, la distance (43 kilomètres) et la vitesse (21 kilomètres à l’heure) sont les mêmes, le frottement de roulement devait être à peu près le même. On peut donc, encore, très approximativement, rapprocher ces deux séries d’expériences. La variation du travail est alors de 77,4 à 100 et on voit que la variation est environ le quart du travail 100.
  - Donc, il y a des circonstances où le travail absorbé par la vibration est le quart du travail total. Ceci nous montre l’importance do celle résistance.
  - L’étude du tableau précédent montre, en outre, que, dans tous les cas, le travail est moindre avec le bandage pneumatique et, par conséquent, qu’il agit comme anti-vibra-teur. De plus, si on regarde, d’une part, les nombres relatifs au plein et, d’autre part, les nombres relatifs au pneumatique, on verra que les écarts sont beaucoup plus grands de la série Barnet à la série Ditton dans le premier cas que dans le second. Donc, le bandage pneumatique égalise les bonnes et les mauvaises routes.
  - On voit, par ce qui précède, l’importance qu’il y a à amortir les vibrations, étant donné le rôle considérable qu’elles jouent dans la dépense de
- p.100 - vue 104/272
- - EFFET DES VIBRATIONS i 01
  - travail. Les efforts des constructeurs devront donc porter surtout sur ce point. Il faudra donc que la uiachine soit rigide, ce qu’on obtiendra en augmentant la résistance à la flexion des tubes qui forment le cadre, ce qui nous conduit à préférer les gros tubes, à poids égal, aux tubes étroits. Les diverses pièces devront être parfaitement ajustées et les cènes de roulement et surtout la douille de direction ne devront pas avoir de jeu, car le plus léger jeu peut, par des transmissions de percussions, augmenter sensiblement la vibration.
  - Enfin, il est clair qu’on devra préférer le bandage pneumatique Au premier abord, ce bandage paraît présenter un désavantage sur le plein et le creux, parce qu’il doit, probablement, donner un frottement de roulement un peu plus considérable, mais à cause de sa déformabilité le bandage pneumatique se moule sur les aspérités du sol et il en résulte que, sur mauvaise route, il amortit les chocs des aspérités et diminue la portion du frottement de roulement qui varie avec la vitesse. Pour que les vibrations soient bien amorties par le bandage il faut qu’il ne soit pas trop élastique, c’est-à-dire qu’il faut que la roue ne rebondisse pas trop. 11 semble, alors, qu’il y a là une in-
- p.101 - vue 105/272
- - 102
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - compatibilité car, d’une part, pour que le frottement de roulement ne soit pas trop considérable, il faut que le bandage ne s’écrasé pas trop et, d’autre part, pour qu’il amortisse bien les vibrations, il faut qu’il ne soit pas trop gonflé. Au fond, cette difficulté n’est qu’apparente. Pour la lever, il suffit en effet qu’on gonfle les bandages suffisamment pour s’écraser légèrement sous la pression qu’ils supportent. 11 en résulte que plus la pression sera forte, plus on devra gonfler le bandage. Dans un cycle, il y a avantage à charger la roue motrice, c’est-à-dire à faire porter la plus grande partie du poids sur la roue motrice, pour qu’elle roule sans glisser, c’est-à-dire pour qu’elle ne patine pas. Dans ces conditions, la roue motrice devra avoir un bandage très gonflé et, au contraire, la roue directrice devra avoir un bandage peu gonflé. Il y aurait intérêt à faire des expériences pour mesurer le travail lorsque les pneumatiques sont diversement gonflés, pour connaître quel est l’état exact de gonflement pour lequel le travail est minimum.
  - L’importance de la vibration donne la raison pour laquelle les coureurs se débarrassent de tous les accessoires : frein, garde-crotte, etc. On dit généralement que celle suppression a
- p.102 - vue 106/272
- - RÉSISTANCE DE l’AIR CALME
  - 103
  - pour but d’alléger la machine. Ce serait une raison ridicule et la vraie raison est que tous ces accessoires, plus ou moins bien ajustés, entrent en vibration dans une course rapide et augmentent sensiblement la vibration totale.
  - Pour terminer, remarquons que, lorsqu’une roue est peu chargée, elle tend toujours à rebondir sur le sol, ce qui augmente la vibration. 11 ne faut donc pas exagérer la charge de la roue motrice aux dépens de l’autre. Sur bonne route, à hicyclette, la roue directrice saule peu, mais sur mauvaise route elle sautera beaucoup si elle est peu chargée. Il en résulte que, sur une mauvaise route, le cycliste fera bien, pour diminuer les vibrations, de pencher le corps en avant pour augmenter la charge de la roue directrice.
  - Résistance de l’air calme. — La résistance de l’air varie essentiellement avec la forme du corps qui se meut dans l’air. Cette résistance se compose, en général, de deux termes, l’un constant et l’autre, proportionnel au carré de la vitesse ; elle est, d’ailleurs, proportionnelle à l’aire de la surface qui rencontre l’air.
  - Des expériences de MM. Piobert, Morin et Di-dion sur la résistance éprouvée par des plans minces se déplaçant perpendiculairement à leur
- p.103 - vue 107/272
- - 104
  - LE TRAVAIL ET SA AIESURE
  - plan il résulte que la résistance peut être représentée par la formule
  - R = S [o,o3G -+- o,o84^2J
  - où v désigne la vitesse en mètres par seconde ; S, la surface du plan en mètres carrés et R, la résistance en kilogrammes.
  - Si le mouvement n’était pas uniforme, il faudrait ajouter ou retrancher dans la parenthèse le terme 0,16\j, j désignant l’accélération, suivant que le mouvement est accéléré ou retardé.
  - D’après Poncelet, on admet que, dans le cas de vitesses ne dépassant pas 9 mètres à la seconde, on peut considérer la résistance comme proportionnelle au carré de la vitesse et prendre la formule
  - R == o.o84-S.u2.
  - Mais ces nombres sont applicables à des plans minces et un cycliste n’est guère comparable à un plan.
  - Lorsqu’on remplace le plan par une surface convexe de môme section droite avançant la convexité en avant, la résistance diminue. Ainsi, d’après Didion : pour un projectile sphérique on a :
  - R = 0,027s.u2
  - résistance qui est plus de trois fois moins grande,
- p.104 - vue 108/272
- - RÉSISTANCE DE l/AlR CALME
  - 105
  - et pour un plan incliné faisant un angle de a degrés avec la direction du mouvement on a :
  - R = —. S [o,o36 -t- o,o84u2l
  - 90 L J
  - c’est-à-dire que la résistance est diminuée dans le rapport de a à 90 [S étant la surface du plan].
  - Au contraire, si la surface avance la concavité en avant, la résistance est plus grande. Ainsi, toujours d’après Didion, lorsqu’un parachute tombe la résistance est égale à la résistance d’un plan de môme projection horizontale multipliée par 1,936; si, au contraire, le parachute tombe renversé la résistance est multipliée par 0,768.
  - On voit, d’après ces exemples, que la résistance de l’air est éminemment variable et qu'elle dépend, de la position du coureur, de sa taille, de la forme de ses vêtements. Si les vêtements du coureur sont flottants, les creux formeront des surfaces concaves augmentant la résistance. Si, au contraire, les vêtements sont bien ajustés, si le cycliste penche la tête en avant comme une proue destinée à fendre l’air, si son torse est bien immobile sur la machine, s’il suit bien la ligne droite, le coefficient de la résistance sera notablement diminué et il en résultera de grandes différences dans le travail dépensé.
  - Des nombres fournis par les expériences de
- p.105 - vue 109/272
- - 106
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - M. Guye dont nous avons déjà parlé il résulterait que la résistance de l’air était donnée, dans scs expériences, par la formule
  - R = o,029.u2.
  - Or, si on suppose le vélocipédiste de im,65 de taille ayant une largeur moyenne de om,4o, sa surface est de om",66. La position inclinée sur la machine réduira cette surface et nous pourrons la supposer, approximativement, égale à om2,5. On déduirait alors de la formule précédente la formule
  - R = o,o58.S.v2.
  - R résulterait donc de ces expériences que le coefficient de résistance de l’air pour un bicycliste serait environ 0,06. C’est, d’ailleurs, un nombre assez probable.
  - Les expériences que nous avons faites nous-méme nous ont amené à une conclusion analogue et nous avons trouvé que la résistance de l’air était en moyenne représentée par la formule.
  - R = o,o3.v2
  - ce qui donne :
  - R = 0,06.S.u2.
  - Ceci n’est qu’une formule moyenne, car la forme du cavalier et sa manière de se tenir en machine peuvent influer sur le coefficient. Ainsi,
- p.106 - vue 110/272
- - RÉSISTANCE DE l’àIR CALME 107
  - TABLEAU DE LA RÉSISTANCE MOYENNE DE l’AIR
  - Vitesse en kilomètres à l’heure Résistance en kilogrammes
  - 8 0,ï4
  - 9 0,l8
  - 10 0,22
  - I 1 0,27
  - 12 0,32
  - i3 0,38
  - i4 0.44
  - iô o,51
  - iG o,58
  - 17 o,G5
  - 18 0,73
  - i9 0,81
  - 20 0,90
  - 21 0,99
  - 22 1,08
  - 23 M9
  - 24 1,29
  - 2!) x,4o
  - 26 1,52
  - 27 i,64
  - 28 1,76
  - 29 1.89
  - 3o 2,02
  - 3i 2, iG
  - 32 2,3o
  - 33 2,45
  - 34 2,60
  - 35 2,79
- p.107 - vue 111/272
- - 108
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - pour deux cavaliers présentant à peu près la même surface à l’air, nous avons trouvé pour l’un, qui était de proportions moyennes,
  - R = o,o3iu2
  - tandis que le second plus élancé, a donné R = o,028.u2
  - Pour qu’on puisse se rendre compte des variations et de l’importance de la résistance de l’air, nous avons fait le calcul avec la formule moyenne
  - R o,o3.u2
  - pour les vitesses de 8 à 35 kilomètres à l’heure (voir le tableau de la page précédente).
  - Dans le record du mille anglais établi par Johnston, la vitesse du coureur était de 13m,8 à la seconde. Si Johnston avait couru sans coupe-vent, la résistance de l’air aurait été de 5kg,7. Pression vraisemblablement trop forte, car il est probable que la surface S que Johnston présentait à l’air était plus faible que o,n",5.
  - Résistance de l’air en mouvement. — Les expériences qui ontété faites sur la résistance de l’air calme sont déjà, comme nous l'avons vu, peu nombreuses. Dans le cas de l’air en mouvement ces expériences sont encore plus rares et on ne peut dire que des choses approximatives.
- p.108 - vue 112/272
- - RÉSISTANCE DU VENT
  - 100
  - Supposons d’abord le cas simple d’un cycliste marchant exactement contre le vent. Soient v, la vitesse du cycliste et v', la vitesse du vent. Le cycliste a alors, relativement à l’air, une vitesse relative égale à ® + v' et on peut, comme première approximation, dire que tout se passe comme si le cycliste se mouvait dans un air calme à la vitesse v H- v' et la résistance de l’air serait, alors, donnée par la formule
  - R = K (v + v'f
  - Iv étant le coefficient de résistance de l’air calme.
  - En prenant notre nombre on aurait
  - R = o,o3 (v H- v')’1.
  - Ainsi, un bicycliste marchant à la vitesse de 18 kilomètres à l’heure contre un vent de 5 mètres à la seconde éprouverait la même résistance de la part de l'air que s’il marchait à une vitesse double, c’est-à-dire de 3G kilomètres à l’heure. La résistance serait donc 4 fois plus grande. Une simple brise qui correspond à un vent ayant une vitesse de 2 mètres à la seconde augmente la vitesse relative du cavalier par rapport à l’air de 8 kilomètres à l’heure et, par conséquent, tout se passe comme si le cycliste marchait dans un air calme avec une vitesse de 8 kilomètres à l’heure en plus. Ainsi, à la vitesse
- p.109 - vue 113/272
- - 110
  - LT TRAVAIL ET SA MESURE
  - de 20 kilomètres à l’heure, la résistance serait (d’après le tableau précédent) de 1^,76 au lieu de oks,Qo qu’elle serait en air calme. La résistance, comme on le voit, est doublée. Ainsi, une simple brise double le travail dû à la résistance de l’air lorsqu’on marche à 20 kilomètres à l’heure. On voit déjà, par ces exemples, combien le vent augmente la résistance de l'air. Mais, il y a plus, dans les exemples précédents nous avons supposé que le coefficient K était égal au coefficient de résistance de l’air calme. Or, les quelques expériences faites sur la résistance du vent ont montré que le coefficient de l’air calme n’était pas suffisant et que dans la formule
  - R = K (h- v'f
  - il fallait prendre pour K un nombre supérieur au coefficient de l’air calme. Les exemples précédents seraient donc encore au-dessous de la réalité.
  - Supposons, en second lieu, que le cycliste marche dans le sens exact du vent. Dans ce- cas le vent le pousse et la résistance est diminuée. Il y a, alors, deux cas à distinguer :
  - Si la vitesse v du cycliste est plus grande que la vitesse v' du vent, le cycliste éprouvera encore une résistance, mais sa vitesse relative par rap-
- p.110 - vue 114/272
- - RÉSISTANCE DU VENT
  - 111
  - port à l’air ne sera plus que v — v1 et la résistance sera donnée par la formule
  - r = k (v — vy
  - En particulier si v — v1 c’est-à-dire si le cycliste marche à la vitesse du vent, la résistance de l’air sera nulle et le travail nécessaire à la propulsion sera exactement égal au travail nécessaire à vaincre les résistances de frottement et de vibration. Ici encore, comme dans le cas précédent, il faudra prendre pour K un nombre égal ou supérieur au coefficient de l’air calme.
  - Si la vitesse v du cycliste aï plus petite que la vitesse v' du vent, il n’éprouvera plus aucune résistance de la part de l’air et, au contraire, sera poussé par le vent. Dans ce cas, le vent a, par rapport au cycliste, une vitesse relative égale à v' — y. Il ne faudrait pas en conclure, hâtivement, que la poussée du vent est égale à la résistance qu’éprouverait le cycliste dans un air calme à la vitesse v' — v. En effet, dans le cas où le cycliste éprouve une résistance, la surface frappée par l’air est la face d’avant qui présente de nombreuses concavités ; au contraire, lorsque le cycliste est poussé par le vent l’air frappe la face d’arrière qui, à cause de la courbure du dos du cycliste, présente une convexité au vent.
- p.111 - vue 115/272
- - 112
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - Dans ce second cas le coefficient de résistance est donc beaucoup plus faible que dans le premier. La poussée du vent sera donc donnée par une formule de la forme
  - R = lv' (v1 — vf
  - où/le coefficient K' sera certainement plus petit que le coefficient K précédent. On pourra, par exemple, sensiblement, prendre comme pour les sphères :
  - K' = 0,027s (Didion)
  - et, comme S = om2,5 à peu près, on aurait, environ,
  - K/ = 0,013
  - La poussée du vent serait donc deux fois plus petite que la résistance de l’air calme à la vitesse v1 — v.
  - Examinons, maintenant, le cas d’un vent souf-llant latéralement.
  - Supposons, d’abord, que le vent souffle latéralement mais en sens contraire de la marche du cycliste. Soit a l’angle de la direction du vent et de la direction du cycliste. La vitesse v' du vent pourra se décomposer en deux, l’une égale à v' cos a directement opposée au cycliste, l’autre v' sin a normale à la direction du cavalier. La vi-
- p.112 - vue 116/272
- - RESISTANCE DU VENT
  - 113
  - tesse relative du cavalier par rapport à l’air est, alors, v -(- v' cos a et la résistance serait
  - K (y H- v' cos a)2.
  - Mais ce n’est pas tout. Le vent en frappant, latéralement, le cavalier, augmente la pression latérale de l’air sur celui-ci et il en résulte que le frottement du cavalier dans l’air ou, plus exactement, que le frottement de la couche d’air qu’il entraîne sur l’air ambiant est augmentée. Ce frottement est proportionnel à la pression latérale, qui est elle-même proportionnelle au carré de la composante normale v' sin a du vent. De telle façon qu’il faut ajouter à la résistance précédente un terme proportionnel à i/2sin2a. La résistance totale de l’air pourra donc être représentée, vraisemblablement, par une formule de la forme
  - R = K (v -(- v' cos a)2 h y'2 sin1
  - a
  - K et h étant deux coefficients numériques et K étant, probablement, voisin du coefficient de résistance de l’air calme. Dans le cas d’un vent soufflant exactement de flanc, a = <jo° et on aurait
  - R = Ku2 h- h.v'*
  - Ainsi, même en coupant la direction du vent
  - Bouhlkt — Traité des bicycles et bicyclettes 8
- p.113 - vue 117/272
- - i 14
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - à angle droit, la résistance est plus grande que dans l’air calme.
  - Supposons, maintenant, que le vent souffle latéralement, mais dans le sens de la marche. Soit encore a, l’angle de la direction du vent et de la direction du cavalier. La vitesse relative du cycliste par rapporta l’air est alors v — v cos a, en supposant v v' cos a, et la résistance est :
  - R = K (u — v' cos a)2 -t- h.v12 sin2 a
  - Cette résistance n’est pas toujours plus petite que la résistance Ku2 en air calme : elle ne l’est que si a est au-dessous d’une certaine limite facile à déterminer. On voit donc que la résistance de l’air n’est diminuée par l’effet du vent que si le vent souffle par derrière et sous un angle suffisamment petit.
  - Ceci explique ce fait bien connu des cyclistes que lorsqu’il y a du vent on croit toujours, ou presque toujours, l’avoir en face. Car, comme nous venons de le voir, même un vent soufflant par derrière, mais de flanc, peut encore gêner, c’est-à-dire augmenter la résistance de l’air.
  - Enfin, dans le cas d’un vent assez fort et assez incliné pour que v' cos a soit plus grand que v et soufflant de dos, on a :
  - R = — K (v' cos a — v)2 -h hv12 sin2 a.
- p.114 - vue 118/272
- - TRAVAIL SÜR UN SOL HORIZONTAL 115
  - Lorsque cette formule donnera pour R une valeur négative, c’est qu’il y aurapousiée au lieu de résistance.
  - Nous n’insisterons pas sur le cas d’un vent soufflant latéralement, car il figure dans les formules un terme dont le coefficient h ne nous est pas connu, môme approximativement.
  - Travail sur un sol horizontal. — 11 résulte de tout ce qui précède que la résistance à vaincre par un cycliste sur un sol horizontal, en air calme, est donnée par une formule de la forme
  - (1) lî = A + B ü + Cu2
  - v étant la vitesse du cycle. Les coefficients A et B dépendent du poids total P du cycle et de son cavalier et sont, approximativement, proportionnels à ce poids. Quant au terme Gu2, il provient à peu près uniquement de la résistance de l’air et, alors, le coefficient G est proportionnel à la surface S que le cycliste offre à l’air. On peut alors écrire :
  - (2) R = P («x -h pu) -1- KSu2.
  - Le travail nécessaire pour parcourir une distance x à la vitesse constante v est alors :
  - E = (A + Bo + Gu2) x.
  - On voit immédiatement que ce travail croît avec
- p.115 - vue 119/272
- - 116
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - la vitesse et, par suite, que le travail nécessaire pour parcourir une distance donnée x croît avec la vitesse avec laquelle on l’a parcourue. Si la vitesse vau lieu d’ôlre constante est variable, le travail dépensé dans le temps t est :
  - E = f (A -f- Bu •+ Cr2) vdt
  - J O
  - et l’espace parcouru :
  - Le problème qui se pose alors immédiatement, est celui qui consiste à chercher la loi de variation de la vitesse avec laquelle on doit parcourir un espace donné x, de niveau, pour que le travail dépensé dans un temps donné t soit minimum. 11 faut donc chercher pour quelle fonction v du temps le travail 5 est minimum, x et t restant fixes. Le calcul des variations appliqué à l'intégrale qui donne £ montre
  - que v doit être constante et égale à On en tire celte conclusion importante que : c'est en marchant d’un mouvement uniforme qu'on fera la plus petite dépense de travail pour parcourir un chemin de niveau donné dans un temps donné.
  - C’est ce qui explique pourquoi les coureurs
- p.116 - vue 120/272
- - TRAVAIL SUR UN SOL HORIZONTAL ll7
  - cherchent toujours à avoir un train très régulier, car c’est dans ce cas qu’ils ont la plus faible dépense de travail. Le rôle des entraîneurs dans une course est, précisément, de régler la vitesse du coureur et de lui éviter la fatigue cérébrale nécessaire pour maintenir la régularité du train.
  - Pour avoir les grandeurs numériques des coefficients A, B et G (ou a, p et K dans la seconde formule), il faudra faire des expériences que nous décrirons plus loin et on pourra, en outre, séparer dans la résistance R la partie qui revient à chacune des résistances que nous avons énumérées.
  - M. Guye (Journal la Nature, i8y3) a fait trois expériences dans les conditions suivantes : il s’abandonnait sur sa machine, les pieds levés des pédales, sur une roule de pente connue. Au bout d’un certain temps la machine prenait un mouvement uniforme. Dans ces conditions, le travail de la résistance est exactement égal au travail de la pesanteur qui est facile à évaluer. La machine qui a servi à ces expériences était une bicyclette, d’ancien modèle, ayant deux ans de service, pesant 24 kilogrammes et à caoutchoucs pleins. Le poids total du cycle et du cavalier était de 80 kilogrammes. En reliant ces
- p.117 - vue 121/272
- - 118
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - trois expériences par une formule à deux termes on trouve
  - R = 2,41 H- 0,029 V2
  - en kilogrammes. En mettant en évidence le poids P total cette formule donnerait
  - R — P X o,o3 -+- 0,029 y2*
  - A priori, comme nous le montrerons plus lard, cette formule est inacceptable, car on en concilierait que sur toute pente inférieure à <>,o3 la machine ne pourrait pas rouler toute seule, ce qui est ridicule. Ceci tient à ce que les expériences de M. Guye ne sont pas comparables entre elles et que, d’ailleurs, le terme en v n’est pas négligeable.
  - Nos expériences personnelles nous ont conduit à cette conclusion très nette qu’il n’y a qu’avec les machines munies de pneumatiques, que le terme en v peut être négligé. Dans les machines munies de caoutchoucs pleins ou creux, le coefficient B, dans l’expression
  - R = A + Bv -+- Cu2
  - de la résistance totale, est loin d’ètre petit.
  - Sur une même route, avec le môme cavalier, les coefficients A et C sont sensiblement les mêmes pour toutes les machines.
  - A, varie deP X o,oi àP X o,oo5, C est tou-
- p.118 - vue 122/272
- - TRAVAIL SUR UN SOL HORIZONTAL 119
  - jours voisin de o,o3. Ce qui varie d’une machine à l’autre, c’est le coefficient B.
  - Pour \e& pneumatiques on peut prendre sensiblement B = o sur bonne route, mais avec les machines munies de bandages creux ou pleins, B n’est plus négligeable et on peut même difficilement assigner une valeur à ce coefficient car, sur une même roule, avec la même machine et le même cavalier, il peut varier par la manière de monter du cycliste ou par ta nature de la selle, comme cela ressort d’ailleurs clairement des expériences que nous avons citées à propos de la perte de force vive dans les vibrations.
  - Nous n’entrerons pas ici dans des détails de description de nos expériences. Nous donnerons plus loin la descriplion des expériences à faire pour mesurer le travail dépensé : ce sont des expériences analogues que nous avons faites. Nous ne donnerons les résultats que pour une machine muniede pneumatiques car,pour les autres, les résultats moyens sont trop problématiques.
  - Sur bonne route, la résistance est en moyenne donnée par
  - (1) R = P X 0,009 -+- o,o3 u2 Sur sol de piste
  - (2) R = P X 0,004 -1- o,o3y2.
  - (y étant la vitesse en mètres par secondes)
- p.119 - vue 123/272
- - 120
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - En mellant en évidence la surface S oiïerle par le cycliste à l’air, on aurait
  - (3) sur route : R = 0,009 P 0,06 S.r2
  - (4) sur piste : R — o,oo4 P H- 0,06 S.r2
  - (Voir le tableau numérique de la p. 121 qu’on peut déduire de ces formules, en supposant le poids total P du cavalier et de la machine égal à 80 kilogrammes).
  - Il est clair que les nombres de ce tableau ne doivent pas être pris d’une façon absolue. Ce ne sont que des applications numériques d’une formule moyenne. Il est probable qu’il donne des nombres trop forts pour les grandes vitesses car il suppose que la résistance de l’air suit la môme loi tout le temps. Or il est certain qu’un coureur qui marche à une vitesse de 35 kilomètres à l’heure se place dans une position telle que la résistance de l’air est diminuée. Ainsi, si la surface qu’il présente à l’air est om",35 au lieu de om ,5 le travail diminuera environ du tiers. Pour évaluer ce travail avec quelque exactitude il faudra, dans chaque cas particulier, appliquer la formule (3) ou la formule (4) en donnant à P et à S les valeurs convenables.
  - Influence du poids de la machine sur le travail. — Un grand nombre de cyclistes prétendent que le poids de la machine a une très
- p.120 - vue 124/272
- - TRAVAIL SUR UN SOL HORIZONTAL 121 TABLEAU DE LA RÉSISTANCE ET DU TRAVAIL
  - SUR SOL HORIZONTAL
  - Vitesse en kilomètres à l'heure Résistance en kilogramme* Travail par heure en tonne-mètres
  - Route Pisto Route Piste
  - 8 0,86 0,56 7,08 4,48
  - 9 0.90 0,60 8,10 5,40
  - IO °’9i 0,64 9,4o 6,40
  - XI °-99 0,69 10,89 7 >5g
  - 13 1,04 o,74 12,48 8.88
  - i3 1,10 1 0,80 14,3o 10.40
  - x4 1,16 0,86 16,24 12,04
  - if» . 1,23 o.g3 i8,45 1.3.95
  - 16 i,3o 1,00 20,80 16,00
  - 17 i.37 I.°7 23,29 18,19
  - 18 i,46 1, i5 26,10 20,70
  - i9 i,53 1.23 29,07 23.37
  - 30 1,62 1,32 32.40 26,40
  - 21 ï.71 1.41 35,91 29,61
  - 22 1.80 1,5o 89,60 33,oo
  - 23 1.91 1,61 43,93 37, o3
  - 2/| 2.01 1,71 48.2.4 4 ' ,<>4
  - 2.r) 2,12 1,82 53,00 45,5o
  - 26 2,24 r-94 58,i4 5o, 44
  - 27 2.36 2,06 63,72 55,62
  - 28 2,48 2,18 t>9-44 61,04
  - 29 2,61 2,3 1 7.5,69 66,99
  - 80 2,74 2.44 82.20 7.3,20
  - 3x 2,88 2,58 89,28 79-98
  - 32 3,02 2.72 96.64 87,04
  - 33 3,17 2,87 104,61 94.71
  - 3,32 3,02 112,88 102,68
  - 3.5 3,51 3,21 122,85 112,35
  - 36 3,70 3,40 i33,2o 122.40
  - 37 3,87 357 143,19 132,09
  - 38 4»o4 •3,74 153,52 142,12
  - 39 4.22 3,92 164,58 i52.88
  - 40 4,i « 4,10 176,00 164,00
- p.121 - vue 125/272
- - 122
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - grande influence sur le travail et tiennent à avoir des machines très légères, souvent au détriment de la solidité. Nous croyons donc intéressant d'étudier l’influence de la variation du poids de la machine sur le travail à effectuer. Soit P, le poids total du cycliste et de la machine : la résistance sera donnée par la formule R — Pa H- Ki>2
  - en négligeant le terme en v, qui est généralement très petit. Supposons qu’on augmente le poids de la machine de ns, le poids total augmente de ns et la résistance augmentera de ns.oc. Le rapport de l’accroissement du travail au travail total sera égal au rapport de l’accroissement de la résistance à la résistance totale. Ce sera donc :
  - TÜ.OC
  - m = ---------57—5.
  - Pa -H Kü2
  - Lorsque v est petit, c’est-à-dire quand la vitesse est très petite le rapport m est à peu près égal à p et lorsque v croît, m décroît, donc :
  - i° La fraction dont le travail augmente pour un accroissement du poids de la machine est toujours plus petite que le rapport de l’accroissement du poids au poids total.
  - Ainsi, pour un homme adulte, P est environ égal à 80 kilogrammes. Donc, pour un accrois-
- p.122 - vue 126/272
- - INFLUENCE DU POIDS 123
  - sement de poids de 1 kilogramme, le travail augmente de moins du ~ de sa valeur.
  - 80
  - Pour un enfant pesant 45 kilogrammes sur une machine de 12 kilogrammes on a P = kilogrammes et le travail augmente de moins du de sa valeur pour une augmenlation de poids de 1 kilogramme.
  - 20 La fraction dont le travail augmente,pour un accroissement de poids donné de la machine, diminue quand la vitesse augmente.
  - C’est-à-dire que l’augmentation relative du travail est plus petite quand la vitesse est grande. On arrive donc à ceLte conclusion qui, au premier abord, paraît paradoxale, que, plus on va vite, moins on s’aperçoit de la lourdeur de la machine.
  - Pour donner des exemples, nous avons calculé m pour quelques vitesses sur piste et sur route en prenant les deux formulesqui nous ont déjà servi : R — P X o,o<>9 + 0,06 St'2 (route)
  - R = P X o,oo4 0,06 Su2 (piste)
  - d’abord pour un homme :
  - P = 80 kilogrammes, S = ora2,5 et puis, pour un enfant :
  - P = 57 kilogrammes, S = om2,4
- p.123 - vue 127/272
- - 124
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - Ce qui donne le tableau suivant :
  - m
  - Vitessfi en kilomètres à l’heure Homme Enfant
  - Roule Pislo Roule Pislo
  - IO 104 l()0 I 77 I 8o
  - 20 Ï8Ô 33ô i i/(o 2 4 7
  - 3o i Cio i 2 4 G 7,'fe
  - 4o &!« CCI 1000 847
  - Ce tableau montre que l’augmentation du poids delà machine de 1 kilogramme n’entraîne qu’une augmentation relative toujours assez faible. C’est surtout dans les grandes vitesses et sur piste que celte augmentation est la moins sensible. On est alors en droit de se demander si, réellement, il y a un si grand avantage à alléger outre mesure les machines au détriment de leur solidité. D’ailleurs, il faut ajouter qu’il est clair que si on diminue le poids de la machine on diminue aussi sa rigidité et, par suite, on augmente les vibrations. Il pourrait arriver que celte augmentation de vibrations (d’où il
- p.124 - vue 128/272
- - INFLUENCE DU POIDS
  - 125
  - résulterait l'introduction d’un terme en v dans la résistance) produise une perte de force vive qui compense et, au-delà, le travail gagné par la diminution de poids de la machine et cela surtout sur route. Nous croyons donc que les touristes, les routiers, ceux, en un mot, qui se servent de la bicyclette comme d’un moyen de transport pratique, feront bien de ne pas suivre les conseils de certains constructeurs trop hardis et de ne pas prendre une machine trop légère. Un routier devra d’abord chercher une machine rigide et solide ayant, cela va sans dire, des roulements bien finis, en acier bien trempé, sans trop se préoccuper du poids. Il n'y perdra pas au point de vue de la dépense de travail, il y gagnera certainement en sécurité et sa machine fera un long service.
  - Nous sommes bien étonné que les constructeurs n’aient pas encore pu quitter cette routine déplorable qui consiste à construire un type uniforme de machines routières qui doit servir pour tout le monde, pour les enfants, les adultes et les hommes faits.
  - Le poids et la résistance d’une machine devraient être proportionnés à la corpulence du cavalier. Il devrait exister plusieurs modèles de routières. Par exemple, le n° i pour les poids au-dessous de 60 kilogrammes; n° 2, de
- p.125 - vue 129/272
- - 126
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - 6o à 75 kilogrammes ; n° 3, de 75 à 90 kilogrammes; et n° 4, pour les cavaliers de plus de 90 kilogrammes. Ainsi, pour donner un exemple de cette incurie des constructeurs, il suffit de dire que, pendant longtemps, on a fabriqué les tandems destinés à recevoir deux cavaliers avec les mômes tubes et les mêmes pneumatiques que les bicyclettes à une personne. Aussi les accidents graves ont été fréquents. On n’a pas encore pu trouver une tripletle dont le pneumatique résiste à la route, car 011 n’a jamais pensé que le bandage qui doit supporter trois personnes doit avoir des parois plus épaisses que celui qui n’en supporte qu'une et cela pour pouvoir être plus gonflé.
  - Travail sur un sol incliné. — Lorsqu'un cycliste marche sur une route en pente, le travail nécessaire à la propulsion est égal au travail nécessaire, à la même vitesse, sur sol horizontal, augmenté ou diminué du travail nécessaire à élever ou à abaisser le poids total du cycliste et de sa machine à la hauteur dont il est monté ou descendu.
  - i° Cas de la montée. — Soient P, le poids du cavalier et de sa machine ; p, la pente de la roule. Lorsque la machine parcourt un mètre le cycliste s’élève de p fractions de mètres et, par
- p.126 - vue 130/272
- - TRAVAIL SUR UN SOL MONTANT
  - 127
  - suite, le travail nécessaire à élever le cycliste est Pp (en kilogrammètres si P est évalué en kilogrammes). Soit R, la résistance sur sol horizontal, le travail par mètre sera :
  - R h- Pp
  - et le travail par seconde, la vitesse étant v est :
  - g, = (R + P p) v. or, comme nous le savons :
  - R = P (a 4- p v) -t- IiSu2
  - d’où
  - Ss= [P (p + a + |3u) -h KSu2] V.
  - Le travail est donc le môme que si la résistance était augmentée de la quantité constante Pp. Avec une machine munie de pneumatiques on a sensiblement, B = o et en prenant les nombres que nous avons déjà adoptés on aurait sur route à la montée :
  - Ss = [P (p H- 0,009) + 0,06 Su2] u.
  - Pour qu’on puisse se rendre compte de la variation du travail sur roule suivant les diverses montées pour les pentes de 0,01 à 0,08, c’est-à-dire de 1 à 8 centimètres par mètre, nous avons supposé, comme toujours, P = 80 kilogrammes et S = om ,5, et nous avons fait le calcul du travail par mètre et par heure, ce qui donne les deux tableaux suivants :
- p.127 - vue 131/272
- - 128
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - TABLEAU DU TRAVAIL PAR MÈTRE SUR ROUTE MONTANTE
  - C — Travail par mètre en kiiogrammètres pour les moulées de poule
  - « £
  - > s 0 0,01 0,02 o,o3 0,04 o,o5 0,06 0.07 0,08
  - 8 0,86 1,66 2,46 3,26 4,06 4,86 5,66 6,46 7,26
  - 9 o.go 1,70 2,5o 3,3o 4,io 4.90 5,70 6,5o 7,3o
  - IO 0,94 G74 2,54 3.34 4,i4 4,94 5,74 6,54 7,34
  - I o.99 1-79 2,5g 3,39 4-19 4,99 5-79 6,59 7'39
  - 12 1,04 i.84 2,64 3,44 4,24 5,04 5,84 6,64 7-44
  - i3 1,10 1 90 2,70 3.5o 4,3o 5,10 5,90 6,70 7,5o
  - ï4 1,1G 1.96 2,76 3,56 4,36 5,16 5,96 6,76 7,56
  - if> 1,23 2,o3 2,83 3.63 4.43 5,2.3 6,o3 6,83 7,63
  - 16 i,3o 2,10 2,90 3,70 4,5o 5,3o 6,10 6,90 7,70
  - 17 i.37 2,17 2,97 3,77 4,5>7 5,37 6,17 6,97 7,77
  - 18 i,45 2,20 3,o5 3,85 4,65 5,45 6,25 7,o5 7,85
  - *9 i,53 2,33 3,i3 3,93 4,73 5,53 6,33 7,13 7,93
  - 20 1,62 2.42 3.22 4,02 4,82 5,62 6.42 7,22 8,02
  - 21 1.71 2,51 3,3i 4,11 4,9i 5,71 6.5i 7,31
  - 22 1,80 2,60 3,40 4,20 5,oo 5,8o 6,60 7,4o
  - 23 1,91 2,71 3,51 4,31 5,ii 5,9'i 6.71 7,51
  - 2/, 2,01 2,81 3,6i 4,41 5,2i 6,01 6,81 7,61
  - 2.5 2,12 2,92 3,72 4,52 5.32 6,12 6,92 7,72
  - 26 2,24 3,04 3,84 4,64 5,44 6,24 7,°4 7,84
  - 27 2,36 3,16 3,96 4,76 5,56 6,36 7,16 7,96
  - 28 2,48 3,28 4,08 4,88 5,68 6,48 7.28 8,08
  - 29 2,61 3,4i 4,21 5,oi 5,8i 6,6i 7,41
  - 3o 2,74 3,54 4,34 5,i 4 5.94 6,74 7,54
  - 3i 2,88 3,68 4,48 5,28 6,08 6,88 7,68
  - 32 3,02 3,82 4,62 5,42 6.22 7.02 7.82
  - 33 3,17 3.97 4.77 5,57 6,37 7> *7 7,97
  - 34 3,32 4,12 4.9^ 5,72 6,52 7,32
  - 35 3,5i 4,3i 5,11 5,9i 6,71 7,5i
- p.128 - vue 132/272
- - TRAVAIL SUR UN SOL MONTANT 129
  - TABLEAU DU TRAVAIL DEPENSE PAR HEURE
  - SUR ROUTE MONTANTE
  - 1 Vitesse en kilo- ' Il | mètres par heure || Travail par heure en tonne-mètres pour le* montées de pente
  - 0 0,01 0,02 o,o3 0,04 o,o5 0,06 0,07 0,08
  - 8 7.1 i3,5 19,9 26,3 32,7 3g,1 45,5 5i<9 58,3
  - 9 8,i i5,3 22,5 29,7 36,9 44,i 5i,3 58,5 65,7
  - IO 9,4 17,4 25,4 33,4 4i,4 49,4 57,4 65,4 73,4
  - 11 10,9 i9,7 28,5 37,3 46,i 54,9 63,7 72,5 82,3
  - 12 12,5 22,1 3i,7 41,3 5o,g 6o,5 70,1 79-7 89,3
  - i3 i4,3 24,7 35,i 46,5 55,9 66,3 76,7 87,1 97-5
  - i4 16,2 27,4 38,6 49,8 61,0 72.2 83,4 94,6 io5,8
  - i5 i8,5 . 3o,5 42,5 54,5 66,5 78,5 90,5 102,5 114,5
  - 16 20,8 33,6 46,4 59,2 72,0 84,8 97,6 110,4 123,2
  - i7 23,3 36,9 5o,5 64,1 77-7 9i,3 104,9 118,5
  - 18 26,1 4°, 5 54,9 69.3 83,7 98,1 112.5 126,9
  - i9 29,1 44,3 59,5 74,7 89,9 io5,1 iio,3
  - 20 32,4 48,4 64,4 80,4 96,4 112,4
  - 21 35,9 52,7 69,5 86,3 io3,i H9,9
  - 22 39,6 57,2 74,8 92,4 110,0
  - 23 43,9 62,3 80,7 99,i 117,5
  - 24 48,2 67,4 86,6 io5,8 125,0
  - 25 53,0 73,0 93,0 n3,o
  - 26 58,i 78,9 99,7 120,5
  - 27 63,7 85,3 106,9
  - 28 69,4 114,2
  - 29 75,7 98,9 122,1
  - 3o 82,2 106,2
  - 3i 89,3 114,1
  - 32 96,G 122,2
  - 33 104,6
  - 34 112,9
  - 35 122,9
  - Boum-ht — Traité des bicycles et bicyclettes 9
- p.129 - vue 133/272
- - 130
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - Dans ces deux tableaux les nombres de la colonne zéro contiennent des nombres que nous avions déjà calculés et qui figurent dans un tableau précédent. Ils donnent le travail sur route horizontale. Nous avons jugé inutile de calculer les nombres lorsque ceux-ci dépassaient des limites peu vraisemblables. Ainsi, dans le second tableau, nous n’avons pas inscrit les nombres où le travail dépasse 120 tonne-mètres.
  - Les nombres du second tableau sont très grands et si on pouvait les admettre à la lettre ils donneraient des renseignements fort intéressants sur le travail qu’un homme est capable de produire dans une heure. Comme nous l’avons déjà dit, les nombres sont, probablement, trop forts pour les grandes vitesses à cause de la façon spéciale avec laquelle les coureurs se tiennent en machine. Dans les vitesses au-dessous de a5 kilomètres à l’heure ils sont tout à fait vraisemblables et ils prouvent, alors, que la bicyclette est un des meilleurs transformateurs du travail humain. Ainsi, sur une route horizontale, le cavalier dépense 32 4<io kilogrammètres à l’heure à la vitesse de 20 kilomètres à l’heure, ce qui est une vitesse très ordinaire et qu’un bicycliste moyen pourrait soutenir pendant plusieurs heures.
- p.130 - vue 134/272
- - travail sur un sol montant
  - 131
  - En comparant les nombres du second tableau, on serait tenté de faire des rappprochements et de tirer des déductions sur les vitesses qu’un bicycliste pourrait soutenir sur des côtes données. Ainsi, par exemple, en faisant une dépense dé 5o tonne-mètres par heure, un bicycliste marcherait sur route horizontale à i,\ kilomètres à l’heure; sur la pente o,oi à 20 kilomètres; sur la pente 0,02 à 17 kilomètres; sur la pente o,o3 à i4 kilomètres, etc., sur la pente o,o5 à 10 kilomètres à l’heure. On serait tenté d’en conclure qu’un bicycliste capable de marcher à 24. kilomètres à l’heure en plaine serait capable sans plus de fatigue de gravir une côte de 1 centimètre par mètre à 20 kilomètres à l’heure, etc., une cote de 5 centimètres par mètre à io kilomètres à l’heure. Or, tous les cyclistes savent fort bien qu’un cavalier capable de mener pendant une heure le train de 26 kilomètres à l’heure sur route plate sans être trop fatigué, serait fourbu après avoir gravi une côte de 5 centimètres par mètre pendant un quart d’heure au train de 10 kilomètres à l’heure. Nous expliquerons ce paradoxe plus loin et nous montrerons que ce qu’il faut comparer ce n'est point le travail total mais le travail par coup de pédale ou, ce qui revient au même, la pression sur la pédale.
- p.131 - vue 135/272
- - 132
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - 2° Cas de la descente. — Avant d’étudier le travail à la descente, nous ferons la remarque suivante :
  - La résistance sur le sol horizontal étant donnée par la formule
  - R = Pa -+- P(3u + KSü2
  - (P étant le poids total du cycliste et de la machine ; S, la surface que le cavalier offre à l’air ; v, la vitesse et a, fl, K, des coefficients numériques), il en résulte que la résistance est toujours supérieure à Pa. Par suite, si la pente p est plus petite que le coefficient a, la composante Pjo du poids, qui aide à la propulsion de la machine, dans la descente, sera toujours plus petite que la résistance R et le cavalier sera obligé de presser sur les pédales pour faire avancer la machine de façon à vaincre la résistance qui reste R — Pp.
  - Mais si, au contraire, la pente p est plus grande que a, pour une valeur suffisamment petite de v, la résistance R sera plus petite que la composante Pp de la pesanteur, et, si le cavalier ne veut pas que le mouvement s’accélère, il devra peser ou retenir sur les pédales pour empêcher la vitesse de s’accroître. 11 devra donc effectuer un travail pour compenser la force accélératrice Pp — R.
  - Si maintenant, dans ce cas (p a), le cycliste
  - abandonne les pédales,la machine prendra d’abord
- p.132 - vue 136/272
- - TRAVAIL SUR UNE DESCENTE
  - 133
  - un mouvement accéléré et il arrivera finalement un moment où la résistance R, allant en augmentant, finira par atteindre la valeur Pp. A cet instant, la force accélératrice sera nulle et la machine prendra un mouvement uniforme (1). Nous appellerons vitesse limite pour la pente p la vitesse V à laquelle la machine marchera lorsqu’elle aura pris le mouvement uniforme. Celle vitesse limite est donc la vitesse à laquelle le travail de la résistance est exactement égal au travail de la pesanteur (c’est la mesure de cette vitesse limite qui servait, dans les expériences de M. Gnye, à déterminer le travail).
  - (!) Il faut remarquer que, théoriquement, le mouvement sera tout le temps accéléré. Théoriquement la vitesse de la machine tend asymptotiquement vers la vitesse limite V ; c’est à-dire que le mouvement tend à devenir uniforme sans jamais l’être.
  - L’équation du mouvement de la machine abandonnée à elle-même est, en effet :
  - f = P (p - a) “ KSt'2 = KS (V2 - î,2>
  - V, étant la vitesse limite ; g, l’accélération de la pesanteur. Ce qui donne en intégrant :
  - Q, étant une constante positive. On voit alors que, pour t infini v tend vers V.
  - Mais, pratiquement, v se rapproche assez vite de V pour qu’au bout d’un temps relativement court on puisse considérer la vitesse limite comme atteinte.
- p.133 - vue 137/272
- - 134
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - Pour la vitesse limite Y on a donc
  - KSV2 -h aP = pV (B = o)
  - */P(p —a)
  - - V KS
  - Prenons, comme d’habitude,
  - a = 0,009 KS = o,o3.
  - Donc pour que la machine marche, sans l’aide du cavalier il faudra, d’abord, que la pente soit supérieure à 0,009, c’est-à-dire qu’elle ait plus de 9 millimètres par mètre et s’il en est ainsi la vitesse limite sera
  - y^
  - - 0.009)
  - o,o3
  - En appliquant celte formule, on trouve les ré-
  - sultats suivants pour P = 80 kilogrammes.
  - Pente Vitesse limite
  - en mètres par seconde en kilomètres par heure
  - 0,01 I,6o r>>7
  - 0,02 5,4o i9/l
  - o,o3 7,f>o 27,1
  - °)°4 9,ï° 33,2
  - o,o5 10,5o 37,8
  - o,oG 11,70 42,1
- p.134 - vue 138/272
- - TRAVAIL SUR UNE DESCENTE
  - 135
  - On voit, alors, que, dans le cas où la pentes est supérieure au coefficient a, il faut distinguer deux cas, suivant que le cycliste marche avec une vitesse supérieure ou inférieure à la vitesse limite.
  - Si le cycliste veut marcher à une vitesse supérieure à la vitesse limite de la pente, il devra presser sur les pédales, car la résistance R sera plus grande que la composante accélératrice Pp du poids. Le travail à effectuer jour seconde sera, alors, donné par la formule
  - £s = [P(a — p H- $v) -+- KSu2].U où v ^> V.
  - D’ailleurs, dans le cas où p est plus petit que a, cette formule sera applicable pour toutes les vitesse?.
  - Dans le cas, au contraire, où le cycliste veut marcher à une vitesse inférieure à la vitesse limite V relative à la pente {p a), il est forcé de peser sur les pédales, c’est-à-dire d’arrêter le mouvement en retenant les pédales, ce qui l’oblige à faire un travail inverse qui, par seconde, est donné par la formule
  - S, = [P(p — a — — KSü2]ü
  - où v V.
  - Si on convient de considérer comme négatif le travail à effectuer lorsque le travail sert à rate-
- p.135 - vue 139/272
- - 136
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - nir les pédales, on aura, pour représenter le travail, la formule unique
  - 6, == [P(a — p 4- pu) 4- KSv2].U.
  - Lorsque le nombre fourni par cette formule sera négatif, cela indiquera que le travail est effectué en retenant les pédales.
  - En prenant nos coefficients habituels (*), on aurait pour le travail par mètre
  - Sm = P(o,oo9 —p) -1- o,o3 u2 et pour le travail par seconde
  - Ss = [P(o,oo9 —+ o,o3 u2].v.
  - P désignant le poids total du cycliste et de sa machine ; v, la vitesse et p, la pente de la descente.
  - Comme applications numériques, nous donnons les valeurs du travail par mètre et par heure, dans le cas où P = 8o kilogrammes, dans les deux tableaux suivants :
  - (*) Si on avait pris la formule tle M. Guye (Journal la Nature, i8p3), on aurait a = o,o3 et on en conclurait qu’à partir de la pente o,o3, c’est-à-dire de 3 centimètres par mètre, une bicyclette ne roulerait pas toute seule à la descente. Or, une pente de 3 centimètres par mètre est déjà une pente assez forte et une expérience banale montrera que si on s’abandonne sur une pente de i centimètres par mètre seulement, on atteint en pneumatique une vitesse voisine dé 20 kilomètres à l'heure. Cette raison à elle seule suffit pour condamner la formule de M. Guye.
- p.136 - vue 140/272
- - TRAVAIL SUR UNE DESCENTE
  - 437
  - TABLEAU DU TRAVAIL DEPENSE PAR MÈTRE, SUR ROUTE A LA DESCENTE
  - en kilo-à l’heure Travail par mètre, en kilogrammètres, pour les descentes de pente
  - Vitesse mètres 0 0,01 0,02 o,o3 0,04 o,o5 0,06 0,07
  - 8 0,86 + 0,06 -o,74 -i,54 -2,34 -3,i4 -3,94 -4,74
  - 9 0,90 0,10 — 0,70 — i,5o — 2,3o -3,io — 3,go —4,70
  - IO 0'94 o,i4 — 0,66 — 1.46 — 2.26 -3,o6 — 3,86 —4,66
  - ii o-99 0,19 — 0,61 -1,4! — 2,21 — 3,oi -3,8i -4,61
  - 12 1,04 0,24 — o,56 — 1,36 — 2,l6 -2,96 — 3,76 — 4,56
  - i3 1,10 o,3o — o,5o — i,3o — 2,10 — 2,90 — 3,70 -4,5o
  - 14 1,16 o,36 -o,44 -1,24 — 2,04 -2,84 — 3,64 -4,44
  - i5 1,23 o,43 — 0,37; — 1,17 -!>97 — 2-77 — 3,57 -437
  - 16 i,3o o,5o — o,3o —1,10 I-9° — 2,70 — 3,5o -4,3o
  - *7 i,37 0,67 — 0,23 — i,o3 -i,83 -2,63 — 3,43 — 4,23
  - 18 i,45 o,65 — o,i5 — o,95 — 1,76 — 2,55 -3,35 — 4,i5
  - i9 i,53 0,73 — 0.07 — 0,87 —1,67 -2,47 — 3,27 — 4,07
  - 20 1,62 0,82 + 0,02 — 0,78 -i,58 — 2,38 -3,i8 — 3,98
  - 21 1,71 °-9x + 0,11 — 0,69 -i,49 — 2,29 — 3,09 — 3,89
  - 22 1,80 1,00 + 0,20 — 0,60 —1,4° — 2,20 — 3,oo — 3,80
  - 23 1-91 1,11 + o,3i — 0-49 — 1,29 — 2,09 — 2,89 -3,69
  - 24 2,01 1,21 + 0/41 — 0,39 -1,19 — 1-99 -2,79 — •3,59
  - 2.5 2,12 1,32 -f- 0,^2 — 0,28 —1,08 — 1,88 -2,68 —3,48
  - 20 2,24 1-44 + 0,64 — 0,16 —0,96 -1,76 — 2,56 — 3,36
  - 27 2,36 i,56 + 0,76 — o.o4 -o,84 — 1,64 -2,44 — 3,24!
  - 28 2,48 1,68 + o,88| + 0,08 — 0,72 — 1,52 — 2,32 — 3,12*
  - 29 2,61 1,81 + 1,01 + 0,21 - o,5g — i,39 — 2,19 -2,99
  - 3o 2,74 i-94 + i,i4 + o,34 — 0,46 —1,26 — 2,06 — 2,86
  - 3i 2,88 2.08 + 1 -28 + 0,48 — 0,02 —1,12 — 1,92 — 2,72
  - 32 3,02 2,22 + 1,42 + 0,62 — 0,18 — 0,98 -1,78 -2,58
  - 33 3,17 2 37 + 1,57 + o-77 - o,o3 -o,83 — 1,63 — 2,43'
  - 34 3,32 2,52 +1,72 + 0,82 + 0,02 00 0 ! -i,58 — 2,38j
  - 35 3,5i + 2,71 + 1.91 + 1.11 + 0,21 — o,5g -i,39 — 2,19
- p.137 - vue 141/272
- - 138
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - TABLEAU DU TRAVAIL DEPENSE PAR HEURE, SUR ROUTE
  - A LA DESCENTE
  - Il 0 0,01 0,02 Travail p o,o3 iar heure, les descei 0,04 en tonne ites de pc o,o5 0,06 0,07 0,08
  - 8 7,1 0,7 -5,7 — 12,1 - l8,5 -24,9 — 3i,3 -37,7 -44,i
  - 9 8,i 0,9 -6,3 —13,5 -20,7 -27+ -35,i -42.3 -49,6
  - 10 9-4 i,4 -6,6 -i4,6 — 22,6 — 3o,G -38,6 -46,6 -54,6
  - 11 ™.9 2,1 — 6,7* —15,5 -24,3 — 33,i -4i,9 -5o,7 — 59,5
  - 12 12,5 2,9 -6,7* -i6,3 -25,9 — 35,5 -45,i -54,7 -64,3
  - i3 i4,3 3,9 -6,5 —16,9 -27,3 -37,7 -48,i -58,5 -68,9
  - i4 lC,2 5,o -6,2 — 17,2 -28,4 -39,6 — 5o,8 -62,0 -73,2
  - i5 18,5 6,5 — 5,5 — 17,5 -29,5 —4i,r> —53,5 — 65,5 -77,5
  - 16 20,8 8,0 -4.8 — 17-6' -3o,4 -43,2 — 56,o -68,8 — 81,6
  - *7 23,3 9,7 -3,9 —17,5 —3i,i -44,7 -58,3 -7r>9 -85,5
  - 18 26,1 -2,7 — 17,1 -3r,5 -4-5,9 — 6o,3 -74,7 -89,1
  - 19 29,1 i3,g -i,3 -i6,5 -3r,7* -46,9 — 62,1 -77,3 -92,5
  - 20 32,4 16,4 + o,4 — 15,6 — 31,6 -47,6 -63,6 — 79+ -9+6
  - 21 35. g 19,1 + 2,3 -i4,4 3r,4 -48,2 -65,o -81,8 -98,6
  - 22 39,6 22,0 + 4,4 —13,2 — 3o,8 -48,4* — 66,0 -83,6 — 101,2
  - 23 43,9 25,5 + 7,1 - 11,3 29,7 -48,1 -66,5 -85,9 -io4,3
  - 24 48,2 29,0 +9,8 —9>4 — 28,6 -47,8 -67,0* -86,2 -io5,4
  - 25 53,o 33,o + 13,0 7»° -27,0 -47,0 — 67,0* — 87,0 —107,0
  - 26 58,i 37,3 +16,5 -4,3 — 25,1 -45,9 -66,7 -87,+ - 108,3
  - 27 63,7 4a. 1 + 20,5 —1,1 — 22,7 -44,3 -65,9 -87,5' — 109,1
  - 28 69,4 47,° + 24,6 + 2,2 — 20,2 — 42,6 -65,o -87,4 —109,8
  - 29 7-3,7 52,5 + 29,3 + 6,1 — 17,1 —40,3 — 63,5 — 86,7 —109,9*
  - 3o 82,2 58,2 + 34,2 +10,2 —13,8 —37,8 -61,8 —85,8 — 109,8
  - 3i 89,3 64,5 + 39,7 + i4,9 -9,9 -34,7 — 59,5 -84,3 — 109,1
  - 32 96,6 71,0 + 45,4 + 19,8 — 5,8 -3i,4 — 67,0 -82,6 —108,2
  - 33 104,6 78,2 + 51,8 + 25,4 —1,0 -27,4 -53,8 —80,2 —106,6
  - 34 112,9 85,7 + 58,5 + 31,3 +4,1 — 22,3 — 49,6 — 76,7 — io3,g
  - 35 122,9 94,9 + 66,9 + 38,9 + 10,9 — 16,3 -43,5 -70,7 -97,9
- p.138 - vue 142/272
- - TU A VA IL SUH UNE DESCENTE
  - 139
  - Dans ces deux tableaux nous avons marqué une barre au point où la vitesse est limite et où le travail cesse d'être négatif pour devenir positif. Il n’y a que pour les pentes 0,02, o,o3 et o,o4 que la vitesse limite est comprise entre 8 et 35 kilomètres à l’heure. Pour la pente 0,01 la vitesse limite étant environ G kilomètres à l'heure, il faut toujours presser sur la pédale pour marcher à une vitesse supérieure à 8 kilomètres. Au contraire, pour les pentes à partir de o,o5, la vitesse limite étant supérieure à 35 kilomètres, il faut toujours retenir.
  - Le second tableau, qui donne le travail par heure, met en évidence un fait intéressant. Lorsqu'on lit une colonne de travaux négatifs de bas en haut, on voit que le travail résistant pour une pente déterminée va, d'abord en croissant, atteint un maximum pour décroître ensuite et devenir nul pour la vitesse limite correspondant à cette pente. Ceci étonne au premier abord, car il semble que plus on veut aller lentement, plus on est forcé de faire de grands efforts pour retenir la machine. Si on regarde le premier tableau on voit qu’elîectivement le travail résistant par mètre est d’autant plus grand qu’on veut aller plus lentement, mais, pour le travail par heure, il n’en est pas de même, car pour obtenir
- p.139 - vue 143/272
- - 440
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - ce travail il faut multiplier le travail par mètre par la distance parcourue pendant l’heure. Lorsque la vitesse augmente, le travail par mètre diminue, mais la distance parcourue dans une heure augmente et le produit ne diminue pas mais passe par un maximum. Dans le second tableau nous avons marqué d’un astérisque les travaux négatifs maxima pour les diverses pentes. Il est facile de déterminer la vitesse pour laquelle le travail par heure est maximum. En effet, on a pour le travail par seconde 5t = [P(a—_p)H-KS.v2]ü (en supposant J3 = o). Pour que ce travail soit maximum il faut que l’on ait
  - P(« — p) -h 3 K Su2 = o (en égalant à zéro la dérivée de gs par rapport à v). Ce qui donne pour la vitesse pour laquelle le travail résistant est maximum
  - Or, comme nous l’avons vu, la vitesse limite Y correspondant à la pente p est
  - donc on a
  - ___V
  - “y/3
- p.140 - vue 144/272
- - TRAVAIL SUR UNE DESCENTE
  - 141
  - Donc, la vitesse pour laquelle le t ravail résistant est maximum est égale à la vitesse limite divisée par \f 3.
  - En prenant nos coefficients numériques, on a le tableau suivant :
  - Pente Vitesse de travail maximum
  - 0,02 11,2 1
  - o.o3 l5,6 /
  - o,o4 I^’^> ( kilomètres
  - o,of> 2I,~ ) à l'heure
  - 0,06 24,2 l
  - 0,07 26,6 1
  - 0,08 28,5
  - Ce résultat de calcul est, d’ailleurs, bien en concordance avec les résultats des observations qu’ont faites tous les cyclistes. Tous ceux qui ont un peu pratiqué le cycle savent, en effet, qu’à la descente il ne faut pas s & laisser emballer au risque de ne plus pouvoir arrêter la machine sans frein. 11 y a là une double raison : la première est que, quand la vitesse croît, le travail nécessaire pour arrêter la machine ou plutôt pour maintenir l’allure de la machine, augmente et peut devenir trop considérable ; la seconde est que, lorsque la vitesse devient très grande, les jambes, entraînées par les pédales à une allure
- p.141 - vue 145/272
- - 142
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - très rapide, ne peuvent plus donner l’effort nécessaire en sens inverse.
  - Travail par coup de pédale, choix de la multiplication. — Lorsqù’on connaît le travail nécessaire pour faire avancer la machine d’un mètre, il est facile d’en déduire le travail par coup de pédale. À chaque coup de pédale, la machine avance d’une quantité égale à la moitié du développement puisque, pour deux coups de pédale, consécutifs, un de chaque pied, chaque manivelle fait un tour complet. Nous savons qu’on appelle multiplication d’une machine le diamètre de la roue motrice d’un grand bicycle (non multiplié) qui avance autant, par coup de pédale, que la machine donnée. Donc, si a est la multiplication, va est de développement
  - (tt = 3,14159___). Le travail par coup de pédale
  - Sc. se déduit donc du travail par mètre S,M, par la formule
  - TT
  - £> c — " • a.S m'
  - 2»
  - En nous servant des nombres calculés précédemment, pour le travail par mètre, nous avons calculé le tableau suivant, qui donne le travail par coup de pédale sur route horizontale pour les multiplications variant de im,3o à im,70, qui sont les multiplications extrêmes usitées.
- p.142 - vue 146/272
- - TRAVAIL PAR COUP DE PEDALE
  - 143
  - TABLEAU DU TRAVAIL PAR COUP DE PÉDALE
  - Vite»se en kilomètres à l’heure Travail par coup de pédale (en kilogrammètres) sur route horizontale, pour les multiplications
  - im,3o i“,4o im,5o ira,6o im,7o
  - 8 i,^5 1.89 2,02 2,16 2,29
  - 9 i,84 1,98 2,12 2,26 2,40
  - IO i,93 2,07 2,22 2,36 2,5l
  - ir 2,02 2,18 2,33 2,48 2,64
  - 12 2,12 2,29 2,45 2,61 2,77
  - i3 2,24 2,42 2,59 2,76 2,93
  - 14 2,37 2,55 2,73 2,9Ï 3,10
  - i5 2,5 1 2,70 2,90 3,09 3,27
  - 16 2,65 2,86 3,o6 3,27 3,47
  - J7 2>79 3,oi 3,22 3,44 3,66
  - 18 2,96 3,19 3,41 3,64 3,87
  - i9 3,12 3,37 3,60 3,84 4,o8
  - 20 3,3o 3,56 3,81 4,07 4,32
  - 21 3,4g 3,76 4,o3 4,3o 4.56
  - 22 3,67 3,98 4,24 4,53 4,8o
  - 2.3 3,91 4,20 4,5o 4,8o 5,io
  - 24 4i10 4,4a 4,73 5,02 5,38
  - 25 4,33 4,66 4,99 5,33 5,66
  - 26 4,^7 4,93 5,28 5,63 5,98
  - 27 4,82 5,19 5,56 o,93 6,3o
  - 28 5,06 5,45 5,84 6,23 6,62
  - 29 5,33 5,74 6,15 6,56 6,97
  - 3o 5,6o 6,o3 6,46 6,89 7,32
  - 3i 5,88 6,33 6,79 7>24 7*69
  - 32 6,17 6,64 7,12 7,59 8.06
  - 33 6,47 6,97 7 >47 7,97 8,47
  - 34 6,78 7>3o 7,82 8,34 8,87
  - 35 7»r7 7,72 8,27 8,82 9,37
- p.143 - vue 147/272
- - 144
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - De ce tableau, par un calcul facile, oh pourra déduire le travail pour toutes les pentes possibles. En effet, on sait que, lorsqu’on gravit une rampe de pente p, le travail par mètre augmente de Pp, P étant le poids total de la machine et de son cavalier. Par suite, le travail, par coup de pédale, augmente de Pp En d’autres termes, ce travail augmente par centimètre de rampe de ~.a.P X 0,01. Dans nos exemples nous avons toujours supposé P = 80 kilogrammes. Ce qui nous donne, alors, le tableau suivant :
  - ACCROISSEMENT DU TRAVAIL PAR COUP DE PEDALE
  - (en kilogrammètres)
  - POUR UN CENTIMÈTRE DE RAMPE
  - Multiplications im,3o i“.4o im,5o- im,6o im,7o
  - Accroissement iks™,63 ik8“,76 2kem,OI 2kBm,l3
  - De ces tableaux, par un calcul élémentaire, on pourra déduire le travail nécessaire par coup de pédale pour gravir une pente donnée à une vitesse donnée.
  - Il suffira, pour cela, de prendre dans le second petit tableau le nombre correspondant à la multiplication de la machine, de le multiplier
- p.144 - vue 148/272
- - travail par COl!P de pédale
  - 145
  - par le nombre cle centimètres par mètre de la rampe et d’y ajouter le travail par coup, sur roule plate à la vitesse donnée, qui sera fourni par le premier grand tableau. Ainsi, par exemple, pour gravir une pente de 3 centimètres par mètre, sur une machine de multiplication ira,5o à la vitesse de 18 kilomètres à l’heure, il faut, par coup de pédale, un travail de
  - 3,41 + 3 X 1,88 = 9,o5 kilogrammèlres.
  - La considération du travail par coup de pédale est du plus grand intérêt pour comparer les efforts du bicycliste dans diverses circonstances et pour prévoir ce dont un bicycliste donné est capable. Un bicycliste ne peut donner sur la pédale, d’après sa force physique personnelle, qu’une pression ne dépassant pas une limite qui est l’effort maximum que ses muscles sont capables de fournir. D’ailleurs, pour qu’il n’y ait pas courbature, il faut encore que cet effort, qui sera répété souvent, ne soit pas l’effort maximum mais ait une valeur moyenne convenable.
  - Comme ce travail par coup de pédale est, sensiblement, proportionnel à l’effort moyen du pied sur la pédale, ceci revient à dire que, pour que le bicycliste puisse parcourir une route donnée avec une vitesse donnée, il faut que le
  - Bourlbt — Traité des bicycles et bicyclettes
  - 10
- p.145 - vue 149/272
- - 14G
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - travail par coup de pédale ne dépasse pas une certaine valeur limite, variable avec chaque individu et caractéristique de ce cavalier. Il faut ajouter, immédiatement, qu'il y a aussi une limite pour le nombre des coups de pédale que le bicycliste peut donner par heure. Pour que le cavalier puisse, à chaque coup de pédale, donner l’effort nécessaire posé ment, il faut qu’entre deux efforts consécutifs il y ait un intervalle de temps, assez grand, dont la longueur dépend du cavalier.
  - Un bicycliste moyen peut atteindre, sans grande difficulté, la vitesse de 22 à 23 kilomètres à l’heure en terrain plat sur une machine ayant une multiplication de im,5o. Or, à 23 kilomètres à l’heure, il faut environ 10 ouo coups de pédale par heure. O11 peut donc admettre, qu’en moyenne, un cycliste peut donner 10000 coups de pédale à l’heure, soit environ 3 coups par seconde (deux d’un pied et un de l’autre),
  - D’ailleurs, en forçant, un bicycliste routier ordinaire peut atteindre la vitesse de 28 à 29 kilomètres à l’heure sur route horizontale avec la multiplication de im,70 ; d’où on concluerait, d’après le tableau précédent, qu’il est capable de donner près de 7 kilogrammètres par coup de pédale sans courbature.
- p.146 - vue 150/272
- - TRAVAIL PAR COUP DE PEDALE 147
  - Admettons donc, pour faire des exemples, que le nombre maximum de coups de pédale à l’heure est de 10 ooo et le travail maximum par coup de pédale 7 kilogrammètres.
  - Voici, d’abord, le tableau des vitesses que le cycliste peut acquérir avec 10 000 coups de pédale à l’heure.
  - Multiplication. . . . I“,3 x»,4 i“,5 i“,6 i“,7
  - Vitesse en kilomètres pour 10 000 coups . . 20klVl 23km a3km,5 a6km,7
  - lien résulte qu’un cycliste routier ordinaire ne dépasse pas les vitesses indiquées sur ce tableau.
  - L’expérience a appris à tous les cyclistes que lorsque le nombre de coups de pédale ne dépasse pas une limite trop élevée (ici nous admettons 10000 coups à l’heure) la courbature (et non pas la fatigue) ne dépend pas du nombre de coups de pédale donnés, mais surtout de l’effort qu’il a fallu faire à chaque coup de pédale.
  - L’exercice journalier, Ventraînement, n’augmente pas, sensiblement, la force du muscle, mais augmente dans ce muscle la faculté de répéter un plus grand nombre de fois le môme effort. La force du muscle dépend de la conslitu-
- p.147 - vue 151/272
- - 148
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - tion physique du cycliste; l'entraînement a pour effet, moins de développer la force du muscle que de l’habituer à se nourrir plus vite, à réparer plus rapidement les pertes subies par le travail. Le résultat de l’entraînement est donc de développer chez le cycliste la faculté de donner un plus grand nombre de coups de pédale par heure et de soutenir ce train pendant plus longtemps.
  - Si, pour gravir une rampe, le cycliste est forcé de donner, par coup de pédale, un travail supérieur à son travail maximum, les muscles des jambes, forcés de donner des efforts supérieurs à l’effort dont ils sont capables avec aisance, seront courbaturés, raidis et se refuseront rapidement à tout travail.
  - En partant de ce principe que la courbature du muscle (entraîné) dépend surtout du travail par coup de pédale et moins du travail total, on pourra faire des comparaisons. Ainsi, par exemple, sur une machine ayant une multiplication de im,4o, un cycliste dépense à peu près le même travail par coup de pédale, c’est-à-dire donne à peu près la même pression sur la pédale.
  - A 25 kilomètres à l’heure en plaine A 17 // // sur une rampe de 0,01
  - A 6 // // sur une rampe de 0,02
- p.148 - vue 152/272
- - travail par coup de pédale 149
  - Le cycliste ne sera donc pas plus courbaturé après avoir parcouru en une heure :
  - 25 kilomètres en plaine
  - 17 // // sur une montée de icm par mètre 6 n a sur uue montée de 2('m par mètre
  - Et cependant, dans le premier cas, il a dépensé 53 tonne-mètres, dans le second 37 et dans le troisième 14 (d’après nos tableaux antérieurs) pendant l’heure.
  - Pour faire une comparaison classique, comparons le cycliste à une machine, par exemple à une machine actionnant un marteau-pilon. Les organes de la machine ont des résistances calculées de façon qu’elle puisse soulever un pilon de 7 tonnes, par exemple, et donner, au maximum, 1 000 coups par heure. La machine pourra donc, sans se fausser et sans une différence d’usure sensible, actionner un pilon de 5 tonnes à 800 coups, 5oo coups ou 3oo coups par heure. La seule différence sera dans la dépense de combustible qui sera dans les trois cas dans le rapport de 8 à 5 et à 3. Mais si on voulait faire mouvoir un pilon de 9 tonnes, même très lentement, les pièces, n’étant pas assez résistantes, se fausseraient, les axes gripperaient. Dans la machine humaine la courbature des membres, l’essoufflement correspondent au faussement des pièces et
- p.149 - vue 153/272
- - 150 LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - la fatigue générale, l’appétit, correspondent à la dépense de combuslible dans la machine à vapeur. Un cycliste, au point de vue du travail, est donc caractérisé par deux constantes. L’une qui est l’eirort maximum qu’il peut donner sur la pédale ou plutôt le travail maximum qu’il peut fournir par coup de pédale, à toute allure, sans courbature; cotte constante ne peut guère être modifiée par le cycliste, elle dépend de sa constitution physique et de son âge hien plus que de son état d’entraînement. L’autre constante est le travail maximum total que peut donner un cycliste, sans prendre de repos, celle-ci dépend de la forme du veloceman, de son élat d’entraînement et varie essentiellement avec Ventraînement. La première constante donne la vitesse que peut acquérir le cycliste sur une machine de multiplication connue en gravissant une côte donnée; la seconde constante indiquera le temps que le cycliste pourra soutenir celte allure.
  - De ce qui précède, il résulte qu’il y a une pente maxima qu’un cycliste ne peut pas gravir sans donner par coup de pédale un travail supérieur au travail maximum qu’il peut donner avec aisance. D’ailleurs, pour que l’équilibre puisse être conservé, il faut que le cycliste ne marche pas trop lentement. Supposons, par exemple, que la
- p.150 - vue 154/272
- - TRAVAIL PAR COUP DE PEDALE
  - 151
  - plus petile vitesse du cycliste soit 8 kilomètres à l’heure. La pente la plus forte que pourra gravir ce cycliste sera celle pour laquelle, à la vitesse de 8 kilomètres à l’heure, il lui faudra dépenser le maximum de travail par coup de pédale qu’il peut donner sans courbature. D’après ce que nous avons dit, sur une pente de h centimètres par mètre, le travail par coup de pédale, pour la multiplication de im,3o, est, à la vitesse de 8 kilomètres à l’heure,
  - 1,76 4- k. 1,63 kilogrammètres
  - par suite, la pente maxima que pourra gravir, sans efforts extraordinaires, un cycliste moyen dont le maximum est 7 kilogrammètres, est donnée par
  - 1,75 4- h. i,63 = 7
  - d’où on tire
  - k = = 0.032.
  - 1,63
  - Par un calcul analogue, on calculerait toutes les pentes maxima et on a le tableau suivant :
  - Multiplication . . . Im,3o im'4° im,5o iu1,Go Im,;0
  - Pente maxima. . . o,o32 o,o3o 0,027 0,024 0,022
- p.151 - vue 155/272
- - 152
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - Comme on le voit, la penle maxima décroît rapidement lorsque la multiplication augmente. Ainsi le bicycliste qui gravira sans essoufflement une côte de 3 centimètres par mètre sur une machine de im,4o de multiplication, à la vitesse de 8 kilomètres à l’heure sera essoufllé et courbaturé pour gravir la môme côte, avec la môme vitesse sur une machine de im,6o démultiplication. La pente maxima qu’un cycliste peut gravir sur une machine donnée dépend essentiellement de la première constante de ce cycliste et est, par conséquent, très variable suivant les sujets. — Les coureurs qui sont en général, des hommes spécialement charpentés et qui ont des muscles solides, pourront prendre de fortes multiplications et, cependant, gravir, sans efforts extraordinaires, les côtes les plus raides de nos roules. Un bon coureur peut probablement donner au moins îo kilogram-mèlres par coup de pédale, ce qui donne, pour sa pente maxima, avec une multiplication de im,70, o,o38. Il pourra donc, sans être essoufflé, sans efforts extraordinaires, gravir toutes les côtes jusqu’à 4 centimètres par mètre, avec une multiplication de im,70. D’ailleurs, il ne faudrait pas comparer un coureur à un routier. Le but du coureur étant d'arriver coûte que coûte, il
- p.152 - vue 156/272
- - TRAVAIL PAR COUP DE PEDALE
  - 153
  - donne son maximum d’efforts au risque d’être complètement fourbu après la course. Le routier doit, au contraire, chercher à couvrir la distance qu’il veut parcourir sans faire d’efforts inusités et sans dépasser une fatigue raisonnable. Les rampes de 2 et 3 centimètres par mètre sont assez fréquentes sur nos routes, les rampes dépassant 4 centimètres sont rares et, en général, courtes, on peut donc dire qu’un routier sera dans de bonnes conditions s’il peut gravir aisément toutes les rampes jusqu’à 3 centimètres par mètre.
  - Notre tableau montre que ceci n’a lieu que si la multiplication est égale à im,4<> ou plus petite. Ceci nous conduit donc à considérer la multiplication de im,4o comme la meilleure pour un routier moyen dans un pays qui n’est pas trop accidenté.
  - La multiplication de im,5o serait encore acceptable, mais les multiplications de im,6oet im,70 seraient beaucoup trop fortes. Avec la multiplication de im,3o à im,4o le bicycliste pourra atteindre facilement en plaine ou à la descente la vitesse de 23 kilomètres à l’heure, ce qui est déjà une vitesse très raisonnable et il y aura peu de côtes qu’il ne pourra pas enlever. Un grand nombre de bicyclistes, surtout les jeunes
- p.153 - vue 157/272
- - 154
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - gens, voulant imiter les coureurs, prennent des machines qui leur permettent d’atteindre des vitesses très grandes en plaine, aussi les voit-on rarement sur route parce qu’ils sont forcés de mettre pied à terreaux moindres côtes. Le véritable touriste, le routier, celui qui se sert de sa machine soit pour faire un voyage, soit pour faire un service journalier, ne devra prendre qu’une machine solide rigide, et n’ayant pas plus de im,4o de multiplication.
  - Dans les pays accidentés, les pays de montagne, il faudra prendre des multiplications encore plus faibles. Ainsi, avec une multiplication de 1m, 20, un routier moyen pourrai tfaire unegrande partie des routes de la Suisse.
  - Pression du pied sur la pédale. — La pression II que le pied exerce sur la pédale est normale à celle pédale qui, à cause de sa mobilité autour de son axe, prend toujours une direction telle qu’il en soit ainsi. La direction de celle pression II dépend, ainsi, de la position de la jambe par rapport à la manivelle. On peut toujours décomposer II en deux forces, l’une II( dirigée normalement à la manivelle ,c’est-à-dire lan-gentiellement à la circonférence décrite par l’axe de la pédale {fig. ai), l’autre n„ dirigée suivant la direction de la manivelle et, par suite, nor-
- p.154 - vue 158/272
- - PRESSION SUR LA. PÉDALE
  - 155
  - male à la circonférence décrite par la pédale. La composante 1I( seule sert à actionner la machine, c’est-à-dire est seule utile. L’autre nn est détruite par la fixité de l’axe O de la manivelle et ne fait qu’augmenter le frottement de cet axe.
  - Le pied peut alors avoir deux positions : l’une, la position (1) (fig. 21), dans laquelle la
  - Fig. 21
  - composante utile IL est dirigée dans le sens où doit tourner la manivelle, l’autre, la position (2), dans laquelle la composante I7( serait dirigée en sens inverse et, parsuite, contrarierait le mouvement de la manivelle. Ce n’est que dans la position (1) que le pied doit presser sur la pédale ; dans la position (2) il doit suivre le mouvement de la pédale sans presser sur elle. On passe de la position (1) à la position (2) et, inversement, en passant par deux positions limites qu’on ap-
- p.155 - vue 159/272
- - 156
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - pelle les points morts pour lesquelles la composante IT, est nulle et, par suite, pour lesquelles la direction de la jambe est dans le prolongement de la manivelle.
  - Pour raison ner nous ferons une figure schématique {(îg. 22). Soient O, l’axe de la manivelle OP;
  - la selle ou, plus exactement, l'articulation de la cuisse. Le genou G décrira une circonférence de centre S et le pied P ou plutôt l’axe de la pédale P décrit une circonférence de centre O dans le sens de la flèche. Un cycliste doit régler la position S de la selle de façon que, la jambe étant étendue, le pied se trouve au point mort le plus bas.
  - Donc, la jambe étant étendue, le pied sera en Pi et le genou en G, sur SO. Prenons les notations suivantes :
  - Longueur de la cuisse : SG = c;
  - Longueur de la jambe : GP =j\
  - Longueur de la manivelle : OP = m;
  - Distance de la selle au pédalier : SO = l;
- p.156 - vue 160/272
- - PRESSION SUR LA PÉDALE
  - 157
  - De la façon dont la selle est réglée on a :
  - SGt -b GiP, = SO -b 0I\
  - c’est-à-dire :
  - — = K.
  - K étant la longueur totale de la jambe et de la cuisse étendues. Pour le second point mort, le genou occupe la position. G2 la plus élevée de façon que la direction G2P2 de la jambe soitdans le prolongement de la manivelle 0P2. On voit alors que le pied ne pourra presser sur la pédale que de P2 en P4 (dans le sens de la flèche) et lorsque la pédale remontera de Pt en P2 le pied devra la suivre sans presser. Les deux pédales sont, à chaque instant, diamétralement opposées de telle façon que quand Pu ne des pédales est en P* l’autre est en P\ (fig. 22). Lorsque la première pédale va de Pj en P'2 la seconde va de P'j en P2 et aucune des deux pédales ne sera dans une position pour laquelle le pied puisse presser. Donc, lorsque l’une des pédales va de 1\ en P'2 ou de P't en P2, le cycliste ne peut avoir aucune action propulsive sur sa machine ; il y a un temps mort, pendant lequel la machine marche toute seule, en vertu de sa vitesse acquise. Le problème qui se pose est de chercher à rendre ce temps mort le moins nuisible.
- p.157 - vue 161/272
- - 158
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - Soit jj., l'angle P2OP'i que nous appellerons Xangle mort. Le triangle SG20 donne la valeur de cet angle
  - Pour un cavalier donné, K, j et c sont des constantes : l’angle g sera donc maximum en même temps que le produit m (c — m) ce qui a lieu pour
  - m = c — m, cl ou m = -.
  - 2
  - Donc, la machine qui donne à un cycliste le plus grand angle mort est celle pour laquelle la longueur de la manivelle est égale à la moitié de la longueur de la cuisse.
  - La longueur de la manivelle devra, en consé-
  - quence,être ou plus petite ou plus grande que - •
  - Or, la longueur m de la manivelle est limitée par lacondition que le cavalier doi t toujours poser aisément son pied sur la pédale. L’angle de la jambe et de la cuisse ne peut pas tomber au-dessous d’une certaine limite et, pour que le cycliste suive commodément le mouvement de la pédale, il faut, à peu près, que cet angle reste supérieur à 70°. Il faudra donc que l’angle minimum SG20 de la jambe et de la cuisse soit au moins égal à
- p.158 - vue 162/272
- - PRESSION SUR LA PEDALE 159
  - 70°. Ceci donne, en prenant, approximativement j = c, la condition
  - ^ c m ^
  - 2
  - Donc, la longueur de la manivelle doit être au plus égale à la moitié de la longueur de la cuisse du cycliste. Ainsi, chez un homme moyen la longueur de la cuisse est environ de ko centimètres ; par conséquent, la longueur de la manivelle ne devra pas dépasser 20 centimètres.
  - Reste maintenant à choisir dans l'intervalle de 0 à ^ (ocm à 2oom) quelle est la longueur dé la manivelle qui donne les meilleures conditions. Pour cela nous allons calculer la pression moyenne utile du pied, sur la pédale et nous chercherons dans quelles conditions elle est minima. Dans un coup de pédale, le pied, en pressant, parcourt^ l'arc P2Pi du cercle décrit par la pédale {fig. 22), par suite, si la composante utile llf était constante, son travail serait égal à son produit par la longueur de cet arc, c’est-à-dire à
  - "-(«*—rtnir
  - (7: = 3,14159..) (x étant évalué en degrés. Ce
  - travail qui sert à la propulsion de la machine devra être égal au travail par coup de pédale*
- p.159 - vue 163/272
- - 160
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - Donc, si on désigne par Ec le travail par coup de pédale, on aura l’égalité
  - d’où
  - 180
  - (0
  - (180 —
  - formule qui donne la pression moyenne utile.
  - Il est clairque les conditions seront les plus favorables lorsque cette pression moyenne sera la plus petite possible pour produire un travail Sc donné. Il faudra donc choisir m de façon que
  - (180 — \x) .m
  - soit maximum, fx étant l’angle mort donné par la formule
  - K, c et j étant des constantes connues qui dépendent du cavalier. Dans un homme de taille moyenne
  - c = 4ocm j — 45cm K = St)0™
  - Il faudrait donc trouver la valeur de m plus petite que 20 centimètres qui rende (180 — \>)m maximum, sachant que
- p.160 - vue 164/272
- - PRESSION SUR LA PEDALE
  - 161
  - Or, lorsqu’on fait croître m de o à ^ on s’aperçoit que le produit (180 — g) m croît constamment, on est donc amené à la conclusion qu’il faut prendre m = - . Il y a là un ennui, car il se trouve que, précisément, la longueur de manivelle qui donne \&plus petite pression moyenne est celle qui donne le plus grand angle mort.
  - Sur piste le temps mort n’est pas gênant, car la machine a toujours assez d’élan, par conséquent on devra chercher à rendre la pression moyenne la plus petite possible sans s’occuper du point mort, on devra donc prendre une manivelle longue de 20 à 22 centimètres (ce qui compensera un peu la forte multiplication).
  - Sur route, principalement aux côtes, le point mort est très gênant et, comme le temps mort (toutes choses égales d’ailleurs) est proportionnel à l’angle mort, on devra (sans cependant augmenter outre mesure la pression moyenne) prendre une manivelle plus courte : 16 à 18 centimètres (ce qui, d’ailleurs, nécessite encore une fois de plus une multiplication faible pour que la pression moyenne ne soit pas trop forte).
  - La formule (1) nous donne la pression utile moyenne pour produire un travail donné par coup de pédale, mais ce n’est pas, il s’en faut,
  - Bourlkt — Traité des bicycles et bicyclettes 11
- p.161 - vue 165/272
- - 162
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - la pression exacte du pied sur la pédale. La pression II du pied sur la pédale esl la résultante de celte pression utile et de la pression lln suivant la direction de la manivelle qui est une pression perdue. Le travail réel du cycliste est donc plus grand que le travail exactement nécessaire à la propulsion, travail que nous avons calculé jusqu’ici. Nous appellerons rendement d’un cycliste le rapport du travail utile au travail qu’il aurait produit si la pression toute entière du pied était employée utilement. Le rendement d’un cycliste dépend absolument de son habileté et de son habitude de la machine. Un cycliste habile sait, en faisant mouvoir l’articulation du pied d’une façon convenable, s’arranger de façon que la pédale soit, pendant presque toute l'action du pied, dans la direction de la manivelle. De plus, il faut que le pied qui repose sur la pédale montante ne presse aucunement sur la pédale, car sans cela le pied qui monte contrarie le mouvement du pied qui presse et augmente inutilement le travail de celui-ci. Une des plus grandes difficultés pour bien monter à bicyclette est de savoir bien donner le coup de pédale, c’est-à-dire d’avoir un bon rendement. La supériorité d’un bicycliste exercé sur un novice réside autant dans la qua*
- p.162 - vue 166/272
- - APPAREILS DE MESURE
  - 163
  - lilé du coup de pédale que dans l’enlraînement. 11 y aurait une série d’expériences fort intéressantes et fort instructives à faire pour comparer entre eux les rendements des divers coureurs ou pour comparer les rendements de routiers plus ou moins exercés. Celle comparaison pourrait être faite, très aisément, au moyen de la pédale dynamométrique de MAL Alaillard et Bardon que nous décrirons, sommairement, plus loin.
  - Appareils de mesure. — Dans les expériences pour mesurer le travail, on a besoin de mesurer trois quantités différentes : la pente d'une route, la vitesse de la machine et le travail utile du pied. Nous décrirons, d’abord, les instruments qu’on peut employer à cet effet.
  - i° Pour mesurer la pente d’une route le meilleur moyen et le plus sûr est d’employer le procédé topographique au moyen d’un niveau et d’une mire graduée. Si on veut faire des expériences précises il n’y a même pas d’autre procédé à choisir. Mais un cycliste qui se déplace sur sa machine ne peut pas emporter avec lui les instruments encombrants de la topographie. Voici, alors, un certain nombre de moyens qu’on peut employer pour avoir une valeur approximative de la pente.
- p.163 - vue 167/272
- - m
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - Lorsque la roule est bordée de maisons on peut se servir des lignes générales d’une maison qui sont toujours à peu près horizontales. On mesure la longueur de la maison et la différence des distances au sol des deux extrémilés d’une même ligne horizontale; en divisant cette différence par la longueur de la maison on a la pente.
  - Comme second procédé on peut se servir d’un appareil rudimentaire que tout cycliste peulcons-Fig. 23 truire lui-méme.
  - On installe, dans l’intérieur du cadre de la machine (/?</. 23) une planchette ABCD de façon que son plan coïncide,aussi exactement que possible, avec le plan moyen. Sur celte planchette on fixe un rapporteur Rit' de façon que la ligne O, 90 soit à peu près verticale quand la machine est sur un sol horizontal, et au centre O du rapporteur on fixe une aiguille. Pour mesurer une pente on place la machine dans la direction de la pente, on suspend à l’aiguille O un fil à plomb et on vérifie, d’abord, que le plan moyen est bien vertical en s’arrangeant de façon que le fil à plomb ne frotte pas
- p.164 - vue 168/272
- - APPAREILS DE MESURE
  - 165
  - sur la planchette mais ne s'en écarle pas non plus. On lit alors sur le rapporteur l’angle marqué par le fil, puis on retourne la machine bout pour bout de façon que la roue directrice vienne prendre la position qu’occupait la roue motrice et vice-versa. On recommence l’opération. On fait la différence des deux angles lus dans les deux opérations et la moitié de cette différence est l’angle d’inclinaison de la route sur l’horizon. Connaissant l’angle d’inclinaison, on a la pente en prenant la tangente trigonomé-trique de cet angle. Pour éviter des calculs à nos lecteurs, nous donnons, ci-dessous, un petit tableau des pentes qui correspondent à un angle d’inclinaison donné.
  - Angle d’inclinaison Pente
  - o,oo5
  - 35’ 0,01
  - 52' o.o i5
  - i°9 0,02
  - I°2G' 0,020
  - i°44' o,o3
  - 2° o,o35
  - 2°i8' 0.o4
  - 2°35' O b
  - 2°52' o,o5
  - 3°io' o,o55
  - 3°27' 0,06
- p.165 - vue 169/272
- - 166
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - Celle mélhode ne donne pas une grande approximation. Ainsi, avec un rapporteur de 20 centimètres de diamètre donnant le demi-degré, c’est-à-dire les 3o minutes, on peut apprécier l’angle à une demi-division près, c’est-à-dire à i5 minutes près; comme on divise par deux, l’erreur est d’environ 7' à 8', ce qui donne pour la pente une erreur de 2 à 3 millimètres par lecture. Il faut, en outre, dans l’application de la méthode, avoir bien soin que la machine repose sur une partie de la route bien nivelée.
  - Les constructeurs ont imaginé des appareils plus ou moins compliqués, fondés sur le môme principe, mais tous ne donnent guère plus d’approximation que l’appareil rudimentaire que nous venons de décrire.
  - Le procédé précédent présente ce défaut que, la bicyclette ne reposant qu’en deux points sur le sol, s’il y a un creux ou une bosse en l’un des points, cela fausse la mesure. C’est pour éviter cet inconvénient qu’on a imaginé le dêclivomètre. Le dêclivomètre se compose de 2 planchettes AB et AC articulées en A (fig. 24). On pose l’une AC sur le sol SS' et l’autre AB porte un niveau à bulle d’air N. On amène la planchette AB à devenir horizontale et on mesure l’angle BAC qui est l’angle d’inclinaison.Ou litla valeur de cet
- p.166 - vue 170/272
- - APPAREILS DE MESURE
  - 167
  - angle sur un arc gradué FE ou plutôt les divisions de l’arc FE portent les valeurs de la pente correspondante. C’est un appareil facile à emporter et qui donne des lectures rapides.
  - Enfin ajoutons, pour terminer, que, lorsqu’on dispose d’une bonne carte contenant des courbes de niveau ou des cotes exactes, on pourra calculer la pente de la route entre deuxpoints en divisant
  - Fig. 24
  - la différence des cotes des deux points par leur distance qu’on mesure sur la carte avec l’échelle-
  - 2° Dans la mesure des vitesses on peut avoir à mesurer soit une vitesse uniforme ou moyenne pendant un temps assez long, soit à mesurer une vitesse à un moment donné.
  - Lorsqu’on marche d’un mouvement uniforme, le meilleur moyen consiste à compter le nombre de coups de pédale ou, plus exactement, le nombre de tours de manivelle que la machine effectue dans un temps donné. On connaît très exactement le développement de sa machine, il suffit pour cela de mesurer le diamètre de la roue mo-
- p.167 - vue 171/272
- - 168
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - trice et de compter le nombre des dents des deux pignons on aura, par un calcul facile, ou en se reportant au tableau que nous avons donné dans XIntroduction, le développement. On comptera, par exemple, le nombre de tours effectués par une pédale dans un temps donné, dans io secondes, par exemple, on connaîtra ainsi, en multipliant ce nombre par le développement, le chemin parcouru et, par suite, la vitesse à la seconde.
  - On a imaginé les appareils les plus variés et les plus compliqués pour mesurer la vitesse.
  - Le vélographe est un instrument inscripteur qui inscrit sur un cercle de papier une courbe qui indique la variation de la vitesse pendant tout un trajet. C’est un instrument qui pourra être utile pour connaître la vitesse à un moment donné et sa variation d’une façon approximative. \J entraîneur automatique est un appareil qui est sous les yeux du cycliste et lui indique, à chaque instant, sa vitesse. C’est un appareil qui ne peut guère servir qu’aux coureurs sur piste pour maintenir un train régulier, sur roule les secousses de la machine rendant les lectures difficiles. Ce n’est pas un instrument pouvant donner quelque précision ; il indique la vitesse à un demi-kilomètre près par heure. Le nom-
- p.168 - vue 172/272
- - APPAREILS DE MESURE
  - 169
  - bre des instrumente de ce genre est considérable, les uns donnent la vitesse à un moment donné avec une faible approximation, les autres donnent une vitesse moyenne dans un temps suffisamment court, mais aucun ne donne une mesure de quelque précision, pour un espace de temps de quelques secondes, ce qui est nécessaire dans nos expériences. Au fond, le comptage des coups de pédalo est encore le procédé le plus précis, de beaucoup (’).
  - 3° Pour mesurer le travail d’un cycliste, il n’existe, à notre connaissance, qu’un appareil précis c’est la pédale dynamométrique de MM. Maillard et Bardon. Dans cet appareil on mesure, à chaque instant, la pression du pied sur la pédale et la composante utile de cette pression. Pour avoir le travail utile dépensé, le travail nécessaire à la propulsion ,i 1 suffira de faire la somme des produits de la composante utile par les chemins parcourus, c’est-à-dire par les arcs correspondants de la circonférence décrite par l’axe de la pédale. Pour cela, on portera en abcisses sur une feuille de papier les longueurs d’arcs parcou-
  - (•) On pourrait cependant imaginer un appareil, de haute précision, pour mesurer les vitesses, analogue à celui dont on se sert pour mesurer les vitesses des projectiles.
- p.169 - vue 173/272
- - 170 LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - rus et en ordonnées les pressions correspondantes {fig. 25), l’aire comprise entre la courbe ainsi obtenue et l’axe ordonnera le travail. Ainsi, par exemple, si, pendant que la manivelle a tourné de l’angle AO, la pression utile était II, on porte une Fia.. 25 longueur MM' égale
  - à wAO sur ox (m, longueur de la manivelle) et une longueur MP égale à n en ordonnée ; l’aire du rectangle MPP'M' sera le travail * pendant cet instant. — On mesurera les pressions en kilogrammes et le chemin parcouru en mètres et l’aire donnera le travail en kilo-grammèlres. On mesurera l’aire au planimètre ou par un procédé algébrique.
  - Le principe de la pédale dynamométrique est le suivant : le pied, au lieu de reposer directement sur la pédale, repose sur une plaque qui est séparée de la pédale par des ressorts à boudin. La quantité dont ces ressorts à boudin enfoncent, pour une pression déterminée, est, sensiblement, proportionnelle à celte pression. Une tige latérale fixée perpendiculairement à la plaque suit le mouvement de cette plaque et, par conséquent,
- p.170 - vue 174/272
- - APPAREILS DE MESURE
  - 171
  - monte ou descend de la même quantité que cette plaque. Un premier appareil enregistreur inscrit, à chaque instant, la quantité dont cette tige enfonce, ce qui donne une mesure de la pression totale du pied sur la pédale. La tige porte à son extrémité un tourillon, muni d’un galet, qui se déplace dans une glissiéie. Cette glissière est elle-même mobile en restant toujours parallèle à la manivelle. Par suite, celte glissière se déplace dans une direction perpendiculaire à la manivelle et la quantité dont elle se déplace mesure la projection du déplacement de la tige sur une direction perpendiculaire à la manivelle et, par suite, mesure une quantité proportionnelle à la projection de la pression du pied sur une perpendiculaire à la manivelle. Le déplacement de la glissière mesure donc la pression utile. Un second appareil enregistreur inscrit à chaque instant, le déplacement latéral de la glissière et ainsi, on a un appareil qui inscrit à la fois la pression totale et la pression utile. En calculant le travail de la pression utile, on aura le travail nécessaire à la propulsion, en calculant le travail qu’aurait effectué le cavalier si toute la pression du pied avait été utile et en prenant le rapport avec le travail précédent, on aura le rendement du cycliste. — La pédale dynamométrique est, on le voit, un
- p.171 - vue 175/272
- - 172
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - appareil de mesure précieux ; ajoutons, pour terminer, que, pour que les mesures puissent être faites convenablement, il faut que la machine ne soit pas trop cahotée, c’est-à-dire que la roule soit bonne.
  - Expériences de mesure du travail. —
  - Comme nous l’avons vu, le travail par mètre ou, ce qui revient au même, la résistance totale que le cycliste doit vaincre est donnée par une formule de la forme
  - R = A H- Bu -t- Cu2 (sur sol horizontal)
  - où v désigne la vitesse (en mètres par seconde, par exemple). Il s’agit de mesurer les coefficients A,B,C, qui sont des coefficients numériques et de voir comment ces coefficients varient lorsqu’on modifie les conditions.
  - L’expérience la plus précise à faire est la suivante : Un cavalier donné, avec une machine donnée, parcourt, dans un air calme, avec une vitesse uniforme connue, une route horizontale. La machine est munie d’une pédale dynamo-métrique et on mesure le travail dépensé dans la propulsion, c’est-à-dire le travail de la composante utile de la pression du pied, lorsqu’on a parcouru une distance connue. En divisant le travail total par la distance on a le travail par
- p.172 - vue 176/272
- - EXPÉRIENCES
  - 173
  - mèlre. On recommence plusieurs fois la même expérience à la même vitesse (par exemple trois fois) et on prend comme nombre correspondant à cette vitesse la moyenne des nombres obtenus. On fait ainsi plusieurs séries d’expériences à des vitesses différentes et on obtient les valeurs du travail par mètre à ces vitesses. On fera, par exemple, des mesures aux vitesses de 10, 12, 14, 16, 18 et 20 kilomètres à l’heure, c’est-à-dire aux vitesses de 2m,77 ; 3m,33 ; 3m,88 ; 4m>44 ; 5m et 5m,55 à la seconde. On aura les valeurs correspondantes du travail par mètre par les mesures précédentes. Supposons, par exemple, qu’on ait trouvé okB,95 ; il!ë,9o3 ; ikg,09; ikg,3i ; iks,45 et ikg,6o ; on devra pouvoir déterminer A, B et C de façon à vérifier les six égalités
  - / 0,95 = A -h B . 2,77 + G (2,77)2
  - l 1 ,o3 = A + B . 3,33 + C (3,33)2
  - J 1,19 = A + B . 3,88 H- C (3,88)2
  - j i,3i = A + B. 4,44 -1- G (4,44)2
  - / 1,45 = A 4- B. 5 +C52
  - [ 1,60 = A + B. 5,55 4- C (5,55)2
  - Dans les expériences très précises, on emploie, pour calculer ainsi les coefficients, une méthode excellente due à Cauchy. Ici il sera plus simple de remplacer les équations deux à deux par leur
- p.173 - vue 177/272
- - 174
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - somme et il ne restera plus que 3 équations pour déterminer les trois inconnues A, 13, C. Si on voulait avoir une formule ayant plus de généralité, il faudrait faire un plus grand nombre d’expériences et à des vitesses plus échelonnées, par exemple, aller jusqu’à 28 ou 3o kilomètres à l’heure, si possible.
  - Le procédé que nous venons de décrire est le procédé le plus scientifique, celui qui donne les meilleurs résultats car, outre que le travail sera bien ainsi mesuré dans les conditions où se trouve le cycliste d'ordinaire, il permettra de faire toujours les expériences sur la meme route. Le second procédé, que nous allons donner, a, au contraire, ce défaut de donner une mesure du travail dans des conditions qui 11e sont pas exactement les conditions où se trouve le cvcliste
  - V
  - d’ordinaire et oblige, en outre, de changer de route pour chaque série d’expériences. Or, lorsqu’on change de route, on change le frottement de roulement et les expériences ne sont plus aussi comparables entre elles que dans le cas précédent. Aussi, dans le second mode, faudra-t-il chercher à prendre des routes aussi semblables que possible au point de vue du terrain. Par contre, tandis que le premier procédé exige un appareil spécial dynamomélrique qui est d’un
- p.174 - vue 178/272
- - EXPÉRIENCES
  - 175
  - maniement délicat, celui que nous allons exposer ne nécessite aucun ins l ru ment spécial et est à lu portée de tous les cyclistes.
  - Ce second procédé est le procédé de M. Guye (Journal La Nature, 1893). Il consiste à mesurer la vitesse limite V qu’acquiert une machine lorsqu’on l’abandonne sur une descente. Nous avons vu, en effet (voir Travail sur sol incliné), que lorsqu’on abandonne les pédales dans une descente, suffisamment forte pour que la machine puisse rouler toute seule, la machine finit par prendre un mouvement uniforme, et nous avons appelé vitesse limite la vitesse V de ce mouvement uniforme. Lorsque la vitesse V est atteinte, le travail par mètre (en kilogrammèr très) ou, ce qui revient au môme, la résistance R (en kilogrammes) est exactement égale à Pp, P étant le poids total du cycliste et de sa machine et p>, la pente de la descente. Voici alors, comment on procède :
  - On se transporte sur une bonne route ayant une descente régulière, assez longue. On mesure, d’abord, la pente p de cette descente; puis, on s’abandonne sur cette descente, les pieds levés des pédales, et on observe le mouvement des pédales. Lorsque le mouvement est régulier, on compte le nombre de coups de pédale dans un
- p.175 - vue 179/272
- - 176
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - temps déterminé, 10 secondes par exemple, et on en déduit la vitesse limite V, comme nous l’avons expliqué. Si on avait un entraîneur automatique il suffirait de suivre l’aiguille et de lire soii indication lorsqu’elle aurait pris une position fixe. Mais ce second procédé donnera la vitesse moins exactement. On a, ainsi, le travail par mètre Fp à une vitesse V. En recommençant cette expérience sur différentes routes de pentes différentes, on aura ainsi des couples de nombres qui fourniront des équations pour calculer les coefficients A, B et G comme dans le cas précé-' dent. Ce mode d’expérimentation pourrait être très dangereux pour le cavalier sur les fortes descentes et il sera, en tous cas, très prudent de ne l’employer que sur une machine munie d’un frein pour pouvoir arrêter la machine en cas de danger. Pour que ces expériences donnent des résultats convenables, il faudra que le cavalier ait soin de se tenir, autant que possible, sur sa machine dans une position semblable à celle qu’il a d’ordinaire lorsque les pieds actionnent les pédales. Malgré cela on ne mesure pas exactement le travail utile, c’est-à-dire le travail, nécessaire à la propulsion, qu’aurait dépensé le cycliste s’il avait gravi la côte en sens inverse car, de cette façon, les pieds ne reposant pas sur les pédales, la
- p.176 - vue 180/272
- - EXPÉRIENCES
  - 177
  - chaîne ri est pas tendue et a un travail presque nul. Par conséquent ce qu’on mesure c’est le travail moins celui de la chaîne. 11 faut, d’ailleurs, remarquer que, comme le travail de la chaîne est faible, l’erreur ainsi commise n’est pas très forte.
  - En combinant les deux procédés on pourra en déduire un moyen de mesurer le travail de !a chaîne et voici comment: On se place au haut d’une pente connue et on s’abandonne, les pieds levés des pédales ; on mesure la vitesse limite V et la pente p. Ceci fait, on remontera la même côte en sens inverse avec la même vitesse V et on mesurera le travail par mètre au moyen de la pédale dynamométrique. Dans le premier cas le travail par mètre sera Pp, et dans le second cas il sera égal au double de Pp augmenté du travail de la chaîne. Donc, du travail dans le second cas on retranchera le double de Pp et on aura le travail de la chaîne par mètre.
  - Les deux procédés précédents nous permettent de calculer les coefficients A, B, C de la formule.
  - R = A -h By + Cu2
  - dans des conditions déterminées. En faisant varier ces conditions et en recommençant les expériences on pourra étudier l’influence de telle
  - Bourlet — Traité des bicycles et bicyclettes 12
- p.177 - vue 181/272
- - 178
  - LE TRAVAIL ET SA MESURE
  - ou telle variation sur le travail. Ainsi, en conservant la même machine, mais en la chargeant de poids connus, on pourra, en établissant les formules correspondant à chacun des cas, étudier l’influence de la variation du poids. Les termes de R qui varieront avec le poids seront ceux qui proviennent des roulements intérieurs et du frottement de roulement. Les autres proviendront de la résistance de l’air. On séparera, ainsi, ces deux parties. On pourra faire des expériences sur des sols variés, modifier la nature du bandage des roues, etc. Au point de vue de la construction des machines et de la qualité des divers pneumatiques, on pourrait avoir des renseignements très précieux. On marcherait ainsi sûrement dans la voie du progrès et on pourrait juger dans la masse des inventions nouvelles celles qui réalisent un progrès réel au lieu de marcher à talons comme on le fait depuis longtemps.
- p.178 - vue 182/272
- - CHAPITRE III
  - CONSTRUCTION D’UNE PISTE DE VÉLODROME
  - La piste d’un vélodrome (terrain de courses pour cycles) est une bande de terrain en général d’une largeur moyenne de 8 mètres ayant la forme d’une courbe fermée. Le terrain entouré par la piste est ce qu’on appelle la pelouse. La piste a deux bords l’un, le bord intérieur, qui entoure la pelouse qu’on appelle la corde ; l’autre, le bord extérieur, qui est la barrière (fig. 26). Comme la piste n’est pas en ligne droite, il y a une certaine incertitude pour mesurer sa longueur, car le chemin est évidemment plus long lorsqu’on suit la barrière que lorsqu’on suit la corde. Un coureur cherche, évi-
- p.179 - vue 183/272
- - 180 CONSTRUCTION d’uNE PISTE DE VELODROME
  - demment, sur piste, à suivre toujours le chemin le plus court et, par conséquent, à se tenir le plus près possible de la corde ; il est donc naturel de prendre, comme mesure de la longueur de la piste la longueur d’une ligne voisine de la corde. D’après les règlements anglais, qui ont été presque généralement adoptés, la longueur de la piste est mesurée à om,45 de la corde pour les pistes servant à la fois pour tricycles et bicycles et à om,3o de la corde pour les pistes servant, exclusivement, pour les courses à bicycles et bicyclettes. Nous appellerons ligne de foi, la ligne suivant laquelle on mesure la longueur de la piste : la corde sera alors une ligne intérieure, parallèle, distante de et la barrière en
  - sera distante d’une longueur arbitraire qui dépend de la largeur qu’on veut donner à la piste.
  - La forme d’une bonne piste devra remplir les conditions suivantes :
  - i° On devra pouvoir la parcourir à. n’importe quelle allure. Or, comme les vitesses les plus grandes obtenues, en course sur piste, n’ont guère dépassé 5o kilomètres à l’heure, la forme de la piste devra être telle qu’on puisse la parcourir, sans danger, à des vitesses variant de o à 60 kilomètres à l’heure.
- p.180 - vue 184/272
- - CALCUL DE LA PENTE AU VIRAGE
  - 181
  - 2° Le plan de la piste devra comporter deux parlies : des lignes droites et des virages et les lignes droites devront être les plus longues possibles, car c’est dans la ligne droite que la course est la plus facile.
  - Il résulte, tout de suite, de ce qui précède, que le sol de la piste ne peut plus être horizontal aux virages. Nous savons, en effet, que, sur un sol horizontal, on ne peut faire un virage donné qu’avec une vitesse inférieure à une vitesse maxima facile à calculer. Il en résulterait qu’on ne pourrait faire le virage qu’en ralentissant. D’autre part, nous avons vu que la vitesse maxima augmentait quand le sol, au lieu d’être horizontal, était incliné de façon que la pente descende vers le centre de la courbe. On est donc amené à cette conclusion que la piste, au virage, au lieu d’ètre horizontale, devra avoir la forme d’une cuvette.
  - Pour connaître la forme exacte de la piste, on devra donc, d’abord, déterminer la forme de la ligne de foi ; puis, calculer la pente en chaque point. Nous commencerons par donner les formules pour la pente.
  - Calcul de la pente du sol aux virages. — Soient R, le rayon de courbure du virage en
- p.181 - vue 185/272
- - 182 coNsrnucTJON d’une piste de vélodhome
  - un point et V, la vitesse maxima que peut atteindre un coureur. Nous avons vu (Ghap. 1) qu’à la vitesse V, on ne peut pas décrire sur un sol horizontal une courbe d’un rayon inférieur à V2
  - f étant le coefficient de frottement de glissement latéral d’un cycle et g, l’accélération due à la pesanteur [g = 9m,8o par seconde). Si le V2
  - rayon R est supérieur à —le s°l pourra être horizontal.
  - Donc :
  - En tous 'les points de la piste où le rayon de Y2
  - courbure est supérieur à -~j le sol devra être horizontal.
  - En prenant V = 60 kilomètres à l’heure, c’est-à-dire V = i6m,G6 à la seconde, et f = o,3, on trouve
  - rayon minimum =
  - X!
  - 9f
  - 9 4m,4o.
  - Ainsi une piste qui n’aurait que des virages de ioo mètres de rayon pourrait être horizontale.
  - Y2
  - Si le rayon R est inférieur à —. la piste devra être en pente. Or, nous avons vu (Chap. I) que, si désigne la pente au virage, la vitesse
- p.182 - vue 186/272
- - CALCUL DE LA DENTE AU VIRAGE 183
  - inaxima avec laquelle on peut décrire le virage est :
  - v A? (P ~+~ / )
  - V "i - Vf
  - Donc la pente p devra être telle que l’on ait
  - v/\\q (p -i- f ) V i -pf
  - >V
  - et il suffira que l’on prenne de façon que
  - ce qui donne
  - (0
  - R7 (p ± 0 — V2
  - i—pf
  - p =
  - YL_r
  - %___•_ .
  - i +/
  - v!.
  - 'V
  - Telle est la formule qui donne la pente de la piste au point où le rayon est R. Elle donne bien pour la pente une valeur positive si R V2
  - est supérieur à Pratiquement, pour faire le calcul, on posera
  - 00
  - tgcp=/- tglj/ = ~~ et on aura
  - P = tg G' — ?)•
- p.183 - vue 187/272
- - 184 CONSTRUCTION d’üNE PISTE DE VÉLODROME
  - D’ailleurs (41 — ç) est l'angle d'inclinaison du virage sur l’horizon (‘).
  - Nous avons fait le calcul dep, pour diverses valeurs du rayon R et en supposant V= i6m,66 (à la seconde) et f = o,3, et nous avons obtenu le tableau suivant :
  - f= 0,3 V — 6okm à l’heure
  - —— —-
  - lt P ^ - ?
  - 20m 0,7831 38°4'
  - 2.5 0,6204 3i°49'
  - 3o o,5oi8 26039'
  - 35 0,4096 22° 16'
  - do o,33o6 i8°36'
  - 45 0,2710 i5,j29'
  - 00 0.2275 12049'
  - 55 0,1829 I0°22'
  - 60 0,15o6 8«34'
  - 65 0,1198 6u5o'
  - 70 0.0933 5°20'
  - 75 0,0696 3“59'
  - 80 0.0486 2047'
  - 85 0,0299 i°43'
  - 9° o,oi33 o°46'
  - (4) cp. n'a pas ici la même signification que dans le Chap. I. Cet angle 9 est le complément de celui du Chap. I.
- p.184 - vue 188/272
- - CALCUL DE LA PENTE AU VIRAGE
  - 185
  - Nous n’avons pas à calculer la pente, pour un rayon supérieur à 94m,4o puisque, dans noire hypothèse (V — i6m,66, /= o,3) pour les rayons supérieurs à celle valeur le sol doit être horizontal.
  - Lorsque Je rayon R est faible la penle devient comme on le voit très forte. Il est clair que, si on prenait une valeur moins grande pour V, on aurait des penles moins fortes. Ainsi, par exemple, si on supposait la vitesse maxima des coureurs de kilomètres à l’heure, soit V = i2m,5o, on aurait (f = o,3), les nombres suivants :
  - V = 45km à l’Iicuro
  - f= o,3
  - a P ^ — ?
  - 20“ 0 4 01 2I°f>2'
  - 3o o, i f)9 II°I7'
  - 5o 0,01 7 0°f>()'
  - et pour un rayon supérieur à 53 mètres la piste serait horizon laie.
  - D’autre part, les nombres de ces deux tableaux seraient encore abaissés si le coefficient de frottement f était plus grand.
- p.185 - vue 189/272
- - 186 CONSTRUCTION d’uNE PISTE DE VELODROME
  - Par exemple, voici les tableaux qu’on aurait pour f — o;5.
  - V — Go^111 à l’heure II 0
  - —
  - R P — cp
  - 20 m o,5366 28° 13'
  - 2f) o,4o33 2i°58'
  - 3o 0,3019 i6<>48'
  - 35 0,2201 I2°25'
  - f\o 0,1539 8045'
  - /,5 0,0986 5038'
  - 5o o,o5i5 2058'
  - 55 0,0084 0°29'
  - V — 45km à l’heure II
  - R P 4, —cp
  - 20m 0,212 12°
  - 3o 0,025 I°25'-
  - Dans le cas de f = o,5, en supposant la vitesse maxima de 60 kilomètres à l’heure, pour un rayon supérieur à 55 mètres, le sol devrait être horizontal.
- p.186 - vue 190/272
- - CALCUL DE LA PENTE AU VIRAGE
  - 187
  - En voyant les différences énormes entre les penles, suivant qu’on suppose la vitesse maxima V égale à 45 kilomètres ou à 60 kilomètres à l’heure, on est amené d’abord à cette conclusion qu’il sera bon de faire deux espèces de pistes dans les cas où on ne pourra pas faire une bonne piste, pouvant servir pour toutes les vitesses.
  - Les pistes pour courses de fond, où on pourra prendre V = 45 kilomètres ou même égal à 4o kilomètres qui seront relativement peu relevées et les pistes pour les courses de vitesse pour lesquelles on prendra V — Go kilomètres et qui seront très relevées. Cette distinction s’impose, d’ailleurs, pour une autre raison : comme nous le verrons à l’instant, lorsqu’une piste est trop relevée on ne peut pas la parcourir lentement. Or, dans une course de fond il faut pouvoir aller lentement, ce qui souvent ne serait pas possible sur une piste faite pour les grandes vitesses.
  - Si on compare, maintenant, les tableaux où f = o,3 à ceux où f = o,5, on verra, à cause de l’abaissement de la pente qui est très notable, quelle importance il y aura à ce que le sol de la piste soit bien adhérent à la roue. Sur une piste couverte où le coefficient f ne varie pas on pourra donc relever beaucoup moins les virages
- p.187 - vue 191/272
- - 188 CONSTRUCTION d’u.NE PISTE DE VELODROME
  - que dans une pisle découverte qui est sujette à être mouillée.
  - Revenons, maintenant, un peu sur nos pas. La pentep donnée par la formule (1) est calculée de façon qu’on puisse faire le virage à la vitesse V. Or, nous savons (Chap. I) que si la pente p est plus faible que le coefficient f il n’y a pas de limite inférieure pour la vitesse et, par suite, on pourra faire le virage aussi lentement qu’on voudra. Mais si p est plus grand que f, il y a une limite inférieure et on ne peut pas faire le virage avec une vitesse inférieure à
  - // (P ~ f) -Vf
  - Or, pour qu’une pisle soit tout à fait bonne, il faut qu’on puisse la parcourir à toute allure., il faut donc qu’elle n’ait pas de pente supérieure au coefficient de frottement et que p fourni par la formule (1) soit plus petit que f, ce qui donne
  - Ji<7
  - -f
  - r\Ji
  - 1+/%
  - <f
  - ~ g 2/
  - d'où
  - (3)
- p.188 - vue 192/272
- - CALCUL DE LA PENTE AU VIRAGE
  - 189
  - et, comme f = tg<p,
  - V2
  - R > — cotg (2<p)
  - Donc, dans une bonne piste, le rayon de courbure d'un virage ne devra jamais être
  - . , V2 i — p
  - inferieur a :---------- •
  - . . 9 2/
  - Ainsi, pour une bonne piste de vitesse, où
  - V = 6o kilomètres à l’heure, f — o,3, le rayon
  - minimum sera. pour f = o,5, il ne serait
  - plus que de 2im,25. Pour une piste de fond, où
  - V = 45 kilomètres à l’heure, le rayon minimum serait beaucoup plus faible ; ainsi pour/:'= o,3, le rayon minimum serait de 24m,i8, pour f = o,5 il serait de 11m,97 -
  - Il arrive souvent, qu’à cause de l’exiguïté du terrain dont on dispose, on ne peut pas faire les virages larges. Dans de telles conditions, il faut choisir et faire : ou une piste de fond à virages peu relevés sur laquelle on pourra aller lentement mais qu’on ne pourra pas parcourir en grande vitesse ; ou une piste de vitesse à virages très relevés mais qu’on ne pourra pas parcourir lentement. Dans ce dernier cas, il y aura des virages qu’on ne pourra faire qu’avec une vitesse supérieure à une vitesse minima. Ainsi, dans une piste de vi-
- p.189 - vue 193/272
- - 190 CONSTRUCTION d’uNE PISTE DE VELODROME
  - tesse (V = i6m,GG, f = o,3) qui aurait un virago de 20 mètres, ce virage devrait avoir une pente de 0,78, d’après notre tableau, et on ne pourrait pas faire ce virage avec une vitesse inférieure à 8m,75 par seconde, ou à 3i kilomètres à l’heure environ. Ce qui serait la condamnation de cette valeur du rayon. D’ailleurs, en prenant Y = i2m,5o, c’est-à-dire en prenant la vitesse maxima de 45 kilomètres à l’heure et f = o,3, on tombe aussitôt à la vitesse minima de 1m,76, à la seconde, soit environ G kilomètres à l’heure ; d’ailleurs, la pente du virage ne serait que o,4o. La majorité des pistes qu’on a faites jusqu’ici, ont été établies pour des vitesses maxima de 45 kilomètres à l’heure, il en résulte que dans de telles pistes le rayon du virage pourrait avoir, sans grand inconvénient, un rayon de 20 mètres.
  - Nous n’avons donné les tableaux et les nombres qui précèdent que pour fournir des exemples et pour qu’on puisse se rendre compte des variations de la pente dans les diverses hypothèses. Il est clair que, dans une application pratique, il faudra reprendre tous ces calculs en appliquant les formules (2). Dans ces formules on prendra pour Y, la vitesse maxima qu'on jugera convenable et pour f, le coefficient de frot-
- p.190 - vue 194/272
- - MESURE DU FROTTEMENT LATERAL 191
  - tement d’un cycle sur le sol dont est formée la piste. La grande difficulté qui se présente ici c’est de connaître le coefficient f. Pour une piste couverte, f sera sensiblement constant et assez grand. Mais dans une piste en plein air, f sera variable avec le temps et, les jours de pluie, f sera notablement diminué. Nous allons montrer quels moyens on pourrait employer pour mesurer f. Pour les pistes couvertes on mesurera f sur un terrain sec ; pour les pistes en plein air il faudra mesurer f sur un sol humide, c'est-à-dire dans les conditions où il est le plus faible.
  - Mesure du coefficient de frottement de glissement latéral. — Lorsqu’on aura choisi un sol de piste, pour mesurer le coefficient f de frottement, on construira une aire plane horizontale d’essai avec la matière qu’on voudra employer, on tracera sur celte aire un cercle dont le rayon p sera, par suite, connu. Un cycliste montant une machine munie d’un indicateur de vitesse décrira le cercle avec une vitesse croissante jusqu'à ce que l'équilibre soit rompu. Soit alors v la vitesse du cycle au moment où l’équilibre est rompu, p sera le rayon minimum qu’on peut décrire à la vitesse v et on aura, par suite, la relation
  - v2
  - f = 9f
- p.191 - vue 195/272
- - 192 CONSTRUCTION D’UNE PISTE DE VELODROME d’où on tirera
  - Pour que l’expérience ne soit pas dangereuse, le cavalier devra monter une machine basse, de façon à pouvoir mettre rapidement pied à terre, et on devra, en outre, choisir p assez petit pour que la vitesse v ne soit pas trop considérable.
  - L’expérience que nous venons de décrire est difficile à faire et on pourrait se demander s’il ne serait pas possible de déterminer le coefficient f d’une façon statique. On pourrait, en effet, faire des expériences analogues à celles de Coulomb pour mesurer le frottement du caoutchouc, qui sert pour les bandages, sur le sol, mais le nombre ainsi trouvé pour f serait, probablement, loin d’être exact car, d’une part, on ne serait pas placé dans les conditions de la réalité et, d’autre part, le coefficient /"qui figure dans nos formules n’est pas, à proprement parler, le coefficient de frottement des roues, mais le coefficient de la machine : c'est l'inverse de la tangente de l'angle minimum que le plan moyen peut faire avec le sol, lorsque la machine est en mouvement. Une expérience statique pour mesurer cet angle donnerait probablement une valeur trop forte pour f.
- p.192 - vue 196/272
- - MESURE DU FROTTEMENT LATERAL 193
  - Si on a déjà construit des pistes avec le sol qu’on veut employer, l’expérience journalière de cette première piste pourra servir utilement pour connaître f. 11 pourra arriver trois cas :
  - i° La piste construite est bonne. Dans ce cas, les relevages étant bons, il suffira d’en faire de semblables. Ainsi, la piste de Courbevoie était relevée de 20 centimètres par mètre pour un virage de 32 mètres. Cetts piste était bonne pour des vitesses qui n’ont pas dépassé 45 kilomètres à l'heure'. Donc, pour V = i2,5o, p = 0,2, on avait R = 32 mètres. En portant, dans l’égalité
  - (,) = y - w
  - ’ p %+vy
  - ces valeurs de p, V et R, on en lire
  - f = (>,3
  - s
  - on en conclut que, sur le terrain de la piste de Courbevoie le coefficient /"était au moins égal à o,3. C’est pour cela que nous avons, souvent, dans nos exemples, pris f — o,3.
  - 20 La piste n'est pas assez relevée. Dans ce cas, il y a des chutes. Si on a, approximativement, la vitesse v à laquelle il y a eu chute en un point du virage, dont on connaît'le rayon R et la pente p, on connaîtra encore dans la formule (i)lout sauf f, ce qui permettra d’en tirer/*.
  - Bourlrt — Traité des bicycles et bicyclettes
  - .13
- p.193 - vue 197/272
- - 194 CONSTRUCTION D’UNE PISTE DE VÉLODROME
  - 3° Si la piste est trop relevée, il y aura une vitesse minima au-dessous de laquelle on ne pourra pas faire les virages. On déterminera cette vitesse minima v et, d’après ce que nous savons (Chap. I), on aura
  - „2 _ R/7(> —_ f)
  - ' -V vf.’
  - formule où on connaîtra tout sauf / et qui, par suite, donnera /.
  - Détermination de la ligne de foi. — La
  - ligne de foi d’une piste, qui est la ligne suivant laquelle on compte la longueur de la piste, est celle qui est suivie par les coureurs qui serrent la corde de près. Pour que le coureur ne fasse pas de travail inutile èn montées et descentes, cette ligne devra être une courbe fermée horizontale.
  - Si on disposait d’un terrain assez vaste pour pouvoir donner à la ligne des courbures très grandes, il suffirait de prendre pour la ligne de foi une ligne telle qu’en un point quelconque le
  - V2
  - rayon de courbure soit supérieur à —et, alors,
  - J /
  - on pourrait prendre le sol horizontal. Dans la réalité on ne dispose que de terrains limités et, alors, la courbure des virages de la ligne de foi
- p.194 - vue 198/272
- - LIGNE DE FOI
  - 195
  - ne peut pas être assez grande pour remplir les conditions précédentes. On est donc forcé de relever les virages.
  - Dans toutes les pistes qu’on construisait autrefois et dans la grande majorité de celles qu’on construit encore maintenant, la ligne de foi (le plan de la piste si on veut) se composait de deux lignes droites AB et CD {fig. 26) raccordées par deux arcs de cercle BEC et DFA. Celte disposition est éminemment défectueuse et présente les
  - Fig. 26
  - plus graves inconvénients, voici pourquoi : D’après nos calculs, nous avons montré que pour un rayon donné un virage doit être relevé de façon à avoir une pente déterminée, donnée par la formule (1) (Calcul de la pente). Il en résulte que tout le long du virage BEC le sol devra être relevé d’un certain angle. Au contraire, dans les lignes droites AB et CD le sol doit être
- p.195 - vue 199/272
- - 190 CONSTRUCTION d’une PISTE DE VELODROME
  - horizontal. Donc, au point exact où la ligne droite cesse et où le cercle commence, le sol devra brusquement cesser d’ôtre horizontal pour devenir incliné. Pratiquement, ceci n’est pas possible, car il faudrait qu’aux lignes AA', BB', CC', DD' il y ait de véritables tranchées, des coupures brusques de terrain. Pour lever cette difficulté les architectes des pistes, au lieu de faire ce qui était raisonnable, à savoir de modifier la courbure de la piste aux points de raccordement de façon que la pente puisse monter graduellement, ont imaginé une sorte de compromis des plus fâcheux. Au passage de la ligne droite au cercle ils ont relevé la ligne droite un peu avant le passage et ont un peu moins relevé le cercle qu’il ne le fallait de façon à faire une montée graduelle de la pente. On a ainsi une piste qui a une ligne droite relevée lorsqu’elle doit être horizontale et un virage qui nest pas assez relevé au point de raccordement. Les elfets de cette disposition fâcheuse ne se sont pas fait attendre et on voit, constamment, les coureurs faire des chutes graves toujours à la sortie ou à Ventrée du virage. Pour remédier à cet état de choses, on chercha à se rapprocher le plus possible du passage brusque du sol horizontal au sol incliné et on construisit des pistes qui ont un renflement
- p.196 - vue 200/272
- - LIG Mi DK FOI
  - 197
  - brusque de terrain, une sorte de bosse. Les coureurs peu habitués à la piste sont gênés per cette bosse et, au contraire, ceux qui connaissent la piste tirent parti de ce renflement pour prendre de l’élan à la sortie du virage.
  - Ce n’est, enfin, que dans ces derniers temps, qu’on a fini par penser que l’on devait abandonner la forme circulaire pour les virages. On a construit des pistes à virages elliptiques (comme celle de Lille) ou à virages paraboliques. Nous montrerons, en effet, plus loin que de telles pistes peuvent être bonnes si elles sont bien disposées mais, à notre avis, ce que nous proposons est encore préférable : c’est le virage semi-circulaire.
  - Pour lever la difficulté d’une façon rationnelle il faudra que la ligne de foi, au début du virage, ait un rayon de courbure très grand, assez grand pour que ce rayon soit égal ou su-V2
  - périeur à — , c’cst-à-dire au rayon limite. Pour ce rayon la pente correspondante est nulle. La courbure de la ligne de foi devra, ensuite, aller en croissant et la pente correspondante augmentera, alors, graduellement. On pourra, à volonté prendre deux dispositions ou bien prendre une courbe dont le rayon de courbure aille
- p.197 - vue 201/272
- - 198 CONSTRUCTION d’uNE PISTE DE VELODROME
  - constamment en décroissant de B jusqu’au point E (fig. 26), extrémité du grand axe de la piste, pour reprendre ensuite les mômes valeurs, en sens inverse, de E en G ; ou bien, ne faire croître la courbure que jusqu’en un certain point pour continuer ensuite le virage par un arc de cercle de môme courbure. Un virage elliptique dans lequel l’arc BEC serait une demi-ellipse ayant pour petit axe BC pourrait remplir les conditions du premier cas, pourvu que le rayon de courbure en B soit supérieur au rayon V2
  - limite — ; mais, ce qui nous semble encore le
  - üt .
  - meilleur, c’est de choisir pour l’arc de courbe BE une courbe dont le rayon de courbure infiniment grand en B va en décroissant jusqu’en E. Il y a une infinité de courbes qui pourraient remplir ces conditions mais, parmi toutes celles qu’on pourrait choisir,celle qui paraît la plusralionnelle est, précisément, celle que la machine décrit naturellement lorsqu'on fait un virage sur sol horizontal. Cette courbe, que nous avons étudiée, que nous avons nommée courbe de Cornu a des équations assez compliquées, mais, comme nous le montrerons, elle donnera lieu à des calculs de détermination très simples. Nous appellerons virage rationnel un virage dans lequel la courbe
- p.198 - vue 202/272
- - VIRAGE RATIONNEL
  - 190
  - BE est une portion de courbe de Cornu. Nous étudierons trois dispositions de virages. i° Le virage rationnel ;
  - 2° Le virage semi-circulaire, dans lequel l’are BE se compose d’une portion de courbe de Cornu suivie d’un arc de cercle ;
  - 3° Les virages elliptique et parabolique. Ligne de loi d’un virage rationnel. — D’après ce que nous avons vu dans le Cliap. I (direction dans un virage) la courbe décrite par un cycle dans un virage ou courbe de Cornu, a pour équations
  - (4)
  - en posant, pour abréger
  - o
  - (5)
- p.199 - vue 203/272
- - 200 CONSTRUCTION D’UNE PISTE DE VELODROME
  - où /; désigne une constante numérique, œ et y, les coordonnées d’un point de la courbe rapportée à deux axes rectangulaires Ox et O g (fig. 27), exprimées en fonction d’un paramètre z. Quand on donne à z des valeurs croissantes de 0 à 1 le point M de la courbe de coordonnées x, y décrit un arc OA d’abord langent en O à Ox et tel
  - Fig. 27
  - qu’en A la tangente soit parallèle à O y. C’est cet arc de courbe OA que, dans un virage rationnel, on devra prendre comme moitié du virage. Dans les formules (4), s désigne l’arc OM compté à partir de O, R le rayon de courbure au point M et a l’angle de la tangente MT avec l’axe 0.77.
  - Les intégrales J- et J; qui sont les intégrales de Fresnel ont été calculées par Fresnel, puis, par Gilbert (Mémoires couronnés de /’Académie des Sciences de Bruxelles, t. XXXI, p. i, i863). Voici le tableau de leurs valeurs d’après Gilbert :
- p.200 - vue 204/272
- - VIRAGE RATIONNEL
  - 201
  - Tableau A
  - 13 Sz
  - 0 0 0
  - 0,1 0,0999 o,ooo5
  - 0,2 o,i999 0,0042
  - o,3 0,2994 0,0141
  - 0,4 0,3975 o,o334
  - 0,5 0,4923 0,0647
  - o,G o,5811 0,1 io5
  - °>7 0,6597 0,1721
  - 0,8 0,7230 0,2498
  - 0,9 0,7648 0,3398
  - 1,0 0,7799 o,4383
  - Avec ce tableau on fera, très aisément, tousles calculs pour déterminer la ligne de foi dans un virage rationnel.
  - Le nombre k sera déterminé par la longueur que l’on veut donner au virage. Supposons, par exemple, qu’on veuille établir une piste d’un kilomètre de tour. On pourra prendre deux lignes droites de 3oo mètres chacune et deux virages ayant chacun 200 mètres de longueur. La moitié du virage aura donc 100 mètres. Or, le point A (fig. 27) est obtenu pour^= 1, par suite, comme pour x — 1, s = k, la longueur de Tare OA est précisément égale à k. Le coefficient k est donc égal à la moitié de la longueur du virage.
- p.201 - vue 205/272
- - 202 CONSTRUCTION d’uNE 1MSTE DE VELODROME
  - Ainsi, dans l’exemple précédent, il faudrait prendre k = 100. En multipliant alors tous les nombres I-et J., du Tableau (A) par 100, on aura les coordonnées de onze points de l’arc O.A de O en A, distants de 10 mètres en 10 mètres sur l’arc OA, exprimées en mètres. En chacun des points on aura, très simplement, le rayon de courbure par la formule
  - en donnant à s les valeurs de 0,1 à 1,0.
  - La fig. 28 donne la forme exacte de l’arc de courbe OA avec les 9 points intermédiaires Mt M2M3... Mg correspondant aux valeurs de z : 0,1 ; 0,2 ; o,3 ; ... 0,9.
  - Comme nous l’avons expliqué plus haut, pour qu’une piste soit bonne il faut qu’on puisse la parcourir à toute allure, aussi vite et aussi lentement qu’on le voudra, et pour cela il faut que le rayon de courbure en chacun de ses points reste inférieur à un rayon limite donné par la formule (3) (Calcul de la pente). Or, le point A (s = 1) est le point de l’arc OA où le rayon de k
  - courbure est le plus petit et égal à —, donc il
- p.202 - vue 206/272
- - VIRAGE RATIONNEL
  - 203
  - Fig. 28
  - COURUE DE CORNU, LONGUEUR : IOO MÈTRES
  - EcK.ll,
- p.203 - vue 207/272
- - 204 CONSTRUCTION u’üNE PISTE DE VELODROME
  - faudra, pour que la piste soit bonne, que — soit
  - plus grand ou égal à ce rayon limite. Ainsi, dans le cas courant où la vitesse limite V est 5o kilomètres à l’heure (i3m,88 à la seconde) et où f = o,3 le rayon limite, est, environ, 3o mètres. Ce rayon limite est calculé de façon qu’on puisse même rouler à la vitesse zéro. Pratiquement, sur une piste, on ne roule pas à une vitesse excessivement faible et on peut admettre qu’il y a une limite inférieure pour la vitesse. Ceci permet d’abaisser un peu le rayon minimum. Avec le rayon 3o mètres on aurait pour k environ 90. Nous pourrons, alors, prendre comme minimum de k une valeur inférieure environ 80. Ainsi, dans les conditions normales (V — 5o kilomètres, f = o,3) la longueur d'un virage rationnel pour une bonne piste ne devra pas être inférieure à 160 mètres. Nous avons fait le calcul complet des coordonnées des points du demi-virage, des rayons de courbure et des pentes cor-respondantes calculées au moyeu de la formule (1) pour les deux cas d’un virage de 200 mètres et de 160 mètres, en supposant la vitesse limite V = 5o kilomètres (à l’heure) et f — o,3, ce qui donne les deux tableaux des p. 206 et 207.
  - En examinant ces deux tableaux, on verra
- p.204 - vue 208/272
- - VIRAGE RATIONNEL
  - 205
  - que, comme la courbe au début a un rayon de courbure très grand, la pente, à l’entrée du virage, reste, sur une longueur assez notable, nulle. Ainsi, dans le premier cas (virage de 200 mètres) les 5o premiers mètres du virage sont en terrain horizontal et dans le second cas (virage de 160 mètres) ce sont, environ, les trente premiers mètres pour lesquels le sol est horizontal. Ces parties horizontales des virages s’ajoutent aux lignes droites et les prolongent. Dans les deux cas, il n’y a environ que sur une longueur de 100 mètres que le virage total est relevé.
  - Il arrive très souvent qu’on dispose d’une bande de terrain déterminée, la largeur de la pelouse, c’est-à-dire la distance des deux lignes droites est alors fixée par la largeur du terrain. C’est, alors, cette condition qui servira à déterminer k. Pour une valeur donnée de k la largeur de la pelouse est égale au double de l'ordonnée du point A. La distance des deux lignes droites est donc donnée par la formule
  - d = k X 0,8766.
  - Si donc d est déterminé on auraÆ par l’égalité
- p.205 - vue 209/272
- - 206 CONSTRUCTION d’üNE PISTE DE VELODROME
  - VIRAGE DE 200 MÈTRES DE LONGUEUR
  - Coordonnées
  - Pol„„ • y de courbure Pente
  - 0 0 0 co 0
  - 9m’99 om,o5 3i8m,3o - 0
  - m2 19. 99 0, 42 i5g, 25 0
  - m3 29. 94 1, 41 106, 10 0
  - M* 39, 75 3, 34 79» 67 0
  - m5 49, 23 6. 47 63, 66 0,0078
  - M0 58, n 11, o5 53, o5 o,o63
  - . M, 65, 97 17, 21 4-5. 47 0,101
  - Mg 72, 3o 24, p3 39» 79 0,169
  - M9 76, 48 33, 98 35, 37 0,219
  - A 77» 99 43, 83 3i, 83 0,267
  - Distance de deux points consécutifs sur la ligne de foi = io mètres.
  - Hayon de pente zéro — 65m,53.
  - Le relèvement commence entre les points M4 My au point pour lequel z — 0,486.
  - Distance des deux lignes droites 87™,66.
  - Pour que la piste soit bonne il faudra que la valeur trouvée pour k soit supérieure à 80, ce qui nécessite qu’on dispose d’une largeur de pelouse d’au moins 70 mètres.
  - Si la valeur trouvée pour k est inférieure à 80 on ne pourra plus faire une piste bonne dans
- p.206 - vue 210/272
- - VIRAGE RATIONNEL
  - 207
  - VIRAGE DE 160 MÈTRES DE LONGUEUR
  - Coordonnées
  - Pointa * y de courbure Pente
  - 0 O 0 ce 0
  - Mt 7m>99 Om,o4 254-,84 * 0
  - m2 i-r>, 99 0, 33 127, 4° 0
  - m3 23, 95 1, i3 84, 88 0
  - Mv 3i, 80 2, 67 G3, GG 0,0078
  - M5 39, 38 r>, 18 5o, 93 0,077
  - Mfi 46, 49 8, 84 42, 44 0,i43
  - m7 52, 78 l3> 77 36, 38 °>I97
  - Mg 57, 84 19, 94 31, 83 0,267
  - Mfl 61, 18 27, 18 28, 3o o,32G
  - A 62, 3g 35, oG 25, 46 o,383
  - Distance de deux points consécutifs, sur la ligne de foi = 8 mètres.
  - Rayon de pente zéro = 65m,53.
  - Le relèvement commence entre les points M3 et M4 au point pour lequel z — o,388.
  - Distance des deux lignes droites = 70™, 12.
  - tous les cas et il faudra choisir et faire, soit une piste de courses de vitesse à virages très relevés en calculant les virages pour V = 5o ou 60 kilomètres (à l’heure), soit une piste de courses de fond en calculant les virages pour V = 4° ou 45 kilomètres à l’heure. Dans le premier cas, on
- p.207 - vue 211/272
- - 208 CONSTRUCTION d’uNE PISTE DE VELODROME
  - no pourrait pas parcourir la piste lentement et, dans le second cas, on ne pourrait pas atteindre des vitesses considérables.
  - Ligne de foi d’un virage semi-circulaire — Dans le virage rationnel, que nous venons de décrire, la ligne de foi du virage est toute entière une courbe de Cornu. Dans le virage semi-circulaire la ligne de foi se compose d’une portion de courbe de Cornu continuée par un cercle. Dans ce cas, la courbe de Cornu ne sert
  - que comme courbe de raccordement de la ligne droite au cercle. Ce virage, comme nous le montrerons tout à l’heure est meilleur que le virage rationnel et nous n’avons étudié à fond le virage rationnel que parce que celle étude est d’une grande utilité dans les calculs du virago semi-circulaire.
  - Soit OB {fig. 29) l’arc de courbe de Cornu qui commence le virage et supposons que le point B soit le point de la courbe de Cornu qui correspond à la valeur zi du paramètre z (voir les formules (4) et (5) du paragraphe précédent). Le rayon de courbure Ri en B est donné
  - Fig. 29
- p.208 - vue 212/272
- - VIRAGE SEMI-CIRCULAIRE
  - 200
  - par la formule
  - 71 z i
  - et l’angle <xl que fait la tangente en B avec Ox est :
  - Au point B, la courbe OB est continuée par le cercle oscillateur, c’est-à-dire par le cercle tangent en B et ayant même rayon de courbure (et, par suite, même centre de courbure w) que la courbe en B. Pour construire graphiquement le centre w de ce cercle, on porte sur la normale en B une longueur Bw égale à Rr On aura la moitié du virage en arrêtant le cercle au point A où la tangente AG est parallèle à O y. Il est facile, alors, de calculer tous les éléments du virage.
  - L’angle AwB est le complément de l’angle at et, par suite, est égal à (1 — ixi2) ; la longueur de l’arc de cercle AB est donc
  - arc AB = Rx. - (i — z?) = k. ——-1-2 V '
  - La longueur totale du demi-viri^ge est donc la somme des deux arcs OB et AB et, par suite, égale à
  - kzt -f- k.
  - — k.
  - i. + y.
  - 2 Zl
  - Bourlkt — Traité des bicycles et bicyclettes
  - U
- p.209 - vue 213/272
- - 210 CONSTRUCTION d’üNE PISTE DE VÉLODROME
  - Comme la quantité —— est toujours plus
  - 2 Zi
  - grande que 1, cette expression nous montre que la longueur du demi-virage est plus grande que 1î, c’est-à-dire plus grande que la longueur du demi-virage rationnel qu’on aurait obtenu en prenant la courbe de Cornu tout entière. La substitution de l’arc BA à la courbe de Cornu, allonge par conséquent le virage. Ceci semble, au premier abord, un inconvénient, mais il faut remarquer que le virage semi-circulaire ainsi obtenu atteint des pentes beaucoup moins élevées que le virage rationnel. Car à partir du point B la courbure devenant constante, la pente devient constante. Ceci n’est pas une comparaison raisonnable et nous montrerons plus loin tous les avantages du virage semi-circulaire.
  - Pour déterminer la position du point w on peut calculer les longueurs BII et wll (fig. 29) et on a :
  - BII == Rt cos «t = . cos ^ z^
  - a) II = Rt sin al = sin ^ z^
  - La distance du point A à l’axe Ox est alors
  - AC = BII + y, = l £---- cos ^ V) + J=i]
- p.210 - vue 214/272
- - VIRAGE SEMI-CIRCULAIRE
  - 211
  - yi désignant l’ordonnée du point B. La largeur de la pelouse, c’est-à-dire la distance des deux lignes droites est le double de AG. En résumé, on a le tableau de formules suivant :
  - Angle de la tangente en B avec Ox :
  - oc,
  - 2
  - Longueur de l'arc de courbe :
  - OB = ksi.
  - Longueur de Varc de cercle BA :
  - Longueur totale du virage :
  - Rayon du cercle B A :
  - Distance des 2 lignes droites :
  - Dans ces formules, il reste quelque chose A in-
- p.211 - vue 215/272
- - 212 CONSTRUCTION D*UNE TlSTE DE VÉLODROME
  - déterminé, c’est le choix de zl qui reste au gré du constructeur, zy une fois déterminé on choisira k de façon que le virage remplisse les conditions désirées, par exemple, de façon que le virage ait une longueur donnée ou de façon que la pelouse ait une largeur donnée. En général, on ne dispose que d’un terrain limité et la largeur de la pelouse, c’est-à-dire la distance d des deux lignes droites est déterminée. On devra évidemment choisir zx de façon que le virage soit le plus large possible, c’est-à-dire de façon que Rj soit le plus grand possible. Il est facile de voir que, pour une valeur donnée de d, Rt décroît quand z^ croît. On est donc amené à cette conclusion qu’il faut prendre pour zi la plus petite valeur possible. Mais, d’autre part, pour que la piste soit douce il faut que le passage du sol horizontal au sol incliné ne se fasse pas trop brusquement, il faudra donc prendre pour z{ une valeur petite, mais telle que la longueur de l'arc de raccordement OB soit assez grand pour que le relèvement se fasse doucement. 11 nous semble qu’il faudra prendre pour des valeurs comprises entre o,3 et o,6. Plus la largeur de pelouse dont on dispose sera grande plus on pourra prendre pour zt des valeurs petites.
  - Pour éviter à nos lecteurs des calculs, nous
- p.212 - vue 216/272
- - TABLEAU DES NOMBRES FONDAMENTAUX d’un VIRAGE SEMI-CIRCULAIRE
  - Nombres fondamen- taux Valeur de
  - o,3 0.4 0,5 0,6 o,7
  - ^1 k. 0,2994 k. 0,3976 k. 0,4923 k o,5811 k. 0,6697
  - 2/1 k. 0,0l4l k. o,o334 k. 0,0647 k. o,no5 Je. 0,1721
  - «1 8° 6' i4° 24' 22° 3o' 320 24' 440 6'
  - 1 k. i,5x66 k. 1,0000 k. 0,7000 k. o,5333 k. o,3643
  - L k. 3,6332 k. 2.9000 k. 2,6000 k. 2,2666 Je. 2,1285
  - Ri k. 1,0610 k. 0,7967 k. o,6366 le. o.53o5 k. 0,4547
  - : BH k. 1,0004 Je. 0,7708 k. o,5881 °4i79 h. 0,3265
  - uH k. 0,1490 k. 0,1979 k. 0,2436 k. 0,2842 k. o,3i64
  - d k. 2,1290 k. 1,6084 k. i,3o56 k. 1,116S Je. 0,9972
  - VIRAGE SEMI-CIRCULAIRE
- p.213 - vue 217/272
- - 214 CONSTRUCTION D’UNE PISTE DE VELODROME
  - avons fait les calculs des nombres fondamentaux ocj, l, L, R,, BIT, coII et d pour les valeurs de zy de o,3 à 0,7, ce qui nous donne le tableau de la p. 2i3 dans lequel a?,. et yx désignent les coordonnées de B tirées du Tableau A des valeurs des intégrales 13 et J-.
  - Voici, maintenant, comment, avec l’aide de ce tableau, on déterminera les éléments du virage. Supposons, par exemple, qu’on dispose d’un terrain qui permette de prendre deux lignes droites distantes de 70 mètres, comme cela a lieu pour le vélodrome de la Seine. Il faudra alors déterminer k de façon que d ait la valeur 70. Voici alors le tableau des diverses valeurs de k qu’on trouve suivant qu’on prend pour les valeurs de 0,3 à 0,7 :
  - Longueur de l'are
  - zx k OB
  - 0,3 3am,88 9m,86 ' )d = 70 mètres
  - o,4 43, 52 17, 5o (
  - o,5 53, 61 26, 80 l
  - 0,6 62, 68 37, Gi \
  - o.7 70, 20 49' 4
  - Nous avons placé dans ce tableau les valeurs de la longueur de l’arc de raccordement OB correspondantes. Pour que la pente ne s’élève pas
- p.214 - vue 218/272
- - VIRAGE SEMI-CIRCULAIRE
  - 215
  - trop rapidement, il faut que cet arc de raccordement ne soit pas trop court. Il faut que la longueur de cet arc soit proportionnée à la pente maxima qui est atteinte en B. Dans le cas présent, la pente maxima qu’on atteindra sera environ o,25. Si on veut qu’en moyenne, dans le raccordement, la pente ne monte pas plus de 1 centimètre par mètre parcouru sur la piste, il faut que l’arc OB ait au moins 3o mètres de longueur. La plus petite valeur de Zy répondant à celte condition est, dans notre tableau o,6. Nous sommes donc conduit à prendre o,6 pour la valeur de zi. La valeur de zl ainsi fixée, on termine le calcul en donnant à k la valeur 62,68 dans la ligne 0,6 du tableau précédent ce qui donne :
  - Coordonnées de B j Xl ^ ’^2°
  - ( 2/i=6 ,925
  - 5tj = 32° ,2^ l = 33m,42 L= 142 ,07 R, = 33 ,25 BH = 28 ,075 wlï = 17 ,817 arc OB = 37 ,61 cl — 70™ k= 62 ,68 0 ,6.
  - *1 =
- p.215 - vue 219/272
- - 216 CONSTRUCTION ü’uNE PISTE DE VELODROME
  - Nous avons représenté dans la fig. 3o le demi* virage semi-circulaire ainsi obtenu.
  - Les nombres précédents suffisent pour montrer la supériorité du virage semi-circulaire sur le virage rationnel. En effet, nous avons vu que pour k = 80 on obtient un virage rationnel pour lequel d est aussi environ égal à 70 mètres (voir le second tableau du paragraphe précédent), mais ce virage a 160 mètres de longueur au lieu de 142 mètres qu’a le virage semi-circulaire et, chose plus désagréable, le rayon minimum du virage est de 25™,46, tandis que celui du virage que nous venons de calculer est de 33m,25. Le virage semi-circulaire à égalité de largeur de pelouse, donne un virage plus court et plus large, c’est-à-dire moins relevé que le virage rationnel. La partie circulaire corrige dans le virage rationnel ce qu’il y a de défectueux dans la partie où le rayon de courbure décroît.
  - Ligne de foi d’un virage elliptique ou pa-bolique. — Un virage elliptique se compose d’une demi-ellipse BAB' (fig. 3i) dont le grand axe coïncide, en direction, avec le grand axe de la piste et dont les sommets B et B' du petit axe sont les points de raccord avec les lignes droites CB et C'B'. Le calcul des dimensions de l’ellipse est facile. En effet, d’abord la distance BB' qui
- p.216 - vue 220/272
- - virage semi-circulaire
  - 217
  - Fig. 30
  - LIGNE DE FOI D’UN VIRAGE SEMI-CIRCULAIRE
  - E ch elfe
- p.217 - vue 221/272
- - 218 CONSTRUCTION d’üNE 1MSTE DE VELODROME
  - est la distance d des deux lignes droites est connue. On connaît donc le petit axe 2 & de l’ellipse qui est égal à d. Le grand axe 2 a sera déterminé Fi„ 3l par la condition qu’au point
  - B le rayon de courbure de l’ellipse doit être égal au rayon V2 .
  - minimum — qu’on peut décrire à la vitesse maxima V, sur sol horizontal, de façon que la pente en B soit nulle. Or, le rayon de courbure en B est , on doit donc avoir
  - : —- d’où a2 = b -
  - fff
  - et comme :
  - b=-
  - a = V\/,
  - _d
  - {g est l’accélération due à la pesanteur et f, le coefficient de frottement de glissement latéral d’un cycle). Pour que la piste soit bonne, il faudra que la valeur du rayon de courbure en A
- p.218 - vue 222/272
- - VIRAGE ELLIPTIQUE
  - 219
  - raum que doit avoir un bon virage. Ce rayon
  - minimum étant — 9
  - ce qui donne
  - Sur un terrain pour lequel cl serait inférieur à cette limite on ne pourrait pas construire une bonne piste à virage elliptique. II faudrait, alors, comme nous l’avons expliqué, opter en Ire la piste pour vitesse ou la piste pour fond.
  - Par exemple, si on prend d = 70 mètres, V = 5o kilomètres à l’heure, (V = i3m,88 à la seconde) et f= o,3, on trouve :
  - b — 35 mètres a = 47™,89.
  - Le rayon de courbure au point A serait alors
  - ce qui exigerait, dans les hypothèses faites, une pente de o,38 au point A. Si on compare ces nombres à ceux du virage rationnel de 160 mètres que nous avons calculé précédemment et qui donne la même valeur pour d, on voit que le rayon minimum est le même dans les deux cas ;
- p.219 - vue 223/272
- - 220 CONSTRUCTION d'uNE PISTE DE VELODROME
  - pour le virage rationnel il est 25m,46 et ici 25m,58. On en conclut que le virage elliptique donnera un virage analogue à celui que donne le virage rationnel. Il ne vaut donc pas mieux et n’aurait sur lui que le désavantage de donner lieu à des calculs beaucoup plus compliqués, car les calculs des longueurs d’arcs d’ellipse et des rayons de courbure seraient beaucoup plus pénibles.
  - Je ne dirai que quelques mots sur le virage parabolique.
  - Un virage parabolique se compose d’une portion d’arc de parabole BAB' (fig. 32) dont l’axe AA' coïncide, en direction, avec l’axe de la piste. Comme dans une parabole il n’y a aucun point où la tangente est parallèle à l’axe, les lignes droites en B et B' ne se raccordent pas avec la parabole. 11 y a, alors, une cassure légère dans le tracé de la ligne de foi en B et B'. Ainsi la tangente BT en B à la parabole ne se trouve pas dans le prolongement exact de la ligne droite BC mais fait avec elle un angle très petit. Pratiquement., on peut s’arranger de façon que cet angle soit assez petit pour que cela ne gène pas. D’ailleurs, si on tient absolument à ce que le raccord soit exact, on peut légèrement retoucher la parabole en B, mais, alors, cela revient à prendre un
- p.220 - vue 224/272
- - VIRAGE PARABOLIQUE
  - 221
  - virage elliptique ; ou bien, incurver légèrement les lignes droites et les remplacer par des arcs de cercle de très grand rayon. Une discussion plus approfondie de ce virage nous amènerait à la conclusion qu’il donne des résultats analogues, plutôt moins bons que le virage elliptique et le virage rationnel. Comme ceux-ci sont inférieurs au virage semi-circulaire, il en est, a fortiori, Fig. 32
  - de môme pour le virage parabolique. Le virage semi-circulaire reste donc, à notre avis, le meilleur virage.
  - Remarquons, pour terminer, qu’on pourrait construire des virages semi-circulaires dans lesquels la courbe de raccordement de la ligne droite au cercle, au lieu d’ôlre un arc de courbe de Cornu serait un arc d’ellipse ou de toute autre courbe analogue. Cela donnerait aussi de très
- p.221 - vue 225/272
- - 222
  - CONSTRUCTION d’üNE 1USTE DE VELODROME
  - bons résultats. Nous ne proposons de préférence l’arc de courbe de Cornu que parce qu’il donne' des calculs simples.
  - Coupe d’une piste. — Dans la ligne droite, la pente d’une piste doit être nulle. Donc, dans les lignes droites et aux points du virage où le rayon de courbure est supérieur au rayon mi-
  - V2
  - nimum j- , le solde la piste sera un plan hori-
  - zontal. En un point du virage où le rayon de
  - V2
  - courbure est plus petit que —.la piste doit avoir
  - une pente p dont la valeur est déterminée en fonction du rayon de courbure de la ligne de foi par la formule (1) que nous avons donnée plus haut.
  - V2
  - ______f
  - , v IV/ '
  - (l) P — :
  - 1 +f-
  - ÏL
  - %
  - La forme de la piste au virage est alors telle que sa coupe par un plan vertical normal, en un point de la ligne de foi, à celle ligne, soit une droite dont la pente est donnée par la formule (1) où R désigne le rayon de courbure de la ligne de foi. On voit, que, dans ces conditions, la surface de la piste est une surface réglée, engendrée par une droite qui se meut en restant normale à la ligne de foi et en ayant'
- p.222 - vue 226/272
- - COUPE d’une piste
  - 223
  - une pente donnée par la formule (i). Le long de la portion circulaire du virage, si on prend un virage semi-circulaire, la penle de la droite restera constante et, par suite, elle engendrera un cône de révolution. Donc, la surface de la piste est un plan horizontal dans les lignes droites, un cône de révolution à axe vertical dans les parties circulaires des virages et, le long des courbes de raccordement, elle se compose d’une surface réglée gauche qui sert de raccordement du plan horizontal au cône. Dans la piste, telle que nous la concevons, cette surface de raccordement est en concordance avec la ligne de foi, de telle façon qu’en chacun de ses points la penle est bien celle qui correspond au rayon de courbure de la ligne de foi. C’est cette concordance qui manque dans les pistes à virages complètement circulaires et qui rend l’entrée et la sortie des virages si dangereux.
  - Avec tout ce qui précède, il sera facile de faire Y épure de la surface de la piste.
  - i° On déterminera dans le plan horizontal du terrain, dont on dispose, la ligne de foi de la piste. Deux lignes droites reliées par deux virages semi-circulaires. Le calcul des éléments de la ligne de foi donnera le rayon de courbure en chacun de ses points ;
- p.223 - vue 227/272
- - 224 CONSTRUCTION d’üNE PISTE DE VELODROME
  - 2° en chaque point de la ligne de foi on mène la normale dans son plan. Dans le plan vertical passant par celle normale, on trace une droite rencontrant la ligne de foi et ayant la pente p calculée par la formule (i). Sur cette droite, on portera à partir de la ligne de foi vers Vintérieur de la courbe une longueur de 3o centimètres. Tous les points ainsi obtenus formeront une ligne qui est la corde. La corde n’est pas alors une ligne plane. Dans le virage, elle est située un peu au-dessous du plan horizontal de la ligne de foi. On portera dans l’autre sens une longueur, constante ou non, égale à la largeur qu’on voudra donner à la piste et on aura ainsi une suite de points qui formeront la barrière. La largeur d'une piste est absolument au gré de l’architecte. Elle peut être uniforme sur tout le parcours ou variable. Fréquemment, on donne une plus grande largeur à la ligne droite qui sert à Y arrivée.
  - Comme nous venons de le dire, en général, la coupe de la piste par un plan vertical normal à la ligne de foi est une droite. Théoriquement il ne devrait pas en être ainsi car, à mesure qu’on se rapproche de la barrière, en suivant la normale à la ligne de foi, le rayon de courbure de la piste augmente et, par conséquent, la pente
- p.224 - vue 228/272
- - coupe d’une piste 225
  - devrait diminuer au lieu de resler conslanle comme cela a lieu lorsque la coupe est une droite. Pratiquement, lorsque le rayon du virage est assez grand, cela n’a pas d’inconvénient et on peut, sans nuire à la qualité de la piste, prendre cette forme de coupe, mais lorsqu’on construit une piste à virages très courts il sera très utile et presque nécessaire de ne pas prendre une ligne droite. Nous allons calculer quelle doit être la
  - Fig. 33
  - coupe de la piste dans ce cas. Soient P, un point de la ligne de foi ; PO, la normale horizontale en ce point à la ligne de foi et O, le centre de courbure de cette ligne. Prenons pour plan de la figure (fig. 33) le plan vertical passant par PO et soit PQ, la coupe de la piste qui est la courbe qu’il s’agit de déterminer.
  - Soit O y, la verticale qui passe en 0 et désignons OP par 0.v. Cherchons l’équation de la courbe PQ par rapport aux axes Ox et Oy. La
  - Bouhlet — Traité des bicycles et bicyclettes 15*
- p.225 - vue 229/272
- - 226 CONSTRUCTION ü’UNE PISTE DE VELODROME
  - penle p, en un point d’une piste, est donnée, comme nous savons, par la formule
  - • w
  - V*
  - ' % h- vy
  - posons —- = a, on aura
  - (0
  - a — R f : af-h R
  - R étant le rayon de courbure. Soit alors M, un
  - point de la courbe PQ de coordonnées x et
  - y. Le rayon de courbure de la ligne de niveau
  - de la piste en M sera la distance MH = x
  - de M à la verticale 0y du centre O de la
  - ligne de foi en P dans la partie circulaire de
  - la ligne de foi. Le rayon de courbure en M
  - est donc égal à x. La pente de la tangente
  - MT en M est On devra donc avoir, dx ’
  - dy a — f.x
  - dx af -h x
  - en appliquant l’égalité (î). Cette équation est l’équation différentielle de la courbe PQ. En intégrant, on a
  - R désignant le rayon de courbure de la ligne de foi en P
  - R = OP.
- p.226 - vue 230/272
- - COUPE d’une piste
  - 227
  - Si on avait pris une ligne droite pour coupe de la piste, celte ligne droite aurait été la tangente PD en P, à PQ, qui a pour équation
  - V =
  - a — R/* aj —H R
  - Calculons la distance M'M dont on a abaissé la droite PD au point M' pour obtenir le point M. Pour cela il faut faire la différence des ordonnées de M et M' et on trouve
  - (en développant le logarithme L en série).
  - Posons x — R = u et on a, approximativement,
  - MM'
  - «(i ±_n
  - Ha/-, Kf
  - U
  - 2
  - or, u est la différence entre le rayon de courbure en M' et le rayon en P. La formule (2) donne donc la quantité MM' dont on doit abaisser la droite PD en un point M' distant du point P de la ligne de foi de u.
  - Lorsque lé rayon R de la ligne de foi est grand le coefficient de u2 est petit et MM' est toujours
- p.227 - vue 231/272
- - 228 CONSTRUCTION d’uNE PISTE DE VELODROME
  - petit, c’est ce qui légitime ce que nous avons avancé en disant que, quand le virage est large, on peut prendre pour coupe une droite. Mais si R est petit, il n’en est plus de môme et on devra faire la correction.
  - Ainsi, pour V = 5o kilomètres à l’heure (V = i3m,88 à la seconde), on a environ
  - V2
  - a = — = 21. 9
  - Si f = o,3, on a MM'
  - 2.3
  - ' 2(6,3 -h R)
  - à w •
  - Par exemple, en un point d’une piste où le rayon îde courbure serait 16 mètres et où la largeur serait 8 mètres, à la barrière, on aurait u = 8 mètres, d’où
  - Il faudrait donc abaisser, à la barrière, la ligne droite PD de im,4o environ. Ü3 ne serait pas négligeable comme on le voit. Dans les virages courts la coupe de la piste ne devra pas être une ligne droite, par conséquent, mais une ligne convexe PQ, obtenue en abaissant la ligne droite d’une longueur MM', en chacun de ses points, fournie par la formule (2). La surface de la piste
- p.228 - vue 232/272
- - COUPE d’une piste
  - 229
  - dans la partie circulaire, au lieu d’être un cône, aura l’aspect d’une surface à bords évasés comme un saladier. En tous cas, il faudra toujours se rendre compte, quand on construira une piste, si la coupe peut être une ligne droite. Nous croyons que même dans les pistes à virages assez larges, la piste ne pourrait que gagner à cette correction de la coupe qui permettrait aux coureurs de monter plus facilement à la barrière dans les virages.
- p.229 - vue 233/272
- p.230 - vue 234/272
- - TABLE DES MATIÈRES
  - Fages
  - Préface ......................................... 5
  - Introduction..................................... 8
  - Définitions de quelques termes .................. 8
  - Traces des roues sur le sol...................... 14
  - Multiplication dans les bicyclettes.............. 19
  - Tableau numérique donnant la multiplication
  - et le développement d’une bicyclette .... 20
  - CHAPITRE PREMIER L’équilibre et la direction
  - Conditions analytiques de l’équilibre sur un sol
  - horizontal...................................... 21
  - Conditions d’équilibre sur un, soi quelconque , Influence d.u vent sur les conditions d’équilibre. Rétablissement de l’équilibre au moyen du
  - guidon.............................. .46
  - Stabilité d’une machine......................... 58
  - Calcul des réactions du sol quand il y a équilibre........................................... 60
  - Équilibre sans les mains........................ 62
  - Direction dans la marche en ligne droite ... 74
  - Direction dans un virage......................... 82
  - & g
- p.231 - vue 235/272
- - 232
  - TRAITÉ DES BICYCLES ET BICYCLETTES
  - CHAPITRE II
  - Le travail et sa mesure
  - Pages
  - Résistances passives de la machine................. 90
  - Résistance au roulement ......... 92
  - Force vive perdue dans les vibrations .... 96
  - Résistance de l’air calme..........................103
  - // n en mouvement.....................103
  - Travail sur un sol horizontal......................115
  - Influence du poids de la machine sur le travail . 120
  - Travail sur un sol incliné, montée et descente . 126
  - // par coup de pédale, choix d’une multiplication ....................................142
  - Pression du pied sur la pédale, choix de la longueur de la manivelle............................154
  - Appareils de mesure................................163
  - Expériences de mesure du travail...................172
  - CHAPITRE III
  - Construction d’une piste de vélodrome
  - Définitions....................................... 179
  - Calcul de la pente du sol aux virages .... 181
  - Mesure du coefficient de frottement de glissement latéral.....................................191
  - Détermination de la ligne de loi...................194
  - Ligne dé foi d’un virage rationnel.................199
  - // n semi-circulaire . . . 208
  - // // elliptique ou parabolique 216
  - Coupe d’une piste................................. 222
  - ST-AMAND (CHER), IMPRIMERIE DESTENAY, BUSSIÈRE FRÈRES
- p.232 - vue 236/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - 55, QUAI DES GRAN11S-AUGUSTINS, A PARIS.
  - Envoi franco contre mandat-poste ou valeur sur Paris.
  - OUVRAGES
  - SUR LES
  - SCIENCES MATHÉMATIQUES
  - COURS DE GEOMETRIE ANALYTIQUE
  - à l’usage des élèves de la classe de Mathématiques spéciales et des Candidats aux Ecoles du Gouvernement.
  - Far M. B. NIEWENGLOWSKI,
  - Ancien Professeur de Mathématiques spéciales au Lycée Louis-le-Grand, .Inspecteur de l’Académie de Paris.
  - 3 beaux volumes grand in-8, se vendant séparément.
  - Tome I : Sections coniques; 1894........................ 10 fr.
  - Tome II : Construction des courbes planes. Compléments relatifs aux coniques;
  - 1895 ................................................... 8 fr.
  - Tome 111 : Géométrie dans l’espace, avec une Note sur les transformations en
  - Géométrie; par E. Borel. Prix pour les Souscripteurs.... 12 fr.
  - Un fascicule (33G p. ) a paru.
  - TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE
  - (Cours de la Faculté des Sciences),
  - Par M. P. APPELL,
  - Membre de l’Institut, Professeur à la Faculté des Sciences.
  - 3 volumes grand in-8, avec figures, se vendant séparément.
  - Tome I : Statique, Dynamique du point, avec 178 figures; 1893 .............. 16 fr.
  - Tome II : Dynamique des systèmes, Mécanique analytique, avec (igures ; 1895. Prix
  - polir les souscripteurs....................................................... 14 fr.
  - Un premier fascicule (192 p. ) a paru.
  - Tome III............................................................ (Sous presse,)
  - THÉORIE DES
  - ET DE LEURS
  - ALGEBRIQUES
  - INTÉGRALES.
  - Etude des fonctions analytiques sur une surface de Riemann, Avec une Préface de M. Dermite,
  - par
  - P. APPELL, . Edouard GOURSAT,
  - Membre de l’Institut, Professeur Maître de Conférences à l’École
  - à la Faculté des Sciences, | Normale Supérieure.
  - Un beau volume grand in-8, avec figures ; 1895................... 16 fr.
  - ESSAI SUR LA
  - DES SCIENCES
  - (Analyse — Mécanique),.
  - Par M. Ch. DE FREYCINET, de l’Institut. Un beau volume in-8 ; 1896................................................
  - 6 fr.
- p.n.n. - vue 237/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - LEÇONS
  - SUR I.A
  - THÉORIE GÉNÉRALE DES SURFACES
  - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL
  - Par M. G. DARBOUX,
  - Membre de l’Institut, Professeur à la Faculté des Sciences. lie Partie : Généralités.— Coordonnées curvilignes. Surfaces minima ; 1887. 15 fr.
  - Il0 Partie : Les congruences et les équations linéaires aux dérivées partielles. —
  - Des lignes tracées sur les surfaces ; 1889................ 15 fr.
  - III0 Partie : Lignes géodésiques et courbure géodésique. Invariants dillérentiels.
  - Déformation des surfaces; 1891............................ 15 fr.
  - IV" Partie : Déformation infiniment petite, représentation sphérique; 1895. Prix
  - pour les souscripteurs.................................... 15 fr.
  - Un premier fascicule (352 p. ) a paru.
  - SUR L’ORIGINE DU MONDE
  - Théories cosmogoniques des anciens et des modernes,
  - Par M. H. FAYE,
  - Membre de l’Institut et du Bureau des Longitudes.
  - 3° édition, revue et augmentée.
  - Un beau volume in-8, avec figures ; 1890............. 6 fr.
  - RECUEIL
  - DE
  - PRORLÈMES DE MATHÉMATIQUES
  - classés par divisions scientifiques, contenant les énoncés avec renvoi aux solutions de tous les problèmes posés, depuis l’origine, dans divers journaux : Nouvelles Annales de Mathématiques. Journal de Mathématiques élémentaires et de Mathématiques spéciales. Nouvelle Correspondance mathématique. Matliesis ;
  - Par M. C.-A. LAISANT, Docteur ès Sciences.
  - 7 vol. in-8, se vendant séparément.
  - Classes de Mathématiques élémentaires.
  - Tome I : Arithmétique. Algèbre élémentaire. Trigonométrie; 1893.. 2 fr. 50 c.
  - Tome II : Géométrie à deux dimensions. G éométrie à trois dimensions. Géométrie
  - descriptive; 1893 .......................................... 5 fr.
  - Classes de Mathématiques spéciales.
  - Tome III : Algèbre. Théorie des nombres. Probabilités. Géométrie de situation ;
  - 1895........................................................ 6 fr.
  - Tome IV : Géométrie analytique à deux dimensions (et Géométrie supérieure);
  - 1893 .................................................. 6 fr. 50 c.
  - Tome V : Géométrie analytique à trois dimensions (et Géométrie supérieure);
  - 1893................................................... 2 fr. 50 c.
  - Tome VI : Géométrie du triangle................... [Sous presse. )
  - Licence ès Sciences mathématiques.
  - Tome VII : Calcul infinitésimal et calcul des fonctions. Mécanique. Astronomie............................................... (En préparation. J
- p.n.n. - vue 238/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - ÉLÉMENTS
  - DE LA
  - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES
  - l‘AR
  - Jules TANNERY, * I Jules MOLK,
  - Sous-Directeur des études scientifiques Professeur nia Faculté des Sciences
  - à l’Ecole Normale Supérieure. | de Nancy.
  - i VOLUMES GRAND IN-8, S1Î VENDANT SÉPARÉMENT :
  - Tome I : Introduction. — Calcul différentiel (I10 Partie) ; 1892 ...... 7 fr. 50 c.
  - Tome II : Calcul différentiel (IIe Partie) ; 189(1..................... 9 fr.
  - Tome III : Calcul intégral.......................................... (Sovs presse.)
  - Tome IV : Applications......................................... {fin préparation.)
  - ENSEIGNEMENT SEC ON I) AIRE MODERNE.
  - LEÇONS DE GÉOMÉTRIE,
  - O '
  - REDIGEES SUIVANT LES DERNIERS PROGRAMMES OFFICIELS ET ACCOMPAGNÉES, POUR CHAQUE LEÇON, D'EXERCICES ET DE PROBLÈMES GRADUÉS,
  - Eugène ROUCHÉ,
  - Membre de l’Institut, Examinateur de sortie à l’Ecole Polytechnique, Professeur au Conservatoire des Arts et Métiers.
  - Ch. DE COMBEROUSSE,
  - Ingénieur des Arts et Manufactures, Professeur
  - à l’École Centrale et au Conservatoire des Arts et Métiers.
  - QUATRE VOLUMES PETIT IN-8, SE VENDANT SÉPARÉMENT :
  - I,e Partie : La ligne droite et la circonférence de cercle, à l’usage des élèves de la classe de quatrième (moderne), avec 137 figures ; 189(5.
  - Broché....... 21V. 75 c. | Cartonné toile.. 3 fr. 25 c.
  - IIe, IIIe et IVe Partie, à l’usage des élèves des classes de troisième, seconde (moderne) et première ( Sciences ).................. ( Sous presse. )
  - SOLUTIONS DÉTAILLÉES
  - DES
  - EXERCICES ET PRORLÈIES
  - énoncés dans les Leçons de Géométrie QUATRE VOLUMES PETIT IN-8, SE VENDANT SÉPARÉMENT :
  - Ire Partie : Un volume petit in-8, avec 115 figures ; 1896.
  - Broché........... 2 fr. 75 c. | Cartonné toile. 3 fr. 25 c.
  - IIe, IIIe et IVe Partie........................ (Sous presse. )
  - L’ARITHMETIQUE AMUSANTE
  - (INTRODUCTION AUX RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES)
  - AMUSEMENTS SCIENTIFIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT ET LA PRATIQUE DU CALCUL,
  - Par Édouard LUCAS.
  - Petit in-8 en caractères elzévirs et titre en deux couleurs ; 1895, 7 fr. 50 c.
- p.n.n. - vue 239/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - OUVRAGES
  - SUR LES
  - SCIENCES PHYSIQUES
  - COURS DE PHYSIQUE
  - DE L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE
  - Par M. J. JAMIN.
  - QUATRIÈME ÉDITION, AUGMENTÉE ET ENTIÈREMENT REFONDUE
  - Par M. E. BOUTY,
  - Professeur à lu Faculté des Sciences de Paris.
  - Quatre tomes in-8, de plus de 4000 pages, avec 1587 figures et . 14 planches sur acier, dont 2 en couleur; 1885-1891. (Ouvrage complet)................................................ 72 fr.
  - On vend séparément :
  - Tome 1. — 9 fr.
  - (*) 1er fascicule. —Instruments de mesure. Hydrostatique; avec 150 figures et 1 planche................................ 5fr.
  - 2° fascicule. — Physique moléculaire; avec 93 figures... 4fr.
  - Tome II. — Chaleur. — 15 fr.
  - .(*) lor fascicule. — Thermométrie, Dilatations ; avec 98 fig. 5 fr.
  - (*) 2° fascicule. — Calorimétrie; avec 48 fig. et 2 planches... 5 fr.
  - 3° fascicule. — Thermodynamique. Propagation de la chaleur; avec 47 figures............................ 5 fr.
  - Tome III. — Acoustique; Optique. — 22 fr.
  - 1er fascicule. — Acoustique; avec 123 figures....... 4 fr.
  - (*) 2° fascicule. — Optique géométrique ; avec 139 figures et 3 planches......................'............................. 4 fr.
  - 3° fascicule. — Etude des radiations lumineuses, chimiques et calorifiques; Optique physique ; avec 249 fig. et 5 planches,
  - dont 2 planches de spectres en couleur............ 14 fr.
  - Tome IV (lr° Partie). — Électricité statique et dynamique. — 13 fr.
  - 1er fascicule. — Gravitation universelle. Électricité statique; avec 155 figures et 1 planche....................... 7 fr.
  - 2° fascicule. — La pile. Phénomènes électrothermiques et
  - êlectrochimiques ; avec 161 figures et 1 planche.. 6 fr.
  - (*) Les matières du programme d’admission à l’École Polytechnique sont comprises dans les parties suivantes de l’Ouvrage ; Tome I, T:r fascicule; Tome II, lor et 2° fascicules; Tome III, 2° fascicule.
- p.n.n. - vue 240/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - Tome IV (2° Partie). — Magnétisme; applications. — 13 fr.
  - 38 fascicule. — Los aimants. Magnétisme. Électromagnétisme.
  - Induction ; avec 240 figures.....’....................... 8 fr.
  - 48 fascicule. — Météorologie électrique ; applications de l’électricité. Théories générales; avec 84 figures et 1 planche..... 5 fr.
  - Tables générales.
  - Tables générales, par ordre de matières et par noms d’auteurs des quatre volumes du Cours de Physique. In-S; 1891... 60 c.
  - Des suppléments destinés à exposer les progrès accomplis viendront compléter ce grand Traité et le maintenir au courant des derniers travaux. lor Supplément. — Chaleur. Acoustique. Optique, par E. Bouty, Professeur à la Faculté des Sciences. In-8, avec 41 fig. ; 1896. 3 fr. 50 c.
  - PREMIERS PRINCIPES
  - D’ÉLECTRICITÉ INDUSTRIELLE
  - PILES, ACCUMULATEURS, DYNAMOS, TRANSFORMATEURS,
  - Par M. Paul JANET.
  - Chargé (le Cours à la Faculté des Sciences de Paris,
  - Directeur du Laboratoire central (l’Électricité.
  - 2e ÉDITION, REVUE ET CORRIGÉE. s
  - Un volume in-8, avec 173 figures ; 18%...-rr:7. 6 fr.
  - COURS ÉLÉMENTAIRE D’ÉLECTRICITÉ
  - Lois expérimentales et principes généraux. Introduction à l’Électrotechnique. ( Leçons professées à l’Institut industriel du Nord de la France).
  - Par M. Bernard BRUNHES,
  - Docteur ôs Sciences, Maître de Conférences à la Faculté des Sciences de Lille.
  - Un volume in-8, avec 137 figures ; 1895.............. 5 fr.
  - MESURES ÉLECTRIQUES
  - LEÇONS PROFESSÉES A L’iNSTITUT ÉLECTROTECIINIQUE MONTEFIORE ANNEXÉ A L’UNIVERSITÉ DE LIÈGE.
  - Par M. Eric GÉRARD,
  - Directeur de l’Institut ElectrotechuiqueMontefiore, Ingénieur principal des Télégraphes, Professeur à l'Université de Liège.
  - Grand in-8, 450 pages, 198 figures ; cartonné toile anglaise. 12 fr.
- p.n.n. - vue 241/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - LEÇONS SUR L’ÉLECTRICITÉ
  - PROFESSÉES A L’iNSTITUT ÉLECTROTECHNIQUE MONTEFIORE ANNEXÉ A L’UNIVERSITÉ DE LIÈGE,
  - Par M. Eric GÉRARD,
  - Directeur de l’Institut Electrotechnique Monteflore.
  - 1e ÉDITION, REFONDUE ET COMPLÉTÉE.
  - Tome I : Théorie de l’Électricité et du Magnétisme. Électrométrie. Théorie et construction des générateurs et des transformateurs électriques, avec 209 figures; 1895...... ......................................... 12 fr.
  - Tome II : Canalisation et distribution de l’énergie électrique. Application do l’électricité à la production et à la transmission delà puissance motrice, à la traction, à la télégraphie et à la téléphonie, à l’éclairage et à la métallurgie, avec 263 fig. ; 1895. 12 fr.
  - LEÇONS DE PHYSIQUE GENERALE
  - COURS PROFESSÉ A L’ÉCOLE CENTRALE DES ARTS ET MANUFACTURES ET COMPLÉTÉ SUIVANT LE PROGRAMME DE LA LICENCE ÈS SCIENCES PHYSIQUES,
  - PAU
  - J. CHAPPUIS,
  - Agrégé Docteur ès Sciences, Professeur de Physique générale a l'École Centrale.
  - A. BERGET,
  - Docteur ès Sciences,
  - Attaché au Laboratoire des recherches physiques à la Sorbonne.
  - TROIS VOLUMES GRAND IN-8, SE VENDANT SÉPARÉMENT.
  - Tome I : Instruments de mesure. Chaleur. Avec 175 figures; 1891............. 13 fr.
  - Tome II : Électricité et Magnétisme. Avec 305 figures ; 1891................ 13 fr.
  - Tome III ; Acoustique. Optique; Electro-optique. Avec 193 figures ; 1892... 10 fr.
  - LEÇONS ÉLÉMENTAIRES
  - TÉLÉGRAPHIE ÉLECTRIQUE
  - SYSTÈME MORSE. MANIPULATION. NOTIONS DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE. PILES. APPAREILS ET ACCESSOIRES. INSTALLATION DES POSTES.
  - L. MICHAUT, j M. GILLET,
  - Commis principal à la Direction technique I Commis principal au Poste central
  - des Télégraphes de Paris. | des Télégraphes de Paris.
  - 20 édition. In-18jésus, avec 80 belles ligures; 1895
  - 3 fr. 75 c.
- p.n.n. - vue 242/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - TRAITÉ D’OPTIQUE
  - Par M. E. MASCART,
  - Membre île l'Institut, Professeur au Collège de France, Directeur du Bureau Central Météorologique.
  - 3 BEAUX VOLUMES, GRAND IN-8, AVEC ATLAS, SE VENDANT SÉPARÉMENT TomeI: Systèmes optiques. Interférences. Vibrations. Diffraction. Polarisation. Double
  - réfraction. Avec 199 figures et 2 planches ; 1889.................... 20 fr.
  - Tome II et Atlas : Propriété des cristaux. Polarisation rotatoire. Réflexion vitrée. Iféflexion métallique. Réflexion cristalline. Polarisation chromatique. Avec 113 figures et Atlas contenant 2 belles planches sur cuivre dont une en couleur (Propriété des cristaux. Coloration des cristaux par les interférences); 1891........... 25 fr.
  - Tome III : Polarisation par diffraction. Propagation de la lumière. Photométrie. Réfractions astronomiques. Un très fort volume avec 83 figures; 1893. 20 fr.
  - LEÇONS
  - SUR L’ÉLECTRICITÉ ET LE MAGNÉTISME
  - Par M. DUHEM,
  - Maître de Conférences à la Faculté des Sciences de Lille.
  - 3 VOLUMES GRAND IN-8, SE VENDANT SÉPARÉMENT:
  - Tome I : Conducteurs à l’état permanent, avec 112 ligures ; 1891............. 16 fr.
  - Tome II : Les aimants et les corps diélectriques, avec 32 ligures; 1892. ... 14 fr.
  - Tome III : Courants linéaires, avec 71 figures ; 1892........................ 15 fr.
  - ECOLE PRATTQIJE DE PHYSIQUE.
  - COURS ÉLÉMENTAIRE
  - MANIPULATIONS DE PHYSIQUE
  - A l’usage des candidats aux écoles et au certificat des études
  - PHYSIQUES ET NATURELLES.
  - Par M. Aimé WITZ,
  - Professeur à la Faculté libre des Sciences de Lille.
  - 2e édition, revue-et augmentée. In-8, avec 77 figures ; 1895 . 5 fr.
  - ÉCOLE PRATIQUE DE PHYSIQUE.
  - EXERCICES DE PHYSIQUE
  - ET APPLICATIONS.
  - PRÉPARATOIRES A LA LICENCE.
  - Par M. Aimé WITZ,
  - Professeur .à la Faculté libre des Sciences de Lille.
  - Un volume in-8, avec 114 figures ; 1889.
  - i 2 fr.
- p.n.n. - vue 243/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - ÉCOLE PRATIQUE DE PHYSIQUE
  - PROBLÈMES ET CALCULS PRATIQUES
  - D’ÉLECTRICITÉ
  - Par M. Aimé WITZ,
  - Professeur à la Faculté libre des Sciences de Lille.
  - Un volume in-8, avec 51 ligures; 1891..... 7 fr. 50 c.
  - TRAITÉ
  - 1)E
  - L’ÉLECTRICITÉ ET DU MAGNÉTISME
  - Par James Clerck MAXWELL,
  - professeur de Physique expérimentale à l’Université de Cambridge,
  - Traduit de l’anglais, sur la 2” édition, par M. Skligmann-Lui, ancien Élève de l'École Polytechnique, Ingénieur des Télégraphes, avec Notes et Éclaircissements par MM. Cornu, membre de l’Institut, et Potier, Professeurs à l’École Polytechnique,
  - et suivi d un Appendice sur la Théorie des quaternions. par M. E. Sarrau, membre de l’Institut, Professeur à l’École Polytechnique.
  - Deux foi’ts volumes grand in-8, avec 122 fig. et 20 pl.: 18R5-1SS9.. 30 fr.
  - Chaque volume se vend séparément.................................... 15 1T.
  - LEÇONS
  - SUR L’ÉLECTRICITÉ ET LE MAGNÉTISME
  - Par E. MASCART et J. JOUBERT,
  - 2“ ÉDITION, ENTIÈREMENT REFONDUE.
  - Par E. MASCART,
  - Professeur au Collège de France, Directeur du bureau Central Météorologique.
  - 2 VOLUMES G RAND IN-8, SE VENDANT SÉPARÉMENT :
  - Tome I : Phénomènes généraux et théorie. Grand in-8, avec 126 fig. ; 1896. 25 fr.
  - Tome II : (Paraîtra en 1896)..................... ( Sous presse. )
  - Conditions de publication.
  - Les Leçons sur VÉlectricité et le Magnétisme seront publiées en 2 Volumes.
  - Le Tome I est mis en vente au prix de 25 francs.
  - Le Tome II, des à présent sous presse, paraîtra à la fin de l’année 1896.
  - Les acquéreurs du Tome I qui présenteront ou feront présenter par leur libraire habituel le bon contenu dans le Tomcl aux éditeurs avant le 31 mars 1897, auront le droit de retirer le Tome II au prix de 15 francs et payeront par conséquent l’Ouvrage complet 40 francs.
  - Dès la publication du Tome II, le prix des deux Volumes réunis sera porté, pour tous autres que les porteurs du bon, à 45 francs, et le prix de chaque Volume vendu séparément sera de 25 francs.
  - LA THÉORIE ATOMIQUE
  - ET LA THÉORIE DUAL1STIQUE,
  - TRANSFORMATION DES FORMULES. DIFFÉRENCES ESSENTIELLES ENTRE LES DEUX-THÉORIE:
  - Par M. LENOBLE,
  - Professeur de Chimie à l’Université libre de Lille.
  - In-18 jésus: 1896 .....................
  - . 2 fr.
- p.n.n. - vue 244/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - ENCYCLOPÉDIE DES TRAVAUX PUBLICS
  - ET ENCYCLOPÉDIE INDUSTRIELLE
  - Fondées par M.-C. Leciialas, Inspecteur général des Ponts et Chaussées.
  - TRAITÉ DES MACHINES A VAPEUR
  - RÉDIGÉ CONFORMÉMENT AU PROGRAMME DU COURS DE MACniNES A VAPEUR DE D’ÉCOLE CENTRALE, l'ili
  - ALHE1LIG, |
  - Ingénieur de la Marine, J
  - Ex-Professeur à l’École d’application j du Génie maritime. |
  - 2 BEAUX VOLUMES GRAND IX-8, SE VENDANT SÉPARÉMENT (E. I.) :
  - Tome I : Thermodynamique théorique et applications. La machine à vapeur et les métaux qui y sont employés. Puissance des machines, diagrammes indicateurs. Freins. Dynamomètres. Calcul et dispositions des organes d’une machine à vapeur. Régulation, épures de détente et de régulation. Théorie des mécanismes de distribution, détente et
  - changement de marche. Condensation, alimentation. Pompes de service. — Volume de xi-604 pages, avec 412 figures ; 1895................................ 20 fr.
  - Tome II : Forces d’inertie. Moments moteurs. Volants régulateurs. Description et classification des machines. Machines marines. Moteurs à gaz, à pétrole et à air chaud. Graissage, joints et presse-étoupes. Montage des machines et essais des moteurs. Passation des marchés. Prix de revient, d’exploitation et de construction. Servo-moteurs. Tables numériques. — Volume de iv-560 pages, avec 281 figures; 1895......... 18 fr.
  - CHEMINS DE FER
  - MATÉRIEL ROULANT. RÉSISTANCE DES TRAINS. TRACTION PA U
  - Camille ROCHE,
  - Industriel,
  - Ancien Ingénieur de la Marine.
  - E. DEHARME,
  - ingénieur principal du Service central de la Compagnie du Midi.
  - A. PULIN,
  - Ingénieur, Inspecteur principal de l’Atelier central des chemins de fer du Nord.
  - Un volume grand in-8,xxn-441 pages, 95 figures, 1 planche ; 1895 (E.I.). 15 fr.
  - VERRE ET VERRERIE
  - PAR
  - Léon APPERT et Jules HENRIVAUX,
  - Ingénieurs.
  - Grand in-8, avec 130 figures et 1 allas de 14 planches ; 1894 (E. I.).... 20 fr
- p.n.n. - vue 245/272
- - LIBRAIRIE G AUTHIE R - VILL AR S ET FILS
  - COURS DE CHEMINS DE FER
  - professé a l’école nationale des tonts et chaussées
  - Par M. C. BRICKA,
  - Ingénieur en chef île la voie et des bâtiments aux Chemins de fer de l’État.
  - 2 VOLUMES GRAND in-8 ; 1894 (E. T. P.)
  - Tome I : Études. — Construction. — Voie et appareils de voie. — Volume de vih-
  - 634 pages avec 320 figures ; 1894 ................................... 20 fr.
  - Tome II : Matériel roulant et Traction. — Exploitation technique. — Tarifs. — Dépenses de construction et d’exploitation. — Régime des concessions. — Chemins de fer de systèmes divers. — Volume de 709 pages avec 177 figures; 1894. 20 fr.
  - COUVERTURE DES ÉDIFICES
  - ARDOISES, TUILES, MÉTAUX, MATIÈRES DIVERSES,
  - Par M. J. DENFER,
  - Architecte, Professeur à l’École Centrale.
  - UN VOLUME GRAND IN-8, AVEC 429 FIG.; 1893 (E. T. P.).. 20 FR.
  - CHARPENTERIE MÉTALLIQUE
  - MENUISERIE EN FER ET SERRURERIE,
  - Par M. J. DENFER,
  - Architecte, Professeur à l’Ecole Centrale.
  - 2 VOLUMES GRAND in-8; 1894 (E. T. P.).
  - Tome I : Généralités sur la fonte, le for et l’acier. — Résistance de ces matériaux. — Assemblages des éléments métalliques. — Chaînages, linteaux et poitrails. — Planchers en fer. — Supports verticaux. Colonnes en fonte. Poteaux et piliers en fer. — Grand in-8 de 584 pages avec 479 figures ; 1894..'... 20 fr.
  - Tome II : Pans métalliques. — Combles. — Passerelles et petits ponts. — Escaliers en fer. — Serrurerie. ( Ferrements des charpentes et menuiseries. Paratonnerres. Clôtures métalliques. Menuiserie en fer. Serres et vérandas). — Grand in-8 de 626 pages avec 571 figures; 1894.......................... 20 fr.
  - ELEMENTS ET ORGANES DES MACHINES
  - Par M. Al. GOUILLY,
  - Ingénieur des Arts et Manufactures.
  - GRAND IN-8 DE 406 PAGES, AVEC 710 FIG. ; 1894 (E. I. ) . . . . 12 FR,
- p.n.n. - vue 246/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - LE VIN ET L’EAU-DE-VIE DE VIN
  - Par Henri DE LAPPARENT,
  - Inspecteur général de l'Agriculture.
  - INFLUENCE DES CÉPAGES, DES CLIMATS, DES SOLS, ETC., SUR LA QUALITÉ DU VIN, VINIFICATION, CUVERIE ET CIIAIS, LE VIN APRÈS LE DÉCUVAGE, ÉCONOMIE, LÉGISLATION.
  - GRAND IN-8 DE Xll-333 PAGES, AVEC 1I J FIG. ET 28 CARTES DANS LE texte; 1895 (E. I.).......................... 12 fr.
  - CONSTRUCTION PRATIQUE des NAVIRES de GUERRE
  - Par M. A. CRONEAU,
  - Ingénieur de la Marine,
  - Professeur à l’École d’application du Génie maritime.
  - 2 VOLUMES GRAND 1N-8 ET ATLAS; 1894 (E. I.).
  - Tome I : Plans et devis. — Matériaux. — Assemblages. — Différents types de navires. — Charpente. — Revêtement do la coque et des ponts. — Gr. in-S de 379 pages avec 305 fig. et un Atlas de il pl. in-4° doubles, dont 2 en trois couleurs ; 1894. 18 fr.
  - Tome II : Compartimentage. — Cuirassement. — Pavois et garde-corps. — Ouvertures pratiquées dans la coque, les ponts et les cloisons. — Pièces rapportées sur la coque. — Ventilation. — Service d’eau. — Gouvernails. — Corrosion et salissure.— Poids et résistance des coques. — Grand in-8 de CIO pages avec 35911g. : 1894. 15 fr.
  - PONTS SOUS RAILS ET PONTS-IIOUTES A TRAVÉES MÉTALLIQUES INDÉPENDANTES.
  - FORMULES, BARÈMES ET TABLEAUX
  - Par Ernèst HENRY,
  - Inspecteur général des Ponts et Chaussées.
  - Un vol. grand in-8, avec 267 fig.; 1894 (E. T. P.).. .. 20 fr.
  - Calculs rapides pour l’établissement des projets de ponts métalliques et pour le contrôle de ces projets, sans emploi des méthodes analytiques ni de la statique graphique (économie de temps et certitude de ne pas commettre d’erreurs).
- p.n.n. - vue 247/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - BLANCHIMENT ET APPRÊTS
  - TEINTURE ET IMPRESSION
  - Ch.-Er. GUIGNET,
  - Directeur des teintures aux Manufactures nationales des Gobelins et de Beauvais.
  - PAR
  - F. DOMMER,
  - Professeur à l’Ecole de Physique et de Chimie industrielles de la Ville de Paris.
  - E. GRANDMOUGIN,
  - Chimiste, ancien préparateur à l’École de Chimie de Mulhouse.
  - UN VOLUME GRAND IN-8 DE 674 PAGES, AVEC 368 FIGURES ET ÉCHANTILLONS DE TISSUS IMPRIMÉS ; 1895 (E.I.)..................... 30 fr.
  - Cet important Ouvrage, avec 345 figures dans le texte et un choix d’échantillons de tissus, s’adresse surtout aux industriels ; mais il sei’a aussi très apprécié par ceux qui désirent connaître l’état actuel des grandes industries textiles. Rien n’a été négligé par les Auteurs pour donner une idée aussi exacte que possible des merveilleuses machines récemment créées pour le traitement des fibres textiles à l’état brut ou sous la forme de fils et de tissu. L’emploi des matières colorantes nouvelles est décrit avec tous les détails nécessaires pour guider les praticiens.
  - TRAITE DE CHIMIE ORGANIQUE APPLIQUÉE
  - Par M. A. JOANNIS,
  - Professeur à la Faculté des Sciences de Bordeaux,
  - Chargé de cours à la Faculté des Sciences de Paris.
  - 2 VOLUMES GRAND IN-8 (E. I.).
  - .Tome I : Généralités. Carbures. Alcools. Phénols. Éthers. Aldéhydes Cétones.
  - Quinones. Sucres. — Volume do 688 pages, avec figures; 1896.'. 20 fr.
  - Tome II : Hydrates do carbone. Acides. Alcalis organiques. Amides. Nitrites. Composés azoïques. Radicaux organométalliques. Matières albuminoïdes. Fermentations. Matières alimentaires. ( Pour paraître en 1896. )
  - MANUEL DE DROIT ADMINISTRATIF
  - SERVICE DES PONTS ET CHAUSSÉES ET DES CIIEMINS VICINAUX,
  - Par M. Georges LEGHALAS,
  - Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées.
  - 2 VOLUMES GRAND IN-8, SE VENDANT SÉPARÉMENT. (E. T. P.)
  - Tome I : Notions sur les trois pouvoirs. Personnel des Ponts et Chaussées. Principe d’ordre financier. Travauxintéressant plusieurs services. Expropriations. Dommages
  - et occupations temporaires. — Volume de cxlvii-536 pages; 1889 ............. 20 fr.
  - Tome II (Ir° Partie) : Participation des tiers aux dépenses des travaux publics. Adjudications. Fournitures. Régie. Entreprises. Concessions. — Volume de vin-399 pages ; 1893............................................................ 10 fr.
- p.n.n. - vue 248/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS.
  - BIBLIOTHÈQUE
  - PHOTOGRAPHIQUE
  - La Bibliothèque photographique se compose de plus de 200 volumes et unbrassc l’ensemble de la Photographie considérée au point do vue de la iciencc, de l’art et dos applications pratiques.
  - A côté d’Ouvrages d'une certaine étendue, comme le Traité de M. Davanne, e Traité encyclopédique de M. Fabre, le Dictionnaire de Chimie photographique de M. Fourtier, la Photographie médicale de M. Fonde, etc., elle comprend une série de monographies nécessaires à celui qui veut étudier 'x fond un procédé et apprendre les tours de main indispensables pour le mettre en pratique. Elle s’adresse donc aussi bien à l’amateur qu’au professionnel, au savant qu’au praticien.
  - TRAITÉ DE PHOTOGRAPHIE PAR LES PROCÉDÉS PELLICULAIRES,
  - ,Par M. George Balagny, Membre de la Société française de Photographie, Docteur en droit.
  - 2 volumes grand in-8, avec ligures; 1889-1890.
  - On vend séparément ;
  - Tome I : Généralités. Plaques souples. Théorie et pratique des trois développements
  - au fer, à l’acide pyrogallique et à l’iiydroquinono.......... 4 fr.
  - Tome II : Papiers pelliculaires. Applications générales des procédés pelliculaires. Phototypie. Contretypes. Transparents........................ 4 fr.
  - MANUEL DE PHOTOCHROMIE INTERFÉRENTIELLE.
  - Procédés de reproduction directe des couleurs; par M. A. Berthier, In-18 jésus, avec ligures ; 1895 ........................ 3 fr. 50 c.
  - CE QU’IL FAUT SAVOIR POUR RÉUSSIR EN PHOTOGRAPHIE.
  - Par A. Courrèges, Praticien.
  - 2° édition, revue et augmentée. Petit in-8, avec 1 planche en photocollogra-phie; 189(1.............................................. 2 fr. 50 c.
  - LA PHOTOGRAPHIE. TRAITÉ THÉORIQUE ET PRATIQUE,
  - Par M. Davanne.
  - 2 beaux volumes grand in-8, avec 234 fig. et 4 planches spécimens.. 32 fr. > On vend séparément :
  - Iro Partie : Notions élémentaires. -- Historique. — Epreuves négatives. — Principes communs à tous les procédés négatifs. — Epreuves sur albumine, sur collodion, sur gélatinobromure d’argent, sur pellicules, sur papier. Avec 2 planches spécimens
  - et 120 figures ; 1886........................................ 16 fr.
  - II0 Partie : Épreuves positives : aux sels d’argent, de platine, de fer, de chrome. — Épreuves par-impressions photomécaniques. — Divers : Les couleurs en Photographie. Epreuves stéréoscopiques. Projections, agrandissements, micrographie. Réductions, épreuves microscopiques. Notions élémentaires de Chimie, vocabulaire. Avec 2 planches spécimens et 114 figures; 1888.......................... 16 fr.
  - Un supplément, mettant cet important Ouvrage au courant des derniers travaux, paraîtra en 189(1,
- p.n.n. - vue 249/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - TRAITÉ DE PHOTOGRAPHIE STÉRÉOSCOPIQUE.
  - Théorie et pratique; parM. A.-L. Donnadieu, Docteur ès Sciences, Professeur à la Faculté des Sciences de Lyon.
  - Grand in-S, avec Atlas de 20 planches stéréoscopiques en photocollogra-phie ; 180 '........................................... 9 fr.
  - LA PHOTOGRAPHIE SANS MAITRE,
  - Par M. Eugène Dumoulin.
  - 2° édition, entièrement refondue. In-18 jésus, avec figures; 1S9G. 1 fr. 75 c.
  - TRAITÉ ENCYCLOPÉDIQUE DE PHOTOGRAPHIE,
  - Par M. C. Fabre, Docteur ès Sciences.
  - 4 beaux vol. grand in-S, avec 724 figures et 2 planches ; 1889-1891... 48 fr.
  - Chaque volume se vend séparément 14 fr.
  - Dos suppléments destinés à exposer les progrès accomplis viendront compléter ce Traité et le maintenir au courant des dernières découvertes.
  - I01' Supplément (A). Un beau vol. gr. in-8 de 400 p. avec 170 flg. ; 1892. 14 fr. Les 5 volumes se vendent ensemble........................... 60 fr.
  - DICTIONNAIRE PRATIQUE DE CHIMIE PHOTOGRAPHIQUE,
  - Contenant une Etude méthodique des divers corps usités en Photographie, précédé de Notions usuelles de Chimie et suivi d’une description détaillée des Manipulations photographiques ;
  - Par M. II. Fourtier.
  - Grand in-8, avec figures; 1892.............................. 8 fr.
  - LES POSITIFS SUR VERRE.
  - Théorie et pratique. Les Positifs pour projections. Slérèoscopjes et vitraux. Méthodes opératoires. Coloriage et montage;
  - Par M. II. Fourtier.
  - Grand in-8, avec figures ; 1892 ....................... 4 fr. 50 c.
  - LA PRATIQUE DES PROJECTIONS.
  - Etude méthodique des appareils. Les accessoires. Usages et applications diverses des projections. Conduite des séances ;
  - Par M. II. Fourtier.
  - 2 vol. in-18 jésus.
  - Tome I. Les Appareils, avec 66 figures ; 1892.......... 2 fr. 75 C.
  - Tome II. Les Accessoires. La Séance de projections, avec 67 flg. ; 1893. 2 fr. 75 c.
  - LES LUMIÈRES ARTIFICIELLES EN PHOTOGRAPHIE.
  - Étude méthodique et pratique des différentes sources artificielles de lumières, suivie de recherches inédites sur la puissance des photopoudres et des lampes au magnésium ;
  - Par M. H. Fourtier.
  - Grand in-8, avec 19 figures et 8 planches; 1895.
  - 4 fr. 50 c.
- p.n.n. - vue 250/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - LE FORMULAIRE CLASSEUR DU PHOTO-CLUB DE PARIS.
  - Collection de formules sur fiches renfermées dans un élégant cartonnage et classées en trois Parties : Phototypes, Photocopies et Photocalques, Notes et renseignements divers, divisées chacune c-n plusieurs Sections ;
  - Par MM. H. Foijrtier, Bourgeois et Bucquet.
  - Première Série ; 1892............................................. 4 fr.
  - Deuxième Série; 1894....................................... 3 fr. 50 c.
  - LES PROJECTIONS SCIENTIFIQUES.
  - Étude des appareils, accessoires et manipulations diverses pour l’enseignement scientifique par les projections;
  - Par MM. II. Fourtier et A. Molteni.
  - In-18 jésus de 300 pages, avec 113 figures; 1894.
  - Broché............. 3 fr. 50 c. | Cartonné.......... 4 fr. 50 c.
  - DICTIONNAIRE SYNONYMIQUE FRANÇAIS, ALLEMAND, ANGLAIS, ITALIEN ET LATIN DES MOTS TECHNIQUES ET SCIENTIFIQUES EMPLOYÉS EN PHOTOGRAPHIE;
  - Par M. Antiionny Guerronnan.
  - Grand in-8; 1895......................................... 5 fr.
  - L’ART PHOTOGRAPHIQUE DANS LE PAYSAGE.
  - Etude et pratique;
  - Par Horsley-IIinton, — traduit de l’anglais par II. Colard. Grand in:8, avec 11 planches; 1894 ....................... 3 fr.
  - LA PHOTOGRAPHIE MÉDICALE.
  - Applications aux Sciences médicales et physiologiques;
  - Par M. A. Londe.
  - Grand in-8, avec 80 figures et 19 planches; 1893.......... 9 fr.
  - VIRAGES ET FIXAGES.
  - Traité historique, théorique et pratique;
  - Par M. P. Mercier,
  - Chimiste, Lauréat de l’École supérieure de Pharmacie de Paris.
  - 2 volumes in-18 jésus; 1892 ....................................... 5 fr.
  - On vend séparément :
  - I10 Partie: Notice historique. Virages aux sels d’or......... 2 fr. 75 c.
  - II* Partie: Virages aux divers métaux. Fixages............... 2 fr. 75 c.
  - INSTRUCTIONS PRATIQUES POUR PRODUIRE DES ÉPREUVES IRRÉPROCHABLES AU POINT DE VUE TECHNIQUE ET ARTISTIQUE.
  - Par M. A. Mullin,
  - Professeur de Physique au Lycée de Grenoble, Officier de l’Iustruction publique. In-18 jésus, avec figures; 1895..................... 2 fr. 75 c
- p.n.n. - vue 251/272
- - LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS
  - TRAITÉ PRATIQUE
  - DES AGRANDISSEMENTS PHOTOGRAPHIQUES.
  - Par M. E. Trutat.
  - 2 volumes in-18 jésus, avec 105 figures ; 1801.......... 5 fr.
  - On vend séparément :
  - I10 Partie: Obtention des petits clichés ; avec 52 figures. 2 fr. 75 c.
  - Il» Partie : Agrandissements ; avec 53 figures............. 2 fr. 75 c.
  - IMPRESSIONS PHOTOGRAPHIQUES AUX ENCRES GRASSES.
  - Traité pratique de Pliotocollographie à l’usage des amateurs ;
  - Par M. E. Trutat.
  - Tn-18 jésus, av. nomb. fig. et 1 pl. en pliotocollographie; 1892... 2 fr. 75 c.
  - LA PHOTOTYPOGRAVURE A DEMI-TEINTES.
  - Manuel pratique des procédés de demi-teintes, sur zinc et sur cuivre; Par M. Julius Verfasser.
  - Traduit de l’anglais par M. E. Cousin, Secrétaire-agent de la Société française de Photographie.
  - In-18 jésus, avec 56 figures et 3 planches ; 1895 ...... 3 fr.
  - TRAITÉ PRATIQUE DE PHOTOLITHOGRAPHIE.
  - Photolithographie directe et par voie de transfert. Photozincographie. Pho-toeollographie. Autographie. Photographie sur bois et sur métal à graver. Tours de main et formules diverses;
  - Par M. Léon Vidai.,
  - Officier de l’Instruction publique, Professeur à l’École nationale des Arts décoratifs. In-18 jésus, avec 25 fig., 2 planches et spécimens de papiers autographiques; 1893 ...................................................... 6 fr. 50 c.
  - MANUEL DU TOURISTE PHOTOGRAPHE.
  - Par M. Léon Vidal.
  - 2 volumes in-18 jésus, avec nombreuses figures. Nouvelle édition, revue et augmentée; 1889....................................................... 10 fr.
  - On vend séparément :
  - Ir° Partie : Couches sensibles négatives. — Objectifs. — Appareils portatifs. — Obturateurs rapides. — Pose et Photométrie. — Développement et fixage. — Renforçateurs et réducteurs. — Vernissage et retouche des négatifs.... 6 fr.
  - 11° Partie : Impressions positives aux sels d’argent et de platine. — Retouche et montage des épreuves. — Photographie instantanée. — Appendice indiquant les derniers perfectionnements. — Devis de la première dépense à faire pour l’achat d’un matériel photographique de campagne et prix courant des produits. 4 fr.
  - MANUEL PRATIQUE D’ORTHOCHROMATISME.
  - Par M. Léon Vidal.
  - In-18 jésus, avec figures et 2 planches, dont une en pliotocollographie et un spectre en couleur ; 1891......................... 2 fr. 75 c.
  - NOUVEAU GUIDE PRATIQUE DU PHOTOGRAPHE AMATEUR.
  - Par M. G. Vieuille.
  - 3° édition, refondue et beaucoup augmentée. In-18 jésus, avec figures; 1892............................................ 2 fr. 75 c.
  - 5235 B. — Paris, lmp. Gauihior-Villars et fils, 55, quai des Gr.-Augustins.
- p.n.n. - vue 252/272
- - G. MASSON
  - LIBRAIRE DE L’ACADÉMIE DE MÉDECINE
  - 120, Boulevard Saint-Germain, Paris P. n° 240. «—~~~~~ „
  - EXTRAIT DU CATALOGUE
  - VIENT DE PARAITRE
  - Précis
  - cPObstétrique
  - P A U
  - A. RIBEMONT-DESSAIGNES
  - Agrégé de la Faculté de Médecine, Aecoucliour de l'hôpital Beaujon
  - ET
  - G. LEPAGE
  - Ancien chef de clinique obstétricale à la Faculté do Médecine Accoucheur des hôpitaux.
  - Deuxième Édition
  - 1 vol. in-8° de 1300 payes, avec 546 figures dans le texte dont 433 dessinées par A. Ribemont-Dessaignes.
  - Relié toile.............................................. 30 i'r.
  - « Notre désir, disaient MM. Ribcmont-Dessaignos et Lepage dans la préface de la première édition de cet ouvrage, est d’être utile aux étudiants; à ceux-ci de dire si nous avons réussi. »
  - La réponse a été péremptoire : en moins d’un an cette première édition a été complètement épuisée. Nous annonçons aujourd’hui la seconde, dans laquelle les différentes questions actuellement en discussion parmi les accoucheurs ont été soigneusement mises au point; c’est ainsi que les auteurs ont ajouté nombre do notions nouvelles sur la pathologie de la grossesse, les opérations obstétricales, le traitement des suites de couches pathologiques, etc. Pour la partie anatomique ou a mis à contribution les leçons de M. Mathias-Duval sur l'œuf et son développement, ainsi quo les travaux de M.L.-1I. Farabeul'sur l'anatomie obstétricale et en particulier sur les articulations du bassin; on a tenu également à faire connaître les instruments nouveaux imaginés par L. Farabcuf pour la symphyséotomie. Enfin les auteurs ont demandé aux différents maîtres de l'obstétrique française de leur signaler les lacunes de la première édition, afin de les combler.
- p.1 - vue 253/272
- - 2 G. MASSON, Libraire de l’Académie de Médecine
  - Traité de
  - Pathologie générale
  - PUBLIÉ PAR
  - Ch. BOUCHARD
  - MEMBRE DË I.'INSTITUT
  - PROFESSEUR DE PATHOLOGIE GÉNÉRALE A LA FACULTÉ DE MÉDECINE DE PARIS
  - SECRÉTAIRE DE LA RÉDACTION :
  - G.-H. ROGER
  - Professeur agrégé à la Faculté do médecine de Paris, Médecin des hôpitaux.
  - CONDITIONS DE LA PUBLICATION :
  - Le Traité de Pathologie générale sera publié en 6 volumes grand in-8°. Chaque volume comprendra environ 900 ]>ages, avec nombreuses figures dans te texte. Les tomes l et IL sont en vente. Les autres volumes seront publiés successivement et à des intervalles rapprochés.
  - Prix de la Souscription, Ie1, janvier 1896 . 102 fr.
  - DIVISIONS DU TOME I
  - 1 vol. yrund in-8° de 1018 pages avec figures dans le texte. 18 fr.
  - H. Roger. — Introduction à Pétude de la pathologie générale.
  - II. Roger et P.-J. Cadiot. Pathol, comparée de l’homme et des animaux. P. Vuille.min. Considérations générales sur les maladies des végétaux. Mathias Duval. — Pathogénie générale de l’embryon. Tératogénie. Le Gendre. — L’hérédité et la pathologie générale.
  - Bourcy. — Prédisposition et immunité.
  - Mar fan. — La fatigue et le surmenage.
  - Lejars. — Les Agents mécaniques.
  - Le Noir. — Les Agents physiques. Chaleur. Froid. Lumière. Pression atmosphérique. Son.
  - D’Arsonval. — Les Agents physiques. L’énergie électrique et la matière vivante.
  - Le Noir. — Les Agents chimiques : les caustiques.
  - IL Roger. — Les intoxications.
  - VIENT DE PARAITRE
  - —————‘ DIVISIONS DU TOME II
  - 1 vol. grand in-8° de 932 pages avec figures dans le texte. . . 18 fr. Charrin. — L’infection.
  - Guignard. — Notions générales de morphologie bactériologique. Hugounenq. — Notions de chimie bactériologique.
  - Chantemesse. — Le sol, l’eau et Pair agents de transmission des maladies infectieuses.
  - Gabriel Roux. — Les microbes pathogènes.
  - Laver an. — Des maladies épidémiques.
  - Rufficr. — Sur les parasites des tumeurs épithéliales malignes.
  - R. Blanchard. — Les parasites.
- p.2 - vue 254/272
- - RÉGENTES PUBLICATIONS
  - Traité des Maladies
  - des yeux
  - 2 volumes grand in-8° avec 453 fig en couleurs, reliés toile. .
  - Par Ph. PANAS
  - Professeur de clinique ophtalmologique ù la Faculté de Médecine. Chirurgien do l’Hôtel-Dieu.
  - res dans le texte et 1 planches
  - ............40 fr.
  - Précis de
  - VIENT DE PARAITRE
  - Thérapeutique ophtalmologique
  - Par Jcs D's LANDOLT el GYGAX
  - 1 vol. in-18, cartonné.............................3 1T.
  - Mettre entre les mains de l’oculiste un Yado meeum contenant, sous une forme concise, les notions indispensables de la thérapeutique spéciale : tel a été le but des auteurs.
  - Il ne s’agit point d’un traité de thérapeutique ophtalmologique, ce n’est pas non plus un dictionnaire. L’un et l’autre auraient réclamé un volume dépassant de beaucoup le format portatif qui convient à ce petit guide, ce devait être un compagnon discret, un serviteur fidèle et rapide pour le praticien dans la bâte de la consultation, pour l’étudiant dans la préparation de l’examen. La partie pharmaceutique, le dosage de certains remèdes, la forme la plus appropriée de leur administration, etc., échappant bien plus aisément ix la mémoire du médecin que la thérapeutique en général, on a insisté sur les formules médicinales qui ont été revues avec un soin particulier. Enfin, afin de rendre le maniement de ce précis le pins simple possible, les articles sont disposés par ordre alphabétique. Le livre est lui-même un répertoire.
  - VIENT DE PARAITRE
  - Traitement
  - de la Syphilis
  - Par le D> Charles MAURIAC
  - MJiDIÎCIN 1)IS I,'HÔPITAL K1C01U) (HÔPITAL Dr midi)
  - 1 volume m-8°.............................15 IV.
  - Nul n'était plus à même pour écrire un livre sur la syphilis que réminent praticien Charles Mauriac.
  - Après avoir parcouru rapidement dans son introduction les principales phases do la syphilis pendant quatre siècles, le docteur Mauriac entre dans le corps de l’ouvrage qu’il a divisé en trois livres. Le premier livre est consacré à la thérapeutique générale de la syphilis. Le second livre a pour objet le traitement dos diverses manifestations syphilitiques. Le troisième livre, enfin, se divise en deux parties : le traitement et la prophylaxie de la syphilis héréditaire.
- p.3 - vue 255/272
- - 4
  - G. MASSON, Libraire de l’Académie de Médecine
  - Traité
  - de Chirurgie
  - PUBLIÉ SOUS LA DIRECTION DE MM.
  - Simon DÜPLAY
  - Paul RECLUS
  - Professeur de clinique chirurgicale à la Faculté de Médecine de Paris Membro de l’Académie de Médecine.
  - Professeur agrégé à la Faculté do Médecine de Paris Chirurgien dos hôpitaux Membre de la Société de chirurgie
  - PAR MM.
  - BERGER — BROGA — DELBET — DELENS - FORGUE GÉRARD-MARCHANT — HARTMANN — 1IEYDENRE1CH JALAGU1ER — KIRMISSON — LAGRANGE - LEJARS MICHAUX — NÉLATON — PEYROT — PONCET — POTHERAT QUÉNU — RICARD — SECOND — TUFFlEll — WALTHER
  - 8 volumes grand in-8° avec nombreuses figures. 150 fr.
  - Manuel de
  - Pathologie externe
  - RECLUS, KIRMISSON, PEYROT, BOUILLY
  - Professeurs agrégés à la Faculté do Médecine do Paris, Chirurgiens des Hôpitaux. 4 volumes petit in-8°.
  - I — Maladies des tissus. 4° édition, par le Br P. Reclus.
  - II. — Maladies des régions : Tête et Rachis. 4° édition, par le D1' Km-MISSON.
  - III. — Maladie des régions : Cou, Poitrine, Abdomen. 4° édition, par le D1 Peyrot.
  - IV. — Maladie des régions : Organes génito-urinaires et Membres. 4° édition, par le Dr Bouilly.
  - Chaque volume est vendu séparément. 10 fr.
- p.4 - vue 256/272
- - RÉCENTES PUBLICATIONS
  - Traité
  - de Médecine
  - PUBLIÉ SOUS LA DIRECTION DE MM.
  - CHARCOT
  - BOUCHARD
  - Profr de clinique des maladies nerveuses à la Faculté de médecine do Paris, Membre de l’Institut.
  - Professeur de pathologie générale i\ la Faculté de médecino de Paris Membre de l'Institut.
  - BRISSAUD
  - Professeur agrégé à la Faculté de médecine de Paris, Médecin de l’hôpital Saint-Antoine.
  - BABINSKI — BALLET — P. BLOCQ — BOIX - BRAULT CIIANTEMESSE — CHARHIN - CHAUFFARD — COURTOIS-SUFFIT DUT1L — GILBERT — L. GUINON — GEORGES GUINON HALLION — LAMY — LE GENDRE — MARFAN — MARIE — MATHIEU NETTER — OETTINGER - ANDRÉ PETIT R1CHARDIÈRE - ROGER — RUAULT - SOUQUES — THIB1ERGE THOINOT — FERNAND WIDAL 6 volumes grand in-8° avec nombreuses figures. 125 fr.
  - Manuel de
  - Pathologie interne
  - Par G. DIEULAFOY
  - Professeur de Pathologie interno à la Faculté do Médecine de Paris, Membre de l’Académie de Médecine. Médecin do l’hôpital Neclter
  - NEUVIÈME ÉDITION
  - 3 vol. in-18 diamant, cartonnés à l’anglaise, tranches rouges. 20 fr.
  - Dans cette 9° édition tous les chapitres ont été revus, remaniés, complétés. Parmi ceux qui ont été le plus remaniés, nous citerons tous ceux oü la syphilis est en cause, les fièvres éruptives, la péricardite, la pleurésie, le diabète, la maladie de Bright, le tétanos, le choléra, la morve, le larcin. Enfin cette édition comprend comme chapitres nouveaux : Les fausses tuberculoses du poumon, les bronchites pseudo-membraneuses, la lithiase broncho-pleuro-pulmonaire, la blennorrhagie, la myélite syphilitique, le chancre mou, la peste, la lièvre jaune, la maladie de Thomsen. enfin une foule d’intoxications.
- p.2x5 - vue 257/272
- - G. MASSON, Libraire de l'Académie de Médecine
  - Clinipes médicales
  - de la Charité
  - LEÇONS & MÉMOIRES
  - Par le Professeur P O TA IN
  - ET SES COLLABORATEURS
  - Ch. FRANÇOIS-FRANCK,
  - H. VAQUEZ,
  - E. SUCHARD, P.-J. TEISSIER
  - 1 volume in-8° de 1060 pages avec nombreuses figures dans le texte. Relié................................................30 fr.
  - Divisions. — Leçons recueillies par II. VAQUEZ. Sémiologie cardiaque (9 leçons). Palpitations. Endocardite rhumatismale aiguë. Rythme mitral. Le cœur des tuberculeux. Les cardiopathies réflexes. Névropathies d’origine cardiaque. Traumatismes cardiaques. Symphyse cardiaque. Pronostic. Traitement (3 leçons). — Professeur POTA1N. Les souffles cardio-pulmonaires. Du choc do la pointe du cœur. — II. VAQUEZ. Phlébite des membres. — TEISSIER. Rapports du rétrécissement mitral pur avec la tuberculose. — SUCHARD. Technique des autopsies cliniques. — FRANÇOIS-FRANCK. Analyse de l’action expérimentale do la digitaline.
  - Traité
  - des Résections
  - et des Opérations conservatrices que l’on peut pratiquer sur le système osseux
  - Par le \Y OLLIER
  - Chirurgien en chef de l'Hôtel-Diou do Lyon , Professeur de clinique chirurgicale à la Faculté de Médecine do Lyon.
  - 3 volumes grand in-8°, avec nombreuses ligures.... 50 fr.
  - Divisions de l’Ouvrage
  - Tome 1. — Introduction. — Résections en général. 1 volume in-8°, avec
  - 127 figures................................................................. 16 fr.
  - Tome IL — Résections en particulier. — Membre supérieur. 1 volume in-8°, avec
  - 156 ligures..................................................................16 fr.
  - Tome III. — Résections du membre inférieur, tête et tronc. 1 volume in-8o, avec 224 figures..................................................................22 fr.-
  - pRéeis de
  - manuel opératoire
  - Par L.-H. FARABEUF
  - Professeur à la Faculté de Médecine de Paris QUATRIÈME ÉDITION
  - T. Ligature des Artères. — II. Amputations. — III. Résections. — Appendice.
  - 1 volume in-8° avec 799 figures..16 fr.
  - Sans tenir compte des changements, cette édition a 150 pages et 112 figures de plus que la précédente. Parmi' les additions de la dernière partie, on trouvera la technique des interventions sanglantes dans les luxations irréductibles des doigts et du ponce, à\\ coude, de F épaule, etc., Yarthrodèse tibio-tarsienne, l’anatomie et le traitement du pied bot comprenant 40 figures. Enfin dans l’Appendice, après la trépanation de l’antre mastoïdien, la section intra-cranienno du trijumeau, le tubage du larynx, etc., on ne s’étonnera pas de voir la symphyséotomie et Yisc.hxo-pubiotomie remplir les 50 dernières pages du volume.
- p.2x6 - vue 258/272
- - RÉCENTES PUBLICATIONS . 7
  - Leçons de Thérapeutique
  - Dr Georges HA.YEM
  - Membre de l’Académie de médecine, Professeur à la Faculté de médecine de Paris
  - 5 VOLUMES PUBLIÉS
  - LES MEDICATIONS : 4 volumes grand in-8° ainsi divisés :
  - l1'0 Série. — Les médications. — Médication désinfectante. — Médication sthénique. — Médication antipyrétique.
  - — Médication antiphlogistique. 8 fr. 2" Série. — De l’action médicamenteuse. — Médication antihydropique.
  - — Médication hémostatique. — Médi-
  - cation reconstituante. — Médication do l’anémie. — Médication du diabète sucré. — Médication de l’obésité. — Médication do la douleur. ... 8 fr.
  - 3e Série- — Médication de la douleur {suite). — Médication hypnotique. —
  - Médication stupéfiante. — Médication antispasmodique. — Médication excitatrice de la sensibilité. — Médication hypercinétique. — Médication de la kinésitaraxie cardiaque. — Médication de l”asystoiie. — Médication do l’ataxie et de la neurasthénie cardiaque. 8 fr.
  - 4e Série. — Médication antidyspeptique. — Médication antidyspnéiquo. — Médication do la toux.— Médication expectorante. — Médication do l’albuminurie. — Médication de l’urémie. — Médication antisudoraîo. ... 12 fr.
  - LES AGENTS PHYSIQUES ET NATURELS :
  - Agents thermiques. — Electricité. — Modifications de la pression atmosphérique, Climats et eaux minérales.
  - 1 volume grand in-iî° avec nombreuses figures et 1 carte des eaux minérales et stations climatériques........................12 fr.
  - Traité élémentaire
  - de Clinique thérapeutique
  - Par le Dr G. LYON
  - Ancien interno des hôpitaux de Paris Ancien chef de clinique à la Faculté de médecine
  - / volume iti-S°.............................15 fr.
  - Dans cet ouvrage, très au courant de l’état actuel de la thérapeutique, les maladies sont classées par ordre alphabétique. Le traitement suit leur description, et à côté de ce traitement, on trouve l'indication des grands symptômes morbides avec un aperçu des moyens cliniques permettant de faire le diagnostic do leurs causes, de telle sorte que la clinique et la thérapeutique s’y trouvent entièrement associées.
- p.2x7 - vue 259/272
- - G. MASSON, Libraire de l’Académie de Médecine
  - Séméiologie et Diagnostic
  - des Maladies nerveuses
  - Par Paul BLOCQ
  - Chef des travaux anatomiques à la Salpêtrière
  - Et J. ONANOFF
  - 1 volume in-18 diamant, cartonné toile anglaise, tranches rouges, avec 88 figures dans le texte. ... . ...........5 fr.
  - Guide pratique
  - des Maladies mentales
  - SÉMÉIOLOGIE, DIAGNOSTIC, INDICATIONS
  - Par le !>’ Paul SOLLIER
  - Chef de clinique adjoint dos maladies mentales à la Faculté
  - 1 volume in-18 diamant, cnrt. toile anglaise, tranches rouges. . 5 fr.
  - Le traitement
  - de la Coxalgie
  - Par le D>’ F. CALOT
  - CHIRURGIEN EN CHEF DE L’HÔPITAL ROTHSCHILD DE L'HÔPITAL CAZINtPERROCIIAUD ET DU DISPENSAIRE DE BERCK
  - 1 volume in-16 avec 41 figures. Relié peau pleine.5 fr.
  - Traitement rationnel
  - de la Phtisie
  - Par le Dr Ch. SABOURIN
  - Ancien interne des hôpitaux de Paris Lauréat de l’Académie dos sciences et de la Faculté de Paris Directeur de la station climatérique de Vernet-les-Bains
  - 1 volume in-16, relié peau pleine.............................4 fr.
  - Ce livre pourrait avoir pour sous-titre : Comment on étaient phtisique, ce qu’il faut faire pour se guérir, et pour ne pas donner sa maladie aux autres. »
  - Sans avoir eu - l’autour du moins le dit modestement — la prétention do rien apprendro aux médecins, il ospère qu’ils trouveront à glaner dans ces notions claires et précises, résultat d’une pratique déjà longue. Le public extra-médical, qui ne cherche ni bibliographie, ni haute science, y trouvera certainement son profit, et c’est pour lui avant tout que M. Sabourin a écrit cet excellent ouvrage.
- p.2x8 - vue 260/272
- - RÉCENTES PUBLICATIONS
  - Cours
  - de Chimie
  - MINÉRALE, ORGANIQUE ET BIOLOGIQUE
  - Par Armand GAUTIER
  - Membre de VInstitut Professeur de Chimie à la Faculté de Médecine de Paris Membre de l'Académie de Médecine.
  - Tome I. — Chimie minérale. 2° édition, revue et mise au courant dos travaux
  - les plus récents. 1 volume grand in-8° avec 244 figures.....16 fr.
  - Tome II. — Chimie organique. 2° édition, revue et mise au courant dos travaux les plus récents. 1 volume grand in-8° avec 72 figures.16 fr.
  - Tome III. — Chimie biologique. 1 volume grand in-8°, avec 122 figures. 18 fr.
  - Traité de Chimie MinéraleetOrganique
  - Par Ed. WILLM
  - Professeur à la Faculté des Sciences de Lille, et
  - HANRIOT
  - COMPRENANT LA CHIMIE PURE ET SES APPLICATIONS
  - Professeur agrégé à la Faculté de médecine de Paris.
  - 4 volumes grand in-8° avec figures dans le texte. 50 fr.
  - On vend séparément : Tomes I et II (Chimie minérale)..........25 fr.
  - Tomes III et IV (Chimie organique)........25 fr.
  - Par M. Georges SALET
  - Maître do Conférences à la Faculté des Sciences de Paris.
  - 1 volume in-8° avec 180 figures et 6 planches. Relié toile, avec biseaux.................................................15 fr.
  - Traité élémentaire d’éiectricité
  - Par J. JOUBERT
  - Inspecteur général de l’Instruction publique.
  - 3e édition, revue et augmentée. 1 volume in-8° avec 379 figures dans le texte........................................... 8 fr.
- p.2x9 - vue 261/272
- - 10 G. MASSON, Libraire de l’Académie de Médecine
  - Les Enchaînements
  - du monde animal
  - DANS LES TEMPS GÉOLOGIQUES Par Albert GAUDRY
  - Membre de l’Institut, Professeur au Muséum d'histoire naturelle.
  - OUVRAGE EN TROIS VOLUMES AINSI RÉPARTIS :
  - Mammifères tertiaires. I vol. gr. in-S«, avec 312 gravures dans le texte, dessinées par Formant........................10 fr.
  - Fossiles primaires. 1 vol. gr. in-8°, avec 285 gravures dans le texte, d’après les dessins de Formant.......................10 fr.
  - Fossiles secondaires. 1 vol. gr. in-8», avec 403 gravures dans le texte, dessinées par Formant...........................10 fr.
  - A. DE LAPPARENT
  - Traite de Géologie. Ouvrage couronné par l'Institut. 3e édition, entièrement refondue. 2 volumes gr. in-8°, de 1650 pages avec 726 gravures dans le texte. ..... 24 fr.
  - COlirS de ]VEineral0^ie> Ouvrage couronné par l'Institut. 2e édition, très augmentée. 1 vol. gr. in-8° de 650 pages avec 598 gravures dans le texte et une planche chro-molithographiée............................15 fr.
  - LE LIVRE DES ORCHIDÉES
  - Botanique, Histoire, Géographie, Culture
  - PAR
  - Le Comte OSWALD de KERCHOVE de DENTERGHEM
  - PRÉSIDENT DIÎ LA SOCIÉTÉ ROYALE D'AGRICULTURE ET DE BOTANIQUE DE GAND
  - 1 vol. gr. in-8° orné de 31 planches coloriées et de plus de 300 gravures.
  - Prix : 30 francs
  - Go livre, d'une lecture facile et attachante, renferme les principales données que nous possédons actuellement sur l’organisation botanique, le lieu d’origine et le mode rationnel de traitement de ces plantes admirées et cultivées de nos jours dans toutes les serres.
- p.2x10 - vue 262/272
- - RÉCENTES PUBLICATIONS
  - 11
  - PRÉPARATION A L’ÉCOLE SPÉCIALE MILITAIRE DE SAINT-CYR
  - Précis
  - de Géographie
  - PAR
  - Marcel DUBOIS
  - Camille GUY
  - Professeur de Géographie coloniale à la Faculté des lettres do Paris.
  - Ancien élève de la Sorbonne Prof1’ agrégé do Géographie et d’Histoiro.
  - l;N THÉS FOUT VOLUME 1N-80
  - Avec nombreuses cartes, croquis et figures dans le texte. Broché. . . 12 l'r. 50 — Relié. . . 14 fr.
  - Ce nouvel ouvrage est une adaptation des connaissances géographiques à la première éducation militaire qu'on exige des candidats à Saint-Cyr et qui les prépare à la Géographie que nos officiers leur enseigneront plus tard à l’Ecole avec une supériorité incontestée.
  - Le Précis de Géographie reste fidèle à la méthode que les Maîtres et les Elèves apprécient dans les ouvrages antérieurs do M. Marcel Dubois, C'est le livre d'une classe vraiment spéciale et orientée dans une direction déterminée faisant la part de l’éducation large et libérale du futur officier sans jamais négliger la préoccupation immédiate de l’examen.
  - Précis
  - d’Histoire
  - MODERNE ET CONTEMPORAINE
  - Par F. CORRÉARD
  - Professeur au lycée Charlemagne.
  - Un volume in-8° de 800 pages. Broché. 10 fr. 50. Relié. 12 fr.
  - En rédigeant cet ouvrage l’auteur a eu constamment présente à l’esprit l'indication suivante qui figure en note du programme des conditions d’admission à l’Ecole de Saint-Cyr. « Le programme üe l’examen d’histoire et de géographie a été l’approché, autant que possible, du programme d’enseignement des lycées pour éviter que les candidats ne so croient obligés à so donner une préparation trop spéciale et nuisible par là même à leur éducation intellectuelle. Les candidats doivent, avant toutes choses, faire preuve de connaissances général'i et réfléchies en histoire. L'examen ne portera pas sur tes menus détails de l'histoire des guerres. » En conséquence l'auteur, suivant la méthode employée dans les précédents ouvrages, s’est attaché d’abord à choisir et à caractériser les laits et les personnages significatifs, puis à marquer la suite et l'enchaînement des événements. Pour les opérations militaires mentionnées dans le programme, il s’est efforcé de faire comprendre le sens et le but soit des campagnes, soit dos batailles, en évitant les considérations trop techniques qui supposent des connaissances que les candidats n’auront que plus tard.
- p.2x11 - vue 263/272
- - 12
  - G. MASSON, Libraire de l’Académie de Médecine
  - VIENT DE PARAITRE
  - La Photographie moderne
  - TRAITÉ PRATIQUE DE LA PHOTOGRAPHIE
  - ET DE SES
  - APPLICATIONS A L’INDUSTRIE ET A LA SCIENCE Par M. Albert LONDE
  - Directeur du Service photographique de la Salpêtrière,
  - Président de la Société d’excursions des Amateurs de photographie, Secrétaire-général adjoint de la Société française de Photographie, Président d'honneur du Photo-Club de Lyon,
  - Officier de l’Instruction publique.
  - DEUXIÈME ÉDITION
  - complètement refondue et considérablement augmentée.
  - 1 vol. in-8° relié toile avec 346 figures dans le texte et 5 planches hors texte (dont 1 frontispice). ... 15 fr.
  - Dans cette science nouvelle qui se développe tous les jours, la nécessité d’une direction se fait d'autant plus sentir que les progrès sont plus sensibles : pour discerner le bon du mauvais ou du médiocre, il faut une somme de connaissances et une expérience pratique que l’on ne saurait demander à celui qui ne fait de la photographie qu’une occupation passagère.
  - La plupart dos auteurs n’ont pas compris la nécessité de cette direction à donner au débutant, et c’est par des compilations de recettes et do formules qu'ils prétendent initier à la photographie.
  - Tout en reconnaissant la valeur de cos formulaires pour ceux qui se sont spécialisés, l’auteur n'est pas tombé dans la même erreur : dans chaque hypothèse il a donné la solution la plus simple et la plus sûre, do façon à permettre au lecteur, qui voudra bien le suivre fidèlement, d’atteindre le but sans tâtonnements.
  - VIENT DE PARAITRE
  - Études d’Économie rurale
  - Par M. D. ZOLLA
  - Lauréat de l'Institut
  - Professeur à l’Ecole de Grignon et à l’Ecole libre des Sciences politiques.
  - 1 vol. in-8<>..........................6 fr.
  - DIVISIONS DE L’OUVRAGE :
  - Les variations du prix du bétail et de la viande. — Les charges fiscales. — De la propriété rurale et de l’agriculture. — L’impôt foncier. — La question du blé. — Etude sur la diminution du nombre des ovidés en France et en Europe. — Le commerce des produits agricoles en France et à l’Etranger. — Le socialisme et l’agriculture en France.
- p.2x12 - vue 264/272
- - RÉGENTES PUBLICATIONS
  - 13
  - ANNALES DE L’UNIVERSITÉ DE LYON
  - DERNIERS VOLUMES PARUS :
  - Histoire de la compensation en droit Romain, par C. Appleton, professeur à la Faculté de Lyon. 1 vol. in-8°. ... 7 fr. 50
  - Sur la représentation des courbes algébriques, par Léon Autonne, ingénieur des ponts et chaussées, maître de conférences à la Faculté de Lyon. 1 vol. in-8°....................... fr.
  - La République des Provinces-Unies, la France et les Pays-Bas espagnols, de 1630 à 1650, par A. Waddington, professeur adjoint à la Faculté des lettres de Lyon. Tome I (1630-1642). 1 vol. in-8°......................).................6 fr.
  - Phonétique historique et comparée du sanscrit et du zend, par Paul Regnaud, professeur de sanscrit et de grammaire comparée à la Faculté des lettres de Lyon. 1 vol. in-8° . . 5 fr.
  - Recherches sur quelques dérivés surchlorés du phénol et du benzène, par Étienne Barral, chargé des fonctions d’agrégé à la Faculté de Lyon, pharmacien de lre classe, i vol. in-8°...............................................5 fr.
  - Saint Ambroise et la morale chrétienne au IVe siècle, par Raymond Thamin, professeur de philosophie au lycée Condorcet. 1 vol. in-8°.....................................7 fr. 50
  - Éléments
  - DE
  - Grammaire Espagnole
  - Par I. GUADALUPE
  - Professeur d’espagnol au Collège Rollin et aux Cours de la Ville, à lvEcole supérieure de Commerce, à la Société commerciale pour l’ëtudo des langues étrangères, à la Société pour l’Instruction élémentaire,
  - Officier d'Académie.
  - 1 volume in-16, cartonné toile anglaise.. 3 fr.
  - L'ouvrage que M. Guadalupe publie, après une longue expérience de quatorze années consacrées à. l'enseignement do l'espagnol en France, est fait sur un plan nouveau et renferme dans un nombre de pages relativement restreint, toutes les notions nécessaires pour connaître la langue à fond. Il peut servir aussi bien pour les commercants que pour les personnes ayant déjà une certaine connaissance de la langue espagnole. Toutes les leçons sont accompagnées d’un exercice pratique, formé de petites phrases simples et usuelles, se rapportant à la conversation ordinaire.
- p.2x13 - vue 265/272
- - 14 G. MASSON, Libraire de l’Académie de Médecine
  - La Nature
  - Revue des Sciences
  - et de leurs applications aux arts et à l’industrie
  - Journal Hebdomadaire illustré
  - Rédacteur en chef : Gaston TISSANDIER
  - Paris Départements Union postale
  - Un an................. 20 fr. 25 fr. 26 fr.
  - Six mois.............. 10 fr. 12 fr. 50 13 fr.
  - Chaque année forme 2 volumes, dont chacun est vendu séparément. Broché, 10 fr. — Relié, 13 fr. 50.
  - Fondée en 1813, par Al. Gaston Tissandieh, La Nature a été le premier des journaux, de vulgarisation scientifique. Elle est encore le plus considérable par son nombre d’abonnés, par la valeur de sa rédaction, par la sûreté de ses informations.
  - C’est elle qui sans cesser de faire autorité dans le monde scientifique, sachant rendre la science aimable, sans jamais la rendre vulgaire, a peu à peu créé un public pour s'intéresser aux choses dont l’aridité l’avait si longtemps rebuté.
  - D’une indépendance absolue, La Nature peut, sans crainte d’être accusée de complaisance ou de mercantilisme, faire une large part à la science pratique, même dans ses plus modestes applications.
  - Elle a, la première, inauguré ces Récréations scientifiques, qui ont si souvent amusé en même temps qu’instruit les lecteurs de tous les âges ; elle a su faire à l’illustration une place chaque jour plus grande, en s’imposant depuis longtemps la règle de ne donner jamais que des figures originales exécutées par nos meilleurs artistes.
  - Des collaborations éminentes, dont elle est fière à juste titre, lui ont permis de tenir de la façon la plus précise, et presque toujours de première inaui, ses lecteurs au courant de toutes les découvertes, de tous les travaux importants, de toutes les observations curieuses.
- p.2x14 - vue 266/272
- - RÉGENTES PUBLICATIONS
  - 15
  - E. HOSPITALIER
  - INGÉNIEUR DES ARTS ET MANUFACTURES PROFESSEUR
  - a i/kcole de physique et de chimie industrielle de la ville de paris
  - RÉDACTEUR EN CHEF DE « L’INDUSTRIE ÉLECTRIQUE »
  - Fotmulaire
  - de
  - /
  - ï Electzicien
  - QUATORZIÈME ANNÉE 1896
  - 1 volume in-16, relié toile. — Prix : 5 irancs.
  - Le succès toujours croissant de cet excellent recueil plaide mieux que tous les arguments en faveur de cet ouvrage quo l'on doit rencontrer dans les mains de quiconque s'occupe d’électricité.
  - L’auteur, dont la compétence n’est plus à établir, a su y rassembler, sous la forme la plus réduite, tous les renseignements théoriques et pratiques. Débilitions, lois, unités de mesures, appareils et méthodes, sont ainsi constamment sous la main de l’électricien qui dispose également de tous les résultats aujourd’hui incontestablement acquis par les nombreuses expériences que la science et l’industrie nous apportent tous les jours.
  - Ajoutons que, avec un soin scrupuleux, l’ouvrage est tenu chaque année au courant do tout ce qui survient, donnant ainsi un exemple dont bien dos publications devraient faire leur profit. (Journal de Physique.)
  - Recettes
  - de PÉlectricien
  - 1 volume in-16, relié toile. — Prix : 4 francs.
  - Lorsque parut, en 1883, la première année du Formulaire de l'Hleclricien, l’ouvrage renfermait un certain nombre de renseignements pratiques, recettes, tours do main, cto., quo le manque do place nous obligea bientôt à supprimer, au grand regret do bon nombre de nos fidèles lecteurs.
  - Quelques années plus tard, les renseignements pratiques relatifs aux pilos et aux opérations ëlectrochimiqucs courantes subissaient le même sort, et cédaient la place aux seuls renseignements conformes au titre et à l'esprit de l’ouvrage, devenu ainsi un véritable recueil de formules et de renseignements techniques utiles à l'ingénieur électricien.
  - Nous avions d’ailleurs l’intention d’utiliser un jour ccs recettes, procédés et tours de main, dans un livre plus spécialement destiné aux ouvriers, monteurs, amateurs, à tous ceux, en un mol, qui mettent la main fi la pâte, l’usine, à l’atelier, au laboratoire, ou dans leur propre maison, exécutent un appareil ou un circuit, l’installent ou io mettent en service, etc. C’est à eux quo s’adressent les Recettes de l’Electricien dont nous publions aujourd’hui la première édition.
- p.2x15 - vue 267/272
- - G. MASSON, Libraire de l’Académie de Médecine.
  - IG
  - VIENT DE PARAITRE
  - Traité
  - des
  - Matières colorantes
  - ORGANIQUES ET ARTIFICIELLES
  - de leur préparation industrielle et de leurs applications
  - Léon LEFÈVRE
  - Ingénieur (K. I. R.), Préparateur do chimie à l’École Polytechnique.
  - Préface de E. GRIMAUX, membre de l'Institut.
  - 2 volumes grand in-8° comprenant ensemble 1650 pages, reliés toile anglaise, avec 31 gravures dans le texte et 2G1 échantillons.
  - Prix des deux volumes : 90 francs.
  - Le Traité des matières colorantes s’adresse à la fois au monde scientifique par l’étude dos travaux réalisés dans cette brancho si compliquée de la chimie, et au public industriel par l’exposé dos méthodes rationnelles d’emploi des colorants nouveaux.
  - L'auteur a réuni dans dos tableaux qui permettent do trouver facilement une couleur quelconque, toutes les couleurs indiquées dans les mémoires et dans les brevets. La partie technique contient, avec l’indication dos brevets, les procédés employés pour la fabrication des couleurs, la description et la figure des appareils, ainsi que la description des procédés rationnels d’application des couleurs les plus récentes. Cette partie importante de l’ouvrage est illustrée par un grand nombre d’échantillons teints ou imprimés. Les échantillons, tous fabriqués spécialement pour l'ouvrage, sont sur soie, sur cuir, sur laine, sur coton et sur papier. Dans cotte partio technique, l'auteur a été aidé par les plus éminents praticiens.
  - Un spécimen de 8 pages, contenant deux pages de tableaux (couleurs azoïques), six types d'échantillons, deux pages de texte et un extrait de la table alphabétique, est à la disposition de toute personne qui en fait la demande.
  - Paris. — Imprimerie L. Maukthkux, 1, rue Cassette. — 7152.
- p.2x16 - vue 268/272
- p.n.n. - vue 269/272
- p.n.n. - vue 270/272
- - ENCYCLOPÉDIE SCIENTIFIQUE DES AIDE-MÉMOIRE
  - Ouvrages parus et en
  - Section de l’Ingénieur
  - Lavergne (Gérard). — Turbines.
  - Hébert. — Boissons falsifiées.
  - Naudin.— Fabrication des vernis.
  - Sinigaglia.— Accidents de chaudières
  - H. Laurent. — Théorie des jeux de hasard.
  - Guenkz.— Décoration de la porcelaine au feu do moufle.
  - Vermand.— Moteurs à gaz et à pétrole.
  - Meyer (Ernest). — L’utilité publique et la propriété privée.
  - Wai.lon.- Objectifs photographiques.
  - Bloch.— Eau sous pression.
  - De Launay. — Statistique générale de la production métallifère.
  - Croneau. — Construction du navire.
  - De Marchhna. — Machines frigorifiques (2 vol.).
  - Prud’homme. — Teinture et impressions.
  - Ai.hkilig.— Construction et résistance des machines à vapeur.
  - Sorel.— La rectification de l’alcool.
  - P. Minel. — Électricité appliquée à la marine.
  - Dwelshauvers-Dery.— Étude expérimentale dynamique de la machine à vapeur.
  - Aime Witz.— Les moteurs thermiques.
  - De Billy. — Fabrication do la fonte.
  - P. Minel. — Régularisation des moteurs des machines électrioues.
  - Hennebert (C1). — La fortification.
  - Caspari. — Chronomètres de marine.
  - Hennebert (C1).— Les torpilles sèchos.
  - Louis Jacquet. — La fabrication des eaux-de-vie.
  - Dudebout et Croneau. — Apparoils accessoires des chaudières à vapour.
  - C. Bourlkt. — Traité des bicycles et bicyclettes.
  - H. Léauté et A. Bérard.— Transmissions par câbles métalliques.
  - De la Baume Pluvinkl.— La théorie des procédés photographiques.
  - Hatt. — Les marées.
  - C‘ Vallikr. — Balistique (2 vol.).
  - Sorel. — La distillation.
  - Lkloutrb. — Le fonctionnement des machinos à vapeur.
  - H. Laurent. — Assurances sur la vio.
  - Seybio —Statique graphique.
  - Rouché.— La perspective.
  - Moissan etOuvuARD. — l.o nickel.
  - Hospitalier (E. ). — Les compteurs d’électricité.
  - Guye ( l'ii.-A. ).— Matières colorantes.
  - Le Verrier. — La fonderie.
  - Emile Boire.— La sucrerie.
  - Hennebert (C1). — Bouches à feu.
  - cours de publication
  - Section du Biologiste
  - Du Cazal et Catrin. — Médecine légale militaire.
  - Lapersonne (de). — Maladies des aupières et des membranes externos o l'œil.
  - Kœhler. — Application de la Photographie aux Sciences naturelles.
  - Bkauregard. — Le microscope et ses applications.
  - Lesage. — Le Choléra.
  - Lannelongue.— La Tuberculose chirurgicale.
  - Cornuvin.— Production du lait.
  - J. Ciiatin.— Anatomie comparée (4 v.).
  - Castëx.— Hygiène de la voix parléo ot chantée.
  - Magnan et Sérieux. — La paralysie générale.
  - Cuénot. — L’influence du milieu sur les animaux.
  - Merklen. — Maladies du cœur.
  - G. Roché. — Los grandes pêches maritimes modernes do la France.
  - Ollier. — La régénération dos os et les résections sous-périostées.
  - Letulle.— Pus et suppuration.
  - Critzman.— Le cancer.
  - Armand Gautier. — La chimie de la cellule vivante.
  - Mégnin. — La faune dos cadavres.
  - Séglas. — Le déliro des négations.
  - Stanislas Meunier. — Les météorites.
  - Gréhant. — Les Gaz du sang.
  - Nocard. — Les Tuberculoses animales et la Tuberculose humaine.
  - Moussous. — Maladies congénitales du cœur.
  - Bkrthault. — Les prairies naturelles et temporaires.
  - Etard. — Les nouvelles théories chimiques.
  - Brocq et Jacquet. — Précis élémentaire de Dermalogio. — III. Dermatoses microbionnes et néoplasies.
  - Trouessart. — Parasites des habitations humaines.
  - Lamy. — Syphilis des centres nerveux.
  - Reclus. — La cocaïne en chirurgie.
  - Thoulet. — Guide d’océanographie pratique.
  - Ollier. — Résections des grandes articulations des membres.
  - Bazy.—Troubles fonctionnels dos voies urinaires.
  - Faisans.— Diagnostic précoce do la tuberculose.
  - Budin.— Thérapeutique obstétricale.
  - Dastre.— La Digostion.
  - Aimé Girard. — La betteravo à sucre.
  - Napias.—Hygiène industrielle et professionnelle.
- p.n.n. - vue 271/272
- p.n.n. - vue 272/272