Nouveau traité des bicycles et bicyclettes : équilibre et direction

- - • BIBLIOTHÈQUE ^ DU CONSERVATOIRE’NATIONAL des ARTS & MÉTIERS
  - N° du Cataloguera^ Prix-^gHËstimattüxi '*JL.
  - Entrer, le
  - ENCYC LO PÉ D1E
  - SCIENTIFIQUE
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  - AIDE-MÉMOIRE
  - PUR LIEE
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  - DIRECTION 1)E M. LÉAUTÉ, MEMBRE DE l’InSTIT
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  - Nouveau IrailA des Bievclefl et Bie^elettea J
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- - Ce volume est une publication de l’Encyclopédie scientifique des Aide-Mémoire : L. Isler, Secrétaire Général, 20, boulevard de Courcellcs, Paris.
  - N» n3 A,
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- - ENCYCLOPÉDIE SCIENTIFIQUE DES AIDE-MÉMOIRE
  - PUBLIÉE SOUS Là DIRECTION
  - de M. LÉAUTÉ, Membre de l’Institut.
  - NOUVEAU TRAITE
  - DES
  - BICYCLES & BICYCLETTES
  - ÉQUILIBRE ET DIRECTION
  - PAR
  - C. BOURLET
  - Docteur ès-sciences mathématiques Professeur au Lycée Saint-Louis et à l’École des Beaux-Arts Membre du Comité technique du Touring-Club de France
  - DEUXIÈME ÉDITION
  - PARIS
  - GAUTHIER-VILLARS et fils,
  - 1U PRIMEURS-ÉDITEURS
  - MASSON et Cie, éditeurs,
  - LIBRAIRES DE l’aCADÉUIE DE MÉDECINE
  - Quai des Grands-Augustins, 55
  - Boulevard Saint-Germain, 120
  - (Tous droits réservés)
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- - PREFACE
  - Vers le commencement de l’année 1892, M. Piazza, alors directeur du journal hebdomadaire Le Cycle, me demanda.de lui faire une série d’articles théoriques sur la bicyclette. Je saisis, avec empressement, l’occasion qui m’était ainsi offerte de donner un corps aux nombreuses réflexions et observations que j’avais recueillies pendant quatre années de cyclisme.
  - Le nombre des cyclistes qui s’intéressaient aux questions scientifiques était probablement encore très restreint à celte époque, car, après dix-huit mois de collaboration au Cycle, je dus cesser
  - r
  - mes « Etudes théoriques » qui n’étaient pas du goût de la clientèle de ce journal. Ce n’est donc pas sans une certaine appréhension, qu’après ce premier essai malheureux, je fis paraître, au début de l’année 1895, mon petit Traité des Bicycles et Bicyclettes auquel M. Léaulé voulut bien accorder un appui moral précieux en l’ac-cueillant dans sa collection des Aide-Mémoire.
  - Mon petit volume eut un succès inespéré, dont
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- - 6
  - PRÉFACE
  - je ne chercherai pas à analyser les causes multiples, mais dont j’attribue une grand part à l’heureux voisinage de la collection à laquelle il appartient.
  - Lorsque je l’écrivis, je n’avais, pour tout guide, que quelques articles de journaux et deux petits ouvrages très succincts : La Théorie du vélocipède, de M. J. Macquorn Rankine, traduite par Viollet et parue à la librairie Gau-thier-Yillars en 1870 ; et un Essai théorique et pratique sur le véhicule bicycle, de M. Marchegay, présenté au Congrès de Lyon de 1873 de VAssociation française pour l'avancement des Sciences. Depuis son apparition, les questions théoriques ont pris une grande place dans les revues techniques, des expériences ont été faites, des observations*ont été recueillies sur roule et au laboratoire ; et la moisson est si abondante qu’on pourrait faire de gros volumes en publiant tout. C’est ce qui m’a décidé à refaire de fond en comble cet ouvrage, à en doubler l’étendue, pour faire profiter mes lecteurs de quelques uns de ces intéressants travaux.
  - Mon Nouveau Traité comprendra donc deux volumes. Le premier est réservé aux questions à'Équilibre et de Direction et à l’application de ces théories à la Construction des pistes de Vélodromes. Le second traitera du Travail, de sa mesure et de sa production.
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- - PRÉFACE
  - 7
  - A vrai dire, les travaux dont je viens-de parler sont tous relatifs aux questions de travail. C’est le côté physiologique qui a surtout attiré les chercheurs. En ce qui concerne l’équilibre et la direction, rien de nouveau, à ma connaissance du moins, n’a été produit. J’ai cependant fait de profondes modifications et de nombreuses additions, sur ces sujets, à ma première édition, en mettant à profit les critiques ou les conseils qu’on a bien voulu m’adresser ou en cherchant, moi-même, à perfectionner le mode d’exposition. Dans tous les cas, ces changements ont toujours eu un but pratique. J’ai cherché à simplifier le côté théorique et à élargir le champ des applications. Ainsi, sans vouloir entrer dans les détails du volume, je signalerai les paragraphes nouveaux sur la marche en arrière, sur l’explication des raisons pour lesquelles les types actuels de machines ont prévalu, sur l’équilibre sur place, etc. J’ai beaucoup développé l’article du lâche-mains. C’est là une étude importante, au point de vue pratique, car une bicyclette n’a une bonne stabilité de route, guidon en mains, que si le lâche-mains est aisé.
  - I
  - Enfin, en ce qui concerne la construction des vélodromes, j’ai réduit le côté théorique au strict nécessaire pour faire une plus large place au côté pratique. J’ai calculé des tableaux numériques préparés de telle façon qu’il n’y ait qu’à
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- - 8
  - PRÉFACE
  - s’en servir d’une façon absolument directe, comme d’un barême, pour exécuter l’épure d’une piste quelconque répondant à des conditions données à l’avance.
  - J’adresse, en terminant, mes plus vifs remerciements à mes deux amis, MM. les capitaines d’artillerie Perrache et Ferrus, dont les conseils pratiques m’ont été des plus utiles pour la rédaction de ces deux nouveaux volumes.
  - Paris, le 20 mars 1898.
  - C. BOURLET.
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- - INTRODUCTION
  - Définitions de quelques termes- — La
  - bicyclette et le bicycle sont clés appareils si répandus que nous croyons inutile d’en donner à nos lecteurs des descriptions détaillées. Nous nous contenterons de donner quelques définitions des termes que nous emploierons, pour éviter toute confusion.
  - Ce livre s’adresse d’ailleurs plus spécialement aux cyclistes pratiquants et aux constructeurs; une nomenclature complète des diverses pièces d’une machine est donc inutile.
  - Nons appellerons, d’une façon générale, cycle, un vélocipède à deux roues. De ces deux roues, qui sont placées l’une derrière l’autre, celle qui est à l’avant est mobile par rapport à l’ensemble de la machine et est appelée roue directrice, ou roue avant, l’autre a un axe fixe par rapporta la machine, nous l’appellerons roue fixe ou encore roue arrière ; car, dans toutes les machines, la roue directrice est à l’avant et la roue fixe à Par*
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- - 10
  - DÉFINITIONS
  - rière ('). Un cycle est mis en mouvement par son cavalier qui, par un système de transmission convenable, anime une des deux roues d’un mouvement de rotation : cette roue est appelée roue motrice.
  - Il résulte immédiatement, de là,une distinction des èycles en deux espèces : les bicycles où la roue motrice est la roue d’avant qui, par suite, est
  - Fig. 1
  - à la fois motrice et directrice; les bicyclettes dans lesquelles la roue motrice est la roue d’arrière.
  - Au point de vue de la théorie générale, les bicycles et les bicyclettes ne présentent pas de
  - (l)Nous verrons plus loin (p. 32k 3?) les raisons pour lesquelles il y a avantage à choisir cette disposition.
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- - . DÉFINITIONS
  - H
  - différences essentielles et nous pourrons, dans la majorité des cas, faire une théorie d’ensemble des deux appareils, théorie qui permettra, d’ailleurs, de les comparer. Nous exposerons la théorie gè-nèralesur un appareil schématique type qui comprendra tous les cycles.
  - La pièce principale d’un cycle, celle à laquelle toutes les autres sont fixées, est ce qu’on appelle le corps ou encore le cadre.
  - Dansles bic. voies, 1 e corps à la forme générale d’un arc DI terminé par une fourche ( fig. 1) RI R'. Dans les bicyclettes, 1 ecadre affecte la forme d’un quadrilatère DD'IO {fig. 2) auquel sont inva-riablementliés Fis. 2
  - des triangles RI 0 et R'IO formant la fourche d'arrière.
  - Dans la fourche-arrière (1) est installée la roue-arrière dont l’axe RR' est lié invariablement au cadre. En avant, ce cadre est muni d’une douille DD' dans laquelle passe le tube de direction. Ce tube est déterminé inférieurement, à la sortie de la douille, par une fourche FDE' dans laquelle
  - 0) Suivre en même temps sur les f(j, 1 et 2.
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- - 12
  - 'DÉFINITIONS
  - passe la roue directrice dont l’axe FF' est fixé à celte fourche. A la sorlie supérieure de la douille, le tube de direction porte le gouvernail ou guidon qui est un tube GG' sensiblement horizontal terminé par deux poignées G et G', ou manettes, que le cycliste tient dans ses mains.'
  - Le cavalier est assis sur une selle S fixée au cadre dans la partie moyenne supérieure ; il tient une poignée de chaque main et ses pieds reposent sur les pédales P, P', qui sont adaptées à desma-nivelles. Par un mouvement alternatif des pieds, le cycliste fait tourner les manivelles qui, par une transmission convenable, actionnent la roue motrice.
  - Le cadre d’une machine présente un plan de symétrie qui contient l’axe DD' de la douille, le centre de la selle S et le centre de la roue-arrière. Nous appellerons, avec Macquorn Rankine (*), ce plan le plan moyen du cycle. Nous appellerons encore plan d’une roue, le plan perpendiculaire à l’axe de cette roue et passant par son milieu. Le plan de la roue-arrière coïncide toujours avec le plan moyen ; le plan de ja roue directrice est variable par rapport au plan moyen et, lorsqu’il coïncide avec lui, les deux poignées sont à égale distance du plan moyen qui est alors un plan de symétrie pour l’appareil
  - :') Macquoiin Rankine. — Théorie du Vélocipède Gauthier-Villars et fils.
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- - DÉFINITIONS 13
  - (abstraction faile de la transmission). Nous dirons alors que le guidon est droit.
  - Voici maintenant quelles sont les hypothèses simplificatrices, que nous adopterons pour notre cycle schématique. Disons, tout de suite, que les approximations que nous allons faire ne sont pas de pure fantaisie mais qu’elles peuvent être justifiées par une élude plus approfondie. D’ailleurs, nous aurons lieu d’en donner, au cours de cet ouvrage, des justifications physiques, à défaut d’explications mathématiques.
  - Soient A et B (fig. 3) les points de contact des deux roues avec le sol. Nous supposerons, en général (*), que l’axe xy du tube de direction DD' passe, lorsque le guidon est droit, par le point de contact B de la roue d’avant avec le sol. Dans ces conditions, le point de contact de cette roue avec le sol restera toujours sensible-ment sur l’axe xy et le point B sera un point fixe du plan moyen (2).
  - La droite AB sera la droite d’intersection du plan moyen avec le sol (supposé plan); c'est ce
  - P) Nous examinerons plus loin, à propos du lâche-mains (p. 87 à 107), comment l’appareil se comporte lorsque cette circonstance ne se présente pas.
  - (2) En fait, même dans notre hypothèse, le point de contact de la roue d’avant avec le sol ne reste jamais sur l’axe xy â moins que cet axe ne soit vertical. Mais, dans les conditions ou nous nous plaçons, la déviation du point B sera si iaible qu’elle sera négligeable.
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- - 14
  - DEFINITIONS'
  - que Macquorn Rankine appelle la base du
  - cycle. Dans noire hypothèse, la longueur AB
  - / * -, 1 • % * ' ' -
  - Fig. 3 ’
  - X
  - . V ,
  - ' \ •
  - est une longueur constante que nous appellerons la longueur de la machine.
  - Nous supposerons également, sauf exception, que le cavalier ne fait aucun mouvement du torse. et reste toujours placé sur la machine, de façon que le plan de symétrie de son corps coïncidé avec le plan moyen.
  - II n’y aura que les bras et les jambes qui feront les mouvements nécessaires à la direction et à la propulsion.
  - Dans ces conditions, et à cause de la cadence des jambes, le centre de gravité du cavalier sera, sensiblement placé dans le plan moyen-et le
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- - MULTIPLICATION ET DÉVELOPPEMENT 15
  - centre de gravité de'l’ensemble total du cavalier et de sa machine sera, très approximativement, un point fixe de ce plan.
  - Enfin, dans toute la théorie de l’équilibre, nous, considérerons les roues comme des cercles mathématiques indéformables. Le point de contact de chaque roue avec le sol sera donc considéré comme un point unique.
  - Multiplication et développement. — On appelle multiplication d’une bicyclette ou d’un-bicycle multiplié, le diamètre de la roue motrice d'un bicycle non multiplié qui avance autant que le cycle considéré pour un tour d'une ma-nivelle ou un double coup de pédale. Ainsi, deux cyclistes montés sur des machines différentes, mais ayant même multiplication, marcheront avec la même vitesse s’ils donnent le même nombre de coups de pédale à l’heure.
  - La notion de multiplication fort usitée dans les débuts de la bicyclette, comme terme de comparaison avec le bicycle ordinaire, n’est plus guère employée et on lui préfère celle, plus commode, du développement.
  - On appelle développement d’une machine la longueur dont elle avance, en ligne droite,pour un tour complet d'une manivelle.
  - Il résulte de ces deux définitions que le développement est égal à la multiplicalion multipliée par -it — 3,1416.
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- - 16
  - MULTIPLICATION ET DEVELOPPEMENT
  - Dans les bicyclettes, il est facile de calculer la multiplication et le développement lorsqu’on connaît le nombre des dents des deux pignons-et le diamètre de la roue-arrière.
  - En effet :
  - Si n est le nombre des dents du grand pignon, c’est-à-dire de la roue dentée fixée à l’axe du pédalier, le nombre des dents du petit pignon
  - fixé à la roue motrice, la multiplication est égale
  - , nd . , ,, . . , Tmd
  - a -^7 et le développement a -^7- .
  - Diamètre de la roue motrice Nombre des dents du w pignon arrière
  - 8 9 10 11 \ 12
  - 0,2:55 0,227 0,204 o,i85 0,170
  - om,70 0,270 0,244 0,220 0,200 o,i83
  - o™,75 0,2c/| 0,2()2 0,236 0,214 0,196
  - Dans les machines courantes les nombres d et n' varient peu d’une machine à l’autre. Ainsi, o‘n n’emploie guère que des roues-arrière de om,65 ; o'n,70 et om,75 de diamètre et des pignons-arrière de 8 à 12 dents. Pour faciliter les calculs de développement à nos lecteurs, nous avons dressé le
  - izd
  - petit tableau ci-dessus des valeurs usuelles de —7
  - > 7% »
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- - MULTIPLICATION ET DÉVELOPPEMENT
  - 17
  - pour les combinaisons couranies. 11 suffit alors de multiplier ce nombre par le nombre n des dénis du grand pignon pour avoir le développement.
  - Voici comment on se servira de ce tableau :
  - Supposons qu’on veuille calculer le développement d’une bicyclette ayant 22 et 9 dents et une roue-arrière de on’,7o, on prendra, dans le tableau, le nombre qui correspond à 9 dents et au diamètre de om,7o : ce nombre est om,244- On le multiplera par 22 et on aura le développement exprimé en métrés. Ainsi le développement est de
  - 22 X 0,244 = 5m,3G.
  - Le développement que nous calculons ainsi est le développement théorique. Dans la pratique, le développement n’est pas exactement égal au
  - nombre mais un peu plus petit, surtout avec
  - un bandage pneumatique. Ceci tient à ce que le pneumatique s’aplatit. Il est impossible de donner une règle pratique simple pour tenir compte de cette diminution, puisqu’elle dépend de la nature du bandage et de la pression de l’air dans la chambre à air. Lorsqu’on aura donc besoin de connaître exactement le développement de sa machine, en marche, il faudra le mesurer directement en comptant, par exemple, le nombre de coups de pédale nécessaires pour effectuer un trajet connu.
  - Bouri.et — Nouveau traité des Bicycles et Bicyclettes
  - 2
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- - CHAPITRE PREMIER
  - TRAJECTOIRES DES ROUES
  - Relations entre les traces des deux roues sur le sol (*). — Lorsqu’un cycle est en mouvement, ses deux roues marquent sur le sol deux sillons, deux traces, qui sont les lieux géométriques des points de contact des roues avec le sol. Ce sont ces traces que nous appellerons les trajectoires des deux roues.
  - Supposons le sol plan et soient A et B, les points de contact de la roue-arrière et de la roue d’avant avec le sol (pris pour plan de la figure) {jig. 4)* Soient AR et BR', les intersections des plans des deux roues avec le sol. Comme AB est l’intersection du plan moyen avec le sol et que le plan de la roue d’arrière coïncide avec le plan moyen, AR coïncide, en direction, avec AB; Désignons par T et T' les trajectoires des points
  - (4) Quelques-unes des relations que nous établissons dans ce paragraphe avaient déjà été données par1 M. Marchegay dans son Essai théorique et pratique sur le véhicule bicycle (loc. oit.).
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- - 20 RELATIONS ENTRE LES TRACES
  - A et B. Les droites AR et BR' qui sont les tangentes en A et B aux deux roues seront tangentes à leurs trajectoires T et T'. Comme la longueur AB est constante et que, de plus, la droite AB (qui coïncide en direction avec AR) Fig. 4
  - est tangente en A à la courbe T, on peut énoncer la propriété curieuse que voici :
  - La trajectoire T' de la roue d’avant se déduit de la trajectoire T de la roue d’arrière en portant sur les tangentes à la courbe T, à partir du point de contact, dans le Sens de la marche, des longueurs égales à la longueur b de la machine.
  - Donc, dès qu’on connaît la trajectoire T, la trajectoire T' est parfaitement déterminée.
  - Imaginons, maintenant, que les deux points A et B appartiennent à un plan mobile P qui glisse sur le sol en coïncidant avec lui. L’on sait, d’après des propriétés connues de cinéma-
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- - RELATIONS ENTRE LES TRACES
  - 21
  - tique, qu’à chaque instant, les vitesses des différents points de ce plan mobile sont les mêmes que si le plan était animé d’un mouvement de rotation autour d’un certain point appelé centre instantané de rotation. La construction de ce centre instantané de rotation est facile; il se trouve à l'intersection w des normales en A et B aux 'trajectoires T et T', c'est-à-dire à Vintersection des perpendiculaires Aw etBw àAR et BR'.
  - La courbe T est, à la fois, la trajectoire du point A et l’enveloppe de la droite AB. Il en résulte, d’après des propositions de cinématique élémentaires, que son centre de courbure, en A, coïncide avec le centre instantané 10.
  - Le point w est donc, à la fois, le centre instantané de rotation et le centre de courbure de la trajectoire T de la roue-arrière au point A.
  - Désignons par 0, l'angle de BR' avec AB; par b, la longueur AB de la machine ; et par p, le rayon de courbure Aw. Dans le triangle rectangle AwB, l’angle en co est égal à 0 et on a, par suite,
  - Cette formule donne le rayon de courbure de la trajectoire T.
  - Appelons 5 l’arc décrit par le point A, sur la courbe T, à partir d’une position initiale O (fig. 5), et.s', l’arc correspondant décrit par le
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- - 22
  - RELATIONS ENTRE LES TRACES
  - point B. Soient A et Ait deux positions infiniment voisines du point A ; B et Bt, les positions correspondantes de B. Si on projette le contour ABBj Ai sur AB, et que l’on remarque que
  - AB = A, Blf AAt = ds, BBj — ds’, ooürouve la relation (2) ds — ds’ cos 0,
  - on 0 désigne toujours l’angle de BR' avec AB. Désignons par dx, l’angle des deux tangentes AB Fig. 5
  - et At Bt; par d$, l'angle des deux tangentes BR' et BjR'j ; à T', on a, comme il est facile de le voir,
  - dp — da -+- dù,
  - (£6 étant l’accroissement que subit l’angle 8 de
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- - RELATIONS ENTRE LES TRACES 23
  - B en Bt. p' élant le rayon de courbure de la courbe T', en B, on a :
  - __ds ,_________ds'
  - ° du.’ d$
  - et la relation précédente s’écrit :
  - ou.
  - ds[
  - J
  - ds
  - ds
  - dO
  - ds y, p' cos 0 p C ’
  - en tenant compte de l’égalité (2).
  - On en tire
  - 1 cos 0 . dO
  - —, =--------1- cos 0 -r
  - p p ds
  - et, en remplaçant p par sa valeur (1),
  - 1
  - (3)
  - sin 0 A d0
  - -7-----h COS 0 -y-,
  - b ds
  - C’est la formule qui donne le rayon de courbure de la trajectoire T' en B.
  - Des égalités (1) et (3) on tire immédiatement une conséquence importante :
  - Lorsque 0 reste constant, les points A et B décrivent deux cercles concentriques.
  - En effet, si 0 est constant, ^ est nul et on a :
  - __ b , b ^ tgO ’ ^ sinO
  - Lés rayons de courbure des trajectoires T et T-
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- - 24
  - DÉTERMINATION DES TRAJECTOIRES
  - étant constants, ces trajectoires sont des cercles. De plus, ces deux cercles ont pour centre commun le point 10 (fig. 4). Car to est, nous le savons, le centre de courbure de T. D’autre part, dans le triangle rectangle AwB, on a :
  - donc co est aussi le centre de courbure de T'. Il résulte de là que, da7is ce cas, to est un point fixe.
  - Dans le cas particulier où 0 est constamment nul, les rayons p et p' sont infiniment grands et les deux voues décrivent la même droite.
  - Détermination des trajectoires. — Lorsqu’on se donne la trajectoire T, la trajectoire T' est parfaitement déterminée par la construction géométrique dont nous avons parlé plus haut.
  - Mais, inversement, si l’on se donne T', la trajectoire T n’est pas complètement déterminée ; pour qu’elle le soit il faut, encore, qu’on connaisse la position de la machine à un certain instant.
  - En effet, si on connaît la courbe T', on connaît p' en fonction de s'. L’équation (3) peut s’écrire
  - dü sin 0 i
  - ds' b p'
  - et on a là une équation différentielle qui donne 0 en fonction de s'. L’intégrale de cette équation
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- - DÉTERMINATION DES TRAJECTOIRES
  - différentielle contiendra une constante arbitraire dont la grandeur ne sera connue que si on connaît la valeur de 0 et, par suite, la position du cycle, à un certain instant. Connaissant 0 en fonction de s', on aura p et s en fonction de s' par les formules (1) et (2) et la courbe T sera déterminée (*).
  - A une même courbe T, il correspondra donc, en général, une infinité de courbes T. 11 y a cependant des cas où cette diversité des courbes T n’est qu’apparente.
  - i° Supposons que la courbe T soit une droite. 11 ne pourra se présenter que deux cas.
  - Si 0 est nul au début, il restera toujours nul, et les deux roues décriront la môme droite.
  - Si 0 n’est pas nul au début, la courbe T est une courbe telle que la longueur de sa tangente, limitée à une droite fixe, soit constante et égale à b. Cette courbe est ce qu’on appelle une traclrice.
  - Cette tractrice est toujours la môme quelle
  - (4) Il faut remarquer que l’intégration de l’équation (2)
  - ds = ds' co s 0
  - n’introduira pas de constante car, pour s' = o, on devra avoir 5=0. Donc
  - ds' cos 0.
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- - DÉTERMINATION DES TRAJECTOIRES
  - que soit la conslante d’intégration, c’est-à-dire quelle que soit la valeur initiale de 0. Lorsque celte constante varie, la courbe ne change pas, ce qui change c’est le point de départ (s = o) du point A sur cette courbe.
  - La bicyclette étant dans une certaine position initiale AB {fig. 6), si le cavalier dirige sa ma*
  - Fis* 6
  - chine de façon que la trajectoire de la roue d’avant soit une droite x'x, la roue d’arrière décrira une tractrice T asymptote à celte droite. La roue cVarrière tend donc à se placer en ligne droite derrière la roue d'avant, mais, théoriquement, elle n’y parviendra jamais. Pratiquement, le point A se rapprochera, dans un temps relativement court, assez près de la droite x'x pour qu’on puisse admettre que les deux roues se placent dans un môme plan.
  - a0 Supposons, en second lieu, que la trajectoire T' de la roue d’avant soit un cercle de rayon p'.
  - Si, au début, l’angle 0 a précisément une valeur 0n telle que
  - Q
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- - DETERMINATION DES TRAJECTOIRES 27
  - la roue d’arrière décrira un cercle de rayon égal à
  - -—jr-; 0 restant constant et égal à 0t.
  - Mais, si, au début, l’angle 0 n’a pas la valeur précédente 6,, la roue d’arrière décrira une courbe ayant la forme d’une spirale et admettant
  - le cercle de rayon —y comme cercle asymptote.
  - Celte spirale sera toujours la même quelle que soit la valeur initiale de 0, ce qui changera lorsque cette valeur initiale variera, c’est le point de départ du point À sur la spirale.
  - Donc, la bicyclette étant dans une posilion quelconque AB (fig. 7), si le cavalier fait décrire
  - Fig. 7
  - à la roue d'avant un cercle O, la roue d’arrière décrira une spirale T et tendra à se placer de
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- - 28 DETERMINATION DES TRAJECTOIRES
  - façon à parcourir un cercle concentrique au premier, sans jamais y arriver, théoriquement. En pratique, la roue d’arrière se rapprochera bientôt d’assez près de ce cercle pour qu’on puisse, sans erreur sensible, admettre que les deux courbes sont devenues des cercles concentriques.
  - (Nous faisons évidemment, en ce moment, abstraction de la question d'équilibre et nous ne nous préoccupons pas de savoir si l'équilibre est possible avec de telles trajectoires. On pourra, par exemple, admettre que nous étudions ce qui se passe lorsqu’on conduit la machine à la main en marchant sans s'arrêter).
  - Supposons, maintenant, qu’on connaisse, à chaque instant, la vitesse de la machine, c’est-à-dire la viiesse de déplacement du point A sur sa trajectoire. Il est bien clair que si, en même temps, on connaît la loi suivant laquelle le cycliste tourne son guidon, c’est-à-dire la loi de variation de l’angle 0, les deux trajectoires T et T' seront parfaitement déterminées.
  - Puisqu’on connaît 0 en fonction du temps t et 5 également en fonction de t, on connaîtra 0 en fonction de s. Prenons, alors, dans le plan du sol, deux axes rectangulaires ox et oy. Soient x et y, les coordonnées du point A et a, l’angle que fait la tangente à la courbe T, en A.
  - On a, comme on sait, en désignant toujours
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- - DÉTERMINATION' DES TRAJECTOIRES
  - 29
  - par p le rayon de courbure de T, en A,
  - dx
  - — = COS :
  - ds
  - tg «
  - b
  - sm x.
  - On en lire :
  - I
  - et, par suite
  - x
  - f
  - COS
  - s
  - tg 0 ds I ds,
  - (4)
  - Ce sont les formules qui déterminent la trajectoire T, puisqu’elles donnent x et y en fonction de l’arc s.
  - En fait, ce que l’on connaît ce n’est pas G en fonction du temps, c’est, la forme de la courbe que l’on veut faire suivre à la machine. C’est, alors, le problème inverse qui se pose ; comment faut-il faire varier 0 pour que la machine suive un chemin donné (abstraction faite de la question d’équilibre) ?
  - Celte question est à double face. Que faut-il, en effet, entendre par cette phrase : faire suivre à la machine un chemin donné? Est-ce
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- - 30
  - DÉTERMINATION DÈS TRAJECTOIRES
  - la roue d’arrière ou la roue d’avant qui doit suivre ce chemin ?
  - Examinons les deux cas. i° Supposons que ce soit la roue-arrière qui décrive le chemin donné; c’est-à-dire que la trajectoire T soit connue. On connaît, alors, p en fonction de s, et, par suite, du temps t. G est donné par la formule (1)
  - 0 est donc une fonction continue de p (*).
  - Or, un bicycliste en marche ne peut faire varier 0 que d’une façon continue. L’angle 0 ne peut sauter brusquement d’une valeur à une autre et, quelque rapides que soient les mouvements du guidon, 0 ne peut passer d’une valeur à une autre sans passer par les valeurs intermédiaires. 11 en résulte que p devra varier d’une manière continue. Nous arrivons donc à cette conclusion importante :
  - Un cycliste, abstraction faite de la question d'équilibre, ne pourra faire décrire à la roue-arrière qu'une trajectoire T dont le rayon de courbure varie d'une façon continue.
  - Ainsi, on ne pourra pas faire décrire à la
  - (i) Les conclusions géométriques qui découlent de cette remarque ont été développées par M. jMaurice d'Ooagne dans un article paru dans le Génie Civil (27 juin 1896).
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- - DÉTERMINATION DES TRAJECTOIRES
  - 31
  - roue-arrière une trajectoire composée d’une portion de droite suivie d’un arc de cercle qui lui est tangent.
  - 2° Supposons, au contraire, qu’on se donne la trajectoire T' de la roue-avant. On connaît, alors, p' en fonction de s1 et 0 est donné, comme nous l’avons déjà vu, par l’équation différentielle
  - dü sin 0
  - ds b
  - Ici, p’ pourra varier d’une façon discontinue. En effet, si le cycliste ne peut faire varier 0 que d’une façon continue, il peut, au contraire, faire varier brusquement la vitesse angulaire du guidon. Il peut donc faire varier brusquement et
  - pf peut ainsi passer, sans transition, d’une valeur à une autre.
  - Un cycliste, abstraction faite de la question d’équilibre, peut donc faire décrire à la roue directrice une trajectoire T'quelconque (pourvu que cette trajectoire n’ait ni point anguleux ni point de rebroussement).
  - De tout ceci, il résulte que celle des deux trajectoires T ou lv que l’on peut se donner est celle de la roue directrice.
  - Nous devrions donc, dans la suite, lorsque nous nous proposerons de faire décrire à la machine un chemin donné, entendre, par là, que c’est la roue directrice qui doit décrire ce
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- - 32
  - MARCHE EN ARRIERE
  - chemin. Cependant, comme nous l’avons vu plus haut, dès qu’on connaît la trajectoire T' de la roue-avant, la trajectoire T de la roue-arrière est bien déterminée, si on connaît la position initiale de la machine. Nous pourrons donc admettre que nous connaissons T, ce qui sera plus commode, mais avec la précaution de choisir pour T une courbe dont le rayon de courbure varie d’une façon continue.
  - Dans la suite, nous appellerons donc trajec-loire de la machine, la trajectoire de la roue-arrière et nous supposerons toujours que le rayon de courbure de cette trajectoire varie d’une façon continue d’un point à un autre.
  - Roue directrice à l’arrière. Marche en arrière. —A priori, on pourrait imaginer quatre types de vélocipèdes à deux roues qui seraient les suivants :
  - i° Roue directrice, en même temps motrice, à l’avant. — C’est notre bicycle.
  - 2° Roue directrice à l’avant, roue motrice à l’arrière. — C’est la bicyclette.
  - 3° Roue directrice à l’arrière, en même temps motrice. — Ce serait un bicycle retourné.
  - 4° Roue directrice à l’arrière, roué motrice à l’avant. — Ce serait une bicyclette retournée.
  - Ce qui précède va nous montrer que les derniers types sont moins avantageux que les deux premiers.
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- - MARCHE EN ARRIÈRE
  - 33
  - En effet, si la roue directrice était à l’arrière, le cavalier aurait sous les yeux la roue (que nous nommons ordinairement roue-arrière) dont le plan coïncide toujours avec le plan moyen. Or, comme nous venons de le voir, la trajectoire T de cette roue ne peut pas être tout a fait arbitraire, elle doit satisfaire à une condition de continuité qu’un chemin quelconque donné sur le sol ne remplit pas toujours. Le cycliste aurait donc sous les yeux une roue à laquelle il ne pourrait pas (abstraction faite de la question d’équilibre) faire décrire tel chemin qui lui plairait. Il ne pourrait le faire qu’approximativement en faisant décrire à la roue directrice, qu'il ne verrait pasy le chemin donné. Ce serait un désagrément; ce ne serait cependant pas un vice rédhibitoire s’il n’y avait pas d’autres raisons pour placer la roue directrice à l’avant. Pour les bicyclettes, on peut encore donner la raison suivante. Dans toute machine, il y a avantage à ce que la plus grande partie du poids du cavalier porte sur la roue motrice, pour que celle-ci ne patine pas sur le sol. Si donc, dans une bicyclette, on plaçait la roue directrice à l’arrière, il faudrait faire porter le poids du cycliste sur l’avant ce qui serait fâcheux au point de vue de la stabilité de l’appareil d’avant en arrière. La bicyclette perdrait ainsi une partie de son avantage sur le bicycle, de ne pouvoir basculer en avant.
  - Bourlut — Nouveau traité des Bicycles et Bicyclettes 3
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- - 34
  - MARCHE EN ARRIERE
  - Les deux types de machines (bicycle el bicy-cletle) que l’on construit actuellement sont donc ceux qui sont les plus rationnels.
  - A la question que nous venons de traiter se rattache, naturellement, celle de la marche en arrière. Marcher en arrière sur une de nos machines actuelles c’est, en effet, monter une machine dont la roue directrice est à l’arrière et, même, comme nous allons l’expliquer, une machine spécialement désavantageuse.
  - Comme nous le verrons plus loin, rien ne distingue, dans la théorie de l’équilibre, le sens de la marche de la machine. Il semble donc, au premier abord, qu’il ne soit pas plus difficile de faire marcher une bicyclette dans un sens que dans un autre. Nous allons voir qu’il n’en est rien, et pour des raisons qui ne tiennent pas à l’équilibre mais à la conformation de la machine.
  - Il y a deux manières de marcher en arrière sur une machine ordinaire.
  - On peut, d’abord, monter la bicyclette comme à l’ordinaire et pédaler à l’envers. 11 suffît, alors, pour maintenir l’équilibre de faire exactement les mêmes mouvements de guidon que si on marchait en avant. Il y a, évidemment, dans ce cas, le double ennui de tourner le dos à la route sur laquelle on s’engage et de pédaler à contresens.
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- - MARCHE EN ARRIÈRE
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  - On peut, ensuite, et c’est la manière la plus usitée par les cyclistes qui se livrent à ce genre d’exercice, monter la machine à l’envers en s’asseyant soit sur le cadre soit même sur le guidon, le visage tourné vers la roue motrice. On pédale alors dans le sens direct mais il faut une certaine habitude pour faire mouvoir convenablement le guidon.
  - Il y a donc, dans les deux cas, de nouvelles habitudes à prendre ; mais ce ne serait pas là un obstacle sérieux. Il y a un autre désagrément plus grave.
  - Nous avons admis jusqu’ici, et nous l’admettrons encore dans la suite, que le point de contact 13 de la roue directrice avec le sol était toujours situé sur l’axe xy du tube de direction. En fait, il n’en est rien et, pour des raisons que nous donnerons plus loin (voirie lâche-mains, p. 87 à 94), ce point de contact est un peu en arrière de l’axe. Lors- Fig. 8
  - qu’on marche en avant cette disposition faci- ______
  - lite la ma- ^
  - nœuvre de la machine ; dans la marche en arrière, elle la contrarie singulièrement. Voici pourquoi : Soient AR et BR' {fig. 8), les intersections des plans des deux roues avec le sol.
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  - MARCHE EN ARRIÈRE
  - Le point B ne coïncide pas avec I et la droile B1V tourne autour de I. Supposons que le cycliste marche en arrière dans le sens de la flèche f et que la roue directrice soit tournée d’un certain angle 6. La réaction du sol sur la machine en B aura une composante BF dans le plan du sol dirigée en sens inverse du mouvement. La seule inspection de la figure montre que cette force BF tendra à augmenter l’angle d’écart 0. Donc, dès que la roue directrice tournera elle tendra, naturellement, à tourner encore plus. Le cycliste devra donc, sans cesse, lutter avec la machine qui ne lui obéira qu’avec difficulté. La direction sera donc toujours dure et incommode.
  - Pour qu’une bicyclette marche facilement en arrière, il faudra donc que [\e point B coïncide avec I ou plutôt qu’il soit en avant de I.
  - La marche en arrière n’est pas impossible comme avait cru pouvoir ledérnontrer Rankine(1); (*)
  - (*) Rankine, pour établir l’impossibilité ou, du moins, l’extrême difficulté de la marche en arrière se sert de considérations sur le point central d’appui, qui contiennent des hypothèses, purement gratuites, que rien ne justifie. Rankine fait d’ailleurs jouer à ce point central d’appui un rôle, dans la théorie de l’équilibre, qui nous paraît excessif. Nous avions, dans notre première édition, fait un assez grand usage de cette notion. Depuis, nous avons constaté qu'elle était peu utile et nous n’en avons plus parlé, ici, que d’une façon tout-h-fait secondaire.
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- - VITESSES DES ROUES
  - 3T
  - elle est difficile. Pour qu’elle soit facile il faut que la machine soit disposée spécialement à cet effet. C’est là un fait bien connu des cyclistes-acrobates qui ne montent que des machines de forme spéciale.
  - Vitesses des roues. — Désignons par vf la vitesse du point de contact A de la roue-arrière et par v', celle du point de contact B de la roue directrice. On aura, en appelant encore s et s1, les arcs des trajectoires de ces deux points et t, le temps,
  - ds . dsf V dt' V “ ~dt‘
  - De la relation (2)
  - ds = ds1 cos 0.
  - on déduit, alors,
  - (5) v = v' cos 0.
  - v est ce que nous appellerons la vitesse de la machine. Celte dénomination est légitime car v est proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation de la roue motrice et c’est cette vitesse de rotation que le cycliste commande par les pédales. La formule (5) donne, alors, pour chaque position de la machine, la vitesse v1 de la roue directrice. Soient w et les vitesses angulaires de rotation des deux roues arrière et avant, r et rl leurs rayons respectifs. On a :
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- - 38 VITESSES DES ROUES
  - et, par suite, la formule (5) donne (6) wr = w'r' cos 6.
  - De cette formule, il résulte qu’à chaque instant, il existe entre les vitesses angulaires w et w' des deux roues une relation bien déterminée. On en tire une conclusion pratique intéressante î
  - Une seule des deux roues doit être motrice. Pour qu’en effet, les deux roues puissent être motrices toutes deux, il faudrait, pour qu’il n’y ait pas discordance entre elles, que les deux moteurs soient réglés de telle façon que la relation (6) soit toujours vérifiée. Ceci, pratiquement, n’est pas réalisable, car le rapport ^devrait être variable avec 0.
  - Ainsi, il ne faudrait pas songer à construire, comme on l’a quelquefois proposé, une bicyclette-tandem dans laquelle l’un des équipiers actionnerait la roue-arrière et l’autre la roue-avant. Il y aurait fatalement discordance entre les deux roues ; la roue-arrière pousserait ou tirerait sur le train d’avant. La direction n’obéirait que très difficilement au conducteur. Ce serait un tandem sinon impossible à diriger, du moins très dur de direction.
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- - CHAPITRE II
  - 1/ÉQUILIBRE ET LA DIRECTION
  - Conditions analytiques de l’équilibre sur un sol horizontal. — Rappelons, d’abord, que nous appelons trajectoire de la machine, la trajectoire de la roue-arrière et vitesse, la vitesse de déplacement du point de contact de la roue-arrière avec le sol, sur sa trajectoire. Nous supposerons toujours cette vitesse constante ou sensiblement telle.
  - Nous examinerons d’abord deux cas particuliers.
  - i° La trajectoire est une droite. — Dans ce cas, il faut, et il suffit, pour que le cycle soit en équilibre, que le plan moyen soit vertical. C’est presque évident. D’ailleurs, ce cas rentrera, comme cas particulier, dans le suivant.
  - 2° La trajectoire est un cercle. — Nous dirons, dans ce cas, que le cycle est en équilibre lorsque le plan moyen fait un angle constant avec le sol, supposé plan et horizontal.
  - Imaginons, alors, un système de trois axes rectangulaires entraînés avec la machine et qui
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- - 40
  - ÉQUILIBRE SUR SOL HORIZONTAL
  - sont les suivants : l’origine A des axes est le point de contact de la roue-arrière {fig. 9) ; l’axe Axr est la base AB ; l’axe Ag la verticale du point A et, enfin, A ce est un axe perpendiculaire aux deux autres. Le plan xAy est donc un plan perpendiculaire au plan moyen qu’il coupe suivant une droite AM. Le plan æAz coïncide avec le sol et
  - Fig. 9
  - l’angle a = MAa? est l’angle du plan moyen avec le sol. Pour qu’il y ait équilibre, il faut donc et il suffit que l’ensemble du cycle et du cavalier soit en équilibre relatif par rapport aux axes Accyz (pour ne pas compliquer la fig. 9 nous n’avons pas représenté le cavalier). Le plan Axz est ce que nous avons appelé le plan P dans le chapitre précédent et nous savons que
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- - ÉQUILIBRE SUR SOL HORIZONTAL
  - 41
  - si w est le centre de la trajectoire de la roue arrière, le mouvement de ce plan est un mouvement de rotation autour de w. Il en résulte que le mouvement du trièdre A.vijz est un mouvement de rotation autour d’un axe vertical mw' passant par to.
  - Dans cette théorie élémentaire, nous ne tiendrons compte ni du mouvement des jambes du cavalier ni delà rotation des roues (*) ; cest une approximation qui peut être justifiée, mais cette justification, qui ne peut se faire qu’en exposant une théorie plus complète, ne serait d’aucune utilité ici.
  - Le cycle est, alors, par rapport au trièdre mobile kxtjz, un corps ayant un axe fixe AIL D’après les principes connus de l’équilibre relatif, il faut donc écrire qu’il y a équilibre entre la
  - (!) Une étude plus complète de la question montre que la rotation des roues a pour effet, effet d’ailleurs très faible, d'augmenter la Habilité de l’appareil. Tout se passe comme si, les forces extérieures n'étant pas changées, les masses des deux roues étaient plus grandes. On peut donc dire, en gros, que la rotation des roues augmente l'inertie de l’appareil.
  - Il faut, enfin, remarquer que cette approximation est surtout légitime dans le cas de bicyclettes où le poids des deux roues n’est pas la dixième partie du poids total. Elle le serait moins pour les grands bicycles non multipliés. Notre théorie s’applique donc surtout aux bicyclettes, les seuls appareils usités aujourd’hui.
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- - 42 ÉQUILIBRE SUR SOL HORIZONTAL
  - pesanteur et les forces centrifuges, en vertu des liaisons. 11 faut donc exprimer que la somme algébrique des moments de ces forces par rapport à Taxe A^r est nulle.
  - Soient (G fig. 10), le centre de gravité de Xensemble du cycle et du cavalier ; wto', l’axe de
  - FiS. 1(1
  - rotation ; GG', la perpendiculaire abaissée de G sur l’axe toio'. Désignons par u, la vitesse angulaire instantanée de rotation du trièdre autour de uho'; v désignant toujours la vitesse de la machine, c’est-à-dire la vitesse du point A, et p le rayon Aw du cercle décrit par A, on a :
  - v
  - u = -.
  - ?
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- - ÉQUILIBRE SUR SOL HORIZONTAL
  - 43
  - Évaluons les forces. La pesanteur a une résultante GP verticale, dirigée de haut en bas, égale au poids total du cycle et de son cavalier. Si M est la masse totale de la machine montée et g, l’accélération de la pesanteur, on a :
  - GP = J%.
  - D’autre part, les forces centrifuges ont, approximativement (*), une résultante GF dirigée suivant GG' et égale à
  - Mm 2 G G'.
  - La force GF se décompose en deux : l’une GF, parallèle à Aæ, l’autre GF2 parrallèle à Az. Le moment de la seconde force, GF2, par rapport à Az, est nul ; il suffit d’écrire que le moment de GF, est égal au moment de GP.
  - Soit C la projection de G sur Az, C est ce que Macquorn Rankine appelle le point central d'appui. Désignons la longueur GG par l, l sera ce que nous appellerons la hauteur du cycle monté. Enfin, soit II le pied de la perpendiculaire abaissée de G sur le plan Axz du sol. On devra avoir
  - GF, X GH = GP X CIL
  - (') On trouvera une justification de cette approxi-mation dans le second volume du Traité de mécanique rationnelle de M. P. Appell, membre de l’Institut, p. 397, n° 427 (Gauthier-Yillars et fils).
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- - 44
  - ÉQUILIBRE SUR SOL HORIZONTAL
  - a étant l’angle d’inclinaison du plan moyen avec le sol, l’angle de GG' (ou i»H) avec le plan Aæy, on a
  - GH = / sin a, Cil = / cos a,
  - GF, = GF cos ]; = M?/-G(T cos
  - Or, dans le triangle HwII', on a :
  - GG7 cos 4» = wir
  - et, comme Cil = AH' est toujours très petitpar rapport à wA, on peut, avec une approximation bien suffisante, remplacer wH' par wA = p. On a donc, sensiblement,
  - v-
  - GF, == Mm2 p = M p
  - ou
  - (7)
  - GF, = M
  - v-
  - Finalement, la condition d’équilibre s’écrit :
  - v
  - M — l sin x = A\ql cos a,
  - On en tire l’équation d’équilibre cherchée :
  - O
  - ig « =
  - o V-1
  - formule qui détermine l’angle x d’inclinaison du plan moyen pour l’équilibre.
  - C’est là une formule pratique, approchée,
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- - ÉQUILIBRE SUR SOL HORIZONTAL 45
  - mais bien suffisante dans les applications où p n’est pas très petit (4).
  - On peut remarquer que lorsque p est infiniment grand, c’est-à-dire lorsque la trajectoire est une droite, cette formule s’applique encore et donne
  - a =90°.
  - Cette condition n’est pas la seule. En effet, pour l’écrire nous avons supposé que l’adhérence de la machine avec le sol était parfaite et il n’en est rien. L’adhérence du cycle au sol résulte de ce qu’il y a un frottement de glissement latéral qui évite tout déplacement latéral tant que la machine ne s’incline pas trop. Mais dès que la machine s’incline trop, elle glisse latéralement, elle chasse ou encore elle dérape, pour employer les locutions cyclistes. En d’autres termes, il existe un angle limite © que nous appellerons angle de frottement tel que, si l’angle d’inclinaison du plan moyen devient inférieur à », il y ait, nécessairement, glisse-
  - P) On démontre que, dans des conditions normales, lorsque le rayon p ne tombe pas au-dessous de 5 mètres, l’erreur relative que l’on commet sur tga en employant la formule (1), pour une bicyclette, est plus petite que
  - Cette erreur relative diminue lorsque le rayon p augmente; ainsi, pour un rayon de 20 mètres elle est plus petite que
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- - ÉQUILIBRE SUR SOL HORIZONTAL
  - ment latéral. Donc, pour qu’il y ait réellement équilibre, il faut encore que l’angle a donné par la formule (I) soit supérieur ou égal à ©. On devra donc avoir, en outre,
  - a œ ou (g a tg o.
  - Posons :
  - f est ce qu’on appelle le coefficient de frottement de glissement latéral. On devra donc avoir
  - % a ^ J
  - ou
  - 99 > _ v2 ^ f
  - Le coefficient f dépend à la fois de la nature du bandage des roues et de la nature du sol. Il est même possible, sinon probable, qu’il dépende de la vitesse v.
  - En résumé, les conditions analytiques de l'équilibre sont les suivantes : il faut d'abord que le rayon p de la trajectoire et la vitesse v de la machine vérifient l'inégalité
  - (II)
  - 99 s, l. v* â f'
  - puis, cette inégalité étant remplie, l'angle a du plan moyen avec le sol sera fourni par la formule
  - _ 99
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- - EQUILIBRE SUE SOL HORIZONTAL
  - 47
  - 3° La trajectoire est quelconque. — Dans ce cas, la définition de l’équilibre donnée pour le cas du cercle ne suffit plus, car l’angle d’inclinaison de la machine avec le sol ne peut être constant lorsque le rayon de courbure p de la trajectoire varie. Nous dirons, dans le cas général, que le cycle est en équilibre s’il ne glisse pas latérale-ment.
  - Or, comme nous l’avons expliqué plus haut, il faut, pour cela, que l’angle a du plan moyen reste inférieur à l’angle de frottement ©. Pour exprimer qu’il y a équilibre, il faut donc exprimer que l’angle a reste inférieur à <?.
  - A priori, et sans aucun calcul, on peut immédiatement se rendre compte du fait suivant :
  - Il n’est pas possible de faire décrire à la machine, exactement et indéfiniment, une trajectoire quelconque donnée à l’avance.
  - En d’autres termes, on ne peut pas faire dé-1 crire au point de contact À de la roue-arrière une trajectoire quelconque donnée (en supposant bien entendu que le rayon de courbure p varie d’une façon continue). Si on écrivait, en effet, l’équation du mouvement relatif du cycle par rapport au trièdre Acoyz, on obtiendrait une équation différentielle pour déterminer a dont les coefficients dépendraient du rayon de courbure p de la trajectoire donnée. 11 faudrait pour
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- - 48 EQUILIBRE SUR SQL HORIZONTAL
  - qu’il y eût équilibre, que l’intégrale a de celte équation restât comprise entre deux limites et — © ; et ceci n’aura certainement pas toujours lieu. Pour s’en convaincre, il suffit d’imaginer qu’on remplace, dans cette équation, oc par une fonction quelconque du temps qui ne reste pas comprise dans les limites assignées. On aura ainsi une relation qui fournira une loi de variation de p, et, par suite, une trajectoire sur laquelle l’équilibre n’est pas possible.
  - Un cycle ne pourrait donc, en général, décrire exactement une trajectoire donnée au hasard que dans un temps relativement court au bout duquel la chute serait inévitable.
  - Au premier abord, ceci parait en contradiction avec la pratique ; mais, si on y réfléchit, on aperçoit qu’il y a, au contraire, accord parfait entre la théorie et l’expérience. Un bon cycliste se rend, en effet, parfaitement compte que, môme sur un sol parfaitement uni, il ne pourrait jamais décrire exactement une trajectoire au hasard. Il lui faut toujours une certaine marge pour ses oscillations.
  - Mais, s’il est vrai qu’il n’est pas possible de décrire exactement une trajectoire quelconque, on pourra le faire approximativement. Le cycliste habile, qui veut suivre un chemin déterminé, substitue à la trajectoire donnée une autre trajectoire, voisine de la première et sur laquelle
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- - RAYON MINIMUM, VITESSE MAXIMA
  - 49
  - l’équilibre est possible. En examinant les choses de plus près, et en admettant, ce qui aura toujours lieu avec un bon cavalier, que les oscillations sont lentes, il est facile de voir que l’angle d’inclinaison de la machine, à chaque inslant, doit être très voisin de celui que devrait avoir la machine si elle décrivait le cercle de courbure de la trajectoire donnée. On peut donc dire encore que, dans le cas d’une trajectoire quelconque, l’angle d’inclinaison de la machine varie de façon à vérifier, approximativement, les conditions (I) et (II) données plus haut.
  - Les conditions précédentes sont donc toujours les conditions pratiques de Véquilibre sur sol horizontal.
  - Rayon minimum, vitesse maxima. — En résolvant la condition (II) par rapport à p, on
  - a:pè^.; ceci nous montre qu’il y a une limite inférieure pour le rayon p, c’est-à-dire qu'avec une vitesse donnée v on ne peut pas décrire un
  - cercle de rayon inférieur à —p. Ce rayon minimum croît comme le carré de la vitesse. Donc, en grande vitesse, on ne peut décrire, sur un sol horizontal que des cercles de très grands rayons, c’est pour cette raison qu’on ne peut pas faire des pistes de vélodromes horizontales et qu’on a dû relever les virages. Nous explique-
  - Bqwrw.t — Nouveau traité des Bicycles et Bicyclettes 4
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- - 50
  - RAYON MINIMUM, VITESSE MAX1MA
  - rons à la fin de ce volume, en détails, comment une telle piste devra être établie.
  - Le rayon minimum croit encore quand le
  - coefficient de frottement /"diminue. Ainsi, sur
  - un sol mouillé, le coefficient f est très faible;
  - ' «
  - c’est ce qui explique combien les cyclistes tombent facilement lorsqu’ils veulent tourner courty sans ralentir leur vitesse, sur un sol humide.
  - En résolvant, d’autre part, la condition (II) par rapport à v2 on a ;
  - v2 ^ ?gf,
  - Il y a donc au contraire une limite supérieure pour la vitesse, c’est-à-dire qu'on ne peut décrire un cercle de rayon p qu’avec une vitesse inférieure à v'pgf't sur un sol horizontal.
  - Lorsque le sol est glissant, il faudra donc, pour faire un virage court, ralentir suffisamment la vitesse pour qu’elle tombe au-dessous de \fpgf~ Ceci est l’expression mathématique du principe, bien connu des cyclistes : Il faut ra~ len t ir aux virages.
  - Pour qu’on puisse se rendre compte des grandeurs de l’angle a, voici trois tableaux donnant, les valeurs de cet angle pour des vitesses de 4, 6 et 8 mètres à la seconde, c’est-à-dire pour des vitesses d’environ i4k,nJ4°°> 2ikm,6,o.o. et
  - 28km,8oo à l’heure.
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- - RAYON MINIMUM, VITESSE MAXIM A
  - 51
  - verra la rapidité avec laquelle a décroît.
  - (R = 5m a = 710 56' 1"
  - v — 4m jR = IOm a = 8o° 44' 11“
  - ( R = IOOm <x = 89° 2' 20"
  - ( R = 5m a = 53° 43' 25"
  - v — 6m R = IOm a = 69° 5o' 53"
  - (R = IOOm a = 87» 53' 58"
  - (R = 5m a = 37» 28"
  - v = 8'» ] R = IOm a = 56° 52' 47"
  - (r = 1001U a = 86° 16' 2"
  - , pour des raisons qüe nous donnerons plus
  - lard, le coefficient de frottement moyen sur un sol sec est environ f — o,3, ce qui donne pour l’angle = 73° 18'.
  - On voit, par suite, que, sur un sol horizontal, on 11e peut pas décrire un virage de 10 mètres de rayon à une vitesse de 21 kilomètres à l'heure, mais que c’est possible à la vitesse de i4 kilomètres.
  - Vitesse à l'heure Rayon minimum
  - iokm,8oo 3m,o5
  - 14, 4°o r», 4.»
  - 18 8, 85
  - 21, 600 12, 25
  - 2.5, 200 16, 65
  - 28, 800 21, ;5
  - 32, 4°o 27, 55»
  - 36 34
  - 60 94, 4o
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  - ÉQUILIBRE SUR SOL INCLINE
  - Ce dernier tableau indique les rayons minima qu’on peut décrire avec des vitesses données. Pour l’établir, nous avons supposé f = o,3.
  - On en déduirait facilement les nombres correspondants pour une autre valeur de f. Ainsi, on aurait les rayons minima pour f — o,6 en divisant les nombres de ce tableau par 2.
  - D’ailleurs, si on lit ce tableau d’une autre façon, il donne les vitesses maxima avec lesquelles on peut décrire des virages de rayons donnés. Ainsi, par exemple, nous voyons que la vitesse maxima avec laquelle on peut décrire un virage de i2ra,25, sur un sol horizontal, avec une machine dont le coefficient de frottement est o,3, est de 2ikm,Goo à l’heure.
  - Conditions d’équilibre sur un sol quelconque. — Pratiquement, il n’v a que deux cas intéressants : celui où le cycliste gravit un plan suivant la ligne de plus grande pente, c’est le cas d’une route présentant des montées et des descentes, et celui où le cycliste suit la ligne de niveau d’une surface inclinée, c’est le cas d’un coureur sur piste, au virage.
  - i° Supposons le cycle roulant sur un plan incliné et la base AB dirigée suivant la ligne de plus grande pente du plan. Considérons toujours le trièdre Axijz entraîné avec le cycle :
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- - ÉQUILIBRE SUR SOL INCLINE
  - 53
  - Az suivant AB, Ax perpendiculaire à Az dans le plan du sol et A y normal au sol (fiy. n). Soient G, le centre de gravité de l’ensemble du cavalier et de sa machine; iW, l’axe instantané de rotation ; GP, le poids total. Nous avons vu
  - Fig. Il
  - que la force centrifuge GF a deux composantes : l’une GF2, dont le moment par rapport à Az est nul, et l’autre GF1 parallèle à Ax, donnée par la formule (7) (p. 44)•
  - Tci, comme A y n’est pas vertical, la force GP se décompose en deux forces, l’une GPa parallèle à A z, dont le moment par rapport à cet axe est nul, l’autre GP, parallèle à A y. Or, si co est
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- - U
  - ÉQUILIBRE SUR SOL INCLINÉ
  - l’angle du plan du sol avec le plan horizontal, w est aussi l’angle de la verticale GP avec la normale GP,, au plan du sol, et on a:
  - GP, = GP. cos « = Mg cos w.
  - Soit encore a, l'angle du plan moyen avec le sol. En écrivant, comme plus haut, que les moments des deux forces GF, et GP, par rapport à Az sont égaux, on a :
  - M(7 cos io J cos a = M — l sin a,
  - P
  - l étant la hauteur GC du cycle monté. On en tire :
  - (III) tga = ^ cos w.
  - De plus, il faut toujours que l’angle a fourni par cette formule soit supérieur à l’angle de frottement cp, c’est-à-dire que l’on ait ;
  - tg « è tg © ou
  - (IV) fcos «.ai.
  - Les conditions analytiques de l’équilibre sont donc données par les formules (III) et (IV).
  - Si on compare la formule (III) à la formule (I) d’équilibre sur un plan horizontal, on voit que, comme cos w est plus petit que i, les
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- - ÉQUILIBRE SUR SOL INCLINÉ
  - 55
  - valeurs fournies par la formule (III) pour tg a sont plus petites que celles données par la formule (1), Donc, toutes choses étant égales d'ail’ leurs, la machine doit être plus inclinée à la montée ou à la descente quen terrain horizontal. Le rayon minimum qu’on peut décrire avec une vitesse donnée v est, d’après la formule
  - (IV) : V~,. . Ce ragon est donc plus grand
  - que sur un sol horizontal. De même, la vitesse maxima avec laquelle on peut décrire le rayon p est V7///? cos 10 et cette vitesse maxima est plus petite que la vitesse correspondante sur un sol horizontal.
  - Il faut remarquer que les conditions précédentes s’appliquent aussi bien à la montée qu’à la descente, car, dans notre raisonnement, nous n’avons pas tenu compte du sens de progression de la machine. Pour la montée, il faudrait supposer que la machine va dans le sens de A vers z (fig. n) et, pour la descente, supposer le contraire. Le poids GP a deux composantes, l’une GPj, dans le plan xy qui est équilibrée par la force centrifuge GF,, l’autre GP2 parallèle à Cz et qui, suivant les cas, retarde ou accélère le mouvement de la machine.
  - 2° Etudions^ maintenant, le cas d’un cycle qui suit les lignes de niveau d’une surface.
  - La base AB est alors horizontale. Je prends
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- - 56
  - ÉQUILIBRE SUR SOL INCLINE
  - l’axe A y vertical et le plan kxz horizontal, kz étant, comme toujours, la direction de AB. Soient AS, la trace du sol sur le plan xy (nous avons pris pour plan de la fig. 12, le plan xy, l’axe des z ne servant pas) et AM, la trace du plan moyen {fig. 12). AS est la ligne de plus grande pente du sol ; par suite, l’angle SAa? est l’angle w du sol avec l’horizon. Soit, enfin, 00' l’axe de rotation dans le plan xy. H y a lieu de distinguer deux cas, suivant que 00' est du côté Fig. 12
  - de la descente {fig. 12) ou du côté de la montée {fig. i3).
  - Supposons, d’abord, 00' du côté de la descente, cest-à-dire supposons que le cycle tourne du côté de la descente {fig. 12). On voit immédiatement que l’angle MAa: joue le môme rôle que l’angle a dans le cas du sol horizontal, on a donc, en conservant toujours les mêmes notations (p = ko)
  - lg(MAÎj = ?|
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- - ÉQUILIBRE SUR SOL INCLINÉ
  - 57
  - Or, _____
  - MA.r = a
  - on doit donc avoir (V) tg (« - »)
  - <JL)
  - îl
  - i >
  - v
  - condition à laquelle il faut toujours joindre la condition
  - a >: co.
  - " i
  - Mais, ici, il pourrait arriver que l’angle a, donné par la formule (V), soit plus grand que 90°, c’est-à-dire que le cycle, tout en tournant vers la droite, soit incliné, par rapport au sol, vers la gauche. Par exemple, dans le cas où la machine décrit une ligne droite, p est infiniment grand et le plan moyen doit être vertical, AM a la direction Ay et le plan moyen est incliné vers la gauche. 11 y a donc une nouvelle condition : il faut que l’angle S'AM soit aussi plus grand que <?, il faut donc avoir
  - 1800 — a ;> cp .
  - ce qui donne, pour a, la double inégalité
  - o — (o<a — w < 1 8o° — © — a).
  - » ------- --------- t
  - Si «p —t— o> est plus petit que 90°, la seconde inégalité est vérifiée, car a — w est toujours un angle au plus égal à 90°.
  - Si tp H- w est plus grand que 90°, celte seconde inégalité 11’est pas toujours vérifiée, par exemple
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- - 58
  - ÉQUILIBRE SUR SOL INCLINÉ
  - elle n’est pas vérifiée pour a — to = 90°, c’est-à-dire dans le cas de la marche en ligne droite, il y a non seulement une limite inférieure, mais aussi une limite supérieure pour le rayon de courbure p.
  - Soit p la pente du plan : p = tg to. Dire que te w << 90° c’est dire que
  - fg w < cofg «p ou
  - p<r•
  - Donc : i° si p est plus petit que /, il y a deux conditions d’équilibre :
  - tg (a — to) à tg (<p — w)
  - et
  - Si p est plus grand que f, il y a trois conditions
  - 1g (cp _ w) <ï tg (a - to) g — tg (to + «) et
  - Comme
  - 0 } 1 -h tg «P tg to p + f
  - il y a, en résumé, les deux cas suivants :
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- - ÉQUILIBRE SUR SOL INCLINÉ
  - 59
  - i° Si la pente du plan est plus petite que le coefficient de frottement, on a deux conditions d'équilibre :
  - (VI) A s> Lizlf
  - ' V * p -+- / ’
  - (V) <g(*-») = *?•
  - 2° la pente du plan est plus grande que le coefficient de frottement, il y a trois conditions :
  - (Vil)
  - 1 — Pf < P£ * ±Pf P + f v* ~ P — f ’
  - (V)
  - 0 =
  - A
  - V2
  - Dans ce cas, on voit que si on avait
  - P>y
  - la première inégalité serait toujours vérifiée. Mais, dans la pratique, comme f est petit, j. est très grand, et on ne rencontre pas de pentes assez fortes pour remplir ces conditions.
  - De ces conditions, on peut tirer les conclusions suivantes : Lorsqu'un cycle décrit une ligne de niveau d'une surface, en tournant du côté de la pente, avec une vitesse v, le rayon de la courbe décrite ne peut être inférieur à
  - u2 î —pf
  - i' y+7'
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- - 60
  - ÉQUILIBRE SUR SOL INCLINÉ
  - Et, de plus, si la pônle du plan est supérieure au coefficient de frottement f, ce rayon ne pourra pas être supérieur à
  - v2 1 p f
  - J' Y117?'
  - Ainsi, sur un plan de forte pente, on ne peut pas décrire, sans tomber, la ligne droite de niveau.
  - Il est bon de remarquer que le rayon minimum —. est plus petit que le rayon minimum
  - üf
  - v correspondant au cas d’un sol horizontal et
  - que ce rayon minimum diminue lorsque la pente p du plan augmente.
  - En résolvant les inégalités (VI) et (VU) par rapport à v2 on en conclut que lorsqu'un cycle décrit une ligne de niveau, en tournant du côté de la pente et en décrivant une courbe de rayon p, sa vitesse doit être inférieure à
  - ?.Ç (P -+- f)
  - î — pf
  - et si, dé plus, la pente du plan est supérieure à f, cette vitesse doit être supérieure à
  - ?fl (P — /')
  - i -f- pf
  - Ainsi si, dans un vélodrome, la pente du virage est très forte, on ne pourra pas aller
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- - ÉQUILIBRE SUR SOL INCLINE
  - 61
  - lentement sur la piste et il y aura une vitesse limite au-dessous de laquelle on ne pourra pas parcourir la piste sans tomber au virage.
  - Les conditions que nous venons d’établir nous seront, précisément, plus tard, de la plus
  - Fis. 13
  - grande utilité pour déterminer la pente à donner à un virage de piste.
  - Il nous reste; enfin, à examiner le cas où l'axe oo' est situé du côté de la montée, c’est-à-dire le cas où on tourne du côté où la surface monte (fig. i3).
  - Ce cas étant d’un intérêt pratique moindre, nous l’examinerons plus rapidement.
  - On a, comme avant,
  - en posant, mais, ici,
  - tg (MA*) = &
  - p = A o,
  - MAa? = a + w.
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- - 62
  - ÉQUILIBRE SUR SOL INCLINÉ
  - D’où la condition
  - (VIII)
  - L’angle « -+- w, donné par cette formule, étant plus petit que 90°, l’angle a est aussi plus petit que 90°, il n’y a donc, ici, qu'une condition supplémentaire
  - c'est-à-dire
  - Pour que cette inégalité puisse avoir lieu, il faut, d’abord que © H- m soit un angle plus petit que 90°, d’où
  - w < 9°° — ? tg a) < colg©, p < f.
  - Donc, il est impossible de tourner, du côté de la montée, sur un sol dont la pente est supérieure au coefficient de frottement.
  - Si, au contraire, la pente est inférieure au coefficient de frottement de glissement latéral, l’équilibre sera possible en tournant du côté de la montée, si on a :
  - (IX)
  - ?J_ > L±1.1
  - V2 — f — p
  - avec
  - (VIII)
  - tg (« + (O) = .
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- - ÉQUILIBRE SUR SOL INCLINE
  - 63
  - La condition (IX) montre que, dans le cas où l'équilibre est possible, le rayon minimum p qu’on peut décrire avec la vitesse v est :
  - u2 1 -f- pf
  - 0'f— p'
  - Ce rayon minimum est plus grand que celui qui correspond au cas du sol horizontal. La vitesse maxima avec laquelle on peut décrire un cercle de rayon p est :
  - v/
  - 99 if— P).
  - î H- pf
  - elle est plus petite que dans le cas du sol horizontal.
  - En rapprochant, pour terminer, les résultats précédents du cas du sol horizontal, nous voyons que, lorsqu’on décrit une ligne de niveau sur le sol, la vitesse maxima, pour faire un virage donné, est plus grande quand on tourne du côté de la pente et plus petite quand on tourne du côté de la montée, que sur un sol horizontal ; même dans ce dernier cas, il peut arriver que le virage soit impossible. Par suite, il est plus facile de tourner vers la descente et plus difficile, quelquefois impossible, de tourner vers la montée.
  - Considérons, par exemple, un cycliste qui fait un virage en suivant une roule en dos d’âne.
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- - 64 INFLUENCE DU VENT SÛR L’ÉQUILIBRE
  - D'après ce que nous avons vu, s’il prend le bord de la route du côté où elle tourne (c’est-à-dire le plus petit tournant), il aura besoin de moins ralentir pour faire le virage que s’il prenait le milieu de la route. Au contraire, s’il prend le bord de la route opposé (c’est-à-dire le grand tournant), il devra ralentir plus qu'au milieu. Donc, le cycliste aura toujours avantage à prendre le tournant le plus court, qui est celui qui offrira le plus de sécurité. (Pour le raisonnement précédent nous n’avons pas tenu compte de la variation du rayon du virage d’un bord de la route à l’autre, car, en général, cette variation est négligeable par rapport à ce rayon).
  - Les conclusions précédentes rendent encore aisément compte de ce fait que, lorsque la route est humide, il est très facile d’aller du milieu de la roule à l’un des bords, mais qu’il est très difficile et quelquefois impossible de remonter, sans choir, du bord au milieu. Car, dans le premier cas, on tourne vers la descente, et, dans le second cas, on tourne au contraire vers la montée.
  - Influence du vent sur les conditions d’équilibre. — Un vent latéral, soufflant sur un cycle monté, produit une pression latérale, sur l’ensemble, qui peut modifier les conditions de l’équilibre.
  - Nous nous contenterons d’indiquer, rapide-
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- - INFLUENCE DU VENT SUR L’ÉQUILIBRE 65
  - ment, comment on pourra tenir compte de cette pression.
  - Lèvent aura pour effet de produire des pressions que nous pouvons remplacer, d’après des principes de statique connus, par deux forcés : l’une appliquée au centre de gravité G, l’autre rencontrant la base AB et qui est annulée par la résistance de AB. La force appliquée au point G peut, elle-même, se décomposer en deux : l’une située dans le plan moyen et qui n’a pour effet que de modifier la dépense de travail du cycliste, l’autre horizontale, située dans le plan central, c’est-à-dire dans le plan passant par le centre de gravité et le point central d’appui, et perpendiculaire au plan moyen. C’est cette dernière force qui, seule, modifiera l’équilibre.
  - Supposons le sol horizontal et prenons pour plan de la figure le plan central. Soient GV, la composante du vent; GP, le poids total du cycle et de son cavalier; GC, la trace du plan moyen sur le plan de la figure et Gx, la trace du sol.
  - En marche rectiligne ^ ÏÏ77|IÏÏ7TT7777T77777^77777777?ÎT {fig. i4), le cycle doit être en équilibre sous l’influence des deux forces GV et GP dont la résultante GK doit passer par C; ce qui revient, au fond, à écrire que la
  - Boualbt — Nouveau traité des Bicycles et Bicyclettes 5
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- - 66 INFLUENCE DU VENT SUR L’ÉQUILIBRE
  - somme des moments des forces, par rapport à la basé d’appui, esi. nulle. On a donc ♦ GP
  - tg« = (jv.
  - Soit K, l’intensité de la force GV. On aura
  - (0
  - * % tg a ~ TT
  - Le cycle, au lieu d’être vertical, sera donc incliné du côté du vent d’un angle a donné par la formule précédente.
  - En marche curviligne, soient p , le rayon de courbure de la trajectoire et v, la vitesse du cycle, il faudra ajouter, aux deux forces précé-Mu2
  - dentes, la composante GF, = — de la force centrifuge.
  - i° Si le vent souffle de façon à faire tomber le cycle du côté du centre de la courbe, GV et GF, seront de sens contraires et auront une résultante GI égale à leur
  - différence.
  - Si le vent est faible, GV < GF„ et Gl (fig. i5) est de même sens que GF,, le cycle sera ncliné du côté du centre d’un angle a tel que M g
  - miFciiiiiirjiîrmntw
  - (2)
  - tg « =
  - Mu2
  - — K
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- - INFLUENCE DU VENT SUR l’ÉQUILUJRE 67
  - Si le vent est très fort, on pourra avoir GV > GFj et GI est du sens de GV (fig. 16). Le plan moyen devra être incliné du côté opposé au centre de courbure d’un angle a don
  - Fig. IG
  - (3)
  - tg a
  - M g
  - K —
  - Comme cas limite, si GF, = GV, le plan moyen serait verti- Fig. 17
  - cal. v fi 1
  - •i° Si le vent pousse le cycle de façon à le faire tomber du côté opposé à celui du centre, les forces GFj et GV seront de même sens, leur résultante GI sera de même sens qu’elles et égale à leur somme {fig. 17).
  - Le plan moyen devra être incliné, du côté du centre de rotation, de l’angle a
  - ..r
  - En examinant les formules (2), (3) et (4), on
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- - 68
  - RÉTABLISSEMENT DE l’ÉQUILIBRE
  - voit que l’angle a fourni par les formules (2) et (3) est plus grand que l’angle a donné par la formule (I) d’équilibre normal, et que l’angle a donné par la formule (4) est plus petit que l’angle correspondant dans les conditions normales.
  - Donc, en résumé, sous l’influence d’un vent latéral, le cycle, en marche rectiligne, devra être incliné du côté du vent; en marche curviligne, lorsqu’on tourne du côté d’où vient le vent, le cycle devra être plus incliné que dans les conditions normales, lorsqu’on tourne du côté contraire au vent, c’est-à-dire de façon que le. vent aide à la rotation, la machine devra être moins inclinée que dans les conditions normales et il pourra même arriver que le plan moyen soit vertical ou incliné du côté opposé à la courbure, dans.le cas d’un vent très violent.
  - Rétablissement de l’équilibre au moyen du guidon. — Supposons que le cycle se déplace sur un sol horizontal en décrivant une ligne droite. Dans ces conditions, le plan moyen devra être vertical. Si, pour une cause quelconque, le plan moyen s’incline, brusquement, de façon à faire un angle a avec le sol, l’équilibre sera détruit. ’
  - D’après ce que nous avons vu, si cet angle a est plus petit que l’angle <p de frottement de glissement latéral, la machine chassera 01 la
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- - RÉTABLISSEMENT DE L’ÉQUILIBRE
  - 69
  - chute sera inévitable. Mais, si l’angle a est plus grand que », d’après les conditions analytiques de l’équilibre, il suffira de tourner instantanément le guidon d’un angle tel que le rayon de courbure de la trajectoire ait une valeur p vérifiant la relation
  - la concavité de la trajectoire étant tournée du côté où le cycle penche. Donc, théoriquement, pour rétablir l’équilibre rompu, il faudra tourner instantanément le guidon, du côté de la chute, d'un angle 0 tel que la trajectoire ait un rayon de courbure égal à
  - v- tg « .
  - 0
  - Cet angle 6 est facile à calculer (*). En effet, le rayon p de la trajectoire (de la roue-arrière) est, comme nous l’avons vu [formule (î), p. ai]
  - (l) J'appelle 0 l'angle dont on fait tourner le guidon', en fait, O est l’angle de la trace du plan de la roue directrice avec la base AB et diffère de l’angle du plan de cette roue avec le plan moyen. Mais* comme, d’une part, l’angle 0 ne diffère que très peu de l’angle du plan de la roue directrice avec le plan moyen, et que, d’autre part, nous n’aurons jamais k parler que de 0, nous pourrons continuer à l'appeler l’angle dont a tourné le guidon, quoique cette dénomination ne soit pas strictement exacte.
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- - 70
  - RÉTABLISSEMENT DE L’ÉQUILIBRE
  - égal à r—r. , b étant la longueur de la base du tg o
  - cycle. On devra donc avoir :
  - tg0 =
  - bg
  - r2 tg oe-
  - il est clair que le rétablissement sera d’autant plus facile que l’angle 0 sera plus petit. Cette formule nous montre, alors, que, pour une machine donnée et un écart d’un angle a donné, l’angle 0 diminue quand la vitesse augmente. Donc le rétablissement de Vèqidlibre est plus facile quand la vitesse est plus grandç.
  - Désignons par 8, la déviation du centre de gravité, c’est-à-dire la distance du centre de gravité G à la verticale du point central d’appui C, et par l, la longueur GC, que nous nommons la hauteur du cycle. On a évidemment
  - et, par suite,
  - tgO:
  - o = l cos a
  - ~ bgo
  - v * fl* _ S2
  - Celte nouvelle forme de la formule qui donne 0 nous montre que, pour les mêmes valeurs de o et de v, G diminue quand b diminue ou quand l augmente. Donc, danscles conditions semblables, c’est-à-dire, pour la même vitesse et pour la même déviation, le rétablissement sera plus aisé
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- - RÉTABLISSEMENT DE l’ÉQUILIBRE 71
  - avec les machines courtes et hautes qu'avec les machines basses et longues. Les bicycles ont donc l’avantage sur les bicyclettes.
  - Le rétablissement que nous venons d’étudier est tout à fait théorique mais n’est pas réalisable pratiquement. D’abord, parce qu’on ne peut pas tourner instantanément le guidon, et, en second lieu, parce qu’on ne pourra jamais le tourner exactement de l’angle 0 nécessaire au rétablissement. D’ailleurs, pratiquement, le rétablissement est insuffisant, car il modifie la trajectoire du cycle, qui de rectiligne devient curviligne. Il faut, non seulement rétablir l’équilibre, mais, encore, conserver une trajectoire rectiligne et, pour cela, ramener le plan moyen vertical.
  - Voici alors comment on procédera : on tournera le guidon du côté de la chute, le cycle continuera à tomber pendant un certain temps, mais, si on tourne le guidon suffisamment vite, la force centrifuge développée sera bientôt assez grande pour arrêter la chute et si, de plus, on tourne le guidon un peu au-delà, la force centrifuge sera plus grande que la force nécessaire à l’équilibre. Le cycle sera tiré par une force horizontale qui le relèvera. Le cavalier exercé, dès que le relèvement commencera, redressera, en même temps, le guidon de façon que les plans des deux roues coïncident lorsque le plan moyen
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- - 72
  - RETABLISSEMENT DE L EQUILIBRE
  - sera devenu vertical. Il reste à montrer que ces deux opérations sont possibles.
  - On voit qu’on peut scinder l’opération en deux : d’abord la période du rétablissement depuis l’instant où commence la chute jusqu’au moment où commence le relèvement, ensuite, la période du redressement jusqu’a l’instant où le plan moyen est à nouveau vertical.
  - Pour étudier ces deux périodes, considérons, comme d’ordinaire, un système de trois axes rectangulaires entraînés avec le cycle.
  - Prenons pour origine le point central d’appui C, c’est-à-dire le pied G de la perpendiculaire Fig. 18 abaissée du centre de
  - gravité G de l’ensemble du cavalier et de la machine sur la base d’appui AB ; Cxr est la base AB, C y est verticale et Q,x est dans le plan du sol. Le centre de gravité G reste dans le plan æGy que nous appelons le plan central. Nous étudierons le mouvement du centre de gravité G dans le plan central que nous prenons pour plan de la fig. 18. Soient a, l’angle GCx du plan moyen avec le sol et P, son complément.
  - i° Supposons que, la trajectoire étant rectiligne, le plan moyen ait l’inclinaison a0 et qu’à
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- - RÉTABLISSEMENT DE l’ÉQUILIBRE 73
  - cet instant le cavalier commence à tourner le guidon avec une vitesse angulaire w. Prenons pour instant initial (t = o), l’instant ou commence la chute ; de telle façon, que, pour t = o, on a a = a0; j3 = ^ — «0 (lue vitesse relative de G dans le plan central est nulle. Au temps t, l’angle 0 aura la valeur ut et le rayon o de la trajectoire sera , par suite,la composante Mu2
  - MF4 de la force centrifuge sera égal à -y 1g ut. Soit MK2, le moment d’inertie de l’ensemble du cycle et de son cavalier (supposé immobile par rapport à la machine) par rapport à un axe passant par G et parallèle à la base AB. On aura, pour déterminer le mouvement de G, l’équation
  - 5 d [« (P H- K!) (gf)"] = Mgl sin m -
  - ----. tg ut. I cos (3 rfp,
  - déduite du théorème des forces vives.
  - Cette équation simplifiée est :
  - r -a v* , . 0
  - 1 df* ~ 9 SU1 P ~b tg C0S P’
  - en posant
  - (JJ est de l’ordre de grandeur de l qui est la hau-
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- - 74
  - RETABLISSEMENT DE L’ÉQUILIBRE
  - leur GG du cycle). Nous intégrerons l’équation précédente d’une façon approchée.
  - . Comme P et seront des angles toujours petits, nous pouvons remplacer, approximativement, sin p, cos p et tg tot par p, i et wt. On aura, alors, pour le mouvement de G, l’équation plus simple :
  - dt'2
  - 0)L’2
  - T
  - Posons, pour simplifier,
  - L’intégrale de cette équation, telle que, pour t — o,
  - p = p. = ï-“. «i (i)0=°'
  - est, en désignant par e la base des logarithmes népériens
  - En égalant à zéro la dérivée de p, c’est-à-dire en cherchant la valeur de t pour laquelle la vitesse de G s’annule, on trouve, en écartant la solution t = o, la solution
  - t
  - L±Jo\
  - u-Po r
  - On voit d’abord que, pour que la valeur de tl
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- - RÉTABLISSEMENT DE L’ÉQUILIBRE
  - 75
  - soit réelle, il faut que U >> P0, c’est-à-dire que
  - La valeur de ti est, alors, bien positive et il existe un instant t{ de rétablissement. Mais, pour que le rétablissemant se fasse effectivement, il faut encore que la valeur P, de l’angle J3 à l’instant ty soit plus petite que le complément - — o de l’angle de frottement. Or, on a :
  - Pi = — Po “t- AUfi =— P0 + U. L /jj-—~p-°^•
  - Comme p0 est plus petit que 1, on peut développer le logarithme en série et on a
  - ‘ :r IP
  - 5* U4
  - Limitons le développement au second terme et, par suite, on doit avoir
  - Il résulte enQn. de tout cela que le rétablissement est possible et qu’il suffit de tourner le
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- - 76 RÉTABLISSEMENT DE l’ÉQUILIBRE
  - guidon avec une vitesse angulaire w telle que les deux inégalités (1) et (2) soient vérifiées à la fois, c’est-à-dire supérieure à celle des deux quantités
  - qui est la plus grande.
  - 11 est clair que le rétablissement sera d’autant plus aisé que la vitesse angulaire w avec laquelle il suffira de tourner le guidon sera plus faible ; car la main du cavalier sera d’autant plus sûre que ses mouvements seront moins précipités. Le rétablissement sera donc plus aisé lorsque le minimum de w sera plus petit. Les inégalités (1) et (2) nous montrent immédiatement que, toutes choses égales d’ailleurs, le minimum est inversement proportionnel au carré de la vitesse et par suite qu’il diminue quand la vilesse augmente. On peut donc dire que l'aisance du rétablissement croît comme le carré de la vitesse. Désignons par 0, le déplacement qu’avait subi le centre de gravité et par f, le coefficient de frottement. O11 aura, approximativement,
  - Les conditions (1) et (2) deviennent donc ;
  - (3)
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- - RÉTABLISSEMENT DE L’ÉQUILIBRE
  - 77
  - et
  - Ces nouvelles formes nous montrent (comme V varie dans le môme sens que /) que le minimum de co diminue quand b diminue et quand l augmente, o restant constant. Donc, pour un môme déplacement S et pour la môme vitesse v, le rétablissement est plus aisé avec les machines courtes et hautes qu’avec les machines longues et basses. Nous sommes donc amené aux mômes conclusions que pour le rétablissement théorique instantané.
  - 2° Le rétablissement ayant été obtenu, le guidon est tourné d’un certain angle 0t = cùtl et le cycle, au lieu de décrire une ligne droite, décrit un cercle. Il reste à le relever.
  - Le guidon étant tourné de l’angle , la machine est inclinée d’un angle <xl tel que :
  - ,hJL<
  - ou, en désignant par l’angle du plan moyen avec la verticale ((3t = 90° — oq)
  - ‘s P‘=5ÿ'S
  - Pour redresser la machine, on tournera le guidon d’un angle un peu plus grand, de l’angle 0t + e, par exemple, la force centrifuge
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- - 78
  - RETABLISSEMENT DE L’ÉQUILIBRE
  - développée sera plus grande que la force nécessaire à équilibrer la pesanteur et la machine se redressera. Calculons le temps du redressement. Le cycle est soumis à deux forces : son poids *
  - et la force centrifuge—y- tg(0t -+- s), laquelle, Mu2
  - puisque e est petit, peut s’écrire : -y- (tgOt 4- E)(1) L’équation du mouvement du centre de gravité dans le plan central sera
  - = M gl sin p g?— -y- (tgOj -4- e) l cos jî d fl ou, en posant encore :
  - I<2 + p
  - 1‘ ~ 1 ’
  - i'-. ÿi = gsi[1 P — j (tg°i +• O cos P-
  - Cette équation peut s’écrire d’une manière approchée quand P est très petit :
  - r <*2P
  - 1 dt2
  - -9^---------j; (tg’Qi H- £)-
  - Comptons le temps à partir du commencement du redressement ; pour t = 0, on devra avoir
  - P=P, et
  - rfP =
  - dt
  - 0
  - (i) Il est inutile de parler de la force centrifuge
  - composée qui disparaît dans les calculs,
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- - RETABLISSEMENT DE L’ÉQUILIBRE 79
  - v2
  - En remplaçant ^ tg Ot par la quantité sensiblement égale p,, on trouve pour p :
  - Vf‘
  - i;2e
  - bg
  - 9 t
  - \/r -i
  - i o i- S I «
  - *b9 L J
  - d P
  - vh r
  - L*
  - Ori voit immédiatement que ^ est toujours
  - négatif et que, par conséquent, p décroît. Il y a donc relèvement. On aura le temps T du redressement en cherchant la valeur de l pour laquelle P s’annule. On trouve alors
  - T = s/j h ( i -H U -l-\A E -h Ü1)
  - en posant :
  - U =
  - hjh
  - D’ailleurs, si on désigne par ot, la valeur du déplacement du centre de gravité au commencement du redressement, on a :
  - ^• = 7
  - et, par suite,
  - u V-Z
  - En développant T en série, on trouve :
  - T = l'Æ + ^ A.
  - v y u i
  - De cette formule, on tire les conclusions, sui-
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  - RÉTABLISSEMENT DE' L’ÉQUILIBRE
  - vantes : pour une machine donnée et pour un excès e donné, le temps T sera d’autant plus court que la vitesse y sera plus grande. Donc le redressement est plus rapide quand la vitesse est plus grande.
  - D’autre part, comme l' et l sont du même ordre de grandeur, le rapport
  - varie peu d’une machine à l’autre, donc la hauteur de la machine n a pas d’influence sensible sur la rapidité du redressement.
  - Enfin, T augmente quand b augmente,- donc le redressement est jdus rapide (toutes choses égales d’ailleurs) dans les machines courtes que dans les machines longues. Ceci explique pourquoi une bicyclette-tandem est plus difficile à diriger qu’une bicyclette ordinaire.
  - Pour perfectionner une bicyclette-tandem, au point de vue de l’aisance de l’équilibre, il faut donc, d’une part, chercher à la raccourcir et, d’autre part, faire porter la majorité du poids des deux cyclistes sur la roue-arrière pour rendre la direction moins dure. Des tandems de ce genre ont été construits récemment par M. le Capitaine d’artillerie Genly et donnent de très bons résultats. Dans ces machines, les deux cavaliers sont de part et d’autre de la roue-arrière.
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- - SÉCURITÉ D'UNE MACHINE
  - 81
  - En résumé, en ce qui concerne le maintien de l’équilibre, l’avantage est aux machines courtes et hautes. Les bicyclettes dites à eocten-ded hase, à cadres longs, qu’une maison anglaise avait mis à la mode il y a deux ans, étaient un véritable non-sens.
  - Sécurité d’une machine. — Une machine offrira d’autant plus de sécurité que les déplacements latéraux que pourra recevoir le centre de gravité sans que la chute soit inévitable, seront plus grands. Nous pourrons donc prendre comme mesure de la sécurité, la déviation latérale maxima que peut subir le centre de gravité, sur un sol horizontal, sans que le rétablissement soit impossible. Gomme nous l’avons vu, le rétablissement est toujours possible lorsque l’angle « du plan moyen avec le sol est supérieur à l’angle de frottement o, c’est-à-dire lorsqu’on a :
  - tg a ^ tg ç.
  - Or, si o désigne la déviation du centre de gravité, c’est-à-dire sa distance à la verticale du point central d’appui et l, la hauteur du cycle, c’est-à-dire la distance du centre de gravité au point central d’appui, on a :
  - . 1
  - V- '«“ = 8;
  - comme, d’ailleurs, tg <p = j.,
  - f étant le coffi-
  - Bouhlet — Nouveau traité des Bicycles et Bicyclettes 6
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  - SÉCURITÉ D’UNE MACHINE
  - cienf de frottement de glissement latéral, on en conclut qu’on doit avoir :
  - O ^ fl.
  - Donc la déviation maxima est fl. Ce produit mesure donc la sécurité de la machine.
  - Le coefficient /'dépend de la nature du bandage de la roue et du sol. Il faudra qu’il soit le plus grand possible. C’est précisément pour augmenter la valeur de ce coefficient qu’on fait des bandages dits antidérapants, dans lesquels la surface du bandage, au lieu d’ètre unie, est striée de lignes qu’on cherche à placer de telle sorte qu’elles n’augmentent pas sensiblement le coefficient de frottement de roulement tout en augmentant le coefficient f de frottement de glissement latéral.
  - On voit, d’autre part, qu’à bandage égal, la sécurité d’une machine croît avec sa hauteur. Donc, toutes choses égales d’ailleurs, les machines hautes offrent plus de sécurité que les machines basses.
  - En rapprochant ce résultat de ceux qui précèdent, on voit que dans les hauts bicycles la sécurité est plus grande et l’équilibre plus facile à rétablir que dans les bicyclettes. Ceci semble en contradiction avec l’expérience, car on sait qu’on a abandonné presque complètement les bicycles comme étant beacoup plus dangereux que les
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- - ÉQUILIBRE SUR PLACE
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  - bicyclettes. Cela tient à ce que la chute à craindre à bicycle n’est pas une chute latérale mais une chute en avant. La moindre pierre, rencontrée sur la route par la roue d’avant du bicycle (non multiplié) peut le faire basculer en avant et faire tomber le cycliste sur la tête, chute qui est presque impossible à bicyclette.
  - C’est un préjugé vulgaire de croire que le bicycle est plus difficile que la bicyclette. Lorsqu’on n’a pas peur, on apprend bien plus vite à monter à bicycle qu’à bicyclette.
  - Équilibre sur place. «— Nous avons admis, et nous l’avons déjà répété plusieurs fois, que la trace du plan moyen sur le sol était la base d’appui AB. Dans la réalité, ce n’est pas rigoureusement exact et, lorsqu’on tourne le guidon, ces deux droites tournent légèrement l'une par rapport à l’autre. On a, quelquefois, essayé d’expliquer l’équilibre à bicyclette, d’üne façon en quelque sorte statique, par ce déplacement; nous allons montrer que cette explication est erronée et cela nous fournira, en même temps* l’occasion de dire quelques mots de l’équilibre sur place.
  - Voici comment on raisonne *
  - Supposons que la bicyclette décrive une ligne droite. Soient AR et BR' {fig. 19, I) les traces des plans des roues sur le sol, AR et BR' étant
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  - ÉQUILIBRE SUR PLACE
  - dans le prolongement l’une de l’autre. Si la machine s’incline à droite, la verticale du centre de gravité, au lieu de rencontrer AB, viendra percer le sol en un point g situé à droite de AB. Pour rétablir l’équilibre, il faudra tourner le guidon de façon que, grâce au déplacement de AB, g revienne sur AB.
  - A priori, on peut affirmer que cette explication est sinon fausse, du moins insuffisante; car si c’était là la vraie raison de l’équilibre il ne serait pas plus difficile de se tenir en équilibre sur une machine au repos que sur la machine en marche et ceci est en contradiction manifeste avec l’expérience.
  - Mais ce raisonnement est non seulement insuffisant mais encore faux. Voici pourquoi : Dans
  - Kis. ]9
  - A * *9 * 1
  - TC \B
  - * 'X/* on
  - nos machines actuelles, le point d’intersection de l’axe du tube de direction avec le sol tombe en I {fi g. 19, 1) en avant du point de contact B de la roue directrice. La pratique nous apprend que, lorsqu’on tombe à droite, il faut tourner le guidon à droite. Supposons donc que, la verticale du centre de gravité passant en g, à droite, on
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- - ÉQUILIBRE SUR PLACE
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  - tourne le guidon à droite. Le point I occupera {fig. 19, II) une nouvelle position T; la distance de B à I' aura diminué, mais, si l’angle décrit est assez petit, le point B sera encore en arriére de I'. La trace AL du plan moyen avec le sol ne coïncide plus avec la base AB, mais a tourné par rapport à cette base, vers la droite. Le point g conservera la môme position relative par rapport à AL et occupera la position g', à droite de AL. On voit donc que g au lieu de se rapprocher de AB s’en sera, au contraire, éloigné. Donc :
  - Le déplacement relatif de la trace du plan moyen sur le sol par rapport à la base d’appui nuit à Véquilibre.
  - La conclusion à laquelle nous parvenons, non seulement démontre l’inexactitude du raisonnement que nous avons indiqué plus haut, mais encore légitime l’approximation que nous avons faite jusqu’ici. Car, puisque ce déplacement relatif nuit à l’équilibre, il faut que, dans une bonne machine, il soit très faible\ on a donc le droit de le négliger.
  - La discussion qui précède nous conduit naturellement à parler de Véquilibre sur place. ¥>n effet, lorsque la machine est en repos, la force centrifuge est nulle et il faut que la verticale du centre de gravité rencontre AB. Comme nous venons de le montrer, lorsqu’on tourne le guidon
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  - ÉQUILIBRE SUR PLAGE
  - d’un certain côté, Al tourne, par rapport à AB, du même côté; donc inversement, AB tourne par rapport à AI, de l’autre côté. Si le point g tombe à droite de Al, il faudra tourner le guidon à gauche, pour rétablir l’équilibre. Nous arrivons donc à cette conclusion :
  - Dans Véquilibre sur place, il faudra faire de petits mouvements du guidon inverses de ceux que Von fait pour rétablir l'équilibre en marche.
  - 11 est bien entendu que ces conclusions ne s’appliquent qu’au cas où la machine reste rigoureusement sut place, ; si elle avait une vitesse, même très faible, la force centrifuge que l’on pourrait développer serait, presque toujours, prépondérante au point de vue de l’équilibre. Il faut d’ailleurs remarquer que ce rélablissement n’est possible que si les déplacements de g sont très faibles. En examinant les choses de plus prés, il est facile de se rendre compte (*) que, lorsqu’on tourne le guidon, l’angle BAI' part de zéro, atteint une valeur maxima (Irès petite), pour revenir à zéro ; car il y a une position du guidon, correspondant à un angle 0 aigu, pour laquelle B coïncide avec I'. Comme nous le ver-
  - (4) Ce que nous avançons ici serait facile à vérifier au moyen d’une formule qui donne la distance BI et que nous donnons dans le paragraphe suivant (voir p. ioi).
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- - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS HT
  - rons à l’instant, la déviation maxima de B par rapport au plan moyen est d’environ 3 centi-mètres dans les machines actuelles; comme le point central d’appui est toujours placé environ au tiers de AB, près de A, la déviation maxima de ce point est de 1 centimètre environ. On voit donc que l’équilibre que nous avons décrit n’est possible que si les déviations de g ne dépassent pas 1 centimètre. C'est donc, en somme, un équilibre excessivement difficile et qui ne peut être exécuté que par un équilibriste de profession.
  - Ajoutons, pour terminer, que les acrobates pratiquent une sorte d’équilibre sur place, spécial, qui consiste à tourner brusquement le guidon d’un angle notable. De celte façon, la roue d’avant est très inclinée par rapport au sol et touche le sol à la fois par le bandage et la jante. La machine repose ainsi sur plusieurs points d’appui formant un triangle, très aplati il est vrai, mais suffisant, pour un cycliste très habile, pour obtenir l’équilibre sans aucun mouvement.
  - Équilibre sans les mains. — Lorsque le cavalier abandonne les mains, à bicycle, il ne cesse pas d’avoir une action directe sur la roue directrice, car cette roue étant, à la fois, directrice et motrice, il agit encore sur elle au moyen des pieds qui reposent sur les pédales. Dans ce cas, il suffira au cycliste, pour se diriger, sans les mains, de faire, au moyen des pédales, avec
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  - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS
  - ses pieds, ce qu’il aurait fait avec les mains au moyen du guidon.
  - A bicyclette, il n’en est plus de même. Lorsque le cavalier abandonne le guidon, il n’a plus aucune action directe sur la roue directrice. Il faut alors remarquer immédiatement que, si le point de contact B de la roue directrice avec le sol était exactement sur l’axe xy du tube de direction (fig. 3), comme nous l’avons supposé jusqu’ici, la direction serait folle et le cavalier n’aurait aucun moyen d’agir sur elle. En effet, l’ensemble de la roue directrice de sa fourche et du tube de direction ne serait soumis qu’à des forces appliquées sur l’axe de rotation même, forces qui, par suite, ne pourraient pas faire tourner le plan de la roue. Si, dans ces conditions, le plan de la roue directrice venait à tourner, le cavalier ne pourrait pas le ramener dans sa position primitive sans loucher au guidon. Si, au contraire, le point de contact B n’est pas exactement sur l’axe xy, la réaction du sol sur la roue au point B pourra faire tourner le plan de la roue directrice.
  - Cherchons d’abord quelle est la position qu’il faut donner au point de contact B de la roue directrice et quelle est la disposition que doit avoir l’axe de la direction pour que la roue directrice puisse obéir au cavalier dans de bonnes conditions.
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- - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS
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  - i° Il faudra que le point B soit placé de telle façon que la roue directrice soit maintenue à!elle-même dans le plan moyen lorsque la marche est rectiligne c’est-à-dire lorsque le plan moyen est vertical. Il est aisé de voir, tout de suite, que, pour que cette condition soit remplie, il suffit, que le point B soit en arrière de l’axe ocy (fig. 3) de la direction. Prenons, en effet, pour plan de la figure le plan du sol (fig. 20 et 21) et soient AR, BR' les traces des plans des deux roues sur le sol. (Les fig. 20 et 21 sont en quelque sorte des projections du cycle sur le sol). Soit I, le point d’intersection de l'axe æg de la direction avec le sol.
  - Le point I est un point fixe du plan moyen et, lorsque la roue directrice tourne autour de xy, le point B sort du plan moyen et BIV tourne autour de I. Le cycle marchant dans le sens de la flèche, la réaction a, à cause du frottement de roulement, une composante Br', dans le plan du sol, dirigée en sens inverse du mouvement.
  - Fig. 20
  - Supposons, alors, que pour une cause quelconque, le plan de la roue directrice tourne d’un certain angle 0, le plan moyen étant verti-
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  - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS
  - cal. Le point B sortira du plan moyen et, à la seule inspection des fig. 20 et 21 on voit que si le point B (fig. 21) était en avant du point l, la
  - Fig. -21
  - % A
  - réaction Br' aurait pour effet à'augmenter l'écart du point B et le plan de la roue directrice, au lieu de revenir vers le plan moyen, s’en écarterait de plus en plus. Au contraire (fig, 20), si le point B est en arrière du point l, la réaction Br' ramènera le point B dans le plan moyen et la roue directrice viendra d’elle-méme se remettre en place.
  - Le raisonnement que nous venons de faire n’est qWapproché ; mais il est facile de se rendre compte qu’il est bien suffisant pour une machine raisonnablement construite et légère.
  - Pour être tout à fait complet, il faudrait s’y prendre de la façon suivante : on considérerait la roue d’avant et la direction comme libres en introduisant toutes les forces qui agissent sur elles. Ces forces sont : la réaction du sol, le poids de la roue et les réactions de la douille du cadre sur le tube de direction.
  - Lorsque le plan moyen est vertical le poids de la roue et la réaction normale du sol n’ont
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- - ÉQUIL1URE SANS LES MAINS
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  - aucun effet sensible. Quant aux réactions de la douille, voici comment elles agissent : une partie du poids total repose sur l’avant; il en résulte que la douille tend naturellement à s’abaisser. Quand Je point B est en arrière du point 1 {fig. 20), la douille, comme il est facile de s’en rendre compte, commence par s'abaisser quand la roue tourne ; il en résulte que cette douille, en pesant sur la direction, tend à faire tourner la roue. Au contraire, lorsque le point B est en avant de I {fig. 21), la douille s’élève lorsque la roue tourne; par suite, la pesée qu’elle effectue sur la direction tend toujours à ramener la roue directrice dans le plan moyen.
  - De pied ferme, la machine au repos, la roue directrice tend, naturellement, à tourner avec la disposition de la fig. 20 et, au contraire, se maintient droite dans la disposition de la fig. 21.
  - Dans les deux cas l’on voit que les composantes verticales des réactions de la douille sur la direction agissent en sens inverse de la composante tangentielle de la réaction du sol. 11 est bon d’ailleurs d’ajouter qu"en marche, les réactions de la douille ont des composantes horizontales dont les actions concordent avec celle de la réaction tangentielle Br' puisqu’elles poussent sur l’axe de direction dans le sens de la marche.
  - On pourrait donc se demander si l’action des composantes verticales des réactions de la douille
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  - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS
  - ne contrebalancerait pas l’elïet de la réaction Br' et des composantes horizontales en marche.
  - Dans les machines bien construites et légères il n’en est rien et voici pourquoi : l’efficacité de ces composantes verticales dépend de la grandeur du déplacement de la douille. Si la douille n’a que des mouvements de haut et bas très faibles, cet effet perturbateur ne sera pas sensible en vitesse. Or, c’est ce qui doit avoir lieu dans de bonnes machines ; car des déplacements considérables de la douille rendent la direction très dure. La douille supporte, surtout dans les machines multiples, un poids très notable ; à chaque mouvement du guidon (tenu en mains) le conducteur est forcé de faire le travail nécessaire au déplacement de ce poids. Pour que la direction soit douce, il faut que ce travail soit très faible ; ce qui exige que les déplacements de la douille soient très petits.
  - Dans une bonne machine, légère, et en vitesse, l’effet de ces réactions verticales de la douille est donc négligeable. C’est bien la réaction tangen-tielle du sol et les composantes horizontales des réactions de la douille dont les effets sont prépondérants et tout se passe comme nous l’avons expliqué.
  - Cette petite digression a cependant son utilité.
  - En premier lieu, elle nous prouve que si les déplacements de la douille étaient considérables
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  - notre raisonnement tomberait en défaut et que, par suite, il serait possible de construire des machines {mal faites) du type de la fig. 20 pour lesquelles le lâche-mains ne serait pas possible. La fig. 23 représente un type de direction de ce genre exceptionnellement mauvais. Au contraire, il est possible, toujours avec cette douille à grand déplacement de construire une machine du type de la fig. 21 dans laquelle la roue directrice se redresse d’elle-même en marche. On aurait ainsi une bicyclette dans laquelle le lâche-mains ne serait pas impossible, quoique peu pratique. M. le capitaine Ferrus, qui a bien voulu attirer mon attention sur ce point, m’a cité les anciennes bicyclettes Quadrant qui avaient une disposition de ce genre et la bicyclette à pétrole Millet, dont les directions n’offrent pas de difficulté. O11 conçoit que, surtout dans une bicyclette automobile, dont le poids est considérable, l’in fluence des com-posantes verticales de la réaction de la douille, composantes dont la somme est égale à la fraction du poids total portée par l’avant, ne soit pas négligeable.
  - En second lieu, ce qui précède explique pourquoi, avec nos machines actuelles, on n’est bien maître de sa machine, en lâche-mains, que quand on a acquis une certaine vitesse. En effet, les composantes verticales des réactions de la douille ne dépendent pas de la vitesse; leur
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  - effet est toujours le môme. Au contraire, les composantes horizontales de la réaction du sol et de la douille, qui sont nulles au repos, croissent avec la vitesse. On ne peut donc faire le lùche-mains qu’à une vitesse telle que ces dernières soient prépondérantes.
  - Enfin c’est encore là qu’il faut chercher l’explication du fait qu’une machine marche mieux sans les mains lorsqu’on renverse le buste en arrière ; car on diminue ainsi la partie du poids portée par la douille.
  - a0 Nous admettrons dorénavant que lepointB est en arrière du point I. Le déplacement de la douille étant faible, si la machine a une vitesse suffisante, la roue directrice restera toujours dans le plan moyen lorsque ce plan sera vertical, et la machine décrira bien une ligne droite quand le plan moyen sera vertical. Mais il faut encore, pour que la marche soit possible, que le cavalier puisse effectuer un virage. Or, lorsque la machine tourne, il faut que le plan moyen soit incliné d’un certain angle et que le guidon soit tourné d’un angle convenable. Pour faire un virage ordinaire (les mains sur les poignées), le cavalier provoque l’inclinaison du plan moyen du côté du virage et, en même temps, tourne le guidon. Dans le cas présent, puisqu’il ne tient plus le guidon dans les mains, il faudra, pour que le virage soit possible, que, lorsque le plan
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  - moyen s’incline, la roue directrice tourne d'elle-même du côté de la chute.
  - Le point B de contact de la roue directrice avec le sol étant en arrière du point d’intersection I de l’axe æij avec le sol (fig. 20) il peut y avoir trois dispositions possibles pour l’axe cey, à savoir les dispositions (1) (2) et (3) (fig. 22).
  - La réaction du sol au point B a, outre la composante Br' dont nous venons de parler, une composante verticale. Dans les trois dispositions, lorsque le plan moyen s’incline d’un certain côté,
  - Fig. 2-2
  - cette composante tendra à faire tourner le plan de la roue du côté de la chute; mais ce n’est pas la seule force à laquelle cette roue est soumise. Dans les dispositions (1) et (3) le poids de la roue aura une action sur elle. Avec la forme (1) le poids de la roue agira en sens inverse de la réaction et, par conséquent, s'opposera à la rota-
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  - tion du plan de la roue du côté de la chute; au contraire, dans la forme (3) le poids de la roue agira dans le môme sens que la réaction. l)e plus, dans les trois cas, les composantes verticales des réactions de la douille tendent à faire tourner la roue, comme nous l’avons dit plus haut. La forme (3) est donc celle qui est la plus avantageuse puisque c’est celle dans laquelle toutes les forces qui agissent sur la roue tendent à la faire tourner du côté de la chute, lorsque le plan moyen est incliné.
  - Les formes (i) et (2) peuvent êlre'acceptables, mais ne seront jamais aussi bonnes que la disposition (3) (*).
  - Examinons de plus près la disposition (1), pour bien mettre en évidence ses défauts. Pour qu’elle convienne au lâche-mains, il faudra que le moment de la réaction en B soit plus grand que le moment du poids de la roue. On est ainsi conduit, pour la rendre soi-disant meil-
  - (i) Toutes les bicyclettes que l’on construit actuellement ont la forme (3). On obtiendrait une bicyclette de la fo.me (1) en retournant le guidon de 1800; c’est facile à faire lorsque la machine n’a pas de frein. On se rendra compte que, dans la machine ainsi disposée, le làche-mains est, en général, possible mais beaucoup moins facile que lorsque la roue directrice est dans sa position normale. L’équilibre est à peu près aussi facile à maintenir, mais la machine obéit mal à la direction.
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  - ieure, à exagérer la disposition en inclinant considérablement l’axe xy et en augmentant la chasse BI; on obtient la disposition de la fig. 23. Ce serait là une forme éminemment défectueuse et pour de multiples raisons. La solidité de la fourche serait d’abord singulièrement compro-F\s. 23
  - mise. En second lieu, les déplacements relatifs de la base d’appui par rapport au plan moyen seraient assez considérables; ce qui nuirait beaucoup à l’équilibre normal. Enfin, la douille DD' serait soumise à des mouvements de haut et de bas qui rendraient la direction très dure et empêcheraient, comme nous l’avons déjà dit, la roue de se redresser lorsque le plan moyen est vertical.
  - Pour terminer cette petite discussion préliminaire, remarquons encore que la forme du bandage ne sera pas sans influence sur l’aisance du lâche-mains. En effet, si, comme nous l’avons
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  - toujours supposé jusqu’ici, la roue était un cercle mathématique, la composante horizontale de la réaction n'aurait aucune action sur elle lorsque le guidon est droit (et non pas tourné comme dans les fig. 20 et 21), c’est-à-dire lorsque les trois points A, B, et I sont en ligne droite. Mais, dans la réalité, le bandage, surtout le bandage pneumatique, est un tore dont les dimensions ne sont pas négligeables.
  - Supposons donc le guidon droit, c'est-à-dire le plan de la roue directrice coïncidant avec le
  - /J?
  - plan moyen, et supposons ce plan moyen incliné d’un angle a. Représentons, par la fig. 24, la coupe de la roue par un plan passant par l’axe
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  - et son peint de contact B avec le sol. Le pneumatique a une section qui est un cercle 0 que, pour plus de simplicité, nous ne supposerons pas aplati. Soit PP', la trace du plan moyen (qui contient la douille de direction). Le point B ne sera pas situé sur PP' et la composante tan-gentielle de la réaction qui agit en B, normale ment au plan de la figure, aura pour effet de faire tourner la roue du côté de la chute. Son effet sera d'autant plus considérable que la distance BK de B à PP' sera plus grande. Or, si r est le rayon de la section du pneumatique, on a BK = r sin a.
  - Pour une même inclinaison a du plan moyen, le bras BK est donc proportionnel à r. Il y a donc avantage,- au point de vue du lâche-mains, à ce que la roue directrice soit munie d'un gros pneumatique. Ce fait intéressant a été vérifié par M. le Capitaine Ferrus expérimentalement. Une mèmè machine dont le lâche-mains était médiocre avec de petits pneumatiques est devenue très facile à diriger sans les mains lorsqu’on l’a garnie de gros pneumatiques.
  - Le rôle de la composante horizontale de la réaction est donc double. Lorsque le plan moyen est vertical, la distance BK (fig. 24) est nulle et la réaction tangentielle tend toujours à ramener la roue directrice dans le plan moyen.
  - Lorsque, le guidon étant droit, le plan moyen
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  - est incliné, cette composante tend, comme la composante verticale et les réactions verticales de la douille, à faire tourner la roue du côté de la chute; mais, une fois que le guidon a tourné d’un certain angle, tout se passe comme dans la fig. 20 et cette composante horizontale s’oppose à la rotation de la roue, et l’empêche de tourner trop loin.
  - La composante horizontale de la réaction du sol sur la roue directrice est donc le véritable régulateur du lâche-mains.
  - Il est d’ailleurs facile de vérifier ces faits, et en même temps de s’assurer si une machine a un bon lâche-mains de la façon suivante : On conduit la machine à la main en la tenant uniquement par la selle et en marchant d’une façon continue. Si on maintient le plan moyen vertical et que l’on tourne le guidon, il revient, de lui-même, se placer droit. Si on incline fa machine à droite la roue directrice tourne immédiatement à droite; puis, lorsqu’on la relève, la roue d’avant se redresse, puisqu’alors le plan moyen est redevenu vertical. Une machine n’a un lâche-mains facile que si elle exécute fidèlement tous ces mouvements.
  - 3° La disposition (3) adoptée, il faut remarquer que le point B, ne coïncidant plus avec le point I, comme nous l’avions supposé jusqu’ici, il en résulte que la droite AB ne reste pas dans
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  - le plan moyen lorsqu’on tourne le guidon, ou plutôt que le plan moyen subit un léger déplacement lorsqu’on tourne le guidon. Ainsi lorsqu’on tourne laroue directrice à droite(fig. 20), le plan moyen qui avait pour trace la base AB est dévié sur la droite et a pour trace AI. Ce déplacement, comme on le voit, a pour effet de transporter le centre de gravité du côté où on tourne la roue et, par suite, il nuit au rétablissement de l’équilibre. U faut donc que la disposition de l’axe soit telle que cette déviation soit faible. Par exemple, on peut assigner une limite supérieure que la déviation ne doit pas dépasser : soit s. Désignons par w (fig. 22), l’angle d’inclinaison de l’axe xy : par d, la distance OIv du centre O de la roue directrice à cet axe. Supposons qu’on tourne la roue directrice d’un angle 0 (fig. 20), le point B aura une position telle que sa distance IB au point I sera donnée par la formule
  - 11^___r cos(o cosq — d
  - y/1 — cos2co.cos20’
  - r étant le rayon de la roue directrice (*). Soit 0, la déviation du point B, 0 — BIl (fig. 20), on aura
  - > T„ . n r coso.cosO — d . .
  - 0 — IB sinO — -------------sinO.
  - V 1 — cos2wcos20
  - (') Cette formule pourrait servir à vérifier ce que nous avons affirmé plus haut sur la variation de IB avec l).
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- - 102
  - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS
  - Lorsque 0 croit à partir de zéro, la déviation o croit depuis zéro jusqu’à uu maximum, puis décroît pour reprendre la valeur zéro quand 0 a la valeur Oj telle que
  - ft d
  - cosO, =----------
  - 1 r cosco
  - (cet angle Oj existe car, pour que l'axe xg ait la position (3) {fig.22), il faut précisément que l’on ait d r cos co).
  - Pour que la déviation reste plus petite que e, il suffit que le maximum de 0 soit plus petit que e. Or, le maximum de 0 est certainement plus petit que le produit du maximum de IB par la plus grande valeur de sinO qui est sinO,, donc
  - i •v - r cos co — d . .
  - maximum deo <"---------^-------— sin (fi.
  - si II co
  - II suffit donc que l’on ait
  - ( \ r cos co — ^ t/r-cos2co — à- < c.
  - ^ ' sin co * r cos co “
  - D’autre part, pour que la réaction au point B agisse efficacement sur la roue directrice, il faut que la distance BP {fig. 22 (3) ), soit la plus grande possible ; or
  - BP = r cos co — d.
  - Il faut, par conséquent, que cos co soit le plus grand possible.
  - On devra donc prendre la plus grande valeur de cos co vérifiant l’inégalité (1), c’est-à-dire
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- - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS 103
  - qu’on devra prendre co tel que l’on ait l'égalité (r cos co — o?)2(r2cos2co — d2) = s2r2cos2co sin2<o. cos co devra donc être la racine de l’équation
  - \ / dV/ d\ £- „ , , x
  - 2) (cos co — -- J ( cosco H- - j— COS"(o ( 1 —COS'CO J = 0
  - qui est comprise entre ^ et i.
  - En résumé, pour que les concluions les qolus ^ favorables au lâche-mains soient remplies, il faudra que la disposition de taxe xy de la fourche soit la disposilio?i (3) (fig. 22) et que, r désignant le rayon de la roue directrice et d la distance de son centre O à taxe xy, tangle co de cet axe xy avec le sol soit tel que cosco vérifie Véquation (2).
  - Il sera, en outre, préférable que le pneumatique de la roue directrice soit gros.
  - La distance d est déterminée par la condition que le centre de gravité de la direction totale (roue directrice, fourche et guidon) soit au-dessus de l’axe xy. On prendra pour d une valeur telle que le centre de gravité de la direction soit environ de 4 à h centimètres au-dessus de xy ; d et r étant connus, co sera donné par l’équation (2).
  - Ainsi, par exemple, prenons une machine pour laquelle
  - r — 35fim,
  - d — 4cn\5 ;
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- - 104
  - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS
  - si on veut que l’écart du point B ne surpasse pas 2 centimètres, on devra résoudre l’équation (2) en faisant
  - r = 35, d = 4,5 e = 2 et on trouve environ
  - o) = 700.
  - En prenant
  - — -xmi r
  - C » / j
  - . on trouve environ
  - (O = 08°.
  - Or, l’angle en général adopté par les constructeurs est G7°,5 (probablement parce que c’est les trois quarts de l’angle droit). Il en résulte que, dans les bicyclettes que l’on construit actuellement, la déviation du point B ne dépasse pas 35 millimètres. Cette déviation est, comme on le voit, faible et, par suite, ceci légitime, une fois de plus, la supposition que nous avions laite jusqu’ici : à savoir, que les points B et l coïncident, car l’erreur provenant de cette hypothèse est négligeable dans l’établissement de la formule d’équilibre (I).
  - Les conclusions auxquelles nous a conduit la discussion précédente ont été vérifiées par l’expérience. J’extrais du journal le Cycliste (ier janvier 1891, p. 397) les résul tais suivants : L’auteur de cet article, qui signe d’un pseudonyme, a essayé dix machines. Sur les dix machines, il y en avait une
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  - dans laquelle le point B était en avant du point I; en conformité avec nos conclusions, le làche-mains était impossible. Il y en avait une seconde ayan t la forme (2)(c£ = o)et dans laquelle le centre de gravité de la direction totale était sur l’axe xy. La chasse BI était très grande, de 26 centimètres, B étant en arrière de ï ; c’était donc une machine du genre de la ftg. 23. Sa stabilité de route était très mauvaise et le làche-mains dangereux. Sept autres machines étaient du type (3) (fig. 22) : avec toutes les sept le làche-mains était possible. Celles qui ont donné les meilleurs résultats étaient celles pour lesquelles le centre de gravité de la direction totale était à 5 centimètres au-dessus de l’axe et dont la chasse BI était de 4 à 8 centimètres. La meilleure machine était celle qui avait une chasse de 6cra,5.
  - Ces faits expérimentaux sont, comme on le voit, en accord parfait avec nos conclusions théoriques.
  - La roue directrice étant disposée d'une façon convenable, suivant les règles que nous venons d’indiquer, on peut dire, en somme, que la machine s’équilibre d’elle-même. Le cavalier par de très légers mouvements du torse pourra modifier, il est vrai, l’équilibre, mais on peut dire que la majeure partie du rétablissement,en làche-mains, est faite par la machine elle-même. Tout cycliste exercé sait que, sur une bonne machine, on doit,
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  - ÉQUILIBRE SANS LES MAINS
  - quand on abandonne les poignées, garder le torse aussi immobile que possible.
  - Il serait illusoire de vouloir essayer de soumet-tre au calcul les effets des mouvements du torse car ce sont des mouvements si faibles et si variés qu’on ne peut pas espérer les représenter, avec quelque vraisemblance, par une formule analytique. En gros, un calcul, fait dans une hypothèse simple, montre que, le plan moyen étant vertical (dans le làche-mains), si le cavalier incline le haut du corps d’un certain côté le plan moyen s’inclinera immédiatement de l'autre. Le cavalier prend point d'appui sur les pédales et s’il s’incline le torse vers la droite il avance les reins vers la gauche et il a l’impression de déplacer la selle d’un mouvement de reins vers la gauche.
  - Pour faire un virage, sans tenir les poignées, le cycliste provoquera une inclinaison du plan moyen du côté vers lequel il veut tourner et, d’après la disposition môme de la machine, la roue directrice tournera d’elle-môme du côté convenable.
  - Le virage effectué, il suffira que le cavalier, par un mouvement de torse redresse le plan moyen; le plan de la roue directrice devenant vertical, la composante tangenlielle de la réaction agit seule et ramène la roue directrice dans le plan moyen.
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- - MARCHE EN LIGNE DROITE
  - 107
  - Une bonne machine se redresse d'elle-même et les mouvements du torse du cavalier ne font que régler ce redressement.
  - De ce qui précède, il résulte que l’équilibre et la direction d’une bicyclette, sans tenir le guidon, est une chose toujours délicate, mais que sa possibilité et son aisance dépendent surtout de la forme de la machine et moins du cavalier. Il y a des machines avec lesquelles le lâche-mains est très aisé (celles dans lesquelles la disposition de la direction est celle’que nous avons donnée) ; il y a, au contraire, des machines avec lesquelles le lâche-mains est impossible.
  - Direction dans la marche en ligne droite (’). — D’après ce que nous avons vu, pour qu’un cycle décrive une ligne droite, il faut que le plan de la roue directrice coïncide avec le plan moyen, c’est-à-dire qu’il faut que le cavalier tienne les poignées du guidon à égale distance du plan moyen : nous disons que, dans ces conditions, le cavalier tient le guidon^ voit. De plus, comme il doit y avoir équilibre, le plan moyen doit être vertical.
  - Pratiquement, ces conditions théoriques sont presque impossibles à remplir d’une façon continue. Aussi, le cycliste qui s'efforce à suivre une (*)
  - (*) Le mode d’exposil.ion que nous employons dans ce paragraphe est dû à Macquorn Rankine (loc. cit. n° 9).
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- - 108
  - MARCHE EN LIGNE DROITE
  - ligne droite, n’y arrive jamais d’une façon parfaite. Si la machine était mue d’une façon continue, par exemple par un moteur électrique qui transmettrait d’une manière uniforme un mouvement de rotation à la roue motrice, et, de plus, si elle roulait sur un sol parfaitement plan il n’y aurait aucune raison pour que le plan moyen s’incline, soit à gauche, soit à droite, et, par suite, l’équilibre pourrait être maintenu en progressant suivant une ligne droite parfaite. Mais, en réalité, l’action du cavalier est discontinue-, il presse alternativement sur une pédale et sur l’autre et il résulte de ces pressions alternatives, qui sont presque toujours accompagnées de mouvements du torse, que la machine oscille légèrement de gauche à droite. D’autre part, les inégalités du sol sont aussi des causes de perturbations de l’équilibre et, ainsi, pour ces deux raisons, le plan moyen ne reste pas vertical.
  - Sur une machine munie de bons bandages pneumatiques qui amortissent les chocs, et en plaine ou en descente, les efforts sur les pédales sont faibles et l’oscillation est presque nulle ; mais aux montées où il faut forcer sur les pédales, le cavalier, pour peser de tout son poids sur les pédales, transporte son corps de gauche à droite et, surtout avec un cavalier peu exercé, les oscillations sont assez fortes. Pour que l’équilibre ne soit pas rompu, il faudra que le
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- - MARCHE EN LIGNE DROITE
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  - cycle décrive, au lieu d’une ligne droite, une courbe sinusoïdale serpentant autour de la ligne que le cavalier désire suivre, de telle façon, qu’à chaque instant, la courbure de la trajectoire soit telle que la force centrifuge équilibre le cycle.
  - Lorsque le cavalier presse sur la pédale droite, par exemple, la machine est inclinée vers la droite et, pour que l’équilibre ne soit pas rompu, il faudra que la trajectoire soit une courbe dont la concavité soit tournée vers la droite. Le cavalier pressera, ensuite, sur la pédale gauche et le cycle devra décrire une courbe dont la concavité sera tournée vers la gauche. Pendant le premier coup de pédale, la trajectoire sera un arc AB (fig. 2.5) tournant sa concavité vers la droite et, pendant le coup de y pédale s u i- ^
  - vant, elle sera un second arc
  - BC concave vers la gauche. La trajectoire est donc une courbe.harmonique ABCD... qui serpente autour de la ligne Ax que le cavalier veut suivre. Le chemin AMBPC, composé de deux oscillations successives, correspond, dans notre hypothèse, à deux coups de pédale successifs, c’est-à-dire à une révolution complète de l’une des deux manivelles.
  - Fig. -r,
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- - 110
  - MARCHE EN LIGNE DROITE
  - Les points A, B, C,... d'inflexion sont les points qui corespondent, à peu près, aux instants où les pédales sont au point mort. Soit, alors, a la multiplication de la machine, c’est-à-dire le diamètre de la roue motrice du bicycle qui avance autant que le cycle donné pour un tour complet d'une manivelle ; à chaque tour d'une manivelle, le cycle avance de r.a (it =3,14159) et, par suite, la longueur de l'arc AMBPC qui sépare les deux nœuds A et G est égale à tta. La trajectoire étant une courbe harmonique, si on prend pour axes de coordonnées Ax et une perpendiculaire Ay, l’équation de cette courbe sera sensiblement de la forme :
  - 0 étant la déviation maxima, x0 étant l’abscisse du point C où la période recommence, on aura, sensiblement :
  - Donc,
  - Cette formule donne l’écart y du point de contact de la roue-arrière avec le sol dans Vhypothèse où les oscillations sont dues à l'alternance des coups de pédale et où la déviation maxima reste la même.
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- - MARCHE EN LIGNE DROITE 111
  - Il est clair que la trajectoire du centre de gravité, ou plutôt la projection de celte trajectoire sur le sol, sera une courbe analogue à celle du point de contact de la roue d’arrière, que l’on obtiendra en remplaçant o par une valeur convenablement choisie.
  - Soient C (fig. 26), la trajectoire de la roue-arrière ; r, la projection de la trajectoire du centre de gravité G sur le sol et M, le point de contact de la roue-arrière. Comme la courbe C n’est pas rectiligne, le plan moyen ne sera pas vertical mais sera incliné, du côté de la concavité de la courbe, d'un angle a tel que
  - .9?
  - v étant la vitesse de la machine.
  - La projection du cen Ire de gravité sur le sol sera un point M', différentde M, situé du côté de la concavité de la courbe, c'est-à-dire plus près de la droite (Le que le point M. Nous pouvons, approximativement, supposer M' sur la perpendiculaire MP abaissée de M sur Oæ ; on aura, alors, le point M' en diminuant l’ordonnée de M de la
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  - MARCHE EN LIGNE DROITE
  - quantité M'M qui est précisément la déviation du centre de gravité. Soient y = MP, l’ordonnée de M ; y' = M'P, l’ordonnée de M', on a y — y' — MM/ = l cos a, l étant la hauteur MG du cycle. Or, a étant voisin de yo° on a, sensiblement,
  - p étant le rayon de courbure de la trajectoire, c’est-à-dire de la courbe C; et, l’équation de la courbe G étant, comme nous l’avons vu,
  - y = o sin ^
  - on a, approximativement, a}
  - d’où
  - P
  - 4 y
  - “)
  - y-y
  - ce qui donne :
  - 4 lv-y
  - ’ a'*y
  - (0
  - i fen
  - relation qui permet de déduire la courbe F de la courbe C. De ce qui précède, nous pouvons tirer les conclusions suivantes :
  - Les écarts du centre de gravité sont toujours plus faibles que ceux du point de contact de la roue-arrière.
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- - MARCHE EN LIGNE DROITE
  - 113
  - La formule (1) nous montre, en outre, que ÿ diminue quand v augmente, donc, avec une ma-chine donnée, décrivant sur le sol une trace donnée, les écarts du centre de gravité diminuent quand la vitesse augmente.
  - C’est à cela que tient cette impression que l’on ad’étre beaucoup plus d’aplomb en vitesse qu’en allant lentement puisque, quand on va vite, les déplacements du buste sont moins considérables. Cette impression, malheureusement, est souvent très trompeuse, car la cause même qui fait que les déplacements du centre de gravité sont moins considérables fait aussi que la machine s’incline plus dans les oscillations successives et, par suite, a plus de tendance à chasser latéralement. Ainsi s’explique ce phénomène bien connu des pratiquants du cycle que, lorsqu’on marche en vitesse, sur un sol glissant, c’est, le plus souvent, au moment où on s’y attend le moins, au moment où il semble que l’on est le plus d’aplomb, que la machine s’abat sous vous.
  - Dans les bicycles, on a sensiblement l = a, car la hauteur de la machine est à peu près égale au diamètre de la roue motrice. Par suite,
  - 4 lv2___&-
  - ~gë ~~ gâ'
  - Cette quantité augmente quand a diminue.
  - Bouau'.* Nouveau traité des Bicycles et Bicyclettes 8
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  - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - Donc, dans les bicycles, les écarts du centre de gravité sont plus faibles avec les machines basses, à égalité de vitesse et de trajectoire. Au contraire, dans les bicyclettes, l est différent de a ; l reste à peu près le même pour toutes les bicyclettes etce qui varie c’est la multiplication a.
  - Donc, dans les bicyclettes, les écarts du centre de gravité sont plus faibles avec les machines à faible multiplication, lien résulte que, pour aller lentement à bicyclette, on devra prendre une machine à faible multiplication qui oscillera moins. Ainsi, pour les pays montueux où on avance lentement, il y aura avantage à prendre des machines à faible multiplication au point de vue de l’oscillation. Nons verrons, dans le second volume, qu’il y a aussi avantage au point de vue du travail.
  - Enfin, comparons entre eux le bicycle et la bicyclette; à vitesse égale, avec le môme développement (ce qui donne les mêmes valeurs pour v et a), la quantité est plus grande dans le bicycle que dans la bicyclette, puisque l est plus grand. Donc à bicycle le centre de gravité oscille moins qu'a bicyclette.
  - Direction dans un virage. — Lorsqu’un cycliste veut changer de direction, c’est-à-dire passer d’une direction rectiligne à une autre direction rectiligne, il opère ce qu’on appeUç uj\ virage.
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- - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - 115
  - A première vue, voici comment il semble que la question se pose : il s’agit de faire décrire à la machine une droite AB suivie, d’un arc de cercle BC (fig. 27) suivi lui-méme d’une nouvelle droite CD. Tout d’abord, comme nous
  - Fig. 27
  - l’avons vu (p. 3o), toute question d’équilibre mise à part, il n’est pas possible de faire décrire à la roue-arrière une telle trajectoire; c’est, au contraire, possible pour la roue directrice. Si on tient compte de l’équilibre, celte impossibilité est encore plus manifeste. En effet, pour que la roue-arrière décrive un cercle, l’équilibre étant maintenu, il faut que le plan moyen fasse un angle convenable avec le sol (supposé horizontal). Or, lorsque le cycle décrit une ligne droite, le plan moyen est vertical ; il ne peut donc pas passer brusquement,delà position verticale 4 une position inclinée. C’est donc à la roue
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  - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - directrice que le cycliste devra faire décrire cette trajectoire. Étudions, alors, la loi suivant laquelle il faudra tourner le guidon. Supposons, ce qui est toujours le cas pour un cycliste sur route, que le mouvement soit uniforme et soit v, la vitesse de la machine. Soit R, le rayon de l’arc de cercle BC. 0 désignant l’angle dont a tourné le guidon; s, l’arc de la trajectoire de la roue-arrière et p' le rayon de la courbe décrite par la roue directrice, on a, comme nous l’avons vu (formule (3), p. 23).
  - si 0*1 ~b~ '
  - n
  - • COS 0 -y- ,
  - as
  - b désignant la longueur de la machine. Ici on
  - rj = R et
  - ch
  - dt
  - On a donc :
  - sinO =
  - v
  - R’
  - Prenons pour instant initial (i = o) celui où la roue-avant est en B. On aura, pour t — o, 6 = o et l’intégration de l’équation précédente donnera :
  - e désignant la base des logarithmes népériens.
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- - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - 117
  - On en déduit :
  - vt
  - T
  - et
  - On a donc, pour l == o,
  - ___ v __ v2
  - 0 H’
  - La vitesse angulaire initiale est donc n- et
  - K
  - l’accélération angulaire initiale du guidon — .y.
  - Le virage s’effectue évidemment dans de bonnes conditions si, d’une part, la vitesse angulaire du guidon est faible et si, d’autre part, cette vitesse angulaire décroît rapidement, c’est-à-dire si l’accélération retardatrice est grande. Car il y a toujours avantage, pour le cycliste, à faire des mouvements lents du guidon qui seront mieux effectués que les mouvements rapides. La vitesse angulaire étant égale à ^ décroît avec la vitesse.
  - Donc, il y a avantage à faire un virage, donné, en petite vitesse.
  - Cette vitesse angulaire décroit quand le rayon R augmente : il est donc plus facile de faire des virages larges.
  - Enfin, toutes choses égales d’ailleurs, l’accé-
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- - 118
  - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - lération retardatrice augmente quand b diminue. Donc, toutes choses égales d’ailleurs, les virages seront plus faciles avec les machines courtes.
  - Telles sont les conclusions (conformes à l’expérience) auxquelles nous conduit l’examen de ce cas, que nous pourrions appeler virage théorique, où l’on suppose que le cycliste s’astreint à faire décrire à la roue directrice, exactement, la trajectoire ABGD (fig. 27).
  - Il est facile, maintenant, de se rendre compte que ce virage théorique est défectueux.
  - Au point de vue de l’équilibre, un cycliste a avantage à décrire, autant que possible, des cercles ou, pour préciser, à faire décrire à la roue-arrière, un cercle. C’est, en effet, le seul cas où il y a véritablement équilibre, c’est-à-dire où le plan moyen conserve une inclinaison constante par rapport au sol. Or, dans le virage théorique que nous venons de décrire,la roue d’arrière 11e décrira jamais un cercle. Lorsque la roue d’avant décrira l’arc de cercle BC(fig. 25) la roue-arrière décrira (voir p. 2j)un arc de spirale B'C' ; puis, lorsque la roue-avant reprendra la ligne droite, 1 a roue-arrière tendra asymptotiquement (voir p. 26), à se placer en ligne derrière elle en décrivant un arc C'D' de traelrice. Dans ce virage théorique, l’inclinaison du plan moyen par rapport au sol sera donc, sans cesse, variable. C’est là une condition défectueuse.
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- - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - 119
  - Eu fuit, un bon cycliste cherche, d’instinct, à faire décrire à la roue-arrière un cercle pour arriver à une véritable position d’équitibre; il ne fait donc jamais le virage théorique que nous venons de décrire, qui est un virage de débutant inexpérimenté. Voici ce qui se passe en réalité et je ne fais qu’analyser un procédé bien connu de tous les pratiquants de la bicyclette.
  - Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de faire un virage à gauche et que le cycliste veuille décrire fbien entendu avec la roue-arrière) l’arc de cercle KM (fig. 28) se raccordant à la droite
  - 5 , - 0
  - LK. Au lieu de décrire exactement la droite LK, il a soin de suivre une ligne DO, parallèle, placée un peu à droite de LK. Arrivé en 0, un peu avant le virage, il commence à tourner le guidon vers la droite de façon à faire décrire à la roue-arrière un arc de courbe 01 de raccordement entre la droite DO et le cercle IM qu’il veut décrire. C’est ce qu’en argot cycliste on appelle prendre le virage. Dès que le cycliste a atteint, en 1, le cercle IM (les arcs 01 et IM ayant même rayon de courbure en I) il ne lui reste plus
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- - 120
  - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - qu’à décrire l’arc de cercle. Le virage terminé, il effectue l’opération inverse pour reprendre la ligne droite. Comme le rayon de courbure de la trajectoire de la roue-arrière varie d’une façon continue, l’arc 01 (fig. 28) aura un rayon de courbure infiniment grand en O et le rayon décroîtra jusqu’en I pour atteindre, en ce point, la valeur R qui est le rayon de l’arc de cercle IM qu’il s’agit de décrire.
  - Ce qu’il intéresse de connaître, c’est la forme de cet arc de courbe de raccordement de la ligne droite au cercle. Pour cela, nous sommes obligé de faire une hypothèse sur la loi suivant laquelle le cavalier tourne le guidon ; nous choisissons la plus simple, qui peut être considérée comme suffisamment exacte si le temps du virage est assez court, et nous supposerons que le cavalier tourne le guidon d’un mouvement uniforme avec une vitesse angulaire connue to. Nous compterons le temps t à partir de l’instant où commence le virage. Soit 0, l’angle dont a tourné la roue directrice au temps i; on aura 0 =
  - Soient v, la vitesse du cycle; s, l’arc de courbe décrit par le point de contact de la roue-arrière sur le sol, on a évidemment, s = vt\ donc
  - 0 = -v
  - Gomme nous connaissons 0 en fonction de l’arc s, nous aurons immédiatement les équations
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- - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - 121
  - de la trace de la roue-arrière sur le sol en appliquant des formules trouvées précédemment (formules (4), p. 29).
  - / ™(l;f te(is)ds
  - './ •“{iJ
  - ds,
  - ds j ds,
  - en prenant, pour origine des coordonnées O, dans le plan du sol, la position du point de contact A de la roue-arrière avec le sgI au commencement du virage et, pour axe 0;r, la direction rectiligne DO suivie précédemment par le cycle [fig. 29). Comme Fis. 29
  - l’angle 0 est petit nous pourrons sensiblement remplacer tg 0 par 0, c’est-à-dire Ig Par Les form u les ( 1 ) pren-nent alors la forme plus simple
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  - D1BBCT10N DANS UN VIRAGE
  - qui donnent les cordonuées x et y du point A en fonction de Tare s ou, ce qui revient au même, en fonction du temps, car s — vt.
  - Posons
  - k = \f^
  - et, ainsi, x et y sont exprimés en fonction d’une variable s telle qu’à chaque instant, on a
  - p étant le rayon de courbure de la trace de la roue-arrière.
  - Les formules (3) contiennent, dans les seconds membres, des intégrales dont on ne peut pas effectuer l’intégration en termes finis. Mais ces intégrales sont des intégrales qu’on rencontre dans la théorie de la diffraction de la lumière et qui
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- - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - 123
  - sonl connues sous le nom d'intégrales de Fres-nel. Fresnel a donné dans les Annales de Chimie et de Physique (2e série, t. II, p. 289), une table de leurs valeurs pour des valeurs croissantes de z. On peut, ainsi, en se servant de ces tables, construire la courbe de raccordement point par point. Cette courbe, qui est la courbe qui jouit delà propriété qu’en chaque point le rayon de courbure est inversement proportionnel à l’arc, a été étudiée par M. Cornu, dans ses travaux d’optique, nous l’appellerons, dorénavant, courbe de Cornu. Elle alïecle une forme de spirale, mais il est bien clair que nous n’avons qu’à nous occuper d’un arc 01 (fig. 29) de cette courbe à partir de 0. Les formules (4) nous montrent que, quand t croît à partir de zéro, z croît aussi à partir de zéro et, par suite, le rayon de courbure p, d’abord infiniment grand, décroît et il arrivera un moment où il atteindra telle valeur que l’on voudra. Soit R, le rayon du cercle que le cycliste veut arriver à décrire pour opérer le virage, p atteindra la valeur R au temps tl :
  - t -- -
  - ' TZV 1Ï
  - Ceci posé, la question peut être examinée sous deux faces.
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- - 24
  - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - Supposons, en premier lieu, que, dans diverses circonstances, le cycliste prenne toujours le virage de la môme façon, ceci revient à dire en gros que la longueur de Tare de courbe de raccordement 01 (fig. 28) sera toujours la même. Soit la longueur de cet arc; au temps tlf on devra avoir parcouru un certain chemin connu et, comme si = vtlf on aura
  - bv
  - w = a*;-
  - C’est la formule qui donne la vitesse angulaire w avec laquelle il faut tourner le guidon pour prendre le virage de rayon Rswr une longueur donnée s^. œ croît proportionnellement à la vitesse et à la longueur b de la machine, et en raison inverse du rayon R du virage. Comme il est évident que le virage sera d’autant plus facile qu’il faudra tourner le guidon plus lentement, on en conclut que :
  - i° Les virages sont, avec une machine donnée, plus difficiles en vitesse.
  - 2° A égalité de vitesse, les virages sont plus faciles avec les machines courtes.
  - 3° Avec une même machine, et à la même vitesse, les virages courts sont plus difficiles.
  - (En appelant virage court un virage de petit rayon).
  - On peut, en second lieu, examiner la question à un autre point de vue et se demander à quelle
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- - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - 125
  - distance, il faut prendre le virage pour que la vitesse angulaire du guidon ail une valeur donnée w. On a alors
  - et l'on voit que si croît avec b et v et décroît lorsque R augmente. Le virage sera d’autant plus facile que la longueur st sera plus petite.
  - Les conclusions sont donc les mômes que les précédentes.
  - Ainsi, avec une machine longue, sera plus grand qu’avec une machine courte. Il est d’ailleurs évident que l’écart de la droite DO par rapport à la droite LK (fig. 28) augmente avec st. Avec une machine longue, il faut donc prendre les virages plus au large et de plus loin, si on ne veut pas précipiter le mouvement du guidon.
  - C’est l’explication du fait bien connu qu'en tandem il faut virer large. Il faut à un tandem plus de place pour virer qu’à une bicyclette ordinaire.
  - Il ne faut pas oublier d’ajouter à tout ceiaque pour que le virage soit possible, il faut encore que la vitesse v avec laquelle on fait le virage soit plus petite que la vitesse maxima avec laquelle on peut décrire une courbe de rayon R :
  - v g v/iW;
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- - 126
  - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - La courbe de raccordement (courbe de Cornu) que nous venons d’étudier, nous sera d’une grande utilité pour la détermination du plan de la piste d'un vélodrome.
  - Remarquons, pour terminer, que les conclusions qui précèdent s’appliquent surtout aux machines qui ne sont pas trop longues, aux bicyclettes ordinaires et aux tandems (deux cavaliers). Pour une machine multiple, quadru-plette, quintuplette, etc., la question est beaucoup plus compliquée. En voici un aperçu :
  - Soit 10, la vitesse angulaire avec laquelle l’équipier de tète tourne le guidon, pendant qu’il prend le virage, c’est-à-dire pendant que la roue-arrière décrit la courbe de raccordement. Au début, le rayon de courbure de la trajectoire de la roue-arrière est infiniment grand et celui de la roue-avant est
  - i v
  - P =«o-
  - Les divers cyclistes décrivent donc des trajectoires de rayons différents allant de l’infini à ^, du dernier au premier. Chacun des cavaliers devra, isolément, essayer de contre-balancer l’effet des forces centrifuges qui agissent sur lui. Le premier cycliste devra donc, au début, pencher fortement le corps vers le virage, tandis que le dernier ne devra pas le pencher du tout, Les
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- - DIRECTION DANS UN VIRAGE
  - 127
  - torses des cyclistes devront donc être de plus en plus penchés du dernier au premier. À mesure que le virage s’effectue, le rayon de courbure de la roue d'arrière diminue et les derniers cyclistes devront, progressivement, pencher le torse à leur tour jusqu’au moment où le virage est pris, c’est-à-dire jusqu’au moment où la machine décrit un cercle. Les torses devront alors conserver la même position ; ceux d’avant étant, cependant, un peu moins inclinés que ceux d’arrière, car, une fois que le virage pris, ce sont les cyclistes de l’arrière qui décrivent le plus petit rayon.
  - C’est là un fait bien connu de tous les entraîneurs sur machines multiples. J’extrais, par exemple, de la Revue du Touring Club de France, du i5 décembre 1897, l’observation suivante de M. A. F. Visner sur la manière de conduire une dècuplette : « 11 est impossible au « conducteur de faire virer en même temps « l’homme qui se trouve derrière lui et l’équi-« pier d’arrière, qui se trouve à 7™,20 de dis-« tance. Le mouvement doit se transmettre « d’homme à homme ».
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- - CHAPITRE III
  - CONSTRUCTION IVUNE PISTE DE VÉLODROME
  - La pisle d’un vélodrome (terrain de courses pour cycles) est une bande de terrain, en général d’une largeur moyenne de 8 mètres, ayant la forme d’une courbe fermée. Le terrain entouré par la piste est ce qu’on appelle la pelouse. La pisle a deux bords l’un, le bord intérieur, qui entoure la pelouse qu’on appelle la corde; l’autre, le bord extérieur, qui est la barrière
  - Fig. 30
  - (fig: 3o). Comme la piste n’est pas en ligne droite, il y a une certaine incertitude pour mesurer sa longueur, car le chemin est évidemment
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- - GÉNÉRALITÉS
  - 129
  - plus long lorsqu’on suit la barrière que lorsqu’on suit la corde. Un coureur cherche, évidemment, sur piste, à suivre toujours le chemin le plus court et, par conséquent, à se tenir le plus près possible de la corde ; il est donc naturel de prendre, comme mesure de la longueur delà piste, la longueur d’une ligne voisine delà corde. D’après les règlements anglais, qui ont été presque généralement adoptés, la longueur de la piste est mesurée à om,45 de la corde pour les pistes servant à la fois pour tricycles et bicycles et à om,3o de la corde pour les pistes servant, exclusivement, pour les courses à bicycles et bicyclettes. Nous appellerons ligne de foi la ligne suivant laquelle on mesure la longueur de la piste : la corde sera alors une ligne intérieure, parallèle, distante de om,3o et la barrière en sera distante d’une longueur arbitraire qui dépend de la largeur qu’on veut donner à la piste.
  - La forme d’une bonne piste devra remplir les conditions suivantes :
  - i° On devra pouvoir la parcourir à n’importe quelle allure. Or, comme les vitesses les plus grandes obtenues, en course sur piste, n’ont guère dépassé 5o kilomètres à l’heure, la forme de la piste devra être telle qu’on puisse la parcourir, sans danger, à des vitesses variant de o à 60 kilomètres à l’heure.
  - Bourlet — Nouveau traité des Bicycles et Bicyclettes 9
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- - 130 CA.LCUL DE LA PENTE AU VIRAGE
  - 2° Le plan de la piste devra comporter deux parties : des lignes droites et des virages et les lignes droites devront être les plus longues possibles, car c’est dans la ligne droite que la course est la plus facile.
  - Il résulte, tout de suite, de ce qui précède, que le sol de la piste ne peut plus être horizontal, aux virages. Nous savons, en effet, que sur un sol horizontal, on ne peut faire un virage donné qu’avec une vitesse inférieure à une vitesse maxima facile à calculer. Il en résulterait qu’on ne pourrait faire le virage qu’en ralentissant. D’autre part, nous avons vu que la vitesse maxima augmentait quand le sol, au lieu d’être horizontal était incliné de façon que la pente descende vers le centre de la courbe. On est donc amené à cette conclusion que la piste, au virage, au lieu d’être horizontale, devra avoir la forme d’une cuvette.
  - Pour connaître la forme exacte de la piste, on devra donc d’abord déterminer la forme de la ligne de foi ; puis calculer la jgente en chaque point. Nous commencerons par donner les formules pour la pente.
  - Calcul de la pente du sol aux virages. —
  - Soient R, le rayon de courbure du virage en un point et V, la vitesse maxima que peut atteindre un coureur. Nous avons vu (Chap. II) qu’à la vitesse V, on ne peut pas décrire sur un sol
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- - CALCUL DE LA PENTE AU VIRAGE
  - 131
  - horizontal une courbe d’un rayon inférieur à
  - f étant le coefficient de frottement de glisse*
  - 9f ' .
  - ment latéral d’un cycle et g, l’accélération due
  - à la pesanteur (g = 9m,8o par seconde). Si le V"
  - rayon 1{ est supérieur à -y le sol pourra être ho* rizontal. Donc :
  - En tous les points de la piste où le rayon de Y2
  - courbure est supérieur à —y, le sol devra être horizontal.
  - En prenant V = Go kilomètres à l’heure, c’est-à-dire Y = i6m,66 à la seconde, et f— o,3, on trouve
  - rayon minimum = ~fjy— 94mA°-
  - Ainsi une piste qui n’aurait que des virages de 100 mètres de rayon pourrait être horizontale.
  - Si le rayon R est inférieur à la piste devra être en pente. Or, nous avons vu (Chap. II, p. 60) que si p désigne la pente au virage, la vitesse maxima avec laquelle on peut décrire le virage est :
  - . /Kg (P + f)
  - V ' i '
  - Donc la pente p devra être telle que l’on ait
  - y/tt<7 (P -+p
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- - 132 CALCUL DK LA PENTE AU VIRAGE et il suffira que l’on prenne p de façon que
  - ffff (P f) _ Y’2
  - l —Pf ~~
  - ce qui donne :
  - (0
  - P
  - Y! %
  - i ~t- r
  - /'
  - Y*'
  - Kg
  - Telle est la formule qui donne la pente de la piste au point où le rayon est R. Elle donne bien, pour la pente, une valeur positive si R est
  - V2
  - inférieur à Pratiquement, pour faire le calcul, on posera
  - (2)
  - tg <p :
  - et on aura P = tg (?
  - %
  - V2
  - *)•
  - o est ce que nous avons appelé (p. 4^) l’angle de frottement et 9 — ^ est Xangle dCinclinaison du virage sur l’horizon.
  - Nous n’avons pas à calculer la pente, pour un rayon supérieur à 94™,4° puisque, dans notre hypothèse (V = i6m,66, f — o,3), pour les rayons supérieurs à celte valeur, le sol doit être horizontal.
  - Nous avons fait le calcul de p, pour diverses
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- - CALCUL DE LA PENTE AU VIRAGE
  - 133
  - valeurs du rayon R, et en supposant V= i6m,66 (à la seconde) et f= o,3, et nous avons obtenu le tableau suivant :
  - f= 0,3 V = (jokm à l'heure
  - R P © — i|/
  - 20ln 0,7831 38°4'
  - 25 0,6204 3i°49'
  - 3o o,5oi8 26039'
  - 35 0,4095 22° 16'
  - 4o o,33o(i i8°36'
  - 45 0,2710 15029'
  - 5o 0,2275 12049'
  - 55 0,1829 I0°22'
  - 6o o,i5o(i 8°34'
  - 65 0,1198 6°5o'
  - 7° 0,0933 5°20'
  - 75 0,0696 3059'
  - 80 0,0486 2°47'
  - .85 0,0299 i°43'
  - 90 o,oi33 o®46'
  - Lorsque le rayon R est faible, la pente devient comme on le voit très forte. 11 est clair que, si on prenait une valeur moins grande pour V, on aurait des pentes moins fortes. Ainsi, par exemple, si on supposait la vitesse maxima des coureurs de 45 kilomètres à l’heure, soit V = 12m,5o, on aurait (/"égalant o,3) les nombres suivants :
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- - 134
  - CALCUL DE LA PENTE AU VIRAGE
  - V = 45km à l’heure f= o,3
  - R 9 — +
  - uolu o/|0I ai05a’
  - 3o o,i99 u°i7'
  - 5o 0,017 o°;‘»9'
  - et, pour un rayon supérieur à 53 mètres, la piste serait horizontale.
  - D’autre part, les nombres des deux tableaux précédents seraient encore abaissés si le coefficient de frottement /"était plus grand.
  - Par exemple, voici les tableaux qu’on aurait pour f = o,5 :
  - V = 6okm à l’heure f - o,5
  - R P ? — ^
  - 20m 0,5.366 28° 13'
  - 25 o,4o33 21058'
  - 3o 0,3019 1604S'
  - 35 0,2201 I2°25'
  - 4o o,i539 8°45'
  - 45 0,0986 50.38'
  - 5o o,o5i5 a»58'
  - 55 0,0084 0°29'
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- - CALCUL DE LA PENTE AU VIRAGE
  - 135
  - Dans le cas de f — o,5, en supposant la vitesse maxima de 60 kilomètres à l’heure, pour un rayon supérieur à 55 mètres, le sol devrait être horizontal.
  - En voyant les différences énormes entre les
  - 4/
  - pentes, suivant qu’on suppose la vitesse maxima V égale à 45 kilomètres ou à Go kilomètres à l’heure, ouest amené d’abord à cette conclusion qu’il sera bon de faire deux espèces de pistes dans les cas où on ne pourra pas faire une bonne piste, pouvant servir pour toutes les vitesses.
  - Les pistes pour courses de fond, où on pourra prendre V = 45 kilomètres, ou même égal à 4-0 kilomètres, qui seront relativement peu relevées, et les pistes pour les courses de vitesse pour lesquelles on prendra V = 60 kilomètres et qui seront très relevées. Cette distinction s’impose, d’ailleurs, pour une autre raison : comme nous le verrons à l’instant, lorsqu’une piste est trop relevée, on ne peut pas la parcourir lentement.
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- - 136
  - CALCUL DE LA PENTE AU VIRAGE
  - Or, dans une course de fond, il faut pouvoir aller lentement, ce qui souvent ne serait pas possible sur une piste faite pour les grandes vitesses.
  - Si on compare, maintenant, les tableaux où f — o,3 à ceux où f — o,5, on verra, à cause de l’abaissement de la pente qui est très notable, quelle importance il y aura à ce que le sol de la piste soit bien adhérent à la roue. Sur une piste couverte où le coefficient f ne varie pas, on pourra donc relever beaucoup moins les virages que dans une piste découverte qui est sujette à être mouillée.
  - Revenons, maintenant, un peu sur nos pas. La pente p, donnée par la formule ( 1 ), est calculée de façon qu’on puisse faire le virage à la vitesse V. Or, nous savons (Chap. II, p. 6o)que si la pente p est plus faible que le coefficient f, il n’y a pas de limite inférieure pour la vitesse et, par suite, on pourra faire le virage aussi lentement qu’on voudra. Mais si p est plus grand que f, il y a une limite inférieure et on ne peut pas faire le virage avec une vitesse inférieure à
  - Or, pour qu’unepisle soit tout à fait bonne, il faut qu’on puisse la parcourir à toute allure, il faut donc qu’elle n’ait pas de pente supérieure
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- - CALCUL DE LA PENTE AU VIRAGE
  - 137
  - au coefficient de frottement et que p fourni par la formule (1) soit plus petit que f, ce qui donne
  - d’où
  - (3)
  - M
  - %
  - <f
  - R
  - V2 - g
  - Donc, dans une bonne piste, le rayon de courbure d’un virage ne devra jamais être infé-
  - . V2 i — f
  - rieur a — —~~.
  - . 9 2/
  - Ainsi, pour une bonne piste de vitesse, où V = 6o kilomètres à l’heure, f = o,3, le rayon minimun sera 42m,g5 ; pour f = o,5, il ne serait plus que de 2i’",25. Pour une piste de fond, où V = 45 kilomètres à l’heure, le rayon minimum serait beaucoup plus faible ; ainsi pour f = o,3, le rayon minimum serait 24™, 18 et, pour f = o,5, il serait de 1 im,97-
  - 11 arrive souvent, qu’à cause de l’exiguïté du terrain dont on dispose, on ne peut pas faire les virages larges. Dans de telles conditions, il faut choisir et faire : ou une piste de fond à virages peu relevés sur laquelle on pourra aller lentement mais qu’on ne pourra pas parcourir en grande vitesse; ou une piste de vitesse à virages très relevés, mais qu’on ne pourra pas parcourir
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- - 138
  - CALCUL DE LA PENTE AU VIRAGE
  - lentement. Dans ce dernier cas, il y aura des virages qu’on ne pourra faire qu’avec une vitesse supérieure à une vitesse minima. Ainsi, dans une piste de vitesse (V = i6m,6G /= o,3) qui aurait un virage de 20 mètres, ce virage devrait avoir une pente de 0,78, d’après notre tableau, et on ne pourrait pas faire ce virage avec une vitesse inférieure à 8m,75 par seconde, ou à 3i kilomètres à l’heure environ. Ce qui serait la condamnation de celte valeur du rayon. D’ailleurs, en prenant V = i2m,5o, c’est-à-dire en prenant la vitesse maxima de 45 kilomètres à l’heure, et f = o,3, on tombe aussitôt à la vitesse minima de 1m,75, à la seconde, soit environ 6 kilomètres à l’heure; la pente du virage ne serait que o,4o.
  - Nous n’avons donné les tableaux et les nombres qui précèdent que pour fournir des exemples et pour qu’on puisse se rendre compte des variations de la pente dans les diverses hypothèses. 11 est clair que, dans une application pratique, il faudra reprendre tous ces calculs en appliquant les formules (2). Dans ces formules, on prendra pour Y, la vitesse maxima qu’on jugera convenable et pour f, le coefficient de frottement d’un cycle sur le sol dont est formée la piste. La grande difficulté qui se présente ici c’est de connaître le coefficient /. Pour une piste couverte, f sera sensiblement constant et assez grand. Mais
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- - COEFFICIENT DE FROTTEMENT LATERAL 139
  - dans une piste en plein air, /'sera variable avec le temps et, les jours de pluie, f sera notablement diminué. Nous allons montrer quels moyens on pourrait employer pour mesurer f. Pour les pistes couvertes, on mesurera f sur un terrain sec\ pour les pistes en plein air, il faudra mesurer f sur un sol humide, c’est-à-dire dans les conditions où il est le plus faible.
  - Mesure du coefficient de frottement de glissement latéral. — Lorqu’on aura choisi un sol de piste, pour mesurer le coefficient f de frottement, on construira une aire plane horizontale, d’essai, avec la matière qu’on voudraem-ployer, on tracera sur cette aire un cercle, dont le rayon p sera, par suite, connu. Un cycliste montant une machine munie d’un indicateur de vitesse décrira le cercle avec une vitesse croissante jusqu’à ce que l'équilibre soit rompu. Soit alors v, la vitesse du cycle au moment où l’équilibre est rompu, p sera le rayon minimum qu’on peut décrire à la vitesse v et on aura, par suite, la relation
  - d’où on tirera
  - ' 9f
  - Pour que l’expérience ne soit pas dangereuse, le cavalier devra monter une machine basse, de façon à pouvoir mettre rapidement pied à terre,
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- - 140 COEFFICIENT DE FROTTEMENT LATERAL
  - et on devra, en outre, choisir p assez petit pour que la vitesse v ne soit pas trop considérable.
  - L’expérience que nous venons de décrire est difficile à faire et on pourrait se demander s’il ne serait pas possible de déterminer le coefficient f d’une façon statique. On pourrait,en effet, faire des expériences analogues à celles de Coulomb pour mesurer le frottement du caoutchouc, qui sert pour les bandages sur le sol, mais le nombre ainsi trouvé pour f serait, probablement, loin d’être exact car, d’une part, on ne serait pas placé dans les conditions de la réalité et, d’autre part le coefficient f qui figure dans nos formules n’est pas, à proprement parler, le coefficient de frottement des roues, mais le coefficient de la machine : c’est l'inverse de la tangente de l'angle minimum que le plan moyen peut faire, avec le sol, lorsque la machine est en mouvement. Une expérience statique pour mesurer cet angle donnerait probablement une valeur trop forte pour f.
  - Si on a déjà construit une piste avec le sol qu’on veut employer, l’expérience journalière de cette première piste pourra servir utilement pour connaître f.
  - On a déjà fait un très grand nombre de pistes et on est arrivé, par tâtonnements, à trouver des règles empiriques pour déterminer la pente du sol au virage. Dès qu’on connaît une piste dont
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- - COEFFICIENT DE FROTTEMENT LATERAL 141
  - les relevages sont bons, il suffit d’en faire de semblables.
  - M. Forestier, le distingué conservateur du bois de Boulogne, l’auteur d’un très grand nombre de vélodromes jugés excellents, entre autres la piste municipale du bois de Vincennes et celle du parc des Princes, à Boulogne, a bien voulu me donner le renseignement suivant : D’après lui, dans une piste en ciment pour grandes réunions, c’est-à-dire, dans une piste de vitesse destinée aux plus fins coureurs, pour un rayon de 36 mètres, la piste doit être relevée de à 43 °/0. Puisqu’il s’agit d’une piste de vitesse, il faut prendre la vitesse maxima de 60 kilomètres à l’heure ; si on se reporte alors au premier tableau de pente que nous avons calculé (p. i33), on voit que ces chiffres sont atteints lorsque f est compris entre o,3 et 0,27.
  - Il faut donc en conclure, que sur une piste découverte en ciment, on devra prendre
  - de f — o,3 à f— 0,27.
  - C’est d’ailleurs la conclusion à laquelle j’étais déjà parvenu autrefois en raisonnant sur les données d’une piste ancienne construite à Courbevoie et en admettant la vitesse maxima de 45 kilomètres à l’heure, qui n’était pas dépassée alors.
  - Je considérerai donc dorénavant le nombre 0,27
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- - 142
  - LIGNE DE FOI
  - comme la valeur à adopter pour fet mes calculs seront basés sur cette valeur.
  - Détermination de la ligne de foi. — La ligne de foi d’une piste qui est la ligne suivant laquelle on compte la longueur de la piste, est celle qui est suivie par les coureurs qui serrent la corde de près. Pour que le coureur ne fasse pas de travail inutile en montées et descentes, cette ligne devra être une courbe fermée horizontale.
  - Si on disposait d’un terrain assez vaste pour pouvoir donner à cette ligne des courbures très petites, il suffirait de prendre pour la ligne de foi une ligne telle qu’en un point quelconque le V3
  - rayon de courbure soit supérieur à et, alors,
  - on pourrait prendre le sol horizontal. Dans la réalité, on ne dispose que de terrains limités et, alors, la courbure des virages de la ligne de foi ne peut pas être assez petite pour remplir les conditions précédentes. On est donc forcé de relever les virages.
  - Dans toutes les pistes qu’on construisait autrefois, la ligne de foi (Ie plan de la piste si on veut) se composait de deux lignes droites AB et CD (fg. 3o) raccordées par deux arcs de cercle BEC et DFA. Cette disposition est éminemment défectueuse et présente les plus graves inconvénients, voici pourquoi : D’aprèsnoscalculs,nous
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- - LIGNE DE FOI
  - 143
  - avons montré que, pour un rayon donné, un virage doit être relevé de façon à avoir une pente déterminée donnée par la formule (1) {Calcul de la pente). 11 en résulte que tout le long du virage BEC le sol devra être relevé d’un certain angle. Au contraire,dans les lignes droites AB et CD, le sol doit être horizontal. Donc, au point exact où la ligne droite cesse et où le cercle commence, le sol devra brusquement cesser d’être horizontal pour devenir incliné. Pratiquement, ceci n’est pas possible car il faudrait qu’aux lignes AA', BIP, CC7, DD7 il y ait de véritables tranchées, des coupures brusques de terrain. Pour lever cette difficulté les architectes des pistes, au lieu de faire ce qui était raisonnable, à savoir de modifier la courbure de la piste aux points de raccordement de façon que la pente puisse monter graduellement, avaient imaginé une sorte de compromis des plus fâcheux. Au passage de la ligne droite au cercle, ils avaient relevé la ligne droite et avaient un peu moins relevé le cercle qu’il ne le fallait, de façon à faire une piste ayant une ligne droite relevée et non horizontale, tandis que les virages n’étaient pas assez relevés au début.
  - On ne tarda pas à s’apercevoir des graves inconvénients de cette disposition fâcheuse et toutes les pistes que l’on construit actuellement sont
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- - 144
  - LIGNE DE FOI
  - établies, dans leur grandes lignes, à peu près comme nous allons l’indiquer (*).
  - Pour lever la difficulté que nous venons de signaler, d’une façon rationnelle, il faudra que la ligne de foi, au début du virage, ait un rayon de courbure trèsgrand, assez grandpourquece rayon V(i) 2
  - soit égal ou supérieur à —y .c’est-à-dire au rayon limite. Pour ce rayon, la pente correspondante est nulle.
  - La courbure de la ligue de foi devra ensuite aller en croissant et la pente correspondante augmentera alors graduellement. On pourra, à volonté, prendre deux dispositions ; ou bien prendre une courbe dont le rayon de courbure aille constamment en décroissant de B jusqu’au point E (fig. 3o), extrémité du grand axe de la piste, pour reprendre ensuite les mêmes valeurs, en sens inverse, de E en C ; ou bien, ne faire croître la courbure quejusqu’en un certain point pour continuer ensuite le virage par un arc de cercle de même courbure. Un virage elliptique, comme celui de la piste de Lille, dans lequel l’arc BEC serait une demi-ellipse ayant pour petit axe BC
  - (i) Je crois avoir été le premier à signaler la défectuosité des pistes à virages circulaires et à avoir indiqué comment il fallait s’y prendre pour construire une
  - piste convenable. — Voir à ce sujet ma lettre au journal le Cycle, du i3 janvier 1894, intitulée « Virages ».
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- - VIRAGE SEMI-CIRCULAIRE
  - 145
  - pourrait remplir les conditions du premier cas, pourvu que le rayon de courbure en B soit supé-V2 n
  - rieur au rayon limite .Ce qui, à notre avis, est
  - le meilleur, et d’ailleurs, c’est ce que l’on fait le plus généralement maintenant, c'est d’adopter le second mode. Le virage se compose alors d’une courbe de raccordement de la droite au cercle suivie d’un arc de cercle. C’est ce que nous appellerons le virage semi-circulaire.Le choix de l’arc de raccordement peut être lait d’une infinité de manières,car il suffit que cet arc soit tel que son rayon de courbure soit d’abord infiniment grand et aille, ensuite, en décroissant. Ainsi, par exemple, dans la construction de la piste municipale du bois de Vincennes, M. Forestier a pris pour courbe de raccordement une parabole cubique qui répond à ces conditions; mais, parmi toutes celles qu’on pourrait choisir, celle qui paraît la plus rationnelle est précisément celle que la machine décrit naturellement lorsqu'on fait un virage sur un sol horizontal. Cette courbe que nous avons nommée courbe de Cornu a des équations assez compliquées, mais, comme ijous le montrerons, elle donnera lieu à des calculs de détermination très simples.
  - Ligne de fol d’un virage semi-circulaire. — D’après ce que nous avons vu dans le Chap. II {direction dans un virage), la courbe décrite
  - Boublet — Nouveau traité des Bicycles et Bicyclettes 10
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- - 146
  - VIRAGE SEMI-CIRCULAIRE
  - par un cycle dans un virage ou courbe de Cornu, a pour équations
  - / ce = k Js,
  - [ y = k J=,
  - 1 s = kz,
  - (4)
  - K ==-. - ,
  - en posant, pour abréger
  - où /c désigne une constante numérique; x et y, les coordonnées d’un point de la courbe rapportée à deux axes rectangulaires Oa; et Oy (fig. 3i), Fig 3] exprimées en fonc-
  - tion d’un paramètre z. Quand on donne à z des valeurs crois-santés de o à i le point M de la courbe, de coordonnées æ, y, décrit un arc OA d’abord tangent en O à Ox et tel qu’en À la tangente soit parallèle à Oy.C’est une portion de cet arc courbe,
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- - Virage semi-circulaire
  - 147
  - â partir de 0, que nous prendrons comme arc de raccordement dans un virage semi-circulaire. Dans les formules (4), s désigne l’arc OM complé à partir de 0 ; R, le rayon de courbure au point M et a, l’angle de la tangente MT avec l’axe 0,r, Les intégrales J- et J,, qui sont les intégrales de Fresnel ont été calculées par Fresnel, puis par Gilbert (Mémoires couronnés de VAcadémie des Sciences de Bruxelles, t. XXXI, p. î, i8G3). Voici le tableau de leurs valeurs d’après Gilbert :
  - Tableau à
  - * L- .T-
  - 0 0 0
  - 0,1 °’°999 o,ooo5
  - 0.2 0O999 0,0042
  - 0/5 0,2994 0,014 r
  - 0,4 0,8970 0,0884
  - 0,5 0,4928 0,0(547
  - o,(i o,58 u o,iio5
  - 0,7 0,0597 0,1721
  - o,8 0,7280 0,2498
  - o,9 0,7848 0,3898
  - 1,0 o,7799 o,4388
  - Avec ce tableau, on fera aisément tous les calculs nécessaires à la détermination de la courbe de Cornu.
  - Nous donnons, dans la fig. 32, le résultat de cette détermination pour un arc OA de courbe d’une longueur de îoo mètres.
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- - 148
  - VIRAGE SEMI-CIRCULAIRE
  - Dans le virage semi-circulaire, la ligne de foi
  - »
  - tn
  - G
  - se compose d’une portion de courbe de Cornu continuée par un cercle.
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- - VIRAGE SEMI-CIRCULAIRE
  - 149
  - Soit OB {fig. 33), l’arc de courbe de Cornu qui commence le virage et supposons que le point B soit le point de la courbe de Cornu qui correspond à la valeur zt du paramètre z (voir les formules (4) et (5)). Le rayon de courbure Rt en B est donné par la formule
  - et l’angle a i que fait la tangente en B avec O z est :
  - Au point B, la courbe OB est continuée par le cercle oscillateur, c’est-à-dire par le cercle tangent en B et ayant même rayon de courbure (et, par suite, même cen- Fi?. 33
  - tre de courbure tu) que la courbe en B.
  - Pour construire graphiquement le centre tu de ce cercle on porte, sur la normale en B, une longueur Btu égale à R,. On aura la moitié du virage en arrêtant le cercle au point A où la tangente AC est parallèle à O y. Il est facile, alors, de calculer tous les éléments du virage.
  - L’angle AtuB est le complément de l’angle oq et, par suite, est égal à^(i —,sqa) ; la longueur
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- - <50
  - VIRAGE SEMI-CIRCULAIRE
  - de l’arc de cercle AB est donc
  - arc AB = R, ~ (1 — zf) =
  - La longueur totale du demi-virage est donc la somme des deux arcs OB et AB et, par suite, égale à
  - Pour déterminer la position du point w, on peut calculer les longueurs B H et wlî (fig. 33) et on a :
  - La distance du point A à l’axe Ox est alors
  - [^ï; cos 6 z't) + T=.]-
  - AG = Bit + ?/! — k
  - ?/i désignant l’ordonnée du point B* Là largeur de la pelouse, c’est-à-dire la distance des deux lignes droites est le double de AC. En résumé, on a le tableau de formules suivant :
  - Angle de la tangente en B avec Oæ :
  - a‘ = 5
  - Longueur de l'arc de courbe :
  - ÜB = ksx
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- - VIRAGE SEMI-CIRCULAIRE
  - 151
  - Longueur de Varc du cercle BA : l = k
  - Longueur totale du virage :
  - L = k LlLIiI .
  - Zi
  - Rayon du cercle B A :
  - h
  - Rt :
  - k
  - BII = cos zd coII = — sin (- z*''
  - Distance des deux lignes droites :
  - d= 2k [ïïT cos {îz'') + J=,] •
  - Dans ces formules, il reste quelque chose d’indéterminé, c’est le choix de qui reste au gré du constructeur.^! une fois déterminé, on choisira k de façon que le virage remplisse les conditions désirées, par exemple, de façon que le virage ait une longueur donnée ou de façon que la pelouse ait une largeur donnée. En général, on ne dispose que d’un terrain limité et la largeur de la pelouse, c’est-à-dire la distance d drs deux lignes droites est déterminée. On devra évidemment choisir de façon que le virage soit le plus largè possible,
- p.151 - vue 151/212
- - 152
  - VIRAGE ELLIPTIQUE
  - c’est-à-dire de façon que Rj soit le plus grand possible. Il est facile de voir que, pour une valeur donnée de d, Rj décroît quand zx croît. On est donc amené à cette conclusion qu’il faut prendre pour zl la plus petite valeur possible. Mais, d’autre part, pour que la piste soit douce il faut que le passage du sol horizontal au sol incliné ne se fasse pas trop brusquement, il faudra donc prendre pour zi une valeur petite, mais telle que la longueur de Y arc de raccordement OB soit assez grande pour que le relèvement se fasse doucement. Il nous semble qu’il faudra prendre pour zl des valeurs comprises en Ire o,5 et 0,7. Plus la largeur de pelouse dont on dispose sera grande, plus on pourra prendre pour .s-1 des valeurs petites.
  - On trouvera, à la fin du volume, des tableaux numériques fournissant tous les éléments nécessaires à la détermination pratique de la ligne de
  - foi.
  - Ligne de foi d’un virage elliptique ou parabolique.— Un virage elliptique se compose d’une demi-ellipse BAB' {fig. 34) dont le grand axe coïncide, en direction,avec le grand axe de la piste et dont les sommets B et B' du petit axe sont les points de raccord avec les lignes droites CB etC'B'. Le calcul des dimensions de l’ellipse
  - Fig. 34
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- - VIRAGE ELLIPTIQUE
  - 153
  - est facile. En effet, d’abord la dislance BB' qui est la distance d des deux lignes droites est connue. On connaît donc le petit axe ib de l’ellipse qui est égal à d. Le grand axe 2a sera déterminé par la condition qu’au point B le rayon de courbure de l’ellipse doit être égal au rayon mini-V2
  - mum qu’on peut décrire à la'vitesse maxima
  - V, sur sol horizontal, de façon que la pente en B
  - «2
  - soit nulle. Or, le rayon de courbure en B est on doit donc avoir
  - _ Y!
  - b ~~ 9 f
  - et, comme :
  - d où
  - 2
  - = 0 Y! 9f
  - on a :
  - (<7 est l’accélération due à la pesanteur et f, le coefficient de frottement de glissement latéral d’un cycle). Pour que la piste soit bonne, il faudra que la valeur du rayon de courbure en A qui est — ne soit pas inférieure au rayon minimum que doit avoir un bon virage. Ce rayon minimum
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- - 154
  - ce qui donne
  - VIRAGE ELLIPTIQUE
  - d z {\ — /sy.
  - Sur un terrain pour lequel d serait inférieur à cette limite on ne pourrait pas construire une bonne piste à virage elliptique. 11 faudrait, alors, comme nous l’avons expliqué, opter entre la piste pour vitesse ou la piste pour fond.
  - Par exemple, si on prend d — 70 mètres, V — 60 Kilomètres à l’heure (V = i3m,88 à la seconde) et f = o,3, 011 trouve :
  - b — 35 mètres, a = 47II\89*
  - Lé rayon de courbure au point A serait alors b2
  - - = 25,n,58, a
  - ce qui exigerait, dans les hypothèses faites, une pente de 0,62 au point A. Or, des tableaux numériques donnés plus loin (p. 170 a 175), il est facile de conclure que, pour une largeur de pelouse de 70 mètres, le virage semi-circulaire à raccord de Cornu fournit dans la partie circulaire un rayon minimum de 33 mèlres environ, ce qui ne donne qu’une penle de o,44 (d’après le tableau de la p. 133) ; on voit, par cet exemple, que le virage semi-circulaire a une grande supériorité sur le virage elliptique puisqu’il fournit un virage plus large, moins relevé et qui, cependant, comme on pourrait le vérifier, est moins long.
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- - VIRAGE PARABOLIQUE 155
  - Je ne dirai que quelques mots sur le virage parabolique.
  - Un virage parabolique se compose d’une portion d’arc de parabole BAB' [fig. 35) dont l’axe AA'coïncide, en direction, avec l’axe de la piste. Comme, dans une parabole, il n’y a aucun point où la tangente est parallèle à l’axe, les lignes droites en B et B' ne se raccordent pas avec la parabole. II y a, alors, une cassure légère dans la tracé de ligne de en B et B'. Ainsi, la tangen te BT, en B, à la parabole ne se trouve pas dans le prolongement exact de la ligne droite BC mais fait avec elle un angle très petit. Pratiquement, on peut s’arranger de façon que cet angle soit assez petit pour que cela ne gêne pas. D’ailleurs,si on tient Fig. 35
  - absolument à ce que le raccord soit exact, on peut légèrement retoucher la parabole en B, mais, alors, cela revient à prendre un virage elliptique; ou bien incurver légèrement les lignes droites et les remplacer par des arcs de-cercle dè très grand rayon. Une discussion plus approfondie de ce virage nous amènerait à la
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- - 156
  - COUPE D UNE PISTE
  - conclusion qu’il donne des résultats analogues, plutôt moins bons que le virage elliptique; comme celui-ci est inférieur au virage semi-circulaire, il en est, à fortiori, de môme pour le virage parabolique. Le virage semi-circulaire reste donc, à notre avis, le meilleur virage.
  - Coupe d’une piste. —Dans la ligne droite, la pente d’une piste doit être nulle. Donc, dans les lignes droites et aux points du virage où le rayon de courbure est supérieur au rayon mi-V2
  - minum —j, le sol de la piste sera un plan horizontal. En un point du virage où le rayon de V2
  - courbure est plus pelitque , la piste doit avoir une pente p dont la valeur est déterminée en fonction du rayon de courbure de la ligne de foi par la formule (1) que nous avons donnée plus haut (p. 132) :
  - (0
  - %
  - -f
  - %
  - Ceci veut dire qu’en un point de la piste où le rayon de courbure est R, suivant la ligne de niveau, le plan tangent doit avoir pour pente la valeur p donnée par la formule (1).
  - Examinons, d’abord, la partie circulaire. Cette partie circulaire est une surface de révolution autour d’un axe vertical qui passe par le centre
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- - courE d’une piste
  - 157
  - de l’arc circulaire de la ligne de foi. Le plan méridien qui passe par un point de la ligne de foi coupe le plan tangent, en un point de la surface de la piste, précisément suivant la ligne de plus grande pente. La coupe de la piste est donc une courbe telle qu’en chaque point sa pente p soit donnée par la relation (1).
  - Prenons pour plan de la figure (/ïg. 36) le plan delà coupe; soient BC, la courbe de section;
  - Fig. 36
  - y, l’axe de révolution de la surface ; ox, une horizontale, x et y étant les coordonnées d’un point M de l’arc BC, la pente de la tangente MT par rapport à ox est
  - Le rayon de courbure de la ligne de niveau qui passe en M (ligne de niveau qui ici est un cercle), est la distance a?deM à l’axe on a donc :
  - yi-r
  - dy__xq
  - ' xg
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- - 158
  - COUl’E d'une piste
  - V2
  - Posons : — = a et il vient :
  - 9
  - dij a — fr dx a) H- x
  - Cette équation est l’équation différentielle de l’arc BC. En intégrant, on a : ..
  - y -— <z ^ 1 —\ L \®t ~— fx -4- C,
  - le symbole L désignant un logarithme népérien etC étant une constante d’intégration qui sera déterminée dès qu’on se donnera le rayon de courbure OA de la ligne de foi en A.
  - Pratiquement, pour déterminer la coupe, il suffit de connaître les accroissements successifs de v pour des accroissements donnés de x. Par exemple, supposons qu’en passant {fig. 36) du point M au point M' l’abscisse (et par suite le rayon de courbure) croisse de î mètre l’ordonnée y croîtra d’une certaine quantité
  - A y = QM'
  - et il suffit de connaître A// pour pouvoir fixer
  - Or, pour un accroissement de î mètre, pour x, on a :
  - Ay = a (i -t- P) L [i 4- -/•
  - Cette relation nous permet de calculer les
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- - COUPE d’une piste
  - 159
  - valeurs de A y pour des valeurs successives de x de 1 mètre en 1 mètre. Nous avons dressé, plus loin (p. 176 et 177) des tableaux donnant ces valeurs. Avec ces tableaux, il sera facile de construire la coupe de la piste en un point A de la ligne de foi. Soit, en effet (fig. 37), AC, cette
  - Fig. 37
  - coupe. Si, par exemple, en A, le rayon de la ligne de foi est de 35 mètres, et que l’on veut donner à la piste une largeur de 8 mètres, on porte en Aw une longueur égale à 8 mètres, qu’on divise en huit parties. On construit, alors, les huits points M,, M2, ....M7, C, correspon-
  - dants. Ces huit points seront faciles à construire connaissant les valeurs successives de A y. Notre tableau nous donne, en effet, les valeurs de
  - MjQj, M2Q2, .... CQS, puisqu’il nous donne les
  - valeurs de A y lorsque l’on passe de 35 à 36 mètres, de 36 à 37 mètres, etc.
  - Dans la partie non circulaire, la surface n’est plus de révolution et les raisonnements précé-
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- - 160
  - CALCULS PRATIQUES
  - dents ne sont plus strictement applicables. On peut cependant, avec une approximation, bien suffisante pour la pratique, prendre en chaque point la même coupe, par le plan normal à la ligne de foi, que si la surface était de révolution, le rayon au point A de la ligne de foi étant le rayon de courbure de cette ligne en ce point.
  - Calculs pratiques. — Toutes les considérations qui précèdent nous conduisent, finalement, à proposer la méthode suivante pour la construction d’une piste ou, du moins, pour l’établissement de l’épure de la surface de la piste.
  - Le problème se pose, pratiquement, de la taçon suivante : on dispose d’un terrain à peu près rectangulaire et on veut, sur ce terrain, construire une piste. La largeur de la pelouse est donc déterminée d’avance. C’est la donnée principale du problème.
  - L’exécution de l’épure du virage se compose alors de deux parties : i° le tracé de la ligne de foi ; 2° les tracés des coupes par des plans verticaux normaux à la ligne de foi en divers points.
  - i° Tracé de la ligne de foi. — La ligne de foi (fig. 3o) se compose de deux lignes droites AB et CD raccordées par deux arcs BEC et DFA qu’on appelle les virages. Les deux virages sont identiques et la piste tqut entière est symétrique par rapport à la droite EF. Ce qu’il importe donc de faire avec soin, c’est l’épure
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- - CALCULS PRATIQUES
  - 161
  - d’un demi-virage BE. Ce demi-virage se compose, comme nous l’avons vu, d’un arc de raccordement de la ligne droite au cercle, suivi d’un arc de cercle. La longueur de l’arc de raccordement doit dépendre de la largeur de la pelouse. Plus la pelouse est étroite plus l’arc devra être relativement long pour que la montée de la pente se fasse graduellement.
  - Nous proposons trois types de virages qu’il sera bon d’employer de la façon suivante :
  - S’il s’agit de construire une piste de vitesse, c’est-à-dire une piste où l’on suppose la vitesse maxima V de 60 kilomètres à l’heure, on prendra :
  - Le type I (p. 170) pour les pistes ayant une largeur de pelouse de 80 mètres et au-dessus ;
  - Le type II (p. 172) pour les pistes ayant une largeur de 60 à 80 mètres ;
  - Le type III (p. 174) pour les pistes ayant une largeur de moins de 60 mètres.
  - S’il s’agit de construire une jnste de fond, c’est-à-dire une piste sur laquelle on ne dépassera pas 4o ou 45 kilomètres à l’heure, on prendra :
  - Le type I pour les pistes ayant une largeur de pelouse de 70 mètres et au-dessus;
  - Le type II pour les pistes de 5o à 70 mètres de largeur ;
  - Le type III pour les pistes ayant moins de 5o mètres de largeur.
  - Boublkt — Nouveau traité des Bicycles et Bicyclettes 11
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- - 162
  - CALCULS PRATIQUES
  - Voici maintenant comment on se servira des données pratiques qui suivent : Les fig. 3g, 4o et 4i (p* 170 & 176) sont les épures des demi-virages des trois types I, Il et III. À côté de chaque figure se trouve un tableau numérique. Ce tableau contient tous les nombres nécessaires au calcul des éléments du demi-virage.
  - On multipliera tous les nombres de l'un de ces tableaux par la largeur que Von veut donner à la pelouse ; excepté les nombres de la colonne a.
  - Le demi-virage se compose de l’arc de raccordement OB (voir les fig. 3q, 4o> 41) et do l’arc de cercle BA. Chaque arc de raccordement est partagé en 5,6 ou 7 parties de même longueur par des points intermédiaires M1; Ma, M3, etc. Les nombres des colonnes x et y, multipliés par la largeur de la pelouse, donnent les coordonnées des points O, M1? ... B, A, w.
  - La colonne a donne, pour chaque point, l’angle de la tangente à la courbe avec o.x. Enfin, les nombres de la colonne R, multipliés par la largeur de la pelouse, donnent les valeurs des rayons de courbure en chaque point.
  - On pourra donc, ainsi, suivant le type adopté, reproduire l’une des épures 39, 4o ou 4i en construisant exactement, à l’échelle, les divers points, les tangentes en ces points et les cercles de courbure.
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- - CALCULS PRATIQUES
  - 163
  - Remarquons tout de suite que, pour la détermination exacte de la surface de la piste au moyen des coupes verticales, il pourra être nécessaire de connaître les rayons de courbure en d’autres points que ceux qui figurent dans nos épures. Grâce au choix de la courbe de raccordement ce calcul sera facile.
  - Soient, par exemple, Mj et M2, deux points consécutifs de l’arc OB ; Rj et R., les rayons de courbure correspondants. Le rayon de courbure R au point milieu de l’arc MtM.2 est donné par la formule :
  - Nos tableaux contiennent, en outre : la longueur commune des arcs OMt, MjM2, etc... ; la longueur de l’arc de cercle AB et la longueur totale du virage entier. Ceci sera utile pour savoir quelle est la longueur commune qu’il faudra donner aux lignes droites pour que le tour de piste ait une longueur donnée à l’avance.
  - Pour rendre ces explications encore plus tangibles, prenons un exemple.
  - Supposons qu’il s’agisse d’établir une piste dont la largeur de pelouse est de 70 mètres. On adoptera le type II (fig. 4o). On multiplie tous les nombres du tableau II par 70.,
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- - 164
  - CALCULS PRATIQUES
  - Ainsi, les coordonnées de
  - B sont x == 36m,42i y = Gm,923,
  - A n x = 5im,856 y = 35m,
  - Ü) îj x — i8m,Go6 y — 35“;
  - le rayon de la partie circulaire est : 33nVi5o ; la longueur totale du virage entier est : l42m,072.
  - Si l’on veut faire une piste de 5oo mètres de tour, la longueur de chacune des lignes droites devra être de :
  - 9.5om - l42m,072 = 107m,928.
  - Il faut, d’ailleurs, remarquer, qu’en fait, les lignes droites paraîtront être plus longues ; car la courbe de raccordement OB ayant, d’abord, une courbure très faible, le sol sera horizontal et la ligne de foi presque rectiligne au début du virage.
  - 2° Tracés des coupes verticales. — L’épure de la ligne de foi exécutée, il reste, pour établir la forme géométrique de la piste, à tracer des coupes par des plans verticaux normaux à la ligne de foi.
  - Dans les lignes droites, la surface de la piste doit être, théoriquement, plane et horizontale. Pratiquement, on ne la fait pas tout à fait horizontale, maison lui donne une légère pente (envi-
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- - CALCULS PRATIQUES
  - 165
  - ron o,oo5) vers l’intérieur de la pelouse pour faciliter l’écoulement des eaux.
  - Le virage se compose de deux parties. L’arc de raccordement OB et l’arc de cercle BA. Suivant l’arc OB la coupe varie d’un point à un autre ; le long de l’arc de cercle BA la coupe est toujours la même.
  - Il y a deux cas à distinguer suivant que l’on veut construire une piste de vitesse, destinée à d’importantes réunions, ou une piste de fond sur laquelle on ne dépasse pas la vitesse de 45 kilomètres à l’heure. Nous avons dressé deux tableaux A et B (p. 176 et 177) relatifs à ces deux cas (’). Ces tableaux donnent les accroissements d’ordonnées correspondants à des accroissements du rayon de courbure de 1 mètre.
  - (') Le tableau A a été dressé en prenant :
  - V = i6m,66 (à la seconde), f — 0,27 ce qui a donné la formule :
  - Le tableau B a été établi en prenant :
  - V = i2m,5o (à la seconde), f= 0,27 ce qui a fourni la formule :
  - — Dans ces deux formules, le signe log. indique des logarithmes vulgaires et x, le rayon R.
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- - 166 CALCULS PRATIQUES
  - Voici comment on se servira de ces tableaux :
  - Supposons qu’on veuille construire une piste de vitesse. La ligne de foi étant déterminée, on a trouvé que, par exemple, au point B (fig. 4o), le rayon de la ligne de foi est de 33m,25. Construisons la coupe en B suivant le plan vertical BB'(/?^.4o,p. 172). Soit MM'(fig. 38), l’horizontale et Bô'.la coupe. Supposons que la piste ait 8 mètres de largeur. Nous porterons une largeur B B' = 8 mètres. Nous marquerons sur BB'les points où le rayon de courbure a des valeurs entières. Ainsi, le rayon en B est de 33,n,25 ; nous prendrons BPi = om,75 de façon qu’en plt sur la piste le rayon sera 34; puis, P1P2 = P2PS = ... P7P8= im. En p2, p3, ... p3, les rayons seront 35, 36,... 4*«
  - Reportons-nous au tableau A (p. 176). Nous y lisons que, quand le rayon varie de 33 mètres à 34 mètres, l’ordonnée croît de om,463. De33m,a5 à 34 mètres, l’ordonnée ne croîtra, approximativement, que de
  - o,463 X 0,75 = om,33() ;
  - nous porterons donc, sur la verticale By, une longueur BQ, égale à om,33<j. Nous aurons ainsi le premier point pt. De 34 à 35, l’ordonnée croît (voir le tableau A) de ora,445- Nous prendrons donc QjQa = om,445 et nous aurons p.r Et ainsi de suite.
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- - CALCULS PRATIQUES
  - 167
  - OJ
  - c:
  - O
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- - 168
  - CALCULS PRATIQUES
  - Le tableau A donne (fig. 38) ;
  - QaQ3 = u»4‘^9>
  - Q3Q4. = «>4i3,
  - Q*Qb = 0,398,
  - Qr,Q6 = 0,384,
  - Q6Qt = 0,370,
  - U7Q8 = 0,357.
  - En fi n, ce tableau nous montre que de 41 tl 4'1 l’ordonnée croît de o,344î de p& en b', le rayon ne varie que de 4i à 41,25, donc l’ordonnée ne croît que de
  - o,344 X 0,2a = om,o86.
  - Nous prendrons donc, finalement,
  - Q8D = oM,o8G.
  - Tous les points delà coupe sont donc fixés.
  - Enfin, 11’oublions pas que B est sur la ligne de foi.
  - Il faut encore avoir la corde. Pour cela nous prolongerons la coupe é'B d’un arc BC ayant, om,3o de longueur. Le point C ainsi obtenu sera sur la corde. Les diverses positions du point G forment une courbe qui n’est pas plane. La ligne de foi étant plane et horizontale, la corde sera une courbe gauche située un peu au-dessous d’elle.
  - Pour construire une piste de fond 011 se servirait, de la même façon, du tableau B.
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- - CALCULS PRATIQUES
  - 169
  - Terminons par quelques remarques.
  - Dans la piste de vitesse, dans toute la partie du virage où le rayon est inférieur à io3 mètres le sol doit être (théoriquement) plan et horizontal. Pratiquement, on lui donnera une légère pente (o,oo5) vers la pelouse, comme aux lignes droites.
  - Dans la piste de fond, c’est à partir de Go mètres que ceci doit avoir lieu.
  - Au début du virage il pourra y avoir certains points où, le rayon à la corde étant plus petit que le rayon limite io3 mètres (ou Go mètres), le rayon à la barrière soit supérieur à ce rayon limite. Dans ce cas, la coupe ne serait que partiellement courbe et, au point où le rayon est io3 mètres, elle se terminerait par une droite inclinée à o,oo5.
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- - TYPE I
  - 170
  - CALCULS PRATIQUES
  - H
  - •<
  - ÎT-fc
  - O
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- - CALCULS PRATIQUES
  - 171
  - lBr TABLEAU DES ELEMENTS d’üN DEMI-VIRAGE
  - Type I
  - SYMBOLES X y « R
  - 0 0 0 0° cc
  - Mt 0,076.6 o,ooo38 o°6>4' 2,'|38o
  - M.> o,i53i 0,0082 3°36' 1,2190
  - M;( 0,2298 0,0108 8°6' 0,8127
  - M* 0,3044 0,0266 i4°24' 0,6096
  - B 0,3771 0,0496 22°3o’ 0,4876
  - A 0,6781 0,190.6 :: 90° 0/(876
  - Rayon de la partie circulaire = 0,4876 Longueur de l’arc OMt = 0,07609
  - Longueur de l’arc de cercle AB = 0,0744 Longueur totale du virage = 1,9148
  - N. B. — Tous ces nombres, sauf ceux de la colonne a, devront être multipliés par la largeur de la pelouse.
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- - (*} \
  - 172
  - CALCULS PRATIQUES
  - O
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- - CALCULS PRATIQUES
  - 173
  - 2e TABLEAU DES ELEMENTS d’üN DEMI-VIRAGE Type II
  - — X y a R
  - 0 0 0 0° co
  - M, 0,0894 0,00040 o°54' 2,8502
  - M-2 0,1790 0,0037 3°36’ 1,4201
  - M» 0,2681 0,0126 8°6’ o,g5oi
  - M* o,355g 0,0299 i4°24' 0,7125
  - M* 0,4408 0,0579 22°3o' 0,5700
  - B o,52o3 0,0989 32°24' o,475o
  - A 0,7408 o,5 90° o,475o
  - 0,2608 0,5
  - Rayon de la partie circulaire = o,4;5o Longueur de l’arc OMt = o,o8g54
  - Longueur de l’arc de cercle AB = 0,4776 Longueur totale du virage = 2,0296
  - N. B. — Tous ces nombres, sauf ceux de la colonne a, devront être multipliés par la largeur de la pelouse.
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- - Fig. 41 TYPE III
  - CALCULS PRATIQUES
- p.174 - vue 174/212
- - CALCULS PRATIQUES 175
  - 3111e TAIJleàu DES ÉLÉMENTS d’un demi-virage
  - Type III
  - SYMBOLES - y a H
  - 0 0 0 0» CO
  - Mj 0,1002 o,ooo5o o°54' 3,1921
  - m.2 0,3004 0,0042 3°36' r,596o
  - m3 o,3oo2 0,0141 8°6' 1,0640
  - m4 0,3986 o,o334 i4«24' 0,7980
  - m5 0,4987 o,°649 22°3o' o,6384
  - Mo 0,0827 o,rio8 32«>24' o,532o
  - B 0,6616 0,1726 44°6' o,456o
  - A o,8oo3 o,5 9°° 0,4060
  - 0) 0,3443 o,5
  - Rayon de la partie circulaire = o,456o Longueur de l’arc OMi = 0,10028
  - Longueur de l’arc de cerclé AB — o,3653 Longueur totale du virage = 2,i345
  - N. B. — Tous ces nombres, sauf ceux de la colonne «, devront être multipliés par la largeur de la pelouse.
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- - 176
  - CALCULS PRATIQUES
  - coupe d’une PISTE DE VITESSE Tableau A
  - o™,638
  - o, 609
  - o, 563
  - o, o3o
  - o, 009
  - o, 007
  - o, oo5
  - 0, 320
  - Vitesse maxima : 60 kilomètres à l'heure
- p.176 - vue 176/212
- - CALCULS PRATIQUES
  - 177
  - COUPE d’une piste de fond
  - Tableau B
  - o, yfia
  - o, 385
  - o, 088
  - o, 081
  - o, 181
  - o, 008
  - Vitesse maxima : 45 kilomètres à l’heure
  - Bourlkt — Nouveau traité des Bicycles et Bicyclettes 12*
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- - TABLE DES MATIÈRES
  - Pages
  - Préface ........................................... 5
  - INTRODUCTION
  - Définitions de quelques termes..................... 9
  - Multiplication et développement.................... 15
  - CHAPITRE PREMIER Trajectoires des roues.
  - Relations entre les traces des deux roues sur le
  - sol............................................. 19
  - Détermination des trajectoires.................... 24
  - Roue directrice à l’arrière. Marche en arrière . 32
  - Vitesses des roues................................ 37
  - CHAPITRE II
  - L’équilibre et la direction.
  - Conditions analytiques de l’équilibre sur un sol
  - horizontal...................................... 39
  - Rayon minimum. Vitesse maxima...................... 49
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- - 180 TRAITÉ DES BICYCLES ET DES BICYCLETTES
  - Pages
  - Conditions d’équilibre sur un sol quelconque . 52
  - Influence du vent sur les conditions d’équilibre. 64 Rétablissement de l’équilibre au moyen du guidon .............................................. 68
  - Sécurité d’une machine............................ 81
  - Équilibre sur place............................... 83
  - Équilibre sans les mains.......................... 87
  - Direction dans la marche en ligne droite . . . 107
  - Direction dans un virage..........................114
  - CHAPITRE III
  - Construction d'une piste de vélodrome
  - Généralités.......................................128
  - Calcul de la pente du sol aux virages .... 130
  - Mesure du coefficient de frottement de glissement latéral......................................139
  - Détermination de la ligne de foi..................142
  - Ligne de foi d’un virage semi-circulaire . . . 145
  - Ligne de foi d’un virage elliptique ou parabolique . . , .................................... 152
  - Coupe d’une piste.................................156
  - Calculs pratiques.................................160
  - Tableaux numériques et épures.....................170
  - Saint-Amand(Cher). — lmp. DESTENAY, Bussièrk frères.
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  - Par Lucien GESCHWIND, Ingénieur-Chimiste.
  - Un volume grand iu-8,de vm-364 pages,avec 195 figures; 1899 (E.I.). 10 fr.
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  - Par J. DENFER,
  - Architecte, Professeur à l’École Centrale.
  - DEUX VOLUMES GRAND IN-8; 1894 (E. T. P.).
  - Tome I : Généralités sur la fonte, le fer et l’acier. — Résistance de ces matériaux. — Assemblages des éléments métalliques. — Chaînages, linteaux et poitrails. — Planchers en fer. — Supports verticaux. Colonnes en fonte. Poteaux et piliers en fer. — Grand in-8 de 584 pages avec 479 figures; 1894.. 20 fr.
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  - des Gobelins et de Beauvais. | de la Ville de Paris.
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  - RÉSUMÉ DU COURS
  - DE
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  - professé a l’école nationale des ponts et chaussées.
  - Par J. HIRSCH,
  - Inspecteur général honoraire des Ponts et Chaussées,
  - Professeur au Conservatoire des Arts et Métiers.
  - DEUXIÈME ÉDITION.
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  - LE VIN ET L’EAU-DE-VIE DE VIN
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  - Inspecteur général de l’Agriculture.
  - INFLUENCE DES CÉPAGES, DES CLIMATS, DES SOLS, ETC., SUR LA QUALITÉ DU VIN, VINIFICATION, CUVERIE ET CHAIS, LE VIN APRÈS LE DÉCUVAGE, ÉCONOMIE, LÉGISLATION.
  - GRAND IN-8 DE XI1-533 PAGES, AVEC 111 FIGURES ET 28 CARTES DANS LE texte; 1895 (E. I.)................'....... 12 fr.
  - TRAITÉ DE CHIMIE ORGANIQUE APPLIQUÉE
  - Par A. JOANNIS,
  - Professeur à la Faculté des Sciences de Bordeaux,
  - Chargé de cours à la Faculté des Sciences de Paris.
  - DEUX VOLUMES GRAND IN-8 (E. I.).
  - Tome I : Généralités. Carbures. Alcools. Phénols. Éthers. Aldéhydes. Gétones.
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  - MACHINES FRIGORIFIQUES
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  - Par H. LORENZ,
  - Ingénieur, Professeur à l’Université de Halle.
  - TRADUIT DE L’ALLEMAND AVEC L’AUTORISATION DE L’AUTEUR.
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  - Un volume de ix-186 pages, avec 1-31 figures; 1898. 7 fr.
  - P. PETIT,
  - Professeur à la Faculté des Sciences de Nancy,
  - Directeur de l’Ecole de Brasserie.
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  - Par G. LECHALAS, Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées.
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  - Ingr et Profr à l’École des Ponts et Chaussées, Répétiteur à l’Ecole Polytechnique.
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  - A CHALEUR RÉGÉNÉRÉE.
  - DÉTERMINATION DE LEURS DIMENSIONS.
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  - Ingénieur des Arts et Manufactures.
  - Professeur à l’École de Physique et de Chimie industrielles de la Ville de Paris. Un volume grand in-8 de 392 pages, avec G8 figures; 1900 (E. I.). 11 fr.
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  - Membre de l’Académie de médecine, médecin de l’hôpital dos Entants-Malados.
  - J. COMBY A.-B. MARFAN
  - Médecin Abrégé,
  - de l’hôpital dos Enfauts-Malades, Médecin des hôpitaux.
  - 5 vol. grand in-8° avec figures dans le texte. . 90 fr.
  - CHAQUE VOLUME EST VENDU SÉPARÉMENT
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- - MASSON ET Cie, Libraires de l’Académie de Médecine
  - Traité d'Anatomie Humaine
  - PUBLIÉ SOUS LA DIRECTION DE
  - P. POIRIER
  - Professeur agrégé la Faculté de Médecine de Paris Chirurgien des Hôpitaux.
  - A. CHARPY
  - Professeur d’anatomie la Faculté de Médecine de Toulouse.
  - AVEC LA CO I.L A HO R A TI ON DE
  - 0. Amoëdo. — Branca. — B. Cunéo. — P. Fredet. — P. Jacques. Th. Jonnesco. — E. Laguesse. — L. Manouvrier. — A. Nicolas. M. Picou. — A. Prenant. — H. Rieffel. — Ch. Simon. — A. Soulié.
  - 5 volumes grand in-8°. En souscription : 150 fr.
  - Chaque volume est illustré de nombreuses figures, la plupart tirées en plusieurs couleurs d'après les dessins originaux de MM. Ed. Cuver et A. Leuba.
  - ÉTAT DE LA PUBLICATION AU Ier MARS 1900
  - TOME PREMIER
  - ( Volume complet.)
  - Embryologie; Ostéologie; Arthrologie. Deuxième édition. Un volume grand in-8° avec 807 figures eu noir et en couleurs.....20 fr.
  - TOME DEUXIÈME
  - 1er Fascicule : Myologie. Un volume grand in-8° avec 312 figures. 12 fr. 2e Fascicule : Angéiologie (Cœur et Artères). Un volume grand
  - in-8° avec 145 figures en noir et en couleurs...........8 fr.
  - 3e Fascicule : Angéiologie (Capillaires, Veines). Un volume grand
  - in-8° avec 75 figures en noir et en couleurs............6 fr.
  - TOME TROISIÈME
  - (Volume complet.)
  - 1er Fascicule : Système nerveux (Méninges, Moelle, Encéphale).
  - 1 vol. grand in-8° avec 201 figures en noir et en couleurs . . 10 fr. 2e Fascicule : Système nerveux (Encéphale). Un vol. grand in-8°
  - avec 206 figures en noir et en couleurs.....................12 fr.
  - 3« Fascicule : Système nerveux (Les Nerfs. Nerfs crâniens.
  - Nerfs ractiidiens). 1 vol. grand in-8° avec 205 figures en noir et en couleurs..............................................12 fr.
  - TOME QUATRIÈME
  - ( Volume complet.)
  - 1er Fascicule : Tube digestif. Un volume grand in-8°, avec
  - 158 figures en noir et en couleurs.......................12 fr.
  - 2e Fascicule : Appareil respiratoire; Larynx, trachée, poumons, plèvres, thyroïde, thymus. Un volume grand in-8°, avec 121 figures en noir et en couleurs...........................6 fr.
  - 3e Fascicule : Annexes du tube digestif; Denis, glandes salivaires, foie, voies biliaires, pancréas, rate. Péritoine. 1 vol. grand in-8° avec nombreuses figures en noir et en couleurs. ^
  - IL0RESTE A PUBLIER :
  - Les Lymphatiques qui termineront le tome II. Les Organes génito-urinaires et les Organes des sens feront, afin d’éviter des volumes d’un maniement difficile, l’objet d’un tome V qui contiendra, en outre, un chapitre d'indications anthronométriqués et la Table alphabétique des matières de l’ouvrage.
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- - RÉCENTES PUBLICATIONS (Mars 1900)
  - L’ŒUVRE MÉDICO-CHIRURGICAL
  - Ü1' CRITZMAN, directeur
  - Suite de Monïgrâphies cliniques
  - SUR LES QUESTIONS NOUVELLES en Médecine, en Chirurgie et en Biologie La science médicale réalise journellement des progrès incessants; les questions et découvertes vieillissent pour ainsi dire au moment même de leur éclosion.
  - C’est pour obvier à ce grave inconvénient, auquel les journaux, malgré la diversité de leurs matières, ne sauraient remédier, que nous avons fondé un recueil de Monographies dont le titre, l’Œuvre médico-chirurgical, nous paraît bien indiquer le but et la portée.
  - Chaque monographie est vendue séparément.........1 fr. 25
  - Il est accepté des abonnements pour une série de 10 Monographies au prix à forfait et payable d’avance de 10 francs pour la France et 12 francs pour l'étranger (port compris).
  - MONOGRAPHIES PUBLIÉES N° 1. L’Appendicite, par le Dr Félix Leguku, chirurgiendeshôpitaux(éjDi«sé). N® 2. Le Traitement du mal de Pott, par le Dr A. Chipault, de Paris. N» 3. Le Lavage du Sang:, par le Dr Lejars, professeur agrégé, chirurgien des hôpitaux, membre de la Société de chirurgie.
  - N° 4. L’Hérédité normale et pathologique, par le Dr Ch. Debierre, professeur d’anatomie à l’Université de Lille.
  - N° 5. L’Alcoolisme, par le Dr J aquet, privât-doeent à l’Université de Bâle. N® 6. Physiologie et pathologie des sécrétions gastriques, par le Dr A. Verhaegen, assistant à la Clinique médicale de Louvain. No 7. L’Eczéma, par le Dr Leredde, chef de laboratoire, assistant de consultation à l’hôpital Saint-Louis.
  - N° 8. La Fièvre jaune, par le I)r Sanarelli, directeur de l’Institut d’hygiène expérimentale de Montévidéo.
  - N° 9. La Tuberculose du rein, par le Dr Tuffier, professeur agrégé, chirurgien de l’hôpital de la Pitié.
  - N° 10. L’Opothérapie. Traitement de certaines maladies par des extraitsd’organesanimaux,par A. Gilbert, professeur agrégé, chef du laboratoire de thérapeutique à la Faculté de médecine de Paris, et P. Carnot, docteur ès sciences, ancien interne des hôpitaux de Paris. N® 11. Les Paralysies générales progressives, par le Dr Klippel, médecin des hôpitaux de Paris.
  - N® 12. Le Myxœdème, par le Dr Thibierge, médecin de l’hôpital de la Pitié. N® 13. La Néphrite des Saturnins, par le Dr IL Lavrand, professeur à la Faculté catholique de Lille.
  - N® 14. Le Traitement de la Syphilis, par le Dr E. Gaucher, professeur agrégé, médecin de l’hôpital Saint-Antoine.
  - N® 15. Le Pronostic des tumeurs basé sur la recherche du glycogène, par le Dr A. Brault, médecin de l’hôpital Tenon.
  - No 16. La Kinésithérapie gynécologique (Traitement des maladies des femmes par le massage et la gymnastique), par le Dr H. Stapfer, ancien chef de clinique de la Faculté de Paris.
  - N° 17. De la gastro-entérite aiguë des nourrissons (Pathogénie et étiologie), par A. Lesage, médecin des hôpitaux de Paris.
  - N» 18. Traitement de l’Apjjendicite, par Félix I.egueu, professeur agrégé, chirurgien des hôpitaux.
  - N° 19. Les lois de l’énergétique dans le régime du diabète sucré, par le D’ E. Dufourt, médecin de l’hôpital thermal de Vichy. N® 20. La Peste (Epidémiologie. Bactériologie. Prophylaxie. Traitement), par le Dr H. Bourges, préparateur du laboratoire d’Hygièneàla Faculté de médecine de Paris.
  - N® 21. LaMoelle osseuse à l’état normal et dans les infections,
  - par MM. H. Roger, professeur agrégé de la Faculté de médecine de Paris, médec. des hôpit., et O. JosuÉ,anc. inter, laur. des hôpit. de Paris. N® 22. L’Entéro-colite muco membraneuse, par le pr Gaston Lyon, ancien chef de clinique médicale de la Faculté de Paris.
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- - 8
  - MASSON ET Ci0. Libraires d e l’Académie de Médecine
  - Leçons sur les Maladies nerveuses. Deuxième série : Hôpital Saiat-Antoine, par E. BRISSAUD, professeur à la Faculté de médecine de Paris, médecin de l’hôpital Saint-Antoine, recueillies et publiées pir Henry MEIGE. 1 volume grand in-8° avec 165 figures dans le texte.......................15 fr.
  - Précis d’anatomie pathologique, par l. bard, professeur à la Faculté de médecine de l’Université de Lyon, médecin de l’Ilôtel-Dieu. Deuxième édition, revue et augmentée, avec 125 figures dans le texte. 1 volume in-16 diamant, de Xll-804 pages, cartonné toile, tranches rouges...............................7 fr. 50
  - Traité d’OphtalmoSCOpie, par Étienne ROLLET, professeur agrégé à la Faculté de médecine, chirurgien des hôpitaux de Lyon. 1 volume in-8° avec 50 photographies en couleurs et 75 figures dans le texte, cartonné toile, tranches rouges.9 fr.
  - Lunettes et pince-nez, Etude médicale et pratique, par George J. BULL, docteur en médecine des Facultés de M. Gill (Montréal; et de Paris, avec une introduction par E. JAVAL, membre de l’Académie de médecine, directeur du Laboratoire d’ophtalmologie à la Sorbonne. Deuxième édition, revue et augmentée. 1 vol. in-8° avec 66 figures dans le texte...2 fr.
  - Les Enfants assistés de France, par Henri monod, conseiller d’État, directeur de l’Assistance et de l’Hygiène publiques, membre de l’Académie de médecine. 1 volume in-8° .... 3 fr.
  - Consultations médicales sur quelques maladies fréquentes. Quatrième édition, revue et considérablement augmentée, suivie de quelques principes de Déontologie médicale et précédée de quelques règles pour l’examen des malades, par le Dr J. GRASSET, professeur de clinique médicale à l’Université de Montpellier, correspondant de l’Académie de médecine. 1 volume in-16, reliure souple, peau pleine. ........4 fr. 50
  - Traité de Microbiologie, par E. duclaux, membre de
  - l’Institut de France, directeur de l’Institut Pasteur, professeur à la Sorbonne et à l’Institut national agronomique.
  - Tome 1 : Microbiologie générale. 1 volume grand in-8°, avec figures ..................................................15 fr.
  - Tome 11 : Diastases, toxines et venins. 1 vol. gr. in-8°, avec figures ..................................................15 fr.
  - Tome 111 : Fermentation alcoolique. 1 volume grand in-8°, avec figures dans le texte...................................15 fr.
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- - RÉGENTES PUBLICATIONS (Mars 1900)
  - Traité de la Cystostomie sus-pubienne chez les prostatiques. Création d’un urèthre hypogastrique : application de cette méthode aux diverses affections des voies urinaires, par Antonin PONGE T, professeur de clinique chirurgicale à l’Université de Lyon, ex-chirurgien eu chef de THÔtel-Dieu, membre correspondant de l’Académie de médecine, et Xavier DELOBE, chef de clinique chirurgicale à l'Université de Lyon. Ouvrage couronné par l'Académie de médecine {prix d’Ar-genleuU). 1 volume in-8°, avec 42 figures dms le texte. . . 8 fr.
  - Traité clinique de l’Actinomycose humaine, des pseudo-Actinomycoses et de la Botryomycose,
  - par le professeur A. PONGET et L. BÉRARD, chef de clinique à la Faculté de médecine de Lyon, ancien interne des hôpitaux. Ouvrage couronné par TAcadémie de médecine el par l'Inslitul. 1 volume in-8°, avec 43 figures dans le texte et 4 planches hors texte en couleurs....................................12 fr.
  - Traité des maladies chirurgicales d’origine congénitale, par le D* E. KIRMISSON, professeur agrégé à la Faculté de médecine, chirurgien de l’hôpital Trousseau, membre delà Société de Chirurgie. 1 volume grand in-8° avec 311 figures dans le texte et 2 planches en couleurs.....15 fr.
  - Manuel de Pathologie externe, par mm. reclus, kir-
  - MISSON, PEYROT, BOUILLY, professeurs agrégés à la Faculté de médecine de Paris, chirurgiens des hôpitaux. Édition complète
  - illustrée de 720 figures. 4 volumes in-8°.................40 fr.
  - Chaque volume esl vendu séparément......................10 fr.
  - Cliniques chirurgicales de l’Hôtel-Dieu, par
  - Simon DUPLAY, professeur de clinique chirurgicale à la Faculté dé médecine de Paris, membre de l’Académie de médecine, chirurgien de l’Hôtel-Dieu, recueillies et publiées par les Drs Maurice CAZIN, chef de clinique chirurgicale à l’Hôtel-Dieu, et S. GLADO, chef des travaux gynécologiques. Troisième série. 1 volume grand in-8<> avec figures.............................8 fr.
  - Éléments de Chimie physiologique, par Maurice
  - ARTHUS, professeur de physiologie et de chimie physiologique à l’Université de Fribourg (Suisse). Troisième édition revue et augmentée. 1 volume in-10, avec figures dans le texte, cartonné toile, tranches rouges.................................4 fr.
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- - 10 MASSON ET Cic, Libraires de l’Académie de Médecine
  - Bibliothèque
  - d’Hygiène thérapeutique
  - DIRIGÉE PAR
  - Le Professeur PROUST
  - Membre de l'Académie de médecine, Médecin de l’Hôtel-Dieu, Inspecteur général des Services sanitaires.
  - Chaque ouvrage forme un volume in-16, cartonné toile, tranches rouges, et est vendu séparément : 4 fr.
  - Chacun des volumes de cette collection n’est consacré qu’à une seule maladie ou à un seul groupe de maladies. Grâce à leur format, ils sont d’un maniement commode. D’un autre côté, en accordant un volume spécial à chacun des grands sujets d’hygiène thérapeutique, il a été facile de donner à leur développement toute l’étendue nécessaire. ;
  - L’hygiène thérapeutique s’appuie directement sur la pathogénie ; elle doit en être la conclusion logique et naturelle. La genèse des maladies sera donc étudiée tout d’abord. On se préoccupera moins d’être absolument complet que d’être clair. On ne cherchera pas à tracer un historique savant, à faire preuve de brillante érudition, à encombrer le texte de citations bibliographiques. On s’efforcera de n’exposer que les données importantes de pathogénie et d’hygiène -thérapeutique et à les mettre en lumière.
  - VOLUMES PARUS
  - L’Hygiène du Goutteux, par le professeur Proust et A. Mathieu, médecin de l’hôpital Andral.
  - L’Hygiène de l’Obèse, par le professeur Proust et A. Mathieu, médecin de l’hôpital Andral.
  - L’Hygiène des Asthmatiques, par E. Brissaud, professeur agrégé, médecin de l’hôpital Saint-Antoine.
  - L’Hygiène du Syphilitique, par H. Bourges, préparateur au laboratoire d’hygiène de la Faculté de médecine.
  - Hygiène et thérapeutique thermales, par G. Delfau, ancien interne des hôpitaux de Paris.
  - Les Cures thermales, par G. Delfau, ancien interne des hôpitaux de Paris. L’Hygiène du Neurasthénique, par le professeur Proust et G. Ballet, professeur agrégé, médecin des hôpitaux de Paris.
  - L’Hygiène des Albuminuriques, par le Dr Springer, ancien interne des hôpitaux de Paris, chef de laboratoire de la Faculté de médecine à la Clinique médicale de l’hôpital de la Charité.
  - L’Hygiène du Tuberculeux, par le D' Chuquet, ancien interne des hôpitaux de Paris, avec une introduction du Dr Daremberg, membre correspondant de l’Académie de médecine.
  - Hygiène et thérapeutique des maladies de la Bouche, par le Dr Cruet, dentiste des hôpitaux de Paris, avec une préface do M. le professeur Lanne-longue, membre de l’Institut.
  - Hygiène des maladies du Cœur, par le Dr Vaquez, professeur agrégé à la Faculté de médecine de Paris, médecin des hôpitaux, avec une préface du professeur Potain.
  - Hygiène du Diabétique, par A. Proust et A. Mathieu.
  - L’Hygiène du Dyspeptique, par le Dr Linossier, professeur agrégé à la Faculté de médecine de Lyon, membre correspondant de l’Académie de médecine, médecin à Vichy.
  - VOLUMES EN PRÉPARATION
  - Hygiène thérapeutique des maladies de la Peau, par le D' Thibiergb.
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- - RÉCENTES PUBLICATIONS (Mars 1900)
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  - PETITE BIBLIOTHÈQUE DE “ LA NATUBE
  - Recettes et Procédés utiles, recueillis par Gaston Tissandier, rédacteur en chef de la Nature. Neuvième édition.
  - Recettes et Procédés utiles. Deuxième série : La Science pratique, par Gaston Tissandier. Cinquième édition, avec figures dans le texte.
  - Nouvelles Recettes utiles et Appareils pratiques. Troisième série, par Gaston Tissandier. Troisième édition, avec 91 figures dans le texte.
  - Recettes et Procédés utiles. Quatrième série, par Gaston Tissandier. Deuxième édition, avec 38 figures dans le texte.
  - Recettes et Procédés utiles. Cinquième série, par J. Laffargue, secrétaire de la rédaction de la Nature. Avec figures dans le texte.
  - Chacun de ces volumes in-18 est vendu séparément
  - Broché................2 fr. 25 | Cartonné toile..............3 fr.
  - La Physique sans appareils et la Chimie sans laboratoire, par Gaston Tissandier, rédacteur en chef de la Nature. Septième édition des Récréations scientifiques. Ouvrage couronné par l'Académie (Prix Montyon). Un volume in-8° avec nombreuses figures dans le texte. Broché, 3 fr. Cartonné toile, 4 fr.
  - Dictionnaire usuel des Sciences médicales
  - PAR m m.
  - DECHAMBRE, MATHIAS DUVAL, LEREBOULLET
  - Membres de l'Académie de médecine.
  - TROISIÈME ÉDITION, RENEE ET COMPLÉTÉE
  - 1 vol. gr. in-8° de 1.800 pages, avec 450 fig., relié toile. 25 fr.
  - Ce dictionnaire usuel s'adresse à la fois aux médecins et aux gens du monde. Les premiers y trouveront aisément, à propos de chaque maladie, l'exposé de tout ce qu’il est essentiel de connaître pour assurer, dans les cas difficiles, uu diagnostic précis. Les gens du monde se familiariseront avec les noms souvent barbares que l’on donne aux symptômes morbides et aux remèdes employés pour les combattre. En attendant le médecin, ils pourront parer aux premiers accidents, et, en cas d’urgence, assurer les premiers secours.
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  - Traité
  - d’flnalyse ehimique
  - 1 vol. grand in-8°, avec Ü6 figures dans le texte. 9 fr.
  - L’analyse quantitative par électrolyse acquiert chaque jour une plus grande importance.
  - Le livre que l’auteur présente aujourd’hui sur ce sujet a pour but, non seulement d'initier le lecteur à l'analyse chimique par électrolyse, mais encore de lui servir de guide dans ses applications journalières.
  - Tenu au courant des derniers progrès accomplis, il résume l’état actuel de la'science sur la question qui en fait l’objet.
  - Manuel pratique
  - de l’Analyse des Alcools
  - ET DES SPIRITUEUX
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  - Charles GIRARD
  - Directeur du Laboratoire municipal de la Ville de Paris.
  - Lucien CUNIASSE
  - Chimiste-expert de la Ville de Paris.
  - 1 volume in-8° avec figures et tableaux dans le texte. Relié toile. 7 fr.
  - STATION DE CHIMIE VÉGÉTALE DE MEUDON
  - 1883-1899
  - Chimie végétale
  - et agricole
  - PAR
  - M. BERTHELOT
  - Sénateur, Secrétaire perpétuel de l’Académie des Sciences, Professeur au Collège de France.
  - 4 volumes in-8° avec figures dans le texte
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- - RÉGENTES PUBLICATIONS (Mars 1900)
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  - Distribution d’Energie Électrique
  - EN ALLEMAGNE
  - Charles BOS
  - Député de la Seine Ancien Conseiller municipal de Paris Ancien Rapporteur des questions d’énergie électrique à l'Hôtel de Ville.
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  - Ingénieur-Electricien Licencié és sciences Physiques Attaché au Service Municipal d’Eleetricité de la Ville de Paris.
  - Un beau volume très (/rond In-8°, illustré de 203 planches et figures avec de nombreux tableaux.
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  - La Photographie Française
  - REVUE MENSUELLE ILLUSTRÉE
  - des Applications de la Photographie à la Science, à l'Art et à l'Industrie.
  - Louis GASTINE, Directeur
  - ABONNEMENTS :
  - UN AN. — Paris, 6 fr. 50. — Province, 7 fr. — Étranger, 8 fr. Prix spèciaux pour les abonnés de LA NATURE Paris : S i’r. — Départ. : 5 fr. 50. — Étranger s 7 fr.
  - Envoi de numéros spécimens à toute personne gui en fait la demande.
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- - 14 MASSON ET Gie, Libraires de l’Académie de Médecine
  - Traité de Géologie
  - Par A. DE LAPPARENT
  - Membre de l'Institut, professeur à l'École libre des Haules-ÉLudes. -
  - QUATRIÈME ÉDITION
  - entièrement refondue et considérablement augmîntée.
  - 3 vol. grand in-%°, d'environ 1.850 pages, avec nombreuses figures cartes et croquis.............35 fr.
  - La quatrième édition du Traité de Géologie ne se distingue pas seulement par le soin que l’auteur a mis à tenir son œuvre au courant de toutes les acquisitions nouvelles de la science, soin dont témoigne suffisamment l’augmentation considérable des chapitres consacrés aux terrains sédimentaires.
  - Ce qui caractérise essentiellement cette nouvelle édition, c'est la refonte devant laquelle l’auteur n’a pas reculé pour substituer à la considération des systèmes géologiques celle des étages, divisions beaucoup plus étroites, dont il s’est efforcé de suivre les variations d’une façon méthodique. Pour cela, il a essayé de reconstruire, autant que possible pour chaque étage, les contours probables des anciennes mers. On trouvera ce dessein réalisé par environ 20 planisphères, 30 cartes d’Europe et 25 cartes de France. C’est la première fois qu’une pareille tentative est faite sur une aussi vaste échelle. Si l’hypothèse a nécessairement une grande part dans ces reconstitutions qui ne peuvent être considérées que comme de simples ébauches, on ne saurait méconnaître le grand intérêt qu’elles donnent à l’histoire des périodes, en dépouillant les descriptions géologiques de leur aridité traditionnelle. On reconnaîtra en même temps qu’elles sont de nature à simplifier beaucoup la tâche des étudiants.
  - Aussi avons-nous la confiance que l’ouvrage aiusi amélioré, augmenté de plus de 200 pages et enrichi d’une centaine.de dessins nouveaux, méritera de plus en plus le crédit exceptionnel dont il a joui jusqu’à présent.
  - Les tertres funéraires d’Avezac-Prat (Hautes-Pyrénées),
  - par Ed. PIETTE et J. SACAZE. 1 album grand in-4°, contenant 4 feuilles de texte et 29 planches lithographiées en couleurs, par J. Pii.ï.oy..........................................25 fr.
  - L’Anthropologie et la science sociale, Science et ro i
  - par Paul TOPINARD, ancien secrétaire général de la Société d’anthropologie de Paris. 1 vol. in-8° écu de 578 pages ..... 6 fr.
  - Swedenborg : Histoire d'un visionnaire au XVIII0 siècle, par le Dr Gilbert BALLET, professeur agrégé à la Faculté de médecine de Paris, médecin de l’hôpital Saint-Antoine, membre de la Société, de neurologie et de la Société médico-psychologique. 1 vol. in-16, avec un portrait de Swedenborg......................2 fr. 50
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- - RÉGENTES PUBLICATIONS (Mars 1900)
  - 15-
  - Traité de Zoologie
  - Par Edmond PERRIER
  - Membre de l’Institut et de l’Académie de médecine,
  - Professeur au Muséum d’Histoire Naturelle.
  - ÉTAT DE L_ A PUBLICATION
  - Fascicule I: Zoologie générale. 1 vol. gr. in-8° de 41-2 p. avec 458 figures
  - dans le texte..............................................12 fr.
  - Fascicule II : Protozoaires et Phytozoaires. 1 vol. gr. in-8u de
  - 452 p., avec 243 figures................................... 10 fr.
  - Fascicule III : Arthropodes. 1 vol. gr. in-8° de 480 pages, avec
  - 278 figures................................................ 8 fr.
  - Ces trois fascicules réunis forment la première partie. 1 vol. in-8°
  - de 1344 pages, avec 980 figures...............................30 fr.
  - Fascicule IV : Vers et Mollusques. 1 vol. gr. in-8° do 792 pages,
  - avec 56G figures dans le texte.............................16 fr.
  - Fascicule V : Amphioxus, Tuniciers. 1 vol. gr. in-8° de 221 pages, avec 97 figures dans le texte................................. 6 fr.
  - Cours préparatoire au Certificat d’Etudes Physiques, Chimiques et Naturelles (P. C. N.)
  - COURS ÉLÉMENTAIRE DE ZOOLOGIE
  - Par Rémy PERRIER
  - Maître de conférences à la Faculté des Sciences de l’Université do Paris, Chargé du Cours de Zoologie
  - Pour le certificat d’études physiques, chimiques et naturelles.
  - 1 vol. in-8° avec 693 figures. Relié toile : 10 fr.
  - Par B.-C. DAMIEN
  - Professeur de Physique à la Faculté des sciences de Lille.
  - et R. PAILLOT
  - Agrégé, chef des travaux pratiques de Physique à la Faculté des sciences de Lille.
  - 1 volume in-8° avec 246 figures dans le lexle. 7 fr.
  - Élémits de Chimie Organique et le Chimie Biologique
  - Par W. ŒCHSNER DE CONINCK
  - Professeur à la Faculté des sciences de Montpellier, Membre de la Société de Biologie, Lauréat de l’Académie do médecine et do l'Académie des sciences. 1 volume in-16.................................2 fr.
  - VIENT DE PARAITRE
  - ELEMENTS DE CHIMIE DES MÉTAUX
  - A L’USAGE DU COURS PRÉPARATOIRE AU CERTIFICAT D’ÉTUDES P.C.N.
  - Par le Professeur W. ŒCHSNER DE CONINCK
  - Membre de la Société de Biologie, lauréat de l’Académie de Médecine et de l’Académie des Sciences.
  - 1 volume m-16 ................... 2 fr.
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- - 16 MASSON ET Cie, Libraires de L’Académie de Médecine
  - LA GÉOGRAPHIE
  - BULLETIN
  - 1)E LA
  - Société de Géographie
  - PUBLIÉ TOUS LES MOIS PAU
  - Le Baron HULOT, Secrétaire général de la Société
  - ET
  - M. Charles RABOT, Secrétaire de la Rédaction
  - La Société de Géographie a, jusqu’à la lin de l’année 1899, consacré à la publication des comptes rendus de ses séances et des communications de ses membres deux recueils distincts : le Bulletin trimestriel et les Comptes rendus. La Société a désiré, à pariir de 1900, en agrandir le cadre et faire de la 8e série de ses publications, sous le nom de La Géographie, un organe plus complet, et qui devînt à proprement parler un journal digne d’elle, digne aussi de l’importance que prend de jour en jour en France la science géographique.
  - Chaque numéro, du format grand in-8°, composé de 80 pages et accompagné de cartes et de gravures, comprend des mémoires, une chronique, une bibliographie et le compte rendu des séances de la Société de Géographie.
  - Dans le nouveau recueil, les explorateurs exposent les résultats techniques de leurs voyages ; les savants, leurs études sur les phénomènes actuels, et leurs recherches dans le domaine des sciences naturelles connexes à la géographie. La nouvelle publication n’est pas un recueil de récits de voyages pittoresques, mais d’observations et de renseignements scientifiques, Elle s’efforce de suivre la grande tradition géographique de la France, illustrée par les d’Àbbadie, les Du-veyrier, les Grandidier, et continuée avec éclat par de jeunes explorateurs. L’étude de la terre, à tous les points de vue et considérée sous tous ses aspects, tel est le programme de la Société de Géographie, tel sera celui de son nouvel organe.
  - La chronique rédigée par des spécialistes pour chaque partie du monde fait connaître, dans le plus bref délai, toutes les nouvelles reçues des voyageurs en mission par la Société de Géographie, et présente un résumé des renseignements fournis par les publications étrangères : elle constitue, en un mot, un résumé du moxivement géographique pour chaque mois.
  - PRIX DE L’ABONNEMENT ANNUEL
  - Paris : 24 fr. — Départements : 26 fr. — Étrakger : 28 fr.
  - Prix du numéro : 2 fr. 50
  - Paris. — L. Maretheux, imprimeur, 1,
  - Cassette. — 18083.
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