La statique et les méthodes graphiques appliquées aux machines et aux constructions : 1929-1930

- - DIRECTEUR-R- RIBEYRDL
  - 48, RUE ST PLACIDE, PARIS VI
  - [ ' ‘ /
  - | m / maLgm ^ p*. ~
  - il y }eM ^Ær/éL\
- p.n.n. - vue 1/159
- p.n.n. - vue 2/159
- p.n.n. - vue 3/159
- p.n.n. - vue 4/159
- p.n.n. - vue 5/159
- Page de titre n.n. - vue 6/159
- pl.1 - vue 7/159
- - IJOTI OU S DE STATIQUE THEORIQUE
  - DEFINITIONS ET PREMIERS PRINCIPES
  - CORPS SOLIDE
  - On appelle corps solide un corps assez résistant pour conserver une forme invariable lorsque des efforts s’exercent sur lui.
  - POINT MATERIEL
  - On appelle point matériel un corps solide dont les dimensions sont assez réduites pour être négligeables.
  - FORCE
  - On appelle force la cause capable de provoquer le mouvement d'un point matériel.
  - Remarque.- Nos sens nous manifestent les forces. Si nous plaçons un poids sur notre main, nous avons la notion d’un effort à développer pour le soutenir, et lorsque nous l’abandonnons à lui-même, nous constatons qu'il tombe et se met en mouvement sous l’action de son poids. De même, si un fil ou un câble est attaché en un point A d’un corps, et que nous tirions dessus, nous acquérons la notion d'un effort exercé suivant le fil ou'le câble sur le point A du corps. Cet effort pourra arriver à mettre en mouvement le point A et le corps lui-même.
  - On distingue dans une force :
  - 1°) Le point matériel sur lequel elle s’exerce et que l'on appelle point d’application.
  - 2°) La ditection suivant laquelle elle entraîne ou tend à entraîner son point d’application (ligne d’action).
  - 3°) Le sens dans lequel a lieu cet entraînement.
  - 4°) L’intensité plus ou moins grande avec laquelle s’exerce cette
  - force.
  - EQUILIBRE
  - Lorsque plusieurs forces sont appliquées à des points d’un meme corps solide, il pout arriver qu’elles n’y provoquent aucun mouvement. On dit alors qu'elles se font équilibre.
  - EFFET STATIQUE
  - Quand dos forces appliquées a un corps solido se font équilibré, on dit que l’effet qu’elles produisent est un effet purement statique.
- p.1 - vue 8/159
- - EFFET CINETIQUE
  - Si, au contrairei elles provoquent un mouvement, on dit qu’elles produisent un effet cinétique.
  - DYNAMIQUE CINETIQUE
  - La dynamique cinétique est l’étude du mouvement dans ses relations avec les forces qui le produisent.
  - DYNAMIQUE STATIQUE
  - Tandis que la dynamique statique, ou simplement statique, est l’étude de l’équilibre des forces.
  - PRINCIPE.- Soit S un système de forces appliquées à divers points d'un corps et se faisant équilibré sur ce corps ; soit S’ un second système de forces qui, appliquées à des points du même corps, et seules appliquées, se font aussi équilibre. Si l’on applique similtanément au corps les deux systèmes S et S’, le système Sn ainsi obtenu sera lui-même en équilibre sur le corps.
  - Réciproquement, soit S" un système de forces en équilibre sur un corps, ot soit, parmi ces forces, un système S’ de forces qui, à elles seules, seraient en équilibre sur ce corps. Si l’on supprime le système S', le système S des forces restantes sera, lui aussi, en équilibre.
  - EGALITE DE DEUX FORCES
  - Deux forces sont égales si, appliquées à un même point matériel suivant une même direction, mais en des sens opposés, elles se font équilibre. On considère que ces foroes -ont la même intensité.
  - EQUILIBRANTE
  - Soient plusieurs forces en équilibre sur un corps. On peut remarquer que l’une quolconque de cos forces réalise l’équilibre aussitôt qu’on l'adjoint aux autres. Pour cette raison, on dit que la force considérée est l’équilibrante de toutes les autres.
  - RESULTANTE
  - La force R égale et opposée à l’équilibrante ferait équilibre à celle-ci. R produit donc le même effet que les autres forces, on l’appelle leur résultante.
  - Remarque.- Un système de forces quelconques n'a pas, en general, de résultante. Il y a cependant des cas où l'existence de cette résultante apparaît immédiatement. i
- p.2 - vue 9/159
- - 3
  - RAPPORT DE DEUX FORCES - DEF IIIIT ION DE L’UNITE DE FORCE
  - Si l’on applique deux forces égales F et F' à un même point matériel, suivant la même direction et dans le même sens, leur ensemble produit le même effet qu’une force F" double de chacune des forces F, F’ et de même sens. Plus généralement, si l’on applique à un même point matériel, dans la même direction et avec le même sens, n forces égales à une force F, il y a une force unique R qui produit le même effet que ces n forces, et l’on dit que R vaut n fois la force F, par définition. Inversement,la. force F est la nieme partie de la force R.
  - uno force R égale à de F ; et JL_ 0st 1<
  - n n
  - forco F.
  - En prenant conventionné11ornent pour unité de forco uno force U, si TT Gst lG rapport d'une force F à U,__P_ est dit la mesure de la force F.
  - REPRESENTATION VECTORIELLE D'UNE FORCE
  - Si l’on convient d’une longueur 1 qui représente l’unité de force U* on représentera une force F, appliquée à un point A, dans une direction et un sens donnés d’intensité n x U (n pouvant être un nombre fraction -
  - naire), en traçant un vecteur A F , dirigé dans le sens de
  - l’action de la force et ayant une longueur égale an x 11. PRINCIPE - Pour que 2 forces appliquées aux 2 extrémités d’une tige de longueur invariable se fassent équilibre, il faut et il suffit :
  - 1°) qu’elles agissent dans la direction de
  - cette tige ;
  - 2°) qu’elles soient égales ; 3°) Qu’elles soient opposés
  - Un cas limite de ce principe est celui dans lequel 2 ’^ces appliquées à un même point matériel se font équilibre sous la conjprfcion nécessaire et suffisante qu’ellee soient égales et opposées.
  - COROLLAIRE - Toute force appliquée en un point A d’un solide peut être remplacée par une force égale, de même sens, appliquée en un point B de sa 1i-gne d’action. - En effet,: au point B de la ligne d’action de la force i , appliquons 2 forces F^. ©t ^ > portées par la droite AF, égalés à F, eu op-s entre elles. L’introduction de ces forces ne change rien aux condi-
  - posee
  - tioh.s statiques. Or, d’après le principe précédent, les forces F et F2
  - 1 o
- p.3 - vue 10/159
- - .
  - - 4 -
  - quilibrent ; on peut clono les supprimer. Il reste la force F_^_ qui n’est autre que la force F transportée en B.
  - s?
  - A
  - FI.
  - COMPOSITION DES FOïiCES COIjPLAITES
  - I - FORCES AYANT MEME LIGNE D’ACTION
  - 1°) Forces de même sens.- Considérons des forces Fx , F p
  - ____________________ I f . o y 1 n 3
  - d’intensité i , i , i
  - 1 ' ~2 ' ‘3
  - agissant en un même point matériel A dans la
  - même direction et le même sens» Ces forces peuvent être remplacées par une
  - force unique F de même direction et de même sens et d’intensité (i_ + i„ +
  - I 2
  - ..Cette force F résulte géométriquement de la juxtaposition des vecteurs F^ , , F^ , et elle est représentée par la somme géométri-
  - que de ces vecteurs qui a pour longueur i^ + ig + i^ + ...
  - 2 ) forces de sens quelconques.- Soient F , F ,des forces de même ------------------------------- I 2
  - direction et de même sens appliquées A un même point matériel, et soient ^'j » F' ••• d’autres forces, appliquées au même point, de même direction, mais de sens opposé à celui des premières. D’après le 1°, les forces F , i'2 .1 .admettent une résultante de même sens ; les forces F’ p’ ... admet-
  - i 2
  - tent également une résultante F’ de même sens qu’elles. F et F’ sont do sens contraires. .Supposons que F’ soit plus grande que F. D’après le 1°, F' peut etre considérée comme la résultante de 2 forces de même sens qu’elle,
  - F* = F’
  - f'0 et R.
  - + R .
  - Choisissons F1 de même intensité que F, alors, F’ et F se détrui-
  - o
  - sent ; il reste R, résultante du système qui est égale a la différence géométrique des forces F et F’. On a :
  - F = i.
  - d’où :
  - 'I * X2 +
  - et F’ = i^ + i* +
  - R (iI + i'2 +•••) - (ij + x2 +...)•
  - La mesure de R est la somme algébrique des mesures des forces F^ , F
  - ••• F’_ , F’ ...
  - 2
  - 11 - FORCES CONCOURANTES
  - 1°) Cas de 2 forces égales.
  - - - r ' ' -
  - Soit- AX la bissectrice intérieure de l’angle formé par les 2 forces égalés AF et AF'. Par -une rotation de 180° autour de AX, les 2 forces s’échangent : le système reste identique à lui-même la résultante doit alors
  - M
- p.4 - vue 11/159
- - se reproduire ; elle est donc portée par la bissectrice AK.
  - A
  - Equilibre du losange
  - Soient AB,. A D , C B , C D , 4 forces égales formant losange. D'après ce qui précède les résultantes AB de A B et AD 7et C R’ de C B et CD sont dirigées suivant la diagonale
  - A A
  - AC, bissectrice commune aux angles A et C. D’autre part, en effectuant une ^rotation de 180° autour de la diagonale BD, les forces AB et AD s’échangent respectivement avec CB et C D : donc, les résultantes A R et CR s'échangent ; par suite, elles sont égales et opposées. Donc, le losange est en équilibre.
  - 2°) Résultante de deux forces concourantes.- Parallélogramme des forces. Soient 2 forces quelconques A B , A D appliquées à un même point A. a) - Démontrons d^ab^Pd que la résultante est dirigée suivant la diagonale AC du parallélogramme construit sur AB et AD.
  - Supposons (Fig.l) que les 2 forces aient une commune mesure f, telle, par exemple t que AB = 3f et AD = 4f.
  - Soit :
  - AG - GL = LP . - PD = AE = EF = FB = f.
  - Par les points G, L, P, D menons des parallèles à AB, et par E, F, B des parallèles à AD. On découpe ainsi le parallélogramme ABCD en losanges é'gaux de coté f. Introduisons alors des forces toutes égales, les unes dans un sens, les autres dans le sens opposé : G H et H G, H î et I H,
  - I a et K I, portées par la droite GIC, et semblablement des forces portées par les droites LO, PS, DC, ET, FU et BC. Ces forces, égales et directement opposées, se font équilibre 2 à 2, et leur introduction ne change rien à l’état statique du parallélogramme ABCD. Or, on voit que chacun des losanges formés groupe 4 forces qui, d'après ce qui précède, se font équilibre. Toutes les forces en équilibre peuvent être supprimées. Il reste les forces B K, K 0, 0 S, S C dont la résultante est B C, et les forces D T, T U, UC dont la résultante est D C . Les systèmes AB, AD et B C, D C sont équivalents : ils admettent alors la même résultante, en grandeur et en sens,qui,
  - par suite, est dirigée suivant AC, puisqu'elle doit passer par le point d’application A des forces AD et A B et par C, point d'application dos forces B C et D C.
- p.5 - vue 12/159
- - cette diagonale, mais en sens contraire de la résultante. Les 3 forces A B, A D et A E sont en équilibre autour du point A. Déterminons la grandeur de A E. La résultante des 2 forces AD et A E est directement opposée à
  - leur équilibrante A B ; donc la. droite BA prolongée est la diagonale du parallélogramme DABF construit sur A .D et A E . Or, par construction, ADFE et ACDF sont des parallélogrammes, 'donc, on a :
  - AE = DF = AC.
  - —>-
  - Donc, la résultante cherchée est A C. D’où le THEOREI.IE : La résultante de 2 forces appliquées a un meme point A est représentée par la diagonale
  - AC du parallélogramme construit sur ces 2 forces*
  - Ce théorème donne une première construction de la résultante.
  - Remarque I - Pour établir la première partie du théorème précédent, nous avons supposé que les 2 forces AB et A D admettaient une commune mesure. Soit 1 une longueur telle que :
  - et
  - AD = n x 1 p x 1 AB < (p + l)l (Fig.3)
  - Soient A Bj la force de longueur p x I, et A Bg la force de longueur (p + i) 1 . La résultante de AD et A B^. est la diagonale AC^ du. parallélogramme construit sur ces deux forces ; la résultante de A D et
  - ---=3-
  - A 3^ est la diagonale du parallélogramme construit sur ces 2 forces. Le
  - point B étant, par construction, entre B et B , le sommet C du parallé-
  - -J- ^
  - logramme construit sur AD et A B est entre C_^ et 'C . Or, comme on peut
  - prendre 1 aussi petit qu’on le veut, les points C et C sont aussi rap-
  - 2
  - prochés l’un .de l'autre qu’on le veut. A la limite Cj et coïncident,
  - et comme ils sont toujours de part et d’autre du point C, ils se confondent avec C. Donc, dans ce cas, AC est encore la résultante.
  - Remarque II - 2ème construction de la résultante (Fig.4). Les diagonales AC et BD d’un parallélogramme se coupent en leur milieu I. On peut donc construire la résultante en joignant A au milieu I de BD, et en prolongeant AI d'une longueur IC égale à AI.
  - —a*-
  - Remarque III - En remarquant (Fig.4) que la ré sultan te A C de 2 forces
  - A B et A^D est la médiane du triangle ABD relative au coté BD (d'après
  - la remarque II), on voit (Fig.5) que si 3 forces 0 A , 0 B , 0 C se font équilibre autour d'un point 0, le point 0 est le point de concours des médianes du triangle ABC. .
  - Remarque IV - 3ème construction de la résultante (Fig.6). En menant par B
- p.6 - vue 13/159
- - 7
  - un vecteur B C ©qaipollent a A D , on obtient en C le 4e sommet du parallélogramme construit sur AB et AD .En joignant A et C on a donc la résultante. On voit que AC est la somme géométrique des vecteurs représentant les 2 faces.
  - RAPPEL DE QUELQUES 'THEOREMES DE LA THEORIE DBS VECTEURS * SOMME GEOMETRIQUE .-
  - ^ Dus de 2 vecteurs « Soient AB et CD 2 vecteurs quelconques
  - (fig. 7) , Par un point 0 quelconque menons un vecteur 0 L équipollent
  - à A B et par L un vecteur L M équipollent à c"Tf . Le vecteur 0 M
  - est par définition la somme géométrique des 2 vecteurs A B et C D
  - ^ ^ % '
  - 0 M « 0 L + LM .
  - Remarquons que, dans le parallélogramme construit sur 0 L et LM LnS VECTEURS 0 P et P M sont équipollent s respectivement aux vecteurs 0 L et LM , on a donc
  - 0 M - OP 4 PM .
  - D'oA J Ia somme géométrique de 2 vecteurs est indépendante de 1' ordre
  - dans lequel on juxtapose ces vecteurs.
  - 2° Cas de plusieurs vecteurs. Soient (fig. 8) A JB , Â'Tb , ...
  - 2 2
  - An Bn de£? vecteurs quelconques. Par un point 0, pris arbitrairement, me-norig les vecteurs 0L équipollent à A Bj , L~L£ équipollent à ~I% .. n-i n eHuipollent a A^B^ , Le vecteur OL est la somme géométriquo "retours AnBn * D’aPrès le cas précédent, on peut
  - intervertir l'ordre de 2 vecteurs consécutifs dans le polygone des vecteurs* d'ou, par voie d'échange entre les vecteurs consécutifs, on peut intervertir l'ordre des vecteurs d'une manière quelconque.
  - POLYGONE FERME . Si le polygone des vecteurs se i'erme, la somme géomé-
  - trique est nulle.
  - THEOREME - Dans un polygone ferme, le vecteur opposé à 1'un quelconque dos vecteurs est la somme géométrique de tous les autres.
  - RECIPROQUE - En adjoignant à un ensemble de vecteurs un vecteur égal et opposé à leur somme géométrique, on obtient un système fermé.
  - PROJECTIONS .
  - Théorème I - La projection, sur une droite ou sur un plan, d'un système fermé est un système fermé. D'où Théorème II - La protection de la som-
  - me géométrique de plusieurs vecteurs sur une droite ou sur un plan_
- p.7 - vue 14/159
- - - 8 -
  - est la somme géométrique des projections des vecteurs sur la droite ou sur le plan.
  - Théorème III - La mesure de la projection de la-somme géométrique de plu-sieurs vecteurs sur un axe est la somme algébrique des mesures des projec-tions de ces vecteurs.
  - APPLICATION DE CES THEOREMES AUX FORCES.
  - Théorème I - Polygone des forces (Fig,9). La résultante de plusieurs forces concourantes est égale à la somme géométrique des vecteurs qui représentent ces forces.
  - Théorème II - Toute force, appliquée en un point A, peut être décomposée en
  - -- . " » .' - ' 11 " -- ‘ """ \
  - 2 autres ayant des directions quelconques AX, AY, issues du point A.
  - Ce théorème s’applique dans l’espace : toute force -peut être décomposée en 3 autres formant trièdre.
  - Théorème III - La projection de la résultante de plusieurs forces sur une droite ou sur un plan est la résultante des projections de ces force s sur la droite ou sur le plan (Fig.IO).
  - Théorème IV - Pour qu’.un système de forces appliquées en un point ait une
  - résultante nulle, il faut et il suffit que le polygone des forces se ferme. III - FORCES PARALLELES
  - La composition des forces parallèles se ramène, par application des théorèmes I et II précédents, au cas des forces concourantes.
  - 1°) CAS DE 2 FORCES PARALLELES ET DE MEME SENS (Fig.Il)
  - Soient AI? et A’F’ ces 2 forces. Introduisons en A et A’ 2 forces
  - AL et A*L’, égales et opposées, et dirigées suivant AA’. Les forces A L
  - -5»-
  - ot A F peuvent être composées en une force unique A M , de même A’ F’ et
  - A’L’, en une force unique A*M’. Le système (AF, A’F’) est équivalent au
  - système (A M , A’M’). Soit 0 le point de concours des forces A M et A’M’. Transportons cos 2 lorces au point 0 en OM^. et OII’^. , et décomposons chacune d’elles on deux autres, dont l’une sera portée par la parallèle à AA’
  - ,par —*~ menee par 0, et l’autre/la parallèle à la direction commune des forces A F
  - et A’F’ menée par 0. Or,
  - 0 L;[ = AL et 0 L^ = A’ L’ .
  - Donc, les deux forces 0 L^ et 0 L^ se détruisent comme étant égales et opposées. Il reste alors les 2 forces
  - cTf
  - = A F
  - et
  - 0 F’ = A’F' I
  - qui admettent une résultante 0 R de même direction et de meme sens qu’el-
- p.8 - vue 15/159
- - - 9 -
  - les et de longueur ___^ ^ ___
  - 0 RI = 0 Pj + Ôlq = B R.
  - Donc, 2 forces parallèles et de meme sens admettent une résultante pa-rallèle à leur direction commune, de même sens qu’elles, et égale à leur somme.
  - Remarque - On applique généralement la résultante au point B où elle coupe
  - AA’.
  - Déterminons la position de B sur le segment AA’. En remarquant que les triangles AOB et MAP sont semblables, ainsi que les triangles A’OB et M’A*F’, on a :
  - AB OB »|p
  - ---- =---- et A B _ OB
  - MF AF F* a» F’
  - Or,........................ MF = M*F*
  - d’où . .................... I
  - AB __ AF A’B ~ ~
  - A’ F’
  - ou AB = A’ B = aa’
  - A’F’ AF AF + A’F’
  - d’où on tire :
  - AA1 AA’
  - AB = AF + A’F’ • A'F1 et = AF + A’F’ *
  - Donc B divise intérieurement le segment AA’ en 2 segments inversement
  - proportionnels aux 2 forces AF et A’F’.
  - 2°) CAS DE DEUX FORCES PARALLELES ET DE SENS CONTRAIRES.
  - Considérons (Fig.12) 2 forces parallèles et de même sens, AF et A’F’,
  - qui admettent d’après le cas précédent une résultante B R . Construisons
  - ——:;:=> ___________________..............................
  - une force B E égale et opposée à B R. BE est l’équilibrante de A F et A’F’;
  - on peut aussi dire que A’F’ est l’équilibrante de A F et B E, qui admettent alors pour résultante la force A’R* égale et opposée à A’F’. Et on a:
  - EB = BR = (AF + A’F’ ) = AF + A’R’
  - ou..................A’R’ = BE - AF.
  - Donc, 2_ forces parallèles et de sens contraires admettent une résultante parallèle à leur direction' commune, de même sens que la plus grande, et égale ~ ^our différence.
  - Par un raisonnement identique a celui du cas précédent, on voit que le point A’, où la résultante coupe la droite AB, divise extérieurement le segment AB en 2 segments inversement proportionnels aux forces.
  - Remarque - Dans le cas où AF = BE, on a un couple ; la résultante est nulle,
- p.9 - vue 16/159
- - 10 -
  - et le point A’ est rejeté à l’infini.
  - 3°) CAS DE PLUSIEURS FORCES PARALLELES QUELCONQUES
  - Soient Fi . F2 , F ... F' . F- F. . ;.
  - x 2 3
  - sens quelconques, Fj , F^ ,.. étant celles de ces forces qui ont un cer
  - j > - , v- des forces parallèles de
  - 2 3
  - tain sens, et F’^_ f F» ... celles qui sont de sens opposé au précédent. Composons F^ et F^ , qui admettent, comme on vient de le voir, une résultante F nême sens, et égale a leur somme ; puis composons FTO et
  - 12
  - F^ , dont la résultante est
  - 123
  - = Y M F F
  - I 2 3 ’ 9
  - ... Finalement, la résultante F de toutes les forces de même sens F , F ...
  - I 2
  - est une force de même sens et égale à la somme de toutes ces forces. On a
  - le même raisonnement pour la résultante F’ des forces F’ f<
  - I ' 2 ' * ’
  - Les 2 forces F et F’, parallèles et de sens contraires, admettent une résultante R, résultante du système donné, qui est égale à leur différence. Remarque - On a vu que la position du point d*application de la résultante de 2 forces parallèles, sur la droite qui joint les points d’application de ces forces, dépend de la grandeur des forces, mais non de leur direction ni de leur sens (ceci s’étend aussi au cas de plusieurs forces parallèles quelconques).
  - Si donc on fait tourner plusieurs forces parallèles autour de leur points d*application respectifs, le point d’application de la résultante générale reste invariable. Ce point est appelé le "centre des forces parallèles considérées".
  - remarque - Le centre de gravité d’un corps pesant est le centre des forces parallèles de pesanteur qui s’exercent sur les divers éléments du corps.
  - IY " i|,QilCDS QUELCONQUES “ REDUCTION DBS FORCES C01 PLANES
  - Un système quelconque de forces complanes se réduit a une force unique (qui est nulle dans le cas de l’équilibre) soit a un couple.
  - Considérons un système de n forces.
  - Si 2 forces sont concourantes, on les compose et on les remplace par leur résultante ; on est alors ramené à un système de (n - i) forces. De la même manière, on remplace 2 forces concourantes de ce système par leur résultante : il reste (n w 2) forces ;. . ..
  - Si les forces sont toutes ainsi concourantes, le système donné se réduit a une force unique .
- p.10 - vue 17/159
- - - II -
  - FASC. II
  - S:il y a des forces parallè. es : le système se réduit à une force unique dans le cas où les deux dernières forces à composer sont de même sens ou bien de sens contraires et inégales ; il se résuit à un couple si ceo 2 forces sont égales* de sens contraires et non opposées.
  - THEORIE DES COUPLES
  - La notion des couples a été introduite en mécanique par P0I1IS0T. DBFIHITIOH.- On appelle couple (Fig.lS) un système de deux forces égales, Fig.13 a /F' parallèles et de sens contraires, mais non opposées.
  - IDENTITE D’UN COUPLE
  - Théorème I - Un couple reste équivalent à lui-même
  - si on lui imprime une translation d’ensemble dans son plan. Fig.14
  - .Considérons (Fig.14) le couple (AF, A’F’). Soit (ATF , A’ F’ ) sa po-
  - I I ’ "I I
  - sition après translation dans son plan. Introduisons
  - de
  - les forces A^F^. et A^. (jjj égales et opposées, et, même, les forces A'^_ et A’^. F’ . Remarquons que
  - AA’A’^a^- étant un parallélogramme les diagonales AA’^ se coupent en leur milieu 0. Les forces égales, pa-
  - rallèles et de même sens, A
  - et A’F’ ont une ré-
  - sultante R appliquée en 0, de même sens et double de chacune d’elles. De même AF et A1^. ont une résultante R’^. appliquée
  - en 0. R^ et R’^. sont égales et directement opposées, donc se détruisent. Il reste les forces A^f^ et A’j F’^ qui sont, par suite , équivalentes aux forces AF et A’F’. C.Q.F.D.
  - Théorème II - Un couple reste équivalent à lui-même si on le fait tourner d’un angle quelconque dans son plan autour d’un point équidistant des 2 forces.
  - Soit 0 un point équidistant des 2 fQlces (Fig.15). On peut supposer que
  - ces 2 force|,rsont appliquées aux points où leurs lignes d’action coupent la ^\ér^\ 0/ \ j\ droite passant jJJl^^qui leur est perpendiculaire,
  - j j\^. Soit (AjFj , A’jFj3) jRtoosition du couple (AF,A’F’)
  - après une rotation danlwon plan autour de 0. Introduisons les forces A,FT - AT égales et
  - j r ' I I
- p.11 - vue 18/159
- - - 12 -
  - opposées, et, de même Aj F^ et A!T ^6 • ^ ..Remarquons que les angles fermés par les droites AF,A^ , et A' (f> . A'F? ont des bissectrices
  - confondues passant par 0. Les forces concourantes égales A § j et AF ont une résultante portée par la bissectrice de leur angle, de même A'^ (f> \ et A’F’ ont une résultante R'^. portée par la bissectrice de leur angle.
  - Rj et R’j sont égales et opposées, donc se détruisent. Il reste le couple (AjFj , A'^Fj.) qui est donc équivalent au couple (AF, A'F’)» C.Q.F. D. Théorème III - Généralisation. Un couple reste équivalent à lui-même s'il subit un déplacement quelconque dans son plan.
  - Ce théorème est une conséquence des 2 précédents, tout déplacement étant décomposable en une translation et une rotation (Fig.16)
  - Fig.16
  - A
  - 4
  - 'A
  - Fl
  - M
  - A'
  - Fl
  - Fi X
  - Fig.17
  - ORIENTA' T ION D’UN COUPLE (Fig. 17) JL: couple (AF,A*F') est dit de sens "difcect" quand, pour un observateur debout en A sur le plan du couple, la force A'F' va de droite à gauche. Dans le cas contraire, le couple est dit "rétrograde". (REMARQUE : a
  - la qualification directe rétrograde d’un couple dépend évidemment du côté,, du plan où l'observateur se place).
  - AXE D'UN COUPLE
  - Le bras de levier d’un couple est la distance pp' des 2 forces parallèles (Fig.I>). On appelle axe d'un couple le produit de la force par le
  - bras de levier, ce produit étant positif ou négatif suivant que le couple est direct A | i j ou rétrograde*. Géométriquement,
  - 1 * axe d' un couple est représenté par un vecteur A G normal au plan du couple (Fig. If),, de longueur AA' x AF, et de sens
  - A
  - A1
  - Fig.Ic
  - At
  - A'-
  - F1
  - i$i
  - tel queun observateur personnifiant A G voit la force A’F' aller de sa droite à sa gauche.
  - Théorème IV - Deux couples d'un même plan ayant même axe en grandeur et en sens sont équivalents.
  - m
- p.12 - vue 19/159
- - 13
  - On peut toujours supposer que par un glissement des forces sur leurs lignes d’action, et par une rotation suivie d’une translation de l’ûn des couples :
  - 1°) On a amené les deux couples à avoir leurs forces parallèles et appliquées aux points de rencontre de leurs lignes d’action avec une perpendiculaire commune, et que :
  - 2°) On a amené en coïncidence les deux points milieux des bras de leviers. Considérons donc le couple (AF,A’F’) (Fig.19).- Introduisons les forces A];FI et A <jj égales et opposées, et, de même, les 2 forces
  - A' F’ et À' $' . Lei
  - II I X I
  - forces A F et Al F 1
  - il l i
  - sont, d’après l’hypothèse, respectivement de même sens que les forces AF et A’F’, et de grandeur telle qu’on
  - ou
  - AF x AA’ AF x OA
  - KF
  - ri
  - A F
  - Ar i
  - Les lorces AF et Aj ^ (parallèles et de sens contraires) admettent une résultante Rj appliquée en un point B de la droite AA^ tel que
  - AB x AF = A B x A (j)
  - °r ! Vi = Ai §! . et ^ F *
  - AB x OA-,
  - OA = AF x OA ,
  - AjB x OA.
  - donc :
  - e’k B coïncide avec 0.
  - De même, la résultante R’x de A’F’ et A’ $ ^ est appliquée en 0.
  - &I et R’ sont égales, de sens contraires et directement opposées, donc, so font équilibre. Il reste le couple (A^F^ , A|F’X) qui est donc équivalent au couple (AF,A’F’). C.Q.F.D.
  - Théorème V - Un couple reste équivalent à lui-même par translation dans un plan parallèle à son plan.
  - Considérons le couple (AF,A’F’) dans son plan II (Fig. 20 - page 15 )
- p.13 - vue 20/159
- - 14
  - Fip;. 22
  - Soit (A];FI , A'jF'j)
  - sa position après translation dans un plan IIj parallèle à II. Introduisons dans IIj les forces
  - AIFI et Ai $ j égales et
  - opposées , et de même les
  - forces A* F’ et A’ CD’ . il I 1 I
  - On remarque que A’AA^A’
  - étant un parallélogramme les diagonales A1 Aj et AAA’ se coupent en leur
  - milieu 0.
  - Les forces AF et A^ Ç2j # égales et de même sens ont une résultante R appliquée en 0 ; de même les forces A’F’ et A & 0nt une résultante R’ ap-
  - x -L J
  - pliquée en 0. Rj et R’j sont égales et directement opposées, donc se détruisent. Il reste le couple (A^F^. , A' F’) équivalent au couple' (AF, A.’?1 ).
  - C.Q.F.D.
  - COMPOSITION DES COUPLES
  - Théorème : Deux couples quelconques admettent un couple résultant dont l’axe est la somme géométrique des axes des 2 couples.
  - Soient 2 couples quelconques dont les plans se coupent suivant une droite AA’ (Fig.2l). On peut toujours supposer que par des déplacements dans leurs plans respectifs on a amené les forces des 2 couples à être perpendiculaires à la droite d’intersection de leurs plans, et appliquées en des points de cette droite, les points d’appJication A et A’ des forces de l’un des couples coïncident avec ceux des forces de l’autre et étant tels que AA5 soit l’unité de longueur. Les forces concourantes AF et AF^ ont une résultante AR : de meme AF’ et A’F’j ont une résultante A’R’. Les forces AR et A7R’ sont parallèles, égalés et de sens contraires : elles forment un couple. Puisque par hypothèse AA’ = I, on a :
  - axe du couple (AR, A;R') - AR
  - axe du couple (AF, A’F’) = AF
  - axe du couple (AFTja*F’t) = AFj
  - or, par construction :
  - —-> ——->
  - A R - AF * A PT
- p.14 - vue 21/159
- - REMARQUES PRELIMINAIRES
  - On rappelle ici qu’on dit que deux systèmes de forces S, S’ appliquées à un même corps solide sont équivalents, si l'on passe de l’un à
  - l’autre de ces systèmes par l’une des opérations suivantes :
  - deux
  - 1°) Adjonction ou suppression de forces/à deux égales et opposées.
  - 2°) Transport d’une force • suivant sa ligne d’action.
  - 3°) Substitution à des forces concourantes de leur résultante par des forces parallèles.
  - 4°) Substitution à plusieurs couples de leur couple résultant.
  - Théorème I - Tout système de forces appliquées en divers points d’un corps solide est équivalent à une force unique, égale à la somme géométrique de
  - toutes les forces,app1iquee en un 'point arbitraire 0 du corps, et a un cou-
  - ple, dont l’axe dépend du point arbitraire.
  - Soient (Fig#22) A^-F^ , A^Fg , AgFg ... A^F^ des forces appliquées aux points A^ , A^ , A^ , ... An d’un corps solide. Soit 0 un point quelconque de ce corps. Au point 0 introduisons les forces suivantes, égales et opposées 2 à 2 :
  - 0 équipollente à A^.?^ , et 0 9?* 1 11 j opposée à 0(|
  - Fig. 22 Voir page 14
  - 0
  - y.
  - à A2F2 , et 0 $
  - °®2
  - 0 §
  - n
  - A F , et 0 n n " n
  - - OCb
  - Les forces concourantes 0 . 0 QO f ... 0 q-
  - qui ne sont autres que les forces A,FT , . . A F
  - I I n n
  - transportées en 0) admettent une résultante 0 R égale a la somme géonétri
  - que des forces ATFT , A0F0 ... A F
  - 11 22 n n*
- p.15 - vue 22/159
- - D'autre part,
  - 0 Cbforme un couple avec A^F^ 0
  - •Îî>!
  - -AF 2 2
  - o ej)<
  - n
  - A F n n
  - Ces n couples admettent un couple résultant d’axe 0 G . Donc le sys-
  - ---$>
  - tème des forces données est équivalent à la force unique 0 R et auquel est adjoint le couple 0 G .
  - Remarque I - La force unique étant la somme géométrique de toutes les forces appliquées au solide, sa grandeur et sa direction sont indépendantes du point 0. Sa direction est appelée "direction principale". (La somme géométrique en un point 0 est quelquefois appelée "la résultante de translation en 0"). Mais c’èst une faute de l’appeler la résultante tout court. En effet,
  - I
  - un système de forces appliquées à un corps solide n’a une résultante quT exceptionnellement . >
  - Remarque II - On voit qu’une force A_^F^ appliquée en un point peut être translatée en un point quelconque 0, à condition de lui adjoindre un coupxe dont l’une des forces A^F^. et dont l’autre est appliquée en 0. Ce couple est dit résulter de la translation de AjFj en 0.
  - Théorème II - La réduction d’un système de forces à une force unique et à un couple peut se faire de façon telle que le plan du couple soit perpendi-
  - culaire à la direction principale.
  - Cette réduction-est dite "réduction canonique".
  - Considérons (Fig.23) un système de forces dont les éléments de la réduction à 'une force unique et à uh couple en un point 0 quelconque sont OR et 0 G . Menons par 0 le plan normal à 0 R ; et dans ce plan construisons 2 axes
  - rectangulaires : Ox, normal a.u plan R 0 G , et Oy
  - —>:>
  - dans le plan R 0 G. Décomposons le couple 0 G en
  - deux autres couples : l?un 0 G! suivant la droite —^ 0
  - OR; l’autre O Gç suivant C'y. Considérons un point A de Ox i les éléments do la réduction en A sont :
  - La force unique A RQ équipollente a 0 R, les; deux
  - couples A G et A Gt âquipollents â 0 G’ et 0 G’ , et enfin un couple
  - —a
  - T
  - A F résultent du transport de 0 R en A R,
  - est normal au plan
- p.16 - vue 23/159
- - 17
  - EOx, c'est-à-dire les parallèles à Oy, il est, par suite, porté par la même
  - droite A'& . Soit 1 la mesure sur Ox de OA. Il existe une position de A
  - ——>
  - et une seule telle que A F qui égal à 1 x 0 R .soit égal et de sens con-—^
  - traire à A G . Dans ce cas, les éléments de la réduction au point A se
  - -i—» --» --» , A
  - réduisent à A RQ et A GQ \ A GQ étant par construction porté par la meme
  - --^ —>
  - droite que A RQ le plan du couple est normal à A RQ . C.Q.F.D.
  - La droite qui porte A R^ et A GQ est appelée "l’axe central".
  - Le couple A (f0 est dit "couple principal".
  - Théorème III - La réduction est la même pout tous les points de 1’axe cen-tral, ou plus généralement elle est la même pour tous les points d’une même parallèle à la direction principale.
  - En effet, soient (Fig.24) OR et OG les éléments de la réduction en un point quelconque 0. Soit 0’ un point de la parallèle menée par 0 à la direction principale. 0’ est sur la ligne d’action de OR ; on peut alors faire glisser OR en O’R’ sans qu’il en résulte un couple de translation ; le couple adjoint en 0’ est le couple adjoint en 0, translaté dans un plan parallèle, donc c’est le meme couple.
  - p Théorème IV - Pour tout point situé
  - l ---------------------------------
  - hors de l:axe central, l’axe du cou-' pie adjoint n’a pas la diràction principale.
  - Soient (Fig.25) ARQ et AGQ les
  - ^ éléments de la réduction canonique.
  - Soit 0 un point quelconque pris hors
  - de l’axe central. Pour effectuer la
  - réduction en 0, il faut adjoindre au —?» —
  - couple A GQ un couple A G résultant do la translation de ARQ en OR : or,
  - Fig.25
  - l’axe de ce couple A Gj étant normal au plan 0ARQ est perpendiculaire à AG..
  - Les 2 couples A GQ et A G-j admettent donc un couple résultant A tr dont l’axe ne peut jamais avoir la direction de A G0.
  - Théorème V - La projection 0GQ , sur la diredtion principale,d’un couple adjoint 0 G quelconque est un vecteur constant.
  - On sait que la mesure de la projection de la résultante est égale à la somme des mesures des projections des composantes' Or. le couple adjoint en 1111 P°int 0 quelconque est, comme on l’a vu dans le théorème précédent,1a
- p.17 - vue 24/159
- - somme géométrique de l’axe du couple principal A G0 et de l’axe d’un
  - couple A Gj (perpendiculaire A A G )} résultant du transport de A Ro en 0 R.
  - —
  - Or, la projection de A Gj sur la direction principale est nulle ; donc la
  - —^ v —t?-
  - projection de 0 G sur la direction principale se réduit à A GQ .
  - Remarque - D’après ce théorème, la valeur minimum du couple adjoint est
  - celle du couple principal A GQ .
  - MOMENTS PAR RAPPORT A UiJ POIiTT
  - La notion de moment t,. été introduite par CAUCiiY. La théorie des moments se ramène à celle des couples de Poinsot qui a devancé Cauchy dans cette voie. MOMENT D’UNE FORCE - DEFINITION
  - Considérons une force AF (Fig.26) et un point 0 quelconque. Soit OB la
  - perpendiculaire abaissée de 0 sur AF dans le plan OAF. Par définition, le moment de AF par rapport à 0 est le produit p x AF de la force AF par la distance de 0 à AF, ce produit étant positif ou négatif suivant que la force AF tend à tourner dans le sens direct ou rétrograde pour un observateur debout en 0 sur le plan OAF. OP est le bras de levier du moment. Géométriquement, on représente (Fig.27) le moment d’une force AF
  - par rapport à un point 0 par un vecteur 0 G, de longueur p x AF, porté par la perpendiculaire en 0 au plan OAF, de sens tel que AF tende à tourner autour de OG dans le sens direct.
  - Remarque I - Représentation d’un moment par une aire. Par définition (Fig.28) on a
  - p x AF.
  - AF
  - Or, le double de l’aire du triangle OAF est égal à
  - t égal à 1’aire
  - p x AF, c’est-à-düry du parallélogramme construit
  - m£ AF
  - 2 (aire OAF) = aire (OBAF). Remarque II - On peut ramener la considération des moments à celle des couples. En effet. (Fig,2S) considérons un couple (AF, A’F’}. L’axe de ce cou-
- p.18 - vue 25/159
- - - 19 -
  - pie est le produit p x AF avec le signe + ou - suivant que le couple est direct ou rétrograde. Or, on a :
  - AF = p* x AF
  - . ITT
  - A’
  - ce moment étant positif ou négatif suivant que AF tend a tourner dans le
  - sens direct ou rétrograde. On a donc :
  - axe du couple (A F, A’ F’) AF
  - —» A
  - et le vecteur A’G représente soit l’axe du couple (AF, A’F’), selon Poinsot, soit le moment de AF par rapport à A’ , suivant Cauchy.
  - Remarque III - Il résulte des conventions adoptées pour la représentation géométrique d’un moment que les moments de 2 forces égales et opposées sont deux vecteurs égaux et opposés.
  - MOMENT RESULTANT D’UN SYSTEME DE FORCES. DEFINITION
  - On appelle moment résultant d’un système de forces par rapport à un point la résultante des vecteurs moments, pris par rapport à ce point, de toutes les foroes du système.
  - I - CAS DES SYSTEMES DE FORCES COMPLAISES
  - 1°) Cas des forces concourantes - Théorème de Varignon.
  - Le moment résultant d’un système de forces complanes concourantes en
  - un point A, pris par rapport à un point 0 de leur plan, est égal au moment
  - de la résultante des forces.
  - En effet, (Fig.30), remarquons d’abord qu’on a :
  - m^ AF = 2 (aire OAF) = AF x OP = OA x AF’
  - AF’ étant la projection de AF sur la perpendiculaire en A à OA
  - Fig.30 Fig.31
  - I
  - 11
- p.19 - vue 26/159
- - - 20 -
  - Soit maintenant (Fig.31 - p.I9) un dystème de n forces compianes concourantes en un point A, et admettant AR pour résultante. Soit 0 un point quelconque de leur plan II. Elevons en A, dans le plan II, une droite Ax perpendiculaire à OA, ayant le sens direct par rapport à un observateur debout sur le plan 0. Projetons toutes les forces du système sur Ax. Soient
  - XI , x2 , x3 ... xn les mesures algébriques des forces F . F9 , F„ ... p
  - jl (L ô n,
  - et soit X la mesure de projection de la résultante AK. jt
  - On a :
  - Fj = OA x Xj
  - m,
  - F^ - OA x x^
  - x
  - = AF'
  - = AF’
  - et
  - 4-
  - m p = OA -x- X
  - On UA x xn
  - t
  - R = OA x X
  - n
  - * AF
  - n
  - X
  - = AK'
  - En faisant la somme des n premières égalités, membre à membre, on a: m0 FT + mo b + ••• + mt F = 0A(xt + X + ... + x ).
  - u 1 0 2 on I 2 n'
  - Or, on sait que la somme algébrique des mesures des projections des com-
  - posantes est égale à la mesure de la projection de la résultante :
  - XI + x2 * ••• + xn “ X ,
  - + F0 + , .. + m^ F
  - d’où
  - nf
  - 0 2.
  - 0 n
  - OA x X
  - C.Q.F.D.
  - Remarque - En réalité, Varignon n’avait démontré le théorème (et d’une autre façon) que dans le cas de 2 forces.
  - 2°) CAS DES FORCES PARALLELES
  - Le moment résultant d’un sys-tème de forces parallèles est égal au moment de la résultante.
  - En effet, (Fig*32) considérons 2 forces parallèles quelconques
  - A Al et A^F^. Introduisons les 2 forces AtLt et AL égales et op-
  - j» i. d d
  - posées. Composons A^Fj et A;[LT suivant AtMj } et de même A F^ et
  - ^2^2 su^Yan^ . Les lignes d'ac-
  - tion des forces A.TMT et A ïïf sont
- p.20 - vue 27/159
- - 21
  - concourantes en un point C. Appliquons A^M^. et AM en C, en remarquant que si une force se déplace sur sa ligne d’action, son moment ne change pas.
  - 0 étant un point quelconque de l’espace, on a, d’après le théorème précédent relatif aux forces concourantes :
  - l0
  - ou
  - or
  - et
  - CR' - mo CM' + ]
  - „t . Hl ; . » < 0 tP II AIi:"I * ^
  - *
  - A A A F I I + AIL].
  - II < A2F2 + A2^2
  - mû A2M2
  - On a donc toujours d’après le même théorème
  - et
  - d’ où
  - ra0 AIMI - m0 AIFI
  - m0 A2M2 “ moA2F2
  - £
  - m0 AI LI
  - + m A L 0 2 2
  - m.
  - 3R = m^ AtF_ + mt A L I 0 II
  - + n0A2F2 + m0A2L2
  - 0 "'0 *T
  - Or, -ÙjOj et A^L^ étant 2 forces égales et opposées, leurs moments sont égaux et opposés :
  - Donc, on a :
  - 3°) CAS DU COUPLE
  - 3 O et AILI * mQ A2L2 = 0 .
  - mo E = moVi + “o A F . 2 2 C.Q.F.D.
  - : est constant et égal à 1’axe de ce couple,
  - •que soit le poiht par rapport auquel on prend le moment.
  - En effet, on remarque que Le théorème relatif aux forces parallèles n’est pas applicable dans le cas du couple, puisque celui-ci n’admet pas de résultante, ou plus précisément, qu’il admet une résultante infiniment petite appliquée en un point à l’infini.
  - On a vu précédemment que si l’on transforme par translation un couple dans son propre plan ou dans un plan parallèle, cette opération se réalise
  - par adjonction de forces deux à deux égales et opposées .......
  - de glissement d’une force sur sa propre ligne d’action toutes opérations qui ne modifient pas le moment
  - le couple équivalent à lui-même.
  - Coït donc (Pj g.33 ... n,22) un couple AF, A’F’, et soit 0 un point quel-
- p.21 - vue 28/159
- - 22
  - mQ couple = m^ AF = AO
  - conque de 1Tespace. On peut toujours faire en sorte que la ligne d’action de l’une des forces, A’F’par exemple, passe par le point 0. On a alors :
  - AF
  - or, on a vu dans la remarque II du paragraphe relatif à la définition du
  - moment d'une force que AF est égal en grandeur et en signe à l’axe
  - du couple. Donc, on a : ^
  - ïïr couple = axe du couple = cte.
  - C.Q.F.D.
  - Il - CAS DES SYSTEMES DE FORCES COHCOHRAHTES*DAMS L'ESPACE Théorème - (Extension du théorème de Varignon). - Le moment résultant d’un système de forces concourantes quelconques est égal au moment de la résultante.
  - Soit (Fig.34) un système de forces F^ , F^ , ... Fn , de directions quelconques mais concourantes en un point A. Soit AR la résultante.. Soient,
  - Fig.33
  - A
  - d’autre part, G^.
  - ... Gn et G, les moments des forces F^.,
  - ^2 3 ' * * Fn et R pris par rapport à un point 0 quelconque de l'espace. Au point 0 introduirons les forces suivantes, égales et opposées 2 à 2 :
  - --;> _________^
  - OF P4- n Ft / - , „ ~ y ---^
  - I- u i égalés et opposées 0 F]; équipoilente à A F
  - 0 F
  - - 0 F’
  - —
  - 0 F
  - -AF
  - 2
  - Ôt
  - enfin -—>
  - ->
  - - 0 F1
  - 0 F.
  - ->
  - - A F,
  - ->
  - OR - OR' - - - OR - -AR.
  - L’introduction de ces forces ne change pas le moment du système puisque leurs moments sont 2 à 2 égaux et opposés.
  - Les forces AFt et OFL , AF_ et OF' ,
  - I I 2 2
  - AFn et OF^ f AR et OR’ forment
  - des couples dont les axes sont respectivement égaux aqx moments des force Aï1
  - j * AF • •• AF , AR. Il reste les forces OF , 0F„ , ... OF x ^ n I 2 n
  - les moments par rapport à 0 sont nuis. Or, AR est la résultante de AF
  - et OR dont
  - I '
- p.22 - vue 29/159
- - - 23 -
  - AF AF : donc, le couple (AH, OR’) est le couple résultant des divers
  - 2 ' * n
  - couples (AFI , OF’j ) , (AF2 , 0F'2 ) ... (AFn , OF’n ) î donc son axe est
  - égal, d’après le théorème sur la composition des composants :
  - ---^ ^
  - OG * OG +0Go+...+0Gn
  - 1 C.Q.F.D.
  - III - CAS DES SYSTEMES DE FORCES QUELCONQUES
  - Considérons un système de forces quelconques, et effectuons la réduction à une force unique et un couple en un point O quelconque. Le moment
  - résultant du système par rapport à 0 est égal au moment résultant du sys-
  - __\
  - tème formé par la force unique OR et le couple d’axe 0 (j , puisque les 2 systèmes sont équivalents. Or, le moment de OR par rapport à 0 est nul. Donc, le moment résultant d’un système de forces par rapport à un point
  - 0 de 1’axe du couple adjoint en 0.
  - MOMENTS PAR RAPPORT A UNE DROITE
  - DEFINITION
  - Considérons une droite d et une force AF (Fig.35)* Par un point 0
  - F R p* 3 5 .
  - de d menons un plan II normal a d. Projetons
  - AF en A'F’ sur II et prenons le moment de A’F’ par rapport au point 0 : le vecteur moment ÔG’ est porté par d ; et on remarque qu’il est constant en grandeur et sens quand 0 varie le long de d puisque les projections d’un vecteur sur 2 plans parallèles sont des vecteurs équipollents. OG’ est le moment de AF par rapport à d, Donc, on appelle moment de la force Aï' par rapport à une droite d, le moment de la projection de AF sur un plan normal à d, en un point 0 quelconque de la droite considérée pris par rapport au point 0.
  - Théorème - Le moment d’une force par rapport à une droite est égal Jl la projection,_ sur cette droite, du moment de la force pris par rapport à un
  - point quelconque de la droite.
  - En effet, soit Fig.36 - p.24) OG le moment de la force AF par rap-port a 0, Soit 0 G' le moment de AF par rapport à d, c’est-a-dire le moment de A’F’ par rapport à 0. OG’ est dextrorsum par rapport à A’F’ par
- p.23 - vue 30/159
- - .FASC.III
  - •" C Lr ~
  - or
  - Fig,56 F
  - : aire (OA’F’)
  - OG'
  - 0GT
  - définition, donc aussi par rapport à AF,
  - OG est ,doxtrorsum par rapport à AF par dé-—» —
  - finition. 0 G et 0 G’sont donc d'un irA e côte du plan OAF. Or, 1 OG est normal au plan OAF, donc l’angle a de OG avec OG' est aigu et égal à l’angle des plans OAF et OA’F». On a :
  - = 2 aire (OAF)
  - = 2 aire (OA’F’)
  - sur II aire (OAF) = aire (OAF) cos a ; donc :
  - = OG cos a
  - = Prd OG
  - C.Q.F.D.
  - En appliquant ce théorème au cas de plusieurs forces, on a le théorème suivant :
  - Le moment résultant d’un système de forces par rapport à une droite est la projection sur cette droite du moment résultant par rapport à. un point
  - quelconque de la droite.
  - MOMENT PAR RAPPORT A UH AXE T moment par ,
  - Le/rapport a une droite est un vecteur, ~ Le moment par rapport a un axe est la mesure algébrique du vecteur précédent.
  - SYSTEMES DE FORCES REDUCTIBLES A UNE FORCE UNIQUE
  - Considérons un système de forces se réduisant, en un certain point A, à une force unique AF (Fig,37). Effectuons la réduction en un point 0 quelconque. Les éléments de la réduction sont : Ie)une force unique OR équipollente à AF ; 2°) un couple (AF, OR’) résultant de la teanslation de AF en OR, et dont l’axe OG est normal à OR.
  - Montrons que si OG est normal à la direction principale en un point quelconque de l'espace, le système est réductible à, une force unique. Effectuons la réduction en un
  - point ü de l’axe central j le couple OG étant, par hypothèse,rectangulaire avec l’axe central, le couple principal AG0 est nul : donc le système se
- p.24 - vue 31/159
- - 25
  - réduit à la force AR0 .
  - D’ où : La condition néce ssaire et suffisante pour gu*un système de forces
  - 4
  - soit réductible à une force unique est que l’axe OG du couple adjoint en un
  - point quelconque soit normal à la direction principale.
  - SYSTEMES DE FORCES REDUCTIBLES A UH COUPLE
  - Considérons un système de forces se résuisant, en un point 0, à un couple d'axe OG.
  - Un couple restant équivalent à lui-même quand on lui fait subir une translation quelconque dans lrespace, l’axe du couple adjoint reste égal a OG.quand on effectue la réduction en un point 0’ quelconque.
  - Montrons que si l’axe du couple adjoint est constant quel que soit le point où on effectue la réduction, le système est réductible à un couple.
  - Soient (Fig.3ü) OR et OG les éléments de la réduction en un point 0; en un point 0’ ils sont : 1°) une force unique O’R’ équipollente à OR, 2°) un couple dont les composantes de l’axe sont : l’axe O’G’ équipollent à OG, et l’axe
  - R
  - f7
  - R
  - G'
  - Fig.38
  - O’I du couple résultant du transport de OR en O’iî’. 0rr par hypotbêso, lo ooisplo résultant de O’G’ et de Q’F est égal à OG ; donc : O’F =0, d’où : OR = 0.
  - En remarquant que l’axe 0G est égal au moment résultant, on a le résultat suivant î
  - La condition necessaire et suffioante pour qu’un système de forces soit réductible à un couple est que le moment résultant du système soit le même par
  - r_aPP°rt a tous les points de l’espace.
  - Remarque : Un système de forces constituant un polygone fermé, plan ou gauche,, ost réductible a un couple, puisqu’il a une résultante nulle.
  - Considérons (Fig,39 - page 26) une droite d traversant le polygone plan JJ normal à d en un point 0. Projetons le polygone 12 3 ... surTF suivant
  - I’2’3’ .... On a :
  - md = iïIq (I’, 2’) = 2 aire (0, I’, 2’).
  - Or, puisque d traverse le polygone, le point 0 où elle coupe TC est in-
  - térieur au polygone projeté.
- p.25 - vue 32/159
- - 26
  - Donc, on a :
  - m* (1,2) + mt (2,3) + ... =2 aire (l’,2',3'...) d d
  - c’est-à-dire que le. moment résultant du polygone donné par rapport à' d est le double de l’aire de la projection du polygone sur un plan normal à d.
  - cormmoiïs D’équilibré
  - D’ III SYSTEME DE FORCES
  - Considérons un système de forces en équilibre.- Soient OFi et OG les éléments de la réduction en un point 0 ; le couple et la force unique doivent s’équilibrer, autrement dit la force unique est l’équilibrante du couple ; or, un couple a une résultante nulle, donc OR est nulle, et, par suite OG est nul aussi. Donc, pour qu’un système soit en équilibre, il faut et il suffit que la force unique OR et le moment résultant OG soient nuis simultanôimnt.
  - Théorème : Si le moment résultant d’un système de.forces appliquées à un corps solide est nul par rapport à 3 points formant triangle, le corps est en équili-
  - bre.
  - I‘) Si le moment résultant est nul par rapport à trois points formant triangle, il est nul en tout autre point. .En effet :
  - Considérons (Fig.40) un système de forces ay:ant des moments résultants
  - ’ Pp * nuis par rapport aux 3 points
  - A, B, C non en ligne droite. Soit 0 un point quelconque pris en dehors du plan ABC, et soit le
  - \ / moment résultant du système par rapport à 0. on a:
  - \ /
  - " ï ^OA % * Pr0A ;;0 = ra0A
  - Pr0A y Pr0A P0
  - or : pA = 0 par hypothèse, d’où prQA = 0,
  - de même, on a : prQD pQ = 0 et proc = 0.
  - Le moment résultant Uq ayant ses 3 projections.(sur 3 axes formant trièdre,) nulles est nul.
  - Remarque - Si lé point 0 était dans le plan ABC le raisonnement précédent ne
  - A Fig.40
- p.26 - vue 33/159
- - 27
  - serait plus valable j on appliquerait alors cette première partie précédente du théorème à un point 0’ quelconque pris en dehors du plan ABC, et en considérerait le trièdre dformé par le point'0 avec le point 0’ et 2 des points A , ij , G .
  - 2°) Si en tout point de l’espace le moment résultant est nul, le corps est en équilibre.
  - Considérons un point 0. L’axe 0G du couple adjoint est nul par hypothèse.
  - 4 "Sl Soit (Fig. 41 ) OR, la force unique. Effectuons la réduc-*
  - R !
  - 4 ' tion en un point 0j quelconque ; les éléuents de cette •
  - ! '• r
  - -i7 réduction sont : la force unique Q^R^ équipollente à
  - OR, et le couple OjF résultant de la translation de OR
  - ï
  - en OjiVj , Or, O^r est nul par hypothèse, donc OR est nullei Le couple adjoint et la force unique étant nuis tous les deux, le corps est en équilibre. C.Q.F.D.
  - 7
  - APPLICATI01T
  - Théorème - Si 2 systèmes de forces appliquées à un corps solide ont même moment résultant par rapport aux 5 sommets d’un triangle, ils sont équivalents.
  - Soient S et X’, 2 systèmes ayant même moment résultant par rapport à 3 points non en ligne droite. Soit £ le système obtenu en changeant de sens toutes les forces de X ’• Le moment^résultant de £’ est en tout point égal et opposé à celui de x/aux 3 points donnés. L’ensemble des 2 systèmes Z et X h A ALORS UN MOMENT RESULTANT NUL PAR RAPPORT AIDC 3 POINTS (formant triangle ) : d’apres le théorème précédent Z et X 'q s’équilibrent. Or, par consturction
  - ae X g $ les 2 systèmes £ ’ et Z q s’équilibrent également. Les 2 systèmes X et £ ’ équilibrant un système £ ^ sont équivalents. C.Q.F.D.
  - DROITES DE MOMENT NUL
  - DEFINITION
  - On sait que le moment résultant d’un système par rapport à une droite d est la projection sur d • du momnet résultant^ par rapport à un point 0 quelconque de d. Or, il se peut que cette projection soit nulle, ce qui a lieu quand le moment résultant par rapport au point 0 est perpendiculaire à d. On dit que la droite d est "de moment nul".
- p.27 - vue 34/159
- - 2 G
  - Il résulte que toute droite de moment nul est perpendiculaire à tous les moments résultants relatifs à ses différents points.
  - Théorème I - En tout point 0 de l’espace, il passe des droites de moment nul dont le lieu est le planTU du couple adjoint relatif au point 0. Ce plan TT est dit le "plan polaire du point 0".
  - En effet, soit OG le moment résultant en un point 0 ; on sait que OG représente aussi l’axe du couple adjoint quand on effectue la réduction au point 0. Or, toute droite de moment nul passant par 0 est perpendiculaire à OG jelle est donc dans le plan du couple adjoint.
  - Corollaire - Si deux droites de moment nul se coupent en un point P, leur plan est le plan polaire du point P.
  - En effet, les deux droites,étant de moment nul, sont perpendiculaires au moment résultant relatif à l'un quelconque de leurs points et, en particulier,
  - au moment résultant P G relatif à leur point de rencontre P ; elles détermi-
  - - -
  - nent alors un plan normal en P à P G : c’est le plan du couple adjoint en P, c’est-à-dire le plan polaire du point P.
  - Théorème II - Toute droite d coupant à angle droit l’axe central est une droite de moment nul.
  - En effet, considérons la réduction canonique dont les éléments sont 0 Rq
  - et 0 Gq . La droite considérée d étant perpendiculaire à l’axe central, la
  - projection de 0 Gq sur d est nulle. D’autre part d coupant l’axe central,
  - -—> Donc, le moment résultant par rapport à d
  - ,c’t mil ^omen^ 0 Rq , par rapport à d est nul*/ c’est une droite de moment nul.
  - Réciproque I - Toute droite d de moment nul qui coupe l’axe central lui est
  - perpendiculaire. *
  - En effet, d coupant l’axe central, le moment de 0 Rq par rapport à d
  - est nul* Or, d est, par hypothèse, de moment nul, il faut donc que le moment
  - —^
  - du couple adjoint par rapport à d soit nul, c’est-à-dire 0 Gq soit perpendiculaire à d.
  - Réciproque II - Toute droite d de moment nul, qui est rectangulaire avec l’axe central, le coupe.
  - En effet, d étant rectangulaire avec l’axe central, la projection de G Gq sur d est nulle ; or, d est, par hypothèse, de moment nul. Il faut donc que le moment de 0 Rq , par rapport à d soit nul, c’est-à-dire que d soit dans un même plan avec 0 Iq : donc, d coupe l’axe central.
  - «
- p.28 - vue 35/159
- - 29
  - Théorème III - Les plans polaires relatifs aux différents points d’une même parallèle à la direction principale sont parallèles entre eux.
  - En effet, on sait que les éléments de la réduction sont les mêmes en tous points d’une parallèle à la direction principale. Donc, les plans polaires, qui sont les plans des couples adjoints, sont tous parallèles entre eux. Théorème IY - Tout plan TT est le plan polaire d’un point P appelé "son pôle", ce point pouvant être rejeté à l’infini, ce qui a lieu quand T Test parallèle à l’axe central (en particulier quand il contient l'axe central).
  - 1°) Cas où JJ coupe l’axe central.
  - Soient (iig.42) ARq et AGq les éléments de la réduction en un point À de l’axe central. Soit IL un plan quelconque coupant l’axe central en A.
  - Soit Ax l’intersection deJIavec le plan TT ^ normal en A à l’axe central : Ax est une droite de moment nul d’après le théorème II précédent.
  - Soit M un point quelconque de JT ; d’après le théorème I, M a un plan polaire passant par M. L’intersection My de ce plan avec le plan TT est une droite de moment nul. Deux cas peuvent alors se présenter :
  - a) My et Ax se coupent en un point P. r
  - D’après le corollaire du théorème I, le plan qu’elles déterminent, c’est-à-dire le plan ÎT , est le plan polaire du point P. Donc, il a pour pôle le point P.
  - b) My et Ax sont parallèles.
  - Ax étant par construction rectangulaire avec l’axe central, My l’est aussi, et comme elle est de moment nul, elle coupe l’axe central en un point A’
  - d’après la réciproque II du théorème II. L’axe central ayant alors 2 points
  - A et A’ dans \\ est tout entier contenu dans jj . Toutes les perpendiculaires à l’axe central situées dans, il" sont, d’après le théorème II, des droites de moment nul ; comme elles sont parallèles, leur point d’intersection est rejeté a l’infini, donc, le pôle de Uest rejeté à l’infini.
  - 2 °) Cas où il est parallèle à l’axe central.
  - Dans ce cas, une parallèle à l’axe cnetral menée par un point de II est
  - tout entière contenue dans XT, Soit alors AA’ une droite de JT parallèle à l’axe central. D’après le théorème III les plans polaires de A et A’ sont parallèles : leurs traces (droites de moment nul) sur TT sont parallèles j leur point d’intersection est alors rejeté à l’infini, donc le plan H a son pôle à l’infini.
  - !
- p.29 - vue 36/159
- - 30
  - DROITES COIIJUGUEES
  - Conformément à la désignation introduite par PLUECIŸER, nous appellerais
  - dynamo tout système de forces appliquées à un corps solide.
  - Théorème I - Tout dyname est équivalent à un système de deux forces dont l’une
  - pi
  - portée par une droite arbitraire, pourvu que celle-ci ne soit/une droite de moment nul, ni une parallèle à l’axe central.
  - Soit, en effet
  - (Fig.43)une droite
  - d soumise à cètte
  - double restriction.
  - Prenons un point
  - quelconque A surcet-—^
  - te droite, A G l’axe du couple adjoint et IT le plan normal
  - en A à A G. Soit encore A R la résultante de translation des forces du dyname. Le plan mené par d et par A R coupe le plan IT suivant une droite Ax, différente de d, la droite d n’étant pas une droite de moment nul n’est pas située dans le plan LL. De plus, puisque d n’est pas parallèle à la directrice principale AR n’est pas sur d, on pourra donc décomposer AR en doux forces, une A F (ou F ) suivant d et une autre A(ou(|> j) suivant la droite Ax.
  - Soitr?>j (ou<J)j ) la force directement opposée à ^ q. Le couple adjoint
  - dont A G est l’axe peut etre réalise par la force <J) j et par une force
  - .
  - B(T> (ou ) portée par une droite 5 du plan TT-
  - Le dyname est initialement représenté par los forces R, <fT ot$ Cf > on remplaçant R par scs composants F et <|) } le dynamo est roprêsnnté par
  - les forces F , ^ ^ ^ ^ et (£> . Comme <j> q $ X sont égales et directement-
  - opposées, le dyname se réduit aux forces F,<ï> , portées par les droites res-
  - pectives d et S.
  - La droite ô est dite la conjuguée de la droite d.
  - Théorème II - Toute droite qui est dans un même plan avec la droite d et aus-si dans un même plan avec la conjuguée de d es;t une droite de moment nul, et, réciproquement, toute droite de moment nul qui est dans un même plan avec une
  - droite est aussi dans un même plan avec ses conjuguées.’En effet, d’abord si
- p.30 - vue 37/159
- - 31
  - la droite x est dans un même plan avec d et aussi dans un même plan avec
  - 6, les moments par rapport à x des forces F et $ sont nuis séparément, donc
  - le moment résultant du dyname par rapport à x est nul.
  - Réciproquement, si x est une droite de moment nul qui soit dans un même
  - —
  - plan avec d, le moment de F par rapport à x étant nul, il faudra que le moment de (J) soit aussi nul afin que le moment résultant par rapport à x le' soit. Par suite, x et sont aussi dans un même plan.
  - Théorème III -'La droite 5 conjuguée a*une droite d est le lieu des pôles des plans menés-par la droite d et réciproquement, la droite d elle-même est le lieu des pôles des plans menés par sa conjuguée 6.
  - En effet (Fig.44) soit E ce point ou ô est coupée par un plan mené par D, si l’on mène dans ce plan 2 droites DA, DD, ces droites sont de moment nul et, par suite, B, où se coupent ces deux droites est, d’après un théorème précédent, le pôle du plan ABD mené par d.
  - Si l’on mène un plan quelconque par ô et le point A de d, des droites quelconques AD et AC de ce plan sont de moment nul et, par suite, le point A où elles se coupent est le pôle de ce plan.
  - Remarque I - On observera qu’en joignant les pointsC et D on forme un tétraèdre ADCD dans lequel les arêtes opposées sont deux droites conjuguées et les 4 autres sont dos droites de moment nul.
  - Remarque II - Los droites d, ô sont chacune le lieu dos polos des plans menés par 1’autre, en sorte que d peut être définie au moyen de 6 comme ô l’a été au moyen de d. La droite d est la conjuguée de ô do même que 5 l’est de d.
  - Théorème IV - Deux droites conjuguées et l’axe central sont parallèles à un même plan.
  - En effet, soit F, <rT> les deux forces portées par les droites d et 6,conjuguées. Si l’on mène par un point P de l’espace les parallèles à F , <|) et que l’on construise la somme géométrique, cotto somme n’ost autre que la résultante de translation dos forces du dyname. Cette résultante étant parallèle à l’axe central, le théorème est démontré.
  - Corollaire I - La perpendiculaire commune à deux droites conjuguées coupe â
  - ongle droit l’axo central.
- p.31 - vue 38/159
- - 32
  - En effet, cette perpendiculaire est une droite de moment nul puisqu’elle coupe deux droites conjuguées, de plus, elle est normale au plan que l’on peut, d’après le théorème précédent, mener par l’axe central, parallèle à la fois à d et 6. Donc, d’après un théorème démontré antérieurement, cette droite coupe l’axe central à angle droit.
  - Corollaire II - Les projections de 2 droites conjuguées sur un plan normal à l’axe central sont parallèles.
  - En effet, d’après le théorème IV, les plans menés par d et 6 parallèlement à l’axe central sont parallèles. Ils sont donc coupés par le plan normal a l’axe central suivant deux droites parallèles.
  - Si l’on considère un ensemble de droites d, d’, d"... issues d’un point A, leurs conjuguées 5, ô’, 6" ..* sont dans le plan polaire a du point A.Cela résulte de la conception des droites conjuguées.
  - Il est, de même, aisé de sonstater que :
  - Théorème V - Si un planll passe par un point A, le plan polaire a de A passe au pèle P du plan TT.
  - En effet, le plan a polaire de A, coupe le plan] Lsuivant une droite x, issue de A, puisque A est dans le plan FT, par hypothèse. Cette droite x issue de A, dans le plan a polaire de ce point, est une droite de moment nul* D’autre part, une droite de moment nul x est dans le plan, elle passe donc par le pôle P de ce plan.
  - Comme x est aussi dans le plan d, on voit bien que le plan a passe au point P.
  - Théorème VI - Si l’on mène par une droite d un plan a parallèle à la direction principale, les droites de moment nul contenues dans ce plan sont toutes parallèles à la droite 6 conjuguée de d, le pôle du plan a est à 1’ in-fini sur 6.
  - En effet, le point A, où un plan mené par d coupe 6, pôle de ce plan et toutes les droites de moment nul qui se trouvent dans ce plan vont passer par ce point.
  - Lorsque le plan est le plan a mené par d et parallèlement à la direction principale, ce plan a est aussi parallèle à 5 et le point A est rejeté à l’infini. Dès lors, toutes les droites de moment nul, situées dans le plan a sont parallèles à 6.
  - Remarque - Tout plan a jparallèle à la diredtion principale a un pôle a 1’in-iini, dans une direction à laquelle sont parallèles toutes les droites 6
- p.32 - vue 39/159
- - - 53
  - conjuguées des droites d tracées dans ce plan.
  - Théorème VII - Deux droites 8 et 61 parallèles ont pour conjuguées des droites d, d’ situées dans un même plan parallèle à la direction principale.
  - IIous allons montrer que les deux plans a, a’ menés par d et d’ respectivement à la direction principale coïncident.
  - En effet, le plan FI mené par 6 et par 5* (parallèles coupe la droite d en un point P qui est le pôle du planÏT et il coupe de même d’ au même point les plans d, a’ parallèles; ces parallèles â 6, ô’ et à la direction principale ayant un point P commun coïncident.
  - La démonstration tombe en défaut si les droites ô, 6’ sont dans un mène plan [3 parallèle â la direction principale car alors ce plan est parallèle à d et à d’.
  - Mais, dans ce cas, on peut montrer que d, d’ sont parallèles. Cela résulte intuitivement de la remarque suivante :
  - Un dyname reste identique à lui-même par une translation suivant l’axe central. Les droites 6, 6’ étant parallèles et dans un même plan parallèle à la direction principale, on peut les superposer l’une à l’autre par translation parallèle à la direction principale dans les conjuguées d, d' de ô, ô’ ront
  - se trouve^/ ainsi superposées l’une à l’autre par la même translation, elles sont parallèles. On reconnaît, de plus, que d, d’ sont dans un même plan parallèle à la direction principale.
  - Si l’on considère une figure polyédrique (Aq) dans l’espace, composée de faces pleines juxtaposées suivant les arêtes de cotés communs, et que l’on prenne les droites conjuguées de ces arêtes, on constitue une 2e figure polyédrique (D0) dans laquelle aux polyèdres des faces de la première (Aq) correspondent des angles polyèdres dans la seconde et inversement. Les projections de ces polyèdres (A0) (D0) par un plan normal à l’axe central nous fourniront des figures qui interviennent dans les méthodes de la statique graphique des systèmes articulés plans.
  - .
  - EQUILIBRE DES CORPS SOLIDES GE1ÏES
  - Action mutuelle de deux corps l’un sur l’autre.
  - Considérons plusieurs corps solides en relation par contact, les contacts ayant liou suivant des surfaces géométriques données qui permettent une cer-
- p.33 - vue 40/159
- - 34
  - taine mobilité des corps les uns par rapport aux autres* Ces corps devant rester en contact, les seuls mouvements possibles sont ceux dans lesquels les surfaces en contact glissent les unes sur les autres.
  - Considérons alors 2 corps A et 3 en relation par contactât auxquels sont appliques des systèmes de forces. Soient et Sp les' surfaces de contact dos doux corps t S^ et Sjj sont tangentes en chaque point do contact. Soient (F.45)
  - Sb\
  - r r
  - Fig.41
  - /
  - ta
  - ma
  - W
  - A
  - \ A
  - ^A un P°Tnt de 5^, et IL,t le point do S., qui, à l'instant considéré, coïncide avec IL i Sous l'influence de:
  - forces appliquées aux 2 corps, ceux-ci tendent à prendre un mouvement de glissement de glissement l’un par rapport, à l’autre. Dans ce glissement, S^ exerce sur SB une action F-, et S„, exerce réciproquement sur
  - A
  - une action ; les deux forces F et Fp sont égales et opposées, mais non
  - appliquées au même point } F. est appliquée en IvL et F^ en Hr les 2 ooints et Lî-i étant en coïncidence à l’instant considéré.
  - Si les surfaces S^ et Sp sont parfaitement polies, elles n'opposent aucune résistance au glissement de l’une sur l’autre. Dans le cas contraire, la résistance opposée est appelée frottement.
  - Décomposons la force Fa en 2 autres : l’une 1portée par la normale à la surface S^ en 11^, l’autre portée par la tangente. T^représente la face de frottement- Si = o, se réduit à 1!^ : donc : dans le cas de Klis-sement sans frottement, l’action et la réaction, égales et opposées, sont nor-males aux surfaces au point de contact considéré.
  - EQUILIBRE D’UII C0F.PS ASSUJETTI A TOURilER AUTOUR D’UII AXE FIXE.
  - Le guidage d’un corps A assujetti à tourner autour d’un axe fixe A par rapport à un autre corps 3, est réalisé par une surface de dévolution R
  - ü.
  - (l’axe A) solidaire du .. corps mobile et embe. îtée dans une autre surfaco de révolution R (axe A) égale ot solidaire du corps fixe.
  - Soient Fj^ Fg ... Fn los forces directement appliquées au corps mobile A, et soient Rq , Rg ... R^ , les réactions oxorcéos £>ar la surface do révolution fixe sur la surface mobile. Supposons le corps en équilibre. Le moment résultant des forces et des réactions par rapport à un axe quelconque est alors nul ; on a en particulier pour l’axe A :
- p.34 - vue 41/159
- - 35 -
  - Si lTon suppose qu’il y a glissement sans frottement les réactions sont
  - normales aux surfaces de révolution en contact ; or, toute normale à une surface de révolution est dans un même plan avec l’axe de révolution A ; on a
  - donc :
  - 0
  - d’où il reste
  - ou
  - t ^ F. A i
  - 0.
  - Montrons que cette condition est suffisante pour qu’il y ait équilibre. Effectuons la réduction du système des forces I*U en un point 0 de 1 * axe A.Par hypothèse le moment résultant par rapport à A étant nul, l’axe ÛG du couple adjoint est normal à A, c*est-à-direque les 2 forces du couple sont dans un même plan avec A. Le système des forces ÏU est par c nséquent réductible à un système de 3 forces qui coupent l’axe A en des points auxquels on peut les supposer appliquées. Ces 3 forces sont donc détruites par les réactions de l’axe fixe. D’où :
  - La condition nécessaire et suffisante d’équilibre d’un corps assujetti à
  - tourner sans frottement autour d’un axe fixe A est : 2 m^ p. = 0.
  - ----------------------------------------------------A i______________
  - EQUILIBRE D’UII CORPS ASSUJETTI A GLISSER SUIYAIIT UIIB DROITE FIXE QU EQUILIBRE DU COUPLE PRISMATIQUE
  - Le guidage d’un corps A assujetti à glisser suivant une droite fixe d’un corps B est réalisé par une glissière rectiligne prismatique : un. prisme P^ solidaire du corps A peut glisser dans un autre prisme Pn solidaire du corps B* on remarquera que les profils des sections droites des 2 prismes ne sont pas nécessairement identiques ; il suffit de trois points de contact entre les profils pour réaliser un bon guidage, à condition toutefois que les 3 normales en ces points ne soient pas concourantes comme on le verra plus loin.
  - Soit A la droite fixe. Supposons le corps A en équilibre. La résultante des forces directement appliquées et des réactions est alors nulle, c’est-à-dire que la somme des projections des forces et des réactions sur une droite quelconque est nulle, et, en particulier sur l’axe A :
  - 0.
- p.35 - vue 42/159
- - 36
  - Or, on suppose que les frottements sont nuis, c’est-à-dire que les réactions sont normales aux faces des prismes, donc rectangulaires avec A, d’où :
  - PrA % 55 0 , prA R2 = Q, . . .
  - D’où la condition nécessaire pour l’équilibre':
  - Prâ FI + PrA f2 ♦
  - 0
  - ou
  - X PrA F. = 0.
  - Cette condition est suffisante. Etablissons d’abord le théorème suivant : Théorème : Tonte force située dans un même plan avec un triangle quelconque est équivalente à un système de 3 forces agissant suivant les 3 côtés du
  - triangle.
  - Soit (Fig.46) ADC un triangle quelconque et F une force située
  - dans son plan* Soit ivl le point d’intersection de la ligne d’action de F avec l’un de-s côtés du triangle. Appliquons F en II, et
  - décomposons cette force en 2 autres F et F’ portées par le côté DC du triangle et la droite AM. Appliquons F’ en A, et décomposons là en 2 forces Fg et
  - P3 portées par les côtés AC et AD du triangle» On a ainsi décomposé la force F en 3 autres forces portées par les côtés du triangle ADC.
  - Montrons maintenant que si l’on a :
  - la glissière rectiligne est en équilibre.
  - Effectuons la réduction des forces F^ en un point 0 de l’axe fixe A. La
  - projection de OR étant nulle, OR est perpendiculai-
  - re à A, c’est- '.-dire située dans un plan de section droite des prismes. Quant au couple adjoint : si 0G
  - est parallèle à A les'2 forces du couple sont situées dans un môme plan de section droite avec OR ; si, au contraire, 0G n’est pas parallèle à A, le plan du couple et le plan de section droite se cou-
  - pent suivant une droite Ox normale à A, et on peut toujours par rotation du couple dans un plan amener les 2 forces à etre parallèles à Ox, c’est-à-dire à etre chacune dans un plan de section droite» Considérons alors les 2 profils des sections droites, et soient (Fig.47 - page 37) L, M, II trois points de contact* Les réactions s’opèrent normalement aux profils en L, M, II et sont contenues dans le plan de section droite. Soit L’, M’, II’ le triangle qu’elles
  - forment.
- p.36 - vue 43/159
- - FASC. IV
  - B
  - 37
  - A
  - le système des forces directement appliquées à un système de forces portées par les mêmes droites que les
  - D’après le théorème précédent, on peut décomposer dans leurs sections droites respectives les deux forces du couple et la force OR en 3 forces portées par
  - les cotés du triangle L’II’ II’. On peut donc ramener
  - réactions. Donc, si la liaison permet aux réactions de
  - se développer dans les 2 sens sur les normales aux points de contact, il y a toujours équilibré ; si, au contraire, la liaison permet aux réactions de se développer dans un sens unique, ou bien il y a équilibre, ou bien le couple est dissocié (Fig.40).
  - Remarque - Si les profils n’ont que 3 points de con-
  - tact L, II, IJ, et si les normales en ces points sont \ concourantes, la décomposition des forces du couple
  - et de la force OR en 3 forces portées par les cotés du
  - triangle L’Ii’IT’ est impossible. liais dans ce cas le
  - l'ig.4o corps n’est plus assujetti uniquement à glisser sui-
  - vant A : une rotation infiniment petite peut s’effectuer autour du point de concours I des normales ; on a vu, en effet, dans le cours de Cinématique que dans ce cas I est un centre instantané de rotation.
  - En résumé : La condition nécessaire et suffisante d’équilibre d’un corps assujetti à glisser suivant une droite fixe A est
  - y prA Fi = o.
  - EQUILIBRE DU COUPLE VERROU
  - Le guidage d’un corps A assujetti à tourner autour d’un axe fixe A par rapport à un corps B, et à glisser suivant ce même axe, est réalisé par un cylindre de révolution d’axe A, solidaire de A, et emboîté dans un cylindre égal C. , de même axe, solidaire de 3.
  - o
  - S’il y a équilibre, on a :
  - et
  - A i 1 A i
  - Or, on suppose que les réactions sont normales aux surfaces cylindriques en contact, donc elles coupent l’axe A à angle droit. D’où :
  - U ^ % = o et n
  - m* R A i
  - 0 .
- p.37 - vue 44/159
- - 3S
  - Il reste :
  - 2 prâ h . - 0 et Z>û Fi - ° •
  - Montrons que ces deux conditions sont suffisantes pour l'équilibre.
  - Effectuons la réduction du système des forces F^ en un point 0 de d’axe A . La projection de OR sur A étant nulle, OR est perpendiculaire à A. De même, le moment résultant par rapport à A étant nul, l’axe OG du couple adjoint est perpendiculaire à A, c'est-à-dire que le plan du couple contient A î on peut alors choisir le couple dans son plan de telle façon que æs 2 forces soient perpendiculaires à A et appliquées en deux points de cet axe. Donc le système des forces est réductible à 3 forces perpendiculaires à A et appliquées en des points de A : par suite, il y a équilibre puisque les réactions coupent A à angle droit.
  - En résumé : Les conditions nécessaires et suffisantes d’équilibre d’un corps assujetti à tourner autour d’une droite fixe A et à glisser suivant cette droite sont :
  - V"1 prA F. = 0 et nf F. = 0
  - EQUILIBRE D’UD CORPS ASSUJETTI A TOURITBR AUTOUR D’UN POINT FIXE OU EQUILIBRE DU COUPLE SPHERIQUE.
  - Le guidage d’un corps A assujetti à tourner autour d’un point fixe 0 par rapport à un autre corps B est réalisé par une sphère de centre O solidaire de A enboîtêe dans une autre sphère de même rayon solidaire de B.
  - S’il y a équilibre, le moment résultant des forces directement appliquées et des réactions est nul par rapport à un point quelconque, et, en particulier, par rapport à 0 :
  - 2 F. +h_i ^ R = o .
  - 0 i ' Oi
  - Or, on suppose les réactions normales aux surfaces sphériques en contact : elles passent donc par 0. D’où :
  - X-1 t R. = 0
  - 0 î
  - F. = 0
  - — 0 î
  - Montrons que cette condition est suffisante. Effectuons la réduction des forces F^ au point fixe 0. Le moment résultant en 0 étant nul, le couple adjoint en Oest nul ; le système se ré.duit alors à une force unique passant par le point 0 : cette force est équilibrée par les réactions passant par 0.
  - En résumé : La condition nécessaire et suffisante d’équilibre d’un
- p.38 - vue 45/159
- - 39
  - E
  - m
  - ^ F. = 0 .
  - Oi u *
  - EQUILIBRE D’UIT CORPS ASSUJETTI A GLISSER SUR UH PLALI FIXE OU EQUILIBRE DU COUPLE DU PLAIT
  - Lo couple plan est un cas particulier du couple sphérique : celui où le rayon des 2 sphères- en contact devient infini.
  - Soit \\ un plan sur lequel un corps est assujetti à glisser. Si le corps est en équilibre, la résultante des forces directement appliquées et des réactions est nulle, c’est-à-dire que sa projection sur une droite quelconque
  - et
  - particulier, sur 2 droites de B
  - xru Pr Ox F i •V + Elu pr R. • Ox i = 0
  - V"T Tj pr °-y F. i + «i = 0
  - De plus, le moment résultant par rapport à une droite quelconque est nul, et en particulier par rapport à une droite Oz perpendiculaire à \\ :
  - m F Oz i
  - + z_. iiT R. Oz i
  - 0
  - Or on suppose que les frottements sont nuis, c’est-à-dire que les réactions sont normales à IT , d'où :
  - Z pr0x - 0 , X pr0y R.
  - = 0
  - et
  - Il reste :
  - et
  - /
  - pr. F. Ox i
  - X
  - = 0
  - R. = 0 .
  - Oz i
  - S Pr F. Oy i
  - = 0
  - V1 m F. = 0 .
  - 2_! Oz 1
  - Montrons que ces trois conditions sont suffisantes pour qu’il y ait équilibre dans le cas d’une liaison bilatérale. Effectuons la réduction en un point 0 quelconque du plan TT; les projections de OR sur 2 droites quelconques de IT étant nulle s, Or est normale à IL; d’autre part le mouvement résultant par rapport à une droite normale àll étant nul, l’axe OG est contenu dans H, c’est-à-dire que le plan du couple est normal à TI , et on peut alors représenter le couple par 2 forces perpendiculaires à IT. Ainsi le système des forces F^ est équivalent à 3 forces perpendiculaires à~li .
  - Il y a donc toujours équilibre puique la liaison bilatérale permet aux réactions de se développer dans les 2 sens sur les normales à li.
  - En résumé : Les conditions nécessaires et suffisantes d’équilibre d’un
- p.39 - vue 46/159
- - 40 -
  - corps assujetti à glisser sans frottement sur un plan i-i sont dans le cas d'une liaison bilatérale :
  - 0
  - (Ox et Oy étant 2 droites quelconques de ITnon parallèles, et Oz une per-
  - pendiculaire à A L ).
  - Remarque - Dans le cas d’une liaison unilatérale où le couple est disse
  - ciable, les 3 conditions précédentes sont nécessaires mais non suffisantes ÎIous allons étudier un cas particulier d’une liaison unilatérale.
  - Problème - Chercher les conditions d'équilibre d’un corps pesant reposant
  - sur un plan horizontal par 3 points formant triangle.
  - Soient (Fig.49) A,B,C les 3 points d'appui du corps en équilibre sur le plan horizontal.
  - Les réactions R^, R^, qui se développent res-
  - pectivement en A, B, C sont portées par les verticales ascendantes. La ré-
  - sultante R^ des 2 réactions R^ et R , forces parallèles et de même sens,
  - me la résultante R de R et R , qui est celle des
  - U O
  - 3 réactions en A, B, C est appliquée en un point G'
  - ^ X— __ \ ! de DC entre D et C, c’est-à-dire intérieur au trian
  - /D
  - / ___gle ABC, et est portée par la verticale ascendance.
  - Or le corps étant en équilibre, son poids P est égal et opposé à la réaction R, donc est porté par la verticale en G’, ce qui peut s’exprimer de la façon suivante : le centre de gravité G du corps se projette sur le plan horizontal en un point intérieur au triangle ABC dit "de sustenta-
  - tion".
  - Montrons que cette condition est suffisante pour qu’il y ait équilibre. Soit G’ la projection du centre de gravité du- corps sur le plan horizontal ABC. Soit D l’intersection de G’C avec AB. Décomposons le poids P en 2 forces verticales appliquées en D et C ; le point G’ étant compris entre D et C, les 2 forces P^et Pq sont de même sens que P ; décomposons maintenant P^ en 2 autres forces verticales appliquées en A et B : et P^ sont encore de même sens que P. Le poids P est ainsi dé-
  - composé en 3 forces verticales de même sens que P appliquées aux points A, B, C, c'est-à-dire portées par les mêmes droites que les réactions et en sens contraire. Il y a donc équilibre.
- p.40 - vue 47/159
- - 41 -
  - Déterminons les réactions R. , R , R aux 3 points d’appui. Ces ré-
  - actions sont égales et opposées respectivement aux composantes PA , P., f
  - A
  - Pç du poids P. Or, on a :
  - pc
  - d ’ où
  - de meme, on a :
  - d’où on tire :
  - x CG’ = PD x G’D
  - P P
  - PA „ PD
  - AD
  - Rr
  - RB " “ PB.
  - R = - P A A
  - AB
  - G’D
  - AB
  - CD
  - ETUDES ANALYTIQUES DES D Y II A II B S
  - PREL IiniIAIRES
  - ORIENTAT ION D’UN TRIEDRE DE COORDONNEES (Fig.50).
  - On adoptera pour sens direct d’un trièdre de coordonnées 0 (x, y, z) le sens défini de la façon suivante : l’axe Ox doit, pour se superposer à Oy, tourner de 90° de droite à gauche pour un observateur personnifiant l’axe Oz.
  - COORDONNEES D’UII POINT M - Etant donnés (Fig.5l) un trièdre direct 0 (x, y, z) et un point 21 de l’espace, on appelle coordonnées du point M les mesures algébriques x, y, z des projections du vecteur 0 H sur les axes Ox, Oy, Os.
- p.41 - vue 48/159
- - - 42
  - mes prQ^ CM’
  - PROJECTIONS D’UNE FORCE
  - Soient (Fig.52) x, y z les coordonnées du point d’application M de z
  - la force, et soient x’, y’f z’ celles du point M* extrémité du vecteur représentant la force.
  - Dans le triangle OMM’, on a :
  - OM’ = OM + MM* .
  - i
  - En projetant sur l’axe Ox, on a :
  - = mes pr'Qx OM + mes prç MM1 . .
  - On a donc en posant mes jjTq MM’ ~ X :
  - x’ — x + X d’où X = x’ - x
  - et par projection sur Oy et Oz, on a de même :
  - Y = y’ - y et Z = z ’ - z
  - MOMENT D’TJNE FORCE PAR RAPPORT A L’ORIGINE DBS COORDONNEES
  - Soient (Fig.53) x, y, z les coordonnées du point M d’application de la force F, et soient X, Y, Z les projections des vecteurs MM’ représen-
  - Le moment de F par rapport à 0 a pour projections sur les 3 axes Ox, Oy, Oz, des vecteurs qui sont les moments respectifs de F par rapport à ces axes» Cherchons alors le moment de F par rapport à l’un
  - Menons par M des axes ïJx^ , My^ , Mz^, parallèles aux axes Ox, Oy, Oz. Soient projections de MM’ sur ces nouveaux axes. D’après un théorème sur le momént résultant d’un système de vecteurs concourants on a en valeurs algébriques puisqu’il s’agit de moments par rapport à un axe :
  - mÎL MM* =
  - Oz
  - m . MM’ Oz y
  - m _ MM’
  - 0 z z
  - Or, MM’ étant dans un même plan avec Oz, on a
  - m MM’ = 0
  - Oz z
  - d’où : i_^
  - nÆ MM’ = m^ MM’ +
  - Oz Oz x
  - Or, étant perpendiculaire à 0Z , sa projection sur un plan per-
  - pendiculaire à cet axe lui est égale, on a alors :
  - mr MM’
  - 0 z y
- p.42 - vue 49/159
- - m MM»
  - Oz x
  - —>
  - long MM»
  - x
  - y
  - long MM»
  - x
  - d’où
  - un îi?
  - Oz x
  - y x
  - et
  - X
  - m0Z iffi'
  - X
  - Pour doterminer le signe, il suffit de remarquer que si y et X sont
  - simultanément positifs, le vecteur MM» est sinistrorsum, et donc son moment
  - x
  - négatif, d’où : ,
  - LM»
  - Oz x
  - - - y X
  - (on verrait que si l’un des 2 facteurs changeait de signe, ou tous les 2 simultanément, le moment est toujours égal à - y l).
  - On a également :
  - 1 m't 1 Oz MM’ y = 1 x Y
  - IlÆ m? — + x Y
  - y
  - or, si x et Y sont positifs, le vecteur MM.’ est dextrorsum, on a donc :
  - m^ MM’ = + x Y
  - Oz y
  - d’où :
  - m"k MM’ = x Y - y X - N .
  - 6z
  - Par permutation circulaire, on a :
  - m HM* = y Z - z Y = L . ~ Ox --------------------------------
  - -JtL/Vv. {XrtS~'~ v-i
  - OC JTfMÂMT
  - St :
  - mt IM' ~ z X ~ x Z = -Oy
  - M .
  - MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT A UN POINT QUELCONQUE
  - Soient (Fig.54) donnés la force F de projections X, Y, £, appliquée au
  - Fig.54
  - point M de coordonnées x, y, z, et le point M1 de coordonnées x’, y’ , z’ par rapport auquel on cherche le moment de F.
  - Par M’ menons des axes M’_ , M’ _ , M» , res-
  - xl y I z I
  - pectivement parallèles aux axes Ox, Oy, Oz ; et cherchons les nouvelles coordonnées du point M . Dans le triangle OM’M on a :
  - ÔÏT = ÔM» + MPM .
  - En projetant sur M’ parallèle à Ox, on a :
  - x I
  - X » X» + X
  - ou
  - I
  - XJ = x - x’
  - • <
  - ,
  - m
  - 1 toit,
  - lllj
  - ||k
  - m
  - f|l
  - I p
  - I
- p.43 - vue 50/159
- - 44
  - Zj = Z - Z
  - et, de mène :
  - yx = y - y’ et En appelant L’ , M’ , N’ les projections du moment de F par rapport à l’origine des nouvelles coordonnées, on a, d’après les expressions trouvées précédemment :
  - L’ = (y. - y* ) Z - (z - z ’ ) Y
  - îi
  - = (2-zT)X-(x-x’)Z
  - N’ =
  - Or, on a
  - yZ - zY = L
  - en appelant L; Ll, N les projections du moment de F par rapport a 0. D’où :
  - L’ = L + Yz’ - y’Z
  - M’
  - . NUZ*'-«'X
  - COORDONNEES a*IM DYNAHE
  - N’ * N+Xÿ'- «'"y
  - Considérons un dynamo, c!est~à-dire un système de forces F $ F
  - ^ 2
  - Fn ayant pour projections respectives (Xj , Yj , Z_.) ... (X^ , Y , Zn) si appliquées aux points (xj , y^. , z^) ... , yn , zj.
  - La projection de la somme géométrique étant égale à la somme des projections des composantes, on a :
  - X = x: ♦ x2 + ... + xn =2xi
  - P
  - De même pour le moment résultant au point 0, on a :
  - _ V
  - ^ = Lt + h, + * • * + ^ = ^ Li
  - L’ensemble des projections éC , ‘Yj de la somme géométrique et des projections Y? , JOT,, du moment résultant par rapport à l’origine, est appelé le "SYSTEMS DES 6 COORDONNEES DU DYNAHE"
  - COMPOSITION DES DYNAMES
  - Pour composer deux dynames, on fait la somme géométrique des forces * du premier dyname, celle des forces du deuxième et enfin la somme géométrique de ces sommes géométriques partielles ; il en est de même pour les moments. En projection on a donc :
- p.44 - vue 51/159
- - 45
  - =3e z + ar2 ^ y = ... ^ = ...
  - et ^ = X;' T + i7 0 , SUT- = ... ’-'X = ... .
  - Donc, pour composer des dynames on'ajoute les coordonnées de même nom.
  - REDUCTION D’UN DYNAME A UNE FORGE UNIQUE ET UN COUPLE
  - I - Réduction à l’origine des coordonnées.
  - Soit donné le dyname X f JJ ,3Yt ,XL .
  - La force unique, égale à la somme géométrique a pour projections X, cÿ , %f y et étant appliquée au point 0, elle a pour moment par rapport au point 0 : o , o , o .Le couple a pour projections (résultante nulle) : o , o , o ; et pour moment (l’axe du couple adjoint étant égal au moment résultant au même point) : Q ,JTl, 0X> ,
  - II - Réduction en un point 1.1 ’ (x’ , y’ , z’) quelconque.
  - Soit toujours donné le dyname JC , ^, JJ , DTC, 3Z* • La force unique
  - appliquée en MT a pour projections X et pour moment, par rapport
  - à 0 (y’ ry - z’ y ), (z’ % - x’ y ) , (x’ '}) - y* X )*
  - Le couple a pour projections o , o , o ; et a pour axe le moment résultant par rapport au point H’ :
  - JJ1 i - (l + Yz' - y'Z)
  - = L + z' Y - y* Z
  - = 0 + ÿ z' - % y'
  - RTL’. - J R + g-x' -.JC z’
  - trv = $1 + JT y' -y x' .
  - ’ on a :
  - (y1 en ér - *’ y ) + ( £ + y z' - ^ y’) = C
  - (z' d: - x' g- ) + (J1T+ y x1 -JC z' ) = JZ
  - (x’ y - y’ St ) + 1 *>s H + X’) = XL
  - don0 la somme des moments par rapport à 0 de la force unique et du couple adjoint est égale, au moment par rapport à 0 du dyname.
  - REDUCTION CANONIQUE
  - Dans la réunion canonique, l’axe du couple adjoint et le vecteur unique R, étant portés par la même droite, ont leurs projections proportionnelles. XL , X , X étant les projections de la force unique appliquée en un point H’ (x’ , y’ , z’) de l’axe central, et CL ’ , RTL ’ t XL ' étant celles de l’axe du couple principal ou moment résultant en M’, on a dcn c :
- p.45 - vue 52/159
- - v° FASCICULE
  - dT où
  - £ ' £ ♦ V Z. - >
  - Jft - = on * J X1 - X
  - 3%' = m i + X y - y
  - C* z' - 3- y’ . jh * :
  - or, on sait que si on a les égalités n étant fl.es nombres quelconques) :
  - al + bm + en a'1 + fc'm + c ’n
  - Hui ti-p lions alors les 2 termes du Ier rapport par J3C , ceux du 2eme par <lj , ceux du 3ème par X , et additionnons ; on obtient, après simplicica-
  - ex* on y * Pt
  - ü ' o
  - tion du numérateur :
  - or + y
  - jrZ yz
  - 2 *y 2
  - + 0
  - 2 2 + 3r = R
  - d’ où
  - XX * * 913,
  - Rz R
  - G* et R étant constants, ( xx + ) est constant.
  - Posons
  - ex * oit y * m3
  - _— -------------------h
  - R2
  - £ étant des moments, donc homogènes à des aires, le numérateur
  - est homogène à un -volume, par suite h est homogène à une longueur ; h est appelé le "pas" du dyname ; et l’expression £ OC + OTL + JCJ = est "L’INVARIANT” du dyname.
- p.46 - vue 53/159
- - sont a’, (3', Y'. Soit G l’angle des 2 axes 5 et ^
  - et en projetant sur
  - pr l Ÿ = pr £ Yx + pr V„ + pr
  - mes pr , V = mes pr . + mes pr
  - V cos Q = a' Vx + (3' vy + Y» v.
  - ^ a
  - d ’ où :
  - V = v cos ® = (aa’ + [3(3’ + YY’) v
  - d’où on tire
  - cos O = aa’ + (3)3’ + YY'
  - Si les axes 6 et | sont orthogonaux, on a :
  - aa' + (3(3’ + YY’ = 0
  - PROJECTION DU COUPLE ADJOINT SUR L’AXS CENTRAL
  - On a déjà établi, par des considérations géomét )rojec-
  - tion d’un couple adjoint quelconque sur l’axe centra ir cons-
  - tant. I.Iontrons-le par l'analytique.
  - L’axe IP G du couple adjoint en un point H'(x’, .e moment
  - résultant en ce point, a pour projections sur les ax
  - c ' = c + y z' - i y'
  - JZ' = JK + J x’ - X Z
  - 31' = 3t + X r - y X'
  - D'autre part, la force unique H'R, c'est-à-dire la direction princi-pale a pour cosinus :
  - R R
  - La projection de M’G sur la direction principale a alors pour valeur, d’après l’expression trouvée plus haut :
- p.47 - vue 54/159
- - 48 -
  - ---> %
  - pr , H» G = — £ ’
  - H’R R
  - *
  - + TJh' +
  - £ ^ JTt1 *> ? X
  - R
  - R
  - = Cte
  - CONDITION POUR QU’UN DYNA1IE SOIT REDUCTIBLE A UNE FORCE UNIQUE
  - Si le dyname est réductible à une force unique, le momentrésultant en tout point est rectangulaire avec l’axe central ; sa projection sur celui-ci est donc nulle, c’est-à-dire qu’on a :
  - £6
  - 0 ,. d’où
  - 0 ,
  - et réciproquement si 5^ = £j OL + DTRfxj + X ^ = 0 le dyname est réduc-
  - tible à une force unique.
  - CAS D’UN SYSTEIIE DE FORCES PARALLELES - CENTRE DES FORCES PARALLELES
  - On a vu sur le chapitre relatif à la composition des forces parallèles,
  - — > -------->
  - qu’étant données 2 forces parallèles quelconques A^F.r et A^F^ ~eur suit an-
  - te passe par un point 0 du sommet AjAr, tel que .*
  - AI FI
  - F
  - 2
  - ® étant égal à + ou à - I suivant que les 2 forces sont de sens contraires ou de même sens. Ce point dépend de la valeur des forces et 'de leurs sens, mais il est indépendant de leur direction commune.
  - D’une manière générale, étant donné un système de forces parallèles appliquées en des points A^ , , ... A^ , il existe un point C tel que la résul-
  - tante passe constamment par C quand la direction commune des forces varie. Ce point C est appelé le "centre des forces parallèles".
  - Démontrons analytiquement que ce point existe et cherchons ces coordonnées
  - Soient a , (3 , T les cosinus directeurs de la direction commune des forces, et soient , F , ••• Fn ces forces prises avec le signe + ou - suivant leur sens.
  - La résultante F a pour valeur :
  - F = F + F + . . . + F = V1 F. .
  - I 2 n 4_i x
  - si X, y , g, , c , 3H, si sont les 6 coordonnées du système des forces parallèles> et si X^ , Y- , Z^ sont les. projections d'une force F^ appli quée au poipt de coordonnées x^ , y^ , z± ,
  - on a :
- p.48 - vue 55/159
- - et, de même : et l’on a; de plus
  - - E
  - de même
  - 7i. (YF,)
  - 5osons maintenant
  - ces 3 coordonnées x
  - y = (3 F et Y = -YF
  - c - Z(yi “* zi Z)
  - zi (P ?!) = Y SyiFi - p Fi
  - jTL = a IHzi Fi - Y Ex, F.
  - yc = (3 Vx. F 1 î î - « E Yi F,
  - = Zü xi D . T. - Fi . -,
  - F F
  - = C zi fi
  - Zç définissent un point c. Montrons que la rê-
  - c ' “c
  - sultante passe par ce point. En portant ces valeurs dans les expressions de
  - L y JTC , 3C on a :
  - or,
  - d’ où
  - a F =
  - Y F x yc - (3 F x zc
  - a F x zc - y F x xc
  - (3 F x xc - a F ^ y’ c
  - X , (3 F = y , TF =3
  - c = 3 yc - y zc
  - jrt - X zc - y xc
  - ot = ï xc - X
  - ce qui exprime que le système des forces parallèles est équivalent à la force F appliquée au point de coordonnées xc , yc , £ ; et on voit que ces coordon-
  - nées étant indépendantes de a,- [3, Y, le point C est indépendant de la direction des forces. #
  - Remarque - Dans le cas où les forces sont parallèles * à Oz, on a : X = 0
  - Yp = 0 , Zj_ = Fa . Le moment par rapport à Ox d'une force Fj se réduit al or
  - à Fc . Ce produit y^ F- est appelé le moment de F^ par rapport au plan zOx
  - Or, d’après les expressions des coordonnées du centre des forces parallèles, on a :
  - yc F =
  - v i
  - 2-, Y± Fi
  - Qxi voit donc que le moment de la résultante F par rapport à un plan est égal à la somme des moments des composantes par rapport au'même plan. C’est, le théo-
  - rème des moments par rapport à un plan.
- p.49 - vue 56/159
- - 50
  - CENTRES- DE G R A-Y I T E
  - Définitions
  - PESANTEUR - Tout corps, si petit soit-il, est attiré vers le sol par une force dite de pesanteur.
  - VERTICALE - La direction de cette force reste sensiblement constante lorsqu’on s’écarte quffisamment peu d’une position initiale donnée. Cette direction est appelée la verticale de la position donnée* Si la terre était rigoureusement sphérique et ne tournait pas sur elle-même, la direction de la pesanteur passerait constamment par un point fixe, centre de la sphère terrestre ; mais la pesanteur est la résultante de l’attraction de la terre et de la force centrifuge.
  - CENTRE DE GRAVITE ET POIDS - On sait qu’étant donné plusieurs forces parallèles, il existe, à moins qu’elles ne soient équivalentes à un couple, un point dit "centre des forces parallèles" auquel est appliqué la résultante et qui est indépendant de l’orientation des forces. Or, les forces de pesanteur parallèles quand on les considère suffisamment rapprochées les unes des autres, ne peuvent être réductibèes à un couple ,puisuq’elles ont toutes le meme sens ; il existe donc un centre des forces parallèles de pesanteur qu’on appelle le centre de gravité ; la résultante est appelée le poids de l’ensemble des points pesants.
  - POIDS SPECIFIQUE - Considérons un corps quelconque et concevons que l’on découpe un petit volume v ; soit p le poids de ce volume ; le rapport-L-= représente le poids de l’unité de volume : on l'appelle poids spécifique.
  - CO RP'S HOIJOGENE - Si le poids p est le même quel que soit le point du corps où on prélève le volume v , le corps est dit homogène, et cjd est le meme pour tous les points du corps. Dans ce cas,le poids d’un volume v quelconque du corps a pour valeur p = u> v.
  - Considérons deux corps homogènes, de formes identiques, mais constituées par des matières différentes dont 7Ô et ’ sont les poids spécifiques. Leurs
  - poids sont : p = O) v et p’ = a) ’ v ; et on a _L_ = s d’où
  - W F1 O)’
  - p =----- p’ ; le poids de l’un des corps est donc égal au poids de l’autre a
  - ci) ’
  - un facteur constant près qui est le rapport des poids spécifiques. Or, on voit, d’après les expressions des coordonnées du centre des forces parallèles que celui-ci reste le même quand on multiplie toutes les forces par un même coef-
- p.50 - vue 57/159
- - 51
  - ficient ; donc,'le centre de gravité d’un corps homogène est indépendant du poids spécifique, et il ne dépend que de la forme géométrique du corps.
  - THEOREMES RELATIFS AU CENTRE DE GRAVITE DES CORPS ADMETTANT UNE SYMETRIE
  - I - Si un corps homogène admet un plan de symétrie son centre de gravité est dans ce plan.
  - II - Plus généralement, si un corps homogène admet un plan diamétral, son centre de gravité est dans ce plan.
  - Un. plan est dit diamétral si les éléments du corps peuvent être groupés 2 à 2 de façon telle que la droite joignant 2 éléments correspondants ait une direction fixe et son milieu dans IT-
  - III - Si un corps homogène admet un axe de symétrie, ou, plus généralement, un diamètre, son centre de gravité est sur cet axe ou sur ce diamètre.
  - IY - Si un corps homogène admet un centre de symétrie , son centre de gravité coïncide avec ce centre de symétrie.
  - CENTRE DE GRAVITE DE SURFACES ET DE LIGNES
  - De morne qu’on considère le poids d’un corps ayant un volume fini, on est amené à considérer le poids d’une surface ou d’une ligne admettant par conséquent,,, un centre de gravité.
  - Une surface pesante est un solide dont une dimension est infiniment petite. Une ligne pesante est une surface canale dont le rayon de la sphère générât- lice est infiniment petit.
  - Un point matériel d’une ligne pesante est pesant : il coïncide avec son centre de gravité.
  - Les lois de symétrie, énoncées plus haut relativement au centre de gravité des corps homogènes sont applicables au cas des lignes et surfaces pesantes .
  - DETERMINATION DE QUELQUES CENTRES DE GRAVITE
  - I - Centre de gravité de 3 poids égaux placés aux sommets d’un triangle. Le centre de gravité de 3 poids égaux placés aux sommets d’un triangle est le point de concours des médianes du triangle. En effet (Fig.55 - p.52) soient Q , Qg , Qç les poids placés en A, B, G. La résultante Qg - ^ des poids
  - Q et Qç est appliquée au milieu A’ de BC puisque Qg = Q^ . Et la résultante de Qg + c et Q^ est appliquée en un point G de A A’ , médiane du triangle ABC, tel que : ‘ GA Qg + Qc _ 2
  - GA’
  - I
- p.51 - vue 58/159
- - 52
  - On voit que G est au
  - des médianes.
  - o
  - £
  - de AA' , c’est-à-dire est au point de concours
  - iua, U
  - II - Centre de. gravité de 3 poids placés aux soumets d’un triangle et )pottionnels aux cotés opposés.
  - centre de gravité du cercle inscrit dans le
  - V i* _L cl Xi; L J> O G !
  - au o filtre
  - (Fig.56), par hypothèse, on a :
  - ^A _ Qp _ Qr
  - 6C
  - La résultante de Qg et Qq est appliquée en un point A' de BC,tel
  - que :
  - AjB
  - d’ où
  - AiB
  - Aic
  - b
  - A
  - il-
  - ce qui montre que A^ est le pied de la bissectirce de l’angle A . La résu
  - tante de Q et Q est alors appliquée en un point G de cette bissectrice.
  - B + C a A
  - Jri voit, par le meme raisonnement que G est sur la bissectrice de l’angle B
  - A
  - et sur celle de l’angle C ; il est donc au point de concours des bissectrices, c'est-à-dire dans le triangle ABC.
  - III - Centre de gravité du périmètre homogène d’un triangle.
  - Le centre de gravité est au centre du cercle inscrit dans le triangle ayant pour sommets les milieux des côtés du triangle donné. En effet, (F.57)
  - Fig.57
  - soient A’, B’, C’ les milieux des côtés du triangle donné ABC. A’ étant le centre de symétrie de la ligne pesante BC, le poids P de BC est appli-
  - il. .
  - qué en A’, de même les poids P_, et , de AC et
  - B G ’
  - AB sont appliqués respectivementen B’ et C’. Or, on suppose le périmètre homogène : les poids des côtés sont donc proportionnels à leurs longueurs, c’est-à-dire qu’on.a :
  - A’
  - B'
  - a b c
  - .1 il<"a. 1 G 3. G trois points A', B’ C’ étant les milieuxdes côtés du triangle ABC, on a
  - a
  - 2 B’ C’
  - 2 A’ C’
  - = 2 A’ B’
- p.52 - vue 59/159
- - d’ ou
  - B'C’ lai C’ a»B>
  - et on est alors ramené au problème précèdent : 3 poids placés aux sommets du
  - triangle A’B’C’ et propottionnels aux cotés opposés.
  - I •
  - IV - CENTRE DE GRAVIT B DE L'AIRE D'UN TRIANGLE HOMOGENE
  - Le centre de gravité est au point de concours des médianes (Fig.58) .
  - ig. 58
  - Découpons le triangle en ^andes de largeur infiniment petite parallèles au coté BG ; Le centre de gravité de chacune des bandes est en son milieu, ’c ’ est- .-dire sur la médiane AA’ ; le centre de gravite de l’ensemble est donc sur AA’ . 0n voit de même qu’il est sur les médianes BB’ et CC’ ; donc il est à leur point de concours.
  - V - CENTRE DE GRAVITE DE L’AIRE D’UN TRAPEZE HOMOGENE
  - Le centre de gravité est sur la droite qui joint les milieux des bases parallèles, car toute corde parallèle aux bases BC et AD a son milieu et, par suite, son centre çle gravité sur cette droite EF (Fig.59). Pour déterminer G Fig; 59 ^ ^ sur EF, partageons le trapèze en 2 triangle:; en.me-
  - nant la diagonale BD. Si GT et G sont les centres 2 1 2
  - de gravité de ces/triangles le centre de gravité G au trapèze est au point de rencontre de GT G0 avec EF,
  - PREMIER THEO RELIE DE GULDIN
  - énoncé : L’aire engendrée par un contour plan quelconque, tournant autour d’un axe situé dans son plan et ne le traversant pas, est égale au produit de la longueur 1 du contour par la longueur de la circonférence décritepar le centre de gravité ;
  - S = 2 x d 1 .
  - CAS D’UN CONTOUR POLYGONAL
  - Fig,60
  - Pour démontrer ce théorème rappelons d’abord que l’aire engçndrée par un
  - A , r
  - rVr
  - segment de droite AB tournant autour d’une droite située dans un même plan que lui et qui ne le coupe pas est égale au produit de la longueur AB du segment par la circonférence que décrit son milieu. En effet (Fig.60), l’aire engendrée est celle d’un tronc de cône, et on sait que celle-ci a pour expression, r et r’ étant les rayons des cercles de base :
  - •ri m;
  - Éil
  - t|fep
  - Wm
  - Mt K |
  - W
  - M
- p.53 - vue 60/159
- - r + 2 jl r
  - AB 2 3i
  - r + r '
  - Or, “ est le rayon du cercle équidistant des 2 bases du tronc de
  - cône, et ce cercle passe par le milieu de ÀB ; donc, 2 jl
  - r
  - est la lon-
  - gueur du cercle décrit par le milieu de AB.
  - Considérons maintenant un contour polygonal plan ABCDE... , tournant autour d’un axe A de son plan qui ne le traverse pas* L'airo engendrée par ce
  - il, H, P, Q, ... les milieux de ABj BC, Cd, . .* et soient m> n, p, q, ... les distances de II, Ni, P ... à l’axe A. L’aire engendrée par le contour est :
  - S = AB 2 jl m + BC 2 i n + CD 2 3t p 4 ...
  - = 2 je (AB. m + BC . n + CD . p + . . . )
  - Br, II, N, ?, Q, ... sont les centres de gravitédes côtés AB, BC, CD ... du contour supposé homogène, et les poids des côtés sont proportionnels à leurs lon-
  - a, d’après le théorème des moments, par rapport à un plan
  - d (AB + BC + CD + ...) = m. AB + n. BC + P.CD = ...
  - i
  - En posant AB + BC + CD + ... = 1, l’expression de S devient alors t S = 2 3i d 1 , et 2 jl d est la circonférence décrite par G.
  - CAS D’UN C011 TOUR QUELCONQUE
  - Considérons un arc de courbe quelconque (Fig.62). Inscrivons un contour
  - polygonal ABCD ... . Soient le contre do gravité de ce contour, d la distance de G.r à l’axe A et 1 la longueur du contour. LTaire'engendrée par ABCD... est, d’après le cas précédent :
  - °I = 2 3i dj 1^ ^ Or, si on augmente indéfini-
  - ment le nombre des côtés du contour polygonal inscrit,
  - S engendrée par la courbe donnée. On a donc encore :
  - S = 2 a d 1 .
  - vt ! '
  - tt f
  - V <k
  - f
  - il,
  - W-
  - donnée, II
  - j tend
  - tend vers K
  - i
- p.54 - vue 61/159
- - 55
  - Remarque - Ce premier théorème de Guldin montre que : Si 2 Contours plans ont des périmètres égaux et ont même centre de gravité pour leurs périmètres, ils décrivent des aires égales par rotation autour de toute droite de leur plan qui ne les traverse pas.
  - APPLICATION du Ier. théorème de Guldin à la détermination de quelques centres de gravité et au calcul de quelques aires.
  - I - CENTRE.DE GRAVITE ’UN ARC DE CERCLE
  - Considérons (Fig.65) un arc de cercle AB de centre 0. Le diamètre OR perpendiculaire à la corde AB en son milieu étant un axe de symétrie de l’arc, le centre de gravité G cherché est sur OK.
  - A
  - B "
  - /
  - /
  - Fig.63
  - Fig.64
  - Pour déterminer la position de G sur OR appliquons alors le théorème de Guldin en considérant la rotation
  - t .
  - de l’arc AB autour du diamètre du cercle parallèle à la corde ÂB. Soit AB = I et AB = c . L’aire engendrée par AB est celle d’une zone sphérique de hauteur c . On a donc, d’après le théorème de Guldju
  - 2 x r c = 2 x d 1
  - d’où
  - d = r
  - c
  - ,jpu«r.tt5«38j
  - ; i\& J
  - / «J/
  - donc d est la dème proportionnelle ent, la
  - corde et le rayon.
  - H - AIRE DU TORE
  - d L’aire du tore est engendrée par la rotation d’une
  - circonférence de cercle autour d'une droite de son plan (Fig.64) . Le centre de gravité de la circonférence est évidemment son centre même. Soit, d la distance du centre C du cercle à l’axe A de rotation et soit r le rayon du cercle. La longueur de la circonférence est 1 = 2 x r , et la longueur de la circonférence décrite par C est 2 x d . Donc l'aire du tore a pour valeur : S = -2-xrx2xd = 4x^rd.
  - ;il - AIRE ENGENDREE PAR LE PERI.iETRE D’UN TRIANGLE
  - On a vu que le centre de gravité du périmètre d’un triangle ABC est le centre du cercle inscrit dans le triangle ayant pour sommets les milieux des côtés du triangle ABC. Si d est la distance de G à l'axe et si 2 p est le périmètre du triangle, l’aire engendrée est :
  - S = 2 p x 2 x d - 4 x p d (Fig.65_p.56).
- p.55 - vue 62/159
- - 56
  - B
  - Fig.65
  - DEUXIEME THEQREI/IE DE GÏÏLDIN
  - Enoncé : Le volume engendré par une aire plane tournant autour d’un axe situé dans son plan et ne la traversant pas est égale au produit de l’aire génératrice par la circonférence que décrit le centre de gravité de l’aire.
  - Fig» 66
  - D—8T
  - a
  - à b) et dont les rayons de base sont : d + et d
  - CAS D’UN RECTANGLE
  - Considérons un rectangle (Fig.66) tournant autour d'un axe parallèle à l'un de ses côtés. Soit d la distance du centre du rectangle, c'est-à-dire de. centre de gravité à l'axe de rotation à, et soient a et b les côtés du rectangle* Le volume engendré est la différence des volumes de 2 cylindres de révolution de même hauteur b (on suppose A parallèle
  - %-. On a donc :
  - a% 2
  - a%2
  - Y = jc (d + y-) b - jc (d - ~~) 3 jcb
  - (d + Ju)2
  - - (d - |.)2
  - = jcb x 2ad = ab x 2 jc d =
  - x 2 jc d
  - CAS D’UNE AIRE QUELCONQUE
  - Considérons une aire Fig.67 Q
  - \
  - S quelconque de centre de gravité G (Fig.67),tournant autour d’un axe A de son plan. Décomposons cette aire en rectangle s, en menant des parallèles à A et des perpendiculaires. S est ainsi égale à la somme des aires des rectangles augmentée de toutes les aires telles que MNPQ . Si s est l’aire d'un rectangle et d la distance de son centre à A, ce rectangle engendre, d'après le cas précédent, un volume v = sx2jcd = 2acxsd.
  - Le volume engendré par l’ensemble des rectangles est alors :
  - v’ = £2 jc. s d = 2 jc £s d.
  - Or, le poids de chacun des rectangles est proportionnel à sa surface (on suppose l'aire homogène), donc, si dçj est la distance à l'axe A du centre de gravité G’ de l’aire totale des rectangles et si S'
- p.56 - vue 63/159
- - est cette air.e totale, on a, d’après le théorème des moments par rapport à un plan : / .s d = S' d . D'où :
  - u-1 ;
  - v». - 2 jc S’ dfM .
  - Or, si on augmente indéfiniment le nombre des parallèles et des perpendiculaires d A, les aires telles que iHJPQ tendent vers zéro, S’ tend vers S, G’ se rapproche indéfiniment de G, et V’ tend vers le. volume V engendré par 1’-aire S. On a donc •:
  - V = S x 2 jc d_ .
  - Or
  - Démarqué - Du 2ême théorème de Guldin, on déduit le théorème suivant : Si 2 aires planes sont équivalentes et ont même centre de gravité, elles engendrent • des volumes équivalents par rotation autour d’une droite quelconque de leur plan ne les traversant pas.
  - APPLICATIOIT du 2ème théorème de Guldin à la détermination de centres de gravité et au calcul de volumes-
  - I " VOL™ DD TORS
  - En reprenant les mêms notations que dans le cas de l’aire du tore, on a :
  - V = x 2 a d = ^ JC^ r^ d .
  - Dans le cas limite où l’axe de rotation est tangent au cercle générateur, c’est-a-dire où on a d = r, on a
  - V = 2 jc2 r*
  - II - VOLUHE ENGENDRE PAR TJ1T TRIANGLE tournant autour d’un axe ne le traversant' pas. Le centre de gravité de l’aire est le point de concours des médianes. Si
  - d est la distance à l’axe du point de concours des médianes, le volume engendré par le triangle est égal à :
  - V = S x 2 jc d .
  - CENTRES'DE GRAVITE DE VOLUMES I - CENTRE DE GRAVITE D1 IUT TETRAEDRE
  - Soit un tétraèdre ABCD (Fig.68). Considérons un plan parallèle a la base BCD coupant le tétraèdre suivant un triangle B’C’D’ . Soit N’ le milieu de B’C’.
  - D’Il’ .est médiane du triangle B’C’D’ ; donc une corde PQ du triangle parallèle à B’C’ a son milieu sur D’Il’ ; or, D’N’ est dans le plan AUD,
  - II’ étant sur la médiane AIl.de BAC ; ce qui montre que le plan AI.ÎD est un plan diamétral du tétraèdre. Donc, le centre de gravité est dans ce plan ; de même il est dans chacun des plans diamétraux NBC, LAB, IICD, LT,L et II étant les milieux des arêtes AD, CD et AB. Or, AI1D et NBC se coii-
- p.57 - vue 64/159
- - 58
  - périt suivant KN, KCD et LÂB suivant KL. Donc, G est. le point d’intersection de Ho et KL. Remarquons que Lï.UJZjB est un parai lé log ranime ; en effet : dans le triangle ABD, R et H sont les milieux des côtes AB et AD, on a donc :
  - AH - —- BD ; de plus, dans' le triangle BCD, A et L sont les milieux des côtés
  - ^ I
  - BC et CD ; on a donc : iiL- = o BD ; d’où KH = KL . On trouve de meme ZK = HL. Donc, le centre de gravita est le point de rencontre des diagonales du para llélogramme LMIQÎ.
  - Autre détermination de G (Fig.69). Les plans diamétraux LAB et HAD se coupent
  - suivant la droite AA’, A’ étant le point de concours des médianes BL et DM du triangle BCD ; donc G est sur AA’ . Soit Q le milieu de À’D ; on a : MA’ = A’Q = QD .
  - Joignons N et Q. Dans le triangle QI1H on a :
  - A» G - -L QH
  - 2 I
  - et dans le triangle ADA’ on a : QH = ------^A»
  - ) T 2
  - AS = — AA' .
  - Le centre de gravite d’un tétraèdre est sur la droite qui joint un sommet au point de concours des médianes de la face opposée, et il est au quart de cette droite à partir de la face.
  - II - CENTRE DE GRAVITE D’HH 1 RISHfl
  - Par la considération des plans diamétraux on trouve que le centre de gravité d’un prisme est le centre de gra-' ité de la section moyenne (la section moyenne est celle qui passe par les milieux des arêtes).
  - III - CENTRE DE GRAVITE D’UNE PYRAMIDE OU D’UN CONE
  - En opérant la décomposition de la pyramide ou du cône en petits tétraèdres, on voit que le centre de gravité est au quart, à partir de la base, de la droite qui joint le sommet au centre de gravité de l’aire de la base.
  - Fig.69
  - d’où
- p.58 - vue 65/159
- - ELEMENT S FONDAMSN TAUX
  - Les méthodes courantes de statique graphique ne s’appliquent qu’aux forces complanès, c’est-à-dire situées sur un même plan ; mais cela suffit dans la plupart des cas* .En effet, lorsqu’on cherche à analyser les conditions d’équilibre des constructions, on n’a, en général, à considérer que des forces de pesanteur, ou des réactions d’appuis qui sont dans le même plan que les chargea.
  - Certains auteurs ont d’ailleurs établi l’extension de ces méthodes aux forces dans l’espace, mais l’application en est assez peu pratique.
  - POLYGONES FUNICULAIRES
  - 0n sait déjà qu’un système de forces complanès peut, suivant les cas :
  - 1°) se rêsuire à une force unique, qui est la résultante ;
  - 2°) se réduire à un couple ;
  - 3°) être en équilibre.
  - Considérons un tel système,- constitué par les forces complanès : fj ,
  - f„ , f„ , £.......appliquées à un corps solide et données en grandeur, en di-
  - c o n
  - rection et en sens.
  - Construisons le polygone de forces (Fig.70), en menant, à partir d'un Fig. 70 a point a quelconque, pris dans' le plan des for-
  - vecteurs sont juxtaposés, c’est-à-dire que l’extrémité de l’un aboutit à l’origine du suivant.
  - ces, des vecteurs : I, 2, 3, 4 ... , équipollents
  - Si b est l’extrémité du dernier vecteur,ab représente la résultante, en grandeur et en direction (mais non en position).
  - 2
  - Par un point quelconque appelé pôle', menons les rayons polaires (Fig. 71;
  - Fig.71
  - b
  - .0 une parallèle amT au premier rayon polaire oa, puis du même point une parallèle à o(l.2), dont la rencontre avec la ligne d'action de, la force If donne un point m9 . Opérons de même successi-
  - m -pris arbitrairement sur la force f } menons 1 I
  - to par les rayons polaires. A partir d'un point
  - oa , o(1.2), ... , ob et tirons ab.
  - On-a ainsi formé le polygone dynamique, comp.lé-
- p.59 - vue 66/159
- - 60 -
  - veinent avec tous los rayons polaires, jusqu’à m, (3 parallèles a ob.
  - Le contour polygonal a-, mT, m0, my, .rrn , ... |3- , détermine par les points ci.'intersection des parallèles aux rayons polaires et des lignes d’action des forces s’appelle : polygone funiculaire.
  - Remarque - Pour un meme système de forces, il y a une infinité de polygones funiculaires, car il y a une infinité de points a et de points o . flous aurons 1 établir d’intéressantes relations entre ces divers polygones.
  - PROPRIETES DES POLYGONES FUNICULAIRES
  - Théorème - Les côtes extrêmes a et (3 (supposés non parallèles) d'un funiculaire, se coupent en un point I situé sur la ligne d’action de la résultante des
  - force s.
  - En effet (Fig.72) , dans le triangle oa (1.2), le vecteur a(l.2), equi-pollent à la force f f peut être considéré comme la somme géométrique des 2 vecteurs ao et o(.I.2) : ___^ _
  - ao
  - + o(l.f) .
  - Supposons que ces 2 vecteurs représentent des forces, on peut transporter celles-ci en m^ , parallèlement à elles-mêmes, de telle sorte que f ^ se trouve dé c omp osée en (Fig.7 3 ) :
  - Fig.72
  - Fig.73
  - 1°) une force m fq } portée par a mT , et ôquipollente à ao. ;
  - I I
  - 7*
  - 2 ') une force m^ f s portée par m.j prolongé et équipollente à o(l.2)
  - De même le triangle o(l.2)(2.3) permet d’écrire :
  - (I.2)o + o(2.3)
  - et les vecteurs correspondants irufL et m0fé sont les composantes de f .
  - Et ainsi de suite. On peut donc remplacer chacune des forces fj , f? ,
- p.60 - vue 67/159
- - - 61
  - ) £/ ••• par ses 2 composantes. Ces composantes sont égales et opposées
  - 2 a 2, par exemple : f'! et f ^ . Donc, elles se détruisent et disparaissent
  - i-v*
  - toutes’, excepté les 2 extrêmes : f et f"„ , portées par mToc et m, (3 , et de
  - même direction que' ao . et ob.
  - L’ensemble des forces f^ > i\, , fr^ , f, s ... a donc même résultante que les 2 forces extrêmes f’-r et f" . Or, la résultante de ces 2 forces passe
  - -L
  - par leur point de rencontre I, donc ce point est un point de la résultante de l’ensemble des forces, dont la direction et la grandeur sont données par ab.
  - En menant par I un vecteur êquipollent à ab, on aura la résultante en gran deur, en direction et en position. D’où le théorème suivant :
  - Tout système de forces complanes est équivalent à un système de 2 forces'
  - portées chacune par un des cotés extrêmes d’un funiculaire et ayant pour gran-
  - —~ — —>
  - deur les 2 rayons polaires extrêmes, l’un oa , l’autre ob .
  - •Remarque I - Si>,gardant le même polygone dynamique, on fait varier la position du pôle, le funiculaire change, mais la résultante est invariable, puisqu’un système de forces n’en admet qu’une. Donc, le point I ne peut que se' déplacer sur la ligne d’action (d) de la résultante (Fig.74) - d est le milieu des points I .
  - Remarque II - En particulier> si 0 étant pris sur la droite ab (Fig.75), on
  - voit immédiatement, en construisant le funiculaire, que les côtés extrêmes oc et [3, parallèles aux rayons polaires extrêmes oa et ob, sont parallèles et le sont à la résultante qui est leur somme. On est alors ramené à construire la résultante de 2 forces, construction connue. Hais c’est là une complication inutile et il est préférable de prendre le pôle en dehors du polygone dynamique. D’autre part :
- p.61 - vue 68/159
- - Au point de vue de la précision de l’épure, on sait que l’intersection la-plus nette est celle de 2 droites perpendiculaires. On réalise cela.en prenant 0 sur le cercle ayant ab comme diamètre (l’angle 0 du dynamique se reproduit, par translation de ses côtés> sur le funiculaire).
  - Remarque III - Si l’on change l’ordre des forces sur le dynamique, on a un funiculaire différent, mais on sait que la somme géométrique ne change pas, et la droite qui porte la résultante fixe, puisqu’elle ne dépend que des forces elles-mêmes.
  - Remarque IV - Supposons que l’on veuille seulement la résultante partielle d’un certain nombre de forces, consécutives ou non, (si elles ne le sont pas, on peut toujours en changer l'ordre) dans la construction du dynamique, par exemple celle dos forces fo et fg . Il est clair que la portion du funiculaire qui contient ces forces aura les mêmes propriétés que le .funiculaire entier: mi m2 G"k irL3 seront les côtés extrêmes de ce funiculaire réduit et leur
  - intersection R est un point de la ligne d’action de la résultante partielle, qui est égale et parallèle 1 p q (Fig.76).
  - CAS OU LE POLYGONE DYNA1IIQTJE EST PERRE Cela signifie que la somme géométrique des forces est nulle, c’est-à-dire-qu’il n’y a pas de résultante. Donc, ou bien les forces du système se réduisent
  - à un couple, ou bien elles sont en équi-• .
  - 1ibre.
  - 1°) Condition pour que le système se réduise à un couple. Puisque le dynamique se ferme, les .points a et b coïncident et les directions oa et ob sont confondues. (.Fig, 77 - p.63).
  - Le premier côté^a^du funiculaire est parallèle à oa, le 2e , (3 ,03t parallèle à ob, donc a et (3 sont parallèles entre eux. Donc, leur point d'intersection, par où passe la résultante, est rejeté à l'infini. Liais a porte une force ao et [3 une force oa. Ces deux forces sont donc égales, parallèles et opposées, c’est-à-dire què l'on a un couple.
  - 2°) Condition pour que le système soit en équilibre. Il faut évidemment que le couple soit nul.- C'est ce qui a lieu quand les cotés a et (3, qui portent les forces du couple coïncident (Fig.78 - p.63). Pour que cela soit, il faut que le côté a passe par le point im , c’est-à-dire que le funiculaire (qui est généralement ouvert) soit fermé. Donc :
- p.62 - vue 69/159
- - FASC. VI
  - 63
  - Fig.78
  - Pour que des forces compilants se fassent équilibre, il faut et il suf-
  - fit que :
  - ï°) le dynamique soit fermé ;
  - 2°) le funiculaire soit fermé (c’est-à-dire que le premier côté passe par le point m^). En résumé t
  - I OUVERT : il y a une ré sultante.
  - funiculaire ouvert : il y a un couple.
  - FERME : _ -------
  - funiculaire fermé : il y a équilibre.
  - APPLICATION DES POLYGONES FUNICULAIRES A IA RECHERCHE DES CENTRES DE GRAVITE Les funiculaires permettent de déterminer facilement le centre de gravité.
  - Supposons que l’on ait un ensemble de masses, dont Aj, A ... sont les centres de gravité, et soient P , P (Fig.79) les poids de ces masses. Repré-sentons ces poids par des vecteurs verticaux. On peut construire le polygone dynamique de ces forces parallèles, dont la résultante, de direction verticale, passera par le point I d’intersection des côtés extrêmes du funiculaire. Liais on peut faire tourner la figure de 90°, ou, ce qui revient au même,faire tourner seulement le dynamique, et mener par les centres de gravité A^. } A^. . .
  - des masses, des forces horizontales égales à P J p ... On obtient ainsi une
  - 1 2
  - nouvelle résultante dirigée horizontalement, et passant par le point I’, qui résulte du nouveau funiculaire.
  - Le centre de gravité G cherché est sur la résultante passant par I,mais on sd.it; qu’il est indépendant de la direction des forces parallèles, donc il est aussi sur la résultante passant par I’, c’est-à-dire à 1’inter section des 2 résultantes ainsi obtenues.
  - (On procède de façon analogue lorsqu’on détermine expérimentalement le
  - centre de gravité d’un corps, en le suspendant successivement par différents points.
- p.63 - vue 70/159
- - - 64 -
  - Lg centre de gravité est à l’intersection des verticales passant par les points de suspension successifs).
  - RELATIONS ENTRE DEUX FUNICULAIRES
  - Elles sont fondées sur un théorème important énoncé plus loin.
  - On peut d’abord faire les remarques suivantes :
  - Soient un système de forces, son dynamique et son funiculaire (Fig.
  - 80). Isolons l’une des forces : f^ par exemple. Si elle existait seule,le
  - dynamique se réduirait à la force 2 et aux rayons polaire so(1.2) et o(2.3). serait
  - Le iuniculaire/forme par les cotes et m^ . En isolant fj, on aurait
  - de même un funiculaire réduit à a nij et m^ , etc. On voit que les funiculaires de 2 forces voisines auraient un coté commun. Considérons un de ces funiculaires (Fig.8l) et soient : f la force unique, et m le point d’intersection des 2 côtés, le pôle étant en 0. En prenant un 2ème pôle, o’, on aura un 2ème funiculaire dont les côtés ne seront pas parallèles à ceux du Ier. : dnnc ils se rencontreront.
  - a m et a m’ se rencontrent en a ,
  - (3 m et P m1 se rencontrent en j3 .
  - Je dis que a(3 est parallèle à oo'. Eh effet : a m et m (3 sont parallèles aux rayons a o et ob, et dans le triangle a ob , on a :
  - l'osons
  - a o
  - ab = a o + o b .
  - $ , o b = ¥
  - Mi
  - ,/
  - Kr
  - Jl
  - /
  - m;
  - V
  - Ar
  - X
  - mr
  - ma /
  - P' Jp /p
  - 44 •
  - Fig.79
  - 0’
  - XV.
  - x7 ! \\
  - /_]. A. X
  - 1L
  - un,.
  - Fig.82
  - X tfîn
  - /
  - :. 80
  - /
  - /
  - Fig.81
  - * r,: .
  - vAtUr-A v. - Aï
  - ; (ï • 1 . • : y
  - lii
  - iü/yll!
  - • V ; 2; ,
  - 1 L * ' Sî I
  - mà
  - . ' iff * '
- p.64 - vue 71/159
- - 65
  - De meme j dans le triangle a o1 b , on a :
  - a "b - a o ' + o ' b .
  - Ce sont deux décompositions différentes de la même force f. Posons encore :
  - ~>
  - t
  - ao ' = (|) ' '
  - Or,, considérons les 2 forces :
  - o ’ a = b o ’ =
  - b = ¥
  - i - - $
  - I = - ¥' -
  - elles auront pour résultante une force b a égale et opposée à f, donc elles font équilibre aux froces ^ et ¥ , dont la résultante est f.
  - \Jf j sont en équi-
  - On en conclut que les 4 forces , ¥ / (!}
  - et (^, ont une résultante
  - libre. Mais on peut les grouper autrement : çjj)
  - R, qui passe par leur point de rencontre a ;
  - tp* et ¥ j ont une résultante K^. qui passe par leur point de rencontre [3. Les 4 forces du système étant 'en équilibre, R et Rj qui les remplacent doivent être égales et opposées, et portées par la même droite. Or, elles passent par a et par [3, donc la droite qui porte R et R est a [3 .
  - Cette droite est parallèle à oo'. En effet, dans'le triangle a o o’ :
  - ---'-------------------------------> —>
  - $ .
  - Si +
  - oo’ = o’a + ao = c’est-à-dire que o o’ représente précisément la résultante R des forces (jj) et . Or, cette résultante est, sur le funiculaire, portée par a [3 .
  - Pour que cela soit, il faut, d’après la propriété fondamentale des funiculaires, que a [3 et o o’ soient parallèles.
  - On peut étendre cette propriété à un funiculaire de plusieurs forces: Théorème : Si l’on construit-, avec un même dynamique, (forces dans le même ordre),.. 2 funiculaires différents d’un système de forces (Fig.83) les points
  - de rencontre des cotés de même rang de chacun des funiculaires sont alignés sur une droite parallèle à la droite qui joint les pô-les.
  - C’est précisément ce qui vient d’être démontré pour une seule force : a est le point de rencontre des cotés correspondants (1er rang) des 2 funiculaires cons -fruits avec les pôles o et o’ , et |3 est le point de rencontre des
- p.65 - vue 72/159
- - 66
  - cotés de 2ème rang des 2 mêmes funiculaires.
  - Soient maintenant un système de plusieurs force s> et 2 funiculaires de pôles o et o' . D’après ce qui précède, on peut considérer la partie de chacun des funiculaires correspondant à la force f : les cotés de rang I se rencontrent en a ;
  - les cotes de rang 2 : , m^ et m’^ m’^ se rencontrent en P^. . On
  - sait alors que a p^ est parallèle à o o'.
  - Passons a la force f : prise .isolément, les cotés de Ier rang de son funiculaire se confondent avec les côtés de 2ême rang du funiculaire de f , et se rencontrent en p . Les cotés de 2ème rang : m0 m_ et m’ m'_ se rencontrent en un point p2 , et pI p^ parallèle à o o’, toujours d’après la remarque précédente. Donc : a P]. et P]. pg parallèles à o o’, sont pa-rallèles et ont un point commun : p^. . Elles sont donc portées par la même droite A. On démontrerait, de proche en proche, qu’il en est de même pour tous les points d'intersection des cotés correspondants. Ce théorème est la base de constructions importantes.
  - Remarque - Soient toujours 2 polygones funiculaires relatifs à 2 pôles differents. Considérons les points Pj , p2 ,... alignés sur A parallèle à o o’, et supposons que l’on prenne un 3ème pôle o" sur o o’ même. Les côtés du pre mier funiculaire (relatif à o), seront coupés par A en des points p ,spo} .. qui sont aussi sur les côtés du 2ème funiculaire (relatif à ô. liais les côtés du 3ème funiculaire (relatif à o") passeront également'par ces points, car le point o’ est quelconque sur la direction o o’ parallèle à A. Or, o o’ et o o", c’est la meme droite. Donc, on peut indifféremment remplacer o’ par o", ou inversement.
  - Il en résulte que les points p^. , , ... , déterminés par les inter-
  - sections de A et des côtés du funiculaire relatif à o, sont les pivots des côtés de tous les funiculaires que l’on peut construire en prenant les pôles sur o o’ .
  - La droite A est appelée : ligne des pivots.
  - Autrement dit, lorsqu’on prend des pôles sur une même droite, les pivots se déterminent en construisant la parallèle à la ligne des pôles. Cette parallèle coupe les côtés du premier funiculaire. Les points d’intersection sont les pivots.
  - APxDLICATIONS
  - I - Construire un funiculaire tel qu’un côté de rang donné passe par un point L, et qu’un côté d’un autre rang passe par un autre point M. Soiit
- p.66 - vue 73/159
- - - 67
  - un système de forces en nombre quelconque. On conservera telles qu’elles sont la Iere : f^ , et la deuxième : f„ . Toutes les forces intermédiaires peuvent être remplacées par leur .résultante que l’on appellera fp (résultante partnélle). Traçons, en partant du point L donné, le funiculaire re-
  - latif au pôle o, et menons par ce point L une droite quelconque A (non confondue avec L II) (Fig. 84).
  - Construisons les pivots p . p .
  - Construisons les pivots p^., p ,
  - P^ , on prolongeant les cotés du funiculaire jusqu’à leur rencontre avec A. Le dernier coté S passe par p .
  - * O
  - Il faut que ce côté passe par : ; pour cela, joignons m p^ : le côté (3’m'7 est construit.
  - 2
  - >:o
  - est construit. Etc. . . .
  - D’après la remarque précédente, les points p? , p^ , p L, appartiennent au Ier. funiculaire et au funiculaire passant par H ; ce funiculaire est relatif à un pôle o’ situé sur une parallèle au dernier rayon polaire o’ b. I]_ suffit donc, pour terminer la construction, de mener par b une pa-
  - rallèle à lîp , dont le point de rencontre avec la parallèle à A est le pô-
  - le o’ cherché.
  - 2 côtés de rang donné passent bien par les points donnés : L et II . Remarque - La droite A est arbitraire, d’où une infinité de solutions. Il est alors intéressant de chercher le lieu de o’ :
  - Faisons abstraction du funiculaire relatif à o. A peut varier, mais L et II sont désormais 2 points fixes de funiculaires relatif à o’ . Or, le premier point d’intersection des côtés de 2 funiculaires (l’un relatif à o’ , l’autre relatif à un pôle quelconque o") sur A est L. Le dernier point d’intersection est 11 , puisque les côtes extrêmes de dernier rang doivent passer par ce point 11. Donc, M est un second point de la droite A, qui ne peut ainsi être que L Lî .
  - D’autre part, o’ o" doit être parallèle à A, c’est-à-dire à L 11. On a donc le résultat suivant :
  - Le point o’ décrit une parallèle à L II.
- p.67 - vue 74/159
- - 68
  - PROBLEiIB II
  - Déterminer les réactions des appuis d'une poutre horizontale portant
  - des charges verticales isolées : p , p , p^ (dont l'une peut, si l'on
  - J- c 3
  - veut, représenter le poids de la poutre).
  - On a à considérer : les 3 forces données, plus les réactions des appuis qui sont des forces ascendantes, toit 5 forces.
  - Pour que la poutre soit en équilibre, il faut que la somme des forces appliquées soit égale à la somme des réactions (Fig.85). Construisons le funiculaire en partant d'un point kQ , de .la verticale passant par A. (A et
  - B : appuis'de la poutre). Ce funiculaire aboutit en k , sur la verticala passant par B-. On sait que l'équilibré est re-alise quand le dynamique et le funiculaire sont fermés à la fois.
  - Peur que le dynamique soit fermé, il faut que la somme des réactions ! A ! ! 1b soit égale à ba.
  - Pour que le funiculaire soit fermé, il suffit de joindre Pq k^ , qui est la ligne de fermeture.
  - riais Pq , qui est le dernier côte du funiculaire, doit correspondre à un rayon polai-
  - H..'. • -° re du dynamique. Donc, pour construire ce
  - ....../""
  - I3 /" rayon, il suffit de mener par 0 une parallèle
  - J li Or à kQ k, •
  - I •; P;
  - —O
  - j.p
  - \ ylqj
  - fi ’ fi P3
  - Fig.85
  - II. est alors facile de voir que :
  - b r = réaction en B r a = réaction en A
  - réactions cherchées. CONSTRUCTION GRAPHIQUE DES MOMENTS SUR LE POLYGONE FUNICULAIRE
  - Soit à construire le moment d’une force A F par rapport à un point donné H (Fig.86).
  - Construisons le dynamique et le funiculaire et, du point H, abaissons la. perpendiculaire UN à cette force. Son moment est : II N x A F
  - En menant par le point M la parallèle à AF et,par m, la parallèle à M N , on a une autre expression de ce moment : M N x AF = m H x AF.
  - D’autre part, les cotés du funiculaire, prolongés, coupent la parallèle à A F en 2 points Q et P. Sur la dynamique abaissons du point 6 la perpendiculaire OD à la force
  - il
- p.68 - vue 75/159
- - 69
  - f = K I . La similitude des triangles KIO et PQ (côtés parallèles), per-
  - PQ Kl
  - mH x Kl = OD x PQ , ou, en remplaçant Kl par AF :
  - mH x AF
  - OD x PQ .
  - OD s’appelle distance polaire. Ainsi :
  - Le moment de la force AF par rapport au point M, est égal au produit de la distance polaire par le segment qu’interceptent les 2 côtés du funiculaire aur la parallèle à-la force, menée par le point M.
  - ET UDF GENERALE DES APPUIS
  - Les corps dont on veut étudier l’équilibre sont, d’une part, soumis à des forces extérieures, et, d’autre part, supportés par des corps fixes qui * sont les appuis.
  - Le problème général consiste à calculer les réactions de ces appuis, grâce auxquelles le corps considéré est maintenu en équilibre.
  - Ces réactions peuvent être avec ou sans frottement. On n’étudiera,ici, que les appuis géométriques, c'est-à-dire sans frottement. On sait qu’alors les réactions sont normales aux surfaces en contact.
  - Suivant la forme des profils en contact, on peut distinguer 3 types d1appuis : (on va retrouver là, sous des noms différents, des considérations géométriques déjà démontrées, à propos des couples.
  - 1° - APPUI .A ROTULE
  - Un corps articulé dans un cohps fixe, constitue un appui a rotule
  - (Fig.87).- Les réactions sont normales aux surfaces de contact, et ont une résultante 0 R, appliquée en o, sur l’axe d’articulation. La réaction OR dépend de 2 paramètres variables :
  - ID) la résultante R elle-même ;
  - ' 2°) l’angle 9 qu’elle fait avec 1 ’horizon-
  - taie, par exemple.
  - O.p peut se servir aussi des projections de R sur 2 axes constitués par. l’horizontale et le. verticale passant par o :
- p.69 - vue 76/159
- - R co
  - 70
  - X
  - qui sont alors les 2 inconnues de la réaction.
  - R sin 6
  - i
  - 2° - APPUI A ROULEAUX (FIG.88)
  - Lorsque 2 corps, 0 et C', sont en contact la réaction PR est normale
  - Fig;. 88
  - A
  - au plan tangent-LL0 , commun aux 2 surfaces, au point de contact P. Imaginons un plan IXfaisant partie du corps C, et un plan TF du corps C’, parallèles au plan U, , et situés à une assez petite distance l’un de l’autre.
  - Ces plans liet IL’ étant séparés par des cylindres horizontaux, parallèles. C’est un appui à rouleaux. La résistance, normale aux plans JJ et JJ’ ,
  - n’a pas pour effet de faire rouler les cylindres ; la réaction qui se développe au point ? est bien normale aux plans. Elle ne dépend que d’un seul
  - paramètre, puisqu’elle doit être dirigée suivant la normale
  - Ce paramètre R est la valeur de la réaction elle-même.
  - 3° - EHCASTREÏ.'IEMT (FIG.89)
  - Une partie du corps C, à équilibrer, pénètre dans l’intérieur du corps
  - Fig.89
  - fixe C’. Exemple : une poutre dont l’extrémité est enrobée’ dans un massif de maçonnerie. (Cela n’ëst pas autre chose qu’un couple cinématique d’assemblage par emboîtement). On. a vu que des forces quelconques, appliquées à un corps,pouvaient être réduites à une force unique et à un couple.
  - Ici, les forces sont complanes, donc la force unique et le couple sont dans un même plan.
  - La force unique dépend de 2 paramètres : ses projections X et Y .
  - Le couple dépend d’un paramètre : son moment.
  - Au total : 3 paramètres.
  - On rencontre souvent, dans les constructions,•des combinaisons de ces 3 types d’appuis.
  - Dans les calculs, on exprime que l’équilibre existe entre les forces appliquées et les réactions qui se développent aux appuis. •
  - On peut donc, pour cela, écrire que la somme des projections des réactions et des forces est nulle, sur deux axes rectangulaires, ainsi que la somme des moments par rapport à un point arbitraire.
  - Les données des réactions entrent au Ier. degré dans les projections
  - et les moment
- p.70 - vue 77/159
- - 71
  - On disposera donc de 3 équations linéaires.
  - D’autre part, le nombre des inconnues dépend de la combinaison d’appuis qui se présente :
  - si c’est un encastrement, on a 3 variables et 3 équations,, et la r'relation est possible, le problème est déterminé ;
  - si l’on a à la fois 2 appuis à rotule, cela fait 4 inconnues pour 3 équations, et les considérations de la statique pure !(qui suppose les corps indéformables) ne suffisent plus. On est alors obligé de recourir à la théorie de l’élasticité qui, en introduisant l’hypothèse que le corps est un peu déformable, fournit les équations voulues.
  - Il peut aussi arriver que l’on ait plus d’équations que d’inconnues. On tire alors les inconnues de trois des équations et on les porte dans les équations non utilisées. On arrive ainsi à des relations entre les forces, lesquelles doivent dès lors satisfaire à certaines conditions de possibilité.
  - L’équilibre de l’appui à rotule en est un exemple. En effet, si 0 est le centre de la rotule, le moment des réactions par rapport à ce point étant nul, il faudra que la résultante des forces passe par ce point. C’est là une condition imposée aux forces.
  - LES BIX CAS OU LA STATIQUE GRAPHIQUE SEULE PERMET DE DETERMINER LES REACTIONS
  - Rappelons que, pour les forces complanes, les équations de l’équilibre se résuisent à trois, savoir :
  - Sommes des projections des forces sur 2 axes rectangulaires, séparément nulles ;
  - Moment résultant des forces par rapport à un point arbitraire du plan nul ;
  - ----- Si les réactions ne présentent pas plus de 3 inconnues, elles peuvent,
  - en général, être déterminées par la statique graphique seule. C'est ce qui a lieu dans les 6 cas suivants, que l’on étudiera successivement :
  - 1°) I appui simple, c’est-à-dire où la réaction sera portée par une droite 'donnée, qui est la normale au point d’appui. Il n’y a qu’une inconnue, c’est la valeur de la réaction suivant la normale, donc 2 conditions pour les 2 forces,
  - 2°) 2 appuis simples - 2 inconnues : les réactions, et une seule condition pour les forces.
  - 3°) I rotule - 2 inconnues ; direction et valeur de. la réaction, ou bien les 2 projections de la réaction, et une seule condition pour les forces.
  - 4°) 3 appuis simples - 5 inconnues : les 3 réactions portées par les
- p.71 - vue 78/159
- - 72
  - 3 normales données, le problème est déterminé, sauf dans les oas d’exception où les forCes sont soumises à une condition, ce qui oblige à faire intervenir l’élasticité.
  - 5* 1) I rotule et I appui simple - 2 inconnues pour la rotule et une pour l’appui, total 3 inconnues. Pas de conditions pour les forces.
  - 6°) I encastrement - 3 inconnues, comme on l’a vu, et 3 équations. Remarque - IlJ y a, dans les considérations relatives aux appuis, une con-
  - dition qu’il ne faut pas perdre de vue : le sens des réactions. Il faut toujours s’assurer que les réactions sont dirigées dans le sens où elles peuvent se développer, c’est-à-dire de P vers N.
  - I - CAS D’UN SEUL APPUI SII.IPLE (FIG. 90)
  - On a, au point d’appui, une normale qui doit porter la réaction.
  - Soient P, le point d’appui, PU la normale, f f f , f , ... les forces ap-
  - I s 3
  - pliquées. Pour qu’il y ait équilibre, il faut que la ré-
  - Fig.90
  - sultante des forces appliquées soit égale et opposée à la réaction, et portée par la même droite.
  - La projection de la réaction sur une droite x, perpendiculaire à la normale, est nulle, donc la projection de la résultante sur cette même droite doit être
  - nulle.
  - Analytiquement, cela s’exprime par
  - projx fx + projx f2 4- proj^ fg + ... = 0 ,
  - qui est ;une des deux conditions auxquelles doivent satisfaire les forces. D'autre part, la résultante passe forcément par le point P, donc son moment par rapport à ce point doit être nul. Or, le moment de la résultante est la somme des moments des forces. D'où la 2ème"condition : La somme des moments de toutes les forces, par rapport au point P doit être nulle :
  - 0 .
  - + . . .
  - +
  - On peut vérifier cela graphiquement (Fig.9l)
  - On sait que l'équilibre existe si le dynamique et un funiculaire se
  - ferment : *
  - Le dynamique donne la résultante des forces ab, en grandeur et ensens.
  - La réaction est ba, lue sur le dynamique, et portée par P1I, sur le funiculaire. Donc ba doit être parallèle à PH, et les cotés extrêmes du funiculaire doivent se couper sur cette normale.
- p.72 - vue 79/159
- - Il - CAS DE 2 APPUIS SI: j?LES (Fig. 92)
  - Il n’y a, ici, qu’une seule condition pour les forces. Soient P et Q les points d’appuis ; N et N’ les normales en ces point aux profils des appuis.
  - Dans le cas gé-
  - néral, les normales
  - se rencontrent en un point I. Les réactions, portées par PE et QïT’ , peuvent alors se composer en une force unique, qui doit faire équilibre à la résultante des forces appliquées.
  - Il faut donc que cette dernière résultante soit égale et- opposée à la force unique, et, par suite, passe par I. C’est la condition à laquelle doivent satisfaire les forces. Traduisons cela graphiquement (Fig.93). Par le
  - sommet a du polygone des forces, menons une parallèle à la normale PII, et, par le sommet b, une parallèle à la normale QU’. Prenons l'intersection 0 de ces 2 parallèles comme pôle Exprimée sur le dynamique, la condition que la somme des forces et des réactions est nulle, signifie que celui-ci se ferme et qu’alors : ao et ob sont les réactions, ba étant la
  - résultante des réactions.
  - Construisons le funiculaire :
  - Les côtés extrêmes sont parallèles aux normales. Donc, ils portent les
  - réactions, et lo funiculaire se ferme sur leur point de rencontre I'.
  - est
  - . Sur le dynamique, la résultante des forces/ab, celles des réactions est ba.
  - Sur le funiculaire, ces 2 résultantes sont portées par la même droite passant par I’, et parallèle à ab.
- p.73 - vue 80/159
- - 74
  - CAS PARTICULIER OU LES NOEiALES N ET IV SONT PARALLELES
  - Fig.94
  - Le point I est alors rejeté à l’infini (Fig.94). Les 2 réactions étant U' portées par des parallèles, leur résultante sera aussi une- parallèle aux normales. Donc, la résultante des forces qui doit être égale et opposée, sera por-Q tée par une parallèle aux normales d’appui. La somme des projections des forces sur une droite x , per-
  - pendiculaire aux normales, doit être nulle puisque celle de la résultante des réactions est nulle. (C’est ce qu’on a vu dans le cas de la poutre reposant sur 2 appuis, dans laquelle les forces appliquées étaient toutes parallèles) .
  - On introduit ici (Fig.95) les réactions br et ra pour fermer le dynamique, de sorte que a et (3 sont les sommets extrêmes du funiculaire, correspondant à br et ra. Or, il faut que le funiculaire se ferme, donc on doit r joindre les 2 sommets. Si les forces ne sont pas parallèles, on obtient une
  - doit toujours être parallèle aux normales d’appuis, puisqu’elle p^orte les réactions br et ra ; or doit encore -être parallèle à oc(5 ; pour que le funiculaire se ferme.
  - Remarque.- Il n’est pas indispensable que la poutre ait une forme rectiligne, ni que les points d’appui soient pourvu que les réactions
  - soient verticales.
  - 111 " CAS D’UNE ROTULE DE CENTRE C
  - La rotule n’est autre chose qu’un couple rotoïde. I-j n’y a qu’une rêne
  - action, qui passe par C, mais dont on/connaît ni la direction, ni la grandeur. - Donc,2 inconnues seulement, ce qui entraîne une condition pour les force s.
- p.74 - vue 81/159
- - 75
  - La réaction (Fig»97) doit faire équilibre aux forces appliquées, donc la résultante de ces forces passe par C. 11 en résulte que le moment résul-
  - tant de toutes.les forces, par rapport à C, doit être nul. D’où la condition La somme des moments des forces, par rapport à C, doit être nulle. (Analytiquement' Yp y- X±) = 0 .
  - Il n’est pas nécessaire ici d’envisager la configuration du funiculaire : le dynamque. donne la réaction en grandeur et en direction, et il suffit de mener par c une parallèle à ab.
  - Liais il faur se rappeler que la réaction ba doit appuyer le bras dams sa cavité, ce qui implique un sens donné.
  - IV - CAS DE 5 APPUIS SIMPLES
  - Chaque appui peut donner lieu à une réaction et le problème est parfaitement déterminé, sauf pour les cas d’exception traités plus loin..
  - Cas le plus général : les 3 normales se coupent 2 à 2. Elles forment alors
  - un triangle soient P , P , P les points d’appui ; A , A„ , A les sommets du triangle. A^ étant le sommet opposé à P^ Jf t etc... .
  - On a vu, dans l’étude de la statique, que : si un triangle et une force sont dans le même plan, cette force peut être décomposée en 3 forces appliquées aux 3 sommets du triangle et portées par les cotés de ce triangle On sait faire cette construction qui conduit à un système équivalant à celui des forces appliquées, mais il n’est pas mauvais de le rappeler ( Fig. 'k)* * Soient le triangle A^ A A^ et la force F (qui peut
  - Fig. 98 /! être la résultante des forces appliquées). Cette force
  - / i j/Ç- \ n’est pas parallèle ’a la fois aux 3 cotés du triangle,
  - / jf \ donc elle en coupe un en A, et on peut la décomposer
  - *2 Y) suivant ce coté et une droite joignant A au sommet op-
  - posé. Cette dernière force peut, à son tour,être décomposée suivant les 2 cotés issus du sommet.
  - On peut réduire (Fig.S9) les forces appliquées à 3 forces agissant
  - Fig.99
  - P
  - '3
  - chacune suivant une normale, savoir :
  - A2 À3 ^ou PI
  - 4 2 AI V (°u p2 N2)
  - At A0 (ou P N ). 12 3 3
  - Il faut que ces trois forces
  - soient équilibrées par des réactions
  - , respectivement
  - tées par les mêmes droites respectivement.
  - , por-
- p.75 - vue 82/159
- - Pour s'en rendre compte, il suffit de prendre les moments par rapport aux sommets A^. , A^ , du triangle. Les moments des forces^ # f ^ ’
  - P p p ^ Qui passent au point A^ sont nuis ; il faut donc, pour l'équilibre, que les forces p ^ et p^ portées par le côté opposé A^ A^ aient des moments égaux et de signes contraires. Il faut donc que ces deux forces, portées par la même droite, soient égales et opposées. Résultats analogues en prenant les moments par rapport à A^ et A^ . Il convient d'ajouter que les réactions suivant les normales d'appui doivent avoir un SERS donné à l'avance.
  - CAS PARTICULIERS - 1°) Deux des normales d'appuis sont parallèles. Le problème est encore déterminé, mais A est à l'infini.
  - I
  - Si la force F n'est pas parallèle aux 2 normales parallèles, elle en
  - coupe une en A, et on peut la décomposer suivant AA et AA (Fig.IOO). La
  - 2 3
  - force portée par AA peut, à son tour, se décomposer suivant A-B* et A0 A_
  - ô 3 2 2 3
  - ce qui donne bien encore 3 composantes portées par les 3 nomâles.
  - Si la force F était parallèle aux 2 normales parallèles, la construction ne serait pas- en défaut, car on pourrait alors décomposer F en 2 forces
  - portées chacune par une des normales, mais la 3ème normale (à A ), ne por-
  - 2 3
  - terait rien. Cela signifierait que la réaction sur l'appui correspondant est
  - nulle. _ , „
  - Donc, on aura : sur A^B^ une force vP o , somme de tou
  - tes les forces f ^ , sur A^B^ , une force ^ ^ , somme de
  - toutes les forces f~ , et enfin sur A0A^ , une force ^
  - 6 c o ’ | J
  - somme de tous les f .
  - Les réactions sont portées par les mêmes droites, et doivent être respectivement égales et opposées à ces 3 force s.
  - La somme des moments par rapport à un point quelconque doit aussi être nulle. Prenons le moment par rapport à A^ : les forces f 2 ' fl ' f.3 '
  - p 7 ont un moment nul puisqu'elles passent par A^ . Restent ^ 9 et p 9 , qui sont les seules forces dont le moment résultant ne soit pas nul. Or, il faut qu'il le soit, et elles sont portées par la même droite A0 , dcnc elles doivent être égales et opposées. On aurait le même résultat en prenant le moment par rapport au sommet A^ . Quand au 3ème sommet, il est à l'infini mais on peut considérer les projections des forces sur une perpendiculaire x aux directions parallèles (Fig.IOl).
  - Les projections de j* r, . et p ? ^ et ^ seraient null.es.
- p.76 - vue 83/159
- - , portées par la même
  - - 7,7 -
  - Enfin, la sonne des projections de droite, doit être nulle, ce qui entrai ne tre égales et opposées.
  - En réCoco, soit quo les normales d’appui fondent, un vrai triangle, soit que deux d’entre elles soient parallèles, on pourra déterminer sur chacune d’elles une réaction de manière que l’ensemble de ces réactions équilibre les forces données.
  - Seulement, il ne faut pas perdre de vue que l’état des appuis implique un sens donné pour ces réactions d’appui.
  - 2°) Un cas, véritablement exceptionnel, est celui où les normales d’appui sont concourantes ou parallèles. Dans le cas où les normales concourent en un point I, les réactions admettent une résultante issue du point I. Dès lors, les forces appliquées doivent avoir, de leur coté, une résultante opposée, issue du même point I . Telle est la condition imposée aux forces.
  - liais, pour répondre au problème, il faudrait équilibrer cette résultante des forces par trois forces portées respectivement par une des normales d’appui. Or, le problème devient indéterminé. Sa solution dépend alors de la considération de la déformation du corps soumis aux forces et aux appuis. C’est en cela qu’il est exceptionnel. Le cas où les normales d’appui seraient parallèles, au lieu, d’être concourantes, donne lieu à des remarques du même ordre. La résultante des forces doit être parallèle à,la direction commune des normales d’appui. Telle est alors la condition que doivent vérifier les fordes appliquées, liais cette condition nécessaire étant remplie, le problème de placer sur les 3 normales parallèles des réactions équilibrant la résultante des forces est encore indéterminé. Il ne peut se résoudre que par la considération do la déformation du corps actionné.
  - 3°) CAS PARTICULIER DU COUPLE
  - ITous avons, dans tout ce qui précède, supposé que le corps qu’il s’agit d’appuyer était soumis à des forces possédant une résultante. Examinons ce qui arriverait si les forces appliquées étaient réductibles à un couple.
  - a) le problème n’a pas de solution, s’il n’y a qu’un seul appui, car un couple n’ayant pas de résultante n’a pas non plus d’équilibrante et une seule réaction ne peut le maintenir en équilibre.
  - b) s’il y a deux appuis, ils devront développer deux réactions formant un couple, ce qui implique que les normales d’appui soient parallèles et que, de plus, les sens des.réactions que les appuis peuvent développer sur les
  - F. 101
  - f I 6t P I
  - . pour ces forces, lâ condition d’ê-
- p.77 - vue 84/159
- - doux normales parallèles soient de directions contraire s. Il faudra enfin que le couple formé en plaçant deux réactions égales sur ces deux normales, soit de sens opposé à celui qu’il s’agit d'équilibrer. Comme le bras de levier du couple des réactions est la distance des normales d’appui, la grandeur des réactions se trouve parfaitement déterminée.
  - c) Supposons maintenant que l’on dispose de trois appuis pour équilibrer le couple.
  - Reprenons la considération du triangle A A A formé par les norna-
  - " I 2 3
  - les d appui. Chaque force du couple donnera lieu à trois composantes, suivant les trois cotés de ce triangle et, en composant entre elles les. forces portées par un meme côté, nous aurons finalement trois forces vp ^ vj) ^
  - portées par les côtés du triangle, dont l’ensemble est équivalent au couple qui actionne le copps que l’on veut équilibrer.
  - Il est aisé,- a priori, de définir lès trois forces 4> , ^ , j>
  - ' 1 *2 I 3
  - portées par les côtés du triangle A. A_. A qui constituent un couple.Puis-
  - 12 3
  - qu’elles constituent un couple, leur moment est le môme pour les trois sommets du triangle ; puisque les forces f 9 et f passent au point A , le moment, par rapport à ce sommet, se ré suit au moment de J3 ^ , en sorte qu’en appelant h_ la hauteur du triangle issue de AT , le moment du couple en A sera ‘Pj . De môme pour les deux autres sommets, ÏÏous aurons donc, en écrivant que ces moments sont égaux :
  - hI f I = h2 f 2 = h3 f 3 *
  - liais, d’un autre côté, le double de l’aire S du triangle a ses expressions différentes, mais égales, où a , a , a désignent les côtés du trian-
  - i 2 3
  - gl®,
  - h a = h a II 2 2
  - h a 3 3
  - 2 S .
  - On en conclut que les forces ^ ^ ^ ^^ sont proportionnelles
  - 3
  - aux côtés qui les portent :
  - Ti
  - f
  - f
  - a.
  - iD faut ajouter que ces forces doivent avoir sur les côtés du triangle,
  - le môme ordre de circulation (Fig.102, par exemple), le sens de circulation
  - A » A > A (ou le sens opposé). Ce sens doit etre naturellement celui du 12 3
  - couple qui est équivalent à ce système de forces. Quant aux réactions, elles
  - seront respectivement égales et opposées aux forces R > f,’ t . Il fau-
  - 12 3
  - dra, toutefois, que la disposition des appuis permette le développement de ce s.réactions.
- p.78 - vue 85/159
- - ;• 79
  - Si deux des trois normales d!appui sont parallèles la normale oblique aux deux autres ne portera aucune réaction et il faudra trouver sur les deux normales parallèles des réactions égales et de sens contraires formant un couple opposé au couple donné. La possibilité de la solution est,, ici encore, conditionnée par la disposi tion des appuis.
  - Si les trois normales concourent, le problème est impossible, car des reactions concourantes se composeraient en une seule qui ne saurait équilibrer un couple.
  - Enfin, si les trois normales d*appui étaient parallèles, le problème de trouver des réactions équilibrant le couple donné serait indéterminé.
  - V - CAS D’UNE ROTULE ET D1 Ull APPUI SIMPLE
  - Supposons d’abord que les forces aient une résultante. La normale d’appui coupe:, en un point I cette résultante et comme la réaction de l’appui et la résultante des forces doivent être (m'équilibre avec la réaction développée par la rotule, il est nécessaire que cette dernière passe par le point où passent les deux premières forces.
  - Il suffira donc de décomposer la résultante des forces en deux forces dirigées suivant la normale de l’appui simple et suivant la droite 01, d’où 0 est le centre de la rotule.
  - Les réactions seront les deux forces égales et opposées à celles-là.
  - Il faudra, toutefois, que les dispositions de l’appui et de la rotule permettent le développement de ces forces de réaction.
  - Si la résultante des forces était parallèle à la normale d’appui, lo point I serait rejeté à l’infini. Il faudrait '.prendre-le bras de la rotule parallèle a la normale d’appui et décomposer la résultante en deux forces portées, l’une par la normale d’appui, l’autre suivant le bras de la rotule. Les forces égales et opposées à celles-là seraient les réactions. Encore ; faut-il que la disposition de la rotule et de l’appui simple permette la réalisation de ces réactions.
  - Lorsque les forces n’ont pas de résultante et se réduisent à un cou-ple, le bras de la rotule devra être parallèle à la normalè d’appui, ces deux droites devant servir de ligne d’action à deux forces égales et desens contraires, de façon à constituer un couple opposé à celui des forces. Encore faudra-t-il que la disposition do l’appui et do la' rotule se prête au
- p.79 - vue 86/159
- - développement de ces réactions. VI .- CAS D'UU SÎICASTREIÎEWT
  - 80 -
  - Soit une poutre, figurée par son axe, et dont une extrémité est encastrée- dans un corps fixe (Fig.103). On peut se représenter 1 * encastrement
  - comme un appui capable de développer au point A, où la poutre sort du mur :
  - 1°) une force, soit 2 inconnues, qui sont ses projections ;
  - 2°) un couple, soit I inconnue- : son moment.
  - On sait que toutes les forces appliquées à un corps peuvent se réduire à ces deux éléments. Ici, les forces sont compla-nes et la force et le couple sont dans le plan des forces. Il peut donc se développer en A une réaction égale et opposée à la force unique, et un couple de réaction égal et opposé au couple résultant (is’est le couple d’encas-trement).
  - La force unique s’obtiendra, comme d’habitude, au moyen du dynamique, et on l’appliquera au point A , en changeant son sens. On prendra ensuite, sur le funiculaire, le '-moment résultant de toutes les forces par rapport au point A. Ce moment, changé de sens, sera le moment d’encastrement.
  - Exemple - Supposons une telle poutre soumise à 3 forces verticales
  - (Fig.104). Construisons le dynamique et le funiculaire, la réaction, appliquée en A, est égale et opposée à la résultante ab.
  - Cherchons le moment résultant de toutes les forces : on sait que le moment, par rapport à A, d’une force, est le produit de la distance polaire h , par 0 le segment intercepté sur la parallèle à la forcé,-menée par A - par les 2 cotés du funiculaire réduit, construit avec cette force.
  - On aura donc successivement :
  - 3Û f I = h x a k
  - JC f2 = h x k i.;
  - -P f! y tr> f 3 = h- x k 2.:
  - somme des moments est
  - 1.2
  - = hU kI>2 + K 0k07 + k0 ,13) =
  - k
  - 1.223
  - 2.3
  - h x a (3 .
  - ab, constitue un système équivalent aux forces données.
- p.80 - vue 87/159
- - 81
  - Le moment d’encastrement est évidemment h x oc (3', changé de signe.
  - SYSTEMES ARTICULES
  - On n’a, jusqu’ici, envisagé que les réactions entre un corps soumis
  - à des forces et un corps fixe qui le maintient en équilibre. Dans les systèmes articulés, on a à considérer à la fois plusieurs corps formant un système cinématique d’assemblage, sur lequel sont appliquées des forces. Une articulation est généralement constituée par une surface de révolution,dans sa forme e.n creux, et telle que les déplacements le long de l’axe ne soient pas permis. C’est un couple rotoîde.
  - Considérons 2 tiges AB , AC , articulées en A. Leur angle a est variable (Fig.105). Ajoutons 2 autres barres CD et BD, articulées à leurs extrémité s. A
  - Le quadrilatère ainsi constitué est déformable, et. ses angles dépendent de a . Mais si, en des points
  - A
  - quelconques M et U de 2 barres contiguës, on articule une Sème barre, le quadrilatère devient indéformable (Fig.106). Il n’en reste pas moins que la base de ces liaisons est l’articulation, d'où le nom de systèmes articulés.
  - C
  - B
  - D
  - b / \ \ On appelle noeuds, les points d’articulation.
  - A ce \ \ A un même noeud peuvent aboutir 2 ou plusieur
  - p res qui s’y articulent. On suppose toujours les
  - ges appliquées a des noeuds.
  - Le problème général qui se pose est le suivant :
  - Etant donné un système articulé (exemple la poutre Warren ci-contre
  - Fig. 107'
  - (Fig.107) qui peut être assimilé à un corps solide - en raison de son indéformabilité - il faut déterminer
  - A
  - B non seulement les réactions des ap-
  - puis, mais encore les efforts que subit chaque barre.
  - On remarque que si, dans le triangle BB^ B^ par exemple, on coupait
  - I 2 3
  - une barre, le système n’existerait plus
- p.81 - vue 88/159
- - -82-
  - C’est donc que les barres.sont soumises à certains efforts, qui peuvent être de deux sortes : ou bien ces efforts tendent à allonger la barre, qui est alors un tirant ; ou bien ils tendent à la comprimer; et c'est un arbalétrier. • .
  - Il faut déterminer la grandeur et la nature de ces efforts. Il existe plusieurs procédés, dont le plus courant (méthode des sections) consiste â couper la poutre par une ligne imaginaire, et à chercher ce qui se passe à droite et à gauche de cette section (Fig/108). Il y a alors deux méthodes :
  - 1°) celle de Culmann, qui s’applique dans le cas où la section ne coupe que 3 tiges formant triangle ;
  - 2°) le procédé des moments de Ritter.
  - Elles sont mises en défaut dans les mêmes cas, et il faut alors recourir à une Sème méthode : '
  - 3°) méthode de Maxwell, ou des noeuds.
  - METHODES DE DETERMIHATIOiT DES EFFORTS DA1TS LES DIVERS ELEHEHTS
  - Généralités.- Le système indéformable le plus simple est constitué par 3 barres articulées. C’est une chaîne d’assemblage (Fig.109).
  - Appliquons une force à chaque noeud. Un tel • système est assimilable à un corps solide, donc les forces appliquées peuvent se faire équilibre, à condition qu’elles so'ient concourantes et qu'elles aient une somme géométrique nulle.
  - Graphiquement, cette dernière condition est remplie si le dynamique se ferme.
  - Il est intéressant de connaître les efforts que subit chacune des 3 barres. La détermination de ces tensions est immédiate, en appliquant le théorème relatif a la décomposition des forces complanes. suivant les cotés d’un triangle. Ces 3 composantes représenteront les tensions cherchées (ces tensions pouvant être aussi bien des efforts de traction que des efforts de compression. Dans l’espèce, AA’ se décompose en AA^ , portée par AC , et Mj portée par AB.
  - L’équilibre veut que BB' donne sur AB une composante opposée à AA^. ,et ainsi de suite pour les. deux autres cotés.
  - Considérons maintenant uq quadrilatère articulé (Fig.IIO - p.83). Il n’est indéformable que si un angle donné a est rendu invariable par une barre supplémentaire EF. Si l’on ajoute une autre barre GH, il est indéformable, a fortiori, et l’on peut alors supprimer l’une ou l’autre de ces 2
  - •!. * IV • '• l. '
  - J. v'I
- p.82 - vue 89/159
- - 83
  - Fig.no
  - barres, sans que le système cesse d'être indéformable. Un tel système est A
  - dit : à liaisons surabondantes.
  - Soit enfin un système articule quelconque:ABCDE (Fig.IIl) sur lequel agissent des forces, qu’on suppose appliquées à des noeuds. Si, d’autre part, ce solide est appuyé sur des corps fixes, il s’introduit des réactions, ces réactions pourront être déterminées par les méthodes précédemment étudiées à propos des corps solides.
  - Le problème se ré uit alors à la recherche des tensions dans les divers éléments qui constituent le système. On dispose pour cela de 2 méthodes, dont une se décompose en six.
  - I - METHODE DES SECT1017S. - Qui prend elle-même deux formes : celle de Culman et celle de F.itter.
  - 1°) Méthode de Culmann : Soient 3 barres, formant un triangle et pouvant être coupées par une section entre des noeuds. Cette section divise le plan en 2 parties : gauche et droite (Fig.II2).
  - Soit F le système des forces s’exerçant sur la partie de gauche (G). Ces forces seront équilibrées par des tensions s'exerçant dans les barres I, 2, 3 .
  - Constituons, pour chacune des forces de F les composantes triangulaires, et soient la résultante de toutes les forces, suivant la barre I .
  - } \ i
  - Lg.III
  - — A B
  - D A M A E
  - A
  - Fig.Il2
  - f
  - = résultante de toutes les forces suivant la bar-
  - re
  - « r.
  - = résultante de toutes les forces suivant la barre 3 .
  - Ces trois résultantes forment un système équivalent à F . Mais alors les composantes triangulaires de l’action de la partie de droite sur la partie de gauche, seront égales et opposées à fi • r, r, Soient a ^ ,
  - x , x, ces actions. Si xT va de gauche à droite (-----------£>) , la barre I
  - sera un tirant. Si au contraire Xg va de droite à gauche, la barre 2 sera un arbalétrier.
  - Le procédé s’applique encore-quand 2 des barres sont parallèles. On a
  - cela
  - vu que ce n’èst pas un cas d’exception, puisqu'on peut regarder/comme un triangle dont le Sème sommet est a l’infini, et que la décomposition en 3 forces, suivant les 3 droites, est encore possible.
  - Il peut arriver aussi que la section oimaginaire coupe une barre (i),
- p.83 - vue 90/159
- - 84
  - puis' 3 barres concourantes ! (2,3,4) en un point A (Fig,II3).
  - Si .la résultante F des forces rencontre la barre I en un point X,on peut toujours, en joignant AX, décom poser F suivant I et AX.
  - On a ainsi sur I une composante et, par suite jc^ qui est l’action qu’exerce la partie de droite sur la partie de gauche, dans la barre I.
  - Comme précédemment, si . % va de gauche à droite,
  - I est tirant. . »
  - La composante agissant suivant AX peut être appliquée en A et être considérée à son tour comme une force appliquée au noeud A. Hais c’est un autre problème.
  - Les forces 2,3,4 (Fig.114) peuvent tout aussi bien être parallèles, sans que cela change la manière d’opérer : le point A est à l’infini, donc AX e.st parallèle à 2, 3, 4 .
  - Il suffit alors de décomposer F suivant I et une parallèle à 2, 3, 4, menée par X.
  - En. résumé : la méthode 'd.e Culmann exige que l’on puisse englober chaque barre dans un système de 3 forces formant : soit un triangle, soit 2 parallèles et une sécante, soit encore un système groupant la barre I avec d’autres,concourantes ou parallèles.
  - 2°) Méthode de Ritter ou des moments : C’est une autre manière d’arriver au même résultat.
  - Reprenons le cas où les 3 barres forment un' triangle ABC,, pouvant être coupé par une même section (Fig.115).
  - Supposons que l’on ait fait la décomposition triangulaire et fait la somme des forces sur chacun des cotés ; prenons le moment de toutes les forces du système F, par rapport au sommet À, par exemple ; on aura :
  - t
  - ZXA F
  - T f
  - A 1 I
  - h f
  - I 1 I
  - h^ étant la hauteur du triangle.
  - (Les deux autres composantes triangulaires ont des moments nuis par rapport à A , On en tire :
  - ?t
  - fpCX
  - et
  - -I»
  - ‘A
  - h
  - h
- p.84 - vue 91/159
- - On aura de même et en prenant le s moments par rapport au somniet
  - B, puis par rapport au somniet C.
  - Ainsi, pour obtenir les tensions T-j- , T 2 , "U dans les barres 1,2, 3,
  - il suffit de prendre successivement les moments résultant de toutes les forces par rapport aux sommets opposés aux barres I, 2, 3 et de les diviser par les hauteurs correspondantes-: h]; , , h3 du triangle formé par les barres.
  - Si 2 barres sont parallèles et la 3e sécante, la méthode permet encore de déterminer les efforts ^ et mais non 'l , qui doit être calculé
  - d’une autre manière (Fig.I16).
  - Ces deux méthodes, bien qu’intéressantes, ne sont pas aussi générales que celles de Maxwell, qui conduit du reste à de remarquables solutions avec d’importantes disciplines de mécanique.
  - ' 11 ~ i:ethq:d3 DE MAXWELL OU DES NOEUDS
  - Cette méthode repose sur la construction suivante : Soit plusieurs forces appliquées à un même point B qu’il s’agit d’équilibrer au rnoyep de deux forces de directions données, appliquées au même point. On construira le dynamique des forces données et par ses extrémités, on mènera des parallèles aux directions données, supposées différentes. Ces deux droites n’étant pas parallèles entre elles se couperont en un point 0. En prenant 0 comme pôle, les deux rayons extrêmes, pris dans des sens convenables seront les forces données.
  - Applications :
  - 1°) Poutre armée à I poinçon.
  - Soit une poutre AC, portant une charge verticale appliquée en B. Pour renforcer cette poutre, 'on peut placer en B un poinçon BD et 2 brides AD et
  - AC (Fig.II7). La charge F occasionne dans ces 4 barres des tensions qu’il faut déterminer. Figurons par ab la charge F, et par a, menons une parallèle à AD ; par b menons une parallèle à CD. Ces parallèles se coupent en 0. Construisons un funiculaire
  - avec le'pôle 0 ainsi'obtenu. On peut se servir de la figure elle-même com-
  - me fuelculaire : soit la réaction en À
- p.85 - vue 92/159
- - 8G
  - représentée sur le dynamique par cai Pour qu’il y ait équilibre en A, il faut que le dynamique formé avec les forces agissant suivant I et 2 soit fermé par une parallèle AC, donc oc est parallèle à la ligne I, ou perpendiculaire à ab.
  - On peut aussi savoir si la barre AB est un tirant ou un arbalétrier : ici la force I agit en se dirigeant vers le noeud A considéré, donc AB est un arba-lêteier.
  - On mettra le signe + aux tirants et le signe - pour désigner les arbalétriers. Par contre, AD est un tirant. En appliquant le même raisonnement au noeud G, on trouve que la réaction en ce point est bc et les tensions suivant BC et CD sont représentées par co et ob. Il reste à déterminer la tension dans la barre BD. On peut considérer le noeud B ou le noeud D, indifféremment.Prenons B : On connaît les forces I et 3, qui sont égales et opposées, puisque portées par la même droite. D’autre part, la charge qui s’exerce en B est ab, donc la tension qui agit suivant BD est ba, d’après le dynamique. Elle est dirigée vers B, et BD est un arbalétrier.
  - Cet exemple montre suffisamment 1*esprit de la méthode de Maxwell.
  - POUTRE AEREE A 2 POINÇONS, PORTANT DEUX CHARGES VERTICALES EGALES (Longeron de Wagon).
  - Soient (Fig.IIO) C et D les points d’application des 2 charges : CE et
  - A
  - Fig.IIC Fig.IIO DF les deux poinçons. La détermination des
  - réactions d’appui est immédiate : en raison de la symétrie * elles ont même valeur qui est égale par chacune à la moitié de la soin O^me des charges. Appliquons la méthode de Haxwell, en commençant par le noeud A la réaction oa est connue, les tensions
  - T et 'T sont inconnues. Construisons encore le dynamique partiel (A) en I 2
  - menant par c-j- une parallèle à la barre 2, et par aj une parallèle à la barre I (Fig.IIO).
  - Leur point de rencontre 0_ détermine, comme on l’a vu déjà, les tensions
  - I
  - £ et ^ , en grandeur et en sens.
  - I 2
  - \ tire sur A, donc la barre AE est tendue
  - q; repousse A, donc la barre AC est comprimée
  - (tirant)
  - (arbalétrier).
  - Passons au noeud E (Fig.120). Une force connue : celle qui agit suivant AE. Comme cette barre est tendue, on doit avoir sur E une traction égale et opposée à \ ' .*Elle sera représentée sur le dynamique partiel (E) par 0^
- p.86 - vue 93/159
- - 87 -
  - Restent 2 tensions
  - inconnue s
  - En menant par 0£ et an
  - des parallèles aux bar-
  - \ res 3 et 5, on a immédia-\
  - A, tement X „ et X .
  - ‘x o 5
  - ^ tire sur Ej donc 3 est tendue ;
  - Tt- repousse E, donc 6 est comprimée.
  - NOEUD C.- La force connue est la charge verticale, qui agit suivant CE. Hais on a aussi dans cette barre 'T * Ces deux-forces sont donc égales et opposées et se détruisent.
  - X est egalement connue. Or, pour que le noeud C soit en équilibre, il laut que Tg et X^ soient égales et opposées. X est donc déterminée sans meme, qu'il soit besoin de construire le funiculaire.
  - On en déduit ensuite, par symétrie, les tensions dans les autres barres.
  - POUTRE DE WARREN (Fig.12I).
  - On procédera de la même manière que dans l'exemple ci-dessus : Détermination des réactions aux appuis, puis, pour chaque noeud, construction du dynamique partiel, en cheminant de proche en proche.
  - Ce.s dynamiques partiels s’appellent : polygones de Cremona. On peut les grouper en une figure unique.
  - Soient A^, A^,A^,A^ , , Bg , les noeuds de la poutre ; ,p ,p
  - des charges égales appliquées en B][ ,B ,B R et R* les réactions - égales dans le cas considéré - que l'on suppose déterminées par le funiculaire habi-
  - tuel.
  - Nota : Pour faciliter la lecture des figures, nous figurerons en traits mixtes, dans chaque Cremona, les forces connues. •
  - Noeud Aj - 11 n'y a aucune difficulté : le Cremona obtenu en menant des parallèles aux barres I et 2 et à la réaction, fournit les tensions X ^ et X0 (F.122) Noeud Bj - (Fig.123) - 3 barres s’y articulent, mais 4 forces y agissent : les tensions dans les barres et la charge P^, connue. On connaît Xx , qui va de B vers A^, donc la tension qui lui fait équilibre et s’exerce sur B^, va de A^ vers B^. On peut construire ces deux forces avec leur sens :
- p.87 - vue 94/159
- - V
  - 4
  - T„
  - Fie'. 12?
  - Vie1
  - - 38 -
  - ale représente la charge P ,
  - Oa représente la tension dans la barre I.
  - Remarquons que Oa n'est autre que le vecteur aO du Crémona de A , chan-
  - gé de sens.
  - On sait, d'autre part, que les vecteurs représentatifs des tensions dans les barres 3 et 4 doivent être parallèles à ces barres. On peut donc mener ces parallèles par 0, la parallèle à la barre 3, et par R, la parallèle à la barre 4. Leur intersection h est le point de fermeture du polygone des forces. Le sens des forces kh et hO est naturellement celui dans lequel on parcourt le polygone en partant de 0 vers a.
  - hO = X^ tire sur et 3 est un tirant.
  - kh = X, repousse BT, et 4 est un arbalétrier.
  - 4 J-
  - I
  - Noeud Ag (Fig.124). Pas de charge ni de réaction, mais 2 tensions connues et 2 inconnues : Xr et . Construisons toujours le Crémona, en portant les for-
  - ces connues CO, égale et opposée à X(du Crémona A ) et Oh, égale et opposée à X (du Crémona Bj). Menons par h, la parallèle à la barre 5, et par 0 la parallèle à la barre 6 (qui est le prolongement de cO). .L'origine du polygone est le point c, ce doit être aussi le point de clôture, donc X est représentée par gc.
  - *-r repousse A ,5 est comprimée, o 2
  - X g tire sur A^, 6 est tendue.
  - On pourrait s'en tenir là et obtenir les tensions, dans le reste de la poutre, par symétrie, mais nous continuerons jusqu'au bout, on verra plus loin pour quoi.
  - Noeud B (Fig. 125). - On connaît X, ^ et X / charge P *= kk'Il y a en
  - ------ 2 —--------- 4 5 2
  - tout 5 forces. Le Crémona est un pentagone, mais la construction est toujours la même : porter les forces connues, puis par l'origine et l'extrémité du polygone incomplet, mener des parallèles aux barres dont on cherche les tensions. On a ainsi : T et X .
  - 7 Q
  - 1 . o
- p.88 - vue 95/159
- - 89
  - T repousse B , 7 est un arbalétrier.
  - 7 2
  - T
  - Noeud A (Fig.126) - 4 tensions. Mettons en place* corroie d’habitude, les for-_______3
  - ces connues et menons des parallèles aux barres 9 et 10. Les tensions X Q et
  - sont déterminées : 'T tire sur À \
  - 10 l9 3
  - T
  - 10
  - Ar
  - ces 2 barres sont des tirants.
  - Noeud B (Fig. 127) - Il n’y a d’inconnue que la tension X > qui' s’obtient
  - 10
  - \ / 7\ A
  - _6 __ .
  - Fr~X
  - 10
  - '9
  - Fig.126
  - \
  - \
  - II\
  - Fis;. 12 <
  - Ni,.
  - II
  - par un Crémona analogue aux précédents. Noeud A, (Fig.128) -
  - " T’ " ’ J1H T ' * *X ^
  - Rien n’y est inconnu, mais on peut, en partant de X * changée II
  - de sens, et de R’, vé
  - rifier que X^-q -Arme bien le polygone. C’est ce qui doit arriver si la construction a été faite correctement.
  - On*peut remarquer que les barres obliques sont alternativement des tirant
  - supérieures
  - et des arbalétriers, et que les barres horizontales/sont toutes comprimées,tan dis que les barres inférieures sont toutes des tirants.
  - Si l’on considère un noeud bien déterminé, la condition d’équilibre est, comme on l’a vu, que le polygone des vecteurs soit fermé. C’est ce que nous avons fait pour les 7 noeuds de la poutre qui vient d'être étudiée. Il faut toutefois remarquer que les Crémona, une fois construits, les tensions sont représentées, non par des vecteurs - comme dans les dynamiques habituels -mais par des segments de droites. En effet, un même segment figure tantôt l’action et tantôt la réaction. Autrement dit, son sens dépend du noeud auquel on le rattache.
  - Reprenons le polygone des forces appliquées et des réactions : ca, ak, kk’, k’b, bc. Il est fermé. C’est la souche d’un dynamique complet, sur laquelle vont se greffer les segments qui représentent les tensions : A partir du point a, on portera les côtés ca, .ao, oc du premier polygone d’équilibre (A-j. ) ; puis, en partant du point o, on portera les segments oa, ak,kh et ho, du polygone (B^.), etc.. On mettra ainsi successivement en place les 7 polygones d’équilibre que l’on avait construit séparément, étant entendu
- p.89 - vue 96/159
- - 90
  - Fi
  - que, mis en place, ils peuvent se superposer en partie ou en totalité. Le dynamique complet D est alors construit. Il représenté les charges et les réactions qui sont orientées, et les tensions, qui ne le sont pas.
  - RELATIONS ENTRE LA CONFIGURATION DE L’OUVRAGE ET LE DYNAMIQUE
  - La méthode des noeuds est due à Maxwell, mais Crémona en a achevé la mise au point et tiré les conclusions suivantes (Fig.129).
  - Si l’on considère la poutre (A), on voit que certaines barres en limitent le contour. Ce sont les barres extérieures, auxquelles correspondent, dan le dynamique (D), des segments qui leur sont parallèles. Ces segments sot dits lignes principales.
  - Les barres 3, 5, 7, 9 au contraire, sont appelées barres de remplissage.
  - Remarquons que, au lieu de construire le premier triangle d’équilibre,cao
  - on aurait pu, tout aussi bien trouver les tensions /T et 1, , en construis
  - I 2
  - sant le triangle oc’a,' sans riën changer (Fig. 130) à l’équilibre. Liais 1* assem blage des polygones d’équilibre n’eût pas donné un ensemble simple.
  - Fi 130
  - Pour orienter les constructions successives, imaginons qu’un observateur
  - décrive le contour extérieur de la poutre, dans le sens direct A ,B ,B ,A ,A
  - 1 2 3 4 3
  - X »& , c’est-à-dire en laissant à sa droite l’intérieur du contour. En par-2 1
  - tant de A^, il trouvera les barres 1,4,0,11,10,6 et 2, comprises entre les for
  - ces appliquées (charges et réactions) : R, P , P , P , R». Considérons une
  - 12 3
  - barre principale, par exemple la barre 4. Elle aboutit à 2 noeuds : .B et B ,
  - I 2
  - et on a construit pour chacun de ces' noeuds une Crémona.
  - Pour B - dans (A), 1,3,4 et P aboutissent en B ;,
  - I II
  - sur (D), le polygone d’équilibre correspondant est : a k h o,
  - ave c k h - H[, . .
  - jT
  - Pour B,, - dans (A), 4,5, 7 et P se rencontrent en B :
  - 2 2 2
  - sur (D) , le polygone est k k’ h’ g h , avec h k s 1
  - 4
  - Si l’on suppose que tous les Crémona sont mis en place, on voit que rt/
  - UE
  - est commun à 2 Crémona :
- p.90 - vue 97/159
- - ffl
  - ** {.ira1
  - - 91 -
  - pont B^., il est juxtaposé à ak, pour Bg > il est juxtaposé à kl:’ ;
  - c'est dire que dans les 2 cas, il passe par k, qui est précisément le point
  - et Pg = kk’
  - de juxtaposition des forces extrêmes : = ak ."Or, et P^ sont aux
  - deux extrémités de la barre 4. Le même raisonnement s'appliquant à toutes les
  - barres principales, on en conclut que : A toute barre du contour de (A) cor-
  - :"v /
  - respond dans (D) une ligne principale qui part du point de juxtaposition dans (D) des vecteurs représentant les forces ou réactions appliquées dans (A) à chaque extrémité de la barre principale considérée.
  - Par exemple, à 3j Bg correspond une ligne principale parallèle : kh, par-tant du point de juxtaposition k des vecteurs a k et k k* représentant les forces P^ et P^ appliquées respectivement en et .
  - On peut construire la soucuie ; c’est le polygone fermé formé par les vecteurs représentant les forces et réactions que l’on siat construire ou calculer, c’est-à-dire dans l’ordre : ca, ak, kk*, k’b, bc. En suivant le même ordre sur le contour de l’ouvrage, traçons les lignes principales (Fig.129). Barre A^B^. - Le point de juxtaposition de R et Pj est a. Par a, menons une parallèle indéfinie à A B^. . C’est une ligne principale.
  - Barre - Le point de juxtaposition de P et P^ est k. Par k menons une pa-
  - ’ft
  - rallèle à B B ,
  - I 2
  - Barre B B^ - Le point de juxtaposition de ? et ? est k’ , Par k’ menons une 2 ~ô 2 3
  - parallèle à B^B^,.
  - f
  - Barre B B^ - P et R’ se juxtaposent en b. Menons par b une parallèle à B^A/ .
  - ^ et AoAt.
  - Barres A.^A^, k^k^/- 5a on a la réaction R’, mais en A^ aucune force n’est appliquée. Continuons : En A^ pas de force, enfin en A^. on trouve R. Le point de juxtaposition de R’ et R est c. Donc, de c doivent partir 3 lignes principales portant les tensions : Hjq# T. 6 et k . Or, ces lignes sont toutes parallèles. Elles partent du même point c, donc elles sont confondues en une seule. Il suffit, par conséquent, de mener par c une parallèle commune aux barres 10, S et 2. Donc :
  - S’il n’y a , de force appliquée qu’à l’une des extrémités d’une barre principale, continuer en parcourant les barres suivantes jusqu’à ce qu’on trouve une autre force, et chercher, sur la souche, le point de juxtaposition des forces entre lesquelles se trouvent placées .les barres principales considérées. Par ce point, mener la ou les parallèles à ces barres.
  - fl
  - SI
- p.91 - vue 98/159
- - 92
  - Toutes les lignes principales sont ainsi construites.
  - Barres de remplissage.- A ces barres oowespondent des lignes secondaires. Remarquons que l’ouvrage est constitué par 5 triangles et que, sur la figure (D) les tensions relatives aux côtes d’un de ces triangles sont représentées par des segments issus d’un, meme point. Par exemple : au triangle formé dans (A) par les barres 1,2,3 correspond dans (D) le sommet 0 d’où partent les segments :
  - % X > '^2 ’ 1*3 •
  - On peut former un tableau des triangles de l’ouvrage et des points de concours correspondants dans le dynamique.
  - Ainsi, à chaque triangle se rapporte un point de concours des droites qui portent les tensions s’exerçant suivant les côtés de ce triangle.
  - Il est, dès lors, facile de construire les lignes secondaire s.
  - Soit à déterminer 1 : La barre 3 fait partie du
  - ô
  - triangle 1.2.3. Le point de concours relatif à ce tri-
  - 't»X3 “y
  - angle est 0, où aboutissent déjà le/T ^rîgne's -cprin c i p a -
  - CA). triangle s (D) sommets
  - 1.2.3 0
  - 3.4.5 h
  - 5.6.7 g
  - 7.8.9 h’
  - 9. 10.II 0
  - le s T. T et n . D’après ce qu’ on[|ffienh '"de-- vêtir : T,
  - doit aussi y aboutir \ donc de ce point 0 mener une parallèlfc&L3. d
  - V/ V(; ©
  - lèle porte H _ . ^
  - îe parai-
  - De meme pour % sommet relatif au triangle 3.4.5. est h, où se rencontrent T,3 et . Donc, par h on mènera une parallèle à 5. ^ est déterminé. Ensui te, par g, qui correspond au triangle 5.6.7, mener une parallèle à 7, ce qui don ne T, * Puis, par g’ (triangle 7.8.9), mener la parallèle à 9, ce qui détermine
  - T 9 *
  - Enfin, le sommet relatif au triangle 9.10.II est 0, d’où partent T, ,
  - i io ^ JJ •* T, g et L jj- sont déjà déterminés.- T doit se juxtaposer, d’une part à ca et d’autre part, elle fait partie du triangle 9.10.II qui a pour sommet correspondant le point 0, donc ^ est portée par Oc ;
  - En résumé : Construire les lignes principales, comme il a été dit, puis considérer successivement tous les triangles qui constituent l’ouvrage, Ces triangles donnent tous les sommets du dynamique.
  - APPLICATIONS.- La méthode étant maintenant établie par les remarques successir-ves faites sur une construction simple, nous pouvons nous la rendre familière par quelques applications directes.
- p.92 - vue 99/159
- - 93
  - FEEME POLONGEAU A UNE BIELLE.- Le schéma (Fig.13l) indique suffisamment la structure. Elle porte 3 charges verticales : P_ , P0, P ; Numérotons les bar-
  - 1 Cj 6
  - res en parcourant l'un après l’autre les triangles contigus.
  - En faisant le tout de l’ouvrage on trouve, dans l’ordre, les barres principales : I, 4, 8, II, 10, 6, 2.
  - •Formons le tableau des lignes principales et traçons-les à mesure :
  - Narres
  - II
  - 10
  - 6
  - 2
  - Lignes
  - pples
  - a 1
  - k m
  - k’m’
  - b 1’
  - c 1' c o c 1
  - Detail des opérations
  - Comprise entre les forces \ ” „ “ , ca et ak, elle paru du point a.
  - Comprise entre ak et kk’ part du point k
  - Comprise entre kk’ et k’b part du point k’.
  - Comprise entre k’b et bc part du point b
  - comprises entre bc et ca partent toutes du point c
  - rH P 2-
  - /O cr1^ i—| W W H 'H O
  - d P hh d Sh Ph Ph rd d o
  - Ph O
  - - d°
  - Formons maintenant le tableau des lignes secondaires, des triangles dont elles font partie, et des points de concours qui s’y rattachent.
  - Triangle s dans (A). Barres Lignes secondaires Points de concours dan s (D)
  - Le point de concours est celui de
  - 1.2.3. 3 1 m I. et 2 , c. à d. 1
  - 3.4.5 5 m o 3 et 4 - m
  - 5.6.7 7 o m' 5 et 6 0
  - 7.8.9 9 m’ 1 7 et 8 - m’
  - On voit que cette méthode est extrêmement rapide. Elle fournit sa propre vérification par le dernier triangle, non utilisé, et qui doit confirmer les résultats obtenus.
- p.93 - vue 100/159
- - 94
  - FERME POLONCEAU A 3 BIELLES, PORTANT 7 CHARGES VERTICALES EGALES
  - Fig.131
  - JL._____P
  - On se bornera ici à la construction des figures (Fig.132) et à l'établissement des tableaux directeurs, toutes les autres explications étant super-flues si l'on a bien suivi les 2 applications précédentes.
  - Nous développerons cependant les parties de la construction pour lesquelles la méthode se trouve en défaut, et où il faut recourir à la méthode des moments de Ritter.
- p.94 - vue 101/159
- - 9
  - Barre s Ligne s pple s. Triangle s dans (A) Barres Point de concours dans (D) Lignes secondaires
  - I a 1 1.2.3 3 1 1 m
  - 4 kim 3.4.5 5 m m r
  - 8 k2n 5.6.7 7 r r q
  - 12 k3P 7.9.10 9 en défaut
  - 15 V 8.9.II II -
  - 18 k5n' II.12.13 13 -
  - 24 k6m' 15.16.17 16 -
  - 26 b 1» 17.18.19 17 -
  - 27 19.20.21 19
  - cl'
  - 22 . 21.22.23 21 r ' rTq’
  - 14 cO 23.24.25 23 m» m’r1
  - 6 25.26.27 25 r 1 ’m*
  - 1 c 1
  - 2 i A3 B4 A4 I0et20 en défaut
  - Formons le tableau des triangles et de leurs points de concours correspondants :
  - Triangles Point s de concours correspondts
  - 1.2.3 ï
  - 3.4.5 m
  - 5.6.7 r
  - 7.9.10 q
  - 8.9.II . n
  - II.12.13 P
  - Triangles Points de concours correspond'1's*
  - 15. 16.17 P’
  - 17.18.19 n’
  - 19.20.21 q'
  - 21.22.23 r ’
  - 23.24.25 m’
  - 10 13-16 20-
  - 14 o(i)
  - On a ainsi tous les sommets du dynamique et, par suite, tous les segments.
  - Il reste à déterminer la nature des tensions ; mais on peut retrouver-dans ce graphique tous les Crémona relatifs aux différents noeuds.
  - Par exemple : au noeud Aj, on a la charge : R = ca, et le dynamique est ca, al, le, avec :
  - ca = R , al = ~ 1 j , lo = + H \ .
- p.95 - vue 102/159
- - - 96
  - On peut résumer tout cela dans un autre tableau :
  - Noeuds Crémonas
  - A I ca al le
  - R "Il + T2
  - Bi a kj kjm m 1 1 a
  - P I - % - Ti
  - A2 c 1 1 m m r r c On part de c,
  - + ^2 " ^3 + u + t6 car A? est compris entre R et R’
  - B2 kIk2 V n q q r r m m k
  - P2 8 + 'T - 9 T- 7 + n _ t . ^ 5 1 4
  - A 3 c r r q q o 0 c
  - - 'h -t7 -1lO + ^ 14
  - B3 k2 k3 k3 p P n n k2
  - P3 " ^12 ^ Il - T6
  - B 4 k3 k4 k4 P’ p’O 0 p P k3
  - P4 ^ 15 ♦T 16 + ^13 - 1 lI2
  - On aurait, par symétrie, ce qui se passe dans l’autre moitié de l’ouvrage.
  - Remarque.- Si l’on ne tenait pas compte de la propriété des tensions s'exerçant sur les 3 cotés d’un triangle de concourir en un point sur le dynamique, il faudrait recourir à la méthode des moments de Ritter.
  - Appliquons cette méthode à la recherche de la tension dans la barre 9 :
  - au noeud B ,. on a les forces et tensions P , T! , T c, T» T, T dont à 2 4 5 7 9 q
  - les trois dernières sont inconnues.
  - Liais on peut faire (Fig,133) une section coupant les barres 8,9,10 et considérer :
  - 1°) les moments par rapport au sommet B_^, de toutes les forces extérieures comprises entre cette section et le sommet B, ,
  - 4 *
  - 2°) les moments, par rapport au même point, des forces faisant équilibre aux tensions qui s’exercent dans les barres coupées. Ici, les moments des
- p.96 - vue 103/159
- - 97
  - FIG.136
  - FIG.133
  - FIG.134
  - forces extérieures se réduisent à celui de (p^ passe par le point B,),qui
  - est connu, c’est d.P.^ ; - ceux des tensions "X g et sont nuis, seul le
  - moment de T ne l’est pas, mais la distance e est connue. Or, il doit y 9
  - avoir équilibre entre le moment des forces extérieures et les moments des tensions, donc :
  - d’où 'T 1 9
  - d. P
  - Il ne reste alors que 2 tensions inconnues et l’on peut revenir à la méthode de Maxwell-Crémona.
  - RELATIONS ENTRE LES FIGURES RECIPROQUES
  - On a vu, à propos de l’étude des dynames, qu’à une droite d correspond une autre droite ô , ces 2 droites étant telles que le dyname puisse être réduit à 2 forces portées par d et 5.
  - Rappelons aussi que :
  - Le dyname peut se réduire à une force et à un couple, et que le moment de ce couple par rapport à un point se représente par un vecteur MG issu de ce point. Le moment du couple, par rapport à une droite passant par le point M est la projection MG’ de MG sur cette droite (Fig.134). Les droites de mo-ment nul sont celles pour lesquelles MG’ est nul, ce qui entraîne que MG soit normal à la droite. Il s’ensuit que le lieu des droites de moment nul est lçt plan normal en M au vecteur - moment MG. Ce plan est le plan polaire du point M, et réciproquement, M est le pèle de ce plan. D’autre part, 6 est le lieu des pôles des plans passant par d, er si une droite 5'coupe d et <5, c’est une droite de moment nul ; donc le plan décrit par cette droite ^ est le plan polaire du point M.
  - Si 2 droites sont concourantes, elles ont pour conjuguées 2 droites concourantes.
- p.97 - vue 104/159
- - - 98 -
  - A trois droites formant trièüre, il correspond dans' le. plan pol&lre Tt de leur sommet 0, 3 droites a, b, c formant un triangle.
  - Réciproquement : si l’on a une surface polyédrale constituée par des facettes triangulaires, à chacune de ces facettes correspond un trièdre. ChJ sait enfin que : si l’on projette deux droites conjuguées sur un plan principal (normal à l’axe central), ces projections sont 2 droites parallèles.
  - THEOREME DE CREMONA
  - D’après cela, on peut considérer la figure formée par un système trian-gulé (à) et. son dynamique (D), sous l’aspect suivant : (à) est la projection sur le plan du dessin pris comme plan principal, d’une figure polyédrale A1 de l’espace, à facettes triangulaires, et (D) est la projection, sur le même plan, d’une figure D’ do l’espace, conjuguée de A’.
  - Ainsi, dans la figure D, on a un ensemble de segments formés par les droites conjuguées de la première figure. On peut donc, en réglant d’une façon convenable le système A, s’arranger pour que certaines des droites soient les lignes d’action des forces extérieures, et il se trouve que dans la figure D les segments représentent les tensions s’exerçant suivant les barres de A auxquelles ces segments sont parallèles.
  - Nous admettrons ici ce théorème qui est utile pour les procédés commo-
  - agissant
  - des de dessin qu’il introduit, notamment par la remarque que les forces/sui-vant les cotés d’un triangle sont figurées par des segments concourants du
  - dynamique.
  - Le théorème de Crêmona éclaire d’une façon particulière les constructions précédentes (Maxwe 11-Crémona) : Supposons que les droites de l’espace : R’,Ph ,
  - P’p ..., dont R, P , P ... , sont les projections, soient parallèles dans llespace. On sait que : les conjuguées de droites parallèles sont dans un même plan parallèle à l’axe central, de sorte que, en projection sur le plan principal, toutes ces droites conjuguées coïncident : c’est pourquoi toutes les forces sont superposées sur la souche ab, quand elles sont parallèles dans l’es-
  - D’autre part, aux droites d’un triangle (A)(formant une facette) il doit correspondre un trièdre dont le sommet est le pôle du plan, et dont les projections sont 3 droites concourantes.
  - Par exemple, le point 1 est la projection d’un, trièdre dont les arêtes sont les réciproques des côtes I. 2. 3 de la figure A. En particulier (Fig.135): si l’on trace le funiculaire et le dynamique d’une force, avec uh pôle 0, on a
- p.98 - vue 105/159
- - 99
  - vu que si l’on prend un autre pôle 0', les côtés extrêmes a et (3 se coupent sur une parallèle à 00*. On remarque que le funiculaire peut être considéré comme la projection d’un tétraèdre T de l’espace, et le dynamique comme la projection d'un autre tétraèdre 0 , formé par les droites conjuguées de T.
  - Il en résulte que les lignes homologues des 2 figures sur le plan principal seront parallèles.
  - Les côtés du funiculaire sont, par construction, parallèles aux hayons polaires ; ab est aussi, par construction, parallèle à la force f. Donc,les côté s restants : a(3 et 00’ doivent être parallèles.
  - Remarque - On a vu en statique que le paramètre d’un dyname est, si l’on fait la réduction canonique : h = ~~ si l’on changeait R, on multiplierait toutes les forces du dyname par un même nombre, mais les lignes conjuguées resteraient invariables. Donc, R n’intervient pas dans la conception du dyname, qui ne dépend que de son pas : h.
  - Si l’on changeait.h, toutes les projections sur le plan se transformeraient par homothétie, et seule l’échelle du dessin serait différente.
  - FORCES ELASTIQUES DANS LES PIECES CHARGEES
  - On appelle généralement poutre, tout prisme homogène dont les dimensions
  - longitudinales sont très grandes par rapport à ses dimensions transversales,
  - possédant un plan de symétrie ; on suppose, de plus, cet ouvrage soumis à
  - des efforts symétriques 2 à 2 par rapport à ce plan. Cette dernière condition
  - étant remplie, 2 forces symétriques ont une résultante dans le plan de syrné-
  - ,se ramène à un^système de forces
  - trie, et l’ensemble de forces/complanes situées dans le plan de symétrie. On peut aussi considérer la poutre comme un solide engendré par une section plane normale aux génératrices. Plus généralement, si un profil plan, de diamètre relativement faible, de grandeur constante, se déplace de manière que son centre de gravité décrive une courbe gauche à laquelle son plan reste nor mal, ce profil engendre une certaine surface qui limite un solide. C’est la définition la plus générale de la poutre en arc.
  - POUTRE RECTILIGNE
  - On la suppose en équilibre sous l’influence des charges et des réactions mais elle peut subir des déformations, toujours extrêmement faibles, mais pou
  - vantcepéndant être décelées au moyen de certains instruments de précision.
  - dMex
  - Ces déformations sont de trois natures : , .
  - 1°) si elles cessent en même temps que l’action des forces, le corps reprend son état primitif. On dit alors que les déformations sont élastiques.
- p.99 - vue 106/159
- - 100
  - 2L) si, au. contraire, les déformations subsistent après énlèvement des
  - charges, elles' sont dites : permanentes.
  - Dans ce cas, il faut remarquer qu’une fraction seulement de la déformation totale persiste après cessation des efforts : la déformation élastique
  - disparaît. Si l’on applique à nouveau les mêmes forces, il se produit de nou-
  - velles déformations, élastiques et permanentes, mais la marge de ces dernières est plus petite qu’avant l’application primitive.
  - Le but de la résistance des matériaux est de calculer les pièces de telle sorte que les déformations permanentes ne soient jamais atteintes.
  - CONDITIONS D’.EQUILIBRE (FIG.136)
  - Coupons une poutre par un plan normal aux génératrices, et considérons les forces a.gissant sur la partie de gauche de la section : elles sont réductibles à une force unique GR, pouvant être appliquée au centre de gravité- de la section, et à un couple dont l’axe GV est normal au plan de symétrie,puisque toutes les forces sont dans ce plan.
  - La force GR située dans le plan de symétrie, peut être décomposée suivant V
  - la normale N a la section, et suivant la perpendiculaire U à cette normale dan le plan de symétrie,
  - La composante GN est l’effort ;
  - Dans la section faite par un plan normal issu de G.
  - GU —l’effort
  - Llaxe GV du couple est le moment fléchissant.
  - L’effort normal peut avoir 2 effets différents
  - \
  - s’il est dirigé vers la droite, c’est un effort de traction,
  - gauche
  - compression.
  - Ainsi : FF’ F"... étant les forces qui s’exercent sur la partie à gauche de la section :
  - LOI DE HOOKE - MODULE D’YOUNG
  - On fait l’hypothèse suivante, de Uernou 11i :
  - Si l’on prend une section droite dont le centre de gravité, décrit la li-
  - gne moyenne, le lieu de ce centre de gravité reste, après déformation, une courbe à laquelle la section considérée reste normale.
  - Autrement dit, les molécules constituant cette section en font encore partie après déformation, et cette section reste normale à la courbe déformée.
- p.100 - vue 107/159
- - Fie;* 137
  - - IOI -
  - Soit donc une section o>0 , dont g0 est le centre de gravité. On peut prendre un système de coordonnées ayant g0 pour origine, et dont les axes soient dirigés respectivement suivant N, U et V.
  - Considérons une section voisine : » ^ de centre de gravité gj , et 2 points : m0 et irij , situés sur une même parallèle aux génératrices (Fig. 137).
  - Après déformation (Fig.138) gQ g a pris une forme incurvée GG^, (on a amplifié la figure pour rendre le dessin plus net), les axes gQU0 et gjUj , devenus GU et GjUj se coupent en C, et les perpendiculaires au plan de symétrie sont GV et G^V^. ; Enfin, les points M et M sont ce que deviennent mQ et m^ après déformation. Menons de M et M les perpendiculaires MN et
  - MU ; - on forme ainsi un rectangle : MNNT1ÆT , dnnc II- x x
  - M et ont les mêmes coordonnées (u,v), dans les 2 sections.
  - Cherchons 1 ’ expression 'de l1 allongement spécifique (allongement par unité de longueur), pour un élément m^m^ quelconque. Posons :
  - S0 gp " £
  - Après déformation, cette longueur est devenue
  - GG - g gT = GG -loi I
  - GGj, donc :
  - = allongement,
  - et, par unité de longueur
  - GG
  - - Ç
  - cela pour la ligne moyenne. ^
  - Les sections étant parallèles avant déformation :
  - V.-T
  - momI = 50gi = L
  - et on a de même l’allongement spécifique de MMj :
  - MM -I
  - Faisons la différence
  - t ?
  - A- x . mi - °Gi
  - Après déformation, les 2 sections et «a j forment un angle Ê très pe-
  - tit. En raison de la faible distance des 2 sections, la corde NU^. peut etre
  - confondue avec l'arc de cercle de centre C et de rayon CN,
- p.101 - vue 108/159
- - Or,
  - - 102 -= g x ck
  - = £ (CN " JfG)
  - -
  - CK - GG = GK = ordonnée du point M = u ,
  - donc :
  - A - *
  - e T
  - liais '~zr= rapport de l’angle de contingence a l’arc est la courbure et R est
  - ï
  - le rayon de courbure, donc :
  - A _ X = u
  - R
  - qui donne le coefficient de dilatation longitudinale :
  - \ , en fonction de celui de àa ligne moyenne :
  - A = X * JL
  - R
  - On exprime généralement ce résultat sous une forme plus concrète : entourons H d’un élément de section «, et considérons le petit prisme formé
  - avec MM comme axé. C’est une fibre.
  - I
  - Soit P la charge supposée uniformément répartie qui agit sur cette fibre,
  - P
  - — es
  - est la tension par unité de surface. Si 1 est sa longueur, 61 est son al-
  - longement, et JjL con allongement spécifique.
  - Entre ces 2 quantités (tension et allongement spécifiques), il existe une relation (Loi de HOOKE) :
  - 51
  - (à i »
  - qui exprime la proportionnalité des allongements aux charges. E s’appelle module d’élasticité (module d’YOUKG). C’est un nombre considérable, car si l’on
  - C "]
  - supposait __t_ = I (ce qui signifierait que la longueur de la fibre a été dou-
  - N p
  - blée) et E =------- serait précisément la charge par unité de surface capable
  - &
  - de doubler la longueur de la tige. Mais cela est purement fictif, car la pièce serait rompue depuis fort longtemps.
  - Si l’on reprend la formule A = X + -L -, on peut écrire, A et X étant des
  - R
  - allongements spécifiques :
  - IL = A = _£
  - 1 tù
  - si : p =_Lest la relation entre l’allongement et la charge spécifique qui
  - iù
  - produit cet allongement, on a :
  - P E ( A * .S.) ,
  - R
  - qui est la relation entre l'allongement et la chargé spécifique qui le produit
- p.102 - vue 109/159
- - 103
  - Pour u. = 0 , on a la charge au centre de gravité.
  - Pour, u > 0 , la fibre est au-dessous de la fibre moyenne. Donc, dans
  - toute la partie située au-dessous du centre de gravité, u est positif et les charges sont plus grandes qu’au centre de gravité.
  - Au contraire, dans toute la partie au-dessus du centre de gravité, u
  - est négatif. Si u , étant négatif, \ + ~~ est aussi négatif, les fibres
  - sont comprimées au lieu d’être tendues.
  - CAS PARTICULIER DE LA FLEXION SIMPLE
  - On supposera que toutes les forces appliquées sont dans un même plan et normales à la ligne moyenne. Les réactions seront, elles aussi, normales à cette même ligne, et la composante horizontale N sera nulle, de sorte que les forces se réduiront à l’effort tranchant T et au moment fléchissant M.
  - On peut analyser les efforts moléculaires que la partie de droite de la poutre exerce sur la section C* (Fig.139).
  - Cette section peut être regardée comme étant composée d'éléments d’aire «a, infiniment petits, sur chacun desquels s'exerce un effort. Ce sont tous ces efforts moléculaires qui doivent équilibrer N,T et M (mais N est ici nul). Considérons un de ces éléments «> entourant un point m de la section (Fig. 140) sur cet élément s’exerce une force F ca proportionnelle à son aire, F étant une force spécifique.
  - Décomposons F & suivant les 3 axes perpendiculaires : Gx, Gu, Gv. Ces trois composantes sont :
  - ^ @ > ^U ^ ) X-y fiÛ î
  - et leurs sommes doivent équilibrer séparément les 3 composantes des forces appliquées, ce qui s’écrit :
  - N\ + 5Z,X m = 0 T + = 0
  - 0
  - X » = 0 .
  - vw <
  - En remarquant que la composante suivant GV est nulle, puisque toutes les forces sont dans.le plan vertical G x U. D’autre part, toutes les actions . moléculaires sont symétrique s"par rapport à ce plan, et la dernière équation devient évidente.
  - Il faut exprimer aussi l’équilibre des moments :: .Les forces agissant dans le plan G x u, les moments par rapport à G x et G u sont nuis, et il ne reste à considérer que les moments par rapport à GV. On doit donc avoir : 0 = M +
- p.103 - vue 110/159
- - ce qui fait i équations d’équilibre, duisent à
  - des moments de toutes les acticns moléculaires par rapport à GV. L’une quelconque de ces actions : F w , a bien aussi 3 composantes, mais seule la composanto X ù> suivant la parallèle à G x a lin moment qui n’est pas nul. Le bras de levier de X w est donc :
  - M + X! X w u = 0 ,
  - Ici, N est nul ^ et ces équations se ré-
  - Sx « - 0 (I)
  - Zlv» = o (Z)
  - 2 xu « = - T - (3)
  - [|l»u= - M (4)
  - Cherchons X :
  - C’est une composante parallèle à Gx, elle agit dans le sens de la fibre et ce n*est pas autre chose que la force spécifique p de la loi de Hooke, donc :
  - X = E •( X ' + i (5)
  - ce qui exprime la relation entre X et X . Remplaçons X dans l’équation (i) :
  - L e ( x + 4) « = o ,
  - II
  - ou, en développant :
  - -O X Z_i + ~ç~~ L~> u = 0
  - (B, R et X étant des constantes).
  - Mai s, T m , c’est û j et, d’autre part s Zü «> u n’est autre que û u
  - Lr
  - en appelant u l’ordonnée du centre de gravité de la section. Or, u est nul,
  - G Cr
  - puisque l’on a pris le centre de gravité comme origine, donc
  - V
  - L « u = 0 , et il reste
  - p X 0 - o .
  - n’ pas
  - E est/nul, ^ non plus, c’est donc X qui est nul. Ainsi, dans les conditions du problème, vue la perpendicularité des charges et des réactions sur la fibre moyenne, celle-ci n’éprouve ni allongement ni raccourcissement. On lui donne pour cette raison le nom de fibre neutre. Cette conséquence est liée directement à la condition que N soit nul. Sous le bénéfice de cette restriction, l’équation (5) se réduit à : „ u
- p.104 - vue 111/159
- - 105 -
  - En traitant de la même manière l’équation (4), on a :
  - y<_E u
  - R
  - u « = - M
  - E et R sont les mêmes pour tous les éléments, et l’on peut faire sortir oes
  - 2 facteurs du signe JL., :
  - R
  - U u2 (à
  - Mais : JL, u2 <*> n’est autre que le moment d’inertie I de l’aire û par rapport à l’axe GV.
  - Rappelons en effet que : (Fig.141) si l’on considère un axe z et une masse m à une distance u de cet axe, par définition : m u2 est le moment d’inertie de cette masse par rapport à l’axe z . Cette notion s’étend aisément à toute l’aire O , en attribuant à chaque élément <u) , une masse proportionnelle à sa surface. Cela s’exprime par :
  - i = L u2 » .
  - La section étant constante, cette expression est évidemment la même pour
  - Fig. I
  - tous les points de la poutre, et l’équation (i)
  - devient finalement :
  - El
  - = - M , ou encore
  - (6).
  - , JC_ - , M R El
  - On a considéré jusqu’ici la section Q sans se préoccuper de sa position par
  - rapport aux extrémités de la poutre. Si maintenant on se donne la distance x de cette section à l’un des appuis, l’état des forces appliquées se trouve déterminé, pour la section envisagée. Il est alors possible d’en déduire la courbure de la ligne moyenne ainsi que la charge spécifique d’une fibre quelconque,
  - De la formule : A - LL 0n peut exprimer, en remplaçant_L
  - R R
  - par sa
  - valeur
  - A
  - M u E I
  - ce qui exprime la déformation spécifique (allongement ou raccourcissement)de la fibre passant par le point m. On avait aussi :
  - E u = E A , ou : A = JL.
  - X
  - R
  - E
  - d’où, en remplaçant A dans l’équation précédente
  - X
  - M u
  - JT
  - M u
  - X = - donne, pour une fibre quelconque, la charge spécifique agissant
  - dans le sens de cette fibre.
  - C’est l’équation, d’équarissage.
- p.105 - vue 112/159
- - 106
  - DETEEMINAIIGE DE LA COURBE ELASTIQUE ET CALCUL DES FLECHES ----—-------— ----— „— ------------ ______— ________ n
  - La courbe élastique est celle que prend la fibre moyenne sous l’effet Sa courbure est toujours très faible.
  - des charges/ On a souvent besoin de connaître la flèche de cette courbe ,
  - c'est-à-dire la déformation maximum.
  - !
  - Il suffit, pour la déterminer, d’intégrer l’équation (6). Pour cela, considérons la tangente en un point qeulconque M de la courbe (Fig.142) (x,y) étant ses coordonnées courantes : on a :
  - 0
  - tg 9 = ~---
  - b dx »
  - dont la dérivée , par
  - rapport à x, est
  - dO I _ d2 y
  - dx
  - co
  - 329
  - dx1
  - r
  - ou :
  - d0 _ d2 v ? -------cos^ 9
  - dx^
  - dx
  - *
  - ou encore :
  - d6 = 3 co s2 ô dx dx2
  - si l’on désigne par s la longueur de l’arc de courbe, et par ds sa diffê-
  - \
  - rentielle, on a, en divisant par ds dans les 2 membres:
  - = ApL00S26 _dx
  - ds dx^ ds
  - Or, dx dst la projection sur l’axe Ox d’un élément infiniment petit : ds,de
  - 1’arc, qui peut être confondu avec sa tangente, de sorte que :
  - dx ds * cos 9 ,
  - d ’ aut re part, dO I
  - ds T" ’
  - On a donc, en remplaçant
  - de = i! y oos3 « =_L_
  - ds dx2 . p
  - Comme la courbe s’écarte' très peu de la ligne droite, 0 est très petit et cos 0 est très voisin de l’unité ; - cos''1 6 aussi, et l’on peut, avec une approximation suffisante, écrire :
  - 1 = d2 y
  - P dx2
  - et, en remplaçant —L». par sa valeur tirée de (ô) :
  - R
  - d2 y = _ M ^
  - dx2 El
  - i
- p.106 - vue 113/159
- - VIH3 FASC.
  - 107
  - Fonc l’ordonnée y de la courbe en un point quelconque est une fonction de x, dont la derivee seconde est # En intégrant 2 fois cette équation, on aura y.
  - FLEXION SIMPLE - APPLICATIONS
  - POUTRE DROITE ENCASTREE, CHARGEE A SON EXT REMIT E
  - Les forces extérieures se réduisent à la force verticale d’appui qui est égalé et de sens contraire à la chaf'ge.P et le couple d’enca.strement égal et de sens contraire au moment de la charge extrême. On néglige le poids propre de la tige. On appelle 1 la longueur de la tige. On trouve que au point G à la distance x du point d’encastrement, le moment fléchissant est (oy étant vertical descendant et ox horizontal) :
  - en sorte que
  - JC = P(x - i)
  - l’équation différentielle de
  - P ( x - 1 )
  - El
  - a2y
  - dx2
  - 1’élastique
  - un + _el
  - El El
  - d’où, en intégrant une première fois :
  - Mais au point origine,
  - dy _ px2 , dx "2EI *
  - iuL est nul avec x, dx
  - c ù p.„:— æ,
  - El '
  - donc c = 0 et il reste
  - dy =
  - dx
  - -_eA ♦ pi x.
  - 2 El El
  - Intégrons une fois de plus, il vient, en prenant encore une fois la constante nulle car y est nul avec x :
  - y = - -Bjf... + _£l_ X2 .
  - J 6 El 2 El
  - Comme x est positif et moindre que 1, la dérivée de y, qui peut s’ée crire : , .
  - _ÉI_ « -_ES_ (x - 2 l) dx 2 El
  - •st toujours positive, la courbe élastique ne cess pas de s’incliner vers le bas (Fig.143).
  - La flèche de la courbe, c'est-à-dire son plus grand écart de l'horizontale sera obtenue pour x = 1 et on aura :
  - f = LB
  - La pente de la tangente en ce point en ce point, en sorte que la courbe flexion.
  - pr
  - 3EI
  - O
  - est égale à plc. Par contre y" est nul élastique prolongée aurait en B une in-
- p.107 - vue 114/159
- - 108
  - Remarque - .On a trouvé pour le moment fléchissant :
  - OrC = p(x “ 1)
  - on a du reste pour l'effort tranchant :
  - T = - p ,
  - car l'effet 'tranchant est de 0 en B égal à la réaction au point 0 d'encastrement, donc à -p. On peut remarquer alors que :
  - a Otr= P = - t .
  - DEMONSTRATION D'UNE FORMULE GENERALE
  - Cette propriété n'est pas spéciale au cas que l'on vient de traduire. Soit Ft une charge où une réaction verticale appliquée en un point Pj de coordonnées x^ } y^. et de projection , Y^ sur les axes de coordonnées ,d' un moment par rapport au poiht P de coordonnées x, y on a :
  - - x) P - (yi - y) q ,
  - mais ici, on a : y = 0 puisque P est un des centres de gravité de la -section, il reste donc :
  - (ki - *) n - n
  - Si l'on a ainsi des charges en réaction isolées à gauche de Pj on aura pour le moment fléchissant :
  - CK - XKn - *> Y -
  - h h
  - - IPxiyi - yjXj) - x £ïj
  - yj Xj) est le moment à l'origine et, d'autre part
  - T - nu
  - est l'effort tranchant, on a donc :
  - oru=iu0 - t
  - d'où ré suite
  - dx
  - Nous généralisons encore plus tard cette propriété dans le cas des charges réparties.
  - REPRESENTATION DES MOMENTS AU MOYEN DU FUNICULAIRE
  - Construisons un funiculaire des charges et ^réactions (Fig. 144) a , mj > m3 , mq , (3 . Menons par le pôle 0 la parallèle à <x|3, elle détermine les réac- ,
  - tions ca et bc. Abaissons du pôle 0 la perpendiculaire oh à ab, elle permet d'écrire la valeur pq.ch du moment fléchissant en un point G, pq étant *Le segment intercepté sur la verticale de G, par les côtés du funiculaire :
- p.108 - vue 115/159
- - 109
  - Mq. = pq x -ch .
  - En effet, a toutes les forces agissant à gauche de G, correspondent des cotes du funiculaire et p, q sont les intersedtions avec les cotés extrêmes du funiculaire partiel relatif à ces forces.
  - Fig.145
  - REPRESENTATION ANALOGUE DE L1 EFFORT TRANCHANT
  - On peut aussi trouver graphiquement lleffort tranchant (Fig.144) : c’est la somme des forces (chafges ou réactions) agissant à gauche du point considéré. En partant de A, on a : la réaction ca et les forces n ...............
  - Menons par c une horizontale jusqu’à sa rencontre avec les verticales qui portent les charges. Entre A et p , l’effort tranchant sera représenté en chaque point par un vecteur de longueur constante, puiqqu’il n’y a'pas de
  - fotces entre ces 2 points. Ce vecteur est égal à la somme des forces : R ,
  - A
  - c’est-à-dire à t t’ o o
  - De meme entre les autres forces.
  - /
  - Pour un point G quelconque, l’effort tranchant est représenté par le segment compris entre l’horizontale de c et 11 horizontale correspondant à la charge précédente.
  - Remarque. M n’est ici une fonction continue de x qu’entre 2 charges, par exemple p-j. et pg , mais quand on a traversé p^ , l’expression analytique n’est plus la même qu’entre p^. et p^ . L’expression du moment à gauche de p^ est la suivante :
  - H = S XI h
  - - x £3*
  - Après Pg, il faut ajouter des termes correspondant aux charges nouvelles rencontrées. Donc, M est une fonction discontinue de x et si l’on intègre l’équation p
  - àc y _ M
  - dx^ El
- p.109 - vue 116/159
- - iio
  - on trouve pour la courbe intégrale une certaine forme de courbe entre p_ ©t
  - P2 , et une autre iorine entre pg et , eto. , avec chaque fois une constante d'intégration différente. Mais il faut évidemment que 2 éléments contigus de la courbe élastique se raccordent, c'est-à-dire aient un point commun et une tangente commune. G et te condition doit suffire à déterminer les Constantes
  - d’intégration. On traitera en particulier le cas simple suivant :
  - Poutre sur 2 appuis simples, portant une charge isolée P en un point quelconque (Fig.145).
  - - Fig.145 -
  - On calcule de même :
  - Soit a l'abcisse du point d'application de la charge P, et b = 1 - a.
  - Réactions.- La somme des moments des forces et des réactions par rapport à un point quelconque doit être nulle. Par rapport à A, on a -(a+b)R'+Pa=0, d'où ' Pa
  - Effort tranchant. 1° à gauche de P :
  - ^ a + b
  - 2°) à droite de P :
  - D ^ a + b a + b
  - Moment fléchissant. 1°) à gauche de P :
  - dM
  - on a toujours :
  - dx
  - = R et M = ’Rx - C.
  - et pour x = 0, le moment est nul et : C = 0, donc :
  - M,
  - Pb
  - G a + b
  - 2° ) à droite de P :
  - -4M~. = R - P et M = (R - P)x + C’. dx
  - au point B, x - a + b = 1, le moment est nul, on a donc
  - 0 = (a + I) (R - P) + C' d'où : C
  - Pa ,
  - puis le moment à droite est égal à
  - md = --rvV x + Pa = p^1 - VTV1
  - Il est alors facile d'écrire les équations élastiques de gauche et de droite.
- p.110 - vue 117/159
- - A gauche de la charge P, l’élastique a pour équation
  - T-
  - y
  - £
  - El"
  - a + b
  - d’où en intégrant et en désignant par h et IV deux constantes arbitraires
  - y
  - y
  - 2EI
  - P
  - 6EI
  - T 2 x^
  - a + b
  - x^-
  - + A
  - + KX
  - a + b
  - De même à droite de la charge P, l’élastique a pour équation
  - y.
  - —(i- *)
  - El a + b
  - d’où en intégrant, et K y , Kj- désignant deux constantes arbitraires :
  - h
  - y
  - Pa
  - xfc
  - El
  - pa (_£
  - El Z
  - 2(a + b) x^
  - I
  - -)
  - + KjX + KJ..
  - 1 El ' 2 6(a + b
  - Il faut exprimer que l’élastique de gauche passe au point A(x = 0, y =0) ce qui montre que h’ = 0 . Iq faut ensuite que y’, y^ soient égaux à l’aplomb de la charge, c’est-à-dire pour x = a, et de même pour x = 0, on doit avoir
  - y = y-
  - Enfin, l’élastique de droite passe au second point d’appui par lequel
  - x - a + b» Cela fait 4 équations linéaires qui déterminent K, K’, K
  - ’l *
  - Le calcul n^offre aucune difficulté, on trouve
  - K =
  - Pa
  - -
  - ab
  - 2b'
  - 6 El
  - Pa 3 El
  - a + b
  - -or + 2ab + b'
  - 0.
  - a + b
  - K’ = I
  - 2 Pa5
  - 3 El
  - CHARGES REPARTIES
  - Supposons sur une poutre droite horizontale, une couche de sable répartie sous une épaisseur variable dans le sens longitudinal. Sur une étendue longitudinale dx, la charge de sable présente un poids q, dx où q représente la charge par unité de longueur. Si q est constant, on dit que la charge est uniformément répartie. On peut représenter q par une verticale GQ de longueur q . Le lieu du point Q est une ligne appelée courbe de charge. Cette ligne est une horizontale dans! le cas d’une charge uniforme (Fig.146). On remarque
  - T? T/ £
  - * D que l’aire comprise entre la courbe et la droite X a ~R ÙG représente la charge totale sur la partie de
- p.111 - vue 118/159
- - - 112 -
  - Fig4147
  - la poutre qui est à gauche du point G. Dans le dynamique, cette charge sera représentée par le vecteur ag, qui contient autant d’unités de longueur que l’aire en question contient de carrés correspondant à l’unité de charge (Fig. 147). De meme gb représentera l’aire située à droite de G, de sorte que ab -a ' figurera la charge totale, c’est-à-dire la somme de toutes les
  - charges q dx. Pratiquement, on obtiendra cette représentation graphique en divisant la longueur AB =1 en n parties, égales ou
  - non, et en menant, par les points de division, des verticales qui
  - ’S
  - décomposeront la surface totale en n trapèzes. Si l’on suppose alors que la charge représentée par chacun de ces trapèzes est concentrée à son Cg, on peut construire le dynamique et un funiculaire . b de ces charges isolées. Quand n tendra vers l’infini, le polygone funiculaire ainsi construit deviendra une courbe- funiculaire. Si m est le point ou la verticàle de G rencontre le funiculaire, le coté passant par m est parallèle au rayon polaire Og, et, à la limite^ ce coté se confond avec la tangente à la courbe funiculaire (Fig.148).
  - Figo148
  - Toutes les courbes funiculaires jouiront évidemment de cette propriété. Remarquons alors que si l’on mène par o et par m des horizontales, l’angle ô se retrouve sur le funiculaire et le dynamique (Fig.149), donc :
  - tg 0 =
  - H g h
  - Or, Hg est une charge relative à un certain point G d’abcisse xT, car
  - x I 1
  - ag représente sur le dynamique la charge / q dx , à gauche de G,
  - Jo
  - aH représente sur le dynamique la charge J 1 q dx, à gauche de G
  - Jq I
  - Il s’ensuit que : Hg = aH - ag , représente la charge comprise entre
  - G et G , c’est-à-dire
  - q dx - f
  - Do
  - x-
  - •vX-
  - q dx =
  - q dx ,
- p.112 - vue 119/159
- - 113
  - donc
  - tg 0
  - q dx
  - 'x
  - Mais tg 9 est la pente de la tangente à la courbe, c’est sa dérivée, et
  - y'
  - = _ÉL
  - dx
  - c
  - q dx
  - Dérivons cela ; on sait que si l’on a une fonction : F(x) = f f(x) dx ,
  - Jn
  - sa dérivée est -----F(x) = f(X).
  - dx
  - Ici, l’on a :
  - F(xI) = f 1 q dx ,
  - J ^r
  - et :
  - donc
  - dx
  - F(xj) = f(xT) = q(x) ,
  - d y = _ q(x)
  - dx^ h
  - On avait obtenu, pour les charges isolées :
  - d2y
  - dx^‘
  - M
  - El
  - On voit donc que la courbe funiculaire ainsi tracée est la courbe élastique
  - que produiraient les charges :
  - _ q(x) _ _ M
  - h " El '
  - et le problème se ramène, comme pour les charges isolées à trouver une fonction y dont on connaît la déribêe seconde. Ces 2 intégrations introduiront 2 constantes arbitraires, et il y aura- une double infinité de solutions. liais cela est bien dans l’ordre puisqu'on peut tracer une double infinité de funiculaires en faisant varier, soit 0, soit le point de départ du funiculaire. Exemple - En particulier, si q est constant (charge uniforme), on a :
  - d2 y _ q
  - 1i*r "
  - dy =
  - dx .
  - y =
  - h
  - qx
  - h
  - q x* h 2
  - + C
  - + Cx + C
  - C’est une parabole, dont les branches infinies sont tournées vers les y négatifs (Fig.150). '
  - Réactions d’appuis. Supposons que l’on ait construit, soit jiar la statique graphique, soit par l’analyse, la courbe funiculaire oc(3. Les réactions se déterminent comme pour lés charges isolées, en fermant le polygone funiculaire
- p.113 - vue 120/159
- - - 114
  - par une droite joignant a et (3 (ligne de fermeture), et en menant par 0 une parallèle oc à oc(3. ca et bc sont encore les réactions. On a bien le polygone fermé : ca, ab, bc, ab étant la somme des charges continues.
  - EFFORT TRMCHMT ET MOHELiT FLECHISSANT
  - FORMULE GENERALE
  - et de la réaction
  - L’effott tranchant est la somme des charges/qui s’exercent au point A à gauche du point G d’âbcisse x. La réaction- est verticale et ascendante, donc négative, tandis que la somme des charges, verticales descendantes est
  - .x
  - fo qd }
  - ( ^ étant le point d’application de la charge q d | ) On a donc, pour l’effort tranchant :
  - />x
  - q dt .
  - R +
  - P’ccur le calcul des moments par rapport au point G d'abcisse x, nous partons- de somme (xj - x)Y^ , ou Y^ est la charge appliquée en x^ . Pour la réaction, on aura Yj = - R et Xj = 0 , donc : Rx est le moment de la réaction. ! ^
  - Pour la charge q d F le moment
  - era (^ - x)y d ^, d’où pour le mo-
  - dl.i
  - dx
  - - x
  - ment fléchissant
  - «x
  - H = Rx +
  - ( ^ - x) q d .
  - On suppose une charge quelconque
  - et q fonction de
  - 0>
  - Cherchons la
  - dérivée de 11 par rapport à x, on a :
  - /'X n v? ^
  - LI = Rx + f ^ q d T - x jf q d J - x q(x) = R - j -q d ^
  - q d
  - c’est-â-dire
  - R
  - r ’U
  - T ,
  - ce qui est une généralisation pour le cae;- dge .* charge s réparties d’une formule déjà obtenue.
- p.114 - vue 121/159
- - - Il5 -
  - CAS D'UNE POUTRE SOUMISE A LA FOIS A DES CHARGES REPARTIES ET A DES CHARGES
  - Soient B et C les verticales des charges concentrées qui s’ajoutent aux charges continues (Fig.151).
  - Les charges infiniment petites s’exerçant entre A et B sont représentées sur le dynamique par le segment ab. Continuons : tout naturellement, la charge
  - isolée s’exerçant en B se représentera sur le dynamique par bc, faisant suite à ab ,
  - puis viendront se juxtaposer successivement : ce, correspondant aux charges réparties entre B et C ,
  - ef, représentant la charge isolée en C. , enfin : fg, qui se rapporte aux charges réparties de C à A’ . ga sera, comme toujours ,1a somme des réactions.
  - D'après ce qui précède, la tangente en m0 au funiculaire doit être parallèle à . .oa, et la tangente en mj , parallèle à ob. Mais, en ce point, la tangente au funiculaire doit aussi être parallèle à oc. C’est donc que les 2 courbes funiculaires qui correspondent @,ux parties - AB et BC ne se raccordent pas sur la verticlae de B.
  - Ces courbes partent du même point, mais avec des tangentes différent es-. Cette particularité résulte de l’application de la charge isolée en B. Il en est de même pour les autres verticales. Le funiculaire est donc, dans ce cas, formé d'arcs de courbes formant une ligne brisée.
  - CONSTRUCTION GRAPHIQUE DE LA COURBE ELASTIQUE CHARGE EIFIEE
  - On a vu que l’équation d’un funiculaire est de la forme
  - dx^
  - qU)
  - (I)
  - ,!!
  - y
  - h
  - On a trouvé, d'autre part, que l'équation de l'élastique est
  - .1!
  - (2)
  - y
  - El
  - On sait aussi trouver les réactions sur le dynamique quand le funiculaire des charges est construit.
  - Il est alors possible de déterminer le moment fléchissant en un point
  - quelconque :
  - si M est un moment fléchissant obtenu en ne consi dérant que les charges et en faisant abstraction des réactions ; et T un effort tranchant défini de la
- p.115 - vue 122/159
- - 116
  - même manière, les moment fléchissant et effort tranchant exacts : M-r et Tj s’expriment par :
  - 1-j = Rx + Il
  - T j = - R + T .
  - Enfin, en rapprochant (i) et (2), on voit que .la courbe élastique et le funiculaire ont des expressions de la même forme. On peut donc les identifier :
  - P(x)
  - h
  - De sorte qu’on peut construire graphiquement la un funiculaire de charges. :
  - PU)
  - El
  - courbe élastique en traçant
  - et, si l’on choisit la distance polaire h = I, il. suffit de prendre des charges : p(x) = ' i .
  - El
  - On dit alors que la courbe élastique provient de charges êîfiées qui sont des charges fictives égales aux moments fléchissants éïfiêe, c’est-à-dire divisés par El.
  - POUTRES CONTINUES
  - Une poutre est dite continue lorsqu’elle repose sur des appuis surabondants.
  - Soient Aq , Aj , ... An , les n points d’appui.
  - Les intervalles AqAj , A^A^ , ... etc. sont appelés des travées.
  - Les longueurs, de ces travées sont comptées horizontalement. Les réactions
  - verticales des appuis seront respectivement : RQ , R . . . R_^ , et les moments
  - fléchissants aux points d’appui (moments sur piles), se désigneront par 1!0 ,
  - M_ ... II . i n
  - On peut se rendre compte que si l’on connaît ces moments, il est facile de calculer le moment fléchissant en un point quelconque de la poutre.
  - On envisagera d’abord le cas d’une charge uniformément répattie (où q est constante), et on supposera que les appuis sont à des niveaux peu différents.
  - Les résultats s’étendent aisément aux charges quelconques. Considérons 2 travées consécutives de rang quelconque : Aq _ ^. et AqAq + 7| , et un point P de la première de ces travées, situé à une distance x de Aq _a .
- p.116 - vue 123/159
- - 117
  - Désignons par : 1i = la longueur de la travée Ai A.
  - Proposons-nous de chercher le moment fléchissant M, en P. C’est le moment de toutes les charges et réactions à gauche de la section, c’est-à-dire
  - II - Mj _ /j + J'Cr’ de la réaction A + la somme des moments des
  - entre A^ _^ et P.
  - a somme des moments des charges
  - 1°) Moment de la réaction - si l'on reprend la formule générale
  - x i ( ^ - x) Y : en A.. _ ^ ^ = 0 et Y = - 1- _ /j } et le moment des charges entre k^ _^ et P. C'est, d’après la formule déjà établie :
  - .2
  - x'
  - q
  - qx x
  - 2
  - 2
  - Donc, en réunissant les résultats
  - M
  - Appliquons cette formule au point . x devient 1• et M devient M. :
  - i i
  - ’i
  - Cherchons.à ramener tout aux moments sur piles. On tire de cette équation :
  - que l’on peut porter dans (5)
  - (4) M - Mi ^ + (M. . Mi ^ + 41i2)
  - 2
  - FORMULE DE CLAPEYRON (Théorème des 3 moments).
  - Cbstune relation entre 3 moments consécutifs. Elle permet, quand on connaît 2 de ces moments, de calculer le troisième.
  - Si l'on détermine, pour chacune des travées, la ligne élastique, on aur généralement des courbes de formes différentes qui aboutiront chacune à un appui commun : kA par exemple. Mais on admet que ces 2 courbes se prolongent c'est-à-dire qu'elles ont une tangente commune, sans cassure.
- p.117 - vue 124/159
- - - 118 -
  - Reprenons l’équation de l’élastique : y" = - ^
  - ou : (3)' M = - y" El .
  - Désignons par :
  - ^ , le coefficient, de la tangente, ou
  - Ai _ ^ à la courbe élastique qui va suivant la travée ^ A-L (Fig. 152)
  - tu , le coefficient angulaire en A^ de la tangente à la même courbe. In-
  - tégrons une première fois la formule : -y" El = M, par la travée Aq _ /j A.. ., on sait que
  - - El y’ = J M dx + C
  - pour x = o , J M dx est nul et y' devient y1 , c'est-à-dire le coefficient angulaire de le. tangente sur l’appui, donc :
  - n =
  - Ici, y’ * °o
  - S.
  - x ^ , donc : - El y'
  - D’autre part
  - nX
  - %x
  - - El y'
  - M dx - El s-
  - i - A
  - M dx =
  - o
  - - I + (Mi ~ Mi -I + JLi.
  - 2 i
  - x
  - - q
  - xu
  - dx
  - x
  - d’après (4). D’où, en remplaçant et en intégrant :
- p.118 - vue 125/159
- - 119
  - qui 3e simplifie :
  - (II) - SI (y. - _/j ) = - El _ A 1, +
  - 2 M. i + M. 2 + 1 - i i -,
  - + -------------------1i +
  - i - 4 1i
  - q
  - 6
  - 24 i
  - 4
  - 1. .
  - Divisons par 1.
  - (12) - El pi - yi
  - *1
  - - El S. + 1 - 1
  - 2M. , + IL
  - ----^ lq + -JL x 3
  - r 1 24 L
  - On peut maintenant éliminer El S± _ a , en retranchant (12) de (8) :
  - (!3) El (yi ~ n - /|________t.)
  - h
  - M + 2 M. '
  - 1 -1_____________i. + _q__. i
  - i + 2 4 1 i
  - L’équation (il) s’applique à la travée 1. , mais on peut écrire la même
  - i
  - équation pour la travée suivante :
  - (14) - El (yi + j - y.) =
  - = - El Si +li+, + 2 îlj * Mj x2 + <1 -4
  - + 1
  - ou, en divisant par lq + ^ :
  - (i5) . -Ei y± + j - yi
  - i + 4 24 L + \
  - 1
  - i + j
  - = - El Sq + 2 Mi * Mi +1 q
  - q 3
  - + LL 1,^/1
  - i + 1 2 4
  - i +
  - Mais au point Aq , les 2 éléments de courbe se raccordent, c’est-à-dire ont même coefficient angulaire, donc on doit avoir : Sj = tq . Remplaçons alors dans (15) Sq par t. , et changeons les signes dans le Ier membre :
  - «b-
  - (16) ’ El yi ~ y± + 4
  - ...
  - 1 + 1
  - = - El t. + 2 Mi + Mi + \ , x <1 n 3
  - 1 ——-----------------h + 1 + TTh + -i
  - En ajoutant (16) et (13), on élimine tq :
  - EI (yi ~ yi * 1 + yi - Mi - 1
  - 1,
  - i + j
  - h
  - i Mi . /\ * 2 ('h + 1i + 't ) Mi + h +4 Mi + yj
- p.119 - vue 126/159
- - FASC. IX “ 1<iU ~
  - C’est la formule de Clapeyron, elle fournit les 3 moments sur piles :
  - M . . M. ; M. > , une relation linéaire.
  - 1-1 1 î + i
  - Il y a bien (n + 1 ) moments sur piles, mais e-eux des piles extrêmes sont nuis et il reste (n - 1 ) inconnues. Or, on a (n - 1 ) équations linéaires, donc le problème est déterminé.
  - F R 0 T T E H E N T
  - La mécanique sans frottement est une abstraction particulièrement favorable aux développements mathématiques et que l’on peut considérer comme une première approximation, mais le plus souvent le frottement joue un rôle trop essentiel pour être négligé. v
  - Une expérience, simple permet d'en définir les propriétés : sur un plan horizontal on place un corps, sur le centre de gravité duquel s’exerce une traction T ; (T n’est égal à Q. que si la poulie n’offre pas de résistance) produite par un poids Q au moyen d'un fil guidé par une poulie (Fig.153 ).Soit A r1 le poids de ce corps et R la réaction du plan, égale
  - ffl
  - T
  - Fig.153
  - q
  - Qo
  - et opposée à P. S’il n’y avait pas de frottement, le système ne serait pas en équilibre. Sous l'action de la force T il se développe une réaction de frottement F, égale et opposée à T.
  - Donc, tant que le système est en équilibre î
  - R = P
  - et Q = T = F.
  - Si l’on augmente progressivement la charge Q, l’ex-
  - limite f.P, où f est un. coefficient déterminé qui dépend de la nature des substances em.contact et qu'on appelle le coefficient de frottement.
  - Ainsi, dans les problèmes où s’introduisent des frottements en divers points des corps, l’équilibre se traduita par des inégalités de cette 'forme :
  - T
  - Q *< f .P, ou encore
- p.120 - vue 127/159
- - 121 -
  - F C f.R.
  - Le cas qui vient d’être envisagé se généralisé ^immédiatement : soit un point M (Fig.154), assujetti à se déplacer sur une courbe.et sollicité par une for&e P de direction quelconque.
  - On peut décomposer P suivant une normale N à la courbe et la tangente T. L’équilibre exige qu’à ces composantes s’opposent des réactions H et F égales, et l’équilibre se traduit par F = .T , N = R .
  - Il faut encore ici que : F f R , s'mais on peut exprimer cette condition autrement. Soit 9 l’angle que fait la force avec la normale, on a i
  - N = P cos ô dt T - P sin 9
  - Remplaçons
  - F = T =Psin 9 f P cos 0 *
  - ou tg 9 < f.
  - On matérialise cette expression en considérant f comme la tangente d’un angle appelé angle de frottement f = tg ^ , et la condition d’équilibre devient :
  - tg 9 tg (f ,
  - ou pomme 9 et sont compris entre zéro et ,
  - Donc les réactions avec frottement qui assurent l’équilibre d'un corps soumis à l’action d'une force pourront se développer indéfiniment si 0 <f .
  - f n’est pas toujours petit, il peut même être plus grand que I. Si l’on fait tourner l'angle autour de la normale comme pivot, on engendre un cône, dit cône de frottement (Fig.155). Il y a équilibre tant que P est dirigée à l’intérieur de ce cône, quelle que soit la grandeur de la force P. Pour détruire l’équilibre, il faudrait appliquer en M une force supplémentaire X, de manière à faire sortir du cône la résultante de ces forces (Fig. 156). Mais si P est très grande et X trop petite pour dévier suffisamment la résultante, il y a arc-boufcemé:db.Ce phénomène se rencontre souvent en mécanique, notamment dans les engrenages. Il est très important.
  - Pour traiter une.'question où interviennent les frottements, il faut, pout tous les ppints de contact, introduire les réactions tan-
  - «
  - gentielles de frottement à côté des réactions normales.
  - Fig.155
- p.121 - vue 128/159
- - 122
  - Ceg réactions tangentielles s’exercent en sens contraire du mouvement qui tend a se produire. Elles jouent un rôle considérable dans la progression
  - la surface de la terre : aucune progression, animale ou
  - a
  - mécanique, ne pourrait avoir lieu sans la réaction de flottement du sol, de la route ou du rail.
  - Parmi les nombreux exemples des effets du frottement, on peut examiner les problèmes suivants :
  - Problème I - Soit un point pesant, mobile avec frottement sur unecourbe, par exemple un cercle vertical.
  - Pour que l’équilibre ait lieu, il faut que. la direction de la pesanteur soit à l’intérieur du cône de frottement, dont la trace sur le plan de la figure s’obtient en -portant l’angle *£ de part- et d’autre du rayon passant par M. Mais on peut transporter le sommet du cône au centre du cercle, et, en menant une verticale, retrouver l’angle i- Donc, si l’on considère les 2 rayons issus de 0, faisant avec la verticale un angle (ç , tant que le mobile M sera sur l&rc ÀBf il restera en équilibre (Fig,157).
  - On construirait de meme l’arc supérieur A’B’. S’il n’y avait pas de frottement, le
  - Fig.156
  - Fig.157
  - u
  - ne
  - mobile serait en équilibre que sur la verticale u u' : stable en u, instable en u’.
  - Ce n’est donc que grâce au frottement
  - que l’on peut réaliser certains équilibres
  - Le résultat est analogue si l’on a une sphère au lieu d’un cercle rl’arc de cercle AB est la trace d’une calotte sphéri-
  - que, qui est une plage d'équilibre.
  - Problème II - Conditions d’équilibre d’une échelle placée contre un mur.
  - On peut faire abstraction, en raison de son peu'd’importance, de la ré sis tance de frottement en B, sur le mur ,(Fig.158).
  - B
  - Soient G, le centre de gravité de l’échelle et la charge -qu’elle porte, et X sa distance au pied A :
  - À = GA ; P, le poids appliqué en G, et 1, la longueur de l’échelle.
  - G...
  - Il y a trois inconnues :
  - v A
  - N , la réaction du sol,
  - N’ , la réaction du mur,
  - F , la réaction de frottement
  - sur le sol.
- p.122 - vue 129/159
- - 123
  - Mais on a trois relations :
  - tes sommes des 2 projections des forces nulles sur la verticale et- l’horizontale et nulle aussi la somme des mourants par rapport à ion point.
  - projection sur 0.B : N - P
  - 0 ,
  - N ë
  - projection sur OA- : N’ - jv = 0 , N'
  - Prenons les moments par rapport à 'A, il faut que :
  - Oü2N,+ùfà p »•
  - F.
  - ou
  - ou encore :
  - Remplaçons N’ ou
  - 0
  - -A
  - - ÔB x N’ + ÂL x P
  - 1 sin i. if1 = X cos i. P.
  - X P cos i = 1 sin i . F
  - F =
  - P cotg i
  - Il faut aussi que
  - d’où, en remplaçant F et N
  - et :
  - F 4 f H
  - L f cotg i <C f f 1
  - < tg i .
  - If
  - X
  - Remplaçons f par tg f :
  - tg i > — cotg qui détermine les conditions d’équilibre.
  - On a envisagé une charge fixe. Supposons maintenant une échelle homogène sur laquelle on fait monter une charge mobile (Fig.159).
  - Fig.159 B
  - Fig.160
  - Soient : p, le poids propre de l’échelle, q, le poids de la charge mobile,
  - &Q, le centre de gravité de l’échelle (au milieu de l).
  - G, le centre de gravité de l’ensemble, échelle et charge, et
  - u, la distance de la charge au point A, pour une certaine position G de la charge.
- p.123 - vue 130/159
- - D’après le théorème du moment, on doit avoir' : X étant toujours la distance du centre de. gravité de la charge et de l’échelle au point A ;
  - (q+p) X = q u + p
  - 2
  - d’où :
  - X
  - q + p
  - Pour 1; équilibré-, il faut, d’après ce que l’on a vu, que :
  - , . x qu + p4~
  - 1 î> * i COtg <£' -----------£-- COtg q, .
  - 1 ( q + p )
  - Pour que cet équilibre subsiste, quelle que soit la position de la charge mooile, il faut què l’on puisse faire u = 1 , sans détruire 1’inégalité,-
  - car le 2ème membre croît avec u. Remplaçons donc u par 1 :
  - P
  - 2
  - q + P
  - ou, en remarquant que : cotg w = tg ) :
  - P
  - "kg -i 1 1------------J tg - (f ).
  - p + q *
  - C’est la condition pour que la charge puisse monter en toute sécurité jusuq’en haut de l’échelle.
  - Problème III - Equilibre de la canne et du cerceau.
  - oient un cerceau posé vertical^sur le sol, et une canne appuyée,avec
  - frottement, sur le cerceau. Trouver les conditions pour que ces 2 corps soient en équilibre (Fig.I60).
  - Soiènt : p , le poids du cerceau,
  - q, le poids delà canne,
  - G, le centre de gravité de la canne, et 1, sa distance au pied A.
  - Il y a frottement aux 3 points suivants :
  - C, au contact du cerceau avec le sol,
  - A, au pied de la canne,
  - D, point de contact de la canne et du cerceau.
  - En chacun de ces points s’exerce une réaction normale et une réaction de frottement .
  - On peut écrire séparément l’équilibre du cerceau, a condition d’introduire les réactions exercées par la canne. Remarquons que les réactions normale et tangentielie•en D de la canne et du cerceau, peuvent être composées en
- p.124 - vue 131/159
- - 125
  - une seule force : Dïî.
  - Prenons les moments des forces, par rapport à C ; les moments de F, N, p, dont les lignes d’action passent par G., sont nuis, donc les moments des réactions normale et tangentielle en D doivent avoir une somme nulle et il en est de meme de leur résultante. Il faut, par conséquent, que la ligne d’action de cette résultante passe par C. Annulons la somme des projections sur l'horizontale dirigée dans le sens positif :
  - (1) DH cos 9 - F = 0.
  - et la somme des projections sur la verticale descendante :
  - (2) DH sin 0 + p - îï = 0.
  - Il y a trois inconnues : DH, F et H, mais on peut exprimer aussi que la canne doit être en équilibre.
  - Puisque la canne exerce sur le cerceau une action DH, le cerceau produit sur la canne une réaction égale et opposée : DH’ = - DH.
  - Projections sur 11 horizontale
  - (3) F’ - DK cos 8=0, sur la verticale :
  - (4) q - II’ - DK sin 9 = 0 ,
  - Moments par rapport à A : (Fig.16i) .
  - Menons AO, et soit F son point de renieentre avec CD, au milieu de cette droite, on doit avoir
  - (5) q 1 cos oc - AiÇ x DH = 0 .
  - Dans le triangle ADO, on a :
  - __ ________ r ..2
  - OA x 0^ = r2 , d’où
  - D'autre part : _i______ = _____I_ f donc :
  - OA =
  - O:
  - 0 K
  - cos 0
  - OA =
  - OA
  - cos 0
  - On a. aussi
  - AH = OA - OR =---------------- r cos 0
  - cos 9
  - Et, en remplaçant dans (f) :
  - q 1 cos a =
  - r sin2 0
  - DH
  - cos 0
  - D’autre part, dans le triangle isocèle A G D
  - r s in
  - in2 9
  - cos 9
  - jc - 2 6 , d'où
  - = - cos 2 4 = sin2 9 - cos^ 0
  - donc :
  - cos a
  - q 1 (sin2 0 - cos2 9) = r . sin? 0 . pp
  - cos ô
- p.125 - vue 132/159
- - 126
  - d’où i
  - DH
  - r
  - sin^ 0
  - cosd 0
  - . cos 9
  - sin2 0
  - On peut.alors tirer les formules (3) et (4)- :
  - F’ = DH cos 9 N’ = q - DH sin 9 Et des équations (i) et (2)
  - * * F - DH cos 9 • = F’
  - N = p + DH sin 0 .
  - Toutes les réactions sont ainsi déterminées en fonction de 9, mais il faut aussi que l’inégalité fondamentale du frottement soit vérifiée.
  - Si ^ q , <£ p sont les angles de frottement en A, G et D :
  - normale
  - Au point D, la composante/forme avec DH un angle (_JL _ 0) nU± doit être
  - 2
  - plus petit que ^ f c’est-à-dire que l’on ait :
  - e > * - t n .
  - Au point C, il faut aussi que :
  - DH cos 0
  - p + DH sin 0
  - Enfin, au point A, on doit avoir :
  - F'
  - Y
  - DH cos 9 q - DII sin 0
  - tg <p
  - tg y
  - A
  - Ces conditions limitent l’angle 0, qui doit être tel que les 3 inégalités soient vérifiées à la fois.
  - Problème IV - Equilibre de 3 barriques.
- p.126 - vue 133/159
- - 127
  - Soient 3 barriques C, C’, C", de centres c, c’, c" , empilées, avec frottement à tous les points de contact. Les barriques C et' C’.sont égales (Fig. 162). Oh peut, en raison de la symétrie., prévoir que les réactions normales en A et À' seront égales, ainsi que les réactions de frottement.
  - Considérons séparément la barrique C : sur le centre C s’exercent les forces suivantes :
  - P = poids de la barrique,
  - N = réaction normale du sol,
  - Nj = ----------------de la barrique C" ,
  - F = réaction de frottement du sol,
  - Fj = ----------------------- de la barrique Cn.
  - Sur le centre C, on a des forces symétriques, avec le signe ’ , et
  - n II
  - sur•C :
  - les réactions normales LTo et N'
  - c 2
  - les réactions de frottement Fg et F^ le poids q de la barrique.
  - Appliquons le théorème des moments, par rapport à C, pour.. l'équilibre de la barrique C : seuls F et F ont des moments non nuis, mais ces moments ont même bras de levier et doivent être opposés, donc : F = F .
  - De même, par symétrie : F’ = F’ . Les forces-de frottement sont toutes égales.
  - Somme des projections sur l’horizontale ox :
  - (1) ' -F(I + costc) + N s in a = 0.
  - I
  - Somme des projections sur la verticale descendante :
  - (2) N cos x + Fj sin x + p - N = 0 .
  - On aurait les mêmes équations avec C’. Considérons l’équilibre de Cn. Les moments par rapport à C11 sont tous nuis.
  - Projections sur l’horizontale
  - N_ et N' ont des projections égaies 2 à 2, et dd sens contraires ; le I j
  - théorème des projections est rvrai de lui-même..
  - Projections sur la verticale :
  - -2Fsinx-2Njcosa+q = 0 , ou
  - (3) . F sin cl + NA cos a - ,.3— = 0 .
  - 1 2‘
  - On a 5 inconnues : F, N et Nt , et les équations (i), (2) et (3)- En retranchant (3) de (2), on tire :
  - p - N + JL = 0
  - n
  - et N =
  - ou : p - N
  - n , c
  - p jf. —p--
- p.127 - vue 134/159
- - - j.c 8 ~
  - En multipliant (l) par - cos j, (2) par sin n , et en ajoutant, on a :
  - F dos oc + F(sin2 a + cos cos2 a) + (p - N) sin a = 0 ,
  - ou
  - :(I +
  - CO S 1
  - s q .
  - —±_ s in a
  - 2
  - et :
  - Ce (i), on tire :
  - sin a
  - F = .. 9. < ________________________
  - 2 (I + cos a)
  - N
  - F
  - (I + cos a)
  - ~ JLt'g _i_ • 2 2
  - = q
  - I sin a 2
  - de sorte que les 5 inconnues sont déterminées.
  - En A et A’, .les contacts sont de même nature, soit f le coefficient de frottement commun, et soit f le coefficient commun en B et Bf.
  - En A, il faut que :
  - F < 'f ’N ,
  - ou
  - < f(p + -I) ,
  - ou encore,
  - tg.
  - ou, en posant :
  - f.
  - 2 p .+ q
  - tg
  - tg y tg y
  - donc
  - ou
  - dT où
  - En 3, il faut de même que : F
  - f’ N
  - 1
  - 1
  - f’ JL
  - 2
  - tg <i
  - et
  - En résumé, on a les 2 conditions
  - R < <0 •
  - * <C 2 <î' •
  - a 2 Y"
  - i 2 <p1
  - Pour que -l’équilibre soit réalisé, il faut donc que i soit plus petit que le plus petit des angles Y et 1 .
  - EQUILIBRE...D’UN.CORPS REPOSANT AVEC FROTTEMENT SUR UN PLAN INCLINE
  - Soient (Fig.163) M un point pesant reposant sur un plan cincliné, et p son poids. Il faut toujours que l’on ait i ç. Menons une horizon-
  - tale, il est facile de voir que l’angle i n’est- autre que l’inclinaison du
- p.128 - vue 135/159
- - 129
  - plan. Il faut donc que la pente du plan soit plus petite que tg EQUILIBRE DE LA VIS BT DE L'ECROU (Fig.164)
  - On a vu que l’équilibre d’un point assiijetti a se mouvoir avec frottement sur une courbe, et soumis à une force R, est déterminé par la condition que :
  - i y ,
  - i étant l’angle que fait P avec la normale à la courbe, située dans le plan formé par la tangente et la force P.
  - Il faudrait donc construire la normale, mais ce que l’on connaît toujours immédiatement, .c’est la tangente et l’angle [3 qu’elle fait avec la force. Or,
  - ci
  - i =
  - - (3 , donc, il faut que
  - - P
  - 9 , ou
  - P >
  - - ç
  - 2 ' * 1 * ' 2 Il n’est donc pas nécessaire de construire la normal e, , / ^ \
  - Supposons que la courbe soit une helice (Fig.165)
  - à, axe vertical, sur un point K de laquelle s’exerce une force’p, verticale. On peut remarquer que l’inclinaison de la tangente à l’hélice sur le plan horizon-
  - tal est précisément
  - a
  - - (3 , or, il faut que
  - i -<Q ’Ç . Donc l’hélice doit être peu inclinée.
  - Soit maintenant une vis et un écrou, et un point H sur l’hélice. Suppo-
  - sons la vis fixe, on peut essayer de faire mouvoir l’écrou de 2 manières: soit par une force tangente à un cercle horizontal (couple);soit par une force dirigée suivant l’axe de la vis.
  - I") Mouvement sous l’effet d’une force tangentielle. '(Fig. 166 ) / C’est le
  - cas où l’on attaque l’écrou au moyen d’une clef. Menons la normale à l’hélice, et la génératrice passant par M ; soit a l’angle que fait cette génératrice avec la tangente.
  - Pour que le mouvement soit possible, il faut ' :
  - i . Or, i = a (cotés perpendiculaires), donc
  - oc gp5- Ç , c’est la condition pour que le vissage de
  - jour
  - l’écrou soit possible.
  - 2°) Mouvement sous l’effet d’une force axiale (Fig.16,7). Il faut tou-
  - ou
  - i > <t
  - mais ici, i = ü - a , donc
  - —
  - 2
  - C’est le cas de la drille.
  - f-a> ç ’
- p.129 - vue 136/159
- - 130
  - Supposons pue l'on ait à la fois
  - . Le vissage est possible, mais aucune poussée axiale ne pourra produire le dévissage* On a ainsi réalisé une vis de serrage.
  - Si, au contraire, on à à la fois :
  - [a
  - |a<T
  - une poussée axiale produira le mouvement, nais on ne pçurra rien obtenir en cherchant à faire tourner l’écrou par une force tangentielle.
  - Enfin, si l’on a à la fois :
  - ' a > (g
  - a < T- * <
  - l’une ou l’autre des forces produit indifféremment le mouvement. C’est le cas intermédiaire entre les 2 précédents :
  - pour que le dévissage soit impossible, il faut un pas suffisamment faible; pour que la rotation ne puisse avoir lieu, le pas doit être assez allongé; mais si l’on veut que les 2 mouvements soient possibles, le pas doit être compris entre ces 2 valeurs extrêmes.
  - Valet de menuisier. C’est un cas d’arc-boutement (Fig.168). Soient :
  - G-, le centre de gravité du valet, p, son poids.,
  - P, réaction du corps serré,
  - R, résultante des réactions normales et tangentielle en B
  - Q,
  - c
  - I, leur point de rencontre.
  - S, leur résultante de p et p.
- p.130 - vue 137/159
- - - 131 -
  - On peut s'arranger peur que S passe par I. Elle fait équilibre à R et Q, et cela permet de construire ces deux dernières forces. Pour que l'arc-boutement soit possible, il faut que les cônes de frottement contiennent 31 et CI re spe et i veinent.
  - Equilibre de 1'échelle, qubnd on tient compte du frottement sur le mur. '( F.169).
  - On a alors 4 inconnues : N, F, N', F' , et Seulement 3 équations. C'est le cas où les équations de la statique ne suffisent pas. On doit alors faire intervenir la résistance des matériaux pour avoir une 4ème condition, mais on peut éviter cela en construisant les cônes de frottement avec les angles ;
  - SA.C = %
  - CBD = 9' .
  - Les génératrices AS et BD, et les normales AC et BC déterminent un quadrilatère ; CNED -(ombré). En A, la réaction normale AN, et la réaction de frottement AF peuvent se composer en une for*e unique qui doit agir à l'intérieur du cône de frottement construit avec l'angle <f> .
  - De même, en B, la résultante de BN' et de BF' doit être à l'intérieur du cône construit avec <ç ' .
  - Fig.169 Fig.170 Ces qeux résultantes se ren-
  - contrent en un point X, situé à l'intérieur du quadrilatère CIIED.
  - Or, elles doivent équilibrer la seule force qui reste : p ; donc la verticale menée par G, qui est la ligne d'action de p, doit passer par X.
  - Il faut, par conséquent, que la verticale de G traverse lequa-drilatère ombré.
  - Quand :a charge monte, le centre de gravité G se déplace, et il peut arriver un moment où G étant venu en GT par exemple, cette condition ne serait plus remplie.
  - Cette éventualité ne doit pas pouvoir se produire.
  - FUNICULAIRES (Fig.170)
  - Considérons un fil maintenu par ses 2 extrémités et portant en certains
  - points m.j. , n^,... , des noeuds auxquels sont appliqués des forces F^, Fr ,. . . , etc.
- p.131 - vue 138/159
- - 132
  - Soun ' action de ces forces^ le fil se tend et prend une forme polygo-gon&le. Ce polygone est un funiculaire des forces FT F En effet
  - 1 2 ' 3
  - construisons le dynamique de ces forces et considérons un noeud du funiculaire : irij par exemple, Entre mQ et eit s'exerce une tension : T-r Q ; de même entre m et mn il existe une autre tension : T . Donc, mT est en éaui'i-bre sous l'influence de 3 forces :
  - Ft + Tt . + T =0.
  - 1 I•0 1.2
  - On peut, sur le dynamique exprimer cet équilibre par la femeirrt? d'un triangle dont les cotés sont :
  - Ft- = a(l.2)
  - 1.0
  - = oa ,
  - 1.2
  - (1.2) 0 .
  - Pour les mêmes raisons, le point ru, est en équilibre sous l'action des 3 forces :
  - F0 + T + T = 0 ,
  - ^ 2.1 2.3
  - équilibre qui donne lieu à un autre triangle formé avec :
  - F2 = (I.2)(2.3) , T2iI = 0 (1.2) , T? g = (2.3) 0
  - etc., on arrive ainsi à reconstruire un* dynamique complet.
  - Dans l'une des propriétés des polygones funiculaires, on a reconnu qu’un système de forces est équivalent à 2 forces ayant pour lignes d'action les cotés extrêmes du polygone funiculaire de ce système. Or les forces intermédiaires que l'on introduit pour la démonstration de cette propriété - et qui se détruisent - ne sont autres que les forces appliquées ici aux points
  - ml > n2 > '•
  - D’où 1e Applications
  - m.
  - nom de funiculaire donné à ces - Ponts suspendus (Fig.I7l).
  - m
  - polygones.
  - Fig.171
- p.132 - vue 139/159
- - 135
  - Si l'on considère le tablier formé d'un certain nombre de travées égales,
  - une poutrelle transversale aux extrémités de laquelle sont les étriers ;
  - si ces étriers sont soutenus par un fil vertical attaché lui-même à un câble par 2 colonnes, ce câble forme un funiculaire. Il est commode de donner au dynamique une symétrie pareille à celle de l'ouvrage en prenant le pôle sur une perpendiculaire élevée au milieu de ab.
  - Le câble est en équilibre sous l'influence de toutes les charges verticales agissant suivant les fils et des tensions extrêmes exercées par des treuils situés de part et d'autre de l'ouvrage.
  - Les tensions dans les divers brins du câble sont fournies par le dynamique . •
  - COUKBES FUNICULAIRES
  - L'étude des charges réparties a montré que le polygone funiculaire devient alors une courbe, matérialisons cette courbe par un fil, et considérons vm clément de longueur ds soumis a une force F ds (Fig.172) donnée par ses projections : X ds et Y ds , X et Y étant des fonctions de la po
  - X(x,y) , Y (x,y) .
  - Considérons un arc A^_ de la courbe, orienté, et coupoW^NP'’
  - peut remplacer l'action du brin IIB sur la partie LIA en lui a;
  - taine force IIU. Inversement, pour maintenir IIB en équilibre, il faut appliquer
  - en 11 une force ilU' égale et opposée
  - y
  - Fig.172
  - à l.ïïï. L'une ou l'autre de ces forces
  - est la. tensions au point H. Elles n’ont pas de signe, puisque leur sens dépend de la partie que l'on supprime. Soit T leur valeur absolue, et l'angle
  - /
  - qu'elles font avec ox. Supposons-ie
  - donc dans la'forme d’équilibre de l'ensemble, on solidifie le petit élément'
  - m m' = ds, et qu'on remplace le reste du fil pat les forces qu'il exerce en m et m'. Ecrivons les projections sur ox de toutes les forces agissant sur l'élément ds (Fig.173).
  - En m, la tension T dirigée en sens contraire des arcs croissants, donc sa projection sur ox est - T cos ÿ .
  - En m’, la tension est positive, mais augmentée de sa différentielle,puis-
- p.133 - vue 140/159
- - 134
  - que l’on passe de m en m* , c’est donc : T cos + d(T cos tf )• Entre m et m' agit la force F ds, dont la projection est X ds,.- Su réunissant les résultats, on a :
  - - T..co-s.+ T......c-eg.if + d(ï cos f ) + Xds = 0,.
  - ou, en divisant par ds :
  - (I)
  - d(T cos <p ),
  - ds
  - + X = 0
  - (2)
  - En recommençant le mèiii© calcul pour les projections sur oy, on a : - ¥ si-n $ + T s-in ^ + d (T sin ç ) + Y ds = 0 , d’où:
  - d (ï sin <p )
  - ds
  - + Y = 0
  - Il reste à écrire l’équation des moments. ?renons-les par rapport à l’origine 0. Moment des tensions :
  - ’Sn m, leurs projections sont négatives, et les coordonnées de m sort (x,y). On sait aus^i que le moment par rapport à o d’un vecteur XY est xY-yX, ce qui donne, ici :
  - x (-T sin ) - y(-T cos ) ou • -T (x sin f - y cos » ).
  - En m', les projections sont positives et les coordonnées de m’ sont :
  - (x *v dx, y + dy), d’où les moments :
  - (x + dx) j^T sin <!P + d(T sin )j-
  - (y + dy) |^T cos + d(T oos <p )J .
  - Les coordonnées du point d’application de la force F ds sont : (x + J* , y +p) où- 1 - P sont infiniment petits et le moment de force appliquée à 1’arc m m’ est :
  - (x + ) Yds - (y + f))Xds .
  - Ecrivons que la somme de tous ces moments doit être nulle :
  - - T (x sin f - y cos (p ) + (x + dx) T sin f + d(T sin )J - (y + dy)
  - ÇT cos <ç + d (T cos if )J + (x + ^ ) Y ds - (y + p )X ds = 0,
  - qui, développée, et en négligeant les infiniment petits du 2e ordre, se réduit à :
  - x d(T sin 'f ) - y d(T cos Ÿ ) + T(dx sin f - dy cos 9 ) + x Y ds - y X ds
  - = 0 ,
  - ou, en divisant par de et en mettant en facteurs :
- p.134 - vue 141/159
- - 135
  - d ( T s in <jp_ x ' d s
  - nul
  - -v ,d(T cos f) .
  - + O - y( ds ........... + X) + T (dx sin 9 - dy cos 9 ) = 0 .
  - nul
  - Les deux premiers termes sont nuis, en vertu de (i) et (2), et il reste simplement :
  - d’où
  - ï (dx sin 9 - dy cos <p ) = 0 *
  - -1--. = tg Ÿ . dx
  - Donc (f est l’angle que fait la tangente à la courbe avec l’axe des x. Ainsi, on a les équations différentielles suivantes,
  - (en mettant 0 au lieu de y ) :
  - d(T cos 0)
  - ds
  - d ( T s in -9, ds
  - + 1 = 0
  - + Y = 0
  - dy
  - dx
  - = tg 0
  - / /dy>2
  - ds = V I + ( dx") dx
  - CHAINETTE - Soit un fil homogène, pesant, accroché par ses deux extrémités (Fig. 171-) (c'est une courbe funiculaire sans charges extérieures). On a ici :
  - X = 0 , T = - p ,
  - p étant le poids du fil par unité de longueur, et y étant pris dans le sens ascendant. Les équations différentielles du funiculaire deviennent :
  - d (T cos )
  - d)
  - (2)
  - dt
  - d (T sin 'f ds
  - = 0
  - P
  - 0 .
  - La première de ces équations s’intégre immédiatement, car une fonction ayant une dérivée nulle est une constante. Si l’on appelle pa cette constante, on a donc :
  - T cos = p a ,
  - d ’ où
  - Fig.174
  - y
  - Y _ p a
  - CO S (f
  - Portons cette valeur dans (2) :
  - $ a
  - Ati- % ri'l
  - Liais : tg <p =
  - dy
  - dx
  - y’ , donc :
  - a —-— y' = I et. : ds = a d y’ ds **
  - ou :
  - a dy' = sJ
  - I + y'2 dx f
  - ou encore
  - \/~Y~+ y'2
  - dx
- p.135 - vue 142/159
- - 136
  - équation différentielle dont 1’intégrale est :
  - L i \/
  - I + y ' 2 + y ’
  - x - x,
  - L étant le symbole d'un logarithme népérien, ou, en revenant aux nombres :
  - P x ~ xo
  - V*-' o
  - I + y1 2 + y t
  - (I).
  - Remarquons que le produit suivant est égal à I ,
  - (v + + y'c + y')( \/ï+ y'2 - y» ) - I + y’^
  - donc, l’un des termes du produit est l’inverse de l’autre,
  - ^ ~’x - xo *
  - \/
  - i + y'2 - yl
  - (2) •
  - Rettanchons (2) de (l) :
  - V i + y'2 + y’ ~ (\/TT y'2 - y’) -
  - e
  - X - X,
  - X - X
  - O
  - 2 y’
  - d’où
  - y’
  - X - X,
  - et* en intégrant
  - 2
  - e
  - + v )♦ c
  - qui est l'équation d’une chaînette.
  - On peut la rapporter à des axes de coordonnées tels que x et c soient nuis, l’équation se réduit alors à
  - v - a / • x ,
  - y T (€J
  - e
  - _x a '
  - Lorsque la chaînette a cette forme, l’axe ox est une droite appelée'la base de la chaînette et oy un. axe de symétrie de cette courbe.
  - FORI.ÎE DE LA COURBE (Fig. 175)
  - _ a / « x , x! ,
  - y ’ T £/T>
  - pour x * o , O = I et y = a
  - D’autre part : y’
  - f-
  - ( -x)
  - a; > qui s’annule pour x » o , ce qui
  - signifie que«la tangente est horizontale au point S, d*ordonnée a , sur l’axe
  - oy. Ce point est donc le moment de la courbe.
- p.136 - vue 143/159
- - 137 -
  - Pis.175
  - M'
  - y\ ~
  - M,
  - P
  - Pie.176
  - Pie.177
  - On voit aussi que si 11 ori change x en -x, y ne change pas, donc la courbe est symétrique par ^rapport à l’axe oy.
  - L’expression de la longueur d’un arc fini, compté à partir de S , est remarquablement simple. On a toujours
  - d y’ = —g~~. , et ds = a d- y’ ,
  - d’ou :
  - s = a y’ + b , b étant une constante arbitraire.
  - Si l’on compte les axes à partir du point S, vers la droite, s est nul avec y’ et on a b = o , d’où s = a y’ = a tg ç .
  - Problème I - On donne 2 points A et B, auxquels on accroche un fil pesant,
  - homogène. Trouver la forme et les paramètres de la chaînette ainsi réalisée, La largeur du fil étant connue (Fig.175).
  - Faisons passer l’axe oy par le sommet S, où la tangente est horizontale, et soient (xg , yg ) et (xj , y^j.les coordonnées de A et de B. Ces 2 points
  - étant sur la courbe, on sait que l’on a :
  - , -SI -Si
  - yj - jl ( p a + P a )
  - 2 \ \
  - y2 =-f-(p^2 + < ? a )
  - Posons î BC = m
  - CA = n .
  - Il est évident que la longueur <. 1 du fil est plus grande que celle de sa corde AB :
  - 1
  - Or, à partir de S
  - AB =
  - s = a y’ = ~ ( - (O “a) .
  - Et, en prenant la valeur de s de part et d’autre de oy :
  - I
  - ®
  - i j j» i1 11
  - ol
- p.137 - vue 144/159
- - 1
  - -Ï2
  - Ç a
  - (i)
  - - 13 o
  - f (ç-
  - -ÏI
  - ea
  - 9'
  - a
  - 2 . +
  - (en remarquant que y4 «* pente <i« la tangente, ohango -de signe quand on passe à gauche de o y).
  - Or, m = xT _
  - n =
  - on en tire aussi
  - de même :
  - et n = y. -25.1
  - + O a
  - ~c
  - O &
  - Yo > donc
  - - û'I2)
  - 1 + n =
  - a
  - Xt TT
  - ( * O"* - t ç-2
  - JK* f
  - -Si
  - .-22
  - 1 - n = -J- ( - % + 'f, Ça)
  - et, en faisant le produit :
  - _m_
  - (l + n) (1 - n) = l2 - n2 = a2( Ç a +ça - 2)
  - ou, en remarquant que 1© terme entre parenthèses est le développement d'un
  - *2 ( - fat)2
  - m
  - •( - PZt = n/i2 - n2 ,
  - équation où ne figure que le paramètre a. Elle admet donc une racine et une
  - carre
  - ou encore
  - l2 - n2 _ m 72a"
  - seule.
  - > m
  - • On peut poser : z = vq—~ , - d’où : a =
  - D’où, en remplaçant a par sa valeur :
  - m
  - 2z
  - m
  - 2z
  - ( - ç-z) . v/
  - l2 - n‘
  - (2)
  - -z
  - On peut construire la courbe : y - ç2 - Ç Mais si, d'autre part, on porte dans (2) cette valeur, on a
  - J2L = V~- ~Z , OU y = IL J ?' I m2
  - 2z m v ‘ 4
  - qui est l'équation d'une droite.
  - Donc, en coupant la courbe par cette droite, on a un point de la chaînette. (Le paramètre a s'obtient en résolvant l'équation transcendante (I
  - Problème II - Trouver la forme d'équilibre d'une courbe dont chaque élément est sollicité par une force verticale égaale au poids de la projection de cet élément sur l'horizontale. \
  - Il ne faut pas confondre ce cas avec celui du pont suspendu, où le funi culaire est la forme d'équilibre d’un fil sollicité par des forces égales,
- p.138 - vue 145/159
- - 139
  - puisqu’on considère le pont comme formé de 4ravéea égales. Reprenons les équations générales
  - d (T cos T ) + X ds = 0 ,
  - d (T s in <jp ) + Y ds = 0
  - Ici, X est nul, puisque les forces sont verticales, et :
  - d (T cos f ) = 0 , donc : T cos f = c^e ~ a p (i),
  - a*où : T = . D’autre part, si p est le poids par unité de longueur,
  - C O S '7
  - comptée suivant l'horizontale, on a :
  - d (T sin f ) = p dx ,
  - ou, en remplaçant T par sa valeur tirée de (i) :
  - , sin *î dv’ T
  - a p . d ^ dx , ou —a— = _____
  - d'où, en intégrant :
  - cos f
  - y’
  - dx a
  - + m
  - et, en intégrant une seconde fois ;
  - 2
  - x
  - y = —— + mx + m , 2A •
  - qui est l’équation d’une parabole du 2.me degré à branches ascendantes.
  - PRIilC 1?E DU TRAVAIL VIRTUEL
  - Rappelons que le travail élémentaire d'une force F, appliquée en un point I:, auquel on donne un déplacement infiniment petit ds = MM', est égal au produit de MH’ par la projection de la force F sur la direction de son déplacement ;
  - 6 s . F cos © ,
  - eh remarquant que F cos 9, projection de F, a le signe + ou - , selon que,
  - © étant aigu ou obtus, elle a le sens du déplacement ou le sens contraire. Cette projection est nulle si © = (Fig,176).
  - On peut exprimer le travail par la forme équivalente :
  - F . 5 s cos © .
  - C’est alors la projection du déplacement que l’on considère* Le signe dépend encore de © .
  - La première définition conduit immédiatement au théorème suivant :
  - Siplusieursforces sont appliquées à un même point, et qu’on fasse
  - ......................de..ces.force s
  - subir à ce point un déplacement infiniment petit, le travail/est égal à la
  - somme algébrique des travaux des forces composantes.
- p.139 - vue 146/159
- - - 140 -
  - En effet, écrivons -cette dernière somme (Fig.177)
  - ds (proj f Pj + proj
  - F2 +
  - Mais le ternie entre parenthèses n*est autre que la projection de la résultante, donc :
  - ds (proj,n F.
  - + proj
  - F,
  - + . . „ ) = ds. proj,
  - 1
  - R
  - De la 2me définition, on conclut que : si au point d’application d’une force F, on fait subir une suite dê déplacements ô's , ô"s , ... , la somme algébrique des travaux accomplis par F dans chacun de ces déplacements est égale au travail accompli par F dans le déplacement résultant (Fig.178j
  - En effet, le déplacement résultant est, géométriquement :
  - s - ô's + ô"s + ... .
  - Et, en passant aux projections et en multipliant par F (projp ôs + projp Ô"s + ...) = F projp ôRs ,
  - ce qui vérifie l'énoncé.
  - Si l’on considère un corps gêné, c'est-à-dire ne pouvant accomplir que certains déplacements déterminés, ces déplacements sont dits virtuels.
  - Ils peuvent être réellement accomplis, mais sont conçus en dehors de toute application des force*s qui seraient susceptibles de les produire.
  - Ce sont, d’une manière générale, tous les déplacements compatibles avec les liaisons .auxquelles le corps est soumis.
  - TRAVAIL D’UNE FORCE ASSUJETTIE A TOURNER AUTOUR D ’ UN AXS Fig.,179).
  - Soit une force MF, ne pouvant que tourner autour de l’axe A. On peut la décomposer suivant 3 directions, en
  - I.ÎF
  - MF
  - proj( de F sur la tangente au cercle décrit par U, ---------------le rayon du-------------------------
  - MF,
  - la parallèle à l’axe de rotation.
  - posantes,
  - Le travail de F sera la somme des travaux accomplis par ces trois coin-
  - V
  - Le déplacement virtuel a lieu, cici, suivant le cercle. Les travaux
- p.140 - vue 147/159
- - - 141 -
  - des composantes F et F7, qui sont perpendiculaires à ce déplacement, sont nuis, et le travail élémentaire de la force se réduit à celui de la composante Fj ) ce qui fait un angle nul avec la direction do déplacement, donc: r d 0 Fj , ou r Fj d 0 . Or, r Fj est le moment de la force F^. par rapport à l'axe, avec le signe correspondant à dô (dQ étant ici l’angle élémentaire dont tourne le rayon R). D’autre part,!? = F^ + + ~~p ep
  - I 2 3 *
  - le moment de F par rapport à. l’axe A est la somme des moments des composantes, Mais les moments, par rapport a cet axe', de F^ et F^ sont nul s, donc :
  - A
  - et, en remplaçant :
  - travail élémentaire de F FS 0 . *
  - Lorsque plusieurs forces sont appliquées à des points d’un solide libre de tourner autour d’un axe, chacune d*elles produit un travail égal au produit de l'angle 60 élémentaire de rotation multiplié par le moment de la force par rapport à l’axe de rotation et la somme des travaux virtuels accomplis par toutes les forces et égal au -produit de 60 par le moment résultant des forces qui agissent sur le corps.
  - T&WAIL VIRTUEL DANS UM MOUVEMENT DP] TRANSLATION RECTILIGNE
  - Si le point d’-application d’une force se meut suivant un axe ^ , avec une amplitude ôx, le travail vittuel est égal au produit de 6x par la projection de la force sur l’axe ^ .
  - Dans le cas d’un corps animé d’un mouvement de translation rectiligne, d’amplitude 6x, la somme des travaux vittuels des forces appliquées aux divers points du corps a pour valeur le produit de ôx par la somme des projections des forces sur l’axe j .
  - S ProÔ ^ F • Sx .
  - Si un corps est libre de prendre un mouvement hélicoïdal de pas h, autour d’un axe ^ , on voit que 60 étant la rotation infiniment petite autour
  - de , tout déplacement virtuel résulte d’une rotation 60 autour de ^ et d’une translation h 6.0 le long de l’axe* En conséquence, en vertu des théorèmes précédents, le travail virtuel des forces éventuelles appliquées à ce corps a pour expression :
  - ( XI : Dfb F * h XI projfî F) 6 9 .
- p.141 - vue 148/159
- - 142
  - Dans le cas du verrou, il y a deux variables indépendantes : Ie') rotation 60, autour de l'axe ^ .
  - 2°) glissement élémentaire possible ôu dans la direction de 1’axe ^ . La somme des travaux virtuels sera :
  - Z OC 4 F 8S ♦ Eproj^ F 5u .
  - Dans le cas d'un couple plan (corps en contact par une face plane avec un autre corps, exemple : le trusquin).
  - Il y a trois modes de déplacements possibles, savoir :
  - 1°) une translation rectiligne &x suivant ox .
  - 2°)-------------------------- ôy --------- oy, rectangulaire avec ox ;
  - 3°) une rotation 60 autour d'un axe ^ normal au point o, aux face: planes en contact.
  - W
  - La somme des travaux virtuels des forces appliquées aura pour sion, d’après les théorèmes qui précèdent :
  - •oy
  - liai f
  - Zpr°30x F * 6* + L Projoy F . 6y +^_,0flv> F. 6o.^
  - Cas d''un couple sphérique, ou) ce qui est la même chose, d'un couple li'breae tourner autour d* un point; fixe 0. Tout déplacement du corps résulte d'une rotation 60^ autour d’un axe ox, d’une rotation • 60 f) autour d’un axe oy rectangulaire à ox et d'une rotation 69 'P autour d'un axe oz formant avec ox,. oy, un trièdre tri-rectangle.
  - La sommé des travaux vittuels des forces appliquées à ce corps aura alors pour expression
  - / /
  - zxl F- 601 +S01G*v F. sep +i;oic^ f.
  - 6©
  - •nou£
  - Or, rappelons/les conditions d’équilibre des forces pour .ces divers Types de gène d'un corps :
  - 1°) dans le cas de la rotation d'un axe , il faut et il suffit que
  - E F = o , ce qui entraîne que la somme des travaux virtuels est
  - nulle à partir de la position d'équilibre.
  - 2°) Dans le cas d’une translation rectiligne restée possible, la condition d'équilibre c'est que la somme des projections des forces sur l'axe de la translation soit nulle.
  - Ici encore la somme des travaux virtuels est nulle à partir de la posi tion d'équilibre.
  - 3°) Dans le cas d'un couple verrou, la condition d’équilibre, c'est
- p.142 - vue 149/159
- - du verrou soit nul
  - 113
  - que le moment résultant des forces par rapport à l’axe ^ et que la somme des projections des forces sur le même axe soit nulle. Ici encore la somme des travaux virtuels est nulle à partir de la position d’équilibre, et ainsi de suite pour les autres cas.
  - La position d’un corps dans l'espace dépend de six paramètres, savoir les coordonnées x, y, z d’un point du corps et 3 angles de rotation 9 ^ , 9 P) 9^ autour des axes des ' coordonnées ox, oy, oz .
  - La comme des travaux virtuels des forces =
  - Oc + r^~j + y ^z + 0-
  - 39
  - + 9ÎÜ50 jp +9"C
  - où xy sont les sommes-des projections des forces sur ox, oy, oz
  - et X ’ SC, 9C les moments résultant par rapport aux mêmes axes.
  - Les équations de l’équilibre sont, comme suit :
  - Do - ° * y = ° * ^ = o,_x = o, otc = o, occ = o,
  - ce qui signifie que la somme des travaux virtuels est nulle pouf tous les déplacements virtuels du corps.
  - On peut démontrer et nous admettrons que : la position d’équilibre d’un corps solide gêné est caractérisée par le fait que, à partir de cette position d’équilibre les travaux virtuels des forces appliquées ont une somme nulle pour tout déplacement virtuel élémentaire,compatible avec les liaisons (c’est-à-dire avec l’état de gêne du corps).
  - Application : Presse à coin (Fig.180)
  - Un coin s'engage entre deux pièces dont l’une L est fixe et l’autre- M est mobile, en progressant sur l’action d’une force P qui l’enfonce, le coin chasse, la pièce mobile qui, à son tour, presse contre une paroi fixe un objet 0 à comprimer.
  - Désignons par P la force qui enfonce le coin et par R la résistance produite par l’objet pressé. Supposons l’équilibre établi. Appelons- dx l’enfoncement infiniment petit du coin et du le déplacement horizontal de la pièce mobile, nous devons avoir, d’après le principe des travaux virtuels :
  - P ôx - R ôu - 0 .
  - Or, dans le triangle isocèle infiniment petit 3 B’C dont B H est la hauteur, B’C = 2 B’ H =
  - ôu .
- p.143 - vue 150/159
- - Appelons a le demi-angle d’ouverture de coin à section isocèle, on
  - a
  - 5» - B H
  - ôu = 2 ôx tg a .
  - 13» H - B H tg a
  - or
  - L’équation ? ôx - R ôu = 0 devient donc
  - (? - 2 R tg a) ôx = 0
  - V
  - c’est-à-dire
  - P - 2 R tg a = O
  - • Ou
  - P
  - R
  - 2 tg a
  - On voit que R sera d’autant plus grand que a sera petit.
  - DEUXIEME APPLICATION : Balance de Roberval (Fig.IGl)
  - Un parallélogramme articulé CDFE pivote autour des milieux A, B de ses cotés CD, EF parallèles.-AB est supposé vertical. En des points I et L des ses côtés verticaux DF et CE sont des plateaux horizontaux perpendiculaires à ces côtés. Soient III et IM. Sur le premier plateau est un poids P et sur le second un poids Q. On demande la condition d’équilibre. Les
  - points D et C. restent symétriques par rapport à A. Si l’un s’élève de ôz,
  - /
  - l’autre s’abaisse de la même quantité et les points I, L 'font de même,ainsi que les plateaux. Le théorème du travail virtuel sera donc :
  - \
  - P. ôz - Q ôz = (P - Q) ôz = 0^
  - et par suite
  - P - Q = 0
  - On remarquera que la place occupée par les poids sur leur plateau n’intervient pas dans la condition d’équilibre.
  - Troisième application : Equilibre du genou (Fig.182).
  - Un levier OA s’articule en un point fixe 0. En A un bras de longueur
  - égale AB s'articule à ce levier. L’extrémité B du bras se meut sur une droi
  - te ox issue de o. En B s’exerce une résistance R suivant xo, tandis qu’une force CP sollicite le levier de façon à le rapprocher de la droite ox. Trou ver A l’état d’équilibre la relation entre la force P et la résistante R.
  - Appelons u la distance OB, c la distance OG, a = OA = AB , PCO =* Y . Le travail virtuel de CP quand l’angle 0 = COB, varie de 60
  - est
  - PC s in Y
  - 69 .
- p.144 - vue 151/159
- - 146
  - Le travail de R est - R du , ou
  - - Y PC s in T <SG - R du = O
  - Or, on a :
  - d ’ où
  - u = 2 a oos 0 ,
  - ou = -2a sin 0 80
  - d-’où, pour le travail virtuel des forces P et R :
  - - P c sin T 80 - 2 Ra sin 0 60 =
  - (-P c sin Y + 2 Ra sin 0) 8© = 0 ,
  - c'est-à-dire :
  - d’où
  - - P c sin Y + 2 Ra sin 0 = 0 ,
  - £ = Pc sin Y
  - 2 a sin ©
  - Où voit que l’on a un effort maximum an prenant
  - %
  - d’où il résulte
  - R
  - Y =
  - Pc
  - 2 a sin ©
  - Si 0 est petit, on peut arriver à équilibrer une résistance considé
  - rable.
  - FIN
  - LA CIRCULAIRE MODELE 48, Rue St. Placide - P A R I S - VI0. vRTél. Littré 78-59. A
  - PRIX : 55 FRS
- p.145 - vue 152/159
- p.146 - vue 153/159
- p.n.n. - vue 154/159
- p.n.n. - vue 155/159
- p.n.n. - vue 156/159
- p.n.n. - vue 157/159
- - ' % il I
  - r- | lu
- p.n.n. - vue 158/159
- p.n.n. - vue 159/159