Nouveau cours de mathematique a l'usage de l'artillerie et du genie

- - NOUVEAU COURS
  - D E
  - MATHEMATIQUE.
  - A L’USAGE
  - DE L'ARTILLERIE ET DU GENIE,
  - OU L’ON A P PLIQJJ E
  - Les Parties les plus utiles de cette Science à la Théorie âc à la Pratique des differens fujets qui peuvent avoir rapport à la Guerre.
  - DEDIE
  - A SON ALTESSE SERE NI S SI MR MONSEIGNEUR
  - LE DUC DU MAINE
  - T'ar M. B E LID O R , Profejjeur Royal des Mathématiques dci Ecoles de l’Artillerie ? C orrefpondant des Academies des Sciences de France & d’Angleterre.
  - A PARIS,
  - Chez Claude Jombert, rirë S. Jacques, au coin de k _ru§ des Mathurius, à l’Image Notre-Dame.
  - M. D C C. XXV.
  - Avec Approbation de MeJJleurs de /’Académie Royale des Sciences*
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- - A SON ALTESSE SERENISSIME
  - MONSEIGNEUR
  - LE DUC DU MAINE,
  - PRINCE LEGITIME DE FRANCE, Prince Souverain de Dombes , Comte d’Eu,Duc d’Aumale , Commandeur desOrdres du Roy , General des Suifîes & GrifonSjGouverneur & Lieutenant General pour Sa Majeilé dans fes Provinces du Haut & Bas Languedoc , Grand Maître & Capitaine General de l’Artillerie de France.
  - 0 NSEIGNEUR,
  - Ce 7 left point le dejïr et être Auteur qui me fait mettre ce Livre au jour. Mon ambition va plus, loin j cejl dapprendre à la pojlerité que fai été aj]e\ heureux pour compofa un Ouvrage qui s eft trouvé du goût de Votre Altesse Serenissime: Car aujji'*
  - âij
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- - E £ I I R E.
  - 40t quffaiflçH que là leBurè des Traite^que je donnoh dans‘TEcole Me : U père 'fl' àvoit\ mérité fon approbation, je me fuis mis a les travailler tout de nouveau 7 pour les rendre publics , efperant quils feroient bien reçus r des quoji les. verrait fous la proteSlion d'un Prince d quitduées. les Sciences font connues, particulièrement celle que je traite ici $ puifque les Mathema\ tiques qui ont toujours été eflimées des grands Hommes, ont trouvé par ce feid endroit che.^ Votre Altesse Serenis'sim.e un acciieil qui flatte plus ceux qui les cultivent, que la découverte des Problèmes les- plus interre/fins: Et de tous ceux-là,je ferois, M O N S E IG N E U R , celui qui auroit lieu d’être le plus content de Jon fort, fi avec l’avantage que fai d’enfeigner Me (fleurs les Officiers de (Artillerie, & de Royal Artillerie , pourr les mettre en état de fervir Sa Majeflé avec plus de diflinBion que jamais, fofois. efperer que le. prefent que fai (honneur de vous faire de mon Ouvrage , fut un témoignage affe^ puiffant du profond rejpecl avec lequel je ferai toute ma vie ,
  - DE VOTRE ALTESSE SERENISSIME,
  - MONSEIGNEUR,
  - Le très-humble & très-obéïÆant ferviteur3 B E L ID O R.
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- - PREFACE
  - I ceux qui donnent quelque Ouvrage air Public font dans l’obligation de lui rendre compte de leur dellein, je puis moins que perfonne me dilpenfer d’expliquer le mien. Il eft queftion ici d’un Livre de Mathématique , que j’ai crû rendre utile dans', un te ms où l’on s’y applique plus qu’on n’a encore fait. Mais comme beaucoup d’habiles gens ont. travaillé fur cette matière., ne dira-t’on pas qu’on a affez de Livres/ dans ce goût-là 8c que l’on ne peut que repeter ce que les autres ont dit ? Je n’ai pas été fans faire cette reflexion} 8c elle auroit fuffi pour m’engager au lilence, s’il ne m’avoit paru qu’il étoit toû-jours permis d’écrire , quand-on fentoit quelque nouveau moyen de rendre la Science qu’on veut traiter plus intelligible aux Commençans , en appliquant fes principes à des fujets qui en falfent voir toute futilité. J’ai' confideré aufli que parmi; ceux qui étudioient les Mathématiquesles uns s’y appliquoient pour fe rendre Lefprit jufte v pénétrant capable des Sciences abftraites 7 comme de la Bhyfique., de la Métaphyûque , Scc. les autres pourfe mettre en état de fervir avecdiftin-élion dans le Génie ou l’Artillerie} 8c que perfonne n’ayanc travaillé particulièrement pour ceux^
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- - PREFACE.
  - ci 3 il feroit avantageux qu'ils euffent un Livre dans lequel ils puffent trouver toutes les parties des Mathématiques qui leur font neceffàires , afin de leur éviter la peine de les aller démêler dans un grand nombre d’autres , où ils ne trouveroient peut-être pas ce qui leur convient 5 & c’efi; l’objet que je me fuis propofé dans celui-ci. Or comme ce n’eft qu’en appliquant la Théorie à la Pratique qu’on peut leur faire fentir l’ufage d’une quantité .de principes, dont ils ne voyent point Futilité ? je nie fuis attaché à leur rendre les Mathématiques interreffantes , en les faifant fervir à un nombre de fujets differens , qui regardent les Ingénieurs Sc les Officiers d’Artillerie, comme l’on en pourra juger par le détail fuivant.
  - Cet Ouvrage contient dix Parties. Dans la première on enfeigne les Elemens de la Géométrie , mis dans un ordre nouveau , & démontrez par .des voyes beaucoup plus courtes Sc plus ailées que celles dont on le fert ordinairement. Ils font divifez en huit Livres. Dans le premier Livre on donne une Introduction à la Géométrie Sc à l’Algèbre , afin de mettre les Commençans en état d’entendre les autres fuivans. Le fécond traite des Proportions ou Rapports des grandeurs. On y enfeigne auffi les FraClions numériques Sc algébriques. Le troifiéme traite des differentes Polirions des lignes droites par rapport aux angles qu’elles peuvent former. Dans le quatrième on .démontre les Proprietez des figures redilignes,
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- - PRE F A CE.
  - particulièrement des Triangles 6c des Parallélogrammes i 6c ce Livre cjui ne contient que douze Propofitions, comprend plus de Géométrie qu’Eu-clide n*en enfeigne en foixante-deux dans le premier 6c fécond Livre de fes Elemens. Le cinquième explique les Proprietez du Cercle par rapport aux differentes lignes tirées au dehors ou au dedans de la circonférence y h mefure des angles formez par ces lignes ite rapport des reéiangles compris fous les parties de celles qui fe coupent ou fe rencontrent au dedans ou au dehors du Cercle, 6c l’on y donne tous les principes fur lef-quels la Trigonométrie eft établie. Le fixiéme: traite des Polygones réguliers infcrits 6c circonf-crits au Cercle : 6c comme la plupart ne peuvent: fe tracer fimplement avec la Réglé 6c le Compas y Ton y donne la conftruétion 6c l’ufage d’une courbe, pour infcrire toutes fortes de Polygones au Cercle , avec laquelle on peut aufli divifer un angle en autant de parties égales que l’on voudra. Dans le feptiéme on applique la dcélrine des proportions aux figures planes ? l’on y fait voir le rapport des cotez de celles qui font fembîablesj.. celui de leur fuperficie y la maniéré de les augmenter ou diminuer félon une raifon donnée , 6c comme l’on peut trouver des lignes proportionnelles à d’autres données. Enfin dans le huitième on traite des rapports des Surfaces 6c des foîiditez: des Corps ; de la maniéré de les mefurer, de les augmenter ou. de les diminuer félon une raifon
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- - PREFACE.
  - donnée ; 6c ce Livre eft démontré d'une maniéré fi aifée 6c fi differente de celles dont on s’eft fervi jufqu’ici , qu'en feize Propofitions, y compris plufieurs Problèmes, l'on voit ce qu’Archimede a découvert de plus beau fur la Sphere,le Cône 6c le Cylindre.
  - Pour faire voir futilité des Livres préce-dens, l'on a mis après chaque Proposition des. Corollaires qui en montrent la fécondité $ 6c l’oa voit avec admiration l’étendue de là Géométrie,, dont il fuffit de fçavoir les premiers Elemens^ pour découvrir des veritez qui femblent fe pre-fenter d’elles-mêmes à l’efprit, au lieu que dans la plûpart des autres Sciences l’on eft toujours dans l’incertitude de fçavoir fi l’on poffede la vérité ; 6c malgré les foins qu’on s’eft donné pour la chercher, l’on n’ofe s’affûrer d’avoir été affez heureux pour la rencontrer.
  - Comme les fimples Elemens de la Géométrie ne fuffifent pas pour entendre beaucoup de cho-fes qui font traitées dans les autres Parties , qui demandent une connoiffance des Seélions Coniques , -j'en ai donné un petit Traité à la fin de la première Partie , qui comprend les proprietez de la Parabole, de l'Ellipfe 6c de l’Hyperbole, qui. fe trouvent démontrées d'une façon fi fimple , que pour peu qu’on y apporte d’attention , oa n’aura nulle peine à les entendre.
  - La fécondé Partie eft un Traité de Trigonométrie reéliligne. L’on y enfeigne l’ufage des ta-
  - blés
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- - PREFACE.
  - Lies des Sinus, la Théorie du Calcul des Triangles , que Ton applique enfuite à la maniéré de mefurer les hauteurs 6c les diflances accefiibles 6c inaccefïibles , à celles de calculer les parties d’une Fortification r6c comme on les peut tracer fur le terrain. L’ufage de la Trigonométrie dans la conduite des Galeries des Mines, Jorfqu’on rencontre quelque obftacle qui oblige le Mineur à fe détourner du droit chemin. Enfin l’on donne la maniéré de lever les Cartes par le calcul des Triangles.
  - La troifiéme Partie eft un Traité de la Théorie 6c de la Pratique du.Nivellement pour les operations fimples 6c compofées, foit avec le Niveau d’eau , ou avec le Niveau à lunette , 6c l’on y donne tout ce qui peut fervir à faire des Nivelle-mens avec précifion.
  - La quatrième Partie efl: un Traité du Calcul ordinaire du Toifé 6c de celui de la Charpente : toutes les operations de ce Calcul y font démontrées y 6c l’on s’efl attaché à le rendre fi clair 6c û facile , que les Commençans peuvent en peu de jours fe le rendre familier.
  - La cinquième Partie efl une application generale de la Géométrie à la mefure des Solides réguliers 6c irréguliers : par exemple , on y enfei-gne la maniéré de toifer les Voûtes en plein cein-tre, furbailfées, entiers point 6c en bonnet de Prêtre 5 comme il faut toifer géométriquement la
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- - PREFACE:.
  - maçonnerie du. revêtement des Fortifications^ par exemple , les orillons ôç les flancs concaves * les arrondifïêmens. des Contrefcarpes , les. pyramides- tronquées-qui fe trouvent aux-angles ,1 onglet des batardeaux,, les folides formez, par l’ex-qavation des Mines , & une quantité d’autres qhofes ,.dont la plupart n a voient pas encore été traitées >,&. cette cinquième, partie finit par un, principe general pour trouver la furface qu’une ligne,droite ou courbe peut décrire par. une circonvolution autour d’un axe : & comme on peut par le même principe trouver la folidité de toutes fortes de corps formez, par la circonvolution d’un plan autour d’un axe , en connoifiànt les centres de gravité, des lignes & des plans.
  - La fixiéme Partie efl une application des principes de la Géométrie à la Géodefiej e’eft-à-dire* à la divifion des:.Champs, pour partager les figures triangulaires , quadrilatères, &. même toutes fortes de Polygones , félon telle raiidn que Ton voudra , & par des points donnez*.
  - La feptiéme Partie efl une application de la Géométrie à l’u&ge du Compas de proportion ^ pour faire voir comme l’on peut avec cet Infiniment refbudre beaucoup de Problèmes d’une façon fort aifée. Il efl vrai qu’on peut s’en palier $ mais j’ai eu intention feulement de le faire con-noître à ceux qui n’en fçavent pas l’ufage, Enfuite efl une application de la .Géométrie à l’Artillerie
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- - PREFACE.
  - dans plufieurs Problèmes fore utiles. ÎV ëxetii-pleylon donne la maniéré de faire lanalyfe de la fonte de chaque efpece -de métal dont le Canon efl; compofé » celle de trouver le diamètre des Boulets de toutes fortes de calibres > comme fon peut déterminer les dimenfions des mefures qui fervent à diftribuer la Poudre ; quelle longueur doivent avoir les pièces de Canon par rapport à leurs differens calibres , pour chafler un Boulet avec le plus de violence qu’il efl: pofflble $ Sc plufieurs Difle-rtations fur les effets de la Poudre dans le Canon.
  - Dans la huitième Partie îon traite du choc Sc du mouvement des Corps accélérez Sc retardez, des courbes qu'ils décrivent-, quand ils font jetiez félon des directions parallèles ou obliques à fhorifon 3 Sc ces principes font enfuite appliquez à la Théorie Sc à la Pratique du Jet des Bombes.
  - La neuvième Partie efl: un Traité de Mécanique, démontré félon le principe de M. Defcar-tes Sc celui de M. Varignon > Sc après avoir en-feigné les proprietez des Machines fimples Sc compofé es , Sc donné la maniéré d’en calculer les forces , on fait voir les differens ufages aufquels elles lont propres , foit pour les manœuvres de l’Artillerie, ou pour la pratique des Arts $ Sc les principes generaux font enfuite appliquez à là conftru&ion des Magasins à poudre > ou de tout
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- - PREFACE.
  - autre Edifice , pour faire voir la différence de îa^ pouflee de la Voûte en plein ceintre , avec celle qui eft furbaiffée , ou en tiers point : Sc comme l’on peut regler l’épaifieur des pieds droits qui. foûtiennent ces Voûtes , pour que leur réfiftance. foie en équilibre avec le poids & la pouffée des, mêmes Voûtes. L’on détermine après cela quel cil le choc des Bombes & des Boulets de Canon, qui viennent rencontrer des furtaces horiion ta les ou inclinées, Sc quelle- élévation il faut donner à un Mortier, pour qu’une Bombe venant a tomber, fur un Magazin à poudre, choque la Voûte avec toute fa peCmteur abfoluëj Sc ce Traité finit par un difeours fur la Théorie des Mines Sc Contre-Mines, où Ton fait voir la maniéré de regler la charge de leurs Fourneaux par rapport à leurs differentes lignes de moindre refiftance, Sc àl'effet auquel on les deftine.,
  - La dixiéme Partie, qui eÆ une fuite de la precedente , contient un Traité d’Hydraulique, ou l’on démontre l’équilibre des Liqueurs , les vî-teffes avec lefqudles elles s’écoulent par diffe-rens ajutages 5 le choc des Eaux courantes contre des furfaces perpendiculaires ou obliques au courant , Sc l’ufage qu’on peut tirer de toutes ces Réglés , pour conduire Sc ménager les Eaux y Sc cette Partie finit par un Difeours fur la nature & les proprietez de l’Air, pour fervir d’In-îrodudtion à la Phyfique, Sc à expliquer l’effet
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- - PREFACE,;
  - des Machines hydrauliques, comme des Pompes* Siphons j Scc.
  - Voilà une idée des Parties que j’ai crû qui dévoient compofer un Cours des Mathématiques à l’ulage du Génie 8c de l’Artillerie. 11 fcm-blera peut-être que j’aurois dû y joindre unTraite de Fortification 5 pour rendre cet Ouvrage complet. Mais comme je n’ai eu en vue ici que les Mathématiques fpeculatives, je compte de fatisfairo bien-tot au relie par le Traité de Fortification que j’ai promis en 1720. comme il efl prêt à être mis fous la. prelfe * 8c que les Planches, qui font en très-grand nombre 3 vont être finies , je ne tarderai guéres à le rendre public. Il me relie à délirer qu'on- foit content de celui-ci > 8c que ceux qui commencent ^ ayent autant de goût pour Paprendre , que j’ai pris de foin de le rendre utile*, clair 8c interrelfant. Cependant comme il pour-rc-it fe trouver des perlonnes qui après avoir appris ce Livre-ci 3 defireroient d’en avoir d’autres , ou ils pufîenc apprendre plus d’Algèbre que je n’en enfeigne. Je rapporte une Lille des meilleurs Livres des Mathématiques que nous avons-en François : on la trouvera à la fin de la première Partie , plulieurs habiles gens m’ayant foit connoître quelle pourroit être utile , entr’-autres Monfieur M . . . . Ingénieur en Chef de B . . . . aufii recommandable par fon mérité , que par fon fçavoir. Je lui luis même-
  - £-iii
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- - PREFACE.
  - redevable de plufieurs bonnes choies fur leïcjuel-les il m’a engagé de travailler 5 6c l’on trouvera dans mon Traité de Fortification quelques morceaux qu’il a bien voulu me communiquer. J’aurai toujours beaucoup d’obligation à ceux qui voudront bien me donner lieu de travailler fur des fujets utiles, Sc je ferai charmé de leur en faire honneur dans le Public.
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- - ETABLI SS EM EN X
  - DES
  - ECO LES D’ARTILLERIE:
  - COmme les Ecoles de l’Artillerie commencent à don-,ner des marques du fuecès que le Roy a efperé de leur établifTementv6c que c’eft particulièrement pour leur inflru&ion que. j’ai fait cet Ouvrage, je crois qu’il convient de dire un mot fur la conduite,qu on y obfer-ve, afin d’en donner la connoiflance à ceux qui n’en fçavent pas les particularitez.
  - Le Roy, voulant former, un Corps compofé de Canotiers, Bombardiers , Mineurs, Sapeurs & Ouvriers, fît affembler à Vienne en Dauphiné dans le mois de Février 1710. les quatre-Bataillons > du. Régiment Royal Artillerie , le Régiment des Bombardiers , les quatre Compagnies de Mineurs, 6c.un-nombre d’Ouvriers que chaque Bataillon de l’Infanterie avoir eu ordre de fournir , pour être incorporez ., aufïî-bien que les Bombardiers ÔC les Mineurs > dans le Régiment Royal Artillerie,, qu’on divifa en cinq Bataillons , çompofez de huit Com-* pagnies dé 100 hommes.
  - Il y a dans chaque Compagnie un Capitaine en premier , un Capitaine en fécond, deux Lieutenans, deux Sous-Lieutenans , deux Cadets, quatre Sergens, quatre . Caporaux , quatre Enfpaflades, deux Tambours, ôc qua- -tre-vingt quatre Soldats.
  - Chaque Compagnie effc divifée en trois EfcoiiadeSo La première, qui effc double , eft compofée de vingt--quatre Canoniers ou Bombardiers , 6c de vingt-quatre^ Soldats apprentifs. -
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- - ETABLlSSEMENT
  - La fécondé eft compofée de douze Mineurs ou Sapeurs , &e de douze Apprentifs.
  - La troifiéme eifc compofée de douze Ouvriers.en fer, en bois ôc autres propres à .l’ufage de l’Artillerie, ôc de douze Apprentifs.
  - Les cinq Bataillons ayant été formez , ils eurent ordre de fè rendre à Metz , Strafbourg, Grenoble, Perpignan & la Fere , qui étoient les Garnifons qui leur étoient deftinées.
  - Dans chacune de ces Places le Roy a établi des Ecoles de Théorie &c de Pratique , qui font commandées par un Lieutenant d’Arthlerie , & par deux Officiers d’Artillerie , qui commandent en fécond & en troifiéme. Outre ces Commandans , le Roy a nommé Meilleurs Camus Deftouche de de Valiere, Directeur de Infpecteur des mêmes Ecoles, pour les vifiter tous les ans, afin de reconno.ître les progrès que les Officiers y font, de d’en rendre compte à la Cour.
  - L’Ecole de Théorie fe tient trois jours de lafemaine, le matin depuis 8 heures jufqu’à i i. Meilleurs les Officiers, à commencer par les Capitaines en fécond , Lieu-tenans, Sous-Lieutenans £e Cadets , font obligez de s’y trouver, auffi-bien qu’un grand nombre d’Officiers de l’Artillerie , qui font entretenus dans chaque Ecole, dans lefquelles on veut bien recevoir les jeunes gens de fa mille Volontaires dans l’Artillerie , ou Royal Artillerie, pour y profiter des Infini étions, de remplir les Emplois vacans, quand on les en juge dignes.
  - L’on commande tous les jours de Mathématiques un Capitaine en premier pour préfider à l’Ecole , afin d’y maintenir le bon ordre. Il y a auili une Sentinelle à la porte , pour empêcher que pendant la Dictée l’on ne Lille du bruit dans le voifinage. Ces Dictées font remplies par des Traitez d’Arithmérique , d’Algébre , de Géométrie , des Sections Coniques , de Trigonométrie, de Mécanique , d’Iiydraulique , de Fortification , de Mines, de l’attaque R delà défenfedes Places, de de Mémoires fur P Artillerie. Comme
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- - des Ecoles d’A r t i ll e p. i e.
  - - 'Comme fuivant rOrdonnance du Roy , il ne peut être mis à la tète des Bataillons du Régiment. Royal Artillerie, foit pour Lieutenant-Colonel, Major ou Capitaine, que des gens élevez dans le Corps , &L que les Officiers d’Artillerie qui font aux Ecoles,ne fe relTentent des grâces du Grand Maître de l’Artillerie , qu’autant qu’ils s’attachent às’inflruire des choies que l’on en feigne , il fe fait un Examen tous les iîx mois par le ProfeiTeur dés Mathématiques , en prefence des Commandans de l’Artillerie Sc du Bataillon , où les Officiers font interrogez les uns après les autres fur toutes les parties du.Cours de Mathématiques , dont ils démontrent les Proportions qui leur font demandées ; après qu’ils ont fatisfait à l’Examen , le ProfeiTeur dicte publiquement l’apoltille de celui qui a été examiné : Sc comme l’inégalité des âges ôc des géniüSj&i mêmede la bonne ou miuvaife volonté de la plupart, peut faire beaucoup de différence dans un nombre de près de cent Officiers qu’il y a dans chaque Ecole , l’état de l’Examen eft divifé en trois Clafles. Dans la première font ceux qui fe diltinguent le plus par leur application. Dans la fécondé, ceux qui font de leur mieux 5 ôc dans la troifiéme, ceux dont on n’ef-pere pas grand’chofe. Cet Etat eit enfuite envoyé à la Cour, quia par ces moyens une connoiffance des progrès de chacun.
  - Pour l’Ecole do Pratique qui fe fait les trois autres jours de li femaine, où l’on n’enfeigne point de Théorie, clleconfnte principalement à exercer les Canoniers, les Bombardiers , les Mineurs ôc les Sapeurs , à tirer ‘du Canon , jetter des Bombes , à apprendre les Manœuvres de l’Artillerie , qui font proprement des pratiques de Mécaniques, à conBruire des Ponts fur des Rivières avec la même promptkude qu’on les fait à l’Armée j à conduire des Galeries de Mines ôc de Contre-Mines , des Tranchées & des Sappés. Comme tous ces exercices ont pour principal objet l’Art d’attaquer ôc de déren-
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- - ETABLISSEMENT DES EcOLËS , &.C. dre les Places, Ion a élevé dans chaque Ecole à la campagne un Front de Fortification , accompagné des autres ouvrages détachez d’une grandeur fuftïfante pour pouvoir être attaqué & défendu , comme dans une véritable Action > ce qui s’exécute par un Siégé que l’on, fait tous les deux ans , de qui dure deux ou trois mois, de l’Efté.
  - C’eft ainfî que joignant la Théorie à la Pratique dans, les Ecoles : chacun travaille, à fe perfectionner dans le Métier delà Guerre5 l’exactitude de le bon ordre avec lequel tout ce qui s’y pajfie etl dirigé , doit faire juger des avantages que le Roy retirera un jour d’un Etablif-femenc aufli digne de la France que celui-cL
  - A
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- - Approbation de M. S A ‘V R I N", Cenfeur Royal.
  - ]’Ay Iû par l’ordre de Monfeigneur le Garde des Sceaux un Manu fer it intitulé Nouveau Cours de Aiathématiqus à l’ufags de
  - R Artillerie & du Génie : J’ai trouvé cet Ouvrage fort clair, 8c fait avec beaucoup de méthode , fçavant, &: très-propre a ceux pour qui il eft compofé. A Taris le ro. O&obre 1723*
  - SAURIN.
  - PRIVILEGE DV ROY.
  - LOUIS par la grâce de Dieu Roy de France & de Navarre : A nos amr£ 8t féaux Confeillers , les Gens tenans nos Cours de Parlement , Maîtres des Requêtes ordinaires de nôtre Hôtel, Grand Confeil, Prévôt de Paris , B ail— lifs , Sénéchaux, leurs Lieutenans Civils, & autres nos Justiciers qu’il appartiendra , Sa lut. Notre bien-amé & féal le Sieur Bernard Beudor. , Profejfeur Royal des Mathématiqttes, Correspondant des Académies, des Scien* ses de France d’Angleterre Nous a fait remontrer qu’il avoit compofé uti Traité qui a pour titre : Cours de M athématique & de Fortifications , al’u-fage des Ingénieurs des Officiers d’Artillerie , qu’il defireroit donner au Public : mais comme il ne le peut faire imprimer lans s’engager à de très-
  - frands frais , à caufc de beaucoup de Planches abfolument neceflaires poinintelligence de ce qui y eft contenu , qu’il a été obligé de faire graver, il Nous a très-humblement fait fùpplier de lui accotder nos Lettres à ce neceffai-xes. Aces causes voulant favorablement traiter l’Expofant, & lui donner moyen défaire imprimer cec Ouvrage , qui ne peut être que très-utile à nos Officiers d’Artillerie, & à nos Ingénieurs , Nous lui avons permis & permettons par ces Prefentes de: faire imprimer ledit Livre intitulé : Coms de Mathématique de Fortification ,:a l’ttfage des Ingénieurs & des Officiers d’Artillerie , en tels volumes, marge , caraéfère , conjointement, ou féparemenr, & autant de fois que bon lui lùmblera , de le faire vendre Sc débiter par tout notre Royaume , pendant le tems de dix années a-eernprer du jour de la datte des Pré/cmes. Fai ions défenfes à routes perfonnesde quelque qualité & condition qu’elles foient, d’en introduire d’impreffion étrangère dans aucun lieu de no-ÀreQbéï£Fanre , comme auffi à tous Libraires, Imprimeurs , & autres d’imprimer , faire imprimer , vendre, débiter ni contrefaire ledit Livre en tour ou ea partie , d'en faire aucun extrait fous quelque prétexte que ce foit , d’augmentation , correction , changement de titre ou autrement fans la permiffion ex-preiïe& par écrit de PExpofant ou r’eceux qui auront droit de lui ; a peine de Conhfcation des Exemplaires contrefaits , de trois mille livres d’amende contre chacun des contrevenans ,-tkmt un tiers à Nous , un tiers à PHôtel-Dieu de notre bonne V ille-de Paris -, & l’autre tiers à P Expefant, & de tous dépens /dommages & intérêts ; à la charge que ccs Prefentes feront enregiftedes-tout au long furie Regiftée deda-Cemmunauté des Libraires & Imprimeurs de Paris , dans trois mois du jour de la datte ; que Punpreffion de ce Livre fera faite dans notre Royaume & non ailleurs , en bon papier & en beaux caraéleres ,
  - 1 ]J
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- - conformement aux Reglemens Æe la Librairie ; qu'avant que de les expolêr en vente; les Manufcrirs.qui' auront fervi de Çopje à.l’impreffion du.Livre, feront remis dans le même état où l’Approbation y aura éré'donnée , à notre très-cher & féal. Chevalier Garde des Sceaux de t rance le Sieur ïleuriau d’Ar-menonville ; qu’il en fera enfuite remis deux Exemplaires dans notre Bibliothèque publique , un dans celle de rotTC Château du Louvre , & un dans celle de notre très-cher & féal Chevalier Garde des Sceaux de France le Sièùr.Fleu-iiau d’Armenonville ; le tout â peine, de nullité des Prefemes : Du contenu desquelles vous.mandons & enjoignons de faire jouir l’Expofant ou les Succef-feurs & ayâns caüte, pleinement Sc paifiblerneht ,’fàns-fcuffirif qu'il leur (bit'Fait aucun trouble ou empêchement: Voulons que la copie defdites Prefentcs qui fera imprimée au commencement ou à la fin dudit I ivre , foit tenue pour dûë-ment fignifiée ,& qu’aux copies collationnées par l’un de nos amez & féaux Conlèiliers & Secrétaires , foi fait ajoutée comme à l’Origioal. Commandons au premier notre Huifrer ou Sergent, de faire pour, l’execution des Présentes, tous aéles requis & néccffaires, fans demander autre permiifion , & nonob-fiant clameur de Haro , Charte Normande , & I ettres à ce contraires. Car tel eft notre plaifi.r. Donné à Paris le vingt-cinquième jour du mois de Novembre l’an de grâce mil fept cens vingt-trois ,& de notre Rcgne lia. neuvième.. Par le Roy en fan Confe.il..
  - ROBIN O T.
  - Regifirêfur.le Regifire V de la Chetmhrc Royale & Syndicale de la Li~ Iraiffe &Imprimerie de Paris, N° 71?. fol. ^16-conformément au Reglement de 1713. qui fait défenfe, art. iv. a toutes perfonnes de quelque qualité & condition qu’elle« foient,. autres que les Libraires Imprimeurs , de •vendre , débiter , & faire afficher aucuns Livres pour les vendre en leurs no-ms, foit qu’ils s’en difent les Auteurs ou autrement : Ht a la charge de fournir les Exemplaires preferits par l’article cviii. du même Reglement. A Paris le z.3 Décembre 1713.
  - BRUNET, Syndic.
  - J'ai cédé fans re-ferve au Sieur Jombert l’aîné , le Privilège general que j'ai obtenu du Roy le vingt-cinquième jour, du mois de Novembre 1713. d’un Ouvrage intitulé: Cours de Mathématique & de Fortification , a l’ufage des Ingénieurs & des Officiers d’Artillerie ».pour en jouir comme choie à lui appartenante. A la Fere ce ij. Novembre 1714
  - BERNARD B E L I D O R:
  - Je cede au Sieur Jean-T uc Nyon Libraire à Paris, moitié dudit Privilège pour ÎC Nouveau Cours de Mathématique feulement. A Paris ce ij. Janvier 17x5;
  - C. Jombut-, .
  - Regiftïéles Cejfions ci-deffus de Vautre part , fur le Regifire VI. de 1rs Communauté' des Libraires & Imprimeurs de Paris , page 130. conformément aux Reglemens, & notamment h l’Arrêt du Confeil du 13. Août 1703. A P*-* ris le16. Janvier 171J»
  - Brunet, Syndic.
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- - COnime ilell de confequence que le Lcêteur ne fe trouve point arreté par des fautes d’imprelFion , on a eu foin de donner ici un Errata de celles qui fe trouvent dans cet Ouvrage , qu’il faut corriger avant même de le lire. Il ne s’en leroit peut-être pas tant gliffe, H j’a vois pu revoir les Epreuves moi-même. Mais à l’occa-fion des fautes d’imprelîion qui fe trouvent dans les Livres des Mathématiques, je luis bien aife d’avertir ceux qui ne fçavent pas faire le choix de ces fortes de Livres^ de prendre toujours les Editions de Paris , préférablement à celles de Hollande j car comme ce font ordinairement Mes Livres contrefaits , dont les Epreuves n’ont point été corrigées, il s’y rencontre une fi grande quantité de fautes > qu’en bien des endroits on a peine à trouver le fens de l’Auteur.
  - ERRA TA,
  - Omme l’on a trouvé que la première Définition de 'ji la première Partie étoit un peu trop generale pour ne convenir qu’à la Géométrie feulement 3 on pourra la prendre auiïi pour celle des Mathématiques,
  - Page S art. 41 lig. 4 , un 3 au devant, kf. un 3 après,.
  - JPage 24 art. 8 1 kg. 20,de 6 relie 3 ,kj. de 3 6 relie 3, jPage 2 5) art. 9 3 kg. 1 7 , par 100, kf. par iooq.
  - Rage 40 art. 10.2 kg. 1 3 , dont la, racine cube 3 kf. dont le cube.
  - Page 5 o art. 123 lig. 6. tif. Çrrd—be.
  - Page 5 I art. 127 kg. G , ax , liÇ. aa.
  - Page 5 6 kg. l'G , 1 yx—1 02 , kf 1 yx~102,
  - Page 8 3 art. 15? 2 kg. 4 kf & les deux confequens au (fi l’un paq l’autre,
  - im
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- - rage i 8 8 lig. i 8,402, lif 4.4.1 414, lif. 453.
  - Fage 19 4 Hg. 10, lif.
  - P<zg-e 227 £rr. 515, 1 o o o o o , lif 100 o o. rage 233 lig. 2 , complément, ///’ fupplement.
  - Pag-c 2 3 4 %. 11, CD, ///! CB,
  - P^e 272 lig. 3 j OB, OP, lig. 2 8 , GD j tif. GB. rage 273 , lig. 3 2 , BF, ///] PF,
  - P^(? 285 554 lig, 2 8 , je pofe S pouces, lif. je pofe
  - 3 pouces.
  - page 188 lig. 19,6 pieds, lif. 5 pieds.
  - Pæ££ 2 5? 8 557 lig. 16 , la folive, lif. la partie.
  - Paqe 323 //>. 1 3 , Spheroïque, lif. Sphéroïde. rage 324 lig. 4, EG,///. AG.
  - Ibid. art. 605 lig. 10 ,OP, lif. OQ^ rage 325 , %. 6, ML, /z/ï NL.
  - Pcig* 333 -lig. 11 ,lif le quarré de la plus grande ordonnée.
  - Page 33 6 lig. 6 , lif. du profil qu’il faut multiplier.
  - Page 338 lig. 4, 1HD, lif IDH.
  - Jbid. lig. 14,5 toifes, lif. 4 toifes.
  - rage 357 art. 641 lig. 17 , BDE, lif. BDC.
  - Tage 358 art. 6 43 lig. 2 8 , rectangle , lif. triangle. Page 361 art. 647. lig. 6 , la ligne , ///T la figure.
  - Page 3 86 %. 5 , charabres, lif chambres.
  - Page 392 lig. 14, parallèle a la baie, ///!! oblique à la bafe.
  - 3 5? 5 %• 3 3 . PS, ZZ/Ü MS.
  - GDXC.D rr G DX GD Tage 4 2 3 %. 7 , -- p- , Z//** “~ •
  - Jbid. liq. 9 , ,v, lif. y.
  - Jbtd. art. 7 2 8 %. 8 , CE , /// GE.
  - Page 414 4rr. 729 %. 20 , IG > Hf IH. Page 446 %. 7 , E, /ï/. F.
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- - BG. JBC.
  - Page 474 lig. 3 1, mobile, lif immobile.
  - Page 4S5) lig. 4,troifiéme coup lif. premier coup.
  - Page 503 lig. z o , HD 3 lif DC^
  - Page 504 lig. x. par des batteries , lif. tire' des batteries.
  - Page 5 57. lig. z. 5 ér 3 7 , rarefraction > ///. raréfaction.
  - AVERTISSE ME NT
  - GOmme un Auteur ne peut s’a0tirer de la bonté defon Ouvrage que par le témoignage des habiles gens à qui il le communique , je n’ai pas plutôt eu achevé le mien , qu’il m’elt venu un fcrupule, de fçavoir h le delïein que je m’étois propofé , étoit bien rempli. Dans cette efpece d’embarras, j’ai crû ne pouvoir mieux, faire que de prier Medieurs de l’Académie Royale des Sciences , de vouloir bien l’examiner avec loin , afin que s’il m’étbit échappé quelque chofe qui ne fût point, exact , je pus faire les corrections qu’ils jugeraient à propos , avant que mon Livre parût, & tirer de-Li occa-lionde faire voir à une Compagnie auffi illultre , que je cherchois à me rendre digne par mon travail de la continuation de fes boutez j & quoique l’ufagc de l'Académie 11e fût pas d’examiner les Ouvrages qui ne fortenc point directement de chez elle , elle a cependant bien voulu me faire la grâce de répondre à mes inltances i & voici l’Approbation quelle a jugée à propos de ma donner.
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- - EXTRAIT
  - DES REGISTRES DE L’ACADEMIE
  - Royale des Sciences.
  - Du 17. Janvier 1715.
  - LE s Reverends Peres Sebaftien 5c Reneau^ 5c Meilleurs Saurin, deMairan 5c Chevalier, qui avoient été nommez pour examiner un Ouvrage prefenté par M. Belidor, Profefîeur Royal des Mathématiques aux Ecoles d’Artillerie de la Fere, 5c intitulé : Nouveau Cours de Mathématique , a tuf âge de F Artillerie i? du Génie, en ayant fait leur rapport $ la Compagnie a jugé que puifque l’Auteur avoir reciieilli avec choix éc avec ordre des diverfes Parties des Mathématiques , les principales connoiilànces qui pouvoient appartenir au Génie 5c au fer vice de T Artillerie 5 qu’il avoir rendu toutes fes démonstrations plus nettes 5c plus courtes, en y employant l’Algèbre , dont il donne les premiers Elemens, 6c qu’il faifoit voir l’ufiige des connoiilànces qu’il donnoit ? en les appliquant à des exemples confiderables ? tirez du Génie même 5c de l’Artillerie * il avoit bien rempli les vues qu’il s’étoit propofées , 5c qu’on ne pouvoir trop louer fon zele pour le progrès de l’Ecole à laquelle il a voüé fes foins 5c fes travaux. En foi de quoi j’ai ligné le prefent Certificat. A Paris ce 29. Janvier 1725.
  - FONTENELLEj Sec.perp. de PAc. R. des Sc,
  - NOUVEAU
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- - NOUVEAU. COURS
  - DE
  - MATHEMATIQUE,
  - A Ü V S A G B
  - -£ÆS. INGENIEURS ET OFFICIERS .D’ARTILLERIE»
  - L I V RE PREMIER.
  - /Ou Ton -donne l*Introduéîion à la Géométrie*
  - .DEFINITION S.
  - L
  - A Géométrie eft une Science qui ne akti-cib confidere pas tant la grandeur en elle-rR£MI£R* même, que le rapport qu’elle peut avoir avec,une autre grandeur de même genre.
  - II.
  - 2. Tout ce qui peut tomber , en queffîon s’appelle fro~ fofithn. Il y en a de differentes natures , & elles- changent de nom félon leur fujet. Par exemple,
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- - 1
  - Nouveau Cours
  - III
  - 3. Axiome eft une propofitionfi claire, quelle n'a par iaefoin de preuve.
  - IV.
  - 4, Théorème eft une propofition dpnt^il faut démontrée la vérité*’
  - V.
  - 5 * Problème eft tine propofition dans laquelle il s'agit de faire quelque chofe, & de prouver ce quon avoic pro-pofé de faire.
  - VI
  - 6. Lemme eft une propofition qui en précédé une^autre pour en faciliter la démonftration.
  - VII.
  - 7. Corollaire eft une propofition qui n’eft qu’une fuite ou une confequence d’une autre précédente 5 & comme toutes ces propofitions ont pour objet la grandeur, voici l’idée qu’il faut s’en former.
  - VIII.
  - Planche S. Il y a trois fortes de dimenfions 3 Longueur s Lar-première, geur î;& Profondeur.
  - IX.
  - 5>. La Longueur confiderée fans largeur & finis profondeur ,.fe nomme Ligne,
  - X.
  - 10. La Lo?igueur & la Largeur confiderées fanslapro-fondeur , fe nomment Surface, laquelle eft aufti nommée Surface flâneou fimplement Plan s. quand elle eft plate & unie comme un miroir.
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- - 3.
  - de Mathématique.
  - XI.
  - 3 i. La Longueur, la Largeur, & la Profondeur confide-•* rées enfemble, fe nomment Car/j ou Soltde.
  - XIL '
  - il. bePoint eft ^extrémité d’un Corps ou d’une face,ou bien d’une Ligne que l’on conçoit comme indi-vifible ou fans dimenfion, c’eft-à-dire, auquel on n’attribue aucune Longueur, Largeur, ni Profondeur.
  - .XI.IL
  - î 3. La Ligne droite effc la plus.courte de toutes celles que l’on peut mener d’un point à un autre, comme AB.
  - XIV.
  - ï 4. La Ligne courbe eft celle qui n’efi: pas la plus courte qu’on peut tirer d’un point à un autre, comme CD.
  - XV.
  - 15. La Ligne mixte eft celle qui eft en partie courbe A-en partie droite, comme EF.
  - XVI.
  - 16. Une Ligne perpendiculaire elt une Ligne droite CD, Fig. 4 qui aboutifiànt fur AB.*, ne panche pas plus d’un côté
  - que de l’autre.
  - X VII.
  - 17. Quatre' eQ: une figure compofée de quatre cotez 'Fig. î* égaux , qui aboutirent perpendiculairementles uns fur
  - les autres.
  - XVIII.
  - 18. ReÏÏangle eft un Quadrilatère dont les quatre cô- Fig-tez ne font pas égaux entr eux, mais feulement ceux qui font oppoiez, & qui aboutilfent aufii perpendiculairement
  - îles uns fur les autres.
  - Aij
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- - 4
  - tfg- 3*
  - f ig, z.
  - Fig. 5, &
  - Nouveau C o>u k 9
  - XIX.
  - 1 Le Cube eft un Corps qui a la figure d’un dez h jouer 5 il eft renfermé par fix quarrez égaux, & a fes trois dimenfions égales.
  - XX.
  - . 2 0. Parallelepipede eft un folide renfermé par fix
  - Et angles, dont les oppofez font égaux, & qui n’a point fes trois dimenfions égales.
  - 2 !.. Il y aune maniéré de eonfidererles trois efpeces de l’étendue, c’eft-à-dire ,1a Ligne , là Surface & le Corps qui eft très-propre à expliquer beaucoup de chofes en-Géométrie > c’eft d’imaginer la Ligne compofée d’une infinité de Points ,. la Surface compofée d’une infinité de Lignes,. &: le Corps compofé d’une infinité de plans. Mais pour faire entendre ceci-, confiderez deux points, comme A & B , éloignez l’un de l’autre d’une diftance quel* conque 5 fi l’on fuppofe que le point A fe meut pour aller vers le point B,.fans s’écarter ni à droite ni a gauche, ôc qu’il laifte fur font chemin une trace d’autres points , il. arrivera qu’ils formeront enfemble une ligne droite AB’, puifqu’il n’y aura point d’èfpace dans la longueur AB fi petit qu’il foit, que le point A n’ait parcourra :ainfi toute la ligne droite AB peut être confiderée comme ayant été formée par une multitude de points, dont la quantité eft exprimée par la longueur de la ligne même..
  - 2 2. L’011. concevra de même que le Plan eft compofé d’une infinité de lignes j car fuppofant que la ligne ÀC fe meut le long de la ligne CD en demeurant toujours également inclinée, il eft fenfible que fi elle laifte après elle au ant d’autres lignes, qu’il y a de points dans CD , que lorfqu’elle fera parvenue au point D, toutes les lignes compoferont enfemble la furface BC..
  - 2 3. Enfin fi l’on a un plan AB, qui fe.meuve le long de la ligne BC , & qu’il laifte autant de plans après lui qu’il y a de points dans cette ligne, l’on voit que lorfque
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- - f , d-E’Mathematique;'' -.y’
  - îe plan fera arrivé à l’extrémité C , il aura formé un corps tel que- DB , qui fera compofé d’une infinité de flans, dont la fomme fera exprimée par la ligne BC.
  - 24-Comme l’on-entend par la génération dune chofe les parties qui l’ont formée * il s’enfuit que félon ce qui vient d’être dit , le point eft le générateur de. la ligne, la ligne la génératrice de la furface , 8c la furface la génératrice du corps.
  - 2 5. Si l’on iuppofe que la ligne AC foit de 8 pieds-, Fig,- z 8c la ligne- CD de 6y& que ion confidere ces nombres comme- exprimant la quantité de points qui fe trouve dans ces lignes, l’on -verra que -multipliant 8 par 6le produit fera la-valeur de la liirface AD s car cette fur-face étant compofée d’une infinité de lignes ,8c chacune de ces lignes-étant-compofée d’une infinité de points', ..il s’enfuit que la fur face eft compofée d’une infinité de points, dont la quantité fera le produit de tous les points ' de la ligne CD , par-tous les points de la ligne AC, c’eft>. à-dire, de fa longueur AC, par fa largeur CD ,.qui don- . liera 48 pieds , qu’il faut- bien fe garder de confondre avec le pied courant 5 car le pied courant n’eft qu’une longueur fans largeur, au lieu que ceux qui font formez par le produit de deux dimenfions , font autant de fur-race quarrées, qui fervent à meftirer toutes les fuper- " ficies. • .
  - 16. Or comme le folide DB eft compofé d’autant de Fîg.| plans qu’il y a de points dans la ligne CB ,.il faut donc multiplier le plan AB par la ligne BC, pour avoir le contenu de ce folide : ain-fi fuppofant que le plan AB vaut 48 pieds quârrez, 8c que les-points de la ligne BC foierît exprimez par 4 pieds courans > multipliant 48 par 4-5 L’on aura 1 5) 2 pieds pour la valeur du folide AÇ. Il faut faire encore attention que ces pieds font .differeus du pied courant 8c du pied quarré ) car ce font autant de petits foiides qui ont un pied de longueur ,. un pied de largeur, 8c un pied de hauteur ,que l’on nomme cubes, - à caufe qu’ils ont leurs trois dimenlions égales. Ainft il *
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- - 6 N O U V E A U C 0 U- R "S
  - faut remarquer que les lignes mefurent les lignes, que les fur faces font mefurées par des furfaces&. les lolides par des folides.
  - 27. Mais comme il s’agit beaucoup moins ici de chercher. la valeur des grandeurs, que de trouver le rapport qu’elles ont entr’elles , nous nous fervirons de .lettres de l’alphabet au lieu de nombre , pour exprimer les grandeurs , afin de rendre generales les démonftrauons des propofitions.
  - 28. Par exemple , pour, exprimer une ligne, l’on fe fervira d’une des lettres a,b9 c,d, &c* & pour exprimer un plan, on mettra deux lettres Tune contre l’autre, pour un folide trois lettres j car quand plufieurs lettres font les unes près des autres , elles reprefentent le produit dont chaque lettre exprime une dimenfion.
  - 25?. Par exemple , ab reprefente un plan dont les deux dimenfions font a & b, qui ayant été multipliées l’une par l’autre, ont donné ab pour la valeur du plan.
  - 30. Comme l’on nomme toujours les lignes égales par les memes lettres , & les lignes inégales par des lettres differentes, dès que l’on verra ab om ed, l’on jugera que ce font des rectangles , parce que leurs dimenfions font inégales, au lieu que aa fignîfie un quarré , parce que l’on voit que les deux dimenfions font égales.
  - 3 1. De meme quand on verra aaa, l’on jugera que c’eft un cube , puifque les trois dimenfions font égales, chacune d’elles étant reprefentée par a 3 & quand l’on verra abc, l’on jugera que c’eil: un parallelepipede, puifque les trois dimenfions font inégales.
  - 3 2. Les caractères de l’alphabet font bien plus propres pour exprimer les grandeurs, que les nombres , car quand je vois, par exemple, ce nombre 8 , je ne fçai s’il reprefente une ligne de 8 pieds courans,ou un plan de 8 pieds quarrez, on un folide de 8 pieds cubes 3. car un plan qui auroit 4. pieds de longueur fur 2 de largeur, aura 8 pour, fa fuperficie, & un folide qui auroit chacune de fes trois dimenfions exprimées par une ligne de .2 pieds.
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- - de Mathématique. 7
  - aura aufïï 8 pour fa folidité : ainfi dans les operations que l'on fait avec les nombres, il faut que la mémoire ioit affujettie à retenir ce qu’ils fignifient , an lieu que celles qui fe font avec les lettres ne la fatiguent aucunement , puifque la nature des grandeurs eft reprefentée par les lettres mêmes 5 car dès que je vois aa & bcd> j’apperçois aufii-tôt que aa eft un quarré , & que bcd eft un folide , au lieu que fi ces grandeurs étoient reprefén-tées par des nombres , je ne fçaurois ce quelles fignifient.
  - 3 3. Comme l’on fait avec les lettres de 1 alphabet les operations quife font fur les nombres , c’eft-à-dire , Y Addition , la Soufiraciion > la Multiplication , là Divijion y & l’Extraction des racines j &: que les quantitez inconnues entrent dans le calcul , de même que les quantitez connues, l’on eft convenu pour diftinguer ces differentes efpeces de quantitez , que l’on nommeroit celles qui font inconnues avec les dernieres lettres de l’alphabet xyy, *, &c. &c celles que l’on connoît avec les premières lettres a , b ,c,d, &c.
  - 3 4. L’on fe fert dans l’Algebre de quelques lignes qui marquent;les operations que l’on fait fur les lettres, par exemple, ce ligne —b hgnifie plus , & marque l’addition5 car a—j-b marque que a eft ajouté avec b..
  - 3 5. Ce ligne—• au contraire lignifie moins > & marque la fouftra&ion j car -b lignifie qu^ b eft foultrait de a,
  - 3 6. Quand on veut marquer qu’une grandeur eft multipliée par une autre, on met entre les deux ce ligne x 5 ainfi cx.d marque que c doit être multiplié par d.
  - 3 7- Quand on verra une petite ligne, au delfus & au deflbus de laquelle il y aura quelque lettre , cela veut dire que les lettres de delfus font divifées par les lettres
  - de delfous 5 par exemple, — fignifie que ab eft divifé par c.
  - 3 S. Lorfqu’on verra ce ligne =: précédé d’une quantité Algébrique, êc fui vie d’une autre, cela voudra dire
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- - 'S Nouveau Cours
  - que ces quantitez font égales : c’eft pourquoi on le nomipe
  - le ligne d’égalité 3 a in fi ab~cd fignifie que eft égal à cd.
  - 35?. Les deux quantitez Algébriques differentes , entre lefquelles fe trouve le ligne d’égalité, font nommées en-
  - femble Equation j ainfi a'zz.b ,jçd—\-xx'zzuiabb font
  - des Equations.
  - 40. L’on appelle Membre d’une Equation les deux quantitez Algébriques. quiie trouvent de part & d’autre du ligne d’égalité 3 ainli les quantitez abc &c dfx , lont les .Membres de l’Equation abczrzdfx, dont abc eft nommé le premier Membre, parce qu’il précédé le ligne tzz , ôc dfx le fécond Membre , parce qu’il fuit, le ligne—.
  - 41. Quand on a une quantité*produite par la multiplication de plulieurs lettres femblables, comme aaa> ou abb, l’on peut abréger , au lieu de aaa, écrire, un a avec un 3 ‘^d&Rfi.Wi pour lors a'3 efE la mêmeehofe que aaa , parce que Pun àc l’autre lignifient, que c’eft un produit de trois dimenfions , & par confequent au lieu de abb j on peut écrire ab% & dans ce cas on nomme le nombre qui fait voir la quantité de fois qu’une Jettre a été multipliée par elle-même, expofant..
  - 41. Mais pour exprimer le Quarré ou le Cube d’une ligne qui ferapar exemple, nommée AB dans une Figure, l’on marquera À B ou AB 3 car AB fignifie le Quarré
  - de la ligne AB ITb le Cube de la même ligne.
  - 43. Quandune quantité Algébrique a été multipliée une fois, deux fois, trois fois, quatre fois, &c. le produit eft appellé Puiffance ou Eegreff. ainli a ou a1 eft nommé le premier Degré ou la première Puiffance , & aa ou a* le fécond Degré ou la fécondé Puiffance ,-ou filon veut, le Quarré dp a aaa , ou a1 le troifiéme Degré , ou la troisième Puiffance, ou leCube de a 3 enfin a* fera le quatrième Degré, ouïe Quarré quarré, c’efl-à-dire, aa multiplié par lui-même 3 ou, ce qui eft la même chofe, a multiplié par a3 : ainfi des autres»
  - 4-4 «
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- - de Mathemati qjlt e. 9
  - 44.. Une puiflance peut être regardée comme le produit de deux puifldnces j car a 5 eit la même choie que. le produit a* para1.
  - 45. Il peut y avoir aufli des puiflances faites du produit de deux ou plufleurs lettres multipliées l’une par l’autre j car 11 l’on multiplie ab par lui-mêmele produit aabb fera la fécondé puilfance de la puiflance ab, qui devient pour lors le côté ou la racine de la puiflance aabb , de même qu’011 peut dire qüêrf eft lu coté ou la racine de aa, 2c que b elt la racine de b**-.
  - 46. Les quantitez Algébriques lont nommez incom-flexes, lorfqu’elles ne font pas accompagtiéesides lignes
  - —:r ou —. j aiiilî ab, bd, — font des quantitez”incomplexes \
  - 2c quand elles font liées avec les Agnès-+,2c •—-, elles font nommées complexes -, comme a—\-b ,-a-a—\-hb 3 ah—^-çà
  - __ , tta-^rCC'
  - -J-'
  - 47. L’on nomme termes les’par'ties^dés quantités.rouie plexes j qui font di Ainguées par les lignes -H- 2c —r j ainli aa—\-bc—dd efl; une quantité complexe-, qui renferme trois termes, aa, bc ,2c ddj
  - 4'S. Lorfque les quantitez iiïcomplexes- ne font pièces .dées d’aucuns lignes , on luppofe qu’elles lont-toujours précédées du ligne—j-i car —r ab- efl la même chofeque ab, 2c pour lors les quantitez font nommées:pofïtives, ôc-quand elles font précédées du figne elles font -nom* niées négatives i ainfi -d^bd , od Amplement bd , elt une quantitépofitive,Sù‘—^AelLune quantiténegativ.e.,rfr-,
  - 49. Lorfqu’une quantité incomplexe ,-oii les 'termes d’une quantité complexe font précédez de quelques nombres , ces nombres font nommez 'coejficiem* ainfi lés .nombres 4 2c 3 '{ont-Ics-coeÿïêk ns desrermes4ab 2c 3cd.
  - 50. Lorfque les quantitez incomplexes , où les termes .des quantitez complexes contiennent les mêmes lettres , 011 les nomme femblables:: par exemple, ^.abc elt tme quantité ieniblahle -à 3 abt. De même fl l’on a
  - B
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- - ïo Nouveau Cours
  - 3^-kyM—les termes 3 hed & 5 bds font encore femblables j mais-pour s’apperçevoir facilement de la li-militude des quantitez Algébriques , l’on obfervera d’écrire toujours les premières lettres de l’alphabet les premières, & les autres félon leur rang j ainli au lieu d’écrire bsa ou cab , il faut écrire abc.
  - PREMIERE REGLE P O <V R REDVIRE Les quantité^ Algébriques à leurs moindres termes.
  - 51. Quand on a des quantités Algébri ques complexes, qui renferment des termes lemblabies,,il faut ajouter les coëÆïciens. de ceux qui ont le meme ligne,.& donner à la fomme le même figné, atin.de les réduire à leurs moindres termes. Ainli 4ah—-aac—\?a.ab—>3ac étant réduits y deviennent (yab^^ac..
  - 52. Quand les quantitez- femblables ont des lignes
  - difrerens , il faut fouftraire le plus petit coefficient du-plus .grand , & ddnner è la différence le ligne du plus grand : par exemple pour réduire cd^+6ab-—^aa—A.ab , il faut loullraire “-4ah de'—\~6'ab} & l’on aura après la, réduction cd—faix—j-2ah. De même l’on voit que fai-fant, la réduction, de xab-^r ab.—j-cd , il vient
  - 2 cd.
  - 53 . Enfin lorfque.'deux termes lont femblables &C égaux, &; que l’ùn a le figne—}->& l’autre le figne*— * ils fedétruifent>. puifque la différence fe réduit à rien, our autrement.-à o : ainli aah-^redh^aab > eft la même chofe que cdh y.puifqtife •—aab étant.. Ibuilrait de—|-aab x... la différence ell o.
  - ADDITION DES QU ANTITE Z ALGEBRIQUES ... mcompkxes & complexes.
  - 54. Pour ajouter enfembie des quantitez Algébriques * qui ne lont précédées d’aucuns lignes ,. il faut les écrire de fuite a & les. lier ay.ee le ligne —f- : ainli pour
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- - D 2 MaTHÉ^ÂT . 1 f
  - ajouter les quantitez ab , ed 3 ac} Pon écrira '* 'ab~-\-cd # Art. ^ •-f-ac.
  - 5 5. Si les quantitez que l’on veut ajouter font complexes, on les écrira au (fi de fuite avec leurs lignes i£c après a voir,réduit les termes femblablesyi’ëu -aura IsL fomrae de ces quantités. Par exemple , pour ajouter iaab—3 acd avec au—b* 5 aed^èaab, l’on écrira zâàb—.
  - 3 acd—\-acc—f- 3 acd-—6aab, qui fe réduit à * acc—\~zacd * Art. 51* «—j\.aab : pour ajourerétf^-4-5 aac^^abb avec zactc*—*
  - 2 abb , l’on écrira 6 add—\~ 5 aae'—q.àbb—^ 2dde—izâbb , qui fe réduit à 6 add-^6 abb-^jaac. Enfin pour ajouter abc—ddc—dcc avec dcc—'abe-rfi ydde , on écrira âbc—ddé *—dcc—\-dcc>—>abc-^ 3 ddc , qui le réduit z 2 dde > puifque les grandeurs qui font femblables & égales fe détrui-
  - fenr * ' 4 Art. jg.
  - S Ù *V S T R A C TT O N J> £ S gJV'A KT1ÏÏ Algébriques incomplexés & complexés!
  - Pour fouflraire'uhe quantité Algebriqné^mTràiiïré,. il faut changer lés rfîgtïes" dé celle qüi dèiè êÉféPfeufïf&i-te, deft-à-dire * qu’il faut, oii il y a’-^’mettfé ou
  - il y a —> mettre —Hh » & puis les écrire de fuite , & Pon aura après ia rédu&ion faite la différence de-éesdeux quantitez.
  - Par exemple, pour fbtrftràîre bbde .^,'jfe fe.feprécéder bb du. ligne •—, parce que Pon fotis-éntéhd qùe‘##'a le ligne —f, étant une grandeur pofitivè-: ainlif a différence fera aaf—bb. * De même pour foultraire c—M de * Art. 554 a—\*b ,'il faut changer les lignes de f-rM, & écrire a~-^b •—c—d, qui fera ia différence. Poiir ; foultraire b—*d de a—[-c, l’on écrira a—r\-c—b—\~d. Pour foullraire ïbb—y ce de aa—\-bb, l’on écrira aa—\~bb'—ibb—^~T> cc, qui fe réduit à az—bb-^dr} Ce, * Enfin pour.fou firaire ab^dc—^-bb * Art.
  - —3 aa de aa—dc—^^bc—bb, l’on écrira att'-r-dc b c
  - ‘—bb—•àb~-$-dc^bl—f-3aa.,, qui ‘étant rçànfti , donnent
  - 3 be~~ibb—ak^jp^ax. Il en fera: airifï des autres’
  - Bij
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- - 'I-2-
  - No X) VEAU G OU R 5
  - E C Zlji IRC I S S-E M E '.N T:
  - . fur la Soujlraciion littérale...
  - Il n’eh pas ; difficile de comprendre pourquoi on change le iîgne -H- foüSr-encendii; en —? dans le premier terme de là... grandeur ,. & dans les autres qui ont le ligne -4- y Art. 35. car c’effc en cela même que. confihe. la Souhraétion : f mais prefque tous les Commençans. font furpris de ce qu’il,faut changer les lignes des autres termes de -—en 3cependant cela eh facile à.comprendre , li Ion fait attention que pour ôter b—d.d\me.quantitéquelconque, telle que a-+ç, il ne faut-p^ ôter £ tout feul, puifque ce feroit trop ôter de toute la quantité d étant plus grand que b-—d de la quantité d.y cependant b étant précédé du ligne —, il eh abfolument retranché de a-y-c 3 c’eh pourquoi afin de ne point ôter plus qu’il ne faut, on rend par le ligne —-la- quantité d qu’on avoit ôté de trop..
  - Mais comme on entendra mieux ceci par les nombres,, fuppofons qu’il faille retrancher du nombre 1 2 la quan-titéjé^-^jfelon la Régléil faut écrire 1 2*— 6—H i-* dont la différence. eh,8-3 car comme é—i ..eft égal, à 4, l’on voit, qu’on ne peut„retrancherque 4, de 12 , & que par confequent h au lieu.de 4 on. en retranche 6 , il faut rendre à 12.1a quantité 2 , qui eh ce qu’on avoit ôté. de trop.
  - .. . Enfin pour expliquer . ceci d’une autre façon, fuppo-fq^s.deux perionnes , dont, Tune a cent écus, 8e ne doit . rien , & l’autre au contraire n’a rien, & doit cent écus, il eh certain que la première perfonne eh plus riche que . la fécondé de deux cens écus 3 par confequent fi l’on retranche moins.de plus, la différence fera plus..
  - ’ ETi P A / Ç-jî T I ON DES gJJANTITE Z
  - " incomplexes.
  - , - 5 7. Qu and on veut multiplier deux ou plufieurs let-, très fene p^autre,, il faut les écrire de fuite fans aucuns lignes. ^ & l’on aura le produit. Par
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- - D E, M AT H'EMA TI QU E. if
  - exemple-, pour multiplier ab par ac, l’on écrir‘a aabc;\ * *'Art.'z.$ï pour multiplier %c par 3 dd, il faut multiplier les deux coëfficiens 2 ;6c 3 , en fuite mettre l’une contre l’autre les lettres que les coëfficiens precedent, & écrire 6cdd. Pour multiplier 3aa par 4^, l’on écrira izaabb. -
  - 5 8. Pour multiplier deux ou- plu fieurs quantitez fem- • blables qui ont .des expofans, il faut ajouter les expofans enfemble, 6c en écrire la fomme après une des lettres des quantitez fem blables. Par exemple, pouT multiplier a2 par aJ, l’on ajoutera-les expofans 2 6c 3 enfemble, qui font 5 , 6c l’on écrira a5. * Mais fi les quantitez ne iont pas femblables , il ne faut pas toucher aux expofans, il fudira d’écrire les lettres de fuite , accompagnées de leurs expofans : ainli pour multiplier a3 par. c2 , l’onécrH ra a1 c2. Il en fera dçinème pour les autres.
  - MV L TI P L I C A TI O N DE S gJJ A N TITEZ complexes. -
  - 5 9. Pour multiplier une grandeur complexe par une ' autre complexe ou incomplexe, il faut faire autant de multiplications particulières que le multiplicateur a de termes, obfervant de donner le ligne —{- au produit des deux termesjs’ils font chacun précédez du ligne - -pou —, de donner au produit le ligne «—-, li l’une des quantitez eif précédée du ligne—K & l’autre du ligne Ainli la
  - réglé generale de la multiplication des quantitez complexes , eft que —j- multiplié par —4-, donne —4-—- par . —' donne —b 5 ôc que — par -+*5 ou —f* par —• donne —.
  - éo. Il faut oblerver de. multiplier d’abord les coëfficiens des quantitez, s’il y en a 5 enfuite les lettres : après quoi il faut additionner toutes les. multiplications , en faire la rédu&ion, 6c l’on aura le produit total. Ainli pour multiplier —f-a par —h* > l’on écrit —\-aa ; pour multiplier —b par —b, l’on écrit —+bb.. Pour multiplier ~—d par —M j ou.—\-d par —J, l’on écrit —dd.
  - * 61. Pour multiplier za-\-b par. 3 r,l’on-dit 2a par yc donne yc. parèdonüe-H~’3fo'V*"ainli le'produit
  - B iij
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- - * Art. 51.
  - * Art. 59.
  - *<Art. 59.
  - * Art, tfi.
  - * Art. tfo.
  - * Art. *!.
  - 14 -N p u v É a u ' C p u r~s
  - fèra-tfar—j-$bc i pour multiplier a—b par d, l*on dira ^ par a donne ad, & d par ~r-b donne ^bd& par con-fequent le produit ell: .ad—-bd : pour multiplier 0—j-rpar f*c y.je mets une de ces quantitez fqus l’autre, & commençant à multiplier par la gauche, je dis .a par .a donne aa, a par —H donne -~\~.ac 5 puis multipliant par la fé-
  - condé lettre c, je dispar -ra donne^ri-^ ,,Sc—\~cpar —4-c donne.i & additionnant Je tout > le produit efl aa—\~ac—{~ac—\~cc j & pour abréger , au lieu d’écrire deux fois la même quantité ac, je marque feulement 2 ac * j ce qui donne aa—dr 2ac—^~ ce.
  - 6 z. Pour multiplier a—b par ,a—~b, je pofe -encore u ne de ces quantitez fous l’autre, & je dis .a par a donne aa.s & puis a par —b donne -^-ab *. f car on fous-entend que a a le ligne. —4-) Enfiiite multipliant par la fécondé letrre du multiplicateur, je dis—4 par a donne -r^ab , fk —4> par •—b donne -44£*. Etaprès avoir.fait. l’addition yjetrou-ve au produit aa—zab—$~bb. .
  - Enfin l’on v.oit que . multipliant aar-*\-bb—ad—at„v par aa—^-bc , que le produit eft a*—)raabb—'aaad—aaxx—fa> aabc—drbbbç'*—abcd—rbcxx.
  - a—b a-—b
  - aa—-ab —al~-\-bb
  - Produit total aar-j-zac—fac aa—ial—jrbb
  - Jylultiplier * .aa-r^bb^-0d—-xx par aa—\~bc
  - premier prod. a+,—t-aabi—7~aaad—aaxx
  - ,2. produit r —\-aabc-~\-bbbc—abcd—r~bcxx
  - ^Produit tot4 jÀ * -Jea*bcr*bbkc —$bçÀ—‘M?{K
  - Muit.* 20—44 , par 3 c
  - a—\*ç a—j- c
  - I. prod. 6acmm^rybc, ad—bd, au—
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- - de Mathématique. xs
  - EC L AI RC I S S E ME NT S *V R LA Multiplication des quantités complexes.
  - Il n’efl pas difficile de juger pourquoi *+-multiplié par —j-donne—fs puifque cela eft allez naturel 3 mais on a de la peine à comprendre pourquoi—h'par-—'donne —-, 6c — par •— donne -4-. C’eft pourquoi cesdetix cas ont be-foin d’être expliquez.
  - La raifon du premier cas eft que multipliant par exemple -, a—<b par d, l’on ne peut multiplier a par d fans que le produit ad ne loit plus grand qu’il ne doit être, parce que a ell plus grand que a?—b , 6c par con-jeqtient pour ôter ce qu’il y a de trop dans le produit ad, il Luit multiplier b par d , 6c ôter le produit bd de ad pour avoir ad—bd, qui elt conforme à la Réglé,
  - Et pour le faire voir par les nombres , multiplions 1.5 — 5 par 6. Or comme. 1 5 —^ 5 elL égal à 1 o , c’elt proprement 10 par G qu’il faut multiplier, 6c non pas I 5 par G , à moins que , félon la Réglé, Ion ne multiplie auffi 5 par G , pour en ôter le produit de celui de 1 5 par 6 5 mais comme le produit de —-5 , c’elt-à-dire, de 10 par G eft 6 0 , 6c que celui de 15-—5 par G eft y O1—'3 0 , qui elt encore égal à 60 , il s’enfuit que ce principe eft vrai.
  - A l’egard dudecond cas il paroît bien e'trange ; mais ce qui fait qu’on met—H , c’ell que les deux termes qui font précédez du figne —, donnant deux mulriplications négatives , par lefquelles on ôte plus qu’il ne faut , l’on eft obligé de mettre —J- au produit des deux termes qui ont le figne — , pour remplacer ce qu’on avoit ôté de trop. Par exemple , pour multiplier a—<b par a—b,je vois, après avoir fait la Réglé que du produit aa il faut retrancher —'2.ab, èc que retranchant plus qu’il ne faut de toute la quantité bb , il faut rendre à aacette même quantité bb en la liant à elle par Je figne *—fv
  - Pour le faire voir par les nombres, multiplions , par-exemple , 10—4, par 10—4, qui eft la même choie
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- - ' î-6 "N o u v b a u Cours
  - que.de multiplier 6 par 6 , puifque i.o— 4 eil éga!;à 6. Or c >m ii ; é par 6 donne 3 6, voyons II 10—-4 par .10-—4 produira 3 6 , je. dis donc d’abord 10 fois 10 font 10 05 10 par -—4 donne —-40 , & puis-«4 par «4-io donne -^*40, & —4 par —4—- donne—J-1 6 , & additionnant le tout, il vient 1 o o-—8 0—hi é. Or vous voyez que II Ton retranc!ioit-8o de 100 , il ne relie-roit que 2 o , qui ed fort éloigné de 3 6 j mais que H à 100 011 y ajoute 16 , Ion .aura 1.1 6 j d’où ayant.re-tranché-80 ,ii refie 46.
  - A VER T I S S E M E-N T.
  - .Pour donner une idée de la facilité que l’on a. de démontrer les.proportions de Géométrie par le moyen du calcul Algébrique-, j’ai cru qu’il étoit à propos avant .d’aller plus avant, de faire une application de la.Multiplication à la démon finition des proportions fuivantes.
  - PROPOSITION PREMIERE.
  - .Tbéoreme. *
  - •-(> 3. Le £>uzrrc de-toutes grandeurs exprimées par deux lettrespofitives, efi égal au Jïuarré de chacune de ces lettrest9 plus À deux .Refilangl-es-compris fous les même s lettre s.
  - Car fi l’on multiplie a -4*5 par a —j-5, l’on aura au pro-duit aa^Jr lak—\-hb y qui efl compofé des Quarrez aa 6c 55, & de deux Rectangles compris fous ,a & fo..us 5, qui font lab.
  - P R O P O ’SvL T I O N I J;
  - Théorème.
  - 64. Le Cube de toutes grandeurs pofitives exprimées par deux caractères ,efi égal au Cube du premier^plus au Cube du fécond, plus à'trois parallélépipèdes duJQuarré du premier par %e fécond > plus enfin a trois autres faraïlclepipedes du J)narré du fecond par le premier.
  - Car
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- - DIE Ml T H E M A TI QTJË. 'I 7
  - Car le quarré de a—\-b étant aa—\-zab—{-bb **/fi on le * Art. £3 : multiplie encore par à—|-b, l’on aura le cube a3—^aab^r 3 abb—\-b3, qui renferme a3 Cube de a 3 plus 3 aab,qui font , trois parallelepipedes du quarré aa par b 3 plus 3 ,
  - qui font trois autres parallelepipedes de a par le quarré . bb j plus enfin b3 Cube de b, nous nous fer virons de ceci dans la fuite pour démontrer les operations de la Racine . quarrée &. de la Racine.cube.
  - Rapine a—\-b Quar. aa—\-iab—\-bb
  - par a-\-b par a—\-b
  - aa-\-ab af - 2 aab—\~abb
  - -—t-ab—^bb -±t-aab~+iabb'-+b3
  - Quarré aa—t-zab'—frbb Cuoe a3—\-$aab—•J~}abb—|-b3
  - PROPOSITION Iil.
  - Théorème.
  - 6 Si Von a une ligne AB divifée égalemmt au point C, Fig. 7, inégalement au point D, je dis que le rectangle compris Jous *les parties inégales AD & DB, avec le quarré du milieu CD, efi égal au quarré de la moitié de la ligne AB, c ejl-k-dire, au quarré de AC ou CB.
  - Nous nommerons -AC ou CB a , CD ^ , ainfi DB fera -a—*3 8c AD,
  - .D E M ON S >T AAI ION.
  - . Si l’on ajoute à ADxDB (aa—xx) loquarré de CD
  - ( xx ) l’on pourra former cette équation ADxDB-+CD (aa—xx—\-xx ) =AC4 (aa) jxiifqii’efFaçant ce qui fe détruit, les deux membres de l’equation fe réduifent à a. C.Q.F.D. :
  - Corollaire. *
  - ï4.6» Il fuit de cette propofition que fi-une ligne efi: di- *
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- - 7*
  - rt- Nouveau Cours
  - vifée egalement & inégalement, que le quarré de la moitié de la ligne moins le quarré de la partie du milieu, effc égal au redangle compris fous les parties inégales, ce qui
  - eft bien évident, puifque AC—CD (aa—xx) rzADxDB ( aa—xx. y
  - P ICO P OS I TI O N IV.
  - Théorème.
  - 6 7.' Si l’on a me ligne droite AB , divifée également au point C, (jr quon lui en ajoute une B B , je dis que le refflan-gle compris fous la compofée des deux AE fous l'ajouté B B avec le quarré du milieu CB ,fera égal au quarré de la ligne CE, compofée de la moitié CB ^ de P ajouté BE.
  - Nous nommerons A.C ou CB a, CE x y ainfi.BE fera & AE, X •—jr
  - D'E M O N *S T R A T ï O K.
  - Il eft évident que II l’on ajoute au redangle dé AExBE {xx—aa ) le quarré de CB (aa) l’on pourra former cette
  - équation AExBE-+CB ( xx—aa—k-aajïzzCE(xx ) puif-qu’effaçant ce qui fe détruit, il vient xx'zzxx. G QjF. D.
  - G O R O L LAI R E.
  - € 8. iHuit de cette propofition que fi à une ligne divifée en deux également, l’on en ajoute une autre , que le quarré de la ligne GE compofé de la moitié de la ligne & de l’ajoûtée moins le quarré du milieu CB, fera égal au redangle compris fous toute la ligne AE , & la partie
  - ajoutée BE $ ce qui eft bien évident, puifque CE—CB^Z AExBE( xx'—'aa. )
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- - © E M A T H E M A T I QJCJ
  - PROPOSITION V.
  - Théorème.
  - 69. Si l'on a deux lignes, dont la première foit double de la fécondé ,je dis que le quarré de la première Jera quadruï pie du quarré~de la fécondé.
  - Démonstration,
  - Si de ces deux lignes la fécondé fe nomme a, la première fera za. Or multipliant za par za, l’on aura 4aa pour le quarré de la première ligne > de fi on multiplie a par. lui-même, Ton aura aa, & par confequent le quarré de la première ligne efl quadruple du quarré de la fécondé.
  - DIVISION DES QVANTITEZ ALGEBRIQUES .incomplexes (jr complexes.
  - 70. Pour divifer une quantité Algébrique incomplexe par une autre incomplexe , il faut écrire le divifeur au defTous du dividende, de faire une fouflra&ion, dont la différence fera le quotient. Par exemple , pour divifer
  - abb par a, l’on écrira—* *, de ôtant a de abb, on aura bb pour le quotientda raifon efl que multipliant le quotient bb parle divifeur a,l'on a abb9 qui efl égalau dividende jee qui prouve que la divifion efl bienfaite : car la preuve de la divifion Algébrique efl la meme que celle de la divifion Aritlimétique. Ainfi pour divifer bbrpar bb, l’on voit que. le quotient efl c , puifque le quotient c multiplié par le di-viïeur bb, donne bbc, qui efl égal au dividendes mais fi i’on rencontre des lettres dans Ile divifeur, qui ne fe trouvent, point dans le dividende,, qui empêchent quon ne puifTe faire la divifion réellement, on fait une fraéiion du dividende de du divifeur , que l’on regarde comme étant ,1e. quotient dela divifion. Ainfi fi l’on veut > par
  - Cij
  - *Art.;37:4
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- - i o N o u v ea u Court
  - exemple, divifer M par ce, on marque qu’on regarde
  - comme le quotient.
  - 71. Si quelques nombres precedent les lettres des quantitez Algébriques , que Ton veut divifer , on divife les nombres par les nombres , & les lettres par les let* très, & l’on écrit le coefficient des nombres avant les lettres. A in fi pour divifer 6ab par i a> l’on dit en 6-combien de fois 2 , on trouve 3 , & qui de ah ôte a refie b, & le quotient eft 3 b.
  - 7 2. Quand on divife une quantité complexe ou incomplexe , il faut que fi chaque grandeur1 a le même ligne «H- > ou le même ligne —», que le quotient ait le ligne —H & que fi l’une des grandeurs ^ le ligne —K & l’autre 4e ligne —, que le quotient ait le ligne —.
  - 7 3. Par exemple,divifant—H*£par—H*?le quotient fera H-A, parce que multipliant le divifeur —M par le quotient •—bb, le produit—[-ab efiégal au dividende 5 de même que pour divifer —ab par i—a, il faut que le quotient foit—f-b, parce que multipliant, le divifeur —a par le quotient Art. 59. —\-b , le produit fera —ab*, puifque —« par —1-donne —. Si l’on divife —\rab par —a-, le quotient fera h > parce que multipliant le divifeur •—<œ par le quotient-—by Art. 5?. le produit fera —\-ab, puifque- — par — donne —h.
  - par la même raifon fi l’ôn divifoit —ab par , le quo-
  - tient fera encore '—'b, puifque multipliant le divifeur par le quotient^ le produit efi—^.
  - 74. Pour divifer ab—+-ad par a, je dis qui-de ab ôtea refte b, que j’écris au quotient j &qui àead ôte a refte —fmd, qui étant écrit,à la fuite de A, donne b—|-d pour le quotient: & pour- avoir plutôt fait, il n’y a qu’à effacer dans le divifeur & le dividende les lettres qui le trouvent égales & autant de fois, ce qui reftera fera le.qnotientj faifant attention que ceci ne peut avoir lieu que quand le divifeur eft incomplexe.
  - 75. Quand le divifeur & le dividende contiennent plufieurs termes, on-difpoie la divifion à peu près comme celle des nombres.
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- - D l M'A T H Ê M A- T I <3tf Ë. '
  - yÜjrPar exemple,pour divifer aar-{-zab—\-bb par d— je pofe les premiers termes du divifeur fous les ' premiers termes du dividende , & puis je dis qui de aa ôte a, le quotient ell a, qu’il faut multiplier par le divifeur -b ppur avoir aa—\~ab *, qu’il faut retrancher dü dividen- * Art. €x\ de, en les écrivant à la fuite avec des lignes contraires *, * Art. 56, & le reliant fera aa-i-iab’^'bb^aa—ab, qui étant réduit , donne ab—^rbb *, & je continue la divilîon en di- * Art. 5^ fant qui de ab ôte a vient —3 que j'écris à la üiiée delà lettre que je viens de-marquer au quotient -, & multipliant-+•£ par le divifeur , il vient ab—\-bb, que j’écris encore à la fuite du dividende avec des lignes contraires*
  - &-le reliant efl ab—^hb—ak^bb~y qui fe réduit à o. Ainlî l’on voit que la divilîon elt exacte, piiïfqu’il ne relie rien*
  - & que le quotient ell a-+b.
  - 77. Pour divifer aa—^zab—i-bb par a^—b , je'dis qui de‘ aa ôte a vient —h^ au quotient, que je multiplie par le divifeur a'—b : donc le produit' eft aa—^ab * , que je re- * Art. tranche du dividende pour avoir le refont aa-zàb-i-' hb^-aa—|-ab *, qui étant réduit , donneab—\-bb * , que * Art. 5^ je divife encore pâr a—^b, en difant qui de ^ab ôté-q-Æ * A vient —-£au quotient, qui étant multiplié par le divifeur, ^ ^ le produit ell1—ab—hbb, & le retranchant du dividende, relie —^ab—b-bk-^-ab—bb , qui fe réduit ào j. ainlî le quotient ell a-^b.
  - 7 8.: Pour divifer aa^bb par a—\-b, je dis qui: de m.ote # vient—H? au quotient, qui étant multiplié par le di^ vifeur, 1 e produit ell aa-fc-ab •, le retranchant dii dividende, il relie aa-—bb—aa>—ab, qui e'tant réduit, donne -^bb^ab , ou bien 1—ab—bb , que je' divife encore par a—\-b, en difant li de —>ab j’ôte , le quotient fera qui étant multiplié par le divifeur, vient •—ab—bb5 qui étant retranché du dividende,: vient •—ab^bh-^-ab *b+bb3 qui fe réduit à o. Par confequent le quotient rell la^b 3 ce qui ell bien évident, püifque li l’on multiplie le divifeur a-\-b par le quotient #rrb > le produit fera aa*—bh égal au- dividende*
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- - '11
  - ^ Art.7^* * Dividende
  - Divifeur
  - Produit
  - Souftradion
  - Redudion
  - Divifeur
  - Produit
  - Souftradion
  - N.OUVJAU Cours
  - aa-+iab-+bh
  - a—{-b aa-b-ab
  - a a —J-1 ab—\-bb'—'fl>(Z'—~<£ib ab-+bb
  - a-^b
  - ab—\-bb
  - &btTrb°bb~-*ab~--bb^, o
  - * Art. 77. * Dividende ,.<**—.2, ab~±bb Ç ^0Mnt
  - Divifeur
  - Produit
  - Souftradion
  - Redudion
  - Divifeur
  - Produit
  - Souftradion
  - a—b
  - aa—'ab
  - aa— % ab-*-{-bb—aa—faâb ^ab-+bb( lZfm a—-b
  - '—sb—^-bb
  - -ab—i-bb—i-ab—bb'ZZp
  - * Art,.??. * Dividende aa—bb Ç ^uem
  - Divifeur a—\-b .Produit pa—^-ab Souftradion aa^—bb—<aa>—ah
  - Redudion -ab-bb(^ttM
  - Divifeur a—^b
  - Produit -—ab—<bb
  - Souftradion —ab^bh—^ak bb'zzç
  - A V E R T I S A E A4 E ;N X
  - .Nous n’avons point parlé des quatre Réglés ordinaires de PArithinétique j parce que nous avons ftippofé que i;çeux qui étudieront ce Traité, fçauront au moins,PA d-
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- - de Mathemati yu e-. 23
  - dkioü, la Souftraction , la Multiplication de la Üivifion des nombres : mais comme la plupart pourroient n’avoir aucune cannoilfance de la Racine quarrée, & de la Racine cube-, nous avons crû qu’il écoit à propos d’enfei-gner la maniéré de faire ces Régies fur ies nombres, afin de faire mieux entendre comme on extrait la Racine quarrée de la Racine cube des qüantitez Algébriques.
  - MANIERE D’ E X T RA IRE LA RACINE quarrée>
  - 7p. Pour trouver facilement la racine quarrée de quelque nombre qu’on puifife propofer, il faut au moins connoître les quarrez des chifres fimples. depuis' 1 juf-qu’à 10 , ainfi qu’ilsdont marquez dans la Table fui-vànte , ou les chifres fimples depuis 1 jufqu’à 1 o fe trouvent dans la rangée d’en haut , de les quarrez des mêmes chifres fe trouvent en bas immédiatement defious.
  - 1 • 1 = 1 5 j 4 | 5 1 6 j 7 | 8 | 9 | 10 j
  - \ 1 | + | 9 1 16 ] 25 | 1 36 i 49 ( 64 j 8 I | 100
  - Ainfi vous voyez què le quârré de 1 efi 1 j que le quaiv ré de 2 efi: 4, que celui de 3 efi: 9 5 celui de 4 elt 16, de celui de 5 efl: 2 5#; ainfi des autres.
  - 8o. Extraire la racine1 quarrée d’un nombre , c’éît chercher un autre nombre, qui multiplié par foi-même, produit un tout égal au premier nombre propofé 3 ou bien c’èffc trouver un nombre , qui étant •multiplié par foi-même, donne un produit qui approche le plus près qu’il efi: poffible du nombre propôfé. Ainfi extraire la racine quarrée de 2 5 , c’efi: chercher le nombre 5 , parce que ce nombre étant multiplié par lui-même, produit 2 5 3 de même qu’extraire la racine quarrée de 6 8 , c’eft chercher le nomme 8 , parce que ce nombre étant mulr tiplié par lui-même, efi: le plus grand nombre quarré qui puifife être contenu dans le nombre 6 8 ,
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- - ,a'4 '-N O U V E A U C O UR s
  - Pour extraire la racine quarrée des nombres qui ne font compofez que de deux figures, on pourra le faire par cœur, ou par le moyen de la Table precedente. Mais -il le nombre don-né contient plus de deux .figures , il Tant avoir recours a une operation qui fait tout lobjet delà racine quarrée, comme on le va voir.
  - Pour extraire la racine quarrée de i-5.67.il faut feparer les chifres de deux en deux, en commençant par la droite, pour avoir un nombre de tranches qui donneront chacune une figure pour la racine > ainfi ayant donc feparé 15,67 ( comme on le voit marqué ) je commence , pour en avoir la.racine quarrée , par dire, la racine quarrée de 1 9 eil 4 , que je pofe au quotient , de le quarré de 4 elh 6 , qui étant ôté de 15 relie 3.
  - Or comme la racine quarrée doit être compofée d’autant de figures qu’il y a de tranches dans le nombr e donné j pour avoir la figure de la fécondé tranche, je double celle qui eft provenue de la première tranche, c’çft-à-dire , 4 pour avoir -8 , qui doit me fer-vir de divi-feur, que je pofe fous le nombre-6 j en fuite je dis en 3 6 combien de fois S , il. .y. eft 4 3 .& pofant 4 au quotient, & le même 4 fous le nombre 7 à côté de 8 , je multiplie les nombres. 8 4 par la fécondé figure que je viens de
  - pofer au quotient, en difant 4 fois 4 font 16 , qui ôté de 1 7 relie 1 de retient 1 , de puis ^?fois 8 font 3 2 , de 1 qjue j’ai retenu font 3 3 , qui ôté de?6 refte 3 : après quoi je vois que la -racine eft 44, de qu’il relie -31.
  - ' 8z. Pour extraire la racine quarrée de 2.578 , je fé-pare les chifres de ce nombre de deux en deux , pour avoir encore deux .tranches 3 e’eft-à-dire,, pour avoir (25178) de puis je dis cgmme ci-devant 3 la racine quarree déa ^.ell 5 , que .je pofe au quotient, de ^ fois 5 font .2 5 , qui ôté de 2 5 refte 4.
  - Pour avoir la figure de "la'fécondé tranche-je double 5 pour avoir 1 o , que je pofe fous 4 de fous 7 3 en plaçant o fous 7 , de. en avançant 1 ions 4 5 après quoi je cib en.
  - 4 combien de fois 1 , ài je vois qu’il y eft 4 que je pofe
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- - DE - MaTHEMAT I Q^CJ £. 2 5.
  - au quotient, de puis fous Je 8 à côté du o, & multipliant par 4 ce que j’ai pofé fous le nombre donné , je dis 4 fois 4 font 16 , qui ôté de 1 8 relie z de retiens 1 , de puis 4 fois ~o eft o, & 1 que j’ai retenu font 1 , qui ôté de 7 relie 6 , de 4 fois 1 font 4, qui ôté de 4 relie o : ainii la racine quarrée de z 9 7 8 eil 5 4 , de il relie 61.
  - o
  - Art. 81. *011 [44 Art. 8z. #61
  - M z$h%( 54 '
  - i H
  - 8 3. Tour extraire la racine quarrée de 8 6 75; 7 z je fé-pare les chifres de deux en deux , commençant de la droite à la gauche, & je dis, la racine quarrée de -8 6 ell -9 , dont le quarré eft Si, qui étant ôté de 8^ relie 5.
  - 8 4. Et pour avoir le divifeur de la fécondé tranche, je dis z fois 9 font 18, je pofe 8 fous le 7, & j’avance .1 fous, le . 5 , de je dis en 5 combien de fois 1, je trouve qu’il 11e peut y être que 3 fois : je pofe donc 3 au quotient, que je place audi fous le 9 à côté du 8 3 & puis je dis 3 fois 3 font-5) ,qui ôté de 9 relie rien 3 3 fois 8 font Z4, qui ôté de Z7 relie 3 , de 3 fois 1 font 3 , de z ,-quej’ai retenu font <5 , qui ôté de 5 relie rien.
  - 85. Or- pour, trouver, le divifeur de la troifiéme tranche je double les deux ligures qui font au quotient, en difant, z fois 3 font 6 , que je pofe fous - la première figure de la troiliéme tranche , ôc puis z fois 9 font 1 8 , de je pofe 8 fous la fécondé ligure de la fécondé .tranche, c’ell-à-dire, fous 9 , de j’avance, 1 fous le 7.., de puis Je dis en 3 combien de fois .1 , je trouve qu’il ne peut y être qu’une fois, je pofé 1 au quotient, de fous-la leconde figure de la derniere-tranche : enfuite je multiplie , en dm fantj-i fois i-elt.-i , qui ôté de z refte i.,de 1 fois 6 ell .6 , quiôté de~7 relie fois-S ell 8 , qui ôté de 10 relie z. &.retiens-i , de 1 fois 1 eft 1 , de 1 que j’ai reT tenu..font .z,, qui ôté de 3 relie 1 : après quoi je trou-
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- - i6 Nouveau Cours
  - ve que la racine eft 5?3 1 , 6c qu'il refie mu
  - Art. 83. 6c 84.
  - r
  - 8$
  - ;c
  - 83
  - 72(P3
  - Art. 85
  - 31 5
  - H
  - 8 6. Pour extraire la racine quarrée du nombre «>751562$ , je'fépare les chifreS de deux en deux, en commençant de la droite à la gauche, 6c je dis la racine quarrée de 577 efl 2, que je pôle au quotient j puis 5? fois 2 font 81, qui ôté de 97 relte 16.
  - S7. Pour avoir le divifeur de la fécondé tranche,je dis 2 fois 2 font 185 ainfi je pofe 8 fous le .5 , 6c j’avance 1 fous le 7 j pour dire en 1G combien de fois 1, je trouve qu’il ne peut v être que 8 fois j ainfi je pofe 8 au quotient, 6c je le place aufli fous la fécondé figure de la fécondé tranche, 6c je multiplie en difant 8 fois 8 font G 4, qui ôté de 71 relie 7 6c retiens 7,6c puis 8 fois S font 64,6c 7 que j’ai retenu font 71 , qui ôté de 7 5 relie 4 6c retiens 7,6c 3. fois 1 font, 8 6c 7 de retenu font 15, qui ôté de 1 G refte 1.
  - 8 8. Pour avoir le divifeur de la troifiéme tranche , je double 5? 8 du quotient, en dilant 2 fois 8 font 1 6,6c je pofe G fous la première figure de la troifiéme tranche 6c retiens 1 , 6c 2 fois font 1 8,6c 1 que j’ai retenu font I 2 , 6c pofant 2 fous la fécondé figure de la fécondé tranche, 6c 1 fous la première, je dis en 14 combien de fois 1 , je trouve qu’il ne peut y être que 7 fois, je pofe
  - 7 au quotient, ôc je le place àuffi fous la fécondé figure de la troifiéme'tranche, 6c puis je multiplie, en difant 7 fois 7 font 42 , qui ôté de 5 G relie 7 6c retiens 5,7 fois G font 4 2 6c 5 de retenu font 47 , qui ôté de 5 5 relie
  - 8 6c retiens 5., 7 fois 2 font G 3/, & 5 de retenu font G 8, qui ô é de 7 7 relie 5? 6c retiens 7 5 6c 7 fois 1 font 7,6c 7 de retenu font 14, qui ôté de 14 refte o.
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- - DE M ATHEM A TI.QU.t 2 7-
  - 89. Enfin pour trouver le divifeur de la quatrième tranche, je double les figures que j’ai pofées au quotient, en dilant 2 fois 7 font 14, je pôle 4 fous U première figure de la quatrième tranche, de avançant les autres comme à l’ordinaire , je dis 2 fois 8 font 16 , & 1 de retenu font 17, pofe 7 & retiens 1,. & 2 fois 9 font 18 , de 1 de retenu font 19 , je pofe 9 & avance 1 , qui le trouvant fous le 9 qui eit relié, je dis en 9 combien de fois 1 , je trouve qu’il n’y peut être que cinq fois jainfi je pôle 5 au quotient, aulli-bien que fous là -fécondé figure de la derniere tranche , ôc je dis 5 fois 5 font 2 5 , qui ôté de 2 5 relie o de retiens 2 , 5 fois 4 font 20 ,
  - 6 2 de retenu, font 2 2, de 22 relie, o de retiens 2*5 fois,
  - 7 font 3 5 , de 2 de retenu font 37 , de 3 7 .reile o ;&retiens 3 , 5 fois 5 font 45 , & 3 de retenu, font 48de 48 relie o de retiens 4, &: 5. fois 1 font 5. :de 4 de retenu', c’clf 9, de 9 relie o ; ainfi je vois que la racine quarrèe de 97 5 j 5 6 2. ^.eft jullement 5 87 5 ,.puifqu’il ne relie rien.
  - Art. 87.
  - 47,5
  - |^,5éU5|?8
  - Art. 8 S.
  - I0C|
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  - H\
  - Art. 85.
  - N.
  - Sissjk k'IfiH
  - 2 ai
  - 5?o. La preuve fe fait en quarrant la.racine.que l’on a trouvée, de en ajoutant au produit lès-nombres qui-fonr reliez , .car la fomme doit faire une quantité; égalé au nombre donné. Par exemple , pour fçavoir li l’on a bien fait l’operation de la première-Réglé,"je quarre la racine 44 pour avoir le produit r<? 3 6 , auquel rajoutant 3 r qui font reliez en fa fiant la Réglé, je trouve 19 6 7 , qui ell égal au nombre donné! r , ’ > . .
  - ..De. même pour Ica voir li je 11e me fuis pastrompé dans
  - Dij
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- - iS Nouveau Cours
  - la troilîéme F^egle, je quarre la racine 531 pour avoir Je produit S 66 76 1 , auquel j’ajoâte 1 2 1 1 3 qui iont reliez , & comme le tout fait S 6 75 7 2 , je conclut! que l’operation a été bien faite.
  - MANIE RE D'A P PR O CHER LE PS PRES
  - quil efl pofjible de la racine d’un nombre donne' par le moyen des Décimales.
  - 9.1, Comme le principal, ufage de la racine quarrée dans la Géométrie, fur tout dans la Géométrie Pratique* ell de trouver en nombre le côté d’un quarré égal a une quantité de toifes ou de pieds quarrez, il ell neceffaire pour agir avec plus de précifion , d’approcher le. plus près qu’il ell polhble de la racine qu’on cherche,en fai-fant en forte que les reflans foient de li petite confe-quence , qu’on puilfe les regarder comme de nulle valeur. Pour cela voici ce qu’il faut fuivre.
  - Si l’on veut avoir la racine d’une quantité de toifes quarrées, il faut fuppofer que la toife courante eft di-vifée en nulle petites parties, que l’on nomme décimales 5 par confequent la toife quarrée fera de 1000000 , qui eft le produit .de 1000 par 1000. Or fi l’on a , par exemple, à extraire la racine quarrée de 865 toiles, je multiplie ce nombre par 1000000 pour avoir 865000000, do'nt j’exltrais la racine, que je trouve de 25478 , que je regarde comme la racine politive, parce que je négligé les reltans, comme étant d’une très petite valeur.
  - 5 2. Mais comme cette racine eft exprimée en petites parties, pour fçavoir combien elle contient de toifes , je la divife par ioco , valeur de la toife en petites parties, & je trôuve 25 toifes ,fur quoi il relie 478 peti-tites parties, dont je trouverai la valeur , en faifant ce raifonnement : fi ioqq valeur de la toife courante en petites parties,m’a donné 6 pieds pour les parties ordinaires delà toile, qui me donneront 478 ( petites parties de la toife ) pour les parties de la toife ordinaire, la
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- - DE Ma TH EMATI Q.U E. X ÿ.
  - Règle étant faite, je trouve 2 pieds io pouces 4 lignes 11 points jainfi la racine quarrée de 8 6p toifes, elt 15) toiles 2 pieds 1 o pouces 4 lignes 11 points.
  - Si Ion vouloit trouver la racine d’un nombre de pieds quarrez , on pourra, pour abréger , fuppofer le pied courant divifé en 100 parties 5 par confequent il faudra multiplier les pieds quarrez dont on veut avoir la racine par 10000 , 6c on fera le relie comme ci-de-vant.
  - p 3. Si l’on a une quantité compofée de toifes, de pieds,, de pouces , comme , par exemple, 24 toifes-, 3 pieds, 9 pouces, pour en extraire la racine quarrée, il faut réduire 3 pieds p pouces en petites parties , 6c cela en confiderant le rapport que 3 pieds p pouces ont avec la toife : ainft comme trois, pieds ell la moitié de la toife, ils vaudront donc la moitié de 1000000 , c’ell-à-dire, 500000 , 6c comme 9 pouces eft le quart de 3 pieds, 5) pouces, vaudront donc le quart de 5 00000 , c’e/t-à-dire ,125000. Or mettant la valeur de 3 pieds 6c celle de 5? pouces dans une lomme, l’on aura 625000, 6c 11 l’on multiplie, comme ci-devant, 24 toifes para 000000, l’on aura 24000000 pour les toifes réduites en petites parties : à quoi ajoutant 625 000 , l’on aura 24625000 pour les 2 4. toiles 3 pieds 5? pouces , réduites en petites parties, dont la racine quarree efl 4576 2 , 6c cherchant, la.valeur de cette quantité , en-la divifant par 1 o006c en faifant une réglé de trois pour connoître la valeur des reltans-, je- trouve que la-valeur de 24 toifes , 3 pieds, pouces, elt 4 toifes, 5 pieds, <) pouces, 3, lignes 2 points.
  - MANIE RE Dy E XTRAIR E LARA CINE * quarrée des quantités» Algébriques.
  - 5)4. Comme il ne fl rien de plüsaifé que d’appercevoir la racine quarrée d’une quantité incompîexe, nous n’en parlerons pas-ici , ahn de nous attacher feulement aux quantitez complexes, parce que l’on eft'fou vent obligé
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- - 3 O "N o u v E AU ' C O IT Ri S
  - pour trouver la valeur d’une Inconnue y de fe fervir de la
  - racine quarrée.
  - Pour extraire la racine quarrée de aa—h 2 a&—hM> il v Art. 45. ^aLlt dire, la racine de aaeh a, * qu’il faut pofer au quotient , 8c l’ayant multiplié par lui-mème, il vient aa, qu’il •Art.5*. faut fou llr airede la'grandeur donnée,* & il relie 2ab —b-hb i enfuite il faut doubler a, ÔC diyifer le relie par. iaf l’on trouvera qu’il vient-4=^ au quotient, qu’il faut ajouter avec.Je divifeur ,xa pour avoir .,ia—f-4, qu’il faut multiplier,;enfuite par b , & le produit eil zab—^-bb, qu’il faut fouilraire de ce qui relie de la quantité donnée 5 8c comme il ne relie plus rjen, l’on voit que la ra-, cinedemandéeell œ~\-b.
  - Pour, voir li l!on a bien fait l’operation y il n’y a. qu’à quarrer la-racine qub:i a trouvée comme on a fait pour les nombres j 8c file produit ell égal à la quantité donnée,
  - . ce fera une preuve que la réglé eil bien;faite.
  - 5? 5. Pour, extraire ...la racine quarrée de aa-~*iab—rbbbi -, il faut direla racine quarrée de aa e(ha, qu’il faut pofer au quotient s enfuite bter le quarré de a de;-la quantité donnée il relie—2ab-J-bb, quil faut divifer par , & il vient —b , parce que -— divifé par —4- donne — : après cela: il faut ajouter —b -au divifeur pour avoir *4-24—b, qu’il finit multiplier par —b y & .il vient <—<1 ab^rk-bb, qui étant retranché de-—.2ab~^\-bb .,relie,qj par confequent la racine ell a^r-b, parce que. multipliant . .a—b par lui-même ,.il ..vient aa-r~. 2 ab~y\-bb.
  - 96. Quand on pe peut pas extraire réellement-la racine quarrée d’une quantité Algébrique., qn l’extrait par : indidion, i’011 fe fort de ce car acte te y, qu’on appelle
  - ligne radicaly auquel 011 joint Texpofant de-, la puilÉnce dont on-veut extraire la racine. Par exemple, fi.c’eHune
  - ..a
  - ;;racine quarrée, i’011 marquerai, 8c fi c’efoune-racine
  - ; cube K, & l’on tire un petit trait audelTus, qui embralfo
  - ; les termes de la quantité dont on .veut extraire, la r-acine. % ,-----------------------
  - >Par .exemple, \/aa—\-cd'-~dd~drC‘—+g lignifie qu’il, faut,ex-
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- - &e Mathématique, 31
  - traire la racine quarrée des trois termes aa—^-.cd—dd, parce qu’ils font embradez par le trait qui accompagne le ligne radical ; car pour les autres termes au defius def-
  - quels ce trait ne pafle point, racine.
  - Art. 94.
  - aa-^-iab—f-bb ( a a&—raa—\-zab—|-bb îab—t-bb ( a—\-b
  - 1 a
  - rab—\~bb xab—\~bb
  - iab—\-bb—<2 ab—ébzzo
  - il n’ed: pas quefiion de leur
  - Art. 95*'
  - —> 1ab —1-bb ( a aa—a a-—iab—~{-bb '—'iab—f-bb ( a—b
  - '—~iab—*\-bb 'lab—h bb
  - —'iab—\-bb —\-idb—bbzz.<S
  - DEMONSTRATION DE L A R A C 1 NE
  - . quarrée.
  - 5 7; Pour démontrer les Réglés precedentes , nous extrairons la racine quarrée d’un nombre , par exemple , de 676 , 6c nous ferons voir la raifon de chaque operation.
  - Pour extraire la racine quarrée de 676 , après avoir féparé les figures de deux en deux , je commence par dire,, la racine quarrée de G efl: 2 , ou autrement la racine quarrée de 600 efl 20 , à caufe des deux nombres qui font fur la droite du G , 6c qui le font valoir 600 3 ainfi je pofe 2 au quotient avec un point à coté, qui tient lieu de la fécondé figure qui doit venir au quotient, 6c qui fera que 2 vaudra 20 j ainfi retranchant le quatre de 2 , qui efi 4 de G , c’efi tout comme fi je retranchois le quarré de 20 , qui efi: 400 de G00 : c’efi pourquoi d’une façon comme de l’autre il me refte 2. Cela pofé ? l’on fçait encore que félon la Réglé il faut doubler 2 , ou autrement doubler 20 pour avoir 40 , qui doivent ier-vir de divifeur j car fi l’on met un petit point fur la droite du 4 au defious du G , il fera que 4 vaudra 40, 5c après avoir trouvé ce divifeur, je dis, en 17 combien de
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- - 3 Z -No U' VEAU Go U R s
  - fois 4, je trouve quil y eft.d , & pofant le G au quotient, & à côte' du . 4 , je dis. 6 fois 6 font 34 , qui ôté de 3 G refie o & retiens 3 , & 6 fois 4 font 2 4 , &c 3 de retenu font 27, de 27 il ne réflexion j.ainli la racine efl iG. Mais par d’art. 63, le quarré d’une grandeur compofe'e de deux quantitez efl égale au quarré de chacune de ces quantitez , plus à deux reclangles compris fous ces mêmes quantitez: ainfï le quarré de 2G , omau-trement de 2 o &; de- G fera donc compofé du quarré de 70, qui efl 400, du quaré de G , qui efl 3 G , 6c de deux rectangles. compris-foLts 20 Sc fous G. Or comme nous avons ôté de GjG d’abord le quarré de .20. , enfuite le produit de 40 par- G , qui efl la même chofe que deux reclangles compris lous 2 o Se lous G , Se outre cela le quatre de 6 , il s’enfuit donc que l’on a ôté dtr nombre donné les grandeurs qui competent le quarré de la racine 2 G , Se que par confequent la racine de G J G efl 2 G, puifqu’il n’eft rien relié de la fou lira ilion qu’on a faite.
  - Mais fi au lieu de deux tranches il y en avoit trois ou davantage, la démonflration ferait toujours la même, parce que l’on regarderait les nombres que l’on a trouvez au quotient de la première Sc -de ' la fécondé tranche, coramene faifant qu’un terme de la racine, fup-pofant toujours tin .0 a la place du fécond terme :.c’efl pourquoi on le double pour avoir le terme d’après , que l’on regardera comme " le fécond terme de la quantité qui doit compofer la racine. Ainfï ayant trouvé 430 pour la racine des deux premières' tranches de 1 S G 749, je regarde 430 comme étant le premier-terme delà racine j Se comme j’en ai* déjà fou lirait le quarré, qui efl 1 84900 du nombre donné, je double 43 o pour avoir le fécond terme , qui fera -1 ,-«& pofant 1 à la place ordinaire, j’ôte fon quarré de la quantité donnée rSc je multiplie 8 60 3 qui efl le double de 43 o par 2 ,.pour fou-dira ire de la quantité donnée un produit; égal aux deux xeclangles compris fous 43 o & fous 2. Ainfï l’on voit -que- [opération de trois, tranches, ou plus., étant la même
  - .que
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- - DE M A ,T H E M A TI QJJ.E. 5 3
  - <que celle que l’on fait pour deux tranches.,1a démonllra-.tion que nous avons donnée pour deux tranches 3 fera generale pour toutes les autres.
  - MANIERE JÏ EXTRAIRE LA RACINE
  - Cube.
  - 9 8. Extraire la racine cube d!un nombre , c’cft trou-tver le côté du plus grand cube qui peut être contenu dans le nombre. Par. exemple , extraire la racine cube de 2 34, c’ell trouver le nombre 6 , qiiieft le côté du plus grand cube, qui peut être contenu dans ,2345 car ôtant Te cube de 6 , qui ell 2 1 6 , de 2 3 4, je vois qu’il relie 1 8,
  - , .& que la racine du nombre donné ell 6 i de même je vois que la racine cube de 519 ell 8 , parce que le cube de $ ell 51 2 , qui-ell le plus grand .cube qui peut être contenu dans ) 19 .
  - L’on trouvera de mêmela racine cube de tous les nombres qui ne feront compofez que de trois ligures ayant .recours feulement à la Table luivante , qui contient les cubes des nombres depuis 1 jufqu’à 10,
  - I - i 2 1 3 i 4 1 5 | 6 j 7 1 S 1 9 1 IO 1
  - \ t -1 8 | 27 ( 6 4 j i 2 5 j2 16 i 3 4-3 [ j 1 i j7 Z9 | IQQQ |
  - ?qu’il ell necelfaire d’apprendre par cœur, afin d’apper^ revoir d’abordie plus grand cube qui peut être contenu .dans un nombre donné.
  - P R E MI ER ExEMPL E-
  - Mais pour extraire la racine cubique d’un grand nombre, comme de S 143 9 , il faudra déparer lés figures de trois en trois de la droite à la gauche, pour avoir un nombre de tranches comme à la racine quarrée, operer ;de la maniéré fuivante.
  - Je commence par extraire la racine cube de la premie-ie tranche 3 eu difant: le côté du plus grand cube qui peu):
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- - 34 Nouveau Cours
  - être contenu dans 8 i eft 45 c’efî: pourquoi je pôle 4 ait' quotient, 6c je fouflrais fon cube, qui effc 64 de 8 1 , 6c il relie 1 7 3 & comme dans la racine cube , aufîi-bien que dans la racine quarrée, il doit venir autant de figures au quotient qu’il y a de tranches dans le nombre donné. Pour trouver la figure de la fécondé tranche, voici de la maniéré qu’on doit opérer,
  - ï ? l43 5>(4 '
  - Jk
  - 1 6 3
  - 48
  - II faut quarrer fur un bout de papier le quotient de la première tranche , c’eft-à-dire , 4 pour avoir le quarré 16, qu’il faut multiplier par 3 pour avoir ^ 4 8 , qui doit fervir de divifeur pour trouver la figure de la fécondé tranche, je pofe 8 fous la première figure 4 de la fécondé tranche, 6c j’avance 4 fous la derniere figure de la première, puis je dis, en 1 7 combien de fois 4, il y eit trois fois 3 ainfi je pofe 3 au quotient,6c un autre 3 fous la derniere figure du divifeur 3 pour multiplier le divifeur 48 par la figure que je viens de trouver, je dis donc: 3 fois 8 font 24 , je pofe 4 6c retiens 2 , 3 fois 4 font 1 2 , 6c 2 de retenu font 14, je pofe 4 6c avance ï , 6c après la multiplication faite j’efface le divifeur 48,6c le multiplicateur 3 s parce qu’il lieneflplusqueftion,
  - J7| 17
  - 435> (43
  - 418 41S
  - ' *
  - A 144
  - Après cela il faut quarrer la fécondé figure du quo tient, 6c tripler fon quarré 9 pour avoir 2 7 , qu’il faut multiplier par la première figure 4 du quotient pour avoir ro 8-, qu’il faut poler fous le produit A, en avançant d’une
  - figure iur la droite.
  - 27
  - 4
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  - 2-7
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- - de Mathématique. 35
  - ^nrin il faut cuber 3 , c’efl-à-dire , la fécondé figure du quotient, 8c pofer fon cube 27 fous le produit B, en avançant d’une figure fur la droite.
  - Prefentement il faut ajouter enfem-ble les trois produits A , B, C , pour avoir le nombre D, qu’il faut fouflraire de ce qui efl refié du nombre donné, après que l’on en a eu ôté le cube de la première tranche , c’efl-à-dire , qu’il faut fouflraire 1 5507 de 17437 , 8c la différence E, qui efl 15? 3 2 , fera le refiant du nombre donné 81435?, après en avoir extrait la racine, qui efl 43.
  - 11 efl à remarquer que..fl le nombre Dfe trouve plus grand que le refiant' de. la quantité donnée , après en avoir ôté le cube de la première tranche, c’eft une preuve que la fécondé figure que'l’on .a trouvée efl trop grande, 8c que quand la prèmiere figure du nombre du refiant , après en avoir fouflrait le nombre D, ne s’évanoiiit pas, que c’efl prefque toujours une marque que la fécondé' figure q.u on a pofée au quotient efl trop petite»
  - Second Exemple.
  - 17 435>(43 ï
  - A 144
  - B 108
  - C 27
  - D M5°7
  - E 1-53*
  - Pour extraire la racine cube de 14 8 o 8 9 , je fépare les chifres qui me donnent encore deux tranches,& je dis 5 la racine cube de 148 ell 5 , dont le cube efl 1.25,, qui qui étant ôté de 148, refie 23.
  - 23|
  - ^'085? (5
  - Pour- trouver la figure de la fécondé tranche, je quarre 5 pour avoir 2. 5 , qui étant triplé don-ne. 7 5, que je pofefous le nombre don- <23 né pour me fervir de divifeur, 8c je dis *4# en 2 3 combien de fois 7 ,il y ell 2 , que 7 je pofe au quotient.
  - Eli
  - 08^(5:
  - 5
  - 5
  - 5
  - 25
  - J?
  - 75
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- - No U Y 1 AU G O Ü R s-
  - J-fi
  - Je multiplie après cela le divifeür 7 5 *4# 089(5»
  - par la figure 2 que je viens de trouver, 1] jp qui me donne le produit F» g
  - F 150
  - Après cela je multiplie la fécondé figure par elle-mê me , qui donne 4.pour fon quarré,
  - <jue je triple pour avoii* 12 , qui étant multiplié par la première fi-
  - *3
  - gure 5 , donne 6 o au- produit, que je pofe à l’endroit G fous F, en avançant- d’üne figure fur la droite*
  - 0857(52
  - 5
  - Z-'
  - 150
  - 60
  - 4 : j
  - 1 Z
  - 60
  - , & je mets
  - h ?
  - Z
  - Enfin pour dernière' operation , je cube 2 le produit 8- fous G à l’endroit H , en avançant d’une figuré-fur la droite , & additionnant après cela lès trois produits F, G, H , jote la forame X de 2 3 à 157 , -&r-il vientdë reftaût K j ainfi la racine cube dé 14.8 o 8 9 eft 5 2 , & il relie 748i.
  - Pour fçavôir fi l’on ne s’eft pas tfompé-en- faifant la réglé, il faut cuber la racine 5 2 , ou toute autre que l’on aura trouvée, & ajouter au produit 140 6 o 8 ce ré fiant K , q ui eft 7 4 8 1 : fi la lomme 14 8 0 8 57 eft égal au nombre donné, il s’enfuivra que la réglé eft bonne.
  - F 150
  - G éo
  - H 8
  - I 15608
  - K 74-81
  - Trois i e’m e Ex em p l e.
  - Pour extraire la racine d’un plus grand nombre, comme de 5> 5? S £.5 243.;, je fépare les chiffes de 3 en 3 , ce qui me-donne troistranchesi & comme il faut opererfur la première & la fécondé de la même maniéré que dans les réglés precedentes, je fais abftr adion de la troifiéme
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- - 37 que je
  - 35 4 6
  - m 8651243(46 4 6
  - 4 8 I 6 36
  - G 3 3
  - 48 r 08 4
  - 432
  - 216 43 3
  - 33336
  - L 1515
  - DE-Ma TH EMATI QJJ'E. tranché, & j’extrais la racine cube de 5 5 S G 5 trouve être 4 G , fur quoi il relie 2 5 25;. Or comme la première & la fécondé tranche ont donné les figures 4 & 6 au quotient. Pour trouver celle- de la troifiéme tranche j voici comme il faut operer.
  - Je joins fur la droite de
  - 2 5 2 5 reliant des deux pre-
  - mières tranches les nombres 243. de1 la troifiéme _____________________________
  - tranche pour avoir 2515243,
  - qui efl le reliant total , auquel je cherche un divifeur, pour qu’il me donne la figure de la troifiéme tranche.
  - Pour le trouver je quarre 4G pour avoir fon quarré 21 1 6 , que je triple pour avoir 6 348 , qui efl le divifeur que je cherche 3 ainfi je divife donc le reliant L par 6348 , en di-faîît en 2 5-combien de fois 6, je trouve qu’il y ell 3 fois 5 ayant- N 15 04 4
  - donc pofé 3 au quotient à côté --------------
  - dés deux autres figures, je multiplie le divifeur M par le même
  - 3 pour avoir le produit N.
  - Après cela je quarre 3 pour avoir le quarré 5 , que je
  - triple pour avoir 27 , que je multiplie par la première & la fécondé figure du quotient , c’ell-à-dire , par 46 , & le produit me donne 1242 , que je pôle lous le nombre N à l’endroit O, en avançant d’une figure fur la-droite/
  - Eîij
  - L 252524*3(465' M 634S 1
  - 3
  - 4<5 __46
  - 276
  - 134
  - 211 6 3
  - 6348
  - 3
  - L 2525143(463 3
  - M 6348 9
  - 3 3
  - N 19044 27 4,6
  - O 1242 162 1 08
  - , • '
  - 1243
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- - 3S Nouveau Cours
  - Enfin je cube 3 & je pofe le produit 2 7 fous le nombre O à l’endroit P, en avançant d’une figure fur la droite, & j’ajoute comme ci-devant les trois produits N,O,P, pour avoir la fom-me Q^, que je retranche du nombre ’L , & la louftra&ion étant faite , la différence 6113 9 6 eft le refilant du nombre donné 9 9 8 6 514 3, après en avoir extrait la racine, qui elh 4-6 3.
  - L 2529243(463 3
  - M 6348 3
  - 3 9
  - N 19044 3
  - O 1 242 27
  - P 27
  - O. 1 916847
  - R 612396
  - Si au lieu de trois tranches, il y en avoit quatre, l’on trouveroitla figure de la quatrième tranche en quarrant les trois figures du quotient, & en multipliant le quarré par 3 , qui donnera un produit qui fervira de divifeur. Il en fera de même pour cinq, fix ou fept tranches, &c.
  - MA NIE RE D'APPROCHER LE PLVS PRES
  - qu il ejl pojjible de la racine cube d'un nombre donne'par le moyen des Décimales.
  - 9 9. Suppofant la toife courante divifée en 1000 par-* tîes, c'eft-à-dire, en décimales, comme à la racine quarrée , la toife quarrée fera encore de.1000 o 00, & par confequent-la toife cube fera de 1000000000.. Or pour nous fervir des décimales dans la racine cube comme dans la racine quarrée, il faut pour trouver la racine cube la plus approchante d’un nombre donné, le multiplier par 1000000000 , & extraire la racine cube du produit. Ainfi voulant extraire la racine cube de 6 5? 4, je multiplie ce nombre par le précèdent pour avoir 6574000000000 ,dont j’extrais la racine cube qui fe trouve de 8 S 9 5 petites parties, que je dïvife par 1000 pour avoir des toifes 5 ainfi je trouve que la racine eft 8 toifes s & quelque chofe que je trouverai en cherchant la valeur de 8 9 5 en pieds , pouces , lignes, 6cc. pour cela je fais une réglé de 3 en difant 3 fi 1000 m’a donné
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- - de Mathématique. 3^;
  - 6A pieds $ combien me donneront 8 9 5 , après avoir fait la régie, je trouve 5 pieds 4 pouces 5 lignes 3 points & ^ de point j ainfi la racine; cube de 69 4 eft 8 toifes, 5 pieds 4'pouces 5 lignes 3 points , & - de point.
  - 100. Mais fi Pon vouloit extraire la racine cube d'un nombre de toifes, pieds, pouces, lignes., cubes, il faudra réduire les pieds , les pouces, les lignes en décimales , eri confiderant le rapport que ces parties ont avec 1600000000, & faire pour la racine cube ce qui a été erifeigné à Poccafion de la racine quarrée pour les pieds, pouces, lignes, quarrez, &c.
  - MÀNIE RE D’EXTRXIRÉ L A RACINE CVBE des littérales.
  - 101. " Pour extraire la racine cube de a1—b^azb -4-3 M-4- b*, il faut commencer par extraire la racine cube du premier terme æ3, qui eft a *, qu'il faut pofer au quotient j enfuite ôter le cube de a de la quantité donnée : après cela il faut quarrer a ,Sc en tripler le qüarré pour avoir 3 aa , pour fervir de divilèur ; ainfi Pon dira 3 àab divifé par 3 aa, donne —\-b* au quotient,• après quoi il faut multiplier le divifeur 3 àa par b , & le produit fera 5aab, qu'il faut ôter de la quantité donnée : enfuite il faut quarrer b, multiplier ce quarré par la première lettre a qu’on a trouvée au quotient, tripler le produit^ pour avoir ybba, qu’il faut encore fouftraire de la quantité donnée 5 enfin il faut cuber £,.& ôter encore le produit b3 de la quantité donnée, 8c Pon verra que la rédu&ion generale fe réduit à o ,8c que par confe-quent la racine cube que Pon a demandée eft ^—fc b.
  - Pour être afluré de la juftefte de cette réglé , il faut cubera—&. fi le produit eft égal à la quantité donnée avec le reftant , s’il y en a , c’èft une preuve que' Poperatioii eft bonne.
  - * Âtt.
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- - $9 'Nouveau Cou us
  - aab-+$abb~4~b3 (a 3 aah-^^abb—^-b1 (a—^-b
  - 3
  - $àbb
  - b*
  - J- $abb—±- b3 ~-iaab*—$abb'—b3
  - •DEMONSTRATION DE LA RACINE CVBP.
  - 10 2. Pour démontrer la racine cube, nous ferons voir les raifons de chaque operation qu’il faut faire pour tirer la racine d’un nombre , comme de 9 7 3 36 , en -fup-pofant feulement qu’on eft bien prévenu dé ce qu’on a dit dans l’art. 64. que le cube de toutes les grandeurs compofées'de deux termes, eft égal au cube du premier .terme, plus à trois parallelepipedes fous le quarré du premier & le fécond, plus à trois autres parallelepipedes fous le quarré du fécond & le premier, plus enfin au cube du fécond. '
  - Pour extraire la racine cube du nombre donné, je fé-pare les chifres comme à l’ordinaire , & puis je dis j la racine cube de 57 eft |, dont da, jja&W cube eft 6 4, qui étant fouftrait de 97 , refté 3 3. Mais comme le 4. que je viens de pofer au quotient, doit être accompagné d’une autre figuré, à caufe qu’il y a deux tranches àu nombre donné 3 il s’enfuit que ce 4 doit valoir 40 , & que c’éft lé cube de 40 que j’ai retranché du nomr bre, Sc non pas celui de 4 j car l’on voit que le cube de 40 étant 64000', fi on lé retranche du nombre donné, Il r-eftera après la fouftraclion 33336. Ainfi regardant
  - "49
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- - DE MATHEM AT I Q^UÎ. 41
  - 40 comme "le premier terme de la racine, l’on voit qu’on, a retranché fon cube du nombre donné.
  - 33
  - H
  - 336(4
  - Prefentement pour trouver la fécondé figure, je quar-re 4, & je triple ce quarré qui donne 48 au produit que je pôle à l’endroit A. Or fi l’on fait attention qu’ayant placé le nombre 48 a l’endroit ou il eft, on l’a avancé de deux figures , qui font que ce nombre au lieu de valoir 48 , vaut 48003 l’on verra qu’agiiïant ainfi, c’eft comme fi l’on a voit quarré 40, & triplé fon quarré pour avoir un divifeur.
  - 35
  - 336(4 A 4 8
  - Après avoir trouvé le divifeur je dis, en 3 3 combien de fois 4 , je trouve qu’il y eft G , je -pofe donc 6 au quotient , qui devient 9 7 3 3 46
  - -le fécond terme de la racine. Après ce- A 4 8
  - la je multiplie le divifeur par le fécond________J*______
  - terme pour avoir le produit B., qui g 288
  - vaut, comme on le peut voir dans le ___________ _
  - lieu où il eft .z. 8800, qui eft une quantité égale à ,trois parallelepipedes compris .fous le quarré du • premier terme, & fous le fécond, c’eft-à-dire, lous le .quarré de 40 &fous 6 3 car quand on a triplé le quarré de 4 ou autrement celui de 40 , l’on n’a fait autre chofe que joindre enfemble les trois bafes des premiers parallelepipedes, pour leur chercher une hauteur commune.
  - Continuant donc a lùivre la réglé ordinaire, je quarré 6 , & triple fon quarré pour avoir 108, qui étant multiplié par la première figure .4 , donne 432, que je pofe à l’endroit C, en failant attention qu’à la place où eft ce nombre, il vaut 43 1 o , 6c qu’agifiant ainfi , c’eft comme
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- - 3 3
  - A 4
  - 3 36 ( 46 8 6
  - 42 Nouveau Cours
  - ii j’avois multiplié par 40 le triple du quarré 6 , c’éfi-à-dire ,1085 par confequent je puis donc dire que le nombre C vaut trois parallelepipedes compris fous le quarré du fécond terme , & fous le premier , puifque quand j’ai triplé le quarré du fécond terme , je n’ai fait autre chofe que mettre enfemble les trois bafes des trois parallelepipedes du fécond terme pour les multiplier par le premier qui eft leur hauteur commune.
  - Enfin en fuivant la réglé , je cube la fécondé figure pour avoir 21 6 , que je pofe à L’endroit D , c’eft-à-dire , que j’ajoute aux parallélépipèdes précedens , le cube du fécond terme j additionnant donc les trois quantitez B ,-C, D, pour avoir la fom-rne E , je vois que la foufirayant du reliant du nombre donné , il n’y a aucune différence, & que par confequent la véritable racine du nombre donné eft 46 , puifqu’en ayant ôté le cube de la première quantité,trois parallelepipedes. lurle quarré de la première & la fécondé, trois parallelepipedes fous le quarré de la fécondé & fous la première , & le cube de la fécondé, il n’eli rien refié.
  - L’on pourra démontrer de même les operations que l’on fera pour trois tranches, quatre tranches , fkc. en confiderant ( comme on l’a dit dans la démonfiration de la racine quarrée ) les figures de la première & fécondé tranche, comme ne faifmt que le premier terme de la racine, ôc celle de la troifiéme, comme étant le fécond terme. Ainfi des autres.
  - 288 4 3 2 2 1 6
  - E 33336
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- - 43
  - DE MaTHEMATI QU E.
  - METHODE DE DEGAGER LES QUANTITE Z inconnues des Equations.
  - De fi nit ion.
  - 103. Lorfqu’une quantité eft pofitive , & qu’elle ne le trouve qu’une feule fois dans un fetil membre d’une équation, on l’appelle Quantité' dégagée j par exemple, dans l’équation a —^b'zzx, la quantité x eft une quantité dégagée.
  - Axiome * p r e m i e r.
  - J 04. Si à des grandeurs égales on en ajoute d’égales, les tous feront égaux.
  - IL
  - 10 5. Si de grandeurs égales on en retranche d’égales, les reftes feront égaux.
  - III.
  - 106. Si l’on multiplie des grandeurs égales par une même grandeur, les produits feront égaux.
  - IV.
  - 107. Si l’on diyife des grandeurs égales par une même grandeur, les quotiens feront égaux.
  - V.
  - i q 8. Si l’on extrait la racine de quantitez égales ,-ces Racines feront égales.
  - Seconde Regle.
  - :Ouï onfait voir F.ufage de V Addition & de la Soujlraffion four le dégagement des inconnues.
  - X09. Pour dégager une quantité, il faut faire pafler les grandeurs qui l’accompagnent dans l’autre membre
  - Fij
  - Art. j
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- - 44 N O U V E A U COURS'
  - avec des lignes contraires, £e les effacer du membre où
  - elles écoient.
  - Par exemple, fi l’on a une équationa^-\-c~x—d, pour dégager x , il faut faire palier —d du fécond membre
  - o r
  - dans le premier, avec le ligne —h, Se l’on aura a—f-r—4 dzzzx , ou la. quantité x elt dégagée, puifque fa valeur elt a—\-c—p^j car comme on n’a fait qu’ajouter ^acllaque membre, d’équation., il s’enfuit par l’axiome premier -, qu’on n a rien changé à l’égalité.
  - De meme , pour dégager y dans Pécmation y—\-aZzzb H-*,r on fera palier a du premier membre dans le fécond avec le figne —r pour avoir yzzzb-^c-—a , qui donne la valeur de7 5 puifque par le lecond axiome on n’a faic'que retrancher de deux grandeurs égales la meme grandeur,
  - O O O
  - C O R O L L A I R E.
  - 110. Il fuit de la Réglé precedente, premièrement, que l’on peut rendre tous les termes d’une équation poli-tifs , en tranlpolant ceux qui ont le ligne * d’un membre de l’équation dans l’autre,en leur donnant le figne—K Par exemple , pour rendre pofitirs tous les- termes de l’équation ab'—cc—j-cd—ddzzzaa—\-bb, il n’y a qu’à faire palier les termes cc Se dd, qui ont le ligne1— du premier1 membre dans le fécond , en leur donnant le figne—p, Se après les avoir effacé du premier membre , l’on aura ab-{-cd zzzaa —Jrbb—\~cc —\~ddy ou il n’y a plus de quantitez négatives. De meme fi l’on a aa—<dd—\-cd—abzzzac—P cc—ad, l’on n’a qu’à taire palier dd Se ab du premier membre dans le fécond, Se ad du lecond dans le premier avec des lignes contraires, l’on aura a>>—\-cd-~\-ad~ac—±-cc—\~dd
  - ,ou il 11’y a plus de termes négatifs.
  - 111. L’on peut encore par la même Réglé faire palier tous les termes dam des membres d’une équation dans l’autre ,en réduilant légalité à o j car pour faire palier, par-exemple , les termes du lecond membre de cette équation aa —\-bb'~zcd—pbc—dd dans le premier, l’on n’a qu’a tranfpolcr les termes, en leur donnant des figues contraires , 6e l’on' aura a?:* —-p bh'—cd—bc—^-dd'^ o »
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- - Oh l'on fait voir l'ufàge dè la AIuItiplication pour dégager les inconnues , & pour délivrer de fractions le s-équations.
  - 11 2. Pour dégager une quantité' qui fe trouve divifée par quelque nombre, ou par quelque lettre, il faut multiplier les autres termes de l’équation par le divifeur de cette quantité, fans toucher à cette quantité, que pouf
  - eh effacer le divifeur: aihfi pour dégager — dans l’équation a—J-fczd^ jil faut multiplier le /terme par le
  - divifeur r, & i’on aura ac-^bc—xx où x,v elt déeaeé :
  - O O
  - de meme ft l’on a voit r—\-b~.il faut pour dégager % '
  - multiplier lès termes c—\~b par le divifeiir 2 , & l’on aura 20-f ib—.^i ce qui elf bien évident par le troifiéme axiome , puifqu’ayant multiplié les deux membres de cetté équation par une même quantité, on n’a rien changé a l'égalité.
  - COROL LA I RE. 1
  - 113. Comme la diviilon indiquée ou autrement n’efi
  - autre chofe qu’une fraction. Ils’enfuit par laRcglcpré-cedente que l’on peut non feulement dégager les quanti-1 tez inconnues qui font divifées, mais que l’on peut encore délivrer de fractions , les termes d’une équation^ en multipliant tous les autres' termes de l’équàticrf par les dénominateurs dès fractions. Par exemple ', pour ôter la fra-
  - ction qui le trouve dans l’équation .—\~b~d—\-e\
  - je multiplie tous ces termes par le dénominateur c de là fraction-^ , & il vient ac—}-dd—\~bc~dc—}-£-r,oii.ilri’y a plus de fractions. Pour ôter les fractions de l’équation xd“4“ ~~ '—cczzdd—; \-bc, je commence par multiplier
  - , P iij
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- - -Nouveau Cours
  - itous les termes de l’équation par le dénominateur a de la première fraction pour avoir adx-^rbbc—accznadd^—^-
  - *-\-abc, où il n’y a plus dé frayions dans le premier membre j enfuite jé multiplie tous les termes de cette nouvelle équation par le dénominateur de la fécondé fradion pour avoir adcxr-jr bbcc'—accc—zacdd—<a3 d-fc-abccoù il n’y a plus de fractions. Enfin fi l’on avoit une équation comme
  - f-.'J-, Tpu ;en feroit évanouir toutes les
  - fradions, en multipliant chaque dénominateur par le numérateur de toutes les autres fradions & l’on aura ./iacde—jrabcce —j- bcdex'zzuzbbde’—k-abcdy.
  - 114.. Mais au lieu de multiplier l’un après l’autre chaque dénominateur par tous les numérateurs des autres ^radions, on peut tout d’un, coup qterles fradions d’une équation ven multipliant chaque terme par le produit de tous les dénominateurs, & puis effacer dans les numérateurs Ôc les dénominateurs de chaque fradion , les lettres liquide trouvent femblables.
  - QU ATRIIME R E G L
  - Ou l'on fait voir tyfege de la Diyifion four dégager les inconnues.
  - 115. Lorfqu’une quantité inconnue , que l’on veut dégager 3 eft multipliée par une grandeur connue., on dégagera l’inconnue,,endivifant Chaque membredel’eV quation par qette grandeur connue.
  - Ainfi pour dégager l’inconnue a: dans l’équation ax~ bb—cc, l’on diviJfera chaque membre par a, & l’on aura
  - tb—"c.c
  - Art.,70; de même fi l’on a c^~ddrr^a^, on dégagera
  - l’inconnue en faifantpaffer tf^du fécond membre dans le premier , avec un ligne contraire, pour avoir c^—a^ Zzdd , & divifant chaque membre par c^a, l’on aura
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- - DE Ma THE M A T I QUE. 4.7
  - dk r ^ '
  - 5 ce qui efl bien évident par l’axiome quatrième >
  - puifqu’ayant divifé chaque membre de l’équation parla, même grandeur, les quotiens doivent être égaux.
  - Corollaire.
  - 11 6. Il fuit de cette Réglé, que lorfque tous les ternies d’une équation font multipliez par une même lettre, ou par une même grandeur , qu’on peut rendre l’équation plus fimple, en divifant tous les termes par cette grandeur.
  - Par exemple , fi l’on a aœ—\-ab~rz.ac—>ad , oh tous les termes font multipliez par a, l’on n’a qu’à divifer les deux membres de cette équation par cette même lettre æ , il viendra l’équation a—hb~c—*î,,quiefi: plus fimple que la precedente 5 mais s’il fe trouvoit quelque terme qui ne put pas êtredivifé comme les autres-, ne contenant pas des lettres femblables au divifeur : cela n’empêche pas que la divifion ne fe fade toujours , parce que quand on ne peut pas la faire effectivement à l’égard de quelque terme, on la fait par indiction. -
  - Par exemple , pour divifer cette équation abb^cbb—. cdx*—fcbbe par bb , dans laquelle il y a le terme cdx, qui n’a point de lettres femblables audivifeur , l’on efface bb
  - des autres termes, & l’on marque pour celui-ci ^ : ainfi
  - l’on a a——^~e
  - 117. Enfin lorfque les deux membres d’une équation ont un divifeur commun , on pourra les réduire à une équation plus fimple, en divifant chaque membre par le divifeur qui leur eit commun.
  - Par exemple, fi l’on a une équation comme bbx^-bxx 'zz.bba-—bax, dont les membres ont pour divifeur commun bb—bx, l’on fera la divifion , qui donnera cette autre équation xzzza.
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- - * Art.. 94. ^Art.109.
  - * Art. 95. ^Art.109.
  - fcArt.ioi.
  - 48 Noüveau Cours
  - C I N QJJ I E M E R e g L E.
  - Où Von fait voir Vttfage de V Extraction des racines fom dégager les inconnues*
  - 11 8. Quand ou aune équation, où l’un des membres ne contient que des grandeurs connues, & que l’autre où eft rinconnueeftun quarré ou un cube parfait, il faut extraire la racine de ces deux membres pour avoir une nouvelle équation, dans laquelle on pourra dégager l’inconnue.
  - Par exemple, fi l’on a xx—f- lax-^-aa—bc^+dd 3 où le.premier membre de cette équation, eft un quarré parfait, on extrait la racine quarrée de.chaque .membre*
  - pour avoir x—\~azzybc—\-dd s d’où faifant paffer a * du
  - premier membre dans le fecond,l’on aura xz=ybç—\'dd'—+a'î qpi .fait voir que fi l’on extrait la racine quarrée de bc~H dd, & que l’on ôte de cette racine la grandeur a, la différence fera la valeur de x. \
  - De même pour dégager,* de **—\iax—^-aazzzbb, j’extrais la racine quarrée de chaque membre *, qui donne xr—azzzb, ou bien. xzzzb-rjra *.
  - 115>..Commele premier membre de l’équation x3—h 3 àxx-rjr} aax—\-a*=zaab eft un cube parfait, en tirant la racine cube de chaque membre , l’on aura l’équation
  - plus (impie xr-\-a'zz>/0,ab & en;tranfpofant., l’on aura
  - xz^yjzab^a, qui fait voir que fi l’on extrait .la racine cube âeaab, & que l’on ôte de cette racine .la grandeur <* ,, la différence fera la valeur de x.
  - Le premier membre de cette équation x3—3 axx—
  - 3 aax*—a3zizbdd étant encore un cube parfait, fi l’on extrait la racine cube’de chaque membre , l’on aura *—a
  - rzz^bdd) &.en dégageant *, l’on aura xzzza.—\-vbdd, qui fait voir que la grandeur a, plus la racine de bdd eft égalé A ~ x 2.o*
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- - de Mathématique. 4$
  - no. Il arrive quelquefois qu’on peut rendre le membre d’une équation où eft l’inconnue, une puiffance parfaite , en lui ajoutant une grandeur connue : par exemple, fi l’on ajoute aux membres de l’équation xx—f-zax £=3bc le quarré aa, l’on aura xx-j-iax—\-aa—bc—\*aa j où le premier membre eft un quarré * : ainfi extrayant là *Art. *5 : racine quarrée de l’un & de l’autre membre,l'on aura
  - x—|-a—yAbc—^-aa * , ou bien en dégageant x , æ * Art. 94. Vbc—\-aa—a.
  - De même , fi l’on ajoute aa a chaque nombre de l’équation xx'—zax~;cd}{’on aura xx-—1 ax—^aa—xd-^aa^ où le premier membre eft un quarré : ainfi extrayant la racine quarrée de l’un & l’autre membre, l’on aura x—a
  - »• 1 » i ——
  - 'zz.v'cd—ïraa, ou bien xzza —/cd —-±-aa.
  - .1 n . Mais filon avoit xx—d-ax'zzab.y l’on pourra encore changer le premier membre en un quarré parfait , en ajoûtant -J aa à l’un & l’autre membre pour avoir xx—\-ax —~ aa—ab-\- jaa , où la racine du premier membre eft x—5 car fi l’on multiplie x-+ja par x—f - a, le produit fera le quarré de x plus deux demi xa , qui font enfemble xa plus le quarré de{a, qui eft
  - ^ aa : ainfi l’équation précédente fe changera en celle-cb
  - après en avoir extrait la racine, x—f- ~ aïzz/a b —I-7 aa >
  - pubien xzzy'ab—}-~aa—\ay qui donne la valeur de x.
  - \ i.z, Enfin fi l’on a xx*—axzr.be , & .que .l’on ajoute encore à chaque membre \aa, l’on aura xx-—ax—h ~ aa 'zdbe—\-\aay où le premier membre eft un quarré : ainfi
  - extrayant la racine de l’un & l’autre membre, il viendra « -X'—ezzy'bç—fr ji aa, ou bien x= J- a -d-/bc~)r 7 aa-
  - G
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- - Nouveau Cours
  - Art. 12 t. Art. 122.
  - A-+T a
  - x—fifi a x—'ïa
  - ata'—fi fi xa xx— fi xa
  - —fi £-va—fifi xa —'-xa—fi - az 2 1 4
  - xx —fi a- a —fi fi a a xx'—'Xa —fi ~aa
  - Sixième Réglé.
  - Vît ton donne la maniéré de fubftituer dans me équation la i ‘valeur des incormues„
  - 113. Quand on connoît la valeur de quelques lettres que l’on veut faire évanouir dans une équation, on fub-ltitue à leur place les quantitez qui leur font égales, en leur donnant le même ligne.
  - Par exemple, fi Ion a l'équation a—\-zXxzy—\-b—c, où Ton veut faire évanouir £, & que l’on fuppole iér'd—fie l’on effacera ^dans l'équation Ion mettra à fa placé fa valeur & l’on aura enluite a——\-b
  - •—c où z, ne fe trouve plus, fi l’on a cette équation fi^
  - x^zc—j-z,t dans laquelle on veut faire évanouir .v, lup-pofant que xzz.a'—e, don effacera a: , & l’on mettra a fa place-—*ï—fif, «à caufe que at a le ligne-—, êè Ion aura b —fid—a—fi ezzc—fi-^, ou x ne fe trouve plus.
  - 1 24. Si la lettre qu’on veut faire évanouir eft multipliée ou divifée dans l’équation par quelque autre grandeur , il faut multiplier ou diviler fa valeur par cette même grandeur, &L l’écrire dans l’équation avec le même ligne.
  - Par exemple , fi de l’équation ££—fia*-—ce—ad—\-aa '—yy? Ion veut faire évanoiiir a: , fuppofmt que Atz~t —\-fy il faut, à caufe que x elt multiplié par a dans l’équation, multiplier fa valeur c—fi/ par la même lettre a pour avoir axSc mettant ae—fiqfà la place de ax l’on
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- - DE MATHEMA TI QJJ E. 5 I
  - aura bb—^ae—d-af—cc'=ad—)rax'—yy, ou x ne fe trouve plus.
  - 125. Pour faire évanouir de l’équation ce—\-yy—>idb ’zzzaa—bz, la lettre z fuppofant que z^rzd—c—p^, il faut . multiplier la valeur de & par b pour avoir bz'zr.bd—be -+bg 3 & comme bz a le figne — dans l’équation, il faut changer les lignes de bd—be—\-bg, & mettre dans l’équation —*bd—p be—bg &l’on aura ce—\~yy—<zdb~aa—b A *~i-be—'bg)'ou. z, ne fe trouve plus.
  - 12 6. Pour faire évanouir y de l’équation 2 ab—pze=zbe
  - j fuppofant que l’on a.y—.e—g, il faut multiplier
  - t—g par dd pour avoir ddy—dde—ddg : mais comme ddy .eddivifépar a—fdans l’équation, il faut pour y fubdi-tuer dde'—>ddg le divifer auffi par a*—fy & alors on aura
  - zab—\-zeïzzbe'—p^~^~ , où y ne fe trouve plus.
  - 1 27. Pour faire évanoiiir » de l’équation aa—^dd—au f+bd, fuppofant que l’on , il faut, à caufe
  - que u eft égal à une fradion , multiplier le numérateur de cette fradion par a pour avoir au'zz^—^pp 5 & puis .mettre à la place de au dans la première équation la fradion qui.lui ed égale , & l’on aura a&~}-dd~
  - *—pbd ,. où u ne fe trouve plus.
  - Et fi l’on veut ôter la fradion de cette équation, l’on n’aura qu’à multiplier les autres termes par le dénomina- -teur * b—p^, & l’équation fera transformée en celle-ci * Art. 12; (après avoir effacé les termes bdd} qui fe trouvent dans l’un & l’autre membre avec le même ligne * ) abx—jradx * Art. 105; *H“ d3 rz: a1 —acc—\-afg—p bbd.
  - 1 2.8. Si la lettre qu’on veut faire évanouir ed le côté d’un quarré ou d’un cube, il.faut quarrer ou cuber fa -valeur, & mettre fon quarré ou fon cube dans l’équation à la place du quarré ou cki cube delà lettre qu’on vent faire.évanoüir.
  - G i j
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- - 5 r N' o u v eau C o u a s-
  - Par exemple, fi l’on veut faire évnaoiiir y de Péquation* y y—i z bd" zax—\-dd , fuppofant que f^db—\-d, il faut quarrer la valeur de y pour- avoir yy—bb'—\rzbd-±—dd, Omettre la valeur du quarré de y à la-place deyy , 6c l’on aura bb—j^zbd—\*dd—<zbd"zax—\r-.ddy&L effaçant —4-2bd 6c —’ibd , qui fe détruifent dans le premier membre , 6c dd qui fe trouve dans le premier 6c le fécond membre avec le même figne , l'équation fe réduira à bbr=zzax j d où dégageant v en divifant les deux membres de l’équation par z ci, l’on aura x,qui donnera la valeur de x.
  - L’on pourra de même, fubflituer dans une équation la valeur d’un cube, quand on connoîtra celle de fa racine.
  - Comme l’on ne fait en fubftituant que mettre une grandeur égale à la place d’une autre dans une équation, il s’enfuit que les deux membres de l’équation demeurent toujours égaux;
  - Septième Réglé.
  - Oh l’on fait 'voir comment on peut faire évanouir toutes Us inconnues dJune équation.
  - i zp. Pour réfoudre un Problème par l’Algebre, il faut commencer par coniiderer attentivement l’état de la queftion, 6c toutes les conditions qu'elle renferme, en-fuite marquer ce que l’on connoît avec les premières lettres de l’alphabet, 6c ce que l’on ne connoît pas avec les dernieres 5 6c confîierant le Problème comme réfolu , l’on tirera autant d’équations qu’on a employé de lettres inconnues, lefquelles ieront nommées les premières équations.
  - On choifira la pins fimple de ces équations pour dégager une des inconnues quelle renferme , 6c ayant trouvé la valeur de cette inconnue , on la fubftituera dans les autres équations aux endroits ou cette inconnue fe trouvera.
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- - ©-£ - Ma'TH £-M ATI QjJ î?. jy
  - Ori recommencera de nouveau à choifir la plus fini-pie des autres équations pour y. dégager une fécondé inconnue-, & Ion lubllkiiera'Comme auparavant la valeur de cette lettre dans les autres équations ,v&>l’on réitérera* la même chofe pour faire évanoiiir l’une après l’autre toutes les lettres inconnues 5 & de cette maniéré on trouvera la valeur connue de toutes ies inconnues •> ce» qtu donnera- la réfolution du Problème.
  - Pour rendre ceci plus fenfible, nous allons faire évanouir toutes- les lettres inconnues des trois équations x-+y=fc—ha , b-j-x , ÔC x—f-Ç=:r—4^. Pour
  - cela je commence par chercher la valeur de -s-dans-la première •équation,:, en la-dégageant d&a ,-que je fais pafier-dans l’autre membre avec le ligne contraire*-, afin d’avoir x—^y^.z—z,, qui me donne la valeur de j enfuite je mets cette valeur à la plaqe de dans les autres équations *, qui fe trouvent changées en celle-ci, zy —-4at, ôc 2 a;—f-/—& comme -x-fe trouve dans le premier & le fécond membre de la première équation avec le ligne —K de même<qjié y dans la fécondé : je-les. efface, & en dégageant les inconnues * q-ui relient, il vient. zy~b—fca, 8c ou bien
  - y== - *,oiiles valeurs de x 8c dey fe trouvent
  - d’elles-mêmes, fans avoir été obligé de faire une fécondé fiibltitution. Or fi l’on met prefente neUt dans la première équation ou l'inconnue z, a été dégagée la valeur de x Ôc
  - de^ * , l’on aura—*a=zz,, ou bien rz:*;. Par
  - e'onfequent on â ttouvé k valeur des inconnues en lettres comices.
  - A V E R T I S SEME K T-
  - Oh s’efi: contenté de donner feulement un petit exen& pie-de cette Réglé , parce qu’on én'va voir l’application ,, aufii-bién que des precedentes dans la réfolution de plii-fieurs Problèmes curieux i que- Ton a rapportez exprès
  - G'iii '
  - ♦Art. ïüji i *Art. 1230
  - * Art. 109, ♦Art. irf.
  - ^Ârt.12-3 i
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- - •?4 , ;Nouveau Cou k^s
  - pour familiariser les Çommençans avec le calcul Algébrique, & pou? rendre intereüant ce que Ton a vu juf-qii’ici, qu’il eft à propos d’entendre parfaitement pour avoir le plaifir de comprendre fanspeine tout ce qui corn-pofe la Juitê dercét Ouvrage.
  - APPLICATION DES R E G L E S PRECEDENTES a la réfolution deplujieurs Problèmes curieux;
  - PREMIERE QJJESTION.
  - Trois pérfonnes ont gagné enfemble au jeu 87 5 livres 5 la fécondé perforine a gagné deux fois autant que la première, T& , 1 o livres de plus : la. trôiliéme a gagné autant que la première & la fécondé, & 15 livres de plus.j on demandecùnibien chaque perfonne a gagné.
  - Pour réfoudre cette Queltion, j’appelle x le gain de là première perfonne., par 'confequent celui de la fécondé fera zx, parce qu’elle a gagné le double d.e la première, de comme elle a gagné encore .1 p livres de plus, fon gain fera zx—p i o. Or comme la troifîéme perfonne-à gagné autant que' la première & la fécondé , & même 1 5 livres de plus, j’ajoute enfembleje.-gain des deux premières personnes , c’eft-à-dire, x &**-+10 pour avoir 3 x-j-1 o : à quoi ajoutant ^ 5 , le gain de la trôiliéme perfonne fera 3 a:—i- z 5 5 & comme le gain des trois perfonnes eft égal k ;8 7 5 y je forme. çette équation f-zx—pi Q,«—f-3.#—+-z 5 ^87.5 : d’ouje dégage la quantité inconnue, en faifant pafler la .fomme des nombres que je connois du premier membre dans le fécond avec le ligne ^ *, & rëduifant le tout au moindre terme, il vient cette nouvelle équation 6x^=r.8 7 55ou bien , que je divife
  - par 6 * , pour avoir ^.140 , qui me fait voir que la première perfonne a gagné 140 livres. Pour avoir le gain de la fécondé je double 140, & j’ajoute 19 au produit , .qui donne zt^hio^z ^o. .Enfin fi j’ajoute cette équation à la precedente, & 15 a la fomme, j’atïrai la valeur
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- - D Ê M A TBEM ATIQJJ E. 5 5
  - du gain de*la troiliéme perfonne, c’eft-à-dire;, yx-^z 5 ^=1445 : par confequent la première perfonne a gagné 140 livres, la fécondé 250 livres, la troiliéme 44 5 livy ce qui eft bien évident , puilque ces trois fommes font en-femble 87'5 livres.
  - SEC O N DE QU E S T I Q N.
  - Quatre Sapeurs olit fait chacun une quantité de toifes de fappe, & ils ont gagné enfemble 140 livres : le fer-' cond Sapeur a gagné trois fois-plus que le premier moins 8 livres : le troiliéme a gagné la moitié de ce qu’ont gagné enfemble le premier & le fécond moins 1 2 livres >
  - 3c le quatrième a gagné autant que lé premier 3c le troi-fiéme. Lon demande combien ils ont gagné chacun.
  - Pour réfoudre cette Queftion , j’appelle x le gain du premier Sapeur >-ainli 3^—8 fera le gain du fécond ,• -ix—16 le gain du troiliéme, 3c 3.x—1 6 le gain du quatrième 5 3c comme toutes ces quantitez prifes enfemble font égales à 14o 1. je forme cette équation *-4-3 x-—* 8 -4 2A*—’i6—i6“i 40, que je réduis en moindre terme, en ajoutant enfemble toutes les quantitez femblables *, 3c * Atr. il vient 51^—40=: 140 ou bien 57*“ 18 o , en faifant palier 40 du premier membre dans le fécond. Or li l’on divife les membres de cette équation par 7 * pour déga- * Art. iïÿ ger l’inconnue,l’on trouvera ^—20 , qui donne le gain du premier Sapeur > qui eft 20 'livres: ainfî celui du fécond , qui elt yx-—8 , fera 5 2 livres j celui du troiliéme, qui eft ±x—-16 , fera 24 livres j 3c celui du quatrième* qui eft 3.V—*1 6, fera 44 livres j ce qui elt bien évident, puifque ces quatre fommes prifes. en femble font égalés à 140 livres. ,
  - TROISIEME QUESTION.
  - Cinq Canoniers ont tiré dans une après-midi 516 coups* de Canons : le fécond a tiré, le double du premier *.plu$»
  - 2 coups i le troiliéme a; tiré autant que le premier êc le-
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- - '5/6 Nouveau Cours
  - fécond moins 6 coups j le q uatrième a tir é autant que-'le Second-& lé troifîéïne, plus io coups3& le cinquième a tiré autant que le premier & le quatrième , moins 20 coups :-On demande combien de coups de Canon ils. ont ;tiré.cha,cun.
  - Ayant nommé x la quantité de coups que le premier a tiré, je trouverai pour le„fecond zx-f 'i j pour le trôi-fiéme 3 x—j-2—6 , où, ce qui eft la mêmçchofe, 3 x—43 pour le quatrième 5 x—\-i —4H-1 o , ou^ bien 5 x—PS 5 enfin pour le cinquième 6x—j-8—20 ,ou bien 6x—i ;. Or comme toutes ces quantitez prifes enfemble doivent être égales à 5? 6 , je forme cette,-équation x—f-zx-H-a •—I-3X—-4—J-5a:—b8-+6x<—1 2—96, que je réduis en moindre terme , en ajoutant dans une fournie toutes les ^Ârt. 51. quantitez connues qui ont le ligne —}- & le aligne — *, & il vient 1 yx-—6=5? 6 , ou bien 17x5=10 2 , après avoir fait pafler —6 du premier-membre dans le fécond. Pour fçavoir prefentenlent la valeur de x,je divife cette équar -*Art. 115. Ûen par 17 * , & je trouve xtzr-6 5 ce qui fait voir que le premier Canonier a tiré 6 coups 3 ainfi le fécond, qui eft 2X—}-2 , en aura tiré-14 5 le troifiéme,, qui-eft 3 x—4, en aura aulîi -tiré 14 3 le quatrième , qui eft 5X-4-8 , en aura tiré 3 8 3-&de cinquième, qui eft 6x—1 z , en aura tiré 24: ce qui eft évident, puifque tous ces nombres pris enfemble font $6.
  - QUATRIEME QUESTION.
  - jUn Officier de Mineurs a fait-faire en trois mois mille toîfés courantes de galerie de Mine 3 il à fait le fécond mois le double ded ouvrage du premier , 6c 5-0 toifes de .plus, parce qu’il a reçu un renfort de Mineurs: le troifié-me mois il a fait zoo toifes d’ouvrage de moins que Je fécond, parce qu’une partie de fon monde eft tombé malade •: On demande,combien il a fait de toifes de galerie dé Mine dans le premier mois, dans le fécond 6c dans le ’trôifiéme. '
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- - DE MATHEMA TI QUE, 57
  - Pour réfoudre cette Queftion, je nomme x-h. quantité de toifes de galerie de Mines qui s’eft faite le premier mois, ix—+ 50 pour ce qui s’eft fait le fécond mois , 8c •2 #-+5 o—2 o o, ou bien ix—i 50 pour la quantité qui a été faite dans le troifïéme moi» 3 8c comme la fournie de ces quantitez dok être égale à 10 00 toifes , je forme cette ! équation. x—\> 2. a:—f 5 o*—f 2 a*— i 5 o~ioo.q , qui-étant réduit *, donne 5^100—1000 , ou bien 5Æ: 1100,8c divifant chaque membre de.cette équation par 5 *, l’on aura *=£2 2 o 3 ce qui fait voir que dans le premier mois on a fait 220 toifes courantes de galerie de Mines 3 par confequent on en a fait 49 o' toifes le fécond mois, 8c xç)Q le trofiéme mois: ce qui eft évident, puif-que ces trois quantitez font enfemble 1 o 00 toifes.
  - CINQUIEME QUESTION,
  - On a fait un détachement de Grenadiers pour atta-•quer un Pofte , parmi lefquels il s’en trouve deux qui •raifonnant enfemble fur les Grenades qu’ils ont dans leurs poches, le premier dit au fécond : Si tu m’avois donné une de tes Grenades, j’en aurois autant que toi 3 8c le fe--cond lui répond : Si tu m’en avois donné une des tiennes* j’aurois le double de celles que tu as. On demande combien ils a voient de Grenades chacun.
  - Comme cette Queftion renferme deux inconnues , je nomme y le nombre des Grenades qu’a le premier Grenadier , 8c £ le nombre de celles qu’a le fécond 3 8c puis je fais autant déquations comme il y a d’inconnues, félon •l’art. 1.1 cf. Or pour former la première je dis : Sij a voit une Grenade de plus, 6c £ une Grenade de moins ,7 fe-a*oit égal a z, : ainfi je puis écrire j—fru——1 5 8c puis pour la fécondé équation je fais encore ce raifonne-ment : Si z avoit une Grenode de plus, 8c y une Grenade de moins, £ feroit double de y 3 par confequent je puis donc écrire f 1^,2y—2. Prefentement que j ai autant idéquations que d’inconnues , je dégage l’inconnue -z, de
  - * Art. 51:
  - * Art. 1x5.
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- - *Àtt. 109. *Art. 123. ?Art.iz4,
  - fArt.105.
  - 5S Nouveau CûUAf
  - la première équation , en faifant pafTer —'i du fécond^ membre dans le premier * pour avoir 2 :=:•{_ : enfuite
  - je fùbftitue dans la fécondé équation à la place de z, ùa valeur *, & il vientr^-f 3^=2^'—2 j où z, ne fe trouve plus *, & faifant palier —2 du fécond membre dans le premier, il vient f 5=2^, & effaçant y de part & d’au-
  - tre, j’aurai cette équation 5=^*, qui me donne la valeur dty, & fubftituant la valeur dey dans l’équation où: z> efl dégagé, Ion aura y'=x> 5 par confequent le premier Grenadier avoit cinq Grenades, & le fécond fept : ce qui eft bien évident ,-puifque ces deux nombres s’accordent avec les conditions du Problème. •
  - • SIXIEME QUESTION.*
  - Trois Bombardiers ont jetté en "une journée une certaine quantité de Bombes dans une Place afîiegée : le premier & le fécond en ont jetté enfemble 20 plus que le troifiéme, le fécond & le troifiéme 3 2 plus que le premier , & le premier & le troifiéme 2 8 plus que le fécond. On demande combien chaque Bombardier a jetté de Bombes.-
  - Comme les quantités connues dans cette Queflion font exprimées par des nombres , nous ftibftituerons à leur place dans le calcul Algébrique les premières lettres de l’alphabet : ainfi au lieu de 20,32,28, nous prendrons a, b, Cj parce que nous fuppoferons que 2o~a, 3 zri, 2 8 pour rendre la réiolution de ce Problème plus generale,& nous nommerons x la quantité de Bombes que le premier Bombardier a jetté, y la quantité du fécond , & & la quantité du troifiéme.
  - Cela pofé, je dis : Si de a—fy, qui exprime la quantité de Bombes qu’ont jetté le premier & le fécond Bombardier, je fouftrais a, qui exprime la quantité de Bombes que le premier & le fécond Bombardier ont tiré plus que le troifiéme, j’aurai at—ty—a—z, pour la première équation; jr-]rZfi~bzzx pour la fécondé, & X-+&—c^zy pour la. troi -
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- - DE Ma fÛE MA T I Q^UE. 5 £
  - fiéme. Or confiderant que j’ai trois équations qui renferment chacune trois inconnues , je cherche la valeur d’une de ces inconnues, pour la fubflituer dans les autres équations, aux endroits où cette inconnue fe trouvera *5 "ArMij; & comme la première équation x—hy—•a'zzz, me donne la valeur de z,, qui e£t la quantité at~—>a , je la mets dans la fécondé & là troifiéme équation à la place de ^ > en-fuite elles fe trouveront changées en celles-ci y—^x—\*y & *—fy-—a—\x—c‘z=.y, dont les termes étant rendus pofitifs, & réduits à leur plus fimple expreiïion, donnent xy^zza-\-b, & zxrza-f-c, qui étant divifez par 1,
  - =*donnent enfin , & xr=z^~-. Or comme il n'y a *Art&i5,’
  - plus d’inconnues dans ces deux équations, il faut revenir à la première, C’eft-à-dire, à at—|-y—grzz,, afin de fubfti-tuef à la place de x de de y leur valeur pour
  - avoir | Æ~f;* b*-f f c—*, ou bien—-*—£ (par- *Art.u£*
  - ce que deux demi —\a de'truifent'—a) on a donc la valeur de qui eft la derniere quantité qu’il refloità con-noître.
  - Prefentement que jefçais que*—^7-, quey—— >
  - de que je prends à la place de la moitié de fs
  - la moitié des quantitez qu’ils reprefententc’eft-à-dire., la moitié de 2.0 & de 2 8 , pour avoir 24, qui fera la valeur de x. A la place de la moitié de b, je prends la .moitié de 1.0 & de 3 2 pour avoir 2 6 , qui elt la valeur .dey, & à la place de la moitié de c—\b je prends la moitié de 2 8 & de 3 2 pour avoir 30, qui fera la valeur de z> :
  - .d’où je conclus que le premier Bombardier a jette 24 JBombes, le fécond 16 , & le troifiéme 3 0 5 ce qui eft évident, puifque ces nombres ie rencontrent avec les conditions delà Queùion.
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- - N ou y e a u Cour s *
  - SEPTIEME QUESTION.-L’on a afiiegé une Place, dont la Gàrnifon étoit com-
  - qu’il y avoit eu enfemble autant d’Allemands, d’Anglois & de Hollandois de tuez , moins 610 hommes qued’Ef-pagnols 5 autant d’Allemands , d’Anglois & d’Efpagnols. enfemble moins^éo hommes que de Hollandois > autant d’Allemands , de Hollandois & d’Efpagnols enfemble moins 380 hommes que d’Anglois : enfin autant d’Anglois ^ de Hollandois & d’Efpagnols enfemble moins 500 hommes que d’Allemands. On demandé combien il y a eu d’Allemands de tuez , combien d’Anglois , de Hollandois & d’Efpagnols.
  - Ayant nomme u le nombre d’Allemands , x celui des Anglois, y celui des Hollandois , & z, celui des Efpagnols, nous fuppoferons que <>.2 or=za 5 que 46 o~b 3 que 38a , & que 5. o o.—d, afin de rendre la iolution de la Que-ftion plus generale.
  - Cela pôle , comme cette Que ftion me donne quatr e équations , j’écris *#-+a>4y~z,~-ia pour la première, pour la fécondé ,. u~\y'-\zZ=z.x—\-c pour la troifiéme, & xr-^d pour la quatrième. Aprè£ * Atiiiÿ» cela je dégage une inconnue dans la première équation
  - qui fera , par exemple , <£ pour avoir u^-\x-^\-y—<a—.z>, qui me donne la valeur de que je fubftitue dans les trois autres équations , qui font changées en celles-ci , —azz:y—\ b, u<-\y~\-u>-\x—\y—a~.x—fr , & fj ,—à~u—\-d ou bien, en celles - là,
  - 'xtCZZA'—\b—<-zx , 2fizza—fcc—2 a , & LX’zz:Ja'-\à'—'xy , après les avoir réduit en moin dr es-termesdégagé iu-3 2 Xy& 2y y ou-prenant la valeur de zu pour la fubltituer dans l’équation zyzza--\-c-^-zu, il vient zy=z&—fr«—a—b *Art.u?* —f*2vV,oii u nefetrouve plus*: & fi à la place de zy je mets fa valeur dans l’équation 2,v—£——-zy, il viendra cette derniere équation , 2 xzza—kd—a'—c~~ïa~]rb'—Lxx
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- - d Mat h e U a t i qjj e. C~l
  - o*i bien' x a~ é~c~*è * 3 ou il n’y a plus d’inconnues :
  - or 11 à la place de ix ,dans l’équation îuîzzza—\>b—~ix l’on-mec la moitié de la valeur de 4.V , c’eil>à-dire, ~ æ—f ~ d l’on aura \a *—< \ \c — \ b,
  - ou a~*hT—f.} ou “Zïtzézl:c > qui donne la valeur
  - de 0 j & fi l’on met dans l’équation ryrr^—f r—, la; moitié de la valeur 40, c’eft-à-dire,\Æ—f |£— ~ d—+±e,l’on aura 27=^—^^ Æ—ffd—\ciouyz=,~c“^~*d 3 qui
  - donne la valeur de y : enfin fî l’on met dans l’équation U'-{x—\y‘-^a~z,, les valeurs de a, x &y, l’on aura après
  - la rédu&ion .
  - Comme l’on vient de trouver#c=.4—, .vzz*—;r~
  - . a s’enfuie que le Problème:
  - eft réfolu j puifque fi l’on divife 1460^500 par 4, qui
  - eft égal à , l’on trouvera 240 pour la valeur
  - de tt j & en faifant de même pour les autres , l’on trouvera 300 pour la valeur de xs 160 pour celle dey, ôc 180 pour celle de Ainfi il y a eu 240 Allemands de tuez,300 Anglois,160 Hollandois , &: 1 8b Efpa-gnols: ce qui e fié vident, puifque ces nombres répondent -aux circonflances de la Queftion.
  - * Art. jiï &115.*
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- - iâ->t "Nou veau Cour s
  - WWWiWWiWWiW
  - NOUVEAU COURS
  - DE MATHEMATIQUE
  - LIVRE SECOND.
  - Qui traite des proportions des Rapports & des Frayions*
  - DEFINI TI ON S.
  - i 3 N appelle Homogènes les grandeurs de même
  - • genre, comme deux Nombres, deux Lignes
  - . deux Surfaces , deux Solides.
  - i 3 i. On les appelle Héterogenes , quand elles font de divers genre, comme un Nombre, une Ligne , une Surface , un Solide.
  - i 3 2. Raifon ou Rapport eft la comparaifon de deux grandeurs homogènes„
  - ,1 3 3. Ce Rapportpeut être de deux maniérés, Arithmétique y ou Géométrique.
  - 1 3 4. Le Rapport Arithmétique elt quand on confidere .combien la plus grande furpaffe la plus petite j ce qui s’ap-pelle différence. Par exemple, combien 15 furpaffe ^ , ou 'a furpaffe b j comme on 11e peut le connoître que par la Touftraétion , on marque 1 5*—-*5 , ouæ—<b : car ou peut prendre la fouftraction indiquée pour la fou flradtion même , ou polir la différence des deux grandeurs qui la com=-pofent.
  - 1 3 5. Le Rapport Géométrique eft quand on confidere la maniéré dont une grandeur eff contenue dans une autre. Par exemple , combien de fois 4 eft contenu dans 11, ou combien de fois b eft contenu dans*? j àc comme
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- - D E MaTHEM A TI QU E. 6'} '
  - drfne peut le fçavoir que par la divifion , l’on marque
  - ou j ; car on peut prendre la divifton indiquée pour
  - la divifion même, ou pour le quotient des quantités qui là forment.
  - 136; Les grandeurs qui ont entr’elles un rapport de nombre à nombre , lont appellées Commenfmables, parce quelles ont au moins l’unité pour commune meftire.Par exemple , une ligne de 4 pieds eft dire commenfurable avec une ligne de 1 o pieds , parce que ces deux lignes ont un rapport de nombre à nombre, qui eft celui de 4 à 1 o.
  - 137. Les grandeurs qui n’ont point un rapport de nombre à nombre , ou qui ne peuvent avoir de mefures communes fi petites qu’elles foient, font nommées Incommensurables. Par exemple, fi l’on a un quarré de 1 6 pieds, & un autre de 3.2 pieds , la racine du premier quarré fera incommenfurable avec celle du fécond -, car comme 3 1 n’eft point un nombre quarré , quelque près que l’on puifte approcher de la racine de ce nombre , il y aura toujours quelque refte, fi petit qu’il puilfe être : ainft ne pouvant trouver précifément la racine de 32, elle fera donc incommenfurable avec celle de 1 6 ,puifqu on ne pourra pas déterminer le rapport de ces deux racines.
  - 1 3 8. Comme une raifon ou rapport eft toujours com-pofée de deux termes, le premier s’appelle Antécédent, le fécond Confequent : ainli comparant 1 2 avec 4, ou a avec b, 1 2 eft l’antecedent, & 4 le confequent, de même que a eft encore l’antecedent, le confequent.
  - 135?. Une raifon eft égale à une autre , quand l’antecedent de l’une contient autant de fois Ion confequent, que l’antecedent de l’autre contient le lien. Par exemple, la raifon de 1 2 à 4 eft égale à celle de 15 à 5 , parce que 12 contient autant de fois 4, que 15 contient de fois 5 5 fçavoir, 3 fois, & pour lors on marque èc û a
  - a même rapport avec b, que c avec â, l’on peut marquer
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- - à4 Nouveau Co u k s
  - -encore qui fait voir que les quatre grandeurs a
  - :& c.,d, forment deux rapports Géométriques égaux.
  - -140. Comme ~, ou |, reprefentent également des
  - rapports Géométriques des divifions & des fractions, on remarquera que lorfquil s’agira de rapport, on appellera le terme qui eft au defllis de la ligne, Antécédent, & celui qui eft au deflous,- Confèrent, & que quand il s’agira de divifion, le premier fera appellé Dividende, & le fécond DiviJ'eur j & que quand on parlera de fractions, le premier fera appellé le Numérateur, & l’autre le Dénominateur.
  - 141. On appelle Raifon à'égalité celle où l anteccdent eft égal au confequent, ce on l’appelle Raifon d’inégalité lorfque l’un eft plus grand que l’autre j ce qui peut arriver en deux maniérés. La première, quandl’antecedent eft plus grand que le confequent, pour lors on la nomme Raifon de plus grande inégalité s la fécondé , quand l’an--tecedent ell moindre que le confequent, on l’appelle Raifon de moindre inégalité.
  - 142. Si quatre grandeurs font difpofées de telle forte que la première furpafîe ou foit furpafféepar la fécondé, -comme la troifiéme furpaife ou eft furpaflée par la quatrième, elles compoferont une Proportion qu’on appelle Arithmétique. Ain fi 2,4,6, 8 , ou bien 8 , 6,4 , 2 , compofent une Proportion Arithmétique.
  - 143. S’il fe trouve plus de quatre grandeurs, qui foient en Proportion , c’eft-à-dire, qui fe furpafTent chacune de la même quantité , on les appelle Progrejjlon Arithmétique, comme les nombres 1,2,3,4,53 6,7,8 , Sec.
  - 144. Si quatre grandeurs font difpofées de -telle forte que la première contienne autant de fois , ou autant de parties de là fécondé, que la troifiéme contient de fois la quatrième, ou de les parties, elles compofent une Proportion qu’on appelle Géométrique :ainfl 15- 5 : : 1 2. 4. Seompofent cette Proportion , puifque 1 5 elt à 5 comme
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- - de Mathématique. 6 5
  - 11 eft à 4, c’eft-à-dire, ptiifqu-e 15 contient autant de fois-5 que ji contient de fois 4.
  - Mais fi au lieu de nombre l’on prend des lettres pour exprimer une Proportion Géométrique,l’on-voit que li on nomme e, ou toute autre lettre , le rapport du premier terme au fécond, il faudra auiïi nommer r.le rapport du troifiéme terme au quatrième : ainli luppofant que de quatre grandeurs a, b, c} d, il y ait même râifon du premier terme au fécond , que du troiiiéme au quatrième, nommant e le rapport des antecedens aux confequens,
  - l’on aura donc \ ’~e, &: j—e ; & comme ces deux rapports font égaux, l’on pourra marquer fi l’on veut j—j".
  - 145. Pour diftinguer la Proportion Géométrique d’avec la Proportion Arithmétique , lorfqu’elles font exprimées par. des lettres, l’on marque quatre petits points entre le fécond .$:.ie troifiéme terme de la Proportion Géométrique, qui lignifient comme, 6c l’on n’en marque que deux entre le fécond 6c le troifiéme terme de la Proportion Arithmétique,qui lignifient la même chofejainfia. b\ : c. d. marque que a eft à b , comme c eft à d 5 c’eft-à-dire , que a. b. c.d. lont en Proportion Géométrique j &: quand on verra a. b : c. d. cela voudra dire que a. b. c. d. font en Proportion Arithmétique.
  - 146. S’il fe trouve plus de quatre grandeurs qui foient en Proportion Géométrique, c’eft-à-dire, dont les termes fe contiennent également, on les appelle Progreffon Géométrique , comme 2.4. S. 1 6. 32. ècc.
  - .147. La Proportion tant Arithmétique que Géométrique, eft diferete ou continue : la continue eft compofée de trois termes, que l’on nommera Proportion Arith?netique continue, quand le premier terme elt autant furpalïé par le fécond, que le îecond elt furpalfé par le troifiéme, comme 2. 4. G. & la Proportion Géométrique continue , eft celle dont le premier terme a même rapport avec le fécond , que le fécond avec le troifiéme 3 de même que .4. 6. Quant à la Proportion diferete, elle 11 eft autre
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- - 66 Nouveau Cours
  - ehofe qu’une Proportion Arithmétique oïl Géométriques
  - eompoiée de quatre termes, comme celles que l’on a vâ
  - ci-devant.
  - 148. La Proportion continue Arithmétique fe manque ainfi -J- z. 4. 6 . ou —r a. b. c. & la Géométrique fe marque ~ 4. 6. 9. ou bien -^7 a. b. c. & quelquefois a.b::b ,c. parce que le eonfequent de la première raifon-peut fervir d’antecedent à la fécondé.
  - 145). Les quantitez qui forment une Proportion, font nommées proportionnelles : ainh a, b : : c. d. renferme les quatre proportionnelles a. b. c. d. & la Proportion continue tta. b. c. n’èn renferme que trois, dont celle du milieu efl nommée moyenne proportionnelle , Arithmétique , ou Géométrique , félon que la Proportion eft Arithmétique ou: Géométrique 5 &: dans l’une tk. dans l’autre Proportion le. premier terme & le dernier font nommez extrêmes, ôc les deux du milieu fout appeliez moyens.
  - AVERTISSEMENT.
  - Je crois devoir avertir ici ceux qui commencent la Géométrie, qu’il eif de la derniere importance de s’appliquer à bien fçavoir les Proportions de ce fécond Livre , particulièrement la première, puifque c’elt prefque par elle feule que font démontrées toutes les Proposions-©11 il s’agit de rapport & de proportion.
  - PROPOSITION PREMIERE.
  - Théorème..
  - Si quatre grandeurs font en proportion Géométrique, le produit des extrêmes fera égal k celui des moyens , c efi-a-dire,, que fi a, b : : c, d, on aura ad”bc.
  - Démonstration.
  - 150. Comme dans la proportion a. b wc.d. le rapport de a à b doit être le même que celui de c à d} l’on aura
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- - de Mathematiqjçje. 67
  - donc-|==:j* j & fi l’on fait évanouir la fradion du pre- * Art. 13$. ïriîermembre, Ion aura* : & faifant évanouir aufli *Art.iu:
  - ,1a fradion du fécond membre, l’on voit que ad—bc 5 ce qui prouve que le produit des extrêmes a & d efl: égal à celui des moyens b &; c. C. Q^F. D.
  - Quoique cette démonftration foit fort naturelle , en voici une autre qui paroîtra peut-être moins abfiraite.
  - I 51. Ayant a. b :: c. d. fi l’on fuppofe que *Art.i44.’ l’on aura auffi j—/* 3 & en faifant évanouir les fradions,
  - l’on aura bf=za , & df=zc *: & fi au lieu des antecedens *Art.ixi; a 8c c de la proportion., on met à leurs places leurs valeurs bf & df, on aura bf, b : : df, d, ou le produit des extrêmes efl: égal à celui des moyens, puifque l’un & l’au-,tre donnent bdf^bdf, qui efl: la même chofe que adzzzbc*
  - C O R O L L A I RE I.
  - I 5 z. Il fuit de cette propofition que dans une proportion Géométrique continue, le produit des extrêmes cft égal au quarré de la moyenne s car fi l’on a — a. b. c, ou bien a. b : : b„ c. l’on aura aiïzzbb.
  - Corollaire IL
  - 153. Il fuit encore que connoiflant trois termes a ,b ,c9 d’une proportion, on pourra toujours trouver le quatrième 5 car fi l’on nomme x ce quatrième , l’on aura
  - a,b::£,xi par confequent ax^zbc, ou bien - *, qui « Art. io$i
  - fait voir que pour trouver ce quatrième terme, il faut multiplier le fécond par le troifiéme , & divifer le produit par le premier. ^
  - C O R O L L A J R E III.
  - 2 54. Il fuit encore qu’on peut toujours prendre le produit du fécond & du .troifiéme ternie d’une propor-
  - I ij
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- - 6% Nouveau Cours
  - tion divifez par le premier pour le quatrième terme de la
  - même proportion j car comme * eft égal à hf, l’on pourra
  - donc avec les trois termes a,b>c > écrire a. b:: c. -0j l’on
  - voit que la réglé de trois eft fondée fur le Théorème pré-' cedent, puifqn’on ne fait autre ehofe dans l’operation de cette réglé, que de chercher un quatrième terme proportionnel aux trois premiers.-
  - i 5 5. De même dans la proportion continue connoif-. fant les deux premiers termes a & b , l’on trouvera le troifiéme terme x en quarrant la moyenne b, & divifanr le quarré bb par a pui(qu ayant ~a. Ton aura bk
  - _ r bb_
  - XZiax ,par eonlequent
  - 1 5 6 . Mais lî l’on avoir le premier terme a & le troifiéme e v& que Ion voulut trouver la moyenne, que nous appellerons x , il" faudrait multiplier ce premier terme par le troifiéme, & extraire la racine quarrée du produit» cette racine feroit la moyenne que l’on cherchejcar ayant
  - ~ a. x.c. l’on aura aezzxx, par confequent Vaczzx-
  - PROPOSITION IL
  - Théorème.
  - 15 7. quatre grandeurs font difpafées de telle forte que le produit des extrêmes foit égal au produit des moyens, ce$ quatre grandeurs feront proportionnelles „
  - Démonstration.
  - Si les quatre grandeurs a 9b9c.9£* donnent ad'zzbc, je* fArt/rç?-. dis que a, b: : c,tf, ou bien ~ * j pour le prouver, il
  - n’y -a qu’a divifer les deux- produits égaux ad & bc chacun par la même grandeur bd> l’on aura les expofans
  - nouveaux |&jiar jj eft égal à *, en effaçant d dans
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- - DE MâTHÎEMATI QU E. 69
  - le numérateur & dans le dénominateur. Par la même rai-
  - fon byd elt égal a ~, en effaçant audî b dans le numérateur
  - &dans le dénominateur. Or comme 011 a divifé deux grandeurs égales par une même grandeur 3 les quotiens
  - doivent être égaux 5 par confequent qui donne
  - a y b : : c, d< (2. QnJF. D.
  - 158. 11 elt à remarquer que félon ce Théorème, l’ori pourra toujours prou ver que1 quatre grandeurs font proportionnelles, lorf qu’on fera voir que le produit des extrêmes efl égal à celui des moyens 5 c’ell pourquoi il ell à propos d’être bien prévenu de ce principe , parce qu’il va être le fondement de toutes les démonstrations que nous ferons par T Algèbre»
  - Corollaire I.
  - 155?. 11 fuit de cette proportion qu’une équation peut* toujours être regardée comme ayant un de les membres formé par le produit des extrêmes , & l’autre par celui des moyens d’une proportion, & que l’on peut même former une proportion avec les racines des produits qui forment chaque membre d’une équation, comme on le verra ailleurs.
  - C O R O L L A r R E IL
  - 160. Il fuit encore du Théorème précèdent que fi quatre grandeurs font en proportion Géométrique, elles le feront encore dans les quatre variations fuivantes : premièrement , en- raison inverfe y feeondement, en rai fon alterne j troisièmement, en compofant j quatrièmement * en divifant.
  - 1 6 1. Pour changer en raifon inverfe > l’on fait fervir les confequens d’antecedens, & les antecedens de confe-quens, c’eft-à-dire , que li ayb : : c, d, que b ,a:: dye y ce qui ell bien évident , puifqu on vient de voir que les quatre termes d’une proportion peuvent toujours former une équation 5 5c comme la proportion inverlè vauifi-bieii
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- - O N O ü V E A U Cou R S
  - que la directe v donne kc—ad, il s’enfuit qu’en renverfant les termes, cela n’empèclie pas qu’ils ueforment toûjours une proportion.
  - 16 2. Pour changer en raifon^alterne, l’on compare les ^antecedens avec lés antecedens,, & les confequens avec des confequens , c’eft-à-dire, que fi a, b : : c, d, on peut dire a ,c : : b, d 5 ce qui eft bien évident , puifque l’un & l’autre donnent ad—bc.
  - 163 . En compofant l’on je fait des antecedens de la fomme de.l’antecedent 8c du confequent, pour les comparer avec les mêrries .confequens , c’eft-à-dire que fî d, b : : c y d, on aura , £ : : , d 3 ce qui fera évi-
  - dent , fi l’on fait voir que le produit des extrêmes eft égal a celui des moyens,c’eft-à-dire, fi ad—^bd eft égal à bc~-\> bdj. Or comme Ion a bc—ad > fi à la place de bc dans le produit des.extrêmes , l’on metad, qui lui eft égal,l’on aura
  - 164.. En divifant on fe fait des antecedens de la diffe~ jrence qu’il y a de l’antecedent au confequent 5 ainfi E A, b : : c, d, on en fait a~r*b ,bw c-*-d,d j ce que l’on prou* yera encore en faifant voir que le produit des .extrêmes ad'—'bd.eû: égal à celui des moyens bc—bâ, pour cela combine on a toujours bc^zzad, il ne faut que mettre bc à la placée de ad dans le produit des extrêmes, & l’on aura bc°—bd • *JC-bç‘—~'bda
  - PROPOSITION III.
  - Théoremç,
  - ,ï 6 5. Lorfque quatre grandeurs font en proportion Arithmétique , la fomme des deux extrêmes ejl égale d la fomme des deux moyens , cêjl-drdire, quefifon a -1. a , b , c, d, il faut prouver que a—fd=b--j-c.
  - .Demonstrati on.
  - Comme çes quatre grandeurs doivent fe furpafïèr éga-lement, * nous fuppoferons que la première a eft fuj> paffée par la fécondé d’une quantité e : cela étant, l’on
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- - DE MATHEMA TI QJJ E. j’i
  - aura b~a-\-e 3 & comme c doit auffi furpafTer b de la meme quantité e, Ton aura b —+ <?—c, ou bien a—Yze^zc y èc par la meme raifon l’on aura a-\3 c'zzà : or fi au lieu de —f a. b. c. d. l’on écrit a , a—\*e, a—^ie, a—P3 e, l’on aura —{-3 e, pour la fomme des extrêmes 6c celle des moyens C. QJF. D.
  - Corollaire.
  - 1 6 6 . Il fuit de cette Proportion que dans une proportion continue Arithmétique la fomme des deux extrêmes eft égal au double de la moyenne 3 car h à la place de -f- a. b. c. l’on écrit a , a—\-e, a—j- ze, Ion aura pour la fomme des extrêmes 1 a-+ie, qui effc double de la moyenne a—j-e.
  - A in h pour trouver une moyenne Arithmétique entre deux nombres 4 8c 1 o , il faut les ajouter enfemble pour avoir 14, 8c en prendre la moitié pour la moyenne 3 car 4 eh: à 7 , comme 7 effc à 10 ,puifque ces nombres fe fur-palTent également.
  - PROPOSITION IV. Théorème.
  - ï6 7. Lorfque plufieurs grandeurs font en proportion Géométrique , ou quelles forment des rapports égaux, la fomme des antecedens e(i k la fomme des confequens, comme celui des antecedens que Con voudra efl à f on confequent, cefi-œ-dire t que fi des grandeurs comme a. b. c. d. e. £ forment les rap-
  - ports égaux on aura a—fre-fe » b—pd—j-f : : a. b.
  - ou comme c efi a d.
  - Démonstration.
  - Pour le prouver , nous ferons voir que le produit des extrêmes, 6c celui des moyens, donnent ab—^cb—frbe—.ab t-kad—j-afi ce qui effc bien évident > fi Don confidere que
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- - Mrt444*
  - rAft.,î^.
  - *Aï£vï58.
  - -jt Nouveau Cours
  - , félon Thypothefe a, b ::c,d , 8c a yb:: e,f, qui donne adzzzbc y & be~afy qui font voir que dans le premier mem-: bre de la première équation eft égal à ad dans le fécond , & qu.eie du premier eft égal à af du fécond. C. Q; F.D*
  - PROPOSITION V. Théorème.
  - ,-î 6 8. Lorfque deux raiforts, ont même rapport a une trot-fiéme, ces deux raifons font égales entrelles, cefi-à-dire, qtte fi l'on a a ,.b e, f & c > d : : & * f, on aura a> b : : c, d.
  - Démons t r a t .i o n.
  - Si l’on divife l’antecedent a par fon confequent#, & que le quotient foit g, divifant de même les autres antece-dens par leurs confequens, le quotient fera encore g*>
  - ain.fi l’on aura f ff—gt'j—g* qui donne bgzza?
  - fgz=;e y Jgz=x. * Or pour faire voir que ayb::Cyd, il n’y a qu’à mettre b g à la place de a , 8c dg à la. place dc.c pour avoir bg, b ::dg, d3 d’où, l’on tire bdgzzbdg. C. Q. F.D
  - PROPOSITION VI.
  - Théorème.
  - I 6 5). Deux grandeurs demeurent en même rai;fon, quoique Von ajoute à l'un & à l'autre, pourvu que ce que l'on Ajoute à la première foit à ce que Von ajoute à la fécondé comme la p remière efi à la fécondé,
  - D E M O N S T R A T .1 O JNT.
  - Si aux deux grandeurs a 8c b l’on ajoute les deux
  - frandeurs c 8c a y 8c que a foit à b comme c eft à d, je is que a—|-£, b~-\-d : : a > b ? & pour le prouver nous ferons voir*que ab—^cbzzab—^ad formé parle produit des extrêmes 8c celui des moyens j pour cela coniiderez que
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- - î> é Mathématique. 73
  - Ton aà, b::c, d-, par confequent cb^zad , & que lî à la place de ad Ton met cb dans le fécond membre de la première équation , on aura ab—\-cb,^zab'—{-cb. C. QT.D.
  - PROPOSITION VII.
  - Théorème.
  - •170. Beux grandeurs demeurent en meme raifon, quoique ton retranche a tune çjr a tautre, -pourvu que ce qu'on retranche a la première fait a ce que ton retranche k la fécondé comme la première efi a la fécondé.
  - Démonstration.
  - Si l’on a deux grandeurs a èc b, & deux autres c &: d, de maniéré que a Toit à b, comme c eft à d, je dis que a*—c, h—d : : a ,b 5 & pour le prouver , nous ferons voir * que *Art. 158. ab‘—ad=,ab—bc : pour cela confiderez que félon la fup-pofîtion a}b : : c,d, par confequent ad^dbc, &: que fi à la place àt bc l’on met ad dans le fécond membre de la première équation , on aura ab—•ad—ab'—ad. C. QJE.D.
  - PROPOSITION VIII.
  - Théorème.
  - •171. Si ton multiplie les deux termes.d'une raifon par une même quantité, les produits feront dans la même raifon que ces termes. étoient avant Xêtre multiplie
  - De monstrati on.
  - Pour prouver que fi l’on multiplie deux grandeurs comme a & b par une autre grandeur c, l’on a ac ^bcwa^b, çonfiderez que * le produit des extrêmes.., celui des * Art. 158* moyens donnent abcz=sabc. C. Q. F. D.
  - .Corollaire.
  - 17 2. Comme les rapports ou les divilîonsindiquées font .des frayions, il s’enfuit par -cette propoficion qu’on peut
  - K
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- - N ou veau Cours'"
  - multiplier le numérateur & le dénominateur d’une fraction par une grandeur quelconque, fans changer la valeur de cette fraction *ainfi multipliant J par c , on aur-a-
  - A • AC_»
  - toujours ^-r.
  - PROPOSITION IX
  - Théorème.
  - 173. -5’/ Ion divife les deux termes d’une raifon far une' même quantité ,4es quotiens feront dam la même raifon quelles grandeurs que l’on a divife*
  - D EM O N S T R AT I O N.
  - Pour démontrer que fi l’on divife deux grandeurs a&ck' par une même quantité c-> les quotiens feront dans la même raifon que ces grandeurs > nous fuppoferons que-
  - *Àtt,ny j^zdxèc que *=/;Cela pofé* confiderez que * a~cd èC
  - bzzcf, & que pour prouver que a ,b :: d,fy on n’a qu a mettre à la place de a &c de b ( dans la proportion ) leur; valeur cd & efy,pour avoir cd, cf::d,f, qui donnera cdf ï=cdf pour le produit des extrêmes & celui des moyens.
  - C.Q.F.D.
  - Corollaire.
  - 174. Il fuit de cette propofition que Pou-peut divifer le numérateur & le dénominateur d’une fraction par une même quantité , fans- changer la valeur de la fraction:-
  - Car fi Ion divife par exemple, par c, Ion aura tou-
  - jüurs ^7—Ce qui eft bien évident 5 car fi l’on forme.
  - une proportion comme abc , de : : ab }d avec ces deux; *A-rt. 150. rapports l’on verra qu elle efi jufie, puifque*le produit des extrêmes 5c celui des moyens donnent abcd—.abcd: ainfidans la fuite quand on aura des fractions qui con-
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- - MaTHEMA TIQUE.' 75
  - ^tiendront des lettres femblables dans le numérateur 8c le dénominateur , on pourra les effacer, pourvu que l’on en . efface autant dans le numérateur que dans le dénominateur , ce qui s’appelle réduire une fradion en moindre ...dénomination.
  - P R O P O S I T I O N X.
  - Théorème.
  - -‘i 7 5. Dans toutes equations les racines des produits qui forment chaque membre , font réciproquementproportionnelles,
  - ;C efi-àrdire, qu en prenant les racines d'un des membres pour les extrêmes , & les racines de l'autre pour les moyens 3 on formera me proportion Géométrique.
  - D.EMÔ N S T R A T I ON.
  - Si l’on a formé, par exemple , l’équation aad^dbbc , il ;£aut prouver que aa, bb::c,di pour cela je divife chaque membre par de, qiii me donné ^} 0117 * #^rt*
  - en effaçant les lettres femblables 5 d’où l’on tire aa, bb: : c,d.* C. QT. D. ♦Art/r^j
  - Ij 6. Comme on ne peut réduire’une équation en proportion , fans que les produits de chaque membre fe puif-îent féparer par la divilîon , l’on elt fouvent obligé, quand les" membres contiennent pltilîeurs termes , de faire paffer-un terme d’un membre dans l’autre, pour la réduire en proportion : par exemple,, comme on ne peut réduire en proportion cette équation bbcCzzaadd-^ccxx., cl caufe que le fécond membre ne peut être divife par aucune quantité , je fais paffer ccxx du fécond membre dans le premier pour avoir bbcc—ccxx~aadd , dont le premier membre peut être divifé par et , 8c le fécond par Ûdd j mais fi on les divife l’un 8c l’autre par ccdd, l’on aura
  - 7 éaT"—>oll-dd-= Z > dou Ion tire bb~xx, dd: :.aa, çt.
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- - j6 Nouveau Cours-
  - De même pour réduire en proportion l’équation aayy «—h*—.aabb , l’on voit qu’il faut faire palier £+du-premier membre dans le fécond pour avoir aayy^r.aabb~-\-b4. D’oul’on tire aa—^hb ,yy::aa ÿ bb. Ilén fera ainii des aib-tres.
  - AVERTISSEMENT.'
  - Comme les rapports font prefque toiijours exprimez en fractions, 6c que ces rapports où fractions fe trouvent fouventdans le calcul Algébrique, il nous relte à faire voir comme on fouftrait, comme on multiplie, & comme on divife les fractions, afin de n’ètre point arrêté aùxren-droitsoii il s’en rencontrera.
  - MA NI E RE DE REDVIRE LES F RA CTIO'NS en même dénomination.
  - 177. Pour réduire deux fractions en même dénomination , comme f & 7,011 autrement leur donner un-dénominateur commun , il faut' multiplier le numérateur 3c le dénominateur de la fécondé fraction par le dénominateur de la première, c’eft-à-dire, 7 par 3 pour avoir ^Art.172.- * 6c puis multiplier le numérateur & le dénominateur
  - de la première fraction par le dénominateur de la fecom *Art.i72. de, c’eft-à-dire, 7par 4 pour avoir 77 *, &: l’on aura les deux fractions 77 & -f-, qui auront 12 pour dénominateur commun.
  - Pour réduire en même dénomination j & , je multi-
  - plie encore J-par b, & 7 par d, pour avoir 6c > dont le dénominateur commun eft bd..
  - Mais fi l’on a voit plufieurs fractions, comme 7,7, -f;, à réduire en même dénomination , il faadroit commencer par multiplier les deux dénominateurs 3 & 2 l’unpar l’autre multiplier } par le produit 6 pour, avoir
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- - DE M A T H E M A TI QJJ B. jrj
  - cnfuite multiplier le premier dénominateur par le troi-fiéine, c’elf-a-dire, 3 par 5 , & multiplier le produit 1 5
  - par 7 pour avoir , il faut multiplier ~ par 10 produit du fécond & du t roi fié me dénominateur pour avoir , —•, 6e j~ , réduits en meme dénomination, puifque le dénominateur commune fi; 3 o.
  - En agifiant de meme on verra que lés fractions^-, j jy pour avoir un dénominateur commun, feront changées
  - n . adf bcf bde
  - en, celles-ci
  - Il eft évident qu’on ne change aucunement la valeur des fractions, en les réduiïant en même dénomination, puifque l’on ne fait que multiplier les deux termes d’une railon par une même grandeur.
  - A DD ITI ON DES FR A CTI O N S.
  - 1 7 S. Pour additionner -J avec f , il faut les réduire eu même dénomination pour avoir 7-° &L ~ jenfuite ajouter les deux numérateurs pour faire de leur loin me le numérateur d’une nouvelle fraction, dont le dénominateur fera 1 e commun que l’on a trouvé: ainfl la fournie de ces deux fractions e(t L-pti, ou bien-hf.
  - Pour ajouter ~ avec df-, on les réduira en même dénomination pour avoir , & additionnant les deux
  - numérateurs , on aura fractions
  - c S *
  - itbir-Jrcdf —!2------
  - cs
  - pour la Pomme des deux
  - SOUSTRACTION DES FRACTIONS:
  - 1 75? . Pour fouftraire une fraction d’une autre , il faut les réduire toutes deux en même dénomination , fouftrai-xc le numérateur de la première de celui de la leçon-
  - K in
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- - -Uft.177.
  - -7:8 - N O Ü V £ A Ü C O U A4
  - de, & donner à la différence le dénominateur commun, Ainfi pour fouftraire -§• de -f, je les réduis en mémo .dénomination pour avoirje fouftrais .8 de $ , ôc je marque pour la différence *n\>0UTî-Pour fouftraire dëj, je les réduis en même dénomi-* nation pour avoir ^, après quoi je fouftrais le nu-
  - .merateur bc du numérateur ai , & j’écris pour la ... différence.
  - . I 8 o. Mais fi l’on vouloit fouftraire de ly—ï-j- *
  - (.£ompofez d’entiers &; 4e fradions, il. faudra réduire les entiers de chaque quantité en fraction , en multipliant les entiers par le dénominateur de la fradion à laquelle ils
  - .font liez par les ftgnes —f ou — : ainfî pour que a—-J-foit tout en fra&ion, il faut multiplier a par d , & écrire !~d-x-, & pour ne faire auffi qu’une feule fraction de
  - tiy-+Y > l’on multipliera 1y par/pour avoir 1^î'— 3 mais
  - comme —^ne peut être fouftrait de , fans qu’ils
  - nefoient réduits en même dénomination , il faut donc leur donner un dénominateur commun * , & l’on aura
  - 3 d’où fouftrayant la quantité préce»
  - dente, l’on aura pour la différence.
  - M'VLTLPLICATIOJp DBS FRACTIONS.
  - -18 1. Pour multiplier une fradion par une a vitre, on multiplie premièrement les deux numérateurs l’un par l’autre, enfuite les deux dénominateurs, & l’on fait une .nouvelle fraction avec, les deux produits.
  - Ainfî pour multiplier f par-, je multiplie les deux nu-
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- - DE M AT H EMATI Q^U E. 75?;
  - Micrateurs l’un par l’autre, qui donnent 11, & les dénominateurs auiîî l’un par l’autre , qui donnent 3 5 , & j’écris jy pour le produit.
  - 18 2 . Pour multiplier 5-+I par 7H-7 Î c’eîl-à-dire,cinq entiers 3c trois quarts, par fept entiers & cinq lîxiémes, je réduis les entiers en fractions , en difant 4 fois 5 font i o,& 3 font 2 3 j que je divife par 4 pour avoir y ; je multiplie auiîî 7 par 6 pour avoir 4 2 , qui ajoutez avec $ font^j &puis multipliant ces deux dernieres fractions Tune par l’autre, il vient 1 qui étant réduits ,c’eîl-à-dire, divifezpar 24 , donne 45-— pour le produit.
  - Pour multiplier ppar ~, je multiplie les deux numérateurs a & c, enfuite les deux dénominateurs b ôc d, ôc j’écris pour le produit.
  - Pour démontrer que -~.eit le produit de ^ multiplié
  - par g,y nous fuppoferons que j.~f> & que j'^g, <k nous
  - ferons voir que Jà^fg > ou que ac'^zbdfg, qui eît la même
  - cliofe. Pour cela je confidere que | —/, donne axzbf,
  - que j^g donne c—dg , & qu’en multipliant les deux
  - membres a—.bf par les deux membres de czzdg, il vient ac—bdfg. C. QJ.-D.
  - 183. Pour multiplier —.—y par f > je réduis les entiers en fractions, en les multipliant par le dénominateur de la fraction à laquelle ils font liez avec les figues **4 ou — , & il. vient hx~-p- & bx~^P- 3 & multipliant les
  - deux numérateurs l’un par l’autre, c’eft-à-dire, bx—ay par bx—\ay , il vient bbxx'—bxay—\-bxay—aayy , ou bien êbxx—<aayy, à qui il faut donner pour dénominateur 1© produit des dénominateurs des deux fractions, qui fera^
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- - ’&o Nouveau Cours
  - Sv l’on écrira b-*~-yy pour le produit de la multiplica-
  - i bbxx
  - •non, ou bien----—yy.
  - OO J S
  - 184. Quand on a une quantité, compofée d’entiers 6c de fractions, ou feulement de fractions à multiplier- par un entier3 il. faut donner à l’entier l’unité pour dénominateur 3 6c faire la multiplication comme ei-devant :ainfl
  - pour multiplier par une grandeur b, il faut réduire b
  - en fraction 3 en lui donnant l’unité pour dénominateur, 6c
  - au lieu de b, l’on aura - 3 qui étant multiplié par-^-, le
  - produit fera
  - .division des fractions.
  - 185. Pour divifer une fraction par une autre,il faut multiplier le numérateur, du dividende par le dénominateur du divifeur , 6c le produit fera le numérateur du quotient ; enfuite multiplier le dénominateur du dividende par le numérateur du divifeur 3 6c le produit fera le dénominateur du quotient.
  - Par exemple 3 pour divifer J par J 3 je multiplie 3 numérateur du dividende par 5? dénominateur du divifeur ,Ec leproduit 27 fera le numérateur du quotient : enfuite je multiplie le numérateur 2 du divileur par le dénominateur 4 du dividende, 6c le produit S fera le dénominateur, du quotient 5 par confequent -4g-fera le quotient, ou bien 3—f-|-3 parce que le numérateur 2 7. vaut trois entiers 6c trois huitièmes.
  - 186. Pour divifer -par je multiplie a par d pour avoir ad, qui fera le numérateur du quotient 3 6c b par c, qui en fera le dénominateur : ainfi fera le quotient que l’on cherche.
  - De
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- - de Mathemati qjuz. 3 I
  - De meme, fi l’on vouloit divifer par ^, l’on multipliera ab—'cc par c, 8c aa par à, &: l’on écrira Pour
  - -le quotient.
  - 187. Enfin fi l’on avoir des entiers 8c des fractions a divifer par des entiers 8c des frayions, on réduira les entiers du dividende 8c du divifeur en fractions, comme on a fait pour la multiplication, 8c Ton fera la multiplication 'Comme ci-devant.
  - Mais pour prouver que ^ divifé par ~ donne au quotient jpnous fuppoferons que / 8c que J—g, 8c nous ferons voir que j-: pour cela confiderez que a~.bf, 8c c~dg i èc que fi dans la fraction ~ l’on met dans le numérateur bfà. la place de a , qui lui eft egal,.&^ a la .place de c dans le dénominateur, l’on aura —rr~~
  - 1 bc bdg g
  - en effaçant bd dans le numérateur 8c le dénominateur ^ xionc eft égal à .
  - 6c 0 g
  - REGLE DE PROPORTION DES TRACTIONS.
  - 188. Four avoir un quatrième terme proportionnel aux trois fractions j,j:, 8c il faut multiplier la fécondé fraction par la troiliéme, 8c le produit fera f-J, qu’il faut divifer par j j 8c le quotient fera -fr? 5 ou bien , 8c l’on au-
  - ni ?.. * s G J'itL i5 7 • 7 5 <s
  - 1 85?. Pour trouver un quatrième terme proportionnel aux grandeurs , 8c a, il faudra , à caufe que
  - le troiliéme terme eft un entier le réduire en fraction, -en lui donnant l’unité pour dénominateur , & multiplier
  - le fécond terme ~ par le troifiéme *-, 8c le produit fera
  - L
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- - S 2 - N o U V E A U Cou R s'1-
  - qui étant réduit, -donne bx , que je réduis enfra-' dion, en lui donnant l’unité pour dénominateur. Ainfî je divife ^par-Jr, & le quotient eft le quatrième terme que je cherclie : par confequent 1 on aura >
  - Si quelqu’un des termes étoit accompagné d’entiers, il faudroit les réduire en fractions, & faire la Réglé comme-ci-devant.
  - EXTRACTION DES RACINES DES gVANTlTEZ Fractionnaires. -
  - ipo. Pour extraire la racine d’une fradion, il faut extraire la racine du numérateur pour en faire lé numérateur d’une autre fradion, & extraire aufli la racine du dénominateur pour en faire le dénominateur de cette autre fradion , & cette nouvelle fradion fera la racine^ que l’on cherche. Ainfî la racine de fera j i la racine de 55~ fera 5-• Il en fera de même des autres.
  - ddj/y dy
  - avertissement:
  - Nous n’avons confideré jufqu’ici en parlant des raifons que le rapport qu’une grandeur peut avoir avec une autre de même genre&: nous n’avons rien dit des raifons compofées, parce que ces dernieres étant formées par le produit de plufieurs raifons , il falloir être prévenu des operations des quatre Réglés des Bradions, parce que les *Art.ï4o. fradions étant, comme nous l’avons dit * , des rapp< >rts 5 il falloit faire voir que ces rapports pou voient être ajoutez, fou itraits, multipliez & divifez.-miis comme les raifons compofées ont de la peine à être entendues par les. Corn-
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- - DE MaTHEMATI QJJ E. § 3
  - mençans, 6c que d’ailleurs nous ne nous en fervirons pas beaucoup dans la fuite de cet Ouvrage , il fuffira feulement de bien comprendre les Définitions que voici.
  - DEFINITIONS.
  - 15M. Si Ton multiplie plu (leurs rapports
  - produit des numérateurs a,c , e , que l’on peut prendre pour des antecedens, 6c le produit des dénominateurs b , d,/, que l’on peut prendre pour des confequens , formeront une raifon compofée , à caufe qu’elle eft com-
  - pofée des rapports Amples ~ , j , que Ion appelle aufli Rapports compofans.
  - 1 9 2 Une raifon compofée de deux ràifons égales s’appelle raijon doublée de chacune de ces raifons. A in A ayant
  - A l’on multiplie les deux antecedens a 6c rl’unpar
  - itf ^ClLQt CotUlCA UJUx/b e/ Ot-wViA.-1
  - l’autre, Ion aura1-— , qui eft un rapport doublé, parce qu’il
  - eft compofé de deux rapports égaux j 6c
  - 15» 3 • Une raifon compofée de trois raifons égales, s’appelle Raifon triplée de chacune de ces raifons 5 c’eft pour-
  - quoi fi,l’on j multipliant les trois antecedens
  - a , c, e j l’un par l’autre, 6c les trois.confeqn.ens b, d,f, leur produit fera -JJ-, qui eft une Raifon triplée, puif-qu’elle e fl: compofée de trois raifons égales f , J , &
  - Il faut prendre garde de me point confondre la raiion doublée avec la raiion double, ni la1 raifon triplée avec la raiion triple j car la raiion double ell une raiion Ample, parce qu’elle ne peut être que la.raiion d’une chofe
  - Uj
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- - 84 N O U V E A-U C o u R S>
  - qui feroit double d’une autre, au lieu que la raifon doublée eft compofée de deux railons , & meme de-deux railons égales : ainfi quand je conlidere le rapport do 2 à 8 , je vois qu’il peut être compolé de celui de la raifon de 2 à 4, Sc de celle de 4 à 8 5 mais comme ces deux railons lont. égales, elles compofent enfemble une raifon doublée: par confequentlarailonde 2 à 8 eft doublée.
  - 1 ^4. De même j il faut faire une différence de la raifon triple à la raifon triplée, parce que la raifon triple-eft une raifon fimple, qui fait voir qu’une ehofe eft triple d’une autre , au lieu que la raifon triplée eft , comme' nous l’avons dit, une raifon compofée de trois railons qui doivent être égales 5 par exemple , la raifon de 1 a 1 6 eft triplée en la confiderant compofée de 2 à 4^ de 4. à 8 , &de 8 à 1 6~
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- - S'f
  - £> E' M A T'H E'M A T I Q^f £.
  - NOUVEAU COURS
  - £>Ë KLÂT'H E M ATI QUE*
  - LI V R E T ROISIE ME.
  - O à l’on confédéré les differentes pofi ions des Lignes
  - droites.
  - DEFINITIONS,
  - I.
  - 19 5.T ES Lignes parallèles font celles qui étant pro-I j longées corame l’on voudra, font toujours également éloignées entr elles , & dont les extrêmitez ne fe rencontrent jamais comnie AB & CD.
  - IL
  - 196. U* Angle eft.ua efpace indéfini, canfé par l’inclination d’une ligne fur une autre, lequel-on appelle Angle rectiligne, quand fes deux lignes font droites, comme ABC 5 Angle curviligne, quand les deux lignes font courbes , comme DEF j & Angle mixtiligne, quand l’une des lignes eft droite, & l’autre courbe > comme GHI. •
  - ITL
  - 197. U Angle droit eft celui dont les deux lignes font perpendiculaires entr’elles > comme CDBou CDA.
  - IV.
  - 15) 8. VAngle oblique eft celui qui fe fait par la rencontre de deux lignes obliques, c’eft-à-dire, par la -reniai
  - Planche 1.
  - Fig. 7.
  - Fig. 8. '& 10.
  - Fig. iïû
  - Fig.~n»
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- - r,g £ N O U V E A U C O ü t s
  - . contre de deux lignes qui ne font pas perpendiculaires en-tr elles , ou qui fe coupent à angles inégaux. * connue ‘ LK & HI. '
  - «y.
  - 15)^. U Angle obtus eft celui qui eft plus ouvert ou plus grand qu’un droit , comme HIK.
  - VI.
  - 2 00. VAngle aigu eft celui qui eft plus petit eu moins ouvert qu’un droit, comme LIH.
  - V IL
  - 201. L’on employé ordinairement trois lettres pour .nommer un Angle, & celle qui fe trouve la fécondé eft ; toujours au point où les cotez de l’Angle fe rencontrent » qui eft nommé Point angulaire, ou Sommet de /’Angle,
  - vin.
  - A4*
  - 202. Le Cercle eft. une Surfaçe plane bornée par une feule ligne courbe, qu’on nomme Circonférence de Cercle au dedans de laquelle il y a un point appelle Centre du Cercle, duquel toutes lignes droites tirées jufqu’à la cir-,conférence, que l’on nomme Rayons du Cercle, font égales entr’cUes, comme AB, AC, ÀD»
  - IX.
  - 20:3. Lq Diamètre d’un Cercle,efttune ligne droite qui palfe par le centre, & dont les extrêmitez vont aboutir a la circonférence, comme ED, qui divife le cercle & la circonférence en deux parties égales, que l’on appelle .indifféremment demï-Cercle, clontla moitié fe nomme par £onfequent quart de Cçrjle.
  - X
  - 204. Arc de Cercle tk \mc partie delà circonférence^ ^Ius petite ou plus grande qu’un demi-cercle.
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- - 2» È'; Ma THE M A TI Q^Ü. 1.
  - XL-
  - 205. Les Mathématiciens ontdivîfé la circonférence du cercle en 3.6 o parties égalés, qu’ils ont appellées Degrez. , & chaque Degré en 60 autres parties égales, qu’on appellç Minutes > dont chacune a été diviiée en 6 0 autres parties ^égales , appellées Secondes. -Ces di vidons ont été faites particulièrement pour déterminer la mefure des angles.
  - 0 XIL
  - 10 6 . Là Mefure d’un angle eff un arc de cercle décrit à volonté de fa pointe, & terminé par fes deux cotez. Ain fi l’oii connoît que k mefure de l’angle ABC eft l’arc AC 5 de forte quanta nt de degrez & de minutes que con- ' tiendra AC , autant l’angle ABC vaudra de degrez &de; minutes. O11 peut remarquer que la mefure d’un angle droit eft toujours le quart de la circonférence d’un cercle , c’eft-à-dire > de 5? o- degrez, car jfi l’on confidere les deux diamètres AB , CD , qui- fe coupent à -angles droits, on verra qu’ils divifent la circonférence du cercle en quatre-parties égales, & quë chacune eft la mefure de l’angle droit qui lui correfpond : par confequent on peut dire encore qu’un demi-cercle eft la mefure de-deux angles droits. -
  - PROPOSITION PREMIÈRE.
  - Problème. *
  - 1 o 7. D'un point donné hors d'une ligne donnée, tirer une perpendiculaire fur cette ligne.
  - Pour tirer du point donné A une perpendiculaire fur la ligne BC, décrivez du point A comme centre un arc de cercle , qui vienne couper la ligne donnée aux points B & C : enfuite décrivez des points B & C deux ares de cercle avec une même ouverture de compas plus petite que -celle du rayon AC, pour avoir le point E, par lequel
  - Fig.-xé.
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- - v’SiS -Nouveau Cours
  - fa.ifa.nt palier la ligne AD, je dis qu’elle fera perpendiculaire fur BC.
  - æqv8 . Pour le prouver, confie! erez que par la conftru--cfcion les lignes AB & BC font égales, étant rayons d’un Mrt.202. -même cercle *, & que les lignes EB & EC font aufii légales j ce qui fait voir que la ligne AD n’étant pas plus inclinée du côté B que du côté Ç, il s’enfuit * qu’elle eft .perpendiculaire fiir BC
  - PROPOSI.Td O N IL
  - .Problème,
  - perpendiculaire.
  - F%. 18. Pour élever une perpendiculaire fur la ligne BC au point donné A , prenez deux points B & C , également éloignez de A & de ces points comme centre, décrivez avec la même ouverture de compas deux arcs de cercle* qui fe coupent en un point comme D 5 puis tirez du point D au point A la ligne DA : elle fera perpendiculaire fur BC.
  - Il efl: naturel que la ligne 3A foit perpendiculaire fur BC j car comme, les points B & C font également éloignez du point A,& que par la confiru&ion le rayon BD eil égal au rayon CD , il s’enfuit que la ligne DA etb perpendiculaire fur BC, puifqu’elle n’efi: pas plus inclL née d’un, côté que del’aiitre.
  - PROPOSITION III,
  - Problème.
  - Fig. 2,1 o. Diviferune lignée donnée en deux parties égales.
  - Pour divifer une ligne telle que AB en deux parties égaies, décrivez des extrêmitez A & B comme centres* avec une même, ouverture de ..compas deux arcs de cercle qui fe coupent aux points C & D , <k tirez par ces deux points la ligne CD ,qui la coupera, en deux également au point E. ~ Puifque
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- - de Mathématique.
  - 'Puifqueles points D & C font également éloignez des extrémitéz A & B, l'on voit que la ligne CD eft perpendiculaire fur le milieu de AB * : par confequent elle di-vife la ligne AB en deux également1 v puifque le point E i,en eft le milieu.
  - PROPOSITION IV.
  - Théorème.
  - ni. On ne peut élever h un même point dans une ligne donnée plus dune perpendiculaire.
  - JD E M O N.-S T R A T I O N.
  - ' Si on a élevé au point C de la ligne AB une perpendiculaire CE, il eft vifibleque fi on vouloit en élever une autre telle que CD - fur le même point C, on ne le pourrait faire fans que cette ligne ne foit plus inclinée d’un côté que de l'autre,-comme ici,plus vers A que vers B 5 & comme ce feroit agir contre la définition des lignes perpendiculaires * , il s’enfuit qu’on n’en peut élever qu’une fur un même point dans une ligne.
  - PROPOSITION y.
  - Théorème.
  - 111. D’un point donné .hors d’une ligne <on ne peut faire tomber du même point qu’une feule perpendiculaire fur cette ligne.
  - D«E M O N s T R A TJ Q.N.
  - Si du point A Ton a mené à la ligne DE la perpendiculaire AB,& que les points D ,E,foient également éloignez de. A,, ileft certain que le point delà ligne DE oùtombera la perpendiculaire tirée de A , fera également éloignée -des points D & E , tel que fe trouve, par exemple, le joint B ; mais comme on ne peut tirer , du point A une
  - M
  - Fig.
  - fig. il.
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- - ÿ'Q N O U V E A U Cou R S '
  - autre ligne AC, fans que le poinrÇ ne foit à droite oit à gauche du point B „ il s’enfuit que les points D & Ene. feront pas également éloignez du point C, &: que par confequent la ligne AC ne fera point perpendiculaire; fur DE.
  - PROPOSITION VL Théorème.
  - % i 3. *Vne ligne perpendiculaire efi la plus courte de toute? les lignes que ton peut mener d’un point h une ligne«
  - D E M ON ST RATION.
  - Fig. &i* Si Ion a mené du point D la ligne DC per pend iculaire
  - fur AB, je dis que cette ligne DC fera la plus courte de toutes cellesquel’on peut mener du point D à la même ligne AB 5 & par confequent plus courte que DF.
  - Pour le prouver, prolongez la ligne DC jufqu’en E, en forte que CE foit égal à CD , tirez la ligne FE& confi-derez que la ligne DE eliplus petite que la ligne DFE3 v Â^t. 13. puifque, félon la définition de la ligne droite *, elle efl la plus courte de toutes celles qu’on peut tirer du point D au point E. Or comme FC ert perpendiculaire fur le milieu de DE ,FD fera é .;al à FE. ainfi la ligne DC, moitié deDE y fera plus courte que DF, moitié de DFE. C. QJr.D.
  - P R O P O S IT ION VIL
  - Hg. 23.
  - Théorème.
  - x. 14. Jpua^d une ligne tombe obliquement fur une autre > elle forme deux angles, qui pris enfemble, valent deux droits,
  - Démon strati on.
  - Pour prouver que les deux angles APC & CBD pris enfemble, valent deux droits, décrivez du point B COm-
  - in P rpnfrf1 nn R? m -TîArmo o A
  - me centre un demi-cercle, & co -fiderez quel’angle ABC a pour mefure l’arc AC, & que 1 angle CBD a pourme-*Art.2Q6. fure CD *:.or comme ces deux arcs pris enfemble va-
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- - “DE MATHEMA TI QU E. 5? I
  - lent le demi-cercle, 6c que le demi-cercle eft la mefure de deux angles droits * j il s’enfuit donc que ces angles ABC 6c CBD valent deux droits.
  - PROPOSITION VI IL
  - Théorème.
  - 2 I 5. Lorsque deux lignes droites fe coupent., elles forment les angles oppofez, au fommet égaux.
  - Démonstration.
  - Pour démontrer que les lignes AB 6c CD, qui fe coupent au point E, forment les angles AEC 6c DEB au fommet égaux : du point E décrivez l’arc de cercle CADB, 6c confiderez que fi l’on retranche des deux demi -cercles CAD 6c ADB,l’arc AD, qui leur eft commun,il reliera l’arc AC égal à DB *jce qui prouve que l’angle AEC eft égal à l’angle DEB, puifqu’ils ont pour mefure des arcs égaux. C. Q^F. D.
  - PROPOSITION IX.
  - Théorème.
  - 'iri 6. Lorfque deux lignes droites à* parallèles •viennent aboutir fur une troifiéme , elles forment des angles égaux du même coté.
  - De m o ns tration.
  - Pour démontrer que les deux parallèles AB :6ç CD, qui viennent, tomber fur la ligne EF, forment les angles ..ABF 6c CDF du même côté égaux;: confiderez quel’an-.gle n’étant autre chofe que l’inclinaifon d’une ligne fur -une autre*, l’égalité de ces inclinaifons fera l’égalité des angles, 6c quelles deux lignes AB 6C-CD ne peuvent être .parallèles,fans qu’elles loient également inclinées fur la .ligne EF, vous.verrez que l’angle ABF eft égal à l’angle
  - vCDf. G.qj,D,
  - ;M ij
  - ♦Art.ic^
  - Fig. 24?
  - *Art;xo£
  - Fig. if
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- - Nouveau Court
  - Fig. zé.
  - *%• *7-
  - 5>*
  - PROPOSITION X.
  - Théorème;
  - 2 17 .JLorfque deux ligues parallèles font coupées par une troijiéme.ligne, elles forment les angles alternes égaux...
  - Démonstratif n. -
  - Si les lignes AB & CD font. parallèles , & qu’elles-foient coupées par la ligne EF , l’angle AGF fera égal à l’angle EHD. Pour le-prouver confiderez que les angles AGF Ôc CHF font égaux entr’eux par leThéoreme precedent , & que les angles CHF & EHD. font aulîi égaux par le Théorème 8. D’ou il s’enfuit que l’angle AGF eR égal à l’angle EHD. C. Q. F. D-
  - PROPOSITION XL
  - Problème.
  - il 8. D’un point' donné mener une parallèle aune ligne: donnée.
  - Pour mener du point donné C une parallèle à la ligne AB, tirez du point C une ligne GB-, qui aille rencontrer la. ligne donnée a un point à volonté comme B, puis-faites l’angle BCD égal à l’angle ABC, & vous aurez la ligne CD, qui fera -parallele à AB j ce qui eft évident par le Théorème précèdent, puifque les angles alternes ABC & BCD font égaux.
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- - DE MaTHEMA TI Q/U e. q-y
  - NOUVEAU COURS’
  - DE MAT H EM ATI QUE-
  - livre QUATRIEME.
  - Qui traite des proprie tendes Triangles y& des Pa-~ rallelogrammes
  - DE El NI TI ON S.
  - zT «). I ^ Igure rtBiligne eft une furfaee plane terminée "
  - J/' par des lignes droites, appellées Cotez,, qu’on' nomme Trianglc, quand elle eft bornée par trois droites 5-.Jîhtadrilatere, quand elle eft bornée par quatre lignes droites 5& Poüçone, quand elle eft bornée par plus de quatre lignes droites. . . .
  - 220. L’on diftingue de fix fortes de Triangles 5 le Triangle équilatéral', le Triangle ifofçelle~, le. Triangle fcalene, le Triangle reBanglc ,.le Triangle oxigone ou acutangle , & le Triangle ambligone, ou obtus-angle.
  - 2 21. Le Triangle équilatéral a fes trois angles & fes trois côtez égaux, Vifofcelle a deux angles & deux côtez égaux, le fcalene a fes trois angles & les trois côtez inégaux, le reBangle a un angle droit., Ÿoxigone a fes trois., angles aigus, 1’ambligone a un angle obtus.
  - 2.2 2. La bafe d’un Triangle eft le côté d’unTrian- £%• 2# gle, fur lequel on a tiré de l’angle oppofé une perpendiculaire , qu’on appelle hauteur du Triangle : ainft on connoîc que la bafe du Triangle ABC eft le côté AB k Fëgardde fa hauteur ou perpendiculaire CD, foi: qu’elle
  - Miii '
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- - . 5>;4 ,VN OÙ V E AU c 0 XJ'K S
  - dïvife, comme ici j la bafe AB en deux parties AB ,BD; qu’on appelle fegments delà bafe, foit qu’elle tombe en dehors : ce qui arrivera, lorfqu’un des angles de la bafe fera obtus. On appelle aufii bafe le côté oppofé à l’angle droit dans leiTriangle redangle, oubienonfe nomme
  - Fig. 2^. 223 • Trape^e eft un quadrilatère , comme Q, qui n'a'
  - aucuns de fes cotez parallèles.
  - Fig. 30. 2 2 4.Trapefyïde élt un quadrilatère qui a deux de fes
  - cotez oppofez parallèles, comme la figure H.
  - Fig- 31- 225. Parallélogramme eÆ une figure quadrilatère, dont
  - fes cotez oppofez font parallèles &. égaux, comme EF.
  - 2 2 6. Diagonale eft une ligne,. comme CD , tirée dans un parallélogramme ou un redangle d’un angle oppofe à l’autre.
  - 2 2 7. Si l’on mene par un point quelconque A de la , diagonale. CD une ligne BG parallèle à ED, & une autre Hï parallèle à DF, l’on aura deux parallélogrammes AE ,8i AF, qui feront dits compléments du parallélogramme ÈF.
  - 228. Figuresfemblables.font celles qui ayant un même nombre de cotez, ont leurs angles égaux avec les . côtes en proportion autour des mêmes angles
  - .PROPOSITION PREMIERE
  - Théorème*
  - uy. L'angle extérieur J un Triangle eft égal aux deux intérieurs oppofe& ies: trois angles d'un Triangle valent Jeux.droits.
  - D E M O N S T R A T I O N.
  - :^Sy3.3*
  - Pour prouver que l’angle extérieur BDCeft égal aux deux autres intérieurs oppofez A 8c B , tirez du point D la ligne DE parallèle à AB > & confiderez que l’angle A eft égal à l’angle EDC par la neuvième du Liy. 3. & que
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- - îf E M A' Vh E M A T I E . ff
  - l'angle ÀBD eft égal à l’angle BDE par la dixiéme du me-ihe Liv. & que par confequent l’angle BDC ell égal aux angles A & B pris enfemble.
  - Or comme il manque à l’angle BDC pour valoir deux * droits j le troifiéme angle BDA du triangle ABD, je conclus que les trois angles de ce triangle font égaux à deux * droits. C. QJB.-D.
  - Corollaire. F
  - 2-3 O; Il fuit de cette propofition que connoiffani deux Fîg angles dans un triangle, on pourra connoître le troifiéme en fouftrayant la fomme des deux angles connus de la valeur de deux droits, pour avoir la différence qui fera la valeur de l’angle que l’on cherche : ainfî connoiffant dans le triangle EDF l’angle E de 50. degrez, & l’angle D de 7 o. pour avoir la valeur de l’angle F, on ajoutera enfemble 50. & 70. qui font 120. qu’il faut foullraire•: de 18 o; degrez , la différence 6 o. degrez fera la va- ' leur lie l’angle F. . .
  - G O R o L L A I R 1 I I.
  - 2 3 i. Il fuit encore que fl deux triangles ont deux angles égaux chacun à chacun, que le troifiéme du premier triangle fera égal au troifiéme du fécond: car fi l’angle A eft égal à l’angle D, l’angle C à l’angle F, il e.fi certain qu’il manquera autant de degrez à la fomme des deux angles A i C pour valoir deux droits -9. qu’à la. fomme des deux angles D & F, pour valoir atifîi deux droits. Or comme cette différence n’eft autre chofe que la valeur du troifiéme angle 3 il s’enfuit que l’angle B fera égal à l’angle E.
  - PROPOSITION IL
  - Théorème;
  - % 3 2. Beux Triangles font égaux 5 lorfqu'ils ont'deux cotm égaux chacun À chacun avec l’angle compris égaL >
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- - yjS rN O U V E AU 'C oU R’S
  - D E M O N S T R A ,T 1.0 N.
  - Pour démontrer que le Triangle G fera égal au trian-, gai H, li le coté B A eft égal au côté ED,^ le».côté BG au côté EF, & l’angle B à l’angle E,.imaginons que l’angle B eft appliqué fur l’angle ;E, comme ils font fuppofez e légaux , aulii-bien que leur , côté les extrêmitez. A &T) .aboutiront à un même point, aulîi-bien que les extrêmi-: tez Ç & F 5 par conséquent les cotez de ces triangles conviendront parfaitement les uns fur les autres ; d’où il fuit qu’ils font égaux.
  - P R. O P: O S I T I O N ITT
  - '^kéorenae.
  - , 2,3 3. Deux Triangles font égaux ,. quand ils >ont uncôtê
  - égal, & que les angles fur le côté égal font égaux-chacun-à -<chacun,
  - T) E M t>N: S T R A T I O N-
  - fig.,34. Si le côté AC du triangle G eft égal au côté'DF du . triangle H , & que l’angle A foit égal à l’angle D, l’angle : C à l’angle F, il eft .certain que les triangles G & H fe>-ront égàqx 5 cq.r fi l’on/fuppofe le côté AÇ pqfé fur le côté DF, ils conviendront parfaitement, aufti-bien que ;les angles quijont a l’extrémité. Or comme .par leCorollaire precedent i-angle B fera égal à l’angle E , il s’enfuit que
  - ces deux anglës conviendront aulli l’un fur l’autre, ©u bien ils ne feroient pas égaux entr’eux 4 par confequent les cotez BÀ & Et)'feront égaux, aufîi-b.ien queles cotez ,BC & EF j ee qui prouve que lé triangle G eft égal au triangle Fi. C. Q^F. D. '
  - PROPOSITION i y.
  - Théommç.
  - .2, 3 4.. Les parallélogrammes qui ont la même hafe, (jr qui font renfermez* entre les mêmes parallèles tfont égaux.
  - JpEMONSTA.
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- - Démonstration.,
  - Je dis que le parallélogramme AD fera égal au parallélogramme BF, s’ils ont la même bafe BD, 8c s’ils (ont renfermez entre les mêmes parallèles AF & BH.
  - Pour le démontrer,remarquez que les angles ABH 8c CDH font égaux * , auffi-bien que les angles EBH 8c FDH, les uns 8c les autres étant formez par des parallèles qui abautifTent fur la ligne BH, &que lion retranche. ces deux derniers angles des deux premiers, il Te liera l’angle ABE égal à l’angle CDF. * Or comme les cotez qui renferment les angles ABE 8c CDF font égaux les uns aux autres, étant des cotez oppofez de parallélogramme, on aura le triangle ABE égal au triangle CDF par la proportion 2. 8c li de ces deux triangles on retranche le triangle CGE,qui leur elt commun , il reliera.le Tra-pezpïde ABGC égal au. trapezoïde DG.EF *, aufquels ajoutant le triangle GBD, on verra que le parallélogramme, AD ellégal au'parallélogramme BF. * C. F. D,
  - Corollaire.
  - *35. Il fuit de la propolition precedente que les parallélogrammes qui ont des bafes égales , & qui font renfermez entre les mêmes parallèles, font égaux 5 car pour
  - {jrouver que le parallélogramme AD ell égal au paralle-ogramme GF., Ji.les bafes CD 8c EF font égales, ilt n’y a qu’à tirer les lignes CG 8c DH, qui formeront le parallélogramme CH, & conlîderer que ce parallélogramme elt égal au parallélogramme AD, parce qu’ils ont la même bafé CD , 8c que le même parallélogramme CH efl égal au parallélogramme GF, puifqu’ils ont auffi la même GH , 8c que par confequent les parallélogrammes AD 8c GF font égaux > puifqu’ils font .chacun égal à un trpilîéme.
  - % 3Ï-.
  - *Art. ioj-;
  - * Art. icq*
  - Fig.
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- - Nouveau Cours
  - PROPOSITION V-
  - Théoreme.
  - 2 3 6. Les triangles font égaux , lorfyu ayant la même bafe , ils font renfermez, entre les mêmes parallèles.
  - Démonstration.
  - L’on entendra aifément que les triangles. CBD& FBD font égaux,s’ils ont 1& même bafe BD, & s’ils font renfermez entre les mêmes parallèles : car fi on confidere qu’ils font les moitiez des parallélogrammes égaux BA & BE, on verra que les touts étant égaux, les moitiez feront égales.
  - Corollaire. I.
  - z 3 y. Il fuit de cette proportion que fi un parallelo-J8* logramme AD, & un triangle AEC, renfermez entre les mêmes parallèles, ont la même bafe AC , que le triangle AEC elt la moitié du parallélogramme , parce que le triangle BÂC, qui luie11 égal, ell aulîî la moitié du parallélogramme AD.
  - Corollaire IL
  - Fig. 3 8- 238. Comme le triangle BAC ell égal au triangle AEC,
  - il ell confiant qu’ayant la même bafe , ils doivent avoir la même hauteur. Or comme la hauteur du premier ell la perpendiculaire B A, la hauteur du fécond fera donc la perpendiculaire EF, qui ell égale à BÂ : ce qui fait voir que la hauteur d’un triangle incliné fur fa bafe ell une ligne perpendiculaire, tirée du fommet du triangle fur le prolongement de fa bafe. Ce fera la même chofe pour les parallélogrammes inclinez..
  - Corollaire 11L
  - Fis» 39* a'3-5>‘ LFn triangle ABC étant la moitié d’un parallélo-
  - gramme AG ,. il fera égal au parallélogramme ADEC dont la hauteur HF ell fiippolée la moitié de la perpen-
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- - D É M A THEM AT I QJJ I. $$
  - dicalaire BF, qui fertde hauteur commune au triangle & au parallélogramme : or comme pour trouver la fuper-£cie du parallélogramme ADEC , il faut multiplier la bafe AC par fa hauteur HF , moitié de la perpendiculaire BF: il s’enfuit que multipliant ta bafe d'un triangle par la moitié de la perpendiculaire , ou , ce qui revient au même, ' toute la perpendiculaire parla moitié de la bafe, le produit .donnera la fnperficie du triangle.
  - Corollaire IV.
  - 2 40..Si Ion confidere qu’un triangle ABC eft compofé pig. ^ d’une infinité de lignes parallèles , qui en font les éle-mens, & que toutes les lignes étant également éloignées, ie furpalfent de la même quantité, on verra quelles corn-pofent une progrefiion Arithmétique d’une quantité infinie de termes, qui commencent par o , & dont la fournie eh exprimée par la perpendiculaire BD. Or comme l’on trouve la valeur d’un triangle, ou autrement la fournie de toutes ces parallèles , en multipliant la plus grande, qui eh la bafe par la moitié de la -grandeur , qui en exprime la quantité, c’eft-à-dire, par la moitié de la perpendiculaire BD, il s’enfuitqu’011 peut tirer de ce rai-lbnnement' le principe fuivant,qui eh que la jomme des Sennes des quantité^ infinies en progrefiion Arithmétique, en .1commençant depuis o , ejï égal au produit du plus grand terme par la moitié de la grandeur, qui exprime la quantité des termes„
  - Il faut s’attacher à bien comprendre ce Corollaire, parce que nous nous en fervirons utilement dans la fuite.
  - PROPOSITION YI.
  - Théareme.
  - 41. Les complemens des parallélogrammes font égaux;
  - Démonstration.
  - Pour prouver que les complemens AE &: AF du parai- Fig. 31? lelogramnie EF font égaux, confidetez que le parallelo-
  - .N ij
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- - ïoo Nouveau Cours
  - gramme EF eft di vifé en deux triangles égaux CED&CDFy de même que les parallélogrammes BI & HG : or fi l’on retranche du triangle CED les deux triangles CBA èc AHD , il reliera le complément EA. j & fi du triangle CDF on retranche ^pareillement les deux triangles CAI & ADG, qui font égaux aux deux précedens, il reliera le complément AF, égal au complément AE, puifque fi de grandeurs égales on en retranche d'égales, les rellans font égaux. C. QT. D.
  - PROPOSITION VIL Théorème.
  - ^42. Les parallélogrammes qui ont la meme hauteur, font dans la même raifon que leurs hafes.
  - Démonstration.
  - Fig-41.’ Je dis que £ \QS parallélogrammes E & F ont la même hauteur, ils feront dans la même raifon que leurs bafes.
  - Pour le prouver, je nomme a la bafe du premier 5 h, celle du fécond, r , la hauteur de chacun : je conclus que ac. x bc : : a , b, puifque abezzabc. C. Q,. F. D;
  - Corollaire..
  - 3Fîg. 42.' 243. Il fuit de cette propofition que fi l’on a deux
  - triangles ABC & CD B, qui ont la même hauteur BE, puifque leur fommet aboutit au même point Bqu’ils feront dans la même raifon que leur.) hafes AC & CD j car les triangles étant les moitiez des parallélogrammes, il en fera des moitiez comme de leurs touts.
  - PROPOS ITION VIIL
  - Théôreme.
  - 244. Si Lon coupe les deux cotez, d’un triangle par une ligne parallèle à la bafe, les cotez du triangle feront coupez proportionnellement*
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- - TOI
  - de Mathématique.
  - Démonstration.
  - Je dis que les cotez AB & AC, qui font coupez par la-ligne DE,parallèle à la bafe BC du triangle ABC, font di-vifez proportionnellement, c’elt-à-dire , qu’il faut faire voir que AD. DB : : AE. EC. Pour cela tirez les lignes BE 8c DC, qui donneront les triangles égaux BDE 8c DEC, puifqu’ils ont la même baie DE, 8c qu’ils font renfermez entre les mêmes parallèles. Cela pôle, je nomme chacun de ces triangles égaux g, 8c le triangle ADE,/> comme les triangles ADE 8c DEB ont la même hauteur, ayant tous deux leur fommet au point E, ils font dans la même raifon que leurs bafes*, 8c par-confequent AD. DB : :/ g. de même les triangles ADE 8c EDC ayant la même hauteur, ils Feront encore dans la même raifon que leurs bafes, e’eft-à-dire, que-AE. EC: g. ainh com-
  - me ona deux raifons qui font égales à une troifiéme raifon, il s’enfuit que AD. DB : : AE. EC. C. JL iq D.
  - DEFINITION.
  - 245. L’on nomme cotez proportionnels dans les triangles ferablables , aulli-bien que dans toutes les autres figures , les cotez qui font oppofez aux angles égaux j par exemple, pour dire que le côté AB eJf au côté DE comme le côté AC eit au côté DF, il faut que l’angle C fois dgal à l’angle F y8c que l’angle B loit égal à l’angle E.
  - PROPOSITION IX,
  - Théorème.
  - 2.46. Les triangles femblables ont leurs cotez, proportion-• mis.
  - De monstration.
  - *Art.2'4j;
  - Fig, 44*
  - SiTe triangle ABC eft femblable au triangle CED , jerpj„ *5, dis que le côté AB elb au côté AC r comme le côté CE eft
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- - ?io ï. Nouveau "Co u-fR*s
  - au côté CD, pour le prouver il faut joindre les deux ba-fes des triangles fur un même alignement, ôc prolonger les cotez AB ôc ED jufqu’a ce qu’ils fe rencontrent au. point F. Cela pofé, remarquez que la figure CBFE eft un parallélogramme, ôc que les cotez AF Ôc AD du triangle AFD font coupez par la ligne BC , parallèle au côté FD, ôc que par la proportion precedente on aura AB. BF : : AC. CD. Èt fi on met à la place de BF , CE, qui lui eft égal,on aura AB. CE : : AC. CD. ôc en raifon alterne, AB. AÇ: : CE. CD. c. F. D.
  - Corollaire I.
  - Fig. 44. 247. Si on a deux triangles femblables M ôc'N , om
  - aura par la propofition precedente a yb ::c, d, par conséquent bti=ad , qui fait voir que deux cotez pris dans deux triangles femblables, ôc deux autres cotez pris dans ; les mêmes" triangles, peuvent toujours former deux' re» jftangles égaux.
  - Corollaire IL
  - ?ig*44* 24^- Il fuit encore que fi l’on a deux triangles fem-
  - blables , dont on conçoit deux cotez dans l’un "ôc un côté dans l’autre, qu’on pourra trouver le fécond côté del’au--tre: car fuppofant, par exemple , que dans les triangles M & N le côté ^ foit de n 2 pieds, le côté b de 8 , & le r côté c de-.y , ôc qu’on veuille connoître le côté d, il n’y ;aura qu’à faire une Réglé de trois , ôc dire: Si 1 2 m’a donné 8 ,combien nie donneront ,5) ?On trouvera 6 pour la valeur du côté. Il en fera ainfi des autres.
  - AVERTISSEMENT.
  - La proportion precedente eft une des plus plus confîde-.cables de.li Géométrie 5 car elle en eft comme la bafe ; x’eft pourquoi il faut s’appliquer à la bien entendre pour .pouvoir comprendre toutes celles qui fuivent dès la pre-.miere leêture , puifqu’elles font prefque toutes démpn^ .•crées par celle-ci.
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- - 2Ï'E M A T H EM A T I QU E. I O 3
  - PROPOSITION .X.
  - Théorème,
  - 245). Si l'on abaiffe de F angle droit d'un triangle rectangle une perpendiculaire furie coté oppofé, elle dwifera ce triangle en deux autres triangles, qui lui feront femblables.
  - Démonstration.
  - Pour démontrer que la perpendiculaire BD tirée de Fig, 4#; l’angle droit ABC, forme les deux triangles ABD & BDC femblables au grand ABC, remarquez que les triangles ABC & ABD ont chacun un angle droit, & l’angle A , qui leur eft commun, & que par confequent ils font femblables : de même que les triangles ABC & BDC, qui ont aulîi chacun un angle droit, &; l’angle Cleur e 11 commun. C. QJF. D.
  - PROPOSITION XI.
  - Théorème,
  - 2 <5 o. Dans un triangle retfangle le quarré du côté oppofé à l'angle droit , efi égal aux quarre^ des deux autres côtez, pris enfemble.
  - Si Ion abaiiTe de l’angle droit B la perpendiculaire BD Fig. 47. fur le côté AC , &c qu’on nomme AC. a. BA. b. BC. c.
  - AD. x. DC fera a—x. Cela pofé, nous ferons voir que
  - AC{aa)r=AB-+BC ( bb-±cc)
  - D E M O N S T R A T I O N.
  - Comme la perpendiculaire BD divife le re&angle ABC en deux triangles femblables BAD & DBC , l’on aura AC ( * ), AB ( b ) : : AB ( b ), AD ( x ) 5 & AC ( a) , CB(c) :: CB (r), DC (a—rv ) qui donne ces deux équations axrzrbb, Se aa—axrzr.ee : or fi on ajoute enfemble ces deux: équations > on aura aa—ax —fcaxrr.ee—fcbby d’oiieffaçans
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- - io4 .Nouveau Cours1 _
  - ce qui fe détruit , l’on voit que AC(aa)
  - ( bb—\;cc } C. D.
  - Corollaire I.
  - ,2.5 i..Cette proportion eft la fameufe quarant.e-fep-tiéme du premier Livre d’Euclide , pour laquelle Pytha-gore facrirîa cent bœufs aux Mufes, après en avoir fait la découverte , pour les remercier de la faveur qu’il croyoit en avoir reçu : & pour être prévenu de l’ufage que nous en ferons dans la fuite, il faut remarquer que connoiffant les quarrez de deux cotez d’un triangle rectangle, on pourra toujours connoître celui du troi dénie.; car fi l’on a AC (aa) de A B (bb) on voit qu’on aura toujours AC—AB ( aa—bb)~BC ( cc ) qui donne la valeur du quarré du côté de BC : on voit de plus que connoiffant les deux cotez qui comprennent l’angle droit d’un triangle rectangle, on pourra connoître l’hypote-nufe, en quarrant ces deux cotez, ce en extrayant la racine des membres de l’équation aa^zbb—^cc , on aura
  - 2 -----
  - a—tfib-^cc 3 de fi connoiffant l’hypotenufe avec un autre côté , on vouloit trouver le troiiiéme côté , on n’auroit qu’à fouftraire du quarré de l’hypotenufe le quarré du fécond côté que l’on connoît, & la racine quarrée de la différence donnera Ja valeur du côté qu’on cherche :
  - ainfi connoiffant les deux cotez BÇ & AC, on voit que
  - %-----
  - v'aa—rt“,AB.
  - Corollaire II.
  - s. 5 2 . Il fuit encore de cette propofition que la perpendiculaire tirée de l’angle droit d’un triangle rectangle fur l’hypotenufe eft moyenne proportionnelle entre les parties de l’hypotenufe 5 car comme la perpendiculaire BD divife le triangle ABC en deux autres triangles femblables; Qn aura par confequent AD. DB : : ÜB. DÇ C. J^F.D.
  - PR.OIL
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- - •D E M A T H E M A T I QUL Xoj
  - PROPO S IT ION XII.
  - Théorème.
  - 253. Dans un triangle obtus-angle ABC le quatre du pjg, ^ côté AG.-y oppofé à l’angle obtus, efi égal au quarré des deux autres côte£ AB ér B C pris enfemble ,Ji on leur ajoute deux reffangles compris fous le côté BC qui a été prolongé pour la perpendiculaire, & fus la partie BD quiejl entre la perpendiculaire & T angle obtus.
  - 4 Nous nommerons AC, a 3 AB, c 3 BC ,b 3 BD, x 3 AD, e 3 &
  - nous ferons voir que AC ( aa ) =AB-ri-BC—hiDBxBC (cc—±bb—j‘ibx.)
  - 'Démonstration.
  - Comme le triangle xe&angle ADC donne AC (aa ) zz AD—fDC ( ee—j-xx—ï 1 bx—fhb ) & que le triangle redan-
  - gie ABD donne encore AB ( ce ) r:AD-J-DB ( ec—+xx) l’on voit que fi on met dans le fécond membre de la première équation xr a la place de ee~-\-xx, on aura AC (aa) zzÀB —f-BC—DBxBC (cc—<\bb—-^-zbx) C. Q^F.D.
  - COROLIAIO,
  - 15 4. Si l’on avoit un triangle ABC , dont on connût les trois cotez, on pourrait par cette proportion trouver la perpendiculaire AD qui détermine la hauteur du triangle 3 car comme l’on a aa'—.cc-^bb^-i bx, fi l’on fait paf-ler cc—$bb ,du fécond membre dans le premier ,11 viendra aa—cc—'bb—%bx qui étant divifé par ib , vient
  - aa—ce—bb .. r.
  - ---qui fait voir ,qu on trouvera la valeur de
  - la ligne DB , en fouftrayant du quarré AOoppofé à l’angle .obtus les quarrez des cotez AB Jèc BC, &jen divifant
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- - 1:0 <? N O U Y E A U Cou R. s •
  - le reliant par le double de la valeur du côte' BC. Or comme on a le triangle ADB, qui donne cezzee—\-xx, fi l’on fait palier xx dans le premier membre, on aura ce—xx
  - ~~'ee ’ dont ayant extrait la racine, il viendra v^cc*—xx^ze*, qui fait voir que pour trouver la perpendiculaire AD, il faut ôter le quarré DB du qüarre AB, 8c extraire la ra« cine du reliant..
  - PROPOSITION XIIL
  - Théorème. -
  - 25 5. Dans tous triangles comme ABC , le quatre du côte' Fig. 49- AB oppofé à un angle aigu C avec deux rectangles compris’ fous le côté AC où tombe la perpendiculaire, & fous le fegment D C entre la perpendiculaire & l'angle aigu, ejl égal aux quar-re[ des deux autres côte^ AC & BC pris enfemble.
  - Ayant nommé AB, a \ BC, b * AC, c j BD, e 5 DC, x 5 AD* > ^ ------------------------------ *
  - fera c-—x. Cela pofé,nous ferons voir que AB—f 2 ACxDG ( aa—\micx ) r^BG-J-AC ( cc—fabb )
  - Démonstration.
  - Comme les triangles rectangles BAD & BDC donnent AB ( aa ) mBD—f-AD ( ee—^cc^z cx—^xx ) 8c BC (bb) tn
  - •— a — a
  - BD—f«DG (ee—\*xx ) £ dans cette, équation aa—^icxzr: fc—^bb, l’on met à la place- de aa fa valeur ee-^ cc^icx i—^xx, 8c à la place de bb fa valeur ee—\*xx , l’on aura te—J-ce—>1 ex —\~xx[—f- 2 cxzzzec'—}?xx —j-cc , ou bien ee— cc—\-xxz=zee —f- cc—±xx, qui prouve que ce qu’on a. avancé eft démontré.
  - G O R O L LAI R E.
  - Fig. 49^ 2 5 é. Comme cette propofition donner—f icx—ce
  - ^\bby £ l’on.fait palier aa du. premier membre dans le
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- - de Mathématique,' 107
  - fécond, l’on aura icxzzzcc—\-bb—>aa , ou bien .vr:
  - cc-~\-bb—<aa .r » 1 , r .
  - ---------, en divilant chaque membre par ic, qui tait
  - voir que pour avoir la valeur du fegment DC, il faut oter de la fomme des deux quarrez des deux cotez AC & BCle quarré du coté oppofé à l’angle aigu, & diviser le reliant par le double de la valeur du côté AC. Or h l’on veut connoître la valeur de la perpendiculaire BD, on n’aura qu’à ôter du quarré BÇ le quarré du côté DC, & extraire la racine du relie.
  - Oij
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- - Nouveau Cour S"
  - FlAM-che 3. Fïg- 50...
  - Fig^ 51?
  - fig.50.
  - Fîg. 52:
  - %-5î*
  - 108
  - NOUVEAU COURS
  - DE: MATHEMATIQUE.
  - LIVRE CINQUIEME.
  - O à Von traite des propriété^dû Cercle* DEFINIT! ONS.’
  - 1.:
  - 257. Y' *0 n nomme Cercles concentriques y ceux: qui 1 >, avant été décrits du même centre , ont leurs circonférences, parallèles. Tels font les deux .Cercles qui ont pour centre commun ié point A. -
  - II.\
  - 258. Les Cërcles excentriques font ceux qui ayant été décrits par. des centres difFérens > n’ont pas leurs, circonférences parallèles y commeB & C.
  - IIL
  - 255); L’on nomme Couronne l’efpace renfermé entre les circonférences de deux Cercles concentriques comme eft l’efpace .BB y terminé par les circonférences E & F.
  - IV.
  - 2 60. Segment de Cercle effc la partie d’un Cercle terminé par une ligne droite & par une partie de circonférence du même Cercle ; comme . ABC ou ADC.
  - V. .
  - 2 6i- Sciïfeurdc Cercle eft une partie de Cercle termi-
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- - 3>E Mat HEM A T IQ^Jê; ï-b'Sr.
  - née par deux rayons » &; par une partie de la circonférence-du Cercle» Telle eft la partie du Cercle CDE.
  - VI;
  - z 61 » Arc de Cercle eft une partie de circonférence plus grande ou plus petite qu’un démi-Cercle. .
  - VII.
  - z 6 y. L’on nomme Cordes toutes lignesdroites, comme j» AC, terminées par la circonférence d’un Cercle ou d’une partie deCercle. •
  - VIIL
  - z 64. Quand une ligne touche là circonférence d’un Fig. 5# Cercle fans la couper» cette ligne eft nommée tangente 5 ainli la ligne AB qui ne touche la circonferencedu Cercle D qu ’àu point D, eft dite tangente à ce Cercle.
  - IX/
  - Si on a une ligne qui au lieu de toucher un Cercle, le 5 coupe » comme la ligne BE » cette ligne eft nommée fe- -came.
  - PROPOSITION -PREMIERE/
  - Théorème*
  - z6 5. St du centre àJun Cercle on abaiffe une perpendicu- Fig. 55» laite BD fur une corde A C y elle la divifera en deux- égale- ‘ ment au point D.
  - DEMO NT S T K A T I O *T.'
  - Pour le démontrer», confiderez qu’ayant tiré lesrayon's BÂ de BC, l’on aura deux triangles re&angles B AD &:
  - BDG, & que l’angle A étant égal à l’angle C », l’angle A BD fera égal à l’angle CBD. Or comme lescôtezqui comprennent ces arigies font égaux , le-côté-BD étant commun, & les autres B A &BC étant des rayons „ il s’enfuit par l’art. 232. que la ligne AD eft égale à la ligne DG. *
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- - &£-:S7*
  - TI O N O U Y !1 U G O U A -:S
  - Go RO.LLAI RJ5.
  - 266. Il fuit de cette proportion, que fi Ton prolonge : la perpendiculaire BD jufqu’àla circonférence E, qu’elle divifera Tare AEC en deux également 5 car les angles ABE & EBC étant égaux,les arcs AE & EGJe feront auflj.
  - P R O P O S I'T ION IL
  - Théorème.
  - 26 7. Si du centre d'un Cercle on mene une ligne DC au point où une tangente AB touche le Cercle , je dis que cette ligne fera perpendiculaire fur la tengente.
  - D e m o ns t.ra t i o n.
  - Pour prouver que la ligne DC eft perpendiculaire fur la ligne AB, Il elle vient rencontrer cette ligne au point où elle touche le Cercle, remarquez que la ligne DC eft la plus courte de toutes celles qu’on peut tirer du centre -D fur la tangente AB . à droite oui gauche du point C, parce que toute autre ligne fortiradu Cercle , & fera par ; confequentplus grande que le rayon. .Or puifque la ligne DC eft la plus courte de toutes celles que l’on peut tirer du centre D fur la ligne AB, elle eft perpendiculaire ftxr. cette ligne par l’art. 213.
  - PROPOSITION III.
  - Théorème.
  - .2 6 8. îL'angle qui eft a la circonférence d'un Cercle a pour .mefure la.moitié de l'arc fur lequel il s'appuyé*
  - Démonstration.
  - Pour prouver que l’angle ABC, qui touche la circon--ference, a pour mefure la moitié de ,1’arc AEC, tirez fa .ligne BE par le centre D, & les rayons DA & DC 5 ensuite faites attention que le triangle DBA eft-ifofcelle*
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- - D B1 MaTHEM'AT'I q^u e. rrr
  - S: que l’angle extérieur ADE valant les deux autres intérieurs oppofez * , qui font égaux entr’eux, il fera dou- *Art.u ble de l’angle ABE , & que-par la même raifon CDE fera double de l’angle CBE > d’où il s’enfuit que la me-fùre de l’angle ABC n’ëft que la moitié de l’arc AEC. • C.g^F.D.
  - G O R OL LAI R Ei
  - Il fuit de cette propofition plufieurs confequences.:
  - 265?. ip. Qu’un angle tel que ABC, qui eft renfermé Fig. ^ dans un demi-cercle ,-eft droit 5 ce qui ell bien évident, puifqu’il a pour mefure la moitié de l’arc AQC, qui eft un quart de. cercle.
  - 270. 20. Qu’un angle comme DËF, qui eft renfermé Fig. g&a dans un fegment plus petit qu un demi-cercle, eft obtus, parce-qu’il a pour mefure la moitié de l’arc DOF, qui eft
  - plus grande qu’un quart de cercle.
  - 271. 30. Qu’un angle comme GHI,qui eft renfermé Fig.li. dans un fegment plus grand qu’un demi-cercle , eft aigu,: puifqu’il a pour mefure la moitié de l’arc GOI, qui eft*
  - plus petite qu’un quart de cercle.
  - 272. 40. Que les angles comme ABC 3c ADC, qui Fig. 6z, font renfermez dans le même fegment, font égaux, puif-qu’ils ont chacun pour mefure la moitié de l’arç AOC.
  - 273. 5 °. L on pourroit encore faire 'voir quelle eft la mefure des angles qui ne font, ni au centre-, ni à la circonférence , dont la pointe feroit dedans ou dehors le cercle : mais je laifte aux Commençans le plaifir de" la chercher eux^mêmes.-
  - PROPOSITÏON IV.
  - Théorème.
  - 2 74. Si ton a un angle B AD, formé-par une tangente AB- ^
  - & une corde AD , cet angle aura pour mefure la moitié de-Tare AFD,
  - Tirez du centre E le rayon EA au point-d’attouche^ -
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- - *Art. z6$ & 166.
  - Pg-.ffj.
  - ^Art.2^80
  - * Art. 246. &c 247.
  - * Art. 150.
  - Fig#:
  - » 1 r z ' N o U\v eau Cou u s
  - ; ment A, qui fera perpendiculaire, fur. la. tangente AB *, ,& tirez la ligne FG 'perpendicuiaireiiir.AD,qui feradi-. viféeen deux également, auiîi-bien que l’arc ÂFD.**
  - t D £ M O N S T R A T I O N.
  - Comme l’angle B AD ne peut valoir un droit fans l’angle GAE, &: que l’angle .AEG ne peut aufli valoir un droit fans le même angle GAE j il s’enfuit donc que l’angle BAD„eft égal à l’angle AEG : mais ^connue l’angle AEG a pour anefure l’arc AF , moitié de AFD, l’angle B AD aura donc .aufli pour mefure.l’arc AF, moitié de AFD. c.^e.d.
  - P K O P O SI TI O N Y. "Théorème.
  - ,2,7 5 .Si Ton a deux lignes AB & CD qui Je coupent in-r différemment dans ,un cercle, je dis que le rectangle compris fous les parties AE & E B de l’une eft égal au reffangle lcompris fous les parties ,CE & ED de l’autre.
  - 1' *
  - D EM O N S T R A T I O N.
  - Ayant tiré les lignes AC & DBconfiderez quelles f triangles ACE & EBD font femblables, puifqu’ils ont les anglès au point E égaux, & que l’angle C efl égal à l’angle B , ayant chacun pour mefure la moitié de l’arc AD*. Cela pofé, l’on aura donc *EB. EC : : ED. EA. Par ,con-fequent *ECxËD==EBxEA. C. D.
  - P K O PO SITlpN VI.
  - Théorème.
  - 2 y 6. Si d’un point comme A pris hors d’un-cercle , ton tire /deux lignes AB & AC qui aillent (e .terminer h la circonférence concave, je dis que le reffangle compris fous,une des lignes AB & fous fa partie extérieure AD au cercleeft égal au re51 angle compris fous l’autre ligne A C , & fous fa partie
  - extérieure AE*
  - Demonsta*
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- - No uvccuv Cours
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- - D E M A t H E M A T I Q^T E.' TI 3
  - D E M O N S T RAT I O N.
  - Si l’on tire, les lignes BE & CD , Ton aura deux trian-; gles. femblables AB£ & ACD j car l’angle A leur eft commun, & les angles B & C ont .chacun pour mefure la moitié7 de l’ar.c DE : ainfi on aura *AE. AB : : AD. AC. Par ^çonfequent * ABx AD=ACx AE. c. D.. & 247-
  - * Art. iîq,
  - PROPOSITION VIT.
  - Théorème.
  - 277. Si l’on éleve une perpendiculaire BD a tel point que pjg# ^ Pon voudra du diamètre A C, le quarré de la perpendiculaire fera égal au reiiangle compris fous les parties AD & DC du . _ diamètre,
  - Démonstration.
  - Si l’on tire les lignes AB &BC, on aura l’angle droit ABC* y & commeila perpendiculaire BDdivife le trian- *Art. ity. gleredangle ABC en deux triangles femblables * ABD & BCD, l’on aura * AD. DB : : DB. DC Par-confisquent Art*249.
  - *rât=ADxDC.C^,P.Z). tlT
  - *Art.i jz.
  - C O R O L L A :î R E.
  - j.j8.îl fuit de cette proportion qu’à quel point du diamètre d’un demi-cercle ,-on éleve une perpendiculaire,, qu’elle eft toujours moyenne proportionnelle entre les
  - Ïarties du diamètre, & c’eft ce que nous appellerons dans 1 fuite la propriété,du Cercle.
  - PROPOSITION VLII.
  - Problème.
  - ,2 7 2. Mener une tangente a . un cercle par un point donné.
  - Pour mener une tangente du point donné D au cercle ^ C, tirez du centre C au point D une ligne DC, que vous diviferez en deux également au point E j & puis de'ce
  - P
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- - 2 r^i N OU VEAU Cou R s
  - point comme centre, décrivez un demi-cercle CBD, je dis que la ligne qui fera menée de D en B , où ces deux * circonférences fè coupent, fera tangente au cercle.
  - Pour le prouver, tirez le rayon CB, & conliderez. que-l'angle CBD eft droit, puifqu’il eft renfermé dans un demi-cercle, & par confequent la ligne BD fera tangen-?Art.267. te , puifqu’elle eû perpendiculaire fur le rayon CB*.* C.^F.D.
  - PROPOSITION IX.-
  - Théoreme.
  - 2 S o. Si £un point B hors d'un cercle l'onmene une. tangente BAté* u>ne fcc ante BC, je dis que le marré de la tangente AB fera égal au rectangle compris fous la ligne BC * ér fa partie extérieure JD B.
  - Démonstration.
  - Pour le prouver, tirez les lignes AC & AD , & faites attention que les triangles CA 15 Sc ABD font femblables ?, car iis ont l’angle B. de commun, & les angles B AD & A CD ont chacun pour mefure la moitié de l’arc AD : ce^a etant > notls aurons * BC. BA. : : BA. BX>. Par confe-
  - ^Àrt.iji. quent* BArzBCxBD. C.J^F.D.
  - PROPOSITION X.
  - Théorème..
  - Fi €% 2 8 i • Si Von a une tangente CB perpendiculaire far le
  - ' o* * diamètre AB 3 je dis que fi l'on tire autant de lignes qupn voudra du point A k la tangente, comme efi, par exemple, la ligne A C , que le quarré du diamètre AB , fera égal au rectangle compris fous une ligne telle que A C fous la partie inté-
  - rieure AE au Cercle..
  - D E M O N S T R A T I ON.
  - Si l’on tire la ligne BE, on aura deux triangles femblai-
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- - DE MATHEM ATIQU E. I ï 3
  - ' Blés ABC & AEB, puifqu’ils ont chacun un angle droit, v& l’angle CAB qui leur eft commun : ainft * AC. AB : :
  - .AB. AE. Par confequent * ACxAEt=:AB. C. J^F. D. DEFINITION.
  - 281. L’on dit qu’une ligne eft divifée en moyenne & extrême raison, quand elle eft coupée en deux parties, de maniéré que toute la ligne eft à la plus grande partie comme la plus grande partie eft à la plus petite 5 & pour lors la plus grande partie eft appellée la médiane.
  - PROPOSITION XL
  - Problème.
  - ,2, 8 3. Divifer une ligne en moyenne & extrême raison.
  - Pour divifer la ligne AB. en moyenne & extrême rai-Ton, tirez fur l’extrémité B la perpendiculaire BD égale à la moitié de la ligne donnée AB, du pointD & de l’intervalle DB, décrivez un cercle, & tirez parle centre la ligne AC : puis faites AF égal à AE i je dis que la ligne AB fera diviféeen moyenne & extrême raifon au point F.
  - Ayant nommé AF ou AE, x 5 AB, a.5 CE fera auffi^,ACj œ—txj &FB, a—x j nous ferons voir que AB (a) AF (#) :-: AF {. x J.FB [ a<—x )
  - De mon s t r a t 10 n.
  - Par la proportion 5?. l’on a AC ( a—^x ) AB (a) : : AB (a) AE (x) qui donne * aa~xa~Fxx. Or ft l’on fait palier xa du fécond membre dans le premier} on aura aa—^ax^:xxj d ou. l’on tire * cette proportion a. x : : x. a-—x. C. QJF.D.
  - * Art. 24^, *Art. 15 il
  - fArt.iy*?,'
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- - Nouveau Cours1
  - 'ï 16
  - NOUVEAU COURS
  - DE MATHEMATIQUE
  - LIVRE SIXIEME.
  - traite des Poligones réguliers infcrits & circonfcrèts au Cercle•
  - IXE FINITIONS..
  - I.
  - 2 84. O dit qu’un Poligone régulier ou irrégulier
  - y 3- eft inscrit au cercle , quand les fournies de tous les aneles du Poligone touchent le cercle.
  - O 0
  - 11..
  - 2 8 5 . On dit qu’une figure rectiligne efi: circonscrite a un cercle, quand chacun de fes cotez touche la circoiii-ference du cercle, ou autrement quand chaque côte'de^ vient tangente au cercle.
  - III.
  - 286. Poligone régulier eft une figure dont tous les an? çles & cotez font eVaux ,entr’eux.
  - IV.
  - 2 8 7. Un Poligone régulier fe.nomme pentagone quand il a cinq cotez 3 exagone quand il a fix cotez 3 eptagone quand il a fept cotez 5 oâogone quand il a huit cotez y mneagone quand il a neuf cotez j décagone quand il a dix
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- - D>E - M A'T H EM A T I CfU E. I Vf'
  - cotez j ondée agone quand il a onze cotez 5 dodécagone quand il a douze côtez.
  - V.
  - 2.8 8. Dans un Poligone régulier il y,a Vangle du centre & Yangle du Poligone,
  - VI.
  - 285). U angle du centre eft un angle comme BAC, for me par deux rayons AB &: AC, tirez du centre aux ex trêmitez d’un des côtez du Poligone.'
  - VIL
  - 2 '5> o. ÏSangle du Poligone éft un angle comme BCD, forme par la rencontré de deiix cotez BC & CD.
  - Corollaire,.
  - 2 5) 1. Comme l'angle du centre d’uri Poligone a pouf înefure l’arc dont un des côtez du poligone eft la corde, l’on trouvera toujours la valeur de cet angle, en divifanc 360, qui eft le nombre de degrez du cercle par la quantité de cotez, dont le Poligone eft compofé: ainlrpour trouver l’angle du centre d’un exagone , je- divife 360 par &>je trouve 6 0 degrez pour lamefure de l’an-* gle que je cherche. Or comme* l'angle du Poligone BCD eft double de l’angle ABC, & que par confe^uent il eft égal aux deux angles de la bafe du triangle ifofcelle ABC, il s’enfuit qu’il *elt égal à la différence qu’il y :a de l’angle ' du, centre à deux droits : ainfi on trouvera la valeur de l’angle du Poligone de tel nombre de côtez qu’on voudra-, en prenant la différence de l’angle du centre à 1 8 q‘ degrez.
  - PROPOSITION PREMIÈRE.
  - Problème.
  - xp 1. Infcrire un exagone dans un cercle.
  - Pour infcrire un exagone dans un cercle, il faiit pren- Pig.--7®V dre de rayon ;du> cercle avec le compas, &; le porter fix
  - P iij
  - - P L À
  - *. CHE 4.
  - Fig-7©.-'
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- - 18 Nouveau Cou r» s
  - fois far la circonférence, &. l’on aura les points quifer-viront à tracer l’exagone.
  - D E M O N S T R A T ION-
  - 2.11»
  - Confiderez que le coté BC de l’exagone eft égal au rayon AB j car comme l’angle du centre BAC de l’exa-gone eft de 6 o degrez , l’on verra que la fommedes deux angles de la bafe du triangle ifofcelleBAC eft de.n o degrez , & que par confequent ils feront chacun de ^o. Or comme cela prouve que le triangle ABC eft équila» ter al*, il s’enfuit que le,coté BCelt égal au rayon. AB. C.^F.D.
  - P R. O P O S I T I O N -II.
  - ^Problème.
  - 2 5) 3, Décrire un dodécagone dans un, cercle.
  - 71’ Pour décrire un dodécagone dans un cercle , il faut porter le rayon AC fur la circonférence pour avoir l’arc . CD de foixante degrez , oti autrement égal à la fixiéme partie du cercle > & puis divifer cet arc en deux également au point E, la corde DE fera le côté du dodécagone , puifqu’elle eft la corde d’un angle de 3 o degrez # . c’eft-à-dire, de l’angle du centre du dodécagone.
  - L E M M E.
  - 2^4. Si P on a un triangle ifofçelle ABC, dont chaquean^ g le de la bafe foit double de celui du fommet,je dis quedivu fant l’un des angles de la bafe comme B A C en deux égale-ment far une ligne AD qui aille rencontrer le cjoté oppofé, quelle divifera ce coté en moyenne & extrêmeraifon au point D, c’eJï-À-dire, que l’on aura BC. BD : : BD. D C.
  - D E MONS T R A T I ON»
  - Confiderez que les triangles ABC & ADCfont fembla-.’ rbles , puifqu’ils ont l’angle C commun } & que l’angle PAC eft égal à l’angle B par la fuppofition 5 de plus que
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- - de Mathem'ati:que. ï'iy
  - lès lignes DB, DA ôc AC , font égales y car le triangle BD A efl ifofcelle » les angles DBA ôc B AD étant égaux.
  - Cela pofé, l’on aura * BC. CA : : CA. CD. & fi à la place * Art. 2.4.6. de CA on prend BD qui lui eff égal, on aura BC. BD :
  - BD. DC. c.g^F.D.
  - C O R O L LAI R E I.
  - 29 5. Ceci fournit "un moyen pour faire un triangle îfofcelle, dont les angles de la baie foient chacun double de celui du fomtnet 5 car pour faire, par exemple, un triangle comme ABC, Ton n’aura qu a divifer le côté BC en moyenne & extrême raifon * j & fur la plus petite DC comme bafe, faire un triangle îfofcelle par le moyen de deux ferions avec une ouverture de compas de la grandeur de la médiane BD, & l’on aura le point A, qui fervira à former le triangle ABC.
  - Fig/y^f
  - C O R O L LA IRE IL
  - . 25) 6. Il fuit encore que fi du point B comme centré, Ion Fig. 72» décrit un cercle dont le rayon foit B A ou BC, la bafe AC du triangle ifofcelle ABC fera le côté du décagone infcrit dans ce cercle 5 car par la nature du triangle ABC l’angle B fera de 3 6 . degrez , puifque ceux de la bafe doivent être chacun de 7 % j par confequent l’angle B fera égal à l'angle du centre du décagone j car divifant 3 éo • par 10, il vient 3 6.
  - PROPOSITION III.
  - Problème.
  - 25)7. Inscrire un décagone dans un cercle.
  - Pour in fer ire un décagone dans un cercle , il faut en Fig. 73^ divîfer le rayon en moyenne & extrême raifon , &; la médiane fera le côté du décagone , qu’on n’aura qu’à porter dix fois fur là circonférence pour avoir les points qui ferviront à le tracer j ce qui efl bien évident.,, puifque par le Corollaire precedent la médiane BD efl égale au côté AC du décagone.
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- - fFig.. 74,
  - Æ&75-
  - .NO U VE AU Ct> U RS ?P IOPOSIT ,1 O ,N IV. Théorème.
  - 2 5) 8. /W ^ ligne droite compofée du côtéçde hexagone & du décagone infcritsdans le meme cercle , elle fera lui fée en moyenne & extrême raifon au point où fe joignent les deux lignes.
  - Suppofant que :1a ligne CB foit le côté du décagone infcrit dansie cerçle A,& qu’on l’ait prolongée de la longueur CD égal au rayon AC côté de l’exagone , je dis que la compofée,des deux PB. fera coupée,en moyenqe &; extrême raifon au point G
  - De MO N S T R ATI O îf.
  - Tirez la ligne DA , & confiderez que'le triangle BD A1 eft femblable au triangle BAC j car ils ont l’angle B de commun, & l’angle BD A eft égal à l’angle CAD, puif-qu’à caufe du, triangle ifofcelie CDA,, l’angle, extérieur BCA eft double de l’interieur BpAi & par le Corollaire précèdent le môme angle BCA eft double de l’angle CAB : ainfi l’on aura * DB. B A : : B A. BC. ôTprenant CD à la place de AB , l’on aura DB - PC : : DG. CB. ç. X>.
  - PROPOSITION V.
  - Théorernq.
  - 19 9. Le quarré du côté du Pentagone infcrit dans un cet* cle eft égal au quarté du côté de hExagone , plus celui du côté du Décagone infcrit s dans le même.cercle.
  - Si l’on a dans un cercle le côté AB du pentagone, & que l’ondivife en deux également au,point C l’ârc AB , la corde AC ou CB fera le côté dix décagone , & le lé rayon DB celui de l’exagone. Cela pofé, je dis que
  - ÂB~PBH:Âcf
  - Démons ta»
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- - Nouveau•, Cours
  - f?OL. / ao . Planche 3 f
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- - iir
  - D:e Mat h e m à t i oite; Démonstration.
  - Divifez l’arc AC en deux également par le rayon DF, tirez la ligne EC, ôc confiderez que le triangle AEC étant ifofcelle, il fera femblable au triangle ACB, puif-qu’ils onti’angleCAB de la bafe commun , 6c que par
  - confequent on aura AB. AC : : AC. AE. qui donne .AG=: . ABx AE. Or fi vous faites attention que l’angle du centre . ADB du pentagone eft de 72 degrez ,vous verrez que les angles ABD 6c BAD font chacun de 5 4 degrez, c’eÆ-a-dire, qu’ils font les trois quarts de celui du centre ; 6c comme l’angle FD.B eft auffi les trois quarts de l’angle , puifqü’il a pour mefure l’arc FB, il s’enfuit que les deux triangles ADB.6C DEB Ibnt femblables, 6c qu’on
  - a encore AB. BD : : BD. BE. qui donne DB=ABxBE 5
  - —•a
  - mais comme ABxAE—f-ABxBE=AB , il .s’enfuit que AB^:DB—EAC. C.J^F. D,
  - PROPOSITION VL Troblême.
  - 300. Inscrire un Pentagone dans un cercle.
  - Pour inferire un pentagone dans un cercle , tirez le Fig. 7*.' rayon"CF perpendiculaire fur le diamètre AB, 6c divifez le demi-diamétreCB en deux également au point E, 6c de ce point.comme centre , 6c de l’intervalle EF, décrivez l’arc FD, 6c la corde FD fera le coté du pentagone.
  - Pour le prouver , confiderez que le triangle DFC efi: re&angle, 6c que le* côté CF étant celui de l’exagone, il fuffira de faire voir que le côté DC eft celui du décagone; car pour que le côté FD foit celui du pentagone,, onfçait par l’art. 2 9 5?. qu’il faut que fon quarré loit égal à celui de l’exagone 6c du décagone pris enfemble : pour cela nous nommerons CF ou CB, a i par confequent CE - a,
  - & l'inconnue DC, x:} ainfi DB fera a—tx. Cela .pofé,
  - ÇL
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- - la:z Nouveau Cou rs
  - Comme EF eft égala ED , l'on aura à caufe du triangle re&angle EFC aa-+jaa=;xx—i-ax*~t-f aa, ou bien aa=z xx—)r$x j après avoir effacé ~-aa-9 qui donne cette pnv » Art. 175. portion* x—f^ss. a : : a. x. qui fait voir que la ligne DB *Art.z8z. eftdiviféc en moyenne & extrême raifon au point C*, •Art.2^7. par confequent la ligne DG eft le coté du décagone.'* C.Q.F.D..
  - PROPOSITION VIL Problème.
  - jrj- jj' 3 01. Infcrire un guarrê dans un cercle.
  - Pour infcrire un Quarré dans le cercle E, tirez le diamètre A B, & divifez chaque demi^cercle en deuxégalemenc aux points C & D, & puis tirez les quatre lignes AC, CB, BD & DA, qui formeront un Quarré 5 car toutes ces lignes font égales, puifqu’elles font les cordes d’arcs égaux, &cces quatre angles A, B ,C,D, font droits , puifqu’ik font renfermez dans des demi-cercles.
  - PROPOSITION VIII.
  - Problème;
  - Fis 77; 3 ° 2 * Infcrire un Octogone dans un cercle.
  - Pour inf crire un Octogone dans un cercle il faut d’abord en divifer la circonférence, comme fi on vouloit y infcrire un quarré , & puis divifer en deux également chaque quart de cercle , tel que CB , ôc la corde CF ou F B fera le coté de l’Odogone.
  - AVERTISSEMENT.
  - Nous n’avons point parlé de la maniéré d’infcrîre dans un cercle Y Eptàgone, 1* Ennéagone, ni T Ondecagone , parce que i’on n’a pas encore trouvé le moyen de tracer géométriquement ces trois poligones Amplement avec la Réglé & le Compas, étant obligé d’avoir recours à la Géomé-
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- - ’BE MaTHEMA TI Q^U E. I 2 5
  - f trie compofée, c’efl-à-dire, à la Géométrie des Courbes; .ce qui rend ces Problèmes très-difficiles , auffi-bien que celui de laTriffe&ion de l’angle, c’eft-à-dire,dedivifer tin angle en trois, en cinq, en fept parties égales, qui eft un Problème folide , auffi-bien que les précedens, que l’on nomme ainfi, parce qu’ils fe réduifent à des équations du troifiéme degré : & comme nous ne parlons point de ces fortes d’équations dans ce Traité, nous allons donner la maniéré de tracer une courbe , que l’on nomme la guadratrice de Dinoftrate , par le moyen de laquelle on pourra divifer les angles & les circonférences des cercles en autant de parties égalés que l’on voudra 3 mais auparavant ilfaut être prévenu des deux Problèmes, fui vans.
  - PROBLEME PREMIER.
  - 303. 'Divifer une Ligne droite en autant départies égales que ton voudra.
  - Pour divifer une Ligne A B., par exemple, en neuf parties égales,;rirez la ligne AC,qui fafie avec AB un angle À. volonté: enfuite du point A comme centre , & d’un intervalle quelconque comme AB, décrivez l’arc BC, qui fera la mefure de l’angle CAB. Enûiite avec la même ouverture de compas, &: du point B décrivez l’arc AD égal à BC , & tirez la ligne BD „, qui donnera l’angle A BD égal à l’angle CAB. Cela pofé, marquez fur le côté AC avec une ouverture de compas à volonté un nombre de parties égales, tel que celui dans lequel on veut que la ligne A B foit divifée, c’eft-à-dire, qu’en commençant du point A, il faut marquer neuf parties égales fur la ligne AC j après quoi il en faut faire autant fur la ligne BD en commençant du point B : après cela, fi l’on tire les lignes $B,8i., 72* &c. elles diviferont la Ligne AB en neuf parties égales 3,ce qui eft bien évident : car comme les lignes que l’on a tirées font parallèles entr’elles , elles donneront les triangles femblables A iE, A5) B, &c. qui font voir que puifcpie A1 eft la neuvième partie de , AE fera Ja neuvième partie de A B. Àinfi des autres.
  - Fig. S®
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- - 124 - N o u y e au C o nr
  - PROBLEME II.
  - Sx* 3:04. Divifer un Arc de cercle en un nombre de parties égaies pairement paires.. -
  - Si l’on veut divifer, par exemple, le quart de cercle ABC en feize parties égales, il faut des points A & Cdé^ crire avec la même ouverture, de compas la fe&ion D > & tirer la ligne: BD, qui divifera l’arc AC en deux également au point E,;.& divifer. de la même'maniéré l’arc EC en deux également au point E, l’arc- EC en deux également au point G, 8e l’arc GC en -deux également au point H ,pour avoir l’arc HC, qui fera la feiziéme partie de AC 3 ainfi des autres.
  - C’eft ainfi qu’on pourra divifer géométriquement un arc de cercle en un nombre infini de parties égales , pourvu que l’on divife le tout 8e fes parties toujours de deux en deux*
  - MANIERE. D E:DECRIRE L A gfüADRATRlGE\
  - 8zi 305. Pour décrire cette courbe y il faut divifer le rayon
  - AB en un grand nombre de parties égales 5 de maniéré que le quart de cercle AT puifie être divife en un me-* me nombre de parties égales : ainfi nous fuppoferons que l’on a divife le quart de cercle en feize parties, aufli-bien que le rayon AB. Cela pofé , après avoir tiré les rayons BC, BD, BE, BF, &c. l’on tirera par les points G,H , L, K, &c. des parallèles au demi-diamétre. BT, qui allant rencontrer les. rayons qui divifent le quart de cercle , donneront les points L,M,N,0, &c. avec lefquels on. tracera la courbe AS ,.que l’on pourra faire beaucoup plus jufie , en divifant le quart de cercle 8e le rayon B A en un plus grand nombre de parties égales, que l’on n’a fait ici, afin d’avoir les points L ,M,N, O, beaucoup plus près les uns des autres, & que le point R formé par la rencontre du dernier rayon BP 3 8e la parai-
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- - dï - Mathématique. 125
  - lele QR:, approche le plus près qu’il efi: poflible du demi-diamétre BT, pour rendre’infenlible Terreur que l’on pourroit faire en continuant mécaniquement la courbe A R. jufqu’à la rencontre du demi-diamétre.
  - Il laut bien remarquer que, par la génération de cette Fig’ 82* courbe, fi l’on mene des parallèles HM & KO, qui ail" lent rencontrer la courbe aux points M & O, que fi l’on tire par ces points des rayons BD & BP, qu’il y aura même raifon de l’arc AD à l’arc DF , que de la ligne AH à la ligne HK.
  - PROPOSITION I X,
  - Problème.
  - 306. Divifer un Angle en trois parités égales.
  - Suppofant que l’on ait tracé fur un morceau de corne Fig. 83,; ou de carton bien uni, la courbe AD de la façon qu’on & 85. vient de l’enfeignër, oii propofe de divifer l’Ângle OPQ^ en trois parties égales.
  - Pour réfoudre ce Problème, fuppofant que la courbe foit accompagnée de fon quart de cercle AC, je fais l’an-glè ABE égal à l’angle donné, & au point F, ou le rayon'
  - BE coupe la courbe AD , j’abaiiTe la perpendiculaire FG fur le demi-diamétre AB, qui me donne la partie AG, què"jer divife en autant de parties égalés qu’on veut que l’angle donné foit divile : ainfi je la partage eii trois parties égales aux points H & K, defquels je mene les parallèles KL & HI, qui me coupent la courbe aux points L &I» parlefquels je mene les rayons BM & BN, qui di-vifent l’arc AE en trois parties égales aux points M & N j puifque par la propriété de la courbe *, il y a même rai- * Art. 305. fiôn de AK à AG, que de AM à AE 5 8c comme AK efi: la troifiéme partie de AG, l’arc AM fera-donc la troifié-me partie de l’arc AE.
  - Mais fi 1 on propofoit de divifer en trois parties égales Fig. 83. itn Angle obtus, comme RST, ilfemble -que cela foufiri-'&
  - Q.hi
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- - ï -z 6 ;N g u y e a u C-o v k s
  - roit quelque difficulté, parce que l’arc RT ne peut pas . être contenu dans l’arc AC > puifqu’il eft fuppofé plus grand que lui. Or en ce cas il fautdivifer l’Angle obtus ! en deux également pour avoir l’angle aigu RSfV , que nous fuppoferons être le même que l’angle ABE : ainfi . divifanc l’angle aigu en trois parties égales aux points M & N j l’on n’aura qu’à en prendre l’arc AN, qui étant Rouble delà fixiéme partie de l’arc RT, fera parconfe-quent le tiers du même arc RT.
  - PROPOSITION X Problème»
  - yoy.D écrire un Ennéagone dans un cercle*
  - Pour décrire un Ênnéagone dans le cercle A, il faut porter le rayon du cercle fix fois fur la circonférence pour avoir les points B, C,D,E,F,G, qui la diviferont en .fix parties égales j & tirant des lignes <Ju premier point au troifiéme, du troifiéme au. cinquième. & du cinquième au premier, on aura un triangle équilatéral BDF, qui .divifera la circonférence en trois parties égales. Or fi on divife après cela un de fies arcs , comme BCD, en trois parties égales par le Problème précèdent, l’on aura la . neuvième partie de la circonférence du cercle dont la . corde fera le coté de TE nnéagone.
  - P R O P O SI TIP N XI.
  - problème.
  - o $. JD écrire un Eptagone dans, un cercle.
  - Pour décrire un Eptagone dans un cercle,11 faut diviser le quart de la circonférence du cercle en fept parties égales: ainfi, chacune de çes parties fera la vingt-huitième partie de toute la circonférence. Or prenant un arc .égal aux quatre feptiémes du quart de cercle, il fera ;égal
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- - D E M -A T'H E M A T ïQU E# ï
  - à-îà feptiéme partie de la circonférence du cercle : par confequent la corde de cet arc fera le côté de l’Epta^ gone.
  - P R O P O S I T I O N XII.
  - Problème.
  - 305). T>icrire un Ondecagone dans unccrcle.
  - Pour décrire un Ondécagone dans un cercle, il faut dîvifer le quart de la circonférence en onze parties éga- : lès, & lï l’on prend la corde d’un arc qui fer oit les quatre onzièmes du quart de cercle, elle fera le côté de l’Ondecagone.
  - R E M A R^U E,
  - L’on nommé J^uzdratrice la courbe AFD, parce qu’elle contribue à la quadrature mécanique du cercle j car fuppofant que l’on ait trouvé le; point D en traçant la courbe, il eft démontré dansPapus, & dans Ciavius, dans plu fleurs autres Auteurs,que le demi-diamétre BC eft moyenne proportionnelle entre la bafe BD de la qua-dratrice, & la circonférence AEC du quart de cercle, tellement qu’il y a même raifon de BD à BC que du même BC au quart dë- la circonférence AEC du cercle dura yon BC.
  - PROPOSITION XI IL Problème.
  - 3 1 o . Circonfirire un Poligone autour d’un cercle.
  - Quand on veut circonfcrire un Poligone autour d’un ^ cercle , il» faut commencer par en irifcrire un femblable ’ dans le même cercle : ainfi voulant, par exemple, circonfcrire un exagone autour du cercle A, il faut commencer par en tracer un dans le cercle , & divifer un de fes cotez -, tel que BC , en deux également par un
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- - 'î 1-8 N O U V E A U C O U R ; s
  - rayon AE, & à l’extrémité E mener la tangente FG, -qu’il faut terminer par les rayons prolongez AB & AC julqu’a la rencontre de la tangente, & l’on aura le côté FG de hexagone circonicrit : ainfi on trouvera tous les autres en faifant la meme choie j mais pour avoir plutôt fait, il vaut mieux, après que ion a trouvé les points F , E , G , décrire un cercle du centre A , & de Tinter-valie AG , fur la circonférence duquel on pourra marquer les points qui ferviront à tracer le poiigone,en y portant avec le compas la longueur du côté FG»
  - NOUVEAU
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- - pet is*,g Planche sj
  - JVoiwecut Cours
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- - U eÆIATHÏ M.'Al TI QJJ E.' I 1?
  - g.^^qpqpqp^.qpqp^# .£ ^g*
  - NOUVEAU COURS
  - DE MATHEMATIQUE-
  - LIVRE SEPTIEME.
  - O» Ton confîâere le rapport qiïont les circuits des figures femblables, <T la proportion de leurs fuperficies.
  - DEFINITIONS,
  - iL
  - .3.11. 'éT^ N appelle cotez homologues les cotez des fi-V gures femblables, qui font oppofez aux angles égaux.
  - ;n.
  - f3‘ 1,2. On dit que deux quadrilatères ont leurs bafes &C leurs hauteurs réciproques, quand la bafe du premier eft à la bafe du fécond-, comme la hauteur du fécond eiLà 4a hauteur du premier.
  - PROPOSITION PREMIERE.
  - Théorème,
  - 313..Si î on, a deux poligones réguliers & femblables A yfr S, je dis que de circuit du poligone A ejlau.circuit du poligone B ..comme le. ray on AC. ejt au rayon B F..
  - Nous nommeron&CD, a jFG, b ; AC »c i &c EF, d. Or ;ii chaque poligone a , par exemple, Ex cotez, le circuit rdu poligone A lèra-6 a ,-&le circuit du poligone B fera 6 L ;iiin fi il faut prouver que 6 a. 6 b:. : ç. 4*
  - CHE 5.
  - Fig. 8£. & 87.
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- - ï^o Nouveau Cqü k«;;
  - D £ M Ô N S T R AT ION.
  - Comme les tdanglés ÀGD -Sc BFG font fomblaHes 3 on aura a. b : : c. d. bc multipliant les deux premiers ter-«Art, 171. mes abc b par 6 , l’on aura encore * 6 a. 6b : : *.d. qui fait voir que ce que l’on a avancé eft démontré.
  - CÔ RO ttA 1 R £.
  - Fie. 88. 3 ï 4- A fuît de cette proportion que les circonferenm
  - & g^,.. des cercles font dans la même raifon que leurs rayons 3 car li l’on confidere les cercles X. & Y comme étant des poligones d’une infinité de cotez ; nommant a la circonférence du premier 5 c ,,le rayon 5 b , la circonférence du fécond j btd3 le rayon,l’on aura encore a. b : : d.
  - ER O PO S I T 1:0 N IL-Théoreiîie..
  - Fi r 3 1 5 * ^ centr'e d’un pôligône régulier l’on abaijje une
  - * jperpendiculaire AE fur P un de Je s cotez,, je dis que la fuper~ ficie de ce poligone fera égal• a un triangle - rectangle J KL j qui auroitpour hauteur la ligne IK * égale a la perpendiculaire AE ,& peur- bafe une.ligne KL. égale au circuit du poligone. •
  - D E M O N S T R A T I O N. -
  - Si le poligone eft, par exemple, un exagone, & que l’on tire du centre des rayons dans tous les angles, l’on aura autant de'triangles égaux que le poligone a de cotez s ainfi le poligone A fera compofé de lix triangles, tels que CAD, mais comme les triangles CAD bc KIL ont la même *Ârt.243. hauteur, ils feront dans la même raifon que leurs bafes *3 & comme la bafe KL eft fextuple de la bafe CD ,1e triangle KIL fera donc de fextuple du triangle CAD, paç con-fe^uent égal au poligone: C. E- E>.
  - C O R O L L A I R E.
  - 316 , Il fuit.de Cette propofition que pour trouver h
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- - de M a thbm ati’qjte. ï3tx
  - fiiperficie d'un poligone régulier , il faut multiplier la moitié de fon circuit par la perpendiculaire tirée fur un de fescotez, puifque pour trouver la valeur du triangle IKLqui eft la meme chofe * il faut multiplier la moitié de la bafe KL par la perpendiculaire JK *. * Art.* jj*
  - :P & O P O SITION III.
  - Théorème.
  - 3 i j. La fuprficie. d’un eercje eji égalé k un triangle qui Fig-71» auraitpw hauteur le rayon du çerçje t & pu* hafe.latifcQfi^ femm.
  - ;Dj M. Q N. S TR A T l Q N.
  - Comme un cercle eft un poligone d’une infinité de cotez, fi l’on prend la circonférence pour la fomme de ces cotez , & le rayon pour la perpendiculaire > il s’enfuit qù?il fera égal à un triangle qui auroit pour hauteur le rayon MN,, & pour bafe. une ligne. NQ > égale à la circonférence *. ç. J^F. D. ^Art.315.
  - Corollaire-
  - 3 1 8. Puifque le triangle MNQ efi: égal au cercle, & qu’il efi: aulîi égal à un reftangle qui auroit pour bafe la moitié de la baie NQ, & pour hauteur la ligne MN *, il '+Art.zffi s’enfuit qu’un, cercle efi: égal à un re&angle qui auroit pour bafe la moitié de la circonferen.ce, & pour hauteur le rayon j & que pour en trouver la fuperficie » il faut multiplier la moitié du diamètre par la moitié de la .circonférence.
  - îR E"M A R QJU E I.
  - 31 p. Si l’on confidere.la fuperficie d’un cercle comme F-«tant, compofé d’une infinité de circonférences concentriques, , dont les rayons fe furpaflent également, toutes ces circonférences compoferont uneprogreffion infinie Arithmétique,, dont le centre , fera le. plus petit terme, & la
  - R. ij
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- - ryz Nouveau Courst
  - circonférence le plus grand. Or comme le demi-diame-tre AB exprime la quantité des termes de-la progreffiony il s’enfuit qu’on en trouvera la fomme, en multipliant le-plus grand terme, qui elt la circonférence- par la moitié o. du demi-diamétre AB
  - R E Mr A R- QJU E 14.
  - Il femble d’abord que. la proportion précédente don^ ne la Quadrature du Cercle, parce quelle prouve qu’un cerclé ellé^al à un triangle qui auroit pour bafe la circonférence; du cercle, 8c pour hauteur le*rayon 5 mais comme 011 n’a pas encore trouvé géométriquement une ligne droite parfaitement égale à la circonférence d’un cercle,l’on n’a pu par conïequent trouver un triangle parfaitement égal au cercle. Quand je dis un triangle, l’on peut entendre un quarré égal au cercle, parce qu’on peut faire géométriquement un quatre égal à un triangle , comme on le verra ailleurs. Mais pour ne point rendre le- mot- de^îMdrafure de. Cercle équivoque, il eft bon que les Commençans fçachent; que la Quadrature du cercle conlilte à trouver une proportion qui donne le. moyen de faire un quarré'égaf à un cercle , 8c qui démontre que lè quarréeft parfaitement égal.au cercle.
  - Quoique les Géomètres n’ayent pas encore trouvé une ligne droite parfaitement égale à la circonférence d’iin cercle , cela n’empêche pas que dans la Pratique l’on ne fup-pofe queieela fo puifTe faire, en fe fervant de quelques Règles, qui font des approximations de la Quadrature du Cerclé , comme on le va voir..
  - 320. Archimede'ayant cherché avec allez:d’exa&itip-de le rapport du diamètre du cercle à fa circonférence, il a trouvé qu’il s’en falloit peu.qu'il ne fut celui de 7 à 2 2. Ainfî fuppofânt-que le diamètre foit 7 , la circonférence vaudra trois fois le diamètre, 8C la feptiéme partie du même diamètre : or comme les diamètres des cercles font *Aït, 3ï4, dans la même raifon que leurs circonférences * li l’on avoitain cercle- dont le diamètre fut, par exemple, de
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- - D £ M A T H E M A T I Q^tf E. J*yy
  - 2 S- pieds, pour en trouver la circonférence, l’on diroit j fl 7, diamètre d’un cercle, donne i z pour là circonférence du même cercle, combien donneront 18 , diame'tre d’un autre cercle, pour "fa circonférence, que Ton-trou-" vera de 8 8 pieds.
  - Mais fi l’on avoit un cercle dont on connut feulement ta circonférence , que nous fuppoferons de 6 6 pieds, pour en trouver le diamètre, il'faudrait faire encore une Réglé de trois, en difant : Si là circonférence d’un cercle qui auroit n pieds ^ donne 7 pour fon diamètre , combien donnera la circonférence d’un autre cercle qui ferait de 66 pieds pour le diamètre du même cercle, l’on ' trouvera 11 pieds pour le diamètre qu’on cherche.
  - P- R O P O S I T I O N I Y.-Théorème.-
  - fz1. Si' F on a deux poligone s A & B femblables, lafuper- -
  - perfide du premier fera h celle dû fetond comme le quarré de ^ jp la perpendiculaire AE fera au quarré de la perpendiculaire 3 H, outomme le quarré du rayon A G au quarré du rayon B F.
  - Si l’on "nomme le-côté CD ya iîd perpendiculaire AE }by > le côté FG, c , là perpendiculaire BH , d 5 le circuit du premier poligone fera 6a j & celui du fécond fera £ï,.& multipliant les moitiez de ces circuits par leur perpendiculaire, l’on aura $ab pour le poligone A, & $cd pour le poligone B * j ainfi il faut faire voir que 3ab. 3çd : : bb. dd.
  - D E M O N S'T R A T I O’ Ni
  - Pour prouver que $ab. 3ed i : bb. dd. nous ferons voir que: de cette proportion le produit des extrêmes, 6c celui des • moyens donnent ^abdà—ybbd 5 pour cela confluerez qu’à caufe des triangles femblables ACD & EFG , a. c î : b. d. d'où l’on tire ad'=bc. Or fi à la place de bc l’on met ad dans la première équation*, Fbn aura $abdd~$abdd, aj^F.D.
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- - Fig.: 88-
  - .& S?.
  - Fig.. 91.
  - ou 237.
  - 13.4 “Nouveau Cour-s
  - PROPOSITION Y.
  - Théorème.
  - 322. Les fuperficies des cercles font dans la même raifon que les quarrez de leurs rayons.
  - Sii’on a deux cercles X 6c Y, & que Ton nomme a la circonférence du cercle X, c lerayon, b la circonférence du cercle Y , 6c d le rayon, la füperficie du premier cercle fera —, 6c celle du fécond fera b~~. Cela pofé, ;il faut prouyer que^. : çc.^dd.
  - Démonstration
  - Pour prouver que ~ : cc. dd* nous ferons voir que
  - le produit des extrêmes , 6c celui des moyens donnent ' Ppty cela confiderez que ces circonférences
  - de cercles étant dans la même raifon que leurs rayons,, l’on aura * a.bwc.d. d pu l’on tire ad=zbc. Orfi à la place de bc l’on met ad dans le fécond membre de la première
  - équation, l’on auraÇ. J^F. D.
  - PR O P O SI T I O N VI.
  - Théorème.
  - 313. Les triangles femblables font dans la même raifon que les quarrez» de leurs cotez, homologues.
  - Ayant les deux triangles E 6c F, fi l’on nommer la bafe du premier,_b fa perpendiculaire. ,.r labafedu fécond,d fa
  - perpendiculaire, la valeur du premier ,fera ~, 6c celle du
  - fécond fera —• * : ainfl il faut faire voir que —* aa. cc.
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- - D"E M A T H E M À T î QtJ B. ' X 3 $
  - E) ‘ E M O N S T R A T X O N.
  - Pour démontrer que -- : : aa. ce. nous ferons voir que le produit des extrêmes, 6c celui des moyens,• donnent pour cela confidetez que lés deux triangles
  - étant femblàbles >.l’on aura a. b-.-.c.d. par confequent ad~bc \ & que fi à la place de ad dans le fécond membre
  - de la première équation, 1 on met bc, l’on aura — =— C.^.F.D.
  - & E U A R Q^U E .
  - L'on peut par cette proportion démontrer par la voyé p*. . la plus courte que dans un triangle re&angle > comme ABC, le quarré du côté AC oppofé à l’angle droit, ell égal au quarré des deux autres cotez pris enfemble AB 6c BC > car abailfant- de l’angle droit la perpendiculaire BD , l’on aura trois triangles femblàbles ABC, ABD,
  - BDC. * Or prenant pour cotez homologues de ces trian- #Art.£4^ .gles les cotez AC, AB, BG, qui font oppofez aux angles droits, l’on verra que puifqué le grand triangle ABC eft égal aux deux petits pris e-nfémble, que le quarré du côté AC ell égal aux quarrez des deux autres cotez AB 6c BC pris enfemble.
  - PROPOSITION VIJ.
  - Théorème.
  - 3 ^4. Les quadrilatères qui ont leurs bàfes & leurs hauteurs-réciproques, font égaux.
  - Démonstration,
  - Si l’on a deux quadrilatères E ôc F , 6c qu’on nomme a la bafe du premier, b La bafe du fécond, c la hauteur du fécond , 6c d la hauteur du premier, félon la fuppofition, l’on aura * a.b::c.d. qui donne par confequent adzzbc. *Ârt.jïa>
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- - ;jr y 6 Ko U' V EAU Cou -R S
  - Corollaire.
  - =3 2 5 .'Les triangles étant la moitié des parallélogrammes de même bafe &. de même hauteur, il s’enfuit que lorf-qu’ils auront leurs bafes ôc leurs hauteurs réciproques , qu’ils feront égaux de même que les parallélogrammes.
  - PROPOSITION VI IL Tiiéoreme.
  - •Fig. 97* 326- Les parallélogrammes font dans la raifon compofée
  - êc 98. de leurs bafes & de "leurs hauteurs.
  - De monstration.
  - Ayant les deux parallélogrammes G & H, fi l’on nomme a la bafe du premier, b celle du fécond, c la hauteur
  - 4u premier, d celle du fécond, ~ fera la raifon de la bafe -du premier à celle du fécond, & fera la raifon ,de la hauteur du premier à celle du fécond. Or multipliant ces deux raifons d’une par l’autre, l’on aurapour ,1a rai-
  - fou * du parallélogramme G au parallélogramme H, qui effc compofé des raifons de a à b , & de celle de c à -d»
  - .C. o k 0 l l a i r e %
  - 3 17. Les triangles étant les moitiez des parallélogrammes , il s’enfuit qu’ils feront auiïi dans la raifon. compofee , de leurs bafes & de leurs hauteurs.
  - Corollaire PL
  - 'Il fuit encore que-les-triangles &c les parallélogrammes Semblables font dans-la raifon doublée de celle de leurs vbafes & de leurs hauteurs j car s’ils font femblables, la rai-don de k baie de, l’un à la-bafe de l’autre, fera la même
  - ..que
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- - D E "M A T H EMA T I QJJ Ï. 13 J
  - que celle de la hauteur de l’un à celle de l’autre: or étant dans la raifon compofée de raifons égales, ils feront donc dans la raifon doublée * de leur bafe ou de leur hauteur* *Artv£?2*
  - P-R. OPOSI TI ON IX.
  - Théorème.
  - •3 2 S. Si l'on a trois lignes en proportion continue , je dis que le quatre fait fur la première , eft au quarté fait fur la Jeconde, comme la première ligne efi a la troifiéme ; ainfi U faut prouver ppu ayant 2.. b. c.que aa. bb: : a. c.
  - DeMONSTRATIO'N.
  - Pour prouver que aa. bb : : a. c. nous ferons voir que 1®
  - ' produit des extrêmes, & celui des moyens, donnent aac z±bba. pour cela faites attention que a ,b, c, donne ac^bb, & que mettant ac à la place de bb dans le fécond membre de l’équation precedente j l’on a aac'zzaac.
  - Corollaire.
  - 3 19- Il fuit de cette propolîtion que fi l’on a trois lignes proportionnelles , non feulement le quarré fait lur la première eft au quarré. fait fur la Seconde comme la premier® eft à la troifiéme 3 mais que tous poligones Semblables qui feront faits fur la première & la leconde ligne ,* feront dans la même raifon que «la première ligne, eft à la troifiéme : car .comme les poligones Semblables font dans la même raifon que les quarrez de leurs rayons*:,fi à la place des rayons l’on prend leurs cotez homologues, qui font dans la même raifon, les poligones feront dans la raifon des quarrez de leurs cotez: ainfi la première & la Seconde ligne Servant de cotez a ces poligones, leurs Superficies feront dans ia^raifon de la première ligne, à .la troifiéme.
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- - ï3$ Nouveau Cou a s
  - proposition x:.
  - Théorème*
  - 330. Si l'on a deux lignes droites, que nous nommerons 2l& b y je dis que le rectangle compris fous ces deux lignes, ejl moyenne proportionnelle entre le quarré de chacune de ces lignes 3 cejl-À-dire, que aa. ab : : ab. bb.
  - Démonstration.
  - Il eft certain que aa. ab : : ab. bb. puifque le produit des extrêmes & celui des moyens donnent aabk=aahb>
  - PROPOSITION XI.
  - Théorème*
  - 331. Si l'on a quatre grandeurs en proportion géométrique 3 il y aura même raifon du quarré de la première auquarré de la fécondé, que du quarré de la troifiéme au quarré de la quatrième. .
  - Démonstration.
  - Pour prouver que fi a.bwc.d. l’on a aufli aa. bb : : cc. dd. nous ferons voir que le produit des extrêmes & celui des moyens donnent cette égalité bbcc=zaadd. Pour cela confiderez que la première proportion donnebc—zad, & que fi dans l’équation precedente l’on met ad à la place de bc dans le premier membre, & bc à la place de ad dans, le fécond3 Ton aura abcch=abcd. C. jîf_F. D.
  - PROPOSITION XIL
  - Problème*
  - 332. Trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes données.
  - Pour trouver une moyenne proportionnelle entre les deux lignes A &.B, il faut joindre ccs deux lignes en
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- - de Mathématique; 13 9
  - forte qu’elles n’en faflent qu’une feule CD, obfervant de marquer un point à l’endroit E, où elles fe joignent : en-fuite il faut divifer toute la ligne GD en deux également au point F, & de ce point comme centre, décrire un demi-cercle. Prefentement Ci au point E, où les deux lignes fe joignent, on éleve une perpendiculaire EH, qui aille fe terminer à la circonférence,elle fera la moyenne que l’on cherche. Ce qui eil: bien évident , puifque par la propriété du Cercle, toute * perpendiculaire comme HE, * Art. 278. eft moyenne proportionnelle entre les parties CE & ÈD du diamètre : a in h fuppofant que la ligne K foit égale à HE, l’on aura les trois lignes proportionnelles A, K, B.
  - 333. Si l’on voliloit avoir une moyenne proportionnelle entre deux nombres donnez, comme entre 4 ôc 9, il faudroit multiplier ces. deux nombres l’un par i’autfe,
  - &: extraire la racine quarrée du produit 3 6 , que l’on trouver;! être 6, & ce nombre fera la moyenne proportionnelle que l’on cherche j car comme le quarré de cette moyenne ( c’eft-à-dire , de 6 J donne 3 6 , qui.eft égalait produit des deux extrêmes 4 & 9 , l’on a donc _:i 4. 6. 9.
  - Si le produit des deux extrêmes n’effc pas un nombre » quarré, on fe fendra de décimales* pour approcher le plus près que l’on pourra de la racine, qui elfc-la moyen-,ne qu’on, cherche.
  - P R O P O S I T I O N X I I I.
  - Problème.
  - 3 34. Trouver une troifiéme proportionnelle h deux lignes -données.
  - Si l’on veut trouver une troifiéme proportionnelle à deux lignes donnéesM Sc N, en forte que la première ..ligne M foit à la feconde N , comme la fécondé N ell: à celle que l’on cherche, il faut faire à volonté un angle ..ABC, & prendre fur le coté BC la partie BD égale à la première ligne M, &: la partie DF égale à la fécondé Nj
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- - *4© Nouveau Cours
  - fuir le côte BA la partie BE égale encore à la fécondé N\.
  - & tirez la ligne ED.
  - Prefentement 11 du point F. l’on tire la ligne FG pa* rallele à ED , l’on aura la ligne EG, qui fera la -troifié* me proportionnelle que l’on .cherche.
  - De.MO^TRATION..
  - Confiderez que le triangle B GF a fes deux cotez BG ôc BF coupez proportionnellement par. la ligne DE pa-rallele ^ la bafeFG, & que par confequent l’on a* BD. DF : :BE. EG. .& que BE étant égal, à DF, par la con-Itru&ion .l’on aura BD. DF :: DF. EG... Ainli faifant la ligne O égalera EG ». l’on aura les trois lignes proportion-, nelles M, N, O-
  - 335.. Pour trouver une troifiéme proportionnelle à. deux nombres, comme à 2 & à 8 , il-faut' quarrer le fe-= cond nombre, divifer le produit, par le. premier , .& le: quotient fera la troifiéme proportionnelle que l’on cher-, che. Ainfi divifant le quarre de 8,quielt 64par 2 ,iL viendra 3 2 pour le nombre qu’on cherche 5 puifque le: produit des deux extrêmes 2 & 3 z eft égal au quarréde: la moyenne 8.
  - PROPOSITION XIV..
  - Problème. ..
  - Hg. toi: 33 6. Trouver me quatrième proportionnelle à trots lignes'
  - données.
  - Pour trouver une quatrième proportionnelle aux trois lignes P, Q_^R » il faut , comme dans la. propofition. précédente, faire un angle à volonté XSC, & prendre fur . le côté SC la partie SV égale à la ligne P , la partie VZ égale à la ligne Qj & fur l’autre coté SX la partie ST égale à la ligne R 5 après quoi tirer la ligne TV, à laquelle on mènera du point Z la parallèle ZX, qui donnera la ligne TX, qui.cilla quatrième proportionnelle que. Ton cherche.
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- - D E' MaTÜ EM A TIQJÇJ& 'jï$t
  - Démonstration.-
  - Lfe triangle SXZ étant coupé par la ligne TV parallèle à la bafe XZ , l’on aura * S V. V Z : : ST. TX. : ainfi faifant la ligne Y égale à TX, l’on aura lés quatre lignes proportionnelles P, Q. , R., Y.
  - 337. Pour trouver une quatrième -proportionnelle à trois nombres donnez , il n’y a qu’à faire la Réglé de trois ordinaire , puifque la Réglé de trois n’efl autre chofe que de trouver un quatrième terme qui ait même-raifon au troifiéme que le fécond au premier.
  - L’on va voir dans les Problèmes, fuivans l’ufage qu’on peut faire des proportionnelles.
  - PROPOSITION XV.
  - Problêmer
  - 338. Faire un Quarté égal a un Rectangle.
  - Pour faire un Quarré égal au Rectangle AC, il faut chercher une moyenne proportionnelle entre les cotez inégaux AB & BC du rectangle, &; le quarré de cette moyenne fera égal au rectangle.
  - Si la ligne DE -elt moyenne proportionnelle entre AB & BC, il elt certain que fon quarré DF fera égal au rectangle AC , puifque ce -rectangle efl compris, fous les. extrêmes AB & BC.
  - C O R O L L A I R> E.
  - 335?. Comme mous avons prouvé * qu’un cercle étoit égal à un rectangle compris fous la moitié de la circonférence , & la moitié du diamètre, il s’enfuit donc que le quarré d’une ligne qui feroit moyenne proportionnelle entre la moitié du diamètre, & la moitié de la circonférence , feroit ég ale au cercle.
  - Fîg. i»y & 104. >-•
  - *Art. 23Î4
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- - Fig. io ç. &c io<f.
  - 5A ft.318.
  - Fig.107.
  - ^.108.
  - Nouveau Cour»
  - PROPOS ITION.XVI Problème,
  - 34c- Trouver un Jguané qui [oit km autre félon une raifon donnée.
  - Pour trouver un Quarré qui foit au Quarré CB dans la raifon, par exemple, de 3 à 5 » je fais une ligne GH égalé aux trois cinquièmes du coté AB , & entre les lignes A B & GH 3 je cherche une moyenne proportionnelle EF, fur laquelle je fais le Quarré IF , qui fera les trois cinquièmes du Quarré CB 5 car comme les trois lignes ÀB, EF , GH, font proportionnelles, il y aura même raifon de GH à AB, que du Quarré IF au Quarré CB *. Or GH étant les trois cinquièmes de AB, le Quarré IF fera donc les trois cinquièmes du Quarré CB-
  - Cette proportion nous fournit un moyen pour réduire de grand en petit, ou de petit en grand toutes les figures femblables.
  - PROPOSITION XYIL
  - Problème.
  - 341. 7'rouver le Rapport de deux Figures fembLbles.
  - Pour trouver le Rapport de deux Poligones femblables A 6c B, il faut chercher une troifiéme proportionnelle telle que GH à leurs cotez homologues CD &EF, .& le Rapport de la ligne CD à la ligne GH. fera le même que celui du Poligone A au Poligone B.
  - Pour, le prouver /confinerez que les trois .lignes CD,, EF, & GH, étant proportionnelles, il y aura même rai-r-fon de la figure faite iur la première CD a une autre .Cmblable faite fur la ligne EF, que de la première CD À la troifiéme GH , & que par. confequent le Poligone A eft au Poligone B comme la liçne CD eft à la. linneGH»
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- - D E M A T H E M A T î QJ7 E.' ï :
  - PROPOSITION XVIII.
  - Problème,
  - 341. Faire m Rectangle égal a m autre, qui ait un coté Fig. ïg$ déterminé, & no.
  - L’on demande de faire un Reélangle égal au Reélan-gle BC ,en forte qu’il ait un de fes cotez égal à la ligne donnée DE.
  - Pour cela il faut chercher une quatrième proportionnelle à la ligne donnée DE *, 6c aux deux cotez AC 6c * Art. 33^ AB du Rectangle, enfuite h l’on fait un Reélan gle fous la ligne donnée DE, 6c fous la quatrième que l’on aura trou vée, il fera égal au Reélangle BC.
  - Pour le prouver , coniiderez que fi l’on a fait le Re-étangle GH compris fous le côté FG ( que je fuppofe être la quatrième proportionnelle , que l’on a trouvée )
  - 6c fous la ligne FH égale à DE,Ton aura FG. AC: : ABi
  - FH. Par confequent FGxFH^ACxAB. C. XL
  - Corollaire I.
  - 343. Il fuit de cette proportion que h l’on apîufieurs Reétangles, dont les baies & les hauteurs foient inégales 3 on pourra les réduire tous à la même hauteur j 6c après cela il l’on veuf 11’en faire qu’un feul égal à tous les autres pris enfemble , en lui donnant pour bafe une ligne égale à la iomme de toutes les bafes 6c pour hau— teur la hauteur commune. •
  - Cor o l l a i r e 11.
  - 3 44. . Comme on peut réduire toutes figures reclili-gnes>telle .que 15E en triangles, 6c que de chaque triangle on en peut faire un Reélangle il fuit encore que
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- - >ï44 Nouveau Courts
  - Ton donne aux Rectangles provenans des triangles Ma. même hauteur, on pourra en les réduifant. tous dans , un feul , faire un Quarré égal à une figure rediligne compofée d’un grand nombre 4e cotez , puifque Pon ^Aft.338. c’aura qu’à chercher une moyenne proportionnelle* a entre les. cotez inégaux du Redangle qui vaudra, tous ^ les autres.
  - NOUVEAU
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- - ni
  - ZOT
  - OOT
  - s-Mtoj rrDvamoN;
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- - ci Mathématique: 14f
  - WiWWiWWiWWiW
  - NOUVEAU 'COURS
  - EXE MATHEMATIQUE-
  - LIVRE HUITIEME t^ui traite des Corps 9 & de leurs Surfaces.
  - DEFINITIONS.
  - I.
  - '345 T) Rifwe eft un folide terminé par plufienrs plans, Pl am4 JL dont il y ena un qui lui fert de baie, & un-au- che s. *a*e qui le couronne., qui eft égal & parallèle à celui de la pjg. XIl; bafe, & les autres font-autant de rectangles qu’il y a de eotez à la bafe, qui. eft prefque. toujours un Poligone : voyez- la figure A, qui eft un Prifme droit, que l’on nom-îne ainfi , pour le diitinguer deceux qui font inclinez.
  - II.
  - .3 46. Cylindre eft un .folide qui eft produit ; par la cir- FlS*nfl -convolution entière d’un parallélogramme autour de l’un de les, cotez,lequel,, à caufe de cela, eft appelle axe du Cylindre, qui pafte par le centre des deux baies oppofées & parallèles, qui font deux çercles égaux.
  - Il L
  - 3 47. Pyramide eftun folide qui va’fe terminer enpoin- Fig-1*4? «e, & qui a pour bafe un Quarré ou .un Poligone. & I IP
  - IV.
  - 3-48. Cme-Jmiteftun folide terminé en pointe, qu’on Fig.
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- - Fig. ii7-
  - & ji8.
  - Fig. ïi«.’
  - Fig. nj.
  - F%. iiol
  - îfoUVE'AU Cou ni
  - appelle fommet du Cône, qui elt produit par la ctrcanvo^ lut ion entière d’un triangle redanglé , autour d’un de; lès cotez., lequel à caufe de cela elt appelle du €omy. qui pâlie par le centre de là bafe , qui elt un cercle,, comme fi autour du côté immobile CD on fiait mouvoir parpenfiée le triangle CDB, ce triangle décrira leCon$: AÇB 9 dont l’axe elt 4e côté immobile CD.
  - V.
  - 345?. Cône tronque droit elt un folide formé par là révolution d’un trapèzo'ide, tel que FGHI autour d’un de fies cotez GF , qui foutient les deux angles droits , ou bien .l’on peut dire- qu’un Cône tronqué elt ce qui relie d’un Cône tel que ABC, après en avoir bté le petit Cône DBE , féparé par la fedion du. plan DE parallèle à la bafe AC.
  - VI.
  - 3 50. La Sphereeftxm folide terminé par une feulé fur-face courbe , qu’on appelle furface fpherique , comme ADBC, au dedans de laquelle il'y a un point, qu’011 appelle centre de la Sphere, duquel toutes.lignes droites tirées jufqu’à la furface.font égales.
  - VII.
  - 3 51. La génération de la Sphere elt la révolution d’un demi-cercle autour du diamètre.
  - VIII.
  - Segmentent portion de Spliere 5 elt l’une des deuxpartiés inégales ABC & ADC d’une Spliere coupée par un plan AC, qui ne pâlie pas par fon centre , autrement au lieu d’une portion de Sphere on auroit la moitié d’une Sphère, qu’on nomme Hemifphere.
  - IX.
  - 3 5 2. La Zone elt une partie ABCD delà furface d’une Sphere terminée par deux cercles BC ôc AD de la même
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- - M M AT Hï MATI QJÇT Si 147
  - Sphere, qui font parallèles entr’eux, c’efl-à-dire, qui ont deux mêmes points pour. Pôles.
  - X.
  - 353. Le SeBeur de Sphère efl un folide terminé en pointe au centre de la Sphere, qui a pour bafe, la furface jr,^ ïrïi d’un fegment de Sphere > comme COGH.
  - XI.
  - 3 54. Orbe efl un corps fpherique terminé par deux fuperficies fpheriques, l’une concave, & l’autre convexe > Fig. ixm comme le corps qui efl borné par les deux fuperficies fpheriques BCDE, qui;eil convexe , & EGHI,quiefl concave r .ainfi vous voyez que l’Orbe efl ce qui refie , lorfque d’une grande Sphere , comme BCDE , on en a oté une plus petite qui eft en dedanscomme FGHI.
  - .XII.
  - 3 y 5 . Comme l’on peut concevoir un Orbe d’une épaif-feur infiniment petite, il s’enfuit qu’une Sphere peut être coufiderée comme compofée d’une infinité d’Orbes, dont le plus grand efl la furface de la Sphere, 8c dont le plus petit efl celui qui va fe terminer à .o , au-centre de la Sphere.
  - XIII.
  - 356. Angle folide efl celui qui efl renfermé par plu- Fig-i^ fieurs plans j tel efl, par exemple, l’angle E qui elt com-pofé des plans BEA, AED , DEC j & BEC. Pour mieux .entendre cette Définition, on peut confiderer le fommet des pyramides, les coins des . cubes & des parallélépipèdes comme des angles folides.
  - P R. O PO SITIQN P R EM 1ERE.
  - Théorème,
  - -3 -57. La furface de tout Prifme, fans y comprendre les. b a- -Fig.-ïZ^; fis ? eft égale à celle d'un Rectangle, gui auroit pour bafe une &12.4,
  - Tii
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- - Demonstiati on:
  - Si lé Prifme droit a pour bafe un Exagone régulier, il fera renfermé par fix reClang-les tels que DE.. Or li la li-f gne FG effc égale aux cotez du Poligone pris.enfemble* elle fera Textuple du côté AD j & comme les rectangles ED &FH,ontlamême hauteur , le reCtangle FH lera dônc fextuplc-du reCtangle ED 5 par confequent ég^l à la furface duTrifine. C* J^F. D>
  - COROLLAIR E.
  - 3 5 8. Le Cylindre ayant pour bafe im cercle qu’on peut regarder comme un Poligone d’une infinité de cotez , il s’enfuit que le reCtangle qui aura pour bafe une ligne droite égaie à la circonférence du cercle du Cylindre, & ppur hauteur celle du Cylindre fera égal à la furfa-* ce du'Cylindre*
  - P R O PO S I TT O H IL Théorème.
  - Fig. xrj* 35 9; Là furface d’une Pyramide droite, comme ABC, ejt êc 126* égale à celle d’un triangle qui aurait four bafe une ligne GI3 égale h la fomrne des cote£ du Poligone régulierqui- fert de bafe a la Pyramide ,ér four h auteur.une ligne H G égale a une ferfendiculaire Bp, tirée du fommet B de la Pyramide, fur un des -cotez» D JT.
  - D E M O N S T A A T I O N.
  - Si la Pyramide a pour bafe, par exemple, un Exagone, elle fera-renfermée par fix. triangles tels. que. D13E, & la bafe GI fera fextuple de la bafe DE. Or les triangles DBE & GHI ayant la même hauteur, le triangle GHI fera ^Art.243. fextuple* du triangle DBE j par confequent égal à la furface de la pyramide. C.^F.D..
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- - X4J-
  - 3&YMAMEMATIQU1.
  - Corollaire,.
  - 3 60. Un Gone droit pouvant être regarde 'commé une. pyramyde droite d’une infinité de cotez, il s'enfuie que fa furface fera égale à un triangle qui atiroit pour bafe une ligne égale à la circonférence du cercle de là bafe du Conè& pour lianteur le côté du Cône.-
  - PROPOSITION III. -
  - Théorème.
  - 361. Les Parallélépipèdes & lesPrifmes droits font en rai* fon compofe'e des raifons de leurs tr'ois dimenfions.
  - DeMONST R-A T I O N.
  - Nous avons vu *'que pour trouver, la fbliditë des Parallélépipèdes , il falloit multiplier le produit des deux di» Hienlions de leurs baies par leurs hauteurs 5 ce qui fait voir que leur-foliditéde'pend de la multiplication,de leurs dimenfions : ainfi par la Définitidiï des raifons côhipo-/ées *, l’on peutdonc.dire que la raifon qui eft entre les Parallélépipèdes, eft cômpôfée de celle de léurs trois =:di-men fions.
  - COR O LL A I R E I.
  - 3 6 2. Lès Pnfmes &'Tes Cylindres étant compofezd’uh nombre infini de plans égaux & femblables à ceux de leur bafe, l’on peut dire que puifque la quantité de ces plans eft exprimée par la hauteur de ces folides, qu’il faudra donc pour en trouver "la valeur multiplier la bafe par la hauteur. Or puifque la folidité’ desPrifmes & des- Cylindres dépend de la multiplication de leurs trois dimenfions , il' s’enfuît qu’ils feront dans la raifon- compofée » de celles des mêmes dimenfions.
  - Corollaire IR-
  - 363. H fuit encore qu’on trouvera toujours le rapport
  - Tài-i
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- - ,150 'Nouveau Cotres
  - des folides de même efpeçe, en multipliant leur bafe paf leurs hauteurs : quand je dis de mêmeefpece, j’entens, par exemple , les Pyramides . comparées enfemble , les Cônes, les Parallelepipedes, &c. car quoique nous n’ayons pas encore donné la maniéré de trouver la folidite des Pyramides & des 'Cônes, cela n’empêche pas que l’on ne foit convaincu qu’elles dépendent de leurs trois dimen-fions j.car h pour trouver la .folidité d’une Pyramide il faut multiplier la bafe par le tiers ou la moitié de, la hauteur, il eft certain que pour trouver la folidite d’une autre Pyramide , il faudra auffi multiplier fa bafe par le tiers,ou la moitié de fa hauteur. Ain fi en multipliant de la même,façon les trois dimenlions d’une Pyramide , & les trois dimenlions d’une autre , fi ces produits n’en domient pas la folidité , ils donneront.au moins 4e rapport que ces Pyramides ont entr’elles.
  - PE. O PO Syl T I O N IV.
  - Théorème,
  - 3 6.4. Toute Tyramiàe, comme ABC DE ,ejt le tiers Prifme AKID de même bafe & de même hauteur.
  - Suppofant que la bafe AÇ foit un quarré , nous nom-, nierons AD ou DC, a j HA ou EF, b j & la perpendiculaire EG- a, puifqu’elle eft moitié de. IK pu de AD.
  - D E M O N S T RAT I O N.
  - Çonfiderez que fi du Prifme AK on retranche la Pyramide ABCDE, il reliera quatre autres Pyramides telles jque AHIEB, qui. font toutes égales entr’elles, ayant.chacune pour bafe un des rectangles AHIB delà fur face du Prifme, & pour hauteur une perpendiculaire EG. Or fi l’on multiplie aa, qui eft la bafe AÇ de la Pyramide AEC par fon axe EF {b )s l’on aura,aab pour le produit des trois dimenlions de cette Pyramide, & multipliant aulfi aby qui eft la bafe de la Pyramide AHIEB par fa hauteur E0
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- - » e M ATHEMA T ï'-Qjj E. ï 5 ï i
  - ( fi* ) jl’on aura — pour le produit des trois dimenfions de
  - cette autre Pyramide 5 & comme il y a quatre Pyramides égales à celle-ci, le produit de leurs trois dimenfions en-
  - femble, fera donc , ou bien 2 aab, qui étant double
  - de aab, produit des trois dimenfions de la Pyramide AEC, il? s’enfuit que cette Pyramide eft le tiers du Prifme. -C. -gJF. B.
  - Corollaire L
  - 365. Il fuit de cette proportion que pour trouver la Fig, folidité d’une Pyramide , telle que ABCDE, qui a pour * *
  - bafe un quarre, il faut multiplier la bafe , c’eft-à-dire, le quarte ÀD parle tiers de la hauteur de la Pyramide, qui eft la perpendiculaire 4|gïfSu bien multiplier la bafo-par toute la hauteur, & prendre le tiers du produit.
  - Corollaire II.-
  - 3 66. Si l’on coupe la Pyramide droite ACD par un Fig. sifi plan, qui palfant- par l’axe, foit parallèle à un des cotez, de la bafe, la fedion donnera un triangle ifofcelle FCG, dont tous les élemens tels que IK font en progrefiion arithmétique*. Mais comme tous ' ces élemens font autant ^rt.24^ de lignes égales aux cotez des quarrez qui compofent la Pyramide, il s’enfuit que la Pyramide elt compofée d’un nombre infini de quarrez , dont tous les cotez font en progrefiion arithmétique. Or comme pour trouver la fom-me de tous ces quarrez, c’eft-à-dire, la folidité de la Pyramide j il faut multiplier le quarré AD par le tiers de la perpendiculaire CH , l’pn pourra tirer de ce raifôn-, Bernent un principe general , qui eft que jCi l’on a unepro-grejfion arithmétique infinie compofée de lignes , dont, la plus petite va fe terminera o, Von trouvera la fomme des quarrez-de toutes ces lignes, en multipliant le quarré delà plus grande ï ligne par le tiers de la grandeur, qui exprime la quantité des^ lignes ou des quarrez-
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- - ?âg..-ïjO.
  - &Àrt.3*i.
  - % h3-
  - J ï 5 1 'K O U V E A U C O U RS
  - J[1 eft important de bien entendre ce Corollaire $ parce g ne nous nous en fervirons dans les démonftrations fui-Vantes.
  - C O R O X LAI R E I fl.
  - -.3 ^7. Il fuit , encore pour trouver la folidité d’une Pyramide droite ABC , qui a pour bafe un Poligone AC, qu’il faut multiplier la bafe par le tiers de Taxe BD j car comme cette Pyramide eft compofée d’une infinité de Poligones femblables à celui de la bafe, tous ces Poligones femblables étant dans la même raifon que les quarrez de ! leurs rayons *, '8c leurs rayons, tels que EF 8c AD étant les mêmes .que les élemens du triangle ABD , on peut dire que ces Poligones font dans-la raifon des quarrez des lignes d'une pr ogrefiion infinie arithmétique, 8c que par confequentpouf en trouver la valeur , il faudra multiplier le plus grand Poligone AC par le tiers de- la perpendiculaire BD.*
  - -Cp R:p L-L AfI,R E I V.
  - 3 6.8. Comme,1e Cône ABC eft compofé d’une infinité de cercles, qui ont pour rayons; les élemens tels que EF & AD du triangle ABD, il s’enfuit que les cercles étant dans la même raifon queies quarrez de leurs rayons * , il faudra pour trouver la valeur detous-les cercles dont le Cône eft compofé, multiplier le plus grand cercle AC par le tiers de la perpendiculaire BD, qui .en exprime,là quantité.
  - PROPOSITION Y-
  - Théoremç.
  - ,3 ton a deux Pyramides ABC & HLK , dont h
  - hauteur BD de la première foit égale à la hauteur LO de la fécondé \je dis quelles feront dans la même .raifon de la bafe J.Ç d la bafe H K. " ‘ ’ "
  - Suppofant que la bafe AC foie un Exagone régulier.,' $£.la bafe HK un quarré , nous nommerons-le côtéMN a
  - ' ' ,k
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- - Lucas fculpS'
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- - D EjMaTHE M A T I Q^y E. Jf 5 j'
  - la perpendiculaire DG, b} le côté HI ou IK 3 c ; & la hauteur BD ou LO-, à. Cela pofé , la bafe AC fera ~ , ou
  - bien }ab, & la bafe HK fera ce, & multipliant les deux bafes par le tiers* de la hauteur commune, c’eft-à-dire s «Artt^4
  - par l’on aura ou bien abd pour la valeur de la
  - Pyramide ABC , & ^ pour la valeur de la Pyramide
  - HLK. Ainfi il faut démontrer que &bd. — : : 3 ab. cc.
  - 'DEMONS T R AT I O N.
  - Pour prouver que abd. : : 3 ab. ee. confiderez que
  - le produit des extrêmes &; celui des moyens, donneiic afccd-zabccd, en faifant évanouir lafra&ion. C.J^F.D»
  - Cor o l l a i r e.
  - 370. Les Cônes étant des Pyramides d’une infinité de côtez, il s’enfuit que lorfqu’ils auront la même hauteur, ils feront dans la même raifon que leurs bafes. Il en fera aufîi de même pour les Prifmes & les Cylindres.
  - P R. O POSITION V I.
  - Théareme0
  - 371. Si L'on a deux Prifmes X & T, dont les bafes & les p
  - hauteurs foient réciproques , je. dis quils font, égaux. cmb 7"
  - Démonstration. Fig. 13.3,;
  - Pour le prouver nous fuppoferons que ab eft la bafe du & Iî4*. Prifme X & çd celle du,Prifme Y-,e la hauteur duPrif-me Y, ôe/ la hauteur du Prifme X. Cela étant, nous aurons, par la fuppofition ab. cd : : e.f Par confequent abf ~cde. Or .comme le..premier membre de cette équation elt le produit des trois dimen lions du‘Prifme X , &.le fécond le produit des trois dimenlions duPrifme Y, il s’eiv .fuit qtieîes Prifmes X & Y font égaux. C. %>-
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- - 1.-54> Nouveau Cou R-r>
  - Corollaire.-
  - 3 71. Il fuit de cette propofitidn que les Cylindres, lés Pyramides & les Cônes qui ont leurs bafes & leurs hauteurs réciproques, font égaux. La démonfiration en tfi la même que la précédente.
  - PROPOS I T I O N V II. Théorème,
  - Fig. 235.: 3 7 3. ‘Vne Pyramide tronquée comme ABDE éjt égale a
  - êci$6. une Pyramide qui auroit pour bafe un plan égal aux deux quarrez, BE & AH pris enfemble , plus un plan qui feroit moyenne géométrique entre ces deux quarrè^,CP pour hauteur l’axe F G.
  - Confiderant la-Figure HKLI comme étant là coupe de la Pyramide tronquée, èc le triangle HMI comme la coupe de la Pyramide entière, nous nommerons le côté HI ou AD, a 5 KL ou fiC, b 5 tout l’axe MG, c 3 le petit axe ME de la Pyramide KML, d: ainfi l’axe FG de la Pyramide tronquée fera c—d, & l’on aura aa—^bb—^ab pour la bafe de la Pyramide égale à la Pyramide tronquée 5 car ab eft *Àrt.330# moyenne proportionnelle entrer & bb*: ainfi il faut
  - prouver que aa—\-bb—\~ab > multiplié par j qui eft
  - eft égal à k pyramide tronquée.
  - Démonstration.
  - Faites attention que la Pyramide entière HMI eft ^
  - ^Art.3^5. & que la petite Pyramide KML eft — *, & que fi l’on ôte
  - la petite Pyramide de la grande , la différence fera la valeur de fa Pyramide tronquée, qui eft par confequent
  - qui donnera avec cette
  - équation, Pour le
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- - 'DE'Ma THEMATI QU E. ï 5 5
  - prouver, confiderez qu’à caufe des triangles femblables HMI & KLM, l’on a a. b:: c.d. doii l’on tire bc=ad. Or fi à la place de ad l’on met bc dans le quatrième &; le fi-xiéme terme du fécond membre de cette équation , l’on
  - aura _ D>0^ effaçanrcc
  - qui Ce détruit dans le fécond membre, il rient “-îfzÈt* —
  - Co R O L L A I R E L
  - 3 74- H fuit de cette propofition que pour trouver la valeur d’une Pyramide tronquée , il faut multiplier les deux plans BE & AH l’un par l’autre > extraire la racine quarrée du produit pour avoir le plan moyen * 5 ajouter ^Art. 3353 ce plan moyen avec.les deux autres BE & AH, & multiplier le tout par le tiers de la perpendiculaire FG.
  - Corollaire IL
  - 375. Comme un Cône tronquée fi compofé d’une quantité de cercles, qui font tous dans la même raifon que les quarrez qui compofent une Pyramide tronquée,il s’enfuit que pour en trouver la folidité, il faut chercher un cercle moyen entre les deux cercles oppolez j ajouter ce cercle avec les deux, & multiplier la domme de ces trois cercles par le tiers de l’axe.
  - L EM M E.
  - 376. La Ligne qui fera moyenne proportionnelle entre les Fig. ïj'ft parties E G & GF du diamètre EF fera le rayon du cercle égal a la couronne. X.
  - Démonstration.
  - Confiderez que la ligne HG efi moyenne proportionnelle entre EG & GF par ia propriété du cercle *, & qu’à caufe du triangle rectangle HGD il manque au cercle du rayon DG. le cercle du rayon GH pour valoir lecer-
  - V ij
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- - frAft.25©. §C 322.
  - ï'5^ Nouveau Cours-
  - de du rayon DH *, èc que puifqu’il manque auffi. au-même cerde du rayon DG la couronne X pour valoir le cercle du rayon DH. Il s’enfuit que cette couronne eft-égale au. cer de du rayon GH.
  - PROPOSITION VIII.
  - Théorème.
  - jfr’g.rjî* 3 77* Si l'on a une demi-Sphere AED infcrite dans un Cylindre AB CD , je dis que la demi-Sphere ejl égale aux deux tiers du Cylindre.
  - Prolongez le diamètre BCjufqu’en F, en forte que BE foit égal à B A, &; tirez la ligne FA , qui donnera le triangle ifofcelle ABF.
  - DE M O'N S T RA'TION.
  - Si l’on fuppofe que la demi-Sphere & le Cylindre font coupez par un plan GL parallèle s la baie AD, cette fedion formera ia couronne GH 9 & lî l’on abaifle du point H la perpendiculaire HI fur le diamètre AD , elle fera parle Lemme precedent le rayon du cercle égal à la ^Att.278. couronne GH, puifqu’elle eft moyenne proportionnelle * entré les parties AI & ID, ou bien GH & HL, qui font les mêmes. Or comme les lignes HI", GA , GK, font égales j il s’enfuit que la couronne GH fera égale au cercle qui auroit pour rayon la ligne correfpondante GK, qur eft un des élemens du triangle ABF 5 & comme le triangle eft compofé d’autant d’élemens qu’il y a de couronnes dans l’èfpace qui eft entre la demi-Sphere & le Cylindre j la lomme des élemens & des couronnes étant exprimée par la ligne B A, il s’enfuit que tous les cercles qui auront pour rayons les élemens du triangle9 vaudront pris enfemble toutes les couronnes : & comme pour trouver la valeur de tous ces cercles, il faut multiplier le cer-Mrt.36^ cle du. plus grand élément FB par le tiers de la ligne B A*».
  - il faudra donc pour trouver la fomme de toutes les couronnes 3 multiplier la plus grande couronne BC9 qui eft
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- - ds Mathématique. ^57
  - le cercle du Cylindre par le tiers de la ligne AB hauteur du Cylindre: ce qui fait voir que toutes les couronnes prifesenfemble,font égalés au tiers du Cylindre, & que par confequent la demi-Sphere en eft les deux tiers, C.^JF.D.
  - Corollaire I.
  - 378. Puifqu’une demi-Sphere eft les deux tiers du Cylindre ou elle feroit infcrite, c’eft-à-dire, de même bafe & de même hauteur , il s’enfuit que pour en trouver la fbîidice, il faut.multiplier fon plus grand cercle AD par les deux tiers du rayon ME.
  - Corollaire IL
  - 375). Une demi-Sphere étant les deux tiers dïin Cylindre de même bafe & de même hauteur , une Sphere fera par confequent les deux tiers du Cylindre qui auroir pour bafe le grand cercle delà Sphere, ôe pour hauteur le diamètre : ainfi il faut donc pour trouver la folidité d’une Sphere, multiplier fon grand cercle par les deux tiers-du diamètre, ou bien multiplier le grand cercle par tout le diamètre, & prendre les deux tiers du produit.
  - Corollaire IIL
  - 38 0. Si l’on confidere qu’un quart de cercle eft com-pofé d’une quantité infinie d’élemens tels que DE , l’on Fig. 13*9 verra que ft le quart de cercle fait une circonvolution autour du rayon AB, il décrira une demi-Sphere telle Fig. 14^ que X,. qui fera compofée d’une infinité de cercles, dont tous les élemens du quart de cercle AC feront les rayons.
  - Or comme les cercles font dans la même raifon que les quarrez de leurs rayons, & que pour trouver la valeur de tous les cercles qui ont pour rayons les élemens du quart de cercle AC, il faut multiplier le cercle du plus grand rayon BC par les deux tiers du demi-diamétre A.B ; il s’en-*
  - Yiii
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- - Fig. 145.
  - .*Art.3i£.
  - ^Art.37?.
  - fArfcjj#.
  - Ï X 5 8 lN O U V E A V ~C O U Rf'S
  - . fuit que pour trouver tous les quarr ez des élemens dû quart de cercle AC, il faut multiplier le quarré du plus grand élément BC par les deux tiers de la ligne AB , & que Bon peut tirer de ce ràifonnement un principe general.
  - Qui eft que dans une progrefjion qui fer oh compofée des élemens. infinis d'un quart de cercle, la fomme des quarrez* de de tous ces élemens feroit égale au produit du quarré du plus grand élément , c ejl-k-dire , du rayon par les deux, tiers; du demi-diamétre.
  - PR. O P O SI TI O N IX.
  - Théorème.
  - ,381. Les foliditez, des Sphères font dans la même raifm que les cubes de leurs diamètres.
  - Si l’on nomme le diamètre AB, a 5 fa circonférence b 3 le diamètre CD ,c j,8c fa circonférence d , la fuperficie
  - du grand cercle de la première Sphere fera — *, & celle du grand cercle de la fécondé feramultipliant l’un St l’autre cercle par . les deux tiers de leur diamètre *s J’on aura ~ou y pour la folidité d’une des Spheres, & 77 ou— pour la folidite' de l’autre Spùere : ainli il faut démontrer que"-** ~ : : aaa. ccc.
  - Démon s t r a t i o n.
  - Pour prouver que " : : aaa. ccc. nous . ferons voir
  - que le produit des extrêmes §t celui des moyens donnent cette égalité aabccc'=.aaaccd. Pour cela - confiderez que les diamètres des cercles étant dans la même raifon que leurs circonférences, l’on a * a. b :: c. d. d’où l’on tire fîâ^bc, bc que fi l’on met ad à la plaçe de bc dans 1e j>rç-
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- - ErV Mat h èm a ti <\y é; i j>
  - mier membre de l’équation precedente > l’on mta.aaadcç ==aaadccé C. JjK, F.D.
  - C Ol d'l'L A I R E.
  - 3 8 2.: De la façoniqu’on a démontré cétté proportion, l'on pourra prouver aulîî que les Pyramides, les Cônes, lësPrifmes & les Cylindres femblables font dans la même raifon que les cubes de leurs axes, & que par confequent ils font dans la raifon triplée de leurs trois dimen fions.
  - PROPOSITION X.
  - fliéoreme.
  - 3 8 3. La furface dîme demi-Sphere AED.eB égale à celle d/m Cylindre ABCD , ou elle ejl inscrite.
  - Suppofant que le Cylindre AC & leCone GHI ont la même bafe & là même hauteur, nous nommerons a les lignes égales FE, FD, KH, Kl, & h les circonférences AD & GI.
  - Celapofé, Ion aura ^pour la valeur du cercle AD ou GI, qui étant multiplié par les deux tiers de EF J donnera ou bien pour la valeur delademi-Sphe-re*, & multipliant — par le tiers de HK(y^ ,il viendra ~ pour la folidité du Cône GHI,
  - Démonstration.
  - Si l’on imagine la demi-Sphere AED comme érant côm-pôfée d'une infinité de petits Cônes 5 qui ont leurs bafes dans la furface de la Sphere, & dont toutes les pointes venant aboutir au centre F, ont pour hauteur commune le rayon, l’on pourra dire que tous ces petits Cônes font égaux pris enlemble à un feul qui auroit pour bafe la furface de la Sphere, & pour hauteur le rayon. Or comme la valeur de ce Cône eft ici —, & que celle du Cône >
  - Fig. 140,
  - ^rt.57: Sc 378.
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- - t:66 Nouveau Cours
  - GHI eft ces deux Cônes ayant la même hauteur j
  - il s’enfuit qu’ils feront dans la même raifon que leurs bafes, c’eft-à-dire, comme le cercle GI eit à la furface de
  - *Àrt. 153. ta Sphere, que l’on trouvera en difant * comme-j- valeur du Cône GHI, eft à yaleur du Cône égal à la demi-Sphere: ainfi bafe du Cône GHI, eft à la bafe du fécond Cône, ou autrement à la furface de la demi-Sphe-re que l’on trouvera qui étant réduit, donne ab>
  - qui eft un reélangle égal à la furface du Cylindre , puif-qu’il eft compris fous la hauteur a, & la circonférence h, C.g^F.D,
  - Autre Démonstration.
  - Conflderez que fi du Cylindre AC l’on retranche le Cône BFC, qui en eft le tiers, le foiide ABFCD qui reliera , que nous nommerons Entonnoir , en fera les deux fiers. Or comme la demi-Spherednfcrite eft auftilesdeux tiers du Cylindre, elle fera par confequent jégale à l’entonnoir : lirais ft Ion imagine l’entonnoir compofé d’une infinité de petites Pyramides, dont toutes les bafes font dans la furface du Cylindre, & dont la hauteur commune eft ie rayon FD, comme la demi-Sphere eil.aufli com-pofée de petits Cônes, ou de petites Pyramides, qui ont leurs baies dansda furface dé la -demi-Sphere, & dont la hauteur commune eft encore le rayon FD ,.il s’enfuit que toutes les Pyramides de la demi-Sphere étant égales,à toutes celles de .l’entonnoir , toutçs les bafes des unes prifesenfemble;>. feront égales.à. toutes les bafes..des autres , puifque ces Pyramides ont la même hauteur mais routes les b,afes des^unes valent la furface de la Sphere, toutes les bafes des autres, la iurface du Cylindre ; la furface de la Sphere eft donc égale à celle du Cvlindre.
  - COROL*
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- - X él
  - d e Mat hiM'àT'i <*ur
  - 1C0 ROL LAI R E I.
  - *384. La fiirface du Cylindre AC ayant pour bafe la circonférence du grand cercle de la Sphere, 6c pour hauteur le.rayon, il s’enfuit que la furface d’une demi-Sphere. eft -égalé au. rectangle compris. fous une ligne droite égalé à la circonférence de.fon grand cercle , ôc fous le rayon, 6c que par confequent là furface d’une Sphere eft égale au re&angle compris fous une ligne égale à la circonférence de ion grand cercle , 6c fous fon axe : ainft pour trouver la furface d’une Spherë, il faut multiplier le diamètre de fon grand cercle par fa circonférence.
  - 'Corollaire IL *
  - 3 8 5. Le grand cercle d’une demi-Sphere étant la moitié du rectangle compris fous la circonférence 6c fous le .rayon *, il s’enfuit que la. furface d’une demi-Sphere eft double de celle de fon grand cercle , 6c que par. confequent la furface de >toute la Sphere eft quadruple de.cel-•le de.fon grand cercle.
  - C .0 R O ,L; L A I R E I I L
  - V3 8 6. Comme ces cercles font dans la mêmeraifon que les quarrez de leurs rayons *, il s’enfuit qu’un cercle qui aura un rayon double d’un autre, aura>une furface quadruple*: par confequent la furface d’une Sphere eft égale à celle d’un cercle qui auroit pour rayon.d’axe de la même Sphere.
  - \C o R o L l a 1 re IV.
  - :-3 8 y.-Comme,les furfaces de Sphere font égales à des cercles qui auroient pour rayons le diamètre des Spheres., Scies cercles étant comme les quarrez de leurs rayons., qui font ici . les mêmes que les diamètres des Spheres., il s’enfuit que les furlaces des Spheres font comme .les quarrez de leur diamètre.
  - ♦Art.jzj;
  - * Art.-é^
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- - Fig. 144,
  - Ur-t.377;
  - % ï4S'
  - 1 .N O U V £ A V C OU SL S
  - PR O POSITION--XL Théorème.
  - 388. La folidité d'une Zone ÀBCD eJi égale auto denté tiers du Cylindre A EF B du grand cercle AD , plus au tiers du Cylindre GBCH dupluspetit cercle BG.
  - D-EMONST RA T I O
  - Comme I011 trouve la valeur de toutes lés couronnés qui font entre la Zone & le Cylindre AEFD , en multipliant la plus grande couronne EB par le tiers de la ligne EA ou 01*, il-s enfuit que ce produit eft égal au tiers de l’efpace EG ou FH , qui régné entre les deux Cylindres AEFE) & GBCH, & que par- confequent la partie ABG de la Zone qui. régné autour du Cylindre GBCH en eft les deux tiers : or fi l’on retranche de ce Cylindre le Cône IBC', qui en eft le tiers, il reliera l’entonnoir GBICH, qui en fera les deux tiers j aïiifila partie ABICD de la Zone vaudra les deux tiers du Cylindre AEFD. Mais comme le Cône BIC, qui fait àuffi partie de la Zone, eft le tiers du Cylindre GBCH, il s’enfuit que la folidité de la Zone ABCD eft égale aux deux tiers du Cylindre AEFD , plus au tiers,du Cylindre GBCH. C.g^F.D.
  - COROLLAIR E..
  - 385?. Il fuit de cette prôpofition que ft l’on coupe une demi-Spliere infcrite dans un Cylindre par un plan FG parallèle à la bafe AE que la partie ABGDE ( qui eft la différence de la demi-Sphcre au feéleur’ CBHD ) eft égale à l’entonnoir AFCGE du Cylindre correfpondanc AG, puifquel’un 6c l’autre font les deux tiers du Cylindre A G-.*
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- - d e Mat h em- a t i i 63
  - P R. O POSITION XII.
  - Théorème.
  - . 3 2 o. Sï£ on coupe une demi-Sphere infente dans un Cylindre par un plan F G parallèle a la bafe AE ,je dis que la fur-face de la Zone ABDE ejl égale k celle, du Cylindre carref-pondant AG.
  - D e m o n s t r a t i o n.
  - L’enronnoir AFCGE étant égal à la partie ÂBCDE de la Zone *, fi l’on imagine l’entonnoir, comme étant com-poféd’une infinité de petites Pyramides, qui ont toutes leurs bafes dans la,, furface du Cylindre AG& pour hauteur le rayon CE, & la partie ABCDE de la demi-Sphere, comme étant auflicompofée de petites . Pyramides , dont les bafes. font dans la furface de la Zone, Sc qui ont pour hauteur commune le rayon; CE 5 il s’enfuivra ( toutes les Pyramides d’une part étant égales à toutes celles de l’autre, ayant toutes la même hauteur ) que necefiaire-ment toutes.les bafes d’||ne part feront égales à toutes les bafes de l’autre, & qù’amfi la furface de la Zone ABDE fera égale à celle du Cylindre AFGE. c. Jî^F. JO.
  - CO ;R O L L A I R E I.
  - 3 5>i. Comme la furface de la demi-Sphere. A HE efi: égale à celle du Cylindre AI , & que la. furface de la Zone ABDE elt égale à.celle du Cylindre. AG, il s’enfuit que la furface du fegment BHD de la Sphere eft égale à celle du Cylindre correfpondant FI, ou bien au re&angle compris fous une ligne égale à la circonférence du grand cercle de la.Sphere, ôc fous la partie HK.
  - Cor.o L L A IR e II.
  - 3 5) 2. Il fuit encore que fi l’on coupe une demi-Spherè inferite dans, un Cylindre par un plan parallèle à la bafe
  - Xij
  - Fig. X45*
  - *Art; .jty*
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- - •1^4 N o v v 1 au Cou rt’
  - que les parties de la furface de la demi-Sphere feront
  - égales aux parties correfpondantes du Cylindre.
  - Corollaire III-
  - 3 93* Les fùrfaces des Cylindres FI &-AG ayant des bafes égales, feront dans la même raifonque leur hauteur* HK & KCjôc comme le premier Cylindre eft égal à la par^ tie de la furface BHD de la demi-Sphere, & le fécond à la partie ABDE, il s’enfuit que les parties de la furface font dans la même raifon que les parties HK & KC du demi-diamétré, la demi-Sphere étant coupée par un plan BD, parallèle à fon grand cercle.
  - 3 L’on peut dire encore-que fi on coupeune Sphère par un plan perpendiculaire a l’axe que les parties de la furface de la Sphere, ferontdans la même raifon que les parties de l’axe.
  - P R. O P O S I 'TT'O N X I IL-
  - Théorème.
  - 3 9 5. Lbrfque trois lignes a, b jf. -, font en proportion conJ tinue, le parallelepipede fait fur ces trois lignes eft égal au cube fait fur la moyenne s- ainfi il faut prouver que abctzzbHv
  - Démonstration.
  - Si l’on a -^ a , b,c, L’on aura par confequent aczdblr* i fArtiji. ainfi en mettant dans l’équation abc^zbbb, ac à la place de bb-, l’on aura abczzabc. C. D..
  - P R O P O S I T I O N XIV.
  - Théorème.
  - 3 96. Lorfque quatre lignes font en progrejfion géométrique , le Cube fait fur la première.ejt 'au Cube fait fur la fécondé, comme la première ligne eft a la quatrième, ceft-a-diret que fi ion a 77-a, b, c , d, il faut prouver que aaa». bbb: : a. d.
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- - D E M A T H E M ATI QJJ Er
  - Démonstration.
  - Confiderez que dans la proportion ~ a, b, c,d} les ti-oispremiers termes donnent ac=zbb *, & que tous qua- *^rt* ï'52» tre enfemble donnent atk=zbc * : or pour prouver que * Art. 15^ aaa.bbb : r nous ferons voir que le produit des extrêmes & celui des moyens donnent aaadzzbbba. pour cela il n’y. a qu’à mettre ac à la place de bb dans le fécond membre, ôc bc à la place de ad dans le premier, l’on aura aabczzzaabc. C. J^F. B.
  - P R -O P O S I T I O N X V ,
  - Problème.
  - 3 $ 7. Trouver deux moyennes proportionnelles entre deux Fig*.244-'' iJignes données.
  - Pour trouver deux moyennes proportionnelles entré deux lignes données AB & GD, il faut faire un rectangle fous ces deux lignes , tel que EH j de forte que EF foit égal à CD , ôc EG égal à AB : enfuite prolonger indéfiniment les cotez EF ôc EG, & du centre I du reétangle décrire un cercle de maniéré cpie la circonférence venant couper les lignes prolongées GK &; FL j Ion puiffe mener du point K au point Lune ligne KL * qui ne fade que toucher l’angle H, ôc l’on aura les lignes GK ôc FL * -qui feront moyennes proportionnelles encre GE & EF 3 > c’eit-a-dire.> entre les données AB ôc CD. -
  - Démon,s t'haï ion.-
  - Confiderez que fi l’on abaifTe les perpendiculaires IM ÔC IN j que la corde OL fera divifée en deux également au point M * , aufîi-bien que la ligne EF , Ôc que par con- *Ar fequent OE eft égal à FL, ôc que K P étant divifé en deux également au pointN jauffi-bien que GE s GK fera égal àEP. Cela pofé, comme les triangles OEP , HFL > KGH, font femblables > l’on aura HF. FL : : EO. EP. mais comme OE eft égal à FL, l’on aura HF. FL : : FL. EP. or comme
  - X ii-i..
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- - t66 N o u v e a u Cours
  - les deux triangles EOP 6c GKH, donnent, encore OE.EP ; : G K. GH', fi à la place de EP ion met GK, qui lui ell eçral, l’on aura OE. GK : : GK. GH. ce qui prouve qu’il y a même raifon de HF a FL, que de FL à GK, 6c que de G.Kà. GH, 6c que par conlequent les lignes FL éc GK font moyennes proportionnelles entre GE ôc EF. Ce qu'il fallait démontrer.
  - REM.AR QJJ E.
  - Le Problème precedent elF celui qu’on appelle communément la Duplication du Cube , parce qu’il lert à faire un cube double d’un autre , ou lelon une rail on donnée 3 il feroit A fouhaiter qu’on put le réfoudre géométriquement , fans être obligé de tâtonner: car il effc ^ remarquer qu’il Elut décrire plufieurs. cercles avant d’en trouver im dont la circonférence venant à couper aux points K 6e L les lignes prolongées , l’on puifle tirer la ligne KL, qui ne fafie que toucher l’angle H. Il ell vrai qu’on peut le réfoudre encore d’une autre façon, comme, on le verra après les Sections Coniques 3 mais quoiqu’elle foit plus géométrique que celle-ci, elle n’a pas moins fes diffîcul-tez : cependant comment l’on le fert plus volontiers des nombres que des lignes dans la-pratique , Ion va voir dans le Problème fui vant .comment 011 peut trouver deux nombres moyennes proportionnelles entre deux autres.
  - P HOPOSITION XVL
  - Problème»
  - 3 5) 8. Trouver entre deux nombres donne% deux Moyennes proportionnelles.
  - Pour trouver entre deux nombres deux moyennes proportionnelles, il Eiut cuber le premier nombre, Refaire une Réglé de trois, dont les deux premiers termes foient le premier 6c le fécond nombre donnez, 6c le troiliéme le cube du premier nombre, 6: le quatrième terme étant trouvé, l’on en extraira la racine cube , qui donnera, la
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- - DE M AT H E M A TI QU E. ï £ J
  - -pfëmierë des deux moyennes , & fi Ion cherche entre cette première dès deux moyennes ; & le fécond nombre donné une moyenne proportionnelle, elle fera la fécondé des deux que Ion cherche.
  - Ainfi pour trouver deux moyennes propofitionnelles entre i & 1é-, je cube le premier nombre i, qui donne. 8:, & je dis : Si 2 m’a donné i 6 , combien donneront 8 5 je trouve 64,dont la racine cube efi: 4, qui efi: la première des deux moyennes que je; cherche : enfuite je multiplie cette première des deux moyennes par le fécond nombre donné 1 6 , pour avoir 64, dont? j’extrais la.raci-ne quarrée, qui efi: 8 , & qui efi: moyenne proportionnelle entre 4 & 16 : ainfi 4 & 8 font les deux moyennes entre 2 & 16 jce qui efi: bien évident,puifqueles quatre nombres font enprogreflion géométrique.
  - Si les nombres donnez étoient tels que l’on ne pût pas dans les operations extraire les racines cubes & quarrées exa&ementjdans ce cas il faudroit fe fervir des décimalesf, afin d’approcher le plus près qu’il efi: poffible des racines, & cünfequeüt des moyennes que l’on cherche. Gomme les Commençans pourraient ne pas d’eux-mêmes comprendre la raifon des operations que nous venons d’en feigne r p0ur trouver deux moyennes proportionnelles entre deux nom bres donnez, en v oici la démonftration.
  - L’on a vû * que lorfque quatre lignes étoient en pro-çreffion géométrique, que le cube fait fur la première étoit au cube fait fur la fécondé , comme la première ligne étoit à la quatrième : ainfi l’on peut dire, que la première ligne efi: à la quatrième comme le cube de la première eft au cube de la fécondé. Or connoifiant la première ligne , la quatrième , &; lé cube de la première, l’on pourra trouver * le cube de la fécondé , dont la racine-fera la fécondé même* : mais quand on aura une fois la fécondé^, l’on voit qu’il n’y a plus qu’à chercher une moyenne proportionnelle • entre cette faconde & là quatrième * ( qui n’efl: autre chofe. que le fécond nombre donné ) pour avoir la troifiéme proportionnelle des qua-
  - *Art. sui
  - * Art. 3 9*
  - ♦Art.' 1.5:2', *Art. 396,
  - *Art. i$£
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- - £ N o U V E A U € o U R; S
  - Ære, qui fera en même tems la. fécondé des deux moyennes que l'on cherche. C. JK^F. D.
  - PROPOSITION X VII.
  - Problème.
  - Figo 147. 3 9 9- Faire »» Cube qui fait a, un autre dans une raison
  - &X4S. -donnée.
  - Pour faire un Cube qui: foit au cube C dans la raifon de 2 à .3 , ç’eft-à-dire, qui foit les deux tiers du Cube Ç, il faut divifer. le côté AB du Cube en trois parties éga* les, & faire une ligne DE égale à deux de ces parties 5 en-fuite chercher, entre AB & DE deux moyennes proportionnelles , telles que FG & HI, & le cube qui aura pour ; côté la ligne FG, qui e fl la première des deux moyennes, dfera celui que ion demande j car nous .allons prouver ..qu’il efl les deux tiers du Cube Ç.
  - D EM 0„N:S T R A T I O N.
  - Les quatre lignes AB, FG, HI, DE, étant en proportion continue , il. y aura même raifon du Cube de.la ligne AB an Cube de. la* ligne FG que de la ligne AB à la ligne £Art. 39^. DE * : ainfi la ligne DE.çtant les deux tiers de AB ,:le Cube K fera les deux tiers du Cube C. C. F. D.
  - Si îe.eôtédu Cube Cétoic exprimé par nombre, il faudrait de même, en prendre les,deux, tiers, & puis cher-•cherentre le tout, ôc Les deux tiers deux moyennes pnv *Art.?$8. porti°nnedes *,& le Cube, du premier nombre moyep *-fera .celui qu’on demande.
  - Co RO L L A I RE.
  - 400. .Comme., les Sphères font dans, la même raifon que * Art, 381, ^es Cubes de leurs diamètres *, de même que les Cylindres , lesTrjfmes, les Cônes, & les Pyramides femblables, il s’enfuit que pour trouver quelqu’un de ces foiides, qui foit à leur,femblab_le dans des .raiIons données il faut -agira l’égard de leurs axes, .commeidn vient de faire à
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- - D E M A T H E M A f I QJ7 E.' I £9
  - l’égard des cotez des Cubes, & après que Ton aura trouvé l’axe, l’on n’aura plus qu a le Faire convenir à un foli-de qui ait les memes angles, que celui auquel il doit être comparé.
  - PR OPOSITION XVI IL Problème.
  - 401. :Faire.un Cube égal à un Parallélépipède.
  - Pour faire un Cube qui Toit égal au Parallelepipede ÂE, îl faut, fi les trois dimenfions du Parallelepipede font inégales , comme cela eft fuppofé ici, chercher une moyenne proportionnelle entre les deux plus, petites AB &; BC*, qui, fera , par exemple, FG, faire -fur cette ligne un quarré PH , qui doit fervir de bafe à un Parallelepipede FI, qui doit avoir pour hauteur la même hauteur que celle du Parallelepipede AE : ainfi -le Parallelepipede AE fera égal au Parallelepipede. FI, puifqu’ayant ,1a même hauteur, leaeétangle AC, quMert de bafe au premier, cft égal au quarré FH, qui fert de bafe au fécond. Cela pofé,il faut chercher deux moyennes proportionnelles entreFG&GK*,qui feront,par exemple,NO & je dis que le Cube fait fur la, première NO fera égal au Parallelepipede FI pu AE.
  - Pour le prouver, nous prendrons-GD égal à FG pour avoir le Cube GO, nous nommerons FG, du GH, ou GD, aj GK, b 3 & NO, c j ainli le Parallelepipede FI fera aaby & le Cube FM fera aaa, & le Cube de NOi^; il faut donc faire voir que aab^zçcç.
  - D E M O N S T. A A T I O N.
  - Le Cube FM . le Parallelepipede FI ayant la même bafeSFH, feront dans la raifon de leur hauteur GD & GK, d’où l’on tire aaa. aab wa.b.&L à eau le des quatre proportionnelles, l’on verra que le Cube fait fur la pre-mjereeit au Cube fait fur la fécondé,, comme la première
  - Y
  - Fig. 14*2 & 150.
  - ^Art.jjzî
  - ^Art.357:
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- - 17 0 No Ü VEAU C O U R S:
  - effc à la quatrième , qui donne aaa. ccc : : a: b. mais dans cette proportion, auffi-bien que dans la précédente , les antecedens Se les confequens de la fécondé raifon font égaux, de même que les antecedens de la première : ainfi les confequens de la première le' feront auifi j ce qui fait voir que aab^zccc. C. JÜ^F. D.
  - Si les dimenlions du Parallelepipede donné étoient exprimées en nombre, onn’auroit ( pour trouver un Cube égal au Parallélépipède) qu’à multiplier les trois dimen-fions Pune par l’autre pour avoir la valeur du Paralleie-pipede, dont on n’aura qu’à extraire la racine cube , qui donnera le côté du cube que l’on demande.
  - Corollaire.
  - 40 2 . L’on voit par cette propofition qu’il n’y a point de Solides qu’on ne puiffe réduire en Cubes 5 car les Cônes Sc les Spheres pouvant fe réduire en Cylindres, 6c les Pyramides enPrifmes , il on change la bafe des Cylindres Se des Prifmes en Quarrez,qui leur foit égaux, on aura des Parallélépipèdes, qu’on n’aura plus qu’à réduire en Cube.
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- - DE MATHEMATI CVU E» ï 71
  - DISCOURS
  - *
  - SUH LES SECTIONS CONIQ^UES.
  - GOmme tous les Livres qui traitent des Lie mens de Géométrie ne parlent point des Sections Coniques , la plupart de ceux qui étudient ces Elemens s’en tiennent lu » fans s’embarrafferde les chercher ailleurs , dans la penfée que cette étude est plus curieufe que nece faire , ér ne convient qu'aux perfonnes qui veulent fe donner toutes entières aux Mathématiques : cependant il efi fi utile de les fif avoir, que fi on les ignore, il n'efi pas poffible de refoudre les Problèmes les plus communs de la Géométrie pratique , particulièrement de cette Géométrie pratique qui convient a VIngénieur (fi u l’officier d'Artillerie. Car fi le premier veut toi fer des Voûtes furbaijfées, il faut qiïil[cache comme on trouve lafuperficie d'une Ellipfe, que l'on appelle communément Ovale , & qui eft une des SeLtions Coniques. Si le fécond veut feavoir l'art de jetter les Bombes, il ne lepeut encore fans connaître les propriétés de la Parabole , qui eflaujfi une des Sections Coniques. Enfin fi un Mineur, pour changer un Fourneau, efl obligé de mefurer la quantité des terres qu'il veut enlever, il faut qu'il . ait auffi recours aux principes des Sections Coniques , parce que l'excavation des terres qu'énleve la Poudre dans une Mine , n'efi point un Cône comme la plupart l'ont crû , & moins encore un Cône tronqué, mais bien un Paraboloide, qui .efi un corps formé par la génération d'une Parabole qui a fait .une révolution fur fon axe. Et pour être bien co?ivai?icu de -la neceffité de fçavoir au moins les principales propnetez, des Sections Coniques 5 il ne faut que lire l'Application delà Géométrie a la Pratique, l'on verra que les plus belles operations en dépendent abfolument. -Cependant malgré cela les Sections Coniques feroient bien peu de chofe fi elles n avaient d'autres ttfages que ceux que l'on trouvera ici > elles font
  - Yij
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- - iy% Nouveau C o'u r s
  - fi ncceffaires k un homme qui [ans vouloir devenir gra?id Géomètre, veut feulement Jç avoir cette Science paffablement, qu’il ne peut pas les perdre de vue d’un moment : car s’il veut refoudre un Problème un peu compofc, il trouvera des Equations qui lui indiqueront les Courbes dont il faudra qu’il fe ferve pour confiruïre les Egalité s, cr efi-k-dire ,pourconfiruire. une Figure qui donne la (olution du Problème.
  - Je ne parle point de ceci dans cet Ouvrage,parce que je nt donne que les principales propriétés des Sections Coniques , ayant eu feulement pour objet de les faire connoitre k ceux qui ont du goût pour la Géométrie , afin de leur infpirer P envie d’aller plus loin '> & d’ailleurs pour mrcn fervir dans les endroits ou je ne pourrors m’en paffer. Mais s’il fe trouvoit de ces perforine s dont je viens de parler, qui ne fe bornent point h voir un Livre de Géométrie, je leur confeille d’étudier l’excellent Traité des Sections Coniques de M. lé Marquis de V Hôpital, qui efi ce que nous avons de meilleur dans ce genre. E t comme je me fuis fervi dans ce que je donne ici d’une façon de démontrer fort approchante de la fienne , je ne doute pas qu’on n’ait une grande facilité k comprendre cet Auteur, fi l’on attend bien ce qui fuit, qui en efi. en quelque forte l’introduction.
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- - D E Ma T.HÏ MAT taj/ïi 17-ÿ
  - |§XXXXXXXÆÆ¥XX-XXX XXXXg^ NOUVEAU' COURS
  - DE MATHEMATIQUE
  - LITRE DES SECTIONS C O ni HV e s.-CHAPITRE I.
  - lui traite des proprieteT^de LParab&le,
  - DEFINI Tl O N Si
  - I* Px A N- -
  - 4.0} • Ç l Ton a une îigne droite ÀÎB , dans laquelle oiï CHE 8<?;
  - imra pris les parties AC &CT) égales éntr’elles, FiS* s^îa' èc que depuis C en venant vers B, l’on tire à la ligne GÊ ( perpendiculaire à AB ) une quantité de parallèles EF ôc GH, & que-l’on falTe DE ou DF égal à AK, 6c DG, ou DH égal a AI, & que l’on continué à trouver une quantité de points tels que E, G, M, en faifant toujours DM égal à AL7 la ligne que l’on fera p alTer par ces points féra; une cour benonimée Parabole.'
  - II.
  - 404. La.ligne GB elt nomméevlUv* delà Parabole.
  - IIL '
  - 40 5. Le point A eft appelle générât car j la ligne OP*? directrice 5 le point D, le foyer:
  - IV.
  - Et le point C Yorigine de Paxe ou de la Parabole, parce* que ce 11 de ce point qu’on a commencé à mener des pa? ' raiieles pour la former.
  - l&iij^
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- - *74 ."Nouveau Coxjks
  - V.
  - .4o6. Chaque perpendiculaire, comme KE ou :lG eft nommée Ordonnée.
  - -VI.
  - ,407. Les parties CK, CI, de l’axe CB prifes depuis Porî-gine C jufqu’au point K ou I, où l’on a tiré des Ordonnées,, font appeUées ,4^/Jf/r/.
  - VII.
  - ,40 8. Si Air le point C de la ligne AB l’on éleve la perpendiculaire CN , quadruple de AC ou de CD, , elle fera appellée. Paramétre delà Parabole.
  - VIII.
  - ,409. PJne ligne droite qui ne rencontre la Parabole qu’à un feul point, & qui étant continué de part & d’autre , n’entre point dedans, mais, tombe au dehors , eft appellée T%ngente.
  - PROPOSITION PREMIERE. Thépreme.
  - 410. Vans la Parabole le ReBangle compris fous V Ab rifle • CI dr le Paramétre CN, jeH égal au gnairé de Vordonné e.GI.
  - Ayant nommé les données ACouCD, a 5 & les indéterminées CI >x, &GI,73 AI ou DG fera-x’-H-^i &DIfera x—a j & NC.fera 40.; il, faut prouver que CIxCN (44*:)
  - —GI(77).
  - D e M O NS T R A T I O lÿ.
  - ConAderez qu’à eaufe du triangle rectangle GDI le quarré de DG ou de AI ( xx*~+i ax.~*£-aa) * moins DI iArt.ijt. (xx^iaxr^raa) fera égal à GI * (77). D’où l’on,tire
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- - DE MATHEMATiaU!#
  - DG—DI ( ATAT—f 2MX—\-aa—«at at-4 2.ax—aa JrzGI (yy ) P
  - qui étant réduit donne CIxCN ( ^ax ) ^=GI (yy ) Ce quil falloit démontrer*
  - PR O PO S I T I O N IL
  - Théorème.
  - 411. Dans la Parabole, je dis qu U y a même raifortdm Jggarrc de P ordonnée EKauJpuarré deP ordonnéeCI, que de PAbcij/e CK k PAbcijfe CE
  - D EM O N S T R A T 10 N.
  - Les quarrez des ordonnées étant égaux aux reCtângléS ' compris fous les Abeilles & fous le Paramétre, il s’enfuit que les quarrez des ordonnées font comme les rectangles qui leur font égaux : mais comme les rectangles, ont la meme hauteur , qui eft le Paramétre, ils feront dans la même raifon de leurs bafes *, c’elt-à-dire, que lés A bcilïès *Âvrt. 242,7
  - CK & CI j par confequent EK. GI ; : GK. CI. C. J^F. d. Corollaire.
  - 411. Si à l’origine de l’axe CB l’on mène une perpendiculaire SC, & que des points E, G, M., de la Parabole l’on tire des perpendiculaires fur la ligne SC , il s’enfuit qu’il y aura même raifon du quarré CQau quarré GR , que de la ligne QE à la ligne RG-, puifque les lignes _
  - & CR font égales aux ordonnées KE & IG , & que les lignes QE & RG font égales aux Abeilles CK & CL •
  - Nom nous fervirons de ce Corollaire dans la fuite pour faire1 voir que les Boulets & Us Bombes décrivent des Paraboles dans P e face qutls parcourent depuis le lieu d'où ils font pouf -fe^ ijufquk P endroit oit ils vont Je terminer; -
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- - »76 [Nouviio Codas
  - PROPOSIT 10 N I II.
  - k-.
  - Problème.
  - 413- Mener ;une Tangente t* me Parabole parun point ;$»• donné.
  - Pour mener une Tangente a uneJParaboie par un point donné E, tirez de ce point au foyer C la ligne EC, & du anême point'.la ligne ED parallèle à Taxe BK„ qui aille ^rencontrer la directrice HA au point D. Tirez, la .ligne DC j & fi vous menez la ligne EG qui pafle par le milieu ;I de la. ligne DÇ > je dis qu’elle fera tangente à la Parabole , & qu’elle pe. la touchera qu’au feul point E 5 tirez les lignes FD & FC, & les parallèles F H a l’axe BK.
  - .Démonstration.
  - ^Ârt.4®?. Confiderez que les lignes EC. & ED font égales *, & qu’ainfi le triangle DEC étant ifpfcelle, la ligne El fera perpendiculaire fur DC , puifqu’èlle la divife en deux également: : de plus l’angje DHF étant droit ,1a ligne FD fera plus grande que FH. D’où il s’enfuit que FC, qui efi: •égale à FD , fera aufll plus grande que FH 3 que par confequent lé point F n’efi: point dans la Parabole, puif-qu’il faudroit que .FC fût égale à FM. Ainfi je conclus que la tangente FG ne touche la Parabole qu’au point E. C.J^F.D.
  - DEFINITION.
  - 414. Si du point d’attouchement E l’on mene l’ordonnée EK à l’axe de la. Parabole, la ligne GK fera nommée fous-Tangente.
  - PROPOSITION IV.
  - Tbépreme,
  - 415. Si P on élève une perpendiculaire E M furla Tanger? # gl au point ou elle touche la Parabole, & que de ce meme
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- - DE. M A TH EM AT I QJ74U 177.
  - point Ion tire une ordonnée EX a l’axe BM,je dis que la partie KM de l’axe fera égale a la moitié du Paramétré de cette Earabole-, c efi-k-dire kiz.
  - D EM O N STR A T I ON.
  - Comme les lignes DC & EM font parallèles, étant perpendiculaires-fur LG que ies lignes DA & EK font égalés , il s'enfuit que les triangles DAC & EKM font égaux & femblables , & que les lignes AC & KM font égales : donc la 'ligne KM vaut la moitié du Paramétré} püifqueAC efl: égala za.* C..JKE. D> ‘ «Art,41*;
  - ;P R O PO S I T I ON Y.
  - Théorenje.
  - .416. Nous fervant de la même figure., je-dis que la Sms-tangente G K efi double de l’Abrifie £JC
  - D e m o n s t tua t i o n.
  - Le Paramétré de cette Parabole étant 40 * KM fera va, ^Art.41®. & à-caufedes triangles femblables EGK & EKM *, l’on * Art,24^
  - .auraKM( 2«),KEO) :-.KE(.>),|^(^)=KG. Or fi
  - dans l’équation ^-r^KG, l’on met 4ax à la place de yy,
  - qui lui eft égal, * l’on aura ==KG /&.par confequent - Urt.*»,
  - 2Xï=~&Q.
  - \
  - C O A O L L A I R E.
  - . 417. L’on tire de cette- propofition un -moyen fort âifé pour ..mener, une' Tangente, à une, Parabole s car , par exemple,pour mener, la ligne LG par le point E, Tangente à la Parabole, vous voyez qu’il n’y a qu’à abaiffer du peint E la perpendiculaire EK fur l’axe BM, faire la li-: gne BG égale à l’Abciffe B K,, 8c par les points-G 8c E me-,jner la ligne J-G.
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- - 17S Nouveau Cours*
  - D E FIN LT LO N.
  - Kg. 154; 41 S. Si du point A où la Tangente touche la Parabole^
  - l’on tire une ligne AO parallèle à l’axe ML , cette ligne, fera nommée un Diamètre à la Parabole.
  - PROPOS! TI O N VI.
  - Théorème.
  - 41 p. Si l’on tire une ligne CD parallèle a la Tangente NB, je dis quelle fera diwfée en deux également au point E par le diamêtre AO.
  - Du point A menez l'ordonnée AG, & des points C, E, D, les lignes HI , EE, DL, parallèles à l’ordonnée AG, & prolongez le diamètre OA jufqu’à la rencontre de la ligne HC. Cela pofé,. nous nommerons MF, m j IF ou HE, ti\ FL. ou EK, u 5 ainfi. MI fera m—15 & ML, m—\u j GF, m—xj parce que nous nommerons toujours MG ,<# 5 6c AG,/..Ainli.il faut prouver que EC eft égala ED,ou bien que HE ( t) trzEK (u) : ce qui eftla même ehofe 5 car fi HK eil divifé en deux également au point E, CD le fera auffi au même point, à caufe des parallèles Hï ôc DL.
  - Démon s t r a t 10 n*-
  - Remarquez que les triangles BGA, ECH, EDK, font femblables, & qu’ils donnent ces deux proportions BG
  - *Art.4i*. (ix)*, GA.(j) ::EKr^),KD(^)*,6c BG ( 2*),GA {y j .. eh ( t) hc ( 3L ). De plus que Cl=y~ £, & que DL=/-4~ ; & filon multiplie chacune de ces grandeurs /Art.183. par elle.même * > d’on aura //— 7^.—pour le quarré delà première ('après en avoir fait la réduction,) 6c yy—\- ^y* —pour le quarré de la fécondé. Or par la * Art. 410. propriété de la Parabole*, Ton a les deux proportions
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- - d é Mat h é m a t i 17$
  - lui vantes MG {x)> ML ( m-\u ) : :*AG {yy fÎLD (yy—h
  - & MG (*> > MI (^) : :"gÂ (jy jcî,
  - (77— ^-+) j d-ou l’on tire ces deux équations avec le
  - produit des extrêmes, & celui des moyens myy—\'uyy~
  - xyy—\-yyu—1-^“, & «yjy—tyjf^*yy~yyt‘^+£j£ ( après les
  - avoir réduit). Prefentement fi l'on retranche la fécondé équation de la première, c’eft-à-dire, le premier membre de la-fécondé du premier membre de la première , & le fécond membre de la fécondé, du fécond membre de la
  - première , il reliera après la réduction ^ *
  - Doii faifant paffer - j-du fécond membre dans le premier, il viendra yytt=yyuu , en effaçant les dénominateurs égaux 5 Sc fi l’on divife cette derniere équation par yy, il viendra /£=##, ou bien * HE ( t) —;EK {.u)m Ce qu'il falloir démontrer.
  - D EF INI TI O N S.
  - I.
  - 420. Toute ligne comme EC ou ED menée parallèle à la Tangente. AB,. eft nommée ordonnée au diamètre AO.
  - IL
  - 4.2 i.Si l’on cherche une troifiëme proportionnelle à la ligne MB, & à la Tangente ABcette ligne fera appel-Jée le Paramétré du diamètre AO.
  - Corollaire.
  - 422. Il fuit de la.définition précédente que fi l’on tire une ligne du foyer P au point d’attouchement A qu’une ligne quadruple de AP fera égalé au Paramétré du diamë-» îtreAO.
  - -Zü
  - *Art.ioS
  - Fig. ïy4-
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- - *Art.4©3*
  - Fîg. 154.-
  - ^ArÉ.113.
  - f, &Oi, N-o- U v e a u G o u a»
  - Pour le prouver nous fuppol'erons que le point S eft le. point générateur, par confequent SG fera égala PA*5 & £ l’on nomme. SM ou.<MP .,.a 5 MG, x s GA (y ), nous? aurons SG ou AP=x—fa, & par la proportion première 4_ax~yy: Cela pofé, £ l’on nomme /4e Paramétré du dia-. métré AO , l’on aura par la définition précédente * MB
  - ( x ) , AB : : AB. />. par confequent pxtzrAB : mais à caufe
  - ——* , — — - Xt
  - du triangle redangle ABG , l’on aura AB ( px ) ~BG
  - —f GA ( 4XV—4~yy) i &•£ à la place- de yy dans le fécond, membre de cette équation l’on met ^ax, l’on aura px"=z 4atat—(«44Ar , & divifanr le tout-par x , vient /ç=4AP, (4.VH-4a)- C.^F.D.
  - PROPOSITION VII.-
  - Théorème; .
  - 423. Le fituarré dune ordonnée quelconque EC au diamètre AO efi égal au Rectangle compris fous l3 Abciffe ÀE & fous-le Paramétré du diamètre AO ( ou, ce qui ejl la même chofe ; fous une ligne quadruple de AP ) les chofe s demeurant les mêmes que dans la proportion, les lignes de la figure feront nommées avec les mêmes lettres, excepté la ligne AE , que nous nommerons z. , qui étant égale à FG^Pon.aura zrzui—x..
  - Démons tk at i on.
  - IL faut ajouter d’abord les deux équations myy-\>uyy=z
  - xyy-+yy®-±y~~', .& myy^tyy=xy^yyt-^yy^-, enfem-
  - ble, & mettre auparavant t à la place de u-dans la première écpation,puifque l’on a trouvé/—#, la rédu&ion
  - étant faite, il.viendra.2myy=z2.xyy-\-?~ , & en faifant.
  - -évanoüir la fraction* ^xmyy^z^xxyy—tyytt,- qui étant di-vifé par relie ^.x.mzr^.xx’—f tt, & faifant palier 4.XX du fécond membre dans la première, vient 4xm—4*^'
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- - de Mathema tiqjje. 181
  - ~.tt. Or'Comme z»—x dans le premier membre de cette derniere équation eft multiplié par 4V , on pourra à la place de m—,v mettre z,, qui lui eft égal, de qui donnera. : mais à caule du triangle rectangle HHC , l’on
  - aura’EC=HE-+HC ( ^ ) de mettant 4.XZ à la pla-
  - ce de tt , 4xa à la place dc yy, qui lui eft égal par La
  - propofition première, l’on aura EC^4.xz,ou. bien EC—4APXAE ( 4^—f 4 az) C. D.
  - Corollaire.
  - 424. L’on voit par ce Théorème que la propofition première devient generale , puifque non feulement le ciuarré d’une ordonnée à l’axe eft égal au rectangle compris fous le Paramétré de l’axe, & fous l’Abeille, mais que le quatre de toutes ordonnées à un‘diamètre , eft aulïï égalau rectangle compris Ions l’Abeille corrcfpon-dante , de fous le Paramétré de ce diamètre,- Mais pour mieux faire entendre ceci, confidercz que fi la ligne RT eittangente au point M, extrémité de l’axe , toutes les ordonnées à l’axe feront parallèles à cette tangente , de par la propofition première,le quarré de chacune de ces ordonnées fera égal au rectangle compris fous l’Abcilfc correfpondante, de fous une ligne quadruple de PM , qui efc la di (tance du-foyer au point d’attouchement. Or lî l’on imagine que l’axe ML fe foit mû parallèlement à lui-même jufqu’au point A , ou il tient lieu de diamètre AO . de que la Tangente RT ait glillé fur la Parabole , ne la touchant toujours qu’a un leul point, jufqu’à ce que le point M devienne le point A: pour lors la Tangente RT deviendra la Tangente NB, de la ligne PM deviendra la ligne PA , de par confequent elle fera encore la quatrième partie du Paramétré de l’axe devenu le diamètre AO, de les ordonnées que l’on aurait menées parallèles à la Tangente RT, telle que VX, feront toujours parallèles à.
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- - rï'S 2 'No U V E A U Cou R S
  - :1a Tangente, s’ils ont /accompagne' Taxe , & fî TAbcîffe MVelt égala l’Abciflè.AE , l’ordonnée VX deviendra l’ordonnée EC , de l’on aura toujours >le qtiarré de EC égal au rectangle compris fousTAbeille AE, de fous une ligne quadruple de la di (tance du point d’attouchement A au foyer P, comme on l’a démontré dans la propofition précédente.
  - On peut remarquer que (î le point A approchoit plus ,du point M., il pourroit arriver que le point. C tombe-,roit au-dplà de l’axe ML : mais cela, n’empêcheroit pas que tout ce que nous avons démontré ne fubliltât de même j de quelque façon que la,ligne DC puilfe fe trouver dans la Parabole , puifqu’elle fera toujours divifée en deux également par le diamètre, lorfqu’elle fera parallèle à la Tangente.
  - PROPOSITION VIII.
  - Théorème*
  - l55° 42 5. Si Von coupe un Cône par un plan parallèle a tm de
  - fes cotez, la feôfion fera une Parabole.
  - Si l’on a coupé le Cône ABC par un plan parallèle à un . de fes cotez BC, je dis quela fection, qui fera, par exemple, DEI, aura formé fur la furface du Cône une courbe DHEKI, qui fera une Parabole. Suppofant que le Cône a été coupé par un plan LM , parallèle à fa bafe ,.la feétion fera un cercle dont les lignes F K de FH feront des perpendiculaires au diamètre LM , de en même tems des ordonnées à la courbe. Cela pofé, prenez fur le côté BC la partie BO égale à FM, .de du point O menez à EM la parallèle ON', qui fera le Paramétré de la Parabole > car nous démontrerons que le rectangle compris fous NO de TAbçifle EF, eft égal au quarré de l’ordonnée FK, après avoimonnné BO ou FM, a i NO, p 3 EF, * 3 de.FK}jf,
  - Démonstration.
  - • Confierez <jue les triangles NBO de LEF étant fem-
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- - DE M A T H E M A T I Q^7 E. 183
  - blàbles donnent BO (a ) , NO (p ) : : EF (x), LF D’où l’on tire NOxEF ( px ) =LFxFM ou BO (—), & fl à la place de FLxFM ou BO dans le fécond mem-
  - bre de l’équation, l’on met FK (yy ), qui lui efl égal * par * Art. 273 la propriété du cercle, l’on aura NOxEF (px ) :=FK (yv.)
  - PR O P O SI TI O N IX
  - Problème.
  - 42 6. Décrire Une Parabole, le Paramétré étant donné. _ i ^ Pour décrire une Parabole dont la ligne AB foie le para-métré, prenez dans une ligne telle que EK les parties CE &CF chacunes égales au quart de la ligne AB : enfuite tirez une quantité de perpendiculaires telles que GH à la ligne EK, comme dans l’art. 36 3. ôc faites les lignes FG & FH chacunes égales à la ligne El. Après cela , fi l’on-fait paffer une ligne courbe par les extrêmitez d’une quantité d’ordonnées, telles que GI , cette courbe fera une Parabole.
  - D EMON S T R A T I ON.
  - La démonflration de ce Problème eft la même que-celle de la proportion première.
  - PROPOS I T IO N X,
  - Problème.
  - 42 7. Trouvert axe dé une Parabole donnée. T57*
  - Pour trouver l’axe d’une Parabole donnée CLI > on n’a qu’à tirer à quelque endroit que l’on voudra de la Parabole deux lignes AB &CD parallèles entr’elles 5 dlvifer chacune de ces lignes en deux également aux points E 8c-'
  - F-., &: tirer par ces ppints la ligne GH , qui fera un dia-~
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- - 'ï;'$4 N O U V ErAU - C O U*R S
  - ^Art.419. metrela Parabole* : enfuite du point C tirez la ligne ‘ CI, en forte qu’elle coupe à angle droit la ligne GH. Di-vafez cette ligne en deux également au point K j & fi fur ce point vous élevez la perpendiculaire Kl-, elle fera l’axe dé la Parabole.
  - D E M 0 N S T R :A T 1.0 K.
  - ; Les lignes AB & CD étant des ordonnées au diamètre : GH, la ligne CI perpendiculaire à ce diamètre, fera- une . ordonnée à l’axe de la Parabole. Or comme Taxe d’une . Parabole divife en deux également fes ordonnées , & qu’il les coupe toutes à angles droits, la ligne KL fera donc l’axa delà farabole»
  - PR O PO ST TI O N XL
  - Problème.
  - i4.57. 4 ^ • Tcouver le, Paramétré d'une. Parabole donnée.
  - Pour Trouver le paramétré d’une Parabole donnée , il ne faut que chercher à une Abeille quelconque LM & à l’or donnée .correfpondante MN une troiliéme propor-^Art.334» tipnnelle *, qui' fera, par exemple, OP, & cette ligne OP fera le paramétré que l’on demande, puifque le reclan-gle compris fous LM & OP, fera égal au quarré de i’or-<'Art.4io. donnée MN.*
  - PROP O S I T T O N X I I.
  - ^Problème.
  - 42,5?. Trouver le foyer d'une Parabole , dont on connoît le Paramétré.
  - Pour trouver le foyer d’une Parabole, il 'faut prendre dans l’axe LK une partie L'Q^gàle au quart du paramétré OP, & le point Qjprale fpyer qu’on demande : ce qui.eft bien évident, puifque par la génération de là Pa-rabolp *, le paramétré elt quadruple de la didance du foyer Qau fomniet L de la Parabole,
  - ' CHAP,
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- - ïmwj imoanojj
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- - ’BE M A T H E M A T l <£U Él
  - CHAPITRE IL
  - •Qui traite de F Eli tyfi.
  - D E F I N I T I O N S.
  - 43 Q* A Yant tiré far un plan deux lignes droites & Plan-(Y inégales AB , CD , qui fe coupent par. le mi- che j. lieu à angle droit au point E^lîl’on décrit un demi-cer- Fig- ijS cle, dont le diamètre foit la plus grande AB, & que l’on élevefur ce diamètre une quantité de perpendiculaires.,
  - .comme FG & IK, & qu en fui te l’on fade EH quatrième proportionnelle aux lignes AB, CD, FG, & de même I-L quatrième proportionnelle à AB „ CD, IK , & que l’on continue à trouver une quantité de points tels que H &
  - L, la courbe que Ton fera palier par tous ces points fera nommée une Ellipfe.
  - .43.1. La ligne AB eft nommée grand Axe de l’Ellipfe, Fig-15* * & la ligne G2rqu’on fuppofe perpendiculaire fur le milieu de la ligne : AB eft dite petit Axe , ou bien la ligne CD eft dite Axe conjugué k /’ Axe AB, & de même l’Axe AB ell: dit Axe conjugué a /’ Axe CD.
  - . 43 2. Toutes lignes telles que.FH ou IL, menées per-
  - Î>endiculairement au premier axe AB, & terminées par ’Ellipfe, font appellées-Ordonnées à cet axe.
  - 43 3. Si l’on cherche une troilîeme proportionnelle aux axes AB &CD, telle que MN, cette ligne eft nommée Paraœetre dt YAx.e , qui fait le premier terme delà proportion.
  - 4 3 4. Le point E ou les axes fe coupent à angles droits, eft appelléCentre de l’Ellipfe. •
  - 43 5. Si dans le grand axe AB d’une Ellifpe l’on prend ."Fig. les points K , chacuns éloignez des extrêmitez C ou D Au petit axe de la moitié du grand , ces points feront :pomm&L.Poyers dei’Ellipfe.
  - Aa
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- - x$£ Nouveau Cour $
  - P ROPO'SITION PREMIER'E:
  - Théorem e0
  - Fig. 158.
  - 436.- Dans FEllipfie fi Fon me ne une ordonnée FR au premier axe ,je dis que le re Rang le des parties AF & F B de cet axe efi au quatre de l'ordonnée correfipondanteF H, comme le quarré du premier Axe A B efi au quarré de fon conjugué CD r ou.y ce qui efi'là meme choje, comme -le quarré AE efi au quarré ED.
  - Ayant nommé les données AEpuEBya-; CE ou ED,h & les indéterminées EF, x 3 FH, y > FG,/5 AF fera a—x> &iFB a—f-;o Cela pôle., il faut démontrer que AFxFB.
  - FH : : AB. CD.
  - Démons t r a t ion.
  - ConFderez que par la dénnition première Fon a AB ♦Art.334^ ( 1a ).. CD ( zb ) : : FG (fi).FH (y ), par confeq'uent* AB
  - ( 4aa ) .. CD ( 4bb ) : : IG (//). FH (yy). Or F à la place du quarré de FG dans cette propofition, l’on met le re-♦Art. 177. ctangle ÀExFB ( aa—~xx) * qui lui eft égal par la propriété du cercle , Fon aura AB ( 4a i / . CD ( 4bb ) : : AFxFB ( 4aa—xx ). FH (yy 1 , ou bien AFxFB ( aa—xx ). FH (yy):: A3 ( 4 m ). CD ( 4^ ). c. QF. D, Corollaire I.
  - Fig. 158. 43 7. Si Fon-a deux ordonnées EH. &: IL, Fon aura par
  - la proportion precedente Ai-xrB. FH : : AB. CD , & 7Art.i£8. AIx-IB. IL: : AB. CD 3 ce .qui fait voir * que AFxFB. - ' FH::AIxIB.-Id
  - Corollaire- IL 43 8. Il fuit encore que F du point H Fon mène For-
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- - de Mathématique. 1S7
  - donnée H F au fécond axe CD, que le rectangle compris fous les parties 1D& IC de cet axe, elt au quatre de l’ordonnée correfpondante IH , comme le quarré du même axe CD eil au quarré de fon conjugué AB.
  - Pour le prouver conliderez que FH étant égala El, l’on aura E£=7, & que FE étant égal à HI, l’on aura encore Hfax 5 ainfi ID fera b—y , 6c CI b—\y. Cela pôle , faites attention à la proportion précédente aa<—xx. yy : : aa. b h. dont le produit des extrêmes 6c celui des moyens donne * bbaa—xxbb—yyaa. Or fi l’on fait palier yyaada fécond membre dans le premier, 6c xxbb du premier dans le fécond, l’on aura bbaa—yyatâxzxxbb, cfoii
  - l’on tire* IDxIC ( bb^yy ). HI ( xx )• : : ED {bb). EB{aa). Ainfi l'on voit que H l’on mene des ordonnées au grand axe ou au petit, la propriété de l’Ellipfe demeurera toujours la même.
  - C O ROLLAIRE III.
  - 435). Si l’on nommer le premier axe d’une Ellipfe, 6c h le fécond , p, le paramétré, l’on aura * a. b::b.p. par con-fet pient*^. bb : : a.p. mais comme la propriété de l’Ellipfe donner—xx.yy : : aa. bb. il s’enfuit qu’on aüra auilî &a—>xx.yy.\a.p.
  - EMAU QJJ E I.
  - 440. Il elt à remarquer que puifque l'oiia*AFxFB.
  - FH : : AIxIB. IL. que lî à la place des antecedens l’on met les quarrez de FG 6c IK, qui leur font égaux par la pro-
  - priece du Cercle, Ion aura FG. FH: : IK. IL. par confe-fequent * FG. FH : : IK. IL. 6c en raifon alterne* FG. IK : •. FH. IL. oui fait voir que li l’on prend les lignes FH 6c IL pour des élemens de la fuperficie du quart d’Ellipfe EAD, 6c les lignes.FG 6c IK pour des élemens du quart de cerclé EAM, que les élemens du quart de .l’Ellipfe font dans la même raifon que les élemens . du quart de cercle. «
  - Fig. 15*:
  - * Art. 17&
  - ♦Art. 433.’
  - * Art. 318.
  - Fig. 458. *Art. 331*
  - *Art.i&i*
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- - i-n
  - Nouteaü C o u'si s-R E U A R Q..U E . I I.”
  - ^ff.3805 441. L'on a vu * que dans uneprogreffion qui feroio
  - compofée des élemens infinis , tels que FG & IK d’un quaft de cercle, la fomme des quarrez de tous ces éle-mens feroit égale au produit du; quarré du plus grand élei ment EM1 par les deux tiers de la ligne AE, qui en exprime la quantité. Or comme les élemens de l’Ellipfe font dans la même raifon que ceux du - cercle, il s’enfuit-qu’ils auront la même propriété que ceux-du cercle j & que par confequent fi l'on a une progrejfion compofée des termes infi* ni s des élemens d'un quart d'Ellipfç E AD la fomme des quarrez, de tous les élemenstel s que TH & IL, efi égale a» produit du quarré du plus grand élément ED parles deux tiers de la grandeur qui en exprime la quantité, c efi-k-àire ,pay lés deux tiers delà ligne AE.
  - Comme ces deux remarques nous fervent beaucoup dans la Geometrie Pratique* il faut s'attacher à les bien comprendre.
  - AVE R T I S SEME N Ti
  - Comme lès art. depuis 4» z\ jufqu a 4-JÇ4; n’ont rapport qu’à la troifiéme proportion , & que cette propoft-tion , malgré l’attention que j’ai eu de la démontrer le plus clairement qu’il m’a été -pofîible -, poufroit peut-être rebuter les Commençans ,.Jeur paroifïànt trop difficile’, ils pourront paffer ces articles auffi-bièn que la propofition , & ne s’attacher qu^àu refte de ce Chapitre , qui îuffi-ra pour entendre dans la Geometrie Pratique les chofés qui ont. rapport à l’Ellipfe.
  - définitions:
  - I.
  - 44 2 • L’on nomme Diamètres d’une Ellipfe deux lignes comme CD & EF-, qui pafTentpar le centre G5 .& qui font terminées par l’Ellipfe. --
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- - d e: Math em ati c^i ï>- rtf
  - IL
  - 443. Ayant mené d’un point quelconque G un dia-' îiiéi rè CD, & une ordonnée CK à l’axe AB, fi d’on fait GO troiiiéme proportionnelle à GK ôc GA , le diamètre EF, que Ton aura mené parallèle à CO j edi appellé diamètre conjugué du diamètre CD 5 & de même le diamètre CD eft dm conjugué du diamètre EF.
  - III.
  - 444. Toute ligne comme HI, menée d’un point quelconque FI, pris dans le diamètre CD, parallèle à fonconjugué EF>eft appellée ordonnée du diamètre CD.
  - IV.
  - 44'j. Si l’on cherche une troi'fiéme proportionnelle aux diamètres conjuguez CD, EF > elle fera nommée le Paramétré du diamètre, qui fait le premier terme de la pro-^ portion.
  - G o a o L L a 1 R E.
  - 446. Par l’article 151. il s’enfuit que fi l’on nomme GA , a j GK, x j KO, z>, l’on aura GK ( a: ). GA (a)-: : GA ( a GO ( at—f-'t )• D’où l’on tire xx-^-x^=:aa 3 & en faifant palier .v^ du premier membre dans le fe>-cond, l’on aura x^zraa^xx, c’edl-à-dire, - que OKxKG rzAKxKB. Nous nous fèrvirons de ce que nous enfeigne ' ce Corollaire, pour démontrer les proppfitions fui-v antes * e’eft pourquoi il eil à propos de le bien retenir.
  - P3K O PO S I t I O N lï.
  - Théorème;
  - 447: Si des extrêmitez C & E dés deux diamètres CD, Fig-iÉô E F, Fon ment k F axe AB les ordonnées CK & E P ^ je dis que lè quarrê de la partie - GP fera égal au rectangle de AK par K B,
  - Aaiiij
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- - -O . 'KoU VE A U C O U R. S
  - Ayant nommé GA, a 3 GP, / 3 G K, x 5 KO, £ 3 GO fera x~iz.Cela pofé, ûous ferons voir que AKxKBftftf*—xx
  - «Art.44*. OU bien^ ) *=GP (ff
  - ,Df M ON S T R ATI O N.
  - ^Artf437. Confîderez que,l’on tire de la propriété de: l’Elîipfe *
  - AKxKB (xl). APxPB ( a*-ff) : : KC. PE, & que fi au lieu de ^ dans le fécond terme de cette proportion Ton ?Art?44^ met xx—±xzy qui eft la même chofe*par le Corollaire precedent , & au lieu deKC & PE l’on met KO (zz) & PG ( ff), qui font dans la même raifon , à caufe des triangles femblables OCK, GEP , l’on aura AKxKB ( x^ ),
  - . APxPB (xx^-^xz—ff) : : KO {zz), GP (ff) > dont le produit des extrêmes & celui des moyens forment cette équatiou xxzz-{xzzz—ffzz—ffxz 3 d où tranfpofant ffzz du premier membre dans le fécond, vient xxzz—^ . xzzzmffxz-^ffzz, d’où effaçant £ de part & d’autre, .refie xxz—\- xzz'=rffx—\ffz, qui étant divifé par x—
  - donne AKxKB ( *£;=;GP (ff), c, j^F. d.
  - Corollaire.
  - fârt.44^. 44 g. Comme l’on a * xx~+x%=zaa , il fuit de cette pro*
  - pofition que fi l’on met ffk la place de xz dans l’équa-; tion précédente, l’on aura xx—\-ff=zaa y d’où faifant paffér
  - ff du premier membre dans le fécond xïon aura GKfxx) f^APxPB (aa-ff.
  - PR O PO S I T ION I IL
  - Théorème»
  - 4 49- Rectangle fait des parties de CH par HD du diamètre CD , efi au quarré .d’une ordonnée FII d ce diamètre* comme le epuarré du même diamètre ejl deelui de fon conjugué EF,
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- - D E' M A'TiîE M AT I QJÇ7 E. ïÿ'I'
  - Après avoir tiré les lignes IN, HL, parallèles à CK, & là ligne HM parallèle à B A, nous nommerons GK, x y
  - a,;5 GA,a j KO,£5 HMouLN, r 5 GL ,g 5 GC,/.
  - D EM O N STR A T I ON.
  - Remarquez que les triangles femblables GKC, GLH r>
  - donnent GK-( *). K.C [y, ) :: GL (g). LH (?«) , & que
  - lés deux autres COK, IHM, qui font auffi femblables *
  - donnent encore KO ( -KC ) : : HM ( * J. IM
  - d’ou l’on cire IM—b HL ou MN / , dont le
  - quarré eft H-- De plus conhderez encore-
  - que LN-—LG ( c—g )=:GN. Dont le quarré e& cc-~icg ~~bgg- Cela pofé, il faut chercher une fécondé valeur de
  - — 4
  - IN, que I on trouvera par la propriété de l’Ellipfe^j car AKxKB ( aa-—xx ). ANxNB , ou GB—>GN * ( m—cc—j*
  - = :;CKf„), Pre-
  - fentement-fi l’on forme une égalité avec les deux valeurs dêÎN l’on aura J3>gg ; *^--i mg'=z**yyn'w-*^£yy-zz>y. -
  - 3 ” zzr zx ~ xx ^ . aa—xx-
  - Mais comme Ion fçait qiie.xz^^a-—xx *, l’on voit qu’en effaçant 1 yycg ( qui eit divifé par des qu-antitez égales dans l’un-& l’àutre'membre. ) .& divifant ce qui relie par
  - y:y , il viendra-^-—bPrefentement il faut multiplier par xx, aau de n’avoir plus gg en fradion^, Si ldnaura^ -+S?= l’on ferapaflèr#.
  - du premier membre dans le fécond, Sc on le réduira en fra-dk>ns,aiîn d’avoir **-ou"*4--’•**?-«** *xx**—»ss-***xg;
  - * ZZ. ZZXX ' iUt—XX'
  - * Ait. 4 yyï & 446.
  - * Art. 6év
  - *Art.44^
  - ♦Art. ittbi
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- - 19% .Nqu-veait CoVk-s
  - faifant attention que c^~ eft la même chofe que'^~*
  - puifquele numérateur & le dénominateur ont été multipliez par xx. Or comme le premier membre de cette équation eft divile par le quarré de la grandeur qui divi-fe le fécond, il s’enfuit qu’on fera évanouir les fra&ions, en multipliant le .fécond .membre par aa^xx j & après avoir réduit & fait paffer ccxxaa du fécond membre dans le premier, on aura ccaaxx~xxa*-~ggaA'—*aax*-^ggaaxxi
  - qu'il faut divifer par aaxx j doii-l’on tire LN ouHM (cc) znaa^xx—î-gg—^~*Cela pofé,confiderez queies triangles femblables GKC,GLH, donnent GK (x). GC (/) *Art* 66a . ;ql (£). GH (^). Par confequent * CG—^GH , ou ÇHxOD^f/'/— Mais comme il arrive queies quatre
  - grandeurs CHxHD HM* ( aa—xx—\-gg-^
  - : : CG (//) , GP ( aa—xx ), font proportionnelles,,
  - le produit des extrêmes, aufïi-bien que celui des moyens, étant égaux, il s’enfuit que fi à la place des confequens
  - HM & GP, l’on met HI^ GE , qui font dans la même raifon, à caufe des triangles femblables HIM, GPE, l’on
  - aura CHxHD. HI : TCG. ~GE. C. g^F. D.
  - Corollaire I.
  - -Fig. 161: 45 0. L’on voit que ce qui a été démontré dans la pro-
  - portion, premier epar rapport aux deux axes, s’étend par le moyen de celle-ci à deux diamètres quelconques ; car filon lait le même raifounement pour l’Éllipfe, que l’on a f Ait.414 fait ppur la Parabole *, l’on verra que la Tangente Hl à l’extrémité A de l’axe ÂB,ayant gliffé le long de la courbe pour prendre la fituation QR_j&f’axe.AB ayant tourné
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- - D Æ MaTHEMATI E.’ I £ 3
  - Jur le centre E pour prendre la lïtuation F G , l'ordonnée KL, qui l’aura accompagné toujours parallèlement à la tangente HI, deviendra l’ordonnée OP 3 & comime l’axe conjugué CD TTura aufli .tourné parallèlement à la tangente HI, il deviendra le diamètre conjugué MN, par confequent toutes ces lignes demeurant les mêmes les unes, par rapport aux autres, comme elles étoient auparavant , il s’enfuit que le re£tangle compris fous les parues OF &c OG du diamètre FG elt au quarré de l’ordonnée OP comme le quarré du diamètre. F G eft au quarré «de ion. conjugué MN.
  - .COROLLAIRE IL
  - . 451. Déjà il fuit * que pour mener du point Fune tan- *Att.44^ gente QR à une Ellipfe, il faut du point F abbaiffer une perpendiculaire FS fur l’axe AB , & faire la ligne EQ^ troiiiéme proportionnelle auxdignes ES & EA pour avoir le point Qj duquel,l’on n’alira qu’à mener la tangente par le point donné.
  - Corollaire IJ I.
  - , 4 5 2. Il fuit encore que toute ligne, comme TP, menée .parallèle à la tangente RQ_, elt divifée. en deux également par le diamètre FG 3 car le reétangledeFO par OG eft au quarré OP , comme le quarré FG eft au quarré NM, & le même re&angle de FO par OG eft. encore au quarré OT comme, le quarré FG eft au quarré NM 3 jl s’enfuit donc que le quarré OP eft égal au quarré OX3 que par confequentOP eft égal à OT.
  - PR O POSITIO N IV.
  - Théorème*
  - 453. La fomme des quatre^ des deux .axes AB & d'une Ellipfe, eft égal a la fomme des quarte^f des, deux diamètres quelconques. CD & EF,
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- - No U VEAU C’o UT R-Sf'
  - DeMONSTRA TI ON.
  - Les chofes e'cant fuppofe'es les mêmes que ci-devant ; *Art.447* nous aurons toujours * GP~aa—xx, ïk~* GA>—GP, ou ♦Art.448. APxPB=GK (xx). Or par la propriété de l’Ellipfe, l’on
  - aura GA (aa).~GK(bb) :: APxBP &
  - d’une autre part GA (aa). GR. (bb) : : AKxKB (aa^xx). ÏTC Or les triangles.rectangles GPE, GKQ
  - donnent GP-4PE ( —EG , & GK-j-CK
  - (xx—{- ) rzGC. Et H l’on ajoute enfem-
  - - 3 2 '
  - *Af-t.i7§. b le ces deux équations*, l’on aura E GH- G C=:
  - *1-xx».^±+*^^lb**-*xbb > qiü étant réJuit &divi_
  - fé par aa , donne GE—f?GC ’zzaa—^bb > ou bien AB—p QRjzrCDH-S* C. ^ F. D.
  - PROPOSITION Y. ]
  - Théorème.
  - Fig. i&ù 4 S 4- Si fa? fextrémité A de F axe ABl3 on'm en e une tan-
  - gente qui aille rencontrer aux points N & F les deux diamètres MG & JH prolongez, je dis que le rectangle des parties NA par AF efi égal au quarré de la moitié de l3axe CD,
  - " a
  - Jinfiilfaut prouver que ANxAF^zzCF.
  - Ayant mené des points I 5e M les perpendiculaires IK & ML, nous nommerons AE, a 5 CE 3 b 3 EK, * 5 5c IK,/,:
  - Démonstration.
  - *Ârt.44&. Confîderez.que Porta * ALxLB égal au quarr é de E&.
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- - © e M a the m a t t oy ê; i
  - qui eil^AT, & que par confequent AE (ad). EC (bb) : : AL
  - xLB (xx). D’oii extrayant la racine quar-
  - rée de 3“*, Ton aura la ligne LM , c’eft-à-dire , LM «—A*?
  - . a
  - " 'Mais comme l’on a aufïï * AKxKB=LE, l’on aura en-coreCE [bb). ÂÉ‘(*«) : : K (yy)., ALxLB ( ~f). Orcom-eft aulïï égal au quarré de la ligne EL , fi l’on extrait la racine quarrëe de cette. quantité', l’on aura EL=: L’on pourra donc, à caufe des triangles fem-
  - blablesEAF & ELM former cette proportion EL ( J
  - LM(^)::EA w- AE(^)-ou bien.^; & à caufc
  - des triangles femblables EAN & EKI, l’on aura encore EK (x). Kl (y) : : EA (a). AN ^^. Or fi l’on multi-plie AF (^) par AN0) , l'onaura^H qui étant réduit, donne CE (bb) rzANxNF. C. D.
  - PROPOSITION VI.
  - JThéoreme.
  - 444 5. Si ton coupe un Cône par un pian obliquement à l&. èafe, la fecHon fera une Ellipfe*
  - Si l’on , coupe le Cône X par un plan AB obliquement a fa baie, la feclion EEÀF fera une Ellipfe. Nous fuppoferons que le Cône a été coupé parallèlement à. la bafe par un plan CM ., qui pâlie par le milieu de
  - * Art."?»:
  - * Art.-44«
  - Fig.
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- - Ÿ$ô NoU V EA’ü C O U.KSN
  - Taxe AB , & par un autre plan LD , auflî parallèle àr la bafe qui paflëra par un point quelconque I de Taxe AB. Gomme ces deux ferions formeront-des cercles , nous tirerons les lignes EF & HK, qui couperont les diamé-très LD ‘& CM à angles droits aux points I & G : ainfi la ligne EF deviendra le petit axe de l’Ellipfe, & les IL gnes IK & IH des ordonnées. Nous nommerons ÀG ou GB, a j GF ou GE, b j GM, c-5 CG, d!‘} GI > x 3 IK>j: ainfi IB fera a—\~x, & AI a—x, & nous ferons voir que,
  - AïxIB (aa—xx). IK (yy) : : AG (aa). GF (bb).
  - Démon suation.
  - Les triangles fcmblables BGM & BID donnent BG (a)\ GM (C):: BI O-l-x). ID (/>cJxe). & les triangles CAG ÔC' LAI étant aufli femblables, donneront encore AG (aJ, GC (d) :: AI (a-—x). LI Jm & multipliait Lï
  - ’/ad—xd ^ „„ „ T"r\ /*c-+xc>\ i» aaed—xxcd 1
  - ( ;T~V Par 1JJ ( l on aura---' pour le
  - produit, qui efb égal au quarré de IK par la propriété du cercle j d’oii-L’on cire cette-équation *---~*xc*^:yy : & £
  - à la place de CGxGM (cd) l’on met GF (bb) dans le premier membre de l’équation, l’on aura ’zzyy, en
  - faifant évanouir la fra&ion 5 e’eft-à-dire, multipliant yy par aa, l’on aura cette derniere équation aabb^xxbkr, ly^aayy 5 d’ou l’on tire cette proportion * AïxIB (aa^—xx).
  - ÏK (71) •• : AG (aà)\GF (bb). C. JjKF.D.
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- - D E‘ M A T'H EM A TI QUE'. jpf
  - PROPOSITION V IL
  - TKéôreme.
  - 45 6. SiTon coupe un Cylindre par un plan obliquement à Fîgi'iÿÿ la bafe ,je dis que la fcBion fera une- Bllipfe.
  - Pour être convaincu, que la fection BEAF- du Cylindre-Y eh une Ellipfe, il ne faut que lire la démon lira t ion du Théorème precedent, & partout oiiil y aura le nom de Cône, il faudra y fuppofer celui de Cylindre, la démon* hration étant la meme.
  - P R O P O S I T I O N Y I I I.
  - Problème.
  - 457: Deux axes conjuguez, AB' & CD d'une- Ellipfe FigMtftf étant dmne^, la décrire par un mouvement continu.
  - Il faut du point C comme centre, & d’un-intervalle égal à la moitié du plus grand axe AI, décrire un arc de cercle qui vienne couper- l’axe AB aux points E & F, que : l’on nomme foyers. Enluite il faut avoir un fil de la longueur du même axe AB, dont on attachera les. extrêmitez aux points E & F, en fe fervant d’un hile G pour tenir le fil tendu , l’on ira: du-point A au point D, & du ', point D au point B, pour décrire avec le bout du hile la demi-Ellipfe ADB j èc faifant paher le hile de l’autre coté de l’axe AB, l’on décrira de la même façon avec le hile-G l’autre moitié de l’Ellipfe A CB.
  - L’Ellipfe, dè la maniéré qu’on vient de la tracer , a les-mêmes propriétés que celles que nous avons vu ci-devant; mais comme la démonhration- dépend de pluheurs cho-fes, dont nous n’avons pas parlé dans ce Chapitre. SI-' on defire la fçavoir, on la trouvera dans le fécond Livre-des Se&ions Coniques de-M. le Marquis de-l’HopitaL.
  - &b iii;::
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- - fAït-452-
  - N ou reau "CoURiff
  - PI QPO S I T 10, N I X. jProblênœ.
  - 4 5.S. .Trouver le centre & les deux axes.,..conjuguez». d'me Éllipfe donnée
  - Tirez les lignes AB & CD parallèles, que tous divife-. rez chacune, en deux également aux points E & F , pour avoir les ordonnées du diamètre GH * , quipadant par les points E & F, paflera aufli par le, centre de l^llipfe : ainfi en divisant la ligne GH en deux également au point I, ce point fera le., centre de l’Ellipfe., duquel décrivant Tare GLjOii aura deux points G&L également éloignez du centre,qui ferviront pour faire, la Je&ionM, par laquelle , auffi-bièn que par le point I, tirant une ligne, on aura .le grand axe NO.
  - Pour trou ver le petit axe * il n’y a qtia faire paffer par le point I une digne droite , qui fade, avec NO quatre angles, droits.
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- - u ê M ath e m a t i qj; e*
  - CHAPITRE III.
  - i$ïft traite de ÏHyperbôle* -
  - D E FINITION S.
  - 4$ s>• A Yant tiré fur un plan deux lignes inégales Pla^ Jj\ AB & DE, en forte; qu elles fe coupent à an- che x-.® • gles. droits par le milieu au point C, Ton élevera la per-pendicLiiaire BS à 1-extrémité B j & après avoir prolongé AB par cette extrémité vers O & P, lbn prendra dans la ligne BO une quantité de parties égales , telles que BG,
  - GL. pour du point C comme centre décrire les demi-cercles GQI., LR.K , Sec. Enfuitë l-on cherchera aux lignes AB,DE, BF, une quatrième proportionnelle GH , que Ton élevera perpendiculaire fur le point G, Se aux lignes AB, DE ,BN, l’on cherchera encore une quatrième proportionnelle LM, qu’on élevera perpendiculaire au point L. Et fi l’on continue de même à trouver une quantité de points ,tels que H, M, la courbe que l’on fera pafier par tous ces points fera nommée Hyperbole.
  - 460. Si dans le même tems l’on décrit deux Hyperbo- -les, l’une à l’extrémité A, Se l’autre à l'extrémité B yelles ieront nommées Hyperboles oppofées.
  - 461. La ligne AB e fi: nommée premier Axe> & la ligne"
  - DE fécond Axe de chacune des deux Hyperboles oppofées.
  - Les deux axes AB Se DE font appeliez enfemblë conjugue^ de forte que le premier axe AB eft dit conjugué ' au fécond DE, Se réciproquement le fécond DE conjugué au premier AB.
  - 4 6 2.. Le point C, ou fe coupent les deux axes à angles droi s, efi: nommé Centre.
  - Toutes lignes comme GH ou LM perpendiculaires aii ; premier axe prolongé AB, fontappellees. Ordonnées an;
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- - r%'OJO N O U V E A U ~C o U R S
  - premier axe A B 5 & toute ligne comme TV , menée
  - 'perpendiculaire au fécond axe DE., & terminée par
  - Hyperbole, efl pommée prdçnnée au fécond axe.
  - ,463. La ligne que l’on aura cherchée troifiéme proportionnelle aux deux axes , effc nommée le Paramétré, fa taxe, qui fait le premier terme de la proportion.
  - PROPOSITION PREMIERE. Théorème.
  - Fig.1^7. ^64.. Dans l'Hyperbole le rectangle des parties AG par BQ
  - .de l'axe AB prolongé, efi au quarré de l'ordonnée GH com~ .me le quarté du grand axeABejl au quarté de fin conjt(r gué DE.
  - Ayant nommé CA ou CB,^ *CD ou CE,£5 BF, c 5les -indéterminées CG ou CI , x 3 GH ty j BI fera -j-tf, JBG, x-?-a.
  - Démonstration.
  - Par la conftru&ion de l’Hyperbole l’on a AB (ia). DE fActitft. ( r.b) : : BF (r). GH {y). par confequent * 4.aa. fabb : : cc.yy»
  - Qr fi à la place de BF (ce) l’on met fa valeur IBx BG ou AGxBG (xx—aa)*, l’on aura 4aa. 4bb \ : xx—aa. yy.
  - ou bien AGxBG (xx—aa). CjH (yy) :: AB (4^}. DE (4 bb).c.^F.D:
  - Corollaire.
  - 46 5. Il fuit de cette propofition que fi l’on mene une -ordonnée TV au fécond axe DE, que le quarré de cette ordonnée efi: au quarré TC, joint au quarré DC, moitié du fécond axe., comme le quarré de ion conjugué AB eft au quarré du même axe DE. Pour le prouver,-confié^ tfez que TV“GC (x), .& que TC=:VG (y) : or-comme /la propofition précédente donne xx-—aa. yy : : 4aa. 4bb. nous en pouvons tirer cette équation 4 aayy'^z^.bbxx*-* ^bbaa j & failant pafler ^hbaa du fécond membre dans le
  - premier.
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- - Planche.
  - Nouveau Cours
  - le
  - D C
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- - DE MaTHïMAïI QJJ'E. 201
  - premier, l’on aura ^.aayy—Y^bbaa—^jbbxx 5 d’où l’on tire cette proportion * T V (xx). CT—J-CD (yy—\;bb : ; AB (4aa). DE (4bb.
  - R E MAR QJJ E.
  - 466. Comme l’on a trouvé dans le Corollaire precedent cette équation ^.aayy—^bbxx—4bbaa , Ton voit
  - qu’en effaçant 4, &divifant par aa , Ion aurayf=:b~f
  - '—bb, qui eflune équation dont nous aurons befoin dans la fuite.
  - DEFINITION.
  - .467. Si par l’extrémité B l’on mene une ligne droite FG parallèle au fécond axe DE, en forte que BF ou BG Xoient chacune égales ..à la moitié du même axe, & que du centre C l’on tire par les extrêmitez F & G les lignes CF & .CG , prolongées indéfiniment, ces lignes feront nommées les asymptotes de l’Hyperbole LBM, & fi on les prolonge indéfiniment de l’autre côté du centre, elles deviendront ajjymptotes de l’autre Hyperbole oppofée.
  - P R O P O S I T I O N I I.
  - 'Théorème.
  - ,46 8 . St 1*0» mene une. ligne,droite HT parallèle an fécond axe DE , en forte quelle coupe une des hyperboles., & quelle foit terminée par les affymptotes, je dis que le rectangle de H K par Kl fera égal au quarré de DG ouEB ^moitié du fécond axe DE.
  - Ayant nommé CB., a 5 CD ou BF %b 5 les indéterminées CP,x j PK y y il faut prouver que jDC ouFB=: iRHxKI.
  - Fig. xlf*
  - Fig.
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- - â'-OX
  - Mo u y-ë a u. G o %j r-s '
  - Ü EM O N S T R A ? I O N.
  - Confiderez que les triangles femblables CBF & CFH donnent CB f4).BF-(*)' : : CP (x). PH ( -v ). Ainfil’on aura HP—KP y ) =KH , & PI—1-PK -+7—Kl.
  - Or multipliant-KH par Kl, il viendra ^ —j>/=KHxKïj fMbtfà- 8c mettant à la place. deyy fa valeur, qui eft ^r.—U* >
  - l'otiaura^—^-fifcKHxKI > ou fcièn FB (U ) =KHxKI.
  - Co r o l l'ai re.
  - 469. Il s’enfuit que fi l’on mene des lignes TS & QK? parallèles au fécond axe DE, &: terminées par les afymp-totes que les rectangles TOxOS, HKxKI, &: QLxLR, font égaux entr’eux 5 puifque chacun eit égal au quarré de FB. D’où Ion peut conclure que OS. HK : : Kl. OT, &:-que.HK. QL : : LR. KL
  - P R O P O S I T I O N I II.*
  - Théorème»
  - K ri^8 ' 47°* Si Von meneur deux points quelconques K- & O de
  - * deux Hyperboles oppofées deux lignes droites VX &. TZ parai-le les entr elles, & terminées par les afymptoies, je dis que le rectangle dé FO parOX fera égal h celui de YKpar KZ*
  - D e M O N S T R A T I O N.
  - Pour- le démontrer, tirez par les points O & K les lignes TS &-HI parallèles au fécond axe DE pour avoir les triangles femblables OSX , YHK , OTV, & KZI j d’où 1>on “reOS: KH:: OX.KY,&KI.OT: :KZ. O Y. mais*" ’4 * les deux premiers termes OS,KH &KI, OT, donnent
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- - ‘D EMaTHEMA TI QJJ E. :;aû 3 OS. KH : : KL OT. les deux derniers donneront OX. KV : ; KZ.OV. par confequent OXxOV—KIxKZ. C.J^F.D,
  - :P R. O POSITION I V. TThéoretiie.
  - .-471. Si ton mene par deux points quelconques A & C et une Hyperbole , ou des Hyperboles oppofées tdeux lignes droites AB & CD parallèles entr elles deux autres AE & CE aujji parallèles t & terminées parles afymptotes ,je dis que U nffangle, AE par AB fera égal À celui de. CF par CD.
  - Dem o n s t r a xi o n.
  - Pour le prouver, menez par les points. A & C les lignes GH &IK parallèles entr elles, & confiderez que les triangles femblables GE A , IFC , & ABH , CDK donnent GA. IC : : EA. FC. & CK. AH : : CD.. AB. Maisnous avons au/fi * GA.. IC : : CK. AH. Donc EA. FC : : CD. AB. Par confequent AExAB—FCxCD. C.J£^F. D.
  - C o r o x ui Ri I.
  - 47 2. Il fuit de cette propofition que il l’on mene par des points quelconques A, C, pris lur une Hyperbole, ou des Hyperboles oppofées des lignes AP, CO, & AE,CF, parallèles aux afymptotes oppolees , que les rectangles AExAP, & CFxCO Feront égaux entr’eux.
  - C O R O L L A I R E II.
  - .473. Comme le point L elt un des ; points de l’Hyperbole, il s’enfuit que menant les lignes LM &: LN parallèles aux afymptotes oppofées, l’on aura encore LMxLN—AE xAP,o.u LMxLN=CFxCO.Mais comme LMxLN n’eft autre chofe que Je quarré de LM, on voit que nommant LM, a j AP, * 3 AE,y j on aura toujours APxAE, ou
  - CFxCO ( xy) ^LU{ aa )., qui elt une équation qui fak
  - *Gcij
  - Fig. Itji;
  - Fig. •!**,’
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- - rc>4 Nouveau Cours
  - yoir parfaitement la propriété dë l’Hyperbole avec fés' afymptotes, & qui en détermine' tous les points. *
  - PROPOSITION V,
  - Problème.-
  - Fig. 171; 474* ?ay m foint donné mener une Tangente a une 'Hy-
  - perbole , dont les afymptotes font donne
  - Pour mener une Tangente à une Hyperbole par lé point-donné A, il faut de ce point mener la ligne AB parallèle a I’afymptote oppofée EF, faire la partiéBD égale à BE 5 & tirer la ligne DAC , qui, fera tangente 5 puifqu’elle ne touche l’Hyperbole qu’au feul point A $ car à caufe des-triangles iemblables DCE , DAB , Ion voit que AC eft égal à AD 5 par confequentfi l’on vou-1 loit quelle la touchât encore au point H; Gela ne fè pour-roit fans que HD ne foit égal à AC oui AD. Or comme cela elt impoffible, puifque, félon cette fuppoiition >. il faudroit que la partie HD fût auffi grande que fon tout AD : il s’enfuit donc que DAC ne touche l’Hyperbole qu’au feul point A. C. IX
  - Go RO L L Arl R E.-
  - 475. Comme il n’y a que la feulé ligne CD qui étant terminée par les afymptotes, foit coupée en deux égale-' ment au point A, il s’enfuit que li une ligne droite CD ÿ terminée par les afymptotes d’une Hyperbole eft tangente au point A, où elle feroit coupée par une ligne IK, que cette ligne la divïfera en deux parties égales AC & AD.
  - D E FINIT I O N S;
  - Fig. 170. 47 6. Si l’on a deux diamètres AB & CD, dont l’im,
  - tel que CD, foit. parallèle à la tangente FG, qui pâlie par' l’extrémité A ou B , & de plus terminé en C'& en D par les lignesBD & BC, menées par le point d’attouchement B, parallèle aux afymptotes oppofées : ces deux diamètres AB & CD font appeliez enfemble tonjugyez*^
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- - Be M A T H'EMAT I QJJ EÏ' aftrp}
  - 47^7. Si du point H d’une Hyperbole l’on rnëîïë Une ligne HK parallèle au diamètre CD, & terminée par l’autre AB j elle fera nommée ordonnée au diamètre AB. •
  - PROPOS I T IO N VI.
  - Théorème.
  - 47 8 : Le £>mrrêd’une ordonnée quelconque Fi K mené pa-! Fig* xyàf rallele a une Tangente FG, efi au rectangle de AK par KB, comme le Jpuarré du-diamètre CD ejl au- guarré de fm con-1 jugué AB,
  - Ayant mené par l’une des extrcmitez B du diamètre AB une parallèle FGau diamètre CD terminé parles afy mp testes,elle fera tangente au point B,&par confecjuent divifée en deux également par leCorollaire précèdent : c’eft pourquoi li Ion prolonge la1 ligne HI jufqu’aux afymptotes, les points L & M feront également éloignez -du point K.
  - Cela pofé, nous nommerons ËB ou E A ya y EC, ou DË r ou BF, ou BG, b > les indéterminées EK, at 5 & KH ou Kl >y, i par confequent BK fera x—ayôc AK fera x-^j-a.
  - De monstmt 1 o n.
  - G011 fiderez que lès triangles fèmblables EBF ou EKL, donnent EB (a). BF (b) i : ER (x). KL (r)- Ainfi LH » ou autrement LK—H K fera & HM fera
  - Or fi l’on multiplie LH par - HM 1 oïl aura LHxHM
  - —y J ) —FË (bb) *, qui étant délivré de fractions >
  - donne ' èbxx—aayy~aabb 5 & faifant paller azyy du premier membre dans le fécond, •& aabb du fécond dans le' premier, l’on aura bbxx—aabb’=aayy 5 d’où l’on tire cette proportion**^-—œa.yy : : aa.-bb. e’èiè-à-dirc,que AKxKBf
  - KH i. : ËB. CÊ!ou : : AB. CD. G, g^F. D.
  - Ce ii-i
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- - Fig. 17*:
  - zoâ Nouve au ;Cou
  - C O IL O L L A I.S-.B.
  - que ce que Ton a démontré dans la première proportion à l’égard des deux axes d’une Hyperbole s’étend par ceLe-ci, a deux diamètres conjuguez quelconques AB& CD, auili-bien que toutes les autres propriecez que l’on.a démontrées d’une Hyperbole avec Tes afymptotes ; car pour s’en convaincre, il 11e faut que lire de nouveau, les art. précedens , & mettre diamètre par tout où il y aura axe ; car tout fubUitera également, foit que l’angle CEB foit droit, ou non.
  - PROPOSITION y IL
  - tTLéoreme.
  - 480. Si P on. coupe un Cône droit ABC par,un plan parallèle k taxe BJ^je dis que La cçurbe F HD KG fera une Hyperbole.
  - Ayant prolongé les cotez CB du Cône jufqu’en P, en forte que BP foit égal à BD , la ligne PD fera, le premier axe de l’Hyperbole, & la ligne BN tirée du point B perpendiculaire furie milieu de la ligne PD fera la moitié du fécond axe j tellement que faifant NO—NB, OB fera le fécond axe. Ayant nommé les données NPou. ND, aj NO ou NB, b} les indéterminées NI, x j IK, y ; DI fera x-—a > 3c PI x —r\~a : nous ferons voir que PIxDI \xx~*aaj,
  - IK iyy) : : PD (4aa). OB (4U).
  - D e mon s T R A T.I 0;N.
  - Confiderez que les triangles femblahles PNB, PIM, & DNB , DIL , donnent PN (a). NB (b):: PI (x-~\>a) IM
  - &PN(4). NB [b) : : PI
  - Or fi l’on multiplie les valeurs de IM & IL l’une par Tau-
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- - DE- Ma THE M‘ATI QJÇ7 E. 2b f
  - tfë, le produit fera égal à 1K par la propriété du‘cercle, Ain II on pourra en former cette équation IMxIL
  - (yy) l & fi l’on multiplie[le fécond membre par le divifeur du premier , pour faire évanouir la fraction, Ion aura cette équation bbxx—ûbaazizyyaa,la~ quelle étant réduite en proportion*, donnera xx—aa. ^Art, 17^
  - yy : :aat bb. ou bien PIxDI (xx—^aa). IK (yy) : : PD (4aa) \
  - OP (4bb). C.g^F.D.
  - AVERTISSEMENT,
  - Nous ne parlerons point des differentes maniérés de tracer l’Hyperbole , parce que cette courbe 11’a gueres lièu dans la Geometrie Pratique: c’elt pourquoi l’on pourra paffer legerement fur ce Chapitre, pour s’attaclièr au Problème fuivant, dont nous avons déjà fait mention dans la Remarque qui fuit l’art. 3577.
  - PROPOSITION Y I II,
  - Problème,
  - 4S1. Trouver deux moyennes proportionnelles entre deux pLAn^ lignes données. cas 11
  - Pour trouver entre deux lignes données :M ôc N deux 773 moyennes proportionnelles, je regarde la ligne AB comme étant la ligne M, & la ligne AD comme étant la ligne N. Cela pofé, je divife en deux également la ligne AD,
  - & j’éleve fur le jpoint du milieu la perpendiculaire GH égale à la moitié de la plus grande AB, & de l’extrémité G je décris un cercle de l’intervalle GA , & puis je décris uné Parabole avec la ligne A D, qui doit fervir depa- rlmetre, & la Parabole ayant rencontré la circonférence -du cercle au point C 5 j’abaifiTe une perpendiculaire du ; point C fur la ligne AB, & je dis que les lignes CE & AE-•
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- - 20 8 Nouveau Co un s
  - font moyennes/proportionnelles entre les deux données-
  - AB & AD.
  - Nous nommerons AD, aj CE,/ j AE,x j FE,£j ainfi DE fera x*—a : or comme l’on voit qü-ayant abaiffé la perpendiculaire GÏ , Ion a CE-4-EF (/-+£}wAB. Il faut donc prouver que a.y : :y > x : : ,/-+£.
  - .Dimonsï R a T .1 O î*.
  - *Art.410. La propriété de la Parabole donne* a.y : :/. x. & celle du * Art. 2S&, Cercle * x.y : : s. *—d où Ion tire ces deux équations yy'=^ax, & xx—<xaP=yz,, ou bien xxz^yfr+xa, & mettant // à la place deyax ,:l’on aura xx^zyz,—\~yy ; d’où l’on tire cette proportion/, x : : x.y—j*z. Or fl l’on joint les deux derniers termes de cette proportion aux deux derniers de la fuivante a. y:: y. a:.' l’on .aura a. y : :y, , /—
  - .Fmde la yremiere Partie.
  - NOUVEAU
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- - PLanche /io,
  - NawvecLW \. Cours
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- - ioy
  - DE Mat H EM A TI Q^U E.
  - Addition a la première Partie. AVERTISSEMENT.
  - Qüand on eft né avec le goi'it des Mathématiques , l’on ne s’en tient gueres à la lecture des (impies Elemens» illuffit qu’ils nous ayent montré qu’on peut aller beaucoup plus loin pour delirer des Livres qui nous apprennent des chcfes nouvelles j car ceux qui ontl’efpric geometre, cherchent à le le nourrir des veritez d’une Science qu’il eft difficile de connoîrre lans l’aimer. L’on cherche, l’on s’informe quels font les bons Livres des Mathématiques qu’on n’a pas vus 5 mais louvent a qui s’en informer? Sera-ce à ces pelonnes qui fe contentant de la (impie Pratique j de qui n’ayant point., ou très-peu de Théorie , mé-priient tout ce qu’ils ne fçavent pas , détournent même les autres d’aller trop avant, crainte qu’011 ne vienne à découvrir leur ignorance. Comme c’elfc ordinairement la fituation de la plupart des perlonnes qui s’appliquent aux Mathématiques dans les Provinces, ou louvent elles ne peuvent être fécondées , je leur ferai peut-être plailir de rapporter ici une lifte des meilleurs Ouvrages de Mathématique qu’ils pourront étudier. Au reite, je ne prétends parler que des principaux Livres qui ont été imprimez à Paris 5 car s’il falloir citer tous les bons qu’on a faits chez les Etrangers, de particulièrement en Angleterre , il faudrait un Volume entier pour en faire le dénombrement.
  - Comme ce que j’ai donné d’Algebre dans mes Elemens de Geomctrie, ne fuffic pas pour en fçavoir parfaitement toutes les operations, l’on pourra avoir recours au Livre de la.Science du c^/cWduR.P.Reyneau. Cet Ouvrage fert d’introduction à un autre du même Auteur , qui a pour titre: L’Analyfe démontrée ^ qui eft ce que nous avons de meilleur lur l’Algebre» ce Livre elt en deux Vol. in 40. Dans le premier on enfeigne la refolution des Problèmes qui fe réduifent à des équations limples de compoléesj ce xpii e(t uniquement i’objet de l’Analyfe j de dans le lecond Pon trouve les nouveaux Calculs , c’eft-à-dire, le Calcul
  - Dd
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- - II O N O U V E A U Co U R S , &C.
  - différentiel& le Calcul intégral, qui eft une autre forte d’Algebre,&: ces Calculs font enfuiteappliquez à la refolu-tion d’un grand nombre de Problèmes des Phyfico-Ma-thematiques, qui font voir la beauté de ces Calculs, & une partie des belles découvertes qu’on a faites dans ces derniers tems 5 & c’eft dans cet Ouvrage que l’on connoît mieux que dans tout autre la fécondité des Mathématiques.
  - L’on peut voir après cela l’excellent Livre des Infiniment petits de M. le Marquis de l’Hôpital, qui traite uniquement du Calcul différentiel appliqué à la Geometrie des Courbes. Cet Ouvrage eft le plus beau morceau que nous ayons en France fur les Mathématiques j & comme il eft un peu abftrait, on pourra avoir recours au Commentaire. qu’en a donné depuis peu M. de Croufat,qui fer vira beaucoup à foulager les Commençans.
  - Quoique j’aye déjà parlé du Traité des S estions Coniques de M. de l’Hôpital, je crois devoir recommander encore une fois aux Commençans d’étudier ferieufement cet Ouvrage , s’ils ont envie de faire du progrès, & de.le lire meme immédiatement après qu’ils auront étudié le premier Tome de l’Analyfe démontrée,parce qu’ils s’y fortifieront, & auront l’efprit plus difpofé à voir enfuite le fécond Tome de l’Analyfe.
  - Il y a aufîi un Livre de M- Carré fur le Calcul intégral, qui eft une application de ce Calcul à la mefure des fur-faces, des folides, & à la maniéré de trouver leur centre de. gravité, Scc. qu’il eft bon aufîi de fçavoir , pour connoître Fufage de ce Calcul.
  - Quoique je n’ai eudefïein que de parler des meilleurs Livres d’Al^ebre, en voici cependant encore deux qu’on-ne peut gueres fe difpenfer d’avoir j c’eft la Nouvelle Mécanique de M. Varignon : Ouvrage dont le nom de l’Auteur fufEt pour en juger favorablement ; & les Oeuvres de M. de Mariotte, de l’Edition de Hollande , in 40.
  - Si aux Livres precedens l’on joint les Mémoires del’Jca-demie des Sciences, l’on ama de quoi s’appliquer utilement..
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- - * i r
  - DISCOURS
  - SUR LA TRIGONOMETRIE
  - & le Nivellement.
  - DE toutes les Parties des Mathématiques , il ri y en a point que les Commençons ctuàient plus 'volontiers que la Trigonométrie,parce qu elle pre fente h de [prit des Problèmes fort curieux , dont la folution efl ai fée , ri ayant b cfoin que du Jiî&ple Calcul de l’Arithmétique. Cependant il faut fe rendre -bien familières les analogies de ce Calcul, afin dé en placer les termes à propos s car la Trigonométrie cfi d’un fi grand ufage dans le métier de la Guerre , qu’un homme qui ejt chargé des moindres chofes dans le Genie, ou dans l’ Artillerie , ne peut abfolument ignorer > puifque fi l’on veut conduire quelque galerie de Mines,jetter des Bombes avec réglé, calculer les parties d’une Fortification régulière pour la tracer Jur le terrain , lever un Camp , une Carte , le Plan d’une Tranchée , orienter des. Batteries , il faut necefiaircment avoir recours h la Trigonométrie.
  - Et pour dire un mot du Traité que fen donne ici , l’on feaura que je ne parle que des Triangles rectilignes , parce que ceux qu’on nomme Sphériques , à caufe qu’ils font formez, par des cercles de la Sphere , ne font d’aucune utilité k un homme de Guerre, auquel il ne faut apprendre que les chofes neceffaires, crainte de le rebuter, en voulant lui fatiguer la mémoire par celles qui font purement curicufes , ou dont l’ufage ne fe rencontre point dans les chofes de fon minifiere. fai fait en forte d’éviter ce defaut, particulièrement dans ce petit Traité, que j'ai tâché de rendre le plus clair ér le plus interefiant qu’il m’a été pofjlble , en appliquant la Trigonometrie k quantité d’'operations , qui feront plaifir k ceux qui ri aiment point k s’appliquer , fans voir dans le moment ïufage des Propofitions qu’ils
  - apprennent.
  - Comme en mefurant la défiance d’un lieu k un autre, il ar-
  - Ddij
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- - 2i2 Discours sur la Trigonométrie. rive quelquefois qu'on efi obligé d'en connaître auffi les differentes hauteurs far rapport au centre de la Terre ; il femble que le Nivellement efl une partie de Mathématique qui doit Jùi-vre immédiatement la Trigonométrie : auffi ai-je obfervé cet ordre ,puifqu après la Trigonométrie l'on trouvera un Traité du Nivellement, où l'on fait voir l'ufage du Niveau d'eati, (f' celui d'un autre Niveau, pour niveler des grandes difiancess ces Infirumens font d'un fi grand ujage dans la Pratique,qu'on ne fif aurait trop engager ceux qui peuvent fe trouver dans le cas de s'en fervir, de s'appliquer h ce que l'on verra dans la fuite fur ce fujet. Tout le monde feait que quand en veut faire un Canal de navigation,joindre une Riviere avec une autre, conduire des Eaux aux endroits où il en manque, les projets de ces fortes de chofes ne peuvent avoir lieu, fans avoir fait auparavant des Nivellemens fort exacts > & c efi-lk particulièrement où la Théorie & la Pratique doivent travailler de concert. Combien de grands ouvrages na-t'on pas execute^ depuis qu'on a feu. induire ù des principes ï Art du Nivellement ? Auroit-on ofé tenter autrefois un travail auffi admirable que celui de la jonction des deux Mers ? Toute la magnificence des Anciens a-1'elle jamais été jufqu a faire naître des Jets d'eau dans des lieux fort éloigne^ de tous refervoirs ? Pt fi cela s'efi fait, etoit-on fur de la réuffite avarié l'execution ? Combien cfi-il arrivé de fois qu après avoir commencé un grand projet, on s'efi apperçâ trop tard, & après de grandes dépen-fes , de l'impoffibilité du deffein, au lieu qu Àprefient on trouve avec toute l'exactitude poffiible la différence, du Niveau.de plufieurs endroits, lorfqu'on entend bien le Nivellement, çj l'on fif ait fi le projet qu'on a en vu e , cfi poffible , ou non. s s'il faut des Eclufes , ù quelle difiance il faut les confiruire s enfin on efi en état de ne rien craindre du fuccès d'une grande entre-prife ,fi après en avoir fait le Nivellement, l'on a reconnu, h projet poffible.
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- - de Mathématique. ’ 113
  - NOUVEAU COURS
  - DH MATHEMATIQUE-
  - SECONDE PARTIE.
  - Qui traite de la Trigonométrie rectiligne,
  - DEF INI TI ON S,
  - I.
  - 48 2.T A Trigonométrie efl une partie de la Ge'ome-1 j trie , par le moyen de laquelle trois chofes étant donne'es ou connues dans un triangle,Ion vient à la connoillance darefte.
  - IL
  - 483. Comme l’on ne parvient à trouver ce que l’on cherche dans la Trigonométrie que par le Calcul ordinaire de l’Aritlimetique, l’on fe 1ère de certaines Tables dreflees pour ce fu jet , qu’on appelle Table des Swus, Tangentes, Sécantes , dont je donnerai l’ufage feulement, fans en enfeigner la conftruction, que l’on trouvera dans plu Heurs Livres, ne voulant parler que des chofes qu’il faut abfolumcnt fçavoir.
  - III.
  - 484. Nous avons Hx chofes à- confiderer dans mi triangle 3 fçavoir, les trois cotez & les trois angles, fans s’embarrallèr de la fuperficie : 6c comme il y a trois de ces lix termes, qui peuvent être donnez pour arriver à.
  - Ddiij
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- - 2i'4 Nouveau Cours
  - la connoifiance des autres, il faut toûjours que ce foit deux angles & un côté, ou un angle & deux cotez, ou bien enfin les trois cotez j car les trois angles ne fuffifent pas pour connoître la valeur des trois cotez, parce qu’on peut former deux triangles, tels que les angles de l’un loient égaux aux angles de l’autre, chacun à fon correspondant , fans que pour cela les cotez du premier foient égaux à ceux du Second. Il eft bien vrai qu’on peut trouver la proportion de ces cotez, mais non pas leur jufte valeur.
  - IV.
  - 485. Nous avons déjà dit que la mefure d’un angle n’étoit autre chofe que la quantité de degrez, oudede-grez Ôc de minutes, que l’arc terminé par les lignes qui forment cet angle peut contenir. Mais comme cette mefure eft relative dans la Trigonométrie à certaines lignes, qui enfont le principal objet, voici leurs noms.
  - V.
  - Plan- 48 6. Sims droit d’un arc, ou d’un angle dont cet arc che p. eft la mefure, eft une ligne droite, qui étant tirée d’une Fig* 174. extrémité de l’arc ,ou. eft rencontré un des cotez, vient tomber perpendiculairement fur l’autre côté. Ain fi la ligne FH tiree de l’extrémité F de l’arc F B perpendiculaire fur le côté BC, eft le finus de l’angle FCB.
  - Corollaire I.
  - 487. Si l’on prolonge la ligne F H jufqu’en G , le rayon CB étant perpendiculaire fur la ligne FG, la divi-*Art.2^5. fera en deux également au point H *, auflï-bien que l’arc FBG ; & comme la ligne FG eft la corde de cet arc, & que la ligne FH eft le finus de l’arc FB, il s’enfuit que le finus d’un arc eft la moitié de la corde d’un arc double.
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- - de Mathématique. Z15
  - Corollaire II.
  - 48 8. Comme plus l’angle FCB fera ouvert, & plus le finus FH fera grandi il s’enfuit que lorfque le rayon CF fera perpendiculaire fur AB , comme eft le côté CI le II-nus FH, le coté CF , fe joindront pour ne faire qu’une feule ligne CI, 6c que dans ce cas le finus de l’angle droit ICH fera le rayon meme du cercle : ce qui fait voir que l’angle droit a le plus grand de tous les iinus, que l’on nomme à caufe de cela Sinus total.
  - REMARQUE.
  - 485?. Le finus de l’angle droit n’étant autre chofe que le rayon du cercle dont l’angle tire fa mefure, nous nommerons dans la fuite le rayon CB Sinus total
  - V I.
  - 45) o. Sinus verfe d’un arc ou de l’angle dont cet arc eft la mefure, eft la partie du rayon comprife entre le finus droit 6c l’extrémité de cet axe i ainft la ligne droite , ou partie BH de rayon , eft finus verfe de l’arc FB ou de l’angle FCB, dont cet arc eft la mefure.
  - VIL
  - 49-1. Tangente d’un arc, ou d’un angle dont cet arc eft la mefure, eft une ligne perpendiculaire fur l’extrémité d’un des cotez de l’angle, & terminée par l’autre côté prolongé 5 ainft la ligne BE perpendiculaire à l’extrémité B du côté CB , 6c terminée par la rencontre du côté CF prolongé jufqu’en E, eft la tangente de l’angle FCB.
  - Y II I.
  - 451. Secante d’un arc ou d’un angle , dont cet arc eft la mefure, n’eft autre chofe que le côté de l’angle prolongé , qui termine la Tangente j ainft la ligne CE eft fe-cante de l’angle FCB.
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- - z i 6 Nouveau Cro us
  - 45? 3. Quand on a coudrait les Tables des Sinus, Ton a fuppofé le rayon CB, ou autrement le fïnus total divifé en 10000000 parties, fit l’on a cherche combien le linus de chaque angle depuis une minute jufqu’à 570 degrez , pouvoit contenir de parties du linus total , afin de con-noître les'linus en nombre 5 fie c’elt ainli que l’on a trouvé que le linus d’un angle de 10 degrez , par exemple, con-tenoit 3410 20 z de ces parties , que le linus de 5 5 de-' grez 1 o minutes en contenoit 82081705 ainli des autres qui en contiennent plus ou moins, félon que l’angle approche plus ou moins de la valeur d’un droit 5 fit ce lont tous ces difderens linus que l’on trouve dans la leconde colonne des Tables fur chacun des Feuillets.
  - 45)4. Comme une tangente telle que BE, augmente ou diminue, félon que l’angle ECB approche ou s’éloigne plus ou moins de l’angle droit, l’on a cherché aufîi la valeur des tangentes de tous les angles depuis celle d’une minute jufqu’à celle de 570 degrez, en confiderant com^ bien elle contenoit de parties du linus total, c’e lb-à-dire,de 10000000 , fit. l’on en a compofé la troiliéme colonne des Tables, qui fuit immédiatement celle des finus 5 de forte que l’on a trouvé à côté des linus de chaque angle Ja valeur de.la tangente du même angle. Ainli l’on verra que la tangente de 20 degrez eit de 3 6 3 5)70 2 , fit: que la tangente de 55 degrez 10 minutes elt 14370268 parties du linus total di vifé en 10000000.
  - 495. Enfin l’on a cherché audi la valeur de la fecante de chaque angle que l’on a trouvé par le moyen du finus rotai St de la tangente 5 car comme une fecante telle que CE, n’eft autre chofe que l’hvpotenufe d’un triangle rectangle CBE, dont l’angle droit elt compris par le linus total CB, fie la tangente BE de l’angle, l’on a quarré le linus total ÇP, fie la tangente BE pour avoir la racine quarrée de la fomme dë ces deux produits, qui donne la valeur de la fecante 5 fit c’ell ainli que l’on a trouvé les fecantes de tous les angles depuis une minute jufqu’à 570
  - degrez 9
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- - D E M a T H E M AT I QJÜ E; 2 TJ
  - degrez,dont on a compofé la troiftéme. colonne qui fe trouve dans les Tables,
  - 45> 6. Or quand l’on veut fçavôir quel eft le Sinus, k Tangente, laSecante d’un angle, l’on confidered’abord combien la mefure de l’angle contient de degrez , ou de degrez & de minutes, & l’on cherche dans la Table le feuillet, ou il y a marqué en haut le nombre de degrez de cet angle 5 par exemple, h l’angle eft de 1 5 degrez, je cherche la page où eft le nombre 1 5 en haut, & je trouve .dans la première ligne que le Sinus de 1 5 degrez eft .2 5 SSipo ,que.fa Tangente eft 2675)42.2 , 2c que la Secante eft 1 o 3 5 2 7 6 2.
  - 45> 7. Mais, comme les degrez de chaque page font accompagnez d’un nombre de minutes, qui font en pro-grefîîon Arithmétique depuis 1 jufqu’a 6 o , qui fe trouvent dans une petite colonne, où il y a au commencement ce mot Minute, h l’on vouloit fçavoir le Sinus de 1 5 degrez 24 minutes, je cherche d’abord,, comme ci-devant, la page où il y a 1 5 degrez en haut, & je defcen,-s juf-qu’à l’endroit de la colonne des minutes, ou 24 ie trouve marqué, 2c je prends le Sinus qui lui .correlpoiid, qui .eft de 2 6 5 5 5 6 1.
  - 45? S. Comme ie Sinus total, ou autrement le coté CB, devient le coté commun de tous les angles , puifqu’ii n’y a que l’autre côté CF qui varie pour faire l’angle plus ou moins ouvert : il eft à remarquer que le Sinus total, la Tangente 2c la Secante d’nn angle peuvent toujours former les cotez d’un triangle rectangle, dont la grandeur .eft indéterminée , parce qu’il n’eft queftion ,que de la proportion de ces cotez avec ceux d’un autre triangle qui lui ferait femblabie j-Sc pour.faire voir ceci plus clairement , confiderez le triangle rectangle CEF, F eu point C l’on décrit l’arc BD, qui fera , par. exemple , de .3 5 degrez , 2c qu’on ,élev.e au point .B la perpendiculaire BA , l’on aura le triangle re&angle CBA , dont le côté CB. pourra être pris pour le Sinus total ,1e côté AB pour ,1a Tùngentede fangle.C,,.& le .côté .CA pour la Secante du
  - Fig. 175
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- - 2i$r Nouveau Cours-même angle > mais tous les cotez de ce triangle fontcôik nus : car le côte' CB e'tant le Sinus total,fera de iqgoôooo , le côté BA étant l^Tangente d’un angle de 3 5 degrez, fera de 70 o 2 o 7 5 , & le côté CA étant la Secante, fera par confequcnt 12207746 , & c’efl par le moyen de ces triangles qu’on va refoudre les Problèmes fui vans,
  - K ! M A R (yj E-
  - 497. Lon a divifé, pour conflruire les Tables, le Sinus total en un grand nombre de parties, afin que dans les divisons que les opération^ uemandent, l’on puifle négliger les relies, quand ils font compôfez de ces petites parties $ mais comme dans la pratique ordinaire de la Géométrie l’on peut fe difpenfer d’entrer dans une fi grande exactitude, l’on pourra , au lieu de fuppofer que le Sinus total ell divifé en iooooooo,le fuppofer feulement en 1 o o o o o i & pour lors il faudra, au lieu de prendre toutes les figures qui font dans les colonnes des Sinus , des Tangentes & Sécantes,prendre feulementdes premières, & négliger les deux dernières , que l’on voit féparées à droite par un petit point , c’efl-à-dire, que pour la Tangente de 3 o degrez, au lieu de prendre 5 77^ 5:0 3 , on ne prendra que 577 3 5 5 & c’efl de cette façon que feront faits tous les Calculs que l’on verra dans la fuite.
  - GA L G V L DE S T RI A N G L E-S
  - Reffangles*
  - PROP O SITIO N PR EM IE R E, •
  - Problème,
  - 500. Dans m Triangle reéfangle AD E, dont on connok un angle aigu A, & le côté AD > trouver le côté DE opgofê h Vangle aigu.
  - Suppolant que l’angle A foit de 3 o degrez , & le côté AD de 20 toifes, il faut chercher dans la Table la Tan-
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- - tfit E M a them a T I Q^TJ E.1 119
  - gente de 30 degrez., que l’on trouvera de 57735, &c confiderer que les triangles ABC & ADE étant fembla-bles , l’on a AB. BC : 1 AD. DE. qui nous fournit cette Réglé,li AB,quieft le Sinus total de iooqoo, donne la Tangente BC de 5 773 5, que donnera le.côté AD de , 2 o toiles pour le côté DEque Ton trouvera de 11 toi-;fes, 3 pieds & quelques pouces.
  - P R O P O S I T I O N I I.
  - «Problème.
  - 501. Connoijfant. dans un Triangle rectangle ADE , un angle aigu A de 30 degrez,, & le côté AD de .2.0 toifes, trouver l* hypotenufe AE.
  - Il faut chercher la Secante de 3 o degrez , qui eft 'i 1 5470, & confiderer que le triangle ABC étant fem-blable au triangle ADE, AB. AC : : AD. AE. d où l’on tire cette Réglé, fi AB, qui eft le Sinus total de 100000, m’a donné 11 5470 pour la Secante AC, qui me donnera le côté AD de 20 toifes pour le côté AE, que l’on trouvera de 2 3 toifes. & quelques pouces.
  - PROPOSITION III.
  - Problème.
  - 502. Dans un Triangle rectangle ABC dont on connoît un angle aigu A, & le côté BC oppofé k: cet angle, trouver le côté AB oppofé a l'autre angle aigu C.
  - Si l’angle aigu A eft de 40 degrez ySa le côté CB de 2 5 toifes, il faut chercher la Tangente de 40 degrez, qui eft 8 3 5? 0-5?, & confiderer que les triangles AËD & ABC étant femblables, Bon a DE. EA : : CB. B A. d’on Ion tire cette Réglé., comme la Tangente DE de. 8 3^05) eft au côtéEA Sinus total de. 100000 j ainfi le côté CB de 2 5 toifes eft au côté BA, que l’on trouvera de .23? toifes tk. quelque chofe.
  - 503. Autrement comme, l’angle A-eft de 40 degrez,
  - Eeij
  - Tig.;ï7«?
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- - Tig.17».
  - 8%. i*©;
  - sjfo Nouveau Courts
  - fi l’on retranche ce nombre de 510, l’on aura 50 dègrez' pour l’angle C j & comme les triangles CED & CB A font femblables ., l’on pourra , en cherchant la Tangente de l’angle C, dire, comme le côté CE, qui eft le finus total, eft au côté ED, qui eft la Tangente 5 ainfi le côté CB de 25 toifes, eft au côté B A , que l’on- trouvera encore- de. 2_9 toifes &: quelque choie.
  - p r o p o s i t r o n i v:
  - Problème.
  - 504. Dans un Triangle rectangle ABC, dont on connaît les deux cotez, AB & BC, qui comprennent l’angle droit, trouver l’angle aigu A.
  - Suppofant que le côté AB foit dè 16 toifes , & le côté BG de 14 ., remarquez que les triangles ADE & ABC étant femblables, A B. BC : : AD. DE. d’où l’on tire cette Réglé, fi le côté AB de 16 toifes, donne le côté BC de 14, que. donnera 100000, qui eft le côté AD pour le côté DE , qui eft la Tangente de, l’angle A , que l’on trouvera de 875000 * & cherchant le-nombre le plus approchant de celui-là dans la colonne des Tangentes, l’on trouvera qu’il correfpond à 41'degrez & 1 2 minutes , qui eft la valeur de l’angle A.,
  - P R OP O SI T I O N V, Problème.
  - 5-0 5 . Dans un Triangle rettangle ABC, ou Bon connoît deux cote^AB & AC x qui comprennent un angle aigu A*, trouver la valeur de cet anglei
  - Suppofant le côté AB de 3 5 toifes, & le côté AC de 40,1’on aura, à caiife des triangles femblables ADE ôc ABC, AB. AC:: AD. AE. doù l’on tire.cette Réglé, fi le,côté AB de 3 5 toifes donne 40 toifes pour le côté AG que donnera le Sinus total AD de 100000 pour la Sécante. AEdeTangle. A , que l’on trouvera de 1.14185 j &:
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- - T?E" Ma T « E M A TI QJÇ7E. ivt
  - ayant'recours à la Table pour y chercher dans la colonne des Sécantes le nombrequi approche le plus de celui-d > on trouvera qu’il correfpod à 2 8 degrez 57 minutes, qui eft la valeur de l’angle A. -
  - PR O P O SI Tl O N VL
  - Théorème.
  - 506. Dans tous Triangles les Sinus des angles font: dans là même raifon que leurs cotez, oppofe[.
  - Je dis que dans un triangle ABC il y a même raifon du Sinus de l’angle A à fon côté oppofé BC, que du Sinus de l’angle B à fon côté oppofé AC.
  - D E M O N S T R A T I O N-
  - Ayant' cïrconfèrit un cercle autour de ce triangle,^on Voit que l’angle A ayant pour mefure la moitié de lare BDC > la ligne BC fera la corde d’un arc double- de ce» ltii qui mefure l’angle A , par confequent la moitié delà ligne BC fera le Sinus de l’angle A * 3 & par la même raifon le Sinus de l’angle B ferâ la moitié de la- ligne AC, comme le Sinus de l’angle C eft la moitié du côté AB 3
  - ainli Ion aura donc —. BC : : —. AC. ou bien AC 1 %- % •
  - r: ^AB.
  - PROPOSITION VIL
  - Théorème^
  - 5 07. Dans un Triangle obtus-angle, le Sinus de l1Angle obtus eft le même que celui de fon fupple'ment.
  - Ayant abaifte la perpendiculaire CD fur la bafe prolongée BD, décrit les arcs FE & HG avec Une même ouverture de compas AF & BH, l’on abailfera les perpendiculaires FI & HL. Cela pofé , comme AF eft égal à BH, l’un ôc., l’autre fera nommé a 3 AC, b 3 CD , c 3 FI >,
  - ' keiijL
  - Fig* rtii'
  - Fïgf"î.S44-
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- - "N-ou veau Cours
  - d} HL, e > CB ,/j & nous ferons voir que FI {d). CB (/)
  - : : HL (r). AC {b),
  - D £ M <5 N S T; JL A T I P N.
  - Les triangles CAD & FAI étant femblables, l’on aura CD (c). CA (^): ^ FI (d). AF (a). Et comme les triangles ,.CBD & HBL font auffi femblabies , Ton aura encore CD {c). HL [e) : : CB (/)« HB (a), d’oîi l’on tire ces deux équations ac~bd, &aï—ef Donc les premiers membres , étant égaux, l’on aura par confequent bdzzzef, d ou Ion tire FI\à). CB (f) : : HL {e). AC (b). qui fait voir que le Sinus FIL du fùpplément de l’angle. ABC a même raifon au côté ÀC que le Sinus FI au côté BC, & que par confequent le Sinus d’un angle obtus eit toujours celui de .fon fùpplément. C. F. D.
  - Ces deux Théorèmes nous four.niflent .le moyen de con-. noître les angles & les cotez de la plupart des triangles qui ne font pas rectangles, comme on le va voir dans les .Problèmes füivans.
  - PROPOSITION CVII.L ^Problème.
  - i8io 50.8. P ans un Triangle ABC, dont onconnoit deux angles &tm coté, î on,demande de trouver les deux autres cotez,.
  - Le côté BC étant fupppfé de 1 5 toifes, l’angle A de 40 degrez, &C l’angle B de .A P, > l’on connoîtra le troifiéme angle, en fouitrayant de la valeur dedeux droits, c’eit-à-„ dire, de. 1 8 0 degrez, la fournie des angles A.&B, &. l’on trouvera 8 o degrez pour l’angle C. Cela pofé, pour con-noître le côté AC, je cherché dans; les Tables le Sinus de l’angle A j ç’eit-à-direle Sinus de 40 degrez, qui fera ; celui de. l’angle oppolé au côté que je connais, & je trouve qu’il efl‘ 64 27 8 > &: cherchant auffi celui de l’angle B oppofé au côté que je cherche , je trouve qu’il eit de $ 64 0.2 , prefentement je dis : Si 642 78, qui eit le Sinus 4e l’angle . A >.donne, 15 toifes pour le côtéBC que don-
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- - D E M A*T% e M a 'T 1 by T: % k $
  - nëfâ S 66 o 2 -, qui eft le Sinus de l’angle Bpouir le côté AC, que l’on trouvera de 10 toifes & quelque chofe, pour trouver la Valeur du côté AB , il faut chercher le Sinus de l’angle C, qui eft de ^ 8 4 8 o 5 &: dire encore : Si lé Sinus1 de l’angle1 A-, qui eft 6-4278 , donne 15 toifes pôur le côté BC, que donnera le Sinus de l’angle C, qui eft 5) 8480 pour le côté AB, que l’on trouvera de 2 3 toi-fés & quelque chofe.
  - PROPOSITION IX.
  - Problème.
  - 565)! Dans un Triangle ABC, dont on corinoît deux côte^ Fig. AC & B C avec un angle A , trouver les deux autres angles.
  - Pour trouver d’abord l’angle B , fuppofant que le côté ACfoitde 26 toifes,le côté BC de 20 , & l’angle A de 5 b degrez , il faut chercher le Sinus de cet angle , qui eft de 76604 , &: dire : Si le côté BC de 20 toifes donne 76 604pour le Sinus de l’angle A , que donnera le côté AG de 26 toifes pour le Sinus de l’angle B , que l’on trouvera do 99 5 8 5 5 & cherchant dans la colonne des Sinus le nombre qui approche le plus de celui-ci, l’on verra qu’il correfpond à 8 4 degrez 45 minutes, qui eft la valeur de l’angle B.
  - Comme l’on connoîtles angles A & B, l’on n’aura qu’a fuuftraire la fommede 1 80, le refte fera la différence 4 3 degrez 15 minutes pour l’angle C.
  - 510. Mais fi l’angle donné «oit plus ouvert qu’un droit, comme dans le triangle ABC, où l’angle B eft de 12® degrez, le côté AC de 1 8 toifes, & le côté BC de
  - 1 2 , il faudra, pour connoître l’angle A, chercher le Sinus du fupplément de l’angle obtus, c’eft-à-dire ,1e Sinus de 6 © degrez, qui eft 8 6 60 2 j & dire : Si le côté AC de
  - 2 8 toifes donne 86602 pour le Sinus du fupplément de l’angle obtus , que donnera le côté BC de 1 2 toifes ' pour le Sinus de l’angle A j que l’on trouvera de 57734-r 1 qui-eorrefpçnd à 3.5 degrez 16 minutes; •
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- - Figa-Sé'.
  - O U V E‘AU Co U R*S
  - ..PIOPOSI T.ION .X
  - Théorème-
  - -5 II. Dans tous Triangles comme ABC, dont on connoît deux cotez B A & B C avec l'angle compris ABC , la fomme des deux cotez-connus eft a leur.differente comme la Tangente de la moitié de la fomme des deux angles inconnus BAC-, & B ÇA efi la Tangente de. la moitié, de leur différence,
  - V ,JE M O N S ,T R A T I O N.
  - :Si du point angulaire B Ion décrit un cercle dont le rayon foit le côtéBC, & qued’on prolonge le côté AB juiqu’à la,circonférence D & E, la ligne, AD fera la fom-.me des deux, cotez connus, puifque BD. eft égal à BC, & la ligne AE fermia différence de ces deux cotez , puifque B A eft plus petit que BD detoute la ligne AE. Cela pofé, comme l’angle D.BC eft extérieur au triangle A BQ il fera égal aux deux intérieurs BAC & BCÀ 5 ainfi il vaudraia fomme des deux angles inconnus : & fi l’on tire la ligne. EC, l’angle DEC, qui eft à la circonférence,. fera moitié de. celui du centre DBC 5 ainfi il vaudra la moitié de la fomme des deux angles inconnus : & filon tire la ligne DC, qui fe trouve perpendiculaire fur EC, à caufe que l’angle ECD eft renfermé dans un demi-cercle, cette ligne fera la tangente de l’angle DEC, c’eft-à-dire, de la moitié de la fomme des deux angles inconnus. Prefente^ ;ment confiderez que.le triangle' EBC eft ifofcelle que les angles BEC &; BCE delà bafe font régaux 5 par confe-quent l’angle BEC fera plus grand que l’angle BCA de toutd’angie FCE:,&' comme d’angle extérieur BAC du . triangle EAC eft plus .grand que l’angle BEC de tout l’angle ACE, il,s’enfuit donc que,l’angle BAC.eft.plus grand que BÇA de deux .fois l’angle ACE,-5 ce qui lait voir que l’angle AÇE eft larmGitié de la différence des deux angles inconnus BAC & BCA.. Or fi la ligne EF eft perpendiculaire fur EC,elle fera la tangente deia;mpi-
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- - t>e Mathematiqvz: ^5
  - tie de la différence des deux angles inconnus étant tangente de l’angle FCE j mais les lignes DC ôc FE font parallèles , puifqu’elles font perpendiculaires fur EC : par confequent l’angle FEA fora égal à fon alterne EDC. Et comme les angles FAE & DAC font aufïï égaux, il s’enfuit que les triangles AFE & ADC font femblables 3 doit Fon tire AD. AE : : DC. FE. qui fait voir que la fomme des deux cotez. AD eft à leur différence AE comme la ligne DC tangente de la moitié de la fomme des deux angles inconnus, eft à la ligne FE tangente de la moitié de leur différence. c.J^f.d.
  - PROPOSITION XI.
  - 'Problème.
  - ‘•51 2. Dans un Triangle ABC t dont m connoit deux cotez Fig. l$7« AC é*B C avec l’angle compris. C >. trouver les angles A & B.*
  - Comme ce Problème elt, une application du Tbéoreme . précèdent, il faut, pour le refoudre, ajouter les deux cotez CB & CA enfemble, c’eft-à-dire , 2 5 , & 20 pour . avoir la fomme des deux cotez connus ,*& fouftraire le plus petit, côté du grand pour en avoir la différence, qui fora 5 3 & comme l’angle C eft fuppofé de 40 degrez ,1’on cherchera fa différence avec deux droits, que l’on trouvera de 140 , dont la moitié 70 fera la moitié de la fomme des deux angles inconnus A &. B. Or cherchant la tangente de cet angle, qui eft 174747 , l’on dira : Si 4 5* fomme des deux cotez connus, donne ,5 pour leur différence, que donnera 2 74747 , tangente de la moitié de la fomme des deux angles inconnus pour, la" tangente de la moitié de la différence des deux angles inconnus > que l’on trouvera 30 5,2-7.
  - Prefençement £ l’on cherche dans la colonne des Tangentes le nombre le plus approchant de celufci., l’on verra qu’il correfpond à jl6 degrez & -59 minutes: & com-;-me.cette quantité n’eft que.u moitié delà .différence,R
  - . . .. ' :Fi
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- - Nouveau Cours- . faut la doubler pour avoir la différence entière, qui fera i 3 3 degrez 5 8 minutes, qu’il faut fouftraire de la fournie des deux angles inconnus, c’eft-à-dire, de 140 degrez, & l’on trouvera pour la différence 10 6 degrez 2 minutes , dont on n’a plus qu’à prendre la moitié pour avoir la valeur de l’angle oppofé au plus petit côté, c’eft-à-dire, de l’angle B, qui fera de 5 3 degrez une minute.
  - Pour avoir l’angle A, on n’a qu’à ajouter la différence 3 3 degrez 5 8 minutes à la valeur de l’angle B, & l’on trouvera qu’il eft de 8 6 degrez 5 5? minutes.
  - Si l’on veut connoître le côté AB , il fera facile de le. trouver par la feptiéme proportion.
  - PROPOSITION XI I.
  - Théorème.
  - 5 I 3 : Vans tous Triangles comme ABC, dont on connaît les: trois côtez y la bafe AC eft a la fommedes deux autres côteÇ AB & BC, comme la différence de ces deux memes côte^ eft à la différence des Segmens AG & GC de la bafe,
  - Démons t k a t ion.
  - Si du point B Ion décrit un cercle dont le rayon foit le côté BC plus grand tue B A, & que l’on prolonge le côté AB jufqu’à la circonférence, BD étant égal à BC, AD , fera la Pomme des deux cotez AB & BC, & AF en fera la différence : & comme la ligne EC eftdivifée en deux également par la perpendiculaire BG , EA fera la différence ces deux fegmens AG & GC. Or fi l’on tire les lignes DC & EF, l’on aura les deux triangles femblables AEF & ADC, qui donnent cette proportion, AC qui eft la bafe, eft à AD, qui eft la fomme des deux côtez, comme AF , qui eft la différence de; ces deux cotez , eft à AE, cjuielt la différence des fegmens de la bafe. Ce qu'il falloit démontrer.
  - Ce Théorème nous donne un moyen de connoître les trois, angles d’un triangle dont on connoîties trois côtez,
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- - ^De MaTHEMA TIQUE.' 227
  - comme on le va voir dans, le Problème fuivant, qui en eft une application.
  - PROPOSITION XIII.
  - Problème.
  - 514. Connoiffant les trois cotez, d'un Triangle ABC, l'on Fig. demande de trouver la valeur d’un des Segmens de la bafe.
  - Suppofant que la bafe AC foit de 1 5 toifes, le côté AB de 8 , & le côté BC de 12, il faut dire : Comme la bafe . AC de 1 5 eft à la fomme des deux autres cotez, qui eft -2 o j ainfî la différence de ces deux cotez, qui eft 4 , eft à la différence des deux fegmens , que l’on trouvera de 5 toifes 2 pieds. Prefentement fi Ton ajoute cette quantité à la valeur de la bafe AC, l’on aura 2 o toifes 2 pieds, qui fera la valeur d’une ligne telle que EC : par confe-quent fi on en prend la moitié, on connoîtra le plus grand fegment DC, qui eft ici de 1 o toifes 1 pied: mais comme l’on connoît dans le triangle rectangle DBC , les cotez BC & DC i l’on pourra donc connoître audi l’angle C, & enfuite les angles A &B.
  - susage des logarithmes eovr le calcul
  - des Triangles.
  - 515. L’on a pu voir dans les Tables qu’il y a deux colonnes fur la droitë de celles dont nous nous fommes fer vis jufqu’à prefent, aufommet defquelles l’on trouve ces mots, Logarithmesfinus., .Logarithmes tangentes,parce que ce font les nombres logarithmes des linus &des tangentes qui font à côté. Outre cela l’on a pu voir encore une Table particulière dans le Livre des Sinus, où il y a à la tête, Table des Logarithmes pour les nombres naturels depuis l’unité jufyu’h 10000#. Or pour fçavoir à quoi fervent ces Logarithmes. Je dirai qu’ils ont une propriété, qui-efl que par leur moyen, l’on peut refoudre tous les Problèmes.de Trigonométrie, fans être obligé de faire
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- - !Fig,,i7&;
  - l:i $ Nouveau Cours"
  - dé multiplication ni de divifion, à caufe que quand ifè compofent les termes d’une Réglé de trois : ces termes au lieu d’être en proportion géométriques, font en proportion arithmétique. Ainfi lorfqu’on en' çonnoît les trois premiers, l’on ajoute le fécond avec le troifiéme, pour fôuftraire de la fomme le premier, & la différence devient le quatrième que l’on cherche. Mais voici quelques exemples pour mieux-entendre ceci. -
  - Fr E MI e r Exem p le;
  - 516. Ayant un Triangle AD E t dont on connoît P angle A de 3 o degre^y & le côté AD de 20 toifes î P on demande de trouver le côté DE >enfe fervant des Logarithmes.
  - Pour le trouver, je cherche dans la Table la page au fommet de laquelle il ya 3 o degrez 5 & au lieu de prendre la Tangente de la troifiéme colonne-, je prends celle de la cinquième,qureft 5)76 143 5) 4. Etcomme j’ai auffi befoin du Sinus total, au lieu de prendre celui qui eft diviféen 10000000 parties , je prends celui des Logarithmes , qui eft divifé eu 100000000 parties : &'coma me il faut faire une Réglé pour trouver le côté PE, dont le premier terme doit être le fin lis total dont- je viens dé parler, le fécond la tangente que nous venons de trouver , & le troifiéme la valeur du côté AD. Il faut auffi, au lieu de mettre fimplement 20 toifes au troifiéme terme, mettre à fa place le Logarithme de ce nombre, que l’oii trouvera dans le premier feuillet de la Table des Logarithmes des nombres naturels1 à côté du nombre 20, dont le Logarithme eft 13 0103 o o. Prefentement il faut dire : Si le finus total ioooooodo donne 5)76 143 514 pour le Logarithme de la tangente de 3 0 degrez , combien donneront 13010300 Logarithme de 20 toifes , pour le Logarithme du nombre que je cherche 5 & pour le trouver j’additionne le fécond & le troifiéme terme, & de la fomme j’en fouftrais le premier pour avoir 1062465)4, qui eft. le Logarithme du nombre, que je chercher &
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- - DE 'M A T H EM AT I QjJiV l2jgf•
  - p6ür fçavoir quel eft ce nombre, j’ai recours à la Table dés Logarithmes des nombres naturels pour chercher uti * Logarithme qui approche le plus de celui-ci, 8c j’en trouve un qui eft un peu trop petit, qui correfpond au nombre 11 , & un autre qui eît un peu trop grand, qui correfpond au nombre i z. C’eft pourquoi j’eii cherche un qui foit à peu près moyen entre ces deux-là, comme eft, -p£r exemple, i ï-£ j ce qui fait voir que le côté DH eft à -peu près de i-Jhtoifes y pieds.
  - Second Exemple.
  - 517. Si l’on a un triangle re&angle ABC , dont on Fig. cOnnoît le côté A B de 16 toiles, & le côté BC de 14, pour connoître l’àngle A , il faut • chercher dans la fécondé Table le Logarithme de 16, qui eft 12041 2 0 0,
  - 8t lé Logarithme de 14, qui eft114.6 -128 o 3 & à caufe -des triangles femblàbles ABC 8c ADE, l’on dira : Si 1 2 o41 2 o o Logarithme du côté AB, donne 114 61180 pour le Logarithme du côtéBC , que donnera le Logarithme du coté AD , qui eft 160000000 pour le Logarithme de la tangente DE , l’on trouvera ^ après avoir ajouté le fécond 8c le troifiémé terme, 8c fôuftrait de leur fommé le premier) que la différence eft 5)5)4 20080 pour ' le Logarithme de la tangente , lequel correfpond dans » les Tables, a 41 degrez 1 2 minutes, qui eft la valeur; de l’angle A.
  - T R O I S I E M E Ex E M P L E.
  - 51 8 : Ayant un triangle ABC, dont ôn connoît l’angle A de 40 degrez, 8c l’aiigle B de 60y 8clecôtéBC de 15 1®r
  - toifes, l’on demande la. valeur du côté AC.
  - Je cherche le Logarithme du finus de 40 degrez, qui eft 5) 8 o 8 o 6 7 5, & ; le Logarithme de 60 degrez, qui eft 5) 5) 3 75306 3 8c enfin dans la féconde Table le Logarithme du nombre 15, qui- eft 11 7605) 1-3 : & faiiant : l’analogie ordinaire, je dis : Si le Logarithme du finus dé -
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- - Pl-A'N-
  - ÇHEI2.
  - Fig. i$o.
  - 30 Nouveau "Co u rs
  - l’angle A,qui eft 5?808067 5,, donne 11760913 pour le Logarithme du côte' BC, que donnera le Logarithme du iinus de.l’angle B, qui eft 9 9 37 5 3 06, pour le Logarithme du côté AG j que je trouve de 130555 44 j & cherchant dans la fécondé Table le Logarithme qui approche le plus de celui-ci, je trouve qu’il correfpond an nombre .10 5 ce qui fait voir que le côté AC eft de 20
  - vtoifes.
  - A P P L.IC ATI 0 N DE LA TRIGONOMETRIE a la Pratique*
  - PROPOSITION XI Y.
  - Problème.
  - 515). Trouver une diftance inaccejfible.
  - Une diftance étant donnée telle que C, qui eh un objet duquel on fuppofe qu’on ne peut pas approcher, on demande la quantité de toifes qu’il peut y avoir de cet objet . à l’endroit D. Pour la trouver , il faut envoyer une personne avec un jalon a l’endroit A > éloigné d’une diftance proportionnée à l’intervalle qu’il peut y avoir du point D au point C. Cette diftance fera, par exemple, ici. de 20 ; toiles, qui eft une quantité qui doit fervir de bafe pour Taire l’operation. Après cela vous prendrez l’ouverture de l’angle formé par la bafe DA, & le rayon vifuelDCj & pour bien prendre cet angle , il faut.commencer par •mettre les deux pinulles du graphometre, qui font immo-: biles d’alignement avec les points D & A : après quoi ,vous faites trouver Talidale de maniéré que vous puif-liez appercevbir par les fentes des pinulles ( qui font à fes extrêmitez ) l’objet C. A près quoi vous comptez, la quantité de degrez que contient .l’angle marqué fur le gra-.phometré , c’eft-à-dire , l’angle compris par le côté du
  - graphometre , qui eft d’alignement avec les points D & As
  - le rayon vifuel qui apperçoit l’objet C j & je fuppofe > que c’eft ici de 70 degrez. Cela e'tant fait ,; il .faut ppfer
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- - .ATou veau, Cours
  - pce.l^o. Planche,
  - B A
  - C A
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- - de Mathématique; 23 ï
  - u'il autre jalon à l’endroit ou étoit pôle le pied du gra-phometre , c’eh-à-dire, au point D , & puis venir à l'endroit A , pour y prendre la valeur de l’angle DAC, j’entends l’angle formé par la baie , & par un fécond rayon viluel, qui doit obferver l’objet C, je fuppofe que cet angle eh de 80 degrez. Cela pofé, il ne s’agit plus que de connoître l’angle C, que l’on trouvera aiié-ment en fou brayant la lomine des deux angles A 8c D de la valeur de deux droits, 8c vous trouverez que cet angle elt de 30 degrez. Or pour connoître le côté CD, il n’y a qu’à dire : Si le linus de 3 o degrez m’a donné 2 0 toifes pour le côté AD, que me donnera le linus de l'angle A de 8 o degrez pour la valeur du côté CD : l’on trouvera 3 5? toifes deux pieds pour la diftance que l’on cherche, -
  - REMARQUE.
  - 5 20. Il arrive quelquefois qu’on eh: embarrahé de trouver une dihance inaccellible , lorfqu’elle eh extrêmement éloignée, comme li elle avoir deux ou trois lieues. La difficulté pour lors eh d’avoir une bafe allez grande, qu’il faut dans ce cas-là au moins de 1000 toiles. Comme il feroit fort pénible de mefurer une fi longue dihance, jointe à l’inégalité du terrain , 8c aux obhacles qu’on peut rencontrer, le parti qu’il faut prendre, c’eh de fe donner d’abord une petite bafe, par le moyen de laquelle vous pouvez en avoir une , trois ou quatre fois plus grande 5 8c avec cette féconde une troiliéme plus grande, 8c fuffifante pour faire votre operation.
  - Les operations precedentes font très-utiles pour lever dés Cartes , afin de le donner des points capitaux., pour y rapporter tous les lieux qui y ont rapport 3 ou bien h l’on veut lever la campagne qu’occupe une' Armée , pour y marquer les Quartiers , les Lignes de circonvalation 3 les Pohes de confequence, enfin tout ce qui peut devenir .mtereliant en pareil cas.
  - Si 011 alfiege une Place, 8c que l’on foit obligé de faire
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- - •Fig. W-
  - 'N.O U V EAU Co U.RS
  - quelque Galerie pour établir des Fourneaux , foui .les an-, gles du Chemin couvert, ou fous quelque ouvrage avancé. , il faut abfolument avoir recours à çette operatibn, afin qu’étant prévenu delà diftance de.-l’entrée de. la Galerie à l’objet vers lequel on chemine, on fçache donner à cette Galerie la. longueur qu’il lui faut, pour être pofiti-yement fous l’objet qu’on veut faire fauter.
  - •PROPOSITION XV.
  - Problème.
  - ,521. Tvomjcr, la dijlance inaccejjible d’un lieu a un autre,*
  - . comme de l'endroit D h l’endroit C.
  - .Pour faire cette operation , il faut.commencer par fe donner une bafe telle que AB, que jefuppofe ici de 100 ; .toifes , & de l’extrémité ,B prendre avec l’inftrument l’ouverture de l’angle ABC, formé par la bafe AB, & Je rayon vifiiel JjC 5 & fuppôfant cet angle de 5U degrez., du même endrqit B il faut prendre aiifiî l’ouverture de l’angle ABD, qui;fera, par exemple , de.45 degrez: & cette operation étant, faite, il faut venir à l’autre extrémité A de la bafe AB pour y,. prendre Fouverture de l’angle DAB , que je fuppofe ici de 5) 8 degrez 3 & du-même endroit prendre encore l’ouverture de l’angle PAC, qui fera, par. exemple, de 50degrez. Les angles étant connus , aufii-bien que la bafe AB, l’on 11’aura aucune difficulté de trouver la diflance DC, non plus que celle de D . çn A > &;celle de B. en C :_çar; confiderçz qu’il eft facile de trouver la valeur des cotez À.C & BC dit-triangle CAB,, -parce que l’on connoît le coté. A B de 100 toifes, l’angle B de 91 degrez, l’angle CAB de 4 8 3 & par. confequçnt ; l’angle AC B de 40 degrez- Ces,chofes étant pofées V pour trouver la .valeur du côté CB , ji n’y a qu’à dire : Si le li-nus de l’angle A CB m’a donné le côté AB de 100 toifes , que me donnera le. fin us de, l’angle' CAB pour la valeur :j-du côté CB que je cherche 3 &; pour trouver le côté AC, ,jl faut dire encore: Si le finus de l’angle ACB 111’a donné
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- - dè Math EkàtiQjtfè. 13 5
  - la râleur du côté AB, que me donnera le finus de l’anglè du edfeplement de y2 degrez, qui fera celui de 8 8 degrez pour la valeur du côté AC, parce que l’angle ABC eft obtus.
  - Comme on ne peut connoître la valeur du côté DC fans celle du côté DA', pour le trouver il faut dire : Si le finusde l’angle ADB de 3 7 degrez m’a donné la valeur du côté AB de 100 toiles , que me donnera le finus de 4 5 degrez pour la valeur du côté DA,'lequel étant connu, aulîi-bien que le côté AC, & l’angle DAC, nous aurons deux cotez* connus , & l’angle compris dans un triangle, qui pourra nous donner les deux angles inconnus j & en fuivant ce qui eft dit dans la prop. 11. art. 512. l’ôn trouvera le côté DC, qui eft la diitance que l’on demande.
  - Comme il arrive prefque toujours que la campagne ri eft pas marquée furie plan des Villes que l'on ajftege, & que fi elle y eft figurée ,1°on ne peut, fans faire de grandes erreurs, fe fier À la précifion de ceux qui les ont levez, ou copient l'operation precedente nous donne un excellent moyen pour orienter fur le plan par rapport a la place, la queue de la Tranchée de chaque attaque, afin de pouvoir enfuite projetter les travaux que l'on a envie de faire d'une nuit à l'autre, ou feulement les y marquer a mefure qu'on les avance, parce qu'ayant une fois un bout de parallèle, l'on peut de dedans la Tranchée mefurer les Boyaux, & prendre l'ouverture des angles qui font les retours i marquer là pofition des Batteriesenfin lever le plan de la Tranchée avec autant d'exaélitude que s'il n'y avoit Aucun obftacle.
  - PROPOSITION XVI.
  - Problème.
  - 512. Tirer une Ligne parallèle a une autre inacceffible. Fig. sjïj
  - On demande de tirer par le point C une parallèle aime ligne inacceffible AB.
  - Pour réfoudre ce Problème, il faut commencer par fe
  - G g
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- - $34 Çp U R S
  - dqnnerùAe bafo; telle, que CD , qui dpin ?m v pgbwê nous TaYon? Àlt aÙlçur^, prgpqctîojaçég à la diftance de l’objet y afin qqp l’operation en foitpkxs- jufte, & nous fuppofons que 150 toifes eft la longueur qui lui convient. ! '
  - Nous fçavpps que deux lignes, parallèles étant coupées par une. troifiéme > forment les angles alternes-égaux» & que par çonfequent lorfqueles angles alterner feront égaux, les lignes feront parallèles 3 d’où il s’enfuit que fi Ton connaît l’angle ABC , formé pat la parallèle AB , ôc le rayon vifoel C©B on n’aura qu’à faire l’angle DCE égal au précèdent, pour que la ligne CE foit parais lele à la ligne AB : ainfi toute la queition eft réduite à trouver la valeur de l’angle ABC. Afin de la eonnoître v je commence du point C par prendre l’ouverture de l’an--gle ACB, que je trouve de 40 degrez : enfoite je viens au pointDpour y prendre lauverture de l’angle CDB, qui eft de 86 degrez 3 & je prend5 aufii l’ouverture de l’angle A D B, qui fera, par exemple, de 6 o degrez- Ces cEoles étant connues, je fais en forte de trouver par leur moyen la valeur des lignes CA & CB. Pour cela je cher-' che dans le triangle CDB la valeur du côté C B. Pour le trouver, je cpnfidere que Pangle BCD eft de. 8 o degrez 9-& que l’angle CDB eft de $6. D’où il s’enfuit que l’angle CBD eft de 14 degrez. Cela pofé , il faut dire : Si le. Emis de l’angle de 14 degrez m’adonné 150 , que me donnera le finus de 86 pour la valeur du côté oppo-fê CB.
  - Pour trouver le côté CA, je fais attention que l’angle CDA eft de 26 degrez , & que l’angle ACD étant de 120 degrez, l’angle CAD doit être dè 3-4 degrez. Cela étant, je dis encore : Si le finus. def’angle CAD- de 3 4 de-
  - frez m’a donné 150 toifes pour de côté CD , que me onnera le finvis de l’angle CDA de 2 6 degrez pour la valeur du çôtéÇA. Or comme nous avons dans le triangle ACB les deux cotez AC & CB de connus avec l’an-; gk compris. ACB,. 'il s’enfuit que l’on trouvera aifémenc
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- - DE fi'A f H E Af ÆT r (jÿ 1, £ 3 ?
  - j&r la propofition r r i la vàléuf de l’angle ABC > dont la fonnoiiTancé eft fa fcdntion du Problème:
  - L’oneft fouvcht obligé dt bterier atie parallèle k une ligne inaccejfible dans Une infinité d’occafions , foit qu’on 'Veuille fércer des routes dans un Bois avec certaines précautions, où foit dâns les Sieges, qudnâ on veto faire une Batterie qui foie parallèle d la fdee de P ouvrage que l on veut battre ; ou quand on en veut faire un autré èn écharpe, dont tes feux aillent fi diriger filon un angle donné avec la face.
  - PROPOSITIO N XV IL Problème.
  - '523. Mefurerme hauteur inacceffible.
  - Pour méfürer lk hauteur AF cfuÏÏè- Toür j if faut fe dbrinêr tinte bafe telle qûëEB^qtifil? falté mtfùï’er exaéte--jttfeàc depuis’ le point chriàiîïéU.5 B éHlà Tbütf jufqu’à;Peft-: droit 1, qui eftlé lïèu oir Ion' âüra planté le graphômé--tre » & fuppofànt qué cette bafe foit de1 151 toifes, fort prendra l’ouverture de l’angle ACD formée par deux rayons vifuels, dont le premier CD doit être parallèle a l’horifon, & le fécond CÂ doit aboutir au fommet de la Tour, & fuppbfant que PaUgîé foit de 3 5 dégréz , I on cherchera dans le triangle ACE> le côté AD, en difant:1 Gomme le linus tocaî eli à la tangente de l’angîe C, stfirifè îe côté CD die ry-tbifes1 éOc àé éotéBAy qU?él?ôn trôtëP vera dé 1 j toiles 3 pieefèàfqUéi1 ajbticaritla'hafiTtfèûr DB1 Ou CE dë pied de l’iftfbbmèht e$ ordiriyfcefffiâfc ;çfi( 4 pieds, on trouvera que ht hauteur AB dé la ToürelÉ de 1 8 toiles .1 pied.
  - Mais B loù avoit àr pfehdré 1 à hauteur d ttné Tour ou dhuie éittinéndé qui fut ihaçceffible, comme on; lé voit dans'la f ig; 15)4. il fàudroitr dé l’endroit F pr'ënîdre l’ouverture dé l’anglè ADO, formée par deux raÿoiis j & fup--polant qu’on a trouve cet angle de 5 o dêgrez , il faudrafé i-eëtder fut l’alignémërit des points D- & 0 jufqu’i l’eUdrô# G /pour avoir mie bàfe EF dtméloûguétïr fufft
  - Ggÿ
  - Fîs-It*î
  - Fig-
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- - ±$6 Nouveau Coukî
  - faute , pour que l’angle CAD ne foit pas trop aigu* & cette bafe ayant été trouvée de 40 toifes, l'on prendra encore l’ouverture de l’angle A CG, qui fera, par exemple de 50 degrez. Or comme l’angle ADG eft égal aux deux autres, intérieurs oppofez du triangle CAD y la différence de cet angle> qui eft de 50 degrez-à l’angle ÀCD, qui eft de'3 o degrez, fera la valeur de l’angle CAD, que l’on trouvera de 2 o degrez. Or comme dans le triangle re&angle ADG nous avons befoin de connoître le côté DA pour connoître le côté AG> l’on dira : Si le finus de l’angle CAD de 10 degrez m’a donné 40 toifes pour le côté CD, que donnera ïe finus de l’angle ACD de 30 degrez pour le côté AD, que l’on trouvera de 6 3 toifes 2 pieds.
  - Pour donc trouver le côté AGje dis : Comme la Sécante de l’angle ADG eft à fa tangente » ainfi le côté DA de 6 3, toifes 2 pieds eft ait côté AG, que l’on trouvera de 48 toifes 3 pieds : à quoi il ne faut plus qu’ajouter la hauteur du pied de l’inftrument, pour avoir la ligne AB.
  - MANIERE DE LEVER V NE CAR TÉ far h moyen de la Trigonométrie,.
  - 324. L’on doit diftinguer deux fortes de Cartes Jes unes f°nz Cartes generales, & les autres des Cartes particulier es 5 les dernier es font celles que l’on leve avec beau? coup d’attention, n’oubliant rien de tout ce qui peut avoir lieu dans la Carte,, tel que la grandeur & la figure des Villages, des Bourgs & des Villes, les Bois, les Ponts, les Rivières., les Chemins, les Fontaines.,les Croix, Chapelles , Juftices, &c.
  - Pour les Cartes generales, l’an 11e prend que la portion des lieux les. plus confiderables., 8c la figure des grands Chemins , omettant quantité de choies ,, qui ne pourraient fe placer fur ces fortes de Cartes-, parce qu’elles font ordinairement dreftées fur de petites échelles Telles font les Cartes des Royaumes & des grandes froyiacçsv Cependant ton peut dire que ton s’y prenddç
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- - DI M ATH EM A T I QJÇT E. 257
  - la. même façon pour lever les Cartes particulières & generales , parce que pour les unes & les autres l’on commence par faire un Caneva, qui n’efl autre chofe que la grandeur de la Carte déterminée avec les principales portions , après quoi l’on • entre dans le détail de chaque chofe , comme nous le ferons voir après avoir enfeigné la maniéré de prendre les polirions qui doivent faire les principaux points de la Carte.
  - Si l’on vouloir, par exemple , lever la Carte des lieux marquez par les lettres de cette figure , l’on voit que l’objet qu’on fe prqpofe n’efl autre chofe que de placer fur le papier les difrerens endroits qui font ici 5 en forte que la difiance qu’il y a d’un lieu à un autre ait le même rapport fur la Carte que fur le Terrein : ce qui cft proprement faire une réduction de grand en petit. Or comme ces rédu&ions ne peuvent fe faire que par les triangles femblables, il s’enfuit qu’enlevant la Carte d’un Pays par le moyen de la Trigonométrie, il ne s’agit que de trouver la valeur des angles & des cotez qui font formez par la diflance des lieux. Cela étant pofé, je commence par établir une bafc la plus grande qu’il elt pofîible > afin que les lieux qui doivent s’y rapporter foient plus exactement levez : pour cela il faut éviter autant qu’il eft polîible d’avoir des angles trop obtus ôc trop aigus. Ayant donc choifi les points de flation A & B, je commence par en chercher la diflance de la maniéré que nous L’avons enfeigné dans la fécondé propofition : Payant trouvée , je viens à l’endroit B , pour y prendre l’ouverture des angles formez par la bafe AB, & les difFerens endroits que je me propofe de lever. Pour cela je prends Pouverture de l’angle ABC, de l’angle ABD, de l’angle ABE, je paffe le point F, parce que l’angle qu’il formeroit avec la bafe fe-roit trop obtus, & qu’on auroit trop de peine à recoupe? le rayon qui feroit tiré de B en F : je continue à prendre l’ouverture des angles ABG, ABH, ABI, & ABK : je pafî’e suffi le point L , parce que l’angle formé par la bafe AB> & lç rayon do B ea L feroit trop aigu..
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- - I 3 8 NotfftAÜ Coum
  - Prefentement il ne s’agit plus, pour avoir fà pofitionl des endroits qu’on voit marquez ci-deflus » que de recouper les rayons qu’on vient de tirer. Pour cela je viens aiï point A, pour y prendre l’ouverture de l’angle B AE, qui me donnera le point- E, parce que dans le triangle ABEjë eonnois le côte A B, & la valeur des angles E AB & ABE* par le moyen defquels je trouverai les diftances AE & BE. Pour les autres points, je continue à recouper les rayons que j ai tirez dans la première operation , en prenant l’ouverture des angles B AD, BAC, BAG, BAH* BAI, BAK, comme tous des triangles formez par les rayons , ont la bafe AB pour côté commun. Il s’enfuit qu’on pourra en trouver la longueur, puifqu’iln’y a point de triangle dans lequel on né connoifle deux angles .& un côté. Comme nous avons palTé deux endroits , pour les raifons que nous avons dites, il faut faire voir comment oit en peut trouver la polition, fans fe fervir de la bafe AB : pour donc trouver le point F, je prends la diftance BE ou BG pour bafe, ou toute autre qui pourroit mieux convenir jmais je choifîs ici le côté BE , & du point B je prends rouverture de l’angle EBF, & du point E l’ouver* ture de l’angle BEF, qui me donne le point F- Je fais la même chofe pour trouver le point L, & meme le point M, que je fuppofe n’avoir pît prendre dans les opérations précédentes ? c’eft-à-dire , je choihs la bafe AC, & du point A je prends les ouvertures des angles C AM & GALj & du point C je prends encore l’ouverture des angles A CL & ACM.
  - Après avoir trouvé la valeur de tous les cotez dû triangle qui font ici, il faut les rapporter fur le papier, en donnant à chaque ligne la valeur qu’elle doit avoir} ce qui fe fera fans difficulté par le moyen d’uné échelle > & après que toutes ces polirions feront rapportées bieii exactement, l’on pourra, en fuivant la même méthode , continuer à lever les lieux qu’on aura pu découvrir dans les premières opérations : ce qui fera bien aifé, puifqu’on aura de toutes parts des bafes, doiit la- valeur fera con-
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- - DI Ma TH BMATIOUÉ, 13$
  - exemple, pour lever les objets au-delà des points C & D , on pourra prendre la diftance CD pour bafe > d’un autre côté on pourra prendre la ligne IH : enfin fur la gauche la diftance LK, fur la droite toute autre ligue que Ton choillra de même.
  - 4TTZ NTIO NS gJV’ï L FAVT FAIRE pour lever une Carte particulière.
  - 513. Quand on veut lever une Carte d’une façon a ne rien omettre de toutes les particularitez qui entrent dans le détail d’une Carte , ceux qui conduifent le travail doivent envoyer des perfonnes entendues dans les Villages pour lever leurs Situations, leurs figures,la forme des Rues, la poftion des Fontaines,s’il s’y en trouve* des Carrièresdes Montagnes , Câlines ôc Vallons , qui peuvent fe rencontrer dans les environs. On réduit chaque Village fur l’échelle de la Carte j & pour les rapporter on a foin que l’Eglife fait pofitivement au point qui eft marque fur le Caneva, parce que ces points font ordinairement des Clochers & des Tours. Pour les Villes* on fait en forte d’en avoir les plans, qu’on réduit à l’échelle de la Carte. Quand il fe rencontre des Bois ou des Forêts , l’on commence par lever exactement les Villages & les Hameaux qui font les plus proches, pour avoir des bafes, qui ne font autre chofe que la diftance d’un lieu à un autre , defquels on forme une efpece de polygone , qui entoure le Bois. Après quoi il eft aifé de rapporter à ce polygone un nombre de points, qui marquent ks limites du Bois, pour en tracer enfuite à la vûe la figure extérieure quand il ne s’agira que de quelque finuo-fité peu confderable. Après cela il faut entrer dans le Bois, pour y confiderer les principaux Chemins, les ruif-fsaux , les Fontaines, les Maifons & les Châteaux qui pourroient s’y rencontrer. Toutes ces chofes doivent être levées avec le plus de précifion qu’il eft pofîïble. Pour çela l’on fe donne des points de poiidon, que Ion prend
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- - *4® t NoütîAü Coüxs dans le Bois, par des opérations que l’on fait fur quelque? éminence hors du Bois. Ces points de pofition font ordinairement des Clochers, des Châteaux, ou bien quelques . grands Arbres,quife font diftinguer au-deflus des autres : & lorfqu’on eft une fois parvenu à la connoiflance de quelqu’un de ces points , l’on peut fans aucune difficulté orienter les differens endroits qui fe trouvent dans le bois, à l’aide des pofitio'ns connues.
  - A R PIIC ATI 0 N DE LA TRIGONOMETRIE À la fortification.
  - Ptam- 5 Quand on veut tracer une Fortification fur le cm 13. terrein, il eft abfolument néceflaire de connoître toutes Fig* les lignes & les angles qui en compofent le projet : & comme cette connoiflance doit être la plus exade qu’il eft poffible, il ne conviendrait pas que l’on fefervît du compas pour trouver avec l’échelle les lignes que l’on ne connoît pas, non plus que du rapporteur pour trouver la valeur des angles, puifque l’on peut faire des erreurs infenfibles fur le papier , qui deviendroient de eonfe-quence fur le terrein. C’eft pourquoi il eft à propos d’avoir recours à la Trigonométrie, pour connoître par le moyen des lignes que l’on connoît , celles que l’on ne connoît pas: ôc comme dans la Fortification, félon la méthode de M. de Vauban, l’on connoît la bafe de 1 80 toifes, la perpendiculaire CF de 3 o , & la face AD de 50. Voici de quelle maniéré on pourra connoître l’angle de l’épaule, l’angle flanquant, le flanc & la courtine* luppofant qu’on eft prévenu que la ligne DH eft égale à la ligne DE.
  - Il faut avant toutes chofes chercher la valeur de l’angle FAC,endifant: Comme le côté AC de 29 toifes eft au côté CF de 30, ainfi le finus total AI eft à la tangente ID ,qui étant trouvé,l’on verra qu’elle correfpond à un angle de 1 8 degrez 2 6 minutes , qui eft la valeur de l’angle FAC * par confisquent celle de l’angle HDE , à
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- - -PT. 12 e
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- - DE MATHEMATI QJU E.' 241
  - caufe des parallèles AB 5c DE qui aboutirent fur AH.
  - . Or comme nous avons befoin dans le triangle DAI du côté AI , on n’aura qu’à dire ( pour le connoître ) Comme la fecante de l’angle DAI efuau fînus total , ainli le côté AD de 50 toifes elt au côté AI, que l’on trouvera de 47 toifes 2 pieds, qu’on n’aura qu’à retrancher de la ligne AC de 90 toifes pour avoir la ligne IC de 41 toifes 4 pieds j 6e comme cette ligne elt moitié du côté DE ,on verra que. ce même côté elt de S 5 toifes 2 pieds.
  - Comme le triangle HDE elt ifofcelle , 5c que l’on con-noît 1 angle du lommet avec les deux cotez qui le comprennent, on 11’aura qu’à dire ( pour avoir le liane HE} Si le linus de l’angle DHE m’a donné le côté DE, que me donnera le linus de l’angle HDE pour le flanc ou côté HE, que l’on trouvera de.17 toifes 1 pieds.
  - Comme les angles de la bafe du triangle ifofcelle font chacun de 80 degrez & 47 minutes, puilque l’angle du fommet elt de 1 8 degrez 2 6 minutes j il [s’enfuit , à caufe des angles alternes formez par les lignes parallèles GH 6eDE, que-li de l’angle HED 011 retranche l’angle GED de 1 8 degrez 26 minutes, il reliera 62 degrez 2 1 minutes pour l’angle GEH , dont le fupplement a 1 80. qui elt l’angle de l’épaule HEB elt de 1 1 7 cle-
  - Q r 1, -t. \ 13 1
  - grez 35? minutes : ôC li I on ajoute au contraire a 1 angle DHE, l’a ngle GHD, qui elt aulîi de 1 8 degrez 2 6 minutes , l’on trouvera quel’angle flanquant GHE elt de
  - 1 1 0
  - ($9 degrez 1 3 minutes.
  - Or comme du triangle GHE Ion connoît les angles ôc le côté HE, l’on 11’aura ( pour connoître la courtine ) qu’à dire:Comme le linus de l’angle HGE elt au côté HE , ainli le. linus de l’angle GEH ell au côté GH , que l’on trouvera de 76 toifes 3 pieds.
  - Pour connoître l’angle flanqué , confiderez qu’il elt .plus petit que l’angle de la circonférence de deux fois •l'angle DAI, qui .elt de 1 8 devrez 26 minutes: 6e com-
  - O A t U 1
  - melon fnppofe qu’il s’agit ici d’un exagone , dont.ran-H.e de.la circonférence elt de 1.2.0 degrez, l’on n’aura
  - HS
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- - 3Fîg. irr*
  - 242’ N bu veau Go unr
  - qu’à retrancher 3 6 degrez 5 2 minutes de 110 dëgre® pour avoir l’angle flanqué, qui fera de 8 3 degrez 8 minutes.
  - L’on pourra calculer de même tous les autres fronts de Fortification dont, le côté extérieur auroit plus ou moins de I 8 o. toifes, parce que les proportions le trouveront toujours. Ainii quand il s’agira de calculer les lignes & les angles dont un Ouvrage à corne, ou un Où-virage à couronne efl: compofé , il fuffira de connoî-tre le côté extérieur, la perpendiculaire, & la place d’un Baftion pour connoître le refle : c’eft pourquoi cette pratique peut avoir également lieu dans la Fortification irrégulière comme dans la régulière 5 car foit que l’on fafle les flancs perpendiculaires fur la ligne de défenfe,oufur la courtine, félon les cas ou l’on feroit obligé de fuivre une méthode plutôt qu’une- autre, l’on trouvera le cal-cul également aifé, pourvu que l’on ait feulement quelques grandeurs connues , par le moyen defquelles on puifle operer.
  - 5 27. De tout ce qui regarde-le calcul d’une Fortification, je n’ai point trouvé de partie plus difficile à calculer que la valeur de la face de la demi-Lune, &: l’on peut meme regarder ce cas-là comme un petit Problème de Fortification: c efl: pourquoi je crois qu’on fera bien aife d’en voir la folution 5 car quoiqu’elle paroifle peu de cho-fe, elle ne laifleroit pas que d’embarrafler un Commençant: ainfi pour bienfçavoir de quoi il efl: que ft ion, voici comme on iiippofe que la demi-Lune a été tracée.
  - Après avoir pris le point E fur la face d’un Baftion à
  - 5 toifes au-delfus de l’angle de l’épaule, l’on a du point C comme centre, & de l’intervalle GE , décrit un arc, qui venant rencontrer la capitale , a donné le point F pour la pointe de la demi-Lune 5 enfuite l’on'a pris le point D à trois toifes au-deflus de l’angle de i’épaule, & l’on a tiré la ligne FD : après quoi l’on a fait le fofle de 2 0 toifes fur le prolongement de la face à l’endroit AH
  - 6 l’on a .tiré la ligne IHK, qui détermine la longueur IF
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- - a e Mathemati ou s. 243
  - de la face de la demi-Lune, donc il s’agit de trouver la valeur.
  - Comme il feroit facile de trouver la longueur IF, Ci l’on connoilfoit la valeur des lignes DI 6c DF, nous allons voir comment on peut y parvenir , en tirant les ÜgnesDH , DK, CF , 6c en connoilfant les parties du corps de la Place eue nous venons de trouver. Pour y arriver , je cherche dans le triangle reélangle CLF la valeur de l’angle LCF , par le moyen des deux cotez LC 6c CF , qui me lont connus ( puilque l’un vaut la moitié de la Courtine, ôc que l’autre eit égal à la ligne CE ) en difant : Comme le côté LC ell au côté CF 3 ainh le fmus total ell à la fecante , qui donnera 6 5 degrez pour l’angle LCF , duquel ayant retranché l’angle MCD de 1 S degrez.26 minutes, reliera 46 degrez 3 4 minutes pour l’angle DCF.
  - Or comme le côté DC ell de 8 8 toifes 2 pieds 3 6c le côté CF de 57.0 toifes 2 pieds 3 6c que l’on connoît l’angle qu’ils comprennent, on trouvera par l’analogie ordinaire que le côté DF ell de 70 toiles 2 pieds, 6c que l’angle CDF ell de 6 8 degrez 15 minutes.
  - Comme nous avons befoin de connoître l’angle CDK, aulTi-bien que le côté DK, confiderez que dans le triangle CDK , l'on connoît les deux cotez DC 6c CK avec l’angle qu’ils comprennent, 6c que par confequent il fera facile de trouver ce que l’on cherche. Audi verra-t’on que CDK ell de .17 degrez 45? minutes , 6c le côté DK de, 8 8 toifes.
  - Or comme il faut dans le triangle HDK connoître outre le côté DK, le côté HD avec l’angle qu’ils comprennent pour parvenir à la folution du Problème, confiderez que dans le triangle AHD l’on connoît le côté AD de 47 toifes , 6c le côté AH de 20,6c qu’on connoîtra l’angle HAD, quand on fçaura la valeur de l’angle flanqué , puifqu’il en ell la dilderencc avec deux droits 3 -6c comme l’on fuppofe que c’ell ici un exagone, l’angleflan-q.ué fera par confequent de 8 3 degrez 8 minutes : ainfi
  - •H h il
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- - r±44 N'ôu ve AV Cà u r s *
  - l’angle D AH fera de $6 degrez 5 2 initiâtes > & én fa P yAft.5i2. fantla régie ordinaire , Ion trouvera * que le côté HD eft de 53 toifes 1 pied, & que l’angle ADH eft de 11 degrez 5 5? minutes. -
  - Prefentement fi l’on retranche de 1 8 o degrez, la fom-> me des deux angles CDK & ADH, il refiera 140 degrez 1 2 minutes pour-la valeur de l’angle HDK. •
  - Or comme l’on connoît-dans le triangle -HDK deux cotez & l’angle compris, on trouvera par confequent * les deux autres angles, particulièrement l’angle DKI , dont nous avons beloin, quieft de 14 degrez 4 minutes 5 & comme il nous faut auifi l’angle F DK, on trouvera qu’il eft de 5 o degrez 2 6 minutes, fi l’on retranche de l’angle FDC l’anHe KDC: mais comme ceci nous donne la va-
  - O _
  - leur de l’angle DIK, quieft de 11 5 degrez 3 o minutes-, l’on pourra donc dire pour trouver le côté DI : Si le finus du fupplément de l’angle DIK a donné le côté DK, que donnera le finus.de l’angle DKI pour la valeur du côté DI, que l’on trouvera de 2 3 toifes 4 pieds, qu’on n’aura qu’à retrancher de la ligne DF, qui vaut, comme nou3 l’avons vu, 7 o toifes 2 pieds, l’on trouvera que la face IF de la demi-Lune eft de 46 toifes 4 pieds. *
  - 528. Pour trouver la demi-gorge IN de la demi-Lune^ faites attention que dans le triangle ODF, l’on connoît les deux angles FDD, & ODF, que par confequent 011 connoîtra l’angle.OFD, quifetrouve-ae 40' degrez 11 minutes 5 & comme cet angle fe trouve auflï dans le triangle INF, dont on connoît l’angle NIP, pmfqu’il eft fupplément de l’angle DIK , il s’enfuit qu’ayant-‘deux- angles dans le triangle IFN j l’on connoîtra le troifiémelNF 5 par confequent l’on pourra dire: Si le finus de l’angle INF de 7 5 degrez 15) minutes a donné le côté IF, que donnera le finus de l’angle IFN pour le côté IN , que l’on trouvera de
  - Enfin fi pour tracer la demi-Lune, l’on a voit befoin de la* diftance du milieu L de la courtine au point F, il fercio
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- - DE M'AT^ïEM ATI QJJi; <
  - facile de la trouver, en difant : comme le fîhùs-total elî à la tangente de l’angle LCF , ainfi le côté CL eft au côté LF,: que l’on trouvera ae
  - Je ne parle point de la maniéré de calculer les lignes tant droites que courbes, qui forment la Contrefcarpe,! = parce que c’eil une chofe qui m’a paru fort aifée, & que les Commençans pourront faire d’eux-mêmes. Je ne dis-rien non plus de la maniéré de calculer une Fortification, -dont les Baftions feraient à orillons, pour leur laiflêr le -plaifîr de faire quelque chofe par eux-mêmes , ayant mieux, aimé leur donner, au lieu de cela , une idée de la-façon de tracer une Fortification fur leterrein.
  - MANIERE DE TRACER LES FORTIFICATIONS furie Terre in,-
  - 5 19. Après que l’on a fait le calcul des lignes & des angles Fig. i^. qui compofent la Fortification , on commence , pour la tracer fur le terrain, par planter des piquets à tous les angles qui doivent former le poligone : enfuite l’on s'attache à tracer la Fortification de chaque front, jufqu a ce que tout foit achevé.
  - Si l’on fuppofe que les points A B reprefentent deux ; -endroits aufquels l’on a planté des piquets , qui déterminent la longueur AB d’un des cotez du poligone, qui fe~ ' ra, par exemple, de i So toifes. Voici comment il faut; s’y prendre pour tracer le front qui correfpond a fes cotez. -
  - Ayant marqué fur un plan le projet de la Fortification avec la valeur des lignes &des angles , comme on le •voit dans la Fig. 19 8. l’on commencera par pofer le pied du graphométre à l’endroit du piquet A : l’on fera avec la bafe AB, & les pinulles immobiles, un angle EAB de i 8 degrez 2 6 minutes ; & ayant fait porter un piquet fur l’alignement du rayon vifuel AE , on détermineraen • toifant fort jufle, une longueur comme AG de 5 o toifes, qui donnera une des faces du premier Baftion. Après quoi 1
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- - Fig. 1?§. W
  - *46 “NO U-V.EA U C O U R> S
  - ! l’on portera î’inftrument à l’extrémité Ç, & l’on fera avec ; la ligne CA im.angle ACD de i17 degrez 3 5? minutes, qui fera l’angle de l’épaule, & l'on prendra dans la longueur CD une quantité de..17 toifes 1 pieds ,, en com- mençant du point C pour avoir le flanc CD.
  - L’on fera la même opération au piquet B, comme- on vient de . faire à l’autre 3 & après avoir tracé , ou feule-: ment planté des piquets aux points F & E, l’on fe portera au point E pour voir s’ils fe trouvent de même alignement que les deux C & A, afin de remarquer fi la face AC fe termine précisément dans l’angle Manquant 3 àc , l’on fera la même chofe pour être alluré de la juftefTe de la face BF:enfuite lbn n’aura plus qu’à tracer avec un , cordeau la Courtine DE , aufli-bien que les faces & les . Bancs des Baftions 5 & pour voir fi on ne s’eif pas trompé e.11 traçant les faces &. les flancs , 011 mefurera la Cour-: tine, afin de la vérifier avec le calcul.
  - A V T R EMA N J E RE D E T R ACER en fe fervant de la Planchette.
  - 530. Comme on n’eft pas toujours à portée d’avoir des inftrumens pour, tracer des Ouvrages, voici une maniéré par. laquelle on peut s’en paffer, n’étant point néceflaire de connoître la valeur des angles pour tracer une Fortification.
  - Il faut faire fur une feuille de papier aveç une échelle fia plus grande que l’on pourra les Ouvrages du front que l’on veut tracer 3 enfûite - l’appliquer fur la Plan-. chette avec de la cire d’Efpàgne, de façon que; le papier pe fade aucun pli 3 & flippofant que le quarré ST re-prefente la Planchette avec le plan.-Voici,comme on s’ep 'fer vira.
  - Ayant une régie .avec deux pinülles, il faut porter la : Planchette fur Ion point à l’endroit du piquet A , & puis ; mettre, le bord de la régie le -long de :1a ligne JLM., & .4.ifp.ofer.la Planchette de maniéré que la régie dans çette
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- - ©'£ Ma'THEM A T ï QgJ E. 247
  - iltuation j fe trouve d’alignement avec les deux piquets A-& B , & prendre garde de ne point faire vaciller la Planchette : il faut en fuite mettre la régie le long de la face LN, & bornoyant le long de la régie, l’on mettra un piquet fur l’alignement : après quoi l’on n’aura qu’à marquer la longueur de la face, comme on a fait ci-devant, & mettre un piquet à l’extrémité C.
  - Il faut après cela pofer la Planchette au point C , fk mettre avec la régie la ligne LN d’alignement avec la face GA, & puis l’on changera la régie pour la mettre le long de la ligne NO j pour déterminer l’ouverture de l’angle ACD , qui doit être la même que celle de l’angle LNO afin de-marquer la longueur du flanc CD ; & h l’on vient à l’endroit B , pour y tracer, comme ci-devant , la face MP, & le flanc PQ^_i l’on plantera les piquets F & E, qui achèveront de donner les lignes tk les angles de la Fortification,
  - AP PLI CATION B E LA TRIGONOMETRIE a la conduite des Galeries de Mines. -
  - 5 3 I .- Les Mines étant devenues d’un grand ufagepour l’attaque ladéfenfe des Places , il femble qu’il eifc à propos de faire voir ici de quelle façon la Trigonométrie peut y avoir part, foit pour Futilité des Affiegeans ou des Ailiegezo
  - Les Ailiegeans fe fervent des Mines, comme nous l’avons déjà dit, pour fe faire un logement fur les Glacis des Chemins couverts , ou pour fe loger dans quelque Ouvrage 5 & les Affiegez s’en fervent pour renverler les Batteries ou les Logemens de l’Ennemi, qui font le plus-à portée de la Contrefcarpe. Mais comme TAffiegeant, audl-bien que l’Aiîiegé , pour s’enfoncer autant que la ligne de moindre réfiftance * le demande, font ordinai-
  - * Les Mineurs appellent, Ligne de moindre réfiftance ,1a perpendiculaire qui eft au-defius du fourneau qui marque la hauteur des terres quç la Mine doit en-
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- - Fig.200.
  - L-ig. 20 ï»
  - 3 24§ ~N O U V E AU 'C O U RS
  - rement un puits ou des degrez pour percer la Galerie, il arrive quelquefois qu’ils n’ont r point fait deux toifes d’ouvrages, qu’ils rencontrent un obftacle, comme de la pierre fort dure, ou une fource qui les, empêche d’avancer en ligne droite. Dans ce cas la pratique ordinaire du •Mineur ellde fe détourner,en faifant un retour à. angle droit lur la droite ou fur la gauche, pour fe remettre en-fuite dans fon chemin. Par exemple, s’il part de l’endroit A pour aller vers B, &: qu’étant arrivé à l’endroit D, il rencontre unubliacle C, il fait le retour DE,4e la longueur qu’il juge néceffaire , pour ne rien. trouver qui l’embarrafTe 5 enfuite. il continue de cheminer en droiture par la Galerie EF, au bout de laquelle il fait encore un retour. FG égal au précèdent , pour faire le relie de la Galeriç GB fur l’alignement A. Mais comme, tous ces retours demandent beaucoup de tems & de travail , que d’ailleurs ils empêchent que l’air ne circule , comme il faut dans la Galerie, voici par la Trigonométrie comme on,peut abréger le chemin.
  - Suppofant qu’étant parvenu de O en H, on ait rencontré un oblèacle T, il faut fe détourner à angle droit d’une longueur HI, la plus courte qu’il fera pollible & voir la différence du chemin que l’on a fait avec celui qu’on a à faire pour avoir la longueur de la ligne HK, qui va fe terminer au point K , où l’on doit e'tablir le Fourneau. Or comme l’on a le triangle rectangle HIK, dont l’hypotenufe IK efl la longueur que doit avoir la Galerie qui relie à faire pour aller de 1 en K,, on trouvera cette longueur, auffi-bien que l’angle HIK par la Trigonométrie, parce que l’on a dans ..le triangle rectangle les deux cotez HI & HK de connus. Prefenteme.nt il 11e s’agit plus que de tracer furie, terrein l’angle HIK d’autant de degrez qu'on-en aura trouvé par le calcul j ce que ï’on poxirra faire aifément, en appliquant fur une grande équerre brifée le compas de proportion, .pour que les deux bras de l’équerre faifent un angle d’autant de degrez
  - f qu’il fera nécedaire*
  - <5.3 *•'
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- - BH MaTHEMAT'I qjje; 24$
  - 43 2- Les Fourneaux que l’on fait pour loger les Foudres deffinées à faire jouer une Mine , ne fe pratiquent pas toujours à l’extrémité de la Galerie , parce que la même Galerie aboutit prefque toujours à plulieurs Fourneaux que l’on fépare par des autres petites Galeries que l’on appelle Rameaux s par exemple, li l’on a une Galerie HF j au bout de laquelle eff un Rameau FA, qui aboutit à un Fourneau G. Les Mineurs après avoir chargé le Fourneau, le ferment par de gros madriers bien étalonnez , ils rempliffent le Rameau AF, & une partie de la Galerie FH de terres, de pierres, &c. afin que la poudre ne trouve pas un foible du côté de la Galerie , par lequel elle feroit tout fon effet. Or pour faire en forte que la poudre agiffe en haut, il faut que la ligne de moindre ré-iiffance BC foit plus petite que toute autre ligne, qui feroit tirée du point G à l’entour du Fourneau : ainll h la Galerie n’étoit bourrée que jufqu’au point I, & que la ligne GI fut plus petite que CB, la mine au lieu de faire un bon effet, fouffleroit du côté de la Galerie , & n’a-giroit que fort peu au dehors. Or pour trouver le point E en forte que GE foit égal à CB, conlîderez que l’on a le triangle reétangle GFE, dont le côté GF eft connu, puif-que c’eff la longueur du Rameau que nous fuppolerons de 8 pieds 5 le côté GE fera aulîi connu, puifqu’il eff égal à la ligne de moindre réhffance CB, que nous fuppofe-rons de 2 4 pieds : c’eff pourquoi l’on pourra connoître le côté FE que l’on demande.
  - Cependant comme on peut fe paffer de la Trigonométrie, j’aimerois mieux en pareil cas quarrer le côté GE pour en fouffraire le quarrédu côté FG, & extraire la xacine quarrée du relie, que l’on trouvera de 2, 2 pieds pour la longueur du côté FE 5 ainll il faudra bourrer 2 2 pieds de la Galerie. Mais comme les terres rapportées dans la Galerie ne réli lieront jamais autant que les terres vierges, l’on aura loin ( pour que la poudre ne faffe pas Ton effet du côté de la Galerie ) d’en bourrer 4 ou 5 pieds plus qu’il 11e faut.
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- - Noutiau Goü*Rf AVERTISS EMEN TV
  - 25 c*
  - j’aurois pu m’étendre davantage fur l’application de la Trigonométrie au Toifé des lignes d’une Fortification j mais la brièveté que je me fuis propofée dans cet Ouvrage, & la réflexion que j’ai faite que cette application appartenoit plutôt à un Traité complet de Fortifications qu’à mon fujet, ne m’ont pas permis d’en parler plus an long.
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- - Nouveau Cours
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- - Dï MirHÏM'ATIQJJi; 1-54
  - NOUVEAU COURS
  - DE MATHEMATIQUE-
  - TROISIEME PARTIE.
  - Qu /' on donne U Théorie &Ja Pratique du Nivellement.
  - -DEFINITIONS.
  - I.
  - -5 3 3, T ’On die que deux points font de niveau, lorf-I 1 qu’ils font également éloignez du centre de la Terre.
  - 534. De forte qu’une ligne qui a tous fes points également éloignez du centre de la Terre , eft appellée Ligne du 'vrai niveau, qui ne peut être qu’une , ligne courbe.
  - 535. L’on peut donc dire que la fuperficie des Lacs, des Etangs,&de toutes les Eaux qui nelontguéres agitées , renferment une infinité des points de niveau, puif-qu’ils font tous également éloignez du centre deia Terre.
  - TI.
  - •5 3 6. Ligne de niveau apparent, efl une ligne telle que BD , tangente au cercle de la Terre, & par confequent perpendiculaire au demi-diamétre .AB 5 cette ligne eft nommée , Ligne de niveau apparent, parce que fes extrê-jnitez B 6c D ne font pas également éloignées du centre de la Terre : ainfi toute ligne parallèle à fnorifon, & qui étant prolongée par une de fes extrêmitez, s’écarte de la fuperficie de la terre, comme une tangente s’écarte de
  - lüj
  - Planche 14. Fig. 203.
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- - Nouveau Coûtas
  - la circonférence d’un cercle eft une ligne de niveau apparent.
  - Comme le point B eft de niveau avec le point C, puif-qu’ils font également éloignez du centre A de la Terre l’on voit qu’il s’en faut toute la ligne CD, que le point B ne foit de niveau avec le point D, l’on peut donc dire que la ligne CD eft la différence du niveau apparent au-deffus du vrai.
  - 537. Quand une ligne de niveau apparent n’a pas plus de 100 ou 15 o toifesil s’en faut ft peu que fes extrêmi-tez nefoient également éloignées du centre de la Terre qu’on peut la regarder comme étant parfaitement de niveau ; mais fi elle furpaffe cette longueur , il faut avoir égard à la différence du niveau apparent au-deffus* du .vrai, comme nous le ferons voir en fou lieu.
  - III.
  - Quand on veut niveler deux endroits pour fçavoir de combien l’un eft plus élevé que l'autre, ces deux endroits font nommez Termes, & pour lors l’endroit par ou l’on commence le Nivellement, eft nommé premier Terme, 8c celui oùfe va terminer la ligne de niveau apparent , eft: nommé le fécond Terme.
  - CHAPITRE I.
  - Ou ton donne tuf âge du Niveau d'eau*
  - 5 3 8. T* A principale piece duNi veau d’eau eft un tuyau 1 -j AB de 5 ou 6 pieds, de long, recourbé par fes extremitez C 5c D j ce tuyau peut avoir un pouce de diamètre, aux extrêmitez font deux bouteilles FC & GD,. qui font le principal du Niveau : ces bouteilles, pour être d’un bon ulage, doivent être d’un verre fort blanc, bien clair & tranfparent, faites exprès pour être plus commodes j car les deux cercles F & G, qui ont environ trois.
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- - DE MaTHEMATï OU E. 2 -5 3
  - pouces de diamètre, font proprement les culs de ces bouteilles, dans le milieu deiquels il y a un trou circulaire d’environ un pouce : ces bouteilles, qui ont 5 pouces de hauteur, ont un petit goulot, dont la groiîeur elt plus petite qua celle du tuyau, parce qu’elles doivenrètre maiti-quez dedans aux extrêmitez C & D : dans le milieu du tuyau AB eh une virole avtc un genou , qui répond à un bâton MN de 4 pieds, de forte que le Niveau étant pofé â un endroit, on le peut faire tourner en tous iens, comme fur un pivot lans bouger le pied.
  - Pour fe fervir de cet inltruinent, l’on verfe de l’eau dans l’une des bouteilles,qui va aulîî-tôt fe communiquer dans l’autre , à caufe du tuyau qui ell ouvert par les deux bouts j quand les bouteilles ont de l’eau environ juf-ques aux deux tiers, l’eau donne deux furfaces H I, qui font parfaitement de niveau. Cela pofé , fi l’on veut fçavoir de combien le Terme Qelt plus élevé qne le Terme P , celui qui fait l’operation envoyé un aide au-fécond Terme Q , ou il pôle une toife, ou une double toile, le plus perpendiculairement qu’il elt poffibie, qu’il doit tenir de la main gauche, parce que dans la droite il doit avoir un carton blanc de la grandeur d’un cul de chapeau, dans le milieu duquel on fait un petit rond noir d’un pouce de diamètre 5 & fuppofant que cet aide foit bien in=-flruitdes mouvemens qu’il doit faire , foit pour aller fur la droite ou fur la gauche, ou pour faire monter ou descendre le carton le long de la toile , aux différé ns lignes qu’on lui fera : celui qui fait l’operation vife horifontale-ment aux furfaces de l’eau, l’endroit de la toife qui fe rencontre dans le rayon de mire KL 3 .& ayant fait figue à l’aide de faire glilfer le carton le long de la toife , pour que le bord fuperieur du rond noir fe rencontre au point L 5 on lui fera enfuire un autre ligne , pour lui faire entendre qu’il s’elt rencontré julle , & pour lors un autre aide, qui e. t a vec celui-ci, mefure exactement la hauteur QL, que je fuppofe de 2 pieds 5? pouces , & pendant ce tcms-là un autre aide , qui ne quitte point celui qui fait
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- - Éig.iOj-
  - 2*54 /No u v e a-u C o u^-s
  - l’operation, mefure la hauteur KP, qui fera, par exemple , de 4 pieds 6 pouces, après a voir mis en écrit de part & d’autre les; hauteurs que l’on aura trouvées, & les deux aides que l’on a détachez étant venus joindre celui qui fait l’operation , l’on cherche quelle eh la différence de la ligne KP à la.ligne LQ^, en les fouhrayant 1’une de l’autre, &J’on trouve i pied 5) pouces, qui eh la hauteur du fécond Terme au-defliis du premier : ai 11 fi l'on voit que tout l’objet du Nivellement eh de connoître de combien un lieu eh plus élevé qu’un autre.
  - 5 3 9.Comme les coups de Niveau, qui fe donnent avec cet inhrument, ne vont guéres au-delà de 100 à no toifes , l’on n’a point égard an Niveau apparent dans les petites operations comme celle-ci, parce que le Niveau apparent peut être pris pour le vrai.
  - 'A ,c<Tufe de la petite portée des coups de Niveau, on eh obligé d’en donner pltifieurs de diitance en dihance, quand les objets que l’on veut niveler font beaucoup plus éloignez l’un de l’autre que l’on ne l’a fuppofé ici j cependant quand cette dihance eh environ double de la portée du coup de Niveau, 011 peut par une feule hation trouver la difrer en ce des hauteurs du Niveau de-ces deux endroits , pourvii que l’on puiffe les appercevoir tous les deux, quand on fe fera placé ! peu près dans le milieu de ;leur dihance.
  - Par exemple, fuppofant qiie la dihancede-A en Bfoit de 2,20 toifes , & qu’on veuille fçavoir de combien le Terme A eh plus bas que le Terme B,il faut pofer le Niveau en C, qui fera a peu près le milieu de la dihance AB 3 enfuite vifer de D en E, le rond noir du carton que l’aide aura pofé au point G, que je fuppofe élevé de 2 pieds 4 pouces.. Celapofé, celui qui fait l’operation quitte la bouteille D,.& vient à.la bouteille E , pour -vifer de E en F , parce qifil doit y avoir à l’endroit A un autre air de, pour -tenir la toife & le carton :& comme il peut arriver que la ligne AF foit . élevée au-defïiis de l’endroit A .de plus de 6 pieds , en. ce-cas on a une autre .toife.,
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- - pË M ATHEM A T I-Q^T 2, 2 5 1
  - bout-de laquelle edun carton, comme celui dont nous avons déjà parlé, & l'aide fait gliffer cette toife le long . de l’autre, la faifant monter & defcendre tant que le rond noir du carton fe rencontre dans le rayon de mire EF 3 après quoi un autre aide mefure exactement-la hauteur FA. Or fuppofant qu’ayant mefure avec autant depréci-don qu’il ed polîibie, l’on ait trouvé 5) pieds 6 pouces pour la hauteur AF , on foudraira de cette quantité 2 pieds 4 pouces , qui eit l’élévation du point G, & la différence fera 7 pieds 2 pouces, qui fait voir que l’endroit A eit plu bas que B de 7 pieds 2 pouces.
  - Cette maniéré de niveler ed la meilleure de toutes, parce quelle eit moins lu jette à erreur, foit de la part du Niveau apparent, ou des réfractions 3 car tant que le point G fera dans le milieu de deux Termes , les points F & G feront parfaitement de niveau j puifqu’ils font également éloignez du centre de la Terre : d’ailleurs par cette pratique on fait beaucoup moins de dations que fi l’onalioic par plufieurs coups de Niveau d’un terme à l’autre.
  - CHAPITRE IL
  - O à Von donne la maniéré de faire le Nivellement compofé*
  - 5 3-0, les deux Termes que l’on veut niveler Fig'
  - y A . font beaucoup plus éloignez l’un de l’autre qu’on l’a iuppofédans l’operation precedente j on elt obligé de faire plufieurs dations 3 & en cé cas l’on dit que le Nivellement ed eompofé 3 car en effèt il ed compôfé de plufieurs coups de Niveau, que l’on fait en forte d’abrer-ger, comme on le va voir dans l’operation fuivante.
  - Pour niveler deux objets A & B, éloignez l’un de l’autre de 680 toifes, il faut divifer ce nombre par 200 ou 2 20 toifes, pour voir combien l’on fera obligé de faire de dations 3 car dans l’operation precedente on a nivelé par une feule dation une didance de 220 toifes 3 ainn
  - 20&
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- - .£ fil No U VEAU Cou R- S
  - comme 680 divifé par.2 20, donne 3 au quotient 3 je vois qu'en trois Hâtions on peut niveler les deux Termes A & 13. Pour, cela je commence par chercher dans la di-ftance AB les trois endroits qui font les plus., commodes pour faire les Hâtions:je choifis d’abord le point C à peu près dans le milieu de AB,oii je fais planter un piquet , & à une distance de 100 ou 1 1 o toifes du point A j’en fais planter un autre en D, ôc à la même diHance du point B j’en fais placer un troiliéme E, & autant qu’il fe peut il faut que ces trois piquets foient d’alignement avec les deux termes A & B. Ayant donc déterminé les trois Hâtions D , C , E , il faut envoyer deux aides au premier Terme A , dont le premier porte une ou deux toifes , & le fécond Toit chargé d’écrire les hauteurs 5 on en envoyé un troiliéme à peu près dans le milieu de la diHance DC, lequel 11e doit point bouger de fa place , qu’on n’ait achevé les operations de la première & de la fécondé Hation, pa'rce que la toile qu’il tiendra , en main doit fervir de Terme commun pour les deux premières Hâtions.
  - Ayant donc fait porter le Niveau au point D , il faut vifer de T en S , pour que le rayon de mire TM aille rencontrer le bord fuperieur du rond noir 3 qui lera au point M , & le fécond aide mefure la hauteur MA, que je fup-pofe de 8 pieds .2 pouces, qu’il a ‘foin d’écrire fur des tablettes : en fuite on vife de S en T, pour découvrir le rond noir au point K j & comme il n’eft pas neceflaire de con-noître la hauteur KF,qui ferait plus embarraflante qu’utile , l’aide qui tient la toile fe contente de marquer un trait de crayon à l’endroit de la toife ou le rayon de mire SK s’eH terminé : de là on vient à la fécondé Hation C, & on envoyé à peu près dans le milieu de la diHance CE un aide à l’endroit G, qui ne doit pas bouger de fa plâce, que les operations de la fécondé ôc de la troifiéme Hation ne loient finies. Prefentement il faut donner un coup de Niveau de Q en R,pour découvrir le point L du rond noir j & quand on l’aura rencontré, on mefurera la hauteur KL , qui eH la diHance du trait de crayon que l’on a
  - marqué
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  - marqué far la toife au point L, & celui qui tenoit les ta-•blettes à l’endroit A, a eu foin de fe rendre à la fécondé Ration, pour y écrire la hauteur KL, qui fera, par exemple, de 3 pieds 6 pouces : après cela il faut vifer de R en Qj pour que celui qui eR en G puilfe marquer fur la toife le point H, par un trait de crayon, fans s’embarraf-fer defon élévation, qu’il eR inutile de connoître , comme nous l’avons déjà dit. Enfin l’on fait porter le Niveau à la troifiéme Ration E, pour donner un coup de Niveau de P en O, qui ayant déterminé le point I, on mefurera daligne HI, que je fuppofe de 4 pieds 3 pouces, qu’on aura foin d’écrire fur les tablettes : après quoi on donnera de dernier coup de Niveau ON 5 & l’aide qui eR en B, mesurera la hauteur BN, que je fuppofe d’un pied 6 pouces, qu’il faudra écrire à part, parce que cette hauteur n’a rien de commun avec ce que l’on a marqué fur les tablettes. *
  - Le Nivellement étant achevé, l’on ajoutera enfemble les hauteurs que l’on a écrites fur les tablettes j c’eR-à-dire, 8 pieds 2 pouces , 3 pieds 6 pouces, 8c 4 pied.; 3 pouces , qui font 1 5 pieds 11 pouces, d’où il faudra fouRraire la hauteur BN d’un pied 6 pouces , 8c la différence fera 14 pieds 5 pouces, qui eR f élévation de l’endroit B au deflùs de l’endroit A.
  - CHAPITRE III.
  - >©# Ton donne la maniéré de niveler deux Termes 9 entre lefquels il fe trouve des hauteurs O* des fondu
  - 5 41. Uand on veut niveler deux objets fort éloir p^
  - V gnez l’un de l’autreil eR allez rare qu’on me rencontre en chemin des hauteurs 8c des fonds , qui obligent de niveler tantôt en montant, tantôt en defeen-dant 5 en ce cas il faut obferver certaines choies dont mous n’avons pas encore parlé, qui fontd’écrire fur les
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- - ijS Nouveau Cours
  - tablettes dans une colonne toutes les hauteurs que Ton trouvera en montant, 5c dans une autre colonne toutes celles que l’on trouvera en defcendant 5 5c pour les diltin-guer à l’avenir, nous nommerons première colonne celle dans laquelle il faudra écrire les hauteurs que l’on trouvera en montant, 5c fécondé colonne celle dans laquelle on écrira toutes les hauteurs que l’on trouvera en defcendant. L’011 va voir ceci dans l’operation fui vante.
  - Pour niveler deux lieux A 6c B , il faut commencer par pofer le Niveau au point D, éloigné d’environ 100 toiles des endroits A 5c 3 , ou l’on aura envoyé des aides avec des toiles > enfuite il faut donner les coups de Niveau DC 5c DE , 5c écrire la hauteur AC de 6 pieds 4 pouces dans la première colonne, 8c marquer un trait de crayon à l’endroit E : de-là il faut faire porter le niveau au point 4 , qurn’eft pas dans le milieu de la ligne EH, à caulc que la rampe de 3 en 5 ne le permet point 3 mais cela n’empêche pas que les coups de Niveau GF Sc GH ne foient juftes , parce qu’ils ne font pas d’une grande portée. Ayant donc déterminé les points F 5c H , il fuit mefurer la hauteur FE, qui fera, par exemple , de 5? pieds 6 pouces , qu’il faut écrire dans la première colonne , 5c ne pas oublier de marquer un trait de crayon au point H de la toife 5 : de-là il faut venir à la dation 6 , 5c donner les coups de Niveau Kl 5c IL, l’on marquera, comme à l’ordinaire , un trait de crayon au point L , 5c l’on écrira dans la première colonne la h.tuteur IH,que je fuppofe de 7 pieis 3 de-là on vieil .Ira à la dation 8 , de laquelle je fuppofe q u’onne peut donner que le coup de niveau NM- , à ca-ufe que la rampe ed trop grande pour pouvoir en donner un iecondee l’autre corn, l’on mcfurera'la hauteur LM depuis le point L que Ion a marqué fur la toife julqu au point’M du rayon de mi-e, oui fe trouve de 8 pieds 2 pouces 3 l’on aura foin de l’écrire dans la ieconde colonne , parce que c’eit une hauteur que l’on a trouvée en defcendant: mais comme la hauteur NO du Niveau fait voir de combien le point O eitplus bas que le point
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  - M, il faudra mefurer cette hauteur, que je fuppofede
  - 4 pieds 6c demi, pour l’écrire aufii dans la fécondé colonne j enfuite il faudra faire planter un piquet à l’endroit O, 6c defcendre le Niveau au point G, qu’il faudra trouver j de forte que le rayon de mire PO aille rencontrer le pied du piquet : après quoi l’on donnera le coup de Niveau PQ^_, 6c l’aide qui tient la toife aura foin de marquer un trait de crayon au point Q^De-là on ira à la dation 1 1 pour y donner les coups de Niveau SR 6c ST, afin d’avoir la hauteur RQ^, qui fera , par exemple, de 3 pieds, qu’il faudra écrire dans la première colonne, parce que c’ed une hauteur que l’on a trouvée en montant 3 il faut aller après cela au point 1 3 , pour y donner les coups de Niveau XV, XY , 6c l’on écrira dans la première colonne la hauteur VT, qu’on fuppofe de 5 pieds
  - 5 pouces : 6c comme il arrive que le rayon XY va fe terminer à un point Y de la hauteur, il n’y aura pas de trait de crayon à marquer fur la toife à cet endroit-là j 011 y laiffera feulement un aide, pour fervir à l’operation 1 5, laquelle ayant déterminé les points Z 6c B, des coups de Niveau A Z & AB, l’on mefurera la hauteur Z Y , ^,ue je fuppofe de 7 pieds 4 pouces, qu’il faudra encore écrire dans la première colonne : de-là il faut venir à la dation 1 7, pour y donner les coups de Niveau DC & DE, marquer unirait de crayon au point E, 6c confiderer que la hauteur B.C, qu’on fuppofe de 6 pieds 6 pouces, a été trouvée en defcendant, 6c que par confequent il faut l’écrire dans la fécondé colonne. Enfin l’on portera le Niveau à la derniere dation B, pour déterminer par le rayon GF la hauteur EF , qui fera , par exemple, de 8 pieds 5 pouces, qu’il faudra écrire dans la fécondé colonne, aufïï-bien que la hauteur GB du Niveau, qui.ed .ordinairement de 4 pieds 6 pouces.
  - Prelentement fi l’on additionne les nombres de la première colonne, l’on trouvera 3 8 pieds 7 pouces j 6c faisant la meme chofe pour la fécondé , l’on aura 3 1 pieds un pouce. Or fi l’on retranche la plus petite fomme de la
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- - %4o Nouveau Cours
  - plus grande, c’eft-à-dire, 3 2 pieds 1 pouce, de 3 pieds • 7 pouces, la différence fera 6 pieds 6 pouces, qui fait voir que le terme A eft plus bas que le terme B de 6 pieds 6 pouces.
  - Il eft bon de remarquer que iorfque l’on a un Nivellement à faire en montant, & qu’on s’apperçoit que les coups de Niveau font trop courts, de forte qu’on eft obligé d’en donner trop fou vent, il vaut mieux monter au-fommet.de la hauteur, & faire le Nivellement en defcen--dant,obfervant d’écrire dans la première colonne les hauteurs que l’on trouvera en allant, vers un Terme, & dans la fécondé colonne , celles que l’on trouvera en allant-vers l’autre. .
  - Par exemple , fi l’on veut connoître la différence des hauteurs de deux Termes A. & B qu’on s’apperçoive qu’il faudra trop de tems & trop d’operations pour niveler de A en B par une fuite de coups de Niveau, on fera porter le Niveau à l’endroit 6 , que je fuppofe être le lommetde la hauteur, & l’on nivellera de 6 en A ,en obfervant d’écrire dans la première colonne les hauteurs que l’on trouvera : après cela l’on viendra à l’endroit 6 * pour niveler de 6 en 10 , & les hauteurs que i’on trouvera , on les écrira dans la fécondé colonne. Enfin on viendra au fommet 1 5 de la fécondé éminence pour niveler de 15 en 1 o , mettant toutes les hauteurs que l’on trouvera dans la première colonne j après quoi l’on nivellera de 1 5 en B, & on écrira les hauteurs de cette derniere operation dans la fécondé colonne, & le refte fe fera comme dans l’operation précédente.
  - L’on peut faire beaucoup d’ouvrage en peu de tems par cette maniéré de niveler , parce que tandis qu’une perfonne entendue fait le nivellement de 6 en A , une autre peut faire celui de 6 en 1 o 5 & de la même façon celui de. 1 5 en 1 q , ôc de 1 s en B-
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- - d e Mathématique; iê'$.
  - ME MIE RE COLONNE; SE C O ND £ C O LO N N Et -
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  - 3=8 pieds ” y pouces " oli.»
  - pieds pouces
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  - Différence 6 pieds & pouces
  - CHAPITRE IV:
  - Ou ton fait voir la manière de conmitre de combien le Niveau apparent cil élevé au-deffus du vrai y pom ‘ me ligne de telle longueur que ton voudra»-
  - 5 4 2. ¥ ’On n’a pas eu égard à la différence du Niveau E m. apparent au-dellus du- vrai dans lés Nivelé lemens 411e nous venons d’enfeigner , parce que les-coups de Niveau étoient fort petits i d’ailleurs les operations ont été faites d’une manière à ne pas donner lieu a cette différence : mais comme le Niveau d’eau ne peut fervir que pour des petits Niveliemens& qu’il demande une grande exactitude , pour ne point faire d’erreur , quand le Nivellement eit fort conipofé , 011 a inventé une autre efpece de Niveau > avec lequel, par le
  - iî|;
  - %. a&ÿi
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  - moyen d’une lunette, l’on peut donner des coups de 'Niveau extrêmement grands ; c’eft l’ufage de ce Niveau, que nous allons enfeigner , après avoir .donné dans ce Chapitre la maniéré de calculer la hauteur du Niveau apparent au-dellus du vrai, dont la connoiffance eh: absolument neceffaire , quand on ‘fait de grands Nivelle-mens.
  - 54.3. Nous avons vu dans la Géométrie que le quarré de la tangente BD , étoit égal au rectangle compris fous la.fecante GD , & fous la partie CD : ainh divifant le quarré de la ligne BD par la valeur de la ligne GD , on trouvera la ligne CD. Mais comme la ligne GC, qui ch: le diamètre de la Terre, qui a été trouvée de 53-8524 toifes, ne différé de la ligne GD que d’une quantité infiniment petite , il s’enfuit que l’on pourra prendre la ligne GC pour la ligne GD, & que divifant le quarré de la ligne BD .par .le diamètre GC .de.la Terre i c’eft-à-dire, par 6538524, l’on aura la valeur de la ligne CD, qui eh: la différence du Niveau apparent avec le vrai. Or iuppo-fant quela ligne de Niveau apparent BD, foit de 800 toifes , il faudra les réduire en lignes , & l’on aura 6 2 1 2 0 0 lignes , qu’il, faut enfuite quarrer pour avoir ,4777 5 744°°oo , qui eh: le quarré de la ligne BD. Prefentement fi l’on réduit le diamètre delà Terre, qui eh: de 6 5 3 8 5 24 toifes en lignes, on aura 5 6423 4 5 2 *1 6 lignes j & divifant le quarré de la ligne BD par le nombre précèdent, l’on aura environ 8 5 lignes , qui font 7 pouces une ligne pour la différence CD du Niveau apparent au-deffus du vrai.
  - 544. L’on peut encore d’une maniéré plus géométrique que la précédente , trouver la valeur CD du Niveau apparent au-deffus du vrai : car à caufe du triangle re--ctangle ABD les quarrez AB èc BD pris enfemble , valent le quarré de l’hypotenufe AD. Ainh il n’y a qu’à quarrer la valeur du demi-diamétre de la Terre, & la valeur de BD de la ligne de Niveau apparent, & addition-ner ces deux quarrez , dont la racine fera la ligne AD,
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  - de laquelle il faudra retrancher la valeur du de mi-diamètre AB ou AC de la Terre, 2c la différence fera la valeur de la liene CD.
  - 545. L’on peut remarquer que les hauteurs de deux points de Niveau apparent au-deflus du vrai, font dans la meme raifon que les quarrez des lignes des Niveaux appareils j car prenant le diamètre GC pour la ligne GD, & le diamètre H K pour la ligne Hl, le quarré de la ligne BI étant aulîi égal au reélangle compris fous H K 2c KL, les quarrez des lignes BD 2c BI feront dans la meme raifon que les rectangles qui leur font égaux : mais ces rectangles ayant chacun pour bafei le diamètre GC ou HK de la Terre , feront comme leurs hauteurs CD 2c KL ainlî. les quarrez BD ce BI feront donc dans la raifon des lignes CD 2c Kl.
  - 5 4 6. L’on peut tirer de cette confequence une régie ge^ nerale pour trouver la hauteur du Niveau apparent au---dell us du-vrai, d’nne façon bien plus courte, que parles deux méthodes precedentes i car fi on commît une loi> la hauteur du Niveau apparent au-deflus du vrai pour une ligne d’une certaine longueur, l’on pourra trouver la même choie pour toutes les autres.
  - Far exemple, étant prévenu que pour unedifiance de 60o toiles , le Niveau apparent eu élevé au-deflus du vrai de 4 pouces, pour 1 ça voir combien il ell élevé pour unediihince de 1000 toiles, je fais une Régie de trois, en dilant : Si le quarré de 6 00 , qui ell o o o o , donne 4 pouces, combien donnera le quarré de 1000, qui eft iooqooo. La Régie étant faite, l’on trouvera 1 1 pouces 1 ligne 4 points pour la hauteur du Niveau apparent au-deflus. du vrai , d’un coup de Niveau de 10 0 0' toifes.
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- - ..Mouyiau Gouns
  - CHAPITRE V.
  - f)â ton fait la dejcription dit Niveau de Monfieut Hugeinu
  - 547* ^us ti avons par^ jusqu’à présent que du IM Niveau d’eau, parce que c’eft celui qui ,eft le plus en ulage dans les Nivellemens qui ne font pasd?une :grande étendue. Cependant comme les Niveaux qui ont des lunettes , font bien plus commodes., parce que l’on peut en deux ou trois coups de Niveau, ou quelquefois même en un feul niveler deux objets , dont on ne pourvoit connoître la différence des hauteurs avec le Niveau „deau, fans faire beaucoup plus d’operations. Voici celui qui a étédnventé par M. Hugeins, qui peut paffer pour le plus commode, & le plus jixfle de tous ceux qui ont été faits dans ce gout-là.
  - Une des principales parties de .cet infiniment eft la virole D, qui a deux branches plates ,C &E, qui font femblables , chacune d’environ un demi-pied de long j :de forte que le tout fait une efpece de croix Cette virole D porte la lunette AB longue de deux pieds : .fi elle n’a que deux verres convexes, elle reprefentera les objets renverfez, mais avec beaucoup plus de clarté, que fi .elle en a quatre , qui les remettroient dans leur fituation .naturelle. Le tuyau de cette lunette doit être de cuivre, ou de quelqu’autre maniéré forte, & à l’épreuve des injures del’air.
  - Au bout des branches de la virole D font attache? .deux filets doubles , paffez dans des petits anneaux , & ferrez entre des pinces à deux dents, dont l’une eft fixée .au bout de fa branche , & l’autre y eft attachée de telle maniéré quellefe puiffe ouvrir..
  - Comme la lunette eit fufpendue parla virole D au crc*-&he.t F , elle eft tendue horizontalement par le bois quiefl
  - enfermé
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- - DE M A T H E M A T I Q^tTE. ï£ p
  - enfermé dans la boëte G , dont il ne fort que fon crochet. La pefanteur de ce poids ne doit être qu’environ la pelanteur de la croix , & le vuide qui relie dans cette boëtejeiè rempli d’huile de noix ou de lin, ou de quel-qu’autre liqueur qui ne fe glacenine fefige point ; Scc’efl par cette liqueur que font arrêtez les balancemens du poids &de la lunette. Il doit y avoir au dedans de la lunette un fil de loye tendu horifontalement au foyer du verre objeétif\~ &c c’efl par une vis, que Ion tourne au travers du trou H, percé dans le tuyau de la lunette-, que l’on abaifle ou éleve ce fil félon le befein. Il faut mettre au tuyau de la lunette une petite virole, qui doit çtre fort legere., &ne pas peler plus d’une quatre-vingtième
  - Ï>artie delà croix: elle ne il point attachée au tuyau de la Linette , parce qu’il faut la poulfer vers le bout > ou l’en reculer autant qu’il eil necellaire pour trouver l’équilibre de la lunette, & la mettre parallèle à l’horifon.
  - -Cette Machine ell lulpendue au haut d’une efpece de croix de bois plate, où il y a pour cela le crochet F , qui peut fe hauffer ou bailler par le moyen de la .vis qui tient à l’anneau quLfufpend la Machine : cette même croix tient la boëte,qui contient le plomb & l’huile > & cette boëte ell enfermée par les cotez &par le fonds.
  - On couvre le niveau par une autre efpece de croix, qui ell creufe, que l’on applique contre la croix de bois platte, avec plusieurs crochets, afin de couvrir le niveau contre les injures du tems jde forte que le tout .fait une boëte.
  - Pour rectifier ce niveau , on le fufpendra par l’anneau d’une de les branches, fans attacher de poids par en bas , l’onvifera par la lunette à quelque objet éloigné, remarquant l’endroit ou le point de fobjet ell coupé par le fil de la lunette, & enfuite on‘ mettra le poids, en l’accrochant dans l’anneau d’en bas: & fi alors le fil delà lunette répond à la même marque de l’objet , c’eil une preuve certaine que le centre de gravité ., où les deux points de la fufpenfion de la croix répondent au centre du tuyau
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- - ±66 Nouveau Cours
  - de la lunette , ou au centre de la Terre > mais fi cela ne fe trouve pas précifément au même point, on la vérifiera par le moyen de la virole I, en la faifant couler de part ou d’autre, pour reparer le défaut, & mettre la lunette en équilibre j & la lunette étant mife horifontalement parla virole fans poids & avec poids, on la tournera fensdefius deHous , mettant en haut la branche d’en bas, Rattachant le poids à la branche que l’on a abailfée.
  - Si après cette rectification, le fil qui elt dans la lunette fe trouve à la même hauteur de l’objet que devant j c’elt une marque que le fil du foyer de la lunette eft directement au milieu de ce foyer : mais fi le fil he vife pas au même point, & que le fil coupe l’objet au-deflus ou au-delTous, on hauflera ou baifièra par la vis qui elt pour cela , jufqu’à ce que le fil coupe le point moyen , qui eft entre les deux points remarquez, & après cela le niveau fera bien reCtifié.
  - Le pied qui doit porter la Machine, elt une efpece de table de fer ou de cuivre, qui eft ronde ôc un peu concave, afin que la Machine foitplus folidement établie dans la concavité : elle eft élevée fur trois bâtons, qui y font attachez en charnière, & dont la hauteur eft de 3 ou 4 pieds.
  - La Fig. N reprefente en grand le tuyau qui porte en dedans de la lunette le fil horifontal, qui eft attaché à la fourchette K avec de la cire.
  - Il faut fi peu de chofe pour faire de grandes erreurs en nivellant , qu’on ne fçauroit prendre trop de précautions à fe bien fervir des inltrumens : pour cela il faut les connoître parfaitement j quand je dis les con-noître , j’entends qu’on doit fi - bien les examiner, qu’on puiffe en fçavoir jufqu’au moindre défaut, entre lefquels il n’y en a point de plus confiderable , que de bailler ou haulfer la mire. Ileit vrai que pour le niveau deM. Flugeîns, quand même il n’auroit pas été fait avec alfez de précaution , pour avoir cet inconvénient, il ne faut pas beaucoup s’en embarrafler j car s’il bailFe la
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- - deMathematiqjji. i6j
  - mire dans un fens,illa haufiera d’autant dans un autrej & prenant le point du milieu des deux objets, l’on aura toujours le vrai niveau apparent , qui elfc lin avantage particulier de ce niveau, de pouvoir être renverfé de bas en haut, de de haut en bas j mais comme on peut fefer-vir de tout autre infiniment qui n’aura pas cet avantage, voici le moyen de corriger un rayon de mire faux.
  - Ayant pofé un in Uniment à l’endroit A , pour pointer vers DG, je fuppofe que l’on a reconnu que la lunette, au lieu de donner le point C du niveau apparent BC, donne le point D, qui efi: plus élevé que le point G, parce que l’inlèrument haufle la mire 5 & ayant remarqué que fur une diièance BC de 2 o o toifes, le point D eft élevé de 2 pouces au-defliis du point C. Après en être bien aflfàré, fi je vois que cette faute ne fe puilfe pas reparer, parce que l’on fuppofe que l’inflrument a été mal fait, j’ai égard, dans toutes les operations que je fais, à la cor-redion de i’inftrument 5 de forte qu’ayant donné un autre coup de niveau BE de 60 o toifes, je cherche à quel point de la hauteur EH doit être le niveau apparent, parce que je fuis prévenu que ce n’efl: pas le point E j mais que ce doit êtreain autre point au-deflous de celui-ci. Pour le trouver, je dis:Si 200 toifes donnent 2 pouces pour le hauflement du rayon de mire, combien donneront 6.00 toifes:la Régie étant faite, je trouve 6 pouces j ainfi jç prends le point F 6 pouces au défions du point E , & pour lors la ligne BF efi: celle du niveau apparent: mais fi rinftrument baifie la mire au lieu de la haufler, on trouvera toujours le point du vrai niveau apparent en fuivant la même Régie , qui efi: fondée fur ce que les triangles BÇD & BFE. font femblables.
  - Uij
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- - No U TE A U COU K S
  - CHAPITRE VL
  - Où r 'on donne la manière dé fi fervir M* Hugeins*
  - du Niveau de»
  - ]Fig.îioï
  - 548. T E Niveau ayant été pofé au lieu defliné pour I a l’operation ,on en voy era, comme à l’ordinai-' re, un aide à une di fiance convenable, & on regardera ; exactement par la lunette l’endroit de la perche où le fil-répondra) & l’aide qui tient la carte, l’ayant hauffée èo baiffée tant que Jb petit rond noir réponde au rayon de? mire, il a fom de marquer un trait de crayon fur la perche à l’endroit où le rayon de mire a répondu, & il ne? bouge point de fa place jufqu’àce qu’il foit averti j & alors celui qui eft à l’inftrument le change, de1 difpofition , mettant le defTus au-deffous, c’eft-à-dire, qu’iifaut accroc-cher la croix par l’anneau d’en bas j après quoi on vife derechef avec la lunette, & celui qui efl à la perche hauffe & baiffe encore le carton, pour marquer à quelle hauteur porte le rayon de mire, qui doit répondre» au,meme endroit que l’on a marqué. Or fuppofànt qu’il-donne au-deffous de la marque, il faut marquer exa&ement à quel endroit y enfuite divifer en deux également l’intervalle des deux coups de Niveau difFerens, & l’on aura au jufre la hauteur du Niveau apparent y de .laquelle il faudra, re* trancher la hauteur du Niveau apparent au-deffus du vrai, que l’on trouvera, félon qu’il a été enfeigné au quatrième Chapitre, & la différence fera la hauteur du vrai Niveau, laquelle on pourroit encore trouver fans faire de calcul, comme on le va voir.
  - Ayant deux perches CA &BE , éloignées l’une de l'autre , je fuppofe d’une diftance de 6 o o toifes, l’on demande quelle feroit la hauteur du Niveau apparent au-deflùs du vrai.
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- - D-E M A T H E M A T I Q^J Ei % (y$,
  - Pour la trouver, pofez le Niveau à l’endroit A-, & pointez avec la lunette l’endroit de la perche BE, ou le rayon de mire ira la rencontrer, luppolant que ce foit au point B , il faut y*faire une marque, ôc vérifier ce coup de Niveau , en renverfant l’inftrument, pour-voir fi dans cette fkuation le rayon de mire fe termine encore au point B» Cela pofé, fartes porter i’inilrument à l’endroit E , & ddf-pofez-le de maniéré que le foyer du verre de la lunette ioit précisément à là hauteur B. Après cela donnez un autre coup de Niveau BC,qui aille rencontrer la perche AC au point C , .qu’il faudra marquer fur la perchéj après l’avoir vérifié comme ci-devant3 & fi l’on mefure exactement la diflance CA, je dis qu’elle fera double de la hauteur du Niveau apparent au-delTus du vrai 5 de forte que CA doit fe trouver ici de 8 pouces : car en divifant CA en deux également au point E, l’on aura la ligne C1T de 4 pouces , qui fera la différence- du Niveau apparent au-delfus du vrai, pour une diilance de 6 0 0 toiles, comme on le peut voir par le calcul 3 ainfi les points B Si I> font de niveau, étant également éloignez du centre de là Terre , comme vous l’allez voir.
  - Si l’on prend le point A pour l’extrémité d’un des rayons de la Terre, le point B fera plus éloigné du centre de là Terre que le point A de^pouces 3 mais le point C étant plus éloigné du centre de la Terre que le point B au'ïi dé 4 pouces, le point C fera donc plus éloigné que le point A du centre delà Terre de 8 pouces: donc les points D & B étant chacun plus éloignez du centre de là Terré que le point A de 4 pouces j il s’enfuit quils féront de niveau , &L que la moitié de la ligne CA fera la hauteur clii Niveau apparent aifcdeffus du vrai.
  - L’on voit que par le Nivellement réciproque Ion peut d’une maniéré fort fimple déterminer deux points parfaitement de niveau, fans s’embarraffer de leur dülancd B ell vrai que l’on peut encore trouver deux points de ni-veau, fans même faire de Nivellement réciproque, en po~ font l’inflrliment dans le milieu de la diilance de deux ob~
  - Lliij-
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- - 27° N O U y E A U C O U R s -
  - jets que l’on a à niveler j ce qui fe fait à peu près de la
  - maniéré qu’on a expliqué dans l’ufage duNiveau d’eau.
  - CHAPITRE VII.
  - Oàl' on donne la maniéré de faire le Nivellement compofê, avec le Niveau de M, Hugeins.
  - Fig. U ii
  - 545/. T Ous avons dit que pour faire un Nivellement compofé, il falloit ajouter toutes les hauteurs que l’on trouveroit en montant, & que l’on auroit mifes dans la première colonne, & ajouter auffi enfemble toutes celles que l’on aura trouvées en defcendant, qui font dans la fécondé colonne , afin de foullraire la fomme des unes de la fomme des autres, pour avoir la différence, qui fait voir de combien l’un ..des endroits eft plus élevé que l’autrejmais comme dans cette pratique nous nous fournies fervi du Niveau d’eau, dont les coups de Niveau ne font pas confiderables, 8c que d’ailleurs Pinftrument pourcha« que dation a été placé dans le milieu de deux termes, on n’a pas eu égard à la différence du Niveau apparent au-demis.du vrai, ni en defcendant , ni en montant, parce que, félon cette pratiquera différence dix Niveau apparent n’a pas lieu : mais il n’en eft pas de même, lorfqu’on fe fert d’un infiniment à pouvoir donner des grands coups de Niveau, où il ù ut avoir égard à la différence du Niveau apparent au-deffus du vrai, en montant comme en defcendant, fur tout quand l’indrument ed'placé au premier Terme, pour niveler d’un term^ à l’autre 5 car dans cette occadon il faut non feulement mettre dans la première colonne les hauteurs que l’on a trouvées en montant , 8c dans la fécondé celles que l’on a trouvées en defcendant j mais encore écrire à côté de chaque colonne la différence du Niveau apparent au-deffus du vrai pour chaque diftance qui font dans les colonnes, tant en montant qu’en defcendant : 8c ce qu’il y a de particulier en
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- - de Mathématique. i-yi
  - ceci, c’efl qu’après avoir mis dans une fomme les hauteurs du Niveau apparent au-deilus du vrai, que l’on aura trouvées en montant , il faut l’ajouter à la fomme des hauteurs de la première colonne , pour ne faire qu’un produit des hauteurs de la première colonne, & des différences de leur Niveau apparent au-dellus du vrai.
  - L’on écrira de même à côté de la féconde^ colonne, la différence du Niveau apparent au-delfus du vrai , pour chaque hauteur que l’on aura trouvée en defeendant j & l’on fera une fomme de toutes ces différences , qu’il faudra enfuite fouflraire de celles des hauteurs, tellement qu’il faut regarder comme une régie generale, qu’en montant il faut ajouter la différence du Niveau apparent au-deffus du vrai, aux hauteurs que l’on trouvera, en defeendant j & qu’en defeendant il les faut fouftraire, & en voici la raifon.
  - Suppofons qu’en montant l’on ait donné des coups de Niveau BC & FG, & en defeendant les coups de Niveau KN & QR. Cela pofé , confiderez qu’ayant mené à la ligne BC la parallèle AD j cette parallèle fera une tangente à la Terre , & la ligne DE marquera la hauteur du Niveau apparent au-deffus du vrai. Or comme les lignes B A & CD font égales, le point C fera plus éloigné du centre de la Terre que le point B , de toute la ligne DE: ainfi pour que le point B foitde niveau avec le point C j il faudra ajouter à la hauteur B A la ligne DE, c’eit-à-dire, la ligne de la différence du Niveau apparent au-delfus du vrai. De même fi à la ligne de Niveau apparent FG l’on mene la parallèle EH , la ligne HI fera encore la différence du Niveau apparent au-deffus du vrai. Or les lignes FE & GH étant égales, le point G fera plus éloigné du centre de la Terre que le point F de toute la ligne HI . il faut donc , pour que le point F foit de niveau avec le point G , ajouter à la hauteur FC la ligne HI.
  - A l’égard des coups de Niveau KN &: QR, que l’on a donné en delcendant, l’on voit que leur ay ant mené les
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- - .171 Nouveau Cours
  - parallèles LG & PS, qui font des tangentes àlaTerre., le point N eft plus éloigné du centre de la Terre que le point K de toute la ligne Qlfi & que pour trouver un point de Niveau avec le point K, il faut ôter delà hauteur NQja ligne OP, qui eft la différence du Niveau apparent au-deliks du vrai pour la longueur KN. Enfin comme le point R. n’eft pas de niveau avec' le point Q, parce que le premier eft plus éloigné du centre de-la Terre que le fécond de toute la ligne ST fil faudra donc encore ôter la ligne ST de la hauteur R.T pour mettre le point R. de niveau avec le point Il en fera de meme des autres.
  - L’on a fuppofé que leslignes B-A & CD, FE &-GH, &c, étoient parallèles , quoiqu’elles foient des demi-dia métrés de la Terre prolongez 5 mais à caufe de la grande d* .lance au centre , on les peut regarder comme telles,, fans que cela puifle -faire une erreur fenftble.
  - Pour appliquer à un exemple ce que nous venons d’en-feigner, foient les lieux A & F, dont on veut connoître la différence de Niveau.
  - Pour cela je me fers d’un Niveau a lunettes, que je po-fe au premier Terme A pour donner le coup de Niveau GB, qui le termine à un point B de la hauteur, auquel j’envoye un aide pour y planter un piquet, & je con fiacre que la différence du Niveau apparent eft de 4 pieds 6c demi, qui eft da hauteur GQjiu Niveau , que j écris dansila première colonne j enfkite je fais mefurer la longueur G^Çque je fuppefe-de 600 toifes, &. je cherche quelle.eft da hauteur du Niveau apparent au-deffus du vrai, que je trouve de 4 pouces : j’écris -cette hauteur à côté delà première colonne, vis-à-vis de 4 'pieds & demi. Après cela je fais porter le Niveau au point B,, & j’envoye un aide à l’endroit G, qui eft une diftance quePon aura jugé convenable > & après avoir donné de -coup de Niveau rHI, je fuppofe que l’on a trouvé IG de -z pieds, que je fou lirais de 4 pieds & demi , & il reite z pieds & d.emi pour la hauteur du point C au-deffus du
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- - de Mat'îTEM'Af i qjje; 175
  - point B. Ayant donc écrit cette quantité dans la première colonne, je fais mefurer la longueur HI , que je trouve de 3 8 o toifes, qui donnent 1 pouce 7 lignes pour la différence du Niveau apparent au-deffus du vrai, que j écris à côté de la première, colonne vis-à-vis 2 pieds 6 pouces.
  - De-là je viens au point C, 6c j’envoye un aide au point D avec une perche j enfuite je donne le coup de Niveiu KL, êc laide qui eft en L, marque un trait de crayon à l’endroit de la perche ou a répondu le rayon de mire, 6c on meftire la hauteur LD, qui fera, par exemple, de 1 pieds : d’où ayant fouftrait la hauteur du Niveau, il vient 4 pieds 6c demi, qui fait voir la différence de Niveau apparent des points C 6c D. Mais comme 4 pieds 6c demi eft une hauteur que l’on a trouvée en defcendant, je l’écris dedans la fécondé colonne, à côté de laquelle j’écris aufîi z pouces 4 lignes, qui eft la différence au Niveau apparent au-defius du vrai pour la longueur KL. Après cela je fais porterie Niveau au point D, 6c j’envoye un aide en E , pour marquer le point M fur la perche, après que j’aurai donné le coup de Niveau MN : ayant trouvé 1 o pieds 6c demi pour la hauteur NE, j’en fou frais celle du Niveau, qui eft de 4 pieds Scdemi, 6c la différence eft 6 pieds, que j’écris dans la fécondé colonne : 6cfuppofant que la diltanceMNfoit de 650 toifes,jecherche la hauteur du Niveau apparent au-defius du vrai pour une pareille diftance, 6c je trouve qu’elle eft de 4 pouces 8 lignes, que j’écris à côté de la fécondé colonne, vis-à-vis le dernier nombre que j’y ai marqué j c’eft-à-dire , vis-à-vis 6 pieds. Enfin je fais porter le Niveau en E, pour faire la derniere operation OP , qui donne S pieds pour la haute ur^üF i d’où ayant retranché celle du Niveau, la différence eft 3 pieds 6c demi, que j’écris dans la fécondé colonne, à côté de laquelle je mets 5 pouces 4 lignes, qui eft la différence du Niveau apparent au-delTus du vrai pour la diftance OP, que nous luppofons de 700 toifes.
  - Après que l’on a fait l’operation, il faut faire l’addition.
  - M ny
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- - *74 Nouveau Cou a s
  - des hauteurs de la première colonne, & l'on aura ê pieds»
  - 6 ajouter aulïï enfemble les hauteurs Hes Niveaux appareils au-deffus du vrai, pour avoir 5 pouces 7 lignes, qu’il faut ajouter avec la première colonne , & le tout fera 6 pieds 5 pouces 7 lignes*
  - Enfuite il faut ajouter les hauteurs de la fécondé colonne , qui font 14 pieds j mettre aufli dans une fomme les hauteurs du Niveau apparent ait-deflus du vrai , qui font à côté,pour avoir 1 pied 4 lignes, qu’il faut fouftrai-re de la fomme des hauteurs de la fécondé colonne, c’eft-à-dire,de 14 pieds T & la différence fera 11 pieds 11 pouces 8 lignes. Enfin il faut fouftraire 6 pieds 5 pouces
  - 7 lignes de cette quantité , Sclerefte fera G pieds 6 pouces 1 ligne, qui fait voir que le lieu A eft plus élevé que le lieu F de G pieds G pouces 1 ligne.
  - 550. Quand le terrain le permet, il vaut beaucoup mieux faire le Nivellement entre deux Termes que de fuivre ce qui vient d’être dit, parce que l'on n’a point d’égard à la différence du Niveau apparent au-defïtis du vrai, non plus que dans les pratiques que nous avons données au fujet du Niveau d’eau : mais pour cela il fe-roit à propos que le Niveau eût deux lunettes ^ l’une pour pointer de la droite à la gauche y & l’autre pour pointer de la gauche à la droite. Les eorre&ions des coups de Niveau le feront toujours de la même façon qu’il a été en-feigné.
  - Par exemple, voulant connoître la différence des hau-Flg. 21teurs de deux endroits I & E, je partagekdiftance de ces deux Termes x pour faire des ftations aux endroitsles plus convenables 5 & ayant fait planter des piquets aux endroits F > G, H , je fais ma première ffation au point A, à peu près dans le milieu de EF , la féconde au point B ,aufii dans le milieu de FG, la troifïéme au point C, & la quatrième au point D j obfervant toujours d’écrire dans la première colonne les hauteurs que l’on trouvera en montant, & dans la fécondé celles que l’on trouvera en defcendant, fans fe mettre en peine des hauteurs du
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- - DE MATHEMAtÏQUE; *7$
  - Niveau apparent au-deflus du vrai. Je crois avoir allez dit pour ne rien laifler à defirer fur tout ce qui regarde le Nivellement i & pour peu qu’on s’attache à le bien entendre , il ne faudra qu’un peu de pratique pour être en état de faire toutes les operations qui fe pourront prefenter.
  - AVERTI-SS EMENT,
  - M’étant apperçû qu’une grande partie de ceux qui fe fervent tous les jours du Toifé, n’en ont que la routine, & que lesperfonnes qui en ont écrit ne fe font attachées qu’à donner la pratique de ce Calcul, fans rien dire des raifons fur lefquelles il ell établi j j’ai crû devoir en donner un petit Traité avant de parler de la mefure des corps, afin que ceux qui commencent puiffent les calculer, & trouvent dans cet Ouvrage tout ce qu’il faut qu’ils fça-;chent, pour être en état de fe fer vir utilement de ce qui a été enfejgné dans la première Partie.
  - Mm ij
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- - ajG Nouveau Cours
  - wwpwwww»
  - NOUVEAU COURS
  - DE MATHEMATIQUE-
  - QUATRIEME PARTIE.
  - Dtt Toife en general. Ou ton enjeigneta manière de faire le calcul duToifèdes Plans> des Solides,
  - O* de la Charpentes
  - 5 5 r. ¥ ’On entend ordinairement par le Toifé, la ma-I j niere de calculer les dimen fions de tous les ouvrages qui font partiedela Fortification d’une Place, &. meme de tous les autres Edifices civiles. Quoique chaque Pays ait fa mefureparticulière, & que le pied nefoir pas le même par tout, cela n’empêche pas que pour les ouvrages du Roÿ, Ton ne fe fer Ve toujours de la Toile,, qui efl: ( comme nous l’avons dit ailleurs ) compoféede fix-fieds. Mais comme le pied effc dans un endroit de dix pouces , dans un autre de onze pouces > on a nommé celui dont on fe fert en France pour les Fortifications , Pied de Roy, lequel efteompoféde 1z pouces >ainfi la Toife vaut 7 z pouces. L’on a aufli divilé le pouce en i z parties, que l’on nomme lignes y & la ligne en i z autres parties, que l’on nomme points.
  - Cependant on diftingue trois fortes de Toifes > la Toife courante, la Toife quarrée , & la Toife cube. La Toife courante ell celle qui a G pieds de longueur, fans largeur ni profondeur i la Toife quarrée efi: celle qui a G pieds de longueur fur G pieds de largeur,fansJmueur ouprofon-
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- - O E M A T H ÉM A T 1 Qtf £. 177
  - deur 3 & la Toile eft celle qui a 6 pieds de longueur,
  - 6 pieds de largeur, fur 6 pieds de hauteur, 8C qui a par confequent les trois dimenfions égales : aufïi cette Toife fert-elle à mefurer les Solides, au lieu que la toife quarrée ne fert qu’a mefurer les fuperficies, & la Toife courante les longueurs, & à déterminer les dimenfions des Plans & des Solides.
  - Ainfi ce que nous venons dupliquer à l’égard de la Toife, eft là mêmecliofe que ce que 1*cwh a dit à l’égard du pied, au commencement du premier Livre.
  - La Toife qùarrcc ayant é pieds de longueur fur 6 pieds de largeur, ton peut dire que fa fuperficie eft compofée de 3 6 pieds quarrez 5 puifque multipliant lés deux dimenfions de cette Toife l’une par l’autre, c’eft-a-dire, 6 pieds par 6 pieds, l’on aura 3 6 pieds quarrez , à l’égard de la Toife cube comme fes trois dimenfions font chacune com-poféesde 6 pieds, on voit qu’elle doit être compofée dé ai 6 pieds cubes) car multipliant la Toife quarrée > qui vaut 3 6 pieds quarrez par 6 pieds, qui eft la hauteur de la Toife cube, l’on aura 116 pieds cubes.
  - 551. Il eft,bon de remarquer ici' que dans le Toifé des Plans & des Solides, tel que noûs l’allonEs expliquer,on ne confidere point combien il faut de pieds quarrez pour compofer une Toife quarrée, ni combien il faut de pieds cubes pour conipofer une Toife cube, parce que pour rendre le Calcul plus court, l’on a pris pour le pied*»de la Toife quarrée , la fixiéme partie de la mêfne Toife > 8c pour le pied de la Toife cube, la fixiéme partie de cette Toife i tellement que fî l’on confidere le quarré ÀB comme une Toife quarrée, dont le côté AC eft divifé en fîx parties égales, le re&angle DE étant la fixiéme partie du Fig. quarré AB, il fera par confequent un pied de Toife quarrée , de même que le re&angle DF renferme 3 pieds de Toife quarrée, puifqu’il eft la moitié du quarré AB. Mais comme la Toife quarrée vaut 3 6 pieds quarrez, & que le redangle DE eft la fixiéme partie de la Toife, il s’enfuit qu’un pied de Toife quarrée vaut 6 pieds quarrez ?
  - M in il]
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- - 17S NotfŸlÀïr Couaï
  - & quc le re&angle DF, qui^eft la moitié de h Toile >ea vaut 18.
  - Lon pourroit dire la même chofe des pouces, des lignes , & des points de Toife quarrée 5 car un pouce tel que celui-ci eft un re&angle, qui a un pouce de bafe fur une Toife de hauteur} de même une ligne eft un redangle, qui a une ligne de bafe fur une Toife de hauteur. Enfin un point elt encore un redangle, qui a pour bafe la douzième partie d’une ligne , & pour hauteur une toife c ainfi l’on voit que 1 z points de toife quarrée font une ligne de la même toile» que 11 lignes font un pouce, que 12 pouces font un pied, & que 6 pieds font une toife quarrée, puifque toutes ces quantitez ont la même hauteur. Nous ferons yoir la même chofe à l’égard des pieds, des pouces, des lignes & des points de la toife cube, après que nous aurons fuffifamment expliqué la maniéré de multiplier deux dimensions exprimées pardsstpifes &des j>arfi|e$ de poifes courantes.
  - CHAPITRE I.
  - Où l'on fait voir comment on multiplie deux dimenfions dont la première eft compofée de Toifes & de parmi de Toifes , la fécondé de Toifes feulement.
  - 553. A Yant une longueur AB de G toifes, à laquelle 47\ on a ajouté une petite longueur CB de % pieds, & une autre CD de G pouces , toute la ligne ÀD vaudra 6 toifes % pieds G pouces, laquelle étant multipliée par la ligne AE d’une toife , le produit donnera le re&angle EADH , dont on aura la valeur, en multipliant 6 toi* fes 2 pieds 6 pouces paq une toife, pour en faire le cal-cal.
  - Je pofe les deux dimenfions comme on les yoitici ; en-fuite je multiplie les plus petites parties, en commençant
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- - toifes-
  - 6.
  - I.
  - fieds.
  - 1.
  - O.
  - 2.
  - pa&
  - 6.
  - o.
  - B£ MATHEMATI QJJ JE. 27^
  - par la droite, ôt finiflant par la gauche, en difant, une fois 6 eft 6 y que je pofe à la colonne des pouces, parce que ce font 6 pouces de toife quarree, & puis une fois 2 eft 2 , que je pofe au rang des pieds, parce que ce font des pieds de toile quarree : enfin une fois 6 eft 6 , que Je pofe au rang des toifes, parce que ce font autant de toifes qüarrées 5 a in fi le produit 6 toifes 2 pieds 6 pouces , eft la valeur du redangle AH, lequel eft compofé du redangle AF, qui vaut 6 toifes, du redangle B G, qui vaut 2 pieds, & du edangle CH, qui vaut 6 pouces.
  - Pour multiplier 1 o toifes 4 pieds 8 pouces par 5 toifes* je difpofe ce nombre comme on le voit ici , & je dis 5 fois S font 40 , faifant attention que ce font 40 unitez, qui valent chacune un petit redangle, qui a pour baie un pouce fur une toife de hauteur 5 ôc comme ce font autant de pouces de toife quarree, je confide-re en 40 combien il y a de fois 12, parce que 1 2 pouces de toife quarree valent un pied de la même toife : ôc comme je trouve qu’en 40 il y a 3 fois 1 2 y & 4 de refte, je pofe 4 au rang des pouces ôc je retiens 3 pieds ; enfuite je dis : 5 fois 4 font 2 o , ôc 3 de retenus font 2 3 , dont chaque Unité vaut un pied de toife quarree 5 ôc comme il faut 6 de ces pieds pour faire une toife, je eonfidere combien 6 fe trouve de fois dans 2 3 * ôc comme il y eft 3 , & qu’il refte 5 , je pofe 5 au rang des pieds, 6c je retiens 3 ÿ qui font •autant de toifes qüarrées, que j’ajoute avec le produit de 1 o par 5 , pour avoir 5 3 : ainfi l’operation étant faite> on trouvera 5 3 toifes 5 pieds 4 pouces.
  - Pour multiplier 6 a toifes, 3 pieds, 5) pouces, par 8 4 toifes, je remarque que le nombre 84 étant eonfidera-ble, la mémoire feroit fatiguée en multipliant les pieds ôc les pouces, comme dans loperation précédente 5 car d’aller dire 84 fois p > on napperçoit pas d’abord combien
  - toifes.
  - IO.
  - 5-
  - fieds•
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  - 5 3* 5* 4°
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- - fg'o t Notf vsXü Coif k s
  - ce produit doit donner de pouces j & fuppofé qu’on le fçache à l’inflant, l’on trouveroit encore un autre embarras, en cherchant combien ce produit contient de pieds , à moins qu’on ne fade une divifion par i z 5 8c ceci fe rencontrera non feulement à l’égard des pouces, mais encore pour les pieds, les lignes 8c les points. Or pour éviter les difficultez que pourroit donner un pareil calcul , on agit d’une façon fort fimplc pour multiplier les pieds, les pouces , les lignes & les points de la première di-inenfion , quand le nombre de toifes de la fécondé eft compofé de plus d’une figure. Pour cela il faut commencer par multiplier les entiers par les entiers 3 ainfi je multiplie 6 o par 84 , & j’écris le produit comme à l’ordinaire : enfuice je remarque que fi au lieu de 3 pieds j’avois une toile à multiplier par 84 3 le produit feroit 8 4 toifes ; mais comme 3 pieds ne valent que la moitié d’une toife, la moitié de 84 fera donc le produit de 3 pieds 5 ainfi je dis : La moitié de 8 ell 4, & la moitié de 4 effc 2 , ce qui donne 4 2 pour le produit 3 mais il faut remarquer que dans le tems que je prends la moitié de 84 pour le prodiiit.de 3 pieds, j’agis comme fi $4 contenoit des toiles quarrées j car pour que 4 duit de deux dimenfions , ou autrem__. . quarrées, il faut que 8 4 foient regardez comme des toiles quarrées.
  - Mais comme il y a encore 9 pouces qui n’ont pas été multipliez j je confidere quel efi: le rapport de 9 pouces avec 3 pieds , de même que j’ai confideré celui de 3 pieds avec la toife. Or comme 3 pieds valent 3 6 pouces, je vois que le rapport de 9 à 3 6 efi: un quart, & que fi le produit de 8 4 par 3 pieds a donné 4 2 toifes, le produit de 9 pouces par 84 ne doit donner que le quart de .$. 2 : je dis donc, le quart de 4 efi: 1 , que je pofe fous le
  - 4i
  - toifes. pieds. podi
  - 60. 3- S>-
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  - toifes foient le p ro-
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- - D E M A T H E M A T I QJJ E. 2 8 r
  - 4, & îe quart de 2 eft o j mais comme 2 toifes valent I2 pieds j n’ayant pu prendre le quart de 2 toifes en nombres entiers, je les réduis en pieds pour en prendre le quart, qui eft 3 3 après quoi je fais l’addition de tous ces produits, afin d’avoir le produit total, qui eft 5 op 2 : toifes & 3 pieds.
  - Pour rendre ce calcul plus familier aux Commençans, voici encore plufieurs exemples des mêmes Réglés, pour multiplier 1 8 toifes 2 pieds 8 pouces par 2 4 toifes, l’on commence.par multiplier les toiles par les toifes, comme à l’ordinaire : après cela il faut confi-derer le rapport de 2 pieds avec la toife j 2c comme 2 pieds en eft le tiers, je prends le tiers de 24 , qui eft 8 3 ôc comme ce font autant de toifes, je les place au rang des toifes.
  - Pour être convaincu que 24 mufti-plié espar 2 pieds, donne 8 toiles, faifons-en la multiplication comme à l’ordinaire, l’on verra que le produit eft 4 8 pieds, c’eft-à-dire, 4 8 petits rectangles, dont chacun a un pied pour bafe , 2c une toife pour hauteur : 2c comme il en faut 6 pour faire une toife quarrée , l’on voit que divifant48 par 6 , le quotient fera Squi eft le même nombre que nous avons trouvé de.l’autre façon.
  - Mais il nous re.fte encore à multiplier 24 toifes par 8 •pouces 3 2c comme cela fe peut faire par le moyen du produit de 2 pieds, jeconfidere le rapport que 2 pieds ont avec 8 pouces., parce que le rapport du produit de 8 pouces avec celui de 2 pieds fera le même que 8 pouces avec .2 pieds. Or comme 2 pieds valent 24 pouces, 2c que 8 en eft le tiers, je prends le tiers du produit de 2 pieds, c’eft-à-dire , le tiers de 8 toifes, en difant. Le tiers de 8 eft 2, il relie 2 toiles, qui valent 1 2 pieds , dont le tiers eft 4 pie 1s , que je pôle au rang des pieds j après quoi je fais l’addition de tous les pro .luits peur avo rie total, qui e.ft 44 2 xoiies 4 pieds.
  - Nn
  - toifes. pieds, pou.
  - 18. 2. 8 -
  - 24. O.. O,;
  - 7 2-36 .
  - 8. O. O.
  - 2. 4. O.
  - 442* 4*
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- - 2 8- * Nouvîau Cour s
  - Pour multiplier 3 6 toifes 5 pieds 6 pouces 5? lignes par ' 2 8 toifes, je commence ,. comme a l’ordin lire, à multiplier les toiles par les toifes j enfuite je compare le produit de 5 pieds avec la toife, 8c je vois que c’elt les -£ , 6c. par confèquent il faut pour multiplier 2 S toifes par 5 pieds,prendre les £ de 18 toifes i 6c comme il n’ell pas aiféde prendre cela tout d’un coup, je cherche des parties aiiquotes pour rendre le calcul plus ailé 5 ôc comme 5 eft compolé de 3 6c de 2 , dont 3 elt la moitié' de la toîfe s 8c 2 le tiers, je prends d’abord pour 3 la moitié de 28 s qui eft 14 j enluite pour 2 pieds le tiers , en difant : Le tiers de 2 8 elt 5? 5 6ccomme il relie une toife, j’en prends encore le tiers , qui elt 2 pieds.
  - Pour multiplier les 6 pouces , j’ai recours au produit, de 2 pieds, qui paroît le plus commode , parce que 6 pouces elt le quart de 2 pieds, puifque 2 pieds valent 24 pouces ; ainfi le produit de 6 pouces fera le quart de celui de 2. pieds 5 6c comme ce produit eft 5> toifes 2 pieds , je dis : Le quart de 5) eft 2 , il refte une toife , qui vaut 6 pieds, lef-quels étant ajoutez avec les 2 pieds qui relient, font S pieds, dont le quart eft 2 yainfile produit de 6 pouces elt 2 toifes 2 pieds.
  - Comme il refte encore lignes, qui n’ont pas été multipliées , je cherche le rapport de 5? lignes avec 6 pouces. Or comme 6 pouces valent 7 2 lignes, 6c que 5? lignes en. font la huitième partie, le produit de 9 lignes fera donc la huitième partie de celui, de 6 pouces, je dis donc : La huitième partie de 2 eft o , mais ce font 2 toifes qui valent 1 2 pieds,aufquels ajoutant 2 pieds qui relient, on aura 14, dont la huitième partie elt un pied, il refte 6 pieds, que je réduis en pouces pour avoir 72. pouces,.
  - toifes. -pieds, pouces.
  - 36. 5. 6. 9.1
  - 28. O. o. O »?
  - 288.
  - 72.
  - 14. O. o.. o.
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  - 2. 2. O. O*
  - o. 1 . 9 .
  - 1033. 5 * 9. 0„r
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- - toifes. I 2 . 18. pieds. O . O . pou. 9 . O.
  - 96 .
  - I 2 .
  - P • 0.
  - I . 3 • O .
  - O . 4- 6 „
  - 2 1.8 . I . 6.
  - de Mathématique. 283
  - dont la huitième partie eft 9, que je pofe au rang des pouces5 après quoi je fais l’addition,qui donne 1033 toifes 5 pieds 9 pouces pour le produit total.
  - Pour multiplier 1 2 toifes 5? pouces par 1 8 toifes, je •fais la multiplication des toifes comme à l’ordinaire j en-fuite pour multiplier 1 8 toifes par 51 pouces, je cherche le rapport de 9 pouces avec la toife, & je trouve qu’ils en font la huitième partie, puifqu’une toife vaut 7 2 pouces j mais comme il le peut rencontrer une quantité de nombres, comme 7,11,
  - 1 o, où ce rapport ne le fera pas ap-percevoir aifément , il vaut mieux faire une faillie pofition , c’eft-à-dire, fuppoler le produit d’un pied. Faifant donc comme s’il y avoir un pied à la place du zéro, je multiplie cepiedlup-pofé par 1 8 toifes j & comme un pied efl la lixiéme partie de la toife , je prends la lixiéme partie de 1 8 , qui efl:
  - 3 toifes , que je pofe au rang des toifes, ayant loin de couper le 3 par un trait de plume, pour faire voir qu’il ne doit point être compris dans l’addition. Cela polé, jecher-che le rapport de 9 pouces avec un pied, qui eft les 7 : je prends donc d’abord pour 6 pouces, qui elt la moitié 5 ainli je dis : La moitié de 3 eft 1 , il refie une toile , qui vaut 6 pieds, dont la moitié efl: 3 : enluite je prends la moitié de çe produit pour 3 pouces, en dilant : La moitié d’un n’eft rien, mais c’eft une toife , qui vaut 6 pieds, lef-.quels étant joints avec les 3 pieds qui relient , font 9 pieds , dont la moitié efl: 4 pieds 6 pouces, que j’additionne avec les autres produits, &: il vient 21.S toifes un pied 6 pouces pour le produit total.
  - Pour multiplier 24 toifes 2 pieds 6 lignes par 52 toi-des,il faut après avoir multiplié les toifes par les toifes, .chercher le rapport de 2 pieds avec la toife j & comme ,c’efl: le tiers, on prendra donc le tiers de -5 2 , qui eft 1 7 toifes .2 pieds. Comme il relie 6 lignes à multiplier par 5 2
  - Nnij
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- - 184 Nouveau Cours
  - toifes, il n’efl pas aifé de voir le rapport de 6 lignes avec' 2. pieds 5l’on auroit bien plus de facilité, fi l’on avoit le produit de quelque pouce : cependant comme il n’y a pas de pouces dans la première dimenfion, il faut fe donner un produit fuppofe d’un pouce 5 8c comme un pouce eft la vingt-quatrième partie de 2 pieds, je m’apperçois qu’il n’ell pas encore aifé de prendre la vingt-quatrième partie de 1 7 toifes 2 pieds : c’elt pourquoi j’en prends la moitié pour avoir le produit d’un pied feulement , qui fera 8 toifes 4 pieds. Ayant pofé ces nombres à leurs places ordinaires, je les coupe par un trait de plume, pour qu’ils ne foienc pas compris dans l’addition : après cela je confidere qu’un pouce étant la douzième partie d’un pied , fi je prends la douzième de 8 toifes 4 pieds, j’aurai 4 pieds 4 ponces pour le produit d’1111 pied : après quoi je barre ces deux nombres , parce qu’ils compofent un produit, fuppofe. Or comme 6 lignes font la moitié d’unpied, il n’y a donc qua prendre la mob tiède 4 pieds 4 pouces, qui eft 1 pieds 2 pouces, pour avoir le.produit de 6 lignes: fi l’on fait l’addition de tous les produits , l’on aura 1 2 6 5 toifes 4 pieds 2 pouces pour le produit total..
  - Si l’on avoit eu a multiplier 24 toifes 6 lignes par 52 toifes, .& que dans la première dimenfion il n’y eut eu ni pieds ni pouces, comme on le fuppofe ici, il auroit fallu pour trouver le produit de 6 lignes, fuppofer celui d'ua pied j enfuite celui d’un pouce , pour avoir celui de 6 lignes , qui fera la moitié de celui d’un pouce.
  - toifes. 24. 5 2 . pieds. 2 . O. ponces. O . O . 6„v 0.)
  - 48.
  - I 20 .
  - 17. 2 0 0,,
  - Z. # O . 0 ».
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  - 0. 2 * 2 . 0.,
  - 1265 4. 2 . 0,1
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- - DE Mat HE MATI C^J E.
  - 2' 8 4?
  - ¥
  - CHAPITRE IL
  - Ou F on donne la maniéré de multiplier deux dimen** fions y dont chacune ep composée de tcijes y pieds s, pouces 9. C^cv
  - 5 54- \T Ous avons affecté de ne pas mettre des pieds,
  - pouces , & des lignes dans la fécondé di-menfion aes multiplications que l’on a faites dans le Chapitre précèdent 3 afin de rendre les operations plus fim-ples : mais comme il arrive prefque toujours que s’il y a des pieds, des pouces dans la première dimenfion , il y enaauffi dans la fécondé. Voici la maniéré de multiplier les parties de toifesqui peuvent fe rencontrer dans l’une dans l’autre.
  - Pour multiplier 15 toifes 4 pieds 8 pouces 7 lignes par
  - 6 toifes 3 pieds 6 pouces 3 je confidere que le nombre des toifes de la fécondé dimenfion étant exprimé par un* chifre feulement, je puis faire la multiplication de toute la première dimenfion par 6 toifes par un calcul de mémoire y comme on l’a fait au commencement du Chapitre précèdent : ainfi faifant abitraction pour un moment des 3 pieds 6 pouces de la fécondé dimenfion , je commence par multip'ier les plus petites parties delà première dimenfion par 6 toifes j en difant : 6 fois 7 font 4 2 lignes j qui valent 3 pouces 6 lignes. Ayant poié 6 lignes en leur place , je retiens 3 pouces j je dis en fuite : 6 fois 8 font 48, &: 3 de retenus font 51 pouces, qui valent 4 pieds 3, pouces ; je pofe?^ pouces 3 & retiens 4 pieds je viens
  - Nniij,
  - toifes- pieds- poucest lignes, poti
  - 15. 4- 8. 7. o..}
  - 6. 3. 6. o- o »;
  - 94- 4. 3.. 6. o..
  - 7. 5» 4. 3. 6,
  - I . I . 10 . 8 . 7 o-
  - 103 . 5 . 6 „ 6i„f
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- - £ S G N O U V E A U Cou R: s
  - à ^multiplication des pieds, en difant : 6 fois 4 font 24, & 4 de retenus font 2 8 pieds, qui valent 4 toifes 4 pieds; je pofe 4 pieds 5 6c retiens 4 toifes, que j’ajoute au produit de 1 5 toifes par 6 pour avoir 574: a in fi le produit de 6 toifes^par la première dimenfion eif 5)4 toifes4 pieds 3 pouces’ G lignes , qui elt une quanticé qui contient autant de fois la première dimenfion, qu’il.y ad’unitez datas le nombre 6.
  - Prefentement je confidere que puifque chaque toife du nombre 6 a donné pour fon produit une quantité femblable à celle de la première dimenfion, fi j’ai à multiplier cette première dimenfion par des parties de la toi-de , il faut que le produit ait même rapport avec celui de la toife par la première dimenfion , que fes parties avec la toife même. Cela polé ,, comme la première di-meufion doit être multipliée encore par 3 pieds, je confidere que 3 pieds étant la moitié de là toile, que le produit de 3 pieds fera la moitié de la,première dimenfion., qui eif fiippofée dans ce cas avoir été multipliée par la toife 5 a in fi je dis : la moitié de 1 5 eif -7 , il relie une toife qui vaut 6 pieds, qui étant ajoutez avec 4 pieds font 19 •pieds, dont la moitié eif .5 5 je.dis enfuite : La moitié de 8 elt 4, 6: la moitié.de 7 lignes eif 3 iignes.,6 points.
  - Comme il nous reife encore 6 pouces à multiplier ;, je confidere que 6 pouces étant la fixiéme partie de 3 pieds, le produit'de 6 pouces fera la fixiéme partie de celui de 3 pieds i ainfi .je prends la fixiéme partie de ce produit, qui donne une toile 1 pied 10 pouces 8 lignes 7 points, qui étant ajoutez avec le refte , il vient 1 o 3 toifes 5 pieds <ë polices 6 lignes 1 point pour le produit total.
  - Pour multiplier 6 È toifes 3 pieds 4 pouces 5) lignes par toifes 4 pieds.9 pouces, je commence par multiplier la première dimenfion par 3? , le produit donne 6 1 7 toi-:fes 6 pouces 5? dignes -..enfuite je.confidere que 4 pieds dont les deux tiers de la toife j ainfi je prends deux fois le tiers, pour avoir moins d’embarras , c’eft-à-dire , je prends chaque fois pour deux pieds , en difant : Le tiers
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- - de Ma themat i qj:e. 2 S7
  - de 6 ell 2 , le tiers de 8 ell encore 2 , & il relie 2 toiles, qui valent 1 2 pieds, qui étant ajoutez avec les 3 pie ds quilont fur la droite, font 1 5 , dont le tiers elt 5. Après cela le tiers de 4 elt 1 , ëc il relie un pouce , qui vaut 1 2 lignes, qui étant ajoutées avec 5? , font 11 lignes , dont le tiers elt 7 5 ainfi le produit de 2 pieds étant 2 2 toifes 5 pieds 1 pouce 7 lignes, j’écris encore une fécondé fois ce produit, afin que les deux faflènt celui de 4 pieds j & comme il y a encore 5? pouces à multiplier, je prends feulement pour G pouces le quart du produit de 2 pieds, en difant : Le quart de 2 2 ell 5 , il relie z , qui valent 1 2 pieds, &. 5 font 1 7 , dont le quart elt 4, il relie 1 pied, qui vaut 1 2 pouces ,dont le quart ell 3 , il relie encore 1 pouce, qui vaut 1 2 lignes, & 7 font 1 5? v dont le quart ell 4 : enfin il relie 3 lignes, qui valent 3 G points , dont le quart ell 51 points j de lorte que le produit de 6 pouces elt 5 toiles 4 pieds 3 pouces 4 lignes 5? points» Mais comme je dois avoir ie produit de 5? pouces, &; que je n’ai encore que celui de 6 , je prends pour le produit de 3 pouces la moitié de celui de G pouces, qui elt 2 toifes 5 pieds 1 pouce 8 lignes 4 points &demi: après quoi je fais l’addition de tous ces produits, qui font enfemble Gji toiles 2 pieds 3 pouces 1 point & demi.
  - Pour multiplier 1 2 toifes 5 pieds G pouces 4 lignes par G toifes 4 pouces 8 lignes-, je commence, comme à l’ordinaire , par multiplier la première dimenlion par G toifes 3 après quoi-je remarque que comme il n’y a point de pieds dans la leconde dimenlion , il n’ell pas aile de trouver le produit de 4 pouces., fans faire une faufle po-iition 3 c’elt pourquoi je fuppofe le produit d’un pied , en? prenant la fixiéme partie de la première dimenfion, quf
  - tstfes, -pieds- pouces• lignes. points*
  - 68. 3. 4- 9. o.
  - 9. 4 • 9 . o . o.
  - 617. o. 6. 9 „ o
  - •2 2. 5. I. 7. O..;
  - 2 2° 5. 1. 7- O.:
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  - 671. 2. 3- o » i.i
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- - :i§:S Nouveaü Cour s
  - <eft z toifes .1 i pouces 8 points, dont j’ai foin de barrer les chifres ; & comme 4 -pouces efl; le tiers d’un pied, je prends le tiers du produit d’un pied , qui eft 4 pieds 3 pouces 8 lignes z points -ôc deux tiers j & comme il y a encore 8 lignes à multiplier , je vois ’cjue 8 lignes étant la fixié-.nie partie de 4 pouces ( puifque 4 pouces valent 48 lignes ) le produit de 8 lignes fera la fixiéme partie de -celui de 4 pouces : après avoir pris cette fixiéme partie., qui elt 8 pouces 7 lignes 4 points 6c 4 neuvièmes, j’additionne le tout pour avoir le produit total, qui efl; 7 S toifes 1 pieds z pouces 3 lignes 7 points |.
  - Pour multiplier 40 toifes 3 pieds 6 pouces 8 lignes par Z4 toifes3^ pieds 8 pouces , je commence par multiplier .les toifes par les toifes, au lieu de multiplier d’abord les dignes , des pouces & les pieds de la première dimen-.fion, à caufe qu’il y a plus d’une figure dans le nombre .des toifes de la fécondé dimenfion j enfuite j’agis comme j’ai fait dans le Chapitre precedent, en prenant pour 3 :pieds la moitié de Z4, qui efl: 1 z , n ayant égard qu’aux -nombres .entiers de la fécondé dimenfion.i ainfi je fais .abflxaélion de 5 pieds & de S pouces, qui s’y trouvent, parce qu’il n’efl: pas encore tems de les multiplier. Ayant donc trouvé le produit de .3 pieds , qui eft iz toifes , je confidere que les 6 pouces qui font dans la première di-menfion, étant la fixiéme partie de 3 pieds, c’ell-à-dire, la fixiéme partie de 1 z , qui efl; z 5 & ayant encore 8 lignes de la première dimenfion à multiplier, je voi-j que 6 pouces valant 7 z lignes, les 8 lignes en font la neuvième partie, par conlequent le produit de.ces S lignes fera :1a neuvième partie du produit de 6 pouces. Or comme le produit de .6 pouces ell z toifes , je dis : La neuvième
  - partie
  - toifes. pieds, ponces, lignes, points*
  - 11. 5 . 6. 4. o«j
  - 6. o. 4. 8 . O,,
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  - 7 8,. 2. 2. 3- 7 •J
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- - ieifet. 40. fiedt. 3. S- ftuces. lignes, 6 . 8 . 8 . O » ftintfi O. O
  - I60.:
  - 80.
  - 12..' O.; 0.1 0. O.T
  - 2. O. O. 0. 0.|
  - O., I,. 4* 0. O.J
  - 20. I. 9. 4. O.;
  - 13 - 3... 2. 2. 8 •
  - 4. 3. 0.. 8 . xo.f
  - .012. 3 v 4.i 3* 6-ï
  - D E M A TH EM A T I QJJ é; ' ;i ff$
  - partie de 2 n’cft rien , mais ce font 2. toifes, qui valent 12 pieds, dont la neuvième partie eft 1 pied , & il en refte 3 , qui valent y6 jpouces, dont la neuvième partie eft 4, que je place au râng des pouces.
  - Jufqu’icinous n’avons ,fait que multiplier la
  - Î>remiere dimenlion par es 14 toifes qui font dans la fécondé : mais Comme ces 2 4 toifes font accompagnées de 5 pieds 8 pouces, il faut, comme dans les operations précédentes, chercher le produit de ces deux quantitez > ainfi je conlidere que 5 pieds valent 3 & 2 , c’eft-à-dire, la moitié & le tiers de la tôife : je prends donc pour .3 pieds la moitié de toutes les quantitez qui fe trouvent dans la première dimenlion, & pour 2 pieds le tiers de ces mêmes quantitez. Or comme ce dernier produit eft ce--lui de 2 pieds, je remarque que 8 pouces étant le tiers .de 2 pieds ,1e produit de .8 pouces fera le tiers de celui de ,2 pieds. Ayant donc pris le tiers de ce produit, je l'additionne avec les autres, pour avojr le produit total, qui eft .1 012 toifes 3 pieds 4 pouces 3 lignes 6 points j.
  - Pour multiplier y 6 toiles 3 pou ces-5) lignes par 5 o toifes 8 lignes, je multiplie les toifes par les toifes , comme à l’ordinaire > enfuite pour trouver le produit de 3 pouces, je vois que j’ai befoin de fuppoler celui d’un pied: ainli je prends la fixiéme partie de 5 o toifes, qui eft 8 toifes .2 pieds j & comme 3 pouces font le quart d’un pied , je prends le quart de 8 toiles 2 pieds, qui eft 2 toiles 6 pouces : après cela je cherche le produit de 9 lignes, .en confiderant que 5) lignes étant le quart de 3 pouces, gui valent 3 6 lignes, le quart du produit de 3 pouces
  - Oo
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- - '2.5>d , Nouveau Cours'
  - fera par confeq uent celui de 5? lignes, je prends donc ter quart de 2 toifes 6 pouces , qui-elt 3 pieds 1 pouce. 6 lignes.
  - Après^cela je vois que j’ai S lignes dans la fécondé di-mention , & que n ayant ni pieds ni pouces dans cette di-mention, il faut neceiTairement fuppofer des faux produite pour trouver celui de 8 lignes. Je cherche donc d’abord' celui d’un pied, en prenant la iixiéme partie des quan-titez qui compofentda première dimention,.& je trouve 6 toifes- 7 lignes & 6 points : mais-comme le rapport de-8 lignes à un piedeft encore trop grand, pour ne point fatiguer la mémoire., je prends la.douzième-partie ae ce. produit , qui efl: 3 pieds 7 points &; demi pour le produit d’un pouce 3 & comme 8 lignes font les deux tiers d’uii pouce , je prends pour leur produit les deux tiers de celui d’un pouce, lequel ayant été additionné, donne poun le produit total 1 8 0 2 toifes 5 pieds 7 pouces 6 lignes &>. 5 points.
  - toifes-. pieds, pouces, lignes, points.
  - 36.0.3. 9. O.
  - 50. O. O. 8. O.
  - 1800.
  - #. ar. o. o. o. 2. o. 6. o. o*.
  - o.. 3. 1. 6. ooi-
  - f. o#. o. i}, $.
  - o. o. o. 'ÿ.f:
  - o. I. O. O. 2.i
  - Oo I. O. O. 2.-
  - s - -
  - ï 802,3 57 c; 60 5.61
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- - Ds Mathematiije
  - CHAPITRE III.
  - 0« A?» donne la maniéré de multiplier trois àimenr* fions exprimées en toifes,pieds, pouces, &c.
  - 5 S 5. T E, calcul que l’on a enfeigné dans les deux’ Chapitres! précedens , ne convient qu’aux fuperficies, parce que nous n’y avons fuppofé que deux dimen fions j il eft vrai que le calcul de trois dimensions ne différé pas beaucoup de celui-ci, puifque pour en avoir le produit, il ne faut que multiplier celui des deux premières dimenfions par la troifiéme : mais comme le produit de trois dimenfions donne non feulement des toiles cubes, mais aufii des pieds, des pouces, & des lignes de toife cube. Voici l’idée qu’il faut avoir de ces differentes parties.
  - ‘Nous avons dit que la toife cube étoit compofée de 216 pieds cubes j mais dans le calcul on ne sembarrafle point de ces fortes de pieds j car on entend par un pied de toife cube la fixiéme partie de la même toife , qui eft ( fi l’on veut ) de 3 6 pieds cubes.., qui font un parallelepipede EAFGHID , qui a pour bafe une toife quarrée EAHD,.& pour hauteur la ligne HG d’un pied: déformé que ce folide eft la fixiéme partie du corps EABC, qui Fig. 21p. eft une toife cube. On confiderera de même que lepou-çe.de toife cube eft un parallelepipede, qui a une toife quarrée pour bafe fur un pouce de hauteur, & qu’une ligne de toife cube eft un parallelepipede , qui a pour bafe une toife quarrée, &, une ligne pour hauteur : ainfi des autres parties.
  - 5 5 6. Il luit de cette définition que 1 2 dignes de toife cube font un pouce de la même toife 5 que 1 2 pouces font pied., &que 6 pieds font une toile cube j puifque tous ces.folides ont pour bafe une toife quarrée, & des Jeteurs ., qui étant jointes .enfemble, peuvent donner
  - O o ij
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- - %f i N ou ve au G b u a r
  - des toifes cubes , ou des parties de toifes cubes, comme;
  - on le va voir dans les operations fuivantes. -
  - Pour multiplier trois dimen fions, dont la prémiere eft de 8 toifes i pieds 4 pouces 3 la fécondé 6 toifes 4 pied* 8 pouces5 &la troifiéme 5 toifes 3 :pieds 6 pouces: il faut commencer par multiplier là fécondé dimen fi on par la première le produit fera 5 6 toifes 5 pieds 1 pouce $ lignes 4 points, qu’il faut enfuite multiplier par latroi-fîéme dimenfion, agiifant comme dans les réglés dés Chapitres précedens, c’eft-à-aire, qu’il faut faire com--me fi le produit des deux premières dimenfions ne faifoit qu’une dimen fion.
  - Je dis donc : 5 fors 4 font 2 0, qui font autant de joints de toife cube, c’eft-a-dire , que ce font autant de petits parallèle--pipedes, qui ont pour baie une toife quarrée , & pour hauteur un point.
  - Car fi l’on fait, attention que chaque unité du nombre 4 eft un-petit parallélogramme,qui a pour bafe un point , & pour hauteur une toife 3 puif-que ce font des points de toife quarrée*, l’on verra que multipliant ce parallélogramme par une ou pliifieurs toifes, qivils feront changez en parallelepipedes qui auront-deux dimenfions d’une toile, qui font enfemble une toife quarrée 3 ce qui répond à la définition. De même fi l’on multiplie 5) lignes de toife quarrée par des toifes, l’on aura encore des petits parallelepipedes, qui auront pour baie une toife quarrçe., & pour hauteur une ligne 5 puifque l’on aura
  - toi/eS. pieds. fouets. lignes, pointÜ
  - 8 . 2. 4. O. O-j
  - 6. 4. 8. O. 0.1-
  - 5 . 3 • 6. 0. 0.
  - S. 2 4. O. 0./
  - 6. 4. 8 . O. . ° •!
  - 5 O.- 2. O. O.' O.j-
  - • .2 . - 4. 9. 4.' 0.!-
  - 2.- 4. 5T. 4- O.!
  - 5. 7. 1. 4 »|-
  - 56 •- 5 . I . 9. 4*r
  - 5. 3. 6. ' 0. 0.;
  - 284- I . 8.- IO. 8
  - 28 . 2. 6 . IO. 8.
  - 4. 4. 5. I . 9-î
  - 3 17. 2 . 8. lit ‘•T
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- - DE' M AT I-IE A fl QJJ E. 2«?3
  - multiplié par des toiles les reclangies, qui ont une de leurs dimeniions, qui vaut une toile > il en lera ainfi des pouces 6c des pieds : à l’egard des toiles, il n’y a point de doute que multipliant des toiles quarrées par des toifes courantes , le produit ne donne que des toifes cubes.
  - Ainfi multipliant 56 toiles 5 pieds 1 pouce 9 lignes 4= points de toile quarrée par 5 toiles courantes, le produit fera 184. toiles 1 pied 8 pouces 10 lignes 8 points de toife cube..
  - Or comme 5 G toiles 5 pieds r pouce 9 lignes 4 points-étant multipliez par une toife , donneront des toifes êc des parties de toife cube, qui feront toujours exprimées parles mêmes nombres qui lont ici , celt-à-dire , par 5 G toifes 5 pieds, &c. Si l’on fuppole que cette multiplication a été faite, la moitié dé cette quantité fera donc le produit de 3 pieds 5 ainli comme il y a 3 pieds dans la leconde dimenlion, je prends la moitié de cette quantité, qui fera 2 8 toiles 2 pieds G pouces 10 lignes 8 points, que je regarde comme des toifes 6c des parties de toife cube, qui compofent le produit de 3 pieds.
  - Enfin comme il y a encore G pouces dans la tfoilîéme dimenfion , je confidere que G pouces étant la fixiéme partie de - 3 pieds, le produit de 6 pouces fera la fixiéme partie de celui de 3 pieds : ainfi prenant la fixiéme partie de ce produit, l’on aura 4 toifes 4 pieds 5 pouces une ligne 9 points 6c un tiers pour le produit de G pouces, qui étant ajoutez avec les autres, donneront le produit total de 317'toiies 2 pieds 8 pouces 1 r-lignes 1 point & un tiers.
  - Pour multiplier trois dimenfions, dont la première ell î '5 toifes 5 pieds 3 pouces 5 la leconde 2 toifes 3 pieds 9 pouces, 6c la troifiéme G toifes 2 pieds G pouces, je multiplie, comme ci-devant, les deux premières dimen-fions l’une par l’autre pour avoir leur produit , qui elf ï 3 G toifes 5 pieds G pouces 4 lignes G points j 6c comme ce produit donne des toifes &• des parties de toifes quar-^
  - Ooiiÿ.,
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- - £ £4 . ’N O U V E A U C O U R s
  - .rées, je multiplie encore le tout par la troilîéme dimension , c’eft-à-dire , par 6 toifes 2 pieds 6 pouces , & le .produit donne 878 toifes .3 pieds 5 pouces 10 ligne# -ï o points & demi.
  - . toifes. pieds- pouees. lignes. points.
  - 15 . 5- 3 -, O . O.;
  - 8 . 3. 9- O.; 0.:
  - 6. 2. 6 . O. O..
  - 15 . 5 . 3 . Q. C«i
  - 8 . 3 . 9. O. O .!
  - I27. O. O. 0. 0.1
  - 7. 5 .1 7. 6. O.i
  - I . 5. IO „ 10. 6.,
  - 1360 5. 6. 4.
  - 6. 2 . 6. 0. 0.1
  - 821 . 3,. 2 . 3 . o..
  - 45 . 3 . IO, I . 6.
  - 11. 2 . 5. 6. 4*1
  - 878 . 3.» 10. Hi* 0 M
  - Pour multiplier trois dimensions, dont la première e$ 4 toifes 2 pieds -5 pouces j la fécondé 3 toiles 1 pied 6 pouces ; -&la troifiéme 5 pieds 4 pouces , je commence par multiplier les deux premières dimen fions, dont le produit ell 14 toifes 1 pied 1 o pouces 3 lignes : enfuite je multiplie ce produit.par ,5 pieds 4 pouces i 8t comme il n’y a poinc de. toifes dans la troifiéme dimenlion, je pofe tin zéro en leur place', & je multiplie , par 5 pieds 4 pouces , commençant par prendre pour 5 pieds la moitié de 14 toifes 1 pied, &c. enfuite je prends pour 2 pieds le tiers de la même quantité,.& le produit donne 4 ,toi%
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- - DTMaTHFMATI Qü"e. T><yjr
  - 4'piëds 7 'pt>uces 5 lignes, dont je prends la-fi-xiéme partie pour le produit de 4 pouces, pirce que 4 pouces eil
  - autres pour avoir 1 z. toifes 4.pieds 5 pouces 9
  - points j ce qui elt le produit total.
  - toifes. pieds. pouces. lignes. points.
  - 4- 2 . 5 • O a 0-
  - 3 . I . 6 . O . o0-
  - 0, 5 • - 4 0. 0.,
  - 4 2.. 5 . O. 0.
  - 3 . ï • 6. P . Oo;
  - 13 I 3. 0 O 8 ]
  - 4. 4. 10. O’»,
  - 2 . - 2 . 5 » O.J-
  - 14. I » 10’. 3 •» O a :
  - 0, 5. 4* o«. O 0,
  - 7. O. 11 . 1. 6m]
  - 4v 4. 7. 5 . o.?
  - 0. 4- ' 9 • 2. - 10.
  - U., 4» 3 • 9 . 4.1
  - Pour multiplier trois dimenfions, dont la première effc
  - 5 pieds 9 pouces G lignes > la fécondé 3 pieds G pouces 5
  - 6 la troifiéme 4 pieds 8 pouces G lignes , je range lesr deux premières dimenfions l’une fur l’autre-, en mettant des zéros à la place des toifes 3. en fuite comme il fe trouve 3 pieds dans la fécondé dimenfion, je prends la moitié des termes de la première dimenfion , pour avoir 1& produit de 3 pieds j & comme il y a encore G pouces, qui valent la fixiéme partie de 3 pieds, je prends pour le produit de G pouces la fixiéme partie du produit de 3 pieds>-Sé raddition étant faite, il vient 3 pieds 4 pouces 6 lignes
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- - i 'No U VE AU Co UrR-S
  - 6 points pour le produit des deux premières dfmenlîons, que je multiplie enfuite par la troiiiéme, qui eft, comme nous l’avons dit, compofée de 4 pouces 8 lignes 6 points s
  - teifes. fiais. fouces- lignes. feints.
  - O. 5. 9v 6. 0.
  - O. 3 • 6. O . O „
  - O O 4 « 8.- 6. O.
  - '0. S 0 9. 6. Gcl
  - 0. 3 • 6. 0 . O.l
  - 0. 2. 10. 9. O.î
  - 0. 0, 5. 9- <5,.*
  - 0„ 3. 4. 6. 6«i
  - 0. 4. 8 . 6. °“f
  - O. I « I . 6 . 2 .!
  - O. I . I . 6.. 2 .
  - 0 0 0. 4 » 6. °.i
  - 0 . O . t. x. .f- f
  - 0. 0 „ O*- 3 . 4--,-T
  - 0. 2 y 7. 9- 9.. ^
  - ainfi je commence par prendre deux fois le tiers de ce produit, pour avoir celui de 4 pieds: & comme celui de ,2 pieds eft 1 pied 1 pouce 6 lignes 2 points, je confide-re que 8 pouces étant le tiers de 2 pieds , le produit de S pouces lera le tiers de celui de 2 pieds, qui donne 4
  - Ïtouces 6 lignes & ~ de points : mais nous avons encore 6 ignés dans la troifiéme dimenfion, dont le rapport étant .un peu éloigné de 8 pouces , je trouve qu’il eft moins embarraftant de faire un faux produit * de comme celui ,de 2 pouces conviendrait .fort, parce qu’on n’auroit qu’à prendre, le quart pour avoir celui de 6 lignes : je prends donc le quart du produit de S pouces, pour avoir celui
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- - DE Mathemati (VU ï. 2^7
  - jde 2 pouces, qui eft i pouce une ligne 6 points & J, donc je coupe les figures? & prenant le quart de ce produit, il vient 3 lignes 4 points & ~ pour le produit de 6 lignes :
  - 6 comme il ne refie plus rien a multiplier,je fais l’addition de tous les produits pour avoir le total, qui efi 2 pieds
  - 7 pouces 51 lignes points & 7 de points cubes.
  - AVERT I S S EMEN T.
  - 5 5 6. Comme les preuves de toutes les Réglés d’Aritlimé-tique fe font par des Réglés contraires ., il femble que la meilleure preuve que Ion puifie donner du calcul du Toi-fé,feroit qu’après avoir multiplié deux dimenfions, l’on divisât le produit par la première dimenfion pour avoir la fécondé au quotient, ou bien divifer par la fécondé pour avoir la première j il y en a qui pratiquent cette preuve j mais ils font obligez de réduire tous les termes du produit en leur moindre efpece , aufii-bien qu’une des dimenfions , c’eft-à-dire, que fi l’on a réduit le produit en lignes, qu’il faut aiifii réduire une des dimenfions en lignes : après cela on fait une divifion, dont 011 réduit le quotient en toifes , en pieds , &c. pour avoir l’autre dimenfion.» mais comme cette preuve demande beaucoup d'operations , en voici une beaucoup plus fimple.
  - Après que l’on a trouvé le produit des deux dimenfions, pour voir fi l’operation efi jufie, l’on prend la moitié de
  - par rautre , sc n vient un îecond. produit, qui égal au premier. Par exemple , pour fçavoir fi le produit de 6 toifes 5 pieds 4 pouces _par 4 toiles 2 pieds 6 pouces , qui eft 3 o toifes 2 pieds 6 pouces 8 lignes, efi; bon j il faut prendre la moitié de la première dimenfion pour avoir 3 toifes 2 pieds 8 pouces ., & doubler la leconde, qui vaudra 8 toifes 5 pieds : après cela fi l’on multiplie ess deux quantités l’une par l’autre,Ton trouvera que le produit efi encore 3 o toifes 2 pieds 6 pouces 8 lignes j ce qui ne peut arriver autrement, li l’operation efi; bien faite.
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- - N O U y E A U C o U R S'
  - 25 8
  - CHAPITRE IV.
  - Ou l'on donne la maniéré de calculer le Toife de la Charpente,
  - 5 5 7 • J È Toife de la Charpente eft fort different de
  - j: j celui des autres ouvrages, parce que ce Toifé a une mefure particulière , que l’on nomme Solive 9 qui eft une quantité qui contient 3 pieds cubes de bois 5 de forte que fi l’on aunepiece de bois DG, dont la longueur AD foit de 6 pieds, la largeur AB de 1 2 pouces,
  - 6 l’épaifieur BC de 6 pouces, cette piece compofera une aï5* Solive, puifiqu’elle vaut 3 pieds cubes. Or comme la Toife cube vaut 116 pieds cubes, 8c que 216 divifé par 3 donne 72 , il s’enfuit qu’une Solive eft la feptante-deu-xiéme partie d’une Toife cube.
  - La Solive, ainfi que la Toife, eft divifée eu 6 pieds, que Ion nomme pieds de Solive, qui eft une quantité qui a une toife de longueur fur un pied de largeur , & un pouce d’épaifleur : de forte que I^la ligne B G eft la fixié-me partie de la ligne BC, DÀFGBEH fera un
  - pied de Solive, puifqu’il eft la fixiéme partie de DC.
  - Comme un pied de Toife cube vaut 36 pieds cubes, la Solive.en fera donc la douzième partie : & comme un pied de Solive eft la fixiéme partie de la Solive , il s’enfuit qu’un pied de Solive eft la feptante-deuxiéme partie d’un pied de Toife cube, puifqu’il faut 6 pieds de Solive pour faire une Solive., & 12 Solives pour faire un pied de Toife cube^ Comme le pouce de Solive eft la douzième partie du pied de Solive, l’on verra de même qu’il eft la feptante-deuxiéme partie dun pouce de Toife cube.- -il en fera ainfi des lignes & des points.
  - Il fuiede ce qu’on vient de dire que fi l’on a une piece de bois cjui contienne un certain nombre de toifes, de pieds &. de. pouces cubes, pour réduire cette piece en Se-
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- - toifes.
  - Z .
  - 72.
  - pieds, ponces cubesm
  - 3. 6.
  - DE M ATHEM ATI OUI. 299
  - lires , il faut multiplier fa valeur par 7 z , & le produit fera la quantité de Solives contenues dans la piece.
  - Par exemple, fi l’on fuppofe que 2 toifes 3 pieds G pouces cubes foient la valeur d’une piece de bois, je conlidere que chaque toife de cette quantité vaut 7 2 Solives ,, chaque pied 7 2 pieds de Solive, de chaque pouce 7 2 pouces de Solive 3 ainlî Il l’on multiplie 2 toifes 3 pieds 6 pouces cubes par 7 2, on aura a 8 6 Solives.
  - 144-
  - 36.
  - 6.
  - 186 Solives.
  - Pour mefurer une piece de bois , dont la première di-menfion a 4 toifes 5 pieds 5? pouces j la fécondé 1 pied 6 pouces 3 de la troifiéme a pied 3 pouces 3 je multiplie , comme à l’ordinaire, la première dimenhon par la fécondé , & le produit donne une toife un pied cinq pouces trois lignes , que je multiplie par latroi-liéme dimeiifion pour avoir lin pied lix pouces fept lignes un point de demi.
  - Prefentement pour réduire cette quantité .en Solives , je la multiplie par 7 2.
  - Pour cela je prends pour I pied la fixieme partie de 7 2 , qui cft 1 2 , & pour G pouces la moitié du produit d’un pied, qui eft G : de comme il y a 7 lignes, je prends d’abord pour G la douzième partie du produit de G pouces, oui eft 3 .
  - X Ppij
  - toifes pieds pouces lignes. points-
  - 4- 5 • 9 . O . O .
  - I . 6 • O . O .
  - O . 4 • I I . 6 . 0.,
  - O . 2 . 5 - 9 . O .
  - 1 • 1 . 5 . 3 • O .
  - O . 1 . 3 . 0 . 0 .
  - O.. 1 . 2 . 10. 6 .
  - O.. 0. 3 . 8 . 7-1
  - O . I . 6. 7. l-t
  - 7 2.-
  - I 2 . 0. 0. 0.. 0.
  - 6. 0.. 0. O. 0 .•
  - 0. 3 - 0. O. 0.
  - 0. 0. 6 . O. 0.
  - 0. 0. 0. 6 . 0.
  - 0. 0. O. 3 • 0.
  - 18.. 3.. 6. 9- O
  - pieds: enfuite pour une ligne
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- - 300 Nouveau Cours1
  - la fixieme partie du produit précèdent, qui donne 6 pou* ces j ilreite encore un point tk demi j je prends premièrement pour un point la douzième partie de 6 pouces, qui eft 6 lignes. Enfin pour la moitié d’un point la moitié du dernier produit pour avoir 3 dignes 5 après quoi j’addi^ donne le tout,qui donne 1 8 Solives 3 pieds 6 pouces p lignes de Solive , pour la valeur de la piece de bois.
  - Il y a une maniéré de calculer les bois, qui ell bien plus courte que la precedente 5 c’eft de réduire d’abord une des deux dimenfions de l’équarriffage en pouces : en fuite les mettre au rang des toifes , l’autre à là place qu’elle doit occuper naturellement. L’on multiplie.ces deux dimenfions rime par l’autre, comme dans les Réglés précédentes , regardant celle qu’on a mife au rang des toifes comme des toifes mêmes j après quoi on multiplie le produit qui en vient par la longueur de la piece , pour avoir un fécond produit, qui donne le nombre des Solives, des pieds &: des pouces de Solive , qui, font contenues dans la piece.
  - Par exemple, pour calculer la même piece de bois que ci-devant, qui a 1 pied 6 pouces fur 1 pied 3 pouces d equarrifîa-ge , êc 4 toifes 5 pieds 51 pouces de longueur, je réduis une des dimenfions del’équarriffage en pouces , qui fera , par exemple, un pied 6 pouces pour avoir 1 8 pouces, que je mets au rang des toifes , de 1 pied. 3 pouces de l’autre dimenfion à leur place ordinaires en fuite je prends pour 1 pied la fixiéme partie de rS , qui eft 3 :
  - & comme il y a encore 3 pouces, qui font le quart d’un pied , je prends le quart du produit d’un
  - pied, pour avoir celui de 3 pouces , qui eft 4 pieds 6 pouces ; de j’additionne-' le tout pour avoir le produit de.
  - toifes. pieds. pouces. %
  - I 8 . O. 0 . o»,
  - O a I . 3 • 0,1
  - 3 » Oo O. o,|.
  - 4. 6. 0.;
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  - 1 J . 0 . Oo 0,]
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  - 1 S . 3 • 6 . 9»!
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- - DE' Math em a t i qu e, 3 ô 1'
  - 3 toifés 4' pieds 6 pouces, qu’il faut multiplier par îa longueur de la piece, c’ell-à-dire , par 4 toiles 5 pieds ? pouces , 6e l’on aura 18 Solives 3 pieds 6 pouces lignes de Solive.
  - Pour entendre ceci , confinerez' que fi l’on a trois quantitez a, b , c ., à multiplier l’une par l’autre , que le produit fera abc j 6e que fi ce produit doit être multiplié par d, i’on aura abcd : mais li au- lieu de multiplier le produit abc par d,fon multiplioit feulement une des dimenfions 3 comme a par d, l’on- aura ad, bc , dont le produit donne encore abcd j ai-nli ce IP la même choie de multiplier le produit de trois dimenfions par une quantité, ou de multiplier une des dimenfions parla meme quantité, & enfuite ce produit par les autres dimenfions , puif-qu’à la fin l’on trouvera toujours la même chofc pour le produit total.
  - 5 58. Or fi Ion fait attention qu’une toife vaut 72 pouces , l’on verra que mettant un pouce au rang des toiles , c’e11 comme fi on l’avoit multiplié par 72 5 ainiî quand nous avons mis 1 S pouces au rang des toiles , 011 lésa donc multipliez par 72,8c par confequent le produit de cette quantité par les deux autres dimenfions, ell devenu 7 2 fois plus grand qu’il 11’eût été , fi i’on avoit nais les 1 8 pouces à leur place ordinaire 5 ce qui fait voir que le produit doit donner des Solives : car le produit total devient 72 fois plus grand qu'il n’eût été, fi l’on n’a voit pas mis les 1 8 ponces au rang des toiles -, 6c que l’,m eut fait l'operation à 1 ordinaire. Mais pour donner aux Commençans plus de facilité de le lérvir de cette méthode , voici encore quelque exemple fur le même fujet.
  - Pour fçavoir combien il y a de Soli ves dans une piece de bois, qui'a 3 toiles 4-pieds 8 pouces de longueur fur S a 14 pouces d’équarriflage, je pôle 0 pouces au rang des toile», 6e l’autre dimeniion , qui vaut 1 pied 2 pouces , au .rang qu’elle doit occuper 5 6e je dis : La fixiémè partie de S ci! 1 : il refie 2 , qui valent 1 2 , dont la fixit>
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- - 8 . 0. 0. 0 . 0.
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  - 4. 4. 0. 0. O.J
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  - 0. 3 • I . 4. °.J
  - p. I . O. 5 .
  - 5.- 5 • 3 . I •: 4.;
  - Nouveau Cou r -s
  - me partie e fl: î.j & comme il y a encore i pouces, qui font.la iîxiéme partie d’un
  - pied, je prends pour 1 pou-toifes. pieds, pouces, lignes, points, ces la iîxiéme partie du produit d’un pied pour avoir i pied 4 pouces , & le ^produit total eit une toile 3 pieds 4 pouces, que je multiplie par ,1a longueur, c’eft-à-dire, par .3 toifes 4 pieds 8 pouces, & le produit donne 5 Solives 5 •pieds 3 pouces une ligne 4 points de Soli ve pour la valeur de la piece.
  - L’on peut remarquer que ce n’elt pas une neèdfité ab-folue de.commencer par multiplier les deux dimenfions de l’équarriflage l’une par l’autre: car fi l’on veut, iln’y a qu a multiplier la longueur par la dimenfion de l’équarriflage, qui doit être mife au rang des toifes: ainfi pour -avoir la valeur de la piece de bois precedente,je prends pour première dimenfion la longueur, qui eft 3 toifes 4 pieds 8 pouces ; & fuppolant que 8 poucesde 1 equarrifia-ge valent 8 toifes, je les pofe pour fécondé dimenfion, 6e la multiplication e'tant faite, il vient 3 o toiles 1 pied 4 pouces , qui étant multipliez par 1 pied 2. pouces, donnent encore 5 Solives 5 pieds 3 pouces une.ligne 4 points d@ Solive.
  - Pour calculer la valeur d’une piece de bois, qui a 3 toifes 4 pieds de longueur fur 1 o à 5) pouces 6 lignes d’e'~ quarriflage, je prends la plus fimple de deux dimenfions
  - toifes. pieds. pouces. lignes. pointsi
  - 3 • 4 • 8 . 0. O ».
  - 8 . O. O» 0. 0.|
  - 30. I . 4 • 0. O.i
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  - O. 5 . 0. 5 • 4 •!
  - 5. 5. 3- 1 • 4.]
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- - de Mathemati q_u e. 303
  - de l’équarriffage, c’eft-à-dire, celle qui eft compoféedes pouces feulement j pour la mettre au rang des toifes: ainfi ayant pris 1 o pour la première dimenfion, je la multiplie par la longueur de la piece , ou par l’autre dimension de l’équarriffage 5 car il eft indiffèrent de multiplier d’abord par l’un ou l’autre de ces quantitez, comme on l’a déjà dit : ainfi je multiplie 1 o par 3 toifes 4 pieds pour avoir le produit , qui eft 3 6 toifes 4 pieds , que je multiplie enfuite par 5) pouces 6 lignes, &c il vient 4 Solives 5 pieds 4 lignes de Solives, pour la valeur de la piece de: bois.
  - toifes. pieds. pouces. lignes. points.
  - IO„ O 0 O . O , O,
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  - 45 5>. S’il arrive que dans les deux dimenfions de I’e-quarriflage iL fe trouve des pouces ôc des lignes, il faut pour la dimenfion , qu’011 doit changer de valeur, mettre les pouces au rang des toifes , comme à l’ordinaire-, & regarder les lignes de cette dimenfion comme des pieds 5 ainfion les mettra au rang des pieds, avec cette attention , qu’au lieu de mettre autant de pieds qu’il, y a de lignes , il n’en faut mettre que la moitié, c’elt-à-dire, que il cette dimenfion eft compofée de 6 pouces 8*
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- - N-o u v e au C o u r s
  - lignes,Ton mettra G pouces au rang des toifes, & la moitié des lignes au rang des pieds, pour avoir. 6 toifes 4 pieds; (Scfi au lieu de S on en a voit 7 ou 5 , ou. tout autre nombre impair , on en prendra toujours la moitié, l’on marquera 3 pieds G pouces, ou bien 4 pieds G pouces. L’on va voir çeci dans les deux exemples lui vans.
  - Pour toi fer une piece de bois qui a G toiles 3 pieds de longueur fur 5? pouces G lignes à 10 pouces 8 lignes d’équarridage, il faut, pour, changer une des deux di-men fions de l’équarridàge , qui lera , par exemple , p pouces G lignes, mettre 5) pouces au rang des toiles , &c ta. moitié de 6 lignes au rang des pieds , pour avoir 5? toifes 3 pieds , qu’il faut multiplier par l’autre dimen-lion, c’eft- à-dire, par 1 o pouces 8 lignes, pour avoir une toife 2 pieds 5 pouces 4 lignes au produit , qui étant multiplié par: la longueur de la piece, l’on verra qu’elle contient 5? 'Solives 1 o pouces 8 lignes.
  - . toifes. pieds- pences. lignes. points.
  - 9 - 3 • O . O . O „
  - O, O. IO. 8 . O,
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  - 0 „ 4. 9 • O . O.
  - O. 3. Mk • O. 0.
  - ^o.„ 0. 6. 4 • O.
  - I V 2. 5 - 4. O .
  - 6 . 3. 0. 0. O .
  - 8. 2. 8 . 0. O.
  - 0. 4. 2 • 8 . O
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  - Pour trouver la valeur d’une piece de bois, qui a 5 pieds $ pouces de longueur fur 8 pouces 7 lignes à 5 pouces 4 lignes
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- - DE MatHEMATÏ (VU E. 3 O 5
  - gnes d’équarrilfage, je porte 8 pouces à l’endroit des toiles; & conlîderant les 7 lignes de cette dimenlion comme valant des pieds, je marque 3 pieds 6 pouces j enfuite je multiplie cette dimenlion ainli changée par 5? pouces 6 lignes, & le produit donne une toife 9 pouces 6 lignes 6 points, qui étant multipliez par 5 pieds 8 pouces, Il vient une Solive 5 pouces 1 point y pour la valeur de la piece. " .
  - toifes. pieds. ponces. lignes, points.
  - 8 . 3 . 6. O. O.
  - O. 0. 9- 6 . O.
  - 3f . ar. O. O .
  - O. 4. 3 . 6. 0
  - O. 2. 1 . 9. O .
  - O., 0. 4. 3 . 6.
  - I . 0. 9- 6 • 6.
  - O. 5 • 8 . 0. 0.
  - O. 3 . 4. 9. 3'V
  - O. 2 . 3 • 2.: 2 .
  - O. O . 9 . 0 8 . i 3
  - I . O. 5. Oo. I. f
  - 5 60. Pour rendre raifon de ce que nous avons dit qu’il falloic regarder les lignes comme des pieds , après en avoir pris la moitié, confîderez que nous avons dit qu’il falloit multiplier une des dimenlions par 72 , pour que la fuite de la réglé donnât des Solives : pour cela fi la dimenlion elt S pouces 7 lignes, nous fçavons que met-
  - tant 8 pouces à l’endroit destoifes,la multiplication par
  - 7 2 fe fait tout d5 * 7un coup; mais à l’égard de ces lignes qui relient, remarquez que li on les mettoit au rang des pouces , c’ed: comme li on les multipliait par 1 2 ; & que il
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- - 3 o ê N o u v e a u C o u r s-
  - du rang des pouces on les porte au rang des pieds, c’eft comme Ci on les mukiplioit encore par i 2 : ainfi quand on pofe des lignes au rang des pieds , c’eft proprement les multiplier par 144 5 mais comme, lelon notre réglé, elles ne doivent être multipliées que par 71 , qui elt la moitié de 144 : il'faut donc , d l’on porte les lignes au rang des pieds, n’en prendre que 1a moitié, pour n’avoir que la moitié de 144»
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- - ds Mathématique. ÿaj
  - Æi&CfcÆf*
  - NOUVEAU COURS
  - DE MATHEMATIQUE-
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  - CINQUIEME PARTIE.
  - Qu F on applique U Géométrie à la mefure des Superflu des 0 des Solides.
  - .CHAPITRE PREMIER.
  - De la mefure des Superficies.
  - PROPOSITION PREMIERE.
  - Problème.
  - 561. ^ Æ Éfttrer les Figures triangulaires. Plan!
  - JLyJL Si Ion aun TrianglereélangleABC,dont che ic. la baie d<^ loir de 3 pieds ., & la hauteur AB de 5 , il Fig. ü£, faut,pour.en trouver la. fuperficie , multiplier la moitié de la bafe par toute la perpendiculaire, ou la moitié de la perpendiculaire par toute la bafe, & lonaura ;o pieds quariez pour la valeur du Triangle. *
  - 5 62. Si le Triangle n’étoit pas reélan gle , comme ^Art.239.; DEF, ilfaudroit, eh connoifîant les trois cotez , chercher la valeur de.la perpendiculaire EGj * de multiplier en- *Art.484.: core la moitié de la bafe par toute la perpendiculaire,
  - -ou toute la perpendiculaire par la moitié de la bafe.
  - 563. Mais .comme il peut arriver que la perpendicu- F!g**i7* laire au lieu de tomber dans le Triangle tombe en dehors,comme H L 3 en ce cas il en faut chercher la valeur** *Art.254, &la multiplier par la moitié de la ..bafe IK.
  - Qq'j
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- - fig. 2.18.
  - Fig. 21?.
  - ♦Àrt.234-
  - Fig. 221.
  - ♦Art. xfi.
  - 50& N0U VIAU Cou R $
  - PROPOSIT ION II. Problème.
  - 5 6 4. Trouver la fuperficie des Figures quadrilatères.
  - .Pour trouver lafuperficie du Quarré AC, donc lç côte ferait., par exemple.., de. 7 pieds, il faut multiplier; 7 par lui-même , ç’eft-à-dire, AB par BC, & le produit fera 49 pieds, qui'efi: la valeur du Quarré AC.
  - 565. Si au lieu d’un Quarré l’on a un Rectangle *DF, dont la bafe DE eft fuppofée de .5 pieds, & la hauteur EF de 12-, l’on multipliera 5 par r 2 pour avoir au produit 6 o piedsqui feront la valeur du RecFangle.
  - }6 6. Mais fi au lieu d’un Reétangle DF l’on avoit im Parallélogramme GK, dont on voulût avoir la fuperficie,. il faudrait prolonger la bafe GL,& abaifler la perpendiculaire Kl,qui fera la hauteur.du Parallélogramme *5. & fuppofant que cette perpendiculaire foit de 10 pieds, & la bafe GL de 4, l’on multipliera 10- par 4, & -le produit fera 40 pieds pour la valeur du Parallélogramme.
  - 567. Si la figure efl trapezoïde, comme ABCD, & que le côtéBA loit perpendiculaire fur les deux cotez parallèles BC & AD , il faut joindre ces deux cpiez enfeni-ble pour avoir la bafe AE du Triangle ABË, qui fera égal au Trapezoïde. Ain fi fuppofant que le côté BC foit de 4 pieds, ce côté AD de 1 o , la hauteur B A de 1 2,» la bafe A E, ou autrement la fomme des deux cotez fer® de 14, qu’il faut multiplier par 6 , moitié de la perpendi»-culaire l’on aura 84 au produit pour îâ fuperficie dit Triangle ABE, qui efîia même que celle du Trapezoïde» parce Ville les Triangles BCF & FDE font égaux.
  - 5 6 8. Si l’on veut encore d’une autre façon trouver la fuperficie du Trapezoïde » il n’y a qu’à chercher une moyenne arithmétique *. GF entre BC & AD, e’ell-à-dire, entre 4 fino, Bon trouvera qu’elle eft 7 5 & fi l’on multiplie cette moyenne par toute ia hauteur BA, qui cft 12 , l’on aura 84 pour la fuperficie 3 ce qui efb
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- - Ê É MaTHEMA'TI'^UE. 3051
  - évident, puifque le Rectangle ABHl eft égal au Tra-pezoïde ABGP , à caufe que le Triangle CHF eft le même que F1D.
  - PR O PO S I T I O N IIL Problème*
  - 56 5). Mesurer la fuperficie des Toligones réguliers & «w-guüers.
  - , Si l’on veut fçavoir la fuperfîcie d’un Poligone régulier,, il faut du centre B abaifter une perpendiculaire h B fur un des cotez CD, & tirer les rayons £C & ED, qui donneront le Triangle ifofcelle ECÛ. Or comme 011 connoî^ tra les angles de la bafe de ce Triangle * , puifque le Poligone eft régulier& que d’ailleurs on connoît le coté CD, on aura le Triangle redangle E BD, duquel il fera facile de connoître le coté EB * : & fuppofant qu’on l’a trouvé de 6 pieds, on ajoiitera enfembie tous les cotez du Poligone , dont la fomme fera, par exemple, 48 , qu’il faudra multiplier par 3 , moitié de la perpendiculaire^ pour avoir 144 pieds , qui fera la valeur du Poligone.
  - 5 70 . Si le Poligone eft irrégulier, comme ABCDEF, l’on tirera du point E les lignes EC, EB , EA , qui divife-ront le Poligone en quatre Triangles , dont le premier aura pour hauteur la perpendiculaire FG y le fécond, la perpendiculaire AH y le troifiéme , la perpendiculaire CI j & le quatrième, la perpendiculaire DK. Cela pofé v fi l’on mefure fur le terreinavec la toife, ou fur le papier avec une échelle, la valeur des perpendiculaires, auffi-bien que celles des lignes fur lefqn elles ces perpendiculaires tombent, l’on n’aura qu’à faire autant de multi^ plications qu’il y a de Triangles 5 Se ajoutant tous les* produits enfçmble, l’on aura la valeur du Poligone.
  - Os
  - Fig. 2'üftï
  - Art.
  - ^Art.joï.
  - Fig. 2-23V
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- - fig. U4'i
  - Fig- 2Z5*
  - ifig. «,tf.
  - .3:1 O N O U V I A U ‘C0 U & $
  - P LOP OS I.TIO N IV.
  - Problème,
  - , 571. Mefurer la fsuperficie des Cercles, de leurs partks»
  - Pour mefurer la luperficied’un. Cercle AB, il faut con-noîtrela valeur de fon diamètre de fa circonférence , comme on l’a jdit art. ,3 20. & multiplier la moitié de :1a circonférence par la moitié du diamètre, & le produit donnera la valeur du Cercle. Par exemple, pour trouver la fuperficie d’un Cercle , dont le diamètre eft 14 , je cherche fa circonférence , qui fera 44 5 & prenant la moitié de 44, qui eft 2 2 , & la moitié de 14, qui eft 7, je multiplie ces deux nombres l’un par l’autre pour avoir 154, qui fera la fuperficie du Cercle.
  - 572. Si l’on veut fçavoir la fuperficie d’un Se&eur de Cercle, il faut connoître l’angle formé par les deux rayons, & la valeur du rayon. Ainfi fuppofantque l’angle du Seéteur ABC eltde^o degrez, & le rayon de 7 pieds, je commence par trouver la valeur du Cercle d’oii ell: provenu le Seéteur , laquelle fe trouve de 154,8c rpuis je fais une Réglé de trois, en difant : Si 360 , valeur de toute la circonférence, m'a donné 154 pour la fuperficie quelle renferme, combien me donneront 6 o, valeur de la circonférence du Secteur, pourla fuperficie qu’elle renferme, l’on trouvera 2 5 pieds 8 pouces.
  - 573. Enfin pour trouver la valeur d’un Segment de Cercle, tel que DGF, il faudra commencer par en faire un Secteur, dont on cherchera la fuperficie, que je fup-pofe encore être 25 pieds 8 pouces. Cela pofé, on cherchera la fuperficie du Triangle DEF , que l’on trouvera a peu près de 2 .1 pieds $ & fijulïr ayant cette quantité de 2 5 pieds 8 pouces , le relie fera la valeur du Segment^, qui fera environ de 4 pieds 8 pouces.
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- - de Ma*thematiQjVe- 31F
  - î*ROP OS I T I O N V.
  - Problème.-
  - 574. Mesurer la fuperficie 'dune Ellipfe.
  - Nous avons vu * que les Eiemens FH, 6c El d un quart de Cercle, étoient en même raifon avec les Eiemens FG & ED d’un quart d’Ellipfe j par confequent il y aura donc même raifon de la fomme de tous les antecedens à la fôm-me de tous les confequèns, que d’un antécédent à fon confequent*, c’eft-à-diré, que le quart de Cercle E AI eft au quart d’Ellipfe EAD, comme la ligne El eft à la ligne ED , ou bien comme la ligne AB elt à là ligne CD V & fi au au lieu du quart de Cercle,,6c du quart d’Ellipfe, l’on prend tout le Cercle 6c toute l’Ellipfe, if y aura encore même raifon du Cercle à rÉUipfe» que de la ligne AÔ à la ligne CD j-ce qui fait voir que la fuperficie d’uil Cercle qui auroit pour diamètre le grand axe d’une El-lipfe efl à la fuperficie de l’Ellipfe, comme le grand axe elt au petit. Or fuppofant que le grand axe AB foie de 14 pieds y 6c le petit CD de 8 , il faut pour trouver la fuperficie de l’Ellipfe, chercher d’abord celle du Cercle de fon grand axe, que l’on trouvera de 1- 54, 6c puis dire: Si le grand axe de 14 m’a donné 8 pouces pour le petit, que me donneront 154, fuperficie du Cercle poux celle de l’Bllipfe, que l’on trouvera de 8 8 pieds.
  - PROPOSITION vi;
  - Problème.-
  - 5 7*5. Mefurer Vefpace renfermé par une Parabole.
  - Si l’on a une Parabole ABC, dont l’axe BD foit de 5? pieds, & la plus grande or donnée DA de 1 2 y toute la ligne AC fera de 24. Cela étant, je dis que pour trouver l’efpace renfermé par la Parabole ABC, il faut multiplier là ligne AC par les deux tiers de l’axe BD c’eft-à-dire s
  - Fig. 2 27?-
  - * kn.iëii
  - Figi âifÿ
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- - 3!% Nouveau Cours
  - 2 4 par 6, pour avoir 144 au produit, qui fera l’efpace q ue l’on demande.
  - La raifon de cette operation eft que l’efpace ABC eft les deux tiers du Rectangle AEFC j pour le prouver nous ferons voir que l’efpace AEBK eft le tiers du Rectangle AEBD.
  - A vanc divifé la ligne EB en un nombre de parties égales , éc tiré par tous les points de divifïon des lignes telles Art.,412. que GH &ÏK, parallèles à AE, l’on verra * que par la propriété de la Parabole le quarré BG elt au quarré BI, comme GH eft à IK 3 mais les parties de fuite de la ligne EB étant en progreffion arithmétique , les quarrez des lignes BG &BI feront ceux des ternies d’une progreffion arithmétique 5 par confequent les Elemens GH & 1K font en même raifon que les quarrez des termes d’une pro-greffion arithmétique , ainfi l’efpace AEBK contient une quantité infinie d’Elemens, qui font tous dans la meme raifon que les quarrez des termes infinis d’une progreffion arithmétique ; mais comme pour trouver la valeur de tous ces quarrez, il faut * multiplier le plus grand quar-Arré par le tiers de la grandeur qui exprime la quantité des termes , il faut donc pour trouver la valeur de tous les Elemens qui compofent l’efpace AEBK, multiplier le plus grand Elément EA par le tiers de la ligne EB , qui en exprime la quantité : ce qui fait voir que cet efpace eft le tiers du Reétangle AEBD, & que par .confequent l’efpace AKB D de la Parabole en eft les deux tiers.
  - R E M A R U E.
  - Il eft abfolument neceffaire pour ceux qui veulent s’attacher au Génie, de fçavoir bien mefurer les Figures planes, parce qu’elles fe rencontrent continuellement dans le Toffé des Fortifications & des Bâtimens civils j car les Couvertures de tuiles & d’ardoife, les Planchers, les Pavez,leblanchiffagedes Murs recrepis , les Vîtres, le Gazon avec lequel on revêtit les ouvrages de-Terralîe , femefurent à la .tqife quarrée, & toutes les figures que
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- - de Mathématique; 3.*$
  - contes ces chafes .peuvent former , fe réduifent toujours à des Re&angles ou à des Triangles.
  - JL T P LIC A TI O N DE LA GEOMETRIE à la mefare des furfaces des Corps.
  - PROPOSITION VII.
  - Problème.
  - -576. Mesurer les furfaces des Prifmes & des Cylindres. Fig. 1133 Tour mefurerda furface d’un Prifme AE, il faut multiplier la fomme des cotez du Poligone., qui lui fert de bafe par la hauteur du Prifme : ainfi fi.le Prifme a pour bafe un Exagone, dont chaque côte' BC foit de 4 pieds, & la hauteur BE de 6, la fomme des cotez fera '24, qui étant multiplié par, 6le produit fera 144 pieds pour .la valeur de la furface.
  - 577. Pourmefurer la furface d’un-Cylindre, tel que Fî2*
  - BC, dont le diamètre AC ell de 1.4 pieds, & la hauteur AB de B, il faut commencer par chercher la circonférence du Cercle qui lui fert de bafe, qu’on trouvera de 44 pieds. Après cela il faut multiplier cette circonférence par 8 , hauteur du Cylindre, & l’on trouvera 3 5 2 pieds pour la furface du Cylindre.
  - PROPOSITION Y X I L
  - Problème-
  - -578. Mesurer les furface s des Pyramides .<& des Cônes. ZÎI*
  - Pour mefurer la furface d’une Pyramide droite, qui a pour bafe un Exagone, dontxhaque cpté, tel que AB, eft iuppofé de d pieds , Scia perpendiculaire tirée du fommet fur un de fes cotez de 1 o pieds , il faut multiplier la fonv me de la moitié de tous ces cotez par toute la perpendiculaire *, c’eft-à-dire, 18 par 10, l’on trouvera 180 «Art.#*; -pour la furface de la Pyramide.
  - a . Pour trouver la furface d’un Cône dtoit,dont le dia- Fig. 232»
  - :Rr
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- - Jr4 Nouveau Cours'4
  - métré AB du Cercle de fa bàfe eft de 14 pieds, & le côté AD de 1 2 , il faut multiplier la circonférence du Cercle,' *Àrt.$<>e. que l’on trouvera de 44, par la moitié du côté AD *, ceft-à-dire, par 6 , & Ton verra que la furface du Cône-ellde 16 45 ou bien multiplier la moitié de la circonférence par tout le côté AD, & l’on aura encore la même êhofe.
  - PROPOSITION IX.
  - Problème.-
  - 5 2a.Mefarerles furfaces des Sphères, celles de leurs Seg-Fig, 233. mens, & celles de leurs Zones.
  - Pour mefurer la furface d’une Sphere, dont' le diamètre AG eft fuppofé de 14 pieds, ii faut commencer par chercher là circonférence de ce diamètre, que l’on trouvera de 44 3 & il faut la multiplier par le diamètre, c’eft-à-dire, par 14, & le produit donnera la valeur de la fur-*Art.384. face de la Sphere *", que l’on trouvera de 61 6.
  - 5 81. Sr au lieu de la furface de toute une Sphere, on vouloit mefurer feulement celle d’un Segment, tel que ABC, il faudroit chercher d’abord la circonférence du grand Cercle de la Sphere d’où le Segjnent a été tiré. 5 & déplus connoître exactement la perpendiculaire CD élevée fur le centre du Cercle AB, & puis multiplier la circonférence du grand Cercle par la valeur de cette ♦Art.3^1- perpendiculaire*: ainfî fuppofant que li circonférence au Cercle foit 44, & la perpendiculaire CD de 4, multipliant l’un par l'autre, on aura 17 6 pieds pour la valeur de la furface du Segment.
  - 5 8 2. Enfin pour mefurer la furface d’une Zone , telle que EHEG, il faut connoître aufli la circonférence du grand Cercle delà Sphere d’où elle a été tirée, & la valeur de la perpendiculaire IK, tirée d’un centre à l’autre des deux-Cercles oppofez,. &. multiplier cette perpendi-culaire par la circonférence du grand Cercle*, dont, nous venons de parler. Ain fi fuppofant qu’elle foit encore de 44 pieds, & la perpendiculaire IK de 5 ,multii
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- - U ;E 'M A TH EMA T ï QJ7 E. y J$
  - pliant 1*uii3l par l’autre, Ton trouvera 210 pieds pour la valeur de la furface de la Zone.
  - JR. E M A R Q.U E.
  - ' La plupart de ceux qui étudient la Géométrie fçavenc bien que cette Science eft fort utile , & qu’en general toutes les proportions qu’elle renferme ont leur ufage, cependant comme Us n’en connoiffent point l’application, Faute de s’être trouvez dans le cas de s’en fervir, ils en viennent toujours à demander à quoi tels & tels Problèmes peuvent lêrvir : c’eft pourquoi ayant delTein de leur ôter cette inquiétude, je ne ferai pas parefTeux de 'leur Faire voir l’application des moindres çhofes : & pour dire un mot des proportions précédentes, ils feront attention que les Cloches étant toûjours des Pyramides ou des Cônes , que les Dômes étant ordinairement des figures fphe-riques, & les Tours des Châteaux étant couvertes par des Toîts faits en Cônes ou en Pyramide, il faut pour en toifer la Couverture , fçavoir mefurer ces differentes -furfaces.
  - CHAPITRE IL
  - tOd l'on applique.la Géométrie à U mefure des Corps folides.
  - PR O POSITION X.
  - Problème*
  - , 5 8 3 .Mtfuvtr la foliditc des Cubes ^ des Taràlleîepipedes,, Mes Priftnes , & des Cylindres.
  - Pour mefurer la folidité d’un Cube AD*, dont le côté AB feroit, par exemple , de 6 pieds., il faut quarrer G pour avoir la fuperfîcie de la bafe, qui fera 3 6 3 & multipliant cette bafe par là hauteur du Cube, .deft-à-dire, par 6 pieds , l’on aura 216 pieds ,pour.la valeur du Cube.
  - Rrij
  - Fig. 234.
  - F|g- H&.
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- - Fig* 230.
  - gr-i# Kou ÿ eau C 6ü k
  - 584. L’on trouvera de même la valeur d’un Parallèle- ' pipede, en multipliant la fuperfîcie de fa bafé par la hau- ' teur. Ainfi vouknt mefurer-le Parallelepipede EH , fup-' pofant que fa bafe ait 1 o pieds de long fur 4 pieds de lar*; ge, & que fa hauteur HF foit de 5 pieds , il faut multiplier 4 par 1 o pour avoir- 40 , qui fera la fuperfîcie de la.' bafe, qui étant multipliée par la hauteur 5, donnera 2 00; pieds cubes pour le Parallelepipedei
  - 5 8 5. Pour mefurer là folidité d’un Prifme CE, dont la> bafeeft un Exagone, il faut d’abord connoître la fuper-iide de l’Exagone , que l’on trouvera en multipliant la-Pommé de fes cotez par la moitié de k perpendiculaire -AD : ainfi ce côte' BC étant de 4 pieds , la perpendicu-' laire de 3 ~ j la fomme des cotez fera 2 4, qui étant multiplié par 1 ^ ,on aura 42 pieds quarrez pour la valeur delà bafe, qu’il faut-enfuke multiplier par la hauteur AE,_ quejefupppfe de-6-pieds: la multiplication étant faite, l’on trouvera 2 5 2-pieds cubes pour là valeur du Prifme»;
  - 586. Pour mefurèr la folidité d’un Cylindre CB , dont le diamètre BD du cerclé de la bafe eft de 14 pieds, & la hauteur AB de 8 pieds , il faut commencer par avoir la valeur du Cercle qui 'fert de-bafe airCylindre : pour cela il faut chercher la circonférence, que l’on trouvera de’44, dont la moitié étant multipliée par le rayon dit même Cercle, l’on aura 1 54 pieds quarrez pour la valeur de la bafe du Cylindre: il faut enfuite la multiplier par 8 pour avoir r 2 3 2. pieds cubes pour la folidité du Cy lin.Ire.
  - Comme la folidité des Cubes, dés Parallelepipedes, des Prifmes-ôc-des Cylindres, eil compofée-d’une infinité de plans femblables à celui qui fert de bafe à chacun de ces Corps, & que leur hauteur exprime la quantité de plans dont ils font compofez j il s’enfuit que pour trouver la-folidité d’un Corps tel que des précédais , il faut nmLi-plier ia bafe par toute fa hauteur. •
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- - ri1!'*M A T H E‘M A T 3 QU"S..
  - P R OP OSITION x i;
  - Problème.
  - 5 8 7. M?jurer la folidité des Pyramides & des Cônes\ «.
  - Pour mefurer la folidité d’une Pyramide, qui a pour bafe. S* un Exagone , il faut commencer par eonnoître la fuperfi--eie de la baie. Ain fi fuppofant que le côté AB foit de <>-pieds, & la perpendiculaire CE de 6jf \ l’on trouvera ni pieds - quarrez pour la fupérficie de la bafe, qu’il fane multiplier par le tiers de l’axe DC de la Pyramide. Comme-cet axe eftfuppofé de 10 pieds, il faudra multiplier i i 1 f par 3y-, 6c le produit fera 40 5 pieds-cubes pour la folidité de la Pyramide,
  - 58 8. Pôhr trou ver la folidité d’unCone, l’on agira Fig. comme on vient de faire * pour trouver celle de là Pyramide, on- commencera par eonnoître la- fuperneie du-Cerele, qui' fert de bafe-au Cône, il faudra U multi-. plier par le tiers de l’axe du Co.iei Ain fi voulant mefu-rer la folidité d un- Cône ADB , donc le diamètre- de fon Cercle elf de14 pieds > & la valeur de-fon axe de y Pon trouvera que la fupferficie de là bafeell de 154 pieds' quârrezqui étant multipliez par' 3 £, qui cft. le tiers de l’axe, Pon trouvera 4 5.6. pieds cubes pour la folidité du Cene.
  - Si nous-avons multiplié la b a fe de là Pyramide, auÏÏî-bien que celle du.Conc,.par le tiers de la hauteur de l’un 6c de l’autre, c’elt que nous avons vii * que là Pyramide * Art. étoit le tiers du Pritnie- de même bafe 6c de même haiW teur, comme le Cone étoit auüi le tiers du Cylindre' de même bafe 8c de meme hauteur.
  - 5 8-51. Si les Paralleiepipedes, les Pri fines, lés Cylindres, les i yramides, les Cônesque Pou veut mefurer, étoient-inclinez , il faudroit tirer une pçrpendictiLiirè 'cie léur fbîümet lur leurs b.ifes- prolongé i énfükc eonnoître Idc
  - R,r iit
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- - fig. 13*.
  - 34$' ' Nouveau Coum
  - valeur de cette perpendiculaire, & la regarder comme celle de la hauteur du folide, qui fera , incliné > & fi cela arrive à l’égard d’un Paraüelepipede , d’un Pçifme, ou d’un Cylindre , on multipliera toute la perpendiculaire par la bafe du folide auquel elle corrcfpond:\& fi cela arrive à l’égard des Pyramides, des Cônes, on multipliera la bafe de l’un ou l’autre de ces folides par le tiers de la perpendiculaire.
  - PROPOSITION XII. Problème.
  - 5 2 p . Mefarer la folidité' des Pyramides & des Cônes tron~ yuez,.
  - Si l’on â une Pyramide DB j dont les plans oppofez DF & AB foient dés quarrez, pour en fçavoir .la folidité, nous fuppoferpns que lecôtéDE.efl de.9 pieds, le côté AC de 4, & l’a^e GH de .11. .Cela pofé, il faut chercher la valeur des plans AB & DF , qui feront de 1.6 6c de 81 pieds, entre lefquelles il faut chercher une moyenne proportionnelle , qui fera 3 6 pour le plan moyen, qu’il faut ajouter avec.lçs deux autres , pour avoir 133, qui fera la foraine des trois plans, qu’il-faut multiplier par le tiers de l’axe, c’efl-a-dire, par 4. pour avoir 5 3 2 pieds ppur la folidité de là Pyramide tronquée. * ’ •
  - - Si l’pn avoit un.Cone tronqué , l’on en trouverait d.e mêpiela valeur, en cherchant un Cercle moyen entre les deux oppofez , 6c en multipliant la fomme de là valeur des trois Cercles par le tiers de l’axe, pour avoir un produit, qui fera ce^ que; l’on demande.
  - 55>i. Voici encore, une autre maniéré de trouver la valeur d’une Pyramide, ou d’un Cône tronqué, qui efl plus d’ufagé que la précédente s par exemple., pour con-noitre la folidité du Cône tronqué ADEB, dontTaxe GC .cft 'de 15 pieds ,1e diamètre DE de 7 , & le diamètre AÇ ,de z 1 ; j’abaiffe la perpendiculaire DH, 6c j’acheve le
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- - D E' M AT HEM A T I Q^U Z. 3 j y
  - Cône , pour avoir l’axe entier CF 3 dont je cherche la valeur comme il luit.
  - Le rayon DG étanc de 3 " pieds ~ , & le rayon AC de 10-, la ligne AG fera la diffère h ce de DG à AC , par cônfequcnt de 7' pieds. Or ayant les deux triangles fem-blables AGD êc ACF , je dis: Si le côté AG de 7 pieds donne 15 pieds pour le côté GD, que donnera le côté AC de 1 07 pour le côté CF , que' Ion trouvera de 2 2 pieds
  - Prefentement que l’on a trouvé le grand axe , il faut chercher la valeur du Cône ABF, &: celle du petit Cône DFE, & retrancher celle-ci de l’autre pour avoir la différence , qui fera la valeur du Cône tronqué.
  - 5 5? 2.. Ou bien à cauie que les Cônes DFE & AFB font femblables, l’on pourra cuber les diamètres AB & DE, de dire: Comme le Cube du diamètre AB eff: au cube du diamètre DE , ainfi la valeur du C’one AFB eft à celle du Cône DF E , qui étant trouvée, on la retranchera de celle du Conc AFB, pour avoir la différence, qui fera la partie tronquée.
  - R E MAR QJU E.
  - L’on verra dans la fuite la neceffité de fçavoir mefur.er les Prifmes, les Cylindres, les Pyramides , & les Cônes 3 auffi-bien que leurs parties tronquées j car on ne peut faire le Toifé de la Maçonnerie , du revêtement d’une Fortification, fans qu’il ne fe rencontre des parties femblables à celles-ci 5 ce qui arrive toûjours aux angles rentrans & faillans, il fe rencontre même bien des cas ou la figure bizare de ce que l’on veut mehirer , demande beaucoup d’ufage de la Géométrie, pour en venir à bout : & comme bien des Ingénieurs le contentent de les toifer par approximation, voici quelques propofitions qui donneront beaucoup d’éclaircifièmens pour refoudre les diffieultez que je ferai appercevoir à ce fujet.
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- - 'Fîg. 2.380
  - % *39*
  - Fig, ,1^0.
  - 3 £ o Nouveau Cou . ils
  - PROPOSITION XI II.
  - Problème.
  - ,593. Meferer la folidité des SeÇteurs de .Cylindre. , e$- 'de Cônes tronquez».
  - Pour trouver la folidité d’un Sedeur ABCDEF d’uu Çyhndre . forjpé par deux plans CÂ & CE , il faut com-rnencer par fçavoir la valeur du Cylindre entier, & con-noître l’angle BCD du Sedeur. Ainfi fuppofant que cet angle foit de 5 o degrez, & que la fojidite du Cylindre foit dé 41 5 pieds, il-faut dire : Si 360 degrez, valeur du cercle qui renferme le Cylindre, m’a donné 42, 5 pieds pour la valeur du Cylindre , que me donneront 50 degrez pour la valeur du Sedeur 5 l’on .trouvera qu’il efl de 5 9 pieds ^quelque chofe.
  - 5574. Pour mefurer un Sedeur GHKLMN d’un Cône tronqué, il faut, comme ci-devant ,connoitre l’angle HKL du Sedeur, & la valeur du Cône tronqué : ainlî fuppofant que d’angle eftde 60 degrez, ôc que le Cône tronqué eft de 6 o 9 pieds, l'on dira encore : Si 3 6 o m’ont donné 600 pour la valeur du Cône tronqué , que me donneront, 60 pour4a valeur du Sedeur , que l’on trouvera. de 1 o o pieds.
  - '525. Mais fi l’on avoit un Çone tronqué ABCD, dans jpjnilieu duquplily auroit un vuide cylindrique G EFH,8c qu’on voulut fçavoir la valeur d u fragment LNPQOMSR formé par des parties de. couronnes', il faudrqit commencer par trouver la folidité de tout le Cône tronqué ABCD, pomme s’il n’y avoit point de vuide, pour avoir la valeur du Sedeur LNKOMI tant plein que vuide, de la façon qu’on vient de le pratiquer 5 enfuite en retrancher le Secteur dii. Cylindre RPKQSI, la différence fera la folidité du fragment LNPQOMSR que l’ondemande.
  - 55)6 Si aù contraire on avoit un Cylindre ABCD, dans le milieu duquel il y eut un vuide en forme de Cône tronqué EFQH, & qu’on voulut fçavoir la valeur de la * ' ? folidité
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- - Nouveau; Cours
  - pOL • Flanche. 11>
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- - de Mathématique. jai
  - folidité dit fragment QONPRXMS terminé par des plans qui foient dans les rayons IN & IL, il faudra chercher la valeur du Secteur cylindrique KONILM, & celle du Se-deur KQPIRS du Cône tronqué pour le retrancher de celle du Sedeur du Cylindre, ôc la différence fera la valeur du fragment QONPRXMS que l’on demande.
  - Il faut, pour fe rendre familier ce que l’on vient de Voir, donner des dimenfions aux lignes qui cpmpofent ces figures, en faire le calcul, & bien entendre les raifons de chaque operation > car, comme je l’ai déjà dit, nous ferons obligez d’avoir recours à lui pour donner la folution de quelques-uns des Problèmes les plus difficiles du Toifé de Fortification.
  - PROPOSITION XIV Problème.
  - 5 p 7. Mesurer la folidité' fi une Sphere.
  - Pour fçavoir la folidité d’une Sphere, dont le diamètre Plàm-AB eftde 14 pieds, il faut chercher la circonférence de c«s 17* ce diamètre^ qui.fera 44, & la multiplier par le diamé- FlS* tre même pour avoir la furface de la Sphere *, qui fera * Art. 3 8 4. de 61 6 pieds , qu’il faut multiplier par le tiers du rayon*, c’eft-à-dire, par le tiers de 7 , pour avoir 1437^ pieds cubes pour.la folidité de la Sphere.
  - L’on trouvera encore la folidité de la Sphere d’une autre maniéré., en ngÉypliant la fuperfîcie de fon grand cercle par les deux rers du diamètre. * * Art.37*
  - -5^8. Pour mefurer -un fecteur de Sphere , tel que ~ ABCD, il faut connoître le rayon & la perpendiculaire S*
  - DE, élevée fur le milieu de la corde AC. Or fi nous fup-pofons le rayon de 7 pieds, & la perpendiculaire de 3 , n faut chercher, par le moyen au rayon, la cîrconférence du grand cercle de la Sphere, d’où le fedeur a été tiré, & 6n la trouvera de 44 pieds : il faut enfuite multiplier cette circonférence par la perpendiculaire DE, eeXà-dire., 44 par 34 Scie produit 13.1 Fera la Furface
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- - *Art.j8i;
  - Fig. *44-
  - •AkvjH;
  - Fig, *4& &H7-
  - y Z Z. N O u VEAU COU K'Sy'
  - ADÇ du fe&eur * , qu’il faudra multiplier par le tiers dû -rayon BC, c’eft-à-dire., par zj, pour avoir 308 pieds-cubes, qui eft la folidité du Se&eur. -
  - 5 5)5). Si au lieu- d’un Sedeur l’on avôit un Segment de Sphere DGF,, il faudroit, pour en trouver la folidité, le réduire en Secteur, & chercher la folidité de ce Sedeur, de laquelle il faudroit r etrancher le Cône DEF , & le re-fiant feroit la valeur du Segment. -6oo. Mais h la partie de la Sphere que Ion veut me-furer , étoit une Zone comprife par le grand cercle de la Sphere, & par un autre quelconque, qui lui feroit parallèlement oppofé , comme eft la Zone AF HE 3 on en trouverait la folidité en prenant les deux tiers du Cylindre, qui aurait pour bafe le grand cercle AE , & pour hauteur la partie de l’axe GC 3 & de plus le tiers du Cylindre, qui aurait pour bafe le petit cercle FH , & pour hauteur la même ligne GC. * Or pour en faire l’operation, nous fuppoferans le rayon CE de 14 pieds, & la perpendiculaire CG de 8 : & comme nous avons le triangle redan^ gie CHK, dont rhypoténufe CH ell de 14.pieds , & le côté H K de 8, l’on trouvera par la racine quarrée le côté CK de 11 pieds : ainft l’on aura le rayon du cercle FH,, & par confequent l’on trouvera la folidité du Cylindre. IH, qui eft de 3,0 3-6 pieds cubes, &; la folidité du grand Cylindre AD ïe trouvera de 45)28 pieds cubes. Or fi? l’on prend les deux tiers du plus grandi Cy lindre, l’on aura 328 <>7, qui étant ajoutez avec 1® 2 , qui eft le tiers du petit Cy lindre, l’on trouvera 42577 pieds cubes pour la folidité delà Zone.
  - R E. M A R QOJ E.
  - 60 r. La génération de la plûpart des folides ayant été' formée par la circonvolution d’un plan fur fon axe, l’on peut avoir autant de folides differens , que l’on peut avoir de. plans générateurs differens : mais pour ne parler que de ceux,qui font formez par le plan des courbes des^
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- - DE MATHEM A T I Q^TE. ^ 3 2$
  - Se&ions Coniques, l’on fçaura que fi une demie Parabole AQ3 fait une circonvolution autour de fon axe AB, qu’elle décrira un corps HIK., que l’on nomme parabolique , qui eft. compofé d’une infinité de cercles, qui auront tous pour rayons les ordonnées, telles que DE & FG, que l’on regarde, icfcommeles élemens du plan ABC de la Parabole.
  - 6 0 2. Si l’on a une demie Ellipfe HLI, qui fafle une circonvolution autour de fon axe HI, toutes les ordonnées, comme OP & RS., que l’on peut regarder comme les éle-anens duplan de l’Ellipfe, décriront une infinité de cercles j qui tous enfemjble formeront le corps ABCD , que l’on nomme fphemque, parce qu’ayant pour plan générateur une Ellipfe, qui elt proprement un cercle allongé, le fpheroïde eft regardé comme une Sphere allongée.
  - 603. Enfin fi l’on fait faire à une demie Hyperbole ABC une circonvolution fur fon axe BC, elle décrira un folide, que l’on nomme hyperboldide, & fi la demi-Hyper-boleeft accompagnée d’un Afymptote EF, & des lignes DB & DG, parallèles à AC & BC, le triangle EFC décrira un Cône & le Rectangle GDBC un Cylindre.
  - Comme la" plupart de ces folides ont lieu dans bien des occafions, nous en ferons voir l’application , après que nous aurons donné dans les propositions fuivantes la manière de les mefurer.
  - PROPOSITION XV.
  - *
  - Problème.
  - ^04. Mefarer la folidité d’un Paraboloïdc.
  - Pour avoir la folidité d’un Paraboloïdc, dont le rayon JLK du cercle de la bafe feroit de 7 pieds ; l’axe IL de 10, il faut chercher la valeur du cercle de la bafe, qui fera de :i 54 pieds, qu’il faut multiplier par la moitié de l’axe IL, c’eft-à-dire, par 5 pour avoir 770 au produit , qui fera ce que l’on demande.
  - Pour jçavQÎr la raifon de .cette operation , confiderex
  - Fig. i5«: & 251.
  - Fig. 252*’
  - Fig. 24*.
  - :ôc*47.
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- - $*4 NoitrriAsU Cours
  - que l’àxe AB de la Parabole eft compofé d’iine infinité de parties comme AE & ÀG, qui font en progreffion arith-* métique que les quarrez des ordonnées ED&GF étant dansla même raifon que les parties AE ôcMG* s ®Àrt.4iï* £es quarrez feront aufli en progreffion arithmétique. Or comme lescercles. font dans la même raifon que les ?Art.3*i. quarrez de leurs rayons* j il s’enfuit que les cercles qui compofent le^ Paraboloîde' HIK , font, en progreffion arithmétique, puifqu’ils font comme les quarrez des or*, données de la Paraboles-mais comme pour trouver la va-» * Art. 240 leur des termes infinis d’une progreffion arithmétique*, il faut multiplier le plus grand terme de la progreffion par la moitié de la grandeur qui exprime la quantité de ces termes:il faut donc, pour trouver la valeur de tous les cercles qui compofent le Paraboloîde , multiplier le plus grand cercle HK par la moitié de L’axe IL.
  - PROPOSITION XVI.
  - Problème,
  - ?ig. *5«. C o 5. Mefurer la folidité Sphéroïde.
  - St Pour fça-voir la folidité d’un Sphéroïde, dont le grand
  - axe BD eit de 18 pieds , & le petit axe AG de 14 , il faut chercher la fuperfîcie du cercle du. petit axe, qui fera de 616 pieds, qu’il faut multiplier par les deux tiers du grand axe BD, c’eft-à-dire , par 11, pour avoir le produit 7 5 5; 2 , qui fera la folidité que Ion demande.
  - L’on connoîtra la raifon de cette operation, fi l’on con-fidere que les ordonnées OP & RS de l’Ellipfe étant dans la même raifon que ceux du cercle OJÇ& RT, les quar-®Àrt. 332, rez des ordouées de l’Ellipfe feront dans la même raifon que ceux des ordonnées du cercle *': & fi à la place dès quarrez des ordonnées du cercle, l’on prend les fuperfi-ciesdes cercles, dont les lignes feraient les rayons, l’on verra que tous les cercles des ordonnées de l’Ellipfe, qui compofent ici un Spherorde, font dans la- même raifon que tous les cercles qui compofent laSphere. Mais com->
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- - D-E M ATHMAH QITï. >25
  - me Ton trouve la valeur de tous les cercles qui compofent la Sphere, en multipliant le cercle qui auroic pour rayon la plus grande ordonnée MN par les deux tiers de Taxe HI.*: on trouvera donc aufii la valeur de tous les *Art. 3forcer clés qui compofent le Sphéroïde, en multipliant le cercle qui auroit pour rayon la plus grande ordonnée ML de TEllipferpar les deux tiers de T'axe HI.
  - 6o&. Mais ii le plan de L’Ellipfe , au lieu de faire une Fig. 14!/ circonvolution à l’entour de fon grand axe AB, en fai- *4*-foie une fur fon petit axe CD, Ion auroit encore un Sphéroïde ACBD , dont on trouvera la folidité , comme ci-devarit, en multipliant la fuperficie du, cercle du grand axe AB par les deux tiers du petit axe CD 5 car fi ion a un cercle ECFD, qui ait pour diamètre le petit axe CD »
  - & que l’on mené les ordonnées GH & KL, l’on aura par
  - la propriété de TEliipfe *CGxGD^CKxKD : : GH. KLi «Art. 43$; & li à la place des re&angîes CGxGD & CKxKI>,Ton ' prend les"quarrez GI & KM, qui leur font égaux par la
  - propriété du cercle, Ton aura GI. KM : : GH. K L. Or h à la place des quarrez de toutes les ordonnées du demi-cercle CFJ>,Ton prend les cercles dont ces ordonnées font les rayons s qu’on fafle la même ehofe pour la demie Ellipfe CBD, Ton verra qüe tous les cercles de- la Sphere font dans la même raifoir que tous les cercles du Sphéroïde, & que la quantité des uns & des autres étant exprimée par la ligne CD',, fi Ton multiplie le cercle EF par les deux, tiers de la ligne CD, pour, avoir la valeur de tous les cercles qiû compofent la Sphere,il faudra multiplier le cercle AB par les deux tiers de la ligne CD ,j3.our avoir la valeur de tous les cercles qui Compofent-de Sphe>-roïde;
  - 6 0 7. L’on peut dire auflî que fi Ton ixavoit que la moitié d’un Sphéroïde ACB, il- faudrait de même , pouf en trouver la folidité ,..multiplier le cercle AB par les deux tiers de la ligne CN.
  - Quoique i’Hyperboloïde n’ait guéres lieu dans laGéo-
  - Sfiir,
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- - Fig-
  - * Art. 551.
  - *Art.4£$.
  - *Art,277.
  - •A1t.37-.tf.
  - ^*6( > 'Nouveau Cours
  - , métrie pratique cela n’empêche pas que je ne dife un mot fur la maniéré de mefurer ce folide,pour fatisfaire la curiofité de ceux qui n’aiment pas qu’011 leur fupprime rien.
  - PROPOSITION XVII. problème.
  - 6 p 8. Mefurer la folidité d’un Hyperboloïde.
  - Pour avoir la folidité d’un Hyperboloïde DEF, il faut accompagner la courbe DEF dé fes afymptotes B A 6c BC, & de la ligne GH, qui fera égale à un de fes axes. Cela pofé>. il faut chercher la folidité du Cône tronqué AGHC*, en retrancher le Cylindre IÇHK, pour avoir la différence, qui fera la folidité de l’Hyperbôloïde.
  - Pour entendre la raifon de l’opération que nous indiquons ici, il faut fe rappelles que.nous avons fait voir dans l'Hyperbole *, que fi-l’on menoit une ligne telle que AC, parallèle à,GH, le rectangle compris lous les parties AD & DC, feroit égal au quarré de la ligne GE. Or cpmrae Je re&angle compris lotis AD & DC, eft égal au quarré de la perpendiculaire DM .*, à caufe du demi-cercle ÂDC : il s’enfuit que la ligne DM eft égale à la ligne GE. Cela pofé, l’on fçait. que le cercle , qui au-roit pour rayon la ligne DM ,eft égale à la couronne formée parles deux circonférences* ÀNCO& DPFQ^ Cela étant, cette couronne fera égale au -cercle, qui aura pour rayon la ligne GE , & qui fera pn des cercles du .Cylindre,GHIK j & comme il arrivera la même chofe pour toutes des lignes, telles que AC, qu’on tirera parallèle à GH par tel point que l’on voudra de là ligne GA , il s’enfuit que toutes les couronnes feront égales entr’elles* puifque chacune fera égale à des cercles dp Cylindre. Or Comme il y a autant de couronnes que de cercles, les uns les autres étant exprimez par la ligne EL, il s’enfuit que l’efpace qui eft renfermé entre l’Hyperboloïde JDPFQE & le Cône tronqué ANCQGF.f qui n’eft autre .chofe 'que la fomme de toutes les couronnes ) eft égal au
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- - î>e Ma themat iqüe. 327
  - Cylindre IGHK,& par confequeht le cône eft plus grand que l’Hyperboloïde de toutle Cylindre IGHK.
  - APPLICATION DE LA GEO ME TRIE aux Mines.
  - 609. Il y a long-tems qu’on a obfervé que pour bien charger le Fourneau d’une Mine, il failoit une certaine quantité de poudre proportionnée à la pefanteur & à la ténacité du terrain à enlever. Et comme l’on s’eft apperçu que l’excavation d’une Mine étoit prefque toujours de figure reguliere, l'on s’eft attaché à découvrir fi cette figure étoit un folide que la Geometrie pou voit mefurer, afin qu’ayant une fois connu combien il failoit de poudre pour une quantité de toifes cubes du terrain d’une certaine qualité, l’on fçache la charge d’un Fourneau quiauroit plus ou moins de terre à enlever dans un lieu dont le terrain feroit femblable à celui ou l’on auroit fait des épreuves j &que faifantde femblables épreuves dans une autre forte de terrain, l’on fut en état de calculer des Tables, non feulement pour les Mines qu’on peut faire en pleine' campagne, mais aufli pour celles que l’on pratique dans la maçonnerie du revêtement des ouvrages pour y faire brèche.
  - Ayant fait quelque expérience , l’on s’efi imaginé que pîg. l’excavation d’une Mine étoit un cône renverfé comme BFC, dont le rayon EC du cercle de la bafe étoit égal à l’axe EF , qiie l’on a nommé depuis Ligne de moindre refi-ftance, parce qu’elle eft la plus courte de toutes celles qu’on peut tirer du Fourneau F, à la furface du terrain que la Mine doit enlever : cependant ceux qui ont un peu railonné, ont eu de la peine à concevoir que la poudre qui feroit dans le Fourneau F, fit fon effet félon l’angle droit BFC, & que le fond de l’entonnoir fe terminât en pointe, comme eft celle d’un çone $ c’eft pourquoi l’on a fait d’autres épreuves pour être plus certain de la figure du folide qu’une Mine enlevoit, & l’on a trouvé qu’au lieu d’un cône > c’étoit une efpece de cône tronqué
  - *T c
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- - 3 iS Nou veau Cours-
  - ABCD, dont le petit cercle AD qui répond au Fourneau, avoit pour diamètre une ligne égale au rayon EC du grand cercle , qui eft ici égal comme dans la première opinion à la ligne de moindre reftftance,ou autrement à l’axe EF du cône tronqué , j’ai reconnu à peu près ies mêmes chofesà quantité de Mines que j’ai vu joiier -, avec cette différence cependant , que l’entonnoir n’a pas au fond un plan circulaire AD ,. mais une elpece de cul de chaudron AGD , qui ne provient pas à la vérité de l’en-levement des terres, mais de la prdlion que la poudre fait au deflbus 6e à coté du Fourneau , parce que fon effort eft d’abord balancé par la maffe qu’elle doit enlever -, Selon remarque la même chofe, non leulement dans les Mines, mais encore à l’égard de la poudre oui vient à s’enflammer fur la fur fa ce de la terres car s’il y en a une quantité un peu conftderable, à laquelle on met le feu, l’on voit qu’à la place où elle a brûlé , il le forme un enfoncement qui provient de la refiftance que la flamme de la poudre a trouvée de la part du poids de l’air, qui eft plus que fuffi-fant pour partager fon effort.
  - La peine que l’on a de fe défaire des préjugez , eft fl grande, qu’elle va même jufqu’à fuivre des opinions contraires à l’experience 5 l’on a tant fait joiier de Mines,où l’on a vu que l’entonnoir étoit bien plutôt un cône tronqué , qu’un cône,qu’il femble qu’on devroit s’en tenir aux apparences les plus vrayes : cependant comme beaucoup de Mineurs font encore l’eftimation de la charge des Fourneaux fur celle du cone,il convient de leur faire fen-tir la grande différence qui fe trouve entre le cône & le cône tronqué, dont nous venons de parler, afin de les rendre plus circonfpecfs dans l’ufage des Tables dont ils fe fervent pour la charge des Fourneaux.
  - Ne confîderant que le cône tronqué ABCD , fans nous embarraffer de la partie AGD, puifqu’elle n’eft pas corn-prife dans Penlevement des terres, remarquez qu’il manque au cône tronqué ABCD un petit cône dont la bafe eft: le cercle AD, pour former un cône entier j & que le cône entier fera femblable au petit. Or le rapport du
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- - de Mathématique. 325^
  - grand cône au petit étant dans la raifon des cubes des dia-metresdes cercles qui leur fervent de bafe, c’elt-à-dire, comme le cube de la ligne BC elt au cube de la ligne A D : la ligne BC étant double de AD ( puifque cette dernière eft égale au rayon EC ) le cube de BC fera oétuple de celui de AD : ce qui fait voir que le cône entier elt o&uple du petit,'& que la différence du grand cône au petit ( qui elt le cône tronqué ) eft le J du. cône entier 5 mais le grand cône étant femblable au petit, li le cercle de run a un diamètre double de celui de l'autre, Taxe de l’un fera aulïi double de celui de l’autre s ce qui. fait voir que l’axe du grand cône elt double de celui du cône tronqué, c’elt-à-dire, de la ligne EF, qui fert aufll d’axè au cône EFC j mais ce dernier cône a pour bafe le cercle BC , de même que le grand cône : ils ne different donc entr’euxtjue par leurs hauteurs l &: comme Taxe du. grand cône elt double de la ligne EF, ce cône fera donc doubleduconeBFCjainfi il en vaudra les f : & comme nous' avons fait voir que le cône tronqué ABCD en étoit les-f, il s’enfuit que le cône tronqué elt au cône BFC, comme;
  - 7 elt à 4} de forte que li l’on veut charger une Mine, ôc que Ion foit dans l’opinion que l’excavation elt un cône, l’on va faire une erreur conliderable dans Te himation de la charge : puifque tandis qu’il faudra, par exemple, 400, livres de poudre pour le cône , il en faudra 700 pour le cône tronqué.
  - La figure curviligne caufée par la preflîon de la poudre au fond de l'entonnoir, joint à ce qu’il paroît que les cotez.
  - B A & DC ne font pas parfaitement en ligne droite, a fait, penfer que le folide enlevé par l’effet d’un Fourneau, pour-roit bien être un para boloïde. L’on a même fait quelques remarques qui ont parti affez conformes- à ce fentiment & ceux qui ont quelque raifon de croire que L’excavation d’une Mine elt un paraboloïde BGC, difent qu’ayant i.m> Fourneau à l’endroit F, ta ligne de moindre rehltance EF f»g* elt égale au rayon EC du cercle de Fentonnoir ,, com me dans le cône tronqué, &.que la ligne F G qui exprime la
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- - 23° 'Nouveau Couîis
  - prelîion des terres au défions du Fourneau,efi égalé au quart du paramétré de Ja parabole, dont le foyer efi: au centre clu Fourneau. Or comme l'on ne peut connoître la valeur du paraboloïde tronqué A BCD , ïàns avoir celle de la ligne FG. Voici comme on pourra la trouver, 8c par confeqnent s’appercevoir fi la prelîion des terres dans 1’efFet dune Mine qui viendrait à joiier dans un terrain d’une confifiance ordinaire,fe rapporte à ce qui eît déterminé par le foyer de la parabole.
  - Si l’on prolonge l’axe E G de la longueur GH égale à FG, c’e fi-à-dire, au quart du paramétré, la ligne IK perpendiculaire à l’axe prolongé, fera la directrice de la parabole > & par la propriété de cette courbe l’on aura HE~FC, qui efi l’hypotenufe d’un triangle redangle 8c ifofcele EFC. Or fuppofant que la ligne de moindre refiftanceEF foit de 40 pieds, l’on trouvera par la propriété du triangle rectangle , que la ligne FC cil de 5 6 pieds , 6 pouces, 8 lignes, qui efi: auiTi la valeur de la ligne EH j d’où retranchant U ligne EF de 40 pieds, la différence fera 1 6 pieds, 6 pouces, 8 lignes pour la ligne FH, dont la moitié efi 8 pieds, 3 pouces^ lignes, pour la ligne FG, de forte qu’il faudroit pour que l’excavation d’une Mine dans les terres ordinaires, fût un paraboloïde,que lorfque la ligne de moindrerelîfiance EF aura 40 pieds , que le cul de chaudron AGD fut de 8 pieds, 3 pouces. 4 lignes, de profondeur, qui efi une pref-fion bienconfiderable > qui nepourroitarriver, félon toute apparence, que dans un terrain d’une foible confifiance : & après tout, que l’excavation d’une Mine foit un cône tronqué ou un paraboloïde, l’on peut dans la pratique fe fervir indifféremment de l’un ou de l’autre, puilque lelon le calcul que j’en ai fait, j’ai trouvé qu’une Mine qui aurait 40 pieds de ligne de moindre refi fiance , enlevera 1 15? 8 2 1 pieds cubes félon le paraboloïde, 8c 11 8 1 15 félon le cône tronqué j 8c comme la première quantité ne défère de la fécondé que d’un 7 2me, j’aimerais mieux m’en tenir au cône tronqué qu’au paraboloïde, parce que le premier efi moins compofé que le fécond.
  - APPLICATION
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- - AloiivecuA, Cours•
  - Planche ij'.
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- - ST£ MàTHIM ATI QU Ê. 53 ï
  - APPLICATION DE LA GEOMETRIE au Toife des Voûtes.
  - PROPOSITION XVIIL Problème.
  - 6 10. Mefurer la Joli dite de la Maçonnerie de toutes fortes de Voûtes.
  - Il n’y a guéres que trois fortes de Voûtes parmi les ouvrages de Fortification. Les premières font celles des Sou-terreins j les fécondés, celles des Magafins à poudre j de les Xtoifiémes , celles des Tours aufquelles il y a des plattes-formes 5 les unes de les autres, font ou à plein ceintre-, comme dans la Figure 2 56. ou furbaiflfées, comme dans la Figure 257. ou gotique, que l’on nomme aufli Voûte eu f iers point, ou Voûte en arc de cloître, comme dans la Figure 2 5 8. de foit qu’elles fervent au£ Magafins ou aux Soû-xerreins 9 elles font .toujours difpofées en dehors en dos d’âne comme un toît, parce qu’on y. applique défias une jehape de ciment pour les garantir des eaux de pkiy.es.
  - 611. Si l’on a donc à toiler la Maçonnerie d’un foû-Xerrein ou d’un magafin, dont la Figure 250. foit le plan, J’on commence par toifer les pignpns PRST & MKOL, fans aucune difficulté , parce que ce font des parallele-pipedes j enfuite on toife aufli* les pieds droits ADFG depuis la retraite des fondemens jufqu’à la naifiance AC de la voûte > de pour la voûte l’on toife la fuperficie du triangle ABC a que l’on, multiplie par la longueur dans œuvre de la voûte j ce qui s’appelle toifer tant plein que vujde : de iéonûne il faut du.produit en déduire le vuide DKE, fi la Voûte elt en plein ceintre, l’on mefure la fuperficie du demi-cercle * DKE, que l’on multiplie par la même longueur qui a fervi à mefurer le triangle ABC i de fou-Srayant ce produit-ci du precedent* là diiFerence efi: la jwku.rde.ia Voûte.
  - Ttij
  - P L A Mi
  - CHE l8.
  - Fig. 25*.
  - 257. ôc 2^8.
  - Fig. 25*.
  - ♦Art.57*.
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- - • N O TI tu u Co if K s,
  - Jig. *57, 61 z. Si la Voûte eft furbaiffée, comme FEG, dont la
  - figure efi: une demi-Eliipfe il faut mefurer le triangle ABC comme ci-devant y& le multiplier parla longueur dans œuvre de là Voûte ; après quoi l’on cherchera la
  - *Art-574. fuperficie.de kdemi-EllipfeFEG * > pour, kanultiplier aufli par la même longueur 5 & fouftrayant ce produite ci du precedent ,on aura la valeur de la Voûte.
  - Fig. *5,J. ^ 1 3 • Enfin, fi la Voûte que l’on veut mefurer efl en
  - tiers point, comme ILM, on cherchera la fùperficie du
  - * Art. >73- triangle ILM, à laquelle on joindra celle des fegmens* des cercles, dont les lignes Lï & LM font les cordes*-5c ayant multiplié cette quantité par la longueur de la Voûte dans œuvre ,on fouftraira le produit de celui du triangle H KN , multiplie par la meme longueur, & l’on aura la folidité que l’on demande.
  - 614. Pour les Voûtes au-defilts desquelles il y a des plattes-formes, comme, par exemple » celles qui cou vrent les Salles de l’Obfervatoire Royal de Paris, le Toifé en efl un peu plus difficile j & je ne fçache pas même que per-fonne ait recherché la maniéré de le Élire géométriquement : comme ces fortes d’endroits ont pour baie un quarré ou un poligone régulier, le vuide & le plein de la Voûte font ordinairement un prifme, qui eft facile à me-furer: ôc comme il n’y a que le vuide qu’ri faut déduire,, qui peut faire quelque difficulté,, nous confidererons ici les differentes figures qu’il peut avoir, afin de les réduire à des corps réguliers.. *
  - Fier 2$0 Suppofant donc que les lieux dont il s’agit ayent pour kafe un quarré AB ou un poligone régulier GH , voici comment on peut confiderer la nature de leursVoûtes.
  - ; Si la bafie efl un quarré, les diagonales AB & CD fer-virent de diamètre a des demi-cercles AFB ôc CFD., qui partagent la Voûte en quatre, & qui forment des arrêtes dans les angles. Or fi l’on confîdere une infinité de quarréz qui remplirent le vuide de la Voûte tous ces quarrez auront leurs angles dans les quarts de cercles FC, FA, FB, ôc FD , & leurs cotez ferontdes lignes com-
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- - Dï MATSEHAtKyjt. J J J
  - mcGH&IK , tirées d’un quart de Gercle à' l’aiïtre parallèlement aux côtez AB ou DB, & la moitié de toutes les diagonales, comme EA & LM feront les ordonnées d’un quart de cercle AFE. Or comme la ligne EF ouEA qui marque la hauteur de la Voûte * exprime la fomme de tous ces quarrez 5 il s'enfuit que les ordonnées EA J8c IM fermant de demi-diagonales à ces quarrez, l’on trouvera la valeur de tous ces quarrez, comme on trouve celles des ordonnées d’un quart de cercle ; mais nous avons vu * que la valeur des quarrez des ordonnées d’un quart de cercle fe coiiiKnifoit en multipliant la plusgran-de ordonnée Ë A par les deux tiers de la ligne EF : il faudra donc pour trouver la folidité du corps AFB, multiplier le quarré AB, qui lui fert de bafe, par les deux tiers de la ligne EF, qui en exprime la hauteur.
  - 615 . Si la Voûte étoit fur' des pieds droits, qui com-pafFaflent enfèmble un prifme, & que ce prifnie fut de 6 •cotez, le corps qui formerait le vuide de là Voûte ,aurok une figure comme GHIK, formée auffipar demi-cercles : & comme ce corps feroit compofé d’une quantité infinie de poiigones femblables y de même que celui que nous Tenons de voir, eft compofé de quarrez >- fi l’on confi-dere le quart de cercle IICG, I on verra que toutes les ordonnées , comme OP & QR. de ce quart de cercle fer-Ve de rayons aux jjoligones dont le folide eft compofé > mais ces poiigones étant tous femblables, & dans laraifon -des quarrez de leurs rayons *, l’on en trouvera la valeur, comme on trouve celle des quarrez de leurs rayons, c’efi-à-dire ,en multipliant la fuperficie du plus grand poligo-;ne par les deux tiers de la ligne qui en: exprime la quantité. Ainfi pour trouver la valeur du folide GIH , il faut multiplier la bafe GH par les deux tiers de la perpendiculaire I K,
  - 616. Mais fi au lieu de demi-cerclés, e’étoit des demi-Ellipfes ABC & DBE qui partageaient la Voûte , on trouveroit de même la valeur du vuide , en multipliant la bafe AC par les deux tiers de l’axe BF i- car fi le plan AC
  - Ttiii.
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- - 154 Nouveau GoüAs
  - eft un quatre, tous ceux qui compoferont le folide fe- • ront aufii des quarrez, donc les demi-diagonales ferons les ordonnées KL &MN du quart d'Ellipfe HGI ouFBC; & comme l’on trouve la valeur de tous les quarrez des ordonnées d’un quart d’Ellipfe, comme on trouve celles *Àrt.44i. des ordonnées d’un quart de cercle *, e*eft-à-dire, en multipliant le quarre de la plus grande ordonnée HI par les deux tiers de la ligne GH : il s’enfuit que la Voûte a fes arrêtes en demi- cercle ou en Eilipfe,dont on trouvera toujours la valeur du vuide * en multipliant la bafe par les deux tiers de la hauteur j &il n’importe pour cela que la bafe foit un quarre ou un poligone.
  - Fig. 1^4. 617 • ^ eft encore une autre elpece de Voûte, que l’on
  - èciéy nomme Foute en b ourlet, parce qu’en effet le vuide de cette Voûte reftemble allez à un bourlet > & pour en donner une idée ., cdnftderez les Figures z6 4. & 265. dont la première eft le plan d’une Tour, où l’on voit dans le milieu un pilier AB, fur lequel repofe une Voûte, qui répond auflî aux murs de la Tour 5 de force que de quelque fens qu’on puifie prendre le profil de cette Tour, il fera toûjours femblabfe à la Figure z6 5. Or comme la Voûte régné autour du pilier ABE, il faut pour la toifer., commencer par mefurer la mafte H1CD, tant pleine que vuir de,qu.i eft un cylindre, quia pour bafe un cercle dont CD eft le diamètre, &HC la hauteur.
  - Prefentement pour trouver le vuide qu’il faut déduire de ce cylindre, il faut chercher la fuperficie du demi-cercle CM A 9 & la multiplier par la circonférence du cercle, qui fera moyenne arithmétique entre les circonférences de la Tour & du pilier , c’e.ft-à-djre, entre les circonférences qui auront pour rayons AF & FC 5 & retranchant ce produit-ci du precedent, on aura la valeur de la Voûte.
  - •Comme le bourlet eft compofé d’autant de demi-cercles que l’efpace qui eft: entre les deux circonférences GODQ^ &c ANBP contient de lignes, comme AC & NO, qui fervent de diamètre aux. demi-cercles j il s’enfuit que la
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- - Üï MATHEMATIQUE,' ligne qui exprimera la fomme dë tous les étemens qui çompofentk couronne *c’eft-à-dire, la fomme de toute* les lignes AC ôc NO, marquera auffi la fomme de tou» les demi-cercles qui compofent le bourlet. Or comme cette ligne ne il autre chofe qu’une circonférence GH moyenne arithmétique entre les deux CODQêc ÀN-BP * qui renferme la couronne, il s’enfuit qu’il faut multiplier le demi-cercle, qui auroit pour diamètre CA par la circonférence GH, pour avoir la valeur du bourlet.
  - • A l’égard du revêtement de la Tour, L’on voit que pour en trouver la folidité, il faut ôter de la valeur du Cône tronqué, dont RSTX feroit la coupe, le cylindre qui auroit pour diamètre du cercle de fa bafe la ligne HI , 6c pour hauteur la ligne HZ, afind’avoir la différence, qui fera ce qu’on demande.
  - APPLICATION Î>Ë LA GËO MÊTRIB à la manière de toifer le Revêtement d'une Fortification.
  - 61 3. Quand on trace une Fortification, il y a une ligne qui régné' tout autour des Ouvrages, que l’on nomme MagiftraleSy qui- fer ta donner les longueurs que doivent avoir les parties de la Fortification > 6c cette ligne eft celle qui eff reprefentée par le cordon du revêtement d’un Ouvrage jf par exemple, fi l’on dit qu’une face de Baffion a 5 o toiles, cela doit s’entendre depuis une extrêmicé du cordon, de cette face jufqu’à l’autre j ou , ce qui eff la même chofedepuis L’extrémité jufqu’à L’autre de l’entablement de la muraille de la face. P t â hu
  - Prefentement pour mefurer le revêtement du Baffion CH£ reprefenté dans-la Figure 2 66. confiderez-en- le profil, dont les dimenfions ont été prifes félon le profil general de M. de: Vauban , pour le revêtement ordinaire d’un Rempart, qui auroit 3 0 pieds depuis la retraite AG des. fondemeil-s jufqu’à la hauteur CH du cordon: 6c comme? k partie DEFC n’a point de talut, nous n’en parlerons point ici ; parée qu’elle eff facile à mefurer > nous confia
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- - tig.lJQ.
  - fUg. 268. ëc 169.
  - iKg. 171.
  - $36 Noüvbaü Coüi8 dererons feulement la muraille depuis la retraite jafqffatt cordon 3 & faifantaulîi abflra&ion des contreforts » il faut à caufe des pyramides tronquées qui fe rencontrent aux angles des points A 8c D, a bai (Ter les perpendiculaires AB & DE j 8c mefurer la fuperfîcie du trapeze ABCG du profirpar la longueur A Dde la face prife le long des contreforts, & le produit £era regardé comme le revêtement de la face : venant enfuite dans l’angle flanquant I, l’on tirera une perpendiculaire GH, de forte qu’elle cor* refponde dans l’angle K du pied de la muraille 3 8c ayant âufli a baillé la perpendiculaire CA , l’on multipliera le profil précèdent par la longueur HA ou GC du flanc, 8c l’on fera de même pour toifer la courtine 8c les autres parties où l’on aura retranché les pyramides des angles.
  - Pour connoître la valeur de ces pyramides tronquées, je confidere que celle qui efl à l’angle de l’épaule 8c à l’angle Taillant, refïçmblent allez à la Figure 270. Ainfi cormoiffant les deux plans VT 8c QR, je mefure cette pyramide tronquée comme à l'ordinaire, 8c fuppofant qu’elle foie celle de l’angle flanqué, je me garde bien de la prendre aulïi pour celle de l’angle de l’épaule, parce qu’elles font differentes en folîdité : c’elt pourquoi je me-fiire cette derniere, comme je viens de faire la precedente.
  - Quant à ce qui nous relie à mefurer dans l’angle flanquant I, je confidere la Figure 169. comme étant cette partie-là détachée , qui reffembleroit à un prifme, fi le vuide BCEHG était rempli j fuppofant donc qu’il lefoit, je cherche la valeur du prifme AFG, de laquelle je fou-ftrais celle de la pyramide KMI, que je fuppofe être égale au yuide BEG, 8c la différence donne la partie que je cherche.
  - 619. Ce feroit peu de ehofe que de toifer le revêtement d’une Fortification , s’il étoit toujours compo.lé de lignes droites, comme dans cette Figure 3 mais il y a bien d’autres diffîcultez , quand il faut toifer le revêtement des parties des Bailions à orillons, comme celle du Baition
  - repre-
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- - D E M A T H E M A T ï QJJ E. 3*37
  - rcprefenté dans la Fig. 27 1. Cependant comme les art.
  - 3 5>4- 5 9 5 • ont été raportez exprès pour en faciliter l’in-tclligence, nous allons faire en forte d’en rendre les operations aifées. Pt à»*
  - La Figure 275. reprefente le flanc d’un B a il ion à or il- che 20. Ion, dont la largeur AB marque l’épaifleur du revête- Fig. 285, ment au cordon , qui eft toujours de 5 pieds, & la largeur BC marque le talut du revêtement, qui eft ici de 6 pieds j de force que toute la largeur AC marque l’épaif-leur du revêtement fur la retraite, qui fera de 11 pieds,
  - =& la ligne FKIGDE la magiftralle. Or pour toifer l’oril-lon GSD, nous allons voir premièrement de quelle façon il a été tracé, afin de connoître l’angle GHD, & le rayon HD, dont nous aurons bcfoin.
  - L’on fçait que pour tracer Porillon félon la méthode .de M. de Vauban, que Ion divife le flanc FD en trois parties égales, & que la troifiéme partie GD devient la corde d’une portion de cercle qui forme l’orillon, & que pour décrire cette portion de cercle , l’on éleve fur le lieu de la partie GD une perpendiculaire IH, & une au--treD H fur l’extrémité DE de la face du Baftion, & que ces deux perpendiculaires venant fe rencontrer au point H, donnent le centre de l’orillon, ou autrement de l’arc GVD ; dont le rayon eft la perpendiculaire DH,
  - Cela pofé, fi avec les rayons HB, HG, HQ, l’on dé- Fig-17b çrit trois cercles, & que l’on confidere la Figure 273. & 274* J’on verra que ces trois cercles compofent un Cône tronqué, dans le milieu duquel eft un cylindre , & le pian BY étant le profil de l’orillon, la ligne GQdans l’une & p°feméqtfê l’autre Figure marquera le talut du revêtement j la ligne fa moitié du, -GB fon épaifleur à l’endroit du cordon , & la ligne HGle demi-diamétre de l’orillon , qui eft la même chofe que ménager HD- Qr .comme le revêtement de l’orillon eft un feéteur i^fpacc âc <le Cône tronqué /après en avoir ôté*le cylindre, qui eft ia Planc ^ <lans le milieu, & que la grandeur de ce fe&eur eft dé-, terminée par l’angle GHD ,-voici comment on pourra connoître la valeur des lignes dont nous avons befoin pour mefurer ce fedeur. ..Vu
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- - 3^ 8 Nouveau Cours'
  - On a vû art. 526. que l’angle de l’épaule FDE étoit de 117 degrez 3 9 minutes j par. confequent fl l’on enfou-flrait l’angle droit HDB, il reliera 2.7 degrez 3 9 minu^ tes pour l’angle ÏH^ du triangle redangîe HL D. Ainfl 1 l’angle LHD 1er a de 62 degrez 21 minutes: & comme on a trouvé auffi art. 5 2 6 . que le flanc FD étoit de 2 7 toi- -fes 2 pieds, la ligne LD en étant la lixiéme partie fera de 4toifes 3 pieds 4 pouces. Or comme du triangle LHD. l’on connoît les trois angles & le côté LD, il fera facile -de connoître le côté DH, que Pôn trouvera de 5 toifes 9 pouces. Cela étant , on connoîtra toutes les lignes de la Figure 5 car le demi-diamétre H G étant de 5 toifes 9 pouces, & la ligne GB de 5 pieds, le rayon HB du cylindre fera de toifes 1 pied 9 pouces , & le talut GQ^ étant de 6 pieds , le demi-diamétre HQ^de la bafe du ; Cône tronqué fera de 6 toifes 9 pouces, 6e Taxe H Z exprimant la hauteur du revêtement, fera de 5 toifes : ainfl . Ton connoît tout ce qu’il faut pour mefurer le Cône tronqué 6e le Cylindre, qui efl dans le milieu.
  - Ayant donc mefuré le Gone tronqué 6e le Cylindre, on ; retranchera la valeur du Cylindre de celle du Cône tronqûé, pour avoir le fragment qui.en fait la différence; 6e comme le revêtement de l'onUon. efl unfeéleur de ce fragment , l’on en cherchera la valeur , en fuivant ce. qu’on a vu dans l’art, 59 5. ce fl-à-dire , que connoilfant.. l’angleGHD, qui efl de 1 24 degrez 42 minutes, l’on dira : Si 3 6 o degrez m’ont donné tant pour la valeur du Cône tronqué, après en avoir ôté le Cylindre , que me donneront 1 24 degrez 42 minutes pour le fecteur, ou autrement pour la valeur du revêtement de l’orillon qui fe trouvera,enfailant le calcul dès parties que..l’on vient d’indiquer.
  - 272. 6 20. Avant de chercher à toifer le flanc concave Kl,
  - il faut être prévenu que pour le tracer on a prolongé la ligne de déferfe SF de la longueur FK de 5 toifes pour, faire la brifure, & que par l’angle flanqué S, .& le point G Lon a tiré la ligne SI, pour avoir la partie GI auffi de:
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- - D E MaTHEMATI (517 E. '3 3^
  - 5 toifes 5 & enfuite on a tiré la ligne Kl, fur laquelle on fait un triangle équilatéral KPI,pour avoir le point P , qui a fer vi de centre pour décrire avec le rayon P K l’arc Kl , avec le rayon PN l’arc NO , ôc avec le rayon PL Parc RM.
  - Prefentement la première 'difficulté eft d’avoir la valeur du rayon PK,que l’on trouvera pourtant en confî-derant qu’on connoîc l’angle SFG de 80 degrez 47 minutes par l’art. 516. qui nous a donné auiïi la ligne EF de 8 2 toifes, à laquelle ajoutant la ligne SE , c’eft-à-dire , la faceduBaftion , qui eft de 50 toifes , on aura toute la ligne SEF de 1 3 2 toifes : & comme la ligne FG eft les deux tiers du flanc ED, que nous avons trouvé de 27 toifes 2 pieds i elle fera donc de 1 8 toifes 1 pied 4 pouces. Or comme du triangle SFG on connoît les cotez FS ôc F G avec l’angle compris , on trouvera par leur moyen que. l’angle FSG eft de 8 degrez , <k que le côté-eft de 12 6 toifes 5 piedsj & fi au côté SF on ajoûte la ligne FK de 5 toifes, ôc au côte* SG la ligne GI aufii de 5 toiles, Pon aura un autre triangle IvSI , dont on connoîtra le côté SK de t .3 7 toifes, le côté SI de 1 3 1 toifes 5 pieds,
  - 6 l’angle KSI de 8 degrez, avec lefquels on trouvera la ligne Kl de 1 8 toifes 4 pieds quelque chofe : ôe comme cette liene eft éçale au ravon PK , il fera donc aufii de 18 toiles 4 pieds.
  - Si l’on confidere bien le revêtement du flanc concave Kl, on verra qu’il n’eft autre chofe qu’un fe&eur du cylindre , dans le milieu duquel il y auroit un vuide en foraine de Cône tronqué, comme dans l’art. 5 96. & pour le mieux comprendre, imaginons que XV eft la moitié d’un ^cylindre, dont le rayon PN du cercle eft le même que celui de l’arc NO du flanc, ôc que le rayon P K étant de 1 8 toifes 4 pieds, fi on y ajoûte la ligne KN , qui marque l’é-paififeur de la muraille au cordon, & qui eft par confe-quentde 5 pieds, on aura la ligne PN de 1 7 toifes 3 pieds. Or fi de la ligne PK on retranche la ligne KL , qui marque le talut de la muraille, qui eft de 6 pieds, l’on aura
  - V u i j
  - Fig. 271.
  - 273. ôc
  - 274,
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- - 3,40- Nouveau Cours
  - la ligne PL de 17 toiles 4 pieds 5. &.fl la-ligne NV efE égaie à la hauteur du revêtement, c’elt-a-dire , de 5 toi-fes, le trapeze KL VN. fera le profil du. revêtement : ainfl comme l’on connoît le rayon PN du cylindre , le demi-diamétre PK du plus grand cercle du Cône tronqué, & le: demi-diamétre PL du plus petit cercle du même Cône, Sc de plus l’axe Vp de 5 toifes j. on a tout ce qu’il faut: pour mefurer la folidité du cylindre XV, & celleduCone-tronqué. Ayant donc trouvé ces fbliditez ,011 fouftraira. celle du Cône tronqué de celle du cylindre , pour avoir, la différence, qui étant une fois trouvée, l’on dira : Si 3 60. m’ont donné tant pour la différence du.cylindre auCone-tronqué , que. me donneront 6 0 degrez,.valeur de l’angle NPO pour la. folidité. du fedeur de la.partie clu cylindre , après en avoir ôté le Cône tronqué, Ôc ce qu’on. trouvera fera au jufte la valeur du revêtement du flanc, concave. Quant à la brifure FK, ôc au revers G1 dcl’orii-lon , ce font, des parties trop aifées à toifer , pour avoir be-foin d’explication...
  - Eig.. 178. 611. La maniéré de toifer l’àrondiffement d’tme Con-
  - trefcarpe, efl encore, une operation, qui a auffi fes difîi-cultez:mais comme cette partie eft la. même que celle du flanc concave, fl on a bien entendu ce que j’ai dit ci-devant , je ne crois pas qu’on fe trouve embarraffé. Cependant comme je ne veux, rien laiffer à deviner, confi-derez que pour toifer la maçonnerie de. la Côntrefcarpe de la Fig., 2.7 8. on s’y .prendra comme on a fait pour le Ba-ftion de la Fig. 2 66. c’eft-à-dire,que faifantab (traction des contreforts, on multipliera la fuperficie de la maçonnerie par la longueur de la Côntrefcarpe rectiligne , & qu’on mefurera aufii les pyramides tronquées , qui fe trouveront dans les angles rentrans y dt pour, l’àrondiffement, on s’y prendra comme il fuit-.
  - Eig. 27S. <521. Suppofant que l’arc AC B marque le pied de la
  - muraille dans le folle, l’arc DFG le fommet, & l’arc HIK avec le précèdent l’épaiffeur au fommet, & l’inter vale CE le.talut, on commencera, par chercher la valeur de.la
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- - BË M A T H-Ë MAT I QJLT É, 34 T
  - sortie ÂB, que nous fuppoferons de 2 o toifes, 8c celle de k fléché LC, qui fera , par exemple, de 4, afin de con-noître le diamètre de tare AC B , qu’on trouvera, auffi-bien que celui de tout autre arc, en cherchant une troi-fléme proportionnelle à k fléché LC ,*& à la moitié de la corde LA, c’eft-a-dire, à 4 & à 10: cette troiiiéme proportionnelle qui eft ici de 25 toiles, fera la valeur du: diamètre qu’on demande.
  - 623. La raifon de ceci s’entendra aiiement, en confl- Fédérant que 1-arc ACB de la Figure 2 7 6 . eft le meme que le precedent,- 8c on remarquera qu’ayant achevé le cercle , la demi-corde LB eft moyenne proportionnelle entre la fléché CL 8c la partie LM-du diamètre j & qu’ayant trouvé la ligne LM troiiiéme proportionnelle à CL 8c LB, un 11’a qu’à l’ajouter à la fléché CL-, pour avoir le- diamètre CM.-
  - CommenoüS avons befoin de connoîtrè aulîî la quantité de degrez que contient l’arc ACB, fl on tire les rayons NB& NA du centre, Ion aura lè triangle ABN,dont' oneonnoît le côté AB de 2 o toifes, 8c les cotez NB 8c NA‘ chacun de J4 toifes 3 pieds : il fera donc facile de con-noître l’angle ANB, que l’oii trouvera de 50 degrez 44.-minutes.
  - Prefentement fl l’on confldere le profil dé là Contref-carpe dans la Figure 281. on verra que reflemblant à celui du flanc concave, Parondiflemént du foflfé eft un fec-teur de cylindre , duquel on a ôté un Cône tronqué, dont l’axe commun ferpit là ligne OP. Or fl la hauteur ‘
  - FR. ou OP eft dé 1 8 pieds, &,répaifleur FI de 3 : , le talut CR de 4., le rayon PC étant de 14.toifes 3 pieds, lë rayon 0F fera de 1.y toifes 1 pied,& le rayon OI fera de 1 5 toifes 4pieds : 8c comme on connoît toutes les lignes du cylindre , qui auroient pour plan générateur le reétangle PI,
  - 8c celles.duCone tronqué, qui auroient pour plan générateur le trapezoïde POFC $ fl on cherche là fôlidité de’
  - L’un 8c de l’autre, & qu’on ôte celle du Cône tronqué de.-celle..du cylindre, on aura la différence qui nous don^-
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- - ,34'*- Nouveau Coun
  - nera la folidité que nous cherchons, en difant: Si.16 o de-
  - grez mont donné cette différence, que me donneront
  - 5> o degrez 44. minutes pour la valeur de l’arondiffe-
  - ment.
  - Je nai rien dit jtifqu’ici fur la maniéré de toifer les contreforts, parce qu'ils 11e font autre chofe que des pa-rallelepipedes, dont la folidité fe trouve en multipliant la bafe par la hauteur.
  - f
  - MANIERE DE ME SV RE R LA SOLIDITE de F onglet à*un Bâtardedit.
  - 277. 624. Quand les foffez d'une Fortification font inondez?
  - on y fait ordinairement aux endroits les plus convena-' blés des Batardeaux de maçonnerie, pour retenir les eaux .•ou pour les. lâcher, felon.le befoin qu’on en a. Pour connaître ce Batardeau, confiderez la Figure 277. qui fait voir que cet ouvrage n’eft autre chofe qu’un corps de maçonnerie, dont le profil ABCDE marque que le defïus .BCD eilen dos d’âne pour l’écoulement des eauxdepluye, & pour . empêcher qu’un homme ne puiffe paffer deffus : .cependant comme les Soldats pourraient, en'defcendant .du rempart avec une corde, paffer le folle en s’acheva-Jant fur cette chappe, on fait, pour y mettre empêchement, une tourelle dans le milieu., qui s’oppofe abfolu-ment au paifage. Or pour toifer ce Batardeau , on commence par mefurer la fuperfiçie du profil ABCDE, qu’on multiplie par toute la largeur du folle en cet endroit ,* enfuite on cherche la folidité du cylindre FIKG, auffi-bien que celle de fa .couverture , qui eft quelquefois un Cône ILK, où mie demi-fphere. Jufques-là tout elt facile» mais ce qui embarralfe-prcfque tous, les Ingénieurs ., c’cft de toifer les deux fxagmens, comme FHG, de la tourelle , qui font à droite &: à gauche, comme on peut les z8ft. voir encore mieux en X &: Z de la Figure 282. qui eh: un profil de la tourelle & du Batardeau.
  - Ce Problème me fut propolé il y a fept ou huit ans par
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- - B e Mathématique. 34 . 3
  - glufieurs Ingénieurs, qui defiroient d’en avoir îa folution. Je.la cherchai, & la trouvai de plufieurs maniérés 3 [je pris tant de plaifir à y travailler, que je recherchai même plufieurs chofes fort curieufes à fon occafion 3 entr’autres de fçàvoir quelle effc la quadrature de la furface de l’onglet , c’efi-à-dire, trouver un redangle égal à fa furface : & comme je crois qu 011 fera bien aile de fçavoir ce qu’on peut dire de plus, intereffant là-delfus, on n’a qu’à examiner ce qui fuit.
  - Comme l’axe du cylindre qui compofe la tourelle répond fur l’arrête de la cape du Batardeau 3 cette arrête partage la cape du cylindre en deux également j de for-teque chaque demi-cercle devient. une des faces NQM de l’onglet. Or fi l’on conlidere ce folide comme compofe d’une quantité infinie de triangles rectangles, tels que POQ^, qui ont tous pour bafe les ordonnées PO , RS, TV, des quarts de cercles OQN & OPM , on verra que tous ces triangles étant femblables, ils font dans la même raifon que les quarrez de leurs bafes 3 & ne prenant que les triangles qui compofentia moitié QNOP de l’onglet, il. s ’enfuit qu’on en trouvera la valeur comme on trouve celle des quarrez de leurs bafes , ou autrement comme on trouve celle des quarrez des ordonnées d’un quart de cercle * 3 mais nous fçavons que pour trouver la valeur de tous ces quarrez, il faut multiplier celui de la plus grande ordonnée OQ par les deux tiers de la ligne ON, qui en exprime la quantité : il'faudra donc pour trouver la valeur de tous les triangles-, multiplier le plus grand triangle POQjjar les deux tiers de la ligne ON : mais comme ceci ne donne que la moitié de la folidité de l’onglet, il faudra donc, pour l’avoir toute entière, multiplier le triangle POQ^par les deux tiers dir diamètre MN.
  - Suppofant que cet onglet-ci foit le même que celui qui eftenX, le triangle OPQjfera le même que ABC 3 par confequent fi la ligne CA elt de 5 pieds, & le diamètre AD de 5 , la ligne BC fera de demi,. la fiiperficie
  - F!g. 27^
  - ♦Art.
  - Fig.. 273*.••
  - & 2.Î.H-
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- - $ 44 Nout eau Cours
  - du triangle ABC fera de 11 pieds 3 pouces , qui étant multipliez par les deux tiers du diamètre AD, c’eft-à-dire, par 6 , donnera 6 7 pieds & demi cubes pour la folidké de l’onglet X. _
  - fig. iSq. Si l’on imagine l’onglet coupé par une quantité de plans, qui palfant par le centre B du demi-cercle, aillent tomber' fur la circonférence AFB, c’eft-à-dire , perpendiculairement fur la furface de l’onglet, ces plans partageront l’onglet en une infinité de petites pyramides, qui .auront toutes pour hauteur commune le rayon du demi* cercle, & leurs bafes dans la furface de l’onglet. Mais comme toutes ces pyramides prifes enfemble font égales à une feule, qui auroit pour bafe la fomme de toutes les bafes, c’eft-à-dire, la furface de l’onglet, & pour hauteur fon rayon 5 il s’enfuit qu’on trouvera encore la fo-lidité de l’onglet, eu multipliant fa furface par le tiers du rayon.
  - 6 25. Prefentement je dis que la furface de f onglet X -eft égale à ,un redangle, qui auroit pour bafe le diamètre BD ou MN de l’onglet, & pour hauteur la hauteur même de l’onglet, c’eft-à-dire, la ligne B A.
  - Si l’on nomme la ligne B A, aj le rayon CB ou CD, b > Je diamètre BD fera ib. Celapofé , il faut faire voir que BDxBA (iba) eft égal à la furface de l’onglet.
  - Confiderez que la fuperfîcie du triangle ABC eft & que fi. on multiplie ce.tte quantité par les deux tiers du diamètre BD, ç’eft-à-dire, par ~, l’on aura pour la folidité de l’onglet : mais comme ce produit peut être regardé comme le produit de la furface de l’onglet par le tiers du rayon, il s’enfuit que divifant par * , le quotient fera neceftairement la furface de l’onglet. Or fai-faut donc la divifion *, on trouvera que ce quotient eft i^“BDxBA , ce qui fait voir que la furface de l’onglet eft égale au redangle que nous avons dit.
  - VRINCJU
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- - Nouas ecut Cours
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  - Plarvciie.3,0
  - 344-
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- - DE MATHEMATI Q^UE. 345
  - PRINCIPE GENERAL POVR MESURER les Surfaces & les Solides.
  - ‘62 6. Rien ne Fait mieux eonnoître la beauté de la Géométrie, que la fécondité de fes principes , qui fem-blent à Penvi ouvrir de nouveaux chemins pour parvenir à la mêmechofe 5 témoin les belles découvertes qu’on a faites de notre tems,'parmi lefquelles en voici une qui eft trop intereffante pour la refufer à ceux dont le principal objet., en étudiant la Géométrie, ell de fça-voir melurer les corps, mais comme fa connoiffance dépend de certaines chofes dont nous n’avons point parlé juf-qu’ici, nous allons faire en forte de ne rien laiffer à deviner.
  - DEFINITION.
  - 617. L’on nomme centre de gravité d'une ligne droite, JUn point par lequel cette ligne étant fufpendue, toutes les parties font en équilibre 5 car quoiqu’une ligne foit regardée comme n’ayant aucune pefanteur , cela n’empêche pas que la différence de fes parties ne foit confi-derée comme un obftacle a l’équilibre 5 ainli la ligne AB étant divifée en deux également au point C, ce point eft pris pour celui d’équilibre, c’eft-à-dire , pour l’endroit par lequel cette ligne étant fufpendue, les parties égales CA &: CB feront en équilibre, parce que n’etant pas plus longues l’une que l’autre, il n’y a point de raifon pour que .l’extrémité A ait plus d’inclination pour le mouvoir , que l’extrémité B : &: quand cela ell ainfi à l’égard d’un plan, :Ce point eff appel lé le centre de gravité du plan: car quoique lé plan , aulli-bien que la ligne, foit conlideré fans pefanteur, cela n’empêche pas qu’on 11e regarde encore fes parties comme pouvant être un obllacle à leur équilibre.
  - 628. Par exemple, li l’on a un re&angle AB, & qu’on .tire les diagonales AB & CD, lepoint E, ou elles fe cou-
  - Xx
  - Planche 21.' Fig. 28jgî
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- - 34^ Nouveau Co u r s-
  - pent ».en fera le centre de gravité, parce que fi ce plan étüit pofé fur un'pivot fort aigu qui répondît à l’endroit E, il n’y auroit point de raifon pour que le plan inclinât plus du côté DB que du côté AC, ni du côté AD , plutôt que du côté CB.
  - Comme les furfaces circulaires font formées par la circonvolution uniforme d’une ligne droite , ôc que les folides circulaires font formez par la circonvolution d’un-plan, c’eft la valeur de ces lurfaces ôc de ces folides qu’on fe propofe de trouver ici , moyennant la cônnoi finance du centre de gravité de la ligne génératrice, celui du plan générateur ; car fi le point C ell: le centre de gravite de la ligne AB , ôc qu’on éleve à cet endroit la perpendiculaire CD, nous ferons voir que ( la ligne AB ayant fait une circonvolution autour de la ligne EF, qui fera appelles dA*, & qui eft-auffi perpendiculaire fur DC) la furtace que décrira la ligne AB , fera égale à un reélangle , qui auroit pour bafe la ligne A B, ôc pour hauteur une ligne égale à la circonférence, qui auroit pour rayon la ligne DC, qui exprime la. diftance du centre de gravité C à l’axe? 5c que fi du centre de gravité E l’on abaiffe une perpendiculaire EF fur le côté CB, ôc qu’on fafie faire une circonvolution au reélangle AB fur le côté CB ( que nous nommerons auffi axe ) le corps que décrira le plan, fera égal à un parallelepipede., qui auroit pour baie ce plan même, & pour hauteur une ligne égale à la circonférence du cercle, qui auroit pour rayon la ligne EF 3 ce que nous rendrons general pour mefurer toutes les furfaces dont on pourra connoître les centres de gravité de leurs lignes génératrices, ôc pour mefurer tous les folides dont on pourra connoître le centre.de gravité de leur plan générateur..
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- - 347
  - B ;£ M A T H B M A T I OU €.
  - PROPOSITION PREMIERE.
  - Problème.
  - 619. Connoijfant le centre de gravité dé me ligne droite AB, trouver la valeur de la furface quelle décrira, après avoir fait une circonvolution autour de l’axe E F.
  - Je dis qu’il faut multiplier la ligne AB par la circonférence du cercle , qui auroit pour rayon DC, & qu’on aura la fur fa ce que l’on demande > car comme cette ligne décrira un cylindre GB, & que pour trouver la fur-face de ce cylindre, il faut multiplier le cercle du rayon FB de la baie par la hauteur AB du cylindre * 3 il s’enfuit que la ligne DC étant égale à FB, que les circonférences de ces lignes feront aufli égales j & que par conséquent le produit de la ligne AB par la circonférence .du rayon DC, fera égal à la furface qu’on demande.
  - . 630. Mais fi la ligne AB, au lieu d etre parallèle à l’axe .EF, étoit oblique, comme elF, par exemple, la ligne GH : je dis qu’ayant fait une circonvolution à l’entour de Taxe EF, la furface qu elle décrira fera encore égale au rec-.tangle compris fous la même ligne GH, & fous la circonférence du cercle qui auroit pour rayon la ligne DC, ;tirée du centre de gravité C perpendiculaire fur l’axe EF.
  - Comme cette ligne aura décrit la furface IH d’un Cône tronqué, & que la ligne DC eft moyenne arithmétique «ntre EG & FH *, la circonférence , qui auroit pour rayon DC, fera moyenne arithmétique entre les circonférences des rayons EG & FH : mais comme ces circonférences fervent de cotez parallèles au trapezoïde, qui auroit pour hauteur la ligne GH, Sc que ce trapeze eit .égal à la furface du Cône tronqué 5 il s’enfuit que le rcc-rangle compris fous GH, & la c irconference du cercle , qui auroit pour rayon DC , eft égal à la furface décrite par la ligne GH.
  - é 3 1. Enfin li la ligne génératrice vendit rencontrer , comme EK , l’axe EF, je dis encore que fi elle fait une
  - • Xxij
  - Fig-
  - $Cz86.
  - * Art. 577.
  - Fig. 287. & 1S8.
  - * Art. 56*8.
  - Fig. 289. de 290.
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- - 3 4S N o U V E A U C O U K s
  - circonvolution à l’entour de Taxe EF , la furface qifek-le décrira, fera égale au re&ànglé compris fous Ta même ligne EK, & fous la circonférence du cercle qui auroir pour rayon DC.
  - Si l’on fait attention que la ligne génératrice aura décrit la furface du Cône LEK, on verra que cette furface étant égale au re&angle compris fous le côté EK', & fous ♦Art.579. la moitié de la circonférence du cercle LK.*, la ligne DC étant moitié du rayon FK, la circonférence dont elle fera le rayon, fera auffi moitié de LK 5 ,& que par confe-quent le re&angle compris fous la ligne génératrice EK, & fous la circonférence du cercle, qui aüroit pour rayon DC, fera égale à la furface quelle aura décrite.
  - PROPOSITION I I.
  - Problème,.
  - Fi t *94 é 3 2. Si ton a une demi-circonference EBF ,(jr que le point
  - û C foit le centre de gravité ,je dis que cette demi-circonference-
  - ayant fait une circonvolution fur l'axe E F, que la furface qu'elle décrira, qui fera celle d’une Sphere t fera égale au Re* cïangle compris fous une ligne égale h la demi-circonference. jEBF fous, celle qui- fer oit-égale k la circonférence dont la
  - ligne CD ferait le rayon.
  - Comme il faut connoître, le centre de gravité C par rapport aux autres parties de la figure, on fçaura que la ligne CD., qui en détermine la pofition par rapport au centre du demi-cercle, doit être quatrième proportionnelle à la demi-circonference EBF, au diamètre EF, &. au demi-diamètre. DF. Ain fi ayant nommé la demi-circonference a i le diamètre EF ,b ; le demi-diamètre DF
  - *Art. 153.- fera b-, & par confequent on aura a: b : :h- * qui fait voir que ^-eft égal à la ligne DC ; mais comme nous avons befoin de la. circonférence de la ligne DC,. on k
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- - Xf E' M A T.ÎÏ E M A T I QU E.
  - tfôtivera , en difant, Comme le rayon DF ^eft à fa
  - circonférence ( za) 3 ainfi le rayon DÇ ( eft à fa
  - circonférence : c’eft pourquoi multipliant le fécond ter-Ttii par le troiftéme, ôc divifant le- produit par le-premier*, on trouvera le quatrième, qui fera 2 b.
  - Comme zh eft là circonférence du rayon DC, û on là multiplie par la demh circonférence EBF (a), l’on aura 2 ah pour la furface que la demi-circonference aura dé--crite 5 ce qui. eft évident , car comme cette furface eft ici celle d’une Sphere, 6c que la furface d’une Sphère eft égale au- produit du diamètre du grand cercle par la circonférence du même cercle *, toute la circonférence étant ici 2a > 6c le diamètre & , la furface fera toujours 2 ah.
  - R EMA R UE.-
  - Je viens d’en dire affez pour faire voir que dès qifon* aura le centre de gravité d’une ligne droite ou coiirbe, on trouvera^toùjours la furface dont elle aura été la génératrice , 6c que rien au monde ne feroit plus beau que ce principe, fi l’on avoit autant de facilité à trouver le centre de gravité de ces lignes,.qu’on en a a. trouver la valeur des i'urfaces qu elles décrivent. Ain h ayant-'fatis-fait à mon premier deftèin , je vais remplir le fécond, en montrant comment on peut aufîî, par les centres de gravité des plans générateurs, trouver la foliclité des corps qu’ils auront décrits.
  - P R Ô P O SITIO N IIL
  - Problème.
  - 6 3 3. Si l'on a un Rectangle AF, qui faffe une circonvolution autour de l'axe EF, je dis que lafoliditédu corps' qu’il décrira , fera égal au produit du plan AF parla circon ference, qui auroitpour rayon la ligne CD , tirée du centre de-gravité C, perpendiculaire fur T axe EF*
  - Xx-iij...
  - *Art.iS>
  - * Art.3 84-4
  - Fîg.-
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- - *ig.
  - & 2*1.
  - 3-50 Nouveau C o uns
  - Comme ce folide.fera un cylindre , nous fuppoferons que c’eft.Ie cylindre AG : ainfi nommant l’axe EF , a 3 la
  - ligne AE, fi.la ligne CD fera*, puifqu’elle-.eflmoitié'de AE 5 & fi l’on nomme la circonférence du rayon EA, c* celle du rayon CD fera j.
  - Cela pofé, AExEF (ab) fera la valeur du plan générateur , qui étant multiplié par la circonférence du rayon
  - CD0) , l’on aura ^ pour la valeur du folide formé
  - par la circonvolution du plan AF 3 ce qui eft évident : car comme ce folide , ou autrement le cylindre AG , eft égal au produit du cercle de fa bafe par Taxe EF *, on
  - voit que la fiiperficie de.ce cercle étant fi on .la multiplie par l’axe EF, on aura encore
  - PROPOSITION IV.
  - Problèmes.
  - 634. Si ton a un Tnangle ifofcelle EBF, dont le centre de gravité fait le point C, je dis que fi ce Triangle fait une circonvolution autour de taxe EF, que le folide quil décrira » fera égal au produit du plan générateur parla circonférence du cercle , qui anroit pour rayon la ligne CD , tirée du centre de gravité perpendiculaire fur taxe.
  - Remarquez que le folide IKGH qu’aura décrit le triangle EBF, eft.compofé de deux Cônes R GH & KIH, de qu’il s’agit de faire voir que le produit du plan EBF par la circonférence du rayon CD, eit égal à ces deux Cônes : mais pour cela il faut être prévenu que le centre .de gravité du triangle ifofcelle, eft un point tel que C, pris dans la perpendiculaire BD aune diftance CD de la bafe , du tiers de la perpendiculaire. Àinfi nommant la
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- - DÊ Mathemat i cvge. 3:‘fî?
  - ligne EF , a 5 la ligne BD, b} & c la circonférence dont-elle feroit le rayon j CD étant le tiers de BD , la circonférence dont elle feroit le rayon, fera~.
  - Cela pofé le triangle EBF fera— , qui étant multiplié par’
  - “7,1’ün aura ~ pour la valeur du foîidé KGHI5 ce qui'
  - eft évident : car 11 l’on cherche par la voye ordinaire la folidité du Cône KGH , dont le pian générateur elt le triangle EBD * la ligne BD étant le rayon du cercle de
  - là bafe, fa valeur fera ^ , qui étant multiplié par le tiers
  - de la ligne ED *, ou par la fixiéme partie de EF ^ ~ J 5 *Aït.^8
  - l’on aura ~ pour la valeur du Cône, & par confequent
  - ~ , ou bien ^ pour la valeur des deux Cônes, c’eft-à.,.
  - dire, du folide KGHI, qui fe trouve la même que la pré-'
  - 'ce dente.
  - , 6 3 5. Mais fi le triangle EBF faifoit une circonvolution< autour de Taxe FM, il décrira un folide d’une autre figure , dont le rapport avec le précèdent fera comme la ligne BC elt à la ligne CD 5 car pour trouver la valeur de ce folide, il faudra multiplier le plan EBF par la circonférence du cercle , qui auroit pour rayon BC : & comme l’un & l’autre folide aura pour bafe lé même plan EBF, ils feront dans la même raifon que leurs hauteurs , c’eft-à-dire, dans la raifon des circonférences des rayons BC & CD, qui font dans la même raifon que ces* rayons.
  - ; L’on peut remarquer encore qu’ayant un triangle rectangle EBD, qui falle une circonvolution autour dneô-' té ED , qu’il décrira un Cône dont on trouvera la valeur , en multipliant le triangle BED par la circonférence du cercle , qui auroit pour rayon la ligne CD égalé-au tiers, de la bafe BD j car multipliant BD (£) par îte 1
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- - %253.
  - % Nouveau C o u r;s .
  - moitié de ED ^ , l’on aura-— pour la fuperficie du
  - triangle, qui étant multiplié par'j, donnera
  - Et fi le triangle EBD faifoit une circpnvolutionautour de Taxe H B, il décriroit.l’Entonnoir FGBpE, qui feroit double du Cône 3 car comme le Cône & l’Entonnoir ont le même plan générateur, ils .feront dans la raifon des circonférences décrites par de centre de gravité C : & comme le rayon BC eft double de CD ,;l’Entonnoir fera double du Cône ; ce qui fait voir qq’un Cône eft le tiers d’un cylindre de même bafe & de même hauteur.
  - 6 3 6. Enfin fi l’on avoit un triangle BAD , dont le point Ç fut le centre de gravité du triangle double de celui-ci, que l’on prolongeât la ligne AD indéfiniment .jufqu’aux points E ôc F, èc que l’on fit.faire une circonvolution au triangle BAD autour de l’axe G.F, le folide qu’il décriroit feroit égal au produit du plan B AD par la circonférence du cercle,, qui auroit pour rayon la ligne CF, qui eft la diftance du centre de gravité C a i axé FGj fi le triangle, au lieu de faire une circonvolution autour de l’axe GF, en faifoit une autre autour de l’axe HE, ;le folide qu’il décriroit feroit égal au produit d,u plan A BD par la circonférence dix .cercle ,, qui auroit pour rayon la .ligne CE , tirée du centré de gravité à l’axe, & c es deu^c folides fçroient dans la raifon des rayons CF & CE.
  - , Je laiffe au Ledeur le plaifir d’en chercher la démon-. jftration 5 6e je me contenterai de dire feulement que le fo-lide formé par la circonvolution du -triangle A BD autour de l’axe GF,, eft femblable a,celui dont nous avons parlé dans l’art. 55)6. c’eft-â-dire, qu’il fait la différence .d’un cylindre, duquel on auroit ôté un Çone tronqué 3 & .que le folide formé par la circonvolution du triangle ABD .autour de l’axe HE, eft aufii femblable à celui de l’art. .5 9 5. c’eft-à-dirp, qu’il fait la difFerence d’un Cône tronqué, duquel on auroit ôté un cylindre : & comme la maniéré de trouver la yaleur de ces folides de la façon qu.e
  - F
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- - de MathemATique. 353
  - je viens de dire, eft plus aifée que celle des art. 595.596. Ton pourra s en fervir pour toiler la Maçonnerie compri-fe par le talut de l’orillon, du flanc concave, 8c de l’aron-diflement de la contrefcarpe.
  - PROPOSITION Y. Problème.
  - 637. Si Von a un demi-cercle EBF, dont le centre de gravité foit le point I, & que de ce point Von abaijje la perpendiculaire ID > je dis que le folide formé parla circonvolution du demi-cercle EBF autour de Vaxe E F, qui fera une Sphère, fera égal au produit du plan EBF par la circonférence du cercle, qui auroit pour rayon la ligne ID.
  - Il faut être prévenu que la ligne ID , qui marque la diftance du centre de gravité 1 au centre D du demi-cercle , eft une quatrième proportionnelle à la moitié de la circonférence EBF au rayon DE , & aux deux tiers du même rayon. Ainfl nommant la demi-cir conférence EBF, a 3 le rayon DE, £3 la moitié de la circonférence EBF fera
  - , 8c les deux tiers du rayon DE feront , on trouvera la ligne DI, en difant : Comme ~ eft à b , ainfl -y eft à DI, qui fera j-: 8c comme nous avons befoin de la circonférence du rayon DI, on dira : Si le rayon DE {b) donne 2a pour fa circonférence, que donnera le rayon
  - DI ( ) pour fa circonférence, qui fera , ou bien
  - Or il l’on multiplie cette circonférence par la valeur du demi-cerc le ÉBF ( x ) ’ ^on aura 3 ou ^en
  - pour la valeur du folide 3 ce qui eft aifé à prouver: car comme une Sphere eft égale au produit de quatre fois fon grand cercle par le tiers du rayon *, la fuperficie du demi-cercle étant —, celle de tout le cercle fera ab, qui
  - Yy
  - Fig. 2*4;
  - *Art. 3834
  - 385.
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- - 3:54 Nouveau Cours
  - étant multipliée par 4, donnera 4ab pour la valeur des
  - quatre cercles 5 & fl l’on multiplie cette quantité par le
  - tiers du rayon , c’efi-à-dire, par -, l’on aura pour la
  - valeur de la Sphere, qui eft la meme que celle que nous venons de trouver.
  - Mais fl le demi-cercle EBF faifoit une circonvolution autour de la tangente GA , parallèle au diamètre EF , il décriroit un folide, dont on trouvera la valeur, en multipliant le demi-cercle par la circonférence qui auroitpour .rayon la ligne IB, qui eft la difiance du centre de gravité I à l’axe GA 5 & fi le demi-cercle fait encore une circonvolution autour de l’axe AH perpendiculaire à EF, il décrira une efpece de bourlet , dont on trouvera la valeur , en multipliant le demi-cercle parla circonférence du rayon IK , ou du rayon DF , qui efi la même chofe* & pour lors le folide décrit par le demi-cercle autour de l’axe EF , fera au folide décrit autour de l’axe GA comme le rayon ID efi au rayon IB , & le folide formé par la circonvolution du demi-cercle autour de l’axe EF, fera à celui qui aura été formé par une circonvolution du même demi-cercle autour de l’axe AH, comme le rayon ID efi au rayon IK ou DF.
  - R E M A R Q.U E.
  - Je n’ai point donné la maniéré de trouver les centres de-gravité , parce que c’eut été m’écarter de mon fujet , n’ayant eu en vue que d’exercer i’efprit des Commençait , & leur faire fentir le prix de ce principe general, par le moyen duquel on peut , indépendamment de ce que nous avons enfeigné dans le huitième Livre de la première Partie , refondre une quantité de Problèmes, dès qu’on a les centres de gravité des fleures génératrices, que l’un ne peut trouver d’une façon generale, qu’avec le
  - r 1 r 1 1 • , j a
  - lecourù au calcul intégral : Cependant on peut voir ce qu'en a dit M. Ozanam clans fonTraité de Mécanique, où il trouve les centres de gravité de piufleurs figures parla Géométrie ordinaire-
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- - di Mathématique. 355
  - NOUVEAU COURS
  - DE MATHEMATIQUE-
  - SIXIEME PARTIE.
  - Oui 'on applique la Géométrie a la diuijton des Champs.
  - PROPOSITION PREMIERE.
  - Problème.
  - *63 S. | "A Ivifer un Triangle en autant de parties égales Fig. 196.
  - 1 J qu'on voudra , par des lignes tirées de F angle op-t°fé à La bafe.
  - Pour divifer un triangle ABC entrois parties égales par des lignes tirées de l’angle oppofé à la bafe, il faut divifèr la baie AC en trois parties égales aux points D & E, tirer les lignes BD & BE, & le triangle lera divifé en trois triangles égaux, puifque ces triangles ont des bafes égaies , & qu’ils ont la même hauteur. '
  - PROPOS I TI O N IL
  - Problème.
  - £35). Divifer un Triangle en deux parties égales par une ^3* ligne tirée d'un point donné fur un des cotez, du Triangle.
  - L’on demande qu’on divife le triangle ABC en deux parties égales par une ligne tirée du point D, parce que l’on fuppofe que ce triangle efb un champ y fur le bord du-
  - Y y ij
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- - 3 5 6 Nouveau Cours
  - quel eft un lieu avantageux au point D, qui doit être’
  - commun à chacun de ceux qui auront part au Champ.
  - Pour refoudre ce Problème, il faut divifer la bafe AC en deux parties égales au point E, 6c tirer de ce point les lignes EB 6c ED > puis du point B tirer la ligne BP parallèle à DE : enfin tirer la ligne FD, qui divilèra le triangle en deux parties égales BDF A 6c DFC.
  - Pour prouver cette operation, confiderez que le triant gle ABE eft la moitié de tout le triangle ABC 5 6c qu’à caufe des parallèles BF 6c DE, le triangle BFD eft égal au triangle BEF > d’où il s’enfuit que le triangle OFE, que l’on a retranché au triangle BEA , eft égal au triangle ODB, que l’on a retranché du triangle EBC : ce qui fait voir que le trapeze BDF A eft égal au triangle FDC.
  - PROPOSITION III.
  - Problème,
  - 640. Divifer un Triangle en trois parties égales par des U— Fig; gnes fiyfas d’un point pris fur un de ces cotef.
  - Pour divifer le triangle ABC'en trois parties égales par des lignes tirées du point. D, il faut partager le côté ÀC en trois parties égales aux points E 6c F 5 enftiite tirer là ligne DB, à laquelle il faut mener dès. points E 6c F les parallèles EH 6c FG : 6c fi l’on tire du point D les lignes DG 6c DH, on aura le triangle divifé en trois parties égales A HD, DHBG, 6c DGC.
  - Pour le prouver, il ne faut que tirer lès lignes BE 6c BF qui diviferont le triangle en trois autres triangles égaux. Or comme Te triangle ABE eft égal au triangle AHD , à caufe des parallèles HE 6c BD : on verra par la même rai-fon que le triangle DGC eft égal au triangle BFC, 6c que par.confequent. ils font chacun le tiers de toute la figure.
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- - Di Mathematiciv'e. j 57*
  - PROPOSITION IV.
  - Problème.
  - 641. Divifer un Triangle en trois parties égales par des Pt a lignes tirées dans les trois angles. che zi.
  - On demande un point dans le triangle ABC, du- Fig* W» quel ayant tiré des lignes dans les angles , elles divifent le triangle en trois parties égales.
  - Pour refbudre le Problème, il faut faire la ligne AF égale au tiers de la bafe AC 5 du point F tirer la ligne FE parallèle au côté AB : & divifer la parallèle FE en deux également au point D, ce point fera celui qu’on cherche. Car ayant tiré dans les angles du triangle les lignes DB, DA , & DC, elles diviferont le triangle en trois parties égales.
  - Pour le prouver, je tire la.ligne BF, qui me donne le triangle B AF, qui eft le tiers de toute la figure : & comme ce triangle eft égal au triangle AD B , à caufe des parallèles j il s’enfuit que ce dernier triangle eft auffije tiers de la figure. Et comme les triangles ADC & BEÎB font égaux entr’eux, comme il eft facile de le voir il s’enfuit que le Problème eft. refolu. -
  - PROPOSITION v;
  - . Problème.
  - 6 41. Divifer un Triangle en deux parties égales par des lignes tirées iïun point donné a volonté dans la fuperfcie du Triangle.
  - Pour divifer en deux également le triangle ABC par des lignes tirées du point donné F, il faut divifer la bafe AC en deux également au point D , & tirer la ligne DF, à laquelle il faut mener une parallèle BE j après quoi l’on n’aura qu’à tirer les, lignes EF &FB pour avoir la figure ABF E égale à la figure BFEC.-Pour le prouver, tirez la ligne BD , & confîderez qua -
  - Y.y.iij,
  - Fig. 30©,
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- - Fig. $oz:
  - :$ 5“8 ;N O U V E A V C:0 IX R s
  - ,caufe des parallei.es le triangle BFE eit égal au triangle B DE, & que par confequent ce qu’on a retranché d’une part,eft égal ace que l’on a ajouté de l’autre dans les deux triangles ABD & DBC.
  - PROPOSITION VE
  - .Problème.
  - 643. Divifer un Triangle en deux parties égales par une ligne parallèle k la bafe.
  - Pour diyifer le triangle ABC par une ligne DE parallèle à la bafe , il faut partager en deux également l’un des autres cotez, par exemple, le côté BC.3 puis chercher une moyenne proportionnelle entre tout le côté BC, & fa moitié BF .3 & fuppolànt que la ligne BE foit égale à la moyenne, que.l’on aura trouvée , on n’aura qu’à mener du point E la parallèle ED à la bafe AC, pour avoir re-foiu le Problème.
  - Pour le prouver , faites attention quelles lignes BC, BE, BF , étant proportionnelles, il y aura même raifon du quarré fait fur la ligne BC au quarré fait fur la ligne BE, que delà première ligne BC alla derniere BF.* Or comme les triangles font dans la même raifon que les quarrez de leurs cotez homologues, le triangle BAC fera double du triangle B DE, puifque le quarré du côté BC eft double du quarré du côté BE, à caufe que la ligne BC cil double de la ligne BF.
  - Si Ion vouloit divifer un triangle en trois parties égales par des lignes tirées parallèles à la bafe., il faudroit chercher d’abord une moyenne proportionnelle entre l’un des cotez du triangle , & les deux tiers du même côté : & ayant déterminé la longueur de cette moyenne fur le côté qu’on aura divifé, l’on tirera une parallèle de l’ex-trêmité de cette ligne à la bafe, on aura un triangle intérieur , qui fera les deux tiers de cueilli qu’on veut partager en trois : & fi Ion divife le jSfcÜtangie qui contient les deux tiers du grand , en deux également, comme on
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- - DE Ma't HEMATI CtU Ê. 3 5>
  - voient de le faire dans la proportion precedente 5 tout le triangle fe trouvera divife en trois parties égales.
  - P R OP OSITIO N V IL Problème!,
  - 644. Div/ferun Trapefoïde en deux parties égales par une Fig. p&f ligne parallèle à la bafe.
  - Pour divilèr le Trapezoïde ABCD par une ligne parallèle à la bafe,il faut prolongeras deux cotez»AB &
  - DC pour qu’ils fe rencontrent au point G 5 puis élever fur l’extrémité G la perpendiculaire GH égale à la ligne GB 3 tirer la ligne H A, & décrire fur cette ligne un demi-cercle , dont il faudra divifer la circonférence en deux également au point I j & ayant tiré la ligne IH, on fera GE égal à IH : & fi par le point E l’on mene la parallèle EF à la bafe AD, je dis qu’elle divifera le Trapezoïde en deux parties égales.
  - Pour le prouver , je confidere que la ligne HA eft le coté du quarré,qui vaut la fomme des quarrez BG èc GA j & que la ligne IH eit le côté d’un quarré qui vaut la moitié du quarré HA : par confequent le quarré IH ou GE eft moyenne arithmétique entre les quarrez GA <k. GB. Et. comme les triangles femblables font dans la meme raifon que les quarrez de leurs cotez homologues , il s’enfuit que les quarez des cotez GB, GE, GA r étant en progrefiion arithmétique, les triangles GBC»
  - GEF, GAD ,font en proportion arithmétique j par confequent fe fur paftent également :& comme les grandeurs dont ils font furpaflez^ne font autre chofe que le Trapezoïde EC , & AF : je conclus que ces Trapezoïdes font égaux, & que par confequent le. Problème eft refolu.
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- - Fig. 304.
  - 560 NoüveauCoüH:S
  - PROPOSITION Y III.
  - Problème.
  - 645. Divifer un Trapeze en deux également par une ligne parallèle h l'un de fes cotez,.
  - Pour divifer le Trapeze ABCD par une ligne parallèle au coté AB , il faut prolonger les cotez BC 6c AD, tant qu’ils fe rencontrent au point G 5 puis réduire le Trapeze •en triangle pour avoir le point P : après quoi on di.vifera la bafe AF du triangle A BF en deux egalement au point H i on cherchera-une moyenne proportionnelle entre AG & HG,qui fera,par exemple,IG 5 & li du point I l’on mene la ligne IK parallèle .à AB., .elle div,ifera le Trapeze en deux parties égales AB Kl 8c IKCD.
  - Pour le prouver, remarquez que les triangles ABG 8c IKG font femblables , 8c qu’étant dans la même raifon que les quarrez de leurs cotez homologues , ils feront comme les lignes AG & HG. * Or comme les triangles ABG 8c HBG ont la même hauteur, ils feront dans la même raifon que leurs bafes, 8c auront par confequent même raifon que les lignes AG 8c H G : d’ou il s’enfuit que le triangle IKG ell égal au triangle HBG. Cela pofé, h l’on retranche de part 5c d’autre la figure HOKG, qui ell commune à ces deux triangles, il reliera le triangle OIH égal au triangle OBK: mais comme le triangle BAH ell égal à la moitié du Trapeze, il s’enfuit que la figure AIKB ell auffi égale à la moitié du Trapeze, 8c que par confequent la ligne IK le partage en deux également.
  - PROPOSITION IX.
  - Problème.
  - ,6 4 6. Divifer un Trapezoide en trois parties égales Cette proposition ell peu cQnfiderable, mais elle ell mile ici pour fervir d’introàuclion aux fui vantes. Ainli confia derant le Trapezoïde AC, qu’on propofe i divifer en
  - trois
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- - de Mat h !e mati <xu ï. 361
  - "'trois parties égales , on verra qu’il ne faut que divifer les cotez BC & AD entrois parties égales, & tirer les lignes GE & HF,.qui donneront les figures égales AG, EH, FC, puifqu’eiles font compofées chacune de deux triangles égaux,
  - PROPOSITION X.
  - Problème.
  - 6 47. Divifer un Trapeze en deux parties égales. . Fig.
  - Pour divifer leTrapeze ABCD en deux parties égales, il faut du point B tirer la ligne BH parallèle à AD, &: divifer les lignes BH & AD en deux parties égales aux points G & F ^en fuite tirer les lignes GC & GF , qui donneront la CB AFG égale à la figure CGFD, qui font
  - chacune moitié du Trapeze > car par loperation le Tra-pezoïde AG efl égal au Trapezoïde GD, & le triangle BCG efl égal au triangle GCH.
  - Mais pour que les deux parties du Trapeze fulTent plus reguiieres, il feroit à propos que les lignes de divifion CG & GF ne fiffent qu’une ligne droite. Or fi l’on tire à la ligne FC la parallèle GE, on n’aura qu’à tirer de E en F pour avoir le Trapeze divifé en deux parties égales parla feule ligne EF, comme on le peut voir par le triangle FGC Ai FEC, qui font renfermées entre les mêmes parallèles.
  - PROPOSITION XL
  - Problème.
  - 648. Divifer un Trapeze en deux parties égales par une ligne tirée d'un de fes angles.
  - L’on demande qu’on divife le Trapeze ABCD en deux parties égales par une ligne tirée de l’angle B.
  - Pour refoudreceProblême, tirez les diagonales AC &
  - BD , divifez la première AC en deux parties égales au point E, & de ce point menez la ligne EF parallèle à BD j Si fi vous tirez une ligne de l’angle au point F, elle divifera le Trapeze en deux parties égales.
  - Zz
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- - 3-,6-2- Nouveau Cour s-
  - Pour le démontrer, confiderez qu’ayant tiré les lignes EB & ED, elles donnent.les triangles AED &: ECD égaux. entr’eux, auffi-bien que les triangles AB E & EBC. Gela étant, le Trapeze fe trouve divifé en deux parties égales par les lignes EB .& ED : & comme les triangles qui font renfermez entre, les mêmes parallèles nous donnent EBO^ égal à OFD, il s’enfuit que la feule ligne BF divife le Trapèze en deux également*
  - PROPOSITION XII.
  - Problème..
  - 649. Diviser un Trapezoïde en deuxparties égales fa? une ligne tirée dé unpoint pris fur l'un de fes cotez».
  - Pour divifer en deux également le Trapezoïde ABCD par une ligne tirée du.point H, il faut commencer par réduire le Trapezoïde en triangle, en tirant à la diagonale BD la parallèle CF ,;afîn d’avoir le point F, pour tirer la ligne FB, qui donnera le triangle A BF égal au Trapezoïde. Cela pofé, il faut divifer la bafe AF du triangle en deux également au point E-, & tirer la ligne BH,
  - . pour avoir le triangle ABE , qui fera la moitié du Trapezoïde. Prefentement il faut tirer, la ligne "BH , &: lui mener du point E la parallèle EG 5 & fi l’on tire la ligne HG, elle divifera le Trapezoïde en deux également.
  - Pour le démontrer, faites attention qu’a caufe des parallèles, les triangles OHE & OBG font égaux , & que par confequent la figure ABGH eft égale à la moitié du. Trapezoïde, puifqu’elle eft égaie autriangle ABE..
  - PROPOSITION XII I.
  - Problème..
  - 30S. . 6 5 o. Bivifer un Pentagone en trois parties égales par des
  - lignes tirées dé un de fes angles.
  - Pour divifer en trois parties égales le Pentagone A BCDE par les lignes tirées de l’angle C, il faut commencer par
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- - DE MATHEM ATIQJIE. 363
  - réduire le Pentagone en triangle 5 5c cela en tirant aux
  - O u
  - lignes CA 5c CE les parallèles BF 5c DG , 5c en menant des lignes du point C au point F , 5c du même point C’ au point G, qui donneront le triangle FCG égal au Pentagone , comme on le peut connoïtre facilement. Après cela, fi l’on divife la bafe FG en trois parties égales aux points H ôc I, on n’aura plus qu’a tirer les lignes CPi 5c CI pour avoir le triangle HCI, qui fera le tiers du triangle FCG , par confequent du Pentagone , 5c il fe trouvera que les parties H ABC 5c ICDE feront égales en-tr’elles : Sc feront par confequent chacun le tiers du Pentagone.
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- - Nouveau Cou as*
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  - NOUVEAU COURS
  - DE MATHEMATIQUE
  - SEPTIEME PARTIE.
  - Ouf on applique la Géométrie à l* ufâge du Compas
  - de proportion•
  - D, E tous les In flrumens de Mathématique, il n’y en a point dont l’ufage foit fi univerfel que celui qu’on nomme Compas de proportion : car il facilite la pratique de toute la Théorie de la Geometrie : par exemple, la ligne des parties, égalés fcrt à divifer une ligne félon unerailon donnée, 6c à trouver des troifiémes 6c quatrièmes proportionnelles : la ligne des cordes tient lieu de rapporteur, punique par fon moyen l’on peut connuître la,valeur des angles, 6c en déterminer de quelque quantité de degrez-qu’on voudra : la ligne des Poligones fert à divifer un cercle en une quantité de parties égales , pour yinfcrire des Poligones : par le moyen de la ligne des Plans l’on trouve les cotez des fio-ures femblabîes qu’on veut au£-mcnter ou diminuer lelon des raiions données: enfinia lime des Solides, qui peut pafTer pour la plus confidera-bie au compas ae proportion, lcrt a trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données , «à diminuer 6c augmenter les Solides femblabîes lelon les rai-fons que l’on voudra. Ce font toutes ces proprierez que-nous allons enfeigner ici,, en commençant par les lignes des parties égales.
  - S. O
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- - UE' Matkema tiQJLJ3f. 36 f
  - PROPOSITION PREMIERE.
  - Problème.
  - fi 5 I. Divifer une Ligne droite en tant de parties égales pig. epjon voudra.
  - L’on trouvera marqué d’un coté fur chaque jambe du Compas de proportion une ligne que l’on verra nommée parties égales, parce qu’elles fervent effectivement à divifer les lignes droites en parties égales : & pour faire voir comment on s’en fert, nous fuppoferons qu’on veut divifer la ligne HI en neuf parties égales , pour faire, par exemple l’échelle d’un plan .5 pour cela il faut avec le Compas ordinaire prendre la longueur de la ligne-HI , &: ouvrir le Compas de proportion , de.maniéré que les points du Compas ordinaire puiflent être pofez dans -les points de la ligne des parties égales, où l’an verra marqué 5?o., qui fera, par exemple , les points D & E. Pre- ' lentement laiffant le Compas de proportion ouvert, il faut avec le Compas ordinaire prendra i’intervale des points • où l’on verra le nombre i o, qui fera, par exemple, Pin-tervale FG/Or £ vous portez prefentement le Compas-a in fi ouvert fur la ligne HI, vous trouverez que fon ouverture fera la neuvième partie de cette même ligne.
  - Pour le démontrer, conliderez que les triangles AFG &: A DE font femblables, & que par confequent il y aura même raifon de AF à AD, que de FG à DE. Or comme AF elt la neuvième partie de AD, FG fera la neuvième partie de DE.
  - PRÔPOSI TI O N IL-
  - Problème.
  - fi.'51 . Trouver unt tmfiéme proportionnelle k deux lignes Fig; g&ti données.
  - Pour trouver une troifiéme proportionnelle à deux lignes donnée.»F & G, il faut prendre la première F avec-
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- - q 6 Nouveau C o u a s
  - ; le Compas ordinaire, & la porter fur la ligne des parties égales j comme fi elle occupoit, par exemple, ladiitan-.ce depuis A jufqu’en D j enfuite prendre la fécondé G-., & la porter depuis A jufqu’en B. Il faut aprèscela ouvrir le Compas de proportion d’une grandeur telle que la di-liance DF ( des deux nombres égaux qui correfpondent aux points D&E) foit égale à la ligne G. Prefentement fi l’on prend la diftance BC , c’elt-à-dire, l’intervale du chifre,qui efl au point B à celui qui lui correfpond au point C, l’on aura la troifiéme proportionnelle que l’on .cherche, qui fera., par exemple, H.
  - Pour le prouver., conliderez que les triangles ABC & EAD font femblables, & que la ligne AB étant égale à la ligne DE, l’on aura AD.DE: : AB.EC. par confequent — F. G. H.
  - PROPOSITION III.
  - •Problème.
  - 653 . Trouver une quatrième proportionnelle a trois lignes ,données.
  - Pour trouver une quatrième proportionnelle aux trois lignes données A, B, C, il faut prendre la ligne A, & la porter avec le Compas ordinaire fur la ligne des parties . égales, en forte qu’elle occupe l’intervale EF 5 puis porter la fécondé B depuis le point F jufqii’aii point correfpon-dant G: enfin il faut prendre la troifieme C , en forte quelle occupe iefpace EH, &: l’intervale du point H à celui qui lui correfpond en I, fera la quatrième proportionnelle , comme efl, par exemple, la ligne D.
  - Pour le prouver , remarquez que les triangles EFG & 'EHI font femblables, & par confequent.Fon.aura EF.FG ,r. EH. HI. ou bien A. B : : C. D.
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- - D E M ATHEMÀT I QJJ E. 3 67"
  - ‘USAGE DE LA LIGNE 1>ES POLIGONES. PLOPOS1TIO N I V.
  - Problème.
  - 6.5 4. Infcrire un Poligone dans un cercle.
  - Par le moyen de la ligne des Poligones , qui efb tracée ^ig. 3 fur le compas de proportion, 011 peut infcrire des Poli- 313-gones dans un cercle depuis celui de trois cotez jufqu a celui de douze, qui font ceux qu’on met le plus enufage.
  - Pour faire voir comment on s'en fert, nous fuppoferons qu’on veuille infcrire un O&ogone dans le cercle H 3 pour cela il faut prendre avec le Compas ordinaire la grandeur du rayon HI de ce cercle, & ouvrir le Compas de pro^ portion de maniéré que les points du Cornpas ordinaire 9. ouvert 3 comme nous venons de dire , puifîent être pofez dans les points B & C de 6 en 6 , marquez fur la ligne des Poligones. Après cela l’on prendra du point F au point G, où correfpondenc les nombres 8 , & cet intervale fera le côté de l’Octogone, qu’on portera 8 fois fur la circonférence du. cefcle H j pour avoir les points qui fer virent à ; décrire l’O&ogone.
  - Si au lieu de l’Odogone l’on vouloir prendre dans le même cercle un Décagone, il ne faudra que prendre l’in-tervale de i o en i o , a in II des autres Poligones : après avoir pris avant la diftance de B en C, en pofant fur ces diitances le rayon du cercle, que vous voulez réduire en Poligone.
  - P RO POSITION V.
  - Froblême.
  - 6 ^ Décrire un Poligone régulier fur une ligne donnée.
  - Nous fervant de la même figure , l’on pourrai à l’aide du Compas de proportion, décrire tel Poligone qu’on voudra. Or li l’on veut faire fur la ligne KL un Odogone 9 Il faudra prendre cette, ligne avec le Compas .ordinaire >
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- - fig.-îlî.
  - &314.
  - M }io.
  - Nouveau Cour«
  - c& la porter.fur le compas de proportion 5 de façon que le® joints du Compas ordinaire tombent dans les points 8 & 8. .Après cela fi l’on prend l’intervale de B,enC.,.c’eft-à-dire> ,de 6 en 6 5 & que des extrêmitez K & L l’on fade une fe-.ition H avec le Compas ainfi ouvert, on n’aura qu’à décrire du point H un cercle, dont le rayon foit HK ou HL* ,& l’on pourra trouver tous les points qui ferviront à décrire l’O&ogone, en portant 7 fois la ligne KL fur la circonférence au cercle.
  - <V S JG E DE LA LIGNE DES CORDES. PROPOSITION V.L Problème.
  - 656. Prendre fur la circonférence d'un cercle un angle d'autant de degrez, qu on voutl'A.
  - Si l’on vouloit prendre fur la circonférence du cercle H .un arc de 70 degrez, il faudroit avec le compas ordinaire , porter fur la ligne des cordes aux endroits marquez 6 o la grandeur ou rayon PII : ainli fuppofant que l’angle ABC eft formé par les lignes des cordes du Compas de proportion, de maniéré que l’on ait ouvert la grandeur IDE égale au rayon HI, l’on prendra l’intervale de F en G, que je fuppofe être de 70 en 70 , ôc la ligne FG fera la corde de 70 degrez, qu’on n’aura qu’à porter fur la circonférence du cercle, pour a voir l’arc Mi qu’on demande.
  - PROPOSITION VIL
  - Problème.
  - 6 57. ‘Vn angle étant donné fur le papier, en tv cuver la va* leur par le moyen de la ligne des cordes.
  - Pour connoître la valeur d’un angle ABC, il faut du point B, comme.centre, décrire l’arc AC d’une ouverture ne Compas indéterminée 5 enfuite prendre le rayon BÇ, & .ouvrir le Compas de proportion, de maniéré que l’iater-
  - vale
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- - D E Ma THEM AT I OU E.. 3 69
  - vale de é o en 6 o marqué, fur la ligne des cordes , foit égal au rayon. Prefentement £ on prend avec le Compas la corde AC, & qu’on la porte fur la ligne des cordes , do façon qu’il convienne dans deux points également éloignez du centre , les nombres qui correfpondront à ces points, donneront la valeur de l’angle : ainfi luppofant que ce foit de 5 o en 50, l’on connoîtra que l’angle ABC cft de 5 o degrez.
  - PROPOSITION VIII.
  - Problème.
  - 658. Connoijfant la quantité de degrez, d'un arc de cer- Fig- 3I4* cle, trouver Jon rayon. & 315-
  - Si l’on a un arc de cercle B A de 50 degrez, & qu’on veiiille connoître le rayon du cercle de cet arc, il faudra prendre avec le Compas la corde BA, & la porter fui la ligne des cordes, pour ouvrir le Compas de proportion de
  - 5 o en 50: par exemple , .£ les points. F & G correfpon-dent au nombre 5 o, il faut faire l’intervale FG égal à la corde B A } & £ après cela l’on prend l’intervale DE de
  - 6 o en 60, ejle fera le rayon que l’on demande , c’eft-à-dire, que la ligne DE fera égale au demi-diamétre CB.
  - PROPOSITION IX.
  - Problème.
  - 655?. Ouvrir le Compas de proportion de maniéré que les pjg. jl4; lignes des cordes faffent tel angle que l'on voudra, fuppofant que les lignes AB & CB Joient celles des cordes , on demande de faire avec elle un angle de 70 degrez.
  - Il faut prendre avec le Compas ordinaire l’intervale qu’il y a du centre B au point F ou G , que je fuppofe être de 70 degrezj puis porter les pointes du Compas ainlt ouvert dans les points de 60 en 60: par exemple, £ les points D & E font ceux de 6 0 en 60, il faut faire la di-ilance DE égale à Tinte:'vale BF, & les lignes des cordes, armeront l’angle ABC de 70 degrez.
  - A a a
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- - 3?0 NoUYJEÀU COURS
  - PROPOSITION X.
  - Problème.
  - 660. Le Compas de proportion étant ouvert d’une gran-XZ* 3X4» ^eur quiconque, connaître la valeur de ïangle formé par le* lignes des cordes.
  - Si l’on veut fçavoir la valeur de l’angle ABC formé par les lignes des cordes > l’on n’aura qu a prendre avec le Compas ordinaire l’intervale de 6 o en 6 o 5 puis la porter fur l’une des cordes, en commençant du centre, l’on trouvera la quantité de degrez que contient l’angle : ainfi les points D & E étant fuppofez ceux de 6 o, l’on prendra la ligne DE, pour la porter fur BF 5 & li l’on voit que le point F correfpond à un nombre, par exemple, de 70 > l’on verra par-là que l’angle ABC elt de 70 degrez.
  - R E M A R Q.U E.
  - Comme l’on applique quelquefois des pinulles aux ex-trêmitez des cordes du Compas de proportion, pour prendre des angles fur le terrein s on peut en former de telle* ouverture que l’on voudra, puifque par ces deux proportions l’on peut faire un angle quelconque avec les lignes des cordes, 8c qu’on peut d’ailleurs connoître la valeur des angles quelles peuvent former.
  - *V S AG E DE LA LIGNE DES PLANS
  - PROPOSITION XL
  - Problème*
  - Fig. jitf, & 1. Faire un £>uarré qui foit h un autre félon une raifon & 321. donnée.
  - Si l’on veut faire un quarré qui ait même raifon à un autre que 5 à 2, il faut prendre le côté AB du quarré donné, & ouvrir le Compas-de proportion de maniéré que l’intervale HI des points 2. & 2. de la ligne des
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- - de Mathematiqjj». 371
  - plans foit égale au côté AB, c’eft-à-dire, que cette ligne foit égaie à HI j & fi l’on prend l’intervale KL, que je fuppofe de 5 en 5, elle fera le côté du quarré que l’on demande : ainfi faifant CD égal à KL, il y aura même rai-fon du quarré CD au quarré AB, que de 5 à 2.
  - PROPOSITION XII.
  - Problème.
  - 662. Connoître le rapport Xun guarré a un autre.
  - Sefervantde la même ligure, li l’on veut fçavoir le rapport du quarré AB au quarré CD, l’on n’aura qu’à prendre le côté AB du plus petit quarré , & ouvrir le Compas de proportion, de maniéré que le Compas ordinaire fe trouve dans deux points également éloignez du centre fur les lignes des plans , comme ell, par exemple, HI : enfuite il faut prendre le côté CD de l’autre quarré, & chercher avec le Compas un intervale tel que KL, qui lui convienne fur la ligne des plans 5 & le rapport qu’il y aura entre les deux nombres, qui fe trouveront aux points H & K, fera le même que celui du quarré AB au quarré CD.
  - PROPOSITION XIII.
  - Problème.
  - 665. Ouvrir le Compas de proportion de maniéré que les lignes des plans forment un angle droit.
  - Pour faire un angle droit tel que BAC avec les deux lignes des plans, il faut avec le Compas ordinaire prendre l’intervale du centre à un nombre quelconque D, qui fera, par exemple ,20, puis ouvrir le Compas de proportion, de maniéré que l’intervale des points (qui correfpon-dront à la moitié de ce nombre ) foit égal à la longueur AD : ainfi prenant les nombres 1 o êc 1 o , qui feront moitié de 10 , l’on n’aura qu’à faire l’intervale PG égal à la di fiance AD, & les lignes des cordes AB & AC formeront un angle droit.
  - A aaij
  - Fig. 3itf, & 32!.
  - Fig. 317.
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- - 37*
  - Nouveau Cours PROPOSITION XIV.
  - Problème.
  - Fig. 318. 664. Faire un quarré égal a deux autres donne^.
  - & 311. Pour faire un quarré qui foie égal aux deux autres AB
  - 6 CD, il faut ouvrir le Compas de proportion, de maniéré que les lignes des plans forment un angle droit, comme eft l’angle EFG y puis prendre fur la ligne FG la longueur FI égale au côté AB, & bien retenir le nombre où l’extrémité I viendra aboutir : enfuite il faut rendre de même la longueur FF! égale au côté CD de l’autre quarré, & la diftance de H en I, qui fera, jpar exemple , celle de 1 8 en 5 , fera le côté du quarré égal aux deux quarrez propofez.
  - REMARQUE.
  - Comme toutes les figures femblables font dans la même raifon que les quarrez de leurs cotez homologues, l’on pourra faire les mêmes operations pour les triangles , les poligones & les cercles que l’on a fait dans les propofitions précédentes pour les quarrez.
  - SAGE DE LA LIGNE DES SOLIDES.
  - P ROPOSI TI ON X V.
  - Problème.
  - Fig. 319. 6 6 <). Faire un Cube qui fi.it a un autre filon une raifon
  - & 332. donnée.
  - Si l’on veut avoir un Cube qui foit au Cube AB comme 3 eft à 7 , il faut commencer par prendre avec le compas ordinaire le côté AB, & le porter lùr la iigné des Solides, de maniéré qu’il correfponde aux points 7 &
  - 7 : ainfi fuppofant que l’intervale des points K & L foit ceux du nombre 7, l’on n’aura plus qu’a prendre l’inter-YaleJH de 3 en 3 pour avoir le côté du Cube que l’on.
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- - NowvcculB Cours
  - Planche aa*
  - pa37^.
  - C A É
  - G A
  - I E
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- - DI M A THJEM A T iay£, 375
  - demande. Ainft faifant CD égal à HI, il' y aura meme raifon du Cube AB au Cube Ci5, que de 7 à 3.
  - PROPOSITION XVI.
  - Problème.
  - 666. Trouver le rapport qui ejl entre deux Cubes.
  - Pour trouver le rapport qui elt entre deux Cubes quel- Fig. 31^. conques CD & AB, il faut prendre le côté CD du plus petit Cube, & ouvrir le Compas de proportion, en forte que l’inter va le HI pris vers le centre, foit égal à ce côté.
  - Après cela l’on prendra le côté AB pour le porter en un endroit comme KL , dont l’intervale lui foit égal, & le rapport que l’on trouvera entre les nombres qui feront marquez aux points I & K , fera le même que celui du Cube CD au Cube AB.
  - remarque;
  - Comme tous les Solides femblables font dans la même raifon que les Cubes de leurs cotez homologues, il s’enfuit que l’on pourra faire à l’égard des Cylindres des Cônes , des Pyramides, & des Spheres, les mêmes operations que l’on vient de faire pour les Cubescomme dans les proportions précédentes.
  - APPLICATION DELA GEOMETRIE k VArtillerie.
  - PROPOSITION PREMIERE.
  - Problème..
  - 6 6 7. Faire lanalyfe de F alliage du Metaildotît on fait les Pièces de Canon.
  - Pour connoïtre l’utilité de ce Problème, il faut être prévenu que le métail dont on fait les pièces d’Artillerie de fonte,.ell compofé de Rofette, que l’on appelle communé-: ment Cuivre rouge, & à'Ëfain lin d’Angleterre i Sc comme
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- - 374 Nouveau Cours
  - il doit y avoir une proportion entre la Rofette & l’Etain qui compofent le Métail, les Fondeurs les plus expérimentez fuivent celle de ioo à n, ceft-à-dire, que fur i oo livres de Rojettc ils mettent i z livres & Etain.
  - Or comme il arrive tous les jours que dans les Fonderies on fond des Pièces qui font hors d’état de fervir , pour en faire de nouvelles ,& que les Fondeurs font embarraf-fez pour (çavoir Ci le Métail eit conforme à l’alliage qu’ils fuivent, pour qu’il ne foit ni trop aigre ni trop doux5 voici comment on pourra connoître au jufte la quantité deRofette &d'Etain qui compofe le Mérail des Pièces.
  - C’eft une choie démontrée par l’cxperience , 5c dont laraiion phyfique eil facile à appercevoir , que les Métaux perdent de leur pefanteur loriqu’ils font dans l’eau; par exemple , fi l’on attache à une balance romaine un morceau de plomb pefant 48 livres , l’on verra que le corps étant mis dans l’eau , de iorte qu’il en foit environné de toutes parts, au lieu de pefer 48 livres, n’en pefera que 44 , parce que le plomb perd dans l’eau la douzième partie de ion poids : ainfi des autres Métaux , qui perdent plus ou moins , félon qu’ils font plus ou moins pefans : mais comme nous avons befoin de connoître ici ce que perdent l’Etain 5c la Rofette, l’on fçaura que l’Etain perd la feptiéme partie de fon poids , 5c que la Rofette n’en perd que la neuvième partie..
  - Cela poîé , pour connoître la quantité de Rofette êc d’Etain qui fe trouve dans une Pièce de 24 livres de balles , qui pele environ 5200 livres , il faut avoir un morceau de la Pièce, qui fera , par exemple , un de fes tronçons , 5c le pefer bien exactement j 5c fuppofant qu’il pefe 163 livres, on le pefera enfuite dans l’eau , pour voir combien il perd de fa pefanteur, 5c nous fnppoferons qu’il en perd 1 9 livres.
  - Prefentemenr il faut confiderer le Métail comme étant tout de Rofette , afin de voir, lelon cette fuppolition, •combien il perd de la pefanteur , 5c l’on trouvera qu’il perd-|ri & confiderant aulîî le Métail comme étant
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- - de MathejUti qï e. 375
  - tout Etain, l’on cherchera combien ii perd de fa pcfan-teur , & Ion trouvera qu’il perd , ainfi fi l’on nomme
  - a, la pefanteur du Métail \ b, fa perte ; c , la perte du poids du Métail, s’il étoic tout de Roiecte j d , la perte du même poids, ë’il écoit tout Etain , l’on aura a~\ 6 3 , b'~. 19 t
  - 5 & nommant x la quantité de Rofette qui eil dans le Métail, $cy la quantité d’Etain, voici comment on trouvera la valeur de ces deux inconnues.
  - Il huit commencer par faire deux proportions, en di-fant : Comme a, poids du Métail confideré comme Rofette, ed à c, perte de ce poids de Rofette, ainfi xqui efl la quantité de Rofette inconnue, elE à la perte du poids
  - de la même Rofette inconnue > ce qui donne a. c : : x. ^ ;
  - & faifant la même chofe chofe pour l’Etain , l’on dira : Comme ,poids du Métail confideré comme Etain ell à d, perte de ce poids d’Etain , ainfi/, valeur de la quantité d’Etain inconnue efl à la perte de cette quantité d’Etain, qui donnera encore cette proportion a.d \ :y.
  - Mais comme l’on a trouvé pour la perte du poids de
  - la Rofette qui efl dans le Métail , 6e pour la perte du
  - poids de l’Etain qui efl aufii dans le Métail , & que ces deux quantitez font enfemble la perte du poids du Métail : l’on aura donc cette équation f ~ ^b j 6c comme a; &c y reprefencent la Rofette 6e l’Etain qui compo-fentle Métail, l’on pourra encore former cette équation jr—\yzzLai & dégageant une de ces deux inconnues, qui fera,par exemple, .v, l’on aura x'zna—y 5 6c fubitituant
  - la valeur de .v dans l’équation—b , il viendra
  - zzb, ou bien o-j-dy~^zzb. Or fi Ion fait palier ç du premier membre dans le fécond , 6e que l’on multiplie
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- - 3 7 6 Nouveau Cours
  - les deux membre par a3il viendra dy*~ytrzzab—<zr,qui étant
  - t 1 dt du f
  - divifé par**—r,donne/ui.-y-y, où 7 eft égal à des quantités connues 5 par confequent il l’on met dans l'équation xzza—y la valeur de y , l’on aura xzza— , qui
  - donne auffi la valeur de x.
  - Or pour connoître^ en nombre, je confidere qu’il eft égal à ab—ac divifé par d—<c : 6c comme b—^c eft multiplié par a 9 je fouftrais de 19 deb2^- valeur de c , & le refte eft |, que je multiplie par 163, qui eft la valeur de a pour avoir Lî°2 , que je cli vile par -~J — valeur de d—c , qui eft j 6c la divillon étant faite, l’on trouvera 2 8 pour la valeur de y : 6c cherchant de meme la valeur de x, l’on trouvera qu’elle eft de 135 j ce qui fait voir qu’il y a 1 3 5 livres de Rolette , 6c 2 8 livres d “Etain dans le morceau deMétail.
  - Pour fçavoir prefentement la quantité d’Etain qu’il y a dans la pièce de Canon, il faut dire: Si dans 163 livres de Métail il y a 28 livres d’Etain, combien y en au-fa-t’il dans 5200 livres, poids de la Pièce, l’on trouvera qu’il y en a environ 8514 livres , ôc par confequent il y a 4306 livres de Rofette.
  - Mais comme ;la raifon de 4 3 o 6 livres à 8 514 n’eft pas égale à celle de 1 o o à 12, parce que nous avons fuppofé qu’il y avoir dans le Métail beaucoup plus d’Etain qu’il n’en falloir, il fera facile de fçavoir combien il faut ajouter de Rofette pour que l'alliage luit bien fait, en ciifant : Si pour 1 2 livres d’Etain il faut 100 livres de Rolette, combien en faudra-t’il pour 8514 livres. On trouvera qu’il en faut 74 5 o livres 3 6c comme il y en a e-éja 4 3 o 6 livres, il faudra en ajouter 3 144livres.
  - Si l’on a plufieurs Pièces à refondre en même tems , l’on cherchera par la règle précédente ce qu’il manque à chacune de Rolette ou d’Etain , afin que l’alliage foit dans la raifon de 100 à 12,
  - PROP.
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- - 377
  - DE MATHEM ATIQJJE.
  - PROPOSITION IL Problème.
  - 66$. Trouver le calibre des Boulets & des Pièces de Canon,
  - Pour trouver le calibre des Boulets de telle pefanteur que l’on voudra, il faut fçavoir d’abord le diame'tre d’un Boulet de même métail * comme, par exemple, celui d’une livre de fer coule', qui eff d’un pouce i o lignes § points, & confiderer le diame'tre comme e'tant divifé en un grand nombre de petites parties égales, comme en 5 00 ( pour que dans le calcul on puiile négliger les reftes ) enfuite cuber la valeur du diame'tre en petites parties, pour avoir 125000000 pour fon cube , que nous regarderons ici comme le Boulet même, parce que les Boulets étant des fpheres, ils font dans la même raifon que les cubes de leurs diamètres : c’eff pourquoi 11 l’on veut avoir le diamètre d’un Boulet de 2 4 , l’on n’aura qu’à multiplier le cube d’un Boulet d’une livre, c’eff-à-dire, r 2 5000000 par 2 4 pour avoir 3000000000, qui fera le cube du diamètre du Boulet de 24 , puifqu’il eri 24 fois plus grand que l’autre. Ainli en extrayant la racine cube de 3000000000, l’on aura 144 2 petites parties, que l’on pourra changer en pouces, lignes & points , en difant : Si 500 petites parties donnent un pouce 1 o lignes 8 points pour le diamètre du Boulet d’une livre, combien donneront 144 2 petites parties pour le diamètre du Boulet de 24. On trouvera après la règle faite, que le diamètre eft de 5 pouces 5 lignes, &c un peu plus de 4 points.
  - Si l’on veut avoir le diamètre de tout autre Boulet, par exemple , celui de 1 6 , l’on fera comme on a fut pour celui de 24 j avec cette différence , qu’au lieu démultiplier 125000000 par 24 , il faudra le muL tiplier par 1 6 , arin d’avoir le cube du diamètre du Boulet qu’on cherche : & l’on pourra fur ce principe calculer une Table pour tous les autres Boulets.
  - Mais comme l’on a befoin de connoître particuliere-
  - Bbb
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- - 3 7$ ’N O U V JE A. U C O U R s
  - ment les diamètres des Boulets pour faire, les coquilles dans le!quelles on coule le fer, qui doit les former, & que la plupart pourroient fe trouver embarraffez , s’ils ne con-noifloient pas le diamètre du Boulet d’une livre, ou s’ils foupçonnoient qu’il ne fût pas affez jufte pour fervir de bafe à une régie generale : en ce cas l’on pourra faire couler un Boulet de tel diamètre que l’on voudra 3 comme de 3: pouces 3 fans s’embarraffer de fa pefanteur qu’a-près qu’il fera fondu , parce que pour lors on le pefera bien exactement j & fuppofant qu’on a trouvé qu’il pefe 5 livres 2c demie , l’on réduira fou diamètre en petites parties pour le cuber, 2e enfuite l’on dira : Si 5 livres 2c demie donnent tant de petites parties pour le cube du diamètre de fon Boulet, combien une livre donnera-t’elle de petites parties pour le cube de fon diamètre: & lorf-qu’on aura trouvé ce que l’on cherche 3 on en extraira la racine cubequi donnera en petites parties La valeur du diamètre du Boulet d’une livre, qu’il fera facile de réduire en pouces, lignes, 2cc. fçaehant que le diamètre du premier Boulet eft de 3 pouces.
  - Pour trouver le diamètre des Pièces , l’on fçaura qu’il ne diffère que de peu de chofe de celui de leurs. Boulets». 2c comme cette différence, qui eh: ce qu’on appelle vent du Boulet, n’eft pas la même pour toutes les Pièces, il fufftra de fçavoir le diamètre de la Pièce d’une livre, pour trouver celui de toutes les autres : 2c comme le diamètre eft d’un pouce 1 1 lignes 6 points , parce que le Boulet de cette Pièce a environ une ligne de vent, 011 fup-pofera, comme 011 a fait pour fon Boulet ,.que le diamètre de la Pièce eft diviié en 5 0 0 parties 5 2c voulant trouver celui de la Pièce de 2.4 3 l’on cubera 500 pour multiplier le produit 24, dont on extraira la racine cube 3 qui eft encore 1442 , dont on pourra connoître la valeur en pouces,lignes,&c. en difant : Si 5 00 donnent un pouce 11 lignes 6 points, pour le diamètre de la Pièce d’une livre , combien donneront 14^.2 pour le diamètre de la Pièce de 2.4: on trouvera que ce diamètre eft. de 5 pouces 7 lignes 3 points*
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- - DE M A T HE M A T I QJT E. } J S
  - PROPOSITION III.
  - Problème.
  - 665?. Trouver le diamètre des Cylindres fervant h mefurer la Poudre.
  - L’on ne fe fert prefque jamais de balances dans les Ma-gafins & dans les Arcenaux pour mefurer la Pondre que l’on diftribue aux Troupes, foie pour des détachemens ou pour tout autre fujet, parce qu’il faudroit trop de teins pour en faire la diltribution : on fe fer au lieu de balances de cercaines mefures de fer blanc , ou de cuivre de figure cylindrique, qui contiennent plus ou moins de livres de Poudre, ou de parties de livres. Or comme fouvent l’on eft obligé de faire faire de ces mefures, &c qu’on ne peut fans le fecours de. la Géométrie fçavoir les dimenfions qu’il faut leur donner pour contenir une quantité de Poudre quelconque , voici une régie generale qui pourra 1er' virpour trouver le diamètre de toutes les mefures que l’on voudra: mais comme il faut que ces mefures foient femblables pour que la régie puifie convenir à toutes également, nous fuppolerons que ces mefures étant cylindriques , la hauteur du cylindre eil égale au diamètre du cercle qui lui fert de baie.
  - Cela pofé, étant prévenu qu’une mefure cylindrique, dont le diamètre eîl de 3 pouces, contient 4 livres de poudre, l’on trouvera le diamètre d’une mefure pour autant de livres que l’on voudra 5 par exemple, pour 1 o livres, en dilant : Si 4 livres de poudre donne 125 pouces pour le cube du diamètre de fa mefure , combien donneront 1 o livres de poudre 3 l’on trouvera 312 pouces & demi cubes, dont il faudra extraire la racine qui fera de 6 pouces 8 lignes 5? points , qui eh la grandeur qu’il faut donner au diamètre de la mefure de 1 o livres, qui doit avoir aufii la même hauteur : il en fera de même pour telle autre mefure que l’on voudra.
  - Mais fi l’on ignore le diamètre d’une mefure pour une
  - Bbbij
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- - 380 Nouveau Cours _
  - certaine quantité de poudre, 5c qu’on n’eut aucun terme de la proportion de connue, dans ce cas il faut faire faire une mefure à laquelle on donnera le diamètre que l’on voudra, & on la remplira de poudre, afin de fçavoir ce quelle contientj Sc fçachant ce quelle contient , & la valeur du diamètre , l’on fe fervira de la règle précédente pour trouver le diamètre de toutes les autres mefures, farfant attention que ces mefures ne peuvent avoir lieu que pour la poudre dont les grains (ont approchans de même groffeur que font ceux de la poudre à Canon 5 car fi les grains étoient plus fins , les mefures contien-droient moins de poudre en pefanteur.
  - L’on voit que cettere'gle eit établie fur ce que les cylindres femblables font dans la même raifon que les cubes de leurs diamètres. Or comme les mefures dont il s’agit ici font fuppofées avoir une hauteur égale à leur diamètre, elles feront donc femblables, & par confequent leurs fo-liditez qui né font autre chofe que la quantité de poudre qu’elles contiennent, feront donc dans la raifon des cubes des diamètres.
  - Mais fi l’on vouloir avoir des mefures, dont la hauteur fut plus grande ou plus petite que le diamètre de la bafe ( que nous nommerons mefure irreguüere ) il faudroit chercher le diamètre de la mefure pour la quantité de poudre que l’on veut que cette mefure contienne , comme fi cette mefure devoit être regtiliere, c’efir-à-dire, que le diamètre fut égal à la hauteur ; enfuite cuber le diamètre , 5c divifer le'produit par la hauteur de la mefure irreguliere, 6c le quotient fera la valeur du qunrré du diamètre de cette mefure. Après cela fi l’on extrait la racine quarrée de cette quantité, Ion aura le diamètre du cercle qui doit fiervir de baie à la mefure que-l’on cherche.
  - Comme les cercles font dans la raifon des quarrez de leurs diamètres, l’on pourra prendre à la place des cercles les quarrez de leurs diamètres. Or comme les cylindres font égaux, lorfque leurs hauteurs 6c leurs baies, ou les quarrez des diamètres de leurs bafes'font réciproques,
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- - de Mathemati QUI. 3 B 1
  - Dominant a le diamètre de la bafe du cylindre régulier a-fera auffi fa hauteur 5. & nommant b la hauteur du cylindre irrégulier, & x le diamètre de fa bafe, il faut, pour que le cylindre régulier foit égal à Pirrégulier, que h. a-
  - :: aa.xx. d’ou Pon tire bxx^aaa, ou bien xx~—~, ou
  - encore qui fait voir la raifon de la régie pre-
  - cedente.
  - Ce que nous venons de dire à Pégard dès mefures pour la poudre, fe peut appliquer à toutes autres mefures cylindriques pour telles chofes que ce foit-
  - EROPOSIT ION IV.
  - Problème;
  - 6 70. Trouver quelle longueur doivent avoir les pièces de Canon par rapport a leurs calibres.
  - Les extrêmitez dans lefquelles on eft tombé pour régler la longueur des pièces de Canon, en faifant celles de même calibre , tantôt fort longues , tantôt fort courtes, m’ont fait pen fer qu’il de voit y avoir une longueur pour les pièces cylindriques de chaque calibre, quiétoit telle qu’avec la charge ordinaire le Boulet reçut la plus grande v'itelle que l’impullion de la poudre eil capable de lui donner, & fi pour la.connoîrre l’on eft obligé de conlîde-rer les effets de la poudre dans le Canon, voici, à mon avis, ce que l’on peut dire de plus plauiible fur ce fujet.
  - Comme Pon ne peut douter que plus il y a de poudre ei> flâmée dans un -Canon, :& plus le Boulet reçoit de mouvement , nous fuppofer uns que Pon a mis pour la charge de la piece DG la quantité de pondre DE. Cela po(ë,auffi-xôt que le. feu de l’amorce, fe lèra introduit au point A de la lumière, les premiers grains de poudre enflamez raréfieront Pair qu’ils contiennent, &, cedui dont ils font environnez,^ écarteront à la ronde tout ce qui leur fera ob-
  - Jîbbiij
  - Planche.13. Fig. 313
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- - 382 Nouveau Cours
  - flacle , & fucceflivement la poudre continuant à s’enflâ-mer , elle occupera un bien plus grand volume qu’aupa-ravant 5 5c agilTant avec beaucoup de violence à droite 5c à gauche du point A, & particuliérement du côté où elle trouvera moins de réfi fiance , qui efl celui du Boulet qu’elle chaffera du côté de la bouche, avec une grande quantité de poudre, qui n’aura pas encore eu le tems de s’enflâmer ,5c la vîtefle du Boulet augmentant dans la meme raifon du volume de la poudre enflâmée , il fe trouvera dans un in fiant chaflè en G pour fortir de la pièce. Or fl dans le tems que le Boulet a parcouru l’efpa-ce EG, la poudre qui l’accompagnoit n’a pu être enflâ-mée entièrement , il en fortira une quantité F avec le Boulet, qui s’écartera comme du petit plomb, au lieu que fi la pièce avoit été plus longue que je ne la fuppofe ici, le Boulet ayant à parcourir un plus grand efpace, la poudre qui a été chaüée avec lui auroit eu le tems de s’enfla-mer, 5c par confequent auroit été capable d’un plus grand effort : ainfi l’on peut conclure que la proportion qu’il doit y avoir entre DE 5c DG, c’efl-à-dire , entre la charge & la longueur de la pièce, doit être telle que la poudre achevé de s’enflâmer entièrement a l’in fiant que le Boulet fort de la pièce j d’où il fuit qu’un Canon qui efl chargé plus qu’il ne faut, ne chaffe pas pour cela fon Boulet plus loin , Sc même au contraire, puilque plus il y aura de parties entre la poudre agiffante 5c le Boulet, moins il recevra de mouvement : 5c cela efl: fi vrai que fi au lieu d’un bouchon de fourage ordinaire entre la poudre 5c le Boulet, l’on en mettoit cinq ou fix, l’on s’appercevroit vi-liblement que la portée ne feroit pas fi longue que s’il n’y en avoit qu’un , comme j’en ai fait l’experience j car le Boulet ne recevant de mouvement que par l’impulfion que la poudre a imprimée au premier bouchon , celui-ci ne peut le communiquer aux autres, pour aller jufqu’au Boulet,fans l’alterer jce qui fait qu’il s’en faut de beaucoup que le Boulet n’ait autant de vîtefle que s’il avoit reçu fon impulfionimmédiatement de la poudre même. Ainfi le
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- - de Mathemati qjj e. 3 S 3.
  - trop de poudre fera le même effet que s’il y avoit trop de bourre.
  - Mais fi au lieu d’une pièce trop courte nous en fuppo-fons une trop longue, comme LO, il n’y a point de doute, quoiqu’elle foit de même calibre que la precedente , & chargée avec la même quantité de poudre , qu’elle ne porte pas fi loin que fi elle étoit d’une juffe longueur : car fuppofant que la poudre LM faifant fon effet , ait pouffe le Boulet jufqu’au point N , qui eff l’endroit ou elle auroit achevé de s’enffàmer entièrement , il eff certain que fi le Boulet a encore à parcourir l’efpace NO, il fortira avec moins de violence de l’endroit O, que fi il étoit parti d’abord de l’endroit N 5 car dans le tems que le relie de la poudre achevé de s’enffàmer vers N, la ffâme de celle qui a commencé vers la culaffe le dilate,. & l’air raréfié s’amortiffant de ce coté-là, il n’y a plus que celui qui eff vers N qui fait imprefîion fur le Boulet : de forte que fi la pièce étoit affez longue pour que l’impulfion de la poudre fut entièrement amortie à l’in fiant que le Boulet eff prêt à fortir de la pièce, il pourroit arriver que l’air que le Boulet auroit chaffë avec beaucoup de violence,, cherchant à rentrer dans la pièce , le repoufleroit vers la culaffe 5 ce qui arriveroit fans doute, fi à l’inftant que le feu a pris à la poudre, l’on puuvoit boucher la lumière avec affez de promptitude, pour empêcher que l’air que le Boulet chaffe ne foit remplacé par celui qui s’introdui-roit par là.
  - Puilque les pièces d’une trop grande longueur font moins d’effet que les autres, il ne faut donc plus s’étonner fi la Coulevrine de Nancy (contre l’opinion commune) a moins de portée que les pièces de même calibre,, comme M. Dumez l’a obfervé dans les épreuves qu’il a faites à Dunkerque.
  - Ce raifonnement fait voir que la charge doit dépendre de la longueur de la pièce, & la longueur de la pièce de la force de la charge : mais comme pour de Grofiès char-
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- - 3 84 Nouveau Cours
  - ges il fau droit de longues pièces , dont le fer vice & le tranfport fouffriroient bien des difficultez, joint à la grande confommacion de poudre que l’on feroit obligé de faire. Comme il femble que la méthode de charger ( comme on le pratique ordinairement) les pièces à la moitié du poids du Boulet, eft la meilleure, il faut en comptant' là-deflus chercher quelle doit être la longueur d’une pièce par rapport à un calibre quelconque j parce qu’a-près cela l’on peut établir des régies pour connoître la longueur de tous les calibres imaginables. Je crois que le plus fur moyen pour parvenir à cette connoifiance eft de faire un Canon fort long , dont le calibre feroit , par exemple , de 8 livres, àc le charger à la moitié du poids de fon Boulet, puis le tirer de but en blanc , pour voir fa portée: & comme l’on fuppofe que la pièce efl plus longue qu’elle ne doit être, on la fciera pour la diminuer d’un calibre, & on tirera un autre coup pour voir de combien elle aura porté plus loin que le premier j & continuant toujours à racourcir la pièce, en la diminuant de quelques pouces, fur la fin l’on arrivera à un point ou la pièce, pour être un peu trop courte, pQrtera moins loin qu’auparavant j & confiderant la longueur moyenne entre celle du dernier coup & le pénultième, l’on aura au jufie la longueur de la pièce par rapport à fa charge, pour que la poudre foit capable du plus grand effet qu’il ell poffible avec la même quantité de poudre.
  - Cependant comme ce que jepropofe ici pourroit peut-être n’avoir pas fes partifans , quoique le fujet foit aflez de confequence pour prendre toutes ces mefures, voici encore ce que l’on pourroit faire.
  - Comme î’experience fait voir tous les jours que les petites pièces portent plus loin à proportion que les grofles, puifijue , félon les épreuves qu’en a faites M. Dumez, il a trouvé que nos pièces de France chargées aux deux tiers de la pefanteur du Boulet, & pointées *145 degrez, por-toient,
  - Premièrement,
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- - de Mathématique. Premièrement,
  - La pièce de 24 a de 1 6 à de 1 2 à de 8 à & la pièce de 4 à
  - 2250 toifes.
  - 2010.
  - 1870.
  - 1660.
  - 15 20.
  - 38s
  - Ce qui me fait croire que la longueur des petites pièces eft mieux proportionnée par rapport à leurs calibres, que celle des groües : ainli fuppofant qu’une pièce de Canon de 4, qui a ordinairement 6 pieds de longueur dans l’ame, foit bien proportionnée, voici comment on pourra trouver la longueur des pièces de tel calibre que l’on voudra.
  - Conlîderant AC comme étant la longueur de l’ame d’une pièce de 4 3 AB l’efpace qu’occupe la poudre dans le Canon j & HK la longueur de la pièce de 24 , que je cherche, &HI l’efpace qu’occupe la charge, je fais attention que la poudre agilfant dans la pièce de 4 5c dans la pièce de 2 4 , dans la raifon de la quantité qu'il s’en trouve dans l’une & dans l’autre ( en faifant abftradion des forces unies ) il faut que le Boulet de l’une & de l’autre pièce parte dans le moment que la poudre eft entièrement allumée, qu’il y ait même raifon du cylindre AB au cylindre AC, que du cylindre HI au cylindre HK : & comme je peux prendre à la place des cylindres AB & HI la quantité de poudre qu’ils contiennent, & à la place des cylindres AC & HK le cube de leurs axes, puif-qu’ils doivent être femblables , l’on pourra ( pour trouver la longueur HK) dire : Si deux livres de poudre , qui effc la charge de la pièce de 4, donne 2 1 G pour le cube de fon axe, combien donneront 1 2 livres de poudre , qui eft la charge de la pièce de 24, pour le cube de l’axe de la même pièce 3 l’on trouvera 1296 pieds cubes, dont la racine eu be eft 11 pieds moins très-peu de chofe : ainfi l’on voit que l’ame de la pièce de 2 4, pour être proportionnée à fa charge par rapport à celle de 4, doit avoir 11 pieds
  - Ccc
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- - Nouveau Cours
  - de longueur : &: comme l’ame de ces mêmes pièces n’a ordinairement qu’environ 5? pieds, félon ce principe, elles font trop courtes de 2 pieds.
  - L’on pourra trouver de même la longueur de toutes les autres pièces, lorfqu’elles auront leurs chajfcbres cylindriques j car fi elles étoient autrement, il faudroit prendre d’autres mefures.
  - Les pièces dont on fe fert ordinairement n’êtant point d’une longueur proportionnée à celle de la pièce de 4 j & comme il n’y a point d’apparence qu’on les fonde toutes exprès pour les y faire convenir, il faut, puifque la charge d’une pièce dépend de fa longueur, comme la longueur dépend de la charge, faire voir comment on peut trouver la charge de toutes les pièces en connoiffant le calibre & la longueur. Comme les âmes des pièces qui ne font point femblables, font dans la raifon compofée des quarrez des diamètres des pièces & des axes des mêmes pièces , fi Ton multiplie le quarré du diamètre de chaque pièce par l’axe , l’on pourra trouver la charge qui convient aux pièces , puifque ces charges doivent être dans la raifon des produits des quarrez des diamètres des pièces, par les axes des mêmes pièces. Ainfi voulant fçavoir la charge d’une pièce de 24 ordinaire, dont l’ame a 5) pieds de longueur , j’ai recours à la pièce de 4 , pour en prendre le diamètre, qui efl 3 pouces , que je quarre pour en multiplier le quarré par la longueur de l’axe, qui efl 6 pieds, dont le produit eft 545 enfuite je quarre le diamètre de la pièce de 24, qui donne 25? pouces 5? lignes 6 points, que je multiplie par l’axe, qui ell 5), & le produit efl 26 8. Après cela je fais une Règle de trois, en difant : Si 5 4, produit du quarré du diamètre de la pièce de 4 par fon axe , donne deux livres pour fa charge , combien donneront 2 6 8, produit du quarré du diamètre de la pièce de 24 par fon axe, pour la charge de la même pièce, l’on trouvera 1 o livres moins quelque petite chofe, qui fait voir que les pièces de 2 4, dont lame a 5? pieds de longueur , doivent être chargées à 10 livres de poudre,
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- - de Mathématique. 387
  - quand la pièce de 4 fera chargée à la moitié de Ion Boulet.
  - De la même façon, filon veut fçavoir qu’elle doit être la charge de la Coulevrine de Nancy par rapport à la pièce de 4 chargée à la moitié de fon Boulet, il faut être prévenu que cette pièce eft de 1 8 livres de balle , que Ion diamètre eft de 5 pouces 1 ligne 6 points, & que la longueur de fon axe eft de 2 o pieds : ainîl faifant la Régie, on trouvera quelle doit être chargée à 20 livres de poudre.
  - Mais comme fon métail ne réfifteroit peut-être pas à une charge auffi forte que celle-ci, il n’y a qu’à voir la longueur qui lui convient pour la charge de la moitié de Ion Boulet, c’eft-à-dire, pour 5? livres de poudre, en di-fant : Si 2 livres de poudre, qui eft la charge de la pièce de 4, donnent 216 pour le cube de fon axe, que donneront 5? livres de poudre, qui elt la charge d’une pièce de 1 8 , pour le cube de fon axe, que l’on trouvera de 572, dont la racine cube eft environ 9 pieds 1 1 pouces, qui eft la longueur que devroit avoir l’ame de la Coulevrine, pour être bien proportionnée. Ainfi l’on connoîtra que cette pièce eft environ de 1 o pieds plus longue qu’elle ne devroit être.
  - Quand j’ai fuppofé que la charge de la pièce de 4 étoit de la moitié de lavpefanteur de fon Boulet, je n’ai pas prétendu que c’étoit la plus forte charge qu’on pouvoit lui donner : c’eft pourquoi Ci la charge aux deux tiers du Boulet eft capable d’un plus grand effet, l’on pourra trouver la charge de toutes les autres fur ce pied-là, fans qu’il foit beioin d’augmenter la longueur qu’on a trouvée par les Régies y parce que l’effet d’une plus grande charge dans la pièce de 4 fera toûjours la même à proportion dans toutes les autres pièces , lorfqu on en aura déterminé la longueur ou la charge fur la pièce de ,4.
  - Il y a encore une difficulté touchant les armes à feu, qui eft de fçavoir à quel endroit doit être pofée la lumière, pour que la poudre faffe un plus grand effet, &: je ne crois pas que l’on fe foit déterminé là-deffus : les uns difent
  - C c c ij
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- - 3 8 s Nouveau Cours
  - cm il faut la placer dans le milieu kde la longueur de la chambre, parce que la poudre s’enflâme à la ronde, ôc en bien plus grande quantité : les autres font d’une opinion contraire, & veulent qu’elle l'oit placée à l’extrémité de la chambre contre la culaffe , difant pour leur raifon que la pièce n’a pas tant de recul. Ces deux raifonnemens font également vrais j cependant comme les reflorts de la poudre, aulîi-bien que tous les autres reflorts, n’agiflent avec plus ou moins de violence, qu’autant que les corps qui leur réliftent cèdent plus ou moins, il s’enfuit quand une arme à feuna prefque point de recul, que c’eft une marque que la poudre a trouvé li peu de réliftance pour chafler la balle , quelle n’a eu befoin que de fon premier effort, au lieu que li elle trouve beaucoup de réfiftance vers la culafle & du côté de la balle, tous fes reflorts fe débanderont en même tems , quoique le recul foit plus grand, la balle ira bien plus loin, que fi le Canon n’avoit point eu de recul : ainli la lumière étant placée dans le milieu de la chambre , les reflorts agiront en bien plus grande quantité dans le même tems, que li elle étoitcontre la culafle, où ces mêmes reflorts ne peuvent agir que fucceflivement, puifque la poudre s’enflâme ainft j & fi le Boulet vient à partir dès que la poudre commence à s’enflâmer, il arrivera encore qu’une grande partie fera chaflee hors de la pièce fans faire aucun effet : ainfi il me femble que la lumière placée dans le milieu de la chambre convient beaucoup mieux que par tout ailleurs j car comme le Canon ne recule qu’avec peine, à caufe de la pefanteur de la machine, & du frottement de l’affût contre la platte-forme, il fe fait une réaction d’une grande partie de la poudre,qui agit contre la culafle , qui vient augmenter rimpulflon de celle qui pouffe le Boulet.
  - Mais en parlant du Canon je voudrois defabufer ceux quicroyent que le Boulet en fortant de la pièce seleve au-deflus delà même pièce 5 qui penfent qu’après avoir décrit une courbe, il reprend une direction horifontale , pour en décrire après cela une autre j &la plupart, font fl
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- - DE Mat HEM ATI QT.T £. 3
  - opiniâtres à foûtenir cette erreur, quon a beau leur dire que la pefanteur du Boulet, bien loin de permettre qu’il puiffe s’élever au-deffus de l’axe de la pièce ,. l’emporte au-deffous , dès l’inftant même -qu’il fort, & lui fait décrire une courbe, qui à la veritté eft d’abord fort approchante de la ligne droite, mais qui devient fcnfible à me-fure qu’il s’éloigne de la pièce 5 & une preuve à laquelle ils ont tous recours pour ioutenir leur opinion , c’eff, di-fent-ils, quand on tire après une pièce de gibier à la chaife, il faut tirer un peu au-deffous de l’animal, pour gagner la diftance dont la balle s’eff élevée au-deffus du canon : mais comme cette raifon ne vaut abfolument rien, en voici l’unique eaufe.
  - Si l’on attache un canon de Fufil fur une petite planche, & qu’aux deux cotez de cette planche on y mette deux tourillons, en forte que le canon foit en équilibre fur ces tourillons, comme les bras d’une balance, on verra que l’ayant chargé à balle , fi l’on tire au-deffus de l’horifon, la partie de la poudre qui agira contre la culaffe , & qui eaufe ordinairement le recul, fera baiffer la culalfe, & par confequent lever le bout du canon : & comme cela fe fera avant même que la balle foit fortie du canon, il arrivera qu’elle ira au-deiTus de l’objet vers lequel on avoit pointé , parce qu’en fortant elle ira félon la direction de l’ame,. & non pas félon celle du rayon vifuel, qui ne lera plus le même à eaufe du dérangement de la eu— lalfe. Or fi l’on fait attention que le Fufil entre les mains duChaffeur fait le même effet que je viens de dire, l’on verra que quand on veut pointer jufte, il faut pointer au-d’effous de l’objet.
  - Cependant ce qui fait qu’il femble que le Boulet à une certaine diltances’élève au-deffus de la pièce, c'elt que la furface. extérieure de la pièce n’étant point parallèle avec l’ame, le Boulet emporté avec beaucoup de violence, approche fort pendant un tems de la direction de l’ame : & comme cette direction fe coupe avec celle de la furface de la pièce de ces deux lignes prolongées , celle de
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- - 3$o Nouveau Cours
  - .Pâme palTe au-deflus de la furface : & fl le Boulet fuit encore à peu près ladire&ion de l’ame au-de-là de là fedion des deux lignes , il arrive en effet que le Boulet eft au-deflus de la furface de la pièce, mais non pas au-deflus de la diredion de Pâme prolongées & il y a même apparence que des Fondeurs ont eu égard à l’obliquité de la furface de la pièce par rapport a Pâme, afin de redifier la ligne courbe pour tirer de but en blanc s mais on a penfé bien différemment pour la fabrique des pièces qui ont été fondues en dernier lieu à Doiiay : car comme ceux qui les ont fait fondre ont cru que pour tirer jufte il fal-loit vifer parallèlement à Pâme, ils ont élevé fur le bourlet un bouton de mire d’une grofleur extraordinaire j de forte que le rayon vifuel de la culafle au fommet de ce bouton fe trouve parallèle à l’ame. Ainfi l’on vife félon une diredion, tandis que le Boulet en prend une autre s & ce feroit la plus mavaife chofe du monde que ces boutons, fi le Canonier n’a voit foin de pointer au-deflus de l’objet qu’il veut atteindre.
  - PROPOSITION V.
  - Problème.
  - Fig. 314. 3M- 3**-347;
  - 671. Oh ton donne, la maniéré de connoître le nombre des Boulets qui font en pile.
  - Les Boulets de Canon & les Bombes qui font dans les Arcenaux, font ordinairement rangez en pile ; ces piles font de trois fortes : il y en a qui ont pour bafe un quarré que l’on nomme piles quarrées , comme dans la Fig. 324. d’autres un triangle, que l’on nomme piles triangulaires, comme dans la Fig. 3 2 5. & d’autres un parallélogramme, comme dans la Fig. 326. que l’on nomme piles oblongues. Or comme la maniéré de compter ces Boulets dépend d’un calcul qui eft: different, lelon la figure de la pile. M. Goyfeau, Garde dArtillerie à la Fere, a donné il y a long-tems des Tables pour conftruire ces piles, & pour
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- - de Mathématique. 35? 1 compter les Boulets qui les compofent 5 on les trouve dans les Mémoires de S. Remy, & il y a peu d’Officiers d’Artillerie qui n’en ayent la pratique : mais comme beaucoup nefçavent peut-être pas les raifons des operations qu’il faut faire, en voici l’explication.
  - Avant toutes chofes, il faut confîderer que les faces de la pile quarrée & de la pile triangulaire font toujours des triangles, dont les trois cotez font égaux, & que ces triangles étant formez par des Boulets, ils compofent une progreffion arithmétique , qui commence par l’unité, c’elt-à-dire, par le Boulet qui eft au fommet de la pile,
  - & que le plus grand terme de la progreffion eftla bafe du triangle. Eu comme nous ferons obligez de connoître la quantité de Boulets contenue dans une face, que nous nommerons dans la fuite triangle arithmétique, voici comment on les pourra compter d’une maniéré fort aifée.
  - Pour fçatoir combien il y a de Boulets dans le triangle ABC, il faut compter combien il s’en trouve dans le côté AC, ajouter à ce nombre l’unité 3 enfuite multiplier cette quantité^par la moitié du côté AB ou AC , qui eft la même choie, & le produit donnera le nombre des Boulets contenus dans le triangle : ainfile côté AC étant de 6 Boulets, h j’ajoute à ce nombre l’unité pour avoir 7, qui étant multipliez par la moitié de AB ou de AC,qui eft 3 , le produit fera 2 1 , qui eft le nombre des Boulets que l’on cherche. Il en fera de même pour tous les autres triangles arithmétiques.
  - La raifon de ceci eft que dans une progreffion arithmé- Fig. 324, tique,.a. a—|«e^a—ïie , a—1*3r , a-b^e, a—f-$e, dont les termes fe furpaflent d’une quantité e, la fonime des deux termes a~\e & a—^^e également éloignez des extrêmes eft égale à la fomme des extrêmes a & 5 * > ou à celle
  - des deux autres termes quelconques auffi également éloignez des extrêmes 3 puilque la lomme des uns &des autres donne 5* 3 mais il y a la moitié autant de fois 1 æ—f 5 e ( qui eft la fomme des extrêmes ) qu’il y a de termes dans la progreffion. Donc pour avoir la valeur de
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- - tfig.SM*
  - &3*5-
  - 35U Nouveau'Cours
  - tous les termes d’une progrelïîon arithmétique, qui commence par l’unité, ou par tout autre nombre, il faut multiplier le premier & le dernier terme , par la moitié du nombre qui exprime la quantité des termes : c’eil pourquoi nous avons ajouté le premier terme AC avec le dernier B 5 & que nous avons multiplié la fomme par la moitié du côté AB, c’eft-à-dire , par la moitié du nombre des termes de la progreffion pour avoir les Boulets du triangle.
  - Prévenu de ceci, il Faut encore confiderer que fi l’on a une quantité de Boulets qui forment par leurs arran-gemens un prifme triangulaire DEH GF ( foutenu par un plan incliné 1K ) dont la bafe foit le triangle EGH , que ce prifme étant coupé par un plan EF .fpJttW®! à la baie , il divifera ce prilme en deux parties, dont l’une ,com » me DEF, fera le tiers de tout le prifme s & l’autre, comme EFGH *en fera les deux tiers ; car la partie EDF.eft une pyramide triangulaire, qui a pour bafe le triangle oppofé à EGH, ôc pour hauteur la hauteur DE du prifme 5 par confequent la partie EFGHqui eft auffi une pyramide, qui a pour bafe un quarré, en fera les deux tiers. Mais il faut remarquer que le plan EF partage un triangle de Boulet tel que EFG qui fe rencontre dans la coupe j ce qui rendra les deux pyramides imparfaites , quand on les confiderera compofées de Boulets ; car comme le plan EF pâlie par le tiers de chaque Boulet L, il faudra donner à la pyramide triangulaire DEF les deux tiers de la quantité des Boulets du triangle arithmétique, qui fe rencontre dans la coupe EF. De même pour rendre reguliere la pyramide quarrée EFGH, il faudra lui donner le tiers au même triangle arithmétique. Or fi l’on fuppofe que l’on a détaché du prifme la pyramide quarrée EFGH,pour tenir lieu delà pyramide ABCQ^, & que la pyramide triangulaire DEF qui reite foit regardée comme la pyramide MNOP , on pourra donc dire que la pyramide ABCQ^eft plus grande que les deux tiers du prifme qui auroit pour bafe le triangle ABC,
  - qui
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- - de Mathemati cvy e- 3^3
  - qui eft la mime chofe que EGH , &; pour hauteur le côté AB, qui efl: la même chofe que DE , du tiers du triangle ABC, qui eft le même que celui quife trouve dans la coupe EF.
  - Enfin Ton pourroit dire auffi que la pyramide MNOP fera plus grande que le tiers du prifme, qui auroit pour bafe le triangle MNO , qui eft le même que EGH , & pour hauteur le côté MN, qui eft le même que DE , des deux tiers du triangle MNO , qui eft le même que le triangle arithmétique qui fe rencontre dans la coupe EF.
  - D ’oii il s’enfuit, i °. que pour trouver la quantité de Boulets contenue dans une pile quarrée ABCQ^, il faut d’abord chercher le nombre de ceux qui font contenus dans le triangle arithmétique ABC, &; le multiplier par les deux tiers du côté AB ou AC, & ajouter au produit le tiers du triangle A BC.
  - Ain 11 le côté AC étant de 6 , je commence par trouver le triangle ABC , en ajoutant l’unité au nombre 6 pour avoir 7 , que je multiplie par la moitié du côté AB qui eft 3 , & le produit donne 21 , que je multiplie par les deux tiers du côté AB, qui eft 4 , pour avoir 8 4 au produit, auquel ajoutant le tiers du triangle arithmétique ABC, qui eft 7, il vient 5? 1 pour le nombre des Boulets delà pile.
  - 20. L’on pourra donc dire auffi que pour trouver le nombre de Boulets - contenus dans la pile triangulaire MNOP : il faut multiplier le triangle MNO par le tiers du côté MN, &. ajouter au produit les deux tiers du nombre de Boulets contenus dans le triangle MNOj ainfi le côté NO étant encore dç 6 , le triangle arithmétique fera de 2 1 , qui étant multiplié par le tiers du côté MN, qui eft 2 , l’on, aura 42 , aufquels ajoutant les deux tiers du triangle, qui eft 14, l’on aura 5 6 pour le nombre de Boulets contenus cette pile.
  - A l’égard de la pile oblonguc , il eft fort facile d’en Fig. 32s connoître la quantité de Boulets ; car comme elle eft com-
  - Ddd
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- - 3.5)4 N O-Ü VEAU C o u R s
  - pofée d’an prifme triangulaire RSTV, & d’une pyramide quarrée VTXY , Ton voit qu’il n’y a d’abord qu a chercher la quantité de Boulets contenue dans une pyramide quarrée, qui auroit pour côté XY, ou VX 5 enfui-te ajouter à la valeur de cette pyramide celle du prifme RSTV,que l’on trouvera en multipliant le triangle XT V ou celui de la coupe TV, qui eft la même chofe, par la quantité de Boulets RT qui fe trouve au fommet de la pile moins une unité 5 quand je dis moins une unité , c’eft qu’on doit faire attention que le premier Boulet T , avec le triangle arithmétique TV , qui lui correfpond, appartient entièrement à la pyramide TVXY, &. par confe-quent'il doit être fupprimé de la quantité RT.
  - Ainfi fuppofant que le côté XY ou.TX.foit, de 5) , j’ajoute 1 à 5? pour avoir 1 q , que je multiplie par la moitié de 5? 5 ou, ce qui eft la même chofe, 5) par la moitié de 1 o , qui eft 5 , le produit, fera 4 5 pour la quantité de Boulets du triangle XTY ,. <qu.e je multiplie par les deux tiers de 9 ,c’eft-à-dire, par 6., & il vient z 70 pour le produit, auquel j’ajoute le tiers du triangle , qui eft 15, & le tout fait z8.5 pour la pyramide. Or fuppofant auflî que RT foit de 15 Boulets , je multiplie 15 moins 1 , qui eft 14., par le triangle arithmétique , qui eft 45 3 & il vient 630 pour le nombre de Boulets du prif-me RSTV,. qui étant ajouté avec ceux.de la pyramide l’on trouvera 715 Boulets dans la pyramide oblongue..
  - PROPOSITION V I.
  - Problème.
  - Fig. 3 2.8» 6y z. Ou U on.donne la maniéré de dégorger les embrafiires dès Batteries de Canon dans les Sieges.
  - Après que i’011 a fait le coffre d’une Batterie, &qu’on l’a rempli de terre jufqu a une certaine, hauteur, qui eft à peu près celle de l’épaulement, on dégorge les E mbra-
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- - de Mathemati qjlj e. 3^5
  - Rires , au (quelles on donne 2 pieds à 1*011 verture AB, pour recevoir la volée de la pièce , 5c 9 pieds à l’ouverture-CD ; & pour tracer l’Embrafure, on éleve une perpendiculaire EL fur le milieu de la ligne AB : en-iuite un Canonier va planter un piquet en C & en D , chacun éloigné du point L de 4 pieds 6c demi j 6c ayant les aligncmens AC 6c BD , l’on pofe les fauchions qui doivent former les joues de l’Embrafure. Or comme on ne peut faire cette manœuvre fans que l’Ennemi s’en ap-perçoive, il dirige Ion feu de ce côté-là , 6c quoiqu’on Eide un malque pour s’en garantir , cela n’empêche pas-que l’on ne foit fort inquiété. Or pour agir avec plus de précaution, voici comment on pourra dégorger 6c faci-ner les joues fans être obligé de monter fur l’épaulement pour planter les piquets I, L , K.
  - Il Elut déblayer devant foi au-dciTus de la genouillie-re une quantité de terre autour du point E 5 enfuite marquer les deux piquets C 6c D éloignez chacun d’un pied du point E, mettre une toile EF perpendiculaire fur la ligne CD j puis a l’extrémité F de la toife marquer départ 6c d’autre deux piquets G 6c Fl , éloignez du point F chacun de 2 pieds 2 pouces , l’on aura les aîignemens des joues de l’Embrafure CG 6c DEI , qui étant prolongez à mefure que l’on déblayera les terres devant foi, iront fe terminer en I 6c en K à une diltance de 4 pieds 6c demi du point L , qui elf ici dans le milieu de l’Embrafure.
  - Pour faire voir la raifon de cette pratique, conliderez qu’ayant mené MS parallèle à NT , l’on aura retranché de la largeur RT la partie ST d' un pied , 6c que par confequcnt RS fera de 3 pieds 6c demi. Or h l’on lup-pole que MP foit de 6 pieds , 6c que PO foit parallèle à RT, l’on aura les triangles femblables MPO 6c Mo A » par conlcquent #S, qui elt ordinairement de 1 8 pieds, fera à SR de 3 pieds 6c demi , comme MP de 6 pieds , iera à PO , qui le trouvera d’un pied 2 pouces ; 6c li l’on ajoute à cette ligne la partie PQ , qui ell d’un pied, la
  - D d d i i
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- - 35)6 Nouveau Cours
  - perpendiculaire OÇMera de z pieds z pouces , & la ligne RT de quatre pieds & demi. Ainfi donnant 6 pieds à NQ^, il faudra donner z pieds 2 pouces à la diftance QO , pour que la moitié' de l’ouverture RT de l’Embra-fure foit de 4 pieds de demi.
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- - 397
  - D I S C O U R S
  - SVR LE MOWEMENT DES CORPS,
  - & fiir le Jet des Bombes.
  - LE principal objet que je me fuis propofé dans le Traité du Mouvement que je donne ici 3 a été d’enfeigner l’art de jetter les Bombes. Il eft vrai que je ne commence pas d’abord par là , parce qu’il m’a paru qu’il étoit bon de donner une con-noilîance du choc des Corps, afin d’en tirer quelques principes 3 qui nous ferviront beaucoup dans la Mécanique. Jepourrois dire la même chofe du Chapitre du Mouvement,parce qu’il me donnera aufïi lieu dans la Mécanique d’expliquer plufieurs chofes qui n’auroient pu être entendues fans une connoiflànce de la chute des Corps : d’ailleurs il eft abfolument néceflaire à ceux qui veulent s’attacher aux Mathématiques & à la Phy tique, pour expliquer quantité de chofes curieufes dans l’Artillerie , de fçavoir les principales Régies du choc Sc du mouvement des Corps 3 ainfi .ee Traité contient trois Chapitres : le premier traite du Choc des Corps3le fécond, des Régies du Mouvement3 Sc le troifiéme, de la Théorie Sc de la Pratique du Jet: des Bombes.
  - A l’égard du jet des Bombes, je ne vois pas que les Bombardiers fe foient mis beaucoup en peine de;
  - D ci d ii j
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- - 3s>S . Discours
  - fçavoir s’il y avoit des régies certaines fur ce fujet dans la penfée où ils ont toujours été qu’il n’y avoit que la feule pratique qui puiffe fervir au Bombardier , pour lui faire jetter des Bombes avec fuccès > Si cela vient fans doute de ce que la plupart n’ayant aucune connoiftance des Mathématiques ni de Phyfique, ne peuvent point s’imaginer qu’il eft pofliblede donner desioix des effets de la poudre, au caprice de laquelle ils attribuent les fautes qu’ils font. J’avoue qu’il y a tant de chofes qui concourent dans la charge d’un Mortier à déranger tout ce que les régies Si l’attention du. Bombardier le plus adroit font en état de faire -, qu’il y auroit de la témérité à croire qu’on peut jetter des Bombes dans un endroit comme fi on les y portoit avec la main. Mais ce qu’il y a de fur, c’eft que fi un Bombardier avoit allez d’attention en chargeant fon Mortier pour en examiner le défaut, Si pour faire en forte de charger toujours également , que les régies feroient d’un ufage excellent, puifque l’on n’auroit pour chaffer des Bombes à une diftance quelconque, qu’à en tirer une avec la charge que Ton aura jugé à propos,& à un degré d’élévation à volonté, pour connoître l’élévation qu’il convient de donner au Mortier , pour jetter les autres Bombes à la diftance qu’on demande. Mais ceux qui n’ont que la pratique , foûtiennent qu’il eft impoftible de pouvoir obferver cette préci-fion dans la maniéré de charger également. Car, difent-ils , l’inégalité des grains de poudre , foit
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- - sur le'Mouvement des Corps , &c. 399
  - dans leur groffeur,ou dans les matières qui la com-pofent , fait que la même quantité pour chaque charge produit des effets diftérens 3 ce qui peut venir aufli de la part de la terre avec laquelle on remplit la chambre, qui peut être plus ou moins refoulée une fois que l'autre. D’ailleurs les Bombes qui ne font point toutes bien de calibre & d’égale pefanteur, Sc fouvent mal coulées, la platte-forme qui fe dérange prefquc à chaque coup que l’on tire, font autant defujets qui prouvent que moralementil ifeft pas poflible de jamais tirer des Bombes comme il faut : mais quoiqu’on puiffe rémedier à tout ceci quand on voudra y bien prendre garde, il n’y a point de doute qu’un Bombardier expérimenté d’ailleurs dans fon métier, &qui fçaura l’art de jetter les Bombes, ne fbit plus fur de fon fait que celui qui n’a que la limple pratique 5 car s’il s’ap~ perçoit que fon premier & fon fécond coup ne jettent point la Bombe où il veut qu’elle tombe , il pourra fe corriger, au lieu que ce dernier tâtonnera en augmentant ou diminuant la poudre ou les de~ grez pendant un tems conliderable : Sc quoiqu’on dife que c’eftlepur hazard qui gouverne l’aéfion du Mortier , l’expérience m’a tait voir que quand 011 VQuloit apporter tous les foins à charger également, Sc à pofer l’affût toujours dans le même endroit de a] platte-forme, & les tourillons dans la même fi-tuation fur l’affût, il était très-polhbîe de tirer quantité de Bombes toujours à peu près dans le même endroit. Qu’on revienne donc de l’opinion où l’on
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- - 400 Discours sur le Mouvement , &c. eft que les régies pour jetterles Bombes ne peuvent être d’aucun fecours,puifque fi l’on a foin décharger bien également, 6c que Ton fe ferve des Bombes à peu près de même poids, l’on n’aura plus lieu de douter de la certitude de ces régies.
  - Après cela on .peut dire qu’il y a fi peu de Bombardiers qui fe foient attachez à fçavoir ces régies, 6c encore moins à les pratiquer, que certainement il y a plus de préjugé que de connoiflance dans leur fait : 6c quand ils pourroient s’en palier pour jetter des Bombes dans un endroit de niveau avec la batterie , après en avoir tiré un grand nombre d’inutiles , comme cela arrive toujours , comment s’y prendroient-ils pour en jetter dans quelque Forte-rede fort élevée, comme fur un rocher eîcarpé, au pied duquel feroit la Batterie, ou bien li la Batterie étoit un lieu fort élevé pour en jetter dans un tond, il n’y a point de Bombardier, que je fçache, à qui l’expérience ait donné quelque pratique pour cela , d’autant plus qu’ils ne regardent point ces deux cas comme problématiques. Enfin il réfulte de tout ce qui vient d’être dit, que jamais on ne parviendra à jetter des Bombes à une diftance donnée , que l’on ne fçache les régies qui font établies pour cela , 6c qu’on ait allez d’expérience pour prévoir tous les accidens aufquels le Mortier 6c la Bombe font fujets.
  - NOUVEAU
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- - 4oi
  - NOUVEAU COURS
  - DE MATHEMATIQUE-
  - HUITIEME PARTIE.
  - Qui traite du Adoubement & du Choc des
  - Corps.
  - Pour fervir d’introduction à la Mécanique & à Tare de jetter les Bombes.
  - CHAPITRE PREMIER.
  - Du Choc des Corps.
  - DEFINITIONS.
  - I.
  - 6 7 3. T A 'ttfVtfJ/ï? d’un Corps eft le plus ou le moins de I chemin qu’il fait pendant un certain tems, lorfque quelque caufe l’a mis en mouvement.
  - II.
  - 674. La vîtefle d’un Corps eft dite uniforme ou variable ; elle fe nomme uniforme , loi* 1 que dans des tems égaux elle parcourt des efpaces égaux i &C elle fe nomme variable , lorlque dans des tems égaux elle parcourt des efpaces inégaux.
  - -O
  - E e e
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- - 4-0 z
  - Nouveau Cours
  - III.
  - 6 7 5. La direction d’un Corps, eft: la ligne qu’un Corps parcourt} lorfqu’étant mis en mouvement il va- d’un lieu à un autre.
  - IV.
  - 6 7 6. La dire&ion eft fimple ou compofée : l’on dit quelle eft flmple , lorfqu’il n’y a qu’une caufe qui tend à mou-voirie Corps j & on la nomme compofce 5 lorfqu’il y en a deuxou plufieurs.
  - V.
  - 677. Les Corps dont on confidere le mouvement font durs ou fluides : il y en a auffi qui ont du reflortd’autres qui n’en ont pas.
  - VI.
  - <5.7-8. On appelle Corps dur celui dont les parties ne fe divifent pas aifément, & qui étant divifées ne fe réunifient point facilement, comme une pierre.
  - VII.
  - <$75?. On appelle Corps fluide celui dont les parties fe divifent aifément, & lefquelles étant divifées fe réunifient, facilement, comme l’eau.
  - VIII.
  - 6 8 o. On appelle Corps fans reffort et lui qui à la rencontre d’un autre ne change point de figure, ou s’il en change > ne fe rétablit point dans fa première figure.
  - IX.
  - 6 8 1. On appelle Corps à reflortctlni qui à la rencontre d’un autre change de figure dans le choc, & enfuite fe rétablie comme auparavant.
  - 6 81. Nous rtexaminerons dans ce Traité que les Corps durs fans reflort s À l’égard des autres nous en parlerons aux en* droits qu ü conviendra.
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- - D E MATHEMATIQUE- 4® 3
  - D E MANU E S.
  - L
  - 603. L’on demande qu’il foit regardé comme incon-‘te fiable que lorfque deux corps fe rencontrent dans des directions diamétralement oppofées, ils fe communiquent mutuellement leur mouvement, ôc qu’un Corps perd autant de fon mouvement qu’il en communique a un autre.
  - IL
  - 6 8 4. Que lorfque deux Corps fans reffort fe rencontrent , iis ne fe repouffent point l’un l’autre, & que le plus fort emporte le plus foibie dans fa même détermination.
  - C O R O L L A I R E.
  - € 8 5. Il fuit que lorfqu’un Corps a plus de force qu’un autre, il pouffe devant lui celui qui eft le plus foibie, & que ces deux Corps peuvent être regardez comme s’ils n’en faifoient plus qu’un, qui les vaut tous deux.
  - III.
  - 6 8 <3. On fuppofe encore que les Corps fe meuvent dans un milieu, qui ne refifle point à leurs mouvemens j de forte que fi un Corps parcourt 4 toifes dans la première minute de fon mouvement, il continuera de parcourir 4 toifes dans chaque minute.
  - Axiome.
  - 6 8 7. Les effets font proportionnels à leurs caufes.
  - Corollaire.
  - 6 8 8. Il fuit que fi l’on a deux Corps égaux A & C, qui Fig. 3i*. étant mis en mouvement, parcourent en même tems les «fpaces'AB & CD , ces deux Corps ont reçu des de-grez de vîtefïès, qui font dans la raifon des mêmes ef-paces AB & CD $ puifque les degrez de vîteffes de ces
  - Eee ij
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- - 4C4 N O U V E A U C O' TJ R s
  - Corps peuvent être pris pour les cauies , & les efpaccs
  - parcourus pour les effets.
  - AV E RT I S S EM EN T.
  - Comme les Corps que l’on, fait rouler fur un plan parcourent des lignes droites , nous prendrons dans la fuite des lignes droites pour exprimer non feulement le chemin que ces Corps parcourent, ou auront à parcourir , mais encore pour exprimer les degrez de force qu’on leur aura attribue : nous luppoferons auffi que les Corps dont nous parlerons, feront de figure fpherique.
  - PROPOSITION PREMIERE..
  - Théorème-
  - 6 8 9. Si deux Corps fcmhlables de même matière é1 égaux? font mus avec des vîteffes inégales, l'effort du Corps qui aura lé plus de vîteffe fera plus grand fur le Corps qu il rencontrera, que celui dont la vîteffe fera plus petite,.
  - Démons t r a t i on..
  - Si l’on fuppofe que de deux Corps égaux lïin ait une vîteffe double de Pautre, je dis que ces deux Corps venant à frapper un autre corps,celui qui aura la yîteflr double, le frappera avec deux fois plus de force que l’autre > car les *Art.£87. effets étant proportionnez à leurs caufes * fi l’on prend les vîceffes pour les caufes, & les chocs pour les effets , le Corps qui aura deux fois plus de vîteffe que l’autre, agirai avec deux fois plus de force contre.celui qu’il rencontrera.
  - PROPOSITION IL
  - Théorème.
  - 690. Si deux Corps inégaux & de même matière, font pouffez, avec des vîteffe s égales, le plus grand Corps fera plus d'imprejfion furie Corps quil rencontrera, que le plus petit.
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- - £> E Ma THE M A T I QJJ E. 4 O ÿ
  - DeMONSTKA T I O N.
  - Si Ion fuppofe deux Corps l’un de quatre livres, 6e l’autre de deux livres, il eft confiant que ii ces deux Corps ont des devrez de vîtefles ég-aux , le plus grand aura deux fois plus de lorce que le plus petit 3 car li l’on fuppofe le Corps de quatre livres divifé en deux également , l’on aura deux autres Corps, dont chacun fera égal à celui de deux livres 3 5c comme ils auront la meme vîteffe que celui de deux livres ,1a force de chacun en particulier fera égale à celle du plus petit : ainfi ces deux Corps n’en fai-fant qu’un, la force du plus grand Corps fera par confe-quent double de celle du plus petit.
  - Corollaire I.
  - 6$ I . Iifuit des deux Théorèmes précedens que la force d’un Corps,qu’on peutappeller auffi quantité de mouvement de ce Corps, ne dépend pas feulement de fa vîtefle,mais encore de fa maffe 5 c’eft pourquoi l’on connoîcra toujours la quantité de mouvement de deux ou de plu heurs Corps en multipliant la mafj.e de chacun par fa vîteffe , puifque les Corps inégaux , 6c qui ont des vîtelfes inégales, ont une quantité de mouvement, qui elf dans la raifon compofée-de leurs maffes 6c de leurs vîteffes : ainfi ayant deux Corps’ que nous nommerons a 6c b, nommant c la vîtefle du premier, ôc d la vîtefle du fécond , ac fera la quantité do Tun, 6c bd la quantité de mouvement de l’autre.
  - Corollaire II.
  - 6y 2.II fuit encore que connoiflantla quantité de mouvement d’un Corps 6c fa maffeen divifant la quantité de mouvement par la maffe, l’on aura au quotient la vî* teffe 3 6c que divifant de même la quantité de mouvement par.la vîteffe , le quotient donnera la maffe,
  - Se e ii'h
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- - 40 6 N o u veau Cou a s
  - P R O P O S I T I O N III. Théorème.
  - 69 3. Si deux Corps ont des majfes & des vîtejfes qui foient en raifon réciproque, ces deux Corps auront une même quantité de mouvement.
  - Démonstration.
  - Si l’on nomme a la malle du premier corps ; b, celle du fécond ,* c, la vîtefle du premier 5 & d , la vîtefle du fécond, félon la fuppoflcion l’on aura a. b : : d. c. par con-fequent ac—bd ; mais ac eft le produit du premier Corps par fa vîtefle, eft le produit du fécond Corps par là
  - vîtefle. Donc la quantité de mouvement de l’un eit égale à la quantité de mouvement de l’autre. Ce quil falloit
  - démontrer,
  - C O R O £ LAI RE I.
  - 6 5? 4. Il fuit que fl Pon a deux Corps A & B, dont les ;S* 5 mafles foient réciproques aux vîtefles* que ces deux Corps
  - venant à fe rencontrer par des dire&ions diamétralement oppofées, qu’ils fe choqueront également, & qu’ils demeureront tous les deux en repos au moment qu’ils fe feront choquez : car fuppofant que le Corps A foit de 4 livres, & fa vîtefle foit de 1 2 degrez, que le Corps B foit de 6 livres, & fa vîtefle de .8 degrez, la mafle du Corps A qui eft 4, étant multipliée par fa vîtefle, qui eft 12 5 l’on raura 4 8 pour la quantité de mouvement du Corps A. De mçme, fl l’on multiplie la mafle du Corps B, qui eft 6, par fa vîtefle, qui eft 8 , fa quantité de mouvement fera jencore 48,. Or s’ils* fe rencontrent au point C avec une égale quantité de mouvement., le Corps A choquera autant le Corps B, que le Corps B choquera le Corps A : ainfl ils demeureront en repos, puifque l’un ne fera pas plus d’effort que l’autre.
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- - DE MaTHEMAT. I QJJ E. 4°7‘
  - Cette égalité de forces ou quantité de mouvemens qui-agifient l’un contre l’autre, fe nomme équilibre.
  - Corollaire IL
  - 6 9 f. Il fuit encore que fi deux Corps égaux avec des vîteffes égales j viennent à fe rencontrer dans des lignes de directions diamétralement oppofées, ils feront en équilibre à l’in fiant du choc , puifqu’ils. auront chacun une même quantité de mouvement.
  - PROPOSITION I V..
  - Theoreme.-
  - 6 96 » Lorfque deux Corps fans report fe meuvent dans lanterne détermination ? & vers un ?nême côté y le Corps qui a le plus de viteffe ayant rencontré celui qui en a moins, & tes deux Corps allant enfemble, ils auront une quantité de mouvement égale k la fomme de celles quils avaient avant le choc..
  - D EMON S T- R AT ION.
  - Si ces deux Corps fe meuvent d’un même côté , il n’y aura rien d’oppofé, qui détruira leur mouvement. C’efi pourquoi ils conferveront après le choc la même quantité de mouvement qu’ils avoient avant le choc j car fi celui qui a le plus de mouvement en communique à celui qui ena moins, cette quantité de mouvement refte dans, ce dernier. Or ces. deux Corps étant confiderez comme n’en faifant qu’un feul * après le choc : il s’enfuit que *Art. leur quantité de mouvement efila fomme de celles qu’ils avoient avant le choc..
  - t
  - Cor OL lai ré I.
  - 6 9 7. Il fuit que connoifiant la quantité de mouvement de deux Corps , qui n’en font plus qu’un , après s’être, rencontrez , l’on trouvera la vîtelfe, en divifantla quantité de-mouvement par ia fomme des mafles 5 & que cou--
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- - 40S Nouveau Cours
  - noiffantla vîtefle, l’on trouvera la fomme des malles, ea
  - divifant la quantité de mouvement par la vîtefle.
  - Corollaire II.
  - 6 9 S. Par confequent fi l’on a deux Corps égaux fur une même ligne de direction , êc que l’un foit en repos , &: l’autre en mouvement j celui qui elt en mouvement venant rencontrer celui qui eft en repos ( ces deux Corps n’en Exilant plus qu’un ) il lui communiquera la moitié de la vîtefle qu’iî avoit avant le choc 5 puifque pour ..avoir cette vîtelle, il faut diviler la quantité de mouvement par une malPe double : enfin ti le Corps mobile en rencontre un autre en repos, dont la nulle loit triple de la tienne, fa vîtefle ne fera plus que :d’un quart. Ainti des autres.
  - PROPOSITION
  - Théorème.
  - V.
  - 699. Si deux Corps fe meuvent dans un fens oppofé fur .une même direction, ces deux Corps venant h fe rencontrer, ri en faifant plus quun, la quantité de mouvement de ces Corps fera la différence des quantité^ de mouvemens que les deux Corps avoient avant 1e choc.
  - D EMONSTR ATION.
  - Si ces deux Corps fe meuvent dans des déterminations oppofées,ils tendront mutuellement à s’arrêter j de forte que s’ils avoient des forces égales, ils demeureroient en repos après le choc : ainti le plus fort perd autant de fa force que le plus foible en a. Il ne relie donc pour mouvoir ces deux Corps après leur choc, que la différence de leurs forces, ou de leur quantité de mouvement 5 mais ces deux Corps étant confiderez comme n’en faifant plus qu’un , fa quantité de mouvement fera la différence de celles des deux Corps avant le choc.
  - Corol.
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- - CE MàTHEMATI OJO*Ê. 409
  - Corollaire.
  - 700. Il fuit que pour trouver la vîtefTe de ces Corps après leur choc , qu’il faut divifer la différence de leur quantité de mouvement qu’ils avoient avant le choc, par la fomme de leurs malles , 6c le quotient donnera cette vîtefTe, laquelle fera dans la détermination du Corps qui avoit la plus grande quantité de mouvement avant le choc.
  - CHAPITRE IL
  - Du Mouvement des Corps jettes
  - DEFINITIONS.
  - I.
  - 70 1. O I un Corps fe meut pendant un certain terns* lequel tems foit divifé en plusieurs parties égales , nous appellerons chacune de ces petites parties moment ou injlant.
  - IL
  - 701. Si un Corps tombant de haut en bas, reçoit dans chaque inflant une augmentation de vîtefTe, cette vîtefle fera nommée accélérée $ & fl au contraire l’on jette un Corps de bas en haut, 6c qu a chaque in fiant de la montée il perde dans des inftans égaux des parties égales de vîtefTe j cette vîtefTe fera nommée retardée.
  - Axiome I.
  - 703. Un Corps, foit qu’il foit çn mouvement ou en re* pos, efl toujours le même Corps.
  - Corollaire.
  - 704. Donc le Corps de lui-même ou de fa nature eft tout-à-fait indiffèrent au mouvement ou au repos , &
  - Fff
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- - 4io Nouveau Cours
  - par confequent ce Corps étant une fois mis en mouvement, ilnefe mettra jamais en repos j de même qu’étant une fois en repos, il ne fe mettra jamais de lui-même en mouvement.
  - Axiome II.
  - 705. Un Corps de quelque côté qu’on le mette en mouvement, & avec une vîteffe quelconque , effc toûjours le même Corps.
  - Corollaire.
  - 706. Donc le Corps de foi ou de fa nature eft tout-à-fait indifferent à quelque détermination , ou à quelque vîteffe que ce puiffe être j & par confequent ce Corps ne changera jamais de lui-même, ni la vîteffe ni la détermination qu’il a eu en dernier lieu.
  - DEMANDE.
  - 707. L’on demande qu’il foit accordé que la pefanteur de quelque côté qu’elle puiffe provenir, preffe toûjours le Corps avec une même force pour le faire defcendre.
  - PROPOSITION PREMIERE.
  - Théorème.
  - 708. Si rien ne s*oppofoit au mouvementées Corpsjettez, chacun de ces Corps conferveroit toujours avec une vïtejjâ égale le mouvement quil auroit reçu , & fuivroit toûjours une même ligne droite.
  - Démonstration.
  - Comme un Corps ne peut jamais de lui-même fe mettre en repos, ni changer fa détermination ou la vîteffe *Art«704» qu’il a reçue*, il s’enfuit que fi rien ne s’oppofoit à cette 5c 706. vîteffe , le Corps conferveroit perpétuellement fon mouvement , 6c avec une vîteffe toujours égale , 6c fuivroiç toûjours une même ligne droite. C. D.
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- - de Mathématique. 411 Corollaire. I.
  - 705?. Donc le mouvement tel quil e/l de la part de la pui/Tance qui meut , foit horizontalement, foit obliquement , foit verticalement, feroit perpétuel & égal, en allant toujours de même côté, fi l’air 11e refiftoit pas au Corps, & fi fa pefanteur ne le faifoit pas toû jours aefcen-dre en bas j de forte que le mouvement précifément com-me il e/l de la part du mobile , doit être confideré comme égal perpétuel, & droit toûjours vers le même côté où le Corps e/lpou/Té.
  - Corollaire IL
  - 710. De même, fi immédiatement après qu’une puif-fance a donné une certaine quantité de vîte/ïe à un Corps qui tombe, l’aélion de la pefanteur venoit à cefier tout-à-fait , & que l’air ne refi/lat point , ce Corps neanmoins s’approcheroit toujours de la terre avec la même vîtc/Te qu’ii auroit reçûe en dernier lieu, confiervant toûjours également cette même vîte/Te, & s’approchant toujours par une ligne droite.
  - Corollaire III.
  - 711. Donc puifque l’aclion de la pefanteur ne nuit point à la vîce/Te d’un Corps qui tombe, fi l’air, ni autre chofe ne s’y oppofoit, la vite/Iè que la pefanteur caufe-roit au Corps dans le premier in/lant , continueroit dans le fécond in/lant avec une pareille vîte/Te caufée par la même pefanteur ,-par la même raifon les vîtefies des deux premiers in/tans continueroient avec celles du troifiéme in/lant j & ainfi les vîte/Tes de tous ces premiers in Hans continueroient avec les vîte/Tes que ce même Corps recevrait dans chacun des in/lans fuivans, ou bien ( ce qui qui e/l la même chofe ) lorfqu’un Corps tombe, ce Corps reçoit des parties égales de vîteiTe dans des tems égaux, en fuppofant que l’a&ion de la pefanteur e/l uniforme > & négligeant la refi/lancç de l’air.
  - Fff ij
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- - V’AttjiU
  - 41 z Nouveau Ceints'
  - PROPOSITION IL Théorème;
  - 712. *Vn Corps qui tombe reçoit des -parties égales de *vî-teffe dans des tems égaux > de forte que d'ans le fécond infant U y a une vîteffe double de celle quil avoit dans le premier infant de fa chûte , & dans le troiféme il en a un triple i & ainji des autres..
  - D E M O N S T R A T I O N.-
  - Puifqu’un Corps qui tombe efl continuellement pouffé en bas par l’a&ion de fa pefanteur, qui efl toujours la même *, il s’enfuit que la pefanteur doit donner à ce Corps à chaque inflant de fa chute d’égales parties de vî-teffè. Donc puifque les parties de vîteffe que le Corps auroit reçues en premier lieu fub fi fient entièrement avec celles qu’il auroit reçues en dernier lieu * le Corps en tombant fe trouve avoir autant de devrez de vîteffe caufez par fa pefanteur, qu’il fera écoule de momens depuis le commencement de fa chûte jufqu’au moment que l’on compte. Donc ce Corps aura à la fin du. fécond inflant une vîteffe double de celle du premier au troifiéme imitant une vîteffe triple, &c. C. J^F. J*.
  - C Q R O.LLAI RE.
  - Il fuit que les vîtefîès qu’un Corps reçoit dans chaque* inflant de fa chute, font comme les tems qui fe font écoulez depuis le commencement de fa chûte.
  - P R O P O S I T IO N I IL. Théorème;
  - 713 . Les efpaces que parcourt un Corps en tombant dans quelque tems que ce foit > font entreux comme les quarrez, des. mêmes, tems».
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- - 413
  - DE MATHEMATIQUE;
  - Démonstration.
  - Si un Corps A a parcouru deux efpaces, l’un pendant Fig. 331 De tems exprimé par la ligne AB, 8c l’autre pendant le tems exprimé par la ligne AC, il faut démontrer que les efpaces parcourus pendant chacun de ces tems font comme les quarrez.des mêmes tems A B 8c AC. Pour cela tirez la ligne AD , qui fafl'e avec AC tel angle que l’on voudra, 8c menez CD 8c BE perpendiculaires à AC j en-fuite divifez la ligne AB à un nombre de parties égales >
  - & par chaque poinc de divifionF, H, JL-, 8cc. menez les parallèles FG> H K,LM, 8cc. Cela pofé, fi l’on fuppofe que le Corps tombe du point A pour venir vers B, 8c que l’on prenne la partie AF pour un tems, Sc la parallèle EG pour exprimer l’efpace parcouru pendant ce tems, 8c qu’on fuppofe aufïi que pendant le tems AH le-Corps ait parcouru un efpace exprimé par H K , l’on verra qu’à caufe des triangles femblables AFG 8c AHK, que le tems AF fera à l’efpace parcouru F G comme le tems AH fera à Fefpace parcouru HK. Or comme toutes les parallèles qui font dans le triangle A BE, expriment tous les efpaces parcourus dans le tems de la ligne AB j il s’enfuit que fî Bon fuppofe le tems de la ligne AB , divifé en des inflans infiniment petits, les parallèles qui exprimeront les vî-tefles de ces tems feront infiniment proches les unes des autres i 8c qu’ainfi la ligne AB étant prifè pour la fomme de tous les in flans du tems que le Corps aura mis àdef-eendre, le triangle ABE pourra être pris pourla fomme de. tous les efpaces parcourus pendant le tems AB : par la même raifon fi l’on prend la ligne AC pour un tems , le triangle ACD pourra être pris pour la vîteffe du Corps pendant le tems AC : ainfi le tems AB fera au tems AC comme la vîteffe exprimée par le triangle ABE fera à la vîteffe exprimée par le triangle ACD. Or ces triangles étant femblables , feront dans la raifon des quarrez-de leurs cotez homologues, c’efl-à-dire , comme lés quar-rez des tems AB 8c AC ; d’où il s’enfuit qu’en prenant ces -
  - Eff iij ’
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- - .4.14 Nouveau Cours
  - quarrez pour les vîtefles, l’on pourra dire que la fomine des vîtefles ou les efpaces que parcourt un Corps pendant les tems AB & AD feront comme les quarrez de ces mêmes tems.
  - Corollaire I.
  - 714. Puifque les tems AB, AC, font entr’eux comme les vîtefles BE, CD, que le Corps a acquifes à la fin de ces tems, il eft évident que les elpaces que ce Corps par-courrera pendant ces mêmes tems , feront aufli entr’eux comme les quarrez des vîtefles que ce Corps aura à la fin de chacun de ces tems. Ainfi nommant L une longueur
  - {>arcourue depuis le point de repos 3 T, le tems employé à a parcourir 5 V, la vîtefle acquife à la fin de ces tems : & /, une autre longueur parcourue depuis le point de repos 31, le tems employé à la parcourir 3 u, la vîtefle acquit fe à la fin de ce tems , l’on aura L. / : : TT. tt. ou bien
  - Corollaire II.
  - 715. Puifque l’on a L. / : : V V. m. fi on extrait la racine quarrée de chaque terme, oriaura V^L. V/ : :V.u. ce qui fait voir que dans le mouvement accéléré on peut exprimer les vîtefles par les racines des longueurs parcourues depuis le point de repos. Il faut s’appliquer àcomprendre ceci pour n’être point arrêté dans la fuite.
  - C.O RÔLLAIRE III.
  - 716. Il eftauffi évident que fi l’on prend plufieurs tems égaux de fuite, à commencer au premier in liant de la chute, par exemple , AF, FH, HL, LN, &c. pendant lefquelstemsfoient parcourus les efpaces RS, ST, TX, XZ, en forte que pendant le tems AF le Corps parcoure l’efpace RS, pendant le tems FH l’efpace ST, &c. ces mêmes efpaces feront entr’eux comme les nombres impairs depuis l’unité i fçavoir, 1 , 3 , 5,7, $, &ç. de forte que fi RS vaut i pied, ST en vaut 3 3 TX, 5 3 XZ, 7, Sec. car c’eft la différence des quarrez des grandeurs ou
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- - D E MaTH EM A T I QJJ I. 415
  - nombres i, 1, 3,4, &c. qui fuivent naturellement après l’unité. Lors donc qu’on augmente ces degrez de vîtefle félon la fuite naturelle des nombres dans des tems égaux , les efpaces parcourus pendant ces mêmes tems augmentent fuivant la fuite des nombres impairs depuis l’unité.
  - PROPOSITION IV.
  - Théorème.
  - y I y. L’efpace qu’un Corps parcourt dans un tems donné, lorfqu’étant en repos il commence à tomber, efi la moitié de l’efpace que ce Corps parcourreroit d’un mouvement égal dans un pareil tems avec la vîtejfe qu’il a acquife dans le dernier moment de fa chute.
  - Démonstration.
  - Qu’un Corps tombe avec le tems AB , en forte que fa Fig. vîtefle audernier moment de fa chute foit BC, je dis que Pefpace que ce Corps parcourreroit avec cette même dernière vîtefle continuée également pendant le tems AB, eft double de celui que ce même Corps a parcouru pendant ce même tems AB s car il eft évident que la fomme des vî-tefles , 011 la vîtefle totale de ce Corps qui tombe avec le tems AB, eft exprimée par la fuperficie du triangle ABC. Mais fl ce même Corps le mouvoit encore avec une vîtefle égale BC, pendant le même tems AB, il eft évident, par la même raifôn, que la vîtefle totale feroit pour lors exprimée par le parallélogramme BD. Donc pu:fque les efpaces font comme les vîtefles totales, il s’enfuivra que l’ef-pace que ce Corps parcourreroit pendant le tems AB avec une vîtefle égale & uniforme BC , fera à l’efpace que ce Corps parcourreroit pendant le même tems avec une vîtefle accélérée jufcju’à BC , comme le parallélogramme. BD au triangle ABC : niais le parallélogramme BD eft double du triangle ABC i donc l’efpace qu’un Corps parcou^ ^eroit dans un tems donné, ikc. C. ^ F. D.
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- - 41-6 Nouveau C o u r s
  - Corollaire.
  - 718. Il fuie que fi un Corps en tombant a parcouru depuis le point de repos un efpace que nous nommerons a, dans un tems que nous nommerons T, que ce Corps parcourera d’un mouvement uniforme le même efpace a 3ans la moitié du tems T, c’eft-à-dire, en^ T.
  - REMARQUE.
  - Quand on dit qu’un Corps parcourt d’un mouvement uniforme avec une vîteffe acquife un certain efpace qu’on exprime ordinairement par une ligne. Il eft bon de remarquer que.cette ligne peut être perpendiculaire, hori-ibntale, ou oblique à i’horifon.
  - PROPOSITION V.
  - Théorème.
  - 71p. La force qui forte un Cor fs ferfendiculairement m haut. Je diminue également.
  - Démonstration.
  - Si l’on confîdere qu’un Corps pouffé de bas en haut eft toujours tiré en bas par fa pefanteur, l’on verra que lorf-que la force de l’impulfion qui le pouffe en haut eft diminué jufqu’au point de devenir égale a celle de fa gravité, en ce moment le Corps jetté doit ceffer de monter j après quoi il doit immédiatement defeendre, parce qu’alors la force de la pefanteur commence à prévaloir à celle que iapuiffance lui a imprimée. Or puifque la pefanteur empêche que le mobile n’aille toujours également, il reçoit donc à chaque inftant de la montée des diminutions égales de vîteffe dans la même raifon que cette vîteffe augmente quand il defeend , puifque la pefanteur qui eft caufe qu’en defeendant il reçoit des augmentations des vî-teffes égales dans des tems égaux , fait qu’agiffant d’un •ftns contraire, il perd en montant des parties de vîteffes égales dans des tems égaux. C. ^ F. D.
  - Corol.
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- - 417
  - de Math em atiqjje.
  - Corollaire.
  - Il fuit que fl un Corps eft pouffé en haut avec la force ou la vîteffe qu’il a acquife en tombant d’une certaine hauteur dans un certain tems, qu’il doit remonter à la même hauteur dans le même tems, 6c palier par les mêmes efpaces dans des tems égaux en de!cendant 6c en montants ainli les efpaces parcourus par le mobile jette en haut feront les mêmes dans un ordre renverfé que ceux qu’il parcourera quand fa gravité le fera retomber.
  - PROPOSITION VI.
  - Problème.
  - 710. Connoiffant l'efpace qu'un Corps pefant parcourt en un tems déterminé, trouver l'efpace qu'il parcourera dans un tems donné.
  - Suppofant qu’un Corps a parcouru en tombant 180 toi-fes en 6 minutes,on demande combien le mêmeCorps parcourera de toifes en 4 minutes. Pour le fça voir,faites attention que la fommedes vîteffes des Corps qui tombent étant dans la raifon des quarrez des tems > 6c fi au lieu des vî-teffes on prend les efpaces parcourus , l’on n’aura qu’à dire : Si le quarré de 6 minutes, qui eft 3 6 , donne 180 toifes pour l’efpace parcouru , combien donnera le quarré de 4 minutes, qui eft 1 6 , pour l’efpace parcouru, l’on trouvera que le Corps aura parcouru 8 o toifes en 4 minutes.
  - PROPOSITION VII.
  - Problème.
  - 721. ConnoijJ’ant le tems qu'un Corps a mis a parcourir un efpace déterminé, connoître le tems qu'il mettra à parcourir un efpacé donné.
  - Sçachant qu’un Corps a parcouru 200 toifes en 5 minutes , l’on demande en combien de tems il parcourera I 5 o toifes.
  - Ggg
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- - 41 S Nouveau Cours
  - Pour le fçavoir, il faut, à caufe que les efpaces parcourus font; connue les quarrez des tems, dire : Comme 200 toiles font au quarré de 5 minutes, qui eft 15, ainli 150 toifes font au quarré du tems que le Corps aura mis à parcourir cet efpace. La régie étant faite, on trouvera pour le quarré du tems 1 8 dont la racine quar-rée eft 4 ~i c’ed-à-dire, 4 minutes & 20 fécondés, qui eft le tems que le Corps mettra à parcourir 150 toifes.
  - CHAPITRE II L
  - De la Théorie & de la Pratique du Jet des Bombes , pour fervir a la conftruéîion t'SP a ïufiage d*un In-jhument univerfel pour le Jet des Bombes.
  - TOus ceux qui tirent des Bombes fçavent que la Bombe décrit un courbe en allant du Mortier au lieu ou elle tombe j & l’on a nommé cette courbe Parabole, parce qu’en, effet elle en a les proprietez. Or comme c’eft fur la nature de la Parabole qu’ed fondée la Théorie du Jet des Bombes, il faut faire voir avant toutes chofes, que non feulement la Bombe, mais tout autre Corps poulie félon une direction parallèle ou oblique à l’horifon, décrit une Parabole : & c’ëd ce qui va être démontré dans k proportion, fuivante.
  - PROPOSITION VIII.
  - Théorème.
  - 723. Si un Corps eft jette félon une direction quelconque pourvu quelle ne fiit point perpendiculaire à l’horifon, je dis qu’il décrira par fin mouvement compofé du mouvement â’im-vulftm, de celui de Ja pefanteur ,, une Parabole...
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- - de Mathématique. 415
  - Démonstration.
  - Confiderez que la force imprimée au mobile pour le pouffer de A en B , lui fera parcourir des efpaces égaux AE, EG, GI, IB, dans des tems égaux, que dans le premier terris il aura parcouru l’efpace AE par fon mouvement d’impulfion, & Pefpace AL ou ÉF par fa pefantenr, dans le fécond tems il aura parcouru l’efpace AG par fon Fig. 334'; impulsion} & l’efpace AM ou GH par fa péfanteur j dans St 335. le troifiéme tems l’efpace AI par Ion impulfion, & l’ef-pace AN ou IK par fa pefanteur i enfin qu’au quatrième tems il aura parcouru l’efpace A B , par fon mouvement d’impulfion, & l’efpace AO ou B Û par celui de fa pefanteur : mais félon la loy du mouvement uniforrqe, les efpaces parcourus AE, AG, AI, IB, fpnt entr’eux comme les tems employez à les parcourir * $ & par la loy des *Art.7ii. corps qui tombent, les efpaces AL, AM., AN, AO, ou leurs égales EF, GH, IK , BD , parcourus en tombant, font entr’eux comme les quarrez des efpaces AE, AG,
  - AI, AB ,ou de leurs égales LF, MH , NK, OD * par- "Art.yij. courus d’un mouvement uniforme , imprimé au mobilè fuivant la diredion AB. Or la ligne courbe dans laquelle fe trouvent les points F, H, K , D , a donc cette propriété , que les quarrez des parallèles LE-, MH, NK, OD, font entr’eux comme les lignes AL , AM, AN, AO j mais il eft démontré dans les Sedions Coniques *, qu’une cour- *Art.4n, be qui a cette propriété, eff une parabole : airifi un Corps & 411. jetté félon une diredion quelconque, décrit une parabole. Ce qu’ilfalloit démontrer.
  - Corollaire I.
  - 714. Si la diredion AB du mobile pouffé par le mouvement d’impulfion, eft parallèle à l’horifon, comme eft la ligne AB dans la Fig. 3 34. la courbe AHD fera une demi parabole, dont la ligne AO fera l’axe : & comme le Fig. 3347 mobile par fa gravité s’éloigne perpétuellement de la li-^ & 335* gne AB, il commencera à décrire la parabole âu point A;
  - Gggij
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- - vç.i-0 Nouveau Cours
  - ainfi la ligne AB ne touchant la parabole qu’au feul point
  - A, elle en fera la tangente.
  - Corollaire II.
  - 725. Mais fi le mobile a été pouffé félon une direction AB oblique à Phorifon, comme dans la Figure 3 3 5. dès qu’il partira du point A, il commencera a décrire la parabole AHD s'il eft pouffé félon la direction AQ, dès qu’il partira du point A, il commencera à décrire la parabole AffS i ce qui fait voir que la ligne BQ eft tangente dJa. parabole au point A ., & que la ligne AP eft un dia-
  - Tüétÿe a la parabole > puifque * AL. AM : : LF. MH. ainll ♦Art.4* 3- la démon ftration precedente prouve toujours que le mo-& 4M» bile décrit une parabole, foit qu’on le pouffe félon une di-re&ion parallèle ou oblique à Phorifon.
  - Corollaire IIL
  - 726. Il fuit encore que les paraboles décrites par un mobile ont d’autant plus d’étendue , que la vîteffe imprimée au -mobile fuivant là même dire&ion, eft plus grande.
  - D E F I N I T Ï O N.
  - 335'’ La ligne AB eft nommée la ligne de projettîon 5 la ligne BD j la ligne de la chute j & la ligne AD, la ligne de but > que Ion nomme auffi amplitude cie la parabole, lorfqu’elle en détermine l’étendue > & dans ce cas l’amplitude eft toujours une ligne horiibntale.
  - REMARQUE.
  - Comme les étendues des paraboles décrites par un mobile , dépendent de la force qui a mis le mobile en mouvement, Galilée n’a point trouvé de moyens plus affùrez pour réduire ces forces à de certaines mefures , qu’en icippofint q-ue le mobile a acquis cette force ou cette vi-«efteen tournant d’une certaine hauteur s car comme 4e
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- - de Mathématique. 421^
  - mobile en tombant acquiert à chaque inftant de fa chute un nouveau degré de vîteffe, il n’y a point de vîteffe li grande qu’on puifle s’imaginer , à laquelle le mobile ne puilTe arriver 5 puifque l’on peut fuppofer les hauteurs d’où il fera tombé auffi grandes que l’on voudra : ainfl la différence des degrez de vîteffe pourra s’exprimer par la différence des hauteur d’où l’on peut fuppofer que le mobile eft tombé..
  - PROPOSITION IX.
  - Problème.
  - 727: Coïmoifiant-la ligne de projection AB ( qùon fuppofe -, parallèle k Fhorifon) & 1* ligne de chûte B F de la parabole A F F décrite par un mobile y on demande de quelle hauteur ce mobile doit tomber pour avoir h la fin de fa chûte une vite fie avec laquelle il puifi’e dJun mouvement uniforme parcourir la ligne AB, dans lè même tems qu il parcourera par fa pefanteur la hauteur B F.
  - Ayant achevé le rectangle GB, il faut dïvifer la ligne"
  - AB en deux également au point D, -& tirer la ligne G Di & fur cette ligne élever la perpendiculaire DC, qui aille rencontrer la ligne GA prolongée jufqu’en C 3 û je dis* que la ligne CA fera la hauteur que le. mobile doit parcourir de C en A pour avoir une vîteffe capable; de parcourir la ligne AB d’un mouyement uniforme dans le même tems qu’il parcourera la hauteur BE.par fapefan-teun
  - Nous nommerons A G, a 3 AD , b 3 la. ligne CA, x 3 &
  - T, le tems que le- mobile aura mis à parcourir la verticale-AG ,;en tombant de. A . en G. -
  - D £ M O N -S‘ T R'ATlûN’. •
  - Suppofant que le mobile fait tombé de A e«G dans le
  - rems T, fa vîteffe fera VA G ( sfa ) * .avec laquelle-il par- f courera d’un mouvement uniforme la ligne AG {a) dans r *7r5*
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- - 42i Nouveau Cours
  - Art.71?. le tems-^T * : & comme l’on a nommé x la hauteur de laquelle il doit tomber pour avoir une vîtefle uniforme capable de parcouru le côté AD (b) dans le même tems 7Tria vîteife acquife par la hauteur que l’on cherche,
  - ‘Art.715. feraV^*5 &par confequent l’on aura AG (a). AD (b)
  - : : v'AG (vG) Vx. d’où l’on tire aVx~bVi. Or fi l’on multiplie chaque membre de cette équation par foi-même, on aura aax~bba j car il faut remarquer que Vx multiplié par foi-même, & Va multiplié aufli par foi-même, donne x & a , & que par confequent en quarrant ay/x~LVa, l’on a aaxr=bba, où il n’y a plus de fignes radicaux : ainfi
  - dégageant l’inconnu *, l’on aura , ou bien xr: ^
  - r= —PXAP : mais à caufe dés triangles femblables GAD ag s
  - &: ADC , l’on aura GA (a). AD (b) : : AD (b). AC (x). qui fait voir que CA efl: la hauteur d’où le mobile doit tomber pour une vîteife capable de parcourir AD d’un mouvement uniforme dans un tems £ T ,* mais le mobile étant tombé de A en G doit parcourir avec la vîteife acquife dans un tems T un efpace double de AG dam mouvement uniforme. Donc le mobile parcourera avec la vîtefle acquife de C en A, un efpace double de A D, qui eft AB, dans un tems double de|T, c’eft-à-dire, dans un tems T, qui eft le même que le mobile a mis à parcourir l’efpace AG ou BF d’un mouvement accéléré.
  - Suite du Problème précèdent.
  - Mais fi l’on veut fça voir de quel: e hauteur doit tomber le mobile pour acquérir un degré de vîtefle capable de lui faire parcourir d’un mouvement uniforme la ligne inclinée GD dans un tems ~ T, qui efi: celui que le mobile mettra à parcourir d’un mouvement uniforme la ligne AG avec la vîteife acquife en tombant de A en G, il faut nommer
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- - » E M A T H EM A T I QJJ E. 41 3
  - la hauteur que l’on cherche y , & conliderer que la vî-tefledu mobile qui parcourent cette ligne , fera Vy : 8c comme la vîteflede la ligne AG (W «« , nommant la *Arr tt«-
  - ligne GD, d, l’on aura AG (a) GD (d) :.: \/AG {Va). Vy. qui donne aVy^dVa 5 d’où faifant évanoiiir les fignes radicaux ( en quarrant chaque membre ) il vient aay—dda,
  - ou bien P*^D. Mais comme les triangles fem-
  - blables CGD & DAG donnent AG. GD : : GD. GC. on voit que GC eft égal à*^ > 6c que par confequent le mobile doit tomber de C en G pour acquérir un degré de vîteffe capable de parcourir la ligne GD d’un mouvement uniforme dans le tems f-T.
  - Corollaire.
  - 728, Puifque le mobile avec la vitelTe acquife de C en G parcourt d’un mouvement uniforme la ligne GD dans un tems-JT*, il parcourera donc la ligne GB double de GD dans un tems double de J T, c’efl-à-dire, en T, qui eft le tems que le mobile a mis à parcourir la verticale 3370 AG d’un mouvement accéléré 5 6c par confequent dans un tems dou ble de T, c’eft-à-dire , en iT, le mobile parcourera la ligne GE quadruple de GD d’un mouvement uniforme, tandis que le mobile parcourera d’un mouvement accéléré unefpacequadruple de AG, ceft à-dire,
  - EF, puifque les efpaces parcourus font dans la même rai-fon que les quarrez des tems * ; ce qui fait voir que fi un *Art.713, mobile eil pouffé félon une direction oblique GE avec la vîteffe acquife en tombant de C en G, qu’il parcourera d’un mouvement uniforme la ligne de projection GE dans le même tems que fa pefanteur lui fera parcourir en tombant la ligne EF, ôc qu’il décrira, pendant le même tems avec un mouvement compofé de celui d’impul-fion, 6c de la pefanteur la parabole GHF,, avec la force1 acquife de C en G
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- - 4 2 4
  - Nouveau Cours
  - DEFINITION.
  - T^nre ligne eorniiïc CA ou CG parcourue par un mobile pour acquérir un é Ae* fnrCe capable de décrire une parabole, eft nommée ligne de humeur
  - P R O POSITIO N X.
  - Théorème.
  - 725;. Le paramétre de toute Parabole décrite par un mobile, ejl quadruple de la ligne de hauteur de cette Tarabole.
  - D E M O N S T R A T I O N.
  - g Pour démontrer premièrement que le paramétre de la ** ’ Parabole AEF décrit félon une projection horifontale AB, eft quadruple de CA-, nous ferons voir que le quarré de l’ordonnée GF eft égal au redangle compris fous l’abcifle
  - AG, & fous 4CA. Pour cela conftderez que AD—ACx AG j & que ft l’on multiplie chaque membre par 4, l’on
  - aura 4AD—4ACXAG : mais comme l’on a aufli GF—
  - 4A D, à caufe que GF eft double de AD, Ion aura GF— 4 ACx AG. Ce qu’il falloit 1 °. démontrer.
  - Pour prouver aufli que le quarré de l’ordonnée IH eft égal au re&angle compris fous l’abcifle GI du diamètre GK, & fous une ligne quadruple de CG., remarquez que les triangles CGD &DBH font femblables, & que par confequent CG. GD : : DB. BH. & que fi à la place de BH l’on met GI, qui lui eft égal, on aura CGxGI—GDxDB :
  - & comme GD eft égale à. DB,.l’on aura CGxGI—GD. Or multipliant cette équation par 4, il viendra 4CGX
  - GI=4GD : mais comme IB eft double de GD, l’on pour-
  - ——* —-.a
  - ra., au.lieu de4GD , prendre IH pour avoir 4CGXGI— IH. Ce quilfalloit 20. démontrer.
  - COROL.
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- - D £ MAtHÏMlTK^UI.
  - Corollaire I.
  - 730. Il fuit que fi l’onéleve fur la ligne de proje&ion GE une perpendiculaire EM, qui aille rencontrer la ligne GC prolongée, MG fera le paramétre du diamètre G K} car les triangles GCD & GME étant femblables, l’on aura GD. GE : : GC. GM. Or comme GE eft quadruple de GD, GM fera quadruple de GC 5 par confe-quent GM efl le paramétre.
  - Corollaire IL
  - 731. Il fuit que connoifiant le paramétre de toute parabole décrite par un mobile, l’on fçaura de quelle hauteur ce mobile doit tomber pour avoir un degré de force capable de décrire la parabole de ce paramétre , puifque cette hauteur fera toujours la quatrième partie du paramétre même.
  - Corollaire III.
  - 7 3 2. Il fuit encore que le paramétre MG » la ligne de Fig. 537; proje&ion GE, & la ligne de chüte EF , font trois proportionnelles j car à caufe des triangles femblables MGE 8c GEF y l'on aura MG. GE •* : GE. EF.
  - Corollaire IV.
  - 733. Comme le paramétre MG peut être troifîéme
  - nortionnelle àrune quantité de lignes de projedions 8c gnes de chute differentes, l’on voit que fi le paramétre demeure le même pour ces differentes lignes, la force que le mobile doit avoir pour décrire toutes les paraboles de ces differentes projections , fera auifi la même, puifqu’elle fera acquife en tombant toujours de la même hauteur , c’eft-à-dire , de la quatrième partie du paramétre.
  - Corollaire V-
  - 7 34. Si les lignes dechûte EF font perpendiculaires à Fig. 33^
  - Hhh
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- - F5g. 359. 34<»-$4î«
  - «Ârt.731,
  - 42 S Nouveau Cours
  - l’horifon GF, elles formeront avec les lignes de projections GE des triangles rectangles GEF, qui doivent être femblables aux triangles GME , qui feront par conséquent rectangles, ôc qui auront tous pour hypothénufe commune le paramétré MG s ce qui fait voir que les triangles MEG font renfermez dans un demi-cercle 3 & que par confequent toutes les lignes de projection comme GE des paraboles décrites avec une même force , font renfermées dans un demi-cercle 3 ce qui n’arrive neanmoins que lorfque le paramétré & les lignes de chute font perpendiculaires à l’horifon.
  - APPLICATION DES PRINCIPES
  - précedens à l'art de jetter les Bombes.
  - PROPOSITION X I. Problème,
  - 735. Etant donné’e la ligne de but GF, F angle MGE formé parle paramétre MG , & la direction GE du> Mortier, & F angle EGF formé par la direction du Mortier, à* la ligne de but GF, trouver le paramétre MG, la ligne de projeBion GE, & la ligne de chute EF,
  - Conlîderez que les lignes MG & EF étant parallèles, les angles alternes MGE & GEF font égaux 3 & que con-noiilknc l’un, on connoîtra l’autre : & qu’ainli l’on connoît dans le triangle GEF le côté GF avec les angles EGF & GEF j & que par confequent on trouvera par la Trigonométrie la ligne de projection GE, & la ligne de chute EF : mais EF. EG : : EG.GM. * Ainfi l’on voit que cherchant une troifiémi proportionnelle à la ligne de chute Ce à la ligne de projection, l’on aura auffi le paramétre.
  - Corollaire.
  - 7 Il fuit que 11 l’on jette une Bombe avec un Mor-«ser .> félon telle inclinaifon que l’on voudra, pour trou-
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- - NowvecLii Cours
  - pa,. Pianche .
  - F G
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- - DE MATHEM ATI QJJ E. 427
  - ver le paramétre de toutes les paraboles décrites avec le même mobile toujours poulie avec la même force, qu’il n’y a qu’à obferver l’angle d’inclinailon du Mortier , & mefurer la diilance où la Bombe fera tombée, puifque le relie fe trouve après aifément.
  - AVERTISSEMENT.
  - Nous allons réfoudre plulieurs Problèmes fur le Jet des Bombes avec la Régie & le Compas feulement, pour nous préparer à faire les mêmes chofes dans la pratique avec un in dru ment univerfel, dont la conftrudion 6c l’ufage dépendent de ce que l’on va voir : ainli il ne faut pas que ceux qui étudieront ce Traité, s’inquiètent II on ne les conduit pas d’abord à la pratique, puifqu’ils trouveront dans la fuite de quoi fe contenter.
  - PROPOSITION XII.
  - Problème.
  - 737. T1couver quelle élévation il faut donner a un Mortier four jetter une Bombe a tel endroit que l'on voudra, pourvu que cet endroit foie de niveau avec la Batterie.
  - Le Mortier étant fuppofé au point G , êc le point F Fig. 342s étant celui où l’on veut jetter la Bombe , nous fuppofe-rons que la ligne ÇM, élevée perpendiculaire fur GF, eft le paramétre de projedion. Cela pofé, on le divifera en deux également au point A j & de ce point comme centre, on décrira un demi-cercle, 6c fur le point F de la ligne horifontale GH on élevera la perpendiculaire FE >
  - 3ui coupera le demi-cercle aux points E. Or fi l’on tire u point G aux points E les lignes GE, je dis que le Mortier pointé félon l’une ou l’autre de ces directions, jettera la Bombe au point F.
  - Démonstration.
  - Nous avons fait voir * que le paramétre , la ligne de projection, & la ligne de chute écoient trois proportion-
  - H h h ij
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- - 428 Nouveau Cou as
  - «elles : ainfi pour prouver que la ligne GE ell la ligne de projection, il n’y a qu’à prouver qu’elle eft moyenne proportionnelle entre le paramétre MG & la ligne de chûte correfpondante EF. Or fi l’on tire les lignes ME , l’on aura les triangles femblables MGE & GEF > car ils ont chacun un angle droit, &; les angles GME & EGF ont chacun pour mefure la moitié de Tare GIE 5 par confe-quent l’on a MG. GE : : GE. EF.
  - Fig. 343*' Mais fi la perpendiculaire élevée fur le point F, au lieu de couper le cercle, ne faifoit que le toucher en un feul point E, je dis que la ligne GE fera encore Pinclinaifon du Mortier j puifqu’à caufe des triangles femblables MGE & GEF l’on aura MG. GE : : GE. EF.
  - Enfin fi l’on fuppofe que le point donné foit l’endroit C , & que la perpendiculaire CD ne rencontre pas le cercle „ je dis que le Problème elt impoflible > puifque GD qui eft fuppofé la ligne de proje&ion , ne peut pas être moyenne proportionnelle entre le paramétre MG & la ligne de chute DC 5 car pour cela il faudroit qu’elle fût un côté commun aux deux triangles femblables MGE & GDC j ce qui ne peut arriver, tant que la pointe D fera hors du cercle.
  - COROLLAIRE I.
  - 73 8. Il fuit que Iorfquela perpendiculaire EF coupe le cercle, le Problème a Jeux lolutîons > & que par con-fequent on peut jetter une Bombe en un même endroit par deux chemins c iiferens j car les arcs ME & GE étant égaux, lorfque le Mortier fera pointé à un degré d’élévation par un angle autant au defilis qu’au-deffous du quart de cercle, la Bombe ira également loin: mais comme les angles MGE nont pour mefure que les moitiez des arcs ME, & que c’eft toujours avec la verticale MG & les lignes de projetions GE, que l’on confidere l’élévation du Mortier jlon voit que cet a g!e fera toujours plus petit qu’un droit, & qu’on pourra pointer le Mortier égale-
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- - D E M A T H E M A T I QJJ E. 41^
  - ment au-deffus ou au-deftous de 45 d. pour chafler la Bombe en un même endroit.
  - Corollaire II.
  - 73 5>. Comme le Problème eft toujours poftible , fort que la ligne HF coupe ou touche le cercle, l’on voit que lorfqu’elle touchera le cercle, la Bombe fera chaftee le
  - Elus loin quTil eft poiïible avec la même charge, puifque l ligne de but GF eft la plus grande de toutes celles qui peuvent être renfermées entre le paramétre & la ligne de chute- Or comme l’angle MGE a pour mefure la moitié du demi-cercle ME, Ton peut dire que de toutes les Bombes qui feront tirées avec une même charge , celle qui ira le plus loin fera celle qui aura été tirée fous un. angle de 4 5 degrez.
  - P R O P O S ITI O N XIIL
  - Problème.
  - 740. Trouver quelle élévation il faut donner a un Mortier four chajfer une Bombe a une dijlance donnée r en fuppofant que la Batterie nefi pas de niveau avec l’endroit ou l’on veut jet ter la Bombe, cejl-à-dire, en fuppofant que cet endroit eft beaucoup plus élevé ou plus bas que la Batterie.
  - Le point G étant fupoofé l’endroit du Mortier 3 & le point F celui ou l’on veut jetter la Bombe , lequel fera plus élevé que la Batterie, comme dans la Fig. 3 44. ou plus bas que la Batterie , comme dans la Fig. 3 4 5. il faut Fut la ligne horifontale GH élever la perpendiculaire' GM égale au paramétre de la charge du-Mortier, parce que je fuppofe- que Ton a fait une épreuve pour trouver ce paramétre, comme il a été dit art. 7 3 en fui te l’on, élevera la perpendiculaire GA fur la ligne du plan GL y & l’on fera l’angle AMG égal à l’angle A GM j & du point. A, comme centre, l’on décrira la portion de cercle MEG> & du point donné F l’on mènera la ligne FE parallèle an paramétre MG i &. cette ligné venant eau., er. le cercle
  - Hhhnj
  - % J44» & 345>
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- - 43° Nouveau Cours
  - aux points E, je dis que fi l’on tire les lignes GE, qu’elles détermineront l’élévation qu’il faut donner au Mortier pour jetter la Bombe au point F dans l’un Ôc l’autre cas.
  - Démonstration.
  - MG étant le paramétre, GE la ligne de proje&ion, & EF la ligne de chiite, il faut prouver , comme on l’a fait ci-devant, que MG. GE : •• GE. EF. Pour cela confiderez que les triangles MGE & GEF font femblables 5 car comme la ligne GF eft perpendiculaire au rayon AG, l’angle EGF fera égal à l’angle GME, puifqu’ils ont chacun pour mefure la moitié de l’arc GIE : d’ailleurs à caufe des parallèles MG & EF les angles MGE & GEF font égaux, étant alternes : ainft l’on aura MG. GE : : GE. EF.ce qui fait voir que l’angle MGE eft celui qu’il faut que le Mortier fafle avec la verticale pour chafter la Bombe au point F. C.^F.D.
  - Pour ne pas repeter les mêmes chofes, nous avons compris les deux cas précédais dans une même démon ftra-tion : mais il feroit bon que les Commençans repetafîent deux fois la démonftration precedente, pour ne conlide-rer qu’une des deux Fig. 3 44. & 3 4 5. à la fois.
  - Corollaire.
  - 741. Il arrivera dans les deux cas du Problème préce-^Art dent ce cllie noLls avons dit * ^ l’occafïon des Bombes jettées à un endroit de niveau avec la Batterie, qui eft que fi la parallèle EF touche le cercle, au lieu de le couper, la portée de la Bombe fera la plus grande de toutes celles qu’on peut jetter avec la même charge 5 8c que fi la parallèle EF ne touchoit ni ne coupoit le cercle , que le Problème feroit impoffible ; ce qui a été fuffifamment ex-t Art. 737. pliqué ailleurs *, pour 11’avoir pas befoin d’en faire voir encore la raifon.
  - R E M A R Q.U E.
  - Il eft bon que l’on fçache que dans la pratique ordi-
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- - de Mathemati OÜ* e. 431-
  - mire du Jet des Bombes, l’on pointe toujours le Mortier fous l’ângle qui donne là plus grande ligne de chute EF, afin que la Bombe tombant de plus haut, acquierre par fa pefanteur un degré de force capable de produire plus de dommage fur les édifices où elle tombe : mais quand on eft près d’un ouvrage de fortification que l’on veut labourer par les Bombes , pour le mettre plutôt en état de l’attaquer s l’on pointe le Mortier fous l’angle de la petite ligne de chute EF, afin que la Bombe paflant par le chemin le plus court , ne donne pas le tems à ceux qui font dans l’Ouvrage,de fe garantir des éclats.
  - PROPOSITION XIV.
  - Problème.
  - 742. Conflraffion d'un Injlrument univerfel pour jette y les Bombes fur toutes fortes de plans. *
  - On fera un cercle de cuivre ou de quelqu’autre matière folide & polie , & on divifera fa circonférence en 360. parties égales ou degrez: on appliquera à un de fes points G une réglé fixe GN, qui le touche au point G, 8c qui foit égale à fon diamètre GB. On divifera cette régie en un grand nombre de parties égales, comme en 2 o o parties j&on y attachera un filet avec un plomb D,en-îorte neanmoins que le filet puifier couler le long de la régie, en s’approchant ou s’éloignant du point G. On expliquera l’uiage de cet Inftrument dans les Problèmes fuivans-
  - Fig. 34&
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- - Nouveau Cours
  - 43 *
  - VSAGE DE VINS TR V At ENTt univerfel pour le Jet des Bombes.
  - PROPOSITION XV.
  - Problème.
  - 743. Trouver far le moyen de l’Infirument univerfel quelle Fig. 339. hauteur il faut donner k un Mortier four jetter une Bombe k une difiance donnée, fuffofant que le lieu où P on veut la jetter ^f oit de niveau avec la Batterie.
  - Pour refondre ce Problème, il faut commencer par faire une épreuve, en jettant une Bombe avec la charge qu’on fe propofe de tirer, qui fera, par exemple, de deux livres de poudre 5 & fuppoiant que la Bombe a été jettée à 400 toifes fous un angle que l’on aura pris à volonté, qui fera, (i l’on veut, de 3 o devrez , il faut chercher le paramétre : ainfi l’angle MGE étant de 3 o degrez, l’angle GEF fera auffi de 3 o degrez, parce que la ligne de chute EF eft parallèle au paramétre MG : & comme l’angle EGF eft de 6 o degrez, & qu'on connoît la ligne FG de 400 toifes, l’on trouvera par la Trigonométrie que la ligne de chute EF eft de 6 s 3 toifes , & que la ligne de proje&ion GE eft de 800 toifes. Or cherchant une troi-fiéme proportionnelle à 65? 3 & à 800 toifes , l’on trouvera qu'elle eft de 5) 2 3 toifes , qui eft la valeur du paramétre GM.
  - ;Fig. 34$. Cela pofé, lî l’on veut fçavoir à quels degrez d’élévation il faut pointer le Mortier pour chafler une Bombe à 250 toifes avec une charge de 2 livres de poudre, il faut faire une Régie de trois, en difant : Si 5) 2 3 toifes, valeur du paramétre, donnent 250 toifes pour la diftance donnée , combien donneront 200 , valeur du diamètre de 1’inftrument, c’eft-à-dire, valeur de la ligne NG pour le nombre de fes parties que je cherche, qu’on trouvera de 54.
  - Prefcntement
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- - de Mathématique. 433
  - Prefentcmentr il faut mettre la régie NG parfaitement de niveau , & faire glifler le filet KD jufqu’au nombre 54, & le filet venant à couper la circonférence du cercle de l’inftrtiffiëtit aux deux endroirs C, marquera cjue le Problème a deux folutions, & qu’il doit être pointé fous un angle moitié du nombre des degrez compris dans les arcs GC. Or comme le plus grand eft de 148 degrez,
  - & que le plus petit eft de 3 2 degrez, prenant leurs moi-tîez, qui font 74 & 16 , le Mortier pointé à i’un^>u l’autre de ces élévations , chafiera la Bombe à la'diftance propofée.
  - De monstration.
  - Pour faciliter la démonftration de la pratique précédente , nous fûppoferons que la ligne GF eft la diftance donnée, c’eft-à-dire , qu’elle vaut 250 toifes, & que la perpendiculaire GM eft le paramétre que l’on a trouvé.
  - Or fi l’on décrit un demi-cercle MEG, & que l’on mene la ligne FEparailele à GM, & que l’on tire les lignes GE 347» aux points où cette parallèle coupe le cercle, l’on aura les angles MGE de l’élévation du Mortier pour jetter la Bombe au point F , comme on l’a démontré ci-devantT * *Art.737. Prefentement fi l’on imagine que la régie NG de l’inftru-ment foit mife d’allignement avec la ligne de but GF,
  - & que les diamètres MG & GB foient aulfî d’allignement,
  - & que le filet KD foit encore à l’endroit où on l’a pofé , c’eft-à-dire, au point 54 3 Ion aura félon la pratique du Problème GM. GF : : GB. GK; parce qu’on peut prendre ici le diamètre GB pour la longueur de la régie GN, ces deux lignes étant égales. Cela étant, à caufe de la procoupera le demi-cercle la perpendiculaire. FE coupe le demi-cercle MEG : ainfi les lignes EG & GC n’en faifant qu’une feule EC, comme les lignes MG &
  - GB, l’arc ME fera égal à l’arc CB ou GC, qui eft la même chofe 3 ainfi ces arcs feront de 3 2 degrez : & comme l’angle MGE n*a pour mefure que la moitié de l’arc
  - lii
  - portion, la perpendiculaire KD GCB de la même façon que
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- - *Art.737-
  - Fig. 348.
  - Fig. 34?*
  - êc 350.
  - 434 Nouveau Ccurs
  - ME , il ne vaudra que 1 6 degrez , qui effc l’élévation qu’il faudra donner au Mortier, fi l’on veut pointer au-deflous de 45 degrez 3 ainfi l’on voit que Ton trouve par le moyen de l’Inftrument les mêmes chofes que l’on a trouvées ci-devant * avec le demi-cercle MEG. Ce qu'il falloit démontrer.
  - Corollaire.
  - 744. Il fuit que lorfquele filet KD au lieu de couper le demrïercle GCB, ne fait c^ue le toucher en C, que le Mortier pointé fous la moitié de l’arc GC , qui eft 4 5 degrez, chaflera la Bombe le plus loin qu’il eft pofîibie avec la même charge 5 puifque pour lors la ligne EF touchera auffi le demi-cercle MEG : enfin que fi le filet KD ne touchoit ni ne coupoit le cercle, que le Problème fera impoffible 5 puifque dans ce cas la ligne EF ne peut pas toucher non plus ni couper le demi-cercle MEG.
  - PROPOSITION XVI.
  - Problème.
  - 745. Trouver quelle élévation il faut bonnet au Mortier four chajfer une Bombe à une diftance donnée, fuppofantque l'endroit ou l'on veut jetter la Bombe foit beaucoup plus élevé ou plus bas que la Batterie > & cela en je fervant de l'Infirment Univerfel.
  - Suppofant que de l’endroit G , ou feroit une Batterie de Mortiers, on veuille jetter des Bombes à l’endroit E beaucoup plus élevé ou plus bas que le plan de la Batterie j il faut commencer par chercher, en fe fervant de la Trigonométrie , la diftance horifontale GH, qui eft l’amplitude de la parabole > &L connoiffant le paramétre; delà charge dont on voudra fe fervir , que je fuppofe être le même que celui du Problème précèdent, c’eft-à-dire, de 5? 13 toifes, la charge étant encore de 2 livres de poudre ,.1‘on dira : comme le paramétre eft à la diftanr ce GH, ainli la longueur GN de la régie divil'ée en 2 00
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- - DE M A THE M AT I OUE. 435
  - parties eft à la longueur G K , qui donnera un nombr* de ces parties. Or fuppofant quon a trouvé 6o parties, l’on fera glifier le filet KD fur le nombre 60, où il faudra le tenir fixe; enfuite on appuyera le cercle de l’In-flrument fur un endroit ou il puiiïe être fiable ; 6c l’ayant mis bien verticalement, on vifera le long de la régie NG le lieu donné F, 8e le filet KD coupera le cercle aux points C, où. il déterminera les arcs CG : 6c fi l’on prend la moitié du nombre des degrez contenus dans l'un ou l’autre de ces arcs, l’on aura la valeur de l’angle que doit faire le Mortier avec la verticale pour jetter la Bombe au point F.
  - Demonst ration.
  - Ayant élevé fur la ligne horifontale GH la perpendiculaire GM égale au paramétre , 6c fur le plan GF la perpendiculaire GA, on fera l’angle AMG égal à l’angle A GM, 6c du point A on décrira une portion de cercle MEG, 6c du point F on mènera la ligne FE parallèle à GM, qui coupera le cercle aux points E , aufquels menant les lignes GE, l’on aura les dire&ions GE qu’il faut donner au Mortier pour jetter une Bombe à l’endroit F. * Or fi on place l’Inilmment de maniéré que la régie NG foit d’allignement avec le plan GF, 6c que le diamètre GB foit d’allignement avec le diamètre GO, ÔC que le filet KD foit toujours à l’endroit où on l’a pofé dans l’operation, l’on verra que le demi-cercle GCB ell coupé par la perpendiculaire KD de la même façon que le demi-cercle OEG ell coupé par la perpendiculaire EF; ce qui fe prouve aflez de foi-même, fans qu’il foit befoin de repeter ce qui a déjà été dit ailleurs à ce fujet.
  - AVERTISSEMENT.
  - Comme l’on peut fe fervir de la Trigonométrie pour jetter des Bombes par une méthode toute differente de celle que nous venons d’enfeigner , voici deux propofi-rions dont on pourra faire, ufage dans les occafions où
  - Iiiij
  - Fîg-35*-6c 35 z.
  - ^Art.740»
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- - Fig*. 3 53.
  - 436 Nouveau Cours .
  - Ton. n’auroit pas d’infiniment tel que celui dont nous; venons de parler j ilefl vrai que tout ce que nous allons, enfeigner ne peut avoir, lieu, que lorfque l’objet, où l’on veut jetter. les Bombes ,.efl de niveau avec la batterie s mais comme cela fe rencontre prefque toujours, je ne me luis pas foucié de donner une méthode pour en jetter dans un lieu qui feroit plus bas.ou plus haut que la batterie, parce que lès operations m ont, paru trop longues par la Trigonométrie. Il faut remarquer que nous allons luppofer dans les proportions fuivantes ,. que le Mortier fait fbn angle d’élévation avec la ligne horifontale, quoique dans la pratique l’on pourra, h l’on veut.vle former avec la verticale..
  - PROPOSITION XV IL
  - Théorème*
  - 746. Si ton tire deux Bombes avec la mime charge a differentes élévations de mortier , je dis que la portée de la première Bombe fera à celle, de la fécondé comme le finus d'un angle double de l'élévation du mortier pur la première Bombe , eft au finus de l’angle, double dé /’élévation pour la fécondé.
  - Ayant élevé fur l’extrémité B de la ligne horifontale BP, une perpendiculaire BN à volonté ,.onla divifera en. deux également au point M , pour décrire le demi-cercle NGB j enfuite ayant tire les lignes. B G & BK, pour marquer les deux inclinations* differentes du mortier, 011 les prolongera de maniéré que K A foit égala KB , & que G.Dibk égal à BG, & des. extrêmitez A & D l’on abaiffera les perpendiculaires AG èc DE fur h ligne horifontale BP 5 enfuite û par, le point . K l’on mene la ligneJL parallèle à BC , l’on aura IR égal à KL, & AL égala LC, à caufe des parallèles IB &: AC j ainfi 1K fera moitié de BG: & menant auffi par le pointG -a ligne FH parallèle à Bl, l’on aura encore FGégaLà GH*. & par confcquent FG ferala moitié de BE.
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- - 43 7
  - <p £ Mathïmatiq^ue, Démonstration.
  - Confiderez que l’angle DBE ayant pour mefure la moitié de l’arc GO B , la ligne GF étant le finus de l’angle GMB, elle fera le finus d’un angle double de l’angle DBE j &. que de même l’angle ABC ayant pour mefure la moitié de l'arc KGB , la ligne Kl étant le finus de ect arc , ou bien de fon complément, qui eft la même chofc, elle fera le (Inus d’un angle double de l’angle ABC. Or la ligne BC étant double de IK , & la ligne BE double de FG , l’on aura donc BC. BE : : IK. FG. mais fi à là place des demi-amplitudes BC & BE, l’on prend les amplitudes entières BQ_& BP, c eft-à-dire, la portée entière de chaque Bombe, l’on aura comme BQ^ portée de la première Bombe, eft à BP portée de la fécondé : ainfi IK finus de l’angle double de l’élévation de la première , eft à FG finus de l’angle double de l’élévation de la fécondé. C. F. J>.
  - APPLICATION.
  - Pour tirer des Bombes avec une même charge a quellé’ diftance l’on voudra , il faut commencer par faire une épreuve : cette épreuve fe fera > par exemple, en chargeant le mortier à deux livres de poudre , 5c en le pointant à 4 5. degrez, qui eft l’élévation où le mortier chal-fera le plus loin avec cette charge, comme nous l’avons déjà dit japrès avoir tiré laBombe,on mefurera exactement la diltance du mortier à l’endroit où elle fera tombée, que je fuppofe qu’on aura trouvée de 8oo toifes. Cela étant fait, fi l’on veut fçavoir quelle élévation il faut donner à un mortier pour envoyer une Bombe à 500' toifes, pour la trouver , il- faut faire une réglé de trois, dont le premier terme foit S00 toifes, qui eft la- diftance connue, le fécond 500 toifes, qui eft la diftance où l’on veut envoyer la Bombe-, le troifiéme le finus d’un angle double de 45 degrez,qui eft 100000. La réglé étant £àke_j l’on, trouvera 6-2 5 00, qui eft le finus d’un angl&
  - I ii iii
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- - 35P
  - 438 Nouveau Cours .
  - double de celui que l’on cherche : après l’avoir trouvé dans la Table, l’on verra qu’ir correspond à 3 8 degrez 40 minutes, dont la moitié elt i^ degrez 20 minutes, qui efi; la valeur de l’angle que doit avoir le mortier avec l’horifon pour jetter une Bombe à 5 00 toifes.
  - PROPOSITION XVIII. Théorème.
  - 747. Si l'on tire deux Bombes a différent degrez, d'élévations avec la même charge, il y aura même rüfon du Jinus de Vangle double de la première élévation au Jinus du double de La fécondé , que de la portée de la première élévation u la portée de la fécondé.
  - Démonstration.
  - L’angle ABC étant celui de la première élévation du mortier, & l’angle DBE celui de la fécondé , l’on aura encore IK. FG: : BC. BE. ou bien IK. FG : : BQJBP. qui fait voir que IK finus d’un angle double de l’angle ABCeft à la ligne FG finus d’un angle double de l’angle DBE, comme la première portée BQjeft à la fécondé BP.
  - APPLICATION.
  - On peut par le moyen de cette proportion fçavoir à quelle diflance du mortier une Bombe ira tomber, ayant fait une épreuve, comme nous l'avons dit ci-devant.
  - Suppofons donc qu’une Bombe a été tirée par un angle de 40 degrez , & qu’elle ait été chaffée à 1000 toiles avec une certaine charge , on demande à quelle di-fiance ira la Bombe avec la même charge , le mortier étant pointé à 2 5 degrez, il faut faire une réglé de trois, dont le premier terme foit le finus d’un angle double de 40 degrez , c’eft-à-dire, le finus de 80 degrez, qui eft 5?8480, &. le fécond le finus d’un angle double qu’on veut donner au mortier, comme cet angle a été propofé de 2 5 degrez j on prendra donc le finus de 5 o degrez,
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- - DE Ma THEMATIQJJE. 435
  - qui eft 76604, & le troifiéme terme la diftance où la Bombe a été chaflee à 40 degrez , que nous avons fup-pôle de 1000 toifes , la réglé étant faite, l’on trouvera pour quatrième terme 777 toifes, qui eft la diftancedu mortier à l’endroit où tombera la Bombe , ayant été tirée fous un angle de 2 5 degrez.
  - PROPOSITION XIX.
  - Problème.
  - Connoijfant l'amplitude d'une Parabole décrite par une bombe ,Jf avoir quelle efi la hauteur ou la bombe s'eji élevée au dejjus de l’horifon.
  - Nous fervant de la Figure precedente, où l’on a fup-pofé que la ligne BA marquoit l’élévation du mortier, l’on peut dire que cette ligne eft la tangente de la Parabole BLQ^j & qu’ainft la foûtangente AC fera double de l’abcifle LC *, qui eft ici la hauteur où la bombe aura été élevée fous l’angle ABC. Suppofant cet angle de 7 o degrez ^ l’amplitude BQjle 300 toifes, la demi-amplitude BC fera de 15 0 toifes : ainlî dans le triangle ABC l’on connoît l’angle ABC de 70 degrez , le côté BC de 150 toifes , & l’angle droit BÇA : ainfi par le calcul ordinaire de la Trigonométrie l’on trouvera le côté AC de 41 2 toifes, dont la moitié, qui eft 206 toifes, fera la valeur de la ligne LC, c’eft-à-dire, la hau^ teur où la bombe fe fera élevée..
  - PROPOSITION XX.
  - Problème.
  - Connoijfant la hauteur ou une bombe s’cjl élevée , fc avoir la pefanteur ou le degré de mouvement qu'elle a acquis en tombant par fon mouvement accéléré.
  - Suppofant qu’une bombe de 1 2 pouces foit tombée de 206 toifes dé hauteur, fa vîtelïè fera exprimée parla racine quarrée de fa chute * , c’eft-à-dire , par la racine
  - Fig- 353*
  - *Art.4i£
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- - 44° Nouveau Cours
  - quarrée de 206 , qui eft 147. Cela pofé, Ton fçait que la force ou la quantité du mouvement d*un corps , eft *Aïtfyt. le produit de fa mafte par fa vîtelfe. * Or comme les bombes de 12 pouces pefent environ 140 livres , Ion peut regarder cette quantité comme la valeur de la mafle, qui étant multipliée par la vîtelfe, qui eft 147» l’on aura 2006 pour la quantité de mouvement, ou la force de la bombe.
  - R E M A R QJJ E.
  - Par les deux Problèmes precedens l’on voit qu’il eft facile de fçavoir la force des bombes qui font ckaflees fous differens degrez d’élévations, puifque connoiflant leurs amplitudes > on connoîtra les hauteurs où elles fe font élevées , & par confequent leur vîtelfe, qu’il ne faudra que multiplier par la pefanteur des bombes, de mêmes ou de differens calibres, pour avoir des produits, dont les rapports feront les mêmes que ceux des forces que les bombes auront acquifes en tombant. Ainlilon peut fçavoir quel degré d’élévation il faudroit donner à un mortier de 8 pouces, poiir que la bombe de fon calibre tombant fur un édifice, comme , par exemple , fur un magazin à poudre , fît autant de dommage qu’une bombe de 1 2 pouces, qui auroit été jettée fous un angle de direction moindre que celui de la bombe de 8 pouces, cette derniere devant acquérir par la hauteur defa chute , ce quelle a de moins en pefanteur que celle de 1 2 pouces. Ceci eft non feulement curieux, mais peut encore avoir fon utilité dans l’attaque des Places.
  - DISCOURS
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- - 4+1
  - DISC OÜ RS
  - SUR LA ME CA N I Q.UE.
  - GOmme la Mécanique ejl une partie des Mathématiques dont on fait le plus d'ufage dans les Arts.puifque l'on ri y \employe aucune Machine .dont les proprietef^ne dépendent de fes principes ,il ri y a point de Livre qui foie plus en droit 'J'en traiter que celui-ci j fon principal objet étant d'in--Jlruire ceux, qui fe deflment k fervir dans t'Artillerie ou dans de Genie , car la Mécanique nous apprenant la Science de. \confiruire des Machines, (fi de s'en fervir utilement pour en-Lever de gros fardeaux aifément , (k* avec le fecours dé une ipuijfance , qui deviendroit 'incomparablement trop foible, fi -elle ri étoit foulagée par une Machine ; ce fi particulièrement Jans la confiruction des Fortifications, (fi dans les manœuvres de l'Artillerie, qu'on fait le plus d’ufage de mille moyens ingénieux que la Mécanique infpire , pour venir 'a bout ri une infinité de chofes,qui quoique faciles k executer, ri ofcroient être entreprifes par ceux qui ignorent a quel point on peut multiplier la force d'un homme. Mais comme les principes de cette Science peuvent fe démontrer de plufieurs façons „ j'ai été quelque rems embarràffé de fçavoir celle que je choi-firois pour me faire entendre avec le plus de fucc'es , non pas cependant que je ne fu(fe bien perfuadé qu'il y en avoit une plus naturelle- (fi plus fimple que toutes les autres . qui efi celle de M. Varigtion : aujjl ' m'en fuis-je fervi préférablement k toute autre, tant parce 'qu'elle ejl la véritable , que parce , que fon illustre Auteift' avait achevé, quelque tems avant fa mort 'fon Traité de Mécanique: * (fi quainfi ce que je me propo-fois d'en donner 3pouvoit en quelque forte fervir ri introduction k cet Ouvrage.
  - ' comme dans le tems que je travaillais k ce petit Traité de Mécanique , le Bataillon de M. Pijart ejl venu de i'£*
  - #kk
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- - 44-2- Discours sur la Mecanicvue.
  - cote de Metz, h- celle de la Fere, ér que dans l'Ecole que les Officiers 'venaient de quitter, on leur avait démontré la Mécanique par le principe du..A4oi'winent, M. de Bcllecour officier de ce Bataillon y me fit entendre que je ne jerois pas mal & employer ce principe dans ma Mécanique y afin de le fiaire connaître a ceux qui Pignorotent, £? de-faire voir a ceux qui avaient appris la Mécanique par-lk , que quoique je l'enjei-gnajfe d'une autre façon, ce qu'ils avaient appris ne fcroit que leur donner beaucoup de- facilité pour entendre ce petit Traité, ou ils trouveraient en beaucoup d'endroits un langage qui ne leur était pas inconnu. Ainji j'ai fuivi le conjcil d'une ‘performe , qui joint k beaucoup de bonnes qualitez,, celle d'être fort entendu dans les Mathématiques : après avoir démon-
  - tré les propriétés des Machines fimples , les principales Machines compofées, avec l'un Cautre des principes dont je viens de parler, j'en ai fait quelque application aux manœuvres de T Artillerie , h la confiruftion des Voûtes pour les Magasins a poudre , £?' # la théorie des Mines , afin de fui-vre toujours mon deffein , qui est de faire voir l’utilité des. ch ofie s que je traite.
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- - DE MaTHEMATI QJJ E,
  - 445
  - NOUVEAU COURS
  - DE MATHEMATIQUE-
  - SSMMWfcæMWMW'Sfcî **>ï WW “«SW MW 5#ï MW WÉ» MK WK [<*bî MM fcJM MM
  - NEUVIEME PARTIE.
  - Qui traite des Mécaniques.
  - CHAPITRE PREMIER.
  - P/# Ton donne ï Introducïïon à la Mécanique.
  - DEFINITION I.
  - 748. T1 A Mécanique eft tme Science qui conddere B j les rapports qui fe rencontrent entre les forces ou puijfances qui agiüent pour mouvoir les corps, les malles ou les pefanteurs de ces mêmes corps, & les vî-telles avec lefquelles ils feroient nuis, s’ils ne trou voient point d’obllacles quiles empêchalîènt d’être mus, le tout confideré dans l’état de l’équilibre, & par le moyen des machines.
  - II.
  - 745?. U Equilibre en general eft l'action de deux ou plulieurs forces qui agilTent les unes contre les autres en iens contraires 3 de maniéré que le tout demeure en repos.
  - III.
  - 750. Force mouvante oupuijjance, ed Faction d’une cau-fe qui meut ou qui tend à mouvoir un corps.
  - Kkkij
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- - 444,.
  - N-'.O U'VEL L! a
  - IV.
  - 7 5 .1. Poids efl l'effort que la pefanteur fait contre un corps pour l’approcher du centre de la terre, que lvon appelle au (R centre des. graves,.
  - V, .
  - 75 2... La ligne Je direction d’une pui llance , eft celle; que cette puiflance fait parcourir a un corps, ou tend a lui faire parcourir vers quelque partie du mondé quelle.le pouffe^
  - VL
  - 7 5 3.. La- direction des poids eft la ligne que la pefanteur lêrrr fait parcourir en tombant vers le centre de la terres
  - VIL
  - 7 54*.On .appelle- Machines tous les Jnftrumens pro~ près à faire mouvoir ou à arrêter le mouvement des corps. Il y en a des Jimpies Se des compofées.
  - 755. Les Machines /impies font au nombre de fix ; fça-voir j le Levier, la Roué dans fin ejjieu , la Poufie , le Plan, incliné, le Coin la Vis,
  - 7 5 A J’égard des Machines composées, elles font fans, nombre , & on les nomme compofées , parce qu’elles font toujours compofées de quelques Machines fmples.
  - VIH.
  - 75 7. Le Centre de gravité ou de pefanteur d’un corps , eft un point par ou ce corps étant fufpendu , demeure en,repos.dans toutes les fituations oii on le peut mettre > on fuppofera dans la fuite que toute la pefanteur duo^.. corps eff réunie dans fon centre de gra vité.
  - A x I OME.
  - 75 8^. Les poids"êc les pefanteurs, agiffent également dans tous les points de.leurs directions j car il faut autant \
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- - D% M .AT HEMATI QJÇJ E. 44'^
  - d^furcepour foutenir un poids attaché à une corde fort près du poidsou beaucoup plus, éloigné , pourvu que la. corde foit Euppofée fans- pemnteur..& que le poids foit. toujours également éloigné du centre de la terre , en. quelque, endroit .de la corde que la piiUfance. foit appliquée,
  - E.EMME.
  - 75 5?. Si l'on a deux puijjances exprimées par les deux, lignes AB & D B , & que la force AB fajje parcourir eu corps B le coté. B G-d'un parallélogramme. dans le même tems que la force DB fera parcourir au.même corps l'autre cotéBE je dis que.: ces deux forces ag/fjant enfemble fur le corps B i : Itti feront parcourir la diagonale B F du même parallelogram-me , dans un tems égal à celui que chaque puïfjance AB ou: D B en particulier aura, employé„ à faire parcourir au corps B chaque.icoté BC ou BE„ ..
  - D, Æ M- O N S T 'R A T ION'
  - Les deux forces AB & DB., agillant enfemble fur le* corps B, félon les directions BC & BE, la direction du corps B fera compofée de ce9 deux^d-iredions. Or fi l’on di vile, en un. nombre d’in (tans égaux le. tems que chaque force mettra, àfaire parcourir au corps. B le côté BC* ouBE , il eft clair que les deux forces agillant enfemble > fur le corps B , la force AB tendra à faire parcourir au corps B le côté BC dans le même tems que la force DB tendra à lui faire::, parcourir le côté BE. Si ldnfuppo-fë que dans le, premier mitant la force AB ait fait parcourir au corps B l’efpàce BH, tandis que la force DB lui aura fait.parcourir l’efpàce. HI, le corps fe trouvera au point I, .& les efpaces BH & :HI fi petits qu’on puifle. les;imaginer, feront toujours comme les forces AB & DB, ou comme.BC Sé BE-.ainf à caufe des. triangles fembla-bfès BHL& BCFle .corps étant en I, fera dans un point de la diagonale: BE, & l’aura, même . roûjours*. AiivE* depuis B jiilqu’ën*!? parce que Ion peut fuppofer les lignes
  - Sfll .
  - Plan*
  - CHE 2.6.
  - pîg- m
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- - 44^ . Nouvaeu Cours
  - BH 6c HT infiniment petites > & fi au fécond inftant la force ÀB fait parcourir au corps B l’efpace IK , dans le même tems eue la force DB lui fera parcourir l’efpace KL, le corps - le trouvera encore au point L de la diagonale j & il en fera toujours de même tant que le corps fera parvenu au point F. Mais toutes les. lignes comme BH , IK > depuis B jufqu’en § , font égales prifes enfem-ble, à la ligne BC, & toutes les lignes commeHI & KL, 6cc. depuis B jufqu’en F, font encore prifes enfemble égales à la ligne BE. Ainfi le tems que le corps a mis à parcourir la diagonale BF, par les deux forces agiffantes en-femble , fera égal au tems que chaque force en particulier aura mis à faire parcourir au corps B le coté BC ou BE. C. ^ F. D.
  - Corollaire L
  - 760. Puifque les forces AB 6c DB font capables de faire parcourir au corps B les efpaces BC & BE en tems égaux , il s’enfuit que les effets étant proportionnels à
  - *Art.éBj. ^eurs ca^es * > l’on aura AB.DB: : BC. BE,
  - Corollaire II.
  - Fig-35)' 76 ï- Si Ton achevé le parallélogramme AD , 6c que
  - l’on prolonge la diagonale FB jufqu’en G, la ligne B G fera la diagonale du parallélogramme AD", 6c les triangles BCF 6c GDB étant femblables, l’on aura BC. GD : : BF. GB. 6c comme AB eff égal à GD , il s’enfuit que l’efpace BC eft à la force GD , comme l’efpace BF efl à la force GB : ce qui fait voir que la force exprimée par la diagonale GB, fera parcourir au corps B l’efpace BF dans le même tems que la force AB ou GD fera parcourir au même corps l’efpace BC 5 6c comme l’on a encore BE. BD : : BF. GB. il s’enfuit que la diagonale GB a autant de force elle feule pour faire parcourir au corps B l’efpace BF, que les deux forces AB & DB a giflant en-femble , félon les directions BC ôc BE, pour faire parcourir au corps B le même efpace BF.
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- - 447
  - de Mathématique. Corollaire III.
  - 76 i. Il fuie encore qu’ayant pris fur la diagonale BF Fig. la partie BH égalé à la diagonale BG, que la force ex-prime'e par BH , agiifant de H en B, félon la diredion BG, eft capable d’empêcher l’efFet delà force GB , agif-fant de G en B j & par confequent la force HB pourra elle feule refiler aux deux forces AB & DB agitantes enfemble félon les diredions BC ôc BE > d’où il s’enfuit que le corps B demeurera dans un parfait repos, lorf-que les trois forces AB, DB ôc H B , agiront en même te ms , ôc pour lors cette e'galité des forces /qui agifent en lèns contraire, fe nomme équilibre.
  - On àèmontrera dans la fuite que l'état de l'équilibre dans les Machines , confifte k avoir toûjours deux forces comme AB & DB agijfant enfemble contre un corps ou un point B y pour le mouvoir félon une dire thon B F,pendant qu une troifiémeforce comme HB, diamétralement oppofée, s'oppofe a l'effort de deux autres, de maniéré que le corps ou le point B demeure en repos.
  - Corollaire IV.
  - 765. Il eil encore manifeile que les trois puilîances Fig. 555 qui font équiLibre, font proportionnelles aux trois cotez d’un parallélogramme fait lur leurs diredions ( en prenant ici la diagonale pour un des cotez $ ) car dans l’équilibre la puillance refilante eil capable de produire le même effet que les deux agiffantes , c’ell-à-dire, de faire parcourir la diagonale dun parallélogramme dans-le même tems que les deux cigülantes les feroient parcourir enfemble,. & que chacune d’elles feroit parcourir le côté qui lui répond.
  - Corollaire V.
  - 764. L’on voit encore que l’on peut toujours .fu b (K- pjg tuer deux forces à la place d’une feule j car pour fub- 3 flkuer deux forces à la place de celle qui feroit expri-
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- - . ;44^ "N o u v F a u: Go ü r: s
  - ? mée par GB , capable de faire parcourir au corps'
  - ; l’efpace BF 5 il faut, fi'les directions B H & BC font don-, aie'es, prolonger les mêmes directions vers A &D,' de du -point G.tirer les parallèles GD de GA aux directions BC j&BE, de ion aura les deux forces B A. de BD, qui agif-dant enfemble, feront le même effet que la force GB.
  - Mais fi ldn vouloir lùbilituer deux-forces-à la ,place d’une autre ,, de que ces deux forces fuffent données , de rmaniere cependant qu’elles foienc.. prifes*. eüfemble plus -grandes que la feule GB , il faudra faire un triangle : GBD avec ces deux forces , qui -fieront,. par- exemple , /GD de BD.J& filon achevé le parallélogramme AD., de qu’011 prolonge les forces AB de D B pour faire le ^parallélogramme EC, Bon aura-les deux directions que
  - * ces deux forces doivent avoir pour, faire- enfemble le \ même effet que la force G B.
  - Co r q l l a i r,e VI.
  - ‘7 6 5. Il fuit encore que quoique la femme des deux puiflances agiffantes AB & DB , foit «plus, grande que . la refi liante B H „oufion égale. BG , que lorfque leurs directions BC&BE font un angle CBE d’une grandeur rfinie, qu’il-y a encore une égalité de-force qui agit fiction des directions diamétralement oppofées j car fi des , points A*& D l’on abailfe-fur GB les perpendiculaires AL & DI, & qu’on achevé les-parallélogrammes- LM de IK, - les forces exprimées, par DK & KB, -feront le. même effet que la force DB *, de les forces :AM-& MB, le même effet que-la force AB j mais les efforts BK-&BM étant -égales de parallèles aux;-_ perpendiculaires-AL de ID, figeront égales entr elles, & perpendiculaires à la ligne GF: ainfi ces deux forces n’approcheront ni ivélèigneront le
  - • corps B des points*. G de P. Ainfi elles peuvent être regardées comme milles par rapport'au point E j mais IB cri -DK efi: égal a GL , de même que AM eft égal à-LB.: ^ainfi la force-GB étant égale aux forces DK de AM prb iies.enfemble *. l’on vpit que ce dont les feules parties des
  - .forces
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- - ue Mathematiqjcje. 44$
  - forces AB & DB, qui font équilibre avec la puifianee re fi liante BH, puifque les autres parties de force KB ôc BM ne font nul effet fur le corps B par rapport au point F.
  - K EMU Q.Ü E.
  - 766. Nous avons confideré jufqu’à prefent le parallélogramme AD, que l’on peut appeller le parallélogramme des forces, & le parallélogramme EC, que l'on peut appeller le parallélogramme des efpaces ; mais dans la fuite il ne fera fait mention que du feul parallélogramme des efpaces j car comme ces deux parallélogrammes font femblables, ils ont leurs cotez proportionnels : ainfi l’on pourra nommer par des lettres de l’alphabet les forces exprimées par les lignes AB, GB, DB, ou bien l’on pourra prendre les cotez BE & BC pour exprimer la force des puiflances agifiantes., ôc la diagonale BF pour exprimer la.for.ee de la puifianee refiflante.
  - THEOREME I.
  - Servant de principe general pour la Mécanique.
  - . 767. Si Von a trois puijfances que mus nommerons P, Fig. 357% JR, appliquées à des cordes qui fiient attachées au corps F , l*on fiait que ces trois puijfances feront en équilibre, & que le corps demeurera en repos , fi la puifjance refifiante R eft exprimée par la diagonale B F d*un parallélogramme , & fi les . deux puijfances agifiantes F & Jg^fint -exprimées par les cotez, EF $• DF du meme parallélogramme. Or cela pofé, je dis, 1 °. que fi Von compare la pmjfame P À la puifjance 4e la fig. 3 57. elles feront dans la rqjfin réciproque des perpendiculaires BC & BC, tirées d*un des points de ladirecho» de la puifjance R fur celles des puijfances P & cefi-k-dire , que P. jfj : B G. BC. 20. gue fit Von compare la puif-fance R avec la puifjance J^de la fig. 35-8- elles feront dans là rai fin réciproque des perpendiculaires EC & EG s tirées d’un des points de la direction de la puifjance P fur celles des f uifimets R& c eft-h-dire 3 que R. J%J •'Ec• EQ»
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- - 4^o Nouveau Cours
  - 3°. Jïue fi l'on compare les deux puifiances R & P de l&figl 3 55?. elles feront dans la raifon réciproque des perpendiculaires DC & DG y tirées d'un des points de la ligne de direction de la puifjance Jg^fur celles des puifiances P & R, cefi-h-dire, que R. P :iDC. DG.
  - Dimonstrationi>u premier Cas.
  - 357* 7 6 S. Si à lu place de F D l’on prend EB, loix aura lés
  - cotez FE & EB. du triangle EBF ,qui leront dans lu raifon; des puifiancesP & Q. Or comme les finus dès angles font dans la même raifon que leurs cotez oppofez , remarquez que BC eft le finus de l’angle EFB,&BG le fi-nusde l’angle BF D y mais à eaufe que l’angle BFD eft égal à l’angle EBF, puifqu’ils font alternes., la perpendiculaire BG fera aufli le finus de l’angle EBF : par confe-quent EF. EB : : BG. BC. & fi l’on prend P à la place de EF & Q à la place de EB , l’on aura P. Qj : B G. BC. C.g^F. D.
  - Démonstration du second Cas.
  - 358# 76$. Si l’on prend EB à la place deFD l’on aura le
  - triangle EBF, dont les cotez BF & BE feront dans la même raifon que les puifiances R & Q. Or comme la perpendiculaire EG eft le finus de l’angle EFB, & la perpendiculaire EC le finus de l’angle BEF,.ou defon îup-plement FIEF, à eaufe que c’eft un angle obtus y carEC étant le finus de l’angle EFD, il fera aufii celui de l’angle FIEF , puifque ces deux angles font alternes. Or les finus des angles étant dans la même raifon que leurs cô* tez oppofez, l’on aura BF. BE : : EC. EG. ou bien R. Q mEC.EG. C.^F.D.
  - Démonstration bu troisie’me Cas.
  - 770* Si l’on prend BD à la place de EF, l’on, aura le triangle BDF, dont les cotez BF & BD feront dans la raifon des puifiances. R & P : ainfi la perpendiculaire DG étant le finus de -Pangle BFD, & la perpendiculaire DG
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- - Planche 2 h
  - Nouveau, Cours
  - Cj A.-
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- - de Mathématique. 451 celui de l’angle BDF , l’on aura encore BF. BD : : DC. DG. ou bien R. P : : DC. DG. c. J^F. D.
  - DEFINITION.
  - 771. Nous nommerons dans la fuite point £ appui un l^oint tel que B, ou E, ou D, pris dans la direction d’une des trois puifTances qui n’entrera pas dans la proportion, •& duquel on tirera des perpendiculaires fur les directions de c elles qui entreront dans la proportion.
  - CHAPITRE II.
  - Ou Von fait voir le rapport des puijfances qui foùtiennenl des poids avec des cordes.
  - GOmme nous avons confédéré dans le Traité du Mouvement la Théorie des Corps qui fe choquent ou qui fe rencontrent, celle des corps jettez félon des directions perpendiculaires , obliques ou parallèles à l’ho-rifon i il lembie que pour fuivre un ordre dans la Mécanique, dont l’objet eft de confiderer en équilibre les corps -qui tendent naturellement à fe mouvoir , d’expliquer avant toutes chofes ce qui a le plus de rapport avec ce qui précédé immédiatement. Or ce fera fans doute la Théorie des corps foûtenus par des puiffances qui font en équilibre avec ces corps dans toutes les fituations qu’on peut leur donnera & c’eft ce qu’on fe propofe d’enfeigner dans ce fécond Chapitre, parce qu’après cela nous ferons voir dans le troilléme les poids qui tendent à rouler fur des plans inclinez, le rapport de leur pefanteur avec les puiffances qui les foûtiennent en repos.
  - Fig. 357; 358* & 359*
  - Lllij
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- - Flanche 27.: Fig. $£©.
  - !ig,36i.
  - % 3^?-
  - 4.5* Nouveau Cours
  - PROPOSITION.
  - Théorème.
  - 772. les deux puifances P & £)^foûtiennen$ un poids R tendant hfuïvre la direction B Pi,, je dis que ces d'eux puif-fances. feront en équilibre entr elles , ji elles font en raifon-réciproque des perpendiculaires BC & BG , tirées d'un des. points B de la- direction BR fur les directions FF & FJji^ cejt-k-dire, que P. B G.- BC.
  - Démonstration.
  - Pour que ces deux puiFances faFent équilibre entre-elles, il faut quelles foient comme les cotez FE ôc FD d’un parallélogramme , dont la diagonale BF exprime-roit la force ou la pefa-nteur du poids R., parce que pour, lors le poids R étant pris pour la puifiance relîllante, il lera en équilibre avec les deux- puiFances- agiFantes, parce qu’il fé trouvera de part de d’autre une égalité dé force j mais prenant BD à la place de EF, nous aurons les cotez BD & DF du triangle BDF, qui feront dans la raifon des puiFances P Sc Q y 2c comme les cotez BD & DF font auFi dans la raifon des finus de leurs angles-oppofez, qui1 ne font autre chofe que les perpendiculaires BC & BG, l’on aura done P. Qj : BC. BG. C.J^F.D,
  - De même F d’un point D de la dire&ion FQ^l’on tire les perpendiculaires DG & DG fur les directions BR 8c FP, l’on aura le rapport de la puiFanee P au poids R r étant en raifon réciproque des perpendiculaires DC &’ DG s car à caufe que ces perpendiculaires font les finus, des angles oppofez aux cotez BF & BD du triangle BDF?> l’on aura BD. BF : : DG. DC. ou bien P. R : : DG. DC.
  - Enfin F du point E pris dans la direction de la puiFan-ce P , l’on abaiffe les perpendiculaires EG & EG fur les* directions des puiFances R & O , l’on aura encore Q. R t: EG. EG
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- - de Mathematioüe; '45 3
  - C O R O L L A r R E I.
  - 775:-. Il fuie que fi. l’on fuppofe que le poids R diminue 3^ €ontinuellement, les deux puiffanees P 8c (^demeurant les mêmes, la diagonale BF du parallélogramme ED > diminuera à proportion du corps R. Or comme les cotez FD 8c FE demeureront les mêmes L’angle EFD augmentera ,., parce que les puifTances P & Q def-eendront le poids R montera > mais tant que le poids R fera d’une grandeur finie , la diagonale BF fera toujours une ligne finie >, 8c pourra toujours former le parallélogramme ED , & par eoiifequent les directions FP 8c FQ formeront toujours un- angle en F.
  - Corollaire IL
  - 774. De-là il fuit qu’une corde ne peut jamais être* tendue en ligne droite que par une puiffance infinie 3 car fon poidsquelque petit qu’on le fuppofefera toujours d’une grandeur finie, 8c peut être regarde étant réuni en un feul point, comme le poids R attaché à quel-qu’un des points F de la même corde.
  - C O R O L L AI R E II L
  - 775. Si de& points E 8c D l’on abaiffe lés perpendicm Fîg.j^ Etires EG &. DH fur la direction BR , 8c qu’on achevé les parallélogrammes rectangles GI & HK, l’on aura lés cotez El 8c IF qui repre Tenteront deux, forces égales à la force EF, & les deux cotez FK & KD , qui exprime* ront aufli deux forces égales à DF * 3 mais IF & FK font deux forces égales qui ne foutiennent aucune partie du poids R : ainfi la1 partie du poids que foûtient la puiffance Q y fera exprimée par DK , 8c la partie du poids que foûtient la puiffance P , fera exprimée par EL II s’enfuit donc que les parties du poids R que foutiennent les* puifTances P 8c Q ,.font l’une à l’autre comme El efl a-DK, ou comme GF efl à HF 5 mais comme BH efl égal à GF y BF exprimera toute la pefanteur du poids : ainfi i’om
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- - % jff
  - Fig. ite.
  - f'l&- 3*7*
  - 454 Nouveau Cours
  - aura donc P. R : : El. ou GF. BF. & de l’autre part Q. R
  - î : DK, ou HF. BF.
  - Corollaire IV.
  - 776. Mais fi la puifTance Qjîtoit dans la ligne horifon-tale ED, & que ,1a puifTance P fut au-deflus de l’hori-fontale , cette puifTance foûtiendra elle feule tout le poids R -, car ayant achevé le parallélogramme reétangle BE, la perpendiculaire HE exprimera la partie du poids R, que porte la puifTance P j mais HE eft égal à la diagonale BF , qui exprime toute la pefanteur du poids : ainfi la puifTance P foûtiendra donc tout le poids.
  - Corollaire V.
  - 7 7 7. Mais fi la puifTance Q étoit au-deflous de Thori-fontale HL, &la puifTance P au-deflus,il arrivera que la puifTance P foûtiendra non feulement tout le poids R, mais encore la partie du poids que foûtiendroit la puif-fance Q_, fi elle étoit autant au-defTus de Thorifontale HL, comme elle fe trouve ici au-defTous 5 car ayant formé les parallélogrammes rectangles IH & GK , la ligne EH exprimera ce que porte la puifTance P, & la ligne FK exprimera l’eftort que fait la puifTance Qt Or comme FK eft égal à IB, il s’enfuit que EH ou IF eft compofé de BF & deBI, c’eft-à-dire, de BF, qui exprime la pefan-reur du poids, & de BI qui eft la partie du poids R que foûtiendra la puifTance Q., fi elle étoit autant au-deüiis de Thorifontale HL qu’elle eft au-deflus: ce qui fait voir que la puiflance P foûtient plus que la pefanteur du poids R.
  - Corollaire VI.
  - 77 S. Enfin il fuit que fi l’on a un corps pefant HI, foûtenu par deux puiftançes P & Q, ces deux puiffances feront en équilibre, fi elles font .en raifon réciproque des perpendiculaires FG & FC, tirées dun des points de la dire ition BF fur celles des puifTances P & Q | car fi Ton fup-
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- - DE MATHEMATIQUÈ. 455
  - pofe que toute la pefanteur du corps HI foit ramafiee autour de fon centre de gravité F pour former le poids R, il faudra pour foûtenir ce poids, que P foit à (^comme BE eft à BD, ou comme FD eft à BD. Or comme les finus des angles dans le triangle FBD font dans la même raifon que leurs cotez oppofez, FG étant le finus de l’angle FBG, &; FC le finus de l’angle BFD, puifqu’il eft celui de fon alterne CBF, l’on aura FD. BD : : FG. FC. ou bien BE. BD : : FG. FC. par confequent P. Q: : FG.FC.
  - Mais fi le corps pefant HI étoit appuyé par une de fes Fig* extrêmirez H, & loûtenu feulement à l’extrémité I par la puifTance Q, cette puifTance QJera au poids R comme BD ell à BF j & comme ces lignes font les cotez du triangle BFD,elles feront dans la raifon des finus des angles BF D & BDF, qui font les perpendiculaires EG & EC >. ce qui fait voir que la puifTance Q^eft au poids R dans la raifon réciproque des perpendiculaires EC & EG > tirées d’un des points E de la direction de la puifTance P fur celles des puiffances Q^& R.
  - CHAPITRE ML
  - Du Plan incline.
  - DEFINITION S.
  - 775>. N appelle flan incliné tonte fuperfîcie inelî* née àl’horifon, le long de laquelle on fait mouvoir un poids. Ce plan peut toujours être exprimé par l’hypotenufe d’un triangle rectangle.
  - PROPOS I T I O N. .
  - Théorème;
  - j 8 o. Si me fuijfance Jê^foûtient un poids ffhenque P far me ligne de direction DE rfamlleleau flan inclinéA eHE 48
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- - 45^ Nouveau Cour?
  - Fig. 3^. /V dis, i qut la puiffance fera ai* poids comme la h auteurdu plan incliné efi a fa longueur, cefi~k-dire, que P : : BC. B A.
  - ^Qo 2°. Jî/f poids efi foutenu par une puiffance jwt
  - #><? félon une direction DE > parallèle a la bafe AC du plan * la puiffance fera au poids comme la hauteur du plan efi a la longueur de fa bafe, cefi-u-âire, que J^P BC. AC.
  - Démonstration du premier Cas
  - c* g. . Si l’oti tire la ligne DF perpendiculaire fur le plan in-° * eliné AB, cette ligne fera la direction de la puiflance re-
  - fiftantej & faifant le parallélogramme IG , le côté DG exprimera une des puiflances agiflantes , & le coté DI l’autre puiflance agiflante , & ces deux puiflances agif-fantes enfemble feront en équilibre avec la puiflance re-fiftante DF ? mais ces deux puiflances étant l’une à l’autre comme DG efl: à DI, feront comme les cotez IF ôc ID du triangle rectangle D'IF s & comme ce triangle efl: femblable au triangle ABC, l’on aura IF. ou DG. ID BC. BA. ou bien Q. P : : BÇ, B A.
  - Démonstration du second Cas.
  - fiig. 2JQ. 7 81. Si la direction DE de la puiflance efl: parallèle à la bafe AC du plan incliué, -il fera facile de prouver que Q. P : : BC. CÀ. car fi la ligne DF efl perpendiculaire fur AB ,, elle exprimera encpre la puiflance refilante 5 & fi l’on fait le parallélogramme rectangle IG, l’on aura Q^JP : : DG. DI. Or 11 à la place dé DG on prend IF, Pon aura les cotez IF .& ID du triangle rectangle DIF ., qui feront comme Qell a. P 3 & comme ce triangle efl femblable au triangle ,A.CB, l’on aura FI. ID :BC. CA. ou bien ÇF P : : BC. CA. yjU 7 8 2. Mais-fi la ligne dé direction DE de la puiflance Q^n’étçit point parallèle au plan incliné AB, ni à fa bafe AC, & que cependant'la puiffance & i’e poids fuflent en équilibre'.,, en ce cas la puiflance- fera-au .poids dans la r^ifon réciproque dés perpendiculaires FI & F.L > car
  - avant
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- - Nouveau Cours
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  - Planche 2 y paye Cj6&
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- - DE MàTHEMATIQJJI. 457
  - ayant fait le parallélogramme KG , l’on aura toujours Q^P : : DG. DK. ou GF. mais les cotez DG 8c GF du triangle GDF, font comme les finus de leurs angles oppo-fez, qui font les perpendiculaires FI 8c FL : ainfi l’on aura DG. GF ou DK: : FI. FL. ou bien Q. P : : FI. FL.
  - L’on trouvera comme dans les proportions precedentes le rapport de chacune des puiffancês agitantes P 8c Q^j. la refiftance R, qui eh: l’effort que le poids P fait contre le plan AB.
  - Corollaire I.
  - 7 8 3. Il fuit que ft deux corps P 8c Q fe foûtiennent Fig* 37*3 mutuellement fur des plans diverfement inclinez par des lignes RP 8c RQ, parallèles à ces plans, ils feront entre-eux comme les longueurs des plans , c’eft-à-dire, que P. Q : : BA. BC. car comme BD eft la hauteur commune des deux plans, la puiffance qui fer oit en R ne fera pas plus d’effort pour foutenir le poids P, que pour foûtenir le poids Q , c’eft-à-dire, qu’elle pourroit être la puiffance commune : ainfi comme le rapport de la puiffance R à la hauteur DB, eft le même pour chaque plan incliné, le rapport des plans 8c des poids fera auffi le même.
  - Corollaire II.
  - 784. De même fi deux poids P & Q fe foûtiennent Fig. 373.; mutuellement fur des pluis diverfement inclinez par des lignes de directions parallèles aux bafes , ces deux poids feront entr’eux comme les longueurs des bafes , c’eft-à-dire, que P. Qx DA. DC. car comme BD eft la hauteur commune des deux plans , la puiffance R pourra devenir commune pour les deux poids : ainli comme, le rapport de la hauteur BD à la puillance de part 8c d’autre fera lé même , le rapport des poids 8c des bafes. fera auffi le même.
  - Corollaire III.
  - - 7 8 5. Il fuit encore que lorfqu’une puiffance Qj;ire Fig. 3^.
  - Mmm
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- - Bg. 37©*
  - 374^
  - 458 Nouveau Cours
  - ou pouffe tm poids P par une ligne de direction parallèle au plan, la puiffanee eft au poids comme le finus BC de l’angle d’inclinaifon BAC du plan eft au finus total AB , & que par confequenc la puiffanee eft toujours* moindre que le poids.
  - Corollaire IV.
  - 786, Enfin Iron peut dire encore que lorsqu’une ptiif-fance Q^tire ou pouffe un poids P par une ligne de direction parallèle a la bafe AC du plan incliné, la puiffan-ce eft au poids comme le finus BC de l’angle d’inclinaifon BAC eft au finus AC de fon complément ABC > ce-qui fait voir que la puiffanee eft égale au poids, lorfque l’angle d’inclinaifon eft de 4 5 degrez, & qu’elle eft plus grande que le poids, lorfque l’angle d’inclinaifon eft au» deffus de 45. degrez.
  - CHAPITRE IV.
  - Du Levier,
  - DEFINITION S.
  - 7 8 7. W Evier eft une verge inflexible confiderée fans 1 m pefanteur , à trois points de laquelle il y a trois puiffances appliquées, deux defquelles, qui font les agitantes , a giflent d’un certain fens, ôc ont leurs directions dans un même plan 5 & la troifiéme,qui eft la nfijlante, agit d’un fens directement oppofé aux deux au» très, entre îefquelles elle eft toujours.
  - PROPOSITION.
  - Théorème.
  - 7 88. Deux fuijfances P & £> que Von compare y feront en équilibre^ ft elles font en raifon réciproquedes ferpendiett*
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- - de MathematiQJUZ. 459
  - laîres DG & DH, tirées du point d’appui D furies lignes de directions CA & CB des puiffances P à* ainfi il faut
  - frwver que P. Jgj : DH. DG.
  - Démonstration.
  - Si du point D Ton tire les lignes DE, DF, parallèles aux lignes de directions CA, CB, l’on aura un parallélogramme EF, dont la diagonale CD exprimera la force 2e la puiftance qui refifte aux deux puiftances P & Q^i le côté CE exprimera la force de la puiftance P, & le côté CF celle de la puiftance Qj ainfi Ton aura P. Q,
  - :î : EG ou DF. FC. mais dans le triangle DCF l’on fçait que les lînus des angles font dans la même raifon que leurs cotez oppofez. L’un aura donc le côté DF eft au côté CF, comme le ftnus de l’angle DCF eft au ftnus de l’angle CDF. Or comme DH eft le ftnus de l’angle DCF »
  - & que DG eft le ftnus de l’angle CDF, puifqu’il eft celui de l’angle alterne ECD, ft à la place de DF on prend EC, Ton aura EC. FC : : HD. DG. & ft au lieu de EC 8c FC l’on prend les puiftances P & Q^> l’on aura encore P. Q.: : DH. DG. C.g^F. D,
  - Corollaire I.
  - 7 8 q. H eft clair que ft le point C s’éloignoit de plus en plus des trois points A , D, B, de forte que les directions AC,DC,BC, des trois puiftances PjRoQ^, devinflent enfin parallèles, elles feront perpendiculaires ou obliques 5 ft elles font obliques, l’on aura encore P. Q : : DH. DG. car Fîg. 374% les lignes DH & DG font des perpendiculaires tirées fur & 575% les lignes de directions des puiftances P 8c Q 5 de plus à caufe des triangles femblables DAG& DBH, l’on pourra a la place des lignes DH, DG, prendre les lignes DB’
  - .& DA vd’oii Ion tire P. Qj : DB. DA. c’eft-à-dire, que deux puiffances appliquées aux extrêmitez, des bras d’un Levier, font en équilibre, lorfquayant leurs directions parallèles, elles font en raifon réciproque des bras du Levier %e éf-Àrdire,(iP.DB. DA»
  - Mmmij
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- - 4^0 Nouveau Courî
  - R E M A R CL U E.
  - Fig* 37^ 72°* L’on Peut remarquer ici en paffant, que fi deux
  - puiffances portent un poids E appliqué dans le milieu C cl’un Levier, elles feront également chargées j car il y aura même raifun de P à ÇTque de CB à CA : mais comme CB efb égal à CA , la puiffance P fera égale À la. puiffance Q^Et fi au contraire le poids E eft plus près, de A que de B, comme le poids F, la puiffance P fera plus chargée que la puiffance Q^, puifque l’on, aura P. Q^ : :DB. DA. Ainfi d’autant le bras DB fera plus grand que le bras DA j d’autant la puiffance P fera plus char* gée que la puiffance Q;_
  - Corollaire IL
  - 75? i. Mais Çi l’on a un Levier AB, dont le point d’ap-Fig* 377; pui foit à une des extrêmitez A, & que de deux puiffan-ces appliquées aux points D & B, l’une tire félon la di-re&ionDQj, & l’autre félon la diredion BP en fens contraires, ces deux puiffances feront encore en équilibre» fi elles font en raifon réciproque des perpendiculaires AG bc AH, tirées du point d’appui A fur leurs lignes de-diredions 3 car faifant le parallélogramme EF, le côté CF exprimera la force de la puiffance P , & la diagonale CD celle de la puiffance Q^, pour que ces deux puiffances foient en équilibre. Et comme dans, le triangle CFD les cotez CF & CD font dans la raifon des fînus de leurs angles oppofez , l’on aura CF. CD : : AH. AG, ou bien P.Q:: AH. AG.
  - Corollaire III.
  - 7 5? *. L’on peut dire encore comme dans le Coroî. lu Jg- 377- que fi le point C s’éloignoit de plus en plus à l’infini des.
  - 37 * points D & B, en forte que les lignes de diredions BP & DQdevinffent parallèles & perpendiculaires au Levier AB, les puiffances P & (^demeureront toujours en équilibre i car dans ce cas la perpendiculaire AG deviendra.
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- - Plcuxdic •2$.
  - p CL
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- - DE Ma THEM AT IQXJ e. 4 61
  - égale à la longueur du Levier AB , &; la perpendiculaire AH égale au bras AD,& l’on aura encore P. Q^: AD. AB.
  - Corollaire IV.
  - 7 5? 3. Par confequent fi une puiflfance P foûtient un poids Q_à l’aide d’un Levier AB , en forte que le poids foit dans le milieu D , le point d’appui à l’extrémité A, & la puiffance à l’extrémité B , cette puiffance ne foutieri-dra que la moitié du poids Q^> car l’on aura P. : AD. AB. ainfi AD étant la moitié de AB, P fera la moitié de Q^
  - Corollaire V.
  - 794. Donc fl le poids au lieu d’être dans le milieu du Levier , étoit au point C plus près de A que de B, la puiffance fera moins chargée qu’elle necoit auparavant* car l’on aura toujours P. Qj* : AC. AB. Et comme AC efl moindre que CB , P fera moindre que la moitié de
  - Corollaire VI.
  - 45? 4. Il fuit que fi la puiffance étoit appliquée à un point quelconque D du Levier AB, ôc que le poids fut à l’extrémité B , la puiffance & le poids feront encore en équilibre, s’il y a même raifon de lapuifTance au poids, que du Levier AB au bras AD.
  - Corollaire VII.
  - 795. Si l’on a un Levier AB , dont le point d’appui foit en E,deux poids P & (Rattachez aux extrémités A & B, feront en équilibre, s’ils font en raifon réciproque des bras du Levier, c’efl-à-dire, fi P. Qj : EB.EAjcar nous avons démontré que deux puiifances dans cet état étoient en équilibre j fi au lieu des purffances l’on met des poids qui leur foient équivalais , ils feront le même effet,, & feront par confequent en équilibre.
  - Mmmiii-
  - Fig.
  - Planche 29.'
  - Fig* 3S0*
  - Fig. $t2
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- - 46z Nouveau Cours
  - COROL L A 1 R E VIII.
  - Fig. 381. 75^-H fuit' encore que fi l’on a deux1 poids appliques
  - aux extrêmitez d’un Levier ou d’une balance, on pourra toujours trouver le point d’appui , autour duquel les deux poids feront en équilibré, en difant : comme la fom-me de deux poids P Q^eft à toute la longueur de la balance AB j ainfi le poids P eft à la longueur du bras BE, qui donnera le point E pour le point d’appui.
  - Par la même raifon eonnoiflant les bras AE &EB avec un poids P, Ion trouvera toujours l’autre poids Qj en difant, comme le poids P eft au bras EB , ainfi le bras AE eft au poids
  - Corollaire IX.
  - Fig. 3.8z; 797* Il fuit encore qu’ayant une verge AB d’une pe-
  - fanteur quelconque, on pourra trouver un point tel que p, par lequel la yerge étant fufpenduë, elle foie en équilibre avec le poids C 3 car il n’y a qu’à divifer la verge AB en deux également au point D, & fuppofer que fa pefanteur eft rafïemblée autour de fon centre de gravité pour avoir le poids E, enfuite chercher dans la verge AD, qui n’a plus de pefanteur, un point d’appui F , en difant : comme la fomme des deux poids C & E eft à la longueur AD, ainfi le poids E eft au bras AF.
  - Corollaire X.
  - Ffr Enfin l’on peut dire qu’ayant deux poids C & D appliquez aux deux extremitez d’une balance AB , à laquelle on fuppofe une pefanteur, que pour trouver un point d’appui, autour duquel la pefanteur de la balance & celle des poids foiènt en équilibre , il faut d’abord chercher un point d’appui tel queE, autour duquel les deux poids C & D foient en équilibre, en faifantabftra-ction de la pefanteur de la balancé 3 enfuite fuppofer que les poids C & D font réiinis dans le feu! poids G au centre de gravité E, de que la pefanteur de la balance eft
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- - de Mathématique. 463
  - aafTi réunie dans le poids F autour de fon centre de gravité H , & regardant la longueur EH comme une balance aux extrêmitez de laquelle font les poids G &; F , on en cherchera le point d’appui, en difant : comme la fom-me des deux poids G & F eft à la longueur EH, ainfi le poids F eft au bras El, qui donnera le point I, qui fera, celui autour duquel la pefanteur de la balance & celle des poids C & D feront en équilibre.
  - Corollaire XL
  - 72 8. Enfin fi l’on a une verge ou balance AB d’une Fig. 3.Î43 certaine pefanteur avec un poids I fufpendu à l’extrémité A, & qu’on prenne le point C pour lé point d’appui*
  - & que l’on veuille trouver dans le bras CB un endroit où un poids tel que H aidé de la pefanteur de la balance » foit en équilibre avec le poids I, il faut divifer la balance AB en deux également au point E, & fuppofer que fa pefanteur foit réunie dans le point F 5 enfuite chercher la partie du poids I > qui fera équilibre avec le poids F,ou autrement avec la balance, en difant : comme le bras AC eft au poids F ,ainfi le bras CE eft à la partie du poids I qui doit faire l’équilibre,qui fera,par exemple,fa partie K. Prefentement pour trouver le point G, où le poids H doit être fufpendu pour être en équilibre avec ce qui refte du poids I, qui eft la partie L, il faut dire , comme le poids H eft au bras AC, ainfi le poids L eft au bras CG, que l’on trouvera après avoir déterminé la pefanteur de la balance AB, & celles des poids I & H.
  - L’on tire de ce Corollaire le moyen de faire la Balance Romaine, que l’on nomme aufli Pefon.
  - R E M A R Q^U E.
  - 722. Il y a encore une autre maniéré de démo ntrer pigf l’équilibre dans les Machines dont nous n’avons pas encore parlé, mais qui s’entendra aifément,fi l’on fe rappelle ce qui a été enfeigné dans le Traité du Mouvement Par exemple , pour prouver , que deux poids P Q.
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- - *Àrt.^4*
  - fÿ- 3^*
  - fjg, 3S&,
  - 464 Nouveau Cours
  - attachez aux extrêmitez d’un Levier AB , font en équilibre , s’ils font en raifon réciproque' des bras EB 6c EA, c’elt à-dire, fi P. Qj_: EB. ÉA.
  - Confiderez que le poids P ne peut lé'mouvoir qu’il ne fade audi mouvoir le poids Or fuppofant que le poids P puiffe emporter le poids Qj dans le tems que le poids P décrira Tare AF, le poids Qjiécrira l’arc GB : ainfi l’arc AF marquera la vîtede du poids P, ôc l’arc GB la vîtede du poids Q en tems égaux. Mais nous avons fait voir * que deux corps avoient une même quantité de force, lorfqu’ils avoient des mades 6c des vîcedes réciproques. Ainfi ces deux poids auront des forces égales, fi P.
  - : : GB. AF. Or félon la fuppofition P. Qj : EB. EA. ainfi prenant donc EB 6c EA à la place de GB 6c AF, qui font dans la même raifon , l’on aura P. Qj : EB. EA. Par cônfequent ces deux poids ayant une même force, lorfqu’ils lont dans la raifon réciproque des bras du Levier , demeureront donc en équilibre , puifque. l’un ne fera pas plus d’exFort pour fe mouvoir que l’autre.
  - Co ROLLAIRE.
  - 800. Il fuit que fi à la place du poids Q^on fuppofe une plaidaiice, cette puidance fera encore en équilibre avec* le piods P, s’ils font en raifon réciproque de leurs chemins ou de leurs vîcedes, qu’ils font en tems égaux, c’eft-à-dire, fi la puidance Q efl: au poids P , comme le chemin ou la vîtelfe ÀF du poids, elt au chemin ou à la vîtede GB de la puidance. (f e fi pourquoi lorfque l'on fera voir dans les Machines que le chemin de h puifiance & celui du poids font en raifon réciproque de la puifiance & du poids >on prouvera 'toujours que la puifiance & le poids font en équilibre.
  - Par exemple, pour prouver que fi une puidance ^appliquée à l’extrémité d’un Levier, fondent un poids P, que la puidance 6c le poids feront en équilibre, fi P : : AF. AB. Imaginons que la puidance 6c le poids fe foient mus, en forte que le Levier AB ait pris la fitua-don AD , la. vîtede de la puidance fera l’arc DB , 6c la
  - vîtede
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- - de Mathématique. 465
  - "vacelle du poids l’arc EF j & dans l’état de l’équilibre l’on aura QT* : : EF. DB. ôc ft à la place des arcs l’on prend les.rayons , P011 aura Q^P : : AF. AB.
  - DEFINITION.
  - U o 1. Comme nous n’avons point mis de différence entre les Leviers dont nous venons de faire mention, ôc que cependant le point d’appui, ou la puiffance reliftante change le Levier de nature , félon qu’il eft placé différemment, nous nommerons Levier du premier genre celui qui a une puillance à une extrémité, un .poids à l’autre , & le point d’appui entre les deux. Nous nommerons Levier dufécond genre celui dont le point d’appui eft aune :des extrêmitez , une puiffance à l’autre, & le poids entre des deux. Enfin nous nommerons Levier du troijiémegenre celui dont lè point d’appui eft à une des extrêmitez , le poids à l’autre, <Sc la puiffance entre les deux.
  - Il y a encore une quatrième forte de Levier , qu’on appelle Levier recourbé. Ce Levier eft nommé ainfi, parce qu’il fait un angle au point d’appui i ce qui lui a fait auffi donner le nom d'angulaire. Ce Levier le rapporte toujours au Levier du premier genre , parce que la puif-iance eft a une des extrêmitez, le poids à l’autre, ôc le point d’appui entre deux.
  - CHAPITRE V.
  - De la Roué clans fin EJJîeu.
  - DEFINITION.
  - ;S o 2. T A Roué dans fin Ejfieu eft une Machine com-I y polée d’une Roue attachée par fes rayons fixement a un cylindre , que l’on nomme Treuil, aux extrêmitez duquel fout des pivots de ferpofez fur un affût qui n’eft autre chofe qu’un affemblage de pièces de bois, qui fert à porter la Roue fon Eftieu.
  - Nnn
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- - 466 Nouveau Cours
  - La puifTance s'applique ordinairement à la circonférence de là Rouë, qu’elle fait tourner par le moyen des chevilles qui font perpendiculaires à fon plan, comme aux Roues qui fervent à tirer les pierres des Carrières pour le poids , il eft toujours attaché à une corde qui tourne autour du Treiiit.
  - P R O P Q S I T I O NT.
  - Théorème..
  - S o 3. Si une puijfance fou tient un poids à l’aide d’une Rouèy. & que cette puifance agiffe par Uî2e Hgne de direction tangente h la Roue ,je dis que la puifjance fera au poids, comme, le rayon du Treuil efi au rayon de la Roue..
  - D E M ON S T R A T I O N.
  - j?jg„ 3S7. Pour prouver que fi la puifTance Q^foûrient le poids P en équilibre , il y aura même raifon de Qji P que dit rayon CB du Treiiil au rayon CA de la Rouë. Remarquez que la ligne droite AB peut êcre regardée comme un Levier dont le point d’appui eft au centre C du Treiiil,, & que la puifTance Qjftant à une des extrêmitez du Levier , & le poids à l’autre, l’on aura dans l’état de l’équilibre QJ? : : CB. CÀ.
  - Mais fi la puifîànce au lieu d’agir félon la direction AQ agifloit félon la direction DF toujours tangente à la Roue, la puifTance fera encore au poids comme le rayon du Treiiil eft au rayon de la Rouë j car l’angle DCB fait un Levier recourbé, dont les bras font les rayons CB &CD. Or fi la puifTance agit par une ligne de direction DF perpendiculaire au bras CD, elle fera le même effet à l’endroit D, qu’à l’endroit A : ainfi le Levier recourbé te-*Art.8oii- nant lieu du Levier du premier genre*, l’on aura toujours P : : CB. CA. ou bien QJP : rCB. CD. €. D.
  - L’on peut encore démontrer ceci par le mouvement, en confiderant que lorfque la puifTance a fait un tour de la Rouë, le poids a fait un tour du Treiiil 5 mais nous fça-
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- - de Mathématique. 467
  - vons que la puiïïance & le poids font en équilibre, lorf-qu’ils lont en raifon réciproque de leurs vîtefles : ainli la circonférence de la Roue exprimant la vîteffe de la puif-fance*, & la circonférence du Treuil celle du poids», la puiftance fera au poids comme la circonférence du Treiiii eft à la circonférence de la Roue 5 mais prenant les rayons a la place des circonférences , puifqu’ils font en même raifon, Ton aura que la puîflance eft au poids comme le rayon du Treiiii eft au rayon de la Roue.
  - CHAPITRE VL
  - De U Poulie.
  - DEFINITI ON.
  - $04. T A Poulie efb une rouë de bois ou de'métail, 1 j qui eft attachée à une écharpe ou chape de, qui embrade la Poulie.
  - Lorfque la Poulie eft attachée à l’endroit d’une Machine d’où elle ne bouge point, on la nomme Poulie fixa èc lorfqu’elle eft attachée à un poids que l’on veut enlever , on la nomme Poulie mobile.
  - Lorfque pliifieurs Poulies font enfermées dans la même chape , foit qu’elles foient pofées les unes au deflùs des antres, ou les unes à coté des autres, on les nomme Poulies moufices, lefquelles peuvent être toutes enfemble fixes ou mobiles.
  - R E M A R QJU E.
  - 805. Dans la Théorie de la Poulie-, non plus que dans celle de toutes les autres Machines , l’on n’a point d’égard aux frottemens des cordages , ni à celui de la Poulie fur fon effieu j cependant l’on peut dire que plus la Pou-He fera grande & l’axe petit, & moins il y aura de frottement.
  - N n n ij
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- - 46 5 No'U^eau C:o'U R r
  - nop a s i t i o. n:.
  - Théoreme,
  - 806. *5”/ puiffance foûtient un poids a l'aide d’une-Foulie , dont la chape: (oit immobile y je dis , i °. que la puif fance fera égale*au poids. 2?. £)U£ Ji larchape eft mobile , ds forte que le poids qui y feroitattaché, foit enlevé par la puifi fance y cette puiffance fera la moitié du poids, lorfque la di*-reffion de la puiffance-y celle du poids feront parallèles‘
  - Démonstration du. bremiu. Cas.-
  - Si l’on conficLere le diamètre. AB de la Poulie, com-ligi 3-88. me un.Levier du premier genre , puifque le poids eft à. une extrémité, la?puiflance à l’autre,.& le point d’appui entre les deux, qui eft ici le point C. Il faudra pour que.. lapuiflanee foit en équilibre avec le poids,, avoir cette proportion Q^P: : CA, CB. Mais comme l’on a CA égal a CB, puifque ce font les rayons d’un.même cercleTon aura Q=pP. C. D.
  - Pour démontrer ceci par le mouvement, faites attend tion que ft la puilfance Qjire de haut en bas, la corde BQjde la longueur de deux pieds, cela nefe pourra faire fans que le poids P ne foit monté d’autant que la puiflance eft défcenduë., c’eft-à-dire, de deux pieds j mais dans Pér tat de l’équilibre , la puiflance doit être au poids dans la raifon. réciproque de la.vîtefle ou. du chemin de la puiffance & du- poids. Et comme la vîtefle de l’une eft éga-le à la vîtefle de Pautre, la force.de l’une fera égale à la-force. de l’autre.
  - Co. R OvL L A I A E-
  - 807. Ilfuitque les Poulies fixes n’augmentent point la: force delà puiflance, èc qu’elles ne fervent qu’à changer les dire&ions , & à diminuer le frottement, qui feroit très-confiderabie. Si la cord% ne tournait pas avec la Poulie.,..
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- - DE MATHEMATtQUI. 4&5>
  - & ét-oic obligé de glifler ou depafler par deflus un cylindre immobile, au lieu qu’il n’eft prefque queftion ici que du frottement qui fe fait de la Poulie contre fon eflîeu , qui eft bien plus petit que celui que feroit la corde fur le cylindre immobile le frottement de l’ejjieu étant à celui du cylindre immobile , comme le rayon de l'effieu efi d celui de la Poulie Ce qui fait voir, comme nous l’avons déjà dit, que plus la Poulie eft grande , & l’eflïeu petit,, moins il y aura de frottement..
  - Démonstration du second Cas.
  - Si Pon fiippofe une Poulie AB ,au deflous de laquelle Fig* paflfe une corde, dont l’un des bouts foit attaché à un endroit fixe G , ôc qu’à l’autre bout A E foit appliqué une puiflance Q^_, ou bien que l’autre bout de la corde pafiè au defliis d’une Poulie DE, afin que la puiflance étant en Q, &; tirant de haut- en bas , agifle plus commodé^ ment 5 enfin que le poids P foit attaché à l’écharpe CI, il faut prouver que la puiflance ne foûtient que la moitié du poids..
  - Pour cela faites attention que le diamètre AB de la Poulie peut être regardé comme un Levier du fécond
  - Ëenre, dont le point d’appui eft à: l’extrêmité'B , la puif-ince à l’extrémité A , ôc le poids dans le milieu. Or fi la-, puiflance eft en équilibre avec le poids, l’on aura Q. P : : CB. AB. mais le rayon CB , eft la moitié du diamètre'
  - AB j donc la puiftance Qjera la moitié du poids P.
  - Il faut remarquer que par. ce qui a été démontré dans le premier cas,la Poulie DE ne fait autre chofeicique faciliter l’adion de la puiflance, puifqu’elle n’aura pas > plus de force appliquée dans la partie EA de la corde,, que dans la partie DQ^, comptant toujours pour rienle: frottement dans la Poulie DE, comme dans la Poulie A-B.-On démontrera encore ceci par le mouvement , ens confiderant que fi la puiflance a élevé le poids P de deux: pieds, chaque brin de corde GB & EA fera diminué de: deux pieds j ainfi la puiflance Qjfera defcenduë de quar-
  - Nn.niii:
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- - 47ü Nouveau Cours
  - tre pieds, ou pour mieux dire ,1e brin DQ fera augmenté de quatre pieds 3 ainfi le mouvement de la puiflance fera double de celui du poids : par confequent le poids fera double de la puiflance, puifque dans l’état de 1 équilibré , la pu iflance & le poids, font dans la raifon réciproque de leurs vîtefles.
  - R E M A R CLU E.
  - 8 o S. Il efl: à remarquer que £ les brins AQ^Sc B G ne font point parallèles, î’analogie precedente ne fera plus la même, c’eft-à-dire, que l’on n’aura pas P: : BC. AB, mais que le rapport de la puiflance au poids fera dans la raifon réciproque des perpendiculaires tirées du point d’appui B lur les lignes de diredion du poids & de la puiflance. Or prenant la ligne AH pour la direction de la puiflance , & la ligne HI pour celle du poids, BC fera une perpendiculaire tirée fur la diredion Cl du poids, .& BF fera une perpendiculaire fur la diredion AH de la puiflance j ainfi l'on aura Q^P : : BC. BF. Ce qui efl: facile à entendre, fi l’on a bien compris ce quia été enseigné au fujet du Levier.
  - Mais comme plus la ligne B A efl; grande par rapport à la ligne BC, plus la puiflance efl grande par rapport au poids dans le Levier du fécond genre, il s’enfuit que la ligne BF devenant plus petite que B A, lorfque les brins ne font pas parallèles, la puiflance n’a pas tant de force dans ce cas-ci que dans l’autre, & par confequent il faut que les brins foient parallèles, pour que la puiflance agifle avec toute fa force.
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- - DE MATHEMATIQUE.
  - 47*
  - CHAPITRE VIL
  - b
  - Du Coin.
  - DEFINITION.
  - S o 5). T E Coin e(h une Machine de fer onde bois fer- Fig. ^ Lj vant à élever des corps à une petite hauteur, ou à fendre du bob, qui eft Ion principal ufage. Sa figure eft ordinairement iiofcele , quand il fert à fendre du bois 5 mais on fuppofe quelle eft rectangle, quand on s’en fert pour élever un corps pefant.
  - On fuppofe en premier lieu que les faces AO 8c BO du Coin, font égales, 8c que le bois eft flexible 5de maniéré qu’étant commencé à fendre, 8c le coin introduit par la force qui le pouffe dans la fente , les faces de la fente font pliées en ligne courbe, 8c que les faces du Coin les pouffe en deux points I 8c K , ou il ÿ a deux puiflances égales, qui reliftent félon des directions EC 8c FC perpendiculaires aux faces du Coin, 8c à celle des fentes qui repouffent celle du Coin, autant qu’elles font pouflecs par le Coin, parce que l’aCtion eft égaie à la réaction , en fuppofant que la tête du Coin eft frappée en G par un maillet ou une force , dont la direction eft perpendiculaire à AB , 8c paffe par l’angle AOB du Coin qu’elle divife en deux également , puifque le Coin eft: ifofcele. Or l’objet de ceci eft de prouver premièrement: que dans l’inftant de l’équilibre que le Coin eft enchaffé,, comme on vient de le dire, le bois ne fe fend point ,.mais il fe feroit fendu, pour peu que la force du Coin eût été plus grande il faut prouver, dis-je, que dans fin fiant de l’équilibre les faces du Coin pouffant celles des fentes en? font également repouifées, ou, ce qui eft la même cho-fe , que les deux efforts qui fe font en I 8c en K font. égaux.
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- - Fig-
  - 472 Nouveau Cours
  - Pour cela ayant pris fur GO, direction de la püiflance R, un point quelconque D, &. achevé le parallélogramme GEDF , je 4is qu’il a tous fes cotez égaux 5 car les triangles CIO, CKO , redangles en I & en K,font égaux &c fembiables, puifque les angles COI, COK font égaux» & par confequent auffi les angles OCI, OCK j mais l’angle OCF eft égal à l'angle CDE , étant alternes : donc l'angle OCI égal à OCK eft égal à l’angle CDE, & par confequent CE &DE font égales entr'elles., & partant le parallélogramme EF a les quatre cotez égaux j mais dans l’état de Péquilibre Faction du Coin, ou la réfiltance du bçfis en I eft à Faction du Coin ou à la réfiftance du bois en K , comme CEjCF i donc puifque CE &C.F font égaux, Feffort du Coin en I eft égal à l'effort du Coin en K : nommant donc la force qui pouffe le Coin R., ôc l’effort du Coin en I, P, l’effort en K fera auffi P.
  - PR O P O S I T I O N,
  - Théorème.
  - r§ 1 o . La force qui chajfe le Coin efi a la refifianceâu bois9 comme la moitié de la tête du Coin efi a la longueur d’un de fes f otez, :ainfi il faut pr-ouver, i°. que R. i P: : AG.AO. 2°. £)ue fiune puifiance fou tient un poids a l’aide d’un Coin, lapuifiance fera au poids comme la hauteur du coin efi à fa Ipngueur.
  - Démonstration pu premier Cas,.
  - Il .eft -clair que les trois puiffances R, P, P, peuvent être regardées comme agiffantes contre le point C, oti leurs directions concourent 5 c’eft pourquoi fon a R. 2 P : CD. CEH*CF. ou CE—FED. mais les triangles AB O, CDE, font fembiables5 car les triangles AGO, ÇIO, le font, ayant chacun un angle droit au,x points G &I, & l'angle an point O commun j c’eft pourquoi CD. CE—F DE. ou % CE : : AB. AO—fBÔ. ou *AO. Donc R. 2P:: AB. 2 AO- ou R. 2P : : AG* AO. en divifant par 2 les 4e.ux termes du deuxieme rapport, c. L>.
  - Pemonsta*
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- - 47-3
  - ï>2b Mathématique.
  - Démonstration du second Gas.
  - Pour démontrer prefentement que fl une puiflance Soutient un poids à 1’a-ide d’un Coin ABC, la puiflance eft au poids comme fa hauteur BC eft à fa longueur CA, fuppofons que le poids P foitretenu par une corde GD, attachée à un point, fixeD, & qu’une puiflance Qjxnifle Je Coin ,en forte que de l’endroit où U étoit , il loit parvenu en FA , pour lors le poids P fera monté au fom-met B du Coin, ou au fommet E, qui eft la même chofe s alors le chemin de la puiflance fera exprimé par la ligne AC, & le chemin du poids par la'ligne CB j caria puif-fance a été de A en F *011 ce qui efl: la même chofe, de C en A dans le même tems que le poids eft monté de la hauteur BC ou EA j mais dans l’état de l’équilibre,la puif-fance & le poids font dans la raifon recipro que de leurs vîtefles j donc l’on aura P : : BC. CA. C. J^F. F>.
  - PLANCHE 30.
  - Fig. 39u
  - Corollaire.
  - 81 r. Il fuit que plus la hauteur ou la tête du Coin efl petite, plus la puiflance a de force.
  - CHAPITRE VIII.
  - De la Vis.
  - 812. W A Vis eft de toutes les Machines celle qui I j donne le plus de force à la puiflance pour élever ou pour prefler un corps, lorfque la puiflance fe fert d’un Levier pour la mettre en mouvement 5 & quoique cette Machine foit connue de tout le monde, voici cependant de la façon qu’il faut, ia concevoir , afin de mieux entendre l’analogie que nous en ferons.
  - Ayant un cylindre ABCD, imaginons que fa hauteur BD eft divifée en un nombre de parties égales , & que par Fig* $9*' chaque point de divifion comme F Se H , l’on a tiré des perpendiculaires FE & H G à la ligne BD, & que cha-
  - Ooo
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- - 474 Nouvaeu Cours-
  - que perpendiculaire foit égale à la circonférence du cercle du cylindre , c’eft-à-dire, qui auroit AB pour diamètre. Or II l’on tire des lignes EB & GF, Ion aura autant, de triangles rectangles EBF & GFH , qu’il y a de parties égales dans la hauteur BD j 6e fi l’on roule tous ces triangles fur le cylindre, le point E viendra aboutir en F , 6c le point G en H , & tontes les hypoténufes EB 6e GF ainii roulez.,formeront enfemble une ipirale fur le cylindre, qui commencera en B , 6e finira en D > ou autrement toutes ces hypoténufes formeront les filets de la Vis,Se les «hauteurs B F île FH feront les intervalles de ces filets, que l’on nomme Pas de la Fis : ainfî l’on peut donc dire que laVis eil un cylindre enveloppé de triangles rectangles,. dont les hypoténufes EB 6e GF formeront les filets, les hauteurs Bf 6e FE1 les pas de La Vis, 6e les bafes EF cC GH le contour du cylindre.
  - L’Ecrouë clans lequel entre la Vis, eft un autre cylindre creux, dont le diamètre eft égal à celui de la Vis,. 6e dont la furface intérieure eft compofée de triangles rectangles égaux , 6e femblables à ceux qui font roulez fur le cylindre pour former la Vis. C’eft ainfî que les Géomètres regardent la Vis 6c fonEcrouë.
  - Mais afin de tirer de la Vis .toute l’utilité qu’on en attend , il faut entailler le cylindre entre les filets formez par les. hypoténufes des triangles, rectangles d’une certaine profondeur , 6e diminuer le diamètre de l’Ecrouë d’une grandeur égale à la profondeur des entailles de la Vis, & faire les mêmes entailles dans les creux de l’E-crouë 5 afin que la Vis puiffe entrer dedans, 6e y tourner librement: fi l’Ecrouë eft fixe en tournant la Vis,on la fait avancer, 6e fi c’eft la Vis qui eft mobile , on fait avancer l’Ecrouë.
  - Il y a encore une autre forte de Vis, que l’on nomme F;s fins fin , qui n’entre point dans un Ecrouë.. Elle eft rmfe en mouvement par une Manivelle , ou par. une Roue dentéedont les dents glifiènt le long des pas de la Vis3 comme on le verra dans les Machines compoféeSo.
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- - de Mathématique. 475
  - PROPOSITION.
  - Théorème.
  - 8 13 .Si une puiffance prcfje ou enleve un poids k l'aide d'une Vis, la puiffance fera au poids, comme la hauteur d'un des pas de la Vis^efi à la circonférence du cercle que décrira la 'puiffance appliquée au Levier, par le moyen duquel -on meut la vis..
  - Démonstration.
  - Si l’on fuppofe que l’Ecrouë CD de la Vis foit immolai-le fur le plan GH , la Vis EF étant mifeen mouvement, fera monter le poiJs P qui efl attaché à fon extrémité F, & fi la puiffance Qjîfl appliquée à l’extrémité B d’un Levier AB, il faudra pour faire tourner laVis, qu’elle tourne elle-même. Or dans le tems quelle aura décrit une circonférence de cercle, dont le rayon fera AB, la Vis aura aufli fait un tour, & fera montée de la hauteur d’un pas : ajinfi le chemin ou la vîtelfe de la puiffance fera exprimé par la circonférence IB , & le chemin ou la vîteffe du poids par la hauteur d’un pas de la V is 5 mais dans l’état de l’équilibre la puiffance efl au poids dans la raifon réciproque de la vîteffe de l’une à celle de l’autre. Donc la puiffance Q^, efl au poids P, comme la hauteur d’un pas de la Vis, elt à la circonférence décrite par la puiffance Q. C. F. D.
  - Corollaire.
  - S 14. Il fuit que plus les pas de la Vis feront ferrez, & le Levier long, plus la puiffance aura de force. Ainfi fuppofant que les pas de la Vis ne foient éloignez que de deux pouces , & que le Levier foit de 6 pieds , ou autrement de 72 pouces, la circonférence du cercle dont il fera le rayon, fera de 4 5 2 pouces : ainfi la puiffance fera au poids comme 2 efl à 4 5 2 , ou bien comme 1 efl
  - Oooii
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- - 476 Nouveau Cours
  - à 216 5 par confequent uncpuiffmce d’une.livre fera en équilibre avec un poids de 2 2 6 livres.
  - Nous n’avons point eu d’égard ici au frottement, non. plus que dans les autres Machines, quoiqu’il foit confide-rable..
  - CHAPITRE I X,
  - Des Machines compofées..
  - S 15. Ous avons déjà dit qne lorfque plufeurs.
  - Machines (impies- de mêmes ou de differentes efpeccs, fervent à fane mouvoir un corps , la Machine qui étoit compofée de toutes celles-là , fe nom-înoit Machine compofée. Or comme ces fortes de Machines montrent parfaitement l’utilité que l’on tire des Mécaniques dans la pratique des Arts , nous allons faire-voir les proprietez de celles qui font le plus d’ufige.
  - 8 16.. Mais avant cela il faut fçavoir que l’effort d’un homme, qui agit en pouffant ou tirant ( comme font ceux qui tournent au cabeitan,. &: qui tirent les charettes ) n’eft que d’environ 2 5 livres , Se c]ue celle des chevaux qui agiffent de la même maniéré, n’eft que de 1 7 5. livres , ou égale a celle de fept hommes, ce qu’on a connu-p>ar expérience.
  - 817. Que l’effort d’un homme qui tire du haut en bas, peut être d’environ 50 ou 60 livres, & même davantage 5 mais il ne peut agir li long-tems : il peut même être égal à.fon poids 5 mais alors il ne pourrait agir.
  - S 1 S. Que l’effort d’un homme qui marche dans une Roue, eft égal à fon poids.
  - 8 1 9. Que dans la pratique il faut avoir égard aux frottemens, qui font d’autant plus grands, que la Machine elt plus compofée j aux groffeurs des cordes qui allongent les rayons des cylindres de leur denu-diamé-treqà la uraffeur des cordes qui aucunement auffi le
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- - de Mathématique. 477
  - rayon du cylindre 5 à la raideur des mêmes cordes >que. fi Ton fait faire plufieurs. tours à la corde,le rayon du cylindre augmente à chaque tour du diamètre de la corde.
  - ANALOGIE DES P OULIES MOUFLE’ES.
  - Si une puiffance /outrent un poids k l’aide de plufieurs-Poulies ,je dis que la puiffance efi au poids comme ïunité efi. au double du nombre des Poulies d'en bas, qui font toujours les. Poulies mobiles.
  - D E M O N S T R A T- I O N..
  - Soit HG la Moufle d’en haut, qui eft celle qui doit *lg« W+ être fixe , &. DK la Moufle d’en bas, qui eft celle qui doit haufler , 5c enlever le poids , foit auflî un des boucs de la corde attaché à l’extrémité G de. la. Moufle, d’en haut 5 après avoir paifé au défiais des Poulies A,.B, C,,
  - & au deffous des Poulies D, E, F , en forte, que fon autre extrémité foit le bout où efi: appliquée la. puifiance. Cela pofé, lorfque la puifiTance tire le bout de. la corde pour, faire monter le poids toutes les,parties de la corde tirent d’une égale force à la puifiance c’efi: pourquoi chacune des Poulies d’en bas D , E, E, porte une égaie partie du poids P ,c’eft-à-dire , que chacune porte un tiers , parce- qu’il y a. trois Poulies. Or fi. l’on, confidere que la Poulie F efi: un Levier du fécond genre r dont le. point d’appu-i eft. en M, la puifiance en N, ou dans la direction NO ou KQ^_, qui eft. la même chofe, ôc le poids dans le milieu F, l’on aura que la puifiance eft au poids, comme MN eft à MF , c’eft-à-dire, que la puifiance fera la moitié du poids ; mais comme la Poulie ne foutient ici <^ue le tiers du poids, la puifiance n’en foùtiendra que la dixième partie, puifque Q. P : : 1.. 6. qui fait voir que la raifon de la puifiance au poids, eft comme l’unité au.dou-ble du nombre des Poulies,D,E, F.
  - 81 o.. Mais fi l’on avoit une Moufle EF immobile ,.donr Fig; 3*#. les. Poulies ArB rG>.D ,fufie.nt mifes les unes à côté des
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- - 47* Nouveau Cours
  - autres , &: une Moufle mobile LM , dont les Poulies G» H, I, K , fuflênt dans la même difpofition que celles d’en haut , & qu’une corde dont une des extrêmirez feroit attachée en I, paflat au deflous des Poulies d’en bas, & au deflus des Poulies d’en haut,tant que l’autre bout étant parvenu à la «derniere Poulie A , fût retenu par une puiflance Q^, l’on verroit encore que cette puif-lance eft au poids,comme l’unité eft au double du nombre des Poulies d’en bas 3 ainfl comme il y a quatre Poulies G, H , I, K,l’on aura P : : 1. 8.
  - Autre Démonstration far le meuvement.
  - 821. Pour prouver que Q^P : : 1.6. dans la Figure 3 24. ou que QJ\: : 1. 8. dans la Figure 35)5. remarquez que pour que le poids P foit élevé par la puiflance Qji’un pied, il faut que chacune des cordes qui foutient le poids fe racourcilié auflid’un pied, &qu*ainfl lapuif-fance doit defcendre d’autant de pieds qu’il y a de brins de cordes qui fe racourciflent : mais il y a deux fois autant de brins de corde qu’il y a de Poulies mobiles 3 ce qui fait voir que la vîtelfe du poids eft à celle de la puif-iancecomme l’unité eft au double du nombre des Poulies d’en bas, de par confequent la puiflance Ôe le poids font en équilibre, puifqu’ils font en raifon réciproque de leurs vîtefles.
  - APPLICATION DE V EFFET DES POVLIES aux Manœuvres de l'Artillerie.
  - 822. De toutes les Machines compofées, il n’y en a pas qui foient plus en ufage pour les manœuvres de l’Artille-rie, de pour celles qu’on pratique en general, pour élever facilement des corps fort pefans, que la Chèvre. Or pour fiire voir ici l’effet de la Chèvre ABCD, qui eft équipée de deux Poulies mouflées immobiles E, F, & de deux autres mobiles G , H, à la moufle defquelles eft attachée une pièce de canon pefant 480,0 livres. Confi-
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- - DE MaTHEMATI QU E. 475?
  - derez que fi la puillance eft appliquée à la corde EQ_, l’on aura Q; P: : I. 4. ainfi la puillance ne foûtiendra que la quatrième partie du poids, c’eft-à-dire ,1200 liv. mais la puillance,quand on le fcrt d’une Chèvre,elle n’eft jamais appliquée aux cordes, elle eft toujours appliquée à un Levier MO , qui pâlie dans le Treiiil KL de la Chèvre. Or fi le Treuil a un pied de diamètre, & que le Levier depuis l’axe du Treiiil jufqu’à l’endroit où eft appliquée la puillance, foie de 5 pieds , ou autrement de 6o pouces, le rayon du Treiiil & la longueur du Levier feront un Levier du fécond genre , dont le point d’appui fera au centre du Treiiil, la puillance à l’extrémité O & le poids à l’endroit I de la circonférence du Treiiil. Si la puillance fondent le poids en équilibre, il y aura même railon de cette puillance au poids, que du rayon du Treiiil à la longueur du Levier , c’eft-à-dire, comme. 6 pouces eft à 6 o pouces , ou bien comme 1 eltà io, mais le poids de 4800 livres eft réduit à 1200 livres à l’endroit I, la puillance qui feroit appliquée au Levier ne foûtiendra donc que la dixiéme partie de 1200 livres, qui eft 1 20 livres : ainli l’on voit qu’une puillance de 120 livres fou-tient par le moyen de la Chèvre un poids de4800 livres, &L qu’elle en pourroit élever un beaucoup plus pelant avec une force meme moindre que celle qu’011 luiafup-polée ici, en augmentant le nombre des Poulies, éc la longueur du Levier.
  - DEFINITION.
  - 823. La Machine fimple à laquelle une puiftanceeft immédiatement appliquée, & qui donne le mouvement à-toutes les autres , eft nommée la première > celle fur laquelle la première agit, la fecotî-de ; &: celle iur laquelle La. fécondé aszit, la troifiéme: ainfi de fuite.
  - Corollaib.e I.
  - 824. Il fuit que l’effet de la première Machine eft à. la caufe qui fait agir la fécondé, comme l’effet de Li fe-
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- - 4§o Nouveau C-out^
  - conde eft à- la canfe qui fait agir la troifiéme $ ain/i de
  - fuite jufqu a la derniere.
  - Corollaire IL
  - 8 15. Il fuir encore que dans les Machines compofées le rapport de la puiffance au poids eft compofé de l’effet de la première Machine à la caufe qui tait agir la fécondé, 8e de l’effet de la fécondé à la caufe qui fait agir la troifiéme : ainfi de fuite jufqn’à la caufe qui fait mouvoir le poids, par exemple , dans la Chèvre dont nous venons de parler, le rapport de la puifTance Q. au poids P eft compofee de celui de i à i o , & de celui de i à 4 : ainfl mult ipliant les antecedens de ces rapports les uns par les autres, 6e les confequ-ens aufii les uns par les autres , on aura --pour le rapport compofé, qui eft celui delà puif-fance au poids, 6e qui fait voir que la puiffance eil la quarantième partie du poids j car ~~ eft la même choie qVLQ-tïT'o j ciul eft Ie rapport que nous avons trouvé.
  - DES ROUES DENTEES:
  - DEFINIT ION.
  - S 16. Lorfqu’une Machine eft compofee.de plu/leurs Roues, il faut que toutes les Roues foient dentées, excepté, la première, 6e que toutes les lanternes ou pignons le foient au lîî j excepté le dernier, qui doit être rond, afin que la corde qui enleve le poids, s’entortille à l’entour,il faut aufii qu’il y ait à chaque extrémité des pivots des axes,pour pouvoir être ajoutez dans une efpece d’affûts j de maniéré que la lanterne ou pignon de l’axe de la première Roue engraine dans les dents de la fécondé , la lanterne ou pignon de la deuxième dans les dents de la troifiéme : ainfl de fuite juf u’a la derniere. Cette Machine aiiifi compo-fée, eil nommée Machine des Roués dentées, qui eft propre pour élever de très-gros fardeaux , 6e d’autant plus gros 6e plus pefans que les Roués feroient en plus grand nombre. ANALOGIE
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- - dï Mathemati^e; 48r
  - ANALOGIE DES ROUES DENTELES.
  - S 2 7. Ayant nommé f le rayon de la première Roue ,à la **lan3 circonférence de laquelle efi appliquée la puifiance, a le rayon ps*8,»# * de fin pignon * g ie rayon de la fécondé Roue, b celui de fon pignon, h le rayon de la troifiéme Roué,c celui de fonpignont k le rayon de la quatrième Roué , d celui de fon pignon *
  - 1 le rayon de la cinquième Roué, & e celui de fon pignon »
  - ( qui n’efi point denté) U faut faire voir que le rapport de la pwiffance Jj^au poids P, efi comme le produit des rayons des ejfieux au produit dés rayons des Roués.
  - Si la première Rouë çtoit feulé, & que la puiffance enlevât par fon moyen le poids P , quidevroit pour cela être fufpcndu au pignon ou au treiiil de cette Rouë, Ion au-roic Q. P : : a.f mais l’effet de la première Rouë au lieu d'être employé' à lever un poids, eft employé à faire tourner la fécondé par le moyen des dents de fon pignon qui engraine dans les dents de la fécondé Rouë 5 d’ou l’on -voit que l’effet de la première Rouë eft la caiife qui fait agir la fécondé, parce que l’effet des dents de fon efîîeii ..contre les dents de la fécondé Rouë, eft égale au poids qu’elle pourroit enlever. Il en eft ainfi des autres. Or ft l’on nomme l’effet de la première Roue r, l’effet de la fe~ conde /, celui de la troifiéme t> & celui delà quatrième u j l’on aura pour le premier rapport q. r ; ; a. f pour le fécond r. f: : b. g. pour le troifiéme fit: : c.h, pour le quatrième t. u .* .* d. k. enfin pour le cinquième & dernier ^apport, u. p : : e. I.
  - Prefentement fi l’on multiplie ces cinq proportions terme par terme, ç’eft-à-dire, les antecedens _ -
  - par les antecedens s & les confequens par les f f * l * confequens, l’on aura cette .proportion qrftu. J ‘
  - rftup : : abcde. fghkl. Et fi l’on divifc les deux * \\Cfi ; premiers termes par rftu, l’on aura Q. P t : ** ’ ‘ f' **
  - abcde. fghkl. â’ou. l’ontire cette analogie pour î " e' '
  - toutes les MacKines compofées des Roues dentées:'..Si
  - ’ ....... P PF
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- - 2. Nouveau Cours
  - une puijfance foûtient un poids a l'aide de plujieurs Rom, la puijfance ejl au poids comme le produit des rayons des pignons ejt au produit des rayons des Roues.
  - application,;
  - 8 i 8. Pour faire voir la force immenfe qu'on peur donner à une puilTance par le moyen des Roues dentées, fuppofons que la force de la puilTance foie de 50 livres,. & que cette puilTance foit appliquée à la première Roue d’une Machine compofée de cinq Roues de chacune 11 pouces de rayon, parce que nous les fuppofons égales, au(T-bien que les pignons qui feront, par exemple, d’un pouce de rayon. Cela pofé, le rapport du rayon de chaque pignon, au rayon de chaque Rouë ,,fera comme I eft à 11 : ainfi le produit de tous les pignons.fera 1,=& celui de sous les rayons des Roues fera 24883 2. Or li l’on veut fçavoir quelle eft la pefanteur du poids qu’une puif-fance de 50 livres , que je fuppofe être la force d’un homme,.pourroit enlever avec, cette Machine: je conli-dere que félon ce qui vient d’être démontré, la puilTance e H: au poids comme le produit des rayons des pignons eft au produit des rayons des Roues ,&£ que par conle-quent le produit des rayons des pignons elt au produit des rayons des.Rouës, comme la puiiïance eft au poids : ainfi pour trouver le poids, je dis : Si un produit des rayons des pignons donne 24883 2 pour le produit des rayons des Roues,-que donnera la puilTance de 5 o livres pour le poids qu’elle feroit capable d’enlever 5 l’on trouvera 1 2441600, qui eft le nombre de livres qu’un homme peut enlever avec une force moyenne, aidée d’une Mar chine compofée de cinq Roues dentées.
  - DU CRIC.
  - 8 15. Le Cric dont I’ufage- eft. fi fréquent dans l’Artillerie , fait encore voir combien les Roues dentées augmentent la puilTance, & pour en calculer la force, con-
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- - DE M ATHEMAT I<XUJE. 483
  - Aiderez la Figure 3^7. qui reprefente à peu près les parties , dont l’interieur du Cric eft compofé, qui eft mis en mouvement par là manivelle ABC, oix eft appliquée la puiflance j cette manivelle en tournant fait tourner le petit pignon D , lequel étant engrainé dans la Roue E, la fait aufli tourner.. Au centre de cette Rouë eft un autre pignon F, qui fait mpnter le Cric GH, pour enlever le fardeau. Prefentement fi l'on fuppofe que la manivelle AB ( que nous confiderons ici comme le rayon d’une Roue j ; foit de 15 pouces, que le pignon D ait im pouce de rayon, la Roue E, 11 poucessaufli de rayon, & le pignon F deux, l’on connoîtra le rapport de la puiflance au poids qu’on peut enlever, en confiderant le rapport du produit des rayons des pignons au produit des rayons des Rouës :ainfi le produit des pignons fera z,& le produit des Roues i 8 oy ce qui fait voir que la puiflance fera au poids, comme 1 eft à 1 80 , ou bien comme l’unité eft à $0. Or filon fupppfc que la puiflance eft 50 , multipliant 50 par p, l’on aura 4500 , qui eft à peu près le poids qu’un homme peut enlever par le moyen d’un Cric tel que celui que nous venons d’expliquer : & fi au lieu de deux Rouës il y en avoit davantage, l’on voit qu’on peut jtvec le Criç lever des fardeau* d’une pefanteur immenfe,
  - DE LA VIS SANS FIN appliquée aux Roués dentées.
  - $3 0. La Vis fans fin eft encore une Machine propre .à augmenter extrêmement la force de la puiflance, fur-tout quand elle met en mouvement plu fleurs rouës dentées. Suppofant donc qu’on a une Machine compofée d’une Vis fans fin, & de trois rouës, comme celle de la Figure 3 5> 5?. pour fçavoir le rapport de la puiflance Qan poids P, je confidere que la puiflance étant appliquée à une manivelle ou à un levier AB, fera tourner la Vis, qui mettra en mouvement la première rouë, à caufe que les pas de la Vis font engrainez ayec les dents de la pre-
  - ppPîj
  - Plaw-
  - C H E 3O.
  - Fig. 3*7.
  - Planche 31. Fig. 3??.
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- - 484 Nouveau Cours
  - miere rouë, dont les pignons qui s’engrainent' avec les dents de la fécondé rouë, la fera tourner auffi, & le pignon de celle-ci la troifiéme rouë, au pignon de laquelle-eft attaché le poids.
  - Prefentement fi l’on nomme n la circonférence du cercle , qui auroit pour rayon le levier AC 5 a l’intervalle d’un pas de la Vis 5 / l’effet des filets contre les dents de la rouë le rayon de la première rouë y b celui de fon pignon 5 h le rayon de la fécondé rouë , &. d le rayon de Ion pignon 3 k le rayon de la troifiéme roue , celui de fon pignon3 / l’effet de la première rouë, & u l’effet de la fécondé. Voici comme il faut raifonncr : l’on fçait que la puiffance qui'eft appliquée au levier d’une Vis, eft à l’effet de là Vis, comme l’intervalle d’un des pas de la Vis eft- à la circonférence du cercle eue décrit la puilfan-ce, l’on aura donc cette proportion £•/:a. n. l’effet1 de la première rouë donnera encore/. t: ib.g. l’effet de la fecon- q. f. : : a. n. de t. u : :d. h. & celui de la troi- f t. fiéme u.p::c. k. Or multipliant t. u. ces quatre proportions termes par u. p. termes,l’on aura qftu.ftup : :abdc. qftu.ftup hgnk. Scdivifant les deux premiers termes, par ftu, l’on aura QvP : : aedb. hgnk. d’ou l’on tire cette analogie.
  - 8 3 1. Si une puiffance enleve un poids à l’aide d’une Fis s
  - de plu fleurs Roués dentées, la puiffance fera au poids comme le produit de l’intervalle d’un des pas de la Vis, par les rayons des pignons des Roués , ef au produit de la circonférence que décrit la puiffance par les rayons des Roués.
  - APPLICATION.-
  - : b. g.-
  - : d. h.
  - : c. k.
  - : aedb. hgnk.
  - 832. Pour fçavoir quel eft le poids qu’une puiffancè de 3 o livres peut enlever par le moyen de la Machine précédente, nous funpoferons que le rayon CA du cercle que décrit la puiffance eft de 10 f pouces , par confe-quent la circonférence fera de 6 6 pouces 3 de plus qu’un
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- - DEMaTHExMATIQJJE. 485
  - des pis de la Vis eft de 2 pouces, que le rayon de la première rouë eft de 24 pouces, & celui de fon pignon de 3, que lerayonde la fécondé rouë eft de 20 pouces, &
  - Celui de fon pignon de 2 5 enfin que le rayon de la trok fiéme rouë eft de 1 8 pouces, & celui de fon pignon d’un pouce & demi.
  - Cela pofé, fi ion multiplie les rayons des pignons les tins par les autres, l’on aura 9 au produit, qui étant multiplie par un des pas de la Vis,qui eft de 2 pouces ,l’on aura 1 8 pour un des termes de la proportion 3 & multipliant aufli les rayons dès rouës les. unes par les autres,
  - 6c enfuite le produit par la circonférence qiie décrira la puiflance, l’on aura 570 240 pour un a litr e terme delà proportion 3 ainfi la puiflance fera au poids comme 1 fr eft à 570240 , ou comme 1 eft à 3 16 8 0. l’on pourra donc dire comme i: eft à 3 16 80, qui eft le rapport du; produit des rayons des pignons par un pas de la Vis au-produit dès rayons des rouës par là circonférence décrite par la puiflance: ainfi- 5 o qui eft la force de la puiflance, eft au poids que cette puiflance eft capable d’enlever,
  - .bon trouvera que ce poids eft de 15 84000 livres.
  - K EM A K CL U Ev’
  - SiuiAufli grand poids que celui que noiis vènoris de trouver, peut être enlevé par la force moyenne d’un feuf homme avec une Vis à trois rouës feulement, ce n’eft pas fansraifon qu’Archimede difoit, pour faire voir juf-qu’à qtiel- point on pouvait augmenter la force de la puiflance,que fi on lui donnoit un point fixe pour appuyer fa' Machine, il neferoit pas embarrailë d’enlever-toute la Terre malgré l’immenficé de fon pokisà
  - MACHINE COMPOSÉE D’UNE ROUÉ>
  - CF cfun Pim incliné*'
  - 8 33 . Ayant un plan incliné GH, dont là hauteur eft p'lan--GI, & un poids P lur ce plan,où.il eft i*etenu par une che
  - Pppiij.
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- - 4oi.
  - 486 Nouveau Cours
  - corde BP parallèle à GH, dont un des bouts eft attaché au treiiil d’un Tourniquet, qui eft mis en mouvement par une puiftance Qappliquée à un d.es leviers AE, AD ou AE, qui fervent à faire tourner le treuil pour attirer le poids P vers le fommet G , on demande quel eft le rapport de la puiftance au poids.
  - Ayant nommé GH,rf j GI»£ jle rayon du Treiiil,ri & la longueur d’un des leviers AC , AE ou AD , d\ & l’effort que fait la puiftance qui feroit appliquée dans la direction PB pour foûtenir le poids P,/> l’on aura par la propriété du plan incliné f.f::b.a. & par la propriété de la roqc la puiftance Qne foûtenant que l’effort / de l’autre puiftance ^ , l’on aura Q./; : c. d. Or multir pliant les termes de ces deux proportions , l’on aura Q f pj\: : bç. ad, & divifant les deux premiers termes dé cette proportion par /, il viendra P : : bc. ad. qui faif voir que la puiftance eft au poids, comme le produit du rayon de l’eflieupar la hauteur du plan incliné , eft au produit du rayon de la roue ou de la longueur du leviçf par la longueur du plan incliné.
  - APPLICATION.
  - 834. Il arrive fort fouvent que pour tirerÆês corps pefans d’une cave,comme font,par exethple,lesmuids de vin 00 d’eau de vie > Ton fe fert d’un Tourniquet pour en faciliter je transport : ainft lî les marches de la cave font dans un même plan, i'efcalier pourroit être regardé comme un plan incliné. Or fi la hauteur de ce plan incliné eft à fa longueur comme 4 eft a £7 '&• '-qu’ayant un Tourniquet à l’entrée de I’efcalier , le treüil foit , par exemple, de 6 pouces de rayon, & le levier de 3 6 pouces de longueur depuis le centre - du treüil jufqu’à f’eu-droir ou elt appliquée la puiftance^ fi l’on vouloir fçàvoir la pefanteur du corps qu’qnepïriftàncède 5-0 livrés peut foûtenir ou attirer à foi par lè moyen du Tourniquet, il faut çoxTjmeiicer par multiplier iç rayon du treüil) qui
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- - de Mathématique. 487
  - eft de 6 pouces, par la hauteur du plan incliné, qui eft de 4 pieds, ou qu’on peut prendre pour telle, le produit fera 24 pouces 5 & multipliant la longueur du levier de 3 6 pouces par 6 pieds , le produit fera 2 5 5? 2 : ainli l# puiüance fera au poids qu’elle eft capable de foûtenir, comme 24 eft à 2552 , ou comme 1 eft à 108 : ainfi pour trouver le poids , il n’y a qu’à dire ; fi 1 donne 1 o 8y combien donneront 5 o 5 l’on trouvera 5400 livres pour le poids que l’on cherche*
  - DELA SONNETTK
  - 835. Prefque toutes les Machines compofées augmen^ tent la force de la puHTanceyexcepté celle que l’on nomme communément Sonnette,- dont on fe fert pour enfoncer des pilots par le moyen d’un gros billot de bois, tel que A* que l’on nomme Mouton, Ce Mouton eft attaché par deux mains de fer ou crampons B, fufpendus à deux cordes qui paftent fur des poulies G, & à ces cordes font plu-heurs bouts ON y qui font tirez tout à la fois par des hom** mes qui levene le Mouton vers G , & le lailfent tomber tout d’un coup fur la tête du pilot CF que l’on1 veut en** foncer. Mais comme il arrive qu’à mefure que le pilot s’enfonce, le Mouton tombe de plus haut, & acquiert par fon accélération un plus grand degré de force. Voici comme l’on pourra mefurer la force du Mouton à chaque coup, & même fçavoir combien il faudra de coups pour enfoncer un pilot à refus de Mouton*-
  - Nous fuppoferons que le terrain dans lequel on veut enfoncer le pilot, e11 homogène dans toutes fes parties , & qu’auffi-tôt que le bout du pilot eft entré jniques un • peu au deflus de-la partie que fon a taillée en pointe, le terrain dans lequel on l’enfonce ré lifte toujours .également, parce que l’on compte pour rien le frottement de la; terre qui entoure la furface du pilot, qui fe trouve de plus couverte, à mefure que le pilot enfonce.
  - Cela pofé, je fuppofe que le Mouton A après avoir été
  - Fig. 400*
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- - .48 8 Noüvêau Gou r $
  - enlevé jufqu’au plus haut de la Sonnette , fe trouve éloigné de 3 pieds de la tète C du pilot', & que l’ayant laide tomber , le pilot fe Toit enfoncé de 1 3 pouces,de forte que la tète fera defcenduë deC en D. Or pour fça-yoir de combien le pilot fera enfoncé au fécond coup , qui fera plus fort que le premier, parce que le Mouton au lieu de tomber de H en C , tombera de H en D, je confidere que la force ou la quantité de mouvement d’un corps eft le produit de fa made par fa vîtede *, & qu’ainfi la force du corps A en tombant de H en C , fera à la force du même corps en tombant de H en D, comme le produit de la pefanteur du Corps A par la vîtede acquife de H en C, elt au. produit de la pefanteur du même corps par la vîtede acquife de H en D : mais nous fçavons que les vîtedes d’un corps qui tçmbe de differentes hauteurs, peuvent s’exprimer par les racines quarrées des efpaces parcourus*: ainfï nommant a ia made du corps A 5 b, l’efpace parcouru HC5 l’efpace parcouru HD, l’on aura y/b pour la vîteffe acquife de H en C, & Vd jrour la vîteffe acquife de H .en D : aind la force du corps A tombant en C & en D, fera comme y/ab elt à y/ad, ou bien .comme yfb eft a y/d. Mais les effets étant comme les caufes , il s’enfuit que l’enfoncement du pilot au premier coup fera à l’enfoncement du pilot au fécond coup , comme la racine quarrée de l’efpace parcouru par le Mouton au premier coup fera à la racine quarrée de l’eipace parcouru au fécond coup. Or dans la fuppodtion l'efpace parcouru dans le premier coup eft de 3 pieds, ou autrement de 3 6 pouces , dont la racine fera 6 5 & .comme lé pilot aura été enfoncé de 1 3 pouces , l’eipace HD fera de 49 pouces, dont la racine eil 7. Je dis donc pour trouver l’enfoncement du pijpt au. fécond coup, fi la vîtede 6 a donné .1 3 pour l’enfoncement du pilot au premier coup, combien donnera la vîtedTe 7 pour renfoncement du pilotau fécond coup , l’on .trouvera 15 ôc •J-, qui fa.it voir que le pilot fera enfoncé au fécond coup cie 15 pouces* 2 lignes, qui eft la di fiance DE,
  - Pour
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- - de Mathématique^ r '483?
  - Pour fçavoir combien il fera enfoncé au troifiéme coup, je confidere que l’efpace HE ell de 64 6c dont la racine quarrée effc 8 , 6c je dis encore : Si la vitefle 6 donne 1 3 pour renfoncement du pilot au troifiéme coup combien donnera 8 j l’on trouvera 1 7 pouces 6c 4 lignes , 6c agiflant toujours de même , l’on trouvera que l’enfoncement du quatrième coup iera de 1 pouces , 6 lignes, que celui du cinquième fera de 2 1 pouces, 4 lignes , 6c que celui du fixiéme fera de 2 3 pouces, 1 o lignes : ainfi l’on aura pour l’enfoncement du pilot à chaque coup les fïx termes luivans, 1 3 pouces, 15 pouces plus 2 lign. 17-4-4 > 1.9-4-6 , 2.1-4S , 23—b 10,'qui font tous en progrdîîon arithmétique , puifqu’ils fe iurpailent de 2 pouces 6c de 2 lignes 5 ils fe furpafferoient même encore de quelques parties de point , auxquelles je n’ai pas eu égard.
  - L’on fera peut-être furpris de voir que les racines quarrées des efpaces parcourus par le Mouton , font en progreffion arithmétique , de même que les quantitez qui expriment l’enfoncement du pilot à chaque coup ; mais cela ne peut arriver autrement, connue on le va voir.
  - Si l’on a une progreffion arithmétique ~—a. b. c. d. e. f, dont chaque terme marque le tems pendant lequel un corps tombant de differentes hauteurs, a mis à parcourir differens efpaces, 6c que ces efpaces foient, par exemple, S»/»*’» kilt?», ces efpaces feront dans la raifondes quar-rez des tems, c’e11-à-dire , comme aA, bb, cc ,dd,
  - Or fi l’on extrait la racine quarrée de l’une 6c l’autre de ces progreffions, l’on auraa. b. c. d. e. f. pour les tems, êc Vg,Vh , Vi, Vk, y/l, 'Jm , pour celles des efpaces parcourus- Or fi les tems a ,b,c, d ,e ,f, font en progreffion arithmétique, les racines des efpaces le feront auffi : ainfi il n’effc plus étonnant que fi les tems que le Mouton met à tomber, font en progreffion arithmétique , les racines quarrées des efpaces , qui font les vîtefles acquiles, le foient auffi ; mais les vîteffies acquiles peuvent être rq^
  - Qjh
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- - n rjq
  - 4 9 o Nouveau Cours
  - ardees comme les cailles de l’enfoncemenc dtr pilot à haque coup 3 6c comme les effets font proportionnels a leurs cailles, les caules étant en proportion arithmétique, les effets le ieront aullî 3 ce qui fait que le pilot doit s’enfoncer plus au fécond coup qu'au premier, & plus au troiliéme qu’au fécond, dans la raifon d’une progrdîion arithmétique.
  - L’on peut tirer de ce qu’on vient de dire, la maniéré de connoître combien il faut donner de coups fur un pilot pour le faire entrer à refus de Mouton 3 car on n’a qu’à confiderer au premier coup de combien le pilot fera enfoncé, 6c regarder cette quantité comme le premier terme d’une progrefîîon arithmétique. Suppofant donc que le Mouton tombant de 3 pieds de hauteur , le piiot le foie enfoncé de 1 2 pouces,5c liippofant aulfi qu’au fécond coup le pilot fe foit enfoncé de 14 pouces,je regarde ce nombre comme le fécond terme de la progreffionjôc comme la différence de ce terme-ci à l’autre eit 2 , je vois que le troiliéme terme lera 1 6,que le quatrième lera 1 8 ? le cinquième 20. Or fi j’ai un pilot, par exemple, de 1 2 pieds de longueur, cette longueur exprimera la valeur de tous les termes de la progrelhon pris enfemble : ainlî j’ajoute les termes que je viens de trouver pour voir s’ils valent 144 pouces 3 6c comme il s’en faut beaucoup , je cherche encore quelque terme, comme,par exemple, 2 2, 24 6c 26, qui font avec les autres 152 pouces, qui fur-paffent la longueur du pilot de 8 pouces 3 6c comme ce iont 8 termes qui m’ont donné cette quantité, je vois qu’il faut 8 coups pour enfoncer le pilot julqu’au refus de Mouton, puifque fi le Mouton ne rencontroit pas la terre, il enfonceroit le pilot de 8 pouces au-delà de fa hauteur.
  - A FF LIC AT ION D E LA M E C A N I JpJV E k la coitjlruction des Magasins k poudre.
  - 8 3 6. De tous les Edifices militaires , il n’y en a point qui foient d’une plus grande confequence que les Maga-
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- - DE MaTHÊMATI QJU E. 45) i
  - zins à poudre, & qui demandent plus de précaution pour les bien conftruire s car comme on les fait toujours voûtez , il faut fçavoir quelles fortes de voûtes conviennent le mieux, de la voûte en plein ceintre ,de celle qui eft fur-baijfU , ou de celle qui eft en tiers point, pour être capable de réfifter le plus à l’effort de la Bombe, quand elle tombe deflus : après cela , il faut fçavoir proportionner l’é-paiifeur des pieds droits , qui foûtiennent les voûtes au poids, à la pouifée & à la grandeur des mêmes voûtes.
  - L’opinion de la plûpart des Ingénieurs eft partagée fur la maniéré de voûter les Magazins a poudre j les uns pré-tendènt que la voûte en plein ceintre eft la meilleure de toutes , & les autres au contraire veulent que la voûte en tiers point foit préférable à celle-ci. Ce qu'il y a de certain, c’eft que la voûte en tiers point a moins depouflées que celle en plein ceintre, & celle en plein ceintre que celle qui eft fur baillée j ce que l’on peut démontrer même géométriquement, & fans entrer dans une grande Théorie, je vais faire voir comme la voûte en plein ceintre a plus de poulfée que celle en tiers point.
  - Confidefez la Figure 402. qui eft le profil d’un Magasin à poudre , dont la voûte eft en plein ceintre, & la Figure 40 3. qui eft un autre profil, dont la voûte eft en tiers pointjdans ces deuxFigures l’on a divifé en deux également les arcs ED & VY par des lignes tirées de leurs centres. Or fi l’on confidere la partie luperieure BAGC de la voûte comme un coin qui agit contre les pieds droits, & contre les autres parties de la voûte pour les écarter, l’on verra que plus l’angle ABC fera aigu, & plus le coin aura de force par la loi des Mécaniques , ou bien fi l’on regarde la ligne AB comme un plan incliné, l’on verra encore que plus il fera incliné, & plus le corps G AB qui tend à glifler déifias aura de force pour defcendre, paif-que la pefanteur relative fera moindre qu’elle 11e le fe-roit,fi le plan incliné approchoit plus d’être horifontaL Or dans la Figure 463. fi l’on,regarde encore TQR.S pomme un coin, l’on verra que l’angle QSR_ étant obtus,
  - Qqqjj
  - Fig. 402. & 403.
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- - 4 9Z Nouveau Cours
  - le coin fera moins d’effort pour écarter les parties R.Z & QN ,. que dans la Figure 402. ou l’angle du coin efl droit j & fi l’on confluere de plus la ligne QP comme un plan incliné, l’on verra que l’étant beaucoup moins que; le plan AB , la partie TQS n’aura pas tant de force pour defeendre , que la partie GA B j par confequent tous les voufïoirs qui compofent. la voûte en tiers point étant regardez comme des coins , ou comme des corps qui tendent à gliffer fuccefîivement fur des plans inclinez, feront moins d’effort que ceux de la voûte en plein cein-tre : d’oû il s’enfuit que la voûte en plein ceintre a plus de pouffée que la voûte en tiers point 5 & par une femblàble démon flration on fera voir que la voûte fur baiffée a plus de pouffée que celle en plein ceintre.
  - Un autre défaut de la voûte en plein ceintre, efl qu’elle oblige à faire le toît fort plat > ce quirend la voûte moins capable de réfifler à la chûte des bombes, qui ne font point tant d’effort quand le plan fur lequel elles tombent ., efl plus incliné , parce qu’alors elles ne font que rouler fans faire de dommage confiderable j & fi l’on veut éviter ce défaut, au lieu de faire le toît comme dans Fig. 402. la Figure 40 2. le faire comme dans la Figure 404. c’eft-^ 4°4* à-dire, plus roide,l’on efl obligé de charger la voûte à l’endroit de la clef d’une maffe de maçonnerie qui oblige abfolument de faire les pieds droits plus épais : d’ailleurs un avantage de la voûte en tiers point,c’eft que fi l’on veut faire un Magazin qui ne foit point fort élevé , l’on peut commencer la naiffance de la voûte à 4 ou 5 pieds au deffus du rez-de-chauffée, & le Magazin efl affez élevé, au lieu que le faifant en plein ceintre , il faut que les pieds droits ayent au moins 8 ou 9 pieds de hauteur j ce qui oblige aies faire plus épais: car il n’y a point de doute qu’à mefure qu’on les fait plus élevez, il ne faille leur donner plus d’épaiffeur. Enfin je pourrois rapporter encore plufienrs railons en faveur des voûtes en tiers point > mais je crois que ce que j’en ai dit fuffit pour faire voir combien elles font à préférer à celles qui font en plein ceintre»
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- - de Mathématique. 493
  - Quoiqu’il fok prefque impoflihle.de déterminer l’épaif-feu 1* que doit avoir la voûte d’un Magazin à poudre pour être à l’épreuve de la bombe, puifque les bombes ne font pas toutes d’égale pefanteur, & font fujettes à tomber de differentes hauteurs , cela n’empêche point qu’on ne fe foit déterminé à leur donner 3 pieds d’épaiffeur à l’endroit des reins, & je crois que cette épaiflTeur fera fuffifante , quand le toit ne fera point trop plat.
  - Comme il m’a paru qu’il convenoit de donner une régie pour déterminer l’angle que doit avoir le faîte du toit d’un Magazin , afin qu’il ne foit-ni trop obtus, ni trop aigu. Voici comme je m’y prends.
  - Suppofant qu’on veuille faire un Magazin a poudre, dont fa voûte foit en plein ceintre, je commence par déterminer la largeur du Magazin, qui fera , par exemple, la ligne AC, qui doit fervir de diamètre au demi-cercle de la voûte j enfuite j’éleve fur le centre B la perpendiculaire BG, & je divifeendeux également chaque quart de cercle AN ôc NC par les lignes BM & BE 5 je donne 3 pieds à chacune des lignes DE ôc LM, qui déterminent l'épaifTeur des reins de la voûte , & puis du centre B je décris un demi-cercle à volonté, qui fe trouve divifé en deux également par la perpendiculaire au point G, de dont le diamètre eft la ligne FI, je tire aulfi les cordes FG & GI, de par les points £ & M je fais paffer les parallèles O Fi & PîK aux cordes qui font dans le demi-cercle, de ces parallèles me donnent le toit OH K , qui forment un angle droit en H, parce que l’angle H eft égal à l’angle G : ainfi fans tâtonner par cette méthode, il fe trouvera toûjours que l’angle du faîte d’un Magazin à poudre fera droit, de cet angle me paroît convenir mieux qu’un autre, parce qu’il tient un milieu entre l’angle aigu de l’angle obtus, qui conviennent moins que celui-ci* car l’angle obtus, comme je l’ai déjà dit, rend le toît trop plat, de l’angle aigu charge trop la clef de la voûte par le grand vuide qu’il laiffe au defiîis de la clef, qu’on eifc ubliçé de rempfir de maçonnerie.
  - Qqqüj
  - Fig.
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- - 494 Nouveau Cours
  - FK 402; Pour traceî* ta voûte en tiers point, je fuppofe que les
  - &* points V 8c X marquent l’endroit ou doit commencer la
  - naiiTance de la voûte, je tire une ligne de V en X, laquelle je divife en quatre parties égales -, 8c du point P comme centre, 8c de l’intervalle PV , je décris l’arc V Y, 8c du
  - point O 8c de l’intervalle OX, je décris l’arc XY , lequel
  - forme avec le précèdent l’iiitradofe VYX de la voûte : après cela je divife chacun de ces arcs en deux également, & je tire les lignes OR & PQ^, 8c je donne à chacune des lignes AQJ*C BR 3 pieds 8c 3 pouces , 8c puis je divife la perpendiculaire L Y en trois parties égales, 8c de l’extrémité M de la première partie , je décris un demi-cercle KTD, 8c je tire comme dans la Figure 403. les cordes KN, ND, 8c par les points 8c R je fais palier deux parallèles aux cordes qui forment le toît de la voû* te, dont l’angle du faîte eft encore droit.
  - Si j’ai donné aux lignes AQ_8ç BR 3 pieds 3 pouces, c eft parce qu’elles font au délions des reins de la voûte $ mais en fuivant ce qui vient d’être dit, l’épaiffeur des reins de la voûte fe trouve dans leur plus foible avoir 3 pieds d’épaiffeur : vous pouvez; remarquer la différence de la maçonnerie qui fe trouve au demis de la clef de la voûte en tiers point, 8c celle qui eft au deffus de la voûte en plein ceintre , c’eft-a-dire, que l’une eft beaucoup moins chargée que l’autre 3 car il n’y* a que 6 pieds de hauteur de maçonnerie au deffus de la voûte en tiers point, au lieu que dans celle en plein ceintre , il y en a plus de 1 o : c’eft aulîi la raifon pour laquelle les pieds droits de cette voûte font bien moins épais que ceux de celles en plein ceintre 5 parce que d’ailleurs ils font aufii moins élevez
  - Mais pour regler l’épaiffeur des pieds droits,tant pour les voûtes en tiers point, que pour les voûtes enplein ceintre, j’ai jugé à propos de rapporter ici une Table que j’ai calculée dans la rigueur géométrique, pour proportion? 11er précifément l’épaiffeur des pieds droits des voûtes des Magazins à poudre par rapport à la largeur dans œuvre
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- - DE M A THE M ATI QU E. 4* 5
  - qu’on peut leur donner, &: A l’élévation des memes pieds droits , c’eid-a-dire , que j’ai cherché un jufte équilibre entre leur réliftance & L’effort des voûtes : j’ai fait abftra&ion des Contreforts que l’on fait ordinairement pour loütenir les pieds droits, parce qu’en quelque façon on pourroit s’en paffer : mais comme il fembleroic que ce feroit vouloir changer ce qui fe pratique ordinairement. Je laiffe à la diferétion de ceux qui auront la conduite de ces fortes d’Ouvrages , d’en faire autant qu’ils le jugeront à propos, & de leur donner les dimenfions qui leur conviendront le mieux. Car quoiqu’il femble qu’après avoir donné aux pieds droits des épaiffeurs Inhalantes pour rélifter à la pouffée des voûtes des Magazins , il foie inutile d’y ajoûter encore des Contreforts, cela n’empé-chc pas qu’ils ne loient très-bien placez 5 puifqu’il convient meme d’en faire aux murs qui n’ont point de poul-fée.
  - Il me refte à donner l’ufage de la Table fuivante , que j’ai calculée pour quatre fortes de Magazins A poudre. Dans la première Colonne l’on voit la largeur des Magazins, qui auroient depuis zo pieds jufqu’A 3 6 dans œuvre j & la Colonne qui eft à côté , marque l’épaiffeur qu’il faut donner aux pieds droits des voûtes en plein ceintre de fes Magazins. Suppoiant d’ailleurs que tous les pieds droits de ces differens Magazins ayent toujours ^ pieds de hauteur depuis le rez-de-chauffée jufqu’A la naillance de la voûte. Ainlî voulant fçavoir quelle épaif-feur il faut donner au pied droit d’un Magazin , dont la 'largeur feroit de 3 o pieds , dont les pieds droits auroient $ pieds de hauteur depuis la fondation jufqu’à la naiffance de la voûte : je cherche dans la première Co-o nne le nombre 3 0 , & je vois qu’il correfpond à 7 pieds, 7 pouces, qui eft l’épaiffeur qu’il faudra leur donner , pour que leur réf ftance foit en équilibre avec la pouffée de la voûte d’un Magazin fait à l’épreuve de la bombe.
  - La fécondé Table fait Voir l’épaiffeur qu’il faut donner
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- - 45>6 Nouveau Cours .
  - aux pieds droits des voûtes des Magazins a pondre, qui feroient faits en tiers points, en fuppofant que la naii-fance de la voûte commence à 5 pieds au definis du rez-de-chauflée, comme on le voit marqué au fécond profil, 8e cela pour toutes les largeurs marquées dans la première Colonne : ainli pour fçavoir l’épaififeur qu’il faut don?-ner au pied droit d’une voûte en tiers point d’un Maga-zin, dont la largeur dans œuvres feroit de 24 pieds , 8c dont les pieds droits en dedans ne font élevez que de 5 pieds au deilus du rez-de-chaufiTee j il faut chercher dans la première Colonne le nombre 24 , 8e l’on verra qu’il correfpond à 5 pieds, 10 pouces, qui eft l’épaifleur que l’on cherche.
  - La troifiéme Table fertpour regler l’épaififeur qu’il faut donner aux pieds droits des Magazins, qui ont un étage foûterain ; 8e j’ai fuppoféenla calculant que la hauteur des pieds droits leroit de 1 2 pieds depuis la retraite au deilus de la fondation, jufqu’à la naiifance de la voûte qui doit être en tiers point.
  - Enfin la quatrième Table a été calculée pour les pieds droits des Magazins à poudre , qui auroient un étage pratiqué dans la voûte au défiais de celui du rez-de-chaulTee, 8e la hauteur des pieds droits a été luppofée de 5) pieds pour tous les Magazins, dont la largeur auroit depuis 2 o jufqu’à 3.6 pieds dans œuvres , 8c dont les voûtes leroient en tiers points.
  - Le principe qui m’a fervi à calculer cette Table, eft une fuite d’un des plus beaux Problèmes d’Architecture, que peu de perionnes fçavent , non pas même les plus fameux Architectes. Ce Problème efi; de fçavoir donner au pied droit d’une voûte une épaiflfeur ciui met la pouf-fée de la voûte en équilibre avec la réfilLmce des pieds droits,ou, ce qui a encore rapport au même, 1ça voir quelle épaifleur il finit donner aux culées des ponts , pour fou-tenirla poufifée des arches. Le P. Deran dans fon Traité de la Coupe des Pierres, M. Blondel dans fon Cours d’Ar-çhite&ure > & plaideurs autres, ont prétendu donner des
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- - de Mathématique. 497
  - TABLE
  - iPour tegler l epaiffeur quil faut donner aux pieds droits des voûtes des Magasins à poudre.
  - Lar- geur des Ma- «T pou- dre. Epaiffeur des pieds droits des voûtes en plein ceintre pour les Ma-gazins à un dtagc. Epaiffeur des pieds droits des voûtes en tiers points pour les Magazins à un ëcagc. Epaiffeur des pieds droitspour les voûtes des Magazins qui ont un étage foûterrain. Epaiffeur des pieds droits pour les voûtes des Magazins qui ont un étage au deffuj de celui du rcz-de« chauffée.
  - pieds pie- pou. %• fie . pou. lig. pieds ' pou. pieds pou. *»>.
  - 20 5 IO 0 S 2 0 7 O 0 5 5 6
  - 2 I 5 I I 8 5 3 0 7 2 5 5 8 6
  - 22 6 2 2 5 5 6 7 4 IO 5 I 0 6
  - 2 3 6 4 6 5 7 4 7 7 3 6 O 10
  - 24 6 6 0 5 IO 0 7 9 8 6 2 6
  - 25 6 8 3 6 0 4 8 0 I 6 4 6
  - 26 6 IO O 6 2 0 8 2 6 6 5 I I
  - 27 6 11 9 6 5 0 8 4 IO 6 8 0
  - 2 S 7 2 6 6 8 0 8 7 3 6 IO 3
  - 29 7 4 9 6 IO 6 8 9 8 7 0 0
  - 30 7 7 O 7 I O 9 O I 7 2 9
  - 3 I 7 9 4 7 2 4 9 2 6 7 $ 6
  - 32 7 I I IO 7 4 9 9 5 11 7 8 O
  - 33 8 2 8 7 7 0 9 8 4 7 IO 6
  - 34 8 3 11 7 9 4 9 10 9 8 2 0
  - 35 8 5 9 7 11 0 IO I 2 S 4 2
  - 3 6 8 8 O S 0 0 IO 3 7 8 6 O
  - R. r r
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- - 4<>8 Nouveau Cours
  - réglés là-defllis > mais leur principe eft faux, en ce qu’ils n ont point d’égard k la hauteur des pieds droits., ni à la hauteur dé la voûte : mais M. de la Hire le Pere en a donné une parfaite folution dans les Mémoires de l’Academie des Sciences de i y i i. J’aurois pu rapporter fon Mémoire, & en expliquer les endroits qui m’ont paru obfcurs i mais comme il fefert d’un Calcul algébrique un peu compofé , qui ne pourroit être entendu des Coin-mençans, je me luis contenté de m’en fervir pour conf-truirela Table que je rapporte ici. Ceux qui en voudront fçavoir davantage, pourront avoir recours au Me-moire de l’Académie que j’ai cité 5 cela leur donnera peut-être occafion de lire les beaux morceaux qu’elle donne tous les ans, 8c de s’inftruire des belles découvertes qu’on y trouve..
  - Après avoir parlé des Magazins k poudre., je crois qu*on verra avec plaifir de quelle maniéré fe fait le choc des . bombes qui tombent fur leurs voûtes , afin qu’on; fente la différence qu’il y a de confiderer les chofes comme elles nous paroiiïent , ou telles qu’elles font en elles-mêmes.êc que les Mathématiques donnent fur ce fu jet des connoiffances que 1a pratique des plus habiles Bombardiers ne. peut appercevoir.
  - A P P L I C A T 10 N DE S PRINCIPES, de. la Mécanique an jet des Bombes.
  - Nous avons fait voir dans la derniere Propofition de la huitième Partie *, que pour trouver la-force avec la-*Art.837. quelle une Bombe tornboit fur un plan, il falloit multiplier fa pefanteur par la racine quarrée de la hauteur où elle s’étoit élevée ,8c-nous avons agi comme fi la Bombe tomboit félon une direction perpendiculaire à l’hori-fon 8c comme fi le plan qu’elle choquoit, étoitde niveau avec la batterie 5 mais comme les Bombes ne tombent que rarement par des directions perpendiculaires
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- - Wowu&cul Cours
  - Planche Jlù
  - B p a,, fa g.
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- - DE M A f HE MAT I QUE.
  - aux plans qu’elles rencontrent, ôcque le plus fou vent elles tombent fur des furfaces qui font plus élevées que la batterie. Le Problème dont je viens de parler n’eft pas abfolument jufte, parce qu’on y fait abftradion des deux circonftances precedentes j fi on ne les y a pas fait entrer, c’eft qu’on n’étoit pas encore prévenu du principe de Mécanique expliqué dans l’article 7 5 9 . Mais comme il ne refte plus rien à defirer à ce fujet, voici comme il faut raifonner.
  - Si la ligne AB marque l’élévation du Mortier fur le plan horifontal AC, & que la parabole A HD ait été décrite parla Bombe, la ligne AB qui va rencontrer l’axe Plan» prolongé de la parabole, fera la tangente de cette cour- che 32. be menée du point A, & la ligne BD fera une autre tan- FiS* 4°4* rgente menée au point D 3 mais quand un corps eft jetté par une direction qui n’eft pas perpendiculaire à l’hori-fon, la diredion félon laquelle ce corps choque un plan, eft marquée par la tangente menée par le point de la parabole, où le corps rencontre le plan: ainft la Bombe qui aura décrit la parabole AHD, choquera le plan AC, félon la diredion BD 5 mais comme cette ligne eft oblique au plan AC , Ci la force de la Bombe eft exprimée
  - Î>ar la ligne PD, elle ne choquera pas le plan avec toute a force FD 3 car fi l’on abaifle FE perpendiculaire fur AC, & qu’on fafle le parallélogramme EG, la force FD fera égale aux forces FG & FE * agiftantes enfemble 3 mais la force FG parallèle à l’horifon , n’agit point du tout fur le pian AC,il n’y a donc que la force exprimée par FE, qui choque le plan 5 ce qui fait voir que le choc de la Bombe, félon la diredion BD, eft au choc de la même Bombe, félon la diredion perpendiculaire BI, comme FE eft à FD, ou comme BI eft à BD, c’eft-à-dire, comme , la fous-tangente eft à la tangente, ou bien comme la tangente de l’angle de l’élévation du Mortier eft à la fecante du même angle , ou encore comme le lînus de l’angle de l’élévation eft au finus total .-ainfi fuppofant que l’angle -BAI foit de 5 o degrez, l’on peut dire que le choc de la
  - Rrr ij
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- - 500 Nouveau Couks
  - Bombe tombant félon la dire&ion perpendiculaire BI y eft an choc par la direction BD, comme 100000 eft à 76604.
  - A ne confiderer que le choc des Bombes qui tombent fur un plan horifontal, il femble que ce que l’on vient de dire ne foie pas d’une grande utilité, parce que les Bombes, que Ion jette dans les ouvrages,, foie, de la part des Aflîegez ou des Afiîegeans , font toujours beaucoup plus d’effet par leurs éclats, quand elles crevent,que par le. poids de leur chute j & fi le poids avoit lieu dans ce cas-ci , ce ne feroit qu’à l’occaficn des foûterrains que l’on pratique dans les Places fous les Remparts pour les dif-îerens ufages aufquels ils font propres j mais comme le choc d’une Bombe mérité plus d’attentionlorfqu’elle tombe fur un édifice que les Alfiegeans ont intérêt de ruiner >.comme un Magazîn à poudre, dont il s’agit de percer la voûte, qui eft un plan incliné à l’horifon, c’eft particulièrement la chute des Bombes dans ce cas-ci qu’il nous faut examiner.
  - Si l’on a un Mortier au point A pour jètter une Bombe fur le plan incliné KL, & qu’on veuille fçavoir quel eft le choc de la Bombe, qui; après avoir décrit la parabole AHD, viendroit tomber à un point D du plan incliné, je confidere que la Bombe frappant le point D ,.agit félon fa direction BD, qui eft une tangente menée par le point D de la parabole. Or fi l’on prend la ligne ED pour exprimer la force de la Bombe , lorfqu’elle eft prête à tomber fur le plan, incliné,.cette force étant oblique au plan , n’exprimera pas la force avec laquelle la Bombe choquera ce plan ,.mais feulement la force de la Bombe en elle-même: & fi du point F l’on mene la ligne FE perpendiculaire fur KL , elle exprimera la force avec laquelle la Bombe choquera le plan incliné 5. car faifantle parallélogramme GE, l’on aura les cotez FE &FG, qui exprimeront deux, forces , lefquelles agiflant enfemble, feront égales à la feule FD ; mais la force FG, étant pa** rallele au plan KL , n’agit point du tout.fur.ee plan* IL
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- - D £ M A TH E M A Tl QlUE. 50I
  - n’y a donc que la ligne PE qui exprime le choc de la Bombe: ainfi l’on peut dire quelechcc û’une Ecmbequi tombe obliquement fur un plan incliné, eft au choc de la direction perpendiculaire , comme PE eft à FD , ou comme le finus de l’anglePDE, eft au finus total, étant tombée de la même hauteur.
  - Si l’on vouloir fçavoir quel eft ce rapport, il faudroit chercher l’angle PDE , que l’on trouvera en connoiilant la valeur de i angle KDC, formé par l’horifon & le plan incliné , de plus l’angle d’inclinaifon BAD du Mortier, qui eft égal à PDA : ainfi fuppofant l’angle PDA de yo degrez , & l’angle KCD de 70 : fi on les ajoûte en-femble , l’on aura 120 degrez,qui étant fouftrairs de deux droits ,1a différence lera 60 degrez peur la valeur de l’angle PDE , dont le (inus elt 86602 , par confe-quent le rapport du choc delà Bombe, félon la direction perpendiculaire , eft à celle , félon la direction oblique F D , comme 1 o o o o o eft a 8 6 6 o 2.
  - Tout le monde croit ( & l’on a raifon dans un fens ) que plus les Bombes tombent de haut, Se plus le choc fur le plan qu’elles rencontrent, eft violent. Cependant ceci n eft vrai que quand le plan que la Bombe rencontre eft de niveau avec la batterie , parce que tombant de fort haut, elle décrit fur la fin une ligne courbe, qui approche fort, de la verticale j mais quand le plan eft incliné à l’horifon ,1a. chute par la verticale même eft ce lle qui choque le plan incliné avec moins de violence que par toutes les autres direftions poflibles, qui feroient entre l’horifontale & la verticale, fi les. Bombes tombent, d’une hauteur égale i & ce n’eft que quand la tangente menée au point de la parabole qui rencontre le plan incliné , eft perpendiculaire à ce plan même, que la Bombe choque avec toute fa force abfoluë. Or pour faire en forte qu’une Bombe tombe fur un plan incliné par une direction perpendiculaire, il faut connoitre l’angle d’in-clinaifon que forme le plan avec l’horifon, & pointer lé.
  - R r r iij
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- - Fig. 40*.
  - Fig. 407-
  - 502 Nouveau Cours
  - Mortier fous un angle qui foit égal au complément de
  - celui du plan incline.
  - Par exemple , fi fur le plan incliné KL , on éleve la perpendiculaire B D au point D, qui aille rencontrer la perpendiculaire BE, élevée dans le milieu de l’amplitude AD de la parabole , & qu’on tire la ligne AB, i’angle BAD fera celui qu’il faut donner au Mortier pour chalier la Bombe au point D i mais cet angle eft égal à l’angle BDE, lequel eft complément de l’angle KDC , puifque BDK eft droit, donc l’angle BAE, complément de l’angle d’inclinaifon , eft celui qu’il faut donner au Mortier , pour que la Bombe choque le plan incliné par une direction perpendiculaire au même plan.
  - Par cette Théorie l’on pourroit déterminer quelle eft la charge, ou ft l’on veut, quels font les degrez de force que doit avoir un Mortier, & l’angle qu’il lui Elut donner pour chafter une Bombe fur un plan incliné, en forte que la Bombe choque ce plan avec toute la force qu’il eft poffible j démontrer même que lorfque les racines quarrées des differentes hauteurs d’où uneBombe tombera fur un plan incliné, feront réciproquement proportionnelles aux ftnus des angles d’incidens formez par les differentes directions des Bombes, que le choc fera toujours égal, & une quantité d’autres chofes , qui à la vérité font plus propres à exercer l’efprit, qu’à être mifcs en pratique i c’eft pourquoi je ne parlerai plus que de deux cas qui me relient à expliquer 3 fçavoir, quel eft le choc des Bombes quiferoient tirées d’un lieu plus bas ou plus élevé, que le plan incliné qu’elle doit rencontrer : &. comme fçachant un de ces cas, il eft aifé de concevoir l’autre, voici celui qui regarde lé plan incliné plus élevé que la batterie.
  - Si par les réglés du Jet des Bombes l’on a trouvé l’angle BAI pour donner au Mortier une élévation convenable, afin de jetter une Bombe au point D d’un plan incliné KL, plus élevé que l’horifon AP., l’on connoîtra l’ampli-
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- - de Mathématique. 503
  - fcude AP de la parabole AHP, & par confequent Ton axe HI5 & avant cela on aura du fçavoir l’élévation DQ^ du point D , fur l’horifon AP : mais fi la Bombe au lieu de tomber en P, tombe en D,menant DO parallèle à PA, la vîteffe de la Bombe fera exprimée par la racine quar-rée de HN. Or fi l’on prend la ligne PD pour exprimer cette force,; & que l’on tire la ligne FE perpendiculaire au plan KL, le choc de la Bombe au point D fera exprimé par la ligne FE, & non pas par la ligne FD, comme on vient de le voir. Or le rapport du choc perpendiculaire au choc oblique, étant comme FD eft à FE,ou comme le finus total eft au finus de l’angle FDE : fi l’on veut avoir ce finus pour connoître en nombre le rapport de la ligne FD à la ligne FE , il faut chercher la valeur de l’angle MON, formé par l’ordonnée ON &la tangente OM, qui eft l’angle qu’il auroit fallu donner au Mor^ tier, fi la Bombe a voit été tirée de l’endroit O , de niveau avec le point D. Pour le trouver, confîderez que I on connoît l’abciffe FIN, qui eft la différence de Fila PÏD, & que par confequent on connoîtra auffi la fous-tangente MN,qui eft un des cotez du triangle rectangle MNO s & comme pour trouver l’angle que nous cherchons,il nous faut encore le côté ON. Pour le trouver,l’on dira: Comme l’abciffe Fil eft à l’abciffe FIN , ainfi le quarré de l’ordonnée AI eft au quarré de l’ordonnée ON, que l’on trouvera par la réglé de proportion, dont extrayant la racine quarrée, l’on aura le côté ON, qui donnera avec le côté MN d’angle MON ouMDN fon égal 5 & fi l’on ajoute a cet angle la valeur de l’angle EDC, formé par le plan incliné & l’horifon, & que l’on ôte la fomme de ces deux angles de la valeur de deux droits, l’on aura pour la différence l’angle FDE, dont le ftnus fer vira à déterminer le choc de la Bombe au point D, par rapport au finus total, qui exprime la force a b-foluë.
  - L’on peut auffi tirer de tout ceci des réglés pour dé- Fig- 4° terminer la force d’un Boulet de canon, qui. choqueroit &
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- - 504 Nouveau Cours
  - une furface par des batteries différemment éloignées de cette furface j par exemple, fl l’on a une furface verticale AB , & que du point C l’on tire un Boulet, en forte que lame de la pièce foit pointée félon la dire&ion CD perpendiculaire à cette furface, le Boulet au lieu de frapper au point D , frappera au point G , plus bas que le point D , parce que- fa pefanteur lui fera décrire la parabole CP G, & le choc du Boulet fe fera félon la direction de la ligne IG tangente à la parabole au point G : ainfi ce fera la ligne 1K perpendiculaire à la furface qui exprimera le choc du Boulet, & non pas la ligne IG, diagonale du parallélogramme KL. Or fi le même Boulet au lieu d’être chailë du point C ., eft chaffé du point E> avec la même force, la diftance EF étant plus grande que CA, choquera la furface au point H avec moins de force qu’il ne la choque au point G 5 ce n’eft pas que cette plus grande diftance lui ait rien fait perdre de l'on degré de mouvement j ( fi l’on compte pour rien la réfi-ftance de l’air ) mais c’eft que la parabole EQH étant plus grande que CPG, le point H où le Boulet aura choqué la furface, fera bien plus éloigné de F que le point G ne l’eftdeD j par confequent la tangente MH que l’on mènera à la parabole par le point H, fera plus incliné a la furface AB , que la tangente IG ne l’eft à la même furface. Or faifantMH égal à IG, filon mene la ligne MN perpendiculaire à la furface AB, elle fera dans la même raifon avec la perpendiculaire I K, comme le choc du Boulet tiré de l’endroit E fera à celui du Boulet tiré de l’endroit C, ou bien comme le finus de l’angle MHN fera au finus de l’angle IGK 3 d’où il s’enfuit que quand on bat avec le canon une furface de fort loin, ce n’eft pas que le Boulet ait rien perdu de fa force , qui fait qu’il ne choque pas la furface avec autant de violence, que s’il avoic été tiré de plus près, comme bien des gens le croyent j mais au contraire, c’eft que ne frappant la furface que par une direction fort oblique, il n’agit pas avec autant d’eftort, que s’il la frappoit par une autre di-
  - redipn
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- - ji/nc'j nrpaiiojg
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- - DEMAT HEMATIQUE. 50$
  - re&ion qui approchât plus d’être perpendiculaire ; car ft un Boulet en forçant de la pièce ne rencontroic pas des corps à qui il communique du mouvement qu’il a reçu de Pimpulfion de la poudre, & que l’air ne lui fît aucun empêchement, & que la pefanteur du Boulet ne le fît pas tendre vers le centre de la Terre: en un mot qu’il put toujours aller en ligne droite, fa force feroit toujours la même à quelque dilfance qu’il fut porté , puifqu’il conferveroit toujours le mouvement qu’il a reçu, s’il n’en perdoit à mefure qu’il en communique aux corps qu’il rencontre, n’y ayant point de raifon que cela puiffe être autrement.
  - M. Tufereau eh: celui qui m’a occafionné de rechercher ce que l’on vient de voir 5 car raifonnant fur les differens effets du choc des Bombes & des Boulets, il s’cfl japperçû que ces corps n’agiiToient pas avec toute leur force abfoluë : il m’a prié d’en chercher la caufe
  - AVERTISSEMENT.
  - Comme l’on a coutume de comprendre fous le nom de Mécanique, les expériences qui le font avec la poudre, &: tout ce qui elt mêlé de Théorie & de pratique , j© crois qu’il n’elt pas hors de propos de donner ici le moyen de faire des épreuves pour connoître la charge qui convient aux Mines, félon leurs differentes lignes de moin* dre rélidance, &C de faire voir que ce que l’on pratique ordinairement à ce fujet,n’efl pas jufte.
  - NOUVELLE MANIERE B E FAIRE des épreuves pour fç avoir la charge qu’il convient de donne r aux Fourneaux des Mines.
  - 83 8. De toutes les parties de la Guerre, il 11’y en a point où les Mathématiques & la Phyfique ayent plus de part, que dans la Science des Mines. Si on vouloir la traiter avec toute la Théorie qui s’y trouve attachée, la plupart de ceux qui en ont eu julqu’ici la conduite, l’ont
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- - 50é Nouveau Cours
  - fait confifler à fçavoir conduire une Galerie d’une certaine longueur , afin de placer des fourneaux aux endroits qu’on fe propofoit de faire fauter j & il leur fuffi-foit d’avoir un peu de pratique, & l-’ufage de quelqueTa-ble neceffaire à la charge des fourneaux, pour executer ce qui fe fait ordinairement > & ne portant point leur vue au-delà de la manœuvre ordinaire, ils n’ont pas crû qu’il y avoit des réglés qui puiflent mefurer les. efforts de ia poudre, d£ une induftrie à conduire des Galeries des rameaux, qui rendirent une Place aufh refpec-tabl-è par les forces foûterraines, que par les ouvrages de fortification les mieux conditionnées , & l’on feroit peut-être encore dans ce préjugé , fi M. de Valiere n’a voit fait fentir qu’il avoit dans la conduite des Mines, lin Art que la Géométrie fe ule étoit capable de développer > & c’elt en voulant fuivre fes vues, que je vais expliquer une des chofes la plus eifentielle de la Science des. Mines.
  - L’ufage ordinaire pour charger les Mines, cft qu’après avoir trouvé la. quantité de toifesou de pieds cubes de terres qu’un fourneau doit enlever, on multiplie cette quantité par le nombre de livres de poudre qu’on, juge neceffaire pour chaque toife cube j par exemple , Xi celtune terre vierge , Sc qu’on veuille employer 1 6 livres de poudre par toife, voulant fçavoir combien il en faut pour un fourneau qui auroit i 5 pieds de ligne de moindre réfiftance, on multiplie 1 8 toifes cubes ( qui efl la valeur de la malle qui répond à cette ligne ) par 1 6 ; il vient 448 livres de poudre pour la charge du fourneau.
  - C’elf ainfi qu’on a agi jufqu’à prefent,pour trouver la charge des fourneaux j mais li ion confidere que dans l’effet des Mines,il ne faut pas feulement avoir égard à la pefanteur des terres 5 mais encore à leur ténacité,, l’on verra qu’il ne fuffit pas pour proportionner exactement la charge de deux fourneaux differens , d’avoir égard à la quantité des terres de chacune, c’e fl-à-dire , que fi l’ona 8 toifes cubes à enlever d’une part, 16
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- - DE MatHÊMATI QJJE. 507
  - toifescubes de l’autre dans le même terrain , la charge des deux fourneaux ne doit pas être dans la raifon de 8 À 1 6 j car le grand, fourneau fera plus chargé à proportion que le petit, comme on le va voir.
  - L’on fçait que les corps femblables font dans la rai-fan des cubes de leurs axes : ftinil li l’on a deux fourneaux à faire jouer ', dont les lignes de moindre réfi-ffance foient inégales , ces fourneaux ayant à enlever des cônes tronquez femblables, l’on peut dire que les maffes font dans la raifon des cubes des lignes de moindre réfilfance j mais l’on fçait au (Tique les fur fa ces des corps femblables font dans la raifon des quarrez de leurs axes j 6c comme la ténacité des terres à l'égard de l’effet d’un fourneau , répond précifément à la furface du corps qu’il doit enlever , l’on voit que s’il faut avoir égard dans l’effet des Mines au poids des terres 6c à leur ténacité , que ce (ont les cubes 6c les quarrez des lignes de moindre ré h fiance, qui déterminent le rapport de leurs poids ôc de leur ténacité. Or comme la poudre fait plus d’effort pour détacher les terres, qu’elle n’en fait pour les enlever : ce n’elf donc point fans raifon que je dis qu’il faut pour charger les fourneaux , avoir non feulement égard au rapport du poids des terres, mais encore à celui de leur ténacité. Prefentement fi l’on fait attention que de piufieurs corps femblables 6c inégaux , les plus grands ont moins de furface à proportion que les plus petits 5 Ton verra que la tenacicé des terres pouvant être exprimée par la furface du corps que la poudre doit enlever, ou par le quarré de la ligne de moindre réfiftance, qu’il y a moins de ténacité à proportion dans les Mines qui ont de grandes lignes de moindre réii(lance, que dans celles qui en ont de plus petites. Par exemple, li Ton fuppofe deux fourneaux , dont la ligne de moindre rélillance du plus petit, foie de 1 o pieds, 6c celle du plus grand de 2 o, la ténacité des terres lera dans la raifon des quarrez de -1 o à 2 o , c’ell-a-dire, comme 1 o o ell à 40 o j 6c le poids fera comme le cube de 1 o eft au cube de 20 , c’eil-à-
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  - dire, comme ïooo eft à 8ooo. Ce qui fait voir que de-deux Mines, dont Tune a une ligne de moindre Tendance double de l’autre, le poids des terres de la plus grande eft oduple de celui des terres de la plus petite, tandis que la ténacité de la plus grande n’eft que quadruple de la ténacité de la plus petite t & fi Ion ne fait attention qu’à la quantité des terres pour proportionner la charge des Mines, Ion charge les grandes Mines beaucoup plus, à proportion que les petites 5 ce qui eft une confomma-tion de poudre fuperfluë , qui peut devenir même nuifi-ble,par les débris qu’une Mine trop chargée jette quelquefois fur ceux mêmes, qui la font joiier.
  - Si l’on vouloir examiner prefentement de quelle façon l’air peut avoir part dans l’effet des Mines, il faudroit conliderer la force de fon reffort » quand il eft dilaté dans un fourneau , dans quelle rai fon la force de ce reffort augmente à mefure que la poudre s’enflamme j quelles, font les alterations qu’il peut recevoir, en agiffant contre le corps qu’il pouffe, calculer même le poids de l’atmof-phere qui répond aux. lignes de moindre réfiftance 5 fai-fant voir que ce poids fe trouve dans la raifon des quar-rez des lignes de moindre réflftance, tandis que celui des. terres, eft dans la railondes cubes des mêmes lignes 5 mais comme cela me conduirait infenflblement dans une Phyfi-que abftraite, qui demanderait d’être précédée de certains principes, dont je ne fuppofe point ici la connoiffan-ce j je me contenterai de 11e parler que de ce qui a le plus de rapport à la Géométrie ,. afin de 11e rien avancer qui ne fe réduifeau calcul.
  - Comme la méthode de fe bien conduire dans l’étude des Sciences , & dans la pratique des Arts, eft 1 unique voye pour acquérir beaucoup de connoiffance 5 voici, ce me femble , ce qu’il faudroit fuivre pour me-furer la force de la poudre dans les Mines, afin de fça-voir combien il en faut pour la ténacité,, combien pour le poids des terres&; combien pour le poids &. la ténacité enfemblec
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- - de Mathématique, ^o«>
  - Ayant fait plufieursMines,dont les lignes de moindre réfiffance foienc égales, & cela dans un terrain de même confiftance , il faudra charger trois ou quatre de ces Mines avec une quantité de poudre médiocre, effimée neceffaire feulement pour ébranler affez les terres depuis le fond du fourneau jufqu’à la furface du terrain, pour qu’on puiffe yappercevoir une circonférence de cercle r formée fur la furface de la terre : & comme l’on ne pour-roit peut-être pas rencontrer par hazard une charge convenable à un pareil effet, il faudrait que ces fourneaux fufTent plus ou moins chargez les uns que les autres. Or ftippofant que ces fourneaux ayant chacun 8 pieds pour ligne de moindre réfifiance , il s’en rencontre un qui étant chargé avec 5 o livres de poudre , ait formé le cercle que nous demandons , c’eft-à-dire, qu’il ait tracé le cercle de la grandeur ordinaire de l’entonnoir , fans qu’il paroiffe cependant d’entonnoir. Car je fuppofe que le terrain renfermé dans cette circonférence n’a fait que fefoûlever tant foit peu. Or fi cela arrive ainfi, la quantité de poudre neceffaire pour détacher la maffe , fera mefurée par 5 o livres de poudre : & comme nous avons fait voir que la ténacité des terres étoit dans la même raifon que les quarrez des lignes de moindre réfiffance , ii après cette épreuve l’on vouloir fçavoir quelle eft la quantité de poudre neceffaire pour faire un pareil effet à l’égard d’une Mine qui aurait 1 2 pieds de ligne de moindre réfiffance, & placée dans un terrain de même con-fidance, il faudra dire t Si 6 4 qui eft le quarré d’une ligne de 8 pieds, donne 5 o livres de poudre pour la ténacité, combien donneront 144 s qui eft le quarré d’une ligne de. moindre réfiffance de 11 pieds pour la ténacité de la maffe de cette ligne, l’on trouvera 11 1 livres de poudre pour faire l’effet que l’on demande. 11. en fera de. même pour toutes les autres.
  - Comme les Mines ont plufieurs fins, & qu’il y a des cas.-qu elles 11e fçauroient faire un trop grand déblais des terres,, j’ai recours à de nouvelles épreuves ,, e’eff-à-dire.^
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- - 510 Nouveau Cours
  - qu’ayant trois ou quatre Mines, dont les lignes de moindre réfi/lance fuflent encore de 8 pieds, je charge toutes ces Mines avec une quantité de poudre bien plus grande que celle de la première épreuve 3 parce que je veux avoir des grands entonnoirs bien nettoyez : & comme j’ignore la quantité de poudre neceflàire , je charge mes fourneaux plus fort les uns que les autres 5 & fup-polant que celui dont l’effet s’efl trouvé félon mon intention , a été chargé avec 7 o livres de poudre , je regarde cette charge comme étant capable de vaincre la ténacité & le poids des terres d’une ligne de moindre réfiflance de 8 pieds. Or négligeant pour un moment la ténacité qui fe trouve moindre à proportion dans une grande Aline que dans une petite 5 n’ayant plus égard qu’à la maffe des terres, je me rappelle que ces maffes font comme les cubes des lignes de moindre réfiflance. Cela pofé, fi l’on me demande quelle doit être la charge d’une Mine qui au-roit 1 5 pieds de ligne de moindre réfiflance, afin qu’elle falle un effet femblable à celui de la fécondé épreuve, c’efl-à-dire, qu’elle faffe un entonnoir, je dis : Si le cube d’une ligne de moindre réfiflance de 8 pieds,qui efl 512, demande 70 livres de poudre, que demandera le cube d’une ligne de moindre réfiflance de 1 5 pieds , qui efl 3 3 7 5 » P0lir la quantité de poudre qu’il lui faut,l’on trouvera 46 1 livres, fur quoi l’on pourra diminuer , fi l’on veut, ce que la grande Mine a moins en ténacité que I l petite ,comm ’ je le ferai voir dans la fuite.
  - Faifant des femblables épreuves pour toutes fortes de terrains, il me fuffira de fçavoir ce qu’il faut de poudre pour une ligne de moindre réfiflance , déterminé pour chaque forte de terrain en particulier, afin de trouver , moyennant cette réglé , la charge des fourneaux de telle ligne de moindre réfiflance que l’on voudra > de cela d’une façon fi generale , qu’il m’efl indiffèrent de fçavoir fi l’exca vation d’une Mine efl un paraboloïde, ou un cône tronqué, ou un folide de toute autre efpece j puifque je n’ai pas befoin de les nief urer pour charger les Mmes : ce
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- - de Mathématique. 5 i i
  - que je trouve de plus avantageux , c’eft , comme il y a toute apparence, que ces corps changent de figure, felo-n les differentes confinances de la matière à détacher ou à enlever , je ne m’embarraffe pas fi la figure de l’effet d’une Mine efi differente dans la maçonnerie que dans le roc, dans le roc que dans le tuf, dans le tuf que dans les terres ordinaires j il me fuffit de fçavoir que ces corps font femblables dans les terrains de même confifiance, &: qu’étant femblables , ils font par confequent dans la raifon des cubes des lignes de moindre réfifiance, & par ce principe je trouve avec beaucoup de facilité la charge de tous les fourneaux, comme on le peut vérifier par les Tables dont les Mineurs fe fervent, où je vois que pour une ligne de moindre réfifiance de 8 pieds dans les terres ordinaires, il faut 48 livres de poudre : fi l’on demande combien il en faut pour une ligne de moindre réfifiance de 1 5 pieds, je dis : Si le cube de 8 ,qui efi 512, donne 4 8 livres de poudre , combien donnera le cube de 15 ,, qui efi 3376, l’on trouvera 316 livres pour la charge que l’on cherche, qui efi un terme qui répond , comme le voici, au nombre 1 5 dans la même Table : il en fera de même pour tous les autres > ce qui fait voir qu’il fuffit de retenir un terme feulement pour trouver toutes les charges des Mines de differentes lignes de moindre ré fi-fiance.
  - L’on peut tirer de ce que je viens de dire une ma-w niere ailée de calculer les Tables pour la charge des fourneaux , fans s embarrafiêr à la vérité delà figure du foli-de qu’ils ont à enlever 5 mais ces Tables deviendroient femblables aux anciennes, où ceux qui les ont calculées n’ont eu égard qu’à la maffe , fans penfer à la ténacité : ainli nous tomberions dans le même cas,, c’eft-à-dire, de trop charger les grandes Mines, à proportion des petites! il faut donc faire voir la maniéré d'éviter ce défaut , et l’ufage qu’on peut faire des épreuves précédentes.
  - Nous avons, fuppofé que la ténacité dune Mine qui auroit 8 pieds de ligne de. moindre: réfifiance, étoit me-
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- - 5iî N o u v-^ a u Cours
  - furée par 50 libres de poudre, 8c que la ténacité & ie poids des terres pour la meme ligne, étoien.t mefurées par 7 o livres , qui eft la charge qu’il faut pour bien nettoyer l’entonnoir. Or fi l’on retranche ce que l’on a efli-mé necefTaire pour la ténacité de la charge qui comprend le poids 6c la ténacité çnfemble ,1a différence fera ce qu’il faut pour le poids feulement : ainfi fouftrayant 5 o de 70, l’on aura 2 o livres de poudre pour le poids d’une ligne de moindre réfiftance de S pieds. Prefentement fi l’on demande quelle doit être la charge d’une Mine dont la ligne de moindre réfiftance feroit de 15 pieds, & que cette charge foit bien proportionnée à celle de 8 pieds, on doit commencer par chercher ce qu’il faut pour la ténacité, en difant : Si le quarré d’une ligne de 8 pieds, qui eft 6 4, donne 5 o livres pour la ténacité , combien donnera le quarré d’une ligne de 15 pieds , qui eft 2 16 ,pour la ténacité des terres de la Mine qui répond à cette ligne, l’on trouvera qu’il faut 175 livres de poudre. Pour fça-voir prefentement combien il en faut pour le poids, je dis : Si le cube d’une ligne de 8 pieds, qui eft 51 2 , donne 2 o livres de poudre pour le poids, combien donnera le cube de 1 5 pieds, qui eft 3375, l’on trouvera 122; ainfi ajoutant enfemble les deux termes que l’on vient de trouver, l’on aura 307 livres de poudre pour la charge qui convient à la ténacité , 8c au poids des terres d’une ligne de 15 pieds : mais nous avons vu. ci-devant que n’ayant egard qua la mafîè, que lorfqu’une Mine dont la lipne de moindre réfîftance eft de 8 pieds, fera chargée avec 70 livres de poudre, qu’il en falloir 461 livres pour la Mine d’une ligne de 1 5 pieds : ainfi cette charge-là-eft bien plus forte que celle que nous venons de trouver, puifqu’elie furpaffe la derniere de 1 5 4, qui eft une quantité de poudre que l'on mettrait de trop dans la Mine de 1 5 pieds, fi l’on n’a voit point égard à .ce que les grandes Mines ont de moins en ténacité que les pentes.
  - Les épreuves dont je viens de parler, paroiflent aftez de
  - confequence
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- - DE MaTHEMAÏI QJJ E. 513
  - eonfeqtience pour mériter la peine d’être exécutées , & •c’eft à quoi l’on devroit s’attacher dans les Ecoles, fans en excepter une, parce que le terrain qui fe trouvera dans le voifinage de celle-ci , ne fera peut - être pas dans celui de l’autre : ainll Ion pourroit avoir dans la fuite des Tables pour toutes fortes de terrains, au lieu que celles qui font entre les mains de tout le monde , femblent ne regarder que les terres ordinaires > &: comme ces Tables ont été calculées par differentes perfonnes , celles des unes different entièrement de celles des autres : & ce qu’il y a de plus furprenant, c’eft que la plupart de ceux qui en font ufage, s’en fervent indifféremment dans l’attaque &la défenlè des Places, n'y trouvant point de différence. Cependant les Mines des Aiïiegcans & celles des Afiie-gez ont un objet bien different 3 car les Mines des Alfie~ geans, autant quelles regardent le chemin couvert , Sc même les brèches , ne fçauroient faire de trop grandes ouvertures, pour avoir des logemens fpacieux, & capables de contenir beaucoup de monde , au lieu que celles des Aflîegez ne doivent que culbuter les travaux de l’Ennemi ; autrement fi pour faire fauter quelques gabions avec huit ou dix hommes, ils font des entonnoirs à loger des Compagnies entières de Grenadiers, ced une conduite qui ne tendra point à leur falut. Il y a cependant des cas où il faut que les Mines des Aflîegez fillent des grands effets 3 mais ce n’elt que lorfqu’elles fontdelli-nées à faire fauter des batteries 3 car fi ces batteries fe trouvent à l’unique endroit duquel on puiffe faire brèche, plus les entonnoirs feront grands , & plus il faudra du tems pour les combler, & pour reparer le dommage qu’on y aura fait 5 ces entonnoirs ne pouvant point d’ailleurs îervir de logement, puifque dans ce tems-là l’Ennemi fera maître du chemin couvert, &aura befoin de cet endroit-là pour rétablir fa batterie.
  - Le difeours precedent ayant été envoyé à la Cour, elle a jugé à propos que les éoreuves que j’y propofe, fuffent exécutées 3 & ceû à quoi l’on va travailler inceffamment.
  - T11
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- - 514 No u"v eau Cours
  - M. de Valiere ayant au fiî examiné ee Mémoire, a bient voulu me témoigner qu’il avoir bonne opinion de la maniéré dont ces épreuves feroient faites , étant fatisfait du principe fur lequel elles étoient établies. Jlelt vrai que j’ai déjà eu lieu de m’en appercevoir par le fuccès des Mines que nous avons fait joiier l’Eilé dernier au-fiege de la Fortification de l’Ecole de la Fere , où j’ai fait fauter jufqu’à trois fois en T 8 pieds de terre vierge, les-•batteries que les Afîiegeans avoient faites fur le chemin-couvert , avec cette circonflance , que les pièces de-24 qui étoient en batterie, ont été jettées du côté de la Place, comme je me l’étois propofé, afin que les Afiie-gez s’étant emparez- du canon de l’Ennemi, ce dernier fut contraint d’en faire venir du nouveau toutes les fois.-qu’il feroit obligé de rétablir fes batteries. Ceci eft arrivé aux attaques de la droite &; de la gauche., avec l’applau-difiement même de ceux qui avoient le plus douté de la, réiifiite d’un defîein, qui pour n’avoir pas encore été mis-en ufage , fembloit demander une épreuve qui confirmât la juflefFe des réglés que j’avois données pour la dif-pofition des Fourneaux , &la quantité des poudres dont ils dévoient être chargez, où je n’ai pas manqué d’avoir égard à ce que les grandes Mines ont moins en ténacité que les petites x&: à plufieurs autres confiderations que je pourrai expliquer quelque jour dans un Traité de Mines, quand les expériences que je fuis à portée de faire à ce jfujet, m’auront mis en état de juflifier la Théorie par la Pratique, ayant l’a vanta gede travailler fous les yeux d’un Commandant, dont toutes les vues tendent au bien du Service, & à l'infini dion d’une Ecole compofée d’un nombre d’Officiers, de la capacité & de l’application defquels on peut tout efperer, .
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- - JM
  - DISCOURS
  - SUR UHYDRAULI Q_U E.
  - L*Hydraulique efi une partie des Mathématiques qui tire fes principes de ceux de la Mécanique , dont elle efi Une Juite i car dans la Mécanique on confidere ( comme on 'vient de le voir ) l'équilibre des corps durs efi l'Hydraulique nous montre lé équilibre des liqueurs , leur pefanteur, (fi même le rapport de leur poids a celui des corps durs, qui fcroient plongezdedans : efi c’efi la confideration de ces chofes qui font ordinairement L’objet de l’ équilibre des liqueurs i cependant comme elle ne fuffit pas pour l’ufage qu’on en peut faire 3 il y a plus de raifon encore de conjiderer les liqueurs en mouvement qu en repos ; car comme il s'agit dans la Pratique de fçavoir conduire efi eflimer la dépenfe des eaux pour les differens ufa-ges aufquels en les dejline, il ma paru que ce ne ferait rien faire pour /’infhuction de mon Lecteur, que de ne lui pas donner les principes du mouvement des eaux , afin d’en fçavoir calculer le cours (fi le choc, félon des directions horifontzles, verticales i ou obliques a l'horifion. Il eût vrai que je ne m’étends pas beaucoup fur cette matière, n’ayant rapporté que les principales réglés, qui fujfiront pourtant à ceux qui les entendront bien ,pour appercevoir d'eux-mêmes beaucoup de petites chofes Jur le (quelles fai pajfé legerement. T)’ ailleurs j'ai appris qu’on étoit a la veille de faire imprimer un petit Ma-nuferit de M. Varignon fur le Mouvement des Eaux , auquel on pourra avoir recours , quand il paroitra , fi l’on defire quelque chofe de plus que ce que je donne ici.
  - Comme l’air efi un corps fluide , dont les proprie te z, ne font connues que de peu deperfonnes , efi qu on ne peut fans leur fecours rendre raifon des effets de la plupart des Machines hydrauliques, j’ai cru qu’on me feauroit bon gré d'expliquer la mécanique de l’air} d’autant plus qu’étant la principale caufc
  - Ttcij
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- - 516 Discours sur l’Hydraulique» des effets de la poudre h canon , & par confequentde la Théorie de ly Artillerie, je contribuerai peut-être h faire méditer nos efprits fiudicux fur la maniéré dont la poudre agit dans les Mines, dans le Canon, & dans les Feux d'artifices , & de les mettre dans le goût de s'appliquer k la Phyfique ,pour être en état de rai former fur la Nature. Ain fi l'on trouvera k la fuite de /’ Hydraulique un Difcours fur l'Air, que j'ai rapporté particulièrement pour fervir comme dé introduction a la Phyfique, Ceux qui voudront s'y appliquer pourront avoir recours au. Traité qu'en a donné M. Rohaut, qui efi ce que nous avons de meilleur 3 & l'on ne fcroit pas mal de joindre k cet Ouvrage les Principes de Philosophie de Defcartes, qui efi l'Auteur que Ai. Rohaut a fuivi,ér qui le fera un jour un iverfcUs ment fie Ion toute apparence, quand on fera entièrement revenu ( comme on l'eft dtja beaucoup aujourd'hui ) du fatras pédante [que de la Philofophie de la plupart de nos Ecoles. Et fi l'on trouve du goût k ïétude de la Phyfique, apres Defcartes & Rohaut, on pourra voir Recherche de la Vérités» R. P. Malbranche , qui efi un excellent Livre pour former l'efprit, & le rendre capable d’avoir des idées claires s gr j'ofe me flatter par avance que ceux qui liront ces Ouvrages,me Je auront gré de leur en avoir donne' la connoiffance s & quoiqu'un Livre de Métaphyfique femb le ne convenir guère s entre les mains d'un Officier, j'en fiais qui en font un auffi bon ufage que. des Commentaires de Cefar,.
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- - NOUVEAU COURS
  - DE MATHEMATIQUE
  - DIXIE’ME PARTIE.
  - Qui traite de T Equilibre & du Mouvement des Liqueurs^
  - DEFINITION S.
  - I.
  - §35). \ T Ous avons nommé Corps fluides tous ceux donc les parties fe divifent , & qui étant di vifées , fe • réiiniiRnt & fe mettent facilement dans le même état, qu’auparavant.
  - far exemple., Y Air, la Flamme, Y Eau, le Mercure ,. & le& autres Liqueurs, font des corps fluides.
  - R E M A R CL U E L
  - 840. Il faut prendre garde que tout liquide e fl fluides mais que tout fluide n’eit pas liquide : car le corps liquide eft celui qui étant mis dans un vafe , fa fui erficie fe met de niveau , c’elt-à-dire, que tous les point* de cette fuperficie font également éloignez du centre de la Terre, comme nous le ferons voir ailleurs, au lieu que le fable, qui peut auifi palier pour un fluide, à caufe que fes parties fe feparent aifément, ne fe met pas de niveau 3 quand on en remplit un vafe.
  - R E M A: R Q_U E I I;
  - 841. Ce qui fait que les corps liquides fe lailfent traé-ver fer aifément, e’eft que leurs parties font détachées les, unes des. autres 5 & font dans un continuel mouvements
  - Tttiij,
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- - 5 il Nouveau Cours
  - autrement elles compoferoient un corps dur .-car la différence du corps dur au corps liquide , vient de ce que les parties du corps dur font en repos 6c unies, les unes aux autres , au lieu que celles du corps liquide ne fe retiennent point les unes les autres, 6e font dans un continuel mouvement : auifi voyons-nous que quand les parties d’un corps liquide ceffent de fe mouvoir, elles com-paient un corps dur, comme il arrive aux liqueurs, lorfque le froid les a gelées.
  - Si l’on demande pourquoi les parties qui compofent une liqueur, font dans un extrême mouvement : je réponds que je n’en fçai pas d’autre raifon que celle que donne M. Defcartes , qui croit que dans l’eau, auflî-bien que dans l’air,il y a une matière lubtile, qui remplit les intervalles que les parties des fluides laiiTent entr’elles , 6c que cette matière étant dans un continuel mouvement, elle met aufli en mouvement les petites parties du fluide quelle environne : de forte que fl le mouvement de cette matière venoit à diminuer conflderablement, ouàcefler .tout-à-fliit , le corps fluide deviendrait dur , comme il arrive à l’eau lorfqu’elle le gelejainfi l'on peut conjecturer que lorfqu’un corps dur devient liquide, comme il arrive aux métaux que l’on fond, leurs parties ne font mifes en mouvement que par cettç matière fubtile qui s’introduit dans leurs intervalles.
  - II.
  - La pefanteurfyecifiquc des liqueurs, efl: celle qui précédé de la denfité des parties de la liqueur , ou de quel-qu autre caule , par laquelle une liqueur pele plus qu’une autre de pareil volume.
  - Par exemple , un pouce cube de mercure pefc plus qu’un pouce cube d’eau : airjfl l’on peut dire que la pefanteur fpeciliquc de l’eau efl: plus grande que celle de l’air»
  - ÏIL
  - $43. Les corps fluides peuvent être fans rc\fcrt ou à
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- - D E M A T H E M- A T I QJU E. 51^
  - rcjfort comme les corps durs. Lon dit qu’ils font à reflort* lorfque par la comprelîion l’on en chaire la matière qui jtenoit leurs parties éeartées.5 mais auffi-tôt que la com-prelfion celfe ou diminue , la matière qui en avoit été chaflee rentre entre les parties du fluide, & lui rend fon-premier volume > comme l’air qui efl un fluide qui a du reflort, au contraire, les fluides qui ne peuvent être réduits par la comprelîion en un moindre volume, font fans reflort fenflble 3 comme l’eau & la plupart des autres, liqueurs.
  - IV.
  - 8 44. Lorfque la furface d une liqueur elt horifontale* Fon dit que cette liqueur efl: de niveau.
  - Corollaire I.
  - 8 4 5 . Il fuit que lorfqu’un corps fluide efl: contenu dans un vafe, fa furface fuperieure fe met toujours de niveau j car fi l’on fuppofe que la furface du fluide contenu dans le vafe cubique ABCD, foit divifée en un grand nombre de parties égales, & quei’on imagine des plans perpendiculaires à i’harifon,tirez par toutes ces divi-flons, le fluide fera divifé en autant de colonnes égales qu’il y a de divifions dans la furface : mais comme ces colonnes ont toutes des hauteurs & des bafes égales, elles peferont également ,8c tendront au centre de la Terre avec une force égale 5 par confequent la furface fuperieure AB fera de niveau, puifque tous fes points feront également diftans du. centre de la Terre.
  - Corollaire I L
  - 846 - Pour conflderer les liqueurs dans l’état de F équilibre , ce n’eA pas allez que leurs fuperficies foient de niveau>il faut encore faire voir que fi elles font de niveau , il s’enfuit que leurs colonnes font, en équilibre * e’eA-à-dire, que la colonne EFGH efl en équilibre avec la colonne GHIK> ôc celle-ci avec la colonne IKLM*
  - Fjcan-
  - C H £ 30b
  - Fig. 4.1s*
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- - -510 Nouveau Cours
  - car pour que la furface EG de la première colonne foie de niveau avec la furface G! de la ieconde, il faut qu’eL les fe -contre-balancent mutuellement j autrement ii la première l'emporte par fon poids fur la fécondé , la fur-face de cette fécondé fera plus élevée que celle de la première , puifque la première colonne ne pourroit être plus pefante que la fécondé,fans quelle ne fafTe monter la féconde $ ce qui ne pourra fe faire fans que la première ne defeende : mais dans ce cas la furface de la féconde colonne fe trouvant plus élevée que celle de la première, ne pourra fe maintenir dans cette fituation, parce que n’étant pas foûtenuë par les cotez , elle retombera à la place qu’aura labiée la première colonne en baillant : ainfl elle fe mettra de niveau : ce qui rendra ces deux colonnes dans le même état quelles étoient auparavant , de même .la fécondé colonne GHIK ne peut par fon poids Etire monter la troifiéme IK LM, puifque la furface IL ne peut monter fans que la furface GI ne defeende j mais le fluide de la fécondé colonne étant de même nature que celui de là troifiéme ,& ces colonnes étant d’ailleurs égales , il n’y a pas de raifon que l’une l’emporte fur l’autre ; & s’il étoit poffible que cela fe puifle faire, il arrive-roit encore qu’une colonne ne pourroit faire monter l’autre fans qu’elle ne baiflat elle-même, ôc pour lors leurs furfaces ne feroient plus de niveau j ce qui eft contraire à la quatrième définition. Donc pour quune liqueur foit à niveau , ce n’eft pas affez que la furface en foit ho-rifontale,il faut de plus que fes colonnes fecontre-ba-lancent Sc fe foûtiennent mutuellement, non feulement -en s’appuyant contre les cotez du vafe , mais encore en faifant effort fur fon fond pour s’élever mutuellement „ comme feroient deux poids égaux aux extrêmitez d’une balance appuyée fur ie fond du vafe. C’efl: ainfi que l’eau verfée fur de l’huile dans un vafe, l’y force de monter, Teau plus pefante que l’huile l’emportant fur elle dans le contre-balancement de leurs colonnes , quoiqu’éga-Ics i l’emportant, dis-je, par fon plus grand poids , 6c non
  - par
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- - di Mathématique. 521
  - par la force de fa chute en la verfant ; autrement de l’huile verfée ainfi fur de l’eau, devroit de même la faire monter: ce qui eft contraire à l’experience, au lieu que le cas de l’huile élevée par l’eau verfée fur elle y eft conforme.
  - Corollaire III.
  - 847. Donc fi l’on a un vafe compofé de deux cylin- Fig.411 dres ABCD & EFGH unis enfemble, l’ayant rempli d’eau, les colonnes, comme LM , qui répondent, aux cotez AE & ED,font dans un effort, continuel contre ces mêmes côtez, pour monter jufqu’au niveau GH de la liqueur j car la colonne IK étant plus grande que LM, elle fait effort contre cette derniere , qui cherche à s’échapper par le côté FD, laquelle fait autant d’effort pour fortir, que la colonne IN en feroit fur la bafe du cylindre EGHF, s’ilétoit féparé de l’autre ABCD 3 de forte que fila colonne IN pefoit 4 livres fur la bafe que nous imaginons , la colonne LM fera un effort de 4 livres contre le côté FD du vafe.
  - De même ayant un vafe AEFD, dont les- cotez BE Fig. 412, & CF foient inclinez à l’horifon, & forment enfuite un cylindre ABCD, fi l’on remplit ce vafe de telle liqueur que l’on voudra, toutes les colonnes, comme GH , font dans un effort continuel contre les cotez inclinez , parce que les colonnes, comme IL &MN, qui répondent à ces cotez, étant plus petites que celle du milieu , elles font effort p )ur fortir, & fe mettre au niveau des plus grandes: ainfi d’autant MN eft plus petite que IL , d’autant la première fait plus d’effort que la fécondé contre le côté BE 3 de forte que fi l’on faifoit un trou vertical a l’endroit I, 8c un autre à l’endroit M , l’on verroit monter l’eau en O & en P , pour fe mettre au niveau AD des plus grandes colonnes , fi l’air ne réfiftoit pas 5 ce qui eft conforme à l’experience.
  - .L’experience fait voir auflï que telle dire&ion que l’on, puiffe donner à l’eau que l’on fait écouler par les trous
  - V u u
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- - 5 2.1 Nouveau Cours
  - d’un vafe, qu’elle en fort toujours avec la même force -que les trous foient horifontaux ou verticaux , pourvu qu’ils foient également éloignez de la furface ,de la liqueur j ce qui prouve que les liqueurs en,general, font des efforts égaux pour s’échapper des vafes où elles font contenues. M. Varignon eft le feul que je fçache qui ait donné une raîfon mécanique de cette expérience, les autres s’étant contentez de voir l’effet fans en chercher la caufci
  - PROPOSITION. PREMIERE,
  - Théorème.
  - 848. Si l'on verfe une liqueur,, par exemple, deVeau, dans un tuyau recourbé ou fiphon ,je dis que la furface, de cette li-queur fe mettra de nïveau dans les deux branches du fiphon*
  - D E M O N S T R A T I O N. .
  - i°. Si les deux branches du fiphon font d’égale grof-feur,ilefl aifé de prouver que la furface de la.liqueur dans chaque tuyau fe trouvera renfermée dans une ligne droite horifontale AB $puifque les colonnes de la liqueur contenues dans chaque tuyau 3 fe . trouveront dans le même cas que fi elles étoient comprifes dans un vafe, c’eft-à-dire,de fe contre-balancer également, fans faire, plus d’effort l’une que l’autre pour baiffer ou haufierj caries cotez LM &NO du tuyau font le même effet pour contenir la liqueur, que le feroient les colonnes LMPCL_6c RNQO s li les deux colonnes. LH &; N K etoient, auflî-bien que les precedentes, renfermées.dans un,feul vafe AHBK j mais félon çettè fuppofition .3.les colonnes LH & •Art.84^» NK feroient en équilibre *,& auroient leur furface de niveau 3 par confèquent ,fi l’on fupprime toutes les colonnes d’eau qui feroient entre ces deux-ci, ôcqu’à iaplace l’on fubftituë les cotez LM & NO du fiphon, l’eau réitéra de niveau daiis les deux tuyaux. Ce qu'il falloit démontrer
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- - 1*3
  - de Mathématique.
  - Autre Démonstration.
  - Pour démontrer ceci par les vîtefles, fuppofons que la. fur face AL foit defeenduë de A enC, par exemple, de 4 pouces : cela étant, la furface NB fera montée de N en E auffi de 4 pouces , puifque les deux tuyaux font d’égale grofleur : ainfl la quantité de mouvement du fluide dans le premier tuyau , eft égale à la quantité du mouvement du fluide dans le fécond tuyau > par confequent ils font en équilibre , leurs furfaces font de niveau.
  - Corollaire I.
  - 845. Il fuit que fi l’on a un flphon, dont la grofleur Fig* 414 des branches foit inégale, la liqueur qui fera verlée dans le flphon fe mettra encore de niveau dans les deux branches j car fi, par exemple , la branche IK efl trois fois plus grofle que la branche GH, il y aura trois fois plus de liqueur dans la grofle branche que dans la petite. Or fl l’on imagine que l’eau de cette branche foit partagée en trois colonnes égales,il y en aura une,comme, par exemple,
  - OLPM, qui fera en équilibre avec celle du petit tuyau , puifqu’on fuppofe qu’elles ont des bafes égales. Or étant en équilibre , leurs furfaces feront de niveau j mais la colonne OLPM efl en équilibre avec la colonne NLMF ou NFBK, & par confequent de niveau entr’elles : elles feront donc auffi de niveau avec la colonne du petit tuyau.
  - Pour prouver ceci par les vîtefles , confiderez que fi la fürface de Peau du petit tuyau efl défeenduë de A. en G de 3 pouces , par exemple, elle fera montée de B en Ë d’un pouce dans le grand tuyau , puifque la bafe du grand tuyau efl triple de celle du petit j ainfl les vîtefles leront réciproques à leurs mafles , & pair confequent l’eau fera* en équilibre de part éc d’autre * & les furfaces de niveau.
  - V u u ij
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- - 5*4
  - Nouveau Cours Corollaire II.
  - S 5 o. Mais fi le tuyau a voit une branche perpendiculaire à l’horifon, & l’autre inclinée comme dans lefiphon 4*5* ABC, la liqueur que l’on verfera dans l’un des tuyaux, fe mettra encore de niveau dans l’autre 5 car fi les deux branches de ce fiphon font d’égale grofTeur, & que la ligne EG pafTe par la furface de la liqueur dans'chaque tuyau j l’eau de la branche perpendiculaire fera à celle de la branche, oblique, comme EB eft à BG > mais l’eau de la branche inclinée n'agit pas fur la bafe B avec toute fa pefanteur abfoluëj & eonfiderant que cette liqueur eft appuyée fur un plan incliné, l’on pourra dire que la pefanteur relative de la liqueur eft à fa pefanteur abfoluë , comme la hauteur GD du plan incliné eft à fa longueur GB 5 & comme nous avons vu que les liqueurs de chaque tuyau étuient.comme EB eft à BG> il s’enfuit que les haur teurs EB & GD étant égales, l’eau du fiphon eft en équilibre, & que par confequent elle eft de niveau 3 ce que l’on démontrera encore, quand. meme les branches du fiphon feroient d’inégale grofïeur.
  - Corollaire Hî.
  - 4M- S 5 1. Il fuit encore- que l’eau qui eft dans le canal HSTP , fait autant d’effort contre les cotez du même canal pour s’échapper, que l’eau de chaque tuyau en fait fur la bafe TV, qui feroit celle du cylindre , parce que l’eau des petite s colonnes QTRP tend à fe mettre de niveau avec la furface de la liqueur de chaque branche j aufli l’experience montre-t’elle que fi l’on fait un petit trou vertical au canard’un fiphon, qu’elle monte pref-qu a la hauteur de. l’eau des branches.
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- - de Mathématique. 515
  - PROPOSITION IL Théorème.
  - Si l'on met dans les deux branches d'un Jiphon des liqueurs de differentes pefanteur s ,je dis que les hauteurs de ces liqueurs dans les tuyaux , feront entr elles dans la raifon réciproque de leur pefanteur fpecifique.
  - DEM ON ST R A TI O N.
  - 852. Si l’on verfe du mercure dans le fiphon ABCH,il fè Fig. 41*; mettra de niveau dans les deux branches, comme toutes les,autres liqueurs. Or fi l’on fuppofe que la ligne hori-fontale DE marque le niveau du mercure, & qu’enfuite lbn verfe de l’eau dans la branche AB jufqu’à la hauteur G , il eft évident que le mercure de cette branche cefiera d’être de niveau avec celui de l’autre branche, aufli-tôt qu’on y aura verfe de l’eau, & que s’il eft defcendu de D en I de 2 pouces dans la première branche, il fera monté de E en F aufli de 2 pouces dans la fécondé. Prefente-ment fi l’on tire la ligne horifontale IL , l’on voit évidemment que- le mercure IB de la première branche eft en équilibre avec le mercure LC de la fécondé. Or lï l’eau fe maintient en repos à la hauteur G , & le mercure à la -hauteur F, il s’enfuit que l’eau Gl-eft en équilibre avec le mercure FL , fi les branches du fiphon font d’égal6 grofleur, & que d’autant la colonne GI eft plus haute que FL, d’autant la pefanteur fpecifique du mercure eft plus grande que celle de l’eau, & que par confequent la pefanteur fpecifique de-ces deux liqueurs eften raiion réciproque, de leurs hauteurs.
  - Corollaire.
  - 853. Il fuit que fi une des branches A Bdu fiphon étoit plus grofle que l’autre DC, le mercure qui feroit dans lagrofle branche fera encore en équilibre avec l’eau de la petite.
  - V uuiij
  - Fig. 41-7;
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- - 5i6 Nouveau Cours
  - Si après avoir tiré Niorifontale FG la hauteur EF du mercure eft à la hauteur H K de l’eau dans laraifon réciproque de la pefanteur fpecifique de ces deux liqueurs j car fl i’on imagine une colonné LF de mercure , dont la bafe foit égale à celle du tuyau DC, cette colonne fera en équilibre avec la colonne d’eau HK. Or li le tuyau AB eft cinq fois plus gros que DC, la quantité de mercure El contiendra cinq colonnes comme LF, qui feront toutes en équilibre èntr’elles, aufîi-bien qu’avec la colonne FiK : ainfi il en fera de: la proportion precedente pour l'équilibre des liqueurs differentes dans des tuyaux d’inégale groffeur ,1a même chofe que dans l’article' 84.9. foit que la liqueur la plus pefante fe trouve dans le gros tuyau, ou dans le petit.
  - PROPOSITION III.
  - Théorème.
  - Fig. 418. : S 54. i°. Si un corps dur eft mis dans un fluide de même
  - pefanteur fpecifique , il y demeurera entièrement plongé, k quelque hauteur qu'il fe trouve.
  - 2 ' S*il eft d'une pefanteur fpecifique plus grande que celle dufluide, il ira au fond du val fléau.
  - 30. S'il eft d'une pefanteur fpecifique moindre que celle du fluide, il n'y aura qu'une partie du corps qui s'enfoncera, & . P autre partie refera au deffus de la furfaceJu fluide.
  - Démonstration du premier Cas.
  - Si l’on a un vafe ABCD, rempli de telle liqueur que l’on voudra , par exemple, de l’eau , êc qu’on y plonge un corps E, dont la pefanteur foit égale à celle du volume d’eau , dont il occupe la place, il eft confiant que ce corps demeurera en équilibre, c’eft-à-dire, en repos, fans monter ni defeendre, quelque fituation qu’on lui donne; car il a autant de force que le volume d’eau qui ferôic
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- - de Mathématique. 517
  - à .'fa. place, pour tendre au centre de la Terre : mais les parties de l’eau font en équilibre avec toutes celles delà même eau qui les environne j ainfi le corps E tenant lieu d’une certaine quantité d’eau , dont il occupe la place, fera donc en équilibre avec toute celle du vailfeau, & demeurera entièrement plongé ôc en repos , à quelque hauteur .qu’on le mette..C. D.
  - Démonstration du second Cas.
  - Si le corps F plongé dans le même vafe, eft plus pefant que le.volume d’eau, dont il occupe la place, il elt aifé de concevoir qu’il defcendra au fond de l’eau j car il tendra avec plus de force au centre de la Terre, qu’un pareil volume d’eau : ainfi il ne fera plus en équilibre avec les autres parties de l’eau dont il eft environné/'ôc ira par confequent au fond du vaifieau.. Ce quil falloir démontrer* .
  - Démonstration du troisième Cas.
  - Si le corps G eft plus leger qu’un pareil volume d’eau, l’on voit évidemment qu’il doit arriver tout Je contraire du. cas précèdent, c’eft-à-dire, qu’au lieu d’aller au fond de l’eau , il doit nager lur la furface , 2c ne s’enfoncer qu’en partie dedans, qui fera , par exemple , la partie IKMN.qui occupe un volume d’eau égal en pefanteur sl tout le corps G j car fi, par exemple, ce corps nepefe que la moitié d’un pareil volume d’eau, la partie enfoncée fera la moitié du corps, & l’eau que cette moitié occupe étant d’une égale pefanteur que tout le corps , ils tendront également au centre de la Terre, 6c feront par confequent en équilibre , quoique le corps ne foit pas entièrement plongé dans l’eau. C. D.
  - Corollaire I. .
  - S 5 5. Il fuit du premier cas , que fi une puiflance vouloit fortir de l’eau un poids E attaché à une corde, fi le poids eft égal k la pefanteur fpecifique de l’eau que
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- - 528 Nouveau G'o u a s
  - la puiffance ne s’appercevra de la pefanteur du poids, que lorfqu’il commencera à fortir de l’eau, puifque tant qu’il fera plongé dedans, elle n’en foutiendra aucune partie j & c’eff la raifon qui fait que lorque l’on tire de l’eau d’un puit, la puiffance 11e fait prefque point d’effort pour foûtenir le vaiffeau plein d’eau, tant qu’il eff plongé dedans, parce qu’elle ne foûtient aucune partie de l’eau qui eff dans le vaiffeau, & que le vaiffeau lui-même, quand il eff de bois , eff à peu près égal à la pefanteur Ipecifîque de l’eau , au lieu qu’étant entièrement dehors, l’effort de la puiffance devient égal au poids de l’eau & de celui du vaiffeau.
  - Corollaire II.
  - 856. Il fuit du fécond cas , que fi une puiffance Q foûtient un corps O plongé dans l’eau , & que la pefanteur Ipecifîque du corps foit plus grande que celle de l’eau, cette puiffance ne foutiendra qu’une partie de la pefanteur du corps, qui fera la différence de fa pefanteur Ipecifîque à celle du volume d’eau dont il occupe la place, parce que ce corps pefe moins dans l’eau que dans l’air du poids d’un pareil volume d’ea.u: ainli l’on peut dire en general que les corps plus pefans que l’eau perdent de leur pefanteur , lorfqu’ils font plongez dedans 5 & cela dans la raifon de la gravité fpecinque du corps à celle de l’eau, qui eff un principe dont nous avons déjà parlé dans l’article 6 6 7.
  - Corollaire I II.
  - S 5 7. Il fuit du troiliéme cas, que quand un corps eff plus leger qu’un pareil volume d’eau ,1a pefanteur Ipecifîque de l’eau eff à celle du corps ., comme le volume de tout le corps eff à fa partie enfoncée : ainff fuppofant que le corps G foit un cube ou un parallelepipede , la pefanteur Ipecifîque de l’eau ferai celle de ce corps , comme
  - HKeffàlK.
  - COROL.
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- - de Mathématique. Corollaire IV.
  - S 5S'IL fuie auffi qu’un corpss’enfonce différemment dans les liqueurs dont lespefanteurs Ipeciiiques. font differentes, étant certain qu’il s’enfoncera davantage dans une liqueur d’une certaine pefantcur Ipccifique, que dans une autre qui feroit plus pefantejpar exemple,l’on voit qu’un vailleau chargé s’enfonce plus dans une riviere que dans la mer, parce que l’eau des rivières eff moins pelante que celle de la mer : ainfî il ne faut pas s’étonner s’il cft arrivé quelquefois qu’un vaiffeau après avoircinglé heureufe-ment en pleine mer, s’eff perdu & coulé à fond en arrivant à l’embouchure de quelque riviere d’eau douce.
  - Corollaire V.
  - 855). L’on peut encore remarquer que quoique les métaux foient pluspefans que l’eau, cela n’empêche pas qu’ils nepuiffent nager fur Peau ; car s’ils compofent des corps creux, dont la pefanteur Ipecifique foie moindre que celle du volume d’eau dont iis occupent la place, ils furnageront Lins couler à fond.
  - REMARQ.UE.
  - S 6o. Npus avons déjà dit dans Part, 6 6 7. que les métaux perdoient de leur pefanteur, Iorfqu’ils étoient plongez dans Peau : & comme c’eff ici l’endroit d’en faire.voir la raifon, l’on remarquera qu:il n’y en a pas d’autre que celle qui fait qu’un corps étant plongé dans Peau , eff pus leger qu’il n’étoit dans Pair de toute la pefanteur fpecifi-q ue de Peau dont il occupe la place. Ain 11 l’on pourra toujours trouver la raifon de la pefanteur fpeciiique d’un métail avec celle de Peau, ou de toute autre liqueur, en pefant dans Pair avec des juffes balances une pièce de métail 5 enfuite on l’attachera à l’un des bras ou badins de la balance avec un fil de foye, pour voir après que le métail fera plongé dans Peau, combien il pefera de moins;
  - & la différence fera celle de la pelanteur ipecifique de ce métail à celle de Peau,
  - X x x
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- - 53 0 Nouveau Gouh-
  - Ç’eft en fnivant.ee que l’on vient de dire, qu’on a trouvé que l’Or perd dans l’Eau environ la dix-neuvié-me partie de fou poids , le Mercure la quinziéme , le Plomb la douzième., l’Argent la dixiéme, le-Cuivre la* neuvième, le Fer la huitième, 6c l’Etain la feptiéme.
  - En fuivant le même principe , on peut fçavoir auiïi le rapport des pefanteurs fpeciriques des Liqueurs entre-elles, 6c des Métaux entr’eux 5 6c par confequent des Liqueurs avec les Métaux : par exemple , le rapport du poids d’un pouce cube d’Or avec celui d’un.pouce cube de Mercure j 6c c’ed ainfi que l’on a trouvé la pelanteur d’un pouce cube des Métaux 6cdes.Liqueurs contenus dans la Table fuivanto.
  - Poids d'un pouce cube.
  - Adatieres. Or. Mercure. PJombi- One. Gros. Gr. I 2 2 17 8 6 8 7 3 30 ( Adatieres. Marbre blanc. Pierre de raille. Eau de Seine. Vin. One. Gros. Gr. I 60 I 2 24-0 . 5 12. 0 5 5
  - Adatieres. One, Gros. Gr. Adatieres. One. Gros. Gn
  - Argent. 6 5 2 5 Cire. 0 4 65
  - Cuivre,. ' 5 6 36 Huile. 0 4 43
  - Fer. 5 1 27 Chêne fec. 0 4 22
  - Etain. 4 6 14 Noyer. 03 6
  - L’on peut encore par ce principe mefurer la foliditë d’un corps irrégulier > car fî ce corps pefe 5)0 livres dans l’air, 6c que dans l’eau il n’en pele que 8 o , c’eft une marque que 1$. volume.d’eau, dont il occupe la place, pefe 2 o liy. ainfi il ne s’agit que de fçavoir combien 1 o livres d’eau valent de pouces cubes : ce que l’on trouvera , en difant : Si 70 livres valent un pied cube d’eau , ou 172 S. pouces, combien vaudront ï o livres} l’on trouvera 244. ^ppuces 6c ~ pour la folidité du corps.
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- - D'E M A T H E M A T IQU E» j 3 X
  - A PPL ICATION DES PRINCIPES PRECEDONS
  - h la Navigation.
  - 8 6 i. Quand on fait des tranfports de munitions de guerre par des batteaux comme cela arrive Couvent t lorfqu’oii a La commodité des rivières ou des canaux, 6c que ces munitions peuvent être accompagnées de gros fardeaux j par exemple, comme du Canon, des Affûts, en un mot tout ce qui compofe un équipage d’Artillerie» & qu’un Officier quia un peu de détail, n’ignore pas le poids des munitions dont il eft chargé , il faut faire voir ici comme il pourra effimer la charge que les batteaux peuvent porter, afin de fçavoir combien il lui en faudra. Il l’on n’a voit égard qu’aux poids des munitions, fans s’embarraffcr du volume.
  - Comme le.pied cube d’eau douce .pefe environ 70 livres , 6c qu’un pied cube de bois de chêne ne pefe qu’en-viron 5 8, l’on voit qu’un batteau pourroit être rempli d’eau , fans pour cela couler à fond, parce que l’eau qui -feroit dedans eften équilibre avec celle du dehors, 6c qiie la pelanteur fpecihque du bois qui compofe le batteau , eft plus petite que celle de l'eau. L’on peut donc mettre dans le batteau un poids équivalent a celui dë l’eau qu’il .peut contenir. Or fi L’on meiure la capacité du batteau , 6c qu’on la trouve , par exemple de 4006 pieds cubes, ce batteau pourra porter 4000 fois 70 livres , parce que nous avons dit qu’un pied cube d’eau peloit 70 livres : ain fi le batteau portera 2 S 0000 livres» mais comme l’ufage lur les Ports de mer eft cl’eftimer la charge des vaifiëaux par tonneaux , 6c la charge des batteaux lur les rivières par quintaux , l’on fçaura que le -tonneau eft un poids de 2000 livres, 6c que le quintal •eft un poids de 1 00 livres : ainfi quand l’on dit en terme de Marine , qu’un vaifléau porte 100 tonneaux , ou eft de 100 tonneaux , cela veut dire qu’il .peut porter •200000 livres , ou 2000 quintaux.
  - -Nous avons déjà dit que l’eau de la mer étoit plus
  - Xxxi'j
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- - 5 3 a Nouveau Cours
  - pelante que celle des rivières $ 5c comme on pour roita voir befoin de connoître .fan poids , Ton fçaura que le pied cube pefe 7 3 livres, qui eft 3 livres de plus par pied cube que l’eau douce. !
  - Nous allons encore faire voir dans la Proportion fui-vante un principe de l’Equilibre des Liqueurs , qui eft plus curieux qu’utile dans la Pratique : c’eft pourquoi je n’en ai pas parlé plutôt j mais comme il ne conviendroit pas de le palTer fous fdence voici de quoi il eft queltiom
  - PROPOSITION IV.
  - Théorème.
  - S 6 2,.. Si F on a. un vafe plus gros par un bout que par l’atfr tre, le remplijfant de liqueur , cette liqueur aura autant de force pour fortir par une ouverture égale h fa bafe , quefi cette ouverture étoit égale a celle d’en haut.
  - D E M O N S T R A T 1 O N.
  - Fig. 411. Si l’on a un vafe comme dans la Figure 411. plus large par la bafe BC que par le haut GH , il eft aifé de concevoir que l’eau qui pefe fur la bafe BC fait autant d’effort, que fi elle étoit chargée de toute l’eau du volume B O PC ? car nous avons fait voir que toutes les co-*Ârt.S47# lonnes d’eau comme LM *, tendoient à monter à la hauteur GH ou OP, qui eft la même chofe, bc que l’effort qu’elle faifoit étoit exprimé par le poids de la petite colonne IN ; mais l’effort exprimé par IN, fe fait également à l’endroit M de la bafe qu’à l’endroit L, à caufe du per-petuèl mouvement des parties qui compofent les colonnes d’eau j mais toutes les colonnes comme LM, indépendamment de l’effort exprimé par IN, font encore effort de tout le poids de leur hauteur LM. D’oii il s’enfuit que la colonne LM pefe autant fur la bafe que la colonne IK, &que par confeqtient la bafe eft autant preffée par l’eau qui eft dans le vafe, que fî elle étoit chargée de tout ie volume B OPC C.J?. F. D*.
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- - de Mathématique. 533
  - $63. Si levafe a fes cotez inclinez, comme dans la Fig.41t. Figure 412. l’on démontrera de même que l’eau fait autant d’effort fur la bafe EF, que fi elle étoit chargée de toute celle qui feroit contenue dans le volume cylindrique EQIIF,'qui a pour hauteur celle de l’eau du vafe.
  - L’experience prouve ceci encore-mieux que tout le raifonnement que l’on peut faire 3 car fi l’on a un vafe plus large par en bas que par en haut, & que le fond foit fermé par un pifton qui ait la liberté de fe mouvoir, fans cependant que Peau puiflfe fe répandre > l’on voit, dis-je, que la puiflànce qui foûtient ce pifton a befoin d’une force égale au poids de l’eau qui feroit contenue dans ce vafe, s’il étoit atifli large par en haut que par en bas, à caufe de l’effort que les petites colonnes d’eau font pour fe mettre au niveau des plus grandes 5 mais quand l’eau vient à être gelée, & que ces parties ne font plus en mouvement , elles ne font plus d’effort contre les cotez du vafe, & la puiflànce n’a plus befoin d’une fi grande force , parce que pour lors elle ne foûtient plus que la pe-fanteur réelle de l’eau gelée.
  - 86 4. Mais fi le vaiflèau étoit plus large par en haut Fig. 4152 que par en bas, comme eft le vafe ABCD', fi on le remplit de liqueur, elle ne fera pas plus d’effort contre la bafe BD , que fi la largeur d’en haut étoit égale à celle d’en bas 3 car fi l’on imagine le cylindre d’eau B DEF , il fera aifé, de juger que comme l’eau pefe perpendiculairement, il n’y a que celle qui eft contenue dans le cylindre qui fait effort contre la bafe BD , parce que celle qui eft contenue autour du cylindre, ne pefe pas fur la bafe, mais feulement fur les cotez inclinez du vafe.
  - Corollaire.
  - 8 6 5. Il fuit de cette Propofition , que quelque forme que puiflent avoir plufieurs vaifleaux perpendiculaires ± l’horifon, & d’égales hauteurs, fi ces vaifleaux ont des ba-fes égales, & qu’ils foient remplis d’eau, les bafes feront également chargées..
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- - 534
  - Nouveau Cou*.3 R EM AU QU £.
  - Fig. 420.’ 266. L’effort des liqueurs fe mefure à la livre comme
  - celui des poids dans la Mécanique > &; comme on peut fçavoir la pefanteur d’cm pied cube de toutes fortes de liqueurs, particulièrement de celui de l’eau, qui pefeyo livres, l’on trouvera toit jours l’effort de l’eau fur le fond -d’une bâfe , en multipliant la capacité du fond par la ‘hauteur perpendiculaire de l’eau du vafe : ainfi ayant un vafe ABC perpendiculaire à l’horifon , & rempli d’eau jufqu a l’ouverture A , voulant fçavoir l’effort que fait l’eau fur la bafe BC -, nous fuppoferons que cette bafe vaut 4 pieds quarrêz-, & que la hauteur perpendiculaire AD ell de 40 pieds : ainfi. multipliant 40 par 4 , l’on aura 116 pieds cubes , qui étant multipliez par 70 liv. qui eft la pefanteur d’un pied cube d’eau , il viendra 11 2 00 livres, qui eil l’effort que l’eau du vafe ABC fait fur la 'bafe BC j & ce qu’ily a de furprenant, c’eft que fi tout le vafe ne contenoit qu’un pied cube d’eau, quiefl: équivalent au poids de 7 o livres, il faudroit que la puiffan-ce Qjjui voudroit foiitenir le fond CD ( îiippofant qu’il fut détaché dure de, )>etk une force de 11200 livres, pour être en équilibre avec l’effort de.l’eaufur la bafe BC.
  - CHAPITRE IL
  - Qu Ton confidere la force la mejure des Eaux cour an* tes jaillijfantes.
  - PROPOSITION V.
  - Théorème,
  - 26 y. Si T on a un tuyau ABCD .perpendiculaire à l'hori1" fon^é* rempli de telle liqueur que Ion voudra j comme„ par ^exemplede Beau.., fa vtteffe par l'ouverture CD de la bafe fera exprimée parla racine quarréc de la hauteurperpendiculaire AC,
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- - d r Maihemati qjj e. y 3 5
  - D EM ON S TR A T I O N.
  - Pour faciliter la démon (Ira tion de cette Propofition r Fig. 421. nous fuppoferons.que laiiauteurAC efi: divifee en un/ grand nombre départies égales., comme AE, EH , &c.
  - & que toute l’eau «il. partagée en autant de. petites lames égales ABGE, qu’il y a de parties , comme AE, dans la hauteur AC. Celajpofé, il efi: clair que fi la lame ABEG. étoit feule, la vîtefie qu’elle acquereroit en. tombant de.
  - AB en CD, feroit exprimée, par la racine, quarrée de la. hauteur AC *. Il,faut donc prouver, que la lameKCLD. *. eiè dans le même état étant chargée de toutes les autres 7 * lames qui font.au-defius,quefi elle étoit tombée de AB. ep CDy Pour cela faites attention qu’un coEps qui tombe.: reçoit à chaque in.ftant, de. fa. chute un nouveau.degré, de. force ou de pefantenr j de forte.qu’au fécond in-fiant il pefe le double de ce qu’il pefbit au premier , le triplé au troifiéme, ainfi de fuite. Or fi l’on liippofe que la lame.CKLD efi chargée doutant d’autres lames que ,1a première ABEG a mis d’in flans à tomber de AenC, la lame CKLD aura autant de force par la pefantenr que lui donnent toutes les autres, que la. première ABEG en auroit reçu en tombant de A en Ç 5 mais la vîtefie de cette derniere lame pour fortir par l’ouverture CD,
  - 1erfqn elle y fera-parvenue, eft exprimée par la racine quarrée de la hauteur AC : par confequenr la. .lame.
  - KCLD , dont la.pefanteur efi: équivalente à celle que la precedente;auroit acqnife. en tombant tendra auffi à fortir par Pouverture CD avec une vîtefie exprimée pat la racine de la hauteur AC, qui efi: celle déjà hauteur perpendiculaire de Peau. c. F, D.-
  - Co R O L L A I R E..
  - 8.&8: II; fuit qu’ayant un tuyau ABÇrempli d’ean, lyi trou à l’endroit D de la bafe, aufiiTtot-qu’onl’aura ou-, y.çrt, l’eau coulera aYec.unev.vîtefie- exprimée .par la ra- -«due quarrée. .de, fa hauteur, .puifque .la. colonne .d’eau.1
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- - Fîg.4*2-* & 4*3.
  - 53g Nouveau Cours
  - AD, qui a pour bafe la grandeur du trou D, peut être confiderée divifée en un grand nombre de petites lames, dont celle qui fera près du trou, fortira avec la même vîtefie que celle qu’auroit acquife la première lame A en tombant de A en D , & l’eau fortira toujours avec la même vîtelfe, lî elle demeure à la même hauteur j ce qui ne peut fe faire qu’en fubftituant dans le tuyau autant d’eau qu’il s’en écoule 5 mais fi on donne à l’eau la liberté de s’écouler , fans en remplacer d’autre , fa vîtefie à la fortie du trou diminuera à chaque in fiant, à mefure que le tuyau fe vuidera 5 ôc cela toujours dans la raifon des racines quarrées des differentes hauteurs de l’eau : ainfi la vîtefie dans le moment qu’elle étoit a la hauteur A, fera à la vîteffe qu’elle aura, quand elle fera bailfée à la hauteur G comme VAD eft à v^GD.
  - Corollaire II.
  - 8 6 9. Donc fi l’on a deux tuyaux ABC & EFG de hauteurs inégales, 5c dont les ouvertures D & H foient égales , fi l’eau de chaque tuyau fort en même tems, les vî-telles de l’eau dans ces tuyaux, feront comme les racines quarrées des hauteurs AD & EH.
  - Corollaire III.
  - 870. Si les tuyaux font d’égale grofleur, & que les trous D 5c H foient égaux , il fuit auili que les tems que ces tuyaux mettront à fe vuider, feront comme les racines quarrées des hauteurs de l’eau des tuyaux, puifqu’il efi clair que la dépenfe des eaux efi dans la raifon de leurs vîtefies.
  - Corollaire IV.
  - 8 7 r. Mais fi l’on a deux tuyaux, dont les hauteurs foient inégales, aufii-bien que les trous D 5c H , les vî-teiTes de l’eau , ou leurs dépenfes, feront dans la raifon compofee des quarrez des diamètres des ouvertures ( fi elles font circulaires) 5c des racines quarrées des hauteurs
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- - de Mathematiqiie. 537
  - tueurs differentes de l’eau, puifqu’il n’y a point de doute que plus les ouvertures feront grandes, & plus la dé-penfe de l’eau fera grande.
  - Corollaire V.
  - 872. Comme l’eau contenue dans un vafe, fait un effort égal contre fes cotez pour s’échapper, il fuit encore que fi l’on a un vafe AD rempli d’eau, toujours entretenue à la même hauteur, que îaifantdeux trous B & C , que les vîtefTes de l’eau à la fortie , feront encore exprimées par les racines des hauteurs A B & AC, foit que l’eau à la fortie des ouvertures foit pouffée félon les directions horifontales BE & CF, ou obliques BG & CH. Cependant il eft à remarquer que les viteffes de l’eau félon les directions inclinées , ne font pas fi grandes en fortant , que félon des directions horilontales, ni fl grandes que félon des directions perpendiculaires à l’ho-rifon, lorfqu’elle coule de haut en bas , parce que les parties de Beau ne s’échappent pas fi aifément félon des direCtions'obliques, que félon celles qui feroient horifontales , ni ces dernicres aufii aifément que celles qui tombent perpendiculairement à l’horifon.
  - Corollaire VI.
  - S 73 . Il fuit encore que fi l’eau fort félon une direction BD parallèle à l’horifon, le jet B GE de l’eau fera une parabole , qui aura pour fublimité la hauteur AB j car nous avons démontré * que fi l’on a un demi-cercle AFC, dont le diamètre AC foit perpendiculaire à l’horifon, fi un corps étoit pouffé félon une direction BD avec une force exprimée par la racine de AB ( qui eft celle qu’il auroit acquife en tombant de A en B ) décriroit une parabole BGE, dont l’amplitude CE feroit double de la perpendiculaire BF. Or fi l’on confidere toutes les parties de l’eau comme autant de petits globes, qui font tous pou fiez jfèlon la direction BD avec une force exprimée par la ra-
  - Fig.424»
  - Fig. 415*
  - *Àrt.727«’ & 72S.
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- - 5 $8 Nouveau Cours
  - cine quarrée de la hauteur AB de l’eau > l’.on verra qufil$.
  - doivent décrire la parabole BGE,.
  - Fig. 4â£. -^e m^me ^ l’eau fort, félon une direction CG avec une
  - vîtefie exprimée par la racine quarrée de la hauteur AC,. que je fuppofe être celle de l’eau même, le jet décrira la parabole CEF, dont la fublimité fera la ligne AC, puif-que nous avons aufii fait voir que le corps qui feroit pouffé félon une direction CG oblique à l’horifon avec une force exprimée par VAC, qui eft ici la force de l’eau a fa fortie, décrivoit une parabole.
  - I E M; A R Q.U E I;.
  - Quoique nous ayons fuppofé que les vaifieaux donc nous venons de parler, fulîent cylindriques , cela n’empêche pas que s’ils étoient de toute autre figure, les mêmes chofes ne fub fi fia fient, également.
  - Toricelli, M.. Mariotte 6c plufieurs autres , ayant reconnu par des expériences que les vîtefles de l’eau étoient. dans'la raifon des racines quarrées de leurs hauteurs, ont. conclu que la.caufe..de cet effet venoit de ce que les parties de l’eau acceleroient en venant de la furface pour fortir par le trou du vaifieau $ mais ils .fe font trompez: car l’eau de la furface n’eft pas celle qui fort d’abord par le trou, elle n’y arrive qu’à l'on tour , après que celle qui eft au fond dt fortie.
  - R E M. A, R QU E I I.
  - Pig, .427. Si l’on a un re fer voir ABCD, 6c qu’à l’endroit D foit une ouverture qui réponde au tuyau recourbé DE, aufli haut que le rcfervoir 5 il efi: confiant que fi l’on remplit d’eau le refervoirelle montera dans le tuyau à la même hauteur E, pnifque le rdêrvoir 6c le. tuyau compofent enfemble une efpece de fiphon , 6c que par confequent à quelque hauteur que foit l’eau dans le refervoir , elle: montera toujours à la même hauteur dans le tuyau*:
  - '***' ,ü^9* ainfi l’eau d’iine fontaine pourra monter à la hauteur de. fa four ce, quand elle, fera contenue dans un tuyau 5:,mais.
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- - de Mathématique. 53$
  - il n’en fera pas de même quand la hauteur du tuyau fera 'Fig. 4^ beaucoup plus petite que celle de la fource 5 par exemple , fî l’on a un vaifleau GB avec un tuyau recourbé BC j dont l'ouverture C foie parallèle à Phorifon , & que le. vailTeau GB foit toujours plein d’eau, celle qui fortira par C, pour former un jet , ne montera pas à la hauteur AB du refervoir, parce que l’air réfifte contre les petites parties de l’eau, à mefure qu’elles fortent du trou C, lequel on nomme Ajutage. Or M. de Mariotte a fait voir dans fon Traité du Mouvement des Eaux, que les jets dont les ajutages étoient égaux, diminuoient de leur hauteur , félon la raifon des quarrez de celles des réfer-voirs.
  - M. de Mariotte a trouvé auflî qu’ayant un refervoir GB, toujours rempli d’eau, & dont la hauteur AB étoit de 1 3 pieds, & le diamètre de l’ajutage C de 3 lignes, il fort eii une minute par l’ajutage C 14 pintes d’eau, mefure de Paris , la pinte pefant deux livres : ainfi étant prévenu de cette réglé, il fera facile de réfoudre le Problème fuivant.
  - PROPOSITION VI.
  - Problème.
  - 874. Trouver la dépenfe d’un jet d’eau pendant une mlnu^ tepar un ajutage de 4 lignes de diamètre, Veau du refervoir étant de 40 pieds de hauteur.
  - Nous fçav’ons que lorfque les ajutages font égaux, la p. .. dépenfe des eaux ell dans la raifon des racines quarrées “
  - des hauteurs differentes de l’eau, & que quand les ajutages font inégaux , les dépenfes de Peau font dans la rai-l'on compofée des racines quarrées des hauteurs de l’eau,
  - &des quarrez des diamètres des ajutages : ainfi en nous fervant de Pexperience de M. Mariotte, l’on pourra dire :
  - Si le produit du quarré de 3 lignes , qui ell 5?, par la racine quarrée de 1 3 , donne 14 pintes pour la dépenfe de Peau pendant une minute, combien donnera le produit
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- - Fig-. 4*»‘ 430. &c 43i*
  - 5-40 Nouveau Cours
  - du quatre du diamètre de l’ajutage de 4 lignes, qui eft l6 , par la racine quarrée de 40,, pour la dépenfe de l’eau pendant le même tems, l’on trouvera par la règle, de proportion un quatrième terme qui fera' la quantité: des pintes d’e_au que l’on demande..
  - CHAPITRE; II I;
  - Qu ton confidere le mouvement & le choc des Euuxl PROPOSITION VIL, Théoremei.
  - 875. Ç* 7 Von.a dm x furfaces égales expo fées perpendicu* lairement au courant de deux fluides homogènes qui ayent des vîteffes. inégales, les chocs de ces fluide s, contre ces furfaces feront, entreux comme les quatre^ de leurs vt-tejjes.
  - D £ M O N s T. K. A T. I O N..
  - Suppofant que lès Figures 41-5. &43o.foient deux, parties a Aqueducs , que BC ôc TV reprefentent des fur--faces égales à LM , il faut démontrer que l’eau rencontrant ces. furfaces félon des directions perpendiculaires avec des vîteffes inégales , lès. chocs de l’eau feront dans la raifon des quarrez.de leurs vîteffes.
  - Si ion-imagine deux lames d’eau GH & RS , que je fuppofe verticales, parallèles 5c égales aux furfaces BC ê£ TV , comme feroit, par exemple , LM, 6c que ces lames d’eau foient également éloignées des furfàces BC & TV3 il efl évident que ces dèux lames étant.égalès, que ve.-nant de G en B ,.6c de R en T avec des vîteffes differentes , elles choqueronc les furfaces oppofées dans la raifon de leurs vîteffes. Or fi la vîteffe de là lame RS eft triple de l’autre GH, & qu’il lui faille une fécondé pour venir de R en T d’un, mouvement uniforme, il faudra trois .fe
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- - de Mathématique. 541
  - condes à la lame GH pour aller de G en B : ainfî la lame RS aura choqué la furfaceTV dans le moment que GH fera arrivé de G en I, ôcle courant de l’eau continuant toujours de part & d’autre une fécondé lame encore comme RS aura frappé la furface TV dans le moment que la lame GH fera arrivée de I en K : enfin une troijfiéme lame aura frappé la furface TV dans le moment que GH fera arrivé de K en B pour frapper la furface BCj ainil cette furface n’aura été frappée que par une lame dans le tems que la furface TV aura été choquée par trois lames j ce qui fait voir que la quantité d’eau dont ces deux fil r fa ces font frappées dansle même tems, font dans la raifon des vîtefïès du courant : mais nous avons dit aufîï que le choc des lames GH de RS étoit dans la raifon des vîtefTes : ainfi l’on peut dire en general que les chocs de l’eau contre des furfaces égales , font dans la raifon doublée des vîtefTes de des quantitez d’eau qui choquent en même tems, ou, ce qui eit la même choie, comme les quarrez des vîtelfes de l’eau. C. -D.
  - Corollaire I.
  - 8 7 6. Si les vîtefTes de l’eau font égales, de que'les fur-faces qu elles rencontrent foient inégales les chocs perpendiculaires à ces furfaces feront dans la. raifon des furfaces mêmes.
  - Corollaire IL
  - S 77. Si les furfaces font inégales, aufli-bienque les vv teflês de l’eau, les chocs feront dans la raifon compofée: des quarrez des vîtefTes de l’eau &des furfaces oppofées,. ou comme les produits des quarrez des vîtefTes de Teati: par la valeur des furfaces-.
  - Corollaire III.
  - S7 S. Si Ton aune furface TV perpendiculaireune Figi 49c autre NO oblique-au courant, de que les lames d’eau & 43% RS- de AB foient égales, de même que leurs vîtefTes, le
  - V ir 17 iii
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- - 54* Nouveau Cours
  - choc contre la furface perpendiculaire fera à celui contre la furfaceoblique, comme le quarrédu finus total eft au quarré du finus de l’angle d’incident de la furface oblique j car fi CD exprime le choc de l’eau contre la furface perpendiculaire faifant le parallélogramme rectangle EF, le côté CF exprimera la force de l’eau contre la furface oblique NO : ainfi les chocs feront comme CD eft à CF.
  - Corollaire IV.
  - S75. Si les furfaces font toutes deux obliques au cou-***' rant, les chocs de l’eau feront dans la raifon des quarrez des finus des angles d’incidens j c’eft-a-direqu’ayant les deux furfaces obliques NO ôc PQ, leurs chocs feront comme les quarrez des perpendiculaires CF ôc IM , en fuppofanc toujours les vîtefles de l’eau égales.
  - REMARQUE.
  - M. de Mariotte ayant fait plufieurs expériences pour mefurer le choc de l’eau , a trouvé que l’eau ayant un pied de vîteffe par fécondé, fait un effort d’une livre ôc -demie contre une furface d’un pied quarré. Or pour fe fervir de cette expérience à l’égard du choc que l’eau fait contre une furface , il faut avoir une Pendule ou une Montre qui marque les minu tes bien exa démenti en fuite attacher au bout d’un fil de foye un corps fort leger, comme', par exemple, un morceau de liege, qu’il faudra faire furnager dans le milieu du courant de l’eau, marquer un piquet à l’endroit 011 le corps aura commencé à fuivre le courant , ôc faire en forte d’accompagner ce corps le long du bord de l’eau 5 6c quand on aura parcouru une longueur raifonnable , on prendra garde combien il fe fera écoulé de minutes depuis le moment qu’on fera parti jufqu’à l’endroit où l’on aura ceffé d’accompagner ce corps 5 ôc fuppofanr qu’on ait mis 3 minutes,on mefurera bien exadement le chemin qu’a fait le corps
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- - DE MàTHEMATIQJJE. 543'
  - pendant ce tems, que je fuppofe être , par exemple, de 120 toifes». Or pour fçavoir le chemin que le corps a parcouru pendant une fécondé , je multiplie 60 par 3-, pour avoir 180 fécondés ( parce qu’une minute vaut 6 o fécondés ) & voulant connoître la vîteffe de l’eau pendant une fécondé , je réduis les toifes en pieds pour avoir 7 2 o pieds, que je divife enfuite par 180 fécondés, qui donnent 4 au quotient : ainfi la vîteffe de l’eau pendant une fécondé fera de 4 pieds.
  - PROPOS ITION VIII. Problème.
  - 880. Connoijfant la vîtejfe de l'eau , trouver le choe.de cette eau contre une furface donnée.
  - Nous fer vaut de l’experience de M. de Mariotre, rapportée dans la Remarque precedente, on demande quel eft le choc de l’eau contre une furface de 20 pieds quai*-. rez,en fuppofant que cette eau a 4 pieds de vîteffe par féconde. Pour cela il faut fe rappeller que les chocs de feau- avec des vîteffes differentes contre des furfaces inégales & perpendiculaires au courant, font comme les produits des quarrez des vîteffes par les furfaces oppo-fées. L’on pourra donc dire:Si le quarré d’une fécondé, qui eft 1, multiplié par une furface de 1 pied, qui eft encore 1, donne une livre ôe demie pour l’effort de l’eau contre la furface d un pied quarré, que donnera le produit du quarré de la vîtefîe de 4, qui eft 16 , parla, furface de 1.0 pieds quarrez, qui eft 3 2 0 pour le.choc de l’eau contre la furface de 2.0 pieds , l’on trouvera 480 : ce qui fait voir que la furface fait un effort .de 480 livres, pour être en équilibre avec le choc de l’eau.
  - A P P L I C A T I 0 N:
  - Si l’on vouloir trouver l’effort de l’.cau contre les aubants d'un Moulin, expolez perpendiculairement à fon courant;, il faut connoître d’abord la vîteilede l’eau, &c la trran*
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- - 544 Nouveau Cours
  - deur des aubânts : ainfi fuppofant que la vîteffe de l’eau foit de 5 pieds par fécondé, & les aubants de 6 pieds quarrez, l’on dira : Si le produit du quarré de la vîteffe d’un pied par un pied quarré, fait un effort d’une livre & demie en une fécondé, que fera le produit du quarré de la vîteffe de 5 pieds par la furface de 6 pieds, l’on trouvera pour l’effort que l’on cherche 225 livres.
  - PROPOSITION IX.
  - Théorème.
  - §8 r. Si l’on a un vaiffeau rempli d3eau qui foit toujours entretenu, h la meme hauteur, je dis que les chocs de le au à la finie de deux ajutages égaux, feront dans la rai fin des hauteurs de l3eau au-dejfus du centre .des deux ajutages.
  - Démonstration.
  - Si le vaiffeau ABCD eft rempli d’eau, & qu’elle forte £fe*4î** par les deux ajutagesE & F, les vîteffes de l’eau feront comme i/BE eft àvBFs & li les ajutages font égaux , les quantitez d’eau qui Tordront dans le mêmetems, feront encore comme /BE eft à V'BF : mais ces quantitez d’eau peuvent être regardées comme les malles, ôdes racines de BE & BF comme leurs vîteffes 5 par confequent le choc dont l’eau fera capable à la fortie des deux ajutages , fera égale au produit de V'BExV'BE eft à v'BFxvBF, c’eft-à-dire, comme le quarré des racines des hauteurs de l’eau au deffus du centre des ajutages, mais ces deux produits ne font autre chofe que BE Ôc EF : par confequent les chocs de l’eau à la fortie des ajutages égaux, font comme les hauteurs de l’eau au deffus du centre des ajutages. Corollaire.
  - 882. Il fuit que ft les ajutages font de differentes grandeurs , les chocs de l’eau à leurs forties , feront comme les produits des quarrez des diamètres des ajutages par la hauteur de l’eau qui répond à leur centre , s’ils font circulaires j mais s’ils font de toute autre ligure .* il faudra multiplier leur capacité par la hauteur de l’eau qui répond &u centre, DISCOURS
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  - 545
  - DISC OURS
  - SUR'LA NATURE ET LES PROPRIETEZ
  - DE L’AI R.
  - POUR SERVIR D’INTRODUCTION
  - a la Phyfujue} ferva?it auffia rendre raifort de P effet des Machines Hydrauliques.
  - QUoique les Anciens nous ayent laiiTé beaucoup de belles connoiflances, il femble qu’on pourroic leur reprocher de n’avoir point allez étudié la nature, ltir tout quand, on fait reflexion aux idées faufles qu’ils a voient de l’Air : ce n’ell pourtant pas manque qu’ils n’ayent eu allez de tems pour en découvrir les proprie-tez i mais apparemment qu’il en écoit de ceci comme d’une infinité d’autres chofes qui étoient refervées aux découvertes de notre tems j & pour ne parler que de l’Air , nous allons faire voir qu’il a de la pefanteur.., qu’il a du relfort, & qu’il eft capable d’être condenlé & dilatée Avant M. Defcartes & M. Palcal , fi l’on de m an-doit aux Philofophes pourquoi , en tirant le pi lion d’une feringue ou d’une pompe , l’eau monte & fuie comme li elle adhérait s pourquoi quand on remplit d’eau un fiphon , 6e qu’on met chaque jambe dans un vaifleau plein d’eau, li un des va idéaux ed un peu plus élevé que l’autre , l’eau monte par le liphon , fort du vaifleau qui ed le plus élevé pour defeendre dans celui quiell un peu pins bas,tant que toute l’eau de celui d’en haut loit entrée dans celui d’en bas ; ils répondaient que la nature
  - Z z s
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- - Nouveau Cours-
  - avoit de l’horreur pour le vuide, ou bien que la nature abhorroit le vuide, comme fi elle étoit capable de paflion, pour avoir de l’horreur pour quelque chofe : car à leur-lens ils parloient comme fi la nature faifoit de grands efforts pour éviter le vuide > quoiqu’on voye parfaitement qu’elle ne fait aucune chofe pour l’éviter, ni pour le rechercher, 6e que le vuide ou le plein lui font fort, indifferens.
  - Il eft bien vrai que l’eau monte dans une pompe,, quand il.n’y a point de jour par où l’air puifTe entrer, & qu’ainfi il y auroic du vuide , fi l’eau, ne fuivoit pas le pifton , & même quelle n’y monte pas, quand il y a des rentes par où l’air peut entrer pour la remplir. De même, li l’on fait une petite ouverture au haut d’un fiphon,par où l’air puiffe s’introduire , l’eau de chaque branche tombe dans fon vailTeau , & le tout demeure en repos. D’où fon a conclu que la nature avoir de l’horreur pour le vuide, puifqu’auffi-tôt qu’il n’y avoit point d’air dans un tuyau, l’eau montoit d’elle-même, & que l’air fur venant, l’eau fe remettoit dans fon premier état i ce qui a fait: croire qu’elle n’y montoit que pour empêcher le vuide.
  - Mais h l’on fait voir que ces effets ( de même que beaucoup d’autres que nous expliquerons dans la fuite ) ne font caufez que par la pefanteur de l’air, l’on n’aura plus lieu de douter que la nature n’a point d’horreur pour le vuide, qu’elle fuit les loix de la Mécanique auffi-bienpar rapport à l’air que par rapport aux liqueurs de differentes pefanteurs, & que ce que fon peut dire de l’air n’eft qu’une fuite des principes que. l’on a démontrez dans le Traité précèdent..
  - Pour être convaincu de la pefanteur de l’air par une éxperience dont il eft aifé de îè convaincre, prenez un tuyau de verre de 20 ou 24 pouces, bien bouché par une de les extrêmitez, après qu’on l’aura rempli de mercure bouchez, enfuite le bout qui- eft ouvert, avec le doigt, ôc foûtenez le tuyau perpendiculairement, en forte que le. bouc, ouvert foit. en bas t û vous plongez dans
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- - de Mathemati Q^U E» 54j xin vafe oii il y aura du mercure le bouc cjue vous aurez bouché avec le doigt, 6c qu après cela vous lailliez la li--bercé au mercure de defeendre , vous verrez que bien loin qu’il retombe dans le vafe pour fe mêler avec l’autre , >1 demeurera fu(pendu de lui-même. La raifon de cet effet vient de la pefanteur de l’air , qui preffe le mercure qui efl dans le vafe, & qui ne prelfe pas celui qui efl dans le tuyau, qui efl moins pelant qu’une colonne d’air qui aura la même baie : ainfl c’elt le poids de l’air qui force le mercure de refier dans le tuyau j 6c .pour en être plus certain , il n’y a qu’«i ouvrir le bout d’en haut qu’on a bouché, 6c a-ufli-tôt vous verrez le mercure defeendre, 6c fe mêler avec celui qui efl dans le vafe.
  - Si l’on prend un tuyau encore de 20 ou de 2 4 pouces rempli de mercure bouché par une de fes extrêmitez , 5c que l’autre extrémité foie recourbée, vous verrez que le mercure j quoique le tuyau ne feit pas plongé dans un vafe ,fe maintiendra fufpendu fans fortir par le bout recourbé , à caufe que le poids de l’air qui pefe fur le mercure du bout recourbé, e11 plus pefant que le mercure qui eh dans le tuyau
  - Si au lieu d’un tuyau de 20 ou 24 pouces, l’on fe fert d’un qui ait 2 5 ou 16 pieds, 6c qu’au lieu de le remplir de mercure, on le rempliffe d’eau , l’on verra que l’eau demeurera fufpenduë comme le mercure , quoique le tuyau foit plus grand } car comme l’eau efl beaucoup plus legere que le mercure , on en mettra une bien plus grande hauteur dans un tuyau que de mercure ; car nous fçavons que les hauteurs de differentes liqueurs font comme les poids des mêmes liqueurs.
  - Cependant quoique la pefanteur de l’air foutienne fuf-pendu le mercure & l’eau dans des tuyaux de la grandeur que nous venons de dire, il ne faut pas croire que (I l’on remplifîoit d’eau un tuyau qui auroit beaucoup plus de 2 5 ou 16 pieds, comme,par exemple, de 40 pieds, que l’eau y demeurera toute fufpenduë j car l’air ne peut
  - Zzzij
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- - *' L5ôn
  - nomme at-.rnofphere Pétenduë de Fairqui eft renfermé dans le.-tourbillon d<E.Ia .terre.
  - 548 Nouveau G o u a- s
  - pas foûtenir un plus grand poids que le fient & e’eft parte moyen des tuyaux remplis de mercure ou deair que- l’on- mefiire. la- pefant-eur de L’air,.comme on le va. voir.
  - Si l’on-a un tuyau de verre de 40' pouces, que Ion remplifle de mercure, en forte qu’il y ait toujours une* de fes extrêmitez bouchée que l’autre bout auquel on aura mis le doigt, foit plongé dans un vafe où il y ait du mercure, ou que ce bout foit feulement recourbé, & qu’on le foutienne perpendiculairement dans l’air ou dans le mercure , car cela ne fait rien 5 l’on verra..qu’auffi-tôt qu’on aura ôté le doigt qu’on avoir appliqué fur le bout ouvert-, le. mercure baiiTera tant qu’il fera parvenu à la hauteur de 2 8 pouces, qui eft la hauteur où une colonne de mercure eft- en équilibre avec la colonne d’air qui lui répond.
  - Si l’on prend un tuyau de 40 pieds , conditionné comme ceux dont nous avons parlé , l’on verra que l’ayant, rempli d’eau , elle defcendra tant qu’elle foit à la hauteur de 3 1- pieds, parce qu’une pareille colonne d’ëau eft en équilibre avec celle de l’air qui lui répond, ou bien avec une colonne de vif-argent de 2 8 - pouces : mais comme nous fçavons qu’un. pied cube d’eau pefe 72 livres, fi l’on multiplie 3 1 par 72 , l’on aura 2 2 3.-2 , qui eft la. quantité de livres que pefe une colonne d’air, qui aurcit un pied quarréde bafe, & pour hauteur celle de l’atmof-phere. *
  - Cette épreuve eft encore confirmée par les pompes af-pirantes & les feringues j car aufli-tôt qu’on tire le pifton d’une pompe, l’éau fuit le piflon5 & fi l’on continue à lever le pifton, l’eaufuivra toujours, mais non pas à la hauteur que l’on voudra puifqu’elle ne pafte pas 3 1 pieds,” car auffi-tôt qu’on veut la tirer plus haut , le pifton ne tire plus l’eau , & elle demeure immot>iie &: fufpenduë à cette hauteur , où elle fe trouve en équilibre?avec le poids de l’air qui pefe au dehors du tuyau fur l'eau qui l’environne. L’on peut remarquer ici, pour defabufer cerna
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  - qui croyent que l’eau monte dans les pompes, parce que la nature a de l'horreur pour le vuide, que quand on a hauffé le piilun au-delà de 3 1 pieds , l’eau demeure à cette hauteur, 5e il le trouve un intervalle entre l’eau 5e le pilton , ou U n’v a point, ou que très-peu d’air que l’eau ne peut remplir, ne pouvant être pou liée plus haut par l’air extérieur. Si nos Philofophes a voient pris garde à cela , ils auroient ians doute été fort étonnez de voir que la nature celle d’avoir de llhorreur pour le vuide au-delà de 3 1 pieds de hauteur, 5e ils auroient pu l'accu-fer d’avoir du caprice , puilqu’à une certaine hauteur cdle ne peut fupporter le vuide . 5c qu’après cela le vuide lui devient indiffèrent.
  - Si r on fe lert d’une feringue longue de 3 pieds ou de y. pieds 5c demi, l’on verra encore que mettant le bout du tuyau qui elf ouvert dans un vafe de vif-anrent, qu’en tirant le pif ton, le vif-argent montera a la hauteur de 28 pouces 3 5c qu’inutilement on lèvera le pilton pour faire monter le vif-argent plus haut , qu’il demeurera toujours à la hauteur qui le met en équilibre avec le poids de Pair : ainii l’eau. , le vif-argent 5c l’air demeurent en équilibre , quand les hauteurs lont entr’eiles comme leurs poids j 5c cela de quelque grolieur que loientles tuyaux, parce, que les liqueurs ne pefent pas félon la grandeur de leurs baies, mais lelon leurs hauteurs.
  - Pour expliquer comme la pclanteur de l’air fait monter l’eau dans les hphons, nous iuppolerons un. hphon dont une des jambes foie environ haute d’un pied, 5c l’autre d’un pied un pouce. Si on le remplit d’eau , 5c qu’on bouche bien les deux ouvertures, pour qu’elle ne punie pas fortirsec qu’après cela l’on ait deux vaufeatix dont l’un foie un peu plus élevé que l’a titre, & que le plus élevé loi: rempli d’eau, mettant la plus courte jambe du hphen dans le vaillèau plus élevé , 5c la plus longue dans celui qui cil un peuplas bas, la courte jambe trempant dans l’eau , auili-tôt qu’011 aura débouché les ouvertures , l’eau qui eft dedans, au lieu dedefeendre., cherchera,.à monter y car
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  - l’eau qui eft dans les deux vaifTeaux étant prefTée par 1 air , êc non pas celle qui eft dans le fiphon , la forcera d’y entrer pour monter bien plus haut,s’il le pouvoit, puifqu’elle ne montera que d’un pied ,au heu que le poids de l’air eft capable de la faire monter de 3 1 pieds.
  - D’oi.1 il arrive que l’eau de chaque jambe étant pou.f' fée au haut du fiphon, elle fe combat à cet endroit 5 de lorte qu’ii faut que celle qui a le plus de force l’emporte fur celle qui en a moins : mais comme l’air a plus de hauteur d’un pouce lur le vailTeau plus bas que fur le vail-feau plus élevé, il poufie en haut l’eau de la longue jambe plus fortement que celle qui eft dans l’autre s d’où il femble d’abord que l’eau doit être pouiîee de la plus longue jambe dans la plus courte 5 mais le poids de l’eau de chaque jambe , quoiqu’il refifte à l’air , ne redite pas également: car comme l’eau de la longue jambe a,plus de hauteur d'un pouce que celle de la petite, elle redite plus fortement dé la force que lui donne la hauteur d’un pouce d’eau. Or elle n’eft pouffee en haut plus que celle de l’autre jambe, que par la hauteur d’un •pouce d’air 5 mais le pouce d’eau qui eft dans la plus longue jambe, a plus de force pour defcendre que le pouce d'air n’en a pour la faire monter, pniiqu’un pouce d’eau eft plus pelant qu’un pouce d’air : ainfi l’eau de la plus courte jambe eft pouftée en haut avec plus de force que .celle de la plus grande 5 ce qui fait quelle monte pour pafter dans l’autre valUéau, 6c continuera à monter tant qu’il y aura de l’eau dans le vailTeau qui lui répond.
  - C’eft ainft que toute l’eau du vaiileau le plus élevé , montera & fe rendra dans le plus bas, tant que la branche du fiphon qui y trempe, lera au-deflous d’une hauteur de 3 1 pieds 5 car comme nous l’avons dit , le poids de l’air peut bien haufter & tenir fulpenduë l’eau à cette hauteur ; mais dès que la branche qui trempe dans le vailTeau élevé excedera cette hauteur , il arrivera que le fiphon ne fera plus fon effet, j’entens que l’eau du vaift feau élevé ne montera plus au haut du fiphon pour le
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  - rendre dans huître, parce que le poids de l’air ne peut pas l’elever au-delà de 3 1 pieds j de forte que l’eau fe divi/eraau haut du fiphon, ôc tombera de chaque jambe dans fon vaiffieau jufqu’à ce qu’elle foit reftée à'ia hauteur de 3 1 pieds au-deflus de chaque vaiffeau, 011 elle demeurera en repos fu/penduë à cette hauteur par le poids de l’air qui la contre-pefe.
  - Il arrive plufieurs autres choies dans la nature, que les Anciens ont toujours attribuées à l’horreur du vuide , mais qui n’ont cependant d’autre caule que la pefanteur de T 'air j par exemple, li deux corps fort polis lont appliquez l’un contre l’autre, l’on trouve une extrême reli-llance à les feparer, de cette re/i/tance même eit li grande, que l’on, a cru. qu’il n’y avoit point de force humaine quipuiile les delunir. Cependant h l’on fait attention que n’y ayant point d’air entre ces deux corps , li l’on tient celui d’en haut avec la main, il doit arriver que celui d’en bas demeurera fu {pendu, puifqu’il efr pre/ie par tout le poids de l’air qui le touche par de/Ious , de qui fait qu’on ne peut les leparer qu’on n’employe une force plus grande que celle du poids de l’air 5 tellement que li ces deux corps, font, par exemple, chacun d’un pied cube3 êc qu’ils en ayent la figure , ils feront preifez l’un contre .l’autre par une force de 213 2 livres , qui eft le poids d’une colonne d’air, qui auroit un pied quarré de bafe : ainfi pour vaincre la force de l’air, afin de feparer ces deux corps, il faut employer une force plus grande que celle de 2 2 3 2 livres, de pour lors ces deux corps fe defu-niront fans aucune difficulté, puifqu’il importe fort peu à la nature qu’ils /oient feparez , ou non.
  - L’experience nous fait voir encore qu’un foufflet, dont toutes les ouvertures font bien bouchées, eft très-difficile à ouvrir , trouvant de la ré/i/tance , comme fi les ailes etoient collées : fi 011 demande la caufe de cet effet, on-n’en, trouvera pas d’autre que celle de la pefanteur de l’air j car comme il pre/Ie les ailes du /ouffiet,,/ans pouvoir s’introduire dedans, l’on, ne peut lever une des ailes,
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  - fans lever auffi tonte la malle de l’air qui eft au deffus.,1 qui relaiera d’autant'plus j que les aîles du foufflet auront de capacité, tellement que fi elles avoient un pied cC demi de fuperdcie, il faudroit une force plus grande que celle de 3348 livres, qui elt égale au poids de l’air qui répond à un plan d’un pied Si demi de fuperficiej mais dès que l’on fait une ouverture au foufflet, l’air qui entre dedans lait équilibre avec celui de dehors j tk l’on ne trouve plus de difficulté à l’ouvrir.
  - De même fi l’on demande pourquoi en mettant la bouche fur Peau, elle monte lorfque l’on fuce > comme cela arrive auffi avec un chalumeau de paille. Il n’y a qu’à confiderer que l’eau étant prelfée de toute part par le poids de l’air, excepté à l’endroit de la bouche ou le chalumeau eft appliqué, parce qu’en fuçant il arrive que les mufcles de la refpiration élevant la poitrine , font la capacité du dedans plus grande ; ce qui donne à l’air du dedans plus déplacé à remplir qu’il n’a voit auparavant, & lui donne moins de force pour empêcher l’eau d’entrer dans la bouche, que l’air du dehors n’en a pour l’y faire monter : ce qui devient le même cas que celui qui fait que Peau monte dans les pompes &; dans les ferin-gues.
  - Comme la pefanteur de Pair n’eft pas toujours la même , & quelle varie félon qu’il eft plus ou moins chargé de vapeurs, les effets varient auffi continuellement dans un même lieu 5 êc c’eft ce qu’on remarque par le Baromètre , où le mercure s’élève quelquefois au deffus de 1 S pouces, £e quelquefois defcend & fe met au défions ; quelque tems après il remonte toujours dans une viciffitude continuelle qui fuit celle de Pair. La même choie arrive par confequent dans les pompes ou l’eau monte quelquefois dans un tems à 3 1 pieds & demi, puis elle revient à 3 1 pieds, puis elle baille, & n'eft plus qu’à la hauteur de 3 o pieds & quelques pouces, étant afiujetties comme le Baromètre aux differentes pe-fauteurs de l’air.
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  - Comme l’air fur les montagnes fort élevées, ne pefe pas tant que lut* le bord de la mer, que nous prendrons pour le lieu le plus bas de la terre , l’experience fait voir que les pompes qui font fur les lieux fort élevez ne font pas monter 1 eau li haut j l’on a même remarqué que fur une montagne élevée de 6 00 toiles , l’eau au lieu de monter à 3 1 pieds, comme nous l’avons dit , ne montoit qu’a 2 6 pieds quelques pouces : le même changement arrive dans les lieux qui iont fort bas, ou l’eau monte quelque rois jufqu’a 3 2 ou 3 3 pieds j mais ces changemens s’obfervent bien mieux avec le Baromètre, qui peut iervir non feulement à connoître la pefauteur de l’air dans les Ülux différemment élevez, mais encore à meiurerla hauteur, des montagnes, 8c même celle de l’atmofphere.
  - Car H on elt au pied d’une montagne, 8c que le mercure à cet endroit loit élevé de 2 8 pouces , l’on verra qu’à mefure que l’on montera pour en gagner le foin met, le mercure au lieu de relier à la hauteur de 2 8. pouces, baillera, parce qu’étant foutenu par une moindre colonne d’air, il faut neceliairement qu’iL baiffe pour fe mettre en équilibre avec cette colonne : ainfi il demeure fufpen-du à une hauteur d’autant moindre, qu’on le porte à un lieu plus élevé j de forte que s’il étoit pollible. d’aller juf- ques au haut de l’atmofphere pour eii fortir entièrement dehors ,1e vif-argent tomheroit, fans qu’il en reda aucune partie, puilqu’il n’y auroit plus aucun air pour le conrre-peler. - , . .
  - • L’on a fait plulieurs belles expériences fur la, pefar-teur de l’air. La première a.été fur une des plus hautes montagnes d’Auvergne proche Clermont, que ion nomme la montagne dît Vuy de Dôme , 8c a fait voir qu’ayant un tuyau plein de mercure , bouché par un bout:8c recourbé par l’autre , le mercure étant à la hauteur de 26 pouces $ lignesaupied.de la montagne,.que partant de; là pour aller au lommet, à 1 o toifes le mercure étoit def-cendü d’une ligne, qu*à 2 o toifes il étoit defeendu de 2 lignes,qu a 100 toiles il étoit jdefcéndu de y lignes, 8c qu é-
  - A a a a
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  - tant monté de 500 toifes, il étoit defcendu de 3 pouces/ 10 lignes j Se l’on a trouvé qu'en defcendant pour venir au pied de la montagne, à chaque endroit où le mercure étoit defcendu, il elt remonté à la même hauteur, Se s’eft retrouvé à 2 6 pouces 5 lignes , au pied de la montagne , à l’endroit d’où l’on étoit parti. Ilne faut pas êtrefurpris fi après avoir dit ailleurs que la hauteur du mercure étoit ordinairement de 2 8 pouces pour être en équilibre avec l’air, qu’on ne la trouve que de 2 6 pouces 5 lignes au plus bas lieu de la montagne du Puy de Dôme, c’eft que cet endroit-là eft apparemment plus élevé que le bord delà mer j où effectivement le mercure eft à la hauteur de 28 poucesunais quand leBarometre fe trouve dans un lieu plus élevé que le bord de la mer , le mercure eft toujours au deflous de 2 S pouces, félon que la colonne d’air qui y répond j eft moindre que fur le bord de la mer.
  - Ceux qui ne raifonnent pas ont de la peine a s’imaginer que l’air a de là pefanteur, parce qu’ils n’en fentent pas le poids j mais fi on leur fait remarquer qu’un animal qui eft dans l’eau a la liberté de. le mouvoir fans fentir le poids de l’eau , à caufe qu’il en eft prefle également de toutes parts, ils né s’étonneront plus fi on ne s’apperçoit pas du poids de l’air qui nous prefte auiïî également de toutes parts, Se qui eft eu équilibreavec celui eue nous avons dans les poulinons & dans le fan g , Se avec celui qui eft generalement répandu par tout le corps.
  - Si l’on a cru li long-tems que l’air étoit leger, c’eft parce que les anciens Auteurs l’ont dit, 6c que ceux qui font pro-feffion de les croire, les fuivent aveuglément, aux dépens même de la vérité Se de la raifon: l’on a même été fi éloigné de penfer que la pefanteur de l’air fût la caufe de l'élévation de l’eau dans les pompes , qu’on a crû qu’il fuffifoit de- tirer Pair avec un pilton pour faire monter i’eau aufti haut que l’on voudvoit, & qu’on pou voit faire pafter l’eau d’une rivicre par deftùs une montagne pour la faire rendre dans le vallon oppofé, pourvu qu’il fois un peu plus bas que la riviere , par le moyen d’un fiphon
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- - de Màtkemaîi c^ue. 555
  - placé fur Lamontagne j dont l’une des jambes répondrait dans la rivière ; puiîque pour cela il ne faudroit que pomper l’air du liphon, fie il n’y a pas plus de quatre-vingt ans que l’on était encore dans cet erreur.
  - L’air a encore la propriété de pouvoir être extrêmement condenfé & dilaté , fie de conferver toujours une vertu de reflort, par laquelle il fait effort pour re-poufler les corps qui le prefle, jnfqu a ce qu’il ait re-
  - Î)ris Ion exigence naturelle. L’air le dilate aullî très-faci-ement par la chaleur, fie le condenlepar le froid, comme on le remarque dans le Thermomètre, ou l’on voit que l’air qui eft dans l’efprit de vin fait monter cette liqueur à vue d’œil dans le tuyau, quand on l’approche du feu, ou quand le loleil donne deüus 5 fie au contraire on s’ap-perçoit qu’elle baille beaucoup, quand il fait fort froid, ou quand on met le tuyau dans de l’eau froide.
  - L’air qui eh proche de la furface de la terre, eft fort condenfé, parce qu’il n’a pas lbn étendue naturelle > car puifque celui qui eft audefluseft pelant, fie qu’il a une vertu de reflort, celui que nous relpirons étant chargé du poids de tout Patmolphere, eft plus condenfé que celui qui eft tout au haut jparconlequent celui qui eft entre ces deux cxtrêmitezjdoit être moins condenlé que celui qui touche la terre , fie moins dilaté que celui qui eft au haut de Pat-mofphere. Mais pour avoir une idée claire de ceci, lup-polons un grand amas de laine cardée de la hauteur de 80 ou 100 toiles jiJ eft confiant que la laine qui eft en bas étant chargée de toute la pefanteur de celle qu’elle porte , ne fera pas fi étendue que celle qui eft tout au haut, fie celle qui eft dans le milieu ne fera pas li comprimée que celle qui eft ay. deflous , ni Ci étendue que celle qui eft au dtfllis. Or h l’on prend une poignée de la laine qui eft en bas, fie qu’on la porte au delliis , en la tenant toujours preflee de la même façon qu’elle l’étoit dans l’endroit d’où on l’a tirée, elle s’élargira d’elle-mé-me, fie prendra la même étendue que celle qui eft tout en haut j fie au contraire il on prend dans la main de
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- - 5 5^ Nouveau Cours
  - celle qui eft en haut , en lui Liliane Ton étenduë naturelle , fans la prelTer aucunement, l’on verra que la mettant fous celle qui eft en bas, elle fe comprimera de la meme façon que celle qui eft en bas. L’on peut dire la même chofe de l’air j car fi on prend une vefiie bien féche, foufrlée à la moitié de la groiTeur qu’elle devroit avoir, il on l’avoic bien remplie d’air, fi après l’avoir bien fermée, on la porte au haut d’une montagne fort élevée, l’on verra qu’à mefureque l’on montera la veflîe deviendra plus enftée quelle n’étoit auparavant, &: lorfqu’on fera parvenu au fommet,on la verra ronde & toute aufli enflée qu’elle eût été au pied de la montagne , fi on l’avoit foufîîée autant qu’on fait ordinairement pour la rendre fpherique. Cependant il eft à remarquer que l’air qui eft dans-la velïie eft toujours le même qu’il étoit au pied de la montagne , n’étant point au gmenté ni diminué 5 tout le changement qui lui eft arrivé, c’eft de s’être dilaté confi-derablement, c’elt-à-dire,qu’il occupe un bien plus grand efpace qu’auparavant j ëc il eft à prefumer que fi onavoit porté cette veflîe au haut d’une montagne beaucoup plus élevée que celle que je luppofe ici, l’air fe leroit dilaté jufqu’au point de crever la veflîe par la force de fonref-iort. La raifon. de cette dilatation vient fans doute de ce que l’air qu’on a mis dans la veflîe au pied de la montagne , étant preflfé par le poids de l’air extérieur , celui de dedans n’a pas plus de liberté de prendre Ion étendue naturelle que celui de dehors , puifqu’ils font également chargez du poids de l’atmofphere j mais quand la veflîe fe trouve au haut de la montagne, l’air qui eft à cette hauteur n’étant point fi chargé que celui d’en bas, ne prefte pas tant les corps qu’il environne j ce qui fait que celui qui eft dans la veflîe ne trouvant pas une fi grande réiî-ftance pour s’étendre qu’auparavant, fe. dilate &z occupe un bien plus grand efpace que celui où il étoit renfermé dans le lieu d’où on l’a lorti.
  - Il arrive tout le contraire , fi on remplit autant qu’il eft poflible une veifie au fommet d’une haute montagne > car
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- - DE MaTHEMATI O U il. 5 < J
  - fi Ton defcend pour venir dans un lieu beaucoup plus bas, Ton voit que la veflie de bien tendue qu’elle étoit auparavant, devient flafquc & molle à mefure que l’on defcend, tant qu’il, ne paroît prefque plus qu’elle ait été enflée -, ce qui ne peut manquer d’arriver par les raifons que nous venons- de dire 5 car i’air qui eft dans la veille fe trouvant comprimé de tous cotez par celui qui l’environne , qui eft beaucoup plus pelant que fur la montagne, il eft forcé de fe ramaifer, c’e11-à-dire , de fe condenfer pour occuper un plus petit efpace que celui qu’il tenoit dans l’endroit d’01.1 on l’a tiré.
  - C’eit fans doute à la dilatation & à la condenfationque l’àir prend, quand il eft porté dans un lieu plus élevé ou plus bas que celui d’ou il eft forti, qu’on doit attribuer l’incommodité que reflentent ceux que le befoin conduit fur des hautes montagnes ; car comme ils ont dans les poulmons &L dans le fang un air plus condenle que celui de l’endroit ou ils fe trouvent, les chairs n’étant plus preflees fl fortement par l’air que de coutume, laiffe à celui qui eft dans le corps la liberté, de fe dilater 5 ce qui ne peut fe faire fans déranger le teinperamment de ceux à qui cela arrive. L’on pourra expliquer par un raifonne-ment tout contraire a celui-ci la peine que reflentent ceux qui d’un lieu haut viennent habiter un lieu bas.
  - La rarefraction de l’air eft très-confiderable par les confequences que l’on a tirées de plufieurs expériences j M. de Mariotce qui en a fait plus que perfonne , Fait voir qu’un certain volume d’air que nous refpirons,peut. fe raréfier de 4000 fois pour être dans ion étendue naturelle, c’eft-àrdire , que s’il étoit poffible de porter un pied cube d’air de deflus la furfa.ce delà terre au haut de î’atrnolphere , il occuperoit un efpace de 4000 pieds cubes , & peut-être même d’une bien plus grande étendue.. Si cette eftimation approche de la vérité, il en fera la même chofe de la rarefraction de l’air naturel, c’eft-à-dire, de l’air qui eft au haut de Fatmofphere fur la fur-face de la terre, que lorfqu’il fera comprimé par l’air du :
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- - 558 Nouveaü Cours
  - dehors, il occupera un volume quatre mille fois plus petit pour devenir femblable à celui que nous refpirons : mais comme l’experiencc fait voir que celui-ci peut être extrêmement condenfé , celui du haut de l’atmofphere qui fe feroit condenfé de quatre mille fois pour devenir pareil au nôtre, peut donc l’être bien davantage de quatre mille fois pour devenir auffi ferré que le nôtre peut être réduit.
  - Nous avons fait voir que quand on portoit un Baromètre du pied d’une montagne au fommet,qu’a melure que l’on montoit, le mercure baiiToit pour fe mettre en équilibre avec la colonne d’air , qui devient d’autant moindre , que la montagne eft plus élevée j & en parlant de l’experience c[ui a été faite fur le Puy de Dôme , nous avons dit qu’étant monté de io toiles, le mercure étoit del-ccndu d’une ligne j qu’étant monté de 10 toifes , il étoit defeendu de i lignes» qu’étant monté de 100 toiles, il étoit delcendu de p lignes : enfin qu’étant monté de 5 00 toifes, il étoit delcendu de 8 pouces , 1 o lignes , ou autrement de 4G lignes » où l’on peut remarquer que la diminution du mercure n’ell pas dans la raifon des differentes hauteurs où le Baromètre a été porté fur la montagne j car pour que cela fut ainti, il faudroit qu’à 100 toiles le mercure fut defeendu de 1 o lignes, & qu’à 500 toiles il fut defeendu de 5 o lignes , pour lors l’on auroit deux progretlîons arithmétiques j l’une pour le Baromètre , de l’autre pour les differentes hauteurs fur lefquelles il leroit porté , &; les termes delà première progreffon fe furpalferoient d’une unité, de les termes de la leconde fe lurpafferoient de 10 toifes j ce qui feroit fort commode pour mefurer la hauteur des montagnes & celle de l’atmofphere , puifque le mercure defeendant d’une ligne de 1 o toifes en 1 o toifes, l’on n’auroit qu’à obferver de combien de lignes il feroit defeendu en allant du pied de la montagne au fommet j enfuite multiplier cette quantité de lignes par 1 o toifes, & le produit donneroit la hauteur de la montagne au deflus du vallon qui feroit au
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- - DE MATHEMATI QU E. 5 5 £
  - pied: de même pour fçavoir la hauteur de l’atmofphere, il n’y auroit qu’à multiplier 336 lignes, qui efc la hauteur du mercure fur le bord de la mer , par 1 o toifes, l’on auroit 3360 toiles pour la hauteur de l’atmofphere : mais comme la pefanteur de l’air 11e fuit point une fem-blabie progreffion, & quelle en fuit une autre toute differente , voici ce que Meilleurs Caffini Se Maraldi ont fa t pour la trouver , que j’ai tire des Mémoires de l’Académie R.oy ale des Sciences de l’année 1703.
  - Ils prirent d’abord géométriquement la hauteur des montagnes qui fe trouvèrent fur le chemin de la Méridienne i de quand ils purent le tranfporter jufqu’au haut, ils obferverent quelle étoit la defeentedu Baromètre. Ils avoient fait le même jour , lorfqu’il a voit été pollible, une Obfervation du Baromètre îur le bord de la mer, ou dans un lieu dont ils connoiffoient l’élévation fur le niveau de la mer, oii en tout cas ils ne pouvaient manquer de. trouver à leur retour des Obfervations perpétuelles du Baromètre qu’on fait à l’Obfervatoire, que l’on fçait être plus haut que la mer de 46 toifes.
  - Par les comparaifons des differentes hauteurs des montagnes avec les differentes defeentes du mercure fur ces montagnes , ces Meffieurs jugèrent que la progreffion fui-vant laquelle les colonnes d’air qui répondaient à une ligne de mercure, qui vont en augmentant des hauteurs, quand on deicend de la montagne, pou voient être telles que la première colonne ayant 6 1 pieds , la fécondé en eût 6 z , la troilîéme 6 3 5 & ainli toujours de fuite , du moins jufqu’à la hauteur d’une demi lieue 5 car ils n’a-Yoient pas obfervé fur des montagnes plus élevées.
  - En obfervant cette progreffion, iis retrouvèrent toujours , à quelques toifes près, par la defeente du mercure fur une montagne , la même hauteur de cette montagne qu’ils avoient eue immédiatement après l’operation géométrique.
  - On peut donc en admettant cette progreffion , mefu-rer par un Baromètre qu'on portera lùr une montagne.
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- - 560 Nouveau Cours
  - combien elle fera élevée fur le niveau de la mer, pourvft qu’on puiffe fçavoir à quelle hauteur e'toit à peu près en meme tems le Baromètre fur le bord de la mer, ou dans un lieu dont l’élévation au deffus de la mer foit connu 5 & cette méthode réiiffira le plus fouvent,quand même la montagne feroit fort éloignée de la mer j que fi cette progreffion regnoit dans tout l’atmofphere , il leroit bien facile d’en trouver la hauteur 5 car les 2 8 pouces de mercure étant la même chofe que 33 6 lignes , on auroitune progreffion arithmétique de 336 termes, dont la différence feroit l’unité, & le premier terme de 6 1 : mais comme J’on n eh: pas fur que la pefanteur de l’air fuit une femblable progreffion, le principe paroît trop incertain pour qu’on puiffe en rien conclure pour la hauteur de l’atmofphere, qui ne fe trouverait que de 6 lieues & -J, félon cette progreffion, au lieu que M. de Mariotte a fait voir par une nouvelle maniéré de calculer la hauteur de* l’atmofphere, qu’elle avoit environ 2 5 lieues, qui eïf la hauteur que tous les Phyliciens lui donnent prefente-ment : mais la progreffion précédente peut être fort utile pour mefurer la hauteur d’une montagne qui ne paffe point 1200 toifes.
  - Fin du Cours de Mathématique.
  - TABLE
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- - TABLE
  - DES TITRES CONTENUS dans cet Ouvrage.
  - PREMIERE PARTIE:
  - Qui traite de la Géométrie.
  - LIVRE PREMIER.
  - oii r ’on donne l'Introduction à la Géométrie.
  - DEfinitions, page I
  - Première Réglé pour réduire les quantités algébriques à leurs moindres termes , i o
  - Addition des quantités algébriques incomplexes -& complexes,
  - ibid.
  - Soufiraction des quantité^ algébriques incomplexes & complexes , I i
  - Eclaircifiementfur la Soufiraciion littérale, I z
  - Multiplication des quantités incomplexes , ibid.
  - Multiplication des quantités complexes , 13
  - Eclaircifi'ement fur la multiplication des quantités complexes , 1 5
  - Proposition I. Théorème. Le quarrê de toutes grandeurs exprimées par deux lettres pofitives, efi égal au quarré de chacune de ces lettres , plus à deux reétangles compris fous ces mêmes lettres, 16
  - Prop. 'II. Théorème. Le cube de toutes grandeurs pofitives exprimées par deux caractères, efi égal au cube du premier, plus au cube du fécond , plus à trois parallélépipèdes du quarré du premier par le fécond ; plus enfin à trois autres
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- - TABLE.
  - pa rallélépipèdes du quarré du fécond par le premier, ibid.
  - Prop. III. Théorème. Si l’on a une ligne divi fée également & inégalement, je dis que le rectangle compris fous les parties inégalés, avec le quarré du milieu, ejl égal au quarré de la moitié de la ligne, i 7
  - Prop. IV. Théorème. Si l’on a une ligne droite divi fée en deux également, & qu’on lui en ajoute une autre, je dis que le rectangle compris fous la compoféede deux, & fous L’ajoutée , avec le quarré du milieu ,/era égal au quarré de la ligne compofée de la moitié & de l’ajoutée, 18
  - Prop. V. Théorème. Si l’on a deux lignes, dont la première foit double de la fécondé ,je dis que le quarré de la première fera quadruple du quarré de la fécondé , 15?
  - Divifon des quantités algébriques incomplexes & complexes , ibid.
  - Maniéré d’extraire la racine quarrée, 23
  - Maniéré d’approcher le plus près qu’il e[t pojfible de la racine d’un nombre donné par le moyen des décimales , 28
  - Maniéré d’extraire la racine quarrée des quantité^ algébriques, 19
  - D émonjlration de là racine quarrée, 3 1
  - Maniéré d’extraire la racine cube, 3 3
  - Maniéré d’approcher le plus près qu’il ejt poffible de la racine cube dé un nombre donné par le moyen des décimales ,, 38
  - Manière d’extraire la racine cube des quantitév littcrales, 3 y D émonjlration de la racine cube , 40
  - Méthode de dégager les quantité^ inconnues des équations,
  - 43
  - adfage de l’addition & de la foujtraction pour le dégagement des inconnues, ibid.
  - *Vfage de la multiplication pour dégager les inconnues, (J pour délivrer de fractions les équations, 4 y
  - fage de la divifon pour dégager les inconnues, 4 6
  - *Vfàge de l’extraction des racines pour dégager les inconnues, 48
  - Maniéré de fubjlituer dans une équation la valeur des inconnues 8 <0
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- - TABLE.
  - Maniéré de faire évanouir toutes les inconnues d'une équation , 5 2
  - Application des réglés precedentes k la refolution de plufeurs Problèmes curieux, <a.
  - LIVRE IL
  - Qui traite des Proportions, des Rapports & des Fra&ions.
  - Définitions, -6 i
  - P RO p. I. Théorème. Si quatre grandeurs font en proportion géométrique , le produit des extrêmes fera égal à celui des moyens, 6 6
  - Prop. II. Théorème. Si quatre grandeurs font difpofées de telle forte que le produit des extrêmes fait égal h celui des moyens , ces quatre grandeurs feront proportionnelles, 6 8
  - Prop. III. Théorème. Lorfque quatre grandeurs font en proportion arithmétique , la fomme des deux extrêmes efi égale k la fomme des deux moyens, 7 o
  - Prop. IV. Théorème. Lorfque plufieurs grandeurs font en proportion géométrique , ou quelles forment des rapports égaux , la fomme des antecedens efi a la fomme des confe-quens, comme celui des antecedens que don voudra efi kfon confequent, 71
  - Prop. V. Théorème. Lorfque deuxraifons ont même raifon h une troifiéme, ces deux raifons. font égales enté elles , 7 z Prop. VI. Théorème. Deux grandeurs demeurent en même raifon, quoique l'on ajoute a l'une & * l’autre, pourvu que ce que l'on ajoute k la premiers fait h ce que l'on ajoute k la fécondé, comme la première efi k ta féconde, ibid.
  - Prop. VII. Théorème. Deux grandeurs demeurent en même raifon, quoique l’on retranche k l’une & a l'autre ,pourvu que ce quon retranche k lu première foit k ce qu'on retranche k la fécondé, comme la première efi k la fécondé, 73
  - Prop. VIII. Théorème. Si ton multiplie les deux ternes d’une raifon par une même quantité , les produits feront
  - aij
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- - TABLE.
  - dans la même raifon que ces termes ctoient avant d'être multipliez,ibid. Prop. IX. Théorème. Si l'ondivife les deux termes d'une rai fin par une même quantité , les quotient feront dans la même raifon que les grandeurs que L'on a divifles , 74
  - Prop. X. Théorème. Bans toutes équations les racines des produits qui forment chaque membre, font réciproquement proportionnelles , c cf -k-dire , qu'en prenant les racines d'un des membres pour les extrêmes , & les racines de l'autre pour les moyens, on formera une proportion géométrique , 75
  - Maniéré de réduire les fra ctions en même dénomination, 7 6 Addition des fractions, 77
  - Soufiraction desfra étions, ibid.
  - Multiplication des fractions y 7$.
  - Bivifion des Tractions , 80
  - Réglé de proportion des fractions , g I
  - Extraction des racines des quantités fractionnaires, g 2.
  - LIVRE III.
  - Oh l’on, confidere les differentes polirions des lignes droites.
  - DE finitions, 8.5
  - Prop. I. Problème. BTun point donné hors d'une ligne donnée , tirer une perpendiculaire fur cette ligne, 8 7
  - Prop. IL Problème. B'un point donné dans une ligne donnée^ élever une perpendiculaire, 8 8
  - Prop. III. Problème. Bivifer une ligne donnée en deux parties égales y ibid.
  - Prop. IV. Théorème. On ne peut élever a un même point . dans une ligne donnée, plus d'une perpendiculaire . 8$
  - Prop. V,. Théorème. B’un point donné hors d'une ligne, on ne peut faire tomberquune feule perpendiculaire fur cette ligne, ibid.
  - Pr op. VI. Théorème. ‘Vne ligne perpendiculaire efi lapins courte de toutes les lignes que l'on peut mener d'un point k une ligne,, 5.3
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- - TABLE.
  - Pro p. VII. Théorème. t£fuand une ligne tombe obliquement fur une autre, elle forme deux angles, qui fris enfemble, valent deux droits, ibid.
  - Prop. VIII. Théorème. Lorfque deux lignes droites fe coupent , elles forment les angles oppofez* aux fommets égaux f 9 1
  - Prop. IX. Théorème. Lorfque deux lignes droites (fi pa-, ralleles viennent aboutir fur une troifiéme » elles forment des angles égaux du même coté, ibid.
  - Prop. X. Théorème. Lorfque deux lignes parallèles font
  - coupées par une troifiéme ligne, elles forment les angles alternes égaux, z
  - P ro p. XI. Problème. D'un point donné mener une parallèle a une ligne, ibid.
  - LIVRE IV.
  - Qui traite des propriété z des Triangles ôc des Parallélogrammes.
  - DE finit ions , <7 3
  - Prop. I. Théorème. L'angle extérieur dé un triangle efi égal aux deux intérieurs oppofez*, (fi les trois angles d'un triangle valent deux droits „ 574.
  - Prop. II. Théorème. Deux triangles font égaux ,lorfquils ont deux cotez* égaux chacun a chacun avec l'angle compris égal, 95
  - Pr o p. III. Théorème. Deux triangles font égaux , quand ils ont un côté égal, (fi que les angles fur le côté égal (ont égaux chacun a chacun, 9 6
  - Prop. IV. Théorème. Les parallélogrammes qui ont la même bafe, (fi qui font renferme^ entre les mêmes parallèles , font égaux , ibid.
  - Prop. V. Théorème. Les triangles font égaux, lorfqu' ayant la même bafe, ils font renfermez* entre les mêmes parallèles , 57 g
  - Prop. VI. Théorème. Les comple?nens des parallélogrammes font égaux5? 5?
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- - TABLE.
  - Prop. VIL Théorème. Les parallélogrammes qui ont la même hauteur, font dans la même raifon que leurs hafes, i oo
  - Prop. VIII. Théorème. Si Von coupe les deux côte^d’un triangle par une ligne parallèle a la bafe, les cote f du triant g le feront coupe£ proportionnellement, ibid.
  - Prop. IX. Théorème. Les triangles femblables ont leurs cotez, proportionnels, i o r
  - Prop. X. Théorème. Si l’on abaiffe de l’angle droit d’'un triangle reétangle une perpendiculaire fur le côté oppofé, elle divifera ce triangle en deux autres triangles , qui lui feront femblables, 103
  - Prop. XI. Théorème. Dans un triangle rectangle le quarré ' du côté oppofé h l’angle droit est égal aux quarrez, des deux autres côte^pris enfemble ibid.
  - Prop. XII. Théorème. Dans un triangle obtus-angle , le quarré du côté oppofé à l’angle obtus, efi égal au quarré de deux autres cotez, pris enfemble, fi on leur ajoute deux rectangles compris fous le côté qui a été prolongé pour la perpendiculaire , & fous la partie qui efi entre la perpendiculaire l’angle obtus, 103
  - Prop. XIII. Théorème. Dans tous triangles le quarré du côté oppofé a un angle aigu, avec deux rectangles compris fous le côté où tombe la perpendiculaire, & fous le feg-ment entre la perpendiculaire & l’angle aigu, efi égal au quarré de deux autres cotez,pris enfemble , 106
  - LIVRE V.
  - Oïi Ion traite des proprietez du Cercle.
  - DE finitions , 108
  - P R 0 p. I. Théorème. Si du centre dêun cercle on abaiffe une perpendiculaire fur une corde, elle la divifera en deux également, loq
  - Prop. II. Théorème- Si du centre d’un cercle on mène une ligne au point où une tangente touche le cercle, je dis que
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- - TABLE.
  - cette ligne fera perpendiculaire fur la tangente, iio Prop. III. Théorème. L'angle qui eft a la circonférence d'un cercle, a pourmefure la moitié de l'arc fur lequel il s'appuyé,
  - ibid.
  - Prop. IV. Théorème. Si l'on a un angle formé par une corde & une tangente, cet angle aura pour mefure la moitié de l'arc foütenu par la corde , I I i
  - Prop. V. Théorème. Si deux lignes fe coupent indifféremment dans un cercle, je dis que le rectangle compris fous les parties de l'une, eft égal au rectangle compris fous les parties de l'autre, Hz
  - Prop. VI. Théorème. Si d'un point pris hors d'un cercle, l'on tire deux lignes qui aillent fe terminer a la circonférence concave ,je dis que le rectangle compris fous l'une des lignes entières & fous fa partie extérieure au cercle, eft égal au rectangle compris fous l'autre ligne entière , & fous fa partie extérieure, ibid.
  - Prop. VII. Théorème. Si l'on éleve une perpendiculaire a tel point que l'on 'voudra du diamètre d'un cercle, le quarré de la perpendiculaire fera égal au rectangle compris fous les parties du diamètre, i i 3
  - Prop. VIII. Problème. Mener un tangente a un cercle par un point donné,. ibid.
  - Prop. IX. Théorème- Si d'un point hors d'un cercle l'on me?ie une tangente & une fecante, je dis que le quarré de la tangente f era égal au rectangle compris fous la fecante & fa partie extérieure au cercle1 14 Prop. X. Théorème. Si l'on a une tangente perpendiculaire au diamètre d'un cercle > je dis que fi l'on tire autant de li gnes qu'on 'voudra de l'extrémité du diamètre à la tangente3 le quarré du diamètre fera égal au rectangle compris fous l'une des lignes , telle que ce foit, ér fous fa partie intérieure au cercle, ibid.
  - Prop. XI. Problème. Divifer une ligne en moyenne & extrême raifon, iiî
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- - TABLE.
  - LIVRE VI.
  - Qui traite des Poligones réguliers infcrits & circonfcrits au cercle.
  - DE finitions, I I 6
  - Prop. I. Problème. Infcrire un exagone dans un cercle , 117
  - Prop. II. Problème. Décrire un dodécagone dans un cercle , ii 8
  - Lemme. Si l’on a un triangle ifofcele ,dont chaque angle de la bafe foit double de celui du fommet, je dis que divifant Hun des angles de la bafe en deux egalement par une ligne qui aille rencontrer le côté oppofé, qu elle divifera ce côté en moyenne & extrême raifon au point de rencontre, ibid. Prop. III. Problème. Infcrire un décagone dans un cercle,
  - H9
  - Prop. IV. Théorème. Si l’on a une ligne droite compofée du côté de Hexagone & du décagone infcrit dans le même cercle, elle fera divifc'e en moyenne & extrême raifon au point ou fe joignent les deux lignes, 120
  - Prûp. V. Théorème. Le quarré du côté du pentagone infcrit dans un cercle, efi égal au quarré du coté de Hexagone, plus celui du côté du décagone infcrit dans le même cercle,
  - ibid,
  - Prop. VI. Problème. Infcrire un pentagone dans un cercle , 1 2 1
  - Prop. VIL Problème. Infcrire un quarré dans un cercle , 122
  - Prop. VIII. Problème. Infcrire un offogone dans un cercle , ibid.
  - ProblemeI. Divifer une ligne droite en autant de parties ég aies que H on voudra, 123
  - Prob l e me II. Divifer un arc de cercle en un nombre de parties égales pairement paires , 12.4
  - Maniéré de décrire la quadratrice, ibid.
  - Prop. IX.
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- - TABLE.
  - P* Op. IX. Problème. Diviferun angle en trois parties égales , i z 5
  - Prop. X. Problème. Décrire un cnneagone dans un cercle, 116
  - Prop. XI. Problème. Décrire un eptagone dans un cercle, ibid.
  - Prop. XII. Problème. Décrire un ondecagone dans un cercle ^ 12 7
  - Prop. XIII. Problème. Circonscrire un poligone autour d'un cercle , ibid.
  - LIVRE VII.
  - Oïl l’on confidere le rapport qu’ont les circuits des figures femblables, &; la proportion de leurs furfaces.
  - D.Efinitions , 119
  - P R o p. I. Theoreme. Si l'on a deuxpoligones réguliers & femblables,je dis que le circuit du premierpoligone efi au circuit du fécond, comme le rayon du premier ejl au rayon du fécond, ibid.
  - Pro p. II. Theoreme. Si du centre d'un poligone régulier l'on abaiffe une perpendiculaire fur l'un de fes côte^, je dis que la juperficie de ce poligone fera égale à un triangle rectangle , qui auroit une hauteur égale k la perpendiculaire , dr pour bafe une ligne égale au circuit du poligone, 130
  - Prop. III. Theoreme. La fuperficie d'un cercle est égalek un triangle qui auroit pour hauteur le rayon du cercle, & pour bafe la circonférence, I 3 I
  - Prop. IV. The'oreme. Si ion a deux poligones femblables , la fuperficie du premier fera k celle du fécond , comme le quarré de la perpendiculaire tirée du centre fur l'un des côte^ dans le premier, efi au quarré de la perpendiculaire, femblablement tirée dans le fécond, ou comme le quarré du rayon du premier, efi au quarré du rayon du fécond, I 3 3 Prop. V. Theoreme. Les fuperficies des cercles font dans la même raifon que les quarre^de leurs rayons, 134
  - b
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- - TABLE.
  - Prop. VI. Théorème. Les triangles femblables font dans la meme raifon que les quarrez* de leurs cotez* homologues r ibicL
  - Prop. VIT. Théorème. Les quadrilatères qui ont leurs bafes & leurs hauteurs réciproques , font égaux , 135
  - Prop. VIII. Théorème.Les parallélogrammes font dans la raifon compofee de leurs bafes & de leurs hauteurs 136 Prop. IX. Théorème. Si l’on a trois lignes en proportion continué , je dis que le quarré fait fur la première-, cjl au-quarré fait fur la fécondé , comme la première ligne efi h la troiféme, 137
  - Prop. X. Théorème. Si l’on a deux lignes droites inégale s ^ je dis que le rectangle compris feus ces deux lignes , ejl moyenne proportionnelle entre le quarré de chacune de ces lignes 138
  - Prop. XI. Thcoreme. Si l’on 0 quatre grandeurs en proportion géométrique, il y aura même raifon du quarré de la première au quarré de la fécondé, que du quarré de la troi-fiéme au quarré de la quatrième , ibicL.
  - Prop. VII. Problème. Trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes données , ibicL
  - Prop. XIII. Problème. Trouver une troiféme proportionnelle a deux lignes données , 1 3.9
  - Prop. XIV. Problème. Trouver une quatrième proportion-nelle k trois lignes données , 140
  - Prop. XV. Problème. La ire un quarré égal kun rectangle y 141
  - Prop. XVI. Problème. Trouver un quarré qui fait k un autre félon une raifon donnée , 142
  - Prop. X VIII. Problème. Trouver le rapport de deux figures femblablesibicL Prop. XVIII. Problème. Faire un rectangle égal k un autre qui ait un coté déterminé a: 14.5
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- - TABLE.
  - LIVRE VIII.
  - Qui traite des Corps & de leurs furfaces.
  - D Efinitions * 145
  - P R.or. I. Théorème. La furface de tout prifime, fans y comprendre les bafes, efi égalé à celle d'un rectangle , qui auroit pour bafeune ligne égale h la fomme de tous les cotef du poligone qui fert de bafe au prifme, & une hauteur égale à celle du prifme, 14 7
  - Prop. IL Théorème. La furface d’une pyramide droite efi égale à celle d’un triangle qui auroit pour bafe une ligne égale a la fomme des cote’f du poligone régulier, qui fert de bafe À la pyramide, & pour hauteur une ligne égale d une perpendiculaire tirée du fommet de la pyramide fur un des cotez, de fa bafe, 148
  - Prop„ III. Théorème. Les parallelepipedes ér les prifmes droits,font en raifon compofée des raijons de leurs trois di-menfions, 149
  - Prop. IV. Théorème. Toute pyramide efi le tiers dé un prifme de même bafe & de même hauteur, 13 o
  - Prop. V.. Théorème. Les pyramides de même hauteur font dans la raifon de leurs bafes , 152
  - Prop. VI. Théorème. Si l’on a deux prifmes, dont les bafes & les hauteurs foient réciproques,je dis qu’ils font égaux, 153 Prop. VII. Théorème. T ne pyramide tronquée est égale à une pyramide qui auroit pour bafe un plan égal aux deux quarrez qui lui fervent de bafe pris enfemble, plus un plan . qui feroit moyenne géométrique entre ces deux quarref, é* pour hauteur l’axe de la pyramide tronquée. 1 5 4
  - Lemme. La ligne qui fera moyenne proportionnelle entre les deux parties du diarnctre dé un grand cercle d’une couronne3 fiera égal au rayon d’un cercle égal a la couronne, 155 Prop. VIII. Théorème. Si l’on a une demi-fphere infrite dans un cylindre, je dis que la demi-fphere efi égale aux deux tiers du cylindre 3 1 5 é
  - b ij
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- - TABLE.
  - P kop. IX- Théorème. Les foliditez des fpheres font dans U ?nême raison que les cubes de leurs diamètres , 158
  - Prop.X. Théorème La furface d'une demi-fphere eB égale-k celle d'un cylindre où elle efi inferite , 155?
  - Pkop. XL Théorème. La folidité d'une zone efi égale aux deux tiers du cylindre qui a four bafe le plus grand cercle de la zone , plus au tiers du cylindre , qui a pour bafe fort plus petit cercle, 162
  - pROp.XII. Théorème. Si l'on coupe une demi-fphere inferite dans un cylindre par un plan parallèle k la bafe du cylindre , je dis que la furface de la zone cft égale k celle du cylindre corre[pondant, 163
  - Pro p. XIIL Théorème. Lorfque trois lignes font en proportion continué, le parallélépipède fait fur ces trois lignes ,c(l égal au cube fait fur la moyenne, 164.
  - Pkop. XIV. Théorème. Lorfque quatre lignes font enpro-greffion géométrique , le cube fait fur la première eft au eu-b e fait fur la fécondé , comme la première ligne eji k la quatrième, ibicL
  - Pr o p. XV. Problème. Trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, j g ^
  - Prop. XVI. Problème. Trouver emtre deux nombres donnez deux moyennes proportionnelles,
  - Prop. XVII. Problème. Taire un cube qui foit k un autre dans une rai fon donnée , j 6 g
  - Prop.XVIILProblème. Faire un cube égal k un parallèle-fïfede, 16 P
  - TRAITE’ DES SECTIONS CONIQUES, CH AP T IRE I.
  - où r 'on confidere les proprietez de la Parabole.
  - DE finitions , jy 7
  - Prop. I. Théorème. Le rectangle compris fous l'ab-ctjje & le paramétré eji égal au quarré de l'ordonnée , 1 74
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- - TABLE.
  - Prop. II. Théorème. Bans la parabole, les quarrez des ordonnées font dans la meme raifon que les abcifjes, 175
  - Prop. III. Problème. Mener une tangente k une parabole par un point donné, 175
  - Prop. IV. Théorème. Si on éleve une perpendiculaire fur la tangente dé une parabole k Tendroit ou elle touche cette courbe , & que de ce même point o?i tire mie ordonnée k T axe,je dis que la partie de l’axe compris entre la perpendiculaire & lé ordonnée ,Jera égale a la moitié du paramétré,
  - ibid.
  - Prop. V. Théorème. La fous-tangente d'une parabole, ejl double de l’abcijje correfpondante , 177
  - Pr op. VI. Théorème. Si Ton tire une ligne parallèle h la tangente dé une parabole, je dis que cette ligne fera divifée en deux également par le diamètre de la tangente, 178
  - Pro p- VII. Théorème. Le quarré dé une ordonnée quelconque an diamètre dé une parabole , ejl égal au reétang le compris fous T ab ci fie & fous le paramétré du diamètre 7 180
  - Prop. VIII. Théorème. Si Ton coupe un cône par un plan parallèle k un de fes cotez,, la fcéiion fera une parabole , 181 Prop- IX. Problème. B écrire une parabole Je paramétré étant
  - donné, 183
  - Prop. X. Problème. Trouver T axe dé une parabole donnée s ibid.
  - Prop. XI. Problème. Trouver le paramétré d’une parabole donnée , 1 S 4
  - Prop. XII. Problème. Trouver lé foyer d’une parabole dont
  - on connaît le paramétré, ibid.
  - CHAPITRE IL
  - Qui traite de l’Ellipfe.
  - DE finitions, 18%
  - Prop I. Théorème. Bans TEllipfe le rectangle compris fous les parties du grand axe, efi au quarré de l’ordonnée correfpondante 3 comme le quarré du grand axe efi an quarré du petit î 8 6
  - biï\
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- - TABLE.
  - Prop. IL Théorème. Si des extrémités de deux diamètres d'une Ellipfe l'on tire des ordonnées à l'axe , je dis que le quarréde la partie de l'axe cmnprife entre le centre & une des ordonnées, fera égal au rectangle compris fous les parties de l'axe coupé par l'autre ordonnée , 189
  - Prop. III- Théorème. Le rectangle compris fous les parties d'undiametre de l'Ellipfe , ejlau quarré de l'ordonnée corref-pondante, comme le quarré du même diamètre ejlau quarré de fon conjugué, 15JO
  - Prop. IV. Théorème. La fomme des quarrez des deux axes d'une EllipJ'e, efi égale à la jomme des quatref des deux diamètres conjuguez,, 1 9 3
  - Prop. V. Théorème. Si par P extrémité d'un des axes de l'Ellipfe, l'on mené une tangente qui aille rencontrer deux diamètres prolongez,, je dis que le rectangle fait des parties de la tangente , ejl égal au quarré de la moitié de l'autre axe, 194.
  - Prop. VI. Théorème. Si Von coupe un cône par un plan obliquement à la bajê, la fcétion f era une Ellipfe, 195
  - Pr o p. VII. Théorème. Si l'on coupe un cylindre par un plan obliquement k la bafe, la fection fera une Ellipfe , 197
  - Prop. VIH. Problème. Deux axes conjuguez, d'une Ellipfe étant donnez , la décrire par un mouvement continu , ibid. Prop. IX. Problème. Trouver le centre & les deux axes conjuguez dé une Ellipfe donnée , iy8
  - CHAPITRE III.
  - Qai traire de l’Hyperbole.
  - DEfni fions, iqq
  - Prop. I. Théôreme. Dans l'Hyperbole le rectangle des parties du grand axe prolongé, ejl au quarré de l'ordonnée correfpondante, comme le quarré du grand axe efi au qua rré du petit, 200
  - Prop. II. Théorème. Si l'on mené une ligne droite parallèle aujecond axe 3 en forte qu'elle coupe une dçs Hyperboles , &
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- - T A B L E,
  - quelle foit terminée par les afymptotes , je dis que le rectangle compris fous la plus grande partie gr fous la plus petite y fera égal au quarré de la moitié du fécond axe , 2 o J.
  - pRor. III. Théorème. Si /’ on mene par deux points quelconques de deux Hyperboles oppofc'es , deux lignes droites parallèles entr elles, & terminée par les afymptotes , je dis que le rectangle compris fous les parties d'une des lignes , fera égal au rectangle compris jous les parties de l’autre, 102.
  - Prop. IV. Théorème. Si l’on mene par deux points quelconques d’une Hyperbole, ou deux Hyperboles oppofées, deux lignes droites parallèles entr elles d’une part, çr, deux autres lignes droites d’un autre aujji parallèles entr elles terminées par les afymptotes, je dis que les rectangles compris fous les lignes tirées des memes points , font égaux * 10 3,.
  - Prop. V. Problème. Par un point donné d’une Hyperbole ,, mener une Tangente , les afymptotes étant données , 2 04.
  - P ro p. VI. Théorème. Le quarré d’une ordonnée quelconque menée parallèle k la tangente d’une Hyperbole , eft au rectangle compris fous les parties du grand diamètre prolongér comme le quarré du petit diamètre ejl au quarré du grand r 205.
  - Prop. VII. Théorème. Si l’on coupe un cône droit par une plan parallèle à l’axe , je dis que la Jection fera une Hyperbole 2 o &
  - Prop. VIII. Problème. Trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données , 207"
  - SECONDE PARTIE
  - Qui traite de la Trigonométrie rediligne;-
  - D Efinitions 3 zi j,
  - Calcul des triangles rectangles y Prop. L Problème. Dans un triangle rectangle dont0Mf
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- - T A B L E.
  - connaît un angle aigu, & le coté oppofé k l’autre angle aigu , trouver le coté oppofé k l’angle connu, 218
  - Prop. II. Problème. Cônnoiffantdans un triangle un angle aigu, éJ le côté oppofé k l'autre angle aigu, trouver l’hypo-tenufe, z i ^
  - Prop. III. Problème. Bans un triangle rectangle , dont on connoîtun angle aigu, & le côté oppofé k cet angle , trouver le côté oppofé a l'autre angle aigu, ibid.
  - Pr OP. IV. Problème. Bans un triangle rectangle , dont on connoît les deux côte£ qui comprennent l'angle droit, trouver un angle aigu, z 2 o
  - Prop. V. Problème. Dans un trianzle on l'on connoît deux
  - r _ o
  - cotez, qui comprennent un angle aigu, trouver la valeur de cet angle , ibid.
  - Prop. VI. Théorème. Bans tous triangles les finus des angles font dans la même raifon que leurs cotez oppofez t 2 z I
  - Prop. VII. Théorème. Bans un triangle obtus-angle lefi-nus de l'angle obtus, efi le même que celui de fon fupple-ment y ibid.
  - Prop. VIII. Problème. Bans un triangle dont on connoît deux angles & un côté, on demande de trouver les deux autres cotez, z z z
  - Prop. IX. Problème. Bans un triangle dont on connoît deux cotez avec un angle oppofé h l'un de ces cotez y trouver les deux autres angles z 2 3
  - Prop. X. Théorème. Dans tous triangles dont on connoît deux cotez avec l'angle compris , la fomme des deux cotez connus efi a leur différence, comme la tangente de la moitié de la fomme de deux angles inconnus, efi k la tangente de la moitié de leur différence y 224
  - Prop. XI. Problème. Dans un triangle dont on connoît deux cotez avec l'angle compris entre ces deux cotez, trouver les autres angles, 225
  - Prop. XII. Théorème. Bans tous triangles dont on connoît les trois cotez , la baje efi k la fomme de deux autres cô-tefy comme la différence de ces deux mêmes cotez efi à la
  - différence
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- - TABLE.
  - différence des fegmens, coupé par la perpendiculaire tirée du femme t fur la bafe, z z6
  - Prop. XIII. Problème. Connoiffant les trois cotez, d’un * triangle, l'on demande de trouver la valeur d'un des Jeg-mens de la bafe, 217
  - Vfagc des Logarithmes pour le calcul des triangles, ibid.
  - Premier Exemple. Ayant un triangle rectangle, dont on connût t un angle aigu avec le côté oppofé a l'autre angle aigu, trouver le côté oppofé k l'angle connu, 228
  - Second Exemple. Si l'on a un triangle retfangle, dont on connaît les deux cotez, qui renferment l'angle droit, trouver un angle aigu, 119
  - Troifiéme Exemple. Dans un triangle dont on connoît un côté avec les deux angles fur la bafe, trouver l'autre côté}
  - ibid.
  - Application de la Trigonométrie k la Pratique , 230
  - Prop. XIV. Problème. Trouver une diflance qui ne foit ac-ceffible que par une de fes extrêmitez,, ibid.
  - Prop. XV. Problème. Trouver une diflance entièrement inaccefflble, 233
  - Pr o p. X VI. Problème. Tirer une ligne parallèle k une autre inaccefflble, ibid.
  - Prop.XVII. Problème. Mefurerune hauteur inaccefflble »
  - 235
  - Maniéré de lever une Carte par le moyen de la Trigonométrie , 23 6
  - Des attentions qu'il faut faire pour lever une Carte particulière , 23 9
  - Application de la Trigonométrie k la Fortifleation , 240
  - Maniéré de tracer les fortifications fur le terrain , 245
  - Autre maniéré de tracer en fe fervant de la Planchette, 246 Application de la Trigonométrie k la conduite des Galeries des Mines 3 247
  - c
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- - TABLE.
  - TROISIEME PARTIE:.
  - Où. Ion donne la Théorie 6c la. Pratique du Nivellement*
  - DE finitions, '2 5' i
  - Chat. I. Ou l’on donne tufagedu Niveaudeau, 2 5 r-Lhap. IL OÙ l'on donne la manière de faire le Nivellement compofé, 255
  - Chap. .III. Ou l'on donne la maniéré de niveler deux termes entre lefquels il fe trouve des hauteurs (fi des fonds , 2. 5 7'
  - Chap. IV. où l’on fait voir la maniéré de connaître de combien te niveau apparent efi élevé au de (Jus du vrai, pour une ligne de telle longueur qu on voudra , 261.
  - Chap. V. OÙ V on fait la, description du Niveau de Ai, Hit-geins, . _ . 2 6'4
  - Chap. VI. O u l'on donne la-maniéré de fe fervir du Niveau de Ai. Hugeins,. 268
  - Chap. VIL Ou l'on donne la maniéré de faire le Nivellement compoféavec le Niveau de Ai, Hugeins , ~ 2 70
  - QUATRIEME PARTIE
  - Du Toifé en general, ou l’on enfeignela maniéré de faire le calcul du Toifé des Plans, des Solides, & de
  - la Charpente. 27 6
  - CH a ?. L OÙ l'on fait voir comment on multiplie deux âimenfions , dont la première efi compojée de toifes (fi de parties de toifes, (fi la fécondé de toifesSeulement ,27 8 Chap. IL OÙ l'on donne la maniéré de multiplier deux àimen-Jîons , dont chacune efi compofée de toifes. pieds, pouces, (fie,
  - lS5 ^ f
  - Chap. III. OÙ ton donne la maniéré de multiplier trois di-
  - menfions exprimées en toifes, pieds, pouces 3 (fie, % y 1
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- - TABLE.
  - Chap. IV. Ou l'on donne la maniéré de calculer le Toifé de la charpente, j 5? g
  - CINQUIEME PARTIE.
  - Où Ton applique la Géome'trie à la mefure des Superficies èc des Solides.
  - G H a P. I. De la mefure des Superficies, 307
  - P R o p. I. Problème. Mefurer les figures triangulaires, ibid.
  - Prop.IL Problème. Trouver la fuperficie des figures quadrilatères , 308
  - P AO p. III. Problème. Mefurerla fuperficie des poligones réguliers & irréguliers, 30^
  - Pu op. IV. Problème. Mefurerla fuperficie des cercles & de leurs parties, 310
  - Prop. V. Problème. Mefurer la fuperficie di une Ellipfe s 3 1 Io
  - Prop. VI. Problème. Mefuref l’efpace renfermé par une parabole, ibid.
  - Application de la Géométrie à la mefure des furfaces des corpss 312
  - Prop. VII. Problème. Mefurer les furfaces des prifmes & des cylindres, ibid.
  - Prop. VIII. Problème. Mefurer les furfaces des pyramides ç? des cônes, 3 I 3
  - Prop. IX. Problème. Mefurer les furfaces des fpheres, celles de leurs fegmens, & celles de leurs zones, 3 14
  - Chap. II. Ou l'on applique la Géométrie a la mefure des corps fplides, 315
  - Prop. X. Problème. Mefurer la folidité des cubes, despa-rallelcpipedes, des prifmes & des cylindres, ibid.
  - Prop. XL Problème. Ale Jurer la folidité des pyramides & des cônes, 31'
  - Prop. XII. Problème. Mefurer la folidité des piramid
  - c i j
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- - TABLE,
  - (fi des cônes tronque^, 31 &
  - Fkop. XIIL. Problème. Mesurer la folidîté des feéteurs des cylindres (fi des cônes tronquez,3x0 P k o p. XIV- Problème. Mesurer la folidîté d’une fphere,
  - 511
  - Pkop. XV. Problème. AFefurer la folidîté d’un paraboloi-de, 323
  - Pkop. XVI. Problème. Mefurer La folidîté d'un fpheroï— de,. 324.
  - Pkop. XVII. Problème. Mefurer. la folidîté d’un hyperbo-loïde 9. 3 .2()
  - Application de la Géométrie aux Mines, 3x7
  - Application de la Géométrie au toi fé des vetttes ,. ibid,,
  - P K o p. XVIII. Problème- Mefurer la folidîté delà maçon-nerie de toutes fortes de ruoutes, 331
  - Application de la Géométrie k la maniéré de toifer le revêtement d’une Fortification, 3 3 5
  - Manière de mefurer la folidîté de l’onglet d’un batardeau, 3,42.
  - Principe general pour mefurer les furfaces (fi les folides 5 345; Pkop. I. Problème. Connoifjant le centre de gravité d’une ligne droite ,trouver la valeur delà furface qu elle décrira, apres avoir fait une circonvolution autour de l’axe , 347 Pkop.IL Problème. Si oit a une demi-circonference de.cercle dont on ale centre de gravité, je dis que cette demi-circonference ayant fait une circonvolution fur l’axe que la fur-face décrira, qui cfi celle d’une fphere, fera égal a un rectangle compris fous une ligne droite égale a la demi-circonférence , cfi fous celle qui feroit égale k une circonférence qui auroit pour rayon la perpendiculaire tirée du centre de gravite fur l'axe 3 4 &
  - P K o p. III. Problème. Si l’on a un rectangle qui jaffe une circonvolution auteur de l’axe , je dis que la folidîté du corps, qu’il décrira ,fera égal au produit du rectangle par la circonférence du. cercle qui auroit pour rayon la perpendiculaire Urée dit centre de gravité fur l'axe, 3 4.9
  - Pkop, IV- Problème, Si l’on a un triangle ififcele, quijaffe
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- - TABLE,
  - une circonvolution autour de fa bafe , qui fera ici rega rdé comme l’axe , je dis que le folide qu’il décrira fera égal au produit du triangle par la circonférence du cercle , qui au-roit pour rayon la perpendiculaire tirée du centre d,e gravité fur l’axe, ^ 3 5 °
  - Ikop. V. Problème. Si l’on faitfaire a un demi-cercle une-circonvolution autour de l’axe, je dis que le folide qu’il décrira , qui efi une fphere, fera égal au produit de la fupcrfi-cie du demi-cercle parla circonférence quiauroit pour rayon la perpendiculaire tirée du centre de gravité fur l’axe, 353
  - SIXIEME PARTIE..
  - Oîi Ion applique la Géométrie à la dm lion des Champs,.
  - P R.op. I. ProblèmeDivifer un triangle en autant de parties égales quon voudra par les Itgncs tirées de l’angle oppofé à la bafe, 3 5 5
  - Prop. IL Problème. Divifer un triangle en deux parties égales par une ligne tirée d’un peint donné fur un des cotez, du triangle , ibid..
  - P ro P. III. Problème. Divifer un triangle en trois parties égales par des lignes tirées d’un point pris fur un de (es cotez, 356
  - Trop. IV. Problème. Divifer un triangle en trois parties, égales par des lignes tirées dans les trois angles , '35 7
  - Prop. V. Problème. Divifer un triangle en deux parties égale s,par des lignes tirées d’un point donné.à volonté dans la (uperficie du triangle , ibid,.
  - Pr op. VI. Problème. Divifer un triangle en deux parties égales par une ligne parallèle a la bafe , 3 5
  - Prop- VII. Problème. Divifer un trapefoiâe en deux parties égales par une ligne parallèle à la bafe,. 3-5 9
  - Prop. VIII. Problème. Divifer un trapèze en deux également par une ligne parallèle h l'un de Je s cotez , 3 S a
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- - TABLE
  - Frop= IX. Problème. Divifer un trapezdide en trois parties égales, ibid.
  - Prop. X. Problème. Divifer un trapeze en deux parties égales , 361
  - Prop. XI. Problème. Divifer un trapeze en deux parties égales par une ligne tirée £ un de Jes angles , ibid.
  - Prop. XII. Problème. Divifer un trapezoïde en deux parties égales par une ligne tirée £un point pris fur l'un de [es cotez9 361
  - SEPTIEME PARTIE.
  - Ou l’on applique la Géométrie à îufage du Compas de proportion. 364
  - Frop. I. Problème. Divifer une ligne droite en autant de parties égales (pu on voudra, 365
  - Prop.II. Problème. Trouver une troifiéme proportionnelle
  - k deux lignes données, ibid.
  - Prop. III. Problème. Trouver une quatrième proportionnelle à trois lignes données, 366
  - *Vfige de la ligne des poligone s, • 367
  - Prop. IV. Problème. Infcrire un poligone dans un cercle, ibid.
  - Prop. V. Problème. Décrire un poligone régulier fur une ligne donnée, ibid.
  - *Ufage de la ligne des cordes , 368
  - Prop. VI. Problème. Prendre fur la circonférence d'un cercle un angle £ autant de degrez qu'on voudra, ibid.
  - Prop.5 VII. Problème. ‘Vn angle étant donné fur le papier, en trouver la valeur par le moyen de la ligne des cordes,
  - ibid.
  - Prop. VIII. Problème. Connoiff'ant la quantité de degrez d'un arc de cercle, trouver fin rayon , 369
  - Prop. IX. Problème. Ouvrir le Compas de proporticr? ? dit
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- - TABLE.
  - maniéré que les lignes des cordes fanent tel angle que l’on' voudra, ibid.
  - P rop. X. Problème. Le Compas de proportion étant ouvert dune grandeur quelconque , connaître la valeur de l'angle formé parles lignes des cordes, 37 g
  - 1Vfage de la ligne des plans, ibid.
  - Prop. XI. Problème. Faire un quarré qui- foit h un autre félon une raifon donnée, ibid»
  - Prop. XII. Problème. Connaître le rapport d'un quarré a un autre , 37-1
  - Prop. XIII. Problème. Ouvrir le compas de proportion de manière que les lignes des plans forment un angle droit,
  - ibid.
  - Prop. XIV. Problème. Faire un quarré égal k deux autres donnez*, 372,
  - *1) fage de la ligne des folides, ibid.
  - Prop. XV. Problème. Faire un cube qui foit k un autre félon une raifon donnée, ibid.
  - Prop. XVI. Problème. Trouver le rapport quiejl entre deux cubes, ibid-.
  - Application de la Géométrie k l'artillerie 3.7 3
  - Prop. I. Problème. Faire l’analyfe de L'alliage du métail dont on fait les pièces de canon, ibid>
  - Prop. II. Problème. Trouver le calibre des boulets & des pièces de canon, 3,7 7
  - Prop. III. Problème. Trouver le diamètre des lignes fer-vant k mefurer la poudre , 3 7 5?
  - Prop. IV. Problème. Trouver quelle longueur doivent avoir les pièces de-canon par rapport k leurs calibres, 3 S i
  - Prop. V. Problème. Ou l’on donne la maniéré de connaître le nombre des boulets qui font en pile3 5? o Prop. VL Problème. On ïon donne la maniéré de dégorger Us embrafures des batteries de canon dans les Jieges} 1.9^
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- - TABLE.
  - HUITIEME PARTIE.
  - Qui traite du Mouvement & du Choc des Corps. CHAPITRE L
  - Du Choc des Corps.
  - DE finit tons , 40 1
  - Prop. I. Théorème. Si deux corps fembîables de même matière & égaux , font mus avec des vite fies inégales, l’effort du corps qui aura le plus de vite fie fiera plus grand fur le corps quil rencontrera, que celui dont la vîtefife fiera plus petite , 404.
  - Prop. II. Théorème. Si deux corps inégaux ér de même matière, fiont pouffez avec des vite fies égales, le plus grand corps fera plus diimpre(filon furie corps quil rencontrera , que le plus petit, ibid.
  - Prop. III. Théorème. Si deux corps ont des mafies & des vite fie s qui foient en raifort réciproque, ces deux corps auront une même quantité de mouvement , 40 6
  - Prop. IV. Théorème. Lorfique deux corps fans refiort fie meuvent dans la même détermination & vers un meme côté fie corps quia le plus de vite fie ayant rencontré celui qui en a moins, (f' ces deux corps allant enfemble, ils auront une quantité de mouvement égale à la fiomme de celle quils avoient avant le choc, 407
  - Prop. V. Théorème. Si deux corps fie meuvent dans un fiens oppofé fur une même direction, ces deux corps venant k fe rencontrer, & n en faifant plus quun, la quantité de mouvement de ces corps fiera la différence des quantités de mouvemens q&e les deux corps avaient avant le choc, 4q£
  - CHAP. IL
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- - T A B L E.
  - CHAPITRE IL
  - Du Mouvement des Corps jeteez.
  - DE finit ions, 409
  - Prop. I. Théorème. Si rien ne s'oppofoit au mouvement des corps jettechacun de ces corps conferveroit toujours avec une vîtejfe égale le mouvement qu'il aurait reçu, & f livrait toujours une meme ligne droite , 41 o
  - Trop. II. Théorème. 'Vn corps qui tombe reçoit des parties égales de vîtejfe dans des tems égaux , de forte que dans le fécond infant il a une vîtejfe double de celle qu'il avoit dans le premier instant de fa chute ; & dans letroifiéme il en a un triple , & ainfi de fuite. 412
  - Prop. III. Théorème. Les efpaces que parcourt un corps en tombant dans quelque tems que ce Joit } font entreux comme les quarrez, des mêmes tems, ibicL
  - Prop. IV. Théorème. L'efpace qu'un corps parcourt dans un tems donné > lorfqu étant en repos il commence a tomber, efi la moitié de l'efpace que ce corps parcoureroit d'un mouvement égal dans im pareil tems avec la vîtejfe qu'il a acquife dans le dernier moment de fa chiite ; 41 5
  - Prop. V. Théorème. La force qui porte un corps perpendiculairement en haut^ fe diminué également, 416
  - Pu op. VI. Problème. Connoi fiant l'efpace qu'un corps pe-fant parcourt en un tems déterminé, trouver l'efpace qu'il . parcourera dans un tems donné , 41 7
  - Prop. VII. Problème. Connoifiant le tems qu'un corps a mis h parcourir un efpace déterminé, connoîirc le tems qu'il mettra à parcourir un efpace donné, i bid.
  - CH APIT11E III.
  - De la Théorie Sc de la Pra tique du Jet des Bombes, pour lervir à la conftruction & à Pillage d’un Iniaument ùniverlel pour le Jet des Bombes.
  - R.op. VIII. Théorème. Si un corps efi jette félon ünè direction quelconque , pourvu quelle ne Joit point per-
  - d
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- - TABLE.
  - pendiculaire k Fhorifon 3 je dis qu?il décrira far fin moto* veinent cornpofé de celui d'impreffon & de fa pefanteurt, une parabole 3, 418
  - Piior. IX. Problème. Connozffant la ligne de projection { qu'on Juppofe parallèle à F h orifon ) & la ligne de chute dé une parabole décrite par un mobile 3 on demande de quelle hauteur ce mobile doit tomber pouï avoir a la fin déjà chute une vite (Je avec laquelle il puiff'e dé un mouvement uniforme parcourir la ligne de projection , dans le meme te ms quil parcourera par fa pefanteur la ligne de chute , 4 2 r
  - P K o p. X. Théorème. Le paramétré de toute parabole décrite par un mobile - efi quadruple de la ligne de hauteur de cette parabole , 41 4
  - application des principes précèdent a Fart de jetter des Bombes , 416*
  - Pivo p. XI. Problème. Etant donnée la ligne de but, Vangle: formé par le paramétre cr la direction du mortier l'angle formé par la direction du mortier (jr la ligne de but s trouver le paramétre y la ligne de projection & la ligne de chute , ibid..
  - Prop. XII. Problème. Trouver quelle élévation il faut donner à un mortier pour jetter une bombe k tel endroit que F on voudra , pourvu que cet endroit foit des niveau avec la batterie, 417
  - I'rop. XIII. Problème. Trouver quelle élévation il faut donnera un mortier pour chaffer une bombe k unediflance donnée , en (uppo/ant qu'c la batterie ne fl pas de niveau avec F endroit ou F on veut jetter la bombe , Fefl-k-dire , en fuppofant que cet endroit ejl beaucoup plus élevé, ou plus bas que la batterie, 4 2
  - Prof. XIV. Problème. Contraction d'un Infiniment uni-•verfel peur jetter les bombes fur toutes fortes de plans ,431 *Vfage de FInjlrumcm univcrjel pour le jet des bombes , 432 Pkop. XV. Problème. Trouver par le moyen de F Infiniment imiverfel 3 quelle hauteur il faut donner k un mortier peur jetter une bombe k une défiance donnée , fuppofant que le lieu oh F on veut la jetter foit de niveau avec la batterie , ibid.
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- - TABLE.
  - P R or. XVI. Problème. Trouver quelle élévation il faut donner au mortier pour chafier une bombe a une difiance donnée , Juppofiant que l’endroit ou l’on veut jettcrla bombefort beaucoup plus élevé ou plus bas que la batterie, & cela en fe fervant de l’Infiniment univerfel, 43 4
  - Prop. XVII. Théorème. Si l'on tire deux bombes avec la même charge h differentes élévations de mortier, je dis que la portée de la première bombe Jera k celle de. la fécondé, comme le (inus double de l’élévation du mortier pour la première bombe s cjl au finus de l’angle double de l’élévation pour la fécondé , 436
  - Pro p. XVIII. Théorème. Si l’ on tire deux bombes k diffe-rens degrez, d’élévations avec la même charge 3 il y aura même rai [on du finus de l’angle double de la première élévation au finus du double de la fécondé, que de la portée de la première élévation k laportée de la fécondé , 4 3 8
  - Trop. XIX. Problème. Connoiffant l’amplitude d’une parabole décrite par une bombe ffçavoir quelle efi la hauteur oit la bombe s’efl élevée au défi us de l’horifon , 439
  - Prop. XX. Problème. Connoiffant la hauteur oit une bombe s’efi élevée, fcavoir lapefanteur ou le degré de mouvez ment quelle a acquis en tombant par fon mouvement accéléré , . ibid.
  - NEUVIEME PARTIE.
  - Qui traite des Mécaniques.
  - CHAPITRE PREMIER.
  - Oh Ion donne l’introdudion à la Mécanique.
  - DE fini tiens, 445
  - Lemme. Si l’on a deux puiffances , &' que dans le même tems elles fafient parcourir k un corps deux lignes qui feroient les cotez d’un parallélogramme, je dis que
  - dij
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- - TABLE.
  - ces deux forces agi fiant enfemble fur le corps, lui feront parcourir la diagonale du meme parallélogramme dans un tems égal k celui que chaque puijfance en particulier aura employé k faire parcourir au corps, chacun de fies cotez, s
  - 44 5
  - Théorème fervant de principe general pour, la Mécanique.
  - Si F on a trois puijfance s. appliquées k des cordés qui fioienf attachées k un corps , je dis que pour être en équilibre, il faut que les deux puijjances que don compare (oient dans la raijon réciproque des perpendiculaires menées d'un des, points de lu direction de la puifjance qui n entre point dans L a proportion fur les directions de celles que F on compare t 445?
  - CHAPITRE II.
  - Ôu l’on fait voir lé rapport des puiffances qui foûtiennent des poids avec des cordes. 4 5 1
  - Roros 1 t* on.. Théorème. Si deux puiffavees fou tiennent un poids par dés cordes , je dis que ces deux put fi (ances feront en équilibre enté elles ,f elles font en yaifon réciproque des perpendiculaires tirées d’un des points de la direction du poids fur celles des puijjances 9.. 4 5 2
  - CHAPITRE I IL
  - Du Plan incliné-
  - P.finitions ,. 4 55
  - Pror. Théorème. Si une puijfance (outient un poids jut un plan inc-lim par une direction parallèle au plan, je dis, i°. que la puifjance. fera au poids comme la hauteur du plan e fi à fa longueur. z°. Jééucfi la.direction de la put fi fan ce cfi parallèle k la bafe du plan incliné, la pmjjance-fera au poids comme la hauteur du plan incliné ejt a la lonçueur de fa bafe, ïbkL
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- - TABLE.
  - CHAPITRE IV.
  - Du Levier.
  - DE finit ion, 4 5 0
  - Prop. Théorème. Deux puiffànce s que ?on compare, feront en équilibre ,fi elles font en raifon réciproque des per-pendiculaires tirées du point d'appui fur les. lignes de direction des puifiancesIbid.
  - C H A P I T R E V.
  - De la Rouë dans fon Eiïiea..
  - E finition, 465
  - f Prop. Théorème. Si une puiffànce foütient un poids, a L'aide d'une-roué par une ligne de direction tangente k la . roué fie dis que la puijjance fera au poids .comme le rayon du treuil cfi au rayon de la roué -, 4.6 6
  - D
  - C H A P I T R E V I.
  - De, la Poulie..
  - DE finition-, 467
  - Prop. Théorème. Si une puiffànce foütient un poids k l'aide d'une poulie,dont la chappe feitimmobile , je dis, i°." que la pu fiance fera égale au poids. i°. Jfiic fi la chappe cfl mobile, de forte que le poids qui y f croit attaché foit enlevé par la puiffànce , cette puiffànce fera la- moitié du poids „ lorfque la direction de la pu fiance & celle du poids fieront, parallèles, . 4-6 8'
  - CHAPITRE VIL
  - Du Coin.
  - DE finit ion, 471
  - : Prop. Théorème. i°. La force qui chafie h coin efi a ia refiHance du bois comme la moitié de la te te du. coin fi
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- - TABLE.
  - k la longueur d'un de fes cotez.. i°. Jgue fi une puijjance fouticnt un poids k l'aide d'un coin , la puijjance fera ait poids comme la hauteur du coin efi k Ja longueur, 47 %
  - CHAPITRE VIII.
  - De la V is.
  - DE finition, 47 J
  - Prop. Théorème. Si unepuijjanceprejfe ou enleve un poids a l'aide d'une vis, la puijjance fera au poids, comme la hauteur d'un des pas de la vis efl k la circonférence du cercle que décrira la puififance appliquée au levier , par le moyen duquel on meut la vis, 47 S
  - CHAPITRE IX.
  - Des Machines compofées.
  - Efinitions, 480
  - A nalogie des Poulies mouflées. Si une puiff znce fou-tient un poids k l'aide de plnfieurs poulies , je dis que la puijjance efl au poids comme l'unité efi au double du nombre des poulies d'en bas,qui font toujours les poulies mobile s,.4 7 y Application de l'effet des poulies aux manœuvres de l'Artillerie, 47 8
  - Des Roués dentées. Définition, 4 So
  - Analogie des Roues denrées. La puijjance efl au poids comme le produit des rayons des ejjieux au produit des rayons des roués, 481
  - Du Cric , 4,8 1
  - De la Fis fans fin, appliquée aux roués dentées} 483
  - Machine cornpofée dune roué & d'un plan incliné, 485
  - De la Sonnette, 4 S 7
  - Application de la Mécanique k la confiruclion des Magazine k poudre 9 45^0
  - Fable pour rcgler lépaijjeur qu'il, fiant donner aux pieds droits des voûtes des Magazins k poudre , 45) y
- p.n.n. - vue 647/649
- - T A B L E.
  - Application des principes de la Mécanique au jet des bombes *45? 8
  - Nouvelle maniéré de faire des épreuves pour [çavoir la charge qu'il convient de donner aux Fourneaux des Aimes , 505
  - DIXIEME PARTIE.
  - Qui
  - traite de l’Equilibre & du Mouvement des Liqueurs.
  - DE finition, 5 1 j
  - P R o p. I. Theoreme. Si Ion verfe une liqueur, par exemple, de Ieau dans un tuyau recourbé ou jipho??,je dis que la furjace de cette liqueur fie mettra de mveau dans les deux branches du fiphon, 522
  - Prop.II. Theoreme. Si Ion met dans les deux branchcj d'un fiphon des liqueurs de differentes pejanteurs ,je dis que les hauteurs de ces liqueurs dans les tuyaux , feront entre-elles dans la rat (on réciproque de leur pejanteur (pecifique 3
  - .5*5
  - Pr o i>. III. Theoreme. l°. Si un corps dur efi mis dans un fluide de meme pejanteur [pecifique*, il y demeurera entie-rornent plongé, h quelque hauteur qu il Je trouve.
  - 2°: s'il efi d'une pejanteur j pecifique plus grande que celle du fluide, il ira au fond du vaïjfeau.
  - 5°. S'il 'cfl d'urne pefauteur J pecifique moindre que celle du fluide, il n'y aura qu'une partie du corps qui s'enfoncera , & I autre partie refit cra au de fus de la furjace du fluide 3,
  - 526
  - Application des- principes précédons à la Navigation , 5 3 r
  - Trop. IV. Theoreme. Si Ion a un vaje plus gros par um bout que par Iautre, le rempli(Jant de liqueur , cette li-
  - queur aura autant de force pour Jortir par une ouverture éq-alc h [a bafe , que Ci cette ouverture étoit éçale a celle d’e?
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- - TABLE.
  - CHAPITRE IL
  - Où-i’on confîdere la force & la mefu-re des Eaux courantes 6c jailliflantes.
  - PRop. V. Théorème. Sil’on a un tuyau perpendiculaire k l'honfon, & rempli de telle liqueur que l'on voudra : comme, par exe?nple , de l’eau, fa vttejje par l’ouverture de la bafe fera ex primée par la racine quarrée de la hauteur perpendiculaire du tuyau , 534
  - Prop. VI. Problème. Trouver la dépenfe d’un jet d’eau pendant une minute par un a jutage de 4 lignes de diamètre, l’eau du rejervoir étant de 4.0 pieds de hauteur, 5 3 -y
  - CHAPITRE III.
  - Où Ton confidere le mouvement 6c le choc des Eaux.
  - Rop. VII. Theoreme. Si l’on a deux furfaces égales9 expo fées pcrpendiculairetnent au courant de deux fluides homogènes, qui ayent des vîteffes inégales, les chocs de ces fluides contre ces furfaces , feront entr eux comme les quartes de leurs vttejje s 3 540
  - Prop- VIII. Problème. Connoiffant la vitefe de l’eau, trouver le choc de cette eau contre une fur face donnée 5543 F Rop. IX Theoreme. Si l’on a un vaifeau rempli d’eau qui-foit toujours entretenu k la même hauteur, je disque les chocs de l’eau k la fortie de deux ajutages égaux , feront dans la raifon des hauteurs de l’eau au dejjusdu centre des deux ajutages, ' ^44
  - Dif cours fur la nature & les propriétés de l’Air, pour fervir d’introduction k la Phyfiqus, Jervant auffi k rendre raifon de l’effet des Machines Hydrauliques. 4 ^
  - Pin de la Table.
  - Fautes
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