Neue Constructionen der Perspective und Photogrammetrie

- - Ueberreicht vom Verfasser.
  - Neue Constructionen der Perspective und Photogrammetrie.
  - (Theorie der trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme, I. Artikel.)
  - Hierzu Taf. I und II, Fig. 1—13.
  - Von
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  - (Sonderabdruck aus Heft 1 Bd. 95 des Journals für die reine und angewandte Mathematik.)
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  - Neue Constructionen der Perspective und Photogrammetrie.
  - / (Theorie der trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme, I. Artikel.) Hierzu Taf. I und II, Fig. 1—13.
  - , (Von Herrn Guido Hauck.)
  - §1.
  - Exposition. Allgemeines über trilineare Verwandtschaft. Technische Perspective und Photogrammetrie.
  - Die Herren Rosanes, Schubert und Benno Klein haben, theils auf analytischem, theils auf synthetischem Wege, Untersuchungen über die irilineare Verwandtschaft zwischen drei einstufigen Grund-gebilden angestellt *), — eine Verwandtschaft, vermöge welcher in drei einstufigen Grundgebilden je drei Elemente einander so zugeordnet sind, dass durch zwei derselben das dritte eindeutig bestimmt ist Der analytische Ausdruck dieser Verwandtschaftsbeziehung wird gebildet durch eine Gleichung, welche nach jeder von drei (die Lage der veränderlichen Elemente in den drei Grundgebilden ausdrückenden) Variabeln linear ist.
  - Ich habe mich schon seit längerer Zeit mit der trilinearen Verwandtschaft sowohl einstufiger als zweistufiger Grundgebilde beschäftigt, zu der ich jedoch auf einem wesentlich anderen Wege gelangt war, nämlich dadurch, dass ich vom Gesichtspunkt der Descriptiven Geometrie aus die Beziehungen untersuchte, die zwischen drei Projectionen eines und desselben ebenen oder räumlichen Systems obwalten.
  - So erhält man z. B. drei trilinear-verwandte Punktreihen, wenn man ein und dasselbe ebene System auf drei in Seiner Ebene liegende feste Ge-
  - *) Vgl. Rosanes: „Ueber linear-abhängige Punktsysteme" §9, dieses Journal, Bd. 88, S. 269. — Schubert: „Die trilineare Beziehung zwischen drei einstufigen Grundgebilden“, Mathematische Annalen, Bd. XVII, S. 457. — Benno Klein: „Theorie der trilinear-symmetrischen Elementargebilde", Marburg 1881.
  - Journal für Mathematik Bd. XCV. Heft 1. . 1
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  - rade von drei festen Centren aus projicirt und je drei solche Punkte einander zuordnet, welche die Projectionen eines und desselben Punktes des ebenen Systems vorstellen.
  - Die genannte Erzeugungsweise durch Projection kann aufgefasst werden als das dualistische Gegenstück zu der von Herrn Schubert ängewendeten Erzeugungsweise, welche die Erzeugungsweise durch Schnitt genannt werden möge. Nach dieser erhält man drei trilinear-verwandte Punktreihen, wenn man von den Punkten dreier in der nämlichen Ebene liegenden Geraden je drei solche einander zuordnet, welche in gerader Linie liegen, und dann zu jeder dieser drei Punktreihen eine mit ihr projectivische Punktreihe con-struirt *).
  - Während nun diese beiden Erzeugungsweisen (durch Projection und durch Schnitt) bei einstufigen Grundgebilden zu einer und derselben Verwandtschaft führen, bedingen sie bei zweistufigen Grundgebilden-zwei verschiedene Verwandtschaftscharaktere.
  - Es ist nämlich zunächst das Vorhandensein der zwei verschiedenen * Fälle der zweifach gebundenen oder zweibündigen und der dreifach gebundenen oder dreibündigen trilinearen Verwandtschaft zu con-statiren, je nachdem bei analytischer Behandlung die dreimal zwei Variabein xy, a'y, a"y", welche die Coordinaten von drei zugeordneten Elementen der drei ebenen Systeme ausdrücken, durch zwei oder durch drei Gleichungen gebunden sind. Man könnte diese zwei Verwandtschaften auch durch die Bezeichnungen vierstufig und dreistufig unterscheiden, insofern der zweifache Verband eine vierfach unendliche Mannigfaltigkeit —, der drei-fache Verband eine dreifach unendliche Mannigfaltigkeit von Tripeln zugeordneter Elemente liefert.
  - Da man ferner als Grundelemente der drei ebenen Systeme entweder deren Punkte oder deren gerade Linien ins Auge fassen —, oder also die Variabein xy, a'y', a"y" entweder als Punktcoordinaten oder als Linien-coordinaten verstehen kann, so hat man eigentlich vier Einzelverwandtschaften zu unterscheiden, nämlich:
  - 1. die zweifach gebundene —
  - *) Die durch die erste („geradlinigte“) Zuordnung gewonnenen drei Punktreihen sind zwar bereits trilinear verwandt, repräsentiren jedoch noch nicht den allgemeinsten Fall der trilinearen Verwandtschaft; dieser wird erst durch projectivische Transformation erreicht.
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  - 2. die dreifach gebundene trilineare Verwandtschaft ebener Punktsysteme,
  - 3. die zweifach gebundene —
  - 4, die dreifach gebundene trilineare Verwandtschaft ebener Geraden-systeme.
  - Setzt man nun des weiteren fest, dass in drei ebenen Systemen zu gleicher Zeit die Punkte und die Geraden einander trilinear zugeordnet sein sollen, so tritt eine Combination einer der zwei ersten mit einer der zwei letzten genannten Einzel Verwandtschaften ein. Man überzeugt sich aber leicht, dass dies nur in der Art möglich ist, dass entweder die Einzelver-wandtschaften 1. und 4. oder 2. und 3. der .obigen Classification zu einer combinirten Verwandtschaft zusammentreten, so dass man also zwei verschiedene Verwandtschaftscharaktere erhält: in der einen sind die Punkte dreifach,.die Geraden zweifach gebunden, in der anderen sind die Punkte zweifach, die Geraden dreifach gebunden; und diese zwei combinirten Verwandtschaften stehen einander dualistisch gegenüber.
  - ' Seien nämlich xy, x'y', x"y" die Coordinaten der Punkte —, uv, u’v’, u"v" die Coordinaten der geraden Linien der drei ebenen Systeme S, S‘, S", und seien die Punkte dreifach gebunden durch die drei Gleichungen:
  - fi(ya‘ya"y") = 0, A(ya‘yla"y") =0, f(aya‘y‘a"y") = 0, so müssen diese drei Gleichungen so beschaffen sein, dass den Punkten zweier Geraden der Systeme S’ und S":
  - ua‘+v‘y+1= 0, aa"+v"y"+1 = 0
  - im dritten System S Punkte entsprechen, die ebenfalls in gerader Linie liegen. Man erhält die Gleichung dieser letzteren geraden Linie dadurch, dass man aus den vorliegenden fünf Gleichungen die vier Variabeln x'y'x"y" eliminirt. Da die resultirende Gleichung vom ersten Grade nach x, y sein muss, so muss sie die Form haben:
  - q(u v‘u‘v").a+y(u v‘u"v").y+1 = 0.
  - Die Coordinaten der fraglichen Geraden sind somit: a = q (u’v’u’v"), v = y(u v‘u"v"), -und dies sind nun die Gleichungen, durch welche die Coordinaten uv, u'v', u’v" dreier zugeordneter geraden Linien gebunden sind. Dieser Verband ist somit ein zweifacher.— Würden wir umgekehrt xy, xy, x y als Linien-coordinaten, uv, u'v', u"v" als Punktcoordinaten deuten, so würde sich durch
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  - dieselben Schlüsse ergeben, dass in derjenigen trilinearen Verwandtschaft, in welcher die Geraden dreifach gebunden sind, den Punkten ein zweifacher Verband zukommt. —
  - Am anschaulichsten wird wohl — um wieder zu der ursprünglichen Frage der Erzeugung durch Projection und durch Schnitt zurückzukehren — das gegenseitige Verhältniss zwischen unseren vier Einzelverwandtschaften sowie deren zwei 'Combinationen klargelegt durch folgenden Satz:
  - Bezieht man die Punkte, Geraden und Ebenen eines räumlichen Systems auf drei beliebige feste Projectionsebenen, indem man von allen Punkten und Geraden die Projectionen (von drei festen Centren aus, welche event. auch ins Unendliche fallen können) —, ferner von allen Geraden und Ebenen deren Spuren (Tracen) bestimmt und je drei solche Elemente der drei Ebenen einander zuordnet, welche die Projectionen oder die Spuren eines und desselben Raumelements vorstellen, so erhält man:
  - 1. in der Gesammtheit der Punktprojectionen: drei dreibündig-trilineare Punktsysteme,
  - 2. in der Gesammtheit der Geradenprojectionen: drei zwei-bündig-trilineare Geradensysteme,
  - 3. in der Gesammtheit der Geradenspuren: drei zweibündigtrilineare Punktsysteme,
  - 4. in der Gesammtheit der Ebenenspuren: drei dreibündig-trilineare Geradensysteme.
  - Es ist damit nicht gesagt, dass man durch das genannte Verfahren jedesmal den allgemeinsten Fall der betreffenden. Verwandtschaft erhalte. In der That wird sich im Verlauf unserer Untersuchungen ergeben, dass dies nur bei 1. und 2., nicht aber bei 3. und 4. der Fall ist. Vorerst mag man sich damit begnügen, den Satz durch Illustration an Specialbeispielen sich zu veranschaulichen und daraus vorgreifend die Veranlassung zu entnehmen, dass wir von den besprochenen zwei combinirten Verwandtschaften diejenige, in welcher die Punkte dreifach, die Geraden zweifach gebunden sind, als projectiv-trilineare Verwandtschaft —, dagegen diejenige, bei welcher die Geraden dreifach, die Punkte zweifach gebunden sind, als sectiv-trilineare Verwandtschaft bezeichnen.
  - Durch das Gesagte ist zugleich die innige Zugehörigkeit der Theorie der trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme in das Gebiet der Descrip-tiven Geometrie gekennzeichnet. In der That dürfte diese Theorie in
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  - gewissem Sinne vielleicht die Bedeutung einer Weiterbildung der „Geometrie descriptive" im Geiste von Monge beanspruchen.
  - Der vorliegende I. Artikel giebt zunächst von der projectiv-trilinearen Verwandtschaft nichts als die Fundamentalconstruction und deren Anwen-dung auf praktische Beispiele. Das überaus lebhafte Interesse, das in alleijüngster Zeit der Methode der Photogrammetrie von massgebender Seite entgegengebracht worden ist, mag es rechtfertigen, dass ich mich bei der Anwendung auf dieses Gebiet länger verweile, als es vielleicht vom Standpunkt des Theoretikers angezeigt erscheinen möchte. Eben aus diesem Grunde erachtete ich es für nothwendig, die vorstehenden Erörterungen über die allgemeine Natur der trilinearen Verwandtschaft zur vorläufigen Orientirung vorauszuschicken.
  - In einem folgenden Artikel würde dann zunächst der Nachweis erbracht werden, dass die zwischen drei Projectionen eines räumlichen Punktsystems bestehende Beziehung in der That den allgemeinsten Fall der dreibündig-trilinearen Punktverwandtschaft repräsentirt. Hieran würde sich die Entwicklung der allgemeinen Eigenschaften dieser Verwandtschaft sowie die Betrachtung gewisser wichtiger Specialfälle—, fernerhin die Besprechung der sectiv-trilinearen Verwandtschaft sowie der trilinear-reciproken Verwandtschaft (mit ihren graphostatischen Beziehungen) reihen. Damit würden dann schliesslich die Mittel gewonnen sein, zu einer synthetischen Theorie- der Erzeugnisse von trilinear-verwandten Grundgebilden (Curven und Flächen dritter Ordnung) , wie dies schon von Herrn Schubert' in seiner grundlegenden Abhandlung angedeutet worden ist. .
  - Für den gegenwärtigen Aufsatz erscheint es angezeigt, den Gegenstand, zunächst noch nicht vom Gesichtspunkt des allgemeinen Verwandtschaftsbegriffes, sondern vom Gesichtspunkt der Darstellenden Geometrie aus zu behandeln, um dann von hier aus allmählich zur allgemeineren Anschauung aufzusteigen.
  - Die Darstellende Geometrie (im engeren Sinne des Wortes) befasst sich mit der Aufgabe, gegebene räumliche Objecte in Central- oder Parallel-projection unter gegebenen Bedingungen darzustellen. Da aber ein räumliches Object nach Gestalt und Lage im Raum im Allgemeinen selbst wieder durch zwei Projectionen bestimmt ist, und in der Mehrzahl der Fälle auch wirklich durch zwei Projectionen gegeben vorliegt, so kann die Funda-mentalaufgabe der in Rede stehenden Disciplin dahin präcisirt werden:
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  - Es ist aus zwei gegebenen Projectionen eines räumlichen Gebildes eine beliebige dritte Projection zu ermitteln.
  - Hinsichtlich der praktischen Zwecke, welchen diese Aufgabe dient sind zwei Specialformen derselben von besonderer Wichtigkeit:
  - 1. Sind die zwei gegebenen Projectionen Parallelprojectionen (z. B. Grundriss und. Aufriss), die gesuchte dritte Projection eine Centralprojection so liegt das Problem der Perspective vor, und zwar mag diese specielle Form der Aufgabestellung im Gegensatz zur „freien Perspective“' als „technische Perspective“ gekennzeichnet werden.
  - 2. Sind die zwei gegebenen Projectionen Centralprojectionen (z. B. zwei Photographien), die gesuchte dritte Projection eine Parallelprojection (z. B. Grundriss oder Aufriss): so liegt das Problem der Photogrammetrie vor, welche sich die Aufgabe stellt, geometrische Aufnahmen von Terrain-oder Architectur-Objecten mittelst photographischer Aufnahmen zu bewerk-stelligen.
  - [Von Beautemps-Beaupre 1835 in Anregung gebracht — wurde die Photogrammetrie von Herrn Laussedat (d. Z. Directeur du conservatoire national des arts et mötiers ä Paris) seit 1851 definitiv ausgebildet und mit entschiedenem Erfolge praktisch ausgeübt 1). Seine photogrammetrische Aufnahme von Paris erfuhr 1860 die günstigste Beurtheilung seitens der Academie des sciences 2). In Deutschland wurden Laussedats grundlegende Arbeiten erst im Jahre 1865 durch einen Artikel Herrn Girard& im Photographischen Archiv bekannt3), woraufhin Herr Meydenbauer den Gegenstand aufgriff und unter Benützung der — im nämlichen Jähre in den Handel gekommenen, bis zu einem Bildwinkel von 90° noch centralperspectivisch correct zeichnenden — Weitwinkel-Linsen (Steinheils Periskop und Buschs Pantoskop) 4) die Methode praktisch ausübte und propagirte 5). Auch der grosse Generalstab hätte dem Gegenstände von Anfang an seine besondere Aufmerksamkeit zugewendet und erzielte u. a. im Jahre 1870 mit seinen (ohne Zuthun Meydenbauerti) ausgeführten Aufnahmen vorzügliche Resultate6). Wesentliche Verdienste um die Methode, namentlich in theoretischer Beziehung erwarb sich Herr Jordan, welcher sich derselben bei der Rohlfs-schen Expedition in die Libysche Wüste 1873—74 mit grossem Glück bediente 7)] *).
  - *) Man vergl. hierzu: 1) die verschiedenen Abhandlungen Laussedats im Memorial de l’officier du ginie seit 1851. — 2) Comptes rendus des siances de l’ac.
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  - Es lag nun sehr nahe, die oben präcisirte Aufgabe (aus zwei Pro-jectionen eine beliebige dritte zu ermitteln) in ihrer allgemeinsten Form in Angriff zu nehmen. Es liess sich erwarten, dass ihre Lösung die manch-faltigen Specialconstructionen der praktischen Perspective und Photogrammetrie sämmtlich als einfache Specialfälle in sich enthalten werde. Die Fundamentalconstruction der projectiv-trilinearen Verwandtschaft, wie sie im Folgenden gegeben wird, erfüllte in der That diese Erwartung; sie erwies sich gleichzeitig als eine ergiebige Quelle von neuen Constructions-methoden für die Darstellende Geometrie. Dieselben wurden bereits im Frühjahr 1882 im Constructionssaal für Descriptive Geometrie unserer Technischen Hochschule auf ihre praktische Brauchbarkeit geprüft und bewährt erfunden.
  - Ein besonderes Interesse gewinnen die in Rede stehenden .Constructionen noch durch den Umstand, dass sie sich sehr leicht in einen mechanischen Apparat übertragen lassen, das heisst in einen Mechanismus, welcher — bestehend aus einem kinematisch verketteten Gestänge mit zwei Führungsstiften und einem Zeichenstift — die betreffende Construction in der Art mechanisch ausführt, dass, wenn man mit den zwei Führungsstiften die zugeordneten Linien der zwei gegebenen Projectionen durchfährt, gleichzeitig der Zeichenstift die entsprechenden Linien der gesuchten dritten Pro-jection mechanisch beschreibt*). Während es bisher der praktischen Geometrie nur in der Weise möglich war, Curven aufzunehmen, dass man einzelne Punkte derselben einvisirte und festlegte, welche man dann durch einen stetigen Curvenzug aus freier Hand verbinden musste, stellt die photo-grammetrische Methode nunmehr mit Hilfe des in Rede stehenden Apparates
  - des sc. t. 50 (1860), p. 1127. — 3) Girard: „Laussedats Arbeiten in Bezug auf die Anwendung der Photographie zur Aufnahme von Plänen, (nach dem Journal des Debats und dem Bulletin de la Soc. Franc, de Photogr. vom März 1865)“, Photogr. Archiv, Bd. 6, Jahrg. 1865, S. 316. — 4) Remele: „Das Periskop von Steinheil und das Pantoskop von E. Busch“. Photograph. Mittheilungen, II. Jahrg., November 1865, S. 97. — a) Meydenbauer: „Ueber die Anwendung der Photographie zur Architektur-und Terrain-Aufnahme“. Zeitschrift für Bauwesen, Jahrg. 17, 1867, S. 61. — 6) Erklärung Meydenbauers in der Deutschen Bauzeitung, Jahrg. 16, 1882, S. 241. — 7) Jor-X dan: „Ueber die Verwerthung der Photographie zu geometrischen Aufnahmen (Photogrammetrie)“. Zeitschrift für Vermessungswesen, Bd. 5, 1876, S. 1.
  - *) Das Modell eines solchen Apparates (eingestellt für das Beispiel: Perspective aus Grundriss und Aufriss) wurde von mir der Physikalischen Gesellschaft zu Berlin in ihrer Sitzung am 4. Mai d. J. vorgelegt. Vgl. „Verhandlungen der physikal. Ges. in Berlin“, 1883, No. 8, S. 43.
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- - 8 Hauck, neue Constructionen der Perspective u. Photogrammetrie.,
  - die Möglichkeit in Aussicht, Curven in ihrem ganzen continuirlichen Verlaufe unmittelbar aufzunehmen. Erst hiedurch dürfte die Photogrammetrie ihre volle Leistungsfähigkeit gewinnen.
  - §2.
  - Fundamentalsatz über die Beziehung zwischen zwei Projectionen eines und desselben räumlichen Gebildes.
  - • Es seien (Fig. 1. a) S’ und S" zwei Projectionsebenen, 0, und 02 die zugehörigen Projectionscentren. Die Schnittlinie 912 der zwei Projectionsebenen nennen wir den Grundschnitt. Die Verbindungslinie 0,02 möge die zwei Projectionsebenen in den Punkten 04 und o" schneiden, welche wir die Kernpunkte der zwei Ebenen nennen. Dieselben haben die Bedeutung, dass jeder die seinem System entsprechende Abbildung (Projection) des gegnerischen Projectionscentrums vorstellt. (Dieser Bedeutung entsprechend sind die Bezeichnungen 0, und o" hinsichtlich der Accente und Indices getroffen.)
  - Sollen nun x' und x" die Projectionen eines und desselben Objectpunktes X vorstellen, oder — wie wir uns kurz ausdrücken — sollen x' und x" zwei zugeordnete Punkte der Ebenen S' und S" sein: so müssen die projicirenden Strahlen O^x' und O2x" in einer Ebene liegen, — eine Bedingung, die leicht in den Projectionsebenen selbst verificirt werden kann. Da nämlich die drei Ebenen S', S" und 0,0X sich nach den Linien 912, x'o2 und x"o" schneiden, und da die Schnittlinien dreier Ebenen in einem Punkte zusammentreffen; so müssen sich x'o2 und x"o" in einem Punkte G.2 des Grundschnitts 912 schneiden. Da dies für jedes Paar zugeordneter Punkte x' und x" gilt und da die Kernpunkte 02 und o" unveränderlich sind, so haben wir den Satz (vgl. Fig. 1. b):
  - Die beiden Projectionsfiguren werden von den Kernpunkten aus durch perspectivische Strahlenbüschel projicirt, und zwar repräsentirt der Grundschnitt die Axe der Perspectivität.
  - Befinden sich zwei ebene Gebilde, welche die Projectionen eines und desselben räumlichen Objectes vorstellen, in derjenigen Lage im Raum, in welcher jedes zu dem räumlichen Objecte perspectivisch ist, so wollen wir sagen, sie befinden sich zu einander in orientirter Lage. Dem gefundenen Satze zufolge bildet also die Perspectivität der zwei Kernstrahlenbüschel das Kriterium für die orientirte Lage. — Da nun aber zwei projectivische Strahlenbüschel stets, und zwar auf unendlich ver-
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- - Hauck, neue Constructionen der Perspective u. Photogrammetrie. 9 schiedene Weise, in perspectivische Lage gebracht werden können, so lässt sich unser Satz in allgemeinerer Form auch so aussprechen:
  - Zwei ebene Gebilde, deren Punkte einander paarweise sugeordnet sind, können als die Projectionen eines und desselben räumlichen Gebildes angesehen werden, wenn sie sich von zwei in ihren Ebenen liegenden Punkten durch projectivische Strahlenbüschel projiciren lassen. — Zwei ebene Gebilde, welche dieser Bedingung genügen, können stets auf unendlich verschiedene Weise in orientirte Lage übergeführt werden, nämlich dadurch, dass die genannten zwei Strahlenbüschel in perspectivische Lage gebracht werden.
  - Die verschiedenen räumlichen Gebilde, als deren Projectionen die zwei ebenen Gebilde für verschiedene orientirte Lagern und für verschiedene Annahmen der Projectionscentren auf der Verbindungslinie der zwei Kernpunkte angesehen werden können, sind zu einander collinear-verwandt.
  - Es wurde schon oben bemerkt, dass die zwei Kernpunkte die Abbildungen der zwei Projectionscentren vorstellen. Man erkennt nun weiter, (vgl. Fig. 1. a und b), dass von den zwei in Rede stehenden Strahlenbüscheln 0'2 und oi jedes die seinem System entsprechende Abbildung des projicirenden Strahlenbündels des gegnerischen Projections-systems repräsentirt. — (Von dieser Erwägung ausgehend hätte unser Satz einfach auch so bewiesen werden können: Zwei Strahlen der Büschel Oi und 02, welche die Abbildungen zweier nach dem nämlichen Punkt X des Raumes führenden projicirenden Strahlen, 0.X und 02X vorstellen, mögen zugeordnete Strahlen genannt werden. Fasst man nun die einzelnen Punkte G,2 des Grundschnitts 912 als räumliche Punkte X auf, so fallen für jeden solchen Punkt seine zwei Projectionen a‘ und a" ebenfalls nach G12. Daher sind immer zwei von 0" und 0, nach einem Punkt Gn gezogene Strahlen einander zugeordnet.)
  - Die beiden Kernpunkte stellen singuläre Punkte ihrer respectiven Ebenen vor. Während im allgemeinen diejenigen Punkte, welche einem bestimmten Punkt der einen Ebene zugeordnet sein können, in der andern Ebene auf eine bestimmte Gerade, nämlich einen Kernstrahl, beschränkt sind, kommt dem Kernpunkt die Eigenthümlichkeit zu, dass ihm jeder beliebige Punkt der andern Ebene als zugeordneter zugetheilt werden kann.
  - Unser Satz erleidet keinerlei Alteration, auch wenn eines der beiden Projectionscentren, z. B. 0, ins Unendliche fällt, wenn also die Projection auf St eine Parallelprojection ist. In dem besonderen Fall, wo hiebei
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  - das von 0, ausgehende projicirende Parallelstrahlenbündel parallel zu der andern Projectionsebene S" ist, fällt auch o" ins Unendliche, und wird also aus dem Strahlenbüschel o" ein Parallelstrahlenbiisohel, welches dem Bündel 0, parallel ist.
  - Liegen ferner beide Projectionscentren im Unendlichen, so fallen auch beide Kernpunkte ins Unendliche. Sind also beide Projectionen Parallelprojectionen, so gehen die zwei Strahlenbüschel 02 und o" in Parallelstrahlenbüschel über, und zwar sind dieselben parallel mit den Schnittlinien einer zu den zwei projicirenden Parallelstrahlenbündeln parallelen Ebene. Sie sind also in dem speciellen Fall der orthogonalen Parallel-projection senkrecht zum Grundschnitt. Man kann hiernach den in Rede stehenden Satz als eine Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Mongeschen Geometrie descriptive („die beiden Projectionen eines Punktes liegen in einer Senkrechten zum Grundschnitt“) auffassen.
  - §3.
  - Die Fundamentalconstruction der projectiv-trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme.
  - Es seien (Fig. 2. a) drei Projectionsebenen S, S, S", nebst den zugehörigen Projectionscentren 0, 01, 02 gegeben. Auf zweien derselben, z. B. S’ und S", seien die Projectionen eines räumlichen Objectes gegeben. Die Aufgabe ist: dessen Projection auf die dritte Ebene S zu finden, und zwar durch eine Construction, die sich bloss in den Projectionsebenen selbst bewegt.
  - Die Schnittlinien der drei Projectionsebenen werden wieder als Grandschnitte bezeichnet und. seien: 9i zwischen S und S’, 92 zwischen S und S", 912 zwischen S' und S". Der gemeinschaftliche Schnittpunkt der drei Grundschnitte sei A.
  - Der im vorigen Paragraphen bewiesene Satz gilt nun für je zwei der drei Projectionen und liefert die Mittel zur Lösung der in Frage stehenden Aufgabe.
  - Wird das von den drei Projectionsebenen gebildete Dreikant von der Ebene 00,02 nach dem Dreieck M,M,M,2 geschnitten, so erhält man in den Schnittpunkten der Seiten dieses Dreiecks mit den Verbindungslinien der drei Projectionscentren die dreimal zwei Kernpunkte 0, und o’, 02 und Oi, o" und o2, wo die Bezeichnung einerseits hinsichtlich der Accente mit
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  - Rücksicht- auf die Ebene, gewählt ist, welcher der betreffende Punkt angehört, andererseits hinsichtlich der Indices mit Rücksicht auf das Projec-tionscentrum, dessen Abbildung er repräsentirt"). Wir nennen die drei Verbindungslinien der Kernpunkte M,M,, M,M,2) M,2M,: die Hauptaxen der betreffenden Ebenen und bezeichnen die ganze Figur 2. a als die Vor-bereitungsfigur.
  - Man denke sich nun das Dreikant A,9192912 nach der Kante 912 aufgeschnitten und seine drei Flächen in die Zeichnungsebene ausgebreitet, (die Ebenen S‘ und S" in die Ebene S umgeklappt) (s. Fig. 2. 5), wobei die zwei Lagen dir aufgeschnittenen Kante 912 sowie der auf ihr liegenden Punkte durch einfache und zweifache Accentuirung unterschieden werden mögen. Die so entstehende Figur nennen wir die Ausführungs-figur. Die Uebertragung der Kernpunkte von der Vorbereitungsfigur in die Ausführungsfigur geschieht dadurch, dass zuerst auf den Grundschnitten die Entfernungen der Punkte M von Punkt A abgeschnitten und dann auf den Verbindungslinien der Punkte M die Kernpunkte aufgetragen werden.
  - Sind nun x‘ und x" irgend zwei zugeordnete Punkte der gegebenen Projectionen, so findet man — zufolge dem im vorigen Paragraphen besprochenen Satze — den zugeordneten Punkt x der gesuchten dritten Pro-jection durch folgende Construction:
  - Man zieht x‘o‘ und x"o", bis sie die bezüglichen Grundschnitte 91 und 92 schneiden in G1 und G2; man zieht hierauf G.01 und G.02 und erhält in deren Schnittpunkt den gesuchten Punkt x.
  - Die Controle darüber, dass a‘ und x" wirklich zwei zugeordnete Punkte sind, geschieht mittelst der zwei Kernpunkte o', und o": Man zieht a’o, und x’o", bis sie 912 und 912 schneiden in G,2 und G72, dann muss AG = AGI2 sein. /
  - *) Noch unmittelbarer würde das Princip dieser Bezeichnung ins Auge fallen, wenn die Projectionsebenen durch S°, S’, S" —, dieProjectionscentren durch 0„ 0. 03 bezeichnet wären: die Kernpunkte würden dann sein: 0 und 00, 03 und 01, 00 und o^ Bei der im Text gewählten Bezeichnungsweise sind Accent und Index 0 überall unterdrückt. — Die consequente Festhaltung dieser Benennung ist für das Folgende von Wichtigkeit. Indessen werden wir uns späterhin bei Betrachtungen, wo die in jener Bezeichnung ausgedrückte Bedeutung der Kernpunkte weniger ins Gewicht fällt, mitunter auch einer kürzeren Benennung bedienen, indem wir (mit Anlehnung an Herrn Schubert') bezeichnen:
  - p’d P"!" o' o, o! o".
  - P I statt:
  - 0, 0,
  - 2*
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  - Diese Controle kommt namentlich zur Verwerthung in dem Falle, wo die zwei gegebenen Projectionen Curven enthalten (vgl. Fig. 1.6). Um dann die dritte zugeordnete Curve aus einzelnen Curvenpunkten x zeichnen zu können, hat man zuvor auf den zwei gegebenen Curven K' und K" eine Reihe von Paaren zugeordneter Punkte x' und x" zu markiren, was dadurch geschieht, dass man etwa x' auf K' beliebig wählt, x'o'2 zieht bis zum Schnitte GI2 mit g12, AG^ = AG,2 auf 972 macht und Go" zieht, welche die Curve K" in x" schneidet. — Man wird im allgemeinen mehrere Schnittpunkte x" erhalten. Man bemerke aber, dass — wenn durch K’ und K" eine Curve im Raum eindeutig bestimmt sein soll — die zugeordneten Aeste von K' und K" ausdrücklich bezeichnet sein müssen (wie dies schon aus der Mongeschen Descriptiven Geometrie genügend bekannt ist.) —
  - Man erkennt leicht, dass das Verfahren vollkommen in Giltigkeit bleibt, bezw. wie sich dasselbe modificirt, wenn ein oder mehrere Projections-centren oder Kernpunkte ins Unendliche fallen. —
  - Liegt von einem Tripel zugeordneter Punkte a, x', x" einer in der Hauptaxe seiner Ebene, so findet (abgesehen von den nachher zu besprechenden Specialfällen) dasselbe auch für die zwei andern Punkte statt. Es lässt aber dann die angegebene allgemeine Construction im Stich. Man kann in diesem Falle entweder auf die Vorbereitungsfigur (Fig. 2. a) recurriren, wo auf den drei Hauptaxen die Punkte a, a’, x" durch die zugehörigen drei Projectionscentren einander so zugeordnet sind, dass sie drei trilinear-verwandte Punktreihen bilden (vgl. § 1, S. 1 unten); man erhält zu einem Paar a’, x" das zugehörige x dadurch, dass man O,x‘ und Opa" zieht bis zu ihrem Schnitt X, hierauf OX zieht, welche die Hauptaxe 0,02 in x schneidet. Oder aber, wenn die Operationen ausschliesslich auf die Ausführungsfigur beschränkt bleiben sollen, kann man in dieser x' und x" mit A verbinden, auf den Verbindungslinien irgend ein anderes Paar zugeordneter Punkte y' und y" wählen (Controle für' die Zuordnung mittelst 02 und 0"), den dritten zugeordneten Punkt y construiren und diesen mit A verbinden: so erhält man im Schnittpunkt der Linie Ay mit der Hauptaxe 0,02 den gesuchten Punkt x. — Statt des Punktes A (in welchem drei zugeordnete Punkte zusammenfallen) kann übrigens auch ein ganz beliebiges Tripel zugeordneter Punkte a, a’, a" benutzt werden.
  - Es empfiehlt sich dieses Verfahren nicht bloss für Punkte, welche auf den Hauptaxen selbst liegen, sondern auch für solche in nächster Nähe
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- - Hduck, neue Constructionen der Perspective u. Photogrammetrie. 13 derselben, da für sie die Bestimmung in Folge von langen Schnitten un-sicher wird. —
  - Die sechs Kernpunkte stellen singuläre Punkte der betreffenden Projectionsebenen vor. Sie gruppiren sich in doppelter Weise zu Paaren von der Eigenschaft , dass, wenn die Punkte eines Paares als zugeordnete Punkte figuriren, der jedesmalige dritte zugeordnete Punkt mehr oder weniger unbestimmt wird. — Wir wollen zwei solche Kernpunkte, welche die Abbildungen eines und desselben Projectionscentrums repräsentiren, deren Bezeichnungen also den nämlichen Index tragen, (als: o' und o", 01 und 01 02 und 02) — correspondirende Kernpunkte nennen, ferner zwei solche, von denen jeder die Abbildung des dem System des andern zugehörigen Projectionscentrums vorstellt, welche also hinsichtlich der Accente und Indices umgekehrt bezeichnet sind, (als: 0, und o’, 02 und o", o" und 02) — gegnerische Kernpunkte nennen. — Diese doppelte Paarung der Kernpunkte kommt nun in folgender Weise zur Geltung:
  - Fällt von einem Tripel ungeordneter Punkte einer in einen Kernpunkt, so muss stets ein zweiter ebenfalls in einen Kernpunkt fällen, und zwar entweder in den correspondirenden oder in den gegnerischen. Der dritte zugeordnete Punkt wird unbestimmt; und zwar kann zu zwei correspon-direnden Kernpunkten als dritter zugeordneter Punkt jeder beliebige Punkt der dritten Ebene functioniren, während zweien gegnerischen Kernpunkten nur jeder beliebige Punkt der Hauptaxe der dritten Ebene zugeordnet ist.
  - Denn bezeichnet wieder X den Punkt des Raumes, dessen Projec-tionen die drei zugeordneten Punkte a, a’, a" vorstellen, und fällt z. B. (vgl. Fig. 2. a} der Punkt x' mit dem Kernpunkt o' zusammen, so muss der Punkt X irgendwo auf dem Strahl 0,0‘ liegen. Fällt er speciell-mit 0 zusammen, so kommt x" in den correspondirenden Kernpunkt o" zu liegen, während der Strahl OX und folglich auch dessen Schnittpunkt x mit der . Ebene S unbestimmt wird. Hat aber Punkt X irgend welche andere Lage auf dem Strahl 0,0, so fällt « in den. gegnerischen Kernpunkt 0, der Strahl 0.X liegt dann unbestimmt in der Ebene 00,02 und somit der Punkt x" unbestimmt auf der Hauptaxe o"o".
  - Schliesslich sei noch ausdrücklich darauf hingewiesen, dass den drei Grundschnitten in keinerlei Weise der Charakter von singulären Elementen zukommt (ein Punkt, der im H. Artikel seine ausführlichere Erörterung finden wird).
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  - Hauck, neue Constructionen der Perspective u. Photogrammetrie.
  - Wir unterbrechen hier die allgemeine Theorie und wenden uns zu der Betrachtung einer Reihe von praktischen Anwendungen der Fundamen-talconstruction.
  - $4.
  - Beispiel I. Centralperspective aus geometrischem Aufriss und Seitenriss.
  - Gegeben seien Aufriss-Projection und Seitenriss-Projection eines (architektonischen) Objectes, gesucht: eine bestimmte Centralpro-jection.
  - Die gegenseitige Lage der Grundschnitte und Kernpunkte bestimmt sich aus einer einfachen Vorbereitungsfigur, welche als Grundriss-Projection aufgefasst werden mag (Fig. 3. a")). In derselben stellen sich die drei verti-calen Projectionsebenen (Bild-Ebene S, Aufriss-Ebene S‘, Seitenriss-Ebene S") als gerade Linien —, die drei verticalen Grundschnitte 91, g2, 912 als Punkte dar. Das der Bild-Ebene S zugehörige Projectionscentrum (Augpunkt) sei 0. Die zwei andern Projectionscentren 0, und 0, fallen ins Unendliche, und zwar in der Richtung senkrecht zu der Aufriss- und der Seitenriss-Ebene. Die in diesen Richtungen durch 0 gezogenen Strahlen schneiden die betreffenden Projectionsebenen in den Kernpunkten o‘ und 01, ö" und o. In Fig. 3. a sind die Grundriss-Projectionen dieser Punkte durch die gleichlautenden Buchstaben bezeichnet**); sie liegen in einer Höhe über der Grundriss-Ebene gleich der gegebenen Höhe des Augpunktes 0.
  - Man erkennt sofort, dass 0, und 02 identisch sind mit den zwei Haupt-Fluchtpunkten. Man bemerke ferner, dass o' und o" die Aufriss- und Seitenriss-Projection des Augpunktes 0 vorstellen. — Die zwei anderen, dem Grundschnitt 912 zugehörigen Kernpunkte fallen ins Unendliche, und zwar in horizontaler Richtung.
  - Schneidet man nun nach dem Grundschnitt 912 auf und dreht die Aufriss-Ebene und Seitenriss-Ebene um die Linien gi und 92 in den durch die Pfeile angedeuteten Richtungen, bis sie mit der Bild-Ebene zusammenfallen: so erhält man die in der Ausführungsfigur (Fig. 3. b***)) ersichtliche Lage der Grundschnitte, der Kernpunkte und der Aufriss- und Seitenriss-Figuren.
  - *) Man ignorire in Fig. 3.a zunächst die in Klammern eingeschlossenen Buchstaben.
  - **) Wir gestatten uns dies auch im Folgenden jederzeit, wo es nicht zu Missverständnissen Veranlassung geben kann.
  - ***) Man berücksichtige von Fig. 3. b zunächst nur die obere Partie,
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  - Die drei Hauptaxen fallen in eine Gerade, welche identisch ist mit der Horizontlinie. Denkt man sich Aufriss und Seitenriss auf besonderen Blättern gegeben, so werden diese in der richtigen Lage auf das Zeichenbrett auf-geheftet, und es beginnt nun sofort die Construction des perspectivischen Bildes nach Vorschrift von § 3, wie es Fig. 3. b veranschaulicht. Dabei ist es überaus wichtig, sich der Bedeutung der verschiedenen Kernpunkte und ihrer Strahlenbüschel als der Abbildungen der verschiedenen Projectionscentren und ihrer projicirenden Strahlenbündel beständig be-wusst zu bleiben. (So bedeuten z. B. die zwei Fluchtpunkte 0, und 02 die Abbildungen der unendlich fernen Projectionscentren der Aufriss- und Seitenriss- Projection, während die Fluchtstrahlen die Abbildungen der projicirenden Lothe vorstellen. Andererseits bedeuten o' und o" und ihre Strahlenbüschel: die Aufriss- und Seitenriss -Projection des Augpunkts und des Sehstrahlen-Bündels.) — Im übrigen bedarf die Figur keiner weiteren Erklärung.
  - Man erkennt leicht, welche Modification die besprochene Construction für den Fall der Frontansicht erfährt.
  - Fig. 4. a zeigt zunächst die Vorbereitungsfigur (man vgl. sie mit Fig. 3. a). Die Bild-Ebene S ist parallel der Aufriss-Ebene S; daher fällt der Grundschnitt gi ins Unendliche. Ferner fällt der Kernpunkt 02 ins Unendliche (in horizontaler Richtung).
  - Schneidet man nun längs 912 auf und bringt die Aufriss- und Seiten-riss-Ebene in Coincidenz mit der Bild-Ebene,, und zwar die erstere durch Parallelverrückung, die letztere durch Drehung um g2 in der durch den Pfeil angedeuteten Richtung: so erhält man die in der Ausführungsfigur (Fig. 4. b) ersichtliche Lage. — Da der Kernpunkt 02 im Unendlichen in horizontaler Richtung liegt, so wird das Strahlenbüschel ot zum horizontalen Parallelstrahlenbüschel. Da ferner der Grundschnitt gt im Unendlichen liegt, so werden je zwei zugeordnete Strahlen der zwei Büschel 01 und o' (welche sich, auf gi schneiden müssten) einander parallel, so dass das eine dieser. Büschel als die .Parallelverschiebung des andern angesehen werden kann. — Man könnte zum Behuf weiterer Vereinfachung der Construction die Parallelverrückung der Aufriss-Ebene so ausführen, dass o' mit 0, zusammenfiele, so dass dann auch die zwei Strahlenbüschel o und 01 zusammenfallen würden. Dabei würde freilich die Perspectiv-Figur von
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  - der Aufriss-Figur theilweise verdeckt werden; doch gewinnt man dadurch Fühlung mit älteren Methoden.
  - §5.
  - Bemerkungen zu Beispiel I.
  - Das im vorigen Paragraphen behandelte Beispiel wird bei architektonischen Objecten (namentlich bei Werken der Kleinkunst, wo sehr häufig nur der Aufriss und die Profilirung gegeben ist) eine werthvolle Verwendung finden können. — Indessen sind für die praktische Anwendung der Methode noch verschiedene Bemerkungen hinzuzufügen, ohne deren genaue Beachtung die Methode kaum einen Anspruch auf Brauchbarkeit in Praxi erheben dürfte.
  - 1. Zunächst ist darauf hinzuweisen, dass die Construction für einen Punkt des Horizontes unbestimmt wird und auch in der Nähe des Horizontes nicht sehr genau ist, da sich hier die Linien unter sehr stumpfen Winkeln schneiden, wodurch namentlich die sichere Bestimmung der verticalen Linien gefährdet wird. — Man hilft diesem Uebelstand ab genau in der Weise, wie in § 3 (S. 12, unten) angegeben wurde. Die dort verwendeten, durch Punkt A gezogenen Hilfslinien sind aber nun (da A im Unendlichen in verticaler Richtung liegt) vertical; das Verfahren kommt somit darauf hinaus, dass man vertical über oder unter dem fraglichen Punkt x’, a" einen Hilfspunkt y‘, y" wählt, dessen Perspective y construirt und durch y eine Verticale zieht. — Nehmen wir an, es würde dies mit einer ganzen Anzahl von Punkten ?, x" ausgeführt (s. Fig. 5) und die Hilfspunkte y’, y" würden alle in gleicher Höhe angenommen, so würden die Punkte Y, deren Pro-jectionen y' und y" vorstellen, alle in einer horizontalen Ebene liegen und in dieser eine Grundriss-Figur des gegebenen Objectes markiren. Die zugeordneten Bildpunkte y würden somit einen sogen, perspectivischen Grundriss erzeugen. Man kommt,also -auch bei unserer Theorie auf die bekannte Methode des tiefer oder höher liegenden perspectivischen Grundrisses, welche in der gewöhnlichen Theorie- den. nämlichen Zweck verfolgt: vor Ungenauigkeiten, die durch lange Schnitte bedingt sind, zu schützen. Bei unserer Methode kann ein solcher perspectivischer Grundriss unmittelbar hergestellt werden, ohne dass es nothwendig wäre, vorher den Grundriss in wahrer Gestalt zu zeichnen. Erst durch diese Modification (nach dem Schema Fig. 5) gewinnt Beispiel I praktischen Werth.
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  - 2. Hinsichtlich der Anordnung der Vorbereitungs- und Ausführungs-figur mag Folgendes beachtet werden:
  - Was zunächst die Lage der Aufriss- und Seitenriss-Ebene (s. Fig. 3.a) anlangt, so können dieselben parallel zu den zwei Hauptfagaden des Objectes in beliebigem Abstande von diesem gewählt werden. Rückt man eine der zwei Ebenen, z. B. die Aufriss-Ebene S‘ vor oder zurück, so hat dies in der Ausführungsfigur (Fig-3.b) zur Folge, dass die Aufriss-Figur mitsammt ihrem Strahlenbüschel 0’ sich entlang der Horizontlinie nach links oder rechts verschiebt. Die perspectivische Lage des Büschels o‘ mit dem festen Büschel or bleibt hiebei stets erhalten; die Axe der Perspectivität (Grund-schnitt gi) erfährt aber eine Parallelverrückung nach links oder rechts. — Die Wahl der Aufriss- und Seitenriss-Ebene ist nun so zu treffen, dass die Kernpunkte in angemessene (möglichst weite) Entfernung von den Grund-schnitten gi und g2 zu liegen kommen. Am zweckmässigsten ist es, die Wahl so zu treffen, dass die Grundschnitte zwar nicht mehr in das perspectivische Bild hineinfallen, aber demselben doch möglichst nahe zu liegen kommen*). — Noch sei darauf aufmerksam gemacht, dass die Kernpunkte 0, und 02 ebenso gut innerhalb der Grundschnitte gi und g2 fallen können als ausserhalb derselben (wie in Fig. 3). Im ersten Falle kommen o' und o" ausserhalb, im letzteren Falle innerhalb zu liegen. Die letztere Lage verdient im allgemeinen den Vorzug**).
  - Man bemerke schliesslich, dass (s. Fig. 3.b) jederzeit 0,M1,»o’M und 02M2 3 o"M2 ist, und dass zwischen diesen zwei Paaren von Strecken die Beziehung besteht, dass die aus ihnen (als Hypoten. u. nicht homol. Kath.) gebildeten zwei rechtwinkligen Dreiecke (gio‘01 und 020"g2 in Fig. 3.a) ähnlich sind, oder dass die Beziehung besteht:
  - o'Ml o"M-2 0,M; T 0,M; 5
  - 3. Bei der durch Fig. 3 illustrirten Operationsweise wurden Aufriss-
  - *) In Fig. 3.a ist eine solche Lage der Ebenen S' und S", — desgleichen in Fig. 3.6 die entsprechende Lage der Grundschnitte 9, und 92 (in Beziehung auf die Perspectivfigur) durch punktirte Linien angedeutet. Die in der (ausgefülirten) Fig. 3 gewählten Entfernungen würden sich für eine genaue Construction in Praxi als ungeeignet erweisen. Bei dieser, wie überhaupt bei sämmtlichen Figuren, war nicht sowohl die Rücksicht auf die zeichnerische Praxis, als vielmehr die Rücksicht auf die schematische Klarheit der Figur für die Anordnung massgebend.
  - **) Als auf einen interessanten Specialfall sei noch auf die Annahme der Aufriss-und Seitenriss-Ebene durch den Augpunkt 0 hingewiesen.
  - Journal für Mathematik Bd. XCV. Hefti. 3
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  - und Seitenriss-Ebene nach aussen gedreht, so dass sie nun in umgeklappter Lage ihre Rückseiten nach oben kehren. (Hätte man die Drehungen nach innen ausgeführt, so würde man zwar die zwei Risse an sich in richtiger Lage erhalten haben, sie würden aber auf den von der Perspectiv. Figur beanspruchten. Raum des Zeichenblattes gefallen sein, oder es würden wenn man dies durch andere Wahl der Aufriss- und Seitenriss-Ebene zu vermeiden gesucht hätte, die zwei Grundschnitte in all zu weite Entfernung gerückt sein.) Es sind also die betreffenden Constructionen nicht mit den eigentlichen Aufriss- und Seitenriss-Figuren, sondern mit deren Rückseiten oder Spiegelbildern auszuführen.
  - Es hat dies zunächst nichts auf sich für den Fall, dass das gegebene Object, wie in Fig. 3 (und überhaupt nicht selten bei Architektur-Objecten), symmetrisch gestaltet ist, oder — auch wenn dies nicht zutrifft — für den Fall, dass Aufriss und Seitenriss speciell zum Zweck der Herstellung der Perspective erst auf das Zeichenblatt aufgezeichnet werden müssen, bezw. dass hiezu eine Pause auf Pauspapier verwendet wird. — Sollen indessen die fertig vorliegenden Risse unmittelbar verwendet werden, so kann dem in Rede stehenden Uebelstand leicht durch eines der folgenden Mittel begegnet werden:
  - Es ist zunächst einleuchtend, dass die ganze Construction auch auf verschiedenen Zeichenblättern ausgeführt werden kann. Es wird dies sogar recht häufig praktisch werden, sei es dass nur ein Zeichenbrett von beschränkter Grösse zur Verfügung steht, sei es dass die zwei Blätter mit den Rissen auf zwei besonderen Zeichenbrettern fest aufgespannt sind. Man wird in solchem Falle auf jedem dieser zwei Blätter das betreffende Strahlenbüschel o’, bezw. o" aufzeichnen und dessen Schnitt-Punktreihe mit dem Grundschnitt 91, bezw. 92 markiren, hierauf die zwei Punktreihen 91 und g2 auf das perspectivische Zeichenblatt übertragen und das Strahlenbüschel 0, bezw. 02 zeichnen.— Das Uebertragen der Punktreihen (h und 92 geschieht am einfachsten dadurch, dass man auf ,den Blättern mit den Rissen über dem betreffenden Grundschnitt einen Papierstreifen aufheftet, auf diesem die Punktreihe g markirt, hierauf den Papierstreifen wegnimmt und auf das perspectivische Zeichenblatt über dem betreffenden Grundschnitt in richtiger Lage aufheftet. — Es ist einleuchtend, dass bei diesem Verfahren der oben genannte Uebelstand ganz in Wegfall kommt: Man denkt sich die zwei Risse in solcher Lage, wie sie der Umklappung .
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- - Hauck, neue Constructionen der Perspective u. Photogrammetrie. 19 nach innen entspricht, und führt dieser Lage entsprechend auf jedem Blatt die betreffende Construction aus.
  - Freilich hat man heim Operiren auf drei getrennten Blättern besondere Vorsicht aufzuwenden, um sich bezüglich der zusammengehörigen Punkte der zwei Punktreihen g1 und gt nicht zu verwirren. Eine zweckmässige Bezeichnung der Punkte der zwei; Punktreihen (z. B. durch schematisches Einskizziren der betreffenden Riss-Details) ist hiezu unerlässlich. — Indessen weisen die praktischen Bedürfnisse des Technikers ganz von selbst auf ein solches getrenntes Construiren hin, und dürfte daher die Methode gerade in der letztbesprochenen Anordnung von besonderer praktischer Bedeutung sein. .
  - Soll übrigens die Construction doch auf einem einzigen Zeichenblatt ausgeführt und sollen zu diesem Zwecke die zwei gegebenen Risse direct auf-geheftet werden, so kann dem in Rede stehenden Uebelstand auch durch eine einfache Modification der Fig. 3. b begegnet werden: Man schlägt nämlich (s. Fig. 6. 6) die ganze Aufriss-Figur sammt dem zugehörigen Strahlenbüschel o' durch Drehung um die Horizontlinie um, so dass sie die vorherige Unterseite nach oben kehrt, und verschiebt sie hierauf entlang der Horizontlinie so, dass die neue Lage (o’) des Punktes o' mit der alten Lage symmetrisch zum zugehörigen Grundschnitt gi liegt. Das Strahlen-büschel (o’) schneidet dann den Grundschnitt gi nach der nämlichen Punktreihe wie das Büschel o’. — In gleicher Weise verfährt man auch mit dem Seitenriss nebst zugehörigem Strahlenbüschel o". — Man erkennt leicht, dass die in solcher Weise modificirte Ausführungsfigur auch gedeutet werden kann als entstanden durch directe Umklappung der Aufriss- und Seitenriss-Ebene bei einer Anordnung, wie sie die (im halben Massstab der Fig. 6. b gezeichnete) Vorbereitungsfigur Fig. 6. a zeigt.
  - 4. Als wesentliche Annehmlichkeit unserer Methode mag schliesslich hervorgehoben werden, dass ein beschränkter Raum der disponibeln Zeichenfläche keine erheblichen Schwierigkeiten oder Umständlichkeiten für die. Construction mit sich bringt. In welcher Weise die Constructionen auf verschiedenen Blättern ausgeführt werden können, wurde schon oben besprochen. Es erübrigt noch, darauf hinzuweisen, dass hiebei auch das Hinausfallen eines oder beider Fluchtpunkte 0, 0, über das Perspectiv-Blatt keine besonderen Schwierigkeiten bereitet, insofern die Punkte, von denen Linien nach einem unzugänglichen Fluchtpunkt gezogen werden müssen, 3*
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  - Hauck, neue Constructionen der Perspective u. Photogrammetrie.
  - alle auf der nämlichen Geraden liegen, so dass man sich durch Benut einer proportional getheilten Parallellinie leicht helfen kann. Sollte * der Fluchtpunkt o2 (Fig. 3.6) über das Blatt hinausfallen, so kann man (s. Fig. 7) in der Seitenriss-Figur parallel mit g. und in doppeltem (oder n-fachem, bezw. L-fachem) Abstand von o" eine Hilfslinie l ziehen, deren
  - Schnittpunkte mit dem Strahlenbüschel o" markiren und die entstandene Punktreihe (mittelst Papierstreifens) auf das Perspectivblatt in die Lage 2 übertragen, wo 12 von o2 einen doppelt (oder n-fach, bezw. 1-fach) so
  - grossen Abstand hat wie gv Durch Verbinden der homologen Punkte von 92 und 12 erhält man dann das Strahlenbüschel 02.
  - §6.
  - Beispiel II. Centralperspective aus geometr. Grundriss und Aufriss.
  - Die Bild-Ebene S und Aufriss-Ebene S' mit Grundschnitt gi, sowie der Augpunkt 0 seien dieselben wie bei Beispiel I. Daher mag als Vör-bereitungsfigur die nämliche Figur (Fig. 3.a) benutzt werden wie dort. (In derselben sind die nur für Beispiel II bedeutsamen Buchstaben in Klammern eingeschlossen.) Statt des Seitenrisses sei aber jetzt der Grundriss gegeben, wobei die Grundriss-Ebene S" in grösserer Tiefe angenommen werde („Keller-Grundriss"); sie schneide die Bild-Ebene S nach dem Grundschnitt go. — Die Kernpunkte. 01 und o' sind die nämlichen wie bei Beispiel I. Um die zwei anderen, dem Grundschnitt go zugehörigen Kernpunkte 00 und o° zu erhalten, hat man — da das Projectionscentrum Oo für den Grundriss im Unendlichen in der Richtung der Verticalen liegt — in dieser Richtung durch 0 einen Strahl zu ziehen. Derselbe .schneidet die Bild-Ebene im Unendlichen; der Kernpunkt 0p fällt also ins Unendliche in verticaler Richtung. Der Kernpunkt o° fällt in die Grundriss-Projection des Augpunktes 0.
  - Klappt man nun die Aufriss- und die Grundriss-Ebene in die Bild: Ebene um, indem man sie um die Grundschnitte gi und go dreht, und zwar die Aufriss-Ebene in der durch den Pfeil angedeuteten Richtung, die Grundriss-Ebene so, dass bei der Drehung der Punkt o0 sich abwärts, die Grundriss: Figur sich aufwärts bewegt: so erhält man die in Fig. 3.6 *) ersichtliche Lage. Fig. 3. b zeigt dann ferner das von o° nach den Punkten a° des Grundrisses
  - *) Man fasse von derselben nur die mittlere und rechte Partie ins Auge.
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- - Hauch, neue Constructionen der Perspective u. Photogrammetrie. . 21 gehende Strahlenbüschel, während das Strahlenbüschel 0, zum verticalen Parallelstrahlenbüschel wird. Die Strahlenbüschel 0' und 0, sind die nämlichen wie bei Beispiel I. Durch den Schnitt der zugeordneten Strahlen des Büschels 0, und des Parallelbüschels 0, erhält man die Punkte ar der Bild-Figur. — (Dabei wird man immerhin auch den anderen Fluchtpunkt 02 markiren, um sich das Ziehen der nach ihm fliehenden Linien zu erleichtern.)
  - Man bemerke, dass die Annahme der Grundriss-Ebene in grösserer Tiefe den Zweck hatte, ein Zusammenfallen der gedrehten Grundriss-Figur mit der Bild-Figur zu vermeiden. — Man bemerke ferner an Fig. 3. b, wie die Vorbereitungsfigur (Fig. 3. d) leicht der Ausführungsfigur einverleibt werden kann.
  - Es versteht sich endlich von selbst, dass das, was in § 5 mit Beziehung auf Beispiel I — über die Wahl der Aufriss-Ebene, über das Umklappen, derselben nach aussen oder innen, über die Ausführung der Con-struction auf getrennten Blättern (mit Uebertragung der Punktreihen durch Papierstreifen), über das Verfahren beim Hinausfallen eines Fluchtpunktes über das Zeichenblatt — gesagt wurde, auch auf Beispiel II seine volle und unerlässliche Anwendung findet.
  - § 7.
  - , Bemerkungen zu der combinirten Aufgabe I und. II.
  - Es kommt in Praxi überaus häufig vor, dass zur Ausführung einer Perspective alle drei Projectionen: Grundriss, Aufriss und Seitenriss zur Verfügung stehen. Man wird in diesem Falle in der That alle drei Projectionen verwerthen, indem man die Anordnung in der durch die combinirte Fig. 3.6 veranschaulichten Weise trifft, bezw. einzeln in den drei gegebenen Rissen die drei Strahlenbüschel o°, o‘, o" zeichnet und die drei hierdurch gewonnenen Punktreihen 90 9i, g: (mittelst Papierstreifen) auf das Zeichenblatt in die durch Fig. 3. 6 veranschaulichte Lage überträgt. Man zeichnet dann sämmtliche architektonischen Linien in der Breitenrichtung vom Seitenriss aus, diejenigen, in der Tiefenrichtung vom Aufriss aus, diejenigen in der Höhenrichtung vom Grundriss aus. — Das Charakteristische der Methode liegt eben darin, dass sie sämmtliche in den drei Hauptrichtungen laufenden Linien unmittelbar liefert und dass bei derselben überhaupt keine anderen Hilfslinien zur Verwendung ko.mmen als eben
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  - Hauck, nette Consiructionen der Perspective u. Photogrammetrie.
  - diese, so dass man die Perspective erhält mit der denkbar geringsten Zahl bedeutungsloser Constructionslinien. Dabei sei nochmals an die Bel deutung der verschiedenen von den, Constructionslinien gebildeten Strahlen, büschel als Abbildungen der projicirenden Strahlenbündel erinnert.
  - Dieser Bedeutung zufolge stellt z. B. das Büschel o° die Grundriss. Projection des Sehstrahlen-Bündels vor. Die Construction der Perspective der verticalen Linien (vom Grundriss aus) erweist sich hiernach als identisch mit der von der sogen. Durchschnittsmethode gelehrten. Letztere trägt den Stempel der Geometrie descriptive von Monge. Die Construction tritt . aber hier als ein einfacher Specialfall unserer allgemeinen Construction auf dadurch bedingt, dass das Strahlenbüschel 00 zum Parallelstrahlenbüschel wird. Es dürfte hierin u. a. ein Beleg für meine Auffassung zu erblicken sein, dass durch unsere Theorie die- Geometrie descriptive im Sinne von Monge eine Fortbildung erfahren möchte *).
  - Es versteht sich übrigens von selbst, dass man die Methode nicht mit schablonenhafter Einseitigkeit zur Anwendung bringen, sondern von den übrigen gebräuchlichen Constructionsmethoden der Perspective am gegebenen Orte Nutzen ziehen wird. — Z. B. wird man sich auch bei Anwendung der neuen Methode die Benutzung der Theilungspankte zum Abtragen von Massen oder die Hilfe des Diagonalpunktes bei Gehrungsprofilen u. s. w. nicht versagen.
  - Ueberhaupt mag ausdrücklich hervorgehoben werden, dass — wenn auch der Techniker sich künftig gerne der neuen Methode bedienen wird — man sich doch nicht der Illusion hingeben darf, als könne dieselbe die alte Theorie geradezu ersetzen. Man darf vor allem nicht vergessen, dass die neue Theorie voraussetzt, es seien zwei Projectionen des Objectes gegeben, — eine Forderung, welche dem Wesen der freien Perspective widerspricht. Es kann daher unsere „technische" Perspective den Bedürfnissen des künstlerischen perspectivischen Zeichnens nicht Genüge leisten, wiewohl sich leicht eine Brücke von ihr zur freien Perspective schlagen lässt — Man wird sich auch unschwer überzeugen, dass nur derjenige
  - *) Dieselbe kann als ein Versuch aufgefasst werden, die Lücke auszufüllen, die Herr De la Gournerie constatirt mit den Worten: „Le trait de perspective un peu. negligö par les disciples de Monge. Cet illustre geomitre ... voulut que to les arts graphiques ne fussent que des applications de la Göom. descr. On peut tainement tracer des perspectives par les procedös generaux de la Geom. descr., cette methode a des inconvenients serieux. Quant aux constructions ordinaires Perspective ... il est reellement impossible d’y voir une application de la Co) descr. (De la Gournerie, Traite de Perspective lineaire, Paris 1859, Avant-Proposo
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- - Hauch, neue Constructiomen der Perspective „. Photogrammetrie. 23 sieh der neuen Methode mit Vortheil bedienen wird, der mit den Gesetzen der perspectivischen Formgestaltung bereits voll-kommen vertraut ist.
  - §8.
  - Beispiel UI. Geometrischer Aufriss aus zwei Perspectiven. (Photogrammetrische Architektur-Aufnahme.) Gegeben seien zwei Central-Projectionen eines (architektoni-schen) Objectes, gesucht: dessen Aufriss-Projection.
  - Die Bestimmung der Grundschnitte und Kernpunkte geschieht wieder in einer — als Grundriss -Projection aufzufassenden — Vorbereitungsfigur (Tafel n, Fig. 8.a). In derselben stellen sich die drei verticalen Projections-ebenen (Aufriss-Ebene S, Perspectiv - Ebene S, Perspectiv - Ebene S") als gerade Linien, die drei verticalen Grundschnitte gi, 92, 912 als Punkte dar. Die Projectionscentren für die zwei gegebenen Perspectiven seien 0, und 02. Das Projectionscentrum 0 für den gesuchten Aufriss fällt ins Unendliche, und zwar in der Richtung senkrecht zur Aufriss-Ebene S. Zieht man daher in dieser Richtung durch 0, und 02 Strahlen und zieht ferner 0,02, so schneiden diese drei Linien die betreffenden Projections-Ebenen in den sechs Kernpunkten o‘ und 01, o" und 02, 02 und o"’, deren Grundriss-Projectionen in Fig. 8.a durch die gleichlautenden Buchstaben bezeichnet sind, o' und 01 liegen in gleicher Höhe mit 0,; o" und 02 in gleicher Höhe mit 02. Sind diese zwei Höhen verschieden, so ergeben sich die Höhen von 02 und o] aus einer einfachen Aufriss-Projection (Fig. 8. aa), in welcher die Pro-jectionen der einzelnen Punkte durch die entsprechenden deutschen Buchstaben bezeichnet sind. — Man erkennt, dass o' und o" in correspondirende Haupt-Fluchtpunkte der zwei gegebenen Perspectiven fallen. — Betreffs der zweckmässigen Wahl der Aufriss-Ebene im Interesse einer günstigen Lage der Kernpunkte gilt das Nämliche, was bei Beispiel I (s. § 5, No. 2) gesagt wurde. In Fig. 8 ist die Wahl so getroffen, dass die Kernpunkte 01 und 02 innerhalb der Grundschnitte gi und 92 fallen.
  - Schneidet man hierauf längs des Grundschnittes 912 auf und klappt die zwei Perspectiv-Ebenen durch Drehung um 9. und 92 in die Aufriss-Ebene um, so erhält man die in der Ausführungsfigur (Fig. 8.b) ersichtliche Anordnung und kann nun sofort mit der Construction des Aufrisses beginnen, welche - durch Fig. 8. b veranschaulicht — keiner weiteren Erläuterung bedarf.
  - Für ein auf den Hauptaxen gelegenes Punktepaar «, «" wird die Construction unbestimmt, in nächster Nähe derselben — ungenau. Man hilft sich
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  - Hauck, neue Constructionen der Perspective u. Photogrammetrie.
  - hier ganz in derselben Weise wie bei Beispiel I (s. § 5, No. 1). Man zieht näm. lich (s. Fig. 8.6) durch a‘ und a" zwei Verticalen, wählt auf diesen (oberhalb oder unterhalb) ein Paar zugeordneter Hilfspunkte y, y", bestimmt den dritten zugeordneten Punkt y und zieht durch y eine Verticale: so liegt auf dieser 3 der gesuchte Punkt ®. Bei architektonischen Objecten bieten sich solche . Hilfspunkte y’, y" sehr häufig von selbst dar. Sollte dies nicht der Fall -sein, so geschieht ihre Bestimmung mittelst der Kernpunkte 0% und o^ Wie -dies Fig. 8.b. näher veranschaulicht.
  - Enthalten die zwei gegebenen Perspectiven Curven, so hat man auf denselben zuvor eine Reihe von zugeordneten Punktepaaren , a" zu markiren, was wieder mittelst der Kernpunkte 02 und o" auf die schon in § 3 (S. 12) näher besprochene Weise geschieht. -
  - Es ist nicht schwer, zu erkennen, wie sich Fig. 8 modificirt, wenn eine der zwei gegebenen Perspectiven oder wenn beide — Frontansichten sind, was bei photogrammetrischen Aufnahmen von Facaden ganz besondere Vortheile gewährt. Die eintretenden Modificationen sind ganz ähnliche, wie sie bei Beispiel I im Falle der Frontansicht statt hatten. Es mag daher genügen, behufs Anleitung auf die betr. Erörterungen in § 4 zu verweisen.
  - §9.
  - Beispiel IV. Geometrischer Grundriss Aus zwei Perspectiven. (Photogrammetrische Terrain-Aufnahme.)
  - Gegeben seien zwei Central-Projectionen, gesucht: die Grund-riss-Projection.
  - In der als Grundriss - Projection aufzufassenden Vorbereitungsfigur (Fig. 9.a) seien 0, und 0a die zwei gegebenen Augpunkte, gi und g2 die Grundschnitte zwischen der. Grundriss-Ebene S und den zwei Perspectiv-Ebenen S’ und S". Der Grundschnitt 912 zwischen den zwei letzteren stellt sich als Punkt dar. Das Projectionscentrum 0 für die gesuchte Grundriss-Projection liegt im Unendlichen in der Richtung der Verticalen. Denkt man sich daher durch 0, und 02 Strahlen in dieser Richtung gezogen, so fallen deren Schnittpunkte mit der Grundriss-Ebene in 'die Grundriss-Pro:, jectionen von 0, und 02, während die Schnittpunkte mit. den zwei Per-spectiv-Ebenen ins Unendliche fallen. Es kommen also die zwei Kern-punkte 01 und 02 in die Grundriss-Projectionen von 0, und 02 zu liegen, während die Kernpunkte o' und o" im Unendlichen in verticaler Richtung liegen. Die dem Grundschnitt 912 zugehörigen Kernpunkte 0 und 01 be-
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- - Hauck, neue Constructionen der Perspective u. Photogrammetrie. 25 stimmen sich in der Grundriss-Projection unmittelbar als Schnittpunkte von 0,02 mit 91 und 92; ihre Höhen ergeben sich aus einer Aufriss-Projection in derselben Weise wie bei Beispiel III.
  - Fig. 9. b zeigt hierauf die umgeklappte Lage der Perspectiv-Ebenen mit der Construction des Grundrisses: zunächst die verticalen (d. h. zu g. und g2 senkrechten) Parallelstrahlen durch je zwei zugeordnete Bildpunkte a’ und a", — die Strahlenbüschel o' und o" repräsentirend; sodann die Strahlenbüschel 01 und 02, durch deren Schnitt der Grundriss entsteht.
  - § 10.
  - Bemerkungen über photogrammetrische Praxis.
  - Es ist zunächst darauf aufmerksam zu machen, dass auch bei den Beispielen III und IV (wie früher bei I und II) die durch Fig. 8 und 9 illustrirten Anordnungen so getroffen sind, dass die zwei gegebenen Per-spectiv-Figuren in umgeklappter Lage ihre Rückseiten nach oben kehren, so dass die besprochenen Constructionen eigentlich mit den Rückseiten oder Spiegelbildern der gegebenen Perspectiven auszuführen wären.
  - Nehmen wir zuerst an, es lägen wirklich die directen perspecti-vischen Abbildungen gegeben vor, so ist hinsichtlich der Aufgabe HI genau das Nämliche zu sagen, was in § 5, No. 3 anlässlich der Aufgabe I über den analogen Umstand gesagt wurde, und es können die dort besprochenen Auskunftsmittel in ganz derselben Weise auch hier zur Anwendung gebracht werden. — Was sodann Aufgabe IV anlangt, so kann bei dieser sehr einfach dadurch geholfen werden, dass man für die Vorbereitungsfigur die Grundriss-Ebene oberhalb des räumlichen Objectes annimmt („Luft-Grund-riss"), so dass also die zwei Perspectiv-Ebenen von den Grundschnitten 91 und 92 vertical herabhängend zu denken sind und dann um 9i und 92 nach aussen aufwärts gedreht werden.
  - Indessen ist daran zu erinnern, dass man bei photogrammetrischen Constructionen im Interesse der Genauigkeit wo möglich nicht mit den Positiv-Abdrücken, sondern unmittelbar mit den Original-Negativplatten operiren wird. Diese geben aber nicht die directen perspectivischen Abbildungen, sondern deren Spiegelbilder. Es werden daher die durch die Figuren 8 und 9 illustrirten Anordnungen bei photogrammetrischen Constructionen in der That die vorzugsweise zur Anwendung gelangenden sein.
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  - Hauck, neue Constructionen der Perspective u. Photogrammetrie.
  - Es bedarf weiter der folgende Punkt einer eingehenderen Erörterung:
  - Es wurde bei beiden Beispielen stillschweigend vorausgesetzt, die zur Construction der Vorbereitungsfiguren (Fig. 8. a und 9. a) erforderlichen Daten (Winkel der Perspectiv-Ebenen und Lage der zugehörigen Augpunkte) seien unmittelbar gegeben. — Wenn es nun auch bei photogrammetrischen Aufnahmen im Interesse erhöhter Sicherheit nicht selten geschehen mag, dass diese Daten durch directe Messung erhalten werden, so ist dies doch nicht unumgänglich nothwendig und auch nicht immer praktisch ausführbar. Es handelt sich daher darum: 1) zu ermitteln, wieviel von directer Messung im äussersten Falle erforderlich ist, 2) wie die Constructionen sich gestalten bei Beschränkung auf dieses geringste Quantum von directer Messung.
  - Es ist in dieser Beziehung zunächst daran zu erinnern, dass bei den photographischen Bildern, welche mittelst eines für photogrammetrische Zwecke eingerichteten Apparates*) aufgenommen werden, der Hauptpunkt H und die Augdistanz 8 direct gegeben sind. Es kommt nämlich die Horizontlinie und die Hauptverticale auf dem Bilde unmittelbar zur Erscheinung, sei es durch feine Fäden, die — dicht vor der empfindlichen Fläche ausgespannt — sich auf dieser mit abbilden, sei es durch blosse Marken am Rande, die sich mit abbilden, und deren Verbindungslinien dann den Horizont, die Hauptverticale und (als deren Schnittpunkt) den Hauptpunkt H bestimmen. — Die Augdistanz ferner wird repräsentirt durch die Entfernung des optischen Mittelpunktes der Linse von der empfindlichen Fläche. Denn ist (Fig. 11) 0 der optische Mittelpunkt, 2 die empfindliche Fläche, AB das Object, so ist das von der Linse auf der Innenseite von X entworfene Bild aß symmetrisch gestaltet mit einem perspectivischen Bilde ab, für welches 0 der Augpunkt ist und dessen Bildfläche S mit 2 parallel ist und gleichen Abstand von 0 hat. Diese letztere Bildfläche S ist es, welche man sich jedesmal vorzustellen hat, wenn in den Beispielen HI und IV, sowie im Folgenden von „Perspectiv-Ebene“ gesprochen ist. — Die zu photo-grammetrischen Zwecken verwendeten Weitwinkel-Linsen (Pantoskop oder Periskop) haben nun eine sehr geringe Brennweite und geben demzufolge ein scharfes Bild innerhalb eines so grossen Spielraums für den Object-Abstand, dass die Entfernung der Linse von der empfindlichen Fläche constant ge-
  - *) Wir setzen vorerst stets die Benutzung eines solchen voraus. Das Verfahren mit Benutzung einer gewöhnlichen photogr. Camera wird im II. Artikel berührt werden. -
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- - Hauch, nette Constructionen der Perspective „. Phologrammetrie. 27 macht werden kann. Die Augdistanz d ist demgemäss eine durch das In-strument ein für allemal gegebene constante Grösse.
  - , Des Weiteren beachte man, dass von den zwei Kernpunkten 0, und o" jeder die Abbildung des gegnerischen Projectionscentrums vorstellt, und dass es bei dem grossen zulässigen Bildwinkel des Apparates leicht erreicht werden kann, bei jeder der beiden Aufnahmen den (durch Signal markirten) gegnerischen Standort noch auf das Bild zu bekommen; so dass also die zwei Kernpunkte 02 und o” ebenfalls als gegebene Punkte gelten können.
  - Dies vorausgesetzt — ist es nun leicht, zu erkennen, was ausserdem zur Construction der Vorbereitungsfiguren erforderlich ist. Es möge in dieser Richtung Beispiel IV (Fig. 9. a) als der einfachere Fall zuerst besprochen werden.
  - Fällt man in Fig. 9. a: 0,H’ _L s‘ und 0.H" _ S", so stellen H' und H" die Grundriss-Projectionen der Hauptpunkte der gegebenen zwei Perspectiven vor, und es ist: O,H‘ = O2H" = der als Constanten des Apparates gegebenen Augdistanz d. Da ferner auf den zwei gegebenen Perspectiven die.Punkte H' und 02, H" und o" direet gegeben vorliegen, so können die horizontalen Abstände *) dieser Punkte unmittelbar von dort entnommen werden. In Fig. 9. a stellen aber die Strecken H‘o2 und H"o" eben diese horizontalen Abstände vor. Es sind somit in den zwei rechtw. Dreiecken 0,H‘o und O„H‘o" die Katheten gegeben, also die Dreiecke ihrer Gestalt nach bestimmt. Ihre Hypotenusen fallen in die nämliche gerade Linie. Es könnte daher die Figur construirt werden, sobald die Länge der „Stand-linie“ 0,02 (d. i. des horizontalen Abstandes der Augpunkte**) bekannt wäre.
  - Nun ist aber daran zu erinnern, dass die Figur nicht in wahrer natürlicher Grösse, sondern in irgend welchem verjüngten Massstabe gezeichnet werden muss, und dass man dann den verlangten Grundriss in dem nämlichen Verjüngungsverhältniss erhält, in welchem die Standlinie 0,02 aufgetragen wird. Wählt man daher die Länge von. 0,0, in Fig. 9. a ganz beliebig, so erhält man den Grundriss in richtiger Gestalt, nur die absoluten Dimensionen bleiben unbestimmt. — Es ist übrigens dabei zu beachten, dass
  - * Man erinnere sich, dass die beiden Augpunkte 0, und o in verschiedenen Höhen liegend vorausgesetzt sind, was zur Folge hat, dass aue 21
  - o" verschieden hoch liegen. ’ -
  - *) Man beachte wohl, dass hier und in der ganzen folgenden ErörterngOa und 0, stets nicht die Augpunkte selbst, sondern mit Bezug a g. .
  - deren Grundriss-Projectionen bedeuten.
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  - bei einer Verjüngung der Standlinie sich nicht die gesammte Vorbereitungsfigur in übereinstimmendem Verhältniss verjüngt, sondern dass die Dimensionen der zwei gegebenen Perspectiven, — also auch die zwei Dreiecke O.H’o, und O2H"o" constant bleiben. Es wird dies noch näher durch Fig. 10. illustrirt, welche eine Wiederholung der Fig. 9. a, jedoch mit zwei verschiedenen Annahmen der Standlinie: 0,02 und 9,02 vorstellt. Die der kürzeren Standlinie 2,02 entsprechenden Punkte sind mit griechischen Buchstaben bezeichnet. — (Dazu sei noch bemerkt, dass — wie Fig. 10. b zeigt, — in der Ausführungsfigur die zwei perspectivischen Strahlenbüschel 02 und o" von je zwei Linien Y12) welche mit 912 parallel sind und die Abstände der zwei Punkte 02 und o" von 912 in dem nämlichen Verhältnisse theilen, nach congruenten Punktreihen geschnitten werden. Man erkennt nun aus Fig. 10. a leicht, dass bei der Wahl einer anderen Standlinie
  - ,02 stets zwei solche congruenten Punktreihen in dem entsprechenden Grundschnitt Y12 in Coincidenz sind).
  - Fassen wir das Resultat der ganzen Betrachtung kurz zusammen, 80 ergiebt sich für die Construction der Vorbereitungsfigur Folgendes: Man wählt die Länge der Linie 0,02 beliebig, legt an diese die zwei (aus den gegebenen Katheten construirten) rechtwinkligen Dreiecke O,H‘o2 und O2H"o" an und verlängert H‘o2 und H"o", bis sie sich schneiden in 912. — Man erhält dann hei der nachfolgenden Grundriss-Construction den Grundriss in seiner richtigen Gestalt; nur die absoluten Masse bleiben unbestimmt. Sobald aber eine einzige Strecke des Grundrisses in wahrer natürlicher Grösse bekannt oder gemessen ist, ist damit das Verjüngungsverhältniss der Zeichnung bestimmt und sind damit sämmtliche absoluten Masse ermittelt. Es ist somit zur vollständigen Erledigung der Aufgabe eine einzige Abmessung am Object erforderlich.
  - Gehen wir weiter zur Construction der Vorbereitungsfigur bei Aufgabe III (Fig. 8. a), so erstreckt sich die vorstehende Betrachtung in allen Einzelheiten auch auf diese. Man wählt die Länge von 0,02 beliebig, construirt die durch ihre Katheten gegebenen zwei rechtwinkligen Dreiecke 0,H‘o und O„H"o" und verlängert H’o, und H’o" bis zu ihrem Schnitt 91 Weiter beachte man dann, dass die zwei Kernpunkte o' und o" zwei entsprechende Haupt-Fluchtpunkte repräsentiren, welche in den zwei gegebenen Perspectiven durch Verlängerung der betreffenden Bildlinien direct ermittelt werden können. Es sind also die Abstände H’o’ und H"o" in Fig. 8- a
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  - bekannt. Bestimmt man hiernach die zwei Punkte o‘ und o", zieht 0,0’ und 0,0", welche parallel sein müssen, und zieht eine Senkrechte S zu diesen Linien in geeignetem Abstande von o' und o": so ist die Figur fertig. (Die Parallelität von 0,0‘ und 020" dient als Genauigkeitscontrole oder kann dazu verwendet werden, die Benutzung eines der zwei Punkte 02 und o" für die Construction zu umgehen, falls es bei einer der zwei Aufnahmen Schwierigkeiten bereiten sollte, die Abbildung des gegnerischen Standorts noch auf das Bild zu bringen.) — Die Uebertragung der verschiedenen Punkte in die Ausführungsfigur (Fig. 8. b) macht keine Schwierigkeit: die horizontalen Abstände werden direct aus der Vorbereitungsfigur entnommen; die Punkte o’, 02, H’, bezw. o", o", H" liegen in den zwei Perspectiven gegeben vor; 01 liegt mit o' und H’, — 02 liegt mit o" und H" in gleicher Höhe. Man beachte ausserdem, dass sich die drei Verbindungslinien der Kernpunkte auf den drei Grundschnitten schneiden müssen.
  - § 11.
  - Weitere Bemerkungen zu den Beispielen III und IV,
  - Auch bei den photogrammetrischen Beispielen ist es von grösster Wichtigkeit, zum Behuf der richtigen Deutung der Constructionslinien sich stets den Satz gegenwärtig zu halten, dass die verschiedenen Kernpunkte und die in ihnen liegenden Strahlenbüschel die Abbildungen der verschiedenen Projectionscentren und ihrer projicirenden Strahlenbündel vorstellen. Betrachtet man unter diesem Gesichtspunkt die Fig. 9. b, so geben sich die zwei Punkte 0, und 02 als die Grundriss-Projectionen der zwei Augpunkte — und die zwei. Strahlenbüschel 0, und 02 als die Grundriss-Projectionen der von diesen Augpunkten ausgehenden Sehstrahlen-Bündel zu erkennen. Jeder Punkt x bestimmt sich also als Durchschnittspunkt der zwei nach ihm gehenden. „Visirlinien“, ganz in derselben Weise, wie dies bei der Methode des Vorwärts-Einschneidens der Fall ist. Die von Beautemps-Beaupre (1835) angegebene Grundriss-Construction geht in der That von dem Princip des Vorwärts-Einschneidens aus . und kommt im Wesentlichen auf die in Fig. 9. 5 enthaltene Construction hinaus.
  - Genau ebenso stellen aber auch bei Beispiel HI in Fig. 8. b die zwei Kernpunkte 0, und 02 und die in ihnen liegenden Strahlenbüschel die Aufriss-Projectionen der zwei Augpunkte und der von ihnen ausgehenden
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  - Sehstrahlen-Bündel vor, so dass man auch hier von einem „Vorwärts. Einschneiden in Beziehung auf die Aufriss-Ebene“ sprechen könnte
  - Würde man bei der photogrammetrischen Aufnahme einer Facade die Camera beidemal so stellen, dass ihre optische Axe parallel zur Fagade, also die empfindliche Fläche senkrecht zur Fagade wäre, (was bei dem grossen zulässigen Bildwinkel des Apparates wohl ausführbar ist): So würde sich die Fig. 8. b so modificiren, dass sie identisch würde mit 9.6 (mit paralleler Lage von 91 und g2). — Es kann andererseits sehr leicht vorkommen, dass man topographische Aufnahmen von sehr hohen Standpunkten aus (Thürmen, Bergen etc.) mit geneigter Camera zu machen wünscht. Wählt man alsdann die zwei Stellungen der Camera so dass ihre optischen Axen. einer und derselben verticalen Ebene parallel sind, dass also die Schnittlinie ihrer empfindlichen Flächen horizontal sein würde: so erhält man zur Construction des Grundrisses eine Vorbereitungs-und Ausführungsfigur, welche identisch ist mit Fig. 8. a und b. — Fig. 12 zeigt die bezügliche Vorbereitungsfigur, welche als Aufriss-Projection (Aufriss-Ebene parallel den zwei optischen Axen) aufzufassen ist; ihre Uebereinstimmung mit Fig. 8. a liegt klar.
  - . Es ist endlich noch darauf aufmerksam zu machen, dass man bei einem architektonischen Objecte sehr häufig mit einer einzigen Aufnahme ausreicht. Es rührt dies daher, dass in dem perspectivischen Bilde eines räumlichen Objectes häufig das Bild einer Grundriss- oder Aufriss-Projection desselben mit enthalten ist. Denkt man sich z. B. bei der Fagade eines Gebäudes von den einzelnen Punkten der architektonischen Details Senkrechte auf die Haupt-Wandfläche gefällt, so kommen deren Fusspunkte bei der Mehrzahl der Punkte entweder am Gebäude direct zur Erscheinung, oder sie können doch leicht ermittelt werden. Denkt man sich nun die Wandfläche als Aufriss-Ebene, so stellt die Gesammtheit jener Fusspunkte die Aufriss-Projection vor. In gleicher Weise liegen auf der Boden-Ebene oder in einer besonders bedeutsamen horizontalen Ebene des Gebäudes die Grundriss-Projeetionen der Mehrzahl der Punkte entweder direct gegeben vor, oder sie können doch leicht gefunden werden. —- Be zeichnet man nun die „Projection einer Projection" (z. B. Perspec ve eines Grundrisses) ebenfalls schlechtweg als „Projection", so kann man sagen, es seien in der perspectivischen Projection eines architektonisc SSt Objectes gleichzeitig noch weitere Projectionen enthalten. In diesem Sinne
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  - die Thatsache, dass man bei einem solchen Objecte häufig mit einer einzigen perspectivischen Aufnahme ausreicht, kein Widerspruch gegen den allgemeinen Satz, dass zur vollständigen Bestimmung des Objectes mindestens zwei Projectionen erforderlich sind. — Indessen folgt aus dem Gesagten, dass die Bestimmung aus einer Aufnahme nur dann eine vollständige sein kann, wenn von sämmtlichen Punkten die Abbildungen ihrer Grundriss-oder Aufriss-Projection bekannt sind oder ermittelt werden können.
  - Was die Ausführung der Construction anlangt für den Fall, dass nur eine Aufnahme zur Verfügung steht, so erkennt man zunächst aus Fig. 9. 6 leicht, inwiefern das eine Strahlenbüschel ox zur Ermittelung der Grundriss-Figur ausreicht: Fällt man nämlich von den zwei Haupt-Fluchtpunkten des persp. Bildes Senkrechte auf gi und zieht nach deren Fusspunkten Strahlen von 01, so bestimmen diese (als Parallelstrahlen) die zwei Haupt-Richtungen (Breiten- und Tiefenrichtung). Nimmt man nun die vordere Ecke x des Grundrisses auf dem betreffenden Strahl willkürlich an, so können die übrigen Punkte ermittelt werden als Schnittpunkte von Strahlen aus 0, mit Linien, die den Haupt-Richtungen parallel sind. Die willkürliche Wahl der vorderen Ecke influirt lediglich auf das Verjüngungsverhältniss der Figur. Man erkennt, dass die Sache auf die bekannten Rückwärts-constructionen der Perspective hinausläuft").
  - Genau das Nämliche gilt aber auch für Fig. 8. b. Auch hier ge-
  - *) Eben diese Grundriss-Construction wurde von Herrn Meydenbauer bei seinen photogrammetrischen Architektur-Aufnahmen benutzt, und wurde dann der Aufriss vom Grundriss aus durch Auftragen der Höhen hergestellt, wobei jede Höhe berechnet wurde als 4. Proportionale zur Länge der entsprechenden Visirlinie, zur scheinbaren Höhe (im persp. Bild) und zum zugehörigen Parallelstrahl (d. i. Stück der Visirlinie von o, bis zum Schnitt mit g.). — Diese perspectivischen Rückwärtsconstructionen sind übrigens bekanntlich sehr alt. Der treffliche Lambert z. B. behandelt dieselben in seiner Freien Perspective (Zürich 1759) mit besonderer Ausführlichkeit, und ich kann mir nicht versagen, als Zeugniss dafür, dass schon dieser ausgezeichnete, (lange nicht genug beachtete) Gelehrte das Princip der Photogrammetrie vollkommen klar erfasst hat, die folgenden Worte aus dem betreffenden (8.) Abschnitt zu citiren: „Man sieht leichte, dass die hier vorkommende Aufgabe (aus der Perspective den Grundriss wieder herzustellen) mit derjenigen aus der Geometrie eine vollkommene Aehnlichkeit hat, wo man von der Höhe eines Hauses, Thurmes oder Berges herunter, gleichsam als aus einer Station die umliegende Horizontalfläche in Grund legen will, und zu dem Ende die Höhe des Ortes gebraucht, mit dem Quadranten die Vertiefungswinkel der Gegenstände unter dem Horizonte ausmisst, und die Abweichung derselben von er Mittagslinie auf einem Messtischgen oder durch die Winkel bestimmt.... So wird man die Lage jeder Punkten auf dem Grundrisse ebenso bestimmen können, als wenn derselbe nach den Regeln der Messkunst auf dem Felde wäre gemacht worden“. °
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  - nügt ein einziges Strahlenbüschel, z. B. 01, zur Ermittelung der Aufriss-Figur. Man kann wieder einen Eckpunkt willkürlich wählen und die übrigen Punkte als Schnittpunkte von Strahlen aus 0, mit horizontalen und verticalen Linien bestimmen. Wenigstens geht dies bei allen denjenigen Punkten, für welche in der gegebenen Perspective die Bilder der auf die Wandfläche bezogenen Aufriss-Projectionen vorhanden sind oder (wie z. B. bei den Endpunkten der Firstlinie in Fig. 8. b) leicht gefunden werden können.
  - Indessen ist es keine Frage, dass in beiden Fällen (sowohl bei der Grundriss- als bei der Aufriss-Construction) die Benutzung beider Strahlenbüschel 0, und 02 eine unvergleichlich genauere Bestimmung der Punkte sichert, so dass man, sobald zwei photographische Aufnahmen zur Verfügung- stehen, unter allen Umständen beide benutzen und nach Anleitung der Gesammtfiguren 8. b und 9. b construiren wird.
  - § 12.
  - Beispiel V. Photogrammetrische Terrain-Aufnahme mit geneigter Camera.
  - Beschränkt man sich bei photogrammetrischen Aufnahmen auf eine verticale Stellung der Bildfläche, was bislang allgemein der Fall war, so versagt die Methode bei einer ganzen Classe von Aufgaben aus praktischen Gründen den Dienst. Und doch dürfte die Photogrammetrie gerade in diesen Fällen — es sei z. B. an Städte-Aufnahmen, ferner topographische Aufnahmen vom Luftballon aus, etc. erinnert — eine ihrer wichtigsten Anwendungen finden. — Auch wo die Aufgabe durch Aufnahmen mit verticaler Bildfläche wohl erledigt werden könnte, wird man doch sehr häufig einem erhöhten Standpunkt und einer geneigten Stellung der Bildfläche den Vorzug geben, da hiedurch eine breitere Entwickelung der Bodenfläche im Bilde und demzufolge eine grössere Genauigkeit der Construction ermöglicht wird.
  - Unsere Theorie erstreckt sich auf eine schiefe Stellung der Bildfläche in gleicher Weise wie auf eine verticale. Die Construction ist im ersteren Falle gleich einfach wie im letzteren. Nur die Vorbereitungsfigur wird ein weniges complicirter. Im Interesse der Vereinfachung kann man, wie bereits im vorigen Paragraphen erwähnt, die Anordnung so treffen, dass die optische Axe des Apparates bei beiden Aufnahmen einer und derselben verticalen Ebene parallel ist. Ist dies jedoch nicht ausführbar, so kommt das im Folgenden erörterte Verfahren zur Anwendung.
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  - Sind 01 und 02 die beiden Augpunkte, 0, und 02 ihre Projectionen auf irgend eine horizontale Ebene (Grundriss - Ebene), so bezeichnen wir wieder die Linie 0102 als Standlinie, die Höhen 0,0, und 02 02 als Standhöhen. Ferner möge der Winkel, den bei einer Aufnahme die optische Axe des Apparates mit der Verticalen macht, der Zenithwinkel genannt und durch z bezeichnet werden; der Winkel, den die Horizontalprojection der optischen Axe mit der Standlinie macht, heisse der Azimuthalwinkel und werde durch a bezeichnet. Endlich werde der Winkel, den die Linie 0,02 mit der Verticalen macht, durch v bezeichnet.
  - Soll nun der Apparat zu Aufnahmen mit schiefgestellter Camera eingerichtet sein, so muss die Camera ausser um eine verticale Axe — auch um eine horizontale, zur empfindlichen Fläche parallele Axe drehbar sein und ist es zweckmässig, (in ähnlicher Weise wie beim Theodolite durch An-bringung eines Horizontalkreises und eines Höhenkreises die Ablesung der beiderseitigen Drehungswinkel zu ermöglichen *). Angenommen, dies sei der Fall, so sind bei jeder Aufnahme die drei Winkel v, z und a zu messen: Man richtet zuerst die optische Axe nach dem —: durch Signal markirten — gegnerischen Augpunkt, (d. h. man stellt die Camera so, dass das Bild des gegnerischen Augpunktes genau in den auf der matten Glastafel markirten Hauptpunkt fällt), und liest am Höhenkreis den Winkel v ab; hierauf bringt man die Camera in die für die Aufnahme geeignete Stellung und liest am Höhenkreis den Winkel 3, am Horizontalkreis den Winkel a ab. Es versteht sich übrigens von selbst, dass die Bestimmung dieser Winkel auch mit Zuziehung eines Theodolits erhalten und dann zu den photographischen Aufnahmen ein gewöhnlicher Apparat benutzt werden kann. — Für die Herstellung der Vorbereitungsfigur sind also die den zwei Augpunkten 0, und 02 entsprechenden Winkel 3, und 01, 32 und «2, nebst Winkel v gegeben.
  - Die Vorbereitungsßgur (Fig. 13) wird in Grundriss- und Aufriss-Projection construirt, und zwar wird die Aufriss-Ebene am zweckmässigsten durch die zwei Augpunkte 0, und 0, selbst gelegt, so dass also die Schnittlinie von Grundriss- und Aufriss-Ebene mit der Standlinie 0,02 zusammenfällt. — Es seien nun AM,M,2 und A M2M12 die Spuren der zwei Perspectiv-Ebenen S' und S"; die Ebene S wird durch die Grundriss-Ebene reprä-sentirt. Es stellt also AN, den Grundschnitt g^ — AM, den Grundschnitt —
  - *) Die von Herrn Meydenbauer angewendete Bussole dürfte sich weniger empfehlen. Journal für Mathematik Bd. XCV. Heft 1. 5
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  - g2 vor; der dritte Grundschnitt 9.2 wird von der räumlichen Verbindungs. linie der Punkte A und M,2 gebildet.
  - Das Projectionscentrum 0 für den zu construirenden Grundriss liegt im Unendlichen in verticaler Richtung. Zieht man in dieser Richtung Strahlen durch 0, und 0a und zieht 0,02, so fällt die Ebene dieser drei Strahlen mit der Aufriss-Ebene zusammen und schneidet also das von den drei Ebenen S, S, s" gebildete Dreikant nach dem Hauptaxen-Dreieck M,M,M,2, dessen Seiten von den drei Strahlen in den sechs Kernpunkten o' und 0, o" und 02, 0, und o" geschnitten werden. Winkel 0’0,02 stellt den Winkel v vor.
  - Da ferner die durch 0, gehende optische Axe senkrecht zur Ebene S’ steht, so muss ihre Horizontalprojection senkrecht zur Horizontalspur von S’ sein. Zieht man also 0,U,_L M, A, so stellt 0 U1 die Projection der optischen Axe vor, und man hat in dem Winkel, den 01 Ur mit 0_M, macht, den Azimuthalwinkel c. — Man denke sich nun die projicirende Ebene der' optischen Axe durch Drehung um 0U1 in die Grundriss-Ebene umgeklappt; die umgeklappten Linien mögen als solche durch lange Striche charakteri-sirt und durch die entsprechenden deutschen Buchstaben bezeichnet werden. 0,01 sei die Umklappung der Standhöhe, o' die Umklappung des Punktes o’ auf ihr, U,o‘ die Umklappung der Schnittlinie der projicirenden Ebene mit Ebene S'. Die optische Axe steht auf dieser Schnittlinie senkrecht; fällt man also 0.H‘Uo‘, so stellt 0.$‘ die Umklappung der optischen Axe — und H’ die Umklappung des Hauptpunktes vor; ferner hat man in der Länge von 0.$‘ die Augdistanz S und in Winkel 0’2,6’ den Zenithwinkel 3.— Genau dasselbe ist auch für den anderen Augpunkt 0, ausgeführt (02U2 = Horizontalprojection der optischen Axe, 02{02 = Umklappung der Standhöhe, D2$" = Umklappung der Augdistanz 8, Winkel U,02M,= C2, Winkel 0"D$" = 3).
  - Es handelt sich nun darum, diese Vorbereitungsfigur zu construiren unter der Voraussetzung, dass die fünf Winkel v, 5, und 01, %2 und a2, sowie die Augdistanz d gegeben seien. Dies geschieht in folgender Weise:
  - Die Länge von 0,02 influirt wieder lediglich auf den Verjüngungsmassstab, in welchem nachher der gesuchte Grundriss erhalten wird. Da es ferner gleichgiltig ist,, in welcher Tiefe die Grundriss-Ebene angenommen wird, so kann die eine Standhöhe beliebig gewählt werden. Man mache also 0,02 und 0,0, beliebig,, lege an 0,0, in 0, den Winkel © an, wodurch
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  - sich auf der in 02 errichteten Verticalen Punkt 0, bestimmt. Hierauf lege man an 0,0 in 0, und 02 die Winkel Ci und a) an, errichte auf dem freien Schenköl von 0 die Senkrechte 0.D, = 0,0,, lege an 0,0, in D, den Winkel B an, schneide auf dessen freiem Schenkel D,5‘=0 ab und errichte auf 0,5‘ in $‘ eine Senkrechte, welche 0,0, in o' — und den freien Schenkel von o in U schneide. Ganz ebenso verfahre man links bei Punkt o2._____________ Man ziehe dann durch U. und U2 Senkrechte zu 0,U, und 0,U2, welche sich in A —und die Linie 0.02 in Ma und M schneiden. Trägt man endlich auf 0,0, und 0202 die Stücke 0,0‘ = 0,0‘und 0,0" = 00" ab und zieht N, o‘ und M,o", welche sich in M12 — und die Linie 0,02 in 0, und o" schneiden: so ist die Vorbereitungsfigur vollendet.
  - Die Ausführungsfigur wird am zweckmässigsten mit der Vorbereitungsfigur directverbunden. Man hat einfach die zwei Ebenen S’ und S" mit den in ihnen liegenden Hauptaxen, Kernpunkten und Hauptpunkten durch Drehung um. AM, und AM2 in die Grundriss-Ebene umzuklappen, wie dies aus Fig, 13 mit hinreichender Deutlichkeit ersichtlich ist. Man beachte dabei: Punktreihe U,o‘Hl‘ • U,o‘S‘, ferner: Punktreihe M,o‘o,M|2 (in der Ausführungsfigur) e M,o‘0M12 (in der Vorbereitungsfigur) etc.
  - Bringt man dann die zwei gegebenen Perspectiven in eine solche Lage, dass die auf ihnen markirten Hauptpunkte in die Punkte ff und H" — und die Horizontlinien parallel zu AM, und AM zu liegen kommen: so kann die Construction des Grundrisses sofort beginnen. Dieselbe erfolgt genau nach dem in § 3 erörterten allgemeinen Verfahren.
  - Berlin, Januar 1883.
  - (Fortsetzung folgt.)
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  - Tafel II.( Rio 8-13.)
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