Transport de force : calculs techniques et économiques des lignes de transport et de distribution d'énergie électrique. Première partie

- - CALCULS TECHNIQUES ET ÉCONOMIQUES
  - DES
  - LIGNES DE TRANSPORT
  - ET DE
  - DISTRIBUTION D’ÉNERGIE ÉLECTRIQUE
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- - TRANSPORT DE FORCE
  - DES
  - LIGNES DE TRANSPORT
  - ET DE
  - DISTRIBUTION D’ÉNERGIE ÉLECTRIQUE
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  - . INGENIEUR ELECTRICIEN J
  - ANCIEN ÉLÈVE DE L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE ET DE j/lNSTITUT ÉLECTROTECHNIQUE DE MONTEFIORE
  - PREMIERE PARTIE
  - PARIS
  - LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE A. HERMANN ET FILS
  - LIBRAIRES DE S» M. LE ROI DE SUÈDE 6* RUE DE LA SORBONNE, 6
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- - PREFACE
  - En rédigeant ce petit ouvrage, je me suis proposé de présenter d’une façon assez complète, et, cependant élémentaire, les méthodes de calcul technique et économique des lignes de transport et de distribution, par courants alternatifs.
  - Une place importante a été réservée à l’exposition des procédés permettant de faciliter, et, de simplifier les calculs exacts de lignes : de nombreux emprunts ont été faits, à ce sujet, à la littérature technique étrangère.
  - Les exemples numériques ont souvent été choisis, avec l’intention de préparer une étude économique du transport de force par courants polyphasés. Cette étude, qui fera l’objet d’une publication ultérieure, consistera particulièrement à chercher, comment il est possible, de choisir, prédéterminer ou améliorer les diverses constantes qui influencent la prospérité d’une entreprise de transport de force.
  - M. A. Blondel, M. le Professeur Pender et M. l’Ingénieur Semenza ont bien voulu m’autoriser à reproduire ou utiliser quelques-unes de leurs belles études ; je les prie d’agréer tous mes remerciements.
  - Paris, 1912.
  - 1
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- - CHAPITRE PREMIER
  - CONSIDÉRATIONS DÉTERMINANT LE CHOIX DE LA SECTION DES CONDUCTEURS
  - I. — Règles de sécurité, de bon service et d’économie
  - Les considérations principales qui déterminent la section des conducteurs sont les suivantes :
  - 1° Sécurité. — À. Les conducteurs doivent avoir une section telle que leur mise en place soit facile et que leur résistance mécanique soit suffisante pour éviter toute rupture.
  - B. — Les conducteurs doivent avoir une section telle que le pas-sage du courant ne détériore pas le conducteur.
  - La condition A se résume en la fixation d’une limite inférieure de la section des conducteurs : limite variable avec leur destination et la nature du métal employé.
  - La condition B exige que la section et la forme des conducteurs soient telles que l’énergie qu’ils transportent ne cause pas d’échauf-fement anormal.
  - 2° Bon service. — Les sections des conducteurs doivent être choisies de façon à réaliser le maximum de conditions de bon service.
  - La tension de l’énergie électrique distribuée ne pourra varier chez chaque consommateur que dans certaines limites.
  - La stabilité de marche devra être assurée.
  - Les pertes au travers de l’air ou de l’isolant devront être aussi réduites que possible.
  - 3° Economie. — Les sections des conducteurs doivent être choisies de façon à ce que la rémunération annuelle du capital total
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  - CHAPITRE PREMIER
  - employé dans l'entreprise, soit aussi élevée que possible, sans toutefois qu'il en résulte un accroissement excessif du capital total.
  - Souvent, comme le prix cle vente est inconnu, on choisit ces sections de façon à obtenir un prix de revient minimum pour le kilowatt-an, au point d’arrivée de la ligne, en veillant toujours à limiter le capital total investi.
  - Si nous considérons un conducteur unicpie, nous verrons que les règles de sécurité donnent une limite inférieure Sj de la section de ce conducteur.
  - Les règles de bon service donnent une autre limite inférieure Sa.
  - En pratique, la règle d’économie conduit à fixer pour cette section deux limites : l’une inférieure S3, l’autre supérieure S+. Le prix de revient du kilowatt-an, étant pour ces deux valeurs, très peu différent du prix de revient minimum théorique.
  - Si S* est plus grand que St et S2, la section du conducteur sera choisie parmi les valeurs comprises entre la plus grande des sections Sn S2 et la section S*. Le choix définitif se fera en tenant compte du désir de limiter le coût de premier établissement et aussi en tenant compte de raisons commerciales : développement futur, etc.
  - Si S4 est plus petit que l’une des valeurs S,, S2, c’est la plus grande de ces valeurs qui sera choisie, à condition toutefois qu’elle ne diffère pas trop de S*. Dans le cas où cette différence serait exagérée, on examinerait à nouveau le problème (régulateur d’induction, division des fils, etc.).
  - On sait presque toujours d’avance qu’elle est la règle la plus sévère.
  - Pour les lignes de transport de force, c’est en général la règle d’économie qui fixe le diamètre des conducteurs.
  - Pour les lignes aériennes de distribution secondaires, la règle de bon service est souvent la plus sévère.
  - Pour les canalisations souterraines, la règle de sécurité, spécialement en ce qui concerne réchauffement, interviendra quelquefois.
  - Principes du calcul des distributions électriques à courant alternatif
  - 1° Nous aurons tout d’abord à étudier en détail les règles que nous venons d’énoncer et à les rendre quantitatives.
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- - DÉTERMINATION DE LA SECTION DES CONDUCTEURS
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  - 2° Nous aurons ensuite à construire, en nous servant des données du problème (voltage delà distribution, fréquence,puissance demandée par la clientèle, décalage) les diagrammes de tension et de courant, donnant en grandeur et direction, les vecteurs de tension et de courant aux divers points de la distribution. La règle de sécurité exige, en effet, comme nous le verrons, la connaissance des courants ; la règle de bon service, la connaissance des tensions, et la règle d’économie, la connaissance des puissances perdues dans le transport.
  - 3° Les diagrammes de tension et de courant, qui établissent, en somme, une relation géométrique entre les courants, les tensions, les pertes de puissance et les sections, permettront toujours d’essayer, successivement, pour les conducteurs, des sections appropriées, satisfaisant aux différentes règles énoncées. Dans certains cas, la relation géométrique existante, ou sa traduction algébrique, sera suffisamment simple pour que les sections soient obtenues sans tâtonnements, par une simple construction géométrique, ou par un calcul algébrique.
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- - CHAPITRE II
  - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE DE SÉCURITÉ
  - I. — Fixation d'une section ou d'un diamètre limite pour les conducteurs
  - Les prescriptions techniques de l’arrêté du 21 mars 1908 fixent à 3 millimètres le diamètre minimum des conducteurs constituant les lignes aériennes de distribution d’énergie.
  - Cette limite est un peu faible pour les lignes de distribution à haute tension. Ces lignes servent, en effet, généralement, à la desserte des villages ; leur rupture est donc particulièrement dangereuse, par suite du voisinage de lieux habités ; elles sont aussi plus sujettes à la malveillance (pierres, etc.).
  - Le diamètre de 3,5 millimètres (35/10) doit être considéré comme une limite inférieure pour les lignes à haute tension construites en bronze siliceux.
  - Pour l’aluminium, les lignes en fils n’ont pas donné, en général, satisfaction. Au contraire, les lignes en câbles d'aluminium sont acceptables à condition de ne pas descendre au-dessous d’une section de 12 millimètres carrés pour les lignes à haut et moyen voltage.
  - Pour les petites lignes, à haute tension, destinée à des éclairages de petits villages, on emploie quelquefois le fer. Dans ce cas, le diamètre de 6 millimètres (60/10) doit être le diamètre minimum.
  - IL — Echauffement des conducteurs
  - Un courant I passant dans un conducteur de résistance R donne lieu à une dépense d’énergie, par effet Joule égale à I2R; Cette
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE DE SÉCURITÉ
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  - énergie est employée à élever la température du conducteur. L’équilibre de température, atteint plus ou moins rapidement, résulte de l’égalité entre la chaleur fournie par le courant et celle cédée au milieu ambiant.
  - Les conducteurs aériens et les conducteurs souterrains se comportent de façon différente. Les risques d’avarie de la canalisation sont également très différents.
  - 1° CONDUCTEURS AÉRIENS. — ÉTUDE DU REFROIDISSEMENT PAR RAYONNEMENT — CONDUCTIBILITÉ —* CONVECTION
  - L’équilibre de température est très rapidement atteint, principalement dans le cas de conducteurs nus.
  - Le refroidissement des conducteurs placés dans l’air est dû à trois causes :
  - 1° Le rayonnement qui a même valeur dans l’air que dans le vide ;
  - 2° La conductibilité de l’air.
  - 3° Les courants de convection : les molécules d’air voisines du conducteur s’échauffent, s’élèvent et sont remplacées par des molécules d’air froid.
  - Les phénomènes assez complexes du refroidissement de corps placés dans l’air, ont été étudiés d’une façon générale par Dulong et Petit vers 1807.
  - Dulong et Petit trouvèrent que la vitesse de refroidissement d’un corps plongé dans l’air est :
  - V = — ^ — ma® (aT — 1) + npcTb en désignant par :
  - 0 la température totale du conducteur ou du corps considéré en degrés centigrades.
  - T la différence de température entre le conducteur,~et l’air.
  - t le temps. %&
  - a = 1,077.
  - m = m , H étant un coefficient de rayonnement variable avec
  - la nature du conducteur, si le conducteur est nu ; avec la nature de l’isolant, s’il est isolé.
  - S la surface extérieure du conducteur.
  - P son poids et G sa chaleur spécifique»
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  - CHAPITRE II
  - n = , K étant le coefficient de conductibilité et convection,
  - Jr Lt
  - dont la valeur ne dépend pas de la nature du conducteur. p pression de l’air.
  - c = 0,45 b = 1,283.
  - Le premier terme ma0 (aT — 1) représente l’effet du rayonnement, le second npcTb l’effet de la conductibilité de l’air et de la convection.
  - Lorsque l’équilibre de température sera atteint, nous aurons égalité entre la chaleur fournie par le courant à l’unité longueur
  - du conducteur, pendant un temps dt : X 0,24 X dt, et l’effet
  - ~T
  - de refroidissement.
  - Nous avons donc :
  - (1) P.C.V.* = rf<[I-bDxl,O770 (1,077t —1) +K7îDT'-!“] =
  - = SPX0>24 Xdt
  - p étant la résistivité à Q degrés = p0 (1 —{— aQ). Si T est donné, on tire de là :
  - (2) I=-AD5.
  - y/p
  - A étant fonction de T et des coefficients d’émission et de conductibilité-convection : H et K.
  - L’équation (2) peut se résumer par une règle connue.
  - Cette règle fut indiquée pour la première fois par Müller vers 1849. Müller constata expérimentalement sur les fils conducteurs, placés dans un local clos, que cette règle simple se vérifiait pour les fils de forts diamètres. Pour les fils de faibles diamètres, il indiquait la formule I = B.D. Malgré cette réserve, la relation
  - 3_
  - I = D2 fut considérée comme exacte pendant fort longtemps.
  - yîp
  - Péclet, (*), en étudiant le refroidissement de tubes métalliques en locaux fermés, trouva que, dans ce cas particulier, la formule de Dulong et Petit était exacte en ce qui concerne le terme de
  - (I) Péclet, Traité de la chaleur, pp. 519-524.
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE DE SÉCURITÉ
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  - rayonnement et inexacte pour le terme de refroidissement par convection-conductibilité.
  - H était bien constant pour un métal donné ;
  - K était fonction du diamètre du fil ou tube expérimenté.
  - On avait :
  - H = 124,72 Hi Hj = 0,16 pour le cuivre
  - K' = 0,5521*2,058 +
  - par mètre carré, pour une heure, en kilogrammes calories.
  - Ces égalités conduiraient à admettre la formule :
  - I! = i(AD» + BD!).
  - Les expériences de plusieurs expérimentateurs, en particulier de Teichmüller et Iluman, ont montré que c’était bien là la relation qui existe entre le courant que peut supporter le fil pour un échauffement donné et le diamètre de ce fil.
  - Les expériences sur les fils, en local clos, ont été nombreuses et faites directement sur des fils de cuivre, de toutes sections depuis 1 millimètre carré jusqu’à plus de 1.000 millimètres carrés. La loi est donc bien établie.
  - Pour les fils à l’air libre, les expériences directes sont beaucoup moins nombreuses. Kennelly, qui étudia d’une façon très détaillée réchauffement des conducteurs électriques, ne fit porter ses expériences dans le cas des conducteurs à l’air libre que sur un petit nombre de fils, de diamètres très faibles. Il en déduisit une séparation entre les effets du refroidissement par convention, conductibilité et les effets du rayonnement.
  - Les tables d’échauffement généralement admises ont été calculées jusqu’à 25 millimètres de diamètre en se basant sur la séparation ainsi obtenue. Des expériences récentes ont montré que les échauffements réels sont, en général, un peu plus élevés (1). Ces expériences étant malheureusement peu nombreuses, les tables que nous donnerons, ci-après, pour les fils à l’air libre, sont les tables ordinaires très légèrement modifiées.
  - (I) Teichmüller, Conférences électrotechniques, Stuttgard, pp. 1 à 271.
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  - CHAPITRE II
  - 2° ÉCHAUFFEMENT ADMISSIBLE
  - On admet, pour les conducteurs placés dans l’air, que la température ne doit pas s’élever à plus de 40°C. au-dessus de la température ambiante, lorsque le courant atteint .une intensité double de l’intensité normale.
  - L’échauffement étant sensiblement proportionnel au carré de l’intensité, cela revient à dire que le courant normal ne doit pas amener, par son passage dans les conducteurs, une élévation de température de plus de 10° G. Cette règle doit être appliquée aux conducteurs de distribution de force, dont nous nous occupons, avec plus de rigueur qu’aux conducteurs d’éclairage.
  - 3° DENSITÉS DE COURANT ADMISSIBLES POUR DES CONDUCTEURS NUS EN PLEIN AIR (AIR CALME)
  - Cuivre. — Le tableau ci-dessous donne les élévations de température que produisent dans des conducteurs de divers diamètres des courants ayant une densité de 2, 3, 4, 5 ampères, par millimètre carré, pour des conducteurs placés à l’air libre en air calme.
  - Valeurs approximatives de T pour divers diamètres de conducteurs et des densités de courant de 2, 5, i, 5 ampères par millimètre carré.
  - Densité de courant par mmq. Diamètres de conducteurs en millimètres.
  - 2 4 6 8 10 12 15 20 25
  - Degrés Degrés Degrés Degrés Degrés Degrés Degrés Degrés Degrés
  - 2 ampères .... » » » » » 5 5 7 40
  - 3 ampères .... » » 5 6 8 10 43 18 23
  - 4 ampères .... » 5 9 14 16 18 24 34 50
  - 5 ampères .... » 6 13 18 25 32 » S »
  - En se basant sur la règle générale T =• 10°, on peut admettre pour les conducteurs circulaires les densités suivantes :
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE DE SÉCURITÉ
  - 11
  - Section en mmq. 3 42 30 50 78 420 475 250 500
  - Densités en ampères par mmq. . . 6 S 4 3,6 3,3 3 2,7 2,5 2
  - Conducteurs en aluminium nu à Vair libre. — On a souvent à comparer des fils de métaux différents, au point de vue de réchauffement.
  - La comparaison entre des fils de même diamètre est assez facile et assez exacte. Par exemple, pour deux fils de même diamètre, en cuivre et en aluminium, le rapport des courants donnant un même échauffement T est :
  - h __ y/H7(T) + Ky(T,P) v . y/pc _ Ic v/lfé(T) + K?(T,D) yIpx
  - — a X 0,78,
  - pc et pA désignant les résistivités du cuivre et de l’aluminium, a est inférieur à l’unité, car le coefficient de rayonnement de l’aluminium H' est plus faible que celui du cuivre (II). Si nous
  - prenons, pour tenir compte de ce fait, = 0,75. Les densités admissibles pour l’aluminium seraient :
  - Section en mill. car. 3 42 30 50 78 420 475 250 500
  - Densités en ampères 4,5 3,8 3 2,7 2,5 2,2 2 4,9 4,5
  - Si nous comparons des fils de diamètres différents, nous avons par exemple dans le cas de l’aluminium et de cuivre :
  - rcDç8 X IV __ 7rDA(Hr(T) + MT,DaO Pc tvDa* X I'c* TrDc(HAT) + K?(T,DC) ^ P a *
  - Ce qui donne :
  - en supposant les courants égaux, et, a' = 1. Cette dernière hypothèse n’est pas très exacte.
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  - CHAPITRE II
  - 4° ÉCHAUFFEMENT DES CONDUCTEURS NUS PLACÉS EN LOCAUX FERMÉS
  - Les fils de lignes de transport ou de distribution doivent souvent être pris d’une plus grande section lorsqu’ils pénètrent dans des locaux fermés. L’échautïément pour un même courant est, en effet, beaucoup plus considérable, car l’eflet de refroidissement par convection est notablement diminué.
  - Teichmüller et Human donnent comme valeur du courant I qui amène par son passage dans un conducteur de cuivre un échauf-fement de 10°, la formule :
  - I2 — 81 D2 -f-12 D3 I en ampères D en millimètres.
  - Nous indiquons, d’après les expériences de Teichmüller et Human, réchauffement de fils de cuivre de divers diamètres pour des densités de courants de 2A, 3A, 4A par millimètre carré.
  - Densité de courant par raraq. Valeur de T pour des diamètres en millimètres de :
  - 2 4 6 8 10 14 20
  - Degrés Degrés Degrés Degrés Degrés Degrés Degrés
  - 2 ampères » 6 10 15 20 30 45
  - 3 ampères » 10 19 28 38 56 »
  - 4 ampères 12 21 38 50 58 88 »
  - Les intensités de courant que recommandent Teichmüller et Human reviennent à adopter les densités de courants suivantes :
  - Section en millim. q. 4 12 35 50 80 120 180 500
  - Densité en A par millimètres carrés 4 3,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 0,8
  - L’état de la surface du métal a une grande influence sur le terme de rayonnement.
  - Un fil de 8 miUimètres de diamètre peut supporter, avec un échauffement de 10°, 100A s’il est couvert de noir de fumée, 87A
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE DE SÉCURITÉ
  - 13
  - s’il est brillant, 91A s’il est mat. Le tableau de densité ci-dessus aurait permis 90A dans le fil.
  - Conducteurs d'aluminium en locaux fermés. — Comparant des conducteurs de mêmes diamètres :
  - Nous adopterons IA = 0,75 Ic.
  - 11 en résulte les densités suivantes ; pour des charges de durée :
  - Section du câble 4 12 35 50 80 120 180 500
  - Densités 3 2,4 1,5 1,4 1,2 1 0,9 0,6
  - 5° ÉCHAUFFEMENT DES FILS RECOUVERTS D’UNE ENVELOPPE ISOLANTE
  - L’emploi de fils isolés dans les lignes de transport de force est assez rare, car l’isolant se détériore à l’air.
  - Dans les postes, on préfère, de plus en plus, l’emploi de fils nus. Ils sont moins coûteux et offrent moins de chances d’incendie : réchauffement d’une jonction mal soudée peut, en effet, provoquer Linflammation de l’isolant.
  - Nous n’insisterons donc pas sur la théorie du refroidissement de ces fils : le phénomène est toutefois différent. La chaleur traverse l’isolant avant d’être dissipée comme nous l’avons indiquée ; d’autre part, le pouvoir de rayonnement est augmenté.
  - La théorie et l’expérience montrent qu’un fil isolé peut, si l’épaisseur d’isolant est faible, céder dans le même temps à l’air ambiant plus de chaleur qu’un fil nu. Il pourra donc supporter, si l’épaisseur d’isolant est bien choisie, un courant plus fort.
  - Pour des fils de cuivre recouverts d’une couche assez mince de caoutchouc et placés dans des locaux fermés, Teichmüllcr et
  - j
  - lluman ont trouvé que la formule Is = 100 Q +21 Q “ donnait le courant I (en ampères) qui échauffe de 10° un conducteur isolé (en cuivre) de section Q (millim. carrés).
  - Ceci conduirait aux densités de courant suivantes :
  - Section du câble 4 12 35 50 80 120 180 500 1000
  - Densités 5 3,7 2,6 2,2 1,9 1,67 1,46 1 0,9
  - L’épaisseur d’isolant intervient.
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  - CHAPITRE II
  - 6° ÉCHAUFFEMENT DES CABLES ARMÉS
  - Le mode de refroidissement des câbles armés, placés en contact direct avec le sol, est entièrement différent du mode de refroidissement des câbles aériens.
  - La chaleur, créée par le passage du courant, traverse l’isolant, et, se dissipe dans la terre. L’écliauffement du câble est lent, et le régime d’équilibre ne s’établit qu’au bout de six à sept heures. Toutefois au début, réchauffement est assez rapide ; les deux tiers de l’élévation de température finale sont atteints au bout de la première heure. Il y a donc lieu de distinguer pour les câbles armés, entre le courant que portera le câble pendant toute la journée, et celui qu’il n’aurait à porter que durant les heures d’éclairage, par exemple.
  - Si la charge dure de 16 à 24 heures (ceci concerne plus spécialement les disfributions de force), la densité de courant que perd supporter le câble, dépend de sa section et un peu de l’épaisseur d’isolant, si la charge ne dure que 1, 2, 3 heures, la densité de courant, donnant le meme échauffement que précédemment, est égale à la densité de courant admise pour la charge prolongée, multiplié par un facteur (1 -)- a) dont la valeur, fonction de la courbe de charge, peut atteindre plusieurs unités. Etudions théoriquement la charge de 24 heures. (Péclet, Traité de la chaleur).
  - Théorie. — Considérons le cas relativement simple d’un câble électrique de diamètre intérieur d. Le diamètre extérieur de
  - k...................D----------------------*
  - Fig. 1.
  - l’isolant étant D. Le câble étant parcouru par un courant continu. La quantité de chaleur Q qui traverse pendant l’unité de temps, l’unité de longueur d’un cylindre d’isolant infiniment mince de rayon r, est égale â la surface (2to*) de cet élément, multiplié, par la conductibilité C de la matière isolante, par la différence de température dt de ses surfaces intérieures et extérieures, et, divisé par l’épaisseur dr on a :
  - Lorsque le régime permanent est établi cette quantité de chaleur est constante. Si nous intégrons entre les limites 0 et G — T
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE DE SÉCURITÉ
  - 15
  - représentant la température du conducteur, et, du sol, nous avons :
  - CxT = £(log
  - _D
  - 2
  - D’autre part, lorsque le régime permanent est établi, le cylindre d’isolant reçoit autant de chaleur par sa face interne, qu’il en perd par conductibilité par sa l'ace externe. Il reçoit d’ailleurs toute la chaleur qu’émet le conducteur.
  - On a donc :
  - 2t:.C.T log.
  - X 0,24.
  - üoù (1) I
  - vh
  - c2ttCT X S U.pAog. ~
  - Cette formule est assez complexe, car C peut varier avec la nature de l’isolant employé, et — n’est pas constant. Au début de l’industrie des câbles on admit toutefois la formule :
  - (2) I = K v/T.S. qui suppose la constance de
  - Pour des câbles à n conducteurs, comme la quantité de chaleur cédée était ?zI2R, on en déduisait la formule :
  - (3) i„ = 4Wï^:,
  - Six
  - en négligeant l’influence de l’excentricité des conducteurs. Les tables publiées vers 1903-1905 étaient basées sur les valeurs K= 7,5 et T = 15°. Ces formules très simples permettent de se renseigner sur l’ordre de grandeur de réchauffement d’un câble traversé par un courant d’intensité donné (Human, 1903). Nous avons supposé qu’il s’agissait de courant continu, et nous avons admis en conséquence, que les seules pertes dans le câble, étaient des pertes d’effet Joule. Ces formules sont applicables, presque avec le môme degré d’approximation, aux câbles à plusieurs conducteurs parcourus par des courants alternatifs dont la somme des valeurs instantanées est nulle. Dans ce cas, en effet, les champs magnétiques s’annullent sensiblement à l’extérieur, les courants de Foucault créés dans le plomb et dans l’armature développent peu de chaleur, et, cette chaleur est dissipée assez facilement, puisque l’armature est en contact direct avec la terre.
  - Les perfectionnements incessants de la fabrication des câbles armés, spécialement en ce qui concerne, les câbles en papier imprégné, et les expériences d’exploitation amenèrent à penser
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  - CHAPITRE II
  - que ces formules approximatives pouvaient conduire, sans raisons sérieuses à une utilisation insuffisante des câbles armés. En 1907, l’Association des ingénieurs électriciens allemands entreprit une série de recherches expérimentales sur réchauffement des câbles armés, isolés au papier imprégné, avec âme en cuivre, et, pour des voltages inférieurs à 10.000 volts.
  - Câbles armés au papier imprégné. Tables des courants admissibles. — L’isolant de ces câbles résiste bien à la chaleur. Ces câbles peuvent supporter des températures de 75° à 80°. M. Joua signale avoir coupé deux bobines de câbles en cinq pièces, et, les avoir immergées dans des bains d’huile à 0° — 15° — 35° — 70° — 100°. La rigidité diélectrique, après cette immersion, des cinq tronçons de câbles, était la môme.
  - L’action du temps est toutefois à redouter, on peut craindre que, sous l’action continue d’une haute température, l’isolant subisse une lente modification chimique, qui abaisse sa rigidité diélectrique. Cette action est peu à craindre, pour les câbles à bas voltage, où l’isolant, travaille à une tension électrostatique très inférieure au taux limite.
  - En tenant compte de la température maxima de la terre, à la profondeur ordinaire des câbles (15° C. environ), et, des considérations précédentes, on est conduit à admettre les valeurs d’échauf-fement suivantes :
  - T = 25° pour les câbles armés, pour courants alternatifs, travaillant, au-dessous de 3.000 volts.
  - T = 20° pour les câbles armés dont le voltage entre fils est compris entre 3.000 et 10.000.
  - Table des Courants admissibles en courant alternatif (Association des Ingénieurs allemands]
  - Sections en mil. carrés 10 16 25 35 50 70 95 120 150 185 240 310 400
  - Câbles à 2 conducteurs (E < 3.000 v.). . 70 95 125 150 190 230 275 315 360 405 470 545 635
  - Câbles à 2 conducteurs (3.000<E< 10.000 v.) 65 90 115 140 175 215 255 290 335 380 » » »
  - Câbles triphasés (E < 3.000 v.). . 65 85 110 135 165 200 240 280 315 360 420 490 570
  - Câbles triphasés (3.000 < E < 10.000 v.) . 60 80 105 125 155 190 225 260 300 340 )) » »
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE DE SÉCURITÉ
  - 17
  - Les tables de courants admissibles précédentes sont basées sur des mesures expérimentales nombreuses, et, sensiblement sur les valeurs de T indiquées plus haut.
  - Les recherches de l’Association des ingénieurs allemands n’avaient visé que des voltages inférieurs à 10.000 volts; de plus les câbles à un seul conducteur, à courant alternatif, n’avaient pas été étudiés.
  - Les progrès de l’industrie des câbles armés conduisirent bientôt à envisager l’emploi de câbles armés triphasés à 30.000 volts et par suite, ayant des épaisseurs d’isolant, entre fds, de 14 à 16 millimètres. L’emploi de câbles armés à courant alternatif à un seul conducteur se posait également pour permettre, par exemple, de prolonger une ligne triphasée à 50.000 volts jusque dans l’intérieur d’une ville, par trois càhles séparés. La Société Schückert et Siemens entreprit de nombreuses expériences à ce sujet en 1909. Le D1' Ing. Lichtenstein a publié dans VE.T.Z. (1), comme suite à ces expériences, les tables de courants admissibles suivantes.
  - Sections en inillim. carrés 16 26 35 50 70 95 120
  - Câbles à. un seul conclue-^ non aiin® 104 136 168 208 256 308 »
  - leur avec 5 mil!, d’isolant. ) , . ^ <11 iiiC 100 130 161 200 246 295 »
  - Câbles triphasés avec 17 mili. d’isolant. » 82 100 120 150 175 205
  - Il est intéressant de comparer réchauffement des câbles à un seul conducteur par le courant alternatif et par le courant continu.
  - Pour les câbles de 35 millimètres carrés à 700 volts, en courant continu, les expériences de l’Association des ingénieurs électriciens allemands donnaient comme courant admissible 1=210 ampères, correspondant à une élévation de température d’environ 25° G. Avec un courant alternatif de 210 ampères à 50 périodes, l’élévation de température devenait égale à 49° ; c’est-à-dire augmentait sensiblement de 50 0/0. Les pertes de puissances dans le câble étaient devenues deux fois plus fortes ; mais la chaleur créée par les courants de Foucault dans l’armature se dissipait assez facilement.
  - Câbles à isolant formés de caoutchouc. — Cet isolant s’altère à partir de 50° G. On prendra T < 15° G. Le courant admissible
  - (1) Dr Ing. Lichtenstein, Elektrotechnische Zeitschrift, avrill909.
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- - 18
  - CHAPITRE II
  - peut se déduire pour les câbles triphasés par exemple des formules :
  - , 7,5_____________
  - h = v15° X S.
  - v*
  - S en millimètres carrés.
  - Accumulation de câbles dans une tranchée. — Lorsqu’il y a accumulation de câbles dans une tranchée, le sol s’échauffe un peu dans le voisinage des câbles, et le refroidissement peut être défectueux.
  - Dans les expériences faites par la Société Schuckert et Siemens plusieurs câbles à un seul conducteur de 35 millimètres carrés en cuivre avait été placés dans une tranchée, à 7 centimètres de distance d’armature à armature. En faisant passer un courant de 211 ampères dans un câble, l'élévation de température atteignait 38°5. En faisant passer ce même courant dans deux câbles voisins l’élévation de température atteignait 43°. En faisant passer le courant dans huit câbles, certaines élévations de température atteignaient 18 à 20 0/0 de majoration.
  - La Société des électriciens allemands, recommande lorsqu’il y a accumulation de câbles de ne prendre, comme courant admissible, que les trois quarts du courant indiqué dans les tables.
  - Les expériences précédentes justifient cette règle.
  - Câbles armés à l’air libre. — Les câbles armés sont à l’air libre dans les postes, quelquefois dans les traversées de ponts, etc. Le câble armé à l’air libre se refroidit beaucoup moins bien, que lorsqu’il est en contact avec la terre. Les élévations de température peuvent être presque doublées. Il est prudent d’augmenter la section des câbles armés placés dans ces conditions.
  - Câbles armés employant; un autre métal que le cuivre. — Si p' est la résistivité en microlims-ccntimètres de ce métal, le courant admissible I' pour une section s donnée, se déduira du courant admissible I donné par les tables précédentes pour les câbles en
  - cuivre, analogues, de section s, par la formule y — y •
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- - CHAPITRE III
  - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE DE BON SERVICE
  - l. — Régularité du voltage
  - 1° EXIGENCES DE LA CLIENTÈLE
  - Nous nous rendrons compte des règles nécessaires à la bonne marche du service en examinant sommairement la clientèle d’une distribution électrique, et les récepteurs électriques qu’elle emploie.
  - Ces récepteurs sont très variés : lampes à incandescences, lampes à arc, pour la transformation do l’électricité en lumière ; moteurs asynchrones, moteurs synchrones, moteurs à collecteurs pour l’utilisation de la force ; transformateurs, commutatri-ces, etc. pour la transformation du courant électrique.
  - Tous ces récepteurs sont construits, en série, par des industriels qui ont adopté, pour faciliter la construction, des voltages types.
  - Sous ce voltage les récepteurs fournissent une lumière, ou une puissance donnée, et empruntent au réseau un courant, qui est déterminé, en grandeur et phase, par les diagrammes de tension et courant concernant chaque récepteur.
  - La tension moyenne d’alimentation (à bas voltage ou moyen voltage) du réseau de distribution doit être un de ces voltages types ; et, sa variation, en chaque point delà distribution, doit être assez faible pour n’apporter (pie des troubles peu importants dans la marche des récepteurs.
  - Lampes. — Les lampes électriques sont des récepteurs très sensibles aux variations de voltage. Les lampes à incandescence à filament de charbon, par exemple, sont détruites par une surten-
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- - 20
  - CHAPITRE III
  - «
  - sion de 30 0/0 et des variations de 2 0/0, souvent répétées, produisent une impression désagréable.
  - Si la tension augmente, le courant pris par les lampes à incandescence augmente ; c’est l'inverse qui se produit si la tension diminue.
  - Moteurs. — Ces appareils sont assez robustes et peuvent supporter sans inconvénients pour leur conservation des variations de tension importantes.
  - Etudions l’effet d’une variation de voltage sur la marche des deux types de moteurs employés.
  - Moteurs asynchrones. — Considérons un moteur asynchrone développant sa pleine puissance normale. Si le voltage de la ligne vient à dépasser le voltage lixé pour le moteur, ce dernier prendra un courant plus faible que le courant normal, bien que le courant magnétisant soit accru. A de faibles charges, ce dernier effet pourra être prépondérant. Si le voltage de la distribution baisse au-dessous de la tension fixée, l’effet inverse se produit, le courant pris à pleine charge est plus grand que le courant normal.
  - La puissance maxima que peut développer le moteur est proportionnelle au carré du voltage. Si la puissance maxima possible, sous voltage normal, était de 150 0/0 de la puissance indiquée, une baisse de voltage de 15 0/0 réduira la puissance maxima
  - x 150--108 0/0.
  - Il n’y a plus aucune marge pouvant permettre des fluctuations de charge instantanées : le moteur calera.
  - Moteurs synchrones. — Lorsque ces moteurs sont surchargés au delà d’une certaine limite, ils tombent hors du synchronisme : ils décrochent. La puissance qui provoque le décrochage d’un moteur synchrone donné, est proportionnelle au carré du voltage. On voit donc qu’une baisse de voltage peut provoquer le décrochage de moteurs synchrones marchant à jileine charge
  - En général une baisse de voltage de 12 à 15 0/0 produit cet effet.
  - Si le moteur synchrone fait tourner une dynamo à courant continu, alimentant des tramways, il faudra enlever la charge en coupant les feedersà courant continu, refaire la mise en parallèle, remettre la charge : c’est un arrêt de 20 à 30 minutes pour le service des tramways.
  - En somme, on peut considérer qu’une baisse de voltage de 10 0/0 prolongée pendant quelques minutes, produit un trouble
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE DE BON SERVICE
  - 21
  - très sensible dans toute l’exploitation de force : on peut comparer cette baisse de voltage à un demi-arrêt.
  - Une baisse de voltage de 3 à 4 0/0 est désagréable (dans l’exploitation d’éclairage) elle a peu d’importance dans l’exploitation de force, si elle n’est que passagère.
  - 2° DESCRIPTION DES MOYENS EMPLOYÉS POUR RÉGLER LA TENSION DANS UN TRANSPORT DE FORCE
  - Examinons maintenant l’organisme d’un transport de force et les moyens employés pour obtenir la régularité du voltage.
  - Un transport de force peut comprendre :
  - Une usine liydro-électrique telle que U ;
  - Une ou plusieurs lignes de transport à très haute tension telles que A, B,, À, B2, avec ou sans branchements («?);
  - Des postes de transformation principaux Bt, B2, contenant des transformateurs permettant de passer de la tension du réseau primaire à celle du réseau secondaire ;
  - Des lignes secondaires B', Cj, B^Q,, etc. (à moyenne tension) alimentant des transformateurs de clients qui fournissent finalement un courant d’utilisation à bas voltage.
  - Le mécanisme du réglage du voltage est le suivant ;
  - La vitesse des machines étant maintenue sensiblement constante, grâce aux régulateurs de vitesse des turbines, la tension à l’usine est réglée par la modification de l’excitation des alternateurs, de façon à maintenir aussi constant que possible le voltage primaire dans les postes de transformations principaux B, et B2. Le réglage séparé pour chaque poste s’obtient en affectant au service de chacun d’eux des unités spéciales.
  - Le réglage de l’excitation se fait à la main, ou mieux automatiquement.
  - Il est naturellement nécessaire de connaître à l’usine à chaque instant le voltage primaire du poste de transformation. Ce résultat s’obtiendra facilement par la création dans l’usine d’un circuit
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- - 22
  - CHAPITRE III
  - artificiel ayant sensiblement même diagramme de tension que le circuit usine-ligne.
  - Régulation des lignes de transport. Chutes relatives de voltage. — Le réglage du voltage à l’usine n’est pas parfait :
  - Les variations rapides de la charge, influent d’une façon sensible, malgré le régulateur sur la vitesse des turbines.
  - Le réglage du voltage se fait en général, par un intermédiaire mécanique : il n’est donc pas instantané.
  - Le circuit artificiel donnant à l’usine le voltage primaire du poste de transformation n’a pas exactement le même diagramme de tension que le circuit usine-ligne.
  - Les courants fournis par les alternateurs réagissent sur le champ des inducteurs, de façon différente suivant qu’ils sont décalés en avant ou en arrière.
  - On voit donc que le voltage du poste de transformation aurait d’assez fortes variations, malgré les régulateurs de voltage, si on admettait une chute relative de tension trop élevée dans la ligne de transport.
  - On caractérise généralement une ligne de transport par sa régulation. On appelle « régulation d’une ligne », le rapport entre la différence de voltage à l’arrivée, pour la pleine charge non inductive et pour une charge nulle, et, le voltage pour la pleine charge (le voltage de l’usine restant le même).
  - Considérons une ligne de transport, où l’effet de capacité peut être négligé.
  - Soient E0 la tension entre fils, à l’usine et E, la tension entre fils à l’arrivée, lorsque la ligne transporte la pleine charge fixée. Pour un même voltage au départ E0, le voltage à vide et le voltage à pleine charge à l’arrivée serait respectivement E0 et E,.
  - Donc si la charge n’est pas inductive —--—^ nous donnera la valeur de la régulation de la ligne.
  - j,]_py
  - ~p—11 représente d’autre part la chute relative de tension de la ligne en charge.
  - Donc, dans les lignes à faible courant de capacité, la régulation est égale à la chute relative de tension de la ligne à pleine charge, en supposant cette charge non inductive.
  - Dans ces lignes, on prend la régulation de la ligne inférieure à 12 0/0. La chute relative de voltage, même pour une charge inductive, ne doit pas dépasser 14 0/0 pour un bon service.
  - Il est utile d’examiner la régulation de la ligne, et la chute rela-
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE DE BON SERVICE
  - 23
  - ive de voltage. En effet, pour les lignes ou l’inductance internent, on peut, à la rigueur, annuler la chute de tension dans la igné en charge par l’emploi de moteurs synchrones surexcités. Malgré cette chute relative de tension faillie ou môme nulle, il est possible cpie le voltage ne soit pas toujours très régulier.
  - Considérons une ligne de transport dans laquelle le courant de ïapacité est important.
  - Prenons les tensions simples entre un fil et le fil neutre.
  - Soit la tension simple au départ donnant lorsque la ligne Transporte la pleine charge fixée, un voltage Uj à l’arrivée.
  - A vide, si nous voulons avoir le môme voltage Ut, il faudra ionner à l’usine un voltage U0 sensiblement inférieur à Uj.
  - Si nous maintenions la tension au départ fiôo dans la ligne à vide,
  - la tension à l’arrivée serait tlü>0 X p1 •
  - Avec la pleine charge fixée non inductive la régulation de la Ligne est :
  - U. U,-UQ
  - U„ ~ ~ Uo
  - Pour ces lignes, on doit procéder également, à l’examen des
  - chutes relatives de tension de la ligne à vide
  - U, —Uo
  - U
  - ; et de la
  - ligne transportant la pleine charge fixée
  - Uo-U,
  - IV
  - La chute relative de tension de la ligne à pleine charge doit toujours être inférieure à 12 0/0.
  - Pour la somme de ces chutes relatives
  - U„-U,
  - U,
  - les lignes exis-
  - tantes se maintiennent au-dessous de 15 à 16 0/0. Cette condition peut être assez difficile à satisfaire pour les très longues lignes à très haut voltage.
  - Lignes de transports avec dérivations en cours de route. — Si la ligne de transport a une ou plusieurs dérivations, les limites acceptées pour la régulation de la ligne doivent être réduites, et le variatiomde voltage, entre la pleine charge et la ligne à vide au> extrémités de ces dérivations, examinée avec soin.
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- - 24
  - CHAPITRE III
  - 4° RÉGULATION DES LIGNES SECONDAIRES DE DISTRIBUTION
  - Le voltage de la ligne de distribution n’a pas en général de réglage spécial. Pour une clientèle particulièrement sensible aux variations de voltage, par exemple pour la clientèle d’éclairage, on adoptera des régulateurs de potentiel d’induction ; mais ces appareils sont coûteux et occasionnent des pertes de puissance ; on les évitera presque toujours, pour les lignes secondaires de force motrice.
  - La chute de tension chez un client, depuis le poste de transformation, se compose des chutes de tension dans les transformateurs du poste, dans la ligne secondaire, dans les transformateurs particuliers de son installation.
  - On fixe en général la chute relative maxima de tension dans la ligne secondaire entre 4 et 6 0/0.
  - Si l’on examine le maximum possible de variation de voltage chez un client dans une installation, ainsi conçue, on trouve un taux de variation assez élevé, mais cette variation maximum ne pourra se produire qu’en supposant l’arrêt simultané de toute la clientèle : cette éventualité n’est pas à envisager. Dans la réalité, avec une telle installation, les variations de voltage chez un client quelconque, dépassent rarement 3 0/0 en plus ou en moins du voltage normal.
  - Le calcul des lignes de distribution est d’ailleurs un peu plus aléatoire que celui des lignes de transport de force.
  - Si nous considérons une ligne transportant toute la puissance d’une usine A à un poste de transformation B, les deux facteurs, distance de transport et puissance à transporter sont parfaitement déterminés.
  - Pour la ligne de distribution joignant un quartier d’une ville par exemple à un poste de transformation, on ne connaîtra pas toujours parfaitement les puissances à desservir et leurs emplacements, car, en général, la clientèle (de détail tout au moins) ne sera obtenue qu’après la construction de la ligne.
  - Néanmoins, le projet des lignes secondaires est susceptible d’une étude relativement précise, mais souvent c’est un projet d’ordre commercial et pratique, autant qu’un projet d’ordre technique.
  - La modification en exploitation du réseau secondaire est d’ailleurs, toujours possible, et de pratique courante.
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE DE BON SERVICE
  - 25
  - II. — Stabilité de marche en parallèle d’usines éloignées
  - Si on considère deux usines hydro-électriques U et U', la croyance généralement répandue, est que la résistance du circuit extérieur UE^U' a une grosse influence sur la stabilité de marche en parallèle de ces usines.
  - Plusieurs règles empiriques ont été données ; ces règles ne sont pas vérifiées par l’expérience.
  - La stabilité de marche dépend surtout des conditions de marche des régulateurs des turbines, et des caractéristiques électriques des alternateurs.
  - La résistance et la self-induction du circuit extérieur ont une influence beaucoup moins grande, pratiquement, que les causes précédentes ; parce que les règles de sécurité et de régularité de voltage maintiennent ces quantités au-dessous des limites qu’il serait dangereux de dépasser au point de vue de la stabilité de marche.
  - Voici quelques exemples d’usines marchant en parallèle, bien que réunies par des circuits assez complexes :
  - Premier exemple. — Marche en parallèle d’un réseau à 50.000 volts avec un réseau à 30.000 volts ;
  - L’usine liydro-électrique A à trois unités de 3.000 K. V. A.
  - L’usine hydro-électrique B met en parallèle avec A une unité de 2.000 K. V. A.
  - Le circuit reliant les deux usines se compose d’une ligne en cuivre triphasée (3 X 63 ni2) à 50.000 volts de 65 kilomètres de longueur ; d’un poste de transformation 50.000/13.000 — 13.000/30.000 ; d’une ligne à 30.000 volts en cuivre, triphasée (3 X 60m*) de 90 kilomètres de longueur.
  - Dans les premiers essais, la marche en parallèle était impossible.
  - Après avoir rendu les régulateurs de turbines de l’usine B plus paresseux (régulation de 7 0/0 au lieu de 5 0/0), la marche devint parfaitement stable.
  - Dans une autre installation, la stabilité fut obtenue en plaçant des amortisseurs Hutin et Leblanc sur les pièces polaires des alternateurs.
  - Deuxième exemple. — Marche en parallèle d’une usine hydroélectrique et d’une usine à vapeur.
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- - 26
  - CHAPITRE III
  - L’usine A marche bien en parallèle, avec une usine à vapeur G à turbines (une unité 3.000 K. V. A. de C et deux unités 3.000 K. V. A. de A).
  - La ligne reliant A et C comprend :
  - Line ligne de 50.000 volts en cuivre 3 x63m2 ayant 90 kilomètres de longueur ;
  - Un poste de transformation 50.000/13.000.
  - Une ligne secondaire souterraine de 8 kilomètres, à 13.000 volts.
  - Note. — La limitation rlos pertes h travers l’isolant, qui a été mentionnée, pour mémoire, dans la règle de « Bon Service » est en réalité une question d’ordre général. Nous l’étudierons dans le chapitre intitulé « Perditance ».
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- - CHAPITRE IV
  - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - I. — Etude économique des lignes de transport. Considérations générales
  - Si nous augmentons la section d'une ligne de transport nous augmentons le prix de revient total (T), et, par suite les charges annuelles totales de l’installation (C) se décomposant en amortissement, intérêts, dépréciation et frais d’exploitation.
  - D’autre part, cette augmentation de section diminue les pertes d’énergie. La puissance à distribuer à l’arrivée sera donc plus considérable, et, par suite les recettes annuelles totales (R) plus grandes.
  - La section préférable au point de vue financier, c’est-à-dire économique, est celle qui permettra de rémunérer Le mieux le capital et qui rendra par suite maxi-
  - mum l’expression ^ . Cette sec- y
  - tion Sm nous sera donnée par l’équa-
  - Toutefois, l’étude de la courbe 0 A
  - y == sera souvent très utile, car Flg' **
  - cette étude nous renseignera sur la variation de la fonction dans le voisinage de son minimum.
  - p
  - Si la courbe y — —^ALest aplatie, nous pourrons faire varier
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- - 28
  - CHAPITRE IV
  - dans une certaine mesure la section au delà de OA — Sm ou en deçà.
  - Si nous prenons une section plus faible, que OA = Sm, nous économisons sur le capital de premier établissement, ce qui, toutes choses égales d’ailleurs, est toujours désirable.
  - Si nous prenons une section plus forte nous aurons une puissance plus considérable à l’arrivée. Si les engagements de la société sont déjà considérables, l’élasticité ainsi obtenue pourra dans certains cas, être considéré comme plus avantageuse que la réduction du capital de premier établissement.
  - Si une société vend en gros la force qu’elle produit, le prix de vente de l’unité de force sera connu, et le problème de la section économique pourra être solutionné par l’étude de la courbe précédente.
  - Si la société vend au détail, le prix de vente moyen qu’elle obtiendra est inconnu : on se placera alors évidemment dans les meilleures conditions économiques en choisissant la section de la ligne de transport, de façon à rendre minimum le prix de revient annuel de l’unité de force, à L’arrivée de la ligne ou à la sortie du poste de transformation. Si nous appelons P la puissance à l’arrivée exprimée en kilowatts, le prix de revient du kilowatt
  - est : K - •
  - La section sera déterminée par l’équation :^|=0, ou mieux comme nous l’avons indiqué précédemment par l’examen de la courbe : y — ^ •
  - La substitution de la valeur de cette section économique dans les expressions du rendement du capital, ou du prix du kilowatt-an donnera une idée très utile des possibilités économiques de l’entreprise ; car souvent d’importants traités de fourniture de force sont conclus, dès que la société s’est assuré la propriété de la chute qu’elle doit utiliser.
  - En somme, la détermination économique, de la section d'une ligne de transport est une véritable étude économique de la distribution de force projetée, et, le problème est aussi varié que les conditions industrielles le sont elles-mêmes.
  - En 1881, lord Kelvin étudia au point de vue économique un cas très particulier des distributions d’énergie, et énonça la loi connue :
  - « Si dans un circuit vous faites circuler un courant d’intensité « donné, la section la plus économique est celle qui égale le prix
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 29
  - « de l’énergie perdue annuellement en chaleur à l’intérêt et amor-« tissement de la partie du capital immobilisé proportionnelle à « la section du conducteur. »
  - Cette forme séduisante a contribué souvent à faire croire que cette loi avait un caractère général. Cette généralisation est dangereuse, car elle conduit forcément à des résultats erronés.
  - Nous étudierons tout d'abord les lignes électriques de transport de force ou il est possible de négliger la capacitance et la perditance. L’étude que nous allons faire appliquée aux lignes, où la capacitance et la perditance ne sont pas négligeables, donne d’ailleurs même dans ce cas, des renseignements qui limitent les tâtonnements.
  - 11. — Etude de la détermination de la perte relative économique
  - 1° ÉTUDE DU PRIX DE REVIENT DU KILOWATT-AN
  - Considérons une entreprise de transport de force hydroélectrique.
  - Appelons :
  - l la distance de transport en kilomètres.
  - À le coût de l’installation hydroélectrique de l’usine, non compris la ligne de transport.
  - B le prix de la ligne (non compris les conducteurs), c’est-à-dire, coût de l’étude, du tracé, des autorisations, des supports, des ferrures, des isolateurs et du tirage des fils.
  - C le coût total des conducteurs.
  - D le coût de l’exploitation annuelle.
  - a le taux d’intérêt, amortissement et dépréciation du capital C.
  - b le taux d’intérêt, amortissement et dépréciation du capital (A H-B).
  - P0 la puissance au départ de l’usine exprimée en kilowatts.
  - Pt la puissance à l’arrivée.
  - Prix du kilowatt-an. — Les charges annuelles sont représentées par la somme :
  - (A + B)6 + «C+D.
  - Le prix du kilowatt-an à l’entrée du poste de transformation est donc :
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- - 30
  - CHAPITRE IV
  - Si nous exprimons A, B, G, U et P en fonction des données du problème et de la section s des fils de ligne, l’équation 0
  - nous donnera la section la plus économique.
  - Il est souvent plus commode et plus instructif* de substituer à la variable 6' une variable auxiliaire : la perte relative de puissance dans la ligne.
  - Cette perte relative peut être prise par rapport à la puissance à l’arrivée Plt ou, par rapport à la puissance au départ, P0. Suivant le cas nous avons en désignant par X' et X ces pertes relatives :
  - (2)
  - et
  - X' =
  - IA-P,
  - Pi
  - On a donc : ^ ^ = 1.
  - A A
  - Dans un premier avant-projet, A, B et D peuvent être considéré comme indépendants de la section ou de la variable auxiliaire .
  - Les équations (2) résultant des définitions, nous donnent :
  - (3) Pi = P0 (1 — X) ou Po^lM'l-l-X'.)
  - Le coût total des conducteurs G est donné par l’égalité :
  - (4) G = n.d.p.l.s.
  - en désignant par :
  - n le nombre des conducteurs ; d la densité du métal ;
  - p le prix du kilo du métal employé en francs ; l la longueur de la ligne en kilomètres ; s la section de la ligne en millimètres carrés.
  - Lorsque les lignes peuvent se calculer en tenant compte seulement de la résistance et de l’inductance, la section (s) peut s’exprimer algébriquement en fonction de la perte relative (X ou X'). Cette expression dépend naturellement des données du problème.
  - 1° Si les données du problème sont P0, E0, cos cp0 c’est-à-dire la puissance, le voltage et le décalage au départ, on a :
  - LP». 10 K P .
  - XE0* cos 2<p0
  - / étant toujours la longueur de ligne en kilomètres ; p la résistivité en niicrobms-centimètres du métal employé.
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 31
  - Les deux formules à employer dans l’expression de K seraient alors :
  - (5) P, = P.(1-X) et C =
  - Il vient alors :
  - (A + B)* + I) + a.n.d.p.l. M + V
  - P0 (1 — X)) —.Po(l-X)
  - En posant : M — (A B) 6 -j- ü
  - H — n.d.p.l. X
  - l Pp-iOLp.
  - E02 c.os2y0
  - L’équation ^ = 0 nous donne : MX2 + 2aHX — aW = 0.
  - UA
  - La perte relative économique par rapport à la puissance au départ est donc :
  - X« —
  - «u
  - M
  - 2° Si l’usine hydro-électrique distribue toute sa force par rin-termédiaire d’un seul poste de transformation, les données pourront être P0, Ej, cos c’est-à-dire la puissance au départ, le voltage et le facteur de puissance à l’arrivée.
  - Ou aurait alors : S = -——-------P.
  - XE,2 cos2 fi
  - Les formules à employer dans l’expression de K sont :
  - P1=:1>0(1—X) C —n.d.p.l.
  - /.P0.(l — X)210Ep XE,2cos2^i
  - Posant
  - M = (A-t-B)4 + D
  - H'=
  - 1 E^cos2^
  - K = -
  - U
  - — X)2 ' "...X........
  - Po(l - X)
  - L’équation ^ 0 donne (M — rtH')X2 -(- 2«H'X — «H' = 0.
  - La perte relative économique par rapport à la puissance au
  - ail'
  - départ est donc : X.:
  - .M - a\V
  - j air (.* 1 «H' \
  - ’VM — aH'\ ' M — ait'/’
  - 3° Si, au contraire, il s’agit, d’une puissante usine distribuant la
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- - 32
  - CHAPITRE IV
  - force dans plusieurs directions, on fixera dans chaque direction la puissance que l’on doit distribuer à l’arrivée, ainsi que le voltage primaire du poste de transformation, les données seront alors P„ Et, cos <pr
  - Soient : A le prix total de l’usine.
  - Lh le prix de l’exploitation de l’usine.
  - cf la puissance totale de l’usine.
  - X' la perte relative par rapport à la puissance à l’arrivée Pj dans la ligne considérée.
  - On a: X' = £-»-=û d’où P, = P,(1+X').
  - Les charges annuelles prévenant de l’usine pour la puissance P0 sont: ^i^Pi(H-X').
  - La section de la ligne est reliée à la perte relative X' par la for-
  - mule :
  - l.WAW.p X'E^cos* ?i'
  - Le coût des conducteurs est alors : G — n.d.p.L •
  - 1 X'E,2 cos2
  - Le prix du kilowatt-an devient :
  - K
  - P, U+X') + B6 + D, + ^
  - P,
  - ti// j i LPilOL/»
  - H " — n.d.p.L ——r2-1 E^cos2^!
  - en posant :
  - et désignant par D2 le coût de l’exploitation de la ligne.
  - pour la valeur de
  - L’équation ~ — 0 donne Xf =
  - /iX
  - j ait"
  - V^^p.
  - la perte relative économique prise par rapport à la puissance à V arrivée.
  - Calcul exact. — L’hypothèse, qui consiste à supposer A, B et D indépendants de X, ne donne qu’une approximation assez faible, et, dans certains cas, peut conduire à des résultats franchement inexacts.
  - Nous allons examiner en détail les quantités A, B et D, ainsi que les valeurs des coefficients d’intérêt-amortissement a et 6.
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA KÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 33
  - Pour simplifier, nous supposerons que les données sont celles que nous avons examinées en premier lieu E0, P0, cos ©0, c’est-à-dire la puissance, le voltage et le facteur de puissance au départ.
  - Si les données étaient différentes, les modifications qu’il sera nécessaire d’apporter aux équations sont fort simples comme nous venons de le voir.
  - A. Coût de /’installation hydro-électrique. — A comprend le coût de l’installation hydraulique (barrages, canal d’arrivée, conduites, canal de fuite, turbines), et l’installation électrique de l’usine (alternateurs, tableaux, transformateurs, services accessoires). Il comprend également les frais de formation de la Société, les frais d’études, les achats de terrains, s’il n’y a qu’une usine.
  - il ne comprend pas le coût du poste de transformation à l’arrivée.
  - Si nous voulons étudier le prix du kilowatt-an à la sortie de ce poste, nous pourrons comprendre le coût de son installation dans A, mais la valeur de P puissance à l’arrivée devra être légèrement modifiée en tenant compte de la perte dans le poste de transformation. On aurait alors : P'r^Pofl—X)0,97.
  - Ce coût du poste de transformation est d’ailleurs indépendant de la perte en ligne ; car les limites étroites entre lesquelles varie cette perte, ainsi que la nécessité de matériel de rechange, et, même d’une certaine élasticité de la puissance des transformateurs, font que l’établissement du poste est décidé sans tenir compte de la perte en ligne.
  - A ne dépend pas de X, mais dépend du voltage E0 choisi.
  - B. Coût de la ligne sans les conducteurs. — B dépend de X et du voltage E0 choisi. Les faibles pertes relatives conduiraient, en effet, à de fortes sections de lignes, qui exigeront des appuis plus solides et par suite plus coûteux.
  - O11 donne souvent pour la valeur de B une fonction de la forme B = y + os, s étant la section de la ligne, ou bien B = y -h ^ . Mais
  - les coefficients y et S' varient avec le voltage et avec l’emplacement de la ligne. On 11e peut guère donner de formules générales qu’en négligeant les droits de passage, les déplacements de lignes télégraphiques ou téléphoniques, et, en supposant la ligne à peu près rectiligne, les supports équidistants, et le nombre de fils fixés à l’avance, quelle que soit la section.
  - E11 réalité, pour les lignes à moyenne tension qui sont construites
  - 3
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- - 34
  - CHAPITRE IV
  - en fils solides et non en câbles, on adopte des lignes simples, doubles ou triples, suivant que la section est inférieure ou supérieure à 70 et 140 millimètres carrés ; il en résulte des variations brusques de la valeur de B. Si nous représentons B—/'(X) par une courbe, celte courbe aliecte alors un tracé en escalier et finit par devenir asymptote à OY (fig. 5).
  - Une fonction de la forme :
  - i:s-r + f
  - donne certainement une idée de sa forme générale, mais cette forme générale nous intéresse peu ; la seule partie de la courbe qui nous intéresse est comprise entre les abeisses 5 et 15 ; car les pertes relatives d’une ligne de transport de moyenne longueur sont généralement comprises entre ces limites. Si nous remplaçons dans cette partie la courbe par la droite m.n. ; il nous suffira, dans un cas donné, de calculer le coût de la ligne, sans les fils, pour une perte relative de 5 0/0 et de 15 0/0.
  - La fonction B sera de la forme :
  - B — B01 — aX)
  - on aura d’ailleurs : B,^ B0( 1 — a x 0,1 o )
  - Bt; =B0(1 —«x0,0o).
  - D’où :
  - JJS - Ji15
  - 0,15BS — 0,05B1S
  - et Bft
  - 0,15b,; — 0,05131,
  - 0,10
  - La fonction sera déterminée et l’erreur que nous ferons est admissible dans une première étude. Quelquefois même, lorsque le problème est simple, on suppose B constant dans une première étude; on prend alors B — B10> c’est-à-dire que le prix de la ligne sans les fils, est fixé d’après le coût d’une ligne donnant 10 0/0de perte.
  - Le calcul de B;1, Bls ou Bl0, bien qu’assez laborieux, se fait faci-ment, car la perte relative admise, et, la puissance à transporter détermine la section. La force nécessaire aux supports en résulte. Le tracé fait connaître le nombre de supports de ligne droite et d’angle. 11 suffit d’ajouter le coût, des isolateurs, le prix de transport, d’implantation, de tirage des fils et le coût des droits de passage.
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE d’ÉCONOMIE
  - 35
  - Détermination du voltage économique de la transmission. — De ce qui précède, il résulte que le prix du kilowatt-an K est une fonction de X et de E0. En réalité nous avons à chercher le minimum de K — F(X, E„).
  - Il est malheureusement fort difficile de trouver une formule exacte qui tienne compte de rinflucnce de la tension.
  - La progression du prix des appareils avec le voltage, varie, en effet d’uue façon continue avec les progrès de l’industrie.
  - Toutefois, les limites entre lesquelles on peut choisir le voltage de la transmission, ne sont pas très étendues : le voltage économique pour transporter une puissance P à une distance / est presque déterminé par la pratique courante.
  - Pour les longues lignes transportant une puissance considérable, ce voltage économique coïncide avec le voltage critique donnant lieu au phénomène de « Couronne » c’est-à-dire produisant des pertes considérables au travers de l'air.
  - Pour une ligne transportant une puissance moyenne à une distance moyenne, on peut quelquefois hésiter entre deux voltages Ej et E2. On cherchera, dans ce cas, les valeurs de X qui rendent minimum les fonctions K — F(X, Et) ; K' = F(X, E2) soient Xj et X2). Le voltage le plus économique sera celui qui correspond à la plus petite des valeurs K2 = F(X1EI) ; (K2 = F(X2E2).
  - Cette étude nécessite la connaissance du prix de tout le matériel qui peut être nécessaire à l’installation sous les voltages E, et Es ; aussi une telle étude 11e peut-elle être faite qu’avec l’aide des catalogues complets des très grandes firmes. Nous reviendrons sur ce sujet.
  - 2° DÉCOMPOSITION DES CHARGES ANNUELLES. — DÉTERMINATION DES COEFFICIENTS d’iNTÉRÉT-AMORTISSEMENT
  - Les charges annuelles sont égales à (À + B)/> <?C -b D.
  - La partie (A -(- B)/; 4- aC est souvent désignée sous le nom de charges fixes, et, la partie D sons le nom de charges d.'exploitation. Le montant des charges annuelles, étant influencé, par la nature de la concession de chute d’eau faite à la société exploitante ; nous supposerons, pour fixer les idées que cette concession est de (50 années et qu’elle comporte l’obligation pour la société exploitante de remettre gratuitement à l’Etat, en fin de concession, toute son installation, sauf les lignes électriques.
  - Charges d'exploitation. — Nous comprendrons dans les charges d’exploitation :
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- - 36
  - CHAPITRE IV
  - 1° Tous les frais du personnel fixe.
  - 2° Tous les frais d’assurances (du personnel, des tiers, d’incendie).
  - 3° Tous les frais de marche normale : graisse, huiles, chiffons, matières premières pour les réparations courantes aux turbines alternateurs et lignes.
  - 4° Les frais de vapeur, nécessités, soit par les arrêts accidentels, soit par le défaut de puissance par manque d’eau, si l’usine a été établie avec un canal de dérivation prenant plus d’eau que la rivière n’en débite à l’étiage.
  - 11 arrivera souvent dans ce dernier cas que les frais de vapeur dépendront de la perte relative consentie. Nous séparerons les frais de vapeur (V) pour pénurie d’eau et poserons L) = D' ~b V.
  - Charges fixes. — Ces charges comprennent :
  - 1° Les intérêts du capital employé. Le taux d’intérêt généralement admis, dans un projet varie de 5 à 6 0/0.
  - 2° Les amortissements du matériel et des installations ou amortissements-dépréciation. Les installations hydro-électriques n’ont pas une durée indéfinie ; par exemple, si nous prenons une ligne à poteaux de bois imprégnés, pendant les premières années, les remplacements de poteaux nécessités par la pourriture de la base seront très rares ; au bout d’une dizaine d’années au contraire, les remplacements obligatoires deviennent très fréquents, et, en quinze ou vingt ans, tous les poteaux auront été remplacés. Il faut donc prévoirie versement, chaque année, à la réserve, d’annuités, qui placées à intérêts composés reproduisent au bout de quinze ans la somme nécessaire pour effectuer tous ces remplacements. Si B est le prix de la ligne sans les supports cette annuité sera :
  - Bx
  - t ^—— , n étant égal à 15 et r désignant le taux de pla-
  - cement obtenu par la société soit 3 ou 4 0/0.
  - n varie naturellement avec la partie de l’installation considérée : on admet, en général, pour n les valeurs suivantes :
  - 50 années pour les canaux, bâtiments, barrages.
  - 30 à 40 années pour le cuivre des lignes aériennes (gros conducteurs).
  - 25 années pour les pylônes métalliques, les réseaux souterrains.
  - 20 années pour le matériel des usines : turbines, alternateurs, transformateurs.
  - 15 années pour les poteaux de bois.
  - 10 années pour les petits réseaux d’éclairage.
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 37
  - 8 aimées pour les batteries d'accumulateurs.
  - Le tableau ci-dessous donne les taux d’amortissement correspondant à ces durées, pour divers taux de placement.
  - Durée en années Taux d’ainortissemenl avec des intérêts de :
  - 3 0/0 3,5 0/0 4 0/0 5 0/0
  - 50 0,9 0,8 0,7 0,5
  - 40 1,33 1,18 1,05 0,83
  - 30 2,1 1,94 1,78 1,51
  - 25 2,74 2,57 2,40 2,1
  - 20 3,72 3,54 3,36 3,0
  - 13 5,4 5.2 5,00 4,63
  - 10 8,72 8,52 8,33 7,93
  - Taux (Tamortissement, dépréciation du capital (A -f- B). — Il est facile de déduire de ces tableaux, le taux d’amortissement-dépréciation d’une installation donnée à condition de connaître la répartition détaillée des dépenses d’installation.
  - Supposons pour simplifier que dans une installation hydroélectrique les dépenses se soient réparties, en ce qui concerne le capital (A + B), en cinq chapitres dans les proportions sui-
  - vantes :
  - a Organisation, achat de la chute, terrains. 2*2 0/0
  - b Barrages, canal, usines, construction . . 35 0/0
  - c Equipement de l’usine...................18 0/0
  - d Lignes primaires et secondaires (sans le
  - cuivre).............................15 0/0
  - e Intérêts durant la construction . . . . 10 0/0
  - 100 0/0=A+ B
  - Le tableau ci-dessous nous donnera le taux d’amortissement-dépréciation du capital A -j- B.
  - Désignation du chapitre Durée admise en années Taux d’amortisse- ment par chapitre Pourcentage du coût total Charges annuelles en pourcentage de (A + B)
  - a » 0 0,22 0
  - b 50 0,9 0,35 0,9 X 0,35 = 0,315
  - c 20 3,72 0,18 0,15 3,72X0.18 = 0,67
  - d 15 5,4 5,4 X 0,15 = 0,81
  - e » 0 0,10 0 1,795
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- - 38
  - CHAPITRE IV
  - Le taux d’amortissement-dépréciation du capital (A-f-B) serait 1,80/0.
  - 3° Amortissement du capital. — Dans le cas particulier que nous signalons la société devant en fin de concession, livrer gratuitement à l’Etat, la totalité de son installation sauf les lig'iies électriques ; doit prévoir non seulement l’amortissement nécessaire au maintien de l’installation en parfait état de fonctionnement ; mais aussi le remboursement en fin de concession de la partie du capital emprunté qui n’est pas représenté par une installation restant la propriété de la société.
  - La durée de concession étant de 60 années le coefficient d’amor-
  - 85
  - tissement sera 0,61 et comme il ne s’applique qu’à ^-du capital
  - (A -j- B) on aura de ce fait un taux d’amortissement de 0,6X ^- = = 0,52 s’appliquant au capital (À B).
  - 4° Taxe de désuétude. — Les perfectionnements de l’industrie électrique ont été rapides et ont obligé souvent à modifier une partie importante des installations, avant le ternie fixé par l’usure normale. En somme, il faut distinguer entre la durée possible d’un appareil, avant qu’il soit hors de service, et la durée pendant laquelle cet appareil au double point de vue économique et du bon service est comparable avec les appareils de même nature que l’industrie peut livrer.
  - Sans insister sur tous les perfectionnements possibles (transformateurs de fréquence statiques, isolateurs, câbles armés à conducteurs séparés, etc.), il suffit de constater pour justifier la nécessité de cette taxe, ce fait bien connu, que tout le matériel qui existait il y a quinze ans dans les usines électriques, peut être considéré comme désuet et comme ayant peu de valeur.
  - La taxe de désuétude est généralement fixée entre 1 et 1,50 0/0 de la valeur de (AH- B).
  - 5° Impôts et taxes de concession. — Ces impôts et taxes de concession sont comptés tantôt dans les frais d’exploitation, tantôt dans les charges fixes. Dans nos projets nous compterons les impôts dans les charges fixes et les évaluerons en pour cent du capital (A-j-B). En France, ces impôts sont très élevés, on peut compter 1 0/0 du capital A + B.
  - Les taxes de concession n’existent pas lorsqu’il y a obligation de remettre les usines à l’Etat en fin de concession Puisque nous avons admis cette hypothèse nous ne compterons pas de taxes de concession.
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE d’ÉCONOMIË
  - 39
  - Récapitulation. — En résumé nous avons en pour cent :
  - 1° Intérêts du capital............. 6
  - 2° Amortissement-dépréciation . . 1,8
  - 3° Amortissement du capital ... 0,52
  - 4° Taxe de désuétude............... 1,5
  - 5° Impôts.......................... 1
  - 10,82
  - Le taux d'intérêts-amortissements b pour le capital (A -f- B) atteindrait donc 11 0/0 environ dans l'exemple que nous venons d’étudier.
  - S’il s’agissait d’une usine nouvelle, à construire par une société existante ; le chapitre a : organisation, achat, de la chu'e, terrains, aurait une importance relative moindre, et par suite le coefficient d’amortiessment-dépréciation serait plus élevé. On prend souvent, dans ce cas b — 12 0/0.
  - Cette valeur (b — 12 0/0) peut s’appliquer, sans grande erreur, à un avant-projet. Pour un projet définitif, il sera bon de calculer b comme nous venons de l’indiquer.
  - Coefficient d'intérêt-amortissement du capital C (coût, du cuivre). Nous n’avons à tenir compte ni des impôts, ni des taxes de désuétude, ni de l'amortissement du capital.
  - En ajoutant à l’intérêt du capital, le coefficient d’amortissement-dépréciation on trouve sensiblement, a — 8 0/0.” ^ /«
  - 3° DÉTERMINATION GRAPHIQUE ET ALGÉBRIQUE DE LA PERTE RELATIVE ÉCONOMIQUE
  - Nous avons :
  - (1)
  - K =
  - (A + B) b + O + aC V
  - P étant la puissance à l’arrivée.
  - La discontinuité de la fonction Bé = f (X) montre qu’au point de vue de l’exactitude, l’étude graphique de la courbe K = F (N} sera préférable pour la détermination de la perte relative économique, à la dérivation de la formule (1) par rapport à X. Cette étude nous permet de choisir parmi les pertes relatives acceptables, en nous mettant constamment sous les yeux, le capital dépensé, et, le prix de revient du kilowatt-an, elle nous permet d’éviter de faire une dépense exagérée, pour obtenir finalement une amélioration insignifiante du prix de revient du kilowatt-an.
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- - 40
  - CHAPITRE IV
  - Pour construire la courbe K par points, nous donnerons à X des valeurs successives et construiront les courbes :
  - B b = fl(X) bk = fi (X) U — fs (X) «G = /* (X) P =/, (X)
  - Faisant pour chaque valeur de X, la somme des ordonnées des courbes /i/2/3/i et divisant par l’ordonnée correspondante de la courbe /s nous aurons pour cette valeur de X le prix du kilowatt-an, c’est-à-dire l’ordonnée correspondante de la courbe K — F (X).
  - Cette étude graphique est assez longue, aussi dans un avant-projet, préfère-t-on, souvent, substituer à l’étude graphique l’étude algébrique de la fonction K. Nous avons déjà étudié cette question en supposant B et’ D indépendants de X.
  - L’examen que nous venons de faire, des quantités A, B, C, D et P nous permet une approximation plus grande, dans l’étude algébri-
  - que.
  - Nous avons vu que :
  - A était indépendant de X,
  - B pouvait en première approximation se mettre sous la forme B = B0(1 -aX).
  - n i » éPo-'tOVp II
  - C_ n.d.p.l. X xE02cos2^0 ~~ X •
  - P0 = P(1 — X).
  - D peut être regardé comme constant si l’usine est complètement hydraulique, c’est-à-dire, si Pusine hydro-électrique peut débiter continuellement sa pleine puissance même en cas d’étiage ; sinon D peut être une fonction de X qu’il convient d’étudier.
  - III. — Cas des usines complètement hydrauliques
  - D’après ce qui précède, nous avons pour le prix du kilowatt-an en fonction de X :
  - K
  - kb + B0b + D + - «B„éX M + — NX
  - Po(l-X) Po(l-X)
  - en posant kb -j~ B0à -f- D = M et aB0à = N.
  - L’équation = O donne : (M — N) X2 + 2«HX — ali = 0
  - : X = - + Y^s (l + ¥S)-
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D'ÉCONOMIE
  - 41
  - Cette valeur de X nous donne la perte en ligne la plus favorable. Si nous substituons dans la valeur de K nous aurons le prix de revient minimum du kilowatt-an, à l’entrée du poste de transformation .
  - 1° EXEMPLE NUMÉRIQUE. ÉTUDE ALGÉBRIQUE
  - Usine hydro-électrique à puissance constante. — Supposons que :
  - P = 10.000 kilowatts A = 5.000.000 francs B15 = 1.821.000 francs B5 = 2.173.000 francs D — 100.000 francs a — 0,08 (concernant le cuivre h = 0,12.
  - / = 120 kilomètres. E0 = 40.000 volts cosço = 0,80
  - P = 1,69
  - Valeurs de B. et de a :
  - On a : B = (1 — aX)B0
  - Des valeurs Bia = B0(l—0,15.X) et B5 = Bn(l — 0,05. X’ nous tirons : B0 = 10(0,15B1S — 0,05Bs) —2.350.000 francs
  - Bs — B) a
  - 0,15 B# -0,05 Bu
  - = 1,5.
  - On a donc : B = 2.350.000 (1 — 1,5 X)
  - Valeurs de M :
  - M=(A + B0)A + D
  - M — (7.350.000)0,12 + 100.000 = 982.000 francs.
  - Valeur de a H :
  - «H = aCS = «.».</.p./x^^
  - = 0,08 X 3 X 8,9 X 2 X120 x aR = 10.150.
  - 120 X 10.000 X 10* X 1,69 40.000* X 0,82
  - Valeur de N :
  - N = 1,5X^XB0 = 1,5x 0,12 X 2.350.000 =423.000.
  - Résultats :
  - X = ~ (— 10,15 + v'10,15 X 569 = 0,118.
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- - 42
  - CHAPITRE IV
  - En substituant dans la valeur de K, on a K = 114 francs.
  - Le prix de revient minimum du kilowatt-an à l’arrivée de la ligne serait donc de 114 francs.
  - Cette installation a été prise comme exemple d’étude graphique, dans un article publié par M. l’ingénieur Semenza dans le Bulletin de l'Association des ingénieurs électriciens italiens, en 1903 (1).
  - L’exemple se rapporte donc à une chute italienne dans la Lombardie.
  - Le prix de l’installation hydro-électrique (500 francs par kilowatt) est assez bas. En France il est en général plus élevé.
  - Le coût de Vexploitation (D) serait au moins à doubler en France ; les prises d’eau faites dans nos rivières torrentueuses sont en général d’un entretien plus coûteux que les prises d’eau faites dans les rivières sortant des grands lacs italiens. Cette valeur D se rapporte seulement à l’exploitation de la prise d’eau de l’usine, de la ligne.
  - La tension de 40.000 volts serait considérée, actuellement, comme un peu faible. En 1903 c’était la tension la plus élevée, en usage, dans les transports de force.
  - Le coût de la ligne (B1S, B5 ou B10) est assez élevé. Il se rapporte évidemment à une ligne construite avec des supports métalliques placés probablement à 60 mètres de distance.
  - 2° ÉTUDE GRAPHIQUE (*)
  - La ligure 6 donne les courbes correspondantes à l’exemple précédent.
  - La courbe h B = /i(X) présente le tracé en escalier cjue nous avons indiqué.
  - La courbe bk -F- D = /a (X) est une droite parallèle à l’axe des X, puisque le coût de l’installation de l’usine ne dépend pas de la perte en ligne, et qu’il en est sensiblement de même du coût de l’exploitation.
  - La courbe æC = fà (X), donnant le prix du cuivre, a l’allure hyperbolique qu’indique la formule algébrique.
  - La courbe de puissance utile P=/,4(X) est une droite inclinée vers les valeurs fortes de X. On a, en eifet, P = P0 (1 — X).
  - (1) J'ai toutefois modifié un peu les données. M. l’ingénieur Semenza considérait dans l'étude algébrique B comme constant et égal à 2.000.000.
  - (2j Semenza, Atti delta Associasione electrotechnica ilaliana, vol. VII, fascicule 6, 23 janvier 1903.
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 43
  - La courbe des charges annuelles totales j (A -j- B) b -j- D -|- «G] ^obtient en faisant la somme des ordonnées des courbes /i(X), é2(X), /8(X) pour une même valeur de X.
  - La courbe K = F(X) donnant le prix de revient du kilowatt-an, à l’entrée du poste de transformation, s’obtient, en divisant, pour chaque valeur de X, l’ordonnée de la courbe des « charges annuelles totales » (A H- B) H- D -f- aC par l’ordonnée correspondante de la courbe /A = P0 (1 —X).
  - 10 000
  - I 17 QJ
  - 9.000
  - 8.000
  - 115 a
  - 7.000
  - 11 S-
  - 12345 6789 10
  - Pertes en %
  - Fig. 6.
  - La figure 6 nous montre que la valeur économique de X est voisine de 0,11 et que si on s’écarte un peu de cette valeur, on obtient immédiatement des différences assez sensibles, surtout vers les valeurs faibles de X.
  - 3° ÉTUDE DE l’influence DU COUT DU POSTE DE TRANSFORMATION
  - Considérons le même exemple que précédemment ; mais complétons l’installation par un poste de transformation.
  - Le prix du poste (bâtiments, appareillage et transformateurs) peut être évalué à 600.000 francs. L’exploitation annuelle du poste coûtera 25.000 francs par an.
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- - H
  - CHAPITRE IV
  - En évaluant le rendement du poste, à pleine charge, à 0,97 ; on a pour le prix du kilowatt-an à la sortie :
  - (A + B0 + A') b -f (I) + 1)') + — _ a[y,x M' + — _ NA
  - K' =--------------------------X_________________X_________
  - 0,97 X P0 (1 - X) 0,97 X P0 (1 ~ Xj
  - A' — 600.000 francs et D' = 25.000 francs.
  - Les quantités A, B0, D, H, P0, a, b ayant les mêmes valeurs que dans l’exemple précédent.
  - Si nous cherchons la section économique par l’équation ^ = 0,
  - uX
  - on a :
  - (M' — N) X2 -h 2aH.X — uH = 0 d’où : X — 0,117.
  - Nous obtenons donc la même section économique que dans le cas précédent.
  - Il est facile de se rendre compte qu’il doit en être ainsi. La courbe K' = F, (X) donnant les prix de revient du kilowatt-an à la sortie du poste peut se déduire de la courbe K = F (X) donnant le prix de revient du kilowatt-an à l’entrée du poste, en effectuant successivement les deux opérations suivantes :
  - 1° Multiplier les ordonnées de la courbe K par-^jy •
  - 2° Ajouter aux ordonnées ainsi modifiées la quantité :
  - A'6 + D' _ 10
  - 0,97 X P0 (1 ~ X) 1 - X '
  - La quantité--10-^ varie de 10,75 à 12,5 lorsque X varie de 0,07 à 0,20.
  - Par conséquent la courbe de K' a même allure et presque exactement même minimum que la courbe K : on peut donc, dans l’étude de la section économique de la ligne de transport, étudier, à volonté, en général, le prix du kilowatt-an à l’entrée ou à la sortie du poste de transformation.
  - Le tableau ci-dessous donne les valeurs respectives de K et K' pour diverses valeurs de X, d’après la courbe de la fig. 6.
  - Valeurs de X. . 0,07 0,08 0,09 0,10 0,12 0,15 0,17 0,20
  - Valeurs de K (en trée du poste). 110,7 115,8 114 113,8 111,8 113,7 113 113,9
  - Valeurs de K'
  - (sortie du poste) 130,75 130 128,6 128,5 126,35 128,85 128,4 129,7
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 45
  - 4° INFLUENCE DE LA DISTANCE DE TRANSPORT
  - Supposons que, dans l’exemple que nous avons étudié en premier lieu, la distance de transport soit de 200 kilomètres, et admettons que le voltage de 40.000 volts soit maintenu.
  - La fonction B représentant le coût de la ligne sans les supports n’a plus la même forme ; elle devient B' — B'0 (1 — a'X). Calculons la valeur de cette fonction pour les pertes relatives :
  - ^ = 0,10 X'8 = 0,20.
  - La formule S — 10'|Q nous montre que la section S à
  - A.E02 cos2 y0 ^
  - adopter pour la ligne de 200 kilomètres, avec une perte relative X'i = 0,10 sera la même que la section que nous aurions adoptée pour la ligne de 120 kilomètres avec une perte relative
  - X, = X'i X^ — 0,00. Ue même, la section à adopter avec une 2Ü0
  - perte de 20 0/0 dans le cas présent, sera la même que celle adoptée dans le cas précédent, pour une perte de 12 0/0.
  - Nous avons donc :
  - (B )10 = 2.350.000 [i — 1,5 X 0,06) x ~ = 3.700.000,
  - 1 aU
  - (B')s„ = 2.350.000 (1 —1,5 X 0,12) X = 3.200.000.
  - 1 âU
  - Nous tirons de là comme précédemment :
  - B'0 — 4.200.000 a = 1,19.
  - La fonction Bf est donc : B'= 4.200.000 [1—1,19X].
  - Coût des conducteurs. — La constante aH de la fonction G = ^ indiquant le coût des conducteurs, devient :
  - A
  - «H' = flHxÇ = l0.150x#^ = 28.190 l2 14.400
  - ail est, en effet, proportionnel au carré de la longueur de ligne.
  - Le coût de F exploitation D augmente. Si nous supposons que le tiers de l’exploitation se rapporte à la ligne, on a, en désignai! t par D'les nouveaux frais d’exploitation :
  - iy = ^ _g » x —, = 110.000 francs.
  - 3 3 120
  - Finalement il vient :
  - i\l/ = (A + B')A + D'=(5.000.000 + 4.200.000)0,12 +110.000 = = 1,214,000 francs.
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- - 46
  - CHAPITRE IV
  - ail'= 28.190.
  - N' = 1,19 X 0,12 X4.200.000 = 600.000 environ.
  - Nous tirons de ces valeurs X = 0,17, K'= 158 francs, soit une augmentation de 44 francs (1). Cette augmentation, un peu forte, tient surtout à ce que le voltage de 40.000 volts fixé est assez bas. En 1903, date de l’étude précédente, ce voltage était, comme nous l’avons dit, le plus élevé employé dans les transports de force.
  - Actuellement le voltage de 00.000 volts, serait probablement considéré connue le voltage le plus économique pour transporter une puissance de 10.000 kilowatts à 120 aussi bien qu'à 200 kilomètres. A partir d’une certaine distance de transport, le voltage économique concernant le transport d’une puissance donnée, varie assez peu.
  - Voici des résultats concernant un transport de force à 25 cycles de 10.000 kilowatts à 60.000 volts avec un facteur de puissance égal à l’unité. Le prix du kilowatt-an à la sortie du poste de transformation était :
  - Pour un transport de 100 kilomètres de longueur : 130 francs.
  - — 200 — 151 francs.
  - — 300 — 184 francs.
  - Ce dernier prix devrait être majoré, car la perte économique assez forte, conduirait à une mauvaise régulation de voltage ; mais ce prix, ne comprenant pas la canalisation secondaire, est déjà prohibitif, au point de vue économique.
  - Gomme le voltage de 60.000 volts est le voltage économique de transport de cette puissance à cette distance ; nous voyons que nous avons dépassé la limite de transport économique de la puissance de 10.000 kilowatts.
  - Une augmentation de la puissance transportée, diminue le prix unitaire de l’installation hydro-électrique, augmente le voltage économique, et, par suite, accroît la distance limite de transport au point de vue économique, d’une façon très marquée. Nous insisterons davantage sur ce sujet dans le dernier fascicule.
  - (1) Lorsqu’on calcule la perle économique algébriquement en employant pour le prix de la ligne, sans les fils, des formules approchées : B = Bio ou bien B = B0 (1 — « X), il est utile de vérifier que la formule admise convient à la perte économique trouvée. Ainsi dans le cas actuel, la formule B = Bi0 n’aurait pas convenue, car la perte économique trouvée diffère trop de 10 %•
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 47
  - 5° CALCUL ÉCONOMIQUE D’UNE LIGNE DE TRANSPORT LORSQUE LE PRIX DE VENTE DE LA FORCE EST CONNU
  - Dans ce cas, il y a lieu d’étudier les bénéfices relatifs, possibles et de déterminer la section de façon à les rendre maximum. Ce cas peut se présenter lorsqu’une société vend sa force en gros aune autre entreprise.
  - Soit une implantation hydraulique de P0 kilowatts au tableau de départ. Désignons par :
  - A le coiit de l’installation hydraulique.
  - B le coût de la ligne sans les fils.
  - C le coût total des conducteurs. p le prix de vente du kilowatt-an à l’arrivée à forfait.
  - D, les charges annuelles de l’entreprise, sauf en ce qui concerne le métal.
  - E les charges annuelles provenant du métal de la ligne.
  - Pj la puissance en kilowatts à l’arrivée.
  - Le capital employé est : A-j-B-f-G = S.
  - Les bénéfices annuels sont : ^P, — Dj — E = I.
  - Les bénéfices, en pour cent, sont donc :
  - m I Ih-Ë
  - y > S A i ü-i-C
  - En se reportant aux notations des exemples précédents, nous avons :
  - E = «C = ^I l\ = I>„tl-X) C = ü-
  - A. A
  - Dt = b [A -H Bj (1 — aX)] H- D.
  - Remplaçant dans ^ il vient :
  - m I — - «Bié ) X» + |>Pn - b (A + B, ) - DIX — «H tj
  - ' S - «BjX* + (A + Bt) X + Il atl
  - L’équation ^ donne :
  - (3) X2[/?P0(A h- B, — «BJ + aBJ.)] + 2HX[>P, — a(6 — «)B1] —
  - - - (b - a){A + Bt) - D J = 0
  - Si on admet dans une première étude que le prix de ia ligne est constant et égal à Bt l’équation se simplifie et devient :
  - (4) X7>Po(A -f B) +2H/?P0X — H[;jP0 -(6- a)(A *+* B) — D] = 0
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- - 48
  - CHAPITRE IV
  - En appliquant l’équation (3) à l’exemple du transport à 40.000 volts étudié page 41 et supposant que toute la force est vendue à l’entrée du poste de transformation 120 francs le kilowatt-an, on trouve X = 11,5 0/0.
  - Etude graphique. — Gomme précédemment il sera beaucoup plus exact de construire les courbes : B = /i (X) C —f% (X)
  - A + B -h C = /, (X) = S I = A (X)
  - Prenant le rapport des ordonnées respectives des courbes /’+(X) et ft (X) on peut tracer la courbe dont le maximum donne la valeur de X la plus profitable.
  - La figure 7 résume ces constructions Les courbes G et B ont toujours le même aspect. *
  - 2.10
  - I 2 3 4 5 6 7
  - Pertes en %
  - 14
  - 13
  - a
  - <v
  - G
  - o
  - 12
  - II
  - 10
  - CM. 9 £
  - O
  - 14
  - 5!
  - 3
  - G
  - .2.2
  - o
  - QJ
  - OQ
  - I
  - Fig. 7.
  - Get exemple graphique se rapporte aux données suivantes : Transport de 2.000 kilowatts à 50 kilomètres.
  - Le prix de vente est de 200 francs pour le kilowatt-an à l’arrivée.
  - La tension de transmission 20.000 volts.
  - Le facteur de puissance est égal à 0,80.
  - Le cuivre coûte 2 francs le kilogramme.
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 41)
  - La valeur de À coût de rinstallation hydro-électrique est de 1.700.000 francs.
  - Le coefficient d’intérôt-amortissement a été pris égal à 0,10. (Alti délia Associazonc electrotechnica italiana, Semenza, 23 janvier 1003).
  - IV. — Usines hydro-électriques incomplètement hydrauliques
  - Etudions le cas d’une usine hydro-électrique ayant un manque d’eaq partiel d’assez longue durée.
  - Supposons que l’usine que nous avons étudiée, dans le premier exemple, ait sa puissance réduite de moitié pendant quatre mois (1), et, cherchons dans cette hypothèse, la perte économique et le prix de revient minimum du kilowatt-an.
  - La société qui possède cette usine, a vendu la totalité de la force disponible, au moment où l’usine hydraulique marche à pleine charge, et, en cas de pénurie d’eau, elle met en marche une usine à vapeur de secours. Quelquefois elle se servira des machines à vapeur que possèdent ses clients principaux, sous réserve de leur rembourser leurs dépenses.
  - La Société touche naturellement le prix de la force fournie sui la base prévue pour une fourniture hydro-électrique.
  - Nous pouvons supposer deux cas :
  - 1° L’usine à vapeur de complément est placée à l’usine génératrice, c’est-à-dire au départ ;
  - 2° L’usine à vapeur est placée à côté du poste de transformation c’est-à-dire à l’arrivée de la ligne.
  - Le premier cas est assez rarement réalisable, car il est nécessair pour qu’il le soit, que remplacement de l’usine hydraulique soi acceptable pour une usine à vapeur : il faut donc, que le charbo rendu à l’usine soit d’un prix peu élevé. La présence d’un cam
  - ( 1 ) Le degré d’irrégularité hydraulique d'une usine, située dans les Alpe peut être facilement prévue, grâce aux travaux du service d’études des forci hydrauliques. Les publications de ce service donnent, en effet, depuis six c sept ans, le débit journalier des rivières des Alpes. En retranchant les sujétion on peut déduire de l’étude de ces publications la courbe moyenne de débit d’ee dans le canal d’amenée pendant les diverses semaines de l’année.
  - Pendant sept mois, cette courbe se confondra, par exemple, avec la droite < débit, maximum du canal, et, pendant cinq mois le débit sera inférieur, il aura manque d’eau.
  - On peut, sans inconvénients, rectifier la courbe des débits, et reporte comme nous l’avons fait, le manque d’eau sur trois ou quatre mois, en le rég larisant.
  - i
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- - 50
  - CHAPITRE IV
  - navigable ou de mines de houille dans le voisinage de l’usine est donc indispensable.
  - 1° l’usine a vapeur est située auprès de l’usine hydroélectrique
  - L’usine ayant sa puissance réduite de moitié pendant 120 jours,
  - P
  - nous devons prévoir une usine à vapeur d’une puissance -- = = 5.000 kilowatts. Son prix (bâtiments et machines) sera par exemple : A" = 2.000.000 francs.
  - Le coût de l’exploitation de l’usine à vapeur, comprenant : le salaire du personnel durant les trois mois de chômage, le prix du charbon et du graissage peut être évalué pourune usine à turbines entre 0 fr. 04 et 0 fr. 05 par kilowatt-heure. Admettons le prix de 0,04.
  - 10-000
  - 5.00 0
  - 12 I 2 3 4 5 6"'7 8 9 10 II 12
  - Heures.
  - Fig. 8.
  - Cherchons le nombre de kilowatts-heure,fournis par l’usine à vapeur ; la figure 8 représente la courbe de charge de l’usine pour une journée moyenne. En temps de pleines eaux, l’usine hydroélectrique fournit la totalité du nombre de kilowatts-heure nécessaires.
  - Car jour ce nombre est : O] — P„ X 41 X24.
  - <1 étant le facteur de charge de l’usine, A est égal au rapport de la somme des aires de surfaces striées horizontalement et verticalement, à la surface du rectangle ABCÜ. Supposons ^ =^-
  - En temps de pénurie d’eau, l’usine hydraulique fournit naturellement la partie constante de la charge. Le nombre de kilowatts-heure fournis par elle, lorsque sa puissance est réduite de moitié
  - est pour une journée : Q2 =-£• X'Kx 24. pétant le facteur de charge de l’usine à ce moment. <!/ est égal au rapport de la surface striée horizontalement à la surface du rectangle ABC'D. Donc
  - est très voisin de l’unité.
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 51
  - t 20
  - Prenons <!>'=—. Le nombre de kilowatts-heure que l’usine à
  - vapeur devra fournir est égala Q, — Q3, car le débit d une grosse usine de transport de force est en moyenne assez constant. Remplaçons <]/ et <]/ par leurs valeurs, et effectuons la différence.
  - Ou a : Q, — Q, = 1>, X5X 24 -£xf£ X 24 = 5P„ soit 50.000 kilowatts-beure par jour.
  - Le coût de l’exploitation de l’usine à vapeur pour 120 jours sera donc :V = 5x P0 X 120 x 0,04 = 210.000 fi panes.
  - Le prix du kilowatt-an à l’entrée du poste de transformation devient :
  - (4 + Aff + B0) b-\- D -f- \ -j- “ — «.B0.é.X M -|~ —NX
  - Ka_ ~~ 00(1 - Xj = P0(l—X)
  - Nous prendrons : b = 0,12 môme pour A".
  - M = (A + A" + B„) b + D + V = 982.000 +480.000=,= 1.462.000. «II —10.150.
  - N = 423.000.
  - De l’équation :
  - on tire :
  - X =
  - — «H M - N
  - d K dX
  - — 0,
  - 09.
  - Il est intéressant de comparer les courbes K = F (X) du premier exemple lorsque l’usine est complètement hydraulique et la courbe K2 = F2(X).
  - On a
  - lv2 — Iv —
  - A 'h + V___
  - l>0(i-X) —
  - 48
  - 1 - X
  - Cette fonction croit avec X, d’une façon sensible. La courbe K2—F2 (X) paraîtra donc dérivée de la courbe K = F (X) en abaissant cette dernière vers les valeurs faibles de X.
  - Le tableau suivant donne les valeurs de K et lv2 pour diverses valeurs de X.Les valeurs do K étantprises sur la courbe de la page 43 et les valeurs de K2 déduites de ces valeurs de K en y ajoutant la
  - différence K, — K =
  - i - x
  - Valeurs de X. . 0,07 0,08 0,00 0,10 0,12 0,15 0,17 0,20
  - Valeurs de K, . 110,7 115,8 114 113,8 111,8 113,7 113 113,9
  - Valeurs de K2—lv 51,0 jÿ» °> j *4 52,8 53,4 54,0 50,3 58 00
  - Valeurs de lv2, . 108,3 108,0 160,8 107,2 100,4 170 171 173,9
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- - 52
  - CHAPITRE IV
  - Nous constatons la très importante augmentation du prix de revient du kilowatt-an.
  - Nous constatons également rabaissement de la courbe vers les valeurs faibles de X. Ainsi les valeurs de K» pour X - 0,09 et X = 0,12 sont presque égales tandis que les valeurs de K diffèrent de près de deux francs.
  - Nous prendrions pour perte relative la valeur X = 0,09 car le relèvement de la courbe vers les valeurs fortes de X est très accentué.
  - En résumant nous pouvons dire que dans le cas d’usines hydroélectriques à étiages importants, si l’usine à vapeur de complément utilise la ligne, la perte relative économique devra être plus faillie que la perte relative économique concernant l’usine complètement hydraulique. L’écart en général ne sera pas très important ; mais il serait très mauvais de faire des économies sur la ligne de transport.
  - Nous avons supposé un facteur de charge de toute l’installation égal à Ce facteur de charge est élevé, et ne se rencontre
  - que dans des régions très industrielles.
  - Souvent, ce facteur s’abaissera dans des régions moyennement
  - industrielles à-~ou même ; mais des facteurs de charges aussi
  - bas peuvent être améliorés. La société de transport de force peut, en effet, utiliser ses excédents, à la charge de batterie d’accumulateurs de société d’éclairage ; de batteries tampon de sociétés de tramways; de jminpages d’eau pour irrigations, etc., etc., sans parler des usines de récupération. Le facteur adopté est donc parfaitement admissible : c’est le facteur de charge d’une grande installation de transport de force arrivé à son plein développement.
  - 2° l’usine a vapeur est située a coté du poste d’arrivée
  - Dans le cas précédent le prix du kilowatt-heure (à vapeur) était
  - en comprenant l'amortissement de l’usine : „ — 0 fr 08.
  - 1 d X l*o X 120
  - Nous pouvons supposer que, dans le cas actuel, la société de transport, ne construit pas d’usine à vapeur, et que les kilowatts-heure de complément sont, fournis au poste d’arrivée, du côté de la basse tension, par les machines à vapeur des clients principaux de la société (entreprise d’éclairage ou de tramways). Les dépenses de production des kilowatts-heure de complément seront
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D ECONOMIE
  - 53
  - remboursées à un prix forfaitaire convenu. Admettons le prix précédemment obtenu de 0 fr. 08.
  - Prix du kilowatt-heurp, à la sortie du poste de transformation. — Ce prix sera :
  - (A + A' + B0Ï b + D + D' + — « B0 ftX + V
  - K" =--------------------------------------
  - 0,97 X (* —X)
  - Les lettres A, A', B0, D, D' ont les memes significations que dans l’exemple 1 (bis). (Etude de l’influence du coût du poste de transformation). Y désigne les frais de vapeur nécessaires, pour compléter la puissance fournie, à la sortie du poste de transformation, à la valeur normale : 0,97 X P0X (1 —X), alors que la puissance de l’usine est réduite de moitié.
  - On a : Y — n X 0 fr. 08
  - n étant le nombre de kilowatts-heure fournis à la vapeur pendant l’étiage de la rivière.
  - Pendant la période de pleines eaux, dans le canal de dérivation alimentant l’usine, le nombre de kilowatts-heure débités, chaque jour, à la sortie du poste de transformation, serait :
  - Q' = 0,97xP„(l—X)x24xf
  - •ji étant le facteur de charge à la sortie du poste. Ce facteur est un peu plus faible que le facteur de charge de l'usine à cause des pertes constantes dans les transformations, etc. Négligeant cette
  - légère différence nous prendrons } = •
  - En temps de pénurie d’eau, la puissance de l’usine est réduite
  - • P
  - de moitié : soit-^ . La perte dans la ligne est réduite au quart de sa valeur puisque le courant est réduit de moitié. La perte relative est donc réduite de moitié : elle devient — pour la ligne à très haute tension.
  - Le rendement du poste de transformation devient (1,96 ; le rendement des transformateurs a peu diminué ; mais les services accessoires ont pris une importance relative plus grande.
  - Le facteur de charge de la fourniture hydraulique, compté à la
  - sortie du poste est >V qui est un peu plus petit que ^ •
  - Nous prendrons — ~
  - Le nombre de kilowatts-heure débité par busiiie hydro-électrique est en les comptant à la sortie du poste de transformation :
  - Q, = 0,96x^(l—|)X24X'V.
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- - 54
  - CHAPITRE IV
  - On a donc pour les frais de vapeur la valeur :
  - V=:(Q1-Q2)x 120x0,08
  - = (4,95 X P„ — 9,75 x P0 X X) 9,6.
  - Portant cette valeur de V dans l’expression de K" et réunissant, les termes indépendants de X, nous avons pour K" la valeur :
  - K"==------------
  - 0,97XP„(1-X)
  - avec M = ( A + B0 H- A') Æ + (D + D') + 9,6 x 4,95 X P0 = 1 554.000. N = (aB06 + 9,6x9,75P0) = 1.359.000. aR = 10.150.
  - L’équation = 0, nous donne :
  - X== 10,15 + ^19,15X205 = 0,181, soit 18,1 0/0.
  - Substituant dans la valeur de K" on trouve 170 francs, correspondant à peu près à une augmentation de 40 francs sur le prix du kilowatt-an (à la sortie du poste de transformation) dans une installation, ayant une usine pouvant fournir constamment le courant de pleine charge.
  - Comparons comme précédemment les courbes K7 == (X) et
  - K"= Fs (X), donnant le prix du kilowatt-an, à la sortie du poste de transformation dans le cas d’usines hydro-électriques parfaitement ou incomplètement hydrauliques.
  - On a :
  - K"—K' =
  - v
  - a,95 — 9,75X) 9.6
  - 0,97 X P0 (1 - X) ‘
  - 0,97 (t-X)
  - La courbe K"—K' est une hyberbole se confondant sensiblement avec une ligne droite dans la portion considérée (X variant de 0,05 à 0,20). Cette droite est très inclinée sur l’axe des X (fîg. 9). La différence Iv" — K'décroît rapidement avec X. Par suite la courbe K" semblera se déduire de la courbe K' par une translation parallèle et une rotation abaissant très nettement la courbe vers les valeurs fortes de X.
  - Le tableau ci-dessous donne les valeurs de K' et K" pour diverses valeurs de X.
  - Valeurs de X. . 0,07 0, 08 0,09 0,10 0,12 0, 15 0,17 0,20
  - Valeurs de K'. . 130,75 130 128,6 128, 5 126,35 128,85 128,4 129, 7
  - Valeurs de K"-K' 40 45,3 44,6 43,9 42,6 40, 6 39,2 37,2
  - Valeurs de K". . 176,75 175,3 173, 2 172,4 168,95 169, 45 167,6 166, 9
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 55
  - La figure 9 nous donne les courbes K', K" — K', et K". La branche d’hyperbole (K"—Iv) se confond presque avec une droite. Nous voyons que la perte relative économique est d’environ 20 0/0. L’abaissement de la courbe vers les valeurs fortes de X conduit même à une sorte d’indétermination de la perte relative économique, dans les valeurs fortes de X.
  - L’accroissement du prix du kilowatt-an est d’environ 38 francs.
  - , Perles en %
  - Fig. 9.
  - Nous voyons que, si l’usine à vapeur complémentaire est située auprès du poste d’arrivée, la perte relative économique est très sensiblement plus forte que celle trouvée en supposant la force produite complètement hydraulique.
  - La loi de Kelvin, dont l’application stricte conduirait en grandeur, a des résultats inexacts ; indique qualitativement les résultats que nous venons de trouver. Dans le premier cas, en effet., nous utilisons la ligne, d’une façon constante, avec un courant dont le prix de revient moyen est plus élevé que le prix de revient du courant d’origine exclusivement hydraulique. Dans le second cas, nous utilisons la ligne d’une façon intermittente.
  - Nous avons insisté sur l’étude de ces usines incomplètement hydrauliques, parce qu’elles sont nombreuses en France. Cet état
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- - 56
  - CHAPITRE IV
  - (le choses tient en partie au régime administratif de concession de chutes d’eau ; mais aussi, à ce fait, qu’un assez grand nombre d’usines d’électrochimie désaffectées ont été employées comme usines de transport de force. Or, une irrégularité hydraulique assez forte est parfaitement admissible pour l’usine d’électrochimie.
  - Cette usine peut, en effet, emmagasiner sa production, au moment des hautes eaux, presque sans frais.
  - Le capital immobilisé, par unité de puissance, dans ces entreprises, est relativement faible.
  - Les traités de vente de l’usine d’électrochimie sont, sans comparaison possible, beaucoup plus élastiques que les traités de fourniture d’énergie de l’usine de transport de force.
  - V. — Etude économique des longues lignes de transport à très hauts voltages ou des lignes de transport en câbles armés
  - Nous avons supposé que les pertes de puissance dans les lignes que nous venons d’étudier se composaient des pertes d’effet Joule du courant utile.
  - Pour les lignes à très haut voltage et de très grandes longueurs les effets de perditance et de capacitance ne sont plus négligeables. Il en est de même des lignes en câbles armés de 40 à 50 kil. de longueur.
  - Les pertes de la ligne sont composées alors :
  - 1° Des pertes d’effet Joule du courant utile, comme précédemment ;
  - 2° Des pertes dues à la production du courant de perditance, s’il y a lieu ;
  - 3° Des pertes d’effet Joule supplémentaires dues à la combinaison des courants de perditance et de capacité avec le courant utile.
  - Les pertes totales ne peuvent être déterminées exactement qu’en calculant la quantité :
  - W = P„ — P, = 3(U0a0 oos ©„ — UJ, cos cpt).
  - iê0, cos <p0 désignant la tension simple, le courant et le facteur de puissance au départ.
  - UJi cos ,fl les mêmes quantités à l’arrivée.
- p.56 - vue 60/178
- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 57
  - Comme il s’agit ici d’usines très puissantes, distribuant la force dans diverses directions, les données du problème sont en général Uj, I,, cos <pt, ou bien P,, Eu cos ©,, c’est-à-dire la puissance, la tension composée et le facteur de puissance à l’arrivée.
  - La valeur du kilowatt-an à l’arrivée sera :
  - (A* ÿ-1'- I'» fü*+ -T" «> '
  - K = —------------PT"-----------
  - fP désignant la puissance totale de l’usine.
  - A b -f- Dt les charges annuelles totales de l’usine.
  - B le prix de la ligne sans les fds.
  - D2 le coût de l’exploitation de la ligne.
  - C le prix des conducteurs.
  - Nous sommes obligés, pour étudier la variation de la fonction K avec la section des fils, de recourir à une représentation par courbe. On peut prendre comme variable la section s ou mieux la
  - variable auxiliaire Xr — - .
  - *.Etacos*y,
  - X' est alors le rapport de la perte par effet Joule du courant utile lj supposé seul à parcourir la ligne, à la puissance P, à l’arrivée.
  - Pour construire par points la courbe K = F(X'), nous admettrons une perte relative du courant utile, supposé seul à parcourir la ligne XV Cette perte relative étant prise par rapport à P4, nous en déduisons la section par la formule :
  - g _ 7.P,l(Ap X'tEj cos^C
  - S’il s’agit d’une ligne aérienne à forte section et s’il y a lieu de penser que l’effet Kelvin peut intervenir, il sera nécessaire d’établir une relation par courbes ou tableaux entre la perte relative X\ et la section. 11 en serait de même q>our des câbles armés de fortes sections, avec cette différence qu’il y aurait eu plus à tenir compte des pertes additionnelles de courant de Foucault et d’hystérésis. Quoi qu’il en soit la formule précédente ou bien des tableaux, nous donneront la valeur Si de la section correspondant à XV L’écartement des fils étant déterminé parla valeur de Et, nous pourrons calculer les constantes de la ligne zu wu 0t, 0'4 (impédance et admittance dirigées) correspondant à cette perte relative X'r
  - La construction des diagrammes de tension et de courant est
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- - 58
  - CHAPITRE IV
  - alors possible (J) ; cette construction nous permet de calculer P0= (P0)i- La connaissance de la section st nous permet de déterminer le coût de la ligne sans les fils Bt. — Ce calcul doit être fait avec précision, étant donné l’importance considérable de la ligne ; il est donc assez laborieux pour les lignes aériennes. Pour les lignes souterraines, ce calcul est au contraire assez simple.
  - Le coût des conducteurs Ct se calcule sans difficulté par la for-
  - mule G i = n .d.p.l.
  - X'iE^cos2®!
  - Aé-f- Dj et f)2 restant sensiblement constants, si nous supposons une usine complètement hydraulique, on a :
  - (po\ + V; + Ds + aCt
  - C'est, le prix du kilowatt-an à l’entrée du poste de transformation. Ge prix correspondant à la perte relative fictive Xix est l'ordonnée du point de la courbe K = F(X') ayant pour abscisse XV La courbe K se trace ainsi sans difficulté. Son étude permet de choisir la perte fictive économique ou la section économique.
  - Pour des lignes aériennes de grandes longueurs, les courbes K ne présenteront plus des ressauts aussi nombreux. En effet, toutes les fois que la ligue est subdivisée, les pertes totales (P0 — P4) augmentent beaucoup. De plus, l’apparition possible du phénomène de « Couronne » oblige, également, à éviter la diminution du diamètre des conducteurs.
  - VI. — Etude économique des canalisations secondaires
  - Dans l’étude détaillée de la règle de « Bon service », nous avons indiqué cpic le calcul des canalisations secondaires présentait cette difficulté que les données (distance de transport et puissance à transmettre) n’étaient pas aussi nettement déterminées que celles d’une ligne de transport de force.
  - Indiquons, sommairement, comment on trouve approximativement les données du problème.
  - Lorsqu’il s'agit d’assurer la distribution de force motrice dans
  - (4) Voir le second fascicule.
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 59
  - une grande ville, les postes de transformation permettant de passer de la haute tension du transport (60.000 volts, par exemple), à la tension moyenne de distribution (soit 13.000 volts) ne pourront pas être placés très près du centre la ville ; ils seront situés, en général, à une distance de 5 à 6 kilomètres de cette partie de la ville. Une étude, basée d’abord sur les déclarations faites par les industriels au service des mines pour leurs appareils à vapeur, indique la répartition de la puissance qui peut être demandée dans les divers quartiers de la ville. Une sélection doit être faite, éliminant ou classant à part, les industriels utilisant pour leur industrie une quantité importante de vapeur d’eau. Ces industriels ont, en effet, moins d’avantages que d’autres à s’abonner au service électrique.
  - Le relevé sur le plan de la ville des abonnés possibles, montrera que l’industrie se localise dans certains quartiers, généralement dans ceux où les moyens de communication par eau et par chemins de fer sont les plus faciles ; ou bien dans ceux où les terrains sont d’un prix accessible.
  - Ayant porté sur le plan de la ville, les emplacements occupés par les industriels, et, les puissances qu’ils peuvent prendre ; on possède, les renseignements nécessaires pour établir un projet d’ensemble du réseau en supposant toute la clientèle acquise. En effet nous connaissons approximativement les puissances qui seront consommées et leurs emplacements. Le voltage de la distribution est presque obligatoire. D’autre part, les facteurs de puissance des moteurs employés résultent de la puissance des moteurs et de la nature de l’industrie. À ce sujet il sera bon de prévoir, dès le début, la clientèle, qui peut employer des moteurs synchrones surexcités (j).
  - On ne construira évidemment pas ce réseau immédiatement, on se contentera d’en construire les portions concordantes avec des demandes de force suffisamment importantes ; mais le projet d’ensemble doit être fait, toutes les fois que cela est possible.
  - Dans ce projet général, on doit tenir compte des points d’alimentation du secours à vapeur, souvent fourni par les clients principaux : Société d’éclairage, Société de tramways.
  - L’armature du réseau sera constitué par un faisceau de lignes ou de câbles partant des grands postes de transformation (A, B) et
  - (1) Nous reviendrons sur cette question dans l’étude des données de la clientèle : « Puissances consomnées, prix de revient, facteur de puissance, facteur de charge, facteur de diversité ».
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- - 60
  - CHAPITRE IV
  - aboutissant à plusieurs postes de sectionnements (M et N) situés autant que possible au centre de gravité des charges des quartiers à desservir, tout en tenant compte de l’emplacement des usines à vapeur de secours.
  - Ces câbles d’amenée du courant, desservent en cours de route une petite partie de la clientèle ; mais la plus grande partie est desservie par de petits réseaux secondaires a, (3,y — a'p'y', desservant des postes de transformation 13.000/440. Ces postes sont souvent situés chez les clients importants, et d’autrefois servent à alimenter un réseau à 440 volts, assurant le service des clients de faible ou moyenne importance.
  - Fig. 10. — Schéma d’une distribution secondaire à 13.000 volts.
  - Si les lignes principales AN,AM,BM sont souterraines, elles seront souvent constituées par un nombre variable de câbles-unités égaux. Dans un grand réseau triphasé, on adoptera souvent comme câble-unité un câble de 3 x 100 millimètres carrés ou de 3 X 75. Cette méthode simplifie les rechanges, diminue souvent un peu le prix de revient des câbles, et facilite la construction du réseau « par tranches ».
  - La ligne d’intercommunication MN est une ligne de secours. Le calcul économique des diverses lignes du réseau doit tenir compte de l’utilisitation de ces lignes.
  - La ligne MN sera calculée de façon à coûter le moins cher possible : les règles de sécurité et de bon service détermineront presque toujours sa section.
  - Pour les lignes BN,AN,AM le problème se pose ainsi :
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 61
  - 1° LE PRIX I)E VENTE DU KILOWATT-AN N’EST PAS CONNU
  - Etant donné une canalisation secondaire AN, de longueur /, joignant le poste de transformation À, au poste de sectionnement N, qui peut desservir une puissance égale à IN kilowatts; chercher la perte relative économique sachant que. le facteur de puissance à l’arrivé est cos et que le voltage au départ de la ligne est E„, Ces données P1? cos E„ conduisent à des formules complexes pour l’expression de la section en fonction de la perte relative
  - j) ___ [>
  - x — —’ . Aussi, copnne dans les réseaux secondaires la perte
  - relative de voltage ne dépasse guère 4 à 5 0/0 emploie-t-on le voltage moyen E. Ce voltage moyen est inférieur de 2 à 3 0/0 à E0.
  - Un a sensiblement : S —^^^77“ ? pour une ligne triphasée.
  - Le prix de revient du kilowatt-an au poste de sectionnement sera :
  - i/ _ r.l\ (1 + x) -j- b'B + 1) r a'C
  - On a d’ailleurs :
  - (2)
  - z'E’cos®»!
  - B désignant le prix de la ligne sans les fils.
  - C le coût du cuivre.
  - D le prix d’exploitation de la ligne secondaire considérée. a le coefficient d’intérêt-amortissement du cuivre.
  - // le coefficient d'intérêt-amortissement de la ligne non compris le cuivre.
  - tc le prix du kilowatt-an à la sortie du poste de transformation. tc = 128 francs dans l’exemple étudié précédemment.
  - Si nous supposons B indépendant de x, ce qui est peu exact, on voit que la valeur de x qui rendra minimum Ks sera celle qui égale les quantités icP^ et a'C.
  - On a donc :
  - Cette formule qui suppose B indépendant de æ, donne une approximation insuffisante.
  - Câbles armés. — Examinons le problème d une autre façon, et, supposons que la canalisation soit formée par des câbles armés
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- - 62
  - CHAPITRE IV
  - Nous désignerons par :
  - B' le prix des tranchées et de la pose du câble.
  - C' le prix du câble armé.
  - a' le coefficient d’amortissement commun.
  - On a alors :
  - (4)
  - Ks
  - ttP, (1 4- x) + afB' + h + g'C'
  - Pi
  - La valeur de G' est donnée pour un voltage de distribution fix* par les catalogues de constructeurs. On trouve que :
  - (S)
  - G' — / (y -f- Sa)
  - s désignant la section d’un conducteur, en millimètres carrés. On a pour une ligne triphasée :
  - liyjQVp
  - donc
  - a
  - jviyioy
  - )•
  - a;h2cos2y ^ 1 a.,Ëâcos*y
  - La valeur de x qui rend minimum l’expression de Ks est donnée
  - par l’équation d’où :
  - (6)
  - k\\x —
  - IKPi. IQ1. p ,
  - xK2 cos* w ^ a ’
  - l / a'J. 104.s E cos « V 77
  - L'équation est analogue à l’équation (3) ; mais o remplace la quantité n.d.p.
  - Prenons un câble tripiasé à 13.000 volts. Les catalogues des constructeurs et les aide-mémoires nous montrent que, si la section du câble dépasse 35 millimètres carrés, y est compris entre 6.000 et 7.000 et 8 entre 120 et 140.
  - Les catalogues ne donnent pas toujours la valeur de o ; mais des indications de prix pour divers câbles à même voltage, il est facile de déduire la droite y — y -h oa, y étant on francs le prix par kilomètre. Les aide-mémoires donnent souvent la valeur
  - (J §
  - de — . n étant le nombre conducteurs ; — varie entre 30 et 40.
  - Nous avons dit que o remplaçait n.d.p. Ce produit dans le cas actuel de conducteurs de cuivre à 2 francs a pour valeur :
  - 3 X 8,9 x 2 = 53,4. Le rapport-^- = \J= 1,5.
  - La perte relative donnée par l’équation (3) était beaucoup trop faible. L’équation (6) peut se transformer, de façon à faire apparaître la densité de courant par unité de section du conducteur.
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 63
  - En effet, pour une ligne triphasée nous aurions :
  - 3yi\ __ 1 x 10.P7.y/3 . El A cos y « Ecosy
  - D’où
  - m
  - I— x•E• CQSy — JO* / «'xà' _ s dO-p./v:? V^xttXp
  - Cette densité de courant est une constante intéressante du réseau. On peut s’écarter légèrement du résultat indiqué par l’équation (7), car la fonction K,v = F(x) est continue, et, par suite varie peu au voisinage du minimum.
  - Nous avons supposé que les lignes secondaires considérées étaient isolées les unes des autres, et, qu’elles n’avaient pas de branchement.
  - Considérons un réseau partant du poste de transformation et présentant de nombreux branchements. Désignons par le n° 1 la section AB, par le n° 2 la section BC, etc., et, affectons le courant, la section et la longueur, de l’indice correspondant au numéro de la section de ligne considérée. ip, .sp, ip désigneront le courant, la section et la longueur du p"'e élément de ligne. Soit P, la puissance totale distribuée par ce réseau. Proposons-nous de déterminer la section de ces diverses canalisations par la conditioi que la perte relative soit fixée et égale à xx et que, d’autre part le poids de cuivre employé soit minimum.
  - Nous avons l’équation ;
  - sr(ls,Rp)=*iPi ou (8)
  - v'VT-
  - 1Q3 x Sp
  - La quantité à rendre minima est :
  - hnd 1 v
  - La méthode de Lagrange nous montre qu’il suffit d’annuler le dérivées par rapport à .y,, si} ..., $n considérées connue variable indépendantes, de l’expression :
  - A = H- x (s," I*-iïtp- *.P.)•
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- - CHAPITRE IV
  - Les n équations ainsi trouvées et l’équation (8) détermineronl Si, , sn et X.
  - Si nous supposons que les courants b, L, In sont indépendants des sections, ce qui n’est exact que pour des variations très restreintes de su sSl ..., sn ; on a n équations de la forme :
  - -p-=d.lp—x-!f.0.-^- = o.
  - »*p 4 ‘ )«'-
  - D’où: -lJ- = A=...-!a=...-!ai=iov/4
  - L’équation (8) donne d’ailleurs :
  - V d-P wq /
  - IQ.œd'i 1 pp‘
  - yx
  - Dans un réseau pour distribution de force, la quantité de cuivre employée est minima, pour une perle de puissance prescrite, quand la densité de courant est la même dans toutes les canalisations. Cherchons à déterminer cette densité constante dans un réseau souterrain par la condition que le prix moyen du kilowatt-an à l’arrivée soit minimum.
  - Dans le cas d’un réseau triphasé distribuant une puissance totale Pt à l’arrivée, le prix moyen du kilowatt-an est :
  - K
  - (Pi+
  - 103
  - v” r 2,1 1;
  - jp.p.lt
  - sp
  - ^ n +1)' -J- a'21 (7 + $Sp) lp -}- a'i’l Yp.lp
  - 7c désignant le prix du kilowatt-an au départ du poste de transformation.
  - D' le coût de l’exploitation du réseau, y -j- bsp le coût du câble de section sp par kilomètre, ÿp le coût des tranchées et de la pose par kilomètre de la pme canalisation.
  - Nous supposons ce prix indépendant de sp, mais dépendant de l’endroit où se fait la canalisation.
  - Posons ^2- = y. On a également :
  - Sp
  - Si ~ St Sri
  - Donc :
  - ^Pi + X y X 2"Iplp ^ 4- D' + a 2?(7 + r-/p)lp-\- a! y ï"lplp
  - P,
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE D’ÉCONOMIE
  - 0>5
  - La valeur de y qui rendra K minimum est donnée par l’égalité :
  - ' 71 X-pX?/ X -i Vp = — Zl Ipip.
  - D’où : y = i=10t/
  - Nous trouvons naturellement la même constante que précédemment. Nous avons supposé que l’amortissement était le même pour toutes les canalisations, que l’isolant et que le métal employé étaient les mêmes.
  - Exemple. — Prenons : a! = 0,1 S —130 tï —130 francs p = 1,6.
  - Ce sont les données qui correspondraient à un réseau à 13.000 volts, souterrain, faisant suite à notre ligne de transport d’une usine complètement hydraulique. Il vient :
  - 4= 10 \/ on’w'Q — 1 A. 43 par millimètre carré.
  - S y 130 X 3 X 1,0 r
  - Lignes aériennes. — Pour les lignes importantes il est difficile et, assez peu exact, d’adopter une formule algébrique générale tenant compte de la variation avec la section du prix total de la ligne. Pour de petites lignes on peut adopter des formules de la forme précédente. Le prix par kilomètre sera : p = y' -f- h's. Pour les lignes en bois de 10.000 à 15.000 volts 8' varie de 80 à 90, le cuivre tréfilé étant compté à 2 francs le kilo, et la ligne étant
  - triphasée, donc : (9) x, - ^ - yj ° .
  - Le rapport de cette perte relative à celle donnée par l’équation (3) serait : = = 1,23.
  - Pour les lignes secondaires particulièrement importantes, si l’étude graphique paraît trop longue, on pourra opérer de la façon suivante :
  - L’équation (9) déterminera une première valeur de la perte relative (a^), obtenue en donnant à 5' la valeur 80 par exemple. Soit xy = 4 0/0.
  - On calculera le prix de la ligne sans les fils avec une exactitude, pour des pertes de 3 0/0 et 6 0/0, On aura : B3 et BG.
  - Supposant, entre ces limites, à la valeur de B une variation linéaire, nous avons :
  - Ih-Bc
  - 0,0ÜB3 — 0,03 B6
  - 5
  - B = B1(1 — eux) avecBi=2B3— Be
  - a —
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- - 66
  - CHAPITRE IV
  - L’équation (1) devient :
  - (10) ^7 ___ ffP« (1 + x) + b'Bt (1 — ax) -f- D -f g/Ç
  - C étant toujours donné par l’équation (2).
  - L’expression qui rend minimum Ks est celle qui égale les quantités : (tiPj — b’aB^x et a'C. On a donc :
  - (11)
  - r _ 1 t /g'-w.rf.p.lO*.p.P4
  - E COS <j> V irP, — 6,B1a •
  - La perte relative est plus forte que celle donnée par l’équation (3).
  - Si les lignes aériennes forment un réseau complexe, avec branchements, la démonstration faite pour les réseaux en câbles armés convient, en admettant que le prix total de chaque ligne peut se mettre sous la forme y' -f- La densité économique est alors,
  - pour les lignes triphasées : y’ — 10
  - y/
  - a'S'
  - 3.7T./5
  - 2° LE PRIX DE VENTE DE LA FORCE EST CONNU
  - Il peut arriver que le prix de vente de la force à l’arrivée à l’un des postes de sectionnement soit connu. Soitjo le prix de vente du kilowatt-an. Nous chercherons à rendre maximum l’expression M des bénéfices de la vente de P, kilowatts, rapportés au capital dépensé pour produire et amener cette puissance au poste de sectionnement. S’il s’agit de câbles armés nous désignerons par B' le prix de la tranchée et de la pose et par G' le prix du câble
  - armé G = l(j + SS), * = ^Z^fi • 0n a :
  - PP. ~ (<+”)- B'g'—D' - a- (ly + IS x
  - (12)
  - M = -
  - A + A' + B + C
  - ) P, (1 + x) + B' + ly + IS
  - A A' -j- B -j- G représentant le prix total de l'installation jusqu’à la sortie du poste de transformation. P la puissance totale du poste de transformation.
  - L’équation ^ = 0 nous donnera x.
  - Nous avons supposé que P1 (1 + x) était inférieur à la puissance du poste de transformation.
  - Si toute la puissance P0 du poste est vendue, la mise en équation est un peu différente. En prenant comme données E0, P0, cos <po et P0 - P,
  - posant x0 = —p^—1, on a :
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- - ÉTUDE DÉTAILLÉE DE LA RÈGLE d’ÉCONOMIE
  - l>7
  - (13) M' =
  - L'équation
  - dæ0
  - 0 nous donnera la perte relative économique.
  - On peut se demander si, les résultats trouvés, pour ces pertes relatives économiques, en supposant le prix de vente du kilowatt-an connu, sont très différents de ceux trouvés précédemment en cherchant à rendre minimum le prix du kilowatt-an. Si on discute algébriquement les formules, on peut trouver des différences assez sensibles en supposant les prix de vente très supérieurs au prix de revient ; mais, dans la pratique, le prix de vente diffère assez peu du prix de revient. Un prix de vente moyen très élevé suppose, en effet, une vente au détail, à une clientèle nombreuse, utilisant individuellement de faibles puissances : le réseau d’alimentation sera très coûteux ; le prix de revient, chez le client, sera donc très élevé.
  - Si l’on examine le prix de vente à la sortie du poste de sectionnement M, on voit que ce prix s’obtiendra en diminuant le prix de vente chez le client, des charges annuelles, par kilowatt, occasionnées par un réseau de distribution de détail, fort coûteux.
  - Par conséquent, les résultats diffèrent assez peu. En général, on calcule plutôt la section économique en cherchant à obtenir le prix de revient minimum pour le kilowatt-an.
  - 3° ÉTUDE DES PETITS RÉSEAUX A 13.000 VOLTS, DES POSTES DE TRANSFORMATION SECONDAIRES ET DES RÉSEAUX A 440 OU 220 VOLTS.
  - La densité de courant résultant de la perte relative admise, pour les câbles principaux, pourra servir de base, à une première étude des réseaux de petite amplitude a, ,3, y, etc., partant des postes de sectionnement. L’étude se poursuivra en examinant à la fois les petits réseaux à 13.000 volts, les postes de transformations 13.000/400 volts et les réseaux à 440 volts.
  - Le nombre admis pour ces postes de transformation réagit, en effet, sur l'importance des canalisations à 440 volts, et, même, un peu sur le coût des» canalisations à 13.000 volts.
  - Théoriquement, si nous traçons les courbes ayant pour ordonnées les prix de ces diverses installations (postes, réseau à 440 volts, réseau à 13.000 volts) et pour abeisses le nombre n de postes, en faisant la somme des ordonnées, correspondant à une même valeur
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- - 68
  - CHAPITRÉ IV
  - de n, de ces trois courbes ; nous obtiendrons la courbe du prix total dont le minimum nous donnera la valeur de n la plus favorable.
  - Pratiquement, on s’apercevra qu’il est très difficile d’acquérir des terrains de très petite superficie, à un endroit donné, dans une grande ville.
  - Dans l’étude détaillée de ces lignes secondaires, les règles de Sécurité et de Bon Service devront être constamment vérifiées, et, souvent, elles obligeront à adopter des sections plus fortes que celles indiquées par la règle d’économie.
  - On sera donc amené à négliger quelquefois cette règle ; mais cela ne devra pas dispenser de calculer le prix de revient du kilowatt-an aux points importants de la distribution. La prédétermination de ce prix de revient est indispensable au service commercial de l’entreprise.
  - Note. — Tous les calculs numériques donnés simplement, à titre d’exemple, ont été exécutés à l’aide de la règle à calcul.
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- - CHAPITRE V
  - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION PAR COURANTS ALTERNATIFS
  - Conditions générales
  - Nous avons vu que ce calcul exigeait la connaissance des diagrammes de tension et de courant des lignes considérées.
  - Pour les lignes aériennes, l’aspect de ces diagrammes, exactement construits, est variable avec la longueur et le voltage de la ligne. Pour les lignes très longues et à très haut voltage, toutes les constantes de la ligne : résistance, inductance, capacitance, perditance, interviennent d’une façon fort nette.
  - Pour des lignes plus courtes, à voltages plus bas, on voit que les phénomènes de capacité et de pertes ont peu d’influence, et qu’on obtient presque exactement les mômes vecteurs de courant et de tension en négligeant les constantes : capacitance et perditance. Si la ligne se raccourcit, l'inductance peut quelquefois être négligée.
  - Pour les câbles armés, on constate les mêmes différences, lorsque le voltage de la ligne varie ; mais les phénomènes de capacité prennent une importance considérable, et il n’est possi ble de les négliger que pour des lignes très courtes, à très bas voltages.
  - On calculera donc les lignes électriques, suivant les conditions, en tenant compte :
  - 1° Seulement de la résistance ;
  - 2° De la résistance et de l’inductance ;
  - 3° Des constantes précédentes et en outre de la capacité et de la perditance réparties.
  - La discussion des diagrammes et formules obtenues dans ce
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- - 70
  - CHAPITRE V
  - dernier cas nous permettra de classer les lignes suivant ces catégories.
  - Nous sommes conduits à étudier les propriétés de constantes de la ligne : résistance, inductance, perditance, capacitance.
  - Cette étude sera basée sur des faits, sur des lois physiques : lois d’Ohm, de Kircliotf, de Lenz, etc. Les formules de calcul trouvées seront donc tout à fait indépendantes de la théorie de l’électricité admise.
  - Toutefois, les méthodes de calcul et les explications que nous donnerons utiliseront souvent une théorie particulière de l’électricité .
  - On sait qu’actuellement il n’existe pas de théorie absolument générale de l’électricité, et qu’on emploie trois théories :
  - 1° La théorie des deux électricités.— Cette théorie admet l’action à distance de deux substances particulières : l’électricité positive et négative. Presque tous les termes d’usage courant sont basés sur cette théorie. Elle est d’un emploi très avantageux dans l’explication des phénomènes de capacité.
  - 2° La théorie de Maxwell, duc à Maxwell, Faraday, Hertz.
  - « Cette théorie nie Laotien à distance, nie également l’existence « de substances particulières, en dehors de l’éther lumineux. Les « phénomènes électriques et magnétiques consistent essentielle-« ment, d’après cette théorie, en des changements, tels que des « déformations ou des perturbations qui ont lieu dans l’éther. Ces « modifications engendrent des forces dont nous observons directe tement les effets » (1).
  - 3° La théorie des électrons. — C’est, au moins partiellement, une combinaison des deux théories précédentes ; mais alors que ces théories étaient basées sur des hypothèses, faites a priori, la théorie des électrons s’appuie sur des faits expérimentaux d’une valeur démonstrative indiscutable.
  - Dans le chapitre étudiant les propriétés de la Résistance, nous nous appuierons uniquement sur les lois physiques d’Ohm et de Kirchoff, aucune théorie particulière n’interviendra donc dans les explications.
  - Lorsque nous étudierons VInductance, les idées dirigeantes des calculs seront basées sur la théorie de Maxwell.
  - Dans l’étude de la Capacitance, les calculs et les explications seront basées sur la théorie des deux électrités.
  - Enfin, dans le chapitre consacré à la Perditance, nous expose-
  - (1) Chwolson. préface du Traité de physique, tome V.
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- - CALCUL DES LIGNES ET DE DISTRIBUTION PAR COURANTS ALTERNATIFS
  - 71
  - rons d’abord les faits, et baserons les explications en premier lieu sur la théorie des deux électricités, en second lieu sur la théorie des ions et des électrons.
  - Phénomènes accessoires. Modifications des constantes précédentes. — Les phénomènes dus aux causes précédentes (Résistance, Inductance, Capacitance, Perditance) ne sont pas les seuls qui entrent en jeu dans l’étude des lignes à courant alternatif.
  - Dans les câbles armés, des courants de Foucault sont crées dans l’enveloppe en plomb et dans l’armature en feuillard ; cette armature est de plus le siège de phénomènes magnétique d’hystérésis. Dans les lignes aériennes, lorsque le gradient de potentiel dans le voisinage du conducteur atteint la valeur limite de la résistance diélectrique de l’air, des pertes très fortes se produisent à travers l’air ; le conducteur devient lumineux ; c’est le phénomême de « couronne ».
  - Peut-on tenir compte de ces effets accessoires, en modifiant légèrement les constantes précédentes? Nous verrons qu’en supposant l’existence des seules constantes précédentes, le vecteur do la chute de tension, dans un élément de ligne ayant l’unité de longueur, est la résultante d'une chute de tension ri en phase avec le courant et d’une chute de tension co.Ll en avance de 90° sur le courant ; et que le vecteur donnant l’augmentation de courant dans cet élément de ligne est la composante de deux courants, l’un g\J en phase avec la tension simple ; l’autre coGU en avance de 90° sur cette tension. Toute force électromotrice nouvelle créée le long de la ligne, par une cause nouvelle, peut se décomposer en deux vecteurs, dont T un. est en phase avec le courant, et l’autre en avance de 90° ; de même tout courant créé peut se décomposer en deux vecteurs dont l’un est en phase avec la tension simple, et l’autre en avance de 90°.
  - Un raisonnement analogue conduit dans l’étude des machines électriques à élargir la définition de la résistance, de l’inductance, de la capacitance et de la perditance ; en basant ces définitions nouvelles sur les effets produits : on a ce qu’on appelle la résistance effective, Y inductance effective, etc. Dans l’étude des machines, on constate que par suite de l’influence du fer dans les circuits, la résistance effective, l’inductance effective, etc., ne sont plus des constantes et dépendent de la tension et du courant.
  - Dans l’étude des lignes aériennes, ces quantités sont presque toujours des constantes, et restent indépendantes du courant et de la tension.
  - Les phénomènes produits sont en effet continus, les circuits ne
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- - 72
  - CHAPITRE V
  - contiennent pas de fer, ou bien son influenee est négligeable. Dès lors les modifications de tension crées sont proportionnelles au courant, et les modifications de courant proportionnelles à la tension simple.
  - L’expérience et quelquefois la théorie, montrent qu’il est possible de tenir compte des phénomènes de Kelvin ou Skin Effect et des courants de Foucault en modifiant la résistance et l’inductance ; qu’il est possible de tenir compte des phénomènes d’hystérésis magnétique, par une augmentation de la résistance.
  - Au contraire, les phénomènes de couronne occasionnent un courant de perte qui n’est pas proportionnelle à la tension simple, si on voulait tenir compte de ce phénomène par une modification de la perditance, cette quantité dépendait de la tension. Gomme ce phénomène limite le voltage des lignes de transport, et qu’on ne peut l’admettre sur une ligne aérienne que sur une très courte longueur on traitera spécialement ce cas lorsqu’il pourra se produire. Les valeurs effectives delà résistance de l’inductance, de la capacitance et de la perditance resteront donc des constantes : l’une des plus grandes difficultés rencontrées dans l’étude des machines disparait ainsi.
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- - CHAPITRE VI
  - RÉSISTANCE
  - I. — Valeur de la résistance d’un conducteur donné
  - 1°Résistance. — Tous les corps s’échauffent par le passage du courant électrique, aux températures ordinaires : « la quantité de « chaleur dégagée est proportionnelle au carré de l’intensité du « courant, à la durée du passage du courant et à un coefficient R ». La loi que nous venons d’énoncer est la loi de Joule.
  - Le coefficient R est ce qu’on appelle la résistance du conducteur, qui est par suite définie par le rapport entre la quantité de chaleur dégagée et le produit du carré du courant, par la durée du passage, lorsqu’il s’agit de courant continu.
  - D’après la loi d'Ohm, la résistance occasionne une chute de tension égale à RI, en phase avec le courant. On peut, à la rigueur, appeler cette chute de tension une force contre-électromotrice d’effet Joule.
  - La résistance d’un conducteur est proportionnelle à sa longueur /, à un coefficient p dit de résistivité, et inversement proportionnelle à la section S. Ceci résulte d’expériences faites sur des conducteurs de sections, de longueurs et de nature différentes. On a
  - donc R = p . ~ •
  - Dans les tables usuelles, cette résistivité (p) est donnée en microhms-centimètres, c’est-à-dire correspond à la résistance en microhms d’un cube de la substance ayant un centimètre de côté. C’est un coeffictent de volume-résistivité.
  - De cette valeur de p, on peut déduire facilement la résistance par kilomètre (r) en ohms, d’un fil dont la section (S) est exprimée en millimètres carrés.
  - Nous avons en effet : r — p . -|r . 10-6 lorsque V et S' sont exprimés en centimètres.
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- - 74
  - CHAPITRE VI
  - Dans le cas examiné V — 1.000 X 100 — 10"’ centimètres.
  - On a donc
  - S' = S X 10 ' centimètres carrés.
  - r= p.10
  - x-
  - 10*
  - S x 10-
  - 10 .p
  - s
  - La résistance kilométrique d'un fil'plein en ohms est donc égale au quotient de dix fois le coefficient de résistivité par la section er millimétré carré.
  - Variation de la résistance avec la température. — La résistance varie avec la température suivant une loi analogue aux lois de dilatations.
  - On a: * IL =R,lfl —
  - Pu étant la résistance à t\ Rfl la résistance à la température initiale tt, a/l le coefficient de température pour la température /t.
  - Ce coefficient varie avec le métal employé et avec la température initiale choisie.
  - Ainsi pour le cuivre étalon ayant une résistivité p = 1,593 à 0°. on a : a„ = 0,00428 aJ3 = 0,00102 ai0 = 0,00394
  - Pour le bronze télégraphique commercial ayant une conductibilité de 98 0/0 c’est-à-dire un coefficient de résistivité p' = 1,64
  - on a : a 0 — 0,00118 a1B = 0,00391 aJ0 = 0,00386.
  - Pour les lignes électriques on adopte en général un coefficient de température moyen a. Le tableau A donne les valeurs de p et de a pour les métaux et alliages, employés dans les lignes de transport ou de distribution.
  - Tableau A
  - MX,aux et alliages p Bésisl ivilé <i 0° en rnicrohms-cent. « Coefficient moyen de température Densité
  - Aluminium commercial . . 2 9 0,00402 2,08
  - Bronze lélégr. commercial. . 1,05 à 1,75 0,00389 8,9
  - Cuivre étalon 1,593 0,00402 8,89
  - Acier (fils) 9,9 à 15,8 0,00390 7,8
  - Fer (fils) 10 ii 14 1 . 0,00420 7,8
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- - 11ÉS1STANCK
  - 75
  - Formule* pour les avant-projets. — Pour l’étude des lignes électriques, on prendra la valeur de la résistivité du métal employé à 15° G.
  - Si la température du cuivre varie, dans le courant d’une année de — 10 à 4- 40 ; la variation maxima de température, en plus ou en moins, sera de 25°.
  - La valeur maxima de la variation relative de la résistance sera de 25 X a soit environ 10 0/0 en plus ou en moins. Si nous calculons une ligne électrique pour une perte relative de puissance de 5 0/0 à 15°, nous voyons que la perte relative réelle pourra varier, suivant la température, de 4,5 à 5,5 0/0.
  - Conducteurs en fils. — Pour le bronze commercial, on peut adopter pour les avant-projets la valeur p1B = 1,74 microhm-cen-timètre. Par suite la résistance kilométrique d’un fil de bronze
  - 17 I
  - commercial de section S (en millimètres carrés) sera (rc)15 — -jfr
  - Pour Y aluminium on aurait (?«),_ = ~~ •
  - Pour le fer (rF)15 = ” ; mais cette dernière formule est rarement applicable, dans le cas de courants alternatifs, par suite de l’effet Kelvin.
  - Conducteurs cables. — Ces formules ne concernent que les conducteurs pleins.
  - La résistance kilométrique d’un fil câblé est, en effet, plus grande que celle du conducteur plein, ayant comme section la somme des sections des torons. En effet, si le câble a une longueur d’un kilomètre, les torons élémentaires ont plus d’un kilomètre de longueur.
  - La résistance kilométrique du câble sera rCfii,ie = K X rv.
  - rP désignant la résistance kilométrique du fil plein de section équivalente. La valeur de K varie de 1,01 à 1,04.
  - On a quelquefois à calculer le diamètre du câble connaissant le diamètre d’un toron. On a D = 3a? ou 1) = 5d ou 1) — Id selon qu’il s’agit de câbles à 7 torons ou à 19 torons ou 37 torons. En effet dans le premier cas 0 torons sont rangés autour d’un toron, central, dans ie second cas, il y a trois couches circulaires comprenant 1,6 et 12 torons; dans le troisième cas, il y a quatre couches circulaires de 1, 6, 12, 18 torons. Quelquefois le toron central est en chanvre ; ceci se présente surtout avec les câbles è 7 torons ; naturellement il n’y a pins alors que 6 torons métalliques.
  - Le diamètre du conducteur plein équivalent comme section
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- - 76
  - CHAPITRE VI
  - s’obtient par l'équation--= 197u^pour un câble à 19 torons
  - métalliques. On en déduit DP — d \/19 =^19 = DxO,871.
  - Pour un câble à 7 torons métalliques on aurait de même Dp = |s/7 = DxO,881.
  - Enfin pour un câble à 37 torons métalliques Dp = — y/37 = 0,87 .D
  - En pratique on peut admettre que le diamètre D d’un câble est égal au diamètre du fil plein équivalent DP multiplié par 1,13.
  - Tableau des résistances. — Nous donnons ci-dessous un tableau donnant la section, le poids par kilomètre, et, la résistance kilométrique des fils de bronze commercial.
  - Les résistances données sont les résistances à 15° calculées par
  - la formule (rc) =~
  - Diamètre en millimètres Sections en millimètres carrés Poids par kilomètre en kilogrammes Résistance kilométrique en ohms h 15°C (Rc) =1^ v hs S
  - 4,0 12,57 111,84 1,385
  - 4,2 13,85 123,30 1,256
  - 4,4 15,21 135,33 1,145
  - 4,6 16,62 147,91 1,047
  - 4,8 18,10 161,05 0,961
  - 5,0 19,63 174,75 0,886
  - 5,5 23,76 211,40 0,732
  - 6,0 28,27 251,64 0,615
  - 6,5 33,18 295,40 0,524
  - 7,0 38,48 342,51 0,4525
  - 7,5 44,18 393,20 0,3940
  - 8,0 50,26 447,36 0,3463
  - 8,5 56,75 505,01 0,3066
  - 9,0 63,62 566,29 0,2735
  - 9,5 70,88 630,90 0,2455
  - 10,0 78,54 699,00 0,2215
  - II. — Corrections de la résistance ohmique. Résistance effective
  - Dans les lignes aériennes parcourues par un courant alternatif, il se produit des pertes d’énergie additionnelles par suite de l’effet Kelvin ou Skin Effect, lorsque les câbles de la ligne sont de très gros diamètres. Dans les câbles armés, les pertes additionnelles
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- - RÉSISTANCE
  - 11
  - peuvent être dues au Skin Effect, aux courants de Foucault dans le plomb et dans l’armature, à l’hystérésis magnétique.
  - Effet Kelvin ou Skin Effect.— Considérons un conducteur cylindrique de gros diamètre si on trace sur le papier les lignes de force de ce conducteur, pour une valeur instantanée du courant, puis pour une valeur instantanée plus petite ; en comparant les tracés successifs, on voit que les lignes de force semblent se rapprocher progressivement de l’axe du conducteur, lorsque la valeur instantanée du courant décroît, viennent mourir pour ainsi dire sur l’axe lorsque le courant s’annulle ; et au contraire s’écartent de l’axe pour des valeurs croissantes du courant. Tout se passe comme si ces lignes étaient animées d’un véritable mouvement de pulsation, ayant la fréquence du courant.
  - Il en résulte que la self-induction des cylindres élémentaires constituant le conducteur, va en augmentant depuis la surface du conducteur jusqu’à l’axe ; car les lignes de force, qui pour 1 maximum, sont à l’intérieur du conducteur, ne coupent, dans leur mouvement, que les cylindres élémentaires qu’elles entourent. Un cylindre élémentaire de rayon p et d’épaisseur r/p est, donc coupé par un nombre de lignes de force d’autant plus petit que p est plus voisin de R. La densité de courant sera donc plus considérable dans le voisinage de la surface, qu’au centre du conducteur.
  - Nous verrons plus loin théoriquement, pour les câbles cylindriques, qu’il est possible de tenir compte de ce phénomène par une augmentation de la résistance et de l’inductance.
  - Avec des câbles de diamètres tels que l’effet Kelvin est important, la résistance kilométrique pour le courant alternatif ne sera plus r, mais ar. a varie avec la fréquence.
  - Diamètre du conducteur en millimètres Valeur de a pour des fréquences de :
  - 25 33 40 50
  - 25 1,020 1,038 1,052 1,080
  - 19 1,007 1,014 1,016 1,028
  - 12,5 1,002 1,005 1,006 1,007
  - 11,5 1,003 1,005 1,005
  - 10,5 1,001 1,002 1,002
  - La table précédente (d’après Foster) donne la valeur de a pour
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- - 78
  - CHAPITRE VI
  - des fréquences usuelles, dans le cas de conducteurs cylindriques de diamètres inférieurs à 25 millimètres, constitués par un métal non magnétique. Ces valeurs sont calculées d’après les formules de Maxwell.
  - Pour des conducteurs, non magnétiques, de formes irrégulières, l’expérience seule donne la valeur du facteur a.
  - Conducteurs en fer. — L’effet Kelvin devient très important. La résistance de rails alimentés par du courant à 50 périodes est près de huit fois plus forte que la résistance de ces rails, mesurée en courant continu. Le courant alternatif passe presque tout entier dans une très faillie épaisseur du métal à la surface du conducteur. La résistance, pour un courant alternatif à n périodes est sensiblement égale à.la résistance ohmique ordinaire d’une couche extérieure du conducteur ayant une épaisseur, en millimètres
  - o = 58X\/—-—, ? étant la résistivité en microhms-ccntimètres V « X «
  - et g la perméabilité.
  - Cette formule approchée donne un minimum de o, les quantités p et g. varient sensiblement suivant la nature du métal adopté.
  - Si nous prenons p = 1,6, 500 pour n = 50 on a o30 = 1 ni. 46
  - et pour n = 25 ûs3 = 2 mm. 08.
  - Cubles armes. — 1° Câbles armés comprenant plusieurs conducteurs parcourus par des courants dont la somme des valeurs instantanées est nulle.
  - Dans un rapport présenté au Congrès international d’électricité de Turin, le docteur Ing Lichtenstein a donné les résultats d’expériences faites par la Société Siemens et Schückert, en vue de' déterminer les pertes d’énergie, additionnelles dans les câbles à haute tension alimentés par du courant alternatif monophasé ou triphasé, les pertes additionnelles sont dues à l’effet Kelvin, aux courants de Foucault dans le plomb et Farmature, à Fhystérésis magnétique de l’armature.
  - Ces expériences furent faites sur des câbles de courte longueur, de façon à éliminer les effets de capacité. On mesura la tension, le courant et la puissance consommée dans le câble.'
  - La résistance effective définie par le rapport : Pulssa^(^(^|^^ül 11 iee
  - fut trouvée constante et indépendante du courant.
  - En expérimentant sur un câble triphasé de 3 X 310 millimètres carrés dont les conducteurs étaient en forme de secteurs, et qui était alimentée par du courant triphasé à 50 cycles, sous le voltage
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- - RÉSISTANCE
  - 79
  - de 720 volts ; on trouva que le rapport de la résistance effective du câble à la résistance en courant continu était égal à :
  - 1,185 pour le câble muni d'une enveloppe en plomb et d’une armature en feuillard.
  - 1,106 pour le câble muni seulement d’une enveloppe en plomb.
  - 1,08 pour le câble sans armature, ni plomb.
  - On en conclut que l’effet Kelvin augmente la résistance de 8 0/0, que les courants de Foucault dans le plomb l’augmente de 2,6 0/0 et que l’hystérésis et les courants de Foucault dans l’armature l’augmentent de 8 0/0.
  - Cette augmentation totale de résistance dépend de la fréquence, et, un certain nombre d’expériences semblent démontrer que cette augmentation est proportionnelle au carré de la fréquence.
  - Si les conducteurs métalliques constituant les câbles sont de diamètres moyens, l’augmentation de résistance due à l’effet Kelvin disparaîtra, et, les augmentations dues aux courants de Foucault et à l’hystérésis magnétique diminueront sensiblement.
  - M. Whitehead trouvait, en effet, pour des câbles armés constitués avec des conducteurs de petit diamètre, une augmentation de la résistance à 60 cycles de 6 0/0 (Proceedings, juin 1909).
  - Câbles armés à un seul conducteur. — Il n’y a plus dans ce cas de compensation des champs magnétiques.
  - Le rapport de la résistance effective à la résistance mesurée en courant continu fut trouvée égale à 1,6 à 25 cycles et à 2 à 60 cycles. Dans ce cas la résistance effective n’était pas complètement indépendante de la valeur du courant ; elle augmentait lorsque le courant augmentait.
  - En substituant à l’armature en fer, une armature en fils de cuivre, le rapport de la résistance efficace à la résistance en courant continu devient voisin de l’unité, si les conducteurs du câble ne sont pas sujets à l’effet Kelvin.
  - On s’occupe actuellement de ces câbles armés à un seul conducteur, car ils permettent de prolonger jusqu’au centre d’une ville une ligne aérienne triphasée à 50.000 ou 60.000 volts. En employant trois câbles séparés, même avec armature en fer, on aurait une solution qui serait acceptable, si la distance n’est pas trop grande. Les chemins de fer de Dessau-Bitterfeld ont utilisé ce procédé, en employant toutefois des câbles asphaltés.
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- - CHAPITRE VII
  - CALCUL DES LIGNES EN TENANT COMPTE SEULEMENT DE LA RÉSISTANCE
  - I. Calculs. — 1° circuit fictif. — Dans la portion AjB, du circuit récepteur monté en étoile d’une ligne triphasée à charges équilibrées, circule le courant de ligne I décalé de © par rapport à la tension simple U. La tension entre fils est E = U.\/3. La puissance distribuée est 3.U.I. cos.© = EI.v/3cos.©.
  - Dans la partie BiB/ (non marquée) du circuit récepteur monté en triangle circule un courant J décalé de © par rapport à la tension composée. Le courant de la ligne est I = J.yo. La puissance transmise est SE.J.cos© = E.I.\/3cos©. Enfin le décalage du courant de ligne par rapport à la tension simple U est encore égal à © (1).
  - Ces remarques nous montrent que pour l’étude d’une ligne triphasée à charges équilibrées nous pourrons toujours substituer à la ligne triphasée, trois lignes monophasées telles que AoBqAjBj trans-
  - Fig. 13.
  - portant chacune le tiers de la puissance, fonctionnant sous la tension simple, ayant le facteur de puissance fixé, et composée chacune d’un fil de ligne, et, du fil neutre, retour commun par lequel ne passe aucun courant. En effet, de ce qui précède, on déduit que les pertes relatives de puissance et de voltage d’une ligne triphasée équilibrée ainsi que le courant de ligne, sont indépendants du montage des stations productrices et réceptrices ; or, en supposant les stations montées en étoile l’équivalence précédente est évidente. On peut généraliser et appliquer une décomposition analogue aux lignes monophasées et à n phases.
  - (1) Quelques-unes des propriétés ci-dessus énoncées sont utilisées également dans les applications du circuit fictif non énergétique, employé page 402, dans l’étude des chutes de tension des lignes à inductances dissymétriques.
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- - CALCUL DES LIGNES
  - 81
  - Désignons par P, E, I, la puissance en watts, la valeur efficace de la tension entre fils en volts (tension composée) et la valeur efficace du courant en ampères au poste d’arrivée. — Par P0E0I les mêmes données au départ de la ligne — par U0 et U les valeurs efficaces des tensions simples ; enfin par o0 et z> les décalages entre le courant et les tensions simples U0 et U.
  - Nous appellerons u0p\u'\ les valeurs instantanées des tensions simples qui sont appliquées à l’origine en A0B0, A0B'0, A0Br,0 ; par uuu" les valeurs instantanées du courant dans les fils 1,2,3. On sait que si le système est équilibré on a :
  - u — Uv/2 sin wf ij — 1^2 sin (w£ — es)
  - a =. U\/2 sin (wt -j- = Iy/2 sin t — <s -f-
  - n" = U\/2 sin i3 = Iy/2 sin ®
  - „ Appelons V la différence E0 — E ; v. la différence U0 — U,
  - e le rapport entre cette chute de tension V, et la tension entre fils à l’arrivée ;
  - et p le rapport entre la "perte de puissance et la puissance à l’arrivée.
  - 2° diagrammes. — Chute de voltage. — Dans le circuit A0B0AB nous avons en désignant par R la résistance d’un fil de ligne en ohms, l’équation géométrique :
  - Ü0 = RÏ+ü
  - provenant de l’équation algébrique :
  - i/0 = Rz -j- u
  - qui relie les valeurs instantanées du courant et des tensions simples.
  - Le diagramme des tensions simples est représenté par la figure li.
  - OM représente en direction et en phase la tension simple dont la valeur efficace est U ; MM0 la chute de tension en ligne ; OM0 la tension simple à l’origine. ________
  - Dans le triangle OCM0, on a : OM02 = 0CS + CM02, c’est-à-dire U02 = (U -f- RI cos <f)2 -f- (RI sin »)2.
  - Posant U0 — U = il vient :
  - (a) v- -f- 2Ut' — (2U. RI cos o -f- R2P) = 0
  - 6
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- - 82
  - CHAPITRE VII
  - D’où :
  - (1)" , = ü„-u = u[-i+s/i+^cosï + ~^].
  - Formule approchée. — L’équation (a) peut se mettre sous la forme v = RI cos o + — — .
  - Prenons pour v la valeur v = RI cos. ©. L’erreur absolue faite sur v et sur U0 est IU9U v . Remplaçant v par la quantité plus
  - M, C D
  - Fig. 14.
  - petite v' RI cos. cp ; on a comme limite supérieure de l’erreur :
  - mi sin*. ?
  - 2U
  - Les erreurs relatives faites sur U0 et sur v sont donc de l’ordre , IW* sin* <p y . i RI. sin* <p u,
  - de 2Ü;-- = K, et de lïrï5if= K.
  - Pour cos cp = 0,80 et — = — (ce sont là des valeurs défavora-
  - bles) on a :
  - K =
  - u
  - 0,65
  - 1000
  - 100
  - et
  - jzf____
  - “ 100
  - On se sert toujours dans la pratique de cette formule approchée :
  - (P) v = U0 — U = RI cos cp. 1
  - Cette expression est équivalente à Pexpression v — RIW.
  - Iw étant le courant watté en phase avec la tension simple U.
  - Le courant watté Iw = , Pn étant la puissance débitée par le
  - circuit considérée à l’arrivée ; on a donc, sensiblement :
  - u,-u=fxR,
  - quantité indépendante de cos cp,
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- - CALCUL UES LIGNES
  - 83
  - Donc, dans les lignes à faible inductance, la chute de tension ne dépend pas du décalage. — Si nous nous reportons à la définition de la régulation de la ligne, nous voyons que cette régulation, pour une puissance débitée donnée, est toujours égale à la chute relative de tension, dans les lignes ou la résistance seule intervient.
  - Décalage relatif des tensions au départ et à l'arrivée. — Ce décalage est toujours très faible, et, le décalage du courant a peu d’importance.
  - En désignant par s le décalage de U0 par rapport à U :
  - sin s RI . . A n /A
  - —— = tr = au maximum 10 0/0, sin y U0 1 ’
  - si cos o — 0,80 sin o — 0,58 on en déduit sin e = 0,058 d’où s = 3° environ.
  - La valeur maxima de e pour cos cp = 0 nous donnerait sin s = 0,1 d’où s = 6°.
  - Puissance délivrée. Perle de puissance. — La puissance délivrée à l’extrémité de notre circuit est :
  - (2) Pn = UIcos<p.
  - La perte de puissance est :
  - p2
  - (3) w = RI2, ou bien w = Rx ri---" .
  - 7 U2cos2f
  - La perte de puissance est donc inversement proportionnelle au carré du facteur de puissance.
  - 3° FORMULES GÉNÉRALES POUR LES LIGNES TRIPHASÉES, MONOPHASÉES, ETC.
  - — Les démonstrations que nous venons de faire sont générales ; elles s’appliquent aux réseaux monophasés, triphasés, etc.
  - Lignes triphasées. — Dans le cas de courant triphasé, nous avons en passant à la tension composée, et, à la puissance débitée totale :
  - E = Uv/3 et comme il y a trois circuits P= 3Pn . W = 3RI*.
  - Ceci nous donne les équations suivantes qui permettent de calculer les lignes triphasées, en tenant compte, de la résistance seule :
  - (1) P = E.L v/37cosœ
  - (2') V == E0 — E = R.I. y/3. cos cp (équation approchée)
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- - 84
  - CHAPITRE VII
  - (2) V = E0-E = E(-l+y/l+2
  - (3) W = 3RI2
  - (4) R = ^
  - S étant la section en millimètres carrés.
  - I la longueur de la ligne en kilomètres.
  - R la résistance d'un lil de ligne.
  - p la résistivité en microhms-centimètres. pls = 1,74 pour le bronze commercial.
  - Lignes monophasées. — Nous avons alors :
  - E = 2 U P = 2 Pn W — 2RI*
  - Les équations pour le calcul des lignes monophasées sont donc :
  - (1) P = El cos cp (3J W = 2RI*
  - (2') V - 2R1 cos © (4) R == —
  - Lignes à n phases. — Nous aurions pour un courant à n phases :
  - E = 2U sin — P = 7iPn W = tzRI*.
  - n
  - 4° CALCULS DE LIGNE PAR LES RÈGLES D’ÉCONOMIE OU DE BON SERVICE.
  - — Economie. — Supposons que nous donnions dans une ligne triphasée la puissance P en watts, le voltage E et le décalage © à
  - l’arrivée, ainsi que la perte relative de jouissance p =-prpar rapport (!) à la puissance à Varrivée ; la longueur / de la ligne en kilomètres et p sa résistivité à 15°.
  - p __
  - Les inconnues S, I, P0, E0 et e = — sont données par les équa-
  - tions :
  - 0) O Z.lMO.jo p. E2 cos* f (3') E« — E = pE cos! f
  - (2) i- £ (4) Po = P(l + p)
  - (»') E y 3 cos f En-E p coss ©
  - e — E
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- - CALCUL DES LIGNES
  - 85
  - Les équations dont le numéro porte un accent indique des résultats approchés.
  - Pour des courants monophasés ou diphasés, nous aurions des formules de mêmes formes :
  - (1) S = !|xK (2) I=|xT (3') V = pEM.
  - Le tableau ci-dessous donne les valeurs de K, T et M. Cette valeur de M est une valeur approchée.
  - Nature du courant Valeurs de T Valeurs de K Valeurs (app.) de M
  - Monophasé . . . 1 2X'10. p
  - CO S f cos* ©
  - Triphasé .... 1 \' 3 cos es, l 1 I > COS» Cf
  - Diphasé 1 1 10. p '
  - 2 cos f | COS2 f
  - b) Les données peuvent être différentes. Si dans une ligne triphasée on donne P0, E0 et cos o0 et la perte relative de puissance p0 par rapport à la puisssance au départ P0. — on a :
  - (1)>
  - LPp.10 P P0E0ïcoss^0 ’
  - etc.
  - c) Si l’on donne P0E et cos <p et la perte de puissance p0 par rapport à la puissance au départ, on a :
  - m s— g-Po(*-jPo)2*o.p
  - 1 'c p0 E»cos*?
  - Ces formules (1), (!)&, (l)c nous ont servi dans l’étude des lignes de transport, elles sont valables pour les lignes ou l’inductance n’est pas négligeable, comme nous le verrons plus loin.
  - d) Si les données sont E0, P, cos o et la perte de puissance p par rapport à la puissance à l’arrivée, on a :
  - (i')
  - g_____4~ /jçosay)2.10.p
  - pE02 cos2 cf
  - (1) On rapporte, en général, la perte relative aux données, c’est-à-dire aux quantités connues. 11 est d’ailleurs facile de déduire la perte relative par rap-
  - 7)
  - port à la puissance au départ On a, en effet, p0 = —.
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- - 86
  - CHAPITRE VII
  - C’est une formule approchée, qui n’est pas applicable aux lignes où l’inductance n’est pas négligeable. Comme il s’agit de réseaux secondaires dans son application, on lui substitue la formule :
  - g __ Z.P.lO.p
  - cos2 © '
  - E' étant le voltage moyen de la distribution secondaire. Cette quan-iité Ef diffère en effet dans les réseaux secondaires de 2 0/0 à 3 0/0 de la valeur de E.
  - Nous reverrons plus loin cette quantité.
  - Bon Service. — Proposons-nous de calculer la section d’une ligne triphasée par la règle de « Bon Service », c’est-à-dire en
  - fixant une perte relative de voltage donnée e— °----. — On donne
  - E
  - la longueur de la ligne en kilomètres, la puissance P (en watts) à distribuer à l’arrivée, sous un voltage E, avec un facteur de puissance, cos <p.
  - On tire des formules précédentes :
  - (1)
  - Se
  - ÛP.lO.p
  - eE2
  - I
  - P
  - Ey^ cos f
  - Cette formule donnant Se est peu appliquée ; on préfère lui substituer la formule f1) :
  - /.P.10.O eEa cos f
  - ce qui revient à prendre pour e la valeur y au lieu de •
  - On augmente ainsi la régularité de marche et on tient compte dans une certaine mesure des erreurs faites en supposant que le circuit a une inductance absolument négligeable ; l’emploi possible de la formule se trouve ainsi un peu étendue. On diminue, d’autre part, l’influence du facteur de puissance et la différence entre les sections Sp et Se calculées avec une même perte relative de puissance ou de chute de voltage. Au point de vue pratique, en calculant Se par la formule (2), on est sûr que, lorsque la ligne débitera un courant 1. la perte de voltage relative à l’arrivée E° p ^ sera au jdus égale à e, perte relative fixée, et cela quel que soit le décalage. Si le voltage est fixé dans un poste, la simple
  - (1) Cette modification de formule a été préconisée par d’excellents auteurs : Herzog et Feldmann, en particulier.
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- - CALCUL DES LIGNES
  - 87
  - lecture des ampèremètres permet de s’assurer que le voltage de la clientèle est bon.
  - Nous adopterons donc les deux formules suivantes :
  - 1° Pour le calcul par la règle d’économie exigeant une perte de
  - puissance relative p — donnée, Sp — L - --0' p.
  - 1 ' P ’ p pW cos® r
  - l en kilomètres, P en watts, E en volts, p = 1,75 pour le cuivre,
  - p = 0,03 ou 0,1 suivant que la perte relative consentie est 3 0/0
  - ou 10 0/0.
  - 2° Pour le calcul par la règle de bon service exigeant une perte
  - de voltage relative e = donnée : Se — .
  - ® E e eE2 cos f
  - En dehors du facteur de puissance cos © qui fait toujours partie des données, les formules Sp et Se contiennent cinq quantités : S, /, P, E, p ou e. On peut choisir une quelconque de ces quantités comme inconnue et supposer les quatre autres quantités connues, ce qui nous donne dix problèmes dont les solutions et les énoncés sont évidents.
  - Bon Service (deuxième exemple'). — On demande de calculer la ligne par la règle de bon service, le voltage au départ étant fixé. Nous nous donnerons la perte de voltage consentie par rapport au
  - g __ p
  - voltage au départ, e0 — ~~—Les autres données seront E0, P, cos ©.
  - Eo ‘
  - On. obtient sans difficulté : S'e =
  - eQ(l — c0)Eo2
  - On remplace en général cette formule par la formule pratique :
  - S'e
  - lO-P-ME
  - c0Vl-eo)E„2cosa>
  - ou encore :
  - 10.p./.P. e0E'2cos f ’
  - L’introduction de cos o a été justifiée précédemment. La valeur de (1 —e0) étant voisine dans les réseaux secondaires de 0,96 à 0,97, on confond souvent E0 et E avec une valeur moyenne Ef qui sert dans tous les calculs courants, sauf le cas ou des précisions spéciales, sont nécessaires.
  - Réseaux complexes avec branchements multiples. — Les réseaux de distribution de force sont beaucoup moins complexes que les réseaux de distribution de lumière ; mais ils se caractérisent par une variation considérable du facteur de puissance le long du réseau ; bien que la phase de la tension simple reste presque constante.
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- - 88
  - CHAPITRE VII
  - Lorsque l’inductance du réseau lui-même est négligeable, la décomposition des courants en courants wattés et déwattés est une méthode (*) commode pour étudier les tensions, les courants et les décalages aux divers points du réseau.
  - 5° ÉTUDE DES RÉSEAUX SECONDAIRES PAR LA DÉCOMPOSITION EN COURANTS WATTÉS ET DÉWATTÉS
  - Les réseaux secondaires ont, en général, d’assez faibles chutes de tension. Nous en avons conclu, page 84, que les vecteurs de tension aux divers'points de réseaux, sans inductance, seraient tous contenus dans un angle très faible de 3 à 4° d’ouverture. Nous avons vu également que la chute de tension ne dépendait presque exclusivement que du courant watté.
  - JExemple numérique. — Considérons un exemple numérique pour fixer les idées. Soit une ligne de distribution ABCD, dont nous ne figurons que le fil 1, le fil neutre étant supposé, en dessous.
  - A EE3 8 C _____, D
  - l I3 =40 il2=50 1 1, =62
  - COS/p =0,9 COS© =1 COScc -.0.8
  - • 12 II '
  - Fig. 15.
  - Supposons AB — CD = 3 kilomètres. BC — 6 kilomètres.
  - Les sections sont les suivantes :
  - SAB = 102 m. q. SBC =102 ni. q. Scn = 51 m. q.
  - Si nous adoptons pour la résistivité à 15° p1B = 1,7, nous avons les résistances :
  - u — 3 x 17 —
  - B a»— 102 ^
  - |> _______ 0 X 11 _______ 4
  - ftliC — m —
  - Bn
  - Supposons, pour simplifier, que les courants pris en D, C, B soient fixes ainsi que les décalages, et égaux à :
  - C — 62A. Le décalage de la tension simple au point D est cpt = = 36°52\ Donc coscp4 = 0,8.
  - (1) Celle méthode a été préconisée, en premier lieu, par Dolivo Dobrowolsky. Nous exposons cette question en nous inspirant des idées émises par MM. Herzog et Feldmann, dans des articles parus en 1899 dans YElektrotechnische Zeitschrift
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- - CALCUL DES LIGNES
  - 89
  - I2 = 50a cos ©2=1.
  - lj:=40A cos f9 = 0,80.
  - Traçons, de proche en proche, les diagrammes de tension et de courant (fig. 16).
  - En D, la tension est OD. Supposons 013 = 6.000 volts.
  - Le vecteur du courant sera O 'd faisant avec la droite O'D' parallèle à OD un angle de 36°53 = rfi.
  - La tension en G sera représentée par le_vecteur OC déterminé par l’équation géométrique 0C = 0D-f-ï)C. Le vecteur I)C étant parallèle__à la droite O 'd et égal_àItRCD = 62 volts. Par suite, le vecteur OC fait avec la direction 01) un angle extrêmement faible, et la différence de longueur entre les deux vecteurs OD et OG est égal au produit de la résistance (1 ohm) par la composante wattée de lt O'm = 50A environ. Donc OD—0G=o0 volts.
  - W
  - c\* !
  - Fig. 46.
  - Le courant dans le secteur BG se composera du courant It augmenté géométriquement du courant I2 débité en G, comme le facteur de puissance (cos ©,) est égal à l'unité, le courant I2 = cd est en phase avec le vecteur de la tension en G. Il est donc parallèle ;i la droite O'G', qui a été menée parallèle à OG.
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- - 90
  - CHAPITRE VII
  - La résultante O'd -f- de = O’c = Y.
  - La tension (le B est égale à OB le vecteur OB étant déterminé par l’équation géométrique OB = OC-f-CB. Le vecteur CB est parallèle à la droite O’c et égal àI'xBCB. On verrait de même que le courant dans l’élément AB est O’b provenant de la composition géométrique de I' et de 13. Le courant 13 faisant avec O'B' parallèle à OB un angle = 3(5°53, puisque cos cp3 = 0,80.
  - La tension en A sera OA — OB-j- BA. Le vecteur B A étant parallèle à la direction O A et égal en grandeur au produit OAxRba-
  - La confusion presque absolue des directions des vecteurs de tension simple montre qu’il est possible de confondre sans erreur appréciable cette direction avec une direction moyenne O’w.
  - D’autre part la projection d’un vecteur quelconque tel que OA sur Oto est égale à la projection des composants qui sont ÔV7 -|- de + cb.
  - De ces diverses remarques, nous pouvons conclure les règles très simples de calcul des réseaux secondaires de distribution par courants alternatifs, dans le cas où il est possible de négliger l’inductance et la capacité de ces réseaux.
  - 1° Décomposer à chaque déviation le courant demandé en courant watté et déwatté.
  - 2° Etudier la propagation des courants wattés dans une épure spéciale connue s’il s'agissait de courant continu : les chutes de tension obtenues sont les chutes de tension réelles.
  - 3° Etudier dans une autre épure la marche des courants déwat-tés sans s’occuper des chutes de tension.
  - 4° La recomposition au point A du courant watté total passant en ce point dans l’épure des courants wattés et du courant déwatté total passant au même point A de l’épure des courants déwattés donnera le courant réel en ce point,
  - Cette méthode permet d’autre part d’étudier la production des courants déwattés et par suite leur suppression par l’emploi de moteurs synchrones surexcités convenablement placés.
  - Exemple numérique.. — Etudions le réseau très simple suivant :
  - Du poste de transformation A partent deux lignes triphasées de 68 millimètres carrés et de 6 kilomètres de longueur.
  - Elles sont réunies par une ligne EC de 3 kilomètres et de 51 millimètres carrés de section. Ce petit réseau dessert des clients placés en BCDEF. Les puissances demandées en ces divers points sont indiquées ci-dessous. La tension simple aux bornes du tableau du poste de transformation A est supposée égale à 6.300 volts.
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- - CALCUL DES LIGNES
  - 91
  - AB = 4 kilomètres. Le débit de B est de 300 kilowatts avec un facteur de puissance coscp1 = 0,9.
  - BC = 2 kilomètres. Débit en G =
  - 610 kilowatts cosç2 =0,8.
  - CD = 1 km. 5. Débit en D = 610 kilowatts (la figure 17 porte 600 par erreur)
  - Le moteur placé chez ce client est un moteur synchrone qui peut être surexcité et donner un décalage en avant cos z>s = 0,80 (décalage en. avant).
  - DE = 1 km. 5. Débit en E = 900 kilowatts cos = 0,7b.
  - EF = 4 kilomètres. Débit en F —
  - 300 kilowatts cos çs = 0,90 en avant.
  - Le récepteur en F est par exemple un moteur synchrone légèrement surexcité .
  - Comme les chutes de tension dans le réseau sont faibles, les tensions simples aux points A, B, C, D, E, F seront peu différentes de la tension moyenne du réseau : (6.300 volts — 3 0/0 de 6.300), c’est-à-dire 6.000 volts, environ.
  - Les courants wattés et dé wattés aux points de branchement se calculent alors facilement. On a, en effet, au point B :
  - Fig. 17.
  - .000 X Itx 0,90= 3QQ3Q0ü d ’où : Ij = = 18-a ,6.
  - On a d’ailleurs : = I* cos çq (!.),= h sin ®i-
  - On tire de là: (!,)„ = 16*7 (Ud = = 8,1.
  - De même, en opérant, avec 1a, règle à calcul, on a :
  - En G L = 42\5 (i.)- = 34A (Md = 25A
  - En D I3 = 42,5 (L)w = 34 (Md = -(25).
  - En E I+ = 66,7 (U, = 50 (Md~ 44.
  - En F I. = 18,6 = 16,7 (Md- -(8,1).
  - Les résistances des lignes sont les suivantes :
  - AB = -|j-x4 = l“. CD = -gfxl,S = 0"S.
  - BC=-|LX2=o"5 DE = 0“5 EF=l" FA=0“S.
  - Courants wattés. — Si nous appliquons le procédé des coupures
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- - 92
  - CHAPITRE VII
  - nous aurons l’équation suivante qui exprime que la chute de tension est la même suivant le parcours ABCDS et AFEDr
  - 7 1,9
  - 34 - x
  - Fig. 48.
  - (16,7 + 34 -j- x) 1 -f (34 + x) 0,5 4- 0,5 =
  - =(16,7 + 50 + 34 — tf)0,50q- (50 + 34 — x) 1-4- (34 — x) 0,5.
  - D’où: a: = 21A.
  - On en déduit l’épure des courants wattés (fig\ 18). Opérant de même avec les courants déwattés mais en faisant la coupure en E.
  - On a l’équation :
  - (8,1 +-25— 25 +.2.') 1 + (25 — 25 + x) 0,5 + (.x- — 25) X 0,5 + +.? X 0,5 = (44 — x —8,1) 0,5 + (44 — x) 1.
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- - CALCUL UES LIGNES
  - 93
  - D’où :
  - x— 16,G.
  - Ce qui permet de tracer le parcours des courants déwattés. Si nous formons la résultante en chaque point des courants wattés et déwattés nous aurons les intensités et le décalage, en chaque point du réseau. Ce sont ces intensités qu’il y a lieu de considérer pour la règle d’échauffement.
  - Le résultat de la combinaison donne les courants vrais et les facteurs de puissance dans chaque partie du circuit :
  - Entre
  - A et B 76A cos <fAn — 0,946
  - B et C 57A,7 cos <puc = 0,956
  - C et D 22a5 cos <pCD = 0,93 décalage en avant.
  - D et E 21a cos cp11E =0,62
  - E et F 68a,7 cos cpE1, = 0,917
  - F et A 82A cos oyA = 0,97
  - Pour le calcul de la chute de tension, on peut 11e s’occuper que des courants wattés ; de A à D, la chute de tension est :
  - (71,9X lw + 55,2 X0wo + 21 X0wo)
  - soit 110 volts.
  - e = 17^^= 2 0/0 environ E0 — E — 110 yB.
  - Si la chute de tension était plus forte, on recommencerait le calcul en affectant aux différents points de dérivation la tension simple 6.300 volts diminuée des chutes de tension correspondantes à ces divers points.
  - On obtiendrait ainsi le diagramme des courants, des tensions et décalages en chaque point de la distribution.
  - Il est évident, dans le cas actuel, que si nous 11’espérons pas de nouveaux clients sur le réseau considéré, nous pourrons diminuer certaines sections.
  - II. — Mesures
  - 1° MESURE DK LA RÉSISTANCE EN COURANT CONTINU SUR UNE LIGNE
  - construite. — La résistance en courant continu étant une donnée d’ordre expérimental, la mesure de la résistance d’un fil de ligne, ne constitue pas la vérification d’une théorie : c’est plutôt la vérification de la longueur de la ligne, mesurée par les piquetages de la ligne aérienne, ou par les attachements des fouilles en cas de lignes souterraines.
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- - 94
  - CHAPITRE VII
  - Cette donnée de la résistance d’un lil de ligne est utile en exploitation, pour la recherche des défauts de la ligne. La mesure de la résistance d’une ligne aérienne doit se faire, de préférence, en employant un courant assez notable, et en effectuant les
  - mesures avec des ampèremètres et voltmètres industriels étalonnés. Les appareils précis et délicats de laboratoire employant des courants très faibles peuvent donner des résultats erronés, en cas d’induction extérieure, même légère.
  - La mesure s’effectue en envoyant du courant continu, sous un voltage donné, dans la ligne mise en court-circuit à son extrémité, et en mesurant le courant qui circule dans la ligne.
  - Le montage des appareils est évidemment celui de fig. 20 :
  - Exemple numérique. — Une ligne à 50.000 volts triphasée comportait trois câbles de 63 millimètres carrés de section, en bronze commercial. La longueur de la ligne mesurée par les états de piquetage avait été trouvée égale à 36 kil. 4, en tenant compte de l’influence de la flèche, sur la longueur du fil. Le constructeur donnait pour le métal un coefficient de résistivité p = 1,64microhms-centimètres à 0° et pour le câble un coefficient de câblage K == 1,033. Ces données furent vérifiées au laboratoire.
  - La mesure fut faite à une température de 12° C. mesurée par un thermomètre appliqué par une ligature métallique contre le fil. Le voltmètre donnait entre fils un voltage V = 108. L’ampèremètre 1=5 a. 36.
  - La résistance d’un fil de ligne est donc : -^|r = 10wl.
  - La résistance à 12° d’un kilomètre de fil se calcule d’ailleurs par la formule :
  - r„ = 10>L<,6i X1,033 X (1 + 0,00389 X12) = 0"2813.
  - -V/-
  - <Â>
  - © Fig. 20.
  - La longueur du fil de ligne est donc :
  - 10,1
  - 0,2815
  - 35 kil. 9.
  - Résistance effective en courant alternatif. — Nous verrons que les constantes effectives peuvent, théoriquement, se déduire exactement, des mesures de la puissance, de la tension et du
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- - CALCUL LES LIGNES
  - 95
  - courant, faites au départ, sur la ligne à vide, et sur la ligne mise en court-circuit, à l’arrivée. L’une de ces mesures : la mesure de la puissance consommée par la ligne à vide est fort délicate.
  - Il faut, en effet, exécuter ces mesures avec des tensions telles que la tension de la ligne à vide à l’arrivée, soit voisine de la tension fixée à l’arrivée, et que le courant de court-circuit à l’arrivée, soit voisin du courant de pleine charge ; car on n’est pas absolument sûr que les constantes effectives sont rigoureusement indépendantes de la tension et du courant.
  - Cette difficulté fait que s’il s’agit de déterminer simplement la résistance effective, on se contente, comme nous l’avons indiqué, de mesurer la puissance, la tension et le courant au départ d’une courte longueur de ligne mise en court-circuit à l’arrivée.
  - 2° propriétés de la résistance. — La résistance occasionne une perte de puissance et une chute de voltage.
  - La résistance est inversement proportionnelle à la section.
  - On peut donc, théoriquement, réduire la résistance d’une ligne de longueur donnée, autant qu’on le veut.
  - On ne peut réduire la résistance au courant continu d’une ligne de longueur donnée qu’en agissant sur la section. Cette réduction est donc toujours onéreuse.
  - La résistance (au courant continu) ne dépend pas de la fréquence.
  - La température a une influence importante sur la valeur de la résistance.
  - En ce qui concerne la résistance effective, ce que nous avons dit dans les pages précédentes, montre ses propriétés particulières.
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- - CHAPITRE VIII
  - INDUCTANCE
  - I. — Formules générales
  - 1° VALEUR DE L’INDUCTANCE d’üN CONDUCTEUR DONNÉ FAISANT PARTIE
  - d’un système donné. — Nous verrons que, dans les circuits composés par les lignes électriques et les appareils d’alimentation et de réception ; les actions de self-induction et d’inductions mutuelles des lignes, peuvent se combiner en une action unique de self-ind uction apparente.
  - La force électromotrice d’induction est égale à toLsIe^, en appelant w la pulsation : w = 2tzn,n étant la fréquence ; Ls est le coefficient de self-induction apparente du circuit ; Ie^- le courant qui parcourt le circuit.
  - Par analogie avec la résistance R, dont le produit par l’intensité donne la chute de tension ohmique ; nous appellerons inductance le produit de la pulsation u> par le coefficient de self-induction apparente (J).
  - Nous allons rechercher l’inductance par unité de longueur.
  - Comme les circuits polyphasés sont assez complexes,nous parlerons dans ce chapitre de force électromotrice d’induction créée dans l’unité de longueur d’un conducteur, de la self-induction de l’unité de longueur d’un conducteur, de la mutuelle induction de deux conducteurs. Il ne faut pas oublier que ces appellations sont purement mathématiques et n’ont pas plus de réalité physique que l’action d’un élément de courant sur un autre élément de courant. La recomposition du circuit donnera, en sommant les
  - (4) Les Américains appellent inductance le coefficient Ls. L’inductance est alors exprimée en henrys. Avec notre définition, généralement adoptée en France, l’inductance est exprimée en ohms.
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- - INDUCTANCE
  - 97
  - actions élémentaires, un résultat exact ; il suffit pour s’en convaincre de se reporter à l’origine des lois d’actions élémentaires ; mais il ne faut pas oublier que la réalité physique est l’inductance de circuits ; la self-induction d’un circuit, la mutuelle induction de deux circuits.
  - Recherche de /’inductance dans les circuits polyphasés. — Les transmissions d’énergie constituent des systèmes de courants dont la somme algébrique est constamment nulle.
  - Considérons n conducteurs parallèles parcourus par des courants sinusoïdaux dont les valeurs instantanées sont :
  - •••> tn
  - exprimées en unités C.G.S. électromagnétiques.
  - A chaque instant S4n (ip) = 0.
  - Cherchons la force électromotrice d’induction créée, dans le conducteur p, par le passage du courant variable qui le traverse, et par la circulation des courants variables voisins.
  - En construisant les lignes de force, pour diverses valeurs instantanées du courant qui les produit, nous avons vu que, tout se passait, comme si les lignes de force d’un conducteur, parcouru par un courant alternatif, étaient animées d’un mouvement de pulsation de la fréquence du courant. Ces lignes de force venaient se confondre avec l’axe du conducteur lorsque le courant s’annulait, et, occupaient leurs positions respectives les plus éloignées de l’axe, lorsque le courant passait par son maximum.
  - Cette remarque nous ramène au cas bien connu de la détermination de la direction et de la valeur instantanée de la force électromotrice induite dans un conducteur coupé par des lignes de force : cette valeur instantanée est égale au nombre de lignes de force coupées dans l’unité de temps.
  - Nous adopterons comme direction positive pour les courants, la direction du transport, nous donnerons par cela même un signe aux lignes de force et aux flux de force.
  - Tous les conducteurs étant parallèles, les lignes de force de tous leurs champs sont perpendiculaires à leur direction commune. En appliquant la règle de Fleming, on voit que la force électromotrice induite par la variation des n courants se réduit à une composante parallèle aux conducteurs, dont la valeur instantanée, proportionnelle à la longueur commune des conducteurs, est pour le conducteur p par exemple, par unité de longueur
  - ep — —-, N étant le nombre de lignes de force dont la varia-
  - 7
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- - 98
  - CHAPITRE VIII
  - tion intéresse les diverses parties de l’unité de longueur du conducteur p.
  - Détermination de la valeur de la force électromotrice d'induction par unité de longueur (*). — Divisons le conducteur p en conducteurs filiformes élémentaires* soit p« Lun de ces conducteurs situé aune distance a de l’axe du conducteur principal/).
  - Cherchons le nombre de lignes de force ou le flux de force dont la variation intéresse le conducteur p«.
  - Effets de self-induction. — Les lignes de force dues au courant ip sont de deux sortes, les unes sont extérieures au conducteur p, les autres intérieures.
  - a) Lignes de force extérieures. — Toutes les lignes de force placées à l’extérieur du cercle de rayon r viendront dans leur absorption dans l’axe couper tous les conducteurs élémentaires constituant le conducteur p.
  - Comptons les lignes de force pour une valeur quelconque de courant. Dans le cylindre ayant une longueur --v-. égale à l’unité comprise entre les cercles de
  - dp rayon p et p 4- dp, le champ magnétique est \\ é _
  - \ \\ uniforme et son intensité égale à 3C — — . L’in-
  - H-P-H . & p
  - ic~2 ré-
  - duction est, en désignant par y 1a perméabilité du milieu externe :
  - " “ ~ " ^ n l
  - Fig 21 93 == g 5e = —^ et le nombre de lignes de force :
  - d'K-, = 2{HP -~p- .
  - P
  - Le total du nombre de lignes de force pouvant venir couper le conducteur pu est le même pour tous les conducteurs élémentaires constit uant le conducteur p et est égal à :
  - b) Lignes de force intérieures. — Calculons comme précédemment le nombre de lignes de force compris entre les cylindres de longueur unité, de rayons p etp -j- dp. Le courant qui passe dans le conducteur cylindrique annulaire, compris entre les rayons p et ry n’a aucun effet magnétique sur un point situé à l’intérieur de ce conducteur.
  - Cl) La première démonstration a été publiée dans Y Eclairage électrique, (octobre 1894), par M. Blondel. La plupart des traités d’Eleetrotechnique donnent, pour celte proposition fondamentale, des variantes de la démonstration de M. Blondel, basées tantôt sur la notion du potentiel-vecteur, tantôt sur le mouvement des lignes de force. Cette dernière idée a été suggérée, je crois, par un article de IM. Sartori (Etetlricista, mars 1900).
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- - INDUCTANCE
  - 01)
  - Le nombre de lignes de force entre les cylindres p et p ~h dp,
  - est donc : d0l> =* %u!i'„ .
  - ‘ p P
  - u.' étant la perméabilité du métal constituant les conducteurs. i'p étant le courant qui passe cà l’intérieur du cercle du rayon p. On peut, si le conducteur est de diamètre moyen et la fréquence peu élevée, supposer une répartition uniforme du courant, on a alors :
  - *'p = *pX^et rfi)b = 2XjA'XîpX^p*
  - Nous remarquerons, d’autre part, que les lignes de force intérieures ne couperont pas toutes, tous les conducteurs élémentaires.
  - Ainsi, les seules lignes de force qui couperont le conducteur sont celles comprises entre les rayons oc et r, et par suite nous n’aurons à considérer, (en ce qui concerne la self-induction) pour ce conducteur élémentaire que le nombre de lignes de force.
  - (’^s)a — ^ ^ 'X'ip ra d’p — + \j!tp [J- ri ip.
  - Cette valeur convient à tous les conducteurs élémentaires situés à une distance a de l'axe, c’est-à-dire compris entre les cylindres de rayon a et a-|- c/a.
  - La valeur moyenne de (xs) pour le conducteur p tout entier est
  - J
  - r.r
  - i:
  - pôs)« X2wxtfa = 3ï,i +
  - f£p f
  - r‘ J q r-r'
  - D’où ;
  - C)bs
  - moyen — 4-
  - P-'iy
  - iï •
  - 'A.
  - d?-
  - Induction mutuelle. — Considérons un conducteur q situé à une distance du conducteur p égale à dp.q.
  - Lorsque les lignes de force produites par le courant iq viennent se confondre avec l’axe du conducteur q, celles qui entourent le conducteur p sont les seules à couper ce conducteur.
  - Ce nombre de lignes de force peut être considéré comme identique pour tous les conducteurs élémentaires px constituant le conducteur p. .
  - Q
  - i-.d
  - p.v
  - Fig. 23.
- p.99 - vue 103/178
- - 100
  - CHAPITRE VIII
  - On verrait comme précédemment que :
  - L’effet total des conducteurs extérieurs sera :
  - 3r>e=s,n<"ufp,f 2
  - Jdpq P
  - Nombre moyen total des lignes de force intéressant le conducteur^. — Ce nombre moyen est :
  - , u>iP , Z*00 o • d? , vn(sauf;,) C « • dp
  - +fi+Xs moyen =+ / 2g2p-^ + £1
  - * ^ 7 " ,/ap.q r
  - r a • do fo . do rco . do
  - J A 2^K P ~~J A 2‘UiK p Jo 2^JK p ’
  - mais on a :
  - si D est plus grand que A. Désignons par D une longueur un peu plus grande que la plus grande des distances dPq qui séparent les conducteurs, et appliquons la décomposition précédente à tous les termes de l’équation donnant le nombre de lignes de force total.
  - Nous avons :
  - JLe H- 0LSmoyen = -f- j 2g'(î1-f4+...*p+... 4i) +
  - L J D P
  - -b 2g (ii -J- + 4i)logD— S, ( p*2g4/log dpq — 2g log r.
  - Le deuxième terme j 2 g (4 + 4 + • • • • 4~ 4i) — représente le
  - J D P
  - flux de force depuis la distance Di à oo du courant (4 + it... -f- 4?) nul par hypothèse. Ce terme est donc nul. Il en est de même du troisième terme, puisque (4 -f-i.2... + in)= 0 et que D a une valeur finie.
  - On a donc :
  - X moyen = — 2 g logr — s/1 (saufp) 2 g logdp,q.
  - La force électro-motrice d’induction si nous faisons yj = g = 1,
  - * i-\ j »
  - est ep — — . D ou :
  - e» = -( ï - 2 l°S>') lit+ 2loSd*>7F+ + 2*°s dp.n
  - Pour établir cette équation, nous avons supposé que 4+44-... 4- 4i — o que les conducteurs avaient des dimensions assez petites pour que l’on puisse admettre une répartition uniforme du coupant dans leur masse, qu’ils étaient cylindriques, et que g'=g — 1.
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- - INDUCTANCE
  - toi
  - 2° FORMULES GÉNÉRALES DES COEFFICIENTS DE SELF-INDUCTION ET ü'iNDUC-
  - tion mutuelle. — Si nous comparons l’équation précédente avec la relation connue :
  - __cc dip. eP — » dt
  - dii
  - ••• DïLp.n
  - din dt, ’
  - on voit que le coefficient de self-induction du conducteur p par unité de longueur ; peut être pour le calcul de ep, égalé à :
  - <£p ~ ( ¥ — ^ l°ë> r) Pour une longueur / : l(^ — 2 log
  - On voit de même que le coefficient d’induction mutuelle entre les conducteurs p et q par unité de longueur peut être égalé à :
  - 01 tpq — — 21og*4.ç et pour une longueur /: —2/. logdpq.
  - Ces coefficients sont exprimés en unités C. G. S., électro-magnétiques : toutes les longueurs sont exprimées en centimètres. Si nous voulons exprimer en henrys ces coefficients, c’est-à-dire passer aux unités pratiques, il faudra multiplier $p et 01LPÎ par 109 ; r, cl et / étant toujours exprimés en centimètres.
  - En général, on exprime / en kilomètre et on a pour les coefficients kilométriques de self-induction et d’induction mutuelle :
  - (1) = 1(T4 - 2 log r) = 1(T4 - 4,606 lovr).
  - (2)
  - OÏL
  - p.q
  - — — 210 4logdp_q = —10 4 4,606 lovdp-q.
  - <£p et DXlp q étant exprimés en henrys, r et d en centimètres. Coefficients de self-induction et d'induction mutuelle dans le cas de conducteurs avec âme en chanvre. — Soit r’ le rayon de l’àme en chanvre. Avec des fils ainsi composés, nous aurions eu pour la valeur moyenne du nombre de lignes de force provenant du courant qui parcourt le conducteur 1 :
  - ir i •P1*» fr 27r«3rf«
  - (1) Le système pratique est électromagnétique ; mais les unités de longueur, de masse et de temps sont, dans ce système, respectivement :
  - 109 centimètres c’est à-dire la longueur du quadrant terrestre.
  - 10—11 de la masse du gramme.
  - Et enfin la seconde qui est la seule unité qui ne soit pas changée.
  - Les valeurs des unités électriques pratiques en unités électromagnétiques sont les suivantes :
  - 1 ohm vaut 109 unités électromagnétiques C. G. S. de résistance.
  - 1 volt vaut 10B unités électromagnétiques C. G. S. de force électromotrice.
  - 1 ampère vaut 10- i unités électromagnétiques G. G. S. d'intensité.
  - 1 henry vaut 109 unités électromagnétiques C. G. S. de coefficient d’induction.
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- - 102
  - CHAPITRE VIII
  - = %t -t-
  - \J'h —
  - gip /t* — r">\ __ rizJ
  - Par suite, dans ce cas, les coefficients de self-induction et d’induction mutuelle kilométriques seront, si p/ = [/. = l :
  - (3) £p==10-,[i(l_^)_2log).].
  - (4) = —2x10~41o gdp.q.
  - II. — Etude de l’effet de l’induction dans les circuits alternatifs
  - 1° circuit fictif, Dans la pratique, les n fils précédents se subdiviseront en un certain nombre de systèmes complets marchant en parallèle ou non ; ainsi, dans un transport triphasé, n sera multiple de 8, on aura n = 3n'.
  - Chacun des n' systèmes peut être étudié séparément en tenant compte naturellement de l’effet d’induction des (??/—1) autres lignes triphasées.
  - Nous considérerons presque toujours, dans l’étude d’une ligne triphasée, le circuit À0B0ÀB constitué (comme nous l’avons indiqué page 80) par de hautes résistances A0B0,ÀB, un fil de ligne B0B et un conducteur neutre fictif A0A.
  - Pour que nous ayons le droit de considérer ce circuit, il faut que les conducteurs ajoutés n’apportent ni courant nouveau appréciable, ni force électromotrice nouvelle appréciable. En choisissant les résistances AB, À0B0, on pourra réduire autant qu’on voudra le courant qu’elles consomment. Nous supposerons toujours les charges égales.
  - Le conducteur neutre est parcouru par un courant négligeable ou bien nul. La force électromotrice de self-induction est donc nulle. L’induction mutuelle des n fils constituant la ligne multiple
  - (1) Nous désignerons les logarithmes népériens parle signe log ; les logarithmes vulgaires parle signe lov.
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- - INDUCTANCE
  - 103
  - donne naissance dans ce conducteur neutre à une force électro-motrice en. En appelant dq la distance du conducteur q au conducteur neutre, on a :
  - e„ = S,"210-4x(log</,)^i.
  - Si toutes les distances dq étaient égales à d, on aurait :
  - = 2X10-4 (logd) S," ^ = 0.
  - Il suffit donc pour que soit négligeable de supposer le conducteur neutre placé à une distance telle du système de fil que toutes les distances dq puissent être considérées comme égales.
  - 11 suffit, en général, de supposer ce fil neutre à une vingtaine de mètres de la ligne multiple. Ce fil neutre sera appelé conducteur neutre d’inductance nulle.
  - La force électromotrice d’induction dans le circuit A0B0AB se réduit, dans ces conditions, à celle développée sur le fil AB.
  - Nous désignerons comme précédemment par a0ii/0ii"Q les valeurs instantanées des tensions simples qui sont appliquées à l'origine en A0B0, A^B'o, A"<,B''0; par iiu'u" les valeurs instantanées pour les tensions simples à l’arrivée; par i,, i.2, is les valeurs instantanées du courant dans les fils 1,2, 3.
  - 2° COEFFICIENT APPARENT DE SELF-INDUCTION DANS LES LIGNES A SIMPLE
  - circuit. — Lignev monophasées. — Considérons une ligne monophasée unique et dans cette ligne le circuit A0B0BA. désignons
  - 1
  - Fig. 26.
  - par :
  - /, la longueur de la ligne en kilomètres.
  - r, le rayon d’un des fils en d centimètres. 2*
  - d. la distance des fils en centimètres.
  - R, la résistance totale d’un fil de ligne.
  - SL, le coefficient de self-induction d’un fil de ligne évalué par kilomètres en unités pratiques.
  - OÏL, le coefficient d’induction mutuelle par kilomètre en unités pratiques.
  - Dans le circuit A0B0AB en désignant par u0u'0, nu , les valeurs instantanées de la tension et du courant, nous avons, d’après la loi de Kirchoff, l’équation algébrique :
  - "»=R<*+11 lù+l3rLn it+u-
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- - 104
  - CHAPITRE VIII
  - Dans le circuit A0B'0B'A on aurait de môme : a\ — Ri, -h /£ -JJ + ^1l2i
  - D’ailleurs, z, -f- z2 = 0, et par suite == 0.
  - A tu dt
  - On a donc : z/0 = R*, -h /(<£ — Oïl 12) -b -f- u.
  - On peut donc considérer que l’effet combiné de la self-induction du fil (1 ) et de l’induction mutuelle du fil (2) se combinent de façon à donner une sorte de self-induction apparente.
  - En posant Ls = £ — 01l12, nous aurons un coefficient de self-induction apparente*. 11 suffira de multiplier par ce coefficient la
  - variation du courant dans l’unité de temps pour obtenir la
  - chute de tension inductive par unité de longueur.
  - Remplaçant £ et 01l12 parleurs valeurs, il vient, pour un seul fil:
  - Ls = 10“4(0,o-f 4,605 lov£).
  - Ligne triphasée unique et symétrique.— Dans le circuit A0B0A,B, composé du fil de ligne (n° 1 ) et du conducteur 3 neutre fictif (fig. 25), nous avons l’équation
  - A algébrique :
  - y \i u, — Ri, 4- li -J- /an.,, ^ + m.
  - •-----^----* ] On a d’ailleurs : aiu, ,= an.1>t = — lov rf,
  - *.+4 + 4=0 § + § + § = «. '
  - Par suite : u0 = Rq -{-/(£,—• 0)112) -L u
  - Comme précédemment, la self-induction et l’induction mutuelle se combinent de façon à donner une sorte de self-induction apparente.
  - Ce coefficient de self-induction apparente sera par unité de longueur : Ls = 1(T4 ^0,5 + 4,605 lov pour un fil.
  - Etude géométrique. — Nous avons l’équation algébrique :
  - ( 1 ) u0 = R*i -f- 1% -jj -f- /OPL'12 —jpp -f- -jj -|- u
  - Nous rappelons que la dérivée d’une grandeur sinusoïdale est autre grandeur sinusoïdale, dont la valeur efficace est égale à Ja
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- - INDUCTANCE
  - 105
  - valeur efficace de la grandeur dérivée, multipliée par co — 2toi. n étant la fréquence. La phase de la nouvelle quantité est en
  - avance de ^ sur la phase de la quantité primitive.
  - En représentant par des vecteurs les grandeurs dérivées, nous voyons que l’équation algébrique (1) pourra se traduire par l’équation géométrique (2) ; entre les valeurs efficaces par exemple :
  - (2) (U0) = (RI1)_ ^-b (co./.^.l1)K-f-(co./.0lU18I2)^-|- U.
  - on a d’ailleurs :
  - se = ({•— 4,605 lov.r)l0~‘ « = —o + f.
  - an.,2 = — (4,605 lov d) 10~4 p=^-f+|.
  - an.,, = — (4,605.lov.d) 10"4 T = f — ? +1 •
  - Le diagramme des tensions est donc -f- OMABCM0 — AB est perpendiculaire à It : il avance de ^ — BG et GM0 sont perpendiculaires aux vecteurs Iâ et 13, mais retardent de à cause du signe négatif des valeurs de 31L12 et ;)itl13 (1).
  - D’ailleurs, le réseau étant supposé équilibré, on a : It = Is = I3. Le triangle BCM0 est alors équilatéral, M0 tombe sur la perpendiculaire AB (à AM, et on a :
  - BM0 = W X 4,605 lov. r/X 10~4 X h.ff.
  - Par suite :
  - AM. = AB + BM. = <o. I. le„ + 4,605 lov f'j 10"‘.
  - (1) de (A), indique un vecteur qui doit être porté sur une direction faisant
  - un angle -f- « avec l’origine, si le vecteur est précédé du signe + ; un angle (— «) s’il est précédé du signe —. Le sens positif de rotation est inverse du sens de rotation des aiguilles d’une montre.
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- - 106
  - CHAPITRE VIII
  - 3° INFLUENCE DE LA DISSYMÉTRIE DANS LES LIGNES A SIMPLE CIRCUIT. —
  - Les lignes dissymétriques à simple circuit se rencontrent assez fréquemment, dans les pays, où les lignes ne sont pas construites sous le régime de l’utilité publique. On construit alors, très souvent, les lignes, le long des routes, et, afin d’éviter de surplomber les terres des propriétaires riverains de la route, on place les fils dans un même plan vertical, du côté de la route.
  - Ligne triphasée. — Supposons les trois fils placés dans un même plan vertical.
  - Si nous considérons le fil (1) fig. 29 ; le vecteur de la tension simple au départ OM'0, nous sera donné par le diagramme OMABCMV
  - On a d’ailleurs en supposant les charges égales dans les trois fils, les longueurs de vecteurs suivantes :
  - AB — 10~4. a). lefr — 2 log. rj ;
  - BC = /. 10-4. co. 1^.2 log. d-
  - CM'0 = /. 1<T4. to. \eff. 2 log. 2 d.
  - Si nous voulons avoir, en grandeur et en direction, les vecteurs de la tension simple au départ de l’usine, nous construirons des diagrammes analogues, en nous servant des vecteurs U2 et U3 ; mais comme il est intéressant de rapprocher ces tensions simples au départ, nous ferons tourner le vecteur de la tension simple au départ du fil (2) de l’angle — -y et le vecteur de la tension
  - 4tt
  - simple au départ du fil (3) de l’angle — .
  - Nous avons en OM"0 et OM'"0 ces vecteurs après rotation. Avec la disposition actuelle, M"0 tombe sur la verticale kg à MA, et, M'"o est symétrique de M'0 par rapport à cette verticale.
  - Nous voyons donc que la dissymétrie donne des voltages inégaux
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- - 1NDDCÏANCK
  - 107
  - sur chaque phase, et, de plus que les tensions simples ne font plus entre elles des angles égaui.
  - Répercussion sur le service. — Examinons la répercussion sur les moteurs de la clientèle.
  - Les différences de voltage, existent d’après nos diagrammes à l’usine, et par suite nous voyons que pour obtenir un voltage égal, à l’arrivée, sur les trois phases, pour un même débit, nous serions obligé, si cela était pratique et possible, d’adopter des réglages différents pour chaque phase. Gomme le réglage est commun pour les trois phases, nous voyons que la dissymétrie de la ligne produira, finalement, des tensions légèrement inégales, et, inégalement décalées à l’arrivée, au poste de transformation.
  - Les moteurs synchrones et asynchrones, fonctionnant sur un réseau, ou les inégalités de voltage, entre fils, sont importantes, présenteraient un échauffement anormal, si on les faisait marcher à pleine charge. Si, comme il est rationne], on limite leur charge de façon, à ce que le courant maximum circulant, dans une phase quelconque, ne dépasse pas le courant de pleine charge, en marche normale, à voltages équilibrés, l’expérience (') montre que la puissance des moteurs asynchrones est réduite approximativement de :
  - 2 0/0 si le rapport des différences de voltages entre phases au voltage normal est de 1 0/0 (le voltage maximum étant égal au voltage normal).
  - 5 0/0 si ce rapport est de 2 0/0 ;
  - 10 0/0 si ce rapport est de 3 0/0 ;
  - 50 0/0 si ce rapport est de 15 0/0.
  - Pour les moteurs synchrones on constate des réductions de puissance analogues, et, une influence très sérieuse du décalage relatif des phases.
  - Comme les inégalités de voltage entre phases, peuvent résulter d’autre part, d’inégalités de charges, sur les trois phases ; il est prudent de limiter assez strictement les effets de la dissymétrie de la ligne.
  - On peut fixer la différence maxima, entre les voltages entre fils
  - a"WE-
  - Evaluation approchée de la différence maxima de voltages entr< fils. — L’évaluation exacte de cette différence conduit à une for mule algébrique assez compliquée, comme nous le verrons pim
  - Proccedings, juin 1909, Charters et Hillebrand.
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- - 108
  - CHAPITRE VIII
  - loin; niais il s’agit ici d’obtenir l’ordre de grandeur de cette inégalité de voltages.
  - Etant donné l’éloignement du point O (OM est environ dix fois plus grand que les vecteurs MM'0) etc.) on peut admettre que l’arc de cercle tracé, de O comme centre avec OM"0 comme rayon se confond avec la perpendiculaire M"0P abaissée sur OM'0, et d’autre part, que OM'0 est sensiblement parallèle à OM (fig. 29). L’erreur relative ainsi faite, sur la valeur de OM"0 — OM'0 ne dépasse guère, 6 à 7 0/0 dans les conditions pratiques.
  - On a donc sensiblement :
  - OM"0 — OM' = M'0P = M'0 M"0 sin (60° — <p) = a et : OM'"0 - OM"0 = PP' = M'0 M"0 sin (60° + <p) = p.
  - D’ailleurs M'„ M"0 = L 10 4. o>. Ieg. 4.605. (lov. 2 d— lov. d) = = 1.10 \ w. leff. 4,605 lov. 2.
  - Les tensions simples au départ des fils 1,2, 3 sont A — a, A et A -h (ü. En composant ces tensions simples nous voyons que la plus grande différence de voltages entre fils est sensiblement, :
  - a + p* -h 2a(3 cos 60° == a -+- p* -f- ap.
  - Finalement en posant :
  - y — y/sin* (^60° — cp) -+- sin2 (60° -f- cp) -f- sin (60 — cp) sin (60 -f- <p) on voit que la différence maxima de voltages entre fils est : yXM'M"0 '
  - Pour cp = 0 on a y == sin 600x \/3 — = 1,5.
  - Pour cp = 36° cos cp = 0,8 le radical — y l,56 — 1,25.
  - On peut donc admettre la condition 1,5 x M'0M"0 < E,
  - ou : 1,5 X / X 10”‘ X w. leff X 4,605 lov. 2 < E.
  - Tension simple moyenne. — La tension simple moyenne s’obtiendrait en joignant le point O, au centre de gravité du triangle M'^L'oM'"^ c’est-à-dire au point M0 situé sur Ay, au delà de M'0,
  - à une distance égale à M'^M'o x|x^ = w./.10~4 Ie/r.0,46.
  - On pourrait donc prendre pour ces lignes le coefficient de self-induction apparente :
  - L's = (o,96 + 4,605 lov f) 10~4.
  - Comme cette valeur L's diffère assez peu du résultat trouvé avec
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- - INDUCTANCE
  - 109
  - la formule Ls = (o,5 -4- 4,605 lov^ 10 4,on se contente souvent
  - d’appliquer cette dernière formule.
  - Exemple numérique. — Cherchons la différence de voltage maxima dans une ligne, ainsi disposée, ayant un kilomètre de longueur et transportant 100 ampères. Le cyclage étant de 25
  - on a : 1,5 X /.10~4 .w.I^. 4,605. lov.2 =
  - = 1,5 X 1 Xl0“4x 157X 100 X 4,605 X 0,301 = 3 v. 26.
  - Avec un cyclage de 50 nous aurions des différences de voltages de 6 v. 5 par 100 ampères-kilomètres.
  - Ces différences sont proportionnelles au non dire d’ampères-kilomètres.
  - Moyen d'annuler les différences de voltages. Rotation de fils. — Si on est obligé de maintenir la construction dissymétrique de la ligne, on peut annuler ces différences de voltages, en utilisant le procédé des rotations de fils. En effet, si on divise une ligne triphasée, en un nombre multiple de trois de sections égales ; si on fait occuper au fil 1, successivement, les positions supérieure, centrale, inférieure, et, si on agit de même pour les autres fils; les voltages s’égaliseront. L’égalisation n’est pas absolument complète, parce que dans leurs sections différentes, les courants, les tensions et les phases diffèrent légèrement ; mais il est pratiquement réalisé pour les lignes de transport de force de moyenne longueur (40 à 50 kilomètres) même avec trois divisions seulement. Si la ligne est plus longue on divisera laligne en six ou neuf parties si les formules précédentes indiquent des différences de voltages importantes.
  - Nous supposons qu’il n’y a pas de branchements importants en cours de route.
  - Calcul algébrique exact de la valeur de la tension simple. — Supposons qu’il n’y ait pas de rotations de fils. Le diagramme des tensions simples sera celui que nous avons indiqué. La position du point M0 se détermine facilement algébriquement, car les projections sur kx et ky de AM0 sont (fig. 30) :
  - x' = /.10-4.w.Icff (21ogrf-21og2d) *f-!/ = 1X 1<T4 X« X —21ogc + (2 loge/ + 2 log2d) {]
  - En effet cos 30' = ^-| et cos 60“ = ^ •
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- - 110
  - CHAPITRE VIII
  - La valeur de OM'0 se déduit sans difficulté.
  - (OM'0)2 = (Uj cos <p -f- ItR H- xJ H- (y — Ut sin s)2.
  - Fig. 30.
  - Nous avons examiné le cas de dissymétrie le plus fréquent, il est facile de. généraliser, en supposant les distances entre fils égales à 4d/là.
  - 111. — Induction dans les lignes multiples
  - -t l^"-dzr-*4 rl \Sdc
  - 1° lignes marchant en parallèle. — Considérons une ligne à 6 fils.
  - Supposons quelle soit construite en plaçant les trois fils de la ligne (1) d’un côté du pylône et les trois fils de l’autre ligne de l’autre côté.
  - Soient c/3 c/4 ^/8r/6 les distances entre le fil (X)
  - et les fils 2, 3, 4, 5, 6. Supposons que les lignes soient alimentées, en parallèle, par les mêmes machines, et que les courants des deux lignes soient en phase (1 et 4, 2 et 5, 3 et 6). Nous aurons pour déterminer la tension simple au départ du fil 1 Inéquation algébrique :
  - c\
  - 3*
  - *6
  - Fig. 31.
  - (1) «0 = R*1 + -f jrr + / i)rc13 jjf “h /Ô)lu -jr -J-
  - dL
  - <H-î
  - dit
  - dt
  - dt
  - j di« , /
  - ^'^13 77+ î)R-i
  - dis
  - dt T- ‘ —T. d,-+U-
  - Comme nous l’avons vu page 103 l'équation algébrique (1) pourra se traduire par l’équation géométrique (2).
  - [2) LT0 = (RI,)_Î, + [w./XÎJg, + [^-/-ôh^oLJs + [to./.aiv^Isjy-f-H~ [n>-A_41 ♦ ]-f" [w./.OJV^XbJ^-L U.
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- - INDUCTANCE
  - 111
  - On a d’ailleurs :
  - !f = 10-4. (±(_21og.r
  - 0)112 = — 10 4 x 2 log: d% 011-1310 X 2 log\ da et d’autre part :
  - a=a'=-o + |
  - 2tt
  - OR 14. = — 10 4 X 2 log. dt
  - OU 1# = — 10“4 X 2 log. d, ; Oltj6 = — 10~4 X 2 log. d9
  - , An n
  - — "a “‘P"*"?
  - Q _ Qt _ 7t
  - P=P=T—
  - Supposant toujours les courants égaux :
  - lt = I2=: I3 — It = 15 = IG — I. On a le diagramme de la figure 32 avec les longueurs de vecteurs suivantes :
  - AB =
  - /.'..I /1
  - 10* \ 2
  - 2 log r\ •
  - Ce vecteur est en avance de ^ sur le vecteur du courant I,. :^X21ogrf! = KX21ogrf,
  - BC:
  - Ce vecteur est en retard de-par rapport à I, à cause du signe négatif de la valeur de 31cJ2-
  - Fig. 32.
  - De même les longueurs des autres vecteurs sont :
  - Cl) =Kx21ogrf,
  - DE =Kx21ogrf*
  - EF =Kx21og</B FM o == K X 2 logY/e
  - Si les deux lignes alimentaient des réseaux à facteur de puis sance différents cos© et cos ©', les vecteurs DE, EF, FM'0 neseraier plus parallèles, respectivement aux vecteurs AB, BC, CD ; mai feraient avec ces vecteurs un angle © — cp'.
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- - 112
  - CHAPITRE VIII
  - 2° Calcul du vecteur donnant la chute de tension inductive
  - DANS LE CAS DE LIGNES MULTIPLES MARCHANT EN PARALLÈLES ET AYANT DES
  - charges et des décalages égaux. — Formules générales. Lignes triphasées. — Il est facile de voir que Ton peut tracer immédiatement le vecteur AM'0, donnant en direction et en grandeur, la chute de tension inductive. En effet, les projections sur l’axe kx (confondu avec la direction du vecteur des chutes olmiiques) et sur l’axe perpendiculaire kg sont connues ; car les vecteurs successifs font avec kx des angles de 30° et avec kg des angles de 60°, à l’exception des vecteurs tels que AB et DE qui sont parallèles à kg (fig. 30 et 32).
  - Cela est vrai quel que soit le nombre de lignes. S’il y a n lignes triphasées nous aurons le diagramme ABCD augmenté de (n — 1) triangles fermés ou non, tels que DEFM'0 (fig. 32).
  - Considérons pour généraliser n lignes dont les conducteurs sont :
  - %i>guzi ;i'2ég-2)za x niz n'
  - Les projections du vecteur de chute de tension inductive concernant le conducteur xq sont, en désignant par dx y la distance entre les conducteurs xq et gp :
  - 1° sur kx
  - U) X'= ^ -ï,"21o
  - 2° Sur kg
  - (2) Y'= 10-U».I„[(i _21og(-)-V ls“,4) 21og dV]> +
  - + i S,“ 2 log + f- S," 2 log
  - Lignes monophasées. — Si nous considérons n lignes monophasées, les vecteurs étant tous parallèles à kg, on a :
  - AM'. = 10- v.«.l./r[(|-2 log. r)—2," « 2 log dVp +
  - + —2 log ‘
  - 3° EFFET DE LA DISSYMÉTRIE DANS LES LIGNES MULTIPLES MARCHANT EN PARALLÈLE. ÉTUDE DE DIVERSES DISPOSITIONS DE FILS. — La Symétrie est difficile à obtenir dans les lignes multiples. Dans le cas d’une ligne à six fils, il faudrait, en effet, que les fils soient de diamètres égaux, disposés aux sommets d’un hexagone régulier.
  - Les courants et les phases devraient être égaux.
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- - INDUCTANCE
  - 113
  - La disposition des fils aux sommets d’un polygone régulier n’est pas commode à réaliser lorsqu’il y a six fils, et, cela devient tout à fait impossible lorsqu'il y a un plus grand nombre de fils.
  - La dissymétrie est donc la règle.
  - Nous avons évidemment les memes inconvénients que dans une ligne simple, c’est-à-dire inégalités des voltages entre fils, inégalités des angles des tensions simples. Nous verrons plus loin qu’il y a une autre difficulté, lorsque les lignes ne marchent pas en parallèle.
  - La tension simple moyenne est tantôt plus grande, tantôt plus petite que celle d’une ligne simple symétrique.
  - On peut étudier ces tensions moyennes et les différences de voltages, en utilisant les formules générales du paragraphe précédent. On a pour la tension simple du fil xq dans une ligne triphasée : U02 = (Ui cos cp -(- IjR -j-X')2 -f- (— Ut sin © -j- Y')2.
  - L’emploi de ces formules est avantageux, lorsqu’il y a plus de deux lignes triphasées. Lorsqu’il n’y a que deux lignes triphasées les diagrammes permettent une étude exacte des tensions moyennes plus facile. On peut également étudier, par ce moyen, avec une approximation suffisante, les différences maxima de voltages entre fils.
  - Etude de diverses dispositions de lignes à six fils.
  - a) Lignes triphasées situées dans des plans verticaux parallèles.
  - Nous considérerons tout d’abord le cas de deux lignes triphasées dissymétriques placées dans deux plans verticaux parallèles.
  - La figure 31 nous donne la disposition des fils.
  - Nous supposerons que l’on ait, en posant d3 = D :
  - ds = 2D d,= D t/B = D y 2 d6 = D y 5
  - c’est-à-dire que la distance des deux lignes égale les distances entre le fil 2 et les fils 1 et 3.
  - La figure 32 donne le diagramme de tension simple du fil 1. Si nous réunissons ensemble les vecteurs de même phase nous obtenons le diagramme de la figure 33 : ABECFDMV
  - Gontruisant, dans le cas particulier que nous étudions, les diagrammes pour les trois fils, et, rapprochant les tensions simples au départ en faisant tourner le vecteur (de la tension simple au
  - départ), du fil 2 de l’angle —^ , et, celui du fil 3, de l'angle — ^
  - d O
  - nous avons en OM"0 et OM'"0 ces vecteurs après rotation.
  - En supposant les charges égales et les décalages égaux,
  - 8
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- - 114
  - CHAPITRE VIII
  - M"0 tombe sur la perpendiculaire A y à AM et M'"0 est symétrique de M'oj par rapport à ky.
  - On a, dans ce cas :
  - M'0M"o = U?. l,ff [log. 2D + log. D v/5 - log. D - log. D y'2]
  - Eu raisonnant, c'ôinme nous Pavois fait, pour la ligne triphasée simple nous verrions que les différences maxima de voltage sont
  - Fig. 33.
  - de l’ordre de 1,5 X M'0M'V Par conséquent, nous pourrons maintenir, à la rigücur, la ligne sans rotation, si l’inégalité suivante est satisfaite :
  - 4,605
  - 1Ü4
  - X/.wIXÔ,&XÏ,5 <
  - i
  - 100
  - E.
  - Comparant la Valeur de M'0Mf/0 à celle trouvée pour la ligne simple, dissymétrique, nous constatons qü’âVeC la disposition ci-dessus, la présence de la deuxième ligne augmente la différence
  - çj>
  - de voltages des -g- environ.
  - Exemple numérique. — Cherchons par 100 ampères et par kilomètre, la différence maxima de voltage d’une ligne double ainsi construite, marchant à 25 cycles. On a ;
  - X 1,3 = x 1 X18* X 100X0,8 X1,5 = 5*,42.
  - à 50 cycles nous aurions 10v,84.
  - Supposons une ligne <le 120 kilométrés, transportait 100 ampères à 50.000 volts, à 25 cycles. Nous aurions :
  - M'oM'« X 1,5=120 X 5,42 = 050 volts soit 1,3 0/0 du voltage entre fils.
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- - ÏMDUCÎ.4NCÈ
  - 115
  - A 50 cycles les différences de voltages seraient de l’ordre de 2,6 0/0.
  - Tension simple moyenne. — Inductance moyenne. — La tension simple moyenne s’obtiendrait en joignant le point 0 au point M0 centre de gravité du triangle M'0M'f0M//f0 (Le point M0 n’est pas marqué).
  - Supposons toujours les charges égales et décalages égaux :
  - La chute de tension due à la force contre-électromotrice de self-induction apparente, moyenne, serait :
  - AM, = AM", + M"„M„ = AM", +j
  - D’ailleurs :
  - AM"0 = AB — BE -f EC + CF.
  - On a donc :
  - AM", = (A + 2,303 X lov 2 + 4,603 lov ^ et iM'„M", = Æ5X/.«Ix5i-
  - Le coefficient de self-induction apparent moyen, à adopter pour cette ligne transportant des courants égaux sur chaque fil, serait donc :
  - Ls = 10-4 [| + 2,303 (lov2 + 0,33) 4- 4,605 lov =
  - = 10-4 ,05 + 4,605 lov ^ •
  - Ce coefficient est sensiblement plus fort que celui de la ligne simple. La chute de voltage moyenne est donc plus grande sur des lignes ainsi disposées.
  - b) Disposition des fils suivant un hexagone régulier. — Si les fils de même phase sont disposés aux extrémités d’un même diamètre, dans un ordre convenable, les voltages sont égaux dans les trois phases, si les charges sont égales.
  - La disposition de la figure 34 est quelquefois adoptée. On a :
  - d,~ D d,^l)yf d^ 2D 4; = D \3 c/8 = D.
  - En nous reportant au diagramme de la figure 33, nous avons :
  - M'0M"0 - (log +log d, - log d9 - log d,) = 0
  - V
  - 2<
  - 1 n 6
  - D
  - >5
  - 3* \
  - Fig. 34.
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- - 116
  - CHAPITRE VIII
  - en vertu des égalités précédentes. On verrait de même que M"0M'"0 est nul. Ceci démontre l’égalité des tensions simples.
  - La valeur de l’inductance est :
  - TT =' W (ï - 2 lo« '• “ 2 log 2D + 2 log D + 2 log D y3 )
  - Le coefficient de self-induction apparent à prendre pour cette ligne est donc :
  - U = 10 - 4 — 4,605 lov 4,605 lov £ ] =
  - = 10~4 (o,212 -f 4,605 lov •
  - La tension simple moyenne est un peu plus faible que celle d’une ligne simple même symétrique.
  - On peut encore disposer les fils dans l’ordre suivant : 1 6 2 4 3 5.
  - Les fils de même phase sont encore aux extrémités d’un même diamètre et les lignes simples 1,2,3 — 4,5,6 sont symétriques. Les tensions simples sont encore égales. Cette disposition est peu employée, car ce mélange de lignes est fort gênant pour les branchements en cours d’exploitation.
  - c) Disposition avec deux lignes triphasées symétriques. — La disposition représentée par la figure 35 est très souvent employée ; les différences de voltages sont assez faibles, et la tension moyenne reste inférieure à la tension simple d’une ligne simple symétrique ; en supposant toujours les lignes également chargées.
  - Fig. 35.
  - Inductance moyenne. — La figure 35 donne en OMADEFMr0 le diagramme de la tension simple du fil 1.
  - AD est la chute de tension due à la self-induction apparente de la ligne 1 2 3, supposée seule.
  - AD=îîir(l+4'6051ov7)-
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- - INDUCTANCE
  - 117
  - L’action de la ligne l'2'3' sur le fil 1 se traduit par les vecteurs DE, EF, FM'0.
  - DE = 4,605 ^ lovv(l t')=4,605 ^ lov D
  - EF = 4,605 îflov (12') = 4,605 g[lov2D.
  - FM'0 = 4,605 $ lov (13') = 4,605 -g lov D <JT.
  - Ramenant comme précédemment les vecteurs de tension simple des fils 2 et 3 par des rotations de — ~ et — ^ nous aurions les
  - U O
  - grandeurs de ces vecteurs en OM"0 OM'V Les vecteurs composant sont :
  - Pour le fil 2 :
  - DE2z=DE EF2 = EF et FM"0 = 4,605 ~ lov D.
  - 4 O4,
  - Pour le fil 3 :
  - DE, = DE EF, = 4,605 ~ lov D = F,M"',.
  - Les valeurs des vecteurs permettent de trouver facilement la valeur moyenne de la chute de tension. On constate que la chute de tension moyenne due à la self-induction apparente n’est pas tout à fait confondue avec A y. Pour simplifier on prend généralement comme valeur moyenne AM0. — M0 étant le pied de la perpendiculaire abaissée de M"0 sur ky. L’erreur est très faible. Gomme AM„ est la projection de AM"0 sur Ay, on a :
  - AM, = AD — DE + A (EF + FM",)
  - — AD— (2 lov D y'?—lov D — lov 2D).
  - Le coefficient de self-induction apparente serait pour cette disposition :
  - Ls = 1<T 4p|—2,303 lov |) + 4,605 lov ^ =
  - = 10“4 (0,094 + 4,605 lov p.
  - Différences maxima de voltage. — Par un raisonnement analogue à ceux faits précédemment, nous trouvons que la différence
  - maxima de voltage est de l’ordre de .w./.I. X 0,32.
  - A 25 cycles pour 100 ampères-kilomètres nous trouvons 2 v. 3. A 50 cycles nous aurions 4 v. 6.
  - Les inégalités de tension sont beaucoup plus faibles que dans le
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- - 118
  - CHAPITRE VIII
  - premier cas étudié. La chute de tension moyenne est également sensiblement inférieure.
  - 11 nous reste à comparer des différents types de lignes doubles dans le cas où les lignes simples composantes ne marchent pas en parallèle, et surtout lorsque les cyclages sont différents.
  - 4° Effet de l’induction mutuelle lorsque les lignes ne marchent pas en parallèle. — L’effet d’induction de la ligne 4, 5, 6 sur le fil (1) est représenté par le vecteur DM'0. La tension au départ, au lieu d’être OD, sera OM'0. Si les deux lignes sont à des cyclages différents (N et ri), le vecteur DM'0 ne sera plus fixe, mais tournera avec une vitesse (Q — to). La tension simple au départ variera de OD + DM'0 àOD — Ï)M'0.
  - Plus exactement, la tension simple instantanée, au départ est égale à la somme des projections sur une perpendiculaire à l’axe origine OM, de deux vecteurs, de vitesses de rotation et w dif-
  - Fig. 36.
  - férentes. Nos diagrammes étant construits, avec les valeurs efficaces, nous avons :
  - u0 = OD.v/2. sin(ü£ -f- a) + DM'0.\/2. sin(<i>*-}-13).
  - Nous aurons un battement de voltage de faible fréquence, dont l'amplitude sera de l’ordre de DMf0, lorsque les valeurs maxima de ces sinusoïdes coïncideront approximativement.
  - Cet effet, très désagréable pour l’éclairage, se produira surtout avec des lignes à cyclages différents ; mais peut se produire avec des lignes au même cyclage nominatif, lorsque les vitesses des machines alimentant séparément les deux lignes, diffèrent légèrement. Nous avons appelé to la pulsation de la ligne 4, 5, 6.
  - Evaluons M'0D. Le triangle DGM'0 nous donne :
  - M'0D = 41605 X /lov2 + lov2 4e — lov 45 Xlov ^ .
  - 104 y dt dA ch
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- - WDDÇTÀNOE
  - 119
  - On voit que ce sont les distances rotatives des fils qui iixtervien-nemt.
  - On examinerait de même faction sur le fil 2 et sur le fil 3. Il est toutefois préférable d’examiner l’action de la ligne 4,5,6 sur les boucles composées par les fils 1 et 2 — 2 et 3 — 3 et 1.
  - Soit us, u» les forces contre-éleetromotrices instantanées créées dans les fils 1, 2, 3 par la ligne 4, 5, 6.
  - Première disposition de fils. — Dignes triphasées situées dans des plans verticaux parallèles (fig. 31).
  - On a, en supposant comme précédemment, t/,= D, c/8 = 2D, di = D, = Dy/2, of,. —Dy/n, les équations algébriques suivantes entre les valeurs instantanées :
  - „ = + iX^.30S(lovD, lov D ^2. ^- + lovD^8. ^.
  - (lovD^- + 1ûvD. lovDv'â. &).
  - V, = 4- Sl x -•3:ci ( lov D v/3. ,/-t- + lov D + lovI>. 'ÜA.
  - D’ailleurs uls force contreélectromotrice crée dans la boucle 1,2 = u, — us.
  - n , 2/X 2,3.0a/d*B inv o ,
  - Uonc »!, = +—405 (g* 2 +
  - en tenant compte de l’égalité ~ + -f-
  - Nous tirerons de là les valeurs efficaces :
  - f.iowà) = 0.
  - v„ === X I y/(l°v2)s + (lov y/5)“ — lov 2X lov v/5 .
  - De même nous avons ;
  - Vas — - j^r-’303 X ï y/(lov2)2-f- (Îovv/B)—lov2xlovv/b •
  - V81= ^l. V;3 lov. V5.
  - En supposant I* = Ia = IG = I.
  - Exemple numérique. — Si nous prenons une ligne double, à 25 cycles, triphasée de 1 kilomètre de longueur, la ligne 4,5,6 portant 100 ampères, nous avons pour l’effet d’induction mutuelle sur les boucles 1,2 — 2,3 — 81 les valeurs suivantes :
  - V„ — - XJ X 2.303 X 10QX 0,327 = 2 Y. 37,
  - V„ = 2 v. 37, V„ = 4v. 38,
  - à 50 cycles nous aurions 4 v. 74 —4 v. 74 et 8 v. 76.
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- - 120
  - CHAPITRE VIII
  - Prenons une ligne de 100 kilomètres à 50.000 volts et 50 cycles, composée de deux lignes triphasées, disposées comme ci-dessus, et portant chacune 100 ampères. L'effet d’induction mutuelle de la seconde ligne sur la phase 3,1 atteint 876 volts. Lorsque les lignes ne marcheront pas en parallèle, une légère différence de vitesse des machines pourra donner des variations de voltage périodique de ± 876 volts, c’est-à-dire 4-1,8 0/0 du voltage. L'éclairage des lampes à incandescence pourrait être très désagréable.
  - Autres dispositions do füs. — Si nous prenons la disposition en hexagone régulier (type à lignes séparées) (fig. 34), nous avons par 100 ampères-kilomètres à 50 cycles :
  - Vi2 = 3 v, 77, V23 = 3 v, 77, VM = 7v,52.
  - Pour 1g type de lignes doubles à lignes symétriques superposées (fig. 35), nous trouvons ; à 50 cycles :
  - V1S =2 v, 24, V23 = 3 v, 09 et V8|1 = 1 v, 45.
  - Influence de ïécartement des lignes. — Si on double la distance entre les deux plans verticaux contenant chacune des lignes, dans le premier exemple, les valeurs de V12, V23, V31 sont réduites de plus de moitié. Ce procédé de réduction de l’induction mutuelle est fort coûteux et l’effet d'induction n’est pas annulé.
  - Limite à imposer à la valeur de l’inductance mutuelle lorsque les lignes ne marchent pas en parallèle. — L’action de l’inductance mutuelle pouvant devenir très gênante lorsque les lignes sont alimentées par des machines différentes ne marchant pas en parallèle, il y a intérêt à réduire autant que possible cette valeur de l’inductance mutuelle. Toutes les fois que l’une des valeurs V1S, 1
  - V23, V31 dépassera-^E, il faudra recourir au procédé des rotations de fils.
  - 5° EMPLOI DES ROTATIONS DE FIL POUR REMÉDIER AUX EFFETS DE l’iNDUC-
  - tion mutuelle et de la dissymétrie. — Nous supposerons qu’il n’y a que deux lignes triphasées.
  - a) Les lignes ne marchent pas en parallèle.— Il nous faut réduire la force contre-électromotrice d’induction mutuelle des deux lignes autant qu’il est possible.
  - Il est évident que si nous voulons annuler l’effet d’induction de la seconde ligne sur la première, et réciproquement, il faudra faire tourner les deux lignes. Cette double rotation doit être faite de façon à faire occuper à un fil toutes les positions possibles par
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- - INDUCTANCE
  - 121
  - rapport aux deux fils de la ligne à laquelle il appartient, et par rapport aux trois fils de la ligne voisine. On doit donc faire ces rotations de la façon indiquée par la figure 37. Nous supposons qu’il n’y a pas de branchements à débits importants en cours de route ; sinon il faudrait traiter la* partie de ligne comprise entre deux branchements comme une ligne complète.
  - Malgré cette précaution, l’effet d’annulation n’est pas rigoureusement exact, parce que le long de la ligne, les tensions, les phases et les courants varient. Avec les fréquences utilisées dans les transports de force, cette variation est, en général, assez lente pour qu’il soit possible de considérer que sur 30 ou 40 kilomètres, elle n’est pas très appréciable.
  - Séççsæ
  - Fig. 37.
  - %
  - Par conséquent si nous avons une ligne de transport de force, double triphasée de 40 à 50 kilomètres on divisera la première ligne en trois parties et la deuxième en neuf parties et les rotations se ferait comme l’indique la figure 37.
  - Si la ligne a une longueur plus grande, nous la diviserons en deux ou plusieurs parties, et, traiterons chacune de ces divisions comme il a été indiqué plus haut.
  - Si nous voulons annuler d’autre part, l’effet d’induction sur la ligne téléphonique, qui accompagne souvent les transports de force, il faudra faire tourner aussi la ligne téléphonique ; mais ces rotations devront être très fréquentes, car la fréquence élevée des courants téléphoniques produit, le long de la ligne, comme nous le verrons plus loin, une variation assez rapide des tensions, 1 phases et courants. On fait géné- I) râlement tourner la ligne télé- 2* phonique d’un demi-tour tous les ^ poteaux. 2
  - Ces rotations ne sont pas très coûteuses, et, elles augmentent fort peu le coût d’une ligne longue et importante.
  - L’augmentation du prix de revient pour une ligne de dix à vingt kilomètres n’est pas négligeable. Si les deux lignes constituantes
  - 3; 2 N i \ ,4 /1 j \ K j i
  - -15 1 ^ i 3i j ''+5 l l
  - ! ! '' 1 ! / I 1
  - 16 2'/ i6 W ‘6
  - Fig. 38.
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- - m
  - CHAPITRE VIH
  - sont assez chargées, et, ne marchent pas en parallèle, l’effet de balancement de voltage pourra malgré la courte longueur de la ligne être appréciable. Dans ce cas, il est bon d’étudier le résultat de la rotation d’une seule ligne. Ce résultat n’est pas toujours favorable. Dans le cas de deux lignes triphasées situées dans deux plans verticaux, cette rotation unique diminue beaucoup l’effet d’induction mutuelle.
  - La force contre-électromotrice instantanée d’induction mutuelle de la ligne 4,5 G sur le fil 1 est, en effet, dans ce cas, d’après la figure 38 :
  - Vi= +
  - 2/ X 2,303 T 1
  - 1O4
  - [i (lovD + lov.D y/2 -+- lovD V 5) -h ^f)-
  - i(lovD + a]ov.D^)^].
  - V
  - 21. X 2,303 4 ,
  - —w—xilov
  - 5 dis 2 dt
  - Cette équation nous indique la direction de la force d’induction mutuelle, et, sa valeur efficace.
  - V,
  - 2.M. MX 2.303 _ 4 , /S
  - ------ Xg iovy/j
  - 4 O4
  - Par 100 ampères-kilomètres à 50 cycles Vt — 0,959.
  - Ces valeurs de U étant égales pour les trois fils et faisant des angles de 120° entre elles, la valeur de la force élecfromotriçe d’induction mutuelle de la ligne 4,5,6 sur la boucle 1,2 sera LCv'd = 1 v. GG, au lieu de 8 v.75 lorsqu’il n’y avait aucune rotation de ligne.
  - L’étude se fait très simplement, en étudiant l’action de la ligne qui ne tourne pas sur les fils de la ligne qui tourne, il n’est pas nécessaire de considérer les boucles.
  - Avec certaines dispositions de fils cette rotation unique, qui égalise toujours les inductions mutuelles, ne diminue pas la valeur maxima de cette induction ; quelquefois même, elle l’augmente.
  - b) Les lignes marchent en parallèle. — Nous avons à égaliser les voltages, et, à diminuer si possible la chute de tension.
  - 11 est évident qu’il n’y a aucune rotation de fils à effectuer si les deux ligues ont des charges égales et sont disposées sur un hexagone régulier, tandis que précédemment, les rotations étaient nécessaires même avec cette disposition,
  - Très souvent il n’y aura aucune rotation à effectuer pour les
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- - INDUCTANCE
  - 123
  - lignes de moyennes longueurs disposées, suivant la troisième disposition étudiée.
  - En somme, un grand nombre de lignes doubles, marchant en parallèle sont construites sans aucune rotation. Si des lignes téléphoniques sont placées en dessous de telles lignes de transport, on fera tourner la ligne téléphonique, comme il a été dit. Malgré cela, l’induction sur cette ligne sera forte ; il sera bon d’employer pour améliorer le service téléphonique des appareils spéciaux, par exemple des transformateurs de téléphone, dont le centre du primaire est mis à la terre, par l’intermédiaire d’une self.
  - Les chiffres que nous avons indiqués pour les différences de voltage permettent de se rendre compte, très rapidement, lorsqu’une disposition de fils a été imposée par une raison quelconque, de la nécessité plus ou moins grande d’effectuer des rotations de lignes. Il faut toujours comparer les différences de voltage au voltage de la ligne.
  - Les rotations, lorsqu’elles sont nécessaires sont faites par le procédé indiqué par la figure 37, c’est-à-dire qu’il y a une ou deux rotations complètes sur une ligne, et trois fois plus sur l’autre.
  - Avec des rotations ainsi effectuées, l’égalité de voltage est obtenue, et la chute de voltage est égale à la chute de voltage d’une ligne simple symétrique, si les deux lignes composantes sont symétriques ou à la chute de voltage moyenne d’une ligne simple dissymétrique si les lignes composantes sont dissymétriques.
  - Lignes multiples à 9 ou fils. — Pour ces lignes le système de rotation des fils est peu pratique, le meilleur moyen d’égaliser les voltages est de diminuer la distance entre les fils d’une même ligne, et, d’augmenter la distance entre les lignes, de façon à obtenir sensiblement un rapport de 1 à 2 entre ces deux distances. On peut également employer ce procédé pour les lignes de distribution présentant de nombreux branchements.
  - IV. — Calculs pratiques
  - 1° Calcul du coefficient de self-induction apparente Ls. — Lignes monophasées ou triphasées simples. — On a dans le cas d’une ligne monophasée ou triphasée simple symétrique,
  - Ls = 1 (T4 (0,5 + 4,605 lov. ^.
  - Pour les triphasés simples dissymétriques la formule devrait
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- - 124
  - CHAPITRE VIII
  - être modifiée, comme nous l’avons indiqué, mais on se sert en général de la même formule.
  - Lignes triphasées doubles. — S’il y a rotation des fils, d’après le procédé de la figure 37, la formule précédente est encore applicable.
  - S’il n’y a pas de rotations de fils, la valeur de Ls a été indiquée pour trois dispositions de fils et dépend naturellement de la disposition qu’on adopte.
  - La troisième disposition composée de lignes triphasées symétriques superjDosées étant la plus fréquente, nous donnerons, à la fin du présent ouvrage, des courbes permettant de calculer facilement l’inductance moyenne de ces lignes. Le coefficient moyen de self-induction apparente était, dans ce cas :
  - L'a = ^0,094 -j- 4,605 lov. ^ 10"4.
  - 2° Représentation graphique de l’inductance de la ligne. — L’inductance de la ligne est égale au produit du coefficient de self-induction apparent par to = 2ti;n, n étant la fréquence.
  - Pour les lignes monophasées ou triphasées symétriques simples ou doubles, avec rotation de fils complète, on a :
  - 2toiL8 = 2kh. 10"4 (0,5 + 4,605 lov. D — 4,605 lov. r).
  - Posons : Y = 2™. 10"4(0,5 + 4,605lov.D).
  - L = — 2-ira.lO"4 X 4,605 lov. r.
  - Nous avons: 27mLs = Y -j-Z.
  - Pour les lignes à six fils composées de deux lignes triphasées symétriques superposées, comme il est indiqué figure 35, on aurait :
  - 2™.L's == 27m.l0~ 4(0,094 + 4,605lov. D — 4,6051ov.r).
  - Posant : Y' = 2im.l0”4(0,094 + 4,605lov.D).
  - Nous aurons : 2tt?iL's = Yf+Z.
  - Z ayant la même valeur que précédemment.
  - M. l’Ingénieur Semenza (dans un travail publié dans Y Aide-mémoire de U Ingénieur de Colombo) a représenté par des courbes les fonctions Y = (D) Y'=/;(D) et Z = /(r).
  - Nous avons reproduit ces courbes, à la fin du présent ouvrage, avec l’autorisation, de l’auteur.
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- - INDUCTANCE
  - 125
  - La figure de gauche représente en traits pleins les courbes Y= /, (D) et en pointillé les courbes Y'= ft (D).
  - Pour chaque fréquence usuelle, on a une courbe spéciale désignée par le nombre de cycles.
  - Les distances entre fils exprimées en centimètres sont portées en abcisses, les valeurs Y et Y' en ordonnées. Les fréquences employées sont les fréquences usuelles : 15, 25, 30, 42, 50.
  - La figure de droite représente la courbe : Z == /(r).
  - On a porté en abcisses le diamètre (2r), en ordonnées Z.
  - Usage. — Supposons que l’on cherche la chute de tension inductive pour une ligne de 11 kilomètres de longueur parcourue par un courant à 50 cycles de 100 ampères. Le diamètre des fils est de 6 millimètres. Leur distance 60 centimètres. La ligne est triphasée simple. En désignant par e la chute de tension inductive.
  - On a : e = (Y -f Z) 100A X 11.
  - D’ailleurs, si nous prenons dans la première figure la courbe n — 50 et cherchons la valeur de Y pour D = 60 centimètres, on lit Y = 0,273.
  - Dans la deuxième figure, on trouve, cà l’intersection de la courbe n = 50, et de la verticale 2r == 6 millimètres : Z = 0,075.
  - Donc, Y + Z = 0,348. e = 0,348 x 1.100 = 382 v. 8.
  - Les calculs sont fort simples et très rapides.
  - La somme Y -f- Z nous donne l’inductance kilométrique, en ohms.
  - 3° TABLES DE SELF-INDUCTION ET DE MUTUELLE INDUCTION. — Le Coefficient de self-induction apparent est donné comme nous l’avons vu, par la formule :
  - (1) Ls =£ — 310.
  - On a d’ailleurs :
  - £ = (0,05 — 0,4605 lov. r) millihenrys par kilomètre, r est exprimé en centimètres.
  - ou bien j?. = (0,649 — 0,4605 lov. d) millihenrys par kilomètres d = 2r est exprimé dans cette formule en millimètres.
  - Oit = — 0,4605 lov. D millihenrys par kilomètre. D est exprimé dans cette formule en centimètres.
  - Les deux tables ci-dessous ont été calculées d’après les formules précédentes.
  - Cherchons la chute de tension inductive pour une ligne de 11 kilomètres à 50 cycles :
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- - CIJAlMtRK MH
  - 126
  - Coefficient de self-induction SC Coefficient de mutuelle induction
  - Diamètres en millimètres SC en millihenrys D en centimètres Dit en millihenrys
  - 4 0,3719 50 — 0,7823
  - 4,5 0,3483 55 — 0,8014
  - 5 0,3273 60 — 0,8188
  - 5,5 0,3082 65 — 0,8348
  - 6 0,2908 70 — 0,8496
  - 6,5 0,2748 75 — 0,8635
  - 7 0,2600 80 — 0,8764
  - LS 0,2461 85 — 0,8885
  - 8 0,2333 90 — 0,8999
  - 8,5 0,2211 95 - 0,9107
  - 9 0,2097 100 - 0,9210
  - 10 0,1887 150 — 1,0021
  - 11 0,1696 200 - 1,0596
  - 12 0,1522
  - 14 0,1214
  - 20 0,0500 1
  - I = 100 ampères 2r = 6 millimètres D = 60 centimètres.
  - Nous avons :
  - SCB = 0,2908 0)Ltio = — 0,8188 et Ls = 1,1096 millihenrys.
  - La force contre-électromotrice de self-induction apparente est -:
  - e = lO"*"3 X '2 X 3,14X 80 X 1,1W x 10x 100 X 11 = 382v.
  - 4° impédance, impédance Dirigée. — Nous avons vu que le diagramme des tensions d’une ligne de transport de force, dont l’inductance n’était pas négligeable, était représenté par la figure 18 résultant de l'équation géométrique :
  - Ü0 = Ü + (RI)_r H- (/<0ÙI)
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- - îndiÆîaNce
  - m
  - ôu bien : OM0 = ÔM -f MA -b AM0 = OM + MM0.
  - Cette dernière expression nous montre cpie le vecteur de la tension à l’origine peut être considéré comme la résultante des vecteurs de la tension à l’arrivée, de la chute de tension ohmique /rl = RI en phase avec le courant; et enfin de la chute de tension,
  - A
  - Fig. 39.
  - due à la réactance /wLsl, en avance de J sur la phase du couranti
  - ou bien, comme la résultante des vecteurs de latension à l’arrivée et de la chute de tension due à l’impédance IzI = ZI. Cette chute de tension étant représentée par le vecteur ZI en avance de phase de 9 par rapport à la phase du courant. On a d’ailleurs :
  - *5"=^ = -^ et Z = l v'r* + cÆT:
  - Dans ces conditions, pour une ligne donnée, l’impédance est caractérisée par une longueur Z et un angle. Cette grandeur ainsi
  - A'"
  - Fig. 40.
  - déterminée peut être appelée 'l'impédance dirifèe. La grandeur dirigée Zq n’est pas un vecteur ; mais ZI est un veeteur qui se déduit du vecteur I en multipliant sa longueur par Z et en augmentant son angle de phase de 9.
  - La considération de l’impédance dirigée simplifie souvent les calculs ou les diagrammes.
  - Cette considération revient à définir la position du point M0, à l’aide de Coordonnées polaires (ZI,9). La considération de la résistance et de l’inductance définit cette position par des coordonnées rectangulaires RI et /.o>LsI.
  - 13'ans mie exploitation donnée, la fréquence est déterminé, ainsi que le voltage de la distribution. Ce voltage détermine l’écartement adopté pour lès fils. Lorsque la fréquence et récartèmenl
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- - 128
  - CHAPITRE VIII
  - des fils sont donnés, chaque fil de ligne a une impédance dirigée qui lui est propre.
  - Diagramme des impédances dirigées. — Ce diagramme des impédances est en somme la relation géométrique qui relie l’impédance à la section. Ce diagramme polaire est très facile à construire rapidement. Les coordonnées du point A sont eu effet r et ioLs. La résistance nous est donnée par la table de la page 70 et (o.Ls par les courbes de la planche 1 ou par le calcul. On remarquera que le terme dû à l'écartement D est toujours le même, et que le calcul se réduit à l’addition à ce terme constant des termes dus au diamètre (2r) du fil. Si nous prenons n — 50 et D = 0,70. Nous avons la figure il. Les coordonnées du point A correspondant au diamètre o millimètres, sont : OA'= 0,886 et AA'= 0,283 -f 0,086 = 0,369.
  - Fig. 41.
  - Dès qu’on a obtenu les points A pour des fils dont les diamètres diffèrent d’un millimètre ; on peut tracer la courbe des points A. Les points intermédiaires pour des diamètres différents de 1/10 de millimètre s’obtiendront en se servant simplement des résistances, sans calcul nouveau de l’inductance.
  - Ce diagramme est souvent utile pour la résolution géométrique de divers problèmes de transport de force.
  - Y. Cas spéciaux
  - 1° cas des conducteurs de gros diamètres. — Dans le cas de conduc-teurs de gros diamètres, il est impossible d’admettre la densité uniforme du courant dans le conducteur. Les formules que nous avons établies pour la valeur de la force électromotrice d’induction dans le conducteur sont donc inexactes.
  - Nous avons vu, d’autre part, que le conducteur étant mal utilisé,
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- - LNDUCTAJNCE
  - 129
  - la résistance ohmique qui doit entrer dans le calcul de réchauffement du conducteur n’est plus la résistance ohmique que présente le conducteur à un courant continu par exemple.
  - Maxwell détermina la force électromotrice E nécessaire pour faire passer un courant variable 1 dans un conducteur de grand rayon a. Il supposait ce conducteur de longueur très grande par rapport au rayon, et, en outre, assez éloigné des autres parties du circuit pour que l’induction due à celle-ci fut sensiblement uniforme dans toute sa section.
  - Il trouva :
  - jy_____p r i i ________________tî ( c'“ d2i k3 <m d*\
  - l — i- Ls ^7 — Ai | ~w — 78 dt3 TW dF “'
  - 13 d*l 8.640 dt3
  - a étant égal à~ •
  - gj désignant la perméabilité du métal constituant le fil.
  - R la résistance du conducteur en unités G.G.S. électromagnétiques, par centimètre.
  - Ls le coefficient de self-induction et dInduction mutuelle combiné en unités G.G.S. électromagnétiques, par centimètre.
  - I la longueur du conducteur en centimètres.
  - Supposons que I = I0 sin co/, on a :
  - (—z= coin COS Oit dt
  - — = — co2I0 sin iùt = — co2J
  - ~ — _ W»I0 cos ut = — w2 ^ dt3 dt
  - d’où :
  - dH_
  - dt}
  - — -f- u>4I0 sin ut — il»4!, etc.
  - E
  - T
  - 180
  - ctt
  - dt
  - R a3f')2 Ls 48
  - Tout se passe comme si la résistance par unité de long, était :
  - R'=K1 + tt-w+-)=r(1
  - fxpw1
  - 12R*
  - Ui+r,}
  - 180R*
  - et le coefficient de self-induction et de mutuelle induction combinées, par unité de longueur :
  - crw2 . \ t î
  - =LS l-(x,
  - 48R* X Ls "7 J
  - Ges séries sont rapidement convergentes. R et Ls sont exprimés en unités électromagnétiques par centimètre.
  - Pour que R' et L's ne diffèrent pas sensiblement de R et de Ls,
  - 9
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- - 130
  - CHAPITRE VIII
  - c’est-à-clire pour que nous puissions appliquer les formules ordinaires, il faut que les valeurs de :
  - a*a>*
  - 12
  - 12
  - Pi**
  - R
  - R
  - U
  - 48
  - 48 Ls V R /
  - JfjL
  - soient négligeables.
  - Exemple. — Considérons un conducteur de cuivre do 340 m2 faisant partie d’une ligne triphasée à 50 cycles, dont les conducteurs de rayon « = 12,5 sont à 3 mètres de distance.
  - > = 2x3,14X50 ==314
  - -il
  - ' 340 '
  - x|| = S00.
  - :1.
  - U=0,001147x1S = ‘14'Ï-
  - 106'
  - l\ et Ls sont ainsi exprimés en unités C.G.S. électromagnétiques par centimètre de longueur, et par suite peuvent être introduits dans les formules précédentes. On a :
  - 1 M2
  - 72 R2
  - = 0,033.
  - 1
  - 48L R2
  - 0,0007.
  - Ces deux valeurs représentent approximativement les erreurs relatives faites sur IV et Li, en prenant comme valeurs approchées R et L.s.
  - Nous v oyons qu’il est inutile de corriger le coefficient de self-induction et qu’il sera bon de calculer IV.
  - Lorsque-—est plus petit que 0,1, en se contente en général d’écrire, si y. = 1 :
  - ‘ ~~ 1 0 + 72 r2 X I08) '
  - r et rr étant alors exprimés en ohms par kilomètre.
  - Les conducteurs de fer ou d’acier sont peu employés dans les transports de force ; leur emploi se limite en somme :
  - à de petites lignes de villages en til de 60/10 portant des puissances insigniiiantes ;
  - à des traversées de grands fleuves.
  - Daus ce dernier cas, il sera nécessaire de recourir au calcul approché de IV et de L'.
  - Dans le cas de lignes en cuivre ou aluminium, ce phénomène est rarement très gênant pour les lignes de transport de force ; il n’en est pas de même pour les lignes de distribution à bas voltage (210 ou 440 volts), aériennes ou souterraines en câbles armés.
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- - INDUCTANCB
  - 131
  - Pour pallier aux inconvénients de l’effet Kelvin, on a proposé, dans les postes, l'emploi de conducteurs tubulaires, et pour l’extérieur (lignes aériennes ou câbles souterrain), l’emploi de conducteurs câblés dont les torons passeraient constamment de l’intérieur à l’extérieur et réciproquement.
  - La division de gros conducteurs en conducteurs de diamètres plus faibles est évidemment très efficace, mais on est, en général, rapidement limité de ce côté.
  - 2° COEFFICIENTS DE SELF-INDUCTION ET DE MUTUELLE INDUCTION d’üN FIL
  - unique. — Lorsque nous avons déterminé les coefficients de self-induction et de mutuelle induction, nous avons annulé les termes qui avaient en facteur (ii -t- -f- ... in).
  - Nous avons donc modifié dans une certaine mesure les coefficients de self-induction et de mutuelle induction ; mais nous n’avons pas modifié la force contrc-électromotrice d’induction qui nous intéresse particulièrement, presque uniquement.
  - Les expressions B = / —- 2 log r'j et /Oit = — 2/ log dPi q nous
  - conduiront toujours à des résultats pratiques exacts, tant que :
  - h H- h -+- • • • in — ff •
  - On peut toutefois calculer la sell-induction d’une ligne unifilaire en partant de l’énergie potentielle.
  - Lu effet, W = i-/SCI2 représente l’énergie potentielle du circuit.
  - Si on fait 1= 1, on a /Ï = 2W.
  - La self-induction est le double de l’énergie développée par le conducteur, lorsque le courant varie de l’unité à zéro.
  - Si on emploie le coefficient de self-induction correspondant à cette définition, il importe d’employer également le coefficient de mutuelle induction de Neumann :
  - dsds' cos a
  - ds et dd étant deux éléments de courant situés à une distance r fini de l’autre, et l’angle (le leurs directions étant a.
  - Ces théories appliquées aux lignes polyphasées conduisent à adopter les coefficients de self-induction et d’induction mutuelle, suivants ; (par unité de longueur) :
  - ,m' = ‘2(log~-l) et a? = 2 (log0,75).
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- - 132
  - CHAPITRE VIII
  - On a d’ailleurs :
  - Ls = av _ o\V = ^0,50 h-2 log J^3-) = $ — oïl.
  - L’emploi des coefficients a' et 011' apporte donc, en somme, une complication inutile.
  - Ces coefficients sont quelquefois employés dans les ouvrages techniques étrangers.
  - 3° inductance dans les cables armés. — Lorsque le câble armé est constitué par des câbles unitaires séparés, dont aucun n’enveloppe les autres, les formules donnant la self-induction apparente d’un conducteur sont lés mêmes que celles employées dans le cas des lignes aériennes.
  - La formule applicable dans ce cas est donc :
  - Ls = (o,5h-4,6051ov£) 10“4.
  - Il est important de remarquer que D est la distance entre les axes des conducteurs; il est facile de s’en rendre compte, en faisant la moyenne des forces contre-électromotrices d’induction mutuelle, induites par le conducteur 2, par exemple, dans les conducteurs filiformes, élémentaires, constituant le conducteur 1.
  - Considérons un câble triphasé armé à 10.000 volts.
  - Le diamètre de chaque conducteur est de 11 mm. et la distance entre les axes des conducteurs est de 20 mm.
  - On a : L,=-se — 0K,
  - avec : ^ = 0,649— 0,4605 lov d, d étant le diamètre exprimé
  - en millimètres.
  - Ici : <£ — 0,649— 0,4605 lov 11 —= 0,169 millihenrys.
  - 3)1 =—0,4605lov D, D étant exprimé en centimètres.
  - Ici : âll — — 0,4605 lov 2 = — 0,1386 millihenrys.
  - D’où : Ls == 0,3076 millihenrys par kilomètre.
  - Dans le cas d’une ligne aérienne de même diamètre, mais dont les fils seraient situés à 1 mètre de distance, nous aurions un coef-iicient de self-induction apparente L's — 1,09 millihenrys par kil. Le coefficient de self-induction apparente de la ligne souterraine est à peine le tiers du coefficient de la ligne aérienne.
  - L’eifet Kelvin et les courants de Foucault dans le plomb et dans l’armature peuvent modifier légèrement la valeur de l’inductance des câbles armés. Lorsque les conducteurs sont circulaires on peu!
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- - INDUCTANCE
  - 133
  - prévoir la valeur de la correction due à l’effet Kelvin. L’effet des courants de Foucault et l’effet Kelvin, pour les conducteurs de forme quelconque, ne peuvent guère être déterminés que par l’expérience. Nous verrons à propos des mesures sur des lignes construites que ces effets ne sont pas très importants lorsqu’il s’agit de câbles triphasés.
  - Notes et remarques. —1° Nous avons supposé dans l'étude des lignes triphasées dissymétriques que les courants étaient décalés de 120°, ceci n’est pas rigoureusement exact, mais l’erreur est très faible.
  - 2e Tous les diagrammes ont été construits, en donnant comme longueur, à à chaque vecteur, sa valeur efficace : par conséquent, lorsque les diagrammes tournent avec la vitesse &>, les projections sur l’axe origine, doivent être multipliées par v* 2 pour pouvoir donner les valeurs instantanées des grandeurs alternatives sinusoïdales considérées.
  - 3° Le circuit fictif que nous avons utilisé, a simplement pour but de décomposer la ligne triphasée en trois lignes monophasées portant chacune le tiers de la charge, et, marchant à un voltage égal à la tension simple.
  - On peut également appliquer la loi de Kirchoff entre les points neutres A et A' supposés au même potentiel.
  - On peut aussi considérer la surface enveloppe de potentiel zéro, etc.
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- - CHAPITRE IX
  - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION EN TENANT COMPTE DE L’INDUCTANCE
  - I. — Etudes algébriques
  - 1° diagrammes et formules générales. — Considérons une ligne dont la section des fils est donnée, ainsi que leur écartement. Connaissant la puissance délivrée, à l’arrivée sous un voltage donné, avec un facteur de puissance fixé, nous nous proposons de déterminer :
  - La perte relative de puissance par rapport à la puissance à l’arrivée : p.
  - La chute relative de voltage par rapport au voltage à l’arrivée : e.
  - Nous désignerons comme précédemment par :
  - P0 la puissance en watts au départ de l’usine.
  - P la puissance en watts à l’arrivée.
  - E0 la tension efficace entre fils en volts au départ de l’usine.
  - E la tension cfticacc entre fils en volts à l’arrivée.
  - U0 et U les tensions simples dans les mêmes conditions.
  - I la valeur efficace du courant en ampères.
  - Cos!»0 et cos <p les facteurs de puissance au départ et à l’arrivée.
  - R la résistance d’an fil de ligne.
  - r la résistance kilométrique d’un fil de ligne.
  - p la résistivité du métal employé en microlims-centimètres.
  - Chiite relative de voltage. — En considérant toujours le circuit fictif étudié au paragraphe II du chapitre précédent, nous avons :
  - u0 = Ri -f- ILS -gg ?/, nous en déduisons l’équation géométrique :
  - (Üo) = ( ü)o + (Rî) - y + iWLJ) - 7 + | •
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- - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION
  - 135
  - Cette équation géométrique est réalisée dans le diagramme de la figure 42.
  - Dans le triangle rectangle Om0 M0, on a :
  - ÔM02==(OM + Mm0)2 + (m0M0)2.
  - (1) U02=r [U + ZI cos (0 — ©)]* + Z2!2 sin2 (6 — ©).
  - Fig. 42.
  - Posons: v = U0— U d’où U0 = U + u
  - L’équation devient :
  - (2) + 2Uu = 2UZI cos (9 — ©) + Z*IS
  - On a d’ailleurs (voir le paragraphe suivant) :
  - (3)
  - Kl2
  - P ~~ UI cos f
  - 7A cos 0 U cos f
  - Remplaçant dans l’équation (2) ZI, par sa valeur en fonction dep tirée de (3).
  - Il vient :
  - vl , n rcos(0
  - —;jUcoscp|^
  - f)
  - 2 U
  - cos 0
  - pcos?'\ n 2cos20 J
  - Cette équation permet de déterminer v ou = e. On peut mettre
  - le dernier terme sous une forme plus commode pour le calcul. En mettant tg 0 en évidence on a :
  - v2 4- 2Uu — 2 /?U2 cos © [j 1 -f- f + f tg'2 9) cos © + sin © tg 9J = 0. Posons :
  - (4) N == cos y [(1 +1 +1 tg2 9) cos cp -f sin© tg 9 J,
  - L’équation devient : a2 + 2Ui> — 2^U2N — 0.
  - D’où : u = U(—1 H-s/I + 2/îN)
  - ou bien :
  - (5) e = — t + vï+%>N.
  - Comme l’extraction de la racine doit être faite avec une assez
- p.135 - vue 139/178
- - 136
  - CHAPITRE IX
  - grande exactitude, on préfère quelquefois calculer l’équation par approximations successives.
  - On a : v — pUN — ^ négligeant,^ona: v' =j».U.N
  - Portant cette valeur dans le second membre de l’équation pré-
  - vr'2
  - cédente, il vient : v"= /j.U.N. —
  - La valeur de v" est en général suffisamment exacte.
  - Perte relative de puissance. — La puissance à l’arrivée PM = UI cos <p.
  - La perte de puissance est : U0I cos cp0 — UI cos © — W.
  - Ln projetant sur la direction du courant MA, les contours OMAM0 et OMO, on a :
  - (6) U cos©-}- RI= U0cos©0.
  - d’où: W=U0Ï cos?0 — UIcos© = RI*.
  - La perte de puissance est donc la même que celle que nous avons trouvé pour le calcul des lignes où il n’était tenu compte que de la résistance. En effet, la force contre-électromotrice d’induction étant décalée de 90° par rapport au courant, ne produit aucun travail. On a donc :
  - (?)
  - P
  - RI*
  - Ulcosy
  - ou bien
  - 3RP
  - E.I. \j'& cos f
  - Facteur de puissance au départ. — L’équation (6) nous donne :
  - U , RI
  - cosœ^TT-cosy + ïj- .
  - Remplaçant RI par sa valeur tirée de l’équation (7), on a : (8) cos fft = Ty# [cos <P + p cosep] = cos f (j^rf)
  - 2° CALCUL DUNE LIGNE DE TRANSPORT PAR LA RÈGLE D’ÉCONOMIE. —
  - Exemple numérique. — Soit une ligne de transport de force de 60 kilomètres de longueur. A l’arrivée, elle distribue, à 25 cycles 5.000 kilowatts à 45.000 volts, avec un facteur de puissance cos o — 0,80. La distance entre fils est de 1 m. 50. On demande de calculer la section, de façon à ce que la perte relative de puissance par rapport a la puissance à l’arrivée, soit 10 0/0. On demande également de faire connaître la perte relative de tension. (Pour varier, nous emploierons les tensions composées).
  - Section. — Les équations donnant la section étant identiques à
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- - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION
  - 137
  - celles trouvées dans le cas du calcul de lignes fait, en tenant compte de la résistance seule, nous avons :
  - /.P iO.a p.G2cos2
  - 60X5 000 000 X 17.4
  - 0,1 X 45.0002 x 0,82
  - = 40 m. q. 28.
  - Nous chercherons dans les tables des constructeurs les fils de diamètres types.
  - Supposons que nous trouvions que les fils de 7 m.5 de diamètre se rapprochent le plus de la section cherchée.
  - La résistance d’un fil de ligne sera ;
  - R==60x4j4 = 23“64-
  - 44,2
  - Courant. — On a :
  - J _----J_______________» 000 000_______80l
  - li \/ 3 cos y l.'i OlIOX 1,7:] X 0,80 '
  - 80
  - La densité de courant sera = 1,81. Elle est parfaitement admissible.
  - Perte de puissance relative. — La perte de puissance
  - iv = 3RI2 — 3 X 23,64 X 802 = 455.000-/? =f = 0,091.
  - Cette perte relative diffère un peu de notre desideratum mais nous sommes obligés de nous conformer aux fils types (En réalité, nous pourrions, dans ce cas, trouver un type de fil plus rapproché). Perte relative de voltage. — Nous avons : e — — 1 -f- 1 +2/?N
  - avec N — cos cp
  - [(l + f + f tg2°) cos? + sinc? %0]*
  - On a d’ailleurs : /.toLs — 0,196x60 = 11,75.
  - tg6=“ = pi=M96.
  - N=0,80 [(l + ^ ^ (0,-496)’) 0,80 + 0,60x0,496] =0,915.
  - Donc :
  - e = —\ + ^1 + ^X0,091x0,915 = — 1 + v 1,16653 = 0,0801.
  - La tension composée E 45.000 volts.
  - Donc : E0—E= 45.000x0,08 = 3.600 volts.
  - E0— 48.600 volts,
  - On aurait pu calculer par approximations successives, les différences de voltage V = E0 — E. On a en effet :
  - V' = pEN = 0,091 X 45.000 X 0,915 = 3.740 volts.
- p.137 - vue 141/178
- - 138
  - CHAPITRE IX
  - — = 155 volts. Donc : V" = V' — ^r— 3.585 volts. Si on s’arrête à cette approximation on aura :
  - E0 — E + V" = 48.585 volts.
  - Facteur de paissance au départ. — On a :
  - cos o0 = cos © = x 0,80 = 0,808.
  - Variations dans les données. — Les données seront quelquefois légèrement modifiées.
  - Par exemple, on peut demander de calculer une ligne de transport par la règle d’Bconomie, connaissant E0, P0, cos<p0
  - w
  - et pa = —, c’est-à-dire la puissance, le voltage, le facteur de
  - puissance au départ ; et, la perte de puissance par rapport à la puissance au départ. On alors des équations tout à fait analogues aux précédentes. Pour une ligne triphasée nous aurions :
  - (1) E0Iy/3 cos<p0 —
  - (2) W = 3RI
  - (3) R — —-£ *•
  - 0) W P‘=p.-
  - Nous tirons de là :
  - (S)
  - S = AX.
  - 1Q.p
  - TV Ko8' ' COS2^
  - C’est la formule que nous avons employé dans la discussion sur la règle d’économie.
  - 3° Calcul d'une ligne de distribution par la règle d’économie. — Le voltage au départ du poste de transformation est donné. Nous le désignerons par E0. Ici E0 est de l’ordre de 5.000 à 15.000 volts. La puissance distribuée à l’arrivée P, le facteur de puissance cos y à l’arrivée, et, la perte de puissance dans la ligne par rapport à la puissance à l’arrivée sont également donnés. On a :
  - (1) EV3cos<p = P.
  - (I) Les valeurs de sin® correspondant aux valeurs ordinaires du facteur de puissance sont indiquées page 145.
- p.138 - vue 142/178
- - CALCUL DUS LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION
  - 139
  - (2) W = 3RI2.
  - (3) Lt 0-p s
  - (*) W P=T-
  - (6) e = -~ 1 + v/lH-2j»N.
  - Avec :
  - (6)
  - N = cosep + f tg28) coscp -i- tgQ sincpj.
  - On ne peut solutionner ce problème que par tâtonnements ; mais ils sont peu nombreux, et la solution est trouvée très rapidement :
  - On admettra pour E une valeur E' égale à la moyenne du voltage dans la distribution secondaire. On en déduit :
  - /Æ'2 ^ cos2© •
  - Les fils sont déterminés. L’équation (6) nous donne pour N une valeur N'.
  - On en déduit pour le voltage à l’arrivée une valeur
  - ... .
  - V'I + 2/jiV
  - Si cette valeur diffère très peu de E', le problème est résolu. Sinon on déterminera une nouvelle section des fils
  - ," — lF ^ 10 P
  - 6 — pE'7* ^ cos2? ‘
  - Cette deuxième approximation est toujours suffisante, et, la pre mière l’est très souvent.
  - 4° Formules algébriques approchées. — En employant les ten-r sions composées, et posant V — E0 — E on a d’après l’équation (5) des formules générales :
  - V = E[-l+v/l H
  - En posant N — cos^p f l + i* + tg*6 jcos <p + sin ® tgôj.
  - En développant le radical on voit que le terme (— 1 -f- \/l +2/»N) contient p comme facteur commun. On est donc conduit à poser :
  - Y — /?EM avec : M = — 1 -f-\/1 -f- 2pN j.
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- - 140
  - CHAPITRE IX
  - Les formules de calcul de lignes monophasées, triphasées, diphasées sont alors :
  - (1) s=A|xk
  - (2) I = |XT.
  - (3) Y = ;?.EM.
  - /, P,/?, E, 1, V ayant la signification qui a été indiquée au début de ce chapitre.
  - Ces équations sont tout à fait de mêmes formes que celles trouvées précédemment pour le calcul des lignes en tenant compte de la résistance seule. Les valeurs de K et T sont identiques. Les valeurs de M sont très différentes de celles indiquées précédemment : elles peuvent être calculées par la formule ( I ) ou mesurées géométriquement.
  - On se contente souvent de tables donnant des valeurs approchées de M.
  - Valeurs de T et K. — Nous donnons ci-dessous les valeurs numériques de T et de K pour cos©= 0,95 — 0,90 —0,85 —0,80 et p = 1,74.
  - Système COS f z = 0,95 COS f : = 0,90 COS f : = 0,85 COS f : = 0,80
  - Valeurs de K Valeurs de T Valeurs de K Valeurs de T Valeurs de K Valeurs de T Valeurs de K Valeurs de T
  - S 11 O, r- lï t- 11 eu !> T! Q-
  - Monophasé. . . 38,56 1,052 42,96 1,111 48,17 1,176 54,36 1,250
  - Triphasé .... 19,28 0,607 21,48 0,641 24,08 0,679 27,18 0,722
  - Diphasé .... 19,28 0,526 21,48 0,555 24,08 0,588 27,18 0,625
  - Ces tables de T et de K ont été calculées en se servant des formules données dans le tableau de la page 85.
  - Valeurs de M. — Elles dépendent de 9, de çp et de p perte relative de puissance consentie. Cette perte relative est prise dans les
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- - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION 141
  - formules que nous employons par rapport à la puissance à l’arrivée. G dépend du diamètre et de l’écartement des fils.
  - La formule donnant la valeur exacte de M est complexe, aussi, les tables de ces valeurs de M qui se trouvent dans les ouvrages techniques sont-elles basées sur des formules approchées. Quelquefois même l’approximation est insuffisante : ainsi la valeur
  - (1) N = cos <p £(1 -h f + f tg2.Q) cos cp + sin z> tg 9 j
  - a souvent été employée ; elle donne pour M une valeur sensiblement trop forte comme il est facile de le voir. En prenant la partie de N, indépendante de la perte de puissance relative, on a :
  - ['2) M' — cos2 © [1 -j- tgcp. tg- G],
  - M. le Professeur Pender a montré qu’en prenant pour M la valeur donnée par l’équation 2, l’erreur relative faite sur M ne dépassait guère 2 à 30/0 dans les conditions ordinaires (Electrical World, 1905).
  - Ceci nous indique que la valeur vraie de M varie lentement avec p ; la variation avec l'écartement des fils est également assez lente.
  - Par conséquent, la table ci-dessous qui donne les valeurs exactes de M, pour une perte relative de puissance de 10 0/0 et pour des écartements de fils de 0,60 pourra être utilisée avec une approximation suffisante, lorsque les pertes relatives varieront de 5 à 15 0/0 et les écartements de fils de 0,50 à 0,70.
  - Valeurs de M
  - Diamètre des 25 cycles 50 cycles
  - fils en
  - millimètres cos 'f = 0,95 0,85 0,80 cos » = 0,95 0,85 0, 80
  - il 1,15 1,11 1,00 1,47 1,49 1,47
  - lü 1,11 1,03 0,99 1,30 1,37 1,33
  - 9 1,07 0,98 0,92 1,27 1,24 1,22
  - 8 1,03 0,93 0,80 1.20 1,13 1,11
  - 7 1,00 0,88 0,81 1/12 1,05 1,00
  - 6 0,97 0,84 0,77 1,00 0,90 0, 93
  - 5 0,95 0,80 0,73 1,02 0,90 0,85
  - 4 0,93 0,78 0,70 0,97 0,85 0,78
  - Exemple numérique. — On demande de calculer la section des lils permettant de transporter à 5 kilomètres une puissance de
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- - 142
  - CHAPITRE IX
  - 1.000 kilowatts comptés à l’arrivée. Le voltage à l’arrivée entre fils est E= 5.000 volts. La perte de puissance relative consentie en fonction de la puissance à l’arrivée p = 0,06. On a d’autre part p = 1,74 ; cos.ç = 0,80 ; — 50 cycles.
  - Nous avons :
  - n x i -000.000
  - 0,06 X 6.000*
  - X27,18.= ^~=90m2 60.
  - Nous prendrons deux fils de 7 mm. 5 de diamètre dont la section totale sera 2 X 44,18 = 88,36.
  - D’autre part :
  - 1 = | XT= g^-.X 0,722 = 200 X 0,722 = 144,4.
  - Si nous désignons R la résistance d’un des fils de ligne par la perte de puissance est :
  - 2 x 3 x | X R = 3 X 143* X = 62.130 watts.
  - La perte de puissance relative est donc 0,062.
  - La chute de voltage est :
  - Y = pEM = 0,062 x 5 • 000 x 1,06 = 328 volts.
  - E0 = 5.328 volts.
  - 5° Calcul d’une ligne de transport ou de distribution par la règle de « Bon Service ». — Nous nous proposons de calculer une ligne de transport en donnant : la puissance P distribuée à l’arrivée, le facteur de puissance cos cp à l’arrivée, le voltage E à l’arrivée, et, en se fixant la perte relative de voltage par rapport à E.
  - La solution rigoureuse du problème est fort complexe, les équations montrent qu’il s’agit en somme de l’intersection d’un cercle et d’une courbe logarithmique.
  - La solution se trouve assez facilement, par tâtonnements, en essayant un fil de diamètre d, et, vérifiant la chute relative de tension qu’il donne lorsque la ligne distribue à l’arrivée une puissance P sous un voltage E, avec un facteur de puissance, coscp.
  - Toutefois les méthodes algébriques pures ne sont pas à recommander dans ce cas, car la section de la ligne est reliée, à la chute relative de tension par les formules complexes :
  - (1) e = —l + ^l+2pN.
  - (2) N = cosg>|p + j + f tg’Oj coso + tgG sinoj.
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- - CALCUL DUS LUISES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION 143
  - (3)
  - Lu L ~ R
  - s
  - (4) Ls = ( 0,05 + 0,4606 lov -- ) X10
  - (5)
  - S
  - Le calcul d'une ligne de distribution se ferait de la même façon. Le fait que le voilage au départ est fixé, n’apporte pas ici de difficultés spéciales ; puisque la perte relative de voltage (e) est
  - donnée, on a, pour déterminer E, la formule : E
  - IL — Simplification de l’étude algébrique par l'utilisation d’un réseau de courbes
  - 1° Courbes de MM. Pendkr et Thomson (1). — Calcul des lignes
  - EN TENANT COMPTE SEULEMENT DE LA RÉSISTANCE ET DE L’iNDUCTANCE. —
  - Les longueurs que présentent le calcul exact de la chute relative de tension d’une ligne présentant une inductance appréciable, lorsque la section est connue, et les difficultés des tâtonnements nécessaires pour solutionner algébriquement le problème inverse, ont conduit à chercher la simplification de ces études et de ces calculs, en se servant d’un réseau de courbes tracées à l’avance.
  - M. le professeur Pendcr et M. Thomson utilisent un réseau de courbes reliant (un peu indirectement) la chute relative
  - de tension e — ^-jy— à la chute relative due à l’impédance de la
  - ligne (3= , (prise par rapport à la tension simple)>
  - La tension simple au départ U0 est donnée par l’équation :
  - U2 = [U + ZI cos(9 — cp)]* + [m- sin* (0 — <?)].
  - Posant e = —p7 — et [3 = il vient :
  - (1) e2—(32 -j- 2e— 2[3 cos(Q—©)=0.
  - Ce ne sont pas ces hyperboles qui constituent le réseau, résolvons l’équation par rapport à e, on a :
  - (2) e — — 1 -f- y/l +2(3 cos (9 — o)q- fi2.
  - (1 ) Procedings of the American Institute, juillet 1911. Transmission linesbj Harold Pender et H. F. Thomson.
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- - 144
  - CHAPITRE IX
  - MM. Pender et Thomson prennent comme abscisse : x — fi = -jy et comme ordonnées y — 2(Ü cos (G —o) -j- fi2.
  - Pour chaque valeur de (G — ©) nous aurons une parabole, l’angle intervenant par le cosinus, le signe de (G — <p) n’a pas d'importance : G — o = + a et G — <p — — a donnent la meme courbe a.
  - Pratiquement il suffit de tracer les courbes a de 5 en 5 degrés.
  - Ce réseau de courbes a été reproduit avec l’autorisation des auteurs, à la lin du présent ouvrage. L’éclielle placée à la gauche de l’abaque donne la valeur de \/l -h // — 1 c’est-à-dire la
  - y __ y
  - valeur de e — —-p— . Les divisions de cette échelle sont donc inégales.
  - Si y devient négatif, nous avons des augmentations relatives de tension. Les numéros des courbes nous montrent que cela ne peut avoir lieu que pour des valeurs négati ves de cp.
  - Cet abaque permet de solutionner rapidement les divers problèmes de chute de tension. Nous verrons également qu’il facilite beaucoup le calcul approché des tensions et des courants, des lignes dont la capacitance n’est pas négligeable, à condition d’y joindre une échelle de correction des eüèts de capacité.
  - a) Détermination de la chute, relative de tension d’une ligne donnée. — Soient E, P, cos cp le voltage, la puissance distribuée et le facteur de puissance à l’arrivée.
  - Nous chercherons l’ordre de la courbe a, c’est-à-dire la valeur aj = Gj — fi la valeur de cos cp1? donne et la relation tgG, = donne Gt.
  - Nous calculerons ensuite la valeur de l’abscisse fh —
  - c’est-à-dire la chute relative de tension due à l’impédance de la ligne, par rapport à la tension simple.
  - La verticale élevée au point d’abcisse ^ coupe ia courbe at — Gt — fi en un point dont l’ordonnée donne la valeur de la chute relative de tension cherchée, grâce à l’échelle.
  - Tables pour la simplification de ces calculs. — Le calcul des lignes trigonométriques étant peu précis par la règle à calcul, nous donnons à la tin du présent volume une table, donnant les angles (calculés à une minute près) correspondants à des tangentes variant par centièmes de 0 à l’unité.
  - Si < 1 ce tableau donne immédiatement ou par une très
  - rapide interpolation la valeur de G,.
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- - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION
  - 145
  - Si l.wXs ^ | on ca]_cu]era l’angle par la cotangente. On a en effet: cotS «• = +x, = ts(|-e‘)-
  - On trouvera donc immédiatement l’angle 92 tel que tg 92 = ^ ^ et on aura 9! = |-— 9,.
  - Cette table contient également les sinus et cosinus des angles précédents.
  - La connaissance de ces lignes trigonométriques permet de calculer rapidement la valeur de [34 — ~ on a, en effet : S4 = ^|s
  - sous cette forme on évite le calcul de Z = l\jr2 -f- w2Ls2.
  - Enfin le tableau ci-dessous donne les valeurs de © correspondant aux facteurs de puissance usuels.
  - Table des valeurs de f
  - Valeurs de cos y Angles ÿ sin f
  - 1 0 0
  - 0,95 18° 12' 0,312
  - 0,90 25°51' 0,436
  - 0,85 31 °47' 0,527
  - 0,80 36°52' 0,600
  - 0,75 41025' 0,662
  - 0,70 45°34' 0,714
  - Exemple numérique. — Proposons-nous de calculer la chute relative de tension d’une ligne triphasée à 30.000 volts, dont les fils de 8 millimètres de diamètre sont écartés d’un mètre. La longueur de la ligne est de 60 kilomètres. La puissance distribuée à l’arrivée est de 3.000 kilowatts avec un facteur de puissance cos © = 0,95 (courant en retard, cp sera positif), n = 25 cycles.
  - On a :
  - U = 224P __ 17 320 v/3
  - P _ 3.000.000_____
  - E y+ cos f 30.000 X1,73 X 0,93
  - 60A8
  - r= 0,3463 wL* =0,152 + 0,028 = 0,180 9 = 27°29' © = 18°12r a = 9 —
  - t^=êü=0'520
  - © = 9»17' = 9»—•
  - 4 1U
  - 10
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- - 146
  - CHAPITRE IX
  - D’autre part ;
  - ^1 ___ RI _______60 X 0.3463 X 60.8 ____ a nfioo
  - U “ U cos 0 “ 17.330 x 0,887” — ’
  - Gomme les abscisses et ordonnées sont marquées en pour cent, nous prendrons l’abscisse 8,22. L’ordonnée du point d’intersec-
  - O
  - tion de la verticale passant par ce point avec la courbe a = 9°^-
  - (courbe très voisine de la courbe a = 10°) a pour valeur 8,1. La perte relative de voltage est donc de 8,1 0/0 ou 0,081.
  - Si on avait un grand nombre de lignes ayant même écartement de fils à calculer, on pourrait abréger encore ces calculs, déjà très rapides, en établissant une fois pour toute un tableau des impédances dirigées, c’est-à-dire un tableau donnant les valeurs des impédances kilométriques des fils de 4 à 10 millimètres de diamètre, ainsi que les angles 0 correspondants.
  - Dans ces conditions, le calcul devient très simple.
  - Nous donnons ci-après un tableau des impédances dirigées pour des fils distants de 70 centimètres et des cyclages de 25 et 50.
  - Tableaux des impédances dirigées
  - (Distance entre fils 70 centimètres)
  - Diamètre des 25 cycles 50 cycles
  - fils en millimètres Impédance kilométrique Angle 6 tge Impédance kilométrique Angle 0 1g 0
  - 4 1,398 7o53’ 0,13852 1,4372 15o29’ 0,27705
  - 5 0,905 llo47’ 0,20865 0,9600 22°39’ 0,4173
  - 6 0,6410 10ol4’ 0,29107 0,7121 30ol2’ 0, 5821
  - 7 0,4849 21o4’ 0,3852 0,5712 37o37’ 0, 7704
  - 8 0,3858 26ol0’ 0,4912 0,4854 44°29’ 0,9824
  - 9 0,3202 31ol9’ 0,6082 0,4308 50°35’ 1,2165
  - 10 0,2751 36o22’ 0,7362 0, 3943 55o49’ I,4725
  - 11 y a lieu de remarquer que le réseau de courbes que nous reproduisons a été fait surtout pour le calcul des lignes de transport de force. Pour le calcul des lignes de distribution de force à très faibles chutes de tension, l’échelle adoptée pour ces courbes ne donne pas une grande précision dans les lectures des très faillies chutes relatives de tension.
  - L’cchelle portant l'indication « Scale for Gapacity Correction » ou échelle pour correction des effets de capacité, sert pour le calcul des lignes dont la capacité n’est pas négligeable.
  - Indiquons rapidement l’emploi du réseau de courbes, dans ce
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- - CALCUL DUS LIGNES DK TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION
  - 147
  - cas, que nous traiterons en détail dans le second fascicule, en y joignant naturellement toutes les démonstrations nécessaires.
  - 2° Usage du réseau de courbes de MM. Pender et Thomson pour
  - LE CALCUL APPROCHÉ DES LIGNES DE TRANSPORT, EN TENANT COMPTE DE LA
  - capacité. — Dans des articles que j’ai publiés dans La lumière électrique, en octobre et novembre 1909, en collaboration avec M. Blondel, il a été démontré que les vecteurs Té* et J* de la tension simple et du courant en un point d’une ligne de transport située à une distance x de l’arrivée pouvaient être déterminés par les équations géométriques :
  - (1) (^.v) = (U*) + (V*) rotation _ f
  - (^) ftx) — (J.x) + (U) rotation — f
  - Les vecteurs composants U*, Vx, J*, lx étant déterminés d’autre part d’après les séries géométricpies suivantes :
  - (3) te=tj:+g? **0.) +...
  - (i) (4) = (Ü^7c)fJ, + - + ...
  - + <r
  - (5) (Vx) = -f- /U + •••
  - ' ô- h+ s
  - (6) (ix) — (b) + ^Ii + •••
  - z et w étant l’impédance et l’admittance kilométrique :
  - s = s/r'2 -f- w2Ls2 m = \j(f -f- to2c!
  - tg 8 = ^ tg G' = — 8 = 9 + 0'.
  - ° r il
  - Il a de plus été démontré, dans les articles précités que si on s’arrête à un terme quelconque de ces séries, l’erreur absolue faite sur un quelconque des vecteurs U*, J*, V*, I* est au plus égal au premier terme négligé multiplié par \J2.
  - L’erreur absolue sur Té* par exemple ayant pour limite maxima la somme des limites maxima des erreurs des deux vecteurs U* et V,, nous voyons que si nous cherchons le courant et la tension au départ (x = /), les erreurs absolues maxima faites en prenant
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- - 148
  - CHAPITRE IX
  - seulement les deux premiers termes des séries 3 et 6 et le premier terme des séries 4 et 5 seront :
  - s = -/‘U, + I, 4” P) pour
  - et s' = (îf- rü, + I, Ÿf'*) t/2 pour J„
  - Les erreurs relatives maxima sont d’ailleurs -J- et — .
  - U0 J0
  - Ces erreurs relatives sont, en général, très faibles pour des lignes dont la longueur n’excède pas 325 kilomètres à 25 cycles et 180 kilomètres à 50 cycles.
  - La perditance g est, d’autre part, très faible. Si nous supposons g — 0, on a 9' = .
  - Si la longueur de la ligne est inférieure aux longueurs précitées, les vecteurs de la tension simple, au départ, déo et du courant au départ J0 seront donnés par les équations géométriques relativement simples :
  - (7) (ôr0)=(iü)o + (£^™,)i[ +(ï35,_ri
  - î+0
  - (8) (57) = (TT) _n + + pç,
  - ^+0 — fi 2
  - U, et lt désignant la tension simple et le courant à l’arrivée (*), cpt le décalage à l’arrivée. Les valeurs algébriques de J0 et P0 = cUa0, J0 cos f0 s’obtiennent très facilement en passant par les projections de CL&0 et 0o sur deux axes perpendiculaires OX et OY — OX étant confondu avec la direction de U,.
  - Si nous posons :
  - , clf>o Ui v Jo b , p ____p
  - e——g--------- 2=—-— etp = -5-p—1 avec Pj ~ UJ, cos «p!
  - on a, avec la même approximation :
  - (9) e' = — 1 + y/l + cos (9 — ©,) + (32 — to2.G.Ls./2.
  - (10) ï = — 1 + v/l + 2y cos (90° + <p,) + f — rf.C.LSJ*
  - (1) Les notations du calcul des lignes avec capacité diffèrent très légèrement de celles adoptés précédemment, par suite de l’obligation de désigner les tensions et courants à vide.
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- - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION
  - 149
  - avec
  - (11)
  - (12)
  - Y= co.C./.^
  - = ^ — -rJ* tg ?1
  - Pi
  - et cos .CD/» = cos
  - fl + P')
  - (i + &) ci + i'y
  - Les valeurs de ë et i' peuvent être déterminées très rapidement à l’aide du réseau de courbes.
  - Chute de tension relative e' — . — Pour obtenir ë il
  - Ui
  - suffira de suivre la verticale du point situé sur OX d’abscisse |i = -^-jusqu’au point de rencontre de la courbe dont le numéro
  - correspond à a = G — o, et de redescendre ensuite le long de cette verticale, sur une longueur égale à w2.C.Ls./. mesurée à l’échelle de correction de capacité.
  - L’ordonnée ainsi déterminée, mesurée suivant l’échelle des chutes relatives de tension donne la valeur de ë.
  - Ceci résulte de l’équation (9).
  - Courant au départ. — Pour obtenir la valeur de i' = nous calculerons d’abord la valeur de y == to.C./. -r1 •
  - 1 ii
  - Elevant une verticale au point d’abscisse y, nous suivrons cette verticale jusqu’au point d’intersection avec la courbe dont le numéro correspond à la valeur de 90° + <p ; descendant à partir de ce point, le long de cette verticale sur une longueur égale à w2.C.Ls./2, mesurée à l’échelle de correction de capacité, nous déterminons une ordonnée, qui, mesurée à l’échelle des chutes relatives de tension donne la valeur de i' en pour cent. On a d’ailleurs 30 =Ii (1 + i').
  - Le calcul de cos<p0 et de p' n’offre aucune difficulté.
  - Exemple numérique. — Nous prendrons l’exemple numérique donné par MM. Pender et Thomson, en le traduisant en mesures métriques (d’où des nombres complexes). Cet exemple est un cas limite d'emploi de la méthode.
  - Les données étaient les suivantes :
  - Cyclagen = 60 l— 160 kil. 8.
  - Diamètre des fils d~ 11 mm. 68.
  - Distance entre fils D — 183 centimètres.
  - Voltage entre fils E, = 60.000 It = 100A cos cpt = 0,95.
  - On en déduit :
  - U,= 34.640v. r=rOw166 o>Ls = 0w452 wC= 3,75xl0~6mhos.
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- - 150
  - CHAPITRE IX
  - <p = 18012' tg<p = 0,328 tg (J —6\ =-£- = 0,3672 9 = 69°50',
  - \ 2 / wLs
  - cos 9 = 0,344.
  - Effectuons le calcul de ligne en négligeant la capacité. — La perte relative de puissance est p ———= 0,0813, soit 8,13 0/0.
  - UJ1COS9»
  - D’autre part :
  - g _ lsI, = Irl,
  - ^ U4 U, cos 0
  - 460,8X0,466 X 400 34.640 X 0,344
  - 0,224, soit 22,4 0/0.
  - 9— cp = 51°38' ou 51°6/10.
  - Suivant la verticale élevée au point d’abscisse 22,4 jusqu’à la rencontre de la courbe 51,'6 nous trouvons e — 15,4 0/0.
  - Enfin cos ©0 = cos o = 0,89.
  - 1 ‘ 4 + e
  - En tenant compte de la capacité. Perte relative de puissance. — On a:
  - = —lîi’------w.c.r./* tg <P = p — 3,75 X 10~° X 0,166 X
  - UdiCOSy V T r
  - X (160,8)2 X 0,328 = 0,076.
  - Donc p' = 7,6 0/0.
  - Perte relative de voltage. — La quantité soustractive :
  - wa.C.L,./s = 3,75 X 10 X0,452 X (160,8)2 =0,0438.
  - En suivant la verticale du point d’abscisse 22,4 jusqu’à la rencontre de la courbe 51,6 et descendant de 4 divisions 38 mesurées sur l’échelle de correction de capacité, on a e' — 13,6 0/0,
  - Courant au départ.— Nous avons 90° -|- cp = 108°12' = 108°2/10,
  - Y = wC7.^= 3,75 x 10~6X 160,8 x 34.140 = 0,209.
  - 1 I. 100
  - Partant du point d’abscisse 20,9, suivant la verticale jusqu’à la courbe 108,2 et redescendant de 4 divisions 38 mesurées sur l’échelle de correction de capacité, on a : i' =— 6,7 0/0.
  - Donc : I0 == ^ (1 _ 0,067) = 93A3.
  - Facteur de puissance au départ.
  - cos co0 —— cos o — —- = 0,965.
  - ‘ 1 (1 + e'){i + *'j
  - Erreurs relatives. — L’erreur relative sur est inférieure à :
  - ,£^*>'2
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- - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION
  - 151
  - Effectuant le calcul on trouve trois millièmes environ. L’erreur relative faite sur J0 est sensiblement de même ordre. Il s’agit naturellement des erreurs systématiques provenant des équations.
  - 3° Cas des canalisations secondaires et des lignes de transport de faibles longueurs. — Dans ce cas, on a souvent un grand nombre de lignes analogues (même écartement de fil) à calculer ; la nécessité d’un calcul rapide conduit à spécialiser davantage les courbes. D’autre part, ces lignes sont souvent déterminées par la chute relative de tension, et il est désirable de jiouvoir trouver immédiatement le rayon du fil correspondant à une chute de tension.
  - Il ne saurait être question de donner une série de courbes, si nombreuses soient-elles, solutionnant le problème d’une façon générale; mais dans certains cas, le problème peut être restreint, par exemple, par l’emploi d’une fréquence donnée, l’écartement de fil étant voisin de 60 centimètres.
  - Considérons l’équation donnant la perte relative de tension :
  - e* 4- 2e — %fcos(i—?) — ~-=0.
  - Remplaçons I par sa valeur en fonction de la puissance Pn par phase. On a I = et Z par Iz. L’équation précédente peut s’écrire :
  - 3»
  - IV n U*
  - + 2 z
  - IV n
  - 1F
  - cos(0 — <jp) cos f
  - (e* + 2e) == 0.
  - Supposons que le cyclage soit de 50 et l’écartement de fils de 70 centimètres.
  - Donnons à e les valeurs 1 0/0, 2 0/0,..., 15 0/0. Nous aurons pour chaque valeur prise pour e une courbe dont les abscisses IVn
  - serontet les ordonnées^ (impédance kilométrique). On peut
  - porter sur l’échelle des ordonnées les diamètres.
  - Nous aurons ainsi quinze courbes pour chaque valeur de cos <p. On établira seulement le réseau de courbes pour cosç = 1, 0,90, 0,80, 0,70. Ces courbes solutionnent presqu’immédiatement le problème indiqué.
  - Cette solution a été adoptée par MM. Pionchon et Heilmann dans leur intéressant Traité pratique de calcul de lignes.
  - Les réseaux de courbes publiées dans cet ouvrage s’appliquent seulement aux lignes à 50 cycles dont l’écartement est voisin de 0 ni. 70.
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- - 152
  - CHAPITRE IX
  - III. — Etudes graphiques
  - 1° Etude de l’effet de la variation de l’intensité et du facteur
  - DE PUISSANCE DANS UNE LIGNE DE TRANSPORT DONNÉE. — La Connaissance de la section et de l’écartement des fils permet de calculer la résistance R et l’inductance /.o>Ls des fils de la ligne de longueur /.
  - Fig. 43.
  - Le diagramme ayant ôté décrit plusieurs fois, nous n’insisterons pas sur la construction de U0 connaissant U, cp, RI et /.o)LsI. Pour l’étude de l’influence des variations de régime, l’idée d’impédance dirigée est plus commode que la considération des vecteurs de chute de tension ohmique et inductive. Nous remarquerons le vecteur ZI représenté par la droite M(M0)^ fait avec MA l’angle (6—9). Si <p = 0 cette droite vient en MM0 faisant avec MA l’angle 8. Si l’angle de décalage croit jusqu’à la valeur <p. Le vecteur ZI vient en M(M0) et l’angle de ce vecteur et de la droite MM0 est
  - égal à <p.
  - Variation du facteur de puissance. — Nous n'avons donc à considérer que le mouvement de la droite M(M0)^ par rapport à la
  - droite MM0. Si nous supposons l’intensité constante le point (M0) se déplacera sur un cercle de rayon M(M0) — ZI.
  - Si dans ces conditions le facteur de puissance part d’une valeur égale à l’unité et va en diminuant constamment, le point (M0)^ se
  - déplacera dans le sens de la flèche (1) ; la chute de voltage (U0 — U) augmentera jusqu’au moment où le point M0 sera venu en A. A partir de ce moment la chute de tension diminuera. Le maximum de cette chute de tension est ZI.
  - Nous avons supposé le courant décalé en arrière de la tension simple ; il peut être décalé en avant, par exemple si la ligne de
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- - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION
  - 153
  - transport alimente de larges câbles, des moteurs synchronies surexcités, etc. Dans ce cas le point M0 viendrait en M'0 et se déplacerait dans le sens de la flèche (2), si le décalage augmente.
  - Nous voyons que la chute de tension peut devenir nulle ou même négative c’est-à-dire que la tension au départ peut devenir plus petite que la tension à l’arrivée.
  - Variations de l'intensité. — Si l’intensité varie avec un même facteur de puissance, le point (M0)^ se déplace sur le rayon
  - (Mq^M dans le sens de la flèche (3) pour des intensités décroissantes .
  - Variations à puissance constante. — Si la puissance reste constante on voit que le point (M0)^ se déplacera sur une perpendiculaire à la droite MM0.
  - Perte de puissance relative. — La perte de puissance relative
  - Si le point B est situé entre A et M0 la perte relative de puissance sera plus faible que la perte relative de voltage, et inversement, en effet :
  - OM0 — OM ___Mm0
  - OM “ W '
  - Le tableau des valeurs de (M) (situé page 141) nous indique l’effet produit, à ce sujet, par tel ou tel diamètre de fil. (Pour les cyclages de 25 et de 50).
  - 2° Rayon d'action d’une ligne donnée.— Pour une ligne donnée, cherchons la distance l à laquelle on peut recevoir, sous la tension simple U, avec un décalage cp, une puissance Pn par phase. La tension au départ étant U0. Ce problème peut se poser en particulier pour les câbles, unités dont il a été fait mention au paragraphe 4 du chapitre IV.
  - L’intensité de courant qui parcourt la ligne est I = ^ c ~ •
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- - 154
  - CHAPITRE IX
  - La ligue étant donnée nous connaissons l’inductance et la résistance par kilomètre.
  - Portons OM = U sur OX et traçons la droite MG, telle que GMX — 9.
  - 0 étant donné par la relation tg 0 = .
  - Le point M0 extrémité du vecteur de la chute de voltage d’impédance, se trouve sur la droite MM0 faisant avec MC, un angle © ; et sur un cercle de centre 0 et de rayon U0.
  - La distance cherchée est : / = , s étant l’impédance kilo-
  - métrique de la ligne.
  - Fig. 45.
  - 3° Diagramme pour le calcul rapide des lignes avec induction (M. Ralph-Mershon, American Electrician, 1900).
  - On peut tracer un diagramme qui évite d’avoir à faire des constructions graphiques.
  - Supposons que sur du papier millimétré par exemple, nous tracions des cercles ayant leur centre O à la rencontre de deux traits forts, avec des rayons successifs de 10 centimètres, 10 cm. 1, 10 cm. 2.., 11 cm., 11 cm. 1, etc. Nous aurons la figure ci-dessous. Numérotons les cercles 0, 10, 20. Ce seront les cercles indiquant la chute relative de tension en pour cent, par rapport à la tension à l’arrivée.
  - Divisons le rayon horizontal OA du cercle de rayon minimum, en dix parties, numérotées à partir du centre, 0,1, 0,2, 0,3, 0,9. Ces divisions indiqueront les facteurs de puissance.
  - Supposons qu’on nous demande de calculer la perte de tension, en pour cent, par rapport à la tension à l’origine d’une ligne à 50 cycles de 10 kilomètres de longueur, débitant une puissance de 500 kilowatts à l’arrivée sous une tension entre fils à l’arrivée de 5.000 volts, avec nn facteur de puissance cos © = 0,80. Le diamètre des fils est de 7 millimètres, leur distance 60 centimètres. Nous
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- - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION
  - 155
  - calculerons d’abord les chutes relatives de tension, ohmiques et inductives, par rapport à la tension simple c’est-à-dire :
  - On a; U =-4= 2.886
  - R=0,452xlO=i;i,52 /wL8==10(Y + Z)==10(0,274 + 0,066)==3,40 I= 5.000 ”lTXW = 72-5 RI = M7v- l-'“L. = a46v.
  - <l'où: —=0,112 A+- = 0,08S.
  - Prenons le diagramme que nous venons de préparer. Suivons la verticale du point indiqué facteur de puissance 0,8. Cette verticale coupe le cercle de plus petit rayon en un point M. Comptons à partir de ce point horizontalement 11,2 petites divisions (*), c’est-
  - à dire les du rayon du cercle minimum ; puis verticalement,
  - 8,5 divisions à partir de l’extrémité des 11,2 divisions précédentes. Nous tombons sur le cercle 14,1. La perte relative de tension
  - ^j+st 0,141.
  - (1) Le format du livre obligeant à adopter une figure à. échelle réduite, les petites divisions n’ont été marquées que de 5 en 5. Les extrémités des vecteurs horizontaux et verticaux paraissent ainsi être obtenus avec peu d’approximation. En employant une échelle suffisante et traçant toutes les petites divisions prévues, cette impression disparaît.
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- - 156
  - CHAPITRE IX
  - Nous avons, en effet, construit le diagramme des tensions simples en divisant par U toutes les longueurs. En traçant la verticale au point 0,8, nous arrivons sur le cercle de rayon minimum en un point M, tel que le rayon OM fait avec l’horizontale, c’est-à-dire avec la direction des chutes ohmiques un angle <p correspondant à cos © = 0,80. Comme U est pris pour unité, la distance
  - entre le cercle 14,1 et le cercle de rayon minimum est Un~~- •
  - Pertes relatives de 'puissance. — Si nous traçons le rayon OM correspondant au facteur de puissance cos ? — 0,8 : l’intersection de ce rayon avec la verticale des chutes inductives tombe sur un cercle dont le numéro, indique en pour cent, la perte de puissance relative, par rapport à la puissance délivrée à l’arrivée. Toutefois le calcul de la perte relative de puissance est tellement simple qu’il n’y a pas lieu de se servir du diagramme.
  - Ce diagramme est très général, très facile à tracer, mais son emploi exige comme nous l’avons vu quelques calculs. Une fois le diagramme tracé, il n’y a plus qu’à suivre avec une épingle, par exemple, la verticale du facteur de puissance, l’horizontale de la chute ohmique relative, et enfin la verticale de la chute inductive pour tomber finalement sur le cercle indiquant le pourcentage de la chute relative de voltage. On prendra des divisions appropriées aux chutes de tension qu’on étudie ; le millimètre est évidemment une trop petite division.
  - On peut calculer à l’aide de ce diagramme, en opérant par tâtonnements, la section d’une ligne pour une perte de tension donnée. Les méthodes suivantes sont toutefois préférables.
  - 4° Détermination graphique de la section d'une ligne de transport par la règle de Bon Service. — Proposons-nous de déterminer la section d’une ligne de transport, lorsque la perte de tension rela-
  - tive est fixée e ^—. On connaît de plus la puissance P, la
  - tension E et le facteur de puissance cos *p à l’arrivée.
  - Nous avons :
  - (1) I =—-------- U=-= = e d’où ü. = ü(l+e)
  - La considération du diagramme des impédances dirigées, nous permet de solutionner, très rapidement, le problème de la recherche de la section de la ligne.
  - Construisons ce diagramme pour la fréquence et l’écartement de fils adoptés. Nous avons vu que les courbes d’inductance et le
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- - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION
  - 157
  - tableau des résistances de fil permettent de construire ce diagramme très rapidement.
  - Prenons MX comme axe des courants ; MK, décalé de o en avant, sera l’axe des voltages.
  - Supposons que nous ayons construit le diagramme des impédances à l’échelle de n millimètres par ohm ; prenons comme échelle
  - 10 9 JB ?
  - Fig. 47.
  - des voltsyy. I étant la longueur de la ligne en kilomètres; I, le
  - courant en ampères déterminé par l’équation (1).
  - Nous voyons que Ma représente à l’échelle choisie pour les volts zl0.l.I = Z10I, c’est-à-dire la chute de tension d’impédance dans un fil de 10 millimètres de diamètre de l kilomètres de longueur où circulerait le courant I.
  - Portons sur MK, à l’échelle millimètres par volts, la tension simple U à l’arrivée.
  - OMa est en somme le diagramme d’essai du fil de 10 millimètres de diamètre.
  - Omô serait le diagramme d’essai du fil de 9 millimètres.
  - La courbe a, />, c,.., est le lieu des extrémités des vecteurs MM0. Mais, d’autre part, ce point M0 se trouve à une distance du point O égale à U0 = U(l + e).
  - Si donc nous traçons, de O comme centre, un cercle avec ce rayon, l’intersection de ce cercle avec la courbe a, 6, c,..., donnera en M0 l’extrémité du vecteur de chute d’impédance cherchée.
  - Le diamètre du fil serait compris entre 7 et 8 millimètres. Si nous projetons M0 sur l’axe MX.— EnM'0 nous avons en MMf0 la
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  - CHAPITRE IX
  - résistance exacte du fil de ligne qui convient, MM1r0 est à l’échelle de n millimètres pour un ohm. La connaissance de la résistance nous détermine la section du fil.
  - Si nous avons divisé préalablement la courbe a, 6, c,... nous lirons directement le diamètre.
  - Afin d’éviter de détériorer le diagramme des impédances, on peut construire sur un papier calque les deux axes MX, MY, la droite KM, et l’arc de cercle décrit de 0 comme centre avec U(l -f- e) comme rayon. Si e varie, nous avons des cercles concentriques de rayons variables.
  - Exemple numérique. — Soit : 1= 100 km., Pn = 280 K.m.s U = 13.500, coscp = 0,8, D = 0,70. On demande de calculer la ligne pour une perte de voltage de 10 0/0 par rapport à la tension U. Le cyclage est de 50 cycles. Supposons que nous ayons le diagramme des impédances à l’échelle de 10 cm. pour un ohm.
  - Nous avons : I = goo'xlU = 26‘ 71 = 2-G0°-
  - d 0 C1T1
  - L’échelle des volts sera par volt : - ou par 1.000 volts :
  - 10.000 Cm. 2.600
  - 3cm-85.
  - Nous aurons : OM = 52 cm. = U, et U0 = U(l,10) = 57cm.2.
  - Ce cercle coupe la courbe des impédances très près du point représentant le fil dont le diamètre est 6 mi 11. 9.
  - Dans le cas présent, on peut simplifier (’) la construction et viter les rayons encombrants : OM et U0.
  - (1) Cette construction simplifiée a été indiquée par M. Herdt. Lumière élec-igue, 1909, 17 mars. C’était la première étude de ce genre.
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- - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION
  - 159
  - Traçons en effet la droite MA faisant avec MX l’angle cp = 36°5 cosep = 0,80, et portons sur cette droite MA = U0 — U. Le cercle de centre O et de rayon U0 passe sur A. Toutes les fois que A sera voisin de la courbe d’impédance, on peut remplacer ce cercle de grand rayon par la perpendiculaire AA' à MA.
  - Détermination de la section de plusieurs lignes. — S’il y avait un grand nombre de lignes à déterminer de cette façon, l’échelle choisie pour les impédances dirigées (échelle choisie d’ailleurs de
  - façon à ce que, pour le premier essai, l’échelle soit acceptable
  - pour les volts) pourra ne pas convenir, à tous les cas qui se présenteront; la chute de tension admise eU pourra varier.
  - On facilitera le travail de détermination des sections en construisant deux diagrammes.
  - L’un sera constitué en portant sur les droites Ma, Mô, Mc d'impédances dirigées, des longueurs s/I, s/T, zl'T7, à une échelle de p millimètres par volts, échelle compatible avec les données.
  - Réunissant les points de même produit /I, on obtient une série de courbes que l’on peut désigner par le produit /l, des ampères kilomètres.
  - Le deuxième diagramme sera constitué sur papier calque par des séries de cercles concentriques de centre O et de rayon U (1 -f- e). On donnera à (e) diverses valeurs.
  - Si nous superposons le diagramme sur papier calque, au diagramme des chutes d’impédance, en ayant soin de faire faire à la droite OM, un angle (<p) avec MX' dans le sens positif, l’intersection de la courbe d’ampère-kilomètre convenant à la ligne, avec le cercle de chute de tension, convenant à la chute de tension admise, nous donnera le point M0 cherché, et, par suite la section de la ligne. Dans la détermination des lignes de faibles fréquences (25 cycles) par la règle de Bon Service, on constatera, dans certains cas, qu’un faible facteur de puissance conduit à l’adoption de diamètres de fils plus faibles, qu’un bon facteur de puissance : il n’est pas prudent de profiter complètement de cette économie.
  - 5° Détermination graphique de la section d’une ligne de distribution par la règle de Bon Service. — ün se propose de calculer la ligne, en limitant toujours la perte de tension relative ; mais la tension au départ E0 est fixé. On connaît de plus : P et cos <p, puissance et facteur de puissance à l’arrivée. / la longueur de la ligne; Ainsi que la distance entre fils et la fréquence.
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  - CHAPITRE IX
  - On a :
  - d’où : E — E0(l—e).
  - E0(l —e)V3 cos f
  - P
  - La détermination de la section se fera comme dans le cas précédent, avec une très légère différence, tenant à ce que le voltage E0 est fixé, et par suite la tension simple U0.
  - Fig. 49.
  - On portera sur la droite MK une longueur MO =. U = U0 (1 — e) ; et on tracera de O, comme centre, avec U0 comme rayon, un arc de cercle, qui coupera la courbe a, b, c... au point M„ cherché. Si nous avons divers problèmes, avec diverses valeurs de la perte relative (e), nous voyons que les rayons des cercles sont tous égaux à U0 ; mais que les distances MO de leurs centres respectifs au point M sont égales à U = U0 (1 — e) c’est-à-dire sont variables avec la chute relative consentie.
  - Ce problème s’applique spécialement au cas des distributions secondaires ; nous aurons donc besoin souvent de nous servir de cette méthode. Si les lignes de distributions à calculer sont nombreuses, l’emploi des diagrammes fixes et mobiles (sur papier calque) sera tout indiqué.
  - L’abaque fixe est le même que celui employé dans le cas précédent.
  - L’abaque (’) mobile sera constitué par des cercles de même rayon U0, mais de centres variables. On pourra ne conserver de
  - (1) L’emploi de ces abaques a été proposé dans La Lumière électrique, par M. Blondel, 4 septembre t909. Ce journal a publié des abaques convenant à une fréquence de 50 cycles et à un écartement de fil de 60 centimètres.
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- - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION 161
  - ces abaques mobiles que la partie contenant les cercles. La figure 50 représente le schéma d’un abaque mobile construit pour une distribution de 250 volts. On voit que les cercles de même
  - rayon, mais de centres différents, sont numérotés de façon à indiquer les voltages correspondants. Dans le cas dont nous nous occupons, ces voltages sont décroissants dans le sens de la flèche ; ce serait l’inverse dans le cas précédent.
  - Fig. 51.
  - On a tracé sur cet abaque cinq droites faisant avec le prolongement de KM des angles correspondant aux diverses valeurs de cos<p : 0,75, 0,80, 0,85, 0,90, 0,95.
  - il
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- - 162
  - ( HAHÏltE IX
  - Si cos cp = 0,80, nous ferons coïncider la droite MA de l’abaque mobile avec l’axe des X de l’abaque fixe.
  - La figure 51 donne un schéma réduit d’un abaque fixe établi pourD = 70 centimètres et un nombre de périodes égala 50. Les courbes d’ampères-kilomètres n’ont été tracées que de 10 en 10 à cause de la petitesse de l’échelle adoptée.
  - L’abaque complet est évidemment assez long à construire et on ne l’emploiera que s’il y a un grand nombre de lignes à calculer ; mais, dans ce cas, il rend de grands services.
  - Pour sa construction, il y a lieu de remarquer que si on a obtenu une courbe telle cpie la courbe 20, les autres s’en déduisent en portant sur les droites issues de (3, des longueurs proportionnelles.
  - Si le nombre de lignes à calculer est faible on se contentera de la méthode utilisant le diagramme des impédances dirigées.
  - IV. — Mesure de l’inductance d’une ligne construite
  - Lignes aériennes, — Pour ces lignes, la résistance d’un fd de ligne, pour le courant alternatif est généralement égal à sa résistance pour le courant continu. Par suite en mesurant l'impédance de la ligne, nous obtiendrons sans difficulté l’inductance par la formule : wLs = \Jz2—r2.
  - La mesure de l’impédance s’effectue généralement en déterminant, au départ, le courant 1^ et la tension simple V* de la ligne mise en court-circuit à l’arrivée. Si la longueur / de la ligne est
  - assez faible, ona:s = -p--
  - En effet, si nous faisons Uj — 0 dans les formules générales de la page 147, nous voyons que les vecteurs donnant et V; sont donnés par les séries géométriques :
  - lj désignant le courant dans le court-circuit. Si — /2 est négligeable de l’ordre du millième par exemple, on aura :
  - y±=d = l\l^ + oÆss.
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- - CALCUL DUS LIGNES UE TRANSPORT ET DE DISTRIRUTION
  - 163
  - Gomme r est donné par la formule ordinaire, toLs se déduit de ces mesures simples sans difficulté.
  - La disposition indiquée par la figure o2 pourra être adaptée pour l’étude d’une ligne dissymétrique.
  - Si la résistance du fil de ligne pour le courant alternatif est supposée différente de la résistance du même fil pour le courant continu (Effet Kelvin), on mesurera la puissance, la tension et le
  - B
  - courant au départ. On aura : P/ = 3.U/.I;. cos'f*, d’où cos % et par suite <pz. O11 a d’ailleurs en prenant le diagramme des tensions (fig. 42) et projetant le circuit OMAM0 sur la direction AM0 :
  - Cette formule ne présente pas une exactitude plus grande que la précédente ; mais la résistance est éliminée.
  - La vafeur de rinductance trouvée par de telles mesures, ne concorde pas toujours avec la valeur donnée par les formules simples que nous avons étudiées.
  - Dans les lignes aériennes, trois causes peuvent modifier cette valeur : 1° la dissymétrie de la ligne ; 2° l’effet Kelvin (Shin Effect) ; 3° l’influence des harmoniques.
  - Nous avons déjà étudié les deux premières causes ; étudions rapidement la troisième.
  - Influence des harmoniques. — Généralement, la courbe du voltage donnée par les alternateurs n’est pas parfaitement sinusoïdale. Supposons que cette courbe ait pour équation :
  - (1) e = A sinW q- B sin (3<oJ -h a).
  - La valeur efficace du voltage sera : Eeff =-4=\/A2 -+ B2.
  - v'2
  - Une courbe sinusoïdale équivalente comme valeur efficace aurait pour expression :
  - (2)
  - e' — y1 A2 -J- B2 sin (oit).
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- - 164
  - CHAPITRE IX
  - Supposons qu’on applique successivement le voltage e puis le voltage e' sur un circuit ayant une résistance R et un coefficient de self-induction L*. On aura dans le premier cas (voltage e) :
  - ’ i — A—— sin Lot—<p) -)— B — sin {tôt -f- a — ©'),
  - VR2 + 6J*ls* v'R* + 9"2Ls* "
  - avec: tg? = ^ tgf=^.
  - La valeur efficace de i serait :
  - eff
  - A2
  - B2
  - B2 + w2Ls2 1 R* + 9w2Ls2 Appliquons le voltage ë la valeur efficace du courant devient :
  - eff-
  - w
  - Aa + B2
  - R2 +
  - La valeur de Ie/f est plus faible que celle de \'eg. Donc dans une ligne de transport, la valeur Z = y mesurée avec une force électromotrice non sinusoïdale donnera pour Z une valeur plus grande que la valeur théorique Z = \/R2 -f- toaLss.
  - La valeur de Z donnée par la mesure est, d’ailleurs, celle qui intervient dans les phénomènes de la ligne de transport, si l’alternateur employé pour faire cette mesure, est bien celui qui alimente la ligne en temps normal.
  - On trouve assez souvent des valeurs de Z supérieures de 3 à 5 0/0 à la valeur théorique normale.
  - Exemple numérique. Ligne aérienne. — L’expérience a été faite sur la même ligne à 50.000 volts que nous avons étudié dans le chapitre de la résistance, à 50 cycles.
  - La ligne se composait de trois câbles de 63 millimètres carrés de section avec âme en chanvre. Le rayon extérieur a = 0 cm.506. Le rayon de l’âme en chanvre a! — 0 cm. 234. La distance entre fils était de 1 m. 40. La longueur de la ligne de 35 kil. 9.
  - On a théoriquement :
  - h‘=W [4'605 iOT'a + °’50(1-^)] =
  - = 0,001166 henrys par km.
  - z — \jë w2Ls2 — 0,461 ohms par Km.
  - Nous verrons que l’admittance kilométrique w = .
  - — /- — 0,00183. La formule Z = donc admissible. u2 I
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- - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION
  - 165
  - Ou d’ailleurs : Z = Iz = 35,9 X 0,461 — 16w55.
  - En donnant au voltage entre fils la valeur de 208 volts on trouva G = 6A8 sur les trois ampèremètres : la valeur de l’impédance mesurée est donc : Zm == E _ 208 __ i
  - I, v'3 M X U3
  - Ici la différence relative estZm ~ Z— 6,5 0/0.
  - Gomme la ligne étudiée était symétrique, que les fils étaient de faibles diamètres, la seule cause modificatrice provenait des harmoniques. L’étude oscillographique confirma l’existence d’harmoniques avec des coefficients assez notables.
  - Lignes souterraines. Câbles armés. — La résistance de ces lignes pour le courant alternatif différant, souvent de la résistance pour le courant continu on emploiera la seconde méthode de mesure, c’est-à-dire que l’on mesurera la puissance, la tension et le courant au départ de la ligne mise en court-circuit à l’arrivée.
  - On aura <o.Ls = . Pour que la mesure donnant wLs offre
  - une approximation suffisante, il est nécessaire, avec ces lignes où les effets de capacité sont très importants, que / soit assez petit.
  - En effet, -^-l2 prend rapidement une valeur assez grande.
  - Dans des essais faits sur une longueur de câble de 995 mètres seulement, par la Société Siemens et Schückert (1). M. Lichtenstein indique que pour un câble triphasé à 700 volts composé de trois conducteurs de 380 millimètres carrés, le coefficient de self-
  - induction mesuré par la formule Ls = si,nT^ fut trouvé égal à
  - to.l.ll
  - —4
  - 3,90 X 10 henrys en employant une source de courant à
  - 50 cycles, alors que le calcul donnait 3,63 X 10 \ La correction qui devait être faite à l’inductance avait donc une valeur relative de 7,4 0/0. Le câble considéré est d’ailleurs de section très forte pour un câble triphasé.
  - Câbles armés à un seul conducteur (2). — Si l’armature est en fer, la valeur de l’inductance (wLs) peut atteindre pratiquement de 1,5 à 3,5 fois la valeur de l’inductance du même câble non armé. Ce facteur (1,5 à 3,5 augmente lorsque la distance au conducteur de retour décroît. La formule théorique serait d’ailleurs dans ce cas tout à fait différente de la formule précédente, et, elle permet de prévoir ces résultats.
  - (1) Lichtenstein, Congrès d’électricité de Tarin, 19M.
  - (2) Whitehead, Proceedings of the American fnstitute, juin 1909.
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- - 166
  - CHAPITRE IX
  - 2° Propriétés de l’inductance. — L’inductance occasionne une ehute de voltage qui se compose en quadrature avec la chute de voltage ohmique. Elle n’occasionne pas de pertes de puissance.
  - Les variations de température, et les effets atmosphériques n’ont pas d’effets appréciables sur la valeur de l’inductance d’une ligne.
  - Diminution de Vinductance ou de ses effets. — L’inductance d’une ligne est reliée au diamètre des fils par une formule logarithmique qui est telle que Y accroissement de la section diminue la valeur de l’inductance d’une façon peu sensible.
  - Ecartement des fils. — En écartant les fils on augmente la valeur de l’inductance, en les rapprochant on la diminue. Si D (distance entre les axes des fils) varie de 200 cm. à 1 cm. L’inductance variera dans le rapport de 4 à 1 pour des fils de moyenne section. Si la distance ne peut varier que de 200 cm. à 60 cm. l’inductance variera seulement dans le rapport de 1,2 à 1. L'inductance des lignes aériennes, quoique variable, n’a pas un champ de variation très considérable, lorsque la fréquence est fixée.
  - Pour une même fréquence, nous voyons que l’inductance d’une ligne aérienne sera trois ou quatre fois plus grande que l’inductance d’un câble armé triphasé ayant mêmes sections de fils.
  - Fréquence. — La diminution de la fréquence, diminue proportionnellement l’inductance : c’est le seul moyen vraiment efficace de la réduire.
  - Division de la ligne. — La division d’une ligne (triphasée, par exemple) en deux lignes triphasées dont les fils auraient une section égale à la moitié de la section des fils de la ligne simple, augmente légèrement la valeur de l’inductance, mais diminue de moitié la chute de voltage d’inductance, puisque le courant est réduit de moitié dans chaque ligne. La chute de tension n’est pas divisée par deux, caria chute ohmique n’est pas modifiée.
  - Note. — Dans l’abaque mobile de la figure 50, les cercles doivent, naturellement, être prolongés au-dessus de l’horizontale, ce prolongement constitue même la partie la plus utile.
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- - CALCUL DES LIGNES DE TRANSPORT ET DE DISTRIBUTION
  - 167
  - Tables de calcul des lignes trigonométriques
  - Tangente 0 Angle 0 cos 0 sin 0 Tangente 0 Angle 0 cos 0 sin 0
  - 0 0,01 0 0°35’ 1 0,9999 0 0,01 0,51 27oi’ 0,8909 0,4542
  - 0,02 lo9’ 0.9998 0,02 0,52 27o29’ 0.8871 0,4615
  - 0,03 1°43’ 0,9995 0,0299 0,53 27o55’ 0,8836 0.4682
  - 0,04 2ol7’ 0,9992 0,0399 0,54 28o22’ 0,8799 0,4752
  - 0,05 2o52’ 0,9987 0,0499 0,55 28o49’ 0,8762 0,4820
  - 0,06 3°26’ 0,9982 0,0598 0,56 29ol5’ 0,8725 0,4886
  - 0,07 4-o r 0,9975 0,0698 0,57 29o41 ’ 0,8688 0,4952
  - 0,08 4o34’ 0,9968 0,0797 0, 58 30o7’ 0,8650 0,5018
  - 0,09 5°9’ 0,9960 0,0897 0,59 30°32’ 0,8613 0,5080
  - 0,10 5o43’ 0,995 0,0996 0,60 30°58’ 0,8575 0,5145
  - 0,11 6oi7’ 0,994 0,1095 0,61 31°23’ 0,8537 0,5208
  - 0,12 6oo-r 0,9928 0,1193 0,62 31048' 0.8499 0,5269
  - 0,13 7o24’ 0,991 7 0,1288 0,63 32ol3’ 0, 8460 0.5331
  - 0,14 7o58’ 0,9903 0.1386 0,64 32"37’ 0,8423 0.5390
  - 0,15 8»32’ 0,9889 0.1484 0,65 33o 1 ’ 0,8385 0,5449
  - 0,16 9°6’ 0,9875 0,1582 0,66 33o25’ 0,8347 0,5507
  - 0,17 9o39' 0,9859 0,1670 0.67 330.49' 0,83(18 0,5565
  - 0,18 10ol2’ 0,9842 0,1771 0,68 34oi3' (1,8269 0.5623
  - 0,19 10°45’ 0,9825 0.1865 0,69 34o36’ 0,8231 0,5678
  - 0,20 llol9' 0,9805 0,1966 0,70 34o59’ 0,8193 0,5736
  - 0,21 llo52’ 0.9786 0.2057 0,71 35o22’ 0,8155 0.5788
  - 0,22 12°24’ 0,9767 0,2147 0,72 35o15’ 0,8116 0,5843
  - 0,23 12o57’ 0,9746 0,2241 0,73 36o8' 0.8076 0,5897
  - 0,24 13°20’ 0,9724 0.2334 0.74 36o30’ 0,8039 0.5948
  - 0,25 14°2’ 0,9701 0.2425 0. 75 36o52’ 0,8 0,6
  - 0,26 14o34’ 0,9679 0,2515 0,76 37o 14’ 0,7962 0,6051
  - 0,27 15o7- 0,9654 0,2605 0,77 37o36’ 0,7923 0,6101
  - 0,28 15o39’ 0,9629 0,2697 0,78 37o57’ 0,7886 0,6150
  - 0,29 lGolO' 0,9604 0,27*4 0,79 38ol9’ 0,7846 0.6200
  - 0,30 16o42’ 0,9578 0,2878 0,80 38o40’ 0,7808 0,6248
  - 0,31 17ol3’ 0,9352 0,2960 0,81 39o 0,7771 0,6293
  - 0,32 !7o45’ 0,9524 0,3049 0,82 39o21’ 0,7733 0,6341
  - 0,33 18ol6’ 0,9496 0,3131 0,83 39o42’ 0,7694 0,6388
  - 0,34 18o47’ 0,9467 0,3220 0.84 40o2’ 0.7657 0,6432
  - 0,35 19°17’ 0,9439 U,3302 0,85 40o22’ 0,7619 0,6477
  - 0,36 l9o48’ 0,9409 0,3387 0,86 40o42’ 0,7581 0,6521
  - 0,37 20°18’ 0,9379 0,3469 0,87 41 ol’ 0,7545 0,6563
  - 0,38 20o48' 0,9348 0,3551 0,88 41o21’ 0,7507 0,6607
  - 0,39 21ol8’ 0,9317 0,3633 0,89 410.40’ 0,7470 0,6648
  - 0,40 21o48’ 0,9285 0,3714 0,90 41o59’ 0,7433 0,6689
  - 0,41 22ol8’ 0,9252 0,3795 0,91 42ol8’ 0,7396 0,6730
  - 0,42 22o47’ 0,9220 0,3872 0,92 42o37’ 0,7359 0,6771
  - 0,43 23ol6’ 0,9187 0,3950 0,93 42o55’ 0,7324 0,6809
  - 0,44 23o45’ 0,9154 0,4028 0,94 43° 14’ 0,7286 0,6850
  - 0,45 24ol4’ 0,9119 0,4104 0,95 43o32’ 0,7250 0,6888
  - 0,46 24o42’ 0,9085 0,4179 0,96 43o50’ 0,7213 0,6926
  - 0,47 25° 10’ 0,9051 0,4252 0,97 44o8’ 0,7177 (1,6963
  - 0,48 25o38’ 0,9016 0,4326 0,98 44o25’ 0,7143 0,6999
  - 0,49 26°6’ 0,8980 0,4399 0,99 44o43’ 0,7106 0,7071 0,70:A6
  - 0,50 26o34’ 0,8944 0,4472 1,00 45° 0,7071
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- - Valeurs de Y et Y
  - PLANCHE I
  - Abaque pour le calcul de l’inductance (to.Ls) d’un fil de ligne.
  - Distances entre fils en centimètres.
  - 1 0,10
  - 0,09 \
  - \
  - \ \
  - 0,08 \ \
  - -X \
  - 0,07 \ \
  - \ X 4
  - 0,06 V X
  - \ \ X V
  - 0,05 \ x N
  - 0,04 N N
  - X
  - X N N s
  - 0,03 X X
  - 0,02
  - 0,01 —x
  - 0
  - h i 5 i 6 ' 1 l y i ) 10 11 12 13
  - Diamètres des fils en millimètres.
  - Dans la figure de gauche les courbes en traits pleins se rapportent à la valeur de Y et par suite aux fils d'une ligne monophasée ou triphasée symétrique, on a wLs r= Y-f-Z. (V. p. 124).
  - Les courbes en pointillé se rapportent à la valeur de Y' et par suite aux lignes triphasées à six fils, disposées comme il est indiqué dans la figure 35.
- pl.1 - vue 172/178
- - PLANCHE I!
  - Abaque pour le calcul des chutes relatives de tension.
  - Chutes relatives d’impédance X 100.
  - (Voir page 144)
  - (D’après MM. Pender et Thomson).
- pl.n.n. - vue 173/178
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- - TABLE DES MATIÈRES
  - Pages
  - Préface.................................................................. 1
  - CHAPITRE PREMIER
  - Considérations déterminant le choix de la section
  - DES CONDUCTEURS.
  - I. — Règles de Sécurité, de Bon Service, et d’Economie................ 3
  - II. — Principes du calcul des distributions électriques................ 4
  - CHAPITRE II
  - Etude détaillée de la règle de Sécurité.
  - I. — Fixation d’un diamètre inférieur pour les conducteurs............. 6
  - II. — Eehauffement et refroidissement des conducteurs.................. 6
  - 1° Conducteurs aériens. Etude du refroidissement par rayonnement,
  - conductibilité, convection ....................................... 7
  - 2° Eehauffement admissible........................................... 10
  - 3° Densités de courant admissibles pour les conducteurs, en cuivre ou
  - en aluminium, nus, placés à Pair libre........................ 10
  - 4° Densités de courant admissibles pour les conducteurs, en cuivre
  - ou en aluminium, nus, en locaux fermés........................ 12
  - 5° Eehauffement des fils recouverts d’une enveloppe isolante ... 13
  - 6° Eehauffement des câbles armés................................... 14
  - CHAPITRE III
  - Etude détaillée de la règle de Bon Service.
  - I. —Régularité de voltage............................................. 19
  - t° Exigences de la clientèle, lampes, moteurs asynchrones, moteurs
  - synchrones...................................................... 19
  - 2° Description des moyens employés pour régler la tension dans un
  - transport de force............................................. 20
  - 3° Régulation de la ligne de transport de force...................... 22
  - 4° Régulation des lignes de distribution........................... 24
  - II. — Stabilité de marche en parallèle d’usines éloignées.............. 25
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- - 170
  - TABLE DES MATIÈRES
  - CHAPITRE IV
  - Etude détaillée de la règle d’Economie.
  - I. — Etude économique des lignes de transport. Considérations générales.............................................................. 27
  - IL — Etude de la détermination île la perte relative économique ... 29
  - lu Etude du prix de revient du kilowatt-an....................... . 29
  - 2o Décomposition des charges annuelles et Détermination des coefficients d’intérêt amortissement....................................... 35
  - 3° Détermination graphique et algébrique de la perte relative économique ............................................................... 39
  - III. — Usines complètement hydrauliques................................... 40
  - 1° Exemple numérique. Etude algébrique............................... 41
  - 2° Etude graphique................................................... 42
  - 3° Influence du coût du poste de transformation...................... 43
  - 4° Influence de la distance de transport............................. 45
  - 5« Calcul économique d’une ligne de transport de force lorsque le
  - prix de vente est connu.................................... . 47
  - IV. — Usines hydroélectriques incomplètement hydrauliques .... 49
  - 1° Etude économique dans le cas où l’usine à vapeur de secours est
  - situé près de l’usine hydroélcctriqne.............................. 50
  - 2° L’usine à vapeur est située auprès du poste de transformation à l’arrivée............................................................ 52
  - V. — Etude économique des longues lignes de transport à très haut vol-
  - tage, ou des lignes de transport en câbles armés.............. 56
  - VI. — Etude économique des canalisations secondaires.....................58
  - CHAPITRE V
  - Calcul des lignes de transport ou de distribution.
  - 1. — Considérations générales .......................................... 69
  - CHAPITRE VI Résistance.
  - I. — Valeur de la résistance d’un conducteur donné................... 73
  - Tableau des résistivités et des coefficients de température ... 74
  - Tableau des résistances des fils (Bronze) de divers diamètres . . 76
  - IL — Correction de la résistance. Résistance effective............... 76
  - CHAPITRE VII
  - Calcul des lignes en tenant compte seulement de la résistance.
  - I. — Calculs. ... 80
  - 1° Circuit fictif.................................................... 80
  - 2° Diagrammes. ................................................... 81
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- - TABLE DES MATIÈRES
  - 171
  - 3° Formules générales................................................. 83
  - 4° Calcul de la section d’une ligne en tenant compte des règles de Bon
  - Service ou d’Economie................................................ 84
  - 5° Etude des réseaux secondaires par la décomposition des courants,
  - en courants wattés et déwattés....................................... 88
  - II. — Mesures........................................................ 93
  - 1° Mesure de la résistance sur une ligne construite............... 93
  - 2° Propriétés de la résistance d’une ligne....................... . 95
  - CHAPITRE VIII Inductance.
  - I. — Formules générales................................................... 96
  - 1° Valeur de l’inductance d’un conducteur donné faisant partie d’un
  - système donné........................................................ 96
  - 2° Formules générales des coefficients de self-induction et d’induction mutuelle.........................................................101
  - II. — Etude de l’effet de l’induction dans les circuits alternatifs. . . 102
  - 1° Circuit fictif......................................................102
  - 2° Coefficient de self-induction apparente dans les lignes à simple circuit.......................................................... . 103
  - 3° Influence de la dissymétrie dans les lignes à. simple circuit. Différence maxima des voltages entre fils. Tension simple moyenne. . 106
  - III. — Induction dans les lignes multiples...............................110
  - lo Lignes multiples marchant en parallèle..............................110
  - 2° Calcul du vecteur de la chute de tension inductive. Formules
  - générales............................................................112
  - 3° Effets de la dissymétrie dans les lignes multiples mai'chant en
  - parallèle. Etudes de diverses dispositions de fils...................112
  - 4° Effets de l’induction mutuelle lorsque les lignes ne marchent pas
  - en parallèle........................................................ 118
  - 5° Emploi des l'otations de fils pour xumédier aux effets de l’induction
  - mutuelle et de la dissymétrie........................................120
  - IV. — Calculs pratiques....................................................123
  - 1° Calcul du coefficient de self-induction apparente Ls.............123
  - 2° Représentation graphique de l’inductance (wLs) de la ligne. . . 124
  - 3° Tables de self-induction et de mutuelle induction..................125
  - 4° Impédance. Impédance dirigée. Diagramme des impédances. . 126
  - V. — Cas spéciaux............................................ . . 128
  - 1° Cas des conducteui’s de gros diamètres. Effet Kelvin.............128
  - 2o Coefficient de self-induction et d’induction mutuelle d’un fil
  - unique....................................................... . 131
  - 3° Inductance dans les câbles armés ... 132
  - CHAPITRE IX
  - Calcul des lignes de tkanspokt et de disthibution en tenant compte DE l’inductance.
  - I. — Etudes algébi’iques....................................................134
  - 1° Diagrammes et formules générales ........ . 134
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- - 172
  - TABLE DES MATIÈRES
  - 2° Calcul d’une ligne de transport par la règle d’Economie .... 186
  - 3° Calcul d’une ligne de distribution par la règle d’Economie . . . 138
  - 4° Formules algébriques approchées.........................* • . 139
  - 5° Calcul d’une ligne de transport ou de distribution lorsque la
  - chute relative de voltage est fixée..............................142
  - II. — Simplification de l’étude algébrique par l’utilisation d’un réseau de
  - courbes..........................................................1-48
  - 1° Courbes de MM. Pender et Thomson. Calcul des lignes en tenant
  - compte seulement de la résistance et de l’inductance.............143
  - 2° Usage du réseau de courbes de MM. Pender et Thomson pour le calcul approché des lignes de transport en tenant compte de la
  - capacité . 147
  - 3° Cas des canalisations secondaires et des lignes de transport de
  - faibles longueurs....................................................151
  - III. — Etudes graphiques....................................................152
  - 1° Etude de l'effet sur le voltage, de la variation de l’intensité ou du
  - facteur de puissance, dans une ligne donnée......................152
  - 2° Hayon d’action d'une ligne donnée...................................153
  - 3° Diagramme de M. Mershon pour le calcul des lignes en tenant
  - compte de l’inductance...............................................154
  - 4° Détermination graphique de la section d’une ligne de transport
  - lorsque la perte relative de voltage est fixée...................156
  - 5° Détermination graphique de la section d’une ligne de distribution
  - lorsque la perte relative de voltage est fixée.......................159
  - IV. — Mesure de l’inductance sur une ligne construite.....................162
  - 1° Mesures.............................................................162
  - 2° Propriétés de l’inductance..........................................166
  - Table de caleul des lignes trigonomélriques ........................167
  - Abaque pour le calcul de l’inductance........................ Planche I
  - Abaque pour le calcul des chutes relatives de tension . . ^Planche II
  - Page 20, vingtième ligne, à : la puissance rnaxima et proportionnelle..., etc. substituez : le couple-moteur maximum est proportionnel..., etc.
  - Page 78, troisième ligne, à : constitué par un métal non magnétique, substituez : en cuivre. Le tableau de la page 77 ne s’applique donc qu’aux conducteurs en cuivre ou en bronze.
  - Page 86, Tableau : Valeurs de M : au lieu de : cos2^, lire : cos2 y.
  - Page 100. Equations du nombre moyen de lignes de force, au lieu de : 2 y.. log. r, lire : 2 p. ip . log. r.
  - LAVAL. — IMPHIMEHIE L. BARNÉOUD ET Cie.
- p.172 - vue 178/178