Étude sur la propagation des ondes liquides dans les tuyaux élastiques

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- - V
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- - ÉTUDE
  - SUR LA
  - PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
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- - DE LILLE
  - TRAVAUX ET MÉMOIRES DE L'UNIVERSITÉ
  - NOUVELLE SERIE
  - II. Médecine-Sciences. — Volume 8
  - ÉTUDE
  - SUR LA
  - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES
  - T—......
  - PAR
  - A. BOULANGER
  - Professeur a l’Université de Lille
  - LILLE
  - TALLANDIER S, rue Faidherbe, 5
  - PARIS
  - GAUTHIER-VIL LARS 55, quai des Grands Augustins, 55.
  - 19 13
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- - INTRODUCTION.
  - Le problème de la propagation des ondes le long d’une colonne liquide, compressible ou non, enfermée dans un tube à paroi élastique, est une question posée naturellement aux théoriciens par l’expérience, et qui intéresse à la fois le physiologiste, le physicien et l’ingénieur.
  - Pour le physiologiste, en effet, le pouls (soulèvement brusque et périodique d’une artère en un point déterminé, lié à un choc précardial produisant une variation de la tension artérielle en ce point) est le résultat du passage, dans un vaisseau doué d'élasticité, d’une onde sanguine lancée par la systole ventriculaire (onde pulsatile). Issue du besoin d’expliquer une vieille observation d’Lrasistrate (') confirmée par Josias Weitbrecht (2), d’après laquelle la pulsation serait perçue aux artères voisines du cœur un instant avant de l’être aux artères périphériques, due surtout aux recherches de Thomas Young et de E.-H. Weber, qui distinguèrent dans la circulation du sang le mouvement de courant et le mouvement ondulatoire, cette doctrine réduit la théorie des battements du pouls à la solution de notre problème.
  - Le physicien a été conduit au même problème par la nécessité de rendre compte de la différence entre la vitesse du son observée dans une masse fluide quasi indéfinie et celle observée dans une colonne fluide remplissant un tube cylindrique. Cetle divergence
  - (') Galien,//!, arteriis sanguis, C. 2.
  - (2) Commentarii acad. scient. Petropol., t. VIT, 1734.
  - B.
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- - VI
  - INTRODUCTION.
  - dans les vitesses de propagation d:un ébranlement à travers un fluide presque incompressible, comme l’eau, signalée par Wer-theim, fut attribuée par Helmholtz, dès 1848, à l’élasticité et au frottement de la paroi. Lorsque les expériences de Kundt sur les figures acoustiques produites par les vibrations d’une masse d’air dans un tube de verre contenant une poudre impalpable eurent été étendues par cet habile expérimentateur, avec le concours de Lehmann, au cas d’une masse d’eau, qu’elles eurent été répétées avec précision par Dvorak, on fut en présence de données quantitatives suffisantes pour donner lieu à un contrôle d’explication. Une Lhéorie mettant en ligne l’élasticité de la paroi, la compressibilité du fluide, les dimensions du lube, fut édifiée par D.-J. Kor-teweg, et rendit compte d’une grosse partie de l’écart observé.
  - L’ingénieur hydraulicien enfin a à traiter notre problème s’il veut étudier le phénomène hien connu sous le nom de coup de bélier, qui se produit dans les canalisations de distribution d’eau en causant parfois des accidents regrettables, provoqué par toute variation brusque de la vitesse d’écoulement et, par suite, de la pression. La formation des coups de bélier dans les grandes conduites d’alimentation des usines hydro-électriques complique extrêmement la régulation des turbines, et la nécessité d’obtenir des règles pratiques concernant l’installation de ces moteurs a attiré depuis quelques années l’attention sur la question, au point que l’Académie des Sciences a proposé comme sujet du prix Four-neyron en 1910 « l’étude expérimentale et théorique des effets des coups de bélier dans les tuyaux élastiques ».
  - Le problème se rattache à trop de disciplines différentes pour n’avoir pas reçu de nombreux essais de solution, tant au point de vue théorique qu’au point de vue expérimental. Mais les travaux qu’on lui a consacrés, écrits en toutes langues, ont été entrepris isolément, chaque chercheur ignorant les tentatives de ses prédécesseurs : aussi telle formule cl’Young est-elle attribuée à Résal; telle autre de Korteveg, retrouvée par Joukowsky, porte le nom
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- - INTRODUCTION.
  - Vil
  - d’Alliévi; telle autre encore du même physicien a été donnée à nouveau par M. Boussinesq ; J. Moens fait un effort considérable pour déduire de l’expérience et de considérations semi-théoriques un résultat qui n’est pas distinct de celui d’Young; H. Lambs refait à sa manière un travail de Gromeka.
  - Dans ces conditions, j’ai pensé qu’un tableau d’ensemble des résultats acquis dans une si difficile étude pourrait rendre quelques services ((). Je présente ici cet historique qui a été aussi pour moi le moyen de mettre en évidence des lacunes dont j’ai essayé de combler quelques-unes. Les contributions personnelles que j’aurai à apporter seront résumées dans la conclusion de ce Mémoire.
  - (’) Toutefois je n’ai pas voulu, à cette occasion, écrire une monographie, ni même établir la bibliographie de la sphygmographie : les spécialistes savent bien où les trouver.
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- - ÉTUDE
  - SUR LA
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  - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - I. — L’Essai de Léonard Euler (1775).
  - Euler a, le premier, essayé de soumettre au calcul le délicat problème de la propagation des ondes pulsatiles dans les artères en mettant en compte l’élasticité des parois. Malheureusement, de son manuscrit sur ce sujet, quelques fragments seuls nous sont parvenus, insérés dans ses œuvres posthumes (1); ils commencent au paragraphe 15 qui, vraisemblablement, suivait la justification de l’établissement d’une importante relation estimée depuis inexacte; il serait déplacé de prétendre apprécier ce point essentiel, réduit qu’on est à des conjectures à l’égard des considérations qui ont guidé l’auteur, l’indécision entre deux formes de cette relation portant cependant à croire à l’influence de raisons de simplification analytique.
  - Euler admet l’incompressibilité du fluide, traduite par l’équation de continuité à densité constante; il fait l’hypothèse du parallélisme des tranches, c’est-à-dire qu’il suppose que toutes les molécules d’un tronçon élémentaire de la colonne liquide prennent des vitesses équipollentes suivant l’axe de la colonne, sous l’influence du choc cardiaque ou de l’impulsion produite à l’une des extrémités de la colonne. Le tube est d’ailleurs horizontal, de petit diamètre, et la pression aux divers points d’une section nor-
  - (') Leonhardi Euleri Opéra postuma, mathematica et physica, anno MDCCCXLIV détecta quæ academiæ scientiarum Petropolitanæ obtulerunt ejusque auspiciis ediderunt auctoris prænepotes P.-H. et N. Fuss. Petropolo, 1862. Tomus aller; XXXIII. Principia pro niotu sanguinis per arterias deter-minando [Exbib. 1775, dec. 21] (Ff. 814-823).
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- - 1
  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - male est censée ne recevoir, da fait de la pesanteur du fluide, que des variations négligeables ; autrement dit, le liquide est regardé comme dépourvu de pesanteur.
  - Si x est l’abscisse d’une section normale, s l’aire de cette section à l’instant t, u la vitesse longitudinale à travers cette section au même instant, p la pression correspondante, p la densité du fluide, les deux premières équations écrites par Euler sont
  - ds
  - dt
  - à (us) dx
  - du du dp
  - dt "T~ U dx ^ dx
  - — o.
  - En ce qui concerne l’action de la paroi élastique, elle est considérée comme produisant une variation de pression par dilatation annulaire; autrement dit, le tube élastique est supposé formé d’anneaux juxtaposés, sans actions mutuelles les uns sur les autres. Soit S le maximum, variable avec x, qu’atteigne l’aire d’une section s, fonction de x et de t] Euler admet (<) que l’on a, soit
  - CS
  - soit
  - V
  - P = c L°g
  - r ÔS •
  - c étant une constante ; S est la valeur de s quand — = o. Ni l’une
  - n dt
  - ni l’autre de ces relations n’est d’ailleurs conforme à la réalité des faits, comme on le verra par la suite.
  - Il reste à traiter analytiquement le système des équations obtenues, et Euler, après quelques tentatives infructueuses, y renonce. « Cum autem nulla prorsus via pateat talem resolutionem (*)
  - (*) Voici les termes d’Euler: « Recordandum est, certain dari relationemy inter pressionem p et amplitudinem s, pro qua assumsimus liane formulant cs S .
  - —----> vel etiam p = c Log. —--> ubi S dénotât maxirnam amplitudinem ad
  - quam tubus in Z expandi potest, ita ut S sit tantum functio ipsius z a varia— bili X neutiquam pendens. » L’auteur désigne par z l’abscisse de la section Z et par X une variable équivalente au temps (Investigatio formularumpro motu fluidi per tubos elasticos, § 39).
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - perficiendi, hœcque investigatio vires humanas transcendere sit censenda, hic utic/ue isto laboriJinem imponere cogimus (* ). »
  - Son impuissance avouée, le grand géomètre termine son essai par ces réflexions peu encourageantes pour les chercheurs curieux des problèmes de la Philosophie naturelle : « ln molu igitur sanguinis explicando easde/n ojfendimus insuperabiles diffi-cultates, quœ nos impediunt omnia plane opéra Crealoris accuratius penseratari, ubi perpetuo multo magis summam sapientiam cum omnipotentia conjunctani admirari ac vene-rari debemus, cum ne summum ingenium humanum vel levis-simce vebrillœ vercun structuram percipere atque explicare valecit (2). »
  - Il fallait un esprit moins à-prioriste que celui d’Euler, familier avec les habitudes analogiques et inductives de la Physique, pour créer une théorie du pouls, dont une première approximation fut donnée par un physiologiste et physicien anglais, et déduite des Principia de* New ton.
  - II. — La formule de Thomas Young (1808).
  - Le premier résultat précis concernant noire sujet a été obtenu en 1808 par Thomas Young et se trouve inséré dans un travail d’introduction à une conférence académique sur les fonctions du cœur et des artères, travail dans lequel le savant physicien se propose d’examiner les principes mécaniques de la circulation du sang(3). La partie la plus intéressante du Mémoire en forme le paragraphe 3, intitulé : Of the Propagation of an Impulse through an elastic Tube.
  - La propagation des ébranlements dans un fluide élastique soit indéfini, soit enclos dans un tube rigide, était chose connue : l’idée d’Young fut d’en transporter la théorie au cas d’un fluide
  - (1 ) Loc. cit., § 42.
  - (2 ) Loc. cit., § 43.
  - (3) Hydraulics Investigations, subservient to an intended Croonian Lecture on the Motion of the Blood, by Thomas Young, read may 5, 1808; Croonian Lecture on the functions of the heart and arteries, by Thomas Young, read nov. 10, 1808 ( Philosophical Transaction of the royal Society of London, 1808, Part II, p. 164*186; 180g, p. 1).
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  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - incompressible enclos clans une paroi élaslique, en faisant jouer à l’élasticité du Lube le rôle de la compressibilité du fluide.
  - En particulier, dit Young, le raisonnement qu’on emploie pour déterminer la vitesse de propagation d’un ébranlement à travers un fluide élastique (1) est applicable au cas d’un fluide incompressible contenu dans un tube élastique, en fixant la grandeur du module d’après la corrélation qui existe entre la variation de pression et la dilatation du tuyau.
  - Soient Pi le rajon du tube à l’état naturel, R + /• son rayon sous l’influence de la pression due à une colonne du liquide de hauteur h. Supposons la nature de la paroi telle que sa tension varie proportionnellement à l'allongement unitaire de sa circonférence. Si E est le coeffîcient d’élasticité de la substance qui constitue la paroi, le rayon, de valeur R à l’état naturel, prendra la valeur R + r
  - sous l’influence d’une tension élastique E La tension totale sur une section diamétrale d’une portion du tube (supposé de faible épaisseur a) de longueur égale à l’unité sera E^aa, et la pression unitaire correspondante sur les parois du tube aura pour valeur E— a ^ + rÿ cette pression sera celle que produirait une colonne liquide de hauteur
  - h — ^ ra
  - 1 ~ p^R(R-t-r)‘
  - Si la loi de proportionnalité était valable pour toute valeur de la dilatation, celle-ci serait infinie lorsque la hauteur de la colonne aurait pour valeur
  - , E a
  - 'li =---ô •
  - P g h
  - Je dis que la vitesse de propagation (2) d'un ébranlement
  - (*) Cette vitesse a pour expression
  - C étant le module d’élasticité du fluide
  - et p sa densité. Elle a été obtenue par Newton ( Philosophiez naturalis principia mathernatica, Prop. XLIX ; Prob. XI; Cor. 2 : Datis medii densitate et vi elas-tica, invenive velocitalem pulsuum).
  - (2) Je citerai les termes mêmes d’Young : « If tlie nature of the pipe be such that its elastic force varies as the excess of its circumference or diameter above the natural extent, which is nearly the usual constitution of elastic
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
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  - est la moitié de la vitesse acquise par un grave tombant librement de la hauteur hK :
  - En effet, dans la formule de Newton, le module C est le rapport
  - d’une variation élémentaire de pression en un point du milieu à la
  - variation unitaire de volume correspondante, en sorte que si, dans un tube rigide rempli d’un fluide élastique, un tronçon de longueur
  - A se raccourcit de ù sous l’influence d’un accroissement de pression II, on a éî = Il : Cela étant, considérons le cas d’un tuyau
  - élastique rempli d’un fluide incompressible, en admettant, comme
  - le fait implicitement Young, l’hypothèse de l’indépendance des
  - anneaux du tube. Si, sous l’influence d’une variation de pression n, le rayon R et la longueur A d’un tronçon du fluide deviennent respectivement R-(-/- et A — ô, l’incompressibilité du fluide entraîne
  - (ï H- = i, ou, eu égard à la petitesse de o et de
  - Ô T*
  - — = 2 -jj• Mais, d’après ce qu’on a vu plus haut, la variation de
  - pression capable de produire une dilatation r du rayon R, a pour
  - petitesse de /• vis-à-vis de R, n = - ^
  - même variation de pression II produise un même rapprochement des bases de la tranche dans les deux cas, il faut et il suffit que le
  - module C du fluide élastique soit tel que & = p '^—1
  - • Si C est ainsi
  - choisi, le mouvement des tranches sera le même dans les deux cas, et en particulier les vitesses de propagation des ébranlements coin-
  - bodies, there is a certain Jinite height which will cause an infinité extension, and the height of the modulus of elasticity, for each point, is equal to half its height above the base of tliis imaginary column, which may there fore be called witli propriety the modular column of the pipe: consequently the velocity of an impulse will be half as that of a body falling front the modular column. » La démonstration insérée dans le texte ne diffère de celle d’Young que par les notations; j’ai adopté le langage moderne et les notations qui seront utilisées par la suite.
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  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - C. Q. F. B.
  - Soit H la hauteur d’une colonne liquide capable de produire
  - l’éclatement du tuyau ; comme liK f> H( on a to > - sJ^gW. Cette
  - limite inférieure de la vitesse de propagation une fois trouvée, Young en fit une application numérique au cas où le tubeétaitune carotide de chien pour laquelle Haies avait déterminé expérimen-
  - talement la hauteur de la colonne d’éclatement (supplémentaire de
  - la pression artérielle moyenne), H = i86 pieds anglais; il trouva tu = 54 pieds, soit i6m,4o par seconde.
  - Young ne se proposa pas de mesurer expérimentalement la
  - vitesse de propagation des ondes, bien qu’il fût l’inventeur de la
  - méthode d’inscription chronographique dont Marey et son école tirèrent parti plus tard pour cette détermination, et c’est en Allemagne que fut fait, par des moyens très rudimentaires, le premier essai de mesure.
  - III. — Les expériences d’Ernst-Heinrich Weber et la théorie de Wilhelm Weber (1850).
  - Au point de vue expérimental, dès le xvme siècle, Euler se préoccupa de représenter schématiquement le mouvement circulatoire et ondulatoire du sang dans les artères en enfonçant périodiquement de l’eau avec une pompe dans un tuyau élastique, mais il abandonna son projet, l’estimant incapable de conduire à aucun résultat important. L’idée fut reprise par E.-H. Weber (2) qui cons-
  - (') Nous montrerons ultérieurement que le mode de raisonnement d’Young serait exactement applicable au cas où l’on voudrait tenir compte de la compressibilité du fluide et donnerait la formule obtenue soixante ans plus tard par D.-J. Korteweg (voir p. 80).
  - (2) E.-II. Weber, Ueber die Anwendung der Wellenlelire auf die Lehre vom Kreislaufe des Blutes und insbesondere auf die Pulslelire ( Bevichte iiber die Verhandlungen der Kônigl. Sàchsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig ; Math. pkys. Klasse, Jahrg. i85o, p. 165 ). Ce travail a été reproduit dans \es Archives de Millier, 1882, p. 497; il a été réédité en 1889 dans la collection des classiques Ostwald (Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 6) par M. v. Frey.
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
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  - truisit un dispositif connu sous le nom de schéma cle la circulation., simulant avec ingéniosité et clarté la façon dont s’effectue le mouvement du sang. Un intestin de chèvre, courbé et refermé sur lui-même, forme un circuit continu rempli d’eau ; en deux points voisins de i ocm environ sont disposées deux soupapes a et b ouvrant
  - Fig. i.
  - dans le même sens, et, diamétralement opposée, se trouve une éponge c qu’on a fait préalablement pénétrer avec frottement. L’espace ab représente l’agent d’impulsion du liquide, le cœur ; les soupapes a et b sont les valvules; le demi-circuit ac simule le système artériel, l’éponge c le réseau capillaire, le demi-circuit cb le système veineux. On comprime et relâche alternativement, d’une manière régulière, la portion ab du tube; à chaque compression, la valvule a s’ouvre et b se referme, le sang est projeté dans les artères; à chaque relâchement, a se ferme et b s’ouvre sous la pression du sang veineux dont le régime est uniformisé par suite du passage dans les capillaires. Ce schéma est d’ailleurs devenu classique dans l’enseignement de la physiologie.
  - La question qui nous occupe est l’étude du mouvement du fluide dans la région ac, dans lequel E.-H. Weber distingue avec sagacité le mouvement de courant regardé comme déplacement de masse et le mouvement ondulatoire regardé comme déplacement d’une forme, ce dernier étant la cause du pouls artériel.
  - L’auteur de ces recherches était l’un des frères Weber, de Halle, qui, dans leur célèbre Ouvrage intitulé : Science des ondes fondée sur U expérience e t publié en 1825, ont établi, sur d’importantes observations des mouvements des particules en suspensiop dans l’eau, les principes de la théorie des mouvements ondula-
  - (’) Wellenlehre auf Expérimente gegründet, oder über die Wellen trop-baver Flüssigkeiten mit Anwendung auf die Schall- und Lichtwellen, vonden Brüdern Ernst-Heinrich Weber und Wilhelm Weber; Leipzig, 1825.
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  - toires des liquides incompressibles à surface libre, telle qu’elle est passée, à la suite d’un important Mémoire de M. Boussinesq (< ), dans l’enseignement de l’Ecole du Génie maritime (2). Dès 1827 (3), E.-H. Weber s’élait appliqué à utiliser les idées développées dans ce Livre et à les étendre à la théorie du pouls en faisant entrer en compte l’élasticité des artères. Son étude, poursuivie irrégulièrement pendant vingt-cinq ans (/|), fut résumée dans un Mémoire important, estimé encore aujourd’hui au point d’avoir figuré un des premiers dans la collection des Classiques Ostwald.
  - Après une explication sommaire de la manière dont une onde peut se propager dans un tuyau élastique, qu’il emprunte à H. Frey (5) et qui est très analogue à la théorie de la propagation des ondes sonores dans les tuyaux rigides figurant dans les Traités élémentaires de Physique, Weber indique que ces aperçus peuvent être précisés sous forme mathématique et annonce une Note de son frère Wilhelm Weber dont il sera question plus loin; puis il se propose de déterminer expérimentalement la vitesse de propagation d’une onde dans un fluide incompressible au repos remplissant un tuyau de caoutchouc vulcanisé.
  - Prenons un tuyau en caoutchouc, très long, fermé à ses extrémités et contenant de l’eau. A l’extrémité A comprimons le plus vite possible le tuyau sur une longueur déterminée (par exemple en écrasant sur une table le bout du tuyau au moyen d’un taquet de bois) ; le volume d’eau Q contenu dans la partie sous-jacente du tuyau, au lieu de se répandre lentement dans le liquide de façon à dilater le tuyau d’une très petite quantité constante, produira en avant du taquet une intumescence de volume égal à Q, qui transmettra son mouvement aux parties voisines en se transportant le long du tube avec une célérité qu’on va déterminer et un profil d’apparence invariable. CeLte onde, dite positive, se réfléchit d’ailleurs à l’extrémité B du tuyau et parcourt la longueur de
  - (') J. Boussinesq, Théorie des ondes liquides périodiques [Savants étrangers, t. XX, 1872 (pour 1869)].
  - (2) J. Pollard et A. Dudebout, Théorie du Navire, t. III, p. 46 et suiv.
  - (3) Programma editum Lipsiæ, d. XX mens. nov. 1827: De utilitate parietis elastici arteriarum.
  - (4) De pulsus resorptione, auditu et tactu; Lipsiæ, 1834-
  - (5) H. F rey, Versuch einer Théorie der Wellenbewegung des Blutes in den Arterien (Mülles’s Archiv, 1845, p. 169).
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
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  - celui-ci, alternativement dans les deux sens, un grand nombre de fois, avec un lent amortissement de la célérité et de la saillie.
  - Au lieu d’une intumescence, on peut produire une dépression de forme et de célérité constantes qu’on appelle onde négative. Après un temps suffisamment long, le tuyau soumis à la précédente expérience prend un diamètre constant. Qu’on vienne alors à soulever aussi rapidement que possible le taquet par lequel l’extrémité A du caoutchouc était comprimée; le liquide de’la partie voisine du tuyau se précipite alors dans la région vide ; une dépression se forme, qui se propage vers l’extrémité B du tube. Pour que cette expérience réussisse, il importe que les parois du tuyau comprimé ne restent pas adhérentes, et l’on doit avoir soin à cet effet de ne dépasser guère, dans la compression préalable, la moitié du diamètre intérieur du tube. L’onde négative se propage de même que l’onde positive, mais avec une persistance moindre.
  - Cette production d’ondes est très analogue à celle des ondes solitaires, engendrées dans un canal rectangulaire à eau stagnante par une projection d’eau unique et rapide et qui ont fait l’objet en Angleterre, dès 1834, de recherches expérimentales très complètes dirigées par John Scott Russel (1 ).
  - Pour noter les dilatations et contractions subies par le tuyau au moment du passage de l’onde, déformations d’ailleurs très petites, Weber disposait au voisinage de l’extrémité B du tube une sorte de balance à bras inégaux, très légers, dont l’un était terminé par un
  - Fig. 2.
  - fil de fer. Après avoir établi l’équilibre dans la position horizontale au moyen d’un petit contrepoids placé en il faisait reposer, par
  - (') Le rapport relatif à ces expériences a été traduit en français et inséré en 183^ dans les Annales des Ponts et Chaussées.
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  - ÎO ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - rintermédiaire d'un crochet, le bras le plus court sur la surface du caoulcliouc qu'on aperçoit en coupe en «, et il observait le mouvement du long- bras devant un arc gradué, soit à l’œil nu, soit avec une binette.
  - Les temps étaient mesurés au moyen cbun chronomètre donnant les de seconde par battement, et permettant l’estime du dixième de battement. Enfin, en fermant le tube par un robinet qu’on pouvait mettre en communication avec un tube manométrique, il était aisé de donner au liquide telle pression connue qu’on voulait.
  - E.-Il. Weber produisait l’onde en A, à un battement déterminé du chronomètre, et son aide, Théodore Weher, observait à l’explorateur, en B, 1 instant de la dilatation maxima après un parcours égal à une, trois, cinq, ... fois la longueur du tuyau. Chaque détermination était répétée cinq fois, avec une manière de produire l’onde estimée aussi identique à elle-même que possible, et l’on prenait la moyenne des cinq évaluations pour chacune des mesures. Voici le Tableau des résultats obtenus par Weber dans les deux cas où il a expérimenté. Dans le premier de ces cas, la pression était de 8mm d’eau, la longueur du tuyau avait g620mni, le diamètre extérieur 35mm, 5, l’épaisseur de la paroi 4mm; dans le second, la pression était portée à 3m, 5o d’eau, la longueur du tuyau étant devenue g86omm et le diamètre étant dilaté à 4imm.
  - NOMBRE do parcours de l’onde. DURÉE DE PARCOURS DE L’ONDE
  - positive. négative.
  - Premier cc IS (9620“m).
  - 1 S o,744 0,968
  - 3 ü, 168 = 0,744 + 2x0,712 2,520 = 0,968 +2X 0,776
  - 5 3,768 = 2,168 -+- 2 x 0,800 4,200 = 2,520 + 2 X 0,840
  - Deuxième cas (gSGo"’"1).
  - i os,8oo Os,820
  - 3 2 ,664 = 0,800 + 2x0,932 2 .736 = 0,820 + 2X 0,958
  - Malgré des divergences singulières et presque systématiques, la célérité paraissant diminuer pour augmenter ensuite dans le pre-
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - II
  - miercas, sans aucune observation critique, Weber prit les moyennes des résultats précédents. Ainsi la première série relative à l’onde positive donne une durée moyenne de 0,752 seconde pour un parcours de gm,620, ce qui correspond à une vitesse de propagation de 12m, 80 par seconde-, dans la seconde série, Fonde positive a une célérité de 1 im, 4».
  - Weber expérimenta aussi sur des artères détachées de l’organisme et considéra encore le cas delà propagation d’ondes dans un courant fluide, mais pour ce dernier point, les chiffres et détails manquent. Le Mémoire se termine par quelques aperçus sur l’influence du frottement de la paroi sur le ralentissement des ondes pulsatiles, mais là aussi sans résultats quantitatifs.
  - « Nous n’avons fait, dit Weber (/oc. cit., p. 182), aucune expérience sur l’influence du diamètre du tuyau sur la vitesse des ondes. Mais on déduit de la théorie que cette vitesse est, toutes choses égales d’ailleurs, d’autant plus grande que le diamètre est plus petit. » La théorie dont il s’agit ici est celle esquissée par son frère, W. Weber, à laquelle il a été fait allusion plus haut; bien qu’annoncée comme devant faire suite au Mémoire de E.-H. Weber, et quoique une figure s’y rapportant ait été gravée sur la planche de ce Mémoire, la Note de W. Weber (1 ) n’a été publiée qu’en 1 866, retrouvée après sa mort par son frère dans ses papiers.
  - Soit p la densité .du fluide incompressible, r le ra_yon du tuyau dans la section d’abscisse x traversée à l’instant t avec une vitesse c, p la pression dans cette section. Dans le temps dt consécutif à l’instant £, il passe à travers cette section le volume liquide 71 r-c dt, et à travers la section qui en est distante de dx, le volume nr2c dttz — ^r2c) dx dt \ il en est, par suite, resté, dans la
  - tranche limitée par ces deux sections, le volume — (r2c) dx dt ;
  - comme l’augmentation de volume de cette tranche pendant le temps
  - c/£est— (7zr2)dldx, on a la relation dt K J ’
  - (0
  - à ( /’* c ) dr'2 dx ~r" dt
  - C) Wilhelm Weber, Théorie der durch Wasser oder andere incompressibele Flüssigkeiten in elastischen Rôliren fortgeplanzten Wellen (Berichte der Gesellschaft der Wissenschaften su Leipzig : Math. phys. KL.; Bancl 18, 6 novembre 186G, p. 353-3d7).
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- - 12
  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - A cette équation nous joindrons l’équation d’Euler relative au mou-
  - vement longitudinal du fluide
  - W. Weber simplifie ces deux équations en admettant d’une part
  - que les variations de /• soient très minimes en sorte que c — soit
  - dx
  - Oc
  - négligeable devant r —, et, d’autre part, en convenant de regarder c ~ comme du second ordre vis-à-vis de ^ (1 ). Il vient ainsi
  - àc i dp àt p dx
  - E''hypothèse de 1 indépendance des anneaux élastiques est admise.
  - A un accroissement de pression P correspond une dilatation radiale déterminée e; Weber admet que le rapport ^ = /r est constant,
  - par application de la loi de Hooke : Ut tensio, sic vis, et il suppose que cette constanle k est préalablement déterminée pour le tuyau expérimenté. Si clr est la variation du rayon corrélative d’une variation de pression dp, on a dr = k dp ; d’où, en passant d’une section à la voisine,
  - L’équation (a') devient dès lors
  - Eliminons c entre les équations (P) et (2") en dérivant (P) par rapport à t et (2") par rapport à x\ l’équation obtenue,
  - 1 d°-r ko dx'1
  - (1 ) Ce dernier point est admis implicitement par Weber qui semble confondre la dérivée totale de c par rapporté t avec sa dérivée partielle (toc. cit., p. 354)
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - est écrite par YV. Weber
  - d2r R d2r
  - (W)
  - dt2 ko dx2
  - supposant implicitement négligeable le terme en ( y devant
  - i d-7'
  - - — et admettant enfin que r est sensiblement égal au rayon initial R du tube ('). Si l’on pose
  - »iÆ,
  - y 2 k p
  - l’équation (W) a pour intégrale générale
  - r = f(æ — w/) + ^(æ + wp,
  - J el g étant des fonctions arbitraires de leur argument, et définit un mouvement ondulatoire de vitesse de propagation to.
  - La constante k est déterminée par Weber à l’aide d’une expérience directe.
  - L’auteur illustre cette théorie par une application numérique à une expérience précitée (2e cas). O11 aR = i6'um,5; à une charge de 35oomm d’eau correspond, selon lui, une dilatation radiale e = 2mm, 70 ; d’où
  - P 3500x9811 12486700
  - (unités : millimètre et seconde); le fluide étant de l’eau, on a p — 1, et la vitesse de propagation par seconde a pour valeur
  - to
  - - ioo33 mm : sec.
  - La mesure directe a donné un déplacement de 986omm en o, 876 seconde, soit une célérité d’environ ii255mm par seconde.
  - W. Weber attribue l’écart entre les deux nombres à la difficulté d’estimation de e (2mm, j5) et du temps de parcours (os, 876). Evidemment k croît avec le rayon R, et il doit même croître plus
  - t1) C’est peut-être parce que cette démonstration lui paraissait insuffisante que W. Weber la conserva dans ses papiers, d’où E.-H. Weber l’exhuma en 1866; la Note parait d’ailleurs avoir été très hâtivement rédigée.
  - B. 2
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- - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - rapidement que R pour que l’assertion de E.-H. Weber sur l’influence du rayon soit exacte. De fait, si l’on compare la formule
  - R2
  - d’Young à celle de Weber, on trouve k = — •
  - La valeur de e introduite dans le calcul n’est pas correcte : on a pris la variation du rayon extérieur en place de celle du rayon intérieur, faute de pouvoir déterminer celle-ci; l’allongement du tuyau diminuant l’épaisseur, la valeur de £ doit être majorée, et cela ne fait qu’accroître le désaccord. C’est un point sur lequel nous aurons à revenir longuement.
  - IV. — Les expériences de J.-B. Marey (1875) et les théories qu’elles provoquent.
  - En 1858, L.-F. Ménabréa (*) envisage le problème du choc produit lorsqu’on intercepte brusquement le mouvement de l’eau dans un tuyau de conduite; il reconnaît la nécessité de mettre en compte l’élasticité du tube et la compressibilité de l’eau. En usant de la notion de résistance vive d’un corps, il cherche à déterminer l’épaisseur que doit avoir le tube pour qu’il puisse résister au choc : à cet effet, il admet qu’à un instant donné, tout mouvement ayant cessé, les compressions et les dilatations ont atteint le maximum, et les tensions correspondantes se font mutuellement équilibre, après avoir absorbé la force vive de l’eau au moment du choc. Cette manière de faire ne saurait se légitimer.
  - Vers cette époque, Barré de Saint-Venant (-) se préoccupait du choc longitudinal de deux barres; les idées qu’il mettait en œuvre auraient pu être utilisées pour l’élude du coup de bélier; il ne semble pas que personne se soit jamais soucié des analogies possibles, ni à cette époque, ni plus tard.
  - Il nous faut revenir aux recherches des physiologistes qui
  - (*) L.-F. Ménabréa, Note sur• les effets du choc de Veau dans les conduites ( C. B. Acad. Sc., t. XLVII, i août 1858, p. 221).
  - (2) Barré de Saint-Venant: i° Sur l’impulsion transversale et la résistance vive des barres (C. B. Acad. Sc., 10 août 1807; 9 janvier, 10 août, 3 juillet i865; i5 janvier 1866); 20 Sur le choc longitudinal de deux barres ( C. B. Acad. Sc., 24 décembre 1866, 20 mai et 10 juin 1867, 3o mars 1868).
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - l5
  - s’étaient proposé d’étudier la loi de variation du diamètre en un point donné d’une artère; cetle étude a constitué la sphygmo-métrie ou sphymographie.
  - Après un essai d’Hérisson, datant de 1834 et dont le principe sera repris vingt-cinq ans plus tard, King, en 1887, eut l’idée de fixer tangentiellemerit à l’artère un mince fil de verre étiré à la lâmpe : les variations du diamètre étaient traduites avec amplification par les déplacements de l’extrémité du fil. Karl Vie-rordt (*), en 1 855, substitua au fil de verre un système de leviers dont le dernier inscrivait ses déplacements sur un cylindre tournant à surface enfumée, et obtint les premières courbes sphygmo-graphiques conservant une représentation du mouveineut pulsatile en un point. L'influence des effets de l’inerlie était assez grande à cause de la masse notable des organes mobiles. Marey parvint à réduire cette masse au minimum et établit un appareil très sensible qui fut longtemps classique, amélioré successivement par Béhier, Burdon, Sanderson, Baker, Landois, Dudgeon.
  - En même temps, Marey (2) se proposa d’établir un dispositif pratique permettant d’inscrire sur un même cylindre enfumé les mouvements simultanés en divers points du système artériel, et il revint à cet effet à l’idée du sphygmomèlre d’Hérisson, sous la forme que lui avait donnée Buisson. Ce dernier physiologiste se servait de deux entonnoirs conjugués dont un tube de caoutchouc réunissait les becs; le pavillon de chacun de ces entonnoirs était recouvert d’une membrane élastique. Si l’on exerçait une pression sur la membrane de l’un des entonnoirs, la membrane de l’autre se soulevait par la compression de l’air contenu dans l’appareil. A cette seconde membrane était adapté un disque léger surmonté d’une arête qui soulevait un levier dont Jes déplacements de l’extrémité libre étaient enregistrés sur un cylindre enfumé. Marey substitua aux entonnoirs de petites cuvettes ou petits tambours métalliques de forme très plate, prolongés latéralement par un petit tube métallique qui s’ouvre à leur intérieur et s’adapte d’autre part à un étroit tube de caoutchouc qui les fait commu-
  - ( ') K. Vierordt, Die Lehre vom Arterienpuls, Braunschweig, 1855.
  - (2) J.-B. Marey : 1° Annales des Sciences naturelles: Zoologie; 4e série, t. VIII, 1858 ; 2° Journal de Physiologie, t. III, 1860, p. 243 et suiv.
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- - i6
  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - niquer l’un avec l’autre. Il fît rigide et solide le levier actionnant la première membrane, extrêmement léger celui actionnant la seconde. Il enregistra de plus, sur le même cylindre tournant, les vibrations d’un style porté par un diapason à mouvement entretenu électriquement. Cette idée, dont le principe est dû encore à Thomas Young et qui avait été perfectionnée par Duhamel, Helmholtz, Becquerel, Foucault, permit, en alignant les pointes du style et du levier sur une même génératrice du cylindre, d’estimer le temps séparant les inscriptions de deux états du levier enregistreur (sauf de minimes erreurs d’excentricité à corriger).
  - En posant simultanément les leviers récepteurs sur l’aorte, l’artère carotide et l’artère fémorale d’un cheval, Marey rendit évident par ses diagrammes le retard du pouls de l’artère fémorale sur celui de la carotide, de celui de la carotide sur celui de l’aorte, et esLima ces retards : s’il eût été possible de déterminer les trajets entre les points d’appui des récepteurs, il aurait obtenu une première approximation de la vitesse de propagation des ondes pulsatiles. Son ingénieuse mise en œuvre d'idées connues fut adoptée par les physiologistes pour mesurer cette vitesse, et même pour examiner l’influence du diamètre, de l’élasticité de la paroi, de la densité, et même de l’énergie des ondes : les essais de Donders, Rive, Valentin (*) sont à citer. Mais, malgré la variété des dispositifs réalisés et l’habileté des expérimentateurs, nous ne pouvons citer aucune expérience dont les conditions soient bien définies numériquement.
  - Marey lui-même reprit la question et, laissant de côté les phénomènes de la circulation du sang, se mit à « rechercher d’après quelles lois se propage le mouvement des liquides dans des tuyaux élastiques assimilables aux vaisseaux artériels ». La grande publicité donnée à son Mémoire (2) eut au moins pour résultat de provoquer plusieurs travaux.
  - Un tube de caoutchouc, placé horizontalement, est rempli de
  - (*) Donders, Physiologie der Menschen, 1859, p. 79. — Rive, De Sphygmo-graaf en de Sphy g nio g-curve, 1866. — Valentin, Versuch einer phys. Pathologie d. fier zens irn d. Blutgefasse, 1866, Leipzig, p. i56.
  - (-) Physiologie expérimentale (Travaux du laboratoire du Professeur Marey) t. I., 1875, Mém. III : Mouvement des ondes liquides pour servir à la théorie du pouls, p. 87-121. Ce Mémoire a été reproduit dans le Journal de Physique, 1875
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES. 17
  - liquide; une de ses extrémités est adaptée à une pompe, l’autre à un ajutage d’écoulement qu’on peut fermer. Il traverse une suite de six explorateurs identiques, distants d’axe en axe de 2ocm et dont la disposition est marquée par la coupe ci-dessous. Une caisse
  - Fig. 3.
  - rectangulaire B, ouverte à ses deux Louis, livre passage au tube t qui est serré entre deux demi-gouttières métalliques : l’inférieure est fixée au fond de la caisse, l’autre à la membrane de caoutchouc qui forme la paroi inférieure m d’une capsule T remplie d’air. Un mince tube de liaison fait communiquer cette capsule avec la cavité d’une capsule semblable dont la membrane actionne un levier inscripleur. Les six leviers marquent leurs traces sur une même génératrice d’un cylindre enfumé tournant avec une vitesse superficielle de 28e"1 par seconde, chronographié par un diapason à 5o vibrations doubles par seconde.
  - Le tube plein d’eau étant fermé, on enfonce brusquement le piston de la pompe ; l’eau refoulée s’élance dans le tube, donnant une intumescence principale suivie d’intumescences secondaires qui tendent à s’éteindre rapidement. Au passage de l’intumescence sous un explorateur, les deux demi-gouttières tendent à s’écarter ; la supérieure, seule mobile, totalise la variation du diamètre et comprime le tambour à la membrane duquel elle est fixée. La membrane conjuguée subit un déplacement corrélatif inscrit proportionnellement sur le cylindre.
  - Marey suivait sur les tracés le point correspondant à la dilatation maximum, ou à ce qu’il appelait le sommet de ronde. Le temps
  - p. 25; dans le Bulletin des Séances de la Société française de Physique, 18 juin 1875, p. g5-io2.
  - J’ai fait rechercher dans le cimetière d’instruments de l’Institut, Marey si l’on pourrait retrouver l’appareil employé par Marey; ce fut en vain : Marey avait l’habitude de démonter les appareils qui lui avaient servi pour en faire d'autres avec les morceaux des anciens.
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- - l8 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - séparant les positions de ce point relatives à deux explorateurs successifs (distants de 20c,n) était en moyenne, dans les diagrammes joints au Mémoire, de de seconde, ce qui portait la vitesse de déplacement du sommet à iom environ. Mais, tout en notant que ce chiffre correspond à un certain diamètre et à une certaine élasticité du tube, et que ces éléments font varier la vitesse, l’auteur néglige de définir le tube qu’il a employé.
  - A défaut de chiffres, Marey donne des conclusions qualitatives dont nous allons résumer les principales.
  - La vitesse de transport d’une onde est proportionnelle à la force élastique du tube; elle varie en raison inverse de la densité du liquide employé; elle diminue graduellement pendant le parcours de l’onde; elle croît avec la rapidité d’impulsion du liquide.
  - L’amplitude de Fonde est proportionnelle à la quantité de liquide qui pénèLre dans le tube, et à la brusquerie de sa pénétration; elle diminue peu à peu pendant le parcours de Fonde.
  - Quand l’afflux du liquide est bref et énergique, il peut se produire une série d’ondes qui marchent à la suite les unes des autres et ont des amplitudes graduellement décroissantes; de ces ondes secondaires, les dernières formées s’éteignent les premières.
  - Si, au lieu d’introduire du liquide dans le tube, on en retire au contraire une petite quantité, il se forme une onde négative qui est soumise aux mêmes lois que Fonde positive et peut être suivie d’ondes négatives secondaires.
  - Lorsque le tube dans lequel se forment les ondes est fermé ou suffisamment rétréci à son extrémité, il se forme des ondes réfléchies qui suivent un trajet rétrograde et reviennent à l’origine du tube.
  - Ces expériences comme leurs conclusions appellent de nombreuses critiques que nous ferons ultérieurement (§ 15).
  - Henry Résal(')se proposa aussitôt de justifier par l’analyse une partie des résultats énoncés par Marey; il le fit dans une Note très brève où il établit élégamment, et en précisant les hypothèses, le résultat d’Young qu’il ignorait.
  - (') H. Résal, Sur les petits mouvements d’un fluide incompressible dans un tuyau élastique ( C. R. Acad. Sc., t. LXXXII, 27 mars 18765 p. 698). Ce travail est reproduit clans le Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1876, p. 3/t2.
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 19
  - Désignons par p0 la pression extérieure censée constante ; co0, R0 la section et le rayon du tuyau à l’état naturel; /?, w, 0 la pression, la section et la vitesse correspondant à la longueur s de l’axe du tuyau mesurée à partir d’une origine déterminée; p la densité du liquide; e l’épaisseur du tuyau; E le coefficient d’élasticité de ce tuyau. Nous supposons que le rapport soit assez petit pour qu’on en puisse négliger la seconde puissance.
  - Assimilons les portions du tube comprises entre des sections normales consécutives à des anneaux élastiques qui n’exerceraient les uns sur les autres que des actions négligeables (en dehors de cette hypothèse, les complications paraissant presque impossibles à débrouiller rationnellement). La pression intérieure variable, développée dans une section méridienne et rapportée à l’unité de longueur du tuyau, vaut 2R(^>—p0); elle est équilibrée par la tension des anneaux aux deux bords, tension égale, pour chaque bord, au produit du coefficient d’élasticité des anneaux (dans le sens de leur circonférence) par leur épaisseur et leur allongement relatif A; on a donc
  - RoO —Po) = EeX;
  - et par suite
  - (0
  - CO = ü>0-+- 2TtR0.RoX
  - to0
  - [
  - 2 Rq Ee
  - (P—Po)
  - Nous allons négliger : i° la pesanteur, ce qui suppose le tuyau sensiblement horizontal; 20 les termes de l’ordre de ç2 et de ve. L’hypothèse des tranches donne la même relation
  - (2)
  - dv _ 1 dp dt p ds
  - que si le tuyau était indéformable.
  - Durant le temps dt, il passe à travers la section to le volume liquide cdc^/a, et à travers la section qui en est distante de ds, le
  - dt ds ; il est par suite resté, entre les plans
  - volume w ç dt
  - é(coc)
  - ds
  - de ces deux sections, le volume —
  - d(wv)
  - ds
  - dt ds, qui a produit
  - l’augmentation de volume —dtds. Nous avons donc
  - 0 dt
  - é(u)c)
  - ds
  - d(x> _
  - lt ’
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- - 20 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - d’où, en développant et ayant égard à la relation (i) ainsi qu’au degré d’approximation convenu :
  - m — =— jLÜ» dJL
  - 1 ' ds Ee ât '
  - L’élimination de p entre les équations (2) et (3) donne
  - à'1 v _ Ee d-v _ àt2 2 R0p és2 ’
  - cette équation est de la forme de celle qui régit les ondes aériennes dans un tuyau à paroi rigide; on en déduit pour la vitesse de propagation des ondes
  - Ainsi cette vitesse est égale à la racine carrée du produit du coefficient d’élasticité et de l’épaisseur du tuyau, divisé par celui du diamètre du tuyau et de la densité du liquide.
  - Ultérieurement, les physiologistes préféreront introduire le poids spécifique m = p g du liquide et écriront
  - Cette formule portera dorénavant le nom de formule de Résal. Marey, dans une réimpression de son travail, l’intercalera parmi ses conclusions qu’elle ne confirme que grossièrement.
  - A l’occasion de la Note de Résal, M. J. Boussinesq (1), qui avait étudié analytiquement un grand nombre de problèmes sur le mouvement de l’eau dans les canaux et tuyaux à parois rigides et qui avait notamment découvert les lois de la propagation des ondes de translation des canaux, a signalé la possibilité d’étendre ses méthodes à la recherche du mouvement d’un liquide remplissant un tube à parois très élastiques; il a sommairement indiqué comment la formule de Résal se rattache à la formule de première approximation donnée par Lagrange pour la vitesse de propagation
  - U) J. Boussinesq, Additions et éclaircissements au Mémoire intitulé « Essai sur la théorie des eaux courantes», p. 58 ( Mém. prés, par clic. sav. à l’Acad. des Sciences, t. XXIV, n° 2).
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - ai
  - des petits mouvements à la surface des liquides. Comme nous consacrerons deux Chapitres du présent travail au développement de cette brève remarque, il nous suffira ici de la signaler.
  - Ce ne fut pas la Note de Résal qu’il ignorait, mais le travail de Marey qui provoqua les recherches de Mœns (*) au Laboratoire de Physiologie de Leyde.
  - Un tuyau était relié à un bout, par un robinet à clef, à un réservoir, et à l’autre, directement, à un second réservoir. Le tout étant plein de liquide et les réservoirs à des niveaux différents, l’ouverture ou la fermeture du robinet produisait des perturbations dont Mœns étudiait la vitesse de propagation. Mœns avait d’abord pris des tuyaux en métal portant aux extrémités des tubes à piston et à chambre d’air ; la chambre d’air était fermée par une membrane sur laquelle reposait la pointe d’un récepteur à transmission de Marey. Les déformations enregistrées étaient prises pour mesure des variations de pression aux deux points considérés du tuyau. Il eut recours ensuite à des tuyaux en caoutchouc sur lesquels il appliquait directement la pointe des tambours récepteurs.
  - Mœns a essayé de déterminer théoriquement la vitesse de propagation d’une intumescence; il avait bien quelques connaissances mathématiques, mais peu complètes, et il ne croyait pas que le problème dont il s’occupait pouvaitêtre traité par la mathématique seule : en conséquence, il appliqua une méthode mixte, suppléant par des résultats expérimentaux à ce que ses raisonnements mathématiques avaient d’incomplet.
  - Le courant étant établi entre les réservoirs, le robinet est fermé brusquement : il se produit une sorte de choc ; une onde de perturbation continue à se propager à partir de cet instant, elle va jusqu’au second réservoir, revient au robinet, etc., et finit par s’amortir. Mœns croit pouvoir déduire de ses expériences que« la longueur de parcours de la perturbation produite par la fermeture du robinet, jusqu'à son extinction, est égale à quatre fois la longueur de ce tuyau, quelles que soient les dimensions de ce tuyau ». Il admet, de plus, que la vitesse de propagation \p de la
  - C1) Adrian Isebree Mœns, Over de voortplantingssnelheid van den Pois (Academisch Profschrift, Leiden, 1877; Bl. 1-72) ; Die Pulscurve, Leiden, 1878; Ber erste Wellengipfel in déni absteigenden Schenkel der Pulscurve ( Pflüg-ger’s Archiv : Physiol., t. XX, 1879, p. 5r 7—533 ).
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- - 22
  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - perturbation est constante, et il se propose de la calculer au moyen de la durée de parcours qu’il estime par une application bizarre et incorrecte du théorème des forces vives. En ce sens il se rattache quelque peu aux idées de Ménabréa. Il est ainsi conduit à l’expression suivante (où nous transposons ses notations en celles de Résal) :
  - —-L= = o, 8o5 ... , la formule obtenue diffère T^y 2,5
  - Comme on a
  - peu de la formule de Young. C’était bien quelque chose, je crois, d’avoir obtenu ce résultat, dans une Thèse de doctorat en médecine, et c’était même beaucoup, par comparaison avec ce qu’avaient donné les physiologistes cités plus haut.
  - J. Mœns a d’ailleurs comparé les valeurs \p calculées à celles mesurées : ces dernières étaient les plus grandes. Par exemple, pour e = oem,23p, Rn = oem, 820, la théorie donnerait
  - 13m, 97 par seconde, tandis qu’on
  - mesure i4m, 3o.
  - Il faut reconnaître que sa détermination de E est contestable. De plus, Mœns songea à tenir compte d’un rétrécissement dû à l’emboîtement du tuyau de caoutchouc sur l’ajutage rigide du réservoir; mais cette partie de son calcul est incompréhensible. Il s’arrêta en définitive à la formule
  - CJn peu plus tard, Mœns consulta à ce sujet D.-J. Korteweg, qui trouva facilement la formule de Résal qui lui était inconnue comme à Mœns, et ce fut à cette occasion que l’idée vint à Korteweg de traiter un problème plus général que nous rencontrerons au prochain Chapitre.
  - V. — Les expériences de Kundt (1875) et les recherches de D.-J. Korteweg (1878).
  - Les vitesses de propagation du son dans une masse fluide indéfinie et dans une colonne cylindrique du même fluide présentent
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - 23
  - nn écart très sensible ; dans une expérience de Wertheim (1 ), la seconde était de ii73rn,4, tandis que ia première était estimée à 14351,1, à la même température. Dès 1848, Helmholtz (2) attribua cette différence à l’influence de l’élasticité et du frottement des parois, et quand, en 1 S'ÿo, Fr. André (3) observa, dans une conduite d’eau en fonte de om, 02 d’épaisseur et de om, 80 de diamètre, une vitesse de propagation du son égale à 897'", 80, ce fut la même cause de déficit qui fut invoquée.
  - En 1874? Kundt (4) étendit, à la détermination de la vitesse du son dans un tuyau plein d’eau, la méthode qui, en 1865, lui avait réussi pour les tuyaux pleins d’air. Son appareil, établi avec le concours d’O. Lehmann, se compose d’un tube de verre fermé de chaque côté par un bouchon de caoutchouc et muni de deux robinets devant servir à le remplir de liquide. L’un des bouchons est traversé par une baguette de verre dont l’extrémité intérieure au tube porte un disque d’un diamètre légèrement inférieur à celui du tube et qui est fixée au quart de sa longueur, extérieur au tube, dans les mâchoires d’un étau. Si l’on fait vibrer longitudinalement cette tige, elle donne son second harmonique, et le disque qu’elle porte imprime à la colonne fluide comprise entre ce disque et le second bouchon un mouvement vibratoire de même période. On a réparti uniformément sur la surface intérieure du tube de la fine limaille de fer, ou de la poudre à tirer, débarrassée du nitre par lavage, et cette substance, sous l’influence des vibrations, tend à s’accumuler aux nœuds. La longueur du tuyau est rendue égale à un nombre entier de demi-longueurs d’onde en enfonçant plus ou moins le second bouchon, et l’on admet que l’appareil est ainsi réglé d’après la netteté avec laquelle la poudre se rassemble aux points en repos. On n’a plus dès lors qu’à mesurer la distance l de deux lignes nodales successives : si JN est le nombre des vibrations, par seconde, de la tige, la vitesse du son dans la colonne liquide en expérience est V = 2N/. Avec la même tige, on
  - (x) Wertheim, Poggendorf Annalen, Bd. LXXVII.
  - (2 ) Helmholtz, Jahresberichten für der Forschritte der Physik, 1848, Bd. IV, und Ges. Abh., Bd. I, p. 246.
  - (•’) Fr. André, C. B. Acad. Sc., t. LXX, 1870, p. 568.
  - (4) Kundt und O. Lehmann, Ueber longitudinale Schwingungen und Klang-figuren in cylindrischen Flüssigkeitssaiilen {Poggendorf Annalen, Bd. CLIII, 1874, p. 1).
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- - 9.4 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - ébranle une colonne d’air identique; si /, et V, sont les analogues de l et V, étant mesurée en employant comme poudre de la silice, on a de même V1=a'INZ1. La vitesse cherchée est donc
  - v=v-v
  - En 1875, V. Dvorak (*) modifie un peu le dispositif. 11 prend un tube horizontal de 2m de longueur, recourbé à une extrémité fermée à la lampe (le retour ayant la largeur d’un doigt et contenant une grosse bulle d’air), replié verticalement à l’autre extrémité laissée ouverte (largeur d’une main) ; il le remplit d’eau de telle sorte que la partie verticale ne soit qu’en partie remplie. Il ébranle ensuite fortement la colonne d’air qui reste en soufflant avec la bouche : la hauteur du son se change en ajoutant ou en ôtant de l’eau. La poudre mise dans le tube montre, après quatre ou cinq ébranlements, des rides très régulières à nœuds équidistants. Il estime la hauteur du son à l’aide du monocorde et mesure la distance de deux nœuds. La vitesse du son s’en déduit par la formule V= 2N/.
  - Les résultats de ces expériences sont résumés dans les deux Tableaux suivants, où e et 2R sont l’épaisseur et le diamètre intérieur du tube, l et Z, les demi-longueurs d’onde dans l’eau et dans l’air, L la longueur de corde du ton correspondant au monocorde, toutes ces quantités évaluées en millimètres; N le nombre des vibrations par seconde, Y la vitesse de propagation déduite en mètres, t la température centigrade.
  - NUMÉRO du tuhe. e. 2 R. l. lv N. t. V.
  - 1 2,2 28,7 i45,2 47,6 )) O 18,4 1040,4
  - « O J 34 <48 41 )) 17 1220,6
  - 3 3 23,5 106 28,6 )) 18 i262,2
  - 4. 3,5 21 116,2 99,2 )) i8,5 i357,6
  - 0 5 i6,5 107,2 39,3 )) 18,2 1363,7
  - 6 5 ii i3o,6 32,4 )) 22,2 i383,2
  - ( Auteurs : Kundt et Lehmann. )
  - (*) V. Dvorak, Ucber die Schallgeschwindigkeit des Wassers in Rôliren ( Poggendorf Annalen, Bd. CLIY, 1876, p. 154 )*
- p.24 - vue 41/142
- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES. 25
  - NUMÉRO du tube. e. 2 R. 2 l. L. N. t. V.
  - 1 0,82 17 > 9 944 186,4 1021,7 0 x9 998
  - O 0,63 n,7 g5° ’78,7 I 102 19 1046
  - 3 0,52 O 00 955 161,6 1219 19 1164
  - 4 2 [5 1188 192,9 1021,7 r9 1213
  - 5 2 11 1219 187,5 1046 x9 1281
  - (Auteur : Dvorak.)
  - Les recherches de Mœns et les expériences de Kundt ont amené un professeur de Bréda, D.-J. Korteweg (')à calculer la vitesse de propagation d’une perturbation à partir de l’état d’équilibre à travers une longue colonne cylindrique d’un fluide de coefficient d’élasticité connu, contenu dans un tuyau à paroi d’élasticité aussi connue.
  - Il s’appuie sur les hypothèses simplificatrices suivantes : i° la masse liquide initialement comprise entre deux plans normaux à l’axe du tuyau, pourra se comprimer, se dilater, s’élargir, mais restera toujours comprise entre deux tels plans; 2° la longueur d’onde est assez grande pour qu’on doive regarder les déformations de la paroi du tuyau seulement comme des dilatations et contractions des sections annulaires normales à l’axe du tube.
  - Considérons, à l’état d’équilibre, la tranche élémentaire comprise entre les abscisses x et x + H, de rayon R et de volume p = tcR.2I;; soit u(x, t) le déplacement de sa première face à l’instant t et r la variation de son rayon; le déplacement de
  - la seconde face aura pour partie principale u + ^ £, et le volume de la tranche fluide sera devenu
  - c -t- Au = tt ( R -t- r)* ^ ^ ^ ;
  - (*) D.-J. Ivorteweo, Over voortplantings-Snelheid van Golven in elasiische Buizen {Acacl. Proefschrift, Leiden 1878); Ueber die Fortplanzungsgeschwin-digkeit des Schalls in elastischen Rôhren {Poggendorf Annalen, Neue Folge, Bd. V. 1878, p. 520-542.
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- - 26
  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - on déduit de là (les variations de u et de R étant suffisamment petites)
  - du
  - dx
  - Soient d’autre part p la variation de la pression du fluide, produite dans la section d’abscisse x, à l’instant t1 par la perturbation, et E, le coefficient d’élasticité du fluide; on a
  - Par comparaison, on obtient la première relation
  - L’application du théorème des quantités de mouvement pro-
  - jetées suivant l’axe du tuyau, à la niasse de la tranche, donne aisément (p, étant la densité du fluide)
  - Appliquons enfin le même théorème à un élément de la paroi annulaire limitant la tranche, élément sur lequel agissent la pression intérieure du fluide, p, et la tension élastique normale q de l’anneau dilaté, la projection étant faite suivant le rayon moyen; e étant l’épaisseur de la paroi et o sa densité, il vient
  - Les fibres annulaires ont subi un allongement unitaire l'anneau est donc soumis à une tension tangentielle uniforme EeH j/, un élément d’anneau d’amplitude angulaire s et d’aire Rs£ subit une pression normale corrélative 2Eeç ÿ et par suite la tension normale élastique par unité d’aire est
  - Eer
  - (4)
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - L’élimination de p et q entre les équations établies donne
  - (5)
  - pi_ cPu dt2
  - pe d2r
  - 17 dt2
  - du
  - àx
  - à- u dx2
  - 2 r
  - ^ T
  - On déduit de là
  - (6)
  - 2 dr R dx '
  - E er “R2~
  - pe às r pi à2 u Ee àr
  - • • • (JJ*
  - et l’élimination de — entre (5) et (6) conduit à l’équation aux
  - dérivées partielles du quatrième ordre définissant le déplacement u
  - cppiR2 à'*u R2ep d'*u / 2 p i R ep,\é2a à-u
  - EEt dx4 E dx2 dt2 \ E ^ E, ) dt2 6 dx2 ~ °'
  - Si l’on néglige l’inertie du tube, l’équation (3) se réduit à p = q, et l’équation (A.) est remplacée par
  - (B)
  - d2u / pi 2 p4 R \ à2 u dx- \Ei Ee ) dt2
  - Pour une paroi absolument rigide, on aurait E = co, et par suite
  - d2 u pi à2 u
  - dx2 E] dt2 ’
  - pour un fluide incompressible, on aurait au contraire d’où
  - à- u 2 pi R d2 u dx2 Ee dt2
  - E) = oc ;
  - Les petits mouvements se propagent le long du fluide avec la
  - 2 pl R
  - vitesse a = y/ dans le premier cas (Newton), et [3 dans le second (Young).
  - Dans le cas général, l’équation (B) donne comme vitesse de propagation des petits mouvements la quantité Vp définie par
  - ( Korteweg).
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- - 28
  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - Si l’inertie de la paroi est mise en compte, l’équation des petits
  - /k
  - mouvements s’écrit, en introduisant la vitesse y = - de propa-
  - gation dans une masse infinie de la paroi,
  - R2 é4 u R2 é4 u i à2u d2 u a2Y2 dt'* y2 dx2 dt2 ~ \2 dt2 dx2
  - (C)
  - v / 9 . . 9 -t-L . .9
  - Les solutions particulières du type
  - u = A cos
  - T 2 TC
  - LT
  - (x — St)
  - où la longueur d’onde X est considérée comme donnée, et où A, o, e sont des constantes, conduisent à une vitesse de propagation o définie par l’équation quadratique
  - R2 /21t\ 2 4 R2 /27T a2 y2 V ^ / ° T2 \ ^
  - 32 — VI 82 +• i = o,
  - v p
  - dont il faut prendre la racine qui, pour X = co, se tranforme en Vp.
  - Le raisonnement qui a servi à établir la relation (4) suppose que l’épaisseur e de la paroi est très petite. Si la paroi est épaisse, Korteweg déduit des formules de Lamé et de Clapeyron (') concernant l’équilibre d’élasticité du cylindre circulaire creux, que la même formule (4) est encore valable en modifiant la valeur du coefficient E.
  - Admettons que chaque anneau élémentaire du tube se déforme comme un cylindre de longueur infinie, soumis à des pressions uniformément réparties sur ses deux faces, et sans tension longitudinale. Soit U le déplacement radial d’une particule de la paroi; à cause de la symétrie supposée autour de l’axe du tube, pris pour axe des x d’un système rectangulaire de coordonnées (on néglige le poids du liquide et du tuyau vis-à-vis de la pression intérieure, et aussi les appuis extérieurs du tuyau), U ne dépendra que de la distance o- de la particule à l’axe des x. En nous bornant au cas d’une paroi isotrope, nous allons chercher à vérifier les
  - (*) Lamé et Clapeyron, Mémoire sur l’équilibre intérieur des corps solides homogènes {Journal de Crelle, Bd. VII, 1831, p. 145-16g, 287-262, 38i-/|i3).
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - équations générales de l’élasticité parles expressions
  - *9
  - Y z
  - U\ = axi, = U — 5 Wi = U - (aconst.),
  - des composantes du déplacement de l’élément envisagé. La densité cubique correspondante est
  - n d\] U
  - 0 — —-— -f- — H- Cl. clz <J
  - et les expressions des tensions sont Nx — X0 -i- 2 ij.a,
  - + NS = X9 +2u^l,
  - dy 1 ôz
  - Ta: — 2 ^ — 2 ^ J Ty — O, Tz — O,
  - A et tj. élant les constantes d’élasticité de la substance. Si l’on néglige aussi l’inertie de la paroi, les équations de Cauchy se
  - réduisent à deux, qui donnent == — = o ; 0 doit se réduire à une 1 oy oz
  - simple constante a-\- ib, et une intégration immédiate donnejpar suite, c étant une nouvelle constante,
  - U = ècr+
  - (7
  - Dès lors, pour un point situé dans le plan xOz (z = = o),
  - on trouve = Tr = Tz — o, et
  - N-r = (X -+- 2 \x)a -f- i\b,
  - Ny = X a -f- 2 ( X -4- jji ) b 2 'J ° •
  - <r2
  - Nz= la-y 2(X+ ii)b— îii£.
  - (J2
  - Le Huicle étant en équilibre dans le tube, on a Nx = o, et pour R, î = R + e, N2 a les valeurs données des pressions sur les deux faces de la paroi, ce qui détermine a, b, c. Une surpression intérieure p donnera lieu à un nouvel état, caractérisé par les valeurs « + b + 6,, c-\-cK des constantes, que définissent des équations analogues. Par différence des équations correspondantes et en observant que la variation de la dilatation radiale
  - B.
  - 3
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- - 3o
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - est /', Korteweg obtient
  - (X-t-2|j.)ai-l-2X6i = o,
  - L’élimination de a{: b,, entre ces équations est bien simple; en introduisant ce que j’appellerai plus tard le module du e
  - tuyau, m — ——> il vient
  - On sait, d’autre part, que le coefficient d’élasticité de traction de la substance a pour expression
  - E _ ,u(3X + ^),
  - X —f- jj.
  - si on l’introduit à la place de X, il vient
  - Î'C
  - (4 bis) =
  - le coefficient C étant défini par la relation
  - m
  - (m -f- t)E
  - Quand les puissances de m supérieures à la première sont négligeables, oit trouve
  - Korteweg envisage encore le cas où la tension longitudinale ne serait plus nulle, mais où tout déplacement longitudinal serait impossible ; cela revient à supposer ux = o (soit a = «, = o) et à supprimer la condition ^#=0. Les mêmes calculs donnent la
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- - DANS LES TUYAUX ÉI,ASTIQUES.
  - solution; on est conduit à éliminer b, et C\ entre les équations
  - 3i
  - Il vient
  - On retrouve la formule (4 bis') où cette fois C est défini par la relation
  - Quand les puissances de m au delà de la première sont négli
  - geables, il vient
  - Pour confronter la formule de Korteweg avec les résultats des expériences de Kundt et de Dvorak, il faudrait connaître le coefficient d’élasticité E; tous les tubes employés étaient en verre, mais ils pouvaient avoir des coefficients d’élasticité notablement différents ; aussi serait-il intéressant de reprendre ces expériences en déterminant le coefficient d’élasticité de la paroi directement, par les vibrations longitudinales par exemple. Quoi qu’il en soit, Korteweg part de la relation
  - 11 admet que pour le verre E = 600000 (kg : cm2), pour l’eau E, = 20000 (kg : cm2), et avec Wertheim, il suppose 2 u. Il calcule alors a par la relation
  - et il compare le résultat au nombre a=i43Qn ordinairement admis. Les Tableaux ci-après montrent que les expériences de
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- - 32 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - Kundt donnent une moyenne de i445"\ et celles de Dvorak une moyenne de 1398"*.
  - A. Terquem (*) admet au contraire <x — 1437™ et calcule E au moyen de la relation
  - où p, = 1. Il trouve que seules les expériences de Dvorak donnent des nombres comparables les uns aux autres, ce qui semble démontrer, selon lui, qu’elles étaient mieux fai tes 5 celles de Kundt donnent des valeurs allant de 37.103 à 65o.io3, tandis que pour les autres on a les chiffres de la dernière colonne du Tableau qui suit :
  - NUMÉRO DU TUBE. MODULE 772, V mesurée. a CALCULE (Korteweg). E CALCULÉ (Terquem.)
  - Kundt n° 1 0,076 0 ^-3* c Ï270 )>
  - )) 2 0,088 1220,6 l48o ))
  - )) 3 0,127 1262,2 i45o ))
  - )) 4 0,167 1357,6 i5io )>
  - » S 0,3o3 1363 ,7 1470 ))
  - )) 6 0,357 1383,2 •Pn CO O ))
  - Dvorak N° 1 0,046 998 i34o 474 • m3
  - )) 2 o,o54 1046 i36o 5oo
  - )) 3 0,061 1164 1470 753
  - )) 4 0,133 1213 i38o 520
  - )> S O CO fcO 1281 i44o 665
  - La valeur moyenne de E à laquelle on est conduit, 582.103, est bien éloignée de la valeur que M. Amagat donne pour le verre, 677.1 o3.
  - Dans la suite de son travail, Korteweg renonce à l’hypothèse des tranches et admet seulement que l’état de mouvement et la pression sont les mêmes tout autour de l'axe du tube.
  - (*) A. Terquem, Journal de Physique de D’Almeida, 1880, p. 127-134.
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- - 33
  - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - Soit un anneau fluide élémentaire compris, à l’état d’équilibre, entre les abscisses x et x H- £, entre les rayons R, et R, +X; soient ut et les accroissements que x et R, doivent au mouvement, fonctions, comme la pressionp{, de x, de R! et du temps t. En raisonnant comme plus haut pour établir la relation (i), on obtient
  - (i')
  - P\ r i dry du i E( Rt dRj dx
  - A cette équation, Korteweg adjoint les équations de Mac Laurin,
  - w à2 Uy ^ àt2 — dpy
  - dx
  - (3') 1 11 ^ 1^ (L dpi éRt
  - et il prend, comme condition limite,
  - P i =
  - Cer
  - ~w
  - pour Rt = R.
  - Ces équations admettent des intégrales particulières de la forme
  - ou
  - Uy—u! cos^, /’t = r'sin^, pi — p' sin^,
  - * = -y~ (x — -+- y»
  - ur', p' étant des fonctions de R, seulement qui s’obtiennent par substitution des expressions qu’on vient d’écrire dans les équations du problème. La fonction p' se trouve définie par l’équation différentielle du second ordre
  - d2 p' i dp' 4 tc2 / ô2 \
  - ïïr|+ r7 ^r7 X2"ô7/ p = °’
  - o ù a =
  - et cette équation s’intégre au moyen des fonctions
  - de Bessel. La connaissance de p' entraîne algébriquement celle de u' et de r'. En posant
  - B =
  - 4rc2
  - X2
  - x6
  - K(a?) = 1
  - (l.'2)2 (l.2.4)2
  - (i .2.4.6)2
  - ...,
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- - 34
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - on obtient la solution particulière
  - P'=a K(RlV/B),
  - u —
  - ha
  - ^pl§2
  - K(Riv/B),
  - l*a /B
  - 4 TC2 O2 p 1
  - K' (RlV/B),
  - et la condition limite donne pour déterminer o, \ étant supposé donné, l’équation transcendante
  - K(Rv/B) =
  - Ce AVB R2 4tc282p[
  - K'(Rv/b).
  - Ln notant que les puissances de B sont faibles, on pourra réduire les développements de K et de K/ à leur premier terme, et cela donne de suite, avec nos notations précédentes,
  - _L — 1 1 _ i
  - S2 “ V2 + p? “ Ÿj
  - Partant de celte valeur de ô comme de première approximation, Korteweg arrive à la valeur plus approchée
  - 7T2R2V2
  - 4 fi2 A2
  - ipR 4£ vn
  - 4 pi A2 (H
  - Le Mémoire de Ivorteweg se termine par une mise en compte du frottement intérieur du fluide, à partir des équations de Navier transformées en coordonnées cylindriques dans l’hypothèse où le régime est symétrique autour de l’axe du tube. Les équations (a') et (3') se trouvent remplacées par les suivantes :
  - d2ui ôpx _ d /d2ui d2Ui i dux \ n d2p\
  - pl dt2 ' dx m dt\ âx2 èRf ' Ri g»Bi/ Ej dx dt’
  - à2 /•] dpj à (à2 r\ d2 rj i di\ t ri \ n d2p\
  - Pl Ht2 + Ml ~ m Jt \d& + dît2" + r7 ^r^ + Rf / Ëh êïïT^’
  - où me t ~ sont les deux coefficients de frottement intérieur ou El
  - d’imparfaite fluidité. On cherche encore des solutions correspondant à des ondes simples qui se propageraient avec une intensité et une forme invariable, par un traitement analogue au précédent, mais qui donne lieu à des calculs extrêmement pénibles et sans résultats utilisables.
  - L’auteur conclut par cette remarque qu’il serait très désirable que les résultats de sa théorie pussent être comparés à l’obser-
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - 35
  - vation par des expériences nombreuses. Mais les expérimentateurs ne semblent pas avoir confiance dans les dernières conclusions : selon A. Terquem, « l’hypothèse implicite que les vibrations du tube sont synchrones de celles du fluide et représentées par une formule sinusoïdale ne paraît guère admissible, car le tube doit transmettre les vibrations qui lui sont communiquées avec une vitesse propre dépendant de son élasticité, ainsi que l’ont constaté Biot et Régnault, ce qui doit compliquer la réaction du tube sur le liquide, surtout si l’on produit des ondes fixes comme dans les expériences de Kundt et de Dvorak : les nœuds et ventres du fluide ne coïncideront pas évidemment avec ceux du tube ».
  - Il y avait cependant là l’idée de mettre en compte le frottement du fluide et l’inertie de la paroi ; c’est celte idée que va reprendre, avec beaucoup plus de netteté, J.-S. Gromeka, de Kazan.
  - VI. — La théorie de J.-S. Gromeka (*) (1883).
  - Nous allons préalablement donner quelques brèves indications sur les équations générales de l’équilibre dynamique d’une membrane courbe très mince et sur les relations entre les tensions et les déformations d’une telle membrane, d’après Aron et Lecornu (2).
  - Sur une face de la membrane, traçons un réseau de courbes orthogonales (s,, s2 ) ; soient /•,, r2 les rayons de courbure géodé-sique des deux lignes s2 au point s2); R1? R2 les rayons de courbure normaux; r' la valeur commune de leurs torsions géodésiques ; e l’épaisseur de la membrane; p la densité de la matière. La membrane étant en mouvement, un élément infinitésimal (cls 1, ds2) issu du point (s,, s2) subit, à l’instant t, un déplacement ayant pour composantes <7,, cr2, x suivant les tan-
  - (1 ) J.-S. Gromeka, Ueber die Geschwindigkeit der Fortplanzung der Wellen-bewegung der Flüssigkeit in elastischen Rôhren (Sammlung der Mitteilungen der physikalisch mathematischen Gesellscha/t zu Kazan, i883). Ce travail est écrit en langue russe; le titre est cité d'après les Fortschritte für Mathematik, où Wassilieff a donné une analyse de quatre lignes.
  - (2 ) Aron, Gleichgewicht und Bewegung einer unendlich dünnen gekriirnmten elastischen Schale ( Journal de Crelle, Bd. LXXVIII, 1874. — B- Lecornu, De l’équilibre des surfaces flexibles ( Journal Éc. Polytechn., 1880, not. p. 16-17 et 21-22).
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- - 36
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - gentes aux lignes coordonnées et suivant la normale n à la surface au point (5,, s2). Les normalies à la surface le long du contour de l’élément découpent dans la membrane un volume élémenlaire soumis à des forces extérieures données qui sont de l’ordre de grandeur les unes de son volume, les autres de la surface de sa base; soient F^, F^, Fw et Pfi, P5j, P/2 les projections de la résultante de chaque groupe suivant les directions , s2, n• Enfin, les faces élémentaires normales, issues respectivement de ds2 et de ds4, à partir du point (s,, s2), subissent des tensions unitaires de composantes respectives (T,, Nj, Qt ) et ( — T2, N2, Q2) suivant les mêmes directions. En exprimant les conditions d’équilibre dynamique du volume élémentaire, on reconnaît d’abord que Q< et Q2 doivent avoir des grandeurs infiniment petites d’un ordre supérieur à l’épaisseur e de la membrane, puis que = T2 (— T), et l’on obtient enfin les équations
  - 4 z\ "e 1 dT N,—N, 2 T 4- pe (F,- d2 (Tjx ) -+- P.Ï, O
  - ds 1 ds2 f'2 f'i dC1 j
  - d N2 dT Nj— N2 2 T 4- pe 1 ( [7 . d2 erg X 1 4" P$j = O,
  - ds2 ds\ Ci r2 dt2 )
  - + Ri N* R, 1T -1 — r -t- pe | (r"- d*z\ ~di* ) 4- P/2 = O.
  - La déformation de l’élément envisagé est définie par les allongements a,, a2 des côtés ds<, ds2, et par la variation (3 de l’angle de ces côtés. En supposant la déformation infiniment petite et en négligeant les termes du troisième ordre et au delà par rapport à l’épaisseur s, Aron a démontré qu’on a
  - Nj= Cat-i-Da*, N2=Dai+Ca2, T = G(3,
  - si l’on pose (X et p. étant les constantes de Lamé)
  - 4 + 1-0 .
  - X -t- 2 [JL ’
  - D =
  - sXjj.
  - X 4— 2 [Jt
  - G = JJ.E.
  - Admettons qu’à l’état d’équilibre la membrane ait la forme d’un cylindre de révolution de rayon intérieur a et que les lignes s*, s2 soient les génératrices rectilignes et circulaires; (a, r, 9) étant des coordonnées cylindriques dont l’axe est celui du cylindre, on a ds\ =dx, ds2 =ad§] dans l’état d’équilibre de la mem-
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- - 37
  - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - brane, on a /•, ==r2=Rt = r'=œ: R2 = a. Supposons que le dépla-
  - cement de la paroi soit symétrique autour de l’axe; que chaque particule reste constamment dans un plan perpendiculaire à l’axe, et que les modifications de courbure du cylindre et des lignes tracées sur lui soient infiniment petites ; u et x étant les composantes du déplacement d’une particule suivant l’axe Ox et suivant le rayon /, on a
  - p = o, N,= C?- + Di ox a
  - a
  - Quant aux forces extérieures, elles sont censées dirigées dans des plans passant par l’axe, et leur résultante en un point est définie
  - par ses composantes P# etPr suivant les lignes coordonnées (x, r).
  - Par substitution dans les équations générales, si l’on néglige les
  - quantités du second ordre de petitesse, on trouve qu’une équation est identiquement satisfaite et que les deux autres deviennent
  - (0
  - Ces préliminaires acquis, considérons un fluide incompres-
  - sible de densité p, en mouvement dans un tube cylindrique élastique, symétriquement par rapport à son axe; soient/? la pression, (w, e) les composantes de la vitesse suivant les lignes coordonnées (a?, r); le liquide étant regardé comme incompressible, un seul coefficient de frottement intérieur du liquide figure dans
  - les équations de Navier, et si l’on posej^-=/c2, ces équations,
  - transformées en coordonnées cylindriques, jointes à l’équation de continuité, s’écrivent
  - O)
- p.37 - vue 54/142
- - 38
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - Le poids du fluide est négligé vis-à-vis
  - et, si les vitesses sont supposées assez
  - a, i du àd
  - etre remplaces par — et — •
  - 1 1 dt dt
  - D’après la dernière équation (2), il existe une fonction cp de x et de r telle que
  - do dtp
  - ru = V ’ rv — — T~ ’ dr dx
  - et si l’on remplace u et v par ces valeurs dans les deux premières équations (2) entre lesquelles on élimine ensuitep, on obtient
  - de la pression intérieure; du dv
  - petites, et-^- pourront
  - àt Y
  - 1 d T , .
  - - — • L intégration r dr
  - A désignant le symbole opératoire
  - complète de cette équation s’obtient, d’après Stokes, en posant
  - cp = cp' —f- ©"1 'ÿr et ©" vérifiant respectivement les équations
  - , do"
  - Acp = 0, -7- = A2 Aep .
  - 1 dt
  - Bornons-nous au cas où le mouvement propagé est ondulatoire et supposons que x et t n’entrent dans cp que par le facteur emx+nt, m et n étant des constantes; si l’on pose q-—m-—cp' et cp" seront donnés par les équations de Bessel d’ordre zéro.
  - d2 . , 1 d ,
  - dt'2
  - (m2, q2)(cp', cp») = o,
  - et l’on prendra dès lors pour ces fonctions, et restant
  - finis pour r — o, les expressions
  - (4 B \
  - — j — j rJj[(/n, q)r]emx+nt;
  - A et B sont des constantes arbitraires et J( la fonction cylindrique de première espèce d’ordre un. On est ainsi conduit àla solution particulière suivante du système (2)
  - u = [AJ0(mr) -1- BJ0(ÿ/’)] emx+nt,
  - AJ 1 ( mr) 4- B — J] (qr)
  - ginx+nt
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - solution qui définit une onde se propageant suivant l’axe Ox avec
  - — • La superposition d’un nombre quelconque de sem-
  - la vitesse
  - m
  - blables solutions donnerait encore une solution de la question.
  - Envisageons le cas d’une onde simple et étudions le mouvement de l’enveloppe. Les composantes <7, t du déplacement d’une des particules du tube suivant les coordonnées (#, r) seront
  - a = H e'nx+nl j — K gmx+nt
  - H et E étant des constantes extrêmement petites. La longueur
  - d’onde — est supposée 1res grande, en sorte que la courbure de
  - m
  - l’enveloppe se modifie très peu. Négligeons l’action des forces extérieures et bornons-nous à mettre en compte le frottement et l’élasticité. Nous pourrons appliquer les équations ( 1 ) en posant
  - où les seconds membres, estimés pour la surface limite du fluide, sont, en négligeant les infiniment petits d’ordre supérieur, à évaluer pour r = a. Exprimons en outre que la vitesse radiale est la même pour un élément de paroi et pour le fluide en contact :
  - ^ = e, pour r = a: au même degré d’approximation, ce qui donne
  - K =--------[A q J] {ma) -t- B/nJi {qa)].
  - Enfin, à la surface limite du fluide, en vertu de la loi d égalité de l’action et de la réaction, la force de frottement intérieur est égale à la force de frottement extérieur, celle-ci étant, d’après KirchhofT, pour les petites vitesses, proportionnelle à la différence géométrique des vitesses des éléments fluide et solide en présence; si /est le coefficient de proportionnalité, on a donc, pour r — a, .
  - Les équations définies du mouvement conduisent ainsi à trois équations linéaires et homogènes en A, B, H, dont la compatibilité entraîne la nullité du déterminant : la condition ainsi obtenue,
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- - 4o
  - ETUDE SUE LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - extrêmement compliquée, pourrait servir à déterminer m quand n est donné, et par suite à définir la vitesse de propagation de
  - l’onde Vp = — — ; n et A seront connus d’après le mouvement
  - imprimé ou la variation de pression produite en un point donné du tube.
  - Pour envisager un cas abordable, supposons qu’on néglige les frottements ; pour f — o et = o, la dernière condition est identiquement vérifiée, mais comme q = oo, il faut revenir aux équations (2) qui se simplifient beaucoup, eu égard à A' = o, et reprendre l’intégration. On est ainsi conduit aux expressions précédentes de u, u, p, où l’on doit faire B — o. On déduit alors immédiatement des équations ( 1 ) les conditions
  - C m*H+ — K —pe/i*H = o, a 1
  - D m C ... pi n . T,
  - ---H -)----K + -— AJ0(ma) -+- pe712K = o,
  - a a2 m 1
  - avec
  - n K = — AJt (ma ).
  - L’élimination de A, H, K donne
  - G m2— pe n2
  - D m a
  - D m
  - a
  - C „ p. n2 Jo(ma)
  - — -t- pen%-----------
  - a2 m J pma)
  - D’après les développements de J0 et J,, on a
  - Jo(ma) 2 f /n2a2
  - J pma) ma L 8 ’ ’ ‘ J ’
  - et comme m est petit, on pourra réduire la parenthèse à l’unité. Introduisons d’autre part la vitesse de propagation V^, la vitesse d’Young (o et le coefficient de contraction latérale de Poisson <jb,
  - Vp = —
  - n
  - — •> m
  - 10
  - X
  - •i.Çk -h [JL ) ’
  - D = C o-0,
  - L'équation précédente devient
  - /«2«2 Y;,
  - E V|\
  - p w2 J p2?2 5
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - ou encore, comme m2a2Yp est insignifiant devant les termes voisins, à cause de la petitesse de m et de la grandeur de E(
  - C
  - V2
  - T p
  - \ pe p/ \ pe p w2/ p2e2
  - Telle est, à la forme et aux notations près, l’équation donnée par Gromeka ; on peut encore l’écrire
  - i —
  - ou
  - Cette équation en V2, indépendante de la longueur d’onde, donne deux racines positives, l’une inférieure à la plus petite, l’autre
  - supérieure à la plus grande des quantités — et w2 ; en fait, pour un
  - E
  - tuyau en caoutchouc dans les conditions usuelles, on a <±>2 >- — ; c’est
  - la plus grande racine qui tend vers to2 quand l’inertie de la paroi est négligeable, p se rapprochant de zéro.
  - Appliquons ce résultat aux conditions des expériences de
  - E
  - Weber. Comme —- est petit de l’ordre de la plus grande racine
  - l(JÜ
  - se met sous la forme
  - Pour le caoutchouc, <r0 est voisin de 4 d’après Cantone e.t E est compris entre 17000 et 20 000 (C. G. S.) d’après Mœns. En prenant co= ioo3 cm : s, on reconnaît que le second terme de la parenthèse est insignifiant, et l’on trouve
  - Yp — 1,154 w = 1107 cm : s.
  - VII. — La théorie de H. LambÇ) (1898).
  - Les recherches de Gromeka, inspirées par l’étude du pouls, ont laissé de côté la compressibilité du fluide. Horace Lamb, au
  - (1 ) H, Lamb, On the velocity of sound in a Tube as affected by the elastricity of the walls (Memoirs and Proceedings\of the Manchester literary and philosophical Society, t. XLII, 1897-1898, n° 9).
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- - 4'2
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - contraire, uniquement préoccupé de la vitesse de propagation du son dans un liquide remplissant un tube, met en compte cet élément. De plus, en outre du cas du tube à paroi mince, il envisage celui d’un tube d’épaisseur infinie (tunnel dans un solide infini).
  - Dans le cas d’une paroi mince, comme l’analyse de Lamb est très analogue à celle de Gromeka (qu’il ignorait d’ailleurs), nous conserverons les notations du paragraphe précédent.
  - H. Lamb définit le mouvement de la paroi par les équations (i) du paragraphe VI; il suppose le fluide dénué de frottement, en sorte qu’à la surface on a Px — o, P,. = p', il pose
  - g _ 4 p ( X -+- p. ) E
  - X -+- 2 p. i —
  - en sorte que l’on a C = Bs, D = Bo-0e. Les équations en question prennent alors la forme
  - ( à21 B / d2 g | àz \
  - \ dt‘l p \ dx2 a dx )’
  - j à^z = P_ _ 4 <70 à<7 ( Z \
  - ( dt- ep P \ a dx a2 /
  - Quant au mouvement du fluide, il est défini par les équations d’Euler
  - du _ i dp dv i dp
  - dt p, dx’ dt p[ àr’
  - par l’équation de continuité
  - dt
  - du dv v
  - ~Â----^ A---1-= °
  - dx dr r
  - et par la relation supplémentaire ou équation de compressibilité du fluide à température constante (l’eau étant regardée comme parfaitement conductrice de la chaleur),
  - E, étant le coefficient d’élasticité du fluide, p® la densité à la pression extérieure au tube (ou atmosphérique), p l’excès de la pression en un point sur ladite pression.
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES. 43
  - La quantité est très petite pour l’eau, les vitesses u et ç sont d’ailleurs supposées très petites; nous pourrons par suite négliger les termes de degré supérieur au premier par rapport à et aux vitesses. Si donc on dérive totalement par rapport au temps l’équation de continuité en tenant compte des équations d’Euler, ce qui donne
  - d2 Los:
  - Pi
  - dt2
  - à / i dp dx \ pj dx
  - 1 dp Pi dr
  - i dp p i r d/'
  - et si l’on remplace p( par sa valeur, on obtient, au degré d’approximation indiqué,
  - (2) à±P = ^l(dlP. , ôlL,Ld±\.
  - ' dt2 p1} \àx- 07’2 ' r dr J
  - Telle est l’équation qui définit la quantité p dont la valeur pour r — a figure dans les équations ( i ).
  - Envisageons un mouvement ondulatoire propagé par la célérité V; x et t n’interviendront dans p que par un facteur de la forme em[x~yt\ et l’équation (2) se réduira à
  - en posant
  - d2p dr2
  - 1 dP , rd,r~^P
  - V2— 7)12
  - «2 =
  - Ei.
  - PÏ '
  - Une solution qui reste finie pour /• = o est donc
  - où
  - p = CJo(vr) em(x~xt\
  - Jo(*) — 1
  - Â = 1
  - (-0*
  - (kiy-
  - La seconde équation d’Euler donne alors à la paroi, où l’accélération normale à l’axe est la même pour le fluide et la paroi, avec l’approximation admise,
  - a 2t ,0 _ 1 dp
  - r=a
  - ou, en tenant compte de ce que la nature supposée du mouvement
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- - 44
  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - entraîne — = m- V2t,
  - mï V^plx = — Cv J' (va) em (t-vo. Ainsi, à la paroi, on aura
  - Dès lors, si nous supposons que a et t varient comme em[æ~yt\ les équations (i) deviennent
  - et donnent, par élimination de
  - o.
  - Si m est donné, cette relation définit la vitesse de propagation Y.
  - terme de la seconde parenthèse devient — *m a\' ^ ; si l’on y
  - substitue à v2 sa valeur m2 ^1 —> si l’on y introduit à nouveau
  - la vitesse d’Young m = ^/2^p0 et l’on se souvient que
  - et si l’on se souvient que
  - 2 a P|
  - E = (i — o-q) B, ledit terme s’écrit
  - à cause de la petitesse de |m|, le terme a- m- V2 est négligeable. Il vient donc
  - )[
  - (i - gg)a» V2 w2( V2— a2)
  - B CT2 P
  - = O.
  - P
  - Telle est l’équation de Lamb. On peut lui donner une forme
  - élégante en y introduisant la vitesse de propagation du son à travers la substance du tube
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - il vient d’abord
  - a)2 ( y2—a2 ) ( y2 — p*) + [( i — ) V2— p2]a2V2 = o
  - ou
  - ( — — \a* ^ [i2
  - Ainsi la vitesse de propagation serait définie par
  - V2 a2
  - 11 est d’ailleurs aisé de reconnaître que, pour a = oo, la relation de Lamb coïncide avec celle de Gromeka.
  - Si l’on applique ce résultat au cas d’un tube de verre dont l’épaisseur soit le dixième du rayon et qui soit rempli d’eau, en admettant pour E,, E, B les nombres
  - Ej = 2,22 x io10, E = 6,o3 x io11, B =6,46 x 1011 (unités C.G.S.),
  - empruntés à Everett (Unités et Constantes physiques), les deux derniers correspondant à un échantillon de flint, on est conduit à des valeurs de Y qui peuvent s’écrire
  - « la première donne la vitesse des ondes longitudinales dans la
  - paroi du tube, l’autre la vitesse des ondes dans le liquide ». Mais par comparaison avec les données de la première expérience de Dvorak, portant sur un tube admettant sensiblement le module m = ^j = o,o5, on constate que la théorie actuelle ne rend pas mieux compte des faits que celle de Korteweg.
  - Si l’on préfère utiliser les nombres donnés par M. Amagat, à savoir
  - E et E, étant estimés en kilogrammes par centimètre carré, comme d’ailleurs — est sensiblement 2,5, on obtient
  - a2
  - — = 0,0767 et P2
  - a2 o,o3o7
  - B.
  - 4
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- - 46 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - Appliqués à la première expérience de Dvorak, avec m = 0,046, ces chiffres conduisent à
  - V = 0,795a;
  - mais, puisque a =
  - = 145o m : s, il vient Y = iiSom: s, alors
  - que l’expérience ne donne que 998 m : s, et que les chiffres adoptés par Lamb fournissent 112Ô m : s.
  - Envisageons maintenant le cas où la paroi cylindrique est d’épaisseur infinie. On peut présenter simplement les résultats de Lamb en conservant les notations précédentes.
  - Les équations générales des mouvements d’un solide élastique soustrait à toute force extérieure sont, en coordonnées cylindriques, dans le cas d’un système symétrique autour de l’axe des x (1):
  - dA
  - de
  - dx \
  - d*'
  - ( X -+- 1 u ) ------------u. —— ( ---------------) = p
  - (ÿ/' Anr 1 Ar Arv* ] ‘ /^y*2
  - dx
  - (X -+- 2 (J. ) --1-----—
  - dx r dr
  - dx ]
  - dx J
  - df2 ' à'-z
  - ?1ÜÏ'
  - a- et t étant les composantes du déplacement d’une particule suivant l’axe Ox et suivant le rayon /•, A désignant la dilatation cubique,
  - A =
  - 1 à r dr
  - (/•T) +
  - de
  - dx
  - Si nous ne considérons qu’un mouvement ondulatoire propagé suivant Ox avec la célérité V, x et t n’intervenant que par un facteur de la forme em(r—'7), on peut écrire simplement
  - (4)
  - .« . dA /de x
  - (1 + 2 !a) ÏÏ7 “ m f* [ ~ m ' ) = P V-
  - dr
  - ( m(\ —t— 2 (J.) A —t— — -j—• 1 r dr
  - / de
  - '{à?
  - — = f
  - p m- V2<r,
  - I A
  - r dr
  - (/•t) -+- me.
  - On déduit immédiatement de là, en combinant la première
  - (') Voir, par exemple, H. Résal, Traité de Physique mathématique, t. I, p. 166-168.
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - 47
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- - 48 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - K0(s) est la fonction de Bessel définie par K0(z)= / cos(z sh u) du =
  - on a posé
  - (9) V =
  - pY2
  - — I
  - et A et B désignent deux constantes arbitraires dont nous allons disposer pour satisfaire aux conditions à la paroi.
  - La pression à l’intérieur du fluide, régie par l’équation (2), prend à la surface interne du tube, pour r = a, la valeur (3), qui, pour des ondes suffisamment longues, se réduit à
  - V2 p*!
  - —^——'t;
  - en posant
  - elle est égale et opposée à la tension normale à la paroi, qui a pour expression (*)
  - de plus, nous avons à exprimer que, sur un élément de paroi, la tension est normale, ou, ce qui revient au même, que le glissement suivant les (a?, r) est nul; d’où Ja condition
  - Dans cette relation, comme dans la précédente,
  - remplaçons a- et t, en fonction de A et de /, par leurs expressions (8) en tenant compte de (5) et de (6); nous obtiendrons
  - (*) H. Résal, loc. cit.
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - 49
  - comme conditions à vérifier pour r = a :
  - . - [~ / 2 u \ a d A / u
  - ______-PL
  - m2V2r v2a
  - 2 [A m3jf
  - pV2
  - f2-
  - df f u. /n2 V2 p( — 2 ni -r— I — -f- ---:——
  - X -H 2 (A à A p mV* àr
  - dr \r ' v2a _pV*W. fA / dr'
  - substituons-y les expressions (8) de A et de y, faisons-y /’ = &, et entre les équations obtenues éliminons le rapport A : B. Il vient, après quelques simplifications évidentes,
  - pV2
  - V-
  - = 4(1-
  - PV2
  - /n2 a2 K0 ( t) a )
  - 7] a K(, (tj a p V2\ m2a2K0(Ça)
  - H- /
  - I +
  - p!} m2 V2
  - [AV2
  - + 4 M +
  - pO m 2 y2 ' fAV2 ,
  - Cette équation, qui détermine la célérité V, peut se simplifier par approximation, en tenant compte de ce que ma est supposé très petit. En effet, |Ça| et \ r\a\ sont moindres que | ma | ; de plus, l’étude de la fonction K0 (z) qui satisfait à l’équation
  - d* K dz2
  - i dK z dz
  - K = o,
  - et qui reste finie pour z infini, permet d’établir que, pour z très petit, est de l’ordre de Log z. Dès lors, les termes de cette
  - forme dans notre équation sont de l’ordre de z- Log z, et peuvent être négligés vis-à-vis des autres termes. Ainsi, pour des ondes suffisamment longues, il vient
  - p? m2 V2-+- [av2 = o,
  - /Y2 \ E,
  - ou, en remplaçant v2 par m2 I — — i J et p, par —,
  - ce qui donne enfin
  - [a( V2 — a2) + Ei Y2 = o,
  - a \/eÎ-
  - Pour le verre, p. = ---- — - - vaut à peu près o,4 E, soit, en gros, io fois la valeur de E( pour l’eau. Dans ces conditions, la célérité V serait environ les o,ç>5 de la vitesse oc du son dans l’eau.
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- - 5o
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - VIII. — Les recherches modernes des physiologistes.
  - La question de la circulation du sang n’a pas cessé d’intéresser les physiologistes, et un Tableau d’ensemble, remarquablement net, des résultats acquis a été présenté il y a quelques années par J.-L. Hoorweg (*). Nous ne mentionnerons ici que quelques indications expérimentales et une idée théorique.
  - L. Landois (2) a donné, pour déterminer la vitesse de propagation d’une intumescence dans un tuyau de caoutchouc, le dispositif très simple suivant :
  - Un grand diapason, placé horizontalement, porte, fixée sur une de ses branches, une plaque de verre enfumée, à laquelle un contrepoids, sur l’autre branche, fait équilibre. Sur la plaque s’appuie le style du levier d’un cardiographe. La plaque participe aux vibrations du diapason, et lorsqu’on la déplace devant le style, la courbe qui serait tracée avec un diapason au repos se trouve dentelée, l’intervalle entre deux dents correspondant à la durée d’une vibration préalablement mesurée à l’aide d’un métronome.
  - Gela étant, un tuyau en caoutchouc d’environ 9111 porte à son origine une ampoule de même substance en forme de fuseau, laquelle est réunie par un court tuyau à un manomètre à mercure (un robinet sépare l’ampoule du manomètre et peut être fermé avant de donner l’impulsion dont il vient d’être question). On mesure la distance entre deux points a et b du tuyau, soit 8m; on dispose ces deux points sous le bouton d’un cardiographe. D’une main, on comprime l’ampoule, lançant dans le tuyau préalablement rempli d’eau une intumescence positive, et de la main libre, on déplace le support du diapason, guidé par une règle fixée à la table, dans le sens du levier du cardiographe. L’intumescence, passant en a, soulève le bouton jusqu’à une amplitude maxima et continue à cheminer dans le tuyau jusqu’à ce qu’elle
  - (') J.-L. Hoorweg, Recherches sur la circulation clu sang (Archives Teyler, II, t. X, 4e Partie, 1906).
  - (2) L. Landois, Lehrbuch der Physiologie clés Menschen, Wien une! Leipzig, 5e Aufl., 1887.
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 5l
  - vienne à nouveau soulever le bouton à son passage en b. La plaque enregistre les soulèvements du style et les vibrations du diapason : l’intervalle entre les deux maximum de déviation, ainsi chronométré, donne le temps nécessaire pour que l’intumescence se propage de a à b.
  - Dans une expérience de Landois (pour une impulsion correspondant à 75mra de mercure, mais l’auteur affirme n’avoir trouvé aucune différence de vitesse en faisant varier l’intensité de l’impulsion), la dentelure correspondant à o,oi6i3 seconde (?), on comptait 42 dentules, ce qui correspond à une vitesse de 8
  - ---------:—— =: 11,808 m : s. Le module du tuvau ni le coefficient
  - 4'2 X o,oibi3 7
  - d’élasticité ne sont donnés. Il ne semble pas d’ailleurs que les sinuosités à grande courbure du tuyau ait eu aucune influence sur la vitesse de propagation.
  - On doit aussi à L. Landois (* ) un sphygmoscope à gaz : sur la paroi dont on veut étudier les déplacements on dépose une petite gouttière renversée, partie centrale évidée d’un tuyau que traverse un courant de gaz d’éclairage alimentant, à l’extrémité, une flamme de quelques millimètres. Les déplacements de la paroi se traduisent par des perturbations du courant et par des oscillations de la flamme qui d’ailleurs était photographiée. J. von Kries (2) a donné une Note étendue sur l’application de cette méthode : il utilise les capsules manométriques de Kœnig, et il chronographie les images obtenues dites tachogrammes, en photographiant simultanément et par superposition la flamme d’une capsule mise en mouvement régulier par un diapason.
  - Tout différent est le procédé de chronographie proposé par H. Grashey(3) : il est fondé sur un principe maintes fois appliqué depuis lors dans l’industrie et dont nous ferons nous-même usage ultérieurement. Relions la spirale secondaire d’une bobine de Ruhmkorff avec un sphygmographe de telle manière que les étin-
  - (’) L. Landois, Centralblatt für die Mediz. Wissenschaften, 1870, n° 28.
  - (2) J. von Kries, Studien zur Pulslehre, Freiburg i. B., 1892, p. 143; §X : Methodisches über die Flammentachographie.
  - (•’) H. Grasiiey, Zeiteitheilung dev sphygmographischen Curven mittelst Funkeninductor ( Arc hiv für pathologische Anatomie und Physiologie und für Klinische Medicin, herausg. von R. Virchow, 1875, p. 53o-537).
- p.51 - vue 68/142
- - 52
  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - celles jaillissent entre la pointe métallique du style (isolée du reste du sphygmographe) et le métal du cylindre tournant enregistreur garni de papier noirci : ces étincelles percent ce papier en laissant une trace très nette de leur point de passage. Interrompons d’autre part le courant primaire de l’inducteur au moyen d’un diapason : nous aurons par seconde autant d’étincelles sur l’enregistreur que de vibrations exécutées par le diapason.
  - Le procédé appelle de suite un perfectionnement, car les séries denses d’étincelles correspondant aux lents déplacements du style produisent des perforations formant des lignes quasi continues, et, par suite, impossibles à dénombrer. On emploie alors un dispositif supprimant deux étincelles après chaque groupe de trois étincelles, par exemple ; un groupe donnant un trou correspond à trois vibrations et un intervalle non perforé à deux vibrations. Pour les déplacement rapides d’ailleurs, les traces des étincelles du groupe se séparent. L’œil apprécie exactement les trous correspondant à trois étincelles, à deux et à une; on estime à vue la position des piqûres supprimées lorsque la vitesse de déplacement s’accélère assez pour fractionner le groupe.
  - L’avantage essentiel de la méthbde est de permettre de chrono-graphier d’une manière identique des courbes tracées par des enregistreurs différents.
  - H. Grashey n’a pas tiré grand parti de son procédé au point de vue de la détermination de la célérité des intumescences. Mais on lui doit, d’autre part(' ), une longue étude qualitative surlaproduction des intumescences (par addition d’eau, par refoulement à la pompe, par écrasement, par ouverture de robinet, par ligature); la forme, la réflexion, les interférences de ces ondes, leur répartition dans des conduites branchées donnent lieu à l’enregistrement de 23o tracés, intéressants pour les physiologistes qui trouvent dans ce travail Vapplication la plus suivie de la méthode de Marey; malheureusement les expériences ne sont ni assez simples, ni suffisamment définies pour que nous en puissions rien tirer.
  - En outre de ces procédés ingénieux d’expérimentation, on (*)
  - (*) H. Grashey, Die Wellenbewegung elastisclier Rôhren und der Arte-rienpuls des Menschen sphygmographisch untersucht, Leipzig, 1881.
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 53
  - trouve chez des physiologistes tels que J.-L. Hoorweg ( ' ) et que J. von Kries (2) une préoccupation théorique ; à savoir de justifier l’amortissement des intumescences par suite du frottement sur la paroi et du frottement intérieur du fluide, plus grands pour le sang que pour l’eau (le coefficient u. du dernier frottement, qui pour l’eau vaut o,oi4, d’après Helmhollz, vaudrait pour le sang 0,03^, d’après Ewald). Les essais de mise en compte de ces éléments sont restés infructueux. D’un côlé, tandis que Hoorweg, s’inspirant de Korteweg, part bien de l’équation de Navier,
  - du
  - p~dt =
  - dp
  - àx
  - é2 u dt2
  - J. von Kries part arbitrairement de l’équation
  - du
  - dt
  - dp
  - . T, U,*
  - r\ étant un coefficient de résistance dont la détermination n’est pas donnée. D’un autre côté, il ne s’agit pas ici de petits mouvements oscillatoires périodiques, mais bien d’intumescences de Weber. Le problème, mieux pos£> sera traité par nous ultérieurement (§XII).
  - IX. — Le coup de bélier dans les conduites hydrauliques d’après N. Joukowski (1898) et ses successeurs (Allievi, Magnus de Sparre, Neeser).
  - Lorsqu’une colonne liquide en mouvement dans une conduite subit un arrêt plus ou moins brusque par suite de la fermeture du robinet d’écoulement, le fluide, devant l’obstacle, se comprime, puis se détend et transforme son énergie cinétique en une surpression exercée sur les parois et appelée coup de bélier. Cet accroissement de pression, ayant lieu dans un temps très court, prend le caractère d’un choc qui peut aller jusqu’à la rupture des tuyaux, comme cela s’est vu souvent. Ce nom de « coup de bélier » a été
  - (') J.-L. Hoorweg, Experimenteel onderzoek omirent de Beweging van het Bloed (Koninkl. Akad. van Wetenschappen te Amsterdam, 1888, Deel XXVIII, A. 1, § 8, p, 14 et suiv. ).
  - (2) J. von Kries, loc. cit., Note I, p. 127.
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- - 54
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - donné au phénomène par analogie avec le choc qui se produit dans le moteur dit bélier hydraulique.
  - La détermination de la surpression presque subite perçue par les parois a depuis longtemps préoccupé les ingénieurs dont les essais de calcul lurent au début empiriques ou semi-empiriques et dont les premières expériences furent mal conditionnées (elles portèrent sur des longueurs trop faibles de conduites). Il convient pourtant de citer les noms de Haecker (1870), de Castigliano (1874), de Michaud (1878), de Church (1890), de Forchheimer (1893), de Slodola (1898-1894) et de Frizel (1898) (<).
  - Ces recherches furent tout à fait dépassées par le travail à la lois théorique et expérimental de N. Joukowsky (2), professeur à I Université et à l’Institut technique de Moscou, entrepris à l’occasion du projet de distribution d’eau de cette ville, en 1897-1898, avec le concours des ingénieurs du service de la distribution d’eau et notamment de M. O. Simin.
  - Joukovvski admet, comme Korteweg, l’hypothèse des tranches fluides et l’indépendance des anneaux élémentaires du tube. Si nous conservons les notations du paragraphe V, ses équations sont l’équation d’Euler
  - (1)
  - du dp
  - P1 dt dx’
  - et l’équation de continuité qui s’écrit, comme on sait, pour un tuyau de section variable s,
  - (2) ;h(PiO-h.4;(PimO = o
  - du d
  - dt''1 ’ ' dxv 1 1 ' ' ~~ Ox dt
  - p est donné par la relation empirique
  - Pi = P
  - Log-pis = o.
  - P —P 0
  - R,
  - (') Voir, pour les indications bibliographiques concernant ces travaux d’approche, Y Encyclopédie des Sciences mathématiques, édit, française : IV, 23, Hydraulique, par Ph. Forchheimer et A. Boulanger, § 13.
  - ( -) N. Joukowsky, Ueber clen hydraulischen Stoss in Wasserleitungsrôhren (Mémoires de l’Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, 86 série, Vol. IX, n° 5, i3 mai 1898, p. 1-71 ). Analyse en anglais par O. Simin (Proceedings of the American Waterworks Association, 24e Congrès, Saint-Louis, 1904).
- p.54 - vue 71/142
- - 55
  - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - p® étant la densité à la pression atmosphérique p0 et Ë, le coefficient d’élasticité cubique de l’eau. De plus, si le passage de la pression de la valeur p0 à la valeur p entraîne pour le rayon initial R.0 l’accroissement R — R0, l’équilibre d’un anneau élémentaire de la paroi d’épaisseur e fournit l’équation
  - (p-po) R =
  - t»o
  - dans laquelle on peut approximativement remplacer au premier membre R par Pv0. Ces deux relations donnent
  - Pl« = - HoPl
  - p—p« Ro V
  - E e / ’
  - ou encore, en ne conservant que la partie principale du second membre, eu égard aux grandes valeurs de E et de E,,
  - Si donc nous posons
  - J_ _ £j_ , 2 Ro Pi 0)2 E, Ee ’
  - nous aurons, en ne gardant que le terme principal du développement du logarithme,
  - d T d T
  - dd0^'s = Tdni
  - P—Po\ _ 1
  - p j* o)2 / p j o)2 dt
  - Ainsi les équations (i) et (2) deviennent, p4 différant extrêmement peu de p®,
  - . du dp )0 _ 1 . 1
  - 1 dt dx
  - du dp
  - H----77 = 0.
  - àx dt
  - De ces équations, où le symbole -r représente l’opération
  - , , u — > on déduit immédiatement
  - dt àx
  - d(p q= pJwm) = — (P-F P? w u)\dx ± (u) -_p u) dt], les signes se correspondant. Ainsi la fonction p — p® se trans-
- p.55 - vue 72/142
- - 56 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - porte le long de Taxe de la conduite dans le sens positif avec la célérité co — u et la fonction p H- p® tow se transporte dans le sens contraire avec la célérité co 4- u. Ces deux célérités varient avec u,
  - mais l’auteur observe que, dans la pratique courante, ^ n’est que
  - quelques millièmes : on peut dès lors très sensiblement substituer la constante ta à to — u et co 4- u. Il vient donc, en appelant u0 la vitesse d’écoulement à l’état de régime lorsque la pression tout le long de l’axe est p0 et en posant p = p® gy (ce qui traduit la pression en hauteur de charge),
  - On a, en écrivant cette dernière formule, changé le signe du premier membre, parce que l’on convient maintenant de placer l’origine des x vers l’extrémité du tuyau, de compter les x positivement vers le réservoir et de compter cependant les vitesses positivement dans le sens de l’écoulement. Les fonctions arbitraires F et F, de l’intégrale générale restent à déterminer par les conditions initiales de l’écoulement et par les conditions aux limites.
  - La célérité co n’est autre que celle de Korteweg; nous donnons ci-dessous sa valeur numérique pour les quatre conduites en fonte sur lesquelles a expérimenté Joukowsky, en y joignant les éléments caractéristiques de ces conduites (le pouce russe vaut 2cm,54 et le pied = 12 pouces vaut 3ocm,48).
  - Numéros. Diamètre 2 R0. Épaisseur e. Longueur. Célérité u, Produit pj
  - pouces cm pouce pieds m pied : sec sec atm.x -r-, pied
  - 1. .. . . 2 = o,o5o8 \ 0 3 2 2494= 760,15 44 2 4 4,o66
  - 2.... • 4 = 0,1016 \ \ 3 2 io5o = 320,i5 4228 3,886
  - 3.... . 6 = 0,1524 \ 3 3 2 1066— 324,91 4116 3,783
  - 4.... . 24 = 0,6096 2 2 3 2 7007 — 2135,66 •;-996 2,754
  - Joukowsky com plète la lliéori e précédente par deux obser-
  - vations.
  - D’une part, il justifie l’indépendance supposée des anneaux élémentaires du tube en notant que dans la pratique les conduites
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - sont du moins formées par la juxtaposition de nombreux segments élastiques de longueur finie.
  - D’autre part, il montre par un exemple numérique que les forces d’inertie négligées des éléments du tuyau en mouvement n’introduiraient dans le calcul qu’un terme négligeable. En effet, leur mise en compte donnerait, pour l’équation d’équilibre dynamique d’un demi-anneau,
  - p étant la densité de la fonte. Pour une fermeture durant 0,02 seconde (comme à peu près dans les expériences en question),
  - c>2R . 2(R — R0) àt- ' (o,Q2)2
  - = 5ooo (R — R0),
  - on a, comme limite supérieure de -
  - et, par suite, le rapport du second terme au premier n’excède
  - pas >00,j/soit, pour la conduite n° 1, 0,00000028, quantité
  - tout à fait insignifiante devant l’unité.
  - Joukowsky détermine encore le plus grand accroissement P de la pression, durant le coup de bélier, en exprimant que, pour une
  - longueur l de conduite, l’énergie cinétique * p®7tRqZmq a été
  - transformée en travail pour dilater les parois du tuyau et comprimer l’eau; les deux parties de ce travail seraient
  - et
  - les variations du rayon et de la densité étant liées à celle de la pression par les relations
  - ou enfin
  - P = pî ÜJU0.
- p.57 - vue 74/142
- - 58
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - Ainsi les produits p®to de la dernière colonne du Tableau précédent seraient les accroissements maxima de pression par unité de vitesse amortie. L’auteur retrouve le même résultat par l’application du théorème des quantités de mouvement.
  - Enfin Joukowsky étudie la forme théorique du diagramme représentatif du coup de bélier aux divers points du tuyau [courbe (t, y) pour une valeur donnée de a?], en partant de la loi de variation, supposée connue, de la vitesse à l’extrémité du tuyau, d’après le procédé de fermeture. Nous obtiendrons plus loi n des résultats équivalents par une méthode analytique plus commode.
  - Les conduites expérimentées étaient posées sur le sol de l’usine élévatoire d’Aieksjen; les trois premières parlaient de la conduite magistrale n° 4, et chacune des quatre se terminait à un puits par une vanne à coulisse dont la brusque fermeture était produite par la chute d’un poids.
  - Les instruments de mesure comprenaient : iu onze manomètres Bourdon distribués le long des conduites et donnant l’intensité de la surpression produite par le coup de bélier; 20 trois indicateurs de pression Crosby, dont les diagrammes étaient chronographiés électriquement à la demi-seconde; 3° un chronographe de Marey disposé dans le bâtiment des pompes et relié électriquement avec deux manomètres spéciaux, servant à déterminer directement la célérité de l’onde pression (ce dispositif donnait des lectures à f^e seconde); 4° des tubes de Pilot. L’agencement général des instruments était emprunté aux indications données par le professeur Carpenter (1 ) pour des expériences exécutées par des étudiants du Sibley College sur des conduites de 5om et de i25m.
  - Deux méthodes furent employées pour mesurer la célérité de l’onde pression.
  - Dans la première, en deux points d’une conduite distants de 700 pieds et de 1246 pieds, on disposait les manomètres (3°) dont l’index, mû par la surpression d’un coup de bélier, actionnait un signal devant le chronographe de Marey. Les résultats furent les
  - (!) R.-C. Carpenter, Some experiments on tlie effect 0/ waterliammer ( The Engeneering Record, Vol. XXX, 1894, et aussi, American Soc, Médian. Eng. Trans., Vol. XV, 1894, p. 5io).
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- - DANS LES TUVAUX ELASTIQUES.
  - 59
  - suivants, w0 étant la vitesse de l’eau en pieds par seconde, et t le temps en secondes du parcours des 700 pieds pour la conduite de 4 pouces et des 1246 pieds pour la conduite de 2 pouces.
  - Tuyau n° 1.
  - M0 = 3,07 I ,80 1,80 0 CO 0 i,54
  - x — o,3o6 0,302 0,297 0,297 o,3oo
  - Tuyau n° 2.
  - 10,8 4,6 3,i 3,5 4,o 3,9 4,i 7,i 9
  - CO O C C O O O O 0 0,140 0,160 0,165 0,190 0
  - Moy. /'. to.
  - pour le tuyau n° 1 o,3oo 4153 pieds : sec.
  - » n° 2 0,165 4242 »
  - Dans la seconde méthode, on utilisait le procédé de réflexion de Weber, et l’on considérait le temps écoulé depuis le début du relèvement de la pression en un point jusqu’au début de la diminution ultérieure de la pression en ce point comme égal au double du temps nécessaire à l’onde-pression pour parcourir le tronçon compris entre le point considéré et le réservoir d’alimentation ou la magistrale (encore que la réflexion ne s’j fasse pas avec la régularité presque obtenue dans les expériences de Weber). Voici les résultats obtenus à l’aide des diagrammes des indicateurs Crosby :
  - Numéro Longueur
  - du tuyau. Durée. parcourue. Célérité w.
  - S pieds pied : sec
  - 1 . .. 1,14 4988 4373
  - 1 0,76 3280 4316
  - 1 0,39 1644 42i5
  - 0 .... 0,5o 2100 4200
  - 3 .... o,5i5 2 1 32 4ioo
  - 4 .. .. .... 4,23 140 ï 4 3313
  - 4 .... 0,18 420 2333
  - Les indicateurs Crosby faisaient aussi connaître la pression maxima. Voici les résultats pour diverses vitesses :
  - u0 = o,5 1,1
  - P =2atm,25 4,35
  - Tuyau n° 2.
  - i,9 2,9
  - 7,8 u,3
  - 4,t 9,2
  - 15,85 35,45
  - 3,3 13,3
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- - 6o
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - Tuyau n° 3.
  - u0 — 0,6 J,4 i,9 3 4 5,6 7,5
  - P = 3atm 6,1 7,2 12,1 15,4 25,2 29
  - Les onze manomètres qu’on répartissait régulièrement le long d'une conduite (à intervalle de i4o pieds pour le n° 1 et de '70 pieds pour le n° 2) permettaient de déterminer la plus grande pression aux divers points du tuyau. A part une irrégularité notable qui se conçoit à proximité de la conduite magistrale, le maximum n’est pas partout le même et ses variations sont assez irrégulières. On en jugera par les chiffres suivants (pression en atmosphères, desquelles il y a à déduire la pression dans la magistrale, 4atm, 5) :
  - Tuyau n° 1.
  - Uq — 3,3 P ni = 20 18 18 20 23 23 28 3o 22 24
  - «o= 4,4 P ni = 27 23 25 24 3o 3o 33 32 3o 28
  - Tuyau n 0 G)
  - «o = 4 P ni = 25 23 23 23 23 27 21 23 23 22
  - «0=7 Pin — 4° 37 48 37 36 48 38 38 45 38
  - Si l’on compare les résultats de la théorie à ceux de l’expérience, on reconnaît que, dans l’ensemble, il y a une concordance satisfaisante, notamment pour les célérités.
  - Ajoutons enfin que Joukowsky s’est occupé de l’atténuation du coup de bélier par l’intercalation d’une chambre à air sur la conduite, en avant et à proximité de la vanne interruptrice. Mais c’est là une question qui sort de notre sujet, et pour la même raison nous ne disons rien des essais de M. Rateau (1 ), dont le point de départ consiste à admettre que l’influence de l’élasticité des parois et de la compressibilité de l’eau est remplacée par un supplément attribué au réservoir d’air.
  - La théorie précédente a été exposée sous une forme très analogue, mais avec quelques développements analytiques d’appli-
  - (') A. Rateau, Théorie des coups de bélier et régularisation des turbines précédées d’une longue conduite ( Revue de Mécanique, t. VI, 1900, 1" sem., p. 53g-56i ).
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES. 6l
  - cation, par L. Allievi (*) : le travail de cet ingénieur, plusieurs fois reproduit, vulgarisé par diverses conférences, a vivement attiré l’attention, d’autant que le problème traité se trouvait alors être d’actualité. C’était en effet l’époque (1901-1904) où commençaient à se développer les installations de turbines dans les pays de montagne : l’alimentation s’en fait par des conduites de grande longueur, et l’ouverture ou la fermeture du vannage, en vue du réglage, donne des coups de bélier qui, eu égard à l’énorme masse d’eau en mouvement, peuvent être dangereux et gênent singulièrement le réglage automatique. De là la nécessité de savoir calculer l’ampleur de ces variations de pression afin d’en restreindre la limite supérieure.
  - Nous allons, avec L. Allievi, analyser les phénomènes qui ont lieu dans une conduite dont le débit est réglé par une vanne d’extrémité, tandis qu’à l’autre bout la charge est supposée constante grâce à la présence d’un réservoir. Si l’on admet que l’écoulement a lieu à l’air libre, la charge y sera nulle à l’orifice du distributeur.
  - Désignons par 111(0 la vitesse moyenne d’écoulement à travers cet orifice, à l’instant t du régime troublé; en allant de la section origine des abscisses à l’orifice, on a, d’après le théorème de D. Bernoulli,
  - m2(o, t) -+- 2g y (o, t) = Î(2(D et, à l’état de régime, cette relation donne
  - 2^Jo = Ho-
  - Appelons ~k{t) le rapport de l’ouverture du distributeur à un instant quelconque à son ouverture <7 à l’état de régime. La condition de continuité donne, aux instants o et t,
  - «0S = îlt0<T, U (O, t)S — ïl( t)\<5
  - et, comme les premiers termes des équations ci-dessus sont négli-
  - (l) L. Allievi, Théorie générale du mouvement varié de l’eau dans les tuyaux de conduite (Annali délia Societa degli Jngegneri ed Architetti italiani, déc. 1901 ; trad. franc., Revue de Mécanique, janvier et mars 1901); Conférences de l’auteur à la Société d’Encouragement pour l’Industrie nationale à Paris, à la Société pour le développement des sciences près l’Université de Grenoble; Résumé de cette dernière conférence dans la Houille blanche {1905).
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- - 62
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - geables devant ]es seconds membres (u0 est à peu près de l’ordre du dixième de iî0), il vient
  - (4) u(o, t) =
  - V yo
  - Le cas où la réduction d’orifice est réalisée par une vanne d’étranglement est un peu plus complexe : on y reviendra plus loin.
  - Nommons enfin, d’une manière générale, valeur du coup de bélier à un instant t dans une tranche d’abscisse x la surcharge y —y0 correspondante; mais nous considérerons surtout la valeur pour x — o et la dénoterons £ ou 2y0Ç :
  - £ — zyot =y(O, t) — y0— F(<) —Fi(<).
  - Cela posé, partons de l’état de régime et, à l’instant t = o, diminuons l’orifice du distributeur. Par ce fait, naissent une surpression plus ou moins brusque et une réduction de vitesse en amont de la section initiale, lesquelles se propagent le long de la conduite avec la célérité to. C’est le coup de bélier simple ou direct. D’après les conditions du phénomène, la propagation ne peut, au moins au début, s’effectuer que dans le sens des x positifs, et les équations (3) se réduisent à
  - <*> (*-£)’ “"-“=SF('-S)’
  - le rapport de la surcharge à la vitesse perdue est donc constant dans toute section et à tout instant.
  - La perturbation atteindra le réservoir au bout du temps l : w,
  - 1 étant la longueur de la conduite, et y provoquera une réaction, laquelle mettra le temps l : u> pour parcourir la conduite en sens inverse et rejoindre la section initiale, et le temps (/ — x) : to pour rejoindre la section d’abscisse x. Par suite, pendant le temps
  - 2 / : w = t pour la section initiale et (2/—x):m = 'ï—(x : co) pour une section quelconque, le phénomène est régi parles équations (5) : c’est la phase du coup de bélier simple, durant laquelle la plus grande valeur de la surcharge a lieu pour u = o et
  - est y^-1--—> accessible si la fermeture complète durait moins
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 63
  - de t, mais t est très petit, eu égard à la grande valeur de o> pour les tuyaux métalliques.
  - Le point fondamental est de déterminer la fonction F connaissant seulement X(£); il suffit pour cela de remplacer dans (4) y (o, t) et u (o, t) par leurs valeurs déduites de (5) : cette fonction se trouve délinie par l’équation du second degré
  - Uq— — F (t) — u0 X ( t) [/1 -t- —— • w \ y o
  - Pour une valeur de t supérieure à t—— > dans la section
  - d’abscisse x, il y a lieu de tenir compte de la réaction due au réservoir, laquelle se manifeste par une perturbation se propageant
  - vers l’orifice d’écoulement. Le phénomène, entre les instants t — —
  - 1 w
  - et 2 t — ^> forme le contre-coup cle bélier et est régi par les
  - équations (3) complètes, contenant les fonctions F et F,.
  - A l’équation (4) d’écoulement à travers la vanne, on joint alors la condition que, dans la section d’embouchure, pour x=l, la charge est constante : ceci suppose que le tuyau est alimenté par un réservoir dont la masse est assez grande pour que les perturbations hydrodynamiques de la conduite ne puissent modifier la charge initiale y0 que de quantités insignifiantes par rapport à elle-même.
  - L’identité en f,
  - l rfi
  - entraîne, en posant t -\— = t'
  - 71 (JJ 10
  - Fi ( *'-+- - ) =- F I t'
  - en sorte qu’on a (en supprimant l’accent du paramètre t') durant la période t que dure le contre-coup
  - y—y o
  - u = ^ [f ( t-h - ) + F ( t — t.-t- -
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- - 64 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - La condition (4) donne alors, pour déterminer F (t) quand t est compris entre t et 2 t,
  - mo-£[F(0-hF(<-t)] = moX(0^/w- b(t)~^t~’Z)-
  - F (t) est défini par la résolution de cette équation du second degré, où F (£ — t), fonction relative à une valeur de l’argument inférieure à la durée de la première phase, est fournie par l’équation du second degré indiquée plus haut. Le coup de bélier est pour chacune de ces deux périodes
  - L=F (0, £2=F(0-F(*-t).
  - La même méthode de calcul s’appliquerait à la détermination du coup de bélier de la période suivante, allant de l’instant 2t à l’instant 3 t, et ainsi de suite jusqu’à la /ilème période, allant de l’instant (/t — 1) x à l’instant nx.
  - On doit à R. Neeser(i) une intéressante vérification expérimentale des résultats précédents, faite en 1906 sur une conduite de grandes dimensions alimentant des turbines Pelton.
  - A la vérité, le tuyau est ici incliné sur l’horizon d’un angle a, alors que la théorie précédente le suppose horizontal. De ce fait, l’équation (1) doit être complétée par l’adjonction au second membre d’un terme —g sin a, qu’on fera disparaître en prenant ultérieurement comme inconnue, au lieu de la fonction jy, la fonction y x sin a. Il suffira dès lors d’ajouter au second membre de la première formule (3) le terme — x sin a. Mais ce terme est sans influence sur la détermination du coup de bélier pour la section initiale x = 0 : la condition analytique relative à l’embouchure subsiste en effet, puisque, maintenant, pour x — /, y = o el yq = l sin a.
  - Une autre difficulté vient de ce que, pour un tuyau incliné, l’épaisseur des parois décroît de bas en haut : w n’est plus constant. J1 faut se borner à prendre une valeur moyenne et
  - (') R. Neeser, Coups de bélier dans les conduites : résultats d’essais et vérifications expérimentales des théories de L. Allievi ( Bulletin technique de la Suisse romande, 10 et 25 janvier 1910; Revue de Mécanique, 3o juin 1910, t. XXV, n° 6, p. 54o-552).
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- - R. Neeser adopte
  - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 65
  - i
  - to-
  - LL
  - Et
  - Pï
  - e m°y
  - 2 lin
  - Pour la conduite considérée, où les diamètres intérieurs varient de ora,93 à om,82 et les épaisseurs de 4ram à 23ram, Neeser
  - obtient : moy. = 94,0, et, en prenant Et = 2,1 x io8 kg : rn2,
  - E = 2,15 x 1 o10 kg : m2 (acier doux), il trouve w= io35 m : s.
  - Cette approximation semble justifiée par le résultat d’un premier essai portant sur le coup de bélier dû à la fermeture complète d’une vanne. La longueur de la conduite étant l = 970™, la valeur théorique de la double période est
  - 2T
  - 41 4x970 05
  - a»- ioS5 ’
  - alors que la valeur déduite des mesures est 2: = 3S,65.
  - L’essai principal concerne le coup de bélier créé dans la conduite par l’ouverture complète, en 2 secondes, du distributeur d’une turbine, de manière à porter le débit de 60 à 800 litres : s.
  - Comme le rayon moyen de la section est de
  - om, 435 («.0,435* = o™*,5g45),
  - les vitesses de régime correspondant aux deux débits sont 0,060 0,800 ,
  - u<t = 0^5945 = °’ I009 m * 5ec‘ et«, = ^-^=.,354 m:sec.
  - On suppose que X(t) est une fonction linéaire du temps, et, en exprimant qu’en 2 secondes le débit est passé de 6ol à 8oo’, on obtient "k(t) = 0,001 23 -f- 0,0076 t.
  - Enfin, la hauteur de chute étant de 345'", on a pour la section initiale y0 = 345.
  - On peut, avec ces chiffres, calculer les éléments qui définissent le coup de bélier : on l’a fait de o à 16,92 secondes, à des intervalles de temps égaux à = °%94> et les résultats sont con-
  - signés dans le Tableau suivant (p. 66).
  - Pour reporter les charges y sur le diagramme des pressions levé dans la tranche initiale, il y a lieu de les corriger de l’influence de la perte de charge- Quand on passe du premier régime au second, le diagramme accuse une différence de charge de 20m environ;
- p.65 - vue 82/142
- - 66
  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - par suite, chaque valeur y, correspondant à une vitesse u, doit
  - être corrigée de 20.
  - us
  - 1 ,35*
  - Les points représentatifs reportés sur
  - le diagramme, après correction, donnent des coïncidences remarquables.
  - t. A t. À(0- 0 >2V(0 or b F(<). F (*-=)• y. U.
  - s III m m m : s
  - 0 0 0,00123 0,1649 0 0 345,0 0,01
  - o,94 0,94 0,00837 7,636a — 55,6 0 289,4 0,628
  - 1,88 o,9i 0,oi55i 26,214 —102,0 0 2.43,0 1,069
  - 2,82 o,94 o,oi643 29,423 — 72,7 — 55,6 827,9 1,318
  - 3,76 o,94 )> » — 4* ,8 —102,0 4o5,2 1,464
  - 4,7° o,94 )) )) - 61,4 — 72,7 356,2 1,373
  - 5,64 0,94 » )) - 81,6 — 41,8 3o5,2 1,271
  - 6,58 o,94 » )) — 68,9 — 61,4 337,5 i,336
  - 7,5a o,94 )) )) , 4 — 81,6 371,1 i,4oo
  - 8,46 o,94 » » — 64,0 - 68,9 3 -i 919 1,36i
  - 9,4.o o,94 » )) — 72,8 — 55,4 327,6 1,317
  - 11,28 1,88 » » — 61,4 — 72,8 356,o 1 ,872
  - 13,16 1,88 » )) — 68,9 — 61,4 337,5 i ,336
  - i5,o4 1,88 )) » — 64,0 — 68,9 349,9 i ,36o
  - 16,92 1,88 o,oi643 29,42.3 — 67,2 — 64,0 34i,8 1,346
  - Observations. - - Injecteur ouvert au temps t — 28.
  - 1 i y 1—r
  - Echelles
  - Temps
  - Le dispositif expérimental se réduit à un manomètre enregistreur de Richard, dont le tambour, préalablement isolé du mouvement d’horlogerie destiné à le mouvoir, est entraîné par un tachymètre de Horn, le tambour de ce dernier appareil étant relié au tambour du manomètre par une ficelle d’indicateur. Ce
- p.66 - vue 83/142
- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 67
  - mode d’entrainement n’assure pas le synchronisme parfait entre les mouvements des deux tambours, et cela suffirait à expliquer le léger décalage de la ligne enregistrée par rapport à la ligne théorique.
  - D’autres essais, effectués en 1909 à l’usine de 1’A.ckersand par les ingénieurs de la maison Piccard, Pictet et C1U, à Genève, ont aussi donné des coïncidences tout à fait remarquables.
  - L’inconvénient de la méthode de calcul d’Allievi est la résolution d’une chaîne d’équations du second degré : on doit à M. de Sparre () un procédé d’approximation qui l’évite et qui conduit à des formules générales très simples, d’un emploi facile. Le point de départ consiste à remplacer dans le second membre de chacune des équations en question, avant sa rationalisation, le radical 4/ 1 -+- a par l’expression 1-h a étant très petit. Nous renverrons pour le détail et les applications à notre Hydraulique générale (2) (t. II, Sect. III, Chap. V, § 2-5).
  - On trouvera au même endroit l’examen de la fermeture par vanne d’étranglement, pour laquelle l’équation fondamentale d’écoulement doit être modifiée en utilisant le principe de Borda.
  - On doit enfin à M. de Sparre (3) l’étude de diverses questions techniques concernant les effets de résonance et l’influence des réservoirs d’air et des reniflards, mais sortant de notre cadre.
  - X. — Vues théoriques de M. Boussinesq (1905).
  - La publication d’Allievi fut l’occasion pour M. Boussinesq ('*) de faire une analyse approfondie du mécanisme de la propagation
  - ( ') M. de Sparre, Étude théorique sur les coups de bélier dans les conduites forcées (extrait de la. Houille blanche, Grenoble, 1905, p.
  - (2) A. Boulanger, Hydraulique générale, t. II: Problèmes à singularités et applications, p. 268-280, Paris, Doin, 1909.
  - (3) Comte de Sparre, Divers articles publiés dans la Houille blanche', sept. 1907, p. 2o3 ; décembre 1907, p. 277; octobre 1911, p. 257 ; novembre 1911, p. 293; décembre 1911, p. 316.
  - (4) J. Boussinesq, Propagation des ondes le long cl’une colonne liquide compressible se composant de filets à vitesses inégales et contenue dans un tuyau élastique horizontal sans tension longitudinale ( Annales scientifiques de VÉcole Normale supérieure, 3° série, t. XXI, 1906, p. 34g-368). Ce Mémoire a été résumé dans trois Notes présentées à l’Académie des Sciences de Paris les 3, 10 et 24 juillet igo5 (C. H. Acad. Sc., t. CXLI, p. 8, 81 et 234 ).
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- - 68 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - des ondes liquides dans un tuyau élastique, de laquelle il ressort que, même en supposant la colonne lluide composée de filets à vitesse inégale et la paroi du tube douée seulement d’un axe d'isotropie suivant la direction de l’axe du tube, on est conduit encore aux équations aux dérivées partielles et à l’expression de la célérité rencontrées plus haut.
  - Voyons d’abord à nous affranchir de l’hypothèse de l’isotropie de la paroi; il nous suffira à cet effet de modifier très peu l’exposé que nous avons donné du travail de D.-J. Korteweg, alors inconnu d’ailleurs à M. Boussinesq (* ). On admet encore que les anneaux juxtaposés dont se compose le tuyau agissent chacun pour son compte sur Je fluide sans s’influencer mutuellement. Si l’on voulait tenir compte des actions mutuelles des anneaux et, par suite, des actions qu’exerceraient à distance les uns sur les autres, par leur intermédiaire, des tronçons sous-jacents de la colonne liquide, les équations du mouvement seraient à peu près inextricables. Mais cette supposition fondamentale ne serait complètement valable que si la paroi du tube était formée de fibres annulaires très résistantes réunies par des fibres longitudinales extrêmement extensibles et compressibles : elle conviendrait à « un tuyau se composant, par exemple, d’anneaux séparément homogènes, sans largeur ni épaisseur sensibles, juxtaposés et superposés en nombre immense, ou, encore, des enroulements d’un long fil élastique à spires infiniment rapprochées, analogues aux trachées des végétaux, anneaux ou enroulements que relierait entre eux une sorte de parenchyme lâche, ou une toile affectée d’une double infinité de petits plis longitudinaux et transversaux ». Il y a lieu dès lors d’attribuer à la paroi une structure hétérotrope, différente dans le sens longitudinal de ce qu’elle est dans les sens transversaux, de manière à pouvoir, à la limite, supposer cette paroi infiniment compressible ou extensible suivant sa longueur, ou encore composée d’anneaux contigus sans actions mutuelles sensibles.
  - Soit donc un tube élastique, homogène, mais isotrope seule-
  - {l) J. Boussinesq, Calcul, pour les diverses contextures et épaisseurs de paroi possibles, de la résistance élastique qu’un tuyau sans tension longitudinale oppose au gonflement de la colonne liquide le remplissant ( C. R. Acad. Sc., I. CXLI, p. 81 ). 1
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - 69
  - ment autour de ses fibres longitudinales ; reprenons le calcul de la variation du rayon intérieur produite par une surpression intérieure uniforme p, en conservant toutes les notations du paragraphe S, page 28.
  - En exprimant que la contexture est symétrique autour de parallèles à l’axe Ox du tuyau (isotropie latérale), on obtient (') comme nouvelles expressions des tensions élastiques en un point M (x,y,z) intérieur à la paroi
  - N.r = X’ 0 -+- v dx, Tx=fJ.g'x-,
  - N y = À0 d à x -+- 2 [A Ôy, Ty — [J. g y,
  - N- = XO -+- Wdx-h 2 u.àz, T2 — \d gz\
  - «
  - ôx, ày, dz, gx, g y, gz sont les dilatations et glissements au point considéré; B est la dilatation superficielle dr-\- àz d’éléments plans normaux à Ox, environnant ce même point; p, v, À', p' sont cinq coefficients constants caractéristiques du milieu.
  - On cherche encore à satisfaire aux équations indéfinies de l’équilibre d’élasticité par les expressions
  - y Z
  - ul= ax, e1 = U(<r)—, tv1 = U(a) —
  - ’ <T ff
  - (c? = y/y2 + z-, a constante) des composantes du déplacement
  - d’un élément; comme on a encore maintenant Tr=Tz=o
  - et que 0= ^ 4--^ ne dépend que de <r, on trouve de
  - suite que les trois équations d’équilibre se réduisent à deux,
  - soit à — = o, — = o; G se réduit donc à une constante 2 6,-et U ox ’ d<j
  - a dès lors pour valeur, c étant une nouvelle constante, Z><r + -* Les expressions explicites des (N, T) s’en déduisent aisément. En particulier, pour un point situé dans le plan xOz (-5 = <r, y = o), on a Tx= Tr= Tz= o et
  - N x — 2 X b —f- vu,
  - N y = 2 X b —f- X ci —j— 2 [j. (b —1— —-
  - N - — 2 X b —j— X ci —H 2 ' \ b — —7
  - (') A. Clebsch, Théorie de l’élasticité des corps solides, trad. B. de Saint-Venant, p. 77.
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- - 7° ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - Les constantes arbitraires se déterminent de manière à vérifier les conditions aux limites, et, en procédant comme au paragraphe o, on trouve de suite, ;* étant encore la variation du rayon intérieur,
  - bi R + £ =
  - ri
  - 2 X b \ —}— v a ! = o,
  - (G)
  - 2 X Ô ] H- X I —f- 2 [i. | è | ----------- -pT; ^ ?
  - 2 X 6j + X'aj h- 2
  - -
  - (R + c)*
  - L’élimination des constantes a<, 6,, ct entrefces relations donne immédiatement, en introduisant le module m du tuyau
  - 4 tn(m -\-i)r
  - (X -t- [a)v — X'2
  - (m + i)2 t1
  - ou encore
  - . er (X -+- 2|a)v — X'2 i . i
  - (1 H- m)—— = -r---------4------Y7— ------h m(m -+-1) —.
  - />K2 ( X fJt ) v — X 2 4 f2 i-il
  - Des cinq coefficients d’élasticité caractéristiques de la paroi, un seul [a et une fonction des quatre autres interviennent. Si E' est le coefficient cl"1 élasticité transversale (ou coefficient d’élasticité des fibres annulaires) et G| le coefficient de résistance à la déformation transversale, on a (1 )
  - E'=4 p
  - (X -t— fJL ) V — X'2 (X -t- 2 fx)v — X'2 ’
  - Gi = [J- ;
  - de plus, si V est le rapport de la contraction latérale des fibres circulaires à la dilatation longitudinale de ces fibres, qu’elle accompagne, on a aussi
  - - E 1
  - ‘U 2 1 + 7)'
  - Avec ces notations, la relation précédente prend la forme (4 bis) du paragraphe 5, page 3o,
  - (‘) A. Clebsch, toc. c«X., p. 83-84*
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 71
  - le coefficient C étant défini cette fois par l’équation
  - £ _ ___
  - C 1 -h m
  - + 2flî( I
  - + V)>
  - qui coïncide avec celle de Korteweg dans le cas où l’on suppose la paroi isotrope.
  - Ce résultat a été obtenu par M. Boussinesq sans passer par les équations de Cauchy, en substituant au parallélépipède de Cauchy un volume élémentaire (de longueur 1 dans le sens des .2;) compris entre deux cylindres de rayons respectifs r et /’ + dr, et deux plans menés suivant l’axe, inclinés l’un sur l’autre d’un angle infiniment petit y, volume dont il forme directement les conditions d’équilibre.
  - Les résultats précédents valent encore si la pression n’est pas uniforme et varie avec x, si l’on admet que l’action mutuelle de deux anneaux contigus est nulle, ou encore que l’on a en tout point Na? == o. Si nous cherchons en effet à vérifier les équations indéfinies de l’équilibre d’élasticité, à l’aide des mêmes expressions de p,, W\ et en prenant pour u une fonction quelconque de x, on reconnaît que X'9 -f- v dx ne dépend ni de a- ni de#; puis, si l’on exprime que la surpression p (x) dans la tranche d’abscisse x produit une dilatation radiale /•(#) en laissant N# nul, on obtient les mêmes équations (C) que précédemment, à cela près que
  - C\ sont maintenant des fonctions de x : ces quantités n’étant que des intermédiaires à éliminer, la conclusion subsiste.
  - La forme même sous laquelle se présentent les calculs montre qu’on peut envisager même un cas où la mise en compte de l’action mutuelle des anneaux contigus serait aisée : c’est celui d’un tuyau droit et raide, sans pesanteur, maintenu seulement par ses deux extrémités, les inerties enjeu dans le tuyau étant supposées insensibles comparativement aux inerties du fluide suivant l’axe. On peut alors considérer le tuyau comme étant sans cesse à l’état d’équilibre intérieur, même dans son ensemble. La pression totale entre anneaux contigus est, par suite, constante d’une extrémité à l’autre et égale à la poussée sur les appuis; il est permis de la regarder comme proportionnelle aux déplacements de ceux-ci. Un tel déplacement, proportionnel à la poussée, varie en raison inverse du coefficient d’élasticité de l’appui et de l’étendue de la
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- - 72
  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - surface de contact : le coefficient de proportionnalité est déterminé
  - quand la nature de l’appui est définie. La somme A de ces deux déplacements, égale d’ailleurs à l’allongement total du tuyau, soit à
  - J âxdx, étendue à l’axe entier, est dès lors le produit de la
  - poussée par un coefficient que nous pouvons regarder comme numériquement connu.
  - Cela posé, revenons au calcul généralisé précédent. Les équations de l’équilibre d’élasticité montrent que "X70 —1— vdx ne dépend
  - ni de x, ni de cr; or, cette expression n’est autre que N^, qui est constant, et qui, par suite, est la poussée par unité d’aire de section transversale, soit A A, k étant censé donné. Si l’on exprime les conditions limites relatives à une tranche, on retrouve les équa-
  - tions (C) à cela près qu’au second membre de la deuxième équa-
  - tion on a A A au lieu de zéro. L’élimination de b{ et ct entre les trois dernières équations donne alors, en notant que, dans ce calcul, aK représente la valeur de d^pour la surpression p (x),
  - Le coefficient d'élasticité longitudinale et le coefficient de contraction latérale des fibres longitudinales du tuyau, qui ont pour valeurs (A. Clebsch, loc. cit.),
  - v(A -t- [j.) — X'2 X -t- [j.
  - 2(X -h 1J.)
  - s’introduisent naturellement, ainsi que lé module m du tuyau, et il vient
  - Multiplions les deux membres par dx et intégrons tout le long du tuyau, en nous rappelant la définition de A, et nous aurons la formule
  - qui permet de calculer l’allongement total A quand p (x) est connu.
  - De plus, si nous éliminons a,, b,, c, entre les quatre équa-
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - lions ( C) après avoir écrit /i À au membre de droite de la seconde, nous obtenons bien simplement
  - P
  - 2[(À + fX)V — X'2]^-
  - 4 m ( m -f-1 ) [j.
  - X j 4 m(m h- i) [(X -f- jx)v — X'2] -+- (X + ap)v — X'2 j = X'Aa, ou, en introduisant les quatre coefficients E, E', rh 7/ après avoir
  - multiplié les deux membres par m ou et divisé par
  - 2 R
  - Ainsi, p est maintenant lié à r par l’équation intégrale
  - Si nous désignons par — a le coefficient de l’intégrale, et si nous posons
  - on voit que, si p (x) est connu, p, (x) s’ensuit immédiatement; et, inversement, si p, (x) est donné, p(#) qui n’en diffère que par une constante additive A, définie par la relation
  - A + a j pi dx a AL = o (L longueur du tuyau), aura pour expression
  - a AL = o
  - Par le fait, la résistance élastique opposée par un tuyau au gonflement de la colonne liquide qui le remplit se trouve maintenant connue. Voyons à étudier la propagation des petits mouvements à travers le fluide, en suivant cette fois M. Boussinesq.
  - Imaginons d’abord que la colonne fluide, horizontale, soit en repos et supposons-la même sans pesanteur ni pression; puis restituons-lui son poids, avec une pression constante le long de l’axe du tuyau, mais complétée partout ailleurs par une petite
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- - 74 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - partie variable hydrostatiquement à Iraversles sections transversales, partie censée ici insignifiante. Cette restitution fait éprouver à la colonne, revenant au repos, à partir de la section# = o restée dans son plan primitif, lespetites contractions statiques, soit cubique, soit surtout longitudinale, nécessaires à l’existence de cette pression, vu les légères dilatations latérales simultanées qui tendront presque uniformément les libres annulaires du tuyau pour leur permettre d’équilibrer ladite pression intérieure. Produisons enfin, à partir d’un instant donné, sur le fluide revenu au repos, des variations de pression communes à toute la section x = o, en déplaçant, par exemple, légèrement celle-ci normalement à son plan.
  - Cette perturbation entraînera plus ou moins vite, dans toute la colonne, des déplacements presque parallèles à l’axe et aussi, par suite, des variations de la pression p sensiblement pareilles sur toute l’étendue des sections normales, ou fonctions seulement de x et de t. Chaque tronçon de la colonne, primitivement compris entre les abscisses x0 et x0 -b dx0 acquerra suivant les x, par l’effet des chutes de pression s’y observant, des vitesses longitudinales u communes, assez lentement variables avec x0 en raison de leur rapide propagation; et les tronçons se conserveront ainsi presque cylindriques durant des temps notables, à cause de la petitesse qu’ont les frottements dans les fluides.
  - Soit £le déplacement total, jusqu’à l’époque t et suivant les #, de la première base du tronçon, d’abscisse primitive #0, d’abscisse
  - . d’c
  - actuelle # = #0d le petit écartement relatif des deux
  - O JL o
  - bases du tronçon; d' la dilatation analogue, comparable à d, des rayons R de celles-ci. L’accroissement Rd' des rayons sera négligeable à côté de ç ; par suite les vitesses et accélérations, suivant les rayons, tant du tronçon fluide que de la paroi, seront peu de chose à côté de celles du mouvement longitudinal du fluide. Cela entraîne que les inerties mises en jeu dans le tuyau, transversales ou même, par suite, longitudinales, et aussi celles du fluide suivant les sens normaux à l'axe, seront insensibles comparativement aux inerties du fluide suivant l’axe.
  - Ces inerties longitudinales, dues à la différence des pressions exercées sur les deux bases du tronçon, pressions presque égales même quand la distance de ces bases est prise comparable à R,
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - ?5
  - sont très faibles à côté de la pression sur une seule base et, par suite, à côté de la pression sur une section méridienne du tronçon menée suivant l’axe, ou encore, à côté de la tension de l’anneau de paroi qui contient le tronçon lluide et s’oppose à la pression supportée par la section méridienne. 11 en résulte a fortiori que les inerties normales à l’axe, tant de cet anneau de paroi que du tronçon fluide, sont négligeables vis-à-vis de la tension de l’anneau.
  - Dès lors, la relation établie plus haut entre la variation de pression et celle corrélative de rayon à l’état statique est applicable et donne (chaque anneau se comportant comme s’il était seul en présence du tronçon fluide sous-jacent de même longueur)
  - D’un autre côté, la surpression p est leproduitdu coefficient E, d’élasticité du liquide (inverse de la compressibilité) par la contraction cubique —d— 2Ô' (la dilatation transversale étant la même dans toutes les directions d’une section),
  - p = — Ei (à -+- 2à').
  - ()£
  - Remplaçons d'par la valeur précédente et à par —:- ; il viendra
  - dxn
  - (A)
  - p = —
  - d*
  - 2 R dx0 6 e
  - Gela étant, la première équation d’Euler donne, en remplaçant par x0 la variable indépendante x — x0-\- £, eu égard à la petitesse
  - de , et en y réduisant la densité actuelle pi du liquide à la
  - OXq
  - densité constante p0 d’état naturel (sauf erreur négligeable au second membre),
  - , d'1 P 1 dp
  - U OU —- =------- rr—
  - dp- pÿ àx0
  - Substituons à p la valeur précédente, et nous aurons comme équation aux dérivées partielles du problème
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- - 76
  - en posant
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - _L = Pi ! PÎ to2 Et rnC
  - La dérivation de I’éc|iiation (A7) par rapport à t et à x0 montre que la vitesse u, la dilatation longitudinale d et la pression, d’après (A), vérifieront la même équation aux dérivées partielles. Ainsi, U désignant la vitesse moyenne à travers la section d’abscisse x, vitesse identique, ici, à la dérivée, u, de £ en t, nous aurons l’équation double
  - (A") U) U).
  - êt2 dxl
  - Enfin, à raison de la petitesse de la dérivée de £ en a?0, on peut, sans changement appréciable des dérivées partielles de £, substituer à t et à #0, comme variables indépendantes, t et x0 + £, c’est-à-dire t et x; ce qui donne les équations définitives
  - ( A'") ),
  - dt% dx2
  - M. Boussinesq s’affranchit, pour terminer, de l’hypothèse du repos initial de la colonne fluide. Supposons donc, avec lui, « que la masse fluide soit déjà, au moment où d’assez rapides changements de la pression l’atteignent près d’une section x = o, en train de couler par filets rectilignes et parallèles inégalement rapides, animés de vitesses u0 comparables à celles que vont produire ces changements et, par conséquent, toujours très petites à côté de la célérité w. C’est ce qui arrive, par exemple, quand la longueur du tuyau est suffisante pour que les petits frottements des filets et de la paroi, quoique négligeables sur des parcours x comme ceux que nous considérons ici, aient établi, concurremment avec une petite pente motrice ainsi neutralisée par eux, un régime uniforme dans la région des x positifs ».
  - Dans ces conditions, « la première équation d'Euler est applicable aux mouvements ondulatoires survenus assez vite ; car les frottements et la petite composante de la pesanteur suivant les x (ou le petit décroissement analogue de la pression) y sont relativement insensibles. Or les vitesses engendrées u— u0 étant encore censées principalement longitudinales, la pression p et, par
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - 77
  - suite, la densité p, égale à Pi ^ * + y- J, d’après la loi de compressibilité du liquide, continuent à ne dépendre guère que de x et de t. Donc, I accélération u' est encore commune à toute une section <7 et même (vu la rapidité de la propagation comparativement à la différence des parcours effectifs jusqu’à l’instante), commune à tout le fluide d’une région de longueur modérée. Les accroissements u — u0 de vitesse, dus aux accélérations u', sont, par suite, pareils pour tout ce fluide, et égaux à leur moyenne, U— U„ (à très peu près), dont la dérivée en £, prise sur place, exprime, dès lors, sensiblement u. Ainsi la première équation d’Euler donne à très peu près
  - éU _ 1 dp
  - àt pj dx
  - part, dans l’équation de la conservation des
  - à(ao) d(apU)
  - ---— -4- —-—!- — o
  - dt dx
  - p = p?(' + 0 ’ = ,"(,+a0:='T#(I+^;)'
  - Il vient aisément, vu la valeur de —
  - U)2
  - (B') ____l—ÊP,
  - dx p^ a)2 dt
  - et l’élimination soit de U, soit de p, entre (B) et (B'), donne bien les deux équations (Aw) qu’on voulait généraliser. »
  - On peut encore compléter cette minutieuse analyse par quelques remarques.
  - Tout d’abord, on a supposé le tuyau lâche; s’il était droit et raide, fixé seulement à ses deux extrémités, la même analyse vaudrait, sous réserve de calculer le déplacement radial /’ de la paroi par la relation
  - c -+- « Jpdx = p 1;
  - sauf la substitution de p{ à p, les lois du mouvement seront les
  - (B)
  - Faisons, d’autre masses,
  - la substitution
  - B.
  - 6
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- - 78 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - mêmes et la vitesse co de propagation des ondes ne dépendra pas du degré de fixité des sections extrêmes. Nous avons vu d’ailleurs que la connaissance de pK entraîne celle de p et inversement.
  - En second lieu, on a supposé le tuyau horizontal; s’il était incliné, la pression p et aussi la dilatation ad' de la section transversale a-, prendraient, en tout point de l’axe Ox du tuyau, une partie permanente due au poids du liquide et fonction de x seul. En admettant que ce terme de p ne soit pas d’un ordre de grandeur plus élevé que celui qu’y ajoutent ensuite les ondes, il disparaîtra automatiquement des équations (B) (où il détruira le terme de pesanteur introduit par l’inclinaison du tube) et (B') (puisqu’il ne contient pas t). Sauf donc la réduction de p à sa partie non permanente, les lois (A.'") du mouvement subsisteront encore.
  - En troisième lieu, M. Boussinesq convient que les raisonnements précédents ne s’appliquent guère à une conduite enlouie dans un terrain qui s’oppose à ses mouvements un peu étendus. 11 montre alors, par un aperçu, comment les résultats seront encore approximativement utilisables si toutefois on limite la question, si l’on suppose que les ondes envisagées n’ont qu’une longueur restreinte, ou que, longues, elles sont composées de parties de longueur restreinte et donnant lieu à des excès de pression moyennement nuis.
  - Enfin, la théorie n’est plus valable si les perturbations voisines de x = 0 sont assez lentes pour laisser, dans la propagation, un rôle important aux frottements ou à la pente motrice neutralisée jusque-là par ceux-ci. Le problème se complique alors, etquoiqu’il soit abordable à l’aide des méthodes employées par M. Boussinesq dans l’étude du mouvement des eaux courantes, l’auteur se borne aie signaler comme intéressant. Nous le traiterons en détail dans un Chapitre ultérieur.
  - Au point de vue pratique, indiquons ce qu’on peut appeler la condition d'équarrissage du tuyau. La dilatation des libres annulaires due à la surpression p, est, avec les notations de la première
  - partie de ce Chapitre, — ou b\ + —1 ; <7 variant de R à R 4- e, elle est maximum à la face interne, pour a — R et coïncide alors avec Si os est la limite de sécurité acceptable pour les allongements de la matière employée et />M la plus grande valeur de p,
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- - on doit avoir
  - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 79
  - telle est la valeur extrême qu’on puisse admettre pour la pression à imposer éventuellement à un tuyau donné.
  - XI. — Notes diverses sur les théories précédentes.
  - Nous allons réunir ici, sans souci de les lier, quelques réflexions et additions suggérées par les théories dont nous venons de présenter le tableau.
  - 1. Les expressions de la vitesse de propagation des ondes et la théorie de Vhomogénéité. — Les considérations relatives à l’homogénéité, déjà développées par Newton, pouvaient fournir la structure delà formule d’Young, une fois admis que la vitesse to de propagation des ondes ne dépend que du rayon R et de l’épaisseur a du tuyau, de la densité p, du liquide et du coefficient d’élasticité E de la paroi. Si
  - /O, a, R, pi, E) = 0
  - est la relation qui lie ces cinq éléments et dont il s’agit de préciser la forme, si l’on remarque que les dimensions de en, p, et E sont respectivement LT-1, ML-3 et ML~'T-2, d’abord l’homogénéité par rapport aux masses exige que p, et E n’interviennent que par
  - que u) et — n’entrent que par la fonction co2 de dimensions
  - nulles, et enfin celle relative aux longueurs que a et R ne figurent
  - que par leur rapport, soit par le module m= ^ du tuyau. Il vient
  - donc
  - et il ne reste qu’à trouver la fonction F d’une variable.
  - Si l’on voulait mettre en compte la compressibilité du fluide, il faudrait partir de la relation
  - /(œ, a, R, pi, E, Ej) = o
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- - 80 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - où E, est le coefficient de dilatation cubique du liquide, de dimensions ML~'T”2. Eu passant par les mêmes étapes, on reconnaîtrait successivement que la fonction f ne porte que
  - E E E E
  - sur les variables w, a. R, — > —, puis «, R,--------, —— et enfin
  - ’ ’ ’ pl pl 1 ’ ’ piO)2 pi0j2
  - et il reste à déterminer une fonction de deux variables pour avoir la formule de Korteweg.
  - 2. Extension de la méthode d'Young à Vétablissement de la formule de Korteweg. — Reprenons le raisonnement et les notations de la page 4, mais en supposant le fluide compressible. Si E, est son coefficient d’élasticité cubique, l’équation de conservation du volume d’un tronçon est remplacée par
  - „ . (A — 8) ( R -T- /’)2— AR2 „
  - "•---------ÏR>-------- =E"
  - OU
  - Il _ 2 r o
  - Ël = R
  - Or, on a d’une part 11 = ^. et l’on détermine C par la condition C ^ — II, de manière que le mouvement des tranches soit
  - le même dans le tuyau donné que dans le tuyau associé; la vitesse de propagation dans le tuyau donné est alors
  - et elle vérifie la relation
  - _ alJR___n_
  - ET “ ~Ëâ pQ2
  - _L = J_ , _L
  - £22 w2 Ei ’
  - ou encore
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 81
  - tu étant la vitesse de propagation relative au cas de l’incompressibilité. On reconnaît là la formule de Korteweg (1 ).
  - 3. La théorie de V élasticité des solides ré est pas applicable au caoutchouc. — Les frères Weber ont eu raison de demander à une expérience directe la valeur du coefficient qui intervenait dans leur formule, et, pour le caoutchouc, il est illusoire de prendre dans la théorie classique de l’élasticité le point de départ d’une approximation plus grande que celle de la formule d’Young, par exemple en substituant à l’isotropie la seule présence d’un axe d’isotropie. Cela résulte d’une judicieuse remarque de Clebsch, corroborée par un aperçu de Barré de Saint-Venant. « Diverses expériences ont prouvé que le caoutchouc n’est, comme les gelées, qu’un réseau vésiculeux dont les mailles ou cellules sont remplies d’une matière liquide; or, toute déformation perceptible d’éléments liquides produit des changements de distances moléculaires qui excèdent de beaucoup les limites dans lesquelles les actions développées leur restent proportionnelles et ne cessent pas d’avoir les mêmes intensités pour les diminutions que pour les augmentations de distance (2). » Il convient donc d’exclure le caoutchouc et tous les composés spongieux analogues, dits corps très élastiques, de toute applicabilité des formules de la théorie de l’élasticité. Il faut se borner à utiliser des résultats expérimentaux concernant la traction, la compression, la contraction latérale, tels que ceux obtenus, sinon par Imbert, du moins par Bouasse, par Gantone.
  - D’un autre côté, les Weber ont eu grand tort, à notre avis, de déterminer le coefficient k par l’application d’une pression intérieure uniforme d’un bout à l’autre et supportée longitudinalement par le tube; caç certainement celte tension longitudinale n’existait plus (pour la plus grande partie), durant la propagation des ondes, sur les anneaux qui subissaient pareille pression inté-
  - (') Dans le même ordre d’idées, voir l’article de vulgarisation de A. Flamant, Sur la propagation des ondes liquides dans un tuyau élastique (Revue de Mécanique, t. XVIII, n° 2, 28 février 1902, p. 101).
  - (2) A. Clebsch, Théorie de l'élasticité des corps solides, éd. franc, p. 67. Voir aussi Ibid., p. 3, et Navier, De la résistance des corps solides, rééd. par Barré de Saint-Venant, 1864, Appendice V, § 59 et 73.
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- - 82 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - rieure. Cette manière de déterminer k ( ou, ce qui est équivalent, E), en tendant le caoutchouc dans tous les sens, fait visiblement résister les libres circulaires à l’extension plus qu’elles ne feraient sans la tension longitudinale. Aussi leur valeur de E (ou celle de k) est-elle trop forte, et il est évident que, pour savoir dans quelle proportion la réduire, des expériences directes sur leur caoutchouc eussent été nécessaires, comportant la mesure de l’allongement du tuyau par la surpression.
  - Dans le même ordre d’idées, il convient de signaler que le caoutchouc est un corps incomparablement moins compressible que déformable ; l’élasticité de volume y étant énorme, on peut admettre comme approché le principe de la conservation des volumes. Il en résulte un moyen de tenir compte, en quelque mesure, du fait que les anneaux ne sont pas parfaitement indépendants.
  - Supposons, vu la petitesse effective des tensions longitudinales, une contraction linéaire 8, uniforme dans tous les sens, de la section normale de chaque anneau élémentaire, de l-ongueur primitive dx et actuelle dx { i —8), d’épaisseur primitive e et actuelle e(i — 8), enfin de circonférence primitive 2 tcR0 et actuelle 2itR. Le volume constant 2-Re dx (i — 28) ayant été primitivement 2TxR0e<ia7, on aurait
  - 1 R — R0 °~ 2 R0
  - ou
  - 1 R2— R2 t 4 Rq ” 4’
  - en désignant par t l’accroissement unitaire de la section fluide. L’épaisseur actuelle de l’anneau étant ainsi e f 1 — - \, sa résistance
  - à l’unité de dilatation, par unité de longueur actuelle du tuyau, ce qui revient à remplacer le coefficient
  - sera
  - donc Ee ^i
  - d’élasticité Edes fibres circulaires par E ^1 — 7^* ou à le multiplier
  - par 1 — 7-• C’est cette expression modifiée que nous introduirons au Chapitre suivant. Elle ne vaut d’ailleurs que si la proportionnalité de la force élastique à l’extension, par unité d’aire effective, a lieu jusqu’à la limite des allongements produits.
  - 4. Assimilation de la paroi à une toile; analogie de la propagation des intumescences et du mouvement des charges roulantes. — Au lieu de considérer le tube comme formé d’anneaux
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - 83
  - ndépendants réunis par un parenchyme lâche, on pourrait plus
  - naturellement assimiler sa paroi à une toile dont les fils de chaîne seraient les fibres longitudinales et les fils de trame ou duites les fibres circulaires. Encore que dans la réalité ces fils soient solidaires et ne puissent glisser librement les uns sur les autres, nous aurions, en admettant que cette liaison est sans frottement, une approximation plus grande que la précédente.
  - Nous appliquerions alors à chaque fil de chaîne l’équation différentielle des mouvements transversaux d’une barre élastique mince, telle qu’elle a été donnée par Clebsch et Barré de Saint-Venant ( ' ).
  - Soient a le déplacement subi à l’instant t par le centre de gravité de la section, d’abscisse x, delà tige primitivement rectiligne, dans le sens normal aux x\ I le moment d’inertie de cette section par rapporta l’axe central perpendiculaire au plan de symétrie supposé de la pièce, plan parallèlement auquel se produit la flexion; E' le
  - module d’élasticité longitudinal de la matière; — la densité linéaire ° g
  - de la tige ; T la tension longitudinale exercée au centre de la section considérée ; <£ la force, rapportée à Vunité de masse, agissant suivant le sens transversal des déplacements u. Ces quantités sont liées par l’équation fondamentale
  - Si l’on regarde la section comme rectangulaire, d’épaisseur e, d’aire a; si l’on appelle G la tension longitudinale par unité de surface, on a
  - 12
  - En rapportant la tige, fil de chaîne de la paroi, à l’axe du tube, les dérivées de u coïncident avec celles de R, et l’on a enfin
  - G é2R EV dVR p dx2 12 p dx!t
  - Les trois termes de l’expression de la force qui s’oppose, avec
  - (‘) A. Clebsch, loc. cit., p. 482 et 498.
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- - 84 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - la tension élastique de chaque fibre annulaire, au gonflement delà colonne liquide, correspondent respectivement à l’inertie, à la tension longitudinale et à la flexion longitudinale : celte seule observation suggère d’ailleurs une démonstration directe immédiate de la formule.
  - L’expression de (I> est notamment propre à rendre compte de l’ordre de grandeur de l’influence de chacune des trois actions, dont la dernière est insignifiante en comparaison des deux autres. Quant à la seconde, nous noterons que, dans les expériences des Weber, ce qui la provoquait, c’était, indépendamment de l’inévitable raideur du tube, d’une part le frottement de la paroi sur la table et, d’autre part, la fixation des extrémités du tuyau pour utiliser les réflexions de l’onde propagée. Encore que petite, la valeur de ce deuxième terme est dans tous les cas plus sensible que celui dû à la tension superficielle de l’eau dans le mouvement de l’onde solitaire dans un canal découvert et dont D.-J. Korteweg et G. de Vries ont cru devoir faire état pour le cas de faibles profondeurs ( ' ).
  - L’équation précédente sert de point de départ pour résoudre le problème de la charge voyageuse de Philipps, et il est évident que le cheminement d’une intumescence le long d’un tube élastique est tout à fait analogue au déplacement uniforme d’une charge le long d’une poutre droite. Les difficultés énormes que présente l’étude de ce dernier phénomène ne laissent pas espérer qu’on tire grand secours de l’analogie signalée. Il semble qu’il faudra se contenter de faire, dans l’hypothèse de l’indépendance des anneaux, le calcul de R en fonction de x et de t, pour substituer ensuite dans l’expression de d>, à utiliser en vue d’obtenir une approximation plus élevée, cette première valeur de R à la recherche de laquelle sera consacré le Chapitre suivant.
  - XII. — Propagation des ondes de translation à l’intérieur d’un tuyau élastique.
  - Les ondes engendrées par E.-H. Weber dans un fluide incompressible au repos remplissant un tuyau en caoutchouc vulcanisé
  - (1 ) D.-J. Korteweg et G. de Vries, London, Edinburgh and Dublin Philo-sophical Magazine and Journal of Science, Vol. 39, 5e série, mai i8g5, p. 422-444-
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 85
  - ne sont pas des ondes périodiques, mais bien des intumescences ou des dépressions très analogues à l’onde solitaire engendrée dans un canal rectangulaire à eau stagnante par une projection d’eau unique et rapide. L’eau refoulée par la compression brusque d’une portion terminale du tuyau fermé aux deux bouts y joue le rôle de l’eau ajoutée au canal. Dans ces conditions, la célérité calculée ne peut être considérée que comme une première approximation de la célérité mesurée. Nous avons cru qu’avant de comparer le résultat expérimental à la formule théorique, il y avait lieu de reprendre complètement la question (1 ), en nous inspirant de la belle étude donnée par M. Boussinesq en 1871 pour les ondes de translation des canaux et qui lui a permis de rendre un compte très précis de toutes les observations de Scott Russell et de Bazin (2).
  - Considérons un tuyau horizontal en caoutchouc, rempli d’eau et de longueur quasi indéfinie ; le liquide est supposé en repos au moment où l’onde considérée l’atteint. Les variations de la pression aux divers points d’une section normale par le fait de la pesanteur étant insignifiantes, eu égard à la grandeur de la pression moyenne du fluide à l’état de repos, nous regarderons le tuyau comme restant de révolution autour de son axe initial, et nous étudierons la déformation de sa section méridienne.
  - Prenons pour axe Ox l’axe du tuyau censé indéfini, dans le sens de la propagation des ondes; soient R0 le rayon initial du tuyau, R le rayon de la section d’abscisse x à l’instant t: u et w les composantes, au même instant, de la vitesse en un point M d’abscisse a? et distant de r de Ox, composantes prises suivant Ox et suivant la normale émanant de Ox vers M.
  - L’onde de Weber a pour caractères distinctifs :
  - i° De produire, au moment de son passage dans une section, des vitesses presque identiques, en sorte que u et — varient peu avec r ;
  - 20 De parcourir de grands espaces avec une vitesse de propagation constante et sans altération notable : par suite, m étant cette
  - (') A.. Boulanger, C. R. Acad. Sc., 11 décembre 1900, t. CXLI, p. 1001.
  - (-) J. Boussinesq, C. R. Acad. Sc., 19 juin et 24 juillet 1871. t. LXX.II, p. 755 et t. LXXIII, p. a56.
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  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - vitesse, u et w sont des fonctions de x— at et de r ; de plus, la
  - longévité de l’oncle dénote que les frottements sont sans influence
  - bien sensible et l’on est donc en droit, pour la mise en équations de ce phénomène, de se servir des équations de l’Hydrodynamique rationnelle.
  - Les composantes u et w étant milles autour de chaque molécule avant que l’intumescence l’atteigne, en vertu d’un théorème bien connu de Lagrange et de Cauchy, elles seront, à tout instant, les dérivées partielles par rapport à x et r d’une fonction <p de x, r et t, et l’équation dite de continuité du fluide supposé incompressible s’écrit
  - Soit cp0 la valeur de cp sur l’axe du tube; comme par symétrie w
  - Ô © i, 15 • .
  - ou —4 est nulle sur 1 axe, on a successivement or
  - Cette relation permet d’obtenir aisément le développement de cp suivant les puissances de par approximations successives.
  - d’abord
  - puis on substituera cette valeur approchée sous le signe de sommation, ce qui donnera
  - ? = ?o- „
  - 22 dx"‘ 2 2 4* ôx* '
  - en continuant ainsi, il viendra
  - <p = To— —
  - r2 d2<p0 r4 t)4©0 /’6 dG©o
  - 22 dx2 22 42 dx'* 22 42 62 dxb
  - et ce développement sera convergent moyennant certaines conditions de croissance des dérivées de cp0, qu’on suppose réalisées.
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES. 87
  - Cela posé, la pression en un point sera donnée par l’équation dite des forces vives,
  - S étant une fonction du temps indéterminée pour le moment. Nous allons appliquer cette équation à un élément périphérique quelconque et à un élément analogue très éloigné non encore atteint par l’intumescence (où R a sa valeur R0 de l’état naturel et où <p0 ainsi que ses dérivées sont milles), et retrancher membre à membre les équations obtenues.
  - Soit a la pression périphérique à l’état naturel, le rayon étant R0 ; la variation p0—a de cette pression en un point correspond à un accroissement r = R — R0 du rayon ; si donc e et C désignent l’épaisseur du tube et le coefficient d’élasticité des fibres circulaires, on a
  - Po~a= 4t(r —Ro);
  - nô
  - de plus, pour mettre en compte la conservation des volumes dans le caoutchouc (§ 11, n° 3), il convient de multiplier l’expression
  - précédente par i —en posant t= ^ • Introduisons la célé-
  - rité de Weber Q = envisagée,
  - et nous aurons, suivant l’hypothèse
  - pv— a = Q2 px
  - ou
  - p0— a = Q2px
  - Le calcul indiqué conduit alors, équation fondamentale
  - suivant le cas, à la première
  - (I)
  - Q2x I I — 7
  - 4
  - 2 L dx
  - R2(i +t) C>3y0 22 dx3
  - i é2cp0 a dx2
  - -H...Yr§(i + x)
  - écp0 __ Rg(l -I- x) c)3cp0 dt 22 dx2 dt
  - .. = o.
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- - 88
  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - Exprimons, d’autre part, qu’une molécule superficielle ne quitte pas la surface du tube. Si U et W sont les composantes de sa vitesse, quand t croît de dt, x de \Jdt, R varie de Wdt ; donc
  - , éR , dR TT , W dt = —— dt 4- —— U dt, dt dx
  - 2R
  - ou encore, en multipliant ^
  - rir
  - i WR _ dx dx R^ dt~^dx
  - R, et nous
  - 11 nous suffira d’éliminer la fonction ç0 entre les équations (I) et (II) pour obtenir l’équation aux dérivées partielles qui définira la fonction t de x et de t, c’est-à-dire la loi de déformation de la surface mouillée du tube. A cet effet nous procéderons par approximations successives.
  - Première approximation. — Si nous observons que
  - Remplaçons W et U parles valeurs de ^ et pour r =
  - dx
  - aurons
  - (i -+-T)
  - (II)
  - dx'1
  - 2.4 ^ ' dx4
  - = ér+_^r^_0_ R|
  - dt dx L dx 22 ^ ' dx3
  - écpo _ dtpo
  - dt dx
  - et si nous négligeons le carré de la vitesse sur l’axe u0 = ^ et celui de t devant u0 et t, l’équation (I) se réduira à
  - (I')
  - Q2 T
  - é<po
  - dt
  - de même, eu égard à (F), si nous négligeons dans (II) les termes petits au regard de nous aurons
  - (II')
  - ê2c?o
  - dx3
  - Ces équations montrent que x: et u0 satisfont à la même
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- - équation
  - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 89
  - d2(l, U„) _ 02 d2(z, U0)
  - dt2 “ dx2
  - L’intégration est immédiate. Supposons l’origine placée de manière que, pour t = o, les ondes n’aient pas encore envahi les sections à abscisses positives, et notons que u0 est nulle pour x =00, où R = R0. Nous aurons
  - x = F(a;— Qt), u0=üz.
  - La déformation du tuyau se propage avec la vitesse w = ü calculée par Weber.
  - Seconde approximation. —Reprenons les équations (I) et (II) en y conservant les termes de l’ordre de petitesse immédiatement supérieur et en les estimant d’après les valeurs de première approximation, c’est-à-dire en y tenant compte de (F), de (IF) et de
  - ^ = Ot. Il vient ainsi
  - dx
  - (I")
  - é2cp0 àz àz2 d3x
  - dx2 dt 8 dx3
  - (IF)
  - avec a= -, ou o. Dérivons la seconde équation par rapport à t, en
  - remplaçant pour les termes de seconde approximation cette opéra-
  - et alors l’élimination de f0 entre cette équation et (I") est immédiate; elle donne
  - O2 —
  - dx2 \ 8 dx2
  - à*_ / R__z2
  - OU
  - (A)
  - -+- (1 -+ a )x2
  - = 0.
  - Posons
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- - 90
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - L’équation précédente entraîne
  - (JH dH
  - ------Q __
  - dt dx
  - en remplaçant par —Q—- Par suite, H == $ (x 4- Qt). Or;
  - pour t = o et x o, t et ses dérivées sont milles. Donc <J> = o. Adnsi
  - (B)
  - dx
  - dt
  - n dx i à
  - FÇ <Px ~ dx2
  - + (i
  - Cette équation se transforme en introduisant la notion de célérité de propagation de l’intumescence, vitesse fictive co d’une tranche qui se déplace en laissant devant elle un volume constant
  - de fluide ; si l’on exprime que le volume ttR^ / -z dx ne change
  - J X
  - pas quand t varie de dt et x de wdt, on obtient
  - L’équation (B) fait alors connaître la valeur de w ; il suffit de la multiplier par dx et d’intégrer de x à oo, en observant que, pour x = oo, v et ses dérivées sont nulles. 11 vient
  - o) FC à-x i -+- a
  - O i6t dx2 2
  - Nous nous bornerons à utiliser cette équation à la recherche des ondes de translation dont toutes les parties se propagent également vite, sans aucune déformation apparente ; pour elles, o> sera constant. Soit to '= Q (i -f- a) ; nous aurons successivement
  - (J2 X
  - R5 — -H 8 (i -+- a)T2 — \bax = o,
  - / dx \ 2 iG
  - en notant que, très loin, t et ^ sont nuis.
  - Le premier terme étant essentiellement positif, le maximum de t sera t, = • L’onde à forme constante ne pourra être qu’une
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - 9'
  - intumescence ou onde positive de Weber, ayant un profil analogue à celui de l’onde solitaire des canaux.
  - On déterminera le paramètre a d’après le volume Q de l’intumescence ou d’après la longueur l écrasée du tube ; en observant que le profil de l’intumescence, défini par l’équation
  - est symétrique par rapport à la tranche d’aire maximale (t = ), il
  - vient
  - ou
  - Ainsi l’expression de la célérité est
  - La mise en compte de la réduction d’épaisseur de la section de chaque anneau élémentaire de caoutchouc, en raison de l’augmentation momentanée du rayon intérieur, et du contour, provoquée par l’intumescence, en admettant la conservation du volume dans
  - ce corps infiniment moins compressible que déformable, fait passer
  - l • 25 I
  - a de - à o, et réduit le coefficient de ^ de —— à -> avec un écart A ’ RR \AA Q
  - de -4- La valeur la plus vraisemblable a = o donne 16 1
  - et l’équation du profil s’écrit alors
  - Il est difficile de comparer le résultat concernant to aux observations de Weber, car cet expérimentateur ne comprimait pas complètement le tuyau pour éviter l’adhérence des parois, en vue de la production subséquente d’une onde négative ou de dépression : la
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- - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - valeur de l n’esl donc pas connue. 11 convient donc de reprendre la question avec la précision que comportent les appareils actuels, en refoulant par exemple l’eau au moyen d’un piston.
  - Essayons enfin d’examiner l’influence de l’inertie, de la raideur
  - et de la flexion du tube. Nous avons trouvé (§XI, n° 4), moyennant une assimilation naturelle, qu’elle se traduisait par une force normale à l’axe 0.r, ayant pour mesure par unité de masse de
  - la paroi
  - 6 d*R E/e2 dVR
  - p c dx2 12 p c dx4
  - pc étant la densité du caoutchouc (pour éviter la confusion avec p,
  - désignant ici la densité du fluide). CetLe action équivaut à une pression de la paroi sur le fluide, pce<ï>, ou, en remplaçant par
  - E'e3 R0 <Ùt
  - 24 dx4
  - Le premier membre de l’équation (I) se trouverait accru du quotient de cette quantité par p, le premier terme étant d’ailleurs seul comparable à ceux que nous avons conservés en seconde approximation. Posons
  - Le dernier terme de l’équation (F) se trouve multiplié par 1 H—— > et, par suite, le terme en de la dernière parenthèse de
  - l’équation (A) par 1 + m. Dans l’ignorance où nous sommes des petites variations possibles de t, considérons cette tension comme
  - constante; m est alors un nombre fixe. L’expression de et les
  - deux équations qui s’en déduisent subsistent à cela près que le premier terme est multiplié par 1 m. Les calculs suivants con-
  - duisent à une nouvelle expression de — obtenue en multipliant l’ancienne par 1 + m, en sorte que
  - 1 l- '
  - 9(1 -t-m) R8_
  - (O = Q
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 93
  - En résumé, la célérité des intumescences de forme invariable a pour mesure
  - A étant un coefficient numérique pour l’évaluation duquel on en
  - est réduit à l’expérience : on détermine à cet efïet les valeurs de w correspondant à diverses grandeurs l de la portion écrasée du tube.
  - XIII. — Extinction de l’onde solitaire de Weber.
  - Dans la réalité, les intumescences de Weber ne restent pas indéformables; elles subissent une lente réduction de diamètre à mesure qu’elles cheminent et leur vitesse de propagation se ralentit graduellement.
  - Cet amortissement est dû à l’influence des résistances de frottement, localisées, comme on sait, dans une mince couche, contiguë à la paroi, où les vitesses longitudinales varient très rapidement, sur une épaisseur insensible, depuis la valeur zéro, jusqu’à une certaine valeur U0.
  - Pour en faire l’étude, il convient préalablement de calculer, abstraction faite de ces frottements, l’énergie d’une onde invariable de Weber, somme de la demi-force vive actuelle du fluide et du travail que produirait l’intumescence en s’aplatissant complètement sous la pression de l’enveloppe.
  - L’énergie actuelle a pour expression
  - ou, si l’on néglige w- devant u2 et si l’on remplace u par sa valeur approchée Qt,
  - ou
  - t:î étant négligé devant t2.
  - L’énergie potentielle ou de ressort, qui est, pour chaque tranche, le travail que produirait, dans sa contraction, la partie variable,
  - B.
  - 7
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  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - seule active de la pression,
  - , .. . Ce(R-R0) ,
  - la pression, ———----—, a pour valeur
  - 1\m
  - ? a pour valeur
  - ,L
  - ou, en remplaçant Ce par 20R0Û2 et en 11e gardant que le premier
  - terme - Ro': de R — R0,
  - Ainsi l’énergie totale de l’intumescence est
  - Nous pouvons l’écrire
  - ou, en recourant à l’expression de l calculée plus haut,
  - si enfin nous observons que ^ a pour expression modifiée
  - X ^
  - 3 (1 4- m) T! ou - t 1, nous obtenons
  - € = l-2TZÇ> O2/3. À
  - La valeur de (£5 caractérise, tout comme celle de /, une onde solitaire de Weber, et le profil, la vitesse de propagation, le maximum
  - de dilatation radiale s’expriment de suite en fonction de au lieu
  - de l. De plus, on reconnaîtrait, en suivant la méthode donnée par M. Roussinesq à l’occasion de fonde solitaire des canaux, que, parmi les intumescences ayant une énergie donnée, l’onde solitaire présente une forme stable.
  - Nous nous proposons de chercher la loi du lent décroissement de l’énergie d’une onde sous l’influence de l’action de la paroi (1 ).
  - (1 ) A. Boulanger, C. R. Acad. Sc., t. CXLII, 13 février 1906, p. 388.
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 95
  - L’étude générale des perturbations introduites par les parois
  - dans leur voisinage immédiat a été faite par M. Boussinesq (1). Nous lui emprunterons le résultat suivant relatif à l’amortissement des longues intumescences.
  - Soit U0—F (£) la vitesse qu’on aurait à la paroi s’il n’y avait
  - pas de frottements. Les frottements intérieurs développés par la variation rapide de vitesse près de la paroi détruisent, pendant le temps dt, une quantité d’énergie égale à
  - 2
  - - — V2 dv,
  - par unité de longueur de contour du tuyau (au facteur dt près);
  - w désigne la vitesse de propagation et e le coefficient de frottement
  - intérieur du fluide (pour l’eau, e = o,oi44 unité C. G. S. à la température de 25°, d’après Koenig, Wied. Ann., 1887).
  - Gomme l’expression de l’énergie de l’onde par unité de longueur
  - de contour peut d’autre part s’écrire, la vitesse étant sensiblement la même à travers toute section transversale et réductible à sa com-
  - l’équation du mouvement amorti s’écrira
  - en posant
  - (') J. Boussinesq, Complément à une étude intitulée: « Essai sur la théorie des eaux courantes » et à un Mémoire « Sur l’influence des frottements sur les mouvements réguliers des fluides » ( Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3e série, t. IV, 1878, p. 335-376; § 2 : Influencé du frottement extérieur sur le coefficient d’extinction des ondes périodiques ou non périodiques, quand les mouvements sont bien continus, p. 346-366). — Sur les déformations et l’extinction des ondes aériennes propagées dans un tuyau de conduite sans eau ( Journal de Physique, 20 série, t. X, 1891, p. 3oi-332).
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- - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - 96
  - ^on a fait le changement de variable <y=t—— , en sorte que
  - d<r = -*Z).
  - C’est dans la détermination de ce coefficient e1 qu’est incluse la difficulté de l’étude de l’affaiblissement graduel des intumescences. Sa connaissance peut d’ailleurs être aussi utile pour l’extinction de l’onde solitaire des canaux, des ondes aériennes isolées propagées à l’intérieur de tuyaux.
  - Nous prendrons comme vitesse à la paroi U0 = Üt, t étant défini en fonction de t par la relation
  - mise sous la forme
  - où
  - 16(1 x)ti w2 _ 3(i -t- m) R2’
  - elle s’intégre immédiatement et donne, avec un choix convenable de l’origine du temps,
  - — = i(i -1- ch.pt) — ch2 — <
  - Ainsi nous partirons de
  - -, . Oti ^ èP*
  - F (()=----zr. = Oti
  - Posons pt — o, pv2 = n2, H (cp) = nous aurons
  - ( i)2
  - ——— , et changeons t en <7:
  - (e<P-f- i)2 &
  - F(ff) = ÛTi H (cp), F'(a — v2) = Q.i\p H'(<p — n2 ),
  - __ f H('©)H'(©— n2) do
  - dn r‘-----------------------
  - I H2(cp)rfcp
  - avec
  - P= T,
  - ;(n-a) iu> 121 m
  - 3 (i+m) Rg X Rg En prenant pour variable 6?+ 1 d’une part, ete? + e"2 d’autre part,
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - 97
  - on oblient par l’intégration cle différentielles rationnelles bien simples, et en posant en"'= i u :
  - H (<p ) H'(o —- n2) d<o
  - 3 a( u -l- 2) "1 (1 )
  - (n-a)(6-l-6a-+-a2)
  - Log(i -i-a) —
  - a2-f- 6 a -+- 6
  - a*
  - Faisons dans cette dernière expression le changement de variable
  - et envisageons la fonction
  - Le coefficient d’amortissement prend la forme
  - Construisons dans l’intervalle de 0 à 1 la courbe y = G (x) qui part de l’origine tangentiellement à Oy, s’infléchit vers les x positifs et s’élève asymptotiquement à x = 1, limitant avec Ox et l’asymptote une aire finie. D’ailleurs, pour de petites valeurs de x, y se développe en série sous la forme
  - Voici les ordonnées d’un certain nombre de points qu’on a pu
  - f1) On remarquera que la quantité entre crochets est la différence entre Log(i-l-a) et la quatrième réduite de son développement en fraction continue
  - développement en fraction continue s’est présentée récemment dans une autre question d’H)rdrodynamique {Cf. Stekloff, C. R. Acad.Sc., t. GXLI, p. 1216).
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  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - reporter sur un dessin à très grande échelle, et qu’on a unis d’un d’un trait continu. L’arc a été prolongé jusqu’à ce qu’il soit distant
  - Fig. 5.
  - Courbe '
  - de l’asymptote de moins d’une épaisseur de trait, soit ~ de millimètre à l’échelle adoptée, et alors x différera de i de moins de — • 1 5oo
  - X. .. O O 0,1 0, i5 0,2 0,3 °,4 0. ,5
  - y- • • o,00843 °,11979 0,14428 0,17346 0,220 31 0,26841 0, ,323 36
  - X. . . 0,6 o,7 0,8 0,9 0,90 o,975 0. 199
  - y "• 0,39198 o,48Go6 o,63484 0,93008 1,8363o 2,171 02 2. ,273 52
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - 99
  - L’aire ainsi délimitée a été estimée, par répétition, à l’aide d’un planimèlre d’Amsler : la moyenne des lectures au planimètre a été de 445,33, et celle fournie par un carré de 100 divisions de côté du quadrillage a été de 994? en sorte que l’aire, en divisions carrées du quadrillage, est de 448o. Comme l’unité est représentée en abscisse et en ordonnée par 100 divisions, l’intégrale a pour valeur approchée 0,448.
  - On peut estimer une limite supérieure de l’erreur commise en limitant l’axe comme on l’a fait. Si l’on prend pour variable c = 1 — X) et si l’on majore l’expression de y aux environs de e = o, on obtient
  - 1
  - Pour e = t—
  - 5oo
  - le logarithme
  - rii°° / 2
  - 1 / Log - dv. t. u V 1
  - , log ^ = y log 1000 = (1000)^ avec N = 3, 7 ..., étant népérien. Donc, dans le champ considéré, on a
  - Ainsi
  - Notre intégrale est donc comprise entre 0,448 et 0,4^2 : nous prendrons pour valeur o,45o avec une erreur en plus ou en moins inférieure à deux millièmes.
  - Nous aurons donc enfin
  - £i —
  - Prévenons maintenant à l’équation d’amortissement et à l’expression de la célérité,
  - 1 d<£-(6 dt
  - ‘2 Z\
  - plL
  - €
  - 2 tco Q213,
  - W — Q ( i —{-
  - 12
  - XKl);
  - exprimons l en fonction de C, ou plutôt en fonction de d défini par
  - <Ê =
  - 2 ~p Q2 Rj5, v/à
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- - IOO
  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - Nous aurons, en observant que, dans et, nous devons, au degré d’approximation admis, remplacer w par Q),
  - oj = O ( i H——
  - d<b
  - dt
  - a £i 3pRc
  - ! /' / 3£ü ? = 0,43 4 --------•
  - V TrpR 8vA
  - Soit/0 la longueur écrasée du tuyau; la valeur initiale de ^ est et l’on a alors
  - /r0 a V k ’
  - = 'j'o
  - I -+-
  - o,45 /3eü /0
  - RH v Xuo
  - On a par le fait la loi de décroissance de la célérité, et aussi celle de la dilatation radiale maximale, car
  - R?,t-Rg
  - R?,
  - _ 31* X HH
  - (LA
  - Ainsi, finalement, en posant q = [\ vient
  - “ = a[I+rRS(A ?0‘]’ R"‘=R" [I+XR3(’|J-lV)‘]'
  - Prenons l’exemple numérique de Weber, en admettant que /0 = i, 5 Pi0 = 3omra ; on a, en uni tés C. G. S.,
  - X = 9> ~ = o,oi3 106, R0 = 2, /0=3, £i = ioo3, q = 0,16;
  - = Û [
  - l -4-
  - 0,25
  - (H-o, i6£)4_
  - r,«= R0 \i-h ]
  - L (l + 0,l(>*)4J
  - Il ne faut pas songer à pousser l’approximation plus loin. Par exemple, dans et, garder ta au lieu de Ü reviendrait à conserver l’unité devant A4, alors que, dans d’autres parties de la démonstration, on a, en somme, négligé l’unité devant «!/2. Tenir compte dans le calcul de l’énergie du terme en t- de la pression, conduirait à
  - i A i1 ~
  - introduire un terme de la forme — 4/ t 777 C. Or la réactivité du
  - n y t> Rg
  - caoutchouc, sur laquelle nous n’avons que des indications numériques tout à fait insuffisantes, ferait figurer un terme de cet ordre de grandeur dans l’expression de l’énergie pendant le temps dt, comme on s’en rend compte en supposant dans la pression un terme
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - IOI
  - de la forme A A élanl une constante, soit — - AR0Ü — : ce dt 7 2, dx
  - terme fournirait un travail, pendant le temps dt,
  - 2 A i5R0
  - L’imperfection d’élasticité du caoutchouc qui se traduit par un frottement intérieur et une élasticité ultérieure ou réactivité, contribuerait à rendre plus rapide l’extinction des ondes, comme elle le serait aussi s’il y avait des ruptures du fluide à la paroi, avec tourbillonnements. La réaction du sol sur le tube qu’il supporte n’est pas alors tout à fait sans influence. Il imporie donc de demander à l’expérience si l’approximation obtenue est insuffisante et s’il y a vraiment lieu de faire intervenir ces éléments dont l’introduction paraît toutefois devoir rendre la question presque inextricable.
  - XIV. — Propagation des perturbations à travers un courant circulant dans un tuyau élastique large.
  - Revenons au cas présenté par les expériences de Joukowsky, où des ondes de perturbation se propagent à travers une colonne liquide animée d’un mouvement de courant uniforme, dans une condui te élastique large. Pour peu que les changements de pression ou de vitesse produits aux environs de la section initiale soient engendrés assez lentement pour permettre aux frottements ou à la pente motrice neutralisée jusque-là par ceux-ci, de prendre, pendant la propagation, une influence notable, la théorie du paragraphe X devient insuffisante. Avec les frottements interviennent les inégalités de vitesse des fdets fluides, et avec l’ampleur de la section l’agitation tourbillonnaire du fluide.
  - Parmi les mouvements tourbillonnants et tumultueux, ou plutôt parmi les mouvements moyens locaux associés, M. Boussinesq a étudié, sous le nom de mouvement graduellement varié des canaux, le mode d’écoulement dans lequel la vitesse moyenne ainsi que la section normale fluide ont leurs dérivées secondes, troisièmes, etc., tant par rapport à la coordonnée longitudinale que par rapport au temps, beaucoup moins influentes que leurs dérivées premières, en sorte qu’on puisse les négliger devant celles-ci,
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- - 102
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - dont on suppose d’ailleurs insensibles les carrés et les produits. Ces conditions sont encore réalisées lorsque la paroi dont on veut étudier l’influence retardatrice sur le mouvement du fluide qui la mouille, subit de petits déplacements d’une amplitude bien moindre que l’amplitude des mouvements mêmes du fluide : celui-ci possède alors, contre la paroi, une vitesse et une accélération égales à celles de la paroi même, c’est-à-dire négligeables par hypothèse en comparaison de la vitesse ou de l’accélération de la masse liquide dans le sens longitudinal. C’est précisément ce qui arrive pour les ondes propagées dans une conduite élastique et dont nous nous occupons actuellement.
  - Nous allons donc adapter (' ) au problème actuel la belle théorie que M. Boussinesq a développée dans le cas d’un fluide incompressible se mouvant dans un lit cylindrique à parois rigides, en la prenant sous sa forme la plus récente et la plus simple (-).
  - Nous commencerons par établir quelques relations où intervient la compressibilité supposée du fluide. La densité étant variable, l’équation de continuité s’écrit
  - ép à(pu) d(pv) + <?(pt*>) _ o
  - dt dx dy dz
  - Si donc <ï> est une fonction continue de x, y, s, t ayant (î>/ pour dérivée complète en t, on peut écrire
  - , à ( p <î> ) d(o u<t>) d ( p p <ï> ) d ( <!> )
  - P c|j — -— 1------!_---- _|--!-----------1---•
  - ‘ dt dx dy dz
  - Remplaçons-y p par sa valeur donnée par la relation supplémentaire
  - (1 ) Nous avons fait cette adaptation en décembre 1904, en utilisant la brève indication déjà signalée dans la Note 1 de la page ao, et renouvelée dans le Mémoire de 1878 cité dans la Note 1 de la page g5.
  - (2) Exposée d’abord dans l’Essai sur la théorie des eaux courantes (1877), cette théorie a reçu de M. Boussinesq une forme remarquablement élégante dans deux brochures résumant des leçons de la Sorbonne et développant quelques Notes des Comptes rendus de l’Académie des Sciences, intitulées : Théorie de l’écoulement tourbillonnant et tumultueux dans les lits rectilignes à grande section; Paris, Gauthier-Villars, 1897-1898.
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - 103
  - Ei et [a désignant les coefficients d’élasticité et de compressibilité. E( a une valeur considérable, en sorte que p est très petit. Multiplions l’égalité par l’élément d<7 de l’aire de la section transversale entourant le point (æ?, y, z) à l’instant t et intégrons à travers toute la section 7. Il vient
  - G
  - en supposant que l’axe de la conduite soit pris pour axe des x\ les autres termes sont négligeables, eu égard aux hypothèses faites
  - sur le mouvement graduellement varié que nous étudions ici et à la
  - petitesse de p.. Dans cette relation nous substituerons à (I> successivement i, u et u- :
  - i° Pour <ï> = i, <]V= o, on a, U étant la vitesse moyenne à travers la section <7,
  - d
  - dx
  - (fa d(Uî)
  - •* (jJ/ *
  - p u d (T
  - ° dt dx
  - a
  - A cause de la petitesse du facteur p., nous pouvons, dans l’évaluation de la parenthèse, négliger les termes du premier ordre de petitesse et remplacer la pression p par la valeur p0 qu’elle prend sur l’axe (dans la même tranche). Cette parenthèse prend alors la
  - valeur îlE*Z) -f- P) ? et nous obtenons la relation
  - dt àx
  - 20 Pour $ = u ou <P' = 1, on a, en et en négligeant les termes en p.?/,
  - soit, en désignant par Jïl/la moyenne des valeurs de /(#, y, s) sur toute l’aire 7,
  - 3° Soit enfin <I> = u2; posons
  - aa 1
  - — = y. ; nous aurons de a
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- - x o4
  - même
  - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - f(u2ï de = f(l + PP) “2 d<J-+- | (i -t- (JLjo) u3 da,
  - soit
  - (3) 7itt( iû)'— ~ crU2(l -t- r,) (r -h p p0) + <rU3a(i -f- fyp0).
  - En tenant compte de l’équation (i) qui n’est autre que l’équation de la conservation des masses, il est loisible de simplifier les expressions de JH u' et de JÏI(m2)'. Il vient
  - ~ (n- pp0) | — — U — [(t -4- 7])U] — 7) U ^ Loger (1 -+- g/>0) j,
  - dt
  - itX ( U3 )' = (i -+- pp0 )
  - ~yz U2 ( i H— Y] ) —f— U ——- U2 et dt dx
  - à T
  - H- (1 + 7] — a) U2— Log<r(i + pp0) , et l’on en déduit enfin
  - (4) ^yi«(«2)'— LWlï
  - = (l -H pp0)
  - (l -+- 27]
  - a)u^L°ger(i
  - + (2* -- 7] - i)
  - d_ U2 dx 2
  - \xPo ) + ( 1 + 2 7) ) é(a —7]) _
  - U
  - dx
  - éU
  - dt
  - à
  - ~dt
  - U <t J
  - Considérons maintenant les équations générales du mouvement moyen local dans le cas d’un lit sensiblement prismatique de direction ; elles s’écrivent (1 ), e désignant le coefficient de turbulence ou d’agitation en un point (#, y, 5),
  - dy\ dy) dz\ dz J
  - — pC,
  - -+• oX —
  - dp
  - dx
  - = P“'>
  - Les deux dernières équations donnent, en remplaçant p par
  - po(i + p/>),
  - à
  - — Log(i+ pp) = p0p(Y— C),
  - JZ L°g(n- w) = pop(Z — w');
  - f1) J. Boussinesq, loc. cit., p. i3, 22, 24.
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - les quantités v' et w' étant du second ordre de petitesse, on aura, en se déplaçant dans une section normale,
  - Si l’on développe le premier membre en série et si l’on néglige les
  - termes du second ordre en p. dans l’équation obtenue, il vient
  - p— p0+ p(p2— pl) = po(Yy-hlz).
  - Le terme en p. du premier membre sera même négligeable devant les termes conservés.
  - Envisageons alors la première équation. En négligeant le terme en p.w', après remplacement de p par c0(i -f- p/>), et en désignant par i l’inclinaison du tube sur l’horizon (en sorte que X = g sinz), cette équation s’écrit
  - 8
  - La quantité I a pour valeur
  - L’angle i est petit, et l’on peut, au degré d’approximation observé, substituer p0 à p ; d’où
  - Cette quantité ne dépend que de x et de t, tout comme la pente motrice du problème des canaux à parois fixes.
  - Dès lors, en appliquant à l’équation (5) la suite de transforma-
  - tions que lui a fait subir M. Boussinesq (') pour ce dernier problème, on sera amené à l’équation fondamentale
  - R. est le ravon de la section, U la vitesse moyenne à travers cette section et b un coefficient constant dépendant de la rugosité de
  - (') J. Boussinesü, loc. cit., Note I, p. 24; Note II, p. 9 et p. 11-14.
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- - 106 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - ]a paroi, tel que si le régime devenait uniforme on aurait
  - __ R s'n *
  - 2
  - Nous avons ainsi obtenu entre <r, U etp0 les deux relations (i) et (6) : dans cette dernière équation, la quantité entre crochets au second membre est fournie par l’équation (4).
  - Dans le second membre de (4), les coefficients(i -f- 27] — a),..., (a — T|), y) pourront être réduits à leurs valeurs à peu près constantes de régime uniforme dans les écoulements assez graduellement variés pour que les vitesses diffèrent peu de ce qu’elles sont dans ce régime, puisqu’ils sont multipliés par les dérivées de U ou de cr qui sont du premier ordre de petitesse; les quantités négligées sont au moins du second ordre. En outre, dans les écoulements envisagés, les changements de forme de la section t capables d’influencer les valeurs de a et 7| relatives au régime uniforme se produisent très lentement; les petites parties variables de ces coefficients seront, comme celle même que contiendra le rapport ^
  - et d’où elles proviendront, de l’ordre des dérivées premières de U ou de <t; et leurs dérivées en x ou en t atteindront, par suite, comme les dérivées secondes de U ou de u, le deuxième ordre de petitesse. C’est dire qu’à une première approximation, les deux derniers termes de (4) seront négligeables. Enfin, dans le cas du mouvement uniforme à travers une section circulaire, on a (')
  - t] — o,o33, a — i -+- 3Y] — JY 'O = 1,097.
  - Nous emprunterons encore à la théorie de l’élasticité des solides la même relation entre la pression sur l’axe et le rayon qu’antérieure ment
  - (7) Po= a~^ -jTV (h — Ro)-
  - Kg
  - a est la pression sur l’axe du tuyau quand la section a, sur toute la longueur du tuyau, le rayon R0 relatif à un régime uniforme de
  - (*) J. Boussinesq, loc. cit., Note I, § X; Essai sur la théorie des eaux courantes, § 45 bis; voir particulièrement notre Hydraulique générale, t. I, p. 292-294, Paris, Poin, 1909.
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES.
  - vitesse moyenne U0) pour lequel la pente motrice est Actuellement on a
  - a&Ug £R
  - Ko po^Ro àx
  - Nous allons maintenant appliquer ces généralités à l’étude de la propagation des intumescences le long d’un courant de vi tesse U0 à l’état de régime uniforme.
  - Soient R0+/- et U0-h^l les valeurs que prennent, dans une tranche à un instant donné, lors du passage de 1 intumescence, le rayon de la section et la vitesse moyenne : r et K sont de petites fonctions de x et de t. Remplaçons dans les équations (i) et (6)
  - a- par tz (R0 + i')2, u par U0-f-1l,/>o par a + r, et conservons uniquement les termes principaux dans chacune d’elles. Il vient
  - Ce dr
  - or . N u u . \ u ^
  - l / r 1 r» ™ A _ J- /on - - T a ----
  - Dans ces équations s’introduisent naturellement la célérité Q de Ivorteweg définie par
  - 2 p0 Rp _ £0 Po
  - Ce Ei mC
  - L’élimination de u entre ces relations est immédiate ; on dérivera la première par rapport à a? et à t: la seconde par rapport à a?, etl on
  - éliminera entre les équations obtenues et gggg On obtiendra ainsi
  - -- (2a-- 7] - l) U,
  - d*r dx dt
  - . dïr\ 0 dx 2 )
  - j M-(l + 2T)
  - ou encore, en ordonnant,
  - o.
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- - ETUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - La dilatation r est donc définie par cette équation linéaire aux
  - dérivées partielles du second ordre, à coefficients constants, immédiatement intégrable par le procédé de Dalembert (1 ).
  - L’équation caractéristique s’écrit, en remplaçant a en fonction de r|, et en négligeant des termes très petits de l’ordre de rf,
  - 0>2— 2(1-4- 2T1)U0œ-H(n- 3t])U5 — (1 — 2 7]) G2 — O.
  - L’une des racines est supérieure à U„, l’autre lui est inférieure. Si l’on n’envisage que les ondes descendantes (suivant les x positifs, si U0> o), leur célérité sera au même degré d’approximation
  - On pourrait évidemment répéter ici les développements ordinaires permettant de formuler les lois qui régissent, à une première approximation, la marche des ondes de perturbation. Il ne paraît pas bien utile de le faire, pas plus que de pousser plus loin l’approximation : on y procéderait d’ailleurs en suivant la méthode indiquée par M. Boussinesq pour les ondes des canaux dans son Essai sur la théorie des eaux courantes. Le résultat final que nous avons obtenu serait à confronter préalablement avec l’expérience.
  - XV. — Dispositifs expérimentaux.
  - 1. Reprise des expériences de Weber par la méthode d’enregistrement chronostylographique. — Tout rudimentaire qu’il
  - fût, le dispositif de Weber a donné des résultats remarquables.
  - Nous avons indiqué (§ XI, n°3) la critique grave qu’on peut seulement formuler, et il semble bien que là gise tout le désaccord entre sa théorie et ses résultats d’expérience. Si, en effet, on admet pour
  - le coefficient d’élasticité du caoutchouc vulcanisé la valeur moyenne
  - E = o,i (kg : mm2) indiquée par H. Rouasse (2), on a, en appliquant la formule d’Young,
  - 2 R0 = 35,5 — 8 =
  - ra 1
  - g 9800 x ioG’
  - (') C/. J. Boussinesq, toc. cil., Note II, p. 23.
  - (-) H. Bouasse, Journal de Physique théorique et appliquée, 190.3, p. 490.
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES. I09
  - et ce nombre est bien voisin de celui de l’observalion de Weber.
  - Par contre, l’expérimentation de Marey, sans valeur quantitative, donne lieu aux critiques suivantes :
  - i° Les tambours ne sont pas comparables, chacun comportant son retard propre de transmission et son rapport de transformation des déplacements (1);
  - 20 Le phénomène n’est étudié que dans la période de mise en marche et abandonné au moment où il prend un caractère régulier ;
  - 3° La vitesse de propagation présente des variations bizarres qui sont dues au moins à la non-comparabilité des tambours ;
  - 4° Les ondes sont mal réfléchies, l’obstacle n’étant réalisé que par le pincement du tuyau;
  - 5° Les erreurs relatives sont considérables, par suite de la brièveté du parcours et du temps.
  - On ne parle pas des erreurs d’excentricité des leviers inscrip-Leurs : elles peuvent être, dit-on, corrigées par l’emploi de ce qu’on appelle le pulseur de Deprez.
  - Ces imprécisions et inexactitudes montrent que les résultats ne répondent pas à la complication savante des appareils, et l’on en dira autant des travaux de tous les successeurs de Marey : malgré la variété des dispositifs réalisés et l’habileté des expérimentateurs, on ne peut citer aucune expérience dont les conditions soient suffisamment définies numériquement pour permettre une confrontation avec la théorie.
  - Il semble pourtant aisé de perfectionner le manuel opératoire de Weber en lui conservant son caractère de simplicité et même de l’adapter à l’étude de l’amortissement de la vitesse de propagation d’une intumescence.
  - Indications sut' les appareils : a. Explovateur-inscripteur.— Les tambours n’étant pas comparables, nous employons un seul
  - (‘) Ce n’est que récemment que l’Institut Marey s’est proposé d’étudier les appareils enregistreurs employés en Physiologie et de chercher les moyens de rendre leurs observations comparables. Il faut consulter sur ce sujet : J. Athanasiu, Rapport sur la Méthode graphique présenté à l’Association de l’Institut Marey, le 3o août 1904 ( Travaux de l’Association de l’Institut Marey, igo5, Paris, p. 29-124). Les conclusions laissent les physiologistes sceptiques.
  - B.
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- - I 10
  - ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - appareil explorateur-inscripteur de Marey, construit par Cli. Verdir), et paraissant remplir les meilleures conditions pour que l’inscripteur I reproduise d’une manière exacte la forme du mouvement communiqué à l’explorateur E. Les membranes des tambours ont une élasticité aussi parfaite que possible ; celle de E est plus forte; toutes deux ont reçu une tension en rapport avec la rapidité de leur mouvement. Le disque fixé suri n’immobilise que le trentième de l’aire de la membrane, tandis que celui collé sur E est pris le plus grand possible. Le tube de transmission a 8mm de diamètre intérieur et porte sur son trajet un diaphragme percé en mince paroi, de diamètre égal à de celui des tambours. Le levier amplificateur a un moment d’inertie réduit au minimum compatible avec sa solidité, et ses articulations sont soigneusement ajustées pour éviter tout jeu ou frottement sensible (1).
  - b. Enregistreur chronographique. — Nous utilisons un appareil classique. Le cylindre enregistreur a 25CIU de diamètre. Un petit moteur à air chaud le met en rotation rapide, et anime en même temps, par un système de poulies, le chariot destiné à porter les outils inscripteurs, mobile, grâce à un couple vis-écrou, parallèlement à la direction du cylindre. Un régulateur à ailettes, de Foucault, assure l’uniformité du mouvement. Le moteur tourne assez vite pour donner au papier enfumé une vitesse linéaire variant, suivant la poulie adoptée, de im à 2m par seconde : un déplacement de iram correspond à ou rüVô (^e seconde. Le temps est inscrit au moyen d’un appareil électromagnétique Mercadier qu’actionne un diapason faisant 200 vibrations doubles par seconde. La sinuosité tracée par chaque vibration simple correspond à un déplacement de 2mm, 5 à 5ram : on en peut apprécier à vue le quart et estimer le temps à de seconde.
  - Détermination de la loi de variation du diamètre intérieur avec la pression. — Le tuyau de caoutchouc, de 1 imde longueur, (*)
  - (*) Pour tout ce qui concerne l’inertie et l’amplification de ce levier enregistreur, il faut consulter, au point de vue théorique : F. Cellérier, Etude sur les erreurs, d’inscription des leviers enregistreurs ( Revue dp, Mécanique, janvier igo5); et, au point de vue technique: 0. Frank, Prinzipien der Konstruction von Schreibhebeln (Zeitschrift für Biol., t., XLV, 1904, p. 480-496).
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- - DANS LES TUYAUX ELASTIQUES.
  - 111
  - est posé suivant l'axe d’une suite longitudinale de planchettes horizontales soigneusement polies et vernies. Un bouchon métallique, de diamètre égal au diamètre intérieur du tuyau, bien taillé carrément à son extrémité interne, ferme une extrémité; la partie du caoutchouc qui le recouvre de 5cm est maintenue par une ligature plate sur toute sa longueur. L’autre bout du tuyau est réuni par l’intermédiaire d’un robinet à un tube manométrique soigneusement calibré de 5m de hauteur.
  - A vide, on mesure l’épaisseur et le diamètre du tuyau de caoutchouc, ainsi que sa longueur de l’armature du robinet au bouchon.
  - On remplit alors le tuyau de manière que l’eau affleure dans le tube au niveau du point le plus haut de l’intérieur du tuyau, ce qui ne change pas la longueur du tuyau laissé horizontal. Cette opération est des plus délicates, car il importe que des huiles d’air ne restent pas emprisonnées; elle exige un tour de main spécial.
  - On verse ensuite dans le tube manométrique une quantité connue d’eau : l’accroissement correspondant de la pression est mesuré par la hauteur h du niveau libre actuel au-dessus du précédent. Par déduction de la quantité d’eau qui forme cette colonne, on a le volume d’eau employé à dilater et à allonger le tuyau. On mesure l’allongement de celui-ci bien aligné suivant l’axe des planchettes-supports (il ira, pour h égal à environ 5™, jusqu’à 20cm ou 3ocm), et l’on pourra alors calculer l’accroissement Ad du diamètre initiais. On mesure enfin le nouveau diamètre extérieur, duquel on déduit la diminution A<? de l’épaisseur initiale e.
  - On répète la même suite d’opérations pour une série de valeurs croissantes de h.
  - On peut alors construire la courbe qui a pour ordonnée la tension annulaire par unité de surface, ou la quantité proportionnelle
  - —r--"4-> et pour abscisse l’allongement annulaire unitaire • 2 ( e— Ae) 1 ° d
  - On reconnaît ainsi dans quelle limite elle est sensiblement droite, et le coefficient angulaire de la partie droite permet de calculer le coefficient d’élasticité des fibres annulaires.
  - On peut de plus, avec ces observations, voir que, dans cette limite, il y a conservation du volume du caoutchouc.
  - Mesure de la célérité d'une intumescence. — On ramène la
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- - T 12 ÉTUDE SUR LA PROPAGATION DES ONDES LIQUIDES
  - hauteur de charge à zéro et l’on ferme le robinet de communication.
  - On installe l’explorateur à iom du bouchon qu’on visse maintenant à la planche-support. On engendre l’intumescence par l’écrasement brusque et complet du tube à proximité du robinet, à l’aide d’un taquet de largeur connue / de l’ordre de grandeur du rayon. L’intumescence passe sous le disque de l’explorateur, va se réfléchir sur le bouchon et vient repasser sous le disque. Cette seule portion du phénomène nous intéresse. Le cylindre enregistreur fait connaître le temps écoulé entre les deux passages à l’explorateur, de la section la plus dilatée, soit le temps de parcours d’un chemin de 20,n : on en déduit la célérité to.
  - En répétant la même expérience, avec une largeur différente lt du taquet, on obtient une célérité oi*. La relation
  - w _ tjl2
  - (jOi X d^ [\l\
  - fait connaître le coefficient X, corrigé de la raideur ou tension du tuyau. Il est très supérieur au minimum 9 que nous avons signalé.
  - Recherche de la loi d'amortissement. — On installe l’explorateur successivement à 1, 2, 3, ..., /z, ..., iora du bouchon où l’onde se réfléchit. Les deux passages successifs sous lui correspondent à un parcours de 2, 4, ..., 2/t, ..., 20™.
  - On produit chaque fois l’intumescence par écrasement du tube, à une distance toujours la même de l’explorateur* avec le même taquet et dans les mêmes conditions.
  - On détermine l’intervalle de temps qui sépare les deux passages du bourrelet liquide, pour n = 1, 2, ..., 10; on en conclut la célérité u>n — ^ et l’on construit la courbe (cort, t«).
  - • ^ rl
  - La courbe doit être comparée à celle qui a pour abscisse le
  - temps t et la vitesse moyenne ^ / aclt, calculée à l’aide de la
  - T d 0
  - valeur théorique donnée au paragraphe 13 et dans laquelle X est maintenant connu.
  - Les diagrammes de l’enregistreur permettent de déterminer
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- - DANS LES TUYAUX ÉLASTIQUES. Il3
  - comment l’amortissement affecte la dilatation radiale suivant la distance.
  - Il conviendrait de faire la même étude d’ensemble avec au moins deux types différents de tuyaux de caoutchouc.
  - 2- Etude directe de l’amortissement; cas d’intumescences se propageant dans un courant fluide. — Nous allons maintenant reprendre la méthode de Marey en renonçant à l’utilisation de la réflexion des ondes à l'extrémité du tuyau et en obviant aux critiques qui ont été formulées. Le nouveau dispositif se prêtera d’ailleurs à l’étude de la propagation d'ondes dans un courant fluide, problème qui a déjà préoccupé les AYeber et à propos duquel ils ont donné leur fameux schéma de la circulation du sang. Nous renoncerons à cet effet à la transmission de Marey et lui substituerons l’enregistrement direct chronographié par étincelles électriques sur cylindres tournants, qui permet de repérera un même instant la position de la pointe de chaque style sur le diagramme correspondant. Nous opérerons sur un tuyau de très grande longueur, les enregistreurs étant fort écartés, le premier à assez grande distance de l’endroit de production de l’intumescence pour que le phénomène ait pris un caractère régulier. Enfin, nous accroissons la précision des mesures par la scission des étincelles en groupes séparables.
  - Indications sur les appareils : a. Enregistreurs. — Nous avons fait construire par la maison J. Richard six enregistreurs conformes au dessin ci-joint (Jig. B et 8 bis) : nous avons utilisé son type usuel de cylindre tournant en 6 secondes et ayant un développement de 3oomra (soit un diamètre de q3m 1,1 ), mais nous l’avons fait modifier; la mise en marche est provoquée par le fonctionnement d’un petit électro-aimant placé à l'intérieur du cylindre, et disposé comme l’indique la figure 7, la rupture du courant produisant l’arrêt. Nous pouvons ainsi commander la marche simultanée de tous les enregistreurs, qui d’ailleurs n’est régulière qu’au bout de deux tours, après lesquels on déclenchera la chronographié.
  - Le papier fixé sur les cylindres est celui qu’on emploie pour les wattmètres à enregistrement par étincelles de Siemens et Halske (Rousselle et Tournaire, concessionnaires).
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  - La dilatation radiale du tuyau est amplifiée cinq fois par un levier équilibré, dont une extrémité repose sur le tuyau par l’intermédiaire d’une étroite gouttière (reliée au levier par une vis d’horlogerie et un petit ressort de pression) et dont l’autre, munie d’une fine aiguille, est mobile devant le cylindre enregistreur.
  - 11 importe de réduire le plus possible la masse de ce levier et de son axe (énormément trop grande sur le dessin reproduit) et d’isoler le bras qui porte la pointe réceptrice, tout comme on a isolé le cylindre du style et de l’axe porte-style.
  - b. Système chronographique. — Les six enregistreurs sont disposés en tension sur le secondaire d’unç bobine d’induction, par l’intermédiaire des bornes 3 et 4 3e chaque appareil (les bornes i et 2 servent pour le courant de mise en marche des cylindres). Un pont tz à godets remplis d’eau est disposé à proximité des bornes de la bobine et permet le réglage des appareils sans qu’on soit gêné par les coups de la bobine; on enlève la dérivation au moment où l’on veut commencer à clironographier.
  - Sur le primaire de la bobine d’induction, on dispose un appareil d’interruption de courant, pour lequel on ne peut prendre un simple diapason, ainsi qu’on l’a expliqué au paragraphe 8. Le système intercalé a pour principe la remarque suivante de H. von Helmholtz. Un diapason A peut être mis en vibration régulière par un électro-aimant dont le courant est fermé ou interrompu par un autre diapason B, sans qu’aucune liaison conductrice ne soit établie entre l’électro-aimant et le diapason A, si le nombre des vibrations par seconde du diapason B est un multiple du nombre analogue du diapason A.
  - Sur le circuit du primaire, on dispose la pile n° 1, le diapason A excitable par l’électro-aimant extérieur E, le godet à mercure a, où plonge l’aiguille terminant une branche de A, et un pont P à deux godets [3 et y, le tout conformément au schéma ci-après. Des interruptions du courant pourront être produites par la pointe a du diapason et les pointes [3 et y du pont.
  - Le circuit auxiliaire d'une autre pile n° 2 contient les organes qui créeront ces interruptions, à savoir : une tige B encastrée à un bout et vibrant, solidaire d’un mince tube isolant en verre renfermant la partie centrale du pont P, l'électro-aimant voisin E, exci-
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  - n5
  - tateur de la tige et celui E du diapason. Du pôle négatif de la pile partent deux dérivations a et b s’enroulant respectivement sur E1 et E et venant se réunir en un point c de la tige. Le circuit se referme au pôle positif en passant par le godet à mercure ù où plonge une pointe interruptrice de courant terminant la tige.
  - Fig. 6.
  - Pile N°2
  - r-rrmaire
  - Secondaire
  - mmwr]
  - Les godets, remplis de mercure et d’alcool étendu (le jaillissement des étincelles brûlant et pulvérisant le mercure), sont supportés par des pieds à vis micrométrique permettant d’en régler la hauteur.
  - Supposons que les nombres de vibrations du diapason et de la tige, par seconde, soient respectivement ioo et 20. Les circuits des deux piles étant fermés, on met la tige B en vibration, ce qui produit dans le godet ô 20 étincelles par seconde. L’électroaimant E, placé dans le circuit de la pile n° 2, excite alors, d’après le principe de H. von Helmholtz rappelé plus haut, le diapason A qui vibre à 20 X 5 = too oscillations. Les vibrations ainsi communiquées à la pointe portée par ce diapason interrompent le circuit dans le godet a et produisent 100 étincelles par seconde.
  - Mais le mouvement delà tige B se communique au pont P dont
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  - les pointes peuvent quitter le mercure, et l’interruption de courant peut se produire dans les godets (B ou y. Cependant, si le courant est interrompu en (B ou y, il ne se produit pas d’étincelle en a, encore que le diapason continue à vibrer. On élève alors suffisamment le godet [B, pour que le fil qui y plonge ne quitte jamais le
  - Fig. 7.
  - ùntsrietiT» du cylindre
  - mercure, et l’on règle l'autre godet y de telle sorte que chaque soulèvement de la tige A provoque une rupture de courant dans y: par suite, une partie des étincelles dans a sera régulièrement supprimée et l’on aura une série discontinue d’étincelles, les groupes d’étincelles étant séparés par des intervalles plus ou moins grands, selon le réglage. Comme, pendant une oscillation de la tige B, le diapason A exécute cinq vibrations et peut donner lieu à cinq
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  - étincelles, on en peut supprimer zéro, une, deux, ... ou la totalité, à volonté. Le mieux est d’en supprimer deux sur cinq.
  - La lecture des signaux piqués est assez pénible; aussi faut-il préférer aux étincelles forles des étincelles faibles, qui laissent des traces petites et fines, et la pile-n0 1 ne doit pas comprendre plus de trois éléments Bunsen : on intercale dans le circuit une résistance additionnelle permettant de régler les étincelles à l’intensité voulue.
  - Manuel opératoire. — L’étude préalable de l’élasticité transversale du tuyau se fait comme dans la première méthode. Ce tuyau a 5om de longueur, les tronçons ordinaires du commerce ayant été soudés à l’usine.
  - Pour la colonne à l’état statique, l’intumescence est engendrée par le refoulement d une quantité déterminée d’eau à l’aide d’une pompe branchée vers une extrémité, sur l’armature du robinet fe rmé, l’autre extrémité étant bouchée.
  - Les appareils enregistreurs sont disposés de en à partir du bouchon terminal.
  - L’ensemble étant bien réglé, on lance le courant de mise en marche des cylindres tournants; au bout de 12 secondes, on déclenche le système vibratoire chronographique en même temps qu’on produit 1 intumescence, et l’on ne s’occupe que du premier passage de l’onde à chaque enregistreur ; les cylindres tournants sont arrêtés après 5 secondes d’inscription. Les diagrammes repérés donnent la vitesse moyenne de parcours de chacun des cinq intervalles.
  - Pour le cas du courant, on opère d’une manière analogue : le bouchon est supprimé et l'on fait circuler dans le tuyau un courant de vitesse connue, dont l’uniformité est assurée par l’emploi d’un régulateur de niveau Parenty.
  - Tous les dispositifs expérimentaux que nous avons décrits ont pu être installés à l’Institut de Physique delà Faculté des Sciences de Lille, grâce à la bienveillance de M. le doyen Damien et 4 J obligeance de notre collègue M. Paillot.
  - Pour procéder aux observations longues et minutieuses qu’exige une étude définitive, il me faut recourir à un collaborateur à qui il appartiendra de publier l’ensemble de ses déterminations et de les réduire en formules.
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  - CONCLUSION.
  - Dans ce long travail, à la fois d’érudition, de théorie et de technique expérimentale, un même problème a été envisagé sous ses aspects les plus divers. Il présente de grosses difficultés qui n’ont pas toutes été résolues, mais ont du moins été précisées.
  - Les Mémoires originaux ont été rigoureusement résumés, mais les méthodes d’exposition du texte ne reproduisent pas toujours celles de ces Mémoires : il était tout indiqué de profiter de l’appui mutuel que se prêtent les diverses parties de l’ensemble pour éclaircir et simplifier l’une par l’autre. La présentation des résultats d’Young, par exemple, a été toute modernisée, et ce qui concerne l’élasticité dans le paragraphe 10 a été obtenu d’une manière qui fait dériver tout intuitivement les résultats de ceux de Korteweg.
  - Quant à nos propres contributions, en dehors de cette adaptation, elles sont contenues dans les cinq derniers Chapitres (§ 11 à 15) : : elles concernent surtout la propagation et l’amortissement des intumescences analogues à l’onde solitaire dans les tuyaux en caoutchouc.
  - L’ensemble des résultats acquis me semble infirmer, au moins dans une certaine mesure, le mot désespérant d’Euler que nous avons cité en commençant : « Cum... haec investigatio vires humànas transcendere sit censenda, hic utique isto labori jinem imponere cogimus. »
  - J6s'
  - .FIN.
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