Leçons de mécanique pratique. [4], Résistance des matériaux

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- - RÉSISTANCE
  - DES MATÉRIAUX
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- - TYPOGRAPHIE DE CH. LAHURE Imprimeur du Sénat et de la Cour de Cassation rue de Vaugirard, 9
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- - LEÇONS DE MÉCANIQUE
  - PRATIQU
  - RÉSISTANCE
  - DES MATERIAUX
  - PAR
  - ARTHUR MORIN
  - Général de division d’artillerie membre de l’Institut, ancien élève de l’École Polytechnique directeur du Conservatoire des Arts et Métiers membre correspondant de l’Académie royale des sciences de Berlin de l’Académie royale des sciences de Madrid, de l’Académie des sciences de Turin de l’Académie royale des Géorgophiles de Florence de l’Académie de Metz, de la Société industrielle de Mulhouse de la Société littéraire et philosophique de Manchester
  - LIBRAIRIE DE L. HACHETTE ET C’e
  - RUE PIERRE-SARRAZIN, N° 14 (Près de l’École de médecine)
  - 1857
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- - PRÉFACE.
  - L’accueil qui a été fait par les ingénieurs aux leçons sur la résistance des matériaux que j’ai publiées en 1853, et dont la première édition est épuisée depuis près d’un an, m’aurait engagé à en donner une seconde, si je n’avais tenu à ajouter à la première quelques résultats nouveaux d’expériences, et surtout à corroborer par des observations spéciales les bases de la théorie admise par la plupart des géomètres et des ingénieurs. Il me paraissait d’autant plus nécessaire de bien établir l’accord des hypothèses qui forment le fondement de cette théorie avec les résultats de l’observation, que quelques ingénieurs très-éminents ont introduit dans la pratique des règles basées sur des formules plus ou moins empiriques à l’aide desquelles ils représentent les résultats des expériences faites sur la rupture, et rejettent comme dignes de peu de confiance et peu conformes à l’observation, les règles déduites de la théorie admises par MM. Le François, Navier, Poncelet, et tant d’autres savants géomètres et ingénieurs.
  - Je me propose de faire successivement exécuter au Conservatoire des Arts et Métiers diverses expériences pour compléter, autant qu’il dépendra de moi, les données qui peuvent servir de bases à celte partie importante de la science de l’ingénieur; mais ces recherches sont longues, et, en attendant que je puisse les compléter, je dois me borner h faire connaître quelques-uns des principaux résultats des expériences faites, surtout en vue de reconnaître si les hypothèses admises dans la théorie ordinaire de la résistance des solides à la flexion sont
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- - II PRÉFACE.
  - suffisamment exactes dans les limites où l’on entend les appliquer.
  - D’importantes et utiles recherches sur la résistance des pierres employées à Paris dans la construction, ont été exécutées avec beaucoup de soin par M. Michelot, ingénieur des ponts et chaussées, sous la direction de M. Belgrand, ingénieur en chef. Le premier de ces habiles ingénieurs a bien voulu me communiquer un résumé sommaire de ces recherches, pour me permettre d’augmenter les données expérimentales que je pouvais consigner dans ces leçons. D’autres expériences du môme genre, faites au Conservatoire des Arts et Métiers par M. Tresca, ingénieur sous-directeur de cet établissement, particulièrement sur la résistance des grès des Vosges, sont aussi rapportées.
  - En discutant les expériences faites à l’occasion de la construction des ponts tubulaires, en donnant l’application des règles générales de la décomposition des forces aux charpentes à grande portée, nous n’avons pas voulu traiter de l’art d’établir les grands travaux d’art. Notre intention a seulement été de faire connaître par quelques applications spéciales la marche généralement suivie, et de montrer dans quelles limites et dans quel esprit l’on devra appliquer les règles déduites de la théorie. En un mot, nous avons voulu seulement donner des notions un peu étendues sur la résistance des matériaux, et nous n’avons nullement voulu faire un cours de construction des travaux d’art. Nous renverrons pour tout ce qui concerne l’établissement de ces travaux aux ouvrages spéciaux publiés par divers ingénieurs.
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- - RÉSISTANCE
  - DES MATÉRIAUX.
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - EXTENSION.
  - I. Marche suivie dans cette partie du cours. — Dans lin enseignement de mécanique pratique donné au Conservatoire des arts et inéliers, le professeur ne peut songer à traiter dans ses développements théoriques la question si complexe de la résistance des matériaux. M. Poncelet, mon savant confrère et ami, a d’ailleurs accompli cette tâche à la Faculté des sciences, dans des leçons dont on doit désirer vivement la prochaine publication. Par des considérations géométriques aussi simples que rigoureuses, il est parvenu non-seulement à éviter dans cette question difficile tout l’appareil, souvent inutile, de calculs dont on l’avait hérissée, mais il a obtenu en outre la solution de plusieurs questions que l’analyse avait été jusqu’ici impuissante à résoudre.
  - Dans l’exposition des notions théoriques indispensables pour l’établissement des règles et des formules pratiques, je prendrai pour guide la marche et les démonstrations adoptées par M. Poncelet. D’une autre part, la sanction et l’appui de l’expérience étant peut-être plus indispensables encore pour celte partie de la mécanique que pour toute autre, j’aurai soin de contrôler toujours les résultats des formules par ceux de la pratique, en m’attachant surtout aux constructions les plus remarquables de notre époque.
  - i
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  - PREMIÈRE PARTIE.
  - 2. Considérations générales. — L’on a vu, dans les leçons de la première partie, que les corps doivent être considérés comme composés de molécules qui s’attirent et se repoussent de telle sorte que, dans l’état habituel ou normal, les forces d’attraction ou de répulsion qui sollicitent ces molécules se font équilibre. De là résulte que tout effort pour écarter, éloigner ces molécules, provoque et met en jeu la réaction attractive, et que tout effort qui tend à les rapprocher, à les refouler, développe la réaction répulsive.
  - L’expérience prouve qu’entre certaines limites les allongements, de même que les raccourcissements ou contractions, sont à très-peu près proportionnels aux forces qui les produisent; il doit par conséquent en être de même des forces de réaction attractive ou répulsive, égales et contraires à ces forces. Ce principe avait été entrevu par Hooke, célèbre géomètre anglais qui vivait vers 1670, et qui l’énonça par ces mots : Ut tensio sic vis; mais l’expérience apprend aussi qu’au delà de certaines limites cette proportionnalité cesse, et que les allongements et les raccourcissements croissent alors plus rapidement que les forces auxquelles ils sont dus.
  - Tant que les allongements ou les raccourcissements sont proportionnels aux forces qui les produisent, on remarque que, quand la force ou la cause cesse d’agir, l’effet cesse sensiblement, et que le corps, par la réaction attractive ou répulsive de ses molécules, reprend exactement ou à très-peu près ses dimensions et revient à sa forme primitive. On dit alors que Yélasticité du corps n’a pas été altérée, et l’allongement ou le raccourcissement observé, qui a disparu, se nomme Y allongement ou le raccourcissement élastique. Au contraire, lorsque les allongements ou les raccourcissements ont cessé d’être proportionnels aux forces qui les produisent, les corps ne reviennent pas complètement à leur forme primitive. Quand ces forces n’agissent plus, ils restent en partie allongés, raccourcis ou comprimés; l’on dit alors que leur élasticité est altérée, et la variation qui subsiste dans la forme se nomme, suivant les cas, allongement, contraction ou flexion permanente.
  - 5. Observation. — Il est bon de rappeler que si quelques corps paraissent, dans certaines circonstances, doués d’une élasticité parfaite et reprendre complètement dans toutes leurs
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- - EXTENSION.
  - 8
  - parties leur forme primitive, tandis que d’autres semblent au contraire dénués totalement d’élasticité et tout à fait mous, il n’en est pas exactement ainsi. Il est rare que toute déformation ne soit pas suivie de quelque altération plus ou moins perceptible de la forme, et de quelque retour plus ou moins complet vers celte même forme.
  - 4. Influence de la durée des efforts. — Le temps et la durée d’action des efforts paraissent d’ailleurs jouer dans ces effets un rôle important qu’il est parfois nécessaire de prendre en considération; c’est ainsi que les efforts auxquels on peut soumettre momentanément un corps sans craindre d’altérer son élasticité sont plus grands que ceux que l’on pourrait exercer pendant un intervalle de temps indéfini ou d’une manière permanente.
  - 5. Nécessité de limiter les efforts à des valeurs inférieures à celles qui correspondent à l’altération de l’élasticité. — L’altération de l’élasticité étant un acheminement vers la rupture, et croissant de plus en plus sous l’action des mêmes causes quand une fois elle a commencé, il s’ensuit que dans les constructions l’on doit toujours éviter de soumettre les corps à des efforts capables de produire celte altération. Il faut même remarquer que presque toujours les corps employés dans les constructions, et surtout les organes des machines, sont exposés à des efforts accidentels supérieurs aux efforts moyens que l’on calcule, à des vibrations, quelquefois à des altérations chimiques, et que la prudence exige qu’on limite les efforts à des valeurs notablement inférieures à celles qui correspondent à l’altération de l’élasticité.
  - (5. Définition du coefficient ou module d’élasticité et manière de le déterminer. — Lorsqu’un corps prismatique ou cylindrique d’une longueur L et d’une section dont la superficie est A, est soumis à un effort de traction longitudinale dirigé suivant son axe, et que nous désignerons par P, il s’allonge sous l’action de cet effort; si cet allongement que nous appellerons l est proportionnel à la longueur totale, de sorte que le rapport de
  - j soit une quantité constante, nous désignerons celui-ci par i,
  - qui représentera ainsi l’allongement par mètre courant.
  - Tant que l’effort P ne dépasse pas certaines limites, l’allon-
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- - 4 PREMIÈRE PARTIE.
  - gement élastique i, ainsi qu’on l’a dit, croît proportionnelle-
  - p
  - ment au rapport ou à la charge par unité de surface de
  - P P
  - section, de sorte que le rapport de à i ou est une quantité constante que l’on nomme le coefficient ou le module d'élasticité, et que l’on désigne habituellement par la lettre E ; cette quantité est alors constante pour un même corps au même état. Si l’on supposait que la section transversale fût égale à l’unité de surface, et que l’allongement i par mètre courant pût être égal à l’unité de longueur sans altération de l’élasticité, on aurait Ai— 1, et P = E serait alors l’effort supporté par unité de surface et capable de produire par unité de longueur un allongement élastique égal à cette unité.
  - Ce que nous venons de dire pour les allongements s’applique aux raccourcissements par compression ; et l’on admet généralement que le coefficient d’élasticité a la même valeur dans les deux cas: mais il est des corps, tels que la fonte et très-probablement les corps grenus en général, pour lesquels cette égalité n’existe pas ou n’existe qu’entre certaines limites.
  - D’après les définitions précédentes, si la charge P est celle qui est supportée par chaque millimètre carré de section, on a A = lmilK % et i étant l’allongement par mètre correspondant à la limite de l’élasticité, la relation P = AEe devient P = E?,
  - p
  - d’où E = -; ce qui permet, comme nous l’indiquerons, de déterminer d’après l’expérience la valeur du nombre E rapportée au millimètre carré, et ensuite de calculer, pour un corps de section donnée A, la charge capable de produire un allongement déterminé, ou l’allongement produit par une charge donnée.
  - Nous rapporterons plus habituellement la valeur du nombre E au mètre carré, en exprimant la surface A de la section transversale du corps en mètres carrés.
  - Il suffit au reste que l’on soit averti de l’unité de surface adoptée pour qu’il ne puisse y avoir aucune confusion.
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- - EXTENSION.
  - 5
  - Résistance du fer à l'extension.
  - 7. Résultats d'expériences. — Les circonstances que nous venons de détailler en parlant de l’allongement des corps sous l’action des efforts de tension ou de compression longitudinales, sont rendues très-manifestes par la représentation graphique des résultats des expériences.
  - Nous en rapporterons plusieurs exemples.
  - 8. Expériences de M. Bornet. — Choisissons d’abord les expériences deM. Bornet, ancien élève de l’École polytechnique, attaché aux forges de la marine, à Guérigny, qui a soumis à des efforts de traction longitudinale une barre de fer à cable de 49mill,50 de diamètre et de 6ra,42 de longueur, et celles de M. Ardant, officier général du génie, sur des fils de fer doux ou recuits et sur des fils durs ou non recuits.
  - Les résultats de ces expériences sont rapportés, pour les allongements, au mètre courant, et pour les charges, au millb mètre carré de section.
  - FER A CABLES, DUCTILE. FIL DE FER.
  - CHARGE par millimètre carré. ALLONGEMENT par mètre courant. CHARGE par millimètre carré. ALLONG par mètrt Fer doux recuit. EMENT courant. Fer dur non recuit.
  - kilogr. mill. kilogr. mill. mill.
  - 2 0,08 5 0,294 0,260
  - 4 0,16 10 0,588 0,520
  - 6 0,31 10 0,882 0,780
  - 8 0,36 15 1,176 1,040
  - 10 0,47 20 • 1,470 1,300
  - 12 "0,55 25 2,500 4,569
  - 14 0,69 30 13,000 »
  - 16 0,86 32,5 14,100 2,220
  - 18 2,20 35,0 18,000 2,400
  - 20 15,76 40,0 20,500 »
  - 22 24,34 42,5 rupture. 2,820
  - 24 34,97 45,0 » 3,100
  - 26 46,96 49,0 » rupture.
  - 28 67,70 50,0 » Xi
  - 30 89,39 » ï »
  - 32 132,48 » • 5 »
  - rupture. j 5 1
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- - 6 PREMIÈRE PARTIE.
  - 9. Examen de ces résultats. — Si maintenant nous prenons les allongements par mètre pour abscisses et les charges par millimètre carré pour ordonnées, nous pourrons représenter les résultats de ces expériences par les courbes Aaaa relatives au fer à cables, Abbb relatives au fil de fer recuit, et Accc relatives au fil de fer non recuit (pl. I, fig. l ).
  - On voit que, pour les faibles charges, la relation des allongements aux charges est représentée par une ligne droite passant par l’origine, ce qui confirme que ces allongements sont d’abord dans un rapport constant avec les charges. On voit ensuite, courbe kaa, qu’au delà de la charge de 14 à 16 kilogrammes par millimètre carré, les allongements ou les abscisses croissent plus vite que les charges, et d’autant plus rapidement que les charges sont plus fortes. Il semble cependant qu’après un certain allongement d’environ 2mill,50 à 3rain,00 par mètre, il s’établit un autre rapport constant entre les charges et les allongements , et que ce rapport nouveau subsiste jusqu’à des charges voisines de celle qui produit la rupture.
  - La courbe Abb, relative au fil de fer recuit, montre que l’élasticité s’altère un peu plus tard ou pour des charges plus fortes pour ces fils que pour des barres de gros échantillon. L’on voit en même temps que la rupture arrive à des charges plus fortes, mais sous des allongements moindres. Enfin la courbe A ccc, relative au fil de fer dur non recuit, fait voir que la proportionnalité des charges aux allongements s’observe plus longtemps que pour les fers doux et recuits, et que la rupture a lieu sous des charges plus fortes, mais aussi à des allongements plus faibles.
  - Il résulte de cette comparaison que si l’élasticité du fer doux, ou en général celle des métaux ductiles, commence à s’altérer sous des charges moindres que celles des fers ou des métaux durs, la rupture n’a lieu qu’après des allongements beaucoup plus considérables, et que celte déformation est un indice, un avertissement de l’altération de l’élasticité, tandis que la rupture des métaux durs a lieu brusquement, et sans qu’une altération notable de l’élasticité ait pu avertir de l’imminence de cette rupture.
  - On remarque d’ailleurs que l’altération de l’élasticité étant une fois produite, les allongements croissent beaucoup plus rapidement par rapport aux charges qu’avant cette altération,
  - LÜ-/' s___
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- - EXTENSION.
  - 7
  - et que, par conséquent, il importe pour les constructions de connaître, pour tous les corps employés, la limite des charges d’extension à laquelle cette altération commence à se produire. De plus, afin que les vibrations et les efforts accidentels n’exposent pas les pièces à des efforts de traction, à des tensions qui puissent altérer leur élasticité, il est bon de calculer les dimensions de ces corps, en s’imposant la condition que la charge moyenne permanente qu’ils devront supporter ne produise pas des allongements supérieurs à la moitié environ de ceux pour lesquels commence l’altération de l’élasticité.
  - Il résulte enfin des observations qui précèdent que la valeur
  - p
  - E = du rapport que nous avons nommé au n° 6 le coefficient
  - d élasticité n’est constante qu’entre les limites où les allongements sont proportionnels aux charges ; c’est du reste ce que l’on verra par de nombreux exemples.
  - 10. Expériences de M. Eaton Hodgkinson. — L’on doit à M. E. Hodgkinson, savant physicien anglais, de nombreuses séries d’expériences sur la résistance des matériaux, et plus particulièrement des métaux, à l’extension. Parmi ces expériences, qui ont été faites avec beaucoup de soin, nous citerons d’abord la série suivante relative à rallongement des tiges de fer forgé sous l’action des efforts de traction longitudinale auxquels on les soumet.
  - Les fers sur lesquels ces expériences ont été exécutées étaient de la meilleure qualité. Les barres étaient formées de plusieurs parliçs assemblées par des manchons, de manière à leur donner environ 15 mètres de longueur totale sur un diamètre moyen de 13mi11, 13. L’aire de la section était de 135mill,<1, 39.
  - L’on mesurait après l’action de chaque charge l’allongement, total, et après son enlèvement l’allongement permanent, d’où l’on déduisait par différence l’allongement élastique. On remarquera que la grande longueur des barres permettait de mesurer les allongements totaux avec beaucoup de précision, et par suite d’en déduire avec la même exactitude l’allongement proportionnel ou par unité de longueur. Nous ne reproduirons ici que les résultats d’une seule des séries d’expériences exécutées par M. E. Hodgkinson, en rapportant ces résultats au centimètre carré pour les charges, au mètre linéaire pour les allongements, et le, rapport des charges par mètre carré à
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- - 8 PRE3IIÊRE PARTIE.
  - l’allongement par mètre de longueur pour obtenir ce que l’on nomme, comme nous l'avons dit, le coefficient d élasticité.
  - EXPÉRIENCE POUR DÉTERMINER L’ALLONGEMENT TOTAL ET L’ALLONGEMENT PERMANENT PRODUITS PAR DES POIDS DIFFÉRENTS AGISSANT PAR EXTEN-* SION SUR UNE TIGE DE FER FORGÉ DE LA MEILLEURE QUALITÉ, PAR M. E, HODGKINSON,
  - CHARGES
  - PAR CENTIMÈTRE CARRÉ, en kilogrammes.
  - P.
  - kil.
  - 187.429 374,930 562,406 749,456
  - 937.430 1124,813 1312,283 1499,720 1687,219 1874,045 2063,580 2249,627
  - »
  - 2403,653
  - 2624,564
  - 1)
  - 2812,033
  - répétée après 1 heure.
  - » 2
  - » 3 «
  - » 4 »
  - » 5 »
  - » 6 »
  - » 7 »
  - » 8 »
  - >» 9 »
  - » 10 »
  - 2999,500
  - 3186,973
  - 3374,440
  - 3561,900
  - 3745,361
  - ALLONGEMENT
  - PAR MÈTRE DE LONGUEUR.
  - total.
  - m.
  - 0,000082117 0,000185261 0,000283704 0,000379476 0,000475113 0,000570792 0,000665647 0,000760311 0,000873265 0,001012911 0,001283361 0,002227205 0,002359800 0,004287185 0,009156490 0,009950970 0,010492805 0,011750313 0,011858889 0,011933837 0,0119421118 0,011958835 0,011967149 0,012027114 0,012027014 0,012027114 0,012o27114 0,017888263 0,019478898 0,01984831 0,02022006 0,02148590 0,02169401 0,02170242 0,02170242 0,02477441 0,02514184 0,02522512 0,03493542 0,03519357 0,03520190 0,03520190
  - permanent.
  - mill.
  - 0,00254
  - 0,0033894
  - 0,0042398
  - 0.00508
  - 0,0067705
  - 0,0100879
  - 0,0330283
  - 0,0829955
  - 0,2616950
  - »
  - 1,1297600
  - 3,0709900
  - 8,4690700
  - 8,5748700
  - 9,1023600
  - 16,5145
  - B
  - 18,4212
  - 18,8886
  - 19,7954
  - 22,0119
  - 22,7087
  - 32,8201
  - COEFFICIENT d’élasticité E
  - par
  - mètre carré.
  - kil.
  - 22 824 500 000 22 216 200000 19 824 100 000 19 704000000 19 729 909 000 19 706 000000 19714600000 19 320 300000 19 3207UOOOO 18 398 100000 16 079 200000 »
  - 10101 580000 5 C06 590 OoO 2 866 380000 »
  - 2 681 520000
  - 1 676 820000
  - D
  - »
  - ))
  - 1 483 290 000
  - *>
  - w
  - 1 362 020000 »
  - »
  - 1019 580000
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- - EXTENSION,
  - 9
  - 11. Conséquences de ces expériences. — Les résultats de ces expériences peuvent être représentés graphiquement, en prenant, comme on l’a déjà fait, les allongements totaux et les allongements permanents pour abscisses et les charges pour ordonnées d’une courbe qui donne la loi qui lie ces quantités. Cette construction a été faite à une grande échelle pour rendre les résultats plus apparents, et elle ne peut être reproduite que fort en petit dans la figure 2 (pl. I).
  - L’examen de la courbe ainsi obtenue montre :
  - 1° Que jusqu’à la charge de 1499kil,72 par centimètre carré, ou 14kil,997 par millimètre carré, les allongements totaux croissent proportionnellement aux charges;
  - 2° Qu’il en est de même pour les allongements permanents, et que dans ces limites ces derniers allongements sont excessivement petits et s’élèvent au plus à 0mill,01 par mètre, sous la charge de 14kil,997 par millimètre;
  - 3° Qu’au delà delà charge de I4ku,997 par millimètre carré, et surtout à partir de celle de 18kil,74 par millimètre carré, les allongements totaux et les allongements permanents croissent très-rapidement et plus que proportionnellement aux charges;
  - 4° Que vers et un peu avant la charge de 22kll,49 par millimètre carré, les allongements totaux redeviennent sensiblement proportionnels aux charges, mais dans un rapport beaucoup plus grand que celui qui correspondait aux petites charges. Vers les charges voisines de la rupture les allongements étaient un peu inférieurs à ceux qu’indiquerait la nouvelle proportionnalité;
  - 5° Quant aux allongements permanents dont la loi de variation a aussi été représentée graphiquement, mais à une échelle encore plus grande, de 400 millimètres pour 1 millimètre d’allongement, et de 20 millimètres par kilogramme de charge par millimètre *carré, le tracé que l’on ne peut reproduire qu’en petit dans la figure 3, montre aussi qu’après avoir augmenté proportionnellement aux charges jusque vers l4kU,99 par millimètre carré, ils croissent très-rapidement et beaucoup plus vite que les allongements totaux;
  - On observe de plus que ces allongements permanents croissent avec la durée de la charge, quoique très-lentement.
  - p
  - 6° Enfin, les valeurs du rapport -j des charges par mètre
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- - 10 PREMIÈRE PARTIE.
  - carre à l’allongement par mètre, et que l’on nomme le coefficient ou module d’élasticité, sont sensiblement constantes tant que les allongements sont proportionnels aux charges, et la valeur moyenne qu’en fournissent ces expériences est
  - E = 19 816440000kil
  - en rapportant la charge au mètre carré et l’allongement au mètre de longueur *.
  - Une autre série d’expériences faites sur une barre de 15m,25 de longueur sur 19min,09 de diamètre, et par conséquent d’une section de 286“iH,q,9 de surface, ou un peu plus que double de celle de la première, a fourni des résultats à très-peu près identiques, surtout dans les limites où l’élasticité n’est pas altérée notablement. On en déduit pour la valeur moyenne du coefficient d’élasticité
  - E = 19 359458 500kil
  - en rapportant les charges au mètre carré et les allongements exprimés en mètres au mètre de longueur.
  - 12. Observations sur les conclusions de M. Hodgkinson. — M. E. Hodgkinson conclut de ces expériences que, dès les plus faibles charges, il se produit un allongement permanent, et en cela il est d’accord avec d’autres observateurs. Mais, d’une part, il ne semble pas qu’aucun de ces expérimentateurs ait cherché à vérifier si le temps, qui augmente les allongements permanents quand la charge reste suspendue, ne contribue pas aussi à les faire disparaître quand elle est enlevée, et de plus il faut remarquer qu’entre les limites où les allongements élastiques du fer sont proportionnels aux charges, les allongements permanents sont tellement faibles qu’on peut en faire abstraction dans la pratique, puisqu’à la charge de I4kil,99 par millimètre carré, que l’on ne doit jamais atteindre, ils ne sont que de CP11,01 par mètre.
  - Enfin, il n’est pas inutile de faire remarquer, dès à présent, qu’il est bien difficile, dans toutes les expériences de ce genre, d’éviter que l’appareil lui-même n’éprouve quelque tassement,
  - * Les deux premières charges de I87kll,429 et de 374kil,920 par centimètre carré ont donné des valeurs plus fortes que les suivantes; on peut l’attribuer à l’excessive difficulté de mesurer les trois petits allongements qu’elles produisaient.
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  - 11
  - quelque flexion qui ne disparaisse pas et qui s’ajoute aux allongements permanents déduits de l’observation.
  - 15. Applications des résultats de l'expérience. Dimensions des tiges en fer soumises à un effort de traction donné. — D’après les données précédentes de l’expérience, il est facile de déterminer la surface de section d’une tige de fer soumise à un effort de tension déterminé de façon que son allongement ne dépasse pas une limite donnée.
  - Supposons, par exemple, qu’une barre de fer doux de 2 mètres de longueur doive supporter un effort de 5000 kilogr. sans s’allonger de plus de 0m,001.
  - Il suit de ces données que l’allongement proportionnel de la barre devra être au plus de
  - 0n\001
  - 2m
  - = 0ra,0005—i ;
  - et, si nous prenons pour valeur du coefficient E d’élasticité relatif aux fers doux (voy. au tableau du n° 47),
  - E= 18000000000 kilogr.,
  - on devra avoir, pour l’effort correspondant par mètre carré à cet allongement,
  - E* = 18000000000 X 0,0005 = 9000000 kilogr.,
  - ou, par millimètre carré, 9 kilogr.
  - La section transversale de la barre de fer devra donc être égale à
  - pp = 555 millim. carrés ;
  - et si elle doit être à section carrée, elle devra avoir 23mill,5 de côté.
  - 14. Cas où il est nécessaire de tenir compte du poids propre des tiges soumises à un effort de traction. — Dans les machines d’épuisement, dans les sondages d’une grande profondeur, il est indispensable de tenir compte du poids des tiges, parce qu’il est souvent très-considérable. Dans ce cas, la longueur L de la tige est connue, et si l’on appelle d son diamètre en mètres, P la charge à supporter ou la tension à exercer, p le poids du
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- - 12
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - mètre cube, ou du mètre courant pour un mètre carré de section , la charge totale à supporter sera :
  - et elle devra être égale à la charge maximum que la prudence permet de faire supporter avec continuité à une tige de la substance employée. Si, par exemple, il s’agit de tiges de fer et qu’on admette une charge permanente de 8 kilogr. par millimètre carré ou 8 000000 kilogr. par mètre carré, en supposant l’emploi de matériaux de choix, la charge totale ne devra pas dépasser
  - rP
  - — X 8000 000“.
  - On aura donc la relation
  - d’où
  - P = 1^73 (8 000 000 ~^L)’ *
  - expression qui donnera la charge P si le diamètre d est connu , ou le diamètre
  - “V 8000000— pLJ
  - si la charge P est donnée.
  - Application. Si, par exemple, il s’agit d’une tige de pompe élévatoire de 30 mètres de longueur, et destinée à soulever un piston de 0ra,20 de diamètre chargé d’une colonne d’eau de 25 mètres, on aura d’abord
  - P = 1000 X ^ X 25 = 785“50.
  - On a de plus
  - ^ = 7783kil et L = 30 mètres.
  - 8000000—7783X30
  - 1.273X785.5
  - = om,ori3.
  - L’on en déduit
- p.12 - vue 23/512
- - EXTENSION.
  - 13
  - Il est (Tailleurs évident que la charge que le corps pourrait supporter avec sécurité, serait nulle si Ton avait
  - ou
  - pL = 8000000 kilogr.,
  - j 8000000
  - JL — ———
  - p
  - S’il s’agit du fer, p = 7700 kilogr. environ, et Ton trouve
  - L = 1039m
  - pour la limite de longueur des tiges en fer à section uniforme que Ton peut employer avec prüdence.
  - S’il s’agissait de calculer la longueur à laquelle une tige se romprait sous son propre poids, on sait que pour le fer l’effort de traction capable de produire la rupture est de 30 kilogr. environ par millimètre carré, ou de 30000000 kilogr. par mètre carré de section, et alors le poids
  - rl-\
  - f^X 7700 kilogr.
  - devrait être égal à
  - r72T
  - 30000000 kilogr.,
  - ce qui donne la relation
  - 7700 XL = 30000000, T 30000 000
  - d’où
  - 7700
  - = 3896m,
  - si Taire de la section transversale était constante.
  - Ce résultat montre que pour des tiges de sonde qui doivent descendre à de grandes profondeurs, telles que celle du puits de Grenelle, il faut d’abord choisir des fers des meilleures qualilés et augmenter les dimensions de ces tiges vers la partie supérieure, à mesure que la profondeur s’accroît.
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- - 44
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - Résistance tic la fonte à l’extension.
  - 15. Expériences sur la fonte cle fer. — M. E. Hodgkinson a exécuté sur la fonte de fer des expériences analogues aux précédentes, tant pour déterminer sa résistance à l’extension que celle qu’elle oppose à la compression. Nous nous occuperons d’abord des premières.
  - Ces expériences ont été faites sur quatre espèces de fonte, savoir : de Lowmoor n°2, de Blaenavon n° 2, de Gastsherrie et d’un mélange par parties égales de fonte de Leeswood n° 3 et Glengarnock n° 3.
  - Les barres avaient 6c,ci,45 de section et 15ra,25 de longueur totale , formée par l’assemblage de barres de 3m,05 chacune.
  - Le tableau suivant donne les résultats déduits de la moyenne générale des observations faites sur ces quatre espèces de fontes.
  - TABLE DONNANT LES PRINCIPAUX RÉSULTATS DÉDUITS DE LÀ MOYENNE GÉNÉRALE DES OBSERVATIONS FAITES SUR LES QUATRE ESPÈCES DE FONTES DÉSIGNÉES CI-DESSUS.
  - CHARGES PAR CENT. CARRÉ en kilogr. P. ALLONGEMENT PAR MÈTRE DE LONGUEUR COEFFICIENT d’élasticité par mètre carré.
  - total. permanent.
  - kil. m. millim. kil.
  - 73,955 0,000075 » 9 855 670 000
  - 111,005 0,000114 0,00183 9 774 670 000
  - 148,142 0,000155 0,00454 9 563 690 000
  - 220,630 0,000239 0,00891 9 231 000 000
  - 296,206 0,000426 0,01460 9 096 500 000
  - 370,282 0,000416 0,02200 8 892 550 000
  - 444,336 0,000551 0,03100 8 703 850 000
  - 517,436 0,000611 0,04300 8 464 900 000
  - 592,450 0,000715 0,05590 8 281 800 000
  - 666,508 0,000828 0,07030 8 044 070 000
  - 740,555 0,000946 0,08840 7 827 850 000
  - 814,619 0,001068 0,10880 7.624 200 000
  - 886,676 0,001206 0,13390 7 541 170 080
  - 962,787 0,001392 0,17460 6931 110000
  - 1039,621 0,001548 0,20070 6 723 130 000
  - 16. Discussion des résultats de ces expériences. — Pour repré-
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- - EXTENSION.
  - 15
  - senter graphiquement les résultats de ces expériences, on a pris comme précédemment les allongements pour abscisses à l’échelle de 40 millimètres pour 1 millimètre (pl. I, fig. 4 et 5), et les charges pour ordonnées à l’échelle de 20 millimètres pour 1 kilogr. L’on a reconnu qu’entre des limites assez étendues et jusqu’à la charge d’environ 6 kilogr. par millimètre carré, les allongements totaux sont sensiblement proportionnels aux charges, ainsi que les allongements élastiques.
  - Sous des charges plus grandes, les allongements croissent plus rapidement que les charges, mais néanmoins assez lentement.
  - En calculant le rapport des charges par mètre de surface aux allongements par mètre, on trouve que la valeur de ce rapport, qui exprimerait le coefficient d’élasticité, va sans cesse en diminuant depuis la plus faible charge essayée, 0kil,74 par millimètre carré jusqu’à la plus forte, qui a été de 10kil,39.
  - Entre les limites de 0kiI,74 à 5kil,92 correspondant à un allongement de 0ra,0007l5 par mètre ou j—, elle a pour valeur* moyenne,
  - E = 9 096070 000kil
  - en la rapportant au mètre carré et l’allongement au mètre de longueur, mais cette valeur moyenne diffère de ^ environ de la plus forte ou de la plus faible.
  - Il résulte donc de ces expériences que la loi de la proportionnalité des charges aux allongements qu’elles produisent est moins exacte encore pour la fonte que pour le fer forgé.
  - 17. Résultats particuliers sur la résistance de la fonte à la rupture par traction. — JVL E. Hodgkinspn a fait des expériences spéciales (*) pour déterminer la différence de résistance à la rupture par extension que la fonte pouvait présenter selon qu’elle était produite par des hauts fourneaux soufflés à l’air chaud ou à l’air froid ; nous en résumerons les résultats dans le tableau suivant :
  - * IIe et VIe vol. des Rapports de l'Association britannique pour l'avancement de la science, et Recherches expérimentales sur la force de la fonte, par E. Hodgkinson. — 1846.
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- - PREMIÈRE PARTIE.
  - 16
  - ESPECES DE FONTE.
  - cent. q. ,26,07
  - fN° 2, à l’air chaud. 11,12 I 10,99
  - IN0 2, à l’air froid.. ( 4ll,0t Fonte de Carron / 1 jo,51
  - (Écosse). J N° 3, à l’air chaud ‘N° 3, à l’air froid.. Fonte de Itufferie. {f}; ÎÏ££B?; Fonte de Coel-Talon (N° 2, à l’air chaud.
  - ^N° 2, à l’air froid..
  - (Galles).
  - Lowmoor (Yorkshire). Fontes mélangées...,
  - 10,98
  - 10,72
  - 10.47 ♦10,76
  - 24,80
  - 26.48 10,23 10,61
  - 9,90
  - 10,12
  - 9,94
  - Moyenne générale.
  - CHARGE DE RUPTURE
  - par millim' carré.
  - kil.
  - 9,763
  - 9,133
  - 9,578
  - 11,727
  - 11,662
  - 11,835
  - 13,121
  - 9,828
  - 10,317
  - 9,441
  - 12,274
  - 11,441
  - 12,000
  - 13,780
  - 12,720
  - 10,215
  - 11,599
  - moyenne.
  - kil.
  - 9, 49
  - 11,724
  - 12,478
  - 10,145
  - 9,441
  - 12,274
  - 11,720
  - 13,250
  - 10,220
  - 11,600
  - kil.
  - 11,234
  - Ces résultats s’accordent avec, ceux des expériences que MM. Minard et Desormes ont faites en 1815 sur la résistance de la fonte à la rupture par extension, et qui ont donné pour valeur moyenne de la charge par millimètre carré qui produit la rupture lllil,325.
  - On voit de plus que la résistance est, comme le supposent les considérations générales du n° 2, proportionnelle à l’étendue de la section transversale, et que l’influence de l’emploi de l’air chaud ou froid pour la ventilation des fourneaux n’agit pas toujours dans le même sens, môme pour des fontes provenant des mêmes minerais.
  - Ainsi pour les fontes n° 2 de Carron en Écosse, la résistance parait avoir été notablement plus grande quand elles avaient été fabriquées au vent froid, et l’inverse a lieu pour les fontes n° 3 de la même usine.
  - 18. Influence du mode d’action de la traction. —Les circonstances diverses du mode d’action de la force de traction ne sont pas sans influence sur la résistance dqs pièces, à la rupture. En effet, en soumettant à l’expérience des barreaux de
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- - EXTENSION.
  - 47
  - fonte, de manière que la traction lût dans un cas dirigée dans le sens de l’axe de figure de la pièce, et dans l’autre le long de l’une des faces dans la direction de l’une des arêtes, M. E. Hodgkinson a trouvé que pour la fonte essayée la charge de rupture était dans le premier cas de 12kil,043 par millimètre carré, et dans le second de 4kil,124 seulement. Il est donc nécessaire de disposer les armatures par lesquelles les efforts de traction sont transmis, de façon que ces efforts agissent dans le sens de l’axe de figure des solides, quand ils sont de forme symétrique.
  - Résistance des cylindres et des sphères.
  - 19. Résistance des cylindres à la rupture par l’effet d’une pression intérieure. — Lorsqu’un cylindre est soumis intérieurement à une pression qui tend à le faire augmenter de diamètre ou à le faire éclater, et que d’ailleurs il a la même épaisseur dans toute l’étendue d’une même section, faite suivant son axe, il est facile d’établir la relation d’équilibre entre les forces extérieures et les résistances moléculaires. Soient en effet :
  - P la pression par mètre carré qui s’exerce de dedans en dehors à l’intérieur du cylindre;
  - D'le diamètre extérieur ;
  - D" le diamètre intérieur ;
  - Rr la résistance du métal à la rupture, qui tend à se faire ici par extension, rapportée au mètre carré.
  - Il est facile de voir (pl. I, fig. 6) que si l’on calcule la résistance qu’opposera la section résistante formée par un plan quelconque ËM, passant par l’axe du cylindre, on trouvera que sur un élément ab de la surface du cylindre ayant pour largeur lm et par conséquent pour surface a&xlm,q, la pression normale sera
  - or, pour chaque élément ab, il existe, dans la même moitié de la circonférence, un autre élément a'b' égal et situé symétriquement, sur lequel la pression normale sera
  - P Xa'6'X lm,i.
  - Et si l’on décompose les deux pressions normales chacune en
  - 2
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- - 48 PREMIÈRE PARTIE.
  - deux autres, l’une parallèle au plan LM et l’autre perpendiculaire à ce plan, il est évident d’abord que les deux composantes parallèles seront égales, de sens contraire et directement opposées l’une à l’autre, et que, par conséquent, elles se détruiront.
  - Quant aux composantes perpendiculaires au plan LM, elles seront évidemment égales à
  - P X abi X lm et à P X a'b\ X lm,
  - les longueurs ah et a!bl étant égales entre elles et à la projection des arcs égaux ab et a'b' sur le plan LM.
  - Il en serait de même pour tous les éléments de la surface intérieure de la moitié du cylindre située à droite du plan LM , et la somme de toutes les composantes, normales à ce plan, des pressions exercées sur la surface intérieure pour une longueur d’un mètre, sera évidemment égale au produit de la pression par unité de surface et de l’aire du rectangle, dont le diamètre D" serait la hauteur, et dont la longueur ou la base serait égale à lra,00. Cette somme de toutes les pressions élémentaires sera donc égale à
  - PXD"Xlmq.
  - La surface qui résiste à l’arrachement est évidemment égale à (D' — D") X lm,<* = 2. E X
  - 'en appelant E l’épaisseur du métal , et sa résistance à l’arrachement est
  - Rr (D' —D") X lm-q = 2 RrE X lm,q.
  - On a donc, pour l’équilibre entre la force qui tend à produire la rupture et la résistance, la relation
  - P D'' = Rr (D' — D") = 2 RrE.
  - Pour que le tuyau résiste d’une manière permanente, il faut donner à Rrune valeur bien inférieure à celle qui produirait la rupture par extension.
  - 20. Limites des pressions d'épreuve dans ce cas. — On trouvera dans le tableau du n° 54 les valeurs de R, que l’on peut adopter avec sécurité dans les cas ordinaires; mais, lorsque l’épais-
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- - EXTENSION.
  - 19
  - seur est considérable, il faut remarquer que l’effort intérieur est exercé latéralement, et les expériences de M. Hodgkinson, rapportées au n° 18, montrent que dans ce cas la résistance à la rupture est beaucoup moindre que lorsque la traction a lieu dans la direction de l’axe de figure de la section. Ainsi, la résistance à la rupture était réduite à 4kil, 124 par millimètre carré, pour une fonte qui ne se serait rompue que sous un effort de 12kil,043, dirigé selon l’axe de figure de la section. 11 y a, il est vrai, quant aux cylindres, une différence assez notable entre leur mode de résistance et celui d’une pièce tirée latéralement, comme celles que M. Hodgkinson a éprouvées ; mais la prudence doit engager à tenir compte des observations précédentes.
  - Au surplus, la pratique ordinaire est en cela d’accord avec ces considérations, car les constructeurs anglais sont dans l’usage de ne pas pousser la pression intérieure des cylindres pour les presses hydrauliques au delà de 3 tonnes par pouce circulaire, ou 6kil,01 par millimètre carré, ce qui est déjà trop.
  - En France, on va même beaucoup moins loin, et je pense qu’il convient de ne pas dépasser, dans le calcul des proportions à donner à ces cylindres, la valeur R = 4 000 000 kilogr. par mètre carré. Mais on verra plus loin qu’il en résulte des difficultés pour les cylindres des presses d’une grande puissance.
  - 21. Tuijaux de conduite. — Pour les tuyaux de conduite des eaux et du gaz, à l’épaisseur déterminée pour résister à la pression intérieure connue, on ajoute une épaisseur constante qui a pour objet de les mettre à l’abri des accidents et des chocs résultant du transport et de la pose.
  - En appelant E' cette épaisseur additionnelle, la formule précédente devient
  - PD" , nX 10330D' 2Rr ^ ~ 2R
  - en désignant par n le nombre d’atmosphères qui équivaudrait à la pression P par mètre carré que doit supporter le tuyau, soit à l’épreuve, soit -en service.
  - L’expérience a conduit à adopter, pour les conduites d’eau, les proportions suivantes, selon que l’on emploie :
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- - 20
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - E = 0,00086 nD"+0,0030 E = 0,00238 n D"+0,0085 E = 0,00147 n D"+0,0040 E — 0,00242 n D"+0,0050 E = 0,00620 n D"+0,0040 E = 0,03230 nD"+0.0270 E = 0,00363 n D"+0,0300 E =• 0,00538 nD"+0,0400
  - 22. Chaudières à vapeur. — D’après une ordonnance royale, l’épaisseur des chaudières à vapeur en tôle de 1er est réglée par la formule suivante :
  - E=0,0018nD"H- 0m,003,
  - ce qui revient à faire
  - R = 3000000kil.
  - 25. Résistance du fond des cylindres. — En conservant les notations précédentes, il est facile de voir que la pression totale qui tend à arracher le fond d’un cylindre est
  - ' f üü_
  - 1,273'
  - La résistance de la surface annulaire qui s’oppose à l’arrachement est
  - D'2—D"2 ür' 1,273 '
  - On a donc, pour l’équilibre entre cés efforts :
  - PD"2 = Rr(D'2— b'/2).
  - Si l’on compare la résistance que présente la base d’un cylindre à l’arrachement à celle qu’offre sa surface latérale, on voit que la pression capable de produire la rupture est, dans le premier cas,
  - D'2—D"2 D' — D" D' + D"
  - P— Dr.---ipT ----Rr* jy * D" ’
  - et dans le second, n° 19,
  - La première valeur est évidemment plus grande que la se-
  - kil.
  - Le fer............................... R =6 000 000
  - La fonte.......................... R — 2 170 000
  - Le cuivre laminé..................... R — 3 600 000
  - Le plomb........................ R— 213 000
  - Le zinc.............................. R —- 833 000
  - Le bois.............................. R — 160 000
  - Les pierres naturelles............... R —• 1 400 000
  - Les pierres factices................. R = 960 000
- p.20 - vue 31/512
- - EXTENSION.
  - 21
  - D'-j-D"
  - conde, puisque le facteur —^— est plus grand que 2, D' étant
  - toujours supérieur à D".
  - Par conséquent, un cylindre fait d’une seule pièce et d’épaisseur uniforme, présente toujours, s’il est sans défaut, plus de résistance à la rupture par son fond que par sa surface cylindrique. C’est pour cela que les formules ne donnent que l’épaisseur de cette dernière paroi.
  - 24. Cas où le fond d'un cylindre est assemblé avec le corps par des boulons. — Pour les chaudières à vapeur et les réservoirs en fonte ou en fer, le fond est souvent assemblé par des boulons dont les dimensions et le nombre doivent être calculés de manière à résister à la pression intérieure, qui tend à les rompre par traction longitudinale.
  - La formule P. — exprimant la pression totale, si l’on se
  - 1)Z/O
  - donne le diamètre d des boulons à employer, l’aire de la sec-
  - d}
  - tion transversale de chacun d’eux sera , et si l’on admet
  - 1 y 2/ O
  - que le fer puisse être soumis, d’une manière permanente, à un effort de 6000000 kilogr. par mètre carré, chaque boulon devra supporter un effort de traction exprimé par
  - 6000000 273-
  - Le nombre des boulons à employer étant désigné par x, on devra avoir la relation
  - ,p TV'2
  - *X6000000X^ = P.i^3
  - P
  - d’où
  - 6000000
  - Ainsi, par exemple, pour une pression de 6 atmosphères on a
  - P = 61980 kilogr.,
  - ils seront placés à 0m,12 environ d’axe en axe.
- p.21 - vue 32/512
- - 22
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - Si le fond devait être fixé par des rivets, on calculerait de même le nombre de ceux-ci, en se rappelant que, d’après les expériences de M. Fairbairn, dont il sera parlé plus loin, la résistance des rivets dans le sens transversal est à très-peu près la même que leur résistance longitudinale.
  - 2S. Défauts que présentent quelquefois les cylindres coulés. — Lorsque l’on coule des cylindres de presses hydrauliques, des mortiers, etc., quelques fondeurs disposent le moule de façon que le fond du cylindre soit en dessus et le surmontent d’une masselotte considérable pour fournir la quantité de métal rendue nécessaire par le retrait. Il arrive alors quelquefois que les parois du cylindre étant solidifiées quand le fond ne l’est pas encore, celui-ci, en se contractant plus tard, se sépare du corps du cylindre dans les angles rentrants. Ce retrait produit entre le fond et le corps du cylindre une légère solution de continuité qui, bien qu’imperceptible à la vue, n’en est pas moins réelle et détermine la rupture. Les accidents de ce genre sont plus particuliers à la fonte de fer qu’au bronze, et la rupture de l’un des cylindres de presse qui avait été coulé, le fond en dessus, pour l’élévation de l’un des tubes du pont de Britan-nia, ainsi que celle d’un mortier éprouvette en fonte par l’explosion du coton-poudre, en ont montré l’existence.
  - Dans tous les cas, il convient d’arrondir avec soin les angles rentrants intérieurs des cylindres en fonte exposés à de grandes pressions ; et en outre il paraît convenable de couler le cylindre en plaçant le fond en dessous et en donnant à la masselotte une grande hauteur, afin que son refroidissement soit très-lent, et qu’elle puisse longtemps alimenter les vides formés par le retrait. S’il y a quelques défauts à la partie supérieure du cylindre, ils auront généralement des conséquences moins graves que s’ils étaient au fond.
  - 26. Précautions à prendre pour les cylindres de presses hydrauliques. — Puisque nous avons parlé des presses hydrauliques, il n’est pas inutile d’indiquer un autre accident auquel les cylindres en fonte sont sujets par l’effet du retrait du métal.
  - Lorsque les parties de la surface qui forment les parois intérieures et extérieures du cylindre se refroidissent, les premières se solidifient et n’ont plus la faculté de se contracter assez pour suivre l’effet de retrait qu’éprouve le métal de l’intérieur, quand
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- - EXTENSION.
  - 23
  - il se refroidit à son tour. Si de plus, ainsi que cela arrive souvent, l’alimentation du métal par la masselotte n’est pas suffisante, il se forme vers le milieu de l’épaisseur un vide annulaire et parfois presque continu tout autour du cylindre. Mais dans tous les cas, le métal du milieu sera moins dense que celui des surfaces extérieures et très-souvent poreux. C’est un effet qui se produit déjà quand l’épaisseur dépasse 0m,10 à 0m,12, et qui, s’accroissant avec cette dimension, présente aux fondeurs une grande difficulté pour l’exécution des cylindres des grandes presses.
  - Quand on perce le canal par lequel l’eau refoulée par la pompe doit pénétrer dans le cylindre, l’outil traverse cette partie poreuse, et lorsque l’eau fortement pressée est injectée dans le cylindre, elle s’introduit dans l’épaisseur du métal, remplit les vides des pores ou les chambres et peut produire la rupture du cylindre.
  - On peut diminuer les inconvénients de ce défaut de la fonte en insérant dans le canal de passage un tuyau de cuivre rouge, maté à l’intérieur et à l’extérieur du cylindre, et sur lequel se visse le tuyau de refoulement de l’eau.
  - 27. Application des formules à l’une des presses à fourrage de l’Algérie. — Cette difficulté d’obtenir des pièces épaisses de fonte bien pleines et bien saines à l’intérieur a conduit les fondeurs à donner aux cylindres des grandes presses des épaisseurs trop faibles et à chercher à compenser le défaut de dimension par la qualité des mélanges; mais les plus habiles même nous paraissent avoir été trop loin et avoir adopté des dimensions trop faibles. Nous en citerons pour premier exemple les grandes presses à fourrage employées en Algérie et qui ont été construites par MM. Fawcett et Preston de Liverpool.
  - La force maximum de ces presses, calculée d’après la charge de la soupape de sûreté, est de 650 tonnes anglaises ou 650 X 1015kiI,6 = 660140 kilogr. Le piston a 0m,2795 de diamètre ou 0ra-q,06f2 de surface ; par conséquent, la pression par mètre carré à l’intérieur du cylindre peut s’élever à
  - 660140kil
  - 0m,q,06l2
  - 10786601 kilogr.
  - D’une autre part, le diamètre intérieur du cylindre est
- p.23 - vue 34/512
- - 24
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - D" = 0m309, et l’épaisseur est E = = Om, 1515, d’où
  - D' —D" = 0‘“,3030.
  - L’effort moyen de traction capable de produire la rupture de la fonte est généralement estimé à
  - Rr= 12 500 000 kilogr.
  - Par conséquent, la pression de rupture de ces cylindres devait être (n° 19)
  - p__12500000kllx0n\303
  - 0m,309
  - = 12260518 kilogr.
  - L’on voit donc qu’en travaillant habituellement à la force nominale de 650 tonnes, on se rapprochait beaucoup trop de la charge capable de produire la rupture.
  - Aussi est-il arrivé qu’après un certain temps de service, l’une des six presses semblables établies en Algérie a eu son cylindre rompu brusquement de haut en bas et séparé en deux parties, suivant un plan passant par l’axe. Si les autres et celui que l’on • a fait en remplacement ont résisté, c’est que les fondeurs ont apporté le plus grand soin au choix et au mélange des fontes; mais il n’en est pas moins vrai que l’épaisseur n’est pas suffisante, et comme en l’augmentant on risque de voir se produire ou s’aggraver les défauts que nous avons signalés plus haut, l’on peut en conclure que de semblables cylindres pour d’aussi fortes presses doivent être faits en fer forgé, ce qui est possible avec le marteau pilon à vapeur.
  - 28. Application aux grandes presses employées à l’élévation des tubes du pont Britannia. — Si nous faisons la même application à la grande presse qui a servi à élever les tubes du pont Britannia, on voit par les données rapportées dans l’ouvrage de M. E. Clark, qu’elle a soulevé un poids de 1144 tonnes anglaises, ou 1144 X 1015k!1,6= 1 161 500 kilogr.
  - Le diamètre intérieur D" = 0m,56; le piston avait 0m,510 de diamètre et par conséquent 0m*i, 2043 de surface.
  - La pression par mètre carré était donc égale à
  - 1 161 500H1
  - 0^2043 = 5 687 000 kllo?r'
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- - EXTENSION.
  - 25
  - D' — D"
  - L’épaisseur du métal était E =—-—= 0™,153, d’où
  - D'__D"=0m,306; on a donc, pour calculer la pression de
  - rupture, en supposant Rr = 12 500000 kilogr.
  - 12 500 000X0™,306
  - = 6 830400 kilogr.
  - 0™,56
  - On voit que ce cylindre aurait été exposé à une pression bien voisine de celle qui en aurait produit la rupture, s’il n’avait été fait avec un mélange de fontes choisies avec le plus grand soin et composé de fontes
  - DeBlaenavon, n° 3, à l’air froid......
  - De Pentypool, n° 3 , id...............
  - D’anciens canons de Woolwich, probable-
  - 10 tonnes. 3
  - ment faits avec des fontes au bois De Glengarnock, fonte fluide....
  - 4
  - 4
  - 21 tonnes.
  - Dans la composition de ce mélange, l’on s’est attaché à choisir des fontes très-peu carburées, et le cylindre devait très-probablement être d’une fonte truitée analogue à celle que l’on préfère en France pour la fabrication des canons. On verra d’ailleurs plus loin que la résistance de semblables fontes peut s’élever jusqu’à 15 et 18 millions de kilogr. par mètre carré.
  - Malgré ces soins, l’on reconnaîtra cependant qu’un défaut caché aurait pu occasionner un accident d’une telle gravité qu’on ne devrait pas imiter l’exemple que nous venons de citer.
  - 20. Résistance d'une sphère à la rupture. — En raisonnant d’une manière analogue à celle que nous avons suivie au n° 19, pour la résistance des cylindres, il est facile de voir qu’en considérant comme plan possible de rupture un plan méridien quelconque, la somme des composantes des pressions perpendiculaires à ce plan est égale à la pression P par unité de surface, multipliée par la surface du grand cercle intérieur de diamètre D". Cette force totale, qui est l’effort qui tend à produire l’arrachement, sera donc exprimée par
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- - 26 PREMIÈRE PARTIE.
  - Quant à la résistance, elle est celle que présente la section annulaire dont la surface est
  - D'2-D"2 1,273 ’
  - et par conséquent exprimée par
  - Rr.
  - D'2 _ d,/2 1,273 *
  - Donc, pour l’égalité entre les deux forces, on doit avoir la relation
  - P. D,/2 — Rr(D'2—D'O,
  - d’où l’on tire
  - P = Rr.
  - D'2—D"2 D"2 ‘
  - Celte expression, identique à celle que l’on a trouvée pour un cylindre de même diamètre que la sphère, montre que la sphère creuse offre la même résistance que le cylindre creux de même diamètre.
  - 50. Application aux projectiles creux. — Les projectiles creux employés par l’artillerie contiennent une charge de poudre à laquelle le feu est communiqué par une fusée qui s’allume au moment du départ et qui produit leur éclatement.
  - Si nous prenons pour exemple une bombe de 0m,32 de diamètre extérieur, pour laquelle on a D' = 0m,32, D" = om,23, coulée.en fonte fine assez dure, en admettant que le coefficient de rupture soit
  - Rr= 13500000 kilogr.,
  - on trouve, pour la pression développée par le gaz au moment de l’explosion,
  - P = 13500000.5^5^=4^=12681900 kilogr.
  - 0,232 °
  - par mètre carré, ou
  - 12681 900 10330
  - 1228atm.
  - 51. Observations sur l'énergie des efforts de dilatation. — On
  - zzmjL -'fs
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- - EXTENSION.
  - 27
  - sait que, si l’on remplit d’eau une semblable sphère et qu’on en ferme solidement l’œil par une vis, puis qu’on la laisse exposée à la gelée, l’eau, dont le volume augmente en se solidifiant, détermine la rupture de la bombe, ce qui montre qu’elle exerce par sa force de dilatation un effort qui s’élève au moins à une pression de 1228 atmosphères.
  - Résistance des tôles et de leurs assemblages.
  - 52. Résistance de la tôle à l’extension. — M. Ed. Clark rapporte des expériences faites sur la résistance de la tôle à l’extension, soit dans le sens du laminage, soit dans le sens perpendiculaire. Les échantillons employés avaient la forme indiquée par la figure 7 (pl. I), et le corps rétréci de la pièce a toujours eu une section d’un pouce carré ou 6c r>,45, bien que l’épaisseur et la largeur aient varié dans des limites étendues, de 12min,7 à 17miu,5 pour l’épaisseur, et de 35 à 177 millimètres pour la largeur.
  - EXPÉRIENCES SUR LA RÉSISTANCE DES TOLES POUR CHAUDIÈRES A LA RUPTURE PAR EXTENSION.
  - Charge de rupture
  - Nature du fer. par millimètre carré
  - en kilogrammes.
  - 1. Tôle de l7mill,5 d’épaisseur sur 35mill,2 de largeur au collet, kil.
  - choisie comme mauvais fer, à cassure brillante et cristalline, se rompant brusquement par un coup de marteau............... 34,64
  - 2. Même fer............................................................ 33,07
  - 3. Tôle de 12raill,7 d’épaisseur sur 15m‘",2 de largeur au collet,
  - choisie comme mauvais fer, contenant deux feuilles de fer cristallin formant y de l’épaisseur......................... 28,34
  - 4. Tôle de 12miU,7 sur 127miU, de largeur au collet, choisie
  - comme bon fer, présentant un aspect cristallin sur de son épaisseur................................................. 29,92
  - 5. Tôle de 12mill,7 sur 108mi" de largeur au collet. Fer parfaite-
  - ment homogène et fibreux. Il a supporté la charge pendant 15 minutes.................................................. 33,07
  - 6. Tôle de 17miU,5 d’épaisseur sur 127miU de largeur. Bon fer;
  - de la section cristallisé...................................... 29,92
  - 7. Tôle de 12miI1,7 d’épaisseur sur 127mi11 de largeur; fer fibreux
  - excepté sur ^ de la section...................................... 28,34
  - Tôle de 12mi",7 d’épaisseur sur I27min de largeur................ 30,86
  - Tôle de 15n,ill,9 d’épaisseur sur 127™i11 de largeur............... 30,39
  - Tôle de I2mlll,7 d’épaisseur sur 177“m de largeur................ 30,86
  - Tôle de 12mill,7 d’épaisseur sur 177min de largeur ............... 31,81
  - Tôle de 12mill,7 d’épaisseur sur 127mi" de largeur................ 29,45 ,
  - Moyenne générale........ .... 30,89
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- - PREMIÈRE PARTIE.
  - 28
  - Il est remarquable que la résistance à la rupture ait été sensiblement constante, quoique ces tôles provinssent de différentes forges du Staffordshire, du Derbyshire et du Shropshire.
  - L’allongement extrême, correspondant à la rupture, a été au contraire très-irrégulier, et quelques-uns des fers brillants, cristallins, choisis comme de mauvaise qualité, qui se rompaient sans éprouver de grands allongements, ont en réalité supporté des charges plus grandes que les fers les plus fibreux et les plus ductiles. La même chose a été remarquée par d’autres observateurs sur les fers en barres, ainsi que nous l’avons indiqué précédemment.
  - Le meilleur fer de rognures fabriqué par MM. Marc à leur usine de Londres, dont la qualité est exceptionnellement bonne, et la fracture belle et fibreuse, se rompt sous une tension moyenne de 24 tonnes par pouce carré, ou de 37kil,78 par millimètre carré, la longueur de la barre étant alors accrue d’un huitième de sa grandeur primitive. Cette observation a aussi été faite depuis longtemps àGuérigny, dans la fabrication des fers doux destinés aux câbles de la marine, qui s’allongent quelquefois de plus d’un cinquième de leur longueur avant de se rompre.
  - 55. Comparaison de la résistance des tôles dans le sens du laminage ou dans le sens transversal. — Dans tous les exemples précédents, la tension était exercée dans le'«ens des fibres. Pour reconnaître si celte circonstance avait de l’influence, on a pris dans deux plaques deux échantillons de la même forme que les précédents. Un échantillon de chaque paire était tiré dans le sens des fibres, l’autre dans le sens perpendiculaire. Ils étaient pour le reste complètement semblables.
  - Résistance des tôles à la rupture par
  - traction, par millim. carré. jr» Expérience. 2e Expérience.
  - Dans le sens des fibres.................. 30kil,96 31kil 81
  - Dans le sens perpendiculaire aux fibres.. 26 ,66 30 ,30
  - Ainsi, la résistance dans le sens dés fibres étant en moyenne de 31kiI,38 par millimètre carré, celle que le fer présente dans le sens transversal au laminage, ne serait que de 28kil,48 ; différence, 10 pour 100 en faveur de la résistance dans le sens de la direction des fibres.
  - 34. Expériences de M. Fairbairn. — Ce célèbre ingénieur de
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- - EXTENSION.
  - 29
  - Manchester a fait aussi, sur la résistance de la tôle, des expériences analogues aux précédentes, qui l’ont conduit à conclure qu’il n’y a pas de différence sensible dans la résistance des tôles à la traction dans le sens des fibres ou dans le sens perpendiculaire.
  - Ces expériences ont été faites sur quatre espèces de tôles de provenances différentes, mais tirées de forges renommées par la qualité de leurs produits. L’épaisseur de ces tôles, qui était de 6 à 8 millimètres, montre d’ailleurs qu’elles étaient corroyées.
  - Les résultats des expériences sont résumés dans le tableau suivant.
  - CHARGE DE RUPTURE
  - ORIGINE DES TOLES. dans le sens des libres par millimètre carré. perpendiculairement aux libres par millimètre carré.
  - kil. kil.
  - Yorkshire, Lowmoor 40,58 43,29
  - id. id. 35,84 41,01
  - Derbyshire 34,14 27,37
  - Shropshire 30,95 31,49
  - Staffordshire 30,80 33,08
  - Moyenne 34,46 35,25
  - Les différences des résultats partiels, sont tantôt dans un sens, tantôt dans l’autre, et les moyennes générales, diffèrent assez peu pour que l’on puisse conclure, avec M. Fairbairn, qu’il n’y a pas de différence sensible entre la résistance des tôles dans le sens des fibres et dans le sens perpendiculaire.
  - 55. Observation relative aux résultats obtenus en France. — Des expériences faites en France, il y a déjà près de trente ans, par M. le colonel d’artillerie Fabert, avaient porté à conclure que la tôle offrait moins de résistance dans le sens perpendiculaire que dans le sens parallèle au laminage. Mais il faut remarquer qu’à cette époque les fers français, et ceux que l’on a essayés en particulier, étaient fabriqués au charbon de bois et au marteau, tandis qu’aujourd’hui toutes les tôles fortes sont fabriquées avec des fers qui ont été corroyés, laminés à diverses reprises, et même dans des sens différents.
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- - 30
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - 56. Résistance des rivets et des boulons à nn effort transversal.— Les rivets qui réunissent les plaques de tôle, les rivets d’assemblage des chaînes plates, ceux des poulies, des palans, etc., sont exposés à être rompus par glissement ou par cisaillement transversal des fibres.
  - Dans les palans et dans les chaînes articulées, le nombre des lieux de rupture dépend de celui des plaques assemblées. Ainsi deux plaques n’en offriront qu’un, trois plaques deux, quatre plaques trois, et en général n plaques présenteront n — 1 points de cisaillement (pl. I, fig. 8, 9, 10, 11 ).
  - En admettant que le boulon ou rivet soit bien ajusté dans son logement, l’expérience conduit aux conclusions suivantes :
  - 1° La résistance à l’arrachement par glissement ou par cisaillement transversal est proportionnelle à Faire de la section transversale du boulon.
  - 2° Cette résistance est à peu près la même que celle d’une barre de même section que le boulon, exposée à la traction longitudinale.
  - C’est en effet ce que montre le tableau suivant qui donne à peu près la même charge pour le cisaillement que pour la rupture par traction.
  - EXPÉRIENCES SUR LE CISAILLEMENT DES BARRES EN FER ROND POUR RIVETS.
  - Résistance par millim« carré de section.
  - Diamètre du fer, 22mill,3
  - kil.
  - lrc barre..............
  - Même barre.............
  - Moyenne de quatre barres Moyenne de six barres ...
  - 41,09
  - 37,62
  - 41,09
  - 40,77
  - A simple portée:
  - 40,15
  - Moyenne
  - kil.
  - 36,05
  - 34,03
  - 34,03
  - 34,03
  - 34,03
  - Diamètre du fer, 21mill,4.
  - 35,42
  - 35,42
  - A deux portées : f 1 batte t 2e barre
  - Moyenne
  - 34,72
  - La moyenne de ces résultats donne 36kil,69 par millimètre
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- - EXTENSION.
  - 31
  - carré pour la charge capable de couper un rivet, un boulon, une cheville de fer. La résistance du fer à la rupture par extension ayant été trouvée de 36 kilogr. à 40 kilogr. par millimètre carré, l’on voit qu’il y a peu de différence entre ces deux résistances.
  - D’où l’on a conclu que pour proportionner les rivets ou les boulons à la force des tôles qu’ils doivent unir, il faut que la somme des sections des rivets d’un joint soit égale à l’aire de la tôle conservée entre les trous. Mais cette règle fait abstraction du frottement que produit la rivure, et qui augmente considérablement la résistance, de l’assemblage.
  - 57. Expériences de M. Fairbairn. — Ce célèbre ingénieur, à qui la marine anglaise doit la construction des premiers bâtiments en tôle de fer de grandes dimensions qui aient été faits pour le service de mer, s’était occupé, dès l’année 1838, de recherches comparatives sur la force des tôles et des boulons employés à en réunir les feuilles.
  - Il a successivement soumis à l’expérience des rivures simples formées par le recouvrement des feuilles à réunir avec un seul rang de rivets, des rivures doubles à deux rangs de rivets disposés en quinconce, et des rivures dans lesquelles les feuilles à réunir étaient rapprochées bout à bout sans se recouvrir, et assemblées au moyen de rivets par des plaqaes de recouvrement simples ou doubles, fixées soit par un, soit par deux rangs de rivets (pl. I, fig. 12, 13, 14 et 15).
  - L’usage des plaques de recouvrement qui forment saillie à l’extérieur n’est pas admissible dans tous les cas où cette saillie gênerait, et en particulier pour les bateaux à vapeur, parce qu’elle augmenterait la résistance qu’ils éprouvent de la part de l’eau; mais lorsqu’il n’y a pas d’inconvénient, l’emploi de semblables plaques, surtout quand elles sont doubles, a l’avantage d’éviter la courbure des feuilles qui se produit avec les rivures simples.
  - Le défaut que présentent, en effet, ces rivures simples, consiste principalement en ce que les feuilles réunies n’étant pas dans le prolongement l’une de l’autre, elles tendent à s’y mettre par l’effet de la traction, et alors les feuilles elles-mêmes ou les plaques de recouvrement se courbent, la traction sur les rivets devient oblique et les têtes s’arrachent.
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- - 32 PREMIÈRE PARTIE.
  - Les rivures doubles ou à deux rangées s’opposent à cette flexion, et par suite les joints sont beaucoup plus solides.
  - L’expérience montre que ces joints présentent la même solidité par unité de section que les feuilles elles-mêmes.
  - Les résultats des expériences de M. Fairbairn sont résumés dans le tableau suivant :
  - RÉSISTANCE DES TÔLES par millimètre carré de section. RÉSISTANCE DES JOINTS SIMPLES, à un rang de rivets, par millimètre carré de section. RÉSISTANCE DES JOINTS DOUBLES, à deux rangs de rivets, par millimètre carré de section!
  - kil. kil. kil.
  - 40,65 32,90 37,65
  - 41,33 26,33 33,53
  - 49,99 29,73 41,92
  - 35,83 31,29 39,36
  - 35,93 28,94 38,75
  - 35,63 31,16 38,75
  - 30,78 34,63 27,34
  - 38,09 29,67 38,38
  - Ce qui montre que les joints faits avec des rivets disposés sur deux rangs présentent autant de résistance qu’une feuille de tôle de même surface que la section faite par les centres des trous.
  - 58. Observations sur Veffet du percement des tôles. — Mais il ne faut pas perdre de vue que le percement affaiblit les tôles de toute la quantité de métal enlevée ; or, l’expérience ayant montré que les rivets sont aussi forts que la tôle qu’ils traversent, il s’ensuit que pour les joints à simple mure, il faut, si l’on néglige l’influence du frottement, percer les tôles en laissant autant de plein que de vide, de sorte que si le nombre des rivets est n, le nombre des intervalles restants de la tôle sera n-J-1 ; et si le diamètre des boulons est désigné par d, la largeur totale des sections résistantes sera (n-f l)d, tandis que la largeur de la feuille sera (2n +1 )d.
  - Le métal est donc, par la rivure, affaibli dans le rapport de {n-\-\)d n-\-1 „ , 1
  - Ç2n -j— 1 )d 2n -J— 1
  - 0,50
  - 2(2w-|- 1)’
  - ce qui, en général,
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- - EXTENSION.
  - 33
  - différera peu de 0,50, surtout pour les longs joints. Ainsi, les rivures simples réduisent la résistance des tôles assemblées à la moitié environ de celle des feuilles elles-mêmes.
  - Pour les joints à double rivure, en supposant qu’on n’emploie que le même nombre de rivets, en se bornant à en reporter un sur deux d’un rang à l’autre, on voit facilement que le nombre des rivets restant égal à n est impair, le rang inférieur
  - qui en conserve le plus en aura ^ ^ +1, et que la largeur totale du métal conservée sera
  - <{2»+1-(îi^]=Ëir <*•
  - Le métal ne sera donc affaibli par le percement que dans le rapport de
  - 3« + l _ 0,50
  - 2(2w-j-l)“u,/° (4»-}-2)»
  - ou environ 0,75 pour les longs joints.
  - 59. Influence du frottement. — Lorsque les rivures sont bien faites, le retrait du rivet sur lui-même produit une pression et par suite un frottement considérable, qui en général s’ajoute à la résistance du rivet, parce qu’alors les trous sont exactement remplis. Quelques expériences, citées par M. E. Clark, tendraient à faire estimer le frottement produit par un seul rivet de 21 à 22 millimètres à 5000 ou 6000 kilogrammes; ce qui l’a conduit à conclure que les solides formés avec des tôles ainsi assemblées étaient aussi forts que s’ils étaient d’une seule pièce.
  - Cette conclusion semble exagérée, mais comme en réalité les charges que l’on fait supporter, d’une manière permanente, aux solides, ne sont qu’une fraction égale* à { et très-souvent à ^ de celle qui produirait la rupture des tôles, et, par conséquent, à|ou| de celles qui amèneraient l’arrachement des joints à simple rivure, on voit que dans les limites des charges que nous admettons, on peut, quant aux flexions, considérer les solides ainsi formés comme étant d’une seule pièce.
  - Mais ces observations doivent engager les constructeurs à diminuer la valeur du coefficient pratique R à appliquer au calcul de ces solides en tôle, ainsi qu’on le verra plus loin.
  - Enfin, nous ajouterons que si les rivets sont longs, il faut avoir soin d’en refroidir le corps en les mettant en place, pour que le
  - 3
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- - 34
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - retrait et la tension qui en résultent ne soient pas trop considérables, ce qui amènerait l’arrachement de la tète ou de la rivure.
  - 40. Expériences de MM. Gouin et Cie.—MM. Gouin et G!e, chargés de la reconstruction du pont de Clichy, ont fait récemment quelques expériences pour vérifier les résistances données par les auteurs anglais pour les rivets. Les résultats de ces expériences sont consignés dans les comptes rendus des travaux de la Société des ingénieurs civils, séance du 18 juin 1852.
  - Voici comment on a opéré :
  - On a fait tourner de petites tringles en fer corroyé, dit ex-tra-martelé de Grenelle, à des diamètres de 8,10,12 et 16 millimètres. Ces tringles étaient insérées en guise de goupilles dans deux pièces en acier trempé, l’une d’elles plate et recouverte par les deux branches de la fourchette par laquelle l’autre se trouvait terminée à son extrémité; le trou destiné à recevoir la tringle était parfaitement alésé, et, au moyen de poids convenablement placés, on tirait les deux pièces en sens contraires, jusqu’au complet cisaillement des petites tringles. Les poids, suspendus au moment de la rupture, ont été divisés par le nombre de centimètres compris dans les deux surfaces de séparation, et l’on a trouvé les résultats suivants :
  - Diamètres des broches.
  - 10
  - 12
  - 16
  - Poids produisant la rupture par cent, carré.
  - 3270kil, moyenne de 10 expériences. 3155 » 10 »
  - 3148 >> 10 »
  - 3183 » 10 »
  - Le même fer, tiré longitudinalement, ne se rompait que sous une charge de 4000 kilogr. par centimètre carré.
  - Des expériences exécutées avec le même appareil, en introduisant les broches chaudes et en les rivant sur les deux faces extérieures de la fourchette, ont donné, à la place du chiffre de 3183 kilogr. indiqué dans le tableau, celui de 3255 kilogr., dont la différence avec le premier donne en quelque sorte la mesure du surcroît de résistance obtenu par le rapprochement des surfaces.
  - 41. Expériences de M. Fairbairn sur la résistance des boulons et rivets qui réunissent les plaques des boites à feu dans les chaudières de locomotives. — M. Fairbairn vient aussi de publier des
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- - EXTENSION.
  - 35
  - expériences qui permettent de comparer les différents modes d’assemblage des plaques avec lesquelles on forme ces boîtes h feu.
  - Pour y parvenir, il a formé des boîtes carrées de 0m,56 de côté et de 0ra,076 d’épaisseur, dont l’un des fonds était en tôle de fer de I2mill,7 d’épaisseur, et l’autre en tôle de cuivre de 9miU,5 d’épaisseur. Ces fonds étaient réunis dans l’une des boîtes par 9 boulons espacés de 5po aDS = 0m,127, et dans l’autre par 16 boulons espacés de 4po-ans = 0m,102. Dans les deux boîtes, les boulons étaient simplement vissés dans les plaques.
  - Si l’on considère les boulons qui se trouvaient dans l’une et l’autre disposition au sommet commun de quatre carrés, il est facile devoir que ces boulons devaient résister à la pression totale exercée sur chacun des carrés, et que par conséquent leur fatigue croissait comme le carré de leur écartement. Ils doivent donc être proportionnés en conséquence.
  - Les expériences ont montré que ces boîtes cédaient par l’arrachement des boulons dans les écrous, et que par conséquent ce mode de liaison n’était pas suffisamment solide.
  - M. Fairbairn s’est alors occupé de le consolider, et a déterminé la résistance comparative des boulons en fer ou en cuivre simplement .vissés, et des boulons vissés et rivés soit dans des plaques de cuivre, soit dans des plaques de tôle de fer.
  - Les résultats de ces expériences sont résumés dans le tableau suivant.
  - NATURE RÉSISTANCE RAPPORT
  - par MODE MODE
  - des
  - des boulons. de la tôle. millimètre carré. résistances. d’assemblage. de rupture.
  - Fer. Fer. kil.
  - 43,67 1 à-1 Vissés et rivés Le boulon a été rompu au milieu, sa tête et sa plaque restant in-
  - Fer. Cuivre. tactes.
  - 29,60 1 à 0.648 Vissés. Les filets de la tôle de
  - cuivre ont été arra-
  - Fer. Cuivre. 37,15 1 à 0.856 Vissés et rivés chés. • La tête du rivet a été
  - Fer. Cuivre. forcée et le boulon arraché à travers la tôle de cuivre.
  - 25,29 1 à 0.576 Vissés et rivés Le boulon a été rompu.
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- - 36
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - Ces chiffres montrent la supériorité des tôles et des boulons enfer vissés et rivés, et indiquent que quand on sera obligé d’employer des tôles de cuivre, il conviendra de se servir de boulons en fer vissés et rivés.
  - Résistance du bois à l’extension.
  - 42. Expériences de M. Rondelet sur la résistance des bois à la rupture par extension. — M. Rondelet a fait sur des tringles de bois de chêne, d’une densité de 861 kilogr. au mètre cube, de différentes longueurs et dimensions, des expériences pour déterminer la résistance à la rupture par extension. Les résultats de ces expériences peuvent se résumer ainsi qu’il suit :
  - LONGUEUR COTÉ RÉSISTANCE
  - des de la A LA RUPTURE.
  - ÉCHANTILLONS. SECTION CARRÉE. par centimètre carré.
  - ni. cent. kil.
  - 0,027 0,226 984.2
  - 0,054 971,3
  - 0,217 0,451 961,8
  - 0,325 i 973,8
  - 0,217 979,7
  - 0,305 0,677 981,0
  - 0,487 982,0
  - Moyenne générale 976,3
  - Il résulte de ces expériences, dans lesquelles les aires des sections ont varié dans le rapport de 1 à 9, et les longueurs dans celui de 1 à 18 :
  - 1° Que la résistance du chêne à la rupture par extension est proportionnelle à la section transversale des pièces;
  - 2° Que cette résistance est indépendante de la longueur des pièces, quand celle-ci est assez faible pour que le poids propre du solide ne doive pas entrer en ligne de compte;
  - 3° Qu’elle est moyennement de 976lil,2 par centimètre carré de section ou de 9kil.762 par millimètre carré.
  - On remarquera que ces expériences n’ont été faites que sur la résistance à la rupture par extension, et que l’on n’a pas mesuré les allongements produits par diverses charges ; aussi
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- - EXTENSION.
  - 37
  - ne les citons-nous que faute d’expériences spéciales sur la résistance du bois à l’allongement par traction longitudinale.
  - 45. Expériences de MM. Chevandier et Wertheim.— Nous classerons à part les résultats des expériences récentes de MM, Chevandier et Wertheim sur la résistance du bois. De ce travail important les auteurs ont tiré les conclusions principales suivantes :
  - l° La densité des bois paraît varier fort peu avec l’âge ;
  - 2° Le coefficient d’élasticité diminue au contraire au delà d’un certain âge, il dépend aussi de la sécheresse et de l’exposition du terrain dans lequel les arbres ont poussé ; ainsi les bois venus aux expositions nord, nord-est, nord-ouest, et dans les terrains secs, ont toujours un coefficient élevé et d’autant plus fort que ces deux conditions se trouvent réunies, tandis que les arbres venus dans les terrains fangeux présentent les coefficients les plus faibles ;
  - 3° L’âge et l’exposition influent sur la cohésion;
  - 4° Les coefficients d’élasticité des hêtres venus dans le grès vosgien sont tous plus forts pour des arbres comparables, que ceux des hêtres venus dans les grès bigarrés et dans le mus-chelkalk ;
  - 5° Les arbres coupés en pleine sève et ceux coupés avant la sève n’ont pas présenté de différences sensibles sous le rapport de l’élasticité;
  - 6° L’épaisseur des couches ligneuses des bois ne paraît avoir d’influence sur la valeur du coefficient d’élasticité que pour le sapin, qui a fourni des valeurs d’autant plus grandes que les couches étaient plus minces;
  - 7° Dans les bois il n’y a pas, à proprement parler, de limite d’élasticité, et il se produit toujours un allongement permanent en même temps qu’un allongement élastique.
  - Il résulterait de cette circonstance que la limite d’élasticité n’existerait pas pour les bois expérimentés par MM. Chevandier et Wertheim, mais pour se conformer aux idées admises jusqu’à ce jour, et rattacher les résultats de leurs expériences à ceux de leurs prédécesseurs, les auteurs ont donné pour la valeur de la limite d’élasticité la charge sous laquelle il se produit déjà un allongement permanent très-faible ; la limite qu’ils indiquent
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- - 38
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - dans le tableau suivant pour la charge sous laquelle l’élasticité du bois commence à s’altérer correspond à un allongement permanent de Om,00005 par mètre.
  - LIMITE D’ÉLASTICITÉ OU CHARGE PAR MILLIMÈTRE CARRÉ DE SECTION TRANSVERSALE SOUS LAQUELLE L’ÉLASTICITÉ DU BOIS COMMENCE A S’ALTERER D’UNE MANIÈRE SENSIBLE D’APRÈS MM. CHEVANDIER ET WERTHEIM.
  - ESSENCE DES BOIS. BOIS VERTS. BOIS DE dans un local clos. SSËCHÉS à l’air et au soleil.
  - Acacia kilogr. ' » kilogr. 3,175 kilogr. 3,188
  - Sapin » 1,597 2,153
  - Charme 1,282 0,761
  - Bouleau » 1,617
  - Hêtre » 2,018 2,317.
  - Chêne à glands sessiles » * 1,936 2,349
  - Pin silvestre » 1,391 1,633
  - Orme 0,987 )i 1,842
  - Sycomore 1,647 » 2,303
  - Frêne . 1,726 » 2,029
  - Aune tremble 1,449 V 1.809
  - Tremble. 2,302 » 3,082
  - Érable » » 2,715 1,484
  - Peuplier » 1,200
  - On voit par ce tableau que cette limite s’élève avec la dessiccation, et que les bois très-humides prennent plus facilement que les bois secs des allongements permanents.
  - Dans les bois fortement desséchés à l’étuve, la limite d’élasticité coïncide presque avec la charge qui détermine la rupture, c’est-à-dire que ces bois ne peuvent presque pas prendre d’allongement permanent; on voit aussi que celte dessiccation artificielle et accélérée des bois augmente beaucoup leur résistance à la flexion.
  - Le tableau suivant contient les résultats moyens des expériences de MM. Chevandier et Wertheim.
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- - EXTENSION,
  - 39
  - ESPÈCES. DENSITÉ COEFFICIENT D’ÉLASTICITÉ E rapporté au millimètre carré. 1,IMITE d’élasticité ou charge par millimètre carré, correspondant à cette limite. COHÉSION OU CHARGE par milllimètre carré capable de produire la rupture.
  - Acacia 0,717 kilogr. 1261,9 kilogr. 3,188 kilogr. 7,93
  - Sapin 0,493 1113,2 2,153 4,18
  - Charme 0,756 1085,3 1,282 2,99
  - Bouleau 0,812 997,2 1,617 4,30
  - Hêtre 0,823 0,808 980,4 2,317 3,57
  - Chêne à glands pédonculés 977.8 » 6,49
  - Chêne à glands sessiles 0,872 921,8 2,349 5,66
  - Pin silvestre 0,559 564,1 1,633 2,48
  - Orme * 0,723 1165,3 1,842 6,99
  - Sycomore 0,692 1163,8 1,139 6,16
  - Frêne.. 0,697 1121,4 1,246 6,78
  - Aune 0,601 1108,1 1075,9 1,121 4,54
  - Tremble 0,602 1,035 7,20
  - Érable 0,674 1021,4 1,068 3,58
  - Peuplier 0,477 517,2 1,007 1,97
  - Les mêmes observateurs ont aussi déterminé le coefficient d’élasticité et la cohésion des bois, dans le sens du rayon et dans le sens de la tangente aux couches ligneuses.
  - L’examen du tableau suivant, dans lequel sont consignés les chiffres comparatifs des expériences, montre que la résistance dans le sens du rayon est toujours plus grande que la résistance dans le sens de la tangente aux couches ligneuses; le rapport entre les coefficients d’élasticité dans les deux cas varie en moyenne de 3 à 1,15; pour le chêne et le sapin, qui sont les bois usuels, ces rapports sont respectivement 1,46 et 2,76. Ce n’est que pour le pin silvestre qu’il est plus considérable, et, en général, la différence est surtout sensible pour les bois résineux à couches ligneuses très-marquées.
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- - 40
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - RÉSULTATS MOYENS DES EXPÉRIENCES DE MM. CIIEVANDIER ET WERTHE1M.
  - ESPÈCES. DANS L DU IW Cofficient d'élasticité E par millimètre carré. E SENS tYON. Cohésion ou charge par millimètre carré capable de proiiuire la rupture. DANS L DE LA TANGENT Coefficient d’élasticité E par milimètre carré. E SENS E AUX COUCHES. Cohésion ou charge par millimètre carré capable de produire la rupture.
  - Charme kilogr. kilogr. kilogr. kilogr.
  - 208,4 1,007 103,4 0,608
  - Tremble 107.6 0,171 43,7 0,414
  - Aune 93,3 0,329 59,4 0,175
  - Sycomore 134,9 0,522 80,5 0,610
  - Érable 157,1 0,716 72,7 0,371 0,406
  - ( .hène 188,3 0,582 129,8
  - Rouleau 81,1 0,823 155,2 1,063
  - Hêtre 269,7 0,885 159,3 0,752
  - Frêne 111.3 0,218 102,0 0,408
  - Orme 122,6 0,345 63,4 0,366
  - Peuplier 73,3 0,146 38,9 0,214
  - Sapin 94,5 0,220 34,1 28,6 0,297
  - Pin silvestre 97,7 0,256 0,196
  - Acacia 170,3 D 152,2 1,231
  - Résistance des câbles.
  - 44. Proportion comparative des câbles en chanvre goudronné et des câbles-chaînes en usage dans la marine anglaise.— Le tableau suivant, extrait de l’ouvrage deM. P. Barlow, contient sur les câbles en chanvre et en fer forge, tels qu’ils sont employés en Angleterre, diverses indications, parmi lesquelles on trouvera les dimensions comparatives de ces deux genres de câbles appliqués aux bâtiments de même rang.
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- - EXTENSION.
  - 41
  - RANG
  - des
  - batiments.
  - I grand. 1" rang moyen (petit..
  - 2' rang 3° rang
  - 4° rang
  - 5e rang
  - 6' rang Sloop.. Brick..
  - (grand.
  - [ petit..
  - (de CO can de 58 can (de 50 can (de 48 can de 46 can (de 42 can de25 can.
  - grand.
  - petit,.
  - CABLES EN CHANVRE de i83m,000 de longueur, de ire qualité. <Z5 O E ^ gs O 03
  - circonfé- \ rence. i diamètre j ’o Oh w Z s o «
  - m. - 0,635 m. 0,202 kil. 3240 G07
  - 0,G10 0.104 2988 56G
  - 0,594 0,189 2736 525 525
  - 0,594 0,189 27 3G
  - 0,594 0,189 2736' 525
  - 0,560 0,178 2520 457
  - 0.532 0,169 2208 416
  - 0,483 0,154 1872 344
  - 0,470 0,149 1764 334
  - 0,458 0,146 1656 347
  - 0,445 0,142 1584 284
  - 0,368 0,117 1080 202
  - 0,343 0,109 936 172
  - 0,343 0,109 936 172
  - 0,280 0,0G9 612 166
  - O «3
  - 3‘§ «
  - 11G000 90500
  - 64000 40000 3,72
  - D — 0n,,053
  - moku-
  - ID = 0,0508 j 967kil-, D = 0.0465 | 887kil *
  - D = 0,0444 } 774kiK
  - |D = 0,0348 I 467 k“'
  - \D = 0,0318 i 413kil-I D — 0,0285 ( 317 “•
  - kil.
  - 82000
  - 73000
  - 64000
  - 5G000
  - 34500
  - 28400
  - 23300
  - moyen. 3,89
  - Il semblerait, d’après ce tableau, que la résistance moyenne à la rupture des câbles en chanvre, goudronnés, employés par la marine anglaise, serait de 3UI,89 par millimètre carré, valeur inférieure à celle qui est admise dans la marine française.
  - La règle commune, en France, est de calculer la force des cordages goudronnés par la formule
  - 35 C2,
  - C étant la circonférence exprimée en centimètres. Ce qui revient à 345 D2, D étant le diamètre en centimètres, ou 3,45D2 en exprimant D en millimètres.
  - La surface étant égale à
  - D2
  - 1,273’
  - cette règle revient à
  - 3,45xi,273 = 4kü,39 par millimètre carré de section.
  - Les résultats des expériences faites en France sur les cordages
- p.41 - vue 52/512
- - 42 PREMIÈRE PARTIE.
  - goudronnés employés dans la marine sont représentés plus exactement par la formule
  - (45 — 0,25C)G2,
  - C étant exprimé en centimètres.
  - 45. Force des câbles en fer. — Des expériences directes faites par le capitaine Brown ont donné pour la force des anneaux de fer à câbles, du diamètre de 0m,0381, la tension de 77000 kilog. L’aire de section étant
  - 38 i
  - 2 X j-^3 = 2*280 mi 11. carrés, la résistance par millimètre carré de section est de
  - 77000
  - 2280
  - 33kii,89.
  - L’essai comparatif de la résistance du fer employé a donné pour ce fer 40 kilogr. par millimètre carré. Ainsi la force du fer transformé en chaîne est réduite dans le rapport de 40 à 34 kilogr.
  - Mais les câbles essayés n’avaient pas d’étançons en fonte au milieu comme on le pratique ordinairement, et par l’addition de ces étais qui s’opposent à rallongement des anneaux, en même temps qu’ils empêchent la chaîne de se nouer, on a obtenu pour les chaînes a peu près la même résistance que pour une barre de fer de même section que les deux côtés réunis de l’anneau.
  - Il n’est pas inutile de dire que les expériences dont on vient de citer les résultats ont été faites à la presse hydraulique, et que les tensions indiquées ayant été déduites de l’observation de la charge des soupapes ou de celle d’un tube manométrique, elles peuvent avoir été estimées un peu haut.
  - 46. Proportions adoptées en France pour les cordages en chanvre et les chaînes en fer. — La force d’épreuve des câbles-chaînes en fer pour le service de la marine est de 17 kilogr. par millimètre carré de la double section du fer pour les chaînes à étais
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- - EXTENSION.
  - 43
  - de 16 millimètres de diamètre et au-dessus, et de 14 kilogr. par millimètre carre pour les chaînes en fer de moins de 16 millimètres de diamètre auxquelles on ne donne pas
  - d’étais.
  - Cette force d’épreuve, exprimée en fraction du diamètre, revient à
  - 26kil,7Ds pour les chaînes à étais,
  - et à
  - 22kil,OD2 pour les chaînes sans étais,
  - D étant le diamètre en millimètres.
  - Lorsque l’on a introduit dans la marine française l’usage des câbles-chaînes en fer, pour les substituer aux câbles en chanvre, on n’a évalué la résistance du fer qu’à 27 kilogr. par millimètre carré, ou plutôt on a supposé la surface résistante du fer réduite d’un quart de sa valeur réelle ou à une fois et demie celle d’une seule section transversale du fer dont la qualité était telle que sa résistance à la rupture par millimètre carré était égale à 36 kilogr.
  - D’après cette base, en exprimait les dimensions et la résistance du câble en chanvre par la formule
  - (45 — 0,25 C)C2,
  - C étant la circonférence en centimètres, celle du câble-chaîne en fer le serait par
  - 2x27xd^3 =42'4D5>
  - D exprimant en millimètres le diamètre du fer employé.
  - Depuis l’adoption des chaînes, quelques dimensions employées se sont un peu écartées de celle règle, mais les écarts ont peu d’importance. Au surplus, la concordance des câbles en chanvre ou en fer, admise par le règlement actuel est indiquée dans le tableau suivant :
- p.43 - vue 54/512
- - 44
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - PROPORTIONS COMPARATIVES DES CABLES EN CHANVRE, GOUDRONNÉS, ET DES CABLES-CHAINES EN FER EN USAGE DANS LA MARINE FRANÇAISE.
  - 1 1
  - CABLES CABLES-CHAINES
  - EN CHANVRE. EN FER.
  - RANG
  - DES BATIMENTS. O O XIX G O) <D s- crx <D ÇD <D ^ Pi w r g CD <V S- U* CD 13 . fi CB g P. ai <D ^ I
  - c ®.§ a S a •G O G pc o to a » a 9 2 5b 2 s £ a.
  - O G Pi O 3 ü ® S O « s 'G a â b
  - kil. kil. kil.
  - O 1er et 2° rang 66 21,0 3500 54 6576 77000
  - 1
  - CO O CO 3e rang (nouveau). . . 65 20,7 3392 52 5863 71500
  - 1 4e rang
  - 60 19,1 2895 42 5043 61000
  - <D ’Z ' 1er rang
  - V re fcc •£ fan 2* rang 48 15,3 1852 46 4700 56000
  - 3e rang 46 14,6 1700 42 3851 46500
  - <v
  - 1 ^ lr8 classe 40 12,7 1288 38 3187 38500
  - a> 2e classe 38 12,1 1161 34 2502 31000
  - & ,
  - s( lre classe 35 11,1 985 32 2379 27000
  - 1 2” classe 20 9,1 676 28 1797 21000
  - « •«
  - Canonnières, bricks, goë-
  - lettes de 6 23 7,6 426 24 1392 15500
  - Goélettes de 4 20 6,4 322 20 953 10500
  - Le poids des câbles en chanvre peut varier de 7 pour 100 environ, en plus ou en moins, selon le mode de commettage adopté. Leur longueur habituelle est de 200 mètres, et on en réunit quelquefois deux par une épissure.
  - Les câbles en fer ont actuellement 360 mètres de longueur pour les vaisseaux et les frégates, et environ 300 mètres pour les autres bâtiments.
  - En comparant ce tableau avec celui du n° 44, relatif aux câbles adoptés par la marine anglaise, l’on voit qu’il y a une
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- - EXTENSION.
  - 45
  - concordance à peu près complète entre les dimensions adoptées par les deux nations.
  - Nous ajouterons que pour les chaînes de dimensions inférieures à celles du tableau et sans étais, le diamètre du fer employé est ordinairement le dixième de la circonférence du cordage en chanvre correspondant. *
  - Charges limites ou permanentes.
  - 47. Manière de déterminer les charges limites ou l'effort de traction que l'on peut faire supporter aux corps d'une manière permanente.— Les données fournies par l’expérience faisant connaître, pour les différents matériaux employés dans les constructions, la limite de la charge qu’une pièce donnée peut supporter par chaque centimètre carré de section transversale, on pourrait être conduit à penser qu’après avoir calculé l’effort de traction auquel cette pièce doit être soumise, il suffirait de lui donner les dimensions nécessaires pour qu’elle soit simplement capable de résister à cet effort, sans altération de son élasticité; mais pour les cas ordinaires de la pratique, et afin de se mettre à l’abri de l’effet des surcharges et des efforts accidentels, il est prudent de s’imposer la condition que la charge permanente soit telle, que l’allongement ne dépasse pas la moitié de celui qui correspond à la limite d’élasticité. Alors en nommant i' la valeur de l’allongement toléré et Re la charge capable de le produire, on aura R„ = E£', pour déterminer la charge que l’on peut faire supporter au corps d’une manière permanente, ou ce qu’on nomme simplement la charge permanente.
  - Les résultats des expériences directes sont malheureusement encore trop peu nombreux ; nous insérons ceux qui sont connus et les valeurs de E, de Re et de i correspondant à la limite d’élasticité , que l’on en déduit, dans le tableau suivant :
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- - 46
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - DÉSIGNATION des CORPS. ALLONGEMENT relatif à la limite d’élasticité naturelle. CHARGE par millim. q. correspondant à cette limite.
  - Chêne rnill, 0^=0,00167 3^=0,00117 -tL- — 0 00910 kil. 2,00 2,17 3,15 1 73
  - Sapin jaune ou blanc.... Sapin rouge ou pin
  - Mélèze ou larix 0^=0,00192 540 = 0,00175 1 —o noi î q
  - Hêtre rouge 1 63
  - Frêne 1 97
  - Orme 885— O,OUI 1o 1 . —O 0094 9 JL )/C 1 935
  - Fers doux passés à la filière, de petite dimension Fers en barres. 4 l 4 ^ 1^=0,00080 75177=0,00066 14,75 12,205
  - Fers du Berry étirés**
  - Fers du Berry recuits**
  - Acier d’Allemagne, de très-bonne qualité*, recuit à l’huile Acierfondu, très-lin, recuit à l’huile, trempé 8*5=0,00120 j 4 5uù=°,00222 25,00 66,00
  - , . „ , ( étiré**
  - Acier fondu 1 . ** j recuit *..
  - f | î i'(î Acier anglais en fil j rppil5t** 3) »
  - Acier ordinaire recuit au blanc**.. Fonte de fer, à grains lins y> 13^=0,00083 7^=0,00078 3) 10,00 6,00
  - Fonte grise ordinaire anglaise,bonne qualité
  - Fils de cuivre étirés
  - Fils de cuivre recuits**
  - Fils de laiton recuits Tj!=0,00135 73^=0,00076 r*M=0,00063 7^3 = 0,00067 20 uu = 0,00050 ^-=0,00210 15,00 4,80 2,00 0,40 0,40 1,00
  - Laiton fondu
  - I Bronze de canon fondu
  - Fils de plomb de coupelle, étiré à froid, de 4 millim. de diamètre.. Fils de plomb impur, du commerce, étiré à froid, de 6 millim. de diam. Plomb fondu ordinaire
  - Étain
  - 1 Zinc**
  - 1 Or étiré**
  - Or recuit**
  - Argent étiré
  - Argent recuit**
  - Platine fil moyen**
  - Platine fil moyen recuit**
  - ---------1
  - .EUR
  - iffinionl
  - VALEUR du coefficient E
  - d’élasticité par raillim. q
  - kil. 1200 1854 1500 900 ' 930 1120 970
  - 18000
  - 20000
  - 20869
  - 20784
  - 21000
  - 30000
  - 19549
  - 19561
  - 18809
  - 17278
  - 18045
  - 12000
  - 9096
  - 12000
  - 10500
  - 10000
  - 6450
  - 3200
  - 600
  - 800
  - 500
  - 3200
  - 9600
  - 8131
  - 5585
  - 7358
  - 7140
  - 17044
  - 15518
  - * D’après des expériences sur la flexion. *’ Expériences de M. Wertheim.
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- - EXTENSION.
  - 47
  - , 43. Influence du recuit. — D’après ce tableau, qui sera complété plus tard par d’autres données déduites des expériences sur la flexion, il semble que le recuit n’altère pas l’élasticité du fer et de l’acier, mais il n’en est pas de même du cuivre, de l’or, du platine et même de l’argent.
  - Il convient d’ailleurs d’ajouter que le recuit, tel qu’on le donne pour de semblables expériences ou à des pièces de petites dimensions, ne dure qu’un instant ; tandis que pour les grosses pièces de fer, telles que les essieux, pour lesquels cette opération dure beaucoup plus longtemps, l’action prolongée et tranquille d’une température, même assez basse, paraît exercer sur l’arrangement des molécules du fer une action qui les rapproche de l’état cristallin, et ramène un très-bon fer doux et fibreux à celui de fer à facettes de la plus mauvaise qualité. D’où il faudrait conclure que le recuit des essieux et des grosses pièces est une opération plus nuisible qu’utile à leur résistance *. Aussi paraît-on y avoir assez généralement renoncé.
  - 49. Influence d'un courant électrique sur Vélasticité. — Il résulte aussi des expériences de M. Wertheim, qu’un courant électrique diminue un peu la valeur du coefficient d’élasticité, et par conséquent la résistance des métaux, mais que celte diminution cesse avec le courant électrique.
  - 80. Application et usage du tableau précédent. — Si, par exemple, on veut, à l’aide de ce tableau, calculer l’allongement éprouvé par une barre de fer rond de 25 millimètres de diamètre sur 8m,00 de longueur, sous un effort de traction de 4000 kilogr., on trouve d’abord que l’effort supporté par chaque millimètre de section sera égal à
  - 4000 X 1,273 (2 5)2
  - 8kil, 15.
  - La charge correspondant à la limite d’élasticité, pour le fer en barre, étant, d’après le tableau, 12kil,205, et l’allongement
  - * En écrivant ces mots, j’ai sous les yeux un morceau de fer des Pyrénées qui, en sortant de la forge, était doux et nerveux. Après avoir subi, pendant cinq mois et douze jours, un recuit modéré et continu, il est passé à l’état de fer cristallisé, offrant des facettes de 4 à 5 millimètres d’étendue.
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- - 48
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - correspondant égal à 0ra,00066, on aura l’allongement cherché par la proportion
  - d’où
  - i2kil,205 : om,00066 :: 8kil,i5 : x,
  - 0,00066X8,15 * = 12.205
  - L’allongement total pour une barre de 8m,00 serait donc 0n\00044 X 8 = 0n\ 00352 ;
  - il dépasserait par conséquent la moitié de celui pour lequel l’élasticité commence à s’altérer; l’effort de 4000 kilogr. serait trop grand s’il devait être permanent.
  - SI. Application aux chaînes qui ont servi à élever les ponts tubulaires sur le détroit de Menai. — Une des opérations les plus hardies des ingénieurs anglais, a été la mise en place des ponts tubulaires du détroit de Menai; et, sans entrer dans des détails descriptifs que l’on trouvera dans les ouvrages de MM. Fairbairn et Edwin Clark, il est bon d’examiner si les proportions adoptées pour les différentes parties des appareils étaient telles qu’elles pussent offrir toute sécurité.
  - Deux presses hydrauliques étaient placées au sommet de chacune des piles qui devaient supporter les ponts. Le diamètre intérieur de leur cylindre était de 20po=:0m,508; celui du piston creux était, extérieurement, de I8po = 0m,457. L’épaisseur du métal du cylindre, 8p°,75 = 0in,222. Le tuyau pour forcer l’eau dans la presse était en fer forgé de 0po,50 = 0m,0127 de diamètre et de 0m,00635 d’épaisseur. Le chapeau de la presse était guidé verticalement au moyen de deux tiges en fer de 0“,127 de diamètre, assemblées dans une traverse en fonte fixée sur la maçonnerie.
  - Pour chaque course totale du piston de la presse le tube était élevé de 1“,830, en 30 à 45 minutes.
  - Les chaînes avaient été percées et rabotées avec un très-grand soin par MM. Howard et Ravenhill. Chaque brin des chaînes consistait alternativement en 8 et en 9 plaques de lm,83 de longueur, de centre en centre. L’aire de section était la même sur toute la longueur de la chaîne. L’épaisseur de chacune des plaques des séries de 8 était de 0,n,0317 et celle
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- - EXTENSION.
  - 49
  - des plaques des séries de 9 était de 0“,0279. La largeur de chaque plaque était de 0m,178.
  - L’aire de chaque maillon de 8 plaques était donc de 452 centimètres carrés, son poids de 842kiI,44.
  - L’aire de chaque maillon de 9 plaques était de 445 centimètres carrés, et son poids de 839kiI,74.
  - L’aire des quatre chaînes qui élevaient le tube était de 1780 centimètres carrés, et la plus grande charge à laquelle elles étaient soumises était de 8,3 tonnes par pouce carré, ou 1366kil,6 par centimètre carré, soit 13kiI,66 par millimètre carré. Les épaulements des maillons ont supporté jusqu’à 10 tonnes par pouce carré ou 1574kîl,2 par centimètre carré, soit 15kil,74 par millimètre carré.
  - Ces charges pour des opérations aussi importantes et aussi périlleuses me semblent excessives et dépassent beaucoup trop la limite de 6 à 7 kilogr. que l’on adopte généralement en France.
  - Aussi les chaînes s’a'llongèreiit-elles sous la charge, de Op°,225 pour 3 pieds ou de r^j, et conservèrent-elles un allongement permanent de 0r°,175 ou de 205 de leur longueur, tandis que les allongements permanents correspondant à la limite d’élasticité et qu’il convient de faire supporter au fer forgé ne doivent être au plus que de à
  - Il y a lieu de croire que l’on a reconnu le danger qu’il y avait eu à dépasser ainsi les limites de l’élasticité, car pour l’élévation des tubes du pont Britannia qui pesaient avec tous les apparaux 1914 tonnes, tandis que ceux de Conway en pesaient 1260, on employa d’un côté les deux presses qui avaient servi au pont de Conway et de l’autre une presse beaucoup plus forte. De sorte que la tension des chaînes des deux premières presses fut moindre pour ce second cas et réduite dans le rap-1914
  - port de 1260 à —-—=957, ou de 4 à 3, et par conséquent à
  - llkiI,95 environ par millimètre carré, ce qui est encore bien considérable, même pour des manœuvres temporaires.
  - 52. Observations relatives aux applications. — S’il convient en général pour des constructions permanentes de borner les charges par millimètre carré à la moitié de celles qui correspondent à la limite d’élasticité, on peut néanmoins, dans des
  - 4
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- - PREMIÈRE PARTIE.
  - 50
  - cas particuliers, lorsqu’il s’agit de pièces pour lesquelles la légèreté serait une condition de rigueur, et si l’on n’avait pas à craindre des efforts accidentels très-supérieurs aux efforts moyens, élever ces efforts aux trois quarts de ceux qui sont relatifs à celte limite; tel est le cas des colonnes en fer forgé des presses hydrauliques, qui ne supportent que momentanément l’effort maximum limite auquel elles sont soumises, et que l’on peut, par conséquent, exposer aux f de la charge capable d’altérer l’élasticité ou à 9 kilogr. par millimètre carré de section.
  - Au contraire, pour les pièces qui peuvent accidentellement être exposées à des efforts supérieurs à la valeur moyenne sur laquelle on a compté, il sera prudent de donner un excès de solidité.
  - C’est au constructeur à examiner avec attention les circonstances dans lesquelles il se trouve placé.
  - 55. Observations sur les efforts de traction auxquels il convient d'exposer les corps emplotyés dans les constructions. — Nous avons dit que presque toutes les constructions étant exposées à des vibrations ou à des chocs qui peuvent accidentellement augmenter de beaucoup les efforts moyens auxquels les corps sont habituellement exposés, il était prudent de calculer leurs dimensions en ne les soumettant qu’à des efforts égaux à la moitié de ceux qui produisent les allongements, au delà desquels l’élasticité commence à s’altérer. C’est ainsi que pour le fer doux en barres, dont la limite d’allongement par mètre est de 0m,00066 (n° 47) sous un effort de traction longitudinale de 12kil,205 par millimètre carré de section, il conviendra de limiter les efforts moyens à 6 kilogr.
  - Cette base de la proportion des charges, par la considération des limites de l’allongement, indiquée par M. Poncelet, est parfaitement rationnelle et se lie, autant qu’on peut le désirer, à l’observation des faits ; mais malheureusement les expériences sur l’élasticité des corps sont beaucoup moins nombreuses que celles qui ont été exécutées sur la rupture, parce que l’on a longtemps considéré à tort l’observation des phénomènes de la rupture comme la plus importante pour l’art des constructions.
  - 54. Résultats d'observations sur la résistance des corps à la rupture par extension. — Faute de documents assez complets
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- - EXTENSION.
  - 51
  - sur l’élasticité des corps, nous sommes donc forcés de recourir aux expériences sur la rupture, quoique celles-ci offrent beaucoup moins de précision et de régularité que les premières.
  - De l’ensemble des faits observés, on a conclu que, quand un solide prismatique ou cylindrique est soumis à un effort de traction longitudinale, sa résistance à la rupture est à peu près proportionnelle à l’aire de sa section transversale. On a vu, aux nos 10 et suivants, que les expériences citées de M. E. Hodgkin-son et de Rondelet confirment à peu près cette conclusion.
  - L'observation des bonnes constructions a conduit aussi à admettre que les efforts permanents auxquels on peut soumettre les prismes ou les cylindres, ne doivent pas excéder
  - pour les bois, les pierres et les mortiers 1/101 de la charge
  - pour les métaux.......................... 1/6 j de rupture.
  - C’est d’après cette base qu’a été formé le tableau suivant, qui indique les charges capables de produire la rupture par traction et celles que l’on peut faire supporter aux corps avec sécurité et d’une manière permanente, pour la plupart de ceux qui sont employés dans les constructions.
  - TABLE DES EFFORTS DE TRACTION LONGITUDINALE CAPABLES DE PRODUIRE LA RUPTURE ET DE CEUX QUE L’ON PEUT FAIRE SUPPORTER AUX DIFFÉRENTS CORPS AVEC SÉCURITÉ.
  - EFFORT
  - PAR MILLIMÈTRE CARRÉ
  - DÉSIGNATION DES CORPS. * capable qu’on peut
  - de faire
  - produire supporter
  - la au corps
  - rupture. avec sécurité,
  - BOIS. kilogr. kilogr.
  - Chêne dans le sens des fibres, fort 8,00 0,800
  - Chêne dans le sens des fibres, faible 6,00 0,600
  - Tremble dans le sens des fibres 6 fi 7 0,60 à 0,70
  - Sapin, idem 8 à 9 0,80 à 0,90
  - Sapin des Vosges, idem 4,00 0,40
  - Pin silveslre des Vosges, idem 2.48 0,240
  - Frêne. idem 12,00 1,20
  - Frêne des Vosges, idem 6,78 0,678 •
  - Orme, idem 10,40 i 1,04
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- - 52
  - PREMIÈRE PARTIE
  - DÉSIGNATION DES CORPS.
  - Orme des Vosges, idem..............................
  - Hêtre, idem........................................
  - Teak, idem, employé aux constructions navales......
  - Buis, idem.........................................
  - Poirier, idem......................................
  - Acajou, idem.......................................
  - Tremble des Vosges, idem...........................
  - Tremble, latéralement aux fibres, par glissement...
  - Sapin, idem........................................
  - Chêne, perpendiculairement aux fibres..............
  - Peuplier, idem.....................................
  - Larix, idem........................................
  - (Pièces droites formées de morceaux assemblés par entailles ou crémaillères.. Arcs en planches de champ, ou en bois plié....................................
  - MÉTAUX
  - Fer forgé ( le plus fort, de petit échantillon.....
  - ou étiré, t le plus faible, de très-gros échantillon...
  - Fer en barres, moyen...............................
  - Fer ou tôle r tiré dans le sens du laminage........
  - laminée, l tiré dans le sens perpendiculaire.......
  - Tôles fortes, corroyées dans les deux sens.........
  - Fer dit ruban, très-doux...........................
  - r moyen, de 1 à 3 millimètres de diamètre.
  - Fil de fer l de l’Aigle, de 0mill,23 de diamètre...
  - non 1 le plus fort, de 0'ui“,5 à 1 millimètre de
  - recuit, f diamètre...............................
  - V le plus faible, d’un grand diamètre...
  - Fil de fer en faisceau ou câble....................
  - Chaînes f ordinaires, à maillons oblongs.........
  - en fer doux, ( renforcées par des élançons.........
  - Fonte ( la plus forte, coulée verticalement....
  - defergrise, t la plus faible, coulée horizontalement..
  - } fondu ou de cémentation étiré au inar-
  - l teau, en petits échantillons..........
  - Acier.....< le plus mauvais, en gros échantillons,
  - j mal trempé............................
  - \ moyen................... .............
  - Bronze de canons, moyennement......................
  - ! laminé, dans le sens de la longueur....
  - idem, de qualité supérieure..........
  - battu................................
  - fondu................................
  - Cuivre jaune ou laiton fin.........................
  - Arcs ou pièces d’assemblage en fer forgé ou en fonte grise..........................................
  - EFFORT
  - PAR MILLIMÈTRE CARRÉ
  - capable de produire la 'rupture. qu’on peut faire supporter au corps avec sécurité.
  - kilogr. kilogr.
  - 6,99 0,699
  - 8,00 0,800
  - 11,00 1,100
  - 14,00 1,400
  - 6,90 0,690
  - 5,60 0,560
  - 7,20 0,720
  - 0,57 0,057
  - 0,42 0,042
  - 1,60 0,160
  - 1,25 0,125
  - 0,94 0,094
  - 4,00 0,400
  - 3,00 0,300
  - 60,00 10,00
  - 25,00 4,16
  - 40,00 6,66
  - 41,00 7,00
  - 36,00 6,00
  - 35,00 6,00
  - 45,00 7,50
  - 60,00 10,00
  - 90,00 15,50
  - 80,00 13,33
  - 50,00 8,33
  - 30,00 5,00
  - 24,00 4,00
  - 32,00 5,33
  - 13,50 2,25
  - 12,50 2,17
  - 100,00 16,76
  - 36,00 6,00
  - 75,00 12,50
  - 23,00 3,83
  - 21,00 3,50
  - 26,00 4,33
  - 25,00 4,17
  - 13,40 2-,33
  - 12,60 2,10
  - 25,20 4,20
  - 11154
  - ^
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- - EXTENSION.
  - 53
  - ' ' EFFORT PAR MILLIMÈTRE CARRÉ
  - DÉSIGNATION DES CORPS. capable de produire la rupture. qu’on peut faire supporter au corps avec sécurité.
  - kilogr. kilogr.
  - Cuivre [ le plus fort, au-dessous de 1 millimètre
  - rouge } de diamètre 70,00 11,76
  - en fil j moyen, de 1 à 2 millimètres de diamètre. 50,00 8,33 6,67
  - non recuit, Udem, le plus mauvais 40,00
  - Cuivre ( le plus fort, au-dessous de 1 millimètre
  - non recuit, ' moyen, idem 85,00 14,16
  - 50,00 8,38
  - técroui, non recuit de 0mill,127 de dia-
  - , F’1,. mètre 116,00 19,33
  - de platine (écroui, recuit 34,00 5,67
  - Étain fondu 3,00 6,00 5,00 0,50
  - 1,00 0,833
  - Zinc laminé
  - Plomb fondu 1,28 0,213
  - Plomb laminé 1,35 0,225
  - Fil de plomb de coupelle, fondu, passé à la filière,
  - de 4 millimètres de diamètre 1,36 0,227
  - CORDES. Aussières et grelins en chanvre de Strasbourg, de
  - 13 à 14 millimètres de diamètre 8,80 6,50 4,40
  - Idem, en chanvre de Lorraine 3,25
  - Idem, en chanvre de Lorraine ou de Strasbourg, de
  - 23 millimètres de diamètre 6,00 3,00
  - Idem, de Strasbourg, de 40 à 54 millimètres de dia-
  - 5,50 4,40 2,75 2,20
  - Cordages goudronnés
  - Vieille corde, de 23 millimètres de diamètre 4,20 2,10
  - Courroie en cuir noir » 0,20
  - PIERRES.
  - Basalte d’Auvergne 77,00 7,70
  - Calcaire de Portland 60,00 6,00
  - Calcaire blanc à grains fins et homogènes 14,40 1,44
  - Idem, à tissu compacte, lithographique 30,80 . 3,08
  - Idem, à tissu arénacé, sablonneuse 22,90 2,29
  - Idem, à tissu oolitliique 13,70 1,37
  - D . (de Provence, très-bien cuites Briques... | ordinaires, faibles 10,50 1,95
  - 8,00 11,70 0,80
  - /•gâché, ferme 1,17
  - Plâtre .... | gâché, moins ferme 5,80 0,58
  - ' (fabriqué à la manière ordinaire 4,00 0,40 0,42
  - r en chaux grasse et sable de quatorze ans. 4,20
  - 1 idem, mauvais 0,75 0,075
  - Mortiers.. / en chaux hydraulique ordinaire et sable.. 9,00 0,90
  - ! en chaux éminemment hydraulique.... 15,00 1,50
  - ( ciment de Pouilly, d’un an 9,60 0,96
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- - 54
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - L’usage de ce tableau ne présente aucune difficulté, et quand on connaîtra la charge de traction à faire supporter à un corps, on en déduira facilement faire superficielle de sa section transversale en millimètres carrés. Si par exemple il s’agit d’une corde destinée à soutenir un poids ou une tensiou de 600 kilogr., la charge qu’on peut lui faire supporter avec sécurité étant de 3kil,25 par millimètre carré pour les diamètres
  - moyens, faire de sa section devra être de ^^- = 185 millimè-
  - 3,2 5
  - très carrés et le diamètre d = v/l85 X 1,273 = 15niil,3. Mais si •la corde est longue, on devra prendre des précautions pour qu’elle ne se détorde pas, ce qui peu à peu l’affaiblirait et pourrait amener sa rupture.
  - Résistances vives d’élasticité et de rupture;
  - 55. Résistance vive d’élasticité. — Puisque les corps s’allongent sous faction des forces qui les tirent dans le.sens de leur longueur, leur résistance à cet allongement développe, pour chaque élément de l’allongement total, une quantité de travail, mesurée par le produit de l’effort exercé et de cet allongement.
  - La quadrature des courbes analogues à celles qui sont représentées (pl. I, fig. 1), dont les ordonnées sont les efforts exercés et dont les abscisses sont les allongements ou les chemins parcourus dans la direction de ces efforts, nous donnerait la valeur de ce travail pour un allongemeut donné.
  - Cette quadrature effectuée depuis le commencement des allongements jusqu’à celui qui correspond à la limite d’élasticité, donne le travail développé dans cet intervalle par la résistance du corps; M. Poncelet a donné à ce travail le nom de résistance vive d’élasticité, et il le désigne par la lettre T„.
  - Si l’on pousse la quadrature jusqu’à l’effort ou à l’allongement qui a lieu au moment de la rupture, on aura le travail total qui a été nécessaire pour rompre le corps, travail que le même auteur nomme résistance vive de rupture, et qu’il représente par la lettre Tr pour le mètre de longueur et l’unité de section superficielle.
  - On remarquera de suite que le travail Tc ou la résistance vive d’élasticité est donnée par faire du triangle dont la base est l’allongement par mètre correspondant à la limite d’élasticité,
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- - EXTENSION.
  - 55
  - multiplié par la longueur L du corps, et dont la hauteur est l’effort correspondant à celte limite, ce qui donne pour chaque millimètre carré le travail { ViL = { EU2 à cause de V = Ei, et pour la section A, exprimée en mètres carrés, Ta = | EAU*.
  - On voit que plus ce produit sera considérable, plus le corps sera susceptible de conserver son élasticité sous l’action des efforts qui tendent à l’allonger.
  - Un coup d’œil jeté sur les courbes de la figure 1 (pl. I) montre que les fers durs offrent une résistance vive d’élasticité beaucoup plus considérable que les fers tendres.
  - 56. Résistance vive de rupture. — Si l’on étend la quadrature à la surface totale des courbes limitées par l’ordonnée qui correspond à la rupture, on voit que cette surface qui représente le travail développé pour produire la rupture est beaucoup plus considérable pour les fers doux que pour les fers durs, ce qui montre l’avantage et la sécurité qu’offrent les fers doux pour tous les cas où les pièces sont exposées à des chocs ou à des efforts accidentels.
  - 57. Application des considérations précédentes. — Pour montrer par des exemples l’utilité des considérations précédentes, si nous en faisons l’application aux trois séries d’expériences représentées par les courbes Aaaa, Abbb, Accc(pl. I, fig. 1), respectivement relatives aux fers doux, très-ductiles, au fer dur recuit et au fer dur non recuit, nous trouvons que les allongements du premier étant proportionnels aux efforts de traction jusqu’à la charge de 16 kilogr. au plus par millimètre de section et l’allongement par mètre courant étant i = 0ra,00086, le travail de la résistance élastique ou sa résistance vive d’élasticité a pour valeur par millimètre carré de section :
  - Te — | P* = * X 16kn,00X 0m,00086 = 0km,00688.
  - S’il s’agissait d’une barre de fer rond de 6m,00 de longueur et de 0m,030 de diamètre ou de 707 millimètres carrés de section, le travail ou sa résistance vive serait :
  - TeAL = 0km,00688 x 6 X 707 = 29km,18496.
  - Par exemple, si un corps de poids Q tombant d’une hauteur H devait dans sa chute être brusquement arrêté par cette barre,
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- - 36 PREMIÈRE PARTIE,
  - le travail développé sur ce corps par la pesanteur, ou la moitié de sa force vive| jv*= QH, devant être détruit par la résistance de cette barre, il faudrait, pour que l’élasticité de celle-ci ne fût pas altérée, que le produit QH n’excédât pas 29km,18; ainsi, un poids de 1000 kilogr. tombant d’une hauteur de 0m,02918 développerait le travail au delà duquel l’élasticité de cette barre serait altérée.
  - La quadrature delà surface totale,limitée parla courbe Aaaa, ou la résistance vive de rupture, donnerait Tr = 4km,497 par mètre de longueur et par millimètre carré de section, ce qui montre que pour le fer ductile employé dans l’expérience de M. Bornet, la résistance vive de rupture a été égale à plus de 650 fois sa résistance vive d’élasticité.
  - L’application à la barre de 6m,00 de long sur 0m,030 de diamètre , donnerait pour la résistance vive de cette barre à la rupture, la valeur
  - TrAL = 4km,497 X 707mil X6= 19076km,27,
  - d’où résulte qu’un poids de 1000kil devrait tomber de 19ra,076 pour produire la rupture de cette barre. On voit par cet exemple que le fer doux ne se rompt qu après avoir détruit une force vive ou avoir développé un travail résistant bien supérieur à celui qui suffirait pour altérer son élasticité.
  - 58. En faisant la quadrature analogue pour les fils de fer durs recuits et non recuits, M. Poncelet a trouvé pour
  - Le fer dur recuit T9 = 0km,00662, Tr = 0km,500,
  - Le fer non recuit T, = 0km,00585, Tr = 0km,6810.
  - Ce qui montre que pour les fers durs non recuits le travail correspondant à la rupture est beaucoup plus voisin du travail correspondant à l’altération de l’élasticité que pour les mêmes fers recuits et surtout pour les fers doux, et que par conséquent si les fers durs présentent l’avantage de conserver leur élasticité plus longtemps, ou sous de plus fortes charges que les fers doux, ils offrent l’inconvénient d’être beaucoup plus fragiles par l’effet des chocs.
  - On doit en effet se rappeler que toute force vive est égale au
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- - EXTENSION.
  - 57
  - double du travail nécessaire pour la produire ou pour l’éteindre, et que l’effort susceptible de développer ce travail est d’autant plus faible, que le chemin parcouru dans sa direction propre est plus grand. De là résulte évidemment que les corps extensibles, tels que les fers doux, présentent pour la résistance à des chocs plus de sécurité que les corps durs et rigides. C’est ainsi que pour les chaînes d’attelage, les câbles en fer de la marine, etc., on doit préférer les fers les plus doux aux fers les plus durs.
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- - DEUXIÈME PARTIE.
  - RÉSISTANCE DES CORPS SOLIDES A LA COMPRESSION.
  - 59. Les effets qui sont produits sur les corps solides par des efforts de compression dépendent essentiellement de la constitution de ces corps et de leurs proportions. S’ils sont grenus, comme les pierres calcaires compactes ou la fonte, ils s’écrasent en se fendillant, et les expériences de Coulomb sur les pierres, ainsi que celles de M. Vicat sur le plâtre, montrent que, dans ce cas, les cubes se partagent en pyramides dont la base est la face inférieure du cube, et dont le sommet se trouve à son centre. La fonte même, d’après les expériences de M. Hodgkinson, présente des formes de rupture analogues. Mais quand il s’agit de corps fibreux, tels que les bois comprimés dans le sens de la longueur des fibres, il faut distinguer le cas où ils sont courts et celui où leur longueur excède huit à dix fois le côté de la base : dans le premier, les fibres refoulées s’écartent, le corps se renfle en tous sens vers le milieu sans fléchir; dans le second, il y a d’abord compression, quelquefois aussi gonflement, mais au delà d’un certain terme le corps fléchit, cède et se rompt.
  - La plupart des expériences entreprises par les ingénieurs qui se sont occupés de cette matière, ne sont, en général, relatives qu’à la résistance à la rupture, et non pas à la mesure de la compression éprouvée par les corps. Sous ce rapport elles sont donc incomplètes, et ce n’est qu’à défaut d’autres expériences plus concluantes que nous les reproduirons ici. Cependant il a été fait récemment, sur la compression de la fonte et du fer, de très-intéressantes recherches dues à M. E. Hodgkin-son; nous en discuterons plus loin les résultats.
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- - COMPRESSION.
  - 89
  - Résistance des bois à la compression.
  - 60. Expériences sur la résistance des bois à la compression dans le sens de la longueur des fibres. — M. Rondelet dit que d’après un grand nombre d’expériences, dont il ne rapporte pas les éléments, un cube de bois de chêne chargé debout, c’est-à-dire comprimé dans le sens de la longueur de ses fibres, ne s’écrase que sous une charge de 384kil,7 à 46lkil,6 par centimètre carré de superficie, et un cube de sapin sous une charge de 438kil,6 à 461kil,6.
  - Il ajoute que des cubes de chacun de ces bois mis en expérience ont diminué de hauteur, en se refoulant sans se désunir, ceux en bois de chêne de plus d’un tiers, ceux en sapin de moitié.
  - La résistance des supports en bois diminue dès qu’ils commencent à plier, parce qu’alors, outre la compression longitudinale, l’effort auquel ils sont soumis tend à exercer, autour de celle de leurs extrémités qui est fixe, un mouvement de rotation dont le bras de levier est d’autant plus grand que la flexion s’accroît elle-même davantage.
  - M. Rondelet fixe ainsi qu’il suit le décroissement de la résistance dont sont susceptibles les. poteaux à mesure que leur hauteur augmente, en prenant pour unité la résistance du cube :
  - Rapport de la hauteur au côté de la ) j
  - base.....................j
  - Rapport des résistances.....| 1
  - En partant ainsi de la charge d’écrasement, estimée à 420 kilogr. par centimètre carré pour le chêne et le sapin de la meilleure qualité, èt en proportionnant les solides de hauteurs différentes d’après la règle posée par M. Rondelet, on forme le tableau suivant :
  - 12 24 36 48 60 72
  - 5 l 1 1 1 1
  - fi 2 a 6 1 2 24
  - Rapport de la hauteur à la dimension i
  - transversale.......................j
  - Rapport des résistances............ |
  - Résistance à l’écrasement pour le chêne ) et le sapin, en kil. par cent, carré., i
  - 1 12 24 36 48 CO 72
  - h i 1 l i 1
  - 1 6 2 S '6 12 24
  - 420 350 210 140 70 35 17,5
  - On a représenté graphiquement (pl. I, fig. 17) ces éléments en prenant pour abscisses les rapports des longueurs ou hauteurs à la plus petite dimension et pour ordonnées les charges de
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- - 60
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - rupture, puis on a fait passer par tous les points ainsi déterminés une courbe représentant la loi continue qui les lie.
  - A l’aide de celte courbe, régularisée dans la partie supérieure, on a modifié les chiffres qui résultent de la règle de Rondelet et obtenu les résultats suivants :
  - Rapp1 des liau-]
  - teurs à la plus petite dimen- 1 12 14 16 18 20 22 24 28 32 36 40 48 60 72
  - sion
  - Charges de rupture en kil. par cent, carrés d’a- 420 310 292 276 258 243 227 212 183 166 132 108 72 38 17,5
  - près Rondelet.,
  - Pour passer de ces données relatives à la rupture des poteaux en bois par compression, à la détermination des charges qu’on peut leur faire supporter avec sécurité d’une manière permanente, M. Rondelet, admettant que dans certaines circonstances les charges supportées peuvent s’élever au double ou au triple de la charge normale, donnait pour règle qu’il n’est pas prudent de charger un poteau de chêne, d’une hauteur égale à deux fois le côté de sa base, de plus de 48 kilogr. par centimètre carré de sa base, et un poteau d’une hauteur égale à quinze fois le côté de sa base de plus de 38kil,10 par centimètre carré.
  - En comparant ces charges avec celles de rupture par compression que l’on déduit du tracé et qui seraient respectivement égales à 330 kilogr. et à 285 kilogr. par centimètre carré, on voit que le célèbre architecte admettait que les charges permanentes des poteaux en bois pouvaient s’élever à j environ de celles de rupture par compression.
  - Si l’on adoptait cette proportion pour des bois de bonne qualité, d’essence de chêne ou de sapin, on pourrait, d’après ce qui a été dit plus haut, en prenant le septième des charges d’écrasement, déterminer les charges permanentes à faire supporter aux poteaux en bois et en former le tableau suivant :
  - POIDS DONT ON POURRAIT, D’APRÈS RONDELET, CHARGER AVEC SÉCURITÉ LES POTEAUX EN BOIS.
  - Rapp'dela hauteur à la plus
  - petite dimen-. 1 sion 0 12 14 16 18 20 22 24 28 32 36 40 48 60 72
  - Charges en ki- 42,0 19,1 15,4
  - logr. par cent, carré 44,3 39,4 37,0 35,0 32,7 36,0 26,0 22,0 10,2 5,4 2,5
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- - COMPRESSION.
  - Mais l’on verra plus loin que cette gradation des charges doit être modifiée.
  - 61. Expériences de M. E. Hodgkinson sur la résistance des bois à Vécrasement. — Ce savant expérimentateur a soumis à des efforts de compression douze cylindres en bois de teak de |, 1 et 2 pouces anglais de diamètre et de hauteur double de leur diamètre; savoir quatre de chaque dimension, les huit derniers étant pris dans la même pièce de bois ; la pression était exactement dirigée dans le sens des fibres.
  - Les résultats de ces expériences sont consignés dans le tableau suivant :
  - CHARGES D’ÉCRASEMENT DES CYLINDRES EN BOIS DE TEAK.
  - DIAMÈTRE DIAMÈTRE
  - DES CYLINDRES DES CYLINDRES
  - 0m,0127. 0m,0254.
  - CHARGES CHARGES
  - obser- vées. moyen- nes. en kil. par cent. q. obser- vées. moyen- nes. en kil. par cent. q.
  - liv. liv. kil. liv. liv. kil.
  - 2 335 10507
  - 2 543 2 543 2 439 872 83 9499 10507 10171 900,78
  - 2 335 10171
  - DIAMÈTRE
  - DES CYLINDRES
  - Ôm,0508. CHARGES
  - obser-
  - vées.
  - liv.
  - 39909
  - 38721
  - 41294
  - 41294
  - moyen-
  - nes.
  - en kil. par
  - cent. q.
  - On voit par ces résultats que les charges d’écrasement ont varié à très-peu près entre elles comme les surfaces des bases des cylindres, puisque la moyenne générale des résistances par centimètre carré, égale à 894kil,75, ne diffère des moyennes partielles que de de sa valeur. Elles sont d’ailleurs beau-
  - coup plus fortes que celles qu’indique Rondelet.
  - Le même observateur rapporte dans le XLe volume des Transactions philosophiques les résultats suivants d’un grand nombre d’autres expériences sur la résistance des bois de diverses essences, façonnées en cylindre de 25min,4 de diamètre sur 50mill,8 de hauteur, à bases plates. Les premiers chiffres sont relatifs à l’état moyen de dessiccation et les seconds à
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- - 62
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - l’état de sécheresse auquel les échantillons étaient parvenus après deux mois de séjour dans une espèce d’étuve.
  - RÉSISTANCE DES BOIS A L’ÉCRASEMENT.
  - ESSENCE DES BOIS. CHARGE PAR C qui produit 1 Bois à l’état ordinaire de sécheresse. F.NTIM. CARREI écrasement | ——-x | Bois | très-sec. 1
  - Aune kil. 480,065 610,218 528,346 543,455 » kil. | 489,130 658,000 528,346 658,000 819,645 449,916
  - Frêne
  - Laurier
  - Hêtre
  - Bouleau d’Amérique
  - Bouleau d’Angleterre 231,705 398,754 456,733
  - Cèdre 412,035
  - Pommier sauvage 502^343 |
  - Sapin rouge 403,955 462,847
  - Sapin blanc 476,550 512.545
  - Sureau. 523,637 700,877 726.036 479,222
  - Orme
  - Sapin de Prusse 456,733
  - Horn beam 318,568 512,252
  - Acajou 576,134 297,344 576,134
  - Chêne de Québec 421402 |
  - Chêne anglais 455,679 706,850
  - Chêne de Dantzick très-sec » 543,315
  - Pin résineux 477,184 477,184
  - Pin jaune rempli de térébenthine 377,740 382,600
  - Pin rouge 379,147 218,372 256,794 528,346 360,101 »
  - Peuplier
  - Prunier sec
  - Prunier sec 579,152 737,420
  - Sycomore 497,705 7) )) I
  - Teak 850,357
  - Larix 224,958 426,092 202,961 391,304 507.895
  - Noyer
  - Saule 430,660
  - Les résultats de ces expériences sont nombreux et importants, et ils montrent, comme Rondelet l’avait observé, que le sapin et le chêne, à l’état de dessiccation ordinaire, offrent à très-peu près la même résistance à l’écrasement. Mais on remarquera que la résistance du sapin ne paraît pas augmenter avec l’accroissement de la dessiccation, tandis qué celle du . chêne devient, au contraire, beaucoup plus considérable, ce qui en définitive doit faire préférer le chêne pour les piliers ou poteaux destinés à des constructions permanentes.
  - t>2. Expériences de M. G. Rennie. — D’après cet ingénieur
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- - COMPRESSION.
  - 1)3
  - anglais, la résistance d’un cube de bois debout à l’écrasement est pour :
  - le chêne anglais. . . . 271kil,3 par centimètre carré,
  - le sapin blanc. . . . . 134 ,8 id.
  - le pin d’Auvergne. . . 112 ,8 id.
  - Tonne . 90 ,24 id.
  - Ces résultats sont bien inférieurs à ceux que M. Rondelet a obtenus; mais les expériences de M. E. Hodgkinson montrant l’énorme influence de l’état de siccité des bois, l’on ne doit pas s’étonner de semblables divergences, et l’accord du chiffre 271kil,3, obtenu par M. Rennie, avec celui de 297 kilogr. que M. Hodgkinson a déduit de ses expériences sur le chêne de Québec incomplètement desséché, donne lieu de penser que les bois éprouvés par M. Rennie étaient dans ce dernier cas.
  - 65. Expériences de M. E. Hodgkinson sur les poteaux en bois. — Les expériences de ce savant observateur sur la résistance des poteaux en bois sont malheureusement bien moins nombreuses que celles qu’il a exécutées sur la fonte, quoique la grande flexibilité de cette substance pût permettre de mieux observer la marche des flexions par rapport aux charges, et d’en déduire des conséquences utiles.
  - D’après la comparaison des résultats de ses essais avec les équarrissages et les longueurs des supports à section carrée et à bases plates, l’auteur conclut que ces résultats, relatifs au chêne de Dantzick, sont représentés par la formule
  - Pu' = 25313.-^, r
  - dans laquelle b est le côté de la section carrée exprimé en pouces, et l la hauteur en pieds anglais.
  - En traduisant celte formule en mesures métriques, elle devient
  - Pkll=2565.y,
  - b étant exprimé en centimètres, et l en décimètres.
  - Dans le cas où les poteaux ne seraient pas à section carrée, en nommant a la plus grande dimension transversale, et b la plus petite, la formule serait
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- - 64
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - Pkil = 2565. J
  - Si nous calculons par cette formule la résistance de ceux des échantillons soumis à l’expérience par M. E. Hodgkinson , qui (
  - étaient sans défaut et dont les bases planes étaient bien posées I
  - sur leur lit, nous trouvons, entre les résultats de la formule et ;
  - ceux de l’expérience, un accord assez satisfaisant, comme on <
  - peut le voir au tableau suivant. ,
  - EXPÉRIENCES SUR DES POTEAUX EN BOIS DE CHÊNE DE DANTZICK, A BASES PLATES , PRIS DANS UNEÎ PIÈCE DE CHOIX COUPÉE DEPUIS NEUF MOIS ENVIRON.
  - COTÉ CHARGE DE RUPTURE
  - HAUTEUR du
  - CARRÉ. OBSERVÉE. CALCULÉE.
  - décim. centim. kilogr. kilogr.
  - 15,37 4,45 4360 4257
  - 11,70 2,59 793 843
  - 11,70 3,81 3560 3948
  - Malgré l’accord que ces résultats paraissent présenter entre la formule et l’expérience , l’on ne doit pas se dissimuler que ces expériences sont encore bien peu nombreuses.
  - On remarquera d’ailleurs que ces résultats se rapportent à des bois de petite section transversale, dont la hauteur a varié de 30 à 45 fois leur équarrissage.
  - 64. Formules pratiques pour les poteaux en bois. — Si l’on admettait que les poteaux en bois ne dussent pas être chargés de plus du dixième du poids capable de les rompre par flexion, la formule deviendrait pour les poteaux ;
  - à section carrée, P = 256,5.
  - à section rectangulaire, P = 256,5.-^-.
  - 6o. Application au magasin aux blés de la Fillette. — Il existe à Paris, au bassin de la Villette, un vaste magasin construit par M. Vuignier, ingénieur civil, pour recevoir des blés, et qui
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- - COMPRESSION.
  - 65
  - peut nous offrir une comparaison intéressante avec les résultats de ces formules.
  - Ce magasin a 56m,5 de longueur sur 34 mètres de largeur dans œuvre, et 21 mètres de hauteur sous l’entrait. Il est partagé en sept étages y compris le rez-de-chaussée. Chaque étage a une superficie de 1921 mètres carrés, excepté le rez-de-chaussée, dans lequel pénètre un canal qui permet l’arrivée des bateaux chargés au centre de l’édifice. Mais il faut déduire de la surface de chaque étage environ 400 mètres pour les passages, ce qui la réduit à peu près à 1500 mètres disponibles pour recevoir le blé.
  - Les travées ont 3”,80 d’entre axe, et les poteaux sont disposés sur des lignes distantes aussi de 3m,80 : de sorte que la surface de chaque étage est soutenue par 144 poteaux, qui portent la charge indépendamment des murs.
  - Le blé y est déposé en tas de lm,20 au plus de hauteur, à raison de 12996 kilogr. ou 173hect,28 au maximum par poteau, ou environ 12 liectolit. par mètre carré ; de sorte que ce magasin peut recevoir, et a effectivement contenu, à certaines époques, 18 000 hectolitres de bié par étage, et dans ses six étages superposés, environ 90 000 à 100 000 hectolitres. Chacun des poteaux est maintenu à sa base entre deux poutres moisées avec lesquelles il est fortement boulonné, et son extrémité repose sur la face supérieure d’un chapeau en fonte qui coiffe le poteau inférieur. Ce chapeau emboîte la tête des poteaux, et est fortement relié avec les poutres de l’étage supérieur.
  - Il résulte de cet assemblage simple et très-solide (pl. I, fig. 18), que tous les supports, du haut en bas du bâtiment, et toutes les poutres qui les maintiennent, sont parfaitement reliés et ne peuvent dévier, les premiers de la verticale, les autres de l’horizontale.
  - La charge des poteaux du cinquième étage, qui portent l’étage supérieur, se compose ainsi qu’il suit :
  - Blé............................... 12 996 kilogr.
  - Poids du plancher en chêne........ 421
  - Poids des solives................. 582
  - Deux poutres jumelles moisées... 260
  - 14259 kilogr.
  - L’équarrissage de ces poteaux est de 0m,22 sur 0ra,22, mais
  - 5
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- - 66
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - leurs arêtes sont chanfreinées sur une largeur de 0m,03, ce qui réduit leur section transversale h 475 centimètres carrés. La
  - 14250
  - charge, par centimètre carré, est donc de —= 30 kilogr.
  - La hauteur des poteaux étant de 2m,50 environ ou 11,4 fois l’équarrissage, on voit que d’après le tableau du n° 60, ils sont peu chargés et auraient pu être plus faibles.
  - Ceux du quatrième étage, qui supportent deux fois 1a. même charge, plus le poids du poteau supérieur évalué à 100 kilogr. environ avec ses ferrures, sont chargés de
  - 2X 14 259 kil-}-100kil=28 618 kilogr.
  - Leur équarrissage est de 0m,24 sur 0m,24, mais leurs arêtes « sont chanfreinées sur 0m,05 de largeur, ce qui réduit leur section transversale à 551 centimètres carrés. La charge par cen-
  - 28 618kil
  - timètre carré est donc de ——— = 52 kilogr. environ.
  - ool
  - Leur hauteur étant aussi d’environ 2m,50 ou 10,4 fois l’équarrissage, on voit qu’ils sont plus chargés que le tableau du n° 60 ne l’indique.
  - Les poteaux du rez-de-chaussée ont à supporter la charge des six étages supérieurs ou
  - 6X 14 259kil-f 600kil = 86200 kilogr.
  - Ils ont 0m,35 sur 0m,35 d’équarrissage, mais leurs arêtes sont chanfreinées sur 0m,06 de largeur, ce qui réduit leur section transversale à 1189 centimètres carrés. La charge par centimètre carré est donc de = 72,5 kilogr.
  - Leur hauteur est de 3m,20 ou 9,1 fois d’équarrissage. La charge admise par Rondelet pour des poteaux d’une hauteur égale à deux fois seulement le côté de leur base n’étant que de 48 kilogr., on voit que ces poteaux ont pu supporter sans accident une charge bien supérieure à celle qu’indique ce constructeur.
  - 66. Application de la formule du n° 63 aux poteaux du magasin de la Villette. — Pour comparer les résultats donnés par ces formules avec la construction remarquable et éprouvée du magasin de la Villette, nous calculerons d’abord les charges
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- - COMPRESSION.
  - 67
  - que les poteaux de ces magasins pourraient porter et ensuite les dimensions qu’il aurait suffi de leur donner d’après les charges réelles maximum auxquelles ils peuvent être soumis.
  - 5e étage. — Les poteaux ont les dimensions suivantes: a—b = 22ccnt, /=25dec; on en déduit,
  - P=256,5X 25Î — 96 139 kilogr.
  - La charge maximum n’est que de 14 259 kilogr. — Les poteaux de cet étage sont donc plus forts qu’il n’était nécessaire.
  - Au 4e étage on a : a—b = 24cen‘, /=25dec ; et par suite,
  - 244
  - P = 256,5X^=133 070 kilogr.
  - La charge maximum n’est que de 28 618 kilogr.
  - Au rez-de-chaussée l’on a: a = 6 = 35eent, / = 32dec.
  - 354
  - P = 256,5 X 222= 298 650 kilogr.
  - La charge maximum ne s’est élevée qu’à 86 200 kilogr.
  - Si nous calculons les dimensions que l’on eût pu se contenter de donner aux poteaux de ces trois étages, nous trouvons pour
  - Le 5e étage Le 4e étage
  - 14259X25* ,, , ,
  - à4 = ——, d ou b = 13cent,6;
  - à4
  - 256,5 28678X25* ,, ,
  - 256,5
  - t-t—, d’où b = 16cent,25 ;
  - Le rez-de-chaussée à4 =
  - 86200 X 322 256,5 ’
  - d’où
  - b = 24e<mt,22.
  - Les formules pratiques, déduites des expériences de M. E. Hodgkinson, conduisent donc à des charges supérieures à celles qui ont été supportées dans ce magasin ; mais il faut remarquer que les besoins du commerce pouvaient forcer à emmagasiner d’autres denrées, des farines, par exemple, et donner lieu à des charges plus fortes que celles sur lesquelles nous avons basé les calculs précédents.
  - 67. Expériences sur des poteaux de sapin rouge. — Le même
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- - 68
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - auteur a exécuté quelques expériences sur des pièces de sapin rouge, ayant toutes 14dec,74 de longueur, et dont la section transversale avait les dimensions suivantes :
  - 1" pièce, a=b = 5cent, 08; charge de rupture, P=5440kil;
  - 2* pièce, a=7cent,2, ô=3ceHt,6 .............. P=3490kil;
  - 3e pièce, a=8cent,82, &=2ceut,94 ............ P=1975kil.
  - Les deux dernières pièces se sont rompues par flexion, perpendiculairement au côté le plus large.
  - En comparant les charges de rupture avec les dimensions a} b et /, au moyen de la formule
  - dans laquelle K serait un coefficient constant, on trouve, pour les valeurs de K :
  - Pour la première pièce.............. K — 2234kiI,3,
  - la deuxième pièce.............. K —2276 ,2,
  - la troisième pièce.......... .... K = 19l4 ,6,
  - Moyenne................. K = 2141 ,7;
  - de sorte que les résultats de ces expériences seraient représentés par la formule
  - abs ô4
  - P =2142.-^- ou P=2142.^;
  - selon que les pièces seraient à section rectangulaire ou à section carrée.
  - Ces expériences vérifient donc aussi la loi exprimée par la formule du n° G5, et montrent que le sapin rouge, employé comme poteau ou pour résister à la compression, est moins fort que le chêne dans le rapport de 2142 à 2565, ou de 0,84 à 1,00, tandis que l’on avait admis jusqu’ici que le sapin rouge résistait plus que le chêne. On remarquera que, dans ces expé«* riences, le rapport de la longueur des pièces à leur plus petite dimension transversale a varié depuis 29 jusqu’à 50.
  - En continuant à admettre que les charges permanentes ne doivent pas excéder le dixième de celles de rupture, les formules pratiques à employer pour calculer les dimensions des poteaux en sapin rouge seraient, pour les pièces à section :
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- - COMPRESSION.
  - 69
  - carrée, P — 214kll,2. ^2;
  - rectangulaire, P=214kil,2.-^-;
  - dans lesquelles a et b sont toujours exprimés en centimètres et / en décimètres.
  - Si d'ailleurs l’on se reporte au tableau du n° Cl, on verra qu’il n’y a pas de différence notable entre la résistance à l’écrasement du sapin rouge et du sapin blanc, celui-ci paraissant même un peu plus fort. Il en est de même du pin résineux, de sorte que les formules ci-dessus pourront être adoptées pour ces différents bois.
  - Il y a cependant une différence notable entre les sapins des Vosges et certaines espèces de chênes qui sont moins résistants que d’autres bois de même essence ; et il y a lieu d’en tenir compte.
  - 68. Formules pratiquées pour les poteaux en bois. — D’après ces considérations, l’on établirait les formules pratiques suivantes :
  - NOMS DES BOIS. PIÈCES A SECTION
  - CARRÉE. RECTANGULAIRE.
  - Chêne fort 64 P = 256,5 . p. P =256.5.
  - Chêne faible b1 P = 180 P = 180 .f.
  - Sapin rouge et blanc fort et b4 abz
  - Pin résineux P = 214,2.?. P = 214 1*
  - Sapin blanc faible et Pin' 6* P = 160 P = 160
  - jaune 12 P
  - 69. Comparaison des résultats fournis par les règles déduites des données de Rondelet et des expériences de M. E. Hodgkin-son. — Pour chercher à déduire de ce qui précède des règles pratiques que l’on puisse employer avec sécurité, si nous appliquons la formule relative au chêne fort à un poteau de 15 cen-
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- - 70 DEUXIÈME PARTIE.
  - timètres d’équarrissage, par exemple, en faisant varier sa hauteur, nous formerons le tableau suivant :
  - Rapport de la hauteur des poteaux carrés à leur équarrissage. Charge par centimè- 12 14 jl6 18 20 24 28 32 36 40 48 60 72
  - tre carré en kilo- 178 131 100 79 64 44,5 32,8 25 19,8 16,0 11,1 7,1 4,9
  - grammes
  - Prenant ensuite les rapports des hauteurs à l’équarrissage pour abscisses, comme au n° GO, et les charges par centimètre carré pour ordonnées, nous tracerons, sur la figure 19 (pl. I), la courbe qui représentera la loi exprimée par la formule déduite des expériences de M. E. Hodgkinson.
  - Or, l’examen de cette courbe, comparée à celle que nous avons tirée des données de Rondelet, montre d’abord qu’elles s’accordent à très-peu près entre les limites 30 et 45 du rapport des hauteurs aux équarrissages, et que pour des valeurs ou des hauteurs plus grandes , la formule donne des charges encore à peu près les mêmes que celles de Rondelet. Il n’y a que pour des hauteurs notablement inférieures à 30 fois l’équarrissage, que la formule du n° 64 donne des charges bien plus grandes que celles de la règle déduite des données de Rondelet.
  - En effet, si l’on se reporte à l’application que nous avons faite aux n°' 65 et 66 de la formule aux poteaux du rez-de-chausséé du magasin de la Villette, qui, avec un équarrissage de 35 centimètres sur 35 centimètres, et une hauteur de 32 décimètres, ont supporté à plusieurs reprises, depuis plus de douze ans et pendant des temps assez longs, une charge de 72kil,5 par centimètre carré, on voit que la formule nous a donné pour ces poteaux une charge de 298 650 kilogr. ou environ 244 kilogr. par centimètre carré.
  - On remarquera que les poteaux d’une si faible hauteur, par rapport à leur équarrissage, se rencontrent rarement dans les constructions, et l’on pourra sans doute admettre que les formules du n° 68 peuvent être employées avec sécurité quand le rapport de la hauteur à la plus petite dimension de l’équarrissage sera compris entre 12 et 60.
  - Mais il ne faut pas perdre de vue que les formules ci-dessus, déduites des expériences de M. E. Hodgkinson, ne peuvent être regardées que comme des règles empiriques, représentant les résultats de l’observation entre certaines limites seulement, et
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- - COMPRESSION.
  - 71
  - qu’elles ne peuvent être étendues à des proportions qui s’éloignent beaucoup de celles avec lesquelles on a opéré. La charge qu’elles indiquent augmente trop rapidement quand la hauteur devient trop petite.
  - 70. Usage des formules du n° G8. — Les formules pratiques du n° G8 sont d’un emploi trop facile pour qu’il soit nécessaire d’entrer à ce sujet dans aucun détail. Il suffira d’en donner une application.
  - Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de déterminer l’équarrissage d’un poteau à section carrée, en chêne fort, devant avoir 5 mètres de hauteur, et destiné à supporter une charge de 12000 kilogr. *
  - La formule à employer est alors
  - dk
  - P = 256,5.^-,
  - dans laquelle P = 12000 kilogr., I = 50 décimètres.
  - Elle donne :
  - dk =
  - 12000 X502 250,5
  - = 116960;
  - d’ou d— 18cent,5.
  - Nous ne saurions d’ailleurs trop insister sur l’avantage qu’offrent, pour la solidité et la stabilité des constructions, les bons assemblages et les moyens de liaison invariable des différentes parties des charpentes.
  - 71. Pilots. — Les pilots, contenus de tous côtés par le sol dans lequel ils sont enfoncés, et assemblés par leurs têtes dans des chapeaux qui les rendent solidaires, ne peuvent être regardés comme des supports isolés. On adopte, pour calculer leur nombre ou leurs dimensions, la règle suivante donnée par Rondelet.
  - L’équarrissage des bois à employer étant le plus souvent indiqué d’avance par la facilité plus ou moins grande que les localités offrent pour se les procurer, on calcule le nombre des pilots par cette, règle, que Von peut charger chaque centimètre carré de leur section de 30 à 35 kilogr.
  - Supposons, par exemple, qu’il s’agisse d’un édifice dont le poids total doive être de 15 000000 kilogr., et qu’on veuille le . fonder sur des pilots de 30 centimètres de diamètre.
  - La charge que l’on pourra faire porter à chacun des pilots
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- - 72
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - (30)*
  - sera r^3x 35ka=24 745 kilosr* »
  - nombre sera de
  - 15000000
  - 24745
  - — 606.
  - et par conséquent leur
  - On aura soin de les répartir de manière qu’ils supportent des portions à peu près égales de la charge totale.
  - 72. Résistance des bois à la compression perpendiculaire à la longueur des fibres. — M. Gauthey recommande, pour la solidité et la conservation des assemblages, et pour éviter le refoulement des fibres des joints, de ne pas leur faire supporter des charges de plus de 160 kilogr. par centimètre carré, perpendiculairement à la longueur des fibrts, et de 200 kilogr. parallèlement à cette longueur. Les charges indiquées précédemment étant inférieures à ces limites, il y a peu à s’occuper de ce refoulement. On sait d’ailleurs aujourd’hui que l’emploi des armatures en fonte ou en fer consolide beaucoup les assemblages, en évitant les mortaises profondes et en répartissant la pression sur une plus grande surface.
  - Résistance des pierres à la compression.
  - 75. Expériences de Rondelet sur l’influence de la hauteur des supports en pierre, sur leur résistance à T écrasement. — M. Rondelet rapporte dans la troisième édition de son Traité de l'art de bâtir quelques expériences qu’il a faites pour constater l’influence de la hauteur des piliers en pierre de plusieurs assises; et quoiqu’elles soient incomplètes puisqu’il n’a employé que trois assises cubiques dans chaque cas, nous en rapporterons une partie.
  - NATURE DES PIERRES. NOMBRE de CUBES. roi ds qui produit l’écbasem1.
  - 1 kilogr. 8851
  - Pierre de liais fort dure 2 5411
  - 3 4780
  - 1 6650
  - Pierre dure du fond de Bayeux 2 4223
  - 3 3890
  - 1 5138
  - Roche dure de Châtillon 2 4010
  - 3 3850
  - ^^885542
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- - COMPRESSION.
  - 73
  - Si l’on représente graphiquement (pi. I, fig. 20) ces résultats, en prenant le nombre d’assises ou de cubes pour abscisses et les charges qui produisent l’écrasement pour ordonnées, on voit que la résistance à l’écrasement décroît d’abord très-rapidement à mesure que le nombre des assises augmente, mais que dès qu’il est égal à trois, il semblerait que la courbe qui représente la loi de cette résistance tend à devenir à peu près parallèle à la ligne des abscisses, ce qui indiquerait que la résistance devient constante et indépendante de la hauteur. Elle serait alors égale à un peu plus de la moitié de la résistance d’une seule assise, ou d’un cube, à l’écrasement. Cette conclusion ne saurait évidemment s’appliquer qu’à des hauteurs très-limitées, attendu que dans les constructions il y a presque toujours des poussées horizontales, qui exercent une influence spéciale souvent plus dangereuse que les charges verticales.
  - 74. Expériences de M. Vicat sur la résistance des solides à la rupture par compression. — Les expériences de ce savant ingénieur, publiées dans les Annales des ponts et chaussées pour l’année 1833, 2e semestre, sont particulièrement relatives aux phénomènes physiques, qui précèdent et accompagnent la rupture ou l’affaissement des solides grenus ou compactes, tels que les pierres, le plâtre, le mortier, les briques, etc.
  - L’auteur, qui a reconnu, comme Rondelet et Coulomb, la formation de six pyramides dans la rupture des matières,tendres ou granuleuses, fait remarquer que celte subdivision est précédée par une première désorganisation qui altère complètement la constitution du corps, et dont la division en pyramides n’est que la conséquence. Il fait observer que celte désorganisation se fait graduellement, et qu’elle est déjà en partie opérée avant que des fentes ou des éclats viennent l’annoncer. Il cite entre autres exemples de cet effet, celui des piliers du Panthéon de Paris, qui n’offraient, en 1780, que 96 fentes ou éclats, tandis qu’on en comptait 650 en 1797. Celte remarque, qui a aussi été faite par d’autres observateurs, montre que quand la pression devient suffisante pour écraser les corps solides, elle se transmet, si ce n’est en tous sens, comme dans les liquides, au moins dans toute leur étendue, puisque toutes les molécules sont désagrégées.
  - Les expériences de M. Yicat ont été faites avec soin, mais sur
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- - 74 DEUXIÈME PARTIE.
  - des solides de très-petites dimensions. 11 en conclut que pour les prismes et pour les cylindres semblables, c’est-à-dire dont les hauteurs sont entre elles dans le même rapport que les côtés ou les diamètres des bases : les résistances à Vécrasement sont proportionnelles à l'aire des sections horizontales ou des bases; c’est ce que justifient les résultats suivants extraits du tableau qu’il a donné de ses expériences.
  - RÉSISTANCE à l’écrasem*. RAPPORT DES
  - DÉSIGNATION
  - DES MATÉRIAUX. Résis- tances. Surfaces des bases.
  - cent. kil.
  - Plâtre ordinaire , cube ayant pour( côté < 1,00 7,20 42.21 58,47 1,00 1,39 4,02 1,00 1,44
  - 2,00 169,82. 4,00
  - (côtés HACTr.
  - | cent. cent.
  - ( 1,00 2,00 41,95 1,00 1,00
  - Prismes quadrangulaires ayant] 1,00 5,00 39,09 T) »
  - pour côtés et pour hauteurs\ 2,00 4,00 105,20 3,94 4.00
  - respectives 1 i ,00 0,50 40,30 172,46 1,00 1,00
  - l 2,00 1,00 3,73 4,00
  - PLATRE.
  - Cube de 2e.00 de côté 169,82 134,00 457,51 306,00 1,26 1,000 1,250 1,000 1,273 1,000 1,273 1,000
  - Cvlindre inscrit, chargé debout
  - Cube de 2',00 de côLé
  - Cvlindre inscrit, charsé debout
  - BRIQUE CRUE.
  - Cube de 2e,00 de côté 139,79 107,50 1,250 1,000 1,273
  - Cylindre inscrit, chargé debout 1,000
  - CALCAIRE. .
  - Cube de 2e.00 de côté 979,84 782,89 1,275 1,000 1,273
  - Cylindre inscrit , chargé debout 1,000
  - 75. Résistance des pijramides semblables. — Les expériences du même ingénieur montrent que les pyramides tronquées semblables suivent la même loi que les prismes, c’est-à-dire que leurs résistances à la rupture sont proportionnelles aux carrés des côtés homologues ou à la surface de leurs bases.
  - 7G. Résistance des cylindres employés comme rouleaux.—Voici comment s’exprime M. Vicat sur la rupture des cylindres et des sphères :
  - a Les cylindres chargés sur leurs arêtes ou employés comme « rouleaux pressés entre deux plans horizontaux, commencent
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- - COMPRESSION.
  - 75
  - Ur a par se déprimer sur les lignes de contact, bientôt deux coins
  - nt « abc, a'b'c' (pl. I, fig. 21) se forment sur les faces de dépression;
  - « chacun a pour côtés deux plans qui se coupent à angle droit nt « suivant une horizontale contenue tout entière dans le plan
  - ÎS* « vertical qui passe par l’axe du cylindre. Le tranchant c du
  - a a coin supérieur est éloigné du tranchant c' du coin inférieur
  - a des | du diamètre du cylindre,
  - « Au moment où la décomposition que l’on vient de décrire « se décide, la rupture a lieu ; les deux coins, en se rapprochant <t fendent le reste du cylindre dont les deux moitiés sont pro-i « jetées à droite et à gauche. Tel est le mode de rupture offert
  - « constamment par les solides cylindriques à texture arénacée, « terreuse ou grenue, tels que pierres, briques et mortiers. Les s fragments séparés par les coins ne paraissent pas altérés « dans leur cohésion intime, mais les coins sont presque pul-« vérulents.
  - « L’expérience prouve que les résistances à la rupture des i cylindres employés comme rouleaux sont proportionnelles « aux produits des axes par les diamètres. D’où il suit que pour « des cylindres semblables ces forces sont comme les carrés œ des diamètres, et pour les cylindres de même longueur a comme les diamètres seulement. »
  - 77. Résistance des sphères. — a Une sphère (pl. I, fig. 21) « étant pressée entre deux plans horizontaux, se déprime aux « points de contact : bientôt il se forme deux cônes abc, a'b'c' » dont chacun a pour hase la surface circulaire déprimée. La « sphère sollicitée par les efforts de ces deux cônes dont les « sommets c etc'regardent le centre, se fend en deux, ou en trois > i ou en quatre, et il ne reste des petits cônes que leurs débris.
  - 1 « Si un instant avant la rupture on dégage la sphère pour en
  - examiner l’état, on trouve les espaces occupés par les cônes « remplis d’une matière pulvérulente fortement comprimée. « Ainsi les cônes ne commencent à agir avec efficacité que « lorsque la matière dont ils sont composés a passé par la pul-vérulence, pour se constituer ensuite dans un nouvel état de « densité plus convenable à l’effet qu’elle doit produire. »
  - « L’expérience prouve de plus que les résistances des sphères « à la rupture par écrasement sont entre elles comme les carrés « de leurs diamètres. »
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- - 76
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - De nombreuses observations que nous avons recueillies à Melz, M. Piobert et moi, sur la rupture des projectiles brisés par le choc, ont montré que quand un boulet choque uii corps dur tel que la fonte, sa partie choquante forme, aux vitesses moyennes, la base d’une pyramide à cinq faces, et qu’aux grandes vitesses cette pyramide se change en un cône à génératrice curviligne, qui est presque toujours multiple ou formé de plusieurs autres cônes conaxiques, et dont l’axe diminue de longueur, à mesure que la vitesse du choc augmente. Lorsqu’un boulet est choqué par un autre, le point choqué devient le plus ordinairement le sommet déprimé d’une pyramide à cinq faces.
  - 78. Influence de la hauteur des supports ou du nombre des assises.— La grande diminution de résistance des supports composés de plusieurs assises, observée par Rondelet, est attribuée par M. Vicat, pour la majeure partie, à l’influence du dégauchissement imparfait des assises et à l’absence du mortier ou du ciment, qui aurait fait disparaître ou du moins aurait beaucoup atténué cette différence. Il cite à l’appui de cette opinion plusieurs expériences exécutées sur des prismes en plâtre, dans lesquelles il a trouvé que, la résistance d’un prisme monolithe de hauteur h étant représentée par l’unité, on a pour celles des prismes
  - à deux assises et de hauteur h..0,930
  - à quatre assises et de hauteur 21i...0,861
  - à huit assises et de hauteur 4h..0,834
  - même sans interposition de mortier. Il pense donc que la subdivision d’un pilier en assises, dont chacune est monolithe et dont les joints bien dressés sont convenablement garnis de mortier, ne diminue pas sensiblement sa résistance à l’écrasement; mais il indique qu’il n’en est pas de même quand les assises sont subdivisées par des joints verticaux.
  - De l’ensemble de ses expériences il conclut que : « les solides « semblables d’une seule pièce ou composés semblablement « d’un même nombre de pièces, élant semblablement chargés, « résistent dans le rapport des carrés de leurs côtés homo-•« logues. »
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- - COMPRESSION.
  - 77
  - 70. Conclusions pratiques. — L’auteur croit pouvoir conclure de ses dernières expériences, que la charge qu’on peut faire porter aux corps soumis à des efforts de compression d’une manière permanente, est 0,30 de celle qui produirait l’ccrase-ment; mais il ajoute qu’il faudrait encore faire la part des malfaçons dans la pose et dans la taille, celle des défauts invisibles, etc.; il n’indique pas le rapport auquel il pense que l’on devrait s’arrêter pour obtenir la sécurité convenable.
  - 80. Expériences fuites au pont Britannia sur la résistance à l’écrasement de maçonneries de briques ou de pierres. — L’appareil employé dans ces expériences se composait d’un plateau sur lequel on plaçait les poids formant la charge, et il reposait immédiatement sur une plaque de fonte qui appuyait sur la maçonnerie à essayer, par l’intermédiaire d’une planche de sapin destinée à répartir uniformément la pression. Une plaque semblable, recouverte aussi d’une planche, recevait celte maçonnerie à la partie inférieure.
  - Quatre guides cylindriques maintenaient le parallélisme des plaques de fonte, et la pression de la charge était transmise au milieu de la plaque supérieure par une forte tige de fer forgé liée au plateau.
  - La maçonnerie de briques à essayer était, ainsi que les pierres, disposée en cubes. Celle de briques était faite avec du ciment et à joints croisés.
  - Les briques employées n’étaient pas très-dures et avaient été, suivant l’usage anglais, fabriquées sur place et cuites en tas, à l’air, avec de la houille.
  - Les grès rouges soumis aux expériences étaient les uns secs et les autres humides, ce qui paraît exercer une grande influence sur la résistance.
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- - 78 DEUXIÈME PARTIE.
  - EXPÉRIENCES SUR LA RÉSISTANCE DE LA MAÇONNERIE DE BRIQUES ET DE PIERRES A L’ÉCRASEMENT. RÉSISTANCE par centimèt. carré en kilogr.
  - MAÇONNERIE DE BRIQUES. kilogr.
  - Cubes de 0ro,23 de côté, en briques cimentées, placés entre des planches 38,791 43,059 31,927
  - 39,993 29,373
  - Moyenne 36,625
  - Cette résistance moyenne équivaut au poids d’une hauteur de
  - maçonnerie de briques de 190 mètres.
  - GRÈS. Cube de grès rouge de 0m,076 de côté, complètement sec, entre des 143,580
  - planches, densité, 2160
  - Cube de grès de 0m,076, un peu humide, posé sur un ciment, deu-
  - sité, 2580 90,306
  - Cube de grès de 0m,076 , très-humide, posé sur ciment, densité,
  - 2150 76,252
  - Cube de grès de 0m,152, posé sur ciment, densité, 2675.. 275,581
  - Moyenne 153,550
  - Cette résistance moyenne équivaut à une hauteur de maçonnerie de la même pierre de 760 mètres. PIERRE CALCAIRE. Cube de en pierre calcaire de l’île d’Anglesey, placé entre
  - des planches*, densité, 2750 465,09
  - Cube de 0n,,076, placé entre des planches, densité, 2420 56^,96
  - Cube de 0m,076, densité, 2420 Trois cubes séparés de 0m,0254 chacun, disposés en triangle entre 541,34
  - des planches 452,72 532,63
  - Moyenne
  - Cette résistance moyenne équivaut à une hauteur de maçonnerie de la même pierre de 2100 mètres.
  - * Cette pierre présentait au pourtour de nombreuses fentes et des éclats, mais les
  - deux tiers de sa surface étaient intacts.
  - 8i. Expériences faites au Conservatoire des arts et métiers. — Il a été fait récemment au Conservatoire des expériences sur la résistance de divers matériaux à l’écrasement au moyen d’une presse hydraulique à quatre cylindres de MM. Hick et fils de Bolton, à laquelle on avait adapté un manomètre à piston différentiel de M. Galy Casalat, qui indiquait la marche de l’inten-
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- - COMPRESSION.
  - 79
  - sité de la pression transmise au liquide contenu dans le corps de presse, d’où l’on déduisait la pression totale exercée sur la base du gros piston.
  - Pour avoir la pression réellement transmise exercée par le plateau de la presse sur les corps en expérience, il aurait fallu tenir compte du frottement du grand piston contre sa garniture en cuir embouti, mais cette résistance ne nous étant pas encore connue, nous avons mieux aimé indiquer simplement la pression totale exercée sur le piston que de faire une appréciation plus ou moins contestable du frottement, que nous nous occupons d’ailleurs de déterminer par des expériences directes.
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- - 80
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - RÉSULTATS DES EXPÉRIENCES FAITES AU CONSERVATOIRE DES ARTS ET MÉTIERS SUR LA RÉSISTANCE DES PIERRES A L’ÉCRASEMENT.
  - NOMS des carrières. POIDS du mètre cube. FORME des blocs. DIMENSIONS de leur base. PRESSION LOtale produisant PRESSION par eentim, produisant
  - .. O s ë ^ I CE! d -c- o O -J ‘03 H •n a; ai « I £ ce d e CJ § ‘<D G 05 C/5
  - PIER RES CALCAIRES.
  - * kil.
  - Roche deBagneux. 2777 cubique 0ra,06sur0m,06 22482 26316 674 731
  - Laversine . 2546 XI 33 14051 20608 362 572
  - Vitry 2453 yy 35 8430 17 423 234 484
  - Moulin 2206 yy yy 7 081 8992 213 249
  - Saint-Non » yy yy 7 494 15550 202 432
  - Forgel 2245 7) yy 5620 8 805 156 244
  - Marly-la-t ille.... 2005 • 35 0™,082 sur0m, 082 14051 10486 209 246
  - Vergelé-Ferié.... 1887 X> yy 7 119 8 430 106 125
  - Abbaye Duval.... 1727 X) yy 2991 4309 44.7 04.3
  - Banc - Royal de
  - Merry 1722 35 yy 2 622 4121 39.1 61.5
  - Vergelé-Fin 1497 X) yy 2445 2810 36.4 41.9
  - Lambourde ... 1696 yy yy 1873 2445 27.9 36.4
  - GRÈS BIGARRÉ DES VOSGES .
  - Niederwiller 2170 cubique 0m,08sur0m,08 29561131375 461 490
  - Wilzbourg X> 35 35 25753 20378 402 412
  - Niederwiller 7) 3) 33 23758 27 506 371 430
  - Bremenil 7) 3) 33 21945 23577 342 368
  - Kibolo X> yy yy 20318 20832 317 419
  - Archeriller yy D 19949 27 506 311 430
  - Artzwiller X) yy yy 1813G 25390 283 396
  - Bréménil X> yy yy 17792 33090 278 517
  - Arsclieviller yy yy yy 17 230 19406 269 303
  - Merwiller 3) yy yy 17 129 18861 267 294
  - Hanneavé » yy yy 10882 uVui>le 170 yy
  - portait
  - Arsclieviller X) yy D 10882 22071 170 352
  - Moye me géi îérale. 392
  - Nota. Ces grès, de couleur rose ou blanche, d’un grain fin, faciles à tailler
  - et à sculpter, que l’on peut obtenir en gros blocs, méritent l’attention des
  - constructeurs.
  - PIERRE CALCAIRE DE CAUMONT (EURE).
  - Caumont 2020 |cubique| 0m,08sur0m,08 113395|15295|372 1424
  - Nota. Aucun des échantillons ne s’est fissuré sous une pression inférieure a
  - 287 kilogr. par centini. carré. —L’écrasement complet n’a jamais eu lieu sous
  - une pression inférieure à 342 kilogr.
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- - COMPRESSION.
  - 81
  - 82. Expériences sur des pierres factices.—L’on a essayé récemment de fabriquer des pierres factices formées de plâtre silicaté gâché avec ou sans cailloux, et des expériences sur la résistance de ces matériaux à l’écrasement ayant été faites au Conservatoire, il m’a paru utile d’en faire connaître les résultats.
  - Les pierres essayées élaient des cubes de 0m,20 de côté, les uns pleins, les autres évidés de manière à réduire la surface résistante, et le volume de matière employée dans le rapport de 400 à 310 ou de 4 à 3.
  - L’on a observé la marche progressive des pressions et des dégradations produites par la presse hydraulique.
  - EXPÉRIENCES SUR LA RÉSISTANCE A L’ÉCRASEMENT DES PIERRES ARTIFICIELLES A BASE DE PLATRE SILICATÉ.
  - FORME DIMENSION PRESSION PAR CENTIME IRE CARRÉ, produisant
  - DES BLOCS. et surface pressée. les premières Assures. de nombreuses fissures. l’écrase- ment. OBSERVATIONS.
  - Cubes pleins. 0'”,20 sur0m,20 400cent<i kil. » 20,25 33,67 37,74 kil. 36,00 54,00 41,80 46,45 kil. 49,50 64,32 58,38 66,77 Plâtre silicaté sans cailloux. Plâtre silicaté
  - Cubes évidés. 0ra,20 sur 0™,20 310cent<f avec cailloux. Plâtre silicaté sans cailloux. Plâtre silicaté
  - avec cailloux.
  - Moyenne générale de la résistance à l’écrasement... 47,72
  - Les expériences de M. Vicat sur la résistance du plâtre lui ont donné, pour la charge qui produisait les premières fissures, 31kil,92 et pour celle qui amenait l’écrasement, 59kil,74, ce qui indiquerait que les pierres en plâtre silicaté n’offrent pas plus de résistance que celles qui seraient faites en bon plâtre ordinaire. Mais il convient d’ajouter que ces matériaux, exposés à l’air depuis près de deux ans, se sont beaucoup mieux conservés que des blocs de plâtre ordinaire placés dans les mêmes circonstances.
  - 85. Conclusions des expériences sur les pierres et les maçonne-
  - 6
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- - 82
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - ries. — Outre les expériences que nous venons de citer sur la résistance des pierres et des maçonneries, il en a été exécuté beaucoup d’autres dont les conséquences généralement admises sont :
  - 1° Que les qualités physiques des pierres, telles que la dureté, la pesanteur spécifique, la couleur, ne peuvent servir d’indice pour juger exactement de la résistance. Il est nécessaire de recourir à des expériences spéciales sur chaque espèce de matériaux.
  - 2° Que dans une même carrière, les pierres qui proviennent du ciel ou toit et du fond ou mur des couches, qui sont en général moins denses, sont aussi moins résistantes que celles du milieu.
  - 3° Que pour des figures semblables, la résistance est proportionnelle à l’aire des sections transversales.
  - 4° Que pour une même nature de pierre, la résistance est la plus grande possible quand l’échantillon a la forme cubique.
  - 5° Que la résistance d’un cube étant représentée par l’unité, celle du cylindre inscrit posé sur sa base sera 0,80, celle du même cylindre posé sur une arête sera 0,32, et celle de la sphère inscrite 0,26.
  - 6° Que les pierres dures cèdent fort peu à la pression et se divisent tout à coup en lames et en aiguilles sans consistance, qui se réduisent facilement en poussière.
  - 7° Que les pierres tendres se partagent, dans les premiers instants de la rupture, en pyramides ou en cônes, ayant pour bases les faces supérieures et inférieures.
  - 8° Que la résistance des supports diminue d’autant plus qu’ils sont composés d’un plus grand nombre de parties.
  - 9° Que dans les constructions ordinaires, on ne doit charger les maçonneries en pierres de taille et les maçonneries en moellons que du vingtième du poids que pourraient supporter sans s’écraser les matériaux dont elles sont composées.
  - C’est d’après ces résultats généraux des expériences directes et de l’observation des bonnes constructions existantes, que l’on a formé le tableau qui donne les poids dont on peut charger avec sécurité les supports en maçonnerie de différentes natures soumis à des efforts de compression.
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- - COMPRESSION.
  - 83
  - POIDS DONT ON PEUT CHARGER LES SUPPORTS DE MAÇONNERIE AVEC SÉCURITÉ.
  - DÉSIGNATION
  - DES CORPS.
  - PiERRES VOLCANIQUES, GRANITEUSES , SILICEUSES ET ARGILEUSES.
  - Basalte de Suède et d’Auvergne.....................
  - Lave dure du Vésuve................................
  - Lave tendre de Naples..............................
  - Porphyre...........................................
  - Granit vert des Vosges.............................
  - Granit gris de Bretagne............................
  - Granit de Normandie, dit gatonas...................
  - Granit gris des Vosges.............................
  - Grès très-dur blanc ou roussâtre ..................
  - Grès bigarré des Vosges................. . .......
  - Grès tendre........................................
  - Pierre de porc ou puante (argileuse)...............
  - Pierre grise de Florence (argileuse à grains fins)....
  - PIERRES CALCAIRES.
  - Marbre noir de Flandre.............................
  - Marbre blanc veiné, statuaire et marbre turquin.... Pierre noire de St-Fortunat, très-dure et coquilleuse Roche de Châtillon, près Paris, pure et un peu co
  - quilleuse........................................
  - Liais de Bagneux, près Paris, très-dur à grain fin..
  - Roche douce —......................................
  - Roche d’Arcueil, près Paris
  - lre qualité
  - Pierre de Saillancourt, près Pontoise... ( 2e
  - 3
  - Pierre ferme de Conflans, employée à Paris Pierre tendre (lambourde vergelée) employée à Paris,
  - résistant à l’eau................................
  - Calcaire dure de Givry, près Paris.................
  - Calcaire tendre, idem .........................
  - Calcaire jaune oolithique de Jaumont, près Metz....
  - Idem d’Armanviliiers, près Metz....................
  - Roche vive de Saulny, près Metz....................
  - Roche de Bagneux *.....................................
  - Laverrine*.........................................
  - Vitry*.............................................
  - Moulins*...........................................
  - Saint-Non *........................................
  - Forgel *..........................•................
  - Marly-la-Ville *...................................
  - des arts et métiers.
  - POIDS du décimètre cube. POIDS dont on peut charger lescorpsavec sécurité, le rapport de la longueur à la plus petite dimension étant 12.
  - kilogr. kilogr.
  - 2,95 200, »
  - 2,60 59, »
  - 1,97 23, »
  - 2,87 247, »
  - 2,85 2,74 62, »
  - 65, »
  - 2,66 70, »
  - 2,64 42, »
  - 2,50 87, « 20,1
  - 2,49 2,66 00,40
  - 68, »
  - 2,56 42, »
  - 2,72 79, »
  - 2,69 2,65 31, »
  - 63, »
  - 2,29 17, »
  - 2,44 44, »-
  - 2,08 13, »
  - 2,30 25, »
  - 2,41 14, »
  - 2,29 12, »
  - 2,10 9, »
  - 2,07 9, »
  - 1,80 6, »
  - 2,36 31, »
  - 2,07 12, »
  - ( 2,20 1 , »
  - i 2,00 12, 5)
  - 2,00 12, »
  - 2,00 10, »
  - 2,55 30, »
  - 2,78 36,55
  - 2,55 28,60
  - 2,45 24,20
  - 2,30 12,45
  - 55 21,60
  - 2,24 12,20
  - 2,06 12,30
  - nces faites au Conservatoire
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- - 84
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - DÉSIGNATION DES CORPS. POIDS du décimètre cube. POIDS dont on peut charger les corps avec sécurité, le rapport de la lunguour à la plus petite dimension étant 12.
  - Vergelé fprré . kilogr. 1,8!) 1,7-3 kilogr. 0,25 3,21
  - A liage-Du val *
  - Banc royaj de Merry w 1,72 3,75
  - Vergelé fin * 1,50 1,70 2 95
  - Lambourde * 1,82
  - Gaumont (Eure) * 2.02 21,20
  - Roclie jaune de Rozérieulles, près Metz 2,40 18, »
  - Calcaire bleu à gryphites, donnant la chaux liydrau- 2,60 20, » 2, »
  - Lambourde de qualité inférieure résistant mal à l’eau. R56
  - BRIQUES.
  - Brique dure très-cuite Brique rouge 1,56 2,17 15, » 6, T>
  - Brique rouge pâle 2,09 4, »
  - Brique de Hammersmilh 30 7, »
  - Brique de Haimnersmith brûlée ou vitrifiée 33 10, »
  - Briques anglaises ou flamandes tendres y> 1, 8
  - PLATRE ET MORTIERS.
  - Plâtre gâché à l’eau (M. Vicat) i) 2,99
  - Plâtre silicalé * » 2,70
  - Plâtre silicalé avec cailloux * « 3,28
  - Mortier ordinaire en chaux et sable 7) 3,60
  - Mortier en ciment et tuileaux pilés. 35 4,80
  - Mortier en grès pilé X) 2,90
  - Mortier en pouzzolane de Naples et de Rome 30 3,70
  - Béton en bon mortier, de 18 mois 3) 4, »
  - Les résultats marqués d’une * sont déduits des expériences faites au Conservatoire
  - des arts et métiers.
  - Avant de terminer cette revue des principaux résultats de l’expérience, il ne sera pas inutile de rapporter quelques données relatives à l’usure des pierres et à la cohésion des mortiers.
  - 84. Résistance des différentes sortes de pierre à l’usè. — Pour le dallage des édifices, il importe d’employer des pierres qui s’usent peu sous le frottement répété des chaussures des passants. M. Rondelet rapporte, page 298 du premier volume de son Traité de fart de bâtir, des expériences dont il a déduit le classement suivant des différentes pierres essayées, comparées au granit antique, dont la résistance est représentée par 1000.
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- - COMPRESSION.
  - 83
  - DÉSIGNATION DES PIERRES. RÉSISTANCE relative à l’usé.
  - Granit antique 1000
  - Granit vert des Vosges 952
  - Granit feuille morte 923
  - flranit eris 889
  - Granit de Bretagne 857
  - Granit gris de Normandie ' 800
  - Maibre bleu turquin 125
  - Marbre blanc veiné 100
  - Pierre de liais 87
  - M. Rondelet fait d’ailleurs remarquer qu’il n’y a pas de rapport direct entre la résistance à l’usé et la résistance à l’écrasement.
  - Il serait à désirer que des expériences semblables fussent faites sur les différentes matières dont on recouvre les trottoirs et autres passages publics depuis quelques années.
  - Cohésion et adhérence des mortiers.
  - 83. Expériences sur la résistance et l’adhérence du mortier et du plâtre. — M. Rondelet rapporte (page 218, Ier vol.) diverses expériences exécutées de 1783 à 1802 sur la résistance du mortier et du plâtre. De ces expériences, faites en écrasant des briques de mortier de 0m,15 de longueur, 0m,10 de largeur et 0m,04 d’épaisseur, dix-huit mois après leur fabrication, au moyen d’un levier de pression chargé de poids, il a conclu que :
  - 1° La massivation, ou l’action de battre le mortier, augmente sa force, qui croît dans le ..rapport de 1 à 1,3 environ par le battage.
  - 2° Les sables les plus arides ou les plus dépourvus de matières terreuses ne sont pas toujours les meilleurs.
  - 3° Le bon plâtre cuit, gâché à point, a la force moyenne du mortier de chaux grasse, et le plâtre gâché avec du lait a une force supérieure au mortier ordinaire.
  - En répétant, en 1802, les mêmes expériences sur des bri-» ques de morlier de la même fabrication, c’est-à-dire quinze ans après, il a reconnu que la résistance primitive étant 1000, celle des différents mortiers avait acquis, après ce laps de temps, les valeurs suivantes ;
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- - DEUXIÈME PARTIE.
  - DÉSIGNATION DES MORTIERS. RÉSISTANCE relative, la résistance primitive supposée égale à îooo.
  - Mortier de chaux et sable de rivière 1125
  - Mortier de ciment pur 1250
  - Mortier de ciment et sable 1111
  - Mortier de poudre de grès 1011
  - Mortier de poudre de pierre de Conflans 1400
  - Mortier de pouzzolane de Rome 1143
  - Mortier de pouzzolane grise de Naples 1333
  - Mortier de pouzzolane blanche 1286
  - Mortier de pouzzolane d’Écosse 1055 ,
  - 86. Force avec laquelle le mortier unit les pierres. — Le même auteur rapporte les expériences qu’il a faites pour déterminer l’effort qu’il faut exercer normalement à une surface de joint pour séparer deux pierres scellées avec du mortier de chaux et sable fin, fait avec soin, après six mois de dessiccation. Les surfaces scellées n’avaient que 00293 d’étendue, et en admettant ce que d’autres expériences dont il sera parlé plus loin tendent à établir que la résistance à la séparation soit proportionnelle à l’étendue de la surface, on en déduit pour la résistance par mètre carré de surface les valeurs suivantes :
  - DÉSIGNATION DES PIERRES. SCELLÉES EN MORTIER. RÉSISTANCE par mètre carré.
  - kil.
  - Pierre de liais à surfaces polies au grès 10692
  - Pierre de liais à surfaces moins polies 11699
  - Pierre d’Arcueil 12030
  - 15180
  - Pierre de Vergelée 15870
  - Pierre de Conflans 18040
  - Pierre meulière. 20380
  - Brique de Bourgogne 23050
  - Tnilftanx 23560
  - 87. Force avec laquelle le plâtre unit les pierres. — M. Rondelet a fait des expériences analogues avec le plâtre, en scellant deux cubes semblables aux précédents et en déterminant après six mois l’effort nécessaire pour les séparer.
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- - COMPRESSION.
  - 87
  - DÉSIGNATION DES PIERRES. RÉSISTANCE par mètre carré.
  - kil.
  - 20716
  - Pierre dure d’Arcueil 21216
  - Pierre dure du faubourg Saint-Marceau 15035
  - Pierre de Saint-Leu 24726
  - Pierre de Conflans 27872
  - Pierre de Vergetée 24057
  - Pierre meulière 31575
  - 33580
  - M. Rondelet fait remarquer que la force de cohésion et de réunion du mortier croît avec le temps, au lieu que celle du plâtre diminue, surtout lorsqu’il est exposé à l’air et à l’humidité. Jusqu’à sept ou huit ans, la liaison du plâtre est plus forte que celle du mortier ordinaire ; après dix ou douze ans, celle du mortier est plus grande.
  - 88. Comparaison entre la force de cohésion et la résistance à l'écrasement. — En comparant ces deux résistances, M. Rondelet a trouvé que la première était à la seconde dans les rapports suivants :
  - DÉSIGNATION DES SUBSTANCES. RAPPORT entre la résistance à la rupture par traction et la résistance à l’écrasement.
  - Mortier de chaux et de sable, de 16 ans i : 12
  - plâtre 1 • 9,5
  - Brique en ciment. i : 7,5
  - Briques en pouzzolane i:8
  - Mortiers antiques i:8
  - Résistance de la fonte à la compression.
  - 89. Expériences de M. E. Hodgkinson*. — On doit encore à ce physicien des expériences précises et nombreuses sur la
  - Rapport des commissaires de l’enquête sur l’emploi du fer.
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- - DEUXIÈME PARTIE.
  - compression de la fonte, dans lesquelles il a mesuré les com-pressions élastiques et les compressions permanentes.
  - Les barres soumises à l’expérience avaient 3m,05 de longueur sur 6cen,,tl,45 de section. Elles étaient contenues dans un bâtis en fer qui les empêchait de fléchir. On avait soin de les graisser pour diminuer leur frottement latérâl dans les guides, et on les frappait de temps à autre avec un marteau pour éviter l’adhérence.
  - La fonte provenait de la même coulée que les barres employées aux expériences sur l’extension du même métal, rapportées au n° 15.
  - Les résultats moyens d’une expérience, rapportés aux mesures métriques sont insérés dans le tableau suivant :
  - RÉSISTANCE DE LA FONTE A LA COMPRESSION.
  - CHARGE par centimètre carré. COMPR1 PAR MÈTRE I totale. ESSION E LONGUEUR permanente. COEFFICIENT d’élasticité rapporté au mètre carré.
  - kil. m. mill. kil.
  - 145,105 0,00015605 0,003914 9 292 781 000
  - 290,209 0,00032396 0,01882 8 986 080 000
  - 439,315 0,00049784 0,03331 8 744 071 000
  - 580,419 0,00065625 0,05371 8 845 800 000
  - 725,525 0,00082808 0,07053 8 761 470 000
  - 870,644 0,00100253 0,09053 8 684 430 000
  - 1015,535 0,0011795 0,11700 8 611 720 000
  - 1160,840 0,0013606 0,14258 8 531 780 000
  - 1305,945 0,0015411 0,17085 8 474 260 000
  - 1451,050 0,0017175 0,20685 8 448 391 000
  - 1741,256 0,0020786 0,36810 8 376 781 000
  - 2032,171 0,0024733 0,45810 8 216 480 000
  - 2326,661 0,0029432 0,50768 7 887 180 000
  - 90. Représentation et conséquences de ces expériences. — En représentant les résultats de ces expériences par une construction graphique, dans laquelle les abscisses sont les raccourcissements ou compressions à l’échelle de 40 mill. pour 1 mill. et dont les ordonnées sont les charges à l’échelle de 5 mill. pour un kilogramme par millimètre carré, on a obtenu pour représenter la relation des charges aux compressions totales une ligne qui, jusqu’aux charges de I4kn,50 et même 17kil,4l par
  - ^9156622
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- - COMPRESSION.
  - $9
  - millimètre carré, est sensiblement droite. (Voy. la figure 1, pl. II, réduite sur la gravure à demi-grandeur.)
  - Si des compressions totales on retranche les compressions permanentes, les restes, qui sont les compressions élasliques, sont exactement proportionnels aux charges jusqu’à celles de 23kil,27 par millimètre carré de scclion.
  - Il résulte de là que les compressions, soit totales, soit élastiques, sont, entre des limites très-étendues, proportionnelles aux charges. Quant aux valeurs absolues des compressions permanentes, elles sont, jusqu’à des charges de 10 à 12 kilogr. par millimètre carré, tellement faibles, que dans la pratique on peut les négliger.
  - Le rapport des charges par mètre carré aux compressions exprimées en mètres, par mètre de longueur, a pour valeur moyenne depuis les plus petites charges jusqu’à celle de 17kil,41 par millimètre carré
  - E = 8 804 764 000kil,
  - et cette valeur moyenne ne diffère au plus que de ^ de celle qui s’en écarte le plus.
  - On voit d’ailleurs qu’elle est à peu près la même que la valeur relative à l’extension, de sorte que pour les faibles variations de longueur, il est, au moins pour la pratique, à peu près exact de regarder les résistances de la fonte à l’extension et à la compression comme égales entre elles, ce qui est la base de la théorie de la résistance à la flexion que nous exposerons plus tard. Mais il doit être bien entendu que cela ne peut être admis qu’entre des limites étroites. Alors, en prenant la moyenne des valeurs trouvées au n° 16 et au précédent, on a
  - E = 9 096 070 000kit pour l’extension ;
  - E = 8 804764000 pour la compression; valeur moyenne E = 8950417000kil pour le coefficient d’élasticité de la fonte.
  - D’après l’ensemble des expériences antérieures à celles de M. E. Hodgkinson, on admettait pour la fonte grise à grain fin:
  - E = 12 000 000000“.
  - Mais il ne faut pas perdre de vue qu’il y a une différence
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- - 90
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - considérable entre la résistance des fontes selon le degré de finesse et la nature de leur grain, la qualité du métal, etc.
  - 91. Expériences de M. Eaton Hodgkinson sur la résistance à Vécrasement des pièces courtes en fonte de fer. — Antérieurement aux expériences que nous venons de citer, le même observateur en avait fait d’autres sur la résistance de la fonte à la rupture par compression, sur des échantillons plus courts, en se bornant à déterminer les charges d’écrasement*. L’auteur indique que tous les soins convenables avaient été pris pour s’assurer que les bases des cylindres ou des prismes soumis à la compression étaient exactement parallèles entre elles, perpendiculaires à l’axe de figure des solides et pressées entre deux surfaces parallèles, de façon que la pression s’exerçait également sur tous les éléments de ces bases.
  - Le tableau suivant contient les résultats des expériences faites sur des cylindres et des prismes de fonte n° 2 des fonderies de Canon, en Écosse.
  - HAUTEUR des échantillons. CHARGES.
  - CYLINDRES. Prismes droits à base triangulaire équilatérale. Aire=0mT,0002095. Prismes droits à bases carrées de 0m,0i27 de côté. Aire = om-t,00016129. Prismes droits à base rectangulaire de 0m,0254 sur0m,000637. Aire = 0mî,00016193. J
  - cô Il CO II CO • <UD " O a o © g ©.g ° o ". 2 II 1 ! Ht G G tr 05 s O ir • o Il k- H ^ . (N II ^ o II « ||! . 50 11 s s £ O p ? 2 o
  - m. kil. kil. kil. kil, kil. kil. kil.
  - 0,00318- 12505,30 11658,03 12002,94 10960,00 77 77 » 77
  - 0,00635 9758,58 10467,06 9709, » 7) X) 77 77
  - 0,00953 9393,70 8736,24 9504,50 7) » 77 »
  - 0,01270 9018,70 8673,91 8709,20 » 7702, » 7230,40 8540,70
  - 0,01588 9030,14 9003,37 X> 8456,30 77 77 »
  - 0,01905 8559,24 9577,70 8443,10 7847,80 7247, » 6800,30 X>
  - 0,02223 77 » » 7847,80 J) 77 »
  - 0,02540 8298,75 9461,94 8228, d 77 6792, » 67,3260 7041,90
  - 0,03175 H 9088,59 8699,20 77 77 77 n
  - 0,03810 77 9001,46 8439,01 7) 77 77 77
  - 0,05080 77 8777,35 7854,10 7) » » 77
  - * Experimental researches on the strength and other properties of cast iron, by Eaton Kodgkinson. 1842. — Philosophical transactions, année 1840.
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- - COMPRESSION.
  - 91
  - 92. Conséquences de ces expériences. — La comparaison de ces résultats montre que les échantillons les plus courts supportent généralement, à diamètre égal ou à dimensions égales de la base, des charges plus fortes que les échantillons les plus longs. Dans les plus courts, la rupture se produit par l’écrasement du milieu de la pièce et son élargissement, de sorte qu’il rompt, déchire et arrache les parties qui l’entourent. C’est ce qui arrive généralement quand les dimensions latérales du prisme ou le diamètre du cylindre sont assez grands par rapport à sa hauteur.
  - Quand ces dimensions sont égales ou peu inférieures à la hauteur, la rupture se produit par la division oblique du corps suivant plusieurs directions.
  - Dans le cas des prismes en fonte, la flexion est nulle ou très-petite avant la rupture, et alors celle-ci a lieu par la formation de deux cônes ou pyramides, dont les bases sont les extrémités du corps, et qui rompent et écartent les côtés, ou bien, ainsi que cela arrive généralement pour les cylindres, la rupture se produit par le glissement d’une sorte de coin partant de l’une des hases qui forme la sienne, et dont l’angle est constant pour une même espèce de matériaux et variable d’une espèce à l’autre.
  - Pour la fonte, cet angle est tel que la hauteur du coin est un peu moindre qu’une fois et demie le diamètre. Dans cette fracture, la partie du cylindre dont le coin se détache, se renfle vers le milieu, et se trouve raccourcie surtout avec la fonte douce.
  - Le mode de fracture est le même, et la force de la pièce mise en essai reste sensiblement la même, à dimensions latérales égales, quand la hauteur augmente, pourvu que cette dimension soit comprise entre 1 fois et 4 à 5 fois le diamètre pour les cylindres, ou la moindre dimension latérale pour les autres formes de solides.
  - Mais au delà de cette proportion, la résistance diminue d’autant plus que la hauteur croît davantage.
  - Les expériences n’ont signalé qu’une assez faible différence entre la résistance de la fonte obtenue à l’air froid et celle qu’on obtient à l’air chaud.
  - Enfin, la comparaison des résultats du tableau précédent montre que la résistance de la fonte à l'écrasement est sensible-
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- - DEUXIÈME PARTIE.
  - 92
  - ment proportionnelle à l'aire de la section transversale. Ainsi, les cylindres de 0m,0127 de diamètre supportent à peu près 4 fois la charge de ceux de 0m,0063 : les différences assez légères que présentent les échantillons de plus grandes dimensions, peuvent être attribuées à ce qu’ils étaient pris dans des masses plus grandes, et par conséquent d’un métal plus doux.
  - Il faut en effet avoir égard à l’influence notable qu’exerce la différence d’arrangement des molécules à la surface et à l’intérieur. Par l’effet du refroidissement du métal après la coulée, la surface extérieure a le grain plus lin, plus serré que l’intérieur, et elle est plus résistante. Il arrive même, pour les gros échantillons, que la différence que présente la cassure est très-grande, et qu’en même temps celle de la résistance est aussi considérable. C’est ce que l’on a vérifié en comparant la résistance d’échantillons de même dimension, dont les uns étaient coulés directement, et dont les autres étaient pris dans des masses plus considérables.
  - 93. Résistance de la fonte à l’écrasement par unité de surface. —Pour rapporter la résistance des fontes éprouvées précédemment à l’unité de surface, il convient de se borner à comparer entre elles les expériences faites sur les échantillons dont la hauteur était à peu près comprise entre 1 fois et 2 fois la hauteur du coin qui glissait, ce qui revient à une hauteur comprise entre ! ,50 et 3 fois le diamètre. On laisse ainsi de côté les prismes trop courts, dont la résistance est plus grande, parce que le coin de rupture ne peut se former, et les prismes trop longs qui pourraient fléchir.
  - Les tableaux suivants contiennent séparément les résultats relatifs à la fonte obtenue à l’air chaud et à l’air froid \
  - * Transactions of the British association for, etc., yoI. VI.
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- - COMPRESSION.
  - 93
  - résistance de la fonte a l’air chaud a l’écrasement (fonte de Carron, n° 2).
  - dimensions DE LA BASE de l’échantillon. NOMBRE d’expériences. VALEUR OBSERVÉE de la charge d’écrasement. CHARGE MOYENNE d’écrasement MOYENNE GÉNÉRALE
  - par pouce carré. par cent. carré. par pouce carré. par cent. carré.
  - Cylindres droits. liv. iiv. liv. kilogr.
  - 3 6 426 130 900 9199,95 du cylindre.
  - Diamètre j ^ ^ 4 14 542 131 605 9253,08 121 085 liv.
  - en pouces <[ q ^ 5 22 110 112 605 7913.40 = 54l6 ^ cw 8551,65
  - anglais, | l 35 888 111 560 7840,15;
  - Prisme droit, des prismes.
  - Op, 50x01*,50 3 25 104 100 416 7057,14 100 739 liv. 7fl7Q
  - ip.OxO ,26. 2 26 270 101 062 7102,37 =44* 19 j cw
  - Moyenne générale.. » 7» » » 114 703 liv. 8001,01
  - RÉSISTANCE A L’ÉCRASEMENT DE LA FONTE A L’AIR FROID (fonte de Carron, n° 2).
  - DIMENSIONS DE LA BASE. NOMBRE d’expériences. VALEUR OBSERVÉE de la charge d’écrasement. CHARGE MOYENNE d’écrasement MOYENNE GÉNÉRALE
  - par pouce carré. par cent. carré. par pouce carré. par cent. carré.
  - Cylindres droits. liv liv. liv. kilogr.
  - 2 6 088 124 063 8718,83
  - Dldlllèll 6 1 q ^ 4 14 190 128 478 9029,10 118 211 liv.
  - en pouces | 7 24 290 123 708 8093.88 = 52ll5-r cw 8308,25
  - angla,s’ ! 0^45 2 15 369 96 634 0791,19
  - Triangle équilatéral
  - de üp,866 de côté. 2 32 398 99 769 7011,51
  - Carréde0p,50x0p.5 2 24 538 98 152 6897.87 7105,77
  - Rect. de ipxOp,243 3 26 237 107 971 7587,92
  - Moyenne générale.. » l » » 111 248 liv. 7818,61
  - On voit d’abord que la résistance à l’écrasement ne présente que bien peu de différence selon que la fonte a été obtenue à l’air chaud ou à l’air froid.
  - La diminution de résistance fournie par les derniers échantillons de chacun de ces tableaux peut être attribuée à ce qu’ils avaient été pris dansdes masses plus grandes, dont l’intérieur était en métal plus doux et plus tendre que celui des petits cylindres.
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- - 94
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - 94. Autres résultats d'expériences. — Le tableau suivant donne la résistance à l’écrasement de fontes anglaises et écossaises de diverses autres origines, et pour des solides de diverses formes. L’influence du mode de traitement à l’air froid ou à l’air chaud ne s’y fait non plus remarquer par aucune différence bien sensible dans la résistance moyenne par centimètre carré.
  - RÉSISTANCE DE LA FONTE A L’ÉCRASEMENT.
  - ORIGINE DES FONTES. FORME DES ÉCHANTILLONS. RÉSISTANCE moyenne à l’écrasement par centimètre carré.
  - Devon (Écosse), n° 3, air chaud Buffery (près Birmingham), n° 1, air kil.
  - Cylindre. 10220,80
  - chaud... » . 6071,76
  - Id. air froid. )) 6562,84
  - Coel-Talon (Galles), n° 2, air chaud. » 5814,33
  - Id. air froid.. 5746,58
  - Carron (Écosse), n° 2, air chaud Cylindres et prismes. 8061,03
  - Id. air froid 7818,22
  - Carron Id. n° 3, air chaud.... Prismes. 9377'82
  - Id. air froid.... » 8112,96
  - Low-Moor (Yorkshire), n° 3, air froid Cylindres et prismes à
  - Mélange de fontes, le même que dans les expériences sur la résistance à bases rectangulaires. Cylindres de 0P,508 8145,92
  - sur 0p,6 de diamè- 7287,30
  - tre. 7031,18
  - l’extension, n° 16 Prismes pris dans les
  - solives. 8555,50
  - Moyenne générale 7600,48
  - 93. Comparaison de la résistance de la fonte à la rupture par extension et à la rupture par compression. — L’on peut maintenant, à l’aide des expériences déjà citées, comparer les efforts nécessaires pour écraser et pour arracher des surfaces égales de fonte de fer, et former le tableau suivant.
  - On voit, par ce tableau, que la résistance de la fonte à la rupture par écrasement est de 4,337 fois à 8,493 fois aussi grande que sa résistance à 1 extension. Le rapport moyen de ces résistances est 6,595. M. E. Hodgkinson croit cette moyenne un peu faible, et pense que le véritable rapport entre les deux lésistances serait compris entre 7 et 8, si tous les échantillons avaient été pris, deux a deux, dans les mêmes pièces de fonte.
  - T
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- - COMPRESSION.
  - 95
  - tableau comparatif de la résistance de la fonte de fer a la rupture
  - PAR ÉCRASEMENT ET PAR TRACTION.
  - DÉSIGNATION
  - DES FONTES.
  - Fonte de i Devonshire i Fonte de Buffcry Fonte de Coel - Talon
  - Fonte de j Carron j
  - Fonte de i Low-Moor. j
  - n° 3, air chaud
  - n° 1, air chaud n° 1 , air froid n° 2, air chaud n° 2, air froid n° 2, air chaud n° 2, air froid n° 3, air chaud n° 3, air froid
  - n° 3, air froid
  - Mélanges de fontes, employés dans les expériences sur les solives.
  - Moyenne générale....
  - RÉSISTANCE à l’écrasement
  - par
  - pou. car,
  - liv.
  - 145 435
  - 86 397 93 385 82 734 81 770
  - 114 703 111 248 133 440
  - 115 442
  - 109 801
  - 110 908
  - par
  - cen. car.
  - kil.
  - 10 220
  - 6 072
  - 6 563 5 814 5 747
  - 8 054
  - 7 818
  - 9 378
  - 8 113
  - 7 717
  - 7 794
  - 7 577
  - RESISTANCE à l’extension
  - par
  - pou. car.
  - kil. 21 907
  - 13 434
  - 17 466 16 676
  - 18 855
  - 13 505
  - 16 683
  - 17 755
  - 14 200
  - 14 5
  - 17 136
  - par
  - cen. car.
  - kil.
  - 1539
  - 944
  - 1227
  - 1175
  - 1325
  - 946
  - 1772
  - 1248
  - 998
  - 1021
  - 1204
  - 1164
  - ça .52
  - 6,686
  - 6,431 5,346 4*,961 4,337 8,493 6,668 7,715 8,129
  - 7,554
  - 6,472 : 1
  - 6,594 : 1
  - 96. Observations sur les résultats précédents. — Les valeurs moyennes générales déduites de ce tableau, tant pour la résistance à l’écrasement que pour celle à la rupture par extension, sont, la première surtout, plus faibles que celle que l’on a déduite des expériences faites par d’autres observateurs, et qui est rapportée au n° 94. Cela tient sans doute à ce que les fontes essayées par M. E. Hodgkinson étaient toutes des fontes anglaises ou écossaises, obtenues au coke, très-carburées, et peut-être de première fusion, ce qui, comme on le sait, donne un métal plus doux, mais beaucoup plus tendre que les fontes de couleur gris clair de seconde fusion.
  - 97. Expériences comparatives sur la rupture de la fonte par extension et par compression. — Une comparaison analogue à la précédente, entre la résistance de la fonte à la rupture par allongement et par écrasement, a été faite parle même auteur entre des fontes d’origines diverses. Les résultats en sont consignés dans le tableau suivant :
- p.95 - vue 106/512
- - 96
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - RÉSULTATS D’EXPÉRIENCES SUR LA RÉSISTANCE A LA RUPTURE PAR EXTENSION ET PAR COMPRESSION DE DIVERSES ESPÈCES DE FONTE.
  - (Tous les échantillons soumis à l’écrasement étaient courts et de petits diamètres.)
  - RÉSISTANCE HAUTEUR RÉSISTANCE RAPPORT
  - NATURE à la rupture des à la rupture
  - PA II EXTENSION. échantil- PAR COMPRESSION. résistance à l’extens. et la résistance
  - DES FONTES. en tonri.- en kilogr. Ions en loun. en kilogr.
  - par pouce par ct-nt. en cent. par pouce par cent.
  - Carré. carré. carré. carré. à la cornp.
  - tonn. kilogr. cent. tonn. kilogr.
  - Low Moor n° 1.... 5,667 8,924 1,90 28,809 4536,6 1:4,765
  - 3,82 25,198 3964,8
  - Low Moor n° 2.... 6,901 1086,7 1,90 44,430 6996,4 1:6,205
  - 3,82 41,219 6490,8
  - Clyde n° 1 7,198 1133,4 1,90 41,459 6528,5 1:5,031
  - 3,82 39,616 77^8,0
  - Clyde n° 2 7,949 1250,7 1,90 49,103 7732,3 1:5,953
  - 3,82 45,549 7172,6
  - Clyde n* 3 10,477 1649,8 1,90 47,855 7537,3 1:4,518
  - 3,81 40,821 7372,9
  - Blaenavon n" 1... 6,222 979,8 1,90 40,562 6387,3 1:6,149
  - 3,82 35,964 5663,3
  - Blaenavon n° 2.... 7,466 1175,7 1,90 52,502 8267,5 1:6,577
  - 3,82 45,717 7199,1
  - Blaenavon n* 3.. . 6,380 1005,7 1,90 30,606 4820,5 1:4,796
  - 3,81 30,594 4817,7
  - Calder n° 1 6,131 ' 965,5 1,90 32,229 5075,1 1:5,394
  - 3,81 33,921 5341,5
  - Coltness n" 3 6,820 1073,9 1,90 44,723 7042,5 1:6,611
  - 3,81 45,400 7158 6
  - Brayenbo n* 1.... 6,440 1014,1 1,90 33,399 5299,3 1:5,216
  - 3,81 33.784 5319,9
  - Brayenbo n° 3 6,923 1041,1 1,90 33,988 5352,1 1:4,930
  - 3,81 34,356 5410,1 •»
  - Bowling n” 2 6,032 949,9 1,90 33,967 5351,9 ) 1:5,555
  - 3,81 33,028 5202,5 »
  - Ystalyfera n° 2.... 6,47.8 1020.1 1,90 44,610 7024,8 I 1:6,735
  - (Anthracite.) 3,81 42,660 6717,7 ’
  - Ystscedwin n° 1... 6,228 980,7 j 1,90 37,281 5870,6 I 1:5,811
  - (Anthracite.) 3,81 35,115 5529,6 J
  - Yslscedwin n" 2.. 5,959 938,4 ! 1,90 34,430 5421,7 ) 1:5,712
  - (Anthracite.) 3,81 33,6)6 5298,2 >
  - Stirling 2e qualité. 11,502 1811,2 1,90 55,952 8810,3 ) 1:4,751
  - 3,81 53,329 8497,7 *
  - Stirling 3r qualité. 10,474 1649,3 1,90 70,827 11153,0 1:6,149
  - 3,81 57,980 9130,1
  - Moyenne... 1163k65 6320,86
  - Rapport moyen... 1:5,64
- p.96 - vue 107/512
- - COMPRESSION.
  - 97
  - 98. Observations sur les résultats précédents. — Ce tableau montre combien les résislances îles fontes, soit à l’extension, soit à la compression, sont différentes, et de quelle importance il peut être, dans les grandes constructions, de s’assurer au préalable de la nature du mélange et de la qualité des fontes que l’on emploie. Ainsi l’on voit, par exemple, que les résistances à l’extension et à la rupture des fontes de Stirling en Écosse, fabriquées par M. Morries, sont doubles de celles des fontes de Lowmoor dans le Yorkshire.
  - Le diamètre de la plupart des cylindres écrasés dans ces expériences était de 0m,019; et l’on voit que quand la hauteur est comprise entre 1 et 2 fois le diamètre, ces expériences semblent indiquer que la résistance à lecraseinent est à peu près la même.
  - Enfin, il faut rappeler que tous les échantillons essayés élant de petite dimension, la résistance qu’ils ont offerte est plus grande que ne serait, à proportion, celle de grosses pièces de fonte.
  - De l’ensemble de ces expériences, on déduit, pour les valeurs moyennes des résistances:
  - Résistance à la rupture par extension, Rr = 11636500kil par mètre carré ;
  - Résistance à la rupture par compression, Rr = 63208600kil par mètre carré.
  - En prenant la moyenne générale des résultats consignés dans les tableaux des n° 95, 94, 95 et 96, on trouve pour la fonte :
  - La résistance à la rupture par extension, Rr=li640000kl1 La résistance à la rupture par compression, Rr=750ü0000
  - Le rapport moyen de ces deux résistances est celui de 1 à 6. Mais l’on observera que la qualité des fontes varie beaucoup et qu’en particulier celles de première fusion très-carburées qui cristallisent en larges facettes, offrent une résistance à l’écrasement qui atteint à peine 45000000kil, tandis que pour certaines fontes fines à grains serrés, peu carburées, cette même résistance s’élève de 100 à 110 millions de kilogrammes par mètre carré.
  - Enfin, toutes les expériences ont été faites sur des échantillons de petites dimensions d’une contexture homogène et n’of-
  - 7
- p.97 - vue 108/512
- - 98
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - frant pas, comme on l’observe presque toujours dans les pièces de grosses dimensions, des parties devenues plus ou moins poreuses à l’intérieur par suite des effets du retrait.
  - 99. Détermination de la charge de compression que Von peut faire supporter d'une manière permanente à la fonte. — Si l’on se reporte à ce que l’on a vu au n° 90 où l’on a montré que jusqu’à des charges de 2327 kilogr. par centimètre carré, les compressions élastiques sont restées proportionnelles aux charges et n’ont atteint alors que la valeur
  - ?=Om,0029432—0™,0005077 = 0m,0024355
  - et qu’au moyen de la valeur du coefficient d’élasticité déduite des expériences de M. Hodgkinson,
  - E = 8804 764000™,
  - on calcule la valeur de la charge Re„, correspondant à cette limite de la compression élastique, on trouve :
  - Rce = 8 804 764000™ X0m,0024355 = 21444 000™.
  - Et si l’on s’impose la condition que les charges n’atteignent jamais la moitié de celles qui altéreraient l’élasticité par compression, ce qui convient pour tous les ponts et pour les constructions exposées à des vibrations comme les maisons des villes, on aura pour la valeur du coefficient pratique de la résistance des supports en fonte exposés à la compression, la valeur
  - Rc = 10722000™.
  - Les constructeurs qui se basent exclusivement sur les résultats relatifs à la rupture qui a lieu, en moyenne, sous une charge de
  - 75000000™,
  - admettent généralement que par prudence la charge ne doit pas dépasser celle qui correspondrait au quart ou au sixième de celle de rupture, ce qui les conduit à adopter pour la pratique
- p.98 - vue 109/512
- - COMPRESSION.
  - 99
  - ^=18750000“ ou Rc = 12500000kü.
  - La première de ces valeurs se rapproche beaucoup de la charge correspondante à la limite d’élasticité, et il sera plus prudent de n’adopter que la seconde
  - Rc=12500 000ka,
  - ainsi que nous le ferons dans le calcul des dimensions à donner aux colonnes de fonte.
  - Si pour le fer nous faisons le même raisonnement et un calcul analogue, nous trouvons que les expériences de M. Hodg-kinson ayant montré que des barres de 3m,05 pouvaient éprouver un raccourcissement de 2mill,54 ou de Omil\00083 par mètre, sans que la proportionnalité des compressions aux efforts qui les produisaient cessât d’exister et ayant donné pour valeur du coetflcient d’élasticité du fer dans le cas de la compression, la valeur
  - E = 16 295 000 000kil ;
  - il en résulte pour la charge limite de compression au delà de laquelle l’élasticité serait altérée, la valeur
  - Roe = 16 295 000 000kil X 0m ,00083 = 13 524 8 50kil,
  - de sorte que si, par prudence, on admet que les charges permanentes ne doivent pas excéder la moitié de celle-ci, on trouvera pour le coefficient pratique de résistance à la compression
  - Rc=6762825kU.
  - La pratique générale conduit à limiter cette valeur à Rc=6000000kil,
  - comme pour l’extension, et l’on voit que les considérations précédentes s’accordent sensiblement avec elle.
  - Les constructeurs qui se basent sur les expériences de rupture par compression admettent que le fer s’écrasant sous une charge de 25000000 de kilogr. environ par mètre carré, on
- p.99 - vue 110/512
- - 100
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - peut prendre pour valeur pratique le quart ou le sixième de cette charge, ce qui conduirait à faire
  - Ro=625000Okil ou Rc = 4166666“
  - L’on voit qu’en conservant pour Rc la valeur Rc = 6000000kil,
  - nous ne nous éloignerons pas beaucoup des proportions déduites de ce point de vue.
  - Résistance du fer comparée à celle de la fonte.
  - 100. Comparaison de l’emploi de la fonte et du fer forgé pour les pièces soumises à des efforts de compression. — Les expériences sur la résistance de la fonte et du fer à la compression, montrent qu’à la limite où la rupture a lieu, la fonte supporte des charges plus considérables que le fer forgé. Cela est hors de doute; mais s’ensuit-il que dans les constructions, et quand il s’agit de pièces exposées à des efforts de compression, où les charges permanentes doivent être limitées au-dessous de celles où l’élasticité est sensiblement altérée, on doive préférer la fonte au fer, uniquement par la raison qu’elle résiste davantage à la rupture par compression? Nous ne le pensons pas.
  - En effet, entre les limites où les compressions sont proportionnelles aux charges, le fer se comprime beaucoup moins que la fonte ; la valeur de son coefficient d’élasticité est alors beaucoup plus grande, et presque double de celui de la fonte.
  - C’est ce que prouvent les expériences suivantes, analogues à celles que nous avons rapportées au n° 89, mais qui ont été faites comparativement entre la fonte et le fer.
  - Ces expériences exécutées sur des barres carrées de 3m,05 de longueur, ayant toutes environ 25 millimètres d’épaisseur dans le sens transversal, présentent un grand intérêt; pour éviter la flexion de ces barres déjà longues par rapport à leurs dimensions transversales, l’appareil était disposé avec tout le soin convenable; les barres en expérience étaient placées verticalement dans de lortes pièces de fonte qui les maintenaient
- p.100 - vue 111/512
- - COMPRESSION.
  - 101
  - dans toute leur longueur et qui étaient formées de deux parties assemblées entre elles par des boulons et armées de distance en distance de nervures destinées à protéger les parois immédiatement en contact avec les barres sur lesquelles la pression était exercée directement.
  - M. Hodgkinson a ainsi constaté que la fonte s’est comprimée sous les mêmes charges, deux fois plus environ que le fer forgé ; mais il ajoute que les barres de fer cédaient déjà à un certain degré sous une charge un peu inférieure à 12 tonnes par pouce carré, ou de 18kil,9 par millimètre carré, tandis que la fonte ne s’écrasait que sous une charge double et quelquefois triple.
  - Les résultats de ces expériences traduits en mesures françaises sont rapportés dans le tableau suivant :
  - EXPÉRIENCES COMPARATIVES DE M. E. HODGKINSON SUR LA RÉSISTANCE DE LA FONTE ET DD FER A LA COMPRESSION.
  - BARRE DF. FONTE BARRE DE FER BARRE DE FONTE BARRE DE FER
  - de 6e •i,82 de 6e i,77 de 6e i,92 de 6e i,68
  - DE SECTION. DE SECTION. DE SECTION. DE SECTION.
  - ———- ^^
  - Charge Compres- Charge Compres- Charge Compres- Charge Compres-
  - par si on par sion par sion par sion
  - centimètre totale centimètre totale centimètre totale centimètre totale
  - carré. en mill. carré. en mill. carré. en mill. carré. en mill.
  - kil. mill. kil. mill. kil. mill. kil. mill.
  - 336 1,37 341 0,71 333 1,18 346 0,68
  - 487 1,93 644 1,32 627 2,08 652 1,19
  - 637 2,59 940 1,85 773 2,59 955 1.70
  - 792 3,19 1093 2,16 918 3,12 1262 2,26
  - 944 3,83 1245 2,44 1210 4,22 1410 2,54
  - 1230 4,39 1392 2,72 1360 4,80 1562 2,87
  - 1370 5,33 1545 3,02 1505 5,38 1712 3,25
  - 1528 6,32 1695 3,30 1800 6,45 1870 3,63
  - 1825 7,61 1840 3,61 2095 7,66 2020 4,14
  - 2120 9.05 1995 3,91 2360 9,01 2170 4,83
  - 2420 10,75 2145 4,42 2680 10,5
  - 2720 12,75 2290 5,44 2980 12,2
  - 3020 14,60 3270 14,2
  - 3320 17,61 3560 16,9
  - 3620 21,95
  - 4200
  - 101. Représentation graphique de ces résultats. —En représentant graphiquement, pl. Il, tig. 2, les résultats de ces expé-
- p.101 - vue 112/512
- - 402
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - riences, en prenant les charges pour abscisses et les compressions totales pour ordonnées, on reconnaît, comme nous l’avons déjà fait, que les compressions de la fonte sont proportionnelles aux charges dans une certaine étendue, très-différente pour les deux barres de fonte, car pour l’une cette proportionnalité s’est maintenue jusque vers la charge de 1800 kilogrammes par centimètre carré, tandis que pour l’autre elle n’a pas lieu au delà de 1000 kilogrammes par centimètre carré.
  - Pour le fer, la proportionnalité (pl. II, flg. 2 et fig. 3) s’observe également sur l’une des barres jusqu’à la charge de 1800 kilogrammes, et pour l’autre jusqu’à celle de 1400 kilogr. par centimètre carré.
  - Mais le rapport des charges aux compressions est beaucoup plus grand pour le fer que pour la fonte, et si l’on calcule les valeurs du coefficient d’élasticité d’après le rapport des abscisses des droites obtenues à leurs ordonnées, en réduisant celles-ci qui représentent les compressions, au mètre de longueur et rapportant les charges au mètre carré, on trouve pour la fonte :
  - lre barre........ E = 7 500 000 000 kilogr.
  - 2 e barre........ E = 9 160 000 000
  - Moyenne....... E = 8 333 000 000 kilogr.
  - Et pour le fer :
  - 1” barre......... E = 15640000000 kilogr.
  - 2e barre.........E = 16950000000
  - i------------
  - Moyenne.......E = 16 295 000 000 kilogr.
  - Ce qui montre que dans ce cas le coefficient d’élasticité du fer exposé à la compression a été presque double de celui de la fonte et qu’il diffère assez peu du coefficient d’élasticité du fer exposé à l’extension , puisque celui-ci varie de 18000000000 à 20000000000 kilogr.
  - On voit donc qu’en effet quand les charges permanentes seront inférieures à celles qui altèrent l’élasticité, c’est-à-dire à 14 kilogr. environ par millimètre carré, le fer se comprimera moins que la fonte.
  - Ainsi, bien que la rupture par compression arrive plus tard
- p.102 - vue 113/512
- - COMPRESSION.
  - 103
  - ou sous de plus fortes charges pour la fonte que pour le fer, comme la fonte se déforme davantage à charge égale, il y a en général lieu de préférer le fer à la fonte, même dans ce cas, à moins que l’économie n’ait une grande importance.
  - C’est donc avec raison que dans la construction des ponts tubulaires du détroit de Menai, M. Fairbairn a insisté pour l’emploi exclusif du fer.
  - 102. Charge permanente du fer soumis à la compression. — On se rappellera d’ailleurs que puisque le fer forgé est écrasé sous une pression de 25 kilogr. par millimètre carré, il conviendra de limiter les efforts de compression au quart au plus de celte quantité et même au sixième, c’est-à-dire à 6 ou à 4 kilogr. par millimètre carré pour les corps disposés ou proportionnés de manière à ne pas céder par flexion. On voit donc que la charge pratique de 6 kilogr., admise pour l’extension, peut aussi être adoptée dans la plupart des cas de compression pour les supports courts ou pour les pièces assemblées d’une manière assez rigide pour que la flexion partielle de leurs éléments ne se produise pas.
  - 105 Disposition qu'il convient de donner aux plaques de tôle destinées à résister à des efforts de compression.— Dans ce cas il est de la plus grande importance de répartir la matière de façon à diminuer le plus possible la flexion qui joue un rôle important dans les déformations par compression.
  - Aussi, quand on sera forcé d’employer des feuilles minces de tôle, il faudra les canneler en lignes ondulées et*opposer l’une à côté de l’autre deux feuilles semblables en les réunissant par des rivets.
  - Lorsqu’il s’agit de pièces destinées à supporter de grands efforts, et pour lesquelles on emploie des tôles épaisses, une bonne disposition, par suite de la grande facilité des assemblages, est celle qui a été proposée par M. Fairbairn et adoptée par M. Stephenson pour les ponts tubulaires. Elle consiste à composer la partie du support exposée à la compression en cellules quadrangulaires, dont les angles sont garnis de cornières assemblées aux feuilles par des rivets.
  - Dans ce cas la résistance des pièces de longueur moyenne , ou qui sont disposées de manière à ne pouvoir guère prendre de flexion générale, ainsi que cela arrive pour les grandes pou-
- p.103 - vue 114/512
- - t04 DEUXIÈME PARTIE.
  - très en tôle, parait indépendante de leur longueur et simple* ment proportionnelle à Taire de la section transversale.
  - Nous aurons occasion de revenir sur ce sujet en nous occupant des expériences sur les ponts tubulaires, et d’indiquer la règle pratique suivie dans ce cas.
  - Colonnes en fonte.
  - 104. Colonnes et supports en fonte. — Quant aux supports isolés, tels que les colonnes en fonte et en fer, malgré les recherches théoriques des savants les plus distingués, et les expériences d’observateurs habiles, les lois qui lient la résistance et les dimensions sont encore très*peu connues. La théorie conduit à admettre que la résistance est proportionnelle à la quatrième puissance du diamètre, et en raison inverse du carré de la hauteur, mais l’on ne possède pas d’expérience qui confirme cette conclusion pour les supports en fonte. Nous nous bornerons en conséquence à la discussion des résultats des principales expériences et à l’emploi d’une formule empirique qui puisse suffire pour les cas usuels.
  - 105. Colonnes en fonte. —M. E. Hodgkinson a publié * de nombreuses expériences qu’il a exécutées sur des supports en fonte de formes et de dispositions différentes. Nous en rapporterons les principales conséquences relatives aux colonnes. Les colonnes essayées étaient: des piliers cylindriques, pleins ou creux, d’un diamètre uniforme, terminés, soit par des extrémités arrondies, soit par des extrémités plates exactement perpendiculaires à la longueur, soit par des bases plates plus larges que le corps du cylindre, et des piliers cylindriques pleins, renflés vers le milieu de leur longueur.
  - Au moyen d’un appareil bien disposé, la compression était exercée, sur les solides à extrémités arrondies, dans le sens même de l’axe, et pour les autres, perpendiculairement aux bases.
  - Tous les piliers en fonte provenaient des forges de Low-moor, Yorkshire, et étaient en fonte n° 3, de bonne qualité, à grains gris assez serrés et de dureté moyenne.
  - Transactions philosophiques, 1840.
- p.104 - vue 115/512
- - COMPRESSION.
  - 103
  - De l’ensemble de ces expériences, l’auteur a conclu :
  - 1° Que dans tous les piliers longs, à dimensions égales, la résistance à la rupture est à peu près trois fois plus grande quand les extrémités sont piales et perpendiculaires à la longueur ainsi qu’à la direction de l’effort, que lorsqu’elles sont arrondies.
  - . 2° Qu’un pilier long de dimension uniforme dont les extrémités sont solidement fixées par des disques, des bases, ou de toute autre manière, présente la même résistance à la rupture par compression qu’un pilier de même section, mais de longueur moitié moindre, dont les extrémités seraient arrondies, même si l’effort, était dirigé suivant l’axe.
  - Ce dernier résultat s’accorde avec ce que nous avons dit au n° 05, des piliers ou poteaux en bois du magasin à blé de la Villette.
  - 3° Le renflement ou l’accroissement de diamètre des colonnes vers le milieu de leur longueur, augmente seulement leur résistance d’un septième à un huitième.
  - Quant au rapport de la résistance au diamètre et à la longueur ou hauteur des supports, M. E. Hodgkinson a trouvé que la théorie d’où l’on conclut que la résistance est proportionnelle à la quatrième puissance du diamètre et inversement proportionnelle au carré de la hauteur, n’est pas confirmée par les résultats de ses expériences. Mais il faut observer que l’auteur s’est principalement préoccupé de la rupture, et non des flexions qui sont renfermées dans les limites où l’élasticité n’est pas altérée. La théorie étant basée sur des hypothèses qui ne sont à peu près exactes que dans ces limites, il n’est nullement étonnant qu’elle ne soit pas d’accord avec des expériences poussées jusqu’à la rupture.
  - Par un mode de discussion des résultats, que nous ne reproduirons pas ici, l’auteur a été conduit à la formule empirique suivante, qui représente avec une exactitude suffisante l’ensemble de ces résultats pour des piliers dont la hauteur est comprise entre 25 et 120 fois leur diamètre.
  - La résistance à la rupture par compression, exprimée en tonnes anglaises, est, pour les colonnes pleines, à bases plates,
- p.105 - vue 116/512
- - 106 DEUXIÈME PARTIE,
  - et pour les colonnes creuses, à bases plates,
  - d3-6 —d'3-6
  - 43ton.30
  - P-
  - Dans ces formules :
  - P exprime des tonnes anglaises;
  - d et d'les diamètres extérieur et intérieur en pouces;
  - l la longueur ou hauteur en pieds.
  - Ces formules reviennent, en mesures françaises, aux suivantes :
  - #-6
  - Colonnes pleines, à bases plates, Pkil= 10676 p,
  - fP-6__^'3.6
  - Colonnes creuses, à bases plates, Pkil= 10676---p—
  - dans lesquelles d Pt d' sont exprimés en centimètres, et l en décimètres. On n’a point eu égard à la différence assez faible entre les coefficients relatifs aux colonnes pleines et aux colonnes creuses.
  - IOG. Formules 'pratiques. — La prudence exige que de semblables supports ne soient pas chargés de plus du sixième de la charge de rupture, de sorte que les formules pratiques seraient ,
  - Pour les colonnes pleines, à bases plates,
  - J3.6
  - PkiI r= 1780
  - Pour les colonnes creuses, à bases plates,
  - d™ — d*-*
  - Pkil = 1780
  - lu
  - 107. Formules plus simples proposées par M. Love. —Mais les formules de M. Hodgkinson contiennent deux exposants fractionnaires qui en rendent le calcul peu commode, et pour en éviter la peine aux praticiens, nous les avions, dans la première édition de ces leçons, réduites en tables. Nous avions indiqué en oulre une méthode graphique simple pour les cas où les données du problème n'auraient pas été celles des tables. M. Love, habile ingénieur, dans un Mémoire sur la résistance du fer et de la fonte, a proposé des formules beaucoup plus sim-
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- - COMPRESSION.
  - pies qui représentent, avec une exactitude bien suffisante pour la pratique, les résultats des expériences de M. Hodgkinson et qui peuvent par conséquent être substituées à celles de cel observateur.
  - Ces formules pour les piliers pleins à bases planes et perpendiculaires à l’axe sont pour
  - la fonte
  - le fer
  - P exprime la charge de rupture de la colonne;
  - Rcr la résistance maximum du métal à l’écrasement par centimètre carré de surface;
  - A l’aire de la section transversale en centimètres carrés;
  - L la hauteur D le diamètre
  - de la colonne en centimètres.
  - Les expériences de M. Hodgkinson ayant donné pour la valeur moyenne de la résistance à la rupture par compression, pour
  - Rcr = 7500kil. par cent, carré Rcr= 2500 kil. id. id.
  - la fonte le fer
  - Les formules ci-dessus deviennent, en y substituant les valeurs de Rcr, pour
  - la fonte
  - 2600 X A
  - le fer
  - Si l’on remplace l’aire A de la section transversale du solide par Sa valeur A
  - pour
  - Les formules deviennent
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- - 108
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - la fonte P=
  - 7500 D2
  - 7500 D4
  - le fer
  - 1.273 j 1.45+0.00337^-2500 D2
  - 1.846D2+0.0043L!’
  - 2500 D*
  - 1.273 1.55 + 0.0005)
  - 1.973 D2+0.000641/
  - Ces relalions pourront servir à déterminer approximativement la charge P capable de rompre une colonne d’une hauteur et d’un diamètre donnés.
  - Les résultats auxquels elles conduisent cadrent assez bien avec ceux des expériences de M. Hodgkinson pour qu’on puisse les employer avec sécurité toutes les fois que par un examen préalable des fontes on se sera assuré qu’elles sont de bonne qualité, c’est-à-dire à grains fins, peu carburées et homogènes à la cassure.
  - 108. Formules pratiques. — Quant aux formules pratiques, nous avons vu au n° 99 que les valeurs du coefficient R0de résistance à la compression admissibles avec sécurité étaient pour
  - la fonte le fer
  - Rc= 12 500000 kilogr. par mètre carré ou 1250 kilogr. par centimètre carré.
  - Rc = 6000000 kilogr. par mètre carré ou 600 kilogr. par centimètre carré.
  - De sorte qu’en substituant ces valeurs pour Rc dans les formules proposées par M. Love, elles deviennent pour la pratique et pour les
  - 1250D4
  - colonnes en fonte Pkil = colonnes en fer PkiI =
  - 1.85D2+0.00043 L2’
  - 600 D4
  - 1.971)2+0.00064 L2'
  - La hauteur L et le diamètre D étant exprimés en centimètres et la charge P en kilogrammes, ces formules sont d’une application facile pour calculer la charge que l’on peut faire porter avec sécurité à des colonnes pleines en fonte ou en fer; l’on en déduit les tables suivantes dans lesquelles on a fait varier les diamètres et les longueurs dans des limites qui ont paru suffisantes pour la pratique.
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- - COMPRESSION.
  - 109
  - tableau des dimensions des colonnes pleines en fonte et en fer et des charges qu’on peut leur faire supporter avec sécurité.
  - A*< CO g <U charges w $ S ” CHARGES
  - es £ -S «-s % *9 £ ® S des colonnes |s| H g-f P ®Jj des colonnes
  - 2 g O S fl 0) O en fonte. en fer. Q S O W fl a» o en fonte. en fer.
  - kil. kil. kil. kil.
  - 100 8 742 6736 300 39 669 28 720
  - 110 7 929 6568 350 32 679 27 070
  - 120 7 232 6 414 400 27 158 25 387
  - 130 6569 6244 450 32 793 23716
  - . 140 5985 6068 12 500 19 323 22 091
  - 150 5463 5891 550 16 559 • 20 536
  - 160 4337 5713 1 600 14285 19 066
  - 5 s 180 4210 5358 ! 650 12 442 17 689
  - i 200 220 240 260 280 V 300 3 579 3086 2665 2 318 2038 1803 5010 4674 4355 4053 3771 3 509 V 700 10 921 16 410
  - 300 350 400 450 500 78 781 67 106 57 306 49169 42 435 60 641 58 228 55 667 53 024 50 352 47 695
  - 150 9917 9113 15 <! 550 36 855
  - 175 8169 8 590 600 32 216 45 090
  - 200 6789 8 056 650 28 339 42 562
  - 225 5698 7 526 700 25 079 40133
  - 6 250 4830 7010 750 22 321 37 815
  - 275 300 325 350 4134 3 571 3110 2730 6517 6050 5613 5207 v 800 19 973 35 615
  - ( ' 400 450 500 140056 124165 110192 107 816 104 620 101265 97 799
  - 200 17 630 16202 550 98 003
  - 225 15234 15507 600 87 112 94 265
  - 250 13228 14797 20 < 650 78 224 90703
  - i 275 11 542 14085 700 70 249 87 145
  - 300 10 130 13 379 750 63316 83 623
  - 8 < 325 8 941 12 688 I 800 57 273 80160
  - 350 7 936 12018 850 51991 76775
  - 375 7 080 11373 900 47 359 73 484
  - 400 450 ^ 500 6349 5176 4290 10756 9612 8590 \ 1000 39 682 67 226
  - f 400 450 500 264758 240 888 175 739 172226 168 463
  - 200 35014 26954 218 837
  - 250 27 548 25 316 550 198 730 164 491
  - 300 21853 23 566 25 600 180 560 160 349
  - ! 350 17 562 21786 650 164238 156 078
  - 10 400 14318 20040 700 149630 151713
  - 1 450 11839 18 371 800 124 936 142 837
  - 500 9920 16 806 900 105 250 133 955
  - 550 8413 15 360 V 1000 89 490 125250
  - V 600 7 212 14 038
  - 100. Observation sur Vemploi comparatif des colonnes en fonte ou en fer. — L’examen de ces tables monlre, et M. Love avait
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- - 140
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - déjà signalé dans son Mémoire ce fait remarquable, admis dans la pratique des ingénieurs anglais, qu’au delà d’une hauteur égale à trente fois environ le diamètre, les colonnes pleines en fer peuvent supporter des charges plus fortes que les colonnes en fonte : ce résultat est d’ailleurs d’accord avec les expériences de M. Hodgkinson.
  - 110. Colonnes creuses. — Les formules précédentes ne s’ap-pliquent pas très-commodément aux colonnes creuses, et pour calculer le diamètre de celles-ci, en admettant que la résistance d’une colonne creuse soit égale à celle de la colonne pleine du diamètre extérieur, diminuée de celle de la colonne pleine du diamètre intérieur, toutes deux étant de même hauteur, l’on sera obligé à des tâtonnements successifs pour trouver ces diamètres, lorsque la charge sera connue. L’on se guidera à l’avance par les considérations suivantes.
  - 111. Épaisseurs inférieures convenables pour les colonnes creuses. — L’épaisseur qu’il convient de donner aux colonnes creuses en fonte a une limite inférieure déterminée par la pratique de l’art du fondeur et indépendante des conditions de résistance. Elle dépend un peu de la nature des fontes qui sont plus ou moins fluides, mais elle est principalement fixée d’après la longueur des pièces à couler, de manière à assurer l’égale répartition du métal autour du noyau et la fixité de celui-ci. D’après ces conditions, les limites inférieures des épaisseurs du métal des colonnes creuses sont en général réglées, ainsi qu’il suit :
  - Hauteurs des colonnes 1 2“ à 3m 1 3“ à 3“ 1 4“ à 6" 1 6'“ à 8”j
  - Epaisseurs inférieures en millimètres. | 12 1 15 1 20 1 25
  - 11 conviendra donc de ne pas admettre d’épaisseurs moindres que celles-ci, toutes les fois que les colonnes devront supporter des charges un peu fortes.
  - 112. Marche à suivre pour déterminer le diamètre intérieur des colonnes creuses. — La longueur L de la colonne, ainsi que la charge qu’elle doit supporter, étant connues et celle-ci étant désignée par P, l’on se donnera, selon les convenances locales et les proportions que le goût suggérera, le diamètre extérieur de la colonne ; puis, d’après la formule ou la table du n° 108,
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- - COMPRESSION.
  - 411
  - on déterminera la charge P' qu’une colonne pleine de cette longueur et de ce diamètre pourrait supporter. 11 est clair qu’en nommant P" la charge d’une colonne pleine de même hauteur et dont le diamètre serait celui du vide cherché, on devra
  - avoir
  - P"— p'—p?
  - ce qui permettra de déterminer le diamètre D" du vide ou du noyau à l’aide de la formule du n° 108 qui devient :
  - 1250D"4
  - P'
  - 1.85 D"2~f 0.0043 L2
  - d’où l’on déduit
  - 1.85 P'' 0.0043 L2 P"
  - 1250 U “ 1350
  - et par suite
  - 1.85
  - 0.0043 L2 P' 1250
  - p") +
  - .2X1250
  - Quoique ce calcul ne présente pas de difficulté, on pourra s’en dispenser en recherchant dans la table des colonnes pleines pour les charges les plus voisines au-dessus et au-dessous de P" et pour la hauteur donnée les diamètres correspondants. Puis en prenant les diamètres pour abscisses et les charges pour ordonnées, on construira plusieurs points d’une courbe que l’on tracera. En menant ensuite à la ligne des abscisses une parallèle qui en soit distante d’une quantité qui, à l’échelle, représente la charge P", cette ligne coupera la courbe en un point dont l’abscisse sera le diamètre D" cherché du noyau de la colonne.
  - On vérifiera que la différence D —D" du diamètre extérieur au diamètre intérieur n’est pas inférieure au double de la plus petite épaisseur que l’on puisse admettre eu égard à la hauteur de la colonne, et, s’il en est ainsi, l’on pourra adopter les dimensions trouvées. Si, au contraire, l’épaisseur trouvée était au-dessous des limites fixées, il faudrait recommencer le calcul en donnant à la colonne un diamètre extérieur plus petit.
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- - DEUXIÈME PARTIE.
  - U 2
  - i l o. Influence des mêmes efforts de compression ou de tension plusieurs fois répétés. — M. Ed, Clark remarque avec raison que si, par l’action d’une certaine charge, un solide a éprouvé une compression ou un allongement permanent, et si on le j soumet de nouveau à la même charge, la compression ou l’allongement total ne sera pas le même dans le second cas que dans le premier. On conçoit, en effet, que le solide a éprouvé > dans sa constitution, dans la disposition, dans l’écartement de i ses molécules, par suite de la compression ou de l’allongement ( permanent, des modifications qui influent sur les nouvelles déformations auxquelles l’expose la seconde épreuve. Cela est ! visible pour les cordes neuves qui s’allongent beaucoup plus sous les premières tensions auxquelles on les soumet, qu’elles ne le font plus tard sous les mêmes efforts, sans, pour cela, que leur résistance absolue soit changée.
  - Ces effets s’observent dans les métaux coulés à de grandes épaisseurs, à un degré d’autant plus sensible qu’ils forment des masses plus considérables, dans l’intérieur desquelles il y a plus de vides, par suite du retrait. Mais alors ils sont accompagnés d’altérations plus ou moins graves.
  - Le martelage à froid rend le fer doux, le cuivre et le bronze beaucoup plus élastiques, en changeant la disposition et la distance de leurs molécules. C’est même sur cet effet que sont fondés plusieurs procédés de fabrication.
  - M. Ed. Clark cite un exemple remarquable de ce genre d’effet observé sur une presse hydraulique, destinée à produire des tuyaux de plomb continus, par l’action d’une pression exercée sur le plomb à l’état pâteux ou demi-fluide. La pression dans le cylindre s’élevait jusqu’à 13600 atmosphères, et l’on essaya sans succès l’emploi de cylindres en fonte de 0ra,305 d’épaisseur. Ils se déchiraient à l’intérieur, et les fentes, s’accroissaient graduellement jusqu’à l’extérieur. Une augmentation d’épaisseur n’en produisit pas dans la résistance; après avoir brisé ainsi plusieurs cylindres de fonte, MM. Easlon et Amos, les constructeurs, eurent recours à un cylindre de fer forgé de Gm,203 d’épaisseur
  - Dans les premiers essais, le diamètre intérieur du cylindre s’augmenta tellement que le piston devint trop petit; on fit un nouveau piston plus fort, qui bientôt fut aussi trop petit; cet êffet s’étant répété plusieurs fois, l’on était sur le point de re-
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- - COMPRESSION.
  - 113
  - noncer aussi au cylindre de 1er, lorsqu’en mesurant son diamètre extérieur, l’on s’aperçut qu’il n’avait pas augmenté. L’on eu conclut que le métal s’était comprimé, et que cet effet devant avoir un terme, le cylindre pourrait remplir le but proposé. C’est, en effet, ce qui arriva, et, par la suite, le cylindre en fer forgé a fait très-bon usage.
  - Arcs en fonte.
  - 114. Des efforts de compression auxquels on soumet dans la pratique les arcs en fonte. — Dans la construction des ponts en fonte auxquels on donne la forme d’arcs surbaissés, dont les extrémités sont arrêtées d’une manière fixe par les culées ou les tympans des piles, et dont la principale charge est le plus souvent le poids propre du pont, les ingénieurs admettent que toutes les parties de l’arc sont également comprimées par des efforts normaux à la section transversale de l’arc. Il n’est pas sans intérêt de calculer, d’après cette hypothèse, la pression que supportent les arcs de plusieurs grands ponts. A cet effet, on suit la règle suivante :
  - Appelant toujours (pl. III, fig. 3) :
  - 2P le poids total du pont, y compris une charge additionnelle ;
  - 2C la portée ou la corde de l’arc ; ,
  - f la flèche ou montée de l’arc;
  - T la compression exercée sur la section transversale, supposée la même partout ;
  - Q sa composante horizontale :
  - En admettant que l’arc de cercle puisse, sans erreur notable, être remplacé par un arc de parabole passant par le sommet et par les deux points d’appui sur les culées, on voit facilement que l’on a la proportion
  - PP
  - Q :P :: C: 2/; d’où Q=y,
  - et, par suite,
  - T=\/p + ff=Py/1+^.
  - 8
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- - DEUXIÈME PARTIE.
  - 114
  - ce qui permet de calculer la pression totale P, exercée sur la section transversale des joints de culée, et, par suite, la pression par unilé de surface.
  - C’est d’après cette base que l’on a formé le tableau suivant (page 115), dont nous devons la communication à l’obligeance de M. Poirée, ingénieur des ponts et chaussées, attaché au chemin de Lyon.
  - En examinant les chiffres contenus dans ce tableau, l’on voit les efforts de compression produits par le poids propre du pont dépasser toujours de beaucoup ceux qui sont dus à la charge accidentelle, même en supposant celle-ci de 200 kilogrammes par mètre carré, ou équivalente au poids d’une réunion d’hommes à raison de trois à peu près par mètre carré.
  - Ces charges sont d’ailleurs très-différentes entre elles selon les cireonslances, et elles varient beaucoup suivant la hardiesse des constructeurs. La plus grande de 4kil,40 par millim., est celle du pont d’Austerlitz, qui a plus de quarante ans d’existence, mais auquel il a fallu faire souvent des réparations de détail. Ensuite vient la charge de 3kil,30 pour le pont du chemin de fer d’Avignon à Marseille, terminé en 1855, et qui parait se comporter parfaitement.
  - Parmi les ponts les plus chargés se trouve ensuite le pont de Villeneuve-Saint-Georges sur le chemin de Lyon, qui paraît jusqu’ici avoir très-bien résisté à toutes les causes de fatigue et qui est chargé de 2kil,8l au plus par millimètre carré, ou de 2 810000 kilogr. par mètre carré.
  - Si l’on se reporte aux expériences de M. E. Hodgkinson et aux autres observations faites sur la résistance de la fonte à la compression, desquelles il résulte que l’élasticité des fontes anglaises ne s’altère guère que sous des pressions qui dépassent 16 à 17 kilogr. par millimètre carré, on voit que dans la construction des ponts, les ingénieurs se tiennent bien au-dessous- de celte limite et ne portent les charges totales permanentes et accidentelles qu’à { ou £ de celle qui altérerait l’élasticité.
  - Il n’est pas inutile de rappeler que la fonte se comprime et s’étend beaucoup plus que le fer sous les mêmes efforts, et qu’il doit en être de même des effets de dilatation ou de contraction produits par des variations de température.
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- - INDICATION des U2 p <6 CJ § ^ 3 — rr ce ESPACEMENTS des MODE de -2 S r, = C! H O > “ x- ï -S P ^ «-g £ a# os . E=> CO w P H « O O ü É- < C3 S- P cd ë 1 “• ^7 3 o H z ^ £ s- « X « s PRESSIONS l EN AJOUTANT UNE CHARGE
  - OUVRAGES. w câ O !=L z x ARCS. CONSTRUCTION. X C O > b-if a *w -j fe » CO < & a T3 Z O -P H c O O) P • 3 ^ <L> S ACCIDENTELLE au poids de la construction. •
  - 'b ÿ c t. -o
  - “-5 W P- 2
  - 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. il. 12.
  - Pont d’Austerlitz, à Paris. 5 7 1,95 Arcs composés de vous-soirs évidés. t. 623 32,30 m. 3,23 m. 1,25 m. q. 0,212 kil. 3,95 kil. 4,4ü avec u nesurcharge accidentelle de 200 k par m. carré.
  - Pont du Carrousel, à Paris. 3 A 2,80 Système Polonceau, arcs en tubes elliptiques. 546 47,00 4,90 0,84 0,38 1, 9 2,31 Id.
  - Viaduc du canal St-Denis (chem. de fer du Nord). 1 4 2,1 0 sous les voies. • ,30 entre les voies. Id. 246 31,22 3,45 084, 0,294 1,03 1,81 avecnnesurchargeaccidentelle de 600ük- par m.cuu rail t du pont.
  - Viaduc de Villeneuve-St- 0,55 à la 0,241 1,73 2,59 Id.
  - Georges (chetn. de fer 3 7 1,34 Arcs en plaques double T. 363 15,00 1,50 clef. 0,7U aux 0,281 1,88 2,81 Id.
  - naissances
  - Viaduc du Mce. (Id.) 3 7 1,34 Id. 824 40 00 5,00 1,75 0,508 1,81 2,34 Id.
  - Viaduc de la gare de Cha-rentoi! (là ) 2 7 1,31 Id. 700 35,00 4,00 1,00 0m,345 Id. » Id.
  - Viaduc de Bernières (ch. de fer de Troyes)... i.. Id. 2,45 0,50 0m-q,22 1,19 1,95 Id. m
  - 3 6 1,50 entre les voies. 213 22,00
  - Viaduc de Montereau (Id.) 4 6 1,13 sous les voies. 1,50 entre les voies. Id 240 24,60 3,13 Id. Id. Id. « Id.
  - Viaduc de Nevers (chemin de fer du Centre) 7 7 i,3l Id. 800 42,00 4,55 1,15 0,50 2,00 2,7 Id.
  - 1,25 entre les axes des
  - ViaducduRhône (ch.de fer 8 ! arcs intermédiaires 3,36 Id.
  - d’Avignon à Marseille).. 7 1,25 entre les axés des i arcs intermédiaires 1,800 60,00 5,00 1,70 1,016 2, 8
  - et les arcs de tête.
  - Viaduc de la Mulatière à i
  - l yon (ch. de fer de St- 1 4 g 1,20 sous les voies. Système Polonceau, arcs 600 40,14 4,50 0,09 0,720 'l,C0 1,44 pour les arcs correspondam
  - Étienne et rouie du Perruche à la Mulatière).... l 11,70 sous la route. [ en tubes elliptiques. aux voies en fer.
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- - DEUXIÈME PARTIE.
  - 118
  - IIS. Effets de la dilatation dans les 'ponts en fonte.—Les effets de contraction et de dilatation produits par les changements journaliers de température sont encore une cause de fatigue considérable pour les ponts en général.
  - On conçoit en effet que quand un arc, maintenu par des culées ou des piles qui ont été construites assez solidement pour être à peu près immobiles et inflexibles, éprouve un accroissement de longueur par dilatation, il doit se produire dans ses joints des séparations, des ouvertures. Les joints inférieurs près des appuis s’ouvrent par suite d’une rotation qui se fait sur la partie supérieure de ces joints ; à l’inverse, les joints supérieurs, à la clef ou dans son voisinage, s’ouvrent en dessus et se ferment en dessous. Les effets inverses se produisent dans les contractions produites par les refroidissements ou par les flexions sous les charges.
  - 11 résulte évidemment de ces mouvements que les pressions ne sont plus réparties normalement aux surfaces des joints, ni proportionnellement à l’étendue de ces surfaces, et c’est ce qui oblige les ingénieurs à rester au-dessous des limites de l’élasticité dans les calculs établis sur l’hypothèse d’un état moyen de coïncidence des joints.
  - A l’appui de ces considérations, il n’est pas inutile de citer quelques exemples des exhaussements que peuvent produire à la clef des arcs, des variations données de température, pour les comparer à celles qu’occasionnent les charges accidentelles qui passent sur les ponts.
  - Ainsi, au pont de la gare de Charenlon, une augmentation de la température de l’air de 14°, a produit 14 millimètres d’exhaussement à la clef du premier arc exposé à l’ouest.
  - Au pont de Villeneuve-Saint-Georges on a observé un exhaussement de 9 millimètres à la clef de l’arc exposé .aussi à l’ouest.
  - C’est ordinairement vers le soir, avant le coucher du soleil, qu’a lieu le plus grand relèvement; et le matin, avant le lever, que l’on observe le plus grand abaissement.
  - Afin de se mettre à l’abri de cet inconvénient, il ne faut pas oublier d’ailleurs que dans la plupart des constructions soignées, les ingénieurs ont été conduits à adopter des dispositions telles que la dilatation puisse librement s’opérer, soit en permettant un mouvement général de la construction, soit en dis-
  - ^
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- - COMPRESSION.
  - i 17
  - posant de distance en distance des moyens de compensation dans certains assemblages.
  - 116. Transmission des poussées horizontales d'une arche aux suivantes dans le cas des charges accidentelles. — Le même ingénieur a aussi observé que lorsqu’une machine locomotive ou un train s’engage sur un viaduc, les composantes horizontales ou les poussées produites sur le premier arc se transmettent de proche en proche aux autres arcs par l’intermédiaire des tympans qui les séparent ; et comme ces effets se produisent alternativement dans un sens et dans l’autre, il s’ensuit que quand les piles ou les tympans qui les surmontent et sont placés entre les arcs n’ont pas une épaisseur et une surface de joints suffisante la cohésion des mortiers est détruite. C’est ce qui a été remarqué entre autres sur un grand viaduc en charpente construit sur la Seine. Il importe donc dans la prévision de ces effets de donner aux piles des viaducs de chemins de fer une épaisseur plus grande que celle qu’exigerait le poids propre du viaduc. Il n’est pas moins nécessaire de donner aux arcs et aux tympans qui les séparent une grande rigidité dans le sens horizontal.
  - 117. Flexions des arcs en fonte sous l'action des charges accidentelles. — Le tableau suivant donne les résultats d’observations faites sur quelques viaducs construits en fonte.
  - On voit par les chiffres de ce tableau que les flexions qu’on nomme statiques, c’est-à-dire relatives au cas où la charge est au repos sur le viaduc, sont un peu plus faibles, dans presque tous les cas, que les flexions dynamiques, ou qui ont lieu pendant le mouvement. Cet effet tient à des causes analogues à celles que nous discuterons plus tard en parlant de l’influence de la vitesse de passage des charges sur les flexions.
  - Mais on remarquera aussi que par suite de la rigidité des constructions et de leur masse totale, la différence des deux flexions est très-faible et n’est jamais de nature à compromettre la stabilité. Cette influence de la masse des constructions sur leur rigidité, en diminuant considérablement les vibrations qu’elles peuvent éprouver, constitue un avantage notable de l’emploi des maçonneries et doit faire préférer les ponts en pierre aux ponts en fonte et en fer quand l’économie et les autres conditions de la construction ne s’y opposent pas.
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- - TABLEAU DES FLEXIONS DES ARCS DE DIVERS VIADUCS.
  - CIRCONSTANCES DE L’EXPÉRIENCE.
  - Machine h voyageurs seule.............................
  - Id , avec irain de voyageurs......................
  - Id.. le pont étant déchargé de 200 t. de sable par arche..
  - Machine mixte, ire séiie, seule......................
  - Id , 2e série, avec train de voyageurs.............
  - Id , le pont étant déchargé de 200 t- de sable par arche.. Mèn es machines a>ee oes roues de im,8t) an lieu de in‘ 60 .
  - Id ,1e pont étant déchargé........................
  - Machine à 6 roues ouplées avec train de machine......
  - Id., le pont étant déchargé........................
  - Machine à voyageurs du chemin de fer de Troyes...........
  - Id., de la ligne de Ly<n.............................
  - Machine mixte, 2e série, de.la ligne de Lyon............
  - Id......... ire série......id. .... ..................
  - Une machine à voyageurs et une machine mixte. 2e série, dt
  - la ligne de Lyon, de Iront sur l’arche, à la clef......
  - Les mêmes machines étant placées sur la même voie en prolongement l’une de l’autre...............................
  - Machine à voyageurs avec train. Machine Crampton.............
  - 1 sene...........
  - POIDS EN TONNES
  - HE LA MACHINE produisant la flexion.
  - FLEXIONS A LA CLEF.
  - RELEVEMENT
  - A I.ACI.EF UES ARCS
  - la inach. agissant
  - G zi > < G Arrière, f Total; ZD Q C/D g O P a Cf H H C/D Moyenne.! VNAMiyUK. Limites exti êmes. sur 1 arche en expérience. sur l’arche suivante.
  - Via duc de la gart de I Charenton (chemi i n de Lyon).
  - t. c. c. C. C.
  - 8 5 12 5 25,5 20 3.4 3.8 de 3,6 à 4,1 0 0,5
  - » » » » 3,9 de 3,5 à 4,1 0 »
  - » „ » » )) » 4,3 le 4 i à 4,4 0 »
  - 12 13.5 3,2 28,7 20 3.9 4,2 de 4.1 à 4,3 0 07
  - 10,5 9 5.5 25 0 20 )> 3 9 de 3,6 à 4,2 0 0,6
  - » » » )) 4,1 de 3,9 à 4,3 0 0,6
  - » » 4.3 de 4.0 à 4,8 0 0,6
  - » » » 4,6 de 4.5 à 4,6 0 0.6
  - 7.2 10,2 8.8 26.2 20 » 3.7 de 5,6 a 4 o 0 0,6
  - » j. » » » 4,2 de 4,1 à 4,3 0 0,6
  - Viaduc de Montereau (chemin de Montereau à Troyes).
  - 3 9 6 18 9 4 4,0 le 3.9 à 4 0 0 0,7
  - 8,5 (2 5 25,5 20 5.3 5.8 le 5.6 à 6,0 0 1 0
  - 10,5 9 5 5 25 20 5 3 5.6 le 5,3 à 5.7 0 1.1
  - 12 1 3,5 3,2 28,7 20 5,6 6,4 de 6,1 à 6,6 0 1,2
  - » »> )) 50 40 6 » » 0 1,7
  - » » 50 40 4,5 >, » 0 nusuiée.
  - Viaduc du cctnal de Saint-Denis (chemin du Nord).
  - „ t » 1 » I 22 1 » ! 5,1 j 5,4 1 0.5 | C- viaduc
  - » | « 1 » 1 28 | » 1 5,8 de 5,7 à 6,1 0,6 1 »iüho.
  - Viaduc de Villeneuve-Saint-Georges (chemin de Lj on).
  - 13.S 28,7 I 20 1 ” ! 1 “ 0.2
  - •-J J „.5j m | 4 /
  - OBSERVATIONS.
  - Vitesse de 20 à 60 kilom à' l’heure Id , de 45 kilom. à l’heure.
  - Id., id
  - Vitesse de 25 kilom. à l’heure, vitesse de 25 à 55 kilom. à l’heure Id , id.
  - Id , de 40 à 65.
  - Id.. de 60.
  - Id.. de 20 à- 40.
  - Id., de 30 à 40.
  - Vitesse de to à 30 kilom. Id. de 15 à 45.
  - Id., id.
  - Id., id.
  - Vitesse de 20 kilom. environ. Id., de 60 kilom. environ.
  - Vitesse de 30 kilom. environ.
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- - TROISIÈME
  - PARTIE.
  - FLEXION.
  - Considérations générales sur la résistance des solides soumis à des efforts qui tendent à les faire fléchir perpendiculairement à leur longueur.— Bases expérimentales de la théorie.
  - 118. Notions sur la manière dont se comportent les corps soumis à la flexion transversale. — Lorsqu’un solide, posé horizontalement sur deux points d’appui, fléchit sous l’action d’une charge placée en son milieu et agissant verticalement, sa face inférieure devient convexe et sa face supérieure concave. Il importe de constalcr par l’expérience comment les molécules ou les libres longitudinales qu’elles forment se comportent sur ces deux faces, de reconnaître si les unes, celles de dessous, s’allongent, et si les autres, celles de dessus, se compriment; de sorte que ces effets opposés, allant en décroissant de l’extérieur à l’intérieur, il devrait se trouver une couche dont les fibres ne seraient ni allongées ni raccourcies, et resteraient de longueur invariable.
  - Galilée, dans l'essai d’une théorie de la résistance des corps à la flexion, supposait que toutes les fibres s’allongeaient, à partir de celles qui sont placées à la face concave. Cette hypothèse fut aussi admise par Mario!te et par Leibnitz.
  - L’expérience seule pouvant décider en pareille matière, Duhamel du Monceaux* fit des essais qui sont insérés dans les Mémoires de l'Académie des sciences pour l’année 1767.
  - Pour les exécuter il a choisi du saule, parce que ce bois est
  - * Du transport, de la conservation et de la force des bois, par Duhamel du Monceaux, membre de l’Académie des sciences, etc., 1767.
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- - 120
  - TROISIÈME PARTIE.
  - d’une densité plus uniforme que le chêne et l’orme, et que les couches annuelles sont moins distinctes dans le saule que dans les autres bois; qu’entîn il est pins liant sans être fort dur. I] fit couper des barreaux, pris dans de jeunes arbres, de façon que le cœur de l’arbre se trouvât au centre des barreaux auxquels il donna 0m,975 de longueur sur 0m,040 d’équarissage.
  - Ces barreaux étaient posés sur des tréteaux écartés de Om,935, et chargés en leur milieu d’un poids que l’on augmentait graduellement jusqu’à ce que la rupture arrivât.
  - Une première série de cinq barreaux, sans aucune modification, fut expérimentée pour déterminer leur force absolue. Pour une seconde série de deux barreaux, un trait de scie transversal fut pratiqué au milieu de la face supérieure de chaque pièce, et fut prolongé jusqu’au tiers de l’épaisseur de la pièce; les deux barreaux d’une troisième série furent également sciés à i de leur épaisseur ; ceux d’une quatrième série de six barreaux aux £ de leur épaisseur. Dans le trait de scie on introduisit une planchette de bois de chêne sec pour remplir le vide produit par l’épaisseur du trait. D’après les expériences, les barreaux se sont rompus sous les charges suivantes.
  - Barreaux entiers................. 256kil,91
  - Barreaux sciés à | d’épaisseur. ... 269 ,71
  - Barreaux sciés à ^ d’épaisseur.. .. 265 ,31
  - Barreaux sciés à £ d’épaisseur.... 259 ,76
  - Il résulte évidemment de ces expériences que les traits de scie pratiqués dans ces pièces ne les ont pas affaiblies, parce qu’ils n’ont pas empêché les fibres supérieures, placées du côté de la concavité, de se comprimer contre la planchette qui remplissait le joint et de résister comme si elles n’avaient pas été interrompues. Il y a même lieu de croire que la planchette de chêne, plus dure que le saule quelle remplaçait, ayant offert à la compression des fibres un point d’appui plus ferme, a contribué à la légère augmentation de résistance des pièces sciées.
  - Quoi qu’il en soit, le mode d’action des fibres du bois dans la flexion des pièces est très-bien mis en évidence par ces expériences.
  - Duhamel a aussi exécuté des expériences analogues sur des pièces de pin du Nord de 0m,975 de longueur, de 0m,034 d’é-
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- - FLEXION.
  - 121
  - paisseur et 0m,016 de largeur, posées sur les mêmes appuis et chargées en leur milieu ; les premières étaient entières et les autres sciées en quatre endroits, les unes à { de leur épaisseur, les autres à les dernières aux §. Il a observé les flexions et les charges rapportées ci-dessous :
  - DÉSIGNATION FLEXIONS correspondant aux charges de CHARGES produisant la CHARGES moyennes
  - rupture de
  - DES PIÈCES. et les
  - 24kil,475. 3Gkil,7l2. 73kil,75. dernières flexions. rupture.
  - mill. mill. mill. kil. kil.
  - Pièces entières 13,54 15,79 21,46 22,56 58,65 54,15 73,75 67,55 70,65
  - Pièces sciées en quatre en- 19,18 33,84 71,05 69,51
  - droits, à 1 de leur épais- 19,18 30,61 68,79 65,59 64,65
  - seur 23,10 19,74 1 20,87 37,35 31,02 32,86 66,55 66,55 68,79 58,86 77,66 65,59
  - Pièces sciées en quatre endroits, à ^ de leur épaisseur 71,62
  - Pièces sciées en quatre endroits, aux^ de leur'épais- 21,4G ; 18,05 34,40 33,84 77,83 82,34 72,20 61,68 66,94
  - Ces expériences montrent que les traits de scie ont facilité la flexion des pièces, mais qu’ils n’ont pas diminué considérablement leur résistance à la rupture.
  - Il résulte donc de ces expériences que les fibres du bois, placées du côté de la convexité des pièces fléchies s’allongent, tandis que celles qui sont du côté de la concavité se compriment et se raccourcissent. L’allongement et le raccourcissement étant d’ailleurs évidemment d’autant plus grands que les fibres sont plus voisines des surfaces extérieures, ils vont en diminuant vers l’extérieur et il doit y avoir à chaque instant pour chaque section une couche de fibres qui n’éprouve ni allongement ni raccourcissement et à laquelle on a donné pour cette raison le nom de couche des fibres invariables.
  - 119. Expériences de M. Dupin sur la compression et Vextension des fibres. — Des expériences exécutées à Rocheforl par ce célèbre géomètre et qui sont relatées dans son cours de mécanique industrielle, l’avaient conduit aux mêmes conclusions.
  - Une pièce de bois ABCD (pl. III, fig. 5) avait été posée sur
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- - 122
  - TROISIÈME PARTIE.
  - deux points opposés, éloignés de 2m,00 l’un de l’autre. Un certain nombre de lignes droites 11, 22, 33, 44...perpendicu-
  - laires aux faces parallèles AB et CD ayanl été tracées sur les faces verticales, on chargea la pièce de poids suspendus au milieu de sa longueur.
  - La pièce fléchit sous la charge, et, en examinant les lignes 11, 22, 33, etc , M. Dupin reconnut qu’elles n’avaient pas cessé d’être droites et normales aux deux faces AB et CD du solide.
  - Il en résultait nécessairement que toutes les fibres comprises à l’origine entre les deux profils 11 et 22, par exemple, y étaient restées comprises pendant la flexion, et qu’elles s’étaient nécessairement allongées ou raccourcies de quanlilés proportionnelles à leur distance à l’axe de rotation de chacun des plans 11, 22. Mais comme la mesure des longueurs des faces supérieures et inférieures n’a pas été donnée, cette expérience ne mordre pas par elle-même qu’il y ait eu des fibres raccourcies, attendu quedes lignes 11, 22 seraient aussi restées perpendiculaires aux Qices AB et CD si la rotation avait eu lieu autour des points 1 et 2 supérieurs.
  - Toutefois, cette expérience, rapprochée de celle de Duhamel, qui constatait le fait de la compression, conduisit son auteur à admettre l’existence d’une couche de fibres invariables.
  - Plus récemment, le même géomètre a fait en 1851, au Conservatoire des Arts-et-Métiers, quelques expériences pour déterminer les rapports et les valeurs des raccourcissements et des allongements qui se produisent dans la flexion des bois. Au moyen de lames d’acier très-minces et très-flexibles, il mesurait les longueurs réelles des faces supérieures et inférieures des solides avant et après la flexion; mais il n’a pas fait connaître les résultats de ces recherches.
  - 120. Expériences de M. Duleau. — M. Duleau, dans son essai sur la résistance du fer forgé, rapporte l’expérience suivante:
  - « On a courbé par force, à froid, une pièce en fer carré de <t Cm,02 de côté, suivant un arc de cercle, de manière à ce que « les deux faces latérales restent planes. Sur ces deux faces « on avait tracé des lignes perpendiculaires cà l’axe de la pièce « et distantes de 0"\C25. On adonné successivement à la pièce « trois courbures telles que, sur une longueur d’arc de 0m,30, « la flèche fût de Om,G22, 0m,037 et 0IU,058. Les lignes tracées
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- - FLEXION.
  - 123
  - * sur les faces planes sont restées droites et perpendiculaires à a la pièce, et L’allongement de la partie convexe s est trouvé juste-d ment égal au raccourcissement de la partie concave.
  - m. m. m.
  - Pour des déclics de 0,022 0,037 0,058
  - Cel allongement a été pour O"1,30 de longueur. . . 0,005 0,010 0,0175
  - ou par mètre 0,0167 0,0333 0,0583
  - a Celte expérience prouve que les fibres du fer ont éprouvé a un allongement ou un raccourcissement proportionnel à leur « distance du milieu de la pièce, et par conséquent que le cc même poids qui agit sur une fibre parallèlement à sa lon-« gueur, soit pour la tirer, soit pour la refouler, l’allonge ou « la raccourcit de la meme quantité.
  - « Ici les fibres avaient perdu de leur force élastique; la pro-<£ priélé quelles ont présentée existe donc, à plus forte raison,
  - « lorsque l’action qu’elles ont éprouvée n’a pas détruit cette <1 élastieilé. »
  - Sans déduire de cette expérience des conclusions aussi absolues que l’auteur, on peut au moins en tirer la conséquence que, dans la flexion des corps, il y a extension des fibres situées à la partie convexe et refoulement de celles qui sont à la partie concave, et que nécessairement il existe à l’intérieur des corps une couche de fibres de longueur invariable.
  - 121. Observations de plusieurs ingénieurs. — Enfin, les observations nombreuses recueillies par MM. Fairbairn, Hodg-kinson, E. Clark et autres auteurs anglais, ont prouvé que des effets analogues se produisaient dans la flexion des métaux.
  - M. E. Hodgkinson a signalé le mode remarquable de rupture que présentent les barreaux en fonte. Au moment où ils cèdent sous la charge, il s’en détache, vers le milieu de la partie concave, une sorte de coin curviligne i'pl. III, fig. 6), qui est quelquefois projeté au dessus du solide. Sa forme et celle projection sont évidemment un effet de la compression.
  - Dans les nombreuses expériences faites sur des solides en tôle de fer, à profil plein ou creux, l’on a toujours remarqué que ces solides rompaient par extension des fibres de la partie convexe ou par compression de la* partie concave, selon que la forme et les proportions adoptées faisaient prévaloir la ré-
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- - 424 / TROISIÈME PARTIE.
  - sistance à la compression sur la résistance h l’extension, et vice versa.
  - L’existence d’une couche de fibres dont la longueur n’a pas varié quand un corps a pris une certaine flexion est donc suffi, saminent établie par toutes les expériences que nous avons citées. Mais quelle est la position de celte couche de fibres dans le profil transversal du corps? et celte position est-elle constante ou la même pour toutes les flexions? C’est ce que nous examinerons plus tard en comparant les résultats de l’expérience et ceux de la théorie.
  - Passons maintenant à d’autres faits d’observation.
  - 122. Expériences directes faites au Conservatoire des arts et métiers pour constater la compression et Vextension des solides fléchis.—J’ai rapporté dans la première édition de cet ouvrage les résultats d’une expérience qui avait été faite au Conservatoire sur la compression et l’extension des fibres des solides soumis à Inflexion. Celte expérience, analogue quant au but et aux moyens employés, à celles qui avaient été faites au commencement de 1851 par M. Ch. Dupin et dont il vient d’être parlé au n° 110, m’avait été proposée par M. T. Richard, savant ingénieur civil, et elle fut faite avec son concours- Elle était disposée ainsi qu’il suit :
  - Une pièce de bois de sapin de 0m,0974 sur 0m,0973 d’équarrissage, et de 2m,00 de longueur, a été posée horizontalement sur deux appuis distants de lm,803. Elle pesait 8kil,900.
  - Au milieu de celte pièce et perpendiculairement à sa longueur, on a placé un rouleau à l’axe duquel on a suspendu un plateau qui, en y comprenant un poids additionnel de 6kil,910, formaitavec la charge représentant l’action du poids propre du solide, une charge constante de 50 kilogrammes.
  - Sur le plateau on posait successivement et avec précaution les charges variables.
  - Dans le sens de la longueur des faces supérieure et inférieure, on avait pratiqué sur chacune de ces faces une petite rainure dans laquelle était introduite à frottement doux une languette très-mince en bois, un peu plus longue que cette pièce, et que l’on avait graissée pour la rendre plus mobile.
  - La pièce étant posée librement et sans charge sur les appuis, on a marqué par des traits fins les affleurements des bouts de
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- - FLEXION.
  - 425
  - ja pièce sur les languettes, puis on a commencé à placer doucement les charges sur le plateau.
  - A mesure que le solide a commencé à fléchir, on a observé que les traits marqués sur la languette supérieure dépassaient de plus en plus les extrémités de cette pièce, ce qui montrait évidemment que la surface supérieure du corps diminuait de longueur et par conséquent se comprimait. En même temps, les traits marqués sur la languette inférieure étaient recouverts par les extrémités de la pièce, ce qui prouvait que celle-ci s’allongeait ou s’étendait à la surface inférieure.
  - Le tableau suivant contient les résultats des observations :
  - CHARGES TOTALES. FLEXIONS mesurées après 30’. COMPRESSION totale de la face supérieure. EXTENSION totale de la face inférieure.
  - kilogr. mètre.
  - 200 0,00525 J a
  - 300 0,00820 s ' y>
  - 400 0,01090 j >
  - 500 0,01310 » D
  - 600 0,01530 0,0017 0,00195
  - L’on voit par ce tableau et par la représentation graphique des résultats (pl. III, fig. 4), que les flexions sont sensiblement proportionnelles aux charges jusque vers la charge de 400 à 500 kilogr.; or, d’après les formules pratiques ordinaires que nous ferons connaître plus loin, une semblable pièce, pour ne pas être exposée à l’altération de son élasticilé, ne devrait porter d une manière permanente qu’une charge de 205 kilogr. environ4. Par conséquent, dans les limites des charges permanentes que ces règles permettent d’employer, on voit que la proportionnalité des flexions aux charges peut être regardée comme suffisamment exacte.
  - Les résultats de cette expérience ont montré d’une manière incontestable que les fibres placées à la partie convexe de la pièce s’allongeaient, que celles de la partie concave se raccourcissaient, et qu’il existait par conséquent à l’intérieur du corps
  - * La formule est 2P = 2
  - 100000 X 0,974 079015
  - ; 204kll,28.
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- - 126
  - TROISIÈME PARTIE.
  - une couche de libres dont la longueur n’avait pas varié, mais les moyens de mesure des allongements et des raccourcissements des fibres n’étaient pas assez précis pour permeltre d’en constater la valeur avec une exactitude suffisante. Les proportions que j’avais observées et notées et que j’ai rapportées dans la première édition de cet ouvrage ayant d’ailleurs été contestées, il m’a semblé utile de reprendre ces expériences, de les étendre à des corps de diverses natures et d'employer pour mesurer les variations de longueur des fibres allongées ou comprimées des moyens de précision qui permissent de bien établir les conséquences de l’observation.
  - 125. Expériences faites en 1856 au Conservatoire des arts et métiers.— A cet effet, dans l’une des caves parfaitement saines et aérées du Conservatoire, on a établi deux massifs en pierre de taille reposant sur une fondation solide et disposés de manière à permettre d’opérer avec des portées de 4m,00. Sur la surface bien arrasée de niveau de ces massifs, l’on posait des plaques de fer bien dressées, dont les arêtes intérieures déterminaient par leur écartement la portée de la pièce en expérience.
  - L’on a successivement soumis à la flexion :
  - 1° Une pièce de sapin de 0m,l6 de largeur sur Gm,20 de hauteur et 3m,80 de portée.
  - 2° Deux pièces de chêne de 0m,15 de largeur sur 0m,20 de hauteur et 3m,8Q de portée.
  - 3° Une poutre en fer à double T des dimensions suivantes :
  - S?î
  - a — 0n>, 145, b — 0"‘,160.
  - Les raccordements des semelles étaient faits par des contours arrondis.
  - 4° Une poutre en fonte à double T, à semelles égales des B1 0 dimensions suivantes :
  - 18!
  - 15 !ü
  - « = 0ni,051, 6=0“ ,242, a' = Gn\018, 6' = Gm,222.
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- - FLEXION.
  - 127
  - 5° Une poutre en fonte à double T, à semelles inégales des dimensions suivantes :
  - a = 0m,032, b = 0'”,243, a'x = 0m,096, b' — 0m,221, by= 6/= 0m,011, a1==:0M,012,
  - mais de môme hauteur et de môme superficie et par conséquent de même poids que la précédente.
  - Les charges agissaient au milieu de la portée des pièces, par l’intermédiaire d’un rouleau, à l’axe duquel était suspendu un plateau.qui recevait des caisses remplies de petits boulets.
  - Pour observer les flèches de courbure, on avait tracé très-exactement au milieu de la longueur de la portée une ligne verticale et une ligne horizontale très-fines et l'on déterminait les abaissements de leur intersection à l’aide d’un cathétomètre donnant les centièmes de millimètre.
  - On s’assurait à chaque expérience que les appuis n’avaient éprouvé aucun tassement, et quand les solides en expérience avaient pu être un peu déprimés à leur contact avec les plaques d’appui, ce qui tendait à augmenter la mesure de la flexion, l’on en tenait compte.
  - Les faces supérieure et inférieure des pièces de bois portaient des rainures dans lesquelles s’engageaient des languettes à frottement doux, terminées par de petites bandes de fer sur lesquelles on avait tracé, avant la flexion, des lignes de repère prolongées sur le corps des pièces. A l’une des extrémités des pièces on avait fixé au-dessus et au-dessous un talon formant épaulement contre lequel on faisait buter l’extrémité de la languette correspondante, de sorte que toute sa variation de longueur se trouvait reportée à l’autre extrémité. Après la flexion et au moyen de lunettes à réticules, on s’assurait d’abord de la coïncidence des lignes de repère de l’une des extrémités, et l’on observait à l’autre la variation de longueur totale que l’on obtenait à de millimètre près.
  - Pour les pièces en métal on opérait d’une manière analogue, mais au lieu de creuser des rainures à leurs surfaces supérieure et inférieure, on y avait collé un grand nombre de petits taquets évidés, sous lesquels passait une lame mince de
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  - TROISIÈME PARTIE.
  - ressort d’acier qui remplissait les fonctions de la languette des pièces de bois et permettait de mesurer exactement les allongements et les raccourcissements des faces inférieure et supé-rieure.
  - Telle est la disposition générale qui a été adoptée pour les expériences; j’ajouterai que la constance de la température et de l’état hygrométrique, l’isolement du lieu où les expériences ont été faites, nous ont mis à l’abri des influences de ces éléments, ainsi que de l’effet des ébranlements.
  - Toutes les observations ont été faites et enregistrées avec le plus grand soin, contrôlées par M. Tresca, sous-Directeur du Conservatoire, qui en avait organisé les détails, et repétées chacune au moins deux fois. Afin d’écarler l’influence des différences d’homogénéité que pouvaient présenter les bois et même les pièces de métal, on les a retournées toutes pour mettre successivement en dessus et en dessous les deux faces opposées.
  - Les flexions observées ont toujours dépassé de beaucoup les limites de celles que Ton peut admettre dans la pratique, ainsi qu’on le verra dans les tableaux suivants.
  - Les charges agissaient exactement au milieu de la longueur des pièces, au moyen du dispositif décrit au n° 1SS2, et étaient formées par des caisses dans lesquelles on avait placé de petits boulets de fonte exactement pesés. On posait ces caisses avec précaution et l’on avait soin d’attendre quelque temps avant de mesurer les flexions et les variations de longueur, afin de s’assurer que les oscillations avaient cessé.
  - A l’aide de ces dispositions, nous croyons donc avoir environné ces expériences de toutes les précautions propres à assurer l’exactitude des résultats qui sont rapportés dans le tableau suivant * :
  - * Je 111e propose de reprendre et d’étendre ces expériences à des pièces de dimensions encore plus grandes et j’ai fait préparer à cet effet un dispositif dans lequel les pressions seront exercées par la presse hydraulique et pourront s’élever à des intensités considérables; mais des recherches préalables sont nécessaires pour déterminer la pression réellement transmise par la presse hydraulique, dans laquelle le frottement des pistons peut exercer une influence qu’il n’est pas sans doute permis de négliger, et la difficulté de ces expériences a jusqu’ici retardé les recherches principales.
- p.128 - vue 139/512
- - FLEXION
  - 12.9
  - EXPÉRIENCES sur la flexion des solides, et sur le raccourcissement ET L’ALLONGEMENT DE LEURS FIBRES. — 1856.
  - <D FLEXIONS H O 0 g)
  - cfi T3 s g * £ s-H * cd
  - MJMÉIVOS les expérience DÉSIGNATION DES SOLIDES. CHARGES sant au miliet portée 2P. totale. par 100 kil. de W G -G CO O « CO ° ^ U 72 « £3 S O c<3 O ALLONGEMEN la partie conc 100 kil. de ch
  - «3 charge. «•ës « 0 u rO ctJ fX
  - Poutre en sapin
  - portée 2C = 3 ", 80. |
  - kil. 200 mill. 2,64 mill. 1,32 mill. 0,259 mill. 0,255
  - 400 5,40 1,36 0,255 0,248
  - . 600 9,60 1,60 0,248 0,243
  - M 800 10.88 1,18 0,242 0,232
  - s 1000 13,40 1,31 0,250 0,244
  - 1200 16,28 1,44 0,246 0,246
  - V Moyenne .... 1,37 0,251 0,245
  - - —150--—>
  - 200 2,84 1,44 0,230 0,270
  - 400 5,60 1,38 0,247 0,247
  - 2 Même nièce retournée. COO 8,12 1.26 0,233 0,233
  - 800 11,10 1,49 0,233 0,240
  - | 1000 13,84 1,37 0,235 0,240
  - 1200 16,76 1,36 0,237 0,237
  - Moyenne 1,38 0,236 0 244
  - 200 2,94 1,42 0,250 0,270
  - 400 5,64 1,35 0,265 0,275
  - 3 Même pièce retournée. 600 800 8,48 11,24 1,42 1,38 0,262 0,246 0,263 0,250
  - 1000 13,92 1,34 0,235 0.248
  - 1200 16,80 1,44 0,260 0,266
  - Moyenne 1,39 0,253 0,262
  - Poutre en chêne
  - portée 2C = 3 Tl 80.
  - 160
  - / N 1 200 2,54 1,27 0.130 0,185
  - | 400 5,00 1,25 0,165 0,210
  - O 600 7,30 1,22 0,172 0,230
  - 4 S 800 9,42 1,18 0,177 0,215
  - 1000 11,92 1,19 0,178 0,210
  - 1200 14,12 1,18 0,175 0,212
  - Moyenne 1,21 0,166 0,210
  - Bois très-sec. Cette pièce avait
  - [ un gros nœud.
- p.129 - vue 140/512
- - NUMÉROS des expériences.
  - 130
  - TROISIÈME PARTIE
  - DÉSIGNATION
  - DES SOLIDES.
  - 1 < Même pièce.
  - 2 Même pièce retournée.
  - 3 Même pièce retournée.
  - %
  - Poutre en chêne, moins sèche que la précédente, portée 2C = 3m,80.
  - CHARGES agissant au milieu de la portée 2 P. FLEÜi totale .IONS par 100 kil. de charge. RACCOURCISSEMENT de la partie concave par îoo kil. de charge. ALLONGEMENT de la partie concave par too kü. de charge.
  - kil. mill. mill. mill. mill.
  - 200 2,50 1,25 0,185 0,210
  - 400 4,90 1,22 0,192 0,210
  - 600 7,18 1,20 0,190 0,210
  - 800 9,34 1,17 0,182 0,205
  - 1000 11,46 1,15 0,180 0,210
  - 1200 13,82 1,15 0,187 0,207
  - Moyenne 1,19 0,189 0,209
  - 200 2,50 1,25 0,120 0,180
  - 400 4,74 1,18 0,175 0,192
  - 600 6,88 1,15 0,168 0,200
  - 800 9,10 1,14 0,176 0,196
  - 1000 11,34 1,13 0,170 0,195
  - 1200 13,62 1,13 0,181 0,197
  - Moyenne 1,10 0,165 0,196
  - 200 2,12 1,06 0,185 0,205
  - 400 4,46 1,11 0,187 0,212
  - 600 6,74 1,12 0,180 0,208
  - 800 9,00 1,12 0,192 9,210
  - 1000 11,32 1,13 0,171 0,207
  - 1200 13,64 1,14 0,187 0,212
  - Moyenne 1,11 0,184 0,209
  - 200 3,74 1,94 0,325 0,315
  - 400 7,30 1,82 0,335 0,325
  - 600 11,02 1,84 0,320 0,330
  - 800 14,52 1,81 0,327 0,325
  - 1000 18,20 1,82 0,321 0,322
  - ( 1200 21,92 1,83 0,326 0,330
  - Moyenne.., . 1,84 0,325 0,324
- p.130 - vue 141/512
- - FLEXION.
  - 431
  - en ci <D np FLEXIONS £ ® §> g il H g
  - o en çx O O s* '£ DÉSIGNATION çJ • en .2 P* W T3 cj O S par WJ ® en o'w a g'S o <u o.2^
  - S p-p X Z GJ en <D DES SOLIDES. •< ^ S W cd ^ u^o c totale. 100 kil. de oi2 ° Ch O 0144 J o-o 2
  - *5b charge. < pS <X> Ch ^ 08 <D Ch a
  - Oh
  - kil. mill. mill. mill. mill.
  - 200 3,84 1,92 0,320 0,325
  - 400 7,60 1,90 0,303 0,327
  - 1 Môme pièce. 600 800 11,32 14,90 1,89 1,86 0,310 0,307 0,333 0,330
  - 1000 18,62 1,86 0,310 0,334
  - 1200 22,32 1,86 0,311 0,332
  - Moyenne.... 1,88 0,310 0,330
  - 200 3,32 1,66 0,270 0,295
  - 400 7,42 1,85 0,320 0,337
  - 2 Même poutre en chêne 1 600 11,16 1,86 0,305 0,342
  - retournée. 800 15,00 1,88 0,322 0,342
  - 1000 19,12 1,91 0,327 0,333 0,350
  - 1200 22,86 1,90 0,343
  - Moyenne.... 1,84 0,313 0,335
  - 200 3,50 1,75 0,300 0,365
  - 400 7,32 1,83 0,320 0,370
  - 3 Même pièce. 600 10,96 1,82 0,320 0,362 0,340
  - 800 14,72 1,84 0,322
  - 1000 18,66 1,87 0,326 0,344
  - 1200 22,62 1,88 0,327 0,350
  - Moyenne.... 1,83 0,319 0,355
  - Poutre en fer à double T
  - et à semelles égales.
  - 200 1,46 0,73 0,088 0,096
  - 400 3,12 0,78 0,098 0,102
  - <— -> 600 4,76 0,79 0,096 0,104
  - r * 800 6,38 8,18 0,80 0,095 0,105
  - ! 1 1000 0,82 0,098 0,104
  - 4 ;S 1 1200 9,64 0,80 0,100 0,102
  - 1 1 1 .S y Moyenne. . . . 0,79 0,096 0,102
  - Portée 2C = 4m,00. ,
- p.131 - vue 142/512
- - 132
  - TROISIÈME PARTIE
  - 5 a,
  - 6 x K <0
  - DÉSIGNATION
  - DES FONTES.
  - Même poutre en fer.
  - Même poutre en fer retournée,
  - O g
  - < S‘2 K cd Z,
  - O w O
  - s p«
  - Portée 2C = 4“,00.
  - kil.
  - 200
  - 400
  - 600
  - 800
  - 1000
  - 1200
  - FLEXIONS
  - totale
  - mill.
  - 2,00
  - 3,66
  - 5,30
  - 7,04
  - 8,64
  - 10,64
  - Moyenne.
  - par
  - îoo kil. de
  - charge.
  - mill.
  - 0,800
  - 0,813
  - 0,8(5
  - 0,828
  - 0,822
  - 0,850
  - 0,821
  - P* > GO >5 OS fa
  - a u 2 S Su
  - « g
  - c/3 ° a>
  - 22
  - u
  - t-.'S
  - P cd^
  - pf 0) ^ "C CCJ
  - mill.
  - 0,096
  - 0,096
  - 0,099
  - 0,098
  - 0,100
  - 0,096
  - 0,097
  - Même poutre en fer retournée./
  - Poutre en fonte à double T etr à semelles égales.
  - ,-B-U
  - <D ®
  - c- cd cT £ o « C-= W o o
  - W oTS
  - O-S
  - a
  - o
  - >J °-o < « 2
  - (B b
  - »^} c3
  - mill.
  - 0,096
  - 0,096
  - 0,099
  - 0,107
  - 0,104
  - 0,102
  - 0,100
  - 200 1,76 0,880 0,104 0,124
  - 400 3,46 0,860 0,108 0,118
  - 600 5,20 0,866 0,104 0,108
  - 800 6,86 0,857 0,104 0,108
  - 1000 8,50 0,850 0,105 0,110
  - 1200 10,04 0,837 0,104 0,106
  - Moyenne 0,856 0,105 0,112
  - 200 1,82 0,910 0,124 0,148
  - 400 3,34 0,835 0,104 0,118
  - 600 5,06 0,843 0,107 0,114
  - 800 6,80 0,850 0,103 0,111
  - 1000 8,35 0,835 0,104 0,108
  - 1200 10,04 0,833 0,104 0,107
  - Moyenne 0,851 0,107 0,117
  - 200 0,56 0,28 0,056 0,056
  - 400 1,34 0.33 0,056 0,052
  - 600 2,11 0,33 0,064 0,054
  - 800 2,88 0,36 0,065 0,058
  - 1000 3,68 0.37 0,064 0,059
  - 1200 4,49 0,37 0,066 0,062
  - Moyenne 0,34 0,062 0,058
- p.132 - vue 143/512
- - FLEXION.
  - 133
  - DÉSIGNATION
  - DES SOLIDES.
  - Même poutre en fonte.
  - Même poutreenfonte retournée.{
  - 3
  - Même poutre en fonte retournée.
  - Poutre en fonte à double T et à semelles inégales.
  - 32 _
  - ----em-
  - portée 2C — 4", 00.
  - CHARGES agissant au milieu de la portée 2 P. FLEî totale CIONS par 100 kil. de charge. RACCOURCISSEMENT de la partie concave par 100 kil. de charge. ALLONGEMENT de la partie concave par 100 kil. de charge.
  - kil. mill. mill. mill. mill.
  - 200 0,75 0,37 0,068 0,072
  - 400 1,47 0,37 0,068 0,068
  - 600 2,28 0,38 0,068 0,068
  - *800 3,05 0,38 0,067 0,069
  - 1000 3,87 0,39 0,066 0,067
  - 1200 4,60 0,38 0,067 0,067
  - Moyenne.... 0,38 0,067 0,068
  - 200 0,59 0,30 0,052 0,062
  - 400 1,42 0,36 0,054 0,061
  - 600 2,22 0,37 0,066 0,066
  - 800 2,98 0.38 0,064 0,068
  - 1000 3,82 0,39 0,062 0,066
  - 1200 4,62 0,38 0,062 0,068
  - Moyenne.... 0,36 0,060 0,066
  - 200 0,75 0,37 0,068 0,064
  - 400 1,50 0,37 0,064 0,064
  - 600 2,18 0,36 0,064 0,060
  - 800 2,90 0,36 0,062 0.062
  - 1000 3,64 0,36 0,065 0,065
  - 1200 4,42 0,37 0,062 0,065
  - Moyenne 0,36 0,064 0,064
  - 200 0,71 0,35 0,048 0,048
  - 400 1,51 0,38 0,072 0,056
  - 600 2,28 0,38 0,074 0.057
  - 800 3,06 0,38 0,076 0,055
  - 1000 « (( 0,077 0,057
  - 1200 " OC 0,078 0,058
  - Moyenne.... 0,37 0,071 0,055
- p.133 - vue 144/512
- - 134
  - TROISIÈME PARTIE.
  - DÉSIGNATION
  - DES SOLIDES.
  - Même poutre en fonte.
  - «..2 a,
  - <ia2
  - B C3 U u ^ O B I2-
  - kil.
  - 200
  - 400
  - 600
  - 800
  - 1000
  - 1200
  - FLEXIONS
  - totale.
  - mill.
  - 0,75
  - 1,47
  - 2,28
  - 2,99
  - 3,76
  - 4,53
  - Moyenne.... 0,38
  - par
  - 100 kil. de
  - charge.
  - mill.
  - 0,38
  - 0,37
  - 0,38
  - 0,37
  - 0,38
  - 0,38
  - g Sff
  - W « ca « o sz
  - w 5 u
  - tn § o U -a _•
  - as S —
  - O O-o
  - B c4 O U — -, < ® U K -O cd
  - mill.
  - »
  - 0,076
  - 0,074
  - 0,076
  - 0,076
  - 0,076
  - 0,076
  - S? 550
  - S-u< ci ci
  - * g-g
  - H§° S S «
  - mill.
  - »
  - 0,050
  - 0,050
  - 0,052
  - 0,054
  - 0,056
  - 0,052
  - 'Même poutre en fonte retournée.
  - 90
  - Portée 2C — 4m,00.
  - i
  - r
  - 3 Même poutre en fonte retournée.
  - 200 0,73 0,37 0,064 0,080
  - 400 1,49 0,37 0,060 0,084
  - 600 2,24 0,37 0,059 0,076
  - 800 3,08 0,38 0,056 0,079
  - 1000 3,82 0.38 0,059 0,079 0,080
  - 1200 4,74 0,39 0,057
  - Moyenne... . 0,38 0,059 0,080
  - 200 0,76 0,38 0,064 0,072
  - 400 1,45 0,38 0,060 0,070
  - 600 2,26 0,38 0,057 0,074
  - 800 2,93 0,37 0,056 0,075
  - 1000 3,72 0,37 0,056 0,076
  - 1200 4,54 0,38 0,056 0,076
  - Moyenne . . . 0,38 0,058 0,074
  - 124. Récapitulation des résultats des expériences. — Pour faciliter la discussion des résultats précédents, nous les avons récapitulés dans le tableau suivant, dans lequel nous n’avons inséré que les moyennes de chaque série ;
- p.134 - vue 145/512
- - FLEXION
  - m
  - tableau récapitulatif des résultats des expériences sur la flexion ,
  - SUR LE RACCOURCISSEMENT ET SUR L’ALLONGEMENT DES FIBRES DES SOLIDES.
  - DÉSIGNATION C/5 O 0 R O q) S s .ë <^j’o î- s w « a .s ri © S fcfl K H Z ^ w f3, ü U* © S to Z U ai a & S 0. 6 tn u H ccJ 55 w 0 CO G • <D fg £ G
  - DES SOLIDES. S Sh p X » « CC XJ * s t. p* .2 2 j x °< (S <B «a JS A rBi s ^ !5 rj 2 3 £ § b Z 1 ld g « .31 0 _ 0 g w 2 W S XI lis s -1 g g & % §1 2! O S O CtJ a ^ * G CO 5
  - 'S À. 05 c3 a a3 eu 'S
  - Pièce de sapin. 1 ï ¥3? 1,37 0,251 0,245 1,024
  - Même pièce retournée. 2 ITT 1,38 0,236 0,244 0,967
  - 3 226 1,39 0,253 0,262 0,965
  - Moyenne. . . 1,38 0,246 0,250 0,965
  - Pièce de chêne 1 1 272 1,21 0,166 0,210 0,787
  - très-sèche. 2 1 275 1,19 0,189 0,209 0,905
  - Même pièce retournée, j 3 1 279 1,16 0,165 0,196 0,842
  - 4 279 1,11 0,184 0,209 0,880
  - Moyenne. .. 1,17 0,176 0,206 0,853
  - Pièce de chêne moins sèche 1 I 174 1,84 0,325 0,324 1,005
  - que la précédente. 2 ITT 1,88 0,310 0,330 0,939
  - Même pièce retournée. 1 3 4 TÔT 1 168 1,84 1,83 0,313 0,319 0,335 0,355 0,934 0,899
  - Moyenne. . . ' 1,85 0,317 0,336 0,943
  - Poutre en fer à double T 1 1 415 0,79 0,096 0,102 0,941
  - semelles égales. 2 376 0,82 0,097 0,100 0,970
  - 3 1 398 1 398 0,86 0,105 0,112 0,938
  - Même pièce retournée. • 4 0,85 0,107 0,117 0,915
  - Moyenne. . . 0,83 0,101 0,108 0,935
  - Poutre en fonte , à double T et à semelles égales. 1 1 1 1120 0,34 0,062 0,058 1,069
  - 2 1 1150 0,38 0,067 0,068 0,985
  - Même poutre 1 3 1 1 1 50 0,36 0,060 0,066 0,909
  - retournée. 1 4 1 1110 0,36 0,064 0,064 1,000
  - Moyenne. . . 0,36 0,063 0,064 0,991
  - Poutre en fonte 0,37 0,071
  - à double T 1 » 0,055 1,291
  - et à semelles inégales, posée sur la plus large. 2 1 1 1 1138 0,38 0,076 0,052 1,461
  - Moyenne. . . » 2> X> 1,376
  - Même poutre r 1 1 1 180 1 Ï7TT 0,38 0,059 0,080 0.737
  - posée sur la semelle la plus étroite. l 2 0,38 0,058 0,074 0.784
  - Moyenne. . . 0,38 » 0 0.760
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- - 136
  - TROISIÈME PARTIE.
  - 125. Conséquences des résultats consignés dans les tableaux 'précédents. — Sans entrer pour le moment dans une discussion théorique et approfondie des résultats de ces expériences, nous ferons remarquer que les flexions y ont dépassé de beaucoup celles que la pratique admet et peut tolérer, et que pour arriver à des rapports un peu exacts il convient de ne comparer entre eux que les résultats relatifs aux charges qui n’ont pas produit des flexions de plus de pour les bois et j— environ poulies métaux, limites de beaucoup supérieures à celles que la pratique admet. D’un autre côté pour les charges très-faibles donnant lieu à de très-petites flexions, la mesure des raccourcissements et des allongements pouvait être souvent entachée d’erreurs constantes inévitables, tout à fait comparables aux quatités à mesurer. Il convient donc de ne tenir compte que des résultats dus aux charges de 200 kilogr. et au-dessus.
  - La pièce de sapin essayée était très-saine, sèche et sans nœuds; les résultats précédents montrent que les raccourcissements des fibres placées à la partie supérieure ou concave ont été à très-peu près égaux aux allongements des fibres placées à la partie convexe.
  - La première pièce de chêne employée avait un nœud assez fort et a donné des résultats peu réguliers qui indiquaient que les raccourcissements étaient plus faibles que les allongements dans le rapport de 853 à 1000. La seconde pièce de chêne, moins sèche et plus saine, a donné pour ces quantités un rapport plus voisin de l’unité, celui de 943 à 1000.
  - La poutre en fer à double T et à semelles égales a donné pour le rapport des raccourcissements aux allongements celui de 935 à 1000 peu différent de l’unité.
  - La poutre en fonte à double T et à semelles égales a fourni pour le même rapport la valeur moyenne de 99i à 1000.
  - Quant à la poutre en fonte à double T et à semelles inégales, la théorie qui sera exposée aux nos 157 et suivants admet que les raccourcissements des fibres de la face concave sont proportionnels à leurs distances respectives du plan parallèle à la face et qui passe par le centre de gràvilé du profil.
  - Or dans l’état actuel le rapport de ces distances était égal à 1,394 quand la pièce était posée sur sa semelle inférieure, et le rapport trouvé entre les raccourcissements et les allongements
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- - FLEXION.
  - m
  - a été 1,376; à l’inverse quand la poutre était posée sur sa semelle la plus étroite, le rapport des distances des faces supérieure et inférieure au plan parallèle à ces faces qui passait par le centre de gravité était celui 1011 à 1415 égal à 0,7175, et Ton voit que le rapport des raccourcissements aux allongements a été trouvé égal à 0,760.
  - L’ensemble de ces résultats montre que dans les limites des flexions que la pratique peut admettre et même au delà et lorsque les solides ont des sections transversales symétriques dans le sens vertical, de sorte que le centre de gravité de ces sections se trouve au milieu de leur hauteur, l’on peut pour la fonte et pour le fer regarder comme suffisamment établi par l’expérience :
  - 1° Que les raccourcissements des fibres placées à la surface concave sont égaux aux allongements des fibres placées à la surface convexe.
  - 2° Que les raccourcissements et les allongements sont proportionnels aux charges qui produisent les flexions.
  - L’expérience sur la poutre en fonte à double T et à semelles inégales montre aussi que dans ce cas les raccourcissements des fibres de la face concave et les allongements des fibres de la face convexe sont proportionnels à la distance de ces faces au plan qui leur est parallèle qui passe par le centre de gravité du profil.
  - Ces mêmes conclusions peuvent aussi être appliquées aux bois avec une exactitude suffisante pour la pratique.
  - 126. Expériences cle M. Ch. Dupin sur la flexion du bois. — Dans un mémoire présenté à l’Institut en 1843, M. Ch. Dupin a exposé les résultats des expériences et des recherches auxquelles il s’était livré àCorcyre en 1811. Nous donnerons ici une analyse succincte de ce travail important.
  - Les bois employés étaient d’essence de chêne, de cyprès, de hêtre et de sapin, et débités sous forme de parallélipipèdes de 2m,00 de longueur, posés sur des supports dont ils mesuraient la plus courte distance, en les dépassant très-peu de chaque côté. Ils ont été chargés de poids placés au milieu de leur longueur.
  - L’auteur a d’abord reconnu que les flexions sont proportionnelles aux charges, toutes choses étant égales d’ailleurs; c’est ce que prouvent les expériences suivantes, exécutées avec des
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- - 138
  - TROISIÈME PARTIE.
  - pièces de 0m,03 d’équarissage et de 2m,00 de portée, chargées en leur milieu de poids successivement croissants.
  - ESSENCE des BOIS EMPLOYÉS. FLEXIONS PROMITES PAR DES CHARGES DE RAPPORT des flexions en millim. aux charges en kilog. DENSITÉ des bois employés.
  - 4 kil. 8 kil. 12 kil. 16 kil. 20 kil. 24 kil. 28 kil.
  - Chêne Cyprès Hêtre Sapin du Nord. mm. 5,6 7,1 8,4 13,0 mm. 11,2 14.1 16,9 26.2 mm. 17,1 21,5 25,9 » mm, 22,6 28,7 34,5 » mm. 28,2 35,9 43,4 » mm. 34,9 44,2 54,0 3> mm. 40,6 51,0 63,5 » 1,450 1,724 2,170 3,275 0,7324 0,6640 0.6595 0,4428
  - Si l’on représente ces résultats graphiquement (pl. III, fig. 7), en prenant les charges pour abscisses à l’échelle de 2mill,,50 par kilogr. et les flexions en demi-grandeur, on voit que tous les points ainsi déterminés sont situés sur les lignes droites passant par l’origine des coordonnées. On remarque toutefois qu’au delà des charges capables de produire des flexions de 40 millimètres, les points correspondants sont un peu au-dessus des lignes droites, et que par conséquent les flexions étaient alors supérieures à celles qu’aurait fournies la proportionnalité des flexions aux charges.
  - Mais on doit remarquer qu’une flexion de 40 millimètres sur 2m,00 de portée ou de de la portée, est déjà excessive et dépasse ce que l’on peut tolérer dans les constructions. En effet, pour une portée de 5m,00 seulement, cela correspondrait à 0m,l0 de flèche, ce qui n’est admissible presque dans aucun cas. De ces expériences, on est donc autorisé, avec l’auteur, à conclure la vérification de cette loi, qu’entre les limites où l’élasticité n’est pas altérée et pour les flexions que l’on peut tolérer dans les constructions, les flexions des parai lélipipèdes posés sur deux points d’appui sont proportionnelles aux charges qui agissent en leur milieu.
  - 127. Comparaison de la densité des bois à leur rigidité. — La flexibilité des bois est d’autant plus grande que l’accroissement de la flèche produite par un même poids ou que le rapport de
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- - FLEXION.
  - 139
  - Ja flexion totale à la charge qui la produit est plus considérable. Or, si, pour comparer ce rapport, qui est donné par la tangente géométrique de l’inclinaison des droites de la figure précédente, et dont la valeur est inscrite dans la neuvième colonne du tableau précédent avec les densités déterminées par l’auteur, on prenait celles-ci pour abscisses et les inclinaisons des droites des flexions pour ordonnées, on verrait que les points ainsi déterminés, et surtout les deux extrêmes, sont à peu près sur une ligne droite passant à une distance de l’origine égale à l’unité et telle qu’en nommant
  - i les inclinaisons ou le rapport des flexions aux charges,
  - d la densité du bois ou le poids du mètre cube en kilogr.,
  - on aurait entre ces quantités la relation
  - i = 5,877 (1 —d) millimètres,
  - relation qui, du reste, ne peut être appliquée avec sûreté qu’aux bois expérimentés par M. Dupin, et qui aurait besoin d’être vérifiée sur une échelle plus étendue.
  - Quoi qu’il en soit, l’on n’en doit pas moins conclure, avec cet illustre ingénieur, que la résistance des bois à la flexion croît avec leur densité. D’où il déduit cette autre conséquence importante que :
  - a De deux vaisseaux de même rang et dont la charpente sera œ d’égal volume, ou en général de deux appareils de charpente a d’égal volume, celui qui sera construit avec le bois le plus pe-« sant prendra moins d’arc que celui qui sera construit avec le « bois le plus léger. » Ainsi les vaisseaux de la Baltique et de la Hollande construits avec les sapins du Nord doivent prendre plus d’arc que ceux de la Méditerranée, et ceux-ci plus que les vaisseaux espagnols construits avec les bois très-pesants du nouveau monde, ou que les vaisseaux anglais, dont une partie est construite avec le bois dur qu’on appelle African ivood.
  - Mais, ajoute-t-il, si au contraire on construisait deux vaisseaux sur le même plan, de manière que leur charpente eût cependant le même poids, a on verrait que le vaisseau con-i struit avec le bois le plus léger serait celui dont l’arc serait * au contraire le moins considérable et qui présenterait la « plus grande solidité. »
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- - 140
  - TROISIÈME PARTIE.
  - 428. Comparaison de l'effet des charges uniformément réparties à celui des charges agissant au milieu de la distance des appuis. — M. Charles Dupin a aussi cherché à comparer les flexions produites dans ces deux circonstances différentes. Les résultats de ces expériences sont consignés dans le tableau suivant, auquel nous avons joint les poids qui, placés au milieu des pièces, eussent produit la même flexion que les çoids uniformément répartis, pour établir directement le rapport des charges qui, dans les deux cas, produiraient une flexion identique.
  - ESSENCE DIMENSIONS La charge agissant au milieu. La charge étant uniformément répartie. CHARGE qui placée au milieu RAPPORT de ces
  - DES BOIS. verti- cale. hori- zontale charge. flexion. charge. flexion. rait cette flexion. charges
  - Chêne, prismatique Chêne, cylindrique. m. 0,02 0,02 diamè. m. 0,03 0,02 0,02 0,02 kilog. 6,00 6,00 1,90 4,75 mill. 33,0 15,0 48,0 123,0 kilog. 9,00 9,00 3,00 7,50 mill. 32,0 14,5 48,0 123,0 kilog. 5,818 » 1,900 4,750 0,649 » 0,633 0,633
  - Or on verra plus loin que la théorie indique que pour une même flexion, les charges placées au milieu et les charges uniformément réparties doivent être dans le rapport de 5 à 8 ou 0,625 ; si l’on remarque que les charges employées par M. Dupin n’étaient pas réellement uniformément réparties, mais bien distribuées par portions égales, on voit que ces expériences fournissent une vérification de la théorie, bien suffisante pour la pratique.
  - 129. Rapport des flexions à la largeur et à l’épaisseur des pièces. — La théorie dont il sera parlé plus tard conduit à conclure que pour des pièces prismatiques, les flexions, à portées égales, doivent être en raison inverse des largeurs et des cubes des épaisseurs, de sorte que si l’on appelle a la largeur et b l’épaisseur, les flexions seront en raison inverse du produit abs.
  - D’après cela, si l’on fait fléchir la même pièce sous la même charge en la plaçant d’abord à plat ( pl. III, fig. 8 ) de manière
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- - FLEXION.
  - 141
  - que sa dimension a soit horizontale et b verticale; puis de champ, de manière que b soit horizontale et a verticale, les flexions observées devront d’après la théorie être dans le rapport inverse de ab8 à 6a3 ou dans celui de a2 à ô2, c’est-à-dire dans le rapport des carrés des dimensions; c’est ce que vérifient fort bien les expériences suivantes de M. Dupin :
  - EXPÉRIENCES SUR UNE PIÈCE DE SAPIN DE 0m,03 SUR 0,02.
  - Charges 2^ilo8 4kilog gkilog gkilog IQkilng
  - (à plat. 32miU 4gnuU 64miU 80-aiU
  - Flexions < , ( de champ 6,80 14 21,30 28,50 37,60
  - Rapport des flexions 2,36 2,28 2,25 2,24 2,13
  - Moyenne de ce rapport......... 2,25
  - Le rapport des carrés des dimensions étant celui de 9:4 ou 2,25, on voit qu’il y a accord à peu près parfait entre les résultats de l’expérience et les indications de la théorie.
  - Une vérification semblable a été obtenue sur une autre pièce de sapin de 0ra,05 sur 0m,02 d’équarrissage.
  - De ces expériences, résulte donc aussi la vérification de cette conclusion de la théorie que la flexion est en raison inverse du produit de la largeur a et du cube à3 de l’épaisseur des pièces.
  - 150. Flexibilité des bois en fonction de la distance des appuis.— L’auteur a fait varier la distance des appuis sur lesquels les pièces étaient posées, mais sans réduire la longueur de celles-ci qui avaient un peu plus de 2m,00; de sorte que pour toutes les portées inférieures à 2m,00, une portion des pièces se trouvait en surplomb en dehors des appuis et continuait à atténuer l’effet de la charge et par suite la flexion. Il est facile de tenir compte de l’effet de ces parties en surplomb; mais il a si peu d’influence sur les résultats, que cette correction semble inutile pour asseoir la conclusion que l’on en déduit.
  - En effet les résultats des mesures directes sont consignés dans le tableau suivant :
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- - 442
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Sapin du Nord. Règle prismatique de 0m,02 sur O10,05 chargée de 10 kilog, en son milieu. — Poids de la règle. 4kil, 404-
  - Distances des appuis
  - en mètres.........
  - Flexions en millim... Cubes des portées...
  - 1,00 1,125 1,250 1,375 1,500 1,625 1,750 1,875 2,000
  - 10,0 15,5 21,9 28,7 36,7 47,0 58,0 70,0 84,0
  - 1,000 1,424 1,953 2,600 3,375 4,291 5,859 6,591 8,000
  - Chêne. Règle de 0,02 sur 0,03, posée sur plat. Poids de la règle, 0kil, 94.
  - 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00
  - 6,0 8,10 10,8 13,3 16,7 21,0 25,0 30,5 36,0 42,0 49,0
  - 1,000 1,331 1,728 2,194 2,744 3,375 4,096 4,913 5,832 6,859 8,00
  - Distances des appuis
  - en mètres.........
  - Flexions en millim... Cubes des portées...
  - Si l’on prend à une échelle quelconque, comme on l’a fait (pl. III, fig. 9) pour la règle de chêne, les cubes des portées pour abscisses et les flexions pour ordonnées à une échelle suffisamment grande, on trouve que tous les points ainsi déterminés sont en ligne droite ; d’où l’on conclut avec l’auteur et conformément à la théorie, que les flexions des pièces chargées en leur milieu sont entre elles comme les cubes des portées.
  - 151. Conclusions de ces expériences. — De l’analyse succincte que nous venons de donner des belles expériences de M. Ch. Dupin, l’on a conclu successivement, que toutes choses étant égales d’ailleurs, les flexions des pièces posées sur deux appuis et chargées au milieu de leur longueur sont :
  - 1° Proportionnelles aux charges 2P qu’elles supportent ;
  - 2° En raison ‘inverse du produit de la largeur a et du cube de la hauteur b des pièces ;
  - 3° Proportionnelles au cube de la portée 2C, C dans tout ce qui va suivre désignant la demi-portée;
  - 4° Que la flexion produite par une charge uniformément répartie est les § de celle qui serait due à la même charge placée au milieu de la pièce, ou, ce qui revient au même, que la première charge équivaut aux § de la seconde.
  - D’après cela si l’on considère deux pièces prismatiques, du même bois, posées sur deux appuis et chargées en leur milieu, et qu’on nomme :
  - 1° /, a, 6, 2P et 2C, la flexion, la largeur, l’épaisseur, la charge et la portée de la première ;
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- - FLEXION.
  - 143
  - 2° f, a\ b', 2P' et 2C' les quantités analogues pour la seconde;
  - 3° fi la flexion d’une pièce pour laquelle l’équarrissage et la portée seraient les mêmes que pour la première et la charge égale à 2P'.
  - 4° /à la flexion d’une pièce pour laquelle la charge 2P' et la portée 2C seraient les mêmes que pour la précédente, la largeur égale à a! et la hauteur égale à b',
  - On aura, d’après les résultats de l’expérience :
  - P : P'
  - f.f J_._L
  - Al ‘ h •* ab3 * a'b'3 f; : f' :: C3 : C's
  - D’où l’on tire en multipliant terme à terme :
  - d’où
  - , PG3FG'3 ' * ' " ab3’ a'b,3’
  - r EE!
  - /—/ •p'C'3,a£3‘
  - Lors donc que des expériences spéciales ont fait connaître pour un prisme rectangulaire d’équarrissage connu a' et b', et d’une portée 2C' donnée, soumis aune charge 2P', la flexion
  - Qj
  - f correspondante, on voit que le facteur f' pp, étant connu
  - on en pourra déduire la flexion de tout autre solide prismatique de même matière pour lequel l’équarrissage, la portée et la charge seraient différents.
  - Ainsi, par exemple, pour la pièce de sapin du Nord employée par M. Charles Dupin dans les expériences rapportées au nu 130, on a
  - c'=0m,02, ù'=0m,05, 2P' = 10kil, 2C'=2“,00, f' — 0m,08L On en déduit
  - PC3
  - f
  - 23809523 ab3
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- - 144
  - TROISIÈME PARTIE.
  - pour calculer la flexion des bois de même nature et au même état, lorsque la portée sera 2C et la charge au milieu 2P. '
  - IVotions théoriques.
  - 152. Considérations générales sur la flexion, la compression et la rupture des corps fibreux. — Dans l’étude que nous nous proposons de faire de la résistance qu’opposent les corps employés dans les constructions à la flexion et à la rupture, nous nous fonderons principalement sur les résultats de l’expérience et de l’observation pour en déduire des règles que les praticiens puissent adopter avec confiance et sécurité. Mais il n’est pas moins utile de considérer directement en eux-mêmes les phénomènes que présentent lés corps qui éprouvent des flexions plus ou moins grandes, afin d’en déduire, s’il se peut, des règles théoriques dont la comparaison avec les résultats de l’expérience permette de généraliser et d’étendre les conséquences que l’on peut tirer de celle-ci.
  - 155. Des effets qui se produisent dans lés corps fibreux, fléchis, comprimés ou tordus par des forces extérieures. — Cherchons donc à nous rendre compte des phénomènes généraux que présentent les corps soumis à l’action de forces extérieures qui tendent à les fléchir, à les comprimer ou à les tordre, et suivons à cet effet les notions simples exposées par M. Poncelet dans son cours à la Faculté des sciences*
  - Soit ABC (pl. III, fig. 10) un corps fibreux sollicité par un certain nombre de forces extérieures P, Q, R, S, T, etc., dirigées selon les directions quelconques. Le corps cède d’abord à l’action de ces forces, et aussitôt se développent les réactions moléculaires ou les résistances des fibres, des molécules qui le composent, au déplacement par extension, par compression ou par torsion. Bientôt, si ces déplacements et les efforts qui les produisent ne dépassent pas les limites pour lesquelles l’élasticité serait altérée, le mouvement s’arrête, et l’équilibre s’établit entre les forces extérieures et les forces moléculaires. Tout le corps étant parvenu à cet état, l’équilibre existe séparément pour toutes les sections que l’on peut concevoir dans le corps, et l’on peut rechercher les conditions de cet équilibre pour chaque section, en considérant le reste du corps comme solidifié. Ainsi,
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- - FLEXION.
  - 145
  - par exemple, pour une section IK, il faudra rechercher les conditions de l’équilibre entre les forces extérieures 0 et R agissant à droite de cette section et les forces moléculaires développées dans la section meme. Lorsque cct équilibre aura été assuré pour celles des sections où l’effet des forces extérieures serait le plus grand, il le sera a fortioripour tout le corps. Celte section a été nommée par M. Poncelet la section dangereuse, parce que c’est en effet celle où les déformations doivent cire les plus grandes, et pour laquelle il importe donc essentiellement de les renfermer dans des limites convenables. Ces considérations sont générales et s’appliquent évidemment aux effets de torsion, comme à ceux de flexion et de compression.
  - 154. Notions sur la flexion et la courbure des lignes. — Pour l’intelligence de ce qui va suivre, rappelons quelques notions sur la courbure des lignes. Si l’on considère (pl. 111, fig. 11) deux éléments consécutifs ac et cb d’une courbe et qu’on mène en leurs milieux m et n deux lignes mo et no normales à ces éléments, ces lignes se couperont en un point o, qui serait le cenlre du cercle qui passerait par les points a, &et c, et qui, à la limite de petitesse des éléments, se confondrait avec la courbe. Ce cercle s’appelle le cercle osculateur de la courbe, et les lignes égales mo et no sont les rayons de courbure que nous désignerons par r. L’angle compris entre les normales consécutives, ou l’arc décrit à l’unité de distance qui le mesure, étant désigné par e, l’arc élémentaire s de la courbe a pour
  - 5 S
  - expression s = re, d’où r — - et o — '-. Lacourbure delà courbe
  - étant d’ailleurs d’autant plus grande, plus rapide, que le rayon
  - \ 6
  - r est plus petit, elle est exprimée par le rapport - = et l’on
  - remarquera que l’angle e des normales mo et no est égal à celui que forment les tangentes à la courbe en m et en w, ou les prolongements des éléments ac et cb ; angle que l’on nomme l’angle de contingence. Cela posé, et sans entrer à ce sujet dans des détails qui ne seraient pas à leur place, examinons ce qui se passe dans la flexion des corps.
  - 155. Hypothèse de Galilée sur le mode de résistance des matè-
  - 10
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- - 446
  - TROISIÈME PARTIE.
  - riaux à la flexion. — C’est à l’illustre Galilée que Ton doit les premières recherches scientifiques sur la manière dont les corps résistent aux efforts auxquels ils sont soumis dans les constructions ; elles sont développées dans ses Dialogues, pu. bliés en 1638. Galilée considérait les corps comme composésde petites fibres appliquées parallèlement les unes sur les autres, et supposait la résistance totale proportionnelle à l’étendue de la section transversale et indépendante du degré d’extension qu’elles prenaient avant de se rompre, hypothèse qui, comme nous le verrons plus tard, n’est pas conforme à la nature. Il admettait de plus que, dans le cas d’un solide encastré horizontalement par l’une de ses extrémités et sollicité à fléchir par une force verticale agissant à l’autre extrémité, l’axe autour duquel se faisait la rotation dans une section quelconque au moment de la flexion ou de la rupture était placé à la partie inférieure de la section, de sorte que toutes les fibres du corps s’allongeaient à peu près proportionnellement à leur distance à sa face inférieure.
  - Si, dans cette hypothèse, on considère (pl. III, fig. 12) un solide prismatique à section rectangulaire, on voit qu’en nom-marit E la résistance par unité de surface, celle d’une tranche de surface élémentaire s, située à la distance v de l’axe mn de rotation, serait Es, et que le moment de cette 'résistance par rapport à mn, serait égal à Esv, ou au produit du nombre constant E par le moment de celte tranche élémentaire par rapport à la section mn de la couche inférieure; de sorte que le moment total ou la somme des moments semblables serait égal au produit de la surface totale A de la section, par la résistance E par unité de surface, et par la distance de son centre de gravité à l’axe mn, le centre de gravité étant le point d’application de la résultante de toutes les forces égales appliquées aux différentes surfaces élémentaires dont l’ensemble constitue la surface totale. Dans le cas d’une pièce prismatique à section rectangulaire, de largeur a et de hauteur b, on aurait A=ab,
  - la distance du centre de gravité à l’axe serait et la somme des
  - moments des résistances des fibres serait, dans l’hypothèse de Galilée :
  - a b*
  - b
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- - FLEXION.
  - 147
  - Et pour que l’équilibre subsistât entre les forces extérieures et la section que l’on considère, il faudrait donc que la somme des moments de ces forces et celle des résistances moléculaires, par rapport à l’axe mn, fussent égales, de sorte qu’en nommant M la somme de ces moments, on devrait avoir :
  - M = E.^.
  - 156. Hypothèses de Mariotte et de Leibnitz. — Mariotte ayant voulu véritier les résultats de la théorie de Galilée, ne les trouva pas conformes à l’expérience et fut conduit à considérer les corps comme composés de fibres extensibles qui résistaient à l’extension proportionnellement à leur allongement. Cette supposition, qui avait déjà été faite par Hooke, célèbre géomètre anglais, vivant en 1670, était déjà plus voisine de la vérité; mais elle fut étendue par Mariotte jusqu’à l’instant delà rupture qui n’arrive, comme on le sait, que quand l’élasticité a été altérée et par conséquent après que les allongements ont cessé d’être proportionnels aux efforts.
  - Leibnitz, en se basant sur l’hypothèse de Hooke et en supposant encore que la rotation produite par la flexion se faisait autour d’un axe situé à la partie inférieure du corps, parvint à une formule qui concorde mieux avec les résultats de l’expérience.
  - En effet, si dans cette hypothèse l’on examine (pl. 111, fig. 13) ce qui se passe dans une tranche élémentaire comprise entre deux plans normaux à sa longueur et infiniment voisins, et que l’on considère en particulier une fibre élémentaire mn située à la distance v de l’arête inférieure c de la section, on voit en menant cp parallèle à mm' que cette fibre mn, qui avait primitivement une longueur égale à m'c, a éprouvé un allongement pn, et que d’après ce que l’on a dit au n° 154, on a
  - pn : m'c V. en ou v : m'o ou r ;
  - d’où
  - pn __v
  - m'c r
  - Or le rapport est ce que l’on a appelé précédemment
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - 148
  - (n° G) l’allongement proportionnel i, et tant qu’il ne dépasse pas la limite i' qui correspond à la limite à laquelle l’élasticité est altérée, la résistance de la libre est proportionnelle aucoet-ficientE d’élasticité, à l’aire de la section transversale a delà fibre et à son allongement proportionnel i ; de sorte que l’on a pour la valeur de cette résistance :
  - E«i=Ea -• r
  - Et son moment par rapport à l’axe de rotation de la section, supposé en c, sera :
  - Ea -. v — E - v* — - X av2; r r r
  - E
  - c’est-à-dire égal au produit du quotient - du coetficient d’élasticité divisé par le rayon de courbure, et du moment d’inertie de la section transversale de la fibre élémentaire que l’on considère par rapport à l’arête inférieure c de la section du corps.
  - La somme des moments semblables ou le moment total de la résistance des libres de la section serait donc
  - r* pr
  - ±(av*+a'v''+e tc...) = y,
  - en remarquant que la somme des produits av* -j- a'v'* -f-etc., est le moment d’inertie de la section par rapport à i’axe inférieur de rotation, moment que nous désignerons par la lettre I.
  - D’après cette théorie on devrait donc avoir, entre cette somme des moments des forces moléculaires et celle M des moments des forces extérieures, la relation
  - Mais l’hypothèse de la rotation autour de la ligne inférieure de la section transversale n’est pas d’accord avec l’observation, ainsi qu’on l’a vu par les expériences rapportées aux nos 118 à 125, et l’existence d’une couche de fibres qui, pour chaque position d’équilibre, ne subissent ni allongement ni raccourcissement, se trouve au contraire démontrée par l’expérience.
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- - FLEXION.
  - 449
  - 137. Théorie de la résistance des corps fibreux à la flexion transversale. — C’est sur celle considération de l’existence d’une fibre invariable dans l’intérieur des corps, regardés comme composés de fibres parallèles, qu’est fondée la théorie actuelle de la résistance des corps à la flexion.
  - La rotation qui se produit dans chaque section s’effectuant pour chacune d’elles autour de la ligne contenue dans cette couche des fibres invariables, il s’ensuit que l’allongement et le raccourcissement des fibres situées en dehors de la couche des fibres invariables, sont proportionnels à leur distance à celle couche.
  - A l’aide de cette considération, examinons maintenant (pl. III, «g. 14) ce qui se passe entre deux sections infiniment voisines et perpendiculaires à la longueur d’un corps fibreux fléchi, que nous supposerons par exemple solidement encastré par l’une de ses extrémités et soumis à l’autre à l’action d’une force extérieure P qui agit normalement à sa longueur dans le plan vertical moyen qui le diviserait longitudinalement en deux parties égales.
  - Soient 1K et ik les sections que l’on considère et dont les plans prolongés se rencontrent suivant une ligne perpendiculaire au plan moyen du corps et qui se projette en o. Dans la flexion du corps les sections IK et ik restant normales à la ligne des fibres invariables, le point o sera le centre de courbure de celle ligne, et l’on aura d’après ce qui précède (n° 124), co = r, Cc=s.
  - Si par le point c, l’on mène une parallèle cl' à la ligne CI, il est évident qu’une fibre quelconque mn, qui avait avant la flexion une longueur égale à Cc = mp, se sera allongée de la quantité pn qui sera proportionnelle à sa distance pc à la fibre invariable Ce; la figure montre par les triangles semblables C oc
  - etpen que l’on apn\cn\:s\r\ d’oxipn=s-xcn=S-v, en appelant v l’ordonnée du point n, ou sa distance à la couche des fibres invariables, et l’allongement relatif de cette fibre, ou par unité de longueur, sera donné par le rapport :
  - pn pn _ en v .
  - mp Ce co r
  - Or, si l’ou nomme a faire élémentaire de la section de cette
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- - ISO TROISIÈME PARTIE.
  - fibre, on sait par ce qui précède que sa résistance à l’aj, longement, que nous appellerons p, aura pour expression
  - - _ v E
  - p = Eai = Ea - = - Xav. r r r
  - Si la force, qui tend à fléchir le corps, reste normale à sa longueur, et que les flexions soient très-petiles, ainsi que cela doit toujours arriver dans les constructions, la composante de cette force perpendiculairement à Tune quelconque des sections normales, sera nulle ou négligeable; par conséquent la force extérieure qui tendrait à produire une translation longitudinale est aussi nulle ou négligeable; il n’y a pas de translation et les forces moléculaires doivent se faire équilibre quant à la translation longitudinale. Or si les résistances moléculaires des fibres sont toutes normales à cette section, il faudra donc que les résistances à l’extension, des fibres placées d’un côté de la surface des fibres invariables, fassent directement équilibre, quant à la translation, aux résistances à la compression, situées de l’autre côté; et comme toutes ces forces sont parallèles, cela exige que leur somme soit égale à zéro. C’est la première condition de l’équilibre dans cette section.
  - Si l’on remarque que l’une quelconque de ces forces a pour expression
  - E
  - p=— av, r
  - E
  - et que le facteur — est le môme pour toutes les fibres, la somme
  - des forces analogues, pour toutes les fibres a, a!, a", placées à des distances v, v', v'\.. . etc., qui doit être nulle, sera :
  - 5 (av a'v' a!'v" .. .etc ) = 0.
  - 158. La ligne des fibres invariables passe par le centre de gravité de la section transversale. — On voit que la. condition que cette somme soit nulle revient à dire que la somme des moments des sections de chacune des fibres, par rapport à la ligne des fibres invariables, doit être nulle; c’est-à-dire, d’après le théorème connu des moments, que cette ligne des fibres invariables passe par le centre de gravité de la section. Or, on sait,
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- - FLEXION.
  - iM
  - s0it par les méthodes géométriques directes, soit par la méthode de Th. Simpson, déterminer le centre de gravité d’une aire plane (Ire partie, n°* G et suiv.); nous pourrons donc toujours, quelle que soit la forme de la section transversale du corps que l’on considère, déterminer la ligne, perpendiculaire au sens de la résultante des forces extérieures, qui contient les fibres invariables.
  - 159. Observations relatives à l’extension et à la compression des
  - F
  - fibres. — Nous avons admis que le facteur — était constant pour toutes les fibres, soit qu’elles fussent allongées ou comprimées,
  - p
  - c’est-à-dire que les valeurs du nombre - = E (6), ou que le rapport des efforts de traction longitudinale aux allongements i par mètre courant qu’ils .produisent, était le même que celui du même effort au raccourcissement proportionnel qu’il occasionnerait s’il comprimait le corps. En un mot, cela revient à supposer que dans les limites d’allongement et de raccourcissement qui n’altèrent pas l’élasticité, la résistance à l’extension est la môme que la résistance à la compression pour une même variation de la longueur. Or, on a vu aux n08 92 et 95 que pour la fonte en particulier, tant qu’il ne s’agit que de faibles extensions ou compressions, le rapport des charges aux allongements et aux raccourcissements proportionnels est constant et sensiblement le même pour les deux cas, ce qui permet d’appliquer dans ces limites le raisonnement précédent.
  - Les expériences relatives au n° 125 prouvent d’ailleurs, comme la théorie précédente le suppose, que, dans la flexion des corps, entre les limites où l’élasticité n’est pas altérée, les allongements des fibres placées à la partie convexe sont aux raccourcissements des fibres placées à la partie concave dans le rapport des distances de ces fibres à la ligne qui passe par le centre de gravité de chaque suture et qui est perpendiculaire au plan de flexion.
  - Enfin, ce qui prouve a posteriori que dons les flexions que la pratique des constructions permet de tolérer, l’on peut admettre l’égalité des résistances à l’extension et à la compression, c’est que les valeurs des coefficients d’élasticité des substances le
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - tf>2
  - plus généralement employées, fournies par les expériences sur la flexion des corps, pour le calcul desquels on applique les considérations précédentes, sont sensiblement les mêmes que celles que l’on déduit des expériences sur rallongement direct. Nous reviendrons plus tard sur celle considération.
  - 140. Condition générale de l'équilibre entre les forces extérieures et les forces moléculaires. — Si nous continuons de considérer un corps de forme quelconque (pl. III, fig. 14) encastré par l’une de scs extrémités et soumis à des forces extérieures P, Q, R, etc., et l’une quelconque de ses sections IK, lorsque ce corps sera parvenu à une position d’équilibre, la flexion générale et par suite la rotation des fibres élémentaires de la section IK autour de la ligne des fibres invariables ayant cessé, il faudra nécessairement que la somme des moments des résis-
  - E
  - tances moléculaires, telles que p = - av des fibres par rapport
  - à cette ligne, soit égale à la somme des moments des forces extérieures qui agissent à droite de la section IK. C’est la deuxième condition de l’équilibre dans celte section.
  - Or, si l’on se reporte à la figure 13, on verra de suite, comme au n° 13G, que le moment de la résistance^ de la fibre mn par
  - E
  - rapport à la ligne des fibres invariables, est pv = ^av2, et que
  - la somme de tous les moments semblables sera pour la section entière :
  - (avz -j- «V2 -j- al’v" -J- etc... ).
  - La somme des produits «a2, «V2, etc., de l’aire de la section transversale de chaque fibre par le carré de sa distance à la ligne des fibres invariables est ce qu’on a nommé dans la première partie des leçons le moment d'inertie, que nous avons désigné par I.
  - Donc la somme des moments de toutes les résistances molé-
  - E
  - culaires à l’extension et à la compression est -1, et cette somme
  - doit être égale à celle des moments P^ + Q^H-etc...=M des forces extérieures qui tendent à produire la rotation autour de la section IK que l’on considère.
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- - FLEXION.
  - On a donc, en général, pour la condition d’équilibre et pour une section quelconque, la relation
  - El
  - y = Pj9-)-Q<7 + etc... = M.
  - 141. Limites des résistances 'permanentes. — Mais pour que cet équilibre puisse subsister d’une manière permanente et pour que la résistance de la pièce soit durable et offre la sécurité nécessaire, il faut qu’aucune des fibres de la section transversale que l’on considère ne soit soumise à un allongement ou h une compression qui dépasse les limites de l’élasticité.
  - Dans la rotalion qui se produit autour de la ligne des fibres invariables, la fibre la plus éloignée de cette ligne est évidemment celle qui s’allonge ou se raccourcit le plus. Si, par exemple, ciesi plus grand que c/c, la fibre dont la longueur a subi la plus grande variation est II', et son allongement est 1'/; or on a, par les triangles semblables, en appelant v' la distance cl' de cette fibre à l’axe des fibres invariables :
  - — =
  - Ce LiO
  - LiO r
  - et en nommant i' l’allongement ou le raccourcissement proportionnel que les fibres peuvent éprouver sans altération de
  - V
  - leur élasticité, il faut que l’allongement - de la fibre la plus éloignée soit égal à i', ce qui donne :
  - Par conséquent
  - El_____El?:’
  - r v' '
  - Mais si, conformément à ce que nous venons de dire, on appelle R l’effort permanent d’extension ou de compression que chaque unité de surface de la section transversale du corps peut supporter avec sécurité, on aura :
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - m
  - et par suite
  - EI_£flf r v'
  - pour la somme des moments des résistances moléculaires de la section que l’on considère, à l’exlension et à la compression, quand ces fibres ne seront soumises qu’à des efforts qu’elles puissent supporter avec sécurité, sans que leur élasticité ait à subir aucune altération.
  - La relation à établir pour la stabilité de la construction entre les résistances moléculaires et les forces extérieures est donc ;
  - RI
  - + Q9, + etc... =M.
  - 142. Valeur de rallongement ou du raccourcissement proportionnel éprouvé dans la flexion. — On déduit aussi de ce qui précède que l’allongement ou le raccourcissement éprouvé par la fibre qui subit la plus grande variation de longueur est ex-R
  - primé par et en mettant pour R la valeur déduite de
  - l’équation précédente i'
  - El
  - ce qui permettra de calculer i
  - toutes les fois que l’on connaîtra les quantités qui entrent dans le second membre de celte expression, ainsi que nous en verrons des exemples plus tard.
  - 143. Observation sur la formule précédente. —Il importe de remarquer que celte formule exprime d’une manière générale la condition de l’équilibre entre les forces extérieures qui tendent à faire fléchir ou à rompre le corps et les forces intérieures de résistance à l’extension et à la compression, appelées les forces moléculaires, qui se développent dans chacune de ses sections transversales. Elle se traduit simplement en ces termes:
  - Quand un corps solide encastré par l’une de ses extrémités et sollicité à fléchir ou à rompre sous l’action de forces extérieures est parvenu à un état d’équilibre, la somme des moments de toutes les résistances moléculaires à l’extension et à la compression dans une section transversale quelconque est exprimée par le produit Rï
  - jÿ-, et est égale à la somme des moments des forces extérieures, par rapport à cette section.
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- - FLEXION.
  - 455
  - On aura donc assuré la stabilité ou la résistance du solide lorsque l’on aura donné à ses différentes sections, si elles sont variables, ou à la section constante, si le solide a partout le même profil, des dimensions telles que cet équilibre ait lieu pour les sections les plus faibles, ou pour celles où il y a le plus de chances de rupture.
  - Il est d’ailleurs évident que pour les solides à section transversale constante la section dangereuse est celle pour laquelle la somme des moments des forces extérieures est la plus grande; que, par conséquent, c’est habituellement la section d’encastrement.
  - Celte même formule
  - 5? = M,
  - V -
  - d’où
  - permettra de déterminer par l’observation des constructions qui ont pour elles la sanction du temps, et par celle des résultats des expériences directes, les valeurs qu’il convient d’attribuer au nombre R, relatif à chaque substance, pour obtenir dans les constructions la stabilité, la durée convenable; on en verra plus loin de nombreux exemples.
  - 144. Observation sur les limites entre lesquelles les formules déduites de la théorie sont applicables. — Mais on ne devra pas oublier que ces formules et la théorie sur laquelle elles sont fondées supposent expressément que les flexions sont renfermées dans des limites étroites pour lesquelles elles sont proportionnelles aux charges et qu’en poussant leur application plus loin et jusqu’à la rupture, on les étend à des circonstances où les phénomènes ne se passent plus conformément aux hypothèses admises.
  - Les expériences de M. Hodgkinson sur l’extension et la compression de la fonte et du fer montrent, en effet, que si jusqu’à certaines limites les extensions et les compressions sont proportionnelles aux charges et à peu près égales entre elles, ce qui conduit à admettre que les résistances à l’extension et à la compression sont aussi sensiblement égales dans ces limites, il en est tout différemment à mesure qu’on s’en écarte, et tandis que pour la fonte la résistance à la compression l’emporte de plus en plus sur la résistance à l’extension à
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- - 4S6 TROISIÈME PARTIE.
  - mesure que l’on se rapproche des charges de rupture, l’inverse a lieu pour le fer.
  - Dans de semblables circonstances, s’il est encore vrai qu’à chaque instant il y a dans l’intérieur des solides fléchis une couche de fibres qui ont leur longueur primitive, il est évident que celte couche n’est plus la même pour toutes les flexions, qu’elle cesse de passer par le centre de gravité des sections transversales et qu’elle se rapproche de plus en plus du côté où la résistance est la plus grande.
  - Il s’établit alors à chaque position nouvelle d’autres conditions d’équilibre dans lesquelles les résistances à l’extension cl à la compression, devenues variables, jouent un rôle différent, quoiqu’il soit analogue à celui qu’elles ont dans la première partie des phénomènes.
  - L’ignorance où nous sommes dans ce cas de la loi qui lie les résistances aux extensions ou aux compressions ne permet plus alors de soumettre les effets à une théorie régulière et l’on est obligé de recourir exclusivement à l’observation et de rechercher des formules empiriques qui en représentent les résultats.
  - Lors donc que dans la discussion des résultats d’expériences, nous appliquerons encore à des cas de rupture les formules analogues à celle que nous venons d’établir
  - pour le cas des flexions très-faibles, et que nous en déduirons des valeurs du coefficient R, alors appelé coefficient de résistance à la rupture, il faudra bien se rappeler que cette formule n’est plus, dans ce cas, qu’une règle empirique que l’on compare aux résultats de l’expérience pour reconnaître jusqu’à quel point elle peut, au moyen d’une valeur à peu près constante de R, en représenter les résultats.
  - Enfin, nous ferons remarquer qu’en appliquant encore l’hypothèse que les allongements et les raccourcissements sont proportionnels aux forces qui les produisent, mais que les rapports de ces quantités ou ce que nous avons appelé les coefficients d’élasticité, sont différents pour l’extension et pour la compression, au lieu de les regarder comme égaux, l’on peut établir des équations nouvelles d’équilibre pour chaque cas et
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- - FLEXION.
  - 157
  - niéme pour celui de la rupture; c’est ce qui a été fait avec latent par M. Delorme, ingénieur des ponts et chaussées, dans un travail fort intéressant, accompagné de résultats d’expériences, qui sera sans doute prochainement publié dans les Annales des ponts et chaussées.
  - Mais ces considérations conduisent toujours à baser les proportions des pièces sur les phénomènes de la rupture qui sont soumis h bien plus de chances d’accidents et d’anomalies que ceux de la flexion, et, d’ailleurs, la prudence conduisant toujours les constructeurs à ne pas dépasser les limites de charges et de flexions entre lesquelles il y a sensiblement égalité entre les résistances à l’extension et à la compression, il nous semble plus exact et plus conforme aux faits d’observation de baser les calculs sur les formules déduites des considérations que nous avons admises que sur celles qui se rapportent à des cas de rupture dont on reste toujours fort éloigné.
  - If o. Cas où il est nécessaire de tenir compte des forces qui agissent normalement à la section du corps que l’on considère. — Eh ne tenant compte jusqu’ici que de l’action des forces qui agissent pour produire des rotations dans la section du corps que l’on considère, nous avons implicitement supposé que l’on pouvait négliger l’effort que les composantes de ces forces perpendiculaires à celle section peuvent exercer pour produire l’allongement général de ses fibres ou leur compression. Dans un grand nombre de cas, on peut, en effet, faire abstraction de ces extensions ou compressions générales, et ne tenir compte que de celles qui sont dues à la flexion du corps. Mais il en est d’autres où les efforts normaux aux sections, ou agissant dans le sens de la longueur du corps, acquièrent assez d’intensité pour qu’il soit convenable et.même nécessaire d’apprécier leur influence.
  - C’est ce qu’il est facile de faire en décomposant toutes les forces extérieures en deux autres, l’une parallèle à la section que l’on considère et qui contribuera à la flexion, l’autre normale à celle section et qui produira l’extension ou la compression.
  - Nommant T la somme algébrique de toutes ces composantes normales, on verra,par le sens dans lequel elle agit, si elle tend à allonger ou à comprimer le corps. Dans le premier cas, elle
  - T
  - produira par unité de surface une tension -r et un allongement
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- - 458 TROISIÈME PARTIE.
  - proportionnel (n° 0) que nous désignerons par f et qui sera
  - Il suit de là que la fibre la plus éloignée de la ligne des fibres neutres éprouvera :
  - 1° Par l’action des composantes normales à la section un allongement proportionnel i" exprimé par
  - 2° Par faction des composantes parallèles à cette section, un allongement proportionnel i' exprimé par (n° 142)
  - __R (P p + Q<7 + etc...V _Mv’
  - * E El “ El ’
  - en nommant toujours M la somme des moments des forces qui tendent à produire la flexion, par rapport à la section que l’on considère.
  - Donc l’allongement total de cette fibre sera :
  - J, 1W AE ' El5
  - et, pour qu’il ne dépasse pas la limite de l’élasticité, il faudra que l’on ait encore i = g (n° 141). Donc pour que la pièce résiste d’une manière permanente, il faut établir la relation
  - E —AE + El ’
  - ou
  - r=!+Mï'.
  - A ^ I
  - Dans le cas où. la résultante T tendrait à produire une compression générale des fibres de la section considérée, la fibre la plus éloignée de la ligne des fibres neutres éprouverait, si elle est située dans la partie supérieure de la section :
  - 1° Par l’action des forces normales à la section, une compression proportionnelle exprimée par :
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- - FLEXION.
  - 489
  - 2° Par l’action (les composantes parallèles à cette section, un allongement proportionnel exprimé par :
  - Mv'
  - 1 ~ El*
  - Donc la compression ou l’allongement total serait
  - ou i = ï
  - en ayant soin de prendre dans tous les cas pour i la valeur positive fournie par l’une ou l’autre de ces relations.
  - On aura donc à établir dans ce cas, pour la stabilité de la construction, la relation
  - T M*/ A 1 ’
  - ou
  - Enfin si la fibre la plus comprimée était plus éloignée de la ligne des fibres invariables que celle qui est la plus allongée, il faudrait, dans le dernier cas que nous venons d’examiner, ajouter les deux compressions i’ et i" comme dans le premier cas, où l’on considérait les allongements, et l’on aurait encore à la limite des compressions qui n’altèrent pas l’élasticité :
  - R_T , w R-â+T-
  - 446. Hem,arques sur les quantités À et I. — On remarquera que les quantités A et I qui représentent l’une l’aire de la section transversale, l’autre le moment d’inertie de cette section par rapport à la ligne des fibres invariables, ne dépendent que des dimensions et de la forme du profil de cette section, et que par conséquent R étant connu d’après l’observation des bonnes constructions, comme nous l'indiquerons plus loin, ï et M dépendant de l’intensité et de la disposition des forces extérieures qui agissent sur le corps, on pourra toujours déterminer les dimensions et les proportions de la section transversale ou les quantités A et I, de manière que les relations précédentes, qui expriment l’équilibre permanent, soient satisfaites, ce qui constitue la recherche importante des proportions du corps, propres à assurer la stabilité des constructions.
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- - 160
  - TROISIÈME PARTIE.
  - 147. Cas où le corps a un profil constant sur toute sa longueur — Dans un grand nombre de cas, le corps a sur toute sa Ion-gueur le même profil, et alors les quantités A et 1 sont cou-stantes; dès lors la section dangereuse est évidemment celle pour laquelle le second membre des relations précédentes
  - Mv' T
  - T±A
  - acquiert sa plus grande valeur.
  - Dans le cas où le corps est encastré par l’une de ses extré- | mités, la section d’encastrement est habituellement la section | dangereuse, et si l’allongement ou la compression que produit I la résultante T des composantes normales à celte section est H nul ou très-faible par rapport à celui qui provient de la flexion, cette section est toujours la plus dangereuse. Dans ce dernier I cas, qui se présente fréquemment dans la pratique, les rela- I lions de stabilité se réduisent à
  - Dans certains cas, l’on peut disposer ou distribuer les forces I extérieures, de manière que la somme de leurs moments, par | rapport à la section dangereuse, soit nulle, et alors la pièce ! n’étant plus soumise qu’à des efforts d’extension, et de compression , la relation de stabilité se réduit à
  - ce qui conduit immédiatement à la détermination de la section transversale, quand on connaît la force T qui tend à comprimer ou à étendre le corps.
  - Ce cas est celui des piliers ou des colonnes qui soutiennent les chaînes des ponts suspendus. La direction et la tension de ces chaînes doivent être combinées de telle façon que la somme des moments des forces qui tendent à produire la rotation du support sur sa base , soit nulle ou à peu près, et qu’il ne soit soumis qu’à une compression.
  - 148. Observations. — Les relations d’équilibre entre les forces extérieures et les forces moléculaires que nous venons d’é-
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- - FLEXION.
  - 161
  - tabîir, dans lesquelles la quantité H est limitée aux efforts que chaque unité de surface peut supporter sans altération de l’é-lasticilc, ont reçu à l’École de Metz le nom d équation d’équarrissage qui exprime que c’est de cette relation que l’on peut déduire les dimensions réelles des pièces.
  - Valeurs des moments d’inertie des divers profils.
  - 149. Valeurs des quantités \ et—, relatives aux différents
  - profils en usage dans les constructions. — On a vu que la ligne des fibres invariables devait passer par le centre de gravité, ce qui conduit à rechercher la valeur du moment d’inertie I et du
  - rapport i pour les différents profils en usage par rapport à une
  - ligne passant par ce point et perpendiculaire au plan des forces moléculaires.
  - Pour donner une idée de la manière de calculer ces quantités, et montrer comment on passe des formules générales qui précèdent aux formules pratiques, nous examinerons quelques cas particuliers.
  - Mais commençons d’abord par une considération générale fort simple due à M. Poncelet. Soit IK (pl. III, fîg. 15) une section transversale quelconque du corps, et a l’aire d’une Fibre située à la distance me ou m'e' — v de la ligne des fibres invariables AB. Menons mp = m'c'=mc perpendiculaire au plan de IK; on aura évidemment av=ay^mp ou le volume du prisme dont la base est a et la hauteur mp ou v, et le produit av"=a'Xmp'Xnic sera le moment de ce volume, par rapport au plan des libres invariables qui passe par le centre de gravité, et qui est perpendiculaire au plan des forces moléculaires.
  - Donc, pour avoir le moment d’inertie total, il faudrait prendre la somme des moments de toutes les tranches élémentaires des profils semblables à ILc et L'Kc, tant en dessus qu’en dessous de cM, et ajouter l’une à l’autre les deux sommes respectivement relatives aux parties supérieure et inférieure de la section.
  - Or, pour le triangle ILc, cette somme est égale au moment du triangle par rapport à cM, ou au produit de sa surface ^dXlL par la distance | cl de son centre de gravité à la ligne cM; elle est donc égale à 3 cl3, attendu que cI=IL.
  - H
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- - 162
  - TROISIÈME PARTIE.
  - loO. Cas où le contour de la section transversale considérée est quelconque. — Lorsque le profil de la section transversale sera quelconque, si l’on appelle toujours v l’ordonnée extérieure c'ci de son contour extérieur par rapport à la ligne ABete l’épaisseur d’une tranche élémentaire c'ci du profil, le moment d’inertie de cette tranche par rapport à AB sera £ v3e et la valeur de la quantité relative à cette tranche sera £ v*e.
  - Pour avoir les valeurs totales de 1 et de ~ pour la section
  - entière, il faudra donc prendre la somme de toutes les quantités semblables, ce qui se fera facilement, soit par les méthodes de calcul connues, s’il s’agit de formes régulières et géométriques, soit par la formule de Simpson.
  - Dans ce dernier cas, si l’on nomme a la largeur du profil AB, on la partagera en un nombre pair 2n de parties égales; on aura par le tracé, pour chaque point de division, les ordonnées.
  - t>2, ^3............. Vîn+i,
  - et l’on en déduira
  - 1 = « • â j^[v*++ 4 (v* + v* + etc. .0 + 2 (*>33 + vss+etc...)] et
  - “7= » • * 2m? ^+v*n+i+4 ^+v* + etc • • • )+2+33+ v£+etc...)]
  - v' étant la plus grande de toutes les ordonnées du proül considéré; on prendra séparément les valeurs de ces quantités pour les deux parties du profil situées au-dessus et au-dessous de la ligne AB et on les ajoutera pour avoir les valeurs totales
  - de I et de
  - v
  - On se rappelle d’ailleurs qu’à l’aide de la même méthode de Simpson, on sait déterminer la ligne AB, qui contient le centre de gravité de la seclion (Ire partie, n° 12B), et c’est pourquoi nous l’avons supposée connue.
  - 451. Formes particulières. — Dans la plupart des applications là forme du profil transversal du corps est assez simple
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- - FLEXION.
  - 163
  - pour qu’il soit facile de déterminer directement les valeurs de I et de ^7 : nous allons examiner les formes les plus usuelles.
  - 152. Section rectangulaire. — Dans ce cas (pl. III, fig. 16) toutes les tranches semblables àlLcMK sont égales, et le plan des fibres invariables partage la hauteur totale b du rectangle en deux parties égales. La somme des produits des volumes élémentaires des prismes mp par leur distance me à la ligne AB, est égale au produit du volume total \c\x\Lxa, du prisme qui aurait ILc pour base et la largeur a de la pièce pour hauteur, par la distance § cl de son centre de gravité à la ligne AB. En posant 1K = 6, le volume du prisme est exprimé
  - par la distance de son centre de gravité à
  - cG est \c\=\b\ on a donc, pour le moment d’inertie du prisme supérieur à cAB, la valeur ^ab3; on a la même valeur pour le prisme inférieur, attendu que tout est symétrique de part et d’autre de AB ou de cC, et par conséquent
  - I=TL«ô=‘=-JsAi»=; d’où t =
  - en appelant A la surface aXb de la section transversale du solide. Si la pièce est à section carrée, on a
  - a=b et I=-n
  - 155. Moment d’inertie d'un rectangle par rapport à l'un des côtés. — Dans ce cas (pl. III, fig. 17), le moment d’inertie serait encore égal au volume du prisme, ou
  - ^clXlLXaXfcI,
  - expression qui, dans le cas actuel, à cause de cl=IL = 6, devient I = !aè3=4Aè2.
  - Si un autre rectangle semblable était situé symétriquement au-dessous de la ligne AB, son moment par rapport à celte ligne serait encore ^aè3, et la somme de ces deux moments, ou \abz, revient à celle du n° 152, si l’on remplace 2b, qui est maintenant la hauteur totale, par 6, qui exprimait cette hauteur dans les formules antérieures.
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- - 164 TROISIÈME PARTIE.
  - 154. Profil en double T. — Dans ce cas (pl. III, fig. 18), qui se présente très-fréquemment dans les constructions, si les deux nervures, supérieure et inférieure, sont égales, il est évident que la ligne des fibres invariables AB est au milieu de la section transversale, et que le moment d’inertie est égal à la somme des moments d’inertie des rectangles qui constituent la nervure, et de celui qui constitue le corps de la pièce, ou, ce qui revient au même et conduit à des formules plus commodes pour les calculs, est égal à celui du rectangle extérieur EFGH, diminué de deux fois celui d’un des rectangles égaux MI et KL. On a donc
  - 2 a'b'*\
  - et la plus grande ordonnée étant v'—^b,
  - I___t (aô3—2a'6'3)
  - v' 6 b
  - 155. Fers à double T laminés.— Dans certains cas, et en particulier pour les fers à double T fabriqués au laminoir, la saillie a' des nervures, ainsi que leur épaisseur e et la hauteur b, restent constantes pour une série de barres dont l’épaisseur du corps, que nous désignerons par eu varie seule avec la charge que les pièces doivent supporter.
  - 11 convient alors de prendre pour quantité inconnue à déterminer cette épaisseur eu 11 est facile de voir que le moment d’inertie peut s’exprimer comme il suit :
  - I:=^c163-fia'(63—V3).
  - Cette formule peut être simplifiée lorsque l’on connaît le rapport de b' à 6; si, par exemple,
  - b' =0,906; d’où ô'3 = 0,7296®, 68 — b's= 0,2716*,
  - a' restant constant pour une même valeur de la hauteur b, la formule devient alors :
  - 1 = ^ +
  - 0,271 ab*
  - 6 ’
  - et par suite, ~f = £eiô* + 0,09036V.
  - - Nous en verrons plus loin l’application,
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- - FLEXION.
  - 165
  - 156. Fers à double T en pièces de tôle assemblées par des cornières.— Dans ce cas (pl. III, fig. 19), qui se représente souvent pour les constructions de ponts de chemins de fer, il convient encore d’exprimer le moment d’inertie sous une forme plus commode pour les calculs d’application.
  - 11 est facile de voir que le moment d’inertie du profil a pour expression :
  - I = ^ [ap _ 2 (a'6'3 -f â"ô"3 -f a'" b'"3)],
  - et quela fibre la plus allongée ou la plps raccourcie étant à la distance v' = ^b de la fibre invariable, placée au milieu, l’on a.: .
  - I _ i [ab*~ 2(«'6'34- a"b’'3 -|- a"’b"’3)} v'~6 b
  - Nous verrons l’application de cette formule à quelques cas de pratique.
  - 157. Modification du profil précédent. — Il arrive quelquefois que la forme que nous venons d’examiner n’a pas la symétrie que nous avons supposée, et que les nervures diffèrent l’une de l’autre. Dans ce cas, le centre de gravité, et par suite la ligne des fibres invariables, ne sont plus au milieu de la hauteur, mais plus rapprochés de la nervure la plus forte, et la formule devrait être modifiée. Dans bien des cas, la différence des dimensions est assez faible pour que l’on puisse se contenter de la formule ci-dessus; en supposant les deux nervures égales à la plus petite, l’excédaiit de résistance qui en résultera pour la pièce telle qu’elle sera réellement, n’en assurera que mieux la solidité.
  - Cependant, comme il se présente des cas où il y a entre les dimensions des nervures supérieure et inférieure une différence très-grande, il faut savoir en tenir compte. On y parviendra facilement, comme on peut le voir par l’exemple suivant, pour lequel nous choisirons une pièce en double T, telle qu’on les emploie actuellement pour les solives en fonte des ponts et pour les couvertures à grande portée ou les planchers en fer.
  - En prenant les moments des deux parties (pl. III, fig. 20) du
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- - •166
  - TROISIÈME PARTIE,
  - profil, situées au-dessus et au-dessous de la ligne LM des fibres invariables, et nommant x la distance inconnue de celte ligne à la face supérieure, a et al les largeurs horizontales des nervures supérieure et inférieure, «i l’épaisseur du corps de la pièce, bi et 6/ l’épaisseur des nervures supérieure et inférieure, b la hauteur totale extérieure du solide, on a, pour le moment de la partie supérieure,
  - + —«i)&iX (x — ;
  - et pour le moment de la partie inférieure,
  - afb —- x) X —^^ "f" — al)bi X (b — X----— ^ •
  - Ces deux moments doivent être égaux puisque la distance x se rapporte au centre de gravité de la section; en effectuant les calculs, et égalant ces deux moments, l’on a :
  - {a — al) bf -f- a JP -{- 2{al — al)bl fb — ^ \
  - QQ ———, ............................. '
  - 2 \Ja •— al)bi —|— ü\b —|— {al — al)bl\
  - Lorsqu’on a ainsi déterminé la position de la ligne des fibres neutres, il est facile de trouver, par les formules précédentes (n09 155 et suiv.), les valeurs des moments d’inertie des deux parties, supérieure et inférieure, par rapport à cette ligne; et en les ajoutant, on aura le moment d’inertie total. On aura ainsi, pour le moment d’inertie de la partie supérieure,
  - | ax* — % (a — al) (x—blf,
  - et pour le moment d’inertie de la partie inférieure, i al {b —xf‘— i (al — ax) (b— x — blf ; d’où, en ajoutant l’une à l’autre ces deux expressions :
  - I = i [(ax3—(a — al) (x —blf -J- al (b—xf—(al—al) (b—x —blf]
  - Lorsque la nervure la plus forte sera en dessous, le centre de gravité sera situé à une distance plus grande de la face supérieure que de la face inférieure, la fibre la plus éloignée de la
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- - FLEXION.
  - 467
  - ligne des fibres invariables sera alors sur la face supérieure, h la distance v' = x, et l’on aura
  - I 1 [ax*—(a—aQfa;——#)3—(«/—«i)(&—x—<V)8]
  - x
  - Si, au contraire, la nervure la plus forte était à la partie supérieure, b—x serait plus grand que x, et ce serait cette valeur plus grande de b—x qu’il faudrait introduire dans la formule pour celle de v'.
  - Ces formules, en apparence assez longues, se simplifieront beaucoup et seront d’ailleurs toujours faciles à calculer, dès qu’on y mettra, pour les dimensions des pièces, leurs valeurs numériques si elles sont constantes, ou quand on établira entre elles des rapports fixés à l’avance. L’on en verra une application aux n08 265 et suivants.
  - 158. Tubes rectangulaires creux.—Dans ce cas (pl. III, fig. 21), l’on aurait I = IL(aô3—a'b'i) = -^(k'bi—A "b'1), en nommant A' = ab et Au~a'b' les aires des sections transversales des parallélépipèdes extérieur et intérieur.
  - Mais si b' diffère peu de b, comme il arrive pour les tubes en tôle de fer assez mince, on pourrait prendre b' — b, et alors on aurait I = (A'—A")ô*.= -^A62, en nommant A=A'—A" la surface de la section transversale du tuyau.
  - On en déduirait :
  - ~,==i Aô, attendu qu’alors v1 =
  - Par conséquent la formule d’équilibre serait, pour ces tubes,
  - !y=iRA& = PC.
  - v
  - On verra plus loin l’application de cette formule aux tubes gigantesques des ponts tubulaires du détroit de Menai et de la rivière Comvay.
  - 159. Tubes à section carrée.—Dans ce cas, on a a=b, a'=b', et les formules ci-dessus deviennent :
  - i=à(ô* -n
  - attendu que v' =%b.
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- - 168
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Dans tous les cas où b différera peu de b', on pourra réduire cette dernière expression à
  - ce qui tend seulement à conduire à une valeur légèrement trop faible pour i, et facilite les calculs.
  - ICO. Profils en croix d’équerre. — La pièce (pl. III, fîg. 22) étant encore symétrique et disposée comme l’indiqué la figure, son centre de gravité est sur la ligne RS, qui partage le rectangle efn deux parties égales parallèlement à ses côtés, et il est clair que le moment d’inertie de la section totale est égal à celui du rectangle EFGH, augmenté de deux fois celui du rectangle IMNO. On a donc, d’après les notations de la figure,
  - I = -/a (ab* “1“ 2a'è'3j ;
  - et comme ici la plus grande ordonnée v' du profil est v1 = { 6,
  - I _i aô3-(-2a'6/3 v'~6 b
  - 161. Profil circulaire.— On démontre que, pour une section circulaire, en appelant R le rayon, la valeur du moment d’inertie est
  - D étant le diamètre, et attendu que v' = R,
  - l
  - v'
  - = {3,14R8==
  - AD 8 *
  - En effet, soit acb (pl. III, fig. 23) un secteur élémentaire du cercle, il est aisé de voir que si l’on considère d’abord une bande circulaire élémentaire d’épaisseur e de ce secteur,ayant l’arc ab pour base, le moment d’inertie de cette bande par rapport au diamètre AB sera :
  - abXeX iP.
  - Or, si l’on construit en rabattement le trapèze abb"a", dont
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- - FLEXION.
  - 169
  - la base serait ab, les côtés parallèles aa" = aa', bb" — bb\ et la moyenne de ces côtés ii" =ii', le moment abxexii' sera égal all volume d’un petit prisme élémentaire tronqué, dont la hase serait abXe, et la hauteur moyenne ii'. Par conséquent le moment d’inertie de celte petite bande serait égal au moment du volume du prisme élémentaire correspondant, par rapport à un plan perpendiculaire à celui du cercle, et dont la trace serait AB.
  - La somme de tous les moments semblables serait donc égale au moment de la pyramide dont le sommet serait en c, et qui aurait pour base le trapèze abb"a". Donc, enfin, le moment d’inertie du secteur abc est égal au volume de cette pyramide multiplié par la distance de son centre de gravité à la ligne AB. Or, ce volume est :
  - ic X abb"a" = ^Rx«^X ii'; et les triangles abd et en" étant semblables, on a :
  - ab’.adw ci : ii'; d’où ab X U' = adX ci = a!b' X ci.
  - Le volume est donc exprimé par £ R2.a'b'.
  - La distance du centre de gravité de la pyramide à son sommet est f R, et par conséquent le môme point est à une distance de la ligne AB égale à f ii'.
  - Le moment d’inertie de cette pyramide élémentaire est donc :
  - i R2 X a'b' X | U' ={• R2 Xa'b'X ii'.
  - Or, a'b'xü', c’est la surface de l’élément du cercle correspondant à l’arc élémentaire ab ; donc, pour le cercle entier dont la surface est irR2 = 3,l4R2. on aura
  - I = i3,14R4=iAR2; et comme ici v'=:R, il s’ensuit que
  - t = |3,l4R3={AR.
  - 162. Profil annulaire de deux cercles concentriques.— Dans ce cas, en nommant R' et R" les rayons extérieur et intérieur, il est évident que le moment d’inertie est égal à celui du cercle
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- - 470
  - TROISIÈME PARTIE.
  - extérieur, moins celui du cercle intérieur, et qu’il a par cou-séquent pour expression :
  - l=i. 3;14(R'4—R"4) = { A(R'2 -j- R"2)=0,0491(D'4—D"4).
  - L’ordonnée la plus éloignée de la surface des fibres invariables étant ici î/=R', on a :
  - I __ 3,14(R'4— R"4) A(R'2 + R"2) _ 0,0982(D'4—D"4)
  - v'~ 4.R' — 4R7 ~ D'
  - 105. Comparaison d'un cylindre plein à un cylindre creux, sous le rapport de la résistance à la flexion. — La valeur de la
  - quantité —, étant, dans le premier cas, ^AR, et dans le se-
  - (IV2 4- R"2)
  - cond, { A —p—-, si l’on s’impose la condition que l’aire
  - de la section soit la même dans les deux cas, ce qui donne
  - R2=R2—R"2, le rapport des deux valeurs de Vj est Si,
  - par exemple, on suppose R" = fR', ce qui est une proportion assez fréquemment usitée, on en déduit R=f R', et le
  - RR'
  - 1_5
  - 41*
  - rapport ci-dessus devient , n,/9.
  - rV Il “
  - Ce qui montre qu’à section égale, et par suite à volume égal, le moment d’inertie, et par suite la résistance d’un cylindre plein, n’est guère que le tiers de celle d’un cylindre creux dont les dimensions sont conformes aux proportions ci-dessus indiquées ; cela explique aussi comment les végétaux creux peuvent, sans se rompre, supporter des flexions beaucoup plus considérables que les végétaux pleins.
  - 164. Tubes cylindriques à parois minces.—S’il s’agit de tubes cylindriques à parois assez minces, le moment d’inertie 1 devient simplement
  - AR,2
  - 2
  - AR, 2 ’
  - en nommant R, le rayon des tubes. La formule d’équilibre devient alors
  - R.AR,
  - 2
  - PC.
  - 39^25030
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- - FLEXION.
  - 171
  - l6d. Profils elliptiques. — 2a étant le petit axe et 2b le grand axe, le moment d’inertie et la valeur de —, pour un profil elliptique plein, sont par rapport :
  - au petit axe, au grand axe,
  - . tz ab3 ~~T A 62 I izab*
  - — 4 v' ~2~
  - , nba3 1 4 ‘ A a2 1 7r&a2
  - 4 v' 2 '
  - Pour le profil annulaire elliptique (pi. III, fig. 24), 2a' et 2b' étant le petit et le grand axe intérieurs, on a, par rapport :
  - au petit axe, I = ^ (ab3— a'b'3),
  - au grand axe, 1= ^ (ba3 — b'a'3),
  - 16G. Profil en T. — Dans ce cas (pl. III, fig. 25), il faut d’abord déterminer la position de la ligne des fibres invariables qui n’est pas connue a priori. Or, puisqu’elle doit contenir le centre de gravité de la section, en appelant z sa distance à la face supérieure, on a, d’après le théorème des moments, en prenant ceux-ci par rapport à la ligne supérieure AB,
  - I iz(ab3—a'b'3).
  - v’~ 2 b ’
  - I it(ba3 — b'a!3)
  - v' 2 a
  - ab X^b-j- a'b' X (| b' -)- b) = (ab -{- a'b')z ;
  - _t ab^a'b'^^bb'
  - Z 2 ab-\-a'b'
  - Cela fait, il est facile de voir que le moment d’inertie de Faire ABECDFA est égal à la somme des moments d’inertie du rectangle ABGH et du rectangle CDIK, diminuée de ceux des deux rectangles EG et HF. Or, d’après ce que l’on a vu au n° 155, cette quantité est égale à
  - I =z±[az3—(a—a')(z—ô)3-f- a\b-\-b'—•z)8].
  - La fibre la plus éloignée du plan des fibres neutres est évidemment située à la face CD ou à la distance v'—b -f- b'—z de ce plan ; on a donc :
  - I _ t [az3—{a — a’) (z — &)8 + a\b + b'—z)3] t/~3 b-\-b'—z 5
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- - 172
  - TROISIÈME PARTIE.
  - expression dans laquelle il faudra substituer, pour chaque cas les valeurs de s relatives aux proportions adoptées.
  - 1G7. Proportions ordinaires des pièces en fonte. — Pour les pièces en fonte du profil précédent, on peut adopter la proportion suivante :
  - a'=b=ba et b' = a,
  - ce qui conduit à
  - 2=1a et -y — ;
  - et par conséquent on en déduit la formule pratique :
  - R.«3 , , 15.PC
  - ——-=PC; dou a ———•
  - 15 11
  - Si l’on l'ait
  - l’on en déduit
  - a' = b = %a et 6' = |a,
  - z = $a, ou environ z — {a;
  - puis, d’où
  - ^ = infu«3; d’où ^l=-^Ra3=PC;
  - 500 PC
  - 11 R*
  - 168. Pièces minces en fer. — Pour les couvertures en fer, on peut adopter les relations :
  - ô =0,10« = a' et b1 — a,
  - ce qui conduit à
  - s = üa, 011 environ £a;
  - v
  - Moments d’inei
  - 169. Méthode géométrie
  - nertie d'un profil. — Il se I
  - CEM
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- - FLEXION.
  - 173
  - avoir très-exactement en grandeur naturelle le profil dont il s’agit de déterminer le moment d’inertie, mais, où par certaines considérations de construction ou de fabrication, ce profil présente des contours qui se prêtent peu au calcul. C’est en particulier ce qui arrive pour les fers laminés en forme de double T, dont les semelles sont terminées et raccordées avec le corps par des contours arrondis et dont le corps n’a pas partout la môme épaisseur, et qu’il est, par conséquent, difficile de ramener à des formes géométriques simples.
  - On peut, dans des cas pareils, recourir au procédé suivant, iout géométrique et d’une application facile , qui est une application des méthodes de quadrature.
  - 170. Applications aux fers à double T. — Prenons, par exemple, l’une des barres de fer en double T sur lesquelles ont été faites les expériences relatées au n° 123.
  - En prenant l’empreinte exacte d’une section transversale faite dans celte barre, l’on a un profil semblable à celui qui est représenté figure ci-contre, et en élevant des perpendiculaires aux différents points de la largeur a, qui forme la base de ce profil, l’on a pu avoir pour chacune d’elles la valeur des ordonnées v du contour extérieur, et du contour intérieur correspondant à une même abscisse.
  - Le moment d’inertie d’une tranche élémentaire IcL ou c'c, cl d’épaisseur e, telle que celles dont on s’est occupé au n° 149,étant exprimé par {cŸXe~%v*e d’après nos notations, si le profil du solide présente un évidement tel que celui qu’offre la figure ci-contre, le moment d’inertie du petit trapèze élémentaire mn aura pour valeur ^v3—v?)e.
  - Si donc on construit une courbe dont les diverses valeurs de ^s—vi) soient les ordonnées correspondantes aux valeurs des abscisses du profil précédent, on aura un nouveau profil, fig. 4, pl. Il, dont chaque élément de surface aura pour valeur \[v%—vf)e et dont la surface totale, que l’on déterminera par l’une des méthodes de quadrature connues, représentera, dans les proportions des échelles adoptées, la valeur du moment d’inertie de la partie supérieure du profil cherché.
  - Pour éviter une série de divisions par 3, dans le calcul des
  - L®J
  - v
  - clb
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- - 174
  - TROISIÈME PARTIE.
  - ordonnées successives, on a représenté sur la ligure les valeurs de V3—Vi3 à l’échelle de 1 centimètre pour 0,0001, ou de cent pour un, ce qui correspond à une échelle trois fois plus grande
  - Y3__V 3
  - par rapport aux valeurs véritables des ordonnées---------—î. • p
  - faudra donc diviser la surface trouvée par la quadrature par 300, pour avoir la valeur du moment d’inertie.
  - Dans le cas de la fig. 4, pl. II, la surface A'B'C'D'=0,mfiOOlOl75' le moment d’inertie du solide ABCD, par rapport à la ligne AB est donc égal à 0,000003302.
  - Si le profil est symétrique par rapport à la ligne des fibres invariables, qui passe par le centre de gravité, on doublerais valeur de la partie supérieure. Si, au contraire, le profil n’est pas le même au-dessus et au-dessous de cette ligne, l’on répétera la construction pour la partie inférieure, et l’on ajoutera les deux moments d’inertie trouvés pour avoir le moment total.
  - Dans le cas de la figure 4, pl. II, le moment d’inertie, pour la section complète de la pièce à double T, par rapport à la ligne des fibres neutres, sera, par suite de la symétrie,
  - 1=2 XO,000003392=0,000006784.
  - Applications et formules pratiques.
  - 171. Formules pratiques, — Puisque nous connaissons les valeurs du moment d’inertie et celle du rapport ^ de ce moment d’inertie à la distance de la fibre la plus allongée ou la plus raccourcie, à la ligne de fibres invariables qui passe parle centre de gravité du profil transversal pour les formes les plus usuelles, il nous devient facile de passer de la formule générale aux formules qui se rapportent aux cas d’application les plus ordinaires et aux règles pratiques à suivre.
  - 172. Solide encastré par l'une de ses extrémités et soumis à un effort P, agissant à son autre extrémité, perpendiculairement à sa longueur et à une charge uniformément répartie, —• Prenons d’abord pour exemple le cas simple et fréquent d’un solide encastré par l’une de ses extrémités, et soumis à un effort dirigé perpendiculairement à sa longueur ou parallèlement à la section encastrée, agissant à l’autre extrémité, et à une charge uniformément répartie sur cette longueur.
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- - FLEXION.
  - 175
  - La formule théorique se réduira alors à une forme très-simple, en appelant P la force qui agit à l’extrémité du corps perpendiculairement à sa longueur et parallèlement à la section encastrée ;
  - C la longueur du corps qui est ici le bras du levier de l’effort p par rapport à la section encastrée ;
  - p la charge par mètre courant uniformément répartie;
  - Le moment de la charge P, par rapport à la section d’encastrement, sera PG, et la somme des moments de la charge uniformément répartie sera -^pC2.
  - En effet, si l’on considère un élément c de la longueur du solide situé à la distance G de l’encastrement, la portion de la charge uniformément répartie que supporte cet élément est pc, et son moment par rapport à la section encastrée est^Cc*. Pour avoir la somme de tous les moments semblables relatifs à la charge uniformément répartie, il faut donc prendre celle des produits pCc. Or, en raisonnant comme on l’a déjà fait au n° 61 de la Ire partie des Leçons de mécanique pratique, on voit de suite que cette somme est égale à -|pC2.
  - 11 résulte de là que la somme totale des moments sera
  - M=PC-Hi>C2.
  - Si, au lieu d’une charge pC uniformément répartie, l’on avait ajouté à la charge P, qui agit à l’extrémité, une autre charge ^pC agissant de même à la distance C de la section d’encastrement, le moment de cette dernière charge eût été i|)GxC=|pG2, c’est-à-dire le même que celui de la charge uniformément répartie ; ce qui montre qu’une charge uniformément répartie sur un solide encastré à l’une de ses extrémités, n’équivaut qu’à une charge moitié moindre agissant à l’autre extrémité.
  - 175. Valeur pratique du nombre R. — Quant au nombre R, qui, d’après la définition du n° 141, exprime l’effort permanent d’extension ou de compression que chaque unité de surface du corps peut supporter avec sécurité, sa valeur relative aux différents corps, est donnée dans le tableau du n° 47 pour le cas où l’effort est exercé dans le sens de la longueur. Mais lorsqu’il s’agit de flexions transversales, dans lesquelles certaines fibres sont allongées et d’autres comprimées, et surtout de corps gre-
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- - 176
  - TROISIÈME PARTIE.
  - nus tels que la fonte, l’hypothèse de l’égalité de résistance à la compression ou à l’extension n’est admissible, comme nous l’avons vu, qu’enlre des limites assez étroites, et il est prudent de ne pas pousser les charges jusqu’à la limite où l’élasticité serait altérée.
  - Nous indiquerons plus loin, au n° 255, d’après quelles considérations théoriques, basées sur les laits d’expérience, l’on peut déterminer les valeurs de celle quantité R, de manière à assurer la solidité et la stabilité des constructions. Pour le moment, nous nous contenterons de consigner dans le tableau suivant ces valeurs qui sont, d’ailleurs, justifiées par l’observation des bonnes constructions, à la fois solides et légères.
  - NATURE DES MATÉRIAUX. VALEURS de l’effort qu’o n peu t faire supporter avec sécurité par mètre carré de section transversale.
  - Cas ordinaires. Matériaux de choix et constructions légères.
  - kil. kil.
  - [ Ponts de chemins de fer 2 000 000
  - Fonte ) *>onts or<Jinaïres et arbres de roues hy-j drauliques 3 000 000 7 600 000
  - t Pièces ordinaires de machines 7 600 000
  - Fer forgé G 000 000 8 000 000
  - Acier I de première qualité 1G6G0 000 22 000 000
  - t de qualité moyenne 12 600 OnO IG G33 1100
  - Bois de chêne ou de sapin 000 000 800 000
  - Dans les formules pratiques que nous allons donner, l’on n’introduira que les premières valeurs de R relatives aux cas ordinaires, mais pour passer de ces formules à celles qu’il conviendrait d’employer pour les matériaux de choix ou les constructions allégées, il suffira d’augmenter le coefficient de la formule qui donnera les valeurs des dimensions cherchées dans le rapport des nombres indiqués. Ceci étant une fois dit, on saura, lorsqu’il sera nécessaire, l’appliquer dans tous les cas que nous examinerons.
  - Nous aurons d’ailleurs, dans ce qui va suivre, plus d’une occasion de comparer les constructions existantes avec les formules et de constater que les valeurs du nombre R, que nous avons
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- - FLEXION.
  - 177
  - adoptées, se rapprochent presque toujours beaucoup de celles que l’on déduit des discussions de ce genre.
  - Ces préliminaires posés, la recherche des formules pratiques, pour les divers cas usuels, ne présente plus de difficulté.
  - 174. Solide prismatique encastré par l'une de ses extrémités, soumis à un effort P, agissant à Vune de ses extrémités perpendiculairement à sa longueur C, et à une charge uniformément répartie sur sa longueur, agissant dans le même sens que P. — Dans ce cas, en conservant les notations précédentes, on a
  - M=PC+|j>C«=(p+^C;
  - et selon que le corps est en fonte, R=7500000 kilogr. (pour les pièces ordinaires des machines),
  - 11=6000000
  - en fer,
  - ou en bois de chêne ou de sapin, R= 600000
  - La formule
  - I__M
  - v'~R
  - devient donc pour
  - (p+^)c
  - (p+f)c
  - ou ab1 =
  - 1250000 *
  - Ces formules sont celles qui sont données au n° 406 de la 4e édition de Y Aide-mémoire.
  - 176. Solide cylindrique à section circulaire dans les mêmes conditions que le précédent. — Dans ce cas l’on a (n° 161)
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - -,= {3,14t6R3 = 0,0982D3, en appelant D le diamètre du cy-I M
  - lindre, et la formule -, = ^ devient alors pour :
  - la fonte
  - le fer
  - le bois 0,0982 D3
  - 176. Tourillons des roues hydrauliques. — Pour les tourillons des roues hydrauliques et ceux des arbres de transmission, qui sont exposés à s’user par le frottement, il convient de donner au nombre R une valeur moindre, et l’expérience a conduit à la prendre égale à la moitié de la valeur précédente. On a ainsi : R = 3750000 kilogr. pour la fonte, ce qui donne :
  - (Cette formule est celle qui est donnée au n° 412 de la 4e édition de XAide-Mémoire.)
  - 177. Cas où le solide considéré au n° 171 a pour profil la forme d’un double T. — On a vu, au n° 154, qu’alors
  - I _ , aô3—2«'ô'3 v'~(J b ’
  - I M
  - de sorte que la formule = ^ devient dans ce cas, pour la
  - fonte,
  - , ab*—2a'è'3__\ 'IJ
  - 6 b “ 7500000” ’
  - ou
  - 1250000 '
  - b
  - Ce qui revient à la formule pratique du n° 420 de la 4e édition de XAide-mémoire, sauf le terme relatif à la charge uniformément répartie, introduit ici.
- p.178 - vue 189/512
- - FLEXION.
  - 479
  - pour le fer, on aurait
  - (p+f>
  - 6000000 ’
  - ou
  - ab3—2 a'b'5
  - (P +
  - pC
  - 2
  - 1000000 *
  - 178. Tubes creux à section rectangulaire. -Dans le cas où la section transversale du solide encastré par l’une de ses extrémités et soumis aux efforts indiqués au n° 174, serait celle d’un tuyau creux à section rectangulaire symétrique en haut et en bas, on aurait évidemment
  - I = {ab3—a'b15) . , I . ab3—a1 b13 et v,:=ë b - ’
  - et, par suite, la formule serait pour la fonte :
  - iab% — a'b'*_^Jr\ )C ab3 — a'b'3 rm - (p+f)c
  - 6 b 7500000 ou b 1250000 ’
  - pour le fer :
  - , ab3 — a'b’3 (P~^)G ab3 — a'b'3 on — (p+f)c
  - 6 b 6000000 011 b 1000000 ’
  - et pour le bois :
  - ,ae-a'b« (P + T)G ab3—a'b'3 (p+f)c
  - 6 b 600000 ou b 100000 '
  - 179. Solides dont le. profil cas, l’on a vu au n° 100 que a la forme d'une croix. — Dans ce I . ab3-\-2a'b'3 • _ — i • par conséquent
  - I M la formule -, = ^ devient pour la fonte :
  - ( p , a6s+2a'6'3 \ T2j ab3+2u'b'3 O H- !
  - B b 7500000 b 1250000 ’
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- - 180
  - pour le fer :
  - TROISIÈME PARTIE.
  - , a&3+2a'ô'8
  - 6 b ~ 6000000
  - a&s+2a'6'3
  - 1 000 000 *
  - et pour le bois :
  - , ab*-{-2a'b'\
  - (p+f)c
  - ab%-\-,ia'bri_____________
  - 600 000
  - b 100000
  - (Formules du n° 424 de Y Aide-mémoire, 4e édition.)
  - 180. Modification des formules précédentes. — Si le solide n’est soumis qu’à la charge P, qui agit à l’extrémité, ou que l’on puisse négliger son poids propre, qui est une charge répartie uniformément, on feraj? = 0 dans toutes les formules précédentes, et l’on aura ainsi celles qui conviennent au cas où l’on ne tient compte que de la force extérieure P.
  - Si, au contraire, il n’y a aucune force qui agisse à l’extrémité, et si le solide n’est soumis qu’à une charge uniformément répartie, on fera P = 0, et l’on aura les formules pratiques pour ce cas.
  - Nous ne croyons pas nécessaire de transcrire ici les formules ainsi simplifiées par suppression d’un de leurs termes. On les trouvera d’ailleurs dans Y Aide-mémoire.
  - 18t. Cas où la charge P et la charge pC, uniformément répartie, agissent en sens contraires. — Les moments PC et ^pC!, sont alors de signes contraires, et l’on a :
  - selon que, d’après les données de la question, on a
  - P>^C ou ^C>P.
  - La courbure à la section d’encastrement pourrait alors être nulle si l’on avait (voy. le n° 214),
  - P = *PC.
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- - FLEXION.
  - 481
  - 182. Cas où le prisme est soumis à des pressions perpendiculaires à sa longueur et comprises dans son plan longitudinal moyen, mais distribuées d'une manière quelconque. — Supposons d’abord qu’il s’agisse de deux forces P et Q (pl. III, fig. 26) agissant dans le même sens, à des distances G et C' de la section d’encastrement, et distantes entre elles de la quantité D = C — C'. Si l’on considère encore une section quelconque faite en IK, et qui soit à la distance X de la direction de la force P, on aura, comme par le passé, pour la relation d’équilibre entre les résistances moléculaires développées dans celte section et les forces extérieures P et Q,
  - RT
  - = PX + Q(X — D) = (P -f- Q)X — QD.
  - Il est encore évident ici que la plus grande valeur de la somme des moments des forces extérieures aura lieu pour la section d’encastrement, où X = G ; on aura donc, pour cette section et pour le calcul de la charge permanente,
  - RT
  - ^=(P+Q)C-QD.
  - On voit d’ailleurs que la relation ci-dessus reviendrait à supposer la charge P, qui agit à l’extrémité, augmentée d’une
  - C__p)
  - charge égale Q. ^ , dont le moment par rapport à la section
  - encastrée serait évidemment Q(C — D) = QG'.
  - La meme observation s’appliquant à d’autres forces agissant dans le même sens et réparties d’une manière quelconque, on voit qu’il suffira de prendre la somme des moments de toutes ces forces par rapport à la section d’encastrement, ou de les réduire respectivement dans le rapport de leur éloignement G' de cette section à la longueur totale C du corps, et de les supposer ajoutées à la force P. On égalera alors la somme totale des moments, ou le moment de la force totale, à l’expression RI
  - -r, qui exprime la somme des moments des résistances moléculaires de la section d’encastrement.
  - 183. Cas où le prisme est, en outre, chargé de poids uniformément répartis. — Si le prisme avait en outre à supporter une
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- - 182
  - TROISIÈME PARTIE.
  - charge pC uniformément répartie sur sa longueur, on ajouterait au moment des forces extérieures, comme par le passé £^CS, et l’on aurait pour l’équilibre permanent dans le cas précédent de deux forces !
  - 7=(p+Q-^r)G+^c’=(p+Q’!Tr+^-pC)c
  - = PC+QC'+ipC*.
  - 184. Cas où les forces agissent en sens contraires. —Dans le cas (pl. III, fig. 27) où la force P agirait de bas en haut, et la force Q de haut en bas, la relation d’équilibre relative à une section quelconque IK située entre la direction de Q et la section d’encastrement serait :
  - == PX — Q(X—D) ou ^=Q(X-D)-PX,
  - selon que l’un ou l’autre des moments PX ou Q(X—D) remporterait.
  - Si l’on se rappelle (n° 141) que l’on a = M, on Voit que
  - RI 1
  - le rapport et, par conséquent, la courbure - seranulle ou
  - le rayon de courbure infini pour la section où l’on aurait
  - PX = Q(X—D),
  - ce qui donne
  - v__ QD
  - , X~Q-P*
  - Or, ce point est précisément le point d’application de la résultante des forces P et 0. En cet endroit la courbure sera nulle ; mais comme de part et d’autre de ce point la pièce prendra des courbures en sens opposés, il s’ensuit qu’il sera ce que l’on appelle le lieu de l’inflexion de la courbe.
  - La flexion ira donc en augmentant de ce point vers la section d’encastrement pour laquelle on a X= C, et, par suite,
  - El RI
  - r
  - ou
  - 5) = PC - Q(C-D) = (P - Q. ÜJ?) C,
  - «>=(q.g=5_p)c,
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- - FLEXION.
  - 483
  - et depuis le même point jusqu’à celui pour lequel la quantité soustractive Q(X—D)=0, ou bien X=D, ce qui donne
  - ®=5*=pd.
  - r v
  - Or, il pourra arriver que le moment PD étant plus grand que
  - le moment (p—ou (q.^=^-p)c, la cour-
  - bure soit la plus grande au point pour lequel X=D, c’est ce que l’on reconnaîtra facilement et ce qui arrivera quand on aura :
  - PD>Q(C—D)—PC ou olyjpC, expression qui suppose Q>P.
  - On devra donc calculer les charges ou la quantité i d’après
  - la plus grande valeur du moment des forces auxquelles le corps est soumis.
  - Il est d’ailleurs évident que l’on agirait de même, si à l’action des forces extérieures l’on devait joindre celle d’une charge pC uniformément répartie, dont le moment devrait être ajouté, avec son signe, à la somme des autres moments.
  - On aurait alors pour la relation d’équilibre
  - ~=PX-Q(X-D)-|pX.>
  - ou 5i=Q(X-D) + JpX«-PX.
  - Le point d’inflexion pour lequel la courbure est nulle, sera donné par la relation
  - PX— Q(X—D) — |pXs=0 ou X’-”“X—
  - x=*‘=®± */£=£?+*«?.
  - p V p P
  - La valeur négative de X indiquant un point d’inflexion situé
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - à droite de l’extrémité ou en dehors du solide, n’est pas appü. cable à la question.
  - D’un côté, la flexion ira en croissant depuis le point d’inflexion jusqu’à la section d’encastrement où X=C, ce qui donne
  - 5!=PC-Q(C-D)-4pC? = PC-QC'-ipC'
  - ™=QC'-Hi>C>-PC,
  - selon que l’on aura PC> ou <QC'+ipC9. On devra d’ailleurs
  - RL
  - calculer — d’après la plus grande des deux différences.
  - De l’autre côté du point d’inflexion, la courbure augmentera et sera à son maximum pour le point où la quantité soustractive sera nulle, ce qui donne
  - 2QX 2QD
  - Q(X—D)-j-ipX*=0 ou X2-f
  - V P
  - d’où
  - Une seule des deux valeurs, celle qui est positive, convenant d’ailleurs à la question, on calculera la valeur
  - x_-ü+y/gi+-2Ui»
  - P '
  - et l’on s’assurera si la valeur de — à laquelle elle conduit est
  - plus ou moins grande que celle qui répond à l’encastrement, pour déterminer ^ en conséquence.
  - iflo. Solide prismatique ou cylindrique posé horizontalement sur deux appuis et chargé en son milieu perpendiculairement à sa longueur. — Dans ce cas simple, tout étant symétrique de part et d’autre du milieu du corps, ses deux moitiés fléchis-
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- - FLEXION.
  - 185
  - sent également sous l’action de la charge. Les fibres placées à la partie inférieure s’allongent, celles qui sont placées à la partie supérieure se compriment, et bientôt il s’établit autour de la ligne des fibres invariables un équilibre entre la résistance des fibres étendues, celle des fibres comprimées, et l’action de la charge; le corps arrive à un état de flexion stable, et toutes les résistances moléculaires font équilibre à l’action de la charge.
  - En cet état, la section transversale faite au milieu du corps, est devenue invariable et peut être regardée comme la section d’encastrement de chacune de ses deux moitiés qui seraient alors exactement dans le même état que si elles étaient encastrées en cet endroit et soumises, à l’extrémité qui repose sur les appuis, à un effort égal à la moitié de la charge totale et dirigé en sens contraire.
  - On conçoit, en effet, facilement, que si l’on nomme
  - 2P la charge totale placée au milieu,
  - 2C la portée totale ou la distance entre les appuis,
  - la pression sur chacun de ces appuis sera égale à la moitié P de la charge, et que le corps étant parvenu à l’équilibre et à une forme qui cesse de varier, on peut le regarder comme fixe en son milieu et soumis, à chacune de ses extrémités, à l’effort P, développé par chacun des appuis, et agissant avec le bras de levier C.
  - Des lors, chacune des deux parties égales du corps peut être traitée comme le solide encastré par l’une de ses extrémités, du n° 157, et l’on a, pour exprimer l’équilibre des forces moléculaires et des forces extérieures, les mêmes relations :
  - que l’on appliquera aux diverses formes du profil, supposé constant, en y mettant pour R et pour ~ les valeurs convenables pour la matière et pour le profil choisi.
  - Dans toute application numérique de cette formule et des suivantes, il importe de ne pas oublier que si le poids et la portée sont donnés, i! ne faut introduire pour P et C respecti-
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- - 486
  - TROISIÈME PARTIE.
  - vement que la moitié de ces nombres, P étant la moitié de la charge au milieu, et C la demi-portée seulement.
  - 186. Solide prismatique ou cylindrique posé horizontalement sur deux appuis et soumis, perpendiculairement à sa longueur, à une charge 2P placée au milieu, et à une charge uniformément répartie. — Dans ce cas, les mêmes considérations que précédemment montrent que le solide, parvenu à une position d'équilibre, peut être considéré comme encastré en son milieu, devenu invariable, et avant chacune de ses moitiés soumise à »C
  - un effort P +2 aedssant perpendiculairement à sa longueur
  - et à la distance C du point d’encastrement.
  - On a alors pour la relation d’équilibre entre les résistances moléculaires et les forces extérieures
  - formule dans laquelle on introduira pour R la valeur relative à la matière dont le corps est formé, et pour ^7 la valeur dépendant du profil de la section transversale supposée constante.
  - 187. Observations sur la facilité qu’offre le cas actuel pour la recherche des lois des phénomènes de flexion et de rupture. — Les deux cas que l’on vient d’examiner sont ceux qui se prêtent le mieux aux recherches expérimentales et sur lesquels il en a été fait le plus grand nombre. Nous avons déjà indiqué (nos 118 et suivants) plusieurs des principaux résultats obtenus par divers expérimentateurs; nous aurons plus tard l’occasion d’en rapporter d’autres.
  - Nous nous bornerons à faire remarquer ici que c’est principalement par des observations faites sur un corps posé sur deux points d’appui et chargé en son milieu, que l’on peut reconnaître et que l’on a reconnu les lois physiques des phénomènes de la flexion et de la rupture des corps solides, sous l’action des efforts extérieurs.
  - 188. Solide prismatique ou cylindrique posé librement sur deux appuis et chargé d’un poids 2P, en un point distant des
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- - FLEXION.
  - 187
  - appuis des quantités 1' et F. — Appelant toujours 2C la distance des appuis, on a Z'-|-/"=2C, et en nommant P'et P" les pressions exercées sur les points d’appui À et B (pl. III, fig. 28), on aura d’abord pour déterminer ces pressions qui sont les composantes de la charge 2P en ces points :
  - P'X2G=2PF et P"x2C=2P/',
  - d’où
  - et P":
  - Pt'
  - Si maintenant on considère une section quelconque IK du solide, située entre le point d’appui A et le point d’applicalion M de la charge, à la distance X de l’autre point d’appui B, et, si l’on cherche la relation d’équilibre à établir enlre les forces extérieures qui agissent à droite de la section IK et les résistances moléculaires, on aura, en appliquant la règle générale des nos 135 et suivants, et en remplaçant V par sa valeur
  - Î'=2C—r,
  - - = ~=P"\—2P (X—l") =?f (2C -X). r v C
  - l
  - La courbure - sera nulle ou le rayon de courbure infini pour
  - X=2C, ou au point A ; elle aura sa plus grande valeur pour la plus petite de X, c’est-à-dire pour X=Z", ainsi la section dangereuse sera au point même d’application de la force 2P.
  - Pour une section quelconque I'K', comprise entre le point d’applicalion M de la charge 2P et le point d’appui B, à une distance X' de ce point, la relation d’équilibre permanent sera
  - El =RI=p„ x, = W x, _ P (2C—/") y, r v' C A C
  - Sa plus grande valeur sera relative à X'=F, ce qui conduit à la relation
  - EI_RI_P(2C—O 7„_PVf r~ v'~ C C
  - (ce qui est la formule de Y Aide-mémoire).
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- - 188
  - TROISIÈME PARTIE.
  - 180. Cas où le prisme est en outre chargé d’un poids uniformément réparti. — En appelant toujours p la charge par mètre courant, on aura d’abord :
  - P'X2C=2P/"4-2pCa et P"X2C=2P/'-f-2/>C\ d’oü l’on tire
  - n,_2P*"+2pC* ^ n„_2P/'4-2/)C*
  - P------2C--- et P------2C---•
  - On en déduit ensuite pour la section IK, située entre A et M,
  - FI RT
  - y = ~ = P"X— 2P(X— l") — JpX»
  - = 2^(2C-X)+ipX(2C-X),
  - et pour une section quelconque I'K', située entre le point d’application M de la charge 2P et le point d’appui B, à une distance X' du point A, la relation d’équilibre permanent sera
  - 7 = !*=P*X'-ipX'«=X' +^(SC-X')].
  - Fl
  - Si dans la première expression on fait X=2C, on a •—=o,
  - ce qui indique que la courbure est nulle en A ou le rayon de courbure infini, et le maximum correspond évidemment à \ — l\ ce qui donne 2C—X—2G — /"=/', et réduit l’expression à
  - El
  - r
  - RI V l"
  - ^=2G[2P+^(2C)1-
  - En effet, le premier terme de l’expression ci-dessus :
  - 2Pf
  - 2G
  - (2C—X)
  - atteint évidemment son maximum pour la plus petite valeur
  - 789260
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- - FLEXION.
  - 189
  - de la distance de la section IK au point B, et quant au second, si l’on trace le cercle dont le diamètre est AB = 2C, on voit que le facteur X(2C—X), égal au carré de l’ordonnée de ce cercle, croît à mesure que X diminue depuis X = 2C et atteint sa valeur maximum pour X = C, c’est-à-dire au delà du point M.
  - Ainsi, dans celte branche AM du solide fléchi, le maximum de courbure est en M.
  - Quant à l’autre branche MB, la courbure est encore nulle en g où X'=0, et pour le maximum, on voit que le premier
  - 2P y
  - terme du second membre -^X' atteint le sien pourX'=f,
  - mais que le second terme £p(2C—X')X atteint comme on l’a vu ci-dessus le sien pour X'=C, par conséquent le maximum de leur somme doit être entre le point M et le milieu de la pièce ou de la portée, et c’est là le point dangereux.
  - Si l’on tenait à déterminer la position de ce point de courbure maximum, on y parviendrait en calculant diverses valeurs du second membre, correspondant à des valeurs de X, décroissantes depuis X=l"\ on prendrait les valeurs de X pour abscisses d’une courbe dont les ordonnées seraient les valeurs du F2P/' 1
  - second membre X' -^y-j-^(2C—X') et l’on multiplierait
  - assez ces valeurs pour atteindre et dépasser le maximum qui correspondra au point le plus élevé de la courbe, que l’on déterminera ensuite facilement ainsi que son abscisse par la méthode que nous avons indiquée dans la première partie du cours pour déterminer le point de contact d’une tangente parallèle à une droite donnée.
  - 190. Prisme posé sur deux appuis et chargé de poids distribués d’une manière quelconque. — Supposons (pl. III, fig. 29) un solide prismatique ou cylindrique posé sur deux appuis et soumis à l’action :
  - de poids Pi P2 P3 P4 Ps P6,
  - situés à des distances l\ l\ l's l\ l\ /'6, du point d’appui A,
  - et à des distances l'\ l\ l\ l\ l\ l\, du point d’appui B ;
  - en suivant, comme dans les numéros précédents, le mode
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- - 490
  - TROISIÈME PARTIE.
  - simple de discussion adopté par M. Poncelet, on voit que les pressions P' et P" exercées sur les points d’appui A et B seront respectivement, d’après la théorie des forces parallèles :
  - P^+PA-f P/3+etc...
  - 2C
  - . p/»_P/i+ Pa^2-f~^V'3-l~ctC...
  - et P “ 2C
  - et l’on aura ensuite pour la condition d’équilibre relative à une section 1K placée entre deux points A2 et A3, par exemple, à une distance X du point d’appui B,
  - ^=^=p"x—p8(X-r8)—p4(x—v\)—p8(X—r,)-.etc...
  - ou
  - pi ri
  - 7 = 7 =(P"-P8-P4-Ps-etc.)X+P3r3-f PA-f P/'8+etc.
  - Or, le second membre, et par conséquent la courbure, croîtra avec X, si l’on a P"> P3 + P4 + P3 + etc., et la plus grande courbure aura lieu en un des points Ai ou A2, suivant les cas.
  - La plus grande courbure appartiendra donc à l’un des points d’application, et la section dangereuse sera celle pour laquelle le second membre de cette relation sera un maximum, ce qu’il sera toujours facile de reconnaître.
  - Si, par exemple, on trouve que c’est pour le point A3 que ce second membre a sa plus grande valeur, on fera X=/"3, et l’on aura pour la relation d’équilibre :
  - ÏÏ=5)=(P"—pt-p„—P,—etcor.+PA+PA+etc..,,
  - et par suite on connaîtra la valeur de ^7, qu’il faudra adopter pour la stabilité de la construction.
  - 191. Cas où les forces se réduisent à deux forces égales, agissant à des distances des appuis respectivement égales entre elles. — Dans ce cas (pl. III, fig. 30) si l’on appelle P la charge en chacun
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- - FLEXION.
  - 191
  - des points situés à la distance l des appuis, la charge totale est 2P, et les pressions P' et P" sur ces appuis sont :
  - p,_p,,_PHhP(2Ç-0_p
  - 2C
  - On en déduit ensuite pour l’équilibre, dans une section quelconque IK, située à la distance X du point B :
  - — = ^? = PX —P(X —/) = P/. r v '
  - Le second membre de cette relation restant le même entre les points Ai et A2 d’application des forces, il s’ensuit que dans cet intervalle, la courbure est constante, et que la courbe est un cercle dont le rayon est :
  - El
  - , (AiA2)2 _ PJ(2C—11? 4 2 r “ «El *
  - A cette flèche de l’arc il faut ajouter celle des deux bouts, que l’on peut considérer comme des solides encastrés en Ai ou
  - P/3
  - en Â2, et qui est, comme on le verra au n° 215, £ pp. De sorte
  - que la flexion totale est :
  - ,PZ3 P/(2C—2/)2 3 El ‘ 8EI
  - On voit d’ailleurs facilement par l’examen de l’équation d’équilibre que cette répartition de la charge est beaucoup plus favorable à la solidité que si cette charge 2P agissait au milieu de la pièce; aussi cette disposition est-elle fort en usage pour les roues hydrauliques.
  - 192. Cas où l'on veut tenir compte du poids du solide ou d'une charge uniformément répartie. — Dans ce cas, il est facile de voir que l’on a P'=Pr/=P-j-iÆ, et pour la relation d’équilibre en
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - 192
  - une section quelconque IK située entre les points Ai et A, :
  - — = 5J = P'X—P (X— l) = PI + Ç (2C - X).
  - La valeur du maximum du second membre, correspondant évidemment au milieu de la longueur de l’arbre, il est clair que la section dangereuse sc trouve en cet endroit; on a donc pour cette section X=C et :
  - El
  - r
  - RI
  - v'
  - Telle est la formule à appliquer aux arbres des roues hydrauliques, si l’on veut tenir compte de leur poids propre.
  - 193. Autres applications relatives aux arbres des roues hydrauliques. — Les roues hydrauliques sont ordinairement composées de fermes ou systèmes de bras qui supportent les aubes ou les augets sur lesquels agit l’eau. Les fermes, habituellement au nombre de deux, trois ou quatre au plus, ne sont pas toujours réparties, sur la longueur de l’arbre, symétriquement par rapport aux points d’appui. Les considérations générales du n° 190 s’appliquent facilement à ces divers cas; mais il ne sera pas inutile de montrer directement quelle est la conséquence de ce mode de répartition des fermes.
  - 1° Cas où la charge est répartie par parties égales en deux points Ai et A2 (pl. III, fig. 31), situés à des distances l et l' des appuis A et R.
  - On a d’abord pour les pressions P' et P" sur les appuis :
  - P(2C—0 + P/' _ P.2C + P(//—/)
  - ~ 2C — 2C
  - PC(2C—/') +P/ _ P.2C—P(/'—/) et , ~ 2C — 2C
  - Puis pour la relation d’équilibre d’une section quelconque 1K située en Ai et A>, à la distanceX du point d’appui B on a:
  - —=5? = p"x—P(X—V)=(P"—P)X -p p/'.
  - r v
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- - FLEXION.
  - 493
  - En remarquant qiie, d’après la valeur ci-dessus de P", on a :
  - pv___p _ ^ )
  - P (l—D
  - 2C '
  - 2G
  - Or, si l’on a P">P, ce qui suppose />/', le point dangereux sera en Ai.
  - Si l’on a P' <CP, ce qui suppose le point dangereux sera A2.
  - Dans le premier cas, X = 2C — l, et l’équation d’équilibre permanent devient :
  - Dans le deuxième cas X = l', et l’on a :
  - Pour assurer la stabilité de la construction, il suffira donc de calculer la valeur des seconds membres de ces relations et
  - RI
  - d’égaler le premier membre à la plus grande des deux.
  - 2° Cas où la charge 2P est répartie par parties égales sur trois points d’appui équidistants.
  - En conservant les notations du n° 190, et y faisant 2P
  - \\ = P2 == P3 = —, on a d’abord :
  - O
  - n, 2P (ft + P. + f'O ^ iwïLWd'i + WA)
  - P=T------2C-- el P-T-----de-
  - puis pour la relation d’équilibre d’une section IK située entre Ai et Ao, à la distance X du point d’appui B :
  - Si l’on a P">|P, ce qui revient à Z'i-H«-Hb>4C, le point dangereux sera en At et correspondra à X = l'\.
  - On a alors pour la relation d’équilibre :
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- - 194
  - TROISIÈME PARTIE.
  - ou à cause de et de l'\ — ï't—l'\-~l\=dy en
  - O
  - appelant d la distance des fermes, il vient :
  - El
  - r
  - RI
  - v'
  - 2P d.
  - Si, au contraire, l’on a P" < f P, ce qui revient à V1+ /'*~b /'s<4C, le point dangereux sera en A2 et correspondra à X=f2, et par suite :
  - EI RI
  - r v'
  - = k4"/'2 —fPd.
  - Et enfin, si l’on considère le troisième point d’appui AB, on aura pour l’équilibre en cet endroit :
  - RI
  - v'
  - On calculera la valeur de chacun des seconds membres de
  - relations ci-dessus el on adoptera la plus grande pour la va-
  - . , RI
  - leur de -7-.
  - v
  - On procéderait de même pour le cas où la charge serait répartie par portions égales sur quatre points d’appui.
  - 194. Solide posé sur un appui et encastré à Vautre extrémité, et soumis à une charge P agissant en un point quelconque de sa longueur. — Si l’on'nomme (pl. III, fig. 31) toujours G la distance de l’appui à l’encastrement, G' le bras de levier de la charge P, D la distance horizontale de la direction de la charge P à l’appui, la réaction Q' exercée par l’appui sera, d’après des considérations développées par M. Navier, et qui ne sont pas de nature à être reproduites ici*,
  - m - n^PC-CQ
  - W — A 2C3 1
  - qui pour le cas où C; = 5C se réduit à Q' = -~ ^P, et a été vérifiée au moyen d’expériences par feu M. Guillebon, ingé-
  - * Leçons sur l’application de la Mécanique, par Navier, première partie, page 235.
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- - FLEXION.
  - 195
  - nieur des ponts et chaussées, ce qui nous permet de l’admettre sans démonstration.
  - On remarquera que dans cette expression on a toujours
  - C'<C et par suite Q'<P.
  - La résistance de l’appui pourra donc être regardée comme une force agissant de bas en haut ; de sorte que l’examen de ce cas rentrera dans celui d’un solide encastré s >umis à l’action de deux forces agissant en sens contraires , qui a été traité au n° 184. On aura donc encore d’après la notation ci-dessus, et en considérant une section quelconque 1K du solide, située à une distance X du point d’appui, pour l’équation qui exprimera l’équilibre entre les résistances moléculaires et les forces extérieures, l’expression :
  - RT
  - ~ = Q'X - P(X—D) = (Q' - P)X + PD,
  - dont la valeur maximum correspond évidemment à X — C.
  - Ici, comme au n° 184, on trouvera la position du point d’in-
  - flexion en supposant ^ = — = 0, ce qui correspond a - — 0,
  - ou à une courbure nulle, et donne d’abord pour déterminer ce point
  - y _ PD _ 2C3D X”P—Q' “ 2C3 — 3G'2G -f G'3 ’
  - en substituant pour Q' sa valeur absolue
  - C'2(3C — G')
  - F * 2 G3 ‘
  - La flexion allant en augmentant à partir de ce point jusqu’à la section d’encastrement d’une part, et de l’autre jusque vers le point qui repose sur l’appui, on aura pour la première partie, en faisant X = C :
  - ~ = Q'C-P(C-D);
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- - 196
  - TROISIÈME PARTIE.
  - et pour la deuxième parlie la flexion maximum correspondra évidemment à X=D. Ce qui donne :
  - On devra donc calculer ces deux valeurs et prendre la plus
  - grande pour celle qu’il convient d’adopter pour déterminer 5J,
  - On substituera d’ailleurs à Q' sa valeur absolue indiquée çj-dessus.
  - Si outre la charge P, le solide était soumis à une charge uni-formément. répartie ^>C, on aurait pour la condition d’équilibre entre les forces extérieures et les résistances moléculaires la relation :
  - dans laquelle
  - Expression dans laquelle, C' étant toujours plus pelit que C, on a Q'<P.
  - On trouverait encore pour la position du point d’inflexion la condition :
  - Ü'X—P(X—D)-£^=0, d’où X»+~(-Q' ~ P)x+2PD=0
  - 1 P
  - d’où
  - Mais comme on a Q'<P et que.X ne saurait être négatif pour la solution de la question, on se bornera à la valeur positive du radical.
  - On trouvera évidemment qu’en partant du point d’inflexion et en allant vers l’encastrement, la plus grande valeur
  - R.I
  - de — correspond à X^=C, ce qui donne
  - 5I = Q'C-P(C-D)+Ç.
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- - FLEXION.
  - 197
  - Et qu’en allant du même point vers le point d’appui, le maxi-RI
  - mum de —répond à X = D, ce qui donne
  - ^D2
  - 1T
  - On choisira la plus grande des deux valeurs pour servir à la détermination des dimensions de la pièce.
  - Mais si l’on remarque que dans l’un et dans l’autre des cas que l’on vient d’examiner on a Q'<P, on voit que, lorsque C' différera peu de C et sera par exemple égal à £ C, on aura Q'=0,774P ; on pourra donc avec sécurité calculer les dimensions dans l’hypothèse de Q'=P, ce qui simplifie beaucoup les formules et donne simplement :
  - pour le cas où l’on néglige la charge uniformément répartie, et
  - = PD -|-
  - v
  - ^>D2
  - ir
  - pour celui où l’on en tient compte.
  - Ce cas se présente quelquefois dans les magasins à poudre et dans les magasins d’artillerie, où des poutres d’une seule pièce, engagées dans les murs ou posées sur des consoles et soutenues en leurs milieux par des poteaux, ne peuvent être regardées comme encastrées à leurs extrémités, mais seulement en leurs milieux par l’effet de la présence des poteaux.
  - Des solides d’égale résistance.
  - 195. Des solides qui dans toutes leurs sections présentent une
  - , M I
  - égalé résistance. — La relation ^ = - du n° 141, qui exprime
  - que le résultat de la division du moment des forces extérieures par rapport à la section que l’on considère, par le plus grand effort que l’on puisse avec sécurité faire subir à la fibre la plus allongée ou la plus comprimée, doit être égal au moment d’inertie de la section par rapport à la ligne des fibres invariables, divisé par la plus grande ordonnée du profil à
- p.197 - vue 208/512
- - 198
  - TROISIÈME PARTIE.
  - partir de celte ligne, revient comme on l’a vu dans le cas où il n’y a qu’une seule force P agissant à une distance X de la section et parallèlement à son plan, à
  - PX _ I R ~V’
  - d’où
  - E —JL
  - r~vx*
  - Sous cette forme, on voit de suite que pour une matière donnée pour laquelle R est connu, l’effort P que pourra supporter une section quelconque sera constant, si le second membre
  - i a pour toutes les sections la même valeur. v'X
  - Ainsi par exemple pour une section rectangulaire de largeur a et de hauteur b, on a (n° 152) -j, = £a&2oü aif pour un profil quelconque dont la hauteur serait y. Or, si le profd longitudinal de la pièce a partout même largeur a, et si sa hauteur y varie de façon que l’on ait toujours if=2h\, ce qui arriverait pour un profil parabolique, on aura
  - E—_L
  - R“VX~ 6X“3 ’
  - valeur constante , qui indique que le solide présentera partout la même résistance à l’action de la force extérieure P.
  - On déterminera d’ailleurs facilement le nombre k en faisant attention que, pour la section d-’encastrement, la hauteury=b est déterminée par la relation PC=^Raô?, dans laquelle P, C,R et a sont connus, si la largeur de la pièce est donnée ; ce qui
  - é2
  - conduit ensuite à la valeur de k = -^, b et C ayant ici les valeurs relatives à la section d’encastrement. On en déduira ensuite pour l’équation de la courbe du profd longitudinal
  - y^ = 2kX = ^X,
  - formule dans laquelle X représente l’abscisse de la courbe du profil, à partir du point d’application de l’effort P, et y l’ordonnée de la courbe ; telle est la formule qui convient à un profd limité d’une part par une branche de parabole, et de l’autre par l’axe de celle courbe; la résistance de la pièce serait dou-
  - /
- p.198 - vue 209/512
- - FLEXION.
  - 499
  - blée et toujours constante si le profil était limité par les deux branches de la parabole, parce qu’alors chaque section se trouverait double de ce qu'elle était primitivement.
  - Si l’on supposait au contraire b constant, et que l’on fît a=C pour la section encastrée, et a==\ dans toutes les autres, ce qui donnerait à la projection horizontale du solide la forme d’un triangle dont la base serait égale à la hauteur, on aurait
  - p_ JL R v'C~
  - Ce qui permet de faire des consoles d’égale résistance avec des pierres plates ou des pièces d’épaisseur uniforme, et s’applique aux poutres à double ou à simple T en fonte ou en fer pour leurs semelles supérieure ou inférieure.
  - On voit d’ailleurs que l’on pourrait encore trouver d’autres rapports à établir entre les quantités a, b et C pour satisfaire à la condition que toutes les sections fussent d’égale résistance.
  - 196. Solides d'égale résistance et d'épaisseur constante. — Si l’épaisseur b d’un solide à section rectangulaire doit être constante , il faut, pour que le rapport
  - J__ Latf
  - î/X~6 X
  - soit constant, que l’on ait ^ = égal à une quantité constante ,
  - ou que la largeur horizontale du solide aille en croissant proportionnellement à sa longueur depuis son extrémité jusqu’à la section d’encastrement.
  - 197. Solides d'égale résistance à section circulaire. — Dans ce cas l’on a (n° 16i) :
  - l = v' — R',
  - et par conséquent
  - P I _i^
  - R v'\ 4 X *
  - On rendra donc le second membre constant si l’on établit entre le rayon de la section transversale du corps, et la dis-
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- - 200 TROISIÈME PARTIE.
  - tance de la section considérée à la direction de la force P, }a relation
  - R'3 = 2ÆX,
  - ce qui donnera
  - 2Æ étant un nombre constant que l’on déterminera encore facilement ici en observant que pour la section d’encastrement
  - P R'»
  - C est connu et R' déterminé par la relation j^ = ~-£rTr, ce qui R'3 4P R’3
  - donne %k — et par suite if = -r-X, en désignant en-
  - core ici par X les abscisses de la courbe, mesurées dans le sens de l’axe du solide, à partir du point d’application de la force P, et par y les rayons des sections correspondantes.
  - 198. Cas où le solide n'est soumis qu'à une charge uniformê-ment répartie agissant perpendiculairement à sa longueur. — L’expression générale se réduit alors à
  - RI
  - v'
  - ±pC\
  - et l’on voit que le solide sera d’égale résistance dans toutes les sections, si l’on satisfait à la condition que 2^ = ^ soit une quantité constante.
  - S’il s’agit, par exemple, d’un solide à section rectangulaire pour lequel ab*, et si l’on suppose a constant, on remplira la condition ci-dessus en faisant 62=2ÆC2, et comme, pour la section d’encastrement, C est donné et que b sera déterminé par la condition :
  - ia6?_i P
  - 6 C~2 R
  - ou
  - 3pG2
  - R ’
  - on aura entre les ordonnées y et les abscisses du profil longitudinal du solide la relation
- p.200 - vue 211/512
- - FLEXION.
  - 201
  - ce qui est l’équation d’une ligne droite (pl. IV, fig. 1), faisant avec la face supérieure du solide supposée horizontale un
  - angle dont la tangente trigonométrique est
  - Cette forme est celle qui confient pour les consoles des balcons, dont la charge peut être regardée comme uniformément répartie, quand ils sont entièrement occupés par un grand nombre de personnes.
  - Nous reviendrons plus tard, en parlant des formes et des proportions usuelles, sur cette considération des solides d’égale résistance, et nous nous bornerons pour le moment à ce qui précède, en répétant que la condition de constance du rapport
  - J- peut être satisfaite de plusieurs façons, parmi lesquelles il
  - V u
  - convient de choisir celles qui sont à la fois les plus simples et les plus convenables, suivant la nature des matériaux à employer.
  - 199. Cas où il est nécessaire de faire le calcul pour plusieurs sections transversales. — Lorsqu’au contraire une pièce présentera des formes telles que le rapport ^-soit variable, on devra
  - en appliquant le calcul à plusieurs sections transversales, s’assurer qu’elles satisfont toutes à la condition d’équilibre
  - p_ jl R~riC’
  - et renforcer celles qui n’y satisferaient pas, en augmentant leur moment d’inertie I.
  - De la courbe élastique et de l’étendue des flexions.
  - 200. Tracé de la courbe élastique. — On nomme courbe élastique ou simplement élastique, la courbe qu’affecte un solide soumis à l’action d’une ou de plusieurs forces qui le font fléchir sans altérer son élasticité. Or, si l’on se reporte à la relation du n° 140, entre les moments des forces extérieures et ceux des résistances moléculaires,
  - FI
  - ^=Pp+Qg + etc...=M,
  - Mmrnmam
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- - 202
  - TROISIÈME PARTIE.
  - on en lire, pour la valeur du rayon de courbure, en un poin| quelconque de la longueur du solide
  - ________El __EI
  - 1 M*
  - S’il s’agissait d’une charge verticale P, agissant de bas en haut à l’extrémité d’une pièce horizontale de longueur C, et d’une charge uniformément répartie, agissant sur toute la longueur en sens contraire, à raison de p kilog. par mètre courant, on aurait, pour la section d’encastrement, M=PC—|_pC2; ce qui montre que le rayon de courbure serait infini ou la courbure nulle si l’on avait P=-£pC, ainsi que nous nous sommes contenté de l’indiquer au n° 181. Alors la tangente au point d’encastrement reste horizontale.
  - Pour chaque point, on peut calculer la valeur du moment d’inertie I de la section correspondante du solide, et la somme + des moments des forces extérieures par rapport au plan de cette section; on en déduira donc la valeur du rayon de courbure, et l’on pourra, à l’aide des valeurs de ce rayon, tracer la courbe de proche en proche.
  - Pour rendre plus sensible l’application de cette méthode, due à M. Poncelet, supposons (pi. IV, fig. 2) qu’il s’agisse d’une pièce prismatique ou cylindrique à section constante. Le moment d’inertie I de cette section sera constant, et si le solide n’est soumis qu’à l’action d’une seule force P, agissant à la distance C de son point d’encastrement A, on aura d’abord le rayon de courbure de l’élastique en ce point par la relation
  - _ El r PC‘
  - Le centre de courbure se trouvera en o dans le prolonge-
  - EI
  - mert de la section d’encastrement à une distance Ao=r=p^,
  - on décrira du point o comme centre, un arc de cercle AA', auquel on donnera une ouverture de 1 à 2° par exemple. Appelant ensuite C' la distance du point A' à la direction
  - El
  - de la force P, on en déduira r=—A'C\ et l’on trouvera en
  - o' le centre de courbure correspondant, à la section faite en A' dans le prolongement de A'o.
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- - Flexion.
  - 203
  - On donnera à ce nouvel arc une ouverture de 1 à 2°, et l’on continuera ainsi à tracer une série d’arcs de cercle, dont l’ensemble donnera par enveloppe la courbe cherchée, qui se terminera à la rencontre de l’un des cercles avec la direction de la force P.
  - U peut arriver que les rayons de courbure deviennent tellement grands qu’il soit fort difficile de les employer au tracé. On y suppléera en remarquant (n° 154) que le rayon de cour-
  - bure est égal à r=-, s étant l’arc * élémentaire, et e l’arc du
  - rayon égal à l’unité qui mesure l’angle de deux éléments consécutifs de la courbe ou celui de leurs tangentes, et que l’on nomme l’angle de contingence ; cette relation donne :
  - El
  - s—re= e pour la section distante de C' de la direction de
  - ru
  - la force P; en faisant e=^X 6,2832=0n\025, ce qui correspond à un angle de 2°, on mettra cette valeur dans celle de s, et l’on en déduira la longueur de l’arc correspondant à chaque valeur de C'.
  - Après avoir donc calculé les premiers rayons de courbure, et tracé, s’ils sont assez petits, les premiers arcs, on prolongera le dernier arc obtenu par sa tangente A'A"pr par exemple. On fera du côté de la flexion un angle p''A"p'=2° avec cette tangente, et sur la ligne p"M' on portera une longueur
  - El
  - A"A'" égale à la valeur de ~ . e déduite de la formule précé-
  - lu
  - dente.
  - Cette méthode donnera, dans tous les cas où les flexions ne dépassent pas les limites de l’élasticité, la forme de la courbe élastique avec une approximation bien suffisante pour la pratique.
  - 201. Cas où la courbure élastique est un arc de cercle. — Si le solide prismatique ou cylindrique est sollicité par deux forces égales et parallèles, mais dirigées en sens contraires (pl. IV, fig. 3), ce que l’on nomme un couple, ayant par rapport h la section encastrée des bras de levier C et C', la somme des moments se réduit à PG — PC'=P(C — C')=PD, en nommant D la distance entre les directions des deux forces parallèles,
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- - 204
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Alors, quel que soit le point du solide que l’on considère entre A et D, la valeur du rayon de courbure
  - El
  - r PD
  - est constante, et la courbe élastique est pour cet intervalle un cercle facile h décrire.
  - 202. Cas où la courbure de la pièce est déterminée par un gabarit sur lequel il s'agit de la ployer. — Dans la construction des navires, pour le charronnage , pour les arcs des charpentes en bois plié, etc., l’on doit souvent faire prendre à des pièces de bois des formes obligées, et il est bon de savoir calculer quel est l’effort à exercer, soit pour les fléchir, soit pour les maintenir fléchies. Cet effort sera donné dans chaque cas par la formule
  - n_ El_____El.e
  - r.C- s.C’
  - dans laquelle les différentes lettres ont la même signification que précédemment.
  - Dans les cas semblables, la pièce a une longueur plus grande que les gabarits, et, à mesure qu’elle est courbée, on la fixe par des liens, par des chevilles, des boulons ou des vis, selon la nature de la construction. Chaque point de ligature devient un point d’encastrement, et l’on voit que l’effort à exercer à l’extrémité de la pièce, devient d’autant plus grand que l’on approche davantage de l’extrémité du gabarit. C’est pourquoi les pièces de ce genre doivent être surtout très-solidement fixées à leurs extrémités, sur les gabarits, sur les poteaux, sur les membrures, etc., contre lesquelles elles doivent s’appliquer.
  - 203. Détermination des flèches de courbure. — Il ne suffit pas, dans beaucoup de cas, de régler les charges ou les dimensions des corps, de manière qu’ils n’éprouvent pas d’altération permanente dans leur élasticité; mais il importe, en outre, de connaître et de renfermer les flexions qu’ils peuvent prendre, dans les limites convenables pour le service qu’on en attend.
  - Si l’on se rappelle que, dans les constructions, les flexions éprouvées par les corps sont et doivent être toujours très-faibles, on pourra les calculer à l’aide des considérations suivantes, empruntées à M. Poncelet.
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- - FLEXION.
  - 205
  - Soit Cb (pl. IV, tig. 4) la tangente en un point quelconque C de la courbe élastique, et Cb1 celle qui correspond au point infiniment voisin C'. Soit AB' la longueur de la pièce supposée droite avant sa flexion, et traçons la développante B’bb'B de l’élastique. Les tangentes O et Cb', limitées à cette courbe, seront respectivement égales en longueur aux arcs CB et C'B de l’élastique. Lorsque le corps sera parvenu à la position ABC, sa flexion totale sera mesurée par BD', et quand son extrémité passera de la position b à la position infiniment voisine b', la flexion élémentaire ou le chemin parcouru dans le sens de l’effort vertical P sera mesuré par la projection b'a de l’arc bb' sur la verticale. Or, cet arc élémentaire bb' de développante peut être regardé comme un arc de cercle décrit du centre C avec le rayon C b, et égal à S X o, en nommant S l’arc CB de l’élastique, et o l’angle des-deux tangentes consécutives C b et Gb\ ou l’arc de rayon égal à l’unité qui le mesure; et comme
  - l’arc élémentaire de l’élastique CC' ou s=ro, on a bb'=—.
  - D’une, autre part, la projection CD de l’arc CB sur l’horizontale menée par le point C, est le bras de levier de la force extérieure P, et la projection CE, de l’arc CC' sur la même horizontale, est la variation élémentaire x de ce bras de levier.
  - Cela posé, la figure montre que le triangle rectangle CC'E et le triangle abb' sont semblables, ce qui conduit à la proportion
  - CC' ou s : CE ou x : : bb' ou
  - r
  - d’où
  - SX#,
  - à cause de
  - Dans le cas où les flexions sont très-faibles, ainsi que cela est nécessaire dans presque toutes les constructions, l’arc total S de l’élastique diffère très-peu de sa projection horizontale X, et l’expression ci-dessus revient à
  - = ~ X2#.
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- - 206 TROISIÈME PARTIE.
  - Telle est l’expression de la flèche élémentaire de courbure pour une flexion angulaire infiniment petite. La somme de toutes les quantités semblables donnera la flèche totale BD’ que nous appellerons f.
  - Or, si l’on considère X comme l’ordonnée d’une ligne inclinée à 45° (pl. IV, fig. 5) sur l’axe des abscisses, il est facile de voir que Xx sera l’aire d’une tranche élémentaire, comprise entre deux ordonnées distantes de x, et le produit Xx.X~\^x ne sera lui-même autre chose que le moment de cette aire par rapport au sommet du triangle, ou par rapport à une ligne parallèle à la tranche, menée par le sommet. Donc, la somme de tous les produits semblables sera égale à la surface du triangle -|-X2, multipliée par la distance §X de son centre de gravité au sommet, et, par conséquent, égale à ^X3. Donc enfin, la flèche de courbure totale, prise pour la portion du
  - P
  - solide BC, sera et si on la prend pour la longueur
  - totale à partir de la section d’encastrement, pour laquelle on fera X égal à C ou à la longueur du corps avant la flexion, au lieu de prendre sa projection après la flexion, ce qui compensera à peu près l’erreur provenant de la substitution précédente de X à S, elle sera donnée par la formule
  - /—3 Ei’
  - Cette formule montre que, d’après les considérations théoriques précédentes, la flèche de courbure d’un solide prismatique ou cylindrique encastré par l’une de ses extrémités, et sollicité à l’autre perpendiculairement à sa longueur par un effort P, est :
  - 1° Proportionnelle à P ;
  - 2° Proportionnelle au cube du bras de levier de cet effort;
  - 3° En raison inverse de la valeur du coefficient E d’élasticité ;
  - 4° En raison inverse du moment d’inertie de la section transversale du solide.
  - 204- Cas particulier où la section du solide est un rectangle dont la largeur est a, et dont l’épaisseur, dans le sens de l'effort P,
- p.206 - vue 217/512
- - FLEXION.
  - 207
  - est b.— On a vu (n° 132) que, dans ce cas, Ton avait I =-feab\ On en déduit
  - C3.
  - Ce qui montre que les flexions des solides de cette forme croissent en raison inverse du cube de l’épaisseur b, et indique tout l’avantage que l’on trouve à augmenter celte dimension, en laissant du reste la même valeur à l’aire ab de la section, et, par suite, au volume de matière employé.
  - 20o. Comparaison des flexions de deux solides de sections rectangulaires différentes. — Si nous appliquons la formule 4P C3
  - un autre solide de section analogue, mais de
  - dimensions différentes a' et b', on aura
  - 4P _C^.
  - 1 ~ E 'a'b'3’
  - de sorte que les flexions de ces deux solides seront entre elles dans le rapport
  - f___ci'b13
  - f ab3 ’
  - et pour qu’elles soit égales, il faudra que l’on ail
  - a'b'3=ab3 ou 77, = —,, b3 a
  - ce qui signifie que, pour que deux solides encastrés, de même longueur, prennent la même flexion sous un même effort, il faut que leurs largeurs horizontales soient en raison inverse des cubes de leurs épaisseurs.
  - 206. Formules pratiques. — En introduisant dans la formule ci-dessus les valeurs du coefficient d’élasticité E données au tableau du n° 47 pour les différents matériaux, on trouve pour les formules pratiques qui donnent la flexion d’un solide encastré par l’une de ses extrémités, et soumis à l’autre à un effort P,agissant perpendiculairement à sa longueur:
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- - 208
  - pour la fonte le fer
  - le bois de chêne l’acier fondu
  - TROISIÈME PARTIE. PC3
  - f=
  - f=
  - f=
  - f-
  - 3 000 000 000 aê3’ PC3
  - 5 000,000000 a68 ’ PC3
  - : 300 000 000 ab3' PC3
  - = 7 500 000 000 ab3’
  - PC3
  - l’acier d'Allemagne /=msooooooo
  - (formules qui sont celles du n° 464 de la 4e édition de l'Aide-mémoire).
  - 207. Solides cylindriques à section circulaire. — Dans ce
  - PP3
  - l’on a 1 = 0,0491 D4, et la formule f=±~ devient
  - cas
  - f_t PC3 _ PC3 ~30,0491 D4.E ~'E.0,147D4'
  - En introduisant dans cette formule les valeurs du coefficient d’élasticité E, données au tableau du n° 47, on trouve que les formules pratiques sont :
  - pour la fonte le fer le bois
  - f--
  - PC3
  - f-
  - 1 764000000 D4’
  - PC3
  - 2940000000 D4’
  - PC
  - f=
  - 176400000 D4’
  - (formules qui sont celles de Y Aide-mémoire, n° 467, 4e édit.).
  - 208. Extension des considérations précédentes au cas général
  - — On doit remarquer que la relation ab'= — n’est qu’une
  - conséquence géométrique de la flexion, du changement de forme des corps,et que, dans cette expression, Sic est tout à fait indépendant de la position de la force ou des forces qui produisent cette flexion ; la quantité r ou le rayon de courbure en chaque point dépend seul de ces forces, et l’on sait que l’on a
- p.208 - vue 219/512
- - FLEXION.
  - 20ü
  - pour toutes les positions d’équilibre, entre toutes les résistances moléculaires et les forces extérieures, la relation générale :
  - — = Pp-f-etc.., d’où l’on tire 1—
  - Donc si le corps est sollicité par des forces quelconques P,Q, etc.., agissant avec des bras de levierp, q, etc.., par rapport à la section que l’on considère, on aura, d’après ce que l’on a dit au n° 140, pour la valeur de r :
  - _ . El 1 “Pp-f-Qg-j-etc...’
  - ce qui donnera
  - et pour une flexion très-petite, attendu que S=X à très-peu près,
  - El
  - D’après la direction et la position des forces P, Q, etc., on pourra exprimer leurs bras de levier en fonction de X, et alors la géométrie donnera, comme pour le cas simple*que l’on vient de traiter, la valeur de la somme des flexions élémentaires analogues à ab\ ou la flèche totale.
  - 209. Observation relative aux solides d’égale résistance. — On a vu au n° 195 que les solides d’égale résistance étaient ceux
  - pour lesquels le quotient -, était constant, et que quand, par
  - exemple, leur section transversale était rectangulaire, cette condition revenait à donner au profil longitudinal une forme telle
  - y2
  - que, dans chaque section transversale, on ait toujours ç=~.
  - Dans ce cas, le moment d’inertie d’une section quelconque de largeur a et de hauteur y est j\ay\ et l’expression de la flexion élémentaire devient :
  - 44
- p.209 - vue 220/512
- - 210
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Or on a :
  - . P
  - y'=c
  - X; d’où
  - et tf=
  - 63 , -
  - Wcy
  - W;
  - ce qui donne :
  - 12P(v/C)’X>* 12P(v/C)\t
  - VjjJÏ W
  - X2
  - Mais si l’on pose X=Z2, on en déduit facilement pour la variation élémentaire x deX, la valeur x=çÏLz, attendu que z* étant la surface d’un carré dont le côté est Z, il est facile de voir que si ce côté augmente de la quantité infiniment petites, la surface du carré augmentera de deux rectangles égaux dont les côtés seront respectivement égaux à Z et à s, et la surface égale à Z s, plus un petit carré s2 négligeable, attendu que sa base et sa hauteur sont deux quantités infiniment petites. Donc la variation du carré Z2 ou celle de X est #=2Zs.
  - Au moyen de cette transformation, la valeur de la flexion élémentaire du solide devient donc :
  - ab'=-
  - 12P\/C3
  - Eaà3
  - VDz.
  - Et la flexion totale étant la somme de toutes les flexions élémentaires semblables, on aura, d’après ce que l’on a vu précédemment, en supposant que l’on prenne la flexion depuis la section encastrée :
  - ,_i2P(VC)!2„ i2P(Vç)V;^„ spc»
  - Eaù1 3 Eaf)» nv Ea6*'
  - C’est-à-dire le double de la flexion que prendrait, sous le même effort et à la même longueur, un prisme de même largeur, mais d’épaisseur uniforme à partir de l’encastrement,
  - Cette propriété des solides d’égale résistance de prendre des flexions doubles de celles des solides prismatiques, de même dimension à la partie encastrée, peut être un inconvénient quand on veut que l’extrémité sur laquelle agit la force extérieure P se déplace ou s’abaisse très-peu. Mais s’il s’agit de ressorts, et en particulier de lames de dynamomètres, elle offre l’avantage de permettre de donner à l’instrument une sensibilité double, en lui conservant la même solidité que s’il avait eu partout la même section qu’à l’encastrement.
- p.210 - vue 221/512
- - FLEXION.
  - 211
  - 210. Vérification de la formule précédente par l'expérience. — L’application de la formule :
  - 8PC3
  - que j’ai eu occasion de faire très-souvent pour la construction des lames de dynamomètres, fournit une vérification de F exactitude de cette formule entre des limites très-étendues. (Voy. la description des appareils dynamométriques, nos 2 et suiv.)
  - D'abord la tare de ces lames ou l’observation des flexions correspondantes à différentes charges P, montre que les flexions sont proportionnelles aux charges tant que les flexions ne dépassent pas | ou de la longueur C. De plus, en observant pour différentes lames les valeurs simultanées des charges et des flexions, et en les introduisant, ainsi que les dimensions a et b, dans la formule, on a pu en déduire chaque fois la valeur du coefficient E d’élasticité pour chacune d’elles.
  - Lorsque les lames comparées ont été faites avec la même qualité d’acier, qui était généralement celle dite acier d’Allemagne à trois marques, la constance des valeurs de E a fourni la vérification de l’exactitude de la formule.
  - Le tableau suivant contient les résultats de l’application que nous venons d’indiquer de la formule précédente à des lames d’acier d’Allemagne, ainsi que leurs dimensions et le rapport des flexions aux charges. On y voit que ce rapport et le coefficient d’élasticité sont sensiblement constants, si l’on a égard aux différences assez notables que pourraient y avoir apportées le degré de trempe, de recuit et la qualité même de l’acier.
  - FORCE maximum des lamçs. LARGE UR des lames a LONGUEUR de chaque branche C EPAISSEUR des lames à la parLie encastrée b ACCROISSEMENT de flexion pour 10 kilogr. de charge. VALEUR d’élasticité DP COEFFICIENT E
  - rri in m m kil.
  - 200 0,040 0,250 0,0079 0,00284 22 317 700 000
  - 200 0,040 0,250 0,0079 0,00311 20 380 200 000
  - 250 0,040 0,350 0,0115 0,00285 19 527 300 000
  - 300 0,040 0,411 0,0147 0,00265 10 495 200 000
  - 520 0,040 0,350 0,0145 0,00134 20 990 600 000
  - 570 0,040 0,350 0,0160 0,00105 19 938 100 000
  - 1000 0,050 0,500 0,0211 0,00097 21 948 800 000
  - 1000 0,050 0,500 . 0,0211 0,00100 21 290 300 000
  - 1000 0,050 0,500 0,0211 0,00103 20 668 500 000
  - Moyenne 20 858 900 000
- p.211 - vue 222/512
- - 212 TROISIÈME PARTIE.
  - ü i 1. Travail consommé pour produire une flexion donnée. Pendant la flexion, l’effort P nécessaire pour la produire, varie avec cette flexion elle-même, d’après ce que l’on vient de voir, et l’on a pour le déterminer à chaque instant, en le désignant par P', la relation :
  - P'—f “ C3 ’
  - et si l’on appelle f la variation élémentaire de la flexion ou le chemin parcouru par le point d’application de la force P' dans le sens de cette force, le travail qu’elle développera sera :
  - py=^.FA
  - Le travail total correspondant à une flexion Fl5 à partir de la flexion nulle, sera donc, en le désignant par Tr :
  - Fl
  - T __3 1 C1 2.
  - 2* Q3 - »
  - et comme on a d’ailleurs pour la flexion totale, produite par un effort P :
  - F‘ = ^SC»,
  - on en déduit :
  - Fl P2
  - ji L: v r ______r6
  - 2 C3 *9 (El)2
  - — «El*
  - Or, si l’effort P était exercé par un poids qui, abandonné à lui-même, fût descendu de la hauteur F,, la gravité aurait développé sur ce corps une quantité de travail exprimée par :
  - PF _ i ^
  - PFl “ 3 £p
  - double de celle qui est due aux résistances moléculaires du corps à la flexion.
  - Dans cette flexion des corps, puisque les résistances moléculaires ne consomment que la moitié du travail développé par la pesanteur et correspondant à la flexion d’équilibre, il s’ensuit que l’autre moitié de ce travail produit une accélération du mouvement de flexion, et que le corps atteint cette position
- p.212 - vue 223/512
- - FLEXION.
  - 213
  - d’équilibre avec une force vive par suite de laquelle il la dépasse. Ce mouvement s'éteint graduellement par une suite d’oscillations; mais comme il en résulte un accroissement considérable de la flexion momentanée, cette observation montre combien, dans des cas pareils, il est nécessaire de limiter les charges, de manière que dans ces oscillations les flexions n’atteignent pas les limites auxquelles l’élasticité s’altérerait.
  - 212. Cas où le profil transversal des corps n'est pas constant.— Des considérations analogues permettraient de calculer la flexion totale d’un corps, pour lequel la section transversale, et par suite le moment d’inertie I, varieraient en même temps que la distance X de cette section au point d’encastrement. Les méthodes connues de quadrature et en particulier celle de Th. Simpson permettent de déterminer exactement ou approximativement cette quantité.
  - 215. Flexion d'un prisme horizontal encastré à l'une de ses extrémités et soumis à une charge uniformément répartie et à une charge qui agit à l’autre extrémité. — Dans ce cas, si l’on continue à raisonner comme au n° 205 et si l’on nomme p la charge par mètre courant, il est clair que la somme des moments des différentes parties de la charge uniformément répartie sera la somme des produits px X X ou pXx, en supposant toujours qu’il ne s’agisse que de petites flexions, ce qui permet de substituer aux arcs élémentaires leurs projections sur la direction primitive du solide; cette somme que nous avons appris à calculer est égale à ~ £>X2.
  - La relation d’équilibre entre les résistances moléculaires et les forces extérieures pour une section faite en C sera donc :
  - ^ = PX+ipX’, d'où i^itPX + ipX’).
  - S#
  - Par conséquent la flexion élémentaire = a pour valeur, en mettant encore pour S sa valeur approximative X,
  - Sr 1
  - = ^ = .
  - el la flexion totale f sera la somme de toutes ces flexions élé—
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - 214
  - mentaires. On sait que la somme des produits analogues à Vx depuis X = O jusqu’à X — X est X3, et il est facile de voir qUe celle des produits X3.z entre les mêmes limites est |X\
  - En effet, si l’on considère (pl. IV, tig. 6) une pyramide à base carrée dont la hauteur CD soit égale au côté AB de la base, une tranche élémentaire de celte pyramide dont le côté sera X, aura pour volume et le produit X3# = X2#X exprimera le moment de cette tranche par rapport à un plan parallèle à la base et passant par le sommet. La somme de tous ces produits ou moments sera donc égale au volume de la pyramide ^X3 multiplié par la distance f X de son centre de gravité au sommet ou à £X8.fX==iX*.
  - Par conséquent, en remplaçant la projection CD = X du solide par sa longueur totale C (fig. 5), cela compense l’erreur commise plus haut par la substitution inverse, et l’on trouve pour la flexion totale du solide :
  - /=gap+^c)=i0(p+i?c).
  - On voit que la charge pC uniformément répartie sur la longueur du solide, produit la même augmentation de flexion que si l’on avait accru la charge P de %pC, ou en d’autres termes, sous le rapport de la flexion, une charge uniformément répartie produit dans le cas actuel la même flexion que les trois huitièmes de cette charge, placés à l’extrémité du corps, à la distance C de son point d’encastrement, tandis qu’on a vu au nô 172 que sous le rapport de l’équilibre entre les forces extérieures et les résistances moléculaires, la charge uniformément répartie équivaut à une charge moitié moindre, agissant à l’extrémité du solide.
  - 214. Cas où la charge P et la charge uniformément répartis agissent en sens contraires. —Dans ce casil est évident que l’on aurait :
  - r= j|(p-Iî>C)-
  - Et si la charge P avait été réglée comme il est dit au n“ 200, de manière que la courbe fût nulle à la section d’encasür
- p.214 - vue 225/512
- - FLEXION.
  - 215
  - nient, ce qui arrive pour P = ^pC, on aurait encore à l’extrémité une flexion égale à
  - rs
  - f— 1 — i p
  - ' — 3Ers ’
  - c’est-à-dire égale au de celle que la charge P aurait produite seule.
  - 213. Flexion d'un prisme horizontal posé sur deux points d'appui et chargé d'un poids 2P au milieu de la distance 2C des appuis et d’une charge uniformément répartie à raison de p kilogr. par Mètre courant de sa longueur. — Lorsque le solide est arrivé à la position d’équilibre, la tangente au point le plus bas de sa courbure étant horizontale comme à l’origine de sa flexion, la section en ce point peut être considérée comme encastrée. La pression sur chacun des appuis est P-f-^C, et l’on peut regar-^ der le solide comme soumis d’une part à cette pression agissant de bas en haut, et de l’autre à la charge pC uniformément répartie sur sa longueur et agissant au contraire de haut en bas. Pour appliquer à ce cas la formule précédente, il faut donc remplacer P par P -f-^C et observer que la charge jpC uniformément répartie est dirigée en sens contraire de celle P -f-jpC, qui agit à l’extrémité. D'après cette observation la flexion totale de ce prisme se calculera par la formule :
  - ' /’=4^(P+pc-lfC)=i0(P+*j>C),
  - si la charge uniformément répartie était nulle ou négligeable par rapport à P, on aurait pour la flexion : .
  - De même si la charge 2P placée au milieu était nulle ou négligeable par rapport à la charge 2pC uniformément répartie, la formule se réduirait à
  - , . C3 . _
  - Si donc l’on compare l’effet quant à la flexion de deux charges dont l’une serait placée au milieu de la longueur du solide
- p.215 - vue 226/512
- - 216
  - TROISIÈME PARTIE.
  - et dont l’autre serait uniformément répartie, l’on voit que pour que le même solide prenne la même flexion sous les deux charges il faut que l’on ait
  - P = ff»C.
  - L’on remarquera aussi que la flexion due à l’action simulla. née des deux charges 2P et 2/jC est la somme des flexions qui seraient produites par chacune d’elles séparément.
  - D’où l’on voit que la charge uniformément répartie équivaut dans ce cas, quant à la flexion, à une charge égale aux § de sa valeur totale, agissant au milieu de la distance des appuis.
  - Ou si l’on suppose successivement le corps simplement soumis à l’action de la charge 2^G uniformément répartie sur sa longueur, auquel cas P = 0 et
  - f=ïjg.|FC,
  - puis soumis à l’action de la charge 2|)C agissant au milieu de sa longueur, cas où la flexion serait égale à
  - on voit que la même charge totale 2pC supportée par un solide librement posé sur deux appuis, produit des flexions qui sont dans le rapport de 5 à 8, selon qu’elle est uniformément répartie ou concentrée au milieu de la distance 2C des appuis.
  - 216. Moyens de vérification de ces formules par l'expérience.-Les formules précédentes permettent de vérifier facilement l’exactilude des considérations théoriques sur lesquelles elles sont basées, par l’observation des flexions qu’éprouvent, sous des charges données, des solides de dimensions connues.
  - En effet, dans le cas le plus facile à expérimenter d’un solide prismatique ou cylindrique, librement posé sur deux appuis, chargé en son milieu, et en tenant compte de son poids propre, on tire de la formule qui donne la flèche de courbure
  - relation dans laquelle la substitution des valeurs simultanées
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- - FLEXION.
  - 217
  - de P, p, C, I et f donnera la valeur correspondante du coefïicicn t d’élasticité E. Or, si la comparaison des valeurs obtenues pour Ë entre des limites convenables de courbure ou de flexion, pour différentes charges ou différentes portées, montre qu’entre ces limites, ces valeurs sont sensiblement constantes ; l’on sera en droit de conclure que la formule est exacte et d’accord avec l’expérience dans toute cette étendue.
  - On peut ainsi faire varier successivement pour un même corps, les éléments qui entrent dans la formule qui lie les flexions à ces éléments, et s’assurer si ces flexions suivent effectivement, entre certaines limites, les rapports déduits des considérations théoriques précédentes.
  - 217. Vérification des formules précédentes par les résultats des expériences de M. Ch. Dupin. — Si nous nous reportons aux expériences de M. Ch. Dupin, dont nous avons fait connaître au n° 151 les principaux résultats, nous verrons que ces expériences faites sur des prismes à section rectangulaire, pour lesquels on aurait, dans le cas d’une charge 2P placée au milieu de la longueur 2C du solide,
  - 4PCa
  - 1=^6» et f=.&,
  - ont complètement vérifié qu’entre les limites où l’élasticité n’est pas altérée, les flexions des bois sont :
  - 1° Proportionnelles aux charges et aux cubes des portées ;
  - 2° En raison inverse de la largeur et du cube de l’épaisseur des pièces.
  - Quant aux solides soumis à une charge uniformément répartie, le même ingénieur a aussi constaté que la flexion est alors les | de celle qui serait due à une charge équivalente placée au milieu de la pièce, comme l’indiquent les formules.
  - L’on verra au n° 271 une autre vérification de cette conséquence de la théorie obtenue sur des poutres en fer de la forme à double T.
  - 218. Formules pratiques. — En introduisant dans la formule
  - /'=iEÏ(P+fe'C)’
  - les valeurs du moment d’inertie I, correspondant aux diffé-
- p.217 - vue 228/512
- - 218
  - TROISIÈME PARTIE.
  - rentes formes en usage dans les constructions, et celles du coefficient d’élasticité E relatives aux matières employées, l’on arrive aux formules pratiques usuelles qui permettent de calculer approximativement les flexions des solides posés librement sur deux appuis, quand elles ne dépassent pas certaines limites,
  - 219. Solides à section rectangulaire. — Ainsi, pour les solides à section rectangulaire de largeur a et d’épaisseur b, la formule devient :
  - Puis, en y introduisant pour E sa valeur selon les matières employées, on a pour :
  - (P-f|/)C)C3
  - la fonte
  - ' 30000u0 0u0 alf
  - rp_i-4«r,ïr,3
  - le fer
  - (P-HjjC)C3
  - le bois de chêne f-
  - 300 000 000 abr
  - 220. Solides cylindriques. — De même pour les solides cylindriques h section circulaire, pour lesquels on a
  - 1=0,0491 D\
  - on trouve pour :
  - (P-HpC)C3
  - la fonte
  - y—--v .1 * > —
  - ' 1 764000 000 D4’
  - rp-Lü^ror,3
  - le fer
  - (P-t-^C)C3
  - le bois de chêne
  - 1 176 400 000 D4
  - 221. Solides cylindriques creux. — Dans ce cas, l’on a (n° 162) 1=0,0491 (D4—D"4), en appelant D' et D" les diamètres extérieur et intérieur, et l’on trouve pour formules pratiques :
- p.218 - vue 229/512
- - FLEXION.
  - 219
  - (P + gpCjC»
  - 7 1764000000(0'*— D'V
  - (P-R^C)C3
  - 7 2 940000 000 (D'4— I)"4)’
  - ]e bois de chene / 176400000ID'4—D"4/
  - L’application aux autres formes ne présenterait aucune difficulté.
  - 222. Solide posé sur plusieurs points d'appui équidistants, et chargé de poids égaux au milieu de chacun des intervalles. — Il est facile de comprendre que si l’on considère (pl. IV, fig. 7), ce qui est. relatif à la partie du solide comprise entre deux points d’appui consécutifs B et C, en ayant égard aux charges 2P qui agissent à droite et à gauche, la pression sur chacun des appuis B et C sera égale à 2P, et qu’en lui substituant la réaction égale et contraire de l’appui, le solide pourra être considéré comme libre et soumis à deux séries de forces parallèles et égales entre elles.
  - Il est clair qu’il s’infléchira alternativement en sens contraires sous l’action de ces forces, et qu’entre deux points d’application consécutifs, il y aura dans sa courbure un point d’inflexion, où la courbure et l’extension ou la compression des fibres seront nulles, absolument comme aux extrémités d’un solide posé librement sur deux points d’appui.
  - 11 en résulte que quand la position de ces points d’inflexion a, b, a\ b1 sera connue, on pourra considérer les parties ab, ba1, a’b1, b'a",... du solide, comme indépendantes les unes des autres; et les regarder isolément comme posées librement sur des appuis à chacune de leurs extrémités, et soumises à l’action des forces 2P qui agissent au milieu de leurs longueurs respectives.
  - Dans le cas supposé où les charges sont égales et agissent au milieu des points d’appui, il est évident que les réactions des appuis étant aussi toutes égales à 2P, tout est symétrique, en dessus et en dessous, entre les deux points d’appui B et C, de sorte que les points d’inflexion se trouvent nécessairement au milieu de la longueur de chacune des deux parties égales Bm' etm'C du solide, celui-ci pouvant être, ainsi qu’on l’a dit plus
  - pour la fonte le fer
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- - 220
  - TROISIÈME PARTIE.
  - haut, considéré comme supporté librement en ses points d’inflexion a' et b', et chargé en son milieu du poids 2P, la distance horizontale des points a' et b' est la moitié de la portée 2C entre les appuis B et C, et la condition d’équilibre sera donc
  - RI___PC
  - vr ~ 2 ’
  - ce qui montre que, dans ce cas,-le solide peut supporter une charge double de celle qu’il aurait pu soutenir avec la même portée BC, s’il avait été simplemeut posé sur les deux appuis B et C.
  - La flexion éprouvée par la portion a'b' du solide, sera donnée par la formule (n° 205)
  - p(-V
  - V2/ 1 PC3.
  - 1 ;J El ~24 El’
  - mais chacun des points a' et b' se sera abaissé d’une quantité égale à la précédente, puisque tout est symétrique et que les points B et C, considérés comme milieux des portions ba! et b'a", auraient éprouvé un déplacement vertical égal à celui du point m'.
  - Par conséquent, l’abaissement du point m', milieu de la longueur totale BC du solide, ou la flexion totale, sera égale à
  - f-i PÇ!
  - / —12 E1 »
  - PC3
  - c’est-à-dire au quart de la flexion ^ -ttt- que la même Ion-
  - gueur du solide aurait éprouvée sous l’action delà charge 2P, si la partie BC du solide avait été librement posée sur deux appuis.
  - 225. Application de ce qui précède au cas des solides encastrés par leurs deux extrémités. — Ces conséquences, ainsi déduites directement,, sont précisément celles que les géomètres ont établies à l’aide du calcul pour le cas où le solide est encastré par ses deux extrémités. On voit, en effet, que le solide que nous avons considéré, se trouve, par la présence des appuis qui le soutiennent et son prolongement au delà de ces appuis, exactement dans les mêmes conditions que s’il était solidement
- p.220 - vue 231/512
- - FLEXION.
  - 221
  - encastré, de façon que la tangente à ses extrémités B et C, fût et restât horizontale malgré l’action de la charge placée au milieu de sa longueur.
  - Cette condition de l’encastrement est suffisamment remplie, lorsque, comme dans le cas examiné ci-dessus', le solide étant prolongé au delà du point d’appui B, il existe de l’autre côté une. force ou une charge, dont le moment, par rapport à ce même point, soit égal et contraire au moment PC qui tend à produire la rotation ou le relèvement de l’extrémité B. Telle est la condition à laquelle on arrive en définitive pour assurer l’encastrement.
  - 224. Forme des rais des roues de voitures. — Si l’on considère un solide encastré dans deux pièces mobiles parallèles normales à sa longueur, et qu’on suppose ces / Q4—> deux pièces sollicitées, comme la figure l’in-hrj dique, par deux efforts égaux parallèles, mais de directions opposées, et perpendiculaires à ~ c la longueur du solide dont l’axe de figure, est supposé compris dans le plan de ces forces, on reconnaîtra de suite que tout étant égal aux deux extrémités, le solide fléchira par ces extrémités dans deux sens opposés, et présentera dans sa courbure un point d’inflexion qui, par suite de la symétrie des efforts sera au milieu de la longueur du solide.
  - La section, en ce point d’inflexion, n’éprouvant aucune déformation, l’extension et la compression des fibres seront milles dans cette section, comme à l’extrémité même d’un solide encastré par l’autre extrémité, tandis qu’elles iront en croissant dans toute la section en partant du milieu du solide vers ses points d’encastrement, et pour que ce solide offrît partout la même résistance, il faudrait qu’il eût à partir du milieu et en allant de part et d’autre vers les points d’encastrement, la forme de deux solides d’égale résistance opposés l’un à l’aulre par leurs extrémités. C’est ce qui explique la forme donnée de temps immémorial par les charrons aux rais des roues de voilure, qui sont précisément des solides encastrés par une extrémité dans le moyeu, par l’autre dans la jante, et soumis, pendant la marche de la roue, à deux efforts égaux, parallèles et de directions opposées, dont l’un est celui que
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - 222
  - l’essieu transmet à la boîte et au moyeu, et l’autre la résistance du sol au roulement de la roue. Cependant le rai fléchissant un peu dans deux sens opposés, sa longueur augmente un peu s’il ne joue pas dans le moyeu, et alors sa section au point d’inflexion éprouve une certaine tension, et c’est même ce qui finit par produire le jeu des pattes dans le moyeu.
  - 223. Observations sur la manière d'obtenir /’encastrement. — Ce qui vient d’être dit montre que si l’on appelle L (pl, \y fig.8) lalongueur encastrée du solide, l’effort Pi qui sera exercéà son extrémité A' sur l’encastrement, sera donné par la formule
  - P1.L = PC, d’où Pi = -^;
  - ce qui montre que cet effort doit être d’autant plus grand, que la profondeur L de l'encastrement est plus petite.
  - Généralement dans les constructions, et dans celle des planchers en particulier, la longueur d’encastrement n’est que de 0,n,30 à 0m,50 au plus, et ne suffit pas pour assurer complètement l’encastrement, ce qui conduit à calculer les dimensions des poutres comme si elles étaient simplement posées librement sur deux points d’appui.
  - Mais il n’en est pas moins vrai que, dans les constructions soignées et bien faites, l’encastrement est, sinon parfait, du moins partiel, et, qu’après s’être un peu relevées, les extrémités des solides rencontrent un obstacle qui les arrête et les fixe.
  - O11 réalise aussi en partie l’hypothèse dans laquelle nous avons raisonné au n° 223, quand on prolonge, comme aux ponts de Bangor, les solives au delà des appuis sur lesquels elles reposent, et quand on les relie à ces appuis par des boulons de fondation ou autres moyens d’attache.
  - 226. Détermination de l'inclinaison des tangentes à la courbure clés solides. — Considérons d’ahord un solide encastré par l’une de ses extrémités et soumis à l’action de forces extérieures dont la somme des moments, par rapport à une section faite en C par exemple (pl. IV, fig. 9), soit désignée par M, et proposons-nous de trouver l’angle que forme la tangente au point C avec la tangente horizontale au point d’encastrement A.
  - Si l’on remarque que, d’après la notation de la figure du
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- - FLEXION.
  - 223
  - n» 205, l’on a: s = ro, d’où - = la relation d’équilibre
  - El
  - =1)1 deviendra, en y mettant pour - sa valeur :
  - on a, d’ailleurs, CE:
  - El .-=M;
  - .. 1 cos O
  - :scosO=a; ou - =--------,
  - S X
  - x étant la projection horizontale de l’arc élémentaire CC' = s, et 0 l’angle formé par la tangente Cm au point C que l’on considère avec l’horizontale, et dont o=mCn est la variation élémentaire. La relation ci-dessus revient donc à
  - El0 CQS Q — M 5 d’où l’on tire o cos O
  - El
  - Mx.
  - n
  - /N
  - ' / \ ^ m
  - \
  - A o / \ \
  - // \° // \ \ i
  - Or, il est facile de voir que quand un angle mCD = 0 varie d’une quantité élémentaire o, on a, par les triangles semblables Cmp et mni, en supposant le rayon Cm égal à l’unité,
  - mn, ou o : ni : : Cm, ou l:Çp, ou cosO; d’où l’on lire
  - n*=ocosO,
  - ce qui donne
  - ni—T^T Ma; ;
  - JLI
  - expression dans laquelle ni est la quantité dont varie la ligne mp ou le sinus de O, quand l’angle O varie de o. La somme des accroissements de ni depuis l’horizontale Cp pour laquelle l’angle O est nul jusqu’à la ligne Cm correspondant à mCD = 0, est donc le sinus de l’angle O, et ce sinus sera égal
  - à la somme de tous les produits élémentaires -jj Ma;, prise
  - depuis le point À d’encastrement, jusqu’au point C que l’on considère.
  - Dans le cas particulier où le solide n’est soumis qu’à l’action
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- - 224
  - TROISIÈME PARTIE.
  - d’une seule force P agissant à la distance X de la section G, on aura
  - M = PX, ni=~ PX.r et sin O = ~{P (C2 — X2)
  - en prenant la somme des produits PX# depuis la valeur X = C qui répond à la section d’encastrement. Si l’on étend cette somme jusqu’à X = 0 qui répond à la direction même de la force P, l’expression ci-dessus se réduit à
  - et comme dans ce cas l’on a, d’après le n° 203,
  - PC3
  - il en résulte qu’en remplaçant -y[ Par celte dernière valeur, l’expression ci-dessus peut se mettre sous la forme
  - sin 0 = §
  - 2 C
  - Ce qui donne, d’une manière très-simple, la valeur du sinus de l’angle d’inclinaison de l’extrémité du solide.
  - 227. Cas où le solide supporte, en outre, une char (je uniformément répartie. — Si le solide est soumis en même4emps à une charge uniformément répartie et à un effort P perpendiculaire à sa longueur, exercé à son extrémité, on a
  - M = PX-KpX2,
  - et, par suite, ni— ^ (PX# + ^p^x).
  - La somme de tous les produits semblables à ceux que contient le second membre, prise depuis la valeur X = C, pour laquelle sin 0 =o, jusqu'à X, est connue, et l’on en déduit
  - sin 0 = T [J, P (C1 - X!)+4 p ((? - X*)l
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- - FLEXION.
  - 225
  - et en étendant cette expression jusqu’à l'extrémité du solide pour laquelle X = o, elle donne
  - sin O = i (| PC’+i pC>)(PC’ + J pC>).
  - 228. Cas où la charge uniforme et la force extérieure agissent en sens contraires. — Dans le cas où la charge uniformément répartie et la charge extérieure agiraient en sens contraires, on aurait
  - M — PX —{p\\
  - 1
  - et, par suite, ni=^ (PX# — £pX2#),
  - et il se présente quelques circonstances particulières auxquelles il importe de faire attention; on voit d’abord que tant que l’on aura PX>^X*, la valeur de sin O sera
  - smO = L[|P(C*-X’)-^(C’-X>)].
  - Cette quantité, qui est nulle pour X = C, c’est-à-dire à la section d’encastrement, va en croissant jusqu’à la limite où
  - 2P
  - PX = fj)X2, ce qui correspond àX = -, valeur pour laquelle
  - ni—o, ce qui indique que le sinus mp de l’angle d’inclinaison de la tangente Cm à la courbe cesse de croître, et a atteint son maximum. Il conviendra de calculer la valeur de sin O jusqu’à cette limite, que nous désignerons par O', et elle sera donnée par l’expression
  - sin O' = LftP (C’-X”) - ip (C* - X'*)],
  - en désignant par X' la distance du point d’inclinaison maximum à la direction de la force P.
  - Puisque l’inclinaison de la tangente a cessé de croître à partir de ce point, et qu’elle diminue au delà, il s’ensuit qu’il se produit dans la courbe une inflexion.
  - Comme au delà du même point on a PX<<*-j9X2, la quantité M = PX — |pX2 devient négative, ce qui montre que
  - ni = ~ (PX#—yi?x)
  - 15
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - est une quantité soustractive ou négative, et que la somme de ses valeurs absolues à partir du point d’inflexion , devra être retranchée de celle de sin O'. En changeant donc le signe de cette quantité dont varie le sinus, elle deviendra
  - ~(^X2æ — PXa?),
  - et la somme de ses valeurs, prise depuis X = X' jusqu'à X = X" :
  - devra être retranchée de sin O' pour donner la valeur de sinO correspondante à la distance X"; on aura donc
  - sin O = sin O'——(X'3— X"3) — \ P (X's — X"2)].
  - On voit que l’on aura sin O = o, ou que la tangente à la courbe deviendra horizontale pour la valeur de X", telle que la relation
  - sin O'= ~ [±p (X'3 — X"3) - è P (X'â — X"2)] soit satisfaite.
  - On pourra trouver par un tracé graphique la valeur de X" qui satisfera à cette condition, en se donnant à partir de X' une série de valeurs croissantes pour X", et les prenant pour abscisses d’une courbe dont les ordonnées seraient les valeurs du second membre de la relation ci-dessus. En menant ensuite une parallèle à la ligne des abscisses à une distance égale à sin O', elle coupera la courbe en un point dont l’abscisse sera la valeur de X" qui correspond au point de la courbe pour lequel la tangente est horizontale.
  - A partir de ce point la quantité
  - W P (X'3 — X"3) — 4 P (X'“ — X"’)1
  - croissant de plus en plus et étant plus grande que sinO', il s’ensuit que sinO devient négatif. Ce qui indique que la courbe se relève et que ses tangentes font avec l’horizontale
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- - FLEXION.
  - 227
  - des angles dont les sinus sont dirigés en sens contraire de ceux je la première partie.
  - La plus grande de ces valeurs négatives correspondra d’ailleurs évidemment à la valeur X" = o ou au point d’application même de la force P.
  - On voit par ce qui précède que l’on pourra déterminer les variations dans la forme du solide, et l’on remarque que les fibres n’étant ni allongées ni comprimées au point d’inflexion, le corps n’y éprouve aucune fatigue. Au contraire le point d’enêaslrement A est de toute la partie gauche limitée au point d’inflexion le lieu de la plus grande fatigue. Il en est de même du point où la tangente est horizontale par rapport à la partie située à droite.
  - 229. Cas où le solide n'est soumis qu'à une charge uniformément répartie. — L’on a alors P = o et la valeur du sinus de l’angle d’inclinaison se réduit à
  - sin O = £
  - pCf
  - El*
  - Si l’on se rappelle (n° 2 43) que dans ce cas la flexion éprouvée par le solide est exprimée par
  - r_iÿ3 '~b El
  - C,
  - d’où l’on tire
  - pC3_ÿ
  - El C *
  - g f f
  - l’on en déduit sin O = £ = f ^ >
  - ce qui permettra de déterminer l’angle 0 quand on connaîtra la flexion et la portée du solide.
  - 250. Solide posé horizontalement sur deux points d'appui et soumis à une charge 2P, placée au milieu de sa longueur. — L’on sait,(n° IBS) que ce cas revient à celui d’un solide de longueur moitié moindre, encastré à l’une de ses extrémités et soumis à l’autre à un effort égal à P, lequel vient d’être examiné au n° 226.
  - 251. Solide posé horizontalement sur deux appuis et supportant
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- - 228
  - TROISIÈME PARTIE.
  - une charge uniformément répartie. — Dans ce cas même le solide peut être considéré comme encastré au milieu de sa longueur, et .chacune de ses moitiés comme soumise à une charge pc uniformément répartie agissant de haut en has et à une réaction provenant de l’appui, et égale à jpC agissant de bas en haut,
  - On a donc M=pCX — %pXi=pX. (C — |X);
  - et comme ici l’on a toujours C>*X, et à plus forte raison C>$X, il s’ensuit que-la courbure a toujours lieu dans le même sens.
  - On a aussi ni — ^ (pCXx — \p\*x).
  - En prenant la somme des valeurs de ni il faut observer que la valeur générale de sin O doit être évidemment telle que sinO = o pour la valeur X = C qui correspond au milieu de la longueur du solide, ce qui exige que l’on introduise dans cette valeur générale un terme constant déterminé par cette condition.
  - En posant donc
  - sin O (~Y~ — + constante,
  - on a, par la condition ci-dessus énoncée que sinO = o quand X = C,
  - constante = — ^ pC3.
  - De sorte que la valeur générale de sin 0 est
  - sin 0 = à (^1T ” “ ïPC*) »
  - et elle donne pour le sinus de l’inclinaison du solide à son point d’appui, où X = o,
  - S1I1 O - £ J£| y
  - valeur qui est négative, parce que la tangente à la courbe est inclinée vers le haut et en sens contraire de ce que supposait la ligure du n° 226, ce qui d’ailleurs ne change rien à sa valeur.
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- - FLEXION.
  - 229
  - Si l’on se rappelle que dans ce cas (n° 215) l'on a
  - et par suite
  - ce qui permet de déterminer l’inclinaison des extrémités du solide quand on connaît sa flexion et sa portée.
  - 252. Solide posé horizontalement sur deux appuis, supportant une charge 2P placée au milieu de sa longueur, et une charge uniformément répartie 2joC. — L’on sait que dans ce cas la charge sur les points d’appui est P-f^C, et que le solide peut être regardé comme encastré en son milieu, et chacune de ses deux moitiés comme soumise à un effort P -j-jpC, agissant de bas en haut à son extrémité et à une charge pC uniformément répartie sur sa longueur. On a donc :
  - M = (P+iÆ)X-*pX»,
  - expression dans laquelle le premier terme du second membre est toujours plus grand que le deuxième, de sorte que la courbure ne présente pas d’inflexion. L’on en déduit
  - Ici encore, en prenant la somme des valeurs de ni, il faudra faire attention que l’inclinaison de la tangente à la courbe est nulle au milieu de la longueur du solide ou pour X=C, ce qui exige que l’on ajoute à cette somme une quantité constante dont la valeur sera déterminée par cette condition.
  - L’on a ainsi :
  - |-(P±|Ç)X*_|J + constante ;
  - et en faisant X = C, on en déduit
  - cons tan le=—
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- - 230 TROISIÈME PARTIE.
  - La valeur générale de sin O devient donc
  - et pour X=C elle se réduit à
  - Sin°=—A(^+IJ>CS)-
  - Les formules précédentes montrent comment on peut s’y prendre pour déterminer, dans les cas les plus simples, l’inclinaison des divers éléments des solides fléchis par l’action des forces extérieures. Mais comme cette recherche a généralement peu d’importance pour la pratique, nous ne nous y arrêterons pas plus longtemps. Nous renverrons aux leçons professées sur la matière par M. Poncelet, à la Faculté des sciences, et dans lesquelles il a donné une méthode générale pour les recherches de ce genre. Ce que nous venons de dire n’est qu’une application de cette méthode à des cas simples.
  - Conséquences pratiques de la théorie.
  - 253. Allongement et raccourcissement proportionnel des fibres, produit par la flexion. — Si l’on se rappelle (n° 157) que l’on a, entre l’allongement proportionnel i d’une fibre quelconque, sa distance v à la ligne des fibres invariables, et le rayon de courbure r de cette ligne du solide, pour la section que l’on considère, la relation :
  - on voit que pour la fibre qui subit le plus grand allongement ou le plus grand raccourcissement, on aura
  - et comme on a
  - 1 PX
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- - FLEXION.
  - 234
  - il s’ensuit que cet allongement proportionnel sera donné par l’expression :
  - PX*/
  - 1 “ El ’
  - et pour la section d’encastrement,
  - PC*/
  - * ~ El '
  - Il sera donc toujours facile de calculer la variation proportionnelle de longueur qu’aura subie, par la flexion, la fibre la plus allongée ou la plus raccourcie, et de s’assurer que cette variation n’excède pas les limites indiquées par l’expérience et rapportées au tableau du n° 47.
  - Si plusieurs forces agissaient sur le solide, on aurait pareillement :
  - Et
  - r Pp-|-ü<7 + etc-*
  - , (Pp4-Q?4-etc.)*/
  - et '
  - En ayant soin de prendre la plus grande valeur de cette quantité, on aura la plus grande variation de longueur à laquelle les fibres soient soumises.
  - L’on remarquera que pour une valeur donnée de la somme des moments des forces extérieures, l’allongement ou le raccourcissement des fibres est en raison inverse de la valeur du
  - coefficient E d’élasticité, et de celle de
  - v
  - L’on doit donc s’attacher par la forme donnée au profil transversal des solides, à obtenir pour une même quantité de
  - matière employée, la valeur maximum de compatible avec
  - la destination de la pièce et la nature du corps.
  - L’on fera aussi remarquer que si la condition trouvée au n° t9o pour que le solide soit d’égale résistance, et qui est la I v'X.
  - constance du rapport ^ ou de son inverse -p, est satisfaite
  - pour toutes les valeurs du bras de levier X de la force P, l’allongement proportionnel i' sera le même pour toutes les sec-
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- - 232
  - TROISIÈME PARTIE.
  - tions; ainsi que cela devait être, d’ailleurs, nécessairement par l’énoncé seul de la condition d’égalité de résistance.
  - 234. Justification des valeurs pratiques adoptées pour le nombre R. — Il est facile de s’assurer que les formules pratiques et les valeurs du coefficient R, que nous avons adoptées, satisfont à la condition que la variation maximum de longueur de l’une quelconque des fibres, n’atteigne, pas la limite au delà de la-quelle l’élasticité est sensiblement altérée, c’est-à-dire où les allongements et les raccourcissements cessent d’être proportionnels aux efforts qui les produisent.
  - En effet, si nous considérons le cas simple d’une seule force P agissant à l’extrémité d’un solide de longueur C perpendiculairement à sa longueur, nous avons
  - d’où nous tirons
  - __PC___PG
  - v'~~Ei'~ R ’
  - pour la formule générale applicable à tous les profils.
  - Or, le tableau du n° 47 nous donne les valeurs correspondantes de E et de pour la limite d’élasticité des différents corps, et l’on en déduit celle que le produit Et' peut atteindre au maximum pour que l’élasticité ne soit pas altérée.
  - VALEURS adoptées pour le coefficient pratique R.
  - Fer en barres... Ei! — 18000000000 X 0,0008 = 14400000
  - Ei! — 20000000000 X 0,00060 = 13200000
  - Fer doux.........
  - Fer laminé en barres
  - 6 000 000
  - E i! = 12000000000 X 0,0008 = 9600000
  - et tubes en tôle..
  - Acier d’Allemagne. Et7 = 21000000000 X 0,0012 = 25200000 12500000 Acier fondu....... E i' — 30000000000 X 0,000222 = 66600000 16660000
  - 9960000
  - 7 500000
  - Et' = 9 000 000 000 X 0,000715 = 6 4 35 000
  - Bois de chêne... Et' = 1200000000 X 0,00167
  - 2004000
  - Sapin jaune ou blanc. Et' = 1300000000 x 0,00117 = 1521000 )
  - 660000
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- - FLEXION.
  - 233
  - On voit, par cette comparaison, que les valeurs pratiques du nombre R que nous avons adoptées, et qui représentent la charge que l’on peut faire supporter avec sécurité, et d’une manière constante, h des solides qui doivent résister longtemps, sont presque toutes inférieures à la moitié de celles pour lesquelles l’élasticité commencerait à s’altérer, et les flexions cesseraient d’être proportionnelles aux charges.
  - La fonte seule fait exception, et celte discussion montre que la valeur R = 7500000 kilogr., que nous avons adoptée, est bien voisine de la limite supérieure admissible pour les fontes de deuxième fusion de bonne qualité, et un peu trop faible peut-être pour celles de première fusion, généralement plus carburées et assez tendres, surtout en gros échantillons.
  - Cependant la comparaison des charges admises généralement et celle des dimensions données aux solides d’après les formules, avec les charges supportées, montrent que cette valeur R = 7500000 kilogr. est généralement suffisante, surtout quand on a la précaution de faire le calcul d’après la plus forte des charges permanentes dans chaque cas.
  - Mais cela fait voir en même temps que, pour des constructions importantes, on doit exiger que les fontes soient de deuxième fusion, à grains tins, d’un gris clair homogène, et coulées avec toutes les précautions possibles pour éviter les défauts.
  - Malgré ces motifs de sécurité, il n’en résulte pas moins que le fer offre plus de sûreté que la fonte, surtout pour les grandes constructions, puisque la valeur admise pour R n’est pas généralement égale à la moitié de celle qui, pour ce métal, correspond .à la limite d’élasticité.
  - Les poutres en double T, essayées par M. Fairbairn, qui n’ont donné, on le verra plus loin, qu’une valeur du coefficient d’élasticité E égale à tl ou 12 000 000 000 kilogr., bien inférieure, par conséquent, à celle que fournissent les barres ordinaires et les poutres en tôle, et le tube de Conway lui-même, qui, dans les expériences auxquelles il a été soumis, a donné la valeur
  - E — 13185000000 kilogr.,
  - montrent que pour les plus faibles valeurs du coefficient d’élasticité du fer, la valeur
  - R = (> 000 000 kilogr.,
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- - 234
  - TROISIÈME PARTIE.
  - conduira à des dimensions suffisantes pour assurer la solidité des constructions.
  - 255. Comparaison de la formule qui exprime les conditions de l’équilibre permanent et de celle qui donne la flexion des solides posés sur deux points d'appui. — Si l’on se rappelle que la condition de l’équilibre permanent des solides soumis à une charge 2P agissant en leur milieu et perpendiculairement à leur longueur, est
  - dans laquelle R est l’effort maximum de traction ou de compression que l’on peut faire subir par unité de surface, et v1 la distance de la fibre la plus allongée ou la plus raccourcie à la surface des fibres invariables; puis si l’on rapproche cette formule de celle du n° 205 :
  - , ,PÇ5
  - '“3 El’
  - on voit qu’en mettant dans cette dernière, pour PC, sa valeur, tirée de la précédente, ce qui revient à admettre que la flexion /soit par conséquent celle qui est produite par la charge déterminée par la première formule, elle devient
  - , RÏC2 j R C2 i ~ a E[î/ 3 E ?/ ’
  - que l’on peut mettre sous la forme
  - £_,R G 2C“6E V
  - Si, par exemple, il s’agit de solides à section rectangulaire, ou de tout autre profil dont le centre de gravité ou la ligne des fibres invariables soit situé à la moitié de la hauteur b, alors
  - et cette formule devient :
  - _[ _tR2C 2C“ÜE"& '
  - ^
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- - FLEXION.
  - 235
  - Cela mon Ire que dans les limites des charges qui n’altèrenl p3S l’élasticité des corps, et où les quantités R et E sont constantes, le rapport de la flexion des solides à leur portée varie comme celui de leur portée à leur hauteur, quelle que soit d’ailleurs la forme de leur profil, pourvu qu’il soit symétrique par rapport à la ligne qui passe par le centre de gravité.
  - Or, pour les planchers, les ponts, etc., on conçoit très-bien qu’il doit y avoir entre les flexions au milieu et les portées, un rapport qu’il convient de ne pas dépasser, et l’on voit que
  - f
  - pour que ce rapport ^ soit constant, il faut que celui de la portée à la hauteur des supports soit aussi constant.
  - !>5G. Ancienne règle des charpentiers. — La pratique avait devancé la théorie, pour admettre cette proportion constante de la portée à la hauteur des solides. Les anciens charpentiers, qui employaient des poutres à section carrée, avaient en effet pour règle de prendre pour l’équarrissage de ces pièces ^ de là portée, quand elles étaient espacées de 3 mètres, et ^ quand l’écartement était de 5 mètres. Dans ce dernier cas, en effet, la charge sur chaque poutre étant plus grande que dans le premier, quoique la portée reste la même, l’équarrissage doit devenir plus considérable.
  - Si nous introduisons dans la formule
  - J_ i R 2C
  - 2G 6 E ‘ b ’
  - les valeurs de R et de E que la pratique et l’expérience ont conduit à admettre pour les poutres des planchers et des ponts et qui sont respectivement :
  - Bois, R = 600000k,‘, E= 1200 000 000tu,
  - Fonte, R = 2000000 , E = 12000000000 ,
  - Fer, R = 6000000 , E = 20000000000 ,
  - nous trouvons qu’elle devient :
  - f _ 1 1 2C 1 2G
  - 2C 6'2000 ’ h ~~ 12000 b
  - pour le bois,
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- - 230
  - TROISIÈME PARTIE.
  - ce qui, d’après la règle des charpentiers, donnerait pour des poutres de plancher espacées de :
  - f _ 1 2C 12000
  - 3 mètres,
  - 5 mètres,
  - - - ----- V* 1 4-
  - 2G 12000
  - Pour la fonte et pour le fer, la substitution des valeurs de E et de R donne simplement :
  - f 1 1 2C______ 1 2C
  - 2C —6 120000 b ~ 36000 b ’
  - pour la fonte
  - f _ 1 6 2C_____ 1 2G
  - 2G ~ 6 20000 b ~~ 20000 b ’
  - et pour le fer,
  - 257. Conséquence relative au fer et à la fonte. — Ces formules numériques montrent qu’à portée et hauteur égales, pour des poutres en fonte ou en tôle, le rapport des flexions aux portées ou les flexions elles-mêmes, seront, d’après les coefficients pratiques adoptés par les ingénieurs, moindres pour la fonte que pour le fer, ce qui, d’ailleurs, est nécessité par la nature même du premier de ces métaux, dont les fibres ne peuvent supporter qu’une très-faible extension.
  - La comparaison des poids des pièces qui résulteront des dimensions déduites des formules et du prix de la matière, pourra déterminer le choix des constructeurs.
  - Résultats d’expériences sur la flexion et la rupture qui en est la suite.
  - 258. Applications des formules aux expériences les plus récentes et observation sur l’attention qu’il convient d’apporter dans ces applications.— Après avoir exposé les formules pratiques à l’aide desquelles on calcule les charges que l’on peut faire supporter dans différents cas aux solides de formes diverses, et les flexions qu’ils prennent sous ces charges, il faut comparer les résultats de ces formules avec ceux de l’expérience pour reconnaître jusqu’à quel point, et s’il se peut, entre quelles limites, elles
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- - FLEXION.
  - 237
  - représentent réellement les faits observés. C’est ce que nous allons entreprendre en discutant les résultats d’un grand nombre d’expériences faites sur des matériaux de diverses natures par plusieurs ingénieurs. Nous choisirons de préférence celles qui ont été récemment exécutées en Angleterre, à l’occasion de la gigantesque construction des ponts de l’î-le d’Anglesey et des travaux de chemins de fer, dont les résultats sont consignés dans le rapport de la commission d’enquête sur l’emploi du fer dans les constructions des chemins de fer. Outre leur nouveauté, ces expériences ont le mérite d’avoir été faites sur des solides de grandes proportions, et par conséquent de fournir des résultats qui se rapprochent autant que possible des cas d’application.
  - Mais avant d’entrer dans le détail de ces applications, nous devons rappeler et faire remarquer de nouveau que les formules à employer sont de deux sortes, dont l’une, relative aux conditions d’équilibre qui s’établissent entre les résistances moléculaires développées dans les sections transversales et les forces extérieures, a pour type général
  - v‘ —
  - et l’autre, qui donne les flèches de courbure, a pour type (n° 205) /—3 El*
  - L’une et l’autre de ces formules ne doivent être appliquées que dans les limites où les allongements, les raccourcissements ou les flexions restent sensiblement proportionnels aux charges, ce qui indique que l’élasticité n’a pas été altérée, condition que nous regardons comme indispensable pour la sécurité des constructions.
  - Par la comparaison des résultats de l’observation, par la discussion des proportions admises dans les constructions reconnues à la fois solides et légères, la première de ces formules permet de déterminer les valeurs que la pratique a fait reconnaître comme convenables pour le coefficient de résistance R, qui exprime (n° 141) l’effort permanent d’extension ou de compression que chaque unité de surface de la section transversale du corps peut supporter avec sécurité.
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- - 238
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Mais si, comme on le fait trop souvent, en perdant de vue les hypothèses de la théorie et les limites restreintes dans lesquelles elles sont d’accord avec les résultats des expériences directes, on applique la même formule à des expériences où les charges ont été poussées jusqu’à la rupture, et que de celte application l’on déduise des valeurs du coefficient R que l’on désigne alors sous le nom de coefficient de rupture, l’on ne doit plus s’attendre au même accord entre les déductions de la Ihéorie et les résultats de l’expérience. On sait, en effet, et nous avons à plusieurs reprises fait observer que si les résistances à l’extension et à la compression sont sensiblement égales jusqu’à certaines limites que l’expérience a fait connaître, il n’en est pas à beaucoup près de même à mesure qu’on s’écarte de ces limites et qu’on se rapproche de la rupture. Ces résistances deviennent alors de plus en plus différentes et l’emportent l’une sur l’autre, selon la nature du corps.
  - C’est ainsi que la résistance absolue de la fonte à la rupture par compression devient égale à cinq à six fois sa résistance absolue à la rupture par extension (n° 100), tandis qu’à l’inverse le fer ne présente à la rupture par compression qu’une résistance inférieure dans le rapport de 4 à 5 environ à celle qu’il offre à la rupture par extension.
  - Dès lors, telle formule qui est vraie, ou du moins suffisamment exacte, pour un solide donné, d’un profil particulier, tant que les charges sont maintenues dans les limites spéciales pour lesquelles elle a été établie, se trouve en désaccord avec l’expérience, quand on pousse les charges jusqu’à celles de la rupture.
  - C’est faute d’avoir bien saisi ces différences et pour avoir appliqué indistinctement, sans en tenir compte, les mêmes formules à toutes les charges que quelques expérimentateurs ont cru trouver un désaccord assez grand entre les formules de la théorie et les résultats de l’expérience, pour rejeter les premières et leur préférer des règles plus ou moins empiriques.
  - En résumé, la comparaison des formules
  - RI
  - M et fz
  - El
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- - FLEXION.
  - 239
  - ivec les résultats des expériences ne pourra nous donner des valeurs de la résistance R et du coefficient d’élasticité E à peu près constantes et régulières, qu’autant que les charges et les flexions ne dépasseront pas les limites que nous avons posées dès l’origine, aux considérations théoriques.
  - Si malgré cela nous appliquons quelquefois la première à des cas où les expériences ont été poussées jusqu’à la rupture nous aurons soin de désigner alors par Rr la valeur du coefficient de résistance que nous trouverons, et l’on ne devra pas s’étonner du désaccord qui pourra souvent se manifester entre les résultats de l’expérience et les prévisions de la théorie surtout en ce qui concernera l’avantage de certaines formes et proportions.
  - Les expériences sur les bois sont de beaucoup les moins nombreuses, mais pour réunir sur cette question toutes les données les plus importantes, nous passerons successivement en revue les bois, la fonte, le fer, en examinant à la suite les tubes en tôle et l’influence du mouvement de la charge sur les flexions observées.
  - Résistance des bois à la flexion.
  - 239. Expériences de M. P. Barlow sur la flexion des bois. - Ce savant professeur a exécuté sur divers bois des approvisionnements du dockyard de Woolwich une série nombreuse d’expériences, d’après lesquelles il a déterminé les coefficients d’élasticité et de rupture des différents bois, ainsi que la limite de flexion au delà de laquelle on observe qne l’élasticité est altérée ou que les flexions cessent d’être proportionnelles aux charges. Tous les échantillons essayés avaient 0m,0508 d’équarrissage et ordinairement 2m,135 déportée. Les résultats des expériences et de l’application des formules
  - et
  - E
  - 4PCS
  - fab%
  - sont consignés dans le tableau suivant :
- p.239 - vue 250/512
- - 240
  - TROISIÈME PARTIE.
  - ESSENCES
  - DES BOIS.
  - Teak.............
  - Poon.............
  - Chêne anglais.... Chêne anglais.... Chêne du Canada. Chêne de Dantzick. Ch.del’Adriatique.
  - Frêne............
  - Hêtre............
  - Orme ...'..........
  - Pin résineux.....
  - Pin rouge........
  - Sapin delaN.-Ang. Sapin de Riga... Sapin de Riga.... Sapin de la forêt de
  - Mar...........
  - Id.........
  - Larix............
  - Larix............
  - Larix............
  - Larix............
  - gi 23 - « O fc- fa c/î C r s ‘<13 3 3 * — O S cj‘£ 35>;2 s ® ; c/7 a> tij g) B a ° 'ô [T 6S» B* « S 3 a g '§ S a fa •—1 g 1 H w 2 G g H « 2 u 3 « a. fa p ’5 0 «‘3 fc. O CO 3 SS « £ 5? 3 EJ IL «h U
  - 313 H C/3 z -o O s sx - cr^ a- ® *0,2 ÿÿ S J fa ^ S ® 0 « fa ^ fa <u 0 ^ U 3- 0 S3
  - In ° * ^ C 3 «oc a O 03 f-, o o -o I_ 2 C Ph 0 fa çx U fa es ©•* gw 5 ai
  - 2P i' E K 3 » «J
  - kil. 745 kil. 136,0 1 73 0,000195 kil. 1 701520000 Jul. 10382000 0,320
  - 579 68,0 1 102 0,001395 1190720000 9 360000 0,178
  - 969 68,0 1 53 0,002698 615 660000 4980000 0,300
  - 934 90,5 1 ü (5 0,002162 1023 720000 7 050700 0,314
  - 872 102,0 i 78 0,001648 1511 530000 7447100 0,335
  - 756 90,5 1 5 3 0,002633 839 480000 6059800 0,357
  - 993 68,0 i 59 0,002419 686 680000 5832100 0,283
  - 760 102,0 1 6 6 0,002110 1 159150000 8543 500 0,291
  - 693 68,0 i 8 2 0,001517 1094 900000 6561600 0,253
  - 553 56,7 1 5U 0,002808 493 200000 4271800 0,324
  - 660 68,0 1 74 0,001922 863730000 6882000 0,242
  - 657 68.0 1 112 0,001279 1299700000 5654900 0,294
  - 553 68,0 1 101 0,001073 1 547 800 000 4647 700 0,357
  - 753 56,7 1 ye 0,001483 934310000 4672 300 0,296
  - 738 68,0 i 95 0,002040 697 970000 4435200 0,321
  - ;696 56d 2 58 0,003046 454 810000 4824200 0,287
  - 693 68,0 1 8 3 0,002324 612840000 5321800 0,268
  - 531 56,7 1 45 0,003189 434 350000 3597 100 0,385
  - 522 56,7 1 103 0,001877 632 570000 3 508 500 0,338
  - 556 68,0 1 10 1 0,001919 741950000 4752 500 0,300
  - 560 68,0 Toi 0,001919 741 950000 4845200 0,294
  - On y a aussi indiqué les valeurs de l’allongement proportionnel i! subi par les fibres dont la longueur a le plus varié, sous les charges qui ont produit les plus grandes flexions proportionnelles indiquées par l’auteur. Cependant on doit faire remarquer que ces allongements limites et les charges correspondantes sont peut-être un peu faibles, attendu que les charges ne paraissent pas avoir été déterminées avec beaucoup de soin.
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- - FLEXION.
  - 241
  - On se rappelle que l’allongement proportionnel est donné dans le cas actuel par la formule (n° 233)
  - PO'___6PG
  - El ~~E63’
  - dont la notation est connue.
  - Si l’on applique à quelques-uns de ces résultats et en particulier au sapin de Riga et à celui de la forêt de Mar, qui est un des plus faibles, et enfin au larix, le raisonnement du n° 254 pour déterminer la valeur du produit Et' du coefficient d’élasticité par le plus grand allongement proportionnel que les fibres puissent prendre sans altération de l’élasticité, on trouve pour
  - le sapin de Riga E«'=697970000kilX 0,000 204 = 1 423 859kil le sapin de Mar E«'=454810000kilXO,003,046 = 138535lkil le larix Ei' = 434350 000kilX 0,003189 = 1385142kil.
  - On voit donc que la valeur R = 600000kil que nous avons adoptée pour les formules pratiques relatives au bois, peut encore être employée, même pour ces trois variétés de bois, les plus faibles de toute la série de ceux essayés par M. Barlow.
  - 240. Expériences de MM. Chevandier et Wertheim. — Ces habiles observateurs, dont nous avons cité en partie les résultats au n° 43, afin de reconnaître si les résultats obtenus sur des échantillons s’appliquaient aux pièces de bois des dimensions en usage dans la pratique, ont répété leurs expériences sur des bois de sapin et de chêne des Vosges ayant ces dimensions.
  - 11 ne sera pas inutile de rappeler que les bois essayés par MM, Chevandier et Wertheim provenaient des montagnes des Vosges et de terrains siliceux dont les bases sont le grès vos-gien et le grès bigarré, et que les bois résineux de ces terrains sont bien moins denses et résistants que ceux du Nord.
  - Les résultats obtenus sont consignés dans le tableau suivant :
  - 46
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- - 242
  - TROISIÈME PARTIE.
  - EXPÉRIENCES SUR DES PIÈCES, MADRIERS ET PLANCHES DE SAPIN DES VOSGES.
  - BOIS. 'désignations usuelles. DISTANCE des appuis. LONGUEUR des pièces. LARGEUR des pièces. ÉPAISSEUR des pièces. •M H CO K W P COEFFICIENT d’élas ticité. CHARGE 1 qui, placée au milieu, 1 produit la rupture, f
  - po. po. m. m. cent. cent. kilogr. kilogr
  - 11 sur 12 13,00 14.00 28,99 32,41 0,530 1 136 700 000 6 404
  - 9 sur 10 11,00 13,00 25,46 28,35 0,506 1 156 700 000 5 394
  - Sapin 8 sur 9 9,00 10.48 22,30 24,30 0,548 1 026 900 000 3 441
  - des 6 sur 7 9,00 10,46 16,99 19,63 0,525 1 245 000 000 2 083
  - Vosges. Chevrons. ... 9,00 10,47 9,27 12,31 0,481 1 257 600 000 511
  - Madriers. ... 3,02 4,24 24,63 5,40 0,493 1 089 800 000 911
  - Planches. ... 3,02 4,25 24,13 2,78 0,479 1 202 200 000 264
  - Moy ennes. 0,509 1 156 400 001
  - 8,5 sur 9,5 5,50 5,87 23,18 25,28 1,008 825 100 000 7 889
  - Chêne 8 sur 9 5,50 6,11 21,67 23,67 0,958 822 300 000 7 189
  - à glands 7 sur 8 5,50 7,06 19,07 32,00 0,922 858 900 000 5 225
  - sessiles. 6 sur 7 5,50 6,82 15,99 18,90 0,928 1 007 000 000 5 525
  - 5 sur 6 5,50 6,54 13,67 16,10 0,985 638 100 000 2 225
  - Chevrons.... 3,00 4,01 8,28 8,14 0,636 601 300 000 540
  - Chêne Chevrons.... 2,50 4,00 7,82 8,04 0,759 774 300 000 735
  - à glands Doublettes... 5,50 6,50 29,34 5,46 0,685 965 800 000 435
  - pédon- Échantillons. 3,00 3,65 14,34 4,22 0,824 1 210 700 000 315
  - culés. Entrevoies... 3,00 3,37 24,22 2,82 0,712 1 251 200 000 325
  - Moj ennes. 0,842 895 500 000
  - On voit, par les résultats consignés dans ce tableau, que les valeurs des densités et des coefficients d’élasticité, déduites de ces expériences sur des bois de service des dimensions courantes, ne diffèrent pas autant des valeurs moyennes fournies pour les mêmes quantités par les expériences faites sur des échantillons, qu’elles diffèrent entre elles d’une pièce de service à une autre ; on peut donc appliquer à toutes les questions de la pratique les valeurs moyennes rapportées au tableau du n° 41, et par suite la valeur de R, que nous avons admise pour les formules usuelles.
  - 241. Résultats déduits des expériences du n° 125. — Les expériences dont nous avons rapporté les résultats au n° 123 ont aussi montré, comme on peut le voir dans les tableaux de ce numéro, que le rapport des charges aux flexions est constant pour une même pièce jusqu’à des flexions qui dépassent
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- - FLEXION.
  - 243
  - de beaucoup celles que la pratique peut admettre. Elles ont aussi permis de déterminer quelques valeurs du coefficient d’élasticité des bois.
  - Ainsi la pièce de sapin essayée pour laquelle on a eu (voir au tableau du n° 423)
  - P 50
  - û=0m,15, ô = 0m,20,
  - C = lm,90,
  - f 0,00138
  - a donné
  - 4X50Xlm,90:
  - =828390000 kilogr.
  - 0m,00138 X Om,l 5 X 0m,203
  - valeur inférieure à la moyenne des résultats déduits des expériences de MM. Chevandier et Wertheim.
  - La première pièce de chêne essayée pour laquelle on avait
  - a=0m,l5, &=0m,20,
  - a donné
  - 4X50X1U\90;
  - =977070000 kilog.
  - 0m,0017 X 0ra, 15 X 0m,20‘
  - et la seconde qui a fourni les données
  - «=0m,l5, 6=0m,20,
  - f 0,00185’ C lm,9°’
  - conduit à
  - 4X50X lm,903
  - = 617930000 kilogr.
  - 0m,00185XOm, 15XOm,20i
  - L’on voit par ces deux derniers résultats que le coefficient d’élasticité du chêne est très-variable avec l’état de siccité des bois et certainement aussi avec leur provenance, et l’on ne doit pas s’étonner que les praticiens aient été conduits, pour tenir compte de ces variations, des défauts cachés, et de l’altération que le temps peut produire, à ne faire supporter aux bois que des charges bien inférieures h celles qui peuvent en altérer l’élasticité.
- p.243 - vue 254/512
- - 244
  - TROISIÈME PARTIE.
  - 242. Effets de la dessiccation des bois par la vapeur ou par l'eau chaude. — On emploie quelquefois dans les arts des bois dont on accélère la dessiccation ou dont on facilite la courbure selon des formes données, en les exposant pendant un certain temps dans une étuve à vapeur, ou en les maintenant dans une chaudière d’eau bouillante, après quoi on les fait sécher sous des hangars.
  - Quelques expériences sont rapportées par M. P. Barlow, sur la résistance comparative des bois ainsi préparés. Elles ont été faites sur des pièces de bois de chêne de lm,83 de longueur sur 0m,0508 d’équarrissage, coupées dans le même arbre. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant. '
  - NUMÉROS MODE DURÉE FLEXION des pièces CHARGES
  - des de préparation de la SOUS
  - expériences. des Lois. préparation. la charge de 45kll,3. de rupture.
  - Moyennes,
  - heures. m. kil. kil.
  - 1 État ordinaire. » 0,0108 328 304
  - 2 Dessiccation naturelle. )> 0,0127 280
  - 3 5 0,0114 280 304
  - 4 Dessiccation à la va- 5 0,0108 328
  - 5 peur. 10 0,0109 300 278
  - 6 10 0,0120 257
  - 7 2 0,0127 257 278
  - 8 2 0,0108 300
  - 9 4 0,0117 300 278
  - 10 4 0,0133 257
  - 11 Dessiccation à l’eau 6 0,0140 271 288
  - 12' bouillante. 6 0,0108 265
  - 13 | 8 0,0120 293 290
  - 14 1 8 0,0127 287
  - 15 10 0,0140 257 275
  - 16 10 0,0127 293
  - L’ensemble de ces expériences semblerait montrer, malgré quelques divergences, que les bois préparés à la vapeur ou à l’eau bouillante ont la même roideur ou la même résistance à la flexion que les bois à l’état ordinaire, mais qu’en général ils offrent moins de résistance à la rupture.
  - On fera remarquer que ces expériences ne sont pas complètes, et surtout qu’elles ont été faites sur du bois déjà sec, tandis que l’emploi de la vapeur et de l’eau chaude s’applique souvent pour la dessiccation des bois.
  - Il serait à désirer que de nouvelles expériences plus complètes,
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- - FLEXION.
  - 245
  - et étendues aux bois séchés à l’air chaud ou par la vapeur surchauffée, fussent exécutées avec soin et d’une manière complète.
  - 245. Réserve relative à la discussion des expériences sur la rup-ture, — La plupart des expériences des ingénieurs anglais sont plutôt relatives à la rupture qu’à la flexion des solives, et nous devons rappeler très-expressément que la théorie établie aux n°» 152 et suivants et qui conduit à la formule générale
  - qui exprime l’équilibre entre les forces extérieures dont le moment est M et les forces moléculaires, dont la somme des RI
  - moments est —ri n’a été établie que pour des flexions telles
  - que les raccourcissements et les allongements des fibres ne dépassent pas les limites de l’élasticité, pour lesquelles ils sont proportionnels aux forces qui les produisent.
  - Si donc on applique les mêmes formules aux résultats des expériences sur la rupture, l’on ne doit plus les regarder que comme des formules empiriques, à l’aide desquelles on cherche à déterminer la valeur approximative d’un coefficient de rupture, que nous désignerons par Rr et qui exprimerait la charge moyenne qui pourrait rompre par compression ou par extension une section du corps dont la surface serait égale à l’unité. On voit de suite que la résistance à la compression cessant pour presque tous les corps d’être égale à leur résistance à l’extension au delà de certaines limites presque toujours assez éloignées de la rupture, celte valeur moyenne ne peut avoir aucune signification vraie et ne saurait être regardée que comme une donnée pratique.
  - Cette réserve faite, nous appliquerons la formule
  - aux expériences des ingénieurs anglais pour nous conformer à l’usage établi pour ces sortes de discussions.
- p.245 - vue 256/512
- - 246
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Résistance de la fonte à la flexion.
  - 244. Expériences pour comparer les flexions des barreaux en fonte aux portées*. —Des barres de fonte de Blaenavon d’épaisseur b — 0m,0775 sur une largeur a = 0m,077, ont été expérimentées à la portée 2C = 4ra,12, offrant alors un poids 2^C= 192 kilogr. pour la partie comprise entre les supports; puis, après avoir été rompues, elles ont été essayées à la portée 2C = 2n\07, la partie comprise entre les supports n’ayant plus qu’un poids 2joC= 85 kilogr.
  - L’observation a donné les résultats consignés dans le tableau suivant :
  - CHARGES 2P. BARRES de 4m,12 de portée. FLEXIONS. BARRES de 2”,07 de portée. FLEXIONS.
  - kil. m. m.
  - 50,78 1
  - 101,56 0,00495
  - 203,13 0,0106 0,00129
  - 304,69 0,0160
  - 406,26 0,0224 0,00264
  - 507,22 0,0292
  - 609,38 0,0367 0,00403
  - 711,01 0,0451
  - 812,51 0,0554 0,0055
  - 914,08 . 0,0653
  - 0,0070
  - 1015,64 0,0760 0,0072
  - Moy. 0,0071
  - 1117,20 0,0922
  - 1218,76 0,1040 0,00885
  - 1310,32
  - 1411,88 0,0105
  - 1615,01 0,0123
  - 1818,14 0,0142 .
  - 2031,28 0,0166
  - 2234,41 0,0196
  - 2437,54 0,0227
  - 2640,67 0,0264
  - 2843,80
  - Rapport de la commission , déjà cité pages 76 et 77.
- p.246 - vue 257/512
- - FLEXION.
  - 247
  - Si l’on représente graphiquement ces résultats en prenant les charges 2P pour abscisses à l’échelle de rnillim,00 pour 10 ki-lo°r.,et les flexions en grandeur naturelle pour ordonnées, on reconnaît par la courbe, dont la figure 10 (pl. 1Y) est une réduction à demi-grandeur :
  - 1° Que pour la portée 2C = 4m,12 les flexions sont sensiblement proportionnelles aux charges jusqu’à la charge de 304kiI,69 au moins, et même un peu plus loin, et qu’alors la flexion est
  - 0,016 _ 1 4,12 257,5
  - de la portée ;
  - de 0m,016, ou
  - 2° Que pour la portée 2C = 2m,07 il en est de même jusque vers la charge de 1117kil,20, et même plus loin, et qu’alors la
  - 0,0071
  - 2,07
  - de la portée ;
  - flexion est 0,0071, ou
  - 3° Si l’on compare ensuite le rapport des flexions aux charges dans ces limites, on trouve pour la portée 2G = 4m,12, le rapport
  - 0m,016 304,69 ’
  - = 0,00005250,
  - et pour 2C = 2ra,07 le rapport
  - 0m,0055
  - 812,51
  - 0,00000677 ;
  - le rapport entre ces deux chiffres est
  - tandis que le rapport des cubes des portées est
  - On voit donc que, dans ces limites de flexion, où les flèches de courbure sont sensiblement proportionnelles aux charges, les flexions totales, et leurs rapports aux charges, sont proportionnels aux cubes des portées, comme nous l’indique la théorie.
  - On remarquera que, d’après la formule pratique du n° 174,
- p.247 - vue 258/512
- - 248
  - TROISIÈME PARTIE.
  - les charges que les barreaux pourraient supporter d’une manière permanente seraient seulement, pour la portée 2C=4”i2
  - et pour la portée 2C = 2m,07
  - = 1120kil,
  - ee qui montre que les règles déduites de la théorie sont suffi, samment exactes dans les limites des charges auxquelles les corps peuvent être soumis, mais que pour ces fontes la valeur R = 7500000 kilogr. du coefficient de résistance est trop forte, puisqu’elle conduit à des charges permanentes à peu près égales à la moitié des charges de rupture et pour lesquelles l’élasticité serait déjà un peu altérée. Il convient d’ajouter que ces fontes étaient bien moins résistantes que la qualité moyenne. En effet si l’on calcule, à l’aide de la formule PC = |Rrab\ la valeur du coefficient Rr de rupture, d’après ces expériences , on trouve pour la première série où 2Ç = 4m,12 et 2P= 1218kil,76,
  - Rr = 16303 000kil,
  - et pour la deuxième où 2G = 2ra,06 et 2P = 2640kil,67,
  - Rr = 19020 000kil,
  - dont la moyenne 17 661500 kilogr. est bien plus faible que celle qui est fournie par d’autres fontes et qui s’élève en moyenne à 31 ou 32 millions.
  - Si l’on calcule le coefficient d’élasticité de ces barres par la lormule du n° 219
  - P___4G3(P--f-|pC)
  - h fab3 '
  - en l’appliquant aux charges au delà desquelles l’élasticité commence à s’altérer, et admettant que les flèches mesurées doi-
- p.248 - vue 259/512
- - FLEXION.
  - 249
  - vent être augmentées d’une quantité proportionnelle aux cinq huitièmes de^C ou du poids propre du solide, on trouve pour l’expérience de la première série, dans laquelle on avait
  - 2P = 304kil,692,
  - 2pC = 192kil,
  - 2C = 4ra,12,
  - et où le tracé donne 0ra,003 pour la flèche due à la charge §2pC supposée placée au milieu :
  - E = 1=10903 000kil,
  - 0m,019x0m,077X0,07753
  - et pour celle de la deuxième série où
  - 2P = 406kil,256,
  - 2pC = 85kil,
  - 2C = 2m,07,
  - et où le tracé donne 0m,0005 pour la flèche due à la charge jj2pC = 53kil, supposée placée au centre :
  - E = 4 X 1’035,.(-203’128 =12668180000kil.
  - Om,00224 X 0m,077 X 0,07753
  - La moyenne 11785500000 kilogr. de ces deux valeurs diffère peu de celle que l’on déduit de l’ensemble des expériences dont nous parlerons plus loin.
  - 245. Autre expérience sur la résistance de la fonte à la flexion et à la rupture transversale. — Prenons un autre exemple que nous choisirons parmi les fontes les plus flexibles sur lesquelles nous ayons pu nous procurer des données.
  - On trouve dans le rapport de la commission anglaise (page 68) d’autres expériences sur cinq barreaux de fonte de Blaenavon n° 2 posés horizontalement sur des rouleaux avec une portée de 13p 6° = 4m,1175 = 2C et soumis à des charges agissant verticalement sur leur milieu; la largeur était « = 0m,078, l’é-
- p.249 - vue 260/512
- - 250 TROISIÈME PARTIE.
  - paisseur 6 = 0m,039, et le poids propre du solide entre les ap. puis 2pC = 88kil,92.
  - Le tableau suivant contient les valeurs des charges appü. quées, et des flexions totales et permanentes observées.
  - CHARGES, 2P. CHARGES TOTALES, en tenant compte du poids propre du solide, 2P-t-|2pC. FLEXIONS APRÈS 5' COEFFICIENTS d’élasticité.
  - produites par la charge. totales, f-h0,0237. perma- nentes.
  - kil. kil, m. m. m.
  - 16,696 72,271 0,0046 0,0283 9 631 600 000\g
  - 25,391 80,966 0,0095 0,0332 9 197 800 000 *
  - 50,782 106,357 0,0195 0,0432 0,0012 9 285 500 000 5
  - 76,173 131,748 0,0300 0,0537 9 253 200 000
  - 107,564 157,139 0,0415 0,0652 9 089 800 000
  - 126,955 182,530 0,0535 0,0772 8 916 100 000 la
  - 152,346 207,921 0,0661 0,0898 8 731 200 000
  - 177,737 233,312 0,0805 0,1042 8 442 700 000
  - 203,128 258,703 0,0954 0,1191 8 191 100 000
  - 228,519 284,094 0,1118 0,1355 7 906 300 000
  - 253,910 309,485 0,1278 0,1515 8 994 400 000
  - 279,301 335,886 0,1467 0,1704 - 7 433 300 000
  - 304,892 360,467 0,1668 0,1905 7 135 600 000
  - 330,283 385,858 0,1933 0,2170 G 705 400 000
  - 355,074 411,049 0,2217 4,2454 6 316 500 000
  - 380,865 436,440 0,2510 0,2747 5 994 600 000
  - 406,256 461,831 » »
  - On remarquera que, d’après nos formules pratiques, la charge à laquelle de semblables barres pourraient être soumises d’une manière permanente ne serait que
  - 2P —2
  - 1250 000 X 0,078 X 0,0392 2,0587
  - = 144kil,070,
  - si l’on ne tient pas compte du poids du solide.
  - Le tableau qui précède ne contient, comme on peut le voir, que les flexions produites par les charges mêmes placées au milieu du solide et ne mentionne pas celles qui étaient primitivement dues au poids propre des barres. Or, celles-ci pesant environ 88kil,92, ce qui équivaudrait, d’après la théorie, quant aux flexions, à une charge égale aux § du poids ou à 55kil,575,et quant à la rupture à la moitié de ce poids ou à 44kil,46, on voit 1° que les flexions contenues dans ce tableau ne sont que les
- p.250 - vue 261/512
- - FLEXION.
  - 251
  - accroissements de flexion produits par les charges et que, par conséquent, pour la discussion par représentation graphique de ces résultats, il faut d’abord opérer sur les données brutes du tableau, puis en déduire, s’il est possible, les flexions dues aux charges totales composées de la charge 2P soutenue par le corps et des £ du poids propre du solide ; 2° que pour l’appréciation des valeurs du coefficient de rupture Rr et du coefficient d’élasticité E il faut introduire respectivement dans les formules théoriques la moitié £>C = 44kil,46 et lesf du poids propre 2pC du solide, § 2pC = 55kil,575, et la flexion totale déduite de la représentation graphique des résultats.
  - A cet effet, on a d’abord pris (pl. IV, fig. 11) les charges pour abscisses à l’échelle de 20 millimètres pour 100 kilogr. et les flexions pour ordonnées à l’échelle de 1 millimètre pour 5 millimètres.
  - L’examen de cette figure montre que les flexions ne sont sensiblement proportionnelles aux charges que dans des limites assez restreintes et jusque vers la charge 2P, égale à 76 kilogr. ou au plus à 101 kilogr. Au delà de ce terme, elles croissent rapidement, et au moment de la rupture, arrivée sous la charge 2P=406kil,07,la flèche indiquée au tableau avait atteint 0m,251. Mais il faut observer qu’en admettant, comme le tracé semble l’indiquer, qu’aux faibles charges les flexions sont proportionnelles aux charges, il s’ensuivrait que la flèche de courbure produite par le poids propre du solide, équivalant, d’après les notions théoriques, à 55kil,575, placée au milieu de sa longueur, serait d’environ 0m,0237. En effet, puisque de la charge de 16kil,696 à celle de 76k!l,173, entre lesquelles la flexion a augmenté de 25mm,4 pour une surcharge de 59kil,577, cette proportion montre que le poids de 55kil,575 équivalent au poids propre du solide a dû produire une flexion de 23mm,7, il suit de là qu’à la charge 2P = I01kil,56 la flexion totale serait 0,0415-j-0,0237 = 0,0652, ou environ^ de la portée, quantité déjà bien plus considérable qu’on ne pourrait l’admettre en pratique pour des pièces de fonte de longue portée.
  - Si l’on admet que la charge permanente extérieure pour ces pièces longues et par conséquent flexibles ne doive pas dépasser de beaucoup celle 2P = 76 kilogr. et ne pas atteindre celle de 101 kilogr., au delà de laquelle la proportionnalité des flexions aux charges cesse d’être admissible, on trouve que le
- p.251 - vue 262/512
- - TROISIÈME PARTIE.
  - 252
  - coefficient R à introduire dans les formules de résistance doit être compris entre
  - R 6(p+t)
  - h=---W—
  - et
  - 6(38+22,23)2,058
  - 0,078 X 0,0392
  - =6268800+
  - R = 6C5o>5+^2,23)2< 2,058 _ y 50g g()()ki 0,078 X 0,039
  - et aurait par conséquent, dans le dernier cas, une valeur peu supérieure à celle de R = 7 500 000 kilogr., que nous avons admise dans Y Aide-Mémoire.
  - Ces résultats montrent que cette fonte pure de Blaenavon était à la fois plus flexible et moins résistante que les fontes ordinaires et surtout que les fontes mêlées.
  - Quant au coefficient de rupture, sa valeur est, dans le cas actuel, où les pièces se sont rompues sous la charge 2P-f^C =406+256 + 44+460 = 450+716,
  - R, =
  - 6X225,35 X 2,058 0,078 X 0,0392
  - =23 455000+
  - quantité inférieure à celle qui résulte de l’ensemble des expériences de M. J. Hosking, que l’on trouvera rapportées au n° 248, et qui est en moyenne
  - R = 32 441000kil.
  - Cette différence dans les résultats obtenus avec des fontes diverses, montre avec quelle circonspection l’on doit employer la fonte lorsqu’il s’agit de constructions importantes et surtout quel soin il faut apporter au choix et au mélange des fontes. On en peut aussi conclure que la valeur adoptée pour R = 7500000 kilogr. comme coefficient pratique, offre, pour les pièces ordinaires, une garantie suffisante, même pour des fontes moins résistantes que la qualité moyenne. Quant au coefficient d’élasticité de ces barres, on l’a calculé par la formule
  - 4ÇP+JpQV_
  - (/+0,0237)a&3’
  - f étant la flexion indiquée au tableau et 0m,0237, comme on l’a dit plus haut, celle qui est due au poids propre du solide dé-
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- - FLEXION.
  - 253
  - diiile de la représentation graphique des résultats. Les valeurs Irouvées sont indiquées au tableau.
  - On voit que ces valeurs vont en décroissant avec une sorte de continuité et que la valeur moyenne des cinq premières est
  - £ = 9,291600000“
  - quantité notablement plus faible que celle que l’on a déduite de l’ensemble des expériences qui seront rapportées au n° 248 et qu’explique d’ailleurs la grandeur des flexions observées.
  - 240. Expériences de M. Morris Stirling sur des fontes mêlées. — On trouve dans le même rapport d’autres expériences faites sur des fontes plus résistantes et des mêmes dimensions. Nous les rapportons pour montrer un exemple des différences notables que peuvent présenter les fontes. Les barres ont pris des flexions beaucoup moindres que les précédentes et ne se sont rompues que sous une charge un peu plus forte.
  - On avait les données suivantes pour la discussion des résultats de ces expériences :
  - a=0“,0762, 6 = 0“,0381, 2pC = 87^,92, £ 2j?C = 54kil,95,
  - 2C=4“,10.
  - Les résultats de ces expériences sont consignés dans le tableau suivant :
  - EXPÉRIENCES DE M. MORRIS STIRLING SUR DES FONTES MÊLÉES.
  - CHARGES FLEXIONS PRODUITES COEFFICIENTS d’élasticité.
  - suspendues au plateau 2P. totales, en tenant compte du poids propre du solide, 2P-+- |2pC. par la charge 2P, f. totales f+Ofim.
  - kil. kil. m. m. kil.
  - 25,391 80,341 0,0082 0,0204 11 603 000 000
  - 50,782 105,732 0,0173 0,0285 16 307 000 000
  - 76,173 131,123 0,0157 0,0376 11 574 000 000
  - 101,564 156,514 0,0360 0,0460 11 734 000 000
  - 126,999 181,905 0,0456 0,0563 11 442 000 000
  - 162,346 207,296 0,0555 0,0659 11 362 000 000
  - 177,737 232,687 0,0658 0,0759 11 347 000 000
  - Moyenne 11 460 000 000
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- - 254
  - TROISIÈME PARTIE.
  - La représentation graphique de ces résultats (pl. IV, fig, ^ montre que les accroissements de flexion observés sont sensiblement proportionnels aux charges 2P jusque vers la charge de 150 à 175 kilogr. En admettant la proportion qui résulte de ce tracé pour la charge 2P = 177kil,737, donnant lieu àune flexion de 0m,0658, on trouve que la flexion correspondante an poids propre du solide, équivalant sous ce rapport à une charge égale à | X 87kil,92 = 54kil,95, serait de 0m,0203; de sorte que la flexion totale sous laquelle l’élasticité n’a pas été sensiblement altérée a été de 0m,0658-fOm,0203 = Om,0861 ou environ ^ de la portée, proportion qui dépasse de beaucoup les flexions que l’on permet aux pièces de prendre.
  - A cette limite de flexion et sous la charge
  - 2P -f pC = 117kil,737 + 43kil,960 = 221lil,697, la constante R de la formule pratique aurait la valeur
  - 6 X 110kil,848 X 2,058 0m,0762 X 0m,03812
  - = 12 374 500kil,
  - tandis que dans nos formules pratiques nous n’employons que la valeur
  - R = 7 500000kil,
  - ce qui montre qu’avec de bonnes fontes, bien mêlées, à grain gris un peu clair et serré, on peut dépasser les limites de charge que nous avons admises pour le cas général. Quant au coefficient de rupture Rr, la charge qui a produit la rupture était
  - 2P -f pC =410,226 + 43,96 = 254kil,186,
  - et l’on en déduit
  - Rr = 6X 227- 098X2^058 = 25 492 7 0,0762 X 0,038l3
  - valeur inférieure à celle de 32441000 kilogr., que l’on déduira plus loin des expériences de M. J. Hosking, dans lesquelles la portée et les dimensions des pièces étaient différentes.
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- - FLEXION.
  - 555
  - Quant au coefficient d’élasticité de ces barres, on l’a calculé par la formule
  - 2C(2P-fpi>C)
  - (/'+ 0,0203) ab^
  - fêtant la flexion indiquée au tableau et 0m,0203 celle qui est due au poids propre du solide, déduite ainsi qu’il a été dit ci-dessus.
  - En appliquant cette formule aux dix premières expériences pour lesquelles les flexions sont proportionnelles aux charges, on mit par le tableau précédent que la valeur que l’on en déduit pour le coefficient d’élasticité E est en moyenne
  - E = 11 460 000000lü.
  - Cette 'valeur est un peu inférieure à celles que l’on a déduites des expériences précédentes et n’a rien qui doive surprendre, attendu la grande flexibilité des fontes expérimentées.
  - 247. Mélange de rognures de fer avec la fonte. — M. Morris Stirling a pris en Angleterre un brevet pour le mélange par fusion de la fonte et du fer forgé, soit dans le four à réverbère, soit dans le cubilot. Ce maître de forges pense qu’il se produit alors une opération chimique par suite de laquelle la fonte cède une partie de son carbone au fer. S’il en est ainsi, l’on conçoit que la proportion du fer doit varier avec la nature des fontes employées, et peut-être même certaines proportions pourraient-elles produire un métal ayant de l’analogie avec l’acier. Quoi qu’il en soit, des expériences en grand, exécutées sur des solives en forme de double T, à nervures plus larges en dessous qu’en dessus, ont fourni les résultats consignés dans le tableau suivant ; la portée était de 4m,88, les solives pesaient 760 kilogr., et la charge de rupture calculée d’après les résultats ordinaires d’expérience était estimée A 49 200 kilogr. placés au milieu de leur longueur.
  - Les expériences furent faites comparativement avec treize solives de fontes ordinaires, de natures différentes, et onze solives de fonte mélangée de fer dans la proportion de six parties de fonte et une de rognures de fer ou ribloris. Les
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - 256
  - charges de rupture observées sont rapportées dans le tableau suivant et exprimées en tonnes anglaises *.
  - NUMÉROS des CHARGES DE RUPTURE DES FONTES
  - EXPÉRIENCES. ordinaires. mêlées avec du fer.
  - tonnes. tonnes.
  - 1 30 52,50
  - 2 35 50,50
  - 3 33 48,00
  - 4 34 52,00
  - 5 33,25 52,50
  - 6 34,50 60,50
  - 7 43,75 60,50
  - 8 46,50 52,50
  - 9 47,00 50,50
  - 10 47,25 56,00
  - 11 38,50 48,50
  - 12 36,50 52,00
  - 13 38,50
  - Moyenne.. 38,30 53,00
  - Il résulte de l’ensemble de ces expériences que le procédé du mélange de rognures de fer forgé avec la fonte, dans les fourneaux de 2e fusion, augmente la résistance à la rupture dans le rapport de 53,00 à 38,36 ou de 1,36 à 1,00.
  - Ce procédé est d’ailleurs économique puisqu’il permet d’utiliser des déchets de fabrication de peu de valeur. Il est donc à désirer qu’il se généralise. Quant aux proportions, elles seront faciles à régler d’après la qualité des fontes que l’on emploiera.
  - 248. Expériences sur la résistance des barreaux de fonte à la rupture par flexion, par M. R. Stephenson. — Une nombreuse série d’expériences a été exécutée par M. Hosking, sous la di-
  - Rapport de la Commission d’enquête, p. 311.
  - ^965
- p.256 - vue 267/512
- - FLEXION.
  - 257
  - rection de M. R. Stephenson, sur la résistance de différentes fontes, soit à l’état où elles sortent du fourneau, soit à celui de mélanges, et sur des fontes obtenues les unes à l’air chaud, les autres à l’air froid\
  - Ces barres avaient toutes aussi exactement qu’il a été possible 0m,0254 de côté en carré , et trois pieds anglais ou 0m,9l5 de portée. Elles étaient chargées au milieu de leur longueur à l’aide d’une machine disposée à cet effet.
  - Dans ces expériences, l’on a mesuré les flexions depuis les premières charges jusqu’à la rupture, et l’on a pu reconnaître que jusqu’à des charges supérieures à la moitié de celles qui produisent la rupture, les flexions sont proportionnelles aux charges.
  - Les résultats de ces expériences faites sur tant de fontes différentes pouvant jeter du jour sur l’influence des circonstances de leur fabrication, nous en rapporterons l’ensemble dans le tableau suivant. Comme d’ailleurs ces expériences et les flexions observées peuvent servir à déterminer les valeurs du coefficient d’élasticité, nous en avons introduit les résultats dans la formule
  - en y faisant
  - 2P = 406'i7 = 184kil,08,
  - 2C =0m,915, a = 0m,0254,
  - et en donnant à f les valeurs observées pour la flexion, et qui sont exprimées en fractions décimales de l’unité linéaire.
  - Pour calculer la valeur du cofficient d’élasticité, nous avons choisi parmi les charges employées la plus faible de toutes parce qu’elle dépasse déjà celle qu’il aurait été convenable d’admettre comme charge permanente pour de semblables barreaux, quoique les flexions semblent encore, un peu au delà de cette limite, rester proportionnelles aux charges ; cette
  - * Rapport de la Commission d’enquête, p. 390 et suiv.
  - 47
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- - 258
  - TROISIÈME PARTIE.
  - charge d’ailleurs correspond déjà à une flexion égale à jK ^ la portée.
  - Les valeurs des données étant introduites dans la formule la ramènent à celle-ci
  - T1 3727170000
  - C’est cette formule qui a servi à calculer, pour chaque série la valeur du coefficient d’élasticité E; on en trouvera séparément dans le tableau la valeur moyenne pour les fontes \ l’air chaud-, pour les fontes à l’air froid et pour les fontes mêlées, qui ont fourni le chiffre le plus considérable.
  - Les expériences ont été exécutées en augmentant graduellement les poids jusqu’à la rupture; elles ont été répétées trois fois pour chaque nature de fonte, et les chiffres consignés dans la cinquième colonne du tableau général sont les moyennes fournies par les trois observations successives.
  - Pour calculer la valeur du coefficient R de rupture, que nous désignerons par Rn nous emploierons la formule
  - dans laquelle nous ferons 2C=0m,915, a=0ra,0254, et qui devient ainsi Rr=108 300 P, P ou la demi-charge de rupture étant exprimé en kilogrammes; celte formule revient à celle-ci :
  - Rr= 37974,6 X2P,
  - en désignant en cette circonstance par 2P, la charge de rupture, exprimée en livres anglaises, telle qu’elle est indiquée, ainsi qu’il vient d’èlre dit, dans la cinquième colonne du tableau suivant :
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- - FLEXION.
  - 259
  - RÉSULTAT des expériences sur la résistance des fontes, SOUS LA DIRECTION DE M. R. STEPIIENSON.
  - 1
  - 2
  - 3
  - 4
  - 5
  - 6 î 8
  - 9
  - 1
  - 2
  - 3
  - 4
  - 5
  - 1
  - 2
  - 3
  - 4
  - 5
  - 6
  - 7
  - NATURE
  - DES FONTES.
  - Fontes à l’air chaud.
  - Écosse..........................
  - Coltness, n° 3..................
  - Langloan, n° 3..................
  - Omoa, n° 3......................
  - Omoa, n° 1......................
  - Redsdale, n° 3..................
  - Redsdale, n° 1..................
  - Redsdale, n° 1, barres envoyées
  - exprès pour l’épreuve..........
  - Towlaw, n° 3....................
  - Moyenne.................
  - Fontes d l’air froid.
  - Straffordshire, n° 3............
  - Crawshay, Galles, n° 1...........
  - Blaenavon, n“ 1.................
  - Coalbrookdale, n° 1..............
  - Coalbrookdale, n° 3..............
  - Moyenne.................
  - Ystalyfera, n° 3,.i à l’air chaud Ystalyfera, n° 3.. i anthracite
  - Fontes mêlées.
  - Ystalyfera, n° 3..
  - Blaenavon, n° 1..
  - Garscube, n° 1 ..
  - Redsdale, n° 3...
  - Garscube, n° 1 ..
  - Bedsdale, nu 3...
  - Dundyvan, n" 3..
  - Coltness, n° 3...
  - Redsdale, n° 1...
  - Clyde, n° 3......
  - Coltness, n° 3...
  - Langloan, n° 3 ..
  - Omoa, n° 1.......
  - Fortli, n° 3.....
  - Omoa, Blair, Clyde , Langloan, Forth , Coltness, toutes du n° 3......... ...
  - i à l’air froid,
  - ) parties égales.
  - \ à l’air chaud,
  - ) parties égales, i à l’air chaud, i parties égales.
  - 1 à l’air chaud, i • parties égales.)
  - I à l'air chaud, i j parties égales. )
  - | à l’air chaud, ! (parties égales.)
  - à l’air chaud, j parties égales.)
  - FLEXION MOYENNE sous la charge de 406 liv. en fractions de pouce. COEFFICIENT d’élasticité des barres, E CHARGES de rupture.
  - kil. liv.
  - 0,265 12 592 000 000 775
  - 0,325 11468 000000 789
  - 0,323 11 539 000000 727
  - 0,290 12 852 000 000 906
  - 0,330 11 294 000 000 805
  - 0,265 14 065000 000 1014
  - 0,316 11 795 000 000 794
  - 0,320 11G47 000 000 919
  - 0,360 10 353000 000 708
  - 11956000 000
  - 0,308 12 301000000 873
  - 0,296 12 592 000 000 873
  - 0,350 10649 000 000 754
  - 0,296 12 592 000 000 876
  - 0,288 12 941000 000 897
  - 12 215000 000
  - 0,250 14909000000 998
  - 0,262 14226000 000 098
  - 0,290 12 852000 000 876
  - 0,272 13703000000 981
  - 0,288 12941000000 907
  - 0,305 12220000 000 824
  - 0,305 12220000000 859
  - 0,333 11 193000 000 829
  - 0,278 13 504 000000 901
  - EXÉCUTÉES
  - COEFFICIENT
  - de
  - rupture
  - Rr
  - kil.
  - 29 430 000
  - 29 962 000 27 607 000 34405000
  - 30 569 000 38 500 000 30152 OOt)
  - 34 898 000 26 880 000
  - 31490000
  - 33 150 000 33 150000 28 633 000
  - 33 265 000
  - 34 003 000
  - 32 852 000
  - 37 899000 37 899 000
  - 33 265 000 37 253 300 34443 000 31 282 000
  - 32 020 000
  - 31 367 000
  - 34215000
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- - 260
  - TROISIÈME PARTIE.
  - NATURE MOYENNE large de fractions uce. COEFFICIENT d’élasticité c/3 £ W p coefficient de
  - O s S ® ^ des barres, rupture
  - DES FONTES. Hgâ’0 E U <D -o Rr
  - Csh O
  - Fontes mêlées. ' ’
  - 8 Écosse, à l’air chaud et rognures;
  - mélange ordinaire de fonderie pour objets communs 0,292 0,305 kil. 13 062000000 12 220000000 liv. 879 717 kil. 3 3 37 9 000 27 228 080
  - 9 Carnbroe, nu1... ) à l’air chaud, Redsdale, n° 3... 1 parties égales.
  - 10 Mêmes fontes avec addition de ^
  - de vieilles fontes 0,262 14226 000 000 893 33911000
  - Crawshay ( Gai-
  - 11 les), n° 1 | à l’air froid, Coalbrookdale, j parties égales. 0,320 11 647 000 000 855 32 4 5 8 000
  - Ystalyfera, n° 3, , anlhrac., 40 p. \ Redsdale, n° 3, \ à l’air ch. 40 id. 1 Crawshay, n° 1, 1 Première
  - à l’air fr. 40 id. ! coulée**. 0,265 14 065 000000 854 32431000
  - 121 Blaenavon, n° 1, / Deuxième
  - à l’air fr., 30 id. 1 coulée. Coalbrookdale, n° l 0,243 15 338 000000 1058 40101000
  - 1, àl’airf.,30tcf. | Vieilles fontes /
  - choisies, 30 id*'
  - 2e fusion.
  - 13 Faite avec une pièce manquée du
  - même mélange, sans addition.. Meme mélange que le n° 12. Fondu au cubilot.. ; 0,204 0,290 0,275 18 270 000000 12 852 000000 13 553 000000 527 906 1023 20013000 34 4 05 000 38 848000
  - 14
  - Fondu au four à réverbère
  - Mélanges produits pour des supports de rails. i Crawshay, n° 1, à l’air froid..., jt Redsdale, n° 3, à l’air chaud... | Écosse, nosl et 3, à l’air chaud..
  - 15 0,313 11908 000000 822 31215000
  - j Crawshay, n° 1, à l’air froid...
  - 16 | Redsdale, n° 3, à l’air chaud.. | Écosse, nos 1 et 3, à l’air chaud.. Moyennes générales pour les fon- 0,280 13 311 000000 928 35241000
  - tes mêlées*** 13 282 000000 32981000
  - Moyennes pour toutes les fontes
  - essayées 12484000 000 32 441000
  - * Ce mélange de fonte avait été choisi pour les arches du pont deHigh-Level; les vieilles fontes provenaient principalement de marteaux, d’arbres de cylindres, fondus avec des fontes de Galles.
  - ** 11 y avait une soufflure par défaut de métal.
  - *’* Dans le calcul de ces moyennes, l’on n’a pas compris les fontes pures d’Ystalyfera.
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- - FLEXION.
  - 264
  - De l’ensemble de toutes ces expériences, on conclut que, (|ans la flexion des barreaux de fonte, le coefficient d’élasticité serait plus grand que celui qui a été déduit des expériences sur l’extension et égal en moyenne pour toutes les fontes
  - essayées, à
  - E = 12 484 000 000kil.
  - Valeur qui se rapproche beaucoup de celle de 12 000 000 000kil,
  - généralement admise en France, d’après les expériences précédemment connues, et que nous avons introduite dans les formules de Aide-mémoire relatives à la flexion.
  - Quant à la résistance à la rupture par flexion, le coefficient constant à introduire dans les formules est en moyenne
  - Rr = 32 441 000kil.
  - Tandis que l’on a vu au n° 97, que la résistance de la fonte à la rupture par compression est de 63 208 600kil par mètre carré, et à la rupture par extension à 11636500kiI.
  - On voit aussi que quand la flexion est poussée jusqu’à la rupture, les effets de compression et d’extension étant simultanés, il se fait une répartition des résistances, autre que celle qui résulterait de la supposition de l’égalité de la résistance des fibres à la compression et à l’extension.
  - Mais comme l’on ne doit jamais atteindre des charges sous lesquelles les extensions et les compressions dépassent les limites au delà desquelles les coefficients d’élasticité relatifs à ces deux effets diffèrent notablement l’un de l’autre, il s’ensuit que l’on peut encore appliquer avec sécurité les formules basées sur l’égalité de ces coefficients.
  - Si l’on suppose que les solides en fonte ne doivent jamais être chargés que du quart au cinquième du poids qui produirait leur rupture par flexion, on aura, d’après ces expériences, pour la valeur de R, à introduire dans les formules pratiques,
  - R = 8 110250kil à 6488 20Okil,
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- - 262
  - TROISIÈME PARTIE.
  - valeurs entre lesquelles se trouve comprise celle que nous avons adoptée au n° 1G2 et dans les formules de YAide-mé. moire, et qui est
  - R = 7500000“
  - 249. Comparaison entre les fontes à l’air froid et à l'air chaud, — Les expériences précédentes sembleraient indiquer que les fontes à l’air froid ont une légère supériorité de résistance sur celles à l’air chaud, mais la différence est assez faible pour pouvoir être plutôt attribuée à la nature des minerais.
  - Quant aux mélanges de fontes, ils paraissent, en général, conlribuer à accroître la résistance, ce qui est admis parla plupart des fondeurs.
  - 250. Influence du mode de fusion. — L’emploi du four à réverbère, pour obtenir des pièces résistantes, est généralement en usage en Angleterre, de préférence à celui des fours appelés cubilots. Les expériences précédentes paraissent justifier cette opinion.
  - 2oi. Expériences sur la résistance des tubes en fonte à k flexion transversale. — M. Stephenson a fait exécuter, dans ses ateliers, par M. J. Hosking, quelques expériences sur la résistance à la flexion et à la rupture des tubes en fonte de diverses formes. Les tubes employés ont été tous fondus en môme temps; pour constater l’avantage des différentes formes de la section transversale des tubes, l’aire de cette section, le poids des tubes ainsi que l’épaisseur du métal étaient les mêmes, autant que possible.
  - Leur longueur était de 6P,ang = lm,830 entre les supports; leur poids moyen, de 35kil,366.
  - Les résultats moyens des expériences sont réunis dans le tableau suivant :
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- - IÎX.PJÉRIENCES SUR LA
  - FORME de la
  - SECTION TRANSVERSALE.
  - DIMENSIONS
  - Carrée......................
  - I = (b* - b'*J = 0,000002227
  - I - i1 b* ~A-. = 0,000056026 v ° 6
  - Rectangulaire...........
  - I = -p) (ab3 — a' b'3) — 0, l _ j (ab3 — a'h'3)
  - 000002578.
  - = 0,000050255.
  - a=0,0562 a'
  - 6=0,1026 6',
  - Circulaire................................
  - I = 0,0491 CD'4 — D"4) = 0,000002699......
  - I (D'4 — D"4)
  - -,= 0,0982v----—----- = 0,00005475........
  - v D
  - D'=0,0986
  - D";
  - Elliptique............................
  - 1 = 0,7854 (ab3 — a'6'3)= 0,000003110 I 0,7854 ( <z63 — o'6'3) , ,
  - — = —---------7—------—= 0,0007487!)
  - v' b
  - 2a=0.0688 2a'
  - 26=0,1276 26'
  - 0,0603
  - 0,0370
  - •0,0093
  - 0,0793
  - 0.0496
  - :0,1084
  - FLEXION
  - RUPTURE .
  - CHARGES. FLEXIONS. COEFFICIENT d'élnsticité E. CHARGES \ de RUPTURE•
  - kil. m kil. kil.
  - 355 0,0025 8 159 700 000 2180
  - 712 0,0053 7 701 7C0 000
  - 1065 0,0084 »
  - 1420 0,0117 »
  - 1780 0,0154 »
  - 355 0,0018 9 789 700 000 2330
  - 712 0,0039 9 044 300 000
  - 1065 0,0061 8 646 400 000
  - 1420 0.0085 »
  - 1780 0,0110 » *
  - 2l 30 0,0139 ”
  - 355 1 0 0022 7 650 700 000 2320
  - 712 0,0045
  - 1065 0,0069
  - 1420 0,0096
  - 1780 0,0126
  - 355 0 0018 8 115 600 000 3250
  - 712 0,0032 9 134 700 000
  - 1065 0,0049 8 925 200 000
  - 1420 0,0067 8 701 200 000
  - 1780 0.0087 »
  - 2130 0 0103
  - 2180 0.0130
  - 2840 0,0154
  - COEFFICIENT de rupture
  - l\r.
  - kil.
  - 21 262 600
  - 25 335 000
  - 23 156 200
  - 36 434 000
  - Moyenne E = 8 586 920 ooo kil.
  - FLEXION.
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- - 264
  - TROISIÈME PARTIE.
  - La représentation graphique de ces résultats montre que les flexions n’ont été proportionnelles aux charges que pour les premières charges employées, ce qui tient à ce que ces charges étaient déjà voisines de celles que la prudence n’aurait pas permis de dépasser d’une manière permanente et qui, d’après les formules pratiques, auraient été respectivement pour les solives à section
  - carrée, rectangulaire, circulaire, elliptique,
  - 2P = 918kil, 824kil, 897kil, 799kil.
  - En calculant le coefficient d’élasticité E de la fonte employée à ces tuyaux, dans les limites où les flexions restent proportionnelles aux charges, on trouve pour sa valeur moyenne
  - E = 8 586920 000“,
  - quantité qui s’éloigne peu de la valeur moyenne E = 8 950 4l7 000kil,
  - trouvée d’après les expériences de traction et de compression directes de M. Hodgkinson.
  - On remarquera que les formules pratiques donnent pour les charges permanentes que l’on aurait pu faire supporter avec sécurité aux barres essayées des valeurs assez différentes et qui sembleraient indiquer que la section carrée, à même quantité de matière, serait la plus avantageuse, et que sous ce rapport l.es sections seraient rangées dans l’ordre suivant:
  - carrée, circulaire, rectangulaire, elliptique,
  - tandis que l’expérience poussée jusqu’à la rupture les a classées dans l’ordre suivant :
  - elliptique, circulaire ou rectangulaire, carrée.
  - Mais il ne faut pas perdre de vue que les hypothèses sur lesquelles repose la théorie dont on a déduit les formules, ne sont admissibles que pour les petites flexions et ne sont plus
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- - FLEXION.
  - 265
  - conformes au mode d’aclion des résistances moléculaires au delà de ces limites. Il faut en outre remarquer que, d’une part, |e moment d’inertie I croit, et par suite l’expression de la PC3
  - flèche de courbure f— décroît quand, à quantité égale de
  - matière, la hauteur du solide augmente par rapport à sa largeur, ce qui montre que sous le rapport de la flexion, il y a chantage à adopter les solides de plus grande hauteur, toutes
  - choses égales d’ailleurs; mais, d’une autre part, le facteur ^
  - RI
  - de la formule PC — y, à quantité égale de matière dans le
  - profil, diminue quand la hauteur augmente, comme on peut le voir dans le cas actuel, où il a les plus faibles valeurs pour les tuyaux elliptiques ou rectangulaires, ce qui conduit à une valeur de R plus grande pour ces solides que pour les autres, quand on applique cette formule à la recherche du coefficient de rupture.
  - Au surplus, puisqu’il importe surtout de limiter les flexions, et que la théorie, d’accord avec l’expérience, montre qu’elles sont, toutes choses égales d’ailieurs, d’autant moindres que le moment d’inertie du profil est plus grand, il s’ensuit que les profils essayés doivent être, sous ce rapport, classés dans l’ordre suivant :
  - elliptique, circulaire, rectangulaire, carré,
  - [=0,000003110, 0,000002699, 0,000002578, 0,000002222.
  - Ce sont sans doute ces avantages d’une moindre flexion et d’une plus grande résistance à la rupture, qui avaient engagé M. Stephenson, dans l’origine des études sur les ponts tubulaires, à essayer d’abord les tubes à section elliptique.
  - 262. Influence du temps sur les flexions, — Lorsque les pièces de fonte sont chargées de poids qui n’excèdent pas les limites de l’élasticité, et surtout celles qui sont déterminées par nos formules, les flexions qu’elles prennent ne s’accroissent pas avec le temps. L’expérience suivante due à M. Fairbairn, et qui a duré plus de quatre ans, le montre clairement.
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- - 266
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Les barres en essai avaient les dimensions suivantes :
  - 2C—• lm,37, a = 0m,0259, b = 0m,0261.
  - La charge placée au milieu était constante et égale à
  - 2P = 152kil,3.
  - D’après ces dimensions et la formule
  - a&2
  - PC
  - 12501)00
  - on n’aurait dû charger de semblables barres que d’un poids 2P = 64kl,38.
  - Le tableau suivant montre que malgré cet excédant de charge la flexion ne s’est pas accrue pendant les quatre années qu’ont duré les observations faites sur deux barres de fonte, obtenues l’une à l’air froid, l’autre à l’air chaud.
  - DATES des observations.' FLEXIONS de la barre à l’air froid. FLEXIONS de la barre il l’air chaud. TEMPÉRATURES. OBSERVATIONS,
  - 23 juin 1838 5 juillet 1839 fi juin 1840 m. 0,0033 0,0033 0,0033 0,0033 0,0033 m. 0,0039 0,0039 0,0039 » » 25°,5 22 ,2 16 ,1 10 ,0 15 ,0 La barre à l'air cliautl a éprouvé un accident après le ejuin 1840.
  - 22 novembre 1841 . 19 avril 1842
  - Ces expériences répétées sur d’autres barres ont donné des résultats semblables, même pour des charges plus grandes. On voit donc que nos formules pratiques conduisent à des charges qui peuvent être supportées par les corps d’une manière permanente avec sécurité.
  - 253. Observation sur l'altération de l’élasticité des barres en fonte. — M. E. Hodgkinson observe avec raison que c’est à tort que Tredgold et d’autres auteurs ont admis que l’élasticité n’était pas altérée tant que la flexion ne dépassait pas un tiers de
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- - FLEXION.
  - 267
  - celle que produit la charge de rupture. L’examen que nous avons fait des résultats d’expériences sur des fontes très-diverses, montre en effet que l’élasticité est altérée et que les flexions cessent d’être proportionnelles aux charges bien avant que celles-ci aient atteint le tiers des charges de rupture. Il y a môme lieu d’ajouter qu’il n’y a pas de relation régulière entre la flexion maximum qui précède immédiatement la rupture et celle où l’élasticité commence à s’altérer notablement, ce qui montre, comme nous l’avons déjà dit, que les expériences faites sur la rupture seule ne sont pas propres à conduire à des règles assez sûres pour la pratique.
  - 254. Expériences sur des barres de fonte avec nervures. — 51. E. Hodgkin son pense môme que l’élasticité s’altère et que les corps fléchis conservent toujours des flexions permanentes, quelque petites qu’aient été les charges et les flexions, Il a cherché à mesurer et à soumettre ces flexions permanentes à une règle empirique. Sans contester les chiffres de cet habile observateur, nous ferons observer que, dans la limite des charges permanentes et des flexions que la prudence permet d’admettre, les flèches de courbure permanente qu’il a obtenues sont si faibles qu’elles peuvent être complètement négligées et en partie attribuées à quelque tassement des appuis. C’est au surplus ce que l’on peut vérifier par l’examen des expériences suivantes qui ont aussi un intérêt particulier, parce qu’elles ont été faites sur des barres de fonte piales, avec une nervure qui a été placée d’abord en dessous et ensuite en dessus pour constater la différence qui peut en résulter dans la résistance et dans les flexions.
  - Ces barres en fonte de Carron n° 2 (pl. IV, fig. 13) étaient posées sur des appuis distants de 2C = lm,982 et chargées de poids placés au milieu de leur longueur, on avait
  - a = 0m,127, b — 0m,0076, a'=0m,0091, ô'=0m,032.
  - D’après ces dimensions, ces barres avaient un poids 2pC = 17kil,93
  - environ.
  - Le tableau suivant contient les résultats des expériences.
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- - 268 TROISIÈME PARTIE.
  - EXPÉRIENCES SUR LA RÉSISTANCE D’UN SOLIDE EN FONTE A NERVURE.
  - LA NERVURE EN DESSOUS.
  - FLEXIONS
  - CIIARGE3. totale. permanente.
  - kil. mill. mill.
  - 3,18 0,38 »
  - 6,36 0,81 0,025
  - 9,54 1,17 0,050
  - 12,72 1,62 0,100
  - 25,44 3,30 0,125
  - 50,88 6,93 0,508
  - 76,30 11,35 0,888
  - 101,80 15,70 1,470
  - 127,00 20,60 2,360
  - 154,00 26,15 3,300
  - 165,50 rupture. »
  - LA NERVURE EN DESSUS.
  - FLEXIONS
  - CHARGES. totale. permanente.
  - kil. mill. mill.
  - 3,18 6,36 0,63 impercent. id. F
  - 9,54 1,18 0,05
  - 12,72 1,65 0,07
  - 25,44 3,40 0,12
  - 50,88 6,85 0,38
  - 101,80 14,70 1,47
  - 154,00 22,70 2,56
  - 203,80 31,00 3,93
  - 254,00 40,20 5,97
  - 305,00 50,40 8,38
  - 356,00 61,20 12,40
  - 407,00 » 22,70
  - 458,00 105,00 26,40
  - 483,00 »
  - 508,00 rupture.
  - Si l’on représentait graphiquement les résultats de ces expériences en prenant les charges 2P placées au milieu du solide pour abscisses et pour ordonnées à une échelle décuple les flexions indiquées au tableau, qui ne sont en réalité que les accroissements de flexions produits par ces charges et non pas les flèches totales, on verrait de suite que les flexions sont les mêmes et ont le même rapport constant avec les charges dans les deux cas jusque vers la charge totale 2P = 101kll,60 et même plus, qui produit une flexion d’environ de la portée.
  - Or, si l’on se rappelle qu’en discutant les expériences directes faites sur la résistance de la fonte, à l’extension et à la compression, nous avons trouvé pour le coefficient d’élasticité de la fonte la même valeur à très-peu près dans les deux cas, on voit que, dans les limites entre lesquelles l’élasticité n’est pas altérée, et où, par conséquent, les flexions sont proportionnelles aux charges, on peut, comme le suppose la théorie ordinaire, admettre que la résistance à l’extension et la résistance à la compression sont les mêmes, ce qui simplifie les calculs.
  - Mais il est bien entendu que cette hypothèse ne saurait, sans erreur, être étendue au delà de ces limites.
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- - FLEXION.
  - 269
  - pour déduire de ces expériences le coefficient de rupture, la charge permanente à laquelle il conviendrait de soumettre ces barres et le coefficient d’élasticité, il faut recourir aux formules données précédemment.
  - La première qui détermine la distance de la fibre neutre à la face plate du profil est (n° 166) :
  - k , ab2 + a'b'1 + 2a'W
  - ab + a'b'
  - , 0,127 X 0,007 62 + 0,0091 X 0,032* + 2 X 0,0091 X 0,007 6 x 0,032 m
  - '2 0,127 x 0,0076 + 0,0091 x0,032 ’
  - On en déduit v' = b — z-\-b' = 0m,0312 ;
  - I .az%—[a — a'){z — bf 4-o!{bb'— zf PmS v' ~71 b — z + b'
  - 0,127 XO,00843 — 0,1179 XO,00083 -f 0,0091 X0,0312s. “ 3X0,0312 ’
  - d’où 1 = 0,0000001172
  - et — = 0,000003756.
  - v
  - A l’aide de ces valeurs, on trouve ensuite celles de E, au moyen de la formule (n° 204),
  - l
  - ,3
  - fi'
  - Si l’on calcule les valeurs du coefficient d’élasticité fourni par cette barre en donnant à f les valeurs des flexions obtenues avec la charge 2P = 101kil,80 et qui ont été, avec la nervure en dessous, /’=0m,0157, et avec la nervure en dessus, /= 0m,0147, on trouve les résultats suivants :
  - La nervure en dessous E = 8974000000 kilogr. La nervure en dessus E = 9584500000
  - Moyenne E = 9279250000 kilogr.
  - valeur qui diffère très-peu de celle de
  - E = 8 950382000 kilogr.
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- - 270
  - TROISIÈME PARTIE.
  - que nous avons déduite, au n° 90, des expériences du même auteur, sur l’extension et la compression directes de la fonte.
  - On voit donc par cette discussion que, dans les limites où l’on prétend appliquer la théorie qui a été exposée aux nos 152 et suivants, elle offre, avec les résultats de l’expérience, une concordance bien suffisante pour la pratique, et que l’on peut admettre, comme nous l’avons fait jusqu’ici, que la ligne des fibres invariables passe par le centre de gravité de la section transversale.
  - 253. Observations sur la résistance des pièces à nervure, à la rupture. — Ce qui précède montre que quand la flexion est renfermée entre certaines limites, les résistances à la compression et à l’extension sont d’abord à peu près les mêmes, et qu’il importe peu de placer la nervure en dessous ou en dessus sous ce rapport. Mais si l’on considère la résistance à la rupture qui arrive beaucoup plus tard et sous des charges bien plus considérables, il en est-tout autrement. La résistance à la compression devient plus grande que la résistance à l’extension à mesure que les flexions dépassent de plus en plus les limites entre lesquelles elles sont proportionnelles aux charges. Il en résulte que la ligne des fibres invariables doit se déplacer, et que pour chaque nouvelle condition d’équilibre avec chaque charge, elle se rapproche de plus en plus de la partie comprimée. La portion du solide, qui est allongée, l’est donc de plus en plus, et, dans ce cas, il devient évident que si le solide esl, comme dans les expériences précédentes, posé librement sur deux points d’appui, il doit se rompre plus facilement, quand la nervure est en dessous et exposée à l’extension, que quand elle est en dessus et exposée à la compression. L’inverse a lieu au contraire s’il s’agit d’un solide encastré par l’une de ses extrémités.
  - L’expérience confirme complètement ces considérations, comme le montre le tableau précédent, puisque la barre placée avec la nervure en dessus n’a été rompue que par une charge un peu plus que triple de celle qui avait rompu le solide avec la nervure en dessous. Dans celte rupture, lorsque c’est la nervure qui cède par compression, il se détache ordinairement du solide une sorte de coin de la môme forme que celui indiqué (pl. III, fig. 6), qui, par l’effet de la compression, est complètement isolé du solide.
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- - FLEXION.
  - 271
  - jl résulte de cette observation que pour les solides de formes analogues, le coefficient de rupture serait très-différent selon que la nervure serait comprimée ou distendue. Mais, comme la prudence exige que les charges permanentes ne soient jamais telles que l’élasticité soit altérée dans aucune partie du solide, on voit que l’on rfa pas, en général, à tenir compte de cette différence. La valeur R = 7500000 kilogr., que nous avons adoptée pour les formules pratiques des cas ordinaires, convient toujours à des dimensions et à des charges telles que l’élasticité ne soit pas altérée, quelles que soient d’ailleurs les différences qui proviennent de la nature et de la qualité des fontes employées, pourvu qu’elles ne soient pas en même temps de première fusion et de très-fortes dimensions.
  - En effet, dans le cas actuel, où
  - -,== 0,000004099,
  - v
  - on trouve, pour la charge 2P, que l’on pourrait faire supporter au corps avec sécurité :
  - P
  - v'C1
  - 7500000 X 0,000004099
  - Om,99l
  - = 31kil,02;
  - d’où 2P = 62kiI,02, tandis que les flexions sont restées, dans les deux cas, proportionnelles aux charges, jusqu’à 2P = 101kil,80, au moins.
  - 2f>6. De la forme clés solives en fonte et de la manière de les charger. — M. E. Hodgkinson a conclu de l’inégalité des résistances que la fonte présente à la compression et à l’extension, que dans l’emploi des solives en fonte en forme de double T, telles qu’on les emploie généralement pour la construction des ponts de chemins de fer et autres , il fallait donner à la section de la nervure inférieure exposée à l’extension , une étendue beaucoup plus grande qu’à la nervure supérieure, soumise à la compression. Cette règle est généralement suivie par les ingénieurs anglais, parce qu’ils ont l’usage d’adopter pour charge permanente une certaine fraction de la charge de rupture. Quoique cette méthode soit défectueuse, et que l’on'doive limiter les charges d’après la considération des flexions pour les-
  - ïffl il
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  - il
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- - 272
  - TROISIÈME PARTIE.
  - quelles l’élasticité commence à s’allérer, et que par la discussion des expériences mêmes de M. E. Hodgkinson, rapportées au n° 90, on ait vu que le coefficient d’élasticité est le même entre ces limites pour la compression que pour l’extension, H peut être commode, pour les assemblages, et pour la pose des solives, etc., de donner à la nervure inférieure plus de largeur et de force qu’à celle du dessus.
  - Un point fort controversé par les ingénieurs anglais, c’est de savoir s’il n’y a pas d’inconvénients graves, surtout pour les poutres extérieures, à faire porter la charge, ou pour parler plus clairement, les solives transversales des ponts sur la nervure inférieure, et plus généralement sur le choix des dispositions à prendre en pareil cas.
  - Les ingénieurs les plus habiles sont presque tous d’accord pour conseiller de ne pratiquer, de ne ménager, dans les solives en fonte de ce genre, aucune ouverture qui interrompe la continuité du solide. Quelques-uns, parmi lesquels je citerai M. Fairbairn et M. Gueftier, habile directeur des usines de Marquise , ne veulent pas même que de petites nervures, perpendiculaires à la longueur et aux faces verticales des poutres, y soient ajoutées, parce qu’à la coulée elles peuvent occasionner des soufflures et d’autres défauts.
  - La forme la plus simple, parfaitement continue, est celle que l’on adopte le plus généralement. Elle donne la facilité, dont beaucoup d’ingénieurs ont usé, de poser les solives transversales sur la nervure inférieure, ce qui rend la construction du tablier extrêmement simple. Mais ce mode de répartition de la charge expose les poutres extérieures à un effort de torsion que l’on regarde comme dangereux. Cependant l’usage prévaut, et beaucoup d’habiles constructeurs l’ont adopté, non-seulement pour les solives en fonte, mais encore pour celles en tôle de fer.
  - M. Fairbairn propose le mode suivant, qui, sans altérer en rien les poutres, permettrait de répartir également la charge sur les deux côtés de la nervure inférieure; mais il est un peu plus compliqué que celui que l’on suitordinairement. Les solives transversales, supposées en fonte,passeraient au-dessous de la nervure inférieure, et seraient suspendues à chacune de ses branches latérales par deux boulons à talons qui s’accrocheraient de part et d’autre de cette nervure.
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- - FLEXION.
  - 273
  - Si les solives transversales étaient en bois, on pourrait employer un moyen semblable. Ce mode présenterait aussi l’avantage de permettre de remplacer assez facilement une solive sans lever le tablier.
  - 2S7. Expériences de M. Guettier, ingénieur-directeur des usines de Marquise. — MM. Pinard, propriétaires des usines de Marquise, département du Pas-de-Calais, ont fait exécuter par M. Guettier, ingénieur et directeur de ces usines, plusieurs séries d’expériences sur la résistance des poutres en fonte à la flexion et à la rupture, dont les résultats jettent du jour sur plusieurs circonstances importantes de la fabrication.
  - Ces expériences faites les unes sur des poutres de grandes dimensions, les autres sur des modèles très-variés de poutres fondues dans ces usines et réduites à lm,00 de portée ont montré :
  - 1° Que dans les pièces à profil constant sur toute la longueur, posées librement sur deux appuis, la section dangereuse est au milieu de la longueur, ce qui doit engager à la renforcer ou à employer les formes des solides d’égale résistance, afin de faire un meilleur emploi du métal.
  - 2° Que les formes les plus simples sont les meilleures, et que toute nervure ou partie en saillie qui peut faire obstacle au mouvement du métal fluide dans le moule, nuit à la résistance par lés inégalités qu’elle occasionne dans le retrait, et peut, en outre produire des défauts; ce qui est complètement d’accord avec les observations de M. Fairbairn, citées au n° 237.
  - 3° Que toutes les parties évidées, quelle qu’en soit la disposition,ont le défaut très-grave de présenter des inégalités notables de retrait dans leurs diverses parties, et surtout dans les angles et aux points d’attache des nervures, qu’elles offrent beaucoup moins de résistance à la flexion et à la rupture que les pièces pleines faites avec une même quantité de métal ; qu’en conséquence cette disposition doit être réservée pour les pièces où la résistance a peu d’importance, et où il s’agit d’ornementation.
  - L’auteur conclut aussi de ses expériences, que l’emploi des formes à double T est très-avantageux, et il incline adonner la préférence au profil à doubles T inégaux déduit des récentes expériences de M. Hodghinson sur la rupture des solives en fonte par flexion.
  - Mais comme il signale lui-même les dangers des flexions
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  - TROISIÈME PARTIE.
  - sensibles dans les pièces de fonte, qui se rompent brusquement dès qu’elles prennent des flèches égales à et même ^ (je leur portée, il est conduit à admettre pour règle que les flexions des poutres doivent être à peu près insensibles.
  - Or, en limitant ainsi les flexions et par suite les extensions et les compressions des fibres, les phénomènes se trouvent renfermés dans les limites où les résistances de la fonte, à l’extension et à la compression sont, à très-peu près égales, et dès lors on est conduit à donner aux doubles T une forme symétrique, comme nous le verrons un peu plus loin. Quelques-unes des expériences de M. Guettier faites sur des poutres à T simple, successivement posées sur la semelle ou sur la nervure du T montrent, comme celles de M. Hodgkinson citées au n° üod, que jusqu’à des charges égales à J/3 ou 1/4 de celles qui produiraient la rupture, et par conséquent bien au-dessus de celles que l’on doit admettre dans la pratique, les flexions sontles mêmes dans les deux cas, ce qui ne peut arriver qu’autantque les résistances à l’extension et à la compression sontles mêmes,
  - Orj. trouve, en effet, dans la seconde série d’expériences de l’auteur, les résultats suivants :
  - PROFIL. MODE DE POSE. FLEXION sous la charge de 2000 kil. placée au milieu.
  - 6. 1 1 1 !o 5 Sur Ja semelle 0,007 \ Moyenne,
  - p J 0,0065
  - ! Sur l'arête 0,005 j
  - L-t~. ~~n «
  - 70
  - 6.5
  - ; 1 Sur la semelle 0,005 \
  - • •'•o [ 0,0055
  - Lcd. ZZ3* Sur l’arête. ... 0,006 J
  - 6-5 1 n [Sur la semelle 0,008 '
  - 0,0015
  - 7l [Sur l’arête 0,007 ) '
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- - FLEXION.
  - 27 N
  - Ces expériences, dans lesquelles les flexions ont été à peu près les mêmes, quel que fût le mode de pose des pièces, montrent bien que les choses se passent, à très-peu près, comme le suppose la théorie, et que, par conséquent, dans les limites des flexions et des charges admises par la pratique, on peut suivre avec confiance les règles de cette théorie, et qu’en définitive, il y a avantage, pour diminuer les flexions et par suite la fatigue, à faire les semelles et les T égaux en dessus et en dessous. C’est d’ailleurs ce que justifient les expériences suivantes faites sur deux poutres de même poids :
  - FLEXION
  - POIDS DES POUTRES. sous la charge de 200 kilogr.
  - placée au milieu.
  - PROFIL.
  - kil.
  - 10,60
  - 0,008
  - 70
  - 0,003
  - 10,60
  - 46
  - L’on voit, en effet, que la poutre à doubles T à semelles égales, a pris, sous la même charge, une flexion beaucoup moindre que celle à semelles différentes du modèle anglais.
  - 258. Observation si(r les formes des solives d'égale résistance. -D’après ce que l’on a vu aux n09 193 à 199 au.sujet des solides d’égale résistance, et d’après les résultats des expériences.
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  - TROISIÈME PARTIE.
  - ils offrent des avantages au point de vue de l’économie delà matière, mais pour les poutres des ponts leur emploi présente quelques difficultés.
  - La forme parabolique du profil longitudinal conduit à des sujétions pour la pose du tablier, et n’est pas sans inconvénient pour l’égalité du retrait. L’élargissement de semelles inférieures et supérieures dans le sens horizontal est plus commode et n’offre pas d’inconvénients à la coulée. Il n’en est pas tout à fait de même de l’épaississement de la nervure ou âme qui occasionne quelquefois du gauchissement à la coulée et dont il ne faut user qu’avec beaucoup de mesure.
  - 259. Observation relative aux poutres cintrées. —Quelques constructeurs par une fausse analogie qu’ils supposaient exister entre les arcs en pierre composés de voussoirs et les arcs en fonte d’une seule pièce ont donné à des poutres en fonte une courbure plus ou moins prononcée.
  - Les expériences suivantes de M. Gueltier prouvent que les poutres de ce genre n’offrent aucun avantage sous le rapport de la résistance à la flexion ou à la rupture.
  - FORME DES POUTRES. FLEXION SOUS la charge de 2000 kil. CHARGE de rupture. AIRES de la section au milieu.
  - Poutre en double T, droite m. 0,003 9960 m. q. 217,3 217,3
  - . ,, ... t cintrée à 1/10... 0,003 9540
  - à semelles inégales... j cilltrée à 3/10i.. 0,007 9685 217,3
  - 260. Observations sur quelques proportions. —Les conditions de la fabrication doivent être prises en considération dans la dé-termination des proportions des poutres en fonte. Ainsi, malgré l’augmentation théorique de résistance qui résulte à quantité égale de matière d’un accroissement de la hauteur b des poutres et de la diminution de l’épaisseur de l’àme, il ne faut pas perdre de vue que pour la facilité et la bonne exécution , cette épaisseur ne doit pas être trop faible.
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- - FLEXION.
  - 277
  - HI. Guettier indique comme limite inférieure de l’épaisseur de
  - l’âme :
  - 20 millimètres pour les poutres de 4m de portée.
  - 25 idem..................... 5ra
  - 30 idem...................... 6m
  - 35 idem.................... 8,n
  - Il recommande, en outre, d’accord en cela avec M. Fairbairn, comme nous l’avons déjà dit, d’éviter l’emploi des nervures ou saillies qui, sous prétexte de maintenir les semelles, amènent trop souvent des accidents de métier dont le fondeur le plus expérimenté n’est pas toujours maître.
  - 261 .Des portées des poutres sur leurs appuis. — La longueur de portée des poutres sur leurs appuis et la section transversale de ces poutres à l’aplomb du bord de ces appuis, est d’une importance qu’il ne faut pas perdre de vue.
  - Ces supports qui sont eux-mêmes susceptibles de céder sous les charges, ne doivent être soumis qu’à des efforts proportionnés à leur résistance à l’écrasement. Il importera donc de déterminer en conséquence les surfaces d’appui des poutres d’après les règles qui ont été données pour la résistance des matériaux à la compression.
  - Mais il faut, de plus, que la poutre à l’endroit même où elle porte et dans le plan vertical du bord de l’appui, ait une section transversale capable de résister à cet effort, qui tend à la couper en cet endroit, et qu’on désigne sous le nom de cisaillement, par suite de l’analogie de cette action avec celle de la cisaille.
  - Toutes les fois qu’il s’agira de poutres droites à section constante, la section dangereuse étant évidemment au milieu de leur longueur, il n’y aura pas à se préoccuper de la résistance au cisaillement, mais pour les pièces de forme parabolique pour lesquelles l’origine de la parabole devrait théoriquement être à l’aplomb du bord de l’appui, il faudra , au contraire prendre cette origine au delà de ce point, afin que la section transversale faite par le plan vertical qui passe par cet endroit offre une aire suffisante.
  - 11 est d’usage de donner aux poutres en fonte une longueur
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  - TROISIÈME PARTIE.
  - de portée d’appui sur les piles ou supports égale à chaque bout à la hauteur de la poutre en son milieu. Avec cette proportion l’origine de la parabole du solide d’égale résistance se trou vera reportée assez loin pour que l’on n’ait rien à craindre quant au cisaillement.
  - 262. Observations sur les proportions des solives en fonte adop. téespar les ingénieurs anglais. — La plupart des ingénieurs prudents n’admettent, pour la plus grande charge permanente des solives en fonte destinées à des ponts de chemins de fer, que le cinquième, et même le sixième de la charge de rupture, ce qui revient à faire, dans les formules pratiques :
  - R = 6 488 200™ ou 5 407 000™.
  - Pour les ponts ordinaires, et surtout pour des constructions qui ne sont pas exposées à des vibrations, on admet généralement des charges permanentes égales à un quart de celles de de rupture, ce qui revient à faire :
  - R = 8 110 000™,
  - et s’éloigne peu de la valeur
  - R = 7 500 000™,
  - que nous avons adoptée dans Y Aide-mémoire, et que nous conserverons pour les cas ordinaires.
  - Dans les ponts de chemins de fer, les ingénieurs anglais s’accordent à estimer la charge du pont par pied courant à 1,5 oa 2 tonnes, ce qui revient à 5 000 ou 6 655 kilogr. par mètre courant de voie ou de paire de rails.
  - L’épreuve à faire subir aux solives n’excède que rarement le tiers de la charge de rupture, et beaucoup d’ingénieurs préfèrent n’employer que la charge réelle maximum, en observant les flexions.
  - Enfin la limite des flexions que les poutres peuvent prendre sous la charge est fixée d’une manière très-variable parles ingénieurs anglais, qui d’ailleurs ne paraissent pas s’occuper de la calculer à l’avance. Cette quantité dépend en effet tellement de la nature des fontes, comme on a pu le voir par les expériences, qu’il faut bien connaître celles que l’on emploie,
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  - 279
  - Cependant les fontes obtenues par des mélanges et d’un grain oris assez lin, que l’on doit préférer, diffèrent moins que les autres. On peut calculer, par les formules des nos 205 et suivants, la flèche de courbure des solides, et reconnaître les charges correspondantes à telle limite que l’on jugera convenable de fixer.
  - Généralement on s’accorde à admettre que la flexion des poutres en fonte ne doit pas dépasser ^ de la portée, et qu’il serait préférable de là limiter à La valeur R = 2 000 000 conduit à peu près à ce résultat pour des fontes qui donnent E = 12 000 000 000 kilogr.
  - 265. Conclusions des expériences sur la résistance de la fonte à la flexion et à la rupture. — De l’ensemble de toutes les expériences que nous avons rapportées et discutées dans les numéros précédents, nous pouvons donc conclure :
  - 1° Qu’entre des limites assez étendues et qui dépassent celles des charges permanentes que l’on peut faire supporter aux corps avec sécurité, les flexions sont :
  - 1° Proportionnelles aux efforts qui les produisent;
  - 2° Proportionnelles aux cubes des portées;
  - 3° En raison inverse du produit ah3 de la largeur par le cube de l’épaisseur, pour les pièces à section rectangulaire;
  - 2° Qu’entre ces mêmes limites, la résistance de la fonte à la compression étant sensiblement la même que la résistance à l’extension, la ligne des fibres invariables passe par le centre de gravité de la section transversale;
  - 3° Que la valeur moyenne du coefficient d’élasticité de la fonte est d’environ
  - E —12 000 000 000kil,
  - comme nous l’avons admis dans les formules pratiques, mais qu’elle varie beaucoup avec la nature et la qualité des fontes et s’abaisse parfois à 9 000 000 000 kilogr. et à 10 000 000 000 kilogr., tandis que pour la fonte mêlée elle s’élève parfois à 14000 000 000 et même à 15 000 000 000 kilogr.
  - 4° Que le coefficient de rupture par flexion pour les solives en fonte a pour valeur moyenne
  - R = 32 441 G00kil.
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- - 280
  - TROISIÈME PARTIE.
  - 5° Qu’en conséquence, si l’on admettait que les solides en fonte exposés à la flexion transversale ne dussent pas être char-gés d’une manière permanente de plus du quart de la charge de rupture, la valeur du coefficient R des formules pratiques ne devrait pas excéder
  - R = 8 110 250kil, ce qui montre qu'en adoptant la valeur
  - R = 7 500 000kil,
  - nous sommes restés dans les limites indiquées par la pru-dence.
  - Mais cette valeur K= 7 500 000 kilog., ne peut cependant être admise que pour les pièces ordinaires de machines. Quant aux arbres des roues hydrauliques, surtout aux poutres des ponts qui sont exposés à des vibrations, il est indispensable d’en limiter les charges beaucoup plus bas, afin d’éviter qu’elles ne prennent des flexions sensibles. Aussi les ingénieurs qui emploient la fonte dans la construction des ponts, n’admettent-ils pour R que des valeurs beaucoup moindres.
  - Pour les ponts ordinaires des routes on prend :
  - R = 3 000 000kil.
  - Mais pour ceux des chemins de fer, quelques ingénieurs ne vont pas au delà de :
  - R = 2 000 000kil.
  - D’autres même supposent :
  - R = 1000 000kil seulement.
  - Mais cette prudence paraît exagérée et elle conduit à des dimensions et à des poids tels que l’économie de l’emploi de la fonte disparaît.
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  - 281
  - Résistance du fer à la flexion.
  - 264. Expériences sur la résistance du fer forgé par M. Duleau. __ Parmi les expériences que l’on doit à cet habile et consciencieux observateur, nous citerons ici celles qu’il a faites sur une barre de fer forgé du Périgord, ayant pour base un triangle équilatéral de 0ra,038 de côté, sa longueur étant 3m,02 et son poids I4kil,75.
  - La distance entre les appuis étant de 3m,00, cette barre a été posée de manière à porter successivement sur chacune de ses trois faces et sur chacune de ses arêtes, de sorte que le sommet du coin formé par les faces inclinées se trouvait en dessus dans le premier cas, et en dessous dans le second.
  - Cette expérience tout à fait analogue à celle que M. E. Hodg-kinson a faite sur une barre de fonte à nervure et que nous avons discutée au n° 254, conduit pour le fer à des conséquences conformes à celles que nous avons obtenues pour la fonte.
  - En effet, les charges ayant été placées au milieu de la longueur du solide, les flexions qu’elles ont produites sont contenues dans le tableau suivant.
  - CHARGES. FLEXIONS OBSERVÉES, EN POSANT SUR LES APPUIS
  - LES FACES . LES ARÊTES
  - A B C a b C
  - kil. mill. mill. mill. mill. mill. mill.
  - 5 3 4 4 4 4 4
  - 10 7 8 8 8 8 8
  - 15 11 11 12 12 12 11
  - 20 15 15 16 15 16 15
  - 25 18 19 19 19 20 19
  - 30 22 23 23 23 23 23
  - 35 26 27 27 27 27 27
  - 40 30 31 31 31 31 31
  - 45 33 35 34 34 34 34
  - 50 37 38 38 38 38 37
  - 55 41 42 » 42 42 41
  - Les résultats de cette expérience dans laquelle la flexion s’est
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- - 282
  - TROISIÈME PARTIE.
  - élevée jusqu’à de la portée montrent d’une manière évi-dente que la résistance à la flexion est la même dans les deux cas, ainsi qu’on le déduit de la théorie. Par conséquent l’hypothèse de l’égalité de résistance à la compression et à l’extension peut être admise pour le fer de même que pour la fonte, comme sensiblement conforme à l’observation des faits, pourvu qu’on se borne à l’appliquer dans les limites où les flexions restent proportionnelles aux charges.
  - 263. Expériences sur la résistance des tubes en fer forgé, soudés et sans rivets. — M. J. Hosking a fait aussi des expériences intéressantes sur la résistance des tubes en fer forgé, sans soudure, pour la comparer avec celle des tubes en fonte.
  - Les tubes circulaires avaient été fabriqués par M. Russell et Cie, au moyen du procédé de l’étirage au laminoir. Leur diamètre extérieur était D' = 0m,1016, l’épaisseur du métal de 0m,0076, et par conséquent le diamètre intérieur D'/=0m,0940.
  - Le tube rectangulaire et le tube elliptique avaient été obtenus en chauffant les tubes circulaires et en les forgeant avec des marteaux de bois, en prenant soin de ne pas altérer le fer et en arrondissant les angles du rectangle.
  - Les dimensions du tube rectangulaire étaient, en continuant à nous servir des notations précédemment employées,
  - a = 0m,0587, b = 0m,1095, a'= O”,0511, ft' = 0m,1019 ;
  - celles du tube elliptique étaient
  - 2a=0"\0587,
  - 2à =0m,1270,
  - 2a'—Om,511,
  - 2à' = 0m,1194.
  - La portée était 2C = lm,830 entre les appuis, et la charge était placée dans un plateau suspendu au milieu de la longueur des tubes posés horizontalement.
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- - FLEXION.
  - 283
  - D’après ces dimensions, on a pour
  - le lube rectangulaire 1 = -^ (abz—a'b's)—0,000001909; le tube circulaire I = 0,0491 (D'4 — D"4) = 0,00 001398 ; le tube elliptique I = 0,7854 (ab*—a'b'3)=0,00001636.
  - A l’aide de ces formules et de l'observation des flexions rapportées par M. E. Clarck, on peut calculer la valeur du coefficient d’élasticité fournie par chaque tube. Nous prendrons pour ce calcul la flexion observée sous la charge de 1015 kilogrammes, et nous trouverons les résultats consignés dans le tableau suivant :
  - expériences sur la résistance des tubes en fer creux a la flexion.
  - FORME FLEXION VALEUR
  - de la section DIMENSIONS. SOUS sous la charge du coefficient d’élasticité
  - transversale. de 1015 kil. E.
  - '«=0,0587, «'=0,0511 ' m. kil."
  - Rectangulaire b =0,1095, V— 0,1019 0,00450 15 369 000 000
  - A=0,00120
  - Circulaire D'=0,1016, D"= 0,0940 A = 0,00114 | 0,00550 17 245 000 000
  - • Elliptique 2«=0,0587, 2«'=0,05ll 2b=0,1270, 2b'=0,1190 0,00475 17 101 000 000
  - A =0,00106
  - Moyenne E = = 16 57 2 000 000
  - Celle valeur moyenne rentre, comme on le voit, dans les limites de celles que l’on trouve ordinairement, et se rapproche surtout beaucoup de celle de 16295000 000 kilogr., déduite au n° 101 des expériences de M. E. Hodgkinson sur la résistance du fer à la compression.
  - On remarquera d’ailleurs que la charge de 1015 kilogr. dépassait de plus du double les charges permanentes, que d’après les formules ordinaires on aurait pu faire porler à ces solides et qui n’auraient dû être respectivement que de 459 kilogr., 455 kilogr. et 337 kilogr.
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  - TROISIÈME PARTIE.
  - On voit, par cette comparaison des résultats, que les for-mules relatives aux solides creux à section rectangulaire, circulaire ou elliptique, s’appliquent avec une exactitude suffisante pour la pratique.
  - Tous ces tubes ont d’ailleurs cédé par la déformation des parties comprimées. Les tubes circulaires et les tubes elliptiques se sont aplatis vers le milieu, où la charge agissait, et la rupture y est survenue trop rapidement pour que l’on puisse déduire de ces expériences le coefficient de rupture.
  - Dans le tube rectangulaire, l’un des côtés se refoula eu se ployant vers l’intérieur, et le tube se tordit.
  - 260. Des proportions usuelles de fers laminés dont le profil présente la forme d'un double T. — On emploie aujourd’hui beaucoup, dans les constructions de planchers, des pièces de fer que l’on étire au laminoir en leur donnant la forme d’un double T. On peut, si les circonstances particulières de la construction l’exigent, établir a priori entre les diverses dimensions certaines proportions; mais il importe, autant que possible, de se rapprocher de celles qui offrent le plus de facilité pour la fabrication.
  - Or, ces pièces sont étirées entre des laminoirs cannelés qui présentent chacun en creux la moitié du profil transversal, et qui peuvent s’écarter à volonté entre certaines limites, de manière à faire varier l’épaisseur du corps de la pièce, tout en lui laissant la même hauteur b, la même saillie a' pour les rebords, et la même épaisseur pour les semelles.
  - Le nombre des cylindres ainsi cannelés étant nécessairement limité, il importe de tirer d’un même équipage le meilleur parti possible, et dès lors dans les forges où ces fers se fabriquent, on adopte une série de hauteurs b correspondantes à des épaisseurs, et par suite à des forces de résistance différentes. Ainsi la Société des Forges de la Providence, dans ses usines d’Hautemont près Maubeuge, a adopté des séries de profils dans chacune desquelles la hauteur b et la saillie a' sont constantes (pl. III, page 8), et où l’épaisseur de la semelle est une fraction à peu près constante et égale à ^ de la hauteur b. Quant à l’épaisseur ex du corps, elle peut varier entre des limites données, suivant la résistance que l’on veut donner au solide.
  - 5633
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- - FLEXION.
  - 285
  - En exprimant, comme nous l’avons indiqué au n° ISS, le moment d’inertie I du profd en fonction de la hauteur b, qui pour chaque série reste constante, et de l’épaisseur ey du corps, qui peut varier dans une même série, on a, dans l’hypothèse d’une épaisseur de nervure égale au vingtième de la hauteur,
  - -7=s <?i +0,0903 a'62,
  - et alors la formule
  - «?=PC
  - V
  - devient
  - d’où l’on tire
  - PC PC
  - ^+O'O0O3^-R=ÏH)ôô«ro;
  - ey-
  - PC
  - 1000000Ù2
  - -0,5.4a'.
  - 11 sera donc toujours facile, quand on connaîtra la charge 2P à faire porter au milieu de la longueur du solide et la portée 2C, de calculer l’épaisseur qu’il convient de donner à une poutre de cette forme, d’une hauteur b déterminée, et dont les nervures ont une saillie fixée.
  - S’il s’agit d’une charge uniformément répartie, il suffit de remplacer PC par {pC\ ce qui donne
  - wC2
  - ei = 200000062 ~°’54a‘
  - A l’inverse, ces formules donnent
  - PC = 1000 000 b\e, -f 0,54a'), ou
  - Ç = 1 000 000 b2 (ej -j- 0,54a '), pÇ?
  - pour calculer le moment PC ou de la charge qui tend à fléchir ou à rompre chacune des deux moitiés du solide.
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- - 28G
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Dans le cas ou le rapport entre L’épaisseur de la nervure et la hauteur serait different, les formules précédentes devraient être modifiées, en partant de la formule générale
  - 1 ,a&3—a'b'3 v'~~« b ’
  - dans laquelle il suffira de substituer à b' sa valeur en fonction de b, pour être conduit de la même façon à des expressions aussi simples. Cette observation sera particulièrement applicable pour les fers à double T de l’usine de Monlataire, qui ont également été compris dans le tableau suivant, dans lequel les fers de la Providence sont désignés par la lettre initiale P, ceux de Montataire l’étant par la lettre M. Les numéros qui suivent ces lettres servent à distinguer les différents échantillons de chaque usine, et nous aurons à les rappeler au moment où nous présenterons les applications de ces fers à la construction des combles. Chaque équipage de laminoirs fournit un grand nombre d’échantillons, différant entre eux seulement par l’épaisseur du corps, mais nous nous bornerons à indiquer les deux valeurs extrêmes entre lesquelles il est toujours possible de modifier cette épaisseur, et par conséquent la résistance de la pièce. Les dimensions ont été relevées sur les catalogues publiés par les deux usines, et les calculs ont été faits conformément aux indications qui précèdent.
  - Le modèle P8, en sus des deux semelles supérieure et inférieure aux extrémités, présente encore une nervure dans le milieu ; mais le moment a été calculé comme si cette nervure n’existait pas.
  - La difficulté de laminer d’aussi fortes pièces sur des longueurs qui doivent être quelquefois de 6 mètres, ce qui en porte le poids à plus de 300 kilogr., est un obstacle à ce que, pour des poutres en fer forgé d’une seule pièce, ori dépasse les dimensions du profil précédent.
  - On pourra consulter la dernière colonne dans laquelle on a indiqué le poids par mètre courant de chacun des échantillons extrêmes ; les poids correspondant aux épaisseurs intermédiaires peuvent s’en déduire avec facilité.
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- - FLEXION.
  - 28*7
  - TABLEAU DES POUTRES EN FER A DOUBLE T.
  - Z 0 P © Z^'O 0 O 35 8 •w p HAUTEUR du profil, b. HAUTEUR du corps entre les nervures, b’. SAILLIE des nervures sur le corps, a'. Plus petite et plus grande largeur des nervures, a. ÉPAISSEUR 1 du corps correspondante, e<- w Q PS î- P *-« 5> w 1 J < > Valeur du moment PC ou t-pC’ convenable pour la stabilité. POIDS de l’échantillon par mètre courant.
  - m. m. m. m. m. kil.
  - p, 0,100 0,088 0,019 0,043 0,005 0,00002850 171,0 9,00
  - 0,015 0,007 0,00003184 191,0 12,00
  - M, 0,100 0,085 0,016 0,042 0,010 0,00003725 223,5 8,06
  - 0,047 0,015 0,00004560 273,6 11,66
  - P2 0,120 0,106 0,0205 0,045 0,004 0,00004018 241,1 11,00
  - 0,050 0;009 0,00005218 313,1 15,00
  - M, 0,120 0,104 0,020 0,047 0,005 0,00004551 273,1 10,00
  - 0,050 0,010 0,00005751 345,1 14,28
  - P3 0,140 0,126 0,0205 0,047 0,006 0,00005590 335,4 14,00
  - 0,053 0,012 0,00007546 452,5 20,00
  - Ma 0,140 0,123 0,015 0,050 0,007 0,00007803 408,2 13,00
  - 0,055 0,012 0,00008454 507,2 18,00
  - P< 0,160 0,144 0,0205 0,048 0,007 0,00007727 463,6 15,00
  - 0,053 0,012 0,00009860 591,5 25,00
  - M, 0,160 0,142 0,024 0,055 0,007 0,00011519 691,1 16,50
  - 0,062 0,014 0,00013031 781,9 25,00
  - P6 0,180 0,162 0,0235 0,055 0,008 0,00011198 671,9 20,00
  - 0,062 0,015 0,00014978 898,7 30,00
  - m5 0,180 0,162 0,026 0,060 0,008 0,00011925 715,5 20,00
  - 0,067 0,015 0,00015709 942,5 30,00
  - Me 0,200 0,181 0,0285 0,065 0,008 0,00015167 910,0 22,00
  - 0,073 0,016 0,00020500 1230,0 34,40
  - P; 0,220 0,200 0,0275 0,064 0,009 0,00018224 1093,4 26,00
  - 0,071 0,016 0,00023871 1532,3 40,00
  - M, 0,220 0,201 0,0285 0,065 0,008 0,00017366 1042,0 24,30
  - , 0,073 0,016 0,00023820 1429,2 37,40
  - P8 0,260 0,236 0,027 0,067 0,013 0,00029974 1798,4 40,00
  - 0,074 0,020 0,00037860 2271,6 58,00
  - Le tableau que nous venons de donner peut servir à trouver, pour ainsi dire, de suite, l’échantillon de fer qui convient et l’épaisseur qu’il faut donner au corps.
  - Si, par exemple, il s’agit d’une travée de pont de 5 mètres de portée, destinée au passage des piétons, et qui dans certains cas, fort rares, pourrait avoir à supporter quatre personnes par mètre carré, ou 280 kilogr.; en supposant de plus que le tablier se compose simplement d’un plancher en madriers de chêne jointifs de 0m,10 d’épaisseur pesant 100 kilogr.
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- - 288
  - TROISIÈME PARTIE.
  - au maximum par mètre carré, recouvert d’un macadam de 0m,25 d’épaisseur pesant environ 450 kilogr. au mètre carré le poids total à supporter par mètre carré se composerait ainsi qu’il suit :
  - 100 kilogr, 450 —
  - 280 —
  - Charge additionnelle
  - 830 kilogr.
  - Total
  - Si l’on espace les poutres de 0n\80, la charge par mètre courant de longueur de poutre sera de 830UlX0m,8 = 664IliI, et la portée étant supposée 2C=5m, on aura
  - £pC2=332kil X 2,25 = 2075.
  - On voit sur le tableau que ce nombre est compris entre ceux qui correspondent aux poutres de 0m,260 de hauteur P3 et que par conséquent l’épaisseur au corps devra être comprise entre 0m,0l3 et 0m,020. Elle sera d’ailleurs facile à calculer par la formule du n° 206.
  - 267. Expériences cle M. Fairbairn * sur les poutres en fer forgé à nervure en double T. — Dans ces expériences sur des solives en fer forgé d’une forme aujourd’hui très-usitée dans les constructions de bâtiments, M. Fairbairn a déterminé les flèches de courbure correspondant à diverses charges, ainsi que les charges de rupture. Nous rapporterons les données et les résultats de quelques-unes de ces expériences, afin de les comparer aux formules théoriques et pratiques.
  - 268. 30e expérience de M. Fairbairn. — Solide en fer malléable à double T, pesant 2pC = 102kil,83, et d’une portée 2C=3m,355 :
  - « = 0n’,0635, bi~ 0m,0254, «i=Gm,0083, «I' = 0m,1016,
  - 61,=0m,0097, b— 0m,2129, 2C=3ni,05.
  - * Conway and Menay tubular bridges, by W. Fairbairn. Londres, 1849.
- p.288 - vue 299/512
- - FLEXION. •
  - 2by
  - charges, 2P. CHARGES FLEXIONS RAPPORT des charges aux flexions, P+fpC f COEFFICIENT d'élasticité E par mètre carré.
  - totales, 2P-t-| 2pC. totales. perma- nentes. OBSERVATIONS
  - kil. 400,91 kil. 465,10 m. 0,00102 228024 kil. 12 796 000 000 * A cette char-
  - 1158,19 1222,46 0,00306 199747 11 209 000 000 ge, la solive a
  - 1955,60 2019,93 0,00510 198025 11 111 833 333 commencé à se tordre. Les nervures se sont allongées sur
  - 2750,00 28i 4,27 0,00661 212728 11 937 666 666
  - 3507,58 3571,85 0,00890 200665 11 260 666 666
  - 4300,33 4364,60 0,01168 m. 186840 les bords en
  - 5097,61 5161,88 0,01524 0,00229 170009 se courbant.
  - 5868,62 5932,79* » Moyei » me kil. 11 663 033 333
  - La formule (n° 157), à l’aide de laquelle on détermine la position du centre de gravité du profil, donne
  - 1,635—0.0083)0,0254® + 0,0083X 0,21292+ 2(0,1016-0,0083)0,0097 (0,2129—0,0048)
  - 2[(0,0635-0,0083)X0,0254+0,0083x0,2l29+(0,1016—0,0083)0,0097] =
  - on en déduit
  - I=p,0635x 0,0968® —(0,0635-0,0083)(0,0968-0,0254)3 + 0,1016(0,2129-0,0968)* -(0,1016—0,0083)(0,2129—0,0968 -0,0097)3]=0,00002804.
  - p I 5pr»
  - On remarquera d’abord que les valeurs du rapport
  - des charges aux flexions, sont à peu près constantes, sauf les erreurs inséparables de semblables expériences, jusque vers la diarge de 3507kil,58 inclusivement, donnant lieu à une flexion de 0m,0089, ou de ^ environ de la portée 2C. Au delà de la charge 2P=3507m,58, les flexions croissent plus rapidement que les charges, et bientôt on observe des flexions permanentes.
  - p_L5«Q
  - En introduisant la valeur de —-
  - formule
  - f
  - E=^(p+fPc),
  - et celle de I dans la
  - ,0968,
  - 49
- p.289 - vue 300/512
- - 290
  - TROISIÈME PARTIE.
  - on en déduit en moyenne, pour cette première barre :
  - E
  - = i 1,67753 /P+|pC\
  - 3 0,00002804 V /' /
  - 11663 033333kil.
  - La charge que les formules pratiques auraient donnée pour ce solide eût été
  - d’où
  - P=^ = 863u,,84; 2P = 1727kiI,68,
  - charge bien inférieure à celle de 3507 kilogr., sous laquelle les flexions ont cessé d’être proportionnelles aux charges, et à plus forte raison à celle qui a altéré la forme du solide, ce qui montre que les formules peuvent être employées avec sécurité.
  - Pour une autre expérience de M. Fairhairn, on a :
  - «=0m,0620, bi=0m,0254, a,—0n\0089, a1,=0m,1092,
  - bl — 0m,0112, ô=0m,2398, 2PC = 112kil, 2C=3m,05;
  - et nous pouvons, à l’aide de ces données et des résultats d’expérience consignés dans le tableau suivant, déterminer delà même façon la valeur du coefficient d’élasticité E pour cette nouvelle barre ; elle se rapproche beaucoup de celle que nous venons de calculer.
  - CHARGES, 2P. CHARGES totales, 2P -h §2pC. F LE> totales f. .IONS perma- nentes f. RAPPORT des charges aux flexions totales, P+5-pC f * COEFFICIENT d’élasticité E par mètre carré OBSERVATIONS.
  - kil. kil. m. kil.
  - 401 471
  - 1394 1464 0,0010 732000 21303000000 Anomalie.
  - 1974 2044 0,0031 365164 10677 666666
  - 2762 2832 0,0038 372631 10896000000
  - 3546 3616 0,0048 376666 11013800000
  - 4342 4412 0,0053 416226 12170666666
  - 5109 5179 0,0066 m. 392348 11472 500 000
  - 5880 5950 0,0076 0,0008 391447 11446000000
  - 6656 6726 0,0089 0,0008 377865 11052000000
  - 7417 7487 0,0114 0,0023 328377 * Sous cette
  - 8206 8276 0,0173 0,0066 239248 charge, le solide
  - 8590 8606* s’est tordu.
  - M< jyenne-E = = 11247 000000
- p.290 - vue 301/512
- - FLEXION.
  - 291
  - La formule à l’aide de laquelle on détermine la position du centre de gravité du profil a donné
  - 1)520--0,0089) 0,02542+0,0089X0,23982+2(0,1092-0,0089)0,8112(0,2308—0,0056
  - 2ÎtP,0620-0,0089)(0,0254+0,0089x0,2398+(0,1092—0,0089)0,0112
  - on en déduit
  - I=|[0,0620X0,11643—(0,0620-0,0089)(0,1164—0,0254)3 +0,1092(0,2398 —1164)3 — (0,1092—0,0089)(0,2398 — 0,1164—0,0112)3]=0,00004043.
  - A l’aide de ces valeurs, la formule
  - E
  - i
  - 3
  - (P+jpC)C3
  - a
  - donne pour valeur moyenne du coefficient d’élasticité de cette barre :
  - E = 11 247 000 OOOkil,
  - valeur qui s’applique ici jusqu’à une flexion de ^ de la portée.
  - La charge permanente que le solide aurait pu supporter,
  - RT
  - d’après les formules pratiques, eût été 2P = 2^-7 = 2342k!1,8
  - tandis que les flexions sont restées proportionnelles aux charges jusqu’à celle de 6656 kilogr.
  - 269. Enfin, pour une troisième expérience, l’on a :
  - a = 0m,070, ài = 0,0254,
  - «i = 0,0096, cii —— 0,109,
  - #,'=0,0107,
  - # = 0,2647,
  - 2pC = 125kil,
  - 2C=3“\05,
  - ',1164
- p.291 - vue 302/512
- - 292
  - TROISIÈME PA.RTIE.
  - CHARGES, 2P. CHARGES totales, 2P+ f 2pC. FLE1 totales f ' (IONS perma- nentes r- RAPPORT des charges aux flexions totales, P4-! pC f ' COEFFICIENT d’élasticité E par mètre carré.
  - kil. kil. m. kil.
  - 401 479,125 0,0005 479125 10755000000
  - 1118 1259,125 0,0013 r 484279 10871000000
  - 1977 2055,125 0,0023 446766 10 028 666 666
  - 2766 2874,125 0,0028 513236 11519000000
  - 3549 3627,125 0,0036 505156 11339600000
  - 4330 4408,125 0,0042 m. 548586 12 314000000
  - ' 5099 5177,125 0,0049 0,0008 528278 11858500000
  - 5889 5967,125 0,0056 0,0008 532779 11959500000
  - 6672 6750,125 0,0q64 0,0010 527353 11837 700000
  - 7432 7510,125 0,00^4 586713 13172400 000
  - 8203 8281,125 0,0074 559535 12560000000
  - 8987 9065,125 0,0094 482187 10825000000
  - 9764 9842,125 0,0121 406699
  - 10141 10219,125 0,0150 340637
  - 10440 10518,125 kil.
  - Moyenne E = 11595000000
  - La formule à l’aide de laquelle on détermine la position du centre de gravité du profil a donné
  - (0,070 — 0,00096)0,02542+0,0096x0,2647*+2(0,109 — 0,0096)0,0107(0,2647— 0,0053) 2[(0,070-0,0096)0,0254 + 0,0096X0,2647 +(0,109-0,0096)0,0107] =
  - on en déduit
  - 1=4- [0,70XMÏ9Ï3 —(0,70—0,0096)(01191 — 0,0254)3 + 0,109(0,2647-0,1191/ - (0,109 - 0,0096)(0,2647 — 0,1191 — 0,0107)3]=r 0,00005266.
  - En introduisant cette valeur de I dans la formule
  - (P+|pC)C3
  - 5 fl ’
  - on en déduit, pour la valeur moyenne de E,
  - E = 11 595 000000 kilogr.
  - qui s’applique jusqu’à une flexion de ^fie la portée.
- p.292 - vue 303/512
- - FLEXION.
  - 293
  - Pour ce solide, la charge donnée par nos formules eût été 2P = 2587kil,2;
  - tandis que les flexions sont restées proportionnelles aux charges jusqu’à celle de 8987 kilogr.
  - 270. Conclusions de ces expériences. — Ces expériences de M. Fairbairn nous fournissent donc une vérification de la proportionnalité des flexions aux charges pour les barres de fer à double T, et la valeur du coefficient d’élasticité qu’il convient d’adopter pour les barres de ce genre, fabriquées au laminoir et qui sont généralement d’un fer tendre et flexible.
  - Cette valeur déduite des moyennes données par les trois barres peut être prise égale à
  - E = 11 502 000 000 kilogr.
  - Elles nous montrent en même temps que les solides auraient pu supporter des charges bien supérieures à celles qu’indiquent nos formules pratiques, et par conséquent ces règles présentent toute la sécurité désirable.
  - 271. Expériences sur une poutre formée de fers en T réunis par des plaques de tôle. — M. Kaulek, habile constructeur de Paris, a construit dans ces derniers temps plusieurs planchers dans lesquels il emploie simultanément le fer et la tôle. Au lieu de se servir directement des fers à double T du commerce, il forme de véritables fers de cette espèce, dont le corps est très-mince, en réunissant les corps de deux fers semblables à simple T, par deux joues en tôle mince, d’une grande largeur et rivées sur les corps. Il assemble ensuite deux pièces semblables, qui se trouvent ainsi rendues solidaires, au moyen de boulons placés de distance en distance et qui en maintiennent l’écartement. Lorsque ces poutres doivent être apparentes, il ménage ' dans les joues en tôle des évidements qui, en même temps qu’ils diminuent le poids des pièces, se prêtent aussi à une sorle d’ornementation.
  - Les poutres essayées au Conservatoire des arts et métiers sont représentées à des échelles différentes, pour faciliter Pin-
- p.293 - vue 304/512
- - 294
  - TROISIÈME PARTIE.
  - telligence des figures, en coupe transversale et en élévation longitudinale (pl. IV, fig. 14 et 15). L’écartement des deux poutres ainsi reliées étant de 0m,50 de milieu en milieu, il s’ensuit qu’elles couvraient une superficie de 4mx0,50=2m,(i.
  - Leur longueur totale était de 4ra,66, et l’écartement était main-
  - tenu par 5 boulons pesant ensemble.................. 4kil,200
  - Les deux barres latérales pesaient, à raison de 44kil,900 l’une..................................... 89kiI,800
  - Poids total..... 94kil,000
  - Soit 20kil,17 par mètre de longueur, ou 40kil,34 par mètre carré de surface couverte. Ce poids de 20kil,l7 par mètre linéaire est à peu près celui du fer à double T, M5, de.l’usine de Montataire; nous verrons quelle sera, sous le rapport de la résistance, l’influence du nouveau mode de répartition de ce poids.
  - Appelant, comme nous l’avons fait jusqu’ici, a la largeur des nervures supérieure et inférieure, b la hauteur totale de la pièce, a! la saillie des nervures, b' la hauteur comprise entre elles ; nommant en outre a!' l’épaisseur de l’espace compris entre les deux tôles et b” la distance mesurée dans le sens de la hauteur entre les extrémités des corps des fers à T, nous aurons :
  - « = 0m,036, b =0m,200,
  - la! = 0m,0255 ô' = 0m,187,
  - a"=Om,0065, 5" = 0m,122.
  - D’après ces éléments, le poids calculé serait pour les deux barres. ................2(ab—2a'b'—a'/6")x4m,66=118kil,55
  - Ajoutant le poids des boulons...................... 4kil,20
  - on trouve.................................. 122kil,75
  - et retranchant le poids des douze évidements pratiqués dans la double feuille de tôle d’une épaisseur totale de 0m,004.................................... 28kil,41
  - on obtient pour le poids calculé.......... 94kit,30
  - chiffre qui se rapproche beaucoup du poids directement observé.
  - Mais, pour tenir compte des évidements, nous donnerons à
- p.294 - vue 305/512
- - FLEXION.
  - 295
  - 2a'une valeur plus grande 2a'=0ra,027, ce qui revient à supposer la tôle pleine et d’une épaisseur réduite à lmU1,l2, au lieu de 2 millimètres, cette épaisseur uniforme correspondant au même poids.
  - Cette correction opérée, nous pourrons calculer le moment I de la poutre entière qui sera donné par la formule
  - 1=2 X Ta («è3 — 2 a'b'3— a"b"*)=2 X tV(°>0001 1 ) =0,000018 ;
  - c’est cette valeur qui nous servira dans le calcul des flexions qui seront données dans chaque cas par la formule du n° 215,
  - , .C’XtpC ^=3 ---------’
  - 2C étant la distance entre les appuis, et 2pC le poids uniformément réparti sur la pièce.
  - 272. Mode d’expérimentation. — Dans toutes les observations faites au Conservatoire des arts et métiers, la distance entre les points d’appui a été constamment de 4 mètres ; les poutres étaient placées sur deux plaques épaisses de fer, reposant elles-mêmes sur des supports en charpente ou en maçonnerie.
  - Un repère tracé au milieu de la pièce, avec une pointe fine, était observé à l’aide d’un bon cathétomètre dont le vernier permettait de lire directement le centième de millimètre.
  - La charge était distribuée dans 17 caisses en sapin, du poids de 4 idlogr. chacune, disposées pour recevoir un certain nombre de projectiles du poids de 400 gr. ; mais les pesées ont toujours été vérifiées directement sur une balance, et le poids uniformément réparti a été successivement porté à 500, I000t 1500, 2000 et 2500 kilogr. ; la largeur des caisses était telle que le bord latéral de la première affleurait exactement le bord de la plaque d’appui, et que chaque caisse était séparée des caisses voisines par un intervalle constant de quelques millimètres ; on était assuré par ce moyen qu’elles portaient toutes individuellement sur la poutre, sans se soutenir mutuellement, et l’on peut par conséquent affirmer que la charge était
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- - 290
  - TROISIÈME PARTIE.
  - très-exactement et très-uniformément répartie. Dans les expériences qui ont été faites avec une seule charge sur le mj. lieu de la pièce, cette charge était suspendue à une tige ronde de fer de 3 centimètres de diamètre, reposant sur la poutre, et couvrant exactement une ligne au milieu tracée à l’avance avec le plus grand soin; ces expériences, avec charge unique, n’ont d’ailleurs été faites qu’un petit nombre de fois, et pour vérifier, avec les moyens dont on disposait, que l’action d’une charge uniformément répartie sur la longueur, équivaut à l’action d’un poids égal aux § du poids total, agissant au milieu de la pièce. Dans les premières observations, si l’on s’était borné à enregistrer les lectures des hauteurs au cathétomètre, on aurait dû admettre une flexion permanente pour toute charge, la lecture après le déchargement étant toujours de plusieurs centièmes de millimètre inférieure à la lecture initiale; mais un examen plus attentif a montré que cette différence provenait uniquement d’un affaissement dans les points d’appui, affaissement d’autant plus sensible que tout le système reposait sur plusieurs pièces de charpente placées à plat et superposées.
  - Dans la vue de reconnaître à laquelle de ces deux causes il fallait attribuer ces différences, on a chaque fois, avant et après l’observation,retourné la pièce;la moyenne des lectures avant l’expérience donnait la cote exacte du milieu de la poutre au-dessus du zéro de l’échelle; la même opération effectuée après le déchargement devait, quelle que fût la flexion permanente prise par la pièce, donner en moyenne le même chiffre, si les points d’appui n’avaient pas varié; l’expérience a montré qu’il n’en était pas ainsi, et un calcul fort simple a démontré que la différence tout entière était due à l’affaissement dont nous venons de parler.
  - C’est pour remédier à l’influence perturbatrice de cette cause que les supports en chêne ont été remplacés à chaque extrémité par une pierre de roche dure, parfaitement dressée sur ses deux faces supérieure et inférieure, et placeé en délit; les mêmes plaques de fer, employées précédemment, servaient à régler la portée sur ces deux pierres qui ne devaient plus être dérangées; les mêmes expériences répétées sur la nouvelle disposition ont conduit à des différences moins grandes, mais très-appréciables encore : un tassement était
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- - FLEXION.
  - 297
  - toujours accusé par l’observation de la pièce retournée. Au bout de quelques semaines cependant, pendant lesquelles un grand nombre de chargements et de déchargements ont été faits, le contact entre le fer et la pierre étant probablement devenu plus intime, ce tassement a cessé, et la poutre revenait après son déchargement, exactement à sa hauteur primitive.
  - On peut donc affirmer que dans les limites des efforts exercés, pendant tout le temps qu’ont duré ces expériences, il ne s’est manifesté aucune flexion permanente, qui soit appréciable avec l’instrument dont on se servait, et qui accusait avec netteté le centième de millimètre.
  - Rien ne prouve sans doute que la même affirmation soit applicable à toute autre circonstance, mais comme conséquence de ce résultat, il est cependant permis de se demander si dans toutes les expériences semblables, les précautions ont toujours été prises pour assurer la fixité des points d’appui; les moyens dont on s’est servi dans bien des cas pour amplifier par des leviers l’étendue des phénomènes de flexion, devaient enregistrer avec la même amplification les tassements que nous avons observés directement, et les flexions permanentes, alors qu’elles existent réellement, ont été sans doute grossies de tout ce dont les points d’appui s’étaient affaissés.
  - 275. Résultats de l'observation. — Quoiqu’on ait pris le soin, après chaque chargement ou déchargement, d’attendre pour enregistrer la lecture, que la poutre eût cessé d’éprouver une variation quelconque en vingt-quatre heures, on a cru devoir opérer successivement par chargement et par déchargement ; ainsi dans un certain nombre d’expériences, on a introduit les charges successives de 500, 1000, 1500, 2000 et 2500 kilogr., puison a déchargé; dans d’autres, au contraire, on a d’ahord chargé à 2500 kilogr., et de vingt-quatre en vingt-quatre heures, on a enlevé 500 kilogr., pris uniformément sur les 17 caisses qui composaient la charge totale; on ne s’est arrêté qu’au moment où les observations dans les deux cas sont devenues comparables, et n’ont plus différé que de 1 à 2 centièmes de millimètre.
  - On trouvera dans le tableau suivant la moyenne des résultats déduits de ces expériences.
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- - 298
  - TROISIÈME PARTIE.
  - CHARGE FLEXION FLEXION
  - uniformément répartie, observée EN MILLIMÈTRES, par
  - 2pG. f- 500 kil.
  - kil. mill. mill.
  - 500 2,580 2,580
  - 1000 4,885 2,442
  - 1500 7,190 2,396
  - 2000 9,450 11,742 3,362 2,348
  - 2500
  - On remarquera que la flexion , pour 500 kilogr., va en diminuant à mesure que la charge augmente ; mais cette différence s’explique par l’impossibilité dans laquelle on s’est trouvé d’obtenir, pour les premiers 500 kilogr., une flexion aussi peu considérable que pour les charges suivantes. Cet effet ne peut s’expliquer qu’en admettant que le contact avec les appuis n’est pas assez intime lorsque la poutre n’est pas chargée, et cependant on n’a pu se mettre à l’abri de cette circonstance, même en chargeant par avance, et en dehors de la portée, les extrémités de la poutre d’un poids égal à celui qui devait être ensuite uniformément réparti sur sa longueur. Peut-être aussi les assemblages cédaient-ils un peu sous le premier effort; mais, quoi qu’il en soit à cet égard, toujours est-il que si nous retranchons des flexions totales la flexion /! = 2mi11,580, et si nous cherchons après ce retranchement quelle est la flexion par 500 kilogr., nous trouvons successivement, à l’aide des chiffres du tableau précédent, 2mill,305 , 2mill,305, 2milI,260, 2mill,290, et ces chiffres offrent certainement une concordance aussi exacte qu’il est permis de l’espérer dans de semblables expériences.
  - Nous admettrons donc, conformément à ces considérations, que la poutre construite par M. Kaulek, et soumise aux expériences faites au Conservatoire des arts et métiers, fléchit de 2mill,30 pour une charge uniformément répartie de 500 kilogr., et que la proportionnalité entre les charges et les flexions existe au moins jusqu’à une flexion totale de llmill,642 ou ^ de la portée, qui ne doit jamais être atteinte dans la pratique, et qui correspond à une charge totale de 2500 kilogr. Cette valeur
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- - FLEXION.
  - 299
  - je la flexion par 500 kilogr., introduite en même temps que celle de I dans la formule
  - donne
  - d’où l’on tire
  - /\_iC8XspC
  - '“3- El 9
  - 0,0023=4
  - 8 X f X 250kil EX 0,000018’
  - E= 10 065 000 000kil,
  - pour la valeqr du coefficient d’élasticité. Ce chiffre est peu différent de celui qui a été déduit des expériences de M. Fairbairn, et il n’est pas étonnant qu’il soit un peu inférieur, l’ensemble de la disposition consistant en matériaux moins solidaires entre eux que les barres à double T sur lesquelles les expériences de M. Fairbairn ont été faites.
  - En adoptant pour coefficient d’élasticité E = 12 000000 000^ pour le fer à double T, M, de même poids que la poutre de M. Kaulek, on trouverait
  - f= 3mill,24,
  - ce qui démontre l’avantage de la nouvelle disposition, qui permet en outre de couvrir d’une manière rigide un large espace, en assurant la solidarité des pièces longitudinales.
  - Quant à la vérification de la conséquence théorique relative à la charge unique placée au milieu de la portée, elle n’a été faite que pour 315 et 630 kilogr., qui ont respectivement fourni des flexions identiques à celles de 500 et de 1000 kilogr. uniformément répartis. Or, on a §£§ = 0,630 et nMi — 0,630, tandis que la théorie indique, pour le rapport des charges, la valeur | = 0,625. Cette loi, déjà vérifiée sur les bois par M. Dupin, l’est donc aussi, par nos expériences, pour les poutres en fer.
  - 274. Des poutres en bois avec armature en fer. — On a quelquefois essayé d’augmenter la solidité des poutres en bois en les garnissant extérieurement ou intérieurement de feuilles épaisses de tôle. Une expérience de M. Fairbairn montre que la différence de flexibilité des deux substances doit rendre
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- - 300
  - TROISIÈME PARTIE.
  - les constructeurs circonspects dans l’emploi de ce système d’armature.
  - Une poutre en bois, de deux pièces de 0m,305 de largeur et d’épaisseur, et de 6m,70 de portée, ayant à l’intérieur une feuille de tôle de 0m,305 de hauteur, et de 0m,0095 d’épaisseur, forte, ment serrée par des boulons, a été successivement chargée en son milieu, et l’on a mesuré les flexions.
  - CHARGES 2P, placées au milieu. FLEXIONS. OBSERVATIONS.
  - kil. m.
  - 1 137 0,0063 * La charge de 21 315 kilog
  - 4 060 0,0126 ne fut enlevée qu’après 16 lieu-
  - 5 075 0,0189 res, et l’on reconnut alorsque le solide avait pris une llèclie
  - 8 120 0^0254 0,0330
  - 10 150 permanente de On',033.
  - 12180 14210 18 270 0,0381 0,0508 (3,0571 ' 1
  - 19 285 0,0635
  - 20 300 0,0711 .
  - 21 315 * 0,0838 % - '
  - D’après ces dimensions, cette pièce aurait pu supporter d’une manière permanente :
  - Pour le bois seul.......... 1694kîl,0
  - Pour le fer seul........... 527kil,6
  - 2221kil,6
  - On trouve en effet par les formules pratiques du n° 185: Pour le bois
  - 100000 X 0,3053 3,35
  - = 847 kilogr.,
  - et pour le fer
  - 1000000 X 0^0095 X 0,305s 3,35
  - 263kil,80.
  - En admettant que la pièce de bois ait rompu sous une charge
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- - FLEXION.
  - 301
  - décuple de celle que cette formule indique, on voit qu’elle se serait brisée sous 16940 kilogr. environ, et que l’emploi de la feuille de tôle paraîtrait lui avoir en réalité donné un surcroît de résistance; mais après le déchargement, la pièce composée a conservé une courbure permanente de 0m,033 ou de 20a. On voit que la différence d’élasticité des deux substances est une cause de déformation des solides de ce genre, ebexige qu’on limite les flexions à celles du corps le moins élastique, de façon que l’ensemble des deux pièces ne prenne pas de courbure-permanente.
  - Je pense, malgré cela, que dans certaines circonstances où les dimensions des pièces en bois seraient forcément limitées, l’usage d’armatures en fer pourrait être utile, surtout quand les charges n’excéderaient pas de beaucoup celles qu’indiquent nos formules.
  - 275. Comparaison des formules précédentes avec une formule pratique suivie par quelques ingénieurs français et anglais. — Les ingénieurs anglais et, d’après eux, quelques ingénieurs français se servent, pour déterminer les relations convenables entre les charges, les portées et les dimensions des poutres en fonte-ou en fer, d’une formule plus simple que celles auxquelles nous conduisent les considérations précédentes et qui est
  - et dans laquelle
  - P représente la charge placée au milieu de la portée ;
  - S la surface de la section transversale ;
  - H la hauteur de la pièce au milieu de sa longueur ;
  - L la portée ;
  - m un coefficient numérique constant.
  - Ce qui, d’après les notations que nous avons adoptées, revient à
  - __m kb
  - 1 ~4 TT’
  - attendu que pour les solides posés librement sur deux appuis, nous avons désigné par :
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- - 302
  - TROISIÈME PARTIE.
  - 2P la charge supposée placée au milieu de la longueur ;
  - A l’aire de la section transversale au même endroit;
  - 2C la portée totale ;
  - b la hauteur de la portée au milieu de sa longueur.
  - En thèse générale, cette formule n’est pas d’accord avec les principes de la théorie que nous avons posés et elle ne le serait pas davantage avec les résultats de l’expérience; mais si l’on se borne' à l’appliquer à des solides de sections semblables, c’est à-dire dont les profils transversaux aient les côtés homologues proportionnels, il est facile de faire voir qu’elle revient aux formules que nous avons données, et comme elle est plus simple et d’une application plus facile, on pourra l’employer, comme nous allons le faire voir.
  - Prenons d’abord pour exemple le cas le plus compliqué des solides à section en forme de double T à semelles différentes du n° 137 pour lesquels la distance de la couche des fibres invariables à la surface supérieure est donnée par la formule
  - (a — «i)èi2 -]- «i&2 -j- 2(«'i — a,\)b\ (bu—U
  - QQ - . L
  - k 2[(o& — ^1)61 —|— ü\b —j— {ci!\—aî)b\\
  - et
  - 1 __t [ax*—{a—a\]ix — btf-\-a\{b—xf—(a\—aù{b—x—b\f\
  - v' 3 x
  - et supposons qu’il existe entre les dimensions a, au a\, b, 6, et b'i (pl. 111, fig. 20) les rapports constants suivants:
  - a
  - !--cTPb,
  - a^ — na, a\ = n'a,
  - j 6 "<*,
  - by — mb,
  - jr_1U, b\=m!b.
  - ü î 1
  - Remarquons d’abord qu’on a l’aire de la section transversale
  - A=ai6-Ka—(h)b\=ab\n+{l—w)m'}=K.«6
  - en posant K = » + (t —n)m + (n'—ri)m\
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- - FLEXION. 303
  - On trouve ensuite
  - a{ 1 — w)m26‘2 -f- antf -f- 2 (n' — w)«m'&2 ^1 — x 2a6j(l—n)m (w'—n)m'\
  - (ïïl,\
  - 1---2/
  - b.
  - en posant
  - Ki =
  - 2{(1 — — n)m'\
  - ( l —n)n# -j- n -f- 2(»' — »)m' ^1 — ^
  - K,6
  - 2{(1 — n)m-\-n-\-{ri — n)m'\ ’
  - et enfin
  - I a63{Ki3—(1—w)(Ki—m)3-|-w'(t —- KO3—-Q'—w)(l—Kt— m! f\
  - Kt6
  - = iK2aô2
  - en posant
  - {Ki3—(1 — w)(Ki—— Ki)3—(ri—n)[ 1 — Kt— m'f\
  - K2=
  - Or, de la relation l’on déduit
  - et par suite
  - ce qui ramène la formule
  - K*
  - A = £ K ab,
  - ,_A ab —
  - 1 h.
  - — = W . A6 v' ’
  - d’où l’on tire
  - RI K2
  - ; = PC à £R.£-.A& = P.C,
  - K'a A b
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- - 304
  - TROISIÈME PARTIE.
  - K-i
  - formule dans laquelle |R.^2 est un coefficient constant pour
  - toutes les poutres à sections semblables dans lesquelles il existe entre les dimensions a, au a\, b, bi et b\, des relations constantes comme nous l’avons indiqué plus haut, et où l’on sait que, pour des poutres de pont qui doivent fléchir très-peu, il convient de faire tout au plus
  - R = 3750000 kilogr.
  - 276. Simplification de cette formule. — Nous ajouterons que la formule pratique des Anglais peut encore être simplifiée, attendu qu’en établissant entre la largeur a de la semelle supérieure et la hauteur.totale b du solide un rapport constant a = rb, ce qui est nécessaire pour que toutes les sections soient exactement semblables, on a
  - A = Kr. ¥,
  - et par suite
  - Ka r Krè3
  - k R_r
  - ; K,r. K
  - 63
  - •c’
  - d’où l’on déduira facilement la hauteur à donner à la pièce pour une charge 2P et une portée 2C données.
  - 277. Application aux poutres à T non symétriques ou à sem.elles inégales. L’on a employé sur plusieurs chemins de fer, et particulièrement sur celui de Cherbourg, des poutres en fonte à T inégaux, dont la forme a été indiquée en Angleterre comme une conséquence des expériences les plus récentes faites sur la résistance à la rupture par flexion. Nous avons fait connaître les motifs qui nous empêchaient d’admettre les conséquences extrêmes de ces expériences, fort bien faites d’ailleurs et dues en grande partie au savant M. Hodgkinson, parce que nous pensons que les charges et les flexions doivent être tellement limitées, surtout dans les grandes constructions, qu’elles atteignent à peine la moitié de celles où l’élasticité commencerait à être altérée, et que dans ces limites les résistances à la compression et à l’extension sont sensiblement égales aussi bien pour la fonte que pour le fer ; ce qui conduit à adop-
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- - FLEXION.
  - 305
  - ter pour les fers à double T la forme symétrique. Mais nous donnerons néanmoins une application de la formule précédente à une série de poutres semblables, qui se rapproche beaucoup des proportions admises en Angleterre et sur le chemin de Cherbourg.
  - Trois poutres de ce système faites pour des portées de 4 mètres, de 6 mètres et de 8 mètres ont été essayées aux usines de Marquise par M. Guettier, ingénieur, directeur de ces usines. Elles avaient les dimensions suivantes :
  - POUTRES DU CHEMIN DE CAEN.
  - 6 (N W « H ! 1 LONGUEUR j totale. 1 ai P a . g" < a SEMELLE supérieure a. 1 ÉPAISSEUR a,. è" | e II s SEMELLE inférieure a',. \18 JI S SEMELLE supérieure &t. «I-® II g SEMELLE inférieure b\. II g e l.o II
  - m. m. m. 0,030 ) > 0,025 0,020 \ m. m. m.
  - 4 4,70 0,400 0,090 0,278 0,280 3,12 0,020 0,050 0,030 0,075 0,225
  - 6 6,93 0,518 0,116 0,041 j > 0,032 0,024 } 0,277 0,352 3,04 0,026 0,050 0,041 0,079 0,225
  - 8 9,10 0,580 0,130 0,050) >0,037 0,027 } 0,285 0,380 2,93 0,030 0,052 0,045 0,078 0,225
  - 0,280 3,06 0,051 0,077 0,225
  - il résulte de ces données que l’on se rapprochera beaucoup des proportions des poutres en usage sur le chemin de fer de l’Ouest en posant les rapports simples
  - (L\ 0,3a, (X i — 3. a,
  - bi = 0,06b, b\ = 0,086,
  - a = 0,25b;
  - ce qui revient à faire
  - n — 0,3, n' — 3, w=0,05, m' = 0,08 et r=0,25;
  - 20
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- - 306 TROISIÈME PARTIE,
  - d’où l’on déduit d’abord
  - A = Kaé> == {0,3 + (1 — 0,3)0,05 -f (3 — 0,3)0,08 )ab = 0,551 .a&, puis
  - _(l_0,3)Ô^5*+0,3 + 2(3-0,3)0,08(1-0,04)_
  - 1 2{(l — 0,3)0,05 + 0,3 4-(3 —0,3)0,08 ,b50’
  - et ensuite
  - „ 0,653—(1—0,3)(0,65-—0,05)3+3(0—0,65)3—(3—0,3)(1—0,65—0,08)5
  - Kj= ---------------------^65----------------------=0-3015'
  - Il résulte de ces valeurs
  - K= 0,551, Ki = 0,650, R2 = 0,3075,
  - p=^-wr“=0’186Rî'
  - ou en admettant que
  - a = 0,256,
  - ce qui donne
  - et
  - A = Kaè= 0,551 X 0,256* = 0,1386s
  - 63
  - P = 0,026R.^.
  - La prudence et la nécessité de limiter les flexions des poutres des ponts, et particulièrement lorsqu’ils sont destinés adonner passage aux trains des chemins de fer ont conduit les ingénieurs à n’admettre dans des cas pareils pour le coefficient R que la valeur
  - R = 2000000 kilogr.;
  - ce qui conduit à la formule pratique
  - PC
  - p=54000 <? d’où 6-52«ro-
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- - FLEXION.
  - 307
  - 278. Application aux poutres à double T à semelles égales. —-pour faire aux poutres à T dont les deux semelles sont égales a une application semblable, il suffirait de faire dans fTp] les valeurs des nombres K, Kt et K2, n' = l et ! m'—m; mais comme pour ce profil à double T sy-
  - ib -«.!&' métrique nous avons adopté, pour la facilité des ! calculs, aux nos 154 et suivants, d’autres nota-| tions, nous calculerons directement les différents [.dJ=r' coefficients numériques.
  - En établissant les rapports (pl. III, fig. 18)
  - on a
  - a' —pa et b' = qb,
  - A — ab— 2a'b'=:ab(l — 2pq) = K.ab, d’où
  - en posant puis
  - K = 1 — 2pq ;
  - I , (ab3 — 2a'b'3) t/-6 b
  - (1 — 2pq3)
  - ab~—2pq3) A.b 6 1 — 2pq ‘ 6
  - et enfin
  - P
  - _i(l—2j?g3) kb
  - 6 1 — 2pq ’ G ’
  - Ce qui revient encore à la formule des Anglais pour toutes les poutres dans lesquelles les rapports p et q seront les mêmes, c’est-à-dire qui auront pour profils des figures semblables à côtés homologues proportionnels. Prenons, par exemple, pour type un profil qui se rapproche beaucoup de celui des poutres du pont du chemin de fer d’IIazebrouck à Calais, et des ponts plus nouveaux du chemin de fer d’Auteuil, et admettons les valeurs
  - P = 0,4, g = 0,92,
  - nous en déduirons
  - 1=M!=™=1)428
  - 1 — 2pq 0,264
  - et
  - Ab
  - A=(l —2pq)ab = 0,264aù, P = 0,238R .-jj.
- p.307 - vue 318/512
- - 308
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Si, de plus, on admet que a=0,25â, on en déduit A = ( 1 — 2\pq)ab=0,066è2 68
  - et
  - P = 0,0157R,
  - C*
  - on a
  - En faisant, comme au n° 277,
  - R = 2000000 kilogr.,
  - P=31400
  - d’où
  - M PC .
  - 31400’
  - formule qui servira pour calculer les dimensions.
  - 279. Comparaison expérimentale des poutres à double T avec semelles inégales et des poutres avec semelles égales. — Pour faire d’une manière bien nette la comparaison des deux systèmes de poutres, nous supposerons qu’ayant fait, d’après les proportions du n° 125, le modèle d’une poutre à double T à semelles égales et que, laissant la hauteur totale, l’épaisseur de Pâme et celle des semelles les mêmes, on partage la largeur a de sa semelle supérieure en quatre parties égales, 1,2, 3 et 4, et qu’on en-
  - ‘ lève les parties extérieures 1 et 4 de cette semelle pour les reporter à droite et à gauche de la semelle inférieure : on aura alors le modèle d’une poutre à semelles inégales dont les diverses parties auront les proportions suivantes :
  - «!=0,4a, a't = 3a, bx = b\ = 0,046 ;
  - ce qui donne
  - »=0,4, n' =3, m—m'= 0,04;
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- - FLEXION.
  - 309
  - d’où l’on déduit
  - K —n)m-\-(n'-—»)m'=0,4-f-(l—0,4)0,04-f-(3—0,4)0,04,
  - =0,528,
  - —rùrrf-X-n-A-Kri — ri)m'( 1——\
  - 2{(1 — n)m-\-n-\-{n'—n)m!\ ’ ’
  - {K!8—(1—»)(K,—m?+n'{l—K,)3—(»'— w)(l—K,—m?
  - K*
  - = 0,311;
  - puis
  - 0,311 0,528 *
  - Tandis que, pour la poutre à semelles égales du n° 278 de même hauteur, de même épaisseur, soit à l’axe, soit aux semelles, nous avons trouvé
  - P = 0,238R-ç.
  - Ce qui montre que les charges que l’on peut faire supporter dans les limites que nous avons indiquées à ces dernières poutres sont à celles qui conviendraient aux poutres à semelles inégales dans le rapport de
  - 238 à 198, ou de 1,2 à 1, ou de 6 à 5.
  - Si l’on recherche aussi le rapport des flexions des poutres proportionnées comme nous venons de le dire, on a d’abord, pour la poutre à semelles inégales,
  - d'où, à l’aide des données numériques précédentes
  - K = 0,528, Ki=0,578 et Ka=0,311
  - Ton déduit
  - I = 0,1144A5S,
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- - 310
  - TROISIÈME PARTIE.
  - et en appliquant la formule du n° 215 qui donne la flexion d’un solide posé librement sur deux appuis et chargé d’un poids 2pG uniformément réparti sur sa longueur 2C qui est
  - on trouve, pour la poutre à semelles inégales, des proportions ci-dessus,
  - f—____î___5L h pC •
  - ' 0,343EA&5 *
  - tandis que, pour la poutre à semelles égales, on a d’abord
  - I
  - 1 — 2 va 12 ’ ’
  - et, par suite,
  - r=
  - i
  - _____ C3^
  - 0,357 EÀ6*
  - .%pC.
  - Donc ces deux poutres ayant même surface de section, même hauteur et même épaisseur, prendront des flexions qui sont dans le rapport de
  - 357 à 343, ou 1,04 h 1,00;
  - ce qui montre que, sous ce rapport encore, les poutres à semelles égales ont un léger avantage, mais que les flexions restent à peu près les mêmes dans les deux cas.
  - L’on remarquera que, dans la comparaison précédente, nous n’avons pas admis, comme le font quelques ingénieurs, que l’épaisseur de la semelle inférieure fût plus grande que celle de la semelle supérieure; ce qui, à hauteur extérieure et quantité de matière égales, eût encore diminué le moment d’inertie I qui entre au dénominateur de la valeur de la flexion et aurait contribué à augmenter cette flexion pour les poutres à semelles inégales.
  - Les résultats que nous venons d’obtenir sont encore bien plus tranchés, si nous comparons les poutres à semelles inégales des proportions du chemin de Caen avec celles des semelles égales des proportions admises au n° 279, quoique ces der-
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- - FLEXION.
  - 3H
  - nières satisfassent aux conditions d’épaisseur réclamées par les fondeurs.
  - 280. Résultats d'expériences sur des poutres proportionnées comme il est indiqué au n° précédent. — C’est pour réaliser la comparaison que je viens d’indiquer que j’ai fait exécuter chez j[M. Pinard frères, à Marquise, les deux poutres en fonte qui ont servi aux expériences rapportées au n° 125. Elles devaient avoir, pour satisfaire aux conditions posées dans l’article précédent, les dimensions indiquées aux figures ci-contre.
  - cr~2-
  - Mais les indications données n’ayant pas été tout à fait suivies, les poutres ont eu en réalité les dimensions indiquées au tableau du n° 125. D’où il est résulté les valeurs suivantes pour les éléments des formules :
  - Aire de la section ( poutres à semelles égales, A=0m,<1,004350
  - transversale. .. (poutres à semelles inégales, A = 0ra,q,004060
  - En se reportant à la figure (n° 279), il est facile de déterminer la distance du centre de gravité du profil de la poutre à semelles inégales à ses faces extérieures.
  - En la supposant en effet composée :
  - 1° D’un profil présentant deux semelles égales de 0m,032 de largeur, et dont le centre de gravité serait au milieu de la hauteur du profil ou à 0m,12l5 de la face supérieure;
  - 2° De deux appendices rectangulaires placés à droite et à gauche de la semelle inférieure, et ayant ensemble 0,064 de largeur sur 0m,011 d’épaisseur, et dont le milieu serait à \ Om,2430 — 0m,0055=0m,2375 de la face supérieure du profil général.
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- - 312
  - TROISIÈME PARTIE.
  - On voit facilement que l’aire de la partie symétrique est 2 X 0,032 X 0,011 -f 0,221 XO,012=0,003366 ; que son moment par rapport à la face supérieure est Om<<i,003366 XOm,1215 =0,000409 ; que le moment des deux appendices dont Faire 0m,064 X0“,011 =0“"*,000704 Om’\000704 X 0,2375 =0,000167 ;
  - est
  - le moment total du profil est donc
  - 0,000576.
  - L’aire totale de ce profil étant
  - 0,003366 -f 0,000704 =0,004070,
  - il s’ensuit que la distance du centre de gravité du profil à la face supérieure est
  - 0,000576
  - 0,00407
  - =0m, 1415,
  - et par conséquent sa distance à la face inférieure est égale à 0“,2430—0“,1415=0“,1015.
  - Donc si les fibres des molécules qui composent cette poutre se compriment ou s’allongent proportionnellement à,leur distance au plan qui passe par le centre de gravité du profil et qui est parallèle aux faces supérieure et inférieure de ce profil, et si la couche des fibres invariables coïncide avec ce plan, on devra observer les résultats suivants :
  - 1° Quand la poutre reposera sur sa semelle la plus longue, les raccourcissements des fibres situées à la face concave supérieure seront aux allongements des fibres situées à la face inférieure dans le rapport de
  - 1415 à 1015, ou de 1,394 à 1,000;
  - r
  - a
  - s
  - ï
  - e
  - F
  - F
  - a
  - ï
  - s
  - s
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- - FLEXION.
  - 313
  - 2» Quand la pièce reposera sur sa semelle la plus étroite, les raccourcissements des fibres situées à la face concave seront aux allongements à la face convexe dans le rapport inverse de
  - 1015 à 1415, ou de 0,717 à 1,000.
  - Or l’expérience a donné dans le premier cas, la poutre reposant sur sa semelle la plus large :
  - Rapport des raccourcissementsl lro expérience, rr = 1,291 aux allongements par 100 ki- \
  - 2e expérience,
  - 1,376
  - Moyenne
  - et dans le second cas où la poutre reposait sur sa semelle la plus étroite :
  - 1" expérience,
  - Rapport des raccourcissements aux allongements...........
  - 2e expérience,
  - 0,760
  - Moyenne
  - L’on voit donc que les résultats de l’expérience concordent avec ceux de la théorie, autant que l’homogénéité des matériaux permet de l’espérer.
  - 281. Résultats relatifs à la flexion. — Par suite des dimensions données aux pièces exécutées, l’on a, pour la poutre à semelles égales,
  - a=0m,051, b — 0m,242, 2a' = 0m,036, b' = 0ra,222;
  - et le moment d’inertie du profil est
  - I = ^{0,051 X 0,2423—0,036 X 0,222Jj = 0,0000278 ;
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- - 314
  - TROISIÈME PARTIE.
  - et pour la poutre à semelles inégales,
  - a = Om,032, è=0m,243, a\=:0m,096, ô' = 0“,22l,
  - «1 = Om,012, ôt = 6^ = 0“011, x~ 0m,l415;
  - et, par suite, le moment d’inertie du profil est
  - I = i {0,032 X 0,14153 —(0,032 — 0,012)(0,1415 —0,01Î)3 4-0,096(0,243—0,1415)3j —(0,096—0,012)(0,243—0,1415—
  - = 0,00002806.
  - Les moments d’inertie des profils de ces deux poutres étant à très-peu près égaux, il s’ensuit que, sous les mêmes charges, les flexions des deux poutres données par la formule
  - devaient être les mêmes et que, pour la poutre à semelles inégales, ces flexions devaient aussi être les mêmes quand elle était posée sur la semelle la plus large ou sur la plus étroite.
  - Ces conclusions sont aussi exactement vérifiées par l’expérience qu’on peut le désirer pour de semblables recherches, puisque dans ces trois cas les flexions par 100 kilogr. de charge ont toujours été comprises entre 0mm,36 et 0mm,38.
  - Grands tubes en tôle.
  - 282. Observations de M. Fairbairn sur la forme la plus convenable pour les ponts tubulaires. — Dès ses premières expériences sur les tubes cylindriques, elliptiques ou rectangulaires, M. Fairbairn avait remarqué que, quand les rivures étaient solides, tous les tubes cédaient par la partie supérieure qui se plissait sous l’effort de compression. Ce premier résultat montrait :
  - 1° Que dans les tubes comme dans les solides pleins qui fléchissent, la partie concave est soumise à la compression et la partie convexe à l’extension ;
  - 2° Que la résistance du fer forgé à l’écrasement par compres-
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- - FLEXION.
  - 315
  - sion est beaucoup moindre que sa résistance au déchirement par extension.
  - C’est cette observation qui le conduisit d’abord à employer, pour le sommet des tubes, des plaques plus fortes que pour le fond, puis à proposer enfin la forme cellulaire qui fut définitivement adoptée par M. Stephenson.
  - 285. Expériences sur la recherche des proportions à adopter pour les ponts tubulaires de chemins de fer. — Après avoir été ainsi conduit, par ses expériences préliminaires sur des tubes de différentes formes, avec des portées qui n’avaient pas dépassé six mètres, à adopter pour la partie supérieure des tubes projetés, une section transversale de forme cellulaire composée de rectangles, M. Fairbairn se proposa de déterminer, à l’aide d’expériences successives, la proportion qu’il fallait établir entre les aires des sections transversales du sommet et du fond pour de semblables tubes.
  - A cet effet, il fit faire un premier tube à sommet cellulaire et dont le fond en feuilles plates de tôle pouvait être successivement renforcé, jusqu’à ce que l’on fût arrivé graduellement à des proportions qui présentassent à peu près la même résistance, pour le sommet, à l’écrasement par compression, et, pour le fond, au déchirement par extension. C’est dans cette vue qu’ont été conduites avec beaucoup de méthode, par cet illustre ingénieur, les expériences suivantes que nous allons discuter avec détail, attendu leur grande importance.
  - Les proportions des tubes à expérimenter furent fixées à £ de la grandeur réelle des ponts proposés. Le pont Britannia, devant avoir 450 pieds anglais de portée ; celle du modèle fut fixée à £{p=75p=22m,875; la hauteur au milieu de la longueur à 4p,6po = lm,37, et la largeur à 2p,8po = 0m,813.
  - L’épaisseur des tôles fut aussi le sixième de celle que l’on se proposait d’adopter pour le tube du pont Britannia.
  - Il résultait de ces proportions qu’en passant du modèle au tube réel, la section transversale résistante croissait dans le rapport de 1 à 36, et le poids du tube dans celui de 1 à 216.
  - Les figures (pl. IV, fig. 16 et 17) donnent une idée de la disposition adoptée pour te modèle.
  - Le sommet se composait de six cellules de 6po,5=0m,165 sur 6po=0m,152 avec recouvrement des feuilles l’une sur l’au-
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- - 316
  - TROISIÈME PARTIE.
  - trede lpo=0m,0254. Lorsqu’une rupture avait été produite dans les expériences, les joints étaient recouverts par une plaque de couverture.
  - Les cellules étaient formées par une simple cornière (pl. jy fig. 18), dont la section transversale avait 0p-‘i,175=0m-,î,000143 mais les côtés et le sommet étaient réunis par des cornières plus fortes d’une section de 0p,(ï,325 = 0m,<i,000210.
  - • Les feuilles de tôle formant les côtés étaient assemblées à recouvrement de 2po=0m,0508 de largeur avec un simple rang de rivets. A toutes les interruptions des cornières on avait rivé une plaque sur le joint.
  - •Le fond était formé de deux feuilles rivées sur une bande de tôle de3po=0m,1062 de large, régnant sur toute la longueur du tube.
  - Les joints transversaux étaient recouverts par des plaques de 3pi = 0m,915 de long sur lpi,6po=0m,457 de large.
  - L’épaisseur des plaques était mesurée en empilant un certain nombre de morceaux coupés régulièrement et bien dressés, et en prenant l’épaisseur totale pour la diviser par le nombre des plaques.
  - Le tube en expérience reposait par ses extrémités sur deux piles en maçonnerie représentées (pl. IV, fig. 17) ; afin d’éviter de donner à ces piles une hauteur considérable, une fôsse était pratiquée au-dessous du tube, vers le milieu de la portée, et la charge, formée de poids en fonte, était librement suspendue au-dessus de cette fosse, au fond de laquelle les poids devaient venir reposër en cas de rupture.
  - Les expériences exécutées sur ces modèles de tube ont été très-nombreuses, mais nous nous bornerons à celles qui sont nécessaires pour l’exposition des résultats auxquels M. Fair-bairn est arrivé.
  - 284. 33e expérience. — Le modèle de tube avait les dimensions suivantes :
  - Longueur, 23m,79;
  - Portée, 2C = 22m,88;
  - Largeur du corps, 0m,813 ;
  - Largeur du sommet, a = 0m,907;
  - Hauteur du sommet, e=0m,l70;
  - Épaisseur des tôles du sommet, 0ra,0037 ;
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- - FLEXION.
  - 31T
  - Épaisseur de la tôle du fond, eî=z Om,-00476;
  - Largeur du fond, a'=0m,890;
  - Épaisseur de la tôle des côtés, Om,00251 Hauteur des côtés, lm,073 ;
  - Poids du tube, 2pC = 4933“.
  - pour trouver la distance du centre de gravité ou des fibres invariables au sommet du tube, on a d’abord, en nommant A l’aire de la section transversale du sommet,
  - ef=a'el'(b—x)-\-el{b—x)\
  - d’où l’on tire
  - A | -f- «i (ô2—e2) -J- a'e\b A —j— o!o\ -|— 2ei (b — c)
  - D’après ces dimensions, l’aire de la section de la partie supérieure, y compris les cornières dont les dimensions ne sont pas données, était en tout
  - A = 24p°,(i,024 = 0m,fi,015495 ;
  - celle du fond,
  - A'=a'et'=8P°‘?,8 = Om,a,00576,
  - et celle des côtés,
  - A"=2et (b—e)=0m-<1,005805 ; de sorte que la formule peut prendre la forme
  - Xe JrU'(ttÉ+A'b
  - Jj 2*
  - x~ A+A'+A"
  - Cela posé, on calculera d’abord le moment I' du sommet par rapport à une ligne NO (pl. IV, fig. 16), qui passe par son mi-
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- - 348
  - TROISIÈME PARTIE.
  - lieu, et en nommant a2 la somme des largeurs intérieures des six cellules, et e2 leur hauteur intérieure, on aura
  - r=ï^(ae3—a%e£).
  - En multipliant ensuite la surface k—ae—a2e2 du profil du sommet par le carré de la distance x—e de son centre de gravité à celui du tube, et ajoutant ce produit à I', on aura le moment d’inertie h de ce sommet par rapport à la ligne des fibres invariables, ce qui donne
  - Ii = r-f A(x—e?,
  - le moment d’inertie de la partie des côtés comprise entre le sommet et la ligne des fibres invariables par rapport à cette ligne sera
  - ley{x—ef\
  - celui de la partie inférieure des côtés par rapport à la même ligne sera (n° 155) :
  - l^{x— e)3;
  - celui de la partie supérieure des côtés par rapport à la même ligne sera :
  - § e^b—xf.
  - Enfin celui du fond sera
  - a'eiXib—x?\
  - le moment d’inertie total sera donc
  - I=£rÀ (ae3—a2e23) -f A {x—e?-f-f er [{x—e? -f § ex {x—e?
  - -H ci {b—x?-\-A'{b—x?,
  - d’où l’on déduira la valeur de i en prenant pour v' la plus
  - grande des deux quantités x du b—x.
  - Les valeurs de I et de v' étant ainsi calculées, on a pu les introduire dans le tableau suivant qui contient les résultats observés par M. Fairbairn sur ce tube.
  - 3381
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- - FLEXION,
  - 319
  - charges placées au milieu, 2P. CHARGES totales, 2P-t-|-2/3C. FLEXIONS totales, f- RAPPORT de la A- charge à la flexion P+fpC. f COEFFICIENT d’élasticité. ALLONGEMENT proportionnel, , PCo' * — El
  - kil. kil. m. kil.
  - 922 4005 0,0045 445110 20 836 000 000 0,00007537
  - 2070 5153 0.0045 572450 26797 000 000 0,00007587
  - 3208 6291 0,0070 450320 21032 000 000 0,00011724
  - 4350 7433 0,0095 391160 18 311000 000 0,00015911
  - 5498 8581 0,0123 348780 16 327 000 000 0,00020601
  - 6G46 9729 0,0136 ' 357720 16 745 000 000 0,00018093
  - 7798 10881 0,0161 337890 15 817 000 000 0,00026964
  - 8935 12018 0,0203 296010 13 889 000 000 0,00033999
  - 10008 13091 0,0235 278510 13 037 000 000 0,00039358
  - 10992 14075 0,0265 265550 12 442 000 000 0,00044342
  - 11806 15949 0,0290 274970 12 871 000000 0,00048570
  - 12919 16002 0,0314 275900 11 928 000000 0,00052589
  - 13876 16959 0,0339 11708 000000
  - 14844 17927 0,0368 11401000 000
  - 15826 18909 0,0396 11 176 000 000
  - 16797 19880 0,0422 11026 000 000
  - 17785 20868 0,0450 10 854000 000
  - 18789 21872 0,0483 10599 000000
  - 19752 22835 0,0508 10 521000000
  - 20752 23835 0,0533 10466 000000
  - 21706 24789 0.0559 10 379 000 000
  - 22682 25765 0,0584 10 325 000 000
  - 23071 26754 0,0610 10265 000 000
  - 24659 27742 0,0641 10141 000 000
  - 25629 28712 0,0686
  - 26604 29687 0,0744
  - 27693 30776 0,0762
  - 28566 31649 0,0813
  - 29700 32783 0,0864
  - 30732 33815 0,0981
  - 30975 34058 0,0870
  - 31990 35073 0,0921
  - 33005 36088 0,0946
  - 34019 37112 0,1029
  - 35024 38117 0,1111
  - 36049 39132 *
  - Après avoir soutenu la charge de 36049 kilogr. pendant une minute et demie, ce tube s’est rompu par déchirement du fond, à 0m,610 du point de suspension de la charge.
  - 285. 34e, 35e, 36e et 37e expériences. — Dans la 34° expérience, le tube a été renforcé par deux plaques additionnelles ayant chacune Ora,165 sur 0m,002; le poids du tube était alors de
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- - 320
  - TROISIÈME PARTIE.
  - 5000 kilogr., et il s’est tordu sous la charge de 49987 kilogr. par suite de la faiblesse de ses côtés, ce qui était surtout remarquable vers les extrémités qui reposaient sur les appuis. Si un bâtis en fonte y avait été introduit, ainsi qu’on l’a fait plus tard, il est probable que l’expérience aurait pu être continuée plus loin.
  - Après cette expérience, le tube fut réparé et consolidé par l’addition, reconnue nécessaire, de cornières verticales rivées à l’intérieur, à 0m,61 de distance l’une de l’autre, et d’un cadre en croix de Saint-André placé aux extrémités.
  - Les expériences faites sur le tube ainsi modifié amenèrent, à la charge de 2P=57135 kilogr., la déchirure des plaques du fond près de la suspension, sans que le sommet cédât sensiblement. L’examen de ce sommet fit voir que les feuilles de recouvrement des cellules avaient été rivées et assemblées par recouvrement de l’une sur l’autre, au lieu de l’être bout à bout, avec plaques distinctes de recouvrement, et que, par suite, quelques rivets avaient été déchirés par cisaillement entre les deux tôles.
  - Le tube fut réparé de nouveau et renforcé au fond par deux feuilles de 6m,10 de longueur, de sorte que la section transversale fut portée à 17P°,8 = 0m,01148, dans la 36° expérience, dans laquelle le tube se brisa par arrachement des feuilles planes du fond, sous la charge de 67102 kilogr. Les côtés furent aussi endommagés et se fléchirent. L’examen de la fracture des bandes de tôle ajoutées au fond montra que ces bandes étaient très-défectueuses et de mauvais fer.
  - Le fond fut de nouveau renforcé et l’aire de la section portée à 22p°,45=0m,014480. Dans la 37e expérience, ce tube a supporté pendant dix-huit heures une charge de 58440 kilogr., et sa flèche de courbure s’est accrue pendant ce temps de 0m,08l5 à 0m,0850 ou de 3mill,5.
  - Il a ensuite supporté pendant neuf jours et neuf nuits une charge de 61400 kilogr., et sa flexion, qui n’était alors que de 0m,0802, ne s’est accrue que jusqu’à 0m,0818 ou de lmill,6.
  - Enfin, dans une troisième observation, il ne s’est rompu que sous une charge de 70000 kilogr., par déchirure de l’extrémité des plaques qui avaient été ajoutées au fond, ce qui montre que ce fond renforcé et le sommet étaient assez forts pour soutenir des charges plus grandes.
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- - FLEXION.
  - 321
  - Dans toutes ces expériences successives, les flexions ont été constamment observées avec soin. Par la représentation graphique des résultats à une grande échelle, en prenant les charges pour abscisses, et les flexions observées pour ordonnées, on a pu apprécier la charge pour laquelle les flexions cessaient, dans chaque expérience, detre proportionnelles aux diarges.
  - C’est ainsi qu’on a pu reconnaître, dans la 34e expérience, que cette limite n’était atteinte que pour une charge très-considérable, 37 000 kilogr. environ. Les écarts ont été plus sensibles dans la 35e expérience, bien que la proportionnalité se soit encore vérifiée pour des charges très-voisines de celle à laquelle la déchirure s’est produite. Dans la 36e expérience, la proportionnalité n’a cessé que vers 45000 kilogr., et les chiffres que nous donnons dans le numéro suivant, pour l’expérience qui a déterminé la rupture du tube, montrent que l’on peut considérer les flexions comme proportionnelles aux charges jusqu’à 60000 kilogr., c’est-à-dire bien au delà des limites dans lesquelles nous admettons que l’on doit appliquer les conséquehces auxquelles la théorie nous a conduits.
  - 286. Expérience de rupture. — Le tube ayant été réparé de nouveau, en conservant les mêmes aires de section, l’observation a fourni les résultats contenus dans le tableau suivant:
  - 2P. f 2P. f
  - kil. m. kil. m.
  - 9 063 0,0128 71461 0,0963
  - 16 207 0,0192 73 334 0,0986
  - 22142 0,0305 74628 0,1017
  - 28 210 0,0376 75 929 0,1041
  - 35 123 0,0453 77 528 0,1075
  - 41811 0,0540 78 782 0,1100
  - 46 818 0,0608 80 221 0,1140
  - 51941 0.0686 81548 0.1155
  - 59 891 0,0775 83 252 0,1175
  - 62 541 0,0820 84 477 0,1200
  - 65115 0.0865 85 694 0,1221
  - 67 245 69 221 0,0911 0,0940 87 690
  - 21
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- - 322
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Ce tube s’est rompu à la charge de 87690 kilogr. par compression au sommet.
  - Dans cette expérience, après avoir successivement augmenté .l’aire de la section transversale du fond, on l’avait amenée à peu près à l’égalité avec celle du sommet, puisqu’elles avaient respectivement : le fond, 145 centimètres carrés, et le sommet 155 centimètres carrés de surface.
  - En calculant comme précédemment, à l’aide des flexions observées pour les moindres charges, la valeur du coefficient d’élasticité, on trouve
  - CHARGES EN KILOGRAMMES. 2P -+- AüjrC. COEFFICIENT D’ELASTICITE. E.
  - kil. kil.
  - 19 897 17 977 000 000
  - 25 832 15 154 000 000
  - 31 000 15 179 000 000
  - 38 813 18 389 000 000
  - 45 501 16 732 000 000
  - 50 508 16 077 000 000
  - dont la moyenne 16 600 000 000 kilogr., qui comprend tous les résultats de l’observation, jusqu’à une flexion égale à ^ de la portée, pourra servir dans toutes les circonstances semblables , à déterminer les dimensions à adopter pour les tubes en tôle.
  - 287. Expérience sur le premier tube du pont de Conway.— Après les expériences préliminaires qui avaient fixé l’opinion des ingénieurs sur les proportions à établir entre les diverses parties des tubes, on résolut, quand le premier tube du pont de Conway fut terminé, de le soumettre lui-même à une expérience qui prenait ainsi un caractère gigantesque. On construisit des piles pour soutenir ce tube d’une portée de 122 mètres et on le chargea successivement de poids, en mesurant les flexions.
  - Les données de celte expérience sont les suivantes.
- p.322 - vue 333/512
- - FLEXION.
  - 323
  - Longueur du tube 125m,66. Portée 2C = 122m.
  - Hauteur au milieu b = 7m,78. Largeur a —4m,58.
  - Aire du sommet A =0m-'(,43215 e = om,535 =e\
  - Aire du fond A' = 0ra'ci,33346 Aire des côtés A" = 0m,r(,16529*
  - A -f A' 4- A" = Onw<,93190
  - , ora 0247
  - Epaisseur moyenne des côtés ei = ——, cornières verticales comprises*
  - Poids du tube y compris les rails et les cadres en fonte des extrémités, 2j)C = 1320 800“.
  - Le tableau suivant contient les résultats des expériences :
  - CHARGE, ip’G LONGUEUR sur laquelle elle était répartie, 2C' CHARGES d'expérience par mètre courant. FLEXIONS f RAPPORTS des flexions aux portées f 2C E.
  - kil. m. kil. m. kil.
  - 0,000 0,202 ÔuT 13 663 000 000
  - 96,467 21,40 4508 0,230 5 ;j 0 12 978 000 000
  - 156,410 32,15 4865 0,242 604 13 307 000 000
  - 204,140 45,80 4455 0,266 ïiÿ 12 791 000 000
  - 305,710 58,00 5271 0,279 4~36 10 37 1 000 000
  - Moyenn e 13 185 000 000
  - Le poids seul du tube, égal à 1 320800“, produisait une flexion de 0ra,202, et la charge de 96 467“ ayant été laissée dans le tube pendant quatre heures, la flexion qui était d’abord de Gm,230, s’accrut jusqu’à Gm,236 ou d’environ 0m,006. Après un séjour de la même charge pendant dix-sept heures, la: flexion augmenta encore de 0m,0025.
  - * Ed. Clark, page 254, IIe volume. Les données du texte de M. Clark pour ce même tube ne sont pas exactement d’accord avec celles des planches; celles que nous avons adoptées sont à la fois d’accord avec l’ouvrage de M. Faîrbairn et les planches de M. Clark.
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- - 324
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Des dimensions de ce tube, on déduit, pour la distance du centre de gravité au sommet,
  - x =
  - aI+a'(M)+a"4
  - A + A'+A" —
  - 3m,506.
  - Le centre de gravité étant par conséquent à la distance de 7m,78G — 3m,506 = 4m,274 du fond, il s’ensuit que l’on a ici v' = 4m,274.
  - 11 est facile de voir que, par suite de la grande hauteur du tube, son moment d’inertie a pour valeur très-approchée, en se rappelant que A = Ora-t|,43215, A' = Om,cl,33346, ainsi que les valeurs des autres données de cette application,
  - I =0,43215 X3,23852-f 0,33346 X 4,0065*
  - + A0,0247(^97Î3 4-3,73*/) = 10,6369.
  - On remarquera que le dernier terme, relatif aux côtés, n’ayani pour valeur que
  - i0,0247(2,9718 + 3,7393) = 0,646,
  - ou environ delà valeur totale, il peut sans inconvénient être négligé, ce qui facilite les calculs.
  - Dans cette expérience, il n’a pas été possible de faire porter toute la charge à peu près au milieu, et l’on a été obligé delà répartir sur une étendue assez considérable pour qu’il soit nécessaire d’en tenir compte.
  - À cet effet, appelons 2C' la longueur sur laquelle la charge était uniformément répartie à raison de/kil par mètre courant, et considérons une section quelconque ik ( pl. IV, fig. 20) de la partie uniformément chargée. En se reportant aux notations et aux considérations développées aux nos 194 et 216, ou verra d’abord que le moment de la pression Q exercée sur l’un des appuis, par rapport à cette section est QX, puis que la charge sur un élément de longueur y—x situé à la distance Y de la section «A étant p'y, son moment est ;o'Yy, et que la somme des moments semblables, égale ^p'Y2, doit être prise depuis la valeur Y=C jusqu’à celle Y=X —(G— G'), ce qui donne pour
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- - FLEXION.
  - 323
  - la somme de tous les moments élémentaires de la charge uniformément répartie
  - MX—(C—G')]2.
  - La relation d’équilibre entre les forces extérieures et les résistances moléculaires à l’extension et à la compression est donc (n° 194)
  - El
  - = QX—lp' [X—(C—C')]2
  - En remarquant ensuite que la pression sur l’appui B, provenant de la charge 2/C' est, pour la partie comprise entre ik et cet appui,
  - Q=jp'C',
  - elle devient : ~ =/C'X'—|-/[X—(C — C')]2.
  - Ce qui donne d’abord pour la relation d’équilibre
  - •^=p'C'x-ip'p+y(c-G')X-^(c-c')*
  - = p'CX—i/X2— Ip’ (C — G')2.
  - Et par suite la flèche élémentaire (n° 215) a pour valeur
  - __&x_p'CÆ*x-yi?x—±/(C—<C'flx r El
  - En posant S = X, S étant la longueur de la fibre invariable ; la somme de toutes les flexions élémentaires semblables, ou la flexion totale f, sera donc
  - ,_ èp'CX» - ip'X.* - ÎP'(C—C'fT-.
  - T~ El
  - et pour la flexion au milieu de la longueur, qui correspond à X = G, on a
  - .p'ic—cyc*
  - 4 El
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- - 326
  - TROISIÈME PARTIE.
  - C®
  - Celte formule se réduit d’ailleurs à f—h'gpour le cas
  - où C = C', ainsi que cela devait arriver, et si, comme il convient, on tient compte du poids propre du solide, qui est
  - 2pC = 1 320 800 kilogr.,
  - en appelant^ son poids par mètre courant, ce poids produira une flexion exprimée par
  - de sorte que la flexion totale sera
  - ,_^C®bC+yC]-ip'(C-CO!C*
  - El
  - D’où l’on tirera pour la valeur du coefficient d’élasticité
  - r. &C8[pC+p'C]~ip'(C-C?C8
  - h----------------jy------—
  - C’est à l’aide de cette expression que l’on a calculé les valeurs du coefficient d’élasticité insérées au tableau pré-' cèdent.
  - L’on voit que les quatre premières valeurs, dont la dernière correspond à une flexion de j-tg de la portée, supérieure à la proportion que l’on admet ordinairement, sont sensiblement constantes et donnent pour le coefficient d’élasticité une quantité moindre que celle qui a été trouvée dans d’autres cas, mais qui se rapproche beaucoup de celle qui a été fournie par les expériences de M. Fairbairn sur les barres de fer à double T, examinées aux n09 275 et. suivants.
  - 288. Détermination du plus grand allongement subi par les fibres dans cette expérience.— Si i’on sc reporte aux considérations du n° 140, par lesquelles on peut obtenir la valeur de la plus grande variation proportionnelle de longueur des fibres, on se rappellera que l’on a
  - • (Pp-f Q?+etc.)?/
  - Fi
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- - FLEXION.
  - 327
  - Dans le cas actuel, il s’agit de deux charges uniformément réparties : l’une, 2pC=l 320 800 kilogr., est le poids du solide ; pautre, 2p'C', est celui de la charge.
  - D’après les notions exposées précédemment, en prenant les moments par rapport à la section du milieu, on a pour les moments des charges qui correspondent :
  - au poids du solide,
  - à la charge répartie sur la longueur 2C\ |p'C'2.
  - La somme des moments des forces qui agissent de haut en bas est donc
  - hpV^p'C'*-,
  - la pression sur les appuis, et qui agit de bas en haut, est *C+p'C',
  - et a pour moment pG2 + p'CG'.
  - La somme algébrique des moments des forces est donc M^iJC8+ycc,-ii3G2~-|/c'2==^c2-}-p'cc'~^'C'2, et par suite on a
  - . (yv+p'cc—ip'c^v'
  - E1
  - Pour le tube de Gonway on a (n° 286) :
  - i>' = 4“,274, 1= 10,6367.
  - On a trouvé, en moyenne, d’après les expériences de M» Fair-bairn :
  - E = 13 485 000 000 kilogr.
  - Une s’agit donc que de substituer, dans la formule ci-dessus, les différentes valeurs que prend le numérateur selon celles des charges 2//C', et leur répartition.
  - Nous en ferons ici deux applications : l’une au cas où le solide n’était soumis qu’à son propre poids, et où, par conséquent, p' = o, et l’autre à la charge 2p'C'=204140 kilogr., la plus
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- - 328
  - TROISIÈME PARTIE.
  - grande de celles qui ont produit des flexions proportionnelles aux charges.
  - La première donne :
  - |pCV __ 660 400 X 30ra,5x4m,274 El “13 185000000 X 10,6367
  - 0ra,000614.
  - La deuxième pour laquelle p'C = 102 070kil, C' = 22m,9o donne
  - . __ [660400X30,5 + 102 070X61 —51 035X22,90]4m,274 13 185 000 000 X 10.6369 = 0m,000 780.
  - En se reportant au n° 147, l’on voit que ce dernier allongement proportionnel n’a pas atteint la limite *=0m,0008 relative aux fers doux, au genre desquels on doit évidemment rapporter les tôles employées, puisqu’elles n’ont donné pour le coefficient d’élasticité qu’une valeur bien inférieure à Gelle que fournissent les fers en barres et les fers doux étirés ordinaires.
  - 280. Application de la règle qui lie les flexions aux portées et les portées aux hauteurs des solides. — Si l’on se reporte aux considérations du n° 256 et si l’on applique la formule
  - _ 1 R C 2C “ 6 E vn
  - au tube du pont de Conway, pour lequel on a C=6im,00, f/=4m,274,
  - en prenant
  - R==6000000 kilogr., E= 13185000000 kilogr.,
  - on trouve pour le rapport des flexions aux portées
  - f _ 1000000 61 _ lf
  - 2C 13185000000*4,274 922*
  - Ainsi l’adoption de la valeur de R = 6000000 kilogr. don*
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- - FLEXION.
  - 320
  - nerait seulement pour ce solide une flexion de ^ pour limite de celles qu’il pourrait supporter sans altération de son élasticité, tandis qu’en réalité il en a subi, par son seul poids, une ^ sans danger. On voit donc que cette valeur du coefficient de résistance à introduire dans les formules, conduira à des dimensions qui offriront toute sûreté pour des constructions analogues.
  - 290. Mode de calcul adopté par quelques ingénieurs. — La grande hauteur des tubes et le peu d’épaisseur du sommet et du fond cellulaires par rapport à cette hauteur, ainsi que l’influence assez faible des parois verticales sur la résistance totale, peuvent, jusqu’à un certain point, autoriser à employer un mode de calcul adopté par quelques ingénieurs anglais.
  - En effet, si l’on admet que par suite de la faible épaisseur relative du sommet et du fond du tube, toutes les fibres du sommet sont également comprimées et toutes celles du fond également étendues, il suffira d’écrire que la somme des moments des résistances à la compression et à l’extension par rapport à la ligne des fibres neutres, est égale au moment de la force extérieure, ou plus simplement on pourrait exprimer que le moment de la résistance du sommet par rapport à la ligne milieu du fond, est égal au moment de la charge par rapport à la même ligne.
  - En effet, en appelant :
  - A faire de la section du sommet exposé à la compression;
  - R la résistance à la compression par unité de surface ;
  - Ha hauteur moyenne du tube, mesurée depuis le milieu du sommet jusqu’au milieu du fond ;
  - - la distance de la ligne du milieu du sommet à la ligne des fibres invariables ;
  - À' faire de la section du fond exposé à l’extension;
  - R' la résistance à l’extension par unité de surface ;
  - b—- — b.-—- sera la distance de la ligne milieu du fond à n n
  - la couche des fibres invariables.
  - On verra facilement que les moments des deux résistances
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- - 330
  - TROISIÈME PARTIE.
  - à la compression et à l’extension, par rapport à la ligne des fibres invariables, seront respectivement :
  - pour la compression, AR.^;
  - pour l’extension, k'R'b-—-.
  - n
  - La somme de ces deux moments devant être égale au rao-. ment de la moitié de la charge, dont le bras de levier est la moitié de la portée totale, on aura, en nommant comme par le passé :
  - 2P la charge supposée placée au milieu de la longueur du solide ;
  - 2C la portée totale,
  - ?C = AR- + A'R'6.^i.
  - n ' n
  - Si l’on veut que le tube ne fatigue pas plus au sommet qu’au fond, il faut poser la relation
  - AR=A'R\
  - ce qui réduit la précédente à
  - PC=AR&(/-4-—?Y=ARô=A'R'ô.
  - \n ' n J
  - Cette formule revient à celle que l’on obtiendrait en supposant que la rotation se fît alternativement autour du sommet et du fond, ce qui est la méthode de calcul indiquée par M. Clark.
  - Si, au lieu de supposer le tube chargé en son milieu d’un poids 2P, on considérait une charge uniformément répartie
  - 2^C, il faudrait remplacer, comme on le sait, P par , et l’on aurait
  - pÇ} = ARô = A'R'ô.
  - 291. Valeurs des constantes R et R'. — Dans celte formule, R et R' sont les valeurs des charges directes qui, par compres-
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- - FLEXION.
  - 331
  - sion ou par extension, produiraient la rupture, et la grandeur Je ces quantités pour chaque substance conduit au choix qu’il convient d’en faire selon la position où l’on doit les placer.
  - Ainsi, d’après des expériences diverses, les ingénieurs an-glais ont admis que la résistance de la tôle des tubes à la rupture par extension était 18ton,6 par pouce carré, ou 28kn,68 par millimètre carré, ce qui revient à
  - Pi=28 680000 kilogr. par mètre carré,
  - et que sa résistance à la rupture par compression n’était que de l4ton,8 par pouce carré, ou 23kil,29 par millimètre carré, ce qui donne
  - R'=23290 000 kilogr. par mètre carré, et conduit à
  - R____14,8 _4*
  - R'~18,6^5 '
  - 292.[Observation sur l'emploi de la fonte. — D’une autre part, la résistance de la fonte étant de 75 kilogr. à 80 kilogr. par millimètre carré pour la compression, et de 10 kilogr. à 11 kilogr. seulement pour l’extension, quelques ingénieurs, se plaçant toujours au point de vue de la rupture, en ont conclu qu’il convenait d’employer la fonte pour le sommet des ponts tubulaires et la tôle pour le fond.
  - Mais si l’on se reporte aux expériences sur la compression comparative de la fonte et du fer, rapportées au n° 100, on reconnaîtra sans peine que, dans les limites où l’élasticité n’est pas altérée, le fer étant moins compressible que la fonte, et les flexions devant être aussi restreintes que possible, il convient, au contraire, de préférer le fer à la fonte, comme l’a fait M, Fairbairn dans les tubes qu’il a construits.
  - * M. Hodgkinson dit même, p. 178 de l'Enquête, qu’au delà de 15 toilnes par pouce carré ou 23kil,61 par millimètre carré pour l’extension, et 12 tonnes par pouce carré ou 18li’,68 par millimètre carré pour la compression, la ténacité du
  - R 12 4
  - fer est altérée, ce qui établit le rapport ^>=—
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- - ;1
  - 332 TROISIÈME PARTIE.
  - 295. Application des données du n° 264 au tube du pont de Conway. — Si l’on appliquait la formule
  - pC___AR6____A'R'ô
  - 2 C C
  - au tube du pont de Conway, en y supposant :
  - i? = 1384ttn, C = 61n\ b = 7m,7 8,
  - et successivement :
  - A=Om,tf,43215 et A'=Om,33346,
  - on trouverait, pour le coefficient pratique de résistance de la tôle à la compression :
  - H
  - jpÇ3 13841 X61*
  - ’2A b 2X0,43215X7,78'
  - -7 423 800k“,
  - ou environ le tiers du coefficient de rupture, égal 5 23290000ki-logr., valeur admise par les ingénieurs anglais (n° 290).
  - Pour le coefficient pratique de résistance de la tôle à l’extension, on trouverait :
  - R':
  - pÇ?
  - 13841 X6f
  - 2 A'6 2X0,33 346X7,78
  - = 9617600ldI,
  - ou environ le tiers de la valeur 28680000 kilogr., que les mêmes ingénieurs admettent pour la résistance de la tôle à la rupture par extension.
  - Ces valeurs dépassent de beaucoup, comme on le voit, celle de R=6000000 kilogr., que nous avons adoptée.
  - De celte comparaison et de la complète •sécurité que paraissent offrir les ponts tubulaires de Conway et du détroit de Menay, nous croyons pouvoir déduire une nouvelle confirmation de la confiance que l’on pourra avoir dans des constructions où l’on adopterait pour coefficient pratique de résistance à la compression et à l’extension :
  - R=6000000 kilogr. comme nous l’avons fait jusqu’ici.
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- - FLEXION.
  - 333
  - On doit, en effet, se rappeler que les considérations rela tives à la rupture et les conséquences qui en sont la suite sont loin de présenter la même exactitude, le même accord avec l’expérience, et par suite, la même sécurité, que celles qui sont basées sur les compressions, les extensions et les flexions renfermées dans les limites où l’élasticité n’est pas sensiblement altérée.
  - Or, on a vu, malgré de légères différences, qu’entre ces limites la résistance du fer, ou, ce qui revient au même, son coefficient d’élasticilé E a sensiblement la même valeur pour la compression que pour l’extension, et qu’il convient, en général, pour rester dans ces mêmes limites, de ne pas donner à la constante R une valeur plus grande que 6 kilogr. par millimètre carré ou 600000 kilogr. par mètre carré.
  - Dans leurs calculs, les ingénieurs anglais paraissent indiquer que la valeur de R pour la tension ne doit être par milli-
  - mètre carré que de...................................... 7kiI,77
  - et pour la compression de............................... 3 ,90
  - quantités dont la moyenne............................... 5kil,8l
  - s’éloigne peu de celles que nous venons d’indiquer ; mais on vient de voir que dans la construction des ponts tubulaires ils se sont beaucoup écartés de ces limites.
  - 294. Charge admise dans les calculs des ponts de chemins de fer par les ingénieurs anglais. — Les ingénieurs anglais, dans leurs calculs de ponts de chemins de fer, paraissent admettre qu’un train pèse une tonne anglaise par pied de longueur, ce qui revient à 3330 kilogr. par mètre et nous semble excessif surtout pour des ponts tubulaires à une seule voie où l’on est sûr qu’il n’y aura jamais qu’un seul train dans le tube.
  - Au pont de Conway, le poids d’un tube était de 1320800 kilogr. répartis sur une longueur totale de 125m,66, ce qui revient à 10511 kilogr. par mètre. De sorte qu’au moment du passage d’un train, la charge par mètre courant, qui se compose de deux éléments, 10511 kilogr. par mètre pour le poids propre du tube, et 3330 kilogr. pour la charge du train, devrait être estimée à p= 13 841 kilogr.
  - Cette estimation était alors exagérée, car une locomotive des plus grandes dimensions ne pesait à cette époque que 24000 kilogr. et avait environ 10 mètres de longueur, ce qui ne rêvé-
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - 334
  - naît qu’à 2400 kilogr. par mètre courant, même en supposant un train entièrement composé de locomotives.
  - Dans les premiers chemins de fer français, les wagons vides ne pesaient guère que 3000 kilog., mais leurs dimensions, lem solidité ayant été successivement accrues, leur poids a atteint dans ces derniers temps, les valeurs suivantes sur le chemin de Paris à Lyon :
  - DÉSIGNATION
  - DES VOITURES.
  - POIDS
  - voie,
  - VOITURES A VOYAGEURS DE 8™, 11 DE LONGUEUR ENTRE LES TAMPONS.
  - kil. kil. kil. kil.
  - 1” classe 7420 28 voyagea70 = 1000 9 380
  - 2è classe 7170 40 » à 70 = 2800 9970
  - 3e classe 7450 50 » à 70 = 3500 10950
  - VOITURES A MARCHANDISES DE 5ra,50 DE LONGUEUR ENTRE LES TAMPONS.
  - Wagons fermés 4000 . kil. 5000 9000 1626
  - Wagons à bagages, fermés... 4200 marchandises. 1 9200 1674
  - Wagons à bords, non couverts. 3700 8700 1582
  - Wagons plats 3000 1 5000 8000 1418
  - TRUCKS POUR VOITURES DE ROULAGE DITES MARINGOTTES , DE 7m,00 DE LONGUEUR ENTRE LES TAMPONS.
  - Trucks......................j 3300 J marchandises.j 6000j 8300 j 1185
  - Ce qui montre que la charge maximum par mètre courant, n’est, pour les wagons de marchandises, que de 1674 kilogr.
  - Quoi qu’il en soit, on remarquera que, dans les expériences que nous avons rapportées aux n°s 285 et 285, les charges supportées par le tube par mètre courant ont dépassé de beaucoup celles de 3330 kilogr., puisqu’elles se sont élevées à 5271 kilogr. par mètre dans la dernière expérience ou à une charge totale de 305710 kilogr., ce qui correspond à un train de près de 30 wagons de marchandises pesant chacun 9200 kilogr., en comptant la locomotive et son tender pour 30000 kilogr., train qui occuperait, pour les wagons seuls, une longueur de 165 mètres, supérieure à celle du tube.
  - 2770
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- - FLEXION.
  - 335
  - Ce poids excessif était, d’ailleurs, réparti sur une longueur beaucoup moindre que celle d’un train de même poids, et l’épreuve supportée par le tube a été bien supérieure à celle du service courant. Malgré cela, la flexion ne s’est élevée au plus qu’à iïïïï de la portée.
  - En France on base le calcul de la surcharge supportée par les ponts destinés au passage des trains sur le poids des locomotives de marchandises qui sont devenues de plus en plus lourdes, et dont quelques-unes ont été dans les derniers temps portées au poids de 40 tonnes réparti entre trois essieux : celui du milieu portant 15 à 16 tonnes environ et les deux extrêmes 12 à 13 tonnes. Selon la longueur des ponts, cette charge peut être différemment répartie, attendu que la locomotive a 10 à 12 mètres de longueur.
  - Dans le traité spécial sur la construction des ponts métalliques que MM, Love et Molinos viennent de publier en tenant compte de la diversité de répartition qui résulte de la longueur des ponts, ils estiment la surcharge par mètre courant de longueur de voie ainsi qu’il suit :
  - m. m. m. m. m. m. m. m. m.
  - Longueur de la travée. 4 6 10 15 20 25 30 40 60
  - Surcharge uniforme-
  - ment répartie par ton. ton. ton. ton. ton. ton. ton. ton. ton.
  - mètres de voie 8 7 6 5 4,7 4,5 4,5 4,5 4,0
  - Outre la charge accidentelle, il faut enfin, dans le calcul des poutres qui doivent supporter les ponts, tenir compte du poids des matériaux qui en forment le tablier, et qui est habituellement très-considérable. Cette charge permanente peut être estimée, pour les ponts ordinaires avec pavé ou empierrement, à 1300 ou 1500 kilogr. par mètre carré, et à peu près au même chiffre pour les ponts de chemins de fer donnant passage à la voie.
  - 29d. Marche à suivre dans le calcul des solides du genre des ponts tubulaires.— Lorsqu’il s’agit de constructions analogues à celles des ponts tubulaires, il se présente, pour déterminer les dimensions à donner aux poutres ou supports en fer, une difficulté qui provient de la grande influence qu’exerce le poids propre de ces corps, généralement plus considérable que celui des charges auxquelles ils doivent donner passage.
  - . -4IMW. - i iUB—
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- - 336
  - TROISIÈME PARTIE.
  - On peut échapper à cette difficulté et obtenir au moins une première approximation de l’étendue à donner aux surfaces résistantes du profil transversal de la manière suivante : ies parois verticales ayant beaucoup plus d’importance comme moyen de liaison de la partie supérieure à la partie inférieure que comme éléments de la résistance du solide, on en fera d’abord abstraction, et alors on appliquera la relation approximative établie au n° 290 dans l’hypothèse que la hauteur du solide est assez grande par rapport à l’épaisseur du sommet et du fond pour qu’on puisse regarder toutes les fibres du sommet comme également comprimées, et toutes celles du fond comme également allongées; on se bornera donc à écrire que le moment de la moitié de la charge, pris par rapport à la section du milieu, est égal au moment de la résistance de chacune de ces parties, pris par rapport à l’autre.
  - Si de plus nous admettons, ainsi que cela paraît résulter des discussions précédentes, que pour les premières variations de longueur et les faibles flexions, les seules que l’on puisse tolérer, la résistance du fer à la compression soit la même que celle qu’il oppose à l’extension et si l’on prend
  - R = 6000000 kilogr.
  - comme nous avons montré qu’on pouvait le faire avec sécurité, il sera facile d’établir le calcul.
  - En effet, la somme des moments du poids propre du solide est, comme on sait, |pC2.
  - La somme des moments de la charge provenant du train est 4/C2, en admettant que le train occupe toute la longueur du pont.
  - Le moment de la résistance du sommet à la compression par rapport au fond est
  - RA b,
  - en appelant b la distance des lignes milieux du fond et du sommet.
  - On doit donc avoir
  - ^C2-Kp'Ca = RA&.
  - Or, le poids 2^C du solide, dont le sommet et le fond de-
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- - FLEXION.
  - 337
  - vront avoir la même seclion, puisque l’on admet que R = R', ce qui donne A = A', peut, en négligeant les parois verticales, être exprimé par
  - 2^C = 2dA2C,
  - en désignant par d=7783 kilogr. le poids du mètre cube de fer forgé. On a donc
  - ipC2 = dAC».
  - L’expression précédente devient ainsi dAC! + ip'C8 = RA&
  - ou
  - d’où
  - Lors donc que la portée 2C sera connue, la hauteur du solide et l’épaisseur du sommet et du fond déterminées <a priori, ainsi que le poids 2p'C du train ou la charge uniformément répartie à supporter sur toute la longueur, on aura une première valeur de l’aire de la seclion transversale qu’il convient d’adopter pour le sommet et pour le fond.
  - Si, par exemple, on applique cette formule au pont de Con-way, en supposant que la charge extérieure à supporter par mètre courant soit p'= 3330 kilogr., attendu que :
  - b= 7™,78 — 0m,535 = 7nl,245, C = 61m, d = 7783kü, on trouve pour le sommet :
  - 2(6 000000 — 7783 X 61)
  - L’adoption de la même aire pour le fond donnerait pour Faire totale
  - A -f A' = 0m,<1,854,
  - 22
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- - 338 TROISIÈME PARTIE,
  - tandis qu’au pont de Conway l’on a fait
  - A 43215, A' == 0»-i,33346,
  - et par suite
  - A -{- À' = 0ra,%76561.
  - On voit donc que la supposition d’une égale résistance du sommet et du fond, et l’adoption de la valeur
  - R = R' =6000 000 kilogr.
  - conduisent à des dimensions un peu supérieures à celles qui ont été adoptées par M. Slephenson.
  - Mais il faut remarquer que déjà nous avons montré que la charge de 3330 kilogr. par mètre courant est trop considérable, même en y comprenant les rails et leurs supports.
  - Nous pensons qu’en calculant sur un train de locomotives pesant chacune 30000 kilogr., et occupant chacune 10 mètres de longueur de voie, ce qui donnera p' = 3000 kilogr. de charge par mètre de voie, on se rapprochera davantage de la plus forte charge accidentelle. On trouverait alors
  - A = 0m“î,384
  - et par suite
  - A-f-A' = 0m“i,768,
  - ce qui est presque exactement la proportion adoptée pour le pont de Conway.
  - 296. Même calcul dans la supposition de l'inégalité des résistances R et R'. — Le même mode de calcul approximatif s’appliquerait à l’hypothèse, admise par les ingénieurs anglais, de l’inégalité des résistances R et R' à la compression et à l’extension. Alors le poids 2pC du tube serait exprimé par
  - 2pC = d( A + A')2C == dA2C ,
  - à cause delà condition d’égale résistance du sommet et du fond RA = R'A'; d’où l’on conclut
  - iï>L ~~2~ ’ R7 '
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- - FLEXION.
  - 339
  - On aurait donc, pour l’égalité des moments des forces extérieures et des résistances du tube :
  - dAC2 II + IV 2 ' R'
  - -!//C2=RAô;
  - Si l’on admettait, comme le propose M. Hodgkinsoii, le rapport de f entre R et R', ce qui est à très-peti près celui qui a été admis dans la construction des tubes, on aurait, en prenant eticore
  - p' ±= 3330kiI, et W— 8000000kU, R = 6400000kiI :
  - 2 (6400000 X
  - 3330X61
  - 7,245 7783X61 14,4\
  - 61 2 ’ 6,4/
  - — 0m%449,
  - au lieu de la valeur A = Om,<q43215, qui a été adoptée pour ce pont, et
  - au lieu de
  - A' — § A = Om*a,3592, A' = Om“i,33 346.
  - On voit que cette méthode fort simple de calcul conduit à des valeurs pour les surfaces du sommet et du fond auxquelles dn peut s'arrêter.
  - 297. Observations et conclusion. — Malgré l'accord à peu près parfait des derniers résultats que nous venons de calculer avec les proportions admises par les ingénieurs anglais qui ont construit les premiers ponts tubulaires, et qui montrent qu’ils ont en réalité donné à R et à R' des valeurs toutes deux supérieures à celle de 6000000 kilogr. que nous prenons pour valeur commune de ces quantités, nous pensons qu’il sera à la
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- - 340
  - TROISIÈME PARTIE.
  - fois plus prudent et plus conforme à ce qui se passe dans les premiers effets de flexion, d’adopter pour R et R' la même valeur, et de faire
  - R —6 000000 kilogr.,
  - en se servant alors de la formule du n° 268, pour la détermination de l’aire des sections du sommet et du fond.
  - 298. Détails de construction des tubes. — La nouveauté du genre de construction qui vient de nous occuper, et l’importance majeure que de bons assemblages ont évidemment pour en assurer la solidité, nous engagent à entrer dans quelques détails relatifs à l’exécution : nous les emprunterons à l’ouvrage de M. E. Clark.
  - La forme générale des tubes, dans le sens de la longueur, se rapproche un peu de celle des solides d’égale résistance. Ils sont plus élevés au milieu qu’aux extrémités pour les tubes isolés; mais quand deux tubes contigus sont réunis et assemblés sur une même pile, comme au pont Britannia, il en résulte que la partie du tube unique supportée par la pile peut être regardée comme encastrée en cet endroit, et qu’elle éprouve, par l’action des portions situées à droite et à gauche, une forte tension qui exige qu’elle soit renforcée.
  - D’une autre part, l’extrémité des tubes qui repose sur les piles est soumise à un effort perpendiculaire à sa longueur, égal à la moitié de la charge totale, et doit présenter une section transversale suffisante pour y résister et pour conserver sa forme. Enfin, les boulons qui unissent les côtés et qui transmettent du fond au sommet l’action de cette charge qui agit sur les piles, doivent être assez solides et en assez grand nombre pour y résister.
  - Ainsi, dans le pont de Conway, la charge totale, tube et train réunis, étant de 13 841 kilogr. par mètre courant, ou de l 688 602 kilogr. en totalité; il s’ensuit que l’extrémité devait être en état de résister à un effort égal à 844301 kilogr., tendant à la couper ou à arracher tous les boulons d’un joint vertical des côtés.
  - Sachant donc qu’un boulon résiste à la section transversale à. peu près comme à la traction (n° 41), et comptant sur une charge de 6 000 000 kilogr. par mètre carré, on voit que la sur-
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- - FLEXION.
  - 341
  - face totale de section de tous les boulons de deux joints correspondants des côtés verticaux devra être de
  - 844 311kU 6 000 000
  - = Om'i,140717.
  - Si l’on emploie des rivets de ûm,025 dont la section transver-
  - sale est 0,0252
  - 1,273
  - il faudra 0,1407 0,00049
  - 0000490,
  - ==290 rivets ;
  - mais on peut, dans ce cas, prendre hardiment R=8 000 000 ki-logr., et réduire ainsi le nombre des rivets.
  - Les ponts Britannia se composent de deux grandes travées de 150 mètres de portée chacune, et de deux petites travées de 60 à 70 mètres. Les quatre parties qui forment chaque tube sont réunies entre elles de manière à offrir un solide continu. La hauteur de ces tubes, qui va en augmentant à partir des extrémités ou de la culée jusqu’au milieu, où ils reposent sur le rocher Britannia, varie de la manière suivante.
  - Distances de l’extrémité,
  - 0m, 15m,25, 30m,50, 45m,75, milieu ;
  - Hauteur extérieure du tube,
  - 7m,01, 7m,68, 8m,30, Sra,90, 9ra,12.
  - La plus petite hauteur intérieure dans œuvre, entre le dessus des rails et les parties les plus basses du sommet, laisse 4m,98 pour le passage des locomotives, la hauteur totale du sommet, du fond, des carlingues, des rails et de leurs supports étant aux extrémités égale à 2m,G3.
  - Le poids du tube même étant supérieur à ia plus grande charge qu’il ait à supporter, l’on a prévu qu’une fois mis en place il prendrait une certaine flexion ; et comme il importait que la voie fût à très-peu près horizontale, on a donné au tube, en le construisant, une courbure de ûm,23 qui a h peu près disparu après la pose.
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- - 342
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Dans des constructions pareilles, il faudra calculer, parla formule du n° 205, la flexion que prendra le solide par son propre poids, et établir la forme sur laquelle on le construira, de manière à lui donner une courbure correspondante. Il sera d’ailleurs prudent d’augmenter un peu cette valeur, pour tenir compte du jeu inévitable de quelques assemblages.
  - 209. Fond du tube. — Cette partie est ordinairement formée de deux rangs de feuilles de tôle. Au pont Britannia, ces feuilles, disposées sur six rangées parallèles, avaient 3m,66de long, 0m,712 de large pour les quatre rangées intérieures, et 0m,810 pour les deux rangées extérieures.
  - Les tôles sont un peu plus épaisses au milieu qu’aux extrémités, où elles fatiguent moins. Ainsi, au pont Britannia, l’épaisseur a varié graduellement de 14mill,3 à 9miu,5, cette dernière épaisseur étant celle des extrémités des petits tubes joignant les culées.
  - Après plusieurs essais, le mode d’assemblage trouvé le meilleur pour les plaques du fond a consisté à disposer les deux rangs superposés de façon que les feuilles se dépassant de 0m,305, les deux joints étaient éloignés de cette quantité. Deux plaques de recouvrement, dé Om,9l5 de long, servaient à réunir les feuilles, au moyen de boulons disposés par rangées de neuf à la file , et en quinconce d’un rang à l’autre : on a réduit ainsi le nombre des lignes de joints au minimum.
  - De plus, les joints de chaque rangée de feuilles ont été al-i ternativement placés en avant ou en arrière, l’un par rapport à l’autre, de lra,22, ce qui a permis de réserver un intervalle égal pour le lieu des plaques verticales et transversales des cellules. Il en est résulté que les joints et les rivures sont également répartis, à une distance de lra,28, en moindre nombre et plus solides que par les autres modes de réunion précédemment employés. On a d’ailleurs eu le soin de disposer les rivets en quinconce.
  - 500. Couvre-joints. — Les couvre-joints des plaques du fond, placés à l’intérieur des cellules, ont la même largeur que ces cellules, et sont courbés pour s’appliquer sur les cornières. Ils sont fixés par les mêmes rivets.
  - Les couvre-joints extérieurs ont une largeur plus grande
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- - FLEXION.
  - 343
  - que les feuilles qu’ils réunissent longitudinalement. Afin de les lier aux feuilles voisines, ils sont assez larges pour être rivés aux deux faces des cornières intérieures.
  - 501. Cloisons des cellules. — Les cloisons (pl. IV, fig. 21) sont formées de feuilles de tôle de Om,535 de hauteur, reliées au fond par des cornières. Les feuilles de tôle employées ont 3m,66 et sont assemblées bout about par des couvre-joiqts d’épaisseur moitié de celle des tôles réunies. Ces couvre-joints se replient sur les cornières des angles et sont réunis par les mêmes rivets.
  - Les cornières longitudinales sont formées de parties réunies entre elles par de petites cornières formant couvre-joints, de manière qu’elles sont continues dans toute la longueur du tube.
  - 502. Carlingues, — Pour mettre le fond en état de résister à la flexion transversale produite par la pression du train sur les rails, on a disposé des traverses en tôle appelées carlingues, de 0^,264 de hauteur, sur 0n,,0127 d’épaisseur, liées au fond et aux côtés par des cornières, et espacées l’une de l’autre de lm,83.
  - 305. Pose de la voie. — Sur ces carlingues reposent des lon-guerines de 0m,355 sur 0m,178, destinées à recevoir les rails qui sont du modèle de ceux du Great-Western.
  - Deux cornières, fixées sur les carlingues, soutiennent les lon-guerincs qui s’y réunissent bout à bout et y sont fixées par des boulons, sous la tête desquels il y a des plaques formant rosettes. Les rails sont fixés par des tirefonds sur les lon-guerines.
  - 504. Dilatation. — Pour laisser aux rails la facilité de suivre le mouvement de dilatation du tube entier, on a disposé aux deux extrémités seulement deux rails à bouts amincis, qui sont indépendants l’un de l’autre, et dont les extrémités peuvent s’éloigner ou se rapprocher. On a eu soin "de ne pas placer les deux joints semblables vis-à-vis l’un de l’autre.
  - 50o. Côtes verticaux. — Ils sont formés de feuilles plates de 0m,61 de largeur et de deux longueurs différentes, pour faire varier la position des joints. Ces feuilles sont ajustées bout à
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  - TROISIÈME PARTIE.
  - bout avec beaucoup de soin et assemblées horizontalement par des couvre-joints d’une épaisseur égale à la moitié de celle des plaques elles-mêmes.
  - Les joints verticaux sont recouverts par des fers à T, placés au dedans et au dehors et remplissant ainsi l’office de piliers distants les uns des autres de 0m,61, qui consolident beaucoup le système et lui donnent de la rigidité en même temps qu’ils répartissent les efforts.
  - 506. Assemblage des côtés avec le fond et le sommet. — Les fers à T intérieurs sont reployés sur le fond et sur les côtés pour former un coude dont les deux bras sont réunis par un gousset triangulaire formé de deux feuilles de tôle placées de part et d’autre de la nervure du T, et boulonnées avec elle, el une autre feuille de tôle de l’épaisseur de la nervure est insérée entre les goussets et réunie avec eux par des rivets.
  - Ces goussets en équerre consolident beaucoup le profil en empêchant les angles de varier.
  - Il y en a de plusieurs grandeurs. Les plus grands ont lm,52 de hauteur sur 0m,61 de base ; les moyens, lm,22 de hauteur sur 0m,53 de base; les troisièmes, 0ra,915 sur 0m,.38 ; enfin les plus petits, 0m,61 sur Ora,38. Ils ont tous 7œi'\9 d’épaisseur.
  - L’assemblage des côtés avec le fond et avec le sommet se trouve ainsi assuré : 1° par les coudes des cornières intérieures consolidées par les goussets ; 2° par des cornières intérieures el extérieures placées en dehors du fond et du sommet ; 3° par des cornières intérieures et extérieures placées au dedans du fond et du sommet.
  - 507. Du sommet des tubes. — Ce sommet présente une sec-tion cellulaire à huit compartiments de 0ra,53. Le dessus et le dessous du sommet sont formés, comme le fond, de deux épaisseurs de plaques réunies par neuf cloisons verticales et assemblées par des couvre-joints et des cornières.
  - Il importe que les extrémités des feuilles de tôle se touchent aussi exactement que possible, attendu que cette partie étant exposée à la compression, il est très-utile à la solidité qu’elles se soutiennent mutuellement.
  - Les joints longitudinaux sont réunis par des couvre-joints de 0m,23 de largeur.
  - Le sommet des^ tubes, au-dessus des piles intermédiaires,
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- - FLEXION.
  - 345
  - éprouvant une grande tension par suite de la flexion du tube, on a eu soin de le renforcer par des couvre-joints de 0m,53 de largeur en augmentant le nombre des rivets d’assemblage. Cette précaution a été prise sur 27ra,5Q de largeur de chaque côté de ces piles.
  - A des distances égales, de 3m,66, le sommet est aussi renforcé par des carlingues semblables à celles du fond et assemblées de même.
  - En résumé, le poids d’un des tubes du pont Britannia se compose ainsi qu’il suit :
  - AIRE NOMBRE
  - POIDS. de la section de
  - transversale. rivets.
  - kil. m.q.
  - Sommet 1500 000 0,4150 310390
  - Côtés 1 750 000 0,1940 535 650
  - Fond 1 490 000 0,3780 249010
  - 4 740 000 0,9780 1095050
  - Le pont entier, pour les deux lignes, a employé environ 425 OOO mètres cubes de maçonnerie, 9 480 000 kilogr. de fer et 2000000 kilogr. de fonte.
  - Tels sont les détails que nous pouvons donner ici sur cette admirable et gigantesque construction, qui fait le plus grand honneur au génie hardi de M. Stephenson qui l’a conçue, et au talent de l’habile ingénieur, M. Fairbairn qui, par ses expériences préliminaires, en a déterminé la forme et les dimensions principales.
  - 508. Expériences sur la résistance transversale d'une poutre en tôle de fer. —L’expérience suivante, faite sur une échelle considérable , est due à M. Brunei fils, célèbre ingénieur anglais.
  - Une poutre en tôle dont les figures 1 et 2 (pl. Y) indiquent la disposition, ayant 66pi = 20m,13 de portée entre les appuis, 10pi = 3m,05 de hauteur totale au milieu, et 6pi = lm,830 aux bouts a été construite pour celte expérience.
  - La tôle du sommet était légèrement recourbée pour offrir plus de résistance à la compression. L’aire de chacune des sections triangulaires, que l’on peut regarder comme formant
  - ir
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- - 346
  - TROISIÈME PARTIE.
  - les nervures du sommet et du bas, était de 25 pouces carrés = Om-y)16125.
  - La partie verticale intermédiaire entre le sommet et le bas était formée d’une simple plaque de tôle de de pouce = Om,0063 d’épaisseur. De trois en trois plaques il n’y en avait qu’une qui s’étendît sur toute la hauteur, de sorte que cette partie n’avait ailleurs que 7 pieds = 2m, 135 de hauteur.
  - Cette partie même du profil était renforcée par deux plaques formant nervures placées à 15P! = 4m,575 de distance vers le milieu de la poutre et de la même épaisseur que celles du sommet et du fond. Deux nervures semblables existaient aussi aux extrémités.
  - Les plaques verticales étaient assemblées à recouvrement; les plaques horizontales du fond étaient réunies par des bandes de couverture avec deux rangs de rivets de f de pouce ou 0m,019 de diamètre, disposés en quinconce.
  - Les résultats des expériences sont reproduits dans le tableau suivant.
  - 1 CHARGES 2p'C'. FLEXIONS. ' OBSERVATIONS.
  - 10 156 20 313 30 469 40 626 50 782 60 939 71 095 81 252 91 408 101 565 111 721 121 878 132 034 142 191 152 347 162 503 172 660 182 817 190 942 m. 0,0008 0,0032 0,0040 0,0047 0,0079 0,0087 0,0111 0,0119 0,0127 0,0159 0,0191 0,0206 0,0222 0,0270 0,0286 0,0317 » : i Jusqu’à cette charge la poutre n’avait été chargée que sur un seul côté. Charges égales de chaque côté. Les plaques verticales ont commencé à se plisser à partir du tiers de la longueur de la poutre et successivement vers son milieu, A cette charge, il y a eu déchirement d’un joint du fond et le sommet s’est plissé par refoulement ; aucune autre partie de la poutre n’a été dégradée.
  - Le poids de la poutre, estimé d’après ses dimensions, était
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- - FLEXION.
  - 347
  - d’environ 7500 kilogr., dont les § ou 4687 kilogr. doivent être ajoutés à la valeur de la charge dans l’examen des flexions.
  - Il est probable que, si les rivures avaient été mieux faites, cette pièce aurait porté une plus forte charge.
  - La représentation graphique des résultats, en prenant les charges pour abscisses et les flexions pour ordonnées, fait voir que, jusque vers la charge de 101 565 kilogr., non compris le poids propre du solide, les flexions sont restées proportionnelles aux charges, c’est-à-dire tant qu’elles n’ont pas dépassé O"',0159 ou de la portée.
  - La figure 4 (pl. V) est une réduction du tracé effectué à une échelle plus grande avec les données du tableau précédent.
  - 509. Données pour le calcul du coefficient d'élasticité. — L’aire des deux parties triangulaires du sommet et du fond est pour chacune à = 25po,<i = 0m,<i,0161. En la considérant comme réunie au centre de gravité du triangle, ce qui est suffisamment exact à cause de la grande hauteur de la pièce, le moment d’inertie du sommet et celui de la base par rapport à la ligne des fibres invariables, qui passe ici au milieu de la hauteur totale, est pour chacun d’eux
  - A X1,37Ï* = 0,03031
  - et pour ces deux parties il est égal à I = 0,06062.
  - L’épaisseur de la partie verticale est a — 0m,0063.
  - Sa hauteur est 2m,135 entre les triangles.
  - Son moment d’inertie est donc
  - x 0,0063 X 2,1353 = 0,005109,
  - ce qui montre que le moment d’inertie de cette partie n’est guère que le douzième environ de celui du sommet et du fond réunis et permet d’en négliger l’influence dans les calculs relatifs à des projets, puisqu’il en résulte, en définitive, une résistance plus grande que celle sur laquelle on compte.
  - Nous conserverons néanmoins, pour la discussion des résultats, au moment d’inertie sa valeur totale qui sera ainsi
  - I=0,06062-f-0,005109=0,065729.
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  - TROISIÈME PARTIE.
  - La distance v' de la fibre la plus éloignée des fibres invariables est v' — lm,525. On a donc
  - I
  - v'
  - 0,065729
  - 1,525
  - 0,0431.
  - 510. Manière particulière de charger les solides, et règle pour tenir compte du mode de chargement. — La charge était disposée sur la poutre, comme l’indique la figure, au moyen de pièces de bois posées d’une part sur des cornières rivées sur la poutre, et de l’autre sur une plate-forme indépendante de cette pièce.
  - Dans un pareil dispositif, représenté (pl. V, fig. 3), en appelant :
  - Ci la portée des poutres auxiliaires ;
  - C/ la longueur de ces poutres sur laquelle la charge est uniformément répartie, à partir du solide à essayer, à raison de p{ kilogr. par mètre,
  - Il est facile de voir que le moment de la charge pvx d’un élément de longueur x de la partie chargée, situé à la distance X de l’appui des poutres, est pjtx, et que la somme des moments semblables est -|piX2, qu’il faut appliquer à toute l’étendue de la portée Cf, ce qui donne évidemment pour la somme totale de tous ces moments :
  - iPi[Ci8—(Ci —C/)2] = -l^iCàCiCf—c/2).
  - D’après cela, en appelant Pt la charge qui est transmise au solide en essai par l’appareil de chargement adopté, ou aurait pour la déterminer :
  - PiCi=ij^CiCi'—Cf2),
  - d’où
  - D _^i(2CiCf-Cf2)
  - Pl----------—.
  - On voit que dans les cas où la longueur Ci de la poutre auxiliaire sera très-grande par rapport à la longueur Cf occupée par la charge sur cette poutre, Cf2 sera négligeable vis-à-vis de 2CtCf, et alors la valeur de Pt se réduira à
  - Pi—Pi.Cj,
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  - 349
  - comme si elle était posée directement sur le solide à essayer. Si, par exemple, Ci'=0,05Ci, la formule ainsi simplifiée donne p1==0,05piCi ; tandis qu’en tenant compte du second terme, on trouve
  - P|=j|^XO.O^-(O.OKOT=t^p,i0_0[flMS)
  - =|p1Ci(0,0975)=0,0482j91Cl.
  - Dans l’expérience rapportée par M. E. Clark, la valeur de C„ ou la portée de la poutre auxiliaire, n’est pas donnée, non plus que celle de Cf; mais en les prenant à l’échelle d’après le dessin, ce qui ne peut conduire à une erreur notable, on trouve :
  - Ci — HPi6P°=3m,50 et Ci' = 0ra,9l5.
  - Si l’on applique la formule ci-dessus à la charge totale de 101565 kilogr., au delà de laquelle les flexions ont cessé d’être proportionnelles aux charges, on a
  - d’où
  - PiCf = 101555kil,
  - __101565
  - Pi~ Ora,915
  - 111000kil,
  - et la formule donne pour la charge Pj, qui en agissant à l’extrémité des poutres produirait le même effort sur le solide en expérience :
  - I
  - Pi = jlll000(7000XO,915-9^Ï5!) = gg 2g6„„
  - ou environ 0,875 de la charge répartie sur la longueur Ci'=0m,9l5 des poutres auxiliaires, de part et d’autre du solide. Mais cette charge Pt, au lieu d’agir sur le milieu du solide, était répartie uniformément sur une longueur 2C'=3m,830, ce qui correspondait à une charge par mètre courant égale à
  - 88296k
  - 23053ki\7.
  - 4,83
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- - 3o0
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Le poids propre du solide est environ 2pC==7500 kilogr
  - On a 2C=20m,13, 1=0,065729.
  - L’expérience a donné pour cette charge f— 0m,0159. On déduit donc de la formule du n° 285 :
  - E^C^C-\~P'C)~ÏV = 10317000 000kil,
  - valeur qui s’accorde assez bien avec celles que l’on a déduites aux nos 264 et suivants des expériences de M. Fairbairn sur les fers à double T laminés.
  - La charge de 101565 kilogr., pour laquelle nous avons fait l’application de la formule, est celle au delà de laquelle les flexions paraissent, d’après la représentation graphique, cesser d’être proportionnelles aux charges. La flexion était alors f— 0,0159 ou de la portée.
  - 51 i. Relation d'équilibre. — Il est d’ailleurs facile de voir aussi qu’en raisonnant d’une manière analogue; â celle qu’ou a suivie jusqu’ici, la pression de la poutre sur chacun de ses appuis est pC-j-yC', dont le moment par rapport au milieu est jPC2-f-yCC'; que la somme des moments de la chargep'C répartie sur la longueur 2C', et du moment du poids propre du solide 2pC par rapport à la même section, est \p'C'2-f |pC2, dont l’action est d’ailleurs dirigée en sens contraire de celle des deux premiers. On a donc
  - ^=pC’+yCC'-^'C'!-!j)CS
  - ou RT c-ico,
  - d’où „_'Ûi’C’+yc'cc-JC')K
  - • 1
  - ét t/ = lra,525.
  - En appliquant cette formule à la charge totale de 101565 kilogr., qui par son mode de répartition se réduit, comme on vient de le voir (n° 510), à 88 296 kilogr., sur la longueur
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- - FLEXION.
  - 35-1
  - 2C'=3”,83, et en se rappelant que 2pC=7SOO kilogr., on trouve
  - R=9766500 kilogr.,
  - tandis que dans nos formules nous faisons seulement R= 6 000000 kilogr.,
  - ce qui nous donne une charge beaucoup moindre que celle sous laquelle l’élasticité commencerait à s’altérer.
  - En appliquant la même formule, à la charge qui a produit la rupture, et qui était 2p'C' = 190942 kilogr., on trouverait une yaleur du coefficient de rupture R inférieure à celle de 32000000 kilogr. que l’on obtient ordinairement pour les tôles, mais qui s’explique parce que la rupture a eu lieu dans un point où la rivure était mal faite.
  - 512. Utilité des cormier es verticales et horizontales pour les parois verticales. — Dans le solide que nous venons d’examiner, il n’y avait que deux cornières verticales vers le milieu et deux autres aux extrémités, et l’on a vü que les tôles formant la paroi verticale intermédiaire de la poutre se sont plissées sous des charges bien inférieures à celle qui a produit la rupture.
  - C’est par suite d’effets analogues observés dans les expériences sur les ponts tubulaires, que l’on a été conduit, dans ces ponts, à placer des cornières verticales de 0m,65 en 0m,65. Peut-être même serait-il prudent d’en placer quelques-unes horizontalement pour donner plus de roideur aux côtés verticaux. Nous ajouterons d’ailleurs que l’épaisseiir de 0m,0063paraît un peu faible pour le corps du solide, attendu que cette partie, qui assure la liaison et la simultanéité de résistance du sommet et du fond, doit être assez forte pour varier très-peu de forme.
  - 315. Observation. — On remarquera que si, d’après l’estimation admise en Angleterre (n° 295), un train de wagons pèse 3330 kilog. par mètre coupant, cette poutre en tôle, étant chargée du sixième de sa charge de rupture, pourrait avec sécurité porter
  - 190942
  - 6
  - == 31824kil ou
  - 31824
  - 20,13
  - 1581kiI
  - par mètre courant.
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- - 332
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Deux poutres semblables, disposées à droite et à gauche du pont, reliées de distance en distance par des traverses inférieures, et renforcées contre les poussées latérales par de larges cornières, offriraient donc un moyen à la fois élégant et économique de construire les ponts de chemins de fer.
  - Planchers en fer.
  - 514. Des planchers en fer.—On emploie beaucoup actuellement des planchers en fer d’une construction très-simple et très-facile et dont-le prix n’est pas sensiblement supérieur-à celui des planchers en bois, parce qu’ils dispensent du lattis pour le plafond
  - Ces planchers sont composés de barres de fer méplat, posées de champ, qui engagées d’environ 0m,30 dans les murs, forment les solives principales que l’on écarte habituellement de 0m,75. Sur ces solives (pl. Y, fig. 9 et 10), on pose, en les accrochant, des pièces appelées entretoises, en fer carré de 16 millimètres ordinairement, que l’on place les unes à côté des autres, et dont le dessous affleure à peu près celui des solives. Ces entreloises sont placées à 0m,75 l’une de l’autre environ.
  - Sur ces entretoises on place de petits fers carrés de 0m,01l, parallèlement aux solives, et engagés dans le mur, où ils se terminent par des crochets : ces petits fers sont écartés de Ora,25.
  - Sur cette charpente en fer on fait un hourdis en plâtras et plâtre, ou mieux en pots et en plâtre ou mortier, qui relie tout le système et sur lequel on pose le plancher ordinaire. Le dessous pouvant immédiatement recevoir le plâtre des plafonds, on est dispensé du lattis.
  - Les dimensions d’usage sont les suivantes, pour :
  - PORTÉES des planchers, 2C. ÉCARTEMENT des solives. DIMENSIONS DES FERS. POIDS DU FER par mètre carré dans œuvre. PRIX DU FÉR par mètre carré de plancher.
  - SOL Longueur. VES. Équarris- sage. ENTRE- TOISES. PETITS FERS.
  - ni. m. m. mill. mill. mill. kil. fr.
  - 7 0,75 7,60 190 sur 9 16 sur 16 11 sur 11 21,00 13 25
  - 6 ' 0,75 6,60 165 sur 9 16 sur 16 11 sur 11 19,95 1225
  - 5 0,75 5,60 135 sur 9 16 sur 16 11 sur 11 18,08 1100
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- - FLEXION.
  - 353
  - Si, d’après ces dimensions, on applique la formule du n* 174
  - f A3 _ jPC*
  - U ~ 2000000’
  - relatives aux barres yle fer soumises à l’action d’une charge uniformément répartie, on trouve que la charge p, que l’on peut faire supporter d’une manière permanente à de semblables planchers, sera pour les barres de :
  - 7 mètres de portée.......... p=53kil,04,
  - 6 id. ........ j; = 54kil,40,
  - 5 id. ........ p=52kiI,4l,
  - Moyenne........ 53kil,28.
  - Or, ces solives étant espacées de Om,75, cela revient à une 53 28
  - charge de -----=.71 kilogr., ou environ une personne par
  - mètre carré, ce qui dépasse déjà les charges produites dans des réunions ordinaires, et montre que ces dimensions sont bien suffisantes pour des charges habituelles, surtout si l’on considère que la liaison de toutes les parties par le hourdis-sage en plâtre augmente beaucoup la rigidité de tout le système.
  - Si l’on calcule par la même formule la charge par mètre courant, que les enfreloises peuvent porter d’une manière permanente, en se rappelant que pour ces pièces on a
  - 2C = 0'",75, « = è=0m,016,
  - on trouve
  - à3X2000000 _
  - P =--------cï---=58klI,10,
  - ce qui correspond encore à une personne par mètre carré.
  - De même, pour les petits fers de remplissage, pour lesquels
  - 2C=0m,75, a—b—0ra,011,
  - on trouve
  - p =yX 2000000 = 18M1)88;
  - et comme il y a deux de ces fers de remplissage entre chaque
  - 23
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- - 354
  - TROISIÈME PARTIE.
  - solive, ce qui avec la solive elle-même forme trois intervalles de 0m,25, on voit que la charge trouvée pour chacun de ces fers est environ le tiers de celle qui se répartit sur un intervalle de 0m,75 de large et qui est de 53 kilogr.
  - Toutes les pièces de ces planchers sont donc bien proportionnées pour une charge normale et permanente de 70 kilogr,, ou d’une personne, par mètre carré en sus du poids propre du hourdis et du plancher.
  - 515. Expériences sur les planchers en fer. — Des expériences dans lesquelles les charges ont été très-exagérées ont montré que ces planchers pouvaient supporter sans danger des pressions beaucoup plus considérables. Un plancher de 7m,00 de portée, proportionné comme il est dit plus haut, a été chargé, après le hourdissage, de 500 kilogr. par mètre carré. Sa flèche au-dessus de l’horizontale était, après la pose, de 0m,070; après le hourdissage, elle a été réduite à 0m,040. Sous la charge de 500 kilogr. par mètre carré, ce plancher a fléchi de 0”’,030 au-dessous de l’horizontale ou de 0ra,070 en tout, et après quarante-huit heures d’action de cette charge, il est encore descendu de 0n,,05. La flexion totale a donc été de 0m,12. En enlevant la charge, le plancher s’est relevé de 0m,05; mais en enlevant le hourdis, les barres ont repris 0m,06 de flèche au-dessus de l’horizontale, ce qui montre que l’élasticité du fer avait été peu altérée, et qu’une grande partie de la flexion permanente était produite et maintenue par le hourdis lui-même.
  - La charge correspondante à cette épreuve, par mètre courant de solide, était 500kilx 0,75=375 kilogr. ou environ sept fois la valeur normale trouvée plus haut.
  - On remarquera qu’un plancher d’appartement n’est presque jamais exposé à porter accidentellement plus de quatre personnes ou de 280 kilogr. par mètre carré, ce qui, à cause de l’écartement des solives, égal à 0m,75, revient à 210 kilogr. par mètre courant ou environ quatre fois la charge normale trouvée ci-dessus, d’après la formule.
  - 2e Épreuve. — Un plancher de 6m,00 de portée a été soumis à l’épreuve suivante :
  - Les solives étant en place, on a bâti sur deux d’entre elles un mur en moellons soutenus par des bouts de madriers, de
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- - FLEXION.
  - 355
  - façon que son poids se répartît également entre elles et produisît sur chacune une pression de 2076 kilogr. ou 346 kilogr. par mètre courant.
  - Sous celte charge, les solives qui avaient à l’origine 0ra,070 de courbure au-dessus de l’horizontale, n’en ont plus conservé qu’une de 0m,025; mais quand elles ont été déchargées, la courbure est revenue à 0m,065. Les solives n’avaient donc perdu que 5 millimètres de leur courbure sous une charge qui était à peu près sept fois la charge normale déterminée par la formule pratique.
  - 3e Épreuve. — Un plancher de 5ra,00 de portée a été construit dans les mêmes proportions d’écartement entre les supports. Les solives avaient les dimensions suivantes : b = 0m, 135, 0,n,009. Il a été chargé de 500 kilogr. par mètre carré ou de 375 kilogr. par mètre courant de solive, ou sept fois environ la charge normale.
  - La courbure des solives qui était à l’origine de 0m,050, et qui avait été réduite par le hourdissage à 0m,045, s’est d’abord abaissée à 0m,030 ; puis, après quarante-huit heures, à 0m,025 au-dessus de l’horizontale. Le plancher étant déchargé, il a re^ pris la courbure 0ra,040 au-dessus de l’horizontale ; n’ayant ainsi perdu que 5 millimètres par cette grande surcharge.
  - Ces expériences où les charges ont dépassé le double des plus grandes charges qui puissent accidentellement être distribuées sur des planchers, montrent donc que ce mode de construction offre toute la solidité et toute la rigidité nécessaires.
  - 3i6. Observations sur le mode de pose et de liaison des solives. - Le mode de construction employé pour remplir les intervalles laissés par les parties en fer de cette charpente produit, comme on l’a vu, une flexion des solives qui n’est pas l’effet du poids seul des matériaux. Par la forme en cuvette donnée aux hourdis, les efforts de dilatation qui se développent au moment de la prise du plâtre étant obliques, leurs composantes horizontales peuvent se détruire, mais les composantes verticales s’ajoutent et produisent l’abaissement que l’on a signalé. H est probable qu’un meilleur mode de travail ou d’autres formes données à ce hourdis corrigeraient en partie cet effet.
  - D’une autre part, on peut augmenter beaucoup la rigidité des solives en les posant sur les murs, de manière qu’elles y
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- - 350
  - TROISIÈME PARTIE.
  - soienl réellement encastrées au lieu d’être, comme il est arrivé dans les expériences précédentes, engagées dans une simple maçonnerie de moellons, mal ou imparfaitement liés entre eux. Il faudrait pratiquer dans une pierre de taille la plus grande partie du logement nécessaire pour embrasser exacte* ment la barre et la recouvrir par une autre pierre tellement ajustée, que par la pression du mur elle comprimât réellement la barre qui se trouverait ainsi exactement encastrée. Il sérail encore mieux de placer deux plaques de fer formant cales au-dessus et au-dessous de l’extrémité de la solive, surtout si les pierres employées étaient tendres.
  - 517. Modifications dans la forme à donner aux barres. — La forme méplate adoptée pour les solives est, à la vérité, la plus simple et la plus économique de fabrication. Elle a, de plus, l’avantage d’être celle des fers dits marchands et de pouvoir être trouvée partout. Cependant il semble qu’il serait convenable de lui donner celle d’un T renversé (pi. V, lîg. 11), qui, étiré au laminoir, aurait le dessus de sa nervure arrondi, ainsi que les raccordements de cette nervure avec la face plate inférieure. Cette forme permettrait d’en donner une analogue aux entretoises qui, n’ayant ainsi que des angles arrondis, seraient moins exposés à présenter des défauts dans les plis, et pourraient, d’ailleurs, être fabriquées très-facilement par l’emploi d’étampes et de moules analogues à ceux qu’on emploie dans les ateliers de l’artillerie. La fabrication serait ainsi plus économique et les produits meilleurs.
  - 518. Emploi des fers à double T pout' les planchers. — On se sert aussi beaucoup actuellement de solives en fonte ou en fer forgé à double T pour les planchers des maisons d’habitation, surtout pour les magasins que l’on veut mettre à l’abri du feu.
  - On calculera les dimensions qu’il conviendra de donner aces solives par les formules des n05 154 et 156, en y introduisant, pour la charge par mètre courant de longueur des solives, celle qui se déduit de l’hypothèse d’une charge habituelle d’une personne ou de 70 ldlogr. par mètre carré en sus du poids du plancher et du hourdissage, et d’après la répartition de cette charge entre les solives. Les dimensions que l’on déduira des formules seront suffisantes pour le cas d’une charge accidentelle beaucoup plus considérable.
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- - FLEXION.
  - 3a7
  - 519. Charge normale admise par les constructeurs. — L’usag'c des planchers en fer s’est beaucoup répandu depuis l’époque où les expériences que nous venons de citer ont été faites, et il a conduit les constructeurs à admettre pour la charge permanente des planchers, en y comprenant le poids propre de la construction, le chiffre de 400 kilogr. par mètre carré de surface. L’excédant des dimensions qui en résulte a pour effet de diminuer l’amplitude des vibrations que l’on reprochait aux premiers planchers en fer. Mais il a aussi pour conséquence que ce mode de construction est devenu plus dispendieux que celui des planchers en bois.
  - Influence du mouvement tle la charge.
  - 520. De l'influence du mouvement de la charge sur la flexion des solives qui la supportent. — On n’a considéré jusqu’ici les flexions produites par les charges que dans l’hypothèse où ces charges restent immobiles au point où elles sont placées ; mais il n’est pas sans intérêt pour la stabilité des ponts, et surtout de ceux qui doivent servir au passage des trains de chemins de fer marchant à grande vitesse, d’examiner comment la vitesse du transport peut influer sur les flexions.
  - On comprend, en effet, facilement que quand un chariot ou simplement un cylindre roule sur des poutres qui fléchissent sous la charge, la courbure du chemin parcouru par le solide donne lieu à un développement de force centrifuge dont l’action normale cà la courbure concourt avec le poids de la charge ii augmenter la flexion et peut même produire la rupture. On se rappelle que la force centrifuge a pour expression
  - m V2 P V!
  - r g * ~r’
  - formule dans laquelle
  - m est la masse du corps en mouvement ;
  - V sa vitesse dans le sens de la courbe ;
  - r le rayon de courbure de la courbe.
  - On voit donc que, pour une même charge, l’effet de cette force ou l’accroissement de pression qu’elle peut produire, croît comme le carré de la vitesse et en raison inverse du rayon de
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- - 358
  - TROISIÈME PARTIE.
  - courbure, c’est-à-dire qu’il sera d’autant plus grand que ja flexion elle-même sera plus considérable.
  - Mais d’une autre part, on voit aussi que si les proportions données au solide sont telles que la flèche de courbure que produirait la charge au repos, soit nécessairement très-faible cette action de la force centrifuge ne pourra pas atteindre une grande intensité et qu’alors, aux limites usuelles de vitesse des trains de chemins de fer, on pourra en faire abstraction.
  - 521. Expériences exécutées à Portsmouth. — De nombreuses et intéressantes expériences ont été faites à ce sujet au dockyard de Portsmouth par MM. Henry James, capitaine, et Douglas Galton, lieutenant de la marine royale d’Angleterre.
  - Des barres de fonte de 2m,745 de portée ont été disposées de manière à faire partie d’un petit chemin de fer horizontal, raccordé vers ses deux extrémités par des courbes convenables, avec des plans inclinés, au moyen desquels un chariot abandonné à lui-même pouvait acquérir une vitesse considérable.
  - Des appareils ingénieux, munis de styles, traçaient pendant le passage, sur une surface plane, les flexions que prenaient les barres, ce qui a permis de comparer celles qui avaient lieu pendant le mouvement aux flèches de courbure obtenues quand le chariot était au repos et placé au milieu des barres.
  - Ces expériences ont été répétées sur des barres de fonte ayant toutes la même portée 2C — 2m,745, mais de sections différentes. Les résultats ainsi que les données sont consignes dans les tableaux du n° 522, où l’on trouve la flexion produite par des charges diverses au repos et celle qui a lieu pendant le mouvement à différentes vitesses ainsi que le rapport de ces flexions.
  - L’examen de ces tableaux montre d’abord qu’effectivementles flexions maximum prises par les solides, croissent avec la vitesse du mouvement, et l’on voit en outre que la rupture a lieu sous des charges de plus en plus faibles à mesure que la vitesse devient plus grande.
  - L’observation a aussi prouvé que la rupture a lieu en général à des points situés au delà du milieu de la longueur des barres et qu’elle se produit souvent en plusieurs endroits différents à la fois.
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- - FLEXION.
  - 359
  - L’influence de la vitesse de passage sur des solides qui fléchissent est donc rendue très-manifeste par ces expériences, et l’action de la force centrifuge dans cet effet est incontestable; mais comme il faut toujours un certain temps pour que les flexions se produisent, et que cette force qui en dépend se développe pendant le passage, il arrive qu’au delà de certaines limites de vitesse, l’effet ou la flexion diminue au lieu d’augmenter. C’est ce qui résulte des expériences suivantes faites sur des barres d’acier et de fer forgé.
  - Expériences sur deux barres d’acier de 0m,685 de longueur, 0m,0508 de largeur, et 0m,0063 d’épaisseur.
  - Vitesses en i" T m. 4,57 m. 7,00 m. 8,83 m. 10,35 m. 13,40
  - mill. mi 11. mill. mill. mill. mill.
  - Flexion au milieu 17,8 25,9 33,6 36,8 33,00 26,20
  - Expériences sur deux barres de fer de 2m,745 de longueur, 0m,0254 de largeur, et 0m ,0762 d’épaisseur, avec une charge de 805 kilogr.
  - Vitesses en 1" » m. 4,57 m. 8,83 O • O s^r m. 13,20 »
  - Flexion au milieu mill. 7,36 mill. 9,90 mill. 12,70 mill. 15,75 mill. 10,90 »
  - Ces expériences ont donné lieu à des recherches théoriques fort intéressantes pour la science de la part de M. le professeur Willis.
  - Mais ce savant géomètre a été conduit à des calculs trop compliqués pour être d’un usage habituel, et nous chercherons à discuter les résultats des expériences par une méthode plus simple, qui sera suffisamment exacte pour la pratique.
  - Quant aux applications usuelles, nous ferons remarquer d’abord qu’une partie de ces expériences ont commencé avec des charges, et, par conséquent, sous des flexions qui dépassaient déjà de beaucoup celles que l’on peut admettre pour des constructions permanentes et que donneraient nos formules pratiques.
  - Ainsi, les barres de fonte de 0m,0254 de largeur sur 0m,0508 d’épaisseur.et 2m,745 de portée n’auraient dû supporter en leur milieu qu’une charge permanente de 119kiI,44, tandis que le chariot employé a toujours pesé au moins 508 kilogr., ce qui revenait à 254 kilogr. par barre.
  - Les barres de 0n,,0254 de largeur sur 0ra,0762 d’épaisseur qui,
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  - TROISIÈME PARTIE.
  - sous la portée de 2m,745, ne devaient être soumises d’une manière permanente qu’à une charge de 268kil,70, n’ont été d’abord chargées, il est vrai, que de 254 kilogr. par barre; mais il est à remarquer qu’elles n’ont été rompues qu’à la vitesse de 13m,l0, sous une charge de 404 kilogr. dans un cas et de 372 kilogr. dans l’autre.
  - Ainsi, il résulte de ces expériences que les dimensions déterminées par nos formules pratiques sont telles, que les solives légères, comme les barres expérimentées, par rapport à la charge mobile, peuvent supporter le passage de charges qui dépassent celles que nous admettons comme permanentes avec des vitesses de 13 mètres par seconde. A plus forte raison, lorsqu’il s’agira de ponts de toutes formes, dont le tablier et les autres parties accessoires augmentent le rapport de la masse à celle de la charge, dans une proportion plus grande que celle qui existait dans les expériences, pourra-t-on négliger l’influence de la vitesse des charges à supporter.
  - Toutefois, il doit résulter au moins de ces expériences que, pour les ponts suspendus, les ponts de bateaux sujets à éprouver des flexions, et par conséquent des courbures considérables, la prudence exige que les consignes qui prescrivent de n’y laisser passer les voitures qu’au pas, soient strictement observées.
  - 522. Discussion des résultats de ces expériences. — Pour soumettre les résultats de ces expériences au calcul, il faut remarquer que la force centrifuge dépend de la masse du corps en mouvement, de sa vitesse et du rayon de courbure correspondant à la flexion. Or, ce rayon dépend lui-même de la pression dans laquelle la force centrifuge entre pour une partie souvent très-considérable. De plus, l'observation montre que le point de la plus grande flexion n’est pas au milieu des barres et sa position est ainsi très-difficile à déterminer exactement.
  - Mais, s’il ne paraît pas possible de déterminer rigoureusement toutes les circonstances qui se produisent dans de semblables mouvements, l’on peut, néanmoins, s’en rendre un compte approximatif par les considérations suivantes.
  - Le rayon de courbure r, correspondant à la pression, au repos, est donné par la formule du n° 200
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- - FLEXION.
  - 361
  - en appelant 2P l’effort que l’on suppose exercé an milieu de la barre et dont on connaît a priori une partie, la moitié du poids du chariot; 2C = 2m,745 la portée totale des barres, E et I ayant les significations connues.
  - Mais si l’on se rappelle que, dans le cas simple d’un solide posé sur deux points d’appui, et chargé en son milieu d’un poids 2P, l’on a (n° 205) la relation
  - f— i -jj, d ou 1 on tire = —, on en déduit la valeur très-simple du rayon de courbure
  - C*
  - qui montre que, quelle que soit la forme du profil transversal d’un solide, dont on peut négliger le poids par rapport à la charge qu’il porte, le rayon de courbure est égal au carré de la demi-portée, divisé par trois fois la flèche de courbure.
  - D’une autre part, si l’on néglige le poids des rails par rapport à celui du chariot, la force centrifuge a pour expression
  - p'ys
  - ~gf'
  - en désignant par P' la charge qui agit ici au milieu de chaque barre ou la moitié du poids du chariot, et par V là vitesse de transport.
  - D’après la valeur précédente du rayon de courbure, cette expression de la force centrifuge devient
  - F ^ =
  - g r gC? '
  - Par conséquent, on pourrait facilement calculer l’intensité de la force centrifuge développée dans chacune de ces expériences, si l’on avait la valeur de la flexion correspondante à chaque charge.
  - Ce qu’il importe de reconnaître, pour vérifier les considérations précédentes, c’est de s’assurer si la charge supportée par chaque rail, augmentée de la valeur de la force centrifuge,
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- - 362
  - TROISIÈME PARTIE.
  - calculée comme nous venons de l’indiquer, surpasse effectivement la charge capable de rompre le solide.
  - Pour faire celte vérification, nous sommes forcés de supposer la charge au milieu de la portée du solide, attendu que son emplacement au moment de la plus grande flexion et de la rupture n’est pas donné, et de plus, nous ne connaissons que la flèche observée dans l’expérience qui a immédiatement précédé la rupture avec la charge correspondante.
  - 11 est donc évident par là que la valeur de l’effort total à laquelle nous parviendrons sera moindre que l’effort même qui a produit réellement la rupture. Nous pourrons d’après cela, nous assurer si les considérations précédentes se rapprochent suffisamment des résultats de l’expérience pour pouvoir servir, à l’occasion, à apprécier à l’avance, approximativement, les effets de la vitesse des trains de chemin de fer sur les rails et surtout sur les ponts.
  - On a rapporté, dans les tableaux suivants, tous les éléments des expériences et des calculs.
  - Les charges totales en kilogr. rapportées dans la première colonne sont les poids du traîneau et se partagent en deux parties égales pour donner la valeur de la charge 2P = P', qui pesait sur chaque rail et que nous considérons au moment de son passage au milieu.
  - On a calculé pour chaque barre' le poids qui, placé au milieu de sa longueur, eût produit la rupture, en admettant que la fonte employée fût de résistance moyenne, ce qui revient à supposer (n° 248)
  - Rr = 32 441000 kilogr.
  - On conçoit, d’ailleurs, que ce coefficient pouvant varier assez notablement d’une barre à l’autre, cette charge de rupture ne peut être déterminée bien exactement.
  - En ajoutant la moitié du poids du traîneau à la valeur trouvée pour la force centrifuge, on a eu la valeur de la quantité
  - 3V2
  - P’ + ^PT,
  - qui exprime la valeur approximative, mais un peu trop faible,
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- - FLEXION.
  - 363
  - de l’effort total auquel le corps était soumis pendant le passage.
  - Lorsque les poids du traîneau ont été graduellement augmentés jusqu’à la rupture, et surtout, quand les dernières charges ont différé très-peu les unes des autres, l’on a obtenu, pour cet effort, des valeurs très-voisines de la charge de rupture au repos. Mais quand, au contraire, les charges ont été augmentées trop rapidement, il est arrivé, dans la plupart des
  - 3V2
  - cas, que la valeur de P' + —^P'/' a été trouvée très-supérieure
  - à la charge de rupture au repos, ce qui en rend compte a fortiori. Dans quelques autres cas, la flexion produite par l’avant-dernière charge étant notablement plus faible que celle due à la dernière, l’effort total a été un peu inférieur à la charge de rupture au repos, mais cela s’est présenté rarement.
  - Les nombres consignés dans la colonne intitulée flexion au repos ne sont pas, à l’exception du premier chiffre de chaque série, déterminés par expérience directe ; l’observation de la flexion ayant été faite chaque fois pour la charge la plus faible, on s’est servi de cette flexion pour calculer toutes les autres par les formules que nous avons données; les différences que l’on peut remarquer entre les flexions des différentes barres d’un même échantillon donnent en quelque sorte la mesure de leurs résistances comparatives.
  - Les expériences de la première série ont toutes été faites sur des barres de 2-ra,745 de longueur, présentant une section rectangulaire de 0m,0254 sur 0m,0508 ; dans la deuxième et la troisième série la longueur est restée la même ; mais les dimensions-transversales ont été portées successivement à 0m,0254 sur 0m,0762 et 0ra,1016 sur 0m,8381.
  - Ces trois séries sont les seules qui figurent dans les tableaux suivants : elles sont suffisantes pour faire connaître les résultats principaux auxquels ont été conduits MM. James et Galton, qui ont encore expérimenté sur des barres plus fortes et d’une plus grande portée, des barres de diverses substances, et aussi des pièces courbes telles que celles que l’on emploie si fréquemment dans la construction des ponts en fonte.
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- - 364
  - TROISIÈME PARTIE
  - EXPÉRIENCES RE MM. HENRY JAMES, CAPITAINE, ET DOUGLAS GALTON LIEUTENANT DE LA MARINE ROYALE D’ANGLETERRE,
  - PREMIÈRE SÉRIE.
  - POIDS du chariot. BAI' a = 0,0254, UE DE GAUCHE, 6 = 0,0508, 2C = 2,745. CHARGE sur chaque barre, 2P=P\ FORCE centrifuge, 2V’ — Vf gV h effort total, n, 3V’ P H P7 gV '
  - FLEXION au repos. FLEXION pendant le mouvement. r. APPORT des flexions.
  - Vitesse du chariot, 4m,57. — C large de rup ture au repos calculé! pour
  - une barre, 5l6kil,42.
  - kil. m. m. ki). kil. kil.
  - 506,0 0,0223 0,03.15 1.41
  - 5(S6,5 0,0279 0,0432 1,54
  - 652,5 0,0376 0,0502 1,34
  - 707,0 0,0434 0,0637 1,47
  - 775,0 0,0530 0,0761 1,43
  - 850,0 » rupture. V 425,0 76,27 501,27
  - 506,0 0,0218 0,0282 1,28
  - 566,5 0,0264 0,0358 1,33
  - 652,5 0,0368 0,0493 1,24
  - 707.0 0,0422 0,0635 1,65
  - 775,0 0,0515 0,0775 1,51
  - 811,0 0,0533 0,0895 1,68
  - 824,0 0,0537 0,0915 1,70
  - 836,0 0,0553 0,1119 1,91 419,0 73,78 491,78
  - 506,0 0,0157 0,0186 1,19
  - 566,5 0,0195 0,0223 1,14
  - 614,0 0,0236 0,0279 1,18
  - 660,0 0,0272 0,0340 1,25
  - 707,0 0,0305 0,0447 1,47
  - 761,0 0,0345 0,0602 1,74 .
  - 813,0 0,0383 0,0736 1,92
  - 824,0 » rupture. )i i 412,0 10.2,8 514,8
  - Vitesse du chariot, 7m,31 en 1".
  - 506,0 0,0162 0,0259 1,59
  - 566,0 0,0203 0,0393 1,94
  - 614,0 0,0244 0,0685 2,81
  - 640,0 0,0264 0,0800 3,04
  - 652,0 » rupture. » 326 226,2 552,2
  - 506,0 0,0165 0,0221 1,43
  - 566,0 0,0205 0,0279 1,35
  - 614,0 0,0248 0,0488 2,37
  - 640,0 0,0269 0,0722 2,69
  - 652,0 0,0276 0,0965 3,50
  - 664,0 0,0286 )) ))
  - 677,0 0,0297 0,1000 3,37
  - 691,0 rupture. » 345,5 299,7 645,2
  - 506,0 0,0187 0,0289 1,54
  - 566,0 0,0233 0,0372 1,59
  - 614,0 0,0279 0,0432 1,58
  - 640,0 0,0305 0,0512 1,70
- p.364 - vue 375/512
- - FLEXION.
  - 36 o
  - SUITE DE LA PREMIÈRE SÉRIE.
  - POIDS du chariot. BARRE DE GAUCHE. a = 0,0254, b = 0,0508, 2C = 2/145. CHARGE sur chaque barre, 2P=P'. FORCE centrifuge, T. EFFORT total, 2VJ P'+—-Vf.
  - FLEXION au repos. FLEXION pendant le mouvement. RAPPOI1T des flexions.
  - Vitesst du chariot 7"’,31 en 1". — Charge .alculée de rupture au repos
  - pour une barre, 516k,l,42.
  - kil. m. m. kil. kil. kil.
  - 652,0 0,0315 0,0565 1,80
  - 664,0 0,0327 0,0612 1,87
  - 677,0 0,0337 0,0644 1,90
  - 691,0 0,0347 0,0680 1,96
  - 703,0 0,0360 0,0707 1,95
  - 716,0 0,0370 0,0780 2,11
  - 727,0 » rupture. )) 363,5 246,0 609,5
  - Vitesse du chariot, 8'”,84 en 1".
  - 506,0 0,0241 0,0457 1,89
  - 566,0 P rupture. » 283,0 164,0 447,0
  - Laflèche 0,0457 était très-inférieure
  - à celle qui a eu lieu à la rupture.
  - 506,0 0,0284 0,0645 2,17
  - 533,0 0,0330 0,0853 2,56
  - 546,0 » rupture. O 273,0 295,4 568,4
  - 506,0 0,0244 0,0584 2,39
  - 533,0 0,0274 0,0770 2,80
  - 546,0 » , rupture. » 273,0 266,7 539,7
  - Vitesse du chariot, 10ra,006 en 1".
  - 506,0 0,0215 0,0513 2,40
  - 533,0 0,0238 0,0677 2,83
  - 546,0 P rupture. 273,0 300,2 573,2
  - 506,0 0,0205 0,0333 1,61
  - 533,0 0,0231 0,0472 2,05
  - 546,0 0,0244 0,0620 2,54
  - 558,0 0,0254 0,0765 3,02
  - 571,0 0,0264 0,0926 3,51
  - 583,0 » rupture. » 291,5 438,5 730,0
  - 506,0 0,0330 0,0770 2,34
  - 519,0 » rupture. « 259,5 318,4 577,9
  - Vitesse du chariot, 1 1"1,950 en
  - 506,0 0,0218 0,0472 2,16
  - 519,0 0,0238 0,0571 2,38 259,5 336,9 596,4
  - 506,0 0,0183 0,0417 2,28
  - 519,0 0,0198 0,0574 2,97
  - 533,0 » rupture. » 266,5 354,6 621,1
  - 506,0 0,0177 0,0381 2,14
  - 519,0 0,0188 0,0533 2,83
  - 533,0 0,0198 0,0586 2,76
  - 546,0 )) rupture. » 273,0 370,9 643,9
- p.365 - vue 376/512
- - 36Ü
  - TROISIÈME PARTIE.
  - DEUXIÈME SÉRIE.
  - POIDS (lu chariot. BAI a = 0,0254, FLEXION au repos. IRE DE GAUC b — o"'o762, FLEXION pendant le mouvement. HE. 2C = 2™745. RAPPORT des flexions. CHARGE sur chaque barre, 2P=P'. FORCE centrifuge, !Tp T. 9 V 1 EFFORT total, n. 3V* P H P7 gC’ '•
  - Vitesse du chariot, 4m,575 en 1". — Charge c alculée de rupture au repos,
  - 1161kil,96.
  - kil. m. m. kil. kil. kil.
  - 506,0 0,0094 0,0104 1,10 '
  - 804,0 0,0175 0,0147 0,87
  - 1005,0 0,0259 0,0246 0,95
  - 1338,0 0,0303 0,0418 1,11
  - 1495,0 0,0441 0,0596 1,34
  - 1526,0 0,0457 0,0685 1,50
  - 1545,0 » rupture. )) 772,5 179,8 952,3
  - 506,0 0,0096 0,0112 1,10
  - 804,0 0,0180 0,0175 0,97
  - 1065,0 0,0267 0,0290 0,97
  - 1338,0 0,0383 0,0396 1,10 '
  - 1495,0 » rupture. » 747,5 100,6 848,1
  - L’avant - dernière charge était
  - trop différente de la dernière.
  - 506,0 0,0073 0,0079 1,07
  - 804,0 0,0137 0,0154 1,11
  - 1065,0 0,0215 0,0211 1,04
  - 1338,0 0,0303 0,0381 1,26
  - 1495,0 0,0347 0,0469 1,35
  - 1545,0 0,0371 0,0504 1,52
  - 1569,0 0,0381 0,067 3 1,76
  - 1578,0 » rupture. X> 789,0 180,4 969,4
  - Vitesse du chariot, 8m,S4 en 1".
  - 506,0 0,0081 0,0091 1,11
  - 804,0 0,0154 0,0193 1,26
  - 1065,0 0,0223 0,0345 1,52
  - 1209,0 0,0272 0,0462 1,70
  - 1251,0 0,0289 0,»523 1,80
  - 1282,0 0,0299 0,0549 1,83
  - 1308,0 0,0310 0,0576 1,86
  - 1332,0 0,0319 0,0640 2,00
  - 1396,0 0,0330 0,0678 2,05
  - 1430,0 y> rupture. » 715,0 615,0 1330,0
  - 506,0 0,0106 0,0137 1,28
  - 804,0 0,0200 0,0302 1,50
  - 1065,0 0,0292 0,0507 1,75
  - 1338,0 » rupture. * 669,0 430,3 1099,3
- p.366 - vue 377/512
- - FLEXION.
  - 367
  - SUITE DE LA DEUXIÈME SÉRIE.
  - POIDS du chariot. BAï a = 0,0254, FLEXION au repos. iRE DE GAUC b = 0,0762, FLEXION pendant le mouvement. HE. 2C = 2,745. RAPPORT des flexions. CHARGE sur chaque barre, 2P=P'. FORCE centrifuge, 2V2 gt1 EFFORT total, P'+^P'f. g c2 '
  - Vitesse du chariot, 3m,84 en 1". — Charge ca lculée de upture au repos,
  - 1161kil,96.
  - kil. m. m. kil. kil. kil.
  - 506,0 0,0084 0,0172 1,57
  - 804,0 0,0157 0,0223 1,42
  - 1065,0 0,0231 0,0404 1,75
  - 1338.0 0,0332 0,0702 2,07
  - 1362,0 )) rupture. “ 681,0 606,5 1287,5
  - Vitesse du chariot, llm,00 en 1".
  - 506,0 0,0099 0,0175 1,71
  - 804,0 0,0185 0,0284 1,53
  - 1065,0 0,0272 0,0528 1,94
  - 1135,0 J> rupture. . X 562,5 583,5 1146,0
  - 506,0 0,0086 0,0127 1,47
  - 804,0 0,0157 0,0277 1,75
  - 1065,0 0,0128 0,0482 2,05
  - 1088,0 X rupture. X 544,0 515,5 1059,5
  - 500,0 0,0124 0,0182 0,47 Les deux dernières c larges sont
  - 804,0 0,0236 0,0332 1,42 trop différentes.
  - 1065,0 » rupture. >'
  - Vitesse du chariot, 13m, 10 en 1".
  - 506,0 0,0086 0,0112 1,29
  - 804,0 0,0157 0,0236 1,50
  - 938,0 0,0193 0,0396 2,04
  - 989,0 » rupture. X 494,5 545,5 1040,0
  - 500,0 0,0008 0,0152 1,92
  - 804,0 0,0129 0,0272 2,10
  - 938,0 0,0155 0,0475 3,07
  - 902,0 X rupture. » 481,0 636,5 1117,5
  - 506,0 0,0061 0,0096 1,58 0,0066 0,0127 1,92
  - 804,0 0,0114 0,0218 1,90 0,0127 0,0259 2,04
  - 938,0 0.0134 0,0330 2,35 0,0150 0,0355 2,36
  - 989,0 0,0152 0,0470 3,09 0,0165 0,0508 3,00
  - 109T,0 7> rupture. X » X 9
- p.367 - vue 378/512
- - 3G8
  - TROISIÈME PARTIE.
  - TROISIÈME SÉRIE.
  - POIDS du chariot. BARRE DE GAUCHE. n> m in a = 0,1016, 6 = 0,8381, 2C = 2,745. CHARGE sur chaque barre, 2P=P'. FORCE centrifuge, »ÜP7. gV ' effort total, P +—.p7 9 C* '•
  - FLEXION au repos. FLEXION pendant le mouvement. RAPPORT des flexions.
  - Vitesse du chariot, 4™,575 en 1" — Charge c alculée de rupture au repos,
  - lier11,8.
  - kil. m. m. kil. kil. kil
  - 506,0 0,0109 0,0160 1,46
  - 805,0 0,0213 0,0343 1,64
  - 1065,0 0,0322 0,0508 1,57
  - 1340,0 0,0477 0,0970 2,01
  - 1450,0 0,0550 0,1179 2,14
  - 1472,0 0,0566 0,1230 2,17
  - 1500,0 » rupture. » 750,0 313,4 1063,4
  - 500,0 0,0144 0,0198 1,36
  - 805,0 0,0279 . 0,0368 1,32
  - 1065,0 0,0434 0,0536 1,29
  - 1340,0 0,0645 0,1043 1,62
  - 1492,0 0,0770 0,1230 1,59 746,0 311,8 1057,8
  - Vitesse du chariot, 8™,84 en 1".
  - 506,0 0,0188 0,0274 1,45
  - 804,0 0,0365 0,0517 1,42
  - 938,0 0,0462 0,0740 1,43
  - 1005,0 0,0561 0,1050 1,87
  - 1210,0 Les deux barres se sont rompues. 605, ô 805,9 1410,9
  - 506,0 0,0152 0,0256 1,68
  - 805,0 0,021)4 0,0550 1,87
  - 1065,0 0,0457 0,0942 2,06
  - 1210,0 » rupture. » 605,0 723,0 1328,0
  - Vitesse du chariot, 11™,00 en 1" — Charge calculée de rupture au repos,
  - 1161kM,8.
  - 506,0 0,0132 0,0241 1,82
  - 804,0 0,0254 0,0556 2,19
  - 934,0 0,0320 0,0985 3,08
  - 985,0 » rupture. » 492,5 953,2 1445,7
  - 506,0 0,0147 0,0313 2,11
  - 804,0 0,0284 0,0789 2,78
  - 934,0 Les deux barres se sont rompues. 467,0 723,8 1190,8
  - Vitesse du chariot, 13™,10 en 1".
  - 506,0 0,0160 0,0391 2,45 Ces deux charges sont trop dif-
  - 805,0 Les deux barres se sont rompues. férentes.
  - 506,0 0,0127 0,0325 2,56
  - 636,0 0,0155 0,0587 3,35
  - 690,0 0,0195 0,0809 4,13 La barre de droite s’est rompue.
  - 742,0 0,0216 0,1115 5,14 371,0 1152,5 1523,5
- p.368 - vue 379/512
- - FLEXION.
  - 369
  - 525. Conséquences de ces expériences. — Les résultats de la discussion de ces expériences montrent que dans la plupart des cas, les efforts totaux composés du poids de la moitié du chariot et de la force centrifuge ont atteint ou dépassé la charge de rupture au repos ; ce qui rend parfaitement évidente l’action de la force centrifuge dans le passage rapide des trains. Dans les plus grandes vitesses essayées, l’intensité de la force centrifuge atteint et dépasse même de beaucoup le double du poids du chariot.
  - La force centrifuge ayant pour expression
  - on voit qu’à charge égale, elle est proportionnelle, comme on le sait déjà, au carré de la vitesse, et en outre proportionnelle à la flèche de courbure. 11 résulte de cette dernière conséquence que dans les constructions où l’on aura intérêt à diminuer cette action de la force centrifuge, il conviendra d’employer les matériaux et les formes qui, pour une même charge, donnent lieu aux moindres flexions.
  - Ainsi l’on devra préférer les matériaux pour lesquels le coefficient d’élasticité E a la plus grande valeur. Par ce motif, le fer sera choisi plutôt que la fonte et que le bois.
  - Altération des essieux.
  - 324. Altération des essieux par la prolongation de leur service. - Les accidents si graves qu’entraîne la rupture d’un essieu de machine locomotive et même de wagon ont justement préoccupé l’attention publique, et l’on s’est demandé s’il ne serait pas prudent de prescrire une limite de chemin parcouru au delà de laquelle tous les essieux du matériel des chemins de fer devraient être réparés ou visités soigneusement. On conçoit facilement que cette mesure éprouve quelque opposition de la part des ingénieurs chargés du matériel des compagnies , auxquelles elle imposerait des dépenses et des contrôles. Mais l’intérêt public et l’intérêt bien entendu des compagnies elles-mêmes est que la question soit examinée avec soin et que la vérité étant une fois connue, toutes les mesures nécessaires soient prises.
  - 24
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - 370
  - Pour m’éclairer sur celte question importante, j’ai eu recours à deux hommes parfaitement compétents et dont la longue expérience donne à leur opinion et aux faits qu’ils ont observés une grande autorité. Ce sont MM. Marcouxet Arnoux, tous deux anciens officiers d’artillerie, le premier directeur du matériel du service des malles-postes, et le second administrateur des messageries générales. Je ne puis mieux faire que de transcrire textuellement les notes qu’ils ont bien voulu me donner à ce sujet.
  - 525. Note sur les essieux des voitures en service sur les routes ordinaires, par M. Marcoux. — « Plusieurs ingénieurs distin-« gués pensent qu’un service trop prolongé des essieux des * voitures, marchant à grande vitesse sur les routes ordinaires,
  - « détériore la nature du fer, et que ses parties nerveuses se « changent en gros grains à facettes brillantes, comme on en « trouve dans les fers de mauvaise qualité.
  - « Des observations journalières, faites pendant plus de « douze ans dans le service des malles-postes, m’ont démontré « que l’altération du fer des essieux dont le service est trop « prolongé ne se produit pas ainsi, et que, si l’on casse ces « essieux à froid, on ne trouve de changements appréciables ni « dans la texture, ni dans la grosseur du grain.
  - « Je ne pense pas qu’on puisse faire des expériences plus « concluantes sur d’autres voitures, parce que les malles-postes « marchent à une vitesse qu’aucune autre voiture, en service « sur les routes ordinaires, n’a encore atteinte. Cependant, « dans tous les essieux cassés dans ce service pendant douze « ans, je n’ai reconnu aucun changement appréciable dans la « texture du grain avec ce qu’il était au moment de la fabrica-c tion des essieux.
  - « Doit-on conclure de mes observations que le fer des este sieux ne s’altère pas dans un trop long service? Non, sans « doute : je pense, au contraire, que les vibrations que les es-« sieux éprouvent dans les marches à grande vitesse détério-« rentle fer, sans pour cela que la texture du grain éprouve de « changement appréciable; mais je n’en suis pas moins con-« vaincu que les essieux sont moins résistants après un long « service, et en conséquence j’ai prescrit, dans le cahier des « charges de l’entretien des malles-postes, que les essieux de
- p.370 - vue 381/512
- - FLEXION.
  - 371
  - « ces voitures seront renouvelés après avoir fourni un par-« cours de soixante raille kilomètres.
  - « Ainsi, je le répète, d’après mes observations sur les essieux « cassés pendant douze ans dans le service des malles-postes, « la texture du grain du fer ne change pas d’une manière ap-« préciable dans un long service, mais les vibrations qu’éprou-« vent les essieux produisent d’autres effets qui contribuent à « les faire casser. J’ai remarqué que des essieux bien fabriqués, « avec des fers de bonne qualité, cassaient après avoir fourni « un parcours de 60 à 80 mille kilomètres, parce qu’il se « forme, au-dessous du collet des fusées, de petites fissures qu’il « est difficile de reconnaître sans chauffer le fer des fusées : si t ces fissures, qui ont peu de profondeur lorsqu’elles se forte ment, restent inaperçues, les essieux cassent à cet endroit « quand elles pénètrent de 10 à 15 millimètres dans la section « de la fusée.
  - « Je pense que ces fissures se forment après un long travail, « qu’elles sont occasionnées par les vibrations des essieux, et t que cet effet se produit d’une manière analogue à ce qui se « passe lorsqu’on casse un fil de fer en le courbant plusieurs « fois en différents sens. Si l’on ne fait subir à un fil de fer que «de très-faibles inflexions sur une grande longueur, on ne « parvient pas à le rompre : c’est l’effet que doivent produire « les vibrations sur le corps de l’essieu. Mais, si l’on serre le « fil de fer dans un étau et qu’on lui fasse subir plusieurs in-« flexions en sens contraires, le fer s’allonge d’un côté, se re-« foule de l’autre, et le fil se casse près de l’étau, comme les « essieux cassent au collet des fusées. »
  - Les figures 5 de la planche V indiquent l’accroissement graduel des fissures observées sur les essieux des malles-postes.
  - 526. Note sur les essieux des messageries générales, par M. C. Arnoux. — a Les ruptures un peu fréquentes d’essieux « de diligences datent de loin et ont duré longtemps.
  - « C’est vers l’époque où l’emploi des ressorts droits a permis « de construire des voitures à trois caisses, de les charger da-« vantage, et de leur imprimer une vitesse croissant avec fait mélioration des routes, que ces accidents se sont multipliés.
  - «Ona pu constater en moyenne une rupture sur 120 ou » 160 mille kilomètres parcourus.
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- - 372 TROISIÈME PARTIE.
  - « Sur trois essieux cassés, il y en avait deux de devant et un «. de derrière.
  - « Pour les premiers, la rupture était généralement au tiers « de leur longueur entre les deux roues.
  - « Pour les seconds, toujours au collet ou à la naissance de la « fusée.
  - « Aux uns comme aux autres, ces points étaient très-voisins « de ceux où portait la charge.
  - a L’usage, en messagerie, est de faire les essieux en fer à a nerf, au bois, corroyé à la petite forge, ou en fer provenant « de fonte au bois.
  - « Dans tous les cas, la cassure affectait généralement le même a aspect; une petite crique se déterminait à l’arête antérieure « et inférieure de l’essieu, là en effet où se trouve la plus grande « fatigue, due à la double action de la charge et de la traction;
  - « puis cette rupture s’étendait par zone dont cette crique était « le centre, d’un grain aussi net et aussi fin que celui de lace cier fondu, et quand elle était parvenue aux deux tiers de la a section, le reste rompait avec un aspect plus ou moins ner-« veux (pb V, fig. 6).
  - « L’usage était de mettre les voilures en grande réparation « après une année de service, et de recharger les fusées à la « deuxième réparation, opération que l’usé des fusées et suret tout des rondelles d’essieux rendait nécessaire : mais l’on « se bornait à cette réparation, parce qu’il était alors établi « que, le corps de l’essieu ne s’usant pas, les plus anciens « étaient les mieux éprouvés, et l’on ne mettait le corps d’essieu « au feu que lorsqu’on voulait en modifier la forme ou la force.
  - « Les voitures faisaient en moyenne, repos compris, 80 à « 100 kilomètres par jour ; c’était donc un parcours de 60 à a 70 mille kilomètres avant que l’on touchât aux essieux.
  - « Le besoin d’alléger constamment le poids mort des voice tures nous porta à diminuer la force que l’usage avait établie « pour les essieux : ils plièrent, et force nous fut de leur rendre « à peu près leur ancien poids. Cette opération, appelée rem-« barrage, consistait à rapporter une barre tout le long de l’este sieu et à le corroyer de nouveau.
  - « De telle sorte que simultanément on rembarrait les essieux « trop faibles, et l’on continuait à recharger les fusées des « anciens.
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- - FLEXION. 373
  - « Les uns et les autres étaient marqués d’une manière dif-« férente.
  - c Bientôt nous nous aperçûmes qu’aucun essieu cassé ne por-« la marque rembarré, tandis que les essieux rechargés t cassaient seuls. Nous dûmes dès lors conclure que l’usage al-» ferait le corps de l’essieu, et dès ce moment le second mode i fut supprimé. A mesure que nos essieux rechargés disparais-« saient, les accidents diminuaient.
  - « Une autre observation nous frappa.
  - « Lorsque nous adoptâmes les grandes sassoires, la charge, « au lieu de se trouver aux deux tiers de la longueur entre les i fusées, fut reportée près des tusées comme sur les essieux de « deirièi e, et dès ce moment les essieux de devant ne cassèrent « pas plus que les autres.
  - « Avant de prendre le parti de rembarrer tous les essieux, « ce qui coûtait plus que l’opération plus simple de recharger « les tusées, nous avons essaye de recuire le corps dans les cen-‘ dres du foyer, dans là sciure : l’essieu revenait un peu, mais « pas assez.
  - « Rien n’établissait encore que le parcours de 70 OOO kilo-« mètres fût la limite à laquelle l’essieu cessait d’être sûr ; il « est à croire même que celte limite, qui varie avec la charge, « la nature de la route et la vitesse, était plus éloignée : mais’ ‘ comme après ce trajet les fusées sont assez usées pour néces-« siter une réparation, nous avons pris le parti de ne faire ' qu’une même opération, qui nous évitait des erreurs ; et bien 1 nous en a pris, car, il y a sept ou huit ans que nous n’avons « eu un essieu cassé sous nos grandes voitures.
  - « S il n en a pas été de même pour les petits services, cela s a tenu a une autre circonstance. Pour ces petits essieux, on «avait fait la faute de conserver trop de force au corps d’es-« sieu, à l’endroit où se délache la fusée; et celte disposition «vicieuse nous a causé bien des ruptures de fusées, à leur « naissance.
  - Œ Comme règle générale, nous avons remarqué que, sur «les routes pavées, le temps du bon service des essieux est « notoirement plus rapproché que sur les routes à empierre-« ment.
  - « Pour faciliter la construction, nous avons adopté (pl. V,
  - « fig. 7 et 8) des encastrures aux essieux, c’est-à-dire que les
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- - 374
  - TROISIÈME PARTIE.
  - « essieux se trouvent dans une sorte de boîte assez mince d’ail-« leurs : cette disposition, s’opposant à l’amplitude des vibra-« tions, nous a paru avantageuse.
  - « De l’ensemble de nos observations nous avons conclu :
  - « i° Que le service altérait la nature de l’essieu, et le rendait « cassant ;
  - « v2° Que, sans préciser la durée certaine d’un essieu, on pou-« vait admettre comme limite inférieure 70 000 kilomètres dans « les circonstances de charge, de vitesse, et de routes de nos « services ;
  - « 3° Que, dans ces mêmes circonstances, le poids d’un essieu « peut être évalué au trente-cinquième ou au quarantième du « poids qu’il a à supporter ;
  - « 4° Qu’il faut éviter dans la forme des changements brusques « de dimensions ;
  - « 5° Qu’il faut éviter les angles vifs rentrants, surtout à la « naissance des fusées, dont ils déterminent la cassure ;
  - « 6° Que de toutes les mesures que l’on peut prendre « pour éviter les effets de la désagrégation, la plus sûre est « de reforger l’essieu, qui devient aussi bon que s’il n’avait * pas servi.
  - <r De nombreux essieux neufs ou rembarrés ont été soumis à « l’action du mouton, de manière à déterminer leur rupture; « rarement on est parvenu à les casser. D’autres, au contraire, « après le service, se sont ouverts d’abord, puis se sont rompus « en laissant voir, d’une manière plus ou moins prononcée, « l’aspect que nous avons signalé. »
  - CHARPENTES.
  - 527. Considérations générales. — Les considérations précédentes ont suffisamment indiqué l’importance des conclusions auxquelles conduit l’examen théorique et pratique de la résistance des matériaux dans toutes les constructions importantes ; mais il n’est pas d’application plus fréquente de ces considérations que celles relatives à l’établissement des charpentes de toutes dimensions. Nous examinerons ce sujet avec tous les détails qu’il comporte, en nous attachant surtout aux constructions en fer, qui tendent chaque jour à se répandre davantage.
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- - FLEXION.
  - 375
  - Répartition des efforts et données pratiques.
  - 528. Conditions de l’équilibre des pièces inclinées : pièce inclinée encastrée à l'une de ses extrémités et soumise à l’autre à des forces P et Q, respectivement verticale et horizontale. — La relation générale du n° 145
  - ou
  - s’applique à ce cas en y mettant pour M la somme des moments des forces extérieures P et Q, par rapport à la section d’encastrement, en ayant soin de prendre positivement les moments des forces qui tendent à produire la flexion dans un sens, et négativement ceux des forces qui tendent à faire fléchir en sens contraire. On aura aussi attention de s’assurer si les fibres les plus allongées ou les plus raccourcies sont sollicitées dans le même sens par les forces qui produisent la flexion, et par celles qui agissent dans le sens de la longueur.
  - Si, par exemple une pièce AB de longueur C regardée comme encastrée en B (pl. V, fig. 12), est soumise à deux efforts P et Q, faisant avec sa direction des angles a et by et que l’on nomme C' le bras de levier de la force P, par rapport au point B, et h le bras de levier de la force Q par rapport au même point, les composantes des forces P et Q, perpendiculairement
  - C' h
  - à sa longueur, seront Psina = P^- et Qsin6 = Q^, et la
  - somme de leurs moments, par rapporta la section encastrée B, sera
  - M — (P sin a —Q sin b) G = PG' — Q h
  - et elles produiront une flexion
  - * P sin a — Q sirj 6 _ PC' — Q.hn,
  - ' = -------50 J - 3E1
  - Quant aux composantes qui agissent dans le sens de la longueur du solide, il est facile de voir qu’en prenant AP = P et AQ = Q, et construisant les parallélogrammes respectifs, elles seront re-
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- - 376
  - TROISIÈME PARTIE.
  - présentées par les longueurs AE et AF, et que par les triangles semblables de la figure on aüra
  - C : AH :: P : AE = -^-H- = P cos a
  - L<
  - C: AD :: Q : AF = Q>1AD = Q cosfr ;
  - U
  - leur somme qui tend à comprimer la pièce sera donc
  - de sorte que pour la condition d’équilibre de stabilité, on aura ici
  - P cos a -f- Q cos b
  - P sin a — Q sin b
  - ï
  - A
  - ou dans le cas où.Q est perpendiculaire à P
  - tt_PA + QC' , (PC'-QA)< GA +--------------ï-----’
  - attendu qu’alors
  - Dans certains cas, l’on pourra déterminer Tune des forces ou sa direction, de façon que la flexion, et par suite l’extension ou la compression due aux composantes normales soit nulle. Il suffira de faire
  - P sin « = Qsin b
  - ou
  - PC'—QA.
  - Ceci s’applique particulièrement aux arbalétriers des charpentes à tirants en fer, dont on peut faire varier l’inclinaison ou la tension.
  - Dans le cas (pl. V, fig. 13), où la force P est verticale, si Q est horizontale, AD —C', est la projection horizontale de la
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- - FLEXION.
  - 377
  - pièce, AH — h sa projection verticale, et l’on a eosa=sin&, sjn a = cos b, et par suite
  - P sin a — Q cos b _ PC' — Qh rj
  - 3E1 3E1 ’
  - P sin a — Q cos a
  - P cos a -f- Q sin a
  - 329. Solide incliné encastré en B, et soumis à deux forces P et Q, l’une verticale, l'autre horizontale, agissant à son extrémité, et à une charge uniformément répartie sur sa longueur à raison de p Hlogr. par mètre courant. — Dans ce cas, si, comme l’indique la figure 14 (pl. Y), la charge uniformément répartie agit en sens contraire de l’effort P, la somme des moments des forces extérieures par rapport à la section encastrée est
  - (P sin a — 0 cos a) C —p sin a
  - ou
  - (Q cos a—P sin a) G -\-p sin a — ;
  - qui peuvent s’écrire sous cette autre forme
  - selon la grandeur respective des termes qui y entrent; on en déduit, pour la relation d’équilibre de stabilité, en tenant compte des composantes qui tendent à comprimer ou à allonger la pièce,
  - T>_PA + QC/—jpCÆ
  - GA
  - ou
  - R_Pcos«+QSinffi-pCcoS8+(psinB_QooSft_,pCsina]Cr>
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- - 378
  - TROISIÈME PARTIE.
  - La flexion se déduit des règles données au n° 205 ; en effet, la résultante des forces P et Q, normalement à la longueur de
  - i PC'—Qh , ..
  - ta piece, est P sin a— Qcosa =—-..., et elle produit une
  - bas en haut si P sin a>cos a, ou PC'>Q4, ou |
  - Ri
  - Q/i>PC'.
  - Les composantes de la charge uniformément répartie perpendiculairement à la longueur de la pièce, équivalent à une
  - charge ^sin« = ~- par mètre courant, agissant perpendiculairement à la longueur, et produisent une flexion expri-
  - p sin aC4 ___t pC'C3 #
  - inée par f
  - * El- *’ ^ex^on définitive est donc:
  - El
  - ou
  - /=^[(Qc°sa—Psina)—§^C' sina]=^j(Q4—PC'—f^CC').
  - 550. Application aux charpentes. — L’application de ces formules est particulièrement relative aux pièces de charpentes et surtout aux arbalétriers. En effet, quand une charpente de ce genre est parvenue à l’état d’équilibre et que les assemblages ne s’ouvrent plus, on peut regarder les arbalétriers comme encastrés par leur extrémité supérieure et comme soumis, à l’autre, à la réaction de la sablière et à celle du tirant. Dans ce cas, la charge p est le poids de la couverture, y compris les chevrons, les pannes,- celui de l’arbalétrier lui-même, le poids de la neige et la pression du vent que le toit peut avoir à supporter. L’effort vertical P, qui provient de la réaction de la sablière, est égal à pQ, s’il s’agit d’un arbalétrier d’une longueur C.
  - La force horizontale Q (pi. V, fig. 15) est égale et contraire à l’effort qui tendrait à faire glisser l’arbalétrier au dehors, et.
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- - FLEXION.
  - 379
  - par conséquent, on a, en s’imposant la condition que l’extrémité de l’arbalétrier ne se déplace pas :
  - C3
  - f—ôFrf—p£ sin a -j- Q cos a -j- sin«) = 0
  - f= ^(-pce - üh + ipcc)=o
  - OU
  - d’où l’on tire pour la condition que la flexion soit nulle :
  - Q cos a = |pC sin a et Û= f^C tang a
  - ou
  - On en déduit ensuite pour la condition de stabilité :
  - sin a
  - pC cosa-J-fpC
  - sina—pC cos a
  - cos a
  - A
  - V
  - — (pC sin a — § pC sin a—| pÇ, sin ci) G. p
  - d’où
  - R____5 j)G(l — cos8q )
  - ® A r>nc n.
  - A cos a
  - ou
  - attendu que
  - C'a
  - -t-cos8 a — sin8« = pp
  - 4
  - 551. Observation relative à la condition qui rend la flexion f égale à zéro.— La condition que le déplacement du pied A de la pièce inclinée soit nul est satisfaite dans les chan entes en bois par la résistance du tirant ou de l’entrait avec lequel l’arbalétrier est assemblé et chevillé, puis relié par un lien en fer. Lorsque le tirant est en fer et que l’angle qu’il fait avec l’arbalétrier est donné, on se réserve le moyen d’augmenter la ten-
  - »CC'
  - sion Q, de façon que la relation Q=|jpCtang a = -|—— soit
  - 77^98119
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- - 380 TROISIÈME PARTIE.
  - satisfaite. On remarquera à ce sujet que le tirant en fer ne peut recevoir cette tension en entier avant la pose de lacou-verture, parce qu’il en résulterait un effort qui tendrait à ouvrir l’assemblage des arbalétriers vers le sommet, à moins que cet assemblage ne soit à l’avance fortement consolidé. Il con vient d’augmenter graduellement cette tension, de manière h relever ce sommet de la quantité dont il s’abaisse sous la charge dans les premiers instants. Cependant, si l’on a employé, pour réunir les arbalétriers au sommet, des boîtes en fonte bien disposées ou des armatures convenables, on peut, dès l’origine, et avant le dressage, tendre fortement le tirant, jusqu’à faire prendre aux arbalétriers une flexion égale et contraire à celle que produira la charge uniformément répartie sur le solide. Cette flexion éprouvée par l’arbalétrier
  - sous l’action de la tension du tirant Q — f^Ctang a — jp-__ est égale à
  - C8 C3 C3
  - f— 3ËÏ*'^G sina=:^.gjpC sin a = ^. .pC.
  - Par conséquent, ayant au préalable calculé cette flexion, il sera facile, avant le levage des fermes, de tendre les tirants au degré convenable pour la faire prendre aux arbalétriers, et quand ensuite ils seront chargés, ils se redresseront en partie, si ce n’est tout à fait.
  - 552. Applications.—Les arbalétriers en bois étant de section
  - v' 6
  - rectangulaire, on a A — ab et (n° 145)y =—2, et l’on conçoit
  - „ i pi =1—cosa2 ,C'2 ... ...
  - que le facteur g - ^ j =5^ est toujours assez petit pour
  - qu’on puisse sans erreur sensible dans les applications le remplacer par sa valeur moyenne. En effet, les inclinaisons de toits les plus usitées sont pour les tuiles plates à crochet « = 45° et a = 57°, et pour les tuiles creuses posées à sec a = 63°, or, on trouve pour ce facteur les valeurs suivantes, selon que l’on fait
  - a égal à 45°, 57°, 63°
  - °’442’ °’807' 1'093’
  - dont la valeur moyenne est 0,7807, soit 0,781.
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- - FLEXION. 381
  - Pour un arbalétrier d’une section quelconque, on aurait donc :
  - attendu que C sina est la projection C' de l’arbalétrier, ou de la moitié de la portée totale 2C' de la ferme. Si l’arbalétrier esta section rectangulaire, on a donc :
  - d’où
  - a6*==^(0,7816+fC') =^(0,7816 + 0,75C+
  - Le produit pC représente, comme on l’a dit, le poids total de la couverture, y compris même celui de l’arbalétrier, que l’on estime d’abord approximativement.
  - Si l’on prend R = 700 000 kilogr., comme le suppose M. le général Ardant*, on est conduit à la formule pratique
  - atf = pC (0,000001126 -f 0,00000107C'),
  - ce qui est la formule adoptée au n° 516 de Y Aide-mémoire, 4e éd., et conviendra pour les charpentes ordinaires, où les bois ne sont pas à vive arête, et bien secs.
  - Mais si les bois sont équarris et bien choisis, on pourra hardiment faire R = 800000 kilogrammes, et l’on aura la formule :
  - «62=pC (0,0000009766 + 0,0000009375C').
  - Enfin, si l’on employait du bois de choix à vive arête, ou pourrait même faire R = 1 000 000 kilogr., ce qui conduirait à la formule pratique :
  - «62 = pC (0,0000007816 + 0,00000075C').
  - Ces formules s’appliquent aux arbalétriers des fermes simples à tirants en bois et aux arbalétriers supérieurs des fermes à la
  - * Études théoriques et expérimentales sur les charpentes à grande portée.
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- - 382 TROISIÈME PARTIE.
  - Palladio, ainsi qu’aux arbalétriers des fermes à tirants en fer forgé.
  - Nous allons en donner l’application aux cas les plus usuels mais auparavant il convient de déterminer la charge par mètre courant de longueur de l’arbalétrier.
  - 555. Charge des toitures par mètre carré de superficie.— Cette charge dépend de la nature des matériaux qui forment la couverture de la charpente, et il faut tenir compte aussi de la quantité de neige que le toit peut avoir à supporter, ainsi que de l’action du vent. Les différents éléments de cette appréciation sont estimés ainsi qu’il suit par M. le général Ardant :
  - TABLE DES INCLINAISONS ET DES POipS, PAR MÈTRE CARRÉ EFFECTIF, DES DIVERSES SORTES DE COUVERTURES LES PLUS USITÉES.
  - NATURE INCLINAISON du toit POIDS du quantité de bois eu
  - de LA COUVERTURE. en degrés à l’horizon. exprimée parle rapport C' h' mètre carré effectif de couverture. mètres cubes qui entra dans la charpente par mètre carré.
  - • degrés. kil. m.c,
  - Tuiles plates à crochet.... 45 à 33 1,00 à 1,53 60 0,063
  - Tuiles creuses posées à sec 27 à 21 1,96 à 2,10 75 à 90 0,058
  - Tuiles creuses maçonnées. 31 à 27 1,66 à 1,96 136 0,068
  - Ardoises 45 à 33 1,00 à 1,53 2,60 à 3,07 2,60 à 3,07 38 14 8,50 0,056 0,042 0,042
  - Cuivre laminé 21 à 18
  - Zinc, n° 14 21 à 18
  - Tôle galvanisée 21 à 18 2,60 à 3,07 8,50 0,042 0,056
  - Mastic bitumineux 21 à 18 2,60 à 3,07 25,00
  - On estime qu’en moyenne le sapin pèse 550 kilogr. le mètre cube, et le chêne 900 kilogr.
  - La neige pèse dix fois moins que l’eau à égalité de volume, et l’épaisseur maximum à laquelle elle peut s’amonceler sur un toit est de 0m,50, ce qui correspondrait à une surcharge de 50 kilogr.; mais on ne compte que sur 25 kilogr.
  - Quant au vent, les pressions qu’il exerce ne sont que passagères, et l’on pourrait se dispenser d’en tenir compte dans les climats d’Europe. Cependant, par prudence, on les introduit dans le calcul, en supposant au vent une vitesse moyenne de 6
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- - FLEXION
  - 383
  - à 7 mètres, en calculant les pressions qu’il exerce d’après le tableau suivant :
  - PRESSIONS EXERCÉES PAR LE VENT SUR UNE SURFACE DE 1 MÈTRE CARRE, FRAPPÉE PERPENDICULAIREMENT.
  - VITESSE DU VENT. PRESSIONS EN KILOGRAMMES.
  - m. kil.
  - 3,00 1,047
  - 5,00 2,908
  - 8,00 7,443
  - 10,85 13,691
  - 14,00 22,795
  - 20,00 46,520
  - 40,00 ouragan. 186,080
  - 554. Charge des toitures par mètre carré de superficie. — A l’aide de ces éléments, il est facile d’établir le tableau suivant :
  - DONNÉES RELATIVES AUX POIDS DES COUVERTURES DE DIFFÉRENTS GENRES.
  - MODE de COUVERTURE. TOLE GALVANI- SÉE. ZINC N° 14. TUILES PLATES. ARDOISES. TUILES CREUSES et maçonnées
  - Inclinaison à l’horizon. 20° 20° 40° 40» 30»
  - Longueur des arbalétriers C 1,064 C' 1,064 C' 1,214 C' 1,214 G' 1,155 C'
  - Poids du mètre carré de couverture* 65 kil. 65 kil. 125 kil. 100 kil. 200 kil.
  - Surface de couverture pour un écartement de ferme =:à 3m,50. 3n,"!,724C, 3--I.724C' 4m-<1,249 C' 4m-i,249C' 4n”<1.043 C'
  - Charge totale de l’arbalétrier, pC 242\06C' 242\0G C' 531k,0 C' 425\0 C' S08\6 C'
  - * Y compris celui du bois de la charpente, estimé approximativement et supposé en sapin, celui d’une couche de neige de o™,25 d’épaisseur, ei la pression d’un vent de 6 à 8 mètres de vitesse. C’ représente ici la demi-portée de la ferme.
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- - FORMULES PRATIQUES POUR CALCULER LES DIMENSIONS DES ARBALÉTRIERS EN BOIS DES FERMES SIMPLES A TIRANTS EN BOIS ET EN FER ET DES ARBALÉTRIERS SUPÉRIEURS DES FERMES A LA PALLADIO.
  - NATURE FORMULES A EMPLOYER POUR LES VALEURS DE R ÉGALES A
  - de LA COUVERTURE. 700000 kil. BOIS BRUTS NON ÉQUARRI5. 800 000 kil. BOIS ÈQUARRIS A LA HACHE. 1 000000 kil. BOIS DE CHOIX A ARÊTES VIVES.
  - 0&l = o03 = ab2=
  - Tôle galvanisée 242,0.C'(0,00000112.b+0,00000107 .C')
  - et zinc 242,0.C' (0,000000976.0+0,000000937 .C') 242,0. C'(0,0000007 81. b + 0,000000 7 5. C')
  - Ardoises 425,0.(7(0,00000112.b+0,00000107.(7) 425,0.C'(0,000000976.0+0,0000009375.0') 425,00. C'(0,000000781. b+ 0,0000075. C')
  - Tuiles plates... 531,0. G'(0,00000112.0+0,00000107.C') 531,0.C'(0,000000976.0+0,0000009375. C') 531,0. C'(0,000000781. b+0,00000075. CO
  - Tuiles creuses maçonnées. . 808,G.C' (0,00000112.0+0,00000107. C') 808,6.C'(0,000000976.0+0,0000009375. C') 808,6. (7(0,000000781. b+0,00000075. C')
  - *2 02 3 CD 2 P2"
  - s»** ta o>
  - r~> CD 2. CfQ l—> CD'. *“3 ^ CD
  - TROISIÈME PARTIE.
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- - FLEXION.
  - 385
  - On déduit des données qui précèdent le tableau ci-dessus des formules à employer selon que l’on donne à R les différentes valeurs convenables à la qualité des bois qui doivent composer la charpente.
  - Les bois que l’on emploie pour les arbalétriers ne sont pas ordinairement à section carrée, et l’on peut voir par les données fournies par les expériences de MM. Chevandier et Wer-theim (n° 240), que les bois de charpente ordinaires, équarris à la hache dans les forets, ont habituellement une largeur a égale à 0,9 de l’épaisseur b ; mais pour les bois équarris à la scie, on est maître de la proportion à établir entre les dimensions; et comme le sciage ne donne lieu qu’à une faible perte de bois, et permet d’utiliser les parties que l’on enlève, nous supposerons, pour les bois de choix, que l’on a fait a = 0,75b,
  - Dans l’application des formules précédentes, nous ferons donc :
  - Pour les bois bruts avec haches,
  - a=b\
  - Pour les bois équarris à la hache,
  - «=0,96;
  - Pour les bois équarris à la scie et à vive arête, a = 0,75b.
  - En y introduisant ces proportions, l’on en déduit les épaisseurs b qu’il convient de donner aux arbalétriers, suivant la grandeur des portées et par suite les valeurs correspondantes de a.
  - Mais pour simplifier le calcul, ou tout au moins pour obtenir facilement une première valeur approchée de cette épaisseur b, on peut négliger, dans le second membre de ces formules, le terme qui contient l’élément b, attendu qu’il ne s’élève ordinairement qu’à 0,01 du terme qui contient la demi-portée de la ferme ; et si l’on y établit en même temps les rapports ci-dessus indiqués entre a et b, les formules se réduisent aux expressions insérées dans le tableau suivant :
  - 25
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- - 380
  - TROISIÈME PARTIE.
  - NATURE de LA. COUVERTURE. FORMULES à employer pour les valeurs de R égales à
  - BOIS BRUTS non équarris a—b. bois équarris à la hache o=0,SOb. BOIS DE CHOIX à arêtes-vives «=0,75b.
  - Zinc, n° 14 et tôle galvanisée Ardoises Tuiles plates Tuiles creuses maçonnées... b3=0,00026C'2 p3=o,00045C'2 &3=:0,00057 C'2 b3=< >,0Q087 C'2 b3=0,00026C'2 b3=0,00043C'2 b3—0,00d56C'2 b3=0,00,OS4p'2 T>3=0.00024C'2 b3—o,00043C'2 4—0.00053C'2 43=0,0008 IC'2
  - Il est facile de s’assurer que ces formules conduisent à des valeurs très-voisines de celles que fournissent les précédentes. Si, par exemple, nous prenons le cas dans lequel la différence doit être la plus grande, celui des plus ferles charges et des bois les plus grossiers, qui est relatif aux tuiles creuses maçonnées, en faisant Cr=6m,0p dans la formule è3=0,00087C'2, on en tire 63 = 0,0313; d’où 6=0m,314. Si l’on substitue ensuite cette valeur dans le deuxième membre de la formule à deux termes du n° 554 :
  - ô3= 808,6.C'(0,00000112.6 + 0,00000107.C'), elle devient
  - 1? — 808,6 X 6m(0,00000035+0,00000632) = 0,0328 ; d’où 0=0»»,32.
  - La différence entre ces deux valeurs est assez faible pour permettre d’employer dans la plupart des cas les formules réduites, telles qu’elles sont insérées dans le tableau.
  - 55o. Application des formules 'précédentes. — Comme application des formules que l’on vient d’exposer, nous donnons ici le tableau des dimensions des arbalétriers des fermes simples de différentes portées, pour les cas : des bois grossièrement équarris, des bois équprris à la hache, et pour celui des bois de choix à arêtes vives.
  - Si l’on compare les dimensiops contenues dans ce tableau avec celles qui étaient admises autrefois dans renseignement
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- - FLEXION.
  - 387
  - de l’école de Metz, et qui étaient relatives aux charpentes communes du pays et aux couvertures en tuiles creuses, on verra qu’il y a accord à peu près parfait pour ce cas.
  - Ainsi, pour les fermes simples avec couvertures en tuiles creuses en usage en Lorraine, les dimensions sont, pour
  - Les portées de.....................
  - Cours de l’école de Metz (1820)....
  - Formule proposée : b3=0,00087C'2..
  - 6ra 9m
  - 0m,22 à 0” M90 0m,26 à 0m,24
  - 0 ,199 0 ,260
  - 12".
  - 0m,32 à 0m,30 0 ,316
  - TABLEDES DIMENSIONS DES ARBALÉTRIERS POUR DES FERMES SIMPLES DE DIFFÉRENTES PORTÉES.
  - NATURE 1 de LA COUVERTURE. I PORTÉE de la ferme 2C'. BOIS bruts équarris BOIS équarris à la hacbe a —0,9b. BOIS de choix à arêtes vives a= 0,756.
  - a= 6. b a 6 a
  - 1)3=0,00026.C'2. b3—0,000252. C'2, I)3—0)00024.C'2.
  - 5”,00 0",118 0m, 117 0m,l05 0ni, 114 0“,0S6
  - 6 ,00 0 ,133 0 ,131 0 ,117 0 ,130 0 ,098
  - - 8 ,00 0 ,161 0 ,159 0 ,143 0 ,157 0 ,118
  - <s 10 ,00 0 ,187 0 ,184 0 ,165 0 ,182 0 ,137
  - N 12 ,00 0 ,211 0 ,208 0 ,187 0 ,205 0 ,144
  - Z)3=0,00045.C'2. î)3=o,00044.C'2. 63=0,00043.C'2.
  - 5 ,00 0 ,141 0 ,140 0 ,126 0 ,139 0 ,104
  - ü | 6 ,00 0 ,160 0 ,158 0 ,142 0 ,157 0 ,118
  - O 8 ,00 0 ,194 0 ,192 0 ,173 0 ,190 0 ,143
  - u 10 ,00 0 ,224 0 ,223 0 ,201 0 ,220 0 ,1(35
  - < 12 ,00 0 ,253 0 ,251 0 ,226 0 ,250 0 ,188
  - • 53=0,00057.G'2. b3—0.000553.C'2. 1)3= 0,00043. C'2.
  - tp O 5 ,00 0 ,153 0 ,152 0 ,137 0 ,149 0 ,112
  - 6 ,00 0 ,173 0 ,171 0 ,154 0 ,168 0 ,126
  - Ch 8 ,od 0 ,209 0 ,207 0 ,186 0' ,204 0 ,153
  - 0) 10 ,00 0 ,243 0 ,240 0 ,216 0 ,237 0 ,178
  - à [ H 12 ,00 0 ,274 0 ,270 0 ,243 0 ,261 0 ,200
  - . 1 m=0,00087.C'2. 1)3=0,00084.C'2. &3=0,00081. C'2.
  - QJ . W Wj / 5 ,00 0 ,176 0 ,174 0 ,157 0 ,172 0 ,129
  - 5 nd 1 6 ,00 0 ,199 0 ,196 0 ,176 0 ,194 0 ,146
  - « a / 8 ,00 0 ,240 o ,2.37 0 ,213 0 ,235 0 ,176
  - S o* 1 10 ,00 0 ,279 0 ,276 0 ,240 0 ,273 0 ,205
  - P £ l h î 12 ,00 0 ,315 0 ,311 0 ,280 0 ,307 0 ,230
  - 556. Formules relatives aux arbalétriers en fer forgé. — Dans les couvertures en fer, les arbalétriers ont souvient la forme d’un prisme à section rectangulaire, et l’on emploie alors des
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- - 388
  - TROISIÈME PARTIE.
  - fers méplats des dimensions courantes du commerce, dont l’épaisseur a est assez habituellement { de la largeur b. Déplus le coefficient de résistance R doit être égal à G 000 000 kilogr. pour les grandes constructions qui doivent offrir toute sécurité, et à 8 000000 kilogr. pour les petites constructions qui peuvent être allégées.
  - L’inclinaison n’est jamais au-dessous de 20°, et alors
  - 1—cosJE Csin« = G',
  - s cos a
  - et la formule du n° 550 devient
  - R = l,6l4.^-f 0,125C'^.pC,
  - ou, pour les sections rectangulaires :
  - .. /I,614.6 . 0,750.C'\ _
  - ai,=(-Tr-+—r->c-
  - Mais, dans ce cas, on peut, à plus forte raison que pour le bois, négliger, dans le second membre de la formule, le ternie qui contient la largeur 6, et alors elle se réduit à
  - «62 = ^ X 0.75.C'. li
  - On emploie d’ailleurs, dans ce cas, à peu près exclusivement, les couvertures en zinc ou en tôle galvanisée, dont l’inclinaison peut être réduite à 20° avec l’horizon ; de sorte qu’il faut, d’après ce qui précède, faire dans cette formule:
  - ci={b, pC=242kil,06.C', R = 6000000 ou 8000000kil,
  - ce qui la réduit aux valeurs suivantes :
  - Pour les grandes constructions, 63=0,00015. C'!,
  - Pour les constructions légères, 63=0,00011.C'â.
  - 557. Arbalétriers à nervures. — Pour les grandes constructions en fer, on donne aux arbalétriers le profil des solides à nervures, en forme de double T, dont nous avons parlé au n° 2(î7.
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- - FLEXION.
  - 389
  - Dans ce cas, l’on sait (n° 154) que l’on a
  - l _iab*—üa'b'\ v’ 66
  - v' 6 b ’ d 011 I ~ ab3 — 2a'b'v
  - et comme on a aussi A —ab — 2a'b', la formule du n° 550 :
  - ' 1,614 0,125.C' X 6.6
  - ab — la'b' ‘ ab3 — 2a'b’3
  - devient R —
  - On peut établir a priori, entre les quantités a, b, a', b', trois relations, et par exemple les suivantes :
  - « = 0,66, a' = 0,40«=0,246, b' = 1,25« = 0,756,
  - et alors la formule devient
  - /1,614.6 , 0,75.G'1
  - \ 0,24ü63 1 0,398.63,
  - d’où l’on tire, en faisant R = 6000000 kilogr.,
  - 63 = (0,00000112.6 + 0,000000314C>C.
  - On peut négliger, dans la plupart des cas, le terme en 6 du second membre relatif à la tension éprouvée par l’arbalétrier, et comme on emploie presque toujours le zinc pour ces couvertures, on y fera encore =242kil,06. C', ce qui conduit à la formule pratique :
  - 63 = 0,000000314X 242,06.C'2= 0,000076. C'2.
  - 538. Application à la couverture de la gare des chemins de kint-Germain et de Versailles. — D’après les proportions adoptées par les constructeurs, on a
  - tang a = T-° h
  - C'
  - 13,615
  - = 2,26916;
  - 6
  - d’où
  - 5 1 — cos2 a s ' cos «
  - -=1,298, ô = Om,118, a = 0m,080, 6' = 0m,098, a' = 0m,035,
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - 390
  - ce qui donne les rapports :
  - « = 0,6786, 6' = 0,8300, a' =0,2976;
  - l’on en déduit :
  - '1,298 . 0,75.C' ' ,0,l8ô62‘ 0,339763,
  - d’où
  - ' 1,298 . 0,75. G'
  - ,0,185 X 6 000 000 ° 0,3397 X 6 000 000
  - = (0,000001176 -}- 0,000000368)|jC ;
  - et si l’on y néglige le terme en b du deuxième membre, eu taisant p£— 242,06.C', la formule devient
  - 63 = 0,000089 IC'2.
  - Mais il faut remarquer que la formule ainsi posée fait abstraction du surcroît de résistance que les tirants et les contre-fiches procurent aux arbalétriers. Nous reviendrons plus loin sur cet objet.
  - 559. Observation relative à l’emploi de fers à T d'un modèle
  - donné. — Mais l’on a vu au n° 267 que les fers à double T sont fabriqués selon des modèles fixés par l’outillage et parmi lesquels il convient de choisir celui qui présente la solidité convenable plutôt que de commander un modèle nouveau.
  - Pour faire ce choix, on remarquera que les charpentes en fer sont presque toujours couvertes en zinc ou en tôle galvanisée, et qu’en supposant les fermes écartées de 3m,50, l’on peut admettre pour la charge uniformément répartie sur l’arbalétrier la valeurp£ — 242,06C' kilogr. trouvée pour les couvertures en zinc supportées par des charpentes en bois. Si les fermes étaient écartées de plus ou de moins de 3m,50, on augmenterait ou l’on diminuerait proportionnellement la valeur depC.
  - Dans tous les cas, on aura donc la valeur de pC, d’où l’on déduira celle de |j?C2 en la multipliant par |C, ce qui permettra alors de recourir à la tablé du n° 267 pour trouver la pro-
  - C41A
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- - FLEXION.
  - 391
  - portion du fer capable de servir d’arbalétrier à la charpente proposée.
  - Exemple. Si par exemple on a 2C'= 12m,00, on trouve :
  - = 242kll,06 X6 = I452kil,36,
  - |C = ~^ = 3,l9
  - et Jj)C! = 1452“,36 X 3,19 = 4635,93.
  - Cette valeur correspond à l’hypothèse où les arbalétriers seraient écartés de 3”,50; et si on la compare avec la table du n° 267, l’on voit qu’il n’y a pas de fers à T capables de porter cette charge avec sécilrité. Mais si l’on double le nombre des fermes en réduisant leur écartement à lm,75, la valeur de | pG2 sera aussi réduite à moitié et égale à 2317kil,96, et l’on voit alors que le fer à T, P8, de l’usine de la Providence, de 0m,260 de hauteur sur 0m,020 d’épaisseur au corps, et de 0m,071 de largeur en dessus et en dessous, pourrait être employé comme arbalétrier d’une seule portée horizontale de 6m,00 avec sécurité.
  - 540. Dimensions des tirants. — D’après ce que l’on a vu au n° 550, les tirants horizontaux sont soumis à un effort de traction souvent considérable qui est exprimé par la composante horizontale
  - Ü = ipC .tanga;
  - et si l’on appelle h la hauteur du faîte au-dessus du tirant ou la montée de la ferme, et 2C' la portée horizontale, ce qui
  - donne tanga=^-, cette expression devient
  - Q=|pCp
  - Elle donne en même temps la poussée que les pieds des arbalétriers exerceraient sur les sablières pour les écarter au dehors, et l’on voit que cette poussée est une fraction de la charge pC de l’arbalétrier d’autant plus grande, que la montée de la ferme est moindre par rapport à sa portée.
  - Le tirant supporte et annule cette poussée par sa résistance
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- - 392
  - TROISIÈME PARTIE.
  - à la traction longitudinale, mais il doit aussi, dans certains cas, être en état de supporter une charge uniformément répartie quand il est destiné à soutenir un plancher de grenier.
  - En lui appliquant la formule du n° 145 rappelée au n° 528
  - il faut donc faire :
  - T=JpCj et M =
  - en nommant p' la charge uniformément répartie qu’il doit porter ou son poids propre s’il n’est soumis à aucune charge.
  - La formule ci-dessus devient donc :
  - Pour les charpentes en bois et pour certaines charpentes en fer, la section transversale est rectangulaire, et l’on a :
  - ce qui donne :
  - d’où l’on tire :
  - Or, on a au plus pour :
  - le zinc
  - ^=tang70°=2,748,
  - le? tuiles creuses.... — lang60°= 1,732,
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- - FLEXION.
  - 393
  - On a d’ailleurs, par le tableau du n° 554, les valeurs de la charge pC, on en déduit donc les formules pratiques suivantes , en négligeant le second terme dans lequel le facteur p' est toujours comparativement très-faible pour les tirants en fer qui ne sont pas habituellement destinés à porter des charges.
  - NATURE de LA. COUVERTURE. TIRANTS EN FER A SECTION
  - rectangulaire a—pb. circulaire.
  - Zinc, n° 14 #=0,0000346.0' O2—0,0000264.0' #= 0,0000330.0' #= 0,00007 29.0' #=0,0000885.0' #=0,0000674.0' #=0,0000840.0' #=0,0001860.0'
  - Ardoises
  - Tuiles plates
  - Tuiles creuses maçonnées
  - 541. Cas où le tirant n’est pas horizontal. — Si le tirant en fer n’est pas horizontal, et est au contraire relevé vers le faîte, ainsi que cela se pratique quelquefois, il est facile de voir (pl. V, fig. 16) que la tension du tirant devra être augmentée dans le rapport de la hauteur h du faîte, au-dessus de l’horizontale des sablières ou des appuis à la perpendiculaire h, abaissée du faîte sur la direction inclinée du tirant. En effet, le moment de la tension du tirant relevé par rapport au faite, doit être égal au moment du tirant horizontal par rapport au même point, puisque l’un doit comme l’autre faire équilibre à la réaction du support ou du mur qui tend à faire tourner l’arbalétrier autour du faîte. Il suffira donc de multiplier le
  - second membre des formules ci-dessus par ce rapport — pour
  - en déduire la valeur de £2 ou celle de d*.
  - 542. Table des dimensions des tirants. — La table suivante donne les dimensions qu’il suffirait d’adopter pour les cas où ces lirants ne devraient pas porter de plancher et n’auraient simplement pour objet que de s’opposer à l’écartement des pieds des arbalétriers, ainsi que cela arrive pour les gares, les hangars, etc.
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- - 394
  - TROISIÈME PARTIE
  - TABLE DES DIMENSIONS DES TIRANTS POUR DES FERMES SIMPLES DE DIFFÉRENTES PORTEES.
  - “6=s(iîr,+3i,A'4
  - NATURE O w mJ BOIS NON ÉQUARRIS. R=700 000 kil. a=6. G' 62=0,000000893 pC ^ +0,00000423 dX.C.'1 avec le poids du tirant. FER. ~1 R=6 000 000 kil.
  - de la K O N 2 O K SECTION rectangulaire. ,, 25 pC C’ SECTION circulaire 5X1.273
  - COUVERTURE. H ’W H £2 ~ 8 6000000' h’ 1, o=-6. 5 8 ‘ pc C’
  - 2 6000000*h
  - 6®=0,000594. C'+0,00344A.C'1 b2 = 0,000347.C' m. ni. <P=0,000885.C
  - Zinc, n» 14. 5 a=6=o,05i 6=0,0294 a=0.0059 d=0,tU49
  - pC=242,06.C' G' ’ - = 2,748. 6 =0,061 =0,0323 =0,0045 =0,0166
  - 8 =0,084 = 0,0323 =0,0075 =0,0188
  - 10 = 0,113 =0,0374 =0,0083 = 0,021
  - 12 =0,148 =0,0457 =0,0091 =0,023
  - 6®=0,00045.C'+0,00344AC'1 b=0,000264.C' d2=0,0000674.C
  - Ardoises. 5 a=b=0,040 b = 0,0258 a=0,0052 d=0,0l3
  - 6 =0,055 =0,0281 =0.0056 =0,0l4
  - 8 =0,084 =0,0326 =0,0066 =0,017
  - - = 1,192. 10 =0,107 =0,0354 =0,0073 = 0,019
  - h, ’ 12 =0jl43 =0,0400 =0,0080 =0,020
  - 6*=0,000565.C’+0,00344 AC'S 6’=0,000329.C' d!=0,0000S4.C'
  - Tuiles plates. I 5 a=6=o,050 6=0,0287 a=0,0057 d=0,0(45
  - pC— 531,0 C' | 6 =0,060 =0,03 i 5 =0,0060 = 0,0160
  - 8 =0,083 =0,0363 =0,0070 =0,0184
  - = 1, i 92. 1 10 = 0,112 =0.0410 =0,0080 =0,0206
  - h. ’ l 12 =0,147 =0,0450 =0,0090 =0,0225
  - | b2=0,00125.C + 0,00344 AC'J 6!=0,000729.C' d2=0,000186.C1
  - Tuiles creuses l 5 û=6=0,068 6=0,043 fl=0,009 d—0,022
  - pC = S08,6.C' I ^ =0,079 = 0,047 =0,009 =0,024
  - / 8 =0,104 =0,057 =0,011 =0,027
  - ~ = 1,732. 10 =0,133 =0,061 =0,012 =0,031
  - h ’ 1 12 ! =0,169 =0,066 =0,013 =0,034
  - Les dimensions des tirants en bois données par ce tableau paraîtront beaucoup trop faibles pour pouvoir être admises dans la pratique ; mais il ne faut pas perdre de vue, comme nous l’avons déjà dit, qu’elles ne sont calculées que dans l’hypothèse où le tirant ne doit pas supporter de charge ou de grenier, ce qui est rare, mais se présente quelquefois dans la construction des hangars. Cela montre seulement que, dans ce dernier cas, l’on peut construire avec une grande légèreté. Mais dans les cas ordinaires où le tirant sera exposé à
- p.394 - vue 405/512
- - FLEXION. 395
  - une charge additionnelle, il faudra recourir à la formule du n° 540
  - tt6=k
  - !;>c
  - 3p'C'2
  - 6
  - Ordinairement on fait les tirants en bois à section carrée, afin qu’ils soient plus larges que l’arbalétrier qui s’y assemble, à moins qu’on n’emploie des tirants moisés. Si le tirant est à section carrée, l’on a a=b, et l’équation ci-dessus devient
  - ,G' , 3p'C'2'
  - —r(^ca
  - Sous cette forme elle conduirait à une équation du troisième degré, dont la solution n’est pas assez facile pour la pratique. Si l’on tenait cependant, pour quelque cas particulier, à la résoudre, on pourrait y parvenir facilement par la méthode graphique que nous avons déjà indiquée dans d’autres parties du cours.
  - Si l’on remarque que dans le cas des tirants portant un plancher, la charge qui provient de celui-ci a toujours beaucoup plus d’influence que la tension qui résulte de l’action de l’arbalétrier, ainsi qu’il est facile de s’en assurer par les applications mêmes, on reconnaîtra que l’on pourra dans ce cas négliger l’action de l’arbalétrier, par rapport à celle de la charge à porter, et alors la formule se réduira à celle des solides chargés d’un poids uniformément réparti sur leur longueur
  - i/C'W
  - 1X — 2 | •>
  - qui, pour le cas des solides à section rectangulaire, donne
  - 79 3^'C'2
  - a6=ntT’
  - et devient, pour les bois non équarris pour lesquels a=b, R = 700000kil, 63=
  - p'C'2
  - pour les bois équarris
  - «=0,96, R = 800 000kil, ^-240000, et pour ceux à arêtes vives,
  - « = 0,756, R = 1000 000kn, 63=
  - p' C'2
  - 250000
- p.395 - vue 406/512
- - 396
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Si l’on suppose que le grenier soit par exemple destiné à recevoir des produits agricoles, des blés sur une hauteur de 0m,60 cela correspondrait à une charge de 0m,60X7'50ldl = 450 kilogr. par mètre carré, attendu que le blé pèse moyennement 750 ki-logr. par mètre cube. L’écartement des fermes étant de 3m,5o, la charge p' par mètre courant de longueur du tirant sera
  - p'—450kX3m,50=1575 kilogr.
  - Cette charge étant en général supérieure à celle que les planchers des greniers peuvent avoir à supporter, on sera sûr en l’adoptant d’obtenir des charpentes d’une solidité très-suffisante.
  - En substituant dans ces formules la valeur précédente p' — 1575 kilogr., elles deviennent :
  - Pour les bois bruts,
  - 1 575
  - a=b, 63=^|^.C'2=0,00675C'2;
  - Pour les bois équarris à la hache,
  - fl=0’9i' 6-Woc’-°’0056C'‘;
  - Pour les bois sciés,
  - a = 0,75 b, ï>» = C'!=0,00630C”.
  - On en déduit le tableau suivant :
  - DIMENSIONS A DONNER AUX TIRANTS EN BOIS DESTINÉS A PORTER UN PLANCHER.
  - PORTÉES 2C'. BOIS non équarris a = b. BOIS équarris a =0,96. BOIS sciés à arêtes vives a = 0,756.
  - m. m. m. m.
  - 12 0,343 0,340 0,336
  - 10 0,323 0,320 0,316
  - 8 0,300 0,297 0,293
  - 6 0,272 0,270 0,266
  - 5 0,257 0,254 0,250
  - Les dimensions indiquées dans ce tableau sont un peu plus fai-
- p.396 - vue 407/512
- - FLEXION.
  - 397
  - blés que celles qui sont indiquées dans l’ancien cours de l’École de Metz ; mais comme elles sont basées sur l’hypothèse d’une charge de 450 kilog. par mètre carré et un écartement de 3ra,50 entre les fermes, ce qui excède certainement les proportions ordinaires, je n’hésite pas à croire qu’elles seront suffisantes.
  - L’on n’a pas étendu cette table à des portées plus grandes que 1*2 mètres, parce qu’il est rare que pour d’aussi grandes portées l’on n’emploie pas des poteaux intermédiaires pour soutenir les tirants, s’ils sont destinés à porter des charges, et que nous indiquerons plus loin le système de charpentes qu’il convient d’employer pour les grandes portées.
  - Lorsqu’on sera certain que les charges ne peuvent pas atteindre la valeur indiquée plus haut, de 450 kilogr. par mètre carré, on réduira les équarrissages en conséquence.
  - 543. Arbalétrier buttant contre un entrait retroussé. — Soient P' (pl. V, fig. 17) la pression verticale due à la charge totale de la portion de la charpente et de la couverture supérieure à l’entrait ; p la charge par mètre courant répartie sur la longueur AB = Ci de l’arbalétrier inférieur. La pression verticale exercée en B sera P=P' -j-pCi. On a vu, au n° 550, que la tension du tirant, produite par la charge uniformément répartie jpCi, équivalait à f pCjtangA. D’une autre part, la charge P' en produit line, exprimée par P'tanga; de sorte que la tension totale du tirant, dans le sens de sa longueur, est
  - (P'-KpCi) tanga.
  - On doit donc regarder l’arbalétrier AB comme soumis de bas en haut à l’action de la force verticale P = P'-f-pCi, et dans le sens horizontal à la force Q = (P;-)-|joC1) tanga, et à la charge verticale pCu uniformément répartie sur sa longueur.
  - En substituant donc, dans la relation du n° 529, P' -j-jiCj à P et (P' -j-fjpCO tang a à Q, on aura, pour la relation d’équilibre permanent de ce système,
  - n (P' joCi) cosa+(P' -f- f pCi) tang a sin a —j?Ci cos a
  - A
  - v'
  - — [(P' 4-pCO sin a—(P' -f-gpCi) sin a — ||)Ci sin a]C y, B=Âchs^(P' + *pGlSil)2a) + *pCi* Sin a * T
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- - 398
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Cette formule permettra de calculer les dimensions de l’arbalétrier inférieur dans les fermes à entrait retroussé ou à la Palladio (n° 58, mémoire de M. Ardant).
  - Quant au tirant, sachant que sa tension est
  - (P'+tpCO tanga,
  - on calpulera ses dimensions en tenant compte de son poids propre, par la formule
  - ou
  - en conservant les notations précédentes.
  - Enfin, si le tirant doit porter une charge J?' uniformément répartie sur sa longueur 2C", la formule sera
  - Cf étant la projection de l’arbalétrier, et la hauteur de l’entrait retroussé au-dessus du tirant ; on comprendra dans la charge uniformément répartie 2j/Cle poids propre du solide, ou qn la négligera, selon les cas.
  - Ferme à la Palladio. — Cette ferme peut être considérée comme composée de deux parties : l’une supérieure à l’entrait qui forme une ferme simple, dont cet entrait est le tirant et dont on calculera les arbalétriers par la formule du n° 554 ; l’autre qui est précisément le dispositif considéré dans le cas de la formule précédente.
  - 544. Application çmx arbalétriers des fermes à la Palladio à entrait retroussé. — En introduisant dans cette formule les va-v' 6
  - leurs A=ab, Cisina = C'i, en nommant C'i la pro-
  - jection horizontale de l’arbalétrier inférieur, et si l’pn suppose, par exemple, que l’entrait retroussé soit placé aux deux tiers de la hauteur de la ferme, ce qui donne à peu près P' = ipCi, elle devient :
- p.398 - vue 409/512
- - FLEXION.
  - 3119
  - En observant encore que le terme qui contient le facteur 4j--5 sin_a n>aura qu’une assez faille influence, on peut le
  - 8 cos a
  - remplacer par sa valeur moyenne ; or, on trouve, pour :
  - a = 45°,
  - 4 + S«i.i««
  - 8 cos a
  - dont la moyenne arithmétique est La formule devient alors :
  - 57°,
  - 1,744,
  - 63°,
  - 2,783,
  - 1,80.
  - R = ^ x 1,80 4-0,75^^, ab 1 cib~
  - d’où l’on déduit
  - atf =^(1,80 X &40,7'5Cé).
  - Dans cette formule, l’on voit effectivement que l’épaisseur b de l’arbalétrier étant toujours très-petite par rapport à la projection horizontale de cette pièce, le terme en b est très-faible vis-à-vis du terme 0,75C/.
  - 545. Formules pratiques. — Si, pour des charpentes non équarries, on admet, avec M. Ardant, la valeur R = 700000 ki-logr., on trouve pour la formule pratique :
  - atf = pCi(0,00000257b 40,00000107Cé).
  - Si les bois sont équarris, on peut faire R = 800 000 kilogr., et l’on a
  - «6* = jpC](0,G0000225ô 4 0,000000937C/).
  - Enfin, lorsque les bois sont de choix et sans défaut, on peut faire R = 1000000 kilogr. et adopter la formule
  - aô2 =^Ci(0,00000180& 4 0,00000074C/).
  - En introduisant dans ces formules les valeurs de pC données au n° 554, et relatives aux diverses couvertures, on forme le tableau suivant des formules pratiques à employer, dans lesquelles on nomme :
  - Ctla longueur de l’arbalétrier inférieur;
  - 2G" la portée totale de la ferme;
  - 2C' la portée de l’entrait retroussé;
  - C/=2C' la portée ou la projection horizontale de l’arbalétrier inférieur, en admettant que l’entrait retroussé soit aux deux tiers de la hauteur totale h-\-K de la ferme.
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- - FORMULES PRATIQUES A EMPLOYER POUR CALCULER LES DIMENSIONS DES ARBALÉTRIERS SUPÉRIEURS DES FERMES
  - A LA PALLADIO.
  - NATURE de LA COUVERTURE. FORMULES A EMPLOYER POUR LES DIFFÉRENTES VALEURS DE R.
  - R = 700000 kil. BOIS BRUTS NON ÉQUARRIS a— b. R = 800 000 kil. BOIS ÉQUARRIS A LA HACHE a = 0,90. R = 1 000000 kil. BOIS DE CHOIX A ARÊTES VIVES a = 0,750.
  - b3 — 03 = 03=
  - Zinc 242\06.C,(0,000002570+0,000001070/) 267S3.0,(0,000002250+0,000000937 C/) 322k, 75.0,(0,000001800+0,000000750/)
  - Ardoises 425\0 .0,(0,000002570+0,000001070/) 47 2\2.0,(0,000002250+0,000000937 C/) 566k,64.0,(0,000001800+0,000000750/)
  - Tuiles plates... 531k,0 . 0,(0,00000257 b+0,00000107C,') 590k,0.0,(0,000002250+0,000000937C,') 708k,0 .0,(0,000001800+0,000000750,')
  - Tuiles creuses maçonnées .. 80Sk,6 .0,(0,000002570+0,000001070/) 898k,4.0,(0,000002250+0,0000009370/) 107S\0 .0,(0,000001800+0,000000750/)
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- - FLEXION.
  - 401
  - Pour l’application de ces formules, on peut d’abord négliger le terme qui dans le second membre contient la hauteur b de la pièce, et qui est assez faible par rapport au second. Puis, par un deuxième calcul, on substitue, dans le second membre des équations ci-dessus, la première valeur trouvée pour b, et l’on en déduit une seconde toujours suffisamment exacte.
  - Les formules réduites au second terme du deuxième membre, et les résultats auxquels elles conduisent, sont réunis dans le tableau suivant :
  - NATURE FORMULES A EMPLOYER POUR LES BOIS
  - de LA COUVERTURE. bruts grossièrement equarris R=700000kil. a=6. équarrisà la hache 11=800000 kil. û=0,90b. de choix à arêtes vives 11= t 000000 a=o,75b.
  - Zinc 63=0,00026. G, G/ 63=0,00026.0,0/ 63=0,00043.0,0/ 63=0,00056.0,0/ 63=0,00026.C,C/
  - Ardoises 63=0,00045.C,C/ 63=0,00043.0,0/
  - Tuiles plates Tuiles creuses maçon- 63=0,00057.C,C/ 63=0,00053.0,0/
  - nées 63=0,00087.0,0/ 63=0,00087.C,C/ 63=0,00081.0,0/
  - Les opérations numériques qu’exigent ces formules ont été effectuées pour diverses ouvertures de fermes à la Palladio, dans l’hypothèse où la portée de l’entrait serait le tiers de cette ouverture, et le tableau suivant contient, pour les divers genres de couverture, les dimensions transversales des arbalétriers suivant la nature des bois employés, pour des ouvertures comprises depuis 15 jusqu’à 36 mètres.
  - Pour tout autre rapport entre la portée totale de la ferme et celle de l’entrait retroussé, on aura recours aux formules générales qui ont été données ci-dessus.
  - 26
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- - TABLE DES DIMENSIONS DES ARBALETRIERS INFÉRIEURS POUR DES FERMES A LA PALLADIO DE DIFFERENTES PORTÉES.
  - NATURE de LA COUVERTURE. POR de l’en irait 2G'.. TÉE totale de la ferme 20"., BOIS GROSSIEREMENT ÉQUARRIS a — b. BOIS ÉQUARRIS A LA HACHE a.= o,90b. b | a ‘ BOIS DE CHOIX A VIVE ARÊTE a = 0,756. b | a
  - j ¥ = 0,000260,0/ ¥ — 0,000256,0/ ¥ = 0,000240,0/
  - F 5“ 15“ 0"*, 1148 0“,146 0n,,139 0-4*4* 0“,108
  - Zinc, n° 14. 6 18 0 ,D67 0 ,165 0 ,149 0 ,164 0 ,123
  - } Inclinaison à l’horizon. 8 24 0 ,206 0 ,200 0 ,180 0 ,197 0 ,148
  - 20°. 10 30 0 ,235 0 ,230 0 ,207 0 ,229 0 ,172
  - 12 36 0 ,265 0 ,262 0 ,236 0 ,258 0 ,194
  - E ¥ = 0,000450,0/ ¥ = 0,000440,0/ ¥ z=z 0,000430,0/
  - 1 5 15- 0 ,1(78 0 ,176 0 ,158 0 ,175 0 ,131
  - 6 18 0 ,200 0 ,199 0 ,179 0 ,198 0 ,149
  - 8 24, 0 ,243 0 ,242 0 ,218 0 ,240 0: ,185
  - 10 30 0 ,282 0 ,280 0 ,252 0 ,278 0 ,209
  - 12 36 0 ,318 0 ,316 (T ,284 0 ,314 0 ,236
  - ¥ — 0,00057GxC,' ¥ = 0,000550,0/ ¥ — 0,000530,0/
  - 5 15, 0 ,1193 0 ,190 0 ,171 0 ,188 0 ,141
  - 6 18 0 ,216 0 ,214 0 ,193 0 ,212“ 0 ,159
  - 8 24 0 ,263 0 ,260 0 ,234 0 ,257 0 ,193
  - 10 30 0 ,305 0 ,302 0 ,272 0 ,298 0 ,224
  - 12 36 0 ,344 0 ,341 0 ,307 0 ,337 0 ,253
  - ¥ = 0,00087C,C/ ¥'= 0,000840,0/ ¥ = 0,000810,0/
  - 5 15 0 ,222 0 ,219 0 ,197 0 ,217 0 ,163
  - Tuiles creuses maçonnées. 1 6 18 0 ,250 0 ,247 0 ,222 0 ,244 0 ,183
  - 405 8 24 0 ,306 0 ,300 0 ,270 0 ,295 0 ,221
  - 10 30 0 ,350 0 ,347 0 ,312 0 ,343 0 ,257
  - 12 36 0 ,396 0 ,392 0 ,353 0 ,387 0 ,290
  - 53
  - TROISIÈME PARTIE.
- p.402 - vue 413/512
- - FLEXION.
  - 403
  - 546. Application aux tirants des fermes à la Palladio. — La formule relative à ces tirants, et qui est (n° 545) :
  - R=(P+ipCo
  - tang a
  - ~~Â~
  - devient, en admettant que l’entrait retroussé soit aux deux tiers de la hauteur, ce qui donne V=±pC, et en posant
  - cf 1
  - tang a —C' étant la projection horizontale de la hauteur de l’arbalétrier inférieur, et hx sa projection verticale,
  - R = 4 (4i>c + sPc,) ^dhC'j,
  - ou R=-JpCi~-+|rfAC"!y, lorsque C = fC,, si le tirant ne porte que son poids propre ;
  - R=i(4i)C+5i,C,)|4 + ll>'C''!y ou R = lFC,g- + |p'C"^'>
  - si le tirant doit porter une charge p' uniformément répartie sur sa longueur 2C".
  - Les tirants étant ordinairement à section rectangulaire, on a :
  - A — ab,
  - I ~ab*‘
  - La formule devient alors
  - 7^Gi tii' MW*
  - 8 ab * h{ ' b ’
  - pour le cas où il n’y a pas de charge sur le tirant, et
  - (Y , 3pV*
  - 8 ab ' hi ab* ’
  - pour celui où il y a une charge 2p'C" uniformément répartie sur ce tirant.
  - Dans le premier cas, la formule donne :
  - aô=^7pCi^-b 24rfaC^.
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- - 404
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Si le tirant est en bois, et;que l’on suppose a = 0,756 et R = 800000 kilogr., cette relation revient à
  - / C '
  - b~—0,00000375dC'/2& — 0,00009146^
  - Si l’on suppose que le tirant soit en sapin, et qu’on fasse d=600 kilogr., on a :
  - ô2 — 0,00225C'/2&— 0,00000146pCi y- =0.
  - Pour obtenir les valeurs a et b correspondant aux différentes portées et aux diverses sortes de couvertures, il faudra substituer, dans cette formule, Qes valeurs de pCi et de ^ relatives
  - «1
  - à chaque cas, et qui sont données dans le tableau du n° 555. Cela conduit à des formules pratiques.
  - Mais on remarquera encore que pour les fermes qui sont à grandes portées, il conviendra, dans le cas où les tirants ne doivent pas porter de plancher, de substituer au bois l’emploi du fer.
  - 547. Tirants en fer. — Dans ce cas, le solide n’est jamais exposé à porter une charge ; et comme il est toujours soutenu par une ou plusieurs aiguilles pendantes, on peut négliger l’influence de son poids propre, et alors la formule se réduit à
  - R-5T-ïr
  - Si la section est rectangulaire, A=ab, et si l’on prend R = 6000000 kilogr., on tire de cette formule :
  - C '
  - ab — 0,000000l46^Ci y-.
  - Si l’on fait a={b, on a :
  - &2=0,000000730jÆi§-.
  - Pour une section circulaire on aurait
  - 1,273
- p.404 - vue 415/512
- - FLEXION.
  - 405
  - d élant le diamètre, et cette valeur de A substituée dans la formule générale, conduit à :
  - cl2= -PCi 0,000000186^ j-.
  - La ferme à la Palladio dont nous venons de discuter les proportions est à peu près abandonnée par suite de la substitution du fer au bois, et d'un autre dispositif dont nous aurons à nous occuper dans un des numéros suivants.
  - 548. Influence des variations de température sur la tension des tirants. — Les allongements et raccourcissements produits par les variations de température exercent sur la tension des tirants une influence qu’il est nécessaire d’apprécier.
  - Pour en faciliter le moyen, nous rapporterons d’abord la table suivante des dilatations qu’éprouvent les corps, pour des variations données de température.
  - TABLE DES DILATATIONS LINÉAIRES QU'ÉPROUVENT LES COUPS SOLIDES, DEPUIS LE TERME DE LA CONGELATION DE L’EAU JUSQü’A CELUI DE SON ÉBULLITION, D’APRÈS MM. LAPLACE ET LAVOISIER.
  - DÉSIGNATION DES SUBSTANCES.
  - Acier non trempé...............
  - Acier trempé jaune, recuit à 65°
  - Fer doux forgé.................
  - Fer rond passé à la filière....
  - Or de départ...................
  - Or au titre de Paris, recuit.....
  - Or d° non recuit...............
  - Cuivre.........................
  - Cuivre jaune ou laiton.........
  - Argent au titre de Paris.......
  - Argent de Coupelle.............
  - Étain des Indes ou de Malacca.. Plomb..........................
  - DILATATIONS
  - EN FRACTIONS
  - décimales. ordinaires.
  - 0,00107915 l 927
  - 0,00123956 l 80 7
  - 0,00122045 1 819
  - 0,00123504 I b i 2
  - 0,00146606 1 6 82
  - 0,00151361 _J 6 6 1
  - 0,00155155 i 645
  - 0,00171220 1 584
  - 0,00186670 î 5 8 5
  - 0,00990868 1 5 24
  - 0,00190974 1 5 1 4
  - 0,00193765 1 516
  - 0,00284836 i 351
- p.405 - vue 416/512
- - TROISIÈME PARTIE.
  - 406
  - Nous avons appris à calculer la tension qu’il convient de donner à un tirant pour qu’il maintienne les extrémités des pièces qu’il réunit à la distance convenable, et nous avons vu au n° 542 que, pour la stabilité de la construction, il ne fallait pas que cette tension normale dépassât 6kil,102, par exemple pour le fer doux, dont la limite d’allongement élastique est de 0m,00066 par mètre, et correspond à une tension 12kil,205.
  - Or, si l’on suppose que la charpente ait été mise en place à une température t, et que par un refroidissement la température devienne t\ l’abaissement sera de t— t'.
  - D’après MM, Laplace et Lavoisier, les dilatations et raccourcissements qu’éprouvent les corps solides entre certaines limites sont proportionnels aux variations de température dans un rapport qui, pour le fer, est de 0ni,00122 pour une différence de température de 100°. Par conséquent, pour la différence de température t—t?, le raccourcissement serait 0m,0000122(£ — t'), et comme on sait que le fer doux, étiré comme celui dont on fabrique ces tirants, s’allonge de 0m,0008 par mètre sous un effort de 14kiI,75 par millimètre carré de section, il s’ensuit que l’accroissement de tension correspondant à la variation de longueur 0m,0000122(£ — t') par mètre sera donné par la proportion
  - om,ooo8 : i4k!1,75 : : om,0000122 {t — t'):x — oy,,225 (t — t), ou pour un mètre carré :
  - 225kil,0 (*—*').
  - Lors donc que l’on aura déterminé la tension T d’un tirant quelconque en fer employé dans les charpentes, l’effort correspon-
  - T
  - dant supporté par chaque mètre carré de sa section sera^-,
  - et il faudra que cet effort augmenté de celui qui correspond à la variation de température, soit au plus égal à la tension qui correspond à la limite d’élasticité, et qui est de 12 000 000 kilog. ; on devrait donc avoir la relation
  - 12 000 000“= ï -f 225kil (t—Oî T
  - d °Ù A ~ I2000000kil—225kn(t—t') '
- p.406 - vue 417/512
- - FLEXION.
  - 407
  - M. Ardant pense que l’on peut admettre, pour limite supérieure île la tension, momentanée il est vrai, qu’éprouve lors du refroidissement un tirant en fer, la valeur de 12 000 000 kilogr. par mètre carré ou 12 kilogr. par millimètre carré, mais il serait plus prudent de n’aller que jusqu’à 10 kilogr. par millimètre.
  - On voit, du reste, qu’il conviendrait de monter ces charpentes à des époques de l’année où la température serait basse, plutôt que dans l’été.
  - 549. Pièce posée sur deux appuis et renforcée par un poinçon inférieur et deux tirants en fer.
  - Cas où la pièce est chargée en son milieu. — Soient 2P (pl. V, fig. 18) la charge au milieu; 2C, la portée totale AB, T la tension des tirants ; CD = h la longueur du poinçon, BD = /, la longueur de chacun des tirants,
  - Si l’on s’impose la condition que la tension des tirants BD et AD fasse équilibre à la charge 2P, la figure DFEG étant un losange, on aura, si l’on prend DE = 2P, par les triangles sembla-
  - VI
  - blés DFH et BCD, DF ou T : DH ou P î : Z : h, d’où T = j. Ce qui
  - montre que la tension du tirant augmente à mesure que le poinçon CD devient plus petit.
  - La tension T ayant la valeur ci-dessus, le point C peut être regardé comme invariable sous la charge 2P, et la pièce comme encastrée en C.
  - La pression verticale en B et la réaction du point d’appui pour faire fléchir la pièce CD est P, et son moment est PC, celui de la tension T du tirant, qui s’oppose à la flexion est T/,r
  - T.CI= •—j—, attendu que l’on a CI : h C : l.
  - Pour que la pièce soit en équilibre sous l’action de ces deux forces, il faut que leurs moments soient égaux, ce qui donne :
  - T.Cl = Ty = PC, ce qui revient à la condition précédente.
  - VI
  - Ainsi, en donnant au tirant la tension T = , on établira l’é-
  - quilibre entre les forces qui tendent à faire fléchir la pièce ;
  - 265
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- - 408 TROISIÈME PARTIE.
  - elle ne sera donc soumise qu’à un effort de compression égal à TC PC
  - et par conséquent l’aire de sa section A = ab se cal-
  - PC
  - culera de manière que la charge par unité de surface^ ne dépasse pas la limite donnée par le tableau du n° 542. On la déterminera donc par tâtonnement, et afin que la pièce ne soit pas plus exposée à fléchir dans un sens que dans l’autre, il conviendra de faire a —b.
  - Ce qui précède suppose que la charge est fixe au point C. Mais s’il s’agissait d’une charge mobile, comme pour le cas d’un pont, il faudrait remarquer que, quand la charge serait passée, son poids 2P n’agissant plus, et la tension des tirants subsistant, la pièce tendait à fléchir de bas en haut par l’effet de cette tension, dont le moment aurait été déterminé et rendu égal à PC. Ses dimensions devraient donc être telles, que l’on eût entre les résistances des fibres à l’extension et à la compression,
  - RI
  - et la force extérieure, la relation —r = PC, en faisant abstrac-
  - v
  - tion de son poids, ce qui montre qu’elles devraient être les mêmes que si la pièce n’avait pas de tirants et était soumise à la charge 2P en son milieu.
  - Il résulte de là que dans ce cas tout l’effet des tirants se réduirait à faire fléchir la pièce en sens contraire de celui dans lequel elle aurait cédé à la charge. 11 ne faut donc pas supposer que, quand elle est soumise à la charge, la flexion devra être nulle ; et pour rendre la flexion absolue un minimum, il convient d’admettre que la flexion sera la même dans les deux cas, soit en dessous, soit au-dessus de l’horizontale.
  - D’après cela, on ferait simplement
  - TA___P
  - l ~ 2’
  - d’où
  - ce qui donnerait pour le moment de cette tension :
  - T X CI =
  - PC
  - 2 ’
  - de sorte que, dans le cas où la charge 2P serait en C, l’excès du moment PC de la moitié de la charge qui tend à faire fléchir le
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- - FLEXION.
  - 409
  - tirant dans un sens, sur le moment de la tension T, qui tend à la faire fléchir en sens contraire, serait
  - Pf
  - PC — T X CI = ^,
  - et après le passage de la charge, le moment de la tension du tirant, qui seule subsiste, serait encore mais en sens contraire ; par conséquent, les dimensions de la section transversale de la pièce devraient être déterminées par la formule
  - RI _PC v' 2 é
  - Les choses étant disposées de la sorte, si l’on suppose la charge 2P parvenue au milieu de l’intervalle de BC ou à la distance
  - C
  - - de l’un ou de l’autre point, cette charge peut être considérée
  - comme décomposée en deux autres égales à P, dont l’une, agissant en C, égale et contraire à la résultante des tensions données aux tirants, détruira l’action de cette résultante et ramènera le point C sur l’horizontale. Dès lors, les points B et C étant invariables, la pièce devra être considérée comme posée sur deux points d’appui B et C, et soumise à la charge 2P agissant
  - G
  - à la distance - de chacun d’eux. Le moment de la réaction de
  - G
  - l’appui qui tend à le fléchir sera P. -, le moment de la tension PC
  - des tirants est aussi — ; donc l’extrémité B ne se déplacera pas,
  - et la pièce ayant ainsi les extrémités B et C invariables, peut être regardée comme encastrée en ces points. Dès lors, son milieu, soumis à la charge 2P, fléchira comme il a été dit au n° 222, et l’on aura
  - , j_PÇ3
  - / 24 E[‘
  - Quand la charge sera plus près de B, la pièce fléchira par l’action de la tension du tirant, de bas en haut, et quand la charge sera plus voisine de C, la pièce fléchira de haut en bas.
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- - 410
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Mais dans tous les cas, la plus grande valeur du moment de
  - PC
  - l’effort qui tendra à la fléchir sera — , et en déterminant ses
  - Â
  - RI PC
  - dimensions par la formule —- on assurera convenable-
  - 1 v 1
  - ment sa solidité.
  - Pour tenir compte du poids du tablier et de la charpente, en appelant p ce poids par mètre courant, il faudrait ajouter à la
  - 2«c
  - charge 2P le poids =pC, de sorte que le moment de l’effort qui tend à fléchir la pièce de haut en bas deviendra :
  - r
  - Celui de la tension étant encore exprimé par T XCI = T/?-,
  - on aurait, pour rendre la flexion la même dans les deux cas, où la charge serait en C, et où elle serait passée, la relation
  - (p+t) c’
  - ce qui donnerait
  - ce qui donnera le diamètre du tirant, par la condition que T
  - ^=6 kilogr.
  - D’une autre part, on calculera encore les dimensions de la pièce AB par la formule
  - S’il ne s’agit que d’une charge uniformément répartie, on fera P = O, et l’on aura
  - Ces dernières expressions s’appliquent aux arbalétriers des
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- - FLEXION.
  - 441
  - fermes à tirants en fer et à poinçon renversé, en prenant pour p la charge par mètre courant de leur projection horizontale,
  - | et en négligeant la pression longitudinale qui résulte de la tension du tirant et de la réaction de l’appui, ce qui est permis,
  - 1 comme on l’a vu, dans la plupart des cas.
  - Les pièces ainsi renforcées par un poinçon renversé et par ] des tirants en fer peuvent être employées pour poutres de ponts, lorsque l’on n’a pas à craindre d'inconvénient de la lon-I gueur du poinçon placé en dessous.
  - Il est bon de faire remarquer que dans le mouvement d'abaissement qui ramène le milieu C de la pièce à l’horizontale,
  - 1 quand la charge parvient en ce point, la longueur des tirants, et par suite leur tension varie, mais de quantités assez faibles pour qu’on puisse en faire abstraction, ainsi que nous nous le sommes permis.
  - 550. Charpentes à grandes portées avec tirants en fer et contre-I fiches. — On emploie aujourd’hui avec avantage un système ] de charpente dont les arbalétriers AB et A'B (pl. Y, fig. 19) en I bois et plus souvent en fer, sont soutenus au milieu par une contre-fiche CE ou C'E' perpendiculaire à leur longueur, main-I tenue par deux tirants en fer dont l’un AE ou A'E' fait partie j du tirant principal, et l’autre BE ou BE' unit le faîte à l’extré-! mité E ou E' de la contre-fiche.
  - Les deux extrémités E et E' des contre-fiches sont liées par un tirant horizontal EE', qui est quelquefois dans le prolon-I gement de la ligne AA' ou plus souvent relevé parallèlement à ] cette ligne.
  - Il importe d’examiner les conditions de la construction de 1 ces charpentes, afin de déterminer les dimensions des pièces j qui les composent, en commençant par le cas le plus simple, I celui où les tirants AE, EE', E'A' sont dans le prolongement | l’un de l’autre et horizontaux.
  - Appelons 2C' la portée totale de la ferme AA'.
  - C la portée totale AB=BA' de chacun des arbalétriers AB et A'B ;
  - hi la longueur des contre-fiches CE et C'E' ;
  - l la longueur AE = BE, AE' = BE' des tirants obliques ;
  - h la hauteur totale BB' ou montée du faîtage;
  - a l’angle que forme l’arbalétrier avec le tirant AE, et dans ce cas avec l’horizon.
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- - 412 TROISIÈME PARTIE.
  - Examinons d’abord les conditions d’équilibre de l’arbalétrier sous l’action de la charge uniformément répartie p qu’il supporte, de la réaction P du mur ou du poteau d’appui, de l’effort transmis par la contre-fiche CE que nous désignerons par S, et de la tension Q de la branche AE du tirant.
  - Supposons d’abord que la tension des tirants AE et BE ait été déterminée de telle façon que le triangle ABE soit invariable de forme, ou que les points A, C et B restent en ligne droite, et cherchons à déterminer la tension T du tirant EE', de telle façon qu’il résiste à l’écartement des deux parties ABE et A'BE' du comble, en regardant comme nulle la résistance de l’assemblage en B.
  - Il faudra écrire que le moment de la tension T, qui est TA, est égal au moment PC' de la réaction P sur l’appui en A, diminué de la somme des moments de la charge uniformément répartie, laquelle est
  - ipCC';
  - on a donc, pour la condition d’équilibre,
  - Tà==PC'—ipCC'=p-^;
  - attendu que P=pC, en comprenant dans p ou la charge par mètre courant d’arbalétrier, le poids propre de la charpente, on tire de là
  - m _/>CC'
  - 2/4 *
  - Passons maintenant à la détermination des tensions T' et T" des tirants AE et BE. Puisque par l’action de la tension T du tirant EE', transmise par le tirant AE, le point A est immobile, ainsi que le sommet B, nous pouvons regarder l’arbalétrier comme un solide posé sur deux appuis et soumis à une charge uniformément répartie qui tend à le faire fléchir. Or, l’on sait qu’en pareil cas (n° 186), cette charge équivaut à un poids exprimé par placé au milieu de la longueur ou en C, et agissant verticalement. Par conséquent, il s’agit de transmettre de bas en haut, ou de E vers C au tirant, un effort de résistance qui soit égal à la composante de ce poids, qui agit au contraire de C vers E pour abaisser le ppint C. Sur une verti-
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- - FLEXION.
  - 413
  - cale CG, on portera à june échelle donnée une longueur CG,
  - joCkil
  - représentant ~ , par le point G on mènera GH parallèle à
  - l’arbalétrier, et la longueur CH exprimera, d’après l’échelle, la valeur de l’effort exercé par la charge, de haut en bas ou de C vers E, sur le tirant. On reportera cette longueur CH de E à H', et par le point H' on mènera les lignes H'F et H'i parallèles aux tirants AE et BE ; les longueurs EF et El donneront, d’après l’échelle, les valeurs des tensions T' et T" que ces tirants doivent exercer pour empêcher l’abaissemeut.
  - Le tirant AE doit en outre résister à la tension T exercée par le tirant EE' ; par conséquent, la tension totale Ti du tirant ÀE sera
  - Ti= T + T';
  - on aura donc ainsi les tensions des différents tirants.
  - Quant à l’arbalétrier, sa portée sera réduite de moitié, et de plus ses deux extrémités sont rendues fixes par les tirants AE et BE; son milieu C l’est par la contre-fiche; on peut donc le regarder comme encastré en ces trois points. On calculera ses
  - dimensions comme pour un solide oblique de longueur -,
  - chargé uniformément sur sa longueur d’un poids vertical p par mètre courant, et encastré à ses extrémités. Si l’on néglige l’action des forces qui agissent dans le sens de la longueur, ce qui est permis dans la plupart des cas d’application, on aura pour la composante perpendiculaire de la charge qui, placée au milieu du solide, équivaudrait à la charge uniformément répartie, '
  - ipcJ^=ipc.
  - La portée de la pièce est réduite à |G, et sa moitié, ou le bras de levier de la charge supposée placée au milieu est £C, la condition d’équilibre entre cette charge et les résistances des fibres sera alors
  - “=A?CC';
  - I
  - pour les solides à section rectangulaire, - = ia&2, ce qui donne
  - aô2
  - S^CC' 16R '
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- - 414
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Pour les arbalétriers en fer en forme de double T
  - I abs — la'b'3
  - v'~~ 6Y '*
  - et l’on aura
  - ab3—2a'b'3 _pCC,'
  - 6b * 16R ’
  - que l’on appliquera selon les proportions adoptées pour le profil du fer, comme il a été précédemment dit, n° 265.
  - 551. Cas où le tirant du milieu est plus haut que les points d’appui de la ferme* — On procédera, dans ce cas, d’une manière analogue à ce qui vient d’être dit, en désignant alors par h la distance verticale BB' du faîte (pl. Y, fig. 20) au tirant horizontal EE', dont on aura de même la tension par la formule
  - T____pGC'
  - 2 A *
  - Il faut ici remarquer que cette force T, qui tend à déplacer horizontalement l’articulation E, doit être contre-balancée par la résistance du tirant AE, et sollicite aussi la contre-fiche à s’abaisser. On la décomposera en deux forces, dont l’une sera donnée à l’échelle par le côté EL du parallélogramme ELKM dont EK=T est la diagonale et que l’on ajoutera à la compose
  - santé de la force y, dans le sens de la contre-fiche, pour déterminer graphiquement les valeurs des tensions T' et T", des tirants AE et BE ; l’autre composante T3, dirigée dans le sens même du tirant AE, s’ajoutera à la tension T', pour donner la tension totale
  - T1 = T3-fT'.
  - 552. Expériences pour déterminer directement les tensions des tirants. — Les considérations précédentes, à l’aide desquelles on a déterminé les tensions des divers tirants des fermes, sont basées sur la théorie géométrique de la composition et de la décomposition des forces. La seule hypothèse qu’on se soit permise, c’est de faire abstraction de la résistance que les assemblages opposent à l’action des tirants.
  - Il est facile de comprendre, en effet, que les bras de levier des charges, ainsi que leur intensité, sont tellement grands
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- - FLEXION.
  - 415
  - par rapport à celui des assemblages, que ceux-ci seraient dé-I truits immédiatement si le tirant n’existait pas ou cédait d’une manière notable, ce qui explique pourquoi l’on ne doit tenir aucun compte de la résistance des assemblages.
  - Cependant il n’était pas inutile de faire à ce sujet quelques expériences spéciales pour mesurer directement les tensions I des divers tirants des fermes composées, et vérifier ainsi les I règles qui ont été données plus haut. J’ai fait en conséquence I exécuter les expériences suivantes par M. Tresca, ingénieur du I Conservatoire des arts et métiers.
  - Deux fermes simples (pl. VI, fig. lre) à arbalétriers en bois I ont été disposées de façon que dans chacune d’elles l’un des I arbalétriers était composé de deux pièces formant moise, qui I embrassaient l’autre arbalétrier, et qui étaient unies à lui par un I simple boulon qui, traversant aussi les sommets des deux fermes, ! leur servait de faîte et formait une charnière tout à fait libre.
  - Les pieds des arbalétriers étaient arrondis et reposaient sur I deux sablières entaillées d’équerre. Cette disposition avait pour I objet de transmettre l’action horizontale des pressions des I arbalétriers, exactement dans le plan des tirants en fer qui I réunissaient les sablières, quelle que fût d’ailleurs l’inclinaison I des arbalétriers.
  - Deux tirants en fer à deux branches qui se réunissaient vers 1 le milieu de la portée en une seule, venaient s’accrocher à un I dynamomètre destiné à mesurer la tension.
  - Les sablières reposaient sur un plan horizontal fixe, et pour I atténuer la résistance qu’elles pouvaient éprouver à glisser, on I les avait posées sur des galets très-bien tournés et compléte-! ment libres, de 6 centimètres de diamètre.
  - La charge sur les arbalétriers était uniformément répartie I sur leur longueur au moyen de caisses en bois de Om,23 de lar-I geur sur Om,75 de longueur, posées les unes à côté des autres, I et dans lesquelles on mettait à volonté un nombre plus ou I moins grand de balles de fer de 400 grammes de poids moyen. I Chaque caisse était posée séparément et complètement indé-I pendante des autres, de sorte que la charge était en réalité I très-uniformément répartie.
  - Seulement cette charge n’était pas exactement appliquée sur | l’axe de figure des arbalétriers, et l’épaisseur de ceux-ci, ainsi que celle des couches de balles étaient telles que la verticale
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  - TROISIÈME PARTIE.
  - passant par le centre de gravité de la charge était à une distance de 0m,053 vers la sablière, de celle qui passait par le milieu de l’axe de figure de l’arbalétrier. Il en résultait que le bras de levier moyen de la charge, par rapport à la charnière de sommet, était augmenté de celte quantité.
  - Dans les expériences on avait
  - 2C'=AA'=3m,38, A=lm,07, C'=lni,69.
  - Il résulte de ce qui précède que le bras de levier de la pression verticale P==pC exercée sur les sablières était C'=im,69, que le bras de levier moyen de la charge uniformément répartie était
  - ~+0m,053 = -j- O-,053 = 0m,898,
  - 2* JL
  - et que celui de la tension cherchée T du tirant était h—lm,07. D’après cela, on pouvait calculer cette tension par la formule
  - T X 1“,07=P X lm,69—P X 0ra,878, d’où T = 8ra,74P.
  - On avait d’ailleurs soin, dans les expériences, de ramener la distance des sablières à sa valeur primitive 2C'=3m,38.
  - Le tableau suivant contient les résultats du calcul et ceux de l’expérience.
  - CHARGE uniformément répartie sur les ' deux arbalétriers d’un même côté. TENSION DU TIRANT
  - calculée. observée.
  - kil. kil. kil.
  - 176,0 130,0 134,0
  - 248,0 183,5 184,0
  - 329,0 244,0 242,0
  - L’accord des résultats de l’expérience avec ceux du calcul est donc aussi complet qu’on peut le désirer.
  - 535. Expérience sur une ferme composée. — Des observations analogues ont été faites sur une ferme double en fer à contre-fiche, du système de la figure 2, pl. VI, qui m’a été prêtée par M. Kaulek, habile constructeur. Des dynamomètres ou pesons
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  - 417
  - ordinaires, que Ton a préalablement tarés, ont été placés sur les tirants EE', AE et BE. Ils étaient ajustés à l’aide de brides à vis qui permettaient de ramener exactement la longueur de ces tirants à celle qu’ils avaient avant d’être chargés, et de donner aux deux fermes parallèles la même portée 2C'.
  - Après avoir dressé les deux fermes, et s’être assuré qu’elles étaient exactement de même portée, on les chargeait avec les caisses dont il a été parlé plus haut, et l’on ramenait respectivement, à l’aide des vis, les tirants, allongés par l’extension des pesons, à leurs longueurs primitives, de façon à mesurer ainsi la tension qu’auraient supportée ces tirants s’ils n’avaient pas été interrompus par les appareils dynamométriques.
  - En calculant ou en déterminant par le tracé graphique les tensions que devaient avoir les tirants sous les charges employées, et en les comparant à celles que Ton a observées, l’on a obtenu les résultats suivants, pour lesquels on avait comme données :
  - EE' = lm,262, AE = A'E' = Om,875, BE = BE' = Om,848, h — Om,595, 2B'=3m,012,
  - et par suite la formule
  - C'
  - T=P-2Â=1’265P-
  - On a réuni dans le tableau suivant les tensions observées au moyen des pesons, et celles déduites de cette formule :
  - CHARGES de chaque arbalétrier, P. TENSION DES TIRANTS
  - EE' BE AE
  - calculée. observée. calculée. observée. calculée. observée.
  - kil. kil. kil. kil. kil. kil. kil.
  - 35 44,25 42,0 22,5 18,0 66,75 69,6
  - 70 88,50 87,2 44,8 43,0 133,30 141,0
  - Les résultats de l’expérience, qui diffèrent, tantôt en plus, tantôt en moins, de ceux du calcul, s’accordent en général avec ceux-ci, autant qu’on peut l’espérer dans de semblables
  - 27
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  - TROISIÈME PARTIE.
  - recherches, surtout si l’on remarque que les fermes essayées présentaient un assez grand nombre d’assemblages qui pouvaient, dans certains cas, offrir quelque résistance par eux-mêmes.
  - 334. Conclusions de ces expériences. — On voit donc que les règles théoriques s’accordent avec les résultats de l’observation, avec un degré d’exactitude suffisant pour que l’on puisse, sans aucune crainte, appliquer ces règles au calcul des tensions des tirants, en suivant la marche que nous avons indiquée aux n09 333 et 540.
  - 553. Fermes du modèle des gares du chemin de fer de Versailles et Saint-Germain, et du hangar de manœuvres de Vincennes. — Dans les fermes à grande portée, outre la contre-fiche du milieu, il y en a deux autres qui subdivisent encore les deux moitiés de l’arbalétrier, lequel se trouve ainsi supporté en trois points intermédiaires.
  - On déterminera d’abord, comme dans le cas précédent, la tension T du tirant horizontal EE' (pl. Y, fig. 21), par la formule
  - pCB'
  - W
  - Cela fait, on obtiendra, par construction graphique, la tension T2 que les tirants AH et CH et leurs homologues doivent exercer pour que la contre-fiche DH maintienne le point D sur la ligne droite AB, en supposant la charge uniformément répartie fpC, qui agit sur la longueur AC = | C, remplacée par son équivalente agissant au point D, et en déterminant, parla construction d’un parallélogramme, la composante de celte charge dans la direction DH de la contre-fiche. On procédera ensuite, comme il a été dit au n° 540, pour obtenir par le tracé les deux composantes ou. les deux tensions égales Ta, qui doivent équilibrer cette charge.
  - On passera ensuite à la détermination des tensions T' et T" des tirants EH et EG. Mais ici, outre la composante, dans le sens de CE, de la charge {pC, équivalente à la charge uniformément répartie, que supporte la portion DF de l’arbalétrier, il faut aussi contre-balancer la résultante des deux tensions T5 qu’exercent, par rapport à B, de haut en bas, les tirants C1I et CG, résultante qui est d’ailleurs encore égale à la même com-
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  - 419
  - posante de \p£ dans le sens du tirant. Par conséquent, les tensions T' et T" seront les mêmes que dans le cas des fermes à une seule contre-fiche.
  - Mais quand le tirant EE' est relevé au-dessus de l’horizon-lale, comme dans la figure, il faut ajouter à la composante de
  - la charge^ la composante de la tension T dans le sens de la contre-fiche CE.
  - La tension du tirant BG sera égale à la somme de sa tension propre, relative à la contre-fiche FG, et de la tension T".
  - La tension du tirant AH sera aussi composée de la somme des tensions T' et T2 ; et elle devra, en outre, être augmentée de la composante T3 de la tension T" des tirants EE' et EG. On aura donc ainsi sa valeur T4.
  - Les tensions de tous les tirants seront ainsi déterminées, et l’on voit que l’équilibre du système sera assuré sans le secours d’un second tirant horizontal GG', comme quelques constructeurs en ont employé dans certains cas.
  - Quant à l’arbalétrier, la condition qu’il soit supporté en trois points intermédiaires de sa longueur, et rendu fixe à ses extrémités, permet d’en diminuer les dimensions, et on les calculera en remarquant que chaque partie n’a plus qu’une portée égale à |C, et que par conséquent la charge uniformément répartie qu’il supporte n’équivaut qu’à une charge -JpC placée au milieu de l’intervalle de deux de ses points consécutifs d’encastrement, et qu’enfin le bras de levier de cette charge n’est ainsi que de |C. On aura donc, pour déterminer ses dimensions transversales, la formule
  - ^ = Aî>CC',
  - que l’on appliquera de la manière ordinaire.
  - 356. Des contre-fiches. — Quand on aura déterminé les efforts de compression qu’elles ont à supporter, on calculera facilement les dimensions transversales qu’il conviendra de leur donner d’après les résultats rapportés aux tableaux des n09 96 et 102. On pourra d’ailleurs employer pour ces pièces la fonte de fer, qui résiste bien à la compression.
  - 337. Observation sur les règles précédentes. — Dans la marche
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  - TROISIÈME PARTIE.
  - simple que nous venons d’indiquer, on fait abstraction complète de la rigidité de l’assemblage des arbalétriers avec le faîtage, du frottement des arbalétriers sur les appuis de la ferme, et l’on ne considère que l’équilibre des pièces supposées rigides, en admettant que le système soit parfaitement mobile autour de ses articulations. Toutes ces hypothèses conduisent à des tensions sensiblement plus grandes que celles qui ont lieu en réalité, et par conséquent sont favorables à la stabilité de la construction.
  - On pourra par compensation, et attendu d’ailleurs que dans des fermes de cette importance il convient d’employer des matériaux de choix, adopter pour les valeurs du coefficient R :
  - R = 8 000 000 kilogr. pour le fer,
  - R,.= 1000 000 kilogr. pour le bois.
  - 558. Assemblages. — 11 convient, pour la facilité des assemblages, de réunir les tirants par des plaques ou rondelles en fer forgé, en terminant, chacun d’eux par une partie élargie et percée d’un trou rond alésé dans lequel passe un boulon qui traverse les plaques; chaque tirant est ainsi assemblé séparément. Il serait assez difficile, dans de grandes fermes, de se ménager, et surtout de faire agir des moyens de tension pour tous les tirants : aussi doit-on, pour ceux qui sont destinés aux contre-fiches, régler leur longueur en montant la ferme de façon que l’arbalétrier ait, au milieu et en dessus, la flexion qui serait produite par l’effort transmis par la contre-fiche correspondante, et que l’on a appris à déterminer au n° 550. En nommant S cet effort, la flexion sera donnée par la formule
  - SÇ_3
  - 24 E1 •
  - Lorsque l’arbalétrier sera chargé, il reviendra à très-peu près à la forme rectiligne.
  - Quant au tirant horizontal, on peut disposer à ses extrémités voisines de l’arbalétrier, un étrier placé sur un boulon à touret qui peut tendre le tirant, dont l’extrémité est filetée. Quelquefois aussi ce tirant traverse la boîte de fonte qui reçoit le pied de l’arbalétrier, et est tendu à l’aide d’un écrou extérieur, et même maintenu par un contre-écrou intérieur.
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- - FLEXION.
  - 421
  - 559. Application au hangar de manœuvres à Vincennes. — Ce hangar a ses arbalétriers et ses contre-fiches en bois avec des tirants en fer. Il est d’ailleurs disposé, quant à l’ensemble, d’une manière analogue au système indiqué au n° 555. On a les données suivantes :
  - 2C'=23m,24, C= 13-84.
  - La montée totale de la ferme au-dessus de ses appuis est de 8m,45, mesure prise au-dessus du faîte; mais le tirant horizontal est relevé et se trouve seulement à la distance A=6m,10 au-dessous du point de rencontre des lignes milieux des arbalétriers.
  - La distance entre les fermes du bâtiment est de 3m,65; il est couvert en zinc n° 14. Mais la charpente en bois a été faite plus lourde qu’il n’eût été nécessaire, comme on le verra quand nous en ferons le calcul; de sorte que son poids, qui n’aurait dû être par arbalétrier que de 3233 kilogr., y compris l’action de la neige et celle du vent, s’est élevé à_pC=5200kil, que nous devons prendre pour base du calcul des dimensions des tirants. D’après cette donnée l’on a
  - T — o200Xll,62— 4Q5 kn „
  - A 2X6,10 “ 49°2 ’8‘
  - En admettant que la tension des tirants soit calculée à raison de 6 kilogr. par millimètre carré, la section du tirant horizontal devra être de
  - 4Qû2kil 8
  - - ^ ’ = 825milI-tf,
  - et le diamètre du fer
  - dt = v^l,273X825,5= 32mil\4.
  - La tension des tirants AH, CH, CG et BG, pour transmettre aux contre-fiches DH et FG l’effort nécessaire pour soutenir les I points D et F de l’arbalétrier, déterminée par construction,
  - comme il a été dit au n° 540, à l’aide de la valeur ^=13C0ki-
  - 1550
  - logr., est 1550 kilogr., ce qui exige —— =258mill-q,3 de section
  - ü
  - et un diamètre de 18miU-,20.
  - Les tensions T' et T", nécessaires pour soutenir le point C,
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- - 4 22
  - TROISIÈME PARTIE.
  - calculées d’après la valeur ^=6200 kilogr., et la composante
  - de la tension 1=4952+8 dans le sens de CE, égale à 1120kilogr., sont de 5360 kilogr,, ce qui exige, pour le tirant EG
  - une section de ^^=893'niU-'î,33 et un diamètre de 33milI-,40.
  - Le tirant HE doit, en outre, résister à la composante de la tension T dans sa direction, laquelle est égale à 4460 kilogr. Sa tension totale est donc de
  - 5 360kil + 4 460lil=9 820ku ;
  - 9820
  - sa section doit être de —= l303millq,6, et son diamètre
  - o
  - 40mil\80.
  - Le tirant BG doit supporter la somme des tensions T2 et T" ou 1550+5360=6910 kilogr.;
  - sa section sera = 1I5lmiu q,66 ;
  - et son diamètre, d=38miU-q,4.
  - Enfin, le tirant AH doit résister à la somme de la tension T* et de la tension de HE, ou à
  - 1550+9820=11370 kilogr. ;
  - 11370
  - sa section sera —77— = 1895miu,q,l.
  - o
  - et son diamètre, d=49miUq,l.
  - t
  - Telles seraient les dimensions suffisantes ; mais le constructeur ne paraît avoir compté que sur une résistance de 5 kilogr. par millimètre carré de section, ce qui l’a conduit aux dimensions suivantes :
  - Désignation des tirants... EE' EG HC et CG BG HE AH
  - Diamètres calculés mill. 35,6 mill. 37,0 mill. 19,9 mill. 41,0 mill. 50,00 mill. 54,00
  - Diamètres donnés par le constructeur 40,0 36,0 20 et 27 40,0 55,00 55,00
  - On voit qu’il y a accord assez complet entre les dimensions
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- - FLEXION.
  - 423
  - adoptées et les dimensions calculées comme nous l’avons indiqué dans l’hypothèse d’une tension de 5 kilogr. par millimètre carré. Mais nous croyons que l’on aurait pu adopter avec sécurité les précédentes valeurs, basées sur une tension permanente de 6 kilogr. par millimètre carré de section.
  - Quant aux arbalétriers, la formule
  - Raô2__5200X11,62
  - devient ici
  - 64
  - 6
  - d’où
  - Si l’on admet le rapport a=§6, elle devient
  - 63__ 9 5200X11,62, ”64' 800000 5
  - d’où l’on tire
  - g—0m,22, « = 0m,l5,
  - et par suite
  - Ces dimensions sont inférieures à celles que le constructeur a adoptées.
  - En général, toutes les dimensions de cette charpente pourraient être allégées. Le poids de la couverture a été estimé trop haut, ainsi que celui de la charpente, et les dimensions des tirants ont été calculées, comme on vient de le voir, en ne supposant le fer soumis qu’à une tension de 5 kilogr., tandis que dans le cas actuel, où l’on tient compte des seules surcharges accidentelles possibles, le poids de la neige et l’action du vent, il est évident que l’on pouvait sans risque faire R = 8000000kil. En introduisant cette modification, on trouverait pour les différents tirants des dimensions réduites qui eussent été encore suffisantes.
  - On aurait pu de même, pour les bois qui sont de choix, bien peints et bien aérés, adopter la valeur R=1 000000kil, ce qui en aurait diminué l’équarrissage, et par suite le poids.
  - 560. Application aux charpentes en fer de la gare des chemins de fer de Saint-Germain et de Versailles. — Ces charpentes, en-
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- - 424
  - TROISIÈME PARTIE.
  - lièremcnt en fer, ont une portée 2C'=27ra,24 et 6 mètres de montée. Le tirant horizontal est à la hauteur /i=4m,88 au-dessous du faîte.
  - Le poids total de la charge supportée par chaque arbalétrier est d’environ ^C = 4770 kilogr. On a donc pour la tension du tirant horizontal EE' :
  - 4770 X 13m,62 2X4,88
  - : 6656 kilogr.
  - En comptant sur une tension de 6 kilogr. par millimètre carré de section, le tirant EE' devrait avoir une section de
  - 1109miUq,3, et par conséquent un diamètre d — 37ra,6.
  - La tension T2 des tirants Cil et CG (fig. 21) sera déterminée
  - à l’aide de la charge ^ = 1192kil,5, supposée placée en D, et
  - décomposée dans le sens de la contre-fiche, comme il a été dit au n° 540.
  - Le tracé donne T2 = 184Qkil. La section de ces tirants doit donc présenterai^ = 306miU-q,6 de superficie, et avoir 19mill,75 de diamètre.
  - Les tirants EH et EG, pour soutenir la contre-fiche CE, doivent avoir une tension déterminée d’une part par la charge
  - ^ = 2385 kilogr. agissant en C, décomposée suivant la direction CE, et augmentée de la composante de la tension T du tirant EE', laquelle est d’environ 660 kilogr., ce qui donne en tout par le tracé : T" = 5000 kilogr. environ. La section de ce tirant aura donc 833millq,3 de surface et un diamètre de32milI q,6. Le tirant BG éprouvera une pression égale à
  - T" -J- Ts = 6840 kilogr. ;
  - sa section doit être de 1140 millimètres carrés, et son diamètre de 36mill,4.
  - Le tirant HE éprouvera une tension égale à T" augmentée de la composante de la tension T du tirant EE' dans sa direction, laquelle est égale à 6330 kilogr. environ, ce qui donne
  - T' = 5000-f* 6330= 11330 kilogr.
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- - FLEXION. 425
  - La section de ce tirant aura donc une surface de 1888m!llq,33 et un diamètre de 49miU,2.
  - Enfin, le tirant AH a pour tension :
  - T=T|-J-T' = 1840kil -f 11 330kil = 13170kil,
  - sa section devra être de 2195 millimètres carrés, et son diamètre de 53 millimètres.
  - On obtiendrait d’une manière analogue les diamètres correspondant à une tension de 5 kilogr. par millimètre carré de section, et si l’on compare ces dimensions à celles que le constructeur a données, on forme le tableau suivant :
  - Tirants EE' HC et CG EG BG HE AH
  - tfl calculés d’après \ 6kü- mill. 37,6 mill. 19,75 mill. 32,6 mill 36,4 mill. 49,2 mill. 53,0
  - B une tension par mill. carré de... 1 5kii. 41,3 21,6 35,7 41,7 53,7 58,00
  - s adoptés par le structeur con- 45,0 30,0 40,0 40,00 50,0 50,00
  - On voit qu’en général les diamètres adoptés par le constructeur diffèrent, les uns en trop, les autres en moins des dimensions correspondant à la charge de 5 kilogr. par millimètre carré de section.
  - 501. Proportionnalité des sections des tirants aux portées. — On remarquera que toutes les tensions déterminées, comme nous venons de l’indiquer, sont proportionnelles à la longueur de l’arbalétrier, et par conséquent à la portée de la ferme pour chaque genre de couverture.
  - Ainsi la tension
  - T_JoC.C'
  - 24
  - revient, pour les couvertures en zinc, à (tableau n° 554)
  - T —121.03C'. y,
  - 2 h h
  - C' 1
  - expression dans laquelle y=— à cause de la pente du toit,
  - qui fait dans ce cas un angle de 20° avec l’horizon, de sorte qu’en définitive on a :
  - T = 332,77C'.
  - Il en est de même de la résistance que les contre-fiches simples ou multiples doivent opposer à la flexion de l’arbalétrier.
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- - 426
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Il résulte de là que, quand pour un genre donné de couverture, on aura déterminé les tensions des tirants pour une ferme et une portée données, on aura les tensions, et par conséquent les aires des sections transversales des tirants par une simple proportion entre les surfaces et les portées, De même aussi les diamètres des fers ronds à employer seront entre eux comme les racines carrées de ces surfaces ou des portées.
  - Donc, lorsqu’une ferme d’un système donné aura été proportionnée d’une manière que la théorie et l’expérience auront sanctionnée, on aura, pour toutes les couvertures du même genre, sous des inclinaisons identiques, les diamètres des tirants, en les prenant proportionnels aux racines carrées des portées.
  - 562. Observations sur la composition des fermes à grande portée. — La complication qui résulte de l’emploi des contre-fiches intermédiaires DH et FG (pl. Y, fig. 21) engage actuellement, et je crois, avec raison, les constructeurs à les supprimer et à diminuer l’écartement des fermes dont le nombre se trouve ainsi augmenté et la charge diminuée ; on retrouve ainsi, par la diminution des dimensions des arbalétriers, des tirants et des pannes, une compensation de poids qui peut même conduire à une économie en même temps qu’elle donne lieu à une construction plus simple.
  - On remarquera d’ailleurs qu’une seule contre-fiche soutenant l’arbalétrier au milieu suffit pour que celui-ci puisse être fait de deux barres de fer à T, dont l’assemblage repose sur cette contre-fiche, puisque l’on peut obtenir de semblables fers de 7 et 9 mètres de longueur quand ils ne sont pas d’un trop fort échantillon.
  - Charpentes en fer pour couvertures en zinc.
  - 565. Application aux couvertures en zinc. — La remarque du n° 561 nous permettra de réunir, dans des tableaux d’un usage facile, tous les éléments relatifs à la construction des charpentes en fer de toutes portées.
  - Si d’abord nous considérons une ferme de 2 mètres de portée, en supposant que l’espacement entre les fermes semblables, précédemment désigné par e, soit seulement de 1 mètre, et si nous calculons les longueurs et les charges pour cette ferme, destinée à nous servir de type, nous pourrons ensuite en con-
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- - FLEXION.
  - 427
  - dure, par une simple multiplication, les dimensions de toutes les pièces d’une ferme quelconque.
  - Nous nous bornerons toutefois à examiner cette ferme type pour une couverture en zinc et une inclinaison du toit a — 20°. Le poids uniformément réparti sur chacun des arbalétriers sera alorspC. = 691U1,16C', ou simplement 68“, 16, attendu que C' = 1, et que le coefficient 242kil,06, donné au n° 542, pour un écartement de 3m,50 entre les fermes, doit être ici réduit dans la proportion de 3ra,50 à 1 mètre.
  - En appliquant à cette ferme type les calculs dont nous avons déjà donné des exemples pour quelques cas particuliers, on est conduit aux chiffres consignés dans le tableau ci-joint. Ces calculs ont été faits dans trois hypothèses différentes pour chacun des deux systèmes de fermes à une ou à trois contre-fiches. Dans chacun ,de ces systèmes, en appelant a' l’angle formé par le tirant inférieur avec l’arbalétrier, l’on a successivement supposé : a' = 20°, a' == 15° a' = 10°. La première hypothèse suppose le tirant qui forme entrait à la hauteur des appuis ; les deux autres le supposent plus ou moins relevé au-dessus de cette première position.
  - 11 résulte donc de ces éléments divers six combinaisons différentes : trois pour les fermes à une seule contre-fiche, et trois pour les fermes à trois contre-fiches. Ces dispositifs sont représentés dans les figures 3, 4, 5, 6, 7, 8 (pl. VI), et nous les désignerons, dans ce qui va suivre, par les numéros 1,2, 3, 4, 5, 6.
  - FERMES A UNE SEULE CONTRE-FICHE COUVERTES EN ZINC. INCLINAISON DU TOIT = 20°.
  - DÉSIGNATION des PIÈCES. LONGUEURS CORRESPONDANT AUX ANGLES: CHARGES OU TENSIONS CORRESPONDANT AUX ANGLES:
  - n° 1, a'=20°. n°2, a'=15°. n° 3, a'=iO°. n° 4, a/—20°. n° 5, a'=15®. n° 6, a'—10°.
  - m. m. m. k. k. k.
  - Arbalétrier .. AB 1,0642 1,0642 1,0642 69,16 69,16 69,16
  - Contre-fiche .. CE 0,1932 0,1426 0,094 32,50 42,375 55,07
  - Demi-tirant formant en-
  - trait .. B'E 0,434 0,451 0,468 95,00 109,41 127,97
  - Tirant supérieur... . BE 0,566 0,551 0,5404 47,52 81,86 158,97
  - Tirant inférieur..,. .. AE 0,566 0,551 0,5404 142,52 188,45 282,67
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- - 428
  - TROISIÈME PARTIE.
  - FERMES A TROIS CONTRE-FICHES, COUVERTES EN ZINC. INCLINAISON DU TOIT =20°.
  - DÉSIGNATION des LONGUEURS CORRESPONDANT AUX ANGLES-. CHARGES OU TENSIONS CORRESPONDANT AUX ANGLES-.
  - PIÈCES. Jl° 1, n° 2, n° 3, n° 4, n° 5, n° 6,
  - O II a'=15#. a'=10°. a'—20°. 0.-15°. a'=10°.
  - rn. m. m. k. k. k.
  - Arbalétrier AB 1,0642 1,0642 1,0642 69,16 69,16 69,16
  - 1 Contre-fiche centr. CE 0,1932 0,1426 0,094 32,50 42,375 55,07
  - 2 Contre-fiches 1)11 et FG 0,0916 0,0713 0,047 16,25 16,25 16,25
  - Demi-tirant formant en-
  - trait B'E 0,434 0,451 0,468 95,00 109,41 127,97
  - Tirant EG 0,283 0,275 0,2702 71,28 113,23 205,33
  - Tirant BG 0,283 0,275 0,2702 47,52 81,86 158,57
  - Tirant HE 0,283 0,275 0,2702 142,52 188,45 282,67
  - Tirant inférieur..... AH 0,283 0,275 0,2702 166,26 219,82 329,43
  - Tirant CG 0,283 0,275 0,2702 23,76 31,37 46,76
  - Tirant CH 0,283 0,275 0,2702 23,76 31,37 46,76
  - Pour d’autres fermes de même inclinaison, les longueurs précédentes augmenteront dans le même rapport que la portée 2C', en sorte qu’il suffira de multiplier ces dimensions par la demi-portée G', pour obtenir immédiatement les longueurs correspondantes.
  - Quant aux efforts exercés sur ces pièces, ils augmentent ou diminuent comme la charge de l’arbalétrier, c’est-à-dire proportionnellement à l’écartement e des fermes et à leur demi-portée C'. Par conséquent il suffira de multiplier les efforts calculés dans chaque cas pour la ferme type par Ce, pour passer de l’écartement e = l mètre, et de la portée 2C' = 2 mètres, à un écartement et à une portée quelconques.
  - 564. Dimensions des pièces soumises à un effort de traction. — Les efforts étant déterminés par les considérations qui précèdent, nous savons que la section transversale de chaque pièce soumise à un effort de traction sera exprimée par le rapport
  - T
  - ^, T étant la tension en kilogrammes, et le coefficient R étant
  - pour le fer égal à 6 ou 8 000 000 kilogr. Cette section est donc, comme l’effort de traction lui-même, proportionnelle au produit Ce. Si l’on a calculé, une fois pour toutes, le volume du fer à employer pour chacun des systèmes de la ferme type,
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- - FLEXION.
  - 420
  - pour passer de ces volumes à ceux des pièces relatives à une ferme quelconque de portée 2C', écartée des fermes voisines de la quantité e, il faudra multiplier les nombres ainsi trouvés par C'e, pour avoir les aires des sections, et par C'2e, pour obtenir les volumes et les poids relatifs à tout autre écartement et à toute autre portée.
  - Comme exemple, nous donnerons les résultats du calcul pour les tirants du modèle de ferme n° 1 pour lequel on a
  - a = a' =. 20°, C' = lm, c=lm, Æ = 0m,364 :
  - DÉSIGNATION des PIÈCES. LONGUEUR des PIÈCES. L. EFFORT de TRACTION. T. SECTION CORRESPONDANTE. A. VOLUME des PIÈCES.
  - m. k. m.q. m.c.
  - Demi-tirant for-
  - mantentrait... B'E 0,434 95,00 0,000015841 0,000006875
  - Tirant supérieur. BË 0,565 47,50 0,000007920 0,000004403
  - Tirant inférieur. AE 0,566 142,52 0,000013760 0,000013431
  - Total............ 0,000024789
  - Dont le poids est de..... 0k,1891
  - Total............ 0,000024789
  - Dont le poids est de..... 0k,1891
  - C’est ce poids qu’il faudra multiplier dans chaque cas particulier par C'2e, pour obtenir immédiatement le poids total des tirants de la demi-ferme. On arriverait à un chiffre plus petit en prenant pour R la valeur 8 000 000 kilogr.
  - Un calcul semblable ayant été fait pour les autres dispositifs, on est arrivé de la même manière aux chiffres suivants :
  - TABLEAU DES POIDS DES TIRANTS DES FERMES COUVERTES EN ZINC. INCLINAISON DU TOIT =20°.
  - MODÈLE DE FERME. VALEURS de l’angle a'. POIDS DES TIRANTS de la ferme entière.
  - kil.
  - 20° 0,3782
  - N° 2 ?à une contre-fiche \ 15° 0,5000
  - N° 3) 10° 0,7756
  - N° 4) 20° 0,4918
  - N° 5tà trois contre-fiches 1 15" 0,6498
  - N° 6) ( 10» 0,9071
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- - 430
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Ces chiffres seront multipliés par C'2<? dans toute application que l’on en voudra faire.
  - On voit déjà que la surélévation de l’entrait, qui n’allége en aucune façon les arbalétriers, conduit à une augmentation notable dans le poids des tirants. Pour a' = 10°, ce poids est environ le double de ce qu’il est pour a' = 20°. Ce ne sera donc qu’avec réserve, et en tenant compte de cette observation, qu’il conviendra, dans certains cas, de sacrifier les questions d’économie à l’élégance que donne à une charpente en fer l’emploi des en-traits relevés. Quant à l’augmentation résultant de l’emploi de trois contre-fiches, elle est peu considérable, et permet d’ailleurs d’avoir recours à des arbalétriers plus légers, puisqu’elle introduit deux nouveaux points d’encastrement, dans leur longueur.
  - 565. Dimensions des arbalétriers. — Les tableaux du n° 555 permettent d’obtenir immédiatement les longueurs des arbalétriers et la mesure des charges auxquelles ces pièces doivent, dans chaque cas, résister. Ces deux éléments étant connus, on sait, en continuant à se servir des notations des nos 165 et 186, que les dimensions doivent être réglées de telle sorte que les égalités suivantes soient satisfaites.
  - Fers rectangulaires,
  - Fers à double T,
  - Fermes à une seule contre-fiche , formant un point d’éncastrement au milieu de l’arbalétrier... ;......
  - Fermes à trois contre-fiches, for-l niant sur la longueur de l'arbalétrier trois points d’encastrement équidis-tants...................... ...........f Fers à double T,
  - aW _ l_ pCC'
  - 6 — ï6~ir;
  - àbz — 2a'b'3 _ pÇC'
  - 16
  - 66 16 R
  - Fers rectangulaires, ;
  - O Dl K
  - ah3 — 2 a'6'3 1
  - 66
  - = 64PCC''
  - Formules dans lesquelles il faudra remplacerpG par 69ki,,16 C'e2, le coefficient 69kil,16 étant, comme nous l’avons vu, la charge correspondant h la ferme normale dont les données sont contenues dans les tableaux du n° 555.
  - En opérant cette substitution, mettant pour R sa valeur K — 6 000 000 kilogr., et effectuant autant que possible les calculs, on trouve pour les :
  - Fers rectangulaires... Fers à double T.......
  - 1 contre-fiche.
  - ou ~ = 0,00000072C'*e, v 6
  - T ni____ 9/7
  - -, ou ———- =0,00000072 C'se ;
- p.430 - vue 441/512
- - FLEXION.
  - 431
  - 3 contre-fiches.
  - 1 affi
  - Fers rectangulaires... ^ ou —=0,00000018C'2e,
  - T ïfî
  - Fers à double T....... ~ ou -7-— ^0,00000018 G,2e;
  - v bb
  - Le second terme de chacune de ces égalités peut être im-I médiatement calculé au moyen des valeurs de C' et de e ; mais S il ne sera pas inutile d’entrer à cet égard dans quelques détails, soit pour comparer les fers rectangulaires aux fers à double T, sous le rapport de la dépense, soit pour déterminer l’importance des arbalétriers dans la quantité totale de fer à ] employer pour la construction d’une charpente en fer ; et pour embrasser tous les cas de la pratique, nous réunirons, dans I les tableaux suivants, les résultats du calcul, en donnant à e différentes valeurs : e—1 mètre, e = 2 mètres, e = 3 mètres,
  - ; e==-k mètres, et en faisant varier C', c’est-à-dire la demi-portée de la ferme, depuis G' = 4 mètres, qui correspond à une portée de 8 mètres, jusqu’à G'= 15 mètres, qui correspond à une portée de 30 mètres.
  - En ce qui concerne les fers à double T, après avoir calculé
  - il dans chaque cas particulier la valeur de ^ , on a comparé cette
  - I valeur à celles fournies par le tableau du n° 2G7, ce qui a permis de désigner le modèle à employer, soit parmi les échan-: filions de l’usine de la Providence, soit parmi ceux de l’usine ; de Montataire. Les lettres P et M ont continué à distinguer les | produits de ces deux usines. Après que, de cette manière, le modèle convenable a été reconnu, on a déterminé la largeur a
  - de la nervure , pour laquelle la quantité^, acquiert la valeur
  - convenable, et l’on a ensuite calculé le poids de la pièce à l’aide des indications contenues dans les catalogues respectifs des deux usines.
  - Quant aux fers rectangulaires, on est arrivé plus simplement au résultat en adoptant un rapport constant entre l’épaisseur et la largeur de la pièce, a —{b.
- p.431 - vue 442/512
- - ÉCARTEMENT des fermes
  - 432
  - TROISIÈME PARTIE
  - TABLEAU DES ARBALÉTRIERS EN FER POUR FERMES COUVERTES
  - 2“
  - FERMES A UNE SEULE CONTRE-FICHE
  - Fers à double T,
  - PORTÉE des ferme | 2C'. A • > VALEUR de 0,00000072 C'2e. Désignation t de l’échantillon j Valeur 1 de } a. Poids 1 par mètre j courant. J Largeur a. Hauteur \ s' Poids I par mètre ! I courant. /
  - m. m. m. k.
  - 8 16 0,00001152 5) 33 » 0,0141 0,0706 7,60
  - 10 25 0,00001800 35 )) 33 0,0163 0,0815 10,41
  - 12 36 0.00002592 )) 33 » 0,0184 0,0920 13,21
  - 15 56,25 0,00004048 M, 0,0439 9,33 0,0213 0,1067 17,83
  - 33 » 35 P, 0,0451 11,88 35 35 »
  - 20 100 0,00007200 0,0522 15,22 0,0258 0,1293 26,11
  - yy 55 33 Pa 0,0519 18,90 33 33 33
  - 25 156,25 , 0,00011250 h 0,0551 20,00 0,0300 0,1500 35,10
  - 30 225 0,00016200 m6 0,0665 24,33 0,0339 0,1695 44,80
  - 55 35 » » » 33 33 33 ))
  - 8 32 0,00002304 35 » » 0,0177 0,0884 12,11
  - 10 50 0,00003600 M, » 8,00 0,0205 0,1027 16,46
  - 12 72 0,00005184 Ms 0,0476 12,22 0,0232 0,1159 20,95
  - 9 55 )) P2 0,0498 15,04 9 33 3)
  - 15 112,50 0,00008096 Ma 0,0538 16,84 0,0269 0,1345 28,29
  - 55 9 33 P„ 0,0484 16,00 33 33 ))
  - 20 200 0,00014400 Ma 0,0646 26,08 0,0334 0,1671 43,42
  - 55 3> 33 I\ 0,0609 28,44 33 3) 30
  - 25 312,50 0,00022500 M, 0,0714 34,75 0,0378 0,1890 55,72
  - )) 35 33 P, 0,0693 36,60 3) 33 3)
  - 30 450 0,00032400 P8 0,0691 45,40 0,0427 0,2134 73,21
  - )) 3) 35 33 33 33 33 33 33
  - 8 48 0,00003456 M, 9 8,00 0,0203 0,1013 16,03
  - 10 75 0,00005400 m5 0,0485 13,00 0,0235 0,1175 21,60
  - 12 108 0,00007776 M, 0,0530 16,03 0,0265 0,1325 27,35
  - » » 3) P 0,0402 15,38 3) 33 33
  - 15 168,75 0,00012144 M, 11,0604 20,53 0,0307 0,1537 37,22
  - )> 35 33 P3 0,0567 22,43 33 33 33
  - 20 300 0,00021600 m4 0,0702 32,79 0,0373 0,1865 49,48
  - )) 35 )) P, 0,0682 34,40 33 33 33
  - 25 468,75 0,00033750 Ps 0,0704 48,66 0,0433 0,2163 73,12
  - 5> » 33 9 35 33 » 33 33
  - 30 675 0,00048600 0 33 3) 0,0489 0,2443 118,50
  - 5) » 3) 9 » 33 33 33 3)
  - 8 64 0,00004608 ' M, 0,0453 10,17 0,0223 0,1115 21,54
  - 55 5) 35 Pv 0,0474 14,40 )) 33 33
  - 10 100 0,00007200 Ma 0,0512 14,21 0,0259 0,1296 26,16
  - 55 9 1) P, 0,0519 17,90 33 33 )>
  - 12 144 0,00010368 P5 » 25,00 0,0292 0,1460 42,67
  - 9 35 33 33 )) )) 9 33 33
  - 15 225 0,00016200 Mc 0,0665 24,33 0,0331 0,1657 44,80
  - » )> 33 3) 33 33 33 33 33
  - 20 400 0,00028800 P8 33 40,00 0,0410 0,2052 65,73
  - 33 5) 33 33 33 33 33 » 3)
  - 25 625 0,00045000 0 » » 0,0476 0,2381 113,40
  - 30 900 0,00064800 0 35 3) 0,053810,2690 144,71
  - Fers rectangulaires.
- p.432 - vue 443/512
- - FLEXION,
  - 433
  - EN ZINC, L’INCLINAISON DU TOIT ÉTANT DE ü = 20».
  - FERMES A TROIS CONTRE-FICHES.
  - VALEUR de 0,00000018 C'2e. Fers à double T. Fers rectangulaires.
  - a c o ° a 5 §>» § 'ai Æ q y Pi a> o . > c o s b G- £- O CtJ o Oh P- O CD fcû J Ph O 03 U 0 O ci ta 03 «S-* 2 s « lü I Sh °
  - 0,00000288 0,00000450 0,00000648 0,00001012 » 0,00001800 » 0,00002812 0,00004050 » y> yy T) s » 3> x> p, 5 m. yy D 2> ï> » » 3> 0,0489 0,0451 k. » yy » 3) » yy yy 9 9,04 11,88 m. 0,0084 0,0103 9,0116 0,0135 33 0,0163 3) 0,0189 0,0213 33 m. 0,0442 0,0514 0,0580 0,0673 3) 0,0815 0,0945 0,1067 33 k. 3,04 4,14 5,23 7,05 yy 10,40 » 13,90 17,70 9
  - 0,00000576 0,00000900 0,00001296 » 0,00002025 » 0,00003600 y> 0,00005625 yy 0,00008100 V » 3> » 3) 3) » M, » ' m2 P3 m3 Pi U z> » » 9 yy » 9 0,0495 0,0471 0,0538 0,0484 yy yy yy yy yy yy 8 yy 13,85 14,10 16,84 15,80 0,0112 0,0129 0,0146 yy 0,0169 yy 0,0205 yy 0,0240 yy 0,0269 » 0,0558 0,0646 0,0731 33 0,0848 » 0,1027 33 0,1200 0,1345 33 4,85 6,63 8,33 11,20 16,40 yy 22,50 yy 28,20 yy
  - 0,00000804 0,00001350 0,00001944 33 0,00003037 » 0,00005400 33 0,00008037 » 0,00012150 33 » )) » » P, yy m2 » P'< » M5 P5 yy » yy yy 0,0441 » 0,0485 )) 0,0501 yy 0,0604 0,0567 yy yy yy yy 11,12 yy 12,99 yy 19,20 20,53 22,43 0,0127 0,0148 0,0128 0,0194 » 0,0250 33 0,0275 3) 0,0305 33 0,0637 0,0741 0,0837 33 0,0970 33 0,1251 33 0,1373 33 0,1527 33 6,32 8,57 11,05 33 14,64 33 21,60 33 29,40 33 37,20 33
  - 0,00001152 » 0,00001800 yy 0,00002592 » 0,00004048 0,00007200 yy 0,00011250 0,00016200 » » » M, yy M, P2 m3 P3 Ps m6 yy yy yy yy yy yy 0,4392 0,0451 0,0512 0,0519 0,0551 0,0665 33 33 33 33 8 3) 9,04 11,88 14,82 18,90 20,15 26,75 0,0139 » 0,0163 yy 0,0164 yy 0,0215 yy 0,0258 yy 0,0300 0,0349 0,0698 yy 0,0815 » 0,0920 yy 0,1067 yy 0,1293 yy 0,1500 0,1695 7,60 « / 10,40 » 13,20 » 17,70 » 26,10 35.10 44.10
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- - 434
  - TROISIÈME PARTIE.
  - Des chiffres contenus dans ce tableau il résulte que les deux usines dont nous avons mentionné les produits ne fournissent point de fer à double T pour la totalité des fermes qui y sont comprises.
  - Il faut, d’une part, des échantillons plus petits pour les fermes à petite portée et à petit écartement, surtout dans le cas où l’on emploie le système à trois contre-fiches ; d’autre part, pour les fermes à une seule contre-fiche, les plus gros fers à T de la Providence sont insuffisants pour une portée de 30 mètres et un écartement de 3 ou de 4 mètres. Le tableau donne pour ces cas, comme pour tous les autres, les dimensions des fers rectangulaires à employer, dans l’hypothèse que nous avons faite d’une épaisseur égale au cinquième de la hauteur ; tout autre rapport exigerait une modification correspondante dans les calculs.
  - Si nous cherchons à comparer les poids respectifs donnés par le tableau pour les fers rectangulaires, les fers à double T de l’usine de la Providence et ceux de l’usine de Montataire, qui conviennent respectivement aux différentes fermes, nous voyons que les fers de Montataire présentent toujours un avantage notable sur les fers rectangulaires, et presque toujours aussi un avantage, mais moins grand, sur ceux de la Providence ; ces différences sont quelquefois considérables, et elles tiennent à ce que les corps des fers à double T sont plus minces que ceux des fers rectangulaires correspondants, en même temps que leur hauteur est plus grande ; cette double circonstance est moins marquée dans la plupart des fers de l’usine de la Providence. Nous donnons (pi. VI) la représentation comparée des sections de ces différents fers :
  - 1° Pour la ferme à une seule contre-fiche, de 10 mètres de portée, l’écartement des fermes étant de 4 mètres (fig. 9, 10 et 11);
  - 2° Pour la ferme à trois contre-fiches, de 30 mètres de portée, l’écartement entre les fermes étant de 1 mètre seulement (fig. 12,13, 14).
  - Ces figures donnent l’explication des différences que nous venons de signaler, mais en même temps elles montrent que les fers à double T ont toujours une hauteur plus considérable que les fers rectangulaires correspondants dans lesquels le rapport entre l’épaisseur et la hauteur serait de {; cet accroisse-
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- - FLEXION.
  - 435
  - ment de hauteur, qui est souvent un avantage dans la construction des planchers, ne saurait être considéré dans les fermes que comme un inconvénient; mais les nervures latérales, cependant, sont favorables à un autre point de vue : elles permettent aux charpentes de mieux résister aux efforts transversaux exercés horizontalement, et contribuent ainsi à augmenter la stabilité. Ces nervures peuvent aussi être fréquemment utilisées dans les assemblages, soit en les conservant dans leur forme primitive, soit en les modifiant à la forge suivant les cas.
  - Dans la comparaison que l’on peut faire entre l’emploi respectif des systèmes à une ou à trois contre-fiches, il est facile devoir que l’adoption de ce dernier système procure une grande économie sur le poids des arbalétriers ; cette remarque se déduit d’ailleurs d’une manière plus manifeste du tableau suivant, dans lequel nous avons réuni les poids des arbalétriers, en nous bornant toutefois, pour chacun d’eux, à l’échantillon le plus favorable parmi ceux indiqués dans le tableau précédent ; il serait facile de le compléter au besoin en y introduisant les poids calculés au tableau de la page 432 pour les autres échantillons de fers rectangulaires ou à double T.
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- - 436
  - TROISIÈME PARTIE.
  - POIDS DES ARBALÉTRIERS EN FER, POUR DIVERSES PORTÉES ET DIVERS ÉCARTEMENTS DE FERMES.
  - H « £ os .2 SYSTÈME A UNE CONTRE-FICHE. SYSTÈME A TROIS CONTRE-FICIIES*
  - ËCARTEMEt des fermes e. PORTÉE des fermes 2C' LONGUEU de l’arbalétr DÉSIGNATION j de J l’échantillon. J POIDS des | 2 arbalétriers. DÉSIGNATION de | l’échantillon, j roms des 2 arbalétriers.
  - m. kilogr. kilogr.
  - 1“ 8“ 4,256 Rectangu- Rectangu-
  - laire. 64,71 laire. 16,35
  - 10 5,321 23 110,78 Id. 27,78
  - 12 6,385 » 168,69 Id. 42,14
  - 15 7,981 M, 148,94 Id. 71,20
  - 20 10,642 m3 323,96 Id. 139,62
  - 25 13,302 Ps 536,12 Id. 233,32
  - 30 15,963 m6 776,76 M, 288,62
  - 2“ 8 4,256 Rectangu- Rectangu-
  - laire. 103,10 laire. 26,14
  - 10 5,321 M, 85,14 Id. 44,48
  - 12 6,385 Mi 156,06 Id. 67,04
  - 15 7,981 M3 255,42 Id. 113,02
  - 20 10,642 Ms 555,08 M, 170,28
  - 25 13,302 M, 924,56 m2 368,50
  - 30 15,963 P8 1472,42 M3 537,64
  - Rectangu-
  - 3“ 8 4,256 M, 68,10 laire. 33,97
  - 10 5,321 M, 138,36 Id. 57,57
  - 12 6,385 P, 196,40 Id. 99,27
  - 15 7,981 M3 327,76 Id. 147,50
  - 20 10,642 M, 697,72 m2 276,48
  - Rectangu-
  - 25 13,302 P8 1225,42 laire. 510,79
  - 30 15,963 Rectangu-
  - laire. 3783,23 m5 655,46
  - Rectangu-
  - 4“ 8 4,256 M, 86,60 laire. 40,78
  - 10 5,321 m3 151,24 Id. 69,81
  - 12 6,385 1*5 319,26 M, 102,16
  - 15 7,981 M6 388,38 M. 144,34
  - 20 10,642 Ps 881,37 M3 315,44
  - 25 13,302 Rectangu-
  - laire. 3016,89 Ps 536,12
  - 30 15,963 Rectangu-
  - laire. 4620,00 Ms 854,02
  - On voit immédiatement par ce tableau que l’adoption du système à trois contre-fiches réduit le poids des arbalétriers des deux tiers ou au moins de la moitié du poids exigé par le système à une seule contre-fiche ; nous verrons bientôt que cette économie reste importante encore, quand on tient compte de
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- - FLEXION.
  - 487
  - l’augmentation de poids qu’entraînent les contre-fiches latérales et les tirants.
  - 566. Dimensions des contre-fiches. — Les contre-fiches peuvent être construites en fer ou en fonte ; ce sont, dans tous les cas, des pièces longues dans lesquelles les dimensions transversales sont fort petites par rapport à la longueur, et l’on sait que quand le rapport entre ces dimensions dépasse certaines limites, il est nécessaire de diminuer la charge par millimètre carré, dans la crainte de produire une flexion dans la pièce.
  - L’emploi du fer peut mettre à l’abri de cet inconvénient, en ce que chacune des contre-fiches peut être formée de deux bandes de fer méplat, réunies à courts intervalles par des traverses formant entretoises boulonnées ; ce seraient de véritables moises en fer, dont l’assemblage avec les arbalétriers et avec les tirants pourrait s’effectuer avec une grande facilité ; par ce mode de construction, les dimensions extérieures de la section de la contre-fiche seront, pour un même poids, augmentées suffisamment pour que le fer puisse supporter une charge permanente de 6 kilogr. par millimètre carré, et en calculant sur 4 kilogr. seulement, on serait certain d obtenir une résistance suffisante ; mais pour ne pas offrir a 1 œil des dimensions en apparence disproportionnées, nous doublerons les surfaces ainsi calculées, et par conséquent les poids correspondants.
  - Les longueurs des contre-fiches et les charges qu’elles supportent étant comprises dans les tableaux du n° 565, si, conformément à ce qui vient d’être dit, nous adoptons des sections transversales telles, qu’elles soient chargées de 4 kilogr. par millimètre carré, nous pouvons en calculer les dimensions et les poids pour la ferme type, et en former le tableau suivant, dans lequel il suffira de multiplier les longueurs par C', les charges et les sections par C'e, les volumes et les poids par € 2e pour passer des fermes types à une ferme quelconque, ce sont les chiffres doublés, comme il vient d’être dit, qui figurent dans le tableau.
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- - 4,38
  - TROISIÈME PARTIE.
  - TABLEAU DES DIMENSIONS DES CONTRE-FICHES EN FER; COUVERTURE
  - en zinc; irclinaison du toit, a=20°.
  - DÉSIGNATION des PIÈCES. VALEUR DE L’ANGLE a'. LONGUEUR DES PIÈCES. CHARGES. SECTIONS. VOLUMES. POIDS des contre-fiches et entretoises.
  - Contre-fiche principale. a!— 20° m. 0,1932 0,0916 kil. 32,50 16,25 m.q 0,0000081 m.c 0,00000157 kil. 0,0245
  - Contre-fiche latérale... id. 0,0000041 0,00000048 0,0061
  - Contre-fiche principale. a'=15# 0,1426 42,38 0,0000106 0,00000152 0,0237
  - Contre-fiche latérale... id. 0,0713 16,26 0,0000041 0,00000029 0,0046
  - Contre-fiche principale. a' = 10° 0,0935 55,07 0,0000133 0,00000125 0,0165
  - Contre-fiche latérale... id. 0,0468 16,25 0,0000041 0,00000019 0,0030
  - Les contre-fiches principales restent les mêmes, soit que l’on préfère le système à une seule contre-fiche, auquel cas il suffira de doubler le poids déduit du tableau ci-dessus pour obtenir le poids total des contre-fiches d’une ferme, soit que l’on ait recours au système à trois contre-fiches. Dans ce dernier cas, au double du poids de la contre-fiche principale il faudra ajouter le quadruple du poids de l’une des contre-fiches latérales pour obtenir le poids de toutes les contre-fiches de la ferme ; cette observation, appliquée à la ferme type, nous conduit, en effectuant les calculs, au tableau suivant :
  - TABLEAU DONNANT LE POIDS DES CONTRE-FICHES EN FER, DANS UNE FERME DE 2 MÈTRES DE PORTÉE, L’ÉCARTEMENT DES FERMES ÉTANT DE lm.
  - DÉSIGNATION du 1 8YSTÈME DE FERME. VALEUR de l’angle a’. POIDS TOTAL des contre-fiches en fer.
  - Modèle n° 1 à une contre-fiche a' = 20° 0,0490
  - Modèle n° 2 à une contre-fiche et' = 15° 0,0474
  - Modèle n° 3 à une contre-fiche et' — 10° 0,0390
  - Modèle n° 4 à trois contre-fiches et' = 20° 0,0734
  - Modèle n° 5 à trois contre-fiches a1- 15» 0,0658
  - Modèle n° 6 à trois contre-fiches et' = 10° 0,0510
  - Ces chiffres seront multipliés par C'ze dans toute application que l’on en voudra faire à d’autres fermes.
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- - FLEXION.
  - k 39
  - Les différences qu’ils signalent sont assez minimes pour que l’on puisse regarder leur influence comme insignifiante dans l’établissement des fermes en fer ; l’arbalétrier est toujours la pièce la plus importante; et lorsqu’on ne craint pas de multiplier les assemblages, le système à trois contrefiches, avec entrait à la hauteur des points d’appui, est celui qui mérite la préférence.
  - 567. Résultats et conséquences. — Nous pourrons, au reste, réunir maintenant les trois éléments de la question, et donner pour tous les cas que nous avons examinés, et qui comprennent pour ainsi dire tous ceux de la pratique, les poids totaux tout calculés. Nous nous bornerons d’abord à réunir tous les éléments du calcul dans quelques cas particuliers.
  - POIDS DES FERS QUI COMPOSENT UNE FERME DU MODÈLE N° 1 (FIG. 3, PL. Vl) POUR DIVERSES PORTÉES ET DIVERS ÉCARTEMENTS.
  - ÉCARTEMENT des fermes e. PORTÉE TOTALE de la ferme 2C'. VALEUR du coefficient C”e. POIDS des tirants. POIDS des arbalétriers. POIDS des contre-fiches. POIDS TOTAL.
  - 1” 8“ 16 k 6,05 k 64,71 k 0,80 k 71,56
  - 10 25 9,45 13,62 110,68 1,23 80,50
  - 12 36 168,69 1,77 184,08
  - 15 56,25 21,27 148,94 2,76 175,97
  - 20 100 37,82 59,10 323,96 4,90 366,68
  - 25 156,25 536,12 7,66 602,88
  - 30 225 85,10 776,76 11,03 872,79
  - 4m 8 64 24,21 86,60 3,14 113,95
  - 10 100 37,82 151,24 4,90 193,96
  - 12 144 54,46 319,26 7,06 380,78
  - 15 225 85,10 388,38 11,03 484,51
  - 20 400 144,28 881,38 19,60 1045,25
  - 25 625 236,30 3016,89 30,63 3288,22
  - 30 900 336,38 4620,38 44*10 5000,48
  - Ces chiffres suffisent pour démontrer la prédominance du poids des arbalétriers sur le poids total, dont il est environ les tû et les f, de sorte qu’en augmentant le poids des arbalétriers de | de sa valeur, on aura le poids total des fers qui composent / une ferme y compris les boulons et menues ferrures ordinaires.
  - En comparant respectivement les poids des arbalétriers,
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- - 440
  - TROISIÈME PARTIE.
  - pour les modèles 1, 2 et 3, avec les chiffres correspondants pour les modèles 4, 5 et 6, on reconnaît immédiatement qu’il existe en faveur des derniers une différence considérable; cette différence est souvent de la moitié du poids total. On ne saurait donc trop recommander, pour les fermes à grande portée surtout, l’emploi du système à trois contre-fiches, qui apporte une si grande économie dans le poids des matériaux. Il exige, il est vrai, quelques assemblages de plus; mais cette cause d’augmentation dans la dépense est toujours fort minime par rapport à l’économie que nous venons de signaler.
  - Si l’on compare les poids des différents systèmes n° 1, n° 2 et n° 3 à une contre-fiche, et qui ne diffèrent que par la hauteur du tirant qui forme l’entrait, on reconnaît qu’ils croissent avec la surélévation de l’entrait, mais de quantités assez faibles, ce qui tient à la prédominance du poids de l’arbalétrier, qui est le même dans tous les cas. On arrive à une conclusion semblable pour les systèmes n° 3, n° 4 et n° 5.
  - Une autre remarque importante ressort de l’examen des poids des arbalétriers, si l’on se borne à considérer ensemble ceux qui correspondent à la même portée; nous voyons, en effet, que pour un écartement de 1 mètre entre les fermes, le poids de chacune d’elles est notablement inférieur au poids correspondant pour un écartement de 2, de 3, de 4 mètres; mais il faut remarquer que si l’espace à couvrir a L mètres de
  - longueur, le nombre de fermes à employer est /z = ^ -j— 1, ~
  - étant nécessairement un nombre entier.
  - Pour e = lm, on trouve nl = L -j-1 ; Pour e = 4ro, on trouve nk = ^ -f- 1 ;
  - d’où
  - 12
  - L + 4’
  - ce qui démontre qu’à moins d’avoir à couvrir de très-petites longueurs, le nombre des fermes à employer est à peu près inversement proportionnel à leur écartement. Pour qu’il y eût
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- - FLEXION.
  - 441
  - égalité de dépense, il faudrait donc que la ferme convenable pour e = lm ne pesât que le quart de ce que pèse la ferme de même portée, calculée pour un écartement entre les fermes de e = 4ra ; nous voyons par le tableau des poids des arbalétriers, qu’il n’en est pas ainsi, et qu’il semblerait par conséquent sous ce rapport, y avoir avantage à augmenter l’écartement entre les fermes.
  - Mais d’autres considérations s’opposent à ce que l’on admette immédiatement une pareille conclusion. En augmentant l’écartement des fermes, on fait croître par cela même la portée des pannes, du faîtage et de toutes les pièces longitudinales auxquelles il devient par conséquent nécessaire de donner des dimensions plus considérables, et nous aurons à nous arrêter un instant sur cette question , qui se complique encore de ce qu’un plus grand nombre de fermes exige un plus grand nombre d’assemblages et augmente , par conséquent, le prix de l’établissement.
  - 368. Dimensions des pièces longitudinales. — Pour résister aux vents et aux efforts qui peuvent s’exercer dans le sens de la longueur d’un comble, il faut relier les différentes fermes de manière à obtenir une rigidité suffisante dans cette direction ; c’est là le but de la ferme sous faîte, qui dans toutes les charpentes se compose du faîtage au sommet, solidement réuni aux poinçons par des contre-fiches, qui viennent deux à deux s’assembler avec le poinçon à la même hauteur.
  - On ajoute encore à la résistance dont nous parlons en adoptant une disposition analogue pour la sablière par rapport aux poteaux, lorsque le comble est simplement posé sur des supports de ce genre ; mais il n’en est pas ordinairement ainsi pour les combles à grande portée dont nous nous occupons plus spécialement ici.
  - Enfin les arbalétriers reçoivent toujours un ou plusieurs cours de pannes qui doivent supporter le lattis ou la volige, et qu’il convient de fixer solidement à chaque arbalétrier, afin de profiter de ces nouvelles pièces pour assurer la solidarité de toutes les fermes entre elles. Les pannes, le faîtage et les sablières suffisent parfaitement pour empêcher l’une des fermes de se déplacer par rapport aux autres; mais la ferme sous faîte n’en est pas moins nécessaire pour résister aux efforts dirigés
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- - 442
  - TROISIÈME PARTIE.
  - dans le sens de la longeur, et qui pourraient avoir pour effet d’incliner à la fois toutes les fermes de la même quantité et dans le même sens.
  - L’action du vent et celle d’une pluie violente.qui, dans les orages, agissent avec une grande énergie, produisent sur les charpentes des effets très-dangereux dans le sens longitudinal, et contre lesquels il importe de se prémunir. On en a eu un exemple remarquable lors de la construction du Palais de l’industrie pour l’exposition universelle. Toutes les fermes composées de grands arcs en plein cintre étaient levées, dressées et réunies par des pannes, mais les fermes extrêmes formant pignon n’étaient pas arc-boutées, et la couverture en verre n’étant pas posée, les seules surfaces exposées au vent étaient celles des fermes elles-mêmes ; malgré cette circonstance, un violent orage détermina en un instant la flexion simultanée de toutes les fermes, dont le sommet se déplaça dans le sens longitudinal de plus de deux mètres. La bonne qualité du fer, la solidité des assemblages des arcs avec les supports en maçonnerie, préservèrent seules cette construction d’une chute totale.
  - 569. Influence de Vécartement des fermes sur la dimension des pannes. — Les pannes sont habituellement écartées de 2 mètres environ dans le sens de la pente du toit, et les planches ou voliges que l’on y fixe sont quelquefois inclinées à 45° à peu près sur leur longueur, et d’une ferme à l’autre. Ce lattis plein est disposé alternativement en sens contraires, ce qui contribue à augmenter la résistance au mouvement longitudinal.
  - Les dimensions et le poids des pannes augmentant beaucoup avec leur portée ou l’écartement des fermes, il en résulte finalement qu’il y a une économie à multiplier les fermes et à diminuer leur écartement.
  - 570. Contre-fiches en fonte. — Nous avons vu que le poids des contre-fiches n’a en général, dans la question qui nous occupe, qu’une importance très-secondaire; les conséquences auxquelles nous avons été conduits resteront donc les mêmes, si au lieu de les construire en fer, comme nous l’avons supposé, on préférait employer la fonte, qui résiste également fort bien à un effort de compression. Il est vrai que la fonte ne saurait se prêter, comme le fer, à la répartition de la matière,
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- - FLEXION.
  - 443
  - dans la section traversale de la pièce, de manière à augmenter autant les dimensions extérieures de cette section dans les deux sens, dimensions toujours fort petites par rapport à la longueur des pièces. Si l’on veut construire en fonte les contre-fiches, il faudra les considérer comme colonnes pleines en fonte, et déterminer leur section transversale par la formule du n° 108 :
  - pkii _______1250D*______
  - 1.85D2 -f- 0,00043L2 ’
  - d’où l’on tiré
  - D=\/o.00074P -f- \/(0.00074 P)2 + 0.000000344PL2.
  - Dans la pratique, on renfle les pièces au milieu pour éviter qu’elles ne fléchissent, et on leur donne en général pour section la forme d’une croix h bras égaux et renforcés par des nervures, comme on le fait, ainsi que nous l’avons vu, pour les bielles.
  - Malgré ces dispositions, qui atténuent les inconvénients de l’emploi de la fonte pour les contre-fiches, il faut reconnaître que le fer résistera mieux aux chocs accidentels ou à toute action transversale; l’assemblage, d’ailleurs, s’en fera toujours commodément avec les arbalétriers, en rabattant à la forge les nervures inférieures de la section en double T, à l’endroit de l’assemblage, et en formant ainsi une portée méplate sur laquelle se fixeraient avec facilité les deux joues intérieures de la contre-fiche moisée.
  - 571. Forme des tirants pour les fermes de très-grandes portées. — Nous n’avons indiqué et l’on n’emploie habituellement pour les tirants que les fers ronds laminés, aux extrémités desquels on pratique des bagues de jonction pour le passage des boulons, et quelquefois des pas de vis pour en régler la tension. Mais, quand les fers ronds ont de grands diamètres, il arrive souvent qu’ils ont des défauts non apparents, et comme ils ne sont pas toujours éprouvés avec soin, il peut en résulter des accidents d’autant plus graves que la stabilité des fermes de ce genre dépend en très-grande partie de la résistance du tirant.
  - Dans la construction de la charpente de la gare du chemin
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- - TROISIÈME PARTIE.
  - 444
  - de fer de l’Ouest, dont la portée est de 47m, M. Flachat a adopté pour tous les tirants l’emploi de la tôle en forme de fer à double T. L’usage de la tôle, dont les défauts peuvent être facilement reconnus, pendant le travail du percement et de l’assemblage, offre beaucoup plus de sécurité que les fers ronds, et il a aussi cet avantage que l’on peut satisfaire à la condition de donner à chaque partie du tirant principal la résistance correspondante à la tension qu’il doit supporter, sans changer sa dimension apparente, qui est sa hauteur. Il suffit pour cela de renforcer l’épaisseur des corps du double T, et l’aspect de la construction ne laisse pas apercevoir de différence.
  - 372. Circonstances diverses dans lesquelles la résistance au glissement relatif des parties d'un solide se trouve en jeu. — L’on a déjà vu aux nos 34 et 59, à propos de la résistance des tôles à l’extension, que les rivets qui les assemblent sont exposés, ainsi que les boulons des chaînes pla*es, des poulies et des palans, etc., à rompre d’une manière particulière qui n’est ni l’extension, ni la compression longitudinale, ni la flexion, mais le glissement transversal des sections l’une devant l’autre ou le cisaillement des fibres, sous des efforts agissant très-près des surfaces où la séparation peut s’opérer.
  - Nous emprunterons sur ce mode particulier de résistance des solides quelques notions élémentaires à un travail beaucoup plus complet que M. de Saint-Venant, savant ingénieur des ponts et chaussées, a bien voulu nous communiquer, et qu’il se propose de publier prochainement.
  - 575. Cas où la résistance au glissement ou au cisaillement se trouve enjeu. — On remarquera que les pièces courtes, telles que les tourillons, les tenons, les ergots, les goujons, les clavettes, les dents d’engrenage, les embrayages, etc., sont sollicités à rompre par un mouvement tangentiel aux surfaces de rupture. La pièce même d’une certaine longueur, pressée sur deux points d’appui, et qu’une force appliquée d’une manière quelconque sur leur longueur fait fléchir, ont auprès des points d’appui une tendance à rompre par glissement, de sorte que, pour les rendre d’égale résistance, il faut leur donner, en ces points d’appui, une certaine épaisseur au lieu de leur assurer partout le profil des solides dits d'égale résistance.
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- - FLEXION.
  - 445
  - Il se produit encore, ainsi que l’a fait remarquer M. Poncelet , un effet analogue sur les rais des roues de voitures que transmettent le mouvement du moyeu A aux jantes B, et qui sont encastrés par leurs deux extrémités et sollicités à fléchir en sens contraires sur les deux moitiés AC et BC de leur longueur, mais qui, dans leur milieu C, ne sont sollicités qu’au glissement transversal.
  - 574. Mesure du glissement des faces ou des lignes matérielles les unes devant les autres. — On peut facilement se rendre compte du mode de résistance des solides au glissement relatif de leurs parties et définir celui-ci mathématiquement.
  - a
  - c
  - m
  - n
  - b d
  - Lorsque deux sections planes transversales voisines ab, cd d’une pièce solide glissent l’une devant l’autre, l’on voit, soit qu’elles restent planes en devenant a'b', c'd', soit qu’elles prennent une légère courbure en devenant al'b", c"d", que tout ou partie des fibres mn qui leur étaient normales sont devenues légèrement obliques, ou que les fibres ont acquis une petite inclinaison sur les normales actuelles m'n’, wV, aux éléments de section m', né' qui leur servent de bases.
  - C’est cette petite inclinaison qui mesure la quantité dont les
  - sections ont glissé, l’une relativement à l’autre. Si l’on considère, par exemple, une fibre m'n' n' après le glissement dans sa nouvelle position n\ m’n'u et qu’on la projette sur la section a'b', sa projection m'm\ sera la mesure du glissement, du déplacement qui a eu lieu dans le sens parallèle aux sections ; c’est le glissement absolu;et si on le divise par la longueur m'»' de la fibre
  - Tït* 7ïl\ . •
  - considérée, le quotient—j-f sera le glissement relatif, qui aurait
  - ^
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- - 446
  - TROISIÈME PARTIE.
  - aussi pour mesure l’unité de longueur comptée sur la normale puis projetée sur le plan de la section a'b'.
  - L’on peut aussi considérer le glissement ou le déplacement de deux fibres parallèles m'n' et p'q', l’une par rap-
  - port à l’autre dans le sens de leur longueur
  - ...........de que sa valeur absolue est me-
  - projection n'n\, de la distance
  - 7 m'p' = n'q', qui leur était primitivement normale et qui les séparait, sur l’une d’elles. Le glissement relatif serait dans ce cas mesuré
  - , . nn\
  - par le rapport
  - Ce rapport est aussi la valeur du sinus de l’angle n'q'n't, dont a été diminué celui que la ligne n'q' primitivement normale aux libres faisait avec leur direction.
  - Enfin les deuxrapportsm f V et étant évidemment égaux,
  - m n nq
  - les glissements relatifs qu’ils expriment le sont aussi, et il en résulte que le glissement relatif de deux sections ne peut avoir lieu sans qu’il se produise un glissement relatif égal entre les fibres qui lui étaient perpendiculaires et qui se trouvaient dans un même plan de glissement.
  - 375. La résistance au glissement peut être regardée comme une résistance à une dilatation et à une contraction simultanées, dans deux sens rectangulaires entre eux, faisantun demi-angle droit avec les faces ou les lignes glissantes.
  - Soient en effet ma la coupe par le plan du glissement d’un élément superficiel d’une section et nb celle de l’élément correspondant d’une section parallèle et très-
  - m
  - n
  - voisine, élément qui, par suite du glisse-
  - n ment, est devenu nfbx. Dans le mouvement, le point b s’est éloigné du point m, et le . b point n s’est rapproché du point a. Les \0 deux diagonales mb et an du petit rectangle V mabn seront donc, la première, dilatée et la seconde contractée. La proportion de
  - la dilatation ou extension de mb est le quotient de bo par mb, o étant le pied d’une petite perpendiculaire bio abaissée de h
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- - FLEXION.
  - 447
  - sur mb prolongé. Comme le petit triangle obbt est semblable hamb, l’on a
  - ob : bbi : : ma mb,
  - ,, , ob bby'Xma
  - d ou t = —==—•
  - mb
  - pour la dilatation relative ou proportionnelle.
  - Si l’on appelle « cette dilatation proportionnelle, et g le glissement, d’après ce qui a été dit plus haut g=~,et nous aurons
  - j__ ob___bbiXam______abXam
  - 1 mb fffîf y ' mb2
  - La fraction qui multiplie g exprime le rapport du double de Faire du rectangle mabn au carré de sa diagonale, et il est facile de voir par la figure ci-contre que ce rapport sera au maximum lorsque l’on aura ma=ab et qu’il a alors pour valeur { * ce qui conduit pour la fibre la plus allongée à la relation
  - î = b9>'
  - et l’on remarquera que cette dilatation a lieu dans une direction mb qui forme un angle de 45° avec la face ma.
  - L’on verrait de même que la plus grande contraction de an, deuxième diagonale du rectangle mabn a lieu aussi pour bm—an et qu’elle a la même grandeur \g.
  - Un glissement sur une face ou sur sa normale équivaut donc à une dilatation et à une contraction moitié moindres, suivant des directions prises à 45° sur cette face ou sur cette ligne matérielle dans le plan du glissement.
  - La résistance du glissement peut être regardée comme la ré-
  - * L’on a en effet mb2—4. mat + arst—2 x ma xmb + arst,
  - m
  - ma xmb-™ 1 arst mb2 2 * 2 ’
  - et il est évident que le maximum du premier membre a lieu pour
  - arst = o,
  - c’est-à-dire pour
  - ma = ah.
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- - 448
  - TROISIÈME PARTIE.
  - sistance à cette extension et à celte compression simultanées qui changent en petits losanges les pelils carrés, tels quemanb, par l’allongement d’une de leurs deux diagonales et par le raccourcissement de l’autre.
  - 576. Limite des glissements déduite de la limite des extensions dans les solides d'égale contexture. — Il suit de là que si l’on peut faire supporter à une pièce solide d’une manière permanente et sans danger d’incurvation, et a plus forte raison de rupture même éloignée, des tractions capables de l’étendre ou de la raccourcir dans une proportion (art. 47) désignée par i\ et si l’on suppose la matière dont il est formé telle, que dans tous les sens cette limite des extensions non dangereuses soit la même que dans le sens longitudinal, l’on peut, aussi sans danger, faire glisser les uns devant les autres les éléments de ces sections ou de ces fibres de quantités dont le quotient g', par leurs distances primitives, n’excède pas une proportion durable
  - g' = 2f.
  - L’effort tangentiel qu’il faut déployer pour faire glisser deux éléments correspondants et égaux a de deux sections A est proportionnel à leur superficie a, au glissement relatif g et à un certain coefficient qui dépend de la matière et que nous nommerons coefficient d'élasticité de glissement, en sorte que G étant ce coefficient, l’on a pour l’effort capable de produire le glissement relatif g, l’expression
  - Gga,
  - ou par unité superficielle
  - Gg,
  - expression qui correspond à celle (n° 6) Ei, qui représente l’effort longitudinal qui étend dans une proportion i une fibre dont E est le coefficient d’élasticité d’extension.
  - Diverses considérations théoriques ont fait depuis longtemps regarder le coefficient G comme lié au coefficient E, dans les solides d’égale contexture en tous sens par la relation
  - G = |E,
  - et les expériences sur la torsion n’y contredisent nullement,
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- - FLEXION.
  - 449
  - puisqu’elles ont donné en moyenne £ E pour des matières où cette égalité de contexture n’était qu’approchée. En multipliant par la limite g' = 2i' des glissements relatifs g, l’on a
  - Gi' = f E«' = T
  - en nommant T la limite des efforts transversaux auxquels on peut soumettre avec sécurité d’une manière permanente l’unité superficielle de la base d’une fibre.
  - L’on a d’ailleurs RE i' pour la limite des efforts longitudinaux et l’on arrive ainsi à la relation trouvée par M. Navier,
  - entre les limites respectives des charges permanentes auxquelles les corps peuvent être soumis par glissement ou par extension, sans risquer que leur élasticité soit altérée.
  - L’on ne peut s’attendre sans doute à ce que cette relation, pas plus que les autres du même genre, établies pour des déformations très-petites reste exactement applicable lorsque l’on ira jusqu’à celles qui sont suivies immédiatement de rupture. Cependant les expériences de MM. Gouin et Cu, citées au n° 40, ont donné précisément le rapport £ entre les poids produisant la rupture de petits cylindres en fer par cisaillement et par extension, car la moyenne de ceux-là a été 3200 kilogr., et la moyenne de ceux-ci 4000 kilogr. par centimètre carré.
  - 577. Résistance et charge permanente lorsque les sections sur lesquelles le glissement a lieu sont astreintes à rester planes. —
  - Lorsque deux sections consécutives ’ab et cd d’ün solide restent planes en glissant l’une devant l’autre dans un certain sens, le glissement est le même pour tous leurs éléments, d’où il suit :
  - 1° Que l’effort P capable de produire un glissement g est égal à G g multiplié par la superficie de la surface A de
  - glissement ou de section et a pour valeur
  - P = G^A ;
  - en sorte que la petite inclinaison ou le glissement relatif
  - 29
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- - 450 TROISIÈME PARTIE. — FLEXION.
  - qu’une force tranversale P fait prendre aux fibres mn^ sur les normales tnn est
  - P
  - ^ GA’
  - 2° Que la plus grande valeur que l’on puisse donner sans danger à celte force P, supposée agir de manière à ne pas produire autre chose que le glissement en cet endroit de la pièce, est
  - P=TA=£RA.
  - La section ab reste d’ailleurs plane, comme nous le supposons ici, lorsqu’elle est soudée, scellée ou au moins fortement serrée dans un encastrement, ou bien sollicitée parallèlement à son plan par deux forces opposées, agissant à une distance extrêmement petite, ou bien encore lorsqu’elle est sollicitée symétriquement des deux côtés, n’importe à quelle distance, de manière à n’avoir pas de raison de s’infléchir plutôt d’un côté que de l’autre.
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- - QUATRIÈME PARTIE.
  - TORSION.
  - Notions théoriques.
  - 578. Résistance des solides à la torsion. — Lorsqu’un arbre de transmission de mouvement porte deux roues d’engrenage, dont l’une reçoit l’action de la puissance motrice et dont l’autre doit vaincre la résistance à surmonter, toutes les molécules de cet arbre éprouvent de la part de ces actions opposées un déplacement angulaire qu’on désigne sous le nom de torsion.
  - Cet effet peut souvent se remarquer à la vue simple, au moment de la mise en marche des moteurs puissants qui doivent entraîner et mettre en mouvement de grandes masses, et il est d’autant plus appréciable alors* que, se transmettant et se multipliant ainsi, en quelque sorte, d’un arbre à l’autre, on voit quelquefois le premier moteur, tel que la roue hydraulique, en marche bien avant que les derniers organes aient commencé à se mouvoir.
  - On comprend facilement que les déplacements produits par la torsion doivent croître, d’une part, avec la distance à l’axe des fibres ou des molécules que l’on considère, et de l’autre, avec la longueur des arbres ou des pièces, qui est comprise entre les plans perpendiculaires à l’axe autour duquel se fait la rotation, et qui contiennent les efforts qui la produisent et qui y résistent.
  - Dans chaque section perpendiculaire à l’axe de rotation il se produit par la torsion qu’elle éprouve, par rapport à celle qui la précède, Un déplacement des molécules, par rotation autour d’un axe qui, dans les machines, est toujours celui du mouvement général, par suite de la symétrie dans les profils em-
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- - 432 QUATRIÈME PARTIE.
  - ployés; il est donc naturel d’admettre, et pour ainsi dire évident, que les déplacements absolus des molécules de chaque scclion sont proportionnels à leurs distances à l’axe, ou que leurs déplacements angulaires sont constants, ou, en d’autres termes, que toutes les molécules qui étaient, sur une même ligne ou rayon passant par l’axe avant la torsion, se retrouvent sur le même rayon après la torsion. •
  - D’une autre part, quand le solide est cylindrique ou prismatique, les diverses sections transversales du solide, comprises entre les plans perpendiculaires à l’axe, qui contiennent les résistances ou les forces motrices, éprouvent le même déplacement angulaire, puisqu’elles sont toutes égales dans ce cas ; on voit donc que les déplacements éprouvés par les files de molécules ou les fibres qui étaient d’abord sur une même ligne droite parallèle à l’axe s’ajoutent les uns aux autres, de sorte que le déplacement total ou relatif de deux molécules situées aux deux extrémités opposées de la partie du solide exposée à la torsion est proportionnel à la longueur de cette partie où à la distance qui sépare ces extrémités.
  - Les déplacements ou les arcs décrits par les moléculçs d’une même fibre étant ainsi proportionnels à leurs distances à l’extrémité du solide, on voit que les fibres se fléchissent en hélices dont le pas est le même pour toutes les fibres, quelle que soit leur distance à l’axe, mais pour lesquelles l’inclinaison de la tangente augmente avec cette distance.
  - Dans ce mouvement, le solide ne se raccourcissant pas, les diverses sections restent respectivement à la même distance, et dès lors il est évident que les fibres qui se sont courbées en hélices se sont allongées de tout l’excès de la longueur de l’hélice développée, sur la longueur primitive des fibres. 11 y a donc, comme on le voit, un rapport direct entre la résistance des molécules ou des fibres à la torsion, et leur résistance à l’allongement ou au raccourcissement.
  - Après avoir exposé ces considérations générales, exprimons-en les conséquences par des formules simples qui permettent d’en comparer les conséquences avec les résultats de l’observation, en nous bornant au cas des solides cylindriques à section circulaire, qui sont ceux auxquels l’on a le plus fréquemment l’occasion d’appliquer ces notions, et en renvoyant le lecteur pour d’autres cas aux savants ouvrages de MM. Navier
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- - TORSION.
  - et S. Venant, ainsi qu’aux recherches expérimentales de
  - M. Wertheim.
  - /
  - 579. Résistance à la torsion des solides homogènes à section
  - circulaire. Equilibre des forces extérieures et des forces inté-
  - rieures. — Si l’on considère deux sections infiniment voisines 1K et ik (pi. VI, fig. 15), et en particulier l’une des fibres élé-: mentaires qui composent la tranche IKki et qui sont parallèles à l’axe AB, autour duquel la rotation produite par la torsion est censée se faire, on voit d’abord que la section IK étant régardée comme fixe, l’extrémité n de la fibre mn se déplacera angulairement de la quantité ou de l’arc r'au en appelant r' sa distance à l’axe, et l’arc élémentaire décrit à l'unité de distance ; et si l’on prend le rapport de ce déplacement à la longueur Ce de la fibre, on aura, pour le déplacement, rap-| porté à l’unité de distance, ou par unité de longueur du solide, le rapport r-~.
  - Nommant donc l la distance Ce des deux tranches, A l’aire de la section de la fibre mn, la force capable de produire le glissement par rotation sera pour cette fibre :
  - En appelant G la résistance au glissement latéral par unité de surface et de longueur du solide, la distance l étant la même pour toutes les fibres de la section, le plus grand déplacement, et par conséquent le plus grand effort, est relatif à la fibre la plus éloignée de l’axe AB, ou à la plus grande valeur de r’ que nous appellerons r.
  - Maintenant, pour qu’il y ait équilibre entre les forces extérieures qui tendent à tordre le solide et les résistances moléculaires des fibres à la torsion, il faut qu’il y ait égalité entre les moments des unes et des autres par rapport à l’axe autour duquel s’établit cet équilibre.
  - Le moment de la force T relative à l’une des fibres est :
  - G, l et l’angle de déplacement étant les mêmes pour toute
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- - 4M4 QUATRIÈME PARTIE.
  - l’étendue d’une même section ; il s’ensuit que la somme de tous les moments semblables pour l’étendue entière de la sec-
  - lion est égale au produit de G aj par la somme des produits
  - analogues à Ar'*, chacun d’eux étant celui de l’aire de la section transversale de la fibre mn par le carré de sa distance à l’axe. Cette somme des produits Ar'* a été nommée par M. Persy le moment d'inertie polaire. En la désignant par b, la somme de tous les moments des résistances moléculaires à la torsion sera
  - donc Ghy et devra être égale à la somme M des moments des
  - forces extérieures qui tendent à produire la torsion, de sorte que l’on aura pour la condition générale de l’équilibre la relation
  - GIi y=M.
  - Telle est la relation générale qui exprime la condition de l’équilibre entre les résistances moléculaires au déplacement par torsion et les forces extérieures, pour chacune des sections transversales du corps.
  - 580. Observations relatives aux cylindres. — Dans cette expression, le rapport ~ est précisément la tangente trigonomé-
  - trique de l’angle de déplacement des fibres situées à l’unité de distance de l’axe; et pour les solides cylindriques dont l’axe est perpendiculaire au plan de section, cet angle étant le même dans chacune d’elles, les fibres se courbent pendant la torsion, selon des hélices dont le pas est donné par ce rapport et dont l’inclinaison sera proportionnelle à leur distance R' à l’axe.
  - On déduit de là :
  - ai__M
  - l Gb
  - et
  - l.
  - Par conséquent, pour un solide prismatique ou cylindrique de longueur L, tous les déplacements angulaires mesurés à l’unité de distance s’ajoutant, ainsi que nous l’avons déjà dit, on aura pour l’angle total de déplacement de sa tranche extrême :
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- - TORSION.
  - 455
  - Donc, les angles de torsion sont :
  - 1° Proportionnels à la somme des moments des forces extérieures ;
  - 2° Proportionnels à la longueur des solides, ou à la distance qui sépare les sections extrêmes.
  - Ces deux conséquences ont été vérifiées, pour les déplacements angulaires compris entre les limites où l’élasticité n’est pas altérée, par MM. Duleau et Savart.
  - 58!. Observation sur l’usage de la formule précédente. — Nous ferons de suite remarquer que l’angle a étant ici exprimé par un arc de cercle d’un rayon égal à l’unité, tandis que l’arc réel de torsion éprouvé par la fibre la plus éloignée de l’axe et située à la distance qui est celui qu’il importe de connaître et de limiter, a ’pour valeur r’a, il convient de multiplier les deux membres de l’expression ci-dessus par r\ ce qui donne :
  - De plus, dans la plupart des cas de la pratique, et en particulier dans les machines, il importe de limiter les angles de déplacement, éprouvés par les parties extrêmes des arbres, et comme on a vu qu’ils étaient proportionnels à la longueur L des solides, il convient de rendre l’angle de torsion produit dans chaque section, d’autant plus petit que le solide est plus
  - T* (h
  - long, ce qui revient à dire que le rapport -j- devra avoir une
  - valeur limitée selon la nature des matériaux employés, et la destination de l’appareil que l’on considère. Nous reviendrons plus loin sur ces considérations.
  - 582. Application de la formule précédente aux cylindres et aux prismes. — Pour comparer les résultats fournis par la formule précédente avec ceux des expériences des auteurs que nous venons de citer, il faut y substituer les valeurs du moment d’inertie polaire Ii qui conviennent à leurs formes.
  - 585. Valeurs du moment d’inertie polaire des sections transversales. — Si l’on nomme v et u les distances de la section transversale m d’une fibre élémentaire à deux axes perpendi-
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- - 456
  - QUATRIÈME PARTIE.
  - ciliaires entre eux, ox et oy (pl. VI, flg. 16), passant par le centre de gravité o de la section, on aura évidemment
  - ar*—av*-\-av?.
  - Donc le moment d’inertie polaire d'une aire plane est égal à la somme des moments d’inertie pris par rapport à deux axes rectangulaires passant par le centre de gravité de cette section. Il suit de là que pour le cercle plein, dont le moment d’inertie par rapport à un diamètre quelconque est { tzr4, le moment d’inertie polaire sera
  - I1 = i'jtr4=^Ar2,
  - et par suite
  - -= \ Ttr%— -| kr— 1,5708r5—0,19637<Z2.
  - De même, pour une couronne circulaire, on aurait
  - It= £ -K(r"—rn) —| A(R'2—R"2),
  - Les observations faites au n‘ 256 sur l’excès de résistance que présentent les cylindres creux sur les cylindres pleins, s’appliqueraient encore ici.
  - Résultats d’expériences et formules pratiques.
  - 584. Expériences de M. Duleau sur la torsion. —Pour discuter les résultats des expériences de cet habile ingénieur, nous avons groupé séparément, dans le tableau suivant, celles qui sont relatives aux corps cylindriques et celles qui se rapportent aux prismes.
  - Le poids employé pour produire la torsion était constamment de 10 kilogr., et son bras de levier égal à 0ra,32, de sorte que l’on a
  - M — 10kilogr. X 0m,32 = 3,20.
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- - TORSION.
  - 497
  - La formule du n° 545 donne
  - ML
  - ali ’
  - dans laquelle a exprime l’arc du rayon égal à l’unité qui mesure l’angle de torsion, tandis que cet angle est donné par M. Du-leau en degrés. Il faut donc multiplier ce nombre de degrés par
  - pour avoir la valeur de a à mettre dans la formule.
  - Enfin, pour les corps cylindriques, on a, d’après le numéro précédent,
  - Ii = l,5708R'\
  - A l’aide ces données et de celles de l’observation, on a pu calculer la valeur de G correspondant à chaque expérience.
  - EXPÉRIENCES DE M. DULEAU SUR LA TORSION DU FER FORGÉ.
  - DESIGNATION PS & W g J S | .2 g en u ANGLE DE TORSION G 7. cd o p cg s « S es rj
  - DES FERS. 2 O P o> > .§ 3 E-i en degrés. en arc a. g g H > _ H -g °
  - m Fers rond R'— m !. m kil.
  - Fer du Périgord... J 2,80 0,00710 13,4 0,2338 9 600700000
  - 3,17 0,00985 6,0 0,1047 6 552 300 000
  - Fer anglais 2,40 0,00990 4,0 0,0698 7 292 000 000
  - Fer de l’Ariége 3,57 0,01075 4,8 0,0838 6 500 000 000
  - 2,89 0,01075 4,5 0,0785 5 616 000 000
  - Fer du Périgord 3,19 0,01105 3,32 0,0579 7 528 200 000
  - 2,89 0,01150 3,00 0,0524 6 424 000 000
  - Fer anglais 3,24 0,01175 2,34 0,0408 8487200000
  - 2,94 0,01375 1,82 0,0318 5 391 900 000
  - Fer du Périgord .... 3,35 0,01335 1,87 0,0326 6 590 700 000
  - 2,92 0,01785 0,625 0,0109 5 375700 000
  - Fer de l’Ariége 2,77 0,01340 1,650 0,0288 6 077 200 000
  - 1 Moyenne 6 786 325 000
  - Les résultats de ces expériences ne présentent pas entre eux,
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- - 458
  - QUATRIÈME PARTIE.
  - comme on le voit, un accord très-satisfaisant ; mais les divergences des résultats sont tantôt dans un sens et tantôt dans l’autre. Les expériences de M. Savart sont plus précises, et elles ont mieux vérifié la loi de la proportionnalité des angles de torsion au moment des efforts.
  - On voit, au reste, que cette irrégularité est plus grande encore, comme on devait s’y attendre pour les fers carrés et rectangulaires que pour les fers ronds j la forme cylindrique est en effet la seule à laquelle s’appliquent avec exactitude les considérations théoriques exposées au n° 579.
  - 583. Expériences sur la torsion de la fonte. — Il a été fait à Mulhouse, dans les ateliers de construction de la Société de l’Expansion, des expériences sur la torsion d’arbres cylindriques en fonte, pour reconnaître la résistance plus ou moins grande des diverses qualités de fonte qu’on y emploie. Ces arbres avaient lm,50 de longueur et 0ra,10 de diamètre, et ils se terminaient par deux prismes à bases carrées dont l’un était encastré dans un support solidement fixé à un massif de maçonnerie ; l’autre recevait un levier destiné à soutenir la charge qui devait produire la torsion. Ce levier avait 2 mètres de longueur; son poids, joint à celui du plateau, était de 240 kilogr., et le centre de gravité de ce poids se trouvait à 0m,80 de l’axe ; de sorte que, pour tenir compte de ce poids, il faudrait ajouter à la charge un poids de
  - 240kilX 0m,80
  - 2m,0ü
  - 96 kilogr
  - Mais comme il devait se produire, d’abord sous le poids seul du levier, et sous les premières charges, des torsions influencées par le jeu des assemblages, il sera plus exact de comparer simplement entre elles les différences de torsions et d’en étudier la marche, d’après leur accroissement à partir des charges de 100 kilogr.
  - On a d’ailleurs remarqué que la rupture s’est toujours faite entre le levier et le palier voisin.
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- - TORSION.
  - 439
  - EXPÉRIENCES SUR LA FLEXION ET LA RÜPTÜRE DE LA FONTE PAR TORSION.
  - ORIGINE
  - DE LA FONTE.
  - kil. 100 200 300 400 500 600 700
  - . , 800 Ecossaise grise à 900 gros grains, très-/ 1000 douce, très-ten-( 1100
  - dre..............11150
  - 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1600 400
  - Bouchot, probable-l jqqq ment de Franche-] j jqq Comté, grise, à j^qq grains de grosseur! variable , bonne]
  - 9ualité..........| 1600
  - 1040
  - 0.
  - 0,50
  - 1.25 2,00
  - 2.50
  - 3.50
  - 4.25 5,00 5,75
  - 6.50
  - 7.25
  - 8.50 9,00
  - 9.50
  - 10.25 11,00 12,75
  - 13.25 14,20 15,00
  - rupture
  - 2.50 5,75
  - 8.50
  - 9.25 11,00 12,00 13,00 14,50 15,00
  - ORIGINE DE LA FONTE. CHARGE DU PLATEAU. ANGLE DE TORSION.
  - kil. 0.
  - Bouchot, probablement de 1680 15,25
  - Franche - Comté, grise , 1780 16,25
  - à grains de grosseur va- 1880 17,75
  - riable , bonne qualité. 1980 18,75
  - [Suite.) 2080 20.25
  - 2180 rupture
  - Bouchot 2150 1>°
  - Fraisans 1600 D°
  - D° 2050 D°
  - Rive-de-Gier, grains fins et serrés, presque blanche, 1950 D°
  - un peu truitée, cassante. - Anglaise, i Bouchot 12250 D"
  - 1950 D°
  - | Anglaise, - Rive-de-Gier. 2050 D”
  - ^ Anglaise, ^ bocage *.... 2000 D“
  - ^ Bouchot, | Fraisans 2210 D°
  - D° d“ 2150 Du
  - | Bouchot, ^ bocage 2150 D»
  - ^ Rive-de-Gier, i bocage.. 2050 D”
  - ’ On nomme bocage les vieilles fontes de irt et 2° fusion mélangées et de qualités variables.
  - Si l’on applique à ces expériences la formule
  - dans laquelle
  - a exprime l’arc à l’unité de distance, décrit pendant la torsion et indiqué dans le tableau suivant ;
  - L= lra,50, la longueur totale de l’arbre ;
  - M le moment de l’effort de torsion ;
  - Il=jjr*=le moment d’inertie polaire de la section;
  - JL
  - 2X2 XMX1.50 3,1416 X (0,05 )4Xfl'
  - on en déduit
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- - 400
  - QUATRIÈME PARTIE.
  - De plus, comme le bras de levier de la charge était constamment de 2 mètres, et que l’arc à l’unité de distance est égal à
  - 6 2832
  - sa valeur indiquée, multipliée par ’ , il s’ensuit qu’en pre-
  - O0U
  - nant les valeurs de a en degrés, fournies par le tableau précédent, on aura
  - en rapportant G au mètre carré, ou
  - G = 17,42 ?
  - a
  - si l’on prend sa valeur par rapport au millimètre carré.
  - En appliquant cette formule aux dix premières expériences sur la fonte d’Écosse, on trouve pour
  - kil. kil. kil. kil. kil. kil. kil. kil. kil. kil. 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
  - 0e50 1°25 2°00 2°50 3°50 4Ô25 5°00 5°75 6°50 7°25
  - 3484“ 2794 2613 2787 2488 2459 2439 2480 2412 2403
  - P.
  - a
  - G
  - Moyenne, 2447 kilogr.
  - Il semblerait résulter de ces valeurs de G que cette quantité, après avoir diminué assez rapidement à partir des premières torsions, atteindrait ensuite une valeur moyenne égale à 2447 kilogr. par millimètre carré de la section transversale.
  - Si l’on fait un calcul semblable pour les expériences exécutées sur la fonte grise à grains plus fins du Bouchot, on obtient les résultats suffisants :
  - kil. kil. kil. kil. kil. kil. kil. kil. 4 kil. kil. kil. P... 400 700 1000 1100 1300 1400 1500 1600 1640 1680 1780
  - a.... 2U50 5°75 8Ü50 9°25 14°00 12°00 13°00 14°50 15°00 15°25 16°25
  - G.... 2787“ 2120 2049 2071 2058 2029 2010 1931 1904 1919 1908
  - Moyenne, 2071 kilogr.
  - On voit que, si l’on excepte la première valeur de G qui correspond à une flexion trop faible, les autres valeurs paraissent
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- - TORSION.
  - 461
  - à peu près constantes jusqu’à des torsions de 12 à 13°, ce qui dépasse beaucoup ce que l’on tolère dans les machines, et que la moyenne générale est G = 2056 kilogr., quantité plus faible que celle que l’on a trouvée pour la fonte d’Écosse, mais qui reste ensuite constante jusqu’à des angles de torsion bien plus grands que ceux pour lesquels la même quantité G reste constante pour cette dernière fonte ; ce qui montre que la fonte de Franche-Comté offre plus de sécurité dans l’emploi que celle d’Écosse.
  - On conçoit d’ailleurs facilement que la nature des fontes peut apporter de très-grandes variations dans la valeur du coefficient G.
  - 58G. Valeur du coefficient G. — De l’ensemble des expériences connues, l’on a été conduit à admettre assez généralement les valeurs moyennes suivantes pour ce coefficient :
  - Fer doux...........
  - Fer en barres......
  - Acier d’Allemagne.. Acier fondu très-fin,
  - Fonte..............
  - Cuivre............
  - Bronze.............
  - Chêne.............
  - Sapin.............
  - G = 6 000000 000 kilogr. G = 6 666000000 G = 6 000000 000 G = 10 000 000 000 G = 2000 000000 G = 4 366 000 000 G = 1066 000 000 G = 400 000000
  - G = 433000000
  - Au moyen de ces valeurs, on pourra au besoin calculer approximativement les angles de déplacement par torsion éprouvés par le solide, en substituant dans la formule
  - ML
  - , ° GIi
  - les valeurs du moment des forces extérieures, de la longueur L du solide entre les sections encastrées et du moment d’inertie polaire dont nous avons donné la valeur au numéro 548.
  - 587. Limites pratiques de l’angle de torsion. — Dans les machines, il importe de renfermer les valeurs de l’angle a de torsion, ou, ce qui revient au même, l’inclinaison des hélices formées parla torsion, dans des limites assez restreintes, qui sont déterminées d’abord par la condition fondamentale de ne pas
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- - 462 QUATRIEME PARTIE.
  - altérer l’élasticité d’une manière notable, et ensuite par celle de ne pas admettre de déplacements relatifs trop grands, des pièces les unes par rapport aux autres.
  - L’arc le plus grand qui soit réellement décrit par les points du solide qui éprouvent le plus grand déplacement est celui que parcourent les points situés à la distance maximum r' de l’axe; il a pour valeur r'a. Le déplacement angulaire des pièces portées par un même arbre, les unes par rapport aux autres, devant d’ailleurs être limité à une certaine amplitude absolue,
  - T* (L
  - c'est le rapport-j— de cet arc â la longueur du solide qui représente l’inclinaison de la tangente aux hélices de torsion 5 la surface extérieure du solide qui éprouve la torsion, qu’il convient de limiter d’après l’observation des bonnes constructions.
  - D’après cela, en multipliant les deux termes de la relation ci-dessus par la distance r' de la fibre la plus éloignée de l’axe, elle donne :
  - r'a M r'
  - T~ Gï?
  - et c’est le rapport^qui doit être limité pour que la construction présente la solidité et la sécurité nécessaires.
  - 588. Applications et formules pratiques. — Appliquons ces considérations à la fonte du Bouchot, sur laquelle la Société industrielle de Mulhouse a fait des expériences, et admettons pour cette fonte G= 2 000 000 000 kilogr. L’observation de plusieurs constructions suffisamment solides, et l’application à un grand nombre die_constructions neuves faites dans les usines de l’artillerie, ont montré que l’on peut se servir avec sécurité, pour des arbres en fonte cylindriques, allégés, marchant vite, de la formule pratique
  - qui revient à
  - PR
  - 202000’
  - PR
  - d3
  - = 262000
  - »
  - P étant l’effort qui produit la torsion, R son bras de levier,
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- - TORSION.
  - 463
  - PR=M sera le moment de la puissance extérieure, et la formule
  - r'a__Mr'
  - r—üt;
  - revient ainsi à
  - r'a PR
  - Pour les solides cylindriques on a (n° 548) :
  - 1,5708r3 = 0,19637d3,
  - ce qui ramène la formule générale à
  - r'a__ PR __ 1 PR
  - L 2 000 000 000 X 0,19637c?3 392 740 000 d* *
  - Or, la formule pratique donnant :
  - PR
  - ~ = 262 000,
  - il s’ensuit qu’elle conduit à
  - /a
  - L
  - 262000 292 740000
  - 0,000667,
  - ce qui nous apprend qu’avec cette formule l’hélice qui résulte de la torsion d’une des génératrices du cylindre a pour tangente limite une droite qui fait, avec la position initiale de celte génératrice, un angle dont la tangente trigonomélrique est au plus de 0™,000667 ou de 2' 18". Cette quantité n’est que la moitié environ de celle qui correspondrait à la torsion produite sur les pièces éprouvées dans les expériences de Mulhouse sous l’effort de 400 kilogr. Elle serait donc due à une charge de 200 kilogr. à peu près, et l’on a vu que l’élasticité des cylindres essayés n’a pas été altérée par des efforts 7,5 fois plus grands ou de 1500 kilogr.
  - On voit donc que la formule pratique de Y Aide-mémoire li-
  - »
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- - 464 QUATRIÈME PARTIE.
  - mite les déplacements angulaires d’une manière qui offre une sécurité peut-être excessive.
  - En admettant donc cette limite de déplacement angulaire ou
  - V? CL
  - cette valeur de -j- pour tous les arbres allégés, et la réduisant
  - à moitié pour les arbres forts ou premiers moteurs, c’est-à-dire pour ceux des moteurs de la première transmission de mouvement , ou qui sont destinés à entraîner de lourdes masses, et en multipliant ces quantités par la valeur du nombre G correspondant à la nature des matériaux employés (n. 586), on aura
  - (JL
  - les valeurs du coefficient constant G y- , qui entre dans la for-
  - L
  - mule générale :
  - dont le second membre contient le moment M de la puissance et la quantité ~, qui dépend dès dimensions du solide (n° 148). On trouve ainsi pour les différentes substances :
  - ARBRES
  - NATURE DES MATÉRIAUX.
  - allégés forts
  - G?. G?.
  - L L
  - Le fer et l’acier 4002000lil 2001000ul
  - La fonte 1334000 667 000
  - Le bois de chêne 266000 133 000
  - Le bois de sapin 288811 144405
  - A l’aide de ces valeurs et de celles que prend p, selon les
  - différentes formes des solides, il est facile d’établir les formules usuelles qui servent à déterminer les dimensions convenables pour la pratique, et d’en former le tableau suivant :
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- - TORSION,
  - 465
  - FORMULES PRATIQUES POUR DÉTERMINER LES DIMENSIONS DES SOLIDES EXPOSÉS A LA TORSION.
  - FORME delà MATIÈRE dont le solide FORMULES A EMPLOYER POUR LES ARBRES
  - section transversale. est formé. allégés. forts.
  - Fer ou acier b3_ PR ‘ ^ — _ PR
  - “ 943280 471040
  - PR PR
  - Carrée* 314420 157210
  - [ de chêne.... 53- T 53-JÜL
  - Bois< 02697 7, PR 31348 7 PR
  - [ de sapin.... 68073 34036
  - æ PH d3- PR
  - w 785880 392940
  - d3_ PR d3- PR
  - Circulaire pleine.. " 262900 131450
  - / de chêne.... d3— PR d3— P —
  - Bois) 52234 „ PR 26177 PR
  - [ (de sapin.... d? — ' rf3 —
  - a 56713 28356
  - Fer ou acier d4—d'4 PR d4-d'4 PR
  - d 785880 d 392940
  - Annulaire, d et d! d4 —d'4 PR d4 —d'4 PR
  - étant quelcon- d 262900 d “131450
  - ques i de chêne.... Bois! ( de sapin.... Fer ou acier d4-d'4 PR d4 — d'4 PR
  - d 52234 d4 — d'4 PR d 56713 d3- PR d 26117 d4 —d'4 PR d 28356 d3 pR
  - “ 684030 PR 342015 PR
  - d5 —
  - Annulaire, d'=fd. 228010 114005
  - „ PR PR
  - | ( de chêne.... d3 — 45465 d “22732
  - Bois ! * de sapin.... 1 d3- PR 48240 PR d “24120 •
  - * Les formules relatives aux solides à section carrée ne peuvent être appliquées que
  - dans le cas où ils sont courts et encastrés de façon que leurs sections extrêmes restent sensiblement planes.
  - Ces formules sont, pour les arbres en fonte, les mêmes, h
  - 30
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- - 466
  - QUATRIÈME PARTIE.
  - très-peu près, que celles que j’ai données dans Y Aide-mémoire, 4e édition; mais pour le fer, la valeur du coefficient G de résistance élastique à la torsion étant triple pour ce métal de ce qu’elle est pour la fonte (n° 551), le diviseur des formules ne peut plus être le même, comme je l’avais admis précédemment, faute de données suffisantes pour le déterminer.
  - 589. De la résistance de la fonte à la rupture par torsion. — La rupture par torsion est déterminée par le déplacement angulaire qui se produit entre deux tranches consécutives quelconques, et lorsque l’allongement qui en résulte pour les fibres, ou l’écartement de leurs molécules dépasse les limites de celui que les résistances moléculaires peuvent permettre. Il s’ensuit que la résistance à la rupture par torsion est indépendante de la longueur des solides, et dépend au contraire de l’inclinaison
  - TCt
  - U des tangentes à l’hélice produite par la torsion, en même
  - temps que du coefficient G de résistance élastique à la torsion.
  - Le produit G.^- de ces deux quantités peut donc être regardé
  - en quelque sorte comme le coefficient de rupture des solides
  - M
  - par torsion, et sa valeur sera donnée par celle de —-, lorsque
  - l’expérience aura fait connaître celle-ci.
  - Dans les expériences faites à Mulhouse, où les cylindres essayés avaient 0ra,10 de diamètre, et où le bras de levier de la charge était de 2m,00, on a vu (n° 58o) que, pour les fontes d’Ecosse, la rupture avait eu lieu sous la charge de 1600 kilogr., à laquelle il faut ajouter 96 kilogr. pour tenir compte du poids du levier rapporté à son extrémité.
  - Pour les fontes du Bouchot, la charge de rupture a été P = 2181 kilogr. -J-96kilogr. = 2277 kilogr., et pour les différents mélanges essayés de fontes de Rive-de-Gier, anglaises, de Fraisans, et de jets divers avec la fonte du Bouchot, cette charge s’est peu éloignée de la valeur précédente.
  - D’après ces données, on trouverait pour la fonte d’Ecosse
  - nra 1696kil, X2m,00
  - 6r 1 —- --------------------
  - L 0,19637 X0,ll/
  - 17 273000 kilogr.,
- p.466 - vue 477/512
- - TORSION.
  - 467
  - et pour les fontes du Bouchot et autres essayées à Mulhouse, en moyenne :
  - G ra__ 2277kil X 2m,00 0,19637 XÔ^TÔ3
  - 23191000 kilogr.;
  - à ces résultats nous en pouvons joindre d’autres dus à M. Ca-rillion, habile constructeur de Paris.
  - 590. Expériences de M. Carillion sur la résistance de la fonte à la rupture par torsion. — Ces expériences ont été faites sur des fontes françaises de diverses provenances, dont les unes avaient été obtenues par des mélanges divers chez des fondeurs de Paris; et les autres dans les forges.
  - Tous les échantillons essayés avaient été coulés sous la forme d’un cylindre terminé à ses deux extrémités par des tètes prismatiques à section carrée, dont l’une était fortement maintenue dans les mâchoires d’un étau,, et dont l’autre recevait un bras de levier en forme de tourne-à-gauche, auquel correspondait la charge qui devait produire la torsion. La partie mince de ces pièces était tournée avec le plus grand soin à un diamètre parfaitement uniforme pour toutes et vérifié à l’aide d’un calibre.
  - Les cylindres avaient 0m,02 de diamètre, et le bras de levier de la charge 0m,50 de longueur.
  - Les angles de torsion pour les différentes charges n’ont pas été observés, et l’on s’est borné à enregistrer l’angle de rupture et la charge correspondante; le tableau suivant contient les résultats des expériences.
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- - 468
  - QUATRIÈME PARTIE.
  - NOMS DES FONDEURS oc
  - DES FORGES.
  - M. Piliet, de Paris................... 1839........
  - id................................ 1844----....
  - id................................. id.........
  - id................................ id. .......
  - îd................................. id.........
  - M. Béchu, de Paris.................. 1844.........I
  - CHARGES du levier,
  - produisant la rupture. P.
  - M. Thiébault, de Paris............... 1850.
  - M. Guérin, de Montluçon.............. 1851.
  - Forge de Mazière, près Bourges....... 1851.
  - M. Radin, de Nevers.................. 1851.
  - MM. Salmont et Furster, de Bourges... 1851.
  - Moyenne générale.
  - 83.625 83,000
  - 85.625
  - 80.625 87,000 87,000 87,925
  - 87.125
  - 85.625
  - 83.125
  - 96.125
  - 81.625
  - 93.625
  - 89.125
  - 85.625
  - 81.625
  - 70.625
  - 65.625
  - 67.625
  - 66.625
  - 70.625
  - 71.625
  - 68.625
  - 90.625
  - 75.625
  - 73.625
  - 80,750
  - Si, d’après la valeur moyenne de la charge que fournit l'ensemble de ces expériences, on calcule la valeur du coefficient va
  - de rupture G-r-, on trouve :
  - L
  - VCf
  - G|-j- = 25 701 000 kilogr.,
  - qui diffère assez peu de celle qui a été déduite des expériences de Mulhouse sur des fontes françaises, surtout si l’on considère que ces dernières ont été exécutées sur des cylindres beaucoup plus gros, et par conséquent d’un grain moins fin, ce qui peut influer assez notablement sur les résultats.
- p.468 - vue 479/512
- - TORSION.
  - 469
  - 391. Observation relative aux formules pratiques du n° 389. — On remarquera que, dans les formules pratiques du n° 388, nous avons admis, pour les arbres allégés en fonte, la valeur
  - TCI
  - G j— = 1 334000 kilogr.,
  - tandis que les expériences sur la rupture par torsion que nous venons de discuter nous ont fourni les valeurs suivantes :
  - Fontes d’Écosse...............................
  - Fontes du Bouchot, de Rive-de-Gier et mêlées. Fontes diverses, mêlées ou. pures, obtenues à Paris ou dans le Berry........................
  - 17 273 000kil 23191000
  - 25701000
  - Moyenne générale,
  - 22 055 000kil,
  - va
  - d’où l’on voit que la valeur moyenne G^-=22055 000 kilogr.
  - est égale à plus de seize fois celle que nous avons adoptée dans les formules pratiques, et que par conséquent ces formules présentent toute sécurité et conduisent à des dimensions supérieures même à celles qui seraient nécessaires.
  - 592. Cas où Von est obligé de laisser supporter aux solides une torsion considérable. — La limite que nous avons adoptée, d’après l’observation des bonnes constructions de machines, pour la torsion que l’on peut laisser prendre aux arbres, n’est relative qu’à ceux des transmissions de mouvement pour lesquelles des déplacements relatifs trop grands auraient des inconvénients, abstraction faite de la question de résistance. Mais il est des cas où la nature du travail exige au contraire que les pièces puissent y être exposées sans danger et sans altération permanente.
  - Les tiges de sonde employées dans les forages des puits sont dans cette condition , et comme leur légèreté contribue beaucoup à la facilité des manœuvres, il importe de ne leur donner que les dimensions strictement nécessaires, en s’assujettissant d’une autre part à n’employer que des fers de première qualité.
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- - 470
  - QUATRIÈME PARTIE. — TORSION.
  - 393. Observations sur la théorie du n° 588. — Il importe de remarquer que les considérations théoriques exposées au n° 388, en ce qui concerne les solides cylindriques à bases circulaires, ne s’appliquent, en général, qu’à celle forme de solides, et ne peuvent être étendues aux seclions carrées ou polygonales qu’autant que le solide est très-court, et que ses sections sont astreintes à rester planes.
  - Mais cette conservation de la forme plane des sections peut bien avoir lieu dans certaines circonstances, par exemple, dans les prismes que M. Vicat appelle infiniment courts, ou qui sont sollicités à tordre par des forces agissant infiniment proche du plan de leur encastrement dans une matière rigide.
  - Alors on tirera de l’équation du n° 388
  - ra__Mr'
  - gp
  - la limite à imposer au moment M des forces extérieures, ou bien les dimensions à donner à la pièce, pour que la plus va
  - grande inclinaison j- des hélices sur les normales aux sections
  - reste dans les limites fournies par l’expérience, pour chaque matière ou chaque cas.
  - L’on ne devra donc appliquer les relations précédentes aux prismes que sous celte réserve que les sections seront assujetties à rester planes.
  - Dans les cas au contraire où cette condition ne sera pas satisfaite, il faudra recourir à une théorie plus conforme aux faits d’observation. Mais ces considérations s’éloignent trop du cadre que nous avons dû adopter pour un enseignement élémentaire, pour que nous puissions les aborder ici, et nous renverrons le lecteur aux recherches sur ce sujet qui seront sans doute bientôt publiées par M. de Saint-Venant, savant ingénieur qui s’occupe d’une nouvelle édition des leçons de M. Navier.
  - FIN.
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- - TABLE DES MATIÈRES.
  - PREMIÈRE PARTIE.
  - EXTENSION.
  - Pages.
  - Marche suivie dans cette partie du cours.............................. l
  - Considérations générales.............................................. 2
  - Observation........................................................... 2
  - Influence de la durée des efforts..................................... 3
  - Nécessité de limiter les efforts à des valeurs inférieures à celles qui correspondent à l’aitération de l’élasticité............................... 3
  - Définition du coefficient ou module d’élaslicité, et manière de le déterminer................................................................... 3
  - Résistance du fer à l’extension.......................................... 5
  - Résultats d’expériences................................................ 5
  - Expériences de M. Cornet................................................. 5
  - Examen de ces résultats.................................................. 6
  - Expériences de M. Eaton Hodgkinson.................................... 7
  - Conséquences de ces expériences......................................... 9
  - Observations sur les conclusions de M. Hodgkinson..................... 10
  - Applications des résultats de l’expérience. Dimensions des tiges en fer
  - soumises à un effort de traction donné............................. 11
  - Cas où il est nécessaire de tenir compte du poids propre des liges soumises à un effort de Iraclion.......................................... Il
  - Résistance de la fonte à Vextension................................... 14
  - Expériences sur la fonte de fer......................................... 14
  - Discussion des résultats de ces expériences........................... 14
  - Résultats particuliers sur la résistance de la fonte 'a la rupture par traction................................................................. 14
  - Influence du mode d’action de la Iraclion............................... 16
  - Résistance des cylindres et des sphères................................. 17
  - Résistance des cylindres 'a la rupture par l’effet d'une pression intérieure. 17
  - Limites des pressions d’épreuve......................................... 18
  - Tuyaux de conduite...................................................... 19
  - Chaudières à vapeur................................................... 20
  - Résistance du fond des cylindres........................................ 20
  - Cas où le fond d’un cylindre est assemblé avec le corps par des boulons...............................................................
  - Défauts que présentent quelquefois les cylindres coulés............... 22
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- - 472
  - TABLE DES MATIÈRES.
  - Pages.
  - Précaution à prendre pour les cylindres des presses hydrauliques...... 22
  - Application des formules à l’une des presses à fourrage de l’Algérie.... 23
  - Application aux grandes presses employées à l’élévalion des lubes du
  - pont Britannia........................................................ 24
  - Résistance d’une sphère à la rupture.................................... 25
  - Application aux projectiles creux....................................... 26
  - Observations sur l’énergie des efforts de dilatation.................. 26
  - Résistance des tôles et de leurs assemblages.......................... 27
  - Résistance de la tôle à l’extension................................... 27
  - Comparaison de la résistance des tôles dans le sens du laminage ou dans
  - le sens transversal................................................... 28
  - Expériences de M. Fairbairn............................................. 28
  - Observation relative aux résultats obtenus en France.................. 29
  - Résistance des rivets et des boulons à un effort transversal.......... 30
  - Expériences de M. Fairbairn........................................... 31
  - Observations sur l’effet du percement des tôles....................... 32
  - Influence du frottement............................................... 33
  - Expériences de MM. Gouin et C,e...................................... 34
  - Expériences de M. Fairbairn sur la résistance des boulons et rivets qui réunissent les plaques des boîtes à feu dans les chaudières de locomotives.......................................................... 34
  - Résistance du bois à l'extension........................................ 36
  - Expériences de M. Rondelet sur la résistance des bois à la rupture par
  - extension............................................................. 36
  - Expériences de MM. Chevandier et Werlheim............................. 37
  - Résistance des câbles................................................. 40
  - Proportion comparative des câbles en chanvre goudronné et des câbles-
  - chaînes en usage dans la marine anglaise............................ 40
  - Force des câbles en fer................................................. 42
  - Proportions adoptées en France pour les cordages en chanvre et les
  - chaînes en fer........................................................ 42
  - Charges limites ou permanentes........................................ 45
  - Manière de déterminer les charges limites ou l’effort de traction que l’on
  - peut faire supporter aux corps d’une manière permanente............. 45
  - Influence du recuit..................................................... 47
  - Influence d’un courant électrique sur l’élasticité.................... 47
  - » Application et usage du tableau précédent................................. 47
  - Application aux chaînes qui ont servi à élever les ponts tubulaires sur le
  - détroit de Menai...................................................... 48
  - Observations relatives aux applications................................. 49
  - Observations sur les efforts de traction auxquels il convient d’exposer
  - les corps employés dans les constructions............................. 50
  - Résultats d’observations sur la résistance des corps à la rupture par extension......................................................... 50
  - Résistances vives d’élasticité et de rupture............................ 54
  - Résistance vive d’élasticité......................................•... 54
  - Résistance vive de rupture.............................................. 55
  - Application des considérations précédentes.............................. 55
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- - TABLE DES MATIÈRES. 473
  - DEUXIÈME PARTIE.
  - RÉSISTANCE DES CORPS SOLIDES A LA COMPRESSION.
  - Pages.
  - Résistance des bois à la compression..... ......................... 59
  - Expériences sur la résistance des bois à la compression dans le sens
  - de la longueur des fibres....................................... 59
  - Expériences de M. E. Hodgkinson sur la résistance des bois à l’écrasement................................................................. 61
  - Expériences de M. G. Rennie........................................ 62
  - Expériences de M. E. Hodgkinson sur les poteaux en bois............ 63
  - Formules pratiques pour les poteaux en bois........................ 64
  - Application au magasin aux blés de la Yillelle..................... 64
  - Application de la formule du n° 63 aux poteaux du magasin de la Vil-
  - lelte.............................................................. 66
  - Expériences sur des poteaux de sapin rouge......................... 67
  - Formules pratiques pour les poteaux en bois....................... 69
  - Comparaison des résultats fournis par les règles déduites des données
  - de Rondelet et des expériences de M. E. Hodgkinson.............. 69
  - Usage des formules du n° 68........................«•...........;. • 71
  - Pilots...... .................................................... Tl
  - Résistance des bois à la compression perpendiculaire à la longueur des
  - fibres.......................................................... T2
  - Résistance des pierres à la compression............................ 72
  - Expériences de Rondelet sur l’influence de la hauteur des supports en
  - pierre, sur leur résistance a l’écrasement....................... 72
  - Expériences de M. Vicat sur la résistance des solides à la rupture par
  - compression .................................................... 73
  - Résistance des pyramides semblables.................................. 74
  - Résistance des cylindres employés comme rouleaux................... 74
  - Résistance des sphères............................................. 75
  - Influence de la hauteur des supports ou du nombre des assises...... 76
  - Conclusions pratiques.............................................. 77
  - Expériences faites au pont Brilannia sur la résistance à l’écrasement de
  - la maçonnerie de briques ou de pierres.......................... 77
  - Expériences faites au Conservatoire des arts et métiers ........... 78
  - Expériences sur des pierres factices................................. 81
  - Conclusions des expériences sur les pierres et les maçonneries..... 81
  - Résistance des différentes sortes de pierres à l’usé............... 84
  - Cohésion et adhérence des mortiers................................... 85
  - Expériences sur la résistance et l’adhérence des mortiers et du plâtre... 85
  - Force avec laquelle le mortier unit les pierres.................• • • 86
  - Force avec laquelle le plâtre unit les pierres..................... 86
  - Comparaison entre la force de cohésion et la résistance à l’écrasement. 87
  - Résistance de la fonte à la compression............ ............... 87
  - Expériences de M. E. Hodgkinson...................................... 87
  - Représentation et conséquences de ces expériences.................. 88
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- - 474
  - TABLE DES MATIÈRES.
  - Expériences de M. Ealon Hodgkinson sur la résistance à l’écrasement
  - des pièces courtes en fonte de fer............................... 90
  - Conséquences de ces expériences........................v............ 91
  - Résistance de la fonte a l’écrasement par unité de surface.......... 92
  - Autres résultats d’expériences...................................... 94
  - Comparaison de la résistance de la fonte à la rupture par extension et à
  - la rupture par compression....................................... 94
  - Observations sur les résultats précédents........................... 95
  - Expériences comparatives sur la rupture de la fonte par extension et
  - par compression.............................................,.... 95
  - Observations sur les résultats précédents........................... 97
  - Détermination de la charge de compression que Ton peut faire supporter d’une manière permanente à la fonte.............................. 98
  - Résistance du fer comparée à celle de la fonte...................... 100
  - Comparaison de l’emploi de la fonte et du fer forgé pour les pièces soumises à des efforts de compression.................................. 100
  - Représentation graphique de ces résultats.......................... loi
  - Charge permanente du fer soumis à la compression.................... 103
  - Disposition qu’il convient de donner aux plaques de tôle destinées à résister a des efforts de compression................................. 103
  - Colonnes en fonte.................................................. 104
  - Colonnes et supports en fonte...................................... 104
  - Colonnes en fonte................................................... 104
  - Formules pratiques.................................................. 106
  - Formules plus simples proposées par M. Love......................... 106
  - Formules pratiques...................;.............................. 108
  - Observation sur l’emploi comparatif des colonnes en fonte ou en fer.... 109
  - Colonnes creuses.................................................... 110
  - Épaisseurs inférieures convenables pour les colonnes creuses........ 110
  - Marche à suivre pour déterminer le diamètre intérieur des colonnes creuses. 110 Influence des mêmes efforts de compression ou de tension plusieurs fois
  - répétés.......................................................... 112
  - Arcs en fonte....................................................... 113
  - Des efforts de compression auxquels on soumet dans la pratique les arcs
  - en fonte....................................................... 113
  - Effets de la dilatation dans les ponts en fonte..................... 116
  - Flexions des arcs en fonte sous l'action des charges accidentelles.. 117
  - Transmission des poussées horizontales d’une arche aux suivantes dans le cas des charges accidentelles.................................... 119
  - TROISIÈME PARTIE.
  - FLEXION.
  - Considérations générales sur la résistance des solides soumis à des efforts qui tendent à les faire fléchir perpendiculairement à leur longueur. —
  - Bases expérimentales de la théorie............................. 119
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- - TABLE DES MATIÈRES.
  - 475
  - Pages.
  - Notions sur la manière dont se comportent les corps soumis à la flexion
  - transversale....................................................... 119
  - Expériences de M. Dupin sur la compression et l’extension des libres... 121
  - Expériences de M. Duleau................................................ 122
  - Observations de plusieurs ingénieurs........................-......... 123
  - Expériences directes faites au Conservatoire des arts et métiers pour
  - constater la compression et l’exlensibn des solides fléchis........ 124
  - Expériences faites en 1856 au Conservatoire des arts et métiers....... 126
  - Récapitulation des résultats des expériences.......................... 134
  - Conséquences des résultats consignés dans les tableaux précédents..... 136
  - Expériences de M. Cb. Dupin sur ia flexion du bois.................... 137
  - Comparaison de la densité des bois à leur rigidité.................... 138
  - Comparaison de l’effet des charges uniformément réparties à celui des
  - charges agissant au milieu de la distance des appuis............... 140
  - Rapport des flexions à la largeur et à l’épaisseur des pièces......... 140
  - Flexibilité des bois en fonction de la distance des appuis............ 141
  - Conclusions de ces expériences........................................ 142
  - Notions théoriques.................................................... 144
  - Considérations générales sur la flexion, la compression et la rupture des
  - corps fibreux...................................................... 144
  - Des effets qui se produisent dans les corps fibreux, fléchis, comprimés
  - ou tordus par des forces extérieures.............................. 144
  - Notions sur la flexion et la courbure des lignes...................... 145
  - Hypothèse de Galilée sur le mode de résistance des matériaux à la
  - flexion......................................................... 145
  - Hypothèses de Mariotle et de Leibnitz................................. 147
  - Théorie de la résistance des corps fibreux à la flexion transversale ... 149 La ligne des fibres invariables passe par le centre de gravité de la section transversale................................................... 150
  - Observations relatives à l’extension et à la compression des fibres... 151
  - Condition générale de l’équilibre entre les forces extérieures et les forces moléculaires..................................................... 152
  - Limites des résistances permanentes................................... 153
  - Valeur de l’allongement ou du raccourcissement proportionnel éprouvé
  - dans la flexion................................................... 154
  - Observation sur la formule précédente................................. 154
  - Observation sur les limites entre lesquelles les formules déduites de la
  - théorie sont applicables.......................................... 155
  - Cas où il est nécessaire de tenir compte des forces qui agissent normalement à la section du corps que l’on considère.......................... 157
  - Remarques sur les quantités A et I.................................... 159
  - Cas où le corps a un profil constant sur toute sa longueur............ 160
  - Observations.........................................»................ 160
  - Valeur des moments d’inertie des divers profils.................... 161
  - Valeurs des quantités I et relatives aux différents profils en usage
  - dans les constructions............................................. 161
  - Cas où le contour de la section transversale considérée est quelconque. 162
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- - 476
  - TABLE DES MATIÈRES.
  - , Pages.
  - Formes particulières................................................... jg2
  - Seclion rectangulaire................................................. jgg
  - Moment d’inertie d’un rectangle par rapport à l’un des côtés.......... ig3
  - Profil en double T................................................ ...
  - Fers à double T laminés............................................... I64
  - Fers à double T en pièces de tôle assemblées par des cornières........ 165
  - Modifications du profil précédent...................................... 165
  - Tubes rectangulaires creux............................................. 167
  - Tubes à section carrée................................................. 167
  - Profils en croix d’équerre............................................. 168
  - Profil circulaire.................................................... 168
  - Profil annulaire de deux cercles concentriques........................ 169
  - Comparaison d’un cylindre plein à un cylindre creux, sous le rapport
  - de la résistance à la flexion....................................... 170
  - Tubes cylindriques à parois minces.................................. 170
  - Profils elliptiques.................................................... 171
  - Profil en T.......................................................... 171
  - Proportions ordinaires des pièces en fonte............................. 172
  - Pièces minces en fer.................................................. 172
  - Moments d’inertie des corps irréguliers.............................. 172
  - Méthode géométrique pour déterminer les moments d’inertie d’un
  - profil.............................................................. 172
  - Applications aux 1ers à double T....................................... 173
  - Applications et formules pratiques.................................... 174
  - Formules pratiques..................................................... 174
  - Solide encastré par l’une de ses extrémités et soumis à un effort P, agissant à son autre extrémité, perpendiculairement à sa longueur et à
  - une charge uniformément répartie.................................... 174
  - Valeur pratique du nombre R............................................ 175
  - Solide prismatique encastré par l’une de ses extrémités, soumis à un effort P, agissant à l’une de ses extrémités perpendiculairement à sa longueur C, et à une charge uniformément répartie sur sa longueur,
  - agissant dans le même sens que P.................................... 177
  - Solide cylindrique à section circulaire dans les mêmes conditions que le
  - précédent........................................................... 177
  - Tourillons des roues hydrauliques...................................... 178
  - Cas où le solide considéré a pour profil la forme d’un double T....... 178
  - Tubes creux à section rectangulaire................................... 179
  - Solides dont le profil a la forme d’une croix.............. .......... 179
  - Modifications des formules précédentes........................!....... 180
  - Cas où la charge P et la charge pC, uniformément réparties, agissent en
  - sens contraires..................................................... 180
  - Cas où le prisme est soumis à des pressions perpendiculaires à sa longueur et comprises dans son plan longitudinal moyen, mais distribuées
  - d’une manière quelconque........................................... 181
  - Cas où le prisme est, en outre, chargé de poids uniformément répartis................................................................. 181
  - Cas où les forces agissent en sens contraires.......................... 182
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- - TABLE DES MATIÈRES.
  - 477
  - Tages.
  - Solide prismatique ou cylindrique posé horizontalement sur deux appuis, et chargé en son milieu perpendiculairement à sa longueur..... 184
  - : Solide prismatique ou cylindrique posé horizontalement sur deux appuis, et soumis, perpendiculairement à sa longueur, à une charge 2P placée
  - au milieu, et à une charge uniformément répartie.................. 186
  - Observations sur la facilite qu’offrent ces conditions pour la recherche
  - des lois des phénomènes de llexion et de rupture.................. 186
  - Solide prismatique ou cylindrique posé librement sur deux appuis, et chargé d’un poids 2P en un point d.stant des appuis des quantités V
  - et l"............................................................... 186
  - I Cas où le prisme est en outre chargé d’un poids uniformément réparti.. 1S8 Prisme posé sur deux appuis et chargé de poids distribués d’une manière quelconque.......................................................... 189
  - Cas où les forces se réduisent à deux forces égales, agissant 'a des distances des appuis respectivement égales entre elles............. 190
  - | Cas où l’on veut tenir compte du poids du solide ou d’une charge uniformément répartie.................................................. 191
  - Autres applications relatives aux arbres des roues hydrauliques...... 192
  - 1 Solide posé sur un appui et encastré à l’autre extrémité, et soumis à
  - une charge P agissant en un point quelconque de sa longueur....... 194
  - Des solides d’égale résistance...................................... 197
  - Des solides qui dans toutes leurs sections présentent une égale résistance. 197
  - Solides d’égale résistance et d’épaisseur constante.................... 199
  - Solides d’égale résis anceà section circulaire......................... 199
  - Cas où le solide n’est soumis qu’à une charge uniformément répartie
  - agissant perpendiculairement à sa longueur.......................... 200
  - Cas où il est néce saire de faire le calcul pour plusieurs sections transversales....................................................... 201
  - De la courbe élastique et de l’étendue des flexions.................. 201
  - Tracé de la courbe élastique........................................... 210
  - Cas où la courbe élastique eé un arc de cercle....................... 203
  - Cas où la courbure de la pièce est déterminée par un gabarit sur lequel
  - il s’agit de la ployer.............................................. 204
  - Détermination des flèches de courbure.................................. 204
  - Cas particulier où la section du solide est un reclang e dont la largeur
  - est a, et dont l’épaisseur, dans le sens de l’effort P, est b . .. 206
  - Comparaison des flexions de deux solides de sections rectangulaires déférentes ....................................................... 207
  - Formules pratiques..................................................... 207
  - Solides cylindriques à section circulaire.............................. 208 .
  - Extension des considérations précédentes au cas général.............. 208
  - Observation relative aux solides d’égale résistance.................... 209
  - Vérification de la formule précédente par l’expérience............... 210
  - Travail consommé pour produire une flexion donnée.................... 211
  - Cas où le profil transversal des corps n’est pas constant............ 213
  - Flexion d’un prisme horizon al encastré à l’une de ses extrémités et soumis à une charge uniformément répartie et à une charge qui agit à l’autre extrémité............................................... 213
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- - 478
  - TABLE DES MATIÈRES.
  - Cas où la charge P et la charge uniformément répartie agissent en sens
  - contraires....................................................... 214
  - Flexion d’un prisme horizontal posé sur deux points d’appui et chargé d’un poids 2P au milieu de la distance 2C des appuis, et d’une charge uniformément répartie ‘a raison de p kilogr. par mètre courant de sa
  - longueur.......................................................... 215
  - Moyens de vérification de ces formules par l’expérience.............. 21G
  - Vérification des formules précédentes par les résultats des expériences
  - de M. Ch. Dupin.................................................... 217
  - Formules pratiques.................................................... 217
  - Solides à section rectangulaire....................................... 218
  - Solides cylindriques................................................ 218
  - So.ides cylindriques creux........................................... 218
  - Solide posé sur plusieurs points d’appui équidistants , et chargé de poids
  - égaux au milieu de chacun des intervalles........................ 219
  - Application de ce qui précède au cas des solides encastr és par leurs deux
  - extrémités......................................................... 220
  - Forme des rais des roues de voilures................................. 221
  - Observations sur la manière d’obtenir l’encastrement.................. 222
  - Détermination de l’inclinaison des tangentes 'a la courbure des solides.. 222 Cas où le solide supporte, en outre, une charge uniformément répartie. 224 Cas où la charge uniforme et la force extérieure agissent en sens
  - contraires......................................................... 225
  - Cas où le solide n’est soumis qu’à une charge uniformément répartie ... 227 Solide posé horizontalement sur deux points d’appui, et soumis à une
  - charge 2P placée au milieu de sa longueur......................... 227
  - Solide posé horizontalement sur deux appuis et supportant une charge
  - uniformément répartie............................................. 227
  - Solide posé horizontalement sur deux appuis, supportant une charge 2P placée au milieu de sa longueur, et une charge uniformément répartie 2pC............................................................... 229
  - Conséquences pratiques de la théorie................................. 230
  - Allongement et raccourcissement proportionnel des fibres produit par
  - la flexion........................................................ 230
  - Justification des valeurs pratiques adoptées pour le nombre R........ 232
  - Comparaison de la formule qui exprime les conditions de l’équilibre permanent et de celle qui donne la flexion des solides posés sur deux
  - points d’appui..................................................... 234
  - Ancienne règle des charpentiers....................................... 235
  - Conséquence relative au fer et à la fonte............................ 236
  - Résultats d'expériences sur la flexion et la rupture qui en est la suite.. ... 236 Applications des formules aux expériences les plus récentes et observation sur l’a teution qu’il convient d’apporter dans ces applications ... 236
  - Résistance des bois à la flexion..................................... 239
  - Expériences de M. 1*. Rarlow sur la flexion des bois................. 239
  - Expériences de MM. Chevandier et Wertheim............................. 241
  - Résultats déduits des expériences du 11“ 123.......................... 242
  - Effets de la dessiccation des bois par la vapeur ou par l’eau chaude ... 244
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- - TABLE DES MATIÈRES.
  - 479
  - Pages.
  - Réserve relative à la discussion des expériences sur la rupture...... 245
  - Résistance de la fonte à la flexion.................................. 246
  - Expériences pour comparer les flexions des barreaux en fonte aux
  - portées............................................................. 246
  - Autre expérience sur la résistance delà fonte à la flexion et à la rupture
  - transversale........................................................ 249
  - Expériences de M. Morris Stirling sur des fontes mêlées.............. 253
  - Mélange de rognures de fer avec la fonte............................. 255
  - Expériences sur la rés stance des barreaux de fonte à la rupture par
  - flexion, par M. R. Stephenson....................................... 256
  - Comparaison entre les fontes à l’air froid et a l’air chaud.......... 262
  - Influence du mode de fusion............................................ 262
  - Expérience sur la résistance des tubes en fonte à la flexion transversale. 262
  - Influence du temps sur les flexions.................................... 265
  - Observation sur l’altération de l’élasticité des barres en fonte..... 266
  - Expériences sur des barres de fonte avec nervures.................... 267
  - Observations sur la résistance des pièies à nervure, à la rupture.... 270
  - De la forme des solives en fonte et de la manière de les charger..... 271
  - Expériences de M. Guetlier, ingénieur-directeur des usines de Marquise.................................................................. 273
  - Observation sur les formes des solides d’égale résistance............ 275
  - Observation relative aux poutres cintiées.............................. 276
  - Observations sur quelques proportions.................................. 276
  - Des portées des poutres sur leurs appuis............................... 277
  - Observations sur les proportions des solives en fonte adoptées par les
  - ingénieurs anglais.................................................. 278
  - Conclusions des expériences sur la résistance de la fonte à la flexion et
  - à la rupture........................................................ 279
  - Résistance du fer à la flexion........................................ 281
  - Expériences sur la résistance du fer forgé par M. Duleau............. 281
  - Expériences sur la résistance des tubes en fer forgé, soudés et sans
  - rivets.............................................................. 282
  - .Des proportions usuelles des fers laminés dont le protil présente la forme
  - d’un double T...................................................... 284
  - Expériences de M. Fairbairn sur les poutres en fer forgé à nervure eu
  - double!'............................................................ 288
  - 30e expérience de M. Fairbairn......................................... 288
  - Conclusions de ces expériences......................................... 293
  - Expériences sur une poutre formée de fers en T réunis par des plaques
  - |le tôle............................................................ 293
  - Mode d’expérimentation................................................. 295
  - Résultats de l’observation............................................. 297
  - Des poutres en bois avec armature en fer............................... 299
  - Comparaison des formules précédentes avec une formule pratique suivie
  - par quelques ingénieurs français et anglais......................... 301
  - Simplification de ceLte formule....................................... 304
  - Application aux poutres a T non symétriques ou à semelles inégales.... 304 Application aux poutres à double T à semelles égales................... 307
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- - 480
  - TABLE DES MATIÈRES.
  - Pages,
  - Comparaison expérimentale des poutres à double T avec semelles inégales et des poutres avec semelles égales............................... 308
  - Résultats d’expériences sur des poutres proportionnées comme il est indiqué au numéro précédent........................................ ... 311
  - Résultats relatifs à la llexion....................................... 313
  - Grands tubes en tôle.................................................. 314
  - Observations de M. Fairbairn sur la forme la plus convenable pour les
  - ponts tubulaires................................................... 314
  - Expériences sur la recherche des proportions à adopter pour les ponts
  - tubulaires de chemins de fer...................................... 315
  - 33e expérience........................................................ 310
  - 34% 35e, 36e et 37e expériences....................................... 319
  - Expérience de rupture................................................ 321
  - Expérience sur le premier tube du pont de Conway...................... 322
  - Détermination du plus grand allongement subi par les fibres dans celle
  - expérience......................................................... 326
  - Application de la règle qui lie les üexions aux portées et les portées aux
  - hauteurs des solides............................................... 328
  - Mode de calcul adopté par quelques ingénieurs......................... 329
  - Valeurs des constantes R et R’........................................ 330
  - Observation sur l’emploi de la fonte.................................. 331
  - Application des données du n° 264 au tube du pont de Conway........... 332
  - Charge admise dans les calculs des ponts de chemins de fer par les ingénieurs anglais....................................................... 333
  - Marche à suivre dans le calcul des solides du genre des ponts tubulaires. 335 Môme calcul dans la supposition de l’inégalité des résistances R et R’... 338
  - Observations et conclusion............................................ 339
  - Détails de construction des tubes................................... 340
  - Fond du tube.......................................................... 342
  - Couvre-joints......................................................... 342
  - Cloisons des cellules............................................... 343
  - Carlingues............................................................ 343
  - Pose de la voie....................................................... 343
  - Dilatation........................................................... 343
  - Côtés verticaux....................................................... 343
  - Assemblage des côtés avec le fond et le sommet........................ 344
  - Du sommet des tubes................................................... 344
  - Expériences sur la résistance transversale d’une poutre en tôle de fer.. 345
  - Données pour le calcul du coefticient d’élasticité.................... 347
  - Manière particulière de charger les solides, et règle pour tenir compte
  - du mode de chargement.............................................. 348
  - Relation d’équilibre................................................. 350
  - Utdilé des cornières verticales et hôrizonlales pour les parois verticales. 351
  - Planchers en fer...................................................... 352
  - Des planchers en fer................................................. 352
  - Expériences sur les planchers en fer.................................. 354
  - Observations sur le mode de pose et de liaison des solives........... 355
  - Modifications dans la forme à donner aux barres....................... 356
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- - TABLE DES MATIÈRES. 481
  - Pages.
  - Emploi des fers à double T pour les planchers......................... 356
  - Charge normale admise par les constructeurs........................... 357
  - Influence du mouvement de la charge................................... 357
  - De l’influence du mouvement de la charge sur la flexion des solives qui
  - la supportent...................................................... 357
  - Expériences exécutées à Portsmouth.................................... 358
  - Discussion des résultats de ces expériences............................ 360
  - Conséquences de ces expériences........................................ 369
  - Altération des essieux................................................ 369
  - Altération des essieux par la prolongation de leur service............ 369
  - Note sur les essieux des voilures en service sur les routes ordinaires, par
  - M. Marcoux.......................................................... 370
  - Note sur les essieux des messageries générales, par M. C. Arnoux ..... 371
  - CHARPENTES.
  - Considérations générales.............................................. 374
  - Répartition des efforts et données pratiques........................... 375
  - Conditions de l’équilibre des pièces inclinées : pièce inclinée encastrée h l’une de ses extrémités et soumise à l’autre à des forces P et Q, respectivement verticale et horizontale................................... 375
  - Solide incliné encastré en B, et soumis à deux forces P et Q, l’une verticale , l’autre horizontale, agissant à son extrémité, et à une charge uniformément répartie sur sa longueur à raison de p kilog. par mètre
  - courant.....................................................•'..... 377
  - Application aux charpentes............................................. 378
  - Observation relative à la condition qui rend la flexion nulle......... 379
  - Applications........................................................... 380
  - Charge des toitures par mètre carré de superficie..................... 382
  - A_pplications des formules précédentes................................. 386
  - Formules relatives aux arbalétriers en fer forgé...................... 387
  - Arbalétriers à nervures................................................ 388
  - Application à la couverture de la gare des chemins de Saint-Germain et
  - de Versailles..................................................... 389
  - Observation relative à l’emploi de fers à T d’un modèle donné......... 390
  - Dimensions des tirants................................................. 391
  - Cas où le tirant n’est pas horizontal.................................. 393
  - Table des dimensions des tirants 393
  - Arbalétrier buttant contre un entrait retroussé....................... 397.
  - Ferme 'a la Palladio................................................... 398
  - Application aux arbalétriers des fermes à la Palladio à entrait retroussé. 398
  - Formules pratiques..................................................... 399
  - Application aux tirants des fermes à la Palladio...................... 403
  - Tirants en fer......................................................... 404
  - Influence des variations de température sur la tension des tirants.... 405
  - Pièce posée sur deux appuis et renforcée par un poinçon inférieur et
  - deux tirants en fer. Cas où la pièce est chargée en son milieu..... 407
  - Charpentes à grandes portées avec tirants en fer et contre-fiches..... 411
  - 81
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- - 482
  - TABLE DES MATIÈRES.
  - Pages.
  - Cas où le tirant du milieu est plus haut que les points d’appui de la ferme. /</ DI
  - Expériences pour déterminer directement les tensions des tirants..
  - Expérience sur une ferme composée.................................
  - Conclusions de ces expériences.....................................
  - Fermes du modèle des gares du chemin de fer de Versailles etSainl-Ger-
  - R
  - 418 E
  - 419 E
  - 419 V
  - 420 L
  - main , et du hangar de manœuvres de Versailles.....................
  - Des conlre-tiches.....................................................
  - Observations sur les règles précédentes...............................
  - Assemblages...........................................................
  - Application au hangard de manœuvres à Vincennes.......................
  - Application aux charpentes en fer de la gare des chemins de fer de
  - Saint Germain et de Versailles.................................
  - Proportionnalité des sections des tirants aux portées............
  - Observations sur la composition des fermes à grande portée.......
  - Charpentes en fer pour couvertures en %inc.......................
  - Application aux couvertures en zinc..............................
  - Dimensions des pièces soumises à un effort de traction...........
  - Dimensions des arbalétriers......................................
  - Dimensions des contre-fiches.....................................
  - Résultats et conséquences........................................
  - Dimensions des pièces longitudinales.........*...................
  - Influence de l’écartement des fermes sur la dimension des pannes.
  - Contre-fiches en fonte...........................................
  - Forme des tirants pour les fermes de très-grandes portées........
  - Du glissement relatif ou du cisaillement.........................
  - 425 ;
  - 426 C
  - 426 C
  - 426
  - 428 (
  - 430 437 439
  - 441
  - 442
  - 442
  - 443
  - 444
  - Circonstances diverses dans lesquelles la résistance au glissement relatif
  - 444
  - des parties d’un solide se trouve en jeu
  - Cas où la résistance au glissement ou au cisaillement se trouve en jeu.. 444 Mesure du glissement des faces ou des lignes matérielles les unes devant
  - les autres............................................................ 445
  - La résistance au glissement peut être regardée comme une résistance à une dilatation et à une contraction simultanées, dans deux sens rectangulaires entre eux, faisant un demi-angle droit avec les faces ou
  - les lignes glissantes................................................. 446
  - Limite des glissements déduite de la limite des extensions dans les solides d’égale contexture................................................ 447
  - Résistance et charge permanente, lorsque les sections sur lesquelles le glissement a lieu sont astreintes à rester planes..................... 449
  - QUATRIEME PARTIE.
  - TORSION.
  - 451
  - 451
  - Notions théoriques...............
  - Résistance des solides à la torsion.
  - Résistance à la torsion des solides homogènes et des solides à section circulaire. Équilibre des forces extérieures et des forces intérieures.. 453
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- - TABLE DES MATIÈRES. 483
  - Pages.
  - Observations relatives aux cylindres.................................. 454
  - Observation sur l’usage de la formule précédente..................... 455
  - Application de la formule précédente aux cylindres et aux prismes .... 455
  - Valeurs du moment d’inerlie polaire des sections transversales....... 455
  - Résultats d’expériences et formules pratiques......................... 456
  - Expériences de M. Duleau sur la torsion.............................. 456
  - Expériences sur la torsion de la fonte............................... 458
  - Valeur du coefficient G............................................... 461
  - Limites pratiques de l’angle de torsion............................... 461
  - Applications et formules pratiques.................................... 462
  - De la résistance de la fonte à la rupture par torsion................ 466
  - Expériences de M. Carillion sur la résistance de la fonte à la rupture par
  - torsion............................................................ 467
  - Observations relatives aux formules pratiques......................... 469
  - Cas où l’on est obligé de laisser supporter aux solides une torsion considérable ............................................................ 469
  - Observation sur la théorie de la résistance à la torsion............. 470
  - FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.
  - Ch. Lahure, imprimeur du Sénat et de la Cour de Cassation, rue de Yaugirard, 9, près de l’Odéon.
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