Leçons de mécanique pratique. [1], Notions fondamentales de mécanique et données d'expérience

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- - NOTIONS FONDAMENTALES
  - DE MÉCANIQUE
  - ET DONNÉES D’EXPÉRIENCE
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- - NOTIONS FONDAMENTALES
  - DE MÉCANIQUE
  - ET DONNÉES D’EXPÉRIENCE
  - PAR
  - ARTHUR MORIN
  - Général d’artillerie, membre de l’Institut ancien élève de l’École Polytechnique, professeur de mécanique industrielle au Conservatoire des arts et métiers, membre correspondant de l’Académie royale des sciences de Berlin, de l’Académie royale des sciences de Madrid de l’Académie de Metz et de la Société industrielle de Mulhouse associé correspondant de l’Académie des sciences de Turin membre de la Société littéraire et philosophique de Manchester
  - PARIS
  - LIBRAIRIE DE L. HACHETTE ET C“
  - RUE PIERRE-SARRÀZ1N , N» 14
  - (Près de l’École de Médecine)
  - 1855
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- - NOTIONS FONDAMENTALES
  - DE MÉCANIQUE
  - ET DONNÉES D’EXPÉRIENCE.
  - NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
  - 1. De l'étendue. — L’étendue a trois dimensions : longueur, largeur, hauteur. Pour la mesurer on la distingue en ligne ou dimension linéaire, qui est une longueur sans largeur ; en surface, ayant longueur et largeur, et en solide ou volume, qui réunit les trois dimensions de l’étendue. (Legendre, définitions.) La mesure de l’étendue constitue la science de la géométrie. Nous n’avons donc à nous en occuper qu’au point de vue de son emploi dans les applications à la mécanique.
  - Les longueurs se mesurent par leur comparaison avec une unité de convention adoptée dans chaque pays, et qui en France est le mètre, subdivisé en décimètres, centimètres et millimètres. Pour apprécier des fractions plus petites que le millimètre on se sert du vernier, et de divers appareils de précision, tels que les vis micrométriques, les compensateurs, etc , dont la description est du ressort de la géométrie industrielle.
  - Les surfaces se mesurent par les règles de la géométrie et s’expriment en mètres carrés. Mais il arrive souvent qu’elles
  - 1
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  - NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
  - sont terminées par des lignes et des contours qui ne sont soumis à aucune loi géométrique connue, et alors il est nécessaire de recourir à des modes de quadrature approximatifs ou à des moyens mécaniques. L’emploi de ces méthodes se reproduisant sans cesse dans les relèvements et dans la discussion des résultats d’expériences, nous en parlerons avec quelques détails pour n’avoir plus besoin d’y revenir.
  - L’une des méthodes les plus simples et les plus exactes de déterminer approximativement par le calcul la surface limitée par un contour quelconque curviligne ou composé de parties courbes et de droites est la suivante. Menez à travers
  - la surface une ligne AB, et partagez la distance de ses deux points d’intersections avec le contour en un nombre pair de parties égales, numérotées 1, 2, 3, 4...., 7, Flg’ u 8, 9, par exemple. Aux points
  - de divisions élevez des perpendiculaires à la ligne AB, appelée axe des abscisses. Vous aurez les longueurs des ordonnées lT, 2'2", 3'3"...., 8'8", 9'9". Cela fait, la surface S terminée par la ligne courbe aura pour valeur approchée
  - S = i 1.2[1\ 1 "+ 9'. 9"+ 4(2\2"+ 4'. 4"+... 8'. 8") + 2(3'. 3"+ 5'. 5"+... 7'.7")], 3
  - c’est-à-dire le tiers de l’intervalle de deux ordonnées consécutives, équidistantes, multiplié par la somme des ordonnées extrêmes, plus quatre fois la somme des ordonnées de rang pair, plus deux fois la somme des ordonnées de rang impair.
  - M. Poncelet a donné la démonstration suivante de cette règle, page 187 de l’introduction à la mécanique industrielle, 2e édition.
  - 2. Démonstration de la formule de Simpson. — L’aire à mesurer étant limitée par le contour aa'b'c'd'...g'g...ba, si l’on partage la ligne ag en six parties égales, on aura d’abord une première approximation en prenant la somme des
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- - NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 3
  - aires des trapèzes rectilignes aa'b'b, bb'b'b, etc., ce qui donnera
  - \ab(aa!bb') -\-\:bc(bb'cc') -\--cd(cc'-\-cld')-\- etc.,
  - 2 ^ z
  - ce qui revient à
  - \ab(aa!-\- 266'+ 2cc'+ 2dd'+ 2ee'+ 2/f+ gg').
  - Z
  - Cette méthode est la plus ordinairement suivie. Mais il est clair que, pour des courbes dont la concavité est toujours
  - Fig. 1.
  - A. a
  - tournée vers la ligne ag des abscisses, cette formule donnera un résultat trop faible ; qu’au contraire elle le donnera trop
  - grand pour des courbes convexes vers la ligne ag. Il n’y aura compensation approximative que pour les courbes alternativement concaves et convexes.
  - Mais si l’on considère l’intervalle compris entre deux ordonnées impaires consécutives ce' et ee' et qu’on partage ce en trois parties égales, cm = mn = ne, on aura d’abord une valeur plus approchée de Faire mixtiligne cc'd'e'e, en substituant les trois trapèzes rectilignes cc'm'm, mm'n'n, nn'e'e, aux deux trapèzes cc’cl'd et dd’e'e. La somme des aires de ces trois trapèzes est
  - 1 1
  - - cm (a* + 2mm + 2nn’-\- ee') — -^ 3
  - ab(cc'-\- 22wrc'+e<s,j,
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- - attendu que
  - NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
  - cm — mn — ne = -cib.
  - O
  - En menant la ligne m'ri qui rencontre dd' en o, on a 1
  - do = - (m'-f nri) ; '
  - d’où 2(»m'-f-W) = A. do.
  - L’aire totale de ces trois trapèzes a donc pour valeur
  - ^ab(cc'~f- A.do-\- eë).
  - Or, dans le cas où la courbe est concave vers l’axe des abscisses, cette aire est plus petite que l’aire curviligne à mesurer, et si l’on substitue à do l’ordonnée dd! un peu plus grande, et qui est donnée, on établira une compensation approximative. L’inverse ayant lieu dans le cas où la courbe est convexe vers l’axe des abscisses, on aurait une compensation analogue. Donc on obtiendra une valeur plus approchée de l’aire curviligne cëd'ëe par l’expression
  - 5 ab (cë-f- Add'-\- eë).
  - On aurait de même pour l’aire aa’c'c
  - \ab{aa! Abb' cë).
  - O
  - Donc, en faisant la somme de toutes ces aires partielles, on aura pour la valeur approchée de la surface totale
  - ^ab[aa'-\-A{bb'-\-dd'-\-ff’) —{— 2j— eë) -j- gg'),
  - Ce qui est la formule de Simpson *.
  - * M. Sonnet a donné une démonstration élégante du théorème de Th. Simpson, et fondée sur les propriétés de la parabole, dans ses Notions de mécanique, n“ 83.
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- - NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 5
  - Il peut arriver que dans quelques cas certaines ordonnées soient nulles, ce qui n’empêche pas la formule d’être employée.
  - On devra choisir la ligne AB des abscisses de façon que les ordonnées ne coupent pas la courbe sous des angles trop petits, ce qui laisserait de l’incertitude sur le point d’intersection.
  - Il conviendra de multiplier d’autant plus les divisions que la courbure sera plus prononcée et plus accidentée, et qu’on voudra obtenir plus d’approximation.
  - Quand la surface à carrer est limitée d’avance à une ligne d’abscisses AB et à deux ordonnées extrêmes, on opère de même.
  - Cette méthode connue sous le nom du géomètre Simpson, auquel elle est due, est plus exacte et plus approximative que celle qui consiste à prendre la somme des aires des trapèzes inscrits.
  - Nous en donnerons de nombreuses applications.
  - Les cubatures des solides, des déblais et remblais irréguliers, le déplacement des bâtiments, en offrent aussi souvent l’emploi.
  - Lorsqu’il s’agit de solides terminés par des surfaces courbes irrégulières et dont la loi n’est pas connue, on procède d’une manière analogue. Nous prendrons pour exemple le déplacement des bâtiments. On fait, ou l’on a ordinairement d’avance, le tracé des profils transversaux ou gabarits du bâtiment à des distances égales, depuis l’avant jusqu’à l’arrière, et limité supérieurement à la ligne de flottaison. On commence par faire la quadrature partielle de chacun de ces profils, que l’on prend en nombre impair, comprenant par conséquent un nombre pair d’intervalles égaux. On porte sur une ligne d’abscisses ces intervalles égaux. En chaque point de division on élève une perpendiculaire ou ordonnée, qu’à une échelle convenue on prend pour représenter la surface du profil correspondant. Par les extrémités de toutes ces ordonnées on fait passer une courbe, et l’aire
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  - NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
  - comprise entre la courbe et les ordonnées extérieures de la ligne des abscisses, calculée par la formule de Simpson, donne le volume du déplacement du navire.
  - On résout, comme nous le verrons plus tard, par la méthode des quadratures beaucoup d’autres questions pour lesquelles le calcul offrirait quelquefois des difficultés insurmontables.
  - 5. Divisibilité des quantités en éléments infiniment petits. — Avant d’aller plus loin il est utile de remarquer dès à présent que, toutes les quantités étant susceptibles d’accroissement ou de diminution, elles peuvent être considérées comme composées de parties, d’éléments dont le nombre est d’autant plus grand que les parties sont moindres; et, comme au-dessous de toute partie finie on peut en concevoir une plus petite, on voit qu’en définitive les quantités ou les corps peuvent être regardés comme composés d’éléments infiniment petits, ou plus petits que toute quantité donnée, dont la réunion, la somme, produit une quantité finie.
  - Si l’on se reporte à l’accroissement progressif des objets que nous offre la nature, on concevra plus facilement cet accroissement ou cette diminution graduelle des quantités, par l’addition ou la soustraction continue de quantités infiniment petites.
  - Les végétaux dans leur croissance si variée et parfois si rapide ne poussent cependant que par degrés insensibles, par développements infiniment, petits, qui, ajoutés les uns aux autres pendant un mois, une année, forment la pousse de cette période.
  - Un enfant grandit rapidement vers 10 à 12 ans quand il croît de 0m,10 par an ou en
  - 3600" X 24h X 3653 = 31 536 000",
  - ou de
  - 0m,10
  - 31 536 000
  - = 0m,000 000 003,
  - ou 3 millionièmes de millimètre en 1"; et comme on peut
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- - NOTIONS PRÉLIMINAIRES.
  - 7
  - fractionner la seconde en quelque sorte indéfiniment, on voit que l’accroissement peut l’être de même.
  - C’est encore ainsi que le passage des piétons, qui en quelques années usent les dalles en lave d’un trottoir, la chute d’une cascade qui depuis des siècles ronge le rocher de granit sur lequel elle tombe, le passage de la vapeur à travers le tiroir distributeur qu’elle use en 20ou30 ans, enlèvent et détruisent à chaque instant des quantités infiniment petites qui, ajoutées les unes aux autres, produisent une destruction finie.
  - 4. Observations sur ces exemples. — Ces exemples n’ont pour but que de faire sentir que toutes les quantités croissent et diminuent graduellement par éléments infiniment petits qui, ajoutés les uns aux autres pendant des temps finis, forment des quantités finies.
  - Ces notions nous seront nécessaires pour l’étude des effets mécaniques, qui ne s’accomplissent jamais brusquement et dans des temps nuis, mais par degrés quelquefois lents et parfois si rapides, que nos sens et nos moyens d’observation ne peuvent en saisir la durée, sans que pour cela cette durée puisse jamais être supposée nulle. Elles nous permettent de regarder les corps comme un assemblage de points matériels aussi petits que l’on voudra, mais ayant toutes les propriétés de la matière telles que la pondérabilité, l’impénétrabilité, etc., etc.
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- - DES FORCES ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL.
  - 5. Inertie de la matière. — « Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque cause étrangère n’agisse sur lui et ne le contraigne à changer d’état. « (Newton, lre loi du mouvement.) De cette loi fondamentale il résulte, comme nous l’avons déjà vu, que, dans le mouvement varié, si la cause qui produit la variation cesse son action, le mouvement devient uniforme ; et que, dans le mouvement curviligne, si la cause qui oblige le corps à changer à chaque instant de direction cesse d’agir, le mouvement se continue dans la direction du dernier élément curviligne décrit, et par conséquent suivant 1^tangente.
  - 6. Définition des forces. — Ces causes étrangères qui produisent, modifient, ou tendent à produire ou à modifier le mouvement, sont ce qu’on nomme des forces. Telles sont : l’attraction, la pesanteur, l’action des animaux, de l’eau, de l’air, de la vapeur, la résistance de l’air, le frottement, etc.
  - Puisque une action extérieure est toujours nécessaire pour changer l’état de mouvement d’un corps, cela lient donc à ce que le corps oppose une certaine résistance provenant de son inertie. Voici comment Newtou l’a définie : « La force qui réside dans la matière (vis insita) est le pouvoir qu’elle a de résister. Le corps exerce cette force toutes les fois qu’il s'agit de changer son état actuel de mouvement, et on peut alors la considérer sous deux différents aspects : ou connue résistante, en tant que le corps s’oppose à la force qui tend à lui faire changer d’état ; ou comme impulsive, en tant que
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- - DES FORCES ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL. 9
  - le même corps fait effort pour changer l’état de l’obstacle qui lui résiste. Ainsi on peut donner à la force qui réside dans les corps le nom très-expressif de force d’inertie. » (Newton , Principes, etc., vol. ï, p. 2.)
  - On peut rendre évident par des exemples que Xinertie est une force dont l’action se manifeste dans tous les changements de mouvement. Ainsi supposez un corps AB posé sur un corps AD, et déterminez par expérience le poids P qu’il faut suspendre à l’extrémité d’un til CE -13 attaché en un point C et passant sur une poulie de Fig. 4. renvoi pour renverser ce
  - corps AB ; il est clair que toute cause qui produira le renversement du corps, supposé symétrique, soit en avant, soit en arrière, équivaudra au poids P, et sera une force.
  - Or, si l’on fait marcher le plan AD d’un mouvement accéléré , on observera que, si l’accélération se fait avec une certaine rapidité, le corps AB se renversera en sens contraire du mouvement. Son inertie aura donc agi, dans ce cas, comme une résistance à l’accélération avec une intensité égale ou supérieure au poids P. — Si au contraire le mouvement, parvenu à une vitesse notable, uniforme ou accélérée , est retardé brusquement, le corps se renverse dans le sens du mouvement. L’inertie du corps a donc alors agi comme une puissance qui s’opposait au changement du mouvement avec une intensité égale ou supérieure au poids P. L’inertie ayant dans l’un et l’autre cas produit le même effet que la force, le poids P, on est donc autorisé à la regarder aussi comme une force.
  - Dans la communication rapide du mouvement que des chevaux ardents tendent à imprimer à une voiture, c’est Xinertie de la voiture qui, par sa résistance, fait casser les traits, les palonniers, etc. C’est la même cause qui fait ver-
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  - DES FORCES
  - ser une voilure lorsque, animée d’un mouvement rapide, elle éprouve en tournant un ralentissement brusque. C’est elle qui projette dans l’espace les voyageurs placés sur l’impériale d’un convoi de wagons arrêté dans sa marche ; qui fait rompre les cordages à l’aide desquels on veut retenir quelquefois trop rapidement des bateaux emportés par un courant, les ancres ou les câbles en fer des bâtiments auxquels les flots et les vents ont communiqué une grande vitesse, les boulets qui pénètrent dans les maçonneries, dans les terres, dans les sables , bien moins durs que la fonte, les dents des engrenages, quand on embraie brusquement des machines pesantes, comme des canons à forer, des meules de moulins à poudre , etc., etc.
  - On ne saurait trop engager les élèves à rechercher par eux-mêmes des exemples de ces effets de l’inertie comme force motrice ou résistante, pour se bien pénétrer de son existence et de son influence dans les mouvements variés.
  - 7. Mode d'action des forces.— Les forces agissent toujours graduellement d’une manière qui peut être constante ou variable, mais toujours continue ou progressive, pendant des temps d’une certaine durée. Cette action se manifeste tantôt par des degrés insensibles et avec lenteur, tantôt avec rapidité, mais jamais dans des temps nuis. Si les phénomènes s’accomplissent parfois dans des intervalles de temps inappréciables à nos sens et à nos moyens d’observation, cela tient uniquement à l’imperfection de ceux-ci; et, ce qui le prouve, c’est que plus on rend ces moyens sensibles, et mieux on peut apprécier la durée de phénomènes qu’on regardait auparavant comme instantanés.
  - Tous les corps étant plus ou moins compressibles, flexibles, mous ou élastiques, ils se déforment dans leur réaction réciproque en exerçant les uns contre les autres des efforts qui varient d’un instant à l’autre, et ces déformations, ces flexions plus ou moins grandes ne peuvent s’accomplir que dans des temps d’une certaine durée. Dans
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- - ET DE I A MESURE DE LEUR TRAVAIL. Il
  - les phénomènes si rapides de transmission du mouvement par le choc, les efforts développés et les vitesses transmises ou perdues ne le sont que graduellement et avec continuité. Il est facile de montrer des exemples de ce que nous venons de dire dans le choc des projectiles, le jeu de paume, le jeu de ballon , etc.
  - C’est donc faire abstraction d’une manière trop grave des effets naturels et partir d’une hypothèse trop contraire aux faits que de supposer, comme on se le permet quelquefois, que des chocs, des transmissions de mouvement aient lieu instantanément. Il en résulte toujours des notions et parfois des conséquences tout à fait fausses, et il importe au contraire de ne pas perdre de vue que toutes les forces qui agissent dans la nature sont analogues et comparables à des tensions, à des pressions, qui agissent graduellement et avec continuité.
  - 8. Mesure des forces.— Pour parvenir à la mesure des forces nous admettrons comme un axiome que deux forces sont égales quand, substituées l’une à Vautre, elles produisent le même effet dans les mêmes circonstances ou en détruisent une troisième qui leur est directement opposée.
  - Cela posé, si nous prenons un ressort, un peson, un dynamomètre, dont les flexions sous l’action de poids connus aient été mesurées et observées sur une étendue suffisante, et si nous soumettons ensuite ce peson à l’action d’une force quelconque, lorsque cette force aura produit dans le ressort une flexion égale à celle qui était due à un certain poids, il est clair que, si dans les deux cas le ressort a conservé son élasticité, la force et le poids ayant produit le même effet, surmonté la même résistance à la flexion, ces deux forces seront égales. Le poids pourra donc servir de mesure à la force.
  - Ce que l’on vient de dire pour le cas très-simple où il s’agissait seulement de mesurer la force, l’effort développé par des moteurs animés ou inanimés exerçant des
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  - DES FORCES
  - efforts de traction, tels que des chevaux, des locomotives , des remorqueurs, peut aussi se réaliser dans la pratique par des moyens simples, que nous ferons connaître plus tard.
  - Nous admettrons donc à l’avenir que toutes les forces qui agissent dans les machines sont comparables à des poids.
  - 9. Unité He mesure des forces. — Les forces étant comparables à des poids, nous adopterons l’unité de poids pour unité de mesure des forces, et nous les exprimerons en kilogrammes, ce qui signifiera simplement pour nous qu’elles produisent dans les mêmes circonstances le même effet que le nombre correspondant de kilogrammes agissant de la même manière.
  - 10. Dénominations diverses des forces. — On distingue quelquefois les forces par différents noms selon les circonstances dans lesquelles elles agissent. Ainsi on nomme forces motrices ou mouvantes celles qui produisent le mouvement ou l’entretiennent, forces résistantes celles qui tendent à l’empêcher ou à. le retarder, forces accélératrices ou retardatrices celles qui l’accélèrent ou le retardent, forces attractives ou répulsives celles qui sont relatives aux attractions ou répulsions. Enfin on emploie les mots de puissances et résistances pour distinguer les forces qui favorisent le mouvement et celles qui s’y opposent.
  - 11. Constitution des corps. — Nous avons déjà dit que tous les corps de la nature devaient être considérés comme composés d’éléments, de molécules infiniment petites. Ces molécules sont rapprochées les unes des autres par des forces attractives et tenues en même temps à de certaines distances par. d’autres forces appelées répulsives. Ce sont ces forces, qu’on nomme forces moléculaires, qui maintiennent le corps, ou les parties qui le composent, dans sa forme tant que quelque cause ne vient pas l’altérer.
  - !
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- - ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL.
  - 13
  - Lorsque les forces répulsives et attractives ont une grande intensité, les corps résistent avec énergie à toute cause, à toute force qui tend à les déformer, à les comprimer ou à les étendre, et l’on dit qu’ils sont solides. Mais cette dénomination est relative plutôt qu’absolue et les corps qu’on nomme liquides ou gazeux sont constitués comme ceux dont nous venons de parler et qu’on appel solides. Toute la différence consiste, comme nous l’avons indiqué, en ce que dans les corps solides les forces moléculaires attractives sont prépondérantes, qu’elles maintiennent les molécules à un plus grand état de rapprochement et qu’elles s’opposent avec plus d’énergie à leur écartement, à leur séparation, que dans les liquides où la facilité avec laquelle les molécules se séparent , se meuvent et se disjoignent sous l’action du plus faible effort, semble indiquer qu’il y a presque égalité entre les forces attractives et répulsives. Enfin, dans le gaz les forces répulsives l’emportent sur les forces attractives et ces corps tendent d’eux-mômes à occuper des volumes de plus en plus grands à mesure que les obstacles, les enveloppes qui s’y opposent, deviennent plus faibles.
  - Il suit de ces considérations qu’à proprement parler il n’y a pas de limite tranchée entre les solides, les liquides et les gaz, qu’ils sont constitués d’une manière analogue, qu’ils jouissent de propriétés communes , qu’il ne faut jamais perdre de vue que les molécules, les points matériels qui les composent sont susceptibles de se rapprocher ou de s’éloigner sous l’action de forces extérieures. Ces notions conformes à la nature même des corps excluent l’idée absolue de corps durs ou inflexibles et celle de corps mous dénués de toute faculté de retour partiel ou complet vers leur forme primitive ou de toute élasticité.
  - 12. Principe de l’action égale et contraire à la réaction. — On concevra facilement, d’après ce qui précède, que quand deux corps se pressent, se tirent ou se choquent, il se dé-
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  - DES FORCES
  - veloppe aux points de contact, de la part de l’un, des efforts de compression ou d’extension, et de celle de l’autre des efforts de répulsion, de résistance, opposés et égaux. Les molécules comprimées, les ressorts moléculaires fléchis ou tendus, réagissent avec une force précisément égale et contraire à celle qui les comprime, les fléchit ou les tend. Il en est de même dans les actions attractives ou répulsives qui s’exercent à distance, de sorte que les corps ou les molécules qui les composent s’attirent ou se repoussent avec des énergies précisément égales et contraires. Ces effets réciproques constituent l’un des principes fondamentaux ou axiomes de la mécanique, que l’on énonce en disant avec Newton, qui l’a exprimé le premier, que Yaction est toujours égale et contraire à la réaction, c’est-à-dire que les actions de deux corps l'un sur l’autre sont toujours égales et dans des directions contraires. (3e Loi.)
  - 15. Observation sur cette loi. — (Cas de deux hommes tirant aux extrémités d’une même corde. — Pénétration des projectiles, réaction du milieu pénétré.)
  - 14. Point d’application des forces. — L’action d’une force sur un corps ne se transmet que de proche en proche du point où elle est immédiatement appliquée à l’intérieur, par une succession de flexions des ressorts moléculaires ; il faut, comme on l’a dit au n° 7, un certain temps pour que cette transmission s’opère. Lorsque la force devient constante, il se produit un état d’équilibre entre elle et les ressorts qu’elle fléchit, et, à partir de cet instant, si l’équilibre subsiste, on peut regarder les corps comme rigides et inextensibles. Or, dans les machines, on emploie toujours des corps assez peu flexibles et proportionnés de telle sorte que les efforts auxquels ils sont soumis les fléchissent d’une quantité assez petite pour qu’on puisse négliger les effets des flexions, qui ne se produisent en général d’une manière sensible qu’au commencement de l’action ou du mouvement; et dans tous les cas semblables on peut regarder les
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- - ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL.
  - 15
  - corps comme rigides et les efforts comme transmis dâns leur direction propre en un point quelconque de cette direction invariablement lié au véritable point d’application.
  - Mais quand il y a des chocs, des efforts variables, donnant lieu à des compressions fréquemment répétées, nous verrons qu’il en résulte des pertes d’effet dont il faut tenir compte. Cette réserve s’applique évidemment aussi aux corps mous qui se déforment sous l’action des forces extérieures.
  - 15. Effet et travail des forces. — Il résulte de ce qui précède qu’à partir du moment où une force commence à agir, elle produit dans le sens de son action des flexions et des compressions; et que son point immédiat d’application cède, marche, se déplace, dans le sens de cette action jusqu’à ce que, la résistance des ressorts moléculaires étant égale à l’action qui tend à les fléchir, ce déplacement relatif cesse. Alors, si le corps est retenu par des obstacles ou par des résistances supérieures, l’action de la force est annulée; son effet est nul, en ce sens qu’il n’y a pas de mouvement produit. Tel est le cas d’un support, d’une colonne, d’un homme supportant en place un fardeau, d’une cariatide, des chevaux qui ne peuvent faire marcher une voiture embourbée, d’un laminoir trop serré qui ne peut vaincre la résistance du fer, etc.
  - Pour que les forces produisent un effet mécanique, industriel, un travail utile, il faut donc qu’elles fassent parcourir à leur point d’application un certain chemin dans leur direction propre. Ainsi la condition fondamentale du travail mécanique ou industriel des forces, c’est qu’il y ait à la fois effort exercé, et chemin parcouru en vertu de cet effort.
  - 16. Mesure du travail d'une force constante, quand le chemin parcouru par son point dapplication l’est dans sa direction propre. — Il est alors évident que l’effet, le travail produit par la force* est proportionnel : 1° à l’intensité de son effort,
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- - IG
  - DES FORCES
  - 2° au chemin parcouru, et par conséquent au produit de ces deux facteurs. Ainsi, dans l’élévation des fardeaux, l’extraction des minerais; le tirage des voilures, des charrues; le halage des bateaux, et l’épuisement des eaux, il est évident que pour un même poids, un même effort, l’effet est double si le chemin parcouru est double ; et que pour un même chemin l’effet est double, triple, si la résistance est double ou triple.
  - Les efforts étant comparables et comparés à des poids dont l’action produirait le même effet, et les chemins parcourus étant exprimés en mètres, on voit que le travail d’une force constante sera représenté par le produit de son intensité exprimée en unité de poids ou en kilogrammes par le chemin parcouru dans sa direction propre exprimée en unités de longueur ou en mètres. Or, si l’on prend pour unité de travail celui qui correspond à un kilogramme élevé à 1 mètre, le travail d’une force F, qui aura fait parcourir à son point d’application un chemin E, sera exprimé par F.E kilogrammes élevés à 1 mètre, ce que l’on désigne par l’indice k m écrit à droite et un peu au-dessus du produit F.E. Ainsi qu’il suit FEkm.
  - 17. Représentation de ce travail par la surface d’un rectangle. — Si l’on prend le chemin parcouru E pour la hase d’un rectangle dont la hauteur serait à une certaine échelle l’effort F, il est évident que le produit F.E sera la mesure de la surface de ce rectangle, ou que réciproquement cette surface pourra être prise pour représenter le travail F.E.
  - 18. Mesure du travail d'une force variable. — Lorsque la force varie, on peut encore appliquer le même mode de mesure à chacun des espaces élémentaires infiniment petits parcourus e et pendant lesquels il est permis de considérer la force comme constante. Le travail correspondant à chacun de ces espaces élémentaires est donc représenté encore par le produit Y.e.
  - Si l’on porte sur une ligne droite AB prise pour axe des
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- - ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL.
  - 17
  - abscisses les chemins parcourus, el qu’en chaque point de division on élève une perpendiculaire représentant à une certaine échelle l’effort exercé, on aura ainsi une surface
  - courbe limitée par la ligne des abscisses, par les ordonnées extrêmes et par la courbe qui passe par les extrémités de toutes les ordonnées. Si l’on
  - jb considère le petit trapèze élémentaire correspondant à un
  - A
  - e
  - Fig. 5.
  - effort quelconque F et à un élément de chemin e, il est clair que la surface de ce petit trapèze sera F.e, et quelle représentera le travail élémentaire correspondant au petit chemin e.
  - Le travail total pour un chemin E se composant de la somme de toutes les quantités de travail élémentaires Fe, il est évident qu’il sera représenté par la surface totale limitée par la courbe. Il ne s’agira donc que de trouver celte surface ou la somme de tous les produits élémentaires F.e. Le calcul donne dans certains cas le moyen de l’obtenir directement; mais dans beaucoup d’autres, et pour la pratique, il est plus commode d’employer les méthodes de quadrature, et en particulier celle de Simpson, que l’on a exposée dans la Ire leçon.
  - Il est d'ailleurs tout à fait indispensable de recourir à ces méthodes quand on veut estimer le travail transmis par les moteurs animés, et par beaucoup de machines, dans lesquelles l’effort transmis varie sans cesse, suivant des lois impossibles à trouver.
  - 19. Application au travail développé par les chevaux dam le halage d’un bateau poste sur le canal de l’Ourcq. — A l’aide d’instruments, que nous décrirons prochainement, on a obtenu une courbe expérimentale ou relation graphique entre les espaces parcourus et les efforts exercés. 11 serait impossible par aucune méthode de calcul direct d’obtenir
  - 2
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- - DES FORCES
  - 18
  - la relation qui lie les efforts aux chemins parcourus pour en déduire le travail, mais la quadrature nous en fournira les moyens. Opérant, par exemple, sur un espace de 48 mè-
  - tres de longueur, que l’on partage en 12 parties égales, on trouve pour les ordonnées Fj, F2..., Ftt| Fu, les valeurs suivantes., d’après l’échelle des flexions du ressort.
  - kil. kil.
  - Fj =87 F2 = 124,7 F» = 128,5 F4 =121,0 215,5 Fe = 90,7 F8 = 109,5 F10=: 71,8 Fj2 = 85,0
  - _4„
  - F3 =117,0 __48
  - Fs = 98,3 12 ~ 12 F7 = 94,5 F9= 94,5 Fh= 71,8
  - 476,1X2 = 952,2
  - 602,7X4 = 2410,8.
  - Le travail total pour cet espace est donc :
  - | X *[215,5 + 2410,8 -f 952,2] = 477ltm,33.
  - Cette expérience est relative à un cas où le bateau pesait avec son chargement 7147 kil., et marchait h la vitesse de 4m,71 en 1", ou 16kilom,956 à l’heure.
  - 20. Machine à vapeur à Indret. — Le diamètre du piston étant de 0m,36,
  - 362 1,273
  - sa surface =
  - = 1020 centimètres carrés.
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- - 49
  - ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL.
  - La course totale est de 0m,92. En la partageant en 16 parties égales on a
  - 4^ = 0",01 917.
  - Le relèvement de la courbe des pressions fournie par Pin*
  - i ï i i i i
  - V IF
  - > 3P 3, T
  - J? ï
  - U- SS a& âa
  - jo ai, aa. as
  - dicateur donne les résultats suivants pour les pressions sur chaque centimètre carré de la surface du piston.
  - kil.
  - F* =0,193 F2 F17 = 0,207 F4
  - : 1,102 1,930
  - 0,400 F6 =1,985 Fs = 1,985 Fw = 1,930 F« = 1,138 F» = 0,724 Fm = 0,468
  - kil.
  - F3 = 1,585 Fi-f F17 = 0,400 Fs =1,965 4(F2...-j-F16) = 45,048 F7 = 1,985 2(F8...+ F15) = 21,820 F9 =1,985 Fm= 1,723 Fis =1,033 F1S = 0,634
  - 10,910X2 = 21,820
  - 67,268
  - 11,262X4=45,048
  - Et pour le travail développé par la vapeur dans une course 0m,01 917 X 1020c,tI X 67k,268 = 13l5km,318_
  - 21. Effort moyen d’une force variable..— Il est souvent utile ou même nécessaire de connaître l’effort moyen d’une force variable, c’est-à-dire l’effort constant qui produirait le même travail en faisant parcourir le même chemin à son point d’application. D’après cette définition et ce que l’on a dit précédemment, si l’on nomme T le travail développé par
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- - 20
  - DES FORGES
  - l’effort variable et E le chemin total parcouru par le point (l’application, on aura T=F.E ; d’où
  - T
  - F —
  - E'
  - AUC
  - f V
  - L
  - M
  - Fig. 8.
  - Ainsi l’on obtiendra l’effort moyen d’une force variable en
  - divisant le travail total par le chemin parcouru. Il ré-suite aussi de là que, le travail de l’effort variable étant y. représenté (fig. 8) par Faire AabcdefM, le travail de l’effort moyen constant correspondant sera représenté par la surface du rectangle AA'M'M de même aire que la courbe.
  - Il est bon de remarquer, dès à présent, que les points b, c et e, où la courbe des efforts variables coupe la ligne A'M' de l’effort moyen constant, correspondent à des positions où ces deux efforts, ainsi que le travail élémentaire qu’ils développent sont égaux. De plus les aires A'ab et cde au-dessus de la droite A'M' représentent l’excès du travail de l’effort variable sur celui de l’effort constant pendant que le corps parcourt les distances AB et CE, tandis que les aires comprises entre la courbe et le dessous de A'M' représentent les excès du travail de l’effort constant sur celui de l’effort variable. La somme des premiers excès doit d’ailleurs évidemment être égale à la somme des seconds.
  - 22. Observations sur le mode de calcul suivi par les praticiens anglais. — Quelques auteurs, et particulièrement des ingénieurs praticiens anglais, prennent souvent dans le calcul de l’effet des machines à vapeur la moyenne arithmétique entre les efforts ou pressions extrêmes pour l’effort moyen, et la multiplient par le chemin parcouru. Or, si, par exemple, il s’agit du travail développé par la vapeur pendant sa détente, la courbe qui donnerait l’effort corres-
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- - ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL.
  - 21
  - pondant à chaque course du piston serait, comme on le verra et comme l’indique la figure, convexe vers la ligne
  - des abscisses; et, en prenant la moyenne arithmétique entre les ordonnées extrêmes, puis la multipliant par «c, on aurait
  - l’aire du trapèze abdc, bien supérieure à celle de la courbe.
  - 25. Cas où l’on peut prendre la .moyenne arithmétique d’un
  - O
  - Fig. 9.
  - certain nombre de valeurs variables pour celle de l’effort moyen. —Mais quand les valeurs de l’effort oscillent périodiquement autour d’une certaine valeur ou entre certaines limites, qu’elles sont en très-grand nombre et prises d’une manière indépendante de la périodicité plus ou moins régulière de leurs oscillations, on peut, avec une exactitude suffisante pour la pratique' ordinaire, prendre.Ja moyenne arithmétique d’un grand nombre de ces valeurs pour l’effort moyen. C’est en particulier ce qui arrive dans les expériences sur l’action des moteurs animés, sur l’effort transmis aux machines diverses de fabrication, ainsi qu’on en verra des exemples.
  - 24. Applications. — On a vu que, dans une expérience citée à la précédente leçon, le travail développé par les trois chevaux attelés h un bateau poste était de 4771klll,33 pour un espace de 48m. L’elTort moyen qui aurait produit le même travail suait
  - ou par chaque cheval
  - De mémo, dans l’exemple relatif au travail développé sur le piston de la machine de l’atelier d’ajustage d’indret, on a
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- - 22 DES FORCES
  - trouvé pour une course de 0m,92 un travail total de 1315km,318. L’eflort moyen correspondant serait
  - 1315km,318
  - 0m,92
  - 1429k,6,
  - La surface totale du piston étant de 1020 cent, carrés, cet effort moyen correspond à une pression de
  - I429k,6
  - 1020
  - = lk,402
  - par centimètre carré.
  - 23. La notion du travail est indépendante du temps. — On voit par ce qui précède que la mesure du travail ne suppose qu’un effort exercé et un chemin parcouru dans la direction propre de cet effort. Elle est donc par elle-même indépendante du temps. Ainsi, par exemple, dans l’élévation des fardeaux ce n’est pas par la durée du travail que l’on règle les prix, îwtis par le produit de la charge et de la hauteur d’élévation.
  - Cependant, lorsque le travail est longtemps et périodiquement répété de la même manière, il est clair que, quand on a sa mesure pendant un certain temps, elle suffit pour déterminer celle qui est relative à une autre durée. C’est ainsi que, dans la marche périodique des machines à vapeur, des roues hydrauliques, des moteurs animés, on rapporte le travail à l’unité de temps , que l’on prend ordinairement égale soit à 1 jour, à 1 heure, à 1 minute ou à 1 seconde. Cette dernière unité est celle que nous emploierons le plus souvent.
  - Pour les moteurs animés, dont le travail a une durée limitée par la fatigue et par la nécessité du repos, il faut joindre à l’estimation du travail en 1 seconde l’indication de la durée totale de ce travail, car elle influe beaucoup sur le travail dans chaque unité de temps. Ainsi un fort cheval de roulage peut travailler 8 à 10 heures par jour en développant au pas à la vitesse de lm,00 en 1 seconde une
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- - ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL.
  - 23
  - quantité de travail de 60 à 65km, tandis que les chevaux employés au halage du bateau poste qui, dans le cas que nous avons calculé, développaient un effort moyen de 33kil, 13 en parcourant 4m,71 en 1 seconde, ce qui correspond à un travail de 33kil,13 X 4m,71 = I56km,04, ne peuvent travailler que 2 heures au plus par jour en quatre reprises, se reposent un jour sur quatre, et succombent rapidement à ce service pénible.
  - 26. Dénominations diverses du travail mécanique. — L’effet mécanique des forces, que nous mesurons par le produit de l’effort et du chemin parcouru dans sa direction propre, a reçu différents noms qu’il est utile de connaître.
  - Smeaton, ingénieur anglais, auquel on doit d’utiles expériences sur les roues hydrauliques et sur les moulins à vent, le nommait puissance mécanique ; Carnot, moment d'activité; Monge et Hachette, effet dynamique; Coulomb et M. Navier, quantité d'action; MM. Coriolis et Poncelet, quantité de travail. — C’est cette dernière expression que nous adopterons comme la mieux appropriée au point de vue industriel, sous lequel nous considérons la mécanique.
  - 27. Unité de travail mécanique. — Quant à la valeur de l’unité de travail, nous avons dit que nous adopterions le kilogramme élevé à 1 mètre. Quelques auteurs ont proposé pour unité de travail l’élévation de lOOOkil., ou d’une tonne à 1 mètre de hauteur, et lui ont donné le nom de dyname ou dynamode.
  - Une autre unité qui, malgré sa dénomination vicieuse, est passée en usage, c’est celle qu’on appelle la force de cheval. Cette expression, introduite par Watt , alors que la machine à vapeur se substituait successivement aux manèges, exprime en mesurés anglaises un travail équivalent à 33 000 liv. avoir-du-poids élevées à 1 pied anglais en 1 minute; en la réduisant en mesures françaises, on trouve
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- - 24
  - DES FORCES
  - 33 000liv X 0,4534 = 14 962kil,l pied anglais = Om, 305, ce qui donne pour la seconde de temps.
  - 14 962kilX 0m,305 60"
  - = 76km,04 en 1".
  - La valeur généralement adoptée en France est de 75tm en 1 seconde.
  - Quoique cette estimation de la force de cheval soit aujourd’hui en quelque sorte une unité de convention, elle n’a pas de valeur légale, et il serait fort à désirer qu’une mesure législative lui donnât ce caractère, car c’est la monnaie du travail industriel. 11 est sans doute inutile de dire que cette expression n’a pas de rapport direct avec le travail réellement développé par les chevaux attelés à des manèges, lequel ne s’élève guère en moyenne qu’à 40 ou 45km en 1 seconde.
  - Exemple. Dans l’expérience relative à la machine à vapeur d’Indret, où nous avons trouvé le travail développé par la vapeur dans une course du piston égal à 1315km,318, il y avait 28 coups doubles en 1 minute, et le travail par seconde était
  - 1315kll,,3l8 X 56 60
  - 1227km,6,
  - et la force en chevaux de
  - 1227km,6 ,
  - ——— = 16,37 chevaux.
  - 28. Observations sur les conditions du travail mécanique. — Nous avons dit que le travail d’une force se mesurait par le produit de son intensité et du chemin parcouru dans sa direction propre; mais il doit être sous-entendu que ce chemin est parcouru par l’effet meme de la force. Ainsi un homme qui, dans un bateau, un convoi de chemin de fer, exercerait dans le sens du mouvement un effort sur un objet qui n’en recevrait pas de mouvement relatif, ne produirait aucun travail utile, quoique par l’effet du mouve-
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- - ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL. 25
  - ment de transport général le corps se mût dans la direction de l’effort.
  - Il en est de même du cas où l’effort est perpendiculaire au chemin parcouru; alors il y a pression, effort, mais point de travail produit par l’effort. Il en résulte des déformations, des frottements, donnant lieu, comme on le verra, à des pertes de travail, mais point d’effet utile immédiat. Nous ferons aussi remarquer que la définition du travail d’une force s’applique aussi bien au cas où le chemin parcouru par le point d’application de la force est dirigé en sens contraire de la force qu’à celui où il est dirigé dans le même sens. Dans ce dernier cas, le point d’application cédant et marchant dans le sens de la force, on dit que celle-ci développe un travail moteur ; dans l’autre, où le point d’application se meut dans un sens contraire à celui de la force, on dit que le travail de celui-ci est un travail résistant.
  - 20. Transport horizontal des fardeaux. — Ce genre de travail échappe au mode de mesure que nous avons adopté, ou du moins donne lieu à des effets, à des consommations de travail qui dépendent moins du poids transporté en lui-même que du mode de transport. Ainsi le transport d’un poids de 1000 kilogrammes qui se ferait par un traîneau glissant sur le sol, en donnant lieu à un frottement égal à 0,30 de la pression, exigerait par mètre parcouru un travail de 300kX lm; par voiture des proportions ordinaires, le 1
  - tirage étant — de la charge, il faudrait un travail de
  - 33k,33 X 1” = 33kn\33 ; par chemin de fer à faible vitesse,
  - la résistance n’étant
  - <*ueWo
  - 1000 _ 300 "
  - de la charge, le tirage serait = 3k,33,
  - et le travail pour 1 mètre égal à 3km,33.
  - On voit donc que le travail relatif au transport horizontal des fardeaux ne peut se mesurer, comme on le fait quelque-
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- - 26
  - DES FORCES
  - K
  - fois, par le produit du poids transporté et du chemin parcouru, qu’autant que l’on compare les résultats relatifs à des services, à des modes de transport du même genre.
  - 50. Cas où la force n'agit pas dans la direction même du chemin parcouru. — Si le chemin parcouru est A a, tandis ji que la direction de la force est AF, il est clair que le chemin parcouru dans la direction même de la force sera déterminé par la per-a pendiculairc ab, abaissée de a sur
  - Fis-10- AF, et égal à A b. Le travail déve-
  - loppé par la force F sera donc, d’après la définition, F X A&.
  - C’est d’ailleurs ce qu’il est facile de faire sentir parla considération de la figure ci-contre. Soit AB la direction de la force P sollicitant à un instant quelconque le corps qui décrit la courbe LM, sur laquelle il est supposé parvenu au point A. Si l’on conçoit que la ligne AB soit un fil inextensible et parfaitement flexible, et que l’action de la force P soit remplacée par celle d’un poids Q agissant à l’extrémité de ce fil, que l’on suppose enroulé à la circonférence d’une poulie o parfaitement mobile autour de son axe, il est clair que dans le déplacement élémentaire du corps de A en « le travail de la force P sera mesuré par le produit du poids Q multiplié par la quantité bb' dont il sera descendu. Or cette quantité bb' est égale à la différence de longueur des lignes AB et «B, dont le point d’intersection B peut être regardé comme le point de contact instantané des directions AB et «B avec la circonférence extérieure de la poulie. Mais, en enroulant la ligne «B sur la circonférence, son ex-
  - Fig. il.
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- - ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL.
  - 27
  - trémité a décrira un arc élémentaire de développante de cercle aa' perpendiculaire à AB, et la longueur A a' mesurera précisément la différence cherchée. L’arc aa' se confondant à la limite de la petitesse avec la perpendiculaire abaissée du point a sur AB, on voit en définitive que Aa' est ce que l’on nomme en géométrie la projection du chemin réellement parcouru A a sur la direction de la force, et dès lors il devient évident par cette figure que le travail élémentaire de la force P est mesuré par le produit P X Aa' de son intensité et de la projection Aa' sur sa direction propre du chemin infiniment petit A a que son point d’application parcourt réellement.
  - En résumé, lorsque la force n’est pas dans la direction du chemin parcouru, le travail dû à un déplacement élémentaire A a de son point d’application est le produit de l’intensité de la force par la projection de ce déplacement A a sur sa direction. Or ce produit est ce que l’on appelle en mécanique rationnelle le moment virtuel, tandis que nous lui donnons le nom de travail élémentaire. Celte identité nous conduira à plusieurs analogies avec les résultats de la mécanique rationnelle; mais l’expression si naturelle de travail nous facilitera plus d’une démonstration qu’elle rendra pour ainsi dire évidente.
  - 54. Exemples. Travail de la pesanteur sur un corps gui parcourt une courbe quelconque. — Si l’on considère le corps j} parvenu en A, et parcourant ensuite le petit chemin élémentaire Aa, le travail élémentaire correspondant développé par la pesanteur, dont la direction est verticale, sera le produit du poids P du corps par la hauteur A b qu’il a parcourue dans le sens de cette
  - force. La pesanteur étant constante pour un même lieu et des hauteurs peu différentes à la surface de la terre, le Ira-
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- - 28
  - DES FORCES
  - vail total développe après que le corps sera descendu de L en M sera le produit de P par la somme des projections analogues à A b ou par la hauteur totale de la descente H, et par conséquent égal à PH. Il est donc le même, quelle que soit la courbe de descente, et ne dépend que de la différence de niveau des extrémités de cette courbe.
  - 52. Manivelle et sa bielle. — Lorsqu’une bielle est assez longue pour que l’on puisse faire abstraction de ses obliquités, et si l’effort exercé dans sa direction est constant, il est clair que le travail total développé pendant une demi-révolution sera le produit de l'effort constant F et de la somme des projections F des arcs élémentaires ka sur sa direction, somme évidemment égale au diamètre 2R. Par conséquent le travail développé dans une demi-révolution est F X 2R.
  - 55. Observation relative au sens de l’effort par rapport à celui du chemin parcouru. — Si le chemin parcouru est dirigé en sens contraire de la direction de l’effort F, il est clair que le corps est entraîné par une autre force par rapport à laquelle l’effort F est une résistance vaincue ; on dit alors que le travail de la force F est résistant, soustractif ou négatif, c’est-à-dire qù’il doit se retrancher du travail moteur dont il consomme, absorbe une partie.
  - Ainsi, lorsqu’un corps descend sous l’action de la pesanteur, le chemin parcouru étant décrit dans le sens même de la force, elle agit comme puissance, et son travail est positif ; lorsqu’au contraire le corps monte , le chemin est parcouru en sens contraire de la force ; celle-ci agit comme résistance, et le travail est négatif. Si le corps descend et monte alternativement de la même hauteur, le travail moteur développé pendant la descente est égal au travail résistant consommé pendant la montée, et le travail total est
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- - ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL.
  - 29
  - nul. Il y a ainsi production et consommation alternatives de travail dans tous les cas où des corps montent et descendent périodiquement, comme les bielles, les manivelles, les pistons, les pendules, etc.
  - 54. Ressorts. — Il se produit de même une consommation de travail dans la flexion des ressorts et une restitution dans leur retour à la forme primitive. Elle est complète si le ressort reprend dans le débandement exactement la forme qu’il avait avant. Elle est incomplète et il y a consommation de travail toutes les fois que le retour à la forme primitive n’est que partiel.
  - 55. Dilatation et contraction. — Il en est encore de même lorsque par Faction de la chaleur un corps se dilate, et les efforts énormes développés dans ce cas sont tout à fait analogues à ceux que produisent les autres causes. En effet on sait par l’expérience qu’entre certaines limites les corps s’allongent ou se contractent de quantités proportionnelles aux efforts auxquels ils sont soumis. Ainsi, par exemple, une barre de fer s’allonge ou se contracte d’une quantité I, qui exprimée en mètres est donnée par la formule
  - i=-TL
  - 20 000
  - en appelant P la charge par millimètre carré de section, et I l’allongement par mètre courant. Réciproquement, quand une barre se contracte, elle exerce un effort égal à celui qui aurait été nécessaire pour produire cette même contraction, et l’on remarquera que cet effort ne dépend que de l’allongement par mètre courant.
  - Si, par exemple, une barre de fer de 30millim. de côté à section carrée s’allonge de I = 0m,0005 par mètre, l’effort capable de produire cet allongement sera
  - P = 20 000 X 0m,0005 = 10t!losr par millimètre de section,
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- - 30
  - UES FORCES
  - Remarquant maintenant que de 0° à 100° une barre de fer doux s’allonge de lmill,2205 (voir les traités de physique) par mètre, il s’ensuivra que la quantité dont il faudra élever sa température pour l’allonger de 0“iU,5 par mètre sera donnée par la proportion
  - rirt
  - imill,2205 : ioo° : : omill,5 : x — =40°,96,
  - 1.2205
  - soit 41°. Ainsi, en augmentant seulement la température de cette barre de 41° environ , on peut lui faire produire contre des obstacles qui s’opposeraient à son allongement un effort de 9000 kilogr.
  - Réciproquement, si cette barre , après avoir été chauffée et tendue, se refroidit, elle exerce des efforts de traction considérables dépendant du degré de refroidissement. Dans le cas d’un refroidissement de 41°, une barre de 30 millim. carrés exercerait un effort de contraction de 9000 kilogr.
  - Cette propriété importante des corps d’exercer des efforts de dilatation ou de retrait, de contraction , considérables, est souvent mise à profit dans les arts. Le cerclage des roues, des moyeux, des arbres de roues hydrauliques; celui des voûtes, et en particulier celui de la coupole de Saint-Pierre de Rome; le cerclage de la fonte, etc., en sont autant d’exemples.
  - Le redressement des murs du bâtiment de l’ancienne bibliothèque du Conservatoire a été, dit-on, opéré par des moyens analogues avec le plus grand succès. Les barres employées ont 60 millim. sur 22 millim. ou 1320 millim. carrés de surface. On les a chauffées au moyen d’un gril suspendu, et, à mesure qu’elles se sont allongées par la chaleur, on les a tendues à l’aide de forts écrous avec rondelles en fonte. Cela fait, on les a laissées refroidir. Si, par exemple, leur température a baissé de 41° seulement, le retrait a été de 0raill,0005 par mètre, et l’effort correspondant de 10 kilogr. par millimètre carré ; l’effort que chaque barre pouvait exercer était de
  - 1320 X 10k~ 13 200k.
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- - ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL. 31
  - Quant au travail développé par cette force, il est facile de le calculer. En effet, de 0°à 100°et même au delà l’expérience prouve que les allongements sont proportionnels aux températures, de sorte que, I' représentant l’allongement à 100° et I celui qui est relatif à T°, on a
  - I' : ioo : : I : T ;
  - d’où
  - T__I'T___0m,001 220 5 T
  - “100~ 100 ’
  - par conséquent si l’on nomme Li la longueur de la barre à la température zéro, cette longueur croîtra par mètre courant et en passant à la température T de la quantité I = K T et deviendra :
  - L = Li -f- KLiT=Ldi + KT).
  - De même en passant de la température zéro à la température T'la longueur de la barre deviendra
  - L' = Li(1 + KT').
  - L’allongement de la barre en passant de la température T à la température T'sera donc
  - L'—L = LiK(T'—T)
  - et rallongement par mètre courant sera
  - I = t = K (T'— T).
  - D’où l’on voit que l’allongement par mètre courant ne dépend que de la différence des températures et non de l’élévation de chacune d’elles en particulier.
  - Il en est par conséquent de même de la force
  - P=IX 20 000tu=20 000 K (T'— T)
  - qui croît proportionnellement à la différence des températures et est la même pour des différences égales.
  - Cela posé, si l’on porte sur une ligne d’abscisses à partir de zéro les allongements L'—L=KLt(T —T) qui sont d’abord
- p.31 - vue 40/470
- - 32
  - DES FORCES
  - nuis pour T'=T, et qu’aux points de division qui en résultent on élève des perpendiculaires ou ordonnées égales aux efforts de dilatation ou de contraction qui ont pour valeurs celles que prend la force
  - P=20 0001 = 20 000 K (T'—T),
  - il est clair que les ordonnées étant proportionnelles aux
  - abscisses, les points ainsi déterminés seront en ligne droite, et que Ton formera ainsi un triangle, dont la surface exprimera le travail développé par les efforts de dilatation ou de contraction
  - A
  - Fig. 14.
  - correspondants aux différentes températures T'—T. La surface de ce triangle est d’ailleurs égale à
  - ^20 OOOK2L1.(T'—Tjs,
  - de sorte que le travail développé par les efforts de dilatation ou de contraction a, en définitive, pour valeur,
  - 10 000K2Li(T—T),km,
  - ou en remettant pour K sa valeur ——-, celte expression du travail devient :
  - (0,001 220 5)*Li(T'—T)Skm.
  - Elle montre que ce travail est proportionnel à la longueur de la barre à la température de zéro et au carré de la différence des températures.
  - On voit de plus qu’il ne dépend point de ces températures elles-mêmes, mais bien de leur différence, de sorte qu’à une même variation correspond toujours le même travail.
  - Si l’on suppose T=20°, T'=61°, on a T'—T=4l°, et par
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- - ET DE LA MESURE DE LEUR TRAVAIL.
  - 33
  - suite le travail par mèlrS courant et par millimètre carré de section de la barre est
  - (0,0 012 205)’X 4Î2=0kra,0025 ;
  - et pour les 1320 millimètres carrés, sur une longueur de 10 mètres, il sera
  - 0tm,0025 X1320 X 10=33km,00.
  - 50. Limite de variations de température qu’il convient d’employer. — Nous nous sommes borne dans les calculs précédents à celte variation de température, parce qu’elle correspond, comme on l’a vu, à un allongement ou à un raccourcissement de Omill,5 par mètre et celui-ci à un effort d’extension ou de compression de 10 kil., qui, d’après l’observation des bonnes constructions, est une limite supérieure des efforts que le fer forgé peut supporter par millimètre carré de section, sans que l’on craigne d’altérer son élasticité, ainsi que nous le verrons plus tard. Il importe de se renfermer de même dans les limites d’extension ou de contraction entre lesquelles l’élasticité ne s’est pas altérée.
  - 3
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- - DES DYNAMOMÈTRES
  - OU DESCRIPTION ET CONSTRUCTION DES INSTRUMENTS PROPRES A MESURER LE TRAVAIL DÉVELOPPÉ PAR LES MOTEURS ANIMÉS OU INANIMÉS.
  - 57. Conditions générales et particulières auxquelles ces instruments doivent satisfaire. — Nous avons vu dans les précédentes leçons que le travail développé par une force constante F qui faisait parcourir à son point d’application un chemin E dans sa direction propre avait pour mesure le produit FE , et que , si l’effort F était variable, le travail total développé quand le corps avait parcouru un chemin quelconque E était la somme de toutes les quantités de travail élémentaires Fe successivement développées le long des éléments e du chemin parcouru. Dans ce dernier cas, nous avons montré comment, à l’aide du calcul ou de la méthode de quadrature de Simpson, on obtenait cette somme de produits analogues à Fe pour un chemin total donné E parcouru dans la direction de l’effort. Enfin nous avons défini l’effort moyen d’une force variable et indiqué comment on le déduisait du travail total en divisant celui-ci par le chemin total parcouru.
  - Les instruments destinés à mesurer le travail développé par les moteurs animés ou inanimés doivent donc fournir par leurs indications le produit de l’effort et du chemin parcouru, quelles que soient leurs variations simultanées. Telle est la condition générale à laquelle il faut chercher à satisfaire toutes les fois qu’il n’y a pas d’impossibilité , comme il s’en présente pour les bateaux. L’illustre Watt est le premier qui ait satisfait à cette condition dans la con-
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  - struction de l’appareil dynamométrique, auquel il a donné le nom à'Indicateur de la pression, et dont on trouvera plus loin la description. Cela posé , voici les conditions particulières qu’il convient encore de remplir :
  - 1° La sensibilité de l’instrument doit être proportionnée à l’intensité des efforts à mesurer et ne doit pas pouvoir s’altérer par l’usage.
  - 2° Les indications des flexions du ressort doivent être obtenues d’une manière indépendante de l’attention, de la volonté ou des préventions de l’observateur, et par conséquent fournies par l’instrument lui-même au moyen de traces ou de résultats matériels qui subsistent après l’expérience.
  - 3° Il faut que l’on puisse obtenir l’effort exercé en chaque point de l’espace parcouru par le point d’application de l’effort, ou dans certains cas , à chaque instant de la durée des observations.
  - 4° Si l’expérience doit être, par sa nature, continuée longtemps, il faut que l’appareil permette de totaliser facilement la quantité de travail dépensée par le moteur.
  - Pour satisfaire à la première condition, il convient d’employer des lames qui prennent des flexions proportionnelles aux efforts exercés, et qui aient la forme des solides d’égale résistance. Cela procure beaucoup de facilité pour les relèvements et donne à l’instrument une grande sensibilité.
  - 58. Règles pour proportionner les lames de ressort. — La théorie de la résistance des matériaux à la flexion, d’accord avec les résultats connus de l’expérience, montre que, quand une lame métallique à section rectangulaire constante est encastrée par l’une de ses extrémités, et soumise à l’autre à l’action d’un effort P, perpendiculaire à sa longueur ou à sa direction primitive , ou quand une lame élastique de même forme est posée librement sur deux appuis et soumise en son milieu à un effort P, dirigé comme nous venons de le
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  - dire, la flexion F qu’elle prend, tant qu’elle ne dépasse pas les limites de l’élasticité, est :
  - 1° Proportionnelle à l’effort P ;
  - 2° Proportionnelle au cube du bras de levier c de cet effort ;
  - 3° En raison inverse de la largeur a de la lame dans le sens perpendiculaire au plan de flexion;
  - 4° En raison inverse du cube de l’épaisseur b de la lame à la partie encastrée pour le premier cas, et en son milieu pour le second;
  - 5° En raison inverse d’un nombre E constant pour chaque corps, qu’on nomme coefficient ou module d’élasticité et qui exprime en kilogrammes le poids qui serait capable d’allonger d’une quantité égale à sa longueur primitive une barre prismatique formée de cette substance ayant l’unité de surface pour section transversale, si un pareil changement dans les dimensions était possible sans que le nombre E variât de valeur.
  - Déplus, si le profil longitudinal de la lame présente la forme parabolique des solides d’égale résistance (voir les Leçons sur la résistance des matériaux), les flexions sont doubles de celles que prendrait sous les mêmes efforts une lame d’épaisseur uniforme sur toute la longueur, et la résistance à la rupture reste la même.
  - D’après cela, on a pour des ressorts d’égale résistance, conformément à la théorie et à l’expérience, la relation
  - formule à l’aide de laquelle on peut calculer l’une quelconque des quantités qui y entrent, quand on connaît les autres. L’expérience de la construction d’un grand nombre de lames de ressorts m’a montré qu’en les faisant avec de l’acier d’Allemagne de bonne qualité, trempé et recuit aü degré convenable, la valeur du coefficient d’élasticité à employer était
  - E = 20 859 000 000 kilogrammes.
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  - 37
  - 58. Rapport qu'il convient d’établir entre les diverses proportions. — La largeur a de la lame doit être limitée à 0m,040 ou 0m,050 au plus, parce que le gauchissement produit par la trempe est d’autant plus sensible que la lame est plus large, ce qui offre des difficultés pour l’ajustage.
  - L’observation des ressorts que j’ai fait exécuter m’a montré que les flexions des lames restaient proportionnelles aux
  - 1
  - efforts, tant qu’elles ne dépassaient pas — de leur longueur pour les plus fortes, ^ pour les plus faibles, mesure prise
  - depuis la partie encastrée.
  - D’après ces données il sera facile de calculer l’épaisseur ô, qu’il conviendra de donner à une lame à sa partie encastrée, pour que sous un effort déterminé elle prenne une flexion connue. Elle est fournie par la formule
  - b*—
  - Haf"
  - 59. Profil longitudinal des lames. — Cette dimension étant obtenue, on détermine la forme du profil longitudinal de la lame au moyen de la formule
  - dans laquelle, b et c étant les quantités déjà désignées, x
  - représenterait l’abscisse de la courbe mesurée depuis son origine B et y son ordonnée correspondante.
  - 40. Disposition des lames de ressorts *. — Les lames des
  - * Voir pour plus de détails la description des Appareils dijnamomé-triques, etc. Chez L. Mathias, 15, quai Malaquais.
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  - ressorts destinés à mesurer la traction des moteurs animés, sur des voitures, des charrues, des bateaux, etc., sont disposées comme l’indique la figure (pl. I, fig. 1).
  - Deux lames aa! et bb' exactement semblables, dont les faces intérieures sont planes, et les faces extérieures paraboliques, sont terminées h leurs extrémités par un nœud d’articulation de même largeur, percé d’un trou alésé. De petits boulons en acier traversent ces trous h frottement doux et s’engagent dans des brides ff sur lesquelles ils sont fixés par des écrous.
  - Une griffe postérieure c est percée d’une ouverture pour le passage de la lame qui s’y introduit dans le sens de sa longueur; un épaulement d’une longueur égale à la largeur de la griffe a été ménagé au milieu de la lame et entre avec précision dans cette ouverture. Des vis de pression g à pointe conique serrent la lame dans cet encastrement.
  - Une griffe antérieure d reçoit pareillement la lame aa’ et porte un anneau r, auquel s’accroche la volée ou la corde sur laquelle le moteur agit.
  - L’accouplement des lames a pour effet d’ajouter les flexions de chacune d’elles et d’augmenter la sensibilité de l’instrument.
  - Pour les grands efforts à mesurer, on peut réunir quatre lames dont les résistances concourent à faire équilibre à la puissance.
  - On évite que les lames puissent être forcées en fixant à la griffe postérieure c deux brides d’arrêt i réunies par deux entretoises e contre lesquelles la lame antérieure vient s’appuyer quand la tension atteint la limite supérieure que l’on a fixée.
  - 41. Disposition pour obtenir une trace permanente des flexions du ressort. — La griffe antérieure porte une vis à travers laquelle peut glisser à frottement doux un tuyau de cuivre creux terminé par une douille conique, dans laquelle on adapte un pinceau sans plume. On remplit le tube d’encre
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  - 39
  - és, de Chine délayée à la consistance convenable. Quand le pin-
  - is- ceau est bien lavé et convenablement serré dans sa douille
  - conique, la capillarité suffit pour produire une alimentation les constante et régulière.
  - ra- On peut à volonté remplacer le pinceau par un crayon de
  - nd mine de plomb ordinaire ou du genre de ceux qui ne se
  - De taillent pas. Il faut alors que le tube et le crayon pèsent en-:nt viron 40 grammes pour que la trace soit suffisamment vint sible.
  - Les traces du style sont reçues sur une bande de papier ur enroulée sur un cylindre l servant de magasin, et qui passe sa sur trois petits cylindres qui la guident sous les styles et
  - ur empêchent le papier de fléchir sous l’action du vent ou sous
  - ec son propre poids.
  - à La feuille de papier s’enroule sur un autre rouleau g qui
  - sert de récepteur et sur lequel une de ses extrémités a été et fixée avec de la colle à bouche.
  - de Un second style k, porté par l’une des brides d’arrêt, et
  - par conséquent immobile, trace sur le papier une ligne qui ns correspond à un effort nul ou à la position des lames au
  - u- repos et donne ainsi le zéro des efforts ; de sorte que l’ef-
  - fort exercé est toujours mesuré par l’écartement de la courbe re tracée par le style mobile à celle ligne du zéro, la
  - 42. Manière de faire mouvoir le papier qui reçoit la trace nt du style. — Le mouvement de transport perpendiculaire à
  - ar la direction des efforts exercés est transmis à la bande, de
  - nt papier au moyen d’une corde sans fin, qui passe sur le
  - ne moyeu de l’une des roues de devant de la voiture et sur une
  - poulie de renvoi. Sur le prolongement de l’axe de celte poulie est une vis sans fin parallèle aux lames , et qui con-\es duit un pignon monté sur l’axe d’un petit cylindre. Sur ce-
  - à lui -ci s’enroule une corde de soie qui transmet le mouve-
  - \e ment au cylindre récepteur du papier.
  - ]e En proportionnant convenablement cette transmission,
  - re on peut, au moyen de bandes de papier de 16 à 18 mètres
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  - de longueur, prolonger avec une même bande les expériences sur une étendue de chemin parcourue de 800 à 1000 mètres et plus.
  - Mais si le mouvement était transmis directement à l’arbre du cylindre récepteur, dont le papier, en s’enroulant, augmente le diamètre extérieur, il s’ensuivrait que, bien que le mouvement du cylindre fût uniforme ou dans un rapport constant avec celui de la roue, celui de transport de la bande de papier s’accélérerait. Pour éviter cet inconvénient , le fil de soie enroulé sur le petit cylindre intermédiaire n se fixe par son extrémité libre à une fusée conique dont les diamètres sont calculés de manière à compenser l’accroissement graduel de diamètre du cylindre récepteur, et dont la surface est cannelée en filets héliçoïdes.
  - 43. Observation sur la quadrature des courbes tracées. — D’après cette description sommaire on voit que, le papier se déroulant sous le style avec une vitesse qui est dans un rapport constant avec le chemin parcouru, les longueurs de papier représentent ce chemin à une échelle connue par ce rapport. Les ordonnées de la courbe des flexions, mesurées depuis la ligne du zéro, étant proportionnelles aux efforts exercés, il en résulte donc que faire comprise entre la courbe, la ligne du zéro et deux ordonnées quelconques, représentera, selon ce qui a été dit au n° 18, le travail total développé dans cet intervalle par la puissance motrice,
  - 44. Moyens d’opérer cette quadrature. — Celte quadrature peut s’opérer, soit par de simples tracés et calculs ordinaires, soit par le relèvement des ordonnées à l’aide d’une glace transparente, préalablement divisée. Mais cette méthode est longue, et l’on peut lui substituer l’une des deux suivantes.
  - La première, qui dispense de tout calcul, consiste à tracer d’abord parallèlement à la ligne du zéro MN une ligne droite AB à une distance donnée de la ligne du zéro plus grande que la flexion maximum ou qui lui soit au plus
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- - DES DYNAMOMÈTRES.
  - égale. A cette ordonnée correspondrait un effort fictif constant, auquel serait dû un travail connu, représenté par
  - nv '
  - Fig. 16.
  - faire du rectangle MNBA. Or, a&cd...NM étant la courbe réelle des efforts donnés par l’expérience, on a évidemment la proportion.
  - L’aire MNBA : l’aire abc...NM : : le travail de l’effort fictif constant : au trayait cherché.
  - Mais, le papier étant fabriqué à la mécanique et d’épaisseur uniforme, les aires MNBA et Ma6c..N sont entre elles
  - comme leurs poids. Donc en les découpant, et pesant d’abord le rectangle entier, puis l’aire curviligne Ma&c.N, on
  - aura par une simple proportion le travail cherché.
  - Si, par exemple, l’on a employé un ressort de 700 kilogr., pour lequel un accroissement de flexion de lmill,25 corresponde à un effort de 10 kilogr. et une flexion constante ou une hauteur du rectangle de 70 mill. à 560 kilogr., en appelant P le poids de la bande de 70 mill. de hauteur, p le poids de la partie comprise entre la courbe et la ligne du zéro, E la longueur du chemin parcouru, F l’effet moyen développé par le moteur, on aura
  - F=560. | kilogrammes,
  - et le travail total de l’effort variable aurait pour valeur le produit FE.
  - 45. Usage du planimètré. — Le second moyen d’obtenir la quadrature des courbes rapidement et sans calculs, c’est d’v employer le planiinètre d’Ernst muni d’un cône en bois.
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  - Cet instrument se compose (pl. I, fig. 3 et 4) d’un cône bcb, dont l’axe est incliné sur le plan de la table qui porte l’instrument, de façon que son arcte supérieure soit parallèle à ce plan. Ce cône est monté à pointes sur deux supports fixés à une platine X, et sur son axe prolongé est une roulette aa, qui est pressée contre une bande LL, parallèle aux guides, suivant lesquels peut glisser la platine XX ; de sorte que, quand on pousse celte platine en avant ou en arrière, dans le sens de LL , la roulette et le cône tournent et font un nombre de tours proportionnel au chemin parcouru par le plateau.
  - Un compteur, dont la pièce principale est une roulette dd verticale et perpendiculaire à l’arête horizontale supérieure du cône, tournant autour d’un axe parallèle à cette même arête, est monté h pointes sur une pièce à coulisses ff, qui se meut avec la platine XX, mais qui peut en outre recevoir un mouvement perpendiculaire à la bande LL, de façon que la roulette peut se rapprocher ou s’éloigner à volonté du sommet du cône.
  - Le compteur reposant sur la surface du cône par son propre poids, on conçoit que, quand ce cône tourne, la roulette en fait autant, et il est évident que le nombre de tours qu’elle fait est toujours proportionnel : 1° au nombre de tours du cône ou à la longueur du chemin parcouru dans le sens LL, et 2° à la distance de la roulette au sommet du cône, ou au produit de ces deux quantités.
  - Cela posé, supposons que, la roulette étant au sommet du cône, une pointe g placée sur la coulisse ff corresponde à une ligne RS parallèle au guide LL et soit sur le point R, il est évident que, si l’on pousse la platine XX, de façon que cette pointe suive exactement la ligne RS, la roulette ne tournera pas, puisque la vitesse du sommet du cône est nulle; mais si la pointe g est en M, et la roulette à une distance du sommet du cône égale à MR = NS, lorsque la pointe sera poussée de M en N, le nombre de tours de la roulette sera proportionnel à la longueur RS, qui est la base
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  - du rectangle MNSR et à la hauteur du même rectangle. Il le sera par conséquent à la surface de ce rectangle. De même, si l’on fait suivre h la pointe g la ligne OP, le nombre de tours de la roulette sera proportionnel à la surface du rectangle ORSP.
  - Mais dans l’exécution de l'instrument l’on ne peut faire arriver la roulette jusqu’au sommet du cône, qui est supprimé, et il faut modifier un peu la manière d’obtenir la surface du rectangle à mesurer.
  - Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de calculer la surface du rectangle OMNP. L’on amène d’abord la pointe g au-dessus de la ligne MN en s’assurant qu’elle la suit bien exactement dans le mouvement de transport de la platine XX. On pousse alors tout l’instrument de façon que celte pointe g aille de M en N. La roulette du compteur fait alors un nombre de tours proportionnel à la surface du rectangle RMNS. On tire ensuite la coulisse ff et l’on conduit la pointe g au-dessus du point P, puis l’on ramène la platine XX en arrière, de manière que la pointe g suive la ligne PO.
  - Dans ce mouvement rétrograde la roulette tourne en sens contraire et fait un nombre de tours proportionnel à la surface du rectangle ORSP, et comme dans ces deux mouvements consécutifs elle a marché dans deux sens opposés, il est évident que le nombre définitif des tours qu’elle a faits est proportionnel à la différence des deux rectangles ORSP et MRSN ou à la surface du rectangle OMNP.
  - Le mouvement de la roulette se transmet par des engrenages aux aiguilles de deux limbes, dont l’une donne les unités, dizaines et centaines de millimètres carrés, et l’autre les mille de millimètres carrés.
  - Ce que nous venons de dire pour un rectangle s’applique exactement à la quadrature d’une surface terminée, comme dans les courbes tracées par le style des dynamomètres, d’un côté par une ligne droite et de l’autre par une ligne courbe ondulée op, car chaque élément de cette surface
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  - DES DYNAMOMÈTRES.
  - uvxy peut être regardé comme un petit rectangle dont la base est ux, et la hauteur la moyenne arilhmétique entre uv et xy.
  - Pour procéder au relèvement d’une courbe ou à la quadrature d’une surface MNpo, on opère ainsi qu’il suit : On fixe la feuille de papier sous la planchette du planimètre, de façon que, la pointe g étant reculée au plus près de cette planchette, elle suive exactement la ligne MN du zéro des efforts, quand on pousse le plateau Xx dans le sens de M en N. Cela fait, l’on ramène la pointe g au-dessus de M, on soulève le compteur et l’on ramène à la main les aiguilles des deux limbes au zéro; on pose doucement la roulette sur le cône, et l’on pousse la platine XX, de façon que la pointe g aille de M en N. On tire alors la coulisse ff, pour amener la pointe g sur le point p; puis, à l’aide du double mouvement qu’on peut lui imprimer, on suit exactement avec cette pointe toutes les sinuosités de la courbe, jusqu’à ce qu’elle soit parvenue en o. On lit alors sur les deux limbes le nombre de millimètres carrés contenus dans la surface à carrer, et en la divisant par la longueur de la base MN, exprimée en millimètres, on a pour quotient l’ordonnée moyenne ou la hauteur du rectangle de même surface, et par suite l’effort moyen exercé. Mais, pour que les opérations que nous venons d’indiquer conduisent à un résultat exact, il faut que dans ses mouvements d’avancement ou de recul la roulette ne glisse jamais sans tourner. L’on obtient ce résultat en substituant au cône poli de métal des planimèlres ordinaires un cône en bois complètement dépoli.
  - 46. Dynamomètre pour totaliser la quantité d'action développée pendant un intervalle de temps ou de chemin considérable. — Lorsqu’il s’agit d’observer le travail développé par des moteurs animés ou autres pendant un long intervalle de chemin parcouru, le dynamomètre à style, dont la bande de papier ne peut guère servir que pour une distance de 800 à 10C0 mètres, serait insuffisant. 11 est d’ailleurs souvent
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- - DES DYNAMOMÈTRES.
  - 45
  - beaucoup plus commode d’obtenir de suite la quantité de travail développé le long d’un chemin donné, et il importe d’avoir un appareil qui totalise de lui-même les quantités de travail élémentaires successives, et dispense ainsi des quadratures que nous avons appris à exécuter. Tel est le but de la modification suivante apportée au dynamomètre décrit dans les numéros précédents.
  - La griffe postérieure c (pi. I, fig. 5) est traversée par un axe de rotation sur lequel est vissé le plateau B de 0™,080 de rayon, placé au-dessus des lames, et qui reçoit à sa partie inférieure une poulie D à laquelle le- mouvement de la roue est transmis par une corde sans fin passant sur des poulies de renvoi. Un support E faisant corps avec la griffe antérieure d soutient un compteur qui par conséquent suit tous les mouvements de flexion de la lame antérieure.
  - La pièce principale du compteur est une roulette montée sur un axe parallèle au plateau et à la direction des efforts de traction. Cette roulette agit comme celle du compteur du planimètre; seulement, puisque, au lieu d’un cône, nous avons ici un plan, elle peut atteindre le centre de ce cercle quand l’instrument est au repos. D’après ce qui a été dit au n° 45, il est inutile d’indiquer le jeu de l’instrument, et l’on conçoit de suite que le nombre de tours de la roulette est proportionnel à la somme des produits élémentaires des efforts exercés et des éléments de chemin parcouru ou au travail total.
  - En nommant r la distance de la roulette au centre du plateau en mètres sous l’effort de traction F exprimé en kilogrammes ou la flexion du ressort sous cet effort, attendu que l’instrument est disposé de façon que la roulette repose au centre du plateau quand l’effort est nul ;
  - ri le rayon de la roulette ;
  - e le chemin parcouru en une seconde par la voiture dans le sens du tirage, si l’effort est constant, ou dans un instant infiniment petit, si l’effort est variable ;
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  - R le rayon de la roue sur laquelle on prend le mouvement ;
  - nom^re tours roue correspondant au
  - chemin e;
  - F
  - K=- le rapport des efforts aux flexions mesurées ;
  - N le nombre de tours de la roulette correspondant au chemin e ;
  - R' le rayon du moyeu de la roue sur laquelle on prend le mouvement du plateau ; r' le rayon de la poulie du plateau ;
  - Il est évident que ce plateau fera un nombre de tours
  - R' p D/
  - égal à p- pour un tour de la roue, ou bien à . ~ pour le chemin e parcouru dans le sens du tirage.
  - La roulette fera - tours pour un tour du plateau ; on
  - aura donc
  - R' r r' ' rx
  - pour le nombre de tours de la roulette correspondant ii un chemin parcouru e sous l’effort de traction F.
  - Le nombre N étant d’ailleurs fini ou infiniment petit selon qu’il s’agit d’un effort constant et d’un chemin fini, ou d’un effort variable et d’un élément de chemin. Mais on a par définition
  - F F
  - K=-, d’ou r==, r K’
  - et par suite d’où
  - N:
  - R'
  - 2rcRrVjK
  - .Fa;
  - Fe = 2--JVlK.N. R
  - Ainsi, soit pour un effort constant et un travail fini, soit pour un effort variable et un travail élémentaire, on voit
  - wtm
  - :..................%
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- - DES DYNAMOMÈTRES.
  - 47
  - que le travail développé par le moteur est mesuré par lé produit du facteur constant
  - 27TRyr,K
  - et du nombre N de tours, ou fraction élémentaire de tours faits par la roulette , de sorte que , le travail total au bout d’un intervalle quelconque étant la somme des quantités de travail élémentaires successivement développées, il sera égal au même produit en prenant le nombre N égal au nombre total de tours de la roulette pendant l’intervalle observé.
  - Des instruments de ce genre ont été employés avec succès et avec la plus grande facilité à des expériences prolongées sur le tirage des voitures, et ils ont permis de déterminer les quantités totales de travail développées par des attelages de 6 chevaux pendant des journées entières de marche, et pour des routes de Paris à Amiens, à Nancy et au Mans.
  - 47. Disposition pour obtenir des indications du nombre de tours faits par la roulette.— Il est facile de concevoir que, l’axe de la roulette portant une vis sans fin, son mouvement se communique aisément par des engrenages convenablement proportionnés à deux limbes, dont l’un indique les unités et les dizaines de tours, et l’autre les centaines, les mille de tours de la roulette. Mais de plus, afin de pouvoir observer les divisions de ces limbes sans arrêter l’instrument ou la marche, on a disposé deux styles qui, traversant deux godets remplis d’encre grasse, viennent déposer sur des limbes émaillés un point noir quand on appuie le doigt sur un bouton. Les observations peuvent ainsi être faites et multipliées sans que les résultats se confondent.
  - 48. Dynamomètre à moteur chronométrique. — Lorsque l’on veut faire des expériences sur la résistance des bateaux au halage ou sur les charrues sans avant-train, il serait au
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  - DES DYNAMOMÈTRES.
  - moins fort difficile, et dans quelques cas impossible, de mettre le mouvement du papier en rapport constant avec le chemin parcouru. Dans ce cas , il est beaucoup plus commode d’employer un moteur chronométrique qui communique au papier un mouvement sensiblement uniforme. Alors les longueurs de papier développées représentent les temps, et la quadrature de la courbe des flexions donne la somme des produits F X t de chaque effort par sa durée élémentaire, ou ce qu’on appelle, comme nous le verrons plus tard , la quantité de mouvement totale développée dans l’intervalle de temps considéré. En divisant ensuite l’aire obtenue par le temps total ou par la longueur du papier développé, on a l’effort moyen de la puissance motrice.
  - Dans le halage des bateaux et dans tous les cas où la vitesse peut exercer de l’influence sur les résultats, on se sert de deux pinceaux auxiliaires dont l’un sert à marquer sur le papier des points correspondants à des intervalles égaux de temps de 15", 30", etc., et l’autre les chemins parcourus d’après F observation des passages devant des poteaux ou objets éloignés de distances connues.
  - 49. Dynamomètre de rotation.— Les instruments que nous venons de décrire n’ont été construits que pour mesurer l’effort ou le travail développé par les moteurs dont l’action a lieu en ligne droite ou circulairement ; mais il a été facile de les modifier de manière à obtenir le travail transmis par un axe de rotation à une machine quelconque, en appliquant le principe des styles ou celui du compteur.
  - oO. Description du dynamomètre de rotation à styles. — Sur un arbre posé sur deux supports en fonte fixés à un plateau en bois sont placées trois poulies de même diamètre (pl. II, fig. 1 et 2) : l’une, A, est fixe; l’autre, C, voisine de la première, est folle, et la dernière, B, est mobile autour de l’arbre entre des limites que nous indiquerons.
  - Cet appareil étant interposé entre un arbre moteur et une machine dont on veut mesurer la résistance, la poulie folle
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- - DES DYNAMOMÈTRES.
  - 49
  - C reçoit la courroie de transmission de l’arbre moteur, et quand on fait passer cette courroie sur la poulie fixe A, l’arbre se met en mouvement et prend une vitesse qui dépend du rapport du diamètre de la poulie à celui du tambour de l’arbre moteur.
  - La poulie B reçoit une courroie qui doit transmettre le mouvement à la machine et vaincre la résistance ; mais comme elle est à frottement doux sur l’arbre, elle ne serait pas entraînée dans le mouvement communiqué à cet arbre par la poulie fixe, si un arrêt, qui fait corps avec elle, n’était pressé par l’extrémité d’une lame de ressort implantée dans l’arbre suivant un de ses rayons. Celte lame, tournant avec l’arbre, agit, sur l’arrêt, dont la résistance la fait fléchir, et quand sa résistance à la flexion est susceptible de vaincre celle que la machine oppose, le mouvement commence, et se trouve ainsi transmis de l’arbre moteur à la machine en expérience par l’intermédiaire d’une lame de ressort, dont les flexions sont la mesure immédiate de la résistance à vaincre.
  - Un style ajusté sur l’un des bras de la poulie s’approche à volonté d’une bande de papier douée d’un mouvement propre en rapport constant avec celui de la poulie ou de l’arbre, et y trace une courbe des flexions du ressort absolument de la même manière que dans les dynamomètres employés pour les voilures.
  - Un autre style, immobile par rapport au premier, trace en même temps une ligne correspondante à une flexion nulle, ou à la position qu’occupait le style mobile quand l’effort était nul. Cette ligne du zéro se trouve vers le milieu de la largeur du papier, afin que l’effort puisse être mesuré indifféremment dans un sens ou dans l’autre.
  - Les lames employées sont à section parabolique, et l’on peut les multiplier autant qu’on le veut, selon l’intensité des efforts que l’instrument doit mesurer.
  - Un arrêt fixe, placé'sur l’arbre, limite le déplacement de la poulie et par suite la flexion des lames, ce qui les em-
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  - pêche d’être forcées dans le cas d’efforts accidentels trop p considérables.
  - 151. Transmission du mouvement de Varbre à la bande de papier. — Un anneau denté est ajusté à frottement doux sur l’arbre, et sa denture héliçoïdale engrène avec un pignon dont l’axe, compris dans un plan perpendiculaire à celui de l’arbre, ne rencontre pas celui-ci. L’arbre de ce pignon porte une vis sans fin, qui conduit un autre pignon monté sur le prolongement de l’axe du petit cylindre sur lequel s s’enroule la soie qui entraîne la fusée. Quand on veut faire marcher la bande de papier, on rend immobile l’anneau denté au moyen d’un embrayage sur lequel un arrêt fixé à cet anneau vient se poser, quand on le tourne convenable- s ment. Alors, l’anneau denté étant fixe dans l’espace, tandis que le pignon emporté par l’arbre roule autour de lui, ce pignon prend un mouvement relatif qu’il transmet à la vis,
  - à la fusée et à la bande de papier. Ls
  - Dans ces appareils on se sert encore d’une fusée conique pour commander le mouvement de la bobine qui porte le ^ papier; on compense, par l’emploi de cet organe intermédiaire, l’accroissement relatif dans la vitesse de translation de la bande de papier qui résulterait, sans cette précaution, de l’augmentation de diamètre du rouleau moteur, sur lequel les épaisseurs successives du papier viennent s’accumuler à mesure que s’effectue le tracé de la courbe dyna-momé trique.
  - 152. Résultats d'expériences faites avec le dynamomètre de rotation. — Comme exemples des résultats que l’on peut oln tenir avec les dynamomètres de rotation, nous rapporterons ici quelques-uns de ceux qui ont été obtenus sur les scieries et machines de charronnage mécanique des ateliers des Messageries impériales à Chaillot.
  - —...................
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  - DÉSIGNATION des MACHINES. ESSENCE et QUALITÉ DES BOIS. <u‘ fl* '§ fcd Q) P "O O si 3 SURFACE de bois scié. TRAVAIL CONSOMMÉ en chevaux en l". TRAVAIL POUR SCIER ln,.i,00 de surface.
  - m. m.c. ch. kit.
  - Chêne de 3 ans de coupe 0,355 0,7135 2,82 74520
  - Scierie verli- ' Frêne de 2 ans de coupe. ..... 0,296 0,6020 2,45 73850
  - cale à une, Orme tendre de4ans de coupe. 0,480 1,1652 4,60 90310
  - lame. Grisard ou tremble de 4 ans id. 0,390 0,6202 2,67 68370
  - Orme tortillard de 1 an de coupe. T> 0,5409 3,48 118200
  - Frêne de 3 ans de coupe 0,173 0,1405 2,80 142000
  - Scie circulaire ' Id 0,123 0,1571 2,375 80450
  - de 0"‘,620 de ( Id 0,087 0,1250 1,665 75880
  - diamètre. i Id 0,042 0,0602 1,910 71260
  - Id 0,021 0,0301 1,775 57440
  - Machines de la charronnerie mécanique.
  - DÉSIGNATION des MACHINES. ESSENCE ET QUALITÉ DES BOIS ou NATURE DU TRAVAIL. TRAVAIL MOYEN en chevaux.
  - Scierie à jantes Orme de 2 ans de coupe 1,390
  - Scie à débillarder Frêne de 3 ans de coupe 1,225
  - K Machine à tenons des rais. .. Chêne de 2 ans de coupe 0,460
  - : — à percer les jantes.. Orme de 2 ans de coupe, trous des rais. 0,253
  - j Id — trous des broches. 0,125
  - I Machine à faire les broches.. Chêne, broches de 0m,034 0,390
  - Il — à percer le fer Fer, trou de 0m,035 0 551
  - 19 feux faisant 1296 ] 2,860
  - Ventilateur donnant le vent à 13 — 1316 f, „> t0UrS en T-•• • 2,750
  - 0 — 1596 / | 2,360
  - 0 — 1327 j
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  - 85. Dynamomètre de rotation à compteur. — La poulie mobile el la monture des lames de ressort sont tout à fait semblables à celles du dynamomètre à styles. Un anneau à frottement doux et denté en roue d’angle engrène avec un pignon conique dont l’axe rencontre à angle droit celui de l’arbre, L’axe de ce pignon se termine par une vis sans fin, qui conduit une roue dentée, dont l’axe, parallèle à celui de l’appareil, porte à l’autre bout un plateau en cuivre, dont le plan est perpendiculaire à l’arbre. La poulie mobile porte un compteur à roulette semblable à celui qui a été décrit au n° 4G, et qui se déplace avec cette poulie d’une quantité proportionnelle à la flexion des lames. Des vis de rappel permettent de placer la roulette au centre du plateau quand l’appareil est au repos.
  - La théorie et le jeu de cet instrument sont d’ailleurs analogues à ceux du dynamomètre à compteur pour les voitures.
  - Cet instrument peut facilement être proportionné de manière à totaliser la quantité de travail transmise par un axe de rotation pendant un jour, une semaine, un mois, et sous ce rapport il serait fort utile pour des observations relatives au partage de la force motrice entre divers ateliers ou à la consommation de combustible des machines à vapeur.
  - 84. Indicateurs de la pression de la vapeur dans les cylindres des machines.
  - Indicateur de Watt perfectionné par Mac-Naught. —11 est de la plus grande utilité, pour l’appréciation des effets de la distribution de la vapeur dans l’intérieur des cylindres des machines à vapeur ou de leur état d’entretien , d’avoir un moyen de mesurer la pression de la vapeur aux différents points de la course du piston. Watt s’était déjà occupé de construire pour cet usage un petit instrument, qu’il nomma l’indicateur de la pression, et qui a reçu depuis lui divers perfectionnements de détail.
  - Il se compose d’un piston libre à frottement doux et sans garniture (pl. III, fig. 1), contenu dans un petit cylindre
  - 1—
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  - terminé inférieurement par un bout de tuyau muni d’un robinet et que l’on Yisse sur le chapeau du cylindre. Lorsque ce robinet est ouvert, la vapeur qui afflue dans le cylindre tend à repousser le piston au dehors; mais la tige de celui-ci étant liée à un ressort en spirale, ce ressort se comprime, et sa flexion sert de mesure à l’effort exercé. On parvient avec du soin à obtenir de ce genre de ressorts des flexions proportionnelles aux efforts, et il ne s’agit plus que d’avoir une trace de ces flexions.
  - A cet effet, la tige du petit piston porte un bras ou levier à articulation muni d’un crayon que l’on peut mettre en contact avec une feuille de papier enroulée sur un cylindre en cuivre dont l’axe est parallèle à la tige du piston. A la partie inférieure de ce cylindre est pratiquée une gorge dans laquelle s’enroule un fil dont l’extrémité est fixée sur un petit treuil. Le nombre de tours du fil enroulé sur ce treuil a un développement un peu moindre que celui du cylindre ; et sur son axe est une poulie qui reçoit plusieurs tours d’un fil dont le développement est égal ou supérieur à la course du piston. En dedans du cylindre est un ressort spiral qui le ramène à sa position primitive, quand le piston revient sur lui-même.
  - Il résulte de cette disposition que, pendant l’introduction et la détente de la vapeur, le style trace sur la feuille de papier une courbe qui donne l’excès de la pression intérieure sur la pression extérieure ; puis que, dans la période d’émission, le cylindre revenant sur lui-même, le style trace une autre courbe qui donne la pression pendant l’échappement, et que celte seconde branche vient à la course suivante se refermer sur la première.
  - La longueur de papier développée étant proportionnelle à la course du piston, et les ordonnées limitées par les deux courhes étant dans tous les cas proportionnelles aux pressions motrices de la vapeur, il est évident que l’aire des surfaces comprises dans ces courbes fermées représente le travail développé sur le petit piston, et par suite sur le grand.
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  - DES DYNAMOMÈTRES.
  - L’usage et l’application de cet instrument sont faciles, et, quand il est une fois bien taré, il peut donner de bonnes indications ; mais il faut remarquer que, si le crayon trace plusieurs courbes successives, elles se confondent ou se superposent de manière à occasionner quelquefois de la confusion. Néanmoins la facilité de son installation doit faire rechercher cet appareil de tous les constructeurs de machines à vapeur.
  - 55. Nouvel indicateur à stijle. — Pour éviter la confusion des courbes (pl. II,.fig. 2, 3 et 4), je me suis proposé d’adapter à l’indicateur la disposition que j’avais employée pour les dynamomètres ordinaires.
  - Au lieu d’agir sur un ressort spiral, le piston de l’instrument porte une tête carrée d percée d’une ouverture dans laquelle s’engage l’extrémité d’une lame de ressort parabolique ee, fixée par son autre extrémité à un support f. La lame a une longueur telle, qu’elle peut prendre d’un côté et de l’autre plusieurs centimètres de flexion , et, comme on peut employer des lames plus ou moins roides, l’instrument peut servir à mesurer des pressions comprises depuis une jusqu’à dix atmosphères. Ainsi, par exemple, pour une machine à haute pression fonctionnant à quatre atmosphères en sus de la pression atmosphérique, chaque atmosphère pourrait correspondre à 10 ou 12 mill. de flexion de la lame, ce qui est d’une précision bien suffisante.
  - La tête du piston porte en avant de la lame un style g, qui trace sur une feuille de papier la courbe des flexions ou des tensions de la vapeur. Un autre style fixe h, ajusté de manière à tracer la même ligne droite que le style mobile quand le ressort est au repos, indique le zéro des pressions, Lorsque la vapeur est introduite sur le piston de la machine, elle repousse celui de l’instrument en dehors, et la courbe tracée est au delà de la ligne du zéro; quand au contraire la vapeur se détend et s’échappe, soit dans l’air, soit au condenseur, la courbe se rapproche de la ligne du zéro
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  - ou même la dépasse. Dans tous les cas on a sur la bande de papier une trace de toutes les variations de la pression.
  - Un troisième style fixe h marque à chaque coup un point qui sert à repérer la courbe avec l’origine des courses du piston. Malgré l’avantage que cet indicateur peut avoir, pour des éludes sur l’effet des machines à vapeur, par la multiplicité et la séparation des courbes qu’il fournit, il faut reconnaître que, pour la pratique ordinaire, l’indicateur de Watt perfectionné, d’une installation plus commode, et plus portatif, est très-suffisant pour constater l’état d’une machine à vapeur. Nous en reparlerons en traitant de ces machines.
  - On voit que les deux principes sur lesquels sont fondés tous les instruments que nous venons de décrire, savoir : 1° l’emploi d’un style traçant une courbe des efforts sur une feuille de papier mise en mouvement par un moyen direct, et 2° l’usage d’un compteur à roulette pour totaliser la quantité de travail, s’appliquent avec facilité à tous les genres d’observations que l’on peut avoir à faire. En terminant, je rappellerai que l’idée fondamentale de ces deux solutions de la question qui nous occupe m’a été indiquée par M. Poncelet, mon maître et mon ami, et que la part qui me revient dans la construction des instruments n’est relative qu’à la réalisation de cette idée féconde et ingénieuse.
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  - 36. Observation générale relative aux lois du mouvement. — Nous avons vu dans les notions de mécanique géométrique quelles étaient les lois des mouvements uniformes et celles des mouvements uniformément accélérés ou uniformément retardés. L’expérience nous a, de plus, montré qu’il existe des mouvements assujettis à ces lois. Ainsi, par exemple, l’on reconnaît, à l’aide des appareils chronométriques divers qui servent à ces observations, que le mouvement de descente des corps de diverses formes dans l’eau ou dans l’air devient promptement uniforme quand ils offrent des surfaces suffisantes pour que la résistance de l’air acquière une intensité convenable.
  - On a également reconnu que les corps pesants offrant peu de surface tombent vers la surface de la terre d’un mouvement uniformément accéléré.
  - Après avoir constaté ces faits, il convient d’en déduire les conséquences.
  - L’on sait (n° 3) que, d’après celte propriété fondamentale de la matière qu’on nomme Yinertie, « tout corps persévère dans l’état de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque cause étrangère n’agisse sur lui et ne le contraigne à changer d’état. »
  - Si donc un corps est animé d’un mouvement uniforme, c’est qu’il n’est soumis à aucune cause, à aucune force qui puisse changer son état de mouvement, ou que si plusieurs forces le sollicitent à de semblables changements, leurs actions se contre-balancent, se neutralisent, se font éqvi-, libre,
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  - Tel est, comme on le conçoit de suite, le cas des parachutes qui descendent dans l’air d’un mouvement uniforme. L’action de la pesanteur et celle de la résistance de l’air se compensent, se détruisent.
  - 57. Conséquence relative aux causes qui produisent l’accélération ou le retard. — Dans les mouvements uniformément accélérés ou retardés les accroissements ou les diminutions de la vitesse étant toujours les mêmes pour des temps égaux, la force qui produit cette modification du mouvement est donc constante, puisqu’elle produit des effets constants.
  - Ainsi, quand l’observation nous aura montré que le mouvement est uniformément accéléré ou retardé, nous serons en droit d’en conclure que la cause, la force qui l’accélère ouïe retarde, est constante.
  - 58. Mouvement vertical des graves ou corps pesants. — L’expérience prouve que dans le vide tous les corps soumis à l’action de la pesanteur tombent d’une même hauteur dans le même temps, quelle que soit leur densité. Il en résulte que la pesanteur agit de la même manière sur toutes les molécules matérielles. Dans l’air et dans les autres milieux résistants, la résistance que les corps éprouvent dépend de l’étendue et de la forme de leurs surfaces, et elle modifie notablement la nature de leur mouvement, quand les vitesses sont considérables et que les corps ont des volumes très-grands par rapport à leurs poids. Mais pour les corps tels que la pierre, le bois, les métaux, employés dans les constructions, et pour les hauteurs ordinaires de chute, l’influence de la résistance de l’air est assez faible pour qu’on puisse ordinairement la négliger.
  - Galilée, le premier, en observant les temps employés par des corps roulant sur des plans inclinés ou descendant verticalement , a reconnu que les espaces parcourus dans le sens de la verticale et dans celui de la longueur des plans étaient entre eux comme les carrés des temps employés ;
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  - DE LA TRANSMISSION DU MOUVEMENT
  - d’où il a conclu que pour un même lieu à la surface de la terre la pesanteur était uniforme et constante. C’est donc à l’expérience que l’on doit cette loi importante de la mécanique.
  - En appliquant à ce cas les lois que nous avons trouvées pour tous les mouvements accélérés ou retardés, nous aurons pour la vitesse communiquée ou détruite après la première seconde, et qu’on désigne ordinairement par la lettre g, Y1 = 5r = 9°',8088. L’espace parcouru dans le sens de la verticale ou la hauteur se désigne par la lettre H. On aura alors pour les formules du mouvement des graves
  - H = i^T* = 4m,9044T2;
  - Tî = fJW’ vs=^h': v=/îpïï5i.
  - S9. Usage de ces formules. — La première formule peut servir à déterminer approximativement la hauteur d’une tour, la profondeur d’un puits , par la seule observation delà durée de la chute d’un corps. Si, par exemple, on a trouvé qu’un corps (pour lequel on choisira, s’il s’agit d’un puits, un tison allumé, une lumière) a employé 2",5 à arriver de la margelle au fond d’un puits, on aura pour sa profondeur
  - H = 4m,9 044 X (2",5)2 = 30“,65.
  - La troisième est d’un usage fréquent, surtout dans les calculs de jaugeage des dépenses d’eau, et donne la vitesse correspondante à une hauteur de chute connue.
  - Ainsi pour une hauteur H= lm,20 on trouve
  - Y = yj 19,02 X 1,20 = 4m,85.
  - On l’a traduite en tables que l’on trouve dans la plupart des ouvrages de mécanique ; mais la règle à calcul supplée ces tables, quand on ne les a pas sous la main. En amenant l’un des indicateurs sous le nombre 19,62, lu à l’échelle
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- - PAR LES FORGES.
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  - supérieure, on trouve à l’échelle inférieure les vitesses correspondantes à toutes les hauteurs lues sur la réglette, ou réciproquement, en lisant les vitesses à l’échelle inférieure, on trouve sur la réglette les hauteurs correspondantes.
  - 60. Chute successive des corps pesants. — Les lois du mouvement de descente des corps pesants servent à expliquer entre autres phénomènes celui de la séparation croissante des corps, des gouttes d’eau, par exemple, qui, élevées ensemble et avec contiguïté dans un jet d’eau, redescendent en pluie par gouttelettes séparées. En effet, il est facile de faire voir que, les gouttes partant du sommet de la courbe l’une après l’autre, elles doivent se séparer de plus en plus. Supposons, en effet, qu’une goutte d’eau commence son mouvement de descente 0",01 avant la suivante : 1",00 après le départ de la deuxième la première goutte sera descendue pendant 1",01 et aura parcouru une hauteur
  - II = 4m,9044 X (1,01)2 = 5m,003 ,
  - tandis que la suivante, qui ne sera en mouvement que depuis 1",00, ne sera descendue que de
  - H —- 4m,9044 X 1"* = 4,904.
  - Donc déjà la première sera en avance sur la seconde de 5m,003 — 4m,904. — 0m,099,
  - et, la séparation allant toujours en croissant, le jet retombera en pluie.
  - 61. Principe de la proportionnalité des forces aux vitesses. — L’observation des faits montre et l’on sent qu’il est naturel d’admettre que les forces sont réellement proportionnelles aux degrés de vitesse qu'elles impriment dans des temps égaux infiniment petits à un même corps qui cède librement à leur action et dans le sens propre de cette action. C’est là un de ces axiomes fondamentaux admis par tous les géomètres, et
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  - DE LA TRANSMISSION DU MOUVEMENT
  - qui ne se démontrent que par l’exactitude des conséquences que l’on en tire.
  - Si donc on nomme F et F' deux forces qui, en agissant successivement sur un même corps, lui impriment ou lui enlèvent des degrés de vitesse infiniment petits v et v' dans l’élément de temps t, on aura, d’après ce principe, la proportion
  - F:F' :: v:v\
  - Pour avoir l’expression et la mesure de la force F, nous pouvons la comparer à une autre force dont l’effet sur le même corps soit connu, à la pesanteur, par exemple, et comme nous savons que la vitesse communiquée aux graves dans l’élément de temps est v' — gt, et que nous désignons par P, le poids du corps ou la force exercée par la pesanteur, la proportion ci-dessus devient alors
  - F : P :: v : gt ;
  - Avant d’aller plus loin, remarquons que le même principe appliqué aux actions que la pesanteur exerce sur un même corps en des lieux différents, où le poids de ce corps est respectivement P et P', nous donne la proportion
  - P:P ' ::gt:g't::g:g'.
  - P P'
  - D’où il suit que le rapport- = ~, est constant pour tous les
  - lieux de la terre. C’est, en effet, ce que l’observation a démontré.
  - Ce rapport constant du poids d’un corps à la vitesse que la pesanteur lui communique dans la première seconde de son , action est ce que l’on nomme la masse, et se désigne par la lettre M.
  - C2. Mesure clés forces motrices et d'inertie.—On a donc pour l’expression de la force F, capable de communiquer
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- - PAR LES FORCES.
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  - ou d’enlever au corps de poids P ou de masse M un élément de vitesse v dans l’élément de temps t
  - 9 t t
  - On voit par cette expression que, toutes les fois que le poids du corps ou sa masse sera donné, on aura la valeur, la mesure de la force en kilogrammes, quand on connaîtra le
  - rapport-. Si, par exemple, ce rapport est constant, ce qui t
  - arrive dans le mouvement uniformément accéléré ou retardé, la force F est constante.
  - Mais, puisque, pour communiquer à un corps de poids P une variation de vitesse v dans l’élément de temps t, il faut P v
  - développer un effort - - , il y a donc à vaincre une résistance dont cet effort est la mesure.
  - Celte résistance c’est la force d’inertie, la réaction qui se développe toutes les fois qu’une variation dans le mouvement se produit. Ainsi l’expression précédente sera à la fois la mesure de la force motrice qui produit la variation du mouvement, et celle de la force avec laquelle le corps, en vertu de son inertie, s’oppose, résiste à cette variation.
  - P v
  - L’examen de la formule F = - - montre que, pour un
  - poids Pou une masse donnée M, la grandeur, l’intensité de la force F, croîtra d’autant plus que la variation du mouvement sera plus rapide, ouïe rapport jplus grand. C’est ce
  - qui explique la grandeur des efforts et des réactions qui se développent dans les transmissions rapides du mouvement, dans les chocs qui s’accomplissent entre des corps durs, dans des intervalles de temps très-courts, où la vitesse varie ou s’éteint si promptement.
  - Ce rapport y de l’accroissement ou de la diminution de la vitesse dans l’élément du temps pendant lequel cette varia-
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- - G2 DE LA TRANSMISSION DU MOUVEMENT
  - lion se produit, est ce que depuis quelques années les géomètres nomment Y accélération.
  - Ainsi, dans le cas où il s’agit de l’action de la gravité, l’accélération constante qu’elle produit est représentée par
  - le nombre g — Vj.
  - Il suit de cette définition et du principe général précédent, que la force qui produit une variation élémentaire dans le mouvement d’un corps, est proportionnelle aa
  - P V
  - poids P de ce corps ou à sa masse - , et à Y accélération -qu’elle produit.
  - On peut rendre sensible l’accroissement de l’effort à exercer F, avec la rapidité de communication du mouvement au moyen d’un peson ou de tout autre ressort dont la flexion, indiquée par un style ou un curseur, est d’autant plus grande que la transmission du mouvement est plus rapide. Si, par exemple, on suspend au peson un poids de 5 kilogr., auquel cas un curseur en carte placé contre la branche supérieure s’arrêtera à la cinquième division, et qu’ensuite on élève le peson et le poids d’un mouvement accéléré, le ressort fléchira davantage, et d’autant plus que l’accélération sera plus rapide. L’accroissement de flexion indiqué par le déplacement du curseur mesurera l’effort, la résistance opposée par l’inertie à l’accélération du mouvement.
  - 65. Cas où la force est constante. — Si la force F, ou si le rapport - est constant, on a alors au bout d’un temps quelconque T, et quand la force a communiqué ou détruit une vitesse V, l’égalité
  - Qj V
  - - = ^? et par suite F = M^ = Mp
  - d’où FT = MY et Ft = Mv.
  - 64. Relation des forces aux accélérations. — Si deux forces F et F' agissent successivement sur un même corps, et lui
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  - V V
  - communiquent des accélérations différentes - et -,, on voit
  - Z Z
  - qu elles seront proportionnelles à ces accélérations , et que l’on aura
  - r * “ft'
  - C’est par suite de cette proportionnalité que l’on prend
  - quelquefois les accélérations - pour la mesure des forces.
  - Mais ces quantités ne sauraient être une mesure exacte des forces, attendu qu’elles n’expriment qu’un rapport.
  - Ainsi, quand on dit d’une manière absolue et sans autre explication que la quantité g, qui exprime l’accélération produite par la pesanteur, est la mesure de cette force, on donne aux élèves une notion inexacte, attendu que g n’est en réalité que la vitesse communiquée ou enlevée au corps par la pesanteur, pendant chaque seconde de son action, et qu’une vitesse qui s’exprime en mètres ne peut mesurer une force qui doit être comparée au kilogramme.
  - 6i>, De la quantité du mouvement.—-Les produits MV, MVt P P
  - égaux à - V ou - 0, ont reçu te nom de (quantité de mouvement; c’est une expression de convention à laquelle il ne faut attacher d’autre sens que celui du produit d’une masse par la vitesse qui lui a été communiquée ou enlevée.
  - On remarquera d’ailleurs que ce produit MV, Mvy est égal à celui FT et Fit de la force par le temps pendant lequel elle a agi. Si l’on considère deux forces F et F' agissant pendant des temps différents sur deux corps de masses inégales, on aura
  - Ft = Mv, Ft' = MV ;
  - et par suite
  - F t : Ft' :: MMV. .
  - D’où il résulte que les quantités de mouvement Mv, MV, communiquées ou enlevées à des corps différents dans des temps inégaux, sont entre elles comme le produit des
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  - DE LA TRANSMISSION DU MOUVEMENT
  - forces auxquelles elles sont dues par les temps pendant lesquels ces forces ont agi.
  - Ce n’est que quand les temps sont égaux que les quantités de mouvements imprimées ou détruites sont proportionnelles aux forces et peuvent leur servir de mesure.
  - Il suit aussi de ce qui précède, comme on va l’expliquer au numéro suivant, que dans le clioc il n’y a pas de perte de quantité de mouvement, ce que l’on exprime en disant qu’il y a conservation des quantités de mouvement. Mais nous verrons plus loin que les chocs donnent toujours lieu à une perte de travail.
  - 0(3. Forces égales agissant pendant des temps égaux. — Si les forces sont égales et agissent pendant le même temps, les quantités de mouvement communiquées ou détruites dans les deux corps de masse M et M' sont égales. C’est ce qui arrive dans la réaction de deux corps qui se pressent, se poussent ou se choquent. Les efforts de compression et de résistance étant égaux, opposés et développés pendant le même temps, il s’ensuit que la quantité de mouvement communiquée dans cette réaction à l’un des corps est égale à celle qui a été perdue par l’autre. C’est là une conséquence fondamentale pour la théorie du choc des corps.
  - Ainsi, par exemple, lorsqu’un corps dont la masse est M, animé d’une vitesse V, vient rencontrer un corps de masse M', animé d’une vitesse V', selon la même ligne dirigée soit dans le même sens, soit en sens contraire, il se développe aux points de contact des efforts de compression égaux et opposés qui, dans un élément de temps £, enlèvent au corps choquant M un petit degré de vitesse v, et par suite une quantité de mouvement Mt>, et communiquent au corps choqué M', s’il marche dans le même sens que le premier, un accroissement de vitesse v1 et une quantité de mouvement MV. Ces quantités étant égales, on a donc à chaque instant du choc ou de la compression réciproque des corps,
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  - Dans ce cas l’un des corps perd une quantité de mouvement égale à celle que l’autre gagne, et la somme de leurs deux quantités de mouvement reste la même.
  - Pareille chose se passant à chaque instant du choc, il s’ensuit encore que la quantité de mouvement totale perdue par l’un des corps est égale à celle que l’autre a gagnée pendant la compression, et qu’à la fin de cette période la somme de leurs quantités de mouvement est la même après le choc qu’avant.
  - Cette conséquence constitue le principe de la conservation des quantités de mouvement autrement appelé principe de la conservation du mouvement du centre de gravité.
  - S’il s’agit de corps mous ou dont l’élasticité soit complètement altérée par le choc , et qui après la compression restent réunis en marchant ensemble d’une vitesse commune U, la quantité de mouvement après le choc est (M -f M') U, et d’après ce qui précède on doit avoir
  - MV + M'V' = (M-f M')U.
  - D’où l’on tire pour la vitesse commune après le choc
  - TT MV+M'V'
  - M + M' *
  - Si le corps choqué était au repos, on aurait V' = 0, et l’expression ci dessus se réduirait à
  - U
  - MY
  - M -f- M'*
  - Si dans la première de ces deux expressions on divise les deux termes de la fraction par la masse M' du corps choqué, la vitesse commune après le choc devient
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  - DE LA TRANSMISSION DU MOUVEMENT
  - Sous cette forme on voit que la vitesse commune du f mouvement des deux corps mous après le choc différera j d’autant moins de la vitesse Y' du corps choqué que la masse M du corps choquant sera plus petite par rapport à celle du corps choqué. A la limite de petitesse ou quand le corps choquant est infiniment petit par rapport au
  - M
  - corps choqué, le rapport ^ s’évanouit, et l’on a U = V',
  - c’est-à-dire que la vitesse de la masse choquée n’est pas allérée. Ce cas se présente dans le mouvement des liquides et des fluides élastiques, lorsque des tranches infiniment minces viennent successivement choquer des masses finies animées dans le même sens de vitesses plus petites.
  - Si les corps marchent à la rencontre l’un de l’autre, les choses se passent encore d’une manière analogue, mais alors à la fin de la compression, ou les corps sont tous deux réduits au repos, et l’on a
  - MV = M'V' et U = 0,
  - ou l’un des deux rétrograde, et ils marchent avec une vitesse commune U. Si c’est, par exemple, le corps M'qui rétrograde, la quantité de mouvement qui a été perdue par le corps M est M(V—U), et la quantité de mouvement développé pendant la durée de la compression par les forces de réaction sur le corps M' se compose de celle qui a été détruite et qui est M'V', plus celle qui lui a été communiquée en sens contraire M'U, et puisque les quantités de mouvement développées de part et d’autre sur chacun des corps doivent être égales, on a
  - M (Y—U) —- M' ( V' -f- U),
  - d’où l’on tire pour la vitesse commune après le choc ou la compression
  - TT MV—M'V'
  - M + M' ’
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- - PAR LES FORGES.
  - 67
  - formule dans laquelle on voit encore, en divisant haut et bas par la masse M du corps choquant, ce qui donne
  - que la vitesse du corps choquant sera d’autant moins altérée par le choc que sa masse M sera plus grande par rapport à celle du corps choqué M'.
  - Ce qui montre que, dans les machines qui doivent procéder par des chocs, il faut augmenter le poids, la masse des pièces choquantes par rapport aux pièces choquées, dans un rapport d’autant plus grand que l’on désire conserver au mouvement une plus grande régularité.
  - Si le corps choqué est au repos, tel qu’un pilot battu par un mouton, l’on a Y' = 0, et la vitesse commune avec laquelle le mouton et le pilot tendent à descendre après le choc est
  - U
  - MY
  - M+M/
  - Y.
  - Ce qui montre que cette vitesse différera d’autant moins de celle d’arrivée du mouton sur la tête du pilot, que la masse M du mouton sera plus grande par rapport à celle du pilot.
  - Il convient donc dans ce cas d’augmenter la masse du mouton plutôt que sa vitesse, car le travail employé pour l’élever ne croît que comme son poids, tandis qu’il augmente proportionnellement à la hauteur d’élévation, ou au carré de la vitesse de chute.
  - 07. Vérification des considérations précédentes par des expériences directes. — Les résultats que l’on vient d’indiquer relativement au choc des corps mous ont été vérifiés par des expériences directes que j’ai exécutées à Metz
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- - 68
  - DE LA TRANSMISSION DU MOUVEMENT
  - en 1833 (*), avec l’appareil suivant: Une caisse A en bois (pl. III, fïg. 7), dans laquelle on a placé successivement de la terre glaise plus ou moins molle, du sable, des pièces de bois, etc., était suspendue à un dynamomètre à style et à plateau tournant. Le plateau était animé d’un mouvement uniforme qui lui était transmis par un poids et régularisé par un volant à aileltes. Lorsque la caisse était immobile, la résistance du dynamomètre faisait équilibre à son poids, et la courbe de flexion tracée par le style sur le plateau était un cercle.
  - Le corps choquant était un boulet suspendu à une espèce de tenaille qui s’ouvrait à volonté , et lorsqu’il atteignait les matières placées dans la caisse il en résultait des compressions à la suite desquelles les deux corps marchaient ensem-
  - ble d’une vitesse commune. Les amplitudes de ce mouvement étaient mesurées et indiquées par les flexions des ressorts, et il en résultait sur le plateau une courbe dont les distances
  - * Nouvelles expériences sur le frottement, sur la transmission du mouvement par le choc, etc., faites à Metz en 1833, par A. Morin, capitaine d’artillerie.
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- - PAR LES FORCES.
  - 69
  - à l’axe ou les rayons vecteurs allaient en croissant pendant toute la période de la compression où le mouvement s’accélérait , d’où résultait que la courbe était d’abord convexe vers le cercle du repos. Puis, à partir de l’instant où la compression avait atteint son maximum, les corps étant mous ou à peu près, il en résultait que, la caisse cessant d’être sollicitée par un effort croissant, la réaction du ressort commençait à ralentir le mouvement de descente, l’arrêtait, relevait ensuite la caisse au-dessus de sa position initiale, et lui faisait alors continuer une suite d’oscillations verticales qui ne s’éteignaient que par l’effet des résistances passives de l’appareil.
  - Le relèvement de ces courbes et leur transformation en d’autres courbes dont les abscisses étaient les temps proportionnels aux angles décrits, et les ordonnées les espaces verticaux parcourus par la caisse, étaient très-faciles et se trouvent reproduits dans la figure.
  - La courbe du mouvement étant d’abord convexe, puis concave vers l’axe des abscisses, ce qui indiquait que le
  - mouvement était d’abord accéléré, puis retardé (n°‘ Il et 12), il est d’ailleurs évident que la vitesse, qui est donnée par l’inclinaison des tangentes sur l’axe des abscisses atteint
  - Fig. 18.
  - sa plus grande valeur au point d’inflexion, et le tracé permettait de déterminer cette valeur maximum correspondante à la fin de la compression ou du choc pour chaque expérience.
  - On avait donc d’abord, comme donnée, la masse M du corps choquant, sa vitesse d’arrivée sur le corps choqué, due à la hauteur de chute, la masse M' du corps choqué, dont ia vitesse initiale V' était nulle , et, par l’observation , la vitesse commune avec laquelle les deux corps marchaient après le choc.
  - 11 était donc facile de comparer dans chaque cas les résul-
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- - 70
  - DE LA TRANSMISSION DU MOUVEMENT
  - tats de l’expérience à ceux de la théorie. Quelques-unes de ces comparaisons sont reproduites ici.
  - Expériences sur la transmission du mouvement par le choc projectile sphérique tombant sur une caisse remplie de terre g ou contenant des pièces de bois.
  - POIDS DE LA CAISSE 1 et de sa suspension I P. POIDS DE LA SPHÈRE j E» g J C/7 T 2 P* O F* HAUTEUR de chute de la sphère | VITESSE due à lahauteur de chute. 1
  - Choc S ur la 7
  - kil. kil. kil. m. m.
  - 60,235 J 66,235 0,40 2,801
  - 6,000
  - 61,095 67,095 0,50 3,135
  - 0,20 1,981
  - 60,235 11,988 72,223 0,30 2,426
  - 0,40 2,801
  - 60,235 20,280 80,515 0,20 1,981
  - 67,025 6,000 73,025 0,20 1,981
  - 67,025 20,280 87,305 0,20 1,981
  - Choc sur
  - 21,950 11,988 33,938 0,20 1,981
  - 21,950 11,988 33,938 0,30 2,426
  - 21,950 20,280 42,230 0,10 1,400
  - communiquée à la caisse
  - s* •-
  - l'-s.
  - m.
  - 0,268
  - 0,280
  - 0,330
  - 0,403
  - 0,465
  - 0,499
  - 0,163
  - 0,460
  - 0,694
  - 0,850
  - 0,672
  - 0,260
  - 0,285
  - 0,330
  - 0,400
  - 0,462
  - 0,490
  - 0,165
  - 0,440
  - 0,660
  - 0,840
  - 0,690
  - H O ,J
  - g-g g g S I £ g §
  - sec. |
  - 0,012
  - 0,020
  - 0,019
  - 0,021
  - 0,024
  - 0,020
  - 0,063
  - 0,072
  - Expériences I tes avec de l't gile dont lan siance à lapé tration des pi jectiles à fai: vitesse était 29 677 kil. f. mètre carré.
  - (Expériences fi tes avec défi gile dont lai sist. à la péi tration était 1689 kil. part:
  - 0,0075
  - 0,0074
  - 0,0080
  - On voit par les résultats consignés dans ce tableau que les vitesses sont, autant qu’on peut le vérifier avec de semblables moyens, les mêmes que celles que l’on déduit des considérations théoriques précédentes.
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- - PAR LES FORCES.
  - 71
  - 68. Choc de deux corps élastiques. — Si l’on suppose que les deux corps que l’on vient de considérer soient parfaite-tement élastiques, les effets de la compression seront d’abord les mêmes que dans le cas précédent, et à la fin de cette période le corps M aura perdu la vitesse Y—U ou la quantité de mouvement M(V—U) et le corps M'aura gagné la quantité de mouvement M'(U—Y'), et, ces quantités devant être égales, on aura encore pour la vitesse commune à la fin de la compression
  - MV+MT V~~ M-j-M' ’
  - Mais après l’instant de la plus grande compression les corps élastiques reviennent à leur forme primitive, et dans leur retour les ressorts moléculaires développent, si l’élasticité est parfaite, des efforts égaux à leur résistance à la compression , et par conséquent détruisent ou communiquent des quantités de mouvement égales à celles qu’ils avaient précédemment détruites ou communiquées. Il suit de là que dans ce débandement des ressorts moléculaires le corps M perdra encore une vitesse égale à Y—U, et que sa vitesse finale sera
  - V—2(V— U) = 2U—V,
  - et que le corps M' recevra un nouvel accroissement de vitesse égale à U—V'; et aura ainsi une vitesse finale égale à
  - V'-f- 2 (U —Y') — 2U —V'.
  - Si le corps M' était au repos à l’origine, en le supposant parfaitement élastique, il recevrait donc une vitesse
  - 2U =
  - 2MY M + M'’
  - c'est-à-dire double de celle qui eût été communiquée à un corps mou dans les mêmes circonstances.
  - 69. Observations sur les résultats précédents.— Les raisonnements qui précèdent, relativement aux corps mous ou
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- - 72
  - DE LA TRANSMISSION DU MOUVEMENT
  - élastiques , supposent qu’il existe des corps dénués de toute élasticité et d’autres doués d’une élasticité parfaite. Or, ni l’une ni l’autre de ces hypothèses n’est exacte, et, selon les circonstances dans lesquelles il est placé, un corps peut se comporter comme s’il était dénué de toute élasticité ou comme s’il possédait une élasticité partielle. De même tel corps qui se comporte dans certains cas et sous certains rapports comme s’il était parfaitement élastique ne le paraîtra plus que partiellement dans d’autres cas.
  - J’en citerai comme exemples les résultats de quelques expériences analogues aux précédentes et qui ont été exécutées en plaçant au fond de la caisse mobile une plaque de fonte sur laquelle tombait le corps sphérique choquant.
  - Expériences sur la transmission du mouvement par le choc d’un projectile sphérique tombant sur une plaque de fonte.
  - POIDS DE LA CAISSE et de sa suspension P. POIDS de la sphère de fonte J P- POIDS TOTAL P + p. HAUTEUR de chute de la sphère h. VITESSE due à cette hauteur. g VITE commu à la c O tn •£ o . o.’2 » fl 5 M ^ .2 SSE niquée aisse o O « G U .2 PH ~ cd ^ * V DURÉE APPROXIMATIVE de la transmission.
  - kïl. kil. kil. m. m. m. m. sec.
  - 61,215 6,000 67,215 0,40 2,801 0,500 0,500 0,0085 |
  - 61,215 6,000 67,215 0,50 3,135 0,560 0,570 0,8100 |
  - 61,215 6,000 67,215 0,60 3,433 0,633 0,626 0,0080
  - 61,215 11,988 73,203 0,40 2,801 0,917 0,910 0,0065
  - 61,215 11,988 73,203 0,50 3,135 1,026 1,050 0,0075
  - Les résultats consignés dans ce tableau montrent que la plaque de fonte choquée s’est comportée comme un corps parfaitement élastique. Mais il y a lieu de faire néanmoins ici quelques remarques importantes.
  - ^
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- - PAR LES FORCES.
  - 73
  - Le projectile, qui, s’il avait agi comme un corps parfaitement élastique, ainsi que les parties de la plaque avec lesquelles il se trouvait en contact immédiat, aurait dû remonter de la hauteur correspondante à la vitesse 2U—Y, ne revenait pas à beaucoup près aussi haut. Cela prouve que l’intensité du choc dans ces expériences avait altéré en grande partie l’élasticité des ressorts moléculaires des parties en contact, tandis que l’élasticité de flexion ou de forme générale de la plaque n’avait pas été altérée. On voit par là que, bien que les corps doués d’une certaine élasticité reprennent en apparence leur forme primitive, il y a dans presque tous les cas une perte notable de travail produite par le choc, par suite de l’altération plus ou moins complète de l’élasticité. C’est ce que l’on verra plus loin d’une manière plus explicite au (n° 93).
  - 70. Quantité de mouvement communiquée par une force constante. — Lorsque la force est constante, on a FT = MV, MV
  - d’où F = -y. Celle expression montre que l’effort nécessaire
  - pour imprimer ou détruire une quantité de mouvement donnée MV est d’autant plus grand que le temps employé est plus court, et comme l’action réciproque des corps est d’autant plus rapide que les chemins parcourus, que les compressions, les flexions, les pénétrations, sont moindres pour une même quantité de mouvement détruite , cela explique comment le choc des corps durs , la transmission ou la destruction des mouvements par des corps peu flexibles, compressibles ou extensibles , donnent lieu à de si grands efforts , et par conséquent à des ruptures , à des accidents, et comment à l’inverse l’interposition de corps mous, compressibles , diminue de beaucoup l’intensité des efforts et leurs conséquences.
  - *0n voit de plus par l’expression qu’une vitesse
  - finie V ne pourrait être communiquée dans un temps nul à une masse M que par un effort infini, ce qui montre la
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- - 74
  - DE LA TRANSMISSION DU MOUVEMENT
  - fausseté de cette hypothèse, trop explicitement admise quelquefois dans l’enseignement de la mécanique rationnelle, de la transmission instantanée du mouvement par des forces auxquelles on est obligé de donner alors un nom et de supposer une nature spéciale en les appelant forces de perçus-sion. Rien de semblable ne se passe réellement dans la nature aussi instantanément : les quantités de mouvement ne sont transmises et détruites que dans des temps plus ou moins longs, parfois imperceptibles à nos sens et à nos moyens d’observation, mais jamais nuis. La notion des forces de percussion est donc fausse par elle-même, si on l’entend comme nous venons de l’indiquer.
  - Des exemples rendront plus sensible ce que nous venons de dire.
  - S’il s’agit de la quantité de mouvement communiquée à un boulet de 24 pesant 12 kilogr. et auquel la poudre imprime une vitesse de 500™ en 1", on a
  - P 12k
  - v=500"';
  - FT = 1,223X500=611,5.
  - Si l’on suppose successivement
  - T=1",0Ô, O",50, 0",10, 0",01, on a F = 61l\5, 1223k, 6115\ 61 150k.
  - Celte vitesse étant communiquée dans moins de de
  - seconde, cela donne une idée des efforts énormes développés par la poudre, quoique nous n’ayons considéré qu’un effort moyen constant, et par conséquent bien inférieur à la valeur maximum de l’effort réel.
  - Lorsque les chevaux d’une diligence pesant 4500 kilogrammes la mettent en mouvement pour lui imprimer une vitesse de 10 000 mètres à l’heure, ou
  - 10000™
  - 3600"
  - =2™,777 en 1",
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- - PAR LES FORCES.
  - 75
  - la quantité de mouvement à communiquer est 4^00
  - -£^X2“,777 = 1273,81. y,8i
  - On aura donc FT = 1273,81.
  - Si l’on suppose que chacun des cinq chevaux attelés exerce pendant quelque temps un effort moyen de 100 kilo-
  - grammes, on aura
  - 1273,81
  - 500
  - en négligeant la résistance du sol et le frottement des boîtes de roues, qui pourraient exiger dans les cas ordinaires un effort particulier de
  - AK 00
  - —— = i50k, ou de 30 kil. par cheval.
  - oU
  - On voit donc que dans ce cas, pour pouvoir imprimer cette vitesse en 2",55, chaque cheval devrait développer un effort moyen de 130 kilogrammes environ, ce qui est plus que quadruple de l’effort moyen à exercer une fois que la vitesse serait acquise.
  - C’est ici le lieu d’observer encore que dans l’exemple ci-dessus la rupture des traits, des palonniers, les blessures au poitrail, les efforts de jarrets, proviennent de la trop grande rapidité avec laquelle la quantité de mouvement que les chevaux impriment à leur masse propre est détruite par la résistance, la réaction de l’inertie du véhicule ; ce qui explique la nécessité de faire tendre d’avance les traits, et d’avertir, d’exciter doucement les chevaux de la voix.
  - Des effets analogues se produisent dans la mise en marche et dans le ralentissement du mouvement des trains de chemins de fer, et dans la recherche des moyens d’arrêter promptement ces masses énormes, il ne faut pas perdre de vue que des changements trop rapides de vitesse sont dangereux pour les voyageurs.
  - Enfin les moyens d’embrayage ou de communication ra-
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- - 76
  - DE LA TRANSMISSION DU MOUVEMENT
  - pide du mouvement à employer dans les machines doivent être disposés ou proportionnés d’après ces notions.
  - Les jongleurs, les clowns, les hercules, dans leurs tours d’adresse ou de force, sont conduits par l’observation à des pratiques conformes à ce que nous venons d’indiquer, et l’on ne les voit jamais soulever, lancer ou arrêter des masses un peu lourdes ou faire leurs sauts d’une manière brusque, mais toujours graduellement, en augmentant la durée des efforts et les chemins parcourus, afin de diminuer les efforts.
  - 71. Observation sur l'emploi de la quantité de mouvement. — Lorsque l’on connaît le produit de la masse du corps et de la vitesse qui lui a été communiquée ou enlevée, l’on a une mesure de l’effet produit par la force pendant la durée de son action; mais on voit que cette mesure ne peut être prise pour terme de comparaison que pour les cas analogues où des vitesses sont réellement communiquées ou détruites par la force, et il ne s’ensuit pas que le produit FT de la force par la durée de son action, égal, quand il y a changement dans l’état de mouvement, à la quantité de mouvement communiquée ou détruite, puisse servir toujours de mesure à l’effet des forces, comme on l’a quelquefois admis pour quelques instruments et dans certains ouvrages. En effet, il est facile de voir qu’un effort pourrait durer fort longtemps sans produire d’effet mécanique. Ainsi les chevaux qui tirent sur une voiture embourbée sans la faire avancer développent des efforts considérables, qui, multipliés par la durée de leur action, donneraient un produit énorme, sans cependant qu’il en résulte aucun effet utile, aucun travail mécanique, et rien autre chose que la fatigue et l’épuisement du moteur animé.
  - Prenons pour autre exemple le tirage d’une charrue, qui, dans une terre très-forte, exige un effort moyen total de 360 kilogrammes. Admettons que, le sillon ayant 120 mètres de longueur, les chevaux mettent dans un cas 100" et dans
  - ^
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- - PAR LES FORGES.
  - 77
  - l’autre 200" à le tracer. On aura pour le premier cas FT = 360k X 100" = 36000, et pour le second FT=36Gk X200"= 72000, et cependant, dans un cas comme dans l’autre, ils auront fait le même travail. Un instrument qui donnerait le produit des efforts par les temps ou par leur durée ne conduirait donc nullement à une appréciation exacte des effets mécaniques produits.
  - La véritable mesure de ces effets, c’est, comme nous l’avons dit, le produit de l’effort exercé par le chemin parcouru dans sa direction propre.
  - 72. Observation importante. — Nous ferons encore observer que ce n’est que dans le cas d’un effort constant agissant pendant un temps T — î" que l’on peut prendre le produit MV pour la mesure de l’effort exercé F, et qu’alors on a
  - F=MY = - V ou F : P :: Y : o,
  - 9 y
  - proportion qui résulte directement du principe général énoncé au n° 61. Mais, quand il s’agit d’efforts variables, le même mode de mesure ne peut être appliqué pour des temps finis, car des forces qui varient suivant des lois très-différentes peuvent dans le même temps Communiquer des quantités de mouvement égales soit à un-même corps, soit à des corps différents. La formule F = MV ne donnerait alors que la valeur d’un effort moyen constant capable de communiquer dans le même temps la même quantité de mouvement.
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- - OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT.
  - 75. Détermination de l’intensité des forces par Vobservation de la loi des mouvements qu’elles produisent. — La formule
  - F —P V
  - montre que, si par l’observation de la loi du mouvement on connaissait pour chaque instant la valeur du rapport on aurait celle de l’effort F correspondant. Si, par exemple, l’expérience apprend que le mouvement est uniformément accéléré, on a
  - d’où
  - Par conséquent
  - E = ! ViT2,
  - V V _ t?_2E
  - VI T t~ P*
  - F_P2E
  - 1 9~ T"’
  - S’il s’agit, je suppose, d’un traîneau pesant 1000 kilogrammes, et qui parcoure d’un mouvement uniformément accéléré un espace de 10 mètres en 2", on a
  - tooo 2 v 10
  - F=^rr X —;— = 102 X 5 = 510 kilogrammes
  - 9,81
  - 4
  - pour la valeur de la force capable de lui communiquer ce mouvement accéléré, abstraction faite du frottement.
  - 74. Moijens employés pour déterminer les lois du mouvement des corps. — On se sert, selon les cas, de différents appareils ou instruments pour observer les lois du mouvement des corps. Quand ils marchent lentement, on emploie des mon-
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- - OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT. 79
  - très, des pendules, et on note les temps correspondant à des espaces donnés. Mais ce moyen ne fournit que quelques valeurs correspondantes du temps et des espaces, et ne peut être mis en usage avec précision pour les mouvements rapides.
  - 76. Appareil du colonel Beaufoy (pl. III, fig. 5),— Cet expérimentateur s’est servi, dans ses recherches sur la résistance de l’eau, d’un pendule qui traçait à chaque oscillation une marque sur une règle dont le mouvement était dans un rapport connu avec celui qu’il voulait observer, et comme dans ses expériences le mouvement devenait bientôt uniforme, il obtenait facilement la vitesse de ce mouvement.
  - 76. Appareil d’Eytelvoein. — Ce savant ingénieur prussien paraît être le premier qui ait eu l’idée de combiner un mouvement uniforme connu avec un mouvement à déterminer, de manière à obtenir une trace de ces mouvements simultanés dont il pût déduire les circonstances du mouvement inconnu.
  - Pour ses expériences sur le bélier hydraulique il s’est servi d’une bande de papier sans fin (pl. III, fig. 6 et 7), enroulée sur deux cylindres, et à laquelle on communiquait à la main un mouvement régulier. Les longueurs de papier passées étaient donc à peu près proportionnelles au temps. Un style fixé à la tige des soupapes du bélier traçait sur cette bande une courbe dont les ordonnées étaient les espaces parcourus. M. Eytelwein a pu, à l’aide de cet appareil imparfait, déterminer à peu près les intervalles de temps pendant lesquels les soupapes du bélier hydraulique étaient ouvertes ou fermées. Mais on conçoit que le mouvement communiqué à la main ne pouvait être uniforme, et que ce dispositif ne saurait donner de résultats bien exacts.
  - 77. Nouveaux appareils. — Pour les expériences exécutées à Metz sur le frottement et pour d’autres recherches, M. Pon-
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- - 80
  - OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT.
  - cclet m’a indiqué et j’ai employé la combinaison d’un mouvement uniforme connu avec le mouvement dont je voulais déterminer la loi. J’ai depuis modifié la disposition de ces appareils, et celui qui existe au Conservatoire des arts et métiers est établi de la manière suivante (pl. III, fîg. 8 et 9) : Un plateau de 0m,32 de diamètre, parfaitement plan, reçoit un mouvement uniforme, au moyen d’un poids suspendu à une corde enroulée sur un premier treuil. Le mouvement de ce treuil se transmet à un second arbre par une roue et un pignon dont les nombres de dents sont entre eux comme 6:1. Une roue montée sur ce second arbre conduit un second pignon fixé sur l’arbre du plateau. Cette roue et son pignon ont aussi des nombres de dents dans le rapport de 6 : 1 ; de sorte que le plateau fait 36 tours pour un tour du treuil. Sur l’arbre du plateau est un volant à 4 ailettes de 0m,10 de côté, qui sert à régulariser le mouvement par la résistance que l’air lui oppose, résistance qui, entre des limites assez étendues, croît, comme on sait, à peu près proportionnellement au carré de la vitesse.
  - Il résulte de cette disposition qu’au bout d’un temps assez court le mouvement du plateau, dont le centre de gravité, ainsi que celui des autres pièces, est sur l’axe de rotation, devient uniforme, ainsi qu’il est facile de s’en assurer en comptant à plusieurs reprises les nombres de tours faits par le second arbre, qui porte à cet effet une aiguille indicatrice.
  - Vis-à-vis du plateau, et parallèlement à sa surface, est une poulie dont le mouvement est en rapport connu avec celui que l’on veut observer, soit directement, soit indirectement. L’axe de cette poulie porte un petit bras sur lequel est monté un style, formé ordinairement par un pinceau imbibé d’encre de Chine.
  - Au moyen de dispositions simples on assure le parallélisme du cercle décrit par la pointe du style et de la surface du plateau, sur laquelle on fixe une feuille de papier. Le style peut, avant l’expérience, être éloigné de la feuille de
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- - OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT. 81
  - papier d’un demi-millimètre environ, et mis en contact avec elle à l’instant môme où commence le mouvement.
  - On conçoit facilement d’après cette description succincte* que, le plateau tournant d’un mouvement uniforme et le style d’un mouvement inconnu, il résulte de ces deux mouvements simultanés une trace laissée sur la feuille de papier, qui, dépendant de cette simultanéité de mouvement, doit par son relèvement donner la relation des angles décrits par la poulie ou des espaces parcourus par le corps observé, et des angles décrits par le plateau ou des temps correspondants.
  - C’est ce qu’il est facile de voir en observant que, si le plateau était au repos, le style décrirait à sa surface un cercle
  - d’un rayon égal à sa dis-
  - tance à l’axe A de la poulie; tandis qu’au contraire, si le style était au repos, et le plateau en mouvement, celui-ci porterait pour trace de son contact avec le pinceau un cercle ayant pour centre celui du plateau, et pour rayon la distance du style à ce centre. Cela posé, soit o l’origine de la courbe tracée pendant l’expérience ; par ce point, faisons passer un cercle de rayon A o égal à la distance du style à l’axe de la poulie, et dont le centre soit à la distance connue AC de celui du plateau, et partageons ce cercle en dix parties égales au point 0,1,2,3...., 9.
  - Par chacun de ces points menons des circonférences
  - * Voir pour plus de détails la description des Appareils chronométriques, insérée au compte rendu du congrès scientifique tenu à Metz en 1837.
  - S
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- - 82 . OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT.
  - de cercle ayant leur centre en C et pour rayons les distances CO, Cl, C2, etc. Ces cercles couperont la courbe en des points 1', 2', 3', etc. Or, il est évident que le point Y résulte des mouvements simultanés du style de 0 en 1, et du plateau décrivant l’angle ICI'; par conséquent l’arc 01 donne l’angle décrit par la poulie ou l’espace parcouru par le corps, et l’angle lCl' fournit la mesure du temps correspondant,
  - On peut donc successivement relever ces espaces et en former une table qui représente la loi du mouvement.
  - Prenant ensuite les espaces parcourus pour des abscisses et les temps pour des ordonnées, on aura une courbe a coordonnées rectangulaires, dont on éiudiera la nature pour en déduire la loi du mouvement observé.
  - Si, par exemple, les abscisses ou les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps ou des ordonnées, la courbe sera une parabole, et le mouvement sera uniformément accéléré. Si la courbe dégénère soit dès l’origine, soit après un certain temps, en une ligne droite, le mouvement étudié est uniforme h partir de cet instant.
  - Lorsqu’il s’agit de mouvements très-rapides pour lesquels des styles chargés d’encre ne conviendraient pas, on peut employer des styles métalliques traçant sur des couches de matière molle, telle que de la cire mêlée de suif. C’est ainsi que l’on a pu déterminer facilement la loi du mouvement d’un chien de fusil, quoique ce mouvement s’accomplisseï
  - 1 Âi peu près dans —— de seconde. P !'
  - On commence par tracer sur le plateau au repos l’arc de cercle décrit par le style fixé à la tête du chien, et formé ]; d’une aiguille légère d'acier; ce qui sert à déterminer sur le fe plateau un cercle de rayon CA sur lequel se projette en Ale r centre de la noix. Cela fait, on met le plateau en mouvement, .1, et, quand on a déterminé par l’observation directe la vitesse de ce mouvement uniforme, on lûclie l’aiguille, puis le chien, et l’on obtient une courbe 0,1', 2', 3', 4'. L’origine o de cette courbe peut se déterminer d’abord à peu près exactement
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- - OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT.
  - 83
  - is-
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  - à vue par l’examen de son point de tangence avec l’arc de cercle que le style a tracé avant le départ du chien. On trace le cercle décrit par la pointe et passant par celle origine o. Cet arc se termine à la circonférence que le style a tracée quand le chien s’est arrêté. On le partage en un nombre quelconque de parties, ou plutôt à partir du point o on prend des arcs 01,02 égaux à un nombre donné de degrés, et cor-
  - respondant par conséquent à des angles connus décrits par le chien. Puis du point C comme centre, et des rayons CI , C2, C3, etc., on décrit des arcs de cercle qui rencontrent la courbe en 1', 2', 3', etc. Enfin les angles ICI’, 2C2', 3C3', donnent les temps correspondants. On peut alors comparer les angles décrits par le chien avec les temps employés. On trouve ainsi, par exemple, pour le fusil d’infanterie à percussion, modèle de 1840, les résultats suivants :
  - Ai'esiié'Tits par1 jfele centre do la 111. 11). IIJ. ni. 11] . m. 111. m. m,
  - B Irai 3 ure , o,oo53 0,0106 0,0160 0,0213 0,0220 0,0319 0,037 5 0,0426 0,0479
  - 3 de 1 Temps cotres-'sec. SOC. SCC. sec. sec. sec. soc. sec. sec.
  - HPimdams 0 00400 0,00604 0,00754 0,08864 0,00036 0,01050 0,01126 0,01190 0,01372
  - rmé r le Ale laop. des car- [ K,rùs des temps ! aux arcs dé— ! Rcriis '. 0,00310 0,00343 0,00355 0,00351 0,00330 0,00346 0,00340 0,00334 0,00338
  - enf, venue.................................................o.oo34i.
  - ni.
  - 0,0520
  - sec.
  - 0,01318
  - esse
  - ien,
  - :etle
  - îciit
  - En répétant
  - trois fois l’expérience on a trouvé le rapport
  - moyen
  - T* 2
  - -rr—^0,CO 353 — w,
  - E V i
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- - 84
  - OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT.
  - et, l’arc total étant de O™,052 on trouve T = 0",01355, et par suite
  - Vl 0,00 353’
  - pour la vitesse du style. Ce style était à 0m,061 de l’axe de la noix, tandis que le centre de la fraisure n’est qu’à 0m,0602, par conséquent la vitesse du chien à ce centre est
  - <^^X7m,68=7in,58 en 1 seconde.
  - On voit par cet exemple que l’on a pu déterminer un grand nombre de points de la courbe qui représente la loi du mouvement, et comme le rapport des espaces parcourus aux carrés des temps est constant, il s’ensuit que cette courbe est une parabole ou que le mouvement du chien est uniformément accéléré. Ainsi la force qui le produit est constante, et la forme de la courbe de la noix, ainsi que la
  - résistance du ressort à la flexion, sont tellement combi-
  - nées, que l’effort que le pouce doit exercer pour armer le chien perpendiculairement à sa crête est constant. Cela montre comment l’art de l’ouvrier peut quelquefois parvenir à la solution de problA,rino >«»,
  - difficiles.
  - On peut étendre l’usage de ces
  - mouvements beaucoup plus rapides encore, car dans les expériences sur le chien du fusil, le plateau ne faisait que 6 tours en 1" et l’on pourrait facilement en obtenir 10. Alors la circonférence de ce plateau, qui a lm,00 de développement environ, parcourrait 10000 millim. en 1", et, comme, à l’aide de l’instrument à relever les courbes, on peut apprécier facilement \ de millimètre, on pourrait donc obtenir les
  - temps à 6Q^--~ de seconde près.
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- - OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT. 85
  - Il serait même facile d’aller plus loin en augmentant les dimensions du plateau.
  - Si de plus on combine le mouvement de ce plateau avec l’électricité on pourra peut-être parvenir à mesurer la durée de certains phénomènes si rapides, que jusqu’ici on n’a pu les étudier.
  - De ce nombre, par exemple, serait la loi du mouvement des projectiles dans l’air, pour laquelle des essais ont déjà été tentés, mais encore avec peu de succès, parce qu’au lieu d’un appareil h mouvement continu on a employé des instruments chronométriques à mouvement oscillatoire ou intermittent.
  - 78. Plateaux en zinc. — La feuille de papier qui dans l’appareil ordinaire reçoit les traces du style est collée mouillée par ses bords sur une plaque de zinc, et celle-ci se lixe sur le plateau. Celte disposition présente l’avantage d’éviter les inconvénients du retrait plus ou moins inégal du papier et de faciliter beaucoup le relèvement.
  - 79. Appareil à relever les courbes. — La feuille de zinc séparée du plateau se place sur l’instrument qui sert au relèvement des courbes et s’y trouve de suite exactement centrée. La circonférence de cet instrument est divisée en mille parties. Une alidade mobile autour de l’axe porte sur sa longueur un disque armé de dix pointes, dont les extrémités partagent en dix parties égales la circonférence que le style aurait décrite sur le plateau au repos. On desserre la vis de pression qui fixe ce disque ; on le fait tourner sur lui-même de manière que l’une de ces pointes corresponde à l’origine de la courbe. Cela fait, on serre la vis de pression, et le disque devient solidaire avec l’alidade. Dès lors il est évident que chacune des dix pointes, dans le mouvement de l’alidade, décrira le cercle auxiliaire 11', 22' 33', etc., 99', et qu’en faisant tourner l’alidade de façon que toutes les pointes successivement rencontrent la courbe, et lisant les angles décrits par celte alidade et correspondant à chaque pointe, on aura
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- - 86 OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT.
  - les temps, qui sont proportionnels à ces angles, et les angles décrits par la poulie du style, par les numéros d’ordre des pointes.
  - Cet instrument, dû à M. le capitaine d’artillerie Didion, est à la fois d’une grande précision et d’une grande utilité dans toutes les opérations de ce genre et les facilite beaucoup.
  - Les appareils que l’on vient de décrire sont les premiers de ce genre que j’aie fait construire et ils sont d’un usage commode pour les expériences diverses que l’on peut avoir à faire, mais les résultats exigent un relèvement détaillé et ne parlent pas assez immédiatement aux yeux pour qu’il soit possible de les employer dans l’enseignement. Il m’avait semblé depuis longtemps utile d’appliquer sous une forme plus simple le principe de leur construction. C’est ce qui m’a conduit à faire faire l’appareil suivant :
  - 80. Description de l'appareil chronométrique à cylindre et h style pour observer les lois du mouvement. — La pièce principale de cet appareil, dans le modèle adopté pour les lycées parle Ministère de l’instruction publique, est un cylindre vertical AB (fig. 21) de 2m,10 de hauteur, que l’on recouvre d’une feuille de papier blanc ordinaire, légèrement mouillée et collée par ses bords. Ce cylindre a 0m,125 de diamètre, ce qui correspond à une circonférence de 0m,392. Il repose sur un pivot et est mis en mouvement par un appareil analogue au tournebroche.
  - Un poids moteur est suspendu à une corde qui s’enroule a la surface d’un treuil C. A l’une des extrémités de ce treuil est une roue D à dents, inclinées à45°, qui conduit une vis sans fin, dont l’axe vertical porte à sa partie supérieure un volant à ailettes, qui sert à régulariser le mouvement par l’effet de la résistance de l’air. On peut incliner ces ailettes pour accroître ou diminuer l’action régulatrice de l’air et, comme on a aussi la liberté de faire varier le poids moteur, on parvient à obtenir un mouvement uniforme du cylindre
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- - OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT.
  - 87
  - à la vitesse d’un tour en 1 seconde ou un mouvement plus rapide si l’on en a besoin. Ce mouvement ne se régularisant
  - que graduellement, il est convenable de ne faire l’ex-pcrience que l’on projette que quand le poids moteur a parcouru les § ou les | de sa chute; il reste encore plus de temps qu’il n’en faut pour les cas ordinaires.
  - Il existe au Conservatoire des arts et métiers un modèle de cet appareil plus grand et plus complet, dont le cylindre a 3m,l0 de hauteur et 1 mètre de circonférence.
  - Si l’on conçoit les bases supérieure et inférieure de ce cylindre divisées à partir des extrémités d’une même génératrice en 100 parties égales, il est clair que chacune de ces parties correspondra à yLj de la révolution ou à de seconde, et comme chacune d’elles peut être partagée en 10 parties ou en 10 millimètres, on voit que ces subdivisions successives donneront le moyen de mesurer le temps avec la précision de de de seconde et même moins. On a donc ainsi un véritable chrono-
  - Fig. 21.
  - mètre très-sensible. La division, dont nous venons de parler, s’effectue facilement au moyen d’une règle en bois qui
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- - 88
  - OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT.
  - se place sur le montant droit du bâtis de l’appareil parallèlement aux arêtes du cylindre et près de sa surface. La base du cylindre porte un cercle ayant 100 dents d’arrêt équidistantes dans lesquelles un cliquet s’engage successivement pour fixer le cylindre pendant qu’on trace ses génératrices avec la règle. Celle-ci est en outre divisée de 5 en 5 centimètres par des encoches dans lesquelles on place un crayon, que l’on lient fixe pendant que l’on fait tourner le cylindre, ce qui permet de tracer des parallèles à la base dont le dé. veloppement fournit les ordonnées de la courbe du mouvement.
  - Cela posé si l’on conçoit qu’un corps M, suspendu vers le sommet du cylindre â l’aide d’un levier coudé à talon ab, soit abandonné à lui-même, tombe vers la terre et soit guidé verticalement dans sa chute, au moyen de deux fils métalliques bien tendus à l’aide devis v, v' et bien parallèles aux arêtes du cylindre, et de plus que ce corps porte avec lui un style, formé par un pinceau imbibé d’encre ou plus simplement par un crayon de mine de plomb pressé contre la surface du cylindre par un ressort, on comprendra facilement que, si, pendant la descente du corps, le cylindre était en repos le style y laisserait la trace d’une des génératrices même du cylindre ou d’une ligne droite. Mais comme le cylindre se meut en même temps que le poids tombe, le style trace sur la feuille de papier une ligne courbe qui dépend de la simultanéité des deux mouvements.
  - 81. Discussion du résultat fourni par l'appareil. — Lorsque celle courbe est obtenue et que l’on a tracé la génératrice du cylindre, qui correspond à son origine, il est facile d’en reconnaître la nature et de vérifier que le mouvement du style qui l’a tracée, et par conséquent celui du corps, qui portait ce style, était uniformément accéléré.
  - En effet, si l’on coupe la feuille de papier et qu’on l’enlève de dessus le cylindre, la génératrice menée par l’origine de la courbe pourra être prise pour l’axe des abscisses et
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- - OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT.
  - 89
  - les longueurs mesurées sur cette ligne, à partir de l’origine, seront, en grandeur réelle, les espaces parcourus par le corps dans sa descente. Les ordonnées de cette courbe seront les développements d’autant d’arcs de cercle de la surface cylindrique et chaque millimètre de ces ordonnées représentera une fraction donnée de seconde.
  - On aura donc obtenu en réalité, avec cet appareil, une courbe dont les abscisses seront les espaces parcourus par le corps et dont les ordonnées seront les temps correspondants.
  - Or, en comparant directement les espaces parcourus aux temps mesurés sur la courbe, on reconnaîtra de suite que les premiers sont dans un rapport constant avec les carrés des seconds, ce qui montre que le mouvement de descente du corps était uniformément accéléré.
  - Par une construction graphique très-simple et qui consiste à mener à vue et avec une règle une série de tangentes à la courbe, à déterminer les points où elles coupent l’axe OY des ordonnées et à élever en ces points une perpendiculaire à chacune de ces tangentes, on reconnaîtra que toutes ces perpendiculaires se coupent en un même point, ce qui est une propriété caractéristique des paraboles, courbes dont les abscisses sont dans un rapport constant avec le carré de leurs ordonnées. Le point ainsi déterminé est le foyer de la parabole et fournit la véritable position de l’axe des abscisses et de l’origine de la courbe, dont nous n’avions précédemment supposé la position déterminée qu’à vue, ce qui laisse toujours un peu d’incertitude.
  - 82. Détermination de la vitesse. — Puisque l’on a obtenu directement et par l’appareil lui-même la courbe qui représente la loi du mouvement uniformément accéléré et qu’on a reconnu que cette courbe était une parabole, on aura les vitesses du mouvement varié à chaque instant par l’inclinaison des tangentes à cette courbe sur ses ordonnées. Or, cette inclinaison dans la parabole est égale au double de l’ab-
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  - OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT.
  - • 2E 9 f
  - scisse E divisé par le temps T, ou a -y : on a donc V =
  - d’où y — qr et comme, par la comparaison des abscisses E
  - E
  - aa carré des ordonnées T, on a trouvé que y est constant,
  - y
  - l’on voit aussi que le rapport ^ est constant, ce qui montre
  - que, conformément à la définition du mouvement uniformément varié, les vitesses sont ici proportionnelles aux temps.
  - Si l’on cherche la vitesse Y! acquise à la fin de la première seconde de la chute on trouve Yi=2Et Ei étant l’espace parcouru après la première seconde ou l’abscisse correspondant à l’ordonnée T — 1".
  - On voit donc que le nouvel appareil permet de déterminer directement par l’observation toutes les circonstances de la chute des corps qui, abandonnés à eux-mêmes tombent à la surface de la terre, de vérifier que ce mouvement est uniformément accéléré et d’obtenir aussi avec une certaine exactitude la valeur de la vitesse acquise par les corps dans la première seconde de leur chute et qui est égale à 9m,8088 environ à Paris *.
  - Fig. 22.
  - * Les modèles de l’appareil chronométrique que l’on vient de décrire et qui ont été faits pour les lycées, sortent des ateliers de M. Clair, mécanicien , rue du Cherche-Midi, 93.
  - Quelques constructeurs, dans un but d’économie, ont cru simplifier convenablement cet appareil en supprimant le treuil, l'engrenage et le volant régulateur. Ils ont remplacé le tout par une manivelle, à l’aide de laquelle on cherche à imprimer, tant bien que mal, un mouvement uniforme d’une vitesse connue. Quand on croit l’avoir atteint on laisse tomber le poids. Il est fâcheux de voir ainsi altérer la précision d’un appareil simple et susceptible d’une grande exactitude. C’est faire rétrograder l’art.
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- - OBSERVATION DES LOIS DE MOUVEMENT.
  - 91
  - 85. Démonstration expérimentale du principe de la proportionnalité des forces aux vitesses. — Ce principe que nous avons admis au n° 61, comme résultant de l’ensemble des phénomènes observés, et dont on n’avait jusqu’ici donné aucune démonstration directe, peut facilement être vérifié à l’aide de l’appareil qui vient d’être décrit, ainsi que nous l’avons fait avec M. Tresca, pour le cours de mécanique du Conservatoire. Imaginons que le mobile, de poids P qui est soumis à l’action de la pesanteur soit relié d’une manière quelconque, au moyen d’un fil par exemple, à un autre mobile, de poids p, libre de se mouvoir sur un plateau horizontal parfaitement dressé, et disposé d’une manière fixe à proximité de l’appareil. L’action de la pesanteur sur ce deuxième corps sera entièrement annulée par la résistance du plateau, et lorsque le corps P tombera, il est clair que c’est la seule action de la pesanteur sur ce corps qui mettra les deux corps en mouvement, et qu’ainsi la seule force P
  - devra imprimer le mouvement à la masse Dans ces
  - conditions la chute aura encore lieu d’un mouvement uniformément accéléré, mais évidemment moins rapide que quand le corps P est entièrement libre. La courbe tracée par le style est en effet une parabole plus ouverte que dans le cas de la chute parfaitement libre, et cette parabole peut servir à démontrer, comme nous l’avons indiqué précédemment, la vitesse Y du système au bout d’un temps quelconque, au bout d’une seconde par exemple. L’action continue d’une force P imprime donc, en une seconde, à P-fn
  - une masse —une vitesse Y mesurée expérimentalement.
  - On pourrait de même observer la vitesse Y' d’une masse P' 4- p'
  - —-—, dans des circonstances analogues, en substituant un
  - poids P' au poids moteur P, et un nouveau corps de poids P1 au corps entraîné, de poids p.
  - Or, on peut à l’aide de cette double substitution faire en
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- - 92 OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT,
  - sorte que P-f-p = P'-J-p', auquel cas la masse mise en mouvement clans les deux cas sera identiquement la même,
  - étant alors éiçale à —on réalise de cetle manière cette 9
  - circonstance que deux poids moteurs P et P', qui sont de véritables forces, agissent pendant le même temps, une seconde, sur la même masse on a observe les vitesses
  - 9
  - acquises Y et Y' dans les deux cas, et il suffit, pour vérifier le principe, de s'assurer par l’examen des chiffres si l’on a la proportion
  - V : T :: P : P'
  - qui est la traduction du principe de la proportionnelle entre les forces et les vitesses, tel que nous l’avons énoncé.
  - Comme toutes les expériences de précision, celle-ci exige quelques soins pour être conduite à bien, parce qu’il faut tenir compte des frottements et de toutes les résistances passives auxquelles le mouvement des différentes parties du système peut donner lieu.
  - Dans une série d’expériences, on a observé la vitesse moyenne du cylindre à la circonférence, pendant que le style exerce sur lui sa pression ; elle s’est trouvée être de 0“4766 par seconde, et c’est par conséquent pour une abcisse égale à celte longueur que la vitesse a dû être relevée sur la courbe tracée par le style.
  - Le poids total était 6k526 en comprenant dans ce poids un chiffre de Ok226, déterminé par des expériences préliminaires, comme équivalent à la résistance due aux frottements.
  - Les poids moteurs ont été successivement p = Ok245
  - p' — 0k490 P" = 0k700
  - et les vitesses correspondantes observées V = 0,354
  - Y'= 0,672 V" = 0,942
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- - OBSERVATION DES LOIS DU MOUVEMENT.
  - 93
  - Les rapports des poids moteurs étant :
  - p'__0,490
  - p 0,245
  - = 2,000
  - p" __ 0,700 p ~~ 0,145
  - 2,857
  - les rapports correspondant entre les vitesses observées ont donné :
  - V' __ 0,772 Y 0,354
  - 1,898
  - V"
  - V
  - 0,942
  - 0,354
  - 2,661.
  - La presque identité de ces rapports démontre, dans les limites de l’expérience, l’exactitude de la loi, qui pourrait de la môme façon être démontrée dans les limites les plus étendues.
  - Les vitesses, calculées à priori, d’après la valeur de g =9,8088, auraient du être respectivement
  - 0m,355 0ra,676 0m,950
  - qui diffèrent très -peu, comme on le voit, de celles qui ont été observées.
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- - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - 84. Mesure du travail mécanique développé par les forces motrices ou d'inertie dans le mouvement varié. — On a vu précédemment que la force motrice et la réaction développée par l’inertie d’une masse M animée d’un mouvement de transport parallèle et varié avaient pour mesure commune l’expression
  - F=-.f=M. g t t
  - Par conséquent, en appelant e le chemin élémentaire parcouru dans l’élément du temps t, on aura pour le travail élémentaire (le la force F
  - Fe
  - HT V
  - t
  - On remarquera que, si le mouvement s’accélère, le chemin parcouru par le point d’application de la force d’inertie, qui agit alors comme résistance, est décrit en sens contraire de cette force, qui développe alors un travail résistant égal au travail moteur de la force extérieure F. A l’inverse le travail de l’inertie devient un travail moteur si le mouvement tend à se retarder, et il est égal à celui de la force F qui produit le ralentissement.
  - On se rappellera que dans le mouvement varié la vi-
  - £
  - tesse V à un instant quelconque est V = - , de sorte que l’es-
  - v
  - pression ci-dessus devient Fe=M.\.v.
  - Le travail total développé par la force motrice pour imprimer à tous les éléments du corps de poids P ou de
  - p
  - masse -=M avec certaine vitesse commune V, à partir du
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- - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - 95
  - repos, est donc la somme de toutes les quantités de travail élémentaires semblables. Or, si l’on porte les vitesses sur une
  - ligne d’abscisses, et qu’on élève à chaque point des perpendiculaires égales aux abscisses ou aux vilesses, il est clair que, pour un accroissement élémentaire v = ef de la vi-
  - f-----c---tf » tesse, le produit Va sera représenté
  - Kig-23, par l’aire du pe'it trapèze ee'f'f, et
  - que la somme de tous les produits semblables, depuis le départ où V=0 jusqu’à V=AB=BB', sera représentée par
  - ^ABxBB'^-n
  - de sorte que le travail-total développé par la force motrice ouïe travail développé par la force d’inertie sera, en l’appelant T :
  - 1 1 P
  - T=±MV2=4 -. V2.
  - 2 2 g
  - 85. Force vive.— Ce produit de la masse par le carré de la vitesse a reçu des géomètres le nom de force vive, expression de convention à laquelle il ne faut ajouter aucun sens métaphysique.
  - Il résulte donc de ce qui précède que le travail développé par une force qui communique ou enlève à tous les éléments
  - P
  - d'un corps de masse M——une vitesse commune V est égal à la
  - moitié de la force vive correspondant à cette vitesse.
  - Si le corps était animé d’une certaine vitesse commune V' ou d’une force vive MV/2 au moment où la force commence à modifier son mouvement, il est évident que la force ne lui aurait communiqué, quand sa vitesse serait devenue V ou sa force viveMV2, que la différence ou l’excès de la force vive qu’il possède à la fin, sur celle qu’il avait à l’origine de son action, savoir M Y2—MV'2 s’il y avait eu accélération, ouMV'2 — MV2 s’il y avait eu retard, et que le travail cor-
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- - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - 96
  - respondant, représenté alors par la différence des triangles ABB' et ACC', serait égal à
  - M V'2),
  - ou i(MV,a—MV*),
  - selon l’un ou l’autre cas.
  - Ainsi, en général, le travail d’une force qui accélère ou retarde le mouvement d’un corps qui se meut dans sa direction propre est éyal à la moitié de la force vive qu’elle a communiquée ou enlevée à ce corps.
  - Ce principe a reçu le nom de principe des forces vives, et sa généralisation sert de base à toute la mécanique appliquée.
  - 86. Effets des gaz de la poudre dans les armes et dans les bouches à feu. — Les considérations des n08 65 et suivants, relatives à la communication des quantités de mouvement, et le principe des forces vives s’appliquent directement aux effets des gaz explosifs dans les armes à feu, avec une approximation qui permet d’en déduire des conséquences utiles.
  - Si l’on considère, en effet, ce qui se passe pendant l’intervalle de temps fort court qui s’écoule pendant le trajet du projectile, et si l’on suppose que la charge soit assez faible pour que l’on puisse faire abstraction de l’inertie des gaz qu’elle produit, l’on peut admettre que les efforts exercés par les gaz sur le projectile pour le chasser, et sur le fond de l’âme, pour faire reculer la bouche à feu, sont les mêmes *, et comme ils sont exercés pendant le même
  - * En réalité el dans les conditions ordinaires du service, le poids de la charge de poudre étant \ à|de celui du projectile, l’on ne peut faire celte supposition, et il est alors évident que la tranche de gaz qui agit contre le fond de Pâme a une tension plus grande que celle qui est contre le projectile. Par conséquent la vitesse de recul est plus grande que celle que l’on indique ici.
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- - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - 07
  - temps, en nommant P et P' le poids du projectile et celui de la bouche à feu, y compris l’affût, v et v' les éléments de vitesse qui leur sont respectivement communiqués dans un élément de temps, l’on aura, d’après le principe de la proportionnalité des forces aux vitesses n° (61)
  - F:P::v:gtf, et F:P' ::v':gt, d’où l’on déduit
  - Pv = PV, ou P : P' : : v' : v,
  - c’est-à-dire que les vitesses communiquées dans l’élément du temps au projectile et à la bouche à feu, sont dans ces suppositions en raison inverse du poids de ces corps, et comme les vitesses totales communiquées au moment où le projectile quitte la bouche à feu, sont égales à la somme de tous les éléments de vitesse qu’ils ont reçus pendant la durée de l’action des gaz, on a aussi
  - P: P':: V': V,
  - V et V' étant les vitesses totales imprimées au projectile et à la bouche à feu.
  - Si l’on applique cette conséquence au fusil d’infanterie à percussion, transformé et actuellement en service, on a
  - P' = 4kil,605, P .= 0kil,029,
  - d’où
  - P'_ 4,605 P — 0,029
  - 159.
  - Or, les expériences faites avec le pendule balistique apprennent que la vitesse communiquée à la balle de 29 grammes par une charge de 8 grammes de poudre de guerre, est V = 405 mètres. On déduit donc de la proportion ci-dessus
  - V' =
  - 405ra
  - 159
  - 2n,,547.
  - Cette vitesse de recul est déjà considérable, et l’on doit re-
  - 7
- p.97 - vue 106/470
- - 98
  - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - marquer que, d’après la note précédente la vitesse réelle
  - est encore plus grande.
  - L’on voit que l’on ne doit pas chercher à alléger les armes portatives au delà d’une certaine limite , si l’on ne veut augmenter la vitesse de recul dans une trop grande proportion.
  - D’après les valeurs précédentes, la quantité de mouvement communiquée au fusil serait
  - X2n\547 = 1,195.
  - Si l’homme résiste au recul en cédant, de façon que cette quantité de mouvement soit éteinte en 0",50 par exemple, l’effort moyen exercé à l’épaule sera
  - Pour diminuer cet effort, il convient donc de refuser l’épaule doucement et d’interposer entre la crosse et l’épaule un corps compressible formant matelas. Telle est l’origine de l’épaulette.
  - 87. Application du principe des forces vives. — Ce principe permet d’apprécier une partie des effets si rapides des gaz de la poudre sur les bouches à feu et sur les projectiles. En effet, en conservant les notations précédentes, l’on voit que
  - La force vive communiquée au projectile est
  - —V2 = MVa.
  - 9
  - La force vive communiquée à la bouche à feu est
  - P'
  - — Y'2 = M'V'2.
  - 9
  - La force vive totale développée par les gaz est donc
  - ~V2~f-^-V'2==MV2 + M'V'\
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- - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - 99
  - Mais à cause du poids considérable de la bouche à feu et de son affût, la force vive qui est communiquée au projectile est beaucoup plus grande que celle qui est imprimée à la bouche à feu et dans les applications ordinaires celle-ci peut être négligée.
  - Ainsi, pour le cas du fusil d’infanterie, l'on a P 0kil 029 —»
  - pour le projectile , ~ V2 = ----j- X 405“ = 484,940.
  - P' 4kil 005 _____«
  - pour le fusil, -V';x 2’547 = 3>045-
  - PV2
  - Le rapport de ces forces vives est égal à = 159.
  - La quantité de travail développée par les gaz de la poudre sur le projectile étant numériquement égale à la moitié de la force vive qui lui a été imprimée, on a, dans le cas actuel, pour le travail développé par 0kil,008 de poudre,
  - 484,94 _ 242k™?47 ; et l’on voit que, dans la comparaison
  - des effets mécaniques ou des quantités de travail produits par des poudres d’espèces différentes, l’on peut se contenter de les mesurer par la moitié de la force vive imprimée au projectile.
  - 88. Relation entre les charges et les vitesses. — Le travail des gaz de la poudre doit être évidemment proportionnel à leur quantité et par conséquent au poids de la charge de poudre qui les produit, pourvu que l’on puisse admettre que cette charge soit entièrement brûlée dans la bouche à feu avant la sortie du projectile : ce qui est sensiblement exact pour les fusils, bien au delà des charges ordinaires, mais ne l’est pour les canons que jusqu’aux charges de £ à £ du poids du boulet.
  - Par conséquent, en appelant C et Ci les charges, P et Pi les poids des projectiles, V et Vi les vitesses qui leur sont
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- - 100
  - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - communiquées par ces charges, on doit avoir la proportion
  - PV2 : PiV2! :: G : Ci,
  - on en conclut :
  - 1° Que pour des projectiles de même poids ou pour P = P, l’on a
  - V : V2i :: C : Ct; .
  - c’est-à-dire que dans une même bouche à feu et avec des projectiles de même poids, les vitesses imprimées à ceux-ci sont entre elles comme les racines carrées des charges.
  - 2° Que si les charges sont égales ou C = Ci, l’on a
  - PV* = P1V2i;
  - ce qui montre que dans les bouches à feu de même proportion et à charges égales, les vitesses des projectiles sont entre elles en raison inverse des racines carrées des poids des projectiles.
  - 89. Vérification de ces conséquences par l'expérience. —La première de ces lois, énoncée d’abord par Hutton, géomètre anglais, comme conséquence de ses expériences, a été dans ces derniers temps l’objet de nombreuses recherches exécutées avec des fusils de calibres différents et des balles dont le vent a varié dans des limites étendues. Quelques-unes ont été faites par M. le colonel d’artillerie Mallet, avec la poudre de mousqueterie ordinaire ; les autres l’ont été avec des poudres de diverses espèces et avec du pyroxile à base de coton ou coton-poudre, à l’occasion des recherches ordonnées par le Ministre de la guerre sur celte substance remarquable.
  - Les résultats de ces expériences sont consignées dans le tableau suivant, et pour les dégager des anomalies que présentent toujours de semblables recherches, quel que soit le soin que l’on y apporte, je les ai représentés graphiquement dans les figures 1 et 2 de la planche I en prenant les charges'pour abscisses et les forces vives pour ordonnées.
  - HKUHi
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- - a. o
  - Vitesses initiales et forces vives communiquées aux balles par la poudre de mousqueterie à différentes charges.
  - zi o 'f. Calibre du fusil.. 18",n,30 Diam. de la balle. IG'1’'",30 Poids de la balle. 25sr ,80 Vent lD,m,70 Calibre du fusil.. 17“lU,50 Diam. de la balle. 16“'",30 Poids de la balle. 2osr ,80 Veut rm,20 Calibre du fusil.. 18n"u,00 Diam. de la balle. 17“*",00 Poids de la balle. 29sr ,00 Vent rm,00 Calibre du fusil.. 17n"u,!i0 Diam. de la balle. 17“*",00 Poids de la balle. 295r ,00 Venl 0nliI1,50 Calibre du fusil.. 17"“",Sa Diam. de la balle. 17nllll,40 Poids de la balle.5i8r ,30 Vent 0n,m,15 Calibre du fusil.. 17mll’,30 1 Diam. de la balle. 17n“",40 Poids de la balle.31sr ,30 Vent 0mill,10
  - a o & a VITESSES 1 initiales. [ FOHORS 1 vives. 1 VITESSES i initiales. 1 FORCES vives. VITESSES initiales. J FORCES | vives. VITESSES initiales. 1 FORCES | vives. VITESSES initiales. FORCES vives. VITESSES ^ initiales. | FORCES vives. 1
  - gr- 1 ni. 68,98 15,74 rn. 94,27 23,37 m. 100,36 28,75 m. 142,27 59,84 m. 146,19 68,20 m. 160,75 82,46
  - 2 122,90 39,73 169,90 75,92 176,08 93,58 228,13 153,87 238,87 182,07 258,82 213,76
  - 3 182,51 87,62 234.09 144.14 226,51 151,69 278,44 229.20 293,60 275,06 301,76 290.57
  - 4 227,46 136,09 284.96 213,58 269,37 214,53 338.34 338,43 337.7 S 364,0.8 347,39 384,21
  - 5 280,46 207,05 320,15 269,61 315,08 293,51 377,19 420,63 383,97 476,46 395,24 497,97
  - 6 322,63 273,79 360,12 341,12 352,08 366,49 408,86 494,23 410 81 538,53 420,15 563,20
  - 354,93 339,13 396.16 412,81 381,35 429,95 438,91 569,53 435,12 604,14 439,16 615,42
  - 8 379,25 377,45 414,09 451,01 404,91 484,73 468,55 647,60 456,68 665,58 467,99 698,85
  - 9 403,31 438,51 441,57 512,88 430; 17 547,09 493,14 718,99 9 9 JJ 9
  - 10 421,87 475,10 465,29 569,44 449,13 596,38 525,25 828,14 3> 9 9 »
  - 11 448,11 528.27 488,44 627,51 474,88 666,73 554,71 909,74 9 9 9 M
  - 12 472,38 586,92 499,21 672,60 721.00 488,26 738,05 580,00 992,29 9 9 9 9
  - 13 485,57 620,16 523,56 502,10 780,48 » 9 9 9 9 »
  - 14 505,91 673,22 540,51 768,42’ 530,23 831,21 J> 2> 9 « 9 »
  - 15 i . . 522,55 726,50 576,50 874,09 553,09 904,42 9 9 JJ » 9 1
  - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
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- - 102 PRINCIPE DES FORCES Y1YES.
  - Dans les premières expériences, on a fait varier, outre les charges, la différence de diamètre entre le canon et la balle, ou ce que l’on nomme le vent, pour reconnaître l’influence de celte quantité sur l’effet produit par la poudre.
  - Les figures démontrent l’exactitude de la loi de proportionnalité entre les charges et les forces vives : on sait en effet que, dans ce cas, la courbe qui représente la relation entre ces deux quantités doit être une ligne droite qui passe par l’origine des coordonnées.
  - 90. Comparaison des forces vives communiquées par diverses poudres. — D’autres expériences ont été exécutées avec des poudres de différentes espèces et avec du pyroxile ou coton-poudre. Elles ont aussi fourni la vérification de cette loi importante, et ont conduit aux formules suivantes entre les forces vives communiquées et les charges de poudre. Les fusils employés étaient du calibre de 17mill,50, et les balles pesaient 25sr,80.
  - Forces vives communiquées aux balles de fusil par différentes matières explosives.
  - NATURE DES MATIÈRES EXPLOSIVES. FORCES VIVES communiquées aux balles. CHARGES équivalentes pour l’effet balistique.
  - ^ , /de raine ronde ordinaire Poudres L , _ , , /a mousquet du Bouchet ). la canon Poudres i de chasse fine d’Esquerdes ( de chasse extra-fine.... Pyroxile cardé de Montreuil Pyroxile cardé du B >uchet Pyroxile filé du Bouchet MV2 — 28,370 MVS = 52,500 V1V*= 59,000 M V2 = 72,830 MV8 == 82,140 MV2 — 159,250 MV2 = 142,000 MV2 = 147,600 146r,70 8 ,00 7 ,10 5 ,77 4 ,55 2 ,83 2 ,95 2 ,85
  - Ces résultats montrent quelle influence énorme la coin* position et le mode de préparation des matières explosives peuvent exercer sur les effets obtenus.
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- - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - I 03
  - 91. Utilité de la considération des efforts moyens.— Nous aurons fréquemment à substituer, dans les calculs relatifs aux proportions qu’il convient de donner aux diverses parties des machines, les efforts moyens aux efforts variables exercés par les forces qui sollicitent ces organes ; mais pour indiquer par un exemple tout le parti que l’on peut tirer de la considération de ces efforts moyens pour apprécier, au moins approximativement, certains effets très-complexes, prenons un autre exemple, relatif à ce qui se passe dans la déflagration des matières explosives.
  - 92. Comparaison des effets de la poudre et de ceux du py-roxile dans les armes. — Lorsque la découverte d’un procédé par lequel on peut transformer les différentes substances ligneuses en matière explosive fut connue, l’excessive rapidité de combustion de quelques-uns de ces produits, et surtout celle du coton préparé par l’acide azotique concentré, qu’on nomma alors poudre-coton, fulmicoton, et plus tard pyroxile, parut à beaucoup de personnes une propriété précieuse et de nature à donner à ce produit un avantage considérable sur la poudre ordinaire. Mais les officiers d’artillerie expérimentés, qui n’avaient pas oublié les fâcheux effets produits sur des canons de bronze par des poudres d’une grande énergie et d’une combustion rapide, que Ton avait essayé d’introduire dans le service vers 1828, regardèrent, au contraire, cette propriété comme beaucoup plus dangereuse qu’utile. Ils savaient, en effet, que l’inflammation de la poudre, quoique graduelle, se fait si rapidement et produit si promptement une grande quantité de gaz que la tension de ces gaz atteint sa valeur maximum alors que le projectile n’est encore déplacé que d’une fort petite quantité. Dans de savantes recherches, M. le général Piobert avait montré que ce maximum de tension s’élevait d’autant plus et s’établissait d’autant plus tôt que les poudres étaient d’une combustion plus rapide, et il avait fait voir que c’était à cette circonstance que l’on devait attribuer la prompte des-
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- - 104
  - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - truction des bouches à feu par les poudres vives et denses qui, pour ce motif, avaient été nommées plus tard poudres brisantes. On était donc fondé à penser que précisément à cause de sa rapidité de combustion, le pyroxile de coton devait être d’un emploi dangereux pour les armes.
  - Ces conséquences parfaitement logiques de tous les faits connus jusqu’alors furent peugoûtées à ce moment d’engouement pour des produits si nouveaux et si extraordinaires, et les conseils de la prudence furent pris pour les préventions de la routine.
  - Le meilleur moyen de trancher la question, c’était de consulter l’expérience, et c’est ce qui a été fait avec beaucoup de soins et de persévérance sur une grande échelle. Voici la marche qui a été suivie.
  - Pour parvenir à comparer, au moins approximativement, les tensions des gaz de la poudre et du pyroxile à différents instants du mouvement du projectile dans l’âme, on a successivement tiré, avec les charges de 8 gr. de poudre de guerre et 3 gr. de pyroxile à base de coton , des canons de fusil du calibre de guerre de 18 mill., dont les longueurs décroissantes ont été réglées ainsi qu’il suit :
  - lm,083 Om,833 Om,646 Om,493 Om,374 0m,272 Ora,187 Om,l 19 0n\085 0n,,068 ;
  - ce qui correspond à des nombres de calibres respectivement égaux à
  - 64 49 38 29 22 16 11 7 5 4 calibres.
  - Les charges de 8 grammes de poudre et de 3 grammes de pyroxile avaient, d’après des expériences préalables, été adoptées comme à peu près équivalentes, mais on reconnut dans le cours même des expériences qu'il suffisait de 2?r,80 de pyroxile pour imprimer à une même balle , du poids de 2S»r,8, une vitesse de 376ra,7 égale à celle que lui communiquent 8 grammes de poudre. Les comparaisons ultérieures sont donc faites pour ces charges.
  - Les vitesses communiquées aux|bnlles ont été mesurées
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- - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - 10o
  - au moyen du pendule balistique , en plaçant le canon du fusil sur un châssis, de façon que la tranche de la bouche fût à 2m,00 de celle du récepteur balistique.
  - Si l’on se rappelle que la force vive communiquée à la halle est, en vertu du principe des forces vives, égale au double de la quantité de travail développé par les gaz, et que l’effort moyen de ces gaz ou l’effort constant qui communiquerait dans chaque cas à la halle la même force vive est égal à la moitié de cette force vive divisée par la longueur du chemin parcouru dans le canon par le projectile, on voit que de l’observation de la vitesse imprimée à celui-ci, et que l’on nomme vitesse initiale, l’on peut facilement déduire la valeur de cet effort moyen.
  - Il est d’ailleurs évidentqueceltevaleurainsidéterminéesera toujours inférieure à l’effort maximum et d’autant plus que le canon sera plus long, de sorte que les conclusions que l’on pourra tirer de la comparaison des efforts moyens des gaz de la poudre tà ceux des gaz dupyroxile seront d’autant plus voisines de la vérité , que le projectile aura parcouru moins de chemin dans l’âme, et se rapprocheront surtout de la vérité pour les premiers moments de son déplacement, qui sont précisément ceux où il importe le plus d’étudier ces efforts.
  - La longueur d’âme occupée par la charge était la même pour la poudre que pour le coton et de "18 mill.; en la retranchant de la longueur intérieure du canon on a eu le chemin parcouru par le point postérieur de la halle dans le canon, et en divisant la moitié de la force vive communiquée par cette longueur on a obtenu l’effort moyen cherché.
  - 11 convient de remarquer que celte estimation du chemin parcouru par le projectile, pendant qu’il est soumis à l’action des gaz, est celle que l’on adopte ordinairement dans les calculs de ce genre, mais qu’elle n’est pas tout à fait exacte. En effet, quand le centre du projectile a dépassé la tranche de la bouche, une portion des gaz s’échappe autour de Cft, corps. Cependant ces gaz sortant avec une grande vitcss%, leur action impulsive se continue en partie au dehors. Quoi
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- - 106
  - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - qu’il en soit, la valeur adoptée ci-dessus pour le chemin parcouru par le projectile sous l’action du gaz est plutôt trop grande que trop faible : par conséquent celles des efforts moyens que l’on en déduit sont trop petites et les conclusions que l’on en déduit seront vraies a fortiori.
  - Cela posé, l’on a représenté planche I les résultats des expériences et du calcul de deux manières différentes. Dans la première figure (3) on a pris les longueurs d’âme parcourues par la halle dans le canon pour abscisses et les forces vives pour ordonnées; et dans la deuxième figure (4) on a pris aussi les longueurs d’âme parcourues par la halle dans le canon, pour les abscisses, et pour ordonnées les efforts moyens correspondants développés, soit par les gaz de la poudre, soit par les gaz du pyroxile. On a eu ainsi l’expression graphique des résultats contenus dans le tableau suivant.
  - Résultats des expériences comparatives sur les vitesses, les forces vives et les efforts moyens développés par les gaz de la poudre de guerre et ceux du pyroxile de coton.
  - LONGUEURS d’àme VITESSES communiquées FORCES VIVES communiquées EFFORT MOYEN exercé
  - 15 O parcourues j par la balle. par 8sr de poudre. to ® c.~ * ce O (N f-* « £ eu <v "O 1 par la poudre, j 6 . V. S ° eu ^ PU <D par les gaz de la poudre. par les gaz 1 du pyroxile.
  - m. 1,083 m. 1,035 m. 376,72 m. 376,59 416,4 416,4 kil. 201,2 201,2
  - 0,833 0,785 376,18 387,33 415,2 440,5 264,5 280,6
  - 0,646 0,598 349,53 379,62 359,0 424,1 300,2 353,8
  - 0,493 0,445 316,87 358,52 294,6 377,4 331,2 424,7 1
  - 0,37-4 0,326 286,07 360,38 240,2 381,3 368,3 584,3
  - 0,272 0,224 261,20 326,51 200,2 313,0 446,8 698,7
  - 0,187 0,139 220,96 294,38 143,1 254,4 515,3 915,2
  - 0,119 0,071 161,65 250,54 76,7 184,3 539,9 1297,9
  - 0,085 0,037 115,27 175,94 39,0 90,8 526,9 1228,3
  - 0,068 0,020 89,33 119,23 ' 23,4 41,7 585,3 1043,5
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- - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - 407
  - L’examen de la figure (3) montre 1° que pour la poudre la force vive et par conséquent la vitesse communiquée à la balle ne croît plus sensiblement au delà de la longueur de 0ra,80, correspondant à 49 calibres;
  - 2° Qu’avec le pyroxile la force vive ou la vitesse maximum paraît correspondre à la même longueur et qu’elle décroîtrait avec des longueurs plus considérables;
  - 3° Qu’enfin les forces vives communiquées par les charges de 8 grammes de poudre et de 2sr,86 de pyroxile sont égales pour les longueurs de lm,083 ou de 64 calibres, mais que pour des longueurs plus grandes le pyroxile perdrait l’avantage qu’il a pour des longueurs plus petites.
  - La figure (4) montre qu’à partir de la longueur de lm,083 pour laquelle les charges de 8 grammes de poudre et de 2m,86 de pyroxile ont donné les mêmes forces vives et par suite les mêmes efforts moyens, l’effort exercé par les gaz du pyroxile l’emporte toujours sur celui des gaz de la poudre à mesure que la longueur diminue, et que pour les petites longueurs de canon, ou, ce qui revient au même, pour les premiers déplacements du projectile, la tension moyenne maximum des gaz paraît correspondre à l’instant où le projectile s’est déplacé de 0n\075, et
  - 1297tu
  - == 5 097 000kil * * par
  - est alors de 1297,9kllou de
  - 0m,b 0002 545 5 097 000 _ 10 330
  - = 493aln\4, tandis que
  - mètre carré, ou enfin de
  - la tension moyenne maximum des gaz de la poudre ne s’élève
  - = 2 300 000k!1 par mètre carré
  - 227atm,7, en prenant même sa valeur corres-
  - pondante à la plus faible longueur, qui paraît s’écarter un peu de la loi suivie pour les autres longueurs.
  - Ie 80
  - * La surface du grand cercle de la balle est ^-^=2e,î,545.
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- - 108
  - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - Il suit de là que la pression moyenne maximum produite par les gaz de la poudre 11e s’élèverait pas à la moitié de celle produite par les gaz du pyroxile, aux charges de même effet balistique.
  - Si maintenant l’on remarque que, d’après les dimensions des fusils d’infanlcrie, quand le projectile s’était déplacé de 75 millimètres, il se trouve dans une partie du canon où l’épaisseur du métal est E = 0m,0C54, il est facile de voir d’après une formule connue de la résistance d’un cylindre à la rupture, qu’en supposant le métal de qualité moyenne, la pression intérieure capable de produire la rupture serait, par unité de surface,
  - 2E R 0,0 108 40000000kil P~ U ' 10 330 ~ 0,018 * 10 330
  - = 2323atm,
  - et quand le métal est altéré par le tir ou de qualité inférieure , elle est :
  - Ainsi, dans ce dernier cas, la pression moyenne maximum
  - 227 7 1
  - des gaz de la poudre ne serait que —— de la près-
  - J
  - sion de rupture, tandis que celle des gaz du pyroxile en
  - Si l’on se reporte aux résultats comparatifs rapportés pré-
  - cédemment sur les forces vives communiquées par les différentes matières explosives, et d’après lesquelles on a vu que
  - la charge de pyroxile était à la charge équivalente de poudre de chasse fine comme 72,83:159,25, on voit que la charge de pyroxile équivalente à celle de 27gr,5 de poudre de chasse que l’on emploie dans les épreuves des canons de fusil serait de 12gr,40. Or, il arrive quelquefois que des canons crèvent avec la charge de 27gr,5 de poudre de chasse, et puisqu’à même effet balistique le pyroxile développe, dès
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- - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - i 09
  - les premiers instants, des pressions beaucoup plus considérables que la poudre, il semblait en résulter que, selon toute probabilité, les canons de fusil ne résisteraient presque jamais à la charge de 12 grammes de pyroxile.
  - Sans attribuer à ces calculs plus de précision qu’ils n’en comportent, on pouvait néanmoins en conclure une confirmation des craintes qu’avait inspirées , dès l’origine , la rapidité d’inflammation du pyroxile.
  - Des expériences postérieures n’ont que trop confirmé ces déductions , et lorsque l’on a voulu déterminer les vitesses communiquées par des charges croissantes, il est arrivé presque continuellement que des canons de fusils neufs ont crevé aux charges de 7sr,00 à 7«r,50 et quelquefois à des charges moindres.
  - Si l’on observe que les fusils de l’armée sont fabriqués avec des fers de qualité choisie, soumis à des visites et à des épreuves de réception sévères, que l’épaisseur du métal y est beaucoup plus grande que dans les fusils de chasse , on en conclura, sans doute , que l’emploi du pyroxile dans les armes portatives est loin d’offrir la même sécurité que la poudre.
  - 95. Consommation et restitution de travail par l'inertie.— Il résulte de ce qui précède que pour communiquer à un corps une vitesse quelconque, correspondant à une certaine force vive, il faut développer une quantité de travail qui est exprimée par la moitié de cette force vive, et que réciproquement, si le corps perd une partie ou la totalité de sa force vive, il développe, en vertu de son inertie, un travail qui est encore exprimé par la moitié de la force vive détruite.
  - On voit par là que le travail moteur se transforme en force vive communiquée dans le premier cas, et que dans le second la force vive se transforme en travail résistant.
  - 94. Moutons à enfoncer les pilots, à découper, etc. — C’est ainsi, par exemple, que dans le battage des pilots, le travail employé à élever à une hauteur H un mouton d’un
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- - 110 PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - poids P, se transforme dans sa descente en une force vive P Y2
  - - y = PH. Puis, lorsque le mouton atteint la tête du pilot,
  - il développe en vertu de son inertie, des efforts qui compriment cette tète, surmontent la résistance du sol à l’enfoncement, et produisent un travail utile correspondant.
  - Dans le percement, le découpage des métaux au mouton, la résistance vaincue est celle que le métal oppose à la séparation de ses molécules, et l’épaisseur de la pièce est le chemin parcouru.
  - L’exemple déjà cité de l’action de la poudre sur les projectiles nous montre d’abord le travail transformé en force vive, puis, pendant la pénétration des projectiles dans un milieu quelconque, la force vive employée à détruire le travail résistant du milieu.
  - 05. Dans les chocs il y a toujours perte de travail. — Les chocs ayant toujours, ou presque toujours, pour effet d’altérer plus ou moins l’élasticité des parties en contact, il y a un certain travail consommé pendant cette altération et qui n’est pas restitué. Ils occasionnent donc une perte de travail, C’est d’ailleurs ce qu’il est facile de montrer, pour quelques cas simples, par les considérations suivantes.
  - 96. Travail dépensé pendant la période de compression à choc de deux corps non élastiques. — En appelant toujours M et V la masse et la vitesse du corps choquant, et M' et Y'la masse et la vitesse du corps choqué, on remarquera que la force vive totale possédée par ces deux corps avant le choc était MV2-j-M'V'2, et qu’après le choc, puisqu’ils marchent
  - MV 4- M'V'
  - d’une vitesse commune U — -? leur force vive sera
  - M —J— i\L
  - (M-j-M'yU*. Par conséquent la force vive, détruite pendant la compression et employée à la produire, sera
  - MM'
  - M-j-M'
  - (Y—V')2,
  - MV2-f M'V'*—(M-fM')ü
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- - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - 111
  - et le travail consommé par cette compression est MM'
  - 1 1UiU fV___V'Y2
  - aM + MA
  - Si le corps choqué avait marché avant le choc à la rencontre du corps choquant, on a vu que quand le corps M' rétrograde et marche après le choc dans le sens du mouvement du corps M, on a pour la vitesse commune après le choc
  - MV-M'V'
  - M + M' ’
  - et alors la perte de force vive qui produit la compression est
  - MM'
  - MV2 + M'Y'2 - (M + M') U2 - {V-KV'}2,
  - et le travail consommé par cette compression est MM'
  - i _££!__ (y 4- V'j2
  - Si, après le choc, dans ce dernier cas, la vitesse U était nulle, ce qui arrive comme on l’a vu quand MV = M'V', le travail consommé par la compression se réduit à
  - | (MV2 -j- M'V'2),
  - ce qui est d’ailleurs évident, puisque les deux corps sont réduits au repos par le choc.
  - Si la masse du corps choquant M est très-grande par rapport à celle du corps choqué, la perte de travail
  - MM'
  - M + M
  - M'
  - 1 +
  - -(V -pV')2
  - M'
  - se réduit, à cause de la petitesse du rapport ^ vis-à-vis de
  - l’unité, à |M'{VzpY'}2;
  - dans le premier cas £M'{V—V'j2 est le travail correspondant
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- - 112
  - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - à la force vive gagnée par le corps choqué, et dans le second ^M'jV-J-Y')2 est le travail correspondant à la force vive qui est due à la somme de la vitesse Y', que le corps choqué a perdue dans un sens, et de celle Y qu’il a reçue en sens contraire, parce qu’alors U se réduit à
  - V—Ev>
  - MV—M'V'_ M
  - M+M' “ , m; ’
  - + M M'
  - attendu la petitesse de par rapport à l’unité.
  - Si le corps choqué était au repos avant le choc, on a Y=0, et la perte de travail due à la compression est
  - M'Y2,
  - attendu que la vitesse du corps choquant n’est pas sensiblement altérée, et que U=V comme ci-dessus.
  - Si, au contraire, la masse du corps choqué est très-grande par rapport à celle du corps choquant, on a pour la perte de travail relative au premier cas, où les corps marchent dans le même sens
  - MM' M + M1
  - .(V—VO*
  - M
  - 2M
  - 7 + 1
  - -(V—Y')2=£ M (V—V')\
  - attendu la petitesse du rapport ~ vis-à-vis de l’unité.
  - 97. Du travail dû à la compression et au retour à la forme primitive dans le cas des corps élastiques. — Si les corps étaient parfaitement élastiques, il est clair que dans leur retour à la forme primitive les ressorts moléculaires développant les mêmes efforts en revenant aux mêmes degrés (le tension et leurs points d’application parcourant les mêmes chemins que dans la compression, le travail total développé par ces efforts, variables de la même manière dans les deux cas, serait le même, et que par conséquent le travail dû au
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- - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - 113
  - débandement des ressorts moléculaires serait le même que le travail consommé par leur compression. De sorte qu’en définitive la consommation de travail dû au choc serait nulle.
  - 03. Du travail perdu dans le choc des corps imparfaitement élastiques. — Mais si les corps ne sont qu’imparfaitement élastiques, ce qui est le cas général, ou pour mieux dire, si les flexions et les déformations qu’ils éprouvent pendant le choc dépassent les limites de celles qui peuvent être produites sans que l’élasticité soit altérée, alors les parties choquées restent plus ou moins déformées, et une partie seulement du travail consommé pour produire cette déformation est restituée. Il y a donc perte de travail.
  - Or, dans les machines à chocs, il arrive presque toujours que soit dès l’origine, soit après quelque temps de service, l’élasticité des parties en contact est plus ou moins altérée, et que la perte de travail par le choc est à peu près la même que celle qui aurait lieu dans le choc de corps mous. Cette dernière quantité est d’ailleurs la limite supérieure que cette perte puisse atteindre.
  - En résumé, l’on voit que dans les chocs il y a, dans la pratique, toujours une perte plus ou moins grande de travail, due aux déformations des partiesen contactât qu’il convient de substituer, autant que possible, les organes à mouvement continu à ceux qui procèdent par chocs, par intermittences ou par changements brusques dans les vitesses.
  - 99. Les masses en mouvement peuvent être regardées comme des réservoirs de travail, — Il suit de tout ce qui précède que les corps, en vertu de leur inertie, absorbent, emmagasinent du travail mécanique, quand les forces sont employées à leur communiquer de la vitesse et de la force vive, et transmettent, restituent au contraire du travail, quand leur mouvement se retarde. Sous ce rapport on peut les regarder comme des réservoirs de travail mécanique, qui se remplissent pendant l’accélération, et se vident pendant le retard, absolument à la manière des réservoirs des moteurs hydrauliques.
  - 8
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- - tl 4 PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - ' • •.' m
  - 100. Exemple. — Nous avons déjà vu au n° 94 que c’était en vertu du travail ainsi emmagasiné par l’inertie que les moutons à enfoncer les pilots produisaient leurs effets; il peut en être de même, quel que soit le nombre des organes intermédiaires de la machine : nous trouverons un exemple frappant d’une semblable application dans le balancier employé dans un grand nombre d’industries. Si le volant de cette machine est mis en mouvement avec une certaine vitesse, en vertu de l’action d’une force motrice quelconque, puis abandonné à lui-même, il continuera à se mouvoir jusqu’à ce que les frottements et les autres résistances aient entièrement dépensé le travail qu’il avait accumulé sous l’action du moteur. Aussitôt ce travail consommé, il s’arrêtera,
  - Mais si, pendant qu’elle est encore animée d’une certaine vitesse, témoignant de l’accumulation d’un certain travail, on oppose à la machine une résistance utile, on verra qu’elle est alors capable de développer une action mécanique utilisable , telle, par exemple, que celle de frapper une pièce de monnaie, d’embouter une lame de métal sous une forme donnée, de la percer, etc., etc.
  - 101. Cas du mouvement périodique.— Si le mouvement du corps est périodiquement varié, c’est-à-dire si sa vitesse croît et décroît successivement de quantités égales, il est évident, d’après ce qui précède, que le travail consommé dans la période d’accélération est égal au travail résistant pendant le retard, et qu’alors le travail total développé par l’inertie est nul. Dès lors, si l’on s’occupe de ce qui se passe dans des périodes successives, où la vitesse et la force vive redeviennent sans cesse les mêmes à la fin de chaque période, il n’est pas nécessaire de chercher à tenir compte de la force vive.
  - Nous verrons plus tard la grande importance de l’inertie dans le jeu des machines.
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- - COMPOSITION DES MOUVEMENTS, DES VITESSES ET DES FORCES.
  - 102. Composition et décomposition des mouvements simultanés. — Nous n’avons jusqu’ici considéré que des points matériels animés d’un seul mouvement ou sollicités par une seule force, et avant d’étendre les théorèmes précédents il importe d’examiner ce qui se passe quand un corps ou un point matériel est animé simultanément de plusieurs mouvements ou sollicité par plusieurs forces.
  - L’observation nous montre en effet que de semblables circonstances se produisent souvent. Ainsi, lorsqu’un voyageur se promène sur le pont d’un bateau à vapeur en marche, il est animé du mouvement de transport général de tous les corps que porte le bâtiment et en outre de celui qu’il s’imprime en long ou en large, vers l’avant ou vers l’arrière, selon sa volonté. S’il tient à la main un corps qu’il lâche en marchant, ce corps, qui participait déjà aux deux mouvements du voyageur, en prend un troisième en tombant sur le pont. De plus, le bateau est emporté dans le mouvement de rotation diurne delà terre, celle-ci a un mouvement de transport autour du soleil, etc.
  - Tous ces mouvements coexistent, ils ont lieu simultanément et l’observation montre qu’ils sont indépendants les uns des autres, quand les causes qui les produisent le sont aussi.
  - Par une expérience fort simple due à M. Tresca, sous-di-recteur du Conservatoire, on rend très-sensible cette indépendance des mouvements simultanés. En plaçant l’appareil chronométrique à cylindre,'décrit au n° DO, sur un traîneau animé d’un mouvement de transport uniforme ou même
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- - 116 COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - varié d’une manière quelconque, et en répétant pendant ce mouvement l’expérience de la chute des corps abandonnés à l’action de la pesanteur, on reconnaît que la parabole tracée par le style est exactement la même que celle que l’on obtient quand l’appareil est immobile. Le mouvement vertical du corps pesant et le mouvement de rotation du cylindre ont été complètement indépendants du mouvement de transport de l’appareil.
  - De ce principe de l’indépendance des mouvements simultanés découlent des règles qui permettent de déterminer quel est le mouvement réel, qui résulte de plusieurs mou-vcments simultanés connus, et que l’on nomme le mouvement résultant.
  - 105. Cas où les mouvements simultanés sont dirigés dm le même sens. — La première de ces conséquences et la plus évidente d’elle-même c’est que si les mouvements simultanés dont un point matériel est animé sont dirigés suivant la même ligne droite ou courbe, ils s’ajoutent, s’ils sont de . même sens, ou se retranchent, s’ils sont de sens contraires,
  - Dans le cas d’un voyageur marchant sur le pont d’un bâtiment , il est évident en effet que s’il s’avance dans le sens de la marche du bateau, son mouvement , son déplacement par rapport à la rive, supposée parallèle à ces mouvements, sera égal à la somme du déplacement du bateau et du chemin qu’il a lui-même parcouru sur le pont. Si le bateau a avancé de 8m,00 pendant que le voyageur en a parcouru 3 vers l’avant, le chemin, le déplacement du voyageur par rapport aux rives sera de 8m,00-f-3m,00 = llm,00.
  - S’il marche en sens contraire du mouvement du bateau d’une quantité égale à 5m,00, pendant que celui-ci avance de 8‘",00, son déplacement, ou le chemin qu’il aura parcouru par rapport aux rives sera de
  - 8m,00 — 5m,00 = 3ra,00.
  - Si le voyageur marche vers l’arrière du bâtiment d’une
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- - DES VITESSES ET DES FORCES. 417
  - quantité égale à celle dont celui-ci avance dans le même temps, son déplacement, son chemin parcouru, par rapport aux rives est nul et, bien qu’animé de deux mouvements simultanés, il est resté en repos par rapport aux rives.
  - Enfin si ce voyageur se déplace sur le pont, vers l’arrière, d’une quantité égale à 10 m. par exemple, et plus'grande que le chemin de 8 m. parcouru dans le même temps par le bâtiment, son déplacement par rapport aux rives sera négatif, expression qui indique qu’il a reculé au lieu d’avancer, par rapport aux rives.
  - Il en serait de même de plusieurs mouvements simultanés dirigés suivant la même ligne ; en appelant :
  - E, E', E", etc., les chemins dirigés, par exemple, de la gauche vers la droite, et les regardant comme positifs;
  - Ei, E't, E"i, etc., les chemins dirigés de la droite vers la gauche, et les regardant comme négatifs ou soustractifs, le chemin total résultant, de ces mouvements simultanés sera égal cà
  - E-j-E'-f E"— Ei—Et'— E/, etc.;
  - ce que l’on exprime en disant que le chemin résultant est la somme algébrique de tous les chemins simultanés ou composants, en entendant ici par le mot somme le résultat de l’opération qui consiste à ajouter tous les chemins parcourus de gauche à droite et à en retrancher tous les chemins parcourus de droite à gauche.
  - 104. Composition cle plusieurs vitesses simultanées dirigées selon la même ligne. — Tout ce que nous venons de dire pour la composition des chemins ou des espaces simultanément parcourus par un point matériel dans une même direction s’applique aux vitesses simultanées dont le point peut être animé, puisque dans les mouvements uniformes les vitesses sont proportionnelles aux chemins parcourus dans le même temps et que dans les mouvements variés les vitesses sont celles des mouvements uniformes que conserveraient les corps si ces-mouvements cessaient de varier.
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- - 118 COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - lOo. Composition de deux mouvements dirigés d’une nière quelconque. — Considérons maintenant un point A, qui soit par exemple la pointe d’un crayon appliquée contre une
  - fausse équerre MAN. Si l’équerre se meut uniformément d’une quantité AB, son côté Ail se déplacera parallèlement à lui-même de la même quantité, en se mouvant aussi uniformément, et avec lui la pointe crayon qui y est appliquée. 1 si dans le même temps T, le crayon se meut sur le côté Ali, uniformément, d’une quantité AD, il est facile de voir qu'à la fin du temps T la pointe du crayon sera parvenue an point C, l’un des sommets du parallélogramme construit sur AB et AD comme côtés.
  - En effet, cette pointe constamment appuyée sur le côté AD s’étant déplacée avec lui parallèlement à sa position primitive d’une quantité égale à AB, elle devra se trouver sur la ligne BC menée parallèlement à AD, et comme elle s’est aussi déplacée dans le sens de AM d’une quantité AD, elle devra pareillement se trouver sur la ligne DC menée parallèlement à AB. La rencontre des deux lignes BC et DC détermine la direction de la diagonale du parallélogramme cou struit sur les deux chemins simultanés.
  - D’où il suit que quand un point matériel est animé de dm mouvements simultanés dans deux directions données, la |)o-sition occupée par ce point, à la fin de ces deux mouvements, est l’extrémité de la diagonale du parallélogramme construit sut ces deux chemins comme côtés.
  - La distance AC, à laquelle le point se trouve alors de sa position primitive A, est dite le chemin résultant et les (leur chemins simultanés AB et AD s’appellent les chemins composants ou les chemins relatifs, parcourus dans le sens des lignes AN et AM.
  - Pour deux autres chemins quelconques, mais aussi si-
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- - DES VITESSES ET DES FORCES.
  - 110
  - multanés, AB' et AD' parcourus par le point A dans un autre temps T' le point A arriverait en une position A' déterminée par l’extrémité de la diagonale AG' du parallélogramme construit sur les chemins AB' et AD'.
  - Or, comme ces seconds chemins simultanés sont par hypothèse parcourus comme les premiers d’un mouvement
  - uniforme on a et
  - AB: AB':: T : T' AD:AD':: T : T',
  - d’où
  - AB: AB':: AD: AD'.
  - Les angles en A étant d’ailleurs égaux, il s’ensuit que les triangles ABC et AB'C', ADC et AD'C' sont semblables et que les diagonales AC et AC' sont dans la même direction.
  - Déplus, les diagonales AC et AC' sont aussi proportionnelles aux temps T et T', que le mobile a employés à parvenir aux points C et C', donc
  - Quand un point matériel se meut simultanément et uniformément dans deux directions données, le chemin qu’il parcourt en réalité en vertu de ces deux mouvements et qu’on nomme le chemin résultant, est représenté en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux chemins simultanément parcourus, et de plus, son mouvement dans cette direction est uniforme avec une vitesse représentée par
  - , AC AC'
  - le rapport = -^r.
  - La première proposition (n° 10o) nous permettait de déterminer la position occupée par le point par suite de ses deux déplacements simultanés, la seconde nous donne son mouvement réel.
  - Réciproquement, lorsqu’un point matériel se meut suivant une droite AC, uniformément ou de toute autre façon, l’on pciït toujours trouver ses déplacements simultanés par rapport ù deux directions données quelconques. Il suffit pour cela de construire le parallélogramme dont la diagonale est
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- - COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - le chemin AC el dont les côtés AB el AD seront parallèles aux directions données.
  - L’on voit qu’un chemin ou un mouvement donné peut être ainsi décomposé d’un infinité de manières, en deux autres suivant des directions données, tandis que deux chemins ou mouvements donnés ne correspondent qu’à un seul chemin ou mouvement résultant.
  - On démontrerait de même que si les deux mouvements simultanés du point A selon les directions NA et AM étaient uniformément accélérés, le mouvement résultant suivant la diagonale AC le serait pareillement.
  - 106. Mouvement varié. — Tout ce que l’on vient de dire, étant indépendant de la grandeur absolue des chemins et des vitesses, reste encore vrai quand ils deviennent infiniment petits.
  - Ainsi, dans le mouvement curviligne, un élément de chemin infiniment petit AC peut de même se décomposer en
  - deux autres chemins relatifs infi-r niment petits, parcourus parallèlement à deux axes quelconques
  - donnés dans le même plan; et réciproquement, si l’on connaissait les chemins élémentaires relatifs AB et AD parcourus
  - /
  - I i
  - dans l’élément de temps, dans
  - * le sens des axes Ox et 0ij, on en déduirait le chemin élémen-
  - .0
  - Fig. 25.
  - taire absolu AC parcouru par le corps.
  - On remarquera que ce chemin élémentaire absolu AC est l’élément de la courbe, dont le prolongement donne la tangente AT au point A, et comme sa direction dépend du rapport des chemins relatifs AB et AD, et non pas de leur grandeur, il s’ensuit que, si ce rapport était connu, on pourrait déterminer cette diagonale ou tangente, en construisant sur les directions de AB et AD un parallélogramme
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- - DES VITESSES ET DES FORGES.
  - 421
  - dont les côtés fussent simplement entre eux dans ce même rapport et en traçant sa diagonale. Cette observation est quelquefois mise à profit pour le tracé des tangentes aux courbes.
  - De même, dans le mouvement varié, on voit que, si le rapport du chemin élémentaire AC à l’élément de temps t employé à le parcourir est donné, la construction
  - AB AD
  - du parallélogramme ABCD donnera les rapports —, —,
  - ou les chemins relatifs AB et AD parcourus dans le même temps, qui seront les valeurs des vitesses relatives dans le sens des axes, et que, si la vitesse absolue est proportionnelle à AC, ces vitesses relatives le seront à AB et AD.
  - Donc encore, dans le mouvement varié, la vitesse à un instant quelconque peut se décomposer en deux autres, selon deux directions données, et représentées en grandeur par les côtés du parallélogramme construit sur cette vitesse comme diagonale. Béciproqnement la vitesse résultante est la diagonale du parallélogramme construit sur les vitesses relatives.
  - 107. Cas où les directions des composantes sont à angle droit. — Dans ce cas le parallélogramme devient un rectangle, la diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, son carré est égal à la somme des carrés des côtés ; on a alors les relations simples :
  - V2 = V'2 -f- V"2 ; V = s/V'2 -}- V"2,
  - V' = Y.|? = VcosCAB, V" = V.^=:VcosCAD.
  - 108. Composition d’un nombre quelconque de mouvements ou de vitesses simultanés dans un même plan. — On voit par ce
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- - 4 22 COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - qui précède que le chemin ou la vitesse résultant de deux mouvements simultanés dans deux directions quelconques sera déterminé en construisant le triangle ABC, et menantle côté AC en prenant AB, et BC=AD respectivement égaux aux chemins ou vitesses simultanés et relatifs dans les directions données. Si le corps est en outre animé d’un troisième mouvement ou d’une troisième vitesse AE, on construira le triangle ACF, dans lequel AC est le mouvement ou la-vitesse résultantdes deux précédents, et CF égal etparallèleà AE. AF sera par conséquent le mouvement ou la vitesse résultant des deux mouvements ou vitesses simultanés AC et AE, ou des trois mouvements ou vitesses AB, AD et AE. De même,
  - pour un quatrième mouvement ou une quatrième Vitesse AG, le mouvement ou la vitesse résultant sera donné par le côlé AH du triangle AFH, dans lequel AF est la résultante précédente, et FH égal et parallèle à AG. Donc en général le mouvement ou la vitesse résultant de plusieurs mouvements ou vitesses simultanés contenus dans un même plan sera donné en grandeur et en direction par le dernier côté du polygone ABCFH, etc., construit à partir de l'origine A avec des côtés égaux et parallèles aux mouvements ou vitesses simultanés donnés.
  - Si l’on projette le dernier côté du polygone ainsi construit sur une ligne quelconque par des perpendiculaires ou des lignes parallèles aussi dirigées dans un sens quelconque , la simple inspection de la figure montre que A'H' = A'B' -f- B'C'-|- C'F' — F'H', etc.
  - Fig. 27.
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- - DES VITESSES ET DES FORCES. 123
  - Ce qui signifie que la projection du dernier côté ou du chemin résultant, ou de la vitesse résultante, est égale à la somme algébrique des projections des côtés, chemins ou vitesses simultanés.
  - On entend ici par somme algébrique le résultat que l’on obtient en ajoutant ou prenant positivement Jes côtés, chemins ou vitesses, dirigés dans le sens du mouvement réel, et retranchant ou prenant négativement les côtés, chemins ou vitesses dirigés en sens contraire.
  - Il résulte encore de là que, si le dernier côté du polygone est nul, ou si ce polygone se referme sur lui-même, le chemin résultant ou la vitesse résultante sont nuis, et que le corps ne se déplace pas ou ne reçoit pas de vitesse malgré les mouvements relatifs qui lui sont communiqués. Il en est encore de même quand la somme algébrique des chemins ou des vitesses projetés sur une même droite est nulle.
  - 109. Résultante de trois mouvements ou de trois vitesses
  - simultanés dans l’espace. — Si le corps est animé / de trois mouvements ou vitesses simultanés AB, AD, AF, dans l’espace , suivant trois directions quelconques, il est évident que, si l’on compose d’abord AB et AD, puis leur résultante AC avec AF, ou AB et AF, et leur résultante AE avec AD, ou AD et AF, et leur résultante AG avec AB, on trouvera dans tous les cas pour résultante finale la diagonale AH du parallélipipède construit sur les mouvements ou vitesses donnés.
  - "S* *p
  - Fig-
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- - m COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - Donc, la résultante de trois mouvements ou de trois vitesses simultanés dans l'espace est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélipipède construit sur ces trois mouvements.
  - 110. Réciproquement un mouvement ou une vitesse quelconque peut être décomposé en trois mouvements .ou en trois vitesses suivant trois directions données. — Soient en effet AH ce chemin parcouru ou cette vitesse, on peut le décomposer en deux autres, l’un dirigé suivant l’une des directions données , l’autre suivant AG dans le plan des deux autres directions , et regarder le corps comme animé de ces deux mouvements ou vitesses simultanés. Puis on peut décomposer le mouvement ou la vitesse AC en deux autres AB et AD dirigés suivant les deux autres directions données.
  - Le mouvement ou la vitesse AH sera donc ainsi remplacé par les trois mouvements ou vitesses AF, AB et AD selon les trois directions données.
  - Cas où les composantes sont à angles droits. — Dans le cas particulier et le plus ordinaire où les trois directions sont à angles droits, en posant
  - AB = V', AD = \K AF = Vw et AH = V, on a V = y/V'2 -f Y"2 -f V"'2
  - et V'= V cos BAH, V" = VcosI>AH, Vw = VcosFAH.
  - til. Résultante d’un nombre quelconque de mouvements ou de vitesses simultanés. — Si, aü lieu d’être animé de trois mouvements ou vitesses simultanés AB, AD, AF, le corps en possédait en outre un ou une quatrième, il est facile de voir que le mouvement final ou la vitesse finale résultant serait représenté en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur la résultante des trois premiers mouvements, et sur je quatrième comme côté. Or cette ligne est le dernier côté du contour polyédrique que l’on formerait en supposant que le corps reçût successivement ces mouvements ou vitesses simultanés.
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- - DES VITESSES ET DES FORCES. 125
  - Donc en général le mouvement ou la vitesse résultant d'un nombre quelconque de mouvements ou de vitesses simultanés dirigés aussi d’une manière quelconque dans l’espace est représenté en grandeur et en direction par le dernier côté du polygone polyédrique qui peut être formé en supposant le corps successivement animé de ces mouvements simultanés.
  - Blais on arrive plus simplement à la détermination du mouvement ou de la vitesse résultant en remarquant que , d’après ce qui précède , un mouvement de translation quelconque peut toujours être décomposé en trois autres mouvements simultanés, dirigés selon trois directions données quelconques, qui sont les trois côtés d’un parallélipipède dont le mouvement donné est la diagonale, et qui sont dirigés suivant les directions données.
  - Cela posé, si l’on conçoit chacun des mouvements ou chacune des vitesses simultanés dont le corps est animé ainsi décomposé, le mouvement ou la vitesse finale n’en sera pas altéré. Mais comme tous les mouvements ou vitesses dirigés selon les mêmes axes ont, comme on le verra plus loin, des résultantes partielles égales à la somme des composantes, suivant ces directions, il s’ensuit en définitive que le mouvement ou la vitesse résultant sera représenté en grandeur et en direction par la diagonale du parallélipipède construit sur les sommes des composantes des mouvements partiels suivant trois directions quelconques.
  - Raisonnant encore comme au n° 108, et supposant qu’a-près avoir composé en un seul tous les mouvements simultanés qui animent un même point matériel, on projette ces mouvements et le mouvement résultant ou les vitesses correspondantes sur un axe quelconque par autant de plans perpendiculaires à cet axe, on verra avec évidence que la projection du mouvement résultant ou de la vitesse résultante , qui n’est autre chose que la diagonale du polygone polyédrique dont nous avons parlé, est égale à la somme algébrique des projections des mouvements ou vitesses com posants.
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- - J 2 fi
  - COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - 112. Cas où la résultante est nulle. — Lorsque la ligne qui joint les extrémités du premier et du dernier côté du polygone plan ou polyédrique formé sur les directions des chemins ou vitesses composants est nul, ce qui arrive quand ce polygone se referme sur lui-même, le mouvement ou la vitesse résultant est nul.
  - 115. Théorème des moments de Varignon.—Si d’un point 0 quelconque pris dans le plan du parallélogramme ABCD des vitesses, et en dehors de l’angle BAD, on mène les droites OA,
  - :n
  - Fig. 29.
  - 01) et OC, on remarquera d’abord que, le quadrilatère OADC étant la somme des triangles OAD et ODC, on aura
  - OAC = OAD -j- ODC — ADC.
  - Si de plus on abaisse du point 0 les perpendiculaires 0a ou Oc, 06 et 0d, sur les côtés AB, AC et AD, on aura pour les surfaces des triangles
  - OAC = i AC X 06, OAD = \ AD X Od,
  - 2 2
  - ODC = i DC X Oc, ADC = \ DC X ac.
  - 2 2
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- - DES VITESSES ET DES FORCES. J 27
  - Par conséquent la relation ci-dcssus devient AC X 06 — AD X Od -f- AB X 0«.
  - Les produits AC X 06, AD X Od, AB X 0a, des côtés AC, AD, AB, par les perpendiculaires 06, Od, 0a, abaissées du point 0 sur leurs directions respectives, s’appellent les moments, et la relation ci-dessus montre que si l’on applique ce qui précède aux mouvements composants et résultants d’un point A, on peut énoncer le théorème en disant que le moment de la diagonale ou de la résultante est égal à la somme des moments des côtés ou des composantes.
  - Dans le cas de la figure précédente, le corps, en vertu de ses deux mouvements ou vitesses, était sollicité à tour-
  - :d
  - ner dans le même sens autour du point 0, placé en dehors de l’angle BAD.
  - Si le point 0 se trouvait dans l’intérieur de cet angle, il est facile de voir que l’on aurait encore
  - OAC = OAD -f- ODC — ADC, puis OAC = \ AC X 06, OAD = \ AD X Od,
  - JL JL
  - ODC = \ DC X Oc, ADC = \ DC X ac,
  - J Jd
  - et par suite
  - AC X 06 = AD X Od — AB X 0a.
  - El comme dans ce cas le corps, en vertu de ses deux mou-
- p.127 - vue 136/470
- - 128 COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - vements, tend à tourner dans des sens contraires autour du point O, le théorème de Varignon peut s’énoncer en général, et en l’étendant de suite à un nombre quelconque de mouvements ou de vitesses simultanés, en disant que k moment de la résultante est égal à la somme des moments des composantes qui tendent à faire tourner le corps dans un sens moins la somme des moments des composantes qui tendent à 1e faire tourner en. sens contraire, ou plus généralement en disant que le moment de la résultante est égal à la somme des moments des composantes, pourvu que, prenant positivemcnl les moments relatifs à un certain sens du mouvement, on convienne de prendre négativement ceux qui se rapportent au sens contraire.
  - 114. Extension de ces théorèmes aux corps ou systèmes matériels animés d’un mouvement commun de translation. -Tout ce que l’on a dit plus haut pour un point matériel s’étend immédiatement aux corps ou systèmes matériels animés d’un mouvement de translation commun, puisque, quand on aura déterminé la vitesse ou le mouvement résultant de l’un des points, on en déduira celui des autres, qui est le même. Car si tous ces points sont animés simultanément d’un ou plusieurs mouvements communs, d’une ou de plusieurs vitesses communes dans des directions données, le mouvement résultant ou la vitesse résultante sera le même pour tous.
  - 115. Indépendance de l’action simultanée de plusieurs forces sur un même point. — Des observations qui montrent qu’un point matériel peut être animé de plusieurs mouvements ou vitesses simultanés et indépendants, il suit aussi naturellement que les causes ou les forces qui produisent ces mouvements ou impriment ces vitesses exercent des actions indépendantes les unes des autres. Aussi l’expérience montre-t-elle que, quand un corps est soumis à l’action de plusieurs forces, chacune d’elles lui communique dans un élément de temps t, et dans sa direction propre, un petit
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- - DES VITESSES ET DES FORCES.
  - 429
  - degré de vitesse a proportionnel à son intensité, et qui est le même que si elle agissait seule, quel que soit d’ailleurs le mouvement que le corps possédait antérieurement.
  - 116. Cas où les forces agissent dans la même direction. — Lorsque toutes les forces agissent dans la même direction, les vitesses qu’elles impriment étant aussi dans cette même direction, elles s’ajoutent, et le corps est animé d’une vitesse résultante égale à la somme algébrique des vitesses partielles composantes.
  - Or, les forces étant proportionnelles aux vitesses qu’elles impriment dans un même temps à un même corps, il s’ensuit aussi que toutes les forces qui agissent sur le point matériel considéré ont une résultante égale à leur somme algébrique.
  - En effet, en appelant F, F', F", les forces qui agissent dans la même direction sur le point matériel considéré, dont la masse est M,
  - v, a', v", les vitesses finies ou élémentaires qu’elles lui communiquent dans le même temps, on a
  - „ Ma F, Ma' ™_Ma".
  - f = T’ f=="T’ * ~~T’
  - et comme la vitesse résultante est
  - = v a' -f- v" -j- etc.
  - on a aussi en appelant R la résultante des forces
  - R
  - ou R = F + F'+ F"-f etc.,
  - MVi_________________________Ma .Ma' Ma"
  - : t “ t + t t ’
  - ce qu’il fallait démontrer.
  - De plus, si l’on multiplie cette rdernicre relation par le chemin e parcouru par le point matériel dans la direction commune des forces et de leur résultante, on a
  - Re = Fe-}-F,e + F"e-hctc.
  - 9
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- - 130
  - COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - Ce qui exprime que le travail (le la résultante est égal à la somme algébrique des travaux des composantes, lesquels peuvent d’ailleurs être des travaux moteurs ou des travaux résistants (n° 95).
  - Enfin, pour que le mouvement du corps soit uniforme, il faut que la somme des forces qui tendent à lui imprimer de la vitesse dans un sens, soit égale à celle des forces qui tendent à lui en imprimer dans le sens contraire, ce qui conduit à la relation
  - R = F -fF' + F", etc. = o,
  - OU Re = Fe -f- F'e -f- F"e, etc. = o,
  - I
  - ce qui exprime que la résultante est nulle ou que le travail des forces motrices est égal à celui des forces résistantes.
  - L’équilibre n’étant que le cas particulier du mouvement uniforme où la vitesse est nulle, la condition précédente est aussi celle de l’équilibre.
  - 117. Cas où les forces qui sollicitent le corps n'ont pas la même direction. — Nous avons vu par l’exemple du n° 100, relatif à la chute des graves animés en même temps d’un mouvement horizontal, que les vitesses communiquées dans des directions différentes étaient aussi complètement indépendantes les unes des autres.
  - En obéissant ainsi à l’action simultanée de ces forces, le
  - corps recevra des vitesses A b, Ad, proportionnelles à leurs intensités et dans la direction des forces, et ces vitesses composantes auront une résultante qui sera la diagonale Ac du pa-Fig. 3i. rallélogramme Abcd.
  - Si l’on prend AB et AD proportionnels aux degrés de vi-
  - 1913
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- - DES VITESSES ET DES FORCES.
  - 131
  - lessc Ab, A cl, pour représenter les forces P et Q, qui produisent ces petits degrés de vitesse, la résultante de ces forces, à laquelle est due la vitesse résultante, devra être proportionnelle au degré de vitesse communiqué dans le même temps et dans le sens de son action, ou à Ac; on aura donc
  - P:AB::R:AC,
  - Donc la résultante R sera représentée en grandeur et en direction par la diagonale AC du parallélogramme ABCD.
  - Donc la résultante de deux forces qui agissent simultanément sur un même corps est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces. Réciproquement toute force peut être décomposée
  - en deux autres, suivant deux directions arbitraires, et égales aux côtés du parallélogramme dont la force donnée serait la diagonale et dont les côtés seraient des parallèles aux directions données.
  - Fig 32. Si les deux directions
  - données sont perpendiculaires l’une à l’autre, on a
  - R2-=P5-}-Q2,
  - A
  - P==RAC==RcosCAB’ q==rac
  - Il cos CAD.
  - 11D. Quantité de travail d'une force dont le point d'application ne se meut point dans sa direction propre. — Lorsqu’une force R n’agit pas dans la direction du chemin parcouru par son point d'application , on peut la décomposer en deux : l’une, P, représentée par AB, dirigée dans
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- - 132 COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - le sens de ce chemin; l'autre, Q, représentée par AD, perpendiculaire à ce chemin. Le travail de P sera PxAa en désignant par A a le chemin réellement parcouru, et le travail de Q sera nul, puisqu’il n’y a pas de chemin parcouru dans sa direction propre. Donc le travail de la force R se réduira à celui de sa composante P. Mais en abaissant ai perpendiculaire sur AG, on a par les triangles semblables ACB et kab
  - R:P: :ka:kb, d’où R.A6=P.Aa.
  - Par conséquent le travail de la force R peut être mesuré soit par celui de sa composante P dans le sens du chemin parcouru , soit par le produit de son intensité R et de la projection kb du chemin ka sur sa direction propre.
  - v
  - 119. Application du théorème de Varignon aux forces.— Puisque la résultante de deux forces est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur ces forces comme côtés, il s’ensuit que le théorème de pure géométrie de Varignon s’applique aux forces comme aux lignes, et que par conséquent
  - La résultante de deux ou d’un nombre quelconque de forces agissant dans le même plan a pour moment, par rapport à un point quelconque de ce plan, la somme des moments des forces qui tendent à faire tourner dans un sens, moins la somme des moments des forces qui tendent à faire tourner dans Vautre sens,
  - Ce qui s’exprime par la relation
  - Rr=Pp+P'/ + etc. —Qq — Q'q'—etc., en nommant :
  - P, P', ... les forces qui tendent à faire tourner le corps dans un sens et p, p\ ... les bras de levier respectifs de ces forces ;
  - Q, Q', ... les forces qui tendent à faire tourner le corps dans l’autre sens, et q, q', ... les bras de levier respectifs de ces forces;
  - R la résultante et r son bras de levier.
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- - DES VITESSES ET DES FORCES.
  - 433
  - lîiO. Le travail de la résultante d'un nombre quelconque de forces est égal à la somme ou à la différence des quantités de travail qu'elles développent. —Dans le cas, le plus simple de tous, où les forces agissant toutes dans la direction du chemin parcouru, la résultante de toutes les forces est évidemment égale à la somme de celles qui agissent dans un sens, moins la somme de celles qui agissent en sens contraire, et comme le chemin parcouru par leurs points d’application est le même, la proposition est évidente.
  - n
  - 121. Forces agissant dans des directions quelconques. — Sil’on considère d’abord deux forces P et Q et leur résultante R, respectivement proportionnelles aux longueurs AB, AD et AC, soit AM la di-du chemin par-projetons ou dé-direction ; nous aurons
  - Fig. 34.
  - composons P, Q et R, sui
  - AB'=P', AD'=Q', AC— R',
  - pour les composantes dans le sens du chemin quelconque parcouru ka par exemple, et le travail de ces composantes, qui est égal à celui des forces primitives P, Q et R, sera respectivement P'.Aa, Q'.Aa, R'.Aa. Or il est évident d’après la figure 34 que
  - AC — R'=AB' + B'C'=P' -f - Q'.
  - Donc dans le cas de cette figure
  - R'.Aa = P'.Aa-f-Q'.Aa.
  - Dans le cas de la figure 35 on a
  - AC'=R'=AB'—AD'=P'—Q',
  - efpar suite
  - R'.Aa=P'.Aa—Q'.Aa.
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- - 134
  - COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - La différence des deux résultats provient de ce que dans le premier les forces P et Q agissent toutes deux dans le sens du chemin parcouru, tandis que dans le second la force Q agit en sens contraire de ce chemin et donne lieu à un travail résistant.
  - Cela résulte d’ailleurs avec évidence de ce que la projection de la résultante est égale à la somme algébrique des projections des composantes sur une ligne quelconque, pour laquelle on peut prendre la direction du chemin réellement parcouru , et qu’en multipliant les deux membres de cette égalité par le chemin parcouru, elle exprime le théorème général suivant :
  - Quand un 'point matériel est sollicité par un nombre quelconque de forces situées dans le même plan, qui tendent à lui imprimer ou lui impriment un mouvement de transport, le travail développé par la résultante est égal à h
  - somme des quantités de travail des forces qui sollicitent le corps dans le 1 sens du chemin parcouru, moins la somme des quan• tités de travail des forces qui le sollicitent en sens contraire.
  - Sans entrer dans des développements théoriques que ne comporte pas l’objet spécial de notre enseignement, nous nous bornerons à dire que des raisonnements analogues s’appliqueraient au cas de plusieurs forces agissant sur un même corps dans des directions quelconques dans l’espace.
  - Le travail élémentaire étant la même chose que ce que l’on nomme le m.oment virtuel, l’énoncé ci-dessus revient à dire que la somme des moments virtuels des composantes, pris avec le signe convenable, est égale au moment virtuel de la résultante; ce qui est le principe connu des vitesses virtuelles.
  - a
  - Fig. 35.
  - 617540952843
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- - DES VITESSES ET DES FORCES.
  - 13LJ
  - 122. Cas où le 'point matériel tend à tourner autour d'un point ou d'un axe fixe. — Si le point O d’où l’on abaisse les perpendiculaires sur les directions des deux forces P et Q (fig/36) est la projection de l’axe de rotation, ou le point autour duquel le plan des forces et le corps tendent à tourner, la relation des moments (n° 115)
  - RxOè=P.Oa±.Q.Oc ou R.r = P^±;Qÿ, en faisant Ob=r, Oa=p et OC — q,
  - devient, en multipliant tous les termes par l’arc ax décrit à l’unité de distance,
  - Vi.rai—Vpai-±.^qal.
  - Orrai, pau qalt sont respectivement les arcs élémentaires ou finis décrits par les pieds des perpendiculaires, ou
  - les chemins parcourus par les points d’application des forces R, P et Q, dans leur direction propre, et par conséquent Qrai, P^aa, Qqa1, sont les quantités de travail respectivement développées par ces forces, et la relation ci-dessus démontre pour le mouvement de rotation la proposition établie déjà pour le mouvement de translation.
  - 425. Condition du mouvement uniforme ou de l'équilibre.
  - Cas où toutes les forces sont contenues dans le même plan. — Si le poinl matériel que l’on considère n’est sollicité que par des forces situées dans le môme plan, il restera dans ce plan, et il ne pourra d’ailleurs à un instant quelconque obéir qu’à un mouvement de translation ou à un mouvement de rotation, ou à ces deux mouvements à la fois.
  - Tout mouvement de translation du corps pouvant, d’après ce que l’on a vu, être décomposé en deux autres, selon deux
  - Fig. 3G.
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- - 136
  - COMPOSITION DES MOUVEMENTS
  - directions quelconques prises dans ce plan , le mouvement réel du point matériel sera uniforme si les deux mouvements relatifs ou composants le sont. Donc la condition de l’uniformilé du mouvement de translation revient à celle de l’uniformité du mouvement suivant deux directions données. Cette dernière sera satisfaite si les forces qui sollicitent le point matériel, ou leurs composantes dans le sens de chaque axe, qui agissent pour accélérer son mouvement, développent un travail égal à celui des forces qui tendent à retarder ce mouvement; ce qui revient à dire que la somme des composantes qui agissent dans un sens doit être égale à h somme de celles qui agissent dans un sens contraire, ou que la somme totale doit être nulle, selon la convention établie précédemment.
  - Donc le mouvement de translation d'un point matériel sera uniforme lorsque les sommes respectives des composantes des forces qui le sollicitent selon deux directions quelconques prises dans ce plan seront séparément égales à zéro.
  - L’équilibre n’étant que le cas particulier du mouvement uniforme où la vitesse est nulle, la môme condition sera celle de l’équilibre quant à la translation.
  - Pour le mouvement de rotation, il est évident que, si toutes les forces qui agissent dans le sens du mouvement et tendent à l'accélérer développent un travail égal à celui des forces qui agissent en sens contraire et tendent à retarder le mouvement , celui-ci restera uniforme et le travail résultant ;_ sera nul, ce qui revient à dire que pour l'uniformité du mouvement de rotation il faut et il suffit que la somme des quantités de travail ou celle des moments des forces qui tendent h faire tourner dans un sens soit égale à la somme des quantités de travail ou des moments de celles qui tendent à faire tour- t ner en sens contraire.
  - L’équilibre n’étant que le cas particulier du mouvement uniforme où la vitesse est nulle, les mêmes conditions seront celles de l’équilibre d’un nombre quelconque de forces situées dans un plan.
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- - DES VITESSES ET DES FORCES.
  - 137
  - 124. Cas où les forces agissent d’une manière quelconque dans l’espace. — Le mouvement le plus général qu’un corps puisse prendre se compose d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation autour d’un point quelconque; or, quant au mouvement de translation, il est encore évident qu’il sera uniforme si les trois mouvements parallèles à troix axes quelconques perpendiculaires entre eux , dans lesquels on peut toujours le concevoir décomposé, sont uniformes, ce qui conduit à la condition que les sommes des quantités de travail développées dans chacune des directions des axes soient séparément milles.
  - Quant au mouvement de rotation, remarquons d’abord que dans le cas le plus général, le centre autour duquel le mouvement de rotation s’effectue peut varier à chaque instant, ce qui lui fait alors donner le nom de centre instantané de rotation. Cela posé, il est évident que la rotation autour d’un centre quelconque peut être décomposée en trois rotations, autour de trois axes parallèles aux précédents, et passant par le centre instantané de rotation , pour le moment que l’on considère. Dès lors aussi le mouvement résultant de rotation sera uniforme, si les mouvements composants le sont. La rotation autour de chacun de ces axes n’étant due qu’aux composantes perpendiculaires à cet axe, l’uniformité du mouvement aura lieu si les sommes des moments des composantes des forces respectivement parallèles à deux des axes pris par rapport au troisième sont séparément milles, ce qui conduit à trois relations entre les moments qu’il faut successivement prendre par rapport à chacun des axes.
  - Les conditions générales de l’uniformité du mouvement d’un point matériel sollicité par des forces extérieures quelconques se réduisent donc aux suivantes :
  - 1° Les quantités de travail développées par ces forces dans le sens de trois axes rectangulaires quelconques, ou les sommes des composantes dans le sens de ces axes, doivent être nulles.
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  - COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - 2° Les sommes des moments des forces données par rapport à ces trois axes doivent être séparément miles.
  - L’équilibre n’étant que le cas particulier du mouvement uniforme où la vitesse est nulle , ces conditions sont aussi celles de l’équilibre des forces.
  - La discussion précédente montre que l’étude des mouvements produits par des forces quelconques peut toujours être ramenée à celle du mouvement de translation dans le sens des forces ou de leurs composantes, et du mouvement de rotation autour d’un axe donné. Nous avons déjà examiné le premier de ces mouvements, il nous reste à nous occuper du second ; mais auparavant il convient d’étendre les théorèmes de la composition des forces au cas où elles sont parallèles.
  - 125. Forces parallèles. — L’on a vu au n° 108 que la projection de la résultante d’un nombre quelconque de forces appliquées à un môme point matériel, sur une droite quelconque est égale à la somme algébrique des projections de ces forces sur cette même droite. La démonstration de cette proposition étant complètement indépendante des directions des forces et des angles qu’elles forment entre elles et avec leur résultante il en résulte qu’elle est encore vraie quand on
  - fait la projection sur la résultante elle-même, d’où il suit : que la résultante d’un nombre quelconque de forces appliquées à un mxme point, est égale à la somme al-
  - Fig. 37.
  - gébrique des projections de ces forces sur sa direction propre. C’est d’ailleurs ce qu’il est facile de voir directement. La figure 37 montre en effet que l’on a
  - AC ou R = CD' + D'A = AB' -j- AD'
  - ou
  - R = P' + Q'
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- - DES VITESSES ET DES FORCES.
  - 4 39
  - en nommant P' la projection AB' de AB ou P' sur AC, et Q' la projection AD' de AB ou Q sur AC.
  - Les projections P' et Q' des forces P et Q sur la direction de la résultante sont d’ailleurs évidemment les composantes de ces forces dans le sens de celte résultante.
  - Dans le cas où l’angle formé par les directions des forces P et Q serait obtus, il est facile de voir que la proposition du n° 108 subsiste et que celle que nous venons d’établir se modifie en ce sens que la résultante est alors égale à la différence des projections de ses composantes. On voit tout de suite en effet sur la figure que
  - AC ou R = AB' — CB' = AB' — AD' = P' — Q'.
  - 12G. Conséquences relatives à la composition des forces parallèles. — Les deux propositions précédentes sont tout à fait indépendantes de la grandeur des angles BAC et DAC, ou de la direction des forces P et Q ; elles ne cessent pas d’être vraies à mesure que le point A de concours des forces s’éloigne de plus en plus et quand, ces forces devenant parallèles, il se trouve à l’infini. On a alors pour deux forces parallèles, dans le premier cas où elles agissent dans le même sens,
  - R = P+Q
  - et pour le second cas où elles agissent en sens contraires, R = P—Q.
  - 127. Point d’application de la résultante des forces parallèles. — Le théorème des moments (n° 110) démontré pour un point quelconque autour duquel les forces tendraient à produire la rotation, étant pareillement indépendant de la direction des forces, il est vrai aussi pour le cas où elles sont parallèles, d’où il suit, d’abord, que le moment de la résultante d’un nombre quelconque de forces parallèles situées
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- - 140
  - COMPOSITION DES MOUVEMENTS
  - dans un meme plan par rapport à un point quelconque pris dans ce plan est égal à la somme algébrique des moments de ces forces, ce qui fournit un moyen de déterminer la position de la résultante.
  - Soient par exemple deux forces parallèles P et Q agissant dans le meme sens. La proposition précédente devient
  - Rr = Pp ± Qq
  - et l’on a d’ailleurs R = P-j-Q.
  - Si l’on prend pour centre des moments un point de la ré-sultanle elle-même on a évidemment r — o et Rr=o, et par suite Vp ± Qg = o, ce qui ne peut être qu’aulant que l’on a Pp = Qg et que les forces P et Q dirigées dans le même sens tendent à produire la rotation par rapport au point choisi pour centre des moments dans des sens contraires. Donc, ce point et la résultante elle-même sont compris entre les directions des forces P et Q, et toutes les droites perpendiculaires à la résultante et aux deux forces, sont partagées en parties réciproquement proportionnelles à ces forces; ce
  - de toute sécante menée entre les directions des forces P et Q ; quels que soient les points d’application A et B de ces forces l’on voit que la résultante de ces forces coupe aussi cette ligne en parties réciproquement proportionnelles à leurs intensités. On a d’ailleurs, d’après la
  - figure, en nommant d la distance des directions de P et
  - de Q
  - par suite
  - d’où
  - d=p-\- q
  - q — d—p et Pp = Q (.d-—p); (P-fQ)P = Qd
  - d’où
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- - DES VITESSES ET DES FORGES.
  - Dans le cas où les forces P et Q sont dirigées en sens contraires,
  - R = P—Q
  - et l’on a la relation
  - Rr —Q q = o.
  - Or, pour que, dans ce cas, les forces P et Q qui sont de
  - sens contraires, puissent produire
  - o
  - |p V , a rotation en sens opposés par
  - c
  - r rapport à un point de la résul-
  - 7 tante, il faut que ce point et la résultante elle-même soient en dehors des deux directions des forces. Si l’on appelle d la distance de ces
  - A
  - -j
  - B
  - Fig. 40.
  - deux directions l’on a par les relations ci-dessus d—q—p d’où q == p + d et
  - Pp = Qjp-|-Qd ou (P — Q)p — Qd
  - d’où
  - ce qui donne la distance de la résultante à la direction de la force P et par suite sa position.
  - Si les points d’application des forces P et Q sont en A et B, la résultante coupe la droite AB prolongée en un point C tel que ses distances^ et q aux directions des forces PetQ sont réciproquement proportionnelles à ces forces.
  - 428. Réciproquement toute force donnée peut être décomposée en deux autres forces parallèles agissant, en des points donnés. — Soit en effet une force R agissant en un point donné C, d’une droite supposée rigide et inflexible, il sera toujours facile de trouver les valeurs de deux autres forces P et Q agissant à des points donnés A et B, dont les distances P et Q à la direction CR de la force R, produisent le même effet que cette force. Il suffira de les déterminer de manière que l’on ait en même temps
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- - 142 COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - P + Q = R si elles doivent agir l’une à droite et l’autre à gauche de R,
  - P —Ü = R si les points A et B sont tous deux du môme côté de R, et dans les deux cas
  - P'P = Qq d’où Q = | P.
  - Ces deux relations donneront
  - P ('i-j-£'\==R d’où P = -4- R \ flV P + 9
  - _ <7
  - 9/ 'P + 9 “ ^
  - <7 étant la distance des deux directions données ;
  - fl
  - R,
  - ou P ^1—=R d’où
  - P
  - R.
  - Ce qui indique que la force P agit en sens contraire de R,
  - Les deux forces P et Q ainsi déterminées ont une résultante unique précisément égale à R et peuvent par conséquent remplacer cette force puisqu’elles développent le même travail.
  - Cette décomposition d’une force en deux autres parallèles agissant en des points donnés trouve de fréquentes applications dans la pratique.
  - Quand par exemple l’on veut déterminer la pression qu’une poutre, qu’un arbre de roue hydraulique, d’un poids connu ou chargé d’un poids donné, exerce sur ses points d’appui on est conduit à une décomposition de cc genre.
  - Soit ainsi une poutre chargée en un point C de sa longueur 2c, d’un poids 2P, et reposant sur deux points d’appui A cl B lÿ[ jB situés aux distances l' et l" du point C. En appelant
  - P’ et P" les deux pressions ou composantes cherchées, observant que
  - P'-j-P" — 2P et en prenant les moments de la résultante
  - V r -,
  - c :
  - 2 c | Fig 4i.
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- - DES VITESSES ET DES FORCES.
  - 443
  - el des composantes alternativement par rapport aux points d’appui A et B, on a dans le premier cas,
  - p//
  - P" X 2c = 2P X l' d’où P" = — , dans le second,
  - P/
  - P' x2c = 2PX^" d’où P' =—.
  - c
  - S’il s’agissait d’une roue hydraulique ces deux composantes P' et P" seraient les pressions exercées par ses tourillons sur leurs coussinets en vertu de la force 2P.
  - En décomposant ainsi toutes les forces qui agissent sur l’axe y compris le poids propre de la roue et de son arbre, on aurait sur chaque tourillon un groupe de forces concourantes dont la résultante partielle donnerait la pression totale exercée sur chaque coussinet.
  - 129. Extension des théorèmes 'précédents ci un nombre quelconque de forces parallèles comprises ou non comprises dans un même plan. — Les théorèmes précédents peuvent s’étendre à un nombre quelconque de forces parallèles en composant de proche en proche la résultante des deux premières avec une troisième, et ainsi de suite; d’où l’on conclut :
  - 1° Que la résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles est égale à la somme de celles qui agissent dans un sens moins la somme de celles qui agissent en sens contraire ;
  - 2° Que, si les forces sont dans un mêmeplan, le moment delà résultante parrapport àun point quelconque pris dans le plan qui contient toutes les forces, est égal d la somme ou à la différence des moments des composantes.
  - 3° De même, si des points d’application A, B et O, des forces P, Q, et de leur résultante R, on abaisse Fig. 42. des perpendiculaires AA', BB', 00',
  - sur un plan quelconque, et qu’on nomme Ox le point de
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- - 144 COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - rencontre de la ligne AB avec ce plan, point qui se trouvera nécessairement sur l’intersection du plan ABB'A' qui contient les perpendiculaires avec le plan donné, il est facile de voir que de la relation déjà démontrée
  - on déduira :
  - R.OOi=P.AOi + Q.BOi, R.OO'=P.AA' + Q.BB\
  - c’est-à-dire que le moment de la résultante par rapport à un plan quelconque est égal à la somme ou à la différence des moments des composantes.
  - En considérant les forces deux à deux, ce théorème s’étend aussi au cas où elles sont en nombre quelconque et contenues dans des plans différents.
  - 150. Travail de la résultante de plusieurs forces parallèles. — Si les forces parallèles que l’on considère sont appliquées à différents pionts d’un même corps et que ce corps soit animé seulement d’un mouvement de translation, le chemin parcouru par tous les points d’application des forces est le même, et en multipliant tous les termes de la relation
  - R — P -f- Q—S—T-j- etc.
  - par ce chemin parcouru, il sera évident que le travail de,
  - résultante est égal à la somme d quantités de travail développées pt les composantes; ce qui résulte d’ailleurs du théorème du n° 120, Si le corps tourne autour d’un
  - montrée pour des forces quelconques, s’établit d’une manière analogue pour des forces parallèles.
  - 151. Centre des forces parallèles. — Le point d’application de la résultante d’un nombre quelconque de forces parallèles qui agissent sur un corps ne dépend, comme on l’a
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- - DES VITESSES ET DES FORCES.
  - J 45
  - vu, que des rapports entre leurs intensités, et non de leur direction. Par conséquent, si les directions des forces changent, leurs intensités restant les mêmes, ainsi que le sens respectif de leur action, le point d’application conservera la même position. Ce point, qui ne varie pas avec la direction des forces, se nomme le centre des forces parallèles.
  - 152. Emploi des moments pour déterminer la position de la résultante. — Le point O d’application de la résultante se déduit facilement de la relation des moments par rapport à un point, une droite ou un plan quelconque.En appelant r le bras de levier de Ja résultante, par rapport au point, à la droite ou au plan, et K, la somme des moments de toutes les forces par rapport au même point, droite ou plan, on a
  - K
  - r“l) + Q— S—T+etc.
  - 155. Cas où tentes les fcrces parallèles sont égales et dirigées dans le même sens. — L’on a alors
  - P = Q = S—etc.
  - et R= P-j- Q —J— S —f-etc. = w.P
  - n étant le nombre des forces toutes égales à P.
  - 11 s’ensuit donc que le bras de levier r de la résultante, par rapport à une droite ou à un plan quelconque, a pour expression
  - _Vp + 0<7+ SH- etc. _ P(p + q+s + etc.)
  - ~ P + Q+S+ëtc-.' w.P.
  - ou f_P + g + »+elc-
  - n
  - c’est-à-dire qu’alors cette distance est égale à la moyenne distance de tous les points d'application au plan ou à la droite donnée.
  - 154. Condition du mouvement uniforme ou de l'équilibre.—
  - 10
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- - 146
  - COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - Le mouvement d’un corps sollicité par des forces parallèles sera uniforme lorsque le travail de leur résultante sera nul; ce qui exige que le travail des forces qui agissent dans un sens soit égal à celui des forces qui agissent en sens contraire. Dans le cas où il tend à se produire une rotation autour d’un point ou d’un axe, il faut que l’on ait en général
  - P.p«i -f- Q .<7«i — S. s«i—T . etc. —o.
  - S’il n’y a que deux forces P et Q agissant de part et d’autre du centre ou de l’axe, la condition de l’uniformité du mouvement ou de l’équilibre est
  - P^«t=Q.g«i ou Pp = Qg.
  - Cette relation sert de base à la théorie de la balance et à celle du levier.
  - On remarquera que la condition
  - Pp+QlZ—Ss—TV-j-etc., = o
  - donne Rr=o, et peut être satisfaite, soit par R=o, soit par r=o.
  - Ainsi, pour qu’il y ait équilibre entre les forces qui tendent à faire tourner un corps autour d’un axe ou d’un point, il faut et il suffit, ou que la résultante soit nulle (sauf le cas des couples), ou qu’elle passe par l’axe ou le centre de rotation.
  - 155. Ve la balance. — Cet instrument, d’un usage si fréquent, nous offre une application fort simple des principes de l’équilibre, que nous venons d’exposer.
  - La disposition la plus générale des balances consiste en un levier appelé fléau, traversé au milieu de Sa longueur, et perpendiculairement, par un axe en acier donî|es extrémités ont la forme de couteaux à tranchant arrondf, et reposant sur deux plans d’acier ou d’agate disposés horizontalement sur le support 4)u pied de la balance. Dç part et d’autre de cet axe les‘ cteux bras du fléau sont égarii, et ils
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- - DES VITESSES ET DES FORCES.
  - 147
  - portent à leurs extrémités des couteaux aussi en acier ou en agate, dont le tranchant émoussé est en dessus, et sur lesquels viennent reposer des coussinets disposés à la partie supérieure de la suspension des plateaux dans lesquels on met les poids ou les corps à peser. Perpendiculairement au fléau, et directement au-dessus ou au-dessous de l’axe, on dispose habituellement une aiguille plus ou moins longue qui, en s’inclinant avec le fléau, indique, sur un limbe fixe gradué, l’inclinaison plus ou moins grande du fléau. La balance n’est en équilibre que quand cette aiguille est verticale ou correspond au zéro du limbe.
  - Malgré la simplicité de sa disposition générale, la balance est un instrument difficile à construire quand on veut satisfaire aussi exactement que possible aux exigences d’une grande précision. Les conditions à satisfaire sont les suivantes :
  - 1° La balance doit être en équilibre quand elle n’est pas chargée, ce qui exige que les deux branches ou bras du fléau soient eux-mêmes en équilibre ; la longueur des bras, mesurés depuis les couteaux de l’axe jusqu’aux couteaux de suspension des plateaux, doit être la même, afin que les plateaux, de poids égaux, puissent sans inconvénient être changés de côté.
  - 2° La balance doit être sensible à un degré donné, selon l’emploi que l’on en veut faire. Ainsi les balances de précision, destinées à peser des poids de 5, de 10 et même de 20 kilogrammes, doivent accuser des différences de poids d’un milligramme au plus, et le degré de précision doit être au moins le même pour tous les poids, depuis les plus faibles jusqu’aux plus grands, que la balance est destinée à peser.
  - Ces conditions ne peuvent être satisfaites que par de grands soins dans la construction et l’application exacte de certains principes faciles à établir.
  - U faut d’abord que l’arête inférieure des couteaux de l’axe et les arêtes supérieures des couteaux des bras soient parai-
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- - 148
  - COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - lèles et dans un même plan, et de plus que le centre de gravité du fléau, et par suite celui de la balance entière soient
  - toujours au-dessous,
  - y P'/'C <1 mais très-près de l’a-
  - V T B'î 1 1 rête des couteaux de b l’axe.
  - i Considérons en effet
  - une balance dans la-
  - q! Q quelle ces conditions
  - s- 44' ne sont pas satisfaites,
  - et supposons-la d’abord en équilibre. Soient :
  - P le poids du corps à peser, mis dans le plateau de gauche,
  - Q le nombre de kilogrammes et de grammes qui, mis dans le plateau de droite, établit l’équilibre, p et q les bras de levier des poids P et Q, au moment de l’équilibre; on aura à ce moment Pp = Q^; et si p = q, comme cela doit être, P = Q. Appelons
  - M le poids du fléau de la balance agissant à son centre de gravité G, supposé au-dessous de l’axe du fléau, m le poids qui, placé dans le plateau de droite, fait trébucher, incliner le fléau, et l’amène à la position voisine de l’équilibre A'O B'.
  - Soient dans celte position
  - p' et q' les nouveaux bras de levier, alors inégaux, des forces P et Q, qui, dans le cas de la ligure, satisfont à la condition
  - g le bras de levier du poids M du fléau.
  - Dans cette nouvelle position d’équilibre, la condition d’égalité des moments sera exprimée par la relation
  - Pp + Mg=(Q-J-m) q'i Posons p'—q' +pi-
  - O11 a alors
  - (P—Q) <f+1> -h %—m' ;
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- - DES VITESSES ET DES FORGES. 140
  - d'où l’on tire, pour la valeur du poids qui fait incliner le fléau et le maintient dans cetle nouvelle position,
  - m = (P—Q) + ^+Sp.
  - Pour que m pût être égal à zéro, il faudrait que l’on eût toujours Pi — o ou p' — q', et g — o.
  - La première de ces conditions ne peut être satisfaite qu’au-tantque tous les couteaux sont dans le même plan, parce qu’alors il est facile de voir par la figure que l’on a toujours p — q etp' = q’ dans toutes les positions, ce qui montre la nécessité de se conformer à cette règle de construction.
  - L’on ne pourrait rendre ^r=° qu’en faisantg=o, c’est-
  - à-dire en faisant en sorte que le centre de gravité du fléau sc trouve sur l’arête des couteaux ; mais alors le fléau et les plateaux seraient également en équilibre sous toutes les inclinaisons, et il en serait de même pour tous les cas où l’on aurait P = Q. La balance serait ce qu’on nomme indifférente, elle n’aurait pas de position d’équilibre marquée et déterminée.
  - On renonce donc h satisfaire tout à fait à cette condition; mais, afin que la balance s’incline sous le plus petit poids additionnel m, dans le cas où P = Q, on rend la distance du centre de gravité à l’axe du fléau assez petite pour que, sous une inclinaison donnée sur le limbe, d’un demi-degré, par exemple, le bras de levier g du poids du fléau soit tel que le poids m qui produit celte inclinaison soit d’un milligramme ou d’un demi-milligramme.
  - Ce résultat est indépendant de la grandeur des poids Pet Q, de sorte que la balance est sensible à l’addition d’un demi-milligramme, pour tous les poids qu’elle est destinée à peser, depuis les plus faibles jusqu’aux plus forts.
  - Les artistes sont parvenus à atteindre celte perfection à force de soins. M. Fortin a fait des balances pesant 1 kilo-
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- - 150 COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - gramme à 1 milligramme près. Le Conservatoire des arts et métiers possède une collection précieuse de balances dans laquelle on remarque deux balances, l'ime de Fortin, l’autre de Gambey, pesant le kilogramme à un milligramme près, une balance de M. Deleuil pesant 10 kilogrammes à { milligramme près, et une balance donnée par le gouvernement des États-Unis, pesant 50 kilogrammes à £ milligramme près.
  - Pour les balances d’essai destinées à des poids beaucoup moindres, on a atteint la précision de.^j de milligramme.
  - Quant aux balances de commerce, on se contente naturellement d’une moins grande exactitude, et les balances de 50 kilogrammes bien faites, par exemple, accusent une différence de poids de 10 milligrammes seulement.
  - Les conditions générales de stabilité de l’équilibre montrent d’ailleurs que si le centre de gravité était au-dessus de l’arête de contact des couteaux de l’axe, l’équilibre ne pourrait jamais subsister, et la balance serait alors folle, selon l’expression d’usage.
  - L’excessive sensibilité des balances, due aux conditions que nous venons d’indiquer, ainsi qu’au fini de l’exécution, au poli des surfaces, présente l’inconvénient que les oscillations y sont lentes, et qu’elles n’arrivent à la position d’équilibre qu’après un temps assez long. On remédie à ce défaut par divers dispositifs qu’il n’y a pas lieu d’indiquer ici, mais qui ont pour objet d’arrêter les plateaux avant de laisser agir les poids, de les laisser doucement poser sur leurs couteaux, de les arrêter de nouveau à volonté dans leurs oscillations, afin d’en limiter l’amplitude et la durée.
  - Il n’est pas inutile d’ajouter que, pour que la forme des couteaux et de leurs coussinets ne s’altère pas, l’on a soin de munir les bonnes balances de dispositifs qui permettent de soulever le fléau et les plateaux soit quand on charge la balance, soit quand on cesse de s’en servir.
  - 156. Vérification des balances. — Après s’être assuré que
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- - DES VITESSES ET DES FORCES. 151
  - les couteaux sont bien exécutés, qu’ils sont tous contenus dans le même plan, que leurs coussinets sont bien plans et polis, on inet le fléau en place, et l’on vérifie s’il est en équilibre quand l’aiguille est au zéro de son limbe ou verticale. On retourne le fléau pour voir s’il en est de même dans l’autre sens. On doit s’assurer de l’égalité des bras du fléau; à cet effet on suspend les plateaux au fléau et l’on s’assure que celui-ci reste dans sa position d’équilibre quand on les change de côté. On charge les plateaux de poids gradués, depuis le plus petit jusqu’au plus grand que la balance doive peser, et l’on s’assure si la sensibilité reste la même dans toute cette étendue. Après une pesée, on change les poids de plateau et l’ori reconnaît si les résultats sont les mêmes.
  - La sensibilité des balances du commerce est fixée par les règlements à du poids à peser, depuis le plus petit jusqu’au plus fort. Quand l’addition de cette fraction du poids ne fait pas incliner le fléau du côté où elle est placée, on dit que la balance est sourde.
  - 137. Méthode des doubles pesées. — Malgré tous les soins apportés dans la construction, lorsque l’on veut opérer très-exactement, on emploie, pour se mettre à l’abri des erreurs, une méthode fort simple dite des doubles pesées, due à l’illustre Borda.
  - Après avoir placé le corps à peser dans l’un des plateaux, on met la balance en équilibre eu chargeant l’autre plateau d’une manière quelconque, soit avec des poids, soit avec de la grenaille de plomb, de fer, etc. Lorsque cet équilibre est bien établi, on enlève le corps à peser et on le remplace par le nombre d’unités de poids nécessaire pour rétablir cet équilibre ; on obtient ainsi exactement le poids cherché du corps, abstraction faite de toute inexactitude de la balance, pourvu qu’elle soit assez sensible.
  - 158. Balance romaine. — Dans ce système de balances, connu de toute antiquité, et dont plusieurs modèles chinois
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- - 132
  - COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - fort légers et fort simples se trouvent au Conservatoire, loS bras de levier de la charge P et du poids Q sont inégaux, celui p de la charge reste constant, taudis que celui q du poids Q varie; mais le contre-poids est toujours le môme. La condition d'équilibre
  - Vp = Q(7
  - est alors satisfaite en faisant varier le bras de levier q du poids constant Q, de façon que l’on ait toujours
  - lance le bras de levier du poids constant doit varier propar-
  - Fig. 45.
  - tionnellcment au poids du corps à peser. Mais dans la graduation du grand bras de levier, il faut tenir compte du poids propre du levier et du plateau; c’est ce que l’on fait en déterminant d’abord la position du poids curseur Q, pour laquelle le fléau est horizontal ou en équilibre sous son propre poids et celui de ses crochets ou de ses plateaux. Soit q' la distance de ce poids à l’axe; le moment Qq' sera égal à l’excès de celui du plateau vide et de son bras de levier sur celui de l’autre bras de levier.
  - Si, pour faire équilibre au poids P mis dans le plateau et j
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- - DES VITESSES ET DES FORCES.
  - 153
  - dont le moment est P^, il faut éloigner le poids curseur Q à une distance q, on aura pour l’équilibre la relation :
  - Pj> + Qï’=0î, d’où p = <fc£2,
  - on î—ï'=^p
  - Ainsi, en tenant compte du poids de l’appareil, l’on voit que ce sont les distances du poids curseur au zéro qui doivent croître proportionnellement aux poids à peser.
  - Les longueurs p et q', ainsi que le poids curseur Q, étant connues quand la balance est faite, l’on voit que l’on pourra calculer la valeur de la distance q, qui correspond au plus grand poids à peser par la formule
  - mais il vaudra mieux, après l’avoir ainsi calculée pour le poids maximum Q', la déterminer exactement par expérience. Cela fait, on partagera l’intervalle q — q' en autant de parties égales que l’on voudra avoir de subdivisions du poids Q'.
  - Les romaines pour peser 20 à 25 kilogrammes portent ordinairement des divisions correspondantes à 1 kilogramme, et l’on exprime les fractions à vue, d’après la position du curseur.
  - 11 est d’ailleurs évident que dans cette balance, comme dans la précédente, les couteaux de l’axe de suspension, ceux du crochet qui porte le poids, et ceux du poids curseur, ainsi que les encoches dans lesquelles on l’arrête quelquefois, doivent encore être dans un même plan pour que les rapports des leviers soient indépendants de l’inclinaison du fléau; le centre de gravité de celui-ci doit de même être au-dessous et très-près de l’axe de suspension. Dans ces conditions la balance oscille librement.
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- - 154
  - COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - L’usage des romaines folles ou non oscillantes est défendu. Le degré d’exactitude des romaines est fixé par les règlements à du poids à peser depuis le plus petit jusqu’au plus grand.
  - 159. Peson. — On se sert quelquefois pour les petites pesées du commerce d’une balance qui n’a qu’un seul plateau d’un poids fixe, disposée ainsi qu’il suit : un fléau à deux bras inégaux, reposant sur un axe cylindrique en acier, reçoit à son bras le plus long le plateau de balance; le bras le plus court est terminé par un poids fixe de forme ordinairement lenticulaire ou aplatie. Une aiguille OG, fixée perpendiculairement à la longueur du levier, passe par l’axe de rotation et porte à son extrémité un poids q. Les différents poids, le levier, le plateau et l’aiguille sont tellement proportionnés que quand le plateau est vide, et le fléau horizontal, le centre de gravité de l’appareil composé du fléau, du contre-poids et du plateau se trouve en un point G de l’aiguille, sur la verticale qui passe par l’axe. Dans cette position
  - la pointe de l’aiguille correspond au zéro d’un limbe gradué que porte l’instrument.
  - Cela posé concevons qu'un poids P étant mis dans le plateau , le levier s’incline, et cherchons la position que prendra l’extrémité de l’aiguille sur le limbe. Nommons :
  - Q le poids total du levier, du contre-poids, du plateau, etc., et considérons-le comme agissant au centre de gravité G du système (voir au n° 159), lequel aura pris alors la position G'.
  - La condition d’équilibre de l’aiguille nous donnera P.B'C = Q. G'H d’où P = Q.|^
  - K L
  - A'
  - Fig. 46.
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- - DES VITESSES ET DES FORCES. 455
  - Or les triangles OB'C et OG'H sont semblables, et l’on a
  - OB' ou OB : B'C : : OG' ou OG : OH d’où B'C = et par suite
  - OHxOB
  - OG
  - Le poids Q du fléau et des pièces qui en dépendent est connu et constant, la distance invariable OG du centre de gravité à l’axe peut être déterminée par expérience, la longueur OB du grand bras de levier est connue et invariable ; le fac-OG
  - teur constant Q-qj> est donc déterminé et l’on voit que les
  - poids à peser P sont proportionnels aux tangentes des inclinaisons du levier ou des arcs parcourus sur le limbe par l’extrémité de l’aiguille.
  - La division de ce limbe est donc facile puisque l’on aura
  - et qu’en faisant successivement P=lkil,00, lkil,500,2kil,00elc., on calculera facilement les valeurs des tangentes des angles GOG' correspondant aux positions d’équilibre et par suite les angles parcourus par l’aiguille.
  - Dans la pratique on détermine ces angles par l’expérience, l’on voit du resle que ce genre de balance n’est pas susceptible de la même précision que la balance ordinaire, mais il est assez commode pour quelques usages.
  - 140. Balance-bascule de Quintenz. — Cet appareil qui porte le nom de son inventeur et que l’on appelle aussi balance-bascule, sert, selon les proportions qu’on lui donne, à peser les ballots ordinaires et les plus lourds fardeaux. Sa forme varie selon sa destination, mais sa disposition générale est toujours à peu près la même.
  - Il se compose d’un tablier AB horizontal, qui repose vers l’une de ses extrémités, en C, sur un couteau triangulaire
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- - 156 COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - porté par un levier DI, qui s’appuie en D sur un point fixe et est soutenu en I par une lige ou bielle verticale EL. L’autre extrémité du tablier AB est soutenue en F par une bielle FG au moyen d’un arc-boutant EF. Les deux bielles
  - Fig. 47.
  - HL et FG sont soutenues par des couteaux qui font partie d’un levier HOK, soutenu en O sur le pied delà balance et qui porte en K le plateau dans lequel on met les poids.
  - Tout cet appareil est porté par un cadre ou châssis, mobile dans les cas ordinaires, mais qui est rendu fixe et solidement établi sur une maçonnerie quand il s’agit des ponts à bascules destinés à peser les plus grosses voitures. Dans tous les cas il faut que ce bâtis et le tablier soient disposés bien horizontalement en tous sens.
  - La première condition que l’appareil doit remplir consiste en ce que cette horizontalité subsiste quand le tablier est chargé. Il est facile d’y satisfaire par les proportions données aux divers bras de levier. En effet, si le point C du tablier ou le couteau qui le soutient s’abaisse d’une hauteur li, le point I, extrémité du levier Aï et par conséquent le point H, extrémité supérieure de la bielle III, descendra de la hauteur
  - par suite l’extrémité F de la bielle GF qui soutient l’autre extrémité du tablier s’abaissera de la hauteur Ax
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- - DES VITESSES ET DES FORCES.
  - 157
  - Pour que les deux appuis G et F du lablier descendent de la même quantité il faut donc et il suffit que le facteur
  - jjjjrX soit égal à l’unité, ce qui conduit à la condition
  - que les rapports et ^ soient égaux.
  - Cette condition étant satisfaite, il est facile de voir qu’en quelque point du tablier que repose la charge P à peser, son action sur le levier OH sera la même que si elle était suspendue à la tige GF, sur le couteau G. Supposons, en effet, que le centre de gravité de la charge P repose en O', si nous la décomposons en deux, agissant, l’une en C, et l’autre en F, appelons L la distance verticale entre G et F.
  - jP QÇ
  - La composante de P en F sera -j—, et elle agira directement en G.
  - Jp^/
  - La composante de P en G sera-j-, et celle-ci donnera lieu
  - en I, et par suite en H, à un effort
  - Py^DC'
  - L X DP
  - lequel revient évidemment à un effort exercé en G, et égal DC' HO. DG' HO , ,, , . .
  - 3 L~’T)rX (JG 0r üT X OG = 1 d aPres ce Precet’e-Donc les deux composantes de la charge P donnent lieu en G à l’effort
  - Pa? Py__p x -h y _ n L + L“ L ’
  - Puisque x-f y = L, d’après la figure.
  - Ainsi, en quelque endroit du plateau que l’on place la charge, elle se trouve, par l’effet des articulations du système, reportée au point G avec sa valeur intégrale, et l’on a Pour l’équilibre entre cette charge P et le poids Q la relation
  - P. OG = Q.OK.
  - i OG
  - Le rapport — est ordinairement égal à pour les ha-UK
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- - INB COMPOSITION DES MOUVEMENTS,
  - lances portatives ordinaires du commerce, et à ^ pour les balances destinées au pesage des gros fardeaux, les ponts à bascule, etc.
  - Tous les points d’appui et les articulations du système sont formés par des couteaux en acier reposant sur des sièges du même métal bien dressés. Ceux de ces couteaux qui correspondent aux parties les plus larges du tablier sont doubles et exactement parallèles les uns aux autres. Au-dessus du plateau à poids, se trouve une petite cuvette N dans laquelle on place des poids ou des grenailles pour rétablir l’équilibre du plateau non chargé et des leviers de l’appareil lui-même, quand par l’usé ou par des causes accidentelles les conditions primitives se trouvent changées.
  - Pour éviter les calculs, les poids dont on se sert portent habituellement l’indication en chiffres d’un poids décuple ou centuple de leur poids réel, selon la proportion de la balance.
  - Un levier d’arrêt à poignée sert à soulever le levier HOK pour soulager les couteaux quand la balance n’est pas en charge, et pour éviter les chocs sur leurs arêtes au moment du chargement.
  - Ce système de balance a été modifié dans ses formes, mais non dans son principe ; il a été ingénieusement mis à profit pour des grues qui pèsent les fardeaux en même temps qu’on les élève pour les charger. On lui a appliqué divers dispositifs qui permettent d’améliorer et même d’enregistrer les pesées, mais nous ne pouvons ici nous occuper de ces détails.
  - 141. Théorie du levier.— Il résulte de ce qui précède que, dans le cas de la rotation autour d’un point ou d’un axe fixe sollicité par des forces concourantes ou parallèles, le moment de la résultante est égal à la somme des moments des composantes, si les forces agissent pour produire la rotation dans le même sens, ou à leur différence si elles agissent en sens contraires. Les perpendiculaires r, p, y,
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- - DES VITESSES ET DES FORGES.
  - 159
  - abaissées du centre de rotation sur les directions des forces, se nomment les bras de levier des forces, et l’on a la relation
  - Rr=Pp±Qÿ.
  - Dans le cas de l’équilibre, on a Rr=o et par suite Pp=Q_q, si l’une des forces, P, est la puissance, et l’autre, Q, une résistance à vaincre; on voit donc que pour l’équilibre le moment de la puissance doit être égal à celui de la résistance.
  - Si la résistance et son moment sont donnés, l’effort à développer par la puissance qui est donné par la formule
  - p=0£
  - P
  - sera d’autant plus petit que son bras de levier p sera plus
  - grand. Cette relation contient la théorie de l’appareil simple appelé
  - — levier, et qui est employé
  - V au mouvement ou au
  - P
  - déplacement des fardeaux par la force mus-
  - Fig. 48.
  - culaire des hommes. On distingue trois genres de leviers : celui du premier genre (fig. 48), où la puissance et la ré-
  - sistance agissent res-\ pectivement de part et
  - d’autre du centre de rotation; dans le levier du deuxième genre la puissance agit à l’extrémité du levier, et la résistance entre celle-ci (fig. 49) et le point d’appui ; dans celui du
  - A
  - Fig. 49.
  - roisième genre (fig. 50), la puissance agit entre le point
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- - 160 COMPOS. DES MOUV., DES VITESSES ET DES FORCES.
  - d’appui et la résistance. Ces distinctions n’ont d’ailleurs
  - importance quant
  - -A.
  - t-
  - =0
  - IP
  - Fig. 50.
  - O-
  - aucune au principe qui vient d’être énoncé.
  - L’avantage de l’emploi du levier consiste seulement en ce qu’avec un effort donné
  - et limité P on peut, par une proportion convenable, établie entre les bras de levier p et q de la puissance et de la résistance, surmonter un effort très-considérable. Mais il ne faut pas perdre de vue que, les arcs décrits ou les chemins parcourus par les points d’application des forces étant proportionnels aux angles décrits et aux rayons ou bras de levier, la relation des moments P.jp = Q.ÿ multipliée par l’are décrit «i à l’unité de distance donne P.p(h — Q . qik\ ce qui exprime, comme on l’a déjà mi, que le travail delà puissance est égal à celui de la résistance; de sorte que, sous le rapport du travail développé, on ne gagne rien à l’emploi du levier. Il est toujours, sauf ce qui est consommé par les résistances passives, égal à celui que développe la résistance.
  - C’est donc une erreur très-grave de croire que l’effet des machines, en ce qui concerne le travail, puisse être augmenté par des combinaisons de leviers. Il ne faut pas oublier que, si les efforts à exercer diminuent à mesure que leurs bras de levier augmentent, les chemins qu’il faut faire parcourir à leurs points d’application croissent précisément dans le rapport inverse.
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- - DU CENTRE DE GRAVITÉ
  - ET DE L’ÉQUILIBRE DES TENSIONS DANS LES SYSTÈMES ARTICULÉS.
  - 142. Application des théorèmes précédents à la pesanteur. — La pesanteur agit sur toutes les particules des corps, et les directions de tous ses efforts sont parallèles ou verticales. Leur résultante, égale à leur somme, est ce qu’on nomme le poids du corps. Le centre des forces parallèles ou le point par lequel passe constamment la résultante s’appelle alors 1 q centre de gravité.
  - Toutes les fois que ce point sera arrêté en une position invariable, sa résistance détruisant l’action de la gravité, le corps sera en équilibre quant à la pesanteur.
  - 1 45. Détermination du centre de gravité. — 11 est souvent très-nécessaire dans les arts mécaniques de connaître la position du centre de gravité. Sa détermination peut se faire par l’expérience ou par la géométrie et le calcul.
  - Pour déterminer le centre de gravité d’un corps par l’expérience , on le pose sur une arête tranchante, et on détermine par tâtonnements la position nécessaire pour que le corps y soit en équilibre. On marque alors sur les faces du corps les traces du plan vertical qui passe par cette arête et qui contient le centre de gravité. On répète, s’il le faut, l’opération sur plusieurs faces, et le centre de gravité se trouve à l’intersection commune des plans ainsi déterminés. La symétrie des corps dans certains cas dispense de la détermination de quelques-uns des plans.
  - Quelquefois on suspend le corps, et à l’aide du fil à plomb on détermine les traces d’un ou de plusieurs plans verticaux passant par le centre de gravité.
  - n
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- - 162
  - DU CENTRE DE GRAVITÉ
  - L’application do cette méthode présente quelques difficultés ; mais elle peut néanmoins être employée quelquefois, même pour des corps très-lourds, tels que des ponts-levis, des bouches à feu, des pièces de machines, etc., dont les : formes compliquées ne se prêtent pas facilement à l’appli-cation des méthodes géométriques.
  - 444. Méthode géométrique. — Lorsque les corps ont des formes régulières et géométriques et qu’ils sont composés de matières homogènes, on peut, à l’aide de la géométrie, déterminer la position du centre de gravité.
  - Pour tous les corps de forme symétrique il est d’abord évident que le centre de gravité est au centre de figure : ainsi le centre de gravité d’une feuille plane, d’une barre cylindrique ; ou prismatique, d’une sphère, d’un ellipsoïde, d’un paralléli-pipède, est contenu dans les plans ou lignes de symétrie.
  - 14Î5. Triangle. — Si l’on suppose que l’on partage un triangle en bandes ou tranches infiniment minces parallèles à sa base BC, il est évident que, le centre de gravité de chacune de ces tranches se trouvant au milieu de sa longueur, le centre de gravité du triangle se trouvera sur la droite AD, qui va du sommet A au milieu D de BC, puisqu’elle contiendra les centres de gravité de toutes les tranches. Par la même raison, le centre cherché se trouvera sur les lignes BE et CF,
  - qui joignent respectivement les sommets B et C avec les milieux E et F des côtés opposés .11 en serait de même du centre de gravité de trois boules égales qui seraient respectivement placées à chacun des sommets du c triangle. Or il est d’abord évident que, le centre de gravité des boules B et C étant en D, et ces boules pouvant être remplacées en ce point par une seule égale en poids à leur
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  - ET DE L’ÉQUILIBRE DES TENSIONS.
  - somme, le centre de gravité du système de la boule A et de la boule 2B ou 2A, placée en D, ou en d’autres termes le point d’application de la résultante des poids A et 2A, partagera la ligne AD en deux parties réciproquement proportionnelles à 2A et h 4, et se trouvera aux deux tiers de la longueur de AD à partir de A, ou au tiers à partir de D. Donc le centre de gravité d’un triangle se trouve sur Dune quelconque des lignes qui joignent l’un des sommets au milieu du côtéopposé, et au tiers de cette ligne à partir de la base.
  - 146. Quadrilatère quelconque. — On partagera le quadrilatère en deux triangles dont on déterminera séparément le centre de gravité. On réunira ces deux centres par une droite que l’on partagera en deux parties réciproquement proportionnelles aux surfaces des triangles ; le point de division sera le centre de gravité.
  - 147. Polygone. On déterminera de même de proche en proche le centre de gravité d’un polygone quelconque, à l’aide des centres de gravité des surfaces des triangles dans lesquels on peut le décomposer.
  - 148. Pyramide triangulaire. —En supposant la pyramide partagée en tranches infiniment minces et parallèles à l’une de ses bases, on verra d’abord que le centre de gravité se trouvera sur la ligne droite qui joint le sommet opposé au centre de gravité de cette base, lequel est connu. Or il en serait de même du centre de gravité de quatre boules égales supposées placées aux quatre sommets de la pyramide. En composant d’abord les trois poids des boules placées aux sommets de la base, on aura une résultante proportionnelle au nombre 3; et il est ensuite évident que le centre de gravité cherché ou le point d’application de la résultante des quatre poids égaux devra partager la ligne AC en
  - Fig. 49.
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- - 464 DU CENTRE DE GRAVITE
  - parties réciproquement proportionnelles aux nombres 1 et 3.
  - Donc le centre de gravité d’une pyramide triangulaire se trouve sur la ligne gui joint le centre de gravité de sa base au sommet opposé et au quart de la longueur de cette droite à par-tir de ce centre.
  - La même règle s’applique à une pyramide à base quelconque.
  - 149. Centre de gravité d’un corps terminé par des formes quelconques. — On a souvent besoin de déterminer le centre de gravité d’un corps ou d’un volume terminé par des contours plus ou moins réguliers, mais qui ne sont soumis à aucune loi connue. Tel est le cas des bâtiments de navigation, pour lesquels il importe à la fois de déterminer le déplacement, et le centre de gravité de ce déplacement. Si l’on suppose le corps partagé en tranches parallèles, le moment de chaque tranche par rapport au plan de la première sera donné par le produit de son poids ou de son volume, et de sa distance à ce plan, et la somme de tous les moments semblables sera égale au produit du poids ou du volume total par la distance du centre de gravité au même plan. Pour avoir celle somme de moments, on partagera la longueur totale L du corps dans le sens perpendiculaire au plan en un nombre pair de parties égales, on déterminera l’aire S de chacune des tranches correspondantes aux diverses parties du profil et la distance X des centres de gravité de chacune d’elles au plan, ce qui donnera les produits
  - SjXj, S)Xa, S3X3, etc.,
  - représentant respectivement le produit de faire de chacune des tranches par sa distance au [dan de la première, 011 aura
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- - ET DE L’ÉQUILIBRE DES TENSIONS. 16r.
  - X1==o; puis, appliquant le théorème de Simpson, on aura pour la somme des moments cherches
  - i~ |j>iXi (^)2n+1 ^ L(SX)î -f- (SX)4 + .... -f (SX),]
  - -f- 2 [(SX)3 -|- (SX)g (SX),_i]l.
  - Cette somme doit être égale au produit VX, du volume V du corps par la distance cherchée X de son centre de gravité au plan de la première tranche.
  - Pour les bâtiments dont les formes sont symétriques par rapport au plan vertical passant par la carène , il suffira de déterminer ainsi les distances du centre de gravité par rapport à deux plans, dont l’un contiendra l’étamhot, et l’autre sera le plan de flottaison, ou le plan inférieur de la carène.
  - 130. De la stabilité de Véquilibre. — L’on vient de voir que quand un corps est sollicité par des forces qui tendent à le faire tourner en sens contraires, il faut pour l’équilibre que la résultante de ces forces passe par l’axe ou le centre de rotation. Mais dans certains cas cette condition , d’abord satisfaite, peut ne plus l’être au moindre déplacement, et l’équilibre cessant alors, il convient d’examiner dans quelles circonstances cet équilibre tend à se rétablir de lui-même ou se trouve complètement rompu.
  - Pour expliquer plus facilement ce point de vue de l’équilibre considérons un corps ovoïde, par exemple, reposant par l’une de ses extrémités sur un plan. Toutes les fois que la verticale OP, qui passe par le centre de gravité O du corps, passe par le point de contact a du corps avec le plan, point autour duquel la rotation tend à se faire, le corps est en équilibre.
  - Mais dans le cas de la figure (51) qui montre le grand axe ab du corps dans la position verticale pour laquelle le centre de gravité du
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  - DU CENTRE DE GRAVITÉ
  - corps est le plus haut possible, l’on voit que par l’effet du plus petit déplacement du corps il reposera sur un autre point a' de sa surface plus rapproché de son centre de gravité O et que son centre de gravité ayant décrit un assez grand arc de cercle se sera abaissé et se sera en outre déplacé de façon que la verticale menée par ce centre ne passera plus par le point de contact. Il en résulte que la pesanteur tend à faire tourner le corps de plus eu plus et à l’écarter de sa position primitive d’équilibre. On dit dans ce cas que L’équilibre est instable parce que dès qu’il est rompu par une cause quelconque le corps tend de plus en plus à tomber. Si au contraire le corps que nous considérons, repose sur le plan par le point de sa surface le plus rapproché de son centre de gravité, de manière que son petit axe soit vertical, lorsqu’on Vécartera un peu de cette position, son centre de gravité s’élèvera et la pesanteur agissant pour le faire redescendre le corps tendra à revenir à sa position primitive d’équilibre. On dit dans ce cas que l’équilibre est stable.
  - En résumé, un corps est en position d’équilibre stable quand après avoir été un peu écarté de cette position il tend de lui-même à y revenir, et il est dans une position d’équilibre instable quand au contraire après en avoir été un peu éloigné il tend à s’en écarter de plus en plus.
  - L’équilibre stable correspond en général aux cas où le centre de gravité est le plus bas possible par rapport à la forme et à la disposition du corps. L’équilibre est instable au contraire, quand le centre de gravité peut occuper une position plus basse.
  - 151. Application des considérations générales sur la composition et la décomposition des forces. — Les notions que nous venons d’exposer s’appliquent particulièrement dans les constructions, lorsque l’on a besoin de connaître les efforts, les pressions, les tensions, les poussées que certaines parties des systèmes ou appareils que l’on considère
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  - ET DE L’ÉQUILIBRE DES TENSIONS.
  - exercent les unes sur les autres, soit pour calculer les effets mécaniques de ces appareils, soit pour en déterminer les dimensions, de façon qu’ils soient en état d’y résister et que la stabilité du système ou de la construction soit assurée. Nous allons indiquer quelques exemples choisis dans les applications les plus simples.
  - 152. jDe l'équilibre des cordes. — Lorsqu’une corde ou une Üge AB est sollicitée à ses deux extrémités A et B par des forces P, Q... et P', Q'..., pour qu’elle soit en équilibre
  - sous l’action de ces forces extérieures, il faut évidemment que les composantes de ces forces perpen-
  - I!
  - y une résultante nulle ou se fassent équilibre. Quant aux composantes di-
  - Fig. 52.
  - rigées dans le sens de la corde il faudra aussi que la somme de celles qui agissent dans un sens, de A vers B par exemple, soit égale à la somme de celles qui agissent en sens contraire.
  - Ainsi la condition générale de l’équilibre d’une corde ou d’une tige sollicitée par des forces quelconques, c’est que toutes ces forces se réduisent à deuxforces égales et contraires agissant dans sa direction propre. Dans le cas d’une corde qui n’offre pas de rigidité, de résistance à la compression, il faut de plus que ces deux forces agissent pour l’étendre, pour l’allonger et soient des forces de tension. Dans celui où il s’agit d’une tige ou d’une barre solide, cette dernière condition n’est pas nécessaire et les efforts peuvent produire l’extension ou la compression, mais sous cette réserve cependant que les réactions moléculaires soient dans ce dernier cas assez énergiques pour que le corps ne se déforme pas par refoulement ou par flexion.
  - Dans tous les cas les deux forces égales et opposées qui sollicitent la tige donnent la mesure de la tension qu’elle éprouve ou de l’effort de compression auquel elle doit résister. Les règles déduites de l’expérience et de la théorie de la ré-
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- - \ G8
  - DU CENTRE DE GRAVITÉ
  - sistance des matériaux montrent quelles proportions il convient de donner à ces cordes ou tiges pour qu’elles résistent convenablement à ces efforts. •
  - 1155. Équilibre entre les efforts transmis par des cordes ou des tiges qui concourent en un même point. — Il est évident que dans ce cas il faut et il suffit ppur l’équilibre que l’un quelconque des efforts développés soit égal, et directement opposé à la résultante de tous les autres. Dans le cas où il ya un support il faut que la résultante de toutes les forces soit égale et contraire à la résistance que ce support oppose.
  - 154. Poulie mobile. — Ainsi quand un réverbère est suspendu par une chape C à poulie mobile à une corde alla-i chée en deux points fixes À et B,
  - a ! « ü r>rrîVe à une position d’équilibre
  - et les relations entre le poids P du réverbère, et les tensions T et T' et les angles qu’elles forment avec la verticale sont déterminées par les conditions précédentes.
  - Il est clair d’abord que si l’on décompose chacune de deux tensions T et T'en deux composantes, l’une verticale et l’autre horizontale, la somme des composantes
  - p
  - Fig. 53.
  - verticales devra être égale au poids P et les composantes horizontales seront égales et de sens opposés.
  - De plus l’équilibre ayant lieu, abstraction faite du frottement, il faut que les tensions T et T' soient égales. Ce qui montre aussi que leurs directions font des angles égaux de part et d’autre de la verticale.
  - 15o. Cas d’un pilier. — Si les tensions T et T' sont celles d’une chaîne de pont suspendu, qui appuient un rouleau C sur lequel elles agissent sur un support AB, il faut que leur résultante P agisse dans la direction de ce support et le
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  - presse sur sa base ; car si elle passait au dehors, selon une ligne CD' par exemple, elle tendrait à le faire tourner autour de son arête inférieure B et à le renverser. Quoique d’une autre part le poids propre Q du pilier s’oppose à cette rotation, il n’en est pas moins prudent et même nécessaire de satisfaire, soit par la direction des tensions, soit par la construction du support, à la condition que la résultante de ces tensions passe dans l’intérieur de la base BB' du pilier et aussi près que possible de la verticale de son centre de gravité.
  - 136. Du polygone funiculaire. — On nomme ainsi un polygone formé par des cordes, des chaînes ou des tiges dont les sommets sont sollicités par des forces quelconques. L’équilibre d’un pareil système est soumis à des règles faciles à démontrer.
  - Supposons d’abord que le polygone n’ait pas tous ses côtés dans un même plan et soit représenté par le contour
  - Fin- 54.
  - Fig. 55.
  - ABCDEF. Soient P, Q, R, S, T.... les forces qui sollicitent chacun des sommets A, B, C, D, E;
  - T, Ti, T,, Ts, T4.... les tensions respectivement éprouvées parles côtés AB, BC, CD, DE, EF.
  - Il est évident que si le polygone entier est en équilibre, il devra en être de même de tous ses sommets séparément,
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  - DU CENTRE DE GRAVITÉ
  - et dès lors en appliquant le raisonnement du n° (183) pré. cèdent, nous voyons 1° que deux côtés quelconques qui se réunissent à un même sommet et la direction de la force qui sollicite ce sommet doivent être dans un même plan ; 2° que la tension Tj doit être égale et contraire à la résultante de la force P et de la tension T ; que de même cette tension 1) doit être égale et contraire à la résultante de la force Q et de la tension T2, et pq/ conséquent qu’en remplaçant au sommet C la tension Tt par ses deux composantes P et T, les forces P et Q et les tensions T et T2, supposées transportées au point C parallèlement à elles-mêmes, devront s’y faire équilibre. On verrait de même que les forces P, Q, R et les tensions T et T3, supposées transportées parallèlement au sommet D, devraient s’y faire équilibre.
  - En continuant ainsi, l’on arrivera à reconnaître que, pour l’équilibre du polygone funiculaire, il faut et il suffit que toutes les forces extérieures et les tensions des deux côtés extrêmes étant supposées transportées parallèlement à elles-mêmes en un sommet quelconque, elles s’y fassent équilibre.
  - Ce qui précède est indépendant de la direction des forces et de la nature des côtés et s’applique au cas où ces côtés sont soumis à des efforts de compression au lieu de l’être à des tensions, sous la seule réserve que ces côtés devront être assez rigides pour résister à ces compressions, sans se déformer.
  - 187. Cas où les forces qui sollicitent le polygone funiculaire sont des poids. — Dans ce cas les forces P, Q, R, S .... sont toutes verticales et parallèles, et il est d’abord facile de voir que le polygone est nécessairement plan. Car la direction de chaque force et celles des deux côtés qui se réunissent eu sommet qu’elle sollicite sont dans un même plan, qui est vertical ; et comme par un même côté l’on ne peut mener qu’un plan vertical, il s’ensuit que les deux plans verticaux
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  - qui contiennent un même côté du polygone se confondent, et ainsi des autres.
  - De plus, toutes les forces extérieures P, Q, R, S .... et les tensions T et T„ des deux côtés extérieurs devant se faire équilibre, il faut que ces tensions fassent équilibre à la résultante des forces parallèles.
  - Si le polygone n’est sollicité que par son propre poids, comme dans le cas d’une chaîne articulée, la résultante de toutes les forces extérieures est le poids du polygone et passe par son centre de gravité , et les directions des deux tensions T et T„ doivent, pour l’équilibre, se couper en un même point de cette résultante ou de la verticale du centre de gravité.
  - I08. Détermination des tensions par construction graphique. — D’après ce que l’on a vu, si, par le côté AB prolongé, l’on porte à une certaine échelle une longueur égale à la tension T, et qu’on construise le parallélogramme Babd, le côté représentera, à la même échelle, la tension Tj du côté BC, et le côté Bd la force extérieure P. De plus, si l’on mène par le point B, par exemple , une horizontale indéfinie sur laquelle on porte les longueurs BC', C'D', D'E', E'F', F'G' proportionnelles aux forces P, Q, R, S, U, et qu’au même point on élève BO perpendiculaire à AB et de longueur pro-
  - portionnelle à la tension T ou à B6, il est clair que le triangle BOC', ayant deux côtés BO et BC' respectivement perpendiculaires aux côtés B b et Bd du triangle B bd et deux
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  - DU CENTRE DE GRAVITE
  - côtés BO et BC' proportionnels à ces mêmes côtés Bè et Bd, sera semblable au triangle B bd. Donc le troisième côté OC' du premier sera proportionnel au troisième côté bel ou B a ou h la tension Ti, et comme il sera en outre perpendiculaire au côté BC du polygone, le triangle suivant OC'D1 sera dans les mêmes conditions, par rapport au côté CD, à la force Q et à la tension T2, qui sera proportionnelle au côté OD', et ainsi de suite.
  - Donc si les poids qui sollicitent les différents sommets d’un polygone funiculaire se font équilibre et si l’on porte sur une ligne droite horizontale des longueurs respectivement proportionnelles à ces poids, puis que des points de celle ligne correspondant à chaque sommet on mène des droites perpendiculaires aux directions des côtés du polygone, toutes ces droites se couperont en un même point et leurs longueurs seront proportionnelles aux tensions des côtés du polygone qui seront ainsi déterminées.
  - 159. Des ponts suspendus. — Les ponts suspendus nous offrent un exemple de l’application des notions précédentes à un polygone aux sommets duquel sont fixées des tiges nommées suspensoires, qui soutiennent le tablier du pont sur lequel on suppose uniformément répartie une charge d’épreuve qui est fixée par les règlements d’administration «à 200 kilogrammes par mètre carré.
  - Le polygone est formé par des chaînes en fer à longs maillons articulés, faits en fer rond ou mieux en fer méplat laminé, ou par des faisceaux de fils de fer étendus aussi parallèlement que possible et reliés avec des fils de fer réunis. Des menottes reçoivent les tiges de suspension , qui sont elles-mêmes faites avec des barres de fer ou des faisceaux de fils de fer.
  - Il importe de déterminer la forme du polygone ou la position de chacun de ses sommets et la tension de chacun de ses côtés. Supposons d’abord qu’il s’agisse du cas le plus ordinaire, celui où les deux piliers qui supportent la chaîne
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  - ont la même hauteur et où l’intervalle qui les sépare est partagé en un nombre impair de parties égales. Il en résultera que le côté inférieur du polygone sera horizontal. Si l’on admet qu’il n’y ait qu’une chaîne de chaque côté, le poids
  - supporté par chaque paire de sus-pensoires est égal à celui d’une travée, de sorte que si l’on nomme 2P le poids d’une travée ou de la portion du pont comprise entre les plans verticaux qui contiennent les deux paires de suspensoires consécutives, P sera la charge de chaque suspensoire.
  - En nommant T0 la tension du côté horizontal, cette tension devra, pour chaque articulation, faire équilibre aux forces verticales qui tendent à faire tourner les côtés qui s’y assemblent. Cette considération nous permet de déterminer la relation entre les hauteurs des divers sommets et leurs distances au sommet le plus bas E ou E' de chaque branche du polygone.
  - Soit, en effet, y la hauteur d’un sommet quelconque B au-dessus du côté inférieur E E' ;
  - x la distance de la verticale de ce sommet au point E.
  - On devra avoir, pour l’équilibre autour de l'articulation B, la relation des moments
  - T0y=P/-f Px2J-f PX3Z + ....+P.W/,
  - en supposant que la suspensoire Bô soit la ne h partir du coté horizontal.
  - Cette relation, d’après les propriétés connues des progressions, revient h
  - - i>/ n(n-f-t)
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  - DU CENTRE DE GRAVITÉ
  - Si on l’applique au pilier, en nommant H sa hauteur au-des sus du côté horizontal, l’on en déduit
  - n (n -f- 1) ~~27H ’
  - ce qui donne la tension du côté horizontal et fait voir qu’elle est d’autant plus faible que les piliers extrêmes sont plus élevés,
  - La relation précédente
  - T«ÿ = P l. = l (W + Pn)
  - devient, en remarquant que x = nl,
  - T,y = -\-xl) d’où y = ^(«5 + ^/),
  - ce qui montre que la courbe qui passe par tous les sommets du polygone est une parabole.
  - Le sommet de cette parabole, qui doit être symétrique à droite et à gauche du côté horizontal E E', a évidemment
  - pour abscisse x = — ^, puisqu’il est à droite du point E et
  - que l’on a compté les abscisses x à gauche de ce point; on en déduit pour l’ordonnée du sommet de la parabole
  - _ P /T V\_ P
  - y ~ 2iy \4 2) - 8T ’
  - ce qui donne la position de ce sommet au-dessous du côté horizontal du polygone.
  - L’emploi de plusieurs chaînes de chaque côté du pont conduit à en disposer une partie de façon que l’un des sommets soit au point le plus bas du polygone. Des considérations analogues aux précédentes permettent d’établir la relation des tensions.
  - En effet, si l’on appelle T0 la tension des deux brins qui s’articulent au point le plus bas et qu’on la décompose en deux forces, l’une T'0 horizontale, l’autre T"0 verticale,
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- - ET DE L’ÉQUILIBRE DES TENSIONS.
  - 175 P
  - celle-ci sera pour chaque brin égale à - et l’on aura, pour
  - exprimer que l’équilibre a lieu autour d’un sommet quel-
  - A
  - Fig. 58.
  - r i>
  - p p r
  - conque B entre les efforts verticaux et la tension horizontale T'0, la relation
  - T’0ÿ = P/-f-? X2£-)-P X 3/ -j"-***-}-P(w— 1)Æ ,
  - ou, d’après les propriétés connues des progressions,
  - attendu que x1 — ni.
  - Cette relation montre que la courbe qui passe par les sommets du polygone encore est dans ce cas une parabole, et que le sommet de cette courbe est, pour le cas actuel, le point le plus bas du polygone.
  - H étant la hauteur des piliers, on en déduit
  - et par suite la tension T0 des côtés inférieurs, puisque la courbe donne la position de tous les sommets et par suite l’inclinaison des côtés.
  - Connaissant la tension du côté inférieur horizontal, il est facile d’en déduire celle de tous les autres côtés à l’aide du théorème du n° 1Î58. En effet, si l’on élève sur une droite MN en un point O une perpendiculaire KO représentant, à
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  - DU CENTRE DE GRAVITÉ
  - une certaine échelle, la tension T
  - . rw n(n + t) 1
  - 1 ^ • 2 jj ^ ^ coté
  - horizontal, cl que de part et d’autre du pied K de celte per-
  - pendiculaire on porte des longueurs Kl, K2, K3 .... Kl', K2', K3\. ' égales, à la même é-chelle, aux charges P, M ? 2 1 K 11 2' 3' N 2P, 3Ples lignes01*
  - Fi§-59- 02,03.... Ol', 02', 03'....
  - seront proportionnelles aux tensions des côtés DE, CD, BC, etc., D'E', C'D', B'C, etc., et les représenteront à l’échelle.
  - Or la figure montre que l’on aura
  - 01 ==T1==V/TV}-P2, 02=T2=V/T20-f (2P)2, O3=T3=v/T20+(3P/1
  - etc., ce qui donnera directement les tensions des différents côtés du polygone à partir du côté inférieur.
  - Pour le cas où l’un des sommets est au point le plus bas du polygone, on ferait la même construction et l’on aurait les mêmes formules pour exprimer les tensions Ti, T2, etc., au moyen de la tension T0 des deux brins inférieurs.
  - ICO. Application. — Supposons, par exemple, qu'il s’agisse d’un pont de 40 mètres, et ayant 32 suspen* soires, écartées les unes des autres de lm,20, sauf les extrêmes de chaque côté qui sont à lm,40 de la verticale des appuis.
  - La largeur du tablier est supposée avoir’ 5 mètres, et le nombre des chaînes est de quatre.
  - Admettons, ce qui est assez conforme aux constructions ordinaires, que le tablier pèse 1000 kilogr. par mètre courant. La charge d’épreuve étant de 200 kilogr. par mètre carré, cela revient aussi à 1000 kilogr. par mètre courant pour les quatre chaînes, ou en tout par chaîne et par mètre
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  - ET DE L’ÉQUILIBRE DES TENSIONS.
  - courant à 500 kilogr. ; et l’écartement des suspensoires étant de lm,20, l’on a ainsi
  - P = 500 X lm,20 = 600 kilogr.
  - Si la hauteur H des appuis au-dessus du côté inférieur horizontal est H = 5 mètres, l’on déduit de la formule du n° 159:
  - 50 51
  - T0 = 600 X 1,20 - = 30240 kilogr.
  - z X o
  - On a ensuite successivement :
  - T, = \/(30240)2+(6ÔÔ)2 = 30245kll,95
  - Ts = \/(30240)2 -J- (2 X 600)2 =30263 80 T3 = ^(loUoT+Cf^loo)2 =30293 52 T* = v (3Ô24Ô)2 -j-(4 X 60Ô)2 = 30335 09 Ts = \/(3Ô24Ô)2 -f (5 X 600)2 = 30371 99 T6 = V(3Ô24Ô)2 + (6 X 600)1 =30453 37 T7 = V(3Ô24Ô)2 + (7 X600)2 =30529 62 T8 = s/(3Ô24Ô)2-f (8><60Ô)2 =30618 57 T9 = \J(3Ô24Ô)2 + (9 X 600ÿ = 30718 36 Tm = s/(3Ô24Ô)2 -f (10 X 60ÏÎ)2 = 30829 47 Tfl = V( 3Ô24Ô)2 + (l 1 X 60Ô)2 = 30951 86 T« = (30240)2 + (l2 X 600)2 = 31086 94 T13= \/(30240)2-f (l3 X 600)2 = 31229 75 T»= v;(3Ô24Ô)2-f (l4 X 60Ô)5 = 31384 99 TiS= v'Câôâiô^+Ciô x eo5)2=31550 87 T16=\/(3Ô245)2-|-(16 X 600^ = 31727 24
  - is
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- - COMPOSITION GÉNÉRALE ET ÉQUILIBRE DES FORCES APPLIQUÉES A UN CORPS SOLIDE \
  - 161. Des forces appliquées aux corps solides. — Si l’on se reporte à ce qui a été dit aux nos 11 à 14 et suivants de la constitution des corps, du mode d’aclion des forces et de leur point d’application, il est facile de prévoir que toutes les propositions relatives au travail et à la composition des forces qui agissent sur un point matériel, aux conditions du mouvement uniforme et à l’équilibre, doivent s’étendre aux corps solides composés de molécules ou de points matériels assez fortement unis par les forces moléculaires attractives pour qu’on puisse regarder leur forme comme sensiblement invariable.
  - Et d’abord, examinons comment les choses se passent quand un corps est animé d’un mouvement général de transport.
  - 162. Mouvement de transport d’un corps ou d'un système de corps parallèlement à lui-même.—Le mouvement d’un corps ou d’un système de corps est dit de transport parallèle lorsque tous ses points ou toutes ses parties décrivent simultanément des chemins égaux et parallèles, soit dans un temps fini, soit dans un temps très-court ou infiniment petit.
  - Dans ce mouvement de translation, les chemins élémentaires décrits par tous les points du corps étant égaux, la
  - * Nous empruntons la démonstration des principes exposés aux u0!16b et suiv. au cours de M. Poncelet, à la Sorbonne, et à l’ouvrage de M. Rei-sal, intitulé Éléments de Mécanique.
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- - COMPOSITION GÉNÉRALE ET ÉQUILIBRE DES FORGES. 179
  - somme des travaux élémentaires des forces qui sollicitent le corps dans ce sens, ou le travail élémentaire total développé sur ce corps, est égal à la somme algébrique des projections des forces sur la direction commune des chemins décrits, multipliée par ce chemin élémentaire.
  - Pour que ce travail élémentaire total soit nul, ou que le mouvement du corps ne soit pas modifié, il faut donc et il suffit que la somme des projections des forces sur la direction du chemin parcouru soit nulle.
  - Cette somme est d’ailleurs évidemment égale cà la résultante de toutes les forces qui tendent à produire la translation. Cette résultante doit donc être nulle pour que le mouvement du corps dans ce sens reste uniforme , ou pour que le corps reste en équilibre dans cette direction.
  - 165. Cas du mouvement varié. — Lorsque l’acticn des forces extérieures a pour effet de produire une variation dans le mouvement de translation du corps, les forces d’inertie se développent et réagissent contre les forces extérieures.
  - Si l’on désigne par p le poids d’une des masses élémentaires qui composent le corps, la force motrice et d’inertie correspondante à une variation élémentaire de sa vitesse sera
  - et toutes les forces semblables seront parallèles et dirigées dans le sens de la vitesse commune de transport. Leur résultante F sera égale à leur somme, et l’on aura
  - P et M étant respectivement le poids et la masse totale.
  - Quant au point d’application, toutes les forces d’inertie partielles f, f\ f", sont proportionnelles aux poids p, p\
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- - 180 COMPOSITION GÉNÉRALE ET ÉQUILIBRE DES FORCES.
  - p", etc., des différentes parties du corps , et par conséquent le point d’application de leur résultante sera le même que celui du poids total ou que le centre de gravité.
  - Donc, dans le mouvement de transport parallèle la force d'inertie totale est
  - F=-
  - 9 t t’
  - et son point d’application est le centre de gravité du corps.
  - Cette conséquence étant d’ailleurs indépendante de l’amplitude du mouvement de transport, elle subsiste encore pour des mouvements finis et pour un instant quelconque du mouvement en ligne courbe.
  - Mais cette résultante des forces d’inertie développées dans la variation du mouvement est, en vertu du principe de l’action et de la réaction, précisément égale et contraire à celle des forces extérieures qui produisent celle variation, de sorte que F exprime réellement cette résultante , et que la relation entre les forces extérieures et les forces d’inertie dans le mouvement de translation est
  - F = ^ = M*
  - gt *
  - L’accélération j produite par la force est donnée par la for-mule
  - v___ _F _ F
  - ce qui montre qu’elle est proportionnelle à la force F et inversement proportionnelle à la masse du corps.
  - C’est par ce motif que, pour diminuer et pour rendre presque imperceptibles les ébranlements, les vitesses qui sont communiquées aux enclumes par les marteaux, on leur donne un poids considérable et qu’on les fixe sur des blocs de bois de grandes dimensions.
  - 164. Quantité de mouvement et force vive d’un corps. — De
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- - COMPOSITION GÉNÉRALE ET ÉQUILIBRE DES FORCES. 181
  - même on verra que dans le mouvement parallèle la quantité de mouvement totale d’un corps a pour valeur
  - -V = MV.
  - 9
  - Il suit évidemment de là que, pour qu’un corps ne reçoive qu’un mouvement de transport parallèle, il faut et il suffit que la résultante des forces appliquées passe par son centre de gravité : car, si elle passait ailleurs, le corps, sollicité d’un côté par eette force, et de l’autre, en sens contraire, par la résultante des forces d’inertie, qui passe par le centre de gravité, tendrait à prendre nécessairement un mouvement de rotation en même temps qu’un mouvement de translation.
  - Enfin il est encore évident que la force vive totale communiquée au corps dans le mouvement parallèle est égale à
  - - V2 = M. V2,
  - 9
  - et égale au double de la quantité de travail développée pour la produire.
  - 165. Travail de la pesanteur dans les systèmes articulés ou composés. — Le travail de toutes les composantes étant égal à celui de la résultante, il s’ensuit que dans les mouvements des corps ou des systèmes articulés pesants on pourra substituer le travail total de la résultante ou du poids total au travail de tous les poids partiels, et comme le travail de la résultante se mesure par le produit du poids total et du chemin parcouru par son point d’application, il s’ensuit que dans les machines ou systèmes où il y a des pièces qui, sous l’action de la pesanteur, montent ou descendent, le travail total développé par la pesanteur sera mesuré par le produit du poids totcd, et de la hauteur dont le centre de gravité général se sera élevé ou abaissé.
  - Donc aussi la condition pour que les poids qui descendent hissent sans cesse équilibre aux poids qui montent, ou pour que le travail développé par les uns soit égal au travail dé-
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- - 482 COMPOSITION GÉNÉRALE ET ÉQUILIBRE DES FORCES.
  - veloppé par les autres, c’est que le centre de gravité général reste toujours à la même hauteur. Telle est la condition d’é-quibre des ponts-levis, des machines à balancier, etc.
  - Le principe exposé au n° 31 sur la mesure du travail que la pesanteur développe sur un corps qui parcourt une courbe quelconque, en montant ou en descendant, s’applique donc évidemment aussi à un système quelconque de points matériels pesants , puisque dans ce cas le travail développé par la pesanteur sur tous ses points est égal à celui qui correspond à l’élévation du centre de gravité, qui n’est lui-même qu’un point matériel pesant.
  - ICO. Un système de forces quelconques agissant sur un corps solide peut toujours se réduire à deux forces équivalentes, appliquées à deux de ses points et dont l'un serait choisi à volonté. — Il est d’abord facile de faire voir que les forces proposées peuvent être réduites à trois autres appliquées en trois points quelconques de l’intérieur du corps. Soient en effet F l’une quelconque de ces forces et O son point d’application ; on peut la décomposer en trois autres F«, F6, Fc, selon les directions AO, BO, GO et supposer ces composantes transportées aux points d’application A, B et G. Ces trois composantes développeront le même travail que leur résultante. En opérant de même sur toutes les autres forces qui agissent sur le corps, on aura ainsi aux points A, B et C trois groupes de forces concourantes qui auront chacun une résultante unique, et le travail de ces trois résultantes B«,R». Rc, sera égal à la somme des travaux de toutes les forces appliquées au corps.
  - De plus, le système des trois forces Ra, R6, Rc peut être réduit à deux forces équivalentes aux proposées, et dont l’une serait appliquée au point A choisi arbitrairement. En effet, par ce point A et par les directions des forces R*
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- - COMPOSITION GÉNÉRALE ET ÉQUILIBRE DES FORCES. 183
  - Rc concevons deux plans et supposons d’abord que ces plans ne se confondent pas et qu’ils aient pour intersection la
  - droite AD. Prenons sur cette droite un point A', menons AB et décomposons la force R(, en deux autres, l’une dirigée suivant BA' que nous transporterons en A', l’autre dirigée suivant BA et que nous transporterons en A.
  - Opérons de même sur la force Re et décomposons-la en deux autres, l’une dirigée suivant CA' et que nous transporterons en A', l’autre di rigée suivant CA et que nous transporterons en A.
  - Les trois forces Ra, R6, et R0 pourront ainsi être représentées par deux groupes de forces agissant les unes en A' et ayant une résultante unique R', les autres en A, le point choisi arbitrairement, et ayant aussi une résultante unique R.
  - Donc, en définitive, le système de toutes les forces qui agissent sur le corps sera remplacé par deux forces équivalentes, dont l’une passe par un point pris arbitrairement dans l’intérieur du corps.
  - 11 est d’ailleurs évident, d’après ce que l’on sait déjà , que le travail de ces deux forces sera égal au travail total de toutes les forces appliquées au corps.
  - 107. Condition de Vuniformité du mouvement ou de l’équilibre. — Le mouvement du corps ne sera pas troublé, modifié par l’action de ces deux forces ou de celles qu’elles remplacent, si la quantité de travail développé par l’une est égale et contraire à celle qui est développée par l’autre ; ce •Rfi exige que ces deux forces soient égales et directement opposées l’une à l’autre pour tous les déplacements possibles du corps.
  - Telle est aussi la condition de l’équilibre, qui n’est qu’un cas particulier du mouvement uniforme.
  - \Rc
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- - m COMPOSITION GÉNÉRALE ET ÉQUILIBRE DES FORCES.
  - Réciproquement, lorsque pour tous les déplacements possibles d’un corps la somme des travaux des forces qui les sollicitent est nulle, ces forces ne modifient pas le mouvement du corps ou sont en équilibre.
  - En effet si, parmi tous les déplacements possibles , nous concevons un déplacement élémentaire du corps pour lequel le point d’application À de la force R reste fixe, on pourra regarder ce point comme un centre de rotation , et le point d’application A' de la force R' décrira autour de A el du rayon AA' un arc de cercle, un chemin élémentaire AV perpendiculaire à AA'. Mais puisque le travail de la force R est nul par hypothèse, son point d’application ne se déplaçant pas, pour que la somme des travaux Fis-62, élémentaires de R et de R' soit
  - nulle, il faut aussi que le travail de R' soit nul; ce qui .exige que le chemin Ma' soit perpendiculaire à la direction de la force R' ou que celle-ci soit dirigée suivant la droite AA'. On ferait voir de même que la force R doit être dirigée suivant la même ligne.
  - Dès lors pour que la somme des travaux élémentaires des deux forces R et R' dirigées en sens contraire soit nulle, comme on le suppose, il faut que ces forces soient égales et opposées, auquel cas elles ne changeront nullement l’état de mouvement du corps et se feront équilibre.
  - Donc le mouvement restera uniforme ou le corps en équilibre.
  - Il résulte de ce qui précède que trois forces qui ne sont p«s dans un même plan ne peuvent se faire équilibre ; car, dans ce cas, la résultante de deux quelconques d’entre elles ne peut être dirigée dans le même sens que la troisième.
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 168. Travail et équilibre des forces dans le mouvement de rotation autour d’un axe fixe.— L’on a vu n° 122 que quand un point matériel est soumis h l’action de plusieurs forces comprises dans un môme plan et qui tendent à le faire tourner autour d’un axe perpendiculaire à ce plan, le travail de la résultante de ces forces est égal à la somme des travaux fies composantes.
  - On arrive à un résultat semblable dans le cas où les forces ont une direction quelconque par rapport à l’axe de rotation, attendu qu’alors si l’on décompose chacune des forces en deux autres, l’une dirigée dans le sens de l’axe et l’autre comprise dans le plan perpendiculaire à l’axe et passant par le point matériel, il est évident que la composante dirigée dans le sens de cet axe supposé fixe ne pourra produire qu’un mouvement de translation détruit par les appuis de cet axe et que par conséquent le travail de cette force sera nul. Le seul travail développé sera donc celui de la composante contenue dans le plan perpendiculaire à l’axe. 11 en serait de même non-seulement de toutes les forces appliquées à l’un des points matériels du corps, mais encore de celles qui agissent sur les autres parties. L’on n’aura donc a considérer que des forces comprises dans des plans perpendiculaires à l’axe, et, comme le corps est supposé inflexible et rigide, il est, quant à la rotation, tout à fait permis de supposer toutes les forces comprises dans un seul et môme plan perpendiculaire à cet axe.
  - Si l’on nomme
  - a l’arc élémentaire décrit par un point du corps situé à i unité de distance de l’axe O, dans l’élément du temps,
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- - 186
  - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - r la distance d’un point quelconque m à ce même axe, L’arc décrit dans ce même temps par le point m sera ra. Si la force F qui agit sur ce point n’est pas perpendiculaire au rayon Om, l’on pourra la décomposer en deux autres, l’une dirigée dans le sens de ce rayon et qui sera détruite par la résistance du solide parce qu’il n’y a qu’un mouvement de rotation autour de l’axe, et l’autre F', perpendiculaire au rayon, qui produira le seul travail dû à la force F lequel aura pour expression
  - Fra.
  - Il en sera de même pour toutes les autres forces Fi, F2 agissant à des distances ru n de l’axe, dans des plans perpendiculaires à cet axe. Leur travail respectif sera dû à leurs composantes F'i, F'2 perpendiculaires aux rayons.
  - Il en résulte que le travail total de toutes les forces qui agissent sur le corps correspondant à un déplacement angulaire a mesuré h l’unité de distance aura pour expression
  - a {FV -f- F'iît F-f- etc. j.
  - Ce qui s’exprime en disant que ce travail est égal à la somme des moments des forces extérieures multipliée par l’arc élémentaire qui mesure le déplacement des points situés à l’unité de distance. Il est évident en effet que le produit FV est égal au moment Fop de la force F, c’est ce qu’il est facile de vérifier sur la figure, et l’on a
  - mF ou F : mF’ ou F' : : om ou r : op
  - d’où F X op — FV.
  - Le travail élémentaire de toutes les forces extérieures ne peut donc être nul, pour un déplacement angulaire quelconque, qu’autant que la somme des moments des forces par rapport à l'axe de rotation sera nulle, ce q111
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 4 87
  - exige que le moment de leur résultante le soit aussi ou qu’elle passe par l’axe de rotation.
  - Ce que nous venons de dire pour un axe considéré isolément s’applique à tout autre axe de rotation, et par conséquent, pour que des forces appliquées à un corps invariable, se fassent mutuellement équilibre ou ne produisent aucun mouvement de rotation, il faut que la condition ci-dessus soit satisfaite pour un axe de rotation quelconque.
  - 169. Conditions générales de l’uniformité du mouvement ou de l'équilibre d'un corps solide, libre dans l'espace, soumis à des forces quelconques. — Il est évident qu’un corps solide entièrement libre ne peut recevoir et prendre que l’un des trois mouvements suivants :
  - Un mouvement de translation sans rotation, un mouvement de rotation sans translation, un mouvement simultané (le translation et de rotation.
  - Tout mouvement de translation peut être décomposé en trois autres mouvements semblables par rapport à trois axes rectangulaires quelconques menés dans l’espace et il est évident que si chacun de ces mouvements composants est séparément nul, le mouvement résultant de translation le sera aussi, puisqu’il serait représenté par la diagonale d’un parallélipipède dont les côtés seraient nuis. Cette condition est d’ailleurs nécessaire et suffisante.
  - Or, pour que ces trois mouvements suivant chacune des axes soient nuis il faut que les sommes des composantes parallèles à ces axes qui les produiraient soient séparément milles (n° 124). Donc en définitive si l’on nomme X, Y et Z les sommes des composantes des forces extérieures appliquées au solide invariable que l’on considère, ces forces n’imprimeront au corps aucun mouvement de translation si l’on a en même temps
  - X = 0, Y = 0, Z = 0,
  - le mouvement restera uniforme ou le corps en équilibre quant à la translation.
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  - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - De même tout, mouvement de rotation d’un corps ou des points matériels qui le composent peut être décomposé en trois mouvements de rotation autour de trois axes rectangulaires menés par un point quelconque. Pour que le corps ne reçoive aucun mouvement de rotation il faut et il suffit que les rotations autour de chacun de ces trois axes soient séparément milles, ce qui exige que les sommes des moments des forces par rapport à chacun de ces trois axes soient séparément nulles, de sorte que si l’on nomme L, M et N ccs trois sommes, on devra avoir en même temps
  - L = 0, M = 0, N=0.
  - Quand ces conditions seront satisfaites, le travail développé pour imprimer au corps un mouvement de rotation sera nul et il continuera à se mouvoir uniformément ou restera en équilibre.
  - Pour que le corps ne reçoive ni mouvement de translation ni mouvement de rotation ou que par conséquent son mouvement ne soit nullement altéré, il faut et il suffit donc
  - 1° Que les sommes de toutes les composantes des forces qui sollicitent le corps, par rapport aux trois axes rectangulaires quelconques menés dans l’espace soient séparément nulles.
  - C’est ce qu’expriment les relations
  - X = 0, Y = 0, 1 — 0,
  - L = 0, M = 0, N = 0,
  - que l’on nomme les six équations du mouvement uniforme ou de l’équilibre d’un corps invariable libre sollicité par des forces quelconques.
  - 170. De la force centrifuge. — Tout le monde sait que quand on attache une pierre, un corps pesant quelconque à une corde, si en tenant cette corde à la main on imprime au corps un mouvement circulaire dont cette main est le
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 189
  - centre, la corde éprouve une tension d’autant plus grande, que le mouvement est plus rapide. C’est sur l’observation de ce fait qu’était fondé l’usage de la fronde, dont les peuples de l’antiquité se servaient comme arme de guerre, et qui n’est plus qu’un jouet d’enfant. Des effets analogues s’observent dans les voitures qui tournent rapidement dans des courbes de petits rayons; dans les manèges, où les chevaux et les cavaliers sont naturellement conduits à se pencher vers le centre de la courbe qu’ils décrivent pour ne pas être renversés. Nous pourrions citer, et le lecteur trouverait facilement bien d’autres effets de la même cause. Tous prouvent que dans le mouvement curviligne les corps sont soumis à une force particulière qui tend à les éloigner du centre, et que l’on nomme la force centrifuge.
  - 171. Mesure de la force centrifuge. —Pour comprendre ce qui se passe quand un point matériel est soumis à l’action de la force centrifuge, examinons d’abord comment cette force se développe dans les mouvements circulaires.
  - Lorsqu’un point matériel ou une masse élémentaire m passe d’un élément de courbe ab qu’il vient de parcourir à un autre, il tend, en vertu de son inertie, à continuer de se mouvoir dans le sens du prolongement de cet élément ou de la tangente bd à la courbe, c’est ce que l’on appelle s échapper par la tangente, et ce qui arrive dans la fronde eu moment où l’on cesse brusquement de tenir la corde tendue.
  - Si la masse m prend la direction de l’élément suivant, c’est qu’elle est retenue sur la courbe, soit par la résistance de la courbe elle-même sur laquelle elle exerce alors une Pression, soit par la tension qu’elle développe dans la corde. Cette pression, cette tension est la mesure même de la force centrifuge, et on la nomme quelquefois par opposition la force centripète.
  - Cette force est dirigée dans le sens du rayon de courbure de la courbe ou du cercle correspondant ; et si l’on nomme
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- - l'JO DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - V la vitesse dont la masse m est animée dans la direction de «6, et qu’on prenne la longueur bd pour la représenter, il est clair que la vitesse détruite par la résistance de la corde ou la force centripète, sera représentée par le côté de du parallélogramme bedf, dont le côté de est parallèle au rayon ob suivant la direction duquel s’exerce cette force. Or, l’inspection de la figure montre d’abord que les angles abO et bdc sont égaux comme interne et externe, et les angles deb et cbO comme alterne et interne; et comme d’ailleurs les angles cbO et «06 sont égaux comme formés, de part et d’autre du rayon, par deux éléments égaux et consécutifs du cercle ou du polygone d’un nombre infini de côtés qui le
  - remplace, il s’ensuit que les angles bdc et deb sont égaux, et le triangle bdc isocèle. Donc, enfin, la vitesse bci, avec laquelle la masse m se meut dans le sens de l’élément suivant bt, est la même que celle qu’elle avait dans le sens de l’élément précédent. Ainsi, dans le mouvement circulaire, la force centrifuge n altère pas la vitesse de rotation; ce qui est d’ailleurs conforme aux principes que nous avons exposés sur le travail, puisque cette force dirigée dans le sens du rayon, ou normalement au chemin décrit, ne produit pas de travail dans le sens du mouvement, attendu qu’il n’y a pas de chemin parcouru dans sa direction propre et par son action.
  - Cela posé, la vitesse détruite dans l’élément de temps t par la force centripète, a, d’après la figure, de pour mesure, et les forces centripète et centrifuge qui sont égales et directement opposées, ont pour mesure commune
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 191
  - Or, les triangles bdc et O ht sont semblables comme ayant les angles égaux ; l’on a donc
  - d’où
  - ùO : bt : : bd : de, bdXbt Vs
  - de —
  - bO
  - R'
  - En appelant R le rayon du cercle décrit, et s l’arc élémentaire parcouru dans l’élément de temps t ; et comme on a
  - il s’ensuit que
  - V = -, d’où s = \t>
  - v
  - de —
  - \X\t
  - R
  - V2/.
  - R ’
  - et enfin que la force centrifuge a pour mesure
  - \n \\
  - si d’ailleurs on appelle Vi la vitesse angulaire ou à l’unité de distance, on a, comme on sait, Y^YtR, et l’expression de la force centrifuge devient
  - V 2R2
  - F = m = mV^R.
  - Ce que nous venons de dire de la force centrifuge dans le cercle s’applique au cas où le point matériel décrit une ligne courbe quelconque, parce qu’en chacune de ses positions i on peut substituer à la courbe le cercle qui lui est oscula-*eur; la seule différence, c’est que le rayon R de ce cercle Vai*ie pour chaque position du mobile, au lieu que dans le cercle il est constant.
  - 172. Travail développé par la force centrifiuje. — Lors-do au lieu d’être retenu par une courbe circulaire ou à une distance constante du centre de rotation, le point matériel doc l’on considère peut s’en éloigner, la force centrifuge lui disait parcourir dans le sens du rayon un certain chemin ;
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- - 192 DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - elle développe sur ce corps un travail qu’il est facile d’apprécier.
  - En effet, si dans un élément de temps le point matériel se déplace dans le sens du rayon d’une quantité élémentaire Y, le travail correspondant de la force centrifuge sera
  - Fr = m Vi2Rr,
  - et le travail total dû à cette force, quand le point matériel sera passé de la distance R" du centre à une distance plus grande R', sera donné par la somme de tous les travaux élémentaires analogues pris depuis R=R" jusqu’à R=R\ Or on a vu par des exemples précédents que cette somme est égale à
  - \ mV? (R'2—R"2)=- m (Y'2—Y,/2)
  - Z JL
  - si l’on nomme Y'=ViR' et Y'^ViR" les. j^tesses de rotation du point autour du centre. On a donc pour le travail cherché de la force centrifuge
  - T = \ mV^R'2—R,/2)= i wi(Y'2—Y"2).
  - On remarquera que le second membre de cette relation n’est autre chose que la variation de la force vive de rotation éprouvée par le point matériel quand, tout en s’éloignant du centre de rotation, il continue de participer à ce mouvement , quelle que soit d’ailleurs la courbe ou le chemin qu’il décrit en s'éloignant du centre. On aurait donc pu déduire directement cette expression du principe des forces vives.
  - Dans le cas que nous venons de considérer, la force centrifuge tend à augmenter la vitesse absolue du mobile et agit ainsi comme une force motrice qui se développe dans le mouvement de rotation.
  - Lorsqu’au contraire le corps se rapproche du centre h force centrifuge s’y oppose et agit comme une résistance en développant un travail qui a d’ailleurs la même expression
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - mais qui est résistant, puisque le chemin parcouru est en sens contraire du sens d’action de la force.
  - Les considérations précédentes trouveront leur application dans l’étude des effets de certains récepteurs hydrauliques.
  - 175.. Action de la force centrifuge sur les voilures. — Lorsqu’une voiture marchant rapidement tourne dans une courbe de petit rayon , les effets de la force centrifuge se font sentir aux voyageurs cpii sont alors poussés vers la courbe extérieure avec une intensité qui peut être souvent
  - dangereuse pour ceux qui sont placés sur l’impériale et qui peut même le devenir pour la stabilité
  - fE|___I i de la voiture.
  - Pli 7i I L’on s’est souvent préoccupé
  - tî—' h des effets de cette force sur les _________|_______chemins de fer lorsque l’on a
  - »• i l! proposé d’employer des courbes
  - de petit rayon ; mais il est facile
  - Fig. 65.
  - de faire voir par des chiffres que,
  - sous ce rapport, les plus grandes vitesses de marche et les rayons ordinaires des courbes ne présentent aucun danger.
  - En nommant en effet :
  - P le poids d’un wagon ou d’une voiture quelconque,
  - h la hauteur de son centre de gravité au-dessus du plan de la voie,
  - F= - WR la force centrifuge,
  - 9
  - 2c la largeur de la voie.
  - Il est évident que quand la voiture circule autour du centre O de la voie et qu’elle est arrêtée par un obstacle , lel qu’une ornière ou le rebord d’un rail, elle tend à se renverser au dehors en tournant autour de son point d’appui Instantané a. Ce mouvement de renversement est contrebalancé par le poids P du véhicule, et au moment où ce
  - 13
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 194
  - poids et la force centrifuge se font équilibre autour de ce point, l’on a entre les moments des deux forces P et
  - F = — Vi2R la relation 9
  - Pc^-V^R.A,
  - 9
  - ce qui montre qu’à vitesse et à poids égaux la stabilité de la voiture sera d’autant plus grande et l’équilibre mieux assuré, que la largeur 2c de la voie sera plus grande par rapport à la hauteur du centre de gravité.
  - La vitesse de parcours qui correspondrait à cet équilibre sur les voies ordinaires, pour lesquelles 2c=lm,45, pour les voitures dont le centre de gravité serait à lm,00 de hauteur quand elles sont chargées et dans des courbes de 400 mètres de rayon, serait donnée par la relation
  - V1>R = ^, d’où Y1R = y/^ÎR=47“,50
  - environ, vitesse que l’on n’atteint pas à beaucoup près dans les mouvements les plus rapides des chemins de fer. Ce qui montre que sous ce rapport la force centrifuge n’occasionne pas de danger. Mais il ne faut pas perdre de vue qu’elle appuie les rebords des roues extérieures contre les rails, produit un cisaillement qui les use et peut contribuer puissamment à des déraillements.
  - 174. Action de la force centrifuge dans les volants. — Dans les machines soumises à des causes périodiques d’irrégularité dans le mouvement, on emploie pour limiter ces irrégularités des pièces rotatives, d’un poids et d’un diamètre considérables, animées d’une assez grande vitesse et sur lesquelles le mouvement de rotation développe une force centrifuge d’une intensité considérable.
  - Ainsi, par exemple, le volant d’un laminoir à fer établi aux forges de Fourchambault pèse 6000 kilogrammes ; son rayon est de 2m,92.
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  - 193
  - Le nombre de tours qu’il fait est de 60 en 1' ou 1 par seconde ;
  - L’on adonc Vi=6m,28 en 1" et par suite 6.28X2.92.
  - Si l’on considère un segment de l’anneau égal à £ de sa circonférence, correspondant à un seul bras, son poids sera de 1000 kilogrammes ; et si son assemblage avec les segments voisins était rompu, le bras éprouverait dans le sens de sa longueur une traction exprimée par
  - X 6,282 X 2,92 = 11 ?39 kilogrammes,
  - y,b
  - ce qui montre que dans les volants la force centrifuge acquiert une intensité dangereuse et qu’il convient d’assurer à leur assemblages la plus grande solidité.
  - On remarquera aussi que la vitesse de rotation de ces organes doit être renfermée dans certaines limites. Car, si par exemple on voulait faire marcher le volant précédent à une vitesse double, ou de 120 tours en 1', la force centrifuge du segment que nous avons considéré deviendrait quadruple ou égale à 46956 kilogrammes.
  - 47o. Application au mouvement de Veau contenue dans un vase qui tourne autour d’un axe vertical. — Dans ce cas les
  - molécules du liquide sont simultanément soumises à l’action verticale de leur propre poids et à celle que la force centrifuge développe horizontalement. Pour qu’elles restent en équilibre sous Faction de ces deux forces, il Fig. 06. faut que la résultante de celles-ci
  - soif normale à la surface qu’affecte la masse fluide, car si cette résultante était inclinée à la surface les molécules glisseraient sous son action oblique.
  - Cela posé, considérons une molécule ni de poids p et de
  - niasse située à la distance mp—R de l’axe de rotation AC.
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  - 190
  - Elle sera soumise dans le sens horizontal et perpendiculairement à l’axe à une force centrifuge exprimée par ^ VéR.
  - Prenons mB=^WR> mD—p et construisons le parallélogramme mBED dont la diagonale normale à la surface qu’affecte le fluide, rencontre l’axe en i. Les triangles semblables mpi et wBE nous donnent
  - wzB ou ^ Vi*R : BE ou p : : mp ou K: pi, g
  - **=w
  - d’où
  - Ainsi la distance pi, qu’on nomme la sous-normale, ne dépend que du nombre constant g et de la vitesse angulaire supposée aussi constante. Par conséquent cette distance est constante, ce qui, d’après les propriétés connues de la parabole , montre que la courbe génératrice de la surface du niveau est une parabole dont le sommet est au point 0 et dont l’axe est celui de rotation ; et il serait facile de faire
  - . 2(7
  - voir que son paramètre est ~ attendu que l’on a
  - , .g
  - pp ou 2x : mp ou y : : mp ou y : pi ou
  - V i
  - d’où
  - 2 g
  - :v?
  - x.
  - 176. Surface de niveau de l'eau contenue dans un auget de roue hydraulique à axe horizontal. — En raisonnant de même que dans le cas précédent, il est facile de voir que si l’on
  - représente par ab la force centrifuge^ VrR et par ad Ie
  - poids p d’une molécule quelconque située à la surface du niveau, l’on aura la proportion
  - ab ou - WR : bc ou p : : R : 01, V
  - d’où
  - 01
  - SL .
  - W ’
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- - DIJ MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 197
  - ce qui montre que la distance 01 est constante pour tous les points de la surface du liquide et que par conséquent cette
  - surface est celle d’un cylindre à base circulaire de rayon «I dont l’axe est parallèle à celui de la roue.
  - Ce théorème, dû à M. Poncelet, sert de base à la théorie que cet illustre ingénieur a donnée des effets de l’eau dans les roues à augets à grande vitesse *.
  - 177. Bu régulateur à force centrifuge. •— L’action de la force centrifuge est utilisée dans la construction d’un appareil que l’on nomme régulateur à force centrifuge, ou régula-leur ciboules. 11 consiste principalement en un axe vertical AH, figure 68, qui reçoit de la machine dont on veut régulariser •a marche un mouvement de rotation. A cet axe sont suspendues deux tiges AP et AP', articulées en A, et terminées Par des poids égaux P et P' en forme de sphères ou de lentilles. Aux deux points B et B' des tiges AP et AP' sont articulées deux autres tiges égales BC et B'C' formant avec les Premières un losange, et qui s’articulent aussi à leurs extrémités C et C' avec un manchon traversé par l’axe vertical avec lequel il tourne, tout en pouvant avoir un mouvement
  - ^°it’ les leçons sur Vhydraulique.
- p.197 - vue 206/470
- - 198
  - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - de translation dans le sens de la longueur de cet arbre. Ce manchon a une gorge dans laquelle s’engage la fourche d’un levier DE, qui agit sur les organes du distributeur delà vapeur, ou sur toute autre pièce.
  - On comprend facilement le jeu de cet appareil : par l’effet du mouvement de rotation de l’arbre vertical, les boules du régulateur tendent à s’écarter de cet axe et obligent le manchon à s’élever à une certaine hauteur. Si la machine a atteint et conserve sa vitesse normale, les boules el le
  - A
  - Fig. 68.
  - manchon se maintiennent à la même position, parce qu’il s’établit un .état d’équilibre entre la force centrifuge et le poids des diverses pièces de l’appareil. Quand la vitesse augmente, il en est de môme de la force centrifuge, q11' tend à écarter davantage les boules et à relever le manchon, et par suite l’extrémité du levier DE, A l’inverse, si la vitesse diminue, les boules se rapprochent de l’axe, le manchon et l’extrémité D du levier DE s’abaissent.
  - Examinons maintenant les conditions mécaniques de la marche de cet appareil, et supposons d’abord que le manchon CC', ainsi que les tiges RC et B'C' soien t équilibrés 'par
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 199
  - le levier DE, de façon qu’en négligeant les frottements on puisse regarder les tiges AB et AB' comme libres d’o-bcir à la force centrifuge qui tend à les écarter, et à la pesanteur des boules, qui tend à les rapprocher de l’axe vertical.
  - moment par rapport à l’axe des articulations A est
  - Le moment du poids P de chaque boule par rapport au même axe est
  - PXOP.
  - Par conséquent, la condition d’équilibre de chacune d’elles est
  - ce qui montre que la distance à laquelle les boules s’écartent de l’axe ne dépend pas de leur poids, mais seulement de la vitesse angulaire de rotation, et permet de disposer du poids des boules pour satisfaire à d’autres conditions.
  - Si l’on nomme T la durée de la révolution des boules auteur de l’axe vertical, l’on a VfT = 2tu = 6.28
  - d’où
  - ce qui est le double de la durée des oscillations d’un pendule qui aurait pour longueur la hauteur AO, a laquelle les boules s’élèveraient à la vitesse normale.
  - Lo formule ci-dessus permet de déterminer approximati-Vement la hauteur AO à laquelle les boules s’élèveront en
- p.199 - vue 208/470
- - 200
  - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - tournant à une vitesse donnée, ce qui fixe leur position moyenne. Elle donne en effet
  - AO =7^ = 0,2484 .T2;
  - 4 Tl
  - ainsi pour T = 1" T = 2"
  - AO = 0m,2484 AO == 0,9936.
  - On remarquera que dans ce calcul l’on a négligé le poids et la force centrifuge des tiges AB et AB'.
  - Ce qui précède ne suffit pas pour assurer l’action du pendule comme appareil régulateur, puisqu’il faut qu’il puisse faire mouvoir le levier DE et les organes de distribution de la vapeur ou de l’eau, que ce levier doit conduire, ou, en d’autres termes, vaincre les résistances qu’éprouve le mouvement du manchon, quand les boules doivent s’écarter ou se rapprocher. Ces résistances peuvent s’évaluer ou se mesurer lorsque l’appareil est construit, et si nous appelons
  - 2Q la force verticale appliquée au manchon dans la direction de l’axe vertical ,
  - Yr1 = (l-^w')V1 une autre vitesse angulaire plus grande, par exemple, que la vitesse moyenne Vi d’une fraction ri de celle-ci.
  - Il est facile de voir que la force 2Q peut être décomposée en deux autres forces parallèles et égales à Q, appliquées en chacune des articulations B et B', et qu’alors on aura pour l’équilibre correspondant à ces nouvelles conditions, à l’in* s tant où il va être rompu, la relation
  - ~V'*,X OP XAO =P X OP + Q X BO'.
  - En appelant a la distance AB = AB', et b la longueur AP = AP' des liges jusqu’au centre des houles, on remarquera que
  - b:a :: OP: BO', d’où BO'=^.OP,
  - b ’
  - !^i.AO = P-t-Q.f.
  - el par suite
  - <7
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 201
  - Or on a trouvé précédemment que la valeur de AO correspondante à la position moyenne des boules était
  - la relation ci-dessus devient donc
  - d’où l’on tire
  - P+Qf,
  - P a \\ __ a ___________ a
  - Q b Y'\—Y2! b (2 n! -j- n'2) 2 bii ’
  - attendu que n'2 doit toujours être très-petit par rapport à n'.
  - L’on voit donc, d’après ces considérations, dues à M. Poncelet, qu’il existe une relation nécessaire entre le rapport du poids des boules ù la résistance et le degré de régularité auquel l’appareil doit être sensible.
  - On voit aussi que pour un degré de régularité voulu ou reconnu nécessaire à la marche de la machine le poids des houles croît proportionnellement à la résistance qu’oppose ou qu’éprouve le manchon. Ainsi, par exemple, si l’on a
  - les proportions «=0,666, et si l’on doit avoir ri = —=0,02, °n trouve
  - P 0,66 Q 2 X 0,02
  - 16,5.
  - De sorte que si la résistance du manchon était seulement de 10 kilogrammes, le poids de chacune des houles devrait être
  - P = 5kil X 16,5 = 82kil,5.
  - Ce résultat montre que cet appareil ne saurait donner aux Machines un grand degré de régularité sans acquérir des dimensions et un poids excessifs, si l’on voulait faire surmonter directement par le manchon des résistances un peu
  - considérables.
  - L’est faute d’avoir eu égard à ces circonstances que beau-
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- - 202
  - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - coup de constructeurs ont échoué dans l’établissement de ce genre de régulateur, qu’ils ont voulu faire agir pour imprimer le mouvement à des vannes ou à des appareils de distribution de vapeur. On évite cet inconvénient grave et l’on parvient à obtenir avec cet appareil, simple et solide, un degré de régularité convenable, en le disposant de la manière suivante, que je décrirai pour le cas d’une roue hydraulique.
  - 178. Disposition à donner au régulateur à force centrifuge. — L’arbre vertical du régulateur porte une roue conique aa' qui engrène avec une roue bb' demèrne diamètre, fixée sur un arbre horizontal ce', qui fait par conséquent le même nombre de tours que l’arbre AH. Cet arbre porte à frottement
  - Fig. 69.
  - doux deux roues, dentées à engrenages coniques ee} etff\ munies d’un embrayage à griffes qui peut engrener avec un manchon dd! mobile sur l’arbre ce' dans le sens de sa longueur. 11 résulte de cette disposition que ces deux roues ee' et ff ne participent au mouvement dé rotation de l’arbre ce' que quand elles sont embrayées avec le manchon dd
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION. 203
  - Ces (leux roues engrènent toutes deux avec une troisième roue gg' de même diamètre, placée à l’extrémité de l’arbre horizontal d’une vis sans fin perpendiculaire à l’arbre cë.
  - Il suit de celte disposition que lorsque le manchon d’embrayage conduit l’une ou l’autre des roues eë ou ff', la roue gg' et la vis sans fin tournent dans un sens ou dans l’autre. L’office du pendule conique se réduit donc, dans ce dispositif, à faire glisser le manchon d’embrayage g g' de droite à gauche ou de gauche à droite, selon que le mouvement s’accélère ou se retarde, et la seule résistance qu’il ait à vaincre est celle du frottement de ce manchon sur son arbre et contre les griffes, laquelle est assez faible et diffère peu, d’une roue ou d’un moteur à un autre. La résistance principale, celle de la manœuvre de vanne, par exemplè, est surmontée par le moteur lui-même, qui conduit la vis sans fin, ef c’est ce dernier organe qui, par des engrenages convenablement proportionnés, fait monter ou descendre la vanne.
  - Un autre avantage de ce dispositif, c’est que le même modèle de régulateur peut servir dans presque tous les cas, pourvu que la vitesse de l’arbre vertical des boules soit aussi la même.
  - Plusieurs régulateurs de ce genre, établis pour les usines de l’artillerie, y ont donné des résultats satisfaisants. En v°ici les proportions principales pour le cas d’une roue à aubes planes emboîtées dans un coursier circulaire, et dont la vanne en déversoir a 2 mètres de largeur.
  - L’arbre horizontal, cc fig. 70, reçoit le mouvement de la roueau moyen d’une poulie fixe et d’une courroie, et fait à la Marche normale de la machine 48 tours en 1 minute. 11 en est Par conséquent de même de l’arbre vertical du régulateur auquel le mouvement est transmis par les deux roues coniques au', bb', de la figure 69, qui ont chacune 24 dents.
  - Chaque boule pèse 21kll,20 ==P, et a 0m,175 de diamètre.
  - Ona «=AB=AB—0m,25, fig. 68, b = AP = AP'=0m,4875. Le poids des tiges AP et AP' est de 2kil,95, celui des tiges Bc = B'C' est de lk,1,120.
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- - 204 DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - L’expérience a donné pour l’effort à exercer sur les boules horizontalement, pour soulever le collier et le levier, une intensité de 36 kilogrammes.
  - Les trois roues d’angle ce', ff, g g' ont 30 dents chacune.
  - La vis sans fin est à un seul fdet.
  - La roue à dents héliçoïdes LL, fig. 70, qu’elle conduit a 90 dents.
  - Le pignon MM fig. 69, que porte l’arbre de cette roue a 16 dents.
  - La roue NN que conduit ce pignon a 80 dents.
  - Le pignon de la crémaillère, monté sur le même arbre, a 24 dents.
  - Le pas de l’engrenage de la crémaillère est de 0m,023.
  - Il résulte de ces proportions qu’en nommant N le nombre
  - Fig. 70.
  - de tours de l’arbre vertical et de l’arbre de la vis, qui les mêmes, celui que fera l’arbre du pignon sera
  - N 16____ N N
  - 90 X 80“90X5 “450*
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 205
  - Si l’on suppose N=10, le pignon qui a 24 dents, fera monter la crémaillère dont le pas de l’engrenage est 0m,023 de
  - X 24 X 0“\023 =• O-,0123.
  - 450
  - Ainsi, pour dix tours de l’arbre vertical du régulateur, la vanne monte ou descend de 0m,0123.
  - Ce rapport entre les courses de la vanne et le nombre de tours de l’arbre vertical du régulateur est important à noter, et dans les applications que l’on voudra faire de cet appareil, il sera convenable de s’en rapprocher pour les roues analogues par les motifs que nous indiquerons au n° 181.
  - 179. Résultats d’observations faites sur l’effet de ce régulateur. — La longueur du manchon mobile dd' étant moindre que l’intervalle qui sépare les roues ee' el ff il s’ensuit que dans ces intervalles tant que le manchon n’embraye ni avec l’une ni avec l’autre de ces roues, l’appareil est indifférent aux variations de vitesse. On conçoit qu’en effet il faut conserver une certaine latitude à cet égard. La vitesse moyenne entre ces limites est la vitesse normale de la roue, elle est d’environ 9,80 tours en 1 minute.
  - Quand la vitesse s’abaisse à 9,50 tours ch 1 minute les entailles du manchon sont sur le point de s’engager dans celles de la roue ce' ; lorsque la vitesse s’élève à 10,10 tours en 1 minute les entailles du manchon sont sur le point de s’engager dans celles de la roue ff. C’est entre ces limites de 9,50 et 10,10 tours en 1 minute que la vitesse peut varier sans que le régulateur agisse. La moyenne de ces vitesses est 9,80 tours en 1 minute. L’écart en dessus et en dessous de la vitesse moyenne peut donc être de 0,30 tours 1
  - eu 1 minute ou de r—r. de la vitesse moyenne avant que le 32,o
  - ‘‘égulateur commence à agir.
  - Lorsque par une élévation du niveau ou par une diniinu-
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- - 1)U MOUVEMENT DE ROTATION.
  - tion d(3 la résistance à vaincre la vitesse de la roue dépasse 10,1 tours en 1 minute, le manchon embraye avec la roue ff qui alors conduit la roue gg' et la vis sans lin de manière à relever l’avance et à diminuer la vitesse. Pour que cette vitesse revienne à sa valeur normale il faut que l’action du régulateur dure un certain temps. En fermant brusquement toutes les vannes des usines placées sur le même canal pour obtenir un exhaussement rapide du niveau on a pu augmenter la vitesse jusqu’à 11,1 tours en 1 minute. L’écart maximum en sus de la vitesse moyenne que l’on ait pu produire a donc été de 1,3 tour en 1 minute ou ^ de la vitesse
  - moyenne et il a fallu 50 à 60 secondes d’action du manchon pour ramener la vitesse à 10,1 tour en 1 minute à laquelle il débraye.
  - Lorsque par suite d’une augmentation dans la résistance ou d’un abaissement de niveau, la vitesse de la roue a atteint 9,5 tours en 1 minute, le manchon embraye avec la roue ee\ qui alors conduit la roue gg' et la vis en sens contraire, pour faire abaisser la vanne et ramener la vitesse à sa valeur moyenne.
  - En produisant exprès un abaissement brusque du niveau d’amont, on a pu faire descendre la vitesse de la roue a 8 tours en 1 minute, ce qui correspond à un écart de 1,8 tour
  - en 1 minute ou -^r de la valeur moyenne. Mais, par l’action
  - 0,0
  - du régulateur, la roue est revenue à la vitesse de 9,50 tours par minute au bout de 30 secondes.
  - L’on voit par ces détails que ce régulateur manœuvre d’une manière assez sensible pour être employé très-utile' ment dans beaucoup de cas.
  - 130. Comparaison des données de Vexpérience avec les forint les. —Les résultats des observations directes faites sur le régulateur à boules de la poudrerie Du Bouchet nous fournissent le moyen de vérifier l’exactitude des formules du n°
- p.206 - vue 215/470
- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 207
  - Nous avons vu en effet qu’au delà de la vitesse de 10,1 tours
  - en 1 minute, ou quand la vitesse dépassait de sa valeur
  - moyenne, le manchon s’embrayait avec la roue ff pour ralentir le mouvement et qu’il débrayait à cette même vitesse, quand, après un accroissement supérieur à celui-là, la vitesse tend à revenir à sa valeur normale.
  - Or, la vitesse normale du régulateur est de 48 tours de
  - son arbre vertical et, pour un accroissement de = n', elle
  - devient de 49 tours en 1 minute, ce qui correspond à une 6 28
  - vitesse angulaire égale à 49,5 = 5m,27 en 1 seconde.
  - On a alors OP = 0m,30 à peu près.
  - Par conséquent la force centrifuge de chaque houle devient
  - ce qui, pour les deux boules, donne un effort de 36 kil., précisément égal à celui que des observations directes ont
  - indiqué pour soulever le collier et le levier d’embrayage.
  - 181. Modification du poids des boules pour obtenir une plus ymde régularité. — Si pour certains cas l’on voulait donner 11 l’appareil plus de sensibilité, il suffirait d’augmenter le Poids des boules ; sachant que, pour le régulateur qui nous occupe, l’effort à exercer par les boules est de 36 kil. ou
  - '8 kil. par chacune, si le degré de régularité s'devait être —
  - de la vitesse moyenne, le nombre de tours de l’arbre des
  - Poules, au moment où le régulateur commencerait à agir, devrait être 48 -f- ^ = 48,96. Par suite
  - 48
  - 50
  - Y, = ^ x 48,96 = 4m,945. 60
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- - 208
  - DU MOUVEMENT DE DOTATION.
  - En admettant que OP —Om,30, on aurait pour déterminer le nouveau poids P des boules
  - X 4,945 X 0,30 = 18kil.
  - u ou
  - 18X9,81 (4,945) 2X 0,30:
  - : 24kil,07.
  - 182. Observation relative à la transmission du mouvement de la vis sans fin à la vanne. — Dans les premières applications qui ont été faites des régulateurs de ce genre, l’on remarquait qu’ils étaient sans cesse en jeu et que la vanne était continuellement en mouvement pour s’élever et pour s’abaisser, de sorte que la marche de la roue était fort irrégulière et s’écartait beaucoup en plus ou en moins de sa vitesse moyenne. Cet inconvénient, qui avait été reconnu déjà dans beaucoup d’autres applications, avait conduit les constructeur s à regarder le régulateur à boules comme défectueux et comme plus nuisible qu’utile à la régularité du mouvement. Mais en examinant de plus près les circonstances de sa marche et de celle de la vanne, je reconnus que les variations perpétuelles de vitesse provenaient de ce que les mouvements communiqués à la vanne étaient trop grands, de sorte qu’elle s’abaissait ou s’élevait trop rapidement et toujours au delà de la limite qui convenait pour la marche moyenne, et qu’alors aux irrégularités du mouvement inhérentes au mode d’action de la machine, aux variations du niveau des eaux, etc., s’ajoutaient sans cesse celles que produisaient les mouvements exagérés de la vanne. Je lis changer les transmissions de mouvement de la vis à la vanne, de manière à ralentir beaucoup le mouvement de celle-ci, et je parvins ainsi à renfermer les variations de la vitesse dans des limites convenables.
  - Des observations analogues ont été faites à l’une des grandes aiguiseries de la manufacture d’armes de Châtellc-rault sur l’effet d’un régulateur appliqué à line turbine, d l’on est parvenu à bien régler la marche de ce moteur en
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION. 209
  - établissant un rapport convenable dans la transmission du mouvement de la vis à la vanne.
  - D’après ces observations l’on a reconnu que quand l’arbre vertical du régulateur et celui de la vis sans fin sont réglés à une vitesse moyenne de 48 tours en 1 minute, les vannes en déversoir des roues de côté ne doivent pas s’élever ou s’abaisser de plus de 10 à 15 millim. pour 10 tours de la vis sans fin, et que pour les turbines Fontaine, par exemple, la course des vannes ne doit pas s’éloigner beaucoup de lmill,5 à 2'nill,0 pour dix tours de la vis.
  - En satisfaisant à ces conditions, par des rapports convenables dans les transmissions de mouvement entre la vis et la vanne, on parviendra à renfermer les écarts de la vitesse dans des limites suffisantes.
  - 185. Disposition indispensable dans l’emploi de ces régulateurs. — La vanne du moteur hydraulique auquel on applique des régulateurs de ce genre étant conduite par le moteur lui-même» on conçoit que, pour les vannes en déversoir, qui doivent s’abaisser quand le mouvement se ralentit et pour les vannes avec charge sur le sommet, qui doivent se lever quand la résistance augmente, la course de ces organes étant forcément limitée, il importe de faire cesser l’action du régulateur avant qu’il ait atteint ces limites, sans quoi den résulterait quelque rupture.
  - Il faudra donc disposer un appareil de débrayage qui interrompe l’action de la vis sans fin sur la vanne, dès que celle-ci est sur le point d’atteindre la limite de sa course.
  - 184. Modification de l’appareil précédemment décrit. — l'our rendre l’appareil encore plus sensible à de faibles vantions de vitesse, M. Delongchamp, ingénieur civil, a eu lidée de transmettre le mouvement aux roues coniques I)dr une courroie qui passe d’une poulie toujours folle SUr deux autres, placées l’une à droite l’autre à gauche 'lecelle-ci, et qui sont calées sur l’arbre des roues d’angle;
  - 14
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- - 210
  - DU MOUVEMENT DE DOTATION.
  - l’action du pendule se réduit alors à faire passer la courroie d’une poulie à l’autre, ce qui n’exige qu’un faible effort et évite le choc des griffes du manchon, dans l’autre dispositif.
  - Ainsi modifié, un régulateur d’un seul modèle suffit pour un grand nombre de cas différents.
  - 185. Autres régulateurs. — Il existe d’autres appareils régulateurs, construits dans le même but que le précédent, dont nous n’avons parlé que pour montrer un exemple de l’usage que l’on peut faire de la force centrifuge. Nous citerons seulement en passant le régulateur Molinié, celui de M. La-rivière, celui de Siemens, basé sur l’emploi du pendule conique d’Huyghens, etc. L’on peut obtenir avec ces appareils de bons résultats, mais ce n’est pas ici le lieu d’en parler.
  - 186. Du mouvement varié autour (Vun axe. — On a vu par ce qui précède que, dans le mouvement de rotation autour
  - d’un axe, le travail de toutes les forces extérieures qui sollicitent le corps est égal au travail de leur résultante. On peut donc supposer toutes ces forces remplacées pa1' cette résultante.
  - m,
  - Si le mouvement est uniforme, il est évident que le travail des forces qui tendent à accélérer le lïiouve-
  - Fig. 71.
  - ment sera égal à celui des forces qui tendent à le retarder, ou que le travail de la résultante sera nul.
  - Mais, si le travail de cette résultante n’est pas nul, il P1'0' duit nécessairement dans la vitesse du corps une certaine variation , et alors l’inertie de chacune des masses élcmeI1' taires qui le composent développe, en sens contraire, des efforts proportionnels aux degrés de vitesse oui leur sont communiqués ou enlevés.
  - Nommons Yj la vitesse angulaire ou le chemin circulais qui serait décrit par un point situé à l’unité de distance de
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- - DU MOUVEMENT DE DOTATION.
  - 211
  - l’axe, pendant l’unité de temps si, à l’instant que l’on considère, le mouvement devenait uniforme, etvj la variation élémentaire qu’éprouve cette vitesse dans l’élément de temps t ; une masse élémentaire m quelconque du corps, située à la distance r sera animée de la vitesse Vir, et la variation élémentaire de cette vitesse sera i>ir. Par conséquent, l’inertie par sa réaction développera, en sens contraire du travail de
  - la résultante des forces extérieures, un effort m. — dirigé
  - V
  - tangentiellement à la circonférence décrite par la masse m.
  - Or, si à chacune de ces masses élémentaires m on appliquait, en sens contraire de la variation du mouvement, une
  - force égale à m y"? et dirigée dans le même sens que la
  - réaction de l’inertie, cette force serait capable de détruire la variation de vitesse vtr, et par conséquent l’effet de la résultante générale des forces extérieures sur cette masse m; donc l’ensemble de toutes ces forces détruirait l’effet de la résultante générale des forces extérieures, et par conséquent elles lui feraient équilibre. Or ces forces que nous venons de supposer appliquées à chacune des molécules du corps sont précisément égales aux réactions développées par l’inertie et dirigées dans le même sens. Il y a donc aussi, à chaque instant de la variation du mouvement, équilibre entre ces réactions et la résultante des forces extérieures, ou, ce qui revient au même, le travail développé par toutes ces réactions doit être égal au travail développé par cette
  - résultante.
  - L’arc élémentaire décrit par la masse m étant axr, en appelant a,, l’arc élémentaire à l’unité de distance, le travail développé par la force d’inertie pendant la variation de la vdesse sera pour la masse m :
  - UrT 011 la vitesse possédée par la masse m. à l’instant
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- - 212
  - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - que l’on considère ; donc le travail élémentaire de la force d’inertie de la masse m a pour expression
  - mvxr xVi'/' = m. r* Y\vi.
  - Le produit de la masse m par le carré de sa distance r à l’axe de rotation qui entre dans cette expression se nomme le moment d'inertie de celte masse.
  - Pour une autre masse élémentaire m! située à la distance /, on aurait de même pour le travail de l’inertie mV2ViVi, et pour un nombre quelconque de masses semblables, la somme des quantités de travail élémentaires développées par leur inertie sera
  - (mr2 -f-mV2 -}- mV/s-f- etc.) Va .
  - 187. Observation importante sur les moments d'inertie. — La géométrie apprend à calculer la somme des moments d’inertie des éléments des corps de diverses formes, ainsi que nous l’indiquerons plus loin; mais il est utile dès à
  - présent de faire connaître un théorème important relatif au moment d’inertie d’un corps par rapport à un axe quelconque, quand on connaît son
  - A
  - \
  - \
  - / corps.
  - ^ Considérons une masse élc-Fig. 72. mentaire m d’un corps dont le
  - centre de gravité soit G, et qui tourne autour d’un axe A. Le moment d’inertie de cet élément par rapport à l’axe A sera
  - m .A ni~=mr‘i-
  - Mais si l’on nomme AG=d la distance du centre de gravité
  - à l’axe de rotation, et Gm=t\ la distance de la molécule au
- p.212 - vue 221/470
- - DU MOUVEMENT DE ROTATION, 213
  - centre de gravité, on a d’abord par le triangle Arm formé en abaissant ma sur AG prolongé
  - ou attendu que
  - kvi =-kd-\-ma ,
  - Ka=AG2-|- 2 AG X «G -}- G a J
  - Âw2=ÂG2-{- Gm2+2AG XaG,
  - ou r2=(P -j- ri -f- 1d. aG.
  - Le moment d’inertie de la niasse m est donc
  - mr2=md2 -)- mr2 -}- 2. mil. «G,
  - formule dans laquelle il faut observer que m. aG est le moment de la masse m par rapport à un plan perpendiculaire à la ligne AG et passant par le centre de gravité. De même pour d’autres masses m', m", etc., situées à des distances r\ r'", de l’axe A, et à des distances r/, n", r", du centre 'le gravité, on aurait
  - m!r'2 ~m’cP-\- m'r!2 - j- 1m!d. «'G,
  - mV/? s= m"d2-f-«iV H- 1m!'d. a1'G.
  - \ par suite, en appelant I le moment total d’inertie par l’apport à l’axe A, et h — mr*-f-m'r!*-f-rri'r"*etc. , le moment d’inertie par rapport à l’axe parallèle passant Par le centre de gravité G et M la masse totale du corps=m -f m! -}- m!' -j- etc., on a
  - I = M. d1-f- b -(- 1d [m. aG -f- m'a'G -}- in"a"G-f-etc.].
  - le terme entre parenthèses est la somme des moments ('es masses élémentaires qui composent le corps par rapport 11 lm plan qui passe par le centre de gravité; elle est donc nilUe, et la relation ci-dessus se réduit à
  - I=M.d2-j-Ii;
  - Co cpù exprime que P moment d'inendie d'un corps par rap-
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- - 214
  - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - port à un axe quelconque est écjal au moment d'inertie du même corps par rapport à un axe parallèle au premier, et passant par le centre de gravité du corps, augmenté du produit de la masse du corps par le carré de la distance des deux axes.
  - 188. Principe des forces vives dans le mouvement de rotation autour d’un axe..— Il suit de ce qui a été dit au n° 186 qu’en appelant I le moment d’inerlie total du corps que l’on considère, le travail développé par l’inertie pendant la variation élémentaire vi de la vitesse angulaire sera et l’on a vu que cette quantité doit être égale au travail développé dans le même temps par la résultante des forces extérieures ; cela paraîtra d’ailleurs évident en observant que, si le travail des forces d’inertie était inférieur à celui de la résultante, en retranchant le premier du second, l’excès du travail de la résultante produirait une accélération ou une diminution de vitesse autre que celle qui a réellement lieu.
  - On a donc à un instant quelconque
  - I.VjV^R.OjTi
  - en appelant R la résultante de toutes les forces extérieure5 et n son bras de levier.
  - Au bout d’un temps quelconque, le travail de celte résultante R, variable ou constante, s’obtiendra, soit directement, soit par la méthode de Simpson, et pourra être représentée par T.
  - Quant au travail total des forces d’inertie , le facteur I ne dépendant que des dimensions géométriques et de la ma' tière dont le corps est composé , la somme de toutes les quantités de travail semblables, depuis le moment ou la p°* sition pour laquelle la vitesse angulaire était Vt jusqu a celle où elle est devenue Y/, sera, d’après ce que l’on aVl1 précédemment, représentée par
  - |l(V—V)
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION. 215
  - si le mouvement s’est accéléré, R étant une force motrice, ou par
  - si le mouvement s’est retardé, R étant alors une résistance.
  - Par conséquent, au bout d’un temps quelconque, où la vitesse angulaire aura passé de la valeur Vt à la valeur Y/, on aura entre les quantités de travail développées par les forces extérieures ou leur résultante et parles forces d’inertie, la relation
  - va.
  - On remarquera que, I étant la somme des produits élémentaires mr\ m'r72, etc., on a
  - IV18 = »wsVi8-f- wiV^-j-etc.,
  - expression dans laquelle mr, mr'*Yi2, sont évidemment ee qu’on a appelé précédemment les forces vives des masses m, m', etc. ; donc IVi2, IV/2, sont les sommes des forces vives, ou la force vive totale du corps, et la relation ci-dessus nous montre que, dans le mouvement de rotation comme dans le mouvement de translation, le travail développé Pur les forces extérieures au bout d’un temps quelconque est (>(J°l à la moitié de la force vive acquise ou perdue par le corps pendant le même temps.
  - On voit donc que le principe des forces vives, démontré Précédemment pour les mouvements parallèles de translation , est encore vrai pour les mouvements de rotation autour d’un axe.
  - Or, comme un mouvement, une vitesse, un travail élémen-taire quelconque , peut toujours être décomposé en deux mouvements, vitesses ou Iravaux élémentaires, l’un de translation, dans lesens d’un certain axe, l’autre de rotation, perpendiculaire à ce même axe, et que dans cette décompo-sition le carré de la vitesse résultante est égal à la somme
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- - 216 DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - des carrés des vitesses composantes, que la somme des forces vives composantes est égale à la force vive résultante et que le travail résultant est égal à la somme des travaux composants, il s’ensuit évidemment que dans un mouvement quelconque le travail développé au bout d'un certain temps par les forces extérieure,s est égal à la moitié de la variation de la force vive correspondant au même intervalle.
  - Tel est sous sa tonne la plus générale l’énoncé du principe des torces vives , qui sert de base à la théorie générale des A. machines et des mou-
  - vements des corps.
  - Avant d’appliquer ce principe au mouvement des machines, nous en ferons usage pour l’étude du mouvement des pendules, et en particulier des pendules balistiques.
  - \
  - \
  - 189. Théorie du pendule.— Pour pre-
  - \ f mière application des
  - ;---principes précédents
  - occupons-nous de la théorie du pendule, \ et d’abord supposons
  - j) \ p ........qu’il s’agisse du mou-
  - / | \ \iH vement d’une masse
  - y ____s élémentaire suspen-
  - $ M due >d ime tige infini'
  - c Fis-73- ment déliée, et cher-
  - chons les diverses circonstances du mouvement de cet appareil, qu’on nomme un pendule simple, et qui se trouverait ainsi, à fort peu près, dans les mêmes con-
  - H
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- - BU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 217
  - ditions qu’une balle de plomb suspendue à un fil soie très-fin, supposé rigide.
  - Supposons que le pendule, parti du point B, soit parvenu en M et soit descendu par conséquent d’une hauteur MP=H, le travail développé par la gravité sera mg.H, et si l’on appelle Y la vitesse de la masse m, dirigée dans le sens de la tangente au cercle décrit, sa force vive sera mV2, et d’après le principe des forces vives on aura
  - m\2=2mgll ou V2=2pfH.
  - La vitesse V de ce mouvement varié a d’ailleurs pour expression le rapport - de l’arc élémentaire parcouru dans l’élément de temps t\ la relation ci-dessus revient
  - donc à .S2 ;
  - d’où s2
  - où
  - Si l’on compare ce pendule, dont la longueur AB=r, à un autre dont la longueur serait AB'=r', qui décrirait un angle égal et qui serait placé dans un lieu où la vitesse communiquée aux graves dans la première seconde de leur chute serait y', on aurait de même
  - s
  - On aurait donc pour ces deux pendules la proportion
  - fit'2::
  - sz
  - /TT/*
  - g\\ ’ g'W
  - Mais la condition que les angles décrits par les deux
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- - 218
  - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - pendules soient égaux nous donne pour un même déplace ment angulaire élémentaire
  - s : s' : :r:r', ou sz : s'* : : r- :
  - et de plus on a H:H
  - d’où s2 s'2 , n:ïï::r:r‘
  - Par conséquent 9 g
  - d’où lî
  - Cl T
  - On remarquera que, les rapports et -, étant donnés et
  - indépendants des angles décrits, il résulte de là que les temps élémentaires, employés à parcourir les arcs élémentaires s et s', sont dans un rapport constant, et que par conséquent il en est de même de la somme de ces temps élémentaires ou des temps totaux T et T' employés à parcourir une oscillation entière. On a donc aussi
  - T=VÏ' yfr
  - Telle est la relation entre les durées des oscillations des pendules simples en différents lieux et pour différentes longueurs.
  - Si l’on compare des pendules de même longueur, on a r=r', et alors
  - ce qui montre que les durées des oscillations des pendules simples de même longueur , en différents lieux de la terre, sont entre elles en raison inverse des racines carrées des valeurs de g, et peuvent servir à déterminer celles-ci.
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 219
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- - 220 DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - Mais si l’on décrit, sur CD comme diamètre lin cercle et si l’on mène les parallèles Mm et N% à la corde BD, on aura
  - mE2 — CE X DE—CE X H,
  - Or les triangles semblables mOE et mqn donnent
  - qn ou QN:mE::mw:mO;
  - QN__mn
  - mE mO ’
  - d’où
  - et par suite
  - d’où
  - On voit donc que le temps infiniment petit employé par le pendule à parcourir un arc élémentaire MN est égal au produit du facteur constant
  - par l’élément mn de la circonférence du cercle décrit sur CD comme diamètre. Donc la somme de tous les éléments de temps successivement employés à décrire l’arc BC sera égale au même facteur multiplié par la demi-circonférence, dont DC est le diamètre ou mO le rayon, laquelle est égale à 7cmO = 3,14.mO; on aura donc pour la durée totale de la demi-oscillation
  - et pour l’oscillation entière
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION. 221
  - Telle est la formule qui donne la durée des oscillations du pendule simple. On en tire pour la valeur de la vitesse communiquée aux graves dans la première seconde de leur clmle par la pesanteur
  - 7cV .
  - O — rji2 ’
  - ce qui montre comment la connaissance de la durée des petites oscillations d’un pendule simple de longueur connue peut servir à déterminer la valeur du nombre g.
  - Mais le pendule simple n’est qu’une abstraction, et ce n’est que comme moyen d’approximation que l’on peut employer des balles de plomb ou d’autres corps lourds, suspendus à un fil, pour mesurer le temps par la durée de leur oscillation, et considérer cet appareil comme un pendule simple, dont toute la masse est réunie à son centre de figure.
  - Dans les cas ordinaires, pour les pendules des horloges, et à plus forte raison pour ceux que l’on emploie à la détermination des vitesses imprimées par la poudre aux projectiles, et qu’on nomme pour cette raison pendilles balisti-yues, il faut tenir compte de la répartition de la masse.
  - 101. Du pendule composé. — Considérons donc un corps solide qui tourne ou oscille autour d’un axe fixe, et cherchons les diverses circonstances de son mouvement.
  - En appelant d’abord, comme par le passé, I le moment d’inertie de ce corps par rapport à l’axe de rotation et Vi la vitesse angulaire à un instant où son centre de gravité est descendu de la hauteur H, nous aurons encore par le principe des forces vives
  - IV21 = 2M</.H;
  - ei si l’on nomme d la distance du centre de gravité du pendule à l’axe, et Ht la hauteur dont un point situé à l’unité de distance est descendu, la proportion
  - Hx : lm :: H : d,
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- - 222 DU MOUVEMENT DE ROTATION,
  - d’où H = Hid, et la relation ci-dessus donne
  - Cette relation est de même forme que celle qui se rapportait au pendule simple, et n’en diffère que par le facteur
  - qui ne dépend que des dimensions et de la nature du
  - corps.
  - On a encore ici pour la vitesse angulaire Y'i — jt ce qui
  - conduit à la relation
  - En raisonnant ici exactement comme on l’a fait pour le pendule simple et en supposant les amplitudes d’oscillations très-petites , ce qui permet de négliger l’influence de la résistance de l’air, on ferait voir encore que la fraction
  - à cause de r! = lm,00; d’où il suit que la durée d’une fraction élémentaire d’une oscillation a pour expression
  - ___t I mn
  - 2 Mdg ^ mo ’
  - et que la durée totale de l’oscillation est
  - 192. Longueur du pendule simple qui fait ses oscilluti°nS dans le même temps qu'un pendule composé. — Si l’on compare la formule du pendule simple à celle du pendule coin*
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 223
  - posé, l’on voit que, pour que les durées des oscillations soient égales, il faut que l’on ait
  - ^S/v^S/wdg’
  - ce qui donne pour la longueur cherchée du pendule simple
  - _ J_ r “ M d'
  - 195. Détermination du moment d’inertie d’un pendule composé. — Lorsque dans la formule
  - on connaîtra la masse totale du pendule, et la distance d de son centre de gravité à l’axe des couteaux ou de la suspension, l’observation de la durée T des oscillations donnera pour le moment d’inertie par rapport à l’axe
  - I = ^M dg,
  - ce qui dispensera du calcul, assez laborieux dans beaucoup de cas, de ce moment d’inertie.
  - Cette formule trouvera en particulier son application pour b détermination des moments d’inertie des volants, des pendules balistiques, etc. Il suffira en effet de les faire osciller autour d’un axe quelconque, placé à une distance connue de leur centre de gravité, en les écartant fort peu de la verticale, et d’observer la durée de leurs oscillations en comptant leur nombre.
  - On se rappelle de plus (n° 187) qu’en nommant L le moment d’inertie par rapport à un axe qui passerait par le centre de gravité et qui serait parallèle à l’axe de suspension, °u a la relation
  - I = M^24-Ii,
  - qui donnera au besoin le moment d’inertie par rapport a un axe passant par le centre de gravité.
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - Il en résulte aussi que la longueur du pendule simple qui fait ses oscillations dans le môme temps que le pendule
  - composé, et que nous désignerons par k, a pour expression
  - et qu’elle est toujours plus grande que celle du centre de gravité à
  - l’axe.
  - En portant sur la ligne AG, qui joint l’axe au centre de gravité, une longueur
  - tous les points qui se trouveront sur la parallèle à l’axe, menée par le point O, pourront être regardes comme les centres d’autant de pendules simples dont les oscillations
  - Fig. 74.
  - se feraient dans le môme temps que celles du pendule composé. Ce point O ainsi déterminé se nomme le centre d’oscillation du pendule.
  - Il est bon de remarquer que le point A serait réciproquement le centre d’oscillation du même pendule, si le centre O devenait celui de suspension. En effet, si l’on nomme d'la distance OG du centre de gravité au point 0, on aurait pour la distance k! du nouveau centre d’oscillation à l’axe O
  - mais
  - d’où l’on tire
  - d — —
  - ~ mn
  - k' = k — d + d — k.
  - et par suite
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- - DU MOUVEMENT DE DOTATION. 223
  - 194. Détermination du centre de gravité des pendules, composés. — Celle opération s’exécute par le calcul ou par les moyens indiqués au n° 142, ou par la combinaison des deux méthodes. Quelquefois, pour les pendules balistiques dont le poids s’élève à plusieurs milliers de kilogrammes, on emploie le moyen suivant. On fixe en un point quelconque de leur suspension, au canon ou au récepteur, une
  - corde qui passe sur une poulie de renvoi, et à laquelle on suspend un poids qui soutient le pendule dans une inclinaison déterminée. La poulie doit être grande, son axe petit et bien graissé, de manière qu’on puisse négliger le frottement ou être certain de ne pas commettre d’erreur notable en le calculant. Le frottement des couteaux, qui ne font que rouler sur leurs coussinets, peut Lire négligé; on connaît d’ailleurs et l’on a pu déterminer d’avance la position et même les traces du plan vertical qui contient le centre de gravité, quand l’appareil est libre : il cst donc facile de mesurer l’inclinaison que prend ce plan sous l’action d’un contre-poids donné. Cela fait, appelons P le poids du pendule;
  - d la distance cherchée de son centre de gravité à l’axe des couteaux ;
  - a l’inclinaison du plan qui passe par le centre de gravité °t Par l’axe des couteaux, avec la verticale;
  - p
  - 15
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- - 226
  - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - L la perpendiculaire abaissée de cet axe sur la direction de la corde;
  - T la tension de cette corde, on a la relation
  - d’où
  - TL = sin « ;
  - TL
  - p. sin a
  - lOo. Centre de percussion. — Lorsqu’un corps (fig- 76) reçoit un mouvement de rotation autour de l’axe A, que nous supposons ici perpendiculaire au plan du tableau, chaque masse élémentaire de ce corps développe des forces d’inertie partielles perpendiculaires aux distances respectives de cha-
  - __________ cune d’elles à l’axe, et
  - dont l’intensité est mesurée par mr selon la no-
  - O
  - tation adoptée au n° 187. V Le moment de chacune de
  - ces forces par rapport à
  - l’axe de rotation est
  - J1 et la somme de tous les moments semblables a pour
  - valeur I.-.
  - v
  - Si l’on décompose çba-
  - ! Vi
  - que force partielle
  - i en deux autres, l’une ho-
  - Hs-76- rizontale et l’autre verti-
  - cale , et qu’on nomme x et y l’abscisse et l’ordonnée de m par rapport à un plan vertical et à un plan horizontal passant par l’axe A, la première composante sera évidemment
  - Vt y mvi
  - mr'tr-T-y>
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION. 227
  - ., , Vi x mvi
  - et la seconde sera mr—— x.
  - t r t
  - Si l’on appelle xx et iji les coordonnées du centre de gravité du corps, on aura évidemment, en faisant séparément la somme de toutes les composantes horizontales et verticales, d’après la théorie des forces parallèles :
  - Vj [my H- m'y' +••••] = 7 • %i
  - et Vj [mx -f- m'x' -f- etc.] = y Mxt.
  - D’où il suit encore que la résultante de ces deux groupes de forces rectangulaires est
  - jM .d,
  - et qu’elle fait avec l’axe horizontal et l’axe vertical des coordonnées des angles dont les cosinus sont respectivement
  - y y
  - (| et —, en sorte qu’elle est perpendiculaire à la distance d du centre de gravité à l’axe.
  - Cela posé, si l’on désigne par O le point d’application de celte résultante F = ~ M.d, son moment sera égal à la
  - t
  - somme de ceux de toutes les forces d’inertie du corps, et l’on aura
  - FxAO=^.M.dXAO = I^î
  - d’où
  - ^e point ainsi déterminé se nomme le centre de 'percussion. d est tel, qu’une force capable de produire, dans l’élément de temps, la variation de vitesse angulaire t>i et qui serait appliquée à ce point, serait précisément égale à la résultante de toutes les forces d’inertie des différents éléments du
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- - 228
  - 1)U MOUVEMENT DE ROTATION.
  - corps. Doue la pression, ou, comme on dil ordinairement, la percussion qui résulterait sur l’axe , de celte force et de cette résultante, alors égales et directement opposées, serait nulle.
  - Donc aussi réciproquement, pour que cette pression soit nulle, il faut que la force extérieure qui produit la variation du mouvement passe par le centre de percussion pour qu’il n’y ait pas de choc sur les couteaux ou sur l’axe de rotation.
  - On remarquera que la distance du centre de percussion à l’axe est la même que celle du centre d’oscillation, et que ces deux points se confondent. C’est pourquoi l’on doit, dans les pendules balistiques, faire en sorte que l’action de la poudre ou le choc du projectile ait lieu précisément » hauteur du centre d’oscillation.
  - 190. Théorie du pendule balistique. — On emploie généralement aujourd’hui dans le service des poudres, pour la réception et l’épreuve des poudres, un appareil connu sous le nom dc pendule balistique (pl. III, fig. 12), dont l’invention appartient à l’Anglais Robins, célèbre professeur d’artillerie, mais qui a reçu en France, dans ces derniers temps, de notables perfectionnements.
  - Les pendules balistiques qui sont en usage dans les poudreries françaises, soit pour les épreuves au fusil» soit pour celles au canon, se composent d’un récepteur en fonte fixé à une suspension en fer. Ce récepteur contient une matière molle ou compressible, susceptible de recevoir et d’amortir le choc et la vitesse d’un pro-jectile, sans que la rupture du récepteur puisse avoir lieu.
  - Le tir a lieu à hauteur de l’axe du récepteur, qui est horizontal. Nous appellerons ici, comme dans Y Aide-Mémoid des officiers d’artillerie,
  - R le rayon de l’arc décrit par l’aiguille qui fait marcher un curseur le long d’un limbe gradué indiquant les angles de recul ;
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 229
  - i la distance du point choqué ou point d’impact au plan horizontal des couteaux ;
  - k la distance du centre d’oscillation à l’horizontale des couteaux ;
  - p le poids total du pendule chargé, c’est-à-dire y compris les tampons ou barils pleins de sable, pour ceux à canons, ou le bloc de plomb et la planchette pour ceux à fusils ;
  - d la distance du centre de gravité du pendule chargé à la ligne des couteaux ;
  - b le poids du projectile ;
  - c la corde de l’arc de recul ;
  - « l’angle décrit par le pendule ;
  - ÿ= 9m,8088 ;
  - V la vitesse du projectile à l’instant où il atteint le récepteur ;
  - Vi la vitesse angulaire communiquée au pendule après le choc.
  - Il faut d’abord remarquer que pendant le choc il se développe, aux points de contact des projectiles et du récepteur, des efforts d’action et de réaction égaux et directement opposés.
  - L’action exercée sur le récepteur accélère son mouvement, et, d’après ce qui précède, le moment de cette force far rapport à l’axe de rotation doit être égal à celui de toutes les forces d’inertie des molécules matérielles qui compost le pendule.
  - En continuant à nommer vx le petit accroissement de vitesse angulaire communiqué au pendule pendant l’élément de temps t, la résistance d’une masse élémentaire m S1tuée à la distance r de l’axe sera, comme on l’a déjà dit,
  - exPrimée par mr. j ; son moment par rapport à l’axe sera
  - "lr~ • la somme de tous les moments semblables sera I. y,
  - °t elle devra être égale au moment de l’effort exercé au menie instant par le projectile.
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- - 230
  - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - Mais d’un autre côté ce projectile, qui agit perpendiculairement à sa distance i du plan horizontal des couteaux, péril dans l'élément de temps un petit degré de vitesse v , et son inertie, qui est la même pour tous les points qui sont animés de vitesses à très-peu près égales et parallèles, donne
  - lieu à un effort moteur exprimé par dont le moment
  - b v
  - par rapport à l’axe des couteaux est
  - Ainsi, à un instant quelconque du choc, on doit avoir, entre les actions développées par le projectile et la réaction du pendule, la relation
  - b . V T D\
  - ou
  - b •
  - - I . V = VVi.
  - g
  - En établissant des relations analogues pour tous les degrés élémentaires de vitesse perdus successivement par le projectile et gagnés par le pendule, on aura en les ajoutant :
  - [v v" etc.] = I \Vi-\-v\-\- v\ -j- etc.].
  - Or la somme v -j- v’ -f- v” -f- etc., est évidemment égale à la vitesse totale perdue par le projectile depuis le moment ou il a atteint le récepteur avec la vitesse Y jusqu’à celui où, ayant perdu toute vitesse relative par rapport au récepteur, il a marché avec ce corps d’une vitesse commune égale à Vii, en nommant Yt la vitesse angulaire communiquée à ce corps; on a donc
  - v + Y + v" + etc. == Y—Ti*.
  - D’autre part, le récepteur partant du repos et acquérant par le choc la vitesse finale angulaire Vi, on a
  - V\ -j- v\ -j- v"i -f etc. =Vj.
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION. 231
  - La relation ci-dessus devient donc
  - -i [V—V4 i ] = IV i = ^ dk. Y !, g 9
  - attendu que 1 = ^ dk.
  - O
  - On tire de cette expression
  - y- MT
  - 6i2 -f- jpdÆ ’
  - et l’on a d’ailleurs vu que, pour qu’il n’y ait pas de choc, on doit avoir i — k.
  - Mais d’une autre part, quand le pendule recule, son centre de gravité s’élève, et bientôt la force vive qu’il possédait ainsi que celle du projectile qu’il a reçu, sont éteintes, et elles doivent être égales au double du travail développé par la pesanteur et par le frottement de roulement des couteaux, que l’on néglige.
  - L’angle décrit par le pendule étant a, il est clair que son centre de gravite s’est élevé de la quantité
  - 1
  - d — d cos a = d (1 — cos a) — 2d sin2 - a.
  - Le projectile est resté à la distance i de l’axe de rotation, et s’est élevé de la hauteur
  - i —• i cos a = 2« sin2 \ a ;
  - Ji
  - donc le travail total développé par la gravité sur le pendule et le boulet a pour expression
  - (p«!-j-ô«')2sin2i«.
  - La force vive possédée par ces deux corps à la fin du choc °u de leur réaction réciproque est
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- - 232
  - on a donc
  - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - d’où
  - En égalant cette valeur de à la précédente, on a
  - /..
  - bi“ —j- pdk
  - d’où l’on lire
  - \J(pdk-]~ bP){pd-j- bi)g
  - bi
  - V
  - Telle est la formule qui sert à calculer les vitesses initiales des projectiles au moyen des données qui y entrent et de l’angle de recul.
  - On remarquera qu’en nommant G la corde des arcs de recul dont le rayon est R, on a
  - ce qui donne
  - y_ \J{pdkbP) (pd-\-bi)q G “ bi ' 'R'
  - C’est sous cette forme qu’elle est rapportée dans Y Aide-Mémoire d’artillerie.
  - On a vu que la condition de ne pas avoir de choc sur les couteaux conduisait à celle de i = k. Si elle était complètement satisfaite, la formule ci-dessus se réduirait à
  - y — pd -}- ib Ar „ _ ~ b R y* ’
  - ce qui montre qu’alors les vitesses mesurées seraient proportionnelles aux cordes des arcs de recul.
  - Mais celte condition, dont on s’est beaucoup approché
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- - DU MOUVEMENT DE ROTATION.
  - 233
  - dans la construction des nouveaux pendules à canons de Metz, du Bouchet et deVincennes, n’est pas à beaucoup près satisfaite dans les pendules des fusils, et c’est ce qui y occasionne de si sensibles vibrations.
  - Les officiers d’artillerie trouveront plus de détails sur ces appareils dans l’instruction sur les épreuves semestrielles des poudres avec les pendules balistiques.
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- - APPLICATION GÉNÉRALE DU PRINCIPE DES FORCES VIVES AUX MACHINES.
  - 197. Application du principe des forces vives aux machines. — Pour appliquer ce principe au mouvement des machines, il faut examiner séparément les circonstances et les conditions de l’aclion des différentes forces auxquelles elles sonl soumises. Ces forces peuvent se classer ainsi qu’il suit :
  - 1° Les puissances qui produisent, entretiennent ou accélèrent le mouvement, et dont le travail, que nous désignerons par F . E, est toujours développé dans le sens du mouvement et par conséquent positif ; on désigne ici par F l’effort moyen de la résultante.
  - 2° Les résistances utiles qu’il faut vaincre ou détruire pour produire l’effet proposé, l’ouvrage que la machine doit exécuter, et qui détruisent, retardent ou modèrent le mouvement. Le travail de ces résistances, que nous désignerons par Q. E', est toujours développé en sens contraire de celui des puissances, et doit en être retranché.
  - 3° Les résistances nuisibles ou passives inhérentes au mouvement, telles que les frottements, la résistance au roulement, celles de l’air, de l’eau, etc., qui absorbent inutile’ ment une portion du travail moteur, retardent, modèrent ou détruisent le mouvement, et dont le travail, que nous représenterons par R.E", se retranche toujours du travail des puissances.
  - 4° L’action de la gravité, que l’on devra considérer séparément toutes les fois qu’elle agira, tantôt comme puissance, tantôt comme résistance, et dont le travail, représenté pai P. H, sera positif ou additif par rapport à celui des puissances dans le premier cas, et négatif ou soustractif dans le second.
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- - PRINCIPE DES FORCES VIVES APPLIQUÉ AUX MACHINES. 235
  - Mais, quand la gravité agira toujours comme puissance, comme dans les roues hydrauliques, les horloges à poids, etc.» elle devra être comprise parmi les puissances; et à l’inverse, quand elle agira toujours comme résistance utile, comme dans les machines d’extraction ou dans l’élévation des fardeaux, etc., elle devra être réunie aux résistances utiles.
  - D’après cette classification des forces, le principe des forces vives sera représenté par l’équation
  - \1 [V/2—Vj2] = FE — QE'—RE" ± PH,
  - en supposant qu’il n’y ait que des pièces de rotation, ou en général
  - IM [Y'2 — Y2] = FE — QE' — RE" ± PH ;
  - les expressions IV'2, MV'2, etc., représentant la somme de toutes les forces vives analogues des parties de la machine.
  - Celte relation se rapporte à un intervalle de temps fini, et l’on a vu que pour un élément de temps ou un déplacement infiniment petit on avait aussi
  - WlVl = ¥e — Qe'—Re" ± PA.
  - Le but de l’établissement de toute machine étant de vaincre une résistance utile, de faire un certain ouvrage, il est évident que c’est le travail QE' ou Qe' de ces résistances utiles qui doit être rendu le plus grand possible ou un maximum; si nous tirons de la relation ci-dessus la valeur de QE' nous aurons
  - QE'—FE—RE" ± PH -J- ^ I Vt2—i IV f2, ou pour l’élément de temps
  - Qe'~¥e—Re" ±; P A—IV\V\.
  - 198. Conditions du maximum d’effet des machines. — Ëxa-ni|nons successivement les conditions auxquelles il convient
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  - PRINCIPE DES FORCES VIVES
  - de satisfaire, autant que possible, pour que le travail utile soit un maximum.
  - 199. Travail des puissances. — Remarquons d’abord que pour chaque espèce de moteur ou de puissance il y a un effort maximum correspondant à une vitesse nulle, pour laquelle le travail est nul, et une vitesse maximum correspond dant à un effort nul et par conséquent encore à un travail nul. Ainsi, pour les moteurs animés, l’effort et la vitesse ont des limites absolues , pour lesquelles l’un est nul quand l’autre est à son maximum. Il en est de même pour les roues hydrauliques, pour lesquelles l’effort est à son maximum quand la vitesse est nulle, et h son minimum quand la vitesse est la plus grande que l’eau puisse communiquer dans la marche à vide. De même encore pour les machines à vapeur, pour les moulins à vent, etc.
  - Entre ces limites extrêmes il y a une certaine vitesse qui, pour chaque puissance motrice, selon sa nature et la combinaison des organes mécaniques, correspond à une quantité de travail maximum, développée par la puissance; et comme il arrive souvent que pour des vitesses plus grandes ou plus petites ce travail diminue rapidement, il en résulte qu’il importe beaucoup de conserver, aux points d’application de la puissance motrice, cette vitesse qui correspond ù son maximum d’effet, et par conséquent au récepteur de cette puissance un mouvement uniforme.
  - 200. Travail des résistances utiles. — Il y a lieu de faire les mêmes observations pour le travail des résistances utiles : car, selon la nature des outils et des produits, il y a une certaine vitesse à laquelle correspond la meilleure qualité des produits, le meilleur effet, ou la plus longue durée des outils : ainsi pour la mouture des blés, le laminage des fers, pour l’étirage et la filature des cotons, des laines, etc., il y a une vitesse convenable à la qualité et a la nature des produits à obtenir; dans les scieries, les tours à métaux, les pompes, etc., la conservation des outils ou l’économie du
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- - APPLIQUÉ AUX MACHINES. 237
  - travail exigent que la vitesse ne dépasse pas certaines limites, etc. Donc encore, pour les résistances utiles, comme pour les puissances motrices, il convient que le mouvement soit uniforme.
  - 201. Travail des résistances nuisibles ou ‘passives. — Quant aux résistances nuisibles ou passives, le travail qu’elles consomment étant toujours dépensé en pure perte , il est évident qu’il faut chercher à le rendre le plus petit possible. Il faudra donc diminuer le frottement, et par conséquent le poids des pièces qui glissent les unes sur les autres; rendre leurs surfaces polies, les entretenir toujours bien graissées , diminuer les chemins parcourus par les parties frottantes. Pour la résistance de l’air ou de l’eau il conviendra de li miter les vitesses, et de donner aux corps les formes les plus convenables pour atténuer ces résistances, etc.
  - 202. Pièces à mouvement alternatif. — Le travail dû au Poids des pièces qui montent et descendent alternativement et périodiquement de la même hauteur étant nul pour chaque période, on voit qu’il n’y aurait pas lieu de s’en occuper dans les machines dont le mouvement embrasse un grand nombre de périodes semblables, si ces alternatives, en augmentant ou diminuant périodiquement le travail moteur, ne produisaient dans le mouvement des variations correspondantes, qui altèrent ruuiformité du mouvement dont °n a reconnu la nécessité.
  - Si donc on ne peut supprimer tout à fait les pièces qui Montent ou descendent périodiquement, il conviendra d’en limiter le nombre et l’influence autant que possible , et la c°ndition générale sera de n’employer que des pièces censées par rapport à leur axe de rotation, ou dont le centre de gravité reste à la même hauteur.
  - A ce sujet nous pourrions montrer une courbe d’expé-rience dynamométrique, obtenue sur un ventilateur qui, par la nature de la résistance à vaincre, devait avoir un mouve-ment uniforme, et qui, par l’effet d’un défaut de centrage ,
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  - PRINCIPE DES FORCES VIVES
  - présentait au contraire des variations périodiques très-considérables.
  - Ce que nous venons de dire des pièces qui s’élèvent et s’abaissent périodiquement sous l’action de la pesanteur se rapporte aussi aux pièces à mouvement alternatif, telles que les châssis de scie horizontaux , etc. , dont la force vive variable s’oppose à l’uniformité du mouvement.
  - 205. Influence de la force vive possédée ou acquise à chaque période. — On voit par l’équation du principe des forces vives que, si la force vive a diminué pendant la période que l’on considère, la moitié de cette diminution représente un travail qui s’ajoute à celui du moteur, et que, si au contraire la force vive a augmenté, la moitié de sa variation représente la portion du travail moteur absorbée pour la produire, Si donc le mouvement est périodique, on voit que dans les accélérations du mouvement, l’inertie des masses absorbe, emmaganise une portion du travail moteur, qu’elle restitue ensuite dans les retards. L’inertie joue donc ici véritablement le rôle d’un réservoir de travail, absolument comme l’étang, le réservoir d’une roue hydraulique, reçoit et conserve l’eau d’un ruisseau quand la roue ne consomme pas toute l’eau affluente, et’ lui fournit au contraire, en se vidant, l’eau consommée par la roue, quand cette roue en dépense pins que la source n’en fournit.
  - Les exemples de ces effets sont aussi nombreux que remarquables dans le jeu des machines : ainsi, dans la marche des laminoirs, que l’on met en mouvement avant de passer le fer entre les cylindres, toutes les pièces de la machine prennent un mouvement accéléré et absorbent une portion considérable du travail moteur; puis, quand on passe le métal pour l’étirer, le travail de la résistance remportant sur celui de la puissance, le mouvement se retarde, et l’inertie des masses restitue , développe en faveur du moteur la quantité de travail qu’elle avait précédemment absorbée.
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  - , APPLIQUÉ AUX MACHINES.
  - 11 en est de môme dans l’action des balanciers, des marteaux, de la pédale du rémouleur, etc.
  - Mais comme ces variations de force vive correspondent à des variations de vitesse, il importe de les restreindre, de les limiter autant que possible , afin d’obtenir un mouvement voisin de funiformité.
  - 204. Cas du mouvement périodique. — Il y a beaucoup de machines qui, par leur constitution ou par la nature de leur travail, ne peuvent être douées du mouvement uniforme : de ce nombre sont toutes celles où le moteur ou l’outil agissent par intermittences, ou dans des directions alternatives, comme les machines à vapeur ou à colonne d’eau d’une part, d de l’autre les scieries, les pompes, les marteaux, etc. Dans tous les cas pareils il faudra d’abord limiter le nombre des pièces douées du mouvement alternatif à ce qui sera strictement nécessaire , et répartir les variations de résistance ou de travail par intervalles égaux.
  - Lorsque par ces moyens on sera parvenu à rendre le mouvement exactement périodique, et quand la force vive absorbée dans les accélérations sera restituée dans les retards, on pourra, en calculant l’effet d’une période entière, se dispenser de tenir compte de la variation de la force vive, qui sera nulle pour la durée entière de cette période.
  - 20o. Avantages et conditions du mouvement uniforme. — Mais en général le mouvement uniforme étant à la fois le Plus favorable à l’action des moteurs et des outils, et donnent lieu à une moindre perte de travail par l’effet des résistances passives, puisqu’il permet de donner à toutes les Pièces des machines des dimensions et par suite des poids moindres, il s’ensuit qu’il faut employer tous les moyens Possibles pour l’obtenir, ou au moins pour en approcher.
  - 11 faut donc n’employer, si l’on peut, comme organes de Imnsmission du mouvement, que des pièces à mouvement c°nünti, dont le centre de gravité reste à la même hauteur, ^es noues exactement centrées, etc., répartir la matière à
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  - PRINCIPE DES FORCES VIVES
  - travailler d’une manière continue, ou tout au moins par intervalles égaux, ainsi que le font le babillard des moulins, le pied-de-biche des scieries, etc.
  - 206. Inconvénients du mouvement varié et moyens de les diminuer. — Outre les inconvénients que nous avons signalés, relativement à l’irrégularité d’action de la puissance motrice et de la résistance utile, le mouvement varié a celui d’obliger à donner aux pièces qui y sont soumises des dimensions plus considérables que celles qu’exige le mouvement uniforme relatif au môme travail, puisque les efforts auxquels ces pièces doivent résister sont, à certains instants, plus grands que l’effort constant qui correspondrait au mouvement uniforme. De là résultent un excédant de poids et un surcroît de frottement, outre les chocs ou les altérations de forme plus ou moins sensibles qui se produisent dans les changements de vitesse.
  - Tous ces inconvénients étant d’autant plus grands que les forces vives des pièces à mouvement alternatif sont plus considérables , il faudra donc, après avoir limité leurs dimensions à ce qui sera nécessaire, rendre leurs vitesses aussi petites que possible par rapport à celles des pièces douées d’un mouvement uniforme ou voisin de l’uniformité.
  - 207. Observations sur la mise en marche des machines, et les variations de la vitesse qui ont alors lieu. — La relation
  - IVa=Fe—Qe'—Re"dt Vh
  - nous donne pour la variation élémentaire de la vitesse
  - Fe—Qe'—R"±PA *=--------tv;------•
  - On voit que la vitesse croîtra quand le travail moteur élémentaire Ye sera plus grand que la somme des quantités de travail de toutes les résistances; mais que, pour un excès donné de travail, la variation, l’accroissement de la vitesse sera d’autant moindre que la vitesse Vi possédée parle
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- - APPLIQUÉ AUX MACHINES.
  - 241
  - corps sera plus grande, et que le moment d’inertie I des niasses en mouvement sera plus considérable. De meme, quand le travail moteur élémentaire sera inférieur au travail des résistances, la vitesse décroîtra, mais d’autant moins que la vitesse et le moment d’inertie seront plus grands.
  - Les mouvements rapides et ceux dans lesquels les moments d’inertie sont considérables sont donc les plus stables, ou ceux qui, par l’action de causes données, éprouvent le moins d’altération.
  - Quand une machine part du repos , sa vitesse, d’abord nulle, croît graduellement, ce qui provient de ce qu’alors le travail du moteur l’emporte à chaque instant sur celui de la résistance. Mais d’une part le travail moteur atteint sa valeur maximum à une certaine vitesse, passée laquelle il décroît, et de l’autre le travail des résistances croît souvent avec la vitesse, de sorte que bientôt l’on a l’égalité
  - Fe=Qe' -j- R/zp PA.
  - À cet instant, la variation , l’accroissement vt de la vitesse est nul, et celte vitesse a atteint son maximum. Si cette égalité du travail moteur et du travail résistant subsiste , le Mouvement devient uniforme; mais cela ne peut arriver in’aulant que le terme q= PA est nul, c’est-à-dire que le cen-tre de gravité de toutes les pièces reste toujours à la même hauteur.
  - Celte condition du mouvement uniforme est en quelque s°rte évidente d’elle-même , puisqu’elle revient à énoncer que le travail des puissances qui tendent à accélérer ou en-h’etenir le mouvement doit être égal à celui des résistances clUl tendent à le retarder ou à le détruire.
  - Le travail élémentaire étant, ainsi que nous l’avons fait 1 Marquer déjà au n° 120, ce qu’on nomme, en mécanique ‘alionnelle , le moment virtuel, on voit que l’énoncé précé-(leul revient encore à dire que, pour le mouvement uni-*U!tïle > ou pour l’équilibre , qui n’en est qu’un cas particu-
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- - 24.2
  - PRINCIPE DES FORCES VIVES
  - lier, le moment virtuel des puissances doit être égal à celui des résistances, ou leur somme égale à zéro.
  - 208. Observation relative au mouvement perpétuel. — La vitesse ne pouvant rester la même qu’autant que sa variation élémentaire Vi=o, on doit alors avoir
  - Fe=Qe'+Re":+:PA.
  - Or, en supposant même que le travail de la résistance utile Qe' fût nul, auquel cas la machine ne servirait à rien, celui des résistances nuisibles Re" ne serait jamais nul, puisqu’il ne peut y avoir de machines sans poids et par conséquent sans frottements. Il faudra donc toujours un certain travail moteur Fe pour entretenir le mouvement; ce qui montre l’absurdité de toutes les tentatives sans cesse renouvelées pour obtenir ce qu’on nomme le mouvement perpétuel, c’est-à-dire un mouvement qui s’entretienne de lui-même sans le secours d’aucune force motrice extérieure.
  - 209. Mouvement périodique. —11 arrive fort rarement que le travail moteur reste toujours égal à celui des résistances, à partir de l’instant où la vitesse a acquis sa valeur maximum. Le plus souvent, au contraire, le travail résistant commence alors à l’emporter sur le travail moteur, ,1a variation de la vitesse devient négative, et le mouvement se ralentit. Mais, comme alors le travail des résistances utiles ou passives peut diminuer, tandis qu’en même temps celui de la puissance s’accroît, l’excès du premier sur le second diminue, le mouvement se retarde de moins en moins, et l’on a de nouveau
  - Fe = Qe'-j-Re',=FP h.
  - La vitesse cessant alors de diminuer, elle atteint son nù' nimum.
  - Si la diminution de la vitesse ne va pas jusqu’à éteindre lu mouvement, il arrive ensuite une autre période d’accélé-
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- - APPLIQUÉ AUX MACHINES. 243
  - ration limitée à un second maximum de vitesse, et ainsi de suite.
  - Les machines marchent donc la plupart du temps d’un mouvement périodique, tantôt accéléré, tantôt retardé, dans lequel la vitesse atteint successivement et alternativement des inaxima et des minima; mais, ces périodes s'accomplissant ordinairement dans des temps égaux, on substitue, comme nous l’avons dit, à cette vitesse variable, assez difficile à déterminer, la considération d’une vitesse moyenne.
  - 210. Manière de limiter les écarts de la vitesse. Théorie des volanls. — Après avoir employé tous les moyens ordinaires pour régulariser le jeu des machines, il en reste encore un autre pour renfermer les variations de vitesse, entre les limites convenables pour chaque cas, sous l’action d’excès donnés et alternatifs du travail moteur ou résistant.
  - Si l’on considère en effet l’équation au moyen de laquelle 011 exprime le principe des forces vives
  - I [V/2 - Vfl = 2 [FE - QE' — RE" ± PHJ = 2T,
  - on voit que pour une période déterminée dans laquelle la vitesse aura varié de Vt à Vf, sous l’influence d’un excès donné T du travail moteur sur le travail résistant, la variation du carré des vitesses
  - sera d’autant plus petite que le moment d’inertie des pièces douées du mouvement de rotation, ou la masse des pièces animées d’un mouvement de transport, sont plus eonsidé-r‘d)les. Ainsi, après avoir, par une bonne disposition des Machines, par une répartition symétrique des résistants, etc., diminué autant que possible l’excès alternatif de travail qui produit l’irrégularité, on pourra restreindre au-lant qu’on le voudra la variation de vitesse en augmentant
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  - PRINCIPE DES FORCES VIVES
  - le moment d’inerlie ou la masse de toutes les pièces mobiles, ou, ce qui est plus simple, le moment d’inertie de l’une d’elles, spécialement destinée à cet usage.
  - Cette pièce est ce que l’on nomme le volant, qui se compose d’un anneau ordinairement en fonte, d’un grand diamètre, avec bras en fonte, que l’on place aussi près que possible des parties de la machine douées du mouvement variable,
  - afin que l’irrégularité qu’elles occasionnent se transmette moins aux autres organes.
  - Dans fétablissement du volant, on néglige ordinairement l’influence régulatrice des autres niasses, qui contribuent rig. 77. cependant à assurer une
  - régularité plus grande que celle qui serait obtenue par le volant seul.
  - On remarquera d’abord que la différence des carrés des vitesses
  - V—Vi*=(v; + vo (Vf—vo,
  - ce qui est évident jar l’examen de la figure, où AB = Vi' et EF = Vj.
  - On voit en effet que
  - Vf8 — V,8 = ABCD — EFCG = AMF -j- KEGD
  - = A1HK = AI X IH = (Y,' -f Y1) (Y/ - V,).
  - Si de plus on appelle U la moyenne arithmétique
  - Vi' + Vi
  - 2
  - entre les vitesses \\ et Yj, on remarquera que U diftércu très-peu de la vitesse moyenne de la machine déduite du nombre de tours qu’elle fait, et qui est ordiuaireffl®11*
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- - APPLIQUÉ AUX MACHINÉS.
  - donnée d’avance d’après la constituiion de la machine; on aura donc
  - y/2—V12 = 2U (Y/—V,),
  - et par conséquent
  - 2U(V/-Vi)=yf
  - d’où
  - Si maintenant, pour obtenir un degré de régularité donné, on s’impose la condition que la vitesse angulaire lie varie
  - \
  - pas de plus d’une fraction- de la vitesse moyenne U, on
  - Tl
  - aura
  - U____T_.
  - n~~ Uf
  - et par suite
  - d’où l’on tire
  - On voit donc que, quand l’excès du travail moteur sur le travail résistant, ou vice versa, sera donné, ainsi que la vitesse angulaire moyenne de rotation de l’arbre du volant et le nombre régulateur n, on déduira de cette expression sinaple le moment d’inertie du volant.
  - On remarquera que ce moment d’inertie sera d’autant P'us petit que la vitesse angulaire moyenne sera plus grande, et que par conséquent il convient, quand on le peut, de placer le volant sur l’axe dont le mouvement est le plus
  - rapide.
  - Oans le calcul du moment d’inertie d’un volant, on néglige ordinairement l’influence des bras, et l’on a alors à
  - très-peu près I = — R*, P' étant le poids de l’anneau et R
  - s°n rayon moyen. On sait d’ailleurs que
  - P’ = d.«.ftX6.28R,
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- - 246
  - PRINCIPE DES FORCES VIVES
  - a et b étant la largeur et l’épaisseur de eet anneau, R son rayon moyen, et d — 7290kil le poids du mètre cube de fonte. Si l’on veut tenir compte de l’influence des bras, en nommant P" le poids de ces bras, le moment d’inertie a pour valeur approchée
  - (P'+o^p'Wp
  - V g / g
  - en posant P = P' -J-(3,325 Pv.
  - Quant au nombre régulateur n, il dépend de la nature de la machine et de la qualité des produits à obtenir, et ne saurait être toujours le même pour une classe donnée de machines. Ainsi pour les machines à vapeur, le degré de régularité dépend des produits a obtenir,- et, si pour beaucoup de cas il peut sans inconvénient être le même, dans d’autres il doit varier. Pour la filature du colon, du lin, de la laine; pour la fabrication du papier à la mécanique, ce nombre doit augmenter avec la perfection des produits que l’on veut fabriquer.
  - Pour les laminoirs, il ne faut pas, comme on le fait trop souvent, adopter le même volant quand on doit étirer de gros fers, de grosses tôles, qui occasionnent de grandes irrégularités et dont le travail ne se lait que par intermittences, que quand on lamine avec continuité pendant des heures entières de petites tôles qui se succèdent rapidement les unes aux autres. C’est par l’observation de la marche des bonnes machines, et par le calcul, que l’on peut parvenir à déterminer pour chaque cas spécial le degré de régularité convenable.
  - Nous donnerons plus tard une théorie complète et une solution graphique de la question des volants des machines à vapeur; pour le moment nous nous contenterons, aplt>s avoir exposé les principes fondamentaux, de rapporte! les formules pratiques usuelles pour plusieurs cas importants.
  - 211. Machines à vapeur à pleine pression. — Dans ce cas
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- - 247
  - APPLIQUÉ AUX MACHINES, on emploiera les formules suivantes, selon que les longueurs des bielles seront égales à
  - 6 fois la manivelle, PV2 = 5227,3 — ]
  - m !
  - «ivf
  - 5 — PV2= 5528,2— > avec balancier.
  - m (
  - mN *
  - 4 — PY2 = 5829,4— ]
  - m ]
  - 5 — PV2 = 5592,0 — sans balancier.
  - m
  - Dans ces formules, N est la force nominale en chevaux, m le nombre de tours de l’arbre du volant en 1', V la vitesse moyenrie de la circonférence moyenne de l’anneau.
  - Le nombre n, d’après la pratique ordinaire de Watt, est habituellement égal à 32 pour tous les cas qui n’exigent pas une régularité extraordinaire. Pour les moulins à farine, les scieries, etc., on pourrait peut-être le diminuer un peu, tandis que pour les filatures en fin il conviendra de l'augmenter et de le porter à 50 ou 60.
  - Le volant de la filature du Logelbach a fourni les données suivantes :
  - Diamètre du volant = 6m, 10. m— 19,
  - v 3,14x6,10X19 _ ,
  - v = —i-----= 6m,05, N = 35 chevaux,
  - si l’on fait n = 40,
  - P ~ wM*X 4019 ° ~ =10 520 kilogrammes.
  - Pour n = 35, on trouve P = 9276 kilog. Les constructeurs 0111 fait P = 9320 kil.
  - Volants pour les machines à détente. — L’irrégularité (1 action de la vapeur étant plus grande, comme on le verra Plus tard, le volant doit être augmenté, et je donnerai ici,
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- - 218
  - PRINCIPE DES FORCES VIVES
  - pour exemples, les formules relatives aux machines à haute pression et détente, sans condensation, à cinq atmosphères de pression dans la chaudière.
  - wN
  - Détente commençant à \ de la course, PV2 = 7080,3 —.
  - i
  - A
  - PV2 = 8166,0—.
  - un
  - PV2 = 9218,4—.
  - m
  - 4
  - Exemple. Soit N = 40 chevaux, la détente ayant lieu à la moitié de la course,
  - n=32, m=16, D = 8m,15, Y =
  - et par suite
  - Dans une machine de celte force, fonctionnant dans les mêmes circonstances, un de nos plus habiles constructeurs ne donne à l’anneau du volant qu’un poids de 12 200 kilogrammes, ce qui paraît à peine suffisant.
  - 213. Volant pour marteaux de forge. — Dans les machines à choc telles que les marteaux, l’irrégularité du mouvement provient de l’intermittence d’action de la résistance, et des pertes de travail produites par le choc. On peut soumettre ces effets au calcul, déterminer directement la perte de force vive, et par suite limiter les variations de la vitesse à une fraction donnée de la vitesse moyenne; mais ce n’est pas ici le lieu d’exposer cette théorie, et nous nous bornerons à dire qu’elle a conduit aux formules suivantes.
  - 214. Marteaux frontaux.
  - De 3000 à 3500 kil. battant 70 80 coups, P =
  - De 4000 à 4900 kil. battant 72 à 80 coups, P = ^^-*
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- - 249
  - APPLIQUÉ AUX MACHINÉS.
  - Le nombre régulateur a été pris dans ces circonstances égal à 50 ou 55 environ ; exemple :
  - R=2m,l5;
  - 20000
  - (2,15)’
  - =4329 kil.
  - Le marteau frontal de la forge de Framont, qui pèse 3000 et quelques kilogrammes, a un volant de rayon R=2m,i5, dont l’anneau pèse 4230 kilogrammes. Il marche depuis 12 ans environ.
  - 21 o. Marteaux à l’allemande à engrenages.
  - Pesant 6 à 800 kil., manche et harasse compris, battant 100 à 110 coups en 1'.
  - 15 000 15000
  - Soit R=lm,65; P
  - 112
  - (1,65)’
  - 5509 kil.
  - A l’usine de moulin neuf dépendant des forges de Hayange,
  - R = lm,65; P=5150 kil. environ.
  - 216. Martinets à engrenages.
  - Battant de 150 à 200 coups en 1', du poids de 500 kil. lout compris,
  - 9000 1 R2 '
  - Battant de 150 à 200 coups en 1', du poids de 360 kil. tout compris,
  - 217. Scieries verticales pour le débit des gros bois.— L’observation montre qu’il suffit de prendre
  - 30000 * Y’ *
  - Exemple. Scierie de Metz : Le rayon R = 0,76, le nombre coups de scie est de 88 en 1', d’où l’on conclut
  - V = —6,28X0,76 = 7“,02.
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- - 250 PRINCIPE DES FORCES VIVES
  - La formule donne
  - 30000
  - (7,02)s
  - 609 kil.
  - On place ordinairement deux volants, dont chacun pèse la moitié du poids ci-dessus. A la scierie de Metz, les deux volants ne pesaient ensemble qu’environ 512 kilogrammes.
  - 218. Nécessité de l'emploi des volants dans les machines on il y a des chocs. — Un exemple frappant de la nécessité de l’emploi des volants dans les machines où il se produit des chocs a été observé en 1845, à la poudrerie de Vonges et à celle de Saint-Ponce, dans quatre moulins à pilons. En substituant, pour des constructions nouvelles, des engrenages en fonte aux anciens rouets en bois, on avait eu le soin d’aug-menler dans le rapport de 2 à 3 les dimensions des dents et des roues, fournies par les règles ordinaires de la pratique. Malgré celte précaution, trois moulins ayant été mis en activité, les roues d’engrenage ne purent résister aux vibrations produites par les chocs et se brisèrent aux anneaux après un court service. Pour remédier à cet inconvénient, deux moyens se présentaient : l’un, qui consistait à augmenter considérablement les dimensions des roues, fut employé à cause de l’urgence , pour les roues cassées; l’autre , plus rationnel, était de placer des volants sur les arbres à cames, pour diminuer les variations de leur vitesse , et, par suite, les chocs entre les roues et les pignons. Il a parfaitement réussi, et l’engrenage du quatrième moulin, exactement semblable à ceux qui avaient été brisés quand il n’y avait pas de volant, a très-bien résisté, avec l’emploi de ce moyeu de régularisation.
  - 219. Proportions des volants pour les moulins à poudre de vingt pilons. — Les pilons des moulins à poudre pèsent 40 à 42 kilogrammes et battent 56 coups à la minute à raison de deux pour chacun par tour de l’arbre à cames. L’expérience a prouvé que des volants de 2m,50 de diamètre, 0m,l7 ^
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- - APPLIQUÉ AUX MACHINES. 281
  - largeur à la couronne dans le sens de l’axe, et 0m,18 dans celui du rayon, étaient suffisants.
  - 220. Laminoir à grandes tôles et à gros fers. — Dans ces machines, l’observation montre que l’on peut calculer le volant par la formule suivante
  - p_ 130000 NK.
  - 1 — mv3 ’
  - N étant la force en chevaux transmise à l’arbre du volant;
  - V la vitesse moyenne de la circonférence milieu de cet anneau ;
  - m le nombre de tours du volant, ordinairement placé sur le même axe que les cylindres, en 1' ;
  - K un coefficient numérique constant que l’on prendra égala :
  - K=20 pour les machines de 80 à 100 chevaux, et 6 à 8 équipages de cylindres ;
  - K = 25 pour les machines de 60 chevaux , et 4 à 6 équipages de cylindres ;
  - K=80 pour les machines de 30 à 40 chevaux et un seul équipage pour grosses tôles à fer ou deux cylindres.
  - Exemple : D=2m,84, m = 60, V=18m,40.
  - Pour 6 équipages marchant ensemble
  - 130 000X60X25 60X(18,40)2
  - 9599 kil.
  - L’usine de Fourchnmbault, placée dans ces circonstances, a lln volant de 8000 kilogrammes seulement.
  - Lorsque les machines dont on veut régulariser la marche 0,d pour moteur des roues hydrauliques à mouvement ra-P|(le, telles que les roues à aubes planes et à aubes courbes, *e moment d’inertie de ces roues étant ordinairement con-sidérable, il s’ajoute à celui du volant, et des lors il est pos-Slble de diminuer un peu celui-ci, suriout si le moteur est Près de la résistance.
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- - 252
  - PRINCIPE DES FORCES VIVES.
  - 221. Observation sur l’emploi, des volants. — Fl résulte de tout ce que l’on a dit précédemment que les volants n’ont pour but et pour effet que de resserrer les variations de la vitesse entre des limites données lorsqu’il y a dans la marche des pièces, ou dans l’action des moteurs ou des résistances, des inégalités ou des alternatives inévitables, ou, dans certains cas, d’accumuler, d’emmagasiner, pendant une portion des périodes du mouvement, une quantité de travail moteur, pour la restituer à d’autres instants où le travail de la résistance l’emporterait sur celui du moteur. Ce n’est donc que momentanément que l’emploi du volant peut, dans ce dernier cas, augmenter la puissance de la machine.
  - Mais, le vo^nt ôtant toujours une pièce lourde qui donne lieu à une consommation inutile de travail par le frottement et par la résistance de l’air, on voit qu’il faut en restreindre l’emploi aux cas où il est nécessaire, et en limiter convenablement le poids.
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- - DU FROTTEMENT.
  - 222. — On distingue ordinairement deux sortes de frottements. L’un, qu’on nomme frottement de glissement, se produit quand les corps glissent l’un sur l’autre, d’où il résulte que les points de contact primitifs se trouvent sans cesse à des distances respectivement différentes des nouveaux points de contact, ce que l’on exprime en disant qu’ils ont éprouvé des déplacements relatifs inégaux ou dirigés en sens contraires. Le second genre de frottement, improprement appelé frottement de roulement, a lieu quand les corps roulent l’un sur l’autre, et qu’alors les distances des nouveaux points de contact aux anciens sont les mêmes sur les deux corps, ou que les déplacements relatifs sont égaux. Comme le mot frotter implique généralement l’idée de glissement, et non celle de roulement, il conviendrait de n’admettre qu’une seule espèce de frottement, celui de glissement, et de désigner l’autre par le nom de résistance au roulement.
  - 225. Rappel des anciennes expériences. — Les premières expériences, que l’on connaisse sur le frottement de glissement, sont dues à Amontons, et sont insérées dans les Mémoires de l’ancienne Académie des sciences, année 1699. Ce Physicien reconnut que le frottement est indépendant de l’étendue des surfaces ; mais il estima sa valeur au tiers de la pression pour le bois, le fer, le cuivre, le plomb, etc., enduits de saindoux, ce qui est beaucoup trop considérable.
  - Coulomb, officier du génie militaire et quelques années plus tard membre de l’Institut, a présenté en 1781, à l’Académie des sciences, des expériences beaucoup plus complètes
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- - 254
  - DU FROTTEMENT.
  - que celles d’Amontons et qui ont été exécutées à Rochefort. L’appareil qu’il a employé consistait en un banc formé de deux pièces de bois horizontales de 6 pieds de longueur, sur lequel un traîneau chargé de poids glissait par l’action d’un poids suspendu à une corde qui, passant sur une poulie de renvoi, venait horizontalement s’attacher au traîneau.
  - A l’aide de ces dispositions, Coulomb a d’abord déterminé l’effort nécessaire pour produire le mouvement lorsque les corps sont restés pendant quelque temps en contact. C’est ce qu’il a appelé la résistance ou le frottement au départ. Il a reconnu que ce frottement était proportionnel à la pression, et il a cru trouver qu’il se composait d’une partie proportionnelle à l’étendue de la surface de contact, qu’il a nommée l'adhérence, et d’une autre partie indépendante de cette surface. Il a ensuite recherché la valeur du frottement pendant le mouvement, et à cet effet il a observe, à l’aide d’une montre à demi - secondes, à arrêt, le temps employé par le traîneau, à parcourir successivement les trois premiers et les trois seconds pieds de sa course.
  - Mais comme sur ces durées, parfois égales à l" ou 2", il pouvait se tromper d’une demi-seconde à la fin, et d’autant au commencement de l’expérience, il en est résulté des incertitudes assez grandes, qui ne lui ont pas permis d’établir ses conclusions d’une manière positive, et l’on peut dire qu’il a plutôt deviné qu’observé les lois qu’il a conclues de ses expériences. Néanmoins il a reconnu qu’en général le frottement pendant le mouvement est 1° proportionnel à la pression, 2° indépendant de l’étendue des surfaces de contact, 3° indépendant de la vitesse du mouvement, sauf quelques restrictions que les expériences ultérieures n’ont pas confirmées.
  - Coulomb a aussi constaté le premier que pour les corps compressibles le frottement au départ ou après un contact de quelque durée était plus grand qu’il n’est après lo premier déplacement.
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- - DU FROTTEMENT.
  - 255
  - 2P4. Expériences de Metz. — Le? incertitudes des observations, les restrictions apportées par Coulomb et surtout l’emploi plus général des métaux dans la construction des machines, ayant rendu nécessaires de nouvelles expériences, j’en ai exécuté à Metz en 1831-32-33 et 34, à l’aide de procédés nouveaux.
  - 22‘6. Description sommaire des appareils employés. — Dans la halle des fontes de l’ancienne fonderie , sur un sol dallé et à côté de la fosse (pl. III), on a établi un banc horizontal composé de deux poutres parallèles en chêne AA, de 0m,30 d’équarrissage sur 8 mètres de long , réunies et supportées de mètre en mètre par des semelles. Ces poutres, qui dépassaient de lm,30 environ le bord de la fosse, étaient assemblées avec quatre montants verticaux BB , entre lesquels était placé un plateau FF, qui portait la poulie de renvoi de la corde à laquelle on suspendait le poids moteur, placé dans une caisse K. Celte corde venait horizontalement se fixer à un traîneau D, chargé de poids, sous lequel on fixait les corps en expérience.
  - La corde, au lieu d’être attachée directement à ce traî-neau, s’accrochait à la lame antérieure d’un dynamomètre à slyle, dont la flexion mesurait la tension de cette corde, soit au départ, soit pendant le mouvement.
  - L’axe de la poulie de renvoi portait un plateau H en cuivre, parfaitement dressé et recouvert d’une feuille de papier. Vis-à-vis ce plateau, un appareil d’horlogerie communiquait un Mouvement uniforme à un style formé par un pinceau unbibé d’encre de Chine, dont la pointe décrivait un cercle de 0m,i4 de diamètre. Le parallélisme du plan de ce cercle et de celui du plateau était d’ailleurs parfaitement assuré Par des moyens précis et le contact du pinceau était produit ou interrompu à volonté.
  - Sur la caisse K l’on pouvait en poser deux autres dans lesquelles on plaçait également des poids, ces caisses, après avoir commencé à produire le mouvement, étaient aune certaine
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- - 256
  - DU FROTTEMENT.
  - hauteur, arrêtées sur des taquets, de sorte que le mouvement ne continuait qu’en vertu de la charge et du poids de la caisse Q. Parce moyen l’on a pu, à volonté, obtenir avec la caisse Q seule un mouvement accéléré , et avec les trois caisses, un mouvement d’abord accéléré, puis uniforme ou retardé, selon que le poids de la caisse était suffisant pour vaincre le frottement, ou inférieur à cette résistance.
  - On peut consulter pour plus de détails sur ces expériences, le Recueil des savants étrangers, tomes IV et V, ainsi qu’un mémoire publié en 1838, chez M. Carilian Gœury.
  - 22G. Examen des résultats graphiques des expériences.— On conçoit, d’après ce que l’on a dit précédemment sur l’appareil analogue qui existe au Conservatoire des arls et métiers, que, de la simultanéité des deux mouvements dont l’un, celui du style, élait uniforme et à une vitesse connue, et l’autre, inconnu, correspondait dans un rapport constant aux chemins parcourus par le traîneau, il devait résulter une courbe dont le relèvement donnait la loi du mouvement de ce traîneau. On a donc pu par ce relèvement former une table des espaces parcourus et des temps correspondants et construire la courbe dont ces espaces étaient les abeisses et les temps les ordonnées. Les courbes ainsi construites offraient une continuité parfaite, et l’on a reconnu, ainsi qu’il est indiqué au n° 81, qu’elles étaient des paraboles, c’est-à-dire que leurs abscisses étaient proportionnelles aux carrés des ordonnées.
  - De ce que celte courbe était une parabole, on a été autorisé à conclure que le mouvement avait été uniformément accéléré. Or, le poids moteur étant constant, la force motrice qui produisait l’accélération du mouvement était l’excès de ce poids sur le frottement, et, puisque cet excès était constant, il en résultait nécessairement que le frotte-ment était constant et indépendant de la vitesse.
  - L’expérience, répétée avec tous les corps en usage dans la construction des machines, avec ou sans enduit, ayant
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- - DU FROTTEMENT.
  - 2o7
  - toujours conduit à lu même conséquence, on a été autorisé à regarder celle loi comme générale, du moins dans les limites de vitesse où elle a été observée, c’est-à-dire jusqu’à 3m,50 environ, et à reconnaître que les restrictions que Coulomb y avait entrevues n’existent pas.
  - 227. Formules employées au calcul des résultats des expériences.— L’appareil que nous venons de décrire succinctement nous offre un exemple assez simple d’une machine clans laquelle le mouvement est varié et nous permet défaire l’application des principes généraux qui ont été exposés jusqu’ici. Nous en profiterons pour montrer comment on doit procéder dans des cas analogues.
  - Appelons P le poids de la caisse descendante y compris son poids et celui de la portion de corde qui pend toujours sous la poulie, en négligeant la quantité dont elle augmente dans la descente, et qui ne s’élève guère qu’à 1 kilogramme ; T la tension du brin horizontal ; q = 6kil,254 le poids de la poulie.
  - \ la vitesse angulaire de la poulie à l’instant que l’on
  - considère.
  - v\ la quantité dont cette vitesse varie dans l’élément de temps t.
  - 1 = 0,00629 le moment d’inertie de la poulie et des pièces qui tournent avec elle.
  - f= 0,164 le rapport, déterminé par des expériences spé-cmles, du frottement à la pression, pour l’axe en fer de la Poulie et ses coussinets en bois de sorbier à l’état onctueux ; ^0,032T la roideur de la corde tressée, déterminée aussi par des expériences spéciales.
  - N la pression sur les tourillons de l’axe de la poulie.
  - r k rayon de la poulie.
  - r Ie rayon de ses tourillons.
  - l’on se reporte aux principes exposés au n° 480, sur le mouvement de rotation varié, l’on verra qu’à chaque in-s|,mt du mouvement de la poulie, la somme des moments
  - 17
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- - 258
  - DU FROTTEMENT.
  - (les forces extérieures doit être égale à la somme des moments des forces d’inertie.
  - Or, la somme des moments des forces extérieures est
  - P r — Tr — Rr — /‘N. r'.
  - La somme des moments des forces d’inertie, correspondant à une variation vi de la vitesse angulaire est facile à trouver; car l’une de ces forces, relative à une molécule de masse m,
  - située à la distance rt, étant son moment par rap-
  - port à l’axe est mr? ^, et la somme des moments sembla-
  - bles est I j1, pour toutes les parties qui tournent autour de l’axe.
  - La force d’inertie du poids P est Eüiü et son moment par
  - g t
  - P fV\ T
  - rapport à l’axe est ——r, et doit s’ajouter au précédent; 9 t
  - on a donc, à chaque instant du mouvement varié delà poulie, la relation
  - Pr —Tr — Rr — fW = I ^ +
  - t g t
  - La pression N sur l’axe de la poulie est la résultante de deux forces perpendiculaires, l’une horizontale, égale à la tension T, l’autre verticale et égale au poids P de la caisse, augmenté de celui q de la poulie, et diminué de la force P vi r 9
  - mouvement vertical du poids P, et qui s’oppose à son accélération ; on a donc
  - d’inertie - , qui se développe dans l’accélération du
  - N =
  - P+ 9
  - P î^rV
  - 9~T)
  - -f-T2.
  - Or, d’après un théorème d’algèhre dû à M. Poncelet» ll valeur d’un radical de la forme y/a2-f-62, dans lequel on sa‘*
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- - DU FROTTEMENT.
  - 259
  - à l’avance que l’on a a>6, est donnée à ^ près par la formule 0,96a4-0,46. En l’appliquant au cas actuel, où l’on a
  - i • P ^
  - toujours P-}-g----— >T, puisque le poids P surmonte la
  - 9
  - résistance T et le frottement du traîneau, onaà ^ près
  - N = 0,96(p+ÿ-?^] + 0,4T.
  - La relation d’égalité des moments devient donc, en y faisant R = 0,032 T,
  - Pr - Tr — 0,032 Tr — 0,96 fr' j P-f q— 0,4 /r'T
  - \vir . P vxr
  - =Tj+r~ïr’
  - et en tirant de cette équation du premier degré la valeur de la tension cherchée T, du brin horizontal de la corde on trouve
  - T [l+O,032+04Ç'] = P[ 1-0,96
  - — 0,96 fq
  - r
  - P VyV ( g~t {
  - I vxr r2 t
  - Ln substituant pour les quantités connues leurs valeurs qui sont
  - f I
  - '=0,164, r'=0m,0093, r=0,n, 111,1=0,00629 d’où -s=0,51,
  - 011 a pour la formule pratique qui donne la tension T, quand 011 connaît le poids P de la caisse
  - T = 0,95 | P — ^0,516 -f ^ ~ | — 0kil,086.
  - Lorsque l’expérience aura démontré que l’accélération
  - constante, et que le relèvement des courbes, en donnant *ei|r équation T2 = 2GE, aura fourni pour cette accélération
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- - 260
  - DU FROTTEMENT.
  - la valeur en nommant 2C le paramètre de la pa-
  - rabole, on aura tous les éléments nécessaires pour calculer la valeur de la tension de la corde dans l’expérience. Elle sera
  - T = 0,95 |P— ^0,516-f 0kil,°86.
  - Dans le cas où le mouvement est uniforme, l’accélération Y~ = £ devient nulle, et la formule ci-dessus se réduit à T =0,95 P — 0kil,086,
  - ou simplement T = 0,95P, à cause de la faible valeur du deuxième lermc 0kil,086.
  - En relevant directement, d’après les courbes de tension du dynamomètre, les valeurs de Tf relatives h plus de quarante expériences dans lesquelles les charges ont varié depuis 12 jusqu’à 95 kilogrammes, on a trouvé que le rapport de la tension à la charge, ainsi fourni par mesure directe , était de 0,96, ce qui montre que l’ensemble des données introduites dans la formule ci-dessus conduit à un résultat qui s’accorde avec celte mesure dans des limites d’exactitude bien suffisantes.
  - 226. Relation entre la tension de la corde et le frottement du trumeau. — Connaissant la tension T de la corde, à l’aide du dynamomètre, ou l’ayant calculée par la formule précédente, il devient facile d’en déduire la valeur du frottement cherché du traîneau, en appliquant directement Ie principe de l’action égale et contraire à la réaction. En effet, la tension T et le frottement cherché F sont deux forces extérieures dirigées en sens contraires, et dont la dilté-rence T — F produit l’accélération du mouvement du traîneau. D’une autre part, la résistance que l’inertie du poids Q du traîneau oppose à cette accélération est, n° 62, 0 i\ r '> *
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- - DU FROTTEMENT.
  - On a donc pour l’égali le de Faction à la réaction
  - d’où
  - j? — t______— 1
  - 9 G
  - Lors donc qu’on aura, par l’observation directe, à l’aide du dynamomètre ou par la formule du numéro précédent, déterminé la tension de la corde on en retranchera la quan-
  - ment le paramètre 2G de la courbe du mouvement, et l’on aura la valeur du frottement. Telle est la marche qui a été suivie pour le calcul de toutes les expériences où le mouvement a été accéléré ; quant à celles où le mouvement était uniforme, on a simplement F = T.
  - On voit, que la loi du mouvement étant une fois connue Par le relèvement des courbes, et étant celle d’un mouvement uniformément accéléré, on a pu, après avoir constaté la constance et la généralité de celle loi, se passer de l’usage du dynamomètre et se contenter des indications de 1 appareil chronométrique.
  - -20. Résultats d’expériences—le reproduis, comme exemples des résultats obtenus, quelques-uns des tableaux insérés (lans mes mémoires, successivement présentés à l’Institut, et insérés au Recueil des savants étrangers, et comme exemple (le l’application des formules précédentes, je choisis la deuxième expérience du premier de ces tableaux, relative aufrottement du chêne, glissant sur du chêne sans enduit, e! les fibres étant parallèles au sens du mouvement.
  - Hans cette expérience l’on avait
  - Q = 133k!l,86, P=92kU,22,
  - Le tracé de la courbe donne pour le paramètre 2C = 2m,08,
  - d’où
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- - 262
  - DU FROTTEMENT.
  - et par suite la tension
  - T = 0,95 | P — (o,5l6-f ?) ^|— 0kll,086 = 78kil,45.
  - L’autre formule donne pour la valeur du frottement
  - F = T — - . i = 65kil,34.
  - 9 C
  - Le rapport du frottement à la pression est donc ici :
  - 65,34
  - 133,86
  - = 0,488.
  - Expériences sur le frottement du chêne en mouvement sur du chêne sans enduit.
  - Les fibres du bois sont parallèles au sens du mouvement.
  - VITESSE
  - du
  - mouvement
  - 217 23
  - 228,66
  - 0,2600
  - 243,32
  - 0,710
  - 421,78
  - 679,73
  - 1039,03
  - 102,84
  - 0,0031
  - 176,58
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- - DU FROTTEMENT.
  - 263
  - Lorsque le mouvement est uniforme, comme dans la seizième expérience du même tableau, on a simplement
  - pour Q= 199kil,52, P = 95^,84 ,
  - F = 0,95 P = 91kU,04, = 0,4».
  - L’examen des divers tableaux qui sont relatifs à des cas très-variés établit complètement les lois du frottement qui a lieu pendant le mouvement entre la plupart des matières employées dans les arts. Les résultats de toutes les autres expériences ont été conformes à ceux que nous nous contentons de rapporter ici.
  - Expériences sur le frottement de l'orm,e en mouvement sur du chêne sans enduit.
  - Les fibres du bois sont parallèles au sens du mouvement.
  - ' ÉTENDUE i de la I surface de contact. 1 NATURE de l’enduit. PRESSION Q. POIDS MOTEUR pendant le mouvement, P. TENSION de la corde pendant le mouvement, 8 ! PARAMÈTRE 2 C. FROTTEMENT j RAPPORT DU FROTTEMENT à la pression, f. VITESSE du mouvement, à 3m.Oo de course.
  - m.q. kil. kil. kil. kil. kil. IT1
  - 117,91 73,14 63,11 2,40 0,83 53,13 0,45 2,30
  - 117,91 84,98 69,40 1,54 1,29 53,90 0.45 2,88
  - 417,77 229,74 204,22 3,23 0,619 177,86 0,42 1,97
  - 417,77 217,75 199,71 6,10 0,328 185,75 0,44 1,41
  - 0,1243 417,77 205,91 188,97 6,24 0,321 175.30 0,42 1,37
  - 417,77 301,26 238,37 1,24 1,610 169,82 0,41 3,08
  - 897,81 505,03 442,96 2,63 0,761 372,60 0,43 2,26
  - 897.81 5897.81 456,94 420,36 6,54 0,305 392,45 0,41 1,23
  - 505,03 413,25 3,96 0,505 357,03 0,41 1,73
  - 897,81 588,85 500,96 1,97 1,015 408,07 0,45 2,47
  - 0,0059 111,00 61,40 55,48 4.64 0,431 49,39 0,45 1,60
  - 176,64 141,10 109,12 1,14 1,754 77,73 0,44 3,20
  - •üsr— 416,14 217,53 199,42 5,69 0,332 Moyenr 185,31 ie l 0,44 0,432 1,45
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- - 2G4
  - DU FROTTEMENT.
  - Expériences sur le frottement de la pierre calcaire tendre oolithique de Jaumont, près Metz, en mouvement sur de la pierre de même nature sans enduit.
  - H
  - O ai a © S © © > K u © a 6
  - c H O 6>3 G g eS S ^ c h e ^ a ûS H 25 a h cf © o C 2 © 5 a S o
  - ÉTENDl de la surface de < =S TS G> G H © « 0> TJ ôo en q? a eS O C3 S St)» a S §,o o S iS O O O s ° eH- ‘-eu*. n 03 TJ G © CG s « CN PS 04 i h H O CS a ^ en G g ^ PL, A -© Ch 04 a S > o ?6| G S TJ M
  - m. q. kil. kil. kil. m. kil. ni.
  - 142.39 115,25 100,84 2,72 0,735 90,18 0,633 2,10
  - 142,39 115,25 99,01 2,24 0,892 85,06 0,604 2,31
  - 0,0800 572,20 453,25 387,01 2,04 0,980 329,86 0,576 2,42
  - 578,08 469,25 389,67 1,64 1,219 317,78 0,549 2,70
  - 578,08 469,25 389,67 1,64 1,219 317,78 0,549 2,70
  - Moyenne 0,582
  - 140,36 133,25 111,27 1,76 1,136 95,02 0,676 2,59
  - 150,36 133,25 110,93 1,72 1,162 94,30 0,671 2,64
  - 0,0464 570,17 469,25 419,47 3,50 0,571 386,29 0,677 1,85
  - 570,17 517,25 428,02 1,60 1,250 355,43 0,623 2,74
  - 570,17 517,25 419,10 1,40 1,428 336,11 0,589 2,93
  - Moyenne 0,674
  - 135,30 109,25 98,98 4,68 0,427 93,09 0,688 1,60
  - Cfi in a> i 135,30 109,25 95,68 2,76 0,724 85,70 0,633 2,08
  - 5 S <3 a 'Z ° 135,30 271,11 133.25 211.25 108,45 191,09 1,48 4,40 1,351 0,454 89,82 178,55 0,633 0,658 2,85 1,65
  - «3 1 271,11 211,25 195,49 8,20 0,244 188,75 0,696 1,21
  - 271,11 259,25 220,09 1,96 1,020 191,91 0,709j 2,47
  - Moyenne... . 0,647
  - Moyenne générale 0,637
  - Lorsque la pierre calcaire tendre glisse sur de la pien’e calcaire tendre, et surtout quand le corps mobile ne repose que sur des surfaces de peu d’étendue, celles-ci s’usent rapidement pendant l’expérience. Cette circonstance et la présence de la poussière qui en résulte n’ont pas altéré les lois observées.
- p.264 - vue 273/470
- - DU FROTTEMENT.
  - 2G5
  - Expériences sur le frottement du cuir de bœuf fort, tanné, posé à plat, en mouvement sur la fonte.
  - ÉTENDUE de la surface de contact. NATURE de l’enduit. PRESSION. POIDS MOTEUR pendant le mouvement. TENSION de la corde. PARAMÈTRE. VALEUR de l’accélération FROTTEMENT. RAPPORT DU FROTTEMENT à la pression. VITESSE du mouvement, à 3ni,00 de course.
  - ra. q. kil. kil. kil. m. kil. m.
  - 0,0386 Néant. 213,57 145,25 132,32 5,08 0,193 123,67 0,579 1,53
  - 501,67 289,25 274,79 » » 274,79 0,540 Lente.
  - Moyenne. 0,559
  - 131,95 85,25 70,18 1,63 1,227 53,79 0,407 2,70
  - 0,0386 131,95 73,25 69,69 1,72 1,162 45,18 0,342 2,64
  - EidU. \ 131,95 61,25 53,88 3,04 0,657 45,11 0 342 1,98
  - 505,57 443,25 312,65 0,80 2,500 184,59 0,368 3,87
  - Moyenne. 0,365
  - 505,15 97,25 87,87 6,70 0,298 74,00 0,146 1,38
  - 0,0386 505,15 97,25 90,02 8,48 0,230 78,16 0,154 1,18
  - 505,15 145,25 126,74 2,61 0,767 87,25 0,172 2,16
  - 505,15 193.25 158,88 1,56 1,280 82,97 0,164 2,76
  - Moyenne. 0,159
  - 135,34 17,80 16,91 » » 16,91 0,124 ))
  - 0,0386 135,34 41,80 34,59 1,80 1,111 19,28 0,142 2,58
  - nulle. 505,15 67,25 63,89 » » 63,89 0,126 ))
  - 505,15 97,25 88,97 5,92 0,337 71,61 0,141 1,40
  - Moyenne. 0,133
  - Surfaces 505,15 145,25 133,52 6,60 0,303 117,92 0,233 1,42
  - onctu»*. 217,15 61,25 56,12 6,40 0,312 49,27 0,226 1,42
  - * Moyenne. 0,320
  - ^5555;
  - Quoique le cuir soit un corps mou et trcs-compressible, ^ frottement n’en reste pas moins proportionnel à la pres-Sl°n et indépendant de la vitesse, dans toute l’étendue des expériences faites.
- p.265 - vue 274/470
- - 266
  - DU FROTTEMENT.
  - Expériences sur le frottement du cuivre jaune en mouvement sur le chêne, sans enduit.
  - Les fibres du bois sont parallèles au sens du mouvement.
  - ÉTENDUE de la surface de contact. sê © w ca Çk POIDS MOTEUR pendant le mouvement. TENSION de la corde. PARAMÈTRE. | VALEUR de l’accélération FROTTEMENT. RAPPORT DU FROTTEMENT 1 à la pression. VITESSE du mouvement à 3m,00 de course.
  - kil. 116,59 kil. 73,21 kil. 69,55 0 x> 69,55 0,60 7)
  - 116,59 73,28 69,62 » » 69,62 0,60 »
  - 0,0403 698,22 445,25 422,99 jy j> 422,99 0,60 »
  - 698,22 505,25 484,72 5,08 0,393 456,95 0,65 J)
  - 698.22 577,25 499,76 2,32 0,861 438,48 0,62 2,28
  - 902,22 625,25 585,36 14,26 0,140 572,49 0,63 0,93
  - 112,59 73,33 69,66 » y> 69,66 0,61 i)
  - 112,67 85,41 76,90 4,21 0,475 71,45 0,63 1,59
  - 0,0131 346,40 241,25 220,91 6,42 0,311 209,93 0,61 1,50
  - 694,30 445,26 422,99 X> » 422,99 0,61 ))
  - 694,30 577,26 500,54 2,36 0,847 440,60 0,63 2,29
  - Moyenne. 0,617
  - Dans les expériences pour lesquelles Ton n’a pas indiqué la valeur du paramètre de la loi du mouvement et celle de l’accélération, le mouvement était lent et un peu incertain.
  - Les résultats contenus dans ce tableau confirment les trois lois énoncées plus haut, mais on remarquera que la valeur moyenne du frottement qui est ici de 0,617, est plus considérable que dans le cas du chêne frottant sur le chêne, ou dans celui de l’orme frottant sur le même bois de chêne, pour lesquels les résultats sont consignés aux tableaux des pages 262 et 263 : nous verrons par le tableau suivant que le coefficient diminue considérablement lorsque le frottement a lieu entre deux surfaces métalliques.
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- - Expériences sur le frottement de la fonte en mouvement sur la fonte.
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- - 208
  - DU FROTTEMENT.
  - Ce tableau, outre la vérification des lois de la proportionnalité du frottement à la pression et de son indépendance de la vitesse, montre que l’eau accroît plutôt le frottement de la fonte qu’elle ne le diminue. L’on voit aussi que le suif ferme et un peu dur réduit moins le frottement que le saindoux.
  - 250. Conséquences des expériences.—L’ensemble des expériences que j’ai exécutées sur le frottement proprement dit des surfaces planes les unes sur les autres, comprend 179 séries correspondant à des cas différents, soit par la nature, soit par l’état des surfaces en contact. Toutes ces expériences sans exception conduisent aux conséquences suivantes :
  - Le frottement, pendant le mouvement, est :
  - 1° Proportionnel à la pression ;
  - 2° Indépendant de l’étendue des surfaces de contact;
  - 3° Indépendant de la vitesse du mouvement.
  - 231. Expériences sur le frottement au départ ou quand les surfaces ont été quelque temps en contact. — Le même appareil a servi pour les expériences sur le frottement, au départ ou après un contact prolongé, dont le but était de constater dans quels cas il y avait une différence notable entre ce frottement et celui qui se produit pendant le mouvement. Cette différence qui peut provenir, selon les cas, de causes assez diverses, doit en général être attribuée à la compression réciproque des corps l’un sur l’autre, et à une sorte d’engrènement de leurs éléments. Le temps, la durée de la compression, doit probablement exercer une influence sur l’intensité de la résistance que les surfaces opposent au glissement. Mais, en général, il paraît que cette résistance obtient son maximum au bout d’un temps très-court.
  - 232. Résultats d’expériences.—Nous rapporterons ici quelques-uns des résultats des expériences que nous avons exécutées.
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- - DU FROTTEMENT.
  - 260
  - Expériences sur le frottement du chêne sur du chêne sans enduit, lorsque les surfaces ont été quelque temps en contact.
  - Les fibres des bandes glissantes sont perpendiculaires à celles des semelle?.
  - ÉTENDUE de la surface de contact. PRESSION Q. EFFORT MOTEUR OU frottement. f. RAPPORT ‘ du frottement à la pression. F.
  - m. q. kil. kil.
  - 54,66 30,45 0,55
  - 128,09 68,12 0,53
  - 0,0880 224,44 114,42 0,51
  - 904.67 531,00 0,58
  - 1145,63 583,63 0,51
  - 176,54 92,41 0,52
  - 0,0040 182,72 96,33 0,53
  - 662,48 387,58 0,52
  - Moyenne .... 0,54
  - Le frottement paraît être, comme on 1e voit, proportionnel à la pression , qui a varié de 54 kilog. à 1145 kilog., et ^dépendant de l’étendue des surfaces de contact, qui ont Varié dans le rapport de 1 à 22, la plus petite étant de 0m-'i,oo4 et la plus grande de 0m,%088; cette dernière valeur surpasse celtes qui sont ordinairement employées Pour les surfaces glissantes, dans tes constructions mécaniques.
  - Le rapport du frottement à la pression s’élève ici h 0,54, tandis qu’il n’était que de 0,48 pendant 1e mouvement, oiusi qu’il résulte du tableau de la page 263. Le frolteincnt au départ est donc environ plus élevé d’un huitième que celui que nous avons considéré en premier lieu. Une sem-Llable augmentation se présente dans tous les cas analogues.
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- - 270
  - DU FROTTEMENT.
  - Expériences sur le frottement du chêne sur le chêne sans enduit, lorsque les surfaces ont été quelque temps en contact.
  - Les pièces glissantes ont leurs libres verticales, celles des pièces fixes sont horizontales et parallèles au sens du mouvement.
  - ÉTENDUE de la surface de contact. PRESSION Q. EFFORT MOTEUR OU frottement F. RAPPORT du frottement à la pression. f DURÉE de contact.
  - kil. 196,93 kil. 83,84 0,427 5 à 6"
  - 195,93 83,84 0,427 10'
  - 196,93 71,39 0,364 1'
  - 315,93 160,79 0,509 6'
  - 315,93 137,99 0,436 30"
  - 0,0636 315,93 155,09 0,498 8 à 10'
  - 1 399,93 183,79 0,459 8 à 10'
  - 501,93 251,99 0,502 10'
  - 501,93 194,99 0,388 5 à 6"
  - 999,93 367,39 0,367 15'
  - 999,93 400,19 0,400 10'
  - Moyenne.. .. 0,434
  - Ce tableau montre que pour les bois le frottement au départ présente, à surfaces et pressions égales, des différences assez grandes d’une expérience à l’autre, et que cette résistance atteint sa valeur maximum après un temps de contact fort court, qui ne paraît pas dépasser quelques secondes. Nous voyons en effet que les chiffres qui correspondent à 5 et à 6 secondes ne sont pas inférieurs à ceux qui sont relatifs à un contact de 15 minutes, le plus prolongé de ceux consignés au tableau.
  - La valeur moyenne du rapport f du frottement à la pression est 0,434, mais on fera bien dans les applications de compter sur 0,48 ou même 0,50.
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- - DU FROTTEMENT.
  - 271
  - Expériences sur le frottement de la pierre calcaire oolitliique sur la pierre calcaire oolithique lorsque les surfaces ont été quelque temps en contact.
  - ÉTENDUE de la surface de contact. PRESSION Q. EFFORT MOTEUR OU frottement F. RAPPORT du frottement à la pression f- DURÉE du contact.
  - m.q. kil. kil.
  - 142,39 103,79 0,728 15'
  - 150,02 108,49 0,723 15'
  - 0,0800 527,20 430,59 0,752 15'
  - ! 578,08 422,99 0,731 5 à 6"
  - 578,08 434,39 0,751 5 à 6"
  - Moyenne 0,737
  - 140,36 103,79 0,739 2'
  - 0,0464 570,17 445,79 0,781 10'
  - 570,17 445,79 0,781 1'
  - Moyenne 0,733
  - Arêtes 1 135,30 103,79 0,774 2'
  - arrondies. | 273,11 200,68 0,740 5 à 6"
  - Moyenne 0,757
  - Moyenne générale 0,740
  - On voit encore par ces expériences que le frottement au Oépart est, comme le frottement en marche, indépendant l'e l’étendue de la surface de contact et proportionnel à la pression. Cette conclusion et la valeur même que l’on dé-•Init des expériences ci-dessus ont été confirmés depuis Par les résultats obtenus dans des cas analogues, par Boistard, ingénieur en chef des ponts et chaussées, en 1822.
  - Ces chiffres diffèrent d’ailleurs assez peu les uns des nutres pour que l’on puisse accorder toute confiance à la moyenne générale 0,74, et l’employer dans tous les cas
  - semblables.
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- - 272
  - DU FROTTEMENT.
  - Expériences sur le frottement de la pierre calcaire oolithiqve sur la pierre calcaire oolithique, lorsque les surfaces ont été quelque temps en contact, avec interposition de mortier frais.
  - ÉTENDUE EFFORT MOTEUR RAPPORT
  - de la PRESSION OU du frottement DURÉE
  - sur lace à la du contact.
  - de contact. frottement pression
  - Q. F. t-
  - m.q. kil. kil.
  - 147,67 115,17 0,780 10'
  - 229,48 183,59 0,800 10'
  - 0,0800 ' 355,48 263,39 0,740 15'
  - 355,48 275,79 0,773 10'
  - 355,48 251,99 0,709 10'
  - 529,48 445,79 0,841 15'
  - Moyenne 0,773
  - 140,36 108,49 0,772 10'
  - 222,17 172,19 0,775 10'
  - 354,17 257,69 0,727 10'
  - 0,0464 528,17 365,99 0,792 15'
  - 528,17 411,59 0,779 10'
  - 530,17 365,99 0,690 10'
  - 702,17 525,59 0,748 15'
  - Moyenne 0,745
  - 145,02 115,19 0,794 10'
  - 0,0152 226.83 358.83 137,99 217,79 0,608 0,607 10' 10'
  - 526,83 331,79 0,629 15'
  - Moyenne 0,659
  - Moyenne générale 0,735
  - Ces expériences montrent que le frottement ail départ est pour ces pierres, à très-peu près le même, avec interposition de mortier, que sans mortier.
  - En résumé, les nouvelles épreuves ont fait voir que 1e frottement, au moment du départ et après une durée très-courte de contact, est :
  - 1° Proportionnel à la pression
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- - DU FROTTEMENT.
  - 273
  - 2° Indépendant de l’étendue des surfaces de contact, et que de plus, pour les corps compressibles, il est notablement plus grand que celui qui a lieu pendant le mouvement.
  - 255. Observation relative à l’expulsion des enduits sous de fortes pressions et par un contact prolongé. — Cependant on a observé que pour les corps métalliques enduits de graisse on d’huile, sous des pressions assez grandes par rapport à l’étendue des surfaces, il arrivait qu’après un contact de quelque durée, les enduits étant expulsés, les surfaces arrivaient alors à un état simplement onctueux, pour lequel le frottement est plus grand et plus que double de sa valeur dans le cas où les surfaces sont bien graissées. Cette observation explique comment il arrive que l’effort nécessaire pour mettre en mouvement certaines machines est, abstraction faite de l’influence de l’inertie, souvent beaucoup plus considérable que celui qui est nécessaire pour entretenir un mouvement rapide. Cela prouve en passant que pour apprécier expérimentalement les frottements des machines en mouvement il ne faut pas employer les mêmes moyens que pour les machines partant du repos, mnsi que le font quelquefois les expérimentateurs.
  - 234. Influence des vibrations sur le frottement au départ.
  - Une autre circonstance remarquable que les expériences de Metz ont signalée, c’est que, quand un corps compresse est sollicité à glisser, par un effort qui serait capable de vaincre le frottement pendant le mouvement, mais inférieur au frottement au départ, une simple vibration, produite souvent par une cause extérieure et légère en appa-rence, peut déterminer le mouvement. Ainsi, pour du bois de chêne frottant sur du chêne, le frottement au départ est 0,680 de la pression, et le frottement pendant le mouvement en est les 0,480; de sorte que pour produire le mou-'ement d’un poids de 1000 kilogrammes il faut alors exercer lln effort de 680 kilogrammes, tandis qu’il n’en faut qu’un
  - 18
- p.273 - vue 282/470
- - DU frottement.
  - 274
  - de 480 kilogrammes pour l’entretenir. Cependant, sous un effort égal ou peu supérieur à 480 kilogrammes, et par l’effet d’une vibration, le corps pourrait marcher.
  - Celte observation importante s’applique aux constructions, toujours plus ou moins exposées à des vibrations, et montre que, si dans le calcul des appareils ou machines destinées à produire le mouvement on doit compter sur la plus grande valeur du frottement, dans ceux qui sont relatifs à la stabilité des constructions on doit au contraire n’introduire que sa plus petite valeur, celle qui a lieu pendant le mouvement. Elle sert enfin à expliquer comment il arrive quelquefois que des édifices, qui ne donnaient aucune inquiétude sur leur stabilité, s’écroulent tout à coup par le passage d’une voiture, et comment le tir par salves d’une batterie de brèche peut, à certains instants, accélérer la chute d’un rempart ou d’un bâtiment.
  - 235. Influence des enduits. — Les enduits gras diminuent considérablement le frottement et l’usure des surfaces, qui en est la conséquence. Mais d’après l’observation que nous avons faite (au n° 250), on voit que, bien que le frottement soit en lui-même indépendant de l’étendue des surfaces, H convient de proportionner celles-ci aux pressions qu’elles doivent supporter, afin que les enduits ne soient pas expulsés. Il faut aussi remarquer que toutes les expériences dont il est question ont été faites sous des pressions pins ou moins considérables, et que les résultats ne doivent s’appb" quer qu’à des circonstances analogues. On conçoit en effet que, si les pressions étaient tellement grandes, par rappel aux surfaces, qu’il en résultât une dégradation notable, l’ébd des surfaces, et par conséquent le frottement, varierait; ou que, si au contraire les surfaces étaient grandes et les pres" sions très-faibles, la viscosité des enduits, négligeable dan» tous les cas ordinaires, pourrait alors exercer une influcntt sensible.
  - 11 faut remarquer qu’en général, et surtout pour les mé'
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- - DU FROTTEMENT.
  - 27 o
  - taux, l’eau pure est un mauvais enduit, et que parfois elle augmente plutôt qu’elle ne diminue le frottement.
  - 250. Adhérence des mortiers et enduits solidifiés. — Mais lorsque le mortier a pris et que la dessiccation a atteint le degré convenable, il n’en est plus de même; l’adhésion, la cohésion, remplacent le frottement, et la résistance à la séparation devient sensiblement proportionnelle à l’étendue delà surface de contact et indépendante, au contraire, de la pression exercée, soit au moment de la pose, soit à celui de la séparation.
  - Pour les pierres calcaires scellées avec du mortier de chaux hydraulique de Metz, la résistance est d’environ J0307 kilogrammes par mètre carré de superficie. Avec d’autres chaux, sans doute grasses ou ordinaires, M. Bois-tard, ingénieur des ponts et chaussées, a trouvé 0960 kilogrammes. Avec du plâtre la résistance paraît encore suivre la même loi; mais elle varie considérablement avec l’instant de la prise du plâtre, qui paraît exercer une grande influence sur la cohésion.
  - 257, Observation sur l’introduction du frottement et de la cohésion dans les calculs sur la stabilité des constructions. — Enfin on remarquera que le frottement ne peut, dans le cas des scellements en mortier ou en plâtre, se manifester qu’après que la cohésion ou l’adhérence a été vaincue, et ‘lue par conséquent ces deux résistances ne coexistent pas. Pans les calculs relatifs à la stabilité des constructions, on doit donc ne compter que sur l’une d’elles et sur la plus faible.
  - 238. Expériences sur le frottement pendant le choc. — d’après les notions générales que nous avons exposées sur 1° uiode d’action des forces, sur les efforts de compression, ‘luise développent pendant le choc, et la vérification que u°us avons faite aux n°’ 68 et 67 des conséquences que l’on l're de ces notions, l’on serait certainement bien autorisé
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- - 276
  - DU FROTTEMENT.
  - à conclure que les efforts qui se produisent pendant le choc donnent lieu à des frottements qui suivent exactement les mêmes lois que dans les cas ordinaires. C’est d’ailleurs ce qui était expressément admis par l’illustre M. Poisson, qui, dans la deuxième édition de son Traité de mécanique, n°47Ü, s’exprimait en ces termes : « Quoiqu’il n’ait pas été fait d’observations sur l’intensité du frottement qui a lieu pendant le choc, on peut supposer, par induction, qu’il suit les lois générales du frottement des corps soumis à des pressions proprement dites, puisque la percussion n’est autre chose qu’une pression d’une très-grande intensité, exercée pendant un temps très-court. »
  - C’est pour vérifier par l’observation directe l’exactitude de cette appréciation sur le frottement pendant le choc, et sur l’invitation expresse de M. Poisson, que j’ai entrepris plusieurs séries d’expériences, en choisissant pour les faire, le cas où des bandes de fonte glissaient sur des barres de fonte enduites de saindoux, attendu que c’est l’un de ceux qui avaient été étudiés avec le plus de soin dans mes précédentes expériences, et l’un des plus fréquents dans la pratique.
  - 239. Description de Vappareil employé aux expériences. —
  - L’appareil que j’ai employé ne diffère de celui qui a été sommairement décrit a11 n° 225, que par la disposition suivante, nécessaire pour suspendre au traîneau, à une hauteur voulue, 1e corps destiné à produire le choc et à le laisser tomber à volonté pendant le mouvement.
  - Sur les côtés de la caisse couples de montants verb*
  - Fig. 78.
  - du traîneau 's’élevaient deux
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- - pu FROTTEMENT.
  - 277
  - eaux en sapin ab el a'b', percés de trous espacés de 0n,,05 en 0m,05, à travers lesquels passaient (leux chevilles en fer sur lesquelles s’appuyait de part et d’autre une traverse mobile cd en chêne. En remontant ou en abaissant les chevilles, l’on pouvait faire varier à volonté la hauteur de la traverse cd au-dessus du traîneau. Une vis e avec rosette et écrou à oreilles passait librement à travers un trou pratiqué au milieu de la traverse et soutenait une tenaille en écrevisse avec branches à anneaux, à laquelle on suspendait une bombe formant le corps choquant. Les deux branches de cette tenaille étaient liées avec des brins de mèche à étoupilles qui les tenaient fermées. A l’aide de la vis e l’on pouvait exactement régler la hauteur de chute du corps au-dessus de la surface choquée.
  - On conçoit facilement, d’après cette description, que la caisse et le dispositif faisant corps avec le traîneau, tout le système se mettait en marche d’un mouvement commun, et que si, à un instant quelconque de la course, la bombe tombait sur le traîneau, elle y arrivait avec une vitesse verticale due à la hauteur de la chute, et avec une vitesse horizontale, qui, ainsi qu’on le verra plus loin, était sensiblement la même que celle de ce traîneau. Au moyen de la ligature des branches de la tenaille avec de la mèche à élou-P'Hes, on obtenait sans secousse extérieure et sans ébranlement la chute de la bombe. A cet effet, un homme mettait le feu à un bout libre de cette étoupille et donnait le signal du départ du traîneau : la combustion se communiquait à lu partie supérieure que retenait la tenaille fermée; celle-ci s’ouvrait brusquement et lâchait la bombe sans que rien P«t, dans celte opération, altérer le mouvement commun au système des deux corps.
  - ^40. Circonstances générales des expériences. — Les expé-r>ences ont été faites en imprimant au traîneau tantôt un Mouvement uniforme, tantôt un mouvement accéléré : on °hlenait à volonté le premier de ces mouvements en ne
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- - 278
  - DU FROTTEMENT.
  - donnant à la caisse descendante que le poids nécessaire pour vaincre le frottement et en suspendant sous cette caisse une bombe du poids de 50 kilogrammes, qui ne descendait que de 0m,50, et cessait ensuite d’agir, ainsi qu’il a été expliqué au n° 97 du second Mémoire. Quant au mouvement accéléré, il se produisait toutes les fois que le poids moteur surpassait le frottement. La loi de ces mouvements était d’ailleurs déterminée, dans chaque cas, à l’aide des courbes tracées par le style de notre appareil chronométrique.
  - 241. Examen général de ce qui se passe dans les expériences. — On voit aisément, d’après ce qui précède, ce qui se passait pendant les expériences; prenons en effet pour exemple un cas où le système du traîneau et de la bombe suspendue au-dessus de ce corps était animé d’un mouvement uniforme. A l’instant où la combustion de l’étoupille qui retenait les branches de la tenaille leur permettait de s’écarter, la bombe devenait libre et tombait en vertu de son poids; pendant qu’elle descendait et jusqu’au moment où elle atteignait le traîneau, celui-ci se trouvait déchargé du poids de la bombe et acquérait une quantité de mouvement précisément égale «à celle que le frottement dû à ce poids aurait consommée. La vitesse horizontale du traîneau à l’instant où le choc commençait était donc un peu plus grande <PIC celle de la bombe. Passé celte époque, les forces de compression développées par le choc produisaient un frottement variable comme elles à chaque instant, et qui consommait une certaine quantité de mouvement; de sorte que le traîneau, dont la marche s’accélérait pendant h chute de la bombe était ensuite retardé pendant l’acte du choc.
  - 242. F ’ormules emploijées au calcul des expériences. " Comme il s’agissait de vérifier si le frottement reste prop01' tionnel aux pressions variables qui se produisent pendant la durée très-courte du phénomène, nous allons établir k5
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- - DU FROTTEMENT.
  - 279
  - formules qui sonl relatives à cette hypothèse, et nous les comparerons ensuite aux résultats de l’expérience. Considérons d’abord le cas d’un mouvement uniforme et appelons :
  - Q le poids du traîneau et de l’appareil de suspension de la bombe ;
  - q le poids de la bombe qui produit le choc;
  - fie rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact ;
  - h la hauteur de chute de la bombe au-dessus du traîneau,
  - U la vitesse due à cette hauteur;
  - T le temps de la chute;
  - V la vitesse horizontale du traîneau et de la bomhe , à l’instant où celle-ci est lâchée par la tenaille ;
  - V' la vitesse de ces corps après le choc;
  - q~ 9m,8088.
  - Au moment où la bombe devient libre, la quantité de mouvement possédée par le système est
  - Q + gy 9
  - Le poids de la bombe, quand elle est liée au traîneau; Produit un frottement fq qui, dans chaque élément de letnps t, consomme une quantité de mouvement f.qt, et qui, Pendant la durée de la chute, en consommerait la quan-üté /?T.
  - Mais puisqu’au contraire la bombe cesse de presser sur te traîneau pendant ce temps, il s’ensuit que la quantité de mouvement, gagnée par le système, par suite de cette dimi-mition de pression pendant le temps T de la chute, est
  - Précisément fqT.
  - A l’instant où la bombe atteint le traîneau, la quantité de mouvement possédée par le système est donc
  - (Q+<?)V
  - f/gT.
  - 9
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- - 280
  - DU FROTTEMENT.
  - À partir de cet instant et pendant toute la durée du choc, la bombe perd dans chaque élément de temps un élément
  - de vitesse, et par suite une quantité de mouvement (ju,
  - d’où résulte une force de compression -x^-» produisant
  - un frottement — .7. Ce frottement consomme dans l’élé-9 t
  - ment de temps une quantité de mouvement et quand
  - tout mouvement relatif dans le sens vertical est détruit, ce frottement, dû aux forces de compression, a finalement
  - consommé une quantité de mouvement égale à ^ U.
  - Par conséquent, lorsque le choc est terminé, on doit avoir entre les quantités de mouvement la relation
  - (Q*H)V
  - fg t-
  - ftü Q 4- g
  - ou
  - g g g
  - fqg^—/?u=(Q+50 (V'—Y).
  - V'
  - Or, la bombe, tombant d’un mouvement uniformément accéléré, en vertu de la pesanteur, on a évidemment U — r/T, d’où il résulte que V=V/; c’est-à-dire que dans notre appareil la quantité de mouvement détruite par le frottement résultant des forces de compression doit être précisément égale à celle qu’il gagne pendant la chute de la bombe.
  - Ces deux effets sont successifs, mais ils se passent tons deux dans un intervalle de temps très-court, et 11e doivent par conséquent occasionner dans la courbe du mouvement que des ondulations en sens contraires qui n’altèrent pas loi générale, et qui doivent être à peine sensibles, soit dans la courbe minute, soit dans la courbe qui résulte du relèvement.
  - 245. U accélération du mouvement du traîneau 'pendant ^
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- - DU FROTTEMENT.
  - 281
  - clivte de la bombe peut être négligée. — Il csl facile <le s’assurer à priori que l’accélération de la vitesse du traîneau pendant la chute de la bombe était toujours très-faible dans nos expériences, quoique la hauteur de chute ait été portée jusqu’à 0"\60. On remarquera, en effet, qu’après ce que l’on a dit plus haut en nommant Yj la vitesse horizontale du traîneau au moment où la bombe l’atteint, l’on aura
  - ^V+,?T=Jv,,
  - d'où v,_V = ^I = M.
  - 1 a q
  - En y faisant, par exemple,
  - g = 50kil. h — 0m,60,
  - d’où U=4m,21, Q = 26?kil,84, /•= 0,071,
  - ce qui se rapporte à l’un des chocs les plus intenses que nous ayons produits dans nos expériences, on trouve
  - Vj —Y = Om,000295.
  - Or le choc de la bombe dans le sens horizontal n’ayant lieu qu’en vertu de cette différence de vitesse, on voit que son effet sur le mouvement général doit être tout à fait insensible, et qu’on peut, ainsi que nous l’avons fait dans le calcul précédent, en négliger l’influence sur le mouvement général du traîneau.
  - 244. Cas où le mouvement du traîneau est accéléré. — Le raisonnement qui précède s’appliquerait de la même manière au cas où le système de la bombe et du traîneau serait animé d’un mouvement accéléré, et il en résulterait que sh comme nous l’avons admis, le frottement pendant le choc reste proportionnel à la pression, la loi générale du mouvement de noire appareil ne doit pas être troublée, ou, en d’autres termes, que si, avant la chute de la bombe, le mouvement était uniforme ou accéléré, suivant une certaine
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- - 282
  - DU FROTTEMENT.
  - loi, il le sera encore après le choc, suivant la même loi. La seule perturbation qui pourra en résulter sera manifestée parfois par des ondulations qui, dans la plupart des cas, devront être h peine sensibles.
  - La dureté ou la compressibilité du corps en contact ne devra d’ailleurs avoir aucune influence sur le résultat, et en faisant tomber la bombe sur les madriers de hêtre qui formaient le traîneau ou sur une masse de terre glaise molle posée sur ce traîneau, on devra, pour des circonstances égales d’ailleurs, trouver la même loi de mouvement, et cette loi de mouvement sera la même que s’il n’y avait pas eu de choc.
  - 245. Résultats des expériences. — 11 nous reste maintenant à comparer ces conséquences avec les résultats des expériences qui ont été exécutées, les unes quand le traîneau était animé d’un niouvement uniforme, les autres quand son mouvement était accéléré. Dans ces expériences, l’on a fait varier le poids des sphères choquantes depuis 1 lkil,99 jusqu’à 50 kilogrammes, ou de 1 à 4 environ, le rapport du poids du corps choquant à celui du corps choque de -fa à les hauteurs de chute de 0m,10 à 0m,?0 ou de 1 à7. L’on a produit le choc sur du bois et sur de la terre glaise, posés sur le traîneau. Si donc les lois que l’on a admises dans les formules précédentes sont vérifiées par l’expérience entre des limites étendues, oïl pourra, je pense, en conclure qu’elles subsistent pour les pressions développées pendant le choc, comme pour les autres.
  - Pour abréger, je ne rapporterai ici que les expériences faites dans le cas du mouvement uniforme, lorsque le choc avait lieu sur du bois et sur de la terre glaise. Les expériences faites avec des poids moteurs qui produisaient nn mouvement accéléré ont conduit à des conséquences analogues : L’accélération produite ayant toujours été sensiblement la même dans les cas où il y avait un choc que dans ceux où il n’y en avait pas.
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- - Expériences sur le frottement de la fonte en mouvement sur la fonte, avec enduit de saindoux pendant le choc. Nuta. Le choc est produit par Ja chute d’une sphère en fonte qui tombe sur des madriers de hêtre pendant que le système glissait d’un mouvement uniforme.
  - PO du traîneau. IDS de la sphère. PRESSION totale Q + { HAUTEUR de chute de la sphère h. POIDS MOTEUR pendant le mouvement uniforme. FROTTEMENT. F. RAPPORT du frottement à la pression /• VITESSE du mouvement uniforme. OBSERVATIONS.
  - kit. kil. kil. m. kil. kil. m.
  - 223,23 0,10 0,075 0,842
  - 0,10 0,075 0,800 I,a bombe n’est pas
  - 126,26 11,99 235,22 0,10 18,733 17,796 0,075 0,828 tombée ; il n’y a pas
  - 223,23 0,30 0,075 0,806 eu de choc.
  - 223,23 0,30 0,075 0,818
  - 11,99 228,85 0,60 17,103 16,248 0,071 0,750 '
  - 11,99 228,85 0,60 17,103 16,248 0,071 0,780 ' '
  - 25.00 241,86 0,30 18,540 17,613 0,072 0,773
  - 25,00 241,86 0,30 18,540 17,613 0,072 0,817
  - 25,00 241,86 0,30 18,540 17,613 0,072 0,840
  - 25,00 241,86 0,60 18,540 17,613 0,072 0,853
  - 25,00 241,86 0,60 18,540 17,613 0,072 0,811
  - 2lD,oo / 25,00 241,86 0,60 18,540 17,613 0,072 0.830 . , . , .
  - 25,00 241,86 0,60 18,540 17,613 0,072 0,810
  - 25,00 241,86 0,90 18,540 17,613 0,072 0,815
  - 25,00 241,86 0,90 18,540 17,613 0,072 0.858 Il n’y a pas eu de choc.
  - 50,00 266,86 0,30 20,380 19,361 0,072 0,925
  - 60,00 266,86 0,60 20,380 19,361 0,072 0,903
  - 50,00 266,86 0,60 20,380 19,361 0,072 0,928
  - DU FROTTEMENT. 283
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- - Expériences sur le frottement de la fonte en mouvement sur la fonte, avec enduit de saindoux, pendant le choc.
  - Nota. Le choc est produit par la chute d’une sphère en fonte qui tombe sur une masse de terre glaise, pendant que cette masse et le traîneau glissent d’un mouvement uniforme commun.
  - ' ' PO du traîneau. IDS de la sphère. PRESSION totale Q +- <?• HAUTEUR de chute de la sphère h. POIDS MOTEUR pendant le mouvement uniforme. FROTTEMENT. F. RAPPORT du frottement à la pression f- VITESSE du mouvement uniforme. OBSERVATIONS.
  - kil. n, kil. ni. kil. kil. m.
  - 0,30 0,863
  - 0,30 0,837
  - 7) 0,740
  - » 0,750 Il n’y a pas eu de choc.
  - 0,60 ' 0,755
  - 267,84 25,00 ( 292,84 * 21,94 20,84 0,071 0,895 11 n’y a pas eu de choc.
  - 0,90 0,777
  - 0,90 0,716
  - 0,90 0,824
  - 0,30 0,710
  - 0,30 0,870
  - 267,84 50,000 [ 317,84 0,60 23,75 22,56 0,071 0,816
  - II * 0,870 Il n’y a pas eu de choc. J
  - 284 DU FROTTEMENT.
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- - DU FROTTEMENT.
  - 285
  - L’on voit par ces tableaux que la vitesse du mouvement uniforme a clé la même dans les expériences où il n’y a pas eu de choc et dans celles où il y en a eu, et cela quelle qu’ait été la hauteur de la chute. Cette vitesse n’a dépendu dans tous les cas que de la charge ou pression totale du poids moteur et de l’ctat des surfaces.
  - L’examen des courbes du mouvement montre par les vibrations produites par le choc dans tout l’appareil et qui se faisaient sentir jusqu’au style, en quel endroit ce choc s’est produit, et soit qu’il ait eu lieu dans la période de la course où le mouvement était déjà devenu uniforme, ou dans celle ou le mouvement était encore accéléré, la courbe minute et la courbe relevée offrent à peine quelques légères ondulations, et le mouvement reste ou devient uniforme à la même vitesse.
  - En résumé, ces expériences montrent que dans le choc les frottements dus aux pressions qui se développent sont encore proportionnels à ces pressions et indépendants de la vitesse.
  - 246. TM la transmission du mouvement à l’aide de courroies. - La théorie de la transmission du mouvement à l’aide de cordes ou courroies sans fin est fondée sur deux théorèmes. Le premier, dû à M. de Prony, relatif au glissement d’une corde ou d’une courroie sur la surface d’un cylindre ou d’un tambour; le second, dû à M. Poncelet, se rapporte à la variation de tension des deux brins des cordes 011 courroies sans fin, employées dans ces transmissions. Je 1,le suis proposé de vérifier par des expériences spéciales les conséquences de ces deux théorèmes et je vais faire con-Haîlre succinctement les résultats de ces recherches.
  - 247. Glissement des cordes ou courroies sur des cylindres. — Exposons d’abord le premier de ces théorèmes, et considérons une corde ou courroie enveloppant une portion quelcon-(llle fie la surface d’un cylindre, et sollicitée à une extrémité Pac une puissance P, et à l’autre par une résistance Q. Il
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- - 286
  - DU FROTTEMENT.
  - est clair que , pour produire le glissement de la corde, la puissance P devra être égale à la résistance Q, augmentée de la résistance opposée par le frottement de la corde à la surface du cylindre. Cherchons donc à déterminer ce frottement.
  - A cet effet, considérons deux éléments consécutifs ab et bc de la corde enroulée, et nommons :
  - T la tension de la corde dans l’élément ab.
  - T'la tension de la corde dans l’élément bc.
  - Il est clair que la tension T' surpasse la tension T d’une quantité infiniment petite t, qui est précisément la mesure de la résistance opposée par le frottement ; on a donc
  - T' = T-H,
  - et en passant d’un élément à l’autre, depuis le point wde contact de la direction wP, où T = P, jusqu’au point m de
  - contact de la direction wQ, où r T = Q, la somme de tous les ac-r croissernents de tension produits par le frottement au moment du glissement donnera la tension totale.
  - Le frottement ou l’accroissement élémentaire de tension t> de l’élément ab à l’élément bc< est produit par la pression qui résulte de la composante de la tension T', normale à la surface, laquelle est T' sin «, el1 nommant a l’angle infiniment petit de contingence des deux éléments ab et bc, ou simplement Ta, attendu que ^ diffère infiniment peu de T', et sin a de a ; on a donc
  - f = /\T.« = T/\|,
  - / étant le rapport du frottement à la pression.
  - La somme de tous ces accroissements de tension, Pris depuis le point m, où T = Q, jusqu’au point n, où T = p’
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- - 1)U FROTTEMENT.
  - 287
  - conduit, d’après les règles de l’analyse, qu’il n’y a pas lieu de présenter ici, à la formule
  - log P =log Q -j- 0,434 f ^, ou P = Q. 2,718 f
  - S étant la longueur totale de l’arc embrassé par la corde.
  - L’on voit par cette expression que la tension de la puissance motrice croît depuis P = Q, correspondant à S = 0,
  - S
  - proportionnellement à l’ouverture de l’angle embrassé
  - par la corde, et non à l’étendue absolue de cet arc; ce qui montre que, d’après les considérations théoriques, il importe peu d’augmenter le diamètre du cylindre pour accroître le frottement de glissement des cordes ou courroies, mais qu’il suffit de rendre plus grande la partie proportionnelle de leur circonférence qui est entourée.
  - La formule précédente est relative au cas où la puissance P doit entraîner la résistance Q, et par conséquent vaincre en outre le frottement de la corde ou de la courroie sur le tambour. Dans celui qui se présente fréquemment, et où la force P devrait céder à l’action de la force ou du poids Q, en modérant son action, ou y résister tout à fait, ainsi que cela arrive quand il s’agit de laisser descendre un fardeau , 'e frottement agit en faveur delà force P, et l’on a
  - log P = log Q — 0,434 f. | ou P = —-—.
  - Il fi
  - 2,718 R
  - Telles sont les relations qu’indique la théorie, entre les for-ces P et Q, l’arc embrassé, le rayon du tambour et le coefficient f du frottement. 11 nous reste à déterminer par l’expérience l’exactitude de ces relations.
  - 248. Expériences sur le glissement des cordes et des courroies (lh surface des tambours en bois et des poulies en fonte. — A ce! effet, j’ai employé trois tambours en bois, des diamètres de 0m,836, 0m,408 et0m,100, en les plaçant horizontalement
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- - 288
  - DU FROTTEMENT.
  - dans une position lise, de manière qu’ils ne puissent pas tourner, et l’on passait dessus une courroie en cuir noir corroyé, à peu près neuve, mais ayant déjà acquis de la souplesse par un usage précédent. Sa largeur étant de 0in,050 sur une épaisseur de 0nl,0053; sa roideur a paru d’ailleurs assez faible pour qu’il fut permis de la négliger par rapport au frottement de glissement sur la surface du tambour. Les deux brins de la courroie également répartis de chaque côté du tambour pendaient verticalement, et à chacun d’eux était attaché un plateau de balance destiné à recevoir des poids. La courroie pesait 2kil,295, chaque plateau de balance 0kll,229; par conséquent, le poids de chaque brin, de longueur égale, était avec son plateau de lkil,376. L’arc embrassé était égal à la demi-circonférence. L’on mettait d’abord dans chacun des plateaux des poids égaux, puis on ajoutait graduellement à l’un d’eux, et peu à peu, les poids nécessaires pour faire glisser la courroie sur le tambour.
  - L’on voit d’après cela que la tension Q du brin montant était égale à lkil,376, plus le poids contenu dans le plateau correspondant, et que la tension P du brin descendant était égale à Q, augmenté du poids ajouté, en sus de la charge primitive.
  - Cela posé, la formule précédente devient
  - log P — log Q -f 0,434 f. |, = log Q -f-0,434 /'X 3,1416,
  - d’où l’on lire f- lo8'p-loë'-Q -jof?p-logO o ou ion /-0,434X3,1416” 1,363 *
  - Kn introduisant dans cette formule les valeurs de P et de (J. fournies par l’expérience, on a pu calculer les différentes valeurs du rapport f du frottement à la pression et s’assurer ainsi qu’elles confirment les conséquences théoriques qlie nous venons de développer.
  - 249. Résultats d'expériences. — Les deux tableaux suivants contiennent les résultats des expériences.
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- - DU FROTTEMENT
  - 280
  - Expériences sur le frottement des courroies sur des tambours en bois.
  - LARGEUR ÉTAT DIAMÈTRE LONGUEUR RArrORT
  - développée TENSION DU BRIN du
  - de la delà du de frottement
  - courroie. l’arc à la |
  - courroie. tambour. embrassé. montant, descendant pression,
  - S. Q. r. r-
  - m. m. m. kil. kil.
  - 6,376 30,376 0,497
  - 6,376 29,376 0,486
  - Sèche, 6,376 29,376 0,492
  - 0,050 un peu 0,836 1,313 i 16,376 75.876 0,488
  - onc- 16,376 69.526 0,460
  - tueuse. 16,376 68,676 0,458
  - 11,376 50,376 0,473
  - 11,376 43,376 0,426
  - Moyenne 0,472
  - Sèche, 6,376 | 6,376 28,876 31,376 0,472 0,458
  - 0,050 | un peu ) 0,408 0,640 6,376 28,676 0,507
  - j OÏIC- tueuse. 16,376 16,376 63,876 63,876 0,479 0,433
  - Moyenne 0,462
  - 6,376 33,376 0,526
  - i Sèche, 6,376 34,376 0,541
  - I 11,376 41,376 0,411
  - 0,050 un peu > 0,100 0,157 11,376 44,876 0,438
  - | onc- ] 11,376 42,876 0,422
  - ' tueuse. 1 16,376 73,376 0,477
  - \ 16,376 76,436 0,490
  - Moyenne 0,472
  - 5,401 32,401 0,570
  - 0,028 Très-sèche et rude. - 0,836 1,313 ! 5,401 10,401 10,401 32.901 51.901 47,401 0,575 0,512 0,483
  - 15,401 62,401 0,446
  - 15,401 61,901 0,443
  - Moyenne 0,504
  - Moyenne générale 0,477
  - —
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- - Expériences sur le frottement des courroies en cuir corroyé sur des poulies en fonte.
  - DU FROTTEMENT.
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- - DU FROTTEMETT.
  - 201
  - On voit par ces résultats d’expériences dans lesquelles l’arc embrassé a varié dans les rapports de 8,3 à 1 environ, et où les tensions ont atteint à peu près les limites de celles qu’on donne aux courroies de mécanique, que la valeur du rapport f du frottement à la pression est restée à très-peu près constante.
  - Les trois premières séries du premier tableau confirment pleinement les considérations théoriques. La quatrième série est relative à une courroie tout à fait neuve et très-roide, et c’est à cette circonstance que l’on peut attribuer l’accroissement assez faible de la valeur moyenne qu’elle a fournie. Cette courroie n’ayant d’ailleurs que 0m,028 de largeur, ou environ la moitié de la précédente, on voit que cette dernière série confirme , quant aux courroies, la loi Je l’indépendance des surfaces.
  - Dans les expériences du deuxième tableau, l’étendue de l’arc embrassé a varié dans le rapport de 6 à 1, la largeur de courroie pressée sur la poulie dans celui de 2 à 1 , les tensions dans ceux de 1 à 3 et de 1 à 6, et cependant la valeur du rapport f du frottement à la pression est restée sensiblement constante, et moyennement égale, pour la courroie sèche et les poulies sèches, à
  - /= 0,282.
  - Lorsque la poulie était mouillée d’eau, l’on a eu /'= 0,377.
  - 21>0. Conclusions. — En récapitulant les résultats de ces Jeux séries d’expériences sur le frottement des courroies sur ‘les tambours en bois ou sur des poulies en fonte, on voit que * °n est autorisé à admettre que le rapport de cette résistance ^ la pression est :
  - 10 Indépendant de la largeur de la courroie et de la longueur développée de l’arc embrassé ou du diamètre des tam-D°ui*s, ou, ce qui revient au même, indépendant de l’éten-^Ue de la surface de contact ;
  - 2° Proportionnel à l’angle sous-tendu par la courroie à la surface du tambour ;
- p.291 - vue 300/470
- - DU FROTTEMENT.
  - 3° Proportionnel au logarithme (la rapport des tensions des brins, et exprimé par la formule
  - ' ~ 1,363 *
  - 251. Expériences sur la variation de tension des cordes ou courroies sans fin, employées à transmettre le mouvement. — Passons maintenant à la vérification expérimentale de la théorie donnée par M. Poncelet, pour la transmission du mouvement par des cordes ou des courroies sans fin, et disons d’abord en quoi elle consiste.
  - corde ou une courroie entoure deux poulies ou tambours entre lesquels elle doit établir une solidarité de mouvement, l’on a soin de lui donner une tension suffisante, que l’on détermine le plus ordinairement par tâtonnement, mais qu’il est cependant préférable de calculer comme on le verra plus loin. Cette tension primitive est à l’origine la même dans les deux brins, et cette égalité qui se rétablit au repos, n’est troublée que par l’influence du frottement des axes qui ont été mis en jeu, et qui, selon le sens dans lequel a lieu le mouvement, au moment la machine, agissent dans un sens ou dans
  - l’autre.
  - Cela dit, examinons comment le mouvement se transmet dans un pareil système ; soient :
  - C le tambour moteur,
  - C' le tambour conduit,
  - Ti la tension primitive commune aux deux brins AA'etBB de la courroie au moment où le tambour C commence a tourner et jusqu’à ce qu’il ait entraîné le tambour C'.
  - Le point A du contact primitif du brin AA', marchant en s’éloignant du point A' dans le sens de la flèche, le brin AA
  - Lorsqu’une
  - /jeiV.U'
  - Q
  - T i...........C______________
  - Fig. 80.
  - de l’arrêt de
- p.292 - vue 301/470
- - DII FROTTEMENT.
  - 203
  - s’allonge, et sa tension augmente d’une quantité proportionnelle à cet allongement, suivant une loi générale vérifiée par les expériences sur la traction*. En même temps le point B de contact du brin BB' se rapproche de la mcine quantité du point B', de sorte que le brin BB' se raccourcit précisément d’une quantité égale à celle dont le brin AA' s’est allongé, et la tension de ce même brin BB' diminue en conséquence d’une quantité égale à celle dont la tension •lu brin AA' a augmenté. Si donc l’on appelle :
  - T la tension du brin conducteur AA' à un instant quelconque de la mise en mouvement.
  - T'la tension du brin conduit BB'.
  - t la quantité dont la tension primitive Ti s’accroît dans le brin AA', et diminue dans le brin BB', on aura
  - T=Tt-H, et T —Ti — t, et par conséquent
  - T -{- T' = 2Tj,
  - ainsi à un instant quelconque la somme des deux tensions T et T' est constante et égale au double de la tension primitive.
  - Maintenant il est clair que par rapport au tambour con-(tuit C', la puissance motrice est la tension T, et que la tension T' agit comme une résistance avec le même bras de levier, de sorte que le mouvement n’est produit et entre-tenu qu’à l’aide de l’excès T —T de la première sur la se-f°nde de ces tensions.
  - Si la machine est, par exemple, destinée à soulever un fardeau Q agissant à la circonférence d’un treuil de rayon R', fl est facile de voir, d’après la théorie des moments, qu’à un Estant quelconque du mouvement uniforme de la machine, °n devra avoir la relation
  - (T — T') R = QR.' -f- /‘Nr,
  - ^ étant la pression sur les tourillons, etr leur rayon.
  - * Aoir les leçons sur la Résistance des matériaux.
- p.293 - vue 302/470
- - 294
  - DU FROTTEMENT.
  - Colle pression est d’ailleurs facile h déterminer, car en appelant
  - a l’angle formé par les directions AA' et BB' des courroies avec la ligne des cenlres CC',
  - M le poids du tambour, on voit immédiatement que
  - N = vlM-f-Q + (T—T') sin «p-KT-f-TO* cos.
  - expression qui, d’après le théorème d’algèbre de M. Poncelet, cité au n° 227 a pour valeur exacte à ^ près, quand le premier terme sous le radical est plus grand que le second,
  - N = 0,96 {M + Q-f (T—T') sin a}-f 0,4(T + T') cos a;
  - ù l’aide de cette valeur de N qu’on introduirait dans la formule d’égalité des moments, l’on aurait une relation qui ne contiendrait que les valeurs de la résistance Q et des tensions. Mais comme elle serait un peu compliquée pour les applications, l’on peut remarquer que dans la plupart des cas, l’influence des tensions T et T' sur les frottements sera assez faible pour pouvoir être négligée, au moins dans une première approximation : on procédera donc ainsi qu’il suit :
  - On négligera d’abord l’influence des tensions sur les frottements et l’on aura simplement, dans le cas actuel,
  - N = M + Q
  - et par suite (T — T') R = QR' + f(M + Q )r
  - d’où l’on tirera
  - rr -T,___û (B' fr)-\-f.Mr____
  - R
  - ce qui fournira une première valeur de la différence des tensions, qui est la puissance motrice de l’appareil.
  - Mais cela ne suffit pas pour connaître ces tensions, et ü faut déterminer la tension primitive T, de telle façon ql,e dans aucun cas la courroie ne puisse glisser.
  - 1
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- - DU FROTTEMENT. 295
  - D’après le théorème deM. de Prony, l’on a au moment du glissement entre la tension T et T' la relation
  - Ï = T'X 2,718-4- T'=KT'.
  - n
  - Le nombre K étant une quantité qui dépend uniquement de la nature et de l’état des surfaces en contact, ainsi que S
  - de l’angle ^ embrassé par les courroies sur le tambour C'.
  - Ces quantités sont connues et l’on peut dans chaque cas calculer la valeur de K par cette formule ou la prendre dans la table suivante qui correspond à presque tous les cas de la pratique.
  - RAPPORT de l’are embrassé à la circonfé- rence entière. VALEUR DU RAPPORT K.
  - COURROIES neuves sur tambours en bois. courroies a l’état ORDINAIRE COURROIES humides sur poulies en fonte. CORDES SUR TAMBOURS OU TREUILS EN BOIS
  - sur tambours en bois. sur poulies en fonte. brut. poli.
  - 0,20 1,87 1,80 1,42 1,61 1,87 1,51
  - 0,30 2,57 2,43 1,69 2,05 . 2,57 1,86
  - 0,40 3.51 3,26 2,02 2,60 3,51 2,29 !
  - 0,50 4,81 4,38 2,41 3,30 4,81 2,82 j
  - 0,60 6,59 5,88 2,87 4,19 6,58 3,47
  - 0,70 9,00 7,90 3,43 5,32 9,01 4,27
  - 0,80 12,34 10,62 4,09 6,75 12,34 5,25
  - 0,90 16,90 14,27 4,87 8,57 16,90 6,46
  - 1,00 23,14 19,16 5,81 10,89 23,90 7,95
  - 1,50 » U D t> 111,31 22,42
  - 2,00 > >* X> » 535,47 63,23 |
  - 2,50 » » » 2574,80 178,52
  - A l’aide de ce tableau on aura donc la valeur de T — KT et Par suite
  - T —T' = (K— 1)T'=Q,
  - Q ^présentant la plus grande valeur que la différence des Usions doive atteindre pour vaincre les résistances utiles et passives,
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- - 296
  - DU FROTTEMENT.
  - De cette relation on tirera la valeur de la plus petite tension qu’il soit permis (le donner ail brin conduit pendant la marche, pour que la courroie ne glisse pas ; on aura ainsi
  - T1' _ Q
  - — k-r
  - on devra augmenter cette valeur de au moins pour se mettre à l’abri des circonstances accidentelles et tenir compte de l’influence négligée des tensions sur les frottements. Cela posé on aura
  - T-J-T 1 K-fl n et par suite T = —|^ g—[ U.
  - Toutes les circonstances de la transmission du mouvement seront donc déterminées.
  - Si cependant l’on ne croyait pas pouvoir se contenter de ces premières valeurs T, T' et Ti, on pourrait en obtenir de plus rapprochées en introduisant celles-ci dans la valeur de la pression N, en déduire une nouvelle valeur plus exacte de Qi et s’en servir pour calculer de nouveau T', puis T et TY
  - 252. Expériences sur la variation des tensions des courroie sans fin employées à la transmission du mouvement. — Pour vérifier par l’expérience l’exactitude de ces considérations, j’ai disposé verticalement au-dessus de l’axe d’une roue hydraulique qui ne fonctionnait pas et d’une poulie montée sur son arbre, un tamboui cylindrique en chêne, de Om,836 de diamètre , et dont l’axe était à 3 mètres de celui de la roue. Autour de ce tambour A'B' et de la poulie AB (fig. 81), l’on a fait passer une courroie, laquelle au lieu d’être d’une seule pièce, était en deux parties réunies vers chaque bout, Pal
  - Fig. 81.
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- - 1)U FROTTEMENT.
  - £97
  - un dynamomètre à plateau et à style, de la force de 200 kit. On assurait d’ailleurs facilement ces dynamomètres à des positions telles que celui du brin descendant fût près du tambour supérieur, et celui du brin montant près du tambour inférieur, de sorte que la courroie pouvait se mouvoir sur une étendue de près de 2m,00, sans risquer que les instruments s’engageassent sur les tambours.
  - Un fd enroulé de plusieurs tours à la circonférence de l’une des gorges du plateau de chacun des dynamomètres et attaché par l’autre bout à un point fixe, obligeait ce plateau à tourner quand l’appareil marchait, et le papier, dont le plateau était recouvert, recevait ainsi la trace du style du dynamomètre.
  - La courroie étant passée sur les deux tambours, on faisait à volonté varier la tension des brins, dans un sens ou dans l’autre, en suspendant à la circonférence du tambour supérieur un plateau Q chargé de poids. Quant à la tension primitive, on l’augmentait en rapprochant les extrémités de la courroie ou en diminuant sa longueur avant l’expérience.
  - L’appareil étant ainsi disposé et préparé pour les observations, avant de charger le plateau Q, on traçait les courbes ou cercles de flexion de chacun des dynamomètres, afin d’avoir la tension des courroies au repos et d’obtenir par leur somme le double de la tension primitive Ti. On conçoit d’ailleurs que ces deux tensions ne pouvaient jamais être '°ut à fait égales; mais cela importait peu, puisqu’il ne s agissait que d’avoir leur somme.
  - Cela posé, on chargeait le plateau d’un poids, qui, étant suspendu à la circonférence par une corde d’un diamètre ^gal à l’épaisseur de la courroie, avait par conséquent le Uième bras de levier que les tensions. Le brin opposé à ce Poids se surtendait et le brin placé du même côté se dénudait, et l’on traçait les nouvelles courbes de flexion du dynamomètre. On pouvait d’ailleurs, pour une même ten-Sl°n primitive, faire une suite d’expériences différentes,
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- - 298
  - DU FROTTEMENT
  - jusques et y compris le poids moteur sous l’action duquel la courroie glisserait sur l’un ou l’autre tambour.
  - Expériences sur la variation de la tension des courroies sans fin employées à transmettre le mouvement à des poulies ou tambours.
  - NUMÉROS POIDS TENSION DU BRIN SOMME
  - d’ordre des expé- riences. à laeirconfé- rence, Q. montant ou tendu, T. descendant ou détendu, T'. des tensions. t 4-r = t. OBSERVATIONS.
  - kil. kil. kil. kil.
  - 1 0,00 17,49 14,89 32,38
  - 2 20,23 27,24 5,82 32,86
  - 3 27,23 28,63 4,62 33,25 La courroie glisse.
  - 4 0,00 29,41 26,03 55,44
  - 5 10,23 34,05 21,23 55,28
  - 6 20,23 38,82 16,44 55,26 besdvnamométrennnt
  - . 7 30,23 44,42 10,96 55,38 marché d’un métré en-
  - 8 44,23 49,84 9 41 59.25 viron.
  - 9 0,00 33,43 28,26 61,69
  - 10 25,23 44,89 18,83 63,72 Id., id.
  - 11 . 50,23 53,40 9,24 62,64
  - 12 0,00 30,34 26,27 56,71
  - 13 52,00 47,06 7,19 54,25 La courroie glisse.
  - 14 0,00 48,76 44,85 93,61
  - 15 25,23 58,97 31,86 90,83
  - 16 50,23 71,20 21,57 92,77
  - 17 0,00 44,09 40,24 84,93
  - 18 50,23 69,96 18,49 88,45
  - 19 79,23 77,39 19,69 97,05 Id., id.
  - 20 0,00 39,32 32,35 77,67
  - 21 40,23 . 61,14 20,03 81,17* * Outre la charge Qt on avait suspendu à la circonférence moyenne des aubes de la roue, » 1 “,85 de l’axe, un poi“s de iokil,229 qui a rompu l’équilibre.
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- - DU FROTTEMENT.
  - 209
  - Dans ces expériences, on avait la facilité de laisser tourner les deux tambours, d’une certaine quantité, sous l’action des tensions, en sorte que l’on a pu réaliser les trois cas de la pratique, savoir : celui de la variation de tension avant que le mouvement soit produit, celui de cette variation pendant le mouvement, et enfin celui du glissement.
  - La courroie employée dans les expériences était très-souple, molle et peu susceptible de se polir en glissant.
  - En calculant le rapport du frottement à la pression pour cette courroie au moyen des expériences 5, 13 et IO, on trouve respectivement
  - f— 0,578 / = 0,596 f— 0,544
  - dont la moyenne est f=573.
  - 255. Observations sur les résultats contenus dans le tableau précédent. — L’on voit que la première ligne de chaque série d’expériences correspond au cas où le poids additionnel Q était nul, et où chaque brin prenait la tension primitive correspondant à l’éloignernent des axes. Ces tensions ne sont pas toujours égales par suite de l’influence inévitable et déjà S1gnalée des résistances passives mises en jeu, mais elles diffèrent peu l’une de l’autre. A mesure que le poids suspendu au tambour augmente, la tension de l’un des brins saccroît et celle de l’autre diminue, mais de telle sorte que tenr somme reste constante, ainsi que le montre la cinquième c°lonne du tableau.
  - Les résultats, qui confirment complètement la théorie de Poncelet, étant d’ailleurs relatifs à des tensions dont la s°mme s’élève à 90 kil. et plus, et dont les plus grandes montent jusqu’à 77 kil., et les plus faibles descendent à •noms de 5 kil., comprennent presque tous les cas de 4a pratique et montrent que cette théorie peut, avec sûreté, appliquée au calcul des transmissions de mouvement P,ar des courroies.
  - terminant, nous ajouterons que l’on peut faire sup-
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- - 300
  - DU FROTTEMENT.
  - perler aux eonrroics destinées à un service continu une tension de 0k,25 par millimètre carré de section, ce qui permettra d’en déterminer la largeur d’après leur épaisseur.
  - 254. Frottement des tourillons. — Outre les expériences qui ont été rapportées précédemment sur le frottement des surfaces planes, j’en ai exécuté un grand nombre sur celui des tourillons, au moyen d’un dynamomètre de rotation à plateau et à style qui a été le premier appareil de ce genre, mais "qu’il serait inutile de décrire ici.
  - L’arbre de cet appareil dynamométrique était creux et en fonte. Il pouvait recevoir, par des portées exactement ajustées, des tourillons de rechange de différentes matières et de divers diamètres. Sa charge se composait de disques pleins en fonte pesant 150 kil. chacun, dont on pouvait augmenter le nombre de manière à atteindre des charges de plus de 1380 kil. Une poulie montée à frottement doux sur l’arbre, et qui lui transmettait le mouvement par l’intermédiaire d’un ressort, recevait par une courroie le mouvement d’une roue hydraulique, et la différence de tension des deux brins de la courroie était mesurée par le dynamomètre à style.
  - On a employé des tourillons de 0,050 à 0,100 de diamètre. Les vitesses ont varié dans le rapport de 1 à 4. Les pressions ont atteint 1880 kil., et, dans ces limites étendues, l’on a conslaté que le frottement des tourillons était soumis aux mêmes lois que celui des surfaces planes.
  - Mais il convient de remarquer que, par l’effet de la forma même des corps frottants, dans le cas actuel, la pression s’exerce sur une étendue de surface d’autant plus petiteqne le tourillon a un diamètre moindre, et que les enduits sont plus facilement expulsés avec les petits tourillons qu’avec les gros. Cette circonstance a une grande influence sur 1 'n' tensité du frottement et sur la valeur de son rapport a h pression. L’action même du mouvement de rotation tend a expulser certains enduits et à rapprocher les surfaces de l’état simplement onctueux. L’ancien mode de graissage»
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- - DU FROTTEMENT.
  - 301
  - encore usité dans beaucoup de cas , consiste simplement à verser de l’huile ou à répandre du suif, du saindoux à la surface du corps frottant et à renouveler cette opération plusieurs fois par jour. On parvient ainsi, avec du soin, à empêcher les tourillons et leurs coussinets de s’user rapidement; mais l’enduit n’étant qu’imparfaitement renouvelé, le frottement atteint les 0,07, 0,08 et même 0,10 de la pression.
  - Si au contraire on emploie des appareils qui renouvellent sans cesse l’enduit, en quantité suffisante, sur les surfaces frottantes, elles se trouvent maintenues à un état parfait et constant de lubrification et le frottement s’abaisse aux 0,05, ou aux 0,03 de la pression et peut-être encore plus bas. Le poli des surfaces, opéré dans ces conditions favorables, devient de plus en plus parfait, et il ne serait pas étonnant que le frottement s’abaissât encore notablement au-dessous des limites indiquées ci-dessus.
  - Ces réflexions montrent de quelle utilité sont les appareils graisseurs pour diminuer le frottement qui, dans certaines machines ou usines à mécanismes compliqués, consomment mie partie considérable du travail moteur. On ne saurait Jonc trop recommander l’emploi des appareils qui réparfissent les enduits avec continuité sur les surfaces frottantes Jes machines, aussi ne doit-on pas s’étonner du grand t'ombre des dispositions qui ont été proposées dans ce but depuis quelques années. On aura toutefois soin de préférer Celles qui ne dépensent l’huile que pendant le mouvement, il l’exclusion de quelques appareils, s’alimentant par la Capillarité d’une mèche de substance filamenteuse, qui dé-Versent constamment la substance destinée au graissage, merne pendant les instants de repos de la machine, et qui 1" dépensent par conséquent en pure perte pendant ces intervalles.
  - ^3. Résultats il'expériences. — L’on trouvera dans le ta-*J°au suivant quelques-uns des résultats des expériences, à 1 uppui des considérations qui précédent.
- p.301 - vue 310/470
- - 30'2
  - DU FROTTEMENT
  - Expériences sur le frottement des tourillons en fonte sur des coussinets en fonte.
  - 0,054
  - a ^
  - 0,10 ; -g
  - J K
  - 0,10
  - m. 0,060 0,068 0,149 0,136 0,104
  - ;0,065\ 0,080! 0,125 ,0,149]
  - kil.
  - 1029
  - 1029
  - OBSERVATIONS.
  - ’huile se ré surface des
  - ' 0,082 0,082 I 0,082
  - 0,079 0,079 0.081
  - « (Dans ces expériences, l’huile était i sans cesse répandue sur les sur-
  - i 0,05/
  - Dans ces expériences, I pandail seule à la tourillons.
  - . 0,052'
  - Moyenne 0,053
  - 1 CD 0,131 1 ( o,ioi(r
  - ( *3 J 0,125 il016,50 0,109/
  - 1 * 1 0,1421 ! 1 0,101
  - Moyenne..... 0,104
  - 0,054(
  - 0,100
  - 0,100
  - ' 0,058 ,0,082 I0,100 ,0,120 I0,136 ,0,142 , 0,068 ,0,101 '0,116 10,125 .0,131
  - /tr.-lent.
  - 0,046 10,073 ' 0,098 j 0,098 '0,116 l0,150
  - 1016
  - 1885
  - 1032
  - 0,070-0,069 0,075) 0,084 0,070| 0,060 0,049! 10,050, 0,052' 10,040| , 0,042,
  - 1 0,037 0,039 | 0,025| 0,026 I 0,035| 1 0,026 ,0,832,
  - faces frottantes.
  - ans ces expériences, l’huile avait été expulsée par la pression, et les surfaces étaient simplement très onctueuses.
  - Dans ces expériences, les surfaces s’alimentaient elles - mêmes de saindoux.
  - Dans ces expériences, l’enduit était renouvelé.
  - Dans ces expériences, l’enduit était continuellement renouvelé.
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- - DU FROTTEMENT.
  - 303
  - Les exemples contenus dans ce tableau suffisent pour montrer que le frottement des tourillons est en lui-même soumis aux mêmes lois que celui des surfaces planes; mais ils montrent aussi la grande influence que le renouvellement continuel de l’enduit peut exercer pour diminuer la valeur du rapport du frottement à la pression, qui descend quelquefois à 0,025.
  - L’on voit aussi que le diamètre des tourillons parait avoir quelque influence sur la plus ou moins complète expulsion (les enduits et, par suite, sur le frottement, de sorte que les dimensions à leur donner ne doivent pas être déterminées par la seule considération de leur résistance à la rupture.
  - En résumé, il ressort de l’ensemble des expériences que j’ai exécutées sur le frottement des tourillons, qu’il est à peu près le même pour les bois et les métaux frottant les uns sur les autres, et que son rapport à la pression peut, selon las cas, prendre les valeurs consignées au tableau suivant:
  - Valeurs du rapport du frottement à la pression pour les tourillons de diverses substances.
  - ÉTAT DES SURFACES.
  - RODÉES Ru tripoli el Parfaitement graissées. f. CONTINUELLEMENT alimentées d’enduit. f• GRAISSÉES de temps en temps. f ONCTUEUSES. f•
  - °.°25 à 0,030 ^—— 0,050 0,07 à 0,08 0,150
  - 2i>6. Avantage des métaux grenus. — Il n’est pas vrai, COmiDe on le dit généralement, que le frottement soit tou-moindre entre les substances d’espèces différentes Centre les substances de même espèce. Mais il convient de déférer en général pour les parties frottantes les corps
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- - 304
  - DU FROTTEMENT.
  - grenus aux corps libreux, et surtout de ne pas exposer ceux-ci à des frottements dans le sens des fibres, parce qu’alors il arrive que les fibres sont quelquefois enlevées, arrachées dans toute leur longueur. Sous ce rapport, la fonte fine, qui cristallise en grains arrondis, ainsi que l’acier fondu, sont des corps très-convenables pour faire'des pièces soumises à de grands frottements. Aussi depuis quelques années emploie-t-on assez généralement pour les pistons des machines à vapeur des garnitures de fonte. Si pour les coussinets des arbres de rotation en fonte ou en fer on continue de se servir de bronze, c’est principalement parce qu’il est moins dur, qu’il s’use avant les arbres, et qu’il est plus facile de remplacer un coussinet qu’un arbre.
  - 237. Observation relative aux mécanismes très-légers. -Dans les mécanismes très-légers, et surtout si leur mouvement est très-rapide, la viscosité des enduits peut quelquefois offrir une résistance comparable à celle que produirait le frottement proprement dit : aussi, dans des cas pareils, les résultats des expériences faites sous des pressions assez considérables par rapport à l’étendue des surfaces de contact, ne doivent-ils être appliqués qu’avec une extrême réserve.
  - 258. Usage clés résultats de Vexpérience. — Les résultats obtenus dans les expériences de Metz sont résumés dans les trois tableaux suivants, qui donnent le rapport du frottement à la pression pour tous les corps employés dans les constructions. Le premier de ces tableaux est relatif aux surfaces planes qui ont été quelque temps en contact- Les valeurs qu’il donne pour le rapport f du frottement à la pression devront être employées toutes les fois qu’il s’ag|Ul de déterminer l’effort nécessaire pour produire le gbsse' ment de deux corps qui auront été quelque temps en contact : tel est le cas des manœuvres de vanne, et des autres appareils qui ne fonctionnent qu’à intervalles plus ou mon15 éloignés.
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- - DU FROTTEMENT
  - o0î>
  - TABLEAU N° 1.
  - frottement des surfaces planes lorsqu'elles ont été quelque temps en contact.
  - INDICATION
  - des
  - surfaces en contact.
  - DISPOSITION
  - des
  - fibres.
  - parallèles, id.
  - Chene sur chêne..............(perpendiculaires.
  - | id.......
  - [bois debout sur V bois à plat....
  - Chêne sur orme............[parallèles.........
  - j id.......
  - °>’me sur chêne........... (
  - .......( id.
  - [perpendiculaire!
  - prane, sapin, hêtre, sorbier] parallèles......
  - sur chene. '
  - Ile cuir à plat....
  - Cuir tanné sur chêne........ Lcuir de champ.:
  - sans endnit, id.. id.. frottées de
  - sec........
  - sans enduit..
  - Cuir noir corroyé °u courroie.
  - sur surface pla-j I ne en chêne. ' | sur tambour enl [ chêne.
  - I parallèles......
  - perpendiculaires.
  - [parallèles.......
  - 1 id..............
  - hutte de chanvre sur chêne...
  - Corde de chanvre sur chêne., [parallèles. per sur chêne................ parallèles .
  - fonte sur chêne.............. parallèles,
  - Cuivre jaune sur chêne....... parallèles.
  - Cuir de bœuf pour garniture de piston, sur fonte.
  - Cuir noir corroyé
  - à plat ou de
  - ETAT
  - des
  - surfaces.
  - sans enduit........
  - frottées de savon
  - sec..............
  - sans enduit........
  - mouillées d’eau....
  - id.....
  - id.....
  - id.....
  - mouillées d’eau.
  - sans enduit, id...
  - sans enduit.....
  - mouillées d’eau..
  - sans enduit.......
  - id........
  - mouillées d’eau....
  - id........
  - sans enduit.......
  - mouillées d’eau....
  - champ........ (avec ^uile, suif ou
  - saindoux........
  - °u courroie sur poulie en fonte.
  - Fonte sur fonte...........
  - Fer sur fonte............
  - à plat.
  - sans enduit.....
  - mouillées d’eau..
  - [sans enduit.....
  - id.....
  - ï Les surfaces conservant quelque onctuosité.
  - 0,62
  - 0.44
  - ,0,54
  - 0,71
  - 0,43
  - 0,38
  - 0,69
  - 0,41
  - 0,57
  - 0,53
  - 0,61
  - 0,43
  - 0,79
  - 0,74
  - 0,47
  - 0,50
  - 0,87
  - 0,80
  - 0,62
  - 0,65
  - 0,65
  - 0,62
  - 0,62
  - 0,12 0,28 0,38 0,161 0,19
  - 20
- p.305 - vue 314/470
- - 306
  - DU FROTTEMENT.
  - INDICATION
  - des
  - surfaces en contact.
  - Chêne, orme, charme, fer, fonie et bronze, glissant deux à deux, l’un sur l’autre.
  - Pierre calcaire oolithique sur
  - calcaire oolithique. Pierre calcaire dure dite mnschelkalk sur calcaire oolithique. Brique sur calcaire oolithique. Chêne sur calcaire oolithique. Fer sur calcaire oolithique.... Pierre calcaire dure ou
  - mnschelkalk sur mnschelkalk. Pierre calcaire oolithique sur mnschelkalk.
  - Brique sur mnschelkalk..,.,
  - Fer sur mnschelk lk........
  - Chêne sur muschelkalk.....
  - DISPOSITION
  - des
  - Bbres.
  - à plat.
  - id.
  - Pierre calcaire oolithique sur
  - calcaire oolithique.
  - id. .. bois debout, id. ..
  - id.
  - id.
  - enduites de suif... enduites d'huile ou de saindoux........
  - ÉTAT
  - des
  - surfaces.
  - sans enduit.
  - avec enduit de mortier de trois parties de sable tin ! et une partie de I chaux hydrau-' lique.
  - Ht
  - ‘*a
  - OjlOf
  - 0,15t
  - 0,74
  - 0,75
  - 0,67
  - 0,63
  - 0,49
  - 0,70
  - 0,75
  - 0,67
  - 0,42
  - 0,64
  - 0,74 i
  - t Lorsque le contact n’a pas duré assez longtemps pour exprimer l’enduit, f Lorsque le contact a duré assez longtemps pour exprimer t’enduit et ramener les surfaites à l’état onctueux.
  - | Après un contact de 10 à 15’.
  - Le tableau n° 2 est relatif aux surfaces planes en mouvement les unes sur les autres; le tableau n° 3 s’applique aux tourillons en mouvement sur leurs coussinets. Les valeurs que donnent ces tableaux ne doivent cire employées <Jue pour calculer le frottement de deux surfaces en mouvement l’une sur l’autre, après la période dans laquelle le coeflieient de frottement au départ a dù être introduit.
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- - Frottement des surfaces planes en mouvement les unes sur les autres.
  - INDICATION
  - des
  - surfaces en contact.
  - Chêne sur chêne...............
  - Orme sur chêne................
  - Frêne, sapin, hêtre, poirier sauvage et sorbier, sur chêne.
  - fer sur chêne.................
  - fonte sur chêne..............
  - Cuivre jaune sur chêne........
  - fer sur orme..................
  - fl'tue sur orme...............
  - Cuir noir corroyé sur chêne...
  - Cuir tanné sur chêne..........
  - Cu>r tanné sur fo te et sur bronze.
  - Chanvre en brin ou eu corde sur chérie.
  - Chêne et orme sur fonte.......
  - Poirier sauvage sur fonte.....
  - DISPOSITION des fibres. ÉTAT des surfaces.
  - parallèles....... sans enduit
  - id frottées de savon
  - perpendiculaires. sec. sans enduit
  - id mouillées d’eau....
  - bois debout sur sans enduit
  - parallèles id
  - perpendiculaires. id
  - parallèles irl
  - id id
  - id
  - mouillées d’eau... frottées de savon sec.
  - sans enduit......
  - mouillées d’eau., frottées de savon
  - sec............
  - sans enduit....
  - id.......
  - id.......
  - id.......
  - plat ou de,
  - champ.......... mouillées d’eau....
  - sans enduit, mouillées o’eau.... onctueuses et mouillées d’eau.........
  - enduites d’nuile...
  - 0,36
  - ào,4o
  - 0,62
  - 0,26
  - plat Chain o
  - 0,30 à o.35
  - 0,2i>
  - 0,56
  - 0,36
  - parallèles.......
  - perpendiculaires, parallèles, id
  - :
  - SMSs»?
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- - 308
  - L>U FROTTEMENT.
  - INDICATION DISPOSITION ÉTAT 3 H O ; S |-2
  - des des des Ou û) * o fe
  - surfaces eu contact. fibres. surfaces. a - Jÿ Cfl TJ Ai
  - parallèles sans enduit »t
  - Fer sur fonte et sur bronze... Fonte sur fonte et sur bronze. Fonte sur fonte. id 0,18 ^
  - id 0,15*
  - mouillées d’eau.... 0,31
  - » sans enduit 0,20
  - „ id 0,22
  - » id 0,16*
  - lubrifiées à la ma-
  - Chêne, orme, charme, nière ordinaire avec enduit de suif, saindoux,
  - poirier sauvage, cambouis mou ,
  - fonte, fer, acier et bronze, 1 » etc 0,01
  - glissant l’un sur l’autre i à 0,08 î
  - ou sur eux-mêmes. légèrement onc-
  - tueuses au loucher 0,15
  - Pierre calcaire oolithique sans enduit 0,64
  - sur calcaire oolithique.
  - Pierre calcaire id ,. 0,67
  - sur calcaire oolithique.
  - Brique ordinaire sur calcaire oolithique. id 0,65 0,38
  - Chêne sur calcaire oolithique. Fer forgé id
  - id. 0,69
  - sur calcaire oolithique.
  - Pierre calcaire 0,38
  - dite musclielkalk sur muschelkalk. id
  - Pierre calcaire oolithique id 0,65
  - sur muschelkalk.
  - Brique ordinaire sur muschelkalk. id 0,60
  - 0,38
  - 0,24
  - Fer sur muschelkalk id. mouillées d’eau.... 0,30
  - •f Les surfaces se rodent dès qu’il n’y a pas d’enduit. $ Les surfaces conservant encore un peu d’onctuosité.
  - À Les surfaces étant un peu onctueuses. 9 Lorsque l’enduit est sans cesse renouvelé et uniformément réparti ce rapporl
  - peut s’abaisser jusqu’à 0,05.
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- - DU FROTTEMENT
  - 309
  - TABLEAU N° 3.
  - Frottement des tourillons en mouvement sur leurs coussinets.
  - INDICATION ÉTAT RAPPORT du frottement à la pression lorsque l’enduit est renouvelé
  - des surfaces en contact. des surfaces. à la manière ordinaire. d’une manière continue.
  - enduites d’huile d’olive, de saindoux, de suif ou de cambouis mou 0,07 ào,08 0,030 à 0,054
  - Tourillons en fonte avec les mêmes enduits et mouillées d’eau 0,08 »
  - sur coussinets en fonte.' enduites d’asphalte 0,054 »
  - onctueuses 0,14 »
  - onctueuses et mouillées d’eau 0,14 »
  - Tourillons en fonte enduites d’huile d’olive, de saindoux, de suif ou de cambouis mou 0,07 à0,08 0,030 à 0,054
  - sur onctueuses... 0,16 *>
  - coussinets en bronze. onctueuses et mouillées d’eau 0,16 >»
  - très-peu onctueuses 0,19 » f
  - sans enduit 0,18 », $
  - Tourillons en fonte sur coussinets en bois de gavac. enduites d’huile ou de saindoux 0,090
  - onctueuses d’huile ou de saindoux 0,10
  - 1 onctueuses d’un mélange de saindoux et de plomba-i gine 0,14 .. »
  - Tourillons en fer sur coussinets en fonte. enduites d’huile d’olive , de suif, de saindoux ou de cambouis mou 0,07 àO,08 0.30 à 0,054
  - Tourillons en fer sur c°ussinets en bronze. enduites d’huile d’olive, de saindoux ou de suif 0,07 àO,08 0,030 à 0,054
  - enduites de cambouis ferme. 0,09
  - onctueuses et mouillées d’eau 0,19 »
  - , très-peu onctueuses 0,25 »!
  - ; fes surfaces commençant à se roder, f bes bois étant un peu onctueux. ’ bes surfaces commençant à se roder.
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- - DU FROTTEMENT.
  - 310
  - INDICATION ÉTAT Il A P P 0 R T du frottement à la pression lorsque l’enduit est renouvelé
  - des surfaces en contact. des sur'aces. à la manière ordinaire. d’une manière continué.
  - Tourillons en fer sur enduites d’huile ou de saindoux 0,11 »
  - coussinets en gayac. onctueuses 0,19 »
  - Tombions en bronze enduites d’huile 0,10 n
  - sur coussinets en bronze. enduites de saindoux. 0,09 »
  - Tourillons en bronze enduites d’huile ou de suif.. 0,030 à 0,052
  - sur coussinets en fonte »
  - Tourillons en gayac enduites de saindoux....... 0,12 » j
  - sur coussinets en fonte. onctueuses.. 0,15 »
  - Tourillons en gayac sur 1 enduites de saindoux 0,07
  - coussinets en gayac. i
  - 2o9. Application aux vannes. — Soit L la largeur horizontale d’une vanne soumise à une certaine charge d’eau, et H' la charge ou la hauteur du niveau au-dessus d’une tranche horizontale d’une épaisseur h' infiniment petite, de cette vanne. La surface pressée de cet élément seraL^' et la pression qu’il éprouvera sera 1000.LW.H'. La pression totale sur la surface entière de la vanne étant égale à la somme de toutes les pressions semblables sur chacun des éléments, elle aura pour valeur
  - 1000 L [HW + H'W' + Wh!" + etc.].
  - Or les produits LHW, LH"li\ etc., sont les moments des surfaces élémentaires L h\ L h", etc., par rapport au plan du niveau, el leur somme est égale au moment de la surface totale égale a LE.H, en nommant E la hauteur pressée de la vanne, et H la distance de son centre de gravité à la sur*
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- - DU FROTTEMENT.
  - 31 1
  - face du niveau ou la charge sur son centre de figure. Donc cette pression totale est
  - iCOO LEH,
  - et le frottement qui en résulte contre les coulisses de cette vanne est
  - ICOO./”. LEH,
  - /étant le rapport du frottement à la pression pour les surfaces en contact, rapport dont on devra prendre la valeur dans le premier tableau s’il s’agit de calculer l’effort à exercer pour mettre la vanne en mouvement.
  - Exemple : Si L = 2n\00, E = 0m,35, H = lm>50, le premier tableau donne pour une vanne en bois de chône glissant à fibres croisées sur du bois de cbêne mouillé d’eau ^==0)71 ; on a donc pour le frottement
  - 1000 x 0,71 X 2m,C0 X Om,35 X lm,50 = 741 kil.
  - Cet effort doit être transmis dans le sens des crémail-'fres fixées à la vanne, et comme il est considérable, il faudrait disposer un appareil du genre des crics, corne-fiable ment proportionné, pour l’établissement duquel il faudrait prendre, pour l’effort qu’un homme peut exercer h Ia Manivelle pendant un moment, 25 h 30 kilogrammes au plus, et pendant le mouvement environ 10 à 12 kilo-£r<unnics.
  - Lorsque la vanne est en mouvement, l’effort à transmettre aux crémaillères est beaucoup moindre, parce que Apport du frottement à la pression, diminue et se réduit Pour les vannes et coulisses en bois mouillées 0,25, ce qui °nne pour le frottement pendant le mouvement IQ00 X 0,25 L. ËH=1000 X 0,25 X 2"’,00x 0m,35 X 1 '”,50= 13lkU,25
  - Fig. 82.
- p.311 - vue 320/470
- - 312
  - DU FROTTEMENT.
  - aux premiers instants, et une valeur décroissante à mesure que, la vanne s’élevant, la charge H sur son centre diminue.
  - Il est sans doute inutile de dire que la manœuvre de vanne doit être calculée pour l’effort maximum.
  - 260. Application aux châssis de scie. — S’il s’agit, par exemple, d’un châssis de scierie à placage, soumis à une pression de 50 kilogrammes et garni de bandes de fer glissant dans des coulisses en bronze, graissées avec du saindoux, on a, si les surfaces sont bien graissées, pour le frottement :
  - 0,07 X 50 = 3kil,50; et si elles sont onctueuses :
  - 0,15 X 50 = 7kil,50.
  - Si la course du châssis est de lm,20 et le nombre de coups de 180 en 1', le chemin parcouru en 1" sera de 3m,60 pour chaque course et le travail consommé par le frottement du châssis en 1" sera dans le premier cas :
  - ‘2 X 3m,60 X 3kil,50 = 12kil,60 = \ de cheval ;
  - b
  - dans le second cas :
  - 203,60 X 7,50 = 27,00 = ± de cheval.
  - 6
  - 261. Application aux tourillons. — Pour calculer le travail consommé par le frottement des tourillons d’un axe de rotation on commence par chercher la résultante des forces qui agissent autour de cet axe, et pour cela, s’il le faut, on décompose toutes ces forces en deux : l’une horizontale l’autre verticale ; et l’on prend séparément la résultante de chacun de ces groupes. Nommant X la somme des comp0' santés horizontales, Y la somme des composantes verticales, la résultante générale sera
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- - DU FROTTEMENT.
  - 313
  - et le frottement qu’elle produira sera
  - /•yx^+Ÿ*.
  - Le théorème de M. Poncelet déjà cité aun° 227 nous apprend que, quand l’on ne connaît pas l’ordre de grandeur
  - de X et de Y, on peut calculer à i près la valeur du radical
  - par la formule 0,83 (X -f- Y), et que, si l’on sait d’avance que l’un des termes, X, par exemple, est plus grand que l’autre, ce qui arrive le plus souvent, on aura la valeur du radical
  - à ~ près par l’expression 0,96 X -fO,4Y.
  - Supposons, par exemple, qu’il s’agisse d’une roue hydraulique àaugets pesant 40 000 kilogrammes, transmettant un effet utile de 50 chevaux à sa circonférence extérieure et communiquant le mouvement à un pignon, de façon que la résistance utile soit horizontale et représentée par Q. Supposons enfin que le rayon de la roue soit R = 3m,00, la vitesse à sa circonférence de lm.60, et le rayon R' de la roue d’engrenage égal à 2m,00. L’effort P transmis à la circonférence de la roue sera d’abord
  - P = 50i^7--= 2343^,75.
  - La pression sur les tourillons de la roue hydraulique sera
  - v/(fTW,
  - 011, attendu que M = 40 000kn, et que par conséquent M + P est plus grand que Q, on pourra prendre pour valeur
  - aPprochée du radical à près
  - 0,96 (M + P) -f- 0,4Q.
  - Pour le mouvement uniforme, il faut que le moment de puissance P soit égal à la somme des moments des ré-
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- - 314
  - DU FROTTEMENT.
  - sistances. On a donc, en appelant r le rayon du tourillon = Om,12, f= 0,07,
  - 2343k, 75x3"=Q.2"4-0,96(0,07)(40000 +2344\4)(0,12)+0,4(0,07)(QxO,12)j d’où
  - 2343\75x3,00—0,96X0,07X42344,4X0,12
  - 2,00+0,4x0,07X0,12
  - =3339k,28,
  - tandis qué, si l’on avait négligé le frottement des tourillons, on aurait trouvé
  - Q —
  - 2343,75X 2
  - 3515+6.
  - La vitesse à la circonférence de la roue d’engrenage étant 1,60 X |=1,067,
  - le travail transmis à celte circonférence en Y est 3339kil X 1,067 = 3562+7 == 47ch'\5.
  - La perte par le frottement des tourillons est donc 50cheT,00 — 47,5 = 2chev,5.
  - Si la surface des tourillons n’était qu’onctueuse, la perte serait doublé.
  - Le chemin parcouru par les points frottants étant un des facteurs du travail consommé par cette résistance passive, il importe de le diminuer le plus possible, et par conséquent de ne donner aux tourillons que la dimension nécessaire à la solidité. Pour calculer leur diamètre dans l’établissement de la roue, on fera abstraction du froltcment, ce qui donnera une première valeur de Q —3516+6, un peu trop forte, et, par suite, pour la résultante des efforts auxquels le tourillon est soumis :
  - y/(42 344,4;* + (3516,6/ = 42 490+
  - Chaque tourillon supporte donc à peu près 21 245k de
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- - DU FROTTEMENT.
  - 32 3
  - pression , et son diamètre, calculé par la formule des tourillons des roues hydrauliques, sera
  - 21 8 05; d’où d= 0m,25.
  - 36» 156 ’
  - C’est la valeur que nous avons adoptée dans le calcul précédent.
  - 262. Essieux clés voitures. — On calculera d’une manière analogue le frottement des essieux de voitures contre leurs boîtes; en observant que c’est la boîte qui glisse autour de l’essieu, et que le chemin parcouru par les points frottants est la circonférence de la boîte , dont on prendra pour rayon moyen la moyenne arithmétique entre scs rayons extérieurs.
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- - DE LA ROIDEUR DES CORDES.
  - 263. De la roideur des cordes.—Lorsqu’une corde, sollicitée à son extrémité par un poids ou un effort de tension, s’enroule sur un cylindre ou sur une poulie, mobile autour de son axe, elle éprouve à se plier une difficulté causée par sa roideur, et la courbure qu’elle affecte est d’un rayon plus grand que celui du cylindre, de sorte que la direction du brin prolongé passe à une distance de l’axe plus grande que le rayon du rouleau augmenté de celui de la corde. De là résulte que le moment de la tension de ce brin est augmenté d’une certaine quantité provenant de la résistance de la corde à la flexion.
  - Cette résistance, connue sous le nom de roideur des cordes, a été étudiée expérimentalement par Amontons, et plus tard par Coulomb, qui s’est servi de l’appareil imaginé par son prédécesseur et d’un autre dispositif analogue à celui que nous avons décrit au n° 223, et qui lui a servi pour ses expériences sur le roulement. Nous donnerons donc une idée suffisamment exacte de ces recherches en nous occupant seulement de celles de Coulomb, qui bien qu’incomplètes, sont encore ce que nous possédons de mieux sur cette matière.
  - 264. Expériences de Coulomb avec l’appareil d’Amontons-— Dans cet appareil, un rouleau libre LM est enveloppe d’un tour de chacun des deux brins du corda gu mis en ex-
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- - DE LA RülDEUR DES COUDES.
  - 317
  - périence, et qui passe sur deux poulies A et B fixées à une poutre. Aux extrémités C et D de ce cordage sont deux crochets soutenant un plateau chargé de poids. Le rouleau est placé horizontalement, et le tour de chacun des brins qui
  - enveloppent est disposé symétriquement par rapport à l’autre. Au milieu de l’intervalle de ces tours une ficelle flexible entoure le rouleau, auquel elle est fixée par un Août, tandis quelle supporte à l’autre un petit plateau, dans lequel on met le poids q nécessaire pour faire lentement descendre le rouleau.
  - Dans ce mouvement, la partie inférieure de chaque brin du cordage s’enroule sur le rouleau, et la partie supérieure se déroule. La tension de chaque brin est égale à la moitié
  - 2 de la charge du plateau. De plus, il est facile de voir que,
  - *a cotation instantanée du rouleau ayant lieu autour du Point de contact, le chemin parcouru par le poids moteur q sera double du chemin parcouru par les parties enroulées de la corde. En effet, quand le rouleau sera descendu du Point de contact a au point b (fig. 86), il est évident que l’arc de corde enroulé ou le chemin parcouru dans le sens de la césistance à l’enroulement sera ab. Or il est clair que dans
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- - 318
  - DE LA ROIDEUR DES CORDES.
  - co déplacement le point de la ficelle de suspension du poids moteur q, qui sera venu dans la verticale ou au contact, sera un point d placé à une dis-
  - f7 tance cd égale à l’arc cd' = arc ab' — ab, ja dont le rouleau aura marché. Donc le poids | sera descendu de ab par le transport du rou-
  - c
  - /—xj leau, et de cd' — ab par son roulement, ou L-----enfin de 2.ab en tout.
  - Le travail développé par ce poids sera j\ qX2ab=q.D«i, en appelant D le diamètre
  - Z1,^ moyen du rouleau et ax l’angle décrit à l’unité de distance, tandis que le travail développé par la roideur Rt de chaque brin sera égale à celle roideur même multipliée par le chemin parcouru, ou à
  - R1X«6 = Ri^.«i-
  - \ 2
  - On aura donc au moment où l’cquilibre aura lieu, ou quand le mouvement sera
  - très-lent et à peu près uniforme, et à cause de la résistance des deux brins :
  - c’est-à-dire que le poids moteur est égal à la résistance que chacun des deux brins oppose à l’enroulement.
  - 26d. Résultats des expériences de Coulomb. —Avant d’aller plus loin, nous rapporterons dans le tableau suivant les données et les résultats des expériences que Coulomb a exécutées avec l’appareil d’Amonlons, en nous bornant a transformer les anciennes mesures en nouvelles.
  - Les cordes de 6 fds, de 15 fils et de 30 fils qu’il a employées.ont été enroulées sur des rouleaux de 1 pouce» 2 pouces et 4 pouces de diamètre, et les tensions totales ont varié de 25 à 1000 livres, las poids moteurs variant aussi dans des limites assez étendues.
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- - DE LA ROIDEUR DES CORDES.
  - 319
  - Résultats des expériences de Coulomb sur la roideur des cordes, faites avec l'appareil d'Amontons.
  - O 7) te fc C/J Valeurs du poids moteur, trouvées pour les cordes des diamètres de :
  - cô 'A -3 r X 3 D 0) 0 ^ 2 2 0 ^ d, = 0n,,0i)88 ou de 6 fils, enroulées sur des rouleaux de diamètres D égaux à d — 0™.0i 44 ou de <5 fils, enroulées sur ues rouleaux de diamètres D égaux à d. = 0m.0200 ou de 30 fils, enroulées sur des rouleaux de diamètres D égaux à
  - < O u 5 o 0»',027 0n,,054 0n',108 0'",027 0'",054 0"‘,108 0m,054 0m,108 0m,162
  - kil. 12,24 kil. 0,979 kil. » kil. )> kil. 3,427 kil. 1,566 kil. 0,832 kil. 5,385 kil. 2,448 kil.
  - 61,19 5,385 1,958 J> 10,769 4,406 2,447 10,280 4,161 »
  - 110,14 8,322 3,182 D 14,085 8,322 3,427 14,196 6,853 D
  - 208,04 15,175 5,874 2,790 31,818 15,175 6,364 23,007 11,259 »
  - 304,94 21,049 15,175 4.406 45,035 20,070 9,175 32,797 15,175 »
  - 401,74 » 21,049 5,385 » X> 13,217 » 24,475 16,643
  - —
  - Coulomb a conclu de ses expériences que, pour la môme oorde, la résistance à l’enroulement variait en raison inverse du diamètre du rouleau, d’où il suit que le produit de cette résistance ou du poids moteur qui lui fait équilibre par le diamètre du rouleau doit être une quantité constante, quelle que soit la grandeur du rouleau sur lequel la corde est enroulée. Cherchons si celle conséquence est suffisamment justifiée, et à cet effet, faisons le produit des diamètres des rouleaux par les valeurs obtenues pour le Poids moteur q, pour chaque corde et chaque tension employées; nous obtiendrons ainsi les résultats consignés dans le tableau suivant, qui, dans le cas où les conséquences de Coulomb pourraient être admises, représenteraient les résistances à l’enroulement sur un cylindre de lM»00 de diamètre.
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- - 320
  - DE LA RüiDEUR DES CORDES.
  - à z g o .g 1 ^ w ^ H s » £ O ^ w J O '"O Valeurs du produit qi) pour les cordes des diamètres de
  - d — 0m,0088 ou de 6 fils, enroulées sur des rouleaux des diamètres D égaux à d = o,u,o 144 ou de 15 fil s, enroulées sur des rouleaux des diamètres D égaux à d = O"1,0200 ou deSOlils, enroulées sur des rouleaux des diamètres D égaux à
  - 'Xi s % O 0"‘,027 0U,,0E4 0"',108 0nl,027 0m,054 0m,108 0m,054 0nl,108 0nl, 162
  - kil. 12,24 0,0264 » )) 0,0925 0,0845 0,0898 0,2900 0,2645 »
  - 61,19 0,1450 0,1060 » 0,2910 0,2380 0,2645 0,5550 0,4490 9
  - 110,14 0,2245 0,1720 » 0,3800 0,4490 0,3700 0,7650 0,7400 ))
  - 208,04 0,4080 0,3170 0,3010 0,8600 0,8190 0,6860 1,2400 1,2150 »
  - 305,94 0,5680 0,3960 0,4750 1,2110 1,1200 0,9900 1,7700 1,6400 f)
  - 501,74 » » 0,5810 » » 1,3600 » 2,6400 2,6950
  - L’examen de ce tableau montre que pour la corde de 0™,02 de diamètre, les valeurs du produit ÿD sont à peu près égales pour tous les diamètres des rouleaux employés; qu’il en est à peu près de même pour la plupart des résultats tournis parla corde de Om,Ol44; mais que ceux qui sont relatifs à la corde de 0n‘,0088 sont beaucoup moins d’accord avec la loi admise par Coulomb.
  - Cependant, comme il s’agit en général, dans les applications , de cordes de diamètres supérieurs à 0m,0088, nous admettrons, avec ce physicien, jusqu’à plus ample information, que la résistance à l’enroulement varie en raison inverse du diamètre du cylindre.
  - 266. Expression générale de la résistance à l’enroulement — Coulomb a tiré de ses expériences la conclusion que la résistance à l’enroulement pouvait être représentée par une expression composée de deux termes, l’un constant pou1’ chaque corde et chaque rouleau, que nous désignerons pa1
- p.320 - vue 329/470
- - DE LA ROIDEUU DES COUDES.
  - 321
  - lit lettre À, et que ce physicien a nommé la roideur naturelle, parce qu’il dépend du mode de fabrication de la corde, et du degré de torsion de ses fils et de ses torons; l’autre proportionnel à la tension T du brin qui s’enroule, et que l’on exprime par le produit BT, dans lequel B est aussi un nombre constant pour chaque corde et chaque rouleau.
  - Dans le cas de l’appareil d’Amontons on a T = ^, et la formule de Coulomb donne
  - q — Bi — A -f-B
  - Ainsi, quand les'valeurs du poids moteur ÿ, correspondant à chacune des valeurs Q du poids total du plateau, sont données par l’expérience, si l’on prend les poids totaux Q (|u plateau pour abscisses et les valeurs de q pour ordonnées d’une ligne que l’on tracerait en joignant tous les points ainsi obtenus, cette ligne sera une ligne droite dont W position et l’inclinaison fourniront les valeurs de A et
  - de
  - 2 pour chaque corde et chaque rouleau.
  - M. Navier, dans la discussion des expériences de Coulomb, dll’il a donnée dans la seconde édiiion de Y Architecture hydraulique de Bélidor, a attribué aux constantes A et B des fleurs particulières pour les cordes des différents diamè-h’es employés, et qui sont respectivement les suivantes :
  - DIAMÈTRE des cordes, d. VALEURS DES — -, COEFFICIENTS
  - A. B.
  - 0m,0200 0,222460 0,009738
  - 0m,0144 0,063514 0,005518
  - 0m,0088 0,010604 0,002380
  - 21
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- - 322
  - DE LA ROIDEUR DES CORDES.
  - Mais, pour comparer la formule donnée par M. Navier aux résultats des expériences, on ne devra introduire dans cette
  - formule R = A-j-BT que les valeurs de T = ^ pour en dé-
  - duire les poids q, qui auraient dû être trouvés avec l’appareil d’Amontons. C’est ainsi que l’on a fait cette comparaison dans les figures de la planche V en prenant pour la représentation graphique des résultats de l’expérience les abscisses égales aux charges totales et les ordonnées égales aux valeurs de </D ou aux résistances à l’enroulement sur un cylindre d’un mètre de diamètre. Puis, pour comparer ces résultats aux valeurs déduites des coefficients de M. Navier, on a pris, pour les mêmes abscisses, des ordonnées égales
  - g
  - aux valeurs de A -f- ^-Q, déduites des valeurs de A et de B
  - qui sont données d’après lui dans le tableau précédent.
  - L’examen de la figure 3 montre que les valeurs de A et de B adoptées par M. Navier s’accordent trcs-bien avec les résultats de l’observation pour la corde de 0m,0200, la droite tracée d’après les valeurs de ses coefficients s’éloignant très-peu de tous les points obtenus graphiquement à l’aide des chiffres directement déduits de l’expérience ; mais pour les cordes de Ora,Ol44 et de 0m,0088 les valeurs adoptées par cet ingénieur sont trop faibles, surtout quant au nombre B, les points correspondant aux chiffres du tableau dans les figures 1 et 2, relatives aux cordes de 0,0088 et de 0,Hb étant tous situés au-dessus de la ligne droite qui représente la formule. Les chiffres de M. Navier paraissent avoir été déterminés seulement à l’aide de la dernière série des expériences faites sur chaque corde, et avec la valeur de q tenue pour la plus grande charge.
  - 267. Autres expériences de Coulomb. — Coulomb a ^ encore, par un moyen différent, d’autres expériences se* la roideur des cordes et leur résistance à l’enroulement;a cet effet il posait des rouleaux de différents diamètres su
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- - ÜE LA ROIDEUR DES CORDES.
  - 323
  - le banc horizontal qu’il avait précédemment employé à ses expériences sur le frottement, et chargeait ces rouleaux de poids égaux suspendus aux deux brins de la corde en expérience. Une ficelle très-flexible dont il négligeait la roideur servait à suspendre les poids moteurs capables de produire ou d’entretenir un mouvement très-lent. Des expériences préalables lui ayant permis d’apprécier la résistance due au roulement des rouleaux, il a pu la défalquer et obtenir celle qui provenait de la roideur des cordes. Les résultats de ces expériences sont rapportés dans le tableau suivant et traduits en mesures métriques.
  - Expériences sur la roideur des cordes faites par Coulomb avec des rouleaux mobiles sur un plan horizontal.
  - CHARGES ou tensions Q. Valeurs de la résistance à l’enroulement pour des cordes des diamètres de
  - cüi=0m,2000 en rouleaux de égaux à 4m,325 "oulées sur des diamètres D 0,U,162 d = Om,0144, enroulées sur un rouleau de 0m,i62. d — 0m,0088, ! enroulées i sur un rouleau deo,u,i62.
  - kil. kil. kil. kil. kil.
  - 12,24 I> ’’ 0,558 »
  - 48,95 1,713 » 2,185 »
  - 97,90 » 6,462 4,014 1,615
  - 146,85 5,384 n » » ||
  - 244,75 7,049 » 8,565 t>
  - En admettant encore avec Coulomb, d’après les résultats ^précédentes expériences, que la résistances à l’enroulent varie en raison inverse du diamètre des rouleaux, 11()us aurons la résistance pour un rouleau d’un mètre de diamètre, en multipliant respectivement chacune de celles
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- - DE LA ROJDEUH DES CORDES.
  - 32 t
  - qui sont consignées clans ce tableau par le diamètre du rouleau correspondant. C’est ce que l’on a fait pour formelle tableau suivant, dans lequel on a aussi inséré les valeurs de la même résistance calculée à l’aide des valeurs de A et de B admises par M. Navier, alin de reconnaître si la formule R = A-}-BQ, représente effectivement les résultats des expériences.
  - CHARGES Résistances à l’enroulement sur un tambour d’un mètre de diamètre pour des cordes des diamètres de
  - OU tensions Q. 0'“,0200 0“,0144 0n',0088
  - observées par Coulomb. calculées d’après M. Navier. observées par Coulomb. calculées d’après M. Navier. observées par Cou mb. lo calculées d’après M. Navier.
  - kil. kit. kil. kil. kil. kil. kil.
  - 12,25 » » 0,090 0,135 » »
  - 48,95 0.5577 0,699 0,354 0,333 X> 7>
  - 97,90 1,0660 1,176 0,650 0,504 0,252 0,243
  - 146,85 1,7500 1,653 » » 9 »
  - 244,75 2,2910 2,606 1,387 1,351 x> 1
  - On voit par cette comparaison que les valeurs des coefficients A et B adoptées par M. Navier pour les cordes expérimentées conduisent à peu près aux mêmes valeurs de la résistance à l’enroulement sur un tambour d’un mètre de diamètre que celles qui sont données par les expériences précédentes, et comme elles satisfont aussi aux expériences faites avec l’appareil d’Amontons sur la corde de 0m,0200 de diamètre aux plus fortes charges parmi celles qui sont relatives aux cordes de 0m,0144 et 0m,0088, il s’ensuit qu’c11 peut adopter ces valeurs de A et de B pour les cordes blanches sèches et en bon état.
  - 20B. Extension des résultats des expériences de Coulomb a
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- - DE LA. ROIDEUR DES CORDES.
  - des diamètres différents.— Pour étendre les résultats des expériences de Coulomb à des cordes de diamètres différents de ceux qui avaient été expérimentés, M. Navier a admis très • explicitement ce que Coulomb n’avait qu’assez vaguement indiqué : que les coefficients A étaient proportionnels à une certaine puissance du diamètre qui dépendait de l’état d’usé des cordes; mais cette supposition ne nous paraît pas justifiée ni même admissible, car elle conduirait à cette conséquence, qu’une corde usée d’un mètre de diamètre aurait la meme roideur qu’une corde neuve, ce qui est évidemment faux, et d’ailleurs la comparaison même des valeurs de A et de B prouve que la puissance à laquelle il faut élever le diamètre ne serait pas la même pour les deux termes de la résistance *.
  - 269. Expression de la roideur des cordes en fonction du nombre des fils de caret. — Puis donc que la forme proposée par M. Navier pour l’expression de la résistance des cordes
  - * En effet M. Navier suppose que A = adt* et B=bd!*, a et b étant des constantes qui ne dépendent pas de l’état d’usé de la corde, et p un exposant qui devrait être le même dans les deux expressions, et qui varie de 2 à 1 selon l’usé. Or il est d’abord évident que, si la corde avait un diamètre d = lra,00, di* serait toujours égal à 1, quel que fût le degré d’usé, et qu’alors la résistance d’une vieille corde serait la même que colle d’une corde neuve, ce qui n’est pas admissible.
  - Mais de plus, M. Navier ayant donné pour des cordes des diamètres
  - d=0“,0200 les valeurs ad1* = Okil,222460, bd1* = 0,009738, d=0“,0144 — ad1* = 0kiI,063514, bd1* = 0,005518,
  - d = 0“,0088 — ad1* = 0kil,010604, bd1* = 0,002380,
  - on déduit
  - des valeurs de ad1* en moyenne p = 3,7526 et a = 53l286kl1, et de celles de bd1* — p = l,7174 et b = 8ki\0520.
  - " suit donc de là que les valeurs des coefficients A et B ne sauraient ^re de la forme ad>* et bd1* que leur a assignée M. Navier, l’exposant p ne pouvant être le même pour ces deux quantités, et les facteurs constants a ^ P devant varier avec l’état d’usé des cordes.
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- - 326
  - DE LA ROIDEUR DES CORDES.
  - à l'enroulement ne peut être admise, il convient d’en rechercher une autre, et il semble naturel d’essayer si les facteurs A et B ne pourraient pas être exprimés, pour les cordes blanches, simplement d’après le nombre de fils de caret des cordes, comme Coulomb l’a trouvé pour les cordes goudronnées.
  - Or, en divisant les valeurs de A, obtenues parM. Navier pour chaque corde, par le nombre de fils de caret, on trouve d’abord pour
  - n — 30 d=0m,0200 A= 0.222460 - = 0,0074153
  - n
  - n = 15 d = 0m,01l4 A = 0,063514 - = 0,0042343
  - n
  - n = 6 d = 0,0088 A = 0,010604 -=0,0017673
  - n
  - On voit par là que le nombre A n’est pas simplement proportionnel au nombre de fils de caret.
  - En comparant ensuite les valeurs du rapport - correspondant aux trois cordes, on trouve les résultats suivants :
  - NOMBRE de fils. VALEURS de A n DIFFÉRENCES des nombres de fils. DIFFÉRENCES fies valeurs de K n différences des valeurs de A n par fil de différence.
  - 30 0,0074153 De 30 à 15. 15 tils. 0,0031810 0,000212
  - 15 0,0042343 De 15 à 6. 9 0,0024470 0,000272
  - 6 0,0017673 De 15 à 6. 24 0,0056480 0,000252
  - Différence moyenne par (il........ 0,000245
  - Il suit de là que l’on représentera avec tonte l’exactitude
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- - DE LA ROIDEUR DES CORDES.
  - 327
  - suffisante pour la pratique les valeurs de A, données par l’expérience, par la formule
  - A = n [0,0017673 + 0,000245(n — 6)] = n [0,0002973 + 0,000245n] ,J
  - expression relative seulement aux cordes blanches et neuves, comme celles sur lesquelles Coulomb a opéré.
  - Quant à la valeur de B, elle paraît être proportionnelle au nombre de fils de caret, car l’on trouve pour
  - r>
  - n = 30 d = 0m,0200 B = 0,009738 -=0,0003246
  - n
  - w = 15 d = Om,Ol44 B = 0,005518 ? = 0,0003678
  - p B
  - n= 6 d = 0m,0088 B = 0,002380 -=0,0003967
  - ’ n
  - Moyenne. . . . 0,0003630 d’où
  - B = 0,000363w.
  - Par conséquent on représenterait, avec une exactitude suffisante pour la pratique, les résultats des expériences de Coulomb sur les cordes blanches neuves et sèches, par ta formule
  - R = »[0,000297 + 0,000245ra -f 0,000363. Q] kil.,
  - qui donnerait la résistance à l’enroulement sur un tambour d’un mètre de diamètre, ou par la formule
  - 71
  - R = g [0,000297 4-0,000245w -f 0,000363. Q] kil.
  - P°ur un tambour d’un diamètre D.
  - 270. Observation relative aux cordes usées. — fmant aux cordes usées, la règle donnée par M. Navier ne saurait être udinise, ainsi que je l’ai fait voir dans la note précédente, Puisqu’elle donnerait pour la roideur d’une corde d’un diamètre égal à l’unité la même roideur que pour une corde neuve; et c’est pour avoir adopté, ainsi que d’autres au-
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- - 328
  - DE LA ROIDEUP. DES CORDES.
  - leurs, cette règle, sans en discuter, comme je viens de le faire, les éléments , que j’ai été conduit il ce résultat inadmissible, en calculant la table des roideurs des cordes insérée dans la troisième édition de mon Aide-mémoire de mécanique 'pratique, page 328.
  - Les expériences de Coulomb sur les cordes usées n’étant pas d’ailleurs assez complètes et ne fournissant aucune donnée précise, il n’est pas possible, sans de nouvelles recherches, de donner de règle, pour calculer la roideur de ces cordes.
  - 271. Cordes goudronnées. — En calculant les résultats des expériences de Coulomb sur les cordes goudronnées, comme nous l’avons fait pour les cordes blanches, on trouve les valeurs suivantes :
  - n — 30 fils A = 0,34982 B = 0,0125605
  - n — 15 fils A = 0,106003 B = 0,006037
  - n = 6 fils A = 0,0212012 B = 0,0025997
  - qui diffèrent très-peu de celles que M. Navier a données. Mais si l’on recherche la résistance correspondant à chaque fil de caret, on trouve
  - n= 30 fils n—15 fils n = 6 fi s
  - -=0,0116603 ? =0,000418683
  - n n
  - — — 0,0070662 - = 0,000402466
  - n n
  - -=0,0035335 - =0,000433283
  - n n
  - Moyenne......0,000 41814
  - On voit par là que les valeurs de B, sont pour les cordes goudronnées comme pour les cordes blanches, sensiblement proportionnelles aux nombres des fils de caret, mais quil n’en est pas de même pour les valeurs de A, commet'1 admis M. Navier.
  - En comparant, comme nous l’avons fait pour les cordes
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- - DK L.\ ROIDEUR DES CORDES.
  - 329
  - blanches, les valeurs de - correspondant aux trois cordes, de 30,15 et 6 fds , on obtient les résultats suivants :
  - NOMBRE de fils. VALEURS de A n DIFFÉRENCE des nombres de fils. DIFFÉRENCES des valeurs de A n DIFFÉRENCES des valeurs de A » par (il de différence.
  - 30 0,0116603 De 30 à 15. 15 fils. 0,0045941 0,000306
  - 15 0,0070662 De 14 à 6. 9 0,0035327 0,000392
  - 6 0,0035335 De 30 à 6. 24 0,0081268 0,000339
  - Moyenne 0,000346
  - Il suit de là que la valeur de A peut être représentée par la formule
  - A = »[0>03B3354-0,000346 (n—6)]=[0,00U575-f0,000346 njn,
  - et la résistance totale sur un rouleau de diamètre D, par
  - R = g [0,0014575+0,000346.w-f 0,000418. Q] kil.
  - Cette expression est exactement de même forme que celle qui est relative aux cordes blanches et montre quelaroideur des cordes goudronnées est un peu supérieure à celle des cordes blanches neuves.
  - 272. Table des raideurs des cordes de différents diamètres enroulées sur un tambour d'un mètre de diamètre. — A l’aide des deux formules déduites des expériences de Coulomb Pour les cordes blanches, neuves et sèches, et pour les cordes goudronnées, les seules sur lesquelles on ait des expériences un peu nombreuses, on a pu former les tables suivantes, pour lesquelles on a calculé approximativement, d après les données de Coulomb, les nombres de fils de
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- - 330
  - DE LA ROIDEUR DES CORDES.
  - caret correspondant aux différents diamètres, à l’aide des
  - formules ________
  - rfcent = v/o,i338w
  - pour les cordes blanches sèches, et
  - dce,,t = ^0,186»
  - pour les cordes goudronnées, en observant que le cordage de six fils de Coulomb paraît trop petit, et en admettant que les nombres de fils soient proportionnels aux carrés des diamètres.
  - Tableau des roideurs des cordes enroulées sur un tambour d'un mètre de diamètre.
  - NOMBRE DE FILS. CORDES BLANCHES. CORDES GOUDRONNÉES.
  - i DIAMÈTRE. VALEUR de la roideur naturelle A. VALEUR de la roideur proportionnelle à Q. W es H 'W S Q VALEUR de la roideur naturelle A. VALEUR de la roideur proportionnelle à Q.
  - m. kil. m. kil.
  - 6 0,0089 0,0106038 0,002178 0,0105 0,021201 0,002512992
  - 9 0,0110 0,0225207 0,003267 0,0129 0.041143 0,003769488
  - 12 0,0127 0,0388476 0,004356 0,0149 0,067314 0,005025984
  - 15 0,0141 0,0595845 0,005445 0,0167 0,097712 0,006282480
  - 18 0,0155 0,0847314 0,006534 0,0183 0,138339 0,007538976
  - 21 0,0168 0,1142883 0,007623 0,0198 0,183193 0,008795472
  - 24 0,0179 0,1482552 0,008712 0,0211 0,234276 0,010051968
  - 27 0,0190 0,1866321 0,009801 0,0224 0,291586 0,011308464
  - 30 0,0200 0,2294190 0,010890 0,0236 0,355125 0,012564963
  - 33 0,0210 0,2766159 0,011979 0,0247 0,424891 0,013821456
  - 36 0,0220 0,3282228 0,013068 0,0258 0,500886 0,015077952
  - 39 0,0228 0,3842397 0,014157 0,0268 0,583108 0,016334448
  - 42 0,0237 0,4446666 0,015246 0,0279 0,671559 0,017590944
  - 45 0,0246 0,5095035 0,016335 0,0289 0,766237 0 018847440
  - 48 0,0254 0,5787504 0,017424 0,0298 0,867144 0,020103936
  - 51 0,0261 0,6524073 0,018513 0,0308 0,974278 0,021360432
  - 54 0,0268 0,7304742 0,019602 0,0316 1,087641 0,022616928
  - 57 0.0276 0,8129511 0,020691 0,0326 1,207231 0,023873424 j
  - 60 0,0283 0,8998380 0,021780 0,0334 1,333050 0,025129920
  - -J
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- - DE LA ROIDEUR DES CORDES.
  - 331
  - 273. Cordes mouillées.—Quant aux cordes mouillées, les résultats des expériences de Coulomb sont trop peu concluants pour qu’on en puisse déduire quelque règle pratique : car il a trouvé que pour les cordes de 15 et de 6 fils la présence de l'eau n’augmentait pas la roideur, et que pour la corde de 30 fds le terme constant A représentant la roideur naturelle, était seul augmenté et à peu près doublé. M. Na-vier, et après lui les autres auteurs, ont admis d’après cela qu’il fallait, dans ce cas, doubler la valeur du terme A, en conservant au terme B la même valeur. Mais il serait nécessaire de faire à ce sujet de nouvelles expériences plus complètes et plus concluantes.
  - 274. Usage des tables ou formules précédentes. — Pour trouver la roideur d’une corde d’un diamètre ou d’un nombre de fils de caret donné, on recherchera d’abord, dans la table ou par la formule, les valeurs des quantités A et B correspondant à ces données, et, connaissant la tension Q du brin enroulé, on aura sa résistance à l’enroulement sur un tambour d’un mètre de diamètre, par la formule
  - Bt = A + BQ.
  - Puis, en divisant celte quantité par le diamètre de la Poulie ou du rouleau sur lequel la corde doit être effectivement enroulée, on aura la résistance à l’enroulement SUr ce rouleau.
  - Exemple. Quelle est la roideur d’une corde blanche sèche, en bon état, de 0m,028 de diamètre ou de 60 fds, qui s’enfuie sur une poulie de chèvre de 0m,220 de diamètre à la §°ï’ge, sous une tension de 800 kilogrammes; la table donne P°ur la corde blanche sèche en hon état, de 60 fds de caret, enroulée sur un tambour d’un mètre de diamètre :
  - A = Okil, 899838 B = 0,02178, on a
  - D = 0m,220 -f 0m,028 = Ora,248,
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- - et par suite
  - „ _ 0,899838 + 0,02178 X 800 „oK1 0,248 “ ’
  - La résistance totale à vaincre, non compris le frottement des axes, est donc
  - Q -f- R = 800k + 73k,883 = 873kil,883.
  - On voit que dans cet exemple la roideur a augmenté cette
  - résistance de ^environ de sa valeur,
  - y
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- - DU TIRAGE DES VOITURES
  - ET DES EFFETS DESTRUCTEURS QU’ELLES l'RODUISENT SUR LES ROUTES.
  - 275. Du tirage des voitures. — L’é(ude des effets qui se produisent dans la marche des voitures peut être partagée en deux parties distinctes : le tirage des voitures proprement dit, et l’action qu’elles exercent sur les routes.
  - Les recherches relatives au tirage des voitures ont pour objet de déterminer l’intensité de l’effort que la puissance motrice doit exercer, suivant la grandeur de la charge, celle du diamètre, de la largeur des roues, et aussi suivant la vitesse et l’état ou la nature des routes.
  - Les premières expériences sur la résistance que les corps cylindriques éprouvent en roulant les uns sur les autres sont dues à Coulomb, qui, à l’occasion de celles qu’il voulait faire sur la roideur des cordes, détermina la résistance que des rouleaux, en bois de gaïae ou d’orme, éprouveraient sur des surfaces planes en chêne, mises de niveau.
  - Les rouleaux employés étant placés perpendiculairement à la direction des pièces de chêne, on passait par-dessus des ficelles flexibles, à chaque bout desquelles on suspendait des poids égaux, et, selon le nombre de cordes ainsi chargées, °u faisait varier la pression totale.
  - A une autre corde enroulée au milieu des rouleaux, on Sllspendait un poids moteur, dont on déterminait par expérience la valeur, de manière qu’il fût suffisant pour entre-lenir un mouvement lent et continu, voisin de l’unifor-mité.
  - Les pressions ou charges totales et les poids moteurs dé-
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- - 334
  - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - terminés dans les expériences par Coulomb sont rapportés dans le tableau suivant.
  - Résultats des expériences de Coulomb sur la résistance au roulement.
  - L’examen de ces résultats montre que, dans ces expériences, la résistance était sensiblement proportionnelle à la pression et en raison inverse du diamètre des rouleaux.
  - Des expériences analogues ont été exécutées à Vincennes et au Conservatoire des arts et métiers, avec des rouleaux en bois de différents diamètres, roulant sur du bois, du cuir et du plâtre. Le corps de ces rouleaux avait toujours à peu près 0m,200 de diamètre et le mode d’observation était analogue à celui de Coulomb. Seulement les courses totales étaient plus grandes et le mouvement était observé avec des moyens plus précis.
  - D’après la disposition des appareils, si l’on nomme :
  - Q le poids moteur qui, dans chaque cas, entretient un mouvement uniforme ;
  - r le rayon de la partie du rouleau qui représentait lu roue ;
  - r' le rayon du corps du rouleau ou le bras de levier du poids moteur ;
- p.334 - vue 343/470
- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 335
  - R la résistance au roulement ;
  - On a pendant le mouvement uniforme la relation
  - R.r=Q.r',
  - d’où l’on déduit dans chaque cas
  - t'
  - R=Q.
  - r
  - D’après la loi admise par Coulomb, la résistance au roulement étant proportionnelle à la pression, que nous appelons P, et en raison inverse du rayon ou du diamètre des rouleaux, elle peut être exprimée par la formule
  - R = A. -,
  - T
  - dans laquelle A serait un nombre constant pour chaque nature de terrain , mais variable de l’un à l’autre, même pour le même terrain et suivant son état. Nous rapporterons ici quelques résultats des expériences faites à Vin-cennes et au Conservatoire, ainsi que toutes les données à l’aide desquelles on a calculé, pour chaque cas, la valeur du
  - nombre A =-^, qui doit être constant, selon la loi de Coulomb.
  - Ces résultats, inscrits au tableau suivant, prouvent que la loi de Coulomb s’applique encore, avec toute l’exactitude désirable pour la pratique, au cas actuel, mais que de plus la résistance augmente quand la largeur des parties en con-lact diminue.
  - D’autres expériences du même genre ont confirmé ces conclusions, et l’on peut admettre, au moins comme lois de Pratique suffisamment exactes, que pour les bois, le plâtre, fe cuir, et généralement pour les corps durs, la résistance au roulement est à très-peu près :
  - !° Proportionnelle à la pression,
  - 2° En raison inverse du diamètre des rouleaux,
  - 3° D’autant plus grande que la largeur de la zone de intact est plus petite.
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- - 336
  - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - L\
  - %
  - Expériences sur des rouleaux de chêne roulant sur du peuplier.
  - 1 LARGEUR | des bandes de peuplier. PRESSION des rouleaux, P. POIDS moteur, Q. RUAS de levier du poids moteur, r'. BRAS de levier de la résistance, r. VALEUR de la résistance R. VALEUR du nombre Ilr A = -P
  - m. kil. kil. m. m. kil.
  - 197,54 1,752 0,1005 0,1810 0,972 0,000891
  - 175,17 1,585 0,0973 0,1355 1,124 0,000869
  - 0,100 168,01 1,346 0,1015 0,0902 1,514 0,000813
  - 185,73 .1,715 0,1020 0,0450 3,848 0,000932
  - Moyenne 0,000876
  - 1 199,855 3,565 0,1008 0,1810 1,979 0,001797
  - 0,025 1 169,855 3,190 0,1015 0,0902 3,589 0,001906
  - 187,709 3,690 0,1010 0,0450 8,889 0,001984
  - Moyenne 0,001896
  - 270. Expériences sur des voitures marchant sur des routes ordinaires. — Les expériences dont on vient de citer quelques résultats ne suffisaient pas pour autoriser à en étendre les conclusions au mouvement des voitures sur les roules ordinaires. 11 était nécessaire d’opérer directement sur des toitures, dans les circonstances habituelles de leur service. Des expériences ont été entreprises à ce sujet d’abord à Metz en 1837 et 1838, puis à Courbevoie en 1839 et 1841, avec des voitures de toute espèce, et l’on a étudié séparément l’to' tlucnce de la pression, celle du diamètre des roues, celle de leur largeur, celle de la vitesse de transport, celle de l’état du sol, sur l’intensité du tirage.
  - Pour indiquer la marche suivie dans la discussion des résultats immédiats des expériences, nous appellerons:
  - P le poids total de la voiture, non compris les roues ;
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- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 337
  - p' et p' les poids respectifs des roues de devant et de derrière ;
  - Pi la pression totale sur le sol ;
  - P' et P" les composantes du poids P sur chacun des essieux ;
  - r' et r" les rayons des roues de devant et de derrière ;
  - 4 et rZ' les rayons moyens de chacune des boîtes de roues ;
  - F l’effort de traction dans le sens des traits;
  - F, la composante de cet effort, parallèlement an sol.
  - Fa pression du train de devant sur le sol sera P' -\-p', relie du train de derrière V"-\-p", et d’après la loi de Coulomb la résistance au roulement sera :
  - P' 4- »'
  - Pour le train de devant A.—4-S
  - r 7
  - P" 4-a"
  - Pour le train de derrière A. ——
  - r
  - ^ frottement des boites contre leurs essieux, rapporté à la circonférence de la roue, sera :
  - PV '
  - Pour le train de devant f. —
  - PV/'
  - Pour le train de derrière
  - si le sol est incliné, la composante du poids total ^+p'4-iA dans le sens de la pente, sera
  - (p+p’+i-")"
  - Cn appelant H la différence du niveau correspondant à la *0ngueur L. Cetle composante agira d’ailleurs comme ré-stance dans les montées et comme puissance dans les
  - descentes.
  - d’après cela il est évident que, dans la montée par excin*
  - n
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- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 338
  - pie, la résistance totale au roulement sera, en appelant R' et R" les résistances particulières à chaque train,
  - R' + R"=F, -f-(ç£-+^P) -(P+y +/)[•
  - Les quantités f, P', Pv, r', r", rî, r”, F, p', p\ H et L, ont été données par mesures directes, la quantité Ft par l’expérience faite au dynamomètre; on a donc eu pour chaque cas la valeur de R' -J- R" = R.
  - Si la loi de Coulomb est vraie, on a d’ailleurs
  - R = R' + R" = A ,
  - d’où l’on tirera la valeur de la quantité A, qui doit être constante :
  - R
  - A =
  - P '+// . P"+p"
  - Si les roues sont égales, l’expression ci-dessus se réduit à
  - _ R.r _ Rr A“ P' +p’ -f- P" +/ — P +p' +p"‘
  - 277. Bapport du tirage à la charge. — Nous ferons de suite remarquer que, si la loi de Coulomb peut être admise, l’effort horizontal de traction à exercer sur un sol de niveau aura» d’après ce qui précède, pour expresion
  - P"-}-p"
  - p, = a[^'
  - +r^p+t^
  - ou, puisque les rayons des boîtes sont ordinairement les mêmes aux deux trains et égaux à une valeur moyenne u,
  - F, = (A+M) [5 + + A
  - On voit d’ailleurs que, si l’on voulait rendre le tirage des deux trains le même, il faudrait faire P'H-p' P "+p"
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- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 339
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- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 3 iO
  - Ces expressions nous serviront plus lard à déterminer, à l’aide de l’expérience, le rapport du tirage à la charge pour les cas les plus usuels.
  - 278. Influence de la pression. — Pour connaître l’influence de la pression sur la résistance au roulement, on a fait marcher les mêmes voitures à différentes charges sur la même route au même état. Nous rapporterons les résultats de quelques-unes de ces expériences faites au pas.
  - Expériences sur l'influence de la pression sur le tirage des voitures.
  - VOITURES EMPLOVÉES.
  - d’artillerie.
  - Chariot de roulage non suspendu
  - suspendu.
  - Voitures'asixroues
  - égales.
  - Deux voilures à six roues égales, accrochées l’une derrière l’autre.
  - ROUTE PARCOURUE. T* O S w £ - TIRAGE. RAPPORT du tirage h. la charge.
  - kit. kit.
  - 'Route de Courbevoie à Co- 5992 180,71 3 8.6
  - | lombes, sèche, en bon 6140 159,9 _J 3 9>2
  - | étal, avec poussière. 1 4580 113,7 \. 40>2
  - Route de Courbevoie à 7126 138,9 \ -5 '1 >3
  - Bezons , solide , en 5458 111,5
  - gravier dur, très-sè- 4450 93,2 i. 47.7
  - che. 3430 68,4 JL- 50.2
  - Roule de Colombes'" Cour- | 1600 39,3 L. 4 0.8
  - bevoie; pavé en état or- 3292 89,2 36.9
  - din., avec boue humide. 4996 136,0 36.8
  - Route de Courbevoie à 3000 138,9 2-1.6
  - Colombes ; ornières pro- 4692 224,0 1_ 21.0
  - fondes ; détritus humide. 6000 285,8 K. 2-1.0
  - 6000 286,7 \
  - 11 résulte de l'examen de ce tableau que, sur les route-'’
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- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 341
  - en empierrement solides et sur le pavé, la résistance au tirage des voitures est sensiblement proportionnelle à la pression.
  - On remarquera que les expériences faites au moyen d’une seule ou de deux voitures à six roues ont donné le même tirage total pour une même charge de 6000 kilogrammes, véhicules compris. Il suit de là que le tirage est, toutes choses égales d’ailleurs et entre certaines limites, indépendant du nombre des roues ; on peut d’ailleurs tirer la même conséquence des résultats que renferme le tableau de la page suivante, relativement à une même voiture employée successivement avec six et avec quatre roues ; la résistance a été la même dans les deux cas pour la même charge.
  - 270. Influence du diamètre des roues. — Pour étudier l’influence du diamètre des roues sur le tirage, on a fait parcourir respectivement les mêmes parties de roule, au même étal, à des voitures pesant le même poids et ayant des largeurs de bandes égales, mais dont les diamètres seuls différaient entre des limites très-étendues. On a rapporté dans le tableau suivant quelques-uns des résultats obtenus.
  - On a ainsi comparé avec le chariot porte-corps d’artil-*ei’ie, dont les roues ont un diamètre de 2m,029, différentes sortes de véhicules en y comprenant des camions dont les l’°ues n’avaient pas un diamètre supérieur à 0m,592 et 110m,42O. Le rapport du tirage à la pression a varié de ^ pour plus grandes roues, jusqu’à ^ pour les plus petites sur llne route pavée en grès de Fontainebleau. Sur la route en empierrement de Courbevoie à Colombes les expériences 11 ont porté que sur des diamètres compris entre 2m,029 et 0,872.
  - Ces exemples montrent que sur les routes solides on peut ^mettre comme loi pratique que le tirage varie en raison lnverse des diamètres des roues.
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- - Expériences sur l’influence du diamètre des roues sur la résistance au tirage des voitures.
  - 342 DU TIRAGE DES VOITURES
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- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 343
  - M. le général Piobert, qui s’est occupé de recherches théoriques et expérimentales sur la résistance au roulement. en a conclu que cette résistance varie en raison in-
  - 2
  - verse d’une puissance du diamètre comprise entre - et
  - l’unité, et qui se rapproche d’autant plus de cette dernière limite que le sol est plus dur; et que sur le pavé cette résistance varie en raison inverse du rayon de la roue, augmenté de la saillie du pavé.
  - Si l’on cherche à appliquer celte loi aux expériences faites sur les routes en empierrement solide, sèches ou humides, en admettant, par exemple, que la puissance du rayon à
  - employer soit j, on trouve les résultats insérés dans la der-5
  - nière colonne du tableau précédent. L’examen de ces résultats , que nous avons exprimés en fractions ordinaires, pour que la comparaison soit plus facile, montre que la loi de Coulomb représente les résultats de l’expérience laite sur la route de Courbevoie à Colombes, sur des chariots porte-corps d artillerie , avec une exactitude
  - de
  - : tandis qu’en faisant varier la résistance en raison
  - inverse de la puissance
  - 4
  - 5
  - du rayon,
  - on obtient une ap-
  - proximation de -L
  - 15
  - Or, dans de semblables recherches, l’on ne peut guère se flatter d’obtenir des résultats directs d’expérience, qui ne
  - diffèrent pas entre eux de plus de ^ à ce qui correspond aux limites calculées successivement par les deux lois. A suit de là que pour la pratique on peut, lorsqu’il s’agira Ae routes solides , adopter la loi simple de Coulomb, sans crainte de commettre d’erreur grave.
  - -80. Influence de la largeur des jantes.— Cette influence a oté étudiée d’abord avec un appareil composé d’un arbre
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- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - en fonte, sur lequel on plaçait des disques en fonte, tournés à leur contour, et formant à la fois la charge et les roues, dont la largeur totale était ainsi proportionnelle à leur nombre ; plus tard on a employé sur les routes ordinaires des voitures dont les roues avaient même diamètre et des largeurs inégales. Quelques-uns des résultats des expériences sont consignés dans le tableau suivant :
  - Expériences sur l’influence de la largeur des jantes sur la résistance au roulement.
  - DIAMÈTRE W J
  - des roues
  - xn w M
  - VOITURES SOL O G ^ W C3 O H ë S g • ü < A
  - G AD G-Q X G
  - employées. parcouru. <L> & XJ & £ \ J co D 'd s2 G d < >
  - G
  - TJ -S
  - m. ra. m. kil. kil.
  - 0,045 1042,0 160,2 0,0604
  - Sol du polygone 0,0616
  - de Metz. 0,787 0,090 1335,0 209,2
  - 0,135 1447,0 179,6 0,0488
  - Appareil 0,0951
  - 0,045 1045,6 252,2
  - avec arbre
  - Hangar de manœuvre 0,090 1355,0 237,3 0,0778
  - en fonte, de l’Ecole de Meiz ; 0,0739
  - sable de on,,l2 à 0,787 0,135 1441,1 270,7
  - 0"‘,i5 d’épaisseur. 0,185 1380,0 221,3 0,0632
  - 0,225 1664,5 359,3 0,0612
  - Porte - corps Route de Courbevoie 1,438 1,438 0,175 3464 75,5 0,0154
  - d’artillerie. à Colombes, humide. 1,449 1,445 0,060 3608 75,4 0,0151
  - Pavé en grès 1,438 1,438 0,175 5516 83,0 0,0111
  - Porte - corps d’artillerie. de ( Fontainebleau. 1,453 1,453 0,115 5518 72,6 0,0095
  - Voitures 1,453 1,453 0,115 4594 58,2 0,0092
  - à six roues. - 0,860 0,860 0,060 3270 71,6 0,0094
  - Ces exemples montrent 1° que sur les sols mous la résistance augmente à mesure que la largeur de la jante diminue;
  - il convient donc à l'agriculture, pour la conservation de ses
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- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 345
  - attelages, d’employer des jantes d’une certaine largeur, de O"1,10 environ, et non pas des jantes très-étroites. 2° Que sur les routes solides en empierrement et en pavé, la résistance est à très-peu près indépendante de la largeur de la jante.
  - 281. Influence de la vitesse.—Pour reconnaître l’influence delà vitesse sur le tirage des voilures, on a fait marcher sur différentes roules, à divers états, les mêmes voitures, en ne faisant varier dans chaque série d’expériences que la vitesse, qui a été successivement celle du pas, du pas allongé, du trot, du grand trot.
  - Quelques-uns des résultats des expériences sont rapportés dans le tableau suivant :
  - Expériences sur l’influence de la vitesse sur la résistance au tirage des voitures.
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- - 346
  - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - On voit par ces exemples que le tirage riaugmente pas sensiblement avec la vitesse, sur les terrains mous, mais que, sur les routes solides et inégales, il augmente d’autant plus que le sol présente plus d'inégalités, et que la voiture est plus dure ou le mouvement plus rapide.
  - 282. Expression approximative de ïaccroissement de la résistance avec la vitesse. — Pour chercher la relalion qui lie la résistance à la vilesse, sur les terrains durs et raboteux, nous avons pris pour abscisses les vitesses et pour ordonnées les valeurs du nombre A, fournies par l’expérience, et cette représentation graphique des résultats nous a montré que tous les points ainsi déterminés étaient pour chaque série d’expériences situés à très-peu près sur une même ligne droite. Ainsi les séries d’expériences relatives à un affût de siège chargé de sa pièce, voiture très-rigide, mue à différentes vitesses sur une route en empierrement très-bonne et sur le pavé de la ville de Metz, sont représentées pl. Y, fig. 4 et 5, et l’on voit que les valeurs des ordonnées, ou du nombre A, croissent avec les abscisses ou la vitesse suivant une loi, qui, dans les limites des expériences, peut être exprimée par une ligne droite coupant l’axe des ordonnées à une certaine hauteur, ce qui indique que pour une vilesse nulle la résistance a encore une certaine valeur ou qu’en général elle se compose d’une partie indépendante de la vilesse et d’une partie proportionnelle à cette vitesse. Cette résistance, ou plutôt la valeur du nombre À, peut donc être en général représentée par une expression de la forme
  - A=«-{- d(V — 1),
  - dans laquelle
  - a est un nombre constant pour chaque sol, à un état déterminé, et qui exprime la valeur du nombre A pour la vitesse V = lm,00, qui est celle du pas assez lent;
  - d un facteur constant pour chaque nature de terrain et chaque espèce de voitures.
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- - DU TIRAGE DES VOITURES. 347
  - Dans le cas particulier des deux séries d’expériences citées plus haut, on a pour l’affût de siège avec sa pièce :
  - Sur la route de Montigny, en très-bon
  - empierrement................... A = 0k,0100 4 0k,0020(V— 1).
  - Sur le pavé de Metz, en grès de Sierck. A = 0k,0066 0k,005"' (V— 1 ).
  - Ces exemples suffisent pour faire voir ;
  - 1° Qu’au pas, la résistance sur un bon pavé est moindre que sur une très- bonne route en empierrement très-sèche ;
  - 2° Qu’aux allures vives, la résistance sur le pavé croît rapidement avec la vitesse Y.
  - Ainsi au pas, sur le pavé de Metz, et avec des roues de •n,,00 de rayon, la résistance serait de 6\6 pour 1000 kilogrammes de charge totale, véhicule compris, tandis qu’à la vitesse du grand trot, V = 4m, elle serait de
  - 6k,6 + 5k,7X3=23kil, 7,
  - c’est-à-dire presque quadruple.
  - Sur le pavé de Fontainebleau, à joints larges, à bords arrondis, qui offre tant d’inégalités et dont les éléments peuvent se déplacer sous l’action delà charge, la résistance au pas est plus grande que sur le pavé de Metz, et Fac-croissement de cette résistance avec la vitesse est encore plus rapide. La figure 6, qui représente les résultats d'expérience , obtenus avec un chariot des messageries géné-rales dont les ressorts avaient été calés pour le transformer en une voiture non suspendue, montre que l’inclinaison de ligne droite ou l’accroissement de la vitesse est beaucoup Plus considérable que sur le pavé de Metz, et l’on en déduit Pour représenter les valeurs du nombre A la formule
  - A = 0k,0092 -f 0k,0089 (Y — 1),
  - 1ui montre que pour des roues de lm,00 de rayon la résiste, au pas de r’,00 de vitesse, serait de 9kiI,2 par 1000 kilogrammes de charge, c’est-à-dire de près de moitié
- p.347 - vue 356/470
- - 348
  - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - en sas de celle qu’offre le pavé de Metz, et qu’au grand trot, à la vitesse de 4m,00 en 1", elle serait égale à
  - 9kil,2-f- 8kil,9 X 3 = 35kil,9,
  - tandis que sur le pavé de Metz elle ne serait que de 23kil,7.
  - Quant aux voitures suspendues, l’expérience montre que la résistance croît aussi, mais beaucoup plus lentement, avec la vitesse, sur les routes dont la surface est raboteuse. Ainsi sur le pavé de Paris (fig. 7) le môme chariot des messageries générales, dont les ressorts avaient leur liberté d’action, n’a plus donné, pour la valeur du nombre A, que l’expression
  - A = 0k,0098 -f 0k,0025 (Y — 1),
  - de sorte qu’au trot, à la vitesse de 4m,00, et avec des roues de lm,00 de rayon, la résistance pour une charge de 1000 kilogrammes ne serait que de
  - 9k,8-f-2\5X3kil = 17,30,
  - c’est-à-dire la moitié de celle qu’aurait éprouvée le même chariot, non suspendu, sur le même pavé, à la même vitesse.
  - 283. Conséquences pratiques de ces expériences. —Ces expériences ont montré d’une part le grand avantage qu’offrent , sous le rapport de la traction et de l’économie de la puissance motrice, les voitures bien suspendues sur celles qui ne le sont pas, et de l’autre la supériorité du pavé dont les joints sont étroits et serrés, et la surface unie, sur le pavé à joints larges et à surface inégale généralement employé à Paris. Ces résultats, obtenus en 1837, et publiés en 1838, ont appelé l’attention des ingénieurs, et l’on peut croire qu’ils ont provoqué les essais, que l’on a faits depuis avec succès, sur l’emploi de pavés taillés et de formes régulières , dont le public apprécie facilement les avantages.
  - 284. Comparaison des routes pavées et des routes en empierrement. — Les mêmes expériences nous montrent que» si, pour le roulage au pas, les routes pavées offrent un avan*
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- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - tage sur les routes en empierrement, il n’en est pas de même pour les grandes vitesses sur les bonnes routes en empierrement, sèches et en partait état; mais que, quand ces routes sont mouillées, le pavé reprend son avantage. On trouve en effet, pour ce dernier cas, que sur la route de Metz à Nancy, mouillée, avec un peu de boue et des cailloux à fleur du sol, la valeur clu nombre A, qui représente la résistance par 1000 kilogrammes de charge avec des roues de lm,00de rayon, pour les diligences des messageries générales bien suspendues, est donnée par la formule
  - A = 0k,0l4 -f 0k,0022 (V — 1).
  - En la comparant à celle que Ton a obtenue pour le pavé de Paris, on trouve que le tirage par 1000 kilogrammes avec des roues de lra,00 de rayon serait :
  - Aux vitesses de...............
  - Sur la route en empierrement
  - mouillée de Nancy....... ...
  - Sur le pavé de Paris....... ..
  - I», 00 2”, 50 3m, 00 4”, 00 en 1".
  - 14kil,00 17kil,30 18kll,40 20kil,60
  - 9 ,80 13 ,55 14 ,80 17 ,30
  - L’excès de tirage offert par les routes en empierrement mouillées provient principalement de leur compressibilité, et il croît naturellement à mesure que les matériaux sont Plus tendres, la route plus humide et moins bien entretenue.
  - Cette dernière circonstance exerce sur la résistance à la fraction une influence énorme dont les conséquences, nuisibles à l’industrie des transports, n’attirent pas assez l’attention. Des expériences exécutées en septembre et octobre 1841 avec le même chariot, parcourant successivement diverses parties d’une même route, ont montré que, tos matériaux et la saison étant les mêmes, le tirage de cette
  - Charge, tandis que sur des parties mal entretenues il
- p.349 - vue 358/470
- - 350
  - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 265. Influence de l’inclinaison des traits. —Pour étudier l’influence de cet élément de la question on s’esl servi d’un affût de siège à roues égales dont on a successivement incliné le timon à
  - 1°35\ 3°35', 6°30\ 8°30', 11°0', et 13°30\
  - et l’on a fait marcher cette voiture sur un sol couvert de gazon encore humide, en conservant d’ailleurs le même poids et la môme vitesse dans tous les cas.
  - L’effort de traction F, mesuré par le dynamomètre et exercé dans le sens des traits, se décomposait évidemment en deux forces, l’une F' horizontale et parallèle au sol, qui produisait le mouvement et surmontait toutes les résistances; l’autre verticale, F", qui diminuait la pression de l’avant-train sur le sol.
  - Il en résulte qu’en conservant les notations du n° 276, la pression sur le sol peut être exprimée par
  - 0,96[P'-fP"]+0,4F',
  - de sorte qu’en nommant /de rapport du frottement à la pression, ri le rayon moyen des boîtes, r celui des roues ;
  - L le chemin total parcouru,
  - L’équation du mouvement de cette voiture, sur un sol horizontal, était approximativement
  - F'L = (R' -f R")L+0,96 Ç1 L(P' 4- P" —F") 4- 0,4 ^ F'.
  - On avait d’ailleurs
  - ri = 0m,038 r = 0m,782 f =0,065.
  - Or, avant d’aller plus loin, nous ferons remarquer qu’attendu la petitesse du terme
  - o,4/h
  - r
  - 0,00252,
  - on peut évidemment négliger la valeur de celte expression
- p.350 - vue 359/470
- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 351
  - et réduire celle de R'-j-R", tirée de l’équation précédente, à R'+R^F— (P'+P"— F") = F'— 0,0299(P'+P"— F"),
  - et d’un autre côté nous savons que
  - P pv/
  - R'+R"=A--------— :
  - r
  - on a donc, pour comparer les résultats de la formule ci-dessus à l’expérience, la relation
  - F'—0,00299(P'+P"—F")
  - A“ 15— F"
  - r
  - Or cette comparaison a donné les résultats suivants, qui sont des moyennes de plusieurs expériences répétées pour chaque cas :
  - Inclinaison du tirage... 1\35' 3°,35' 6°,30' 8°,30' 11°,0' 13°,31' Valeur du nombre A... 0,0349 0,0349 0,0359 0,0349 0,0349 0,0310
  - L’accord de toutes ces valeurs montre que les effets mécaniques se passent exactement comme l’indique la formule, où l’on a tenu compte de la décomposition des efforts; par conséquent, pour reconnaître quelle est l’inclinaison qui correspond au maximum d’effet, on trouve, par les méthodes de calcul connues, qu’en nommant h la hauteur du Point d’attache antérieur des traits au-dessus du point d’at-hudie postérieur,
  - b la projection horizontale de la dislance de ces deux points, le rapport de ces quantités, correspondant au maximum d’effet de la puissance motrice, doit être
  - h__A-j-0,96/h
  - b r — 0,4/h ’
  - Cette expression montre que, pour une voiture donnée, l’in-cùnaison des traits, ou la valeur de ^, doit être d’autant plus
- p.351 - vue 360/470
- - 1)U TIRAGE DES VOITURES.
  - ») O 2
  - grande que la valeur A ou de la résistance du sol l’est elle-même davantage, et sous ce rapport le sol choisi pour les expériences était très-convenable; de plus, pour un sol donné, cette même inclinaison augmente à mesure que le rayon des roues diminue.
  - En appliquant la relation ci-dessus à l’affût de siège et au sol mis en expérience, pour lesquels on avait
  - r— 0m,782, f— 0,065, r,= 0m,038, A = O*,0349,
  - on trouve
  - r = 0,0 478 o
  - 1
  - 20,9
  - Si l’on avait avec les mêmes données r=0m,25, comme pour des camions, on trouverait
  - 0,148
  - quantité beaucoup plus petite que celle qui est en usage.
  - Sur des routes en empierrement, pour lesquelles À = 0,015 à l’état ordinaire d’humidité et d’entretien, on trouverait pour les voitures d’artillerie
  - h
  - b
  - — 0,022:
  - 45,5’
  - ce qui est à peu près l’inclinaison adoptée pour l’artillerie de siège destinée à voyager sur les grandes routes.
  - 11 ne nous paraît pas nécessaire de pousser plus loin cette
  - discussion, à laquelle les constructeurs attachent en général plus d’importance qu’elle ne mérite , et nous nous bornerons à dire qu’entre les limites où elle est nécessairement renfermée, l’inclinaison des traits a peu d’influence sur le tirage, et que, dans les cas ordinaires, elle doit être très-faible.
  - 286. Résumé et application des résultats généraux des expfij~ riences. —Le tableau suivant renferme les valeurs du raf'
- p.352 - vue 361/470
- - 12
  - RAPPORT DU TIRAGE A LA CHARGE DES VOITURES, POUR LES DIFFÉRENTS TERRAINS ET VÉHICULES.
  - DÉSIGNATION
  - de la
  - RODTE PARCOURUE PAR LA VOITURE.
  - Accotement en terre, en très-bon état, à peu près sec........................
  - ic'ot®m.ent solide, recouvert d’une couche de gravier de °*i03aO“O4 d’épaisseur.....................................................
  - toiement solide, recouvert d’une couche de gravier de 0.05 a 0”,06 d’épaisseur................................
  - ';en lerre ferme, recouvert de 0m,10 à O-,15 de gravier, ou route neuve................ . ..
  - Accotement ou roule couverte de neige non frayée.
  - en terre ferme, recouvert d’une couche de sa uieie de gravier de O^.iO à 0n,,i5 d’épaisseur......
  - en très-bon étal, très-sèche et très-unie..
  - avec quelques cailloux à fleur du sol...
  - Rouie en
  - eiûPierremem
  - sol mouillé.
  - solide, avec frayé léger et boue molle..........
  - solide, avec ornière et boue.
  - AFFUTS CHARIOTS CHARIOTS CHARRETTES DE ROULAGE . CHARRETTES :
  - et charrettes d’artillerie : comtois : 1 = om,10 à 0ni, 12 l = 0nl, 10 à 0,ml2
  - d’artillerie :
  - l = O™,10 à 0ro,12 r, = 0“,038 l = o">,70 à om,75 l = 0,!,,06 à 0m,07 r. — r, = Om,032
  - r, = 0nl,O38 r, = 0m,027
  - r' = 0m,575 r’ = 0m,625 r' = 0“,450 r” = O111,750 r' = Om,55 r" = o111,8 5
  - r' - r" = 0m,782 r” = 0m,780 r" = 0m,725 r'= om,80 r’ = f",oo
  - r' r" = lm,564 r' -br" = î™,355 r' -t- r" — 1 »*,35 r’ + r“ — i™,20 r' + r" = in,,40
  - frx = 0,00247 fr, = 0,00247 O O O II /r, = 0,00208 fr, = 0,00208 /V, = 0,00208 /r, =0,00208
  - 1 1 1 1 1 1 1
  - 34,8 30,1 31,0 27,2 31,7 36,3 45,4
  - 1 1 1 1 1 1 1
  - 13,6 11,8 ll9 10,5 12,3 14,0 17,5
  - 1 1 1 1 1 1 1
  - 11,6 10,1 10,1 8,9 10,4 11,9 14,9
  - 1 1 1 1 1 1 1
  - 10,8 9,3 9,4 8,3 9,7 11,1 13,9
  - 1 1 1 1 1 1
  - 18,4 16,0 16,2 14,3 16,7 19,0 23,8
  - 1 1 1 1 1 1 1
  - 10,2 8,1 8,9 7,9 9,2 10,5 13,1
  - pas éi 1 1 1 1 1 1 I
  - . . 1 54,3 57,5 49,9 58 66,2 82,8 \
  - tr0t 50,5
  - 1 1 1 1 1 1 1 1
  - 44,8 38,7 40,3 35,2 41 47,0 58,6 ]
  - 1 1 1 1 1 1 1
  - 54,1 46,8 49,1 42,8 49,8 56,9 71,0
  - 1 1 1 1 1 1 ' I 1
  - 34,8 30,1 31,0 27,2 31,7 36,2 45,2
  - 1 1 1 1 1 1 1
  - 28,5 24,6 25,2 22,2 25,8 29,5 36,9
  - DILIGENCES des Messageries impériales et générales : l — Om,iO à om,i2 r, = 0m,032 r' r"= inl,i5 fr, = 0,00208
  - pas et trot.-—
  - /vO } 1
  - pas et Irotj^j,
  - VOITURE à
  - bancs suspendus:
  - 1 = 0^,01 à O"',08 r, = 0“',027 r' = Om,45 r“ = 0,n,70 r’ -h r"— im,i5 fr, =0,00175
  - pas et trom-
  - pas et trot
  - 10,1
  - pas et trot
  - 8,6
  - pas et trot -—
  - 8,0
  - i
  - 13,7
  - pas et trot—y-ip
  - lpas Wfi
  - (trot
  - [grand trot.-[pas [trot
  - Irot
  - J
  - 40,9
  - 1
  - 39.7 _1
  - 33.7 _1
  - 26.8 _1 24,3
  - 40,8
  - _1
  - 26.5
  - J_
  - 22.6
  - 1
  - 26,1
  - 1
  - 21,7
  - 1
  - 20,0
  - 1
  - 21,0
  - J_
  - 18,5
  - 1
  - pas et trot—-
  - o,0
  - pas et trot
  - 8,0
  - pas et trot—-, 6,9
  - _l 49 _1 4l ,8
  - grand Irol^
  - pas
  - trot
  - _1
  - 34,3
  - J
  - 27,2
  - 1
  - 24^0
  - _1 41,8 1
  - 27
  - grand trot^ paS 2174
  - pas trot
  - grand Irot pas trot
  - trot
  - grand trotr
  - _1
  - 22
  - J_
  - 20,3
  - P3S 2175
  - trot
  - _1 18,5
  - grand troty^
- p.n.n. - vue 362/470
- - DÉSIGNATION
  - de la
  - ROUTE PARCOURUE PAR LA VOITURE.
  - Houle
  - en
  - avec détritus et boue épaisse.
  - empierrement
  - {très-dégradée, ornières profondes de 0m,06 à 0n,,08, boue épaisse....................
  - très-mauvaise, ornières profondes de 0m,10 à 0ra,12, boue épaisse, fond dur et inégal.
  - Pavé en grès de Sierck serré.
  - Pavé en grès de
  - Fontainebleau
  - ordinaire sec.
  - idem,
  - en état ordinaire, mouillé; et couvert de boue........................................
  - Tablier de pont en madriers.
  - AFFUTS et charrettes d’artillerie :
  - * I = om,lo à onl,l2 ri = 0"‘,038 r' = r* lm,782 r’ + r" = im,56l /r, = 0,00247
  - 1
  - 24,1
  - 18,4
  - 16,5
  - 80,9
  - 75,7
  - _1_
  - 74,7
  - 1
  - 58,1
  - 54,1
  - CHARIOTS
  - d’artillerie :
  - l— om,70 à om,75 r, 0m,038 r' Q,n,575 r" 0m,780 r’ + r" = inl,355 fri =0,00247
  - 1
  - 20,8
  - 1
  - 15,9
  - 1
  - 14,3
  - _1_
  - 70,0
  - 1
  - 64,6
  - 1
  - 50,3
  - 1
  - 46,8
  - CHARIOTS
  - comtois :
  - l = 0U,,06 à 0"',07 r, =0m,027 r' = 0m,625 r" = O"1,725 r' -F- r" = lm,35 fr{ =0,00175
  - 21,3
  - 1
  - 16,2
  - 1
  - 14^
  - 1
  - 75,5
  - 1
  - 69,2
  - 1
  - 52,9
  - 49,1
  - CHARRETTES DE ROULAGE
  - l = 0m,10 à 0n,,12 F, = 0m,032
  - r' = 0"*,450 r" = 0m,750 r’ -t- r" = im,20 fri — 0,00208
  - 18,7
  - 1
  - 14,3
  - 1
  - 12,7
  - 1
  - 64,7
  - 1
  - 59,6
  - 46,0
  - 1
  - 42,8
  - r’ = ora,55 r” = Om,85 r' -+- r"= ini,40 frt = 0,00208
  - 21,8
  - 16,7
  - 1
  - i?;9
  - _1_
  - 75,5
  - 69,5
  - _1_
  - 53,5
  - _1_
  - 49,8
  - CHARRETTES : 1= 0U‘,10 à 0m,I2 F, = 0ra,032
  - F’ =0m,80 /F, = 0,00208
  - 24,9
  - 1
  - 19,0
  - 17,0
  - 86,3
  - 1
  - 79,9
  - * l indique la largeur des bandes. — Les autres annotations sont données page 337,
  - 1
  - 74,4
  - 1
  - 69
  - f’ = I"*,00 fr, = 0,00208
  - DILIGENCES des Messageries impériales et générales : l — 0ni,10 à 0m,12
  - F, = 0m,12
  - r' + r"— 1,15
  - fri = 0,00208
  - _1_
  - 31,1
  - 23,8
  - 1
  - 21,2
  - 1
  - 107,9
  - _1_
  - 99,9
  - _1_
  - 76,5
  - _1_
  - 71
  - !pas TïTs
  - (lr°l iè
  - grand trot^
  - _J_ 13,7
  - 12,4
  - ; pas 'trot
  - grand trot — 1
  - pas
  - trot
  - pas
  - trot
  - 12,2
  - 1
  - 10,5 1
  - 62,0 42,0
  - grand trot^
  - [PaS 5Tl
  - trot grani
  - [l)as £Tï
  - [trot
  - 38.1
  - [grand trot^
  - _l
  - 57.1 _1 40,9
  - (grand iroljdj
  - [l>as 4M ] 1 (lr0t 32,9
  - (grand trot^ pas et trot^-8
  - bancs suspendus
  - l = om,07 à Om,0! r, = O™,02! r' t= onl,45 r" = 0m,70 r' + r*= r,i5 fri =0,00193
  - pas trot grand trot pas trot
  - grand lrol^9
  - 1
  - i)as iîJl
  - î
  - trot 7$
  - 1
  - pas jjp
  - trot $ji
  - I
  - grand trot ^ pas trot
  - grand trotjjjj
  - !
  - pas
  - J_
  - trot 4Î5
  - J_|
  - grand trotjjjjj 1
  - pas 45,t
  - 1
  - trot
  - 1
  - grand trot^j
  - I
  - pas et tr°t 4^8
  - LL
- p.n.n. - vue 363/470
- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 353
  - port du tirage à la charge pour un grand nombre de circonstances différentes : les formules du numéro 277, combinées avec les résultats directs des expériences, nous ont permis de calculer approximativement les valeurs de ce rapport pour les proportions les plus ordinaires des voitures employées dans l’industrie.
  - (Voir le tableau ci-contre.)
  - 237. Conclusions générales. — De l’ensemble de toutes les expériences sur le tirage des voitures on peut conclure les lois pratiques suivantes :
  - 1° La résistance, opposée au roulement des voitures par les toutes en empierrement solide ou pavées, et rapportée à l’axe de l’essieu, dans une direction parallèle au terrain, est sensiblement proportionnelle à lapression ou au poids total du véhicule, et inversement proportionnelle au diamètre des roues.
  - 2° Sur les chaussées pavées ou en empierrement, la résistance est à très-peu près indépendante de la largeur de la bande de roue.
  - 3° Sur les terrains compressibles tels que les terres, les sables, le gravier, etc., la résistance décroît à mesure que la largeur de la bande augmente.
  - Sur les terrains mous, tels que les terres, les sables, les accotements en terre, etc., la résistance est indépendante de la vitesse.
  - 5° Sur les routes en empierrement et sur le pavé, la résistance croît avec la vitesse. L’accroissement est d’autant Joindre, que la voiture est mieux suspendue et la route plus unie.
  - 6" L’inclinaison du tirage doit se rapprocher de l’horizon-kle, pour toutes les routes et pour les voitures ordinaires, aulant que la construction le permet.
  - Nous rappellerons que ces lois simples ne sont pas ce du’on appelle des lois mathématiques, mais seulement des 1q1s approximatives, qui, pour les cas les plus ordinaires de lu pratique et pour les dimensions habituelles des voitures
  - 23
- p.353 - vue 364/470
- - 334
  - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - représentent les résultats de l’expérience avec nne exacli-ludc suffisante, et à très-peu près égale à celle que l’on déduirait de l’expérience même. C’est en ce sens seulement que je les ai proposées et appliquées.
  - 288. Conséquences relatives à la construction des voitures. — Il résulte de ce qui précède que l’industrie des transports a intérêt à employer pour les véhicules les roues du plus grand diamètre que comporte la construction et la destination delà voilure, Les charrettes se prêtant plus facilement que les chariots à deux roues à l’usage des grands diamètres, elles offrent sous ce rapport un avantage assez notable. Mais, d’une autre part, sur les routes en mauvais état et cahoteuses, le limonier, ballotté par les brancards, se fatigue, se ruine promptement s’il est ardent, ou ne travaille pas et se laisse traîner par les autres chevaux s’il est paresseux.
  - Or, en rapprochant l’essieu de derrière de celui de devant et en engageant davantage le premier sous la charge, il en résultera que la proportion de cette charge portée par les roues de derrière sera plus considérable et par conséquent que le tirage sera diminué. On pourrait donc réduire considérablement le tirage des petites roues, qui se trouveraient allégées, et transformera peu près un chariot en une charrette. Seulement il faut néanmoins laisser à l’avant de la voiture une prépondérance de poids suffisante pour que, dans les montées, on ne soit pas exposé à voir la caisse se soulever et tourner autour de l’essieu de derrière. Cette observation montre que le pesage des voitures en bloc, et non par train, serait illusoire si l’on prétendait que la charge doit être partagée en parties égales sur chaque roue. 11 faut dire que les voituriers ont depuis longtemps reconnu la nécessité de charger le train de derrière dans une proportion beaucoup plus grande que l’avant-train. Mais on voit que, pour une distribution donnée et à peu près constante de la charge dans le corps des voitures, telles que les
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- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 355
  - diligences, les omnibus, etc., il y a avantage à engager le plus possible l’essieu de derrière sous la voiture, et cela explique pourquoi, toutes choses égales d’ailleurs, les voitures courtes exigent moins de tirage que les voitures longues’*'.
  - 289. Des effets destructeurs produits par les voitures sur les routes. — L’influence destructive que les voilures exercent sur les routes a depuis longtemps appelé l’attention des gouvernements et des ingénieurs ; mais quelque importance que pût avoir cette question pour les intérêts de l’État et de l’industrie, l’on s’est jusqu’à ces derniers temps fort peu occupé de l’étude approfondie des faits, et l’on s’est contenté de considérations théoriques plus ou moins plausibles, mais fort souvent en contradiction avec la nature. Sans entrer dans une discussion qui sortirait des bornes que nous devons nous imposer ici, nous allons examiner successivement les conséquences que l’on peut déduire des expériences directes sur le tirage, quant à ce qui concerne la conservation ou la destruction des routes, puis nous exposerons les faits principaux que nous avons observés directement.
  - 290. Influence préservatrice des grands diamètres de roues. — La résistance qu’une roue éprouve de la part du sol étant évidemment une mesure plus ou moins immédiate des efforts de compression ou de désagrégation qu’elle exerce sur le sol, on voit de suite que, puisque les roues d’un grand diamètre donnent lieu à un tirage moindre que celui des Petites, elles doivent aussi produire moins de désagrégation sur les routes. Une observation bien simple confirme cette conclusion.
  - Si l’on prend des pierres de 0m,07 à 0m,08 de diamètre
  - * Pour plus de détails on pourra consulter les Expériences sur le tirage ^toitures et sur les effets destructeurs qu’elles exercent sur les routes.
- p.355 - vue 366/470
- - 35(5
  - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - moyen et si, sur une roule un peu humide et tendre, on place les unes en avant des petites roues d’une diligence et les autres en avant des grandes roues, on voit les premières, poussées en avant par les petites roues, pénétrer dans le sol en le labourant et le désagrégeant, tandis que les secondes, simplement pressées et appuyées par les grandes roues, n’éprouvent le plus souvent pas de déplacement.
  - Cet effet résulte bien évidemment de ce que, si l’on décompose l’effort exercé par la roue, sur la pierre au point de contact, en deux autres, l’un vertical qui tend à enfoncer le corps dans le sol, l’autre horizontal, qui tend à le pousser en avant, le second effort, qui produit la désagrégation de la route, est évidemment plus grand, à proportion, pour les petites roues que pour les grandes.
  - De cette simple observation l’on pouvait déjà conclure, comme je l’ai fait dès 1838, que les effets de dégradation produits par les roues des voitures sont d'autant plus grands que les roues sont plus petites.
  - De même l’expérience ayant prouvé que le tirage sur les sols durs augmente très-peu quand la largeur de la roue diminue, on pouvait aussi en conclure que les chargements susceptibles de produire des dégradations égales ne devaient pas croître proportionnellement aux largeurs des jantes, comme l’admettaient tous les règlements de police du roulage, et que les chargements accordés suivant ces règlements aux roues les plus larges devaient produire plus de dégradations que ceux des roues étroites.
  - Enfin, la résistance croissant avec la vitesse, il était naturel de penser que les voitures qui vont au trot font plus de mal aux routes que celles qui vont au pas. Mais la suspension, en diminuant l’intensité des chocs, pouvait compenser les effets de la vitesse dans certaines proportions.
  - 1501, Expériences directes sur les effets destructeurs produit par les voilures sur les routes. — Quelque rationnelles que
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- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 357
  - ces déductions des expériences sur le tirage des voitures pussent paraître, il était nécessaire de les vérifier par d’autres expériences spéciales, exécutées sur une grande échelle et ayant pour but d’étudier directement les effets destructeurs exercés sur les routes par les voitures, selon leurs diverses proportions et les circonstances de leur marche.
  - Ces expériences, commencées à Metz en 1837 par ordre du ministre de la guerre, ont été continuées aux environs de Paris en 1839, 1840 et 1841, par ordre du ministre des travaux publics.
  - Pour démêler les influences partielles de la largeur des jantes, du diamètre des roues et de la vitesse, sur la dégradation des routes, j’ai étudié séparément leurs effets, et pour constater les effets de dégradation, j’ai employé le relèvement direct de la route au moyen de profils transversaux, la mesure du tirage avant, pendant et après les expériences, et dans un grand nombre de cas la mesure de la quantité de matériaux employés à la réparation.
  - Le mode général d’expérimentation consistait à faire circuler les voitures sur une piste particulière, toujours la même, et entretenue par l’arrosage à un état à peu près égal d’humidité pour toutes, jusqu’à ce que le même poids total eût été transporté sur chaque piste, et ce poids total s’élevait presque toujours à 5 ou 6 000000 kilogrammes et souvent au delà.
  - 292. Expériences sur l'influence de la largeur des jantes. — Tous les règlements d’administration et les lois proposées Pour la police du roulage ayant admis que, pour obtenir de toutes les voitures une égale action sur les routes, il fallait tes charger de poids proportionnels à la largeur des jantes, tt fallait rechercher si cette base des tarifs était exacte. A Cet effet, trois chariots, porte-corps d’artillerie, ayant tons des roues de lm,45 de diamètre environ aux trains de devant et de derrière, avec des largeurs respectives de bandes
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- - 338
  - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - de 0m,060, Om,ll5 et 0m,175, ont été chargés, proportionnellement à ces largeurs, des poids respectifs suivants :
  - Voiture n° 1 à jantes de 0m,060, 2408 kilogrammes.
  - Voiture n° 2 — 0m,115, 4594
  - Voiture n° 3 — 0n’,175, 6992
  - Ces chariots ainsi chargés ont été conduits sur trois pistes de 300 mètres de longueur chacune. Par l’effet des plantations existant sur les bords de la route, il est arrivé que la piste de la voiture n° 1, à jantes étroites, était généralement plus humide que celle des deux autres, et que par conséquent celte voiture se trouvait dans des circonstances moins favorables.
  - L’observation a montré que le tirage sur la piste de la voiture n° 3, à larges bandes, s’est accrue, avec le nombre des passages, beaucoup plus rapidement que sur les deux autres pistes; qu’il a augmenté aussi, mais dans un rapport beaucoup moindre sur la piste de la voiture n° 2, à jantes de 0m,115, et qu’enlîn sur la piste de la voiture n° 1 il est resté stationnaire et n’a varié qu’en raison de l’état d’humidité de la route.
  - De plus, l’examen de l’état de la route, le relèvement des profils transversaux et la mesure du tirage, se sont accordés pour faire voir qu’après le transport d’un même poids de matières, la voiture n° 3, à jantes de 0m, 175, chargée de 6992 kilogrammes, véhicule compris, avait produit beaucoup plus de dégradations que les deux autres voitures; que la voiture n° 2, à jantes de 0m,ll5, chargée de 4594 kilogrammes , en avait produit plus que la voiture n° i, à jantes de 0m,060, chargée de 2408 kilogrammes; et que celle-ci n’avait produit aucune ornière ni aucun frayé apparent.
  - 293. Conséquences de ces expériences. — Il semble donc que l’on doit conclure de ces expériences, faites sur des voitures exactement semblables sous tous les rapports, excepté sous celui de la largeur des jantes, et du chargement, qui était proportionnel 5 celte largeur, que lapropor-
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- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 359
  - iiomalité des chargements aux largeurs de jantes, admise comme base des tarifs, est plus défavorable qu'utile aux routes.
  - 294. Expériences exécutées avec les mêmes voitures sous des charges égales. — Deux expériences analogues ont été faites sur les mêmes voitures, chargées d’un poids égal de 5546 kilogrammes, véhicule compris, et sur trois pistes aussi identiques que possible et toujours entretenues très-humides par un arrosage abondant ; on les a fait circuler jusqu’à ce qu’elles eussent transporté chacune 8 325 000 kilogrammes.
  - Le relèvement des profils, et surtout le résultat des expériences de traction, ont montré qu’à poids égal, sur les routes en empierrement de gravier, les roues de 0m,060 de jante produisent des dégradations notablement plus considérables que celles de 0m, 115, mais qu’au delà de cette dernière largeur, il y a bien peu d’avantage, dans l’intérêt de la conservation des routes, à augmenter la dimension de la bande de roue..
  - 295. Expériences sur l’influence du diamètre des roues, sur les dégradations qu’elles produisent sur les routes — Des expériences analogues ont été exécutées avec les mêmes voitures, auxquelles on a donné des roues d’une largeur commune de 0m,ll5, mais dont les diamètres ont varié de 0m,872 à ln,,453 et 2ra,029, et que l’on a chargées d’un même poids, égal à 4930 kilogrammes. Les pistes parcourues par ces voitures avaient 200 mètres de longueur et elles ont été arrosées pendant la dernière partie de la durée des expériences.
  - L’examen de la route, le relèvement des profils et la mesure de l’intensité du tirage éprouvé par une même voiture sur les trois pistes après le transport de 9 995 720 kilogrammes sur chacune d’elles, ont montré que la piste parcourue par la voiture à petites roues de 0m,872 de diamètre était de beaucoup la plus dégradée; et que celle de la voiture à grandes roues de 2m,029 de diamètre était à peu près
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- - 360
  - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - intacte ; ce qui prouve avec évidence l’avantage considérable que présentent les grandes roues pour la conservation des routes.
  - 206. Influence de la vitesse sur les effets destructeurs. — On s’est proposé de comparer les dégradations produites sur les routes par des voitures suspendues allant au trot, avec celles qu’occasionnent des voitures non suspendues allant au pas. A cet effet on a employé deux chariots exactement pareils, dont l’un était suspendu, et dont l’autre, parle calage de ses ressorts, avait été transformé en chariot non suspendu. Le chargement de ces deux chariots fut fixé d’abord à 6000 kilogrammes, véhicule compris, puis à 5000 kilogrammes, lorsque la route fut devenue trop mauvaise.
  - Le chariot suspendu fut mené au trot de 3m,20 à 3m,60 en 1", ou 11,52 à 12,96 kilomètres à l’heure, et le chariot non suspendu, au pas de lm,00 à lni,20 en 1", ou de 3,6 à 4,6 kilomètres à l’heure.
  - L’examen de la route, le relèvement des profils et la mesure du tirage, ont montré que les dégradations, comme l'accroissement du tirage sur les deux pistes, avaient été sensiblement les mêmes après le transport de 4650 000 kilogrammes environ sur chacune d’elles. Ces résultats ont complètement confirmé les expériences qui avaient été précédemment exécutées à Metz, et prouvent qu’en ne considérant que la conservation des routes, la loi ne doit pas imposer aux voitures suspendues allant au trot des limites plus restreintes qu’aux voitures de roulage allant au pas.
  - 297. Expériences comparatives sur les dégradations produites par les voitures comtoises, les charrettes et les chariots de roulage. — L’on a admis longtemps que les voitures comtoises attelées d’un seul cheval et à jantes étroites dégradaient plus les routes que les gros chariots et les charrettes à jantes larges attelés de plusieurs chevaux; et peu s’en est fallu, en 1837, que ces véhicules légers, si utiles,
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- - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - 381
  - et au moyen desquels on utilise si bien la force des chevaux , ne fussent à peu près supprimés. Les résultats des premières expériences sur l’influence de la largeur des jantes suffisaient déjà sans doute pour montrer dans quelle erreur on était; mais il ne m’en a pas moins paru utile de faire une série d’expériences directes sur des voitures du commerce, chargées dans les proportions d’usage.
  - A cet effet, je me suis procuré quatre chariots à jantes de 0m,06 de largeur, ayant des roues de devant de lm,ll et des roues de derrière de lm,36, tandis que les véritables chariots de Franche-Comté ont des roues dont les diamètres sont respectivement de lm,30 et lra,45, et sont dans des conditions plus favorables. Chacune de ces voitures pesait vide 625 kilogrammes, et chargée 1801 kilogrammes.
  - Une charrette à roues de lra,83 de diamètre sur 0m,165 de largeur de bande, pesant vide 1025 kilogrammes et chargée 5009 kilogrammes, et un chariot à roues de lni,01 et lm,73 de diamètre sur Om,165 de largeur de bande, pesant vide 3175 kilogrammes et chargé 7935 kilogrammes, ont été mis avec les voitures comtoises, en expérience sur trois pistes de 150 mètres de longueur, prises au même état et constamment arrosées.
  - Aux moyens d’observation employés dans les précédentes expériences on a joint la mesure des quantités de matériaux nécessaires pour la réparation des dégradations. De tous ces moyens réunis, il’ est résulté pour conséquences :
  - 1° Que les voitures comtoises, après le transport d’environ 7000 000 kilogrammes sur une piste toujours mouillée, m/aient produit moins de dégradations que le chariot et la charrette ;
  - 2° Que dans les mêmes circonstances le chariot à quatre roues en avait produit moins que la charrette.
  - Ces résultats prouvent d’une manière incontestable l'avantage de la division des poids sur des voitures à jantes étroites, et ils démontrent que le transport des lourds fardeaux doit être fait de préférence sur des chariots à quatre roues.
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  - DU TIRAGE DES VOITURES.
  - L’ensemble de toutes les conséquences que nous venons de rapporter justifie et développe donc celles que nous avons déduites des seules expériences de traction.
  - 298. Expériences ayant pour but de déterminer les chargements d'égale dégradation. — Les recherches dont nous venons de rappeler succinctement les résultats, ayant prouvé que les hases, admises jusqu’alors dans les lois et règlements sur la police du roulage, étaient inexactes et incomplètes, il a fallu s’occuper de rechercher quels étaient les nouveaux rapports à établir entre les dimensions des roues, en diamètre et largeur, et les chargements, pour que tous les véhicules employés par l’industrie produisissent à peu près les mêmes dégradations sur les routes, ou, ce qui revient au même, les usassent également.
  - De nouvelles expériences ont été exécutées à Courbevoie en 1841, et leurs résultats ont servi de bases au projet de loi présenté aux chambres en 1842, et surtout au rapport de la commission de la chambre des députés, qui avait étudié la question avec un soin consciencieux.
  - Ce n’est pas ici le lieu d’entrer dans l’étude détaillée de ces recherches, qui sont plutôt relatives à une question de législation et d’administration publique qu’à la mécanique industrielle, et je me bornerai à renvoyer à la publication que j’en ai faite en 1842, sous le titre d'Expériences sur le tirage des voitures et sur les effets destructeurs qu'elles exercent sur les routes.
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - 299. De la résistance des fluides. — Lorsqu’un corps se meut dans une masse fluide, il en déplace nécessairement les molécules, en leur imprimant des vitesses qui sont en rapport avec la sienne propre, et l’on conçoit de suite facilement quel’inertie de ces molécules, ainsi mise en jeu, développe une résistance qui doit croître avec la vitesse du corps. Des effets analogues se produisent quand un corps en repos ou en mouvement est choqué par un fluide.
  - La manière dont les molécules fluides sont divisées à la rencontre du corps dépend beaucoup de la forme et des proportions de celui-ci, et l’on comprend que la résistance qui nous occupe doit varier notablement avec ces circonstances.
  - Cette question importante de physique mécanique a depuis longtemps occupé les savants les plus illustres, et l’on trouvera, dans l’introduction à la mécanique industrielle de M. Poncelet, une analyse complète de l’ensemble des recherches anciennes et modernes faites sur cette matière. Je ne me propose, dans ces leçons, que d’appeler l’altention sur les cas les plus importants pour la pratique.
  - 300. Considérations théoriques. — Lorsqu’un corps de forme quelconques/^ (fîg. 70), se meut dans un fleuve suivant une direction xij, si l’on projette ce corps sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, il
  - est facile de voir qu’en se mouvant d’une quantité élémentaire e=mm', le corps déplacera un volume de liquide qui sera représenté par le produit Ae, obtenu en multipliant la
  - n’ o n
  - V r <1
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- - 364
  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - projection du corps sur le plan perpendiculaire au sens de son mouvement par le chemin parcouru. En effet, dans ses deux positions successives, le corps occupe dans le fluide le même volume, et dans chacune d’elles il y a une partie de ce volume qui n’a pas changé de position, c’est celle qui correspond à mop'r, de sorte que le volume antérieur on'm'q'rm est nécessairement égal au volume onpqrp'.
  - Il n’est pas moins évident que chacun de ces volumes est aussi égal au volume nn’q’q , engendré par la plus grande section transversale du corps ou par l’aire de sa projection A; car ces trois volumes élémentaires peuvent être considérés comme composés d’une infinité de petits prismes de même hase, de même hauteur et de même nombre, dont les arêtes sont parallèles à la direction du mouvement et qui ne diflèrent que par leurs positions respectives.
  - Ainsi quand le corps parcourt par rapport au fluide, ou vice versa, quand le fluide parcourt par rapport au corps un chemin élémentaire e, le volume de fluide dévié, qui est obligé dépasser de l’avant à l’arrière du corps, est exprimé par q = Ae et sa masse est
  - d , Ae q —= d —,
  - 9 9
  - en nommant d la densité ou le poids du mètre cube du fluide; cette masse déviée effectue son déplacement relatif avec une vitesse qui dépend essentiellement de celle du corps par rapport au fluide, dans le cas où c’est le corps qui se meut, et qu’il est naturel de supposer proportionnelle à cette vitesse. Il en sera donc de même de la force vive communiquée au fluide dévié; de sorte que, dans le cas d’un fluide en repos dans lequel se meut un corps animé d’une vitesse Y, la force vive imprimée au fluide déplacé, pour un mouvement élémentaire du corps, sera proportionnelle «
  - d. Ae 9
  - et si l’on appelle k le rapport inconnu, à déterminer par l’eX'
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES. 305
  - périence, de la force vive F, réellement imprimée au fluide, à celle que l’on vient d’exprimer, on aura
  - F —V2. 9
  - D’autre part, si l’on appelle R la résistance totale que l’inertie des molécules fluides oppose à leur déplacement, le travail de cette résistance pour le déplacement élémentaire e seraRe, et devra, d’après le principe général des forces vives, être égal à la moitié de la force vive communiquée au fluide déplacé. L’on doit donc, d’après ces considérations, avoir la relation
  - Re = lÆ.^V* 2 9
  - d’où R = kdk
  - 2 g
  - Dans le cas où le fluide déplacé par le corps est animé d’une vitesse propre v, si le corps se meut en sens contraire du mouvement de ce liquide, la vitesse relative avec laquelle les molécules fluides sont rencontrées et déplacées par ce corps est V-j-v; et dans celui où les deux vitesses V et v sont dirigées dans le même sens, cette vitesse relative est V—v ; un raisonnement analogue au précédent nous donnerait alors, pour le cas où le corps marche en sens contraire du fluide,
  - R = kdk
  - (V+^)a
  - 2 g
  - et s’il marche dans le même sens que le fluide,
  - K = kdk
  - 2 g *
  - 501. Travail développé par seconde par la résistance du milieu. — Lorsque toutes les circonstances du mouvement restent les mêmes, et que les phénomènes se reproduisent
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- - 36(5
  - RESISTANCE DES FLUIDES.
  - constamment de la même manière, le travail développe dans chaque seconde par la résistance que le milieu oppose au mouvement du corps, est dans le cas cas d’un fluide en repos
  - V3
  - RV = MA ~
  - 2g
  - et dans le cas d’un fluide en mouvement RV = MA —. V
  - Ce qui montre que, dans le premier cas, le travail de la résistance croît comme le cube de la vitesse.
  - 502. Expressions équivalentes de la résistance. — Dans l’expression précédente de la résistance, appliquée aux liquides dont la densité d reste constante, dans le lieu où la va-
  - kd
  - leur de Ig —19,618, on peut poser= K, et elle prend alors
  - 2g
  - la forme
  - R = K . AV2
  - ou R = K. A (V±vf,
  - sous laquelle on l’emploie souvent.
  - Quelques auteurs, et en particulier Dubuat, en appelant H
  - la hauteur qui correspond à la vitesse relative Y ou V ± v, et
  - V2 fV±v)2
  - en posant par conséquent H = — ou H= —2g~
  - écrivent cette formule de la résistance sous la forme R = K'AH.
  - 11 est d’ailleurs évident que ces trois formules sont équivalentes, et je n’indique les deux dernières qui rappellent moins l’idée de la loi de la résistance, que pour faciliter l’intelligence des ouvrages de quelques auteurs.
  - 505. Cas où le corps est en repos dans un fluide en mouvement. — Si dans ce cas l’on suppose par la pensée que le corps en repos et le fluide reçoivent tous deux un mouve-
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - 367
  - ment commun de transport, dont la vitesse soit précisément égale et contraire à celle du fluide, celui-ci se trouvera réduit au repos et ce cas sera ramené au précédent, ce qui montre que l’expression de la résistance doit être la même.
  - La considération des phénomènes physiques que présente le déplacement des molécules fluides situées à l’avant du corps, et la rentrée de celles qui affluent vers l’arrière pour remplir le vide formé par son passage, avaient conduit Du-huat à conclure que la résistance éprouvée par un corps en mouvement dans un fluide en repos, n’était pas la même que l’effort exercé sur le corps en repos par le fluide en mouvement, toutes choses étant égales d’ailleurs. Ce résultat serait contraire aux considérations précédentes, mais il a encore besoin d’être vérifié par des expériences; il paraît cependant s’accorder avec celles de M. Thibault sur la résistance de l’air, dont nous parlerons plus tard. Au surplus, la différence, si elle existe, doit dans beaucoup de cas de la pratique être assez faible pour pouvoir être négligée.
  - 504. Expériences sur la résistance de l’eau au mouvement des corps de diverses formes. — Bien que ces expériences aient peu d’importance au point de vue industriel, qui est principalement celui de cet ouvrage, je rapporterai celles qui ont été exécutées à Metz en 1836 et 1837, principalement à cause des moyens d’observation employés.
  - Les corps soumis à ces expériences ont été :
  - 1° Des plateaux minces en fer, de diverses étendues, qu’on faisait monter du fond de l’eau vers la surface par l’action d’un contre-poids;
  - 2° Des sphères pleines ou creuses en fonte dont les diamètres ont été de 0ra,104, 0m,118, On\129, Om,148,' 0n\l62;
  - 3° Des cylindres en fer-blanc peint, de hauteurs égales à leurs diamètres, qui ont été de 0m,099, 0ni,200 et 0m,300 ;
  - 4° Des cônes terminant des cylindres, de même diamètre et de même hauteur que les précédents, et dont les angles ou sommet ont varié ainsi qu’il suit :
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  - Demi-angles au sommet, 64°,48'; 46°,50'; 26°, 1'; 18n,4ü'; 14°, 19',48".
  - 5° Des cylindres des mêmes dimensions que les précédents, et terminés antérieurement par des demi-sphères.
  - 50o. Mode d’observation. — Les expériences ont clé exécutées sur la Moselle, en face du déversoir des Pucelles, en un endroit où l’eau était, au moins à la surface, à peu près sans vitesse, et où la profondeur était de 5 mètres. C’était le lieu le plus convenable qu’il nous ait été possible de trouver dans le voisinage.
  - Le mouvement vertical des corps était produit, quand ils descendaient, par leur propre poids, augmenté parfois d’un certain lest pour accroître la vitesse, et quand ils montaient, à l’aide de contre-poids. Dans tous les cas, la loi de ce mouvement était observée et déterminée au moyen d’un appareil chronométrique à style, le même qui avait servi aux expériences sur le frottement.
  - Dès les premières expériences, l’on reconnut de suite que la résistance de l’eau croissait si rapidement avec la vitesse, que le mouvement devenait très-promptement uniforme. Dès lors connaissant dans chaque cas la vitesse et le poids moteur, et en tenant compte des résistances passives, il a été facile de calculer la valeur de la résistance correspondante du fluide et d’en rechercher la loi.
  - La représentation graphique des résultats, en prenant les résistances pour abscisses, et les carrés des vitesses pour ordonnées, a montré que dans ce cas comme dans les précédents, la résistance se compose de deux termes, l’un indépendant de la vitesse et simplement proportionnel à la surface mouillée, l’autre proportionnel au carré de la vitesse ; mais ici le premier terme est toujours assez faible pour pouvoir être négligé par rapport au second, dès que la vitesse atteint seulement 1 mètre par seconde.
  - D’après cela, la résistance opposée par l’eau aux corps
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
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  - éprouvés dans ces expériences, serait simplement représentée par la formule
  - R = KAV2
  - A étant la projection du corps sur un plan perpendiculaire au sens du mouvement.
  - Les valeurs du coefficient K déduites des, expériences, sont consignées dans le tableau suivant :
  - Valeurs du coefficient K de la formule R=KAV2.
  - CORPS EMPLOYÉS. VALEURS de K.
  - Plateaux minces (remontant de bas en haut verticalement) kil. 143,15 22,05 93, 07 73,26 53,99 47,74 44,29 40,69 40,71
  - Cylindres droits, de hauteur égale à leur diamètre Cylindres de mêmes propor- \ 1 „ , bons, terminés par des 1 * angles 1 bi , cônes droits dont les hau- [ 1,89 au sommet [ 46 50, teurs sont aux rayons de [ ’0° 1 ' correspon- f 28 1 leur base dans le rap- \ 5,92 1 dants. 1 18 , ,, port de ] T’66àl J 1419 48 Cylindres des mêmes proportions, terminés par des sphères
  - 506. Observations sur ces résultats. — La valeur du coefficient K trouvée dans ces expériences pour les plans minces, est considérable, et à peu près double de celle qui a été trouvée par Dubuat, en faisant marcher un plan vertical dans le sens horizontal, ce qui, en produisant un mode de déplacement de l’eau tout différent de celui qui avait lieu dans nos expériences, a pu causer cette divergence.
  - Ü est remarquable que de tous les corps employés dans ces expériences, les sphères soient ceux qui offrent le moins de résistance, et que les cylindres terminés par des demi-chères en éprouvent aussi moins que ceux qui le sont par des cônes aigus.
  - Ce résultat montre qu’au point de vue de la résistance du Milieu la forme sphérique pour les projectiles, et la forme
  - 24
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  - demi-cylindrique donnée aux piles de pont, sont les plus favorables.
  - 307. Influence cle l’acuité des angles des cônes sur la résistance. — En comparant les valeurs des demi-angles au sommet des cônes, exprimés en fraction de la demi-circonférence, avec les valeurs de la résistance, on reconnaît que le coefficient K de cette résistance croît proportionnellement à ces angles, à partir d’une certaine valeur qui correspond à l’angle nul. Elle serait donnée par la formule
  - K = 31 -f 120,83a,
  - a étant en fraction de la demi-circonférence la moitié de l’angle au sommet.
  - La comparaison des valeurs de K données par cette formule, et de celles que l’on a déduites directement de l’expérience, est établie dans le tableau suivant :
  - Comparaison entre les valeurs du coefficient K, déduites de la formule et de l'expérience.
  - DEMI-ANGLES AU SOMMET VALEURS DU COEFFICIENT K, DÉDUIT
  - en fractions de la demi-circonférence. de la formule. de l’expérience.
  - 0,500 kil. 91,40 kil. 93,07
  - 0,362 74,70 73,26
  - 0,262 62,70 53,99
  - 0,145 48,50 47,74
  - 0,105 43,68 44,29
  - 0,080 40,67 40,69
  - L’on voit qu’à l’exception de la série relative au cône dont le demi-angle au sommet était mesuré par un arc égal à 0,262 de la demi-circonférence, tous les autres résultats,
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  - y compris même celui qui se rapporte à la base plane du cylindre, sont assez exactement représentés par la formule, ce qui permettra de l’employer pour les cas intermédiaires non étudiés.
  - 508. Expériences sur la résistance de Veau au mouvement des projectiles. — Sans entrer dans des détails qui ne seraient pas ici à leur place, je dois dire quelques mots des résultats remarquables des expériences que j’ai exécutées en commun avec MM. Piobert et Didion, à Metz, en 1836, sur la pénétration des projectiles dans l’eau.
  - Ces expériences ont été exécutées sur le bassin qui avait servi aux belles recherches d’hydraulique de MM. Poncelet etLesbros, en tirant horizontalement et parallèlement au dessous de la surface du niveau, des projectiles qui pénétraient dans l’eau après avoir traversé un orifice formé par une volige de sapin. Un plancher horizontal, disposé au tond du bassin et garni de liteaux, recevait les projectiles, qui ne l’atteignaient jamais qu’avec une très-faible vitesse.
  - On a tiré ainsi des boulets pleins, du diamètre de 0n,,108; O1”,100; 0m,l62; et 0ra,220 ; des obus des mêmes diamètres, d’épaisseurs et par conséquent de poids divers ; les vitesses initiales des projectiles ont varié de 70 mètres à 500 mètres en i".
  - De l’ensemble de toutes ces expériences, dont les résultats s°nt consignés dans le numéro VII du Mémorial de l'artil-lerie, l’on conclut que la résistance de l’eau au mouvement de ces projectiles peut être représentée par la formule
  - R=23,80 AV* kilogr.,
  - taudis que les expériences citées plus haut (n° 305) nous °nt donné
  - R = 22,05AV2 kilogr.
  - D’une autre pari, d’anciennes expériences dues à Newton
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  - RESISTANCE DES FLUIDES.
  - et faites en observant la durée de la chute des sphères clans l’eau, conduisent à la valeur
  - R = 24,429AV2 kilogr.,
  - et celles que Dubuat a exécutées en faisant tourner circu-iairement dans beau des sphères placées à l’extrémité du bras d’une sorte de manège, fournissent la formule
  - R — 22,05AVS kilogr.
  - De l’ensemble de toutes ces recherches faites, par des procédés si divers et entre des limites si étendues, l’on peut conclure que dans les liquides, la loi de la proportionnalité de la résistance au carré de la vitesse s’applique pour les sphères jusqu’aux plus grandes vitesses.
  - 509. De la résistance de Veau au mouvement des corps flottants. — Les considérations théoriques précédentes s’appliquent aux bateaux qui naviguent sur la mer, sur les rivières et les canaux; mais les résultats sont influencés par diverses circonstances dont il est important de se rendre compte ; les unes sont permanentes et les autres accidentelles.
  - 310. Influence de la forme des corps flottants.— On conçoit facilement que quand un corps flottant pénètre dans un liquide et déplace, en les rejetant à droite et à gauche, les molécules fluides, la forme de l’avant-bec du bateau doit exercer une grande influence sur la facilité avec laquelle le fluide est dévié. De même aussi la forme de l’arrière, en facilitant plus ou moins le retour du liquide dans le vide formé par le passage, influe sur la différence de niveau qui existe de l’avant à l’arrière, et par conséquent sur la résistance.
  - Il est clair, à la simple inspection des figures 88 et 89, qu’un bateau dont les formes d’avant, dans les plans horizontaux , seraient telles (pie les filets fluides fussent d’abord
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  - séparés par une arête à peu près verticale a (fig. 88), en forme de couteau, puis divisés latéralement par des courbes graduellement raccordées avec les flancs, éprouverait à s’introduire dans l'eau beaucoup moins de résistance qu’un bateau dont l’avant (fig. 89) serait simplement formé par des plans verticaux plus ou Fig. ss. Fig. 89. moins inclinés sur les flancs. Aussi la première forme est-elle celle que l’on donne aux bateaux rapides qui doivent naviguer sur les rivières ou sur les canaux, à l’aide de la vapeur ou des chevaux, et dont il sera parlé plus loin.
  - 541. Des bateaux à fond plat relevé à Vavant-bec. — On emploie sur les rivières des bateaux dont l’avant-bec est formé par le prolongement du fond, qui se relève et s’incline à 25 ou 30° à l’horizon, en se rétrécissant notablement dans
  - le sens horizontal. Celte forme est très-défavorable pour une marche rapide, pour laquelle il est vrai de dire que ces bateaux ne sont pas construits, et si elle est conservée sur les rivières, c’est qu’elle permet d’accoster les rives plus facilement et quelle diminue la violence des chocs contre des obstacles cachés par l’eau. Mais Ion ne conçoit guère qu’elle soit encore conservée pour les nacelles ordinaires à rames.
  - Il est facile de voir en effet (fig. 90), que la résistance de l’eau qui agit horizontalement, étant décomposée en deux forces, l’une tangente, l’autre normale à l’avant-bec, cette dernière tend à soulever l’avant et à incliner le bateau.
  - Cet effet a été très-sensible dans les expériences nombreuses que j’ai exécutées à Metz, en 1838, sur plusieurs fléaux de ce genre, parmi lesquels il y en avait un dont la
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  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - longueur pouvait varier par l’addition de rallonges ajoutées au corps. Ces expériences ont été faites dans le fossé de la courtine du fort Saint-Vincent, long de 300 mètres environ sur 30 de large, et ayant une profondeur d’eau qui a varié de 0m,80 à lm,20. Pour faciliter diverses observations dont je parlerai plus tard, le mur d’escarpe de cette courtine avait été divisé en parties de 10 mètres de longueur marquées par des lignes verticales très-visibles.
  - Le mouvement du bateau était produit par la descente d’une caisse chargée de poids, suspendue au sommet d’une chèvre, équipée sur le parapet du bastion voisin par un cordage qui s’enroulait sur le plus petit diamètre d’un treuil à deux tambours. Sur le plus grand de ces tambours qui avait 2m,57 de diamètre, tandis que le petit n’avait que Om,50, s’enroulait une ligne de halage de 300 mètres de long, dont l’extrémité était fixée au bateau par l’intermédiaire d’un dynamomètre à style.
  - Un observateur placé à l’avant et muni d’une montre à pointage donnant les dixièmes de seconde, observait les instants des passages devant les divisions équidistantes de l’escarpe, et déterminait ainsi la vitesse, en même temps qu’il gouvernait le dynamomètre.
  - Enfin, pour observer l’inclinaison du bateau et diverses autres circonstances de sa marche, on avait élevé aux deux
  - mdnom i foc rl P 1 ri"
  - de petites lattes aa\ bb' (fig. 91), mobiles
  - Fig'91, bb' (fig. 91), mobiles
  - autour d’une vis horizontale. Perpendiculairement à la di-
  - rection de marche du bateau, et horizontalement à l"\60 environ au-dessus du niveau, on avait établi dans le fossé une planche bien fixe et portant à son bord inférieur un tasseau triangulaire c, dont l’arête bien horizontale était blanchie à la craie, tandis que les lattes an' et bb' étaient noircies.
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  - Avant de commencer les expériences, on amenait doucement le bateau sous le tasseau, et l’on repérait ainsi la hauteur de ce tasseau par rapport aux deux points du fond du bateau, correspondant aux lattes. Les deux hauteurs ainsi marquées étaient d’ailleurs égales ou à très-peu près, attendu que le bateau était chargé de manière à être horizontal au repos.
  - Cela fait, on ramenait le bateau à son point de départ et on commençait une expérience de marche. Il est facile de comprendre que les petites lattes mobiles venant successivement choquer le tasseau fixe et se rabattant au passage, elles conservaient l’empreinte du choc contre ce tasseau et donnaient ainsi la hauteur dont s’était soulevée ou abaissée chaque extrémité pendant le mouvement, dont la vitesse était d’ailleurs observée comme on l’a dit.
  - A l’aide de ce dispositif, il a donc été facile de comparer les inclinaisons prises par le bateau, pour les différentes vi tesses dont il était animé, et de reconnaître aussi s’il se soulevait ou s’abaissait pendant la marche au-dessus de sa position au repos. Les expériences dont il est ici question ont été faites avec une nacelle, avec un bateau d’équipage de pont et avec un bateau à rallonges de 0ra,60 seulement de largeur au fond et 0m,70 aux plats-bords, sur 0m,80 de profondeur, et pouvant avoir successivement 6m,75, 10m,00 et 10m,25 de longeur. Le tirant d’eau a varié pour ce dernier bateau de 0m,280 à Om,422 et les vitesses de lra,85 à 5m,00 en 1".
  - Un premier fait, signalé par les expériences entreprises sur ces bateaux, consiste en ce que l’aire de la plus grande section immergée pendant la marche, est généralement supérieure ou au moins égale à celle de la section immergée au repos. Le second, c’est que l’inclinaison de ces bateaux sur l’horizon augmente d’abord rapidement avec la vitesse, et qu’elle Paraît ensuite croître moins promptement pour des vitesses qui varient avec la longueur du bateau et son tirant d’eau, 'nais qu’en somme elle va toujours en augmentant jusqu’à dos vitesses de 5m,00, môme pour un bateau dont la lar-
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  - RESISTANCE DES FLUIDES.
  - geur ail fond n’est que de sa longueur; ce qui prouve combien cetle forme est peu propre à la navigation rapide , et qu’elle devrait être abandonnée même pour les nacelles.
  - 312. Vitesse des ondes. — Les corps flottants en se déplaçant forment une onde principale à laquelle M. J. Scott Russell, qui s’est beaucoup occupé de ces recherches et à qui l’on doit d’importantes améliorations dans la construction des bateaux destinés aux navigations rapides, a donné le nom de grande onde ou onde solitaire. Cetle onde s’étale plus ou moins sur les côtés, selon que son point culminant est plus ou moins rapproché du milieu de la longueur du corps, et selon que le rapport de la largeur du bateau à celle d u canal est plus grand. Sur les canaux ordinaires elle forme une intumescence dont le point culminant, quand il est placé vers le milieu de la longueur du bateau, s’élève à 0n\20 ou 0m,30 au-dessus du niveau général du canal; mais à mesure que ce point se rapproche de l’avant, l’onde se raccourcit et s’élève parfois à 0m,90 au-dessus du niveau du canal, formant ainsi une véritable proue fluide dans laquelle l’avant du bateau paraît enfoncé. On conçoit de suite que la forme, le développement et remplacement de cette onde doivent exercer une grande influence sur l’intensité et sur les lois de la résistance; c’est pourquoi il est important de s’en occuper.
  - M. J. Scott Russell a cru pouvoir déduire des observations qu’il a faites sur des canaux d’une profondeur peu variable que la vitesse de propagation de l’onde solitaire était toujours égale à celle qui correspond à la moitié de la profondeur d’eau dans le canal, augmentée de la hauteur de l’onde elle-même. Il en résulterait cette conséquence que pour qu’un bateau pût naviguer à une vitesse égale à celle de propagation de cette onde, ce qui est nécessaire pour quelle ait toujours la même position par rapport à la longueur du corps flottant et pour que la résistance suive une
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
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  - loi régulière et normale, il faudrait que la vitesse de transport de ce bateau fût réglée d’après la profondeur d’eau dans le canal, ce qui ne permettrait pas la navigation rapide dans les eaux profondes.
  - En effet, la plus grande vitesse que l’on puisse obtenir des chevaux, exerçant un effort un peu considérable, n’alteint que difficilement 4m,50 à 5m,00 par 1", ce qui correspond à des hauteurs de lm,07 à lm,28, et, par conséquent, selon la loi de M. J. Russell, à des profondeurs d’eau de 2m,l4 et 2m,56, d’où il suit qu’au delà de ces profondeurs, la navigation de ces bateaux ne serait plus possible.
  - A l’inverse, sur les canaux peu profonds, la vitesse du bateau devrait être limitée de manière à faire perdre à ce genre de transport l’avantage de la rapidité.
  - Il m’a paru nécessaire de faire des expériences variées sur cette question préalable, et je les ai exécutées d’abord à Metz, en profitant des dispositions favorables qu’offrait le long fossé du fort Saint-Vincent et ensuite sur le canal de l’Ourcq.
  - Lorsque le bateau était en marche à une vitesse uniforme, on faisait cesser brusquement la traction ; le mouvement du bateau se ralentissait, l’onde étalée sur ses flancs le dépassait en vertu de sa vitesse propre de propagation que l’on observait de la rive à l’aide de repères et d’un compteur à pointage donnant les dixièmes de seconde. On conçoit d’ailleurs que ces observations, dans lesquelles il était difficile de saisir le vrai moment du passage du point culminant de l’onde devant les repères, ne pouvaient être faites avec une très-grande précision.
  - L’on verra par les résultats cités dans le tableau suivant que, malgré la difficulté des observations, il y a entre les vitesses du bateau et celles de l’onde, aux diverses profondeurs et aux différents tirants d’eau, un accord suffisant pour que l’on puisse admettre que la vitesse de propagation de l’onde solitaire est sensiblement la même que celle du transport du bateau qui la produit.
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- - Expériences sur la vitesse des ondes solitaires produites par les bateaux.
  - BÂTEAU AVEC UNE RALLONGE. BATEAU AVEC DEUX RALLONGES. BATEAU- POSTE.
  - Tirant d’eau 0n\280 Tirant d’eau 0m,280 Tirant d’eau..... 0m,422 Tirant d’eau variable.
  - Profondeur d’eau.. l,n,20 Profondeur d’eau. . 0m,800 Profondeur d’eau. . 0m,800 Profondeur d’eau.. lm ,U
  - Vitesse due à la moitié de cette Vitesse due à la moitié de celte Vitesse due à la moitié de cette Vitesse due à la moitié de cette
  - profondeur. . .. profondeur.. . . 2m,70 profondeur. . . . 2m,700 profondeur 3m ,76
  - VITESSES VITESSES VITESSES VITESSES
  - du bateau. de l’onde. du bateau. de l’onde. du bateau. de l’onde. du bateau. de l’onde.
  - m. 1,47 m. 1,51 m. 2,73 m. 2,93 m. 3,08 m. 2,92 m. 2,56 m. 2,76
  - 2,60 2,58 3,29 3,50 3,05 3,10 3,56 3,23
  - 2,76 2,80 4,03 4,00 3,60 3,64 3,40 3,70
  - 3,40 3,33 3,80 3,89 3,65 3,69 3,93 3,78
  - 3,59 3,41 4,93 4,51 4,45 4,27 3,82 3,85
  - 3,35 4,59 5,00 5,00 4,55 4,82 4,09 4,22
  - 1 4,55 4,71 4,74 4,81 4,35 4,00
  - i 4,93 5,00 4,35 4,26
  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
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  - 515. Résultats des expériences sur la résistance des bateaux au halage. — Après cet examen préliminaire des circonstances des phénomènes, faisons connaître les résultats des expériences directes sur l’intensité de la résistance par rapport à la vitesse de marche.
  - Toutes les expériences exécutées sur des bateaux à fond plat, de cinq formes ou proportions différentes, ont montré que, par suite de l’augmentation graduelle de l’inclinaison longitudinale du bateau, la résistance croissait beaucoup plus vite que le carré de la vitesse. 11 y a plus, si, tenant compte de l’inclinaison observée, l’on détermine pour chaque cas la projection de la partie du bateau comprise sous le plan de flottaison sur un plan perpendiculaire au sens du mouvement, ce qui donne alors une aire du profil immergé, différente de celle qui avait lieu au repos, on trouve encore qu’en introduisant ce nouveau profil immergé dans la formule, le rapport de la résistance au carré de la vitesse ' ne reste pas constant, de sorte qu’il ne paraît pas possible d’assigner dans ce cas, aucune loi simple à cette résistance.
  - 514. Bateaux rapides. — Mais lorsque l’avant-bec présente une proue tranchante à peu près verticale et des formes qui dévient convenablement le fleuve, à mesure que le bateau s’avance, la résistance suit des lois beaucoup plus régulières. Toutes les fois que la marche est bien réglée, que fonde principale s’étale sur les flancs du bateau, de manière que celui-ci reste à peu près horizontal, les nombreuses expériences que j’ai exécutées sur plusieurs bateaux du canal de l’Ourcq, construits sur le modèle de ceux du canal de Paisley en Écosse, prouvent que, depuis les vitesses de halage obtenues par des hommes marchant au pas jusqu’à celles du galop, de 4m,50 et plus, la résistance suit la loi du carré de la vitesse.
  - La représentation graphique des résultats des expériences, faite en prenant les carrés des vitesses pour abscisses et les efforts exercés pour ordonnées, montre que l’ensemble de
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- - 380
  - RESISTANCE DES FLUIDES.
  - tous les points ainsi déterminés sé trouve sur une ligne droite qui vient couper la ligne des ordonnées au-dessus de l’origine. Cette circonstance montre que, dans ce cas comme dans celui des roues à palettes planes, la résistance se compose de deux termes, l’un constant, indépendant de la vitesse et simplement proportionnel à l’aire de la surface mouillée, l’autre proportionnel au carré de la vitesse et à l’aire du profil immergé. Mais le premier terme est toujours assez faible pour pouvoir être négligé dans la pratique, surtout dans tous les cas où le bateau marche vite.
  - La figure 5, planche IV, qui représente l’ensemble des résultats des lre, 2e, 5e, 6e, 9e, 10e, 13e, 14e, 15e et 16e expériences exécutées, en 1838, sur le canal de l’Ourcq, dans l’arrondissement de Meaux, offre un exemple de cette loi. On voit que l’ensemble de toutes les résistances mesurées par le dynamomètre, quand le bateau restait horizontal, est en effet représenté par une ligne droite qui vient couper l’axe des ordonnées ou des résistances en un point qui indique que la résistance constante était d’environ 7kil,60. L’on remarquera sur cette figure un certain nombre de points marqués ainsi O , et qui s’écartent trop de la ligne droite pour qu’ils n’indiquent pas qu’ils correspondent à des cas anormaux. En effet, tous ces points qui correspondent h des vitesses de 2m,24 à 3m,3 ou de petit trot, expriment des résistances observées, alors que, par le déplacement de l’onde, celle-ci se trouvait à l’avant du bateau qui était alors incliné et profondément immergé vers cette partie.
  - Le tableau suivant contient le résultat de toutes les expériences que j’ai exécutées sur le canal de l’Ourcq et sur le canal Saint-Denis avec trois modèles de bateaux. Les plus nombreuses sont relatives au modèle des bateaux rapides qui ont longtemps fait le service entre Paris et Meaux. Le tirant d’eau de ces bateaux a varié de 0m,276 à 0m,425, et leur déplacement de 5m‘c’,726 à 9m•c•,758. Les expériences ont été faites à la remonte et à la descente, et l’on a comparé les résistances observées aux résultats de la formule R —K,A(V±?;)*.
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- - k,
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  - I BAIEAC partie dit canal g M 3 £ s g de U & £
  - £ ® K « a ? s“i • O . la vitesse < <D ai
  - O C3 S- £ a 2.5 < i-r- ft« OBSERVATIONS.
  - ! employé. parcourue. (Z) o S 'B < ^2 e? 3 Q K S § -i 03 M'a. e .2 ^ O Ü KJ O 5 P en K'A'. par mètre carré K'. —T3 tn ci & •Cd » <d e! &- h * ^ £
  - tonn. mèt. m. q. m. q. kil. kil. kil.
  - De Vignely à Meaux Bemonte.. 5,726 0,276 6,70 10 Q v — 0m 30
  - De Meaux à Vignely Descente. 0,4160 31,7 0,212 10 Q
  - De Vignely à Meaux Remonte.. 7,147 0,335 0,5164 34,6 7,20 0,208 M Longueur du ba~ tf^ll - - - - - - 22m,70
  - De Meaux à Vignely Descente..
  - De Vignelv à Meaux 7,368 0,350 0,5207 35.5 io o Largeur au mai-
  - De Meaux à Vignely Descente.. 7,50 0,212 10,5 Creux du bateau 0 .62
  - De Vignely à Meaux 7,932 0,370 0,5278 36,5 7.60 10 1
  - De Meaux à Vignely Descente . 0,208 10 1
  - | du modèle De la gare circulaire à celle de Bondy.. De la gare de Bondv à la gare circulaire. Remonte.. Descente . 6,989 0,330 0,5042 34,3 7,20 0,210 10,8 10,8 i/epiaLeiUvii*. • •
  - g employé De la gare circulaire à celle de Bondy.. De la gare de Bondy à la gare circulaire. Remonte.. Descente.. 7,731 0,362 0,5479 35,5 7,50 0,211 10,2 9,5
  - | sur le canal ( De la gare circulaire à celle de Bondy.. De la gare de Bondy à la gare circulaire. Remonte.. Descente. 8,150 0,375 0,6021 36,8 7,70 0,209 10,4 10,1
  - de Paisley i De la gare circulaire à celle de Bondy.. De la gare de Bondy à la gare circulaire. Remonte.. Descente.. 9,758 0,425 0,6550 39,5 8,30 0,210 10,6 10,5 V ~ 0n’,25
  - en Écosse. 1 De la gare circulaire à celle de Bondy.. | De la gare de Bondy à la gare circulaire Remonte.. Descente.. 7,600 0,357 0,5457 35,9 7,60 0,211 10,90 11,70
  - (i*r modèle.) 1 De la gare circulaire à celle de Bondy.. De la gare de Bondy à la gare circulaire. Remonte.. Descente.. 7,280 0,352 0,5212 35,9 7,60 0,211 11,70 11,20
  - De la gare circulaire à celle de Bondy.. De la gare de Bondy à la gare circulaire. Remonte.. Descente.. 8,158 0,375 0,6021 36,8 7,70 0,209 9,4 9,4
  - Moyennes 0,210 10,43
  - Canal Saint-Denis 8.158 0,375 0,6021 36,8 7,90 0,214 13,10
  - . 6,760 0,334 0,5130 14,50
  - v ;..i Moyennes . 13,80
  - . ...
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- - 382
  - RESISTANCE DES FLUIDES.
  - 515. Conséquences de ces expériences. — De l’ensemble de ces résultats l’on peut déduire que la résistance au halage, du bateau essayé sur le canal de l’Ourcq, est représentée avec toute l’exactitude que la pratique peut désirer par la formule
  - R=0,210A'+ 10,43A(V±v)s;
  - et si l’on néglige le terme0,2l0A', indépendant de la vitesse, qui ne s’élève guère qu’à 7 ou 8 kil., cette formule peut se réduire à
  - R = 10,43A(V ±vf.
  - Cette valeur de la résistance au halage, des bateaux le plus favorablement construits, dans les canaux étroits de faible profondeur, est beaucoup plus considérable que celle qu’éprouvent les bâtiments à la mer dans des eaux profondes, et qui, d’après les estimations ordinaires des ingénieurs de la marine, paraît correspondre à une valeur du coefficient K', égale à 3 ou 4 kilogr., par mètre carré d’aire du maître-couple pour la vitesse de lm par seconde.
  - 510. Variations accidentelles de la résistance. — Les résultats qui précèdent se rapportent aux cas où la navigation avait lieu à l’état normal, sans perturbation notable dans l’emplacement de l’onde sur les flancs du bateau, qui conservait ainsi une position à peu près horizontale. Mais quand, par accident, les chevaux diminuaient leurs efforts et leur vitesse, le mouvement du bateau se ralentissait momenta-ment; l’onde, qui avait une vitesse de propagation égale à la vitesse précédente du bateau, s’avançait vers l’avant-bec d’un mouvement différentiel, et en même temps elle se raccourcissait de plus en plus, soulevait l’avant qui s’y trouvait plus profondément plongé, inclinait le bateau, et arrivait ainsi vers l’avant-bec, formant une sorte de montagne aqueuse de 2 mètres environ de base sur 0m,80 à 0m,90 de hauteur.
  - On conçoit facilement que, dans des circonstances si anormales, la résistance devait augmenter, quoique la vitesse
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  - eût diminué, et qu’alors il était vrai de dire que la résistance au petit trot était plus grande qu'au grand trot ou au galop. Les résultats suivants montrent en effet combien remplacement de l’onde exerce d’influence sur l’intensité de la résistance , à vitesse égale.
  - Comparaison de la résistance au halage des bateaux-poste, quand l'onde est étalée sur les flancs ou quand, elle est placée vers l’avant.
  - L’on voit par ces résultats de quelle importance il est dans cette navigation de maintenir une marche régulière, et c’est Précisément parce que l’allure du petit trot est moins stable,
  - (plus sujette à variations que les allures très-vives, que, les Perturbations dans l’emplacement de l’onde se produisant Plus souvent à cette allure lente, on a pu dire que la résis-lance était alors plus grande qu a celle du galop. Mais cela n’est vrai que pour les cas où la perturbation que nous ve-
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- - 384 RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - lions de signaler se produirait, et ne l’est nullement quand elle n’a pas lieu.
  - L’on a dit de plus que dans ces circonstances exceptionnelles où l’onde est tout à fait à l’avant du bateau, larésislance allait toujours en croissant, de sorte que cette onde ne pouvait être franchie pour replacer le bateau dans sa position normale; cela n’est pas exact. Il m’est arrivé plusieurs fois, lorsque le bateau chargé de 9,670 tonnes y compris son poids propre, avait soulevé à l’avant une onde de 0n\90 de hauteur, et après avoir parcouru dans cette situation extraordinaire une longueur de 200 à 300 mètres,de dépasser l’onde et de ramener le bateau à sa position horizontale, et l’onde au milieu de la longueur du bateau. Alors il était vrai de dire que la résistance était moindre à la vitesse de 5 mètres qu’à celle de 4n',22 ; car à la première le bateau, marchant horizontalement, n’éprouvait en dêscendant de Bondy à la gare circulaire, qu’une résistance de 150 kilogr., tandis qu’à la seconde, quand son avant était plongé dans l’onde, il en éprouvait une de 280 kilogr. Mais cette différence tenait évidemment à celle des circonstances du phénomène.
  - 517. Résumé. — L’on voit par ces expériences au sujet desquelles il m’a paru utile d’entrer dans quelques détails, que quand la forme des bateaux est convenablement déterminée pour que leur position relativement à la surface du niveau ne varie pas sensiblement, la résistance suit la loi du carré de la vitesse, et que par conséquent la fatigue des chevaux employés au halage rapide doit être très-considérable. Aussi est-on obligé de diminuer beaucoup la longueur des relais, et, malgré cette précaution, perd-on encore un grand nombre de chevaux.
  - 518. Du travail développé par les chevaux dans le halage des bateaux rapides. — Il suit en effet des expériences ou de la formule qui en exprime les résultats, qu’en supposant que le bateau porte seulement 60 passagers et marche, par exemple, dans l’arrondissement de Meaux où la vitesse v de
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  - 385
  - l’eau est v — 0m,30, à la vitesse de 4m,20en l", ou de 15 kilomètres à l’heure à la remonte, et à celle de 4m,30 par seconde ou de 15,48 kilomètres àl’heureà la descente,larésis-tance totale surmontée par les trois chevaux serait, puis-qu’alors A=0m,605,
  - à la remonte, R= 10,43X0,605(4m,20-f-0m,30)2=127kil°6,72; à la descente, R=10,43 X0,605(4ra,30—0m,30)!—100 ,96;
  - ou par cheval:
  - à la remonte, 42kilos,59 ;
  - à la descente, 33kil06,32.
  - Par conséquent le travail développé par chaque cheval en 1" est en moyenne, dans ce cas,
  - à la remonte, 42kil,59 X 4m,20=172k-m,88
  - à la descente, 33kil,32 X4ra,20=l43k*m,18.
  - Or, d’après des résultats d’expériences directes sur le travail développé par les chevaux employés à d’autres modes ^ transport, et dont quelques-uns sont insérés dans le tableau suivant, on voit que les chevaux employés au halage des bateaux rapides développent par seconde, pendant leur service, une quantité de travail plus que triple en moyenne Je celle du cheval de roulage, et égale à une lois et demie celle du cheval de diligence, ce qui leur occasionne une fatigue excessive qui donne lieu à des maladies de poitrine dont ils meurent presque tous.
  - Dans les circonstances exceptionnelles où l’onde est à l’avant, nous avons dit qu’à une vitesse de 4m,22 la résistée avait été trouvée parfois égale à280kilog., ce qui exilait de chaque cheval un effort de93kll,33elle travail exces-slfde 93^,33 X4‘",22 = 393k,m,85 en 1", pendant un temps lui a duré parfois plus d’une ou deux minutes, d’où résul-tl des efforts de jarrets et d'autres accidents.
  - 2b
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- - Travail journalier développé par les chevaux employés à divers modes de transport.
  - MODE EFFORT MOYEN VITESSE TRAVAIL DISTANCE TRAVAIL
  - de transport développé
  - par moyenne en i" parcourue journalier. OBSERVATIONS.
  - employé. i 1
  - cheval. de marche. par cheval. par jour.
  - kit. m. kilom. m.
  - 1800 -63 1,00 63,0 40 000 2 520 000
  - 28,6
  - Chariot ordinaire 1250 44 8 28 1,00 44,8 40 000 1 792 000 Résultats des expériences
  - sur
  - \ 9600 2 660 000 le tirage des voitures.
  - Charrette ivr=66-5 1,00 66,5 40 000
  - 750 -39,5 3,00 0,80 113,4 42,0 32 500 1 264 000
  - 1 Hala re. an nas 19 remonte 52,5 25 840 1 356 600 Expériences sur les bateaux accélérés
  - descente 38,09 1,20 4G,7 25 840 984 246 du canal de l’Ourcq.
  - 1 762 807
  - S86 RÉSISTANCE DES FLUIDES.
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - 387
  - 310. Observation sur le travail journalier des chevaux. — Ces exemples montrent combien le travail développé par les moteurs animés peut varier, mais en même temps ils font voir que quand on exige pendant un temps assez court un travail exagéré, ce n’est qu’au prix d’un sacrifice sur le travail journalier que l’on peut l’obtenir des animaux, sans les fatiguer outre mesure, ou les ruiner promptement. Ainsi dans le service du bateau-poste de Paris à Meaux, la distance parcourue à chaque relai était en moyenne de 3772 mètres, que les chevaux fournissaient deux fois par jour à la remonte, et deux fois à la descente, par conséquent, d’après les valeurs précédemment trouvées pour la résistance, le travail journalier d’un cheval, dans l’arrondissement de Meaux, était :
  - à la remonte, 42kil,3X2 X3 772m =319 790k-"\
  - à la descente, 33,32 X 2 X 3 772 =251 366
  - Total, 571 166k-m.
  - Mais comme chaque relai était monté avec quatre chevaux, dontun se reposait tous les quatre jours, le travail moyen journalier n’était que les 0,75 du résultat précédent, ou égal à
  - 427,367k,m ;
  - tandis que le tableau du n° 518 nous montre que par les autres modes de transport et sans une fatigue excessive qui ruine rapidement les chevaux , on peut obtenir en moyenne d’un cheval de Irait un travail journalier de 1 762 807 kilo-lUaminèlres, c’est-à-dire un travail quadruple de celui que fournissaient, avec des perles considérables, les chevaux employés au lialage des bateaux-poste du canal de l’Ourcq.
  - 320. De la résistance de Veau au mouvement des roues à Mettes planes.— L’on emploie, pour transmettre le mouvement aux bateaux à vapeur, des roues à palettes planes qui, en choquant et pressant l’eau, éprouvent une résistance qui devient précisément la puissance motrice à l’aide de laquelle fe bateau marche. Des expériences directes pour reconnaître
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - les lois et déterminer l’intensité de eetle résistance m’ont paru nécessaires, et j’en ai exécuté, en 1837, plusieurs séries dont je vais donner l’analyse succincte.
  - Pour ces expériences l’on a employé deux modèles de roues; l’un, de lm,01 de diamètre aux couronnes, recevait à volonté des palettes, en nombre variable, jusqu’à vingt au plus. Les palettes employées sur cette roue ont eu successivement pour dimensions
  - en largeur, parallèlement 'a l’axe, On‘,lOO; 0,200; 0,300; 0,600;
  - dans le sens du rayon, 0U‘,100; 0,201; 0,350; 0,201;
  - L’arbre de la roue formait un treuil autour duquel s’enroulait une corde, qui allait passer au sommet d’une chèvre, à 17 mètres de hauteur, et qui supportait une caisse dans laquelle on plaçait des poids moteurs.
  - La roue était établie sur une charpente fixe et l’on faisait varier les profondeurs d’immersion à volonté, en élevant ou en abaissant le niveau du bassin sur lequel on opérait et qui avait des dimensions en quelque sorte indéfinies par rapport à celles de la roue.
  - Les vitesses de rotation de cette roue ont varié depuis les plus faibles auxquelles il ait été possible d’observer un mouvement régulier jusqu’à 6 mètres par seconde. Elles étaient observées, quand le mouvement était devenu uniforme, a l’aide d’un compteur à pointage de Bréguet, donnant les dixièmes de seconde.
  - Tout l’appareil était disposé pour que les résistances passives provenant du frottement des axes, de la roideur de la corde et du déplacement de l’air, fussent atténuées autant que possible, et l’on en a tenu compte, dans le calcul des résultats, par des formules simples qu’il serait superflu d’exposer en détail.
  - La deuxième roue employée avait 2m,612 de diamètre extérieur et des palettes de O"1,70 de largeur dans le sens de l’axe, sur Cm,ô€6 dans le sens du rayon, dont elles suivaient la direction.
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- - La profondeur d’immersion de ces palettes a été successivement de 0m,506, de 0m,404 et de Oin,286.
  - Pour chaque nombre de palettes et chaque profondeur d’immersion l’on a fait varier graduellement les poids moteurs et par conséquent les vitesses, de manière à avoir des séries d’expériences dans lesquelles un seul élément fût variable.
  - Ayant ainsi pour chaque cas les valeurs de la résistance, correspondant à différentes vitesses, on a représenté graphiquement tous ces résultats en prenant pour abscisses les poids moteurs et pour ordonnées les carrés des vitesses du point milieu de la portion immergée.
  - Dans toutes les séries ainsi représentées l’on a reconnu que jusqu’à certaine vitesse, que nous ferons connaître plus
  - loin, les points déterminés étaient toujours (fig. 92) sur une ligne droite que venait couper la ligne des abscisses en avant de l’origine, en un point O; variable Fig 92 pour chaque courbe,
  - ce qui indiquait que l’abscisse ou la résistance, était dans chaque cas représentée, comme pour les bateaux, par une expression de la forme
  - R=Ki'à+K1AYï,
  - en appelant toujours A la surface immergée des palettes ;
  - V la vitesse du milieu de la portion immergée de palette ; Ki et K/ des coefficients constants.
  - Lasurface immergée Ades palettes a été déterminée d’après le nombre de palettes simultanément immergées en totalité °n en partie, en calculant la somme des parties immergées de toutes les aubes pour plusieurs positions successives de la roue, et en prenant la moyenne des sommes des surfaces
  - vi
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- - 3ft0 RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - ainsi obtenues. Elle représente ainsi réellement la valeur moyenne de la surface totale des palettes agissant sur l’eau.
  - Le mode de représentation de la figure 92 nous a donné la valeur du coefficient constant K/, puisque l’abscisse AO du point 0 de la droite qui exprimait la loi de la résistance était celle du terme K/A. C’est ainsi que l’on a obtenu les valeurs suivantes ;
  - DIMENSIONS oes SURFACE TOTALE RÉSISTANCE CONSTANTE
  - palettes, au nombre de 20- immergée. déduite du tracé, K',A. par mètre carré, K',.
  - m q. kil. kil.
  - 0,20 sur 0,20 0,1365 0,130 0,953
  - 0,30 sur 0,35 0,4345 0,400 0,901
  - 0,60 sur 0,20 0,4110 0,390 Moyenne 0,951 0,934
  - Le tracé a pu aussi fournir la valeur du coefficient Ki du terme proportionnel au carré de la vitesse, puisque l’inclinaison de la droite qui exprime la loi de la résistance est donnée par l’expression
  - K,A=™.
  - R — K/A étant la valeur des abscisses de cette droite diminuées de AO, et V2 étant celles des ordonnées. En divisant dans chaque cas ces valeurs de ^A, données par l’expérience, par la surface connue A, l’on en a déduit les valeurs du coefficient Kt.
  - 52 L. Causes qui altèrent la loi de la résistance. — Mais avant de donner les valeurs du coefficient de la résistance, fournies par l’ensemble des expériences, il importe de signaler une circonstance qui, en altérant les conddions des phénomèmes, exerce sur les résultats une influence considérable. Pour qu’à différentes vitesses et à différentes
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - W1
  - profondeurs d’immersion, la-roue et ses aubes se retrouvent dans des conditions comparables, il faut, ainsi que nous l’avons implicitement admis jusqu’ici, que le vide formé par les palettes qui ont chassé devant elles l’eau sur laquelle elles ont agi, soit incessamment rempli, afin que les nouvelles palettes immergées rencontrent la même résistance. Or, en observant le mouvement de rentrée de l’eau dans le vide, on comprend très-bien que le remplissage doive se faire par une sorte d’écoulement de superficie ou en déversoir par les côtés, et qu’un certain temps est nécessaire pour qu’il soit opéré. Si donc la roue marche si rapidement que ce vide n’ait pas le temps de s’emplir, les palettes ne trouvant plus la même quantité d’eau à refouler qu’à des vi tesses moindres, les circonstances du phénomène sont changées, et dès lors la loi de la résistance doit se trouver modifiée. Cette altération croissant de plus en plus avec la vitesse, il arrive que
  - Quarrés des vitesses.
  - les palettes rencontrent une quantité de liquide de plus en plus faible, et qui peut, pour ainsi dire, être nulle, de sorte lu a la fin la roue tourne dan s l’airaulieu de tourner dans l’eau.
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- - 392
  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - Tons ces effets sont parfaitement manifestés par le tracé qui représente les résultats des expériences, ainsi qu’on peut le voir par la fig. 93 relative à une série d’expériences faites avec 20 palettes immergées de 0m,105.
  - La ligne qui représente la loi de la résistance est d’abord une droite qui se prolonge jusqu’à une certaine vitesse, dépendant de la profondeur d’immersion et de l’écartement des palettes; mais au delà de cette vitesse elle se relève de plus en plus, ce qui indique que celte résistance ne croît plus proportionnellement au carré de la vitesse.
  - Tous ces faits sont très-importants pour la navigation à vapeur, car ils montrent qu’il est nécessaire d’établir entre les profondeurs d’immersion des palettes, leur écartement et la vitesse dont elles sont animées, des rapports tels que l’eau ait toujours le temps de remplir le vide formé, et que pour chaque roue construite il y a une limite de vitesse de marche, convenable à son meilleur effet.
  - 522. Écartement convenable des palettes. — Sans entrer dans plus de détails sur ces effets remarquables, je me contenterai de dire que la loi de la proportionnalité du second terme de la résistance au carré de la vitesse a été vérifiée jusqu’à des vitesses relatives de lm,66 à lm,90, toutes les fois que l’écartement des palettes à la circonférence extérieure de la roue a été compris entre deux et trois fois leur profondeur d’immersion. Cette proportion est d’ailleurs conforme à la pratique ordinaire.
  - 525. Valeur du coefficient K\ du second terme de la résistance. —En ayant égard aux circonstances que nous venons d’indiquer et en renfermant par conséquent l’application de la loi de la résistance entre les limites où elle a pu être vérifiée, nous rapporterons ici les résultats relatifs aux expériences dans lesquelles la vitesse de la roue et l’écarte-tement des palettes permettaient la rentrée complète de l’eau.
  - Les valeurs du coefficient Ki fournies par ces expériences, sont les suivantes :
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - 803
  - Valeurs du coefficient K\ de la formule fi — A [Kf-\~ K\ V2].
  - NOMBRE ET DIMENSIONS DES AILETTES.
  - VALEURS
  - de K,.
  - Roue de ln,,01 de
  - diamètre.
  - Grande roue de 2m,612.
  - 10 ailettes de 0m,10 sur 0n,,10 104,55
  - 1 5 id. id. id 109,00
  - 10 id. de 0,20 sur 0,20 101,50
  - 5 id. id. id 109,25
  - 1 5 id. de 0,30 sur 0,35 117,50
  - 10 id. de 0,60 sur 0,20 104,70
  - 5 id. id. id 118,00
  - { 0,506 117,00
  - 8 palettes de 0m,70 immergées.! 0,404 114,00
  - ( 0,286 126,50
  - Moyenne générale 112,15
  - La moyenne générale ne diffère au plus que de ^ des résultats partiels, et l’on voit que toutes les fois que l’écartement des palettes sera renfermé dans les limites indiquées, l’effet que les roues à palettes planes exercent sur l’axe pourra être représenté par la formule
  - R=Aj 0,934-f-112,l5Vs)
  - A étant la moyenne des surfaces de palettes simultanément immergées au repos.
  - V la vitesse absolue de la roue.
  - 324. Cas où la roue marche dans une eau courante. — La roue qui avait servi aux expériences précédentes ayant été transportée sur un petit canal en bois de lm,15 de largeur sur 0m,60 de profondeur, on a procédé de la même manière pour déterminer, dans ce cas, les lois de la résistance.
  - Sans entrer dans de nouveaux détails, je me contenterai de dire que les résultats de ces nouvelles expériences sont aussi représentés, avec une exactitude suffisante pour la pratique, par la même formule, en ajoutant à V ou en en
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  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - retranchant la vitesse v du courant : de sorte que l’expression générale de l’effort exercé sur l’eau stagnante ou courante, par les aubes d’une roue à palettes planes, serait
  - R = A {0kil,934 + 109,20(V±vf j,
  - en prenant pour coefficient du second terme le nombre qui convient le mieux à l’ensemble des expériences.
  - 323. Influence de la présence d'un bateau près des roues. — Les expériences dont il vient d’être question ont été faites sur des roues isolées dans le liquide sur lequel elles agissaient, et il était bon de reconnaître si la présence d'un bateau près de la roue pouvait exercer quelque influence sur l’intensité et la loi de la résistance.
  - A cet effet l’on a placé près de la roue, à 0m,04 de distance, parallèlement au plan vertical extérieur des aubes de la roue de 2m,6l2 de diamètre, un bateau immergé d’une quantité égale à celle dont les aubes plongeaient dans le liquide, et l’on a fait deux séries d’expériences, aux profondeurs d’immersion de 0m,404 et 0m,256, pour en comparer les résultats à ceux des séries faites dans le cas où la roue était isolée et où ses palettes étaient immergées de 0m,404 et de 0m,286.
  - Les résultats de ces expériences semblent montrer que, par suite de l’obstacle que la présence du bateau oppose au retour de l’eau dans le vide formé par les palettes, la résistance diminue un peu, mais d’une quantité si faible qu’elle rentre dans les limites des erreurs d’observation. En effet, on a trouvé :
  - A la profondeur d’immersion de 0m,404 sans bateau K,= 114,00
  - avec bateau Kt = 112,60
  - A la profondeur d’immersion de 0”\286 sans bateau Kt= 126,00 — de 0 ,266 avecbaleau K,= 113,38
  - L’on voit donc que la formule précédente déduite de l'ensemble des expériences peut encore s’appliquer au cas ou la roue est placée sur le flanc d’un bateau à vapeur.
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  - , 395
  - 520. Application aux roues des bateaux à vapeur.— La formule de la résistance éprouvée et de l’effet transmis par les aubes d’une roue qui tourne dans l’eau, étant
  - RWKiAU*= 112,15ÀÜ\
  - quand l’axe de cette roue n’aaucun mouvement de translation, il est clair que si cet axe est porté sur un bateau à vapeur qui avance avec une vitesse Y, les aubes ne choqueront le liquide qu’avec la vitesse U—V, et que dans ce cas la formule qui exprimera cette résistance, éprouvée parles aubes, sera
  - R== Ki A (U — Y)2
  - dans une eau tranquille, et qu’enfin si le bateau qui porte la roue remonte ou descend un courant animé d’une vitesse v, l'expression de la résistance deviendra
  - R— Kt A (U—V—vf à la remonte et R = KiA(U — V -\-vf à la descente.
  - Si nous examinons en particulier le cas de la navigation en eau tranquille, le travail de cette résistance, ou celui qui sera produit par la machine que fera mouvoir la roue en 1", sera
  - R U=Ki A (U— V2) Uk,m,
  - et si on l'exprime en chevaux de 75 kilogrammètres, la force effective du moteur sera
  - RU AT _ KjA (U—V)*U "75" ^ 75
  - L’observation des constructions existantes peut permettre de reconnaître si la valeur du coefficient Ki, que l’on déduit des expériences que l’on vient de rapporter, s’accorde avec les faits observés dans la navigation.
  - En effet, l’on a pour chaque bâtiment les dimensions des roues et des aubes, le nombre de celles-ci, d’où l’on peut déduire la surface immergée des palettes; l’observation donne la vitesse U des aubes, qu’à cause de leur peu de hauteur par rapport au rayon des roues, l’on peut regarder comme le point
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  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - d’application de la résistance, ainsi que la vitesse V de marche du bateau, et si l’on introduit la valeur de Ki = 112,15, déduite de nos expériences, la formule ci-dessus doit donner la force effective de la machine, telle que l’observation l’a fournie.
  - Les expériences directes faites par le halage sur point fixe, en donnant l’effort exercé et transmis par les aubes pour faire avancer le bateau, permettent de vérifier directement la formule
  - R = 112,15 AU2,
  - en y introduisant les données particulières à chaque cas.
  - En faisant cette comparaison pour les bâtiments le Sphinx, le Mentor de 160 chevaux de force nominale, la Médée et le Véloce de 220 chevaux , pour lesquels les dimensions et les diverses vitesses sont données par M. Campaignac dans son ouvrage sur la navigation à vapeur, on a les données et les résultats suivants :
  - NOMS des bâtiments. FORCE EN CHEVAUX de chacune des deux machines. N. AIRE DE PALETTES immergée pour chaque roue. 1 A. VITESSE du milieu des palettes. 1 U. VITESSE DE MARCHE du bâtiment. V. VALEUR du coefficient K,.
  - Sphinx nominale, effective. 80 80,851 m. q. 3,830 m. 6,094 m. 4,630 120,81
  - Mentor 80 80,854 3,450 6,359 4,733 104,20
  - Médée, 110 110,380 5,144 6,347 4,938 127,73
  - Véloce 110 111,350 3,988 6,385 4,861 141,21
  - Moyenne IL = 120,05
  - L’on remarquera que la valeur de l’aire totale simultanément immergée des palettes, a été déterminée par des tracés, et en supposant l’aube verticale entièrement plongée, un peu au-dessous du niveau, mais probablement moins qu’elle
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  - ne l’est en réalité, de sorte que les valeurs du coefficient Kt sont sans doute plus grandes qu’elles ne devraient l’être. Il n’est donc pas étonnant que la moyenne de ces valeurs surpasse celle que nous avonsdéduite denosexpériences directes.
  - 527. De la résistance de l'air. —Les phénomènes qui se produisent dans l’air lorsque des corps se meuvent dans ce milieu, sont tout à fait analogues à ceux que présentent les liquides, et la résistance qu’il oppose au mouvement de ces corps est du même genre. Cependant il convient de distinguer ce qui se passe dans le mouvement uniforme, de ce qui a lieu dans le mouvement varié.
  - Dans le premier cas, la vitesse restant la même, les molécules fluides, successivement déviées par le corps, éprouvent les mêmes déplacements, reçoivent les mêmes vitesses, et dans les différents instants de son mouvement, le corps éprouve la même résistance. Mais dans le mouvement varié, accéléré par exemple, les molécules fluides reçoivent des degrés de vitesse de plus en plus grands, et comme elles appartiennent à un fluide élastique, la proue fluide qui se forme en avant du corps acquiert une densité, et par suite une masse qui va sans cesse en croissant, d’où il résulte que la masse déplacée augmente en même temps que la vitesse qui lui est communiquée. On conçoit donc à priori que plus
  - l’accélération - du mouvement sera grande, plus la résis-t
  - lance croîtra, et dès lors on peut prévoir que dans le mou-'ement accéléré, l’expression de la résistance de l’air doit Pouvoir comprendre, outre les termes ordinaires, un terme Particulier dû à l’accélération même du mouvement. C’est du reste ce que des expériences faites à Metz en 1836, ont pour la première fois mis en évidence, comme on le verra plus loin.
  - 526. Résultats de l'expérience. Le célèbre Borda a fait en 1763 des expériences sur les lois de la résistance de l’air, au moyen d’une espèce de volant à ailettes, dont l’axe était
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  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - vertical et dont les bras horizontaux avaient un peu plus de 2m,18 de longueur. A l’extrémité de ces bras, il fixait les surfaces et les corps de diverses formes sur lesquels il voulait opérer, et il observait la vitesse uniforme que ce volant prenait sous l’action de différents poids moteurs. Il a cru pouvoir négliger l’influence des frottements dans cet appareil, ce qui jette quelque incertitude sur les résultats, car il est difficile d’admettre que quand il s’agit d’une résistance aussi faible, la portion de l’effort moteur qui est nécessaire pour vaincre les frottements, ne soit pas comparable à celle qui surmonte la résistance de l’air.
  - Borda a successivement placé aux extrémités du bras de son appareil des surfaces carrées de 9, de 6 et de 4 pouces de côté, et les a fait mouvoir par des poids de 8, de 4, de 2 livres, d’une livre et d’une demi-livre, et par conséquent à des vitesses différentes. D’après les dimensions et les données relatives à son appareil, l’auteur a calculé les résistances de l’air correspondant aux différentes vitesses, et les résultats, exprimés en mesures métriques, sont résumés dans le tableau suivant :
  - Résultats des expériences de Borda sur la résistance de l'air.
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  - Si l'on représente ces résultats graphiquement, en prenant les résistances pour abscisses, et les carrés des vitesses pour ordonnées, on trouve que tous les points relatifs à une même surface, sont situés sur une ligne droite, ce qui indique que la résistance croît comme le carré de la vitesse. Le peu d’étendue des surfaces employées par l’auteur n’a pas pu manifester d’une manière certaine l’existence d’un terme constant, dans l’expression de la résistance.
  - En comparant ces résultats avec la formule R — KiAV1, on trouve pour Ki les valeurs suivantes :
  - Carré de 9 pouces ou de 0m,243 de côté, Ki == 0,1050 ;
  - Carré de 6 pouces ou de 0ra,162, Kt = 0,0955 ;
  - Carré de 4 pouces ou de 0m,108, Ki = 0,0897 ;
  - Il est à remarquer que Borda ayant négligé l’influence du
  - frottement, qui croissait avec la résistance et avec les poids moteurs employés, la diminution apparente de la résistance pour les plus petites surfaces peut tenir à cette circonstance.
  - 529. Expériences de M. Thibault, sur les corps en mouvement dans l'air. —L’on doit à cet officier, que la marine a perdu trop tôt, des expériences nombreuses et très-bien faites, publiées à Brest en 1823.
  - M. Thibault a employé pour ses expériences un volant à Jeux ailettes, tournant autour d’un axe horizontal, et mû par un poids qui lui imprimait un mouvement, que la résistance même de l’air rendait bientôt uniforme. Ce volant fort léger était composé d’un axe en acier deOm,65 de long sur 0m,oo5 d’équarrissage, terminé par des tourillons de 0m,0025 Je diamètre. Les bras du volant étaient formés chacun par une verge en fer de 2n\736 de longueur, de 0ra,014 de largeur dans le sens du mouvement près de l’axe, et de 0m,Q05 aux extrémités, sur une épaisseur constante de 0m,006 dans le sens parallèle à l’axe. Le côté des bras qui frappait l’air était taillé en biseau.
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- - : Expériences de M. Thibault sur la résistance de l’air.
  - INCLINAISON des surfaces. DURÉE de vingt révolutions du volant. VITESSE du centre des ailettes. RÉSISTANCE totale* de chaque ailette. PARTIE de la résistance indépendante de la vitesse. RÉSISTANCE proportionnelle au carré de la vitesse. RAPPORT de cette résistance au carré de la vitesse. PROJECTION de la surface sur un plan perpendiculaire au mouvement. RÉSISTANCE par mètre carré de surface projetée, et par mètre de vitesse.
  - 90» 68",40 m. 2,517 kil. 0,0753 kil. 0,0799 kil. 0,01118 m.q. 0,10304 kil. 0,1088
  - 85 68 ,07 2,529 0,0752 0,0752 0,0708 0,01107 0,10266 0,1079
  - 80 67 ,90 2,535 0,0708 0,01102 0,10150 0,1085
  - 75 67 ,70 2,543 0,0752 0,0708 0,01095 0,09953 0,1100
  - 70 65 ,56 2,586 0,0751 0,0707 0,01059 0,09683 0,1095
  - 65 64 ,76 2,658 0,0751 0,0707 0,01990 0,09339 0,1071
  - 60 62 ,47 2,756 0,0749 kil. 0,0705 0,00928 0,08924 0,1065
  - 55 61 ,15 2,815 0,0748 0,0044 0,0704 0,00888 0.08441 0,1053
  - 50 60 ,25 2,857 0,0748 0,0704 0,00862 0,07893 0,1092
  - 45 56 ,75 3,034 0,0745 0,0701 0,00762 0,07286 0,1045
  - 40 52 ,83 3,259 0,0742 0,0698 0,00660 0,06623 0,0996
  - 35 48 ,50 3,550 0,0736 0,0692 0,00537 0,05923 0,0906
  - 30 43 ,00 4,004 0,0727 0,0683 0,00426 0,05152 0,0827
  - 25 36 ,75 4,685 0,0712 0,0668 0,00304 0,04355 0,0698
  - 20 30 ,50 5,645 0,0703 0,0659 0,00208 0,03524 0,0591
  - 15 24 ,50 7,027 0,0640 0,0596 0,00121 0,02667 0,0452
  - 1 10 19 ,00 9.061 0,0554 0,0510 0,00062 0,01787 0,0345
  - 400 RÉSISTANCE DES FLUIDES.
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  - 401
  - Les ailettes étaient montées sur les bras du volant, et dirigées d’abord dans des plans passant par l’axe, puis au moyen de dispositions convenables, elles pouvaient être inclinées, 1° en les faisant tourner autour du rayon ; 2° en les faisant tourner autour d’une parallèle à l’axe, de façon que leur direction laissât l’axe en avant ou le laissât en arrière.
  - Les inclinaisons ainsi obtenues ont varié de 5 en 5 degrés et ont été mesurées avec soin. Le mouvement du volant étant produit dans tous les cas, par le même poids moteur de 4kil, on observait la durée de 20 tours faits d’un mouvement uniforme.
  - J’ai discuté et calculé les résultats des expériences de M. Thibault, en y appliquant la formule
  - R = Ki'A -f KjAV2,
  - qui représente, comme on le verra plus loin, tous les résultats des expériences qui ont été faites à Metz. En y donnant au coefficient K/ relatif à la résistance constante, indépendante de la vitesse, la valeur Kf = 0,0434, fournie par nos expériences sur une roue à ailettes, nous avons pu en déduire la valeur du coefficient Ki dépendant de la vitesse. On a de plus tenu compte de l’inclinaison de la surface des ailettes sur le sens du mouvement,' en introduisant dans le second Ici me de la formule, au lieu de Taire A = O1";,’, 103041 sa projection sur un plan perpendiculaire au sens du mouvement.
  - Le tableau de la page précédente contient les données des expériences de M. Thibault et les résultats des calculs. Les chiffres consignés dans ce tableau montrent que la résistance par mètre carré de surface projetée perpendiculairement au sens du mouvement, et par mètre de vitesse, ou | ta valeur du coefficient Ki de la formule
  - r=KiAV*
  - ne décroît pas tant que l’angle d’inclinaison n’est pas au-dessous de 50 à 60°.
  - 26
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  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - 550. Observation relative o;ux régulateurs à ailettes et aux moulins à vent. — Il en résulte que, dans les volants à ailettes employés comme régulateurs du mouvement, où les ailettes s’inclinent, tournent autour du rayon du volant, quand la puissance motrice est trop faible, l’on n’obtient une diminution de résistance qu’après que les ailettes ont dépassé l’inclinaison de 50 à 60ft, et comme ces appareils régulateurs doivent servir aussi à empêcher l’accélération du mouvement quand la puissance motrice augmente, et doivent par conséquent alors offrir plus de résistance, il conviendrait qu’à l’état normal ces ailettes fissent un angle de 35 degrés environ avec le plan perpendiculaire au sens du mouvement.
  - Il ne me paraît pas impossible que quelque chose d’analogue se produise dans les moulins à vent dont les ailes, par quelque mécanisme spécial, s’inclinent quand le vent acquiert trop d’intensité. L’expérience montre, en effet, que cette disposition, qui a pour but d’empêcher la vitesse de s’accélérer beaucoup par l’effet des bourrasques, ne remplit pas tout à fait son but, et que tel moulin dont la vitesse normale est de 5 à 6 tours en 1 minute par une bonne brise de 5 à 6 mètres de vitesse en 1 seconde, atteint celle de 29 à 30 tours et plus par les grands vents.
  - 551. Expériences sur des surfaces de diverses formes. — M. Thibault a successivement répété les mêmes expériences avec des surfaces concaves cylindriques ; il est arrivé à la même conséquence, et il a constaté qu’à égalité de projection de la surface, sur un plan perpendiculaire au sens du mouvement, la résistance croît avec la courbure, mais assez lentement.
  - Quant aux surfaces creuses, à double courbure, telles que celles qui sont formées par des toiles fixées aux quatre côtes d’un cadre, la résistance croît aussi avec la courbure et plus rapidement que dans le cas précédent.
  - En comparant la rés:stance de deux surfaces de toile en-verguées, de 0raq,1089 de surface chacune, dont le côté in-
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
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  - férieur pouvait se rapprocher du côté supérieur, comme cela arrive pour les voiles sous l’action du vent, à la résistance offerte par deux plans de môme surface que la voile développée, l’auteur a trouvé que la résistance de la surface enverguée était la même que celle de la surface plane, malgré la diminution de la projection de la première surface sur la direction du mouvement. Il se fait ainsi une compensation entre l’augmentation de la résistance due à la courbure et la diminution due au rétrécissement de la surface projetée.
  - Cette conséquence est importante en ce qu’elle facilite beaucoup les applications relatives à l’action du vent sur la voilure des bâtiments.
  - 552. Influence de Vinclinaison des ailettes. — L’auteur a reconnu que quand les ailettes sont inclinées de manière
  - que l’axe de rotation se trouve en
  - ^ avant de leur plan, par rapport au
  - sens du mouvement (fig. 94), la résistance diminue rapidement à me-
  - Fig. 94.
  - sure que l’inclinaison augmente, et qu’à l’inclinaison (le 55° elle n’est guère que 0,5715 de la résistance perpen-
  - diculaire, tandis que quand l’axe de rotation se trouve en arrière du plan des ailettes, la résistance va en augmentant jusque vers l’angle de 55°
  - Fig. 95.
  - (fig. 95), pour lequel elle est égale à 1,2293 fois la résistance Perpendiculaire.
  - Ces résultats montrent que ce mode d’inclinaison des palettes des volants régulateurs se prête beaucoup mieux au but que l’on se propose, puisqu’en les
  - disposant de façon que les ailettes puissent s’incliner à volonté, dans un sens ou dans l’autre (fig. 96), la résis-
  - Fig. 96.
  - lance qu’éprouvera le volant sera rendue, selon le besoin, plus faible ou plus grande.
  - Les mêmes expériences, répétées sur des surfaces courbes,
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- - 404
  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - inclinées à divers degrés, ont conduit à des conséquences semblables en indiquant un excès encore plus considérable dans l’intensité de la résistance, pour ces surfaces que pour les surfaces planes. Cela explique les avantages que la marine tire des mouvements de rotation imprimés aux voiles, parallèlement à Taxe des mâts.
  - 555. Influence du rapprochement des surfaces exposées à la résistance de l'air. — M. Thibault a fait aussi quelques expériences pour reconnaître si deux surfaces égales, placées l’une derrière l’autre, à une assez faible distance, éprouvaient une résistance totale moins grande que si ces surfaces étaient isolées. A cet effet, il a monté sur son volant quatre ailettes placées deux à deux, Tune derrière l’autre, à une distance qu’il n’indique pas, et il a reconnu que, sur le cas où il opérait, la résistance de la surface postérieure n’était guère que les § de celle de la surface antérieure. Ce résultat, qui peut s’appliquer aux trains de wagons de chemins de fer, est important, et il serait fort à désirer que des expériences plus complètes fussent faites à ce sujet.
  - 554. In fluence de la forme des surfaces. — Le même expérimentateur ayant placé aux extrémités de son volant diverses surfaces de même étendue, mais dont deux étaient carrées, deux circulaires et deux en forme de triangle rectangle, de façon que leur centre de figure fut dans tous les cas à la même distance de l’axe, il a reconnu que sous l’action d’un même poids moteur le volant prenait, dans tous le.s cas, la même vitesse, ce qui montre que la résistance est indépendante de la forme des surfaces planes expérimentées.
  - 555. Résistance de l'air au mouvement des corps sphériques. — Ce cas particulier, qui intéresse spécialement l’étude du mouvement des projectiles dans l’air, a depuis longtemps appelé l’attention des physiciens et des géomètres. Newton le premier a fait à ce sujet des expériences, en observant la chute des corps sphériques. Hutton cl d’autres observateurs
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - 403
  - ont étudié cette résistance dans le cas des petites vitesses, à l’aide d’un appareil à rotation ; et plus tard ce dernier, en comparant les vitesses des projectiles, à diverses distances de la bouche à feu, à l’aide du pendule balistique, a étendu ses recherches aux grandes vitesses. Enfin, dans ces dernières années, il a été exécuté à Metz de nombreuses expériences sur cette dernière partie de la question.
  - Nous nous bornerons ici à indiquer les résultats plus spécialement applicables aux questions industrielles.
  - De l’ensemble des expériences de Newton, sur la chute des globes de verre dans l’air, à des vitesses comprises entre 0 et 9m,00 par seconde à la température moyenne de 12° et à la pression de 0m,75, la valeur du coefficient Ki est d’environ 0,0375, de sorte que la résistance éprouvée par les sphères mues dans l’air, à des vitesses comprises dans ces limites, serait
  - R = 0,0375 AV2 = 0,0375 V2 ;
  - mais aux grandes vitesses le coefficient de la résistance augmente avec la vitesse el, d’après la discussion des expériences de Hutton et de celles de la commission des principes du tir de Metz, M. le général Piobert a proposé, pour représenter la loi de la résistance de l’air au mouvement des projectiles, la formule
  - R =0,023, AV2f 1-1-0,0023Y};
  - ce qui indiquerait qu’à ces vitesses l’expression de la résistance doit contenir un terme proportionnel au cube de la vitesse et que le terme constant n’a plus d’influence sensible.
  - 556. Expériences de Metz sur les corps en mouvement dans l’air. — Nous avons exécuté à Metz de 1835 à 1837 pour un travail commun entre MM Piobert, Didion el moi, relatif à la résistance des fluides, de nombreuses expériences qui mit été plus particulièrement faites par M. Didion, el dans
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- - 406
  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - lesquelles nous avons employé des appareils chronométriques analogues à ceux qui ont été décrits aux n0' 225 et 77 pour observer la loi de descente dans l’air, des corps de diverses formes et d’étendues différentes. Ces expériences étaient faites dans l’ancienne fonderie de Metz où nous pouvions disposer d’une hauteur verticale de chute, de l4m,30.
  - Les corps employés étaient suspendus à un cordon de soie enroulé sur une poulie qui, dans son mouvement, entraînait un style, dont la trace sur le plateau de l’appareil chronométrique, animé d’un mouvement uniforme connu et observé à chaque expérience, fournissait la loi du mouvement de descente du corps.
  - Des expériences spéciales ont été faites pour déterminer les résistances passives de l’appareil et en tenir compte dans les calculs.
  - Sans entrer dans une discussion détaillée des résultats et des vérifications auxquels ils ont été soumis, nous nous contenterons d’indiquer la marche suivie pour les calculs;
  - On a vu précédemment que les expériences sur la résistance de l’eau nous avaient déjà conduit à admettre dans l’expression de la résistance des fluides, l'existence d’un terme constant et celle d’un terme proportionnel au carré de la vitesse. Cette conclusion a été confirmée par les expériences que nous avons faites sur la résistance de l’air, en cherchant à obtenir des mouvements uniformes.
  - Une première série d’expériences faites sur un plan mince de lni<*,06 de superficie nous a donné pour l’expression de la résistance de l’air
  - R = 0kil,036A-f 0,089AV2;
  - mais comme la chute de I4m,30 ne suffisait pas pour que vers la fin le mouvement fût tout à fait uniforme et que, comme nous le verrons tout à l’heure, la résistance dans le mouvement varié doit comprendre un troisième terme dé-
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - 407
  - pendant de l’accélération | du mouvement, il s’ensuit que
  - le terme 0,089 AV2 qui comprend implicitement ce troisième terme est un peu trop fort et devra être diminué, comme on le dira plus tard.
  - L’existence du terme constant dans l’expression de la résistance a été aussi manifestée par les expériences exécutées sur la roue à ailettes de lm,00 de diamètre intérieur, portant des ailettes carrées de 0m,20 sur 0m,20 de côté, au nombre de 20, présentant ainsi une superficie totale de 0mq,80. Les résultats de ces expériences ont été très-exactement représentés dans le cas du mouvement uniforme par la formule
  - R z=Okil,0434 A + 0,1002 AV2,
  - ainsi qu’on peut le voir par le tableau suivant dans lequel les valeurs trouvées, à différentes vitesses uniformes, pour le coefficient du terme proportionnel au carré de la vitesse, sont à peu près constantes.
  - Expériences sur la résistance de l’air au mouvement d'une roue à palettes planes.
  - Viiesse uniforme du m. m. m. m. m. m. m. m.
  - centre de résistance des ailettes, en mé- 2,64 3,76 4,73 5,39 6,12 6,58 7,15 7.57
  - très par seconde. Résistance des ai- kil kil. kil. kil. kil. kil. kil. kil.
  - lettes ramenée à la densité moyenne de l’air. 0,607 1,180 1,787 2,350 2,948 3,567 4,157 4,742
  - Coefficient K, du carré de la vitesse. 0,1027 0,1020 0,0998 0,0995 0,0976 0,1021 0,1007 0,1027
  - Moyenne K, = 0,1002
  - m. m. m. m. m. m. m. m.
  - Vitesse qui correspondrait à la formule. 2.66 3,76 4,65 5,33 6.00 6,61 7,17 7,62
  - Cette comparaison des résultats de l’expérience avec ceux de la formule ci-dessus, montre dans quelles limites d’exactitude celle-ci représente les effets réels.
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - 408
  - 557. Marche suivie pour tenir compte des effets de Vaccélération. — Nous avons indiqué au n° 527, comment, dans les fluides élastiques, la résistance pouvait dépendre de l’accélération du mouvement, et si ces considérations étaient admises, il en résulterait que la résistance de l’air dans les mouvements variés devrait être représentée par une formule de la forme
  - R = K/A' -f- KjAV2 4-K2 A
  - Les expériences sur le mouvement uniforme ayant déjà fourni des valeurs approximatives des coefficients Kf et Ki, il restait
  - V
  - à trouver celle du coefficient K'2 ou plutôt le terme K2A
  - Sans entrer dans le détail des calculs qui ont été faits, nous nous bornerons à indiquer la méthode qui a été suivie, parce qu’elle montre un exemple remarquable du parti que l’on peut tirer de la représentation graphique de la loi des mouvements.
  - Dans le cas actuel, cette loi étant représentée par mie courbe continue (fig. 97), dont les abscisses indiquaient les nombres des tours ou les espaces parcourus, et dont les
  - ordonnées exprimaient les temps, /V il est clair que pour l’une de ces tangentes, MP par exemple, au Y point M de la courbe, le rapport de MP à MN, dans le triangle MNP,
  - ___-r?__________!______ sera le même que celui de e à t,
  - en représentant par e l’accroisse-
  - Fig. 97. .
  - ment infiniment petit de l’abscisse pour passer du point M au point infiniment voisin M', et par t l’accroissement correspondant du temps ou de l’ordonnée : ce rapport e- du chemin élémentaire à l’élément
  - de temps pendant lequel il a été parcouru, est précisément ce que l’on appelle la vitesse, ce que l’on exprime par lu
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - 409
  - relation V = -, on voit que l’on a pu, î'i l’aide du tracé
  - graphique de la figure 97, former une table des valeurs simultanées des temps et des vitesses, et par suite construire une nouvelle courbe dont les abscisses étaient les temps T et dont les ordonnées correspondantes étaient les vitesses V déterminées comme il vient d’être dit.
  - Cette nouvelle courbe (fig. 98), pourra se prêter à des
  - considérations analogues ; les tangentes, en ses différents points,
  - AB
  - feront connaître le rapport
  - qui sera égal à l’accélération - , v
  - étant l’accroissement élémentaire de l’ordonnée ou de la vitesse Y,
  - C T lî Fig. 98.
  - et t étant toujours l’accroissement élémentaire du temps.
  - Par conséquent, connaissant à chaque instant la résistance totale R ou la portion de l’effort moteur employée à vaincre la résistance de l’air, ainsi que les coefficients K/ et Kt, on
  - V
  - a pu calculer le terme K2A - et en déduire la valeur de K?.
  - Cette manière de procéder peut être abrégée en n’opérant que sur la partie de la courbe relative à la fin de la chute, parce que les variations d’inclinaison des tangentes à la première courbe sont alors assez faibles pour qu’au lieu de les tracer, on puisse les déterminer par la valeur du quo-E________E'
  - tient |—fjtt , de la différence de deux espaces consécutifs divisée par celle des temps correspondants.
  - Je n’insisterai pas davantage et je me bornerai à dire que ce mode délicat et ingénieux de discussion a conduit M. Di-dion à assigner aux coefficients de la formule, qui représente la loi de la résistance de l’air au mouvement de descente accéléré d’un plateau de 1 mètre carré de surface, les valeurs suivantes :
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- - 410
  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - R = 0kil,036 + 0,084V2 + 0,164 j,
  - laquelle se réduit, dans le cas du mouvement uniforme, à R —0kU,036 +0,084V2 pour 1 mètre carré de surface.
  - 558. Vérification de l’exactitude de cette formule. — Pour montrer à posteriori que cette formule composée de trois termes représente la loi de la résistance dans le mouvement accéléré avec plus d’exactitude que celles qui ne contiendraient qu’un terme proportionnel au carré de la vitesse ou deux termes, l’un constant, l’autre proportionnel au carré de la vitesse, M. Didion a recherché d’abord quelles seraient les valeurs des coefficients constants qu’il conviendrait d’admettre pour chacune de ces formules, afin de les rendre aussi exactes que possible, et, après les avoir trouvées, il a calculé, par une méthode analytique assez simple, mais qui ne peut être donnée dans ce traité, les valeurs des temps correspondant à des espaces régulièrement croissants parcourus par le corps, telles qu’elles seraient fournies par ces formules, et il les a comparées aux temps réels fournis par les courbes de la loi du mouvement. D’après les résultats de cette comparaison , consignés pour un cas particulier dans le tableau suivant, l’on voit que la formule à trois termes de la résistance, représente très-bien la loi du mouvement accéléré de descente d’un corps dans l’air, tandis que la suppression du terme qui dépend de l’accélérai ion
  - j ne permet plus de représenter cette loi aussi exactement,
  - même en déterminant les coefficients, de manière à reproduire la durée calculée pour l’un des espaces, et qu’il en est de même si l’on supprime le terme constant.
  - Les seuls résultats insérés au tableau sont ceux de l’expérience n° 6, pendant laquelle la température de l’air était de 16°,8 centigrades, et la pression barométrique de 0m,75l6 de mercure.
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES
  - 4H
  - Comparaison des durées et des vitesses de la chute d’un pla tenu carré d’un mètre de côté, observées et calculées.
  - ! p Ch O O O es < e< 3 U Ch w DURÉES OBSERVÉES. VITESSES OBSERVÉES. DURÉES CALC > xn CO O ® ^ r~ 4 vr TH CO lH w 8 © 3" + O II es IILÉES PAR LE + H co > CO ^ ® «-O* ~ O " + pi FORMULES. > o II çC VITESSES calculées par la formule (l).
  - 0“,0914 0", 176 9 0", 178 0",160 0",160 »
  - 0 ,1823 0 ,254 » 0 ,253 0 ,227 0 ,226 »
  - 0 ,2742 0 ,306 )) 0 ,310 0 ,278 0 ,277 ))
  - 0 ,3656 0 ,359 )) 0 ,358 0 ,322 0 ,321 »
  - 0 ,4398 0 ,400 )> 0 ,400 0 ,360 0 ,358 )>
  - 0 ,5484 0 ,428 » 0 ,428 0 ,394 0 ,393 »
  - 0 ,6398 0 ,474 » 0 ,473 0 ,419 0 ,417 ))
  - 0 ,7312 0 ,508 » 0 ,506 0 ,460 0 ,457 »
  - 0 ,8226 0 ,537 » 0 ,536 0 ,488 0 ,487 «
  - 0 ,9140 0 ,566 » 0 ,566 0 ,518 0 ,515 »
  - 1 ,0990 0 ,619 )) 0 ,622 0 ,570 0 ,567 ))
  - t ,2800 0 ,679 » 0 ,679 0 ,619 0 ,617 9
  - 1 ,4620 0 ,725 » 0 ,723 0 ,665 0 ,663 »
  - 1 ,6450 0 ,771 » 0 ,771 0 ,710 0 ,707 a
  - 1 ,8280 0 ,815 » 0 ,820 0 ,748 0 ,746 3M5
  - 2 ,7420 1 ,013 » 1 ,013 0 ,947 0 ,943 4 ,99
  - 3 ,6560 1 ,187 5”,55 1 ,186 1 ,123 1 ,120 5 ,53
  - 4 ,3980 1 ,346 5 ,94 1 ,346 1 ,289 1 ,287 5 ,94
  - 5 ,4840 1 ,493 6 ,32 1 ,497 1 ,452 1 ,451 6 ,27
  - 6 ,3980 1 ,636 6 ,63 1 ,639 1 ,607 1 ,606 6 ,53
  - 7 ,3120 1 ,771 6 ,86 1 ,776 1 ,760 1 ,760 6 ,74
  - 8 ,2260 1 ,910 6 ,95 1 ,912 1 ,912 1 ,912 6 ,91
  - 9 ,1400 2 ,034 6 ,97 G*. B GNf 2 ,062 2 ,064 7 ,04
  - 559. Influence de l'étendue des surfaces. —Pour constater cette influence, M. Didion a employé un plateau carré de 0m,5O de côté ayant par conséquent une superficie de 0m-ci%25 ou égale au quart de celle du premier plateau. En calculant la durée de la chute par la même méthode que pour le plateau de 1 mètre carré et à l’aide de la même formule
  - fokU,036 + 0,084V2 + 0,164? j A,
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- - 412 RÉSISTANCE DES .FLUIDES.
  - il a trouvé entre les résultats de l’observation et ceux du calcul une coïncidence très-suffisante pour permettre de conclure qu’entre les limites élendues, dans lesquelles il a opéré, la résistance de l’air est proportionnelle h l’étendue des surfaces. La température et la pression barométrique étaient sensiblement les mêmes que dans l’expérience rapportée au n° 558.
  - Comparaison des durées et des espaces parcourus dans la chute d'un plateau de 0m,|i,25 de surface , d’après l’observation et le calcul.
  - ESPACES PARCOURUS. DURÉES
  - observées. calculées.
  - m. 0,091 0",174 0",173
  - 0,183 0 ,246 0 ,242
  - 0,274 0 ,301 0 ,297
  - 0,366 0 ,356 0 ,343
  - 0,440 0 ,387 0 ,384
  - 0,548 0 ,425 0 ,420
  - 0,640 0 ,460 0 ,454
  - 0,761 0 ,490 0 ,485
  - 0,823 0 ,519 0 ,515
  - 0,914 0 ,547 0,513
  - 1,823 0 ,775 0 ,767
  - 2,742 0 ,951 0 ,939
  - 3,656 1 ,102 1 ,085
  - 4,398 1 ,240 1 ,215
  - 5,484 1 ,361 1 ,330
  - 6,398 1 ,476 1 ,412
  - 7,312 to cc eO 1 ,527
  - 8,226 1 ,693 1 ,646
  - 9,140 1 ,799 1 ,738
  - 540. Conséquence de ces résultats. — L’on voit par ce tableau que les durées des chutes calculées, sont sensiblement les mêmes, quoiqu’un peu plus faibles que les durées observées, ce qui montre que si le coefficient de la résistance variait avec l’étendue des surfaces, elle tendrait cà diminuer
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- - RESISTANCE DES FLUIDES.
  - 413
  - avec cette étendue plutôt qu’à augmenter, comme quelques auteurs avaient cru pouvoir le conclure d’expériences faites par l’observation du mouvement de rotation.
  - En résumé, l’on peut, sans crainte d’erreur notable, admettre dans la pratique que la résistance de l’air est proportionnelle à l’étendue des surfaces.
  - 541. Expériences sur les parachutes. — Une des questions les plus utiles des recherches sur la résistance de l’air, que nos moyens d’observation nous permettaient de résoudre, était la détermination exacte de la résistance éprouvée par les parachutes que l’on emploie dans l’aérostalion. Leur forme concave donnant d’ailleurs lieu, à surface égale, à un accroissement notable de résistance, il a été facile, dans ce cas, d’obtenir un mouvement de descente uniforme, ce qui était indiqué par la courbe qui représentait la loi du mouvement, laquelle dans ce cas dégénérait en une ligne droite dont l’inclinaison fournissait la valeur de la vitesse uniforme.
  - Le parachule employé était composé d’une carcasse formée de baleines, disposées dans quatre plans méridiens équidistants, assemblées sur une tige commune et assujetties par des arcs-boutants. Celte carcasse était recouverte d’un taffetas fortement tendu et elle était suspendue par une tige, à la partie inférieure de laquelle on attachait des poids additionnels.
  - Le diamètre extérieur du parachute était de lm,336, mesure prise perpendiculairement aux côtés du polygone et de lm,200, mesure prise entre les points les plus rapprochés des arcs formés par les bords. Sa projection perpendiculaire au sens du mouvement a varié de lmti, 1987 de surface à lm<i,2073. La flèche de courbure de ce parachute était de 0m,430 jusqu’au plan de l’extrémité des baleines.
  - La discussion des expériences dans lesquelles la vitesse a été uniforme, a montré que la résistance de l’air, au mouvement de ce parachute, pouvait aussi être représentée par
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  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - une expression composée de deux termes et qu’elle était égale à 1,936 fois celle d’un plan de même superficie, c’est-à-dire à peu près double.
  - Il en résulte qu’elle peut s’exprimer par la formule
  - R= 1,936 A10kil,036 -f 0,084 V2} = A{ 0kil,070+0,163 V2}
  - à la densité et à la température ordinaires de l’air.
  - 542. Cas où le parachute présente sa convexité à l'air. — En renversant ce parachute et le faisant descendre de façon que la surface convexe fût en dessous, on a trouvé une résistance beaucoup moindre et égale à 0,768 de celle de la surface plane de même aire. De sorte que dans ce cas la résistance est représentée par la formule
  - R = 0,768 A10kil,036 + 0,084 Y2} = A {0kil,028 -f 0,0652 Y2 j ;
  - on voit par là que la résistance du même corps varie dans le rapport de 1,936 à 0,768, ou de 2,5 à 1, selon qu’il présente à l’air sa concavité ou sa convexité.
  - 545. Cas où le mouvement du parachute était accéléré. — L’on a encore reconnu dans ce cas la nécessité de joindre à l’expression de la résistance un terme dépendant de faccé-
  - lération - du mouvement, et cette expression, pour le para-
  - ù
  - chute employé, est
  - R = A10kil,070 + 0,163 V2 -f 0,142 |J.
  - La comparaison des durées de chute observées avec celles que l’on déduit de cette formule a montré qu’elle représente les circonstances du mouvement avec toute l’exactitude désirable.
  - 544. Résistance au mouvement des plans inclinés dans l'air. — Ces expériences ont été exécutées par des moyens analogues à ceux qui ont été indiqués ci-dessus, en faisant des-
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - 415
  - cendre deux plans articulés, de 1 mètre de longueur sur Om,50 de largeur chacun, dont on faisait varier les angles de 5 degrés en 5 degrés, depuis 5 degrés jusqu’à 180, auquel cas ils formaient un seul pian. Les résultats régulièrement observés depuis 180 degrés jusqu’à 130 degrés, ont montré que la résistance décroissait proportionnellement aux angles, île sorte qu’en nommant a l’angle de l’un des plans avec la direction du mouvement, la résistance était exprimée pour le mouvement uniforme par la formule
  - R = — A {0kil,036 -f- 0,084 V* J.
  - La comparaison des résistances observées avec celles qui seraient calculées par cette formule en montre l’accord satisfaisant.
  - Comparaison entre les résistances observées et les résistances calculées, pour des plans de diverses inclinaisons.
  - ANGLE FORMÉ par chacun des plans avec la direction du mouvement. RÉSISTANCES rapportées à celles d’un plan perpendiculaire au sens du mouvement.
  - observées. calculées.
  - 90° 1,000 1,000
  - 87 ,5 0,996 0,972
  - 82 ,5 0,865 0,917
  - 80 ,0 0,856 0,889
  - 77 ,5 0,846 0,861
  - 70 ,0 0,773 0,778
  - 67 ,5 0,737 0,750
  - 66 ,0 0,728 0,722
  - On remarque que ces résultats sont relatifs au cas de deux plans égaux et articulés, mus dans l’air avec leur arête d’intersection en avant et qu’ils ne sont nullement applicables au cas de plans isolés.
  - La loi de variation de la résistance, proportionnellement
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  - RESISTANCE DES FLUIDES.
  - aux angles, csl aussi celle que nous avons trouvée pour l’eau, en opérant sur des cônes de diverses acuités (n° 505).
  - 54o. Conclusions générales des expériences de Metz. — En résumé, les expériences dont on vient de rapporter les résultats et qui ont été laites avec des appareils chronométriques, donnant les durées, à quelques millièmes de seconde près, et les vitesses acquises à un instant quelconque à un centième près, en observant la loi de descente dans l’air de plateaux de différentes grandeurs, de deux plateaux inclinés l’un sur l’autre et celui d’une roue à ailettes, et pour lesquelles les vitesses ne dépassaient pas 9 à 10 mètres en 1 seconde, nous ont conduit aux conclusions suivantes :
  - 1° Dans le mouvement uniforme d’un corps dans l’air, la résistance que le corps éprouve est proportionnelle à l’étendue de sa surface et à un autre facteur composé de deux termes, l’un constant et l’autre proportionnel au carré de la vitesse.
  - Comme il était d’ailleurs facile de le prévoir, le nombre des molécules d’air choquées par le déplacement du corps, augmentant dans le même rapport que sa densité, l’expression générale de la résistance doit contenir un facteur relatif à celte densité; de sorte qu’en appelant d la densité de l’air à la température et à la pression observées, et dx sa densité à iO degrés et à 76 centigrades de pression barométrique, et en conservant les notations précédentes, cette résistance est représentée par les formules suivantes :
  - Plans minces perpendiculaires au sens du mouvement r=aJ Cly | 0kil,036+0, 084V2
  - Parachntcs R = A^- ! a, i !° ,070+0, 163V"
  - Parachutes renversés R = A J 1 d, | [° ,028+0,0652V2
  - Deux plans articulés, inclinés l’un sur l’autre r=a^: d, 90 i !" ,036+0, 084V2
  - Les ailettes d’une roue ou d’un volant >=*! 1 ,0434+0,1002V1
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- - RESISTANCE DES FLUIDES.
  - 417
  - Nota. On remarquera que cette dernière formule s’accorde d’une manière très-satisfaisante avec les résultats des expériences de M. Thibault.
  - 2° Dans le mouvement accéléré il faut ajouter h l’expression précédente un terme proportionnel à l’accélération du mouvement, et la résistance est alors représentée par les formules suivantes :
  - Flans minces perpendiculaires au
  - sens du mouvement
  - R=A^jo ,070+ 0,0163V2+0,142^
  - Parachutes
  - 546. De V effort exercé par le vent sur les surfaces immobiles opposées à sa direction. — L’on ne possède encore que bien peu de résultats d’expérience sur la loi et sur l’intensité des efforts que le vent exerce sur les surfaces exposées à son action. Smeaton, dans ses recherches sur l’eau et le vent, rapporte une table qui lui avait été communiquée par M, Rouse, physicien anglais. Elle est aussi rapportée dans plusieurs ouvrages et notamment dans le Dictionnaire de la science mécanique de Jamieson. Smeaton dit qu’elle a été construite avec beaucoup de soin par M. Ronse, d’après un nombre considérable de faits et d’expériences. 11 fait remarquer que pour les vitesses supérieures à 50 milles par heure ou à 22m,35 par seconde, ces expériences ne méritent pas le même degré de confiance que pour les vitesses inférieures. Les nombres comparatifs donnés dans cette table pour les efforts paraissent avoir été calculés, en admettant que l’effort exercé est proportionnel au carré de ta vitesse du vent et serait en général représenté par la formule
  - F = 0,1163 AV2.
  - A étant la surface perpendiculaire à l’action du vent ; V la vitesse en mètres par seconde;
  - F l’effort exercé.
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  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - Efforts exercés par le vent sur une surface d'un mètre carré, placée perpendiculairement à sa direction.
  - DÉSIGNATION VULGAIRE, du vent.
  - Vent à peine sensible.............
  - Petite brise......................
  - Bonne brise ou vent frais............
  - Vent bon frais......,................1
  - Forte brise.........................j
  - Vent fort....................... !
  - Rafale..............................j
  - Tempête..............................
  - Ouragan..............................
  - Ouragan qui déracine les arbres et renverse les maisons.
  - VITESSES en mètres par seconde. EFFORTS EXERCÉS sur une surface d’un mètre carré.
  - m. kil.
  - 0,50
  - 1,00 0,140
  - 2,00 0,540
  - 3,CD 1,047
  - 4,00 2,170
  - 5,00 2,908
  - 6.00 4,870
  - 8,00 7,443
  - 10,00 13,540
  - 14,00 22,795
  - 20,00 46,520
  - 22,50 55,000
  - 27,00 79,000
  - 36,00 140,740
  - 40,00 186,080
  - 45,00 220,000
  - 547. Observation sur les vitesses du vent. — Les vitesses du vent atteignent, dépassent même quelquefois de beaucoup les valeurs que l’on vient d’indiquer, et les ascensions aérostatiques en ont fourni des preuves. On cite entre autres un voyage de Lunardi qui, dans une ascension faite à Edimbourg, où l’air était très-calme à la surface de la terre, fut à une certaine hauteur emporté par un courant d’air avec une vitesse de 70 milles à l’heure ou de 31m,00 par seconde; celui de Garnerin, de Londres à Colchester, en 1802, où lu vitesse s’éleva à 80 milles par heurt; ou 36m,00 par l"; enfin celui de Green en 1823, qui parcourut 64 mètres en i" sans accident. Ces vitesses suffiront pour montrer la difficulté que présente la direction des ballons. Nous reviendrons d’ailleurs un peu plus tard sur cette question.
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - 419
  - ô'fH. Des moyens à employer pour mesurer la vitesse de l'air. — La difficulté de mesurer avec quelque précision la vitesse de l’air, a été longtemps et est encore le principal obstacle qui s’oppose à ce que des expériences concluantes fassent connaître les lois de l’effort qu’il exerce.
  - Le moyen le plus généralement employé par les expérimentateurs consiste à abandonner à l’action du vent et à suivre dans leur mouvement de translation, en observant b dislance parcourue et le temps correspondant, des corps légers tels que des plumes, des barbes de chardon, des fumées de poudre ou d’essence de térébenthine, etc. Mais ce moyen simple présente peu de précision par suite des faibles distances pendant lesquelles on peut observer.
  - Les anémomètres, composés d’un petit moulin à ailettes légères, dont le mouvement se transmet à un compteur qui enregistre le nombre de tours, sont d’un usage plus sûr et plus commode, mais il faut au préalable en faire la tare, c’est-à-dire déterminer par l’expérience la relation qui existe entre la vitesse du vent et le nombre de tours des ailettes ; celle détermination présente une grande difficulté.
  - On opère presque toujours cette tare en plaçant l’instrument sur le bras horizontal d’une sorte de manège à axe vertical que l’on fait tourner d’un mouvement aussi uniforme que possible ; on observe ainsi simultanément le nombre des tours des ailettes et la vitesse du mouvement de transport de l’instrument, et l’on suppose ensuite que l’effet produit par ce mouvement de l’appareil dans l’air est le même que celui qui serait dû à l’action d’un vent animé de la vitesse de transport de l’anémomètre, sur les ailettes de l’instrument en repos. J’indiquerai tout à l’heure un autre procédé que j’ai mis en usage avec succès pour de grandes vitesses, mais je donnerai d’abord la description d’un anémomètre fort léger que M. Combes, inspecteur général des mines, a fait construire pour mesurer les petites vitesses de l’air, principalement dans l’aérage des exploitations minérales.
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- - Î20 RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - 549. Anémomètre de M. Combes. — Nous emprunterons à ce savant ingénieur la description qu’il a donnée dans les Annales des mines, troisième série, de l’instrument qu’il a employé pour les expériences dont il vient d’être question.
  - « Cet instrument est analogue au moulinet de Woltmann, dont on se sert pour jauger les courants liquides, dont la section est considérable. Il se compose d’un axe très-délié, terminé par deux pivots très-fins, tournant dans des chapes d’agate, et sur lequel sont montées quatre ailettes
  - planes, également inclinées par rapport au plan perpendiculaire à l’axe. Au milieu de l’axe A (flg. 99) est taillée une vis sans fin, laquelle conduit une petite roue R de cent dents ; en sorte que celle-ci avance d’une dent pour chaque révolution de l’axe qui porte les ailes. L’axe de cette première roue porte une petite came, qui peut agir sur les dents d’une deuxième roue R'. Celle-ci est maintenue par un valet ou ressort en acier très-flexible qui est attaché à la plaque horizontale sur laquelle est monté l’instrument. A chaque révolution complète de la première roue de cent dents menée par la vis sans fin, la came fait sauter une dent de la seconde roue qui porte cinquante dents : les deux roues sont numérotées de 10 en 10 dents. La première depuis 1 jusqu’à 10, et la seconde de 1 à 5. Des aiguilles indicatrices, fixées aux montants légers qui portent l’arbre des ailes servent à marquer les nombres de dents dont chaque roue a avancé, et partant, à indiquer le nombre de révolutions de l’axe des ailes. Au moyen d’une détente et de deux cordons
  - ^ ï
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES. 1---^ 421
  - qui servent à la mouvoir, on peut, à distance, arrêter le mouvement de rotation des ailes, ou leur permettre de tourner, sous l’impulsion du courant d’air qui les frappe. »
  - La manière de se servir de l’instrument est facile à concevoir d’après cette description. On ramène les limbes au zéro, on met l’instrument dans l’axe du conduit d’air, en maintenant les limbes immobiles, au moyen d’un arrêt qu’on lâche au moment où l’on veut commencer l’observation , et sur lequel on agit ensuite en sens contraire pour la terminer.
  - Il convient de prolonger l’observation le plus longtemps possible, et au moins deux à trois minutes, si cela se peut. La division des limbes ne permettant pas de compter plus de 5000 tours, cela ne correspondrait, pour une vitesse de l’air de 3 mètres en l", qu’à une durée de 2',80 environ.
  - La tare de ces instruments varie assez notablement de l’un à l’autre, quoique leurs dimensions paraissent identiques en tous points. Elle doit donc être faite pour chacun d’eux en particulier et même répétée autant que possible toutes les fois qu’on veut s’en servir après une interruption.
  - Ainsi l’anémomètre n° 3, dont M. Combes rapporte la tare. a donné
  - v = O"1,2578 + 0,0916 n.
  - v étant la vitesse de l’air en secondes,
  - et n le nombre de tours des ailettes en 1".
  - Un autre anémomètre de même modèle a fourni la relation
  - v =0,150 -|- 0,100».
  - 5dO. Observation sur l’usage de cet instrument. — Ce petit instrument est commode pour la mesure des faibles vitesses, puisque l’on voit qu’il est sensible à partir de celles de 0m,15 à 0m,25 par seconde. Dans ce cas il marche assez longtemps pour donner des indications suffisamment exactes pour la pratique, à la condition cependant que le courant sera continu et passablement régulier, ainsi que cela arrive
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  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - pour les mines dont l’aérage est produit par des causes permanentes et peu variables d’un instant à l’autre.
  - Mais lorsque des circonstances accidentelles peuvent, pendant la durée d’une expérience, faire varier beaucoup la vitesse du courant d’air, ainsi que cela arrive dans la ventilation deslieux de réunions nombreuses, dansleshôpitaux,etc., par l’ouverture et la fermeture des portes, qui produisent des intermittences très-grandes, il est nécessaire d’avoir un instrument qui marche beaucoup plus longtemps, afin d’obtenir des résultats moyens plus certains.
  - D’une autre part, si l’on veut opérer sur le vent proprement dit dont l’intensité varie parfois très-brusquement dans des limites fort étendues, il est en outre nécessaire d’avoir un anémomètre plus solide.
  - 551. Nouvel anémomètre. — C’est par ces motifs que j’ai cherché à faire établir un autre anémomètre basé sur le même principe, mais susceptible de résister à des vents d’une grande intensité et de fonctionner assez longtemps pour fournir des résultats moyens assurés. J’ai, déplus, voulu que les indications de l’appareil, dont la disposition générale est représentée figure 100, fussent à l’abri des er-
  - Fig. 100.
  - reurs que causent l’embrayage et l’arrêt brusque du compteur, et je l’ai fait disposer de façon que l’instrument étant mis en place et son mouvement étant établi régulièrement, l’observateur pût, à l’aide d’un petit système de pointage, marquant des points d’encre grasse sur des cadrans en
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
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  - émail, déterminer l’instant où il commence à compter le temps et celui où il finit.
  - La confection de cet anémomètre, confiée à M. Bianchi fils, a reçu en outre de cet habile artiste des perfectionnements qui en rendent la manœuvre simple et facile.
  - Le volant à ailettes est fixé sur un arbre en acier très-délié porté à ses deux extrémités sur deux supports et vers le milieu sur un troisième support intermédiaire. Les trous sont garnis de pierres dures. Une vis sans fin, à un seul filet, ménagée sur l’axe du volant, conduit une première roue de 100 dents, dont Taxe porte une aiguille double à godet, placée devant un cadran émaillé divisé en 100 parties , et sur lequel on peut compter les tours faits par le volant jusqu’à 100. Sur l’axe de la même roue est une autre vis sans fin qui conduit une seconde roue de 100 dents, dont l’axe porte aussi une aiguille double à godets, qui est placée devant un second cadran divisé en 100 parties, et sur lequel celte seconde aiguille peut marquer les tours de la première roue, ou les centaines de tours du volant à ailettes jusqu’à 10 000. Enfin, sur l’axe de cette seconde roue est fixé un argot qui, à chaque tour de cet axe, fait passer une dent d’une roue à minutes de 50 dents, ce qui permet de compter jusqu’à 500000 tours.
  - D’après la tare expérimentale que l’on verra plus loin, on reconnaîtra facilement que ce dispositif permet de compter pendant 10 minutes le nombre de tours correspondant à une vitesse de 40 mètres en 1", et par conséquent pendant un temps beaucoup plus long ceux qui correspondent à des vitesses moindres.
  - L’appareil du pointage , ingénieusement disposé par M. Bianchi, agit simultanément sur les deux aiguilles doubles, quand on pousse ou que l’on tire un bouton qui est r placé à l'extrémité d’une tige de 0m,60 de longueur, qui porte l’appareil; ce qui permet à l’observateur de s’isoler complètement du courant d’air : celte transmission de mouvement se fait avec une égale facilité, quelle que soit la
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  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - direction que l’on ail donnée à la boite qui porte le volant à ailettes et son compteur, laquelle peut tourner dans différentes directions, selon celle où l’on veut observer.
  - Des ailettes de rechange et de diamètres variés peuvent être substituées les unes aux autres selon que l’on veut rendre l’instrument plus ou moins sensible à de faibles vitesses de l’air.
  - 552. Tare de ces instruments. — La relation entre les nombres de tours du volant et la vitesse de l’air a d’abord été déterminée parla méthode ordinaire, mais en plaçant l’anémomètre à l’extrémité du bras horizontal, de 4 mètres de longueur, d’un petit manège établi dans la grande église de l’abbaye Saint-Martin; un renvoi de mouvement fort simple permettait à un observateur placé près de l’arbre vertical de ce manège de faire jouer l’appareil de pointage, quand le mouvement de rotation était devenu régulier.
  - L’on a ainsi observé avec deux volants à ailettes différents, les nombres de tours et les vitesses de transport de plusieurs anémomètres ; on les a représentés graphiquement en prenant les nombres de tours pour ordonnées, et les vitesses de transport pour abcisses, et l’on a reconnu que tons les points ainsi déterminés se trouvaient très-sensiblement sur une même ligne droite, qui venait couper la ligne des abcisses en avant de l’origine, ce qui montrait que la relation entre les vitesses et les nombres de tours était de la forme
  - v=a-\- bny
  - a représentant la vitesse de transport de l’instrument ou la vitesse de l’air, au delà de laquelle seulement les résistances passives de l’instrument commencent à être vaincues.
  - Ces premières expériences ont donné pour les deux volants de l’anémomètre les résultats suivants.
  - Les expériences au nombre de 50, faites sur le 1er, <ïui avait les plus petites ailettes, à des vitesses de transport
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES. 42 j
  - comprises entre ln,,60 et 9m,50, ont donné des résu]lais représentés par la formule
  - v — 0ra,60 -j- 0,055 n.
  - Une autre série de 40 expériences faites sur le même anémomètre, avec des ailettes plus grandes, et par conséquent plus sensibles, a fourni des résultats représentés par la formule
  - v=Oa\45 -j- 0,05875 n.
  - 555. Observation sur le mode de tare de Vinstrument.— Ce qui précède suppose, comme on l’a déjà fait remarquer, que l’action de l’air en repos sur un corps en mouvement, est la même à vitesses égales que celle de l’air en mouvement sur un corps en repos. Sans prétendre actuellement, contester ni admettre la différence que Dubuat a cru pouvoir déduire de ses expériences entre ces deux modes d’action, je me bornerai à dire que, dans le cas actuel, cette différence, si elle existe, devait être assez faible pour qu’il fût permis de la négliger. Il n’y avait pas, que je sache, de moyen connu de procéder autrement, et les expériences suivantes confirmeront, je pense, l’exactitude des formules précédentes*.
  - 554. Extension de la tare à de grandes vitesses. —La vitesse de transport imprimée à l’anémomètre, ne pouvant dépasser celle de I0m,00 environ en 1", j’ai employé, pour étendre la tare de l’instrument à de grandes vitesses, le moyen suivant : un petit ventilateur de 0m,30 de diamètre à ailes planes, dirigées dans le sens du rayon, a été muni
  - * Il n’est pas inutile de dire que les moulinets 'a ailettes du même genre employés au jaugeage des eaux, ont donné des résultats analogues aux précédents et qu’en particulier les expériences de feu M. Lapoinle sur son tube jaugeur ont montré que la relation V = a + bN subsistait même quand les vitesses étaient variables.
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  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - d’un tuyau cylindrique par lequel il chassait l’air, et dont la section transversale, ainsi que celle du conduit de raccordement avec l’enveloppe, était égale à la surface des palettes. Celte disposition avait pour but de ne pas produire d’altération sensible dans la vitesse de l’air pendant son trajet.
  - Le ventilateur était inû par une petite machine à vapeur, et au moyen de poulies de différents diamètres, on a pu faire varier sa vitesse depuis 127 jusqu’à 2220 tours en 1'.
  - En commençant d’abord à le faire marcher à des vitesses assez faibles, on a pu se servir, pour mesurer la vitesse de l’air dans le tuyau, de la tare faite avec l’appareil de rotation à axe vertical, et déduire du nombre de tours de l’anémomètre, la vitesse de l’air dans le tuyau, jusqu’à la limite de 10 à 12 mètres en 1".
  - En comparant ensuite ces vitesses moyennes de sortie de l’air avec celles des palettes du ventilateur, on a reconnu qu’elles étaient dans un rapport constant, de sorte que la vitesse du ventilateur étant v', et celle de l’air v, on avait le rapport
  - - = K ou v — Kv' v
  - et par suite
  - K v' — a b.n ou v' == ~ -f- ^ n,
  - ce qui montrait qu’entre ces limites, la vitesse des ailettes du ventilateur était proportionnelle à celle des ailettes de l’anémomètre.
  - Ceci étant reconnu, l’on a fait marcher le ventilateur de plus en plus rapidement, et l’on a noté les nombres de tours n, faits par l’anémomètre en 1", puis admettant que le rapport K entre les vitesses de l’air et celle du centre des ailes du ventilateur, restât le même aux grandes vitesses qu’aux petites, on en a déduit les vitesses moyennes de l’air, qui venait choquer les ailettes.
  - En reportant ensuite ces nombres de tours comme or-
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - 427
  - données, et les vitesses, comme abcisses, sur la même figure qui avait été construite pour les expériences précédentes, on a encore trouvé que les points ainsi déterminés étaient sur le prolongement de la même ligne droite qui avait donné la relation
  - v = a -J- b .n.
  - Cette coïncidence des résultats des deux séries d’expériences montre la permanence simultanée des deux relations
  - v = a -\- b .n et v = K?/,
  - jusqu’aux plus grandes vitesses.
  - En effet, puisqu’en prenant pour v les valeurs de Kü', on a reconnu aux grandes vitesses l’exactitude de la relation
  - K v' = a + b.n,
  - ainsi que le montre le tracé, il s’ensuit que les rapports
  - j^et^ sont constants, ce qui ne peut arriver qu’autant que K K
  - a, b et K sont aussi constants.
  - ci b
  - En faisant j7 — c et = = <?', c et c étant deux nombres K K
  - constants, on en déduit
  - , , b c ou - = ?
  - ce qui implique nécessairement la constance du nombre 6, puisque le coefficient a est indépendant de la vitesse ou du nombre de tours.
  - Il résulte de ces expériences :
  - 1° Que les observations faites avec le ventilateur ont étendu la tare de l’anémomètre à petites ailettes, jusqu’à des vitesses de 40m environ, ce qui dépasse les besoins habituels des expériences ;
  - 2° Qu’il existe un rapport constant entre la vitesse de rotation des ventilateurs et celle de l’air qu’ils chassent ou qu’ils aspirent dans un tuyau. Ce rapport dépend d’ailleurs, non-seulement des dimensions des tuyaux, mais encore de
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- - 423 RESISTANCE DES FLUIDES.
  - celles (les ouvertures centrales d’admission dans le ventilateur ;
  - 3° Qu’à l’avenir, et quand ce rapport de la vitesse de l’air expulsé par un ventilateur donné au nombre de tours de ses ailes, sera connu, l’on pourra très-facilement tarer les anémomètres de différents genres, soit ceux qui donnent la vitesse d’après le nombre de tours de leurs ailettes, soit les anémomètres à pression; ce qui sera beaucoup plus commode que le premier moyen que nous avons employé, et permettra d’étendre la lare à de grandes vitesses.
  - 5o5. Expériences de M. Thibault sur l’effort exercé par le vent sur les surfaces immobiles exposées à son action, perpendiculairement à sa direction. —L’on doit aussi à M. Thibault quelques expériences qu’il avait entreprises comme introduction à des recherches sur l’action que le vent exerce sur la voilure, et dans lesquelles il avait employé des moyens ingénieux pour mesurer l’effort exercé par le vent sur des surfaces d’une étendue donnée ; il s’est servi d’un anémomètre muni d’un dynamomètre, et il déterminait la vitesse du vent en abandonnant à l’air des plumes légères ou des aigrettes de chardon crépu, et en observant le temps qu’elles employaient à parcourir un espace déterminé. Ce moyen est peu exact et peut occasionner quelques erreurs de nature à influer sur les résultats finaux de l’expérience.
  - En admettant, conformément aux expériences de Metz, dont il a été rendu compte aux n08 350 à 539, que la résistance soit exprimée par la formule
  - R^K'iA-f-KtAV2,
  - dans laquelle KT=0kil,036 sera le coefficient du terme constant, on trouve que les expériences de M. Thibault conduisent aux résultats suivants, qui donnent pour la moyenne générale des valeurs du coefficient Ki
  - K, =0,11878,
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- - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
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  - Expériences de M. Thibault sur l’action du vent contre des surfaces planes perpendiculaires à sa direction.
  - SURFACE, A. HAUTEUR du baromètre. TEMPÉRATURE. VITESSE DU VENT. RÉSISTANCE TOTALE. | RÉSISTANCE CONSTANTE, g K'i A. RÉSISTANCE proportionnelle à V5. RÉSISTANCE pour i"',oo de vitesse. K, A. RÉSISTANCE pour de surface | et im,oo de vitesse. 1 K,.
  - m. m. kil. kil. kil.
  - 0,766 19° 4,177 0,2225 0,2186 0,01240 0,11494
  - 0,751 18 4,854 0,2496 0,2457 0,01043 0,09656
  - 0,1080 0,746 15 4,955 0,2577 0,00390 0,2537 0,01033 0,09568
  - 0,741 15 5,600 0,4489 0,4450 0,01419 0,13149
  - 0,752 14,5 8,219 0,9208 0,9159 0,01357 0,12568
  - Moyenne 0,11287
  - 0,2034 0,747 14 ,5 4,253 0,4481 0,4402 0,02434 0,11965
  - 0,736 9,4 1,829 0,0930 U)UUt 0,0951 0,02842 0,13973
  - Moyenne.... 0,12469
  - 11 résulte Je cette valeur moyenne que Faction du vent sur des surfaces planes, perpendiculaires à sa direction, serait exprimée par la formule
  - R — A (0,036 + 0,11878V2|,
  - si l’on ne tient pas compte de la variation de densité correspondant à la pression barométrique et à la température, ce qui, pour les applications usuelles, est assez peu important, et serait d’ailleurs facile à faire.
  - 55fî. Accord de ces résultats avec ceux du professeur Rouse, cités par Smeaton. — On remarquera qu’à l’exception du terme constant 0,036A, qui, pour les vitesses moyennes du vent, a une assez faible influence, la formule précédente donne à la résistance, à peu près la même valeur que celle du n° 54G, qui représente les expériences du physicien
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  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - anglais Rouse, lequel parait avoir opéré à des vitesses bien supérieures à celles qu’a observées M. Thibault.
  - Il résulte de cet accord que l’une et l’autre formules peuvent être employées avec confiance pour les grandes vitesses.
  - 557. Observation —Les expériences de Metz ayant donné pour le coefficient Ki la valeur 1^=0,084, dans le cas où le corps se meut dans l’air au repos, il s’ensuivrait, conformément aux idées de Dubuat, que l’effort exercé par l’air en mouvement sur un corps au repos, serait à la résistance éprouvée par le même corps en mouvement dans l’air, à vitesses égales, à peu près dans le rapport de
  - 0,1188 à 0,084 ou de 1,41 à 1.
  - 558. Influence de la courbure des surfaces. — M. Thibault a fait la comparaison des efforts exercés par le vent sur une surface plane et sur une surface de toile à double courbure de 0m,1089 de surface totale et pouvant, dans ce dernier cas, prendre une courbure dont les derniers éléments faisaient avec la direction du vent un angle de 50 à 55 degrés. Il a trouvé que, le même jour et sous l’action du même vent, l’effort exercé sur la surface plane était à l’effort exercé sur la surface courbe dans le rapport de 0,1079 à 0,1135 ou de 0,951 à 1, ce qui montre qu’ils diffèrent assez peu.
  - 559. Influence de l'inclinaison des surfaces par rapport au vent. — En présentant successivement à l’action du vent des surfaces perpendiculaires ou obliques à sa direction, l’auteur a constaté que l’effort exercé sur une surface donnée n’était influencé par leur inclinaison que quand celle-ci atteignait les angles de 45 à 50° sur la direction du vent. On se rappelle qu’un résultat analogue a été obtenu dans le cas des surfaces en mouvement dans l’air au repos.
  - Les autres expériences de M. Thibault étaient relatives à la comparaison des vitesses du vent et d’un vaisseau sous
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  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - voiles, et n’étaient que le prélude de celles qu’il se proposait d’entreprendre sur ce sujet important, lorsqu’un accident funeste vint enlever à la marine ce jeune et savant officier.
  - 560. Difficultés que présente la direction des ballons— Les fréquentes ascensions aérostaliques qui se font depuis quelques années ont provoqué un grand nombre de tentatives pour parvenir à diriger dans l’air calme, et même contre le vent, les ballons de diverses formes, et il ne sera peut-être pas inutile de dire quelques mots qui fassent sentir les difficultés de ce problème et même l’impossibilité d’une solution avec les moyens mécaniques dont nous disposons actuellement.
  - Nous ferons d’abord remarquer que l’observation prouve que le calme de l’air à la surface de la terre n’est nullement une garantie que le même repos existe dans des couches supérieures à de faibles hauteurs, et que par conséquent un appareil suffisant pour le calme pourrait fort bien ne pas l’être à toutes hauteurs.
  - Le général Meusnier, de l’arme du génie, qui s’est beaucoup occupé de la question des ballons, a laissé sur lus aérostats un mémoire, dont on trouve une analyse succincte dans le n° 1 (2e année) du journal le Conservatoire. On voit dans ce mémoire que ce savant officier avait déjà signalé la difficulté du problème en ces ternies :
  - « On a examiné quel pouvait être l’effet de beaucoup de machines proposées pour la direction des aérostats : ces machines devront être mues par des hommes dont le poids est considérable relativement à leur force ; il s’ensuit qu’elles auront peu d’effet pour vaincre les résistances que l’air présente aux ballons, en raison de leur grande surface. Le calcul appliqué à des moyens de direction, de quelque espèce qu’ils puissent être, annonce en général qu’ils ne peuvent guère procurer aux ballons qu'une vitesse de plus d'une lieue à l’heure (l“,ll en 1"), indépendamment des vents. »
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  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - M. le colonel Didion, dans une note lue au congrès scientifique de Metz en 1838, a montré par des calculs fort simples que, dans les hypothèses les plus favorables sur les poids des hommes transportés, des ballons et des agrès, la vitesse imprimée dans l’air calme à un ballon ne dépasserait effectivement pas celle limite. Nous indiquerons succinctement la marche qu’il a suivie.
  - Un mètre cube d’air à la température de zéro et à la pression de 0m,76 de mercure pèse lkil,3G0, tandis que le même volume de gaz hy drogène impur et humide, tel qu’on le fabrique pour l’usage en grand, pèse 0kil,100. La différence 1+200 est le poids que pourrait soutenir dans l’air un mètre cube de ce gaz. Mais comme l’air et le gaz sont soumis dans les régions élevées à une pression moindre, ils sont alors dilatés, le volume que le même poids de gaz occuperait sera plus considérable, et il devra en être de même (le celui du ballon.
  - Si l’on admet que, pour passer au-dessus des montagnes ordinaires, on doive s’élever à 800 mètres au-dessus de la mer, et qu’alors la pression ne soit plus que 0,9 de celle qui a lieu à la surface de la terre, et si de plus la température est de 10°, il en résultera que le poids de 0kil,l00 d’hydrogène, au lieu d’occuper 1 mètre cube, aura un volume de ln,'c-,15, et 1 mètre cube de ce gaz ne pèsera plus que 0kil,087. D’une autre part, le mètre cube d’air, dont la pression n’est plus que 0,9 et la température t = 10°, pèsera
  - lk,300X0,9
  - I +0,0366
  - 1+127.
  - Par conséquent 1 mètre cube du gaz du ballon ne pourra plus faire équilibre qu’à un poids de
  - 1+127—0kil,087 = 1+04.
  - Si l’on admet que le poids d’un homme ne soit que de 65 kilogrammes, et celui de sa nacelle de 5 kilogrammes, sans aucun approvisionnement, le poids total à enlever pour
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  - un homme seul serait de 70 kilogrammes, et il faudrait que
  - 70
  - le ballon eût un volume de ——- = 66m’c,,2 par homme à en-
  - lever, ce qui correspond à une sphère de 5n,,04 pour un seul homme. En tenant compte du poids de l’enveloppe qui ne peut guère peser moins de 0kil,250 le mètre carré, on trouverait même que le diamètre doit être de 5nl,59.
  - En calculant d’après cette hase les diamètres minima qu’il faudrait donner à des ballons destinés à porter différents nombres d’hommes, M. Didion trouve ainsi :
  - Nombres d’hommes... 1 234567 8 9 10
  - Poids à enlever ...... 70kit 140 210 280 350 420 490 560 630 700
  - Diamètres des ballons 5m,59 6,88 7,74 8,50 9,14 9,71 10,15 10,60 11,01 11,30
  - D’après les expériences connues, la résistance de l’air au mouvement des corps sphériques, pour des vitesses comprises en 1 et 10mètres,est approximativement représentée parla formule
  - R=0,0375r|^XV!.
  - S’il s’agit par, exemple, d’un ballon destiné à un seul homme, on a
  - D = 5m,59 et
  - D2
  - 1,273
  - 5,592
  - 1,273
  - 24m<e,25,
  - R=0,909V2,
  - ce qui donne les résistances et les quantités de travail suivantes pour différentes vitesses :
  - Vitesses en mètres par seconde 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00
  - Résistances en kilogrammes... 0,709 3,636 8,181 14,544 22,725
  - Travail consommé en l seconde 0km,909 7km,272 24km,543 58km,l76 li3km,625
  - Or un homme, dans un travail journalier de 8 heures, ne peut, dans les circonstances les plus favorables et avec les mécanismes les mieux appropriés à sa constitution, développer un travail de plus de 6 à 8 kilogrammètres en 1".
  - 28
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- - 434
  - RÉSISTANCE DES FLUIDES.
  - L’on voit donc qu’en admettant même qu’il n’y eût, par les résistances passives des appareils de transmission du mouvement au ballon, aucune perte de travail, ce qui ne saurait être, c’est tout au plus si un homme pourrait imprimer à son ballon, dans un air au repos, une vitesse de 2 mètres par seconde ou de 7km,2 h l’heure.
  - Quant aux autres moteurs, tels que la machine à vapeur, leur poids propre, celui du combustible, de l’eau qu’il faudrait emporter, conduiraient aussi à donner au ballon des dimensions telles que le travail de la résistance de l’air à de faibles vitesses serait de beaucoup supérieur à celui que l’appareil moteur pourrait développer.
  - En résumé, dans l’état actuel de nos connaissances et des progrès des arts .mécaniques, la solution de la question de la navigation aérienne est renfermée dans une sorte de cercle vicieux dont elle ne pourra sortir que par la découverte d’un nouveau moteur à la fois léger et puissant, par rapport à la quantité de travail qu’il développerait.
  - FIN.
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- - TABLE DES MATIÈRES
  - Notions préliminaires.
  - De l’étendue.............................................
  - Démonstration de la formule de Simpson...................
  - Divisibilité des quantités en éléments infiniment petits,
  - Pages.
  - 1
  - 2
  - 6
  - Des forces et £e la mesure de leur travail.
  - inertie de la matière.............................- ................ 8
  - 1 Définition des forces................................................ .lb,
  - Mode d’action des forces.............................................. 10
  - Mesure des forces.................................................... 11
  - Dénominations diverses des forces..................................... 12
  - Constitution des corps............................................... Ib.
  - Principe de l’action égale et contraire à la réaction............... 13
  - Point d’application des forces...................................... Ib.
  - Effet et travail des forces........................................... 15
  - Mesure du travail d’une force constante, quand le chemin parcouru
  - par son point d’application est dans sa direction propre.......... lb.
  - ' Représentation de ce travail par la surface d’un rectangle............ 16
  - Mesure du travail d’une force variable............................... lb.
  - ] Effort moyen d’une force variable.................................... 19
  - Observations sur le mode de calcul suivi par les praticiens anglais.. 20
  - Cas où l’on peut prendre la moyenne arithmétique d’un certain
  - nombre de valeurs variables pour celle de l’effort moyen.......... 21
  - ; Applications...................................................... -15.
  - Ea notion du travail est indépendante du temps........................ 22
  - Dénominations diverses du travail mécanique........................... 23
  - Unité de travail mécanique........................................... Ib.
  - Observations sur les conditions du travail mécanique.................. 24
  - Transport horizontal des fardeaux 25
  - Cas où la force n’agit pas dans la direction même du chemin parcouru............................................................ 26
  - Travail de la pesanteur sur un corps qui parcourt une courbe quelconque........................................................... 27
  - Manivelle et sa bielle................................................ 28
  - Observation relative au sens de l’effort par rapport a celui du chemin
  - parcouru........................................................... Ib-
  - Ressorts............................................................ 29
  - Dilatation et contraction.......................................... lb.
  - 52657
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- - 436
  - TABLE DES MATIÈRES.
  - Des dynamomètres ou description et construction des instruments propres à mesurer le travail développé ou consommé dans les actions mécaniques.
  - Pages.
  - Conditions générales et particulières auxquelles ces instruments
  - doivent satisfaire...................................... ..... 34
  - Règles pour proportionner les lames de ressort.................... 35
  - Rapport qu’il convient d’établir entre les diverses proportions... 37
  - Profil longitudinal des lames..................................... R.
  - Disposition des lames de ressorts...................... .......... R.
  - Disposition pour obtenir une trace permanente des flexions du
  - ressort........................................................... 38
  - Manière de faire mouvoir le papier qui reçoit la trace du style... 39
  - Observation sur la quadrature des courbes tracées................. 40
  - Moyens d’opérer cette quadrature................................... R-
  - Usage du planimètre................................................ 41
  - Dynamomètre pour totaliser la quantité d’action développée pendant un intervalle de temps ou de chemin*considérable.............. 44
  - Disposition pour obtenir des indications du nombre de tours faits
  - par la roulette............................................... 47
  - Dynamomètre à moteur chronométrique............................... 15-
  - Dynamomètre de rotation............................................ 48
  - Description du dynamomètre de rotation à styles...................
  - Transmission du mouvement de l’arbre à la bande de papier......... 50
  - Résultats d’expériences faites avec le dynamomètre de rotaliou... R•
  - Dynamomètre de rotation à compteur................................. 52
  - Indicateurs de la pression de la vapeur dans les cylindres des machines............................................................ H*'
  - Nouvel indicateur à style......................................... 54
  - De la transmission du mouvement par les forces.
  - Observation générale relative aux lois du mouvement............... 56
  - Conséquence relative aux causes qui produisent l’accélération ou le
  - retard.......................................................... 57
  - Mouvement vertical des graves ou corps pesants....................
  - Chute successive des corps pesants................................. 59
  - Principe de la proportionnalité des forces aux vitesses...........
  - Mesure des forces motrices et d’inertie........................... 50
  - Cas où la force est constante...................................... 62
  - Relation des forces aux accélérations.............................
  - De la quantité du mouvement... 53
  - Forces égales agissant pendant des temps égaux..................... 54
  - Vérification des considérations précédentes par des expériences
  - directes........................................................ 57
  - Choc de deux corps élastiques...................................... 71
  - Quantité de mouvement communiquée par une force constante.... 78
  - Observation des lois du mouvement.
  - Détermination de l’intensité des forces par l’observation de la loi des mouvements qu’elles produisent........ ........................... 78
  - 47266
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- - TABLE DES MATIÈRES.
  - 437
  - Pages.
  - Moyens employés pour déterminer les lois du mouvement des corps. 78
  - Appareil du colonel Beaufoy...................................... 79
  - Appareil d’Eytelwein........................................... Ib.
  - Nouveaux appareils............................................ Ib.
  - Plateaux en zinc................................................. 85
  - Appareil à relever les courbes.................................. Ib.
  - Description de l’appareil chronométrique à cylindre et à style pour
  - observer les lois du mouvement... ............................ 86
  - Discussion du résultat fourni par l’appareil................. 88
  - Détermination de la vitesse..................................... 89
  - Démonstration expérimentale du principe de la proportionnalité des forces aux vitesses........................................... 91
  - Principe des forces vives.
  - Mesure du travail mécanique développé par les forces motrices ou
  - d’inertie dans le mouvement varié.............................. 94
  - Force vive....................................................... 95
  - Effets des gaz de la poudre dans les armes et dans les bouches à feu. 96
  - Relation entre les charges et les vitesses...................... 99
  - Comparaison des forces vives communiquées par diverses poudres.. 102
  - Utilité de la considération des efforts moyens.................. 103
  - Comparaison des effets de la poudre et de ceux du pyroxile dans
  - les armes..................................................... Ib.
  - Consommation et restitution de travail par l’inertie............ 109
  - Moulons à enfoncer les pilots, à découper, etc.................. Ib.
  - Dans les chocs il y a toujours perte de travail................. 110
  - Travail dépensé pendant la période de compression du choc de deux
  - corps non élastiques.......................................... Ib.
  - Du travail dû à la compression et au retour à la forme primitive
  - dans le cas des corps élastiques............................ 112
  - Du travail perdu dans le choc des corps imparfaitement élastiques.. 113
  - Les masses en mouvement peuvent être regardées comme des réservoirs de travail............................................... Ib.
  - Cas du mouvement périodique..................................... 114
  - Composition des mouvements, des vitesses et des forces.
  - Composition et décomposition des mouvements simultanés......... 115
  - Cas où les mouvements simultanés sont dirigés dans le même sens. 116 Composition de plusieurs vitesses simultanées dirigées selon la même
  - ligue.......................... .............................. 117
  - Composition de deux mouvements dirigés d’une manière quelconque. 118
  - Mouvement varié............................................... 120
  - Cas où les directions des composantes sont à angle droit........ 121
  - Composition d’un nombre quelconque de mouvements ou de vitesses simullaués dans un même plan.......................... Ib.
  - Résultante de trois mouvements ou de trois vitesses simultanés
  - dans l’espace................................................. 123
  - Un mouvement ou une vitesse quelconque peut être décomposé
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- - 438
  - TABLE DES MATIÈRES.
  - Pages.
  - en trois mouvements ou en trois vitesses suivant trois directions
  - données......................................................... 124
  - Résultante d’un nombre quelconque de mouvements ou de vitesses
  - simultanés...................................................... Ib.
  - Cas où la résultante est nulle..................................... 126
  - Théorème des moments de Varignon................................... Ib.
  - Extension de ces théorèmes aux corps ou systèmes matériels animés
  - d’un mouvement commun de translation.......................... 128
  - Indépendance de l’action simultanée de plusieurs forces sur un
  - môme point...................................................... Ib.
  - Cas où les forces agissent dans la môme direction................ 129
  - Cas où les forces qui sollicitent le corps n’ont pas la même direction. 130 Quantité de travail d’une force dont le point d’application ne se
  - meut point dans sa direction propre............................. 131
  - Application du théorème de Varignon aux forces................... 132
  - Le travail de la résultante d’un nombre quelconque de forces est égal à la somme ou à la différence des quantités de travail
  - qu’elles développent............................................ 133
  - Forces agissant dans des directions quelconques.................... Ib.
  - Cas où le point matériel tend à tourner autour d’un point ou d’un
  - axe fixe........................................................ 135
  - Condition du mouvement uniforme ou de l’équilibre. Cas où toutes
  - les forces sont contenues dans le même plan...................;.. Ib.
  - Cas où les forces agissent d’une manière quelconque dans l’espace.. 137
  - Forces parallèles.................................................. 138
  - Conséquences relatives à la composition des forces parallèles.... 139
  - Point d’application de la résultante des forces parallèles....... Ib.
  - Toute force donnée peut être décomposée en deux autres forces
  - parallèles, agissant en des points donnés..................... 141
  - Extension des théorèmes précédents à un nombre quelconque de forces parallèles comprises ou non comprises dans un même plan. 143
  - Travail de la résultante de plusieurs forces parallèles............ 144
  - Centre des forces parallèles...................... .............. Ib-
  - Emploi des moments pour déterminer la position de la résultante. 145 Cas où toutes les forces parallèles sont égales et dirigées dans le
  - même sens....................................................... Ib-
  - Condition du mouvement uniforme ou de l’équilibre......... Ib•
  - De la balance...................................................... 148
  - Vérification des balances......................... .............. 150
  - Méthode des doubles pesées......................................... 151
  - Balance romaine.................................................... Ib-
  - Peson.............................................................. 154
  - Balance-bascule de Quintenz....................... .............. 155
  - Théorie du levier................................................. 158
  - Du centre de gravité et de Véquilibre des tensions dans "Tes systèmes articulés.
  - Application des théorèmes précédents à la pesanteur............ lct
  - Détermination du centre de gravité...............................
- p.438 - vue 449/470
- - TABLE DES MATIÈRES. 430
  - U
  - Pages.
  - Méthode géométrique................................................ 162
  - Triangle........................................................... Ib.
  - Quadrilatère quelconque............................................ 163
  - Polygone......................................................... Ib.
  - Pyramide triangulaire............................................ Ib.
  - Centre de gravité d’un corps terminé par des formes quelconques.. 164
  - De la stabilité de l’équilibre..................................... 165
  - Application des considérations générales sur la composition et la décomposition des forces............................................. 166
  - De l’équilibre des cordes.......................................... 167
  - Equilibre entre les efforts transmis par des cordes ou des tiges qui
  - concourent en un même point..................................... 168
  - Poulie mobile.................................................... Ib.
  - Cas d’un pilier.................................................... Ib.
  - Du polygone funiculaire...................................... ... 169
  - Cas où les forces qui sollicitent le polygone funiculaire sont des
  - poids........................................................... 170
  - Détermination des tensions par construction graphique............. 1.71
  - Des ponts suspendus............................................... 172
  - Application........................................................ 176
  - Composition générale et équilibre des forces appliquées d un corps solide.
  - Des forces appliquées aux corps solides............................ 178
  - Mouvement de transport d’un corps ou d’un système de corps parallèlement à lui-même............................................. Ib.
  - Cas du mouvement varié............................................. 179
  - Quantité de mouvement et force vive d’un corps..................... 180
  - Travail de la pesanteur dans les systèmes articulés ou composés. 181 Un système de forces quelconques, agissant sur un corps solide, peut toujours se réduire à deux forces équivalentes, appliquées à deux
  - de ses points et dont l’un serait choisi à volonté.............. 182
  - Condition de l’uniformité du mouvement ou de l’équilibre........... 183
  - Du mouvement de rotation.
  - Travail et équilibre des forces dans le mouvement de rotation autour d’un axe fixe................................................. 185
  - Conditions générales de l’uniformité du mouvement ou de l’équilibre d’un corps solide, libre dans l’espace , soumis à des forces
  - quelconques................................................... 187
  - De la force centrifuge.... ........................................ 188
  - Mesure de la force centrifuge...................................... 189
  - Travail développé par la force centrifuge.......................... 191
  - Action de la force centrifuge sur les voilures..................... 193
  - Action de laOorce centrifuge dans les volants...................... 194
  - Application au mouvement de l’eau contenue dans un vase qui
  - tourne autour d’un axe vertical................................. 195
  - Surface de niveau de l’eau contenue dans un auget de roue hydraulique à axe horizontal....................................... 196
  - mm
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- - 440
  - TABLE DES MATIÈRES.
  - Pages.
  - Du régulateur à force centrifuge.................................... 197
  - Disposition à donner au régulateur à force centrifuge............. 202
  - Résultats d’observations faites sur l’effet de ce régulateur...... 205
  - Comparaison des données de l’expérience avec les formules......... 206
  - Modification du poids des boules pour obtenir une plus grande régularité........................................................... 207
  - Observation relative à la transmission du mouvement de la vis
  - sans fin à la vanne............................................ 208
  - Disposition indispensable dans l’emploi de ces régulateurs........ 209
  - Modification de l’appareil précédemment décrit.................... Ib.
  - Autres régulateurs................................................ 210
  - Du mouvement varié autour d’un axe................................ Ib.
  - Observation importante sur les moments d’inertie.................. 212
  - Principe des forces vives dans le mouvement de rotation autour
  - d’un axe....................................................... 214
  - Théorie du pendule................................................ 216
  - Durée des oscillations d’un pendule dont l’écart est très-petit... 219
  - Du pendule composé................................................ 221
  - Longueur du pendule simple qui fait ses oscillations dans le même
  - temps qu’un pendule composé.................................... 222
  - Délerminalion du moment d’inertie d’un pendule composé............ 223
  - Détermination du centre de gravité des pendules composés......... 225
  - Centre de percussion............................................... 226
  - Théorie du pendule balistique...................................... 228
  - Application générale du principe des forces vives aux machines.
  - Applicalion du principe des forces vives aux machines............. 234
  - Conditions du maximum d’effet des machines........................ 235
  - Travail des puissances............................................. 236
  - Travail des résistances utiles...................................... Ib-
  - Travail des résistances nuisibles ou passives...................... 237
  - Pièces à mouvement alternatif...................................... Ib.
  - Influence de la force vive possédée ou acquise à chaque période. 238
  - Cas du mouvement périodique...................................... 239
  - Avantages et conditions du mouvement uniforme....................... Ib.
  - Inconvénients du mouvement varié et moyens de les diminuer.. 240 Observations sur la mise en marche des machines et les variations de la vitesse qui ont alors lieu Inobservation relative au mouvement perpétuel.................... 242
  - Mouvement périodique............................................... Ib.
  - Manière de limiter les écarts de la vitesse. Théorie des volants.. 243
  - Machines à vapeur à pleine pression............................... 246
  - Volants pour les machines à détente.............................. 247
  - Volant pour marteaux de forge....................................... 248
  - Marteaux frontaux.................................................. Ib.
  - Marteaux à l’allemande, à engrenages. .............................. 249
  - Martinets à engrenages............................................. Ib.
  - Scieries verticales................................................. Ib.
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- - TABLE DES MATIÈRES.
  - Pagess
  - Nécessité de l’emploi des volants dans les machines où il y a des
  - chocs.......................................................... 250
  - Proportions des volants pour les moulins à poudre de vingt pilons.. Ib.
  - Laminoir 'a grandes tôles et à gros fers......................... 251
  - Observations sur l’emploi des volants............................ 252
  - Du frottement.
  - Rappel des anciennes expériences.................................. 253
  - Expériences de Metz................................................ 255
  - Description sommaire des appareils employés...................... Ib.
  - Examen des résultats graphiques des expériences.................. 256
  - Formules employées au calcul des résultats des expériences....... 257
  - Relation entre la tension de la corde et le frottement du traîneau.. 260
  - Résultats d’expériences............................................ 261
  - Expériences sur le frottement au départ ou quand les surfaces ont
  - été quelque temps en contact............... .................. 268
  - Observation relative à l’expulsion des enduits sous de fortes pressions et par un contact prolongé.................................. 273
  - Influence des vibrations sur le frottement au départ............. Ib.
  - Influence des enduits........................................... 274
  - Adhérence des mortiers et enduits solidifiés....................... 275
  - Observation sur l’introduction du frottement et de la cohésion dans
  - les calculs sur la stabilité des constructions................ Ib.
  - Expériences sur le frottement pendant le choc............. ...... Ib.
  - Description de l’appareil employé aux expériences................ 276
  - Circonstances générales des expériences................... ...... 277
  - Examen général de ce qui se passe dans les expériences........... 278
  - Formules employées au calcul des expériences........................ Ib.
  - L’accélération du mouvement du traîneau pendant la chute de la
  - bombe peut être négligée........................................ 280
  - Cas où le mouvement du traîneau est accéléré..................... 281
  - Résultats des expériences........................................ 282
  - De la transmission du mouvement à l’aide de courroies............ 285
  - Glissement des cordes ou courroies sur des cylindres............. Ib.
  - Expériences sur le glissement des cordes et des courroies à la surface des tambours en bois et des poulies en fonte................. 288
  - Résultats d’expérience et conclusions.............................. Ib.
  - Expériences sur la variation des tensions des cordes et des courroies sans fin employées à transmettre le mouvement............... 292
  - Observations sur les résultats de ces expériences................ 299
  - Frottement des tourillons.......................................... 300
  - Avantage des métaux grenus........................................ 303
  - Observation relative aux mécanismes très-légers.................. 304
  - Usage des résultats de l’expérience................................ Ib.
  - Application aux vannes............................................. RIO
  - Application aux châssis de scie...........................» ..... 312
  - Application aux tourillons........................................ Ib-
  - Essieux des voitures............................................... 315
- p.441 - vue 452/470
- - 442
  - TABLE DES MATIÈRES.
  - De la roideur des cordes.
  - Pages.
  - De la roideur des cordes......................................... 316
  - Expériences de Coulomb avec l’appareil d’Amontons................ Ib.
  - Résultats des expériences de Coulomb............................. 318
  - Expression générale de la résistance à l’enroulement............. 320
  - Autres expériences de Coulomb..................................... 322
  - Extension des résultats des expériences de Coulomb à des diamètres différents............................................... 324
  - Expression de la roideur des cordes en fonction du nombre des tils
  - de caret...................................................... 325
  - Observation relative aux cordes usées............................ 327
  - Cordes goudronnées............................................... 328
  - Table des roideurs des cordes de différents diamètres enroulées
  - sur un tambour d’un mètre de diamètre......................... 329
  - Cordes mouillées................................................. 331
  - Usage des tables ou formules précédentes......................... lb.
  - Du tirage des voitures et des effets destructeurs qu'elles produisent sur les routes.
  - Du tirage des voitures............................................ 333
  - Expériences sur les voitures marchant sur des routes ordinaires.... 336
  - Rapport du tirage a la charge..................................... 338
  - Influence de la pression.......................................... 340
  - Influence du diamètre des roues................................... 341
  - Influence de la largeur des jantes 343
  - Influence de la vitesse........................................... 345
  - Expression approximative de l’accroissement de la résistance avec
  - la vitesse..................................................... 346
  - Conséquences pratiques de ces expériences......................... 348
  - Comparaison des routes pavées et des routes en empierrement...... lb-
  - Influence de l’inclinaison des traits............................. 350
  - Résumé et application des résultats généraux des expériences..... 352
  - Conclusions générales............................................. 353
  - Conséquences relatives 'a la construction des voitures........... 354
  - Des effets destructeurs produits par les voilures sur les roules. 355
  - Influence préservatrice des grands diamètres de roues............ lb.
  - Expériences directes sur les effets destructeurs produits par les voilures sur les routes........................................... 356
  - Expériences sur l’influence de la largeur des jantes............. 357
  - Conséquences de ces expériences.................................... 358
  - Expériences exécutées avec les mêmes voitures sous des charges
  - égales......................................................... 359
  - Expériences sur l’influence du diamètre des roues, sur les dégradations qu’elles produisent sur les routes....................... lb.
  - Influence de la vitesse sur les effets destructeurs.............. 360
  - Expériences comparatives sur les dégradations produites par les voilures comtoises, les charrettes et les chariots de roulage.. lb
  - 98900
- p.442 - vue 453/470
- - TABLE DES MATIÈRES.
  - 443
  - Pages.
  - Expériences ayant pour but de déterminer les chargements d égale dégradation........................................................ 362
  - Résistance des fluides.
  - 363
  - De la résistance des fluides...................................... " ,
  - Considérations théoriques............••............... .......... *
  - Travail développé par seconde par la résistance du milieu........
  - Expressions équivalentes de la résistance........................
  - Cas où le corps est en repos dans un fluide en mouvement.........• •
  - Expériences sur la résistance de Teau au mouvement des corps de ^
  - diverses formes................................................. 3(.g
  - Mode d’observation................................................. 3(.g
  - Observations sur ces résultats........................................ '
  - Influence de l’acuité des angles des cônes sur la résistance.......... • àw
  - Expériences sur la résistance de l’eau au mouvement des projectiles. 371
  - De la résistance de l’eau au mouvement des corps flottants....... <yu
  - Influence de la forme des corps flottants............................. •
  - Des bateaux à fond plat relevé à l’avant*bec..................... ^
  - Résultats des expériences sur la résistance des bateaux au halage... 3/9
  - Bateaux rapides..................................................... 3g2
  - Conséquences de ces expériences.................................. Jh
  - Variations accidentelles de la résistance........................... 3g4
  - Résumé............................................* * * *...
  - Du travail développé par les chevaux dans le halage des bateaux ^
  - rapides....................................................... <>q7
  - Observation sur le travail journalier des chevaux.......... • y " ‘ ' ..
  - De la résistance de l’eau au mouvement des roues a palettes plane». .
  - Causes qui altèrent la loi de la résistance......................
  - Écartement convenable des palettes................. • • .........
  - Valeur du coefficient K, du second terme de la résistance........ "•
  - Cas où la roue marche dans une eau courante......................
  - Influence de la présence d’un bateau près des roues..............
  - Application aux roues des bateaux à vapeur....................... ^
  - De la résistance de l’air.................;.................1’’ ' 1
  - Résultats des expériences de Borda sur la résistance de 1 air aux corps ^
  - en mouvement........ .............................................. g9
  - Observation relative aux régulateurs à ailettes et aux moulins a vent. 402
  - Expériences sur des surfaces de diverses formes.................. "•
  - Influence de l’inclinaison des ailettes............
  - Influence du rapprochement des surfaces exposees a la résistance
  - .... mu
  - Influence de la forme des surfaces................................
  - Résistance de l’air au mouvement des corps spheriques.;........... •
  - Expériences de Metz sur les corps en mouvement dans 1 air.........
  - Marche suivie pour tenir compte des effets de l’acceleration......
  - Vérification de l’exactitude de celte formule...................... 4tl
  - Influence de l’étendue des surfaces...............................
- p.443 - vue 454/470
- - 444
  - TABLE DES MATIÈRES.
  - Pages.
  - Conséquence des résultats...................................... 412
  - Expériences sur les parachutes................................. 413
  - Cas où le parachute présente sa convexité à l’air.............. 414
  - Cas où le mouvement du parachute esl accéléré.................. Ib.
  - Résistance de l’air au mouvement des plans inclinés dans l’air. Ib.
  - Conclusions générales des expériences de Metz.................. 416
  - De l’effort exercé par le vent sur les surfaces immobiles opposées à
  - sa direction................................................. 411
  - Observation sur les vitesses du vent............................ 418
  - Des moyens à employer pour mesurer la vitesse de l’air......... 419
  - Anémomètre de M. Combes......................................... 420
  - Nouvel anémomètre............................................. 422
  - Tare de ces instruments......................................... 424
  - Extension de la tare à de grandes vitesses..................... 425
  - Expériences de M. Thibault sur l’effort exercé par le vent sur les surfaces immobiles exposées à son action, perpendiculairement à
  - sa direction.................................................. 429
  - Accord de ces résultats avec ceux du professeur Rouse cités par
  - Smeaton..................................................... Ib.
  - Influence de la courbure des surfaces............................ 430
  - Influence de l’inclinaison des surfaces par rapport au vent.... Ib.
  - Difficultés que présente la direction des ballons............... 431
  - FIN DE LA TABLE.
  - 1
  - Ch. Lahure, imprimeur du Sénat et de la Cour de Cassation (ancienne maison Crapelet), rue de Vaugirard, 9.
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