Manuel d'architecture, ou principes des opérations primitives de cet art

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- - MANUEL
  - t>’ARCHITECTURE,
  - O U
  - PRINCIPES
  - DES OPÉRATIONS PRIMITIVES
  - DE CET ART,
  - Où l’on expose des méthodes abrégées, tant pour l’évaluation des surfaces et des solides circulaires que pour le déve* loppeinent des courbes , et pour l'extraction des racine? quarrées et cubiques par de nouvelles réglés fort simples.
  - Cet ouvrage est terminé pér une Table des quarrés et des cubes, dont les racines commencent par l’unité, et vont jusqu’à dix mille.
  - Par M. SEGUIN l’aîné, entrepreneur de bâtiments.
  - Chez Didot fils , = Jombert jeune, rue Dauphitiér M. D C Ci L X X X V I.
  - AVEC APPROBATION, ET PRIVILEGE DU ÎIOL
  - TülO^
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- - AVERTISSEMENT.
  - L’on trouve chez le même Libraire les Leçons élémentaires d’arithmétique et de géométrie de M. Mauduit, Professeur de l’Académie Royale d’Architecture. Cet ouvrage est d’un genre propre à inspirer aux éleves en très peu de temps l’esprit de cette science.
  - L’Errata est à la page 3o4*
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  - PRÉFACE.
  - L’Architecture peut être considérée comme le pre* iriier des arts ; elle comprend nombre de sciences , telles que la peinture , la sculpture, la perspective, la mécha-nique, le toisé, etc. etc. mais sa perfection dépend particulièrement d’une connoissance assez étendue de la géométrie et de ^numération.
  - La distribution et la décoration^ qui en font l’objet principal , sont soumises aux combinaisons des mesures et aux évaluations des étendues. Ces évaluations, dont les parties les plus intéressantes ne sonfconnues.que de quelques géomètres, et sont presque ignorées des Architectes et des personnes employées aux travaux, sont indispensables , non seulement pour la distribution, mais encore pour la Statique , ou l’art d’oppôser les forces , pour les Toisés et les réglements des mémoires, et pour quan t lté d’autres parties î aussi devroient-elles fixer l’attention du public.
  - C’est cette partie si intéressante que j’ai entrepris d’exposer au jour d’une manière ingénieuse et assez simple pour être à la portée de tout le monde. Je lui ai donné le titre de Manuel d’Architecture, pour faire connoître que ce traité ne comprend qu’une des parties de cet art renfermée dans un volume portatif.
  - Les Auteurs qui ont produit des traités sur ce sujet ont donné des méthodes trop éloignées de la vérité pour ne pas induire en erreur ceux qui en ont fait usage jusqu’à présent: leur intention étoit, à la vérité, de réprimer les contradictions qui avoient causé jusqadà eux des débats continuels, et d’établir une sorte d’uniformité dans les maniérés d’opérer; mais ils n’avoient pas fait une étude assez approfondie de la géométrie pour donner à leurs traités la précision que le toisé méritoit.
  - Ce n’est qu’après avoir reconnu la fausseté de leurs opérations que je me suis appliqué à chercher les vrais principes des choses, et à en déduire des méthodes faciles qui puissent approcher de l’évaluation autant que le calcul j>eut le permettre et que la pratique peut l’exiger.
  - fi 2
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- - m PRÉFACE.
  - Les Auteurs dont on vient de parler avoient leur mérite , mais pour d’autres parties que celle dont il est ici question : les édifices qu’ils ont fait construire leur ont acquis une réputation assez connue. Peut-être même leur grande occupation ne leur permit pas de s’appliquer, autant qu’il auroit été nécessaire, aux traités qu’ils ont produits. Quoi qu’il en soit, je prie le lecteur de me permettre d’exposer un de leurs principes qui leur sert de fondement au toisé de toutes les voûtes; et lorsque j’en aurai fait connoltre l’erreur, l’on sera persuadé que ce que j’avance est vrai.
  - Vovez dans l’architecture-pratiquc de M. Bullet, page
  - , proposition VIII, où il est dit : La surface d’un solide elliptique est à la surface d’urte sphere inscrite dans le meme sphéroïde, comme le grand axe est au petit. Il emploie cette réglé dans le toisé des voûtes en cul de four, page 197 , et il dit : Les voûtes en cul de four, dont le plan est rond et la montée surbaissée, ou demi-ovale , seront mesurées, en multipliant la circonférence du plan par la hauteur perpendiculaire du milieu de la clef jusqu.es sur la naissance de la voûte.
  - Cette expression ne produit aucun louche; elle est très claire: ainsi, prenant pour exemple une voûte en cul de four de 28? de diamètre et de 6p de montée, la circonférence du plan, dans le rapport de 7 à 22 ., sera 88p, qui étant multipliés par 6p, le produit est 528p superficiels.
  - Mais un cercle de 28? de diamètre, suivant le même rapport, doit produire 6i 6p superficiels.
  - Il en résulte, par la méthode de M. Bullet, que le plan auroit 88? superficiels de plus que la voûte; ce qui est impossible.
  - Il dit à la fin de la même page, que les reins ne doivent être comptés que de trois toises l’une; ce qui fait entendre que l’on doit ajouter à la surlace de la douelle un tiers, en sus du produit. Or l’on vient de trouver par sa méthode 528? superficiels, et, en y ajoutant le tiers, l’on aura 704p pour le tout.
  - Présentement, supposons que la même voûte ait 1 ? 6® d’épaisseur: si l’on multiplie 704p par 1 p 6°, l’on aura, suivant M. Bullet, io56p cubes.
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- - PRÉFACE. v
  - Or, suivant les principes de la géométrie, le cube de cette voûte, en y comprenant les reins, sera égal au produit dé 6i6p multipliés par 7P 6°; ce qui donne d’abord 4620P : le vuide, étant une demi-sphere surbaissée, sera égal à la surface 6i6p du plan multipliée par les deux tiers de la hauteur 6p ; ce qui donne 3464 p , qui étant ôtés du total, reste 2156? pour le cube de la voûte et des reins : d’où il suit que, par la réglé de M. Bullet, l’entrepreneur perdroit réellement 1100P cubes ; ce qui fait plus de la moitié de la masse existante.
  - Examinons présentement la réglé de M. Ginet, éditeur du traité de M. Desgodets , en rapportant cette réglé à la même voûte. Suivant l’opération qu’il en donne, page 163, et qui est très fatigante, l’on trouvera q-u’une voûte en c.ul-de four de 28? de diarnetre et de 6? de montée produira 647? ; ce qui ne donne que 3de plus que la surface du plan.
  - M. Ginet prétend aussi que lès reins reviennent au tiers du toisé de la voûte ; ainsi, en ajoutant le tiers à la surface 647^, l’on aura 862 p 8°, qui étant multipliés par l’épaisseur iP 6°, le cube sera 1294G tandis que les réglés géométriques donnent 2i56p cubes : il en résulterait encore une différence de 862 ? cubes à la perte de l’entrepreneur.
  - Si l’on calcule la même voûte par le principe que j’ai suivi pour les voûtes surbaissées en ellipse, l’on trouvera 802 p 90 superficiels; cequiexcede de beaucoup les quantités précédentes : mais la surface de la douelle ne doit point entrer dans le calcul de la solidité d’une voûte, et ne doit servir que pour estimer le parement seulement.
  - Je n’insisterai pas davantage à faire connoître les erreurs des deux Auteurs dont on vient de parler ; ce que l’on a dit est plus que-suffisant pour faire naître une juste défiance des principes défectueux exposés dans leurs traités.
  - Il y a environ trois ans que j’ai présenté le manuscrit de mon ouvrage à M. Delespée, Architecte du Roi et premier Expert vérificateur de Sa Majesté; il lui parut si attrayant , qu’il m’en donna des marques d’estime en prenant la peine d’y faire plusieurs observations qu’il me communiqua par écrit. Il me fit connoître à M. Mauduit, à qui j’ai présenté mon ouvrage } d’après le récit que lui en a fait
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- - vf PRÉFACE.
  - M. Delespée: son inclination à rendre service à la patrî® lui a fait prendre la peine de le lire, et de me faire aussi ses observations.
  - Le désir que j’avais de m’instruire pour me rendre utile au public m’a décidé à lire aussi un ouvrage de M. Mau-duit que je n’avois jamais eu l’occasion de voir: je veux
  - Î>arler de ses leçons de géométrie et d’arithmétique, dans esquelles j’ai trouvé beaucoup d’ordre et de clarté : l’étude que j’en ai faite m’a été d’un grand secours, et n’a pas contribué à la perfection de mon traité.
  - Ces leçons ont un avantage particulier ; leur lecture seule, faite avec attention, suffit pour saisir l’analyse des propositions : elles ne se bornent pas à la géométrie élémentaire , elles s’étendent beaucoup au-delà; et pour les rendre plus à la portée du lecteur , et plus faciles à saisir, il rapporte à la numération la plupart des opérations géométriques ; et je puis dire que de toitis les traités de géométrie que j’ai étudiés, celui dont je parle m’a fait le plus de sensation..
  - Personne n’a entrepris de désabuser le public sur l’usage adopté du toisé des voûtes par leurs douelles , en supposant même que les douelles fussent toisées avec la rigueur géométrique. Les Architectes prétendent que le prix des voûtes est établi en conséquence de cette maniéré de toiser; ce qui ne peut avoir lieu , en considérant la variation que produisent ces sortes de toisés selon la gram deur des diamètres qui n’ont aucun rapport avec les épaisseurs : c’est donc un abus que l’on pourroit réprimer sans préjudice ; car la Loi n’entend pas que l’on paie plus ou moins de matière qué la chose n’en contient.
  - Quoique le Manuel d’Architecture ne fasse pas un gros volume, il ne laisse pas d’avoir une extension suffisante pour l’usage auquel il est destiné , et de comprendre beaucoup de choses , mais en abrégé : ce qui me fait espérer que, le public daignant l’accueillir favorablement, son suffrage sera la récompense des soins et du temps que j’ai employés en sa faveur. ,
  - Pour rendre ce traité le plus complet possible, il m’a paru convenable de commencer par les regles-pratiques de la numération sur ce qui concerne- les mesures usitées,
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  - dans l’Architecture: ainsi je commence par l’addition des mesures , la soustraction , l’évaluation des surfaces et des solides, la division des mesures et l’extraction-des racines quarrées; je donne ensuite le toisé des bois quarréset des bois en grume, avec une table pour les bois en grume , et une autre table pour le nombre de carreaux, briques, tuiles , etc. qu’une toise peut employer ; c’est ce qui compose la première partie du traité.
  - La seconde partie comprend l’évaluation des surfaces, principalement de celles fermées par des lignes courbes , une table des segments de cercle , par laquelle l’on peut trouver en un instant la surface d’un segment et la longueur de son arc par la seule connoissance de la corde et de la fléché : elle renferme aussi les méthodes les pluS-exactes pour décrire les ovales et les anses de panier à trois et à cinq centres, et pour trouver les longueurs de ces courbes ; l’on y fait une remarque sur la différence de l’ellipse et de l’ovale que l’on prend souvent l’une pour l’autre ; je fais une application de ces Courbes à la construction des corniches circulaires ; l’on y donne aussi une table pour trouver la circonférence d’une ellipse par la seule connoissance de ses axes.
  - Dans la troisième partie je donne des méthodes pour le toisé des murs dont les parements sont à plomb, et pour la levée des angles au cordon; j’y donne la maniéré de toiser les puits engagés dans les murs , et différents moyens., pour la division des hauteurs des étages.
  - Le toisé superficiel des voûtes fait le sujet de la-quatrième partie ; l’on y trouvera des méthodes pour les voûtes. cintrées en anse de panier et pour celles cintrées en ellipse, et pour les voussures depuis 3o degrés jusqu’à 90 degrés : cette partie comprend aussi le toisé superficiel des voûtes sphériques et en pendentifs, de celles gothiques ou en arc d’ogive, avec plusieur tables pour les voûtes cintrées en ellipse.
  - Dans la cinquième partie je donne différentes méthodes pour le toisé-cube des mur en talut, des terrasses, des. voûtes de différentes especes et de celles gothiques, avec des comparaisons qui font connoître les erreurs que-produisent les. méthodes ordinaires des toiseurs.
  - a 4
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- - Viij PRÉFACE.
  - La sixième et derniere partie de ce traité comprend le* méthodes pour l’extraction des racines quarrées et cubiques ; j’y ai joint de nouvelles méthode* très expéditive* que je n’ai trouvées dans aucun traité, par lesquelles l’on peut en une heure extraire plus de racines qu’on n’en pourrait extraire en huit jours par les réglés ordinaires ; et pour donner encore plus de facilité , je termine mon traité par une table des quarrés et des cubes dont les racines vont jusqu’à dix mille. L’on peut se fier à ces tables que j’ai eu soin de vérifier plusieurs fois sur les épreuve* avant de les livrer à l’impression.
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- - TABLE
  - DES MATIERES
  - contenues dans ce volume. PREMIERE PARTIE.
  - Des mesures et calculs usités dans les bâtiments,
  - page *
  - Des signes d’abréviation, 2
  - Chapitre Ier. De l’addition des mesures, ibid.
  - De la soustraction des mesures, 4
  - Chapitre IL De la multiplication des mesures, et des différentes opérations usitées dans les bâtiments, 6
  - Méthode pour réduire des pieds quarrés en toises quar-rées, 11
  - Méthode pour réduire des toises quarrées et pieds quarrés, en toises , pieds, pouces, etc. linéaires, c’est-à-dire sur une toise de largeur, 12
  - Méthode pour réduire en toises quarrées, pieds, pouces , etc. de toise quarrée, une quantité de pieds, pouces, etc. de pieds quarrés, ibid.
  - Méthode pour réduire des toises, pieds, pouces, etc. de
  - toise quarrée, en toises quarrées et pieds quarrés, i3 Méthode pour réduire en pieds, pouces, lignes, etc. de pied quarré, une quantité de toises, pieds , pouces, etc. de toise quarrée, ibid.
  - Méthode pour réduire les quantités en toises d’appareil,
  - ibid.
  - Chapitre III. Des quantités cubiques, 14
  - De la réduction en toises cubes, i5
  - De la réduction en pieds cubes, ibid.
  - Méthode pour réduire une quantité de pieds , pouces , lignes, etc. de pied cube, en toises, pieds, pouces de toise cube, 16
  - Méthode pour réduire en pieds, pouces, lignes, etc. de pied - cube, une quantité de toises , pieds, pouces de toise cube ? 17
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- - *7
  - 21
  - 22
  - 2$
  - x TABLE
  - De la réduction des bois qnarrés,
  - De la réduction des bois en grume,
  - Table des bois en grume,
  - Chapitre IV. De la division ,
  - Méthode pour faire la division par un nombre composé d’entiers et de fractions, sans être obligé de faire évanouir les.fractions du diviseur, 27
  - Moyen de faire plus facilement l’opération précédente,
  - 35
  - Remarque où l’on fait voir comment l’on peut dénaturer un nombre composé pour y substituer une quantité équivalente d’une espece différente, 07
  - Ch a pitre V. De la résolution de plusieurs problèmes par le moyen de la division, 09
  - Table du carreau de terre cuite et du pavé de grès, /\S Table des languettes de brique, ibid.
  - Table du lattis, les lattes fixées à 4 pieds de longueur,
  - 4 6
  - Méthode pour réduire un nombre en fraction décimale, ou une fraction décimale en nombre, 47
  - Chapitre VI. De la formation des quarrés et de l’extraction des racines, 49
  - De l’extraction de la racine quarrée, 5o
  - Problème. Extraire la racine quarrée d’un nombre entier quelconque, 5i
  - Méthode pour extraire la racine quarrée d’un nombre,
  - sans se servir d’autres fractions que des parties de l’unité principale, 58
  - Exemple icr. L’on demande la racine de 3.5687p quarrés aussi approchée que l’on voudra, sans se servir des fractions décimales, et sans réduire ce nombre à des unités plus petites, 59
  - Exemple 2me. Soit proposé le nombre 718P 6° 5l 5' 4,;, qui est un quarré parfait dont on veut extraire la racine , 61
  - Exemple 3me. L’on demande la racine de 2ito 2p 40 i'1
  - 6r, 62
  - Soit proposé à extraire la racine quarrée de 45t0 2p 90 9' o1 611, 63
  - Problème ier. Le côté cl’un quarré ét^jit donné , trouver
  - la diagonale, 66
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- - DES MATIERES. xj
  - Problème 2me. La diagonale d’un quarré étant donnée, trouver un des côtés, 66
  - Problème 3mc. Etant donné un côté de triangle équilatéral , trouver la perpendiculaire abaissée d’un angle sur le côté opposé, 67
  - DEUXIEME PARTIE.
  - Du toisé des surfaces planes.
  - Chapitre Ier. Des surfaces-fermées par des lignes droites,
  - 68
  - Problème. Trouver la surface d’un triangle dont on 11e connoît que les trois côtés , etc. 69
  - Chapitre II. Du cercle et des segments, 70
  - Problème ier. Trouver la surface d’un cercle de i4p de diamètre suivant le rapport de 7 à 22, 71
  - Problème 2me. Trouver la surface d’un cercle de 44p de circonférence suivant le même rapport, ibid.
  - Problème 3lne. Trouver le rapport entre le diamètre d’un cercle et le côté d’un quarré égal en superficie à un cercle, 72
  - Observation sur le toisé des bois en grume, 70
  - Problème 4rae. Trouver le rapport de la circonférence au côté du quarré inscrit à un cercle , ibid.;
  - Problème 5me. Trouver le côté du quarré inscrit à un' cercle de 44? de circonférence, 74
  - Problème 6me. Trouver le côté du quarré inscrit à un cercle de i4p de diamètre, 75
  - Problème yme. La corde et la ileche d’un segment do cercle étant données, trouver le diamètre, ibid.
  - Problème 8m*. La corde et la fléché d’un segment de cercle étant- données, trouver la longueur de l’arc et la surface de ce segment, 76
  - Méthode' pour se servir de la table des segments, 77
  - Problème ier. L’on demande la longueur de l’arc d’un.
  - segment de 28? de corde sur 7P 6° de fléché, ibid. Problème 2me. L’on demande la surface d’un segment de 17P de corde et de 7p de ileche, 78
  - Table des segments de cercle, ibid.
  - Chapitre III. De l’ellipse, 79
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- - xij TABLE
  - Problème ier. Le grand axe d’une ellipse étant de 28Pet le petit axe de 20P, trouver la surface de l’ellipse, 80 Problème 2me. Etant données la corde AB et la fléché CD d’un segment elliptique ACD, trouver la surface de ce segment, ibid.
  - Chapitre IV. De l’ovale, 82
  - Problème ier. Les diamètres AB, CP d’un ovale étant donnés, trouver les rayons des arcs, 83
  - Problème 2me. Les diamètres d’un ovale étant donnés, déterminer sa surface, 84
  - Chapitre V. Des anses de panier, 85
  - Problème Ier. Etant donnés la montée CK et le diamètre AB d’une anse de panier à trois centres, tracer au compas la courbe de cette anse, 86
  - Problème 2me. Le diamètre AB et la montée CK d’une anse de panier composée de trois arcs de 60 degrés, étant donnés, trouver les centres N, M, X des trois arcs, et tracer la courbe AECGB, 87
  - Problème 3me. Etant donnés le diamètre et la montée d’une anse de panier composée de trois arcs de 60 degrés , trouver la longueur de la courbe de cette anse,
  - 88
  - Des anses de panier à cinq centres.
  - Problème 4œe. Le diamètre AB et la montée CD d’une anse de panier étant donnés, trouver cinq centres avec lesquels l’on puisse tracer la courbe, 89
  - Moyen de trouver par le calcul la longueur de tous les rayons, ^ 91
  - Problème 5me. Trouver la longueur de la courbe d’une anse de panier à cinq centres, dont le diamètre est 28? et la montée 10P, 92
  - Chapitre VI. De la construction des corniches circulaires , 98
  - Chapitre VII. Des circonférences elliptiques, 99
  - Construction de la formule des circonférences elliptiques,
  - 100
  - Table des formules pour les courbes elliptiques, 109
  - Méthode pour se servir de la table ci-après pour trouver une circonférence elliptique par la connoissance de ses axes, rio
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- - DÉS MANIERES. xiij
  - Table des circonférences elliptiques, 114
  - TROISIEME PARTIE.
  - Des murs considérés dans leur étendue superficielle.
  - Chapitre Ier. Des murs droits, 115
  - Méthode pour lever les angles au cordon, 117
  - Chapitre II. Des murs circulaires, 122
  - Chapitre III. Des murs droits et circulaires élevés ensemble , 128
  - Chapitre IV. De la méthode de mesurer et fixer les hauteurs des murs et les épaisseurs des planches, i34 Observation pour les saillies, i36
  - QUATRIEME PARTIE.
  - Des voûtes considérées dans leur étendue superficielle.
  - Chapitre Ier. Des voûtes en berceau simple, 189
  - Chapitre II. De la formation des voûtes d’arête et des voûtes de cloître, 141
  - Chapitre III. Du toisé superficiel des voûtes de cloître en plein cintre,
  - Chapitre IV. Du toisé des dômes en plein cintre , des calottes sphériques, des dômes tronqués, et de ceux en pendentil, 147
  - Chapitre V. Du toisé superficiel des voûtes d’arête en plein cintre, 149
  - Chapitre VI. Des voûtes en berceau composées, i5i
  - Chapitre VII. Des voussures en plein cintre, i55
  - Chapitre VIII. Des voûtes de cloître et des dômes surbaissés en anse de panier, 160
  - Chapitre IX. Des voûtes d’arête surbaissées en anse de panier, 162
  - Chapitre X. Des voûtes de cloître et des dômes surmontés en anse de panier, 164
  - Chapitre XL Des lunettes surmontées en anse de panier,
  - 166
  - Chapitre XII. Des voûtes en arc d’ogive et de celles en pendentif, 167
  - Chapitre XIII. Des YOÛtes cintrées en ellipse, .170
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- - xi? TABLE
  - Exemple pour un pan surbaissé de voûte de cloître, 173 Exemple pour une lunette de voûte d’arele surbaissée, 1 jS Table des pans de voûte de cloître et des lunettes de voûte d’arête surbaissés en ellipse, ibid.
  - Exemple pour un pan surmonté de voûte cintrée en ellipse, élevée sur un plan quarré, 176
  - Exemple pour une lunette surmontée de voûte d’arête en ellipse, 177
  - Réglé générale pour les voûtes dont les plans ne sont pas quarrés, ibid.
  - Table des pans de voûte de cloître et des lunettes de voûte d’arête surmontés en ellipse, 178
  - Chapitre XIV. Des surfaces courbes irrégulières, 179 Remarque sur les surfaces courbes, i83
  - Observation sur l’usage du toisé superficiel des voûtes, 185
  - CINQUIEME PARTIE.
  - Du toisé cube de la maçonnerie et de la fouille des terres.
  - Chapitre Ier. Des corps solides uniformes, 187
  - Chapitre II. Des murs en talut avec angles saillants et rentrants, 195
  - Chapitre III. Du toisé cube des massifs dont les bases opposées 11e sont point parallèles, 201
  - Chapitre IV. 'Du toisé des massifs de terre, 2o3
  - Chapitre V. Du toisé cube des voûtes, 209
  - Problème ier. Déterminer la surface de chacune des parties d’une voûte en berceau plein cintre, suivant son profil pris en travers, et par ce moyen trouver le cube de chacune de ces parties suivant une longueur déterminée,
  - 211
  - Comparaison du toisé d’usage avec le toisé géométrique sur une voûte en berceau plein cintre, 218
  - Problème 2me. Etant donnés le diamètre d’une voûte de cloître en plein cintre, la montée sous clef et l’épaisseur de là voxite, toiser le cube d’un des pans de cette voûte, et distinguer toutes les parties qui le composent, 219
  - Observation pour le toisé cube des dômes et des pans de voûte plus ou moins longs que les diamètres, 222
  - Observation pour le toisé cube des dômes et des pans de roûte surmontés ou surbaissés; ibid...
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- - DÈS MATIERES. xv
  - Comparaison du toisé géométrique avec le toisé d’usage dans les voûtes de cloître et les dômes, 223
  - Problème 3me. Etant donnés le diamètre d’une lunette de voûte d’arête plein cintre et son épaisseur, trouver le cube de chacune de ces parties, 224
  - Méthode pour toiser les différentes parties d’une lunette, sans y comprendre la partie du berceau qui est entre les dosserets , 228
  - Comparaison du toisé d’usage au toisé géométrique d’une lunette de voûte d’arête, 200
  - Ch apitreVI. Des voûtes gothiques ou en arc d’ogive, 233 Description des arcs en ogive, 234
  - Section 1Ie. Du toisé cube des voûtes d’ogive en berceau, 238 Section2me. Du toisé cubedesvoùtesdecloîtreenogive,242 Section 3 me. Des lunettes de voûte d’arête en ogive, 248
  - Remarques importantes sur lesdites voûtes, 2.51
  - SIXIEME PARTIE.
  - Des nombres quarrés et cubiques, et de Vutilité des tables de ces nombres pour Vextraction des racines, 204
  - Chapitre I€T. Des quarrés et de leurs racines, 255
  - Problème ier. Trouver la racine du nombre quarré 11478544? 2,56
  - Problème 2me. Trouver la racine approchée du nombre 78654578 qui n’est pas quarré parfait, 256
  - Remarques sur la propriété des nombres quarrés, 25j Problème 3me. Trouver par l’addition la racine très approchée de la vraie racine du nombre 5p3 qui 11’est pas un quarré parfait, 258
  - Problème 4ra0* Trouver par l’addition la racine très approchée de la racine du plus grand quarré contenu dans 179P, réduite tout de suite en pieds et parties de pied,
  - 261
  - Chapitre II. Des quantités cubiques et de l’extraction de leurs racines par le secours des tables des quarrés et des cubes, 264
  - Principes généraux pour l’extraction de la racine cubique,
  - 266
  - Problème ier. L’on demande la racine cubique du nombre 49775116006625t 266
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- - fcvj TABLÉ DES MATIERES.
  - Problème 2me. L’on demande la racine cubique dé 192to 5p 3° 21 6r 2.118; 1 r, 270
  - Maniéré de se servir des tables des nombres cubiques, 273 Théorème. Un cube quelconque est égal au tiers de là somme des termes d’une progression arithmétique, dont la raison est 6 et le premier terme 3 , multiplié par le nombre des termes , 274
  - Problème icr. Etant donné le nombre cubique 8000 et sà racine 20, trouver la somme des termes de la progression qui a servi à former ce cube, 275
  - Problème 2me. Etant donnée la racine cubique d’un nombre , trouver le plus grand terme de la progression arithmétique qui a concouru à former ce nombre, ibid. Problème 3me. Etant donnés la somme et le plus grand terme de la progression, avec le cube résultant de cette progression et sa racine, trouver le cube d’une racine augmentée de l’unité, 276
  - Problème 4me- Etant donnés le cube de 20 et celui de 21, trouver par l’addition le cube de 22 , 277
  - Problème 5me. Etant donné le cube 8000 de 20, trouver le cube de 21, 278
  - Problème 6me. Trouver par le moyen de l’addition la racine cubique d’un cube quelconque, parfait ou imparfait, 279
  - Problème yme. L’on demande la racine cubique d’un nombre arbitraire 25378p réduite tout de suite en pieds, pouces, lignes, etc. 283
  - Méthode pour trouver la somme d’une progression quar-rée, 286
  - Méthode pour trouver la somme des termes d’une progression eu bique, 288
  - Moyen pour éviter les additions réitérées dans l’extraction des racines suivant les méthodes précédentes, 291
  - Section ire. Pour l’extraction des racines quarrées, 291 Section 2me. Pour l’extraction d.es racines cubiques , 294 Tables des nombres quarrés et cubiques, et des racines de ces nombres, depuis 1 jusqu’à 10,000, 3o5
  - MANUEL
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- - MANUEL
  - D’ARCHITECTURE:
  - PREMIERE PARTIE.'
  - Des mesures et calculs usités dans les bâtimentsé
  - L a mesure ordinaire dont on se sert dans les bâtiments, se nomme toise: elle se divise en six parties égales, que l’on nomme pieds : chaque pied se subdivise en douze parties égales , que l’on nomme pouces : chaque pouce se subdivise encore en douze parties égales, que l’on nomme lignes : chaque ligne se subdivise en douze points: chaque point en douze prismes : chaque prisme en douze secondes: chaque seconde en douze tiers ; et ainsi de suite à l’infini.
  - Dans la pratique de l’architecture , l’on est obligé d’exprimer les quantités en abrégé, pour éviter de la confusion tant sur les plans que sur les mémoires des ouvrages •, et l’on ne peut se dispenser de se servir de signes pour comparer les grandeurs dans les opérations géométriques. C’est pour cela que l’on donne ici les expressions $bré^ gées*,
  - A
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- - 2
  - M A N ü E L
  - savoir:
  - *° signifie toise. v signifie pied.
  - 0 signifie pouce.
  - 1 signifie ligne.
  - \* signifie prisme.
  - !1 ' signifie seconde.
  - 1,1 signifie tierce. tv signifie quarte.
  - ainsi des autres à l’infini. signifie plus.
  - '•— signifie moins.
  - X signifie multiplié par.
  - X signifie divisé par. L’on se sert aussi des signes | et 4 ( 3, qui signifient 4 divisé par 3.
  - = signifie égal.
  - " signifie la racine qnarrée, et y/ 3 veut dire racine quarrée de 3 5 de même que 5 \Z~T veut dire ô fois la racine quarrée de 3.
  - f ." »—•. --------" t. . .. •.«
  - CHAPITRE PREMIER.
  - De raddition des mesures.
  - L’adbition dés mesures se fait comme l’addition ordinaire, en observant de placer les quantités deunême espece les unes sous les autres, et en commençant par les quantités de la plus petite espece. Si les quantités sont composées de toisest pieds et pouces, l’on ajoute d’abord les pouces ,
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- - b’ A R C Ïï I T Ë C T U R Ë/ 3
  - %t l’on relient autant de pouces que la colonne des pouces contient de fois douze ; le surplus s’écrit sous cette colonne : l’on ajoute ensuite la colonne des pieds avec le nombre de pouces que Ton a retenu, et l’on retient autant de toises que cette colonne contient de fois six; le surplus s’écrit sous cette colonne : ensuite l’on ajoute les unités des toises avec le nombre de toises que l’on a retenu, puis l’on finit l’opération comme dans l’addition ordinaire^
  - Exemple
  - Somme,
  - 36 10 5
  - 2.3 2
  - 47 1
  - 37 5
  - 5 0
  - 6 .11 10
  - i45to 3 p 8°
  - À l’égard des quantités superficielles , l’on est dans l’usage de les réduire en toises quarrées, demi-toises et pieds quarrés. Suivant cette réduction, il faut 36p pour une toise, et 18p pour une demi-toise; quant aux pouces, il en faut douze pour un pied , parcequ’ils. sont des pouces de pied quarré. Ainsi pour faire une addition composée de toises quarrées , demi-toises , pieds quarrés et pouces de pied quarré, l’on commence par la colonne des pouces, et l’on retient autant de pieds que cette colonne a de fois 12 ; l’on fait ensuite l’addition de la colonne des pieds en y ajoutant ce qu’on a retenu, et l’on retient autant de demi-toises que cette colonne contient de fois 18 ; l’excédent s’écrit au-dessous : l’on ajoute le nombre des demi-toises que l’on a retenu avec
  - Aij
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- - % 'MANUEL
  - la colonne des demi-toises, et l’on prend la mot* tié de la somme; si le nombre est impair, l’on écrit une demie sous cette colonne: Ton ajoute ensuite le nombre des demi-toises retenues avec la colonne des unités de toises, et l’on finit l’opération comme à l’ordinaire.
  - Exemple. : . . . . . S v* 7 p 8 ® 17 9 15 10 16 7
  - Somme.. ...... . 38 t0 3 p 10 p
  - De la soustraction des mesures.
  - La soustraction se commence, comme l’addition , par les quantités de la plus petite espece. Si les quantités données sont composées de toises , pieds, pouces et lignes, l’on commence par les lignes ; si le nombre supérieur des lignes est plus foible que le nombre inférieur, l’on emprunte un pouce sur la colonne des pouces : ce pouce contient douze lignes que l’on ajoute au nombre supérieur des lignes , puis l’on ôte de la somme le nombre inférieur, et l’on écrit le reste au-dessous : l’on passe ensuite à la colonne des pouces ; et si le nombre supérieur diminué d’une unité est moindre que le nombre inférieur, l’on emprunte un pied sur le nombre supérieur des pieds : ce pied vaut douze pouces que l’on ajoute aux pouces supérieurs diminués de l’unité, et l’on retranche de la somme le nombre de pouces inférieur, puis l’on écrit le reste au-dessous : l’on
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- - d’A R Ç II I T E c T U R E. S
  - passe ensuite à la colonne des pieds ; et si le nombre supérieur diminué de l’unité que l’on a enf-pruntée est moindre que le nombre inférieur, l’on emprunte une toise sur le nombre supérieur des toises: cette toise vaut six pieds que l’on ajoute au nombre' supérieur des pieds diminué de l’unité-, puis l’on ôte de la somme le nombre dé pieds inférieur, et Ton écrit le reste au-dessous, après quoi l’opération se finit à l’ordinaire.
  - Exemple.. Différence,
  - 42to 3 p 4 0 3
  - 144 11 ^
  - 27t0 4 p 4 0 cj 1
  - Lorsque les quantités, proposées sont composées de toises, de demi-toises et de pieds quarrés-, on les dispose comme ci-devant.. Si le nombre de
  - Î>ieds de dessus est moindre que celui de dessous, ’on emprunte une demi-toise qui vaut 18p, desquels l’on, retranche le nombre de pieds de dessous, et l’on ajoute le reste avec les piedside dessus : s’il n’y a point de demi-toise au nombre de dessus , l’on emprunte une toise qui vaut deux demi-toises-, et comme l’on a déjà emprunté une demi-toise, il n’en reste plus qu’une, de laquelle l’on ôte la demi-toise du nombre inférieur, s’il y en a, et il reste zéro ; et s’il 11’y en a point, il reste une demi-toise que l’on écrit: enfin l’on finit la soustraction comme à l’ordinaire.
  - Exempie.......••• -jifî ir
  - Différence......... 8to~ 14 p
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- - 6
  - ^MANUEL'
  - CHAPITRE IL
  - De la multiplication des mesures, et des differentes opérations usitées dans les bâtiments.
  - L’on sait que la multiplication est une opération par laquelle l’on prend autant de fois un nombre que l’on nomme multiplicande , qu’il y a d’unités dans un autre nombre que l’on nomme multiplicateur, et que le résultat de ces deux nombres en donne un troisième que l’on nomme produit. Mais comme, dans la multiplication des mesures, les unités principales du multiplicande sont de même espece que celles du multiplicateur, il est indifférent de prendre pour multiplicateur ce-», lui des deux nombres que l’on veut. Pour abréger le calcul, l’on prend pour multiplicateur le 1101m bre qui a le moins de chiffres,
  - 4 Exemple Ier,
  - Longueur, 36t0 3 p 4 p
  - Largeur, 8 o q
  - Produit, 292.to 2 p 8 0
  - Pour multiplier la longueur 36t0 3 p 40 par 8 % il faut dire: 8. fois 4p valent 320,ou 2p 80 ; j’écris 8° au produit, et je retiens 2P ; 8 fois 3P valent 24p; j’y ajoute les 2P que j’ai retenus, et j’ai 26p ou 4 t0 2>p ; j’écris 2p au produit, et je retiens 4 to <
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- - d’architecture.^ P7
  - 8 fois 6t0 valent 48t0, qui, avec 4t0 retenues, font 5a to; j’écris 2 to au produit, et retiens 5 dixaines : 8 fois 3o valent 240, ou 24 dixaines auxquelles je joins les 5 dixaines retenues, et j’ai 29 dixaines que j’écris au produit. Je trouve que 8 fois 36 to 3p 40 nie donnent un produit de 292t0 2P 8 0 que je considéré comme une quantité uniforme de 292t0 2p 8 0 de long sur 1 t0 de large.
  - Dans le second exemple, où le multiplicateur est composé de toises et de pieds, je multiplie d’abord par le nombre de Loises comme dans l’exemple précédent.
  - Je considéré ensuite
  - les 36t0 3 p 40 comme Dmgueur,
  - Largeur,
  - Pour 8 to Pour 1 ?
  - ExEMUE 2n
  - 2C)2
  - a
  - 3 p 4
  - 1 o
  - 2 8 o 6
  - Produit, 298t0 3p 20 8]
  - le produit de cette di mension par 1 *° ; et comme 1p n’est que
  - la 6me partie d’une toi- _____________
  - se, le produit de 36to
  - 3P 40 par 1 p 11e doit être également que la 6me partie de ce nombre ; ce qui donne 6t0 op 6° 8*. Pour y parvenir, je prends d’abord le 6,nà de 36 t0 qui est 6 to que j’écris au-dessous : ensuite le 6"16 de 3 p n’est point ; mais 3 p valent 360 qui, joints avec 4°, font 400: le 6me de 400 est 6W pour 36°; j’écris 6°, et ilreste4° qui valent 481 : le 6m* de 481 est 8.1 que j’écris, et j’ai 6t0 op 66 81 pour le produit de 36to 3p 4 0 par 1p. Je fais l’addition de ces deux quantités, et j’ai 298 t0 3* 20 81 pour le produit de 36t0 3p 40 par 8t0 1p.
  - Comme les dimensions au-dessous de la toise se subdivisent de 12 en 12, l’on n’a seulement ( lorsque l’on veut prendre le 12rae d’une quantité)
  - A iv
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- - MANUEL
  - qu’à poser les mêmes chiffres en les éloignant d’un rang; c’est-à-dire, mettre les pieds au rang des pouces , les pouces au rang des lignes, etc. et lorsque l’on veut prendre le 6me d’une quantité,' l’on double les chiffres en les reculant d'un rang, comme l’on vient de dire.
  - Dans l’exemple 3ine l’on fera les produits de 8to
  - Exemple 3me.'
  - 36
  - 8
  - ’ 3 p 5
  - Longueur,
  - Largeur,
  - Pour 810 Pour i p Pour 5 p Pour î 0 Pour 8 0
  - Produit, 3a6 t0 5 p 9 0 9 1 4 *
  - 292
  - *
  - 3a
  - 0
  - 4
  - 2
  - <t>
  - 2
  - *
  - O
  - 8
  - a
  - 9
  - 4
  - %
  - 4
  - 5
  - %
  - 4
  - et de 1 p comme dans l’exemple précédent ; ensuite l’on multipliera le produit de 1p par 5, et l’on aura 3ot0 2p q°4l pour Ieproduit de 5p, et l’on barrera les chiffres du produit de 1p. Pour avoir le produit de 8 0, l’on fera celui de r° en prenant le 12.™ de celui de 1p; ce qui donnera oto 3 p o0 618' que l’on multipliera par 8, et l’on aura 4 t0 o p 4 0 5 14puis l’on barrera les chiffres du produit de 1 enfin l’on fera l’addition de tous les produits , et l’on aura 3^6 to 5 9 90 91 4 1 pour le produit de 36> 3 p 4 0 par 8 to 5p 8 °.
  - Lorsque le multiplicateur est composé de plusieurs chiffres , Ton peut abréger F opération comme 011 le voit dans l’exemple 4me-
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- - 9
  - d’architecture. L’on mnî- „
  - Exemple 4n
  - Largeur, Longueur,'
  - Produit de 5 10 Produit de ioto Produit de 70 t0 Produit de 100t0 Produit de 5oot0
  - Produit de 5y510
  - 347to 2 p 0 O ô
  - 1737 0 11
  - X xi>
  - 24320 0 10
  - 0 4f
  - 170715 1 8
  - 199772to 3 p 5°
  - tipliera d’abord 34.7t0 2p 7 0 par 5 to, et l’on aura ;2737toop n° pourpremier produit; l’on multiplierale même nombre par io, et l’on aura un faux produit de6474t0 1p io° dont on barrera les chiffres ; l’on multipliera ce faux produit par 7, et l’on aura 24820to op io°pour le produit de 347t0 2 p 7 0 par 70 ; l’on prendra 10 fois le produit de ioto, c’est-à-dire 10 fois 3474 t0 1p io°, et l’on aura 34743 co op 40 poulie produit de 100 t0,, duquel l’on barrera les chiffres ; l’on multipliera le produit de ioo‘° par 5, et l’on aura 1 15t01p 80 pour le produit de
  - 347 t0 2 p 7 p par Ôoot0 ; enfin l’on fera l’addition, et l’on aura 199772 10 3P 50 pour le produit de 347 to 2 p 70 par 5y5t0.
  - Cette opération est d’autant plus facile, que le produit d’un nombre par 10 donne les mêmes chiffres avancés d’un rang vers la gauche , et que le nombre de toises provenant du produit des pieds se pose tel qu’on l’a trouvé, à la place du zéro qui seroit à droite..
  - Remarque.
  - Comme l’on est dans l’usage de réduire toutes les dimensions en pieds quarrés, et ensuite de
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- - Exemple 5n
  - Longueur, Largeur,
  - Produit,
  - 15 p 7 1 8 o
  - 81
  - o
  - 125 P
  - ’IO MANUEL
  - diviser par 36 le nombre des pieds pour en faire des toises quarrées et des pieds quarrés, il est nécessaire de connoître les multiplications faites par pieds, pouces, lignes, etc. et les méthodes abrégées pour réduire les produits en toises quarrées : c’est ce que l’on connoîtra par les exemples ci-après.
  - Multipliez 15P 7°8I par 8 p en commençant par les lignes , comme l’on a fait ci-devant, et vous aurez 125p îp 41 de pied quarré.
  - Suivant le sixième exemple l’on multipliera 15p 7 °
  - 81 par 8 p comme dans l’exemple 5me, ensuite pour 70 l’on fera le produit de 1 0 en prenant le \ 2me de 15p 70 81, et l’on aura 1p 3° 71 8* que l’on multipliera par 7, et le produit sera 9p 10 51 8 ' ; puis on barrera les chiffres du produit de x°, et l’on fera l’addition.
  - Exemple 6me.
  - Longueur, Largeur,
  - Produit de 8 p Produit de 1 0 Produit de 70
  - Prod, total,
  - 1 5 p 8
  - 8 1 o
  - i 2 5
  - x
  - 9
  - 4
  - 7
  - 5
  - 8
  - 134 t0 2 p 9 p 8l:
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- - II.
  - D A R C H 1 T E C T U R E.
  - Dans l’exemple
  - yTOC je multiplie d’a- Exemple
  - bord 358 par 5, ensuite le même nombre par îo.
  - Pour avoir le produit de 70 , je prends le i2me de 358 pour le produit de î et j’ai 29P io° que je multiplie par 7 -, ce qui me donne 208p 100, et je barre les chiffres du produit de 1 Pour avoir le produit de 81, je Fais celui de 11 en prenant le 12me du produit de 1 °, et j’ai 2P 5° ig 1 que je multiplie par 8 ; ce qui me donne i9P 100 8 *, et je barre les chiffres du produit de il; je fais ensuite l’addition, et je trouve 5598p 8° 81 pour le produit de 358p par i5p7°8d.
  - Longueur, Largeur, 358 p 15 1,0 0 00 0
  - Produit de 5p 1790 0 0
  - Produit de 10 p 35 8 0 0 0
  - Produit de r° *0 0
  - Produit de y° 208 10 O
  - Produit de 11 2: s *0
  - Produit de 81 19 10 8
  - Prod. total, 5598 p 8° 8 *
  - Méthode pour réduire des pieds quartés en toises quarrées.
  - Une toise quarrée contenant 36P quarrés, il est évident que, pour réduire en toises quarrées un nombre de pieds quarrés, Ton n’a qu’à diviser ce nombre de pieds par 36 ; et le reste, s’il y en a, sera en pieds quarrés. Mais pour abréger dans la pratique, l’on prend deux fois le é"16 du nombre-proposé ; ce qui revient au même. Par exemple, supposons que l’on veuille réduire 889 p quarrés en toises quarrées, l’on prendra le 6raede ce nom-
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- - l'à MANUEL
  - •bre, et. l’on aura 148^ l’on prendra encore- le 6m* de 1481, et l’on aura 24 §§, c’est-à-dire que 889* quarrés valent autant que 24to quarrées et || dé toise, ou 25p quarrés équivalant §§ de toise.
  - Méthode pour réduire des toises quarrées et pieds quarrés en toises} pieds, pouces,etc. linéaires, cest-à-dïre sur une toise de largeur.
  - Soit, par exemple ,8roii5pn 0 que-l’on veut réduire en quantité linéaire : les toises étant quarrées sont censées avoir une toise de largeur , et ne doivent point être transformées : ainsi l’opération ne doit se faire que sur ot0 3 l5 p x 1 °, ou 33p 1,1 °; ce qui est très facile.
  - Prenez le 6me de 33p 110, et vous aurez 5P 70 1 o 1 de toise quarrée ; ainsi 8to 3 15p 110 seront réduits à. 8to 5 P 70 101 de toise quarrée.
  - Méthode pour réduire en toises quarrées, pieds; pouces, etc. de toise quarrée, une quantité de pieds, pouces, lignes, etc. de pied quatre.
  - Soit pour exemple 880p io° 8 1 que l’on veut réduire en toises , pieds, pouces, etc. de toise quarrée 1 réduisez en toises le nombre 88op en prenant le 6me, et vous aurez 146t0 4 p ? ©t, ajoutant la suite 100 8l, vous aurez 1.4610 4P 100 81 de pied quarré, c’est-à-dire une bande de 146to 4P io° 81 de long sur 1p de large. Multipliez les 14610 4P io° 81 par 1p en prenant le 6m® de ce nombre comme au 2mc .exemple , et vous aurez 24t0 2p 90 914/ de toise quarrée équivalant à 880p 1 o0 81 de pied quarré.
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- - Méthode pour réduire des toises, pieds, pouces; etc. de toise quarrée, en toises quarrées et pieds quarrés.
  - Soit 8t0 5P 7 ° îo1 que l’on veut réduire en toises quarrées, pieds quarrés, pouces de piedquar-ré : écrivez 8t0, et multipliez le surplus 5P 70io‘ par 6, vous aurez 8t0 33p 110, ou 0to i 15p 11 °.'
  - Méthode pour réduire en pieds, pouces, lignes, etc. de pied quarré, une quantité de toises, pieds f pouces, etc. de toise quarrée.
  - Soit 24'° 9° 91 la quantité que l’on veut
  - réduire»: multipliez 24e0 par 6, et vous aurez 144 auxquels vous ajouterez 2P, cela fera i4dp; et en ajoutant la suite 90 91 4f» l’on aura d’abord i4dp 909! 4f de toise quarrée , c’est-à-dire sur une toise de largeur : multipliez ce nombre par 6P qui valent autant qu’une toise, vous aurez 880p io° 81 de pied quarré qui valent autant que 24t0 2P 90 9* 4' de toise quarrée.
  - Méthode pour réduire les quantités en toises 1 d’appareil.1 ;
  - Les appareilleurs et scieurs de long sont dans l.’-usage de réduire toutes leurs dimensions en toises, pieds, pouces, etc. sur un pied de large. La même opération se pratique par les menuisiers et marchands de bois pour réduire les planches à 1p de large. Ainsi une toise 4’appareil est une
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- - 14 M A N U E t
  - toise de pied quarré, ou six pieds quarrés : paf conséquent une toise quarrée fait six toises d’appareil
  - Ainsi si l’on veut faire une quantité de toises d’appareil avec 8 to 5P 70 101 de toise quarrée , l’on multipliera ce nombre par 6, et Ion aura 53t0 3P 110 en toises d’appareil.
  - CHAPITRE III.
  - Des quantités cubiquest
  - U* e quantité quelconque ayant une grosseur uniforme dans toute sa longueur, est une quantité cubique.
  - Si la longueur est exprimée par des toises ; pieds, pouces, etc. et chaque côté de la grosseur exprimé par une toise, cette quantité sera un nombre de toises, pieds, pouces,-etc. de toisé cube.
  - Si chaque côté de la grosseur est un pied , la quantité sera un nombre de toises, pieds, pouces, etc. de pied cube.
  - Mais toutes les quantités cubiques ne sont pas uniformes, et il s’agit de les supposer telles ; ce que l’on ne peu t faire que par le calcul, en faisant le produit de trois dimensions, longueur, largeur ét épaisseur.
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- - D*A & C'HITECTURÈ.
  - De la réduction en toises cubes.'
  - Exemple 1er.
  - Longueur, 610 3 p 4 ° Largeur, 4 ° °
  - Surface, 2.6 1 4
  - Hauteur, 3 o o Cube , 78t0 4 p o 0
  - Multipliez la longueur 6t0 3P 40 par largeur 4% et le produit 2.6t0 1p 40 par l’épaisseur 3to, vous aurez 7810 4p de toise cube. La quantité cubique, qui a 6to 3p 40 de long sur 4to de large et 3 t0 d’épaisseur , se trouve transformée en une autre quantité cubique de 78to 4p de long sur 1to de large et 1to d’épaisseur.
  - Supposons que la quantité cubique donnée ait 6t0 3p 40 de long sur 4to 2p 80 de large et 3 * 1p 4° d’épaisseur, multipliez la longueur par la lar-
  - geur , el le *
  - Exemple
  - Longueur, 6to3 Largeur, 4 2
  - 9 4
  - Surface, 29 o Epaisseur, 3 1
  - Cube, p3to 5 p 3 0 61 o1 10,f 8 n f
  - a9
  - op 90 91 4* par l’épaisseur, de la même maniéré qup
  - l’on a fait ci- ___________
  - devant pour
  - les surfaces ; le cube proposé sera transformé en. un autre cube uniforme de q310 5p 3 0 61 of 1 o ua 1 ’ de long sur i*° de large et 1 *° d’épaisseur.
  - De la réduction en pieds cubes.
  - La réduction en pieds cubes est le produit des
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- - 16 MANUEL
  - trois dimensions d’un cube donné, désignées en pieds et parties de pied; ainsi l’opération se fait de la même maniéré que la multiplication pour réduire en pieds quarrés.
  - Soit donné un cube de 5p 6° de long sur 4P 3° de large et 2P 8° de haut: multipliez 5p 6° par la largeur 4 p 30, ensuite multipliez le produit 23 Ç 4° 61 parla hauteur 2P 8°, vous aurez un autre solide de 62p 40 cubes; c’est-à-dire un cube de 62p 40 de long sur 1p de large et ip d’épaisseur qui sera égal à celui dont les dimensions sont données.
  - Méthode pour réduire une quantité de pieds , pouces, lignes , etc. de pied cube, en toises, pieds, pouces, etc. de toise cube.
  - Considérez le nombre donné cqpime un prisme uniforme dont la longueur est la quantité donnée, ayant ip de largeur et ip d’épaisseur. Réduisez le nombre de pieds seulement en toises, afin que la longueur soit exprimée en toises, pieds, pouces, etc. de pied quarré; puis prenez le 6ine du nombre , et ensuite le 6me du 6rae, et vous aurez le solide réduit en toises , pieds, pouces, etc. de toise cube.
  - Supposons que la quantité donnée soit 6° de pied cube, je prends la 6mepartie de 1276p, et j’ai 312to 3P 6° de pied cube qui valent autant que 1275p 6° de pied cube,
  - J’écris
- p.16 - vue 33/438
- - d’auchitecture,1 frj
  - J’écris............2i2t0 3? 6°
  - j’en prends le 6ffle, ci . . 35 2 7
  - je prends encore le 6me du
  - dernier nombre., et j’ai 5 t0 5 p 5 0 21
  - ce qui me donne un solide de 5t0,5p 50 21 de long sur 1 toen quarré, qui est équivalant au solide de 127^ 6°.de long sur 1 * en quarré.
  - Méthode pour réduire en pieds, pouces, lignes de pied cube, une quantité de toises,pieds, pouces de toise cube.
  - Soit proposé le nombre 5t0 5P 5° 21 de toise cube, je réduis les toises en pieds en les multipliant par 6, et j’y ajoute les 5p 50 21 *, ce qui me, donne 35p .50 21 de toise cube.
  - J’écris .. r. . . . . ; . . ;. 35 p 5 0 2 1
  - je multiplie ce nombre par 6
  - et j’ai d’abord . ....... 212 7 o
  - que je multiplie encore par 6
  - ce qui me donne .... ... . 1275 p 6 0 o
  - c’est-à-dfce que 1275p 6° de pied cube valent autant que 5t0 5P 5° 21 de toise cube ; ce qui sert de preuve à la réglé précédente.
  - De la réduction des bois quarrés:
  - L’on nomme piece de bois ou solive un morceau de bois de i2p de long sur 6° en qtiarré de
  - B
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- - l8 MANUEL
  - grosseur mais dans la réduction des bois, une solive est supposée n’avoir que 6P ou 1to de long sur 12 ° de large et 6° d’épaisseur, ce qui revient au même.
  - Un nombre de solives est donc une quantité cubique uniforme dont la longueur est représentée par des toises, pieds, pouces, lignes, etc.' et dont la grosseur est représentée par un demi-pied quarré. Mais au lieu de dire toises, pieds, pouces, etc. l’on dit solives, pieds, pouces, etc.
  - Puisque la longueur d’une solive est. égale à une toise , et que la grosseur est le produit de 12 ° par 6°, ou un demi-pied quarré , il en résulte qu’une solive contient 72 tringles de'110 de long chacune sur 10 quarré de grosseur ; qu’une solive contient 3P cubes , et que par conséquent 1to cube, ou 216p cubes, contient 72 solives.
  - Une toise quarrée de planches d’un pouce d’épaisseur contient 3p cubes, et par conséquent est égale à une solive.
  - Unë solive contenant 3p cubes est la moitié d’un solide de 6p de long sur 1p quarré de gros; ainsi lorsqu’on voudra réduire en pieds de solive une quantité de pieds cubes, il ne faudra crue doubler le nombre de pieds cubes. Par exemple, i 3p 100 31 de pieds cubes vaudront 27 p 8° 61 de solive, ou 45013P 80 6\ Pour abréger, l’on prend le tiers du nombre de pieds et le sixième des pouces, lignes, etc.
  - Pour réduire en solives un morceau de bois," on le suppose d’abord de 6p de long, et l’on ne Calcule que la grosseur; ensuite l’on multiplie le produit de la grosseur par la longueur réduite en toises, pieds, pouce?, etc.
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- - t) architectures" ïÿ
  - D’après ce que l’on a dit ci-devant, ü est aisé de remarquer qu’un nombre composé de pouces * lignes, etc. de pied quarré sera égal au même nom* bre de pieds, pouces, lignes, etc. de solive: par Conséquent 22p 6° de solive vaudront autant que 22° 61 de pied quarré; ce qui donne un moyen très facile pour Calculer les bois quarrés.
  - Soit, par exemple, un morceau de bois de î10 de long sur 150 et 180 de gros : multipliez un côté de la grosseur en pouces par l’autre côté réduit en pieds et pouces, le produit donnera 220 61 de
  - pied cube , qui vaudront 2213 6° de solive, ou 3so1 4P 6°, comme on le voit dans l’exemple ci à côté , et dans sa preuve qui est au-dessous.
  - Exemple ier.
  - Epaisseur, i5 0 Largeur, 1 p 6 0
  - Produit , 22 0 61
  - Preuve. Largeur, 180 Epaisseur, 1 p 3 *
  - Produit,
  - 6l
  - Si Ton veut que le produit donne tout de suite le nombre de solives que l’on cherche, il faut éloigner d’un rang vers la droite tous les termes du multiplicateur, et poser zéro en place des toises, comme on le voit dans le 2 preuve, puis calculer ces dimensions comme si l’on calculait des toises, pieds, pouces, etc. par des toises, pieds, pouces, etc. le produit donnera tout de suite des solives, pieds, pouces et lignes de solive.
  - exemple et dans sa Exemple 2me»
  - p 6 0
  - Epaisseur, 15 ü Largeur, o t0 1
  - Pour 1 p 2 3 o Pour 6 0 116
  - Produit, 3sol4P 6a
  - Bij
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- - 20
  - MANUEL
  - Preuve."
  - Largeur , 18 °
  - Epaisseur, o t0 i p 3 ®
  - Pour ip 3so1 Pour 3° 04 6
  - Produit, 35o14p 6°
  - Lorsque les dimensions de la grosseur sont au-dessous de 12°, l’on peut abréger le calcul en faisant le produit de ces dimensions en pouces quar-rës que Ton considéré comme autant de pouces de solive. Par exemple, un morceau de 70 et 8° de gros produit 56° quarrés qui valent 56° de solive , ou o*Gl 4P 8 % Un morceau de n 0 et 120 de gros produit îba0 quarrés qui valent i32° de solive, ou 11p de solive,ou enfin 1 s°l 5P.
  - Lorsque l’on a calculé la grosseur d’un morceau de bois supposé de 1tü de longueur, l’on multiplie le produit par la longueur donnée en toises, pieds, pouces, etc.
  - Supposons un morceau de bois de 3it0 4p 60 de long sur 170 et 19° de gros, calculez ce morceau comme s’il n’avoit qu’une toise de long, c’est-à-dire la grosseur seule- Exemple.
  - ment,par une desmé- Largeur, 19°
  - - A • • ’ Epaisseur, o10 1 p 59
  - Produit sur
  - itode long, 4ldl2 p 11 0 Longueur, 346
  - Pour 3 to Pour 3p Pour ip 6e
  - Produit* i’6sol4
  - thodes précédentes, et vous aurez 4soi 2P ;i 10 pour une toise de longueur dudit morceau que vous multiplierez par la longueur 3'*° 4P 6°, de la même maniéré que
  - i3
  - 2
  - 1
  - 2 9
  - 1 5
  - o 8
  - •11
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- - d’architecture. aii
  - l’on calcule les toises quarrées, le produit du morceau proposé sera 16SûI 4p 110 3!.
  - L’on peut souvent abréger l’opération en mettant la longueur en place d’un des côtés de la grosseur, et ce côté en place de la longueur-, ainsi,1 par exemple, un morceau de 22p 6° de long sur 170 et 190 de gros sera égal à un morceau de 17^ de long sur 220 6l et 190 de gros, ou à un autre de i9P de long sur 17° et 220 61 de gros, car le produit est toujours le même. Cela donne beaucoup de facilité dans la pratique , principalement lorsqu’un côté de la grosseur est de 6°, comme ,' par exemple , np de long sur 6° et 90, peut être considéré comme un morceau de 6P de long sur 90 et 110, et le produit de 90 par 110 qui est 990 quarrés, ou 8P 3° de solive, ou iso1 2P 3°, sera le produit du morceau proposé duquel l’on n’a calculé que deux dimensions seulement.
  - Lorsque l’on peut prendre des parties aliquotes de la toise dans une dimension de- la grosseur, l’on abrégé beaucoup l’opération. Par exemple, un morceau de it0 3P de long sur 8° et io° de gros est égal à un autre de 110 de long sur 12° et io° de gros., et il n’y a que la grosseur 12° et 10* à calculer.
  - De la réduction des bois en grume.
  - L’on nomme bois en grume le corps d’un arbre tel qu’il est sur pied avec son écorce. Comme ces bois sont destinés à être équarris , ils donnent' deux qualités de bois : l’une , que l’on nomme bois quarré j. et l’autre % que l’on nomme dosse.j
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- - $2 MANUEL
  - L’on ne peut guere tirer de dosses des arbres de foible épaisseur, parcequ’on les équarritpresque toujours avec la cognée, et les levées ne font que des copeaux ; mais lorsque les arbres sont gros, l’on peut en tirer quatre dosses en équar-rissant avec la scie. C’est pourquoi il est essentiel de savoir réduire un arbre sur pied comme s’il étoit équarri, et de connaître en particulier la réduction des dosses ou des copeaux qui peuvent avoir une valeur quelconque.
  - Nous n’avons point d’égard ici aux méthodes dont se servent les marchands, parcequ’elles sont trop éloignées des principes géométriques sur lesquels sont fondées toutes nos opérations.
  - Nous donnons ci-après une table de bois en grume calculée sur une toise de longueur. Cette table contient quatre colonnes: la i" indique le pourtour des arbres dépouillés d’écorce ; la 2me indique les réductions des bois en grume non équar-ris ; la 3me les réductions des bois supposés équar-ris à vive arrête ; et la 4,ne les réductions des dosses, non compris l’écorce.
  - Comme l’on mesure souven t les arbres sur pied
  - Î>ar-dessus l’écorce, l’on aura, à peu de chose près, e pourtour au nud dépouillé d’écorce en diminuant de la mesure prise sur l’écorce six fois l’épaisseur de cette écorce. Par exemple, si l’on a trouvé 63° de pourtour à un arbre mesuré sur l’écorce, et que cette écorce ait 1 ° 6ld’épaisseur, l’on rabattra 6 fois i° 61, c’est-à-dire q° de 63°, çt le reste 54° sera le pourtour sans écorce.
  - Si l’on veut avoir le produit d’une toise de longueur do cet arbre, l’on cherchera clans la Ce
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- - TABLE DU TOISÉ^DES BOIS EN GRUME;
  - Pagé 22
  - Pourtour sans écorce. Produit non équarri. Produit équarri. Produit des dosses
  - 16° 18 19 20 Os°I j p O 1 O 2 O 2 O 2 8° 11 1 4 7 4‘ 0 9 8 10 0s°I x O l O I O 1 O 1 i0 2 4 6 8 o1 7 5 0 O 0 a 0s°l 0 p O 0 O O O 0 O 0 7° 8 9 10 11 4l 5 4 5 7
  - 21 O 2 11 1 O 1 10 4 O 1 0 9
  - 22 O 3 2 6 O 2 0 6 O 1 2 0
  - 23 O 0 D 6 1 O 2 2 9 O 1 3 4
  - 24 O 0 3 9 10 O 2 5 2 O 1 4 8
  - 25 O 4 i 8 O 2 7 8 O 1 6 0
  - 26 0 4 5 9 O 2 10 3 ' O 1 7 6
  - 27 O 4 10 0 O 3 0 11 O 1 9 1
  - 28 O 5 2 4 O D 3 8 O 1 io 8
  - 29 O 5 6 11 O 3 6 7 O 2 0 4
  - 3o O 5 11 7 O 3 9 7 O 2 2 0
  - 3i 1 0 4 5 ' O 4 0 8 O 2 3 9
  - 32 1 0 9 5 O 4 3 10 O 2 5 7
  - 33 1 1 2 7 O 4 7 1 O 2 7 6
  - 34 1 1 7 11 O 4 10 6 O 2 9 5
  - 35 1 2 1 5 O 5 2 0 O 2 11 5
  - 36 1 2 7 1 O 5 5 7 O 3 1 6
  - 37 1 D 0 11 O 5 9 3 O 3 3 8
  - 38 1 3 6 10 1 0 1 1 O 3 5 9
  - 39 1 4 1 0 1 0 5 0 O 3 8 0
  - 40 1 4 7 O D l 0 9 0 O 3 10 3
  - 41 1 5 i 8 1 i 1 1 O 4 0 7
  - 42 1 5 8 4 1 1 5 4 O 4 3 0
  - 43 2 0 3 1 1 9 7 0 4 5 6
  - 44 2 0 10 0 1 2 0 O 4 8 0
  - 45 2 1 5 1 1 2 6 6 O 4 10 7
  - 46 , 2 2 0 4 1 2 11 1 O 5 1 3
  - 47 2 2 7 8 1 3 3 10 O 5 3 10
  - 48 2 3 3 0 D „ 1 3 8 8 O 5 6 7
  - 49 2 3 11 0 l" 4 1 7 0 5 9 5
  - Pourtour sans écorce. Produit non équarri. Produit équarri. Produit des dosses. lso1 O? 00 31 1 o-33 1062 1093 1104
  - 5o° 5i 5-2 53 54 2so! 4P 2 5 2 5 3 0 3 1 6° 2 11 ? I ol II 1 5 11 lsol4P 1 4 1 5 1 5 2 0 6° 11 4 10 3 71 8 11 2 7
  - 55 3 2 0 7 2 0 9 2 1 1 0 a 5
  - 56 3 2 9 5 2 1 2 9 1 1 6 8
  - 57 3 3 6 5 2 i 8 '6 1 i 9 11
  - 58 3 4 3 7 2 2 2 3 1 2 i 4
  - 59 3 5 0 11 2 2 8 3 1 2 4 8
  - 60 3 5 10 4 2 3 2 3 ‘ 1 2 8 1
  - 61 4 0 8 0 2 3 8 4 1 2 11 8
  - 62 4 1 5 9 2 4 2 7 i 3 3 2
  - 63 4 2 3 9 2 4 8 11 1 3 6 10
  - 64 4 3 1 10 2 5 3 6 1 3 10 4
  - 65 4 4 0 1 2 5 9 11 1 4 2 2
  - 66 4 4 10 6 3 0 4 6 1 4 6 0
  - 67 4 5 9 1 3 0 11 3 1 4 9 10
  - 68 5 0 7 10 3 1 6 1 1 5 1 9
  - 69 5 1 6 9 3 2 1 0 1 5 5 9
  - 70 5 2 5 9 3 2 8 1 1 5 9 8
  - 71 5 3 5 0 3 3 3 2 2 0 1 10
  - 72 5 4 4 4 3 3 io 5 2 0 5 11
  - 73 5 5 3 11 3 4 5 9 2 0 10 2
  - 74 6 0 3 7 0 D 5 1 3 2 1 2 4
  - 75 6 1 3 5 3 5 8 9 2 1 6 8
  - 76 6 2 3 5 4 0 4 5 2 1 11 0
  - 77 6 3 3 7 4 1 0 2 2 2 3 5
  - 78 6 4 3 11 4 1 8 0 2 2 7 11
  - 79 6 5 4 5 4 2 3 11 2 3 0 6
  - 80 7 0 5 i 4 3 0 0 2 3 5 1
  - 81 7 1 5 11 4 3 8 2 2 3 9 9
  - 82 7 2 6 10 4 4 4 5 2 4 2 5
  - 83 7 3 8 0 4 5 0 9 2 4 7 3
  - Pourtour Produit
  - sans écorce. non é( }uarri. Produit équarri. Produit des dosses.
  - 84° y SOI 4? 9° 31 4so1 5p 9° 21 2so1 5 p 00 11
  - 85 7 5 10 9 5 0 5 9 2 5 5 0
  - 86 8 1 0 4 5 1 2 5 2 5 9 11
  - 87 8 2 2 1 5 1 11 2 3 0 2 11
  - 88 8 0 D 4 0 5 2 8 0 3 0 8 0
  - 89 8 4 6 1 5 3 5' 0 3 1 1 1
  - 90 8 5 8 4 5 4 2 i 3 1 6 3
  - 91 9 0 10 9 5 4 11 3 3 1 11 6
  - 92 9 2 1 0 O 5 5 8 6 0 O 2 4 9
  - 93 9 0 D 4 0 6 0 5 10 3 2 10 2
  - 94 9 4 6 10 6 1 3 4 3 3 3 6
  - 95 9 5 9 11 6 2 0 11 3 3 9 0
  - 96 10 1 1 1 6 2 10 7 3 4 2 6
  - 97 10 2 4 5 6 3 8 4 3 4 8 1
  - 98 10 3 7 11 6 4 6 2 3 5 1 9
  - 99 10 4 11 7 6 5 4 2 3 5 7 5
  - 100 11 0 3 5 7 0 2 3 4 0 1 2
  - 101 11 1 7 9 7 1 0 5 4 0 7 4
  - 102 11 2 11 7 7 i 10 8 4 1 0 11
  - io3 11 4 3 11 7 2 9 1 4 1 6 ÎO
  - 104 11 5 8 4 7 3 7 7 4 2 0 9
  - io5 12 i 1 0 7 4 6 2 4 2 6 10
  - 106 12 2 5 9 7 5 4 10 4 3 0 n
  - *107 12 3 10 9 8 0 3 7 4 3 7 2
  - 108 12 5 3 10 8 1 2 6 4 4 1 4
  - 109 i3 0 9 1 8 2 1 6 4 4 7 7
  - 110 i3 2 2 6 8 3 0 7 4 5 1 11
  - iin i3 3 8 1 8 3 11 9 4 5 8 4
  - 112 i3 5 1 10 8 4 11 0 5 0 2 10
  - 113 H 0 7 8 8 5 10 5 5 0 9 3
  - 114 *4 2 1 9 9 0 9 11 5 1 3 10
  - 115 14 3 8 0 9 1 9 6 5 1 10 6
  - 116 *4 5 2 4 9 2 9 2 5 2 5 2
  - “7 i5 Q 9 0 9 3 9 0 5 3 0 0
- pl.22 - vue 40/438
- - d’a RCHITECTüRE.1 a3
  - colonne le nombre 5/j. ; 'dans la a”* colonne l’on trouvera 3so1 ip 3° 111; dans la 3me colonne aso1 op 3° 71 ; et dans la 4me colonne î501 îp o° 41.
  - CHAPITRE IV.
  - De la division.
  - Dans les bâtiments l’on n’a guere d’autres divisions à faire que celles des mesures, ou des quantités provenant du produit des mesures.
  - Si le dividende ou le nombre à diviser exprime des toises courantes, le diviseur sera un nombre qui n’exprimera aucune mesure, et le quotient exprimera des toises courantes.
  - Si le dividende exprime des toises quarrées le diviseur exprimera des toises courantes ainsi que le quotient ; mais si le diviseur n’exprime point de mesure, le quotient donnera des toises quarrées.
  - Enfin si le dividende exprime des toises cubes, le diviseur pourra exprimer des toises quarrées et le quotient des toises courantes ; le diviseur pourra encore exprimer des toises courantes, et le quotient des toises quarrées \ le diviseur pourra aussi être un nombre qui ne désigne point de mesure, et le quotient sera un nombre de toises cubes.
  - L’on peut dire la même chose à l’égard des pieds, à l’égard des pouces, etc. mais il est bon de remarquer que si l’on veut diviser un nombre de toises par un nombre de pieds, il faut que le
  - B iv
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- - 24 MA.NUU'
  - nombre de pieds soit réduit en toises, oit queTe? nombre de toises soit réduit en pieds, sans cela l’on peut tomber dans des erreurs considérables.
  - Que l’on ait à diviser des toises cubes par des tôises cubes, ou par des toises quarrées, ou par des toises courantes, ou enfin par un nombre sans caractère, la division se fait toujours de même : la seule chose qu’il faut observer, c’est de supposer que le dividende et le diviseur soient chacun divisés par l’unité, caractérisés du même Caractère que le diviseur; alors les quantités restant les mêmes, le diviseur n’aura plus de caractère, quoique son nombre entier et ses parties restent les mêmes. Par exemple, si l’on vouloit diviser 7210 cubes par 8t0 quarrées, l’on suppo-seroit ces deux quantités divisées chacune par iit0 quarrée, et pour lors Fou n’auroit plus que 72to courantes à diviser par 8; de même que si l’on vouloit diviser 72*° cubes par 8to courantes, l’on supposeroit ces deux quantités divisées chacune par 1to courante, et l’on aura 72'® quarrées à diviser par 8. Dans le premier cas, le quotient donnera 9to courantes, et dans le second il donnera 9‘° quarrées.
  - Question première,
  - La surface d’un rectangle étant 1329'° ap 7 % et un côté étant 37'°, l’on demande la longueur de l’âutre côté.
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- - d’a rchiîe cture.
  - 25
  - Résolution.
  - Opération.'
  - i 32910 2 p 7 '
  - 219
  - 34
  - 204 p
  - O
  - 206
  - °7
  - 351° 5 P ^ <
  - 252 ‘
  - 7
  - 259
  - 000
  - Disposez les quantités comme dans la division ordinaire, et après que vous àurez divisé i329to par 37, vous multiplierez le reste 34 par 6 pour le réduire en pieds , et vous y ajouterez les 2P du diviseur*, ce qui fera 206 p que vous diviserez par 3 7,
  - et vous trouverez 5 au quotient , que vous écrirez au rang des pieds-, vous ôterez du diviseur 206 le produit de 07 par 5, et il restera 21p que vous multiplierez par 12 pour les réduire en pouces, et vous aurez 202° auxquels vous joindrez les 70 du dividende,et cela donnera pour diviseur; enfin vous diviserez 259° par 37, et vous trouverez 7 que vous écrirez au rang des pouces; puis r multipliant ?>j par 7 , vous trouverez 25p, qui étant ôtés du diviseur 259, il ne reste rien. Le quotient 3510 5P 70 sera le côté du rectangle^que Ton cherche.
  - Question 2™*
  - Un solide contenant un cube 91710 3p 110 6l r et sa hauteur étant 24e0 2P 6°, Ton demande la surface de sa base.
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- - MANUEL
  - 26
  - Résolution.
  - Multipliez le diviseur et le dividende, chacun par un nombre tel, que les parties de l’entier du diviseur deviennent des entiers; ce qui ne changera rien à la valeur de la division : puis faites la division comme ci-devant.
  - Je m’apperçois que le diviseur 2410 2 p 6° étant multiplié par 12, donnera 2C)3t0 justes; ainsi je multiplie le dividende 917*° 3P 110 61 aussi par 12, et j’ai noiito 5P 6° que je divise par 29310 de la même maniéré que dans l’opération de la question première, et je trouve au quotient 37t0 3P 6* pour la surface de la base du solide proposé.
  - Lorsqu’on a un nombre de pieds, pouces * lignes , etc. à diviser par un autre nombre de pieds, pouces, lignes, etc. l’on fait évanouir les fractions du diviseur comme ci-devant en multipliant les deux quantités données par un même nombre , puis l’on divise le nouveau dividende
  - Îiar le nouveau diviseur ; ce qui donne toujours, e même quotient.
  - R E M A R q u E,
  - L’on ne pourra disconvenir que les méthodes-ordinaires , telles qu’elles sont enseignées ci-devant , sont fort longues, principalement lorsque le diviseur est composé de nombres entiers et de fractions de différentes especes, telles que des pieds, pouces, lignes, etc. car dans ce cas; Fon est obligé de réduire le diviseur aux unités
- p.26 - vue 44/438
- - d’architecture.’ 2 7
  - de la plus petite espece; ce qui le rend très étendu , et entraîne à des multiplications fort longues. Pour éviter ce travail pénible, l’on va donner ci-après une méthode, avec laquelle l’on pourra faire la division sans être obligé de réduire le diviseur.
  - Méthode pour faire la division par un nombre composé d’entiers et de fractions, sans être obligé de faire évanouir les fractions du diviseur.
  - L’oa remarquera d’abord combien le quotient doit avoir de chiffres aux unités principales ; si le quotient doit avoir deux chiffres,. on multipliera le diviseur par io, et l’on posera le produit au-dessus ; s’il doit avoir trois chiffres, on le multipliera par io, puis par ioo en prenant dix fois le ier produit; s’il doit avoir quatre chiffres, l’on prendra encore io fois le produit de îoo, et ainsi de suite. Tous ces produits serviront de diviseur chacun leur tour en commençant par le plus grand. Cette opération sera d’autant plus facile , que les nombres multipliés par îo sont les mêmes, éloignés d’un rang vers la gauche.
  - Question première.
  - L’on demande la surface de la base d’un solide de i64447p 7° 7* 41 8,A cubes sur 258P7x>81de hauteur, sans faire évanouir les fractions du diviseur.
  - H û s o e u t 1 o N.
  - Je cherche d’abord combien il peut y avoir de
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- - nS manuel'
  - chiffres aüx unités principales du quotient,- et je m’apperçois au coup-d’œil qu’il peut y en avoir trois ; par conséquent je dois avoir trois diviseurs*
  - Operation.
  - Dividende. r ierdmseur 25863? 1 o 0 81 \ 2e diviseur 2586 4 &
  - 16444?p 7° 714*8 w<\ 3e diviseur 258 y 8
  - i55i83 4_______/quotient 635 ? p? io>1
  - 9264 3748 7759 2000
  - r5o5 1 7 4 s1 1293 240
  - 2'I 1 11: 3 4 8 multi. par 12
  - 2543 0 31 4'8"
  - 2327 9 o
  - 21'5 6 4 8-
  - multi. par 13
  - 25861 41 '8 "
  - 2586 4 8
  - reste ... o o o
  - Je multiplie le diviseur donné 258p y0 8‘'par 10, et j’ai 2586p 40 81 pour second diviseur que je multiplie encore par 10, et j’ai 25863p io° 8* pour premier diviseur.
  - Je prends les quatre premiers chiffres à gauche du dividende, et je dis combien 1644 contient de fois le nombre 268p des unités du diviseur donné, je trouve 6 fois, et j’écris 6 au quotient sous les centaines; je multiplie par 6 le ier diviseur 25863p io° 8‘, et j’ai i55i83p 4° °l que
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- - d’a rchiticture.' 29
  - pôte du dividende, et il reste 9264p 3° 71 4f8f/.
  - Je cherche combien les trois premiers chiffres 926 du reste contiennent de fois le diviseur donné 258p, et je trouve 3 fois que j’écris au quotient sous les dixaines ; je multiplie le 2me diviseur 2586P 40 81 par 3 , et j’ai 7759p 20 o1 que j’ôte du premier reste, et il reste encore i5o5p 10 71 4'8".
  - Je cherche combien i5o5p contient de fois le diviseur donné 258p, et je trouve 5 que j’écris au quotient au rang des unités; je multiplie le 3e diviseur 258p 70 81 par 5, et j’ai i293p 20 41 que j’ôte du 2^e reste, et il reste encore 211p 11° 31 4' 8".
  - Ce reste ne pouvant plus contenir le diviseur, je le réduis en pouces en le multipliant par 12, et j’ai 25430 31 4'8", lequel nombre contient 9 fois le diviseur donné ; j’écris 9 au rang des pouces; je multiplie le diviseur 258p 7°8‘par 90, et j’ai 2827° 91 of que j’ôte de 2548° 31 4r. 8", et il me reste 216° 6l 4' 8".
  - Je réduis ce reste en lignes en le multipliant par 12, et j’ai 258b1 4*8"; je cherche combien de fois le diviseur est contenu dans ce nombre, et je trouve 10 fois; je multiplie le 3e diviseur par 101, et j’ai 2586* 4f8'Vqui étant ôté du nombre précédent, il ne reste plus rien; par conséquent le quotient 635p 90 101 exprime la surface que l’on cherche.
  - Observez qu’il 11’y a point d’équivoque lorsque l’on réduit le reste des pieds en pouces, et que le produit du diviseur 268p 70 81 multiplié par les 90 que l’on a trouvésau quotient, donne 2027P9l.
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- - 3ô M A N Ü E L
  - La raison en est facile à saisir : si je multiplié le reste 21 ip 11° 31 4/ 8" par 12, je réduis ce nombre en pouces 7 lignes, etc. de pied quarré ; de même qu’en multipliant le diviseur donné 258P 70 81 par 90, je le réauis aussi en pouces, lignes, etc. de pied quarré. Donc les deux quantités dont on fait la soustraction ont les mêmes caractères, et ne peuvent donner de faux reste. L’on peut dire la même chose à l’égard des lignes,, points, etc. de pied quarré.
  - L’011 peut encore raccourcir l’opération en ne posant pas le produit à chaque fois sous le dividende, comme on va le voir dans la question suivante.
  - Question 2me.
  - Supposons que 857697p quarrés soit la surface d’un rectangle, et que 9P 70 51 soit sa largeur, l’on veut savoir quelle est la longueur, sans faire évanouir les fractions du diviseur.
  - Résolution.
  - Je multiplie le diviseur donné 9P 70 51 par 10, et j’ai 96p 20 21; je multiplie ce nombre par 10, et j’ai96iP9°81; je le multiplie par 10 , et j’ai 9618p o° 81 que je multiplie toujours par 10, et
  - Opération.
  - ficrp6i8op 6° 8i l 2e 9618 ô 8
  - Dividende. l3e 961 9 8
  - /4e 96 2 2
  - 85y6c)jP 0° Ol J 5e diviseur 9 7 5
  - 88ï5a 6 o / 891758 7
  - IO9O O 8 I quotient.
  - 728 3 o v
  - 54 1110 6 10 9
  - 82° 9 1 o1 598
  - ~6çp~ 8 ,_q ^
  - 2 4 i reste
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- - d’architecture.' 31
  - j’ai 9618op 6° 81 que je ne multiplie plus, parce-que ce dernier nombre peut être contenu dans le dividende un certain nombre d’unités simples.
  - Je cherche combien 8e fois les deux premiers chiffres 85 du dividende peuvent contenir de fois les unités 9 du diviseur ; je trouve que 9 fois seroit trop fort, parcequ’en multipliant le ier diviseur par 9, j’aurai un nombre plus fort que le dividende : mais 8 fois le premier diviseur sera contenu dans le dividende; ainsi j’écris 8 au-dessous du ier chiffre 9 du ier diviseur. Je multiplie par 8 les chiffres du premier diviseur, et je retranche à mesure les produits du dividende de cette maniéré. Je dis, o fois 81 valent 641 ; et comme il n’y a point de lignes au dividende, j’emprunte 721 qui valent 6°; j’ôte 641 de 721, et il reste 81 que j’écris au dividende au-dessous des lignes, et je retiens 6°. Je dis ensuite, 8 fois 6° du ier diviseur font 48°, et 6° que j’ai retenus font 54°; j’emprunte 6o° qui valent 5P; j’ôte 54° de 6o°, et il reste 6° que j’écris à son rang au dividende. 8 fois o font o ; mais 5P que j’ai retenus valent 5 que j’ôte de , et il reste ap que j’écris au dividende au-dessous de 7P. 8 fois 8 dixaines valent 64 dixaines ; j’emprunte 6 centaines auxquelles je joins les 9 dixaines du dividende, et j’ai 69 dixaines desquelles j’ôte 6^4 dixaines, et il reste 5 que j’écris, et je retiens les 6 centaines que j’ai empruntées. Je dis, 8 fois 1 centaine valent 8 centaines, et 6 que j’ai retenues font 14 ; et comme il n’y a que o centaines au multiplicande, j’emprunte i millième ; ce qui me fait 16 centaines
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- - 3 2 MANUEL
  - desquelles j’ôte 14, et il reste 2 que j’écris, et retiens 1 millième. Je dis, 8 fois 6 millièmes font 48, et 1 que j’ai retenu font 49 ; j’emprunte 5 dixaines de mille auxquelles je joins les 7 mille, et j’ai 57 millièmes desquels j’ôte 49? et il reste 8 que j’écris, et retiens 5 dixaines de mille. Je dis ensuite, 8 fois 9 dixaines de mille font 72 , et 5 que j’ai retenues font 77; j’ôte 77 de 85 dixaines de mille, et il reste 8 que j’écris. Le premier reste se trouve de 882Ô2P 6° 81.
  - Je divise le ier reste par le 2me diviseur 9618? o° 81 en disant combien les deux premiers cniffres 88 contiennent de fois 9 ; je trouve 9 fois que j’écris au quotient. Je dis ensuite, 9 fois 81 valent 72 mais il n’y a que 81 au icr reste; j’emprunte donc 6° qui valent 72*, et 8 font 80 : j’ôte le produit 72 de 80, et il reste 81 que j’écris au dividende , et retiens 6°. Je dis] ensuite, 9 fois o du 2me diviseur valent o; mais 6° que j’ai retenus valent 6° que j’ôte des 6° du ier reste , et il reste o que j’écris, et ne retiens rien, parceque je n’ai rien emprunté. Je continue l’opération comme ci-devant, et j’ai 1 Ô9op o° 81 pour 2me reste.
  - Je divise le 2me reste i69op o° 81 par le 3me diviseur de la même maniéré, puis le 3me reste 728p 3° o1 par le 4me diviseur, puis le 4me reste 54p 11° 101 par le 5me diviseur, et le dernier reste 6P io° 91 est moindre que le 5me diviseur. Je multiplie ce dernier reste par 12 , et j’ai 82° 91 que je divise toujours par le 5me diviseur 9P 70 51, et il reste 5? 90 81 que je multiplie par 12, et j’ai 6^l 80 o' que je continue à diviser par 9P 70 51. Enfin il reste 21401 ' que je pourrois encore diviser à l’infini,
  - mais
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- - d’architecture.^ 33
  - mais que je néglige, parceque ce reste est peu de chose. Je trouve que la longueur du rectangle proposé est de 891 8° 71 avec un reste.
  - Quoique cette réglé paroisse difficile à cause delà longue explication que l’on est obligé de faire pour renseigner, elle ne l’est cependant point; elle est même beaucoup plus facile qu’aucune des méthodes dont on se sert ordinairement ; mais il faut savoir bien Calculer pour la mettre en usage, sans quoi l’on'pourrait souvent se tromper.
  - Question 3me.
  - L’on demande la longueur d’un rectangle dont la surface est 6oi95ito ip 40 51, et dont la largeur est 7oot0 3P 70 en se servant de la méthode ci-devant.
  - Résolution.
  - Disposez la division comme ci-devant, en multipliant le diviseur successivement par 10, jusqu’à ce que vous ayez un diviseur qui puisse être contenu dans le dividende un certain nombre d’unités simples.,
  - P
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- - MANUEL'
  - 3-4
  - Opération.'
  - Dividende.
  - 6qig)5i t0 1 p 40 1 ier 17473 2 8
  - 2e 2861 3 O
  - 3e reste 669 4 3
  - 5 1 5 5 5
  - ier
  - L2e
  - J ^diviseur
  - quo lient
  - 73o59to 4P 4°ol 73o5 5 10 o 780 3 70
  - 82310 5 p 6°
  - 4018P i° 81 6f, 4e reste 365 196
  - 438!0 9 1 6' o", reste 0000 000
  - Ayant trouvé 8 pour premier chiffre du quotient, je prends 8 fois le ier diviseur 73o59to 4P 4°, et je fais la soustraction à mesure en disant, 8 fois o1 est o que j’ôte de 5l, et il reste 51 que j’écris au dividende: 8 fois 40 valent 32° que je ne puis ôter de 4°; j’emprunte 3P qui valent 36°, et 4° font 40°; puis j’ôte 32° de 40°, et il reste 8° que j’écris, et je retiens 3p que j’ai empruntés : je dis ensuite, 8fois 4P font 32p, et 3P que j’ai retenus font 35p que je ne puis ôter de ip ; j’emprunte 6t0 qui valent 36p, et lp font 37P ; puis j’ôte 35 de 87, et il reste 2P que j'écris, et je retiens les 6t9 que j’ai empruntées : je dis ensuite, 8 fois 9to valent 72t0, et 6t0 que j’ai retenues font 78'° que j’ôte de 8it0, et il reste 3 que j’écris, et je retiens 8 di-xainesque j’ai empruntées : je dis ensuite, 8 fois 5 font 40, et 8 que j’ai retenus font 48 que j’ôte de 55, et il reste 7 que j’écris, et je retiens 5 : ensuite 8 fois o valent o; mais 5 que j’ai retenus
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- - d’architecture, 35
  - Valent 5 que j’ôte de 9, et il reste 4 que j’écris, et je ne retiens rien n’ayant rien emprunté : je dis, ensuite, 8 fois 3 font 24 que j’ôte de 3i, et il reste 7 qu'é j’éfcris, et je retiens 3 : puis je dis, 8 fois 7 Font 56 ët 3 que j’ai retenus font 59 que j’ôte de 60, et il rëstë 1 que j’écris. Ainsi le premier chiffre du diviseur est 8, et le ier reste est 17473* 2P 8° 5\
  - Je divise de même le ier reste par le 2e diviseur, ensuite le 2e reste par le 3e diviseur qui est ici le diviseur donné. Le 3me reste 66 4P 3° 51 étant trop petit pour contenir le diviseur donné; je le multiplie par 6, et j’ai 4oi8p i° 81 6* que je divise de même par 73010 3P 70 0*5 car en divisant des toises-pieds par des toises, le quotient donne des pieds ; puis ôtant chaque produit du dividende, j’ai un reste 365p i° 9'6' que je multiplie par 12 ; ce qui me donne 4881° 91 6} que jê divise encore par 730t6 3P 70 o1, et je trouve 6° justes sans reste, car ce sont des toises-pouces que je divise par des toises qui me donnent des pouces au quotient; La longueur demandée du rectangle proposé sera par conséquent 823* 6P 6°.
  - Moyen de faire plus facilement Vopération précédente.
  - Le premier chiffre 8 du quotient étant trouvé; je dis, 8 fois o valent o que j’ôte de 51, et il reste 5l que j’écris au-dessous du dividende: 8 fois 40 valent 32° ou 2P 8°; je retiens 2P, et j’ôte 8Q du dividende 5 mais comme les 40 du dividende sont
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- - 36 MANUEL
  - plus fbibles que 8°, j’emprunte ip ou 120, qui,1 joints avec les 40, valent 16° desquels j’ôte 8°, et il reste 8° que j’écris : je joins le pied que j’ai emprunté avec les 2P que j’ai retenus, et j’ai 3P à retenir: je dis, 8 fois 4P valent 82p , et 3P retenus font 35p ou 5t0 5P ; je 11e.puis ôter 5p de ip, j’emprunte ito, qui, avec ip, font desquels j’ôte 5P, et il reste 2P que j’écris; j’ajoute la toise que j’ai empruntée avec les 5P retenus, ce qui me fait 6t0 à retenir : je dis ensuite, 8 fois 9'° font 72t0, et ^t0retenues font 78 ou 7 dixaines et 8t0; nepouvant ôter 810 de it0, j’emprunte une dixaine à laquelle je joins ito, et j’ai nt0 desquelles j’ôte 8, et il reste 3 que j’écris : au lieu de retenir les 7 dixaines qüe j’ai laissées, j’en retiens 8 à cause de celle que j’ai empruntée : je dis, 8 fois 5 dixaines font 40, et 8 retenues font 48, ou 4 centaines et 8 dixaines ; je ne puis ôter 8 de 5, et j’emprunte 1 centaine ; ce qui fait i5, desquelles j’ôte 8, et il reste 7 que j’écris ; j’ajoute aux 4 centaines celle que j’ai empruntée, et j’ai 5 centaines que je retiens : je dis, S fois o font o ; mais 5 que j’ai retenues étant ôtées de 9, reste 4 que j’écris, et je ne retiens rien : je dis ensuite, 8 fois 3 mille font 24 mille , ou 2 dixaines et 4 mille ; j’ôte 4 de n, reste 7 ; j’ajoute la dixaine empruntée avec les 2 que j’ai laissées, et j’ai 3 dixaines à retenir : 8 fois 7 font 56 dixaines, et 3 retenues valent 59 ; j’ôte 9 de 10, et il reste 1 que j’écris; j’ajoute 1 centaine empruntée avec 5 centaines retenues, et j’ai 6 centaines que j’ôte des 6 du dividende , et il ne reste rien,
  - L’on fera la même opération pour le 2e diviseur, ensuite pour le 3e. Cette méthode est d’au-
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- - tant plus facile, qu’elle soulage beaucoup la mé^ moire.
  - Remarque.
  - Lorsque la quantité du dividende n’est pas de même nature que celle du diviseur, l’on ne peut faire la division par la méthode que l’on vient de suivre, à moins que l’on ne' dénature le diviseur ou le dividende pour substituer à l’un une quantité équivalente de même espece que l’autre ; ce que l’on peut faire par l’opération suivante.
  - Question
  - 3t0 4p 70 d’ouvrage ont coûté $3lîv 6% îo*»? l’on demande à combien revient la toise en se servant de la méthode précédente.
  - Résolution.
  - Comme Je ne puis diviser des livres, sous et deniers par des toises, pieds et pouces, je dénature les 3t0 4P 70, en supposant que la toise revienne à iliv, puis faisant le produit de 3t0 4P 70 par iKv, j’ai 3liv i5s 3d 4obole\ Le diviseur étant ainsi converti, je peux faire la division par la méthode précédente.
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- - 38
  - HÀNDEZj Opération;
  - Dividende.
  - 6* iô* 8ob
  - i*r reste 18 1 4 o
  - aé reste 3 o 2 8
  - 6ôs 4d 50b 4*
  - 3e reste 22 il 8 o
  - reàte 00 q q
  - Je multiplie le diviseur 3'* i5‘ 34 4ob Par 10? çt j’ai 37liy 12* 9d 4°b qui peuvent être contenus
  - 2 fois dans 93liv 63 iod 8ob. J’écris 2 au quotient ; puis je dis , 2 fois 4°b font 80b que j’ôte de 80b, et il reste o que j’écris au dividende : 2 fois çd font i8d que je ne puis ôter de iod; j’emprunte is qui vaut i2d, et iod font 22d; j’en ôte 18, et il én reste 4 que j’écris, et je retiens is que j’ai emprunté : 2 fois *2S font 24% et is que j’ai emprunté font 25s que je ne puis ôter de 6S; j’emprunte iEv qui vaut 20s, et 6 font 26* dont j’ôte 25S, et il reste 13 que j’écris, et je retiens iliv: je dis ensuite, 2 fois 7livfont 14, et iliv retenue font i5üv que j’ôte de 23Uv, et il reste 8 que j’écris, et retiens 2 dixaines que j’ai empruntées : puis 2 fois
  - 3 font 6, et 2 retenues font o que j’ôte de 9, et il reste 1 que j’écris.
  - Je divise ensuite le ier reste i8Kv is4d o0b par le 2* diviseur 3Uv i5s 3d 40b, et je trouve que le. diviseur est contenu 4 fois dans ce reste : j’écris
  - 4 au quotient', piiis je multiplie 3Uv i5* 3d 4°b par. 4 5 et j’ôte les produits du dividende à mesure
  - 1er diviseur 12s V2e diviseur 3 15
  - a 40b ;
  - 4
  - quotient 24^ 16s Q
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- - d’architectures 39
  - comme ci-devant, et il reste 3Ev o* 2d 8o1> que je multiple par 20 pour réduire les livres en sous $ ce qui âiÿ donne oos 4d 5°b 4fqueje divise encore par 37^ i2s 9d 4°b > ce qui me donne 1 dixaine de sou et un reste 22’ n* 80bque je divise par 3Hv i5* 3d 4ob, et je trouve 6S sans reste.
  - Il résulte de cette opération que la toise d’ou* vrage revient à 24Uv 10 \
  - CHAPITRE V.
  - De la résolution de plusieurs problèmes par h moyen de la division.
  - Problème premier.:
  - Réduire une quantité cubique en quantité superficielle sur une épaisseur donnée.
  - Résolution.
  - i°. Soit 15to cubes la quantité donnée de laquelle on veut faire un mur de 16° d’épaisseur, il s’agit de savoir combien Ton fera de toises super-, ficielles de ce mur.
  - i« Opéra t i o ts:
  - Dividende. I
  - i5t0oPo°
  - 161 reste 140 2e reste 008
  - rdivis. 2*' 12e diviseur o
  - tiP'4°
  - i 4
  - quotient 67103p o
  - L’on voit qu’il s’agit ici de diviser i5t0 cubes par oto 1p 4 °.
  - Ainsi, en disposant les quantités comme ci-qontre , l’on fera la division par la méthode que
  - Ç irç
  - reste
  - op 40 o 000
- p.39 - vue 57/438
- - 4 ° . M A H U E i!
  - l’on-a donnée ci-devant, et le quotient 6710 3? sera la quantité superficielle de mur de ^“d’épaisseur que donne 1510 cubes.
  - 2°. Supposons que l’on veuille faire un mur de 190 6l d’épaisseur avec 2,6t0 3p cubes, et savoir ce qu’on aura de toises superficielles.
  - , Divisez comme ci-devant 26t0 3p; cubes par oto ip 70 6\
  - et vous aurez 2e Opération.
  - 9'7t0'5p o° 1T1 superficielles de mur de i9°d-d’épaisseur qui vaudront autant que 2610 3 p cubes.
  - Dividende.
  - 2 610 3p 0 0 o1
  - 2 p 9 0
  - 0 1 4 6
  - 1 p 2° 31 0
  - 0 O 1 6
  - 0 1 6 0
  - 1 6 0 0
  - 0 0 i 6
  - 1er diviseur 21 2e diviseur O
  - quotient 9 7
  - reste
  - 4’
  - î
  - T
  - 3° o* 7 6
  - à lu
  - 3°. Si l’on veut savoir combien 710 cubes feront de mur de 8° d’épaisseur, l’on divisera de la même maniéré 7to par 8° en
  - plaçantce nombre au 3e. Opération.
  - rang des pouces, et ,
  - en observant la place , -PIVID* diviseur 1t0 op 8° des toises et des pieds t0 o P*diviseur 0 0 ^
  - par des zéro , et le 020) ° 0
  - quotientdonnera63to o o o ( superficielles de mur J de 8° qui vaudront autant que 7*° cubes.
  - 4°. Si la quantité proposée est de 4dp cubes, et que l’on veuille savoir ce qu’elle produira de
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- - D'A R G H ï ï! E C T U R E»; £$
  - pieds quarrés de mur
  - 5e 5° d’épaisseur, 4e- Operation
  - l’on disposera les 5° f^dhisem 41 p 8*
  - en observant la place Divid, Ue diviseur 4 2 des pieds, et l’on fera ^ 3e diviseur o 5
  - la division comme ci- 45p °°j quotient io8p o devant : le quotient ^3 ? ( donnera 108p superfî- % ,
  - ciels de mur de 5“ d’é-paisseur.
  - Problème 2îne>'
  - L’on demande ce qu’une quantité cubique donnera de toises courantes ou de pieds courants de mur dont la hauteur et l’épaisseur sont données.
  - Résolution.
  - Faites le produit de la hauteur par l’épaisseur en réduisant les unités principales à la même dénomination que celle du cube donné, puis faites la division comme ci-devant.
  - i°. Supposons que la quantité cubique soit 5t0 op 70 61, que la hauteur du mur soit 3P 6°, et que l’épais-
  - seur soit ip 6°, multipliez ot? 3P 6° par o to ip 6°, et le produit sera oto op 1 o° 61, l!servifa
  - Opération.
  - divis. 1to 2 p 90 o1 divis. o o 10 6
  - quotient 35t0 o o o
  - de diviseur que vous multiplierez par 10 pour
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- - ifi Manuel
  - avoir un premier diviseur i'° 2P 90 o1: faites ensuite la division comme ci-devant, et vous trouverez 35*° pour la longueur demandée,
  - 20, Supposons que l’on veuille savoir ce que 258p 7 cubes donneront de longueur de mur de 5P de haut sur 90 d’épaisseur.
  - Multipliez 5P par op 9% et vous aurez 3P 90 de superficie pour diviseur.
  - Multipliez ce diviseur par 10, et vous aurez p 6° pour premier diviseur qui pourra être contenu 6 fois dans 258p 6°: continuez l’opération comme ci-devant,' et vous aurez 68pn°2I4,pour la longueur demandée , avec un rQste op o° o13r que l’on peut négliger.;
  - Problème 3me.
  - L’on demande combien une toise quarrée emploie de briques, tuiles ou ardoises, lattes, carreaux hexagones, carreaux à bande, etc.
  - RisOLUTIO N.
  - Divisez 36p quarrés par la surface d’une brique ftu d’une latte, etc., vous aurez la quantité âe-mandée^
  - Opération,
  - Divid. z'ierdiviseur 37 p 6°
  - Lae diviseur 3 9
  - 258p 6°) qUOtîent 68p 11 0 2l 4*
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- - î*1 diviseur 11 | ° 4’
  - 2e diviseur 114 3e diviseur 014
  - quotient 324
  - d’archïtecTUrE 4$
  - ip. Supposons que la brique porte 8d de long sur 20 d’épaisseur, posée à plat, le produit d’une brique sera opi°
  - 4l qui servira d e Divid. diviseur: multipliez ce nombre par 10 , vous aurez iR i° 41 pour second diviseur, lequel, étant encore multiplié par ro} donnera ïip i° 41 pour premier diviseur. Faites là division comme ci-devant, et vous aurez 3a.4 briques pour une toise superficielle.
  - 2°. Supposons qu’une tuile ou une ardoise porte 8° de long sur 40 de pureau (î), le produit de op 8° par op 40 sera op 20 8\ lequel servira de diviseur: ainsi divisez 36P quarrés par op 20 8l sur* vant la méthode précédente, et vous trouverez; 162 tuiles.
  - 3°. L’on voudroit savoir ce qu’une toise quar-rée emploiera de lattes de 4P de long ; pour cela il faut savoir la distance que l’on veut mettre du milieu d’une latte au milieu* de l’autre : je suppose ici que cette distance soit dé 20; multipliez 4P par op 20, et vous aurez op 8° pour diviseur.' Divisez 36p quarrés par op 8°, et vous trouverez 54 lattes.'
  - 4°. Si vous voulez savoir ce qu’il faudra de carreaux à bande pour une toise quarrée, divisez 36p quarrés par la surface d’un carreau réduite au pied quarré, et vous aurez la quantité demandée.
  - (1 ) L’on nomme pureau ce qui est à découvert.
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- - 14 iï A N 17 E i
  - 5°. Lorsque les carreaux sont hexagones, Fort Saura la surface d’un carreau en multipliant son pourtour par le quart de sa largeur prise entre deux côtés parallèles. Le pourtour se trouvera en prenant sa largeur 3 fois ^ de fois, et sa surface se trouvera en multipliant le qüarré de sa largeur par 45, et en divisant le produit par 52.
  - Supposons que le carreau soit de 4°? son quarré, réduit au pied quarré, sera op i° 4\qui étant multiplié par 45, le produit sera 5P ; et, divisant 5P par 5a, le quotient op i° il io.' sera îa surface d’un carreau.
  - Pour avoir le nombre de carreaux contenus dans imç toise, divisez 36P parap i° i1 io', vous trouverez carreaux avec un reste.
  - 6°. L’on aura encore le nombre très approché de carreaux hexagones en divisant 4ip 7° 2*5'par Je quarré de la largeur d'un carreau ; si le carreau porte 40, vous diviserez par op i° 41, et vous prouverez 3y4 carreaux; s’il porte 3°, vous diviserez 4ip 70 21 5/ par op o° 91, et vous trouverez 665 carreaux.
  - Remarque. Pour faire la preuve de la division par la multiplication, l’on ajoute le reste au produit; or les restes que l’on a trouvés ci-devant sont 6 fois plus grands dans la division des toises, et 12 fois plus grands dans celle des pieds : ainsi l’on ajoutera au produit le 6me du reste ou le i2ma suivant la,nature de la division.- rr- ;
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- - 43,
  - d’aRCHITEC TU R E.
  - Table du carreau de terre cuite èt du pavé de grès.
  - Carreaux quarrés. Carreaux hexagones,1
  - grandeur quantité quantité grandeur quantité quantité
  - des pour pour des pour pour
  - carreaux. une toise. un pied. carreaux. une toise. un pied.
  - 3° 5j6 16 3 666 18 t
  - 4 324 9 4 375 IO ~
  - 5 20 7 5 T 5 240 6 T
  - 6 144 4 6 166 4 -ÏÏT
  - 7 106 2 Tff 7 122 3 k
  - 8 8l 2 T 8 p3 2
  - 9 64 1 T 9 74 2 7?
  - io 5i 1 k 10 60 1 "T
  - 11 43 1 -k 11 5o ^ 4
  - 12 36 1 12 42 1 T
  - Table des languettes de brique.
  - grandeurs. 1 briques 1 briques briques briques
  - à plat pour J à plat pour de champ de champ
  - une toise. un pied. po..une toise po. un pied.
  - 8° 40 2° 324 9 162 4 T
  - 8 4 >T 370 10 k 162 4 T
  - 8 4 1 t 432 12 162 4 -T
  - 8 4 1 f 5i8 *4 T 162 4 -
  - 8 4 1 648 18 162 4 T
  - 8 3 2-j- 25ç 7 T 216 6
  - 8 3 2 ~ 288 8 216 6
  - 8 3 2 324 9 216 6
  - 8 3if 370 432 10 T 2l6 6
  - 8 3 1 k 12 216 6
  - 8 3 1 -4 8 3 1 5i8 648 > *4 T 18 216 216 6 6
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- - 4»
  - il A JT U E Ii
  - Table du lattis, les lattes fixées à 4pieds de longueur.
  - vuide entre largeur quantité quantité de clous
  - les lattes. des lattes. pour une toise. par toise.
  - ; *° f 72 2 Mv. ponces.
  - 3 lignes *< 1 10 4 62 54 1 1 i5 11
  - : 2° 48 i 8
  - : t 62 1 15
  - 6 lignes. 1 \ 1° t i 1° i 54 48 i 1 11 8
  - 43 1 6
  - [ 1 T 48 1 8
  - 1 poncer i 1 — 43 1 6
  - 1 4 39 1 4
  - 2 35 i 2
  - ' l 4- , 33 i p
  - } 1 3 x 0 i5
  - 2 pou. 7J 1 J T 27 0 14
  - ' 2 27 0 *4
  - 1 T 25 T 0 13
  - 3 pou.. .< I 1 -7 ! 1 T 24 22 3 t ♦ 0 0 12 1 X
  - 2 21 0 11
  - ' 1 T 20 —• 0 10
  - 4 pou.. J f 1 -7 t * T 19 l8 3" 3 4 0 0 10 9
  - 2 l8 0 9
  - [ 1 T *7 "4* Q 8
  - 5 pou..-i | 1 -7 | 1 "f 16 16 T O O 8 8
  - 2 i5 -7 0 8
  - i 1 * »4 3 T O 7
  - 6 pou. . .< 1 I 7 1 » T *4 *7 O O 7 7
  - 2 i3 -7 0 7
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- - d’architecture
  - Méthode pour réduire un nombre en fraction dé* ciniale, ou une fraction décimale en nombre^
  - La réduction des fractions décimales est une suite delà division, fortutile,principalement dans l’extraction des racines.
  - Réduire un nombre entier en fraction décimale, c’est le diviser par l’unité suivie d’un nombre quelconque de zéro. Pour réduire le nombre 45 en décimale, l’on peut écrire ce qui ne change rien à la quantité 4d, et l’on écrit seulement 4^,0000 en plaçant une virgule entre le nombre et les zéro.
  - Pour réduire en décimale la fraction ~, Ton 11’a qu’à mettre un même nombre de zéro au numérateur et au dénominateur; ce qui donnera ~~ : puis diviser le numérateur et le dénominateur chacun par 9, et l’on âura que l’on écrit ainsi, 5,0000.
  - Pour réduire en décimale la quantité 2it0 5P 4° 61, multipliez ce nombre par l’unité suivie d’autant de zéro que vous voudrez en plaçant une virgule entre l’unité et le zéro, et vous aurez 2it0 5P 4° 61 multipliés par 1,00000 égal 21,89582.
  - Pour réduire une fraction décimale en nombre de mesures, l’on multipliera tout ce qui est à droite de la virgule par les parties de l’unité principale. Ainsi , pour réduire en toises, pieds, pouces, lignes, etc. la fraction 21,89582, écrivez ce nombre tel qu’il est, puis faites une barre
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- - OPERATION?
  - 21,8o582
  - I 6
  - 5 37492 12
  - 4 49904
  - 12
  - 5 vo CO CO -F*' 00
  - 12
  - ”1 186176
  - 48 MÂNUElf
  - verticale qui sépare le nômbre entier 21 d’avec la fraction 89582. Si le nombre entier doit exprimer des Loises, multipliez la fraction 0,89582 par 6 ; multipliez ensuite le produit Fractionnaire 37492 par 12 , puis la fraction 49904 au produit encore par 12, et ainsi de suite. Le ier nombre 21 sera 21t0 ; le second 5 sera 5P ; le 3rte nombre 4 sera 40 ; le 4me sera 51; le 5riiesera 11r, et ainsi de suite à l’infirii. La fraction 21,89582 sera réduite à 2110 5P 40 5111f avec un reste que l’on petit négliger si l’on veut.
  - Pour réduire la fraction décimale 32,65972 en pieds, pouces, lignes, etc. écrivez ce nombre tel qu’il est, puis multipliez les chiffres fractionnaires des produits successivement par 12 * et tous les chiffres qui passeront à gauche de la barre verticale seront les parties d’un pied contenues dans la fraction 0,65972.
  - 'Ainsi la fraction 82,65972 donnera 7‘
  - Opération.1
  - 32,65972 I 12
  - 7 91664
  - 12
  - 10 99968
  - 12
  - L |996l<5
  - CHAPITRE
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- - D ARCHITECTURE.
  - 4 9
  - CHAPITRE VI.
  - Dé la formation des quarrés et de Vextraction des racines.
  - U n quarré numérique est le produit d’un nombre multiplié par lui-même, et ce nombre est la racine.
  - Prenant pour racines
  - les nombres 1.2. 3. 4 .5. 6 . 7. 8 ç j
  - leurs quarrés seront 1 .4 • 9 • r 6.2.5.36.49.64.81.
  - Pour pouvoir faire l’extraction de la racine d’un nombre quelconque, l’on suppose toujours sa racine composée de»deux termes 5 alors son quarré sera composé du quarré du premier terme,de deux fois le produit du premier terme par le second, et du quarré du second terme. Pour en donner une idée , prenons une racine simple ; par exemple 7, dont le quarré est 49 : que Ton prenne 3-i-4 au lieu de 7, le quarré de 3 sera 9 ; deux fois le produit de 3 par 4 sera 24, et le quarré de 4 sera 16; si l’on fait la somme de 9 plus 24 plus 16, l’on aura également 49.
  - L’on voit que la supposition devient réelle, et l’on va voir que ces trois quantités se retrouvent même dans le produit d’un nombre multiplié par lui-même, composé de plusieurs chiffres.
  - D
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- - 5o MANUEL
  - Prenons 45 pour racine : multipliez 45 par 45, vous aurez 2025 pour quarré. Or cette multiplication est composée clu produit de 45 par 5, et du produit de 45 par 404 ce qui donne en premier 225 et en second 1800. Ceci posé,
  - Remarquez la 2 e opération dans laquelle l’on suppose la racine 45 composée de deux parties, savoir,
  - 40 et 5. Le premier produit 200 est le produit de 40 par 5; le second produit 25 est le quarré de la seconde partie 5: la somme de ces deux produits est 225, comme l’on a trouvé dans la ire opération.
  - Le 3me produit 200 est encore le produit de 4° par 5, et le 4mc produit 1600 est le quarré de 40 : la somme de ces deux produits est 1800 , comme l’on a trouvé dans la ire opération.
  - Donc le quarré d’un nombre partagé en deux parties quelconques se trouve en faisant la somme cle trois quantités ; savoir, du quarré de la ire partie , de deux fois le produit de la ire partie par la 2m% et du quarré de la 2me partie.
  - Comme l’élévation d’une quantité à son quarré n’est autre chose que le produit de cette quantité par elle-même,, l’on se dispensera d’en donner des exemples.
  - De Vextraction de la racine cjuarrée.
  - La première chose à faire avant que d’extraire
  - Opération 1%
  - racine ^5 racine 45 225 1800 quarré 2025
  - Opération 2e.
  - racine 45 racine 45 200 25 200 1600 quarré 2025
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- - d’a R C H I T E C T U R É. 51
  - la racine quarrée d’un nombre, c’est de partager ce nombre de deux chiffres en deux chiffres, et chaque paire de chiffres se nomme tranche : si le nombre de chiffres est impair, la ire tranche à gauche n’aura qu’un chiffre. La racine doit avoir autant de chiffres que le nombre proposé aura de tranches.
  - Problème.
  - Extraire la racine quarrée du nombre entier quelconque.
  - Résolution.
  - <s\près que l’on aura partagé par tranches le nombre donné , l’on supposera que la ire tranche à gauche contient le quarré du ier terme de la racine , et que les tranches suivantes contiennent le double du ier terme trouvé multiplié par le 2“ terme, plus le quarré du 2e terme.
  - Lorsqu’on aura trouvé le second chiffre de la racine, l’on supposera que les deux chiffres trouvés sont le ier terme de la racine, et que les tranches qui suivent les deux premières contiennent le double du produit de ce premier terme multiplié parle second que l’on cherche, plus le quarré du second. L’on continuera à supposer les chiffres trouvés, comme le 1er-'terme, jusqu’à la fin de l’extraction; et, par ce principe, l’on extraira aisément la racine d’un nombre.
  - Exemple.
  - L’on demande la racine quarïée du nombre 57121. -
  - ' Dij
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- - 52
  - MANUEL
  - Résolution.
  - Je partage le nombre par tranches de deux en deux chiffres en commençant par la droite, et je trouve trois tranches ; ce qui me fait connoître que je dois avoir trois chiffres à la racine; savoir, des unités, des dixaines et des centaines.
  - Cherchez le plus grand quarré contenu dans la première tranche 5, et vous aurez 4 dont la racine est 2 ; écrivez 2 à la racine, et son quarré 4 sous la ire tranche; puis faites la soustraction , et il restera 1 à côté duquel vous abaisserez la seconde tranche 71 ; ce qui fera 171.
  - Supposons que le nombre 2 déjà trouvé soit le Ier terme de la racine, et que le second chiffre que l’on cherche soit le second terme {la quantité 171 contiendra le double du ier terme 2 multiplié par le second terme que l’on cherche ; ainsi l’on aura ce second terme en divisant le nombre 171 par le double 4 de la racine à côté duquel l’on aura placé o pour occuper la place du second terme, etle quotient donnera 4 qui sera trop fort; car 4 fois 4° valent 160 ; et si l’on ajoute à ce produit le quarré 16 de 41 l’on aura 176 plus grand que 171: ainsi, au lieu de prendre 4 P°ur quo-.
  - 5I71I21 ( < 40 racine. 1er diviseur.
  - 41 1 171 ( 3 120 produit.
  - 1 29 9
  - 42 21 129 2e diviseur.
  - 42 21 460 ti
  - OO OO 9 414° 81 4221 produit. 3e diviseur.
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- - D* ARCHITECTURE. 53
  - tient, vous ne prendrez que 3 que vous placerez à la racine à la suite du icr terme déjà trouvé. Multipliez 40 par 3, et vous aurez 120 auquel vous ajouterez le quarré 9 de 3 ; ce qui fera 129: ôtez ce nombre 171, et il restera 42 à côté duquel vous descendrez la 3me tranche 21 , et vous aurez 4221 pour dividende.
  - Prenant pour premier terme le nombre 23 déjà trouvé, lequel exprime des dixaines , et pour second terme le nombre d’unités que l’on cherche, le reste ou dividende 4221 contiendra le double du ier terme 23o multiplié par le second terme que l’on cherche et le quarré de ce second terme. Doublez le ier ternie 23, et vous aurez 46 à côté duquel vous placerez un zéro, puis divisez 4221 par 460 ; ce qui vous donnera 9 ; écrivez 9 à la racine, multipliez 460 par 9, et vous aurez 4.140; ajoutez-y le quarré de 9 qui est 81, et vous aurez 4221 que vous ôterez du dividende 4221, et il restera zéro. N’ayant plus rien à diviser, vous ôtes assuré que 239 est la racine exacte de 57121.
  - L’on peut abréger l’opération en évitant de poser les produits au-dessous de la racine comme l’on vient de faire, et en les posant seulement sous les restes, comme dans l’opération ci-après.
  - Après avoir descendu la deuxieme tranche 71 à côté du reste 1 de la.
  - firemiere, je pose le 2e chiffre 3 de a racine, tant à la suite du premier chiffre 2 déjà trouvé que sous le zéro du double 40 du premier terme: je multiplie tout-de suite 43 par le second chiffre 3, et j’ai 129'que je pose
  - D
  - 71
  - 21
  - 171 129 4221 4221 0000
  - 40
  - 3
  - 460
  - 9
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- - 54
  - MANUEL
  - sous 171 ; puis je fais la soustraction? et il reste 42, à droite duquel je descends la 3me tranche 21 ; ce qui fait 4221 : je double les deux premiers chiffres 23, et j’ai 46 à droite duquel je place un zéro; puis, divisant 4221 par 4°°? je trouve 9 que j’écris à la racine et sous le zéro : je multiplie 469 par le chiffre 9 que je viens de trouver, et j’ai 4221 que je pose sous le reste 4221; puis je fais la soustraction, et il ne reste rien : j’ai donc 239 pour racine exacte.
  - Si l’on veut éviter de poser les produits, l’on pourra rendre l’opération encore plus courte en faisant la soustraction à mesure. Voici comme l’on peut opérer.
  - Après avoir trouvé le quarré 4
  - de la première tranche 5, je pose le reste 1 au-dessous à côté duquel
  - je descends la seconde tranche 71, OQOO 4 9 ce qui fait 171 ; je pose la racine 2 de 4 dans l’accollade, et le double 4 au-dessous:, puis, au lieu de dire en 171 combien de fois 40, je dis seulement en 17 combien de fois 4, je trouve 4 ; mais ce nombre est trop fort, parceque 4 fois 40 font 160, qui , avec le quarré 16 de 4? feront 1176 plus fort que 171 : ainsi, au lieu de prendre 4 pour second chiffre , je prends .3 que je pose à la suite du premier chiffre, et à la suite du double 4 du premier chiffre ; ce qui fait 43 : je multiplie. 4^ par 3, et j’ôte tout de suite le produit de 171 en disant, 3 fois 3 font 9 ; de 11 reste 2 que. j’écris, et retiens une dixaine : 3 fois 4 font 12 et 1 retenu font i3 que .j’ôte de 17, et il reste 4 que j’écris : j’ai 42 de reste à côté duquel je descends
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- - d’a RCHlTECTURE. 55
  - la seconde tranche 21 ; ce qui fait 4221 : je double les deux premiers chiffres 23 de la racine, et j’ai 45; puis je cherche combien de fois 422 contient 46 7 je trouve 9 que j’écris à la racine et à côté de 46: je multiplie 469 par 9, et j’ôte le produit de 4221 en disant, 9 fois 9 font 81, de 81 reste o et retiens 8: 9 fois 6 font-54 et 8 retenus font 62; de 62 reste o, et je retiens 6: 9 fois 4 font 36 et 6 retenus font 42, de 42 reste zéro, et j’ai 239 pour la racine de 57121.
  - Exemple.
  - Soit proposé à extraire la racine du nombre 71796 qui 11’est pas un quarré parfait.
  - Résolution.
  - Lorsque le nombre proposé 11’est pas un quarré
  - Ïiarfait, l’on ne peut avoir une racine exacte ; mais ’on peut approcher de la vraie racine aussi près que l’on veut.
  - 7 17I96J00 oo|oo 3 i7| I 41 96 507,06 25,59 00 4, i5 64 00 reste 0,406191
  - 267,947
  - 46
  - 527,
  - 534,9
  - 535,84
  - 535,887
  - Pour cela, l’on réduira le nombre proposé en fraction décimale en plaçant à sa suite autant de couples de zéro que l’on voudra , et en observant de placer une virgule entre le nombre entier proposé et les zéro. L’on extraira la racine par la méthode précédente, comme si tout le nombre étoit entier, et l’on placera une virgule à la racine à
  - D iv
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- - 56 MANUEL
  - droite du dernier chiffre provenant de la dernierë tranche du nombre entier proposé. L’on aura 267,947 pour la racine approcnée du nombre 71796 proposé avec un reste 0,406191 plus petit que l’unité que l’on peut négliger.
  - Si le nombre entier 267 doit exprimer des pieds, l’on tirera une droite a67Î947 verticale entre ce nombre et le nombre 111?44 fractionnaire 947 î puis l’on multipliera ^[928 par 12 la fraction 94.7, et le produit sera n|i36 11244 dont les deux premiers chiffres 11 qui se trouvent à gauche de la ligne seront des pouces : l’on multipliera les chiffres 244 qui sont à droite par 12, et l’on aura 2928 dont le premier chiffre à gauche de la ligne exprime des lignes. Continuant à multiplier les ndmbres fractionnaires des produits par 12, l’on aura des points, des secondes , etc. Ainsi la racine approchée de 71796 pieds quarrés sera 267p 11° 2111'.
  - Exemple.
  - Soit proposé le nombre 78p 90 21 V dont 011 veut avoir la racine.
  - , Résolution.
  - L’on pourra réduire ce nombre en fraction décimale, puis extraire la racine comme ci-devant.
  - Supposons que l’on veuille ajouter au nombre entier 78 cinq paires de zéro, et l’on aura 78,0000000000. Multipliez les quantités fractionnaires op 90 2.1 3' par 10090000000* et vous,
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- - d’ARCHITECTURE. 5*]
  - aurez 0,7656249999 que vous mettrez à la suite du nombre 78; ce qui fera 78,7656249999 dont il faudra extraire la racine par la méthode précédente.
  - Puissance.
  - 7»>
  - *4
  - 1
  - 56
  - 24I99I99
  - Lorsque vous aurez fait l’opération, vous trouverez 8,87499 à la racine que vous pourrez réduire en mesures en multi-pliantles chiffres fracr tionnaires successivement par 12, comme l’on a fait ci-devant, et vous aurez 8P 10' la racine de 78p 90 21 3f,
  - 3a 56 8 87 24 1 7748 99 177498 99 reste 1 77 49 98
  - 5!iif pour
  - Racine.
  - 8,87499
  - 16 8 1767
  - 17 744 17 7489 17 74989
  - 8187499
  - 10(49988 5(9985 6 11(98272
  - Il est bon d’observer que cette méthode est fort bonne pour approcher cle très près de la vraie racine 5 mais lorsque la puissance, quoique composée de pieds, pouces, etc. est un quarré parfait, la racine devient imparfaite / comme il est facile de le voir dans l’opération que l’on vient de faire, car la vraie racine de 78p 90 21 V est 8P iq° 61, dont la différence est peu de chose avec celle que l’on vient de trouver. Or lorsque la division d’un nombre réduit en fraction décimale donne une suite de 9 comme ci-dessus, l’on peut ajouter l’unité au chiffre qui les précédé : ainsi , au lieu d’extraire la racine ae 78,7656249999, l’on extraira celle 78,766625, et l’on aura une racine juste. L’on peut cependant se passer des fractions décimales pour extraire la racine d’un quarré
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- - 58 MANUEL
  - imparfait lorsqu’il désigne une quantité de mesures , telles que des toises quarrées ou des pieds quarrés. C’est ce que l’on va voir par la méthode suivante.
  - Méthode pour extraire la racine quarrée d'un nombre sans se servir d’autres fractions que des parties de l’unité principale.
  - Lorsqu’un nombre proposé est un quarré imparfait , et qu’il désigne des toises quarrées ou des pieds quarrés; ou bi,en lorsque ce nombre est composé de toises quarrées, pieds, pouces, etc. ou de pieds quarrés, pouces, lignes, etc. l’on est dans l’usage de réduire ce nombre aux unités de la plus petite espece , comme en lignes quarrées ou points quarrés : cette pratique est encore plus, longue que celle où l’on emploie les fractions décimales, qui est elle-même assez longue. Mais la méthode que l’on donne ici est beaucoup plus courte et plus facile qu’aucune de celles que l’on suit; et par son moyen, l’on peut avoir la racine juste d’un nombre quarré composé de toises quarrées, pieds, pouces, etc. ou de pieds quarrés, pouces, lignes, etc. ou bien avoir la racine très approchée d’un quarré imparfait, soit que ce quarré désigne des entiers, soit qu'il désigne des entiers et parties de l’unité principale.
  - Exemple
  - L’on demande la racine de 3568y? quarrés, aussi approchée que l’on voudra, sans se servir des fractions décimales, et sans réduire çe nom-; bre à des unités plus petites.
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- - DARCHITECTURE.
  - 59
  - Résolution.
  - 35687p
  - 35344
  - ier reste 343
  - multiplié par 12
  - 41160 o1 . . .
  - 2me reste 34 7 8
  - multiplié par 12
  - 41721 o' 0"
  - 3me reste 16 9 11
  - multiplié par 12
  - 201' 11" 0'"
  - multiplié par 12
  - 2428" o'" oIV
  - 4me reste i56 ou
  - Racine. i8Bp io° 111 o' 6"
  - 376 10 diviseur.1
  - 077 8 11 diviseur.
  - 377 9 10 o 6div*
  - Tirez d’abord la racine cln plus grand quarré contenu dans le nombre 35687p, comme l’on a fait précédemment, et il se trouvera un reste 343p dont on tirera la racine par la méthode que l’on propose ici.
  - Multipliez ce reste par 12, et vous aurez 41ié° de pied quarré pour dividende : doublez la racine i88p, et vous aurez 376ppour diviseur. Or en divisant des pieds-pouces par dps pieds courants, le quotient doit nécessairement donner des pouces. Cherchez combien 4116° contiendront de ibis 376% et vous trouverez 10 que vous écrirez à la racine au rang des pouces, et au même rang à la suite du diviseur 3; puis vous multiplierez. 37619 io° par zo°, et vous ôterez le produit à mesure. de 4116° comme dans la méthode abrégée pour la division, et U restera 347° 81.
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- - 60 MANUEL
  - ' Multipliez ce res te par 12, e t vous aurez 417 21 de pied quarré ; doublez la racine i88p io° déjà trouvée, et vous aurez 377p 8°: or divisant des lignes de pied quarré par des pieds, le quotient doit donner des lignes. Ainsi cherchez combien 4172 contient de fois 877, et vous trouverez 11 que vous placerez à la racine au rang des lignes, et à la suite du diviseur 377p 8°; puis multipliez 377p 8° 111 par 11, et Otez les produits à mesure de 4172, il restera 161 9' 11 ".
  - Multipliez ce reste par 12, et vous aurez 201 ' 11 " o ' ' ’ de pied quarré : doublez la racine trouvée i88p ib° 111, vous aurez 377p 901 o1 pour diviseur: or comme le diviseur est plus grand que le dividende, écrivez o à la racine à la place des points, et à la suite du diviseur.
  - Multipliez 201'1 iJ'or ' ' par 12, et vous aurez 2423 " de pieds quarrés : divisez 2428 u o* MoIV ov oVI par 377p9° 10*0', et vous trouverez b^que vous écrirez à la racine et à la suite du diviseur: multipliez 377p 90 101 o' 6U par 6", et ôtez les produits de 2423,/oM foIV ovoVI, il restera 156'f o' '11 iIV 9V oVI que Ton pourra abandonner.
  - La racine cherchée sera i88p io° 111 o' 6fl très approchée avec un reste que l’on pourrait diviser à l’infini en continuant de multiplier les restes par 12, et de diviser les produits par le double de ra racine ; mais lorsque les plus petites unités de la racine sont au-dessous des points, le reste devient presque nul.
  - Pour s’assurer si la racine est bonne, multipliez 188? xo° 111 o'b^par lui-même, et vous
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- - d’architecture. 61
  - aurez 35686p1i° îo1 i o' 11" 11"'oïv 3T
  - ajoutez-y le reste
  - i56"o'"i i,v9v, ou o o i îo on 9 vous aurez 3568o o ô o o o o
  - Exemple 2m\
  - Soit proposé le nombre 7i8p6° 51 5'4,rqui est un quarré parfait dont on veut extraire la racine*
  - Résolution.
  - Je cherche d’abord la racine de 7i8ppar la méthode ordinaire, et je trouve 26 dont le quarré est 676, qui étant ôté de 7i8p, reste 42, à côté duquel j’écris 6°
  - 515,4T/:îem^l- 7^p 6° 51 51 4" 526P 90 81
  - tiplie 42p 6° 51 ^76____________(
  - 5}4f'par 12, et 42 6 5 5 4 ( Vr diviseur
  - j’ai 5io° 5l 5' W 51 5' 4" o ........9____
  - Çdepiedquar- J55_8_5_4__________ ,« diyiseur
  - re; jedoublela 4281 5f 4U (53 5 g
  - racine 26 déjà 000 o o (------<—
  - trouvée, et j’ai
  - 52 pour diviseur. Je cherche combien 5io doit contenir de fois 52, et je trouve 9 que j’écris à la racine au rang des pouces et à la suite de 52 : je multiplie 62p 90 par 90, et je retranche à mesure les produits de ôio0^1*, il reste 35° 81 à la suite duquel j’écris 5'4"• Je multiplie 35° 81 5f4,;par 12, et j’ai 42815' 4 " de pied quarré : je double la racine 26p 90 déjà trouvée, et j’ai 53P 6° ; puis
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- - #2 MANUEL
  - je cherche combien 428 contient de fois 53, et 'e trouve 8 que j’écris à la racine au rang des ignés, et au même rang à la suite de 53p 6°: je multiplie le diviseur 53p 6° 81 par 81, et j’ôte les produits à mesure de 4281 5'4", et il reste zéro : par conséquent le nombre 2(dp 90 81 est la racine exacte du quarré 7i8p6°515,4,/*
  - Exemple 3mc.
  - L’on demande la racine de 2it0 2P 4* 11 6r.
  - RésOLUTlONi
  - Cherchez la racine du plus grand quarré contenu dans 2it0, vous aurez 4t0 que vous écrirez à la racine, et vous ôterez son quarré 16 de 21 -, il restera 5toà la suite desquelles vous a-baisserez toute la suite. Multipliez ce reste 5to2 4 1 6 ar 6, et vous aurez 210 2 o 9 pour dividende : doublez la racine 4t0, et vous aurez 8t0 pour diviseur. Divisez 32to 2P o° 91 par 8t0, vous aurez 3 que vous placerez à là racine au rang des pieds, et à la suite des 8t0 du diviseur: multipliez 8t0 3P par 3, vous aurez 25to 3P que vous ôterez de 32t0 2 09; il restera 610 5 o 9 : multipliez ce reste par 12, et vous aurez 82to
  - Racine.
  - 2it0 2P 4° I1 61 J4t0 3p 9°
  - 5 2 4 1 6 i
  - 32 2 o 9 ^83
  - 25 3 o o )
  - 6 5 09
  - 82 o 9 o
  - 82 o 9 o
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- - d’architecture. 63
  - o 9; doublez la racine trouvée 4t0 3P, et vous aurez 9*° pour diviseur: cherchez combien 82t0 o 9 contient de fois 9*°, vous trouverez 9 que vous placerez à la racine au rang des pouces, et au diviseur. .Multipliez 9t0 op 90 par 9, et vous aurez 82to o 9 que vous ôterez du dividende, et il restera zéro.
  - Démonstration.
  - Le premier reste 5to 2P 4° 11 6'étant une quantité uniforme sur it0 de large; si, au lieu de la multiplier par it0, on la multiplie par 6P, l’on aura 5tp app 4op ilp 6!p multiplié par 6 égal 32tp 2^ oop9lp que l’on peut regarder comme une quantité uniforme de 32to 2P o° 91 de long sur ip de large : or, divisant ce nombre par le diviseur 8% le quotient 3 doit être nécessairement 3P; car, multipliant 8t0 3P par 3P, le produit donnera 25tp 3PP, qui étant ôtés de 32tp 2PP oop 9lp, le reste est 6tp 5PP oop 9lp.
  - Cette quantité, étant multipliée par 12, sera réduite à 82tooop°9l0 qui désigne une quantité uniforme de 82'° op 90 sur i° de large: or,divisant 82t0 0 opo 910 par 9t0, l’on aura nécessairement un nombre de pouces.
  - Pour donner plus de facilité à retrancher les produits des restes de division à mesure que l’on multiplie, l’on n’a qu’à suivre l’opération ci-après.
  - Soit proposé par exemple à extraire la racine quarrée de 46*° 2p 90 91 o ' 6 ”.
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- - <4
  - MANUEL
  - PERATION.
  - 4 5t0 9 2p 90 91 o' 6 "
  - 56 6 0 0 6 3 0
  - 73 4 ^ 3 0
  - 6 4 5 0
  - 80 5 3 0
  - 0 0 0 0
  - i2 4
  - i3
  - Ayant trouvé la racine 610 du plus grand quarré 36 contenu dans 45, j’ôte 36 de 45, et il reste 9to que j’écris au-dessous, et j’ai qt0 2P 9° 91 o16Uk la puissance proposée : sans descendre les quantités fractionnaires, je multiplie le reste par o; ce qui me donne un produit 56p 40 101 6'3U de toise quarrée; c’ëst-à-dire que Cette quantité, prise pour longueur, est supposée avoir it0 de largeur. Ce produit doit me servir de premier dividende.
  - Je double 6t0 que j’ai trouvées à la racine, et j’ai i2t0 pour premier diviseur.
  - Je cherche combien 56top contient de fois 12t0, je trouve 4 fois ; j’écris 4 à la racine au rang des pieds ; je pose ce même nombre au-dessous à la suite de 12% et j’ai i2t0 4P*
  - Je dis, 4 fois 4P font ibp ou 2t0 4pî je retiens 210 et j’ôte 4P du dividende 4P, il reste o que je pose au-dessous; ensuite , 4 fois 12*° valent 48 et 2 que j’ai retenus font 60 que j’ôte de 56, et il reste 6 que j’écrisje double les 6t0 4P que j’ai trouvés, et j’ai i3t0 2P pour second diviseur.
  - Le
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- - d’architecture.^ 65
  - Le reste de la puissance étant 6t0 op io° 61 3' plus foible que le diviseur, je multiplie ce nombre par 12, et j’ai 73e0 4P 6° 31 pour second dividende.
  - Je cherche combien 7310 0 contient de fois i3to, et je trouve 5° que j’écris à la racine, et que je pose à la suite de i3t0 2P, et j’ai i3to 2P 5°.
  - Je dis, 5 fois 5° valent 25°ou 2P i°; j’ôte i°de 6°, et il reste 5° que je pose, et je retiens 2P : ensuite, 5 fois 2P valent 10, et 2 que j’ai retenus font 12P ou 2toop; j’ôte o de 4% et il reste 4P que je pose, et je retiens 2t0 : ensuite, 5 fois 3t0 valent i5t0, et 2to que j’ai retenues font 17; j’ôte 7 de 23, il-reste 6t0 que je pose, et je retiens 2; puis, 5 fois 1 font 5, et 2 que j’ai retenus font 7 dixaines que j’ôte de 7 , et il reste o.
  - Je douple les trois premiers membres 6t0 4P 5° de la racine, et j’ai ioto 2P io° pour troisième diviseur. ;
  - Je multiplie par 12 le reste 6t0 4P 5° 31 de la ra-; cine, et j’ai 80to 5P 3° pour troisième dividende.
  - Je cherche combien 8oto contient de fois i3tcY et je trouve 6l que j’écris à la racine et que je pose à la suite du 3rae diviseur ; puis je dis, 6 fois 61 valent 361 ou 3°; j*ôte 3° des 30du dividende, et il reste o : ensuite, 6 fois io° font 6o° ou 5P j’ôte 5P des 5P du dividende, et il reste o; puis, 6 fois 2P font 12P ou 2t0 que je retiens: ensuite 6 fois 3 font 18, et 2 retenus font 20; j’ôte o de o il reste o : enfin, 6 fois 1 font 6, et 21 dixaine.1 retenues font 8 , qui étant ôtées de 8 , reste o D’oh je conclus que la racine 6t0 4P 3° 6l es. exacte. \
  - E
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- - MANUEL
  - P R O B L I M E 1 ".
  - Le côté d’un quarré étant donné, trouver la diagonale.
  - Résolution.
  - L’on aura la diagonale d’un quarré en multipliant le côté donné par la racine quarrée de 2. Si le côté donné exprime des pieds, pouces, lignes , etc. on le multipliera par ip 4° 111 7'9^ qui exprime la racine quarrée de 2 p. Si le côté donné exprime des toises, pieds, pouces, etc. on le multipliera par it0 2P 5° 91 10'6 "qui est la racine de 2t0.
  - Par exemple, soit i2P 6° le côté donné: multipliez 12P 6° par ip 40 111 7f 9 ", vous aurez 17^8°
  - il6’io"6nf.
  - Soit 12to 3p le côté donné : multipliez ce nombre par it0 2P 5° 91 îo'ô1' 1 vous aurez 17to Ap 0°
  - Problème 2me.
  - La diagonale d’un quarré étant donnée, trouver un des côtés.
  - Résolution.
  - L’on aura l’un des côtés en multipliant la diagonale par la moitié de la racine quarrée de 2. Si 2 exprime des pieds, la moitié de sa racine sera gp g0 519' 1 o " 6'11 ; s’il exprime 2t0, la moitié de sa racine sera oto 4P 201 o1 n ' 3".
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- - Par exemple, soit 1 yp la diagonale : multipliez i7p par op 8° 51 dW'6' ", vous aurez i2p o° 21 n'10 ”6"'.
  - Soit if° la diagonale: multipliez ce nombre par oto 4P 20 101 ii'3", vous apurez i2t0 op i° 5* ii'3".
  - Problème 3me.
  - Etant donné un côté de triangle équilatéral,' trouver la perpendiculaire abaissée d’un angle sur le côté opposé.
  - Résolution.
  - Multipliez le côté donné par la moitié de la racine quarrée de 3. Si le nombre donné exprime des pieds, pouces, etc. on le multipliera par oR io° 418'6" ; s’il exprime des toises, on le multipliera par o‘° 5P 20 41 3V; le premier de ces deux nombres étant la moitié delà racine de 3P, et le second la moitié de la racine de 3t0.
  - Par exemple, supposons que le côté du triangle équilatéral soit i5p : multipliez i5p par op io° 418'6", vous aurez i2p n° io1 7'6"pour la perpendiculaire.
  - Supposons que le côté soit i5to: multipliez 15 par oto 5P .2° 413r, vous aurez i2t0 5P ii° 3191.
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- - DEUXIEME PARTIE.
  - Du toisé des surfaces planes. Définition.
  - Le toisé des surfaces planes est l’évaluation de l’étendue superficielle a’un plan quelconque par le produit de deux où de plusieurs dimensions prises dans ce plan.
  - CHAPITRE PREMIER.
  - Des surfaces fermées par des lignes droites.
  - Un quarré ou un parallélogramme rectangle, nommé vulgairement quarré-long, s’évalue en multipliant un côté par l’autre ; c’est-â-dire sa longueur par sa largeur*
  - Un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et les deux autres côtés obliques, se mesuré en prenant sa longueur au milieu , et sa largeur d’équerre entre les deux côtés parallèles.
  - Tout quadrilatère ou au tre figure rectiligne qui n’à aucun côté parallèle, ne peut être mesuré qu’en le partageant par triangles.
  - Un triangle est une figure de trois côtés ; son évaluation se fait en multipliant un côté par la moitié de la perpendiculaire abaissée de l’angle opposé à ce côté.
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- - TOANTJEL D’ARCHITECTURE: 69
  - Un quadrilatère oblique-angle, sans avoir aucun côté parallèle, peut s’évaluer par un seul produit; car, en tirant une diagonale d’un angle a celui opposé, l’on forme deux triangles qui ont une base commune: or l’on a la surface de cette figure en multipliant la diagonale par la moitié de la somme des deux hauteurs des triangles.
  - Lorsqu’on ne peut mesurer que les trois côtés d’un triangle, et que quelque chose empêche de connoître la perpendiculaire abaissée d’un angle sur le côté qui lui est opposé, l’on peut en faire l’évaluation par la seule connoissance de ses côtés: il faut, pour cela, ajouter les trois côtés, et prendre la moitié de la somme ; puis ôter de cette demi-somme chacun des côtés, ensuite multiplier ces quatre quantités, et tirer la racine quarréç du produit.
  - Problème.
  - Trouver la surface d’un triangle dont on ne connoît que les trois côtés; savoir, le premier de 60 pieds, le second de Ô2 pieds, et le troisième de 16 pieds.
  - Résolution.
  - Ajoutez ensemble les trois côtés, et vous aurez 128% dont la moitié est . . . 64p
  - Otez-en le premier côté 6ov, et il res-
  - te** • 4
  - Otez encore le second côté Ô2P, et il
  - restera ..........................12
  - Ôtez aussi le troisième côté iôp, et il restera................................. 48
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- - 70 MANüïI
  - Multipliez 64P par 4P> puis le produit 2.56p.par i2p, ensuite le produit 3ç>72p par 4.8 p, et vous aurez . . 1474^6
  - Tirez la racine quarrée de ce nombre, et vous aurez .... 384p
  - Ce nombre 384p sera la surface du triangle proposé.
  - CHAPITRE II.
  - Du cercle et des segments.
  - {Fig. i.)Le cercle est une figure fermée par une, seule ligne courbe FBDGF éloignée par-tout également d’un point C que l’on nomme centre; cette courbe se nomme la circonférence ; une droite CE, abaissée du centre sur la circonférence, se nomme rayon ; une droite B D, comprise entre deux rayons CB, CD, se nomme la corde d’un arc BED; une droite FG , touchant deux points de la circonférence, et passant par le centre C, se nomme diamètre.
  - La surface d’un cercle se détermine en multipliant sa circonférence par la moitié d’un de ses rayons ; mais comme l’on ne connoît souvent que le diamètre qui est le double du rayon,. l’on est obligé de connoitre le rapport qu’il y a entre le rayon et la circonférence, lequel n§ peut être que très approché. *
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- - d’architecture. 7'1
  - Le rapport le plus familier dans la pratique est celui de 7 à 22; c’est-à-dire que la circonférence d’un cercle est à' peu près 3 fois et y de fois plus grande que le diamètre.
  - L’on peut se servir encore de rapports plus approchés que celui de y à 22; comme , par exemple , celui de 120 à 377; celui de n3 à 355 ; celui de 484 à i52i, dont les nombres sont quarrés; mais celui de 113 à 355 est beaucoup plus approché qu’aucun de ceux dont on vient de parler.
  - Problème 1er.
  - Trouver la surfàce d’un cercle de i4p de diamètre suivant le rapport de 7 à 22.
  - Résolution.
  - Multipliez le diamètre par lui-même, c’est-à-dire 14 par 14 > et vous aurez . . . i96p
  - Prenez la moitié du produit...... 98
  - Plus, le quart du même produit.... 49
  - Plus, le septième du quart....... 7
  - Faites la somme, et la surface sera . . . i54 Problème 2me.
  - ï
  - Trouver la surface d’un cercle de 44p de circonférence suivant le même rapport.
  - Résolution.
  - Multipliez la circonférence par elle-même, et
  - î ¥ \J<4 A /a ---—-
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- - MANUEL
  - 7*
  - vous aurez . . . . . :
  - Prenez le onzième du produit.... 176'
  - Prenez le huitième de ce dernier nombre, et faites la soustraction . . . 22
  - Le reste sera la surface demandée . . 154p
  - Problème 3me.
  - Trouver le rapport entre le diamètre d’un cercle et le côté d’un quarré égal en superficie à un cercle.
  - Résolution.
  - Si l’on exprime le rapport du diamètre à la circonférence par la fraction qui est plus approchée que ^, la surface du cercle se trouvera en multipliant la circonférence i52i par le quart T21 du diamètre 484» et l’on aura 184041, dont la racine quarrée 429 exprimera le côté : d’où il suit que. le diamètre est au côté d’un quarré qui est égal en superficie au cercle comme 484 est à
  - 429\
  - Ainsi lorsqu’on voudra avoir le côté d’un quarré égal en superficie à un cercle, l’on fera cette proportion: 484 est au diamètre donné comme 429 est au côté que l’on cherche.
  - Exemple.
  - Supposons que le diamètre soit x 4P: multipliez fi 4P par 429, et divisez le produit 6006p par 484^
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- - d’A R C H I T E C T U R ». 7$
  - vous aurez i2p 4° io' iof/ ior n, etc. pour le côté du quarré.
  - Observation.
  - Dans le toisé des bois en grume où l’on cherche à éviter les fractions, l’on pourra prendre les ~ de la circonférence pour le côté de l’équarrissage; ce qui ne pourra causer une erreur sensible, les dimensions n’étant jamais d’une grande étendue : car en supposant une piece de bois ou un arbre de 70 pouces de circonférence, les -f- seront 20 pouces dont le quarré en solives est 5so13P 40 pat toise de longueur; et suivant le rapport cbdessus, l’on aura, la circonférence 70° est au côté que l’on cherche comme i52i est à 429; ou, en réduisant, comme 507 est à 148 : d’où l’on déduit i9po 81 11 dont le quarré donne 5SC>1 2P 5° 81; ce qui fait seulement oso1 op io° 41 de différence par toise de longueur ; c’est environ une solive de trop sur 710 de longueur, en prenant les -y du pourtour.
  - Problème 4me*
  - Trouver le rapport de la circonférence au côté du quarré inscrit au cercle.
  - Résolution.
  - (Fig. 2. ) SoitMN le côté du quarré inscrit: du centre C tirez les droites£M,CN, le triangle MCN sera
  - Rectangle en C, et l’on aura MCa-+- NC2=MNb :
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- - 74 MANUEL
  - mais MC et NC sont des rayons ; ainsi, exprimant le rayon par la lettre R, l’on aura 2R2 =
  - MN3: d’où l’on déduit MN = \/2 R% ou MN=
  - RX / a; c’est-à-dire que le côté du quarré est égal au rayon multiplié par la racine quarrée de 2. Or si l’on exprime cette racine par la fraction g, l’on aura MN = g R.
  - Si l’on prend y R pour exprimer la circonférence suivant le rapport de 7 à 22,l’on a\ira cette proportion : la circonférence est au côté du quarré inscrit comme ^ R est à R. ou, en réduisant au même dénominateur, et supprimant la lettre R, comme 44° est à 99 ; ou enfin comme 40 est à 9; ce qui donne un moyen très facile? pour trouver le côté du quarré.
  - Problème 5rae.
  - Trouver le côté du quarré inscrit à un cercle de 44 pieds de circonférence.
  - Résolution.
  - Ecrivez la circonférence 44p
  - Prenez le huitième de ce nombre 5 6
  - Prenez le dixième du même nombre 4 4 t
  - Faites la somme, et le côté du quarré inscrit sera . . . ï . . 9P io° -f».
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- - 7 *
  - d’a rchitecturi.
  - Problème 6m\
  - Trouver le côté du quarré inscrit à un cercle de 14 pieds de diamètre.
  - Résolution.
  - Ecrivez la moitié du diamètre 7p o o
  - Faites une fausse opération en prenant le dixième . . . . . o B|
  - Multipliez ce faux produit par .4 2 9 |-
  - Ajoutez le septième du faux produit o
  - Ajoutez encore le demi-diametre 700
  - Le côté du quarré inscrit sera 9P
  - Problème
  - La corde et la fléché d’un segment de cercle, étant données, trouver le diamètre.
  - Résolution.
  - (Fig. 2.) Supposons que la fléché FE soit de 4 pieds et la corde MN de 12 pieds , l’on se servira
  - de cette formule FD = H- FE.
  - ' 4 r r.
  - Le quarré de MN ou de i2pest . . i44p
  - Divisez par 4 FE, c’est-à-dire par . . 16
  - Le quotient sera . . . . . . 9
  - Ajoutez-y la fléché FE ....________________4_
  - Le diamètre FD sera . .... i3p
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- - ?6
  - MANUEL
  - Problème 81"*.
  - La corde et la fléché d’un segment de cercle étant données, trouver la longueur de l’arc et la surface de ce segment.
  - Résolution.
  - La méthode donton se sert ordinairement étant fort longue pour la pratique, l’on se servira de la table ci-apres, parle moyen de laquelle on aura les pourtours des arcs aussi justes qu’il sera nécessaire.
  - Cette table est composée de 1 09 segments calculés suivant le rapport de iooà3i4,i6, un peu plus fort que le rapport de 113 à 355, mais plus Foible que ce’lui de 7 à 22, qui n’auroit pas été assez juste dans les opérations qui ont servi à sa construction.
  - La quantité de segments que l’on donne est suffisante dans la pratique, quoique les cordes augmentent de 10 en 10; pour s’en convaincre, l’on n’a qu’à remarquer que les différences de plusieurs segments consécutifs ne different pas de beaucoup entre elles; comme, par exemple, les différences des arcs 606,4» 616,7; 624,9; sont 009,3; 009,6 : et les différences des segments qui leur répondent, 38269; 38919; 39571; sont 65o; 652. A plus forte raison les longueurs des arcs et les surfaces des segments prises sur des dimensions plus petites, seront d’autant plus précises que les différences deviendront presque égales.
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- - d’architecture; 77
  - Au moyen de la table ci-après, il sera suffisant de connoître la fléché et la corde d’un segment donné : deux proportions suffiront pour en déterminer la valeur, L’on observera que le point qui sépare le quatrième chiffre des arcs sert à distinguer le nombre entier d’avec la fraction, et que ce quatrième chiffre exprime des dixièmes d’unités.
  - Méthode pour se servir de la table des segments.
  - Problème i".
  - L’on demande la longueur de l’arc d’un segment de 28p de corde sur y* 6° de fléché.
  - Résolution;
  - Faites cette ire proportion 7P 6° ’ 28p 11 ioo x, et vous trouverez 3y3p 4° pour la corde proportionnelle.
  - Prenez la différence des nombres 446,7 et438,3 dont l’un répond à 38o et l’autre à 870, et vous aurez 8,4. Multipliez 8,4 par 3P 4% différence entre 373p 40 et 3yo, et vous aurez 28, dont la iome partie est . . . . . . 2,8
  - Ajoutez-y le nombre qui répond à 370,ci 4^8,3
  - Le pourtour proportionnel sera 441,1
  - Faites cette 2me proportion. La fléché 100 indiquée dans la table est au pourtour proportionnel 44* »1 » comme la montée ÿp 6° du segment donné
- p.77 - vue 95/438
- - 78 MANUEL
  - est au pourtour de son arc. Vous trouverez 33pi®
  - pour la longueur approchée que vous cherchez.
  - Problème 2m\
  - L’on demande la surface d’un segment de 17* de corde et de 7P de fléché.
  - Résolution.
  - Faites cette irt proportion : la fléché donnée 7 est à la corde aussi donnée 17, comme la fléché 100 de la table est à la corde proportionnelle ; vous trouverez d’abord 242 y.
  - Cherchez dans la colonne des surfaces le nombre qui répond à 25o et celui qui répond à 240, vous trouverez 18637 et 18041 aont la différence est..............................5^6
  - Multipliez par la différence de 240 à 342-frci ............................2f
  - Produit,........................ 1702
  - Prenez-en le dixième . . . 170
  - Ajoutez-y le nombre qui répond à 240 18041
  - Somme . . . 18211
  - Multipliez par le quarré de la fléché 7 49
  - Produit . . . 892479
  - Divisez le produit par le quarré de la fléché 100 de la table, et vous aurez 89p 20 n1 pour la sur-ikce du segment donné.
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- - Table des segments de cercle de 100 pieds de fleclie*
  - Page 78
  - Cordes. Longueurs des arcs. Surfaces des segments. Cordes. Longueurs des arcs. Surfaces des segments. Cordes. Longueurs des a-rcs. Surfaces des segments.
  - 201 3i4-6 15764 480 533.7 33o85 840 871.4 56631
  - 202 3l5.2 l5821 49° 542.7 00730 85o 881.0 57286
  - 203 3i5.8 15879 5oo 55i .7 04077 860 890.6 57947
  - 204 316.4 1 5906 510 56o.8 86024 870 900.3 586o5
  - 205 317.0 l5993 520 669.8 86672 880 910.0 69266
  - 206 3i 7.6 i6o5i 53o 578.9 36320 890 919.6 59927
  - 207 3i8.2 16108 540 588.i 36969 900 929.3 60687
  - 208 318.7 16166 55o 697.3 37618 910 989.0 61260
  - 209 319.3 16224 56o 606.4 68269 920 948.7 61908
  - 210 319.9 16282 670 615.7 88919 980 958-4 62670
  - 220 326.1 l6863 58o 624.9 39671 940 968. l 6822 7
  - 2D0 332.4 17449 590 634.2 40222 c)5o 977.8 63890
  - 240 339.0 18041 600 643.5 40875 960 987.5 64548
  - 25o 345.8 18687 610 652.8 41627 97° 997.2 65213
  - 260 352.7 19238 620 662.1 42182 980 1006.9 , 65873
  - 270 359.9 19842 63o 671.5 42834 990 1016.7 66533
  - 280 367.2 20452 640. 680.9 43489 1000 IO26.4 67!94
  - 290 374*6 21064 65o 690.3 44142 1010 io36.2 67864
  - 3oo 382.2 21679 660 699.7 44797 1020 1045.9 685 ! 4
  - 3io 389.9 22297 670 709.1 45462 io3o io55.7 69181
  - 320 397.7 22917 680 718.5 46107 1040 1066.4 69837
  - 33o 4o5.6 23540 690 728.0 46763 io5o 1075.2 70498
  - 34o 413.7 24l65 700 737.5 47420 1060 1084.9 71165
  - 35o 421.8 24793 710 746.9 48076 1070 1094.7 71823
  - 360 43o.o 254.22 720 jS6.5 48702 1080 1104.5 72486
  - 370 438.3 26o53 730 766.0 49388 1090 1114.3 78146
  - 38o 446.7 26686 74° 775.5 50047 1100 1124.0 73807
  - 390 4-55.1 27320 j5o 785.0 50704 1110 1133.8 74478
  - 400 468.6 279 56 760 794.6 5i363 1120 1143.6 76136
  - 410 472.2 28593 77 0 804.2 52020 1 i3o 1153.4 75796
  - 420 480.8 29231 780 813.7 62678 ! 14° 1163.2 76461
  - 43o 489.5 29871 790 822.8 53147 1 i5o 1173.0 77H9
  - 440 498.3 3o5i2 800 882.9 58996 1160 1182.8 77788
  - 45o 507.1 3i 154 810 842.5 64661 1170 1192.6 78444
  - 460 615.9 31796 820 852.1 553i2 1180 1202.4 79118
  - 470 524.8 02440 83o 861.7 55971 1190 1212.2 79770
  - 480 533.7 33o85 840 871.4 56631 1200 1222*0 80433
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- - d’a rchitécture.
  - 79
  - CHAPITRE III.
  - De Vellipse.
  - {Fig. 3) L’ellipse est une figure fermée par une courbe régulière: cette figure peut être regardée comme un cercle ralongé.
  - L’on nomme grand axe le grand diamètre AB et petit axe le petit diamètre ST. Les perpendiculaires PN, abaissées de la circonférence sur le grand axe, se nomment ordonnées au grand axe î les parties AN du grand axe, comprises entre les ordonnées et le sommet A , se nomment abscisses.-
  - Soit décrit un cercle dont le diamètre st soit égal au petit axe ST de l’ellipse. Divisez le diamètre ab du cercle et le grand axe AB de l’ellipse chacun en un même nombre de parties égales, et tirez, d’une part, les droites op, qr, etc. et d’autre part, les droites OP, QR, etc. chacune parallèle aux diamètres st, ST, passant par les points de division: toutes ces droites seront égales chacune à sa correspondante, et par conséquent chaque trapeze du cercle ayant mêmes longueurs que chaque trapeze correspondant de 1 ellipse, ils seront entre eux comme leurs hauteurs correspondantes : donc la somme de tous les trapèzes du cercle, ou la surface du cercle, est à la somme de tous lès trapèzes de l’ellipse, ou à la surface de l’ellipse, comme le diamètre ab du
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- - 80 MANÜEi
  - cercle inscrit est au grand axe AB de l’ellipse, ou comme le petit axe ST est au grand axe AB.
  - Suivant le rapport de 7 à 22, la surface du cercle est égale aux ^ du quarré du diamètre ; donc la surface de l’ellipse sera égale aux - du rectangle formé par le produit dü grand et du petit axe.
  - Problème ier.
  - Le grând axe d’une ellipse étant de 28p et le petit axe de 20p, trouver la surface de l’ellipse.
  - Résolution.
  - Multipliez 28p par 20p, vous aurez 56op
  - Prenez la moitié . 280
  - Plus, le quart . . . . 140
  - Plus, le septième du produit du quart 20
  - Faites la somme, et vous aurez . 440p
  - Problème 2me.
  - Etant données la corde AB et la fléché CD d’un segment elliptique ACB, trouver la surface de ce segment.
  - Résolution.
  - {Fig.4.) Faites un angle DCE de 60 degrés, et faites en sorte que le cô*té CE touche un point E quelconque de la courbe ACB; tirez une droite EF parallèle à la corde AB ; portez CE sur la
  - montée
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- - d’architecture: 811
  - montée de C enl, et tirez les droites IE, IF, l’angle EIF sera de 120 degrés; des points E, F, abaissez les perpendiculaires EG, FFI.
  - En se servant du rapport de 7 à 22 pour exprimer le diamètre et la circonférence, et de la fraction || pour exprimer la racine quarrée de l’on trouve que la surface du segment ECFE est exprimée g CP.
  - La surface de la partie AEFB, étant composée d’un rectangle GEFH, et de deux demi-segments AEG, BFH, se déterminera en ajoutant à la droite EF ou GH les -§- de la somme AG H- HB des fléchés de ces deux demi-segments; puis, en multipliant la somme GH -h 2.AG + aHB par ja hau. teur EG ou FH.
  - Exemple.
  - Supposons que la corde AB soit de iop 6°, et que la fléché CD soit de 5P 70; si l’on fait l’angle DEC de 60 degrés, et si, en mesurant la longueur EF, on la trouve de 8P 8°, l’on aura 5Ppour le rayon CI de l’arc ECF , et sa moitié CL sera de 2p 6°, qui étant ôtée de 5P 70, le reste 3P i° sera la valeur de LD. Toutes ces dimensions étant connues, l’on fera l’opération ci-après.
  - Multipliez le quarré de 5P ou 25P par 43, et divisez le produit ioy5 par 70, vous aurez 15*
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- - $2 MANUEL
  - 4° 31 pour la surface cîu segment ECFE, ci . . . . » . i5p 40 ^
  - Retranchez EF = 8P 8° de AB = iop 5°, il restera ip p° dont les f valent ip a°, qui étant ajoutés à 8P 8°,
  - Ton aura ppio°: multipliez ppio°par la hauteur LD = 3P i°, et vous aurez 3op 3° io1 que vous ajouterez à la quantité ci-dessus, ci . . . 3o 3 îo
  - La surface du segment proposé sera . ................45p 8° P
  - CHAPITRE IV.
  - De Vovale.
  - (Fig. 5. ) L’ovale est une surface fermée par une courbe composée de plusieurs arcs de cercles. Une droite AB, qui coupe l’ovale en deux parties égales sur sa longueur, se nomme grand diamètre; et une droite CP, qui coupe l’ovale sur sa largeur en deux parties égales, se nomme petit diamètre. Les deux diamètres se croisent toujours au centre de l’ovale à angles droits. Les arcs QAE, HBG, se nomment arcs extrêmes, et les arcs ECG, QPPI, se nomment arcs moyens. La somme des quatre arcs doit valoir 36o degrés,comme la circonférence d’un cercle. La somme d’un rayon AN d’un arc extrême et d’un rayon CX d’un arc moyen doit être égale au grand diamètre AB.
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- - T>A RCHITECTUREi,
  - 83
  - Problème 1er.
  - Les diamètres AB, CP, d’un ovale étant donnés, trouver les rayons des arcs.
  - Résolution.
  - Portez le demi-diametre CK de A en H ; divisez la différence IiK en onze parties égales ; portez quatre de ces parties de H en N, le point N sera le centre de l’arc QAE, et la distance AN en sera lë rayon: portez la même distance AN de B en M, la quantité BM sera le rayon de l’arc HBG : portez la distance NB sur le prolongement du petit diamètre de C en X, le point X sera le centre, de l’arc ECG, et la distance CX en sera le rayon.! Faites la même chose du côté opposé pour avoir le centre et le rayon de l’arc QPH.
  - (Fig. 6. ) Pour pouvoir faire la division de la partie HK plus facilement, l’on fera un angle droit, fig. 6, et Eon prendra quinze parties égales à volonté sur un côté BC ; puis du point D au-dessus de la onzième partie l’on tirera une droite DA à volonté, qui forme un angle avec l’au tre côté AB de l’angle droit; du point C au-dessus de la quinzième partie du côté BC l’on tirera une autre droite CA: ceci posé, l’on portera sur le côtéBC tin point F, dont la distance FB sera égale à la différence HK des demi-diamètres donnés: dp. point F tirez une droite FE indéfinie parallèle à AB ; et par le point h, où cette parallèle coupe la ligne AD, l’on abaissera vme perpendiculaire /zK.
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- - 84 M A N U E L
  - que l’on prolongera jusqu’en n pris sur la droite
  - AC. Portez sur AB,//£. S, la distance un 3fig. 6? de R en N sur la fig. 5, et de K en M, les points
  - N, M, seront les centres des arcs extrêmes.
  - Problê me 2mc.
  - Les diamètres d’un ovale étant donnés, déter-miner sa surface.
  - Résolution.
  - Multipliez le produit des diamètres par ioi5i; ôtez-en 796 fois le quarré du grand diamètre, et 1498 fois le quarré du petit diamètre ; puis divisez le reste par 10000, et le quotient donnera la surface demandée.
  - Supposons que le grand diamètre soit 28p et le petit diamètre 20R leur produit sera 56op, le quarré du grand cliametre sera 784% le quarré du petit diamètre sera 400p.
  - Prenez ioi5i fois 56op, ci
  - Retranchez du produit 796 fois le quarré 784, ci . . . 624064]
  - Plus, 1498 fois le quarré 400 599200\
  - Le reste sera . . .
  - Divisez par 10000 en retranchant quatre chiffres à droite que vous multiplierez successivement par 12, et vous aurez 446p i° 6l pour la surface de royale..
  - 568455o
  - [122 ,8264
  - 446 1296
  - 12
  - 1 5552
  - 12
  - ^ 6 6624
- p.84 - vue 103/438
- - 85
  - 'D’A RC HITECTURI,:
  - Remarque.'
  - ïl ne faut pas confondre l’ovale avec l’ellipse : car une ellipse, suivant les dimensions données, aurait produit*44°p ? ce R11* fait 6P i° 61 de différence.
  - CHAPITRE V.
  - Des anses de panier.
  - L’on nomme anse de panier la demi-circonférence d’un ovale : cette demi-circonférence se forme d’un nombre impair d’arcs, dont la somme doit faire 180 degrés comme une demi-circonférence de cercle.
  - Cette courbe sert principalement à la construction des voûtes surbaissées ou surmontées ; mais il est bon d’observer que dans les voûtes d’arrête barlongues, l’anse de panier se raccorde rarement bien avec des demi-circonférences de cercle , et jarre te presque toujours aux arrêtiers, à moins qu’on 11e le construise avec cinq ou sept centres pour qu’il approche le plus de l’ellipse.!
  - Des anses à trois centres„
  - Quoiqu’il y ait quantité de méthodes pour tracer l’anse de panier à trois centres, nous nous contenterons d’en donner trois seulement qui
  - F iij
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- - 86 MANUEL
  - nous ont paru les plus exactes et les plus faciles â construire.
  - Problème ier.
  - (Fig. 7.) Etant donnés la montée CK et le diamètre AB d’une anse de paniéfà trois centres, tracer au compas la courbe de cette anse.
  - Résolution.
  - Lorsque le nombre de degrés qui doit être contenu dans chacun des arcs n’est pas donné, l’on supposera le rayon AN d’un des arcs extrêmes plus petit que la montée CK d’une quantité quelconque ; l’on portera la distance AN sur la montée de C en F, et du point F l’on tracera une droite FN sur le milieu de laquelle l’on élevera une perpendiculaire DX qui rencontrera le prolongement de la montée au point X; l’on fera KM égal à KN, puis l’on tirera les droites XN , XM, prolongées suffisamment; du point X comme centre , et de la distance XC, l’on tracera l’arc ECG; et des points N, M, comme centres, l’on tracera les arcs EA, GB : la courbe AECGB sera l’anse de panier demandée.
  - (Fig. 8.) Lorsqu’on se trouvera gêné pour la position du centré X , l’on portera la distance CX, prise pour rayon, sur AB de A en M, et l’on tracera une droite MX sur le milieu F de cette droite ; l’on élevera la perpendiculaire FN qui coupera le diamètre AB au point N ; l’on portera la distance KN de K en D : les points X, N, D, seront le centre des trois arcs que Ton décrira comme ci-devant»
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- - d’a rchitecturi.
  - 87
  - Problème 2"
  - ( Fig. 5. ) Le diamètre AB et la montée CK d’une anse de panier composée de trois arcs de 60 degrés, étant donnés, trouver les centres N,
  - M, X, des trois arcs, et tracer la courbe AECGB.
  - Résolution.
  - L’on a donné précédemment une méthode pour tracer la courbe d’un ovale -, or comme cette courbe forme deux anses de panier, l’on pourra suivre cette même méthode pour tracer l’anse.
  - Mais comme il est suffisant de connaître seulement un des centres des arcs extrêmes, l’on pourra suivre l’opération ci-après, qui donnera le centre d’un arc moyen avec beaucoup plus de précision que ci-devant.
  - Supposons que le de mi-diamètre AK soit de i4p et la montée CK de iop, écrivez la différence de ces deux quantités, ci . . 4P 0 0
  - Ajoutez-y le tiers . . . .14°
  - Plus, le dixième du tiers . . .017
  - La somme sera . . . 5P 5° 71
  - Cette quantité 5P 5° 71 sera la distance KN du milieu du diamètre au centre d’un arc extrême, et suffira pour faire connoître tous les points de centre : car en portant KN de K en M , es points
  - N, M, seront les centres des arcs AE, BG; et en portant la distance AM sur la montée prolongée
  - F iy
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- - 88 MANUEL
  - de C en X, le poinlX sera le centre de l’arc ECGj Si, par les points N, M, l’on fait passer les rayons XE, XG, ils fixeront les points de raccordement E, G, des arcs : ainsi du centre X Ton tracera Parc ECG, et des points N, M, l’on tracera les arcs AE, BG.
  - Problème 3ma.
  - Etant donnés le diamètre et là montée d’une anse de panier composée de trois arcs de 60 degrés, trouver la longueur de la courbe de cette anse.
  - Resolutio N.
  - Multipliez le demi-diametre par 1713 ; ajoutez au produit celui de la montée multipliée par 1 /[ber, puis divisez la somme par 1000.
  - Ou multipliez le demi-diametre par 12 et la montée par 10; puis divisez la somme des produits par 7, et vous aurez la longueur de la courbe.
  - Par exemple, je suppose que le diamètre soife 28'p, sa moitié sera 14P ? je suppose aussi que la montée soit iop.
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- - t> A RCHITECTUHI','
  - ’i°. Le produit du demi-diametre 14P par 1713 sera ....
  - Le produit de la montée ioppar i43o sera......................
  - La somme des produits sera
  - Je divise cette somme par 1000 en retranchant trois chiffres à droite que je multiplie successivement par 12, et j’ai 38p 3° 4^0111- la longueur de l’anse que l’on demande.
  - 20. Je multiplie le demi-diametre i4p par ii, ci
  - Et la montée iop par 10, ci .
  - J’ajoute ces deux produits
  - Je prends le septième de la somme ; ce qui me donné*pour la longueur de l’anse dé panier ....
  - 23982
  - i43oo
  - 381
  - 282
  - 12
  - ! 3 384 12
  - 4|6o8
  - i68p 00 ol
  - 100 0 0
  - 268 0 0
  - ) t * 38p 3° 51
  - Des anses de panier à cinq centres.
  - {Fig. 9. ) Lorsque 19 fois le diamètre fait autant que 60 fois la montée, l’on ne peut tracer l’anse à cinq centres, parceque les rayons des arcs intermédiaires se confondent avec les rayons des arcs d’une anse à trois centres. Ainsi, pour que l’opération soit possible, il faut que la montée soit plus petite que le tiers du diamètre, ou que les g du diamètre.
  - Problème 4me*
  - Le diamètre AB et la montée CD d’une anse
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- - 90 MANUEL
  - de panier étant donnés, trouver cinq centres avec lesquels l’on puisse tracer la courbe.
  - Résolution.!
  - Divisez le diamètre AB en quinze parties égales ; ôtez-en une de la montée CD, le reste sera la longueur de chacun des rayons extrêmes EA, FB. Avec l’intervalle EF, faites un triangle équilatéral EOF dont les côtés EO, FO, seront prolongés à volonté vers M et vers N ; prolongez à volonté la montée DC vers K ; prenez avec le compas le double de AF que vous porterez de F en R et de F en L ; puis vous porterez la distance RO, ou LO, de O en K, et vous tracerez les lignes KRP, KLS : les points E, F,'serontles centres des arcs AM, BN; les points R, L, seront les centres des arcs MP, NS, et le point K sera le centre de l’arc PDS.
  - (Fig. 10.) L’on pourra trouver facilement un des rayons AE ou FB par le moyen d’yne échelle de réduction. L’on tracera à part une ligne AB
  - Îilus grande cpie le diamètre; l’on divisera cette igné à volonté en i5 parties égales; des extrémb tés A, B, l’on fera un triangle à volonté ACB; l’on portera le diamètre donné sur AB de B en P; et l’on tracera une droite DE parallèle au côté CR du triangle ; l’on tirera la droite FI parallèle à AB > du sommet C du triangle l’on tirera une droite CF sur la première partie de la droite AB ; l’on.pointera la montée donnée sur la droite 1E de I en H, et la quantité HG sera la longueur d’un rayon des arcs extrêmes : le res te se fera comme ci-devant..
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- - d’architecture. gt’
  - Moyen de trouver parle calcul la longueur de tou* les rayons.
  - (Fig. 9. ) Supposons que le diamètre AB soit de 3op, la quinzième partie sera 2P. Soit la montée de 6P,
  - Ecrivez la montée . r . r . 6P o o Otez-en la ^ partie du diamètre . .200
  - Le reste sera la valeur du rayon AE ou FB , ci.........................400
  - Si l’on ôte deux rayons AE, FB, ou 8P, du diamètre AB, le reste 22p sera un côté EF du triangle équilatéral EOF. Or, pour avoir la perpendi-, eu la ire CO, multipliez le côté EF . . . . . 22p
  - par ce nombre . , . op io° 41 8' 6U
  - La valeur de CO sera 19077
  - Le rayon MR sera trois fois plus grand que le rayon AE-, ce qui donne MR= i2p, et ER=8P.
  - Si l’on ôte 8P d’un côté EO = EF = 22p du triangle EOF, le reste i4p sera la valeur de la quantité RO que l’on portera de O en K.
  - Pour avoir le rayon DK, écrivez la montée DC,
  - ci.........................6P o o
  - Ajoutez la partie CO, ci . 19 ° 7 7,
  - Plus , la valeur de OK, ci 14000 La longueur du rayon DK sera 39 o 7 7
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- - U A N U E II
  - 9*
  - Problème 5mê.
  - Trouver la longueur de la courbe d’une anse de panier à cinq centres, dont le diamètre est 28p et [a montée iop.
  - RÉSOLUTIO Nv
  - Multipliez le diamètre 28p par 26 75, ci .... 748p 6° 4' 9*
  - Multipliez la montée iop par 34, ci 340 0 O O
  - La somme des produits sera 1088 6 4 9
  - Multipliez la somme par Produit .... 11 11973 10 4 3.
  - Divisez le produit par La longueur de l’anse sera 3i5 38p 0“ 11 9’
  - Le nombre 3i5 étant multiplié de plusieurs nombres, l’on pourra faire la division par ses parties aliquotes. L’on prendra le neuvième du produit, ensuite le septième de ce qu’aura donné le neuvième, puis le cinquième de ce qu’aura donné le septième , et l’on aura également 38p o° i3 9' pour la longueur de la courbe de l’anse de pa-? nier à cinq centres.
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- - I)’ A RCHITECTURE.
  - 9î
  - CHAPITRE VI.
  - De la construction des corniches circulaires.
  - Les corniches circulaires sont la plupart remplies de défauts que Ton n’apperçoit pas d’abord, mais qui sont faciles à reconnoître quand la menuiserie est posée: car pour peu que la corniche soit hors de niveau , ou onduleuse, ou enfin qu’elle jarre te aux points de raccordement, la menuiserie ne peut plus s’y raccorder, et l’on ap-perçoit des vuides inégaux entre le bandeau de bois et le porte-tapisserie de plâtre ; ou le bandeau est plus haut dans des endroits que dans d’autres, ou le porte-tapisserie n’a pas une saillie régulière au-dessus du bandeau. L’on peut attribuer ces défauts aux ouvriers qui sont accoutumés à suivre leur routine, et qui sont dans l’habitude de n’employer que des moyens à prolonger l’ouvrage sans chercher à rectifier les défauts.
  - Le moyen que l’on propose ici est fort simple ; non seulement l’on gagne beaucoup de temps, mais l’on est sûr d’éviter les défauts dont on vient de parler. C’est un instrument fait avec plusieurs réglés brutes, dont partie mouvante et partie fixe.
  - (Fig. 11.) Pour traîner une corniche circulaire sur un seul point de centre, l’on prendra un fort chevron AB d’environ 4 pieds de long portant tourillons tournés au tour par les bouts $ l’on
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- - ÿ4 MANUEL
  - y assujettira une réglé AC assez forte pourrésister à la poussée du plâtre et ajustée d’équerre à AB, soutenue d’un lien EF. L’on fera faire deux tasseaux G, H, en forme de cône tronqué, ayant un bord percé de trous pour y passer des clous que l’on attachera sur l’échaffaud et sous le plafond. Ces tasseaux seront percés d’un trou de tariere de la grosseur du tourillon qui doit y entrer ; et l’on fera une fente au tasseau du bas pour pouvoir démettre et remettre le tourillon lorqu’on veut nettoyer le calibre ; et pour fixer le tourillon dans sa place , l’on fera un trou sur le côté du tasseau pour y mettre une cheville. L’on aura soin de mettre un poteau sous l’échaffaud à plomb du pivot pour empêcher le balancement des planches.
  - L’instrument étant disposé, comme on le voit, avec son calibre, on le posera bien d’à-plomb; et pour vérifier si l’à-plomb est exact, l’on fera quatre reperes au plafond, qui seront bien nivelés; puis l’on fera tourner l’instrument, et l’on assujettira les tasseaux quand l’on aura vu le calibre affleurer les reperes ; puis l’on traînera le chemin avec la partie supérieure du calibre : le chemin étant formé, on le laissera sécher pendant quelques jours.
  - Lorsque le plâtre sera assez dur pour ne pas fléchir à la force de ceux qui poussent le calibre, l’on pourra traîner la corniche; et pour éviter le frottement du sabot, qui est ordinairement fort rude à pousser, et qui fait ressauter quelquefois lé calibre, l’on y joindra deux roulettes entaillées dans l’épaisseur du bois, comme on le voit à la figure C, en observant qu’elles désaffleurent un
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- - peu la face du sabot qui doit porter sur le chemin. Le sabot étant ainsi disposé, il faudra moins de force pour le conduire. Comme ce sont les roulettes qui doivent porter sur le chemin, il sera inutile que le sabot soit ceintré.
  - ( Fig. 12.) Pour traîner une corniche ovale avec deux points de*centre, l’on fera un instrument comme ci-devant, et l’on fera faire dans la réglé AC une fente, comme on le voit figuré sur le plan ca. L’on y ajoutera un support BD parallèle à la réglé AC et fixé par une entre-toise EF : ce support BD aura une fente égale à celle de la réglé AC. L’on fera une potence GHI, dont le montant sera percé de deux trous de tariere pour y faire entrer deux chevilles de bois tourné, et à tête ronde, qui serviront de tourillons; et pour fixer ces deux chevilles dans les coulisses des réglés, l’on attachera deux platines P avec des clous sur la réglé AC et sous le support BD à la distance que l’on aura trouvée pour les centres des arcs extrêmes. L’on attachera sur la réglé AC une forte charnière L de fer, en observant de laisser libre l’aile du dessous.
  - Il faudra disposer les deux réglés CA, GH, de maniéré que la distance du milieu du. tourillon du grand pivot AN au milieu de la cheville sur la réglé CA, soit égale à la distance qui se trouvera entre le point de centre de l’arc moyen et le point de centre d’un des arcs extrêmes ; et que la distance du milieu de la même cheville à l’extrémité du calibre, soit égale à un des rayons des arcs extrêmes.
  - Après que l’instrument sera ainsi disposé, on
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- - p6 MANU 'E t’
  - le posera bien à plomb de la même maniéré qu’on l’a expliqué pour les corniches circulaires.
  - {Fig, i3.) Scellez au plafond deux broches R de bois assez longues pour arrêter la première réglé CL, de maniéré que le milieu de cette réglé soit sur 1 ç rayon XG. Le tourillon du grand pivot étant fixé au centre X du grand rayon, et la cheville à tourillon étant fixée au centre M du petit rayon, et arrêtée par le tasseau R, l’on pourra traîner la corniche par un seul mouvement, depuis le point H jusqu’au point Q, en suivant le chemin HBGDEAQ. Il faudra qu’un homme ait la précaution de tenir la partie mobile de la charnière S abattue pour qu’elle fasse un arrêt sur la réglé CL, lorsque la réglé 01 sera en ligne droite avec la réglé CL-, et lorsque la réglé CL s’arrêtera à la seconde cheville R, il faudra lâcher la charnière pour que la réglé 01 puisse se replier à contre-’ sens sur le chemin EAQ.
  - Lorsqu’un côté de corniche sera fini, l’on posera le grand pivot au centre opposé Y, et l’on changera les chevilles R, que l’on pourra poser facilement dans l’angle des deux réglés lorsque le calibre reprendra les deux bouts de la corniche déjà formée : l’on pourra traîner alors la partie QPH, et il n’y aura que de très petits raccordements vers les points Q, LI.
  - Observez que, pour pouvoir se servir de cet instrument, il faut que le centre X se trouve en dedans de l’ovale : si ce poin t se trouvoit au dehors de l’ovale, il seroitdans l’épaisseur du mur, et alors il ne seroit pas possible de placer le grand pivot*. Dans ce cas, l’on supprimera le grand pivot,’
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- - d’a rchitecture, 97
  - vot ,fig. i2? etl1 on assujettira le lien ED etla réglé CA en y ajoutant un support percé d’un trou pour y mettre une cheville tournée en place des tourillons du grand pivot, tant dans le support que dans la réglé AC, et,Ton fera des trous dans les murs, s’il est possible, assez profonds pour que les réglés agissent librement.
  - L’on pourra, par le même moyen , traîner des corniches ovales à cinq centres avec trois réglés brisées disp'osées de la même maniéré que ci-dessus; mais la chose ne sera pas toujours possible , parceque les centres des arcs moyens sont souvent très éloignés du milieu de l’ovale, et qu’il faudroit percer les murs d’outre en outre pour placer l’mstrument.
  - ( Fig.14. ) Pour les corniches elliptiques l’on se sert d’un instrument que l’on nomme équerre mobile, avec lequel l’on traîne une corniche d’un seul coup par un mouvement continu.
  - L’équerre mobile est une planche de bois d’assemblage ou de métal, dans laquelle l’on a fait deux Coulisses AB, CD, d’équerre rime sur l’autre. "L’on prend une réglé EF sur laquelle l’on marque une distance EP égale à la moitié du petit axe, et une autre distance PN égale ci la déférence des demi-axes; ce qui donne la distance EN égale à la moitié du grand axe. L’on assujettit aux points P, N, deux pivots T, S, ajustés à queue d’aronde dans les'coulisses. L’on attache cette planche au plafond-, et'foiï pose le calibre M au bout de la réglé. , . J
  - ( Fig. 15. ) Pour démontrer que cet instrument traceJPellipse régulièrement, remarquez que
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- - MANUEL
  - toutes les droites EN sont chacune égalés au grand demi - axe AM, et que leurs parties EP sont chacune égales au petit demi-axe CM; par conséquent les portions PN seront chacune égales à la différence des demi-axes*; or pendant que les points P glissent vers A sur le grand axe AB,, les points N glissent de D en M sur le petit axe CD. Donc les points E décriront la courbe, et ne pourront passer ailleurs que par les extrémités A, C, B, D, des axes, et par conséquent traceront l’ellipse.
  - Les corniches, traînées avec cet instrument, ont un défaut essentiel qu’il est aisé de remarquer , principalement lorsque l’ellipse est fort âlongée; pour le démontrer, portez la largeur du calibre sur toutes les lignes de C erlÜi, de A On F, de E en G, et tracez la courbe HGGGF, (Vous verrez que les deux courbes CEA, HGF, aie sont pas parallèles, et se resserrent dans* les Bancs E. Il faudrait,, pour qu’elles fussent parallèles , que les distances EG fussent d’équerre à la dourbe suivant la droite LR, et que la courbe soit tracée suivant la ligne HRF ; mais les droites EP étant obliques à la courbe AEC, il est impossible que EG soit égal à CH : ainsi les deux courbes 'AEC, FGH, ne sont pas, parallèles, et par conséquent la corniche n’est pas,régulière.
  - Cependant quand.l’ellipse approche du cercle, l’on peut se servir de l’instrument sans crainte, parceqüe le défaut devient presque imperceptible.
  - Si l’on veut se servir utilement de l’équerre mobile, l’on ne l’emploiera que pour former l’an-.
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- - I)'ARCHITECTURE* uiê du porte-tapisserie et le chemin du plafond ; l’on supprimera l’équerre, et l’on traînera la corniche avec un sabot garni de roulettes aux deux bouts, figure Q. Suivant ce moyen, le calibre sera continuellement d’équerre à la circonférence de l’ellipse, et la corniche aura par-tout une largeur égale*
  - CHAPITRE VII.
  - Des circonférences elliptiques.
  - L'on n'a point donné jusqu’à présent de méthode pour connoître la circonférence d’une ellipse par le moyen de ses axes; cependant cet objet est très intéressant dans la pratique, tant pour la construction que pour le toisé.
  - Le seul moyen pour y parvenir est de donner une formule générale avec laquelle l’on puisse calculer des ellipses de toutes grandeurs ; mais le calcul pour une ellipse est fort long en suivant cette formule, et ne peut convenir aux praticiens qui ne désirent que de gagner du "temps. Ainsi, pour donner de la facilité dans l’opération, l’on suivra la table des circonférences elliptiques que l’on verra ci-après, quirquoiqu’elle ne soit pas fort étendue, ne laisse pas que de donner des circonférences asseajustes.
  - Cependant si quelqu’un vouloit prendre la peine de faire une table de circonférences fort étendue , l’on pourrait suivre la formule ci-après.
  - Gij
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- - 100 MANUEL
  - Construction de la formule des circonférences elliptiques.
  - Principe s. '
  - ( Fig. 16. ) Divisez lé rayon a O d’un quart de cercle en plusieurs parties égales ; par exemple, en cinq : sur les points de division élevez les per-
  - Îmndiculaires ou demi-cordes nm} spt tq, ur} que ’on nomme ordonnées au Cercle; divisez le demi-grand axe ÀO de l’ellipse aussi en cinq parties égales, et', par les points de division, élevez les perpendiculaires NM, SP, TQ, UR, chacune égale à sa correspondante ; ces perpendiculaires seront des ordonnées à l’ellipse. La courbe AMPQRC, qui passera par les extrémités des ordonnées, seraUn quart de circonférence d’ellipse. L’on nomme abscisses toutes les parties du rayon comprises entre les ordonnées et la courbe,comme :7zû, nB, sont les abscisses de l’ordonnée nm. Dans le cercle, le quarré d’une ordonnée est
  - égal au pr oduit de ses abscisses ; ainsi: ’on a m/z2==
  - an X nB yps*z==as X ^B, et ainsi des autres. Qr ayant supposé le rayon divisé en cinq parties égales , chacune de ces parties sera le cinquième rayon. En prenant la lettre R pour exprimer Je
  - rayon , J’on aura nB = aR ; nn = y, et itB =
  - — ; üs = ^, et j.B.= ainsi des antres.
  - Donc, puisque le quarréjdes ordonnées est égal au produit des abscisses J’en aura
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- - JDARCHITEC TU R E.
  - çR v , R oR*
  - “=tX-T=^r
  - 6 R'
  - P'5
  - __8R 2R______
  - --T" X T"----
  - ru2
  - Eü5
  - 7 R X 3 R 21 Rs
  - 5 5 20
  - 1 os X II 34 R* “"^5"
  - 5 R X 5R_ _ 25 R.3
  - 5 5 “ _ 2ii
  - 10I1
  - Des extrémités de chaque ordonnée au cerclé abaissez les perpendiculaires me, pf, qg, rli, d’une ordonnée à l’autre ; chacune sera égale à la cinquième partie du rayon aO, et pourra être ex-,
  - primée par
  - Par les extrémités des ordonnées tirez les cordes a~mr mp, pq, qr, 7*C, vous aurez cinq triangles rectangles.
  - L’on aura les quarrés des cordes en faisant am2 = an2 -4- mn3; mp2 = me2 -4-pe2; pq2 = pf2 -\-fq2; qr* '== qg* #r*; /G2 = rh2 Or les quantités <211, me, pf, qg, rC, sont égales, et exprimées chacune par -j- leurs quarrés seront exprimés chacun par Ainsi il s’agit de
  - trouver les quarrés des quantités pe, fq, rg,\ hC.
  - Le quarré de la différence de deux quantités se trouve en faisant la somme des quarrés de ces deux quantités 7 et en ôtant de cette somme deux
  - G iij
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- - 102 MANUEL
  - fois la racine quarrée du produit de ces mêmes quantités. Donc l’on aura
  - Pe‘=( 9 + 1(>)X§
  - JŸ = (i-21 — 2 v/ïâXÎT) X 3
  - ^ = (21 -1-24— 2 V/21X24) X 3
  - hO= (24-4-25— 2 \/24X25) X 3*
  - lesquelles expressions étant réduites, donneront
  - pe= = (q.5—2 V/Î44) X 3, ou i.oooog
  - Jq' = (37 — 2 v/336) X 3,ouo.33943
  - é''* = (45 — 2 \/5Ô4) X 3, ouo. 10023
  - AC‘= (49—-2 v/600^ X 31 ou 0.01 o3^.
  - Dans le quart d’ellipse OCA, les perpendiculaires ME, PF, QG, R/z, coupant les ordonnées à la même distance que me,pj, ug, r/z, les coupent dans le quart de cercle OCft: les différences EE, QF, RG, Ch, seront chacune égales à leurs correspondantes pe, qf, rg, Ch, et par conséquent leurs quarrés seront égaux; ce qui donnera
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- - d’a R C H I T E C T U R E.' . lo3
  - MN2—9.0000^3
  - PE2 .= 1.0000 ^ "
  - QF2 = 0.3394^
  - RG2 = o. 1002 ^
  - C/z2 == o.oio3 33.
  - Cette formule peut servir pour le cercle comme pour l’ellipse; savoir, pour le cercle, en ajoutant à chacune des quantités ci-dessus le quarré de chacune des parties du rayon aO ; et pour F ellipse, le quarré de chaque partie du demi-grand axe AO-Or le rayon aO étant supposé partagé en cinq parties égales, chaque partie an, ns, etc. sera égale
  - a , et son quarré sera L on aura donc, pour
  - exprimer les quarrés des cordes, am, qr, rC du quart de cercle. mp, pq,
  - am2 = R1 10.0000 -t et la racine am = 3.162 Ç i>
  - mp2 — 2.0000 ^ et la racine mp = 1.4151
  - , 1.3394 '^5 e t la racine pq = :i.i57|
  - O ' ' ’* v ' 4 • q r = R2 uT 1.1002 ^3 et la racine qr = / K : 1.049-3
  - rC2 == i.oioo et la racine rC = 2 5 r R : 1.003 3S
  - y ' Ainsi la somme de toutes les cordés d’un quart de cercle dont le rayon seroit supposé divisé en
  - G iv
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- - 104 M A n U E £
  - un grand nombre de parties égales, sera égale au quart de circonférence du même cercle.
  - Parla même raison, pour exprimer les quarrés
  - des cordes du .quart dïell-ipse , l’on ajoutera à la
  - formule le quarré d’une des parties du demi-grand
  - axe AO; ainsi, ayant supposé AO divisé en cinq
  - parties égales, chaque partie sera exprimée par
  - ao . , Â02 7,
  - -j-, et son quarre par , et 1 on aura
  - AMa = 9. doco'"-^"-
  - MP*:= 1.0000
  - 2!)
  - ^Q* = 0.33^4
  - 7vd~2 R2 4- Âô*
  - QU = o. 1002 —^—
  - Twf*2 __ Q R* H- A.O*
  - RL2 = 0.0100 --
  - dont la somme des racines donnera le quart de Circonférence elliptique AMC, très approché, en supposant que le demi-grand axe AO fût divisé en un très grand nombre de parties égales.
  - C’est d’après le principe que l’on vient de donner, qu’est construite la table des formules ci-après, composée-de cent cinq quantités exprimant les quarrés des bases de chacun des triangles rectangles ANM, MEP, etc. ayant pour hauteur une mesure commune, ou une partie déterminée du demi-grand axe de l’ellipse, et pour hypothé-nuse chacune des cordes du quart de circonférence elliptique.
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- - d’a RCHITECTüRE. 1 o5
  - L’on a d’abord supposé que le rayon aO soit divisé en iooo parties égales; ensuite l’on a distribué les dix parties qui approchent du sommet a de maniéré que la première partie soit la millième
  - du rayon , ou —la seconde soit ; la troi-sieme soit et la quatrième soit ce qui
  - complété les dix premières parties. La seconde dixaine est divisée en deux parties égales, ainsi
  - que la troisième dixaine ; ce qui donne pour,
  - chacune de ces parties. Si l’on retranche trois di-xaines de 100 dixaines, il restera 97 dixaines qui n’ont point été subdivisées, et qui doivent être
  - exprimées chacune par
  - Cette subdivision a été faite pour éviter de calculer 1000 cordes à chaque quart de circonférence que l’on voudroit trouver; car les cordes,' excepté les trois premières qui approchent le plus du sommet A, se trouvent presque confondues avec leurs arcs, et c’est pourquoi les trois premières parties du rayon ont été subdivisées; ce qui donne les cordes les plus près du sommet plus petites.
  - L’on pourra donc calculer, par le moyen de la table ci-après , un nombre assez considérable de circonférences d’ellipses, ayant un petit axe commun sous différents grands axes, assez justes pour frisage que l’on voudra en faire, et même dans un rapport aussi approché que celui de n3 à 355.
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- - 'i'0$ MANUEL
  - 'Méthode pour calculer un quart de circonférence par la formule ci-après.
  - Pour rendre l’opération plus claire, il faut supposer que le rayon du cercle inscrit à l’ellipse soit «gai à 1 ooo = R.; et par conséquent la millième
  - partie du rayon sera = 1, et le quarré de
  - cette millième partie sera—-— = i. Ceci posé.
  - r ÎOOOOOO I 7
  - Gomme chacun des nombres de la tablé doit être multiplié par —-—, ces nombres ne chan-
  - l l lOOOOOO 7
  - gent plus de valeur, et restent Tels qu’ils sont. Il n’y aura donc qu’à ajouter au premier nombre le
  - quarré de îa première division pour avoir le
  - quarré de la première corde qui touche au sommet A du quart d’ellipse, et la racine de la somme donnera cette corde. L’on fera la même chose à toutes les quantités.
  - Par exemple, soit le demi-grand axe AO = ixioo, les divisions seront:
  - SAVOIR,
  - la ire î .ioo et son quarré 1.210000 ; la 2e 2.200 et son quarré 4.84.0000 ; la 3e 3.3oo et son quarré 10.890000 la 4e 4.400 et son quarré 19.360000 ; la 5e 5.5oo et son quarré 3o.260000; la 6e 5.500 et son quarré 3ô. 260000 ;
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- - d’aRCHITIC T’U R E. lÔf
  - la 7e 5,5oo et son quarré 3o. 260000 ; la 8e 5.5oo et son quarré 3o. 260000; la^ei î .ooo*et son quarré 121.000000.
  - Les 96 autres divisions seront connue la 9*.
  - Les quarrés des cordes seront par conséquent exprimés :
  - savoir,
  - laire 1999.0000 -H 1.210000 = 2000.2100; la 2**1068.7268 4.840000 = 1073.5658;
  - la 3e 1022.6258 h- 10.890000 = io33.5i58; la 4* 1004*0844'+* 19.360000= 1023.4444» la 5e 991.4298 -+- 3o. 260000 = 1021.6798 ; la 6e 699.2386 H-3o. 260000 = 729.4886; la 7e 538.6822 h-3o.25oooo = 568.8322; la 8e 436.8120 -+- 3o.260000 = 467.062°; la 9e 1361.2474-1-121.000000= 1482.2474; lai 0*1040.0662-+-121.000000= 1161.0662,
  - et ainsi de suite en ajoutant toujours le quarré î2i de la centième partie du demi-grand axe 1100. Et comme les sommes ci-dessus expriment les quarrés des cordes du quart d’ellipse, l’on aura chaque corde en tirant les racines de ces nombres; et la somme de ton tes les racines sera égale, à peu de chose près, au quart de circonférence elliptique dont le grand axe est supposé égal à 2200, et le petit axe égal 2000.
  - Si l’on eût supposé Te demi-grand axe AO égal au rayon OC du cercle inscrit, l’on auroit eu,
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- - fo©8 ..'MANUEL'
  - suivant l’opération 'précédente, un quart de cîr-, conférence de cercle.
  - En calculant 1000 circonférences de cette ma* ïiiere, l’on aura un nombre assez étendu pour former une table de circonférences elliptiques, au moyen de laquelle l’on aura le pourtour d’une ellipse quelconque par la seule connoissance de ses axes.
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- - Table des formules pour les courbes elliptiques.
  - fl
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  - co vo o d oo-us d- o c\vo - .00 os o ci tx d o co co d; co txoo vo d co -‘.vo so vo vo d co co
  - - -I xf O xf US d, - rO 00 CO . O US xf VO xf d d fxxf VO CO IXOO CO CO OSLO ->. N(N 't O «
  - xf -< o 0\ xf xf tx txco cO OcO ON Ov ~ US OLO 0\c0 lo US cO CO O OncO xf xf d CO O 'O IX CO xf xf tx d - dLo dco txoo o co ço us d o o d xj- tx ~ us - voco ç> - d vo xf xf en co xf
  - co oô co gnus -Û txxf d txxf ci d\vo" xf d* o" co* vo* xf- d* o' cf txvo* xf co d* - dico’ txvo lo" xf
  - ovco co ex ex txvo vovoLOLOLo xf xf xj- xf xf co co co en co d d d d d d d -< -<
  - vo rxco ov o - d co
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- - fï l d U A N Ü 1 t
  - La table ci-après a été calculée sur un rayon divisé seulement en 5o parties égales ; ce qui est suffisant dans la pratique , d’autant plus que la somme de toutes les cordes du quart de cercle donne une quantité plus approchée du rapport du rayon à la circonférence que le rapport de 7 à 22 ; ce qui est évident d’après les calculs : car en supposant le diamètre égal à 100, la circonférence se trouve dé 314.0664, au lieu que, par le rapport de 7 à 22, elle seroit de 314.2856, et par le rapport de 113 à 355, qui est plus juste, la circonférence seroit de 314* 1692.
  - 'Méthode pour se servir de la table ci-après lorsque l’on voudra trouver une circonférence elliptique par la seule connoissance de ses axes.
  - Il est bon d’observer que les ellipses semblables ont leurs circonférences proportionnelles à leurs axes correspondants ; que toutes les circonférences contenues dans la table ont un petit axe commun dont la mesure est le nombre entier 100, et que les grands axes sont de différentes longueurs.
  - Il est encore bon d’observer que la différence des grands axes consécutifs n’est pas assez grande pour causer une erreur sensible dans la pratique, où il est rare que l’on fasse des voûtes surbaissées dont la montée soit de ,5o pieds, et dont le diamètre soit plus grand que 100pieds: par conséquent plus les dimensions seront petites, et plus l’erreur deviendra insensible.
  - Lorsque l'es deux axes d’une ellipse quelconque seront donnés, l’on cherchera une ellipse sem-
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- - d’architectür E.1 'II ïi
  - blable dont le petit axe*soit 100 par une réglé de proportion, en disant: le petit axe donné est au nombre 100, comme le grand axe donné est à un quatrième terme qui exprimera le grand axe proportionnel ; ensuite l’on cherchera dans la colonne des grands axes le nombre que l’on aura trouvé au quatrième terme de la proportion; l’on fera ensuite cette seconde proportion, 100 est à la circonférence qui répond dans la table au nombre trouvé, comme le petit axe donné est à la circonférence que l’on cherche.
  - Problème i*M
  - L’on demande la circonférence d’une ellipse dont le petit axe est i5 pieds, et le grand axe est Bp pieds.
  - RÉS OIüTI O N.
  - Vous ferez d’abord cette première proportion en nommant x le 4me terme. .
  - i5 I Bp ‘d 100 ! 260J
  - Cherchez dans la table le nombre qui répond â ado , et vous trouverez à côté 5p3.4&; puis faites cette proportion, en nommant jx le nombre que ion cherche,
  - ioop ! 593.48 ; ; i5p \y = 8pp o° 3L
  - Le nombre 8pp o° 3l sera la circonférence que 1 on cherche. • - 1
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- - 51 A N Ü E L
  - Œiat
  - Remarque.
  - Il peut arriver que le 4me terme de la ire proportion nè soit pas juste dans la table ; dans ce cas l’on prendra la différence du nombre supérieur et du nombre inférieur que l’bn mettra en proportion, comme on va le voir.
  - Problème 2me.
  - L’on demande la circonférence d’une ellipse dont le grand axe est 65p 6°, et dont le petit axe est i7p io°.
  - Résolution.
  - Faites d’abord cette proportion,
  - i7P io° * 65v 6° \ \ îoo ! x=z 3671’ 3° 6l
  - Prenez dans la table le nombre qui répond à 370, ci . . . 799.95
  - et celui qui répond à 36o, ci 780.97
  - La différence sera .... 18.98
  - Multipliez cette différence par la différence 7'p 3° 61 qui est entre 36op et 367p 3° 61, ci ... 73 6
  - Le produit sera .... i38.3p
  - Divisez ce nombre par la diffé-rence 10 qui est entre 36o et 370, et vous aurez . . . . i3.83p
  - Ajoutez-y le nombre qui répond à36o,ci . . . . . 780.97
  - La circonférence proportionnelle sera . . . . 794* 809
  - Faites
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- - d’a RCH ITE C T U R E. 113
  - Faites ensuite cette proportion,
  - 100 I 794.809 ’ 17* io° * y = i4ip 8° io1-:
  - Le nombre 141* 86 101 sera la circonférence demandée.
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- - M.ANUEL DïïAMHimEC'FURE.
  - .114
  - Table des circonférences elliptiques.
  - grand axe. cirédrife renées. grand axe. ciiconferenceè. grand axe. ^ cîrconierënces.
  - 101 3l5.7478 35o 762.0212 680 1400.0412
  - 102 3l7.3364 36o 780.9768 690 1419.6200
  - io3 318.9249 370 799.9512 700 1439.2084
  - 104 320.5l35 38o 819.0084 710 1458.8072
  - 10 5 322.1021 390 838.0740 720 1478.4116
  - 10 6 328.6907 400 867.1708 joo 1498.0284
  - 107 326.2792 410 876.2972 740 1617.6476
  - 108 326.8678 420 896.4524 75o 1537.2766
  - 109 328.4564 43o 914*6324 760 1556.9120
  - 110 33o.o45o 44° 933.8376 77° 1676.5648
  - 120 346.2680 45o 963.0668 780 1596.2048
  - i3o 362.7856 460 972.3192 79 0 1615.8624
  - 140 379.6624 470 991.5944 800 1635.5248
  - i5o 896.5712 480 IOIO.8896 810 1655.1948
  - 160 413.7792 490 1030.2264 820 1674.8704
  - 170 431.1732 5oo 1049*5404 83o 1694.5604
  - 180 448.7276 5io 1068.8901 840 1714.2392
  - 190 466.4488 520 1088.2616, 85o 1733.9332
  - 200 484.2652 53o 1 107.6492 860 1753.6304
  - 210 502.2223 54.0 1127.0492 870 1773.3348
  - 220 520.2924 55o 1146.4672 880 1793.0432
  - 23o 538.4560 56o 1 165.8968 890 1812.7580
  - 24° 556.7612 570 1 i85.3452 900 1832.4.772
  - 25o 676.0624 58o 1204.8044 £J° 1862.2020
  - 260 593.4882 590 1224.2776 920 1871.9300
  - 270 611.9944 600 1243.7604 980 1891.6640
  - 280 63o.54oo 610 1263.2568 940 1911.4004
  - 290 649.1640 620 1282.7656 960 1931.1462
  - 3oo 667.8392 63o l302.2852 960 1950.8916
  - 3io 686.6904 640 i321.8172 970 1970.6404
  - 320 705.38o8 65o 1341.3571 980 1990.3980
  - 33o 724.2162 [660 1360.9096 99 0 2010.1662
  - 340 743.0984 670 1380.4708 1000 2029.9192
  - H
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- - TROISIEME PARTIE.
  - Des murs considérés dans leur étendue superficielle.
  - La plupart des murs se mesurent superficiellement, et s’estiment en raison de l’épaisseur et de la qualité des matériaux avec lesquels ils sont construits: l’on ne fait qu’indiquer seulement leurs épaisseurs.
  - Toutes les opérations que l’on va donner dans le chapitre suivant, 11e seront établies que sur les plans des murs élevés à plomb entre deux lianes parallèles.
  - CHAPITRE PREMIER.
  - Des murs droits.
  - (Fig. 17.) Soient quatre murs d’égale épaisseur formant l’enceinte d’un plan rectangle IMNP. Pour avoir le pourtour moyen, l’on fait la somme des deux pourtours, extérieur et intérieur, dont on prend la moitié. a
  - Si r on ne peut mesurer ces murs que sur leur face intérieure , l’on ajoute au pourtour quatre fois l’épaisseur : si on les mesure sur leur face extérieure , l’on diminue du pourtour quatre fois l’épaisseur. Il résulté de cette opération que la
  - Hij '
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- - î l6 MANUEL
  - différence des pourtours extérieur et intérieur est égaie à huit fois l’épaisseur des murs.
  - Il n’y a donc pas de difficulté à mesurer les murs d’égale épaisseur ensemble ou séparément r en prenant les longueurs des deux murs par dehors et celles des deux autres par dedans.
  - Dans la pratique l’on mesure les murs de face 'sur leur face extérieure, y compris les épaisseurs de ceux de pignon et de refend: ceux de refend et de pignon se mesurent "dans œuvre.
  - Lorsqu'un mur neuf est relié avec un vieux mur, l’on ajoute à sa longueur six pouces pour sa liaison. Si le vieux mur est trop mauvais, et que l’on soit obligé d'y faire une liaison plus forte, on la compte pour ce qü’elle est.
  - Les languettes de cheminée sont dans le même cas des murs : l’on mesure les faces par dehors ; et les languettes de refend et de distribution, ainsi que les côtieres, se mesurent dans oeuvre. Si les tuyaux sont adossés contre un mur, l’on ajoute trois pouces à la longueur de chaque languette qui se trouve en liaison au mur. L’on n’a point d’égard si le mur est vieux ou neuf, parceque les arrachements se font toujours après coup.
  - (Fig. 18. ) Lorsque deux murs de différentes épaisseurs forment une encoignure à angle droit, l’on ne doit pas mesurer l’un hors œuvre et l’autre dans œuvre, à moins que l’on ne compte les parements à part. La raison est qu’il y a moins de parement sur le mur le plus épais, qu’il n’y en a sur le plus foible.
  - L’on mesurera donc le mur AB de B en H, ou de C en D, puis l’on ajoutera à cette longueur la
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- - d’à rchitecture. 117
  - moitié de l’épaisseur GD du mur en retour. La longueur du mur AE se mesurera de E en G, ou de F en D, en ajoutant à cette longueur la moitié de F épaisseur DH du mur précédent..
  - Quand un mur de refend aboutit à un mur de face, la partie occupée par celui de refend ne doit être comptée qu’à un parement.
  - {Fig. 19. ) L’on observera la même chose à l’égard d’une encoignure aiguë ou obtuse, formée par la rencontre de deux murs d’inégale épaisseur. Ainsi, pour mesurer le mur B A, l’on prend la longueur LD ; puis, tirant une droite d’équerre DH, l’on mesure l’excédent HA dont la moitié s’ajoute à la longueur LD, de même que, pour mesurer le mur EA, l’on ajoute à la longueur MD la moitié de l’excédent GA.
  - Méthode pour lever les- angles au cordon.
  - ( Fig. 20. ) Lorsque l’on ne pourra mesurer un mur formant un angle aigu ou obtus que sur une des faces * l’on se servira fort ingénieusement d’un cordon de fouet pour en lever les angles, en le disposant en forme de triangle ABC, aux angles duquel l’on passera une épingle pour les-recon-noître. L’on pourra plier ce cordon et l’emporter aisément pour le placer sur un endroit uni dans la même position qu’il étoit placé dans l’angle ,
  - Fuis l’on marquera l’angle dont 011 a besoin, et on tracera les côtés : c’est à quoi l’on va s’occuper dans les opérations suivantes.
  - ( Fig. 21.) Soient deux murs LA, MA, que l’on ne peut mesurer que sur les faces intérieures LD T.
  - ' ’ Il iij
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- - Il8 MANUÊL
  - DM: Ton attachera le bout d’un cordon à un point quelconque F, et l’on tendra ce cordon de F en D, puis de D à un point quelconque G, et on le repliera de G en F, en observant de passer une épingle à chaque angle du triangle que formera ce cordon. L’on enlevera ce cordon que l’on placera dans la même position fdg sur un endroit uni (fig. 21 '), puis l’on marquera les angles f, d,g, et l’on tracera les côtés fd, dg, à volonté; l’angle fdgélant formé, l’on portera les épaisseurs BL, EM, des murs sur ce plan, et l’on tracera les parallèles b a, ae, à volonté; de l’angle d l’on tracera les droites d’équerre dh, dm, et la diagonale da: ceci posé, l’on pourra faire sur le plan hdma les opérations nécessaires.
  - Pour mesurer la longueur du mur BD, Fon prendra la distance LD, à laquelle l’on ajoutera la moitié de ha; et pour mesurer le mur ED, l’on
  - Î>rendra la distance DM, à laquelle l’on ajoutera a moitié de am.
  - {Fig. 22. ) Soient deux murs BD,DE, dont les épaisseurs sont inégales : supposez que ces murs forment un angle obtus, d’un point quelconque F l’on tendra un cordon de F en D, de D en G, de G en F ; puis, portant le triangle FDG sur un plan uni fdg {fig. 22f ), l’on portera l’épaisseur BL d’équerre sur fd, et l’on tracera la parallèle b a; puis l’on portera l’épaisseur ME sur dgàe d en m, et l’on tracera la droite ae qui rencontrera la première au point a; de ce point l’on abaissera Ja perpendiculaire ah, et du point d l’on fera la perpendiculaire d m.
  - Pour mesurer la longueur du mur BD, l’on
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- - d’a RCflIT|ÇTüRE. I 19
  - prendra la longueur LD-de laquelle l’on retranchera la moitié de hd; et pour mesurer la longueur du mur AM, Ton prendra la distance DM à laquelle l’on ajoutera la moitié de am.
  - { Fig. zà. ) Soient deux murs BD, DE,formant un angle aigu P: Fou fera comme ci-devant avec le cordon un triangle FDG que l’on portera sur un plan xmifdg {fig<, zè1), puis l’on tracera sur ce plan les épaisseurs des murs, et de l’angle d l’on tirera les droites d’équerre dh> dm.
  - Pour mesurer la longueur du mur BD, 1’qu prendra la distance LD à laquelle l’on ajoutera moitié de ha; et pour mesurer le mur DE, l’on prendra la distance DM à laquelle l’on ajoutera moitié de ma.
  - {Fig. 24. ) Soient deux murs BP,EP,dont l’angle estremplipar un pan coupé DN : l’on tendra le cordon de F en D, puis de D en G, parallèlement à NM, et tenant fixe le point G, l’on fermera le triangle de G en F ; l’on portera le triangle FDG sur un plan fdg {fig. 24' ), puis l’on tracera la parallèle qr à la même distance de dg que la pa* rallele DG l’est de NM; l’on prendra la longueur DN du pan coupé que l’on portera de q en n, puis l’on tracera les droites d’équerre dh, dm; enfin sur le plan {fig. zifi ) l’on pourra mesurer comme ci-devant les longueurs ha, ma, et le pan coupé qn.
  - {Fig. 25.) Soient deux murs BD, DE, que l’on ne puisse mesurer que par dehors : l’on fixera le bout du cordon au point A, et on le tendra jusqu’à un point quelconque F, puis du point F à un autre point G, et du point G an point A
  - H iv
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- - 120 M A N U E t
  - sur Falignement AE d’un mur : l’on transporterai le triangle FAG, formé par le cordon, sur un plan fag ( fig. 25' ), puis on prolongera le côté af de yen £, et le côté ga de a en e; ensuite l’on tracera les droites parallèles dl, dn, qui fixeront les épaisseurs des murs ; du point de rencontre dl’on tracera les droites d’équerre dh, dm.
  - Pour avoir la mesure du mur BD, l’on prendra la distance BA de laquelle l’on ôtera la moitié de la distance ha; et pour avoir la mesure du mur DE, l’on prendra la distance EA de laquelle l’on ôtera la moitié de am.
  - ( Fig. '2.6. ) Lorsqu’on aura à mesurer les murs d’un pavillon à pans ayant différentes épaisseurs, et formant avant-corps sur les angles des pans de côté, Ton ne pourra se dispenser de lever un angle extérieur et Un angle intérieur.
  - On lèvera d’abord un angle FDG avec un cordon, et on le rapportera sur un plan fdg{fig.o.6]) sur lequel l’on rapportera les épaisseurs des murs BD et EL, et une saillie AEN : ces deux murs formeront sur le plan un angle au point n; ensuite î’on tracera les droites d’équerre ds, dr.
  - Pour mesurer le mur BD, l’on prendra la longueur CD à laquelle on ajoutera moitié de sn; et pour mesurer le mur EL, l’on prendra la longueur DO à laquelle on ajoutera moitié de nr. L’avant-corps triangulaire AEN se mesurera en multipliant ae par la moitié de en.
  - Quelquefois l’on ne peut avoir que l’épaisseur d’un mur : dans ce cas l’on sera obligé ae lever tin angle extérieur IHL en tenant le cordon tendu DL et prolongé vers M parallèlement à la face
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- - d’architecture. ‘xàft
  - extérieure VP du mur de côté;l’on rapportera sur un plan ihl ( fig. 26") le triangle IHL, et Ton prolongera les côtés li vers e et hl vers m ; l’on rapportera sur ce plan l’épaisseur des deux murs, et la distance qui se trouve entre la face VP et là parallèle LM, ainsi que le triangle ULV.
  - Comme l’on suppose inconnue l'épaisseur QP du mur OP, l’on mesurera le mur EO sur deux faces ; savoir, la longueur EL et la longueur DO ; Ton retranchera celle-ci de la première, et l’on prendra moitié de la différence que l’on rapportera sur le plan de / en t; puis tirant la droite d’équerre to, le point o sera l’angle de rencontre des faces intérieures des deux murs.
  - L’on pourra encore trouver le point o en élevant sur le milieu de la diagonale vu une droite d’équerre yo qui coupera la face intérieure do au point o., et en tirant la droite ox parallèle à lm. Cette opération étant faite, l’on pourra mesurer toutes les dimensions sur le plan(fig. 26,r).
  - {Fig. 'i.'-f. ) Quelquefois il se trouve trois murs dont la réunion se Lût aux mêmes angles : dans ce cas l’on ne peut se dispenser d’avoir leurs mesures par dehors et par dedans, et de lever deux angles.
  - L’on fera d’abord avec le cordon un triangle quelconque IHL pour avoir l’angle H1L que l’on rapportera sur un plan uni hil; puis, portant sur ce plan l’épaisseur DN du mur BD, l’on tracera la ligne dg parallèle à il; du point d l’on tracera la droite d’équerre du; l’on prendra la différence NI des longueurs des deux races du mur BD que l’on rapportera sur le plan de n en i; l’on proion-
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- - 122'
  - MANUEL
  - géra la droite hi de i en a, et l’on rapportera* sur le plan l’épaisseur AM du mur AE ; l’on tfa-cera la ligne em qui fera la limite de l’épaisseur du mur, et qui rencontrera la droite dg au point q ; on lèvera avec le cordon l’angle FDG que l’on rapportera sur le plan fdg> etl’on tracerala droite j ’lele ep, dont la distance
  - de dj sera égalé a 1 épaisseur du mur Dr ; enhn l’on tracera la ligne de et les droites d’équerre qr, qs.
  - Pour mesurer la longueur du mur DB, l’on ôtera de la distance BI la moitié de ri; pour avoir la longueur du mur AE, l’on ôtera de la distance AI la moitié de si; et pour mesurer le mur PD, l’on prendra la distance PE à laquelle on ajoutera la moitié de td; il restera un triangle eqd que l’on mesurera séparément.
  - CHAPITRE IL
  - Des murs circulaires.
  - Nous ne parlerons dans ce chapitre que des murs qui s’élèvent à plomb entre deux courbes parallèles, tels que les puits, tours rondes, etc.’ Nous ne ferons que le détail de leurs plans, étant dans la partie supérieure les mêmes que dans la partie inférieure.
  - I.
  - ( Fig. 28. ) Soit un plan circulaire compris
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- - d’architectures 123
  - entre deux circonférences parallèles AED H, BFC G ; le pourtour réduit de ce plan sera la moitié de la somme de ses deux circonférences, et par conséquent sera égal à une circonférence qui passeroit par le milieu du même plan à égale distance des deux circonférences extérieure et intérieure.
  - Si Ton se sert dans ce cas du rapport de 7 à 22, le pourtour extérieur sera égal à y AD, ou à. Y du rayon AO, et le pourtour intérieur sera égal à f BC, ou à ^ BO ; faisant la somme des deux
  - pourtours, l’on aura AO-f-BO X 7» et la moitié
  - AO -+- BO X 7 sera le pourtour réduit.
  - Supposons que le diamètre du cercle intérieur BC soit 14P, et l’épaisseur AB du mur soit ip 9% le diamètre du cercle extérieur AD sera i7P 6°.
  - Le rayon AO sera . . . . . 8p 9®
  - Le rayon BO sera..................70
  - Leur somme sera . . . . .. i5p 90
  - A multiplier par . . ... 3 y
  - Le pourtour réduit sera . . . 49p &
  - en ajoutant à la circonférence du diamètre BC, ci . . ... 44p o o
  - celle d’un cercle qui auroit l’épaisseur ip 90 du mur pour diamètre, ci . . , . . . .56 o
  - le pourtour moyen sera . . 49p 6°
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- - iia? Mahub'
  - L’on peut aussi avoir le pourtour réduit en ôtant du pourtour extérieur 55p o* la circonférence d’un cercle qui au-roit pour diamètre l’épaisseur ip 90 du mur, ci......................... . 5 6
  - La différence sera le pourtour réduit ..........................4.9p 6®
  - Pour donner une preuve de ce qu’on vient de dire, l’on n’a qu’à multiplier le pourtour réduit 49P 6° par l’épaisseur iP9° du mur, et la surface de son plan sera 86p 70 61'
  - La surface du grand cercle de îi7P 6° de diamètre sera . . 240p 70 61
  - La surface du petit cercle sera i54 o o
  - Et la différence sera . . 86 7 6
  - 1 L
  - ( Fig. 29. ) La circonférence moyenne d’un plan ovale ou elliptique compris entre deux circonférences parallèles sera, suivant le principe que l’on vient d’établir, égale au pourtour intérieur, plus à la circonférence d’un cercle quiauroit l’épaisseur du mur pour diamètre, ou au pourtour extérieur moins la circonférence du même cercle.
  - Exemple.
  - Supposons que le grand diamètre AB soit 28 p et que le petit diamètre CS soit 20p; supposons
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- - ©'ARCHITECTURE.1 125»
  - kussi que l'épaisseur AI du mur soit ap, l’on aura le grand diamètre IL de 24** et le petit diamètre FTdei6p.
  - Le pourtour d’un ovale se trouve en prenant 12 fois le grand diamètre; plus, 10 fois le petit diamètre ; puis en prénant le ÿ de la somme.
  - La circonférence de l’ovale circonscrit sera par ce moyen . . . 76
  - et celle de l’ovale inscrit sera . , 64
  - Somme . . . 140 f
  - dont la moitié sera le pourtour réduit du mur, ci.................. 70 ~
  - Si l’on ajoute une épaisseur de mur à chacun des diamètres de l’ovale inscrit, l’on aura 26* et i8p pour les diamètres de l’ovale moyen dont le pourtour sera égaler ment . . . . ... 70** ~
  - La circonférence de l’ovale-inscrit, ayant 24* pour son grand diamètre et i6p pour son petit diamètre, sera . . . 64 p o
  - L’épaisseur 2P du mur étant prise pour diamètre d’un cercle, la circonférence sera 6P ~ à ajouter à la précédente , ci.............................. 6 ~
  - 7
  - Le pourtour réduit sera .
  - 70
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- - 1*2 6 MANUEL
  - L’ovale circonscrit ayant 28p pour grand dia* pietre et 20p pour petit diamètre, sa circonférence sera . . . 76p j-
  - Otant de ce nombre la circonférence d’un cercle de 2p de diamètre 6 y
  - le reste sera le pourtour réduit 70 y
  - Si l’on multiplie le pourtour 70 y par l’épaisseur 2p du mur, la surface du plan de ce mur sera i4opy : or Ton va faire voir que ce produit est exact.
  - Calculez la surface d’un ovale de 28p de grand diamètre et de 20p de petit diamètre, vous aurez, suivant le chapitre 4, . . . . . 446p i° 6*
  - Calculez aussi la surface d’un ovale de 24p dë grand diamètre et i6p de petit diamètre i vous aurez . . ... 3o5 7 2
  - La différence sera la surface du plan du mur, ci . ^ . i4op 6° 41
  - L’on n’aura point égard à la petite différence qui se trouve sur les pouces, laquelle ne provient que des restes de division.
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- - d’a rchitecture. 127
  - Supposons que les deux circonférences du même plan soient elliptiques, suivant la table des circonférences l’on trouvera, pour une ellipse de 28p de grand axe sur 2op de petit axe, io° 111
  - et pour une ellipse de 24p dé grand axe sur i6p de petit axe 63 5 5
  - Somme .... 189 4 4
  - dont la moitié sera la circonférence moyenne, ci . . . 69p 8° 21
  - Si l’on calculé la circonférence d’une ellipse de i8p de petit axe et de 26P de grand axe, l’on trouvera également . . . . . 69p 8° a*
  - Ajoutez à la circonférence de l’ellipse concentrique . cèlle d’un cércle qui auroit pour diamètre l’épaisseur 2p du mur, ci, 63p 5° 5* 6 3 5
  - fe pourtour moyen sera * 69 8 10
  - Retranchez du pourtour extérieur . . . . . la circonférence du même cercle y5p10® 111 6 3 S.
  - la circonférence moyenne séra 69 7 ^
  - Enfin, multipliant la circonférence moyenne par répaisèèuV ^p du mur, l’on aura 4°4* pont k surkc© du pian de ce unir.
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- - [128
  - manuel'
  - CHAPITRE III.
  - Des murs droits et circulaires élevés ensemble:
  - IVous entendons ici les murs droits dont le pro-longement feroit pénétration aux murs circulaires, et formeroit sur leur plan des segments de cercle..
  - I.
  - {Fig. 3o. ) Supposons que le mur RS soit pénétré par une portion EÀF de mur circulaire.
  - Tirez deux droites LM, PN, d’équerre au parement XS du mur droit, et touchant chacune un point de la circonférence du mur circulaire ; tirez une droite MNparallèle à XS, et touchant un point D de la circonférence, la longueur MN de cette ligne sera égale au diamètre AD de la tour ronde: retranchez du diamètre MN ou AD une des distances LM, PN, le reste sera la valeur de la fléché fAG du segment engagé au mur droit. Il s’agit de trouver la corde EF au segment EAF.
  - L’on vient de trouver la quantité AG ; la quantité GD est égale à LM ou PN : ainsi AG et GD sont connus, et l’on aura la demi-corde EG en faisant AG I GE * * GE ; GD; d’où l’on déduit
  - ,GE== y/ AG X GD; et comme EF est double de
  - pE, l’on aura EF = 2 y/AG X GD.
  - La corde EFpj la ileche AQ du segment EAF
  - ,étanf
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- - d’architecture. 129
  - étant connues, l’on trouvera la surface de ce segment, ainsi que la longueur EAF de l’arc, par le moyen de la table des segments (chap. II) ; puis l’on déduira la surface de ce segment sur la partie de mur droit comprise entre les droites d’équerre EY, FZ : le mur circulaire ne sera compté qu’à un parement dans la longueur de l’arc EAF, ainsi que le mur droit dans la longueur de la corde EF.
  - Exemple.
  - Supposons le diamètre AD = 28p, et l’épaisseur AB == 3P 6°, et que l’on ait trouvé LM on GD === 23p 6°, l’on aura BG = ip, et par conséquent AG = 4P 6°.
  - ^L’oii vient de voir que, pour trouver la corde EF, il falloit multiplier AG par GD, et tirer la racine quarrée du produit, puis doubler cptte racine ; ainsi l’on aura EF ==2 \/ 4P 6° X 2>3P 6°=z 20 p6°917/.
  - La fléché AG étant 4P 6°, et la corde EF étant 2op 6° 91 7', l’on trouvera, par le moyen de la table des segments , que la surface du segment EAF sera 64p o° 41> et la longueur de l’arc EAF sera a3p r° 31.
  - Le diamètre moyen du mur en tour ronde étant a4p 6°, sa circonférence sera 7715. Or,lorsque l’on voudra mesurer le mur en tour ronde, l’on dira: le mur circulaire contient tant de haut sur 77p réduits de pourtour, et de 3P 6° d’épaissëur, dont à un parement même hauteur sur 28p 10 31, le reste à deux parements. ,
  - i
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- - 130 MANUEL
  - Quant à la partie du mur droit YEFZ dans laquelle se trouve engagée la tour ronde ,. l’on a reconnu la longueur EF qui est 20p 6° 917 ' ; et supposant YE = 5p, l’on dira : la partie de mur droit, enclavée dans la tour ronde, contient 20p 6°yl 7' delongsur5pd’épaisseur, produit en superficie sur son plan 102p 90111 111. à déduire pour le. segment 64 o 4 o
  - Le reste est de „ .. r 38 9 7 11
  - Pour déterminer une épaisseur, l’on divisera 38p 9* 71 11 ' par la longueur 2op 6° 91 7', et l’on aura ip io° 71 8' avec un reste que l’on pourra négliger.
  - L’on pourra dire alors : Cette partie de mur contient tant de haut sur 20p 6° 91 7' de long, et de 220 718' d’épaisseur à un parement.
  - I I-
  - ( Fig. 3i.) Lorsqu’une tour se trouve engagée entre deux murs AE, IG, dont l’épaisseur est moindre que la dixième partie du diamètre extérieur, l’on tracera les droites d’équerre LH, BD, et l’on ajoutera aux longueurs IL, AB, des murs le ; \ des différences IiG, DE, des longueurs intérieures et extérieures pour avoir une longueur réduite.
  - Mais si l'épaisseur Fl d’un mur est plus grande que la dixième partie du diamètre extérieur de la tour,Pou sera obligé de prendre une longueur FH, plus la moitié de KG, et de retrancher de la surface du plan LGFI nu segment LMG, comme J’pn Va voir.
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- - d’a rchitecture. ï3i
  - Supposons que la tour ait i4p de diamètre extérieur, que la longueur IL du mur soit de 12% que la différence HG soit de 2% et que l’épaisseur LH du mur soit de 5P.
  - Le triangle rectangle LHG donnera LGa =
  - LH2 -f- LIG2 = 25 -f- 4 ^ 29P : d’où l’on déduit la corde LG = 5P 40 71 5f. Il s’agit maintenant de connoître la Heche MN.
  - Le triangle rectangle GNO donne N02=G0* — GN2; or GO est la moitié 7P du diamètre, et par conséquent GO2 = 49L GN est la moitié de
  - GL, par conséquent GN3 = GLa ; et comme l’on
  - ~~4~
  - a trouvé ci-dessus LG2 = 291*, l’on aura GN3 =a,
  - ___ ___ ~~T
  - 7p 3 Ainsi, au lieu de NO2 = GO3 — GN3, l’on
  - aura N02 = 49P — 7P 3° = 4lP9°î d’où l’on déduit NO =:6P 5° 61 5', qui étant ôtés du rayon 7P, restera MN = op 6° 5l 7f.
  - La Heche MN étant op 6° 51 7f, et la corde LG étant 5P 4° 71 5', l’on trouvera, par le moyen de la table des segments, ip n°6‘pourla surface du segment GML, lequel étant divisé par l’épaisseur ôp du mur, l’on aura op 4° 815' à retrancher de la longueur du mur.
  - Comme l’on a supposé le mur avoir i2pde long de F en H, et2p de H en G dont la moitié est i?» qui étant joint à feroit i3p réduits, si le
  - 1 H
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- - 13? MANUEL--
  - mur étoit coupé par une ligne droite LG, eu diminuant o? 4° 81 5! de 13p, la longueur réduite sera i2p 7° 31 V. ; - ’•
  - I I I. , ;
  - (Fig. 32. ) Il se trouve des murs en tour ronde, tels qu’un puits ou autres, engagés dans un angle formé par la rencontre de deux murs droits. Ces murs ne peuvent guere être développés sans qu’on le^e leur plan pour le rapporter de sa grandeur naturelle sur un endroit uni. Il faut supposer ici que le diamètre de la tour et les épaisseurs’, tant de la tour que des murs droits, sont des quantités données.
  - La première opération qu’il faut faire pour lever le plan, c’est de prendre au cordon l’angle GM? tel qu’on l’a démontré dans le chapitre I, et le rapporter sur un endroit imi-, l’on prolongera le côté GM vers H, puis l’on portera l’épaisseur GN du mur d’équerre sur GM, et l’on tirera la parallèle NT ; l’on portera l’épaisseur PQ du second mur d’équerre sur PM, puis l’on tirera la parallèle QR de maniéré que le point R se trouve sur la ligne GH. Cette opération déterminera la position des deux murs MQ, NH. Il s’agit maintenant de dé terminerla position des points F,A,L, de la circonférence extérieure sur les lignes GH ,
  - SR*-.
  - Tirez upe droite bc d’équerre sur GH, et touchant un point C de la circonférence extérieure; tirez une autre droite ed d’équerre sur bc, et touchant aussi un point B de la même circonférence : ces deux lignes se rencontreront au point D; pre-
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- - !>’A R C II I T E C T U R S. 1 33
  - nez la longueur bT) qùe vous ôterez du diamètre EB,- le reste EN sera la fléché du segment AEL, duquel il s’agit de trouver la corde AL.
  - L’on aura la demi-corde NL en faisant cette proportion, EN ; NL * ; NL ' NB; d’où l’on déduit NL == v/ENiX'NB.
  - L’on fixera sur le mur NH une longueur quelconque MH; puis, portant la distance H b sur le plan', Bon déterminera avec le rayon OC connu, le point N en le portant de b en N ; portant ensuite la demi-corde NL de N en L et de N en A, et la fléché de N en Ë, l’ôn aura les points A,E, L, de la circonférence.
  - Çôrinoissant la-position de trois points A, E, L, et le rayon EO, dû centre O avec le rayon l’on tracera la circonférence CEFB qui coupera la ligne QR au point F ; du ittêiiie point O l’on tracera la circonférence intérieure g h il. Le plan des murs et de la tour étant ainsi rapporté sur un endroit uni, l’on pourra prendre toutes les dimensions dont Orr aura besoin. •'
  - L’ôn prendra lëpomiour réduit de la tour sans rien déduire de ce qui est enclavé, et l’on comptera cé mur :à un parement-dans la longueur de l’arc FAL.
  - L’on mesurera le mur NH duquel on déduira un segment AEL ; ce mur ne sera compté qu’à un parement dans la longueur de l’arc AEL et de là partie AM.
  - ‘ L’ën mesurera la longueur réduite du mur PR dans lequel il se trouve une portion FUAR de ht tour y composée d’un segment FUA et d’un
  - I iij
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- - î 34 MANUEL
  - triangle FAR que l’on déduira de la surface du plan PMRQ, lequel ne sera compté qu’à un parement dans la longueur de la partie FR de ce mur.
  - CHAPITRE IV.
  - De la méthode de mesurer et fixer les hauteurs des murs et les épaisseurs des planchers.
  - Il n’y a pas de moyen plus sûr pour déterminer les différentes hauteurs dont on a besoin, que de fixer une hauteur générale comprise entre deux plans parallèles et de niveau, dont l’un seroit pris du dessus de l’entablement, ou à une ligne d’emprunt au-dessus ou au-dessous, et l’autre pris sur une ligne d’emprunt du sol des caves. Ce moyen est très facile, c’est de tracer une ligne de niveau sur tous les murs dans le dernier étage et une autre dans les caves : l’on renvoie ces lignes par dedans la cage d’escalier, ou par quelques baies, pour prendre la hauteur juste comprise entre ces deux places.
  - i Pour rendre cette opération plus intelligible, l’on figurera une coupe sur la profondeur du bâtiment, y compris les deux murs de face , s’il y en a deux, ou un mur de face, et celui du fond; qui lui est opposé : sur cette coupe l’on cotera les hauteurs tant des étages que des croisées, entablement, plinthes, retraite et empâtement. Les hauteurs des étages, se prendront par dedans la cage, d’escalier du dessus du palier supérieur au-dessus
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- - d'architecture. l35
  - de celui inférieur; la partie du haut se prendra depuis la ligne de niveau au-dessus de F entablement jusques sur le dernier palier, et celle du bas se prendra depuis le dessus du palier du rez de chaussée jusqu'à la ligne d’emprunt tracée dans les caves*
  - Toutes les hauteurs étant ainsi déterminées sur une coupe, il sera facile de toiser les différentes
  - Ïiarties au bâtiment, dont l'on n’aura plus que les ongueurs à mesurer.
  - L’on commence par les têtes de cheminée,dont la hauteur se prend depuis le dessus de la derniers plinthe jusques sur le dernier plancher, et l’on ajoute à cette hauteur 6° pour la fermeture et ia° pour le plancher.
  - L’on mesure ensuite la hauteur des murs dë dossier depuis le haut de la pente du dessus jusqu’au niveau du dessus de l’entablement, sans rien rabattre pour la pente. L’on compte à part l’enduit de la pente que l’on réduit à quart de toise de léger ouvrage.
  - Les murs de refend, qui sont d’une épaisseur égale dans toute leur hauteur et de même construction , sans être coupés par des tuyaux de cheminée, peuvent se mesurer de leur hauteur totale depuis le dessus de F entablemen t jusqu’ à la rentrai te, s’il y en a* ou jusqu’à l’empâtement du mur de cave, s’il n’y a point de retraite.
  - Lorsque l’on met des pieds-droits de pierre aux portes des murs de refend, ou que l’on fait des cheminées dans l’épaisseur desdits murs , l’on prend leurs dimensions d’un étage à l’autre en y comprenant une épaisseur de plancher supérieur,
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- - 1 36 MA N U EL
  - et Ton fait distinction de ce qui est en pierre, de ce qui est en brique, et de ce qui est en moilon dans chaque étage.
  - Les murs de face se mesurent en plusieurs parties ; savoir, la partie supérieure depuis le dessus de rentabîement jusqu’à celle qui change d’épaisseur , et successivement jusques sur la retraite : la hauteur de la retraite se prend à pjàrt, ainsi que la partie de mur en la hauteur desrêaves et la fondation au-dessous.
  - Observation pour les saillies.
  - Les murs de face en pierre qui ont des saillies d’architecture se tois.ent comme les précédents, et l’on compte les saillies à part.
  - La plupart comptent autant d’épaisseurs différentes qu’il y a de différentes saillies : cela ne fait que multiplier les articles de l’extrait d’un mémoire. Il seroit beaucoup mieux de compter le mur entier sans avoir égard aux saillies , et de compter ces saillies à part; ce qui ne change rien à la valeur de chaque chose.
  - Je suppose, par exemple, que. la pierre revienne , compris pose et déchet, à 3os le pied .cube sans îa taille : le pouce d’épaisseur sur une toise superficielle çeYÎendrqit à 5liv 8 V Geçj posé 5
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- - d’architecture. 187,
  - Prenez une assise de 36p dé long sur ip de haut et de 3o° d’épaisseur, compris üiie saillie de cor-, niche que je suppose de 12°, la toise superficielle coûterait . i62Iiv o* od
  - Si l’on compte le mur de i8° d’épaisseur, la toise reviendrai 97liv 4 od
  - Il restera à Compter 36p cubes ,
  - de saillie, à 36s le pied, valent ,.64 16 o
  - La somme des deux articles reviendra également à . . i62Ilv os od
  - ,
  - S’il se trouve des chambranles saillants ou des avant-corps, l’on pourra compter pour saillie toute la longueur de la pierre évuidée, et la partie évuidée sera comptée pour refoqillement simple : srl’on 11e compté que la saillie nette, l’on comptera à part les évuiaements d’angle avec perte de pierre; ce qui revient au même, comme l’on va le voir.
  - Je supposé que le refouillement de l’angle soit estimé 20% et qûè’ là pierre soit estimée 36% l’é-vuidement d’angle avec la pierre sera estimé 56s.î Ainsi il n’importe de compter l’évuidement comme saillie et le refouillement à part, ou de compter l’un et l’autre dans le même article.
  - Dans le cas où la saillie ne porte pas 3 pouces^ il n’est point dû de refouillement; mais la pierre qui en est sortie est due comme saillie de pierre.
  - Aux murs de clôture, l’on prend la hauteur depuis le sommet du chaperon jusques sur la fondation: si le chaperon porte une bordure, l’on ajoute 6° à la hauteur; s’il porte deux bordures,'
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- - l38 MANUEL D’ARCHITECTURE.
  - Ton y ajoute 1 pied ; si l’on ne fait que des larmiers en plâtre, l’on n’ajoute rien à la hauteur, et les larmiers se comptent chacun pour 6° de large en léger ouvrage; si les deux faces desdits murs ne sont pas enduites, l’on compte la plus valeur de l’enduit du chaperon; et si les bordures sont en moilon piqué, on les compte séparément en plus valeur.
  - Si au lieu de chaperon l’on pose un rang de moilon de champ, le mur se mesure de sa hauteur sans rien ajouter. L’on compte à part la plus valeur du moilon posé de champ.
  - Les murs en pointe de pignon, ou les frontons triangulaires, se mesurent comme des triangles: les frontons ceintrés se mesurent comme des segments de cercle.
  - Ce seroit ici le lieu de parler du toisé des murs en talut; mais comme ces murs demandent d’autres détails que ceux dont on a parlé jusqu’à présent, et qu’ils nous écarteroient trop de notre toisé superficiel, nous nous réservons à en parler après le toisé superficiel des voûtes.
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- - QUATRIEME PARTIE.
  - Des voûtes considérées dans leur étendue superficielle.
  - L a surface d’une voûte estl’étendue de sa douelle que l’on nomme aussi intrados, et non l’étendue de l’extrados.
  - Quand une voûte est extradossée, c’est-à-dire quand le dessus est parementé, la surface se prend au milieu de l’épaisseur, comme l’on a fait au toisé des tours rondes.
  - CHAPITRE PREMIER.
  - Des voûtes en berceau simple.
  - L’on nomme voûte en berceau simple celle dont les naissances sont parallèles, et dont les têtes sont terminées par des plans verticaux droits.
  - Pour évaluer la surlace d’un berceau simple, l’on prend le pourtour que Ton multiplie par la longueur prise au milieu. L’on a donné dans la seconde partie de ce traité les différentes mé^ fchode$ que l’on peut employer pour trouver les pourtours par le,moyen du diamètre et delamg^ tée.
  - L’on ne diminue point Ie wde des lunettes des soupiraux» ondes porter dent i*ou#êjctui:e s»
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- - !l/fO MANUEL
  - trouve dans la naissance ; au contraire,l’on compte en plus valeur l’arêtier d’une lunette prise d’une naissance à l’autre dans le ceintre de la lunette seulement, et non dans la voûte. Cette arête se compte en moilon pour un pied de large, et se réduit en léger ouvrage ; et en pierre, pour un pied de large, et se réduit en taille.
  - Lorsqu’une lunette est plus large que le quart du diamètre de la voûte, l’on doit en rabattre le vuide, et compter à part sa surface. L’on compte également Tarêtier.
  - Les arcs en pierre se toisent eh superficie, et se comptent en plus valeur sur les voûtes en moi-ion. Si ces arcs portent arcs doubleaux,l’on comp te à part la saillie comme saillie de pierre que l’on réduit au pied cube, et la'ïaîlîé des deux côtés se compte à part; savoir, pour,d0.au-dessous de 3°, pour 90 à 3° deL large ; et s’ils Ont plus de 3° de saillie, l’on ajoute 6° à la saillie. L’on compte aussi à part le déchet et èvüidemént des deux angles des deux côtés d’un arc doubleau.
  - Les berceaux circulaires sur le plan se mesuren t en prenant le pohrtoür de lehr longueur au milieu de la clef, et le pourtour de leur ceintre connue ci-devant. L’on ne doit rien ajouter aux têtes, c’est un abus adopté par la plupart des praticiens ; mais l’on peut compter une plus valeur pour l’arêtier dé la tète en preU&LtSoU pourtour sur un pied, que l’on doit évaluer endéger si l’arêtier est en moilon, et en taille s’il est en pierre. L’on compte aussi à part le parement de tête.
  - Un bercëaü droit ou rampant tournant autour d’un pilier, ou, suivant lç style1 des ouvriers"'; une
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- - d’architecture. 141
  - vis S. Gilie quarrée, ayant un même'pourtour de ceintre dans chaque partie , peut se toiser dans un seul article , en ajoutant toutes les longueurs prises au milieu des clefs, et le pourtour se prend suivant le rampant et non à plomb.
  - Les arêtiers saillants de ces berceauxsé comptent comme ceux des lunettes; ceux rentrants se comptent en voûte de la mêihe espece, leur pourtour sur un pied.
  - S’il se trouve des retombées de pierre dans une voûte en moilon, l’on compte la plus valeur desdites re tombées, en prenan t leur hau teur à plomb, y compris la hauteur de la coupe , sur leur longueur, et l’on prend leur saillie pour épaisseur.
  - L’on compte les parements intérieurs des soupiraux , quoique l’on n’en ait point rabattu le vuide.
  - CHAPITRE II.
  - De la formation des voûtes d’àrête et des voûtes de cloître.
  - . ( Fig. 33.) S oie n t LM, AB, les plans de deux voûtes en berceau de même ceintre. se croisant l’un l’autre : tirez les diagonales gh, ef, les deux voûtes se croiseront à plomb sur ces diagonales, et formeront les courbes goh, eof3 que l’on nomme arêtiers. C’est ce qu’on nomme, en termes d’appareilleur, la pénétration des voûtes.
  - L’un de ces deux berceaux aura pour Ion-
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- - 142 MANUEL
  - gueur la droite rs, et gre pour ceintre ; l’autre
  - aura nq pour longueur, etgvz/pour ceintre. L’on
  - ne comprend ici que ce qui est élevé sur le plan
  - gehf
  - La pénétration des deux douelles formera une voûte de cloître composée de quatre pans goe, eoh, hoff fog, dont les points d’appuis seront sur les côtés ge, eh, hf, fg, du plan gehf, et dont le sommet sera à la rencontre o du milieu des douelles.
  - La même pénétration formera une voûte d’arête composée de quatre lunettes greog, eqhoe, hsfoh, fngof, dont les points d’appui seront sur les angles g, e, h,f, du plan gehf et dont le sommet sera au même point o.
  - D’où il suit que deux berceaux de même hau-* teur op, élevés sur un même plan gehf, seront égaux à la somme d’une voûte d’arête et d’une voûte de cloître.
  - Il est bon d’observer que toutes les voûtes, soit en berceau, soit les pans de voûte de cloître, soit les lunettes de voûte d’arête, étant de même diamètre et de même montée, sont entre elles comme leurs longueurs, et non comme leurs cein-tres; et que les voûtes de même longueur sur des ceintres différents, ne peuvent être entre elles comme leurs pourtours.
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- - d’a rchitecture.
  - 143
  - CHAPITRE III.
  - Du toisé superficiel des voûtes de cloître en plein ceintre.
  - ( Fig. 34- ) L’on aura la surface d’un pan de voûte de cloître CEG en multipliant sa montée EF par sa longueur CG prise sur le plan.
  - Pour le démontrer, circonscrivez à la voûte une infinité de pyramides tronquées parallèlement au plan BHGC, lçs quatre faces d’une des pyramides formeront quatre trapèzes égaux.^ Toutes ces pyramides étant supposées infiniment petites, leur somme sera égale à la surface de la voûte.
  - Considérez le trapeze cbfg d’une des pyramides , que l’on suppose égal à la surface de la partie de voûte qu’il couvre, la surface de ce tra-
  - Ï>eze se trouvera en multipliant sa hauteur xu par a moitié de la somme des longueurs bf, cg, et
  - l’on aura —X xu = cbfg.
  - Du centre £du trapeze cbfg, tirez une droite tp parallèle au diamètre DA de la voûte ; le trapeze dabc étant supposé égal au trapeze cbfg,
  - l’on aura tp == —ainsi au lieu de
  - cbfg= X l’on aura cbfg= tp X; xu.
  - Comparez les deux triangles rectangles ntF#
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- - l44 MANUEL
  - zxiij semblables, ayant chacun un angle droit, et l’angle «Fr égal à l’angle xuz, à cause des parallèles nt} zu, et par conséquent le 3me angle «r/sera égal au 3me angle zxu, vous aurez xu \ xz \ \ tV \ nt; d’où l’on déduit xu X fit ==xz X rF; et, multipliant les deux membres de l’équation par 2 , vous aurez xu X mt= xz X 2rF; or 2nt c= tp, et 2/F = DA ; donc xu X tp = xz X DA; c’est-à-dire que la surface du tràpeze cbfg, ou dabc, est égale au produit de la hauteur xz ou mo de la pyramide multipliée par le diamètre DA ou par la base CG du pan de voûte CEG.
  - Puisque tous les trapèzes des pyramides tronquées circonscrites à la voûte ont une mesure commune AD, et différentes hauteurs mo dont la somme est égale à la montée EF de la voûte, il est clair que la surface d’un pan de voûte CEG sera égale au produit de sa montée EF multiplié par sa longueur CG ; ce qui existe seulement dans les voûtes en plein ceintre.
  - De ce principe incontestable l’on en peut déduire plusieurs conséquences, comme l’on va le voir par l’exemple suivant.
  - Exemple.
  - Soit donnée une voûte de cloître plein ceintre de i4p de diamètre, et dont la montée sera par conséquent 7P.
  - i°. Le diamètre étant i4p ,1e pourtour du plan quarré sera 56°, qui étant multipliés par 7P, l’on aura 3^2p pour la surface de la douelle.
  - a\
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- - d’architecture. 145
  - 20. La surface d’un pan de voûte sera égale à 2 fois lé quarré de la montée, et l’on aura X par 7P X 2 = 98**, et les quatre pans vaudront 092p comme ci-devant.
  - 3°. La surface d’un pan de voûte ou d’une voûte est double de la surface de son plan ; le plan ayant 14P en quarré, sa surface sera i4p X i4p === ic)ûp , dont le doublé est également 392p.
  - ' 4P. La sulfate d’une voûte ou d’un pan de
  - voûte sera égale au produit de son demi-cintre par les de la longueur du pan, ou du pourtour dü plan de la voûte.
  - Si l’on prend le rapport de 7 à 22, le pourtour de cette voûte sera 22% dont la moitié est np; le pourtour du plan sera 56p, dont les ~ valent 35P 2.
  - Multipliant 35p £ par 1 rp, l’on aura comme ci-devant 3p2p.
  - {Fig. 35. ) 5°. La surface d’un pan de voûte se trouve en prenant le quarré de la corde EG tirée du sommet à la naissance.
  - En considérant le triangle EFG rectangle en F,
  - la corde EG sera l’hypothénuse , et l’on auraEG* = EFaH-FG*; or FG est la moitié du diamètre 14P, c’est-à-dire 7P r et EF est la montée 7p : donc EF9 h- FG3 = 49p -+-49p = 98?, et par conséquent EG9= 98p, qui expriment la surface d’un pan de voûte-, ainsi quatre fois 98? vaudront 392p pour la surface de toute la voûte.
  - 6°. La surface d’une calotte badc de voûte dô
  - &
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- - 146 MANUEL
  - cloître tronquée parallèlement au plan, est égale à quatre fois le quarré d’une .corde EM tirée du sommet au milieu de sa base bc.
  - En supposant toujours le diamètre AI) ou BC de i/j-p et la montée EF de 7% si l’on fait la hauteur EL de la calotte égale à 2P, la surface de cette calotte sera , suivant ce qui a été démontré, égale à la hauteur 2P multipliée par le pourtour 56p du plan BADC, et l’on aura 1 i2p de superficie.
  - Prolongez la montée ÇF de F en N, et faites FN égal au rayon EF, vous aurez EN = i4p; et comme EL — 2P, vous aurez LN == i2,p.
  - Du centre L du plan de la calotte, tirez une droite LM d’équerre sur bc;. çette droite LM sera moyenne proportionnelle entre EL et LN, et vous
  - aurez LM2 — EL X LN =¥=;»* X i2p == 24*.
  - Le triangle ELM rectangle en L donnera EM* = LM * -f-ËL2 ; or EL = 2% «tËLa= 4P ; LM2
  - — s4P ; donc EM2 = 24p H- 4P — et 4EMa = 112p, comme l’on vient de trouver ci-devant.
  - (Fig:’35.) J°. La surface d’un pan de voûte BEC étant représentée par le quarré EG2 de la corde EG, et celle du segment bEc étant représentée par le quarré EM2 dé là corde EM, la différence de ces deux quarrés donnera la surface du
  - pan tronqué BûcC, et l’on aura BbcC = EGa —
  - W\-
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- - d’architecture. 147
  - L’on a trouvé ci-devant 98** pour le quarré
  - Ig* , et 28p pour le quarré EM2 ; ainsi la différence 70p sera la valeur du pan tronqué BûcC, et quatre fois cette quantité sera la valeur de la voûte tronquée; ce qui donnera 2,8op.
  - 8°. L’on peut avoir également la surface de la voûte tronquée en multipliant sa hauteur LF = 5P par le pourtour 56p de son plan; ce qui donnera 28op comme ci-devant.
  - C H A P I T R E IV.
  - Du toisé des dômes en plein cintre, des calottes sphériquesy des dômes tronqués, et de ceux en,
  - . pendentif.
  - (Fig. 36. ) L’on a dit sur la fm du 3“* chapitre que les surfaces des voûtes dè même hauteur sont entre elles comme les pourtours de leurs plans, ou comme les longueurs des côtés du plan ; or, considérant un dôme comme une voûte de cloître d’une infinité de parts, sa surface sera égale à sa montée multipliée par la sôrhme des côtés de son plan. Mais la somme des côtés du plan 11e différant point de sa circonférence, la surface d’un dôme en plein cintre sera égale au produit dè sa hauteur multipliée par la circonférence de sa base.
  - Le côté d’un quarré circonscrit à un cercle,' étant pris pour diamètre, sera à la circonférence du cercle comme 7 est à 22. Ainsi pour toiser un
  - Rij
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- - 148 MANUEL
  - dôme ou une calotte sphérique, ou un dôme tronqué , l’on fera le calcul pour un pan de voûte de cloître de même diamètre, et l’on multipliera le produit par 3 et ÿ.
  - Exemple.
  - {Fig. 37. ) Supposons le diamètre AB = 14* et la montée EF =
  - ip. L’on a trouvé pour un pan de voûte sur les mêmes mesures ^8P de superficie, qui étant pris 3 fois et l’on aura 3o8p pour celle d’un dôme.
  - 20. L’on a trouvé, n°. 6, que la surface d’un pan de calotte de voûte de cloître, ayant 2P de
  - hauteur, étoit EM2 = 28p; ainsi, en multipliant
  - ce nombre par 3 etl’on aura 88p pour la surface d’une calotte sphérique de même hauteur.
  - 3°. L’on a trouvé, n°. 7, qu’un pan de voûte tronqué étoit 70** de superficie; ainsi, en multipliant 70p par 3 ÿ, l’on aura 220p pour la surface d’un dôme tronqué pris sur les mêmes dimensions.
  - ( Fig. 38. ) 4°. Les dômes en pendentif n’étant autre chose que des dômes coupés à plomb à différents endroits, l’on aura aisément leurs surfaces , car chacune des coupes ou demi-calottes jLDM sera égale à sa montée xy multipliée par la demi-circonférence AHEB, ou par la moitié
  - de la montée multipliée par la circonférence
  - faite avec le rayon AF. Qr, puisque le dôme est égal au produit de sa montée EF; multipliée par
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- - d'architecture. 149
  - la circonférence faite avec le même rayon, il est évident que la surface d’un dôme en pendentif Se trouvera en ôtant de la montée EF la moitié de la somme des montées des demi-calottes verticales , et en multipliant le reste par la circonférence faite avec le rayon AF.
  - CHAPITRE V.
  - Du toisé superficiel des voûtes d’arête eu plein cintre, et de leurs segments.
  - {Fig. 39.) i°. La surface d’une lune tteCDHOC de voûte d’arête en plein ceintre se déterminera en prenant une fois et un septième le quarré de la montée OP.
  - Supposons une voûte d’arête de 7p de montéeV élevée sur un plan de i4p en quarré, le quarré de la montée 7p sera 4.9% qui étant multipliés par 1 7? l’on aura 56p pour la surface d’une des quatre lunettes. *
  - 20. La surface d’une lunette CDHOC se trouvera en multipliant son pourtour CDH parles £ de sa longueur DO.
  - Supposant les mêmes dimensions, le diamètre CH étant 14P, et la montée AD étant 7p, son pour-; tour CDH sera 22p ; la longueur DO étant la moi| tié 7P du diamètre, les £ de yp seront 2P
  - Multipliant 22p par 2P£, l’on aura, comme ci-; devant, 56p pour une lunette.
  - 3°. La surface d’une lunette en plein cintre
  - K. ii|
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- - l5o MANUEL
  - 6era un septième de fois plus grande que la sur^
  - face de son plan.,
  - Suivant les dimensions ci-dessus, le plan triangulaire CPH sera égal au produit de AP 7p multiplié par la moitié 7P de CH, et Ton auraCPH= 49p; si l’on ajoute le ÿ de cette quantité avec elle-même , l’on aura 56p pour la surface de la lunette.
  - (Fig. 40. ) 40. Pour trouver la surface d’un segment bfclîLb de lunette coupée par un plan perpendiculaire à la ligne bc, l’on multipliera le pourtour bfc de la partie de lunette par sa longueur Efj et l’on ôtera du produit le quarré de la droite EM tirée du sommet E sur le milieu de la corde bc.
  - Supposons la longueur Ef=8?, la montée EL = 6P, le cintre bfc = 21p 6°, le produit du cintre 2,ip 6° multiplié par la longueur 8psera ................... 172p o°
  - La droi te EM é tant l’hypo thénuse
  - du triangle ELM, l’on aura EM2 =
  - ËL~2 -+- LM2; or EL = 6P, LM =.
  - -Ej/*= 8P ; ainsi leurs quarrés seront
  - 36p -+- Ô4P, ci . . . . 100 o
  - le reste sera la valeur d’une des quatre lunettes, ci * . . . . 72P o
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- - D*A R C H I TEC T U R E'."
  - l5l
  - CHAPITRE VI.
  - Des voûtes en berceau composées.
  - Les berceaux dont les naissances sont parallèles , peuvent être différemment coupés à leurs extrémités : les uns aboutissent à des murs droits à plomb ou en talut; les autres aboutissent à des murs circulaires aussi à plomb ou en talut. Les différentes terminaisons dés têtes des berceaux produisent des portions de voûte de cloître ou de voûte d’arête en continuité de celles en berceau ; ce que l’on connoîtra aisément par les articles suivants.
  - {Fig. 41.) i°. Lorsqurune voûte en berceau aboutit dans un angle rentrant DFC, l’on imaginera une droite DG et une coupe à plomb DLC, puis l’on mesurera sa longueur HG au milieu, ou la dembsottime des côtés AD, BC; l’on ajoutera à cette longueur lés ^ du surplus GF, et l’on multipliera la somme de ces deux dimensions par le pourtour de la voûte.
  - Car ce berceau est composé de deux parties savoir,d’un berceau simple compris entre les deux coupes'à plomb ANB, DLC, et d’une lunette de voûte d'arête DLCED : or le berceau s’évalue en multipliant sa longueur NL par son cintre, et la lunettê s’évalue en multipliant les £ de sa longueur LE par le même cintre; donc la somme
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- - 152 MANUEL
  - de ces deux parties sera égale à la somme NL -*H
  - û LE multipliée par le cintre DLC.
  - (Fig. 42.) 20. Lorsqu’une voûte en berceau aboutit à un angle saillant DFC, elle est composée de deux parties ; savoir, d’un berceau simple compris entre deux coupes à plomb GEH, AMB, et de deux demi-pans DEG, CEH, de voûte de cloître ♦, ainsi, pour avoir la surface de cette voûte, l’on ajoutera à la longueur FI de la partie de berceau simple les 77 de la longueur FL, puis l’on multipliera la somme par le pourtour du cintre*.
  - (Fig. 43. ) 3 °. Une voûte en berceau qui sera coupée par un plan droit en talut FGD, sera composée d un berceau simple compris entre deux coupes à plomb BHA, LGC, et de deux demi-lunettes renversées GFL, GDC; par conséquent l’on aura la longueur réduite de cette voûte, en ajoutant à la longueur MP les ~ de P excédent PN.
  - (Fig. 44- ) 4°* Si la voûte en berceau vient se terminer sur un mur droit en talut DMA, elle sera composée d’un berceau simple compris entre les deux coupes à plomb DLA,CGB,et de deux demi-pans MDL, MAL, de voûte de cloître renversés ; ainsi, pour avoir une longueur réduite, l’on ajoutera à la longueur IH, ou LG, les du surplus LM.
  - ) (Fig. 43.) 5°. U11 berceau qui se termine à un mur en tour ronde de même diamètre, est composé d’un berceau simple compris entre deux coupes à plomb BPA, NSO, et de deux demi-lunettes renversées NSC, OSD; par conséquent l’on aura la longueur réduite de cette voûte en
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- - d’arghitecture; i 53
  - ajoutant à la distance PS ou IH les £ du surplus NC ou OD.
  - {Fig. 46.) 6°. Un berceau, aboutissant à un mur en tour creuse, est composé d’un berceau simple compris entre deux coupes à plomb BPA, CMD, et de deux demi-pans de voûte de cloître SCM, SDM : Ton aura donc la longueur réduite de cette voûte en ajoutant à la distance PM ou IL les £ du surplus MS.
  - ( Fig. 42. ) 70. Si dans un berceau il se trouve un pan coupé OPNO, la partie de voûte OPA différera de très peu d’un demi-pan de voûte de cloître; ainsi, après que l’on aura toisé la voûte entière, l’on en déduira la partie OPA, dont la surface se trouvera en multipliant l’arc PA par les .n de la longueur OA.
  - Remarque.
  - Toute voûte en berceau, soit plein cintre y soit surmontée ou surbaissée, comprise entre deux coupes droites et à plomb, soit d’équerre ou obliques, se toise en prenant la moitié de la somme des longueurs prises aux naissances, et en multipliant cette longueur^éduite parle pourtour d’une naissance à l’autre pris sur une ligne d’équerre.
  - Toutes les voûtes dont on a parlé ci-devant sont supposées en plein cintre ; mais lorsque des voûtes en berceau composées sont surmontées ou surbaissées, les opérations précédentes ne peuvent être mises en usage sans erreur sensible^ Ainsil’on toisera d’aborcuapartie de voûte simple^
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- - i54 manuel
  - et les portions de voûte de cloître ou de voûte d’arête qui seront à l’extrémité d’une voûte en berceau, seront toisées séparément, en désignant leur montée, leur diamètre et leur longueur. L’on verra dans la suite la maniéré de toiser les voûtes de cloître et celles d’arête surmontées ou surbaissées.
  - Dans le détail d’un mémoire l’on ne doit pas faire distinction de ces trois sortes de voûtes ; elles doivent être portées au même prix, parceque la difficulté qui se trouve dans les voûtes d’arête et celles de cloître, ne tombe que sur les arêtiers qui sont toisés en plus valeur, et cette plus valeur Se trouve équivalente au plus de sujétion.
  - Mais des voûtes élevées sur des plans circulaires doivent être distinguées de celles en berceau , ayant beaucoup plus de sujétion et de déchet.
  - Tous les arêtiers se comptent au pied courant en plus valeur ; c’est-à-dire que 36P de longueur d’arêtier sont comptés pour une toise. Si l’arêtier est saillant comme aux voûtes d’arête, l’on ne doit Je compter qu’en taille oü en léger ; en taille, s’il est en pierre ; et en léger, s’il est en moilon. Si l’arêtier est rentrant comme aux voûtes de cloître , il doit être évalué comme la partie de voûte où il se trouve.
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- - d’architecture.
  - 155
  - CHAPITRE VII.
  - Des voussures en plein cintre,
  - Les voussures sont des portions de voûte dont les clefs sont en saillie ; elles se posent sur un mur droit ou circulaire, et se prennent sur diffé-, rents arcs depuis un degré jusqu’à 90 degrés,' c’est-à-dire depuis le plus petit arc jusqu’au quart de circonférence.
  - L’on ne fera distinction ci-après que de quatre sortes de voussures ; savoir, celle de 3o degrés , celle de ^5 degrés, celle de 60 degrés, et celle de 90 degrés. Quant aux voussures d’un nombre intermédiaire de degrés, l’on se réglera sur celle des quatre qui en approchera le plus.
  - i°. Pour une voussure de 90 degrés.
  - ( Fig. 47, 48. ) Si l’arc CI ou FG régné à l’intérieur d’un plan quarré ou circulaire, il engendrera une voussure dont la surface se trouvera, en ajoutant.au pourtour supérieur DLMCD ou FHILF les — de ce que le pourtour du plan aura d’excédent, et l’on multipliera ce pourtour réduit par le développement de l’arc; ou bien l’on retranchera du pourtour du plan les £ de la différence qui se trouve entre les deux pourtours.
  - (Fig. 49, 5o.) Si l’arc ID ou IG engendre une voussure à l’extérieur d’un plan quarré ou circulaire , l’on ajoutera au pourtour du plan les £ de
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- - .11,56 M À N U E L
  - la différence des deux pourtours, ou Ton retranchera du pourtour du haut les ~ de la même différence ; ce qui donnera un pourtour réduit que Ton multipliera par la longueur de l’arc.
  - (Fig. 51, 52. ) Si l’arc IG suit le contour des murs anguleux MBCG, des angles C, A , l’on tirera les droites CH, AF, d’équerre au mur CB; piiis l’on mesurera la longueur CF ou HA à*la-quelle l’on ajoutera les 77 de la partie FB; plus* les -H- de la partie HD ; ce qui donnera une longueur réduite que l’on multipliera par le pourtour de l’arc IG: le produit donnera la surface de la voussure comprise entre les arêtiers AB, DC.
  - 2 °. Pour une voussure de 6o degrés.
  - ( Fig. 53.) Si l’arc AB engendre une voussure à l’intérieur d’un plan quarré ou circulaire, l’on ajoutera au pourtour du haut les 7- de la différence de ce pourtour à celui du plan ; ce qui donnera une longueur réduite que l’on multipliera par le pourtour de l’arc.
  - Supposons que le diamètre AD soit de i4p, le rayon AO sera de 7P, et la longueur BC du haut sera aussi de 7P; ainsi la différence des longueurs du haut et du bas sera de
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- - i 5j
  - d’a r ch itecturi.
  - Ecrivez la différence 7p o o
  - Pour ig prenez la moitié 3 6 o
  - pour ^ le quart du précédent . . . . o 10 6
  - pour ^ le cinquième du précédent . . . . o 2 1 2 5
  - pour ~ le sixième du précédent . . . . o o 4 2 4
  - les de la différence seront ..................... 4 6 il 4 9
  - Ajoutez-y la longueur BC de...................................70000
  - la longueur réduite sera 11 611 4 9
  - Le rayon AO étant de 7%
  - l’arc AB de 60 degrés sera
  - 7P 4° qu'il faut multiplier
  - par la longueur ci-dessus 7 4 0 0 0
  - La surface de la voussure
  - ABCDsera . . . 84pio°ii1 6} 10"
  - {Fig. 54.) Si cette voussure régné à l’extérieur d’un plan quarré ou circulaire, l’on retranchera du pourtour du haut les de la différence des pourtours du haut et du bas> puis l’on multipliera îe reste par la longueur de l’arc AB.
  - 3°. Pour une voussure de 45 degrés,
  - ( Fig. 55. ) Soit ABCD la coupe d’un côté de voussure élevée sur le plan FIRG : l’on ajoutera à la longueur BC du haut les - de la différence entre cette longueur et celle de la base AD, et l’on multipliera la somme par le pourtour de l’arc.
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- - 158
  - MANU E L
  - Exemple.
  - Supposons que la longueur BC soit de 9P, que la longueur de la base AD soit de 14P, et que l’arc AB soit 5p 6°.
  - Ecrivez la différence des
  - deux longueurs, ci . . . 5P o o
  - Pour les g de cette différence, prenez pour 16 la moitié 2 6
  - pour 4 le quart du
  - précédent . ... 076
  - pour 1 le quart du
  - précédent . . . . o 1 10 6
  - les g de la différence seront 3 3 4 6
  - Ajoutez-y la longueur du haut 9 o< 0 0
  - ïa longueur réduite sera . . 12 3 4 6
  - Multipliez par l’arc . . 5, 6
  - la surface de la voussure sera 67p 6° 61 9*.
  - ( Fig. 56. ) Lorsqu’une voussure, prise sur un are de,43 degrés, régnera au pourtour extérieur d’un plan quarré ou circulaire, l’on retranchera du pourtour du haut les g de la différence de ce pourtour à celui du bas, et l’on multipliera le reste par la longueur de l’arc AB. > -
  - 4°. Pour une voussure de 3.o degrés.
  - { Fig. 57. ) Si la voussure régné à l’intérieur d’un plan quarré ou circulaire, l’on ajoutera au pourtour du haut les{f- de la différence entre ce pourtour et celui du plan, et l’on multipliera la somme par la longueur de l’arc AB.
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- - i>’a rchitecture.
  - 159
  - Exemple.
  - Supposons BF = iap, AD = i4p et l’arc AB = 3P 8°, la différence des deux
  - longueurs sera ,. . . 2P O 0
  - dont les -f- valent . . 1 4 0
  - Ajoutez-y le pourtour du haut 12 0 0
  - la longueur réduite sera i3 4 0
  - Multipliez par l’arc AB 3 8 0
  - la surface d’un côté de voussure
  - sera .... 100 81
  - (Fig. 58.) Si la même voussure est à l’extérieur d’un plan, l’on retranchera du pourtour du haut les -§ de la différence des poiif tours, et l’on multipliera le reste par le même arc AB.
  - Comparaisons.
  - Pour une voussure de 90 degrés, l’on a pris la fractiort , et pour une voussure de 60 degrés la fraction -g ; la différence de ces deux fractions est de ^ à peu près.
  - La différence d’une voussure de 60 degrés à une de 45 degrés donne de différence entre la fraction 5g et la fraction g. ;
  - .La .différence des éffactions g et f pour uû» youssiire de 45 degrés et une de 3o degrés, ést ^i
  - D’après cette comparaison , il est facile de voir que l’on ne pourra faire d’erreur sensible pour les
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- - 160 MANUEL
  - voussures dont les arcs seront entre 3o et 45 degrés, entre 45 et 60 degrés, et entre 60 et 90 degrés. Ainsi lorsque l’arc d’une voussure sera au-dessous de 37 degrés, l’on prendra la fraction •§-; depuis l’arc de 37 degrés jusqu’à 52 degrés, l’on prendra la fraction g; depuis l’ârc de 62 degrés jusqu’à celui de y5, l’on prendra la fraction et depuis 75 degrés jusqu’à 90, l’on prendra la fraction
  - CHAPITRE VIII.
  - jDe$ voûtes de cloître et des dûmes surbaissés en anse de panier.
  - (Fig. 59. ) JL?on concevra que les arcs des voûtes dont on parle sont en anse ae panier, formée de trois arcs de 60 degrés chacun ; c’est sur quoi sont fondés les principes ci-après.
  - L’on trouvera la surface d’un pan de voûte de cloître ou d’un dôme surbaissé en multipliant le demi-diamétre AO par le nombre 342, et la montée CO par le nombre 746; puis, en ôtant de la somme de ces deux produits 88 fois le quarré de la montée CO divisé par le demi-diametre OA, et en multipliant le reste par la longueur du pan de voûte, ou par la circonférence du plan du dôme, et enfin en divisant-le tout par îooô. Nommant S la-surface du pan de voûte ou du dôme, et P sa longueur ou pourtour -, l’on aura cette formule,
  - S
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- - d'aR c h I T E C T U R E.
  - 161
  - S=PX J0.342AO-H0.746CO—0.088^. Exemple.
  - Supposons que la moitié AO du diamètre soit de 14% que la montée CO soit de iop.
  - Prenez 342 fois le demi-diametre 14P, ci 4788
  - plus, 746 fois la montée iop . . . 7460
  - Somme ..... 12248
  - Otez 88 fois le quarré ioop de la montée divisé par le demi-diametre 14% ci 628*
  - Il restera . . . . .11620
  - Divisez ce nombre par ioôo en. retranchant trois chiffres ..... 11 >620
  - Vous multiplierez ce nombre par la longueur du pan de voûte, ou par la circonférence du plan du dôme.
  - Supposons que îe plan soit quarré, la longueur d’un pan de voûte sera égale au diamètre, et par conséquent sera 28p; ainsi multipliez le nombre 11.620 par 28% vous aurez 3iSp 40 3l îo' pour la surface du pan de voûte.
  - Si la voûte est un dôme, multipliez lemiême nombre 11.620 par le pourtour 8op du plan, et vous aurez io22p 6° 8l 71.
  - L’on peut avoir la surface d’un pan de voû te, ou d’un dôme surbaissé, par une méthode plus abrégée, mais moins juste.
  - L
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- - l6 2 .M A N üil
  - Prenez 3 fois la montée 3op o o
  - ajourez une foiéle diamètre 28 o o
  - Somme . . 0 0 00 •-o
  - Prenez le ~ de la somme . 11 72 5
  - Multipliez ce nombre 1 ip 70 21 5' par la longueur du pan de voûte, ou par le pourtour du dôme, vous aurez pour un pan de voûte, suivant la mesure précédente,* 324p 90 71 8', et poür un dôme vous aurez io2op 90 8l 8r.
  - CHAPITRE IX.
  - Des voûtes d’arête surbaissées en anse de panier.
  - { Fig. 60. ) L’on trouvera la surface d’une lunette de voûte d’arête surbaissée en anse de panier, en prenant i'o3i fois le demi-diamètre; plûè , 178 fois le «jüàrrë de la montée divisé par le de nii-dia métré, et èii Ôtant du produit 64 fois la montée; le toût divisé par 1000, et multiplié par la longueur de la lunette.
  - Si l’on nomme S la surface de la lunette, L sa longueur, l’oîi àura cëtte formule,
  - S==L X -[i,o3iAO—Q.oô4GG-ho.i7d~>j.
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- - 163
  - d’a RCHITICTURI.
  - Exemple.
  - Supposons que le demi-diametre soit de 14% la montée de iop, et la longueur de la lunette de i4p.
  - Prenez io3i fois le de-
  - mi-diametre . . 14434» 0 O
  - plus ,176 fois le quarré de la montée divisé par le demi-diametre 1257 0 O
  - Somme 15691' Q O
  - Ôtez .64 fois la montée 640 O O
  - reste .... i5o5i O O
  - Divisez par 1000, vous aurez i5 O 7 4
  - Multipliez par la longueur i4 O b b
  - la surface de la lunette sera 2 iop > 6\ 8'
  - L’on peut avoir encore la surface d’une lunette par une méthode plus abrégée ', mais moins juste, en prenant 16 fois le diamètre ; plus, 8 fois la montée ; le tout divisé par 35, et multiplié par la longueur.
  - L ij
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- - l64 MANUEL
  - Suivant les dimensions
  - précédentes , l’on aura 16
  - fois 28p . . . . . 00 0 O
  - plus, 8 fois 10p 80 0 O
  - Somme 5s8 0 O
  - Divisez par 35 i5 1 0 41
  - multipliez par la longueur 14
  - la surface de la lunette sera 211p 2° 41 8 '
  - CHAPITRE X.
  - 'Des voûtes de cloître et des dômes surmontés en anse de panier.
  - (Fig. 61.) L’on aura la surface d’un pan de voûte surmonté ou d’un dôme, en prenant 174 fois le demi-diametre CO; plus,890 fois la montée AO, et en ôtant de la somme 64 fois le quarré de la montée divisé par le demi-diametre; le tout divisé par lood, et.multiplié par la longueur du pan ou par le*pourtour du dôme. Nommant S la surface, B la longueur d’un pan de voûte ou du pourtour d’un dôme, l’on aura
  - S=BX |o. 174CO-H0.890AO—o. 064^!.
  - Exemple.
  - Supposons que le demi-diametre soit iop, la montée i4p et la longueur 20p.
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- - 165
  - d’architecture;
  - Prenez 174 fois le demi-diametre . . . • 1740
  - plus, 890 fois la montée 12460
  - Somme . . . i420°
  - Otez 64 fois le quarré 196* de la montée divisé par le
  - demi-diametre 10p . . 1254
  - reste . ' . . . 12946
  - Divisez par 1000, vous aurez .................. i2p n 0 41 2 ^
  - Si voug multipliez ce nombre par la longueur 2op, vous aurez 268p 100111 4'pour la surface du pan de voûte. ,
  - Si cette voûte est un dôme, son pourtour sur un diamètre de 2op sei’a 3 fois èt j plus grand ; et comme Ton a supposé ci-dessus la longueur du pan égale au diamètre, l’on aura la surface d’un dôme en multipliant 2Ô8P io° 1114rpar 3 et ÿ.
  - L’on peutabrége.r par une méthode plus courte, mais moins juste; pour cela ,
  - prenez 5 fois la montée i4p . 70p 0 0 0
  - plus, une fois le diamètre - 20 0 0 0
  - Somme . 90 0 0 0
  - Divisez par 7, vous aurez . * 12 101 3 5
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- - 166
  - MANUEL
  - CHAPITRE XI.
  - Des lunettes surmontées en anse dé panier.
  - {Fig. 62.) L’on trouvera la surface d’une lunette surmontée en anse de panier, en prenant 1080 fois ledemi-diame tre ; plus, 128 fois le quarré de la montée divisé par le demi-diametre, et en ôtant de la somme dp fois la montée ; le tout divisé par 1000, et multiplié par la longueur de la lunette. Nommant S la surface d’une lunette, et L sa longueur, l’on aura cette formule,
  - S=L X {1 • 080CO-f-o. 128 —0.o66 AQj.
  - Exemple.
  - Supposons que le demi-diametre soit iûp, la moptée i4p et la longueur iop.
  - Prenez 1080 fois le demi*diametre . 4. . 10800.
  - plus, 128 fois le quarré
  - 196 de la montée divisé »
  - par le demi-4iametre a5o8.8 Son^ne . . . i33o8.8
  - (âtez-en 66 fois la mon-
  - • • • *. .
  - resfe . . .
  - Divisez ce reste par r
  - 1000, et vous aurez i2p 4° 71 6f
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- - d’arçhitecturIî. 167
  - Multipliez ce nombre par la. longueur 10 pieds de la lunette , et le produit ia3p io° 2 *‘2' sera la surface demandée!*
  - L’on feça une opération plus abrégée , mais moips précise, en prenant 3 Fois le diamètre 20p . . 60 o o o
  - 2 foisJa^uQntfe * • 28 o o o
  - Somme . . . . 88 o o o
  - Puis, divisant par 7, l’on aura 12 6 10 3
  - Ce nombre étant urulpplié par la longueur iop de 4 Jupette , l’qu aura ^5P 8° <j>1 6l pour la surface demandée*
  - CHAPITRE XII.
  - Des voûtes en arc d’ogive et de celles en pendentif-
  - (Fig. 63. ) L’qn nomme arc d’ogive, un cintre composé de deux arcs de cercle de do degrés chacun *, les plus ordinaires se fopt sur deux côtés d’un triangle équilatéral, en prenant le 3ra*côté poqy ygy$n, et §ps e^lçéuaités pour les( çpntres de cesar^..
  - i°* Pour avoir le pourtour d’pp cintre qn. oâye-c(pntou connaîtra te corde l’on multipliera pettg corde par 377? et l’ou divisera le produit par 36o.
  - En supposant que le triangle SNT ne soit pas
  - L iv.
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- - 168 wr a-# v e l
  - équilatéral, la base ST sera plus ou moindre qu’une des cordes SN, TN; et si l’on rie peut mesurer l’une des cordes, l’on mesurera la distance ST, et la hauteur NA perpendiculaire sur ST, cela donnera les deux triangles rectangles NAS, NAT, égaux. Or, connoissant la moitié SA de la distance ST et la hauteur NA, l’on aura SN
  - =VnÂ*h-SÀ\
  - Le pourtour d’une voûte en berceau en ogive étant connu, on le multipliera par la longueur de la voûte pour en avoir la supërficie.
  - {Fig. 64. ) 20. Pour avoir la surface d?un pan de voûte ou d’un dôme en ogive, l’on multipliera la longueur de l’arc CED par 15j , puis l’on divisera le produit par 240 ; le quotient se multipliera par la longueur AB du pan de voûte, ou par le. pourtour du plan d’un dôme ; ce qui donnera la surface cherchée.
  - Si l’on nomme S la surface du pan ou du dôme , P le pourtour de Parc CED, et L la longueur AB ou la circonférence du. plan du dôme, l’on aura cette formule, S = 5 P X L.
  - Exemple.
  - Soit donné tin pan de voûte ACB, ou un dôme dont la corde CD de l’arc est 28p, et supposons la longuèiir AB aussi dé 28*.
  - La longueur de l’arc CED sera égale à fg de la corde CD*, et 877 fois a8p, divisés par 36o, don-
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- - d’architecture. 169
  - nerontpourle pourtour de cet J arc . . . . . , . 29P 3° 101 4/
  - Multipliez ce pourtour par 157
  - divisez le produit . . . 46o3p 6° 21 4'
  - par . . ' . . . . 240
  - le quotient donnera . ; 19p 20 21 ir
  - Multipliant cette quantité par la longueur 28** du pan de voûte, l’on aura 537p °°IC)1 4f pour Ja surface de ce pan ; si c*est un dôme, l’on multipliera par le pourtour de son plan.
  - {Fig. 65.) 3°/La surface d’une lunette de voûte d’arête en ogive ACBFA, se trouvera en multipliant la longueur CF par les ^ du pourtour AFB.
  - Exemple.
  - Supposons que le pourtour soit 58p 70 818f* et que la longueur soit i4p*
  - Multipliez le pourtour 58p 7* 81 8' par 83 , vous aurez . . . . .
  - Divisez par 246, lç quotient sera / ... .
  - Multipliez par la longueur
  - 48^7p ÿn1 4'
  - *20 3 4 5
  - 14 0 p 0
  - •2S3pii° 1' i,6*
  - Il peut arriver que des arcs en ogive soient au-dessus où au-dessous de 60 degrés ; lorsque î’ôn n’en sera pas sûr, l’on en cheroiëra le rayon
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- - I70 MANUEt
  - par les réglés géométriques, ainsi que sa corde, et par cq moyen Ton déterminera son pourtour; ou bien l’on prendra la longueur de la corde avec la fléché de l’arc, et l’on trouvera son poiirtour par le moyen de la table des segments.
  - ( Fig. 66. ) 40. Lorsqu’une lunette en plein cintre sera en pendentif, l’on multipliera le cintre AFB par lés £ de la longueur courbe CF ; le produit donnera une surface approchée de la lu-pette ^ÇBF4-
  - (Fig. 6{j. ) 5°. Si la lipiette ACBFA est en arc p’pgivq et esp penden4|; r°n multipliera le cintre AFB par les ^ de la lpnguem* courte CF,et le produit doppera Ja surface dé cette lunette.
  - CHAPITRE XIII.
  - Des voûtes cintrées en ellipse.
  - La courbe elliptique est celle que l’on emploie avec le plus de succès ppur les voûtes en arêtier: elle n’a pas l’inconvénient de l’anse du panier - dans les Voûtes élevées sur un olap. quarré-long, lequel ne peut produire dés arêtiers directement à plomb sur les diagonales, au lieu que le cintre emptique st rencontre parfaitement bien avec le plein cintre'1 y ©il tout autre cintre aussi elliptique , ëfr ces cintres forment, par leurs pénétrations^ ç}e^ ^r^pm*s.bién fi9,ixects.; en quqi l’on attribue tquf % pifribe de voûtes*
  - ' Comme le^qnpes! eq aqfû de panier, fprm£s
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- - d’à rchitîcture. 171
  - avec trois arcs de 60 degrés, different assez sensiblement des cintres en ellipse, les surfaces des voûtes, formées avec ces différents cintres, doivent différer nécessairement dans un degré plus éminent, étant le produit des pourtours multipliés par l’unité répétée plusieurs fois.
  - Les principes que j’ai suivis pour calculer les voûte de la table ci-après sont les mêmes que ceux dont je me suis servi pour la construction des tables elliptiques, comme il est facile de s’eu appercevoir.
  - ( Fig. 68. ) Sur un pan BCD de voûte de cloître surbaissé, imaginez une infinité de trapèzes BLMD,LGIM, etc. la somme de tous ces trapèzes se confondra avec la surface du pan de voûte; pr ia surface d’un de ces trapèzes, par exemple BLMD, pouvant être égale à la partie de voûte comprise entre les bases LM, BD :, du trapèze, cette partie de voûte sera égale à la corde PA multipliée par la demi-somme de ces bases. Mais la corde PA
  - Î)ar hypothèse se confond avec son arc PA ; donc a surface du trapeze se confondra avec celle de la partie de voûte comprise. entre ses côtés, et lui deviendra égale.
  - La coupe QÇPA, prise au milieu du pan dp voûte, étant un quaft d’ellipse perpendiculaire au piap triangulaire,’BOîp, qtpq pbjn efaut lq quart d’un quarfe servant de l?asip a Ja yoûte entière? il en résultera que la perpeurjpflaire OA sera la moitié du c.Ôt| pp,V p ftohq paraltqle \ 0A? sera la moitié et ajpsi dqs apire?. Qr, eÿ
  - suivant les principes donnés pour lès tables efjjpt tiques, l’on trouvera les droites YP, XQ, etc. qui
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- - lja. MANUEL
  - seront les moitiés des bases LM, GI, etc. de tous les trapèzes ; donc ces bases étant connues, ainsi que les cordes PA, QP, CQ, qui servent de hauteurs aux trapèzes, ces trapèzes seront bientôt connus.
  - {Fig. 69. ) L’on fera le même raisonnement pour un pan surmonté BAD de voûte de cloître, mais dans lin sens contraire.
  - Suivant les opérations que j’ai faites pour la courbe elliptique, j’ai trouvé que la longueur d’un quart de cercle, considérée comme la plus courte de toutes les ellipses, étoit 78.5166 sur un rayon de 5o parties; et suivant le rapport de 100 à 3i4- i5c)2,lequait de circonférence sera 78.5398 ; la différence, étaiit 0.0232,. sera moindre que suivant le rapport de 7 à 22 ; par conséquent les courbes elliptiques sont plus justes que le rapport de 7 a 22. Les pans de voûte, étant calculés par les mêmes principes, ne pourront manquer d’être très approchés de leurs vraies surfaces.
  - Pour calculer un pan de voûte ou une lunette dont les dimensions seront données, l’on fera deux proportions. Par la première,, l’on dira : La montée donnée est au diamètre donné, comme 100 (qui est la montée commune des tables) est à un diamètre proportionnel. Ce diamètre étant connu, l’on cherchera dans les tables la surface qui lui répond.; puis l'on «fera cette seconde proportion: Le quarré 10000 de la montée des tables est à la surface que l’on y a trouvée,comme le quarré de là montée donnée est à la surface que l’on cherche.
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- - d’architecture. 1JO
  - Exemple pour un pan surbaissé de voûte de cloître.
  - Supposons que la montée soit de iop et le diamètre 65% faites cette première proportion,
  - iop * 65p * ; ioo t x,
  - vous aurez 65op pour le diamètre proportionnel. Cherchez 65ô dans la colonne des diamètres, et vous trouverez à la suite i25©39 pour la surface d’un pan de voûte proportionnel; puis faites cette seconde proportion,
  - ioo X ioo * ia5o39 I ! 10 X'io \ S; ou en abrégeant, 10000 * 126039 * | 100 \ S, et; vous aurez S = i25op 40 81 pour la surface du pan proposé, considéré comme le quart d’une voûte de cloître: élevé sur un plan quarré.
  - Dans le cas où la longueur du-pan de voûte ne serait pas égale au diamètre, le plan ne sera pas quarré, ou sera un polygone régulier ou un cercle; ainsi, pour réglé générale , l’on multipliera la quantité trouvée pour un pan de voûte sur plan quarré par la longueur du pan proposé, et l’on divisera le produit par le diamètre.
  - Si le diamètre proportionnel ne se trouve pas juste dans les tables, l’on fera l’opération suivante.
  - Par exemple, supposons que le diamètre soit 3ip 6° et la montée 7P 90, et ron nomme a:le diamètre proportionnel, la première proportion sera 7P 90 . 3ip 6° \ \ 100 ; x: ce qui donne x *= 4o6p 5°. *
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- - 174 MANUEL
  - Cherchez dans la table le diamètre supérieur à 406 et celui inférieur au même nombre, vous aurez 410, auquel répond le nombre . . . . 67436
  - et 400 auquel répond le nombre 55186
  - Différence. .... Multipliez par
  - vous aurez .... Divisez par 10, vous aurez Ajoutez le nombre qui répond à 400 la surface qui répondra à 4o6p 6° sera . , ...................
  - 2250
  - __ 6” 51 14437.5 1443.75 55186.
  - 55629.75
  - Faites cette proportion: Le quarré de ïoo est à
  - 66620.75 comme le quarré de la montée 7P 90 est à la surface cherchée; ou en abrégé, 10000 *.
  - 66629.75 ym 6op o° 911 S. Vous aurez S = 34°p
  - i° 71 pour la surface du pan de voûte proposé, en supposant quê la longueur soit égale au diamètre ; et si la longuéur est différente, l’on fera comme il est dit dans l’exemple précédent.
  - Il faudra faire attention à ne së pas méprendre dans les colonnes des surfaces: lorsque fon voudra calculer un pan dë voûte ou un dôme, l’on
  - IPrendra lès nombres dans là colonne en tête de aqueile est écrit surface des pans; et lorsque l’on voudra calculer une lunette, l’on prendra.le nombre dans la colonne én tète de làquellë est écrit surface dés luiïettes.
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- - Page 175
  - «
  - Table des pans de voûte de cloître et des lunettes de voûtes d’arêtes surbaissées en ellipse.
  - Diamètres. Surface des pans. Surface des lunettes. Diamètres. Surface des pans. Surface des lunettes. Diamètres. Surface des pans. Surface des lunettes.
  - 200 20000 l 1416 4iO 57436 48678 710 146240 127642
  - 201 201 33 1 1600 420 59712 45754 700 149943 131208
  - 202 20267 l l625 43o 62064 47885 760 l53694 134825
  - 2o3 20401 l 1729 440 64402' 60062 740 l57493 138488
  - 204 2o535 l 1864 460 66818 52291 760 I6134l 142213
  - Oo6 20669 11989 460 69280 54565 760 165238 145984
  - 206 2o8o5 12045 47° 71788 56899 77 0 169183 149804
  - 207 20941 10160 480 74343 69279 780 178177 153671
  - 208 21077 12258 49° 76946 61702 790 177220 157690
  - 209 21213 12364 5oo 79596 64170 800 181011 161667
  - 210 21349 12471 5io 82292 66697 810 18545i 166676
  - 220 22743 i356i 520 85o35 69270 820 189640 169641
  - 23o 24176 i47i3 5 3o 87827 71898 83o i93885 170760
  - 240 o565o 15901 54° 90666 74573 840 198168 177926
  - o5o 0,7166 17160 55o 9355i 77297 85o 202498 182144
  - 260 28726 18437 56o 96485 80066 860 206882 186409
  - 27O 3o3o5 i9783 670 99466 82891 870 21i3i5 190727
  - 280 31969 21169 58o 102495 85762 880 215797 196091
  - 29O 33667 22613 590 105572 88685 890 000607 ; 199508
  - 3oo 35387 24098 600 108696 9i655 900 224907 208973
  - 3io 37162 26640 6.10 111869 94681 910 229535 208490
  - 320 38980 27224 620 116089 97753 920 234212 213o54
  - 33o 40844 28865 63o 118358 100877 93o 238939 217670
  - 340 42751 3o549 640 121674 104047 940 243714 222334
  - 35o 44714 32277 65o 1 o6o3cf 107270 95o 248539 227051
  - 36o 46722 34049 660 128452 110539 960 253412 23i8i4
  - 670 48765 35888 670 131913 î13861 970 258335 236635
  - 38o 5o853 37772 680 135422 117231 980 2633o6 2415o4
  - 390 52997 39697 690 138980 i2o653 990 268327 246414
  - 400 55186 1 41667 700 142585 124121 1000 273397 25i373
- pl.175 - vue 194/438
- - d’a R CH ITECTURE.
  - i75
  - Exemple pour une lunette de voûte d'arête surbaissée.
  - ( Fig. 60. ) Supposons que la montée MD d’une lunette GCL soit 7P9% le diamètre GL soit 3ip6°, vous trouverez, cqmme ci-crevant, que le diamètre proportionnel sera 4o6p 5°.
  - Prenez dans la table, à la colonne des lunettes, le nombré qui répond à
  - 410, ci..........................4^78
  - et celui qui répond à 400, ci . . 41667
  - Différence Multipliez par .
  - 2011
  - 6P5°
  - 12903.9
  - Divisez par 10 '. . . . .. 1290.39
  - Ajoutezle nombrequi répond à 400, 41667
  - la surface qui répond à 4o6p 5° sera 42967.39
  - Faites cette proportion : Lequarré de 100 esta 42967.39 comme le quarré de la montée 7P9° est à la surface cherchée ; ou en abrégé, 10000 *. 42957.39 ; .* 6op o° 91 * S. Vous trouverez S= 269p 90 9* b- pour la surface d’une lunette dont la longueur sera égale à la moitié du diamètre.
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- - l*]6 MANUEL
  - Exemple pour un pan surmonté de voûte cintrée en ellipse, élevée sur un plan quarré.
  - ( Fig. 69. ) Supposons que la montée AO soit de 37p et le demi-diamètre OC de yp 6°, ou le diamètre entier de 15P, la base BD étant un côté du plan quarré, sera aussi de 15P.
  - Faites cette première proportion : La montée 37p est à 100 comme le diamètre i5p est à un diamètre proportionnel ; vous trouverez 4°p 6° 6l.
  - Cherchez, dans la table des voûtes surmontées, le nombre
  - qui répond à 5o, ci . 4028
  - et celui qui répond à 40, ci 3195
  - Différence 833
  - Multipliez par .... 0 6° 6l
  - Produit . . . 4Ô1 2 6
  - Prenez le' — 45 1 5
  - Ajoutez le nombre qui répond
  - à 40 . . . 3195 0 0
  - vous aurez . 3240 1 b
  - Faites cette seconde proportion: Le quarré de 100 est à 3a4op i° 51 comme le quarré de la montée 37p est au nombre cherché ; ou plus sim* plement, 10000 \ 324op i° 51 ** 1369 * S, et vous trouverez S = 44^p 6° îo1 pour la surface du pan de voûte proposé.
  - Exemple
- p.176 - vue 196/438
- - Exemple pôûr une lunette surmontée de voûte 'd’arête en ellipse.
  - ( Fig. 62. ) Supposons que la montée soit de àop et le diamètre 2ÔP : le plan étant quarré pour une voûte entière, la longueur d’une lunette sera i3p.
  - Faites cetté première proportion : La montée 2op est au diamètre 2ÔP comme 100 est à un diamètre proportionnel, vous aurez d’abord i3op.
  - Cherchez, dans la colonne des lunettes, le nombre qui répond à 13op; vous trouverez 5427. Faites cette seconde proportion: Le quarré de 100 est à 5427 comme le quarré de la montée 2op est au nombre que l’on cherche-, ou 10000 I 5427 y, 400 ' S, vous aurçz S = 2i7Po° 111 pour la surface dé la lunette proposée;
  - Réglé générale pour les voûtes dont les plans ne sont pas quarrés.
  - Dana tous les cas possibles l’on calculera les voûtes comme si leurs plans étaient quarrés ; ensuite l’on augmentera ou l’on diminuera les surfaces trouvées à proportion de leurs longueurs ; savoir, pour un pan de voûte, dont la longueur sera plus grande ou plus petite que le diamètre, l’on dira : Le diamètre donné est à la surface trouvée comme la longueur du pan proposé est à la surface dè ce pan. L’on fera la même proportion pour les voûtes de cloître élevées sur des plans polygones réguliers, ou pour les dômes considérés
  - M
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- - 178 MANU Et
  - comme un assemblage de pans de voûte infiniment petits. L’on dira donc : Le diamètre est à la surface d’un pan de voûte comme le pourtour du plan est à la surface d’une voûte entière ou d’un dôme.
  - Pour une lunette de voûte d’arête, dont la longueur sera plus petite ou plus grande que la moitié du diamètre, l’on fera cette proportion : Le demi-diametre est à la surface trouvée comme la longueur du pan proposé est à sa surface.
  - 'ZTable des pans de voûte de cloître et des lunettes de voûte d'arête surmontés en ellipse.
  - diàrri. surface des pans. surface des lunettes. diam. surface des pans. surface des lunettes.
  - 10 786 239 1 10 * 9534 4i37
  - 20 1578 451 120 io554 4759
  - 3o 238o 7l\ i3o 11607 5427
  - 40 3195 ioo3 140 12696 6140
  - 5o 4028 1329 i5o' 13819 6901
  - 60 4881 1693 160 14980 7709
  - 70 5757 2097 170 16177 8564
  - 80 6669 2541 180 17412 9467
  - 90 7588 3029 190 18686 10420
  - 100 8546 356o 200 20000 11416
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- - 179
  - d’aR C H I T E C T U R E.
  - CHAPITRE XIV.
  - Des swfatès courbes irréguliereé.
  - Les surfaces courbes irrégulières sont celles ou Ton ne peut mettre én usage les diamètres et les montées comme aux précédentes,; il n’ÿ a que par le moyen des lignes parallèles que l’on peut parvenir à en conriôître F étendue.
  - ( Fig. 70. ) i°. Polir évaluer le vuide d’uné lunette qui pénétré une voûte en berceau, des points E, F, ou ïe cintre de la lunette prend naissance,; tirez les droites EG, EH, de niveau, imaginez tme droite GH parallèle à AB, vous aurez GH = AB; et les arcs GA, HB, étant parallèles, vous aurez un parallélogramme AGHRdont la surface se trouvera en multipliant un des arcs GA ou HB par la largeur AB.
  - Pour’ la- partie de vuide GDEI occupée par la lunette, l’on prolongera l’arc AG jùsqu’en O, de maniéré que l’excédent QX soit égal a l’arc PD tiré du sommet D de Ja lunette jusqu’à la clef de la voûte, Mesurez la. longueur,de l’arc OG que vous diviserez en, plusieurs parties égales àvolom té; par les points de division O, Q, S, U, tirez les droites OD, QR, ST, UV, parallèles, A AB ; si Boire te là partie DGO-du parallélogramm e courbe DMGO, le reste DGM sera la'valéiir de la moitié du vuide qu’il faut déduire* • — : : > i
  - La partie DGO sera facile à évaluer qeaniâ courbe OG étant divisée en parties, égales, f les trapèzes auront même base, et seront entre eux
  - Mij
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- - l8o M A N U E t
  - comme leurs hauteurs, Or la somme des hau teurs
  - OD -+- 2 QR -f- 2ST + aUV -h G
  - sera--------L-----—- , qui
  - étant multi-
  - pliée par la longueur de l’arc OG, l’on aura OD+sQR+sST+aUV + G X 0G _ DGQ; et je
  - parallélogramme DMGO=OD X OG ; l’on aura doncGDM={OD—0D+"QR+fT+aUV+G'- xOG. Exemple.
  - Supposons que l’arc OG soit 1.2p 6% l’arc GA de i3P7°, le diamètre GH ou AB de i4p8°; supposons que l’on ait aussi trouvé, en mesurant, OD = 7P 4°
  - QR = 4P 4°
  - ST = 2P i0 UV = op 4°
  - G =o
  - écrivez une fois 7p 4° 7P V
  - le double de 44 '* 8 8
  - le double de 2 î . 4 2
  - ^e double de o 4 o 8
  - une fois o o . . . o o
  - ! Somme . 20 10
  - f Prenez le f . ^ . . 2 7 3
  - ôtez cette réduction de la distance OD == 7P 4°, le reste sera 4 8 9.1
  - Multipliez par l’arc OG . i 12 6] ! Tl
  - la moitié du vuide GDM sera 59 î
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- - i8i
  - d’ARCHITECTURE.
  - Multipliez l’arc AG= 13P 7 ° par le demi-diametre GM= 7P 4°, vous aurez .... p‘9P 70 41
  - Ajoutez le produit précédent £9 1 4 6
  - Somme . . CO 00 i—i 8 6
  - Doublez la somme . •• . 3i 7 5 5 0
  - Cette quantité 317P 5° 51 sera la surface du vuide AGDHB qu’il faudra déduire de la voûte en berceau. ,
  - (Fig. 70. ) 20. Pour trouver la surface de la lunette ADBCA, l’on divisera l’arc ECF, ou sa moitié EC, en plusieurs parties égales ; puis l’on tracera des parallèles EG, cf, be, ad, CD; ensuite l’on ajoutera la première et la derniere parallèle avec le double des autres , et l’on divisera la somme par le double du nombre de trapèzes ; ce qui donnera une longueur réduite que l’on multipliera par l’arc ECF, et l’on aura la surface de la lunette. Si l’on veut avoir la surface d’une jouée AGE prise sous la naissance du cintre, l’on multipliera la hauteur AE par le tiers de la distance GE.
  - (Fig. ji.) 3°. Une trompe droite ABC, plein cintre à sa tête, considérée comme la moitié d’un cône droit dont la base est représentée par la tête AEC , sera égale au produit d’un côté BC multiplié par la moitié de l’arc AEC , c’est-à-dire par la moitié du pourtour de la base de ce cône ; la moitié FBC sera par conséquent égale à la droite
  - BC X l’arcMais comme il est question ici
  - M iij
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- - ï82 M A N U É l
  - de trouver les surfaces par le moyen des parallèles , nous allons faire voir que ce moyen peut donner la surface de la demi-trompe FBC aussi
  - juste qu’en faisant le produit de BC X l’arc
  - Attachez une réglé pliante d’équerre à- une autre réglé; posçz celle non pliante au long de la naissance BC,de maniéré que la pliante, étant appuyée sur le contour de la douelle, tende à rencontrer le point F ; tracez sur la douelle et au long de cette réglé une ligne GF,quise trouvera à plomb de là ligne droite FL tirée d’équerre,du milieu du c^té AC du plan, sur le côté BC ; divisez la courbe GF en plusieurs parties égales, et par les points de division tracez des lignes sur la douelle parallèles à BC : l’on aura la surface de la demi-trompe FBC, en multipliant la moyenne proportionnelle des longueurs des trapèzes par l’arc FG.
  - Pour mieux entendre ceci, développez la de-mi-douelle sur un plan BCD ; d’un angle D abaissez la perpendiculaire DL que vous diviserez en plusieurs parties égaies ; par les points de division tracez des droites parallèles au côté BC, la figure BDC sera un secteur de cercle dont la surface sera égale au produit de BC par la moitié de l’arc CD ; la droite DL étant divisée *en parties égales, les parallèles formeront des trapèzes de même hauteur; ainsi la surface du secteur BDC, ou, ce qui revient au même* la surface de la moitié BpC de la trompe sera aussi égale à la courbe FG, ou à la droite DL qui lui est égale, multir pliée par la moyenne longueur de tous les tra-
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- - d’ARCHITECTURE. 183
  - ( Fig. 72. ) 4°. Pour évaluer l’étendue super-Ecielle d’une trompe biaise ou d’1111 demi-cône oblique ABC suivant le principe ci-devant, ‘du milieu F du diamètre AC l’on tirera une droite FL d’équerre sur BC ; cette droite FL sera un demi-diainetre d’une ellipse, et la hauteur EF sera l’autre demi-diamètre, par le moyen desquels l’on calculera le quart de circonférence elliptique EL au défaut de réglé pliante ; l’on divisera cette courbe en plusieurs parties égales, et l’on tracera des lignes parallèles comme ci-devant; l’on fera la même opération sur l’autre moitié ABE: la première partie EBC s’évaluera en multipliant l’arc FL par la moyenne proportionnelle de toutes les longueurs des trapèzes ; l’autre moitié s’évaluera de la même maniéré.
  - Pour mieux entendre ce principe, développez le demi-cône EBC sur un plan CDB avec ses parallèles, et sa courbe EL représentée par la droite LD d’équerre sur CB, vous aurez
  - ÇC + aQH -1- 2MI -f- 3 PN H- U ^ £L
  - Remarque sur les surfaces courbes*
  - Un plan sûr lequel l’on a tracé des parallèles peut se recourber en plusieurs sens, et toutes les lignes droites devenir courbes ou mixtes, comme cela arrive dans le cas précédent et dans celui ci-après,'sans néanmoins perdre leurs égalités ni leurs distances; car les cônes étant des surfaces droites sur un sens et courbes sur l’autre, toutes
  - M iv
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- - lS4 M A N U E £
  - les parallèles à un des côtés seront courbes en élévation, et deviendront droites lorsque la douelle sera développée sur un plan : c’est pourquoi l’on ne doit point craindre de faire de l’erreur en se servant de la méthode des parallèles»
  - 5°. En suivant le même principe, l’on verra que la surface d’une voûte en berceau biais , ou d’un demi-çône oblique tronqué, peut être me-, surée par les parallèles.
  - ( Fig. y3. ) Nous supposons ici que les deux naissances AD, BC, ne sont point parallèles, et que la montée IH est égale à la montée EF ; supposons que la droite HP, tirée du centre de Farç d’équerre sur la naissance BC prolongée, soit au dehors de la voûte, et qu’on ne puisse la mesurer; ducen^r tre H tendez un cordon vers M parallèlement à BC , et prenez la mesure de la distance CN qui se trouve entre ces parallèles , vous aurez CN égal à HP ; imaginez ün arc IP qui aura CN et IH pour demi-diame très, par le moyen desquels vous déterminerez la longueur de cet arc qui sera un quart de circonférence elliptique ; divisez l’arc IP en plusieurs parties égales ; du centre F de l’arc opposé tirez la droite FL d’équerre sur BC, et décrivez l’arc EL à plomb de la droite FL; portez chaque division de Tare IP sur l’arc EL* en commençant par le point L ; puis tirez des lignes par tous les points de division à égale distance de BC, vous aurez plusieurs trapèzes et un triangle, com^ me on lé voit sur le plan BDGC représentant le développement de la moitié de la voûte.
  - Je suppose que l’on ait tiré quatre parallèles à
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- - d’architecture. î85
  - BC, Ton aura quatre trapèzes de même hauteur,
  - ,1.1 t i \ BC-+- 2 ah -f- 2 c.d-\- 2 IVG
  - dont la somme sera égalé a ————g-----------
  - X LS, ou par l’arc IP = LS, l’on aura un triangle RDG dont la surface sera égale à RG X
  - Faisant la somme de ces deux quantités, l’on aura une évaluation très approchée de la demi-voûte élevée sur le plan FHCB.
  - Faisant la même opération sur l’autre moitié de voûte, Fon trouvera sa surface que l’on ajo^ tera à la précédente.
  - Remarque,
  - L’on ne pourra disconvenir que les opérations précédentes sont d’un grand secours,'principalement dans les cas où les cintres sont tracés à la main, et pour lesquels l’on seroit fort embarrassé si l’on vouloit se servir des diamètres et des montées, par le moyen desquels l’on feroit des erreurs très grandes. Ainsi, dans tous les cas où il se trouvera le moindre obstacle, l’on ne pourra employeur une méthode plus sure qu’en se servant des pa^-ralleles.
  - Observation sur l'usage du toisé superficiel des voûtes.
  - Lorsqu’une voûte en berceau est percée dé jours en lunette dont les clefs se trouvent plus passes que la clef du berceau, l’on ne déduit point le vuide de la lunette pour le toiser à part ; mais;
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- - l86 MANUEL D’ARCHITECTURE.
  - comme il n’y a point de principe ni de loi qui contraigne cet usage, l’on pourroit le restreindre en admettant que les vuides ne seroient point diminués lorsque les diamètres des lunettes n’auront que le quart des diamètres des voûtes auxquelles elles seront adoptées ; et dans ce cas l’on ne toisera pas la surface des lunettes : mais lorsque ces diamètres auront plus que le quart de ceux des voûtes, les vuides seront diminués et les lunettes toisées à part.
  - Les deux cas que l’on vient de proposer n’empêcheront pas de toiser les arêtiers séparément; car ces arêtiers se comptent pour compenser la
  - plus valeur du tem
  - ds des ouvriers, et le déchet,
  - qui est beaucoup plus conséquent que dans, les voûtés ordinaires. L’on mesure les arêtiers d’une naissance de la lunette à l’autre naissance, et non du pied des deux naissances du berceau oùles tableaux sont droits.
  - Chaque pied de longueur d’arêtier se compte pour un pied quarré d’ouvrage suivant la nature des matériaux où il se trouve ; savoir, pour taille, si l’arêtier est en pierre; pour rnoilon piqué, s’il est en rnoilon piqué apparent; et pour léger ouvrage, si le rnoilon est recouvert de plâtre.
  - Jusqu’ici nous n’avons point parlé des reins, parceque cette partie doit être comptée comme massive; mais nous en ferons mention dans le toisé cube des voûtes, où l’on fera connoître l’erreur du toisé usité.
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- - CINQUIEME PARTIE.
  - Du toisé cube de la maçonnerie et de la fouille des terres.
  - Le toisé cube de la maçonnerie ou de la terrasse peut être considéré comme le principe fondamental du toisé, car l’on ne peut estimer un mur toisé superficiellement que l’on ne connoisse ce qu’il a employé de matériaux par toise ; c’est pourquoi l’on est obligé d’avoir recours à l’éyaluation des corps solides.
  - Un ooips solide est un volume renfermé par plusieurs faces droites ou cintrées ; un côfae est un solide renfermé par deux faces; une pyramide triangulaire est un solide renfermé par quatre faces; ce sont les deux figures qui ont le moins de faces; le prisme triangulaire a cinq faces; celui quadrangulaire en a six, et ainsi des autres.
  - L’évaluation d’un corps solide est le produit de trois dimensions, longueur, largeur et hauteur; ou le produit d’une surface par une hauteur, ou par une partie de la hauteur.
  - CHAPITRE PREMIER. -
  - Des corps solides uniformes.
  - {Fig- 77’ 7$.) Lorsqu’un plan s’élève
  - parallèlement à lui-même suivant une direction
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- - î88 MANUEL
  - droite ou oblique AB, il forme un corps uniforme que l’on nomme prisme quand les côtés du plan sont droits , ou cylindre lorsque le plan est un cercle. L’on évalue la solidité de ces corps en multipliant la surface de leur plan par la hauteur perpendiculaire au même plan , et non suivant une direction oblique.
  - {Fig. 79,80. ) Lorsqu’un plan s’élève parallèlement à lui-même en diminuant continuellement jusqu’à ce qu’il devienne un point, de maniéré que les traces où il passe laissent des surfaces droites au moins sur un sens, il engendre un solide que l’on nomme cône quand le plan est circulaire, ou pyramide quand Je plan a des côtés droits. La solidité de ces figures s’évalue en multipliant la surface de la base par le tiers de la hauteur perpendiculaire, et non oblique.
  - { Fig. 81. ) Lorsqu’un cône ou une pyramide est coupée par un plan parallèle ou oblique à sa base, 011 le nomme cône tronqué ou pyramide tronquée ; l’on nomme aussi ces corps, tronc conique , tronc pyramidal.
  - ( Fig. 81. ) Pour qu’un tronc soit pyramidal, il faut que toutes les arêtes IE* FB, GC, HD,
  - Prolongées se réunissent à un seul point A que on nomme sommet.
  - {Fig. 82. ) Si les arêtes MP, QN', BF, El, se réunissent à deux-points L, A, ou à plusieurs points, la figure ne sera point un tronc pyramh dal, mais elle sera un corps composé de prisme et de pyramide tronquée.
  - Il y a plusieurs méthodes pour évaluer la solidité de ces corps ; mais comme ces differentes.
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- - d’architecture. i8<y
  - méthodes nous meneroient trop loinnous allons nous appliquer aux plus simples.
  - {Fig. 83, 84, 85. ) Lorsqu'un cône tronqué ou une pyramide régulière tronquée à bases opposées parallèles sera donnée, l’on aura facile-* ment sa solidité par une méthode générale; sa-* voir, Ton mesurera une droite OU tirée du centre de la base supérieure d’équerre sur un côté ; l’on ajoutera trois fois cette droite avec deux fois la saillie du talut NQ, et l’on multipliera la somme par le pourtour de la base supérieure ; ensuite l’on multipliera le pourtour de la base inférieure par la saillie NQ du talut ; puis l’on ajoutera ce produit avec le premier, et l’on multipliera la somme par la sixième partie de la hauteur.
  - ( Fig. 83. ) Exemple premier. Pour un tronc pyramidal triangulaire équilatéral,. du centre Q de la base supérieure tirez une droite d’équerre OU que je suppose de 5P 20 41; supposons que chaque côté de la base supérieure soit de i8p, que chaque côté de la base inférieure soit de 24% et que la hauteur soit de 2op, là saillie du talut sera ip 8° 914'.
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- - IC}0 MANUEL
  - Prenez 3 fois 5pa°41, ci i5p y0 o1 ùr
  - plus, 2 fois 1 8 9 4,ei 3 5 6 8
  - Somme ; 19 o 6 8
  - Multipliez par le pourtour cle la base supérieure . . £4 ô ô o
  - Produit * «' / . 1028 6 ô ù
  - Multipliez le pourtour de la base inférieure yip o o Ô
  - par la saillie du talut . ,» 1894
  - Produit . . 124 8 o o ci 124 8 ô ô
  - la somme des deux produits 1153 2 0 0
  - sera .... *
  - Multipliez par le -j de la ham
  - teur 2op .... * 34
  - le cube du tronc proposé sera 3843 îô 8
  - ( Fig. 84. ) Exemple deuxieme% Pour un tronc pyramidal quadrangulaire régulier à bases opposées parallèles dont 011 suppose un côté AC de la base supérieure de 8P, un côté DF* du plan inférieur de i^p, et la hauteur OP de pp, la droite OU* tirée du centre de la base supérieure sut tm côté AC, sera de 4P, et la saillie NQ du talut sera 2P*
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- - d’architecture. lÿi
  - Prenez 3 fois OU, ci . . i2p o o
  - plus, 2 fois NQ, ci , .. . 4. o o
  - Somme . . . .. 1600
  - Multipliez par le pourtour de la base supérieure . . . . 82 o o
  - Produit .. .. . 5i2 o q
  - Multipliez le pourtour de la base inférieure 4^p 0 0 par la saillie du talut 200
  - Produit . . 96 o o ci 96 o o
  - Somme des deux produits . . 608 o o
  - Multipliez par la - partie do la hauteur 9P, ci . . . . 160
  - Je cube du tronc proposé sera 912p oa o1
  - ( Fig. 85. ) Exemple troisième, Pour un trortû pentagonal régulier à bases opposées parallèles dont un côté AC de la base supérieure est de 2op, un côté DF de la base inférieure de 3op, et la hauteur OP de iop, la saillie NQ du talut sera <fp io° 61, et la droite d’équerre OU de i3p 9°.,
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- - M A N U E £
  - Ajoutez 3 fois 13P 90 4ip 3» 0
  - avec 2 fois 6P io° 6l. ; i3 9 0
  - Somme .... 55 d 0
  - Multipliez par le pourtour de la base supérieure . 100 0 6
  - Produit * * 55od 0 0
  - Multipliez le pourtour de la base in-
  - férieure , . -i5op 0 d par la saillie du talut ... 6 10 6
  - Produit . . iq3i 3 0 ci io3i 3 d
  - Somme des deux produits Multipliez par la -J- partie de la 6531 3 0
  - hauteur 10p, ci . . . i 8 d
  - le cube du tronc proposé sera io885p 5° o1
  - Enfin tons les troncs pyramidaux réguliers d’ün nombre quelconque de côtés à bases opposées parallèles pourront être évalués par la même méthode-; ainsi un cône peut être dans le même cas* étant considéré comme une pyramide d’un nombre infini de côtés,
  - ( Fig. 86. ) Exemple quatrième. Pour un cône tronqué à bases opposées parallèles, dont le diamètre AB de la base supérieure est de 2ip, le diamètre CD de la base inférieure de 28% et la hauteur OP de 15P, la saillie NQ du talut sera de 3P 6\
  - Prenez
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- - d’aeghitectüre> 193
  - Prenez 3 fois le demi-diametre iop 6° de la base supérieure plus, 2 fois la saillie du talut Somme
  - Multipliez par la circonférence de la base supérieure .
  - Produit . , r v
  - Multipliez la circonférence de la base inférieure . . 88 o o
  - par la saillie du talut 3 6 o
  - Produit . „ . 3o8 o o
  - Somme des deux produits . Multipliez par la ~ partie de la hauteur 15p, ci .
  - le cube du cône tronqué sera
  - 3ip 6° o 700 38 6 o
  - 66 00
  - 2541 o o
  - ci 3o8 o o 2849 o o
  - 360 712 2p 6° o1
  - Remarque.
  - Lorsque les prismes, les pyramides et les cônes, soit entiers ou tronqués, sont obliques, en supposant toujours les bases parallèles pour ceux tronqués, la hauteur doit se prendre à plomb et non suivant la hauteur oblique, parceque toutes ces figures, ayant même hauteur et mêmes bases, sont égales en solidité.
  - L’on a supposé, dans les opérations précédentes que, les bases des troncs sont des polygones réguliers : mais il peut arriver que ces bases soient des polygones irréguliers, ce qui se rencontre fort souvent dans la pratique ; et dans ces cas l’on ne pourroit avoir une base moyenne en se servant,
  - N
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- - 1^4 MANUEL
  - des pourtours pour multiplier, parceque la droite tirée du'centre de la base supérieure sur un côté, ne seroit point égale à celle tirée du même centre sur un autre côté. Or, dans tous les cas possibles, l’on peut décomposer un tronc pyramidal en autant de troncs qu’il aura de côtés, et calculer des bases moyennes de chaque petit tronc, dont on fera la somme que l’on multipliera par la sixième partie de la hauteur.
  - {Fig. 84. ) Pour donner une idée plus distincte de ce que Ton vient de dire, supposons que la base ABHC supérieure, ainsi que la base DEVF inférieure, soit quadrilatère irrégulier; d’un point quelconque O de la base supérieure imaginez une perpendiculaire OP ; tirez les demi-diagonales OC, OA, sur la base supérieure, et imaginez les demi-diagonales PF, PD, sur la base inférieure, vous aurez un tronc AOCFPD pyramidal triangulaire. Pour avoir le cube de ce tronc, tirez une droite OU d’équerre sur AC; prenez 3 fois cette droite OU ; plus, 2 fois la saillie NQ du talut, et multipliez la somme -par le côté AC de la base supérieure : multipliez la longueur DF de la base inférieure par la saillie NQ du talut; ajoutez ensemble ces deux produits ; faites 1a, même chose sur chaque côté du tronc proposé, et ajoutez ensemble les différents produits ; puis multipliez leur somme par la -j partie de la hauteur OP, le produit sera le cube du tronc pyramidal proposé.
  - {Fig. 82.) Lorsqu’un solide aura des côtés 'droits qui, étant prolongés, se termineront à plusieurs points L , A , ce corps ne sera point un tronc pyramidal ; mais il pourra être décomposé
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- - d’architecture. 1^5
  - en plusieurs solides de même hauteur, en supposant toujours les bases opposées parallèles.
  - Supposons que les bases MNIF, PQEB, soient rectangles, et que les faces des côtés prolongés se terminent à la droite LA : l’on portera IF sur FM de F en G, et sur IN de I en H; puis l’on tirera les droites GÇ parallèle à MP, et HD parallèle à NQ; pour lors l’on reconnoîtra un prisme PMNQDHGC dont la base moyenne se trouvera en ajoutant MN avec PQ, et en prenant la moitié de la somme que l’on multipliera par MG : l’on déterminera la base moyenne du tronc CGHDEIFB par la méthode précédente , dont on prendra la sixième partie : l’on fera la somme dis deux quan ; tités que l’on multipliera par la hauteur du corps proposé ; ce qui donnera le cube de cette figure.
  - CHAPITRE II.
  - Des murs en talut avec angles saillants et rentrants.
  - Pour évaluer la solidité d’un mur en talut formant angle rentrant ou saillant à l’une ou à ses deux extrémités, l’on est obligé de le déçompo* ser ou le supposer tel, afin de toiser séparément la partie formant talut et la partie droite comme s’il n’y avoit point de talut, parcequ’il faut con,-sidérer ces solides comme composés de prismes et de pyramides.
  - {Fig. 88, planche9.) Supposons qu’on ait à toiser un. mur AVCY en talut d’un côté, et formant un angle rentrant BL et un angle saillant CM»'
  - N ij
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- - 396 MANUEL
  - Considérez une partie UL de ce mur composée d’un mur à’ plomb ayant AB VU pour base et AE pour hauteur, d’un prisme triangulaire ayant pour bases les triangles parallèles EAI, OQL, et d’une pyramide quadrangulaire ayant pour base OQBF et pour hauteur la saillie OL du talut.
  - i°. Le mur droit et à plomb se trouvera en multipliant la base AB VU par la hauteur AE ; ainsi, supposant AU d’équerre sur UV, l’on aura
  - ÜV^AB x AU x AE-
  - 20. Pour le prisme compris entre deux faces triangulaires parallèles EAI, OQL, en supposant
  - El d’équerre sur EO, l’on aura — X EO X AE.
  - 3°. Pour la pyramide, l’on aura QL ;
  - et comme OQ = AE, et que OL = El, en sub-stituan11’on auraQF — = El x -f-OF X AE.
  - 4°. Faisant la somme des trois quantités, Lon au*
  - iflUL={H±^ x AU-+-EO-+- f OF X XAE.'
  - Comme la hauteur AE est commune aux trois parties du mur UL, tout ce qui est entre les deux accollades exprimera une surface moyenne de tout le mur UL.
  - Dans la pratique, Ion pourra mesurer la longueur de toute la partie en talut aux f de la hauteur AI, ou BL; cette longueur sera équivalent» à EO -1- f OF, et allégera l’opération.
  - Exemple.
  - Soit la longueur UV = 40p 6°, la longueur
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- - d’architecture.5 197
  - AB = 36p, la longueur IL ou EO = 3op, l’excédent OF sera. 6P; soit la saillie du talut EI = 8P, la hauteur AE = i8p, et l’épaisseur AU = 4^.1 Ajoutez 36p avec 4°p ^°) et vous aurez 76p 6°, dont la moitié est 38p 3° que vous multiplierez par l’épaisseur 4P prise à la partie supérieure, et vous aurez . . i53p o* o*
  - Ajoutez à la longueur 3op prise au bas du talut, les y de la différence 6P des longueurs* du haut et du bas , vous aurez 34p que vous multiplierez par la moitié 4P de la saillie du talut ; ce qui produira . . . * ^ i36 o o
  - Faites la somme . . 280 0 0
  - Multipliez par la hauteur . 18 . 0 0
  - le cube du mur UJL sera . 6202 0 0
  - Pour le mur MD coupé à plomb par un bout, et formant angle saillant par l’autre bout, l’on multipliera la moitié des deux longueurs CD,XY. par l’épaisseur YD de la partie supérieure ; ensuite l’on ajoutera à la longueur CD du'haut du talut le ÿ de la différence entre cette longueur et celle du bas MN , et l’on multipliera la somme par la moitié de la saillie GT du talut; l’on fera la somme de ces deux produits que Ton multipliera par la hauteur du mur.
  - La longueur réduite de la partie en talut se trouvera aussi en prenant la longueur aux y de la hauteur de cette partie.
  - N îi j
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- - Ip8 MANUEL
  - Pour la partie du mur YM formant un angle saillant CM et un angle rentrant BL, l’on fera le produit de la partie supérieure VXCB comme ci-devant ; ensuite, pour la partie en talut, l’on prendra sa longueur aux f de sa hauteur, et l’on multipliera cette longueur réduite par la moitié de la saillie du talut ; Ton ajoutera ensemble les deux produits, et l’on multipliera la somme parla hauteur du mur.
  - Il se trouve encore, dans la pratique, des murs circulaires en talut par dehors ; le principe pour toiser le cube cite ces murs est le même que ci-devant.
  - ( Fig. 87, planche 8. ) L’on commencera par évaluer la surface supérieure comprise entre les pourtours ABCD et EFGH ; après quoi l’on prendra le pourtour de la partie en talut aux -f- de sa hauteur, et on le multipliera par la moitié de la saillie QN du talut; puis, faisant la somme de ses deux produits, on la multipliera par la hauteur AN de la tour: le produit donnera le cube du mur en tour ronde et en talut.
  - (Fig. 89, planche 9.) Pour évaluer le cube d’une fouille de terre faite en talut entre quatre côtés parallèles, l’on mesurera la longueur EH et la largeur HG du fond que l’on multipliera l’une par l’autre; ensuite l’on prendra le pourtour des quatre faces au tiers de sa hauteur en commençant du fond de la fouille, et l’on multipliera ce pourtour réduit par la moitié de la saillie du talut ; puis l’on fera la somme des deux produits que l’on multipliera par la hauteur de la fouille : le produit sera le cube demandé.
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- - dIaRCHITECTÜRL' 199
  - En prenant le pourtour réduit au tiers de la hauteur, c’est la même chose que si l’on ajoutoit au pourtour EFGHE le tiers de la différence de ce pourtour et du pourtour ABCDA supérieur.
  - J Exemple.
  - Supposons AD ou BC = 3dt0, AB ou DC = 8t0, EH= 33 *°, EF = 5^°, et la hauteur PQ = 2% le pourtour du haut sera 88to, celui du bas sera 7Ôt0, la différence des pourtours sera 12t0, et la saillie du talut sera. 110 3P.
  - Multipliez 33t0 par 5t0, ci . . i65t0 o o
  - Ajoutez au pourtour du fond . . . j610
  - le j de la différence 1 ap 4
  - vous aurez . 80
  - Multipliez par la moitié de la saillie du talut o 4 ^
  - Produit . 60 o
  - Ajoutez ce produit au premier do o o
  - Somme .... 22 5 0 0
  - Multipliez par la hauteur . 200
  - le cube de la fouille sera 0 0 0 >-0
  - (Fig. 89 / planche 9. ) Si Jes taluts n’avoient pas la même saillie sur les quatre côtés, l’on porterait la longueur FG du fond sur la longueur BG du talut de B en M, et la largeur EF du fond sur la largeur AB du haut de B en K ; puis l’on imaginera les droites RL, LM, parallèles aux côtés du haut 5
  - N iv
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- - 20 O MANUEL
  - l’on multipliera, i°. la longueur EH du fond pat sa largeur; 20. l’on prendra la longueur réduite de la partie AEHD au j- de sa hauteur pris du fond, que l’on multipliera par la moitié de la différence AK des côtés EF, AB ; 3°. l’on prendra la longueur de la partie HDCG au -j- de sa hauteur, que l’on multipliera par la moitié de la différence de EH et de AD ; enfin l’on multipliera la somme des trois produits par la profondeur de! la fouille.
  - Exemple.
  - AD = 36t0, EH = 33t0, AB = 4% EF = 3'\ et la profondeur PQ = 1ko 3P.
  - i°. La surface du fond sera 33t6 multipliées par 3t0 . . . . ^to o of
  - 20. La différence des longueurs 36t0 et 33est 3t0, et la différence des largeurs 4*° et 3to est 1to.
  - Ajoutez à la longueur 33t0 le - de la différence 3'°, et vous aurez 34t0 à multiplier parla moitié de l’autre différence 110 : le produit sera 17 o Ô
  - 3°. Ajoutez à la largeur 3t0 le ÿ de la différence 1t0, et vous aurez 3t0 2P que vous multiplierez par la moitié de l’autre différence 3t0: le produit sera ... . . 5 o o
  - Là somme de ces trois produits sera qui étant multipliés par la hauteur
  - le produit donnera le cube de la fouille, * . ». .18]
  - 121
  - 1
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- - RCHITECTURI.
  - 20 r,
  - CHAPITRE III.
  - Du toisé cube des massifs dont les bases opposées ne sont point parallèles.
  - {Fig. 90, planche 8.) i°. Soit une pyramide triangulaire SDEF coupée par un plan NOM oblique à la base EDF, 011 supposant qu’un côté MN au plan coupant soit parallèle au côté FE de la base, et que le.sommet O soit plus élevé que ce côté MN.
  - Tirez les droites MA, NA, parallèles aux côtés FD , ED, de la base, et vous aurez une pyramide NAMFED dont les bases seront parallèles, et que vous calculerez par une des méthodes précédentes. Vous aurez une autre pyramide ONAM,’ dont le cube se trouvera en multipliant le plan NAM, qui lui sert de base, par le ÿ de la hau| leur OL.
  - ( Fig. 91.) 2 °. Si le côté CB est plus élevé que le point A, en supposant ce côté parallèle au côté FE de la base ; après que l’on aura toisé le cube de la partie ANMFED par les méthodes précédentes , l’on calculera la partie supérieure en multipliant la surface du triangle NAM par les f de la hauteur perpendiculaire OL, etl’on fera la somme des cubes.
  - ( Fig. 92. ) 3°. Lorsque le plan coupant n’aura aucun de ses côtés parallèles aux côtés de la base, l’on fixera la hauteur au point A qui est à la
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- - 202 MANUEL
  - moindre distance de la base ; puis l’on tracera les côtés d’un plan AMN parallèles aux côtés de la base DFE, et l’on calculera la partie comprise entre ces deux plans : la partie AMNBC qui restera sera une pyramide quadrangulaire oblique dont la base sera la surface du quadrilatère CMNB, et dont le sommet sera au point A. Pour toiser cette partie, Ton appliquera une réglé R sur la face FCBE ; du point A l’on tendra une ligne AS parallèle à cette réglé, et Ton prendra la distance d’équerre SR, laquelle sera la hauteur de la pyramide AMNBC. L’on multipliera la surface de la base MCBN par le y de la distance SR, et l’on ajoutera le produit avec celui de la première partie.
  - {Fig. pS.’) 4°. Lorsqu’une pyramide quadrangulaire sera tronquée obliquement par un plan NMLI dont on suppose deux côtés NM, LI, parallèles aux côtés correspondants AG, FH, de la base, l’on tracera les droites NY, MZ, parallèles aux côtés correspondants AF, GH, et l’on aura par ce moyen un tronc pyramidal NMZYFAGH à bases opposées parallèles, dont le cube se trouvera parles méthodes précédentes : il restera une partie IYZLMN à évaluer. Pour déterminer le cube de cette partie, l’on portera la distance LI sur ZY de Z en K; ensuite l’on ajoutera la moitié de LI avec le tiers de KY ; puis l’on multipliera la somme par la longueur EK et par la hauteur à plomb 10 -, ce qui donnera le cube de cettg partie.
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- - D ARCHITECTURE.
  - 2©3
  - CHAPITRE I Y.
  - Du toisé des massifs de terre.
  - Comme les fouilles se font presque toujours sui* un plan droit ou incliné , il n’est pas difficile d’évaluer leur solidité, au moins par approximation, en laissant des jalons -à égale distance les uns des autres pour former autant de prismes de même base. Comme les prismes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs, leur somme sera égale à la moyenne proportionnelle arithmétique de toutes les hauteurs, multipliée par la surface de leur plan.
  - Pour rendre l’opération plus facile, l’on divise un cordeau par toise, et à chaque toise l’on passe un petit morceaif d’étoffe à travers ce cordeau; puis l’on tend ce cordeau en ligne droite, et l’on plante un piquet à chaque toise, ou à chaque di-xaine de toise, selon l’étendue du terrain ; l’on porte la distance prise entre deux piquets d’é.-querre à la ligne que l’on a formée, et l’on étend de nouveau le cordeau parallèlement à la première ligne de piquets ? cette* opération se répété autant de fois que l’étendue du terrain peut le permettre; par ce moyen, toutes les parties comprises entre quatre piquets forment des prismes. Cette opération doit se faire avant de commencer la fouille, pour marquer les places où les ouvriers doivent laisser des témoins ; quand la fouille est faite, l’on mesure la hauteur des témoins suivant une directiorf perpendiculaire au plan sur lequel
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- - 264 MANUEL'
  - la fouille a été faite. Nous allons donner la méthode de trouver une hauteur moyenne.
  - {Fig. 94. ) i°. Soit un massif, onduleux pardessus , posé sur un plan ABCD, et renfermé entre quatre faces perpendiculaires et parallèles DNQC, CQMB, BMIA, AIND.
  - Je partage le plan ABCD en trois parties égales
  - J5ar les lignes parallèles GE, HF; puis je mesure es hauteurs DN, GO, HP, CQ, BM,. FL, EK, AI, lesquelles sont supposées être les témoins que Ton a laissés après la fouille faite. J’écris deux fois chacune des hauteurs communes à deux prismes , et une fois chacune des hauteurs des angles ; puis faisant la somme, je la divise par le
  - nombre des dimensions que j’ai écrites, sons que Suppo-
  - AI =2* j’écris une fois 7 2P
  - DN = 3 7 . une fois 3
  - EK =; 6 . . deux fois . 12
  - GO = 4 .’ . deux fois . 8
  - FL =8 . . deux fois . 16
  - HP =7 . . deux fois
  - BM = ix .. . une fois . 11
  - CQ = i3 une fois i3
  - TOTAL 79
  - Ayant 12 dimensions , je divise par 12
  - et j’ai pour hauteur moyenne f
  - Je multiplie cette hauteur ainsi réduite par la surface de la base, et le produit me donne le cube de la fouille.
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- - D*A RCHlTECTURïl 20 5
  - [Fig. 95.) 2°. Soit un massif onduleux pardessus, et posé sur un plan droit ABDC dont on suppose les quatre côtés parallèles servant de bases aux faces des côtés : supposons que l’on ait partagé les deux côtés AB, CD, chacun en trois parties égales, et qu’on ait tiré les parallèles FE, LH ; que l’on ait partagé les deux côtés AC, BD, chacun en deux parties égales, et qu’on ait tiré la parallèle KM ; puis qu’ayant planté des piquets aux points de division, l’on ait laissé des témoins après la fouille faite: la hauteur réduite se trouvera en prenant la 24me partie de la somme de 24 dimensions; savoir, une fois chaque hauteur commune à un prisme ; deux fois chaque hauteur commune à deux prismes, et quatre fois chaque hauteur commune à quatre prismes. Je suppose que
  - CR = 4P 1 fois 4 t 4
  - FS = 6 . 2 fois 6 . 12
  - TL = 10 . 2 fois 10 20
  - DU =: 11 1 fois 11. 11
  - MZ= 12 . 2 fois 12 v, 24
  - BQ== 11 1 fois 11 11'
  - HP = i3 . 2 fois 13 2 6
  - EO = 9 2 fois 9 18
  - AN= 3 . 1 fois 3 3
  - KV= 5 . 2 fois 5 . 10
  - GX= 7 4 7 28
  - ÏY = i5 . 4 fois 15 . 60
  - total . . 24 dimensions. Somme Divisez par ..... la hauteur commune sera R 227 24 9
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- - 206 MANUEL
  - ( Fig. 96. ) 3°. Lorsque le plan ABDHGN d’un terrain est inégal dans son circuit, l’on tirera des droites parallèles AB, NM, OD, à égale distance l’une de l’autre, etdes droites d’équerre BD,YH, FL, EG, IC, AO, aussi à égale distance ; puis l’on
  - Îdantera des piquets aux sections formées par ces ignés pour marquer les places où l’on doit laisser des témoins ; et après que la fouille sera faite, l’on toisera le cube comme ci-devant : les parties bordant les rives se toiserofit chacune séparément, étant des prismes ou des pyramides de différentes bases et de différentes hauteurs.
  - L’on pourra, par la même méthode, toiser le cube d’un terrain avant d’en faire la fouille. Pour cela l’on fera des marques sur les piquets, de maniéré qu’elles soient à mêmetfiauteur suivant la direction du plan sur lequel se trouve le terrain que l’on veut faire enlever : l’on mesurera les hauteurs des piquets depuis le dessus du terrain jusqu’aux; marques que Ton aura faites, et l’on fera une hauteur commune de toutes les hauteurs ; ensuite l’on ôtera cette hauteur ainsi réduite de la hauteur qui se trouve entre les marques et le plan du terrain ; le reste sera la hauteur commune des témoins que l’on auroit laissés, si l’on ’eût fait la fouille avant de mesurer.
  - 4°. Comme les ouvrages de terrasse exigent des dépenses extraordinaires, il est absolument nécessaire d’en faire un apperçu av^nt de commencer; de savoir s’il sera nécessaire de rapporter des terres pour compléter ce qui pourroit manquer, ou si l’on sera obligé d’en faire enlever une quantité. Il faudra encore connoître la nature du
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- - d’a rchitecture.
  - 207
  - terrain, l’éloignement du transport, l’éloignement des terres que l’on serait obligé de rapporter. Les prix de ces différents travaux ne peuvent être fixés qu’en employant des ouvriers de différents genres pendant deux ou trois jours, et en toisant la quantité d’ouvrage qu’ils auront fait.
  - ( Fig. 97,98. ) Supposons qu’une des figures CBF représente la coupe verticale d’un terrain que l’on voudrait dresser suivant une ligne de pente CB, il s’agit de savoir s’il faudra enlever des terres ou en rapporter d’autres pour remplir les intentions du projet.
  - La* première opération sera de niveler le terrain en partant du point B le plus élevé, et de déterminer la droite horizontale AB et la hauteur perpendiculaire AC, afin d’avoir la surface du
  - /-iat) /r''T7'D __ AB X AC CF X BF •
  - CAB ou CrB = —-— ou —^—; ce qui
  - revient au même.
  - L’on divisera la longueur de la droite AB en plusieurs parties égales, et à chaque point de division l’on plantera un piquet, puis l’on déterminera les hauteurs depuis le dessus du terrain jusqu’à la ligne AB : si le point A est trop élevé pour que l’on puisse mesurer la hauteur AC, ainsi que les différentes hauteurs, l’on baissera le niveau à mesure que l’on ira de B en C, et l’on remarquera les différences hauteurs d’un niveau à l’autre, ainsi, que les intervalles.
  - ( 97* ) Supposons qu’on ait divisé la droite
  - AB en cinq parties égales, et que l’dn ait trouvé
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- - 2o8 M a N U Ë t
  - AC =iop, l’on écrira 1 fois iop .* : iop o
  - GH =6 . .2 fois 6 . .12
  - IL =5 . . 2 fois 5 , îo
  - NM= 4P . 2 fois 4 . . 8
  - OP = 2P 6° . . 2 fois 2 6 . . 5
  - B = o . .i fois o . . o
  - Somme .... . 4^ 0
  - Divisez par . . . .10
  - la hauteur, réduite entre la ligne de niveau AB et le dessus du terrain, sera 4P 6°
  - La hauteur totale BF = AC étant iop, si l’on en ôte 4P 6°, il restera 5P 6° pour la hauteur réduite du terrain CHLNPBF. Supposons que l’on ait trouvé AB = 4°P» la surface du triangle CBF sera 4op X ci 200p o o
  - et la surface du profd CHLNPBF sera 4oP X dp 6°, ci . . 220 o* o
  - l’excédent sera . 7 7 20 o o
  - C’est-à-dire qu’il faudra enlever 20p superficie de terrain, qui, étant multiplié par la largeur, donnera le cube de terre qu’il faudra enlever
  - ( Fig. 98. ) Supposons toujours la longueur AB = 40% et que l’on ait trouvé
  - AC
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- - d’a rghitecture: 2°9
  - AC = iop écrivez 1 fois 10 . 1 op 0
  - GH =8 . . 2 fois 8 . 16 0
  - IL =9 . . 2 fois 9 . 18 0
  - MN = 8 . . 2 fois 8 16 0
  - OP = 5 . . 2 fois 5 . 10 0
  - B =0 . . 1 fois 0 . 0
  - Somme . . • 7° 0
  - Divisez par . . . 10 0
  - vous aurez . . • 7 0
  - La quantité 7P étant ôtée de la plus grande hauteur iop, il restera 3P pour la hauteur réduite du terrain.
  - Le triangle CBF sera comme ci-dessus 200p
  - La surface du profil CHLNPBF sera 40 X
  - 3, ci...................................120
  - Le défaut de terre sera . . . 8op
  - Ces 8op superficiels, étant multipliés par la largeur du terrain , donneront le cube de terre qu’il faudra rapporter pour régler la pente suivant la droite inclinée CB.
  - CHAPITRE V.
  - Du toisé cube des voûtes.
  - La solidité d’une voûte est le volume renfermé entre deux surfaces demi-cylindriques., parallèles ou non parallèles ; c’est la même chose que le muï
  - O
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- - '210 M A N U E t
  - d’un puits ou d’une tour que Ton auroit partagé en deux parties égales par un plan vertical, dont chaque partie auroit été posée de côté sur le plan coupant.
  - [Fig. 99. ) La surface extérieure d’une voûté se nomme extrados, et la surface intérieure se nomme intrados, ou douelle. La demi-circonférence AED est le pourtour de F extrados ? et la demi-circonférence BFC est le pourtour de J’in-trados. La surface renfermée entre ces deux pourtours est la coupe de la voûte prise en travers.
  - La maçonnerie que l’on fait sur l’extrados, formant deux écoinsons GNE, HME, et arasant le sommet de la voûte suivant la ligne droite GEH, se nomme le remplissage des reins.
  - Les deux parties de voûte, formant deux demi-segments ANB , DMC , par la pénétration des murs, sont les segments de la voûte.
  - Les deux parties de mur IANG, KDMH, qui sont au-dessus des segments, sont les portions collatérales.
  - Le demi-cercle BFC est le vuide de la voûte.
  - Toutes ces parties réunies forment un ensemble renfermé dans un quarré-long IADK, et que l’on peut nommer Y ensemble d’une voûte.
  - Les voûtes de même diamètre et de différentes montées ont toutes leurs parties proportionnelles aux montées FS, ou aux hauteurs MC des segments.
  - Les voûtes de même montée et de même diamètre augmentent ou diminuent en raison de leurs longueurs.
  - Le diamètre intérieur BC , la montée sou$
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- - D*A R G H I T E G T U R E. 211'
  - clef FS, l’épaisseur EF ou AB, sont presque toujours des quantités connues ; il n’y a que la hauteur MC des segments qui est inconnue, et que l’on peut toujours trouver aisément, comme on via le voir.
  - La perpendiculaire MC, abaissée d’un point de la circonférence sur le diamètre AD, est moyenne proportionnelle entre les parties AC, CD, du diamètre -, ainsi f on aura toujours MC=y/AC X CD.
  - Par exemple, si AC = i2p, et CD =3P, le produit sera 36p, dont la racine quarrée 6p sera la valeur de MC.
  - {Fig. 100. ) Si la voûte est surmontée ou surbaissée, l’on fera cette proportion , ES ou SD l MC ; ; PS ; QC, ou comme GS ! HC.
  - Problème ier.
  - Déterminer la surface de chacune des parties d’une voûte en berceau plein cintre suivant son profil pris en travers, et par ce moyen trouver le cube de chacune de ces parties suivant une longueur déterminée.
  - Résolution.’
  - La longueur étant commune à toutes les parties de la coupe en travers, il ne s’agit que de trouver les surfaces de ces parties.
  - { Fig. 99. ) i°. Le vuide BEC sera égal à BC Xj
  - ^FS;
  - a°. La voûte comprise entre les deux courbes
  - P ï
- p.211 - vue 231/438
- - a 12 MANUEL
  - AED, BFC, sera égale à la moitié de la somme de ces courbes multipliée par l’épaisseur EF.
  - 3°. La somme des segments ANB, DMC,sera égale à MC X f CD, en supposant que la fléché ou épaisseur du mur CD soit à peu près le quart de la demi-corde MC.
  - 4°. La voûte, en déduisant les deux segments,
  - sera égale à — i-MS x CD.
  - 5°. Les deux parties de mur collatérales IANG, KDMH, seront chacune égales à
  - HC — f MC X CD.
  - 6°. Les remplissages des reins GNE, HME, seront égaux à ^ AD — 2 CD X ~ -H f MC X CD.
  - 70. Toutes les parties de la coupe étant assemblées , doivent donner la surface du rectangle IADK.
  - Exemple.
  - Soient le diamètre intérieur BC = 3op, le diamètre extérieur AD = 34p, l’épaisseur CD == 2 ; supposons la voûte plein cintre, l’on aura MC =
  - y/32 X 2 = 8P et FS = i5p.
  - i°. Pour le vuide BFC, multipliez 3op par i5p, et vous aurez 45op, ci . . . . .
  - Pour les ~ prenez la moitié . plus, le quart plus, le y du qu&rt
  - vous aurez .
  - 45op
  - 225 O 112 6 16 o 10 353 6 10
- p.212 - vue 232/438
- - d’architecture. 2l3
  - a*. Pour la voûte, non compris les segments. Ajoutez une épaisseur 2p au diamètre intérieur 3op, la somme sera 32p, qui étant multipliés par ÿ, Ton aura d’abord 5op 3° 51 Les y de la hauteur 8P du segment
  - seront iop 8°, ci . 10 8 0
  - La différence sera 39 7 5
  - Multipliez par l’épaisseur . 2 0 0
  - le profd BNEMCFB sera 79 2 10
  - 3°. Tour les deux serments multipliez la hauteur MC de 8P par les \ de l’épaisseur 2P de la ANB , DMC,
  - voûte, vous aurez 21p 4° 0
  - 4°. Pour les deux parties de mur collatérales IANG, KDMH, ôtez de la hauteur HC de i7P les f de la demi-corde MC de 8P, ou 5P 4°, le reste sera . . np 8° o
  - Multipliez par 2 fois ^épaisseur 4
  - vous aurez . . . 46 8 o
- p.213 - vue 233/438
- - 21 4 M A H U E L1
  - 5°. Pour les remplissages des reins GNEj HME, prenez les ^ du grand diamètre 34p, et vous aurez 7R 3° 5l
  - Ôtez-en deux fois l’épaisseur 4 ° °
  - . restera .... 3 3 5
  - Multipliez par la moitié du
  - gn nd diamètre . 17
  - Produit .... 55 10 3
  - Ajoutez le produit des seg-
  - ments 21 4 0
  - la somme sera la valeur des * *
  - reins , , 77 2 3
  - ’ Présentement, si l’on rassemble toutes les parties que l’on vient de trouver, l’on aura la surface du rectangle IADK. *
  - i°. L’on a trouvé pour le vuide 353.p 6° iof 20. L’onatrouyépourlavoûte, nqn compris les segments engagés, 79 2 10
  - 3°. L’on a trouvé poi^r les seg-
  - ments ....#..
  - 4°. L’on a trouvé pour les deux parties de mur collatérales .
  - 5°. L’on a trouvé pour le remplissage des reins ,
  - Total
  - 21 4 PS
  - 46 8 Q
  - 77 2 3
  - 577 11 n
  - Si l’on multiplie la longueur 34p du rectangle par la hauteur i7P, l’on aura578p, qui ne diffe^ fent que de a '1 provenant des restes dè fraction Présentement il sera facile d’avoir le cube dit
- p.214 - vue 234/438
- - ^ARCHITECTURE. 2l5
  - toutes les parties de la voûte, en multipliant chaque produit par la longueur de la même voûte.
  - Lorsqu’une voûte sera surmontée ou surbaissée , il faudra toujours déterminer la hauteur MG d’un segment; ensuite l’on aura la surface de la tête de la voûte, y compris ce qui est engagé, en faisant le produit du grand diamètre AD par la hauteur ES , en ôtant de ce produit celui du petit diamètre BC par la montée FS, et en multipliant le reste par
  - Pour avoir la surface de la tête des reins, il faudra multiplier le grand diamètre AD par les ^ de la hauteur ES, et ôter du produit celui de la hauteur HM plus le tiers de MC multiplié par deux fois l’épaisseur CD de la voûte.
  - Pour avoir la surface des segments, i] faudra multiplier les f de la hauteur MC par deux fois l’épaisseur de la voûte.
  - Exemple pour une voûte surbaissée»
  - Supposons que le grand diamètre AD = 24%' la hauteur ES — 9% l’épaisseur ËF ou CD = i* 6°, l’on aura AC = 22p 6°.
  - Résolution.
  - Pour avoir la hauteur MC des segments, l’on Suivra cette formule MC—X y/CD X AC.
  - Le produit de 22p 6° par rp 6° est 33p 90, dont
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- - SI 6 MANUEL
  - la racine quarrée est , 5P 90 8l 6*
  - Multipliez par le double de la hauteur . . . . 18
  - Produit 104 6 9 0
  - Divisez par le grand diamètre ..... 24
  - la hauteur de MC sera 4 4346
  - Présentement, si l’on veut avoir la surface de la tête de la voûte, y compris ce qui est engagé dans les murs,
  - L’on multipliera le grand diamètre 2415 par la hauteur 9p ; ce qui donnera . . 2,16* o o
  - L’on multipliera le petit diamètre aip par la montée jp 6°; ce qui donnera . . i5j 6 o
  - le reste sera 58p 5°
  - Prenez-en la moitié , 29 3
  - plus, le quart , . 14 7 6
  - plus, le 7 du quart . 2 1 0 10 3
  - la surface de la tête sera 45 11 610 3
  - Pour avoir la surface de la tête des reins, multipliez le grand diamètre 24P
  - par la haqteur 9P, cr . 216p 0 0
  - prenez-en le ÿ , ci 3o 10 3 5
  - plus, la moitié du y., ci 15 5 j 8 5
  - Somme . . 4 d 3 5 1
- p.216 - vue 236/438
- - d’a RCHITÏCTÏÏRE, 217
  - Somme ci-contre 4^p 3° 51 ir 6^ La hauteur MC étant 4P 4° 3l4f 6", l’on aura HM = . . 4P 70 81 7r 6
  - le.f de MC
  - sera . . 1 5 5 1 6
  - Somme .61190
  - Multipliez par le double dePépaisseur 3
  - Produit .18 353 ci 18 3 5 3 Différence des deux produits . . » . . 271111106
  - Cette différence sera la surface des profils des reins de la voûte.
  - L’on fera les mêmes opérations pour les voûtes surmontées.
  - Lorsque l’on toisera une voûte en cube , il faudra y comprendre les deux segments, et les déduire dans le toisé des murs ; mais les reins seront comptés séparément en valeur de massif et non de voûte.
  - Dans la pratique du toisé, l’on aune très mauvaise habitude de compter, pour les reins, le tiers de la surface de la douelle sur l’épaisseur de la voûte, sans considérer l’erreur que l’on commet. Il faudroit, pour que cet usage eût lieu, que Té-
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- - Ûl8 M À N D E £
  - paisseur de la voûte fût égale aux £ dû diametré
  - intérieur; ce qui arrive très rarement.
  - Comparaison du toisé d’usage avec le toisé géométrique sur une voûte en berceau plein cintre.
  - Exemple premier. Soient 23p le diamètre in-térieur, et l’épaisseur 2P 3f/, ou les y de 23p; supposons que la longueur de la voûte soit i2p.
  - Suivant l’usage , le pourtour intérieur sera 36pf, qui étant multipliés par la longueur 12P, l’on aura 433 y pour la surface de la douelle; et en ajoutant le tiers pour les reins, Ton aura 5y8p y, qui étant multipliés par l’épaisseur de 2P 3°, le cube de la voûte sera i3oip y.
  - Suivant le toisé géométrique, les y de la montée î ip y seront 2 g; et en y joignant l’épaisseur sp y, l’on aura 4p y, qui étant multipliés par le diamètre 23^ puis par la longueur i2p, l’on aura aussi r3oipÿ.
  - Mais si l’épaisseur de la voûte étoit ip 6° avec le même diamètre et la même longueur, le toisé cube géométrique aurait produit . . . . . . io94p i° 91
  - et le toisé d’usage aurait produit.. 867 5 2
  - Le cube, toisé géométriquement1, excede celui toisé suivant l’usage, de . . . v . . 226P 8° 71
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- - v d’architecture.* 219 Si la même voûte 11’avoit eu que i3e d’épais-çeur, son cube géométrique au-roit été ..... io2Ûp i° 8l et le cube, suivant le toisé d’usage, auroit été . . . . 722 10 3
  - Le toisé cube géométrique auroit
  - excédé de . . , , . 3o2p 3° 5l
  - Problème 2me.
  - Etant donné le diamètre intérieur d’une voûte de cloître plein cintre, la montée sous clef, et l’épaisseur de la voûte, toiserje cube d’un des pans de cette voûte, et distinguer toutes les parties qui le composent.
  - R h O L Ç T I Q N,
  - {Fig, 102. ) Supposons que le deini-diametre BR = 8P, l’épaisseur RE de la voiite= 2P, l’on aura GB =3= BE =p iop , et AB = BR = 8P : l’on trouvera que la hauteur FD du*segment sera 6P, et la longueur DC de la naissance de la douelle sera égale au diamètre i6p intérieur.
  - i°. Pour toiserle cube du vuide DACBD, inul-(ipliez la longueur l6p par la moitié du demi-dia-metre intérieur, c’est-à-dive par 4P, vous aurez d’abord 64p ; multipliez ce nombre par les y d!e la montée 8P, et vous aurez 3/|.ip 40 pour le cube du vùide.
  - 2°. Pour toiser le cube de la voûte, y compris Je segment engagé dans le mur, multipliez le demi-
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- - 220 MANUEL
  - diamètre extérieur iop par trois fois le demi-diametre 8P intérieur,
  - vous aurez Ajoutez-y le quarré de l’épaisseur 24op 00 o‘
  - 2P, ci . . . * 4 0 0
  - Somme .... 244 0 0
  - Multipliez par lés -§- de l’épaisseur 1 4 0
  - le cube de la voûte sera 32 5 4 0
  - 3°. Pour toiser le cube du segment DFOPHC engagé dans le mur, ajoutez l’épaisseur 2P de la., voûte avec le diamètre intérieur i6p, vous aurez i8p qu’il faudra multiplier par la hauteur 6P du segment ; ce qui donnera , . . . . io8p o o
  - Multipliez par les -§- de l’épaisseur 1 4
  - le cube du segment sera . , 144 o o
  - Si l’on veut avoir le cube du pan de voûte sans y comprendre le segment, l’on retranchera i44p de 325p 40: le reste i8ip4° sera le cube que l’on cherche, ci . . . . . i8ip 4°
  - 4®. Pour toiser le cube de la partie collatérale de mur NFOILPHM, ôtez du demi-diametre extérieur iop les f de la hauteur 6P du segment, le reste sera 6P que vous multiplierez par le diamètre intérieur i6p| plus, une épaisseur 2P de voûte*
- p.220 - vue 240/438
- - d’ARCHITECTURE, c’est-à-dire par 18p, vous aurez . r io8p Multipliez par l’épaisseur . * * a
  - le cube de cette partie de mur sera . , ai6p
  - 5°. Pour toiser le cube du remplissage des reins GFNMHG, faites le cube du demi-diametre extérieur iop, et vous aurez io'oop, dont vous prendrez le tiers ; Ce qui produira * * 333p 4j
  - Ôtez du grand diamètre 20p l’é-
  - J)aisseur 2P de la voûte, et les-|- de a hauteur 6P du segment, il restera iop que vous multiplierez par le demi-diametre extérieur iop, et le produit sera . . . , ioop
  - Ajoutez à ce nombreles f-du produit de la hauteur 6P du segment multiplié par l’é-psaiseur 2pde la voûte, ci . 8P
  - Somme.....................io8p
  - Multipliez par l’épaisseur 2
  - Produit . . .216
  - Retranchez ce produit du précédent 216 o
  - le reste sera le cube du remplissage
  - des reins, ci . . . « nyp 40
  - Les cinq parties de voûte ci-dessus, étant réunies, doivent former le cu'be du prisme triangulaire LGIOBP ; la base OBP, étant un triangle dont un côté OP = 20p, et la perpendiculaire
- p.221 - vue 241/438
- - ’232\ MANUEL
  - BE = iop j sera iôop superficiels, qui étant multipliés par la Hauteur GB = iop, le produit ioooP sera le cube de ce prisme.
  - Récapitulation.
  - Çubeduvuidé . ; ; . ; 341" 4*
  - Cube du segment .... 144 0
  - Cube de la voûte sans le segment Cu be de la partie de mur au-dessus du 181 4
  - segment ..... ; 216 0
  - Cube du remplissage des reins . 117 4
  - Total iooop 0
  - 'Observation pour le toisé cube des dômes et des pans de voûte plus ou moins longs que les diamètres.
  - Pour le toisé d’une voûte eh dème l’on fera le cube de toutes les parties d’un pan de voûte comme ci-devant, ensuite l’on multipliera chacune des parties par 3 ~.
  - Pour le toisé cTun pan de voûte plus ou moins long que son diamètre, l’on multipliera chacune des parties par la longueur du pan proposé, et l’on divisera le produit par son diamètre.
  - !Observation pour le toisé cube des dômes et des pans de voûte surmontés ou surbaissés.
  - Toisez toutes les parties d’une voûte en plein .cintre,sur le même diamètre de celle proposée;
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- - D’ARCtilTECfURE. 22$
  - insulté mültipliez chacune des parties de k voûte plein cintre par la montée de celle proposée, et divisez le produit pa*' le demi-diametrè intérieur.
  - Comparaison du toisé géométrique avec le toisé d’usage dans les voûtes de cloître et les dômes.,
  - Pour que le cube d’une voûte de cloître ou d’un dôme toisé géométriquement soit égal au toisé cube suivant l’usage , il faut que l’épaisseur de la voûte soit la cinquième partie de sa montée.
  - Prenons pour exemple une voûte de cloîtré eh plein cintre de iop de montée et de 2P d’é*-paisseur.
  - Polir toiser cette voûte géométriquement, ÿ compris le remplissage des reins, et non compris les segments engagés dans les murs, prenez le j- de la montée iop', ci , 3P 4*
  - ajoutez-y l’épaisseur de la voûte . 2
  - Somme . ... 4 5 4.
  - Multipliez par la surface du plan 400 0
  - le cube géométrique sera . 2i33p 4Q
  - Pour toiser cette voûte par la méthode d’usage*' l’on multiplie le pourtour 8op du plan par la montée; ce qui produit 8oop de superficie; et y ajoutant le tiers pour les reins, l’on a io6dp 8°, qui étant multipliés par l’épaisseur 2P, le cube sera, comme ci-devant, 2i33p 4°*
  - Mais il n’y a que ce seul cas où le toisé d’usage s’accorde au toisé géométrique ; car si la voûte, proposée n’avoïteùque ip 6° d’épaisseur, le tois&
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- - 224 MANüEt -
  - géométrique auroit donné . *• ip33p 4^ o
  - et le toisé d’usage auroit donné 1600 o o
  - Différence ^ . • 333 4 o
  - L’on voit que le toisé géométrique, dans ce cas, excede de beaucoup sur celui d’usage, et que l’erreur seroit au préjudice de l’entrepreneur.
  - Si la même voûte n’avoit eu que ip 3° d’épais-Seur, le toisé géométrique auroit donné . . . . . . jJB33p 4*
  - et le toisé d’usage auroit donné . i%33 4
  - Il y auroit eu perte pour l’entrepreneur v# * . . i 5oo o
  - Problème 3Ae.
  - Etant donné le diamètre d’une lunette de voûte d’arête plein cintre , et son épaisseur, trouver le cube de chacune de ses parties»
  - Résolution.
  - (Fig. 101.) Supposons que le diamètre intérieur BR = 8P, et que l’épaisseur RE = 2P, la hauteur FD du segment sera 6P, la montée TQ sera 8P, la hauteur KQ sera iop, et le grand diamètre JO sera 2op.
  - Il est bon d’observer que les opérations ci-après donnent le cube d’une lunette, y compris une partie en berceau, dont la longueur DXse trouve égale à l’épaisseur XQ de la voûte. L’on
  - donnera
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- - D’ARCHITECTURE. 225
  - donnera ensuite d’autres opérations pour les parties d’une lunette, sans y comprendre cette partie en berceau.
  - i®. Pour toiser le cube du vuide de la lunette prenez les^ du grand diamètre 20p, ci . . . . . . 15P 8° 71
  - ôtez-en le y du petit diamètre i6p,
  - ci...........................540
  - reste...............10 4 7
  - Multipliez par le quart du quarré
  - du petit diamètre i6p, ci . . 64 o o
  - le cube du vuide sera . . . 664 5 4
  - 20. Pour toiser le cube d’une lunette, y comr pris les deux segments UXOFD, HCP.772/2, engagés Sans les murs,
  - Ajoutez ensemble l’épaisseur 2P du mur avec le diamètre intérieur i6p, vous aurez . . . . . x8p o ©
  - Multipliez par 19, ci . , 19 ô o
  - le produit sera . . 342 o ô
  - Multipliez ce nombre par l’épaisseur ...... 2
  - Produit . . . 684
  - Multipliez encore par le demi-grand diamètre ... . . 10
  - Produit . . 6840
  - Divisez par . . . 21
  - le quotient donnera . . 3ss&* 8°
  - Multipliez le quarré 64 du de-mi-diametre intérieur par les f de
  - S
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- - 22.6 MANUEL'
  - Quotient de T autre part 325P 8“ 71
  - Tépaisseur 2% et ôtez le produit
  - du nombre précédent, ci . 85 4 o
  - le reste sera le cube de la lunette . . . . . . . 240p 4° 71
  - 3 °. Pour toiser le cube des segments, Multipliez la hauteur du segment 6? o o par le quarré de l’épaisseur * *. 4 o o
  - Produit . . * . 24 o o
  - Prenez les f du produit, et vous aurez pour le cube des deux segments • . • . .16 00
  - 4°. Pour toiser le cube d’uné lunette ,* non ^compris les segments, l'on fera la différence des deux produits précédents, ou bien l’on fera l’opë-latioii suivante.
  - Ajoutez une épaisseur 2P au diamètre intérieur i6p, vous aurez i8p que vous prendrez 19 fois , ci . . 342p 000
  - Multipliez par la moitié du grand diamètre . . io
  - Produit . . 3420
  - pivisez par . ... 21
  - Quotient . . .. 162 10 3 ^
  - Ajoutez le quarré d4p du jdçmi-diametre intérieur avec le produit i2p de la hauteur 6p du segment p,ar l’épaisseur
- p.226 - vue 246/438
- - d’a rc hite cture; 2^27
  - Quotient ci-contre 162 10 3 6
  - de la voûte, vous aurez dont les f seront . . , . 5o 8 0
  - . reste .... 112 2 3 6
  - Multipliez par l’épaisseur 2 0 0
  - le cube demandé sera . . - 224 4 7
  - 5°.. Pour toiser le cube des deux parties de mur &UOINF, MHPLZm, collatérales,
  - Ôtez de la hauteur iop de la voûte les -§- de la hauteur 6P des segments, il restera 6P que vous multiplierez par le quarré 4P de l’épaisseur; et le produit 24p sera le cube demandé, . . . 24p o° o1
  - 6°. Pour toiser le cube des reins d’une lunette de voûte d’arête,
  - Prenez les ^ du cube du demi-grand diamètre iop, vous aurez
  - d’abord...................... . 5)5P 2010*
  - Ôtez du même demi-diametre 10p les -§- de la hauteur 6P du segment , et multipliez le reste 6P par le quarré 4P de l’épaisseur, ci . 24 o o d
  - Faites lasoustraction,etle cube des reins sera *. . 71p 2°io1
- p.227 - vue 247/438
- - MANUEL
  - Récapitulation.
  - Cube du vuide .... 6d4p'5* 4*0*
  - Cube des segments . . . 16 o o o'
  - Cube de la lunette sans segments ...................224 470
  - Cube des parties de mur collatérales . . . . . 24 o o o
  - Cube des reins . . . * 71 2 10
  - Total . . . 1000 o. 9
  - Ce total est le cube du prisme élevé sur le plan triangulaire JBO ; les 9 lignes qui sont de plus ne proviennent que des fractions.
  - Méthode pour toiser les différentes parties d’une lunette, sans y comprendre la partie du berceau qui a DXpour longueur*
  - Pour toiser le cube de la lunette , y compris les reins,
  - Prenez la 2 ime partie du diamètre intérieur; ajoutez-y l’épaisseur de la voûte, et multipliez la somme.par le quarré du demi-diametre intérieur.
  - Supposons que le diamètre intérieur soit 16* et l’épaisseur 2P ; la 2ime partie de i6p sera op 9* i1 8', qui étant ajoutée à 2P, l’on aura 2P9° i1 8r ; puis, multipliant parle quarré 64p du demi-diametre, l’on aura .. . . , 1 y6p 8° 101 8f.
  - Pour toiser le cube dés reins,
  - Prenez les £ du .quarré du demi-grand diamètre iop, ajoutez-y le quarré de l’épaisseur 2P,'
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- - d’a rchitectürï. 229
  - et multipliez la somme par le même demi--diamètre , vous aurez un premier produit, ci i35p 20 101 2.\
  - Prenez à part les ~ du quarré du grand demi-diametre iop; ajoutez-y les f du produit de la hauteur 6P du segment par l’épaisseur 2P de la voûte, le produit sera 5op 106 315f, qui étant multipliés par l’épaisseur, l’on aura à ôter . . 101 8 6 10
  - le reste sera la valeur des reins,
  - ci , . . . 33 6 3 4
  - Pour toiser le cube d’une lunette sans les reins,
  - Prenez une fois et un septième de fois le quarré 100 du demi-grand diamètre, ci . . . n4p 3° 5l
  - plus, £ de fois le quarré 4P de l’épaisseur de la lunette, ci , 375
  - plus, le produit de la hauteur 6P du segment par les j de l’épaisseur 2P, ci . . . . , 800
  - Somme .... 12ÔP io° 101
  - Glez de cette somme une fois
  - •^îe produit du grand diamètre 2op 54
  - multiplié par l’épaisseur 2P, ci . 3 5
  - Différence 71 7 5
  - Multipliez par l’épaisseur . • 2 ao 0
  - le ctbe de la lunette sera . 2 10
  - P Sj
- p.229 - vue 249/438
- - k3o MANUEL
  - Il est bon d’observer que, dans le toisé de cette lunette, il n’y a point de segment engagé, et qir’il ne peut yen avoir, parceque la courbe, partant de l’angle d’un pilier à l’angle d’un autre pris sur une même ligne, prend sa naissance au même, point que les deux naissances des arêtiers, et par ce moyen la lunette forme un angle au-dessus de l’angle d’un des piliers.
  - Comparaison du toisé drusage au boisé géoméz ‘ brique d'une lunette de voûte d arête.
  - Suivant l’usage , l’on toise la surface de la douelle delà voûte, à laquelle l’on ajoute le quart pour compenser les reins, et l’on indique seulement l’épaisseur; ce qui donne un cube quelconque. Or il est question de voir si le cube d’une lunette avec ses reins, toisé de cette maniéré,, s’accorde avec le toisé géométrique.
  - Pour que le toisé d’usage se trouve égal au toisé géométrique, il.faudrait que l’épaisseur de la voûte fût la 9“® partie du diamètre.
  - Exemple premier. Supposons une voûte d’arête plein cintre de 20p de diarnetre intérieur sur iqp, et dont l’épaisseur soit la pme partie du diamètre, c’est-à-dire 2P 2° 81.
  - Pour toiser le cube de cette, voûte géométriquement, pre-i nez le ~ du digrnetrç . . 3p 4° o1 o
  - ajoutez le ÿ de ce nombre 0587
  - ajoutez encore 4 fois l’épaisseur . . . . . 8 iq 8 o
  - • —---: -----•
  - Somme .... 12 8 4 7
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- - D*A RCHITE'C TU R E. 2$ t
  - Somme ci-contre 12 8 4 7
  - Multipliez par le quarré du demi-diametre intérieur , 100
  - le cu$e delà voûte sera , 1269 10 2 4
  - Pour toiser cette voûte suivant l’usage , prenez le quarré du même diamètre ajoutez-y le y
  - la surface de la douelle sera Ajoutez-y le ÿ pour les reins
  - Somme
  - Multipliez pai répaisseur le cube sera également
  - 400p O ° o1
  - 57 1 8 7
  - 457p 1 ° 81 7
  - 114 3 5 2
  - Sji 5 1 9
  - 2 2 8
  - 12^9 10 1 2
  - Si l’épaisseur de cette voûte n’eût été que de ip 6°, le toisé géométrique aurait donné .... 98opii° 6l 4L et le toisé d’usage aurait don-?# né...........................85y 187
  - Le toisé géométrique excede de 123 9 9 9
  - Si la même voûte 11’avoit eu que ip d’épaisseur, son cube aurait été . . . . 78op i iq 6l 4 k
  - et le toisé d’usage aurait donné 37 u 5 19.
  - Le toisé géométrique excede ,;s
  - d,e . . . . , . 209p 6° 41 71
  - Si, au lieu d’admettre le quart poiir les reins ^
  - P ÎY
- p.231 - vue 251/438
- - $3a- . MANUII.
  - l’on admettait le tiers, il y aufoit encore une très grande différence entre les deux méthodes de toiser, excepté le seul cas où l’épaisseur de la voûte seroit la nme partie du diamètre.
  - Exemple deuxieme. Supposons que le diamètre intérieur^oit 22p, la montée np, et l’épaisseur 2P, qui font le nm* du diamètre.
  - Pour avoir le cube géométriquement, écrives la 6me partie du diamètre plus le yme de cette partie , et 4 fois l’épaisseur, et multipliez la somme par le quarré du demi-diametre, vous aurez ....... *475p à
  - Pour toiser suivant l’usage, prenez une fois et un 7roe de fois le quarré du diamètre, la surface de la douelle sera . . 553 p ~
  - Ajoutez-y le ~ pour les reins . . 184
  - Somme
  - Multipliez par l’épaisseur vous aurez également
  - 737 ït-2
  - 147^p ïr
  - Mais si cette voûte n’avoit eu que ip 66 d’épaisseur, le cube toisé géométriquement auroit été de. i233p 0° 5l 5'. et le cube tpisé suivant l’u-çage auroit été de . . . 1106 3 5 1
  - Différence . . . 126 p 9 4
  - Les différentes opérations' que l’on vient de faire font assez connoître que l’erreur produite par le toisé d’usage est presque toujours à la perte
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- - d’architecture. 233
  - dé l’entrepreneur, excepté le cas où les voûtes ont une très forte épaisseur, ou, pour mieux dire,' plus forte que les rapports que nous en avons donnés; ce qui seroit à la perte du bourgeois; mais cela n’arrive guere que dans les voûtes dont les diamètres sont très petits: d’ailleurs les différentes méthodes-pratiques , n’étant fondées sur aucun principe, peuvent être rejettées sans difficulté.
  - Quant aux voûtes surmontées ou surbaissées,' soit dômes , soit voûtes de cloître ou d’arête, l’on suivra les mêmes principes que l’on a donnés ci-devant, et ensuite l’on multipliera le cube que l’on aura trouvé par la montée sous clef, et l’on divisera le produit par la moitié du diamètre intérieur»
  - CHAPITRE VI.
  - Des voûtes gothiques oit en arc d’ogive,, Définition,
  - Une voûte cintrée en ogive est formée de deux ^ircs de 60 degrés pris sur les deux côtés d’un Çnangle équilatéral, dont la base sert de rayon.
  - Le profil d’une voûte est entre deux cintres parallèles décrits avec les mêmes centres pris aux extrémités de la base intérieure : le cintre intérieur est le profil de la douelle ou intrados, et le cintre extérieur est le profil de l’extrados.
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- - 234 MAN U E t
  - Les deux arcs de l’extrados sont plus grands que ceux de l’intrados, étant réunis sur la même ligne à plomb.passant par le sommet du triangle, et ont par conséquent plus de 60 degrés.
  - Description des arcs en ogive.
  - ( Fig. i o3. ) Des extrémités M, D, de la base d’un triangle équilatéral MFD, et de la longueur MD de la base prise pour rayon, décrivez les deux arcs MRF, DPF ; des mêmes points M, D, et de la distancé DN, décrivez les arcs NHA, QSA; du point A abaissez la perpendiculaire AG qui partagera la base MD en deux parties égales; élevez-les à plomb MC , NB; terminez par la droite AB parallèle à la base : cette figure sera le profil d’une voûte en ogive.
  - Principes,.
  - Le profil d’un cintre en ogive pouvant être partagé en deux parties égales par la perpendiculaire AG, nous ne ferons la décomposition que sur une moitié BNGA seulement ; cela nous sera d’autant plus nécessaire, que l’on pourra faire,, avec une moitié de voûte en berceau sur un plan quarré, un pan de voûte de cloître et une lunette ae voûte d’arête : ainsi le détail fait sur cette moitié servira de base pour établir les principes des autres voûtes.
  - - Les dimensions données sont ordinairement récartement pris entre les deux naissances du çintre servant de rayon aux arcs de la douelle, 1$
- p.234 - vue 254/438
- - D? A RCHIIECTURÏ, â35
  - montée sous clef,* c’est-à-dire la hauteur prise du dessous de la clef jusqu’au niveau de la naissance et l’épaisseur de la voûte ; mais comme le triangle MFD est équilatéral, l’on peut se dispenser de mesurer la montée FG qui a un rapport constant avec le rayon MD servant de base , à moins que le sommet F du cintre ne soit'plus haut ou plus bas que le sommet du triangle équilatéral MFD; ce que nous expliquerons à la fin de ce chapitre.
  - Comme l’on ne suppose ici que deux dimensions connues, savoir, lp rayon de l’arc intérieur, et l’épaisseur de la voûte ; toutes les autres dimensions leur seront rapportées pour n’avoir qu’une suite de formules générales dans lesquelles l’on ne trouvera que la lettre r pour désigner le rayon intérieur, et la lettre p pour désigner l’ér paisseur de la voûte. «
  - Du sommet A de l’extrados, tirez une droite AD terminée à l’extrémité D de la base du triangle MFD ; prolongez le côté DF du même triangle jusqu’au point E pris sur l’arc NHA; du point H, où le mur coupe le même arc, tirez un rayon HD,
  - Comme l’on suppose la longueur de la voûte égale dans toutes ses parties, il sera suffisant d’évaluer la surface de chacune des parties renfermées dans le parallélogramme BNGA qui- représente la coupe à plomb.
  - • La hauteur HM du demi-segment NHM, formé par l’arc NHA et par la section H de la ligne.CM qui désigne la face intérieure du mur, sera égale à la racine quarrée de la différence des quarrés du rayon HD et du rayon MD; et comme l’on
- p.235 - vue 255/438
- - û3 6 MANUEL
  - suppose HD = r -h p et MD = r, l’on aura
  - HM = y/a rp h- p2; mais pour éviter le signe radical dans les opérations suivantes , l’on prendra la lettre h pour exprimer la hauteur HM.
  - Pour faciliter nos opérations, nous nous servirons du rapport de 120 à 377, qui est plus commode et plus juste que celui de 7 à 22, du diamètre à la circonférence ; nous emploierons aussi la fraction g ou ^ pour exprimer la racine quarrée de \ dont nous aurons souvent besoin.
  - « L’arc MRF étant de 60 degrés, et ayant supposé son rayon MD = r3 l’on aura , suivant le
  - rapport çi-dessus, MRF =
  - L'arc NHE, pris sous le même angle FDM, et décrit avec le rayon ND = r /?, se trouvera
  - en faisant SfHE — +
  - DOD
  - La montée FG sera égale au produit du rayon r multiplié par la racine quarrée de-J ou par g,
  - et l’on aura FG =
  - 10
  - L’arc EA, étant très petit par rapport à la grandeur du rayon ED, se confond presque avec sa corde : ainsi l’on considérera le triangle rectangle EFA comme si ses trois côtés étaient droits; alors il. deviendra semblable au triangle rectangle GFD, parceque ces deux triangles ont chacun un angle çpposé au point F. Par conséquent l’on aura cette proportion, FG ; GD ; ; FE ; EA; ce qui donne
  - EA = •G-D^FE. Or GD. = ~ étant la moitié du
  - rayon, EF = p étant l’épaisseur de la voûte, et
- p.236 - vue 256/438
- - l’on a trouvé ci-devant FG = -jf r; ainsi, en substituant, l’on trouvera que l’arc EA = £p. Mais au lieu de la fraction ^, qui deviendrait embarrassante dans nos opérations, on pourra y substituer g|, qui n’en différé que ~, et l’on aura EA . . 208
  - 360*
  - Ajoutant la valeur de l’arc EA avëc celle de l’arc NHE que l’on a trouvé ci-devant, l’on aura
  - NHA =
  - 36o
  - La hauteur totale AG = AD2 —- GD2 ; mais pour éviter cette expression embarrassante dans des formules compliquées , l’on va donner une autre valeur de AG, qui n’en différera que de très peu de chose. Comparant les triangles semblables EFA, GFD, l’on aura FG : FD ; 1 FE : FA; et en substituant les valeurs des trois premières quam tités, l’on aura jf r \ r \ \ p FA ; d’où il vient FA = t§ p. Mais cette valeur étant un peu foible, et d’ailleurs incommode par son dénominateuri l’on pourra substituer la fraction §^, qui est plus forte que ïf d’une quantité égale à-, et l’on aura
  - FA == ajoutant cette valeur avec FG = g r — W> r, l’on aura AG
  - Toutes ces dimensions étant rapportées au rayon r de l’arc intérieur et à l’épaisseur p de la voûte, l’on pourra en déduire les formules suivantes , dans lesquelles il n’y aura que les lettres r, p, h, combinées l’une avec les autres.
- p.237 - vue 257/438
- - 538
  - MANUEL
  - Section IrV
  - Du toisé cube des voûtes d’ogive en berceau*
  - (Fig. io3. ) La somme des surfaces de toutes les parties du profil d’une demi-voûte en berceau est égale à la surface du rectangle BNGA dans lequel elles sont renfermées; Ce rectangle est égal
  - au produit de la base NG = -L-+- multipliée par sa hauteur AG — 3--2 r^o411 p ; ce qui donne
  - BNGA = 3i^'+1°7^+---^. Il s’agit présen-
  - tement de décomposer cette quantité suivant la valeur de chacune dés parties représentées dans ce rectangle.
  - i°. Le profil du vuide, représenté par le demi-segment MRFG , est égal au prbdiftt de l’arc MRF.
  - multiplié par ^, moins sa hauteur FG multipliée
  - par ^, ou par ^ ; et substituant les valeurs de
  - ces quantités, l’on aura MRFG ==
  - 2°. La partie NLIM ëngagéè dans le mur, étant pour l’ordinaire un derni-segment dont la fléché devient très petite relatifement à la grandeur du rayon de son arc* l’on aura NHM = RlMXf NM = f lip,
  - 3°. La demi-voûte, y compris la partie engagée dans le mur, se trouvera en prenant la moitié de la somme des deux arcs NÔA? MRF, que
- p.238 - vue 258/438
- - d’aRCHIT E G T U R E. 2^
  - Ton multipliera par l’épaisseur NM, et l’on aura NHAFRM = 754 rp7~^5S5p‘-
  - Si l’on ôte de cette quantité le demi-segment NHM = j-hp, l’on aura , pour la valeur de la voûte, non compris ce qui est engagé, AHMRF,
  - __ 754 rp -\-p%5p1_i
  - 720 3 r ‘
  - 4°. Le mur se trouvera ën multipliant sa hauteur AG par son épaisseur NM, et l’on auraBNMC
  - = 104 ; et ôtant la valeur du demi-seg-
  - taent NHM, l’on aura BNHC = + _
  - 7 120
  - thP• . _
  - 5°. Le remplissage des reins , Représenté par le profil CHA, se trouvera en ôtant du rectangle CMGA la valeur du vuide MRFG, et la valeur de la partie de voûte AHMRF ; ce qui donnera CH^,
  - \ 91 r* — 343 rp —1385 pr
  - 720-
  - f hp- _ Problème.
  - Etant donné Te rayon intérieur MD, ou a4p, et l’épaisseur NM, ou p = 2P, trouver la surface de chacune des parties du profil d’un demi-berceau en ogive.
  - Préparation.
  - Le rayon r étant 24**, son quarré r~ sera 5y6?\ l’épaisseur /? étant 2P, son quarré sera 4P; le quarré de r-f- p, ou de 26p, sera 676p ; la différence des quatrés' 676 e et 5y6p sera iqo^, dont la racine iofe
- p.239 - vue 259/438
- - 240 M A N U È £
  - Sera la valeur h dé la hauteur HM du demi-segment engagé.
  - Résolution.
  - i°. Pour trouver la surface du profil MRFG du Vuide, multipliez le quarré du
  - p
  - par le nombre ; . 221
  - Produit . . . 127,296
  - î)ivisez par ; . . 720
  - vbus aurez pour la surface du
  - vuide .... 176** 90 f
  - 2°. Poür trouver la surface dû demi-segment NHM, multipliez sa hauteur iop 6 par les f de l’épaisseur 2p . . . 14
  - la surface demandée sera . ï . i3 4
  - 3°. Pour trouver la surface du profil AHMRF de la voûte, non compris la partie engagée dans le mur, prenez
  - 754 fois le rayon 24p . %, 18,096P
  - 585 fois l’épaisseur . . 1,170
  - Multipliez la somme 19,266
  - par l’épaisseur . 2
  - Produit 38,53a
  - Divisez par ; . ; 720
  - Quotient . . 53p 6- i
  - 0 tez-en la valeur du demi-segment l'i 4
  - il restera pour la surface demandée À' ^ ti * 40 2 k
  - rayon
  - 576
- p.240 - vue 260/438
- - d’A RC HI.TECT U R E. 2/f.l,
  - 4°. Pour trouver la surface du profil BNHG du mur , non compris le demi-segment, prenez 104 fois le rayon 24p 1 . . . 2,496**
  - ji 37 fois l’épaisseur 2p . . . 274
  - Somme .... 2,770
  - Multipliez par l’épaisseur . . 2
  - Produit .... 5,54o
  - Divisez par . ... 120#
  - Quotient . . . . 46p 20
  - ôtez-e.n la valeur du demi-segment i3 4
  - la surface demandée sera ,j . 32 10
  - 5°. Pour trouver la surface du profil CHA du remplissage des reins, prenez ^ 1 fois le quarré 5rj6? du rayon 52,,416p
  - Multipliez à part 343 fois le rayon 585 fois l’épaisseur
  - Somme
  - Multipliez par l’épaisseur .
  - Produit à ôter du précédent
  - 8,232
  - 9,402
  - 18,804
  - 18,804
  - reste 7 33,6i2
  - Divisez par 720
  - Quotient Ajoutez-y la valeur du demi- 46p 0 CO
  - segment . . . . . i3 4
  - la surface demandée sera. • 6q 0 7
  - Q
- p.241 - vue 261/438
- - à'42 MANUEL
  - Faisant la somme des cinq quantités que l’on vient de trouver, l’on aura D23p 2° pour la surface du rectangle BNGA. *
  - Pour prouver l’exactitude de ces opérations»
  - calculez la hau teur AG =
  - 120. ’
  - c’est-à-dire 104 fois le rayon 24p . 24$)6P
  - plus, 137 fois l’épaisseur 2P .. . 274
  - 277°
  - Divisez par : 7 120
  - la hauteur AG sera . . . . 23p '1'
  - Multipliez cette hauteur par NG, ci 14
  - la surface du rectangle sera comme ci-devant . . \ . . 323p 20
  - Si l’on avoit calculé la valeur de AG en prenant la racine de la différence des quarrés de AD et de GD, l’on auroife trouvé AG = ^3P o° 91 4% qui différé peu de ce qu’on a trouvé ci-dessus.
  - Comme les opérations précédentes ne sont faites que pour la surface des parties renfermées dans le profil d’une demi-voûte, il est constant que l’on aura le cube de chaque partie de la demi-voûte en multipliant chaque partie du profil par sa longueur.
  - Section I Ime. *
  - Du toisé cube des voûtes de cloître en ogive7
  - {Fig. 105. ) Toutes les parties, çomposant le cube d’un pan de voûte de cloître, sont renfermées dans un prisme triangulaire pris entré les
- p.242 - vue 262/438
- - d’a rchit^icture: 243
  - deux bases paralletas GZ&, Kzr, dont la distance est égale à la hauteur AG ; en conséquence, le cube de la somme de toutes ces parties, qui n’est que le cube de ce prisme, est égal au produit du triangle GZ& multiplié par la hauteur AG : c’est chacune de ces parties qu’il s’agit d’évaluer.
  - {Fig. 104. ) i°. Le vuide du pan de voûte est égal à la hauteur FG multipliée par la longueur PO, puis par le tiers du rayon MD, moins une pyramide dont le cube est égal à la même hauteur FG multipliée par la largeur VU du plan vertical QVUL, et par le tiers de la moitié GD du rayon, moins encore le cube fait du p'roduit du demi-segment MRFG multiplié par la même distance VU. Comme VU est égal au rayon {fig. 105),;
  - l’on aura PFOG=2il!.
  - 720
  - ( Fig. io4- ) 2°. Le cube de la partie de voûte engagée dans le mur se trouvera en multipliant sa hauteur HM par la longueur Z&, et par le tiers du rayon ND de l’art extérieur, et en ôtant du produit celui fait de la même hauteur HM multipliée par la longueur PO#etpar le tiers du rayon intérieur MD, et le produit fait de la même hauteur HM multipliée par les deux tiers de l’épaisseur NM, et par l’intervalle XS; ce qui donnera
  - {fig. 105 ) Oc&ZèP = + »*/’•.
  - ( Fig. 104. ) 3 °. Lé cube de la partie de voûte %ui 11’a rien d’engagé dans le mur, se trouvera en multipliant la hauteur,AG par la longueu'r Z&, et par le tiers du rayon ND de l’arc extérieur; puis en ôtant du produit; savoir, le produit de FG par
  - Q ij
- p.243 - vue 263/438
- - 12.44 MANUEL
  - PO et parle tiers de MD, le produit de AF par. VU et par le tiers de GD, le produit du profil NHAFRM par l’épafèseur NM et par l’intervalle VU, et enfin le cube de la partie engagée dans le mur; ce qui donngfa ( fig. io5) OcAÏPFO =
  - 489 r*p 927 rp% 548 p3 720
  - jLhrp — f h p*.
  - ( Fig. 104. ) 40. Le cube du mur, sans y comprendre la partie engagée dans la voûte, se trouvera en prenant la moitié de la somme des longueurs Z&, PO, de laquelle l’on ôtera l’intervalle XS = MD, et en multipliant le reste par la hauteur AG et par l’épaisseur NM, et en ôtant du produit celui de la partie engagée ; ce qui donnera {fig. io5) zZbpoc&cr —
  - — 1 h>-p — 1 hp‘-
  - ( Fig. 104. ) 5°. Le cube du remplissage des reins se trouvera en multipliant la moitié de la somme des longueurs PR, TO, par la moitié MG du rayon de l’arc intérieur et par la hauteur totale AG, et en ôtant du produit; savoir, le cube du vuide et le cube de la voûte, non compris la partie engagée ; ce qui donnera ( fig. io5 ) KpbcoK
  - 65 r3 — 283
  - r'p — 927 rp2 — 548 p3
  - 720
  - +
  - 2 hrp-\-'s.'hp*
  - j .
  - Problème.
  - ( Fig. io5. ) Etant donnés le rayon MD de l’arc intérieur r = 0.4* •> l’épaisseur NM de la voûte, ou p = 2P, et la hauteur HM du demi-segment, #u h = iop, trouver chacune des parties d’un pan de voûte de cloître renfermées dans le prisme triangulaire G&ZzrA.
- p.244 - vue 264/438
- - !>'ARCHITECTURE. 245
  - Préparation.
  - Faites le quarré du rayon . -, î76"
  - plus, son cube ... i3,824p
  - Faites le quarré de l’épaisseur . 4P
  - plus, son cube ..... 8P
  - Multipliez le quarré du rayon par l’é-
  - paisseur l,l52p
  - Multipliez le quarré de l’épaisseur par
  - le rayon . . ..... 96?
  - Déterminez la hauteur HM de la par-
  - tie ëngagée .... ; ioB
  - Résolution.
  - i°. Pour trouver le cube du vuide PFOG, multipliez le cube du rayon par le nombre
  - Produit
  - Divisez par le nombre le cube du vuide sera .
  - i3,824p
  - 91
  - 1,257,984.
  - 720
  - G747p 2° f
  - 20. Pour trouver le cube de la partie engagée Oc&z5P,
  - multipliez le rayon de l’arc extérieur 26p o*
  - par les*-§- du produit de sahauteur iop
  - et de l’épaisseur 2p . . 1 . i3 4
  - le cube de la partie engagée dans le
  - mur sera . . . * .. . 346p 8°
  - 3°. Pour trouver le cube de la voûte OcAÆPFQ*
  - . Q
- p.245 - vue 265/438
- - 246 MAfUlL
  - sans y comprendre la partie engagée dans le mur, prenez
  - 489 fois le quarré du rayon 92,7 fois lé produit du rayon par l’épaisseur ...
  - 548 fois le quarré de l’épaisseur .
  - Somme .
  - Multipliez par l’épaisseur Produit
  - Divisez* par le nombre .
  - Quotient ...
  - Ôtez-en le cube de la partie engagée ....
  - le reste sera le cube demaridé
  - 281,664?
  - 44,496
  - 2,192
  - 328,352
  - 2
  - 656,7°4
  - 720
  - 912? i°
  - 346 8 565? 5°
  - 4°. Pour trouver le cube du mur zZbpocfkrj non compris la partie engagée*, prenez
  - 104 fois le quarré du rayon 241 fois le produit du rayon par l’épaisseur ....
  - 187 fois le quarré de l’épaisseur
  - Somme ....
  - Multipliez par l’épaisseur
  - Produit ....
  - Divisez par le riombre
  - Quotient .... ôtez-en la valeur de la partie engagée ....
  - le reste sera le cube demandé
  - 59,9041
  - 11,568 548
  - 72,(520 2 4
  - 144,040
  - 120
  - 346 8
  - 853? 8°
- p.246 - vue 266/438
- - p’a RCHITECTURE. 247
  - 5°. Pour trouver le cube du massif des reins ApbcoA, prenez
  - 65 fois le cube du rayon . 898,560**
  - ôtez en les quantités c^après : s83 fois et -7 le ^
  - quarré du rayon 163,296 927 fois le produit du rayon par l’épaisseur „ . 44,496
  - 548 fois le quarré
  - de l’épaisseur 2,1.92 r 419,968
  - Somme . . 209,984 l
  - Multipliez par l’é- l
  - paisseur . 2 1
  - Produit qu’il faut |
  - oter . . . 419,968 J
  - reste . . . . 478,592
  - Divisfez par le nombre . . 720
  - Quotient . . . 664p 8° ^
  - Ajoutez le cube de la partie * engagée.................. 346 8
  - le cube demandé sera . . 1,011p 40 ~
  - La somme des cinq quantités que l’on vient de trouver sera égale au cube du prisme triangulaire dans lequel elles sont comprises; car, en multipliant la hauteur AG = 23p i° par la moitié de Z& ou i4p, puis par la distance NG =±= i4p, l’on aura 4524p 40.
- p.247 - vue 267/438
- - MANUEL
  - 248 '*
  - Section IIIme.
  - Des lunettes de voût% d’arête en ogive.
  - Une demi-voûte en berceau, prise sur un plan ejuarré , étant égale à la somme d’un pan de voûte de cloître et d’une lunette de voûte d’arête, il sera facile d’en déduire les formules suivantes.
  - {Fig. 106. ) i°. Pour le vuide de la lunette, l’on aura
  - XreFGS — 65r> r'r -
  - 66 o
  - • 20. Pour les deux parties de voûte engagées 'dans les piliers, l’on aura deux fois
  - j^cT&=;f hp\
  - 3°. Pour la partie de voûte, non compris les piliers passant au travers , l’on’aura deux fois
  - j^BraFAcT = — \hp'.
  - 4°. Pour les deux piliers, déduction faite des parties engagées, l’on aura deux fois
  - sq&cor=*U^°-i^-îhp>. ~
  - 5°. Pour le remplissage des deux parties de reins, l’on aura deux fois
  - BqcAos -+-I.hpA
  - Problème;
  - Etant donnés le rayon intérieur r= 24p et
- p.248 - vue 268/438
- - d’aRCH I T ECTUR E. l’épaisseur ^,='2* d’une lunette de voûte d’arête en ogive, trouver le cube de chacune des parties renfermées dans lé prisme triangulaire qui les compose.
  - Résolution.
  - i°. Pour le vuide de la lunette, prenez
  - 65 fois le rayon . . . i,56op
  - 221 fois l’épaisseur . .. 442
  - Somme . % . . 2,002
  - Multipliez par le quarré du rayon .... 5y6
  - Produit . . . 1,153,i 52
  - Divisez par . . ... 36o
  - le quotient sera le cube demandé ' 3,2o3p 2° -J
  - 20. Pour trouver le cube des deux parties de voûte engagées dans les piliers, multipliez la. hauteur du segment engagé • , • y..........................!Op .
  - par le quarré de l’épaisseur . • , . 4
  - Produit......................4°
  - Prenez-en les •§?, vous aurez pour cube demandé . . . . . . * 2&p 8*
  - 3°. Pour trouver le cube .de la lunette, non
- p.249 - vue 269/438
- - o5o
  - MANUEL
  - compris les deux parties engagées dans les piliers, prenez
  - a.65 fois le quarré du rayon i52,64op 1166 fois le produit du rayon par l’épaisseur . . . 55,968
  - 622 fois le quarré de l’épaisseur .........................2,
  - Somme .... Multipliez par l’épaisseur
  - Produit . .
  - Divisez par le nombre . .
  - Quotient
  - ôtez-en la valeur des parties engagées ....
  - le reste sera le cube demandé
  - 211,096 2
  - 422,192
  - 720
  - 586p 4- a
  - 26 8 "
  - 55^*8° £
  - 4°. Pour avoir le cube des deux piliers, non compris les parties engagées dans la lunette, pre-
  - nez
  - 137 fois l’épaisseur . . 274*
  - 1104 fois le rayon . ... 2,496
  - Somme . . . 2,770
  - Multipliez par le quarré de l’épaisseur ^ 4
  - Produit . < • 11,080
  - Divisez par le nombre . . 120
  - Quotient . . . . 92p 4°
  - Ôtez-en la valeur des parties engagées . .' . . 26 8
  - le reste sera le cube demandé 65p 8°
- p.250 - vue 270/438
- - d’a RCHITECTüilE, îlfrï1
  - 5°. Pour trouver le cube'du remplissage des reins, prenez
  - 26 fois le cube du rayon . 359,424p
  - 122 fois e t Ÿ le quarré du rayon multiplié par l’épaisseur . 141,120
  - Somme
  - Retranchez de la somme 344 fois lè quarré de l’épaisseur multiplié par le rayon 622 fois le cube de l’épaisseur t . .
  - reste .
  - Divisez par le nombre . . 720
  - Quotient . . ' 642p 5° -J
  - Ajoutez-y la valeur des parties engagées .... 2 6 8
  - le cube demandé sera . , 669p 1d ^
  - . 5oo,544
  - 33,024
  - ♦
  - 4»976
  - 38,ooo
  - 38,000
  - . 462,544
  - La somme des cinq quantités que l’on vient de trouver sera égale au prisme dans lequel elles sont comprises, et donnera 4524p 4° comme la somme des parties d’une voûte de cloître.
  - Remarques importantes:
  - Les voûtes en ogive ont les mêmes propriétés que celles en atise de panier; elles peuvent éga-
- p.251 - vue 271/438
- - '2,52 MANUEL'
  - lement être surmontées ou surbaissées, et dans ce cas la courbe ne peut être qu’une portion de parabole et non un arc de cerclé. Or toutes les parties respectives d’une voûte surmontée ou surbaissée , élevées sur le même plan d’une voûte ien ogive formée de deux arcs de do degrés, étant élevées ou abaisséés parallèlement entre les mêmes à-plombs, sont proportionnelles à leurs montées, ou à quelques autres hauteurs correspondantes. Ainsi l’on suivra, dans ce cas, le principe établi pour les voûtes cintrées en anse de panier ou en ellipse. n
  - L’on peut dire aussi que les pans de voûte, ou les lunettes, plus ou moins jongs que le i;ayon de l’arc extérieur, et construits avec le même arc, sont entre eux comme leurs longueurs ; et l’on pourra suivre également, dans ce second cas, lé principe des voûtes en anse de panier ou en ellipse.
  - Une voûte ronde, ou un dôme en ogive, sera trois fois et un septième, ou trois fois et ^ plus grande qu’un pan de voûte pris sur un plan quar-ré*. L’on construit de ces voûtes pour les fours à chaux; mais elles sont tronquées au sommet pour le passage de la fumée.
  - Comme personne n’a produit jusqu’à présent des formules d’évaluation pour trouver les cubes des différentes voûtés dont on a parlé •ci-devant'-, il eût été impossible d’en appliquer les principes à la statique, pour laquelle il est absolument nécessaire de connoître les poids des masses poussantes, afin de leur appliquer des masses, suffi-
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- - b’a rchitectur i.v a53
  - samment fortes pour résister à 4a poussée : or le poids naturel des corps pesants est un des donnés du problème d’équilibre ; donc, ne connoissant point sa valeur, l’on ne peut s’assurer si le corps qui doit résister sera suffisamment fort pour en empêcher l’écartement.,
- p.253 - vue 273/438
- - SIXIÈME PARTIE. *
  - Des nombres quarrés et cubiques, et de Vutilité ' des tables de ces nombres pour l’extraction des
  - racines.
  - Définition.’
  - Cette partie, qui auroit pu être placée à la suite de la première partie du Manuel d’architecture , et que l’on a jugé à propos de placer à la fin du Traité à cause de sa grande étendue, comprend les différentes méthodes que l’on peut employer pour l’extraction des racines quarrées et des racines cubiques. L’on y a joint de nouvelles méthodes beaucoup plus courtes et plus faciles qu’aucune de celles qui ont été mises en usage jusqu’à présent, et qui paroissoient, pour*ainsi dire, impraticables.
  - Ces nouvelles méthodes se pratiquent par de simples additions répétées plusieurs fois, plus ou moins, selon le degré auquel l’on veut pousser l’extraction plus ou moins avant; et comme elles n’on t rien de difficile, soit poui* la racine quarrée, soit pour la racine cubique, l’on peut dire qu’elles méritent la préférence sur les autres.
  - L’on nomme puissance le résultat d’un nombre multiplié une ou plusieurs fois par lui-mêrne, et ce nombre se nomme racine de la puissance qu’il a produite.
  - La première puissance d’un nombre est yce nombre lui-même, et n’a point de racine. La
- p.254 - vue 274/438
- - MANUEL D’ARCHITECTURE. 255
  - Seconde puissance se nomme quarrè; c’est le pro-, duit d’un nombre multiplié une fois par lui-même,’ et ce nombre se nomme racine quarrée. La troisième puissance, que l’on nomme cube, est produite d’un nombre multiplié deux fois par lui-même , et ce nombre s’appelle racine cubique.] L’on peut dire la même chose de la quatrième puissance, de la cinquième, et aiqsi des autres; mais ces dernieres ne sont point en usage dans les opérations de l’architecture.
  - Cependant l’on peut trouver la racine quatrième en prenant deux fois la racine quarrée d’une quatrième puissance ; la racine sixième se trouve en prenant É’abord la racine quarrée, et ensuite la racine cubique de celle-ci; la racine huitième se trouve en prenant la racine quarrée trois fois de suite ; la neuvième, en prenant deux fois de suite celle troisième, et ainsi de toute autre racine dont l’exposant est. multiple de 2 et de b: mais la racine cinquième, celle septième, et enfin celle dont- l’exposant est un nombre premier, ne peuvent se trouver par le moyen des racines secondé et troisième, et dépendent chacune d’une opération particulière.
  - CHAPITRE PREMIER.
  - Des qnarrés et de leurs racines.
  - (Quoique l’oq ait donné au sixième chapitre de, la première partie de ce* traité différentes
- p.255 - vue 275/438
- - •256 MANUEL
  - méthodes pour extraire la racine quarrée, il est nécessaire d’en répéter ici quelques unes pour faire connoître l’utilité des tables. Il est bon de faire remarquer que les quarrés de ces tables ont une distance entre chaque tranche de deux chiffres, et que les cubes ont une distance entre chaque tranche de trois chiffres.
  - Problème ier.
  - Trouver la racine du nombre quarré 11478544*
  - Solution.
  - *
  - Cherchez ce nombre dans les tables dans une colonne vdes quarrés -, et vous trouverez à côté 3388 pour la racine de ce nombre.
  - •Problème ame.
  - Trouver la racine approchée du nombre 78654578 qui 11’est pas quarré parfait.
  - Solution.
  - Cherchez dans les tables, et vous trouverez que le plus grand quarré du nombre proposé est 7864 i424 j dont ta racine 8868 se trouve sur la même ligne dans la colonne des racines.
  - Ôtez ce quarré du nombre proposé, il restera i3i54 qui ne peut donner à la racine que des quantités fractionnaires ; or l’on peut trouvèr, par les fractions décimales, les chiffres de la racine:
  - ajoutez
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- - /
  - d’àrchitëctiIrë. iBj
  - •ajoute au reste autant de zéro que vous avez de chiffres à la racine trouvée , et vous aurez i 3164.0000 que vous diviserez par le double 17736 de la racine ; il viendra au quotient o, 7416, qui étant joint à la racine, Ton aura 8868.7416 pour racine approchée du nombre proposé.
  - Si la quantité donnée exprime des pieds quar-rés, multipliez le reste 13154 par 12, et vous aurez 157848, qui étant divisé par 17736, le quotient donnera 8° avec un resté 16960 *, multipliez ce reste par 12, et continuez de diviser, vous trouverez 101, et ensuite 9' avec un reste que vous pourrez négliger.
  - Remarques sur la propriété des nombres qnarrés,
  - i°. Un quarré quelconque est égal à la somme d’une progression arithmétique -r 1 . 3.5.7.9 etc. dont le nombre des termes exprime la racine.
  - La somme d’une progression de cinq termes sera donc égale au quarré 26 du nombre des termes ; ce qu’il est facile de reconnoître.
  - 20. Le plus grand terme d’une progression arithmétique, commençant par l’unité , et dont la raison est 2, est égal au double de la racine du quarré que produit la somme de ses termes, moins l’unité.
  - Le nombre quarré 49 étant égal à la somme des termes d’une progression arithmétique, sa^ racine 7 exprimera le nombre des termes; et le double de 7, moins l’unité, sera i3 pour le plus grand terme de cette progression.
  - 3 La somme d’une suite de quarrés, commet
  - R
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- - 0,68 MANUEL'
  - çant par l’unité, est égale au double de la racine du plus grand quarré, plus l’unité, multiplié par le tiers de la somme des racines de cette suite.
  - Soit 169 le plus grand d’une suite de quarrés, sa racine est 13, dont le double est 26; et ajoutant Tunité, l’on a 27 : la somme des racines de tous les quarrés qui composent cette suite est 91, dont le tiers est 3o — ; multipliant 27 par 3o l’on aura 819 pour la somme des quarrés.
  - 4°. Lorsqu’une suite de quarrés ne commence pas par l’unité, la somme des racines se trouve en ôtant le plus petit quarré du plus grand, et en ajoutant à la différence la racine du plus petit quarré avec la racine du plus grand, puis en prenant moitié de la somme.
  - Soit 9 le premier d’une suite de quarrés dont le plus grand est 64 , la différence de ces deux quarrés sera 55 ; la racine du plus petit est 3, et celle du plus grand est 8 ; la somme de ces trois 'derniers nombres est 66, dont la moitié 33 exprime la somme des racines des quarrés 9, 16, a5, 36, 49, 64.
  - Les remarques que l’on vient de faire donnent une grande facilité pour trouver par l’addition la xacine approchée d’un nombre qui n’est pas un quarré parfait.
  - Problème 3mV
  - Trouver, par l’addition, la racine très approchée de la vraie racine du nombre 698, qui n’est pas un quarré parfait^
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- - AICHITICIBK Et
  - y
  - a5ÿ;
  - Solution.
  - Ce nombre n’ayant que trois chiffres, l’on îpeut y ajouter quatre zéro, et l’on aura 593.0000. Cherchant dans les tables le plus grand quarré contenu dans ce nombre, l’on trouvera 592.9225 dont la racine est 24,35.
  - Ajoutez deux zéro au quarré trouvé dans les tables,
  - vous aurez .....
  - Ajoutez un zéro à la racine, vous aurez 2435o , dont le double moins un est ....
  - Ajoutez à ces nombres
  - le quarré de 24-351 sera Ajoutez à ce quarré les nombres A, B, augmentés de 2,
  - le quarré de 24352,sera
  - 5929225oo
  - 48699 A ________2 B
  - 592971201
  - 48708 693019904
  - Le dernier quarté étant plus grand que le nombre proposé 5q3, l’on prendra celui qui précédé pour le plus grand quarré, dont la racine est 243 5l
  - Rit
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- - a6o manuel
  - Ajoutez deux zéro à ce quar-ré ...
  - le double de la racine augmenté d’un zéro sera 487020, et ôtant 1, il restera .
  - Ajoutez 2 à ces nombres
  - le quarré de 2435ii sera Ajoutez-y les nombres C, D, augmentés de 2,
  - le quarré de 243512 sera Ajoutez-y le nombre qui le précédé , augmenté de 2, .
  - le quarré de 2435x3 sera Continuez à ajouter de même
  - le quarré de 2435i4 sera Ajoutez de même .
  - le quarré de 24 3513 sera
  - 59297120100
  - 487019 C 2D
  - 59297607121
  - 487023
  - 59298094144
  - 487025
  - 59298581169 487027
  - 59299068196
  - 487029
  - 69299556225
  - En continuant d’ajouter , l’on trouvera un nombre plus grand que celui proposé ; ainsi l’on prendra 2435i5 pour la racine du plus grand quarré contenu dans 5p3.
  - Il est évident que l’on pourroit, par cette méthode , pousser l’extraction de la racine aussi loin qu’on pourroit le desirer, sans employer de calculs difficiles ; car, en portant l’opération à la plus grande rigueur, l’on n’auroit que neuf additions tort simples pour trouver chaque chiffre que l’on voudroit ajouter à la racine : ainsi en moins d’une heure l’on peut trouver la racine d’un nombre de plus de soixante chiffres \ ce qu’on auroit peine à
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- - d’architecture. 261
  - trouver en une demi-journée en suivant les réglés ordinaires.
  - Problème 4m#*
  - Trouver , par l’addition , la racine quarrée très approchée de la racine du plus grand quarré contenu dans i79P réduite tout de suite en pieds et parties de pied.
  - Solution."
  - Vous trouverez dans les tables 169 pour le plus grand quarré contenu dans le nombre proposé , dont la racine est i3.
  - Il s’agit maintenant de trouver des pouces à la racine ; par conséquent les termes de la progression arithmétique, dont la somme donne le quarré i6pp, doivent être exprimés en pieds et pouces, et la raison, ou différence des termes, doit être 2% Ceci posé,
  - Doublez la racine i3p, vous aurez 2ÔP dont vous ôterez et il restera 25P n°, dont la 12™“ partie 2P10111 sera le plus grand terme de la progression.
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- - h'62 MANU E P
  - Ecrivez le quarré trouvé . ajoutez le plus grand terme de la progression .... ajoutez la i2me partie de la différence 2° .
  - le quarré de iop i° sera . Ajoutez-y les deux nombres A, B, augmentés de 21,
  - le quarré de 13p 2P sera . Ajoutez-y le nombre qui le précédé, augmenté de 2..
  - le quarré de i3p 3° sera . Continuez d’ajouter de même
  - le quarré de 13p 40 sera ..
  - 16$v 0° O-f
  - 2 X 11 A1
  - 0 0 2 B
  - X71 2 1
  - 2 2 3
  - i73 4 4
  - 2 2 5
  - 1 y 5 6 9
  - 2 2 1
  - *77 9 4
  - En continuant d’ajouter., l’on trouverai t un nombre plus grand que i79P; ainsi l’on prendra î77p 90 41 pour le plus grand quarré dont la ra-cine est i3p 4°*
  - Pour trouver des lignes à la racine, il faut supposer que le quarré trouvé est la somme d’une progression arithmétique dont les termes sont composés de pieds, pouces, lignes, prismes et secondes ; car le produit d’une quantité de pieds, pouces et lignes.multipliée par elle-même, donne des pieds,, pouces, lignes, prismes et secondesî ainsi la raison de cette progression sera 2 11.
  - Pour avoir le plus grand terme de la progression , doublez la racine i3p 4% vous aurez 26p8°;, êtez-en 11, il restera 26? 70 n1; prenez-en deux fois de suite la i2me partie, et vous aurez, Qp 3° e-1 y' n11 pour le plus grand terme*,
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- - Ï>’ar C Hl T E C TU R Eé
  - Écrivez le plus grand quarré trouvé ci-devant ajoutez le plus grand terme .... plus, la raison des termes
  - le quarré de i3p 4° i1
  - sera.................
  - A j ou t ez-y 1 e s d eux qu a n-tités A, B, augmentées des", . . . .
  - quarré de i3p 4® 21 Âjoutez-y la quantité C augmentée de s"
  - quarré de i3p 4°Ai Continuez d’ajouter de même . .
  - quarré de i3p 4° 41 Continuez de même .
  - quarré de i3p 4°’5l Continuez d’ajouter .
  - quarré de i3p 4° 61
  - 177p 9” 41 0r 0",
  - o 2 2 7 11 A
  - o 0 0 0 2 B
  - ï77 11 6 8 D
  - O 2 2 8 3 c
  - I78 1 9 4 4
  - O 2 2 8 5.
  - 00 4 0 0 9
  - O 2 2 8: 7
  - CO 6 2 9 4
  - 0 2 2 8 9
  - 00 8 5 6 1
  - O 2 2 8 11
  - I78 10 8 3 0
  - La racine du plus grand quarré du nombre pro4 posé sera i3p 4° é1.
  - Il est clair que, si l’on vouloit trouver des points ou prismes à la racine, l’on n’auroit qu’à suivre la même opération. Ainsi, pour trouver le plus grand terme de la progression, doublez la racine i3p 4° 61, vous aurez 26pq°o1 ; ôtez-en ir, il restera 26P 8° u1 iif; divisez cette quantité 3 fbi$
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- - 2^4 M ANüEl
  - par 12, et le plus grand terme sera oF o° 2r 2 *8^ ii'" n”; la raison, ou différence des termes, sera 2lV : ainsi, continuant à faire des additions comme ci-devant, l’on trouvera un quarré dont la racine contiendra des prismes. L’on peut suivre la même opération pour trouver des secondes, puis des tiers, et ainsi de suite à l’infini.
  - Si le nombre proposé exprimoit des toises, 011 le supposerait d’abord exprimer des pieds ; et après que l’on aurait trouvé, comme ci-devant, la racine du plus grand quarré, l’on caractérisera le nombre entier de toise au lieu de pied , et l’on
  - Î>rendra la moitié des pouces, lignes, etc. que ’on caractérisera de pieds, pouces, etc. Ainsi, dans le problème précédent, l’on a trouvé i3p 4° 6r pour la racine approchée de 17913; par conséquent l’on aura 131 2P 30 pour la racine approchée de 179
  - CHAPITRE II.
  - Des quantités cubiques} et de Vextraction de leurs racines par le secours des tables des quarrés et des cubes.
  - Les tables des nombres cubiques, jointes à celles des nombres quarrés , fournissent un moyen très facile pour l’extraction de la racine cubique : car l’on peut trouver dans les tables la racine cubique d’un nombre composé de douze chiffres ; et avec le secours de la table des quarrés, l’on peut
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- - d’a RCHITECTüRE. 265
  - trouver la racine d’un nombre composé d’une plus grande quantité de chiffres.
  - Mais avant de donner les principes que nous proposons, il est bon de donner quelques réglés par les principes généraux qui ont toujours été suivis, pour faire connoître la différence considérable qull y a entre les opérations faites suivant les uns et les autres de ces principes.
  - Principes généraux pour T extraction de la racine cubique.
  - Il faut supposer que la racine cubique d’un' nombre est composée de deux parties; ainsi ce nombre comprendra le cube delà première partie,' trois fois le quarré de la première partie multiplié par la seconde, trois fois le quarré de la seconde partie multiplié par la première, et le cube de la seconde partie.
  - Si l’on prend 45 pour racine, le cube de 45 sera donc composé, i°. du cube de 40 . * .
  - 20. de trois fois le quarré de 40 multiplié
  - par 5 .....
  - 3°. de trois fois le quarré de 5 multiplié
  - par 40....................
  - 4°. du cube de 5 ......
  - le cube de 45 sera . . . . .
  - En effet, si l’on multiplie 45 deux fois par lui-même , l’on retrouvera le même nombre qu’on vient de trouver.
  - Ce principe établi, il sera facile de concevoir
  - 64000
  - 24000
  - 3ooo 12 5
  - pl 125
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- - 2.66 MANUEL
  - comment l’on peut trouver la racine cubique d’üii
  - nombre ; mais l’opération qu’il faut suivre est très;
  - longue et très difficile: cependant, pour satisfaire
  - à ce que l’on avance, l’on va en donner des
  - exemples.
  - Pour abréger les expressions qui deviendroient embarrassantes, l’on emploiera des mots abrégés : ainsi, pour exprimer le cube du premier terme,, l’on écrira cub. ier; pour le cube du deuxime terme, l’on écrira cub. 2e ; pour le triple du quarré* du premier terme, l’on écrira trip. q. iel; et pour le triple du quarré du deuxieme terme, l’on écrira trip. q. 2e.
  - Problème ie\.;
  - Lon demande la racine cubique du nombre
  - '4977^x1 6o36625..
  - Solution.!
  - Partagez le nombre proposé par tranclies de trois chiffres chacune, et le nombre de tranches fera connoître le nombre de chiffres que la racine doit avoir.
  - Je cherche le plus grand cube contenu dans la première tranche à gauche, èt je trouve 27 que j’écris au-dessous; je pose sa racine 3 dans l’accol-lade; je retranche 27 de 49 ? et ü reste 22 à côté duquel je descends la seconde tranche ce qui me donne 22yy5 pour premier dividende ; je mets un point sur le premier chiffre de la tranche que j’ai descendu.
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- - ©ARCHITECTURES
  - 2674
  - 49i775| 1 i6|o36j625
  - ^7___
  - 22775
  - 19666
  - 3i19116 2774863
  - 344253o36
  - 323968762
  - 20294284626
  - 20294284626
  - 0000000000
  - 36785 RACINE.
  - 727 . . . trip. q. ier 3.
  - 324 . . . 6 . . . tri j). prod. 3 6 par ieï 3 2 e terme.
  - 1944 . .• . 216 , , cube 2 e terme.
  - 19666 . . nom b. à ôter.
  - 3888 . . 766 . , trip.q. ier 36. trip, icrpar 2me..
  - 89636 . . 7 • • 2 me terme.
  - 277462 . . 040 . * quarré 2me 7^
  - 2774863 . îiomb. à ôter.
  - 404067 . 8808. trip. q. icr 367. trip, ier par 2rae.
  - CO 00 ' C\ O 2mc terme 8.’
  - 32395824 • 5 12 cub. 2me terme.'*
  - 320968762 nômb. à ôter.
  - 40868062 . 66170 trip.. q. ier 3678. trip. ier par 2me.
  - 406886690 5 2mc terme.
  - 2029428460
  - i o5 cub. 2me terme.
  - 20294284626 riomb. à ôter.
  - Pour trouver le premier diviseur, je prends t ois fois le quarré du iCI terme 3, et j’ai 27; je cherche combien 227 contient de fois 27, et je trouve 7. Mais ce nombre est trop fort; ce que l’on peut recounoitre en faisant l’opération: ainsi
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- - 268 MANUEL
  - je prends 6 que je pose à la racine à la suite de 3*
  - et j’ai 36.
  - Je prends 3 fois le produit de 36 par le ier terme 3, et j’ai 324 que je multiplie par le second terme 6 ; ce qui me donne 1944 auquel je joins le cube 216 du second terme 6, en observant de l’éloigner d’un chiffre à droite, et j’ai 19656 que j’ôte au dividende , et il reste 3119 a côté duquel je descends la 3me tranche, en observant de mettre un point sur son premier chiffre ; ce qui me donne 3119116 pour second dividende. Il s’agit à présent de trouver un second diviseur.
  - Je considéré les deux chiffres 36 que je viens de trouver comme le premier terme de la racine, et le chiffre que je cherche comme le second terme. Je triple le quarré du ier terme.36, et j’ai 3888 pour second diviseur.
  - Je cherche combien ce diviseur peut être contenu de fois dans le second dividende, en laissant les deux chiffres à droite du point, et je trouve 7 que j’écris à la racine. Je prends 3 fois le produit du 1e1 ternie 36 par le second terme 7 , et j’ai y56 que j’ajoute à 3888 en l’éloignant d’un chiffre à droite ; ce qui me donne 3^636 que je multiplie par le second terme 7, et j’ai 277452 auquel je joins le cube 343 du second terme en l’éloignant d’un chiffre à droite ; cela me donne 2774863 que j’ôte du dividende , et il reste 344^53 à côté duquel je descends la 4 me tranche o36, et je mets un point sur son premier chiffre ; ce qui me donne 344253o36 pour 3me dividende.
  - Pour trouver le 3me diviseur, je considéré les trois chiffres 367 que je viens de trouver comme
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- - îe 1er terme de la racine, et celui que je cherche comme le second terme ; alors je prends trois fois îe quarré de 367, et j’ai 404067 pour 3me diviseur; je cherche combien ce diviseur est contenu de fois dans le 3me dividende duquel j’ai supposé supprimés les deux chiffres à droite du point, et je trouve 8 que j’écris à la racine à côté de 367.
  - Je prends trois fois le produit du 1er terme 367 par le second terme 8, et j’ai 8808 que je place sous le diviseur en éloignant d’un chiffre à droite; je fais la somme que je multiplie par le second terme 8, et j’ai 82395824 auquel je joins le cube 612. du 2rae terme en éloignant d’un chiffre, et j’ai 323958752 que j’ôte du dividende; il reste 20294284 à côté duquel je'descends la 5me tranche 625, et j’ai 20294284625 pour 4me dividende en observant un point sur le premier chiffre de cette tranche.
  - Pour trouver le 4me diviseur, je considéré les quatre chiffres 3678 trouvés comme le premier terme de la racine; je prends trois fois le quarré de ce nombre, et j’ai 4o583o52 pour 4,ne diviseur ; je cherche combien ce nombre peut être contenu de fois dans le 4medividende, et je trouve 5 que j’écris à la racine.
  - Je prends trois fois le produit du premier terme 3678 par le second terme 5, et j’ai 55170 que j’ajoute au diviseur en éloignant ce nombre d’un chiffre à droite ; ce qui me donne 405885690 que je multiplie parle second terme 5, et j’ajoute au produit le cube 125 âu second terme en éloignant d’un chiffre à droite , j’ai 20294284625 que j’ôte du dividende, et il reste zéro: par consé-
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- - 370 MANUEL'
  - quent le nombre 36j85 que j’ai trouvé est la râ-» cine juste du nombre proposé.
  - Si le nombre proposé 11’étoit pas un cube parfait, l’on y ajouteroit des tranches de trois zéro chacune, ët l’on continueroit de diviser de la même maniéré, en observant de placer un point avant les chiffres décimaux de la racine.
  - L’on va donner ci-après le moyen de trouver la racine cubique d’un nombre complexe en sui* vant l’ordre général que l’on vient de prescrire.
  - Problème 2roe.
  - L’on demande la racine cubique de 1 Q2t0 5P 3°
  - h1 6' 2" 87.
  - Solution.
  - Pour bien entendre cette opération, l’on dé* teignera les toises-cubes par tu, les pieds de toise-cube par ttp, les pouces de toise-cube par uo, les lignes par tû, et ainsi du reste ; et pour désigner <les toises quarrées, l’on écrira lf; pour des pieds de toise quarrée, l’on écriratp, et ainsi des autres. Nous ne placerons point ces expressions dans l’opération pour éviter l’embarras.
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- - 271
  - Ï>V R'CHITECTURÏV
  - Ï921 ii5 5p 3° 21 6' 2f/ 8'"
  - 6l 5 3 2 6 2 8
  - 407 34i 1 4 ? 3 x 4
  - 65 12 2 11 3 1 4
  - 785 5 3 1 4
  - 785 5 3 1 4
  - 0 0 0 0 0
  - 5[4p 8° racine.
  - ! ?5 trip. q. de 5e.
  - 1 10 trip. ierpar2mV
  - 85
  - 4P 2me terme.
  - 340
  - » 4 8 cub. 2me terme.1
  - 34 > 4 8 nomb. à ôter.
  - 96 2 trip. q. 5(4p.
  - 1 5 4 trip. ierpar2mV
  - 98 1 4
  - 8° 2me terme.
  - 1^ kn CO 1 0. 8 1 4 cub.2meterm,
  - 0 0 7
  - 785 5 3 1 4 nomb. à ôter.
  - Le plus grand cube contenu dans 192 est fl i5, dont la racine est 5 ; j’écris 51 à la racine, et 125 sous le nombre entier: puis, faisant la soustraction , il reste 67'“* 5ttp 3U0 2ul 6ttr 2lt,/ 8"" que je ïédüis en ttp en multipliant par 6 ; ce qui donne i\07ttp ito 7Hl 3,tr 1“" 4“'" pour ier dividende.
  - J,e prends trois fois le quatre du i*r terme 5 e de la racine, et j’ai 75“ pour ier diviseur.
  - Je cherche combien 407ttp contient de fois y 5 et je trouve 5P; mais ce nombre étant trop fort parcequ’il faut que j’ajoute au diviseur trois fois le produit du ier terme par le second, je prends ,4P que j ’ écris à la raçine.j
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- - 272
  - MANUEL'
  - Je prends trois fois le produit du iéî terme 5* par le second terme ol 4P, et j’ai 10“ que j’ajoute au diviseur; ce qui fait 85“ que je multiplie par le second terme 4% et j’ai 340ttp auquel j’ajoute le cube du second terme calculé comme on le voit ci-contre, et dont ol 4P o° je dirai la raison ci-après ; la somme o 4 o est 341 “p 4ttQ 8ttl que j’ôte du 1er divi- “ “ g"
  - dende , et il reste 65“p 2tt0nttl 3“'
  - 1“ -f 4“'"; je réduis ce nombre en pou- -—---—
  - ces en le multipliant par 12, et j’ai 1 4 °
  - y85tt0 5td 3ttf i“'' 4“"' pour second dividende.
  - Pour trouver un second diviseur, je considéré les 5‘ 4P que j’ai trouvé comme le 1èr terme de la racine, et le nombre que je cherche comme le second terme ; je prends donc trois fois le quarré de 5* 4P, et j’ai 96" 2tp pour second diviseur.
  - Je cherche combien 785“° contient de fois 96",' et je trouve 8° que j’écris à la racine.
  - Je prends trois fois le produit du icr terme. 5' 4P par le second terme 8°, et j’ai 1“ 5tp 4t0 que j’ajoute au second diviseur; ce qui fait 98“ itp4to que je multiplie par le second terme 8°, et j’ai 785tt0 4Hl 8“' auquel je joins le cube de 8° que je calcule comme on le voit ci- Qr qP g0 contre;cequimedonne cette n o
  - somme 785tto5td 3“' 1“" 4^ —-----------------—
  - que j'ôte du dividende, et il ° ° 0 10 °
  - reste zéro; ce qui m’assure _____________________
  - que 5 l4p 8° est la racine juste 00714 de la quantité proposée.
  - Lorsque la quantité donnée n’est pas un cube parfait, l’on continue de diviser toujours de même
  - jusqu’à
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- - d’a RCHITECTÜR^ &73
  - jusqu’à ce qu’on veuille abandonner le reste que l’on considérera comme nul.
  - Observation.'
  - L’on pourroit faire une objection sur le produit de 98“ itp 4to par 8% qui devroit être 4tpo 8to°; mais lorsqu’on aura fait attention à la nature du calcul, l’on sera assuré que cette quantité peut être convertie en celle-ci 786“° 4ul 8ttf »
  - Si l’on multiplie 98“ itp 4to par o‘ op 8°, le produit sera iom 5“p 5tt0 9td 4“', lequel étant réduit en “p en le multipliant par 6, l’on aura 65ttp 2U0 ïo“‘8“', qUi étant encore réduit en “° en le multipliant par 12, le produit sera 785tto 4"1 8ttf, tel qu’on l’a trouvé dans le produit de 98" itp 4to par 8°.
  - L’on pourra dire la même chose sur le cube de 8° calculé comme on a vu ci-devant, et qui doit donner, par la même raison, o“° ilt,U
  - Maniéré de se servir des tables des nombres cubiques.
  - Pour trouver la racine cubique d’un nombre qui aura moins de treize chiffres, l’on cherchera dans les tables le plus grand cube contenu dans ce nombre, et l’on trouvera sa racine à côté.
  - Si le nombre proposé n’est» pas un cube parfait , l’on ôtera le plus grand cube du nombre proposé, et l’on divisera le reste comme aux proi L>lêmes précédents, en ajoutant-des quantités dé-
  - S
- p.273 - vue 293/438
- - 274 MANUEL
  - cimales, ou en réduisant les restes en pieds, en pouces, etc.
  - Remarque.
  - La méthode précédente, qui est la seule que l’on ait adoptée pour l’extraction des racines cubiques, est très longue et très fatigante; c’est ce qui m’a engagé à chercher une nouvelle méthode plus courte et plus facile, par laquelle l’on peut Faire en une heure plus qu’on ne pourroit faire en huit jours par les méthodes ordinaires, et cela sans se fatiguer aucunement la mémoire. Le théorème suivant renferme toute la théorie des opéra-lions que je donne par cette méthode.
  - Théorème.
  - Un cube quelconque est égal au tiers de la somme des termes d’une progression arithmétique , dont la raison est 6 et le premier terme 3, multipliée par le nombre de termes.
  - Démonstration.
  - Représentez-vous la progression arithmétique -r 3. 9 . i5.21 . 27, composée de cinq termes, la somme de cette progression est , dont le tiers
  - représente le quarré du nombre 5 de termes. Ainsi, faisant le produit de 2Ô par 5, l’on aura lô cube 5 qui est 126; ce qui est évident.
  - Remarque.
  - Le théorème que l’on vient de démontrer
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- - d’architecture: ~q,j5
  - fournit un moyen très facile pour approcher de la racine cubique d’un nombre quelconque aussi près que l’on voudra; ce qui sera d’autant plus aisé, que les tables donneront d’abord la racine d’un nombre composé de douze chiffres, et que le surplus de l’opération se fera par de simples additions. L’on va d’abord faire connoître comment l’on trouve la somme et le plus grand terme.de la progression qui concourt à la composition d’un cube.
  - Problème ier.
  - Etant donnés le nombre cubique 8000 et sa racine 20, trouver la somme des termes de la progression qui a servi à former ce cube.
  - Solution.
  - La somme des termes peut se trouver de deux maniérés : i°. en multipliant le cube 8000 par 3, et en divisant le produit 24000 par la racine 20; ce qui donne 1200 pour la somme que l’on demande.
  - 20. En multipliant la racine 20 par elle-même,"' et en prenant trois fois le produit 400; ce qui donne également 1200.
  - Problème 2”*.
  - Etant donnée la racine cubique d’un nombre, trouver le plus grand terme de la progression arithmétique qui a concouru à former ce nombre.
  - S ij
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- - MANUEL
  - »7 6
  - Solution.
  - Soit 20 la racine donnée: si l’on en ôte l'imité , il restera 19 , qui étant multiplié par la raison 6 des termes, le produit sera 114.; et en ajoutant le premier terme 3 de la progression, Ton aura 117 pour le plus grand de tous les termes.
  - Problème 3me.
  - Etant donnés la somme et le plus grand terme de la progression avec le cube résultant de cette progression et sa racine, trouver le cube d’une racine augmentée de l’unité.
  - Solution.
  - L’on ajoutera ensemble la somme des termes, le plus grand terme, et la raison 6 de la progression; ce qui donnera un nombre dont on prendra le tiers que l’on multipliera par la racine augmentée d’une unité : le produit sera le cubevque l’on cherche.
  - Par exemple, soit 117 le plus grand terme d’une progression dont la raison est 6 et le pre-i mier terme3 ; soient 1200 la somme des termes,' 8000 le cube résultant de cette progression, et 20 sa racine.
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- - d’architecture. 27 7.
  - Somme des termes . 1200
  - plus grand des termes 117
  - raison de la progression 6
  - somme de ces nombres i323
  - tiers de cette somme 7 441:
  - Multipliez par la racine 20 augmentée de l’unité . . . 21
  - Produit ou cube de 21 . 9261
  - Le cube de 20 et celui de 21 étant connus, J l’on aura facilement cèlui de 22, celui de 23, et ainsi de suite, par de simples additions réitérées autant de fois qu’il sera nécessaire.
  - Problème 4m**
  - Etant donnés le cube de 20 et celui de 21 £ trouver, par l’addition, le cube de 22.
  - Solution.
  - Ajoutez au cube de 21 la différence qu’il y a-entre ce cube et celui de 20 plus six fois la racine 21, la somme sera le cube de 22; et en contré nuant de même, l’on aura le pûbe de 23, celui de 24, et ainsi de suite à l’infini.
- p.277 - vue 297/438
- - MANUEL'
  - 278
  - Exemple.:
  - L’on vient de trouver que le cube de
  - 2.1 est .... . . . 9261
  - La différence de ce cube à celui de 20
  - est . ...... . 1261
  - 6 fois la racine 21 est .... 126
  - Cube de 22...............10648
  - Différence de ce cube au précédent . 1387
  - 6 fois la racine 22......i32
  - Cube de 23 . . . . . ,12167,
  - Remarque.
  - L’on peut trouver le cube d’un nombre augmenté de l’unité par un moyen plus facile que ci-devant , et qui nous servira dans les opérations ci-après ; ce que l’on va voir par le problème suivant.
  - Problème 5rae.
  - Etant donné le cube 8000 de 20, trouver le cube de 21*
  - Solution,
  - Ecrivez le cube de 21 . : 8000
  - ajoutez la somme des termes . . . 1200
  - trois fois la racine 20 . . 60
  - plus, l’unité .... . , 1:
  - le cube de 21 sera 5 *. * « :* 92611
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- - d’a rchitecture.
  - 27 9
  - Problème 6me.
  - Trouver, par le moyen de l’addition, la racine cubique d’un cube quelconque, parfait ou imparfait.
  - Solution.
  - Soit Sçod le nombre donné qui n’est pas un cube parfait. Ce nombre n’ayant que quatre chiffres , ajoutez-y deux tranches de zéro, c’est-à-dire six zéro, et vous aurez 3906.000000, dont le plus grand cube peut se trouver dans les tables.
  - Ainsi, cherchant dans les tables des cubes le nombre qui approche le plus de celui proposé augmenté de deux tranches, vous trouverez 38996472241 dont la racine est 1674.
  - Pour trouver un chiffre de plus à la racine, ajoutez-y un zéro, et trois zéro à son cube, vous aurez cette nouvelle racine 16740, dont le cube est 6899547224000.
  - Prenez dans les tables trois fois le quarré de 16740, et vous aurez 743242800 pour la somme des termes de la progression (1).
  - (1) Dans le cours de l’opération l’on ne mettra pas de point entre le nombre entier et le nombre fractionnaire, pour éviter de la confusion, sauf à séparer ces nombres à la fin du calcul.
  - S iy
- p.279 - vue 299/438
- - &8o MANUEL
  - Pour trouver le cube de la racine augmenté# de l’unité, ajoutez ensemble
  - le cube de 16740 . 7 7 7
  - la somme des termes .... trois fois la racine 15740 plus, l’unité....................
  - le cube de 15741 sera .
  - 'Ajoutez la différence de ces deux cubes avec 6 fois la racine 16741
  - le cube de 15742 sera .... Ajoutez la différence de ce cube au précédent ..............................
  - avec 6 fois la racine 15742
  - le cube de 15743 sera .
  - Ajoutez de même la différence . et 6 fois, la derniere racine .
  - le cube de 15744 sera .... Continuez d’ajouter la différence avec 6 fois la derniere racine
  - le cube de i5y^5 sera . . , . . .
  - Ajoutez la différence des derniers cubes avec 6 fois la racine .....
  - le cube de 15746 sera .... Ajoutez la différence des derniers cubes avec 6 fois la racine ....
  - le cube de i5y47 sera •
  - Ajoutez la différence idem .
  - avec 6 fois la racine ....
  - le cube de 16748 sera ....
  - 3899547224000
  - 748242800
  - 47220
  - 3900290514021 743290021 ________94446
  - 3901033898488
  - 743384467
  - 94452
  - 3901777377407
  - 743478919"
  - 94458
  - 0902520950784
  - 743573377
  - ________94464
  - 3903264618625 743667841 ________9447°
  - 3904008380986 74376281i ________94476
  - 8904762237723
  - 743856787
  - 94482
  - 3905496188992
  - Si l’on continue à ajouter, l’on trouvera un cube plus grand que le nombre 3po6 proposé; ainsi la racine du plus grand cube contenu dans ce nombre sera 15, 748.
- p.280 - vue 300/438
- - d’architecture. 281'
  - Pour trouver un chiffre de plus à la nouvelle racine, ajoutez-y un zéro, et vous aurez 157480, dont le triple du quarré se trouvera aisément.
  - L’on a trouvé ci-devant que le quarré de 157400 est . . 24774760000
  - Doublez le nombre 157400, et vous aurez 314800, qui étant multiplié par lesderniers chiffres 80, le produit sera . . . 25184000
  - Ajoutez le quarré de 80 . . 6400
  - le quarré de 157480 sera . . 24799950400
  - trois fois ce quarré sera la somme
  - des termes, ci . . . . 74399851200
  - Pour trouver la racine plus grande d’une unité que 157480, écrivez le cube que l’on a trouvé ci-devant, en y ajoutant trois zéro; puis suivez les mêmes opérations jusqu’à ce que vous trouviez le plus grand cube qui puisse être contenu dans le nombre proposé. Voyez Ifis opérations de la page suivante.
- p.281 - vue 301/438
- - MANUEL
  - 282
  - . 390 54<?6188992000
  - . 74399851200
  - 472440
  - 1
  - . 39o557o5893i564l . 744oo32364i
  - . 944886
  - . 3905644990584168 . 74401268527
  - • ___________94489»
  - . 0905719392797587
  - . 74402218419
  - 944898
  - . 390579879.5955904
  - . 744°3Jl585i7
  - • __________ 9449°4
  - . 39058682000691a5 . 74404108221'
  - • ___________944910
  - . 3905942605107256
  - Ce dernier cube étant le plus grand qui puisse être contenu dans le nombre proposé 3906 augmenté de douze zéro, Ton prendra i5.7486 pour sa racine très approchée.
  - Continuant la même opération, l’on trouvera à la racine autant de chiffres fractionnaires que l’on voudra sans beaucoup de peirie, puisqu’il n’y a que des additions à faire, comme on le peut remarquer dans les opérations précédentes, où la différence des deux cubes est égale à la somme des deux nombres intermédiaires qui sont entre tes cubes, et six fois la racine se trouve en ajoutant 6 au dernier de ces deux nombres.,
  - Cube de 157480 Somme des termes 3 fois la racine plus, l’unité Cube de 157481 Différence des cubes 6 fois la racine du dernier
  - Cube de 157482 Différence 6 fois la racine Cube de 157483 7
  - Différence 6 fois la racine Cube de 157484 Différence 6 fois la racine Cube de 157485 Différence 6 fois la racine Cube de 157486
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- - d’a rchitectüre,
  - 28â
  - Problème jmc.
  - L’on demande la racine cubique d’un nombre arbitraire 253y8p réduite tout de suite en pieds, pouces, lignes, etc.
  - Solution.
  - Cherchez dans les tables le plus grand cube contenu dans le nombre proposé, et vous trouverez 24389, dont la racine est 29**; et le quarré, suivant les mêmes tables, est 84ip. Ecrivez les quatre quantités ci-après,
  - Cube trouvé . ...
  - Les ou le a- du quarré 841 p .
  - 3 fois la racine 29P divisée 2 fois par 12 plus, l’unité placée au rang des points
  - Çubede29Pi° .
  - Différence des deux cubes 6 fois la racine 29 p i° divisée deux fois par 12.
  - Cube de 29p 20 .
  - Différence des deux cubes 6 fois la racine 29 p 20 divisée deux fois par 12 .
  - Cube de 29P 3° .
  - Différence des cubes 6 fois la racine 29? 3° divisée de même ..... Cube de 29P 40 •
  - 24389p o° o1 o*' 210 3 o o
  - 0730 0001
  - 24599 10 3 1
  - 210 10 3 î
  - 1266
  - 24811 11 o 8
  - 212 o 9 7
  - 127
  - 2.5oi5 2 5 3
  - 213 347
  - 1276
  - 25239 85 4
  - Continuant d’ajouter, l’on trouverôit un cube plus grand que le nombre 25378p proposé; ainsi l’on aura d’abord 29 e 40 pour la racine du plus grand cube contenu dans ce nombre.
  - Pour trouver des lignes à la racine, il faut d’a-
- p.283 - vue 303/438
- - MANUEL
  - bord calculer le quarré de la racine 29p 40 déjà trouvée; ce qui est facile-à faire.
  - L’on a déjà le quarré de 29 p , qui est .
  - ‘Ajoutez le produit de 29p par le double de4° plus, le quarré de 40
  - le quarré de 29 p 4 °, sera
  - 841P *9
  - Ecrivez le cube que l’on vient de trouver, ci Prenez 3 fois le quarré ci-dessus divisé 2 fois par 12 3 fois la racine 29? 40 divisée 4 fois par 12 plus, le cube de x ligne
  - Cube de 29p 40 11 Différence des cubes 6 fois la racine divisée L fois par 12 .
  - Cube de 29 p 40 21 Différence .
  - 6 fois la racine divisée idem .
  - Cube de 29p 40 31 Différence .
  - 6 fois la racine divisée id
  - Cube de 29P 40 41 Différence .
  - 6 fois la racine divisée id
  - Cube de 29P 40 51 Différence .
  - 6 fois la racine divisée id
  - Cube de 29p 40 6l Différence .
  - 6 fois la racine divisée id
  - Cube de 29P 40 71
  - • • • 0 1 4
  - • • • 860 5 4
  - 25239p 8° 51 4' 0" 0'" otv
  - 17 x 1 x 4 0 0 0
  - 0 0 0 7 4 0 0
  - 0 0 ' 0 0 0 0 t
  - 25257 7 7 3 4 0 1
  - l7 11 X 11 4 0 1
  - 0 0 X 2 8 0 6
  - 25275 6 10 5 4 0 8
  - 17 11 3 2 0 0 7
  - 0 0 1 2 8 1 0
  - 25293 6 2 10 0 2 ,3
  - *7 11 4 4 8 x *7
  - 0 0 1 2 8 1 6
  - 25311 ~5~ ~8~ 5 4 5 T”
  - l7 11 5 7 4 3 1
  - 0 0 1 2 8 2 0
  - 25329 ~5~ ~~3 3 4 10 5
  - l7 11 6 10 0 5 1
  - 0 • 0 1 2 8 2 6
  - 25347 4 11 4 1 6 0
  - *7 11 8 0 8 7 7
  - 0 0 1 2 8 3 Q
  - 25365 4 8 7 6 4 7.
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- - T)\ RCHITECTURE. 285
  - Si l’on continue d’ajouter, l’on trouvera un cube plus grand que le nombre Q.5?>r/&* proposé; ainsi l’on pourra prendre 29? 4° 71 pour la racine cubique au plus grand cube contenu dans ce nombre.
  - L’on peut remarquer qu’il n’y a rien de difficile dans ces opérations, et qu’il n’y a que des additions fort simples à faire; car lorsque l’on prend la différence de deux cubes qui se suivent, c’est la somme des deux nombres intermédiaires que l’on prend ; de même que, pour prendre six fois une racine divisée deux fois ou quatre fois par douze, c’est la même chose qu’en ajoutant 6 à la fin du second nombre intermédiaire qui précédé.
  - Si l’on vouloit trouver des prismes, des secondes , des tiers, etc. à la racine , l’on n’auroit qu’à suivre toujours le même procédé, en observant seulement que, pour trouver des prismes, l’on divisera les différences six fois par 12 ; pour trouver des secondes, on les divisera huit fois, et ainsi des autres : ce qui n’a encore rien de difficile-, car, en divisant ces quantités par 12, l’on retrouve les mêmes nombres éloignés d’un rang à droite.
  - Quand le nombre proposé exprime des toises,1 il faut supposer qu’il exprime des pieds, puis faire les opérations précédentes ; et après que l’on a trouvé la racine, l’on exprimera en toises le nombre entier, et l’on prendra la moitié de la suite. Ainsi, en supposant que le nombre proposé soit 26378* dont on a trouvé la racine exprimée par 2^p 4P 71, en mettant toise au lieu de pied, pied au lieu de pouce, pouce en place de
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- - ^86 il A N U E L(
  - ligne, et en prenant la moitié de la si^ite du nombre entier, la racine de ce nombre sera 29* 2P 3p 6\
  - Méthode pour trouver la somme d'une progression quarrée.
  - Problème.
  - Le premier terme d’une progression quarrée croissante, et le nombre des termes, étant donnés, üîouver la somme de tous les quarrés de cette progression.
  - Solution.
  - Il est indifférent par quel nombre quarré doit commencer la progression, pourvu que les racines soient en progression arithmétique des nombres naturels, tels que leurs différences soient l’unité.
  - i°. Ajoutez 2 au quarré du nombre des termes de la progression quarrée, et prenez le tiers de la somme , ôtez-en le nombre des termes, et multipliez le reste par ce même nombre.
  - 20. Multipliez le premier terme donné par le nombre des termes.
  - 3°. Ajoutez un au double de la racine du premier terme donné, et multipliez la somme par le nombre des termes moins un, puis par la moitié du nombre des termes.
  - La somme de ces trois quantités sera égale à la somme des termes de la progression.
- p.286 - vue 306/438
- - d’architecture.
  - 287;
  - Exemple.
  - Soient 25 le premier quarré de la progression,] et 7 le nombre des termes.
  - Le quarré de 7 est 49*, et, y ajoutant 2, l’on a 5i, dont le tiers est 17; ôtant de ce nombre celui 7 des termes, il reste 10, qui étant multiplié par le même nombre 7 , l’on a 70
  - Le premier terme 25 étant multiplié par le nombre 7 des termes, donne . . .175.
  - La racine du premier terme est 5, dont le double plus un donne 11, qui étant multiplié par le nombre des termes moins un, c’est-à-dire par 6, le produit est 66, qui étant encore multiplié par la moitié 3 - du nombre des termes, l’on a .... 23i'
  - La somme de la progression quarrée de sept termes, dont le premier est 25, sera 476
  - Problème.
  - Le plus grand terme d’une progression quarrée décroissante, et le nombre des termes,.étant donnés , trouver la somme de là progression.
  - Solution.
  - Ce problème se résout de la même maniéré que le précédent; mais il est nécessaire de trouver le premier tepne de la progression, et ensuite l’on fera l’opération comme dans l’exemple ci-dessus.
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- - a88 M A N U B t
  - Pour trouver le plus petit quarré d’une progrès* sion, dont le plus grand quarré est donné avec le nombre des termes , doublez la racine du plus grand quarré; ôtez-en le double du nombre des termes moins un ; prenez la moitié du reste, et ,vous aurez la racine du plus petit quarré.
  - Par exemple, soit 121 le plus grand terme, la racine est 1 x, dont le double est 22 ; soit 6 le nombre des termes, ôtez-en l’unité, vous aurez 5,’ dont lé double est 10, qui étant ôté de 22, restera 12, dont la moité 6 est la racine du plus petit quarré 36; ce qui est évident. Ainsi le premier quarré et le nombre de termes étant connus, l’on trouveia la somme comme ci-devant.
  - Méthode pour trouver la somme des termes d'une progression cubique.
  - Avant de chercher la somme des termes d’une progression cubique , il est nécessaire de faire connoître l’analyse des nombres cubiques par une voie différente ae celle qui a été démontrée dans le dernier théorème.
  - i°. Un cube quelconque est égal à six fois la somme d’une progression composée , telle que chaque terme soit égal à la somme des nombres naturels, comme 1,1 —t— 2,3 —f— B, 6-4-4, 10-+-5, 15 6, etc. plus au nombre des termes de
  - , cette progression plus l’unité.
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- - Ainsi, faisant la somme des sept termes 1, 3* i$,, io:, 15, 21,28, Ton a 84* qui étant pris 6 fois, le produit est ... . . . 5o4
  - Ajoutant le nombre de. termes 7 plus Luni-té, l’on a . ,. . * b . / 8
  - La sjdmnre de ce s deux nombres sera le cubeclu nombre des termes plus T unité , c’éSt'-à-dire de 8,- etToïïaura . . . 5il
  - ‘Ceqque ,Lon vient de démontre^ est très évî-deintüà^la seule inspection, et peut avoir lieu à une< progression ^cubique d’un, nombre quelconque de termes;
  - , cdliTcrn, àédmt’d&'ce principe une méthode facile pour troUverla-somme de tous les termes (Lune progression des nombi:es.cubiques ''commençant par l’unité.
  - 2°; La somme de tous les nombres cubiques d’une progression donnée commençant par l’uni té^.ves Légale au quarré du terme qui suit immédiatement le plus grand de la progression composée.
  - Ge terme se trouvera •e.11 élevant an quarré la racine du plus grand1 cube, et en y ajoutant la même racine, puisa en prénant la moitié de la somme.
  - Par exemple 9t si f onrsuppose que 512 soit le plus grand cube de da progression cubique, la racine cubique de/cenonibre est 8, double quarré est 64 *, si Lonay ajoute la mêmeuaieine 8, l’on aura..173* dont la-moitié 36 exprimeila le terme qui^uifleplus-grand de la progrèssioirLoinposée.
- p.289 - vue 309/438
- - £ 90 M A N U ÎE t
  - De même le plus grand terme de la progrès* sion composée se trouvera en ôtant la racine du plus grand cube, du quarré de cette même racine, et en prenant la moitié de la différence.
  - Ainsi, 5ii étant le plus grand cube d’une progression commençant par 1 unité, sa racine.sera 8, dont le quarré est 64; si l’on en ôte 8, il restera 56, dont la moitié 28 sera le plus grand terme de la progression composée.
  - Donc > puisque la somme de tous les cubes d’une progression cubique donnée est1 égale au quarré du plus grand terme de la progression composée,,; l’on aura 1 -f-:8-+-*27-f-d'4-y*ir25.-+* 2163/(.3 -4- 512 — 35 X 36>
  - Comme cette opération n’a rien de: difficile, elle pourra servir à .trouver1 la somme d’une progression cubique commençant pair tel nombre que l’on voudra, en prenant la différence des sommes de deux progressions commençant par l’unité , dont l’une auroit, pour le plus grand terme, le premier de la progression donnée, et l’autre, le dernier de cette1 même progression.
  - Soient pour exemple les nombres cubiques 125; 216; 343; 5i2 :fon aura, pour la somme S, des termes commençant par l’unité jusques compris le.plus grand S 36 X 36.=: 1296.
  - Et pour la somme S des termes commençant par l’unité * jusques compris celui que précédé le plus petit, l’on aura s= îooy lequel nombre sera le quarré du plus grand: terme- de la progression composée Jusqu’au plus petit cube donné.
  - Faisant, la différence de ces deux nombres, l’on aura S ^ 1296-^. iqo===:1196
- p.290 - vue 310/438
- - ï) A ECHITECTÜÏIÈ. 29P
  - ïfsuit de cette découverte que Ton peut trouver, par un moyen très simple, la somme d’un, nombre considérable de quantités cubiques que l’on ne pourroit trouver que'par une quantité considérable d’additions.
  - Moyen pour éviter les additions réitérées dans F extraction des racines suivant les méthodes précédentes.
  - Section ire.
  - Pour F extraction des racines quarrées.
  - Exemple ier.
  - Soit 8072 le nombre donné, vous trouverez dans les tables que le plus grand quarré contenu dans ce nombre est 7921, et que la racine est 89. La différence de ce quarré au nombre donné est 151.
  - Ajoutez un zéro à la différence, et vous aurez i5i.o que vous diviserez par le double 178 de la racine, le quotient sera 8 pour le chiffre décimal que vous mettrez à la racine; Ce qui donnera 89.8,
  - Pour élever ce nouveau nombre au quarré,
  - ajou tez le nombre 0.8 au double 178
  - de la racine, et vous aurez . . . 178.8
  - Multipliez par le même nombre . o. 8
  - Produit.....................143.04
  - Ajoutez le quarré trouvé . . . 7921.00
  - le quarré de 89.8 sera . . . . 8084.04
  - T iT^
- p.291 - vue 311/438
- - ^2 MANUEL
  - Pour trouver un second, chiffre décimal à la racine, ôtez le quarré trouvé du nombre donné y il restera 7.96 que vous diviserez par le double 179.6 de la racine; le quotient sera quatre pour le second chiffre décimal que l’on cherche, et vous aurez 89.84. pour racine.
  - Pour élever ce nombre au quarré $ ajoutez 0. 04 au double 179.6 de la racine trouvée ci-devant, et vous aurez . 179.64
  - Multipliez par . . . . . o. 04
  - Produit . 7.1856
  - Ajoutez le quarré précédent . . 8064.04
  - le quarré de 89,84 sera . . . 8071.2256
  - Continuant la même opération, l’on parviendra à approcher de plus en plus de la raciiîg quarrée du nombre proposé.
  - E X E M P L E 2me.
  - Soit 179p le nombre proposé^ dont le plus grand quarré, suivant les tables, est 169, et sa racine est 13 ; la différence du quarré au nombre donné est 10.
  - Prenez le douzième du double 26? de la racine, et vous aurez 2P 20; cherchez combien ce nombre est contenu de fois dans iop, vous trouverez 4 fois ; le nombre 4 sera les pouces qu’il faudra ajouter à la racine.
- p.292 - vue 312/438
- - d’architectür B.- 293
  - Ajoutez 40 au double 2ÔP de la racine, et prenez le 12™ de la
  - somme :.................2P 20 4*
  - Multipliez par le même chiffre . 4
  - Produit . 8 9 4
  - Ajoutez le quarré ci-dessus . 1 69 O 0
  - le quarré de i3p 40 sera, • 177 9 4
  - Pour trouver des lignes à la racine, ôtez le quarré précédent du nombre donné, il restera ip 20 81 que vous diviserez par le double 26p 3° de la racine divisée deux fois par 12, c’est-à-dire
  - Î>ar op 20 21 8f, le quotient 6 sera le nombre de ignés que l’on cherche.
  - Ajoutez 61 au double 26P 8° de la racine, et divisez la somme deux fois par i2;., vous aurez ,©p 20 21 8/ 6 Multipliez par le même nombre . ... . . 6
  - Produit .
  - Ajoutez le quarré précédent . . . .
  - lé quarré de 13P 40 61 sera
  - 1 1400
  - 177 9 4 Q o
  - 178, 10 8 3
  - Il est évident qu’en continuant la même opération , qui n’a d’ailleurs rien de difficile, l’on approchera de plus, en plus de la vraie racine.
  - T iij;
- p.293 - vue 313/438
- - .3^*4 . MANUEL
  - Section 2m\
  - Pour Vextraction des racines cubiques.
  - L’extraction de là racine cubique se fera dans le même ordre que l’on vient de prescrire pour la racine quarrée ; mais comme les progressions pour les cubes sont d’une nature différente de celles qui servent aux quarrés, il est à propos d’en faire connoître les propriétés.
  - L’on n’a besoin, pour l’extraction des racines cubiques , que de deux progressions de onze termes seulement, dont la première est composée des nombres naturels commençant par l’unité, et la seconde est composée des sommes des nombres naturels; ce sont des différentes sommes dont nous avons besoin.
  - La seconde de ces deux progressions a une propriété telle que la somme d’un nombre quelconque de termes est égale à la somme des produits des termes correspondants de deux progressions des nombres naturels disposées à contresens, ayant chacune le même nombre de termes. Pour mieux faire entendre ceçi, nous allons prendre pour exemple la progression des six premiers termes 1, 3, 6, io, 15, ai, dont la somme est 56.
  - -4 i . a- . 3 „ 4 . 5 . 6
  - 6. 5. '4 • ^ • 2 .. i v '
  - 6 H— 10 —H 12 -4- 12 i o -f- 6
- p.294 - vue 314/438
- - Ajoutant ces différents produits, l’on trouvera également 56 pour la somme des six premiers termes de la progression composée. Mais pour éviter de calculer les sommes des progressions toutes les fois que l’on en aura besoin, nous allons donner une table où les différentes sommes seront indiquées par les nombres naturels depuis un jusqu’à onze..
  - Nombres naturels . . . 1.2. 3 . 4.5. . 6.7 , 8 . 9 . i© . n. Sommes des nombres naturels . . . î. 3. 6 . i o. 15.21.28. 36.45 . 55 . 66. Sommes des nomb. composés . . . 1.4. 10.20.35.5(5.84.120.165.220.286.
  - Lorsqu’on aura besoin, par exemple > de la somme des sept premiers termes de la progression naturelle, l’on prendra le nombre 20 qui est au-dessous de 7 ; et pour avoir la somme des sept premiers termes de la progression composée, l’on prendra le nombre 84 qui répond au nombre 7. Cette opération est d’abord facile à saisir au coup-d’œil. L’on va prendre pour exemples des riomr-bres dont on s’est déjà servi ci-devant.
  - Exemple 1er.
  - .(
  - Soit 89061e nombre proposé dont on veut extraire la racine cubique : l’on trouvera dans les tables que le plus grand cube contenu dans ce nombre est 3876, et que sa racine est i5. ôtes
  - T iv
- p.295 - vue 315/438
- - le cube du nombre donné , le reste sera 53b
  - Pour trouver un premier chiffre décimal à la racine, écrivez son quar- t .
  - ré . r . ' . 22 5
  - Ajoutez la racine divisée une fois par 10 ....... i.5
  - ^ Somme ..... 226.5
  - Multipliez par ^ . ... o.3
  - Produit ..... 67.95..
  - Ajoutez le cube de ~ , 0.001
  - Somme . 67.954
  - Ajoutez trois zéro au reste, et vous aurez 531, ooo que vous diviserez par la somme ci*contre, le quotient donnera 7 pour le premier chiffre décimal de la racine : (ce nombre servira à indiquer qu’il faut prendre la somme a i des six premiers nombres naturels , et la sommp 35 des cinq premiers nombres composés, desquelles sommes l’on fera usage ci-après. ) Multipliez la somme encontre par lé quotient . . , ' 7
  - Produit , , . * 475.657
- p.296 - vue 316/438
- - Produit ci-contre . . .
  - Ajoutez ime unité décimale à la racine i5, vous aurez i5.i, qui étant multipliés par le nombre 21 trouvé ci-dessus, le produit donnera 31 y. 1 Ajoutez-y la somme 35 indiquée ci-devant, et divisée une fois par 10 . . , 3.5
  - Somme . . . 620.6
  - 4 y5.65j
  - Portez six fois cette somme divisée deux fois par 10 sous le produit précédent ...........................ip.23 6
  - Ajoutez le cube précédent . . 3375.000
  - le cube de 15.7 sera .... 386q. 893
  - Pour trouver un second chiffre décimal à la racine, ôtez le cube que l’on vient de trouver du nombre proposé, il restera, en ajoutant trois zéro , 36.1070005 puis faites le quarré dé la racine 16.7 . . 246.49
  - Ajoutez la racine divisée deux fois par 10 .... . o. 167
  - Somme . . . 246.647
  - Multipliez par ^ . ... o.o3
  - Produit . . , . 7.39941
  - Ajoutez le cube de ^ . . o.000001
  - Somnie . . . « 7.399411
- p.297 - vue 317/438
- - 298
  - - M A N U E L
  - Somme de Vautre part . 7.399411
  - Cherchez combien le reste 36.107000 contient de fois cette somme, et vous trouverez 4 pour le second chiffre décimal de la racine ; ( ce nombre fait con-noître qu’il faut prendre la somme 6 des trois premiers nombres naturels,, et la somme 4 des deux premiers nombres composés. )
  - Multipliez la somme ci-contre par le nombre trouvé .... 4
  - Produit ..... 29.597644
  - Ajoutez une unité décimale à la racine trouvée,,
  - Vous aurez 16.71 que Vous multiplierez par la Somme 6 qui vient d’être indiquée, le produit sera .... 94.26
  - Ajoutez la 2me somme 4 que l’on vient d’indiquer , en divisant deux
  - 0.04
  - :01s par 10 Somme .
  - 94.80
  - Portez sous le produit 6 fois cette somme divisée quatre fois par 10
  - 0.0565&o
  - . 3869.893000
  - le. cube de 16.74 sera . . . 3899.547224
  - Continuant la même réglé., l’on trouvera un
- p.298 - vue 318/438
- - d’architecture. 1299
  - •cube qui approchera infiniment du nombre donné en très peu de temps, et sans se donner beaucoup de peine. L’on verra par les tables que ce cube est très juste.
  - Exemple 2me.
  - Soit 25378p le nombre proposé dont on veut tirer la racine cubique tout de suite réduite en pieds , pouces et lignes. Vous trouverez dans les tables 24389 pour le plus grand cube contenu dans ce nombre , et vous trouverez à côté 29 pour sa racine. Retranchez le cube trouvé du nombre
  - donné, il restera 989. Le quarré de 29p . 84ip 0 O 0
  - La racine 29 divisée une fois par 12 2 5 O 0
  - Somme .... 843 5 O 0
  - Prenez le quart de la somme 210 10 3 0
  - Ajoutez le cube de i° . 0 0 0 1
  - Somme . . . ' 210 ÎO 3 1
  - Divisez la différence 989 par -la somme que l’on vient de trouver, et vous trouverez 4 que vous placerez à la racine au "rang des pouces<; ce qui <
  - fera29p4°.
  - Multipliez la somme par le ;
  - nombre que Ton vient de trouver.................... 4
  - Produit .... 843 5 o 4
- p.299 - vue 319/438
- - 3oo
  - MANUEL
  - Produit de Vautre part. . 843 5 0 4
  - Otez 1 de 4, reste 3 pour le nombre de termes de la progression naturelle; ainsi la somme des trois premiers termes sera 6.
  - Ajoutez i° à la. racine 2,9p, vous aurez 29p i° que vous multiplierez par 6, le produit sera . . . 174 6
  - Ajoutez la somme 4 des deux premiers termes de la progression composée divisée par 12. . 04
  - Somme . . 174 ia
  - Prenez-en la moitié . . . 87 5
  - Divisez une fois par 12 ... 7 3 5 o
  - Ajoutez le cube trouvé . . 24389
  - le cube de 29P 40 sera . . 25239 8 5 4
- p.300 - vue 320/438
- - 3oi
  - d’architecture.
  - Pour trouver des lignes à la racine, faites le quarté de 29P 40 .
  - Ajoutez la racine divisée par le quarré de 12 . . ,
  - Somme. .....
  - Ptenez-en le quart ....
  - Prenez le i2me du quart . .
  - Ajoutez le cube de 11
  - Somme ..... Prenez la différence du cube de 29P 4° et du nombre proposé, elle se trouvera de i38p 3 6 8, qui étant divisée par la la somme précédente, le quotient 7 sera le nombre de lignes qu’il faut ajouter à la racine ; ce qui fera 29 p 4° 7b Multipliez la somme précédente par .
  - 860P 5 4
  - 0 2 5 4
  - 860 7 9 4
  - 215 1 11 4
  - l7 ii( 1 1 I 4
  - 0 O O O 0 0 1
  - ]7 11 11 401
  - 7
  - Produit ..... (Le nombre 7 que l’on vient de trouver indique qu’il faut prendre la somme des 6 premiers termes des nombres naturels, et la somme des 5 premiers termes de la progression composée. )
  - Ajoutez 11 à la racine 29P 4°, vous aurez 29P 40 11, qui étant multipliés par la somme 21 des 6 premiers termes , le produit sera . . . . 616 1 9
  - Ajoutez la somme 35 des 5 premiers termes composés divisée deux fois par 12 o 2 1 j
  - Somme . 616 4 8
  - Prenez-en la moitié . . 3o8 2 4
  - Divisez trois fois par 12, et vous aurez Ajoutez le cube de 29P 4o .
  - le cube de 29P 40 71 sera .
  - 125 6 1 7 4 o 7
  - 021824©
  - 25239 8 5 4 0 ° o
  - 25365 4 8 7 6 4 7
  - Pour trouver des prismes à la racine, faites le quarré de la racine précédente Ajoutez la racine 29P 40 71 divisée 3 fois par 12
  - Somme . k'
  - 863 P 3701
  - 002647 863 3' 9 5 5 7
- p.301 - vue 321/438
- - Bo2 M A
  - Somme de Vautre part. Prenez-en le quart
  - Divisez deux fois par 12 Ajoutez le cube de 11 . *
  - Somme
  - Otez le cube précédent du nombre donné, il restera 12P 7-34575, qui étant divisés par la somme ci-contre, le quotient sera , . »
  - N U E L
  - 863 3 9 5 5 7
  - 215 9 1 i 4 4 4 9
  - 1 5 11 9 11 4 4 4 9
  - O 0 O 0 0 0 0 O 0 1
  - 1 5 11 9 11 4 4 4 9 1
  - 8
  - Produit de la somme par le quotient ....
  - (Le nombre 8 indique qu’il faut ajouter 8' à la racine, et en même temps qu’il fautpren-i dre la somme 28 des sept pre>-miers nombres naturels, et la somme 56 des six premiers nombres composés. )
  - Ecrivez la racine augmentée dei' . . 29P 4 7 t
  - Multipliez par 28
  - Produit . 822 8 6 4
  - Ajoutez la som-
  - me 56 divisée 3
  - fois par 12 . 0 0 4 8
  - Somme . 822 8 11 0
  - La moitié de
  - la somme .411 4 5 6
  - Divisez 5 fois par 12, et portez le quotient sous le produit ci-contre . . . . o
  - Ajoutez le cube précédent . 25365
  - Le cube de 29P 40 71 8'sera 25377
  - 11 10 7 6 ion 2 o S
  - \
  - o 0 210 3 4 5 6 0 487 6 4 7
  - 4 7 5 11 610 7 6 8
  - Pour peu que l’on observe avec attention l’or-' dre qui a été suivi dans les quatre derniers exemples , l’on verra que le même ordre peut être employé à élever au quarré pu au cube un nombre complexe composé de pieds et parties de
- p.302 - vue 322/438
- - d'architecture. 3ô3
  - pieds plus facilement que par les multiplications ordinaires, et notamment pour élever au cube: car* après que l’on aura pris dans les tables le quarré ouïe cube du nombre de pieds, l’on trou* yera, suivant les opérations précédentes, le quarré ou le cube du nombre de pieds et pouces donnés , ensuite celui du nombre de pieds, pouces et lianes, puis le quarré ou le cube du même nombre accompagné de prismes, de secondes, etc.
  - Lorsque le nombre entier proposé sera plus grand que 10000, qui est le plus grand des nombres naturels des tablés, on le divisera par un nombre" simple, ou par un nombre de deux chiffres, ainsi que les pouces, lignes, etc. puis, faisant l’opération comme il est dit ci-devant, soit pour élever au quarré ou âu cube, Ton multipliera le quarré ou le cube trouvé par le quarré ou le cube du nombre que l’on aura pris pour diviseur, selon la puissance à laquelle le nombre proposé aura été élevé, et le produit sera la puissance de ce nombre.
  - De même que, lorsqu’il s’agira d’extraire une racine d’un nombre complexe donné , et que le nombre entier sera plus grand que la plusgrapde puissance des tables , l’on divisera le nombre complexe par le quarré ou le cube d’un nombre simple pour que les entiers du quotient se trou-vént dans les tables ; puis, ayant extrait la racine quarrée ou cubique par les méthodes précédentes, on la multipliera par la racine du nombre qui aura servi de diviseur au nombre donné, et le produit sera la racine demandée.
- p.303 - vue 323/438
- - 3o4 MANUEL D’A R C H I T E D T U il É*
  - Les calculs précédents sont déduits des calculs différentiels; ce qui est d’un si grand avantage, que, pour peu que l’on en saisisse 'l’analyse-, Ion sera surpris de la rapidité étonnante des opérations destinées à élever un nombre au quarré ou au cube, ou à extraire la racine quarrée ou cubique d’un nombre donné; et j’ai peine à croire qu’il soit possible d’en trouver de plus expéditives.
  - F I N,
  - ERRAT A;
  - page ligne en place de lisez
  - 26 26 un cube un cube de
  - 40 -3 que donne que donnent
  - 40 18 1600 3 0 0 0
  - 72 8 à un cercle au môme cercle
  - 76 24 009,6 009,2
  - 78 22 892479 892339.
  - 24 89 211 89 2 9
  - 81 18 DEC DCE
  - 129 22 64 0 4 64 0 0
  - i3o 8 64 0 4 64 0 0
  - 9 et 11 38 9 7 11 38 91111
  - 12 1 10 7 8 1 lo 7 io
  - 16 22 7 8 22 7 10 0
  - 184 19 places plans
  - i73 27 et l’on nomme# etqiiel’oh nomme#
  - 208 20 superficie superficiels
  - 218 1 8 218
  - 221 18 l’épsaiseur l'épaisseur
  - 367 22 4o853o5a 4o583o5a
- p.304 - vue 324/438
- - Pl.l
  - MATST^ESIi D -A3VCHI TE C TTJIŒ.
- pl.1 - vue 325/438
- - MANTJEX. I) AILCHITUCTUICE,
  - Tl, 2 ,
- pl.2 - vue 326/438
- - Pl. 3.
- pl.3 - vue 327/438
- - PI. 4-
- pl.4 - vue 328/438
- - Pl. 5.
- pl.5 - vue 329/438
- - MANUEL D'ARCHITECTURE
  - PI 6
- pl.6 - vue 330/438
- - MANUEL D’ARCHITECTURE
  - x 5?
- pl.7 - vue 331/438
- - MANUEL «ARCHITECTURE
  - Pl. 8
- pl.8 - vue 332/438
- - MANUEL DARCHITECTURE, Pl, Q,
- pl.9 - vue 333/438
- pl.10 - vue 334/438
- - TABLES
  - DES NOMBRES QUARRÉS
  - ET CUBIQUES,
  - ET DES RACINES DE CES NOMBRES,
  - depuis 1, jusqu’à 10,000.
  - V
- p.n.n. - vue 335/438
- p.n.n. - vue 336/438
- - TABLES DES QUARR^S ET DES CUBES.
  - Ra- cines Quarr és. Cubes.
  - 1 2 1 4 1 8
  - 3 9 27;
  - 4 16 64.
  - 5 25 125
  - 6 36 216
  - 1 49 343
  - 8 64 5l2
  - 9 81 729
  - 10 1 00 1 000
  - 11 1 2| 1 33i
  - 12 1 44 1 728
  - i3 1 6y 2197
  - H 2 96 2 744
  - i5 2 25 3 375
  - 16 2 56 4 096
  - 289 4oi3
  - 18 3 24 5 832
  - *9 3 61 6 859
  - 20 400' 8 000
  - ai 441 9 261,
  - 22 484 10 648
  - 23 529 12167
  - 24 5 76 i3 824
  - 25 «25 15 625
  - 26 676 17 576
  - 27 7 29 19683
  - 28 784 21 062
  - 59. 841 24 389
  - 3o 9Ù0 27 000
  - 3i 961 29791
  - 3a 1024 02 768
  - 33 1089 35ç37
  - fi 11 56 39.004
  - 35 12 25 4287^
  - 36 1196 46 656
  - 37 i3 09 5o 653
  - 38' 1444 54872
  - 39 l5,21 59 3ig
  - 40 1600 64 oop
  - 4.1 1681 68921
  - 1764 74088
  - 43 1849 79 507
  - 193a 85184
  - 45 20 25 i 91 125
  - 46 21 l6 97 336
  - 47. 22 09 lo3 8a3
  - 48 23 04 iio 692
  - ' I9 24 01 117649
  - 5o 25 Q0 ia5 000
  - 5o
  - Ra- Qùarrés* Cubes.
  - cines.
  - 5t 2661 102 65i
  - 52 2704 140608
  - 53 28 09 148 877
  - 54 29 16 167 464
  - 55 3o 25 160 375
  - 56 3i 36 175 6i6
  - 57 3249 185193 :
  - 58 33 64 195 112 '
  - 5g 0481 2o5 379
  - 60 3o 00 216000 1
  - 6l 37 21 226 981
  - 62 38 44 238 028
  - 63 3ç 69 25o 047
  - 64 4090 262 144
  - 65 42 q5 274625
  - 66 4356 287 496.
  - $7 4489 3 00 763
  - 68 4624 3i4432Ï
  - 69 4761 328 5oÿ
  - 70 v 4900 343 000
  - 71 5041 357 91:1
  - 7? 5i 84, 370 248
  - 73 53 29 389017
  - 74 54.76 405 224
  - 75 56 25 421875
  - 76 67 76* 438 976 456 533
  - 77 5929
  - 78 6084 474 552
  - fo 6241 64 00 493 639 5ii 000
  - 81 65 61 531441
  - 8a 67 24 55i 368
  - 83 68% 571 787 i
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- - TABLES DES QDARRES
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- - ST DES CUBES»
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- - TABLES DES QUARR^S
  - Ra- cines. Quarts. Cubes. Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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- p.n.n. - vue 340/438
- - ET DES CUBES
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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- - TABLES DES QUÀRRES
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  - 1292 1 66 92 64 2166689088
  - I29O 1-67 18 49 2 161 700757 -
  - 1294 1 67 44 36 2 166720 184
  - 1295 1 67 70 25 2 171 747 376
  - 1296 1 67 96 16 2176 782 336
  - 1297 i 68 22 09 2181 825 073
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  - 1299 1 68 74 01 2 191 933 899
  - 1000 i 69 00 00 2 197 000 000
  - ....
  - i3oo
- p.n.n. - vue 349/438
- - TABLÉS DES QUARR^S
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes. Ra- cines. Quarrés. Cubes.
  - 1301 1302 1303 1304 1305 1 69 26 Ol 1 69 52 04 1 69 78 09 1 70 04 16 1 70 3o 25 2 202 073 901 2207 i55 608 2 212 245 127 2217342464 2 222 447 625 1351 1352 1353 1354 1355 1 82 52 01 1 82 79 04 1 83 c6 09 1 83 33 16 1 83 60 25 2 466 846 551 2471 326208 2 476 8i3 977 2 482 3o9 864 2487813876
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  - 1336 1337 1338 1339 1840 1 78 48 96 1 78 75 09 1 79 02 44 î 79 29 21 1 79 56 00 2 384 621 o56 2 389 979 753 2 395 346 472 2 400 721 219 2 406 104 000 1386 1387 1388 1889 1390 1 92 09 96 1 92 67 69 1 92 65 44 1 92 93 21 1 93 21 00 2 662 5co 466 2 668 267 6o3 2 674 040 072 2 679 826 869 2686 619000
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  - 1346 1847 134$ i35o 18] 17 16 1 81 44 09 1 8i 71 04 181 98 01 182 25 00 2 438 569 736 2 444 008 923 2 449 456 192 2 464 911 549 2 466 375 000 ^ 1396 1397 1398 1399 1400 1 94 88 16 1 95 26 09 1 95 44 04 1 ç5 72 01 1 96 00 00 2 720 547 i36 2 726 397 773 2 732 266 792 2 738 124 199 2 744 000 o«o
  - r
  - i35q 1400
- p.n.n. - vue 350/438
- - ET DES CUBES/
  - fta- cines. Quarrés. Cubes.
  - 1401 1402 1400 1404 14 o5 1 9^ 28 01 1 96 56 04 1 96 84 09 1 97 12 16 1 97 40 25 2 749 884 201 2 755 776 808 2 761 677 827 2 767 587 264 2 773 5o5 125
  - 1406 1407 1408 1409 1410 1 97 68 36 1 97 96 49 1 98 24 64 1 90 Sa 81 198 8100 2779 431 416 a 785 366 i43 2 791 309 D12 2 797 260 929 2 8o3 221 000
  - 1411 141a 1410 1414 1415 1990921 1 99 27 4.4 1 99 65 69 1 99 93 96 2 00 22 25 2 809 189 531 2815 166 528 2821 l5l y97 2827 145944 2 833 148 075
  - 1416 1417. 1418 1419 1420 2 00 5o 56 2 00 78 89 2 01 07 24 2 01 35 61 2 01 64 00 2 839 15o 296 2 845 178 713 2 85i 206 622 2 867 243 069 2 863 288 000
  - 1421 !422 1423 14M 1425 2 01 92 41 2 02 20 84 a 02 49 29 2 02 77 76 2 o3 06 a5 2 869 34i 461 2 876 4o3 448 2881 473 067 2 887 553 024 2 893 640 625
  - 1426 1427 1428 142.9 i43o 2 o3 34 76 2 o3 63 29 2 o3 91 84 2 04 20 41 2 04 49 00 2 899 736 776 2 905 841 483 4 911 ç54 y5i 2 918 076 689 2 924 207 000
  - i43i 1422 1433 1434 1435 2 o4 77 61 2 o5 06 24 2 o5 04 89 2 o5 63 56 2 o5 92 a5 2 9D0 345 991 a 936 493 568 2 942 649 787 4 948 814 5o4 2 964 987 875
  - 1426 1487 i438 1429 1440 2 06 20 96 2 06 40 69 2 06 78 44 2 07 07 21 2 07 36 00 2961 169856 2 967 366 453 2 973 559 672 3 979 7^7519 2 985 984 OOO
  - 1441 1442 1442 1444 1442 2 07 64 81 2 07 93 64 2 '08 22 49 2 08 51 36 2 08 80 25 2 992 209121 2 998 442 888 3 004 685 007 3 010 906 384 3 017 196 125
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  - M^O
  - Ra- cines. Quarrés. Cubés; f
  - 1451 1462 1453 1464 1455 2 10 54 01 2 10 83 04 2 11 1209 2 114116 2 11 70 25 3 064936 851 1 > 061 2.67 408 ; 3 067 586 677 3 073 924 664 3 080 271 375
  - 1456 1457 1458 1469 1460 2 n 99 36 2 12 28 49 212 67 64 2 12 86 b 1 2 13 1600 3 086 626 816 3 093 990 993 3 099 563 912 3 io5 745 679 3 112 i36 000
  - 1461, 1462 1463 1464 1465 2 l345 21 3 1-274 44 2 1 4 03 69 2 14 32 96 2 14 62 25 3 118 535 181 3 124 940 128 3 131 369 847 3 137 78b 344 3 144 219 625
  - 1466 1467 1468 1469 1470 3 1491 56 2 3 5 20 89 3 i5 5o 24 3 i5 79 61 3 16 09 00 3 i5o 662 696 3 157 114.563 3 T 63 575 232 3 170 044 709 3 176 523 000
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  - Y
  - i5oo
- p.n.n. - vue 351/438
- - TABLES DES QUARRES
  - : Racines. Quarrés. Cubes.
  - i5oi 2 25 3o oi 338i 754 5oi
  - i5oi 2 25 60 04 3 388 5i8oo8
  - i5o3 ' 2 25 90 09 3 3g5 290 627
  - i5o4 2 26 20 16 3 402 072 064
  - i5o5 2 26 5o 25 3 408 862 626
  - •i5o6 2 26 80 36 3 415 662 216
  - 1607 a 27 io 49 3 422 470 843
  - i5o8 2 27 40 64 3 42g 288 5i2
  - i5o9 2 27 70 81 3 486 115 229
  - i5io 2 28 01 00 3 442 951 000
  - i5u 2 28 3i 21 3 44g 795 831
  - l5l2 2 28 61 44 3 466 64g 728
  - i5i3 2 28 91 69 3 463 512 697
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  - i5i8 2 3o 43 24 3 497 963 832
  - i5ig 2 3o 73 61 3 5o4 881 359
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  - /r/r.
  - Ra- cines. Quarrës. Cubes.
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- p.n.n. - vue 352/438
- - É T DES CUBES
  - i: Racines. Quarrés. Cubes.
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  - \65o
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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  - I7OO
- p.n.n. - vue 353/438
- - TABLES DES QUARRES
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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  - ‘ 1716 1717 1738 3739 173° 2 94 46 56 3 94 80 89 295 1524 2 96 49 61 2 96 84 00 5 o53 029 696 5 061 868 8i3 5 070 718 202 5 079 577 959 5 c88 448 coo
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  - *74t , 1742 1 1743 1744 1745 3 o3 jo 81 3 00.45 64 3 o3 80 49 3 04 i5 36 3 04 5o 25 5 277 1 12 021 5286210488, 5 295.319 407 5 3oi 438 784, 5 313 568 625
  - ; 174.6 1747 1.748 1749 'JS? 3 04 85 16 3 <?5 20 09 3 o5 55 04 5 06,90 01 -3 06 25 00 5 322,708 936 5 331 869 723 5 341 020 ÇÇ3, 5 35o 192 749 5 359 375 coo
  - *7^.0
  - Ra- cines. Quarrds. Cubes.
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  - l800
- p.n.n. - vue 354/438
- - ET DES CUBES.’
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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  - 1900
- p.n.n. - vue 355/438
- - TABLES DES QUARRES
  - Ra- cines, Quarrés. Cubes. Ra- cines. Quarrés. Cubes..
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  - ;195o
  - apoo
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- - ET DES CUBES,
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  - T
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- - ET DÈS CUBES»
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- - ET DES CUBES
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  - 3 y5o
  - 4qoo
- p.n.n. - vue 376/438
- - ET DES CUBES.
  - ’ Racines. . Quarts. Cubes.
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  - 4o5o
  - Ra- cines. Quarre's. Cubes.
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  - 4066 4067-. 4068 4069 4070 16 53 23 56 16 64 04 89 1664 86 24 16 55 67 61 16 56 49 00 67 220 559 496 67 270 168 760 67319802482 67 369 460 609 67 419 140 000
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  - 410a B l> ij
- p.n.n. - vue 377/438
- - TABLES DES QUARRES
  - ' Racines. Quarrés. Cubes.
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  - â\ 1 \- ,
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
  - 4i5'i 4152 4153 4154 4155 4156 4157 4158 4159 4160 4161 4162 4163 4164 4165 4166 4167 4168 4169 4 i/9 1 41.71 41,72 4173 4174 4175 4176 4177 4*78 41,79 4180 4181 4182 4183 4184 4185 4186 4187 4188 4189 A1?0 4191 4i 9.2 4193 4194 4195 4196. 41(97 4198 4199 4200 17 20 08 01 17 23 91 04 17247409 17 25 57 16 17 26 40 25 17 27 23 0,6 17 28 06 49 17 28 89 64 17 29 72 81 17 3o 56 00 17 01 89 21 17 02 22 44 17 33 c5 69 17 33 88 96 17 34 72 25 17 35 55 5.6 17 36 38 89 17 37 22 24 17 38 o5 61 17 38 89 oo 17 3.9 7241 17 40 55 84 1741 39 29 17 42 22 76 17 43 96 25 1743 89 76 17447029 17 45 56 84 17 4640 41 17 47 24 00, 17 48 07 64 1748 91 24 17 49 74 89 17 5o 58 56 17 5i 42 25 17 52 2,5 96 17 53 09 09 17 53 93 44 17 54 77 21 17 55 61 90 17 5.6 44 8i 17 57 28 64 17 58 12 49 17 58 96 36 1? 5g 89 p. 47 6964 16 17 61 48 09 17 63 32 04 17 63 16 01 17 64 00 00 71 525 o54 o5T 71 576 759 808 71 628 489 577 71 680 244 264 71 702 023 875 71 783 828 416 71 835 65y 8g3 71 8S7 5i 2 3i2 71 909 391 679 71 991 296 000 72 043 225 281 72 og5 j 79 5a8 7.2 147 i58 747 72 199 162944 73 25'l 192 125. 73 3o3 246 296 72 355 325 460 72 407 429 632 72 459,558 809 72 5n 713 coo 72 563 892 211 72 616 096 448 72 668 025 717 72 720 58a 024 72 772 859 375 72 825 i63 776. 72 877 493 233 72 929 847 752 72 982 227 009 73 034 632 000 7.3 087 061 741 73 i3g 5i6 568, 70 191 996487 73 244 Soi 5p4 73 297 001 6a5 70 349 586 856 73 402 167 200 70 4.54 772 67a 73 507 4o3 209 73,56o 059 900, 73 642 739 871 73 665 445 888 73. 718 177 o57 78 770 980 384 73 823 714 878 70 876 521 536 70 929 353 .873 70 982 210 392, 74 o35 092 599 74 088 000 OOQ
- p.n.n. - vue 378/438
- - ET DES CUBES
  - ‘ Rapines. Quarres. Cubes. Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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  - z|3oo
- p.n.n. - vue 379/438
- - TABLES DES QUARR^S
  - ! Racines. Quanés. Cubes.
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  - 440Q
- p.n.n. - vue 380/438
- - E T DES CUBES,
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  - 445o
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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  - 45oo
- p.n.n. - vue 381/438
- - TABLES DES QUARR^S
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  - 455©
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  - 465o 4 7°° G ü
- p.n.n. - vue 383/438
- - TABLES DES QUARRÊS
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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- - ET DES CUBES
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  - Ra- cines. Quarrés. Cubes. |
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  - r-
  - 4^5o 49°° C c i|
- p.n.n. - vue 385/438
- - TABLES DES QUARRES
  - Ra- cines. Quarrés, Cubes. Ra- cines. Quarrés, Cubes.
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- p.n.n. - vue 386/438
- - ET DES CUBES.
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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  - 5q5q
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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  - 5061 5062 5063 5064 5065 25 61 37 21 25 62 38 44 25 63 39 69 25 64 40 96 25 65 42 25 129 631 041 981 129 707 898 028 129 784 785 047 129 861 702 144 129 988 649 620
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  - §096 5°97 6098 5099 5100 25 96 92 16 25 97 94 09 25 98 96 04 25 99 98 01 26 01 00 00 132 339 124736 132417047 673 i32 495 001 192 i32 572 985 299 1.32 651 000 000 ’ — 1 "11. U
  - 5i oo
- p.n.n. - vue 387/438
- - TABLES DES QUARÏliS
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
  - 5xoi 5102 5103 5104 5xo5 26 02 02 ox 26 o3 04 04 26 04 06 09 26 o5 08 16 26 06 10 25 x3a 729 046 3ox 132807 X2X 208 13a 885 227 727 i3a 963 364 864 133 041 53a 6a5
  - 5106 6107 5108 5109 5no 26 07 12 36 26 08 14 49 26 09 x 6 64 26 10 18 81 26 11 21 00 i33 119 73x ox6 i33 197 960040 i33 276 219 712 i33 354 510 029 i33 432 831 000
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  - 5126 5127 5xa8 5129 5130 26 27 58 76 262861 29 26 29 63 84 26 3o 66 41 26 3i 69 00 134 690 140 376 134 768 o83 383 134 847 857 l5'2 x34 926 761 689 135 oo5 697 000
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  - 5200
- p.n.n. - vue 388/438
- - ET DES CUBES,
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  - 5 3qq
- p.n.n. - vue 389/438
- - tables des QUARREâ
  - Ra- einos. Quarrés. Cubes. Ra- cines. Q narrés. Cubes.
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  - |65q
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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  - 57oq D d
- p.n.n. - vue 393/438
- - TABLES DE
  - ' Racines. Quarrés. Oubes.
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- - TABLES DES QUARR^S
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  - 63og E e
- p.n.n. - vue 399/438
- - Câbles dës QuarrIs
  - î ,Ra- j cines. Quarrés. Cubes. Ra- cines. Quarrés. Cubes.
  - 63oi 63oa 63c3 6304 6305 39 70 26 01 39 71 52 04 39 72 78 09 89 74 04 10 39 75 3o 25 25o 166 088 901 25o 285 215 608 25o 404 38o 127 25o 523 582 464 256 642 822 625 6351 6352 6353 6354 6355 40 33 52 01 40 34 79 04 40 36 06 09 40 3y 33 16 40 38 60 25 256 168 861 55i 256 289 886 208 256 410 948 977 256 532 049 864 256 653 188 876
  - 6306 6307 6308 63oç 6310 09 76 56 36 39 77 82 49 39 79 08 64 39 80 34 8 j 39 81 63 00 i5o 762 100 616 250 881 416 443 251 000 770 112 25i 120 1 oi 629 251 239 591 oôô 6356 6357 6358 6359 6360 40 09 87 36 4041 1449 40 42 41 64 40 43 68 81 40 44 96 00 256 774 366 016 2.66 896 58i 293 257 016 834 712 a.5y i38 126 279 257 259 456 000
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  - 635o 6400
- p.n.n. - vue 400/438
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- p.n.n. - vue 401/438
- - TABLES DES QU A R RES
  - ^Ra- cines. Quarrés. Cubes.
  - 6001 65oa 65o3 65o.f 65o5 42 26 3o 0! 42 27 60 04 42 28 90 09 42 3o 20 16 42 3i 60 25 274 751 760 Soi 274 878 578 008 27.5 oo5 425 527 276 i32 3i2 064 275.269 a37 626
  - 65o6 65p7 65o8 65oç 65 io 42 32 80 36 42 34 10 49 42 35 40 64 42 36 70 81 42 38 oi 00 275 38.6 202 216 275 5i3 205 845 276 640 248 5l2 275 767 33o 229 275 894 461 QOO
  - 65i i 65io 6513 65j4 65i5 42 39 31 21 42.40 61 44 42 41 91 69 42 43 21 96 42 44 52 25 276 021 6io 831 276 148 809 728 a76 276 047 697 276 400 324 744 276 53o 640 875
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  - 653! 6532 6533 6534 6535 42 65 39 61 42 66 70 24 42 68 00 89 42 69 31 56 42 70 62 25 278.573019291 278 701 poo 768 378 829 021 437 278 967 081 3o4 279 o85 180 376
  - 6536 6537 6538 6689 6540 4271 9296 42 73 23 69 42 74 64 44 42 y5 85 2,) 42 77 16 OQ 279 2i3 318 656 279 841 496 i53 279 469 712 872 279 697 968 819 279 726 264 000
  - 6541 6542 6543 6544 6545 42 78 46 81 42 79 77 64 42 8j 08 49 42 82 89 36 42 83 7° zS 279 854 5y8 421 279 982 972 088 280 111 385 007 280 209 837 184 280 368 020 625
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  - Ra- cines. Quarrés. Cubes. 1
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- - ET DES CUBES.
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  - 67 00
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- - TABLES DES
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  - quarrJs
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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- - ET DES CUBES,
  - Ra- eines. Quarrés. Cubes.
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- - l'A BLES DES QUARRES
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- - ET DES CUBES.
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  - Ff
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- - TABLES DES QU A II RE S
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- - ET DES
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  - 7260
  - CUBES.
  - Ra- cines. Quarrds. Cubes.
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  - 7000 Ffij
- p.n.n. - vue 409/438
- - TABLES DES QUARRES
  - Ra- cines Quarrés. Cubes. Ra- cines. Quarre's. Cubes.
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- p.n.n. - vue 411/438
- - TABLES DES Q U A R R is
  - * Racines. Quarrés. Cubes. Ra- cines. Quarrés. Cubes.
  - 7501 7502 7503 y5°.\ y5o5 56 26 5o 01 56 28 00 04 56 29 50 09 56 3 j 00 16 56 32 5o 25 422 043 772 5oi 422 212 59C 008 422 38i 452 527 422 55o 36o:o64 422 719 3l2 625 7551 7552 7553 7554 7555 57 01 76 01 5y o3 27 04 5y 04 78 c9 5 7 06 29 16 57 07 80 25 43o 539 9o5 151 43o 710 980 608 430 882 101 377 4.31 o53 267 464 431 224478 875
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  - 755o
  - 7600
- p.n.n. - vue 412/438
- - ET DES CUBES,
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes. Ra- cines. Quarrés. Cubes.
  - 7601 7602 7603 7604 7605 57 77 52 01 57 79 04 04 57 80 56 09 57 82 08 16 57 83 60 25 439 149 302 801 439 322 651 208 439 496 045 227 489 669 484 864 489 842 970 125 7661 7652 7653 7654 7655 58 53 78 01 58 55 3i 04 58 56 84 09 58 58 37 16 58 59 90 25 447 872 715 45i 448 048 35 ) 808 448 224 084 077 448 3gg 762 264 448 5;5 536 375
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  - •]65q
- p.n.n. - vue 413/438
- - TABLES DES QUARRis
  - Ra- cines. Qilairés. Cubes. Ra- cines. Quanés. Cubes.
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  - 77^0 780O
- p.n.n. - vue 414/438
- - ET DES CUBES*
  - Ra- cines. tjuarrés. Cubés.
  - 780) ?8oi 7808 7804 7806 7806 7807 7808 7809 7810 781! 7812 7818 7814 7815 7816 7817 7818 7819 7820 7821 7822 '7823 7824 7825 7826 7827 7828 7829 7820 7831 7832 7833 7834 7835 7836 7837 7888 7839 7O4O 7841 7842 7843 7844 7845 7846 7847 7848 7849 7850 60 8’5 56 01 6087 iio4 60 88 68 09 60 90 24 10 60 91 80 25 60 93 36 36 60 94 92 49 6096 48 64 60 98 04 81 6û 99 61 00 61 01 17 21 Si 02 73 44 6 j 04 29 69 6 ) o5 85 96 61 07 42 25 6 x 08 98 56 61 10 54 89 61 12 11 24 61 i3 67 61 6ï i5 24 ca 6i 168041 61 18 36 84* 6i 19 ç3 29 61 21 49 76 61 23 06 25 61 24 62 76 6i 26 19 29 61 27 76 84 61 29 32 41 6i 3o 89 00 61 8% 45 61 61 34 02 24 61 35 58 89 61 37 16 56 6i 38 72 a5 61 40 28 96 61 41 85 69 61 40 42 44 61 44 99 21 61 46 56 00 6i 48 1281 61 4969 64 61 5i 2649 61 52 83 36 61 54 40 2.5 61 55 97 16 61 57 54 09 61 59 11 04 6i 606801 6i 6a a5 00 474 734 543 4°i 474 917 i33 608 475 099 770 627 475 282 454.464 475 465 i85 12b 475 647 962 616 475 83o 786 94$ 476013 658 112 476 196 576 129 476 579 541 000 476 562 552 781 476 74.5 60 328 476 928716797 477 m 869 144 47 7 295 068 57D 477 478314496 477 66ï 607 5i3 477 844 947 432 478 028 334 269 478211 768000 478 3g5 248 661 478 678 776 248 478 762 85o 767 478 945 972 224 479 129 640 625 479313355976 47$ 497 l*8 283 470 680 927 55i 479 864 785 789 480 048 687 000 480 232 637 19! 480 416 634 368 480 600 678 537 480 784 769 704 480 968 907 8j5 481153 og3 o5è 481 887 525 253 481 521 604 472 481 705 o3b 719 481 890 804000 481074 7^4 321 482259 191 688 482 448 706 107 482 628 267 584 482 812 876 125 482997 531 736 483 182234423 483 366 984 192 483 55i 781 049 483 736 625 000
  - 78 5q
  - IU- çiutîSs 7851 785a 7853 7.854 7855 7856 7867 /858 7359 7860 7861 7862 7863 7864 7865 7866 7867 7868 7869 7870 7871 7872 7873 7874 7875 7876 7877 7878 7879 7880 7881 7882 7883 7884 7885 7886 7887 7888 7889 7890 7891 7892 7895 7894 7895 7896 7897 7898 7899 7900 Qûarrés. Cubés. -J
  - 6i 63 82 ol 61 65 8g 04 61 66 96 09 61 68 53 16 61 yè 10 a5 61 71 67 36 6ï 78 ?4 49 6l 74 81 64 61 76 38 81 61 77 96 Co 61 79 53 il 61 81 10 44 6i 82 67 69 61 84 24 96 61 85 82 25 61 87 3ç 56 61 88 96 89 61 90 04 24 61 92 11 61 6i 93 69 00 6i-$5 26 41 61 96 83 84 61 98 41 29 ”61 99 08 76 62 ûî 56 25 6â o3 i3 76 62 04 71 29 6a 06 28 84 62 07 86 41 62 o$ 44 00 62 il èi 6i 62 12 5$ 24 62 1416 89 62 i5 74 56 62 i .7 32 25 6ii 89 96 62 20 47 69 6a 22 od 44 6aa3 632i 62 25 ai too 62 26 f8 8i 62 28 36 64 61299449 62 01 5a 36 62 33 io a5 62 34 68 i 6 62 36 a6 09 62 37 84 04 62 894201 62 41 00 00 483 921 5i6 o5i 484 106 464 208 484 291 439 477 484 476 471 864 484661 551 375 484 846 6^8 016 485 001 851 793 485 217 072 7 485 402 340 779 485 587 656 000 485 778 018 38i 485 y58 427 928 : 486 140 084 647 486 3ay 388 544 486514939615 486 700 537 896 486 886 183 363 487 071 876 032 ' 487257615909 487 440 403 006 487 629 0.87 3 i i 487 8i5 118848 488 001 047 617 488 187 02b 624 488 873 046 875 488 55g 117 376 488 745 235 i33 ; 488 $31 400 i52 489 117612439 489 3b3 872 ©bo 4S9 496 178 ?41 489 676 532 968 489 862 ©34 087 490 049 383 104 : 49oa35 079 Ü5 49'o 4Ü 4.24 4âè 490 609 qi3 io3 490795 651 072 490 902 336 369 4y 1 269 069 000 491 355 848 $71 491 542 676 288 491 729 55o 957 491 916 472 984 492 io3 442 375 493 296 469 i36 492 477 523 278 492 664 634 7$2 492 8§i 798 699 493 o3g 000 Sgo , —
  - Q |
- p.n.n. - vue 415/438
- - TABLES DÈS QUAHRIZS
  - ; Racines. Quanés. Cubes.
  - 7901 7902 7903 7904 7905 62 42 58 01 Ô2 44 16 04 62 45 74 09 62 47 32 16 62 48 90 25 493 226 253 701 493 413 554 808 493 600 908 327 493 7S8 299 264 493 975 742 625
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  - 7931. 7902 7933 7$ 62 90 07 61 6291 6624 62 93 24 89 62 94 83 56 62 96 42 25 498 865 ç35 401 499 o54 061 568 499 248 435 237 499 432 256 5o4 499621 125378
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  - Ra- cines. Quarrés. - -.11- •.„» Cubes.
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- p.n.n. - vue 416/438
- - ET DES CUBES,
  - Ra- cises. Quarrés. Cubes. Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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  - Bq5q 8lOO G g ij
- p.n.n. - vue 417/438
- - TAB1.ES DES QXJARR^S
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes. Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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  - 8131 8122 8 J 23 '8124 8! 25 65 g5 06 41 65 96 68 84 65 98 3i 29 65 99 93 76 66 91 56 25 535 585 i55 56i '535 783 o3x 848 535 980 956 867 536.178 900 624 536 376 Ç53 125 817, 8172 8173 U 66 76 52.41 66 78 1684 66 79 79 2.9 66 81 42 76 66 83,o6 25 545 538.784 211 545 739 104 448 545.939 473717 546 139 892 024 546 340 359 075.
  - 8126 8127 8138 8139 8i3o 66 ç3 ,8 76 66 94 81 29 66 06 43.84 66 08 06 41 66 99 69 OO; 536 $75 924 376 536 773 144 383 536 971 3x5 162 537 x69.53o 689. 587 367 797 ocd 8176 81.77 8178 8179 8180 66.8469,76 66 86 33 29 66 87 96 84 66 89 00 41 66 91 24 09 546 540 876 776. 546 741 441 233 , 546 942 655 -jS 2. 547 ,42719-039 5^7 Ù/\0 432 OOO
  - . 8i3i 8i32 ; 8l33 8i34 ; 8x35, 66 11 3i6i 66 12 94 24 66 ,4 56 89 66 ,6 ,9 56 66 17 82 2,5 537 566 112091 535 764 475 9,68 537962888637 338 161 35o 194 538 359 860 075, 8184 8182 8183. 8184 8,85 66 97 8.7 61 66 94 5, 2,4 66 96 14 89 6.6 9.7 78 56 66 99 42 25 547 544 198741 547 745 004 568 547 9.45864 487 548 146 773 604 548 347 73i 625.
  - 8i36 81.37 8,38 8139 8140 66 ,9 44 9(5 66 2, 07 69 66227044 66 34 o3 21 66 25 96 00 538 558419 456 538757027353 538 965 684 077 53,9154089 61,9 53i9353 144.006 8,86 8187 8188 8189 &içb; 67 qi o5 96 67 02 69 69 67 04 33 44 67 o5 97 21 67 0.7,61 09 548 548 738856 5.48 749 795 ao3 548 95o 900672 549 162 o55 269 §49 353,269 000
  - &14, 8142 8143 8.44 8.45 6$37 58 8, 66292, 64 66 3o 84 49 66 35 47 36 66 34,ioa5 539 55i 947 221 53ÿ 75.0 799 288, 539 949 700 207 540 148 649 984 540 047 648 025 8192 8,93 8194 8195. 6.7 go 24 &i 67 io 88 64 67 12 5a 49 67 14 16 36 67 ,5 89 25. 549 554 5,i 87, 549 755 813 888 549 957 i65 067 550 i58 565084 55c, 36o 014 875
  - 8146 1$ ,1$ 6635 73 26» 66 3y 36 09 66 38 99 04 66 40 62 o, 66 422500 540 546 696 136 540 745 792 5a3 040 944 9 37 792 541 144 i3i 949 641 343 375 QOO 8196 8197 8198, 819,9 8300 67 17 44 16 67 ,9 ç8 09 ; 67 20 72 04 6722 36 oi 67,24 00 00 55o, 56i 5i3 536 550 763 061 373. 65.0 9.64 658392 551 166304 599 551 368000669.
- p.n.n. - vue 418/438
- - ET DES CUBES»
  - Ra- cines. Quarfés. Cubes.
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  - 8206 8207 8208 8209 8210 67 33 84 36 67 35 48 49 67 37 ^2 64 67 38 76 8i 674041 OQ 552 679 2o5 816 552 781 245 743 552 q83 334 912 553 i85 473 029 553 387 661 006
  - 82U 8212 8213 8214 8215 67 42 o5 21 67 43 69 44 67 45 33 69 67 46 97 96 67 48 62 25 553 589 897 q3 i 553 792 184 128 553 994 619 597 554 196 904 344 554 399 338 375
  - 8216 8217 8218 8?! 9 8220 67 5o 26 56 67 51 90 89 67 53 55 24 67 55 19 61 67 56 84 00 554 601 821 696 554 804 3.54 313 555 006 936 232 555 209 067 459 555 412 248 000
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  - 822.6 8227 8228 8229 8200 67 66 70 76 67 68 35 29 67 69 99 84 6771 6441 67 73 IÇ OO 556 629 367 176 5.56 832 390 o83 557 o35 468 35a 557 238 592 989 557 441 767 000
  - 8221 8232 8233 8234 8235 67 74 93 6i 67 76 58 24 67 78 22 89 67 79 87 56 67 81 52 25 557 644 990891 557 848 263 168 558 o5i 585 337 558 264 966 904 558 458 377 875,
  - 8236 8237. 8238 8239 8240 67 83 16 96 67 84 81 69 67 86 46 44 67 88 11 21 67 89 76 OQ 558 661 8^8 256 558 865 368 o53 559,068 937 272 55q 272555 919 55q 476 224 000
  - 8241 8242 8243 8244 8245 6791 4081 67 93 o5 64 67 94 7049 67 96 35 36. 67 98 00 25 559679941 521 559 883 708 488 560 087 524 907 56o 291 390 784 56o 4q5 3o6 125
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  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
  - 8251 8252 8253 8254 8255 8256 8257 8258 8269 8260 8261 8262 8263 8264 8265 8266 8267 8268 8269 8770 8271 8272 8273 8274 8276 8276 8177 8278 8279 8280 82S1 8282 8283 8284 8285 8286 8287 8288 8289 8290 8291 8292 , 8293 8294 8295 8296 8297 8298 ! 8299 83oo 68 07 90 61 68 09 55 04 68 11 20 09 68 12 85 16 68 14 5o 25 68 16 i5 36 68 17 80 49 68 19 45 64 68 21 10 81 68 22 76 00 68 24 41 21 68 26 06 44 68 27 71 69 68 29 36 96 68 3i 02 25 68 32 67 56 68 34 32 89 68 35 98 24 68 37 63 6i 68 39 29 00 68 40 94 41 68 42 §9 84 68 44 25 29 68 45 90 76 68 47 56 25 68 49 21 76 68 5o 87 29 68 52 5i 84 68 54 1841 68 55 84 00 68 67 49 61 68 59 i5 24 68.60 80 89 68 62 46 56 68 64 1,2 25 68 65 77 96 68 67 43 69 68 69 09 44 68 707521 68 72 41 09 68740681 68 75 72,64 88 77 38 49 68 79 04 36 68 80 70 a5 68 82 36 16 68 84 02 09 68 85 6804 68 87 34 01 68 89 op 00 56i 719 837 261 561 924 099008 562 128 410 277 562 332 771 064 562 537 181 378 562 741 641 216 562 946 i5o 5ç3 563 i5o 709 512 563 355 317 979 563,55.9 976 000 5.63 764 683 58i 563 969 440 728 564174 247 447 564 379 io3 744 564 584 009 628 564 788 965 096 564 993 970 i63 565 199 024 832 565 404 129 109 565 609 283 000 565 814 486 5n 566 019 y3ç 648 566 225 042 417 566 439 394 824 566 635 796 875 566 841248 576 567 046 749 933 567 262 3oo 962 667 457 901 639 567 663 552 000 567 869 252 041 568 075 001 768 568 2S0 801 187 568 486 65o 304 568 692 549 125 5.68 898 497 656 569 104 495 oo3 569 3io 643 872 569 5i6 641 569 569 722 789 000 569 928 986 171 570 i35 233 088 570 341 529 767 670 547 876 184 670 754 272 375 5yo 960 718 336 571 167 214 070 571 373 y5tj 5ç2 5y 1 580354899 571 787 000000
- p.n.n. - vue 419/438
- - TABLES DES QUARR1S
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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  - 8311 8912 8313 8314 85i5 69 07 27 21 69 08 98 44 69 10 69 69 69 12 25 96 69 i3 92 25 574 o63 384 201 674 270 627 328 674 477 920 297 574 685 263 144 674 892 655 875
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  - >83 5q
  - Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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- - TABLES DES quarrés
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  - 88 oo
- p.n.n. - vue 424/438
- - ÉT ï) E S CUBES.
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- - ET DES CUBES»
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- p.n.n. - vue 427/438
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- p.n.n. - vue 428/438
- - feT DES CUBÉS.
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  - Cubes.
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- p.n.n. - vue 429/438
- - tables des quarreS
  - Ka. cines, Quarrés. Cubes. Ra- cines. Quarrés. Cubes.
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  - S QUARRES
  - Ra- cines. Quarrës. Cubes.
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  - C)600
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- - ET DES CUBES
  - Ra- cines. Quarrés, Cubes.
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- - TABLES DES QUARrJs
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  - Ra- cines. Quarts. Cubes,
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- - ET DES CUBES,
  - Ra- cines. QuarreSi Cubes.
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  - 99QQ
- p.n.n. - vue 435/438
- - TABIÆS DES QUARRis ET DES CUBES.
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  - 9981 9982 9980 0984 9985 99 62 o3 61 99 64 o3 24 99 66 02 89 99 68 02 56 99 70 02 25 994 3io 823 141 994 609 714 168 994 908 665 087 995 207 675 904 995 5oo 746 625
  - 9986 9987 9988 9989 9990 99 72 0196 99 74 01 69 99 7601 44 99 78 01 21 99 80 oi 00 995 8o5 877 256 996 io5 067 8o3 996 404 318 272 996 703 628 669 997 002 999 000
  - 9991 9992 9992 9994 9996 99820081 99 84 00 64 99 86 co 49 99 88 00 36 99 90 00 25 997 3o2 429 271 997 601 919 488 9y7 901 469 657 998 201 079 784 998 5co 749 875
  - 9996 9997 9998 9909 ÎOOOO 99 92 00 16 99 94 co 09 99 96 00 04 99980601 | 100 00 co 00 998 800 479 ç36 999 ico 269 973 999 400 119 992 999 700 029 999 10^0 000 000 000
  - Fin.
  - X QQO
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- - APPROBATION.
  - J’ai lu, par ordre de Monseigneur le Garde des Sceaux, un manuscrit ayant pour titre Manuel cVarchitecture, ou Principes des opérations primitives cle cet art, par M. Seguin , Entrepreneur. Le grand nombre d’exemples des différentes especes de toisés des surfaces et des solides, dans lesquels l’Auteur est entré , me fait croire que cet Ouvrage sera utile à tous ceux qui s’occupent de cette partie de l’architecture.
  - Au Vicux-houvre, ce 3o novembre 1785. MAUDUIT, Lecteur et Professeur Royal, et Professeur de VAcadémie Royale d‘Architecture.
  - PRIVILEGE DU ROI.
  - Louis, par la grâce de Dieu, Roi de France et de Navarre, à nos amés et'féaux Conseillers , les Gens tenants nos Cours de Parlement, Maîtres des Requêtes ordinaires de notre Hôtel, Grand-Conseil, Prévôt de Paris, Baillis, Sénéchaux, leurs Lieutenants-Civils, et autres nos Justiciers qu'il appartiendra : Salut. Notre amé le sieur Skguin, Entrepreneur, Nous a fait exposer qu’il desireroit faire imprimer et donner a u Public le Manuel d! architecture, ou Principes des opérations primitives de cet art, etc. s’il nous plaisoit lui accorder nos Lettres de privilège pour ce'nécessaires. A ces causes, voulant favorablement traiter l’Exposant, nous lui avons permis et permettons par ces Présentes de faire imprimer ledit Ouvrage autant de fois que bon lui semblera, et de le vendre, faire vendre et débiter par tout notre Royaume : voulons qu’il jouisse de l’effet du présent Privilège pour lui et ses hoirs à perpétuité, pourvu qu’il ne le rétrocédé à personne; et si cependant il jugeoit à pro-
  - f»os d’en faire une cession, l’acte qui la contiendra sera enregistré en a Chambre Syndicale de Paris , à peine de nullité, tant du Privilège que de la cession; et alors, par le fait seul de la cession enregistrée, la durée du présent Privilège sera réduite à celle de la vie de l’Exposant, ou à celle de dix années, «à compter de ce jour, si l’Exposant décédé avant l’expiration desdites dix années; le tout conformément aux articles IV *t V de l’Arrêt du Conseil du 3o août 1777,, portant Réglement sur la durée des Privilèges en Librairie. Faisons défenses à tous Imprimeurs,
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- - tabrairès et autres pel-sonties de queLque qualité et condition quelles soient, d’en introduire d’impression étrangère dans aucun lieu de notre obéissance; comme aussi d’imprimer ou faire imprimer, vendre, fairë vendre, débiter ni contrefaire ledit Ouvrage, sous quelque prétexte que ce puisse être, sans la permission expresse et par écrit dudit Exposant, ou de celui qui le représentera, à peine de saisie et de confiscation des Exemplaires contrefaits, de six mille livres d’amende, qui ne pourra titre modérée pour la première fois, de pareille amende et de déchéance d’état en cas de récidive, et de tous dépens , dommages et intérêts, conformément à l’Arrêt du Conseil du 3o août 1777, concernant les contrefaçons: A la charge que ces Présentes seront enregistrées tout au long sur le Registre de la Communauté des Imprimeurs et Libraires de Paris, dans trois mois de la date d’icelles; que l’impression dudit Ouvrage sera faite dans notre Royaume èt non ailleurs, en beau papier et beaux caractères, conformément aux Réglementsde la Librairie, à peine de déchéance du présent Privilège; qu’avant de l’exposer en vente, le manuscrit qui aura servi de copie à l’impression dudit Ouvrage sera remis dans le même état où l’approbation y aura été donnée ès mains de notre très cher et féal Chevalier, Garde.des Sceaux de France, le Sieur Hue de Miromesnil, Commandeur de nos Ordres.; qu’il en sera ensuite remis deux Exemplaires dans notre Bibliothèque publique, un dans celle de notre Château du Louvre, un dans celle de notre très-cher et féal Chevalier, Chancelier de France, le Sieur de Maufeou , et un dans celle dudit Sieur Hue de Miromesnil : le tout à peine de nullité des Présentes; du contenu desquelles vous mandons et enjoignons de faire jouir ledit Exposant et ses hoirs, pleinement et paisiblement, sans souffrir qu’il lui soit fait aucun trouble ou empêchement. Voülons que la cppie des Présentes, qui sera imprimée tout au long au commencement ouJi la fin dudit Ouvrage, soit tenue pour dûment signifiée, et qu’aux copies collationnées par l’ûn de nos amés et féaux Conseillers Secrétaires „fpi soit ajoutée comme à l’original. Commandons au premier notre tlttïssier ou Sergent sur ce requis, de faire, pour l’exécution d’icelles, U5îl5factes requis et nécessaires, sans demander autre permission, et nonobstant clameur de Haro, Charte Normande, et Lettres à ce contraires,'Car tel est notre plaisir. Donné à Versailles le trente-unieme jour du mois de décembre l’an de grâce mil sept cent quatre-vingt-cinq, et de notre régné le douzième, PAR LE ROI, EN SON CONSEIL.
  - Le Begue.
  - Registre sur le Registre XXII de la Chambre Royale et Syndicalè des Libraires et Imprimeurs de Paris, n. 5 26, fol. 624, conformé* ment aux dispositions énoncées dans le présent privilège; et à la charge de remettre à ladite Chambre les neuf exemplaires prescrits par l’Arrêt du Conseil du 16 avril 1785. A Paris, le in janvier 1781>. LECLERC, Syndic.
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