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TOME 1

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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
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    • PHYSIQU ES.
    • TOME PREMIER.
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    • RÉCRÉATIONS
    • MATH É M A T I Q UES
    • ET
    • PHYSIQUES,
    • Qui contiennent les Problèmes & les Queftions les plus remarquables , & les plus propres à piquer la curiofité, tant des Mathématiques que de la Phyfique ; le tout traité d’une maniéré à la portée des Le&eurs qui ont feulement quelques connoiffances légères de ces Sciences.
    • Par feu M. O Z A NA M, de F Académie royale des Sciences, &c.
    • Nouvelle Edition, totalement refondue & confidérablement augmentée par M. de C. G. F.
    • TOME PREMIER,
    • Contenant L’ARiTHMiTiQUE & la Gêomé;
    • A PARIS, RUE P AU P HIN Chez Cl. Ant.~ Jombert, fils aîné, Libraire du Roi pour le Génie & l’Artillerie.
    • M. DCC. LXXVÎIL
    • AVEC APPROBATION, ET PR.
    • '.IVILEGE VU ROI.
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    • PRÉFACE.
    • Quoique les Mathématiques foient vulgairement & avec quelque raifon réputées les plus épineufes des connoiffances humaines, tous ceux qui y font même légèrement initiés, ne fauroient difconvenir qu’elles préfentent un grand nombre de quellions fur les nombres, & fur l’étendue, (fans parler des Mathématiques mixtes, comme l’Optique, la Mécanique, l’Ailro-nomie, Sec. ) qui, fans être d’un degré de difficulté capable de beaucoup occuper un eiprit cultivé, font propres à piquer fa curiolité, foit par leur folution , foit par les moyens dont on a pu y parvenir. Nous ne prétendons pas que des efprits, uniquement accoutumés à des leétures légères ou frivoles, Se qui n’ont pas même les connoiffances élémentaires des lciences exactes, puiffent trouver dans ces quellions de quoi les intéreffer Se les amufer. Mais , comme il entre aujourd’hui, non-feulement dans toute éducation recherchée , mais même dans l’éducation publique, de donner des idées au moins élémentaires Se fuperficielles des Mathématiques Se de la Phylique, il n’y a nul doute qu’il ne fe trouve en ce fiécle un grand nombre de Terne I. a
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    • ij PRÉFACE,
    • perfonnes capables de s’intéreffer à un ouvrage qui leur préfentera un choix bien fait de ce qu’il y a dans ces fciences de plus curieux par fon ufage ou fa Angularité. D’ailleurs, il eft des elprits de toutes les trempes, comme des caraftères & des vifages différents. Ce qu’un ordre d’hommesnonore d’une profonde indifférence, d’autres en font leurs délices. C’eft en cela que confifte l’harmonie de l’univers.
    • Nous ajouterons que jamais les Mathématiques & la Phyfique ne furent plus cultivées qu’elles le font aftuellement. Or,il y a deux claffes de perfonnes qui les cultivent : les unes par état, ou par le défir de s’illuftrer en reculant leurs limites ; les autres par pur amufement, ou par un goût naturel qui les porte vers ce genre de nos connoiffances. Ce fera, fi l’on veut, à cette dernière claffe de Mathématiciens & de Phyficiens que cet ouvrage fera deftiné ; quoique nous ne renoncions pas à intéref-fer en quelques endroits ceux de la première. Ènfin, il peut fervir à aiguillonner l’efprit de ceux qui commencent à étudier ces fciences ; & c’eft-là la raifon pour laquelle , dans la plupart des livres élémentaires, on tâche d’envelopper les queftions propofées pour exercer les commençans,
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    • PRÉFACE. iij
    • d’un énoncé moins abftrait que celui des Mathématiques pures, &quipuiffe intéref-fer & piquer la curiofiîé. Si, par exemple, on propofoit Amplement de divifer un triangle en 3,4 ou 5 parties égales, par des lignes tirées d’un point déterminé au dedans de ce triangle, il n’y a guère que ceux qui font vraiment doués du goût de la Géométrie qui y priffent intérêt. Mais û , au lieu de propoier le problème de cette manière abftraite , on difoit : Un père de famille laijfe en mourant à fes trois fils , un champ triangulaire à fe partager entre eux également ; il y a dans ce champ un puits qui doit être commun aux trois co-héritiers ; ce qui nécejfue que les lignes de divifion partent de ce point : comment feront-ils pour fe conformer à la volonté du teflateur? cet expofé fera fans doute délirer à la plupart des efprits de connoître la manière d’y parvenir j & pour peu qu’on foit doué du goût des fciences exaéfes , on fera tenté d’exercer fes forces à la trouver.
    • Nous ne croyons pas qu’il foit befoin de montrer avec M. Ozanam, par des exemples, qu’un Géomètre peut fans honte defcendre quelquefois de l’abftraêHon de fes calculs & de fes méditations, pour fe replier fur des queftions de fon art plus curieufes & faciles, qu’utiles & épineufes.
    • a ij
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    • iv PRÉFACE.
    • Telles font en effet quelques - unes , & même la plupart de celles de cet ouvrage. Mais les exemples cités par M. Ozanam font, il faut l’avouer, affez mal choifis. Quel rapport ont arec ce fujet les énigmes que fe propofoient, dit-on, les rois de Syrie ou d’Egypte; ou les calculs d’éclip-fes & de phénomènes cèleftes que s’en-voyoient, à ce qu’il ajoute, entre amis, les Babyloniens & les Egyptiens ? Je ne fçais d’ailleurs où M. Ozanam a puifé cette anecdote. Il étoit plus naturel de dire, que l’efprit ne peut pas être toujours tendu ; qu’après avoir approfondi un fujet, il y a quelquefois du plaifir à voler légèrement fur fa furface ; enfin, s’il eft dans cet ouvrage plufieurs queftions frivoles, on peut dire pour les juftifier, que la Sa-geue a befoin quelquefois de fe fauver dans les bras de la Folie.
    • Les Grecs nous ont donné le premier exemple de ces jeux mathématiques. Car on trouve dans l’Anthologie grecque, un grand nombre d’épigrammes qui ne font que des queftions arithmétiques ; telles lont la fameufe queftion de l’Ane & du Mulet ; celle de l'Amour remplijfant en différent temps , par divers canaux, la capacité d’un bajjin , &c. qu’on y lit énoncées en vers. On trouvera les plus remar-
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    • P R É F A C E. v
    • quables dans le premier volume de cet ouvrage.
    • Ce font, à ce qu’il paroît, ces queftions & les confidérations précédentes, qui engagèrent M. Bachet de Méziriac , d’ailleurs célèbre algébrifte , ainli qu’on le voit par fes commentaires fur Diophante, à recueillir un grand nombre de queftions fur les nombres, qu’il publia en 1626, & qu’il intitula Problèmes plaifans & délectables fur les Nombres. Ce livre eft, après les problèmes de l’Anthologie grecque, le premier germe de toutes les Récréations Mathématiques qui ont paru dans la fuite, plus ou moins augmentées, & en différentes langues. Mais nous nous bornerons à parler des ouvrages françois qui ont eu cet objet.
    • Les premières Récréations Mathématiques parurent en 1627, in-8°, fous le titre de Récréation Mathématique, compofée de plufieurs Problèmes plaifans & facétieux, par H. van Etten. C’étoit, il faut en convenir , une pitoyable rapfodie. Audi excita-t-elle la bile de Mydorge, géomètre célèbre de ce temps, qui en releva durement les fottifes. Mais, malgré cela, les éditions poftérieures qui en furent faites, ne valent guère mieux que la première. C’eft un fatras de queftions dont grand
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    • vj PRÉFACE,
    • nombre font fortes & puériles, un défor-dre & un langage barbares qui dévoient dès-lors rebuter tout efprit un peu raifon-nable.
    • Cela engagea fans doute, vers la fin du fiècle dernier, M. Ozanam à faire un recueil plus choifi de ces queftions mathématiques & phyfiques , & il l’exécuta en 1692 , en donnant fes nouvelles Récréations Mathématiques & Phyfiques, en deux volumes in - 8°, qui, par diverfes additions, fe font accrues jufqu’à quatre volumes in-8°. Comme les changemens, les additions & les retranchemens que nous y avons faits font très-confidérables, nous devons rendre compte au Lefteur des motifs qui nous y ont engagés. Il eft auffi à propos de donner ici une idée de la manière dont l’ouvrage fe préfente au monde favant dans cette nouvelle Edition.
    • Si le grand nombre des éditions d’un ouvrage eft une preuve inconteftable de fa bonté & de fon utilité, les Récréations Mathématiques & Phyfiques de feu M. Ozanam devraient être regardées comme un des livres les meilleurs & les plus utiles qui aient été faits. On ne peut difconvenir cependant que ce livre ne foit en lui-même très-fautif & très-incom-
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    • plet. Mais il y a lieu de croire que fon auteur l’auroit rendu beaucoup plus inté-reffant, & qu’il l’auroit porté à un plus haut point de perfeftion , s’il eût vécu dans un fiècle plus lavant, & plus inftruit fur ce qui regarde les Mathématiques & la Phyfique expérimentale. Eif effet, depuis la mort de ce Mathématicien, les fciences & les arts ont éprouvé de fi grands accroiffemens, que ce qui pouvoit alors paffer pour médiocre, ne feroit pas même fupportable aujourd’hui. Combien de nouvelles découvertes dans la Phy fique, tant ordinaire & commune , que célefte 1 combien de nouveaux phénomènes obfer-vés , dont quelques-uns ont même donné nailfance à desbranches fécondes de la Phy-fique! Nous nous bornerons à citer VElectricité, fource intariffable de réflexions profondes & d’expériences finguliérement amufantes. La Chimie eft auffi une fcience dont M. Ozanam ne foupçonnoit nas même l'es principes les plus connus & les plus triviaux. Enfin, nous ne craindrons point de le dire, on y trouve une multitude de matières traitées avec une apparence de crédulité & une prolixité telles, qu’il femble que l’auteur, ou plutôt fes continuateurs , n’ont eu en vue que de multiplier les volumes.
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    • viij PRÉFACE.
    • Il étoit donc néceffaire, pour rendre cet ouvrage plus digne du liècle éclairé où nous vivons, d’y faire des correétions, & des additions nombreufes & confidérables. C’eft ce qu’on a tâché de faire. Nous allons rendre compte ici de ces améliorations.
    • Le premier volume comprend YArith-métime & la Géométrie, ces deux branches des Mathématiques que Platon appeloit à fi jufte titre les ailes du Mathématicien.
    • ' Dans la première, on expofe la nature des diverfes efpèces d’arithmétique , quantité de propriétés fingulières des nombres , dont plufieurs étoient probablement inconnues à M. Ozanam -, celles des triangles reélangles en nombre & des nombres po-lygones, mais réduites à ce qu’elles pré-fentent d’intéreffant & de facile : on donne enfuite les principes de la doftrine des combinaifons, mis dans un jour fort clair, & un affez grand nombre de problèmes curieux, dontplufieurs nouveaux fur les jeux. On pafle de-là aux différentes elpè-ces de pragreffions, & on réfout divers problèmes quellespréfentent: on propofe & l’on explique plufieurs tours de lubtilité, fondés fur des combinaifons arithmétiques, fuivis d’un grand nombre de problèmes curieux, & très-propres à exercer
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    • PRÉFACE. ix
    • les jeunes Mathématiciens. On finit par ce que préfente de plus curieux l’arithmétique politique, fur la population & la durée de la vie des hommes, &c.
    • La fécondé partie de ce volume eft deftinée à la Géométrie. Elle contient environ foixante-quinze problèmes, qu’on croit pour la plupart affez heureufement choifis, foit par i’énoncé qu’on a tâché de rendre intéteffant, Joit par l’élégance ou la fimplicité de la folution. On y trouve même quelques théorèmes élégans & fin-guliers , defquels réfulte la généralifa-tion de certains théorèmes fameux, par exemple, celui de la quarante - feptième d’Euclide, qu’on y démontre auffi par di-vcrfes tranfpofitions de parties, qui font affez ingénieufes. Nous donnons auffi quelques tranfmutations d’efpaces rectilignes, en autres de formes différentes, du quarré, par exemple, en re&angles , par fimple décompontion & tranfpofition de parties, ce qui, quoique élémentaire & peu difficile, eft nouveau. Il y a dans cette même partie une digreffion curieufe & hiftorique fur la quadrature du cercle ; un grand nombre de problèmes remarquables fur les lunules d’Hippocrate, & autres formées à leur imitation. Enfin ce volume eft terminé par une centaine de problèmes
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    • X PRÉFACE,
    • affez curieux , dont on donne feulement lenoncé , & qu’on propofe aux jeune» Arithméticiens ou Géomètres , pour y éprouver leurs forces. En général ils font plus élégans que difficiles, fi en eft cependant quelques-uns qui ne font pas indignes d’un Géomètre ou d’un Analyfte exercé.
    • Le fécond volume commence par la Mécanique. On y préfente un grand nombre de problèmes intéreffans, & en général d’un meilleur choix que dans les éditions précédentes. On y voit l’analyfe de plufieurs tentatives du mouvement perpétuel, & divers traits curieux fur ce fujet. On termine le tout par une hiftoire fom-tnaire des machines les plus renommées, tant anciennes que modernes, comme font, parmi ces dernières, les fameufes horloges de Strasbourg & de Lyon ; les machines inventées par Truchet, Camus, Vaucanfon ; la machine de Marly, les machines à feu. On dit fur tous ces objets des chofes auffi intéreffantes que nouvelles.
    • Le même volume contient l’Optique. Nous pouvons affiner quelle eft beaucoup perfectionnée, tant par l’ordre, que par la précifion & la nouveauté des matières. On finit l’Optique par un précis de tout ce qu’il y a, dans les obfervations microf-
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    • PRÉFACE. xj
    • topiques, de plus neuf & de plus digne d’être connu.
    • VAcoufiique, & la Mujîque qui en dérive, terminent ce volume. Les principes •de la formation & de la propagation du fon , leurs phénomènes , le développement de la mufique ancienne & moderne, divers traits fort curieux fur les effets de l’une & de l’autre , plufieurs queftions fur •le mécanifme de l’harmonie, les propriétés de divers inftrumens, quelques paradoxes liiuficaux, font les principaux objets qui compofent cette partie, & terminent le fécond volume.
    • Le fuivant- ou troifième comprend 1 ’Af-tronomie, la Géographie en ce quelle tient à cette fcience, le Calendrier, la Gnomo-nique, la Navigation, l’Architecture, & la Pyrotechnie ou l’art des feux d’artifice. Il ferait trop long d’entrer dans les détails des correftions & des augmentations con-’fidérables faites à ces différens traités dit livre de M. Ozanam. En général on l’a abrégé & Amplifié; on a corrigé les erreurs •qu’il a pu commettre ; car il faut avouer que M. Ozanam ayant peu cultivé l’Aftro-nomie n’avoit prefque aucune connoif--fance des vérités phyfico - aftronomiques déjà démontrées de fon temps : auffi rien de fi fuperficiel que ce qu’il dit fur le
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    • xij PRÉFACE,
    • fyftême de l’univers. On y a fubftitué un tableau de ce fyftême, & des divers corps qui le compofent. Selon les apparences, on le trouvera piquant, foit par l’expofi-tion des phénomènes , foit par quelques comparaifons affez fingulières pour donner une idée de fon immenfité.
    • Nous ne difons qu’un mot du Calendrier : c’eft, à quelques introduftions près, l’ouvrage de M. Ozanam ; on n’a pas cru devoir y faire beaucoup de changemens. La Gnomouique eft prefque toute nouvelle, & contient plufieurs problèmes nouveaux, & beaucoup mieux choifis que dans le livre de cet auteur. La partie fuivante eft toute neuve , & préfente plufieurs problèmes curieux, tant fur l’art du pilotage que fur la manoeuvre. On y lit une hiftoire affez détaillée du fameux problème des longitudes. Il en eft de même de l’Architecture , où nous avons trouvé matière à plufieurs queftions curieufes, relatives foit à la conftruftion, foit au toifé , foit à l’art envifagé comme art de goût.
    • La Pyrotechnie termine le volume. M. Ozanam y eft abrégé en plufieurs endroits , & enrichi dans d’autres.
    • Enfin, le quatrième volume eft entièrement confacré à la Phyfique. La première divifion de ce volume, qui eft la onzième
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    • PRÉFACE...............,
    • de l’ouvrage, ell uneefpèce de Mifcel/a-nca de Phyfique, où l’on a eu pour objet de faire entrer toutes les queftions les plus curieufes. Elle commence par une introduction néceffaire, qui contient avec beaucoup de préciiïon tout ce qu’on connoît de mieux prouvé fur les propriétés du Feu, de l’Air, de l’Eau & de la Terre. On parcourt enfuite toutes les branches de la Phyfique générale; expériences fur l’Air, jeux d’hydraulique & d’hydroftatique ; hiftoire & conftruétion des thermomètres, baromètres & hygromètres ; problèmes finguliers d’Aftronomie phyfique, rél'olus d’après leurs véritables principes; obfer-vations curieufes fur la divifibilité de la matière, fur la ténuité des odeurs, fur celle de la lumière, &c. queftions fur les comètes ; expofition & examen de quelques opinions fingulières & brillantes fur ce fujet; explication & hiftoire des fontaines intermittentes ; phénomènes de la glace, du jeu manière de la produire ; analyfe du cerf-volant, &c: telles font à peu près les matières de cette onzième partie. On n’en peut prendre une idée jufte qu’en parcourant la Table.
    • On ne pçrfvoit terminer plus heureufe-ment ce qui regarde la Phyfique fyftéma-tique & expérimentale, que par un Traité
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    • siv PRÉFACE,
    • particulier fur Y Aimant. Tout ce qu’il y a de plus curieux & de plus neuf fur les phénomènes de cette étrange produâion de la nature, fes diverfes propriétés, les utilités qu’on en retire , les jeux & les tours principaux qu’on opère par leur combinaifon , les aimans artificiels, &c. forment la matière de ce Traité.
    • U Electricité tient parmi les phénomènes de la nature un rang trop remarquable, pour ne pas trouver ici une place. On en traite fort au long , fi l’on confidère la multitude de faits & d’expériences qu’on fait connoître ; & avec beaucoup de précifion, fi l’on fait attention à la manière dont ils font expofés. Un objet inté-reffant de ce petit traité , eft ce qu’on rapporte fur l’analogie de la foudre avec le feu éleftrique. On n’a pas négligé les divers jeux qu’on opère au moyen de cette propriété fingulière des corps; & l’on y dit auffi un mot fur les guérifons opérées par l’Eleftricité.
    • La Chimie, fource de tant de phénomènes curieux, fuccède à l’Eleélricité. On a commencé par en développer fuccinte-ment les principes, en domiant une idée précife des diverfes fubftaittfcwiont le jeu & l’aétion mutuelle des unes (unes autres, opèrent Iss principaux phénomènes de
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    • PREFACE. xv cette fc'ence. Après cette introdufLon , on parcourt les expériences les plus Amples & les plus curieufes de la Chimie, qu’on explique d’après les principes pofés précédemment. Les encres fympathiques, & les jeux qu’on peut exécuter par leur moyen, n’y font pas oubliés, non plus que les végétations métalliques. On finit par une digreffion fur la pierre philofo-phale, l’or potable & la palingénéfiej problèmes chimiques dont on donne une forte d’hiftoirecurieufe, inftru&ive & phi-lofophique.
    • Deux Supplémens terminent ce volume} l’un traite des Phofphores, tant naturels qu’artificiels, l’autre, des Lampes prétendues perpétuelles. Mais on n’a pas été auffi prolixe que M. Ozanam, ou plutôt l’auteur de la pitoyable compilation qu’on lit dans le quatrième volume de fon ouvrage. On croit, ou plutôt on allure avec confiance, que fous un volume incomparablement moindre, on rapporte fur les Phofphores, tant naturels qu’artificiels, beaucoup plus de chofes & plus exactement que ne fait l’auteur de ce traité, inféré dans l’édition des Récréations Mathématiques faite après la mort de l’auteur. Quant aux Lampes perpétuelles, après en avoir donné l’hiftpire, on fait voir ea
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    • xvj PRÉFACE, affez peu de pages, & d’après les principes de la faine phyfique, que c’eft une chimère digne d’être mife dans la même claffe que la Palingénéfie & la Baguette divinatoire.
    • Nous ne devons point paffer fous fi-lence un mérite particulier que préfentera cet Ouvrage aux Mathématiciens & aux Phyiîciens. Ce font diverfes Tables affez étendues, & qui font d’un ufage fréquent dans les Mathématiques & dans la Phyfique. Chaque jour les calculateurs font arrêtés faute de favoir où les trouver. Ces Tables font:
    • Volume I. Celle du rapport du pied des différens pays, comparé avec celui de Paris.
    • La Table du rapport des mefures anciennes de contenue, avec le pied cubique de Paris.
    • Volume II. La Table des pefanteurs fpécifiques des matières les plus ufuelles. Elle eft à divers égards plus confidérable que celle de Mufchenbroeck, & certainement plus exafte.
    • LaTable du rapport des différens poids tant anciens que modernes, & étrangers, avec notre livre.
    • Volume III. La Table des longitudes & latitudes des principaux lieux de la Terre,
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    • PRÉFACE. xvij Terre , plus étendue qu’aucune de celles qui aient encore été données.
    • Celle du rapport des mefures itinéraires anciennes & modernes.
    • Celle des éclipfes vifibles fur l’horizon de Paris jufqu’en 1800.
    • Volume IV. Une Table des degrés de chaleur ou de froid auxquels différentes matières fe fondent ou fe glacent.
    • Une autre des différens degrés de chaleur ou de froid obfervés en différens lieux de la Terre, ou néceffaires pour certaines opérations.
    • Une de la dilatation des métaux.
    • Une des hauteurs de divers lieux & de plufieurs montagnes, tant de ce continent que de l’Amérique , au deffus du niveau de la mer.
    • Tel eft le plan de cette nouvelle édition des Récréations Mathématiques. On peut dire avec certitude, & le Cenfeur de cet Ouvrage l’attefte par fon approbation, que dans l’état où il eft aujourd’hui, il n’eft point indigne des regards des Mathématiciens & des Phyficiens les plus inftruits; & ceux de toutes les claffes pourront également , en le lifant, s’amufer, s’inftruire, & même s’exercer , par le choix des queftions qui y fontréfolues oupropofées.
    • Tome I. b
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    • xvïïj PRÉFACE;
    • Quant à la partie typographique, elle a été traitée avec tout le foin qu’exigeoit un Ouvrage auffi intéreffant, tant par le choix du papier, que par la netteté du ca-raftère. Les planches, au nombre de quatre-vingt-dix, très-bien gravées par M. de la Gardette, artifte connu , réuniffent à tous ces avantages celui de fortir entièrement hors du livre, ce qui manquoit aux précédentes éditions.
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    • APPROBATION.
    • J’AI lu, par ordre de Monfeigneur le Garde des Sceaux, les Récréations Mathématiques & Phyjiques de feu M. Ozanam, corrigées confidérablement augmentées : il m’a paru que cet Ouvrage , fort imparfait dans fes éditions antérieures , a acquis dans celle-ci un degré d’amélioration confidéra-ble, qui peut lui mériter place parmi les bons livres fur ces matières. Fait à Paris le 5 août 1775.
    • ( MONTUCLA, CcnfeurRoyal,
    • PRIVILEGE DU ROI,
    • LOUIS, par la Grâce de Dieu, Roi de France & de Navarrêt A nos amés&féauxConfeillers, les Gens tenans nos Cours de Parlement, Maîtres des Requêtes ordinaires de notre Hôtel, Grand-Confeil, Prévôt de Paris, Baillifs, Sénéchaux, leurs Lieutenanscivils, & autres nos Jufticiers qu’il appartiendra: Salut. Notre amé le fieur Jombert, fils aîné, notre Libraire à Paris, nous a fait expo-fer qu’il défireroit faire imprimer & donner au Public Les Œuvres de Mathématiques de MM. Oymam & Clermont, s’il nous plaifoit lui accorder nos Lettres de Privilège pour ce néceffaires. A ces causes , voulant favorablement traiter l’Expofant, nous lui avons permis & permettons par ces Préfentes, de faire imprimer ledits ouvrages autant de fois que bon lui femblera, & de les vendre, faire vendre & débiter par tout notre royaume, pendant le temps de fix années confécutives, à compter du jour de la date des Préfentes. Faisons défenfes à tous Imprimeurs , Libraires & autres perfonnes, de quelque qualité & condition qu’elles foient, d’en introduire d’im-preflîon étrangère dans aucun lieu de notre obéilfance. Comme aufli d’imprimer ou faire imprimer, vendre, faire vendre, débiter, ni contrefaire lefdits Ouvrages, ni d’en faire aucuns extraits, fous quelque prétexte que ce puifle être, fans la permiflion expreffe & par écrit dudit Expofant, ou de ceux qui auront droit de lui, à peine de confifcation des Exemplaires contrefaits, de trois mille livres d’amende contre chacun des contrevenants, dont un tiers à Nous, un tiers à l’Hôtel-Dieude Paris, & l’autre tiers audit Expofant, ou à celui qui aura droit de lui, & de tous dépens, dommages & intérêts. A la charge que ces Préfentes feront enregiftrées tout au long fur le Regiftre de la Communauté des Imprimeurs & Libraires de Paris , dans trois mois de la date d’icelles ; que l’impreflion defdits ouvrages fera faite dans notre Royaume & non ailleurs, en bon papier & beaux carafteres, conformément aux Réglements de la Librairie,
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    • notamment à celui du ïo Avril 171?, à peine de déchéance dii préfent Privilège; qu’avant de les expofer en vente, les manufcrits qui auront fervi de copie à Pimpreffion defdits Ouvrages, feront remis «fans le même état où les approbations y auront été données , ès «nains de notre très - cher & féal Chevalier Garde des Sceaux de France, le fleur Hue deMiromÉnil; qu’il en fera enfuiteremis deux exemplaires dans notre Bibliothèque publique, un dans celle de notre Château du Louvre, un dans celle de notre très-cher & féal Chevalier Chancelier de France, le fleur de Màupeou , &un dans celle dudit fleur Hue de MiromÉnil, le tout à peine de nullité des Préfentes. Du contenu defquelles vous mandons & enjoignons de faire jouir ledit Expofant, & fes ayans caufe, pleinement & paifiblement, fans fournir qu’il leur foit fait aucun trouble ou empêchement. Voulons que la copie des Préfentes , qui fera imprimée tout au long au commencement ou à la fin defdits Ouvrages, foit tenue pour duement lignifiée, & qu’aux copies collationnées par l’un de nos amés & féaux Conféillérs-Secrétaires, foi foit ajoutée comme à l’original. Commandons au premier notre Huilfler ou Sergent fur ce requis, de faire pour l’exécution d’icelles tous aftes requis & néceflaires, fans demander autre permilfion , & nonobftant clameur de Haro, Charte Normande, & Lettres à ce contraires : Car tel eft notre plaifir. Donné à Paris le trentième jour du mois d’Août l’an mil fept cent foixante-quinze, & de notre régné le deuxieme. Par le Roi en fon Confeil.
    • Signé LE BEGUE.
    • Regiftré fur le Rcgifhe XX de la Chambre Royale & Syndicale des libraires & Imprimeurs de Paris, n° 167, fol. 6, conformément an Réglement de 172g. A Paris ce 4 Septembre 177/.
    • Signé SAILLANT, Syndic,
    • RÉCRÉATIONS
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    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES.
    • PREMIERE PARTIE,
    • Contenant les Problèmes les plus curieux & les Véril ' 7 7 Greffantes de
    • LES deux ailes du Mathématicien, difoit Pla-» ton, font l’Arithmétique & la Géométrie. En effet , toutes les queftions des Mathématiques fe réduifent à des déterminations de rapports de nombres ou de grandeur. On pourroit même dire ,' en continuant la comparaifon de l’ancien philofo-phe, que l’Arithmétique eft l’aile* droite du Ma-* thématicien ; car il eft inçonteftable que les déterminations géométriques n’offriroient le plus fou-vent rien de fatisfaifant à l’efprit, lî les rapports ainfi déterminés ne pouvoient fe réduire à des rap*
    • Tome /,
    • A
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    • t~ 'RKSÊXttms Mathématiques.
    • ports de nombre à nombre. Ceci juftifie l’ufage où l’on eft, & que nous fuivons ici, de commen-cer par l’arithmétique.
    • Cette fcience offre un grand nombre de fpécu-|ations & de recherches curieufes : dans la moiffon Ûgfe nous en avons faite, & que nous préfentons ittHbe&eur Mathématicien, nous nous fommes tomes à ce qui eft le plus propre à piquer la curio-fité de ceux qui ont le goût des mathématiques.
    • CHAPITRE PREMIER.
    • De notre Syjlême numérique, & des diverfes ejpeces d’Arithmétiques.
    • ÏL n’eft perfonne qui n’ait remarqué que toutes les nations connues comptent par périodes de dix, c’eft-à-dire, qu’après avoir compté les unités depuis' i jufqu’à dix, on recommence par ajouter des unités à une dixaine ; que, parvenu à deux dixaines ou io, on recommence à ajouter des unités jufqu’à trente ou trois dixaines, & airtfi de fuite jufqu’à cent ou dix dixaines ; que de dix fois ceht on a formé les mille, &c. Cela eft-il nécef-faire , ou a-t-il été occafionné par quelque caufe, phyfique, ou eft-ce fimplement un effet du hafard } Pour peu qu’on réfléchiffe fur cet accord unanime, l’on ne penfera point que. ce foit l’ouvrage du hafard. Il eft non-feulement probable, mais comme démontré, que ce fyftême tire fon origine de notre conformation phyfique. Tous les hommes ont dix doigts aux mains, à quelques-uns près, & en très-petit nombre, qui, par un jeu de la nature, font fexdigitaires, Or, les premiers hom-
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    • Arithmétique. Chap. /. 5
    • Aies ont commencé par compter fur leurs doigts»
    • Après les avoir épuifés en comptant les unités , il leur falloit en former un premier total, & recommencer à compter par les mêmes doigts , juf-qu’à ce qu’ils fufient épuifés une fécondé fois ; puis une troifieme, &c. De-là l’origine des dixaines , qui, retenues elles-mêmes fur les doigts, n’ont pas dû aller au-delà de dix , fans obliger d’en former un nouveau total appellé centaine, &c ; de dix centaines, le mille, &c ; & ainfi de fuite.
    • Il fuit de-là une conféquence curieufe; c’eft que ü , au lieu de 10 doigts, nous en avions eu douze, notre fyftême de numération auroit été différent.
    • En effet, au lieu de dire après 10, dix plus un ou onze, dix plus deux ou douze, nous aurions monté par des noms fimples jufqu’à douze ; enfuite nous aurions compté par douze plus un, douze plus deux , &c , jufqu’à deux douzaines ; le cent eût été douze douzaines, le mille eût été douze fois douze douzaines, &c. Un peuple fexdigitaire au-roit sûrement une arithmétique de cette efpece ,
    • & n’enferoit pas plus mal, ou, pour mieux dire, il jouiroit de divers avantages dont notre fyftême numérique eft privé.
    • Cela a engagé des philofophes à examiner les propriétés de quelques autres fyftêmes de numération. Le célébré Leibnitz a confidéré celui oùl* après deux, on recommenceroit par deux plus un ; c’eft ce qu’il appelle l’arithmétique binaire. Dans ce fyftême arithmétique, en n’auroit que deux chif- • fres, 1 8c g ; & les nombres s’y marqueroient ainfi :
    • Un...............8 1
    • Deux........................... .
    • Trois. . . . , . . . ....
    • Quatre.
    • 4ij
    • 10
    • 11 IOO
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    • RifcRÊAtïotts Mathématiques.
    • Cinq...............................
    • Six.
    • Sept...............................
    • Huit. .............................
    • Neuf...............................
    • Dix. .................................
    • Onze...............................
    • Douze......................• •
    • Treize. ...........................
    • Quatorze. .........................
    • Quinze.....................î . .
    • Seize.......................................
    • •Trente-deux. % ...............iooooo
    • Soixante-quatre. . î . . . -. . ioooooo
    • Deux mille trois cents foixante-
    • dix-neuf....................iooioiooioii
    • Comme M. Leibnitz trouvoit, dans cette maniéré d’exprimer les nombres, quelques avantages particuliers, il a donné, dans les Mémoires de Berlin, (tome i des anciens Mémoires) les relies pour pratiquer, dans cette efpece d’arithmétique , les opérations ordinaires de l’arithmétique vulgaire. Mais il eft aifé de voir que ce nouveau fyftême a, quant à l’ufage ordinaire, l’inconvénient d’exiger un trop grand nombre de caractères : ilenfaudroit vingt pourexprimer un nombre •d’environ un million ; ce qui feroit extrêmement incommode dans la pratique.
    • Il ne faut pas ,au refte, omettre ici une choie cu-rieufe au fujet de cette arithmétique binaire ; c’eft qu’elle donne l’explication d’un fymbo^ Chinois , qui avoit furt tourmenté les fçavants en antiquités Chinoifes. Il étoit queftion de certains carafteres révérés par les Chinois, & confinants dans les différentes combinaisons d’une petite ligne entière &
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    • Arithmétique. Chàp. t 5
    • d’une brifée ; cara&eres attribués à leur ancien empereur Fohi. Le P. Bouvet, Jéfuite, célébré millionnaire de la Chine , ayant été informé des idées de M. Leibnitz, remarqua que, fi la ligne entière repréfente notre 1, & la ligne brifée notre o, ces ca-rafteres ne font autre chofe que la fuite ç|es nombres exprimés par l’arithmétique binaire. Il feroit fort fingulier qu’une énigme Chinoife n’eût trouvé fon Œdipe qu’en Europe. Mais peut-être tout celaeft-il plus ingénieux que folide.
    • Mais fi Ton a bien fait de biffer au nombre des fpéculations curieufes l’arithmétique binaire de Leibnitz, il n’en eft pas de même de l’arithmétique duodénaire ; de cette arithmétique qui, ainlî que nous l’avons dit plus haut, auroit eu lieu, fi nous eulfions été fexdigitaires. En effet, elle .eût été toutauffi expéditive, & même un peu plus, que l’arithmétique aâuelle : le nombre de. caractères , qui n’eût été augmenté que de deux pour exprimer dix & onze, n’eût pas plus furchargé la mémoire que celui des caraéteres aCtuels ; & il en réfulteroit des avantages qui doivent faire regretter qu’elle n’ait pas été primitivement mife en ufage.
    • Cela feroit probablement arrivé, fi la plûlofo-phie eût préfidé à cet établiffement. Car on eût d’abord vu que le nombre douçe eft, de tous les nombres, depuis 1 jufqu’à 20, celui qui jouit de l’avantage d’être à-la-fois le,plus petit, & d’avoir le plus grand nombre de divifeurs ; car 12 a- 4 di-vifeurs qui le partagent fans fra&ion, fçavoir 2 , 3, 4 & 6. Le nombre 18 a aufli à la vérité 4 divifeurs |«mais , étant plus grand que, 12, celui-ci méritoityi préférence pour mefurer les périodes de la numération. Elles euffent eu alors l’avantage de pouvoir être divifées, la première, d’un à dou*
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    • 6 Récréations Mathématiques.
    • ze, par z, 3, 4, 6 ; la fécondé, d’un à cent quarante-quatre , pan, 3, 4,6, 8,9, 12, 16 % 2.4, 36, 4B , 72; tandis que, dans l’ufage ordinaire, la première période d’un à 10 n’a que deux divifeurs, 2 & 5 ; la fécondé n’a que 2,4, 5 , 10, 20, 25, 50. On rencontreroit par conséquent, dans la défignationdes nombres, plus rarement des fra&ions.
    • Mais, ce qu’il y eût eu fur-tout d’avantageux dans cette forte de numération, c’eft qu’elle* eût introduit dans l’ufage les divifions & les fous*di-vifions des mefures quelconques en progreflion duodécimale. Ainfi, de même que, par hafard , le pied fe divife en 12 pouces, le pouce en 12 lignes , la ligne en 12 points ; la livre fe feroit di-vifée en 12 onces, l’once en 12 gros, le gros en 3 2 fcrupules ou autres parties dénommées comme on voudra ; le jour eût été divifé en 12 portions appellées heures, fi l’on veut ; l’heure en 12 autres parties qui auroient valu 10 minutes ; chacune de ces parties en 12 autres, & ainfi fuccefiive-ment. Il en eût été de même des mefures de contenance, &c, &c. € '
    • On demandera quels avantages il y eût eu dans cette divifion ? I^e voici. On fçait que tous les jours, quand il eft queftion de partager une me-fure en 3 , en 4 parties , en 6 , on ne trouve pas un nombre entier de mefures de l’efpece inférieure , ou c’eft uniquement par hafard. Ainfi, un tiers , un 6e de livre ne donne pas un nombre jufte d’onces ; un tiers de livre numéraire ne donne pas un nombre entier de fous. Il en eft d* même du muid & de la plûpart des autres mefures des liquides, &c ; on pourroit en trouver bien d’autres exemples. Ces inconvénients a qui compli-
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    • Arithmétique. Chap. /. *7
    • <jyent le calcul, n’auroient point lieu, fi l’on eût fuivi par-tout la progreffion duodécimale.
    • Le fécond avantage réfulteroit dé la combi--naifon de l’arithmétique duodénaire avec cette progreffion duodécimale. Un nombre de livres , de fous, de deniers ; un nombre de pieds, de pouces, de lignes ; ou bien de livres, d’onces, 8tc , étant donné, feroit exprimé comme le font, dans l’arithmétique ufuelle, les nombres entiers & de même efpece. Par exemple , en fuppofant que la toife fût de 12 pieds , comme il faudrait dans'ce fyftême de numération ; fi l’on avoit 9 toifes 5 pieds 3 pouces 8 lignes à exprimer , il ne faudrait pas écrire 9' ÿ Ÿ 8l, mais fimplement 9538 ; 8c toutes les fois qu’on.auroit un nombre femblable, exprimant une dimenfion en toifes, pieds, pouces , 8cc , le premier chiffre à droite exprimerait des lignes, le fécond des pouces , le troifieme des pieds , le quatrième des toifes , le cinquième des douzaines de toifes , qu’on pourrait exprimer par un nom fimple, par exemple, par le nom de corde, Sec. Enfin, lorfqu’il feroit queftion d’ajouter , de fouftraire, de multiplier ou divifer de femblables grandeurs entr’elles , on opérerait comme fur des nombres entiers ; 8c ce qui en réfulteroit défigneroit de même, par l’ordre des chiffres, des lignes , pouces, pieds, Scc.^
    • Il eft aifé de fentir combien cela feroit commode dans la. pratique. Auffi un Mathématicien Hollandois (Stévin) avoit-il propofé d’adapter les divifions 8c fubdivifions des mefures à notre fyftême de numération a&uel, en les- faifant décroître en progreffion décimale. Ainfi, lai .toife eût été de 10 pieds , le pied de 10 pouces, le pouce de 10 lignes, 8cc. Mais il ne faifoit pas atteu»
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    • $ Récréations Mathématiques. tion à l’inconvénient de fe priver de la commodité de pouvoir divifer ces mefures par 3,4,6, fans fra&ion ; & c’en eft un confidérable.
    • Dans le fyftëme de l’arithmétique duodécimale , il eft évident que les 9 premiers nombres pourroient s’exprimer, comme à l’ordinaire , par les '9 carafteres connus, 1, 2, 3 , &c ; mais , comme la période ne doit fe terminer qu’à douze ,
    • 11 eft néceffaire d’exprimer dix & onze par des caractères Amples. Nous choifirons ceux-ci <p pour exprimer dix, & & pour exprimer onze \ alors ü eft évident que 10 exprimera douze,
    • 12 . . . quatorze.
    • 13 . . . quinze.
    • 14 . . . feize.
    • 35 . . . dix-fept.
    • 16 . . . dix-huit.
    • 17 . . . dix-neuf.
    • 38 . . . 1 vingt.
    • 19 . . % vingt-un.
    • vingt-deux.' vingt-trois, vingt-quatre, trente-fix. quarante-huit, foixante-douze. cent quarante-quatre, deux cents quatre-vingt-huit, quatre cents trente-deux, mil fept cents vingt-huit, trois mille quatre cents cinquante-fîx. vingt mille fept cents trente-ftx. deux cents quarante-huit mille huit cents trente-deux.
    • ioo fer< 300
    • 3000
    • 2.000
    • IOOOO
    • 300000
    • for
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    • Arithmétique. Ckap. 1, 9
    • Ainfi, le nombre défigné par ces chiffres 9945 feroit dix-huit mille fix cents vingt-fept ; car pooo eft dix-fept mille deux cents quatre-vingts , 900 eft douze cents quatre-vingt-feize, 40 eft quarante-huit , & 3 , trois ; nombres qui, joints en-femble , font celui ci-deffus.
    • Il feroit- facile de tracer les réglés de cette nouvelle arithmétique, à Vinflar de notre arithmétique vulgaire ; mais , comme il n’y a pas d’apparence que ce nouveau calcul foit jamais admis dans la fociété, nous nous bornerons ici à ce que nous en avons déjà dit. Nous ajouterons feulement que nous avons vu un livre imprimé en Allemagne , où les 4 réglés ordinaires de l’arithmétique vulgaire étoient expliquées dans tous les fyftêmes d’arithmétique binaire, ternaire, quaternaire , &c , jufqu’à la duodécimale inclufi-vement.
    • CHAPITRE IL
    • De quelques Maniérés abrégées de faire les opérations arithmétiques,
    • $. I.
    • Maniéré de foufiraire à-la-fois plufieurs nombres de plufieurs autres nombres donnés > fans faire les additions partielles.
    • UN exemple fuffira pour faire concevoir cette opération. On propofe d’ôter toutes les fbm-mes au-deffous de la ligne en B, de toutes celles au-deffus en A. Pour cet effet, on commencera par ajouter les nombres de la première colonne
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    • 10 Récréations Mathématîqües.
    • d’en-bas à droite, comme à l’ordinaire ; ils font 14, qu’on ôtera de-la plus prochaine dixàineau-deffus, fçavoir, de 10. Le relie eft 6 que vous ajouterez à la colonne correfpondante de deffus en A ; la fomme totale fera 23 : vous écrirez 3 au-deffous; &, parce qu’il y a ici deux dixaines , comme auparavant , il n’y a rien à retenir. Ajoutez de la même façon les nombres de la colonne fuivante d’en-bas r leur fomme eft 9 , qui, étant ôtée de la plus proche dixaine fupérieü-re, Iaiffe r. Ajoutez donc 1 à la fécondé colonne des nombres d’en-haut, dont la fomme eft 20 ; laquelle étant ôtée de 20, le reliant eft o. Ainfi
    • 11 faudra écrire o au-deffous ; &, parce qu’il y a ici deux dixaines, tandis que, dans la colonne d’en-bas, il n’y en avoit qu’une, il faut retenir la différence 1 , qu’on ôtera de la colonne fuivante d’en-bas, parce qu’il y avoit plus de dixaines dans la colonne des nombres A, que dans celle des nombres B ; car il faudroit l’ajouter fi c’étoit le contraire. Enfin, quand il arrivera que cette différence ne pourra être ôtée de la colonne d’en-bas , pour n’y avoir plus de figures fignificatives , comme il arrive ici à la 5e colonne, ort l’ajoutera à la colonne d’en haut , & l’on écrira toute la fomme au-deffous de la ligne ; enforte que, dans cet exemple, on aura 162003 pour le refte de la fouftradion.
    • §. n.
    • Multiplication par les doigts»
    • Pour multiplier, par exemple, 9 par 8, prenez
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    • Arithmétique; Chap. TI. tt
    • d’abord la différence de 9 à 10, qui eft 1 ; & ayant levé les 10 doigts des deux mains, abaif-fez 1 doigt d’une main, par exemple, la gauche. Prenez aufli la différence de 8 à 10, qui eft 2 , & abaiffez 2 doigts de la main droite.
    • Préfentement, ajoutez les doigts levés, qui font ici 7 ; ce fera le nombre des dixaines du produit. Multipliez le nombre des doigts baiffés d’une main par celui des doigts baiffés de l’autre ; ce produit, qui eft 2 , fera le nombre des unités du produit. Ainfi, on trouvera que 9 par 8 fait 72.
    • On voit par-là qu’il faut prendre la différence de 1 o à chacun des nombres donnés ; que le produit de ces différences délignées par les doigts baiffés de chaque main, donne les unités du produit-; & que la fomme des doigts qui relient levés , eft celle des dixaines de ce même produit.
    • Il eft aifé de voir que ceci eft plus curieux qu’utile ; car on ne peut multiplier de cette maniéré que des nombres au-deffus de dix ; & tout le monde a dans la mémoire ces premiers produits, fans lefquels on feroit arrêté à chaque multiplication
    • • De quelques Multiplications & Divijions abrégées.
    • I. Il n’eft perfonne qui ne fçache que, pour multiplier un nombre par 10, il fuffit de lui ajouter un zéro ; pour le multiplier par 100, de lui en ajouter deux, &c.
    • D’où il fuit que, pour multiplier par 5, il n’y a qu’à le divifer par deux, en fuppolant un zéro ajouté à la fin. Ainfi, pour multiplier 127 par 5 , on fuppofera un zéro ajouté ; ce qui donnerok
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    • 12 Récréations Mathématiques, i 270, qu’on divHera par 21 le quotient 63 5 fera le produit cherché.
    • De même, pour multiplier un nombre par 25 , il faudroit le concevoir multiplié par 100, ou augmenté de deux zéro, & le divifer par 4. Ainfi 127, multiplié par 25, feroit 3175; car 127 , augmenté de deux zéro, donne 12700, qui, di-vifé par 4, produit 3175.
    • Pareillement, pour multiplier par 125, il fufft-roit d’ajouter ou concevoir ajoutés trois zéro au nombre à multiplier, & de divifer par 8. Les rai-fons de ces opérations font fi aifées à apperce-voir, que ce feroit témoigner au leéteur bien peu de confiance en fon intelligence , que de les expofer.
    • II. La multiplication d’un nombre par 11 le réduit à une fimple addition; car il eft aifé de voir que multiplier un nombre par 11, ce n’eft autre chofe que l’ajouter à fon décuple, c’eft-à-dire à lui-même, fuivi d’un zéro.
    • Soit, par exemple, le nombre . . . . 67585 Pour le multiplier par 11, on dira 3 & o _ . ^
    • font 3 : on écrira 3 au rang des unités; *
    • enfuite 8 & 3 font 11 ; on écrira 1 au rang des dixaines , en retenant 1 ; puis 5 & 8 , & 1 de retenu font 14: on écrira 4 au 3 e rang, en retenant 1. Ce qu’on vient de dire fuffit pour indiquer la fuite de l’opération qui donnera 743413.
    • On pourroit pareillement multiplier le nombre çi-deffuspar ni, en prenant d’abord le premier chiffre des unités 3, enfuite la fomme de 8 & 3 , après cela celle de 5, 8 & 3, puis celle de 7, ç & 8 , & ainfi de fuite.
    • III. Nous nous bornons à remarquer encore que, pour multiplier un nombre quelconque par 5*
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    • Arithmétique. Ühap. IL
    • on peut employer la fimple fouftraâion. Prenons pour exemple le même nombre que ci-deflus. Pour le multiplier par 9, on n’a qu’à ajouter par la penfée un zéro à la fin du 5”? nombre à multiplier, & enfuite fouf- 608147 traire chaque chiffre de celui qui le pré-cede , en commençant par la droite ; ainfi, l’on ôtera 3 dé zéro ou 10 , ce qui donnera 7 ; enfuite 8 de z ou 11, ce qui donnera 4 ; on continuera ainfi de fuite , en ayant attention aux unités empruntées pour augmenter de 10 la valeur des chiffres trop petits pour que la fouftra&ion puiffe fe faire, & l’on trouvera 608247.
    • Il eft aifé d’appercevoir la raifon de ces opérations. Car il eft évident que, dans la première , on ne fait qu’ajouter le nombre lui-même à fon décuple ; Ôt, dans celle-ci, on l’ôte de ce même décuple. Il fuffit enfin de faire l’opération d’une maniéré développée, pour en concevoir le procédé & la raifon.
    • On peut employer des artifices femblables pour certains cas de divifion, par exemple, pour di-vifer un nombre par telle puiffance qu’on voudra de 5. Car fuppoibns qu’on veuille divifer 128 par 5 , il faut le doubler, ce qui donnera 256; puis retrancher le dernier chiffre qui repréfentera des décimales : ainfi, l’on aura pour quotient 2.5,6 , ou 25 rz. Pour divifer le même nombre par 25 , il faudra le quadrupler, ce qui donnera 512, & retrancher les deux derniers chiffres qui feront des décimales ; vous aurez 5 Sc rà. Pour divifer par 125 , il faudra oâupler le dividende, & retrancher enfuite 3 chiffres , & ainfi de fuite. Mais , il faut l’avouer, de pareils abrégés de calcul ne mènent pas loin.
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    • t4 Récréations Mathématiques*
    • §. IV.
    • Multiplication & Divijion abrégées par tes bâtons arithmétiques de Neper.
    • Quand on a de grands nombres à multiplier les uns par les autres , il eft aifé de voir que l’on opérerait avec beaucoup de rapidité, fi l’on avoir préliminairement une efpece de tarif du nombre à multiplier , doublé, triplé, quadruplé , & ainfi jufqu’au noncuple inclufivement. Or, il eft bien aifé de fe procurer ce tarif par la fimple addition, puifqu’il n’y a qu’à ajouter le nombre à multiplier à lui-même, & on aura le double ; puis l’ajouter de nouveau à ce double, & l’on aura le triple , & ainfi de fuite. Mais , à moins que ce nombre à multiplier ne revînt bien fréquemment, ce fe-roit fe procurer un abrégé de calcul par une opération beaucoup plus longue que celle qu’on au-roit cherché à abréger.
    • Le fameux Neper, dont toutes les recherches paroiffent avoir eu pour objet d’abréger les opérations de l’arithmétique & de la trigonométrie, ce qui nous a valu l’ingénieufe & à jamais mémorable invention des logarithmes , a imaginé un moyen de fe former au befoin ce tarif dans le moment, par le moyen de certaines baguettes qu’il a décrites dans fon ouvrage intitulé Rhab-dologia , imprimé à Edimbourg en 1617. En voici la conftruéfcion.
    • On préparera plufieurs bandes de carton, ou de cuivre, qui aient en longueur environ 9 fois leur largeur, & que l’ofi divifera en 9 quarrés 1. égaux (Planche 1, fig. 1 ). On inferira en tête, *• c’eft-à-dire dans le premier quarré de chacune , un des nombres de la fuite naturelle, 1,2, 2 ,
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    • Arithmétique. Ckap. IL Vf
    • 4, 8tc, jufqu’à 9 inclufivement. Il faudra divifer enfuite chacun des quarrés inférieurs en deux, par une diagonale tirée de l’angle fupérieur à droite, à l’angle inférieur à gauche ; après quoi, l’on infcrira dans chacune de ces cafés par ordre en defcendant, le double, le triple, le quadruple du nombre porté en tête, avec cette attention que , quand ce multiple ne fera que d’un chiffre, il faudra le placer dans le triangle inférieur ; St, quand il fera compofé de deux, on placera celui des unités dans le triangle inférieur, St celui des dixaines dans le fupérieur , ainfi qu’on voit dans la figure PL première. Il faudra avoir une de ces bandes dont %• les cafés ne foient point divifées, St dans lefquelles feront infcrits Amplement les nombres naturels , depuis i jufqu’à 9. Il .fera aufli à propos d’avoir plufieurs de ces bandes pour chaque chiffre.
    • Cette préparation faite , fuppofons qu’on ait à multiplier le nombre 678 5 399 ; on arrangera l’une à côté de l’autre les 7 bandes portant en tête les nombres 6,7, 8, Stc. St à côté d’elles en premier rang celles qui portent les chiffres Amples, comme on voit dans la figure fécondé ; au moyen fig. de quoi, l’on aura le tarif de tous les multiples du nombre à multiplier ; & il ne reliera- prefque que la peine de les tranfcrire. Par exemple, on aura celui de 6, en écrivant d’abord à gauche le chiffre 4 qui eft celui des unités, St ajoutant en-fuite les chiffres 5 St 4, placés, le premier dans le triangle fupérieur de la café 54, St le fécond dans l’inférieur de la café à côté, en reculant vers la gauche, St ainA fucceffivement, fuivant les réglés ordinaires de l’addition. Ce multiple fe trouvera donc 40712394.
    • Le refte de l’opération fera le même que dans
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    • i6 Récréations Mathématiques.
    • la multiplication ordinaire. Le multiplicateur & le nombre à multiplier étant écrits l’un fous l’autre, comme on a coutume de faire ; comme le premier chiffre du multiplicateur eft 8, onpren-
    • 6785399
    • 839938
    • 54183191 i°356797 ' 6106859I
    • ---- 1 « » 6106859I
    • dra le nombre qui eft dans le 2.0356797 rang horizontal à côté de 8 , 54283192
    • qu’on trouve, par la firnple ad- ------7—7-
    • dition, être H183.91; &on 57°9314465^ l’écrira. On prendra enfuite celui qui eft à côté de 3 , & on l’écrira en rétrogradant d’une place ; & ainfi des autres. On ajoutera enfuite tous ces produits partiaux comme à l’ordinaire, & l’on aura le produit total qu’on voit ci-contre.
    • On peut employer ce même artifice pour abréger la divifion, fur-tout lorfqu’on a de grands nombres à divifer fréquemment par un même divifeur. Qu’on ait, par exemple, le nombre 1492992 à divifer par 43 2, & que, dans une fuite d’opérations , ce même divifeur doive fe préfenter fou-vent , on commencera à fe former, par le moyen décrit plus haut, le tarif des multiples de 432 ; ce qui n’exigera prefquè qu’une firnple tranfcription, comme on voit ci-defious à gauche.
    • • 431 I491991 ( 3456
    • , • 864 . 1296 . . 1728 , . 2160 . 2592 . 3024 • 34SS
    • Cela
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    • , ARITHMÉTIQUE. Chip. //. tf
    • Xela fait, on verra d’abord que, puifque 432 n’eft point compris dans les trois premiers chiffres du dividende, ce doit être un multiple de ce nombre qui fera compris dans les quatre premiers, fqaVorr, 1491. Pour le trouver, il fuffira de jet ter les yeux fur la table, & l’on verra que le multiple de 43 z le plus prochainement moindre, eft 1296 ï on écrira donc 3 au quotient, 8c 1296 fous 1492; on fera la fouftra&ion, 8c il reftera 196 : on abaiA fera le chiffre fùivant du dividende, ce qui donnera 1969. L’infpe&ion feule de la table fer» encore connoître que 1728 eft le plus grand multiple de 432. qui foit contenu dans Ï969. A'irifî l’on écrira 4 au quotient, & l’on fera la fouftra&ion comme ci-deffus. On continueraainfî l’opération, 8c l’on trouvera pour les chiffres fuivants du quotient , 5 8c 6 ; 8c comme le dernier multiple ne kiffe aucun refte , la divifion fera exade & parfaite.
    • Ré M A R £V É,
    • On ne s’eft pas borné à tâcher de Amplifier les opérations de l’arithmétique par ces voies ; on a tenté quelque chofe de plus, 8c de réduire à une pure méchaniqüe toutes les opérations de l’arithmétique. Le célébré Pafcal a le premier imaginé une machine de cette efpece , dont on voit la defcription dans le Recueil des Machines préfêntées à l’Académie, T. IV. Le chevalier Môrland, fans fqavoir probablement ce que Pafcal avoit fait à cet égard , publia en 1673 ^es ^eux niachines arithmétiques, l’une pour l’addition 8c la fouftrac-tion, 8c l’autre pour la multiplication, fans néanmoins dévoiler la conftru&ion intérieure. Le célébré Leibnitz s’occupa du même objet vers le Tome I, B
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    • Récréations Mathématiques. même temps, & enfuite le marquis Poleni. On voit la description de leurs machines arithmétiques dans le Theatmm arithm. de M. Leùpold, imprimé en 1727, avec celle de M. Leupold lui-même , & dans les Mifcell. Berd. de 1709. On a auffi Y Abaque mbdologique de M. Perrault, dans le recueil de Tes machines, donné en 1700. Il fert pour l’addition, la fouftra&ion & la multiplication. Le Recueil des Machines préfentées à l’Académie royale des Sciences, offre encore une machine arithmétique de M. Lefpine, & trois de M. de Boiftifîandeau. Enfin M. Gerften ,profef-feur de mathématiques de Gieffen, a donné en 1735, à la Société royale de Londres, la defcrip-tion très-détaillée de fa machine propre. Nous nous bornerons ici à ces indications. Cependant nous croyons faire plaifir aux -curieux d’indiquer , dans le paragraphe qui fuit, une arithmétique îngénieufe , inventée par M. Saunderfon , célébré mathématicien, aveugle dès fon enfance.
    • §. V.
    • Arithmétique palpable , ou maniéré de pratiquer TArihmétique à Cufage des aveugles, ou dans Tobfcurïté.
    • Ceci paroîtra. fans doute au premier abord un paradoxe, mais ce n’en eft pas moins une réalité; & cette arithmétique étoit pratiquée par le famfeux doéteur Saunderfon, devenu aveugle à l’âge d’un an ; ce qui ne l’empêcha pas de faire des progrès profonds dans les mathématiques , & de remplir avec l’admiration de tout le monde une chaire PI. 2. bis. dans l’univerfité de Cambridge.
    • % 1. . Soit un quarré A B C D, divifé en quatre autres
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    • Arithmétique. Chap. II. i9
    • quarrés par deux lignes parallèles aux côtés, lesquelles s’entrecoupent au centre. Ces deux lignes donnent encore, avec les côtés du quarré, quatre intèrfe&ions ; ce qui , joint aüx quatre angles du quarré primitif, donne neuf points. Que chacun de ces points préfente un trou dans lequel on puiffe ficher ou une épingle, ou une cheville : il eft évident qu’on aura neuf places diflin&es pour les neuf chiffres fimples & fignificatifs de notre arithmétique , & il n’y aura qu’à convenir d’un ordre dans lequel on comptera ces points ou places de l’épingle ou cheville mobile. Ainfi, pour marquer i, on la placera au centre ; pour lignifier z, on la mettra immédiatement au deffus du centre en montant; à l’angle Supérieur à droite, pour Signifier 3 ; & ainfi de fuite, comme le marquent les nombres appofés à chacun de ces points.
    • Mais il y a un cara&ere qui joue un très-grand rôle dans notre arithmétique, fçavoir, le zéro. Il y auroit un parti fort fimple à prendre, celui de laiffer toutes les places vuides, & le zéro feroit lignifié par-là; toutefois Saunderfon préféroit de placer dans la café du milieu une épingle à groffetête: ill’ylailToit même, à moins qu’ayant l’unité à exprimer , il ne fût obligé de la remplacer par une épingle à petite tête. Il en réfultoit pour lui l’avantage de mieux guider Ses mains, & de reconnaître plus facilement, par la polition des épingles -à petite tête à l’égard de la groffe épingle centrale, ce que ces premières fignifioient. On doit s’y tenir, car Saunderfon avoit sûrement choili le moyen le plus fignificatif à fes doigts.
    • Nous venons de voir comment on peut exprimer un nombre fimple ; rien de fi facile. Il ne l’eft pas moins d’exprimer un nombre compofé ; car, fup-B "
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    • ao Récréations Mathématiques. pofons plusieurs quarrés tels que le précédent, rangés fur une même ligne, & féparés par un petit intervalle, pour pouvoir les distinguer facilement par le tatt : il ne faut qu’être au fait de l’arithmétique vulgaire , pour voir que le premier quarré à droite Servira à exprimer les unités ; le Suivant, en reculant vers la gauche, Servira aux dixaines ; le y[S' troisième aux centaines, &c. AinSi, dans la fig. 2, les cinq quarrés garnis comme l’on voit, repréfen-teront le nombre 54023.
    • Ayez enfin une tablette diviféeen plusieurs bandes horizontales , dont chacune portera fept ou huit quarrés femblables , fuivant le befoin ; que tes bandes foient féparées par un intervalle convenable pour les mieux distinguer ; enfin, que tous les quarrés du même ordre, dans chacune de ces bandes , foient tellement eSpacés qu’ils fe répondent perpendiculairement les uns aux autres ; vous pourrez , par le moyen de cette machine, faire les diverSes opérations d’arithmétique. On s’eil /borné ici à repréfenter une addition de quatre nombres, & leur fournie, fuivant les deux maniérés.
    • Cette machine ingénieufe ne Sèrvoit pas feulement à Saunderlon pour les opérations de l’arithmétique il s’en Servoit auSÜ à repréfenter des figures dé géométrie, en plaçant lès épingles -, & tendant des filets de l’une à l’autre. Mais en voilà •alfez fur ce fujet. Ceux à qui ceci ne fulfiroit pas, n’ont qu’à confulter l’Algebre de Saunderfon, traduite par M. de Jonconrt en 1756, & qui fe débite chez Jombert; ou la tradnftion des Eléments abrégés de Wolf, où cette arithmétique palpable eft expliquée au long , & peut-être pas plus clairement qu’ici.
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    • Arithmétique. €hap. IL iï PROBLÈME.
    • Multiplier n /. nf. // dm. par u Lu f. il J.
    • J’a i vu propofer ce problème par un arithméticien juré. C’étoit l’épreuve à laquelle il mettoit la capacité d’un jeune homme qu’on, lui. annonçoit comme pofledant bien l’arithmétique. Il avoir rai-Ton, quoique peut-être il n’en fentît pas la difficulté car ce problème , indépendamment de l’embarras qui réfulte de la multiplication de quantités de diverfes efpeces & de leurs réductions, eft propre à éprouver l’intelligence d’un arithméticien.
    • On eût pu- en effet peut-être embarraffer, par une queftion fort fimple, celui qui propofoit cette-opération: c’eût été en demandant quelle nature de produit étoit celle de livres, fous & deniers , multipliés par des livres, fous & deniers. Nous fçavons que celui d’une toife par une toife eft re-préfenté par une toife quarrée , parcequ’on eft convenu en géométrie d’appeller toife quarrée, la furface quarrée ayant une toife de hauteur fur une toife de bafe ; & 6 toifes par 4 donnent 24 toifes quarrées, parceque la furface retftangle ayant fix toifes fur quatre , contient 24 toifes quarrées , comme le produit de 4 par 6 contient 24 unités. Mais qui dira ce que c’eft que le produit d’un fou par un fou, d’un fou par une livre, &c ?
    • La queftion confidérée fous cet afpeél eft donc abfurde ; ce que ne fent pas le vulgaire des arithméticiens.
    • On peut néanmoins la confidérer fous divers points de vue qui la rendent fufceptible de folu-tion. Le premier eft de faire attention que la livre
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    • ai Récréations Mathématiques.
    • contient 20 fous & 240 deniers ; enforte qu’on peut réduire le problème à celui-ci en nombre abftraits : multiplier 11 plus ™ plus ~~, par 11 plus plus ~V; alors le produit fera 134 plus
    • La fécondé maniéré d’envifàger la qüeftion eft celle-ci. Tout produit eft le quatrième terme d’une proportion dont le premier terme eft l’unité, Sc dont les deux quantités à multiplier font deuxieme & troifieme ternies. Ainfi il n’eft qüeftion que de fixer le genre d’unité qui doit être le premier terme de la proportion.
    • On peut dire, par exemple, fi une livre employée dans telle entreprife a produit 1 r 1. 11 f. 11 deniers, combien produiront 11 1. 11 f. 11 deniers ? Alors le produit fera le même que ci-deflus , fçavoir 134 1. 9 f. 3 d. & — de denier.
    • Mais cette même unité pourrait être 1 fou : car qui empêcherait de former cette qüeftion : Si un fou a produit 11 1. 11 f. 11 deniers, combien doivent produire 11 1. 11 f. 11 deniers ? Alors le produit fera 2689 1. 5 f. 4 d. & de denier.
    • Enfin cette unité pourroit être 1 denier , & le produit ferait alors 322711; 4 f. 1 denier.
    • CHAPITRE III.
    • De quelques Propriétés des Nombres.
    • IL ne fera pas ici qüeftion des propriétés des nombres qui occupèrent tant les anciens & dans lefquelles ils trouvoient tant de vertus myf-térieufes. Pour peu qu’on foit doué d’un efprit dégagé de crédulité J on ne peut s’empêcher de
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    • Arithmétique. Chap. III. 15 Tire en voyant le bon chanoine de Cézene % Pierre Bungo, raffembler dans un volume in-40 , intitulé de Myjleriis Numerorum, toutes les fottifes-que Nicomaque, Ptolémée, Porphyre, & divers autres anciens, avoient puérilement débitées fur les nombres. Comment a-t-il pu entrer dans des esprits raifonnables, d’attribuer une énergie phylîque. à des êtres purement métaphyfiques ? Car les nom* bres ne font que pures appréhendons de l’efprit : conféquemment ils ne fçauroient avoir aucune influence dans la nature*
    • Il ne peut donc y avoir que des bonnes-femmes, ou des fots qui puiflent croire aux vertus des nombres. Si, de treize perfonnes aflifes à la même table , on a vu fréquemment en périr une dans l’année, il y a encore bien plus de probabilité qu’il en périra une fl l’on eft vingt-quatre*
    • I.
    • Le nombre 9 a cette propriété , que les chiffres qui compofent fes multiples, ajoutés enfemble, font toujours auffi un multiple de 9 ; enforte que lès additionnant, & rejettant 9 toutes les fois que la fomme furpaffe ce nombre, le refte eft toujours zéro. Cela fe remarque facilement dans lès multiples de 9, comme 18 , 27,3-6, &c. &c.
    • Cette obfervation efl: utile pour reconnoître fl un nombre éft divifible par 9: car toutes les fois que les chiffrés qui l’expriment, étant ajoutés enfemble , font 9 ou un de fes multiples, on peut être afluré que le nombre eft divifible par 9, ôt conféquemment par 3.
    • Mais cette propriété eft-ell'e unique ou particulière au nombre 9 ? Non. Le nombre 3 a une propriété tout-à-fait femblable, Qu’on ajoute les
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    • *4 Récréations Mathématiques.
    • chiffres qui expriment ùn multiple quelconque de 3 , on verra que leur femme eft pareillement toujours multiple de 3 ; & quand le nombre propofé ne fera pas un pareil multiple, ce qu’on trouvera en fus de ce multiple eni additionnant les chiffres, fera auffi ce dont le nombre propofé eût dû être diminué, pour être divifible par trois fans refte.
    • On peut employer cette remarque pour recon-noître, pour ainfi dire au premier coup d’œil, fi une fomme propofée eft payable en écus , fans refte : car fi cette fomme eft telle, que les chiffres qui l’expriment, ajoutés enfemble , faffent 3 ou un multiple de 3, elle fera payable fans refte en écus, fçavoir de fix livres fi elle eft paire, & de trois livres fi elle eft impaire. Si les nombres qui expriment la fomme en queftion, forment par leur addition un nombre qui excede 3 ou un multiple de 3 , ce dont il excédera ce multiple fera le nombre de livres en fus, qu’il faudra ajouter aux écus. Par exemple, foit propofée la fomme de 1343 li-,vres : la fomme des chiffres 1,3,4,3 > fanant 11, ce qui furpaffe de 2 le plus prochain multiple de '3, on pourra affurer que, pour payer cette fomme, 51 faudra un certain nombre d’éeus de trois livres & quarante fous ; car, ôtant 2, le refte eft 1341, qui eft payable en écus de trois livres, ainfi qu’il eft aifé de s’en affurer.
    • De même on trouvera que la fomme 1327 eft payable en écus de fix livres avec vingt fous : car .ces quatre chiffres font 13, qui excédent 12 de 1 ; or, ôtant 1 de 1327 , reftent 1326 , nombre qui eft pair, & dont les chiffres faifant 12, multiple de 3 , indiquent que la fomme eft payable en écus de fix livres. En effet, 1326 livres font 221 écus de fis livres.
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    • Arithmétique. Ckap. III. iç
    • Nous ne devons pas omettre ici une obfervation très-ingénieufe de l’auteur de l’Hiftoire de l’Académie des Sciences (année 1.716) ; ceftque, fi nous euffions adopté un fyftême de numération différent de celui qui eft en ufage , par exemple , celui de la progreffion duodécuple , nous verrions le nombre onze , ou en général l’avant-dernier de la période, jouir de la même propriété dont jouit le nombre neuf dans le fyftême a&uél de numération. Prenons en effet un multiple de on%e, comme neuf cents cinquante-fept ; exprimons-les en chiffres fuivant ce fyftême ; ce fera 795 ; or 7 & p font dix-fept, & 5 font vingt-deux , qui eft un multiple de onze.
    • Nous n’entreprendrons pas ici de démontrer comment cette propriété eft , pour ainfi dire , attachée à Pavant - dernier nombre de la période adoptée pour la numération ; cela nous engageroit dans une analyfe un peu trop compliquée. Nous laiffons le leéleur s’exercer, s’il le juge à propos, fur ce fujet.
    • IL
    • Tout nombre quarré finit néceffairement par un de ces cinq chiffres ,1,4, 5,6,9; ou par des zéro en nombre pair , précédés de l’un de ces chiffres. Cela eft aifé à démontrer, & utile pour reconnoître quand un nombre n’eft pas quarré. Nous difons pour reconnoître quand un nombre n’eft pas quarré ; car, quoiqu’un nombre finifle comme on vient de dire, il n’eft cependant pas toujours un quarré parfait ; mais du moins, quand il ne finit pas de cette maniéré^ on eft sûr qu’il 11e l’çft pas ; ce qui évite des tentatives inutiles.
    • Quant aux nombres cubes, ils peuvent finir par
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    • i6 Récréations Mathématiques.
    • tous les nombres fans exception ; mais s’ils fe terminent par des zéro , il faut qu’ils foient au nombre de trois, ou fix, ou neuf, &c.
    • III.
    • Tout nombre quarré ou eft divifible par trois , on le devient étant diminué de l’unité. Il eft facile d’en faire l’épreuve fur tel quarré qu’on voudra. Ainfi 4 moins i, 16 moins r , 25 moins 1,49 moins 1 , 121 moins un, &c. font divifibles par 3 ; & a in fi des autres : ce qu’on peut démontrer dire&ement.
    • Tout quarré eft encore divifible par quatre, 01® le dévient étant diminué de l’unité. Il eft également facile de l’éprouver.
    • Tout quarré eft auffi divifible par cinq, ou le devient étant augmenté ou diminué de l’unité ; ce qu’on peut également démontrer. Âinfi 36—1,49 +r, 64+1 , 81 — 1, &c. font divifibles par 5.
    • Tout quarré impair eft un multiple de 8 , augmenté de l’unité. On en a des exemples dans 9 25, 49, 81, &e. defquels ôtant 1, le refte eft divifible par 8.
    • IV.
    • Tout nombre eft ou quarré, ou divifible en. deux, ou trois, ou quatre quarrés. Ainfi 30 eft égal à 15 + 4+ 1; 31 = 25 + 4+1 +1 ; 33 = 16+ 16+1 ; 63 = 49+9+4+1, ou 36 +
    • ï5+., + 1:.. .................
    • J ajouterai ici, par anticipation, quoiquortne fçache pas encore ce que c’eft que nombre triangulaire , pentagone, &c. que
    • Tout ncjmbre eft ou triangulaire, ©u eoinpofié de deux oi trois triangulaires,
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    • Arithmétique. Chap. III. 27 Il eft ou pentagone, ou compofé de deux, ou trois, ou quatre, ou cinq pentagones ; & ainfi des
    • J’ajouterai enfin que tout quarré pair, hors le premier 1 , eft réfoluble au moins en quatre quarrés égaux ; & que tout quarré impair l’eft au moins en trois, s’il ne l’eft en deux. Ainfi 81 = 36+36 + 9; 121=81 + 36 + 4; 169= 144 + 25; 625 = 400+ 144 + 81.
    • V.
    • Toute puiffance de cinq ou de fix , finit nécef-fairement par cinq ou par fix.
    • VI.
    • Si on prend deux nombres quelconques, l’un des deux, ou leur fomme, ou leur différence, eft néceffairement divifible par trois. Soient pris les nombres 20 & 17; aucun d’eux, ni leur Tomme 37, n’étant pas divifible par 3, leur différence l’eft, car elle eft trois.
    • Il eft aifé de démontrer que cela doit arriver néceffairement , quels que foient les nombres qu’on prendra.
    • VII.
    • Si deux nombres font tels, que leurs quarrés ajoutés enfemble faffent un quarré , le produit de ces deux nombres eft divifible par fix.
    • Tels font, pour en donner un exemple, les nombres 3 & 4 , dont les quarrés 9 6c 16 ajoutés enfemble font le nombre quarré 25 : leur produit 12 eft divifible par 6.
    • La démonftration générale de cette propriété
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    • *8 Récréations Mathématiques.
    • ne fçauroit trouver place ici ; mais l’on peut tirer de ce qu’on vient de dire, un moyen de
    • Trouver deux nombres dont les quarrés ajoutés ensemble fajfent un nombre quarrê. Pour cet effet, multipliez deux nombres quelconques ; le double de leur produit fera l’un des deux nombres cherchés , & la différence de leurs quarrés fera l’autre.
    • Comme fi l’on multiplie l’un par l’autre ces deux nombres 2,3, dont les quarrés font 4,9, leur produit fera 6, dont le double 12, & la différence de leurs quarrés y , font deux nombres tels que la fomme de leurs quarrés eft égale à un autre nombre quarré : car ces quarrés font 144 & 25 , qui font 169, quarré de 13.
    • VIH.
    • Lorfque deux nombres font tels, que la différence de leurs quarrés.eft un nombre quarré, la fomme & la différence de ces nombres font elles-mêmes un nombre quarré , ou le double.
    • Tels font, par exemple, les nombres 13 & r 2 , dont les quarrés font 169 , 144, dont la différence eft 25, qui eft auffi un quarré ; la fomme do ces nombres eft 25 , nombre quarré.
    • Les nombres 6 & 10 ayant pour quarrés 36 & 100, dont la différence eft 64, nombre quarré, on trouve que leur fomme eft 16, qui eft auffi un nombre quarré, ainfi que leur différence 4.
    • Les nombres 8 & 10 ayant des. quarrés dont la différence eft 36 , on voit auffi que la fomme de ces nombres eft 18, quj eft double de 9, nombre quarré ; & leur différence 2 eft le double de i.» nombre, quarré, &c.
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    • Arithmétique. Chap. ///. 19
    • IX.
    • Si on multiplie deux nombres dont la différence eft 2, leur produit augmenté de l’unité fera le quarré du nombre intermédiaire.
    • Ainfi le produit de 12 par 14 eft 168 , qui, augmenté de 1 , donne 169, quarré de 13 , nombre moyen entre 12 & 14.
    • Rien n’eft plus aifé que de démontrer que cela doit toujours arriver ; & l’on verra qu’en général !e produit de deux nombres, augmenté du quarré de la demi-différence, donne le quarré du nombre moyen.
    • On appelle nombre premier, celui qui n’a d’autre divifeur que l’unité.. Les nombres de cette efpece ne peuvent donc être pairs, à l’exception du nombre deux ; ni être terminés par cinq, excepté le nombre cin<flui-même : d’où il fuit qu’à l’exception de ceux qui font renfermés dans la première dixaine, ils doivent néceffairement fe terminer par un, ou trois, ou fept 9 ou neuf.
    • N. Si Voici une propriété curieufe des nombres pre-
    • 11 13 .. -7. .? - >?.. *9, 3 V &<=•P“ i-dire tout nombre ft divifible par fut,
    • Il eft Couvent utile de connoître, fans recourir au calcul, ft un nombre eft premier ou non c*eft pour cela que nous donnerons ici uneTable de tous les nombres premiers depuis un jufqu’à ioooo.
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    • 30 Récréations Mathématiques.
    • TABLE
    • Des Nombres premiers entre i & 10000.
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    • Arithmétique. Chap. III. 3 TABLE des Nombres premiers ejitre 1 & 10000.
    • =5001 ï!89 3739 4127 45*3 49*9 — 6079 6451
    • 3°" 3391 3761 4129 45'7 493* 53°3 5689 6o8g
    • 3°*9 9767 4*33 45*9 4933 5309 5693 6091 4t3
    • 3023 3407 3769 4*39 45*3 4937 53*3 6481
    • 3°37 3413 3779 4*5 3 4547 4943 5333 5701 649I
    • 3041 3433 3793 4*57 4549 495* 5347 57**
    • 3049 3449 3797 4*59 45t>* 4957 535* 57*7 6121 6521
    • 3457 4*77 4567 4967 5 38i 5737 6529
    • 3067 3461 3S03 45*3 4969 S3>>7 574* 6i33 6547
    • 3079 3463 3821 459* 4973 5393 5743 6143 6 551
    • 30S3 3467 3S13 4211 4597 4987 5399 5749 6I5I 6^3
    • 3089 3469 3S33 4**7 4603 4993 5779 6l63 6 563
    • 3491 3*47 4219 4999 5407 5783 6173 6569
    • 3*°9 3499 '!<>!• 4229 54*3 579* 6197 6571
    • 3"9 Wt 4231 4637 5003 54*7 6199 6577
    • 3121 3jn 3663 4241 4639 5009 5419 5801 6581
    • 3137 3517 3 «77 4243 4643 50* * 543* 5807 6599
    • 3SS1 4649 6211
    • 3167 3529 3889 4259 465* 50*3 5441 5821 U-,ry
    • 3169 3533 4261 4<>S7 5039 5443 l5_8*7 6619
    • 3181 3539 39°7 4271 4663 5° 5* 5449 Skî9 6637
    • 3187 354i 39' 1 4*73 4673 5059 547* 5843 6247 6633
    • 3191 3547 39'7 42S3 4679 5077 5477 5S49 6*57 6659
    • 3557 3919 4289 469I 5081 5479 5S5 * 6263 666l
    • 3203 3559 3923 4297 5087 5483 SjS7 6673
    • 3209 3571 3929 4703 5°99' 5b6l 6271 6679
    • 3217 358i 393' 43*7 47*1 5501 5S67 6277 6689
    • 35^3 3943 4337 47*3 55°3 5869 62S7 6691
    • 3229 3593 3947 4339 47*9 5*°7 55°7 i8?9 6299 —
    • 3251 3607 3967 4349 4733 5**3 55*9 j88l 67OI
    • 3253 3989 4357 475* 3119 552* 5897 t>30i 6703
    • 3*57 3613 43 ü 3 4759 5*47 55*7 6311 6709
    • 3259 3617 4373 4773 5*53 553’ 59°3 6317 67*9
    • 3271 3615 4003 439' 4767 5167 5557 59*3 6323 6733
    • 3299 3631 4°°7 4397 47S9 5*7* 55^3 59*7 6329 6737
    • 3637 4013 4793 5*79 5569 5939 6337 6761
    • 33°x 3643 4019 4409 4799 5*89 5573 5953 *>343 6763
    • 33u7 3659 4421 4801' 5*97 558* 5981 t>353 6779
    • 3313 3671 4027 44*3 559* 5987 6359 6781
    • 3319 3673 4049 444* 4S13 5209 6361 6?9*
    • 3323 3677 4051 4447 4817. 5**7 5623 6367 6793
    • 3329 3691 4°57 445* 4831. 5231 5639 6373
    • 3331 3697 4073 4457 4861- 5*33 5641 6379 6803
    • 3343 4079 4463 487*' 5*37 5647 6037 6389 6823
    • 3347 370X 409 ï 4481 4877 565* 6043 6397 6827
    • 3359 3709 4093 44S3 4889- 5*73 5653 6829
    • 3j6i 3719 4099 4493 5*79 5657 0oï3 <>4** 6S33
    • 337* 3727 4903 5281 5059 6067 64*7 6841
    • 3373 3733 41x1 4507 4909 5297 5O69 6073 6449 6857 ;
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    • 3î Récréations Mathématiques.
    • Table des Nombres premiers entre i & looOo.
    • ' Voici une autre efpece de nombres qui jouiflent d’une propriété finguliere &; curieufe : ce font les nombres parfaits. On donne ce nom à un nombre dont les parties aliquotes ajoutées enfemble, forment
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    • Arithmétique. Chap. ///.
    • forment précifément ce nombre même. On en a un exemple dans le nombre 6 ; car fe$ parties ali-quotes font i, i, 3, qui font enfemble 6. Le nombre 28 jouit de la même propriété; car fcs parties aliquotes font 1, 2, 4, 7, 14, dont la iomme eft 28.
    • Pour trouver tous les nombres parfaits de la pro-greffion numérique , prenez la progreflion double 2, 4,8, 16, 32 , 64, 128 , 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 , &c. & examinez tous ceux de ces termes qui, étant diminués de l’unité, font des nombres premiers. Ceux à qui convient cette propriété font 4, 8, 32, 128, 8192; car ces nombres diminués de l’unité , font 3 , 7, 31 , 127, 8191. Multipliez donc chacun de ces nombres-, par celui de la progreflion géométrique qui précédoit celui dont il dérive, par exemple , 3 par 2, 7 par4, 31 par 16, 127 par 64, 8191 .par 4096, &c. ; & vous aurez 6, 28,496 , 8128, 33 5 50336 > qui feront des nombres parfaits.
    • Ces nombres au refte ne font pas à beaucoup près aufli nombreux que font cru divers auteurs (a). Voici, d’après un mémoire de M. Krafft, quon lit dans le TomeVII des Mémoires de Pétersbourg, une fuite des nombres tant parfaits, que réputés parfaits par ces auteurs, faute d’attention fùffi-lante. Ceux à qui convient véritablement cette propriété, font marqués d’une étoile.
    • (a) La réglé que donne M. Ozanam eft faufle, & produit une multitude de nombres, comme 130816, 1096128, &c. qui ne font point des nombres parfaits : cela vient de ce que M. Ozanam n’a pas fait attention qu’il falloit que l’un des multiplicateurs fût un nombre premier. Or 511 & 2047 ne 1® ‘ont Pas*
    • Tome /,
    • C
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    • 34 Récréations Mathématiques,
    • * 6.
    • * 28.
    • ' * 49ô-
    • * 8128.
    • 13081(5.
    • 2096128.
    • * 3355°336.
    • 536854528.
    • * 8589869056.
    • * i3743869i328. 2I9902120697<>. 35(84367894528. 562949936644096. 9007199187632128. ï44i15187807420416.
    • * 2305843008(39952128. 36893488143124135936.
    • Ainfi l’on voit que de I à 10 il n’y ;
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    • ÀftlïHMÉTlQttEt Chap, ÏIL aliquotes de l’un font enfemble égalés à l’autre , 6c que Celles de celui-ci forment à leur tour une fomme égale ati premier : tels font les nombres azo 6c 184 ; car le premier 220, eft égal à là fçfmme des parties aliquotes de 284, fçavoir,ï, a , 4,71, 14a; & réciproquement 284 eft égal à b fomme des parties aliquotes 1, 1,4, 5, 10, 11, ao, aa» 44, 55 ,no du premier aao. ^
    • On trouvera des nombres amiables par la méthode fuivante. Écrivez, comme on le voit ci-* après, les termes de la progreffion géométrique double, en commençant par a ; triplez chacun de ces termes, 6c placez ces nombres triples chacun fous celui dont il eft formé ; ces mêmes nombres diminués de l’unité, 5, 1 i, 23 , 6tc. 6c placés chacun au defîiis de fon Correfpondant de la progreffion géométrique , formeront une troifieme fuite au deffus de cette derniere. Enfin on aura les nombres de la fuite inférieure, 71, a87, &c. en multipliant chacun des termes de la fuite 6 la, Z4, 6cc. par fon précédent, 6c;diminuant le produit de l’unité.
    • T " *3 47 95 »9* 383-
    • 2 4 8 16 32. ,64 128.
    • 6 12 24 48 96 19Z 384.
    • 71 287 Mft 4607 18431 73717-
    • Prenez à préfent un nombre de la fuite inférieure , par exemple 71, dont le nombre correfpondant dans la!.fuite Supérieure , fçavoir i l, 6c celui qui précédé ce dernier, fçàvoir 5, font,; ainfi que 71, des nombres premiers; multipliez 5; par 11,6c le produit 5 5 par 4, terme correfpondant de la fuite géométrique , vous aurez 2-2.6. pour l’un des nombres cherchés : le fécond fe trou-’
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    • 36 Récréations Mathématiques. vera en multipliant le nombre 71 par le même nombre 4, ce qui donnera 284. c Pareillement avec 1151 , 47 .& 13, qui font des nombres premiers, on trouveroit deux autres nombres amiables, 17296 & 18416; mais 4607 n’en donnëroit pas, parce que, des deux autres nombres correspondants 47 & 95 , celui-ci 95 n’eft pas premier. Il en eft de même du nombre 18431, parce que le nombre 95 fe trouve parmi' les correfpondants ; mais le fuivant 73727 donne, avec 383 &191, deux nouveaux nombres amia-
    • 9363584 & 9437056-
    • On voit par-là que fi les nombres parfaits font rares , les couples de nombres amiables le font bien davantage, ce dont il eft au refte bien aifé d’appercevoir la raifon.
    • XIII.
    • Si on prend la fuite dés quarrés des nombres naturels, fçavoir, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, &c. qu’on prenne la différence de chacun avec le fuivant , & enfuite les différences de ces différences , ces dernieres feront égales à 2 , ainfi qu’on le voit par l’exemple ci-deffous.
    • * Dif.
    • 25 36 49
    • 11 13
    • Ainfi l’on voit que les nombres quarrés font formés par l’addition continuelle des nombres impairs 1,3,5, &c* <lui fe furpaflent de 2.
    • Dans la fuite des cubes des nombres naturels,-Ravoir, 1, 8,27, &c. ce ne font plus les fécondés différences qui font égales, mais feulement les
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    • Arithmétique. Chap. III. yj troifiemes, qui font toujours 6. L’exemple ci-def-fous le met fous les yeux.
    • Cuits.
    • Dif of Dif 3“ Dif.
    • S 27 64 115 116
    • 7 19 37 61 9‘
    • xi 18 14 30
    • 6 6 6
    • S’il eft queftion de la fuite des quatrièmes puif* fances, ou quarré-quarrés des nombres naturels, ce feront les quatrièmes différences feulement qui feront égales, & elles feront 24. Dans le cas de cinquièmes puiffances, les cinquièmes différences feulement feront égales, 6c feront conftamment
    • On trouve ces nombres 2, 6, 24, 120, &c. en multipliant de fuite les nombres 1,2, j, 4 , 5 , 6, &c. Pour la deuxieme puiffance, on multiplie les deux premiers ; pour la troifieme, les trois premiers ; 6c ainfi de fuite.
    • XIV.
    • La progreffion des cubes 1,8, 27, 64,12$ &c. des nombres naturels 1, 2, 3,4, 5,6, &c. a cette propriété remarquable, qu’en ajoutant tel nombre qu’on voudra de fes termes, en commençant par le premier, cette fomme fera toujours un quarré. Ainfi 1 6c 8 font 9 : ajoutez-y encore 27 , vous aurez 36, nombre quarré; 6c en y ajoutant 64, vous aurez 100; 6c ainfi de fuite.
    • Le nombre 120 a la propriété d’être égal à la moitié de la fomme de fes parties aliquotes ou divifeurs, fçavoir, f, 2, 3,4, 5,6, 8, 10,12, C iij
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    • 38 Récréations Mathématiques.
    • 15,20, 24, 30, 40,60, qui font enfemble24O.' Le nombre 672 eft pareillement la moitié de la fomme 1344 de fes parties aliquotes. On pourroit en trouver plufieurs autres qui jouiffent de la même propriété ; on pourroit même en trouver qui ne feroient que le tiers ou le quart de la fomme de leurs parties aliquotes ; enfin qui en fuflfent le double, le triple, le quadruple. Voilà de la matière aux recherches de ceux qui voudront s’exercer.
    • CHAPITRE IV.
    • Des Nombres figurés.
    • SI l’on a une progreffion arithmétique, la plus fimple de toutes, par exemple, comme celle des nombres naturels 1,2, 3,4, 5,6, 7, &c. & qu’on prenne le premier terme, la fomme des deux premiers, celle des trois premiers, & ainfi de fuite , il en réfultera une nouvelle fuite de nombres, 1 , 3,6,10, jy, 21, 28, &c. auxquels on a donné le nom de triangulaires, parce qu’ils peuvent toujours être rangés en triangle équilatéral, comme VI. i. l’on voit Planche t, fig. 3.
    • % 3' Les nombres quarrés, comme 1,4,9, 16, 2 5 , 36, &c. nàiffent d’une pareille addition des premiers termes de la progreffion arithmétique 1, 3 , 5 > 7» 9> 11 * &c. dont la différence des termes eft 2. Ces nombres fe peuvent pareillement ranger en figures quarrées, comme tout le monde fqait.
    • , Ds pareille fommation des termes de la progreffion arithmétique, dont la différence eft 3 , comme i,! 4, 7, 10,13, &c. nàiffent les nom-très l, J j U, i%> &c. qu’on appelle pentagones*
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    • Arithmétique. Chap. IK |>àrce qu’ils repréfentent k nombre des points qui peuvent s’arranger fur les côtés St dans l’intérieur d’un pentagone régulier, comme on le voit dans la fig. 5, où font trois pentagones dans un angle pf. r, commun, repréfentant le nombre des points qui fig. croît arithmétiquement, & dont le premier a deux points fur chaque côté, le fécond trois, le troifieme quatre, ce qui pourroit être continué.
    • C’eft dans ce fens St de cette maniéré qu’on doit concevoir arrangés les nombres figurés.
    • - Il eft prefque inutile de dire que de la progref-fion i, 5 , c>, 13, 17, Stc. dont la différence eft 4, naiffent, par une pareille fommation, les nombres exagones, qui font 1,6,15,28,45, &c ; Sc ainfi de fuite pour les eptagones, oftogones, Stc.
    • Il y aune autre forte de nombres polygones, qui réfültent du nombre des points qu’on peut ranger au centre St fur les côtés d’un ou de plufieurs polygones femblables, ayant un centre commun : ils different des précédents, car la fuite des triangulaires de cette efpece eft 1,4, 10, 19., 31, Stc. qui font formés par l’addition fucceflive des nombres 1, 3,6, 9,12.
    • Les nombres quarrés centraux font r, 5, 13 ,
    • 25,41,61, Stc, formés pareillement par l’addition fucceflive des nombres r, 4, 84 12, 16,
    • 20, Stc.
    • Les pentagones centraux font 1,6,16, 31, 51.,.
    • 76, Sec. formés par l’addition des nombres 1, 5 y 10,13,20, ôte.
    • Mais nous n’èri dirons pas davantage fur cette efpece de nombres polygones, parce que ce ne font pas ceux que les mathématiciens entendent communément par ce nom. Revenons aux nombres polygones ordinaires.
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    • 4© Récréations Mathématiques.
    • On appelle la racine d’un nombre polygone, lé nombre des termes de la progreffion qu’il a fallu fommer pour avoir ce nombre. Ainfi la racine du nombre triangulaire 21 eft 6, parce que ce nombre ré fuite de l’addition fucceffive des lîx nombres 1,2,3, 4, 5,6. Demême4eft la racine du nombre quarré 16, confidéré comme nombre figuré, parce que ce nombre réfulte de l’addition des quatre termes 1, 3 , 5,7, de la progreffion des nombres impairs.
    • Après cette expofition, voici quelques problèmes fur les nombres polygones.
    • PROBLÈME I.
    • Un nombre étant propofé , trouver s'il ejl triangulaire , quarré , pentagone, &c.
    • La maniéré de trouver fi un nombre eft quarré,' eft connue de tout le monde, & fert de bafe pour reconnoître les autres^ nombres figurés. Cela fiip-pofé , pour déterminer fi un nombre propofé eft im nombre polygone, voici la réglé générale.
    • Multiplie{ par 8 le nombre des angles du polygone diminué de 2,6* par ce premier produit multiplie^ le nombre propofé, & enfin , à ce nouveau produit ajoute.{ le quarré du nombre égal a celui des angles du polygone diminué de 4 ; fi la fomme efi un quarré parfait, le nombre propofé efi un polygone de l'efpece déterminée.
    • Il eft aifé de voir que le nombre des angles étant 3 pour le triangle , 4 pour le quarré, 5 dans le pentagone, &ç. on aura pour le multiplicateur du nombre propofé, dans le cas du nombre triangulaire , 8 ; pour le nombre quadrangulaire ,16; pour le pentagone, 24 ; pour l’exagone, 32.
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    • Arithmétique. Chap. IV. 41
    • Pareillement le nombre des angles, diminué de 4, étant pour le triangle — 1, pour le quarré o, pour le pentagone i , pour l’exagone 2, &c. les nombres à ajouter au produit ci-deflus feront, pour le triangle, 1, (car le quarré de—1 eft 1) ; pour le quarré, o ; pour le pentagone, 1 ; pour l’exagone, 4; pour l’eptagone, 9 , &c. : d’où dérivent les réglés fuivantes , que nous éclaircirons en même temps par des exemples.
    • On demande li 21 eft un nombre triangulaire. Multipliez 21 par 8, au produit ajoutez 1 ; la fomme eft 169, qui eft un quarré parfait : conféquem-ment 21 eft un nombre triangulaire.
    • Voulez-vous reconnoître fi 35 eft un pentagone? Multipliez 35 par 24, le produit eft 840; à quoi ajoutant 1, on a 841 qui eft un quarré : donc on peut affiner que 35 eft un nombre pentagone.
    • PROBLÈME II.
    • Un nombre triangulaire ou figuré quelconque étant donné, trouver fa racine , ou le nombre de termes de la progreffion arithmétique dont il efi la fomme.
    • Il faut d’abord faire l’opération indiquée dans le problème précédent ; & après avoir trouvé la racine quarrée , dont la poffibilité indique fi le nombre eft figuré ou non., ajoute1 à cette racine un nombre égal à celui des angles du polygone pro-pofé , moins 4, & divife{ cette fomme parle double du même nombre des angles diminué de 2 ; le quotient qui en proviendra fera la racine du polygone.
    • Le nombre à ajouter eft donc pour le triangle — 1, c’eft-à-dire 1 à ôter ; il eft o pour le quarré, 1 pour le pentagone, 2 pour l’exagone, &c.
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    • 4i Récréations Mathématiques.
    • Quant au divifeur, il eft aifé de voir qu’il eft %. pour le triangle, (car le double de 3 diminué de a, eft 2) ; pour le quarré c’eft 4, pour le pentagone 6, pour l’exagone 8 , &c.
    • Soit donc demandé la racine du nombre triangulaire 36. Après avoir fait l’opération développée par le problème précédent, & avoir trouvé le produit 289, dont la racine quarrée eft 17, ôtez de ce nombre l’unité, & divisez le reliant par 2 ; le quotient 8 fera la racine ou le côté du nombre triangulaire égal 336.
    • On demande maintenant quelle eft la racine du pentagone 3 5. Ayant trouvé, comme ci-dëfîus , la racine 29, ajoutez-y 1, ce qui donne 30, & divifez par 6; le quotient y fera la racine de ce nombre pentagone, c’eft-à-dire qu’il eft formé par l’addition des 5 nombres 1,4, 7, 10,13..
    • PROBLÈME III.
    • La racine d'un nombre polygone étant donnée 9 trouver ce nombre.
    • tiA réglé eft fort limple. P renef le quarré de la-racine donnée , ôteç-en le produit de cette meme racine, parle nombre égal à celui des angles diminué de 4; la moitié du rejlant fera le polygone cherché.
    • Donnons quelques exemples de cette réglé. Quel eft, demande-t-on, le nombre triangulaire, dont la racine eft 12 ? Le quarré de 12 eft 1445. le nombre égal à celui des angles moins 4, eft—F,, qui multipliant 12, donne—12: or il faudroit, iuivant la réglé, ôter—12, ce qui eft la même chofe qu’ajouter 12 ; on aura donc 156, qui étant partagé par la moitié, donne 78.
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    • Arithmétique. Chap. IV. 4$ Quel eft le nombre eptagone dont la racine eft 20 ? Pour le trouver, je prends le quarré de 20 , qui eft 400 ; je multiplie enfuite 20 par 3 , qui eft le nombre des angles diminué de 4 ; j’ai 60, que j’ôte de 400 ; le refte eft 340, que je divife par 2 ; le quotient 170 eft le nombre cherché, oul’epta-gone dont la racine eft 20.
    • Remarquons ici, avant de finir, que le même nombre peut être polygone ou figuré de différentes maniérés. Et d’abord tout nombre plus grand que 3 , eft polygone d’un nombre de côtés ou d’angles égal à celui de fes unités.
    • Ainfi 36eft un polygone de 36 côtés, dont la racine eft 2 ; car les deux premiers termes de la progreffion font 1,35. Le même nombre 36 eft quarré ; enfin il eft triangulaire, ayant pour ra-
    • Pareillement 21 eft à la fois polygone de 21 côtés ; il eft aufli triangulaire ; & il eft enfin ofto-gone.
    • PROBLÈME IV.
    • Trouver la fomme de tant de nombres triangulaires , ou de tant de nombres quarrès, ou de tant de nombres pentagones quon voudra.
    • De même qu’en ajoutant fucceffivement les termes de différentes progreffions arithmétiques , il en eft réfulté de nouvelles progreffions de nombres qu’on a nommés triangulaires, quarrés, pentagones , &c. on peut auffi fommer ces dernieres progreffions; ce qui donne naiffance à des nombres figurés d’un ordre fupérieur, qu’on appelle pyramidaux. On donne le nom de pyramidaux du premier ordre, à ceux qui viennent de la progreffion
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    • 44 Récréations Mathématiques.
    • des nombres triangulaires : les pyramidaux dtt deuxieme, ordre font ceux qui viennent de la fom-mation des nombres quarrés : ceux du troifieme ordre proviennent de la progreffion des pentagones. On peut enfin faire la même fpéculation fur Jes nombres pyramidaux ; ce qui engendré les py-ramido - pyramidaux. Mais le peu d’utilité de ces nombres, qui peuvent tout au plus donner lieu à des recherches propres à exercer & développer l’e£ prit analytique, ne nous permet pas de nous étendre davantage fur ce fujet. Nous nous bornerons à donner une réglé générale pour fommer tant de nombres figurés qu’on voudra.
    • Prenez le cube du nombre de termes à fommer, & multipliez-le par le nombre des angles du polygone diminué de 2 ; ajoutez à la fosnme trois fois le quarré du même nombre de termes à fommer ; fouftraifez enfin le produit de ce même nombre , par celui des angles diminué de 5 ; vous aurez une fomme qui, étant toujours divifée par 6, donnera celle des termes de la progreffion.
    • Soient les huit premiers nombres triangulaires dont on demande la fomme. Le cube de 8 eft 512 ; ce qui, multiplié par le nombre des angles du polygone diminué de 2 , ou par 1, donné encore 512 j ajoutez-y le triple du quarré de 8 ou 192 ; enfin , comme le nombre des angles moins 5 donne —2 qui doit multiplier le côté 8, ce qui donne—16, ajoutez à la fomme ci-deflus 704 ce nombre. 16 ; vous aurez 720 ,.qui, divifé par 6, donnera 120 pour la fomme des huit premiers nombres triangulaires.
    • On la trouvera au refte plus facilement, en multipliant de Alite le nombre 8 des termes demandés, par 9, & le produit par 1 o; ce qui donnera
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    • Arithmétique. Chap. K 47 également710, qu’il faudra divifer par 6, & l’on aura 1 20, comme ci-deflus.
    • Dans le cas d’une fuite de quarrés, que je fùp— pofe au nombre de 1 o , il n’y aura qu’à faire le produit du nombre de termes , fçavoir 10, de ce même nombre augmenté de l’unité ou 11, & enfin du double du même nombre, plus 1, c’eft-à-dire 21 ; le produit de ces trois nombres 2,310, divifé par 6, donne 385 , qui eft la fomme des dix premiers nombres quarrés 1,4,9,16, &c.
    • CHAPITRE V.
    • Des Triangles rectangles en nombres•
    • ON appelle triangle redangle en nombresi trois nombres tels que la fomme des quarrés de deux eft égale au quarré du troifieme. Tels font, par exemple, les trois nombres 3,4, 5, qui expriment le triangle redangle le plus fimple de tous ; car le quarré de 3 qui eft 9 , étant ajouté à celui de 4 qui eft 16, la fomme eft 25 qui eft le quarré de 5. Les nombres 3,4, 5, expriment donc les trois côtés d’un triangle redangle.
    • Ces nombres au refte doivent néceflairement être inégaux ; car fi deux de ces nombres étoient égaux, ce feroient les deux côtés d’un triangle redangle ifofcele : or il eft démontré que, dans ces cas , l’hypothénufe ne fçauroit être exprimée par un nombre rationnel, entier ou fradionnaire, puifqu’un pareil triangle eft la moitié d’un quarré dont les deux côtés égaux font les côtés, & la bafe ou l’hypothénufe eft la diagonale : or la diagonale eft incommenfurable au côté.
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    • 46 RicRiATiONS MATHÊMAtiQUES.
    • Il eft encore néceffaire que les trois nombre# qui forment le triangle foient rationaux, foit entiers , foit frayions ; car fans cela il n’y auroit aucun art à trouver tant de nombres de cette ef-pece qu’on voudroit, puifqu’il n’y auroit qu’à prendre deux nombres quelconques, comme z oc 6, dontlàfomme des quarrés eft 40, & l’hypothé-nufe feroit 1/40 ; mais |/40 ne lignifie rien de précis, & ce n’eft qu’un ligne de l’extra&ion de la racine de 40, qui eft impolfible.
    • Après ces détails, nous allons propofer fur les triangles reftangles en nombres, quelques-uns des problèmes les plus curieux & les moins épineux.
    • PROBLÈME I.
    • Trouver tant de Triangles rectangles en nombres quon voudra.
    • Prenez deux nombres à volonté, que nous nommerons générateurs, par exemple , 1 & 2 ; multipliez-les enfemble, & doublez le produit : ce double, qui eft ici 4, fera un des côtés du triangle. Faites enfuite les quarrés des deux nombres générateurs, qui feront, dans l’exemple aftuel,4 & 1. Leur différence donnera le fécond côté 3 du triangle , & leur fomme 5 fera l’hypothénufe. Ainfi le triangle dont les nombres générateurs font J & 2, eft 3, 4, 5.
    • Si l’on avoit pris pour nombres générateurs 2 & 3, on auroit trouvé 5, 12 & 13 ; les nombres 1 & 3 euffent donné 6, 8 & 10.
    • Autre maniéré. Prenez une progreffion de nombres entiers & fra&ionnaires, comme iy, 2-f-,
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    • Arithmétique. Chap. K 47
    • ji, 4|, &c. dont la propriété eft celle-ci: i° Les nombres entiers ont pour différence l’unité, & font ceux de la fuite naturelle. 2° Les numérateurs des fractions jointes aux entiers, font auffi les nombres naturels. 30 Les dénominateurs de ces mêmes fractions font les nombres impairs 3, 5,7, &c. Expofons maintenant l’uiàge de cette progreffion.
    • Prenez un terme quelconque, par exemple, 3 f, & réduifez-le en forme de fraétion, en multipliant l’entier 3 par 7, & ajoutant au produit 21 le numérateur 3 ; vous aurez l’expreffion fous la forme fractionnaire Les nombres 7 & 24 feront les côtés d’un triangle reétangle, dont l’hy-pothénufe fe trouvera en ajoutant 49 & 576 ; ce qui donne 625, dont la racine quarrée 25 eft l’hy-pothénufe cherchée. Ainft le triangle donné par ce terme de la progreffion génératrice, eft 7, 24, 25.
    • Le premier terme 1 j donne le triangle reétan-g'e3,4,5;
    • Le deuxieme 2y, donne 5, 12, 13 ;
    • Le troifieme 4^, donne 9,40,41 r tous triangles de rapports différents entre les côtés, & qui ont tous cette propriété, que le plus grand côté & l’hypothénufe ne different que de l’unité.
    • Voici une autre progreffion de même nature que la précédente, fçavoir, ï|, 2 -j—, 3 f£ » 4 if » otc. Le premier terme donne le triangle reétangle 8, 15, 17; le deuxieme produit 12, 35, 37; du troifieme dérive le triangle 16 , 63,65 , fkc. Ils font, comme l’on voit auffi , tous de proportions différentes, & ont la propriété particulière, que leur plus grand côté ÔC l’hypothénufe ne dit-
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    • 48 Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME II. * /
    • Trouver tant qu'on voudra de Triangles rectangles en nombres y dont les côtés ne different que de Vunité.
    • Pour réfoudre ce problème, il faut chercheî des nombres tels, que le double de leur quarré, plus ou moins l’unité, faffe encore un nombre quarré : tels font les nombres 1,2,5, 12, 29, 70, &c ; car deux fois le quarré de 1 font 2 , qui, diminué de l’unité, laiffe 1 qui eft un nombre quarré. De même le double du quarré de 2 eft 8, à quoi ajoutant 1, la fomme 9 eft un nombre quarré ; &c.
    • Cela étant trouvé, prenez deux de ces nombres quelconques qui fe fuivent immédiatement, comme 1 & 2, ou 2 & 5, ou 12 & 29, pour nombres générateurs ; les triangles re&angles qui en naîtront auront la propriété que leurs deux côtés ne différeront que de l’unité. Voici une table de ces triangles , avec leurs nombres générateurs.
    • Nomb. génér. Côtés. Hypoth.
    • 12 29 696 697 985
    • 29 70 4059 4060 574*
    • 70 169 23660 23661 33461
    • Mais fi l’on vouloit trouver une fuite de triangles tels, que dans chacun l'hypothènufe ne furpaffdt un des côtés que de l'unité, on y parviendrait plus facilement : il fuffiroit de prendre pour nombres générateurs du triangle cherché, deux nombres quelconques qui fe furpaffaffent l’un l’autre de l’unité.' Voici une tablefemblable à la précédente,
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    • Arithmétique.Chip. K 49
    • des <ix premiers triangles reclangles que donnent les premiers nombres de la progreflion naturelle.
    • Nomb. gêner* Cotés. Hypoth.
    • 1 a 3 4 5
    • i 3 5 la 13
    • 3 4 7 H *5
    • 4 5 9 40 41
    • 5 6 11 60 61
    • 67 13 84 85
    • Si l’on prenoit pour nombres générateurs les côtés refpeétifs de la fuite des triangles précédents , on auroit une nouvelle fuite de triangles rectangles, dont l’hypothénufe feroit toujours un nombre quarré, comme on le voit dans la table fuivante.
    • Nomb, gènér. Côtés, Hypoth,
    • 3 4 7 14 *5
    • 5 12 119 120 169
    • 7 *4 336 5»7 <5*5
    • 9 40 720 1519 1681
    • 11 60 1320 3479 3721
    • 13 84 2184 6887 7225
    • Racines„
    • 5
    • 15
    • *5
    • 41
    • 61
    • 85
    • On peut remarquer ici, que les racines des hy-pothénufes font toujours le plus grand des nombres générateurs, augmenté de l’unité.
    • Mais fi, pour nombres générateurs, vous preniez le fécond côté & l’hypothénufe de la même table , qui ne different entr’eux que de l’unité, vous auriez une fuite de triangles reCtangles, dont le moindre côté feroit, tou jours un quarré. En voici quelques-uns.
    • Tome I, J>
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    • ço Récréations Mathématiques.
    • Nomb. gêner. Côtés. Hypoth.
    • 4 5 9 40 41
    • 12 15 25 îü 3*3
    • 24 25 49 1200 1201
    • 40 41 81 3280 3281
    • Voulez-vous enfin avoir une fuite de triangles re&angles , dont un des côtés foit conftamment un cube , il n’y a qu’à prendre pour générateurs deux nombres qui fe fuivent dans laprogreffion des triangulaires, comme 1, 3,6,10, 15, 21, &c. Nous nous bornons à donner les quatre premiers de ces triangles.
    • Nomb. gêner. Côtés. Hypoth.
    • 1 368 10
    • 3 6 36 27 45
    • 6 10 120 64 136
    • 10 15 300 125 326
    • PROBLÈME III.
    • "Trouver trois différents Triangles rectangles , donc tes aires foient égalés.
    • VOI c I trois triangles re&angles qui jouiflent de cette propriété. Le premier eft celui dont les côtés font, 40,42,48 ; le fécond a pour côtés , 70, 24, 74 ; ceux enfin du troifieme font >15, 112 & 113.
    • La méthode par laquelle on lès a trouvés, eft celle-ci :
    • • Si on ajoute le produit de deux nombres quelconques à la fomme de leurs quarrés , on aura le premier nombre; Indifférence de leurs quarrés fera le fécond;
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    • Arithmétique. Chap. K 51
    • '& le double de la fomme de leur produit & du quarré du plus petit, fera le troijieme.
    • Ces trois nombres trouvés, forme^trois triangles rectangles, fçavoir, Vun des deux premiers, comme générateurs ; le deuxieme , des deux extrêmes; & le troijieme, du premier & de la fomme des deux autres. Ces trois triangles rectangles feront égaux entr'eux
    • On ne peut trouver plus dé trois triangles rectangles , en entiers , qui foient égaux entr’eux ; mais on peut en trouver tant qu’on voudra en nombres rompus, par le moyen de la formule fuivante.
    • Faites, de Vhypothénufe d'un des triangles ci-dejjiis, & du quadruple de fon aire , un autre triangle rectangle, que vous divifere£ par le double du ^ produit qui viendra , en multipliant V fiypothénufe du triangle choiji, par la différence des quarrés des deux autres côtés; & le triangle qui en proviendra , fera le triangle propofé.
    • PROBLÈME IV.
    • Trouver un Triangle rectangle , dont les côtés foient en proportion arithmétique.
    • Prenez deux nombres générateurs, qui foient l’un à l’autre dans le rapport d’un à*leux ; le triangle reétangle qui en proviendra, aura fes côtés en progréflion arithmétique.
    • Le plus limple de ces triangles eft celui-ci, 3, 4,5, qui provient des nombres 1 & z pris pour générateurs. Mais il faut obferver que tous les autres triangles, qui ont la même propriété, font femblables à ce premier, & n’en font que des multiples. Il eft aifé de démontrer de bien des maniérés, qu’il ne fqauroit y en avoir d’autre.
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    • 5* Récréations Mathématiques.
    • R E m a k a -v è.
    • SI l’on demandoit un triangle re&angle en nom; très, dont les trois côtés fuffent en proportion géométrique, nous répondrions qu’il n’y en a aucun en nombres entiers ; car les deux nombres générateurs devraient être dans le rapport de i à j/*1/5—2. ; ce qui -eft un nombre irrationnel.
    • PROBLÈME V.
    • Trouver un Triangle rectangle, dont Faire , exprimée en nombre , fait égale au contour ; ou en raifon donnée avec lui.
    • Formez , d’un nombre quarré quelconque, & de ce même quarré augmenté de 2 , un triangle re&angle, dont vous diviferez les côtés par ce nombre quarré : les quotients donneront les côtés d’un nouveau triangle re&angle, dont l’aire, exprimée numériquement, fera égale au contour.
    • Ainfi , en prenant pour nombres générateurs 1 3 , vous aurez le triangle <5, 8, 10, dont les côtés, divifés par l’unité, font 6,8, 10, & forment le triangle qui a la propriété demandée ; car l’aire eft 24, & le contour eft auffi 24. De même , prenant pour générateurs 2 & 6, vous aurez pour triangle cherché 5 , 12, 13, où la propriété demandée fe vérifie encore.
    • Ces deux triangles font les feuls, en nombres entiers, fufceptibles de cette propriété ; mais on en trouvera une infinité d’autres en nombres rom-
    • moindres termes, . Ail,'
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    • ARITHMETIQUE. Chap. VI.
    • Si vous voulez que Paire du triangle cherché foit feulement en raifon donnée avec le contour , par exemple , les |, prene{ pour nombres générateurs un quarré, & ce même quarré augmenté de 3, & former, comme ci-dejfus, par leur moyen , un triangle rectangle : ce triangle jouira de la propriété demandée. Tels font , en nombres entiers, les deux triangles S, 1 17, & 7, 24, 25 ; & une
    • infinité d’autres en fra&ions.
    • Nous croyons devoir terminer ici ces queftions fur les triangles en nombres, & être plus fobres fur ce fujet que feû M. Ozanam ; car rien de plus fec que ces problèmes : & probablement M. Ozanam n’en auroit pas tant entaffé, s’il n’eût voulu profiter, pour fes Récréations Mathématiques, d’une befogne toute faite dans fon Algèbre , où il s’en propofe jufqu’à fatiété.
    • CHAPITRE VI.
    • Quelques Problèmes curieux fur les Nombres quarrés & cubes.
    • PROBLÈME I.
    • Un nombre quarré étant donné , le. divifer en deux autres quarres.
    • ON trouvera, de la maniéré fuivante, une infinité de folutions de ce problème. Soit,,par exemple, le quarré 16, dont la racine eft 4, à divifer en deux autres nombres quarrés, qui ne peuvent être que des fractions , comme il ère aifé de voir.
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    • j4 Récréations Mathématiques.
    • Prenez deux nombres quelconques, comme 5 & 2 ; multipliez-les enfemble ; &, par leur produit, multipliez encore le double de la racine 4 du quarré propofé : ce produit, qui ièra ici 48 , fera le dénominateur d’une fraftion, dont le numérateur Ce' trouvera en prenant la fomme 13 des quarrés des nombres ci-defliis : cette fraélion ff- , fera le côté du premier quarré cherché, qui fera conféquemment
    • Pour avoir le fécond , on multipliera le quarré donné par le dénominateur ci-deffus, 169 ; &, du produit qui eft 1704, on ôtera le numérateur 2304 : le refte ( qui fera toujours un quarré ) fera 400, dont la racine 20 étant prife pour numérateur, & 13 pour dénominateur, donnera la frac-tion jf pour le côté du fécond quarré.
    • Ainlî, les deux côtés des quarrés cherchés feront y-|- 6>c , dont les quarrés & Aff » font
    • effectivement enfemble le nombre quarré 16.
    • Si on eut pris pour nombres primitifs 2 & 1, on auroit eu les racines & Aî, dont les quarrés font ^ ; ce qui fait ou 16.
    • Les nombres 4 & 3 auroient donné les racines ff & 7?» dont les quarrés font en-
    • core ^f°°° ou 16.
    • Ainfi , l’qn voit qu’en variant ces fuppofitions des deux premiers nombres arbitraires , on variera auffi à l’infini fes folutions.
    • Remarque.
    • Mais peut-on également divifer un cube donné en deux autres cubes? Nous répondrons , fur la pa-ïole d’un grand analyse, fçavoir M. de Fermât, que cela n’eft pas poflible. Il ne l’eft pas non plus de divifer aucune puiffance au deflus du quarré,
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    • Arithmétique. Chap. VI. 55 çn deux parties qui foient des puiffances de même efpece; par exemple, un quarré-quarrë, en deux quarrés-quarrés.
    • PROBLÈME II.
    • Divifer un Nombre qui ejl la fomme de deux quarres9 en deux autres quarres.
    • Soit propofé le nombre 13 , qui eft compofé des deux quarres 9 & 4 : on demande de le divifer en deux autres quarres.
    • Prenez deux nombres quelconques, par exemple , 4 & 3 ; multipliez par le premier 4, le double 6 de la racine 3 d’un des quarres ci-deffus, & par le fécond 3, le double de la racine 2 de l’autre quarré, les produits feront 24 & 12. Otez-les l’un de l’autre , la différence 12 fera le numérateur d’une fraction, dont le dénominateur fera 25, la? fomme des quarrés des nombres choifîs. Cette fraélion fera donc multipliez - la par chacun des nombres pris à volonté, vous aurez d’un côté & de l’autre f|. Le plus grand de ces nombres étant ôté de la racine du plus grand quarré contenu en 13, fçavoir 3 , le reliant fera ff ; & l’autre, étant ajouté au côté du plus petit quarré 2 * donnera |f. Les deux fra&ions ~ & f-f, feront les côtés des deux quarrés cherchés ff| & Z—fê’, qui enfemble font 13 , comme il eft aifé de s’en affurer.
    • D’autres fuppofîtions de nombres auroient donné d’autres quarrés ; mais nous laiflons au le&eur le plaifir de s’exercer en les cherchant-Remarque.
    • Pour qu’un nombre foit divifible d’une infinité
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    • 56 Récréations Mathématiques.
    • de maniérés en deux quarrês, il faut qu’il fort on quarré, ou compofé de deux quarrés : tels font y par ordre, les nombres i, 2, 4, 5, 8,9, 10, ij9 16,17,15,26, 29, 31,34» 36» 37» &c. Nous ne connoilfons pas, ni ne croyons poffible de trouver le moyen de divifer en deux quarrés, un nombre qui n’eft pas quarré ou la fomme de deux quarrés ; & nous croyons qu’on peut avancer comme une réglé, que tout nombre entier, qui n’eft pas quarré ou compofé de deux quarrés en nombres entiers, ne'fçauroit être divifé d’aucune maniéré en deux quarrés. C’eft ce dont il feroit curieux de trouver une démonftration.
    • Mais tout nombre èft divifible d’une infinité de maniérés, au moins en quatre quarrés ; car il n’en eft point qui ne foit ou quarré, ou la fomme de deux , ou trois, ou quatre quarrés. Bachet de Mé-liriac avoit avancé cette propofition (a), de la vérité de laquelle il s’étoit afluré autant qu’on le peut faire, en elfayant tous les nombres depuis 1 jufqu’à 325. M. de Fermât (b) ajoute qu’il peut démontrer cette propriété générale & curieufé des nombres , fçavoir , que
    • Tout nombre ejl ou triangulaire, ou compofé de deux ou trois nombres triangulaires.
    • Tout nombre ejl ou quarré, ou compofé' de deux y ou trois , ou quatre nombres quarrés.
    • Tout nombre ejl ou pentagone, ou compofé de deux , ou trois , ou quatre, ou cinq pentagones ; & ainfi de fuite*
    • (a) Diophanti Alesandrini Aritkmeticorum lib. 6; cum Comm. C, G. Bacheti, &c. Tûlofa, ,67q , in-fol. pag. i?gA
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    • ARITHMiTIQUE Chap. VI. \f
    • La démonftration de cette propriété des nombres , fi elle eft réelle, ferait vraiment curieufe.
    • PROBLÈME III.
    • Trouver quatre Cubes , dont deux , pris enfemble foient égaux à la fomme des deux autres.
    • On les trouvera par la méthode fuivante , qui eft fort fimple. Prenez deux nombres tels que le double du cube du plus petit furpafie le cube du plus grand ; enfuite , du double du plus grand cube, ôtez le moindre; & multipliez ce reftant, aufii-bien que la fomme des cubes, par le moindre des nombres choifis : les deux produits feront les côtés des deux premiers cubes cherchés.
    • Pareillement ôtez le plus grand des cubes des nombres choifis, du double du moindre ; & que le reftant, ainfi que la fomme des mêmes cubes, foit multiplié par le plus grand des nombres choifis : les deux nouveaux produits feront les deux côtés des deux autres cubes.
    • Par exemple , qu’on prenne les nombres 4 & 5, qui ont la condition requife ci-deffus, on trouvera pour les côtés des deux premiers cubes, 744 , 756 ; & pour les deux autres, 945 & 15, qui , étant divifés par 3 , donnent, pour les deux premiers , 248 , 252; & pour les deux derniers, 3*5» 5-
    • Si vous prenez 5 & 6, vous aurez 15 3 5 & 1705 pour les côtés des deux premiers cubes, & 20469 204 pour les côtés des féconds.
    • Remarque.
    • Un nombre compofé de deux cubes étant
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    • jg Récréations Mathématiques.
    • donné, il eft poffible de trouver deux autres cubes , dont la Tomme Toit égale à celte des deu£ premiers. Viete avoit penfé le contraire ; mais M. de Fermât indique le moyen d’y parvenir, dans Tes obfervations fur les Quejlions arithmétiques de Diophante, commentées par M. Bachet de Mé-ziriac. Il eft vrai que le calcul conduità des nombres extrêmement compliqués , & capables d’effrayer l’arithméticien le plus intrépide : on en jugera par l’exemple fuivant. C’eft celui ou il eft queftion de divifer la fomme des deux cubes 8 & i, en deux autres. En fuivant la méthode indiquée par M. de Fermât, le P. de Billy a trouvé que les côtés des deux nouveaux cubes étoient les nombres fuivants>
    • 12436177733990097836481
    • 60962383566137197449 & 487267171714351336560
    • 60962383566137297449
    • Il en faut croire le P. de Billy; car je ne fçais H jamais il fe trouvera quelqu’un qui ofe examiner s’il s’eft trompé.
    • Mais on peut, fans beaucoup de peine, réfoudre cette autre queftion analogue aux précédentes r Trouver trois cubes qui, pris enfembte, Joient égaux à un quatrième. D’après la méthode indiquée dans le livre cité ci-deffus, on trouvera que les moindres nombres entiers qui réfolvent la queftion, font 3,4 & 5 ; car leurs cubes ajoutés enfembte font 216, qui eft le cube de 6.
    • Nous nous fournies bornés à quelques-unes des queftions de cette efpece , qu’on peut multiplier à
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    • Arithmétique. Chip. VL 79 l’infini. Elles ont un genre, particulier de difficulté qui les rend intéreffantes. Auffi divers analyses s’en font fort occupés : tels font, parmi les anciens , Diophante d’Alexandrie, qui avoit écrit treize livres de Queftions arithmétiques , dont les fix premiers feulement nous font parvenus, avec un autre fur les Nombres polygones. M. Viete s’exerça fur ce genre de queftions, ainfi que M. Bachet de Méziriac, qui a commenté l’ouvrage de l’arithméticien Grec. Le célébré M. de Fermât porta plus loin que perfonne avant lui cette efpece d’analyfe. Le P. de Billy donna, vers le même temps, des preuves de fa fubtilité en ce genre, par fon ouvrage intitulé Diophantus redivivus , où il laifloit bien loin derrière lui l’analyfte ancien. Enfin, M. Ozanam avoit donné des preuves d’une très-grande force en ce genre, par la folution de quelques queftions qu’on avoit jugées infolubles. Il avoit écrit fur cette matière ; mais fon ouvrage a refté manufcrit, & eft tombé, après fa mort, entre les mains de feu M. Dagueffeau., C’eft ce que nous apprend l’hiftorien de l’Académie.
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    • 6a Récréations Mathématiques;
    • CHAPITRE VII.
    • Des ProgrcJJions arithmétiques & géométriques, b de quelques Problèmes qui en dépendent.
    • §•!•
    • Expojttion des principales Propriétés de la Pro-gréjjîon arithmétique.
    • SI l’on a une fuite de nombres continuellement croiffants ou décroiffants, tels que la différence du premier au fécond foit égale à celle du fécond au troifieme, du troifieme au quatrième , &c. & ainfi de fuite, ces nombres feront en pro-greflion arithmétique.
    • Ces fuites de nombres ,1,2,3,4,5, 6 , &c. ou 1,5,9, >3>&c* ou 10, 18, 16, 14, II, &c. ou 15, 12, 9,6, 5, font donc des progrefiions arithmétiques ; car, dans la première,la différence du fécond terme au fuivant qui le furpafle, eft toujours 1 ; dans la fécondé elle eft 2 : elle eft pareillement toujours 2 dans la troifieme qui va en décroiffant, & trois dam la quatrième.
    • Il eft aifé de voir au premier coup d’œil, que la progreflion arithmétique croiffante peut être continuée à l’infini ; mais elle ne peut pas l’être de même, en un certain fens, lorfqu’elle décroît;, car on arrivera toujours néceffairement à un terme dont la différence commune étant ôtée , le reftant fera zéro ou un nombre négatif. Ainfi la progref-fion 19, 15,11,7,3, ne fçauroit aller plus loin*
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    • Arithmétique. Chap. VII. 6t en nombres pofitifs du moins ; car on ne peut ôter 4 de 3 ; ou fi on l’ôte, on a, en langage analytique , —i (a). On auroit, en continuant la fouf-traélion — 5 , —9, &c.
    • Les principales propriétés des progreflions arithmétiques fuivent facilement de la définition que nous venons d’énoncer & de développer ; car on verra d’abord , en y faifant attention ,
    • i° Que chaque terme n’eft autre chofe que le premier, plus ou moins la différence commune, multipliée par le nombre des intervalles entre ce terme & le premier. Ainfi, dans la progreflion 2 , 5, 8, 11, 14,17, &c. dont la différence eft 3, ily a, entre le fixieme terme & le premier, cinq intervalles ; c’eft pourquoi ce fixieme terme eft égal au premier, plus le produit 15 de la différence commune 3 par 5. Or, comme ce nombre d’intervalles eft toujours moindre de l’unité que le nombre des termes, il fuit qu’on aura chaque terme dont on connoîtra le rang , en multipliant la différence commune par le nombre qui exprime ce rang, diminué de l’unité. Ainfi le centième terme d’une progreflion croiflante fera égal au premier, plus 99 fois la différence commune. Si elle eft décroif-fante , ce fera le premier terme, diminué de ce même produit.
    • Pour avoir donc, dans une progreflion arithmé-
    • (a) Comme les quantités appellées négatives ne font que des quantités réelles , prifes dans un fens contraire à celui des quantités appellées pofitives, il eft évident que, dans la rigueur mathématique & analytique, la progreflion arithmétique fe continue à l’infini, autant en décroiflant «u’en croiflant ; mais nous nous énonçons ici comme on le fait vulgairement.
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    • 6i Récréations Mathématiques. tique dont on connoît la différence commune, tiit terme quelconque dont la place eft connue, multipliez cette différence par le nombre qui indique cette place , diminué de l’unité , ajoutez le produit au premier terme fi la progreffion va en croiffant, & ôtez-le £1 elle va en décroiffant; vous aurez le terme cherché.
    • 2° Dans toute progreffion arithmétique, le premier & le dernier termes font une fomme égale à celle du fécond & de l’avant-dernier, à celle du troifieme & de l’antépénultieme, &c. enfin égale à la fomme des termes moyens , fi le nombre des termes eft pair, ou au double du moyen, fi ce nombre de termes eft impair.
    • Cela eft aifé à démontrer d’après ce qu’on vient de dire : car nommons le premier terme A , Sc fuppofons, par exemple, vingt termes à la progreffion ; le vingtième, fi elle eft croiffante , fera donc égal à A plus dix-neuf fois la différence commune, & leur fomme fera deux fois le premier terme plus dix-neuf fois cette différence. Or le fécond terme eft égal au premier plus la différence commune ; & le dix-neuvieme terme, ou l’avant-dernier dans notre fuppofition, eft égal au premier plus dix-huit fois la différence. Auffi la fomme du deuxieme & de l’avant-dernier eft deux fois le premier terme plus dix - neuf fois la différence commune ; & ainfi du troifieme & de l’antépénultieme.
    • _ 3° Cette derniere propriété fert à démontrer aifément comment on peut trouver la fomme de tous les termes d’une progreffion arithmétique ; car, puifque le premier & le dernier termes font une même fomme que le deuxieme & le pénul-
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    • Arithmétique. Chap. FIL 6$ tieme, le troifieme 6c l’antépénultieme , 6cc. enfin que les deux moyens, It le nombre des termes eft pair ; il fuit que la progreffion contient en total autant de fois la fomme du premier 6c du dernier termes, qu’on peut faire de pareils couples. Or ce nombre de couples eft égal à la moitié du nombre des termes ; conféquemment la fomme de toute la progreflion eft égale au produit de la fomme des premier 6c dernier termes, multipliée par la moitié du nombre des termes, ou, ce qui revient au même, à la moitié du produit de la fomme des premier 6c dernier termes, par le nombre de ceux de la progreffion.
    • Si le nombre des termes eft impair, par exemple , 9, il eft aifé de voir que le terme moyen eft la moitié de la fomme des deux qui l’avoifinent, ôc par conféquent de la fomme du premier & du dernier. Or la fomme de tous les termes, le moyen excepté, eft égale au produit de la derniere fomme des premier & dernier par le nombre des termes diminué de l’unité, par exemple par 8, dans le cas propofé où il y a neuf termes ; conféquemment , en y ajoutant le terme moyen qui complet-tera la fomme de la progreffion, 6c qui eft égal à la demi-fomme des premier 6c dernier termes, on aura, pour la fomme totale de la progreffion , autant de fois la demi-fomme ci-deffiis , qu’il y a de termes dans la progreffion ; ce qui eft la même chofe que le produit delà demi-fomme des premier &c dernier termes par le nombre de ces termes , ou le produit de cette fomme par la moitié du nombre des termes.
    • Lorfqu’on aura bien connu les réglés précédentes , il fera aifé de réfoudre les queftions qui fuivent.
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    • 64 Récréations Mathématiques, PROBLÈME I.
    • Il y a un panier & cent cailloux fanges en ligné droite & à des efpaces égaux d'iine toife. On propofe de les ramajfer & les rapporter dans te panier un à un , en allant d’abord chercher le premier , enfuite le fécond, & ainfi de fuite juf-quau dernier. Combien de toifes doit faire celui qui entreprendra cet ouvrage ?
    • Il eft bien clair que pour le premier caillou il faut faire deux toifes, une pour aller, & l’autre pour revenir ; que pour le fécond il faut faire quatre toifes, deux pour aller, deux pour revenir ; & ainfi de fuite, en augmentant de deux jufqu’au centième, qui exigera deux cents toifes de chemin, cent pour aller, cent pour revenir. Il eft d’ailleurs facile d’appercevoir que ces nombres forment une progreflion arithmétique, dont le nombre des termes eft ioo; le premier 2, & le centième 200. Ainfi la fomme totale fera le produit de 202 par 50, ou 10100 toifes; ce qui fait plus de quatre lieues moyennes de France, ou cinq petites lieues.
    • Remarque.
    • IL n’eft donc pas étonnant que ceux qui n’ont pas de connoiflances mathématiques ne fe perfua-dent pas qu’une pareille entreprife exige tant de chemin. On a vu , il y a quelques années, au Luxembourg, une perfonne parier qu’elle iroit de ce palais au château de Meudon toucher la grille d’entrée, & reviendroit au Luxembourg , avant qu’une autre eût ramaffé cent pierres efpacées comme
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    • Arithmétique. Chap. Vif 65 comme ci-deffus , & fous les mêmes conditions. La derniere ne poüvoit fe le perfuader, &: gagea une fomme affez forte ; mais elle perdit. Et en effet elle devoit perdre ; car je doute qu’il y ait du Luxembourg à Meudon 5050 toifes, ce qui en fait pour aller & revenir 10100. Or celui qui alloit à NÂeudon avoit, fur celui qui ramaffoit les pierres, l’avantage de n’avoir pas à fe baiffer cent fois de fuite & fe relever autant de fois ; ce qui devoit extrêmement ralentir fon opération. Aulïï la première fut-elle de retour, à ce qu’on m’a raconté, que l’autre étoit à peine à la quatre-vingt-cinquième pierre.
    • PROBLÈME II.
    • Un Proprietaire efi convenu avec un Maçon qui doit lui creufer un puits , de lui donner trois livres pour la première toife de profondeur, cinq pour la fécondé, fept pour la troijieme, & ainji jufqu’a la vingtième toife inclujivement, où il doit rencontrer Veau, On demande combien il fera dû au Maçon quand il aura fini fon ouvrage ?
    • L A réponfe eft facile, au moyen des réglés données plus haut: caria différence des termes eft ici 2, le nombre des termes eft 20 ; conféquemment, pour avoir le vingtième terme , il faut multiplier 2 par 19 , &: ajouter le produit 3843, premier terme ; ce qui donnera 41 pour le vingtième terme.
    • Ajoutez enfuite le premier & dernier termes, c’eft-à-dire 3 & 41, ce qui donne 44, & multipliez cette fomme par 10, moitié du nombre des termes ; vous aurez 440 pour la fomme de tous les termes de la progreflion, ôc pour le prix total de l’ouvrage.
    • Tome /,
    • E
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    • 66 Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME III.
    • Un autre Propriétaire étant convenu avec un Maçon , pour creufer un puits de vingt toifes de profondeur, de lui payer une fomme de 400 livres, ce Maçon tombe malade à la huitième toife , & ne peut continuer Vouvrage. On demande combien il lui ejl du >
    • Ce feroit apurement fe tromper, que de prétendre qu’il fut dû à cet ouvrier les deux cinquièmes du prix total, parce que 8 toifes font les deux cinquièmes de la profondeur convenue : car il eft aifé de voir que la peine augmente à mefure qu’on parvient à une plus grande profondeur. On fup-pofe au refte, car il feroit difficile de lé déterminer précifément, que la difficulté croît arithmétiquement comme la profondeur, enforte que le prix doive croître de même.
    • Il faut donc , pour réfoudre ce problème, distribuer la fomme de 400 livres en vingt termes qui foient en progreflion arithmétique : la fomme des huit premiers donnera ce qui eft dû au maçon pour fon ouvrage.
    • Mais la fomme de 400 livres peut être diftribuée en vingt termes arithmétiquement proportionnels de bien des maniérés différentes, fuivant qu’on déterminera le premier terme qui eft ici indéterminé : car fi on le fuppofoit, par exemple, d’une livre, la progreflion feroit i, 3,5,7, &c. dont 3 9 feroit le dernier terme ; ce qui donnerait pour les huit premiers termes la fomme de 64 livres. Au contraire,fi on le fuppofoit, par exemple, 107, la fuite des termes feroit 1 o ~, 117, 12.7» 137, 147, &c ; ce qui donneroit pour les huit premiers la fomme de 116 livres»
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    • ÀRITMÉTIQUE. Cfiap. VIL 67 Ainlî, pour réfoudre le problème convenablement , & afligner avec équité ce qui eft dû, dans le cas propofé, à l’ouvrier pour ce commencement d’ouvrage, il faudroit commencer par déterminer ce que vaut équitablement une toife d’ouvrage femblable à la première, & prendre ce prix pour premier terme de la progrelïion. Je fuppofe que ce prix foit la fomme de 5 livres : alors on aura pour la progrefiion cherchée ^ ,6—, 9t|»
    • iz1 tV »13 vf 9 &c* d°nt la différence eft , & le dernier terme 35.
    • Pour trouver donc la fomme des huit premiers termes, il faut d’abord trouver le huitième terme , & pour cet effet multiplier la différence commune , ou ff- > par 7, ce qui donne 11 £ ; l’ajouter au premier terme 5 , ce qui donne pour ce huitième terme 16 ajoutez-y encore le premier terme, & multipliez la fomme 21 par 4 ; le produit 84 tç fera la fomme des huit premiers termes , ou ce qui eft dû à l’ouvrier pour la portion d’ouvrage qu’il a faite.
    • PROBLÈME IV.
    • Un homme doit 1.860 livres à un créancier qui veut bientlui faciliter le moyen de s'acquitter en un an, fous les conditions fuivantes ; fçavoir, de lui payer le premier mois la fomme de 100 , & enfuite chaque mois une fomme de plus que le précédent 9 jufqu'au douzième qui complettera le paiement. On demande quelle éjl cette fomme dont le paiement de chaque mois doit être augmenté ?
    • Dans ce problème, |les paiements à faire de mois en mois doivent augmenter en progreffioii
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    • <8 Récréations Mathématiques. arithmétique, & l’on a la fomme des termes, fçavoir, ladite fomme totale due: on connok aufli leur nombre, qui eft i 2. Mais la différence des termes eft inconnue ; car c’eft celle dont les paiements doivent croître de mois en mois.
    • Pour la trouver, ôtez d’abord de la fomme totale le premier paiement multiplié par le nombre des termes, c*eft-à-dire ici 1100 livres, il reftera <56o ; multipliez enfiaite le nombre des termes diminué de l’unité ou 11 , par la moitié du nombre des termes ou 6, vous aurez le nombre 66, par lequel vous diviferez le refte 660 : le quotient fera 10, & fera la différence cherchée. Ainfi le premier paiement étant 100, le fécond fera 110 , le troifieme 120 , enfin le dernier 210.
    • §. 11.
    • Des Progrejjzons géométriques r. expojhion de leurs principales Propriétés.
    • Lorfqu’on a une fuite de termes dont chacun eft le produit du précédent par un me me nombre, ou, ce qui eft la même chofe , dont chacun eft au précédent dans le même rapport, ils forment ce qu’on appelle une progreflion géométrique: ainfi 1, 2 , 4, 8 , 16, &c. forment une progreflion géométrique ; car le fécond eft le double du premier, le troifieme le double du fécond, & ainii de fuite. Les termes 1,3,9, 27> 81 9 &c. forment aufli une progreflion géométrique, chaque terme étant triple de celui qui le précédé.
    • I. La principale propriété de la progreflion géométrique eft que, li l’on prend de fuite trois termes quelconques, comme 3,9, 27, le produit & 1 des extrêmes eft égal au quarré du terme moyen
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    • Arithmétique. Chap. ni. 6$
    • *j : de même fi l’on en prend quatre de fuite , comme 3 , 9, 27, 81, le produit des extrêmes 243 , eft égal au produit des deux moyens 9 & 27.
    • Enfin, fi l’on prend un nombre quelconque de fuite, comme 2, 4,8, 16, 32, 64,1e produit des extrêmes 2 & 64, eft égal au produit des deux qui en font également éloignés, fçavoir 4 & 32., ou bien 8 & 16. Si le nombre des termes étoit impair, il eft évident qu’il y auroit un terme unique également éloigné des deux extrêmes ; & alors le quarré de ce terme feroit égal au produit des extrêmes, ou de deux autres quelconques, également éloignés d’eux ou du moyen.
    • II. II y a entre la progreflïon géométrique Sc la progreflïon arithmétique une analogie qui doit être remarquée ici, & qui confifte en ce que ce qui convient à la derniere en employant l’addition & la fouftraftion , convient à l’autre en y employant la multiplication & la divifion. Lorfque dans la derniere on prend la moitié ou le tiers , dans la première on emploie l’extrafrion de la racine quarrée, ou cubique, &c.
    • Ainfi, pour trouver un nombre moyen arithmétique entre deux autres, par exemple 3,12, on ajoute les deux extrêmes donnés, & l?on prend la moitié 7^ de la fomme 15, qui eft le nombre cherché : mais pour trouver un moyen géométrique entre deux nombres , on multiplie les extrêmes donnés, & l’on tire la racine quarrée du produite Soient, par exemple, ces nombres 3,12; leur produit eft 36, dont la racine quarrée 6 eft le nombre cherché.
    • Si l’on a une progreflïon géométrique quelconque, comme 1,2,4, 8, 16, 32, 64, ôte. 6c qu’on écrive, comme on voit dans l’exemple ci* Eiij
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    • 7<à Récréations Mathématiques. deffous, les termes d’une progreffion arithmétique^ par ordre au deffus de ceux de la progreffion géométrique ,
    • o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 IO
    • i 2 4 8 16 32 64 118 256 512 1024 ©n remarquera les propriétés fuivantes dans cette combinaifon,
    • i° Qu’on prenne deux termes quelconques de la progreffion arithmétique, par exemple 4 & 64 , & qu’on les multiplie, leur produit eft 256. Qu’on prenne pareillement les deux termes de la progreffion géométrique répondants à 4 & 64, qui font 2 & 6, & qu’on les ajoute, la fomme 8 répondra au produit ci-deffus 256.
    • 20 Prenez dans la progreffion inférieure quatre termes en proportion géométrique, par exemple 2, 16, 64, 512 ; les nombres de la progreffion fupérieure correfpondants feront 1,4, 6, 9 , qui font en proportion arithmétique, car la différence de 4 à 1 eft la même que celle de 9 à 6.
    • 3° Si l’on prend dans la fuite inférieure un nombre quarré , 64 par exemple, & dans la fuite fupérieure le terme qui lui répond, fqavoir 6 , la moitié de ce dernier, 3, fe trouvera répondre à la racine quarrée de 64, fçavoir 8.
    • En prenant dans la fuite inférieure un cube , par exemple 512, & dans la fupérieure le nombre correfpondant 9, il fe trouve que le tiers de ce dernier, qui eft 3, eft auffi correfpondant à la racine cubique 8 du premier.
    • Ainfi l’on voit que ce qui, dans la progreffion géométrique, eft multiplication, eft addition dans Parithmétique ; ce qui eft divifion dans la pre-
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    • Arithmétique. Chap. FIL 71 miere, eft fouftra&ion dans la derniere ; ce qui eft enfin extraction de racine quarrée, cubique, &c. dans la progreflion géométrique, eft fimple divi-lion par 2, par 3 , &c. dans l’arithmétique.
    • Cette analogie remarquable eft le fondement de la théorie vulgaire des logarithmes ; & nous a paru par cette raifon mériter que nous entraînions ici dans quelques détails à fon fujet.
    • III. Il eft évident que toutes les puiffances par ordre d’un même nombre, forment une progref-fîon géométrique ; telle eft la fuivante, qui eft: celle des puiffances du nombre 2,
    • 2 4 8 16 32 64 128 &c.
    • Il en eft de même des puiffances du nombre 3 , qui forment la fuite
    • 3 9 27 81 143 719 &c-
    • La première de ces fuites a une propriété particulière , fçavoir , que fi l’on prend les premier , deuxieme, quatrième, huitième, feizieme, trente-deuxieme termes, & qu’on y ajoute l’unité, il en réfultera des nombres premiers.
    • IV. On appelle l’expofant d’une progreflion géométrique, le nombre qui réfulte de la divifion d’un terme quelconque par celui qui le précédé : ainfi , dans la progreflion géométrique 2,8,32, 128, 511, l’expofant eft 4; car, en divifant 128 par 32 , ou 32 par 8, ou 8 par 2, le quotient eft toujours 4. Ainfi l’expofant joue dans la progref-fion géométrique, le' même rôle que la différence dans la progreflion arithmétique, c’eft-à-dire qu’il eft toujours confiant.
    • Pour trouver donc, dans une progreflion géométrique dont le premier terme & l’expofant font
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    • 72 Récréations Mathématiques.
    • connus, un terme quelconque , par exemple lé huitième, multipliez cet expofant par lui - même fept fois de fuite, ou autant de fois qu’il y a d’unités dans fon rang, moins un ; ou, ce qui eft la même chofe, élevez cet expofant à la feptieme puiflance ; enfin multipliez le premier terme par le produit : le nouveau produit fera le huitième terme cherché. Soit, par exemple, le premier terme 3 , & l’expofant de la progreffion 2 : pour avoir le huitième terme, on prendra la feptieme puiflance de 2, qui eft 128; multipliez enfuite par 128 le premier terme 3; le produit, qui fera 384, donnera le huitième terme cherché de la progreffion.
    • Remarquons ici que s’il eût été queftion d’une progreffion arithmétique dont le premier terme eût été donné ainfi que la différence, & qu’on eût voulu avoir le huitième terme, on eût multiplié cette différence par 7, & on eût ajouté le produit "3u premier terme. On voit par conféquent ici une fuite de l’analogie remarquée dans le para-he III.
    • V. On trouve la fomme des termes d’une progreffion géométrique déterminée, de la maniéré fui vante.
    • Multiplieç le premier terme par lui-même , & le dernier par le fécond, & prenez la différence de ces deux produits.
    • Diyifè{ enfuite cette différence par celle des deux premiers termes, le quotient fera la fomme de tous les termes.
    • Soit, par exemple , la progreffion 3,6, 12, 24, &c. dont le huitième terme eft 384, & qu’on demande la fomme de ces huit termes ; le produit du premier par lui-même eft 9 , celui du dernier parle fécond eft 2304, la différence eft 1195:
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    • Arithmétique. Chap. FIL 75 dîvifez donc 2195 par 3, différence des premier 8c fécond termes , 8c vous aurez pour quotient le nombre 765 , qui fera la fomme de ces huit termes.
    • VI. Une progreffion géométrique peut décroître à l’infini, fans qu’on parvienne jamais à zéro ; car il eft évident qu’une partie quelconque d’une quantité qui eft plus grande que zéro, ne peut jamais être zéro. Ainfi une progreffion géométrique décroiffante peut fe prolonger à l’infini : il n’y a qu’à divifer le dernier terme par l’expofant de la progreffion , 8c l’on aura le terme fuivant. Voici quelques exemples de progreffions géométriques jdécroiffantes :
    • VII. La fomme d’une progreffion géométrique croiffante 8c continuée à l’infini, eft évidemment infinie : mais celle d’une progreffion géométrique décroiffante, quelque nombre de termes qu’on en prenne, eft toujours finie. Ainfi la fomme de tous les termes à l’infini de cette progreffion 1,7,7, &c. n’eft que z ; Celle de la progreffion 1, j, j , 8cc. à l’infini, n’eft que 1 ~, 8cc. Cela fuit nécef-fairement de la méthode donnée plus haut pour .trouver la fomme de tant de termes qu’on voudra d’une progreffion géométrique ; car fi nous la fup-pofons prolongée à l’infini 8c décroiffante, le dernier terme fera infiniment petit ou zéro : ainfi le produit du fécond terme par le dernier fera zéro ; 8c conféquemment il n’y aura qu’à divifer le quarré du premier terme, par la différence du premier 8c du fécond. C’eft ainfi qu’on a trouvé que 1 ,
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    • 74 Récréations Mathématiques.
    • i j É> &c. à l’infini, eft égal à 1, & que Y, y, j i ou i car le quarré de i eft i, la différence de i & i ^ eft 4- • enfin l’unité divifée par ~ donne % ; de même i, étant divifé par -, qui eft la différence de i & de ÿ, donne \.
    • Remarque.
    • Lorsqu’on dit qu’une progrefïion continuée à l’infini peut être égale à une quantité finie, on ne prétend pas, à l’exemple de M. de Fontenelle , dire que l’infini puiffe avoir une exiftence réelle. Ce qu’on entend feulement par-là, & à quoi l’on doit réduire toutes les expreflions femblables, c’eft que, quelque nombre de termes qu’on prenne de la progreffion, leur fomme ne fçauroit égaler la quantité finie déterminée, quoiqu’elle en approche de mariiere, que leur différence peut devenir plus petite qu’aucune quantité aflignable.
    • PROBLÈME I.
    • Achille va dix fois plus vite qu’une tortue qui a une jlade d’avance. On demande s’il ejl pojjîble qu'il Vatteigne, & à quelle dijtance il T atteindra*
    • Cette queftion n’a de la célébrité que parce que Zénon, chef des Stoïciens, prétendoit, par un fophifme, prouver qu’Achille n’attéindroit jamais la tortue : car, difoit-il, pendant qu’Achille fera une ftade, la tortue en aura fait une dixième ; & pendant qu’il fera cette dixième, la tortue en fera une centième qu’elle aura encore d’avance ; & ainfi à l’infini : par conféquent il s’écoulera un nombre infini d’inftants avant que le héros ait atteint le reptile : donc il ne l’atteindra jamais.
    • Il ne faut cependant qu’avoir le fens commun
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    • Arithmétique. Chap. VII, 77 pour voir qu’Achille atteindra bientôt la tortue , puifqu’il la dépaffera. D’où vient donc le fo-phifme ? Le voici.
    • Achille n’atteindroit en effet jamais la tortue , fi les intervalles de temps pendant lefquels on fup-pofe qu’il a fait la première ftade , & enfuite les dixième, centième, millième de ftades que la tortue a eus fucceffivement d’avance fur lui, étoient égaux ; mais en fuppofant qu’il ait fait la première ftade dans io minutes de temps, il ne mettra qu’une minute à parcourir une dixième de ftade , enfuite 77 de minute pour parcourir une centième, &c : ainfi les intervalles de temps qu’Achille emploiera à parcourir l’avance que la tortue a gagnée pendant le temps précédent, iront en décroiflant de cette maniéré , 10, 1, —9 777, > &c.
    • ce qui forme une progrefïion géométrique fous-décuple , dont la fomme eft égale à 11 £. C’eft l’intervalle de temps après lequel Achille aura atteint la tortue ?
    • PROBLÈME II.
    • Les deux aiguilles d'une pendule à minutes partent enfemble du point de midi. On demande quels feront les points du cadran où elles fe rencontre-1ont fucceffivement , pendant une révolution entière de celle des heures ?
    • C E problème, confidéré d’une certaine maniéré , ne différé pas du précédent. L’aiguille des minutes joue ici le rôle que faifoit Achille dans le premier ; & celle des heures, qui va douze fois moins vite, celui de la tortue. Enfin, fi l’on confidere l’aiguille des heures comme commençant une fécondé réyo-
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    • 76 Récréations Mathématiques.
    • lution, & celle des minutes comme commençant la première, l’avance de l’une fur l’autre fera un tour entier du cadran. Lorfque celle des minutes aura fait une révolution, celle des heures en aura fait une douzième ; & ainfî progreflivement. Il n’eft donc queftion, pour réfoudre ce problème , que d’appliquer à fes données la méthode employée pour celui de la tortue, & l’on trouvera que l’intervalle, depuis mfdi jufqu’au point où fe rencontreront de nouveau les deux aiguilles, fera -£ de la révolution entière ; ou, ce qui revient au même , celui d’iine heure & tV d’heure. Elles fe rencontreront enfuite à 2 heures & —, à 3 heures à 4 heures & enfin à 11 heures & Ÿf, c’eft-à-dire à 12 heures.
    • On peut auffi réfoudre le problème fans confî-dération delà progreflion géométrique; car, puisque l’aiguille des minutes va douze fois auffi vite que celle des heures, la première parcourra, dans le temps écoulé depuis leur départ du point de midi jufqu’à leur nouvelle rencontre, un efpace égal à douze fois le chemin de la fécondé depuis ce même point de midi ; par conféquent ce chemin fera de la révolution entière, ainfî qu’il efl: aifé de fe le démontrer.
    • PROBLÈME III.
    • Un homme ayant fait quelque chofe de fort agréable à un fouverain , celui-ci veut le récompenfer, & lui ordonne de faire la demande qu'il voudra, lui promettant qu'elle lui fera accordée. Cet homme qui efl injiruit dans la fcience des nombres, fe borne a fupplier le monarque de lui faire donner la quantité de bled qui proyiendroit en comment
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    • Arithmétique. Chap. VU. 77
    • çant par un grain , & en doublant foixante- '
    • trois fois de fuite. On demande quelle ejl la
    • valeur de cette récompenfe ?
    • Un auteur Arabe, Al - Sephadi, raconte l’origine de ce problème d’une maniéré affez curieufe pour trouver place ici. Un roi de Perfe, dit-il, ayant imaginé le jeu de Trie - trac , en étoit tout glorieux. Mais il y avoit dans les Etats d’un1 roi de l’Inde un mathématicien nommé SeJJa9 fils de Daher, qui inventa le jeu $ Echecs. Il le pré-fenta à Ton maître, qui en fut fi fatisfait, qu’il voulut lui en donner une marque digne de fa magnificence , & lui ordonna de demander la récompenfe qu’il voudrait, lui promettant qu’elle lui feroit accordée. Le mathématicien fè borna à demander un grain de bled pour la première café de fon échiquier, deux pour la fécondé, quatre pour la troifïeme, éc ainfi de fuite, jufqu’à la derniere ou la foixante-quatrieme. Le prince s’indigna pref-que d’une demande qu’il jugeoit répondre mal à fa lihéralité, & ordonna à fon vifir de fatisfaire Seffa. Mais quel fut l’étonnement de ce miniftre, lorfqu’ayant fait calculer la quantité de bled né-ceffaire pour remplir l’ordre du prince, il vit que non-feulement il n’y avoit pas affez de grains dans fes greniers , mais même dans tous ceux de iès fujets & dans toute l’Afie ! Il en rendit compte au roi, qui fit appeller le mathématicien, & lui dit qu’il reconnoiffoit n’être pas affez riche pour remplir fa demande, dont la fubtilité l’étonnoit encore plus que l’invention du jeu qu’il lui avoit préfenté.
    • T elle eft, pour le remarquer en paffant, l’origine du jeu des Echecs, du moins au rapport de l’hifto-rien Arabe Al-Sephadi, Mais ce n’eft pas ici notre
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    • yS Récréations Mathématiques, objet de difcuter ce qui en eft : occupons-nous du calcul des grains demandés par le mathématicien Seffa.
    • On trouve, en faifant ce calcul, que le foixante-quatrieme terme de la progreffion double en commençant par l’unité, eft le nombre 912337205 6854775808. Or , dans la progreffion double commençant par l’unité , la Tomme de tous les termes fe trouve en doublant le dernier ôc en ôtant l’unité. Ainfi le nombre des grains de bled nécef-faire pour remplir la demande de Seffa , étoit le fùivant, 18446744073709551615. Or l’on trouve qu’une livre de bled de médiocre groffeur & médiocrement fec contient environ 12800 grains, & conféquemment le fetier de bled , qui eft de 240 livres poids moyen, en contiendroit environ 3072000 ; je le fuppofe de 3100000 : divifant donc le nombre des grains trouvés ci-deffus par ce dernier nombre , il en réfulteroit 59505620044 422 fetiers, qu’il eût fallu pour acquitter la pro-meffe du roi Indien. En fuppofant encore qu’un arpent de terre enfemencé rendît cinq fetiers , il faudrait, pour produire en une année la quantité de fetiers ci-deffus, la quantité de 1190112408 884 arpents ; ce qui fait près de huit fois la fur-face entière du globe de la terre : car la circonférence de la terre , étant fuppofée de 9000 lieues moyennes, c’eft-à-dire de 2280 toifes au degré, fa furface entière, y comprife celle des eaux de toute efpece, fe trouve de 148882176000 arpents.
    • M. Wallis envifage la chofe un peu autrement, & trouve dans fon Arithmétique, que la quantité de bled néceffaire pour remplir la promette faite à Seffa, formerait une pyramide de 9 milles an-glois de longueur, de largeur & de hauteur ; ce
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    • Arithmétique. Chap. Vil. 79
    • qui revient à une pareille pyramide qui auroit 3 de nos lieues (d’environ 3000 toifes ) en tout fens de bafe, & trois lieues de hauteur, ou à une maffe parallélipipede de 9 lieues quarrées de bafe, fur une hauteur uniforme d’une lieue. Or 3000 toifes de hauteur font 18000 pieds; ainfi ce folide eft l’équivalent d’un autre de 162000 lieues quarrées fur un pied de hauteur : d’où il fuit que la quantité de bled ci-deffus couvriroit 162000 lieues quarrées , à la hauteur d’un pied ; ce qui fait au moins trois fois la furface de la France, qui ne contient, je penfe, toute réduction faite, guere plus de 50000 lieues quarrées.
    • En fuppofant le fetier de bled à une piftole, la quantité de bled ci-deffus vaudroit 595056260 444220 livres , ce qui fait 5950562 milliards, fomme qui excede probablement toutes les ri-cheffes exiftantes fur la terre.
    • On propofe le même problème d’une autre maniéré que voici. Un maquignon poffede un très-beau cheval dont un homme a envie; mais cet acheteur 9peu difpofé à. y mettre le prix convenable , ejl indécis. Le maquignon , pour le déterminer par l'apparence d'un prix médiocre , lui offre de fe contenter du prix du vingt-quatrieme clou des fers du cheval, payé à raifon d'un denier pour le premier clou , de deux pour le deuxieme, quatre pour le troijieme, &c. jufqu'au vingt - quatrième. L'acheteur, croyant le marché fort avantageux pour lui , Vaccepte. On demande le prix du cheval ?
    • Ce cheval coûteroit fort cher; car, en faifant le calcul, on trouve que le vingt-quatrieme terme de cette progrefîion 1, 2, 4,8, &c.eft 8388608 ; ainfi ce feroit ce nombre de deniers que devroit donner l’acheteur, ce qui revient à trente - quatre
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    • 8o Récréations Mathématiques.
    • mille neuf cents cinquante-deux livres dix fous huit deniers. Aucun cheval Arabe de la plus noble race ne fe vendit jamais ce prix.
    • Si le prix convenu du cheval eut été la valeur de tous les clous, en payant le premier un denier, le fécond deux, le troilieme quatre , &c. il feroit du double, moins le premier terme, c’elt-à-dire de 69908 liv. 1 f. 3 den.
    • Nous allons terminer ce chapitre par quelques remarques phyfico - mathématiques fur la prodi-gieufe fécondité, & la multiplication progreffive des animaux & des végétaux , qui auroit lieu fi les forces de la nature n’éprouvoient pas continuellement des obftacles.
    • I. On ne fera point étonné que la race d’A-braham, après 260 ans de féjour en Egypte, ait pu former une nation capable de donner de l’inquiétude aux fouverains du pays. En effet, l’Ecriture raconte que Jacob s’établit dans cette contrée avec foixante-dix perfonnes: je fuppofe que de ces foixante - dix perfonnes il y en eût vingt, ou trop avancées en âge, ou trop jeunes pour être propres à la génération ; que des cinquante autres reliantes il y en eût vingt-cinq mâles & vingt-cinq femelles, formant vingt-cinq mariages ; que chaque couple enfin eût produit dans la durée de vingt-cinq ans, huit enfants l’un portant l’autre , ce qui ne paroîr pas difficile à croire dans un pays renommé par la fécondité de fes habitants ; on trouvera qu’au bout de 25 ans ce nombre de foixante-dix a pu s’accroître jufqu’à deux cents foixante-dix, dont ôtant les morts, il n’y a peut-être pas d’exagération à le porter à deux cents dix : ainlî la race de Jacob a pu être triplée après vingt-cinq ans de féjour en Egypte. Par la même raifon
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    • Arithmétique. Chap. Vit. 81 ces deux cetits dix perfonnes, après vingt-cinq autres années, ont pü s’augmenter jufqü’à fix cents trente, & ainfî dé fuite en progreffion géométrique triplé ; d’où il fuit qu’après deux cents vingt-cinq ans, la population a pu monter à 1377810 perfonnes, parmi lefquelles il a pu aifément y en avoir 5 à 600 mille adultes & en état de porter les armes.
    • II. En fuppofant que la race du premier homme toute déduftion faite-des morts, eut doublé tous les vingt ans, ce qui n’eft alfurément pas contraire aux forces de la nature, le nombre des hommes , aptès cinq fiecles, a pu monter à 1048576. Ainfî, Adam ayant vécu environ 900 ans, il a pu voir au milieu de fa vie , c’eft-à-dire vers l’an 500 de fon âge, une poftérité de 1048576 perfonnes.
    • III. Quelle ne feroit pas la multiplication de plufieurs animaux, fi la difficulté de la fubfiftance , fi la guerre que les uns font aux autres, ou la con* fommation qu’en font les hommes, ne mettoient pas des bornes à leur propagation ? Il eft aifé de démontrer que la race d’une truie qui auroit mis bas fix petits, dont deux mâles & quatre femelles , en fuppofant enfuite chaque femelle mettre bas pareillement chaque année fix petits, dont quatre femelles & deux mâles, monteroit, après douze
    • ans’àJ355423°* . , , .
    • Plufieurs autres animaux , comme les lapins les chats, &c. qui ne portent que pendant quelques femaines, multiplieroient encore avec bien plus de rapidité : la furface de la terre ne fuffiroit pas, après un demi-fiecle feulement, pour leur donner la fubfiftance, ou même pour les contenir.
    • Il 11e faudroit qu’un bien petit nombre d’années pour qu’un hareng remplît l’Océan de fa poftérité,
    • Tome /, F
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    • 8i Récréations Mathématiques. fi tous fes œufs étoient fécondés ; .car il n’eft guère de poiffon ovipare qui ne contienne plufieurs milliers d’œufs qu’il jette dans le temps du frai. Sup-pofons que ce nombre monte feulement à 2000 , qui donnent naiffance à autant de poiffons, moitié mâles , moitié femelles : dans la fécondé année il y en auroit plus de 200000 ; dans la troifieme , plus de 200000000; & dans la huitième année ce nombre furpafferoit celui qui eft exprimé par 2 fuivi de 24 zéro. Or la folidité de la terre contient à peine autant de pouces cubes. Ainfi l’Océan , quand même il occuperoit toute la furface du globe terreftre & toute fa profondeur, ne fuffi-roit pas pour contenir tous ces poiffons.
    • IV. Plufieurs végétaux couvriroient en très-peu d’années toute la furface du globe, fi toutes leurs femences étoient mifes enterre : il ne faudrait pour cela que quatre ans à la jufquiame, qui eft peut-être , de toutes les plantes connues , celle qui donne la plus grande quantité de femences. D’après quelques expériences, on a trouvé qu’une tige de jufquiame donne quelquefois plus de 50000 grains; réduifons ce nombre à 10000; à la quatrième génération il monterôit à 1 fuivi de 16 zéro. Or la furface de la terre ne contient pas plus de 5359758336000000 pieds quarrés. Ainfi, en allouant à chaque tige un pied quarré feulement, l’on voit que la furface entière de la terre ne fuffi-rait pas pour toutes les plantes provenantes d’une feule de cette efpece à la fin de la quatrième année.
    • Nous ne poufferons pas cette énumération plus loin, de crainte de tomber dans le défaut qu’on peut juftement reprocher à l’ancien auteur des Récréations Mathématiques. Il n’eft aucun leéteur à qui ce que nous venons de dire ne fufiife.
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    • Arithmétique. Ckap. ni. 83
    • §. III.
    • De quelques autres ProgreJJions, & entr autres de la ProgreJJîon harmonique.
    • La proportion harmonique régné entre trois nombres, lorfque le premier eft au dernier, comme la différence du premier avec le fécond eft à celle du fécond avec le troifieme. Ainfi les nombres 6, 3,2, font en proportion harmonique; car 6 eft à 2, comme 3 , différence des deux premiers nombres , eft à 1, différence des deux derniers. Cette efpece de rapport eft appellé harmonique, par la raifon qu’on verra plus bas.
    • I. Deux nombres étant donnés, on trouve le troifieme qui forme avec eux la proportion harmonique , en multipliant ces deux nombres, & divifant leur produit par l’excès du double du premier fur le fécond. Ainfi , étant donnés 6 & 3 , on a trouvé le troifieme en multipliant 6 par 3,8c divifant le produit 18, par 9 qui eft l’excès de 12 , double de 6, fur 3 le fécond des nombres donnés. Ainfi ce quotient eft 2.
    • Il eft aifé de voir par-là qu’il n’eft pas toujours, en un fens, poflible de trouver un troifieme nombre en proportion harmonique avec deux autres ; car lorfque le premier eft le plus petit, fi fon double eft égal ou moindre que le fécond, on rencontrera un nombre infini, ou négatif. Ainfi le troifieme harmonique à 2 & 4, eft infini ; car ôn trouve que le nombre cherché eft égal à 8 divifé par 4—4, ou zéro. Or, pour peu qu’on foit arithméticien, on fqait que plus le dénominateur d’une fraélion eft au deffous de l’unité, jfius la frattion eft grande. Conféquemment une fra&ion dont le dénominateur eft 0, eft infinie.
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    • 84 Récréations Mathémàtiquës.
    • Si le double du premier nombre étoit moindre que le fécond, (comme il arriveroit, fi l’on pro-pofoit de trouver un troifieme harmonique à 2 & 6) alors le divifeur cherché feroit un nombre négatif : c’eft, dans l’exemple propofé, — 2: c’eft pourquoi le troifieme harmonique cherché feroit ici 12 divifé par — 2 , c’eft-à-dire — 6 (a).
    • Mais cet inconvénient, fi c’en eft un, n’eft pas à craindre lorfque le plus grand nombre eft le premier de la proportion ; car fi le premier furpafle le fécond, à plus forte raifon fon double le furpaf* fera-t-il. Ainfi le troifieme harmonique fera toujours, dans ce cas, un nombre fini & pofitif.
    • II. Lorfqu’on a trois nombres en proportion harmonique décroiflante, par exemple 6, 3,2, il eft aifé d’en trouver un quatrième ; il n’y a qu’à chercher un troifieme harmonique aux deux derniers , ce fera le quatrième : pareillement le troifieme & le quatrième ferviront à trouver le cinquième , & ainfi de fuite ; ce qui formera ce qu’on appelle une progreffion harmonique , laquelle , par les raifons ci-deffus, pourra toujours fe prolonger en décroiffant. Dans l’exemple préfent, cette fuite fe trouvera 6,3,2,|-,£, i,f,§, &c.
    • Si les deux premiers nombres enflent été 2 & 1, on auroit eu la progreffion harmonique
    • Ainfi c’eft une propriété remarquable de la fuite des fra&ions dont le numérateur eft l’unité, Sc dont les dénominateurs font les nombres de la
    • ' ,(a) Voyez ce qu’on a dit plus haut fur les quantités négatives, à l’occafion de la progreffion arithmétique.
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    • Arithmétique. Ckap. VIT. 85 progreffion naturelle , d’être en. progreffion harmonique.
    • En effet, indépendamment du rapport numérique défini ci-dettus, on trouve dans la fuite de ces nombres toutes les confonnances muficales poffibles : car le rapport de 1 à ^ donne l’o&ave ; celui de 7 à y, ou de 3 à 2, donne la quinte ; celui de ÿ à ^, ou de 4 à 3 , donne la quarte ; celui de £ à j, la tierce majeure ; celui de -j- à £, ou de 6 à 5, la tierce mineure ; celui de j à j, ou de 9 à 8 , le ton majeur ; enfin celui de ^ à-p- ou de iq à 9, le ton mineur. Mais ceci fera expliqué plus au long dans, la partie de cet ouvrage relative à la mufique.
    • PROBLÈME.
    • Quelle efi la fomme de la fuite infime des nombres en progreffion harmonique 1,7, j, ^, j , &c. ?
    • oNa vu que la fuite des nombres en progreffion géométrique , fût-elle prolongée i l’infini, eft toujours égale à un nombre fini qu’il eft aifé de déterminer. En eft - il de même dans le cas du problème que nous propofôns ?
    • Nous difons que non, quoique dans, le Journal de Trévoux (année 17 ) un auteur fe foit donné
    • beaucoup de peine à prouver que la fomme de ces frattions eft finie. Mais fes raifonnements font de vrais paralogifmes qu’il n’eût pas hafardés s’il eût été plus géomètre (a) ; car il eft bien démontré
    • (a) L’infinité de la fomme de la progreffion. l,j,&c. fuit néceffairement d’une propriété connue de l’hyperbole entre les afymptotes, fçavoir, que l’aire com-prife entre la courbe & l’afymptote, eft plus grande qu’au-
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    • 86 Récréations Mathématiques. que la fuite i,.t > 7» 7» &c* Peut toujours être
    • prolongée de maniéré à furpaffer tout nombre fini, quel qu’il foit.
    • §. IV.
    • De diverfes Progrejjîons dêcroijfantes à Cinfini , dont on connoît la fomme.
    • I. On peut former, fuivant des loix différentes , une infinité de progreffions décroiflantes fur lesquelles les mathématiciens fe font exercés. Le numérateur , par exemple, étant conftamment l’unité, les dénominateurs peuvent croître félon le rapport des nombres triangulaires I, 3, 6, 10, 15,21, &c. Telle eft la progreffion fuivante:
    • 7» h tt? tV» rr, &C.
    • Sa fomme eft finie, Stprécifément égale à 2.
    • De même la fomme de la progreffion dont, les numérateurs étant conftamment l’unité, les dénominateurs font les nombres pyramidaux, comme
    • I, 7» Tôj T59 TT, Tê, &c.
    • eft égale à i£.
    • Celle où les dénominateurs font les pyramidaux du fécond ordre, comme celle-ci,
    • eft égale à i|.
    • Celle où ils font les pyramidaux du troifîeme ordre, comme
    • l> ?» rr» tV> tÎ?> ttx» eft égale à ii
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    • Arithmétique. Ckap. Vît $7
    • Ainfi la loi que fuivent ces Tommes eft apparente; & fi l’on demandoit, par exemple, quelle ferait la fomme de la progreffion femblable, dont les dénominateurs feraient les nombres pyramidaux du dixième ordre, il feroit aifé de répondre qu’elle eft égale à i-rr-
    • II. Suppofons préfentement cette progreffion, I> î) ï; 7T> TT> 17» &c-dans laquelle les dénominateurs font les quarrés des nombres de la progreffion naturelle ;
    • Si l’on eft curieux de fqavoir quelle eft fa fomme, nous répondrons, avec M. Jean Bernoulli qui l’a trouvée le premier, qu’elle eft finie ,. 6£ égale au quarré de la circonférence du cercle di-vifé par 6 , ou à 3.14152.1
    • Quant à celle où les dénominateurs font les cubes des nombres naturels , le même M. Bernoulli convient ne l’avoir pu encore découvrir.
    • Le Lefteur curieux de ces recherches peut recourir à l’ouvrage de M. Jacques Bernoulli, intitulé Traclatus de Seriebus injinitis, qui eft à la fuite de celui publié en 1713 , à Bâle, fous le titre de Ars conjeclandi ; il y trouvera amplemènt de quoi fe fatisfaire. Il doit auffi voir divers Mémoires , tant de M. Jean Bernoulli, qui fe trouvent dans le recueil de fes œuvres, que de M. Euler , qui font inférés dans les Mémoires de Pétersbourg.
    • Fin
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    • 88 Récréations Mathématiques.
    • CHAPITRE VIII.
    • Des Combinaifons & Changements d’ordre.
    • ' A V-ANT d’entrer en matière, il eft néceflaire de développer la conftru&ion d’une table qui eft d’un grand ufage pour abréger les calculs : .C’eft le triangle arithmétique de M. Pafcal. Voici comment il eft formé, & quelques-unes de fes propriétés.
    • Formez d’abord une bande AB de dix quarrés égaux ; au deffous de cette bande, en vous retirant d’un quarré de gauche à droite , formez uiiç bande femblable CD, qui.aura conféquemment
    • l'h 1 1 1 1 * 1 1 1. 1 1 >
    • c |, 1 h 14 5 1 6 M«| 9
    • 1 bl«
    • | 1 | 4 i° J 13 515^ { 84
    • h 5.1‘5 35|7°|ii6
    • 1 .|6 îi|56|ji6
    • M |7|iS|84
    • 1 i|8|36
    • 1 1 1 9 LL
    • E
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    • Arithmétique. Chap. VIII. 8ç Un quarré de moins ; & continuez ainfi, en vous retirait toujours d’un quarré, &c : vous aurez une fuite de quarrés difpofés par bandes verticales & horizontales, & finiflant par un feul, ce qui formera un triangle divifé par compartiments égaux ; c’eft ce qui lui a fait donner le nom de triangle arithmétique.
    • On y difpofera les nombres dont il doit être rempli, de la maniéré fuivante.
    • Dans chacune des cafés de la première bande on infcrira l’unité, ainli que dans chacune des cafés qui font fur la diagonale AE.
    • Enfuite on ajoutera le nombre de la première café de la bande C qui eft l’unité , avec celui qui eft dans la café immédiatement au deflus, & on infcrira la fomme 2 dans la café fuivante. On ajoutera pareillement ce nombre avec celui de la café au deflus, ce qui donnera 3 qu’on infcrira dans la café fuivante. On aura par ce moyen la fuite des nombres naturels 1, 2, 3,4, 5, &c.
    • La maniéré de remplir les autres bandes horizontales eft toujours la même ; chaque café doit toujours contenir la fomme du nombre qui eft dans la café précédente du même rang , & de celui qui eft immédiatement au deflus de cette café précédente. Ainfi le nombre 15, qui remplit la cinquième café de la troifieme bande, eft égal à la fomme de 10 qui eft dans la café précédente , & de 5 qui eft dans la café au deflus de celle-ci. Il en eft de même de 21, qui eft la fomme de 15 & de 6 ; de 3 5, dans la quatrième ligne, qui eft la fomme de 15 & de 20 ; &c. &c,
    • La première propriété de cette table eft de donner dans fes bandes horizontales les différents
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    • ço Récréations Mathématiques. nombres naturels, triangulaires, pyramidaux, &e; car dans la deuxieme on a les nombres naturels !,2,3,4,&c; dans latroifieme, les nombres triangulaires i, 3,6,10, 15, &c; dans la quatrième, les nombres pyramidaux du premier ordre, x,4, 10, 20, 35, &c; dans la cinquième, les pyramidaux du deuxieme ordre, 1, 5 , 15, 35, 70, &c. C’eft une fuite néceffaire de. la maniéré dont la table eft formée ; car il eft facile de voir que le nombre qui remplit chaque café, .eft toujours la fomme de ceux qui rempliffent les cafés précédentes à gauche dans la bande immédiatement au defliis.
    • On retrouve les mêmes nombres dans les bandes parallèles à la diagonale , ou Phypothénufe du triangle.
    • Mais une propriété bien plus remarquable, & que concevront feulement ceux de nos le&eurs à qui Palgebre n’eft pas inconnue , c’eft que les bandes perpendiculaires préfentent les coefficients ou les nombres qui affe&ent les différentes parties d’une puiffance quelconque, à laquelle un binôme, comme a-\-b, peut être élevé; la troifieme bande, ceux des trois membres d’un quarré; la quatrième, celle des quatre membres d’un cube ; la cinquième , celle des cinq membres d’un quarré-quarré. Mais nous nous bornons à cette indication, & nous paffons à expliquer ce qu’on entend par combi-naifons.
    • On appelle combinaifons les différents choix qu’on peut faire de pîufieurs chôfes dont le nombre eft connu, en les prenant une à une , ou deux à deux, ou trois à trois, &c. fans avoir égard à leur ordre. Soient, par exemple, les quatre lettres
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    • Arithmétique. Gbp.' VÎIL 91
    • a, £ , c, d qu’on propofe de fçavoir de com*< bien de maniérés on peut prendre deux de ces lettres , on verra fans peine qu’on peut en faire les combinaifons fuivantes ,ab ,ac, ad, bc, bd, cd; ainfi quatre chofes fe combinent deux à deux de ces fîx maniérés. Trois de ces lettres fe combine-roient de quatre maniérés, abc , abd, acd, bcd ; c’eft pourquoi les combinaifons de quatre chofes trois à trois, ne font qu’au nombre de quatre.
    • Dans les combinaifons proprement dites, on ne fait point attention à l’ordre des chofes ; voilà la raifon pour laquelle nous n’avons, fait aucune mention des combinaifons fuivantes, ba , ca, da, cb , db, de. Si, par exemple, on avoit mis dans un chapeau les quatre billets marqués a,b,c,d9 & que quelqu’un pariât d’amener les billets a &td9 foit en en prenant deux à la fois, foit en les prenant l’un après l’autre, il n’importeroit en aucune maniéré que a vînt le premier ou le dernier : ainfi les combinaifons ad ou da9 ne doivent être ici regardées que comme une combinaifon unique.
    • Mais fi quelqu’un parioit d’amener a au premier coup & d au fécond, alors le cas feroit bien différent , & il faudrait faire attention à l’ordre fui-vant lequel ces quatre lettres peuvent être prifes & arrangées enfemble deux à deux : l’on verra facilement que ces maniérés font,ab,ba,ac, ca9 ad, da , bc ,cb, bd, db , cd, de. Pareillement ces quatre lettres pourraient fe combiner & s’arranger trois à trois de ces vingt-quatre façons, abc, acb 9 bac , bca, cab , cba, adb, abd, dba, dab, b ad, bda , acd, ade, dac, dca , cad, eda, bcd, dbc, cbd9 bdc, cdb , deb ; &: l’on ne fçauroit en trouver davantage. C’eft ce qu’on appelle permutations ÔC changements d’ordre,
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    • çi Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME I.
    • Etant donne un nombre quelconque de chofes, déterminer de combien de maniérés elles fe peuvent combiner deux à deux } trois à trois , &c. fans égard à l'ordre.
    • L A folution de ce problème eft facile en faifant ufage du triangle arithmétique. Si vous avez huit chofes à combiner trois à trois, par exemple ; prenez la neuvième bande verticale, (c’eft-à-dire toujours celle dont le quantieme eft exprimé par un nombre excédant de l’unité celui des choies à combiner) ; prenez enfuite la quatrième bande horizontale, (c’eft-a-dire celle dont le quantieme eft d’une unité plus grand que le nombre des chofes à prendre enfemble ) ; vous trouverez dans la cale commune le nombre de combinaifons cherché : il eft, dans l’exemple préfent, égal à 56-
    • Mais l’on peut ne pas avoir fous fa main un triangle arithmétique , ou bien le nombre des chofes à combiner peut être trop conlidérable pour fe trouver dans cette table ; voici, dans ce cas, une autre méthode très-limple.
    • Le nombre des choies à combiner étant donné , ainli que la maniéré dont elles doivent être prifes , fçavoir, ou deux à deux , ou trois à trois, &c.
    • 10 Former deux progrefjions arithmétiques, l'une , dont les termes aillent en décroiffant de Punité, à commencer par le nombre donne des chofes à combiner , Vautre ) celle des nombres naturels 1, 2,
    • %° Après cela ,prenei de chacune autant de termes qu'ily a de chofes à prendre enfemblè dans la corn-binaifon propofèe ;
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    • Arithmétique. Çkap. Vllî. 95
    • 30 Multiplie1 enfemble Us termes de là première progreffon, & faites-en autant de ceux de la fécondé ;
    • 4° Divifei enfin le premier produit par le fécond: le quotient fera le nombre des combinaifons demandé.
    • Cette réglé a été trouvée par une inclusion des cas les plus fimples aux plus compliqués. Mais il feroit trop long d’entrer ici dans ce détail ; on peut recourir aux livres qui traitent fpécialement de ces matières: nous nous bornerons à donner quelques exemples de l’application de la méthode.
    • De combien de maniérés fe peuvent prendre go nombres combinés deux à deux ?
    • Suivant la réglé ci-deffus, il faut multiplier 90 par 89, & divifer le produit 8010 par le produit de 1 & 2., c’eft-à-dire par 2 ; le quotient 4005 eft le nombre des combinaifons deux à deux qui peuvent réfulter de 90 nombres.
    • Si Ton demandoit de combien de maniérés les mêmes nombres peuvent être combinés trois à trois, la réponfe feroit aufli facile : il n’y auroit qu’à multiplier enfemble 90,89,88, & divifer le produit, qui eft 704880, par celui des trois nombres ï, 2, 3 ; le quotient 117480 eft le nombre cherché.
    • On trouvera de même que 90 nombres fe peuvent combiner quatre à quatre de 2555190 maniérés , fqavoir, en divifant le produit de 90,89, 88,87, par 24, produit de 1,2,3,4.
    • Enfin, fi l’on cherchoit quel feroit le nombre
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    • 94 Récréations Mathématiques. des combinaifons cinq à cinq dont feraient fufcep-tibles les mêmes 90 nombres, on trouverait, en fuivant la même réglé, qu’il y en a 43949268.
    • Remarqué.
    • On verra, dans le Chapitre fuivant, l’application de cette queftion à l’analyfe de la loterie connue aujourd’hui fous le nom de VEcole Royale Militaire.
    • §. n.
    • Si l’on demandoit combien les fept planètes peuvent former entr elles de différentes conjonctions deux a deux, il ferait aifé de répondre 21 ; car , fuivant la réglé générale, il faut multiplier 7 par 6 , ce qui donne 42, & divifer ce nombre par le produit de 1 & 2 , c’eft-à-dire par 2 : le quotient eft donc 21.
    • Si l’on vouloit abfolument fçavoir quel eft le nombre de conjonétions poffibles de ces fept planètes , deux à deux, trois à trois, quatre à quatre , &c. on en trouverait 120, en cherchant féparé-ment le nombre des conjon&ions deux à deux, celui des conjon&ions trois à trois, &c. & les additionnant enfemble.
    • On pourrait encore y parvenir en ajoutant les fept termes de la progreffion géométrique double , 1, 2, 4, 8, 16,32, 64; ce qui donne 127. Mais de ce nombre on doit ôter 7, à caufe que, quand on parle de conjon&ion de planete, il faut évidemment qu’elles foient réunies enfemble au moins deux ; car le nombre 127 comprend abfolument toutes les maniérés dont fept chofes peuvent être prifes une à une, deux à deux, trois à trois, &c.
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    • Arithmétique. Chap. VÎÎT. 9^ Or de ce nombre il faut ôter, dans la queftion préfente, celui où les chofes font prifes une à une, puifqii’une planete ifolée ne fait pas une conjonâion.
    • PROBLÈME II.
    • Un nombre quelconque de chofes étant donné, trouver de combien de maniérés elles peuvent être arrangées.
    • L A folution de ce problème eft facile en fe fef-vant de la voie d’induâion. En effet,
    • i° Une chofe a ne peut être arrangée que d’une maniéré : le nombre des arrangements eft donc , dans ce cas, =1.
    • 20 Deux chofes peuvent être arrangées entre elles de deux maniérés ; ainfi, avec les lettres a & b, on peut faire les arrangements ab & ba * le nombre des arrangements eft donc égala 2, ou au produit de 1 & 2.
    • 30 Les arrangements de trois chofes, a, b, c, font au nombre de fix : car ab peut en former, avec la troifieme c, trois différents, aie, acb, cab ; & ba en formera auffi trois différents, bac, bca, cba : & il ne fçauroit y en avoir davantage. Le nombre cherché eft donc évidemment égal au précédent multiplié par 3, ou égal au produit de
    • 40 Ajoutons une quatrième chofe , défignée par d : il eft évident que chacun des arrangements précédents fe combinant de quatre façons avec cette quatrième chofe, ce nombre doit être multiplié par 4, pour avoir celui des arrangements
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    • 96 RickÉATiONs Mathématiques. réfultants de quatre chofes ; c’eft-à-dire qu’il fera 24, ou le produit de 1,2, 3,4.
    • Il eft inutile d’aller plus avant ; & rien n’eft plus facile que d’appercevoir qu’un nombre quelconque de chofes étant donné, on aura le nombre d’arrangements dont elles font fufceptibles, en multipliant enfemble autant de termes de la progref-fiôn géométrique quil y a de chofes propofées.
    • Remar que.
    • i° ÏL peut fe faire que, parmi les chofes propofées , la même fe trouve répétée plufieurs fois ; comme fi l’on demandoit de combien de maniérés ces quatre lettres a, â, b, c, peuvent être arrangées enfemble : alors on trouve que quatre chofes où deux font les mêmes, ne font plus fufceptibles que de 12 arrangements au lieu de 24 ; que cinq où deux font répétées, n’en peuvent plus faire que 60 au lieu de 120.
    • Mais fi , dans quatre chofes, la même y étoit répétée trois fois, il n’y auroit plus que 4 combi-naifons au lieu de 24 ; cinq chofes où la même feroit répétée trois fois, n’en donneroient plus que 20 au lieu de 120, ou la fixieme partie.
    • Or le nombre 2 eft celui des arrangements dont font fufceptibles deux chofes différentes, le nombre 6 eft celui des arrangements de trois chofes différentes ; d’où fuit la réglé fuivante :
    • Lorfque, dans un nombre de chofes dont on cherche les arrangements différents , la même s'y trouve répétée plufieurs fois, divifei le nombre des arrangements que donne la réglé générale , par le nombre darrangements que donneroient les chofes répétées
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    • Arithmétique. Chap. VIII.
    • répétées jî elles étoient différentes ; le quotient fera le nombre cherché.
    • 2° Si, dans le nombre des chofes dont on demande les arrangements différents, il s’en trouve plufieurs qui foient répétées plufieurs fois, une deux fois, par exemple ? & l’autre trois, il n’y aura qu’à chercher le nombre des'arrangements fuivant la réglé générale, & le divifer par le produit des nombres qui exprimeraient Jes arrangements dont feroit fufceptible chacune des chofes répétées , fi , au lieu d’être la même, elles étoient différentes. Ainfi , dans le cas préfent, les chofes répétées deux fois étant fufceptibles de deux arrangements li elles étoient différentes , & celles qui le font trois fois pouvant donner lîx arrangements fi elles n’étoierit point répétées, on multipliera 6 par 2; & le produit i 2 donnera le nombre par lequel il faut divifer celui qu’on trouve par la réglé générale. Ces cinq lettres, par exemple,a!,a,b,b,b9 peuvent s’arranger de io maniérés feulement; car, fi elles étoient différentes , elles donneroient 120 arrangements ; mais l’une étant répétée deux fois, & l’autre trois, il faut divifer 120 par le produit de 2 & 3, ou par 12 , ce qui donne 10. ’
    • On peut, d’après la folution de ce problème , réfoudre les quéftions fuivantes.
    • §.i.
    • Sept perfonnes devant dîner enfemble,~ il s'élève entr'elles un combat de politeffe fur les places (a); enfin, quelqu'un voulant terminer la contefiation,
    • (a) C’eft probablement dans quelque ville de province éloignée de la capitale.
    • Tome /, G
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    • 98 Récréations Mathématiques.
    • propofe de fe mettre à table comme Von fe trouve, Jduf à dîner enfemble le lendemain & les jours fuivants, jufqu’à ce qu’on ait épuifé tous les arrangements pojjibles. On demande combien, de dîners devront être donnés pour cet effet ?
    • Il eft aile de répondre qu’il en faudrôit 5040, àce qui exigeroit 13 ans & plus de 9 mois
    • s- h.
    • Si Ton a un mot quelconque , par exemple AMOR, St qu’on veuille fçavoir combien de mots .différents on peut former de fes quatre lettres, ce qui donne tous les anagrammes poflibles du mot AMOR, on trouve qu’ils font au nombre de 24, fçavoir, le produit fucceffif de 1, 2,3, 4. Les voici par ordre.
    • AMOR. AMRO. AOMR. AC RM. ARMO. AROM.
    • MORà.
    • MOAR.
    • MROA.
    • MRAO.
    • MAOR.
    • MARO.
    • ORAM.
    • ORMA.
    • OÀRM.
    • OAMR.
    • OMRA.
    • OMAR.
    • RAMO.
    • RAOM.
    • RMAO.
    • RMOA.
    • ROAM.
    • ROMA.
    • Ainfi les anagrammes latines du mot amôr font au nombre defept, fçavoir, Rofna, tnofà, maro, cram , ramo, armo, or ma. Mais fl, dans le mot propofé, il y avoit une ou plufieurs lettres répétées , il faudrôit faire ufage de la remarque qui fuit la folution du problème ci-deflus. Ainfi le mot Leopoldus, où la lettre left deux fois, 5t la lettre a
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    • Arithmétique, chap. VIII. 99 pareillement deux fois , n’eft fufceptible que de 90720 arrangements ou anagrammes différents, au lieu de 362880 qui s’y trouveroient fi aucune lettre n’étoit répétée ; car, par la réglé donnée dans la remarque ci-deflus, il faut divifer ce nombre par le produit de a par 2, ou par 4, ce qui donne 90720.
    • Le motJludiofus, où Vu eft répété deux fois, & Vf trois, n’eft fufceptible que de 30240 arrangements ; car il faut divifer le nombre des arrangements de 9 lettres, qui eft 362880, par le produit de 2 & 6, ou 12, Se le quotient eft 30240.
    • ‘ On trouveroit ainfi le nombre de tous les anagrammes poflibles d’un mot quelconque ; mais il faut convenir que, pour peu nombreufes que foient lés lettrés d’un mot, le nombre des arrangements qui en réfùlte èft fi confidérable, que le travail de les parcourir tous abforberoit la vie d’un homme. Au refte, fi l’art des anagrammes ne tire pas de là Un grand fecours , c’eft un art fi futile qu’il n’y a pas grand mal.
    • §. IIÏ.
    • De combien de maniérés peut-on j en confervant la mefure , varier ce vers :
    • Tôt tibi funt dotes, Virgo, quot Jidera ccelo ?
    • Ce vers, ouvrage d’un dévot Jéfuite de Louvain , nommé le P. Bauhuys, eft célébré par le grand nombre d’arrangements dont il eft fufceptible fans enfreindre les loix de la mefure ; ôc divers mathématiciens fe font exercés ou amufés à spn rechercher le nombre. Erydus Puteanus a pris
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    • ïûo Récréations Mathématiques.
    • la peine d’en faire une énumération en 48 pages 9 dans lefquelles il en a compris 101 a , en lès égalant au nombre des étoiles comprifes dans les catalogues anciens des aftronomes, & en remarquant très-dévotement que les arrangements de ces mots remportent même fur ce nombre, comme les per-ferions de la Vierge l’emportent fur le nombre des étoiles. Voyez auffi Voffius, de Scient. Math. cap. 7.
    • Le P. Preftet, dans la première édition de fes Eléments de Mathématiques, dit que ce vers eft fufceptible de 2196 variations, mais dans la fécondé édition il l’étend jufqu’à 3276.
    • "Wallis, dans l’édition de fon algèbre, faite à Oxford en 1693, en avoit compté 3696.
    • Mais aucun d’eux n’a précifément touché au but, ainfi que le remarque M. Jacques Bernoulli dans fon Ars conjeBandi : il y dit que les différentes combinaifons de ce vers, en en retranchant les fpondaïques, & en admettant d’ailleurs ceux qui n’ont point de céfures, montent précifément à 3312. On peut voir dans l’ouvrage.cité la méthode par laquelle il en a fait l’énumération.
    • On cite encore ce vers de Thomas Lanfius : '
    • Mars, mors, fors 9 lis, vis,ftyx, pus, nox9 fex9 mala, crux, fraus.
    • Il n’eft pas difficile de trouver qu’en conferVant le mot mala à l’antépénultieme place, pour fe conformer à la mefure, il eft fufceptible de 3 9916800 arrangements différents.
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    • Arithmétique, Ckap. FUI, ioi PROBLÈME III.
    • Des combinaisons de quarreaux mi-partis de deux couleurs parla diagonale.
    • Le P. Sébaftien Truchet, de l’Académie royale des Sciences, raconte dans un mémoire imprimé parmi ceux de l’année 1704, qu’étant allé faire un voyage au canal d’Orléans, il rencontra, dans un château voifin, des carreaux de faïance quarrés & mi-partis , de deux couleurs par une diagonale ; ils étoient deftinés à carreler une chapelle & quelques appartements. Cela lui donna occafion d’examiner de combien de maniérés deux de ces carreaux-pouvoient fe joindre enfemble par le côté * pour en former différents deflins.
    • On voit d’abord que, fuivant la fîtuation qu’un PI» feul carreau peut prendre, il forme quatre deflins différents , qui peuvent néanmoins fe réduire à deux , n’y ayant entre le premier le troifieme * comme entre le deuxieme & le quatrième, d’autre différence que dans’ la tranfpofition du triangle le plus ombré à la place du plus clair.
    • Maintenant , fi l’on combine deux de ces carreaux enfemble, il en réfultera 64 maniérés différentes de les ranger ; car, dans l’arrangement de deux carreaux , l’un des deux peut prendre quatre fituations différentes , dans chacune defquelles l’autre carreau peut changer 16 fois. Ainfi il en réfulte 64 combinaifons qu’on peut voir dans la même planche.
    • On doit néanmoins remarquer encore, avec le P. Sébaftien, que de ces 64 combinaifons, il y en a une moitié précifément qui ne fait tjue répéter G iij
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    • ioi Récréations Mathématiques.
    • l’autre abfolument dans le même lens ; ce qui les réduit 332. On les rédùiroit à 10 ,fi l’on ne faifoit point d’attention à la fituation.
    • On pourrait femblablement combiner trois % quatre, cinq carreaux, &ç. les uns avec les autres; on trouverait que trois carreaux peuvent former entr’eux 128 deffins ; quatre en forment 256 , &c.
    • Il eft furprenant de voir la prodigieufe variété de compartiments qui naiffent d’un auffi petit nombre d’éléments. Le P. Sébaftieji en donne % dans les Mémoires de l’Académie de 1704, trente différents, choifis parmi cent autres qui ne font qu’une petite partie de ceux qu’on peut former,. Nous en donnons dans la planche deuxieme quel* ques-uns des plus remarquables.
    • Le mémoire du P. Sébaftien a donné à un de fes confrères, le P. Douât, l’occafion de cultiver davantage cette matière. Il donna en 1722 un traité in-40, où ce fujet eft envifagé d’une maniéré différente. On y voit que quatre carreaux mi-partis, pris quatre à quatre,,, répétés & permutés de toutes les maniérés poffibles, forment 256. figures différentes, qui, prifès elles - mêmes deux à deux, trois à trois, & ainfi de fuite, forment-une prodigieufe multitude de compartiments, dont les exemples rempliffent la plus grande partie de fon livre (a).
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    • Arithmétique. Ckap. VIII. 10? l’ai toujours été furpris de ce qu’on n’a pas fait en archite&ure plus d’ufage de cette idée » il me fémble qu’il en eût pu réfulter dans le carrelage & le parquet une variété très-agréable, ôc pour ainlî dire intariflable.
    • On en a fait du moins l’objet d’un petit jeu ap-pellé le Jeu du Parquet, dont on trouve l’inftru-mentchez les tabletiers. C’eft une petite table garnie d’un rebord, & capable de recevoir 64 ou 100 petits quarrés mi-partis, dont on cherche à faire des combinaifons agréables. Ceux qui font curieux de cet amufement, ne peuvent mieux faire que de fe procurer l’ouvrage cité plus haut du P. Douât, qui leur fournira une foule de deflins plus agréables les uns que les autres*
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    • fô4 Récréations Mathématiques.
    • CHAPITRE IX.
    • Application de la doctrine des Combinaifons aux Jeux de hasards & aux Probabilités.
    • SU OI QUE rien ne paroiffe, au premier coup d’œil, moins du réffort des mathématiques : hafard, l’efprit d’analyfe n’a pas laiffé d’enchaîner pour ainfi dire ce Protée , & de le fou-mettre au calcul. Il eft venu à bout de mefurer les différents degrés de probabilité de certains événements ; ce qui a donné naiflanceà une branche curieufe des mathématiques, dont nous allons dévoiler les principes.
    • Lorfqu’un événement peut arriver de plufieurs maniérés différentes, il eft évident que la probabilité qu’il arrive d’une certaine maniéré déterminée eft d’autant plus grande ; que, fur la totalité de ces maniérés dont il peut arriver, il y en a un plus grand nombre qui le déterminent tel. Dans une loterie , par èxemple, il n’eft perfonne qui ne fente que la probabilité ou Pefpérance d’amener un bon billet eft d’autant plus grande d’un côté, que le nombre des bons billets eft plus grand, & d’un autre, que le nombre total des billets eft moindre. La probabilité d’un événement eft donc en raifon compofée de la dirette du nombre des: cas qui peuvent lui donner lieu, & de l’inverfe du nombre total de ceux fuivant lefquels il peut fe varier : par conféquent, elle peut s’exprimer par une fraéïion dont le nombre des cas favorables eft le numérateur, & celui de la totalité des cas eft le dénominateur.
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    • Arithmétique. Chap. IX. ioy
    • Ainfi , dans une loterie où il y a mille billets defquels 25 feulement font bons, la probabilité d’amener un de ces derniers fera repréfentée par .rfoo» °u_L; St cette probabilité feroit double s’il y avoit 50 bons billets, car alors elle feroit égale à ^ ; au contraire elle ne feroit que la moitié de celle ci-deffus, fi, au lieu de 1000 billets , il y en avoit deux mille. Elle feroit infiniment petite , ou nulle, lî, le nombre de bons billets reliant le même , le nombre total étoit infiniment grand ; comme au contraire elle dégénéreroit en certitude , St feroit, dans ce cas , exprimée par l’unité, lî le nombre des botas billets égaloit ceux de la loterie.
    • Un autre principe de cette théorie néceffaire à expliquer ici, eft le fuivant, dont l’énonciation fuffit pour en faire appercevoir la vérité.
    • On joue à jeu égal, lorfque les mifes qu’on dé-pofe font en proportion dire&e des probabilités qu’il' y a de gagner l’argent mis au jeu : car jouer à jeu égal n’eft autre chofe que dépofer une mife tellement proportionnée avec la probabilité qu’on â de gagner , qu’après un très-grand nombre de coups on fe trouve à peu près au pair : or il faut pour cela que les mifes foient proportionnelles au. degré de probabilité que chacun des joueurs a en fa faveur. Suppofons, par exemple, que Pierre parie contre Jacques pour un coup de dés, St qu’il y ait pour lui deux événements St un pour Jacques ; le jeu fera égal fi, après un grand nombre de coups , ils fe retirent à peu près fans perte. Or, y ayant deux cas pour Pierre St un pour Jacques , après trois cents coups Pierre en aura gagné à peu près deux cents, St Jacques une centaine. Il faut donc que Pierre dépofe 2, St Jacques 1 feulement: car
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    • ïo6 Récréations Mathématiques.
    • par-là Pierre, gagnant deux cents coups, gagnera aoo; & Jacques , gagnant cent coups, gagnera auffi 200. Auffi s’exprime-t-on, en pareil cas, ordinairement en difànt qu’il y a deux contre un à parier pour Pierre.
    • PROBLÈME I.
    • J)ans le jeu de Croix ou Pile, quelle probabilité y a-t-il d'amener plujieurs fois de fuite Croix, ou plujieurs fois de fuite Pile ; ou bien, en jouant avec plujieurs pièces , quelle probabilité y a-t-il quelles fe trouveront toutes Croix ou toutes Pile*
    • Tout le monde connoît le jeu de croix ou pile, ainfi il eft fuperftu d’en donner ici l’explication ; nous paffons tout de fuite à l’anaiyfe du problème.
    • Il eft évident, i° que n’y ayant aucune raifon pour que croix arrive plutôt que pile, ou pile que croix, la probabilité que l’un des deux arrivera eft égale à ou qu’il y a également à parier pour ou contre.
    • 11 Mais û l’on jouoit deux coups, & que quelqu’un pariât d’amener les deux fois croix , pour fçavoir ce qu’il devroit mettre au jeu, il fandroit faire attention que toutes les combinaifons de croix ou pile, qui peuvent arriver dans deux jets confécu-tifs de la même piece, font croix, croix ; croix , pile ; pile, croix; pile, pile; dont une feule donne croix, croix. Il n’y a donc qu’un cas fur 4 qui fit gagner celui qui parieroit d’amener deux fois de fuite croix : la probabilité de cet événement ne feroit conféquemment que^; & celui qui pa-*
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    • Arithmétique. Chap. IX. 107
    • rîeroit pour, ne devroit mettre au jeu qu’un écu , par exemple, pendant que l’autre en mettroit trois : car ce dernier auroit trois cas pour gagner, pendant que le premier n’en a qu’un. Ainfi leurs mifes, pour jouer à jeu égal, doivent être dans cette proportion.
    • On trouveroit de même que celui qui parie-roit d’amener trois fois de fuite croix, par exemple , auroit feulement pour lui une feule des huit combinaifons de croix ou pile qui peuvent réfulter de trois jets fucceffifs de la même piece. La probabilité de cet événement feroit conféquemment g-, pendant que celle qu’auroit fon adverfaire feroit Il ne devroit, pour jouer au pair , mettre au jeu que 1 contre 7,
    • Il eft inutile de parcourir d’autres cas : il eft aifé de voir que la probabilité d’amener croix quatre fois de fuite , eft ; cinq fois de fuite, j- ; &c.
    • Il n’eft pas, au refte , néceffaire d’entrer dans l’énumération des différentes combinaifons réfutantes des croix ou pile ; mais l’on peut fe fervir d’une réglé aifée à démontrer , que voici :
    • ConnoiJJant les probabilités de deux ou pliifieurs événements ifotés, la probabilité qu ils auront lieu tous enfemble fe trouve tout jimplement, en multipliant, les probabilités de ces événements confédérés comme ifolés. Ainfi la probabilité d’amener croix confidéré comme ifolé étant exprimée à chaque jet par celle de l’amener deux fois de fuite fera 7X7, ou 7; celle de l’amener trois fois dans trois coups confécutifs fera 7X7X7, ou j ; &c.
    • 2° Le problème de déterminer quelle eft la probabilité d’amener, avec deux, trois, quatre pièces, tout croix ou tout pile, fe réfout par les
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    • fo9 Récréations Mathématiques. mêmes oies. Dans deux pièces jettées, il ÿ a 4 combinaifons de croix & pile, dont une feule eft toute croix : dans trois pièces jettées à la fois il y en a 8, dont une feule donne tout croix ; &c. Ainfi les probabilités de chacun de ces cas font les mêmes que celles des cas analogues examinés ci-deffus.
    • ; Il paroît même d’abord fans analyfe que ces deux queftions font abfolument les mêmes ; St voici le raifonnement qu’on peut faire pour le-prouver. Jetter les deux pièces A & B enfemble, ou les jetter l’une après l’autre après avoir donné à la première A le temps de fe fixer, c’eft affuré-ment la même chofe,. Suppofons donc que, la première A étant fixée, au lieu de jetter la fécondé B, on releve la première A pour la jetter une fécondé fois, ce fera la même chofe que fi, pour ce fécond jet, on avoit employé la piece B : car » par la fuppofition, elles font toutes deux égales & femblables, du moins quant à l’indifférence parfaite qu’il arrive croix ou pile. Ainfi jetter à la fois les deux pièces A, B, ou jetter deux fois de fuite la piece A, font la même chofe. Donc, &c.
    • 30 On demande maintenant combien on peut parier d’amener au moins une fois croix en deux coups? Par la méthode ci-deflus, on trouvera qu’il y a 3 contre 1. En effet, il y a dans deux coups quatre combinaifons, dont trois donnent au moins une fois croix dans les deux coups , & une feule qui donne toujours pilé ; d’où il fuit qu’il y a trois: combinaifons en faveur de celui qui parie d’âme--ner une fois croix en deux coups , & une feule contre lui.
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    • Arithmétique. Chip, IX, 109 PROBLÈME II.
    • Un nombre quelconque de dés étant donné, déterminer quelle probabilité il y a qiCon amènera un nombre de points ajjigné.
    • No U s fuppoferons d’abord des dés ordinaires , c’eft-à-dire à fix faces, & marqués des nombres i,2, 3,4, 5, 6 ; & nous allons analyfer quelques-uns des premiers Cas du problème, pour nous élever par degré à des cas plus compofés.
    • i° On propofe Ramener un point déterminé, S par exemple, avec un dé.
    • Il eft évident qu’y ayant au dé fix faces dont une feule eft marquée de 6 , & chacune ayant autant de facilité à fe trouver en deffus qu’aucune autre, il y a 5 hafards contre celui qui propofe d’amener 6 en un -coup, Sc 1 feul pour lui. Il doit donc , pour n’être pas'dupe , parier feulement 1 contre 5.
    • 2° Qu il foit propofé d’amener le même point € avec deux dés,
    • Pour analyfer ce cas, il faut d’abord obferver que deux dés donnent 3 6 combinaifons différentes ; car chacune des faees du dé A, par exemple , peut fe combiner avec chacune de celles du dé B ; ce qui produit 36 combinaifons.. Il faut enfuite voir de combien de maniérés le point 6 peut être amené avec deux dés. Or on trouve qu’il peut être d’abord amené par 3 & 3 : 2° en amenant 2 avec le dé A & 4 avec le dé B, ou 4 avec 2 avec le dé B j ce qui fait, comme il
    • le dé A &
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    • iio Récréations Mathématiques. eft aifé de voir , deux cas diftin&s : 30 en amenant 1 du dé A & 5 du dé B, ou 1 du dé B & 5 du dé A ; ce qui donne encore deux cas : on n’en fqaüroit évidemment trouver d’autres. Ainfi il y à 5 Cas favorables fur 3 6 i conféquemment la probabilité d’amener 6 avec deux dés eft —, & là probabilité de ne le pas amener eft jj ; & c’eft le rapport dans lequel doivent être les mifes des joueurs.
    • En analyfant les autres cas, on trouve qu’il y a , pour amener deux avec deux dés, 1 cas fur 36,2 pour amener trois , 3 pour amener quatre , 4 pour amener cinq , 5 pour amener fix, 6 pour amener lèpt, 5 pour huit, 4 pour neuf, 3 pour dix, 2 pour onze, & 1 pour douze ou fonnez.
    • Si l’on propofoit trois dés , avec lefquels il eft évident que le moindre point feroit trois, & le plus grand dix-huit, on trouveroit , au moyen d’une femblable analyfe, que fur 216 coups différents poflibles avec trois dés, il y en a 1 pour pour amener trois, 3 pouf amener quatre, 6 pour amener cinq, &c. fuivant la Table ci-jointe , dont voici l’ufage.
    • Voulez-vous trouver, par exemple, de combien de maniérés 13 peut s’amener avec trois dés ; cherchez, dans la première colonne verticale à gauche, le nombre 13 ; & au haut de la Table le chiffre romain qui indique le nombre de dés ; la café communie à la bande horizontale vis-à-vis 13, & à la colonne verticale qui répond à III, donnera 2.1 pour le nombre des maniérés dont 13 peut être amené avec trois dés. On trouveroit femblable-rnent qu’il peut être amené, avec quatre dés, de
    • A* Ain* Rrn
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    • III
    • Arithmétique. Chap. IX.
    • TABLE des nombres de maniérés differentes dont un point quelconque peut être amené avec un , deux, trois, ou plus de dès.
    • f Nombre des Dés. 1. ». ni. iv. v. vi.
    • . Nombre des Points. jr i 1
    • a 1 1
    • 3 * 2 1
    • 4 1 3 3 1
    • J . 1 4 6 4 1
    • 6 1 5 10 10 5 1
    • 7 6 *5 20 15 6
    • 8 î 21 35 35 21
    • 9 4 15 j6 70 56
    • IO 3 27 80 126 126
    • 2 27 104 205 252
    • 1 25 I2J 305 456
    • *3 21 140 420 756
    • H 15 146 540 1161
    • 15 IO 140 651 1666
    • 16 6 I2J 735 2247
    • 17 3 104 780 2856
    • 18 x 80 7S0 343*
    • *9 56 735 3906
    • 20 35 6jx 4221
    • 21 20 540 4332
    • 22 10 420 4221
    • 23 4 3°5 3906
    • 24 1 I 205 343*
    • k 25 1 126 28 j6
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    • tu Récréations Mathématiques.
    • Lorfqu’on connoît une fois de combien de maniérés on peut amener un point avec un certain nombre de dés, il eft aile de trouver quelle probabilité il y a de l’amener : il n’y a qu’à former une fra&ion dont le numérateur foit le nombre de maniérés dont peut arriver ce point, & le dénominateur le nombre 6 élevé à une puiffance défignée par le nombre des dés, comme le cube de 6 ou ai6 pour trois dés, le quarré-quarré ou 1296 pour quatre, &c.
    • , Ainfi, pour amener 13 avec trois dés , la probabilité eft pour l’amener avec quatre, elle eft
    • On peut encore propofer fur le jeu des dés plu-fieurs autres queftions dont nous allons analyfer quelques-unes.
    • i° Déterminer entre deux joueurs quel eft l'avantage ou le défavantage de celui qui entreprend d'amener une face déterminée, par exemple <f, en un certain nombre de coups.
    • Suppofons qu’on l’entreprenne en un feul coup : pour fçavoir quelle eft la probabilité d’y réuflir , on confidérera que celui qui tient le dé n’a qu’un hafard pour gagner, & cinq pour perdre ; par conféquent, pour l’entreprendre en un feul coup, il. ne doit mettre que 1 contre 5. Ainfi il y a un grand défavantage à entreprendre au'pair d’amener 6 en un feul coup de dé.
    • Pour fçavoir quelle eft la probabilité d’amener au moins une face marquée 6, en deux coups , avec un même dé , on confidérera que c’eft la même chofe, ainfi qu’on l’a obfervé plus haut au fujet du jeu de croix ou pile, que d’entreprendre, en jettant deux dés à-la-fois , d’en trouver un marqué 6. Alors celui qui tient le dé n’a que 11 hafards
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    • ÀiUTHMitiQtJE. Chàp. tX iij hafards ou combinaifons pour gagner : car il peut amener 6 aVec le premier dé,«1,2,3,4‘ou 5 avec le fécond ; ou bien 6 avec le fécond dé,
    • 1, x, 3., 4 ou 5 avec le premier ; ou 6 avec chaque dé. Mais il y a 16 combinaifotts ou hafards pour ne point gagner, comme on voit dans la table ci-deffous.
    • *, * U* 4» * 5» 1
    • 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2
    • *, 3 i.3 3,3 4,3 5,3
    • i, 4 4, 4 3, 4 4, 4 5,4
    • s, 5 I 5 3, 5 4, 5 5,5
    • D’où il eft aifé de conclure qtie celui qui entreprend d’amener un 6 avec deux dés, ne doit mettre que 11 contre 25 , & conféquemment qu’il a du défavantage à l’entreprendre au pair.
    • On doit remarquer que la Comme 36 de tous les hafards ou combinaifons poflibles en deux coups de dés, eft le quarré du nombre donné 6, qui eft celui des faces d’un dé ; & que le nombre 2 5 des hafards contraires à celui qui parie d’amener unë face déterminée, eft le quarré du même nombre donné 6 diminué de l’unité, ou de 5 : c’eft pourquoi le nombre des hafards favorables eft, dans Ce cas, la différence des quarrés de 36 & de 25, ou du quarré du nombre des faces du dé, & de celui des faces de ce même dé moins un.
    • Pour entreprendre d’amener 6 en trois coups de dé, on conüdérera femblablement que c’eft la même chofe que d’entreprendre, en jettant trois dés, d’amener au moins un 6 : or, des 216 combinaisons différentes que donnent trois dés, il y en a 125 où il n’y a aucun 6, &91 où ii y a au moins Tome /, H
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    • *i4 Récréations Mathématiques.
    • un 6 ; conféquemment celui qui parie d’amener un 6 ou en trois coups de dés, ou en un feul coup avec trois dés,ne doit parier que 91 contre 125,ÔC il y aurait du défavantage à l’entreprendre au pair.
    • Vous obferverez ici que le nombre 91 eft la différence du cube du nombre des faces d’un dé , fçavoir 216, & du cube 125 de ce même nombre diminué de l’unité, ou de 5. Ainfî l’on voit qu’en général, pour trouver la probabilité d’amener une face déterminée en un certain nombre de coups, ou en un coup avec un certain nombre de dés, il faut élever 6, le nombre des faces d’un dé, à la puiffance défignée par le nombre des coups à jouer, ou des dés à jetter une fois ; faire enfuite la femblable puiffance de- 6 moins l’unité, ou de 5 , & l’ôter de la première : le reftant & cette dernière puiffance de 5 feront les nombres de hafards refpeâifs pour gagner ou perdre.
    • Par exemple, fi on parie d’amener au moins un 3 avec quatre dés, on fera la quatrième puiffance ou le quarré-quarré de 6, qui eft 1296 ; on •en ôtera le quarré-quarré de 5, ou 625; le reftant 671 fera le nombre des hafards favorables pour gagner, & le nombre 625 celui des hafards pour perdre : conféquemment il y aura de l’avantage à parier au pair.
    • Il y en aura encore davantage à entreprendre au pair d’amener un point déterminé, par exemple 3 9 en cinq coups ou avec cinq dés ; car fi de la cinquième puiffance de 6, qui eft 7776, on ôte la cinquième puiffance de 5 , ou 3125 , le refte4651 fera le nombre des hafards favorables, & 3125 celui des hafards contraires. Conféquemment, pour jouer à jeu égal, celui qui parie pour devrait mettre 4651 contre 3125, ou près de 3 contre 2,
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    • Arithmétique. Chap. IX. nf 3° En combien de coups peut-on parier avec égalité quon amènera un doublet déterminé , pat exemple fonneç, avec deux dés ?
    • On Tçait déjà que la probabilité de ne point amener un Tonnez avec deux dés eft exprimée par : conféquemmènt la probabilité de ne les point amener en deux coups fera comme le quarré de cette fra&ion ; en trois coups, comme le cube ; &c. Or, de même qu’une puiflance d’un nombre tant Toit peu au deflùs de l’unité va toujours en augmentant , celle d’un nombre tant Toit peu au deflous va toujours en diminuant : par conféquent les puiflances confécutives de iront toujours en diminuant. Qu’on conçoive donc élevée à une puiflance telle qu’elle Toit égale à ^ ; on trouve que la vingt-quatrieme puiflance de eft un peu plus grande que £, & que la vingt-cinquieme eft un peu moindre («) : d’où il fuit qu’on peut parier avec quelque avantage au pair, qu’en 24 coups on n’amenera pas un Tonnez avec deux dés ; mais qu’il y a du déTavantage à parier au pair qu’on ne l’a-menera pas en 2 5 : conTéquemment il y a pour celui qui parie de l’amener en 24 coups du défa-
    • ( a ) Soit n i’expofant de la puiflance de ff qui eft égal® c’eft-à-dire que ^ Toit égal à £. Gomme la quantité inconnue n Te trouve dans I’expofant, il faut l’en dégager ; ce qu’on fait par le moyen des logarithmes. Car fi en prenant les logarithmes on aura n log. 35 » — n log. 36 = log. £, ou = — log. a ; car log. £ = — log. a. Donc «log 55 — «log* 36= — log. a, ou log. a = n log. 36 —n log. 35. Donc n = Ce qui donne n =5
    • .............' « ij
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    • u6 Récréations Mathématiques. vantage, & il y a de l’avantage à parier au pair qu’il l’amenera en 25. ^
    • 40 Quelle ejl la probabilité d'amener en un coup * avec deux ou plujieurs dés, un doublet déterminé , par exemple terne ?
    • Pour le découvrir, on confidérera qu’à l’entreprendre avec deux dés, il y a un feul hafard favorable fur les 36 hafards ou combinaifons que donnent deux dés ; d’où il fuit qu’on ne doit mettre que 1 contre 35.
    • S’il étoit queftion de trois dés , on trouveroit qu’il faut mettre feulement 16 contre 200; car le nombre des hafards ou combinaifons poflibles avec trois dés eft 216. Mais quand il eft queftion d’a* mener terne avec trois dés, on peut l’amener de 16 façons différentes: car, des 36 combinaifons des dés A & B , toutes celles où entre un 3 feulement , comme 1,3; 3, 1 ; &c. qui font au nombre de 10, fe combinant avec la face marquée 3 du dé C , donnent un terne. De plus, la combi-naifon 3,3, des dés A, B, fe combinant avec une des fîx faces du troifieme dé C, donnera un terne. Ainfi voilà 16 façons d’amener terne avec trois dés ; ce qui donne 16 hafards favorables fur 216. Conféquemment la probabilité d’amener un terne avec trois dés eft ~~, & l’on ne devroit parier pour la réulîite que 16 contre 200 , ou 2 contre 25.
    • Si l’on demande quelle probabilité il y a d’amener un terne avec quatre dés , on trouvera qu’elle eft exprimée par 7— ; car, fur les 1296 combinaifons des faces de quatre dés, il y en a 150 qui donnent un terne, 20 qui donnent trois 3., & 1 qui en donne 4, en tout 171 coups où il y a deux, ou trois, ou quatre 3. Conféquemmene
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    • Arithmétique. Chap. IX. 117 il ne faudroit parier que 19 contre 144, ou environ 1 contre 7^, qu’on amènera au moins un terne avec quatre dés.
    • Enfin fi vous voulez fçaypir quelle probabilité il y a d'amener du premier coup un doublet quelconque avec deux dés ou davantage , il fera aifé de la déterminer au moyen du calcul précédent ; car, lorfqu’il eft queftion d’un doublet indéterminé, il eft évident que la probabilité eft fix fois aufli grande que lorfqu’il s’agit d’un doublet affigné : ainfi il n’y a qu’à multiplier par 6 les probabilités trouvées ci-deflus. Elles font donc, pour deux dés, ^6 ou j i pour trois dés , ou j ; pour quatre dés, -—g- : enforte qu’il y a de l’avantage à parier au pair qu’avec quatre dés on amènera au moins un doublet.
    • PROBLÈME III.
    • Deux joueurs jouent enfemble en un certain nombre de parties liées j par exempte trois : l'un des deux a 2. parties, Vautre une : ne pouvant ou ne voulant point continuer le jeu, ils conviennent de le cejfer, & de partager la mife. On demande de quelle maniéré cela doit être fait ?
    • C E problème eft un des premiers dont s’occupa M. Pafcal, lorfqu’il commença à traiter le calcul des probabilités. Il le propofa à M. de Fermât, célébré géomètre de fon temps, qui le réfolut aufli par une méthode différente, fçavoir celle des com-binaifons. Nous allons faire connoître l’une &
    • Il eft évident que chacun des joueurs, en mettant fon argent au jeu, en a abdiqué la propriété, mais qu’en revanche ils ont droit d’attendre ce que H iij
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    • n8 Récréations Mathématiques. le hafard peut leur en donner : ainfî, ceflant de jouer, ils doivent partager l’argent de la mife en rapport de la probabilité que chacun auroit eue de gagner tout l’argent.
    • Ças, On trouvera ee rapport par le raîfonnement fuivant. Puifqu’il manque au premier joueur une partie pour achever , oc deux au fécond, on re-connoîtra aifément que s’ils continuoient de jouer, 6c que le fécond gagnât une partie , il lui man-queroît comme au premier une partie pour achever ; 6c que dans ce cas , les deux joueurs étant également avancés, leurs efpérances ou forts pour gagner le tout feroient égales. Ainfî, dans cette fuppofition, ils auraient un égal droit à l’enjeu ; 6c conféquemment ils devraient le partager également.
    • Il eft donc certain que fî le premier gagne la partie qui va fe jouer , tout l’argent qui eft au jeu lui appartiendra , 6c que s’il la perd, il ne lui en appartiendra que la moitié. Ainfî , l’un étant aufli probable que l’autre, le premier a droit à la moitié de ces deux fommes prifes enfemble. Or, prifes - enfemble, elles font \ : donc la moitié eft Tell© eft la portion de la mife qui appartient au premier joueur par conféquent la portion qui revient au fécond n’eft que
    • Cas. Ce premier cas réfolu fervira à réfoudre le fui-vant, où l’on fuppofe qu’il manque au premier joueur une partie pour achever, 6c trois au fécond. Car fi le premier gagne une partie, il a tout l’argent du jeu ; 6c s’il perd une partie, enforte qu’il ne faille plus que deux parties au fécond pour achever, il appartiendra au premier les \ de l’argent , pqifqu’ils fe trouveront alors dans l’état du
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    • Arithmétique. Chap. IX. 119 ' cas précédent. C’eft pourquoi, l’un & l’autre de ces deux événements étant également probable, il doit appartenir au premier la moitié des deux fommes prifes enfemble, ou la moitié de ~, c’eft-à-dire £ : le refte £ fera ce qui reviendra au fécond joueur.
    • On trouvera, par un raifonnement femblable , 5e Cas. que lî l’on fuppofoit deux parties manquer au premier joueur & trois au fécond, ils devroient, en cedant de jouer, partager la mife de forte que le premier eût & le fécond ~ de la mife.
    • S’ils jouoient en quatre parties, & qu’il man- 4e Cas» quât au premier deux parties feulement & quatre au fécond, la mife devroit être diftrîbuée de maniéré que le premier en eût les -J-J, & le fécond les ~j.
    • D’après ces raifonnements, on a établi cette réglé générale qui difpenfe du raifonnement employé ci-deffus, & qui procédé au moyen du. triangle arithmétique.
    • Prenez la fomme des parties qui manquent aux deux joueurs ; je la fuppofe 3 , comme dans le premier cas propofé ci - delïiis : ainfi l’on prendra la troifieme diagonale du triangle arithmétique ;
    • & comme il ne manque qu’une partie au premier joueur, on ne prendra que le premier nombre de cette diagonale ; & attendu qu’il en manque deux au fécond , on prendra la fomme des deux premiers nombres 1,2, ce qui donnera 3. Ces deux nombres i & 3 indiqueront que la mife doit être partagée dans le même rapport : ainfi le premier joueur devra en avoir les \, & le fécond le
    • L’application de cette réglé aux autres cas quelconques eft aifée à faire ; c’eft pourquoi, afin
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    • jxo Récréations Mathématiques.
    • d’abréger, nous ne nous étendrons pas davantage fur ce fujet.
    • Nous avons dit plus haut que nous ferions con-noître la fécondé méthode de réfoudre ces fortes de problèmes, qui efl celle des combinaifons ; là voici.
    • Pour réfoudre, par exemple, le quatrième cas, où l’on fuppofe qu’il manque deux parties au premier joueur pour achever & quatre au fécond , enforte qu’il leur manque enfemble fîx parties , ôtez l’unité de cette fomme ; &, parcequ’il relie 5 , on fuppofera ces cinq lettres femblables aaaaa favorables au premier joueur , & ces cinq autres bbbbb favorables au fécond : on les combinera enfemble comme vous le voyez dans la Table ci-deffous, où, des 32 combinaifons, les 26 premières vers la gauche, où fe rencontre au moins deux fois a, indiquent le nombre des hâfards qui peuvent faire gagner le premier, & les 6 derniers vers la droite, où a ne fe trouve qu’une fois, indiquent le nombre des hafards qui feront gagner lç fççoftd.
    • aaaaa aaabb oabbb aaaab aabba abbba aaaba abbaa bbbaa aabaa bbaaa ababb ' abaaa aabab abbab
    • baaaa abaab bbaab baaab baabb baaba babba babaa bbaba ababa babab Alnfi l’attente du premier joueur fera à celle du fécond comme 16 eft à 6, ou comme 13 à 3.
    • abbbb
    • bbbba
    • babbb
    • bbabb
    • bbbab
    • bbbbb
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    • • Arithmétique. ChapilXm
    • Pareillement, pour réfoudre le cas oîï l’on fup-pofe un des joueurs ayant trois parties & le fécond n’en ayant aucune, celui-là devant gagner qui aura plutôt quatre parties, on aura le même nombre de parties manquantes 5, qu’il faut diminuer de l’unité pour avoir 4. Il faudra enfuite examiner de combien de maniérés on peut combinèr les lettres a & b quatre à quatre, & l’on trouvera qu’il y en a ï6, fqavoir:
    • aaaa aabb abbb aaab abab babb aaba baab bbab abaa abba bbba baaa baba bbaa
    • bbbb
    • Or, de ces 16, il eft évident qu’il y en a 15 dans lefqueiles a Ce trouve au moins une fois, ce qui dé-fîgne 15 combinaifons ou hafards favorables pour le premier joueur, & un feul pour le fecond. Con-féquemment ils devront partager la mife en raifon de 15 à 1, ou bien le premier en devra avoir les j & le fécond .
    • PROBLÈME IV.
    • Sur la Loterie de CÉcole Royale Militaire.
    • Tout le monde connoît aujourd’hui ce jeu, depuis qu’il a été tranfplanté d’Italie en France (a).
    • (<z) Ce jeu a pris naiffance à Genes, où chaque année, depuis très long-temps, on tire par la voie du fort cinq membres du lenat , qui eft compofé de 90 perfonnes , pour en former un confeil particulier. De-là quelques gens oiûfs prirent occafton de parier que le fort tomberoit
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    • ni Récréations Mathématiques.
    • Son analyse fe réduit à la folution de ce problême-ci: Etant donnés go nombres dont 6 font extraits au hafard , déterminer quelle efi la probabilité que , parmi ces cinq nombres, fe trouveront un, ou deux, ou trois , ou quatre , ou cinq nombres qu'on a pris furies go.
    • Or il eft aifé de voir que s’il n’étoit queftion que d’un nombre déterminé, & qu’on ne tirât de la roue qu’un feul nombre, il n’y aurok pour le joueur qu’un feul hafard favorable fur 90; mais comme on tire cinq nombres de la roue, cela quintuple le fort favorable au joueur , de forte qu’il y a pour lui cinq hafards favorables fur les quatre-vingt-dix. Ainfi la probabilité de gagner eft yj ; & , pour jouer abfolument à jeu égal, les mifes devroient être dans le même rapport, ou, ce qui revient au même , le tenant de la loterie devroit rembourfer la mife dix-huit fois.
    • Pour fçavoir quelle probabilité il y a que deux nombres pris fortiront tous deux, ce qu’on ap-
    • fur tels ou tels fénateurs. Le gouvernement, voyant en-fuite avec quelle vivacité on s’intéreffoit dans ces paris., en prit l’idée d’établir une loterie fur le même principe. Elle eut un tel fuccès, que toutes les villes d’Italie s’y intéreflbient,.& envoyoient à Genes beaucoup d’argent. Ce motif, & fans doute celui de fe former un revenu , engagea le pape à en établir une femblable à Rome. Ses habitants font fi paflionnés pour ce jeu, qu’on voit communément des malheureux s’épargner & à leur famille les chofes les plus néceffaires à la vie, pour s’y intéreffer. On les voit encore donner, pour fe procurer des nombres heureux, dans mille extravagances infpirées par la crédulité ou la fuperftition. La raifon qui régné plus, généralement fur le peuple François, & fur-tout fes occupations, l’ont préfervé de cette ardeur excelîive & de toutes ces iolies.
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    • Arithmétique. Chap. /X nj
    • pelle jouer par ambes, il faut déterminer combien d’ambes ou de combinaifons deux à deux donnent 90 nombres. Or on a montré, en parlant des combinaifons, qu’il y en 34005. Mais comme on tire cinq nombres de la roue , oc que ces cinq nombres combinés enfemble deux à deux font dix ambes, il en réfulte que, fur ces 4005 hafards, il n’y en a que 10 qui foient favorables au joueur. Ainfi la probabilité que les deux nombres choifis feront parmi ceux tirés de la roue, fera exprimée
    • par ou —^7. C’eft pourquoi le tenant de la
    • loterie devrait donner au joueur, en cas de gain , 400 7 fois fa mife.
    • Lorfqu’on joue par terne, c’eft-à-dire fous la condition que les trois nombres choifis fe trouveront parmi les cinq tirés de la roue, pour trouver quelle eft la probabilité de cet événement, il faut déterminer de combien de maniérés 90 nombres peuvent fe combiner trois à trois, ou combien de ternes ils font : on trouve qu’ils montent à 117480. Or, comme les cinq nombres extraits de la roue forment 10 ternes, il y a pour le joueur dix cas favorables fur 117480 ; & la probabilité en faveur du joueur efl: de yyg ou tttts* Ainfi, pour jouer à jeu égal, la loterie devroit rembourfer au joueur 11748 fois fa mife.
    • Enfin l’on trouve qu’il n’y a fur 511038 haferds qu’un feul favorable pour celui qui parieroit que quatre nombres déterminés fortiront de la roue ; & 1 fur 43949168 , en faveur de celui qui parierait que cinq nombres déterminés feront précifé-ment les cinq fortants de la roue. Il faudrait con-féquemment, dans ce dernier cas, pour jouer à jeu mathématiquement égal, payer au joueur, en
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    • 3i4 Récréations Mathématiques,
    • cas d’événement heureux, près de quarante-quatre millions de fois fa mife.
    • Je finirai cet article en obfervant que quoique ce jeu, à ne le confidérer que mathématiquement, préfente au premier coup d’œil un grand avantage pour celui ou ceux qui le tiennent, on doit néanmoins , pour en juger avec équité, avoir égard à quelques confidérations particulières. Il eft certain que fi toute la loterie étoit pleine à chaque tirage , le gain feroit sûr, & fi confidérable, qu’il mérite-roit l’animadverfion du gouvernement; car il y au-roit de gain, toute diftribution des lots faite, plus de la moitié de la mife des joueurs. Mais il s’en faut bien qu’il en foit ainfi , & même il feroit impraticable d’attendre que cette loterie fût pleine pour la tirer. On la tire donc à des époques fixes , telle qu’elle fe trouve. Or il peut arriver qu’on ait mis confidérablemenr fur un terne, ou même fur plufieurs, tandis qu’à peine on aura mis fur les autres. Si donc ces premiers venoient à fortir, la fomme à payer feroit immenfe. Car fuppofons un feul terne chargé de 150 liv. qui eft la fomme à laquelle on a fixé en France la mife fur ce hafard , & que ce terne forte, il en coûteroit à la loterie 780000 livres ; & comme il en fort dix à chaque extraction, fi chacun étoit chargé d’une pareille fomme, il faudroit pour payer les joueurs celle de 7800000 livres.
    • On voit par-là que, quoique les entrepreneurs de la loterie aient un grand avantage, cependant ce jeu eft fort dangereux pour eux: il ne faut, après dix ans de bonheur, qu’un revers malheureux pour les ruiner, ou pour leur enlever tout le gain qu’ils auroient fait, & beaucoup au-delà ; & c’eft en compenfation de ce danger qu’il paroît équi-
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    • Arithmétique. Chap. IX. table de leur accorder un avantage. On n’entreprendra pas de le déterminer, car cette détermination eft impolîible ; mais il eft aifé de voir que quoique , mathématiquement parlant, ce foit la même chofe de jouer un million contre cent mille livres, que 1000 liv. contre 100 livres, ce n’eft point la même chofe moralement parlant ; la perte de la première fomme entraînant la ruine abfolue de celui qui la fait, & cette derniere étant pour ainfi dire fans conféquence , du moins pour ceux qui jouirent d’une fortune médiocre. Or il eft certain que le public ne joue contre les entrepreneurs de la loterie dont il s’agit que des fqmmes limitées , & ordinairement affez petites , au lieu qu’ils jouent une fomme pour ainfi dire illimitée. Au refte ces hafards malheureux dont nous parlons , quoique fort éloignés , ne le font pas tellement qu’ils n’arrivent quelquefois : aufli n’y a-t-ii en Italie aucune de ces loteries qui n’ait été dé-banquée.
    • PROBLÈME V.
    • Pierre a un certain nombre de cartes , dont aucune n'ejl répétée : il les tire fuccejjîvement en appel-latit , fuivant Vordre des cartes , as , deux , trois , &c. juj,qu’au roi qui ejl la derniere ; & il parie qu'il arrivera au moins une fois qu'en tirant une carte il la nommera. On demande quelle ejl la probabilité qu'il a en fa faveur ?
    • On appelle ce jeu le Jeu de Treize, pareequ’on le joue ordinairement ou avec un livret de treize cartes, ou qu’après treize cartes paffées on recommence par un ou as.
    • 11 feroit trop long d’entrer ici dans le détail de
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    • ti6 Récréation^ Mathématiques. Panalyfe de ce jeu : il nous fuffira de dire que M. de Montmort trouve que fi Pierre ne tient que deux cartes, la probabilité qu’il a de gagner eft que s’il y en a trois, elle eft f; que s’il y en a quatre, elle eft enfin que s’il y en a treize , elle eft : enforte que, pour jouer à jeu égal,
    • Pierre doit parier un peu moins de 11 contre 6.
    • PROBLÈME VI.
    • Pierre & Paul jouera au Piquet : Pierre ejt premier en cartes & n’a point d’as j quelle probabilité y a-t-il qu'il lui en rentrera ou un, ou deux, ou trois , ou les quatre ?
    • On trouve que îe fort de Pierre, pour avoir un
    • as quelconque, eft ............
    • pour en avoir deux ....... |||;
    • pour en avoir trois ...........
    • pour en avoir quatre........* ~.
    • D’où il fuit que la probabilité qu’il en aura quelqu’un dans les cinq cartes qu’il a à prendre, eft §4f : enforte qu’il y a à parier 232 contre 91 qu’il rentrera quelque as à Pierre.
    • Suppofons a&uellement que c’eft Paul qui eft dernier en cartes; on demande ce qu’il y a à parier qu’il prendra au moins un as dans fes trois cartes ?
    • Le fort de Paul, pour prendre un as dans trois
    • cartes, eft............................ JL*
    • pour en prendre deux, il eft ... .
    • pour en prendre trois.....................-i-.
    • Par conféquent la probabilité qu’il en prendra ou
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    • Arithmétique. Chip. IX. 117 ùn, ou deux , ou trois indéterminément, eft égale à ~ : ainfi Paul peut parier but à but avec avantage qu’il lui en rentrera quelqu’un ; car le jufte rapport des mifes feroit de 29 à 28.
    • PROBLÈME VII.
    • Au jeu de Whxsk, quelle probabilité y a-t-il que les quatre honneurs ne fe trouveront pas entre deux parteners quelconques ?
    • M. DE Moivre , dans Ion traité intitulé The Doctrine of Chances, montre qu’il y a bien près de 27 contre 2 à parier, que les partners dont l’un donne n’ont pas les quatre honneurs ;
    • Qu’il y a à parier 23 environ contre 1, que les deux autres partners ne les ont pas ;
    • Qu’il y a 8 bien près contre 1 à parier qu’ils ne fe trouvent d’aucun côté ;
    • Qu’on peut parier fans défavantage ? 3 environ contre 7 , que les partners où eft la main ne compteront pas des honneurs ;
    • Qu’on peut mettre environ 20 contre 7, que les deux autres ne les compteront pas ;
    • Enfin, qu’il y a 25 contre 16 k parier que l’un des deux côtés comptera des honneurs, ou qu’ils ne feront pas partagés également.
    • PROBLÈME VIII.
    • Sur le Jeu des Sauvages.
    • Le baron de la Hontan rapporte, dans lès Voyages en Canada, que les Indiens jouent au jeu fuivant.
    • Ils ont 8 noyaux noirs d’un côté, & blancs de l’autre: on les jette en l’air : alors, s’il fe trouve
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    • HÊ RicR^AtiOKS MaTHÉMÀTIQUÊS* que les noirs foient impairs, le joueur a gagné, l’enjeu convenu ; & s’ils fe trouvent oü tous noirs* ou tous blancs, il gagne le double ; mais s’ils Ce trouvent répartis en nombres pairs, il a perdu fa mile.
    • M. de Montmort examine ce jeu, oc trouve que celui qui jette les noyaux a un avantage qui peut être évalué à fjj ; & que, pour que le jeu fût égal, il faudroit qu’il mît 22 quand ion adver-faire met 21.
    • PROBLÈME IX.
    • Sur le Jeu de Triclrdc.
    • Le jeu de tri&rac eft un de ceux où i’efprit dés combinaifon Ce manifefte davantage, & où il eft plus utile de connoître, à chaque coup qu’on vâ jouer, ce qu’on peut efpêrer ou craindre des coups de dés fuivants, foit des liens, foit de ceux de fort adverfaire. Il faut jouer fes dames de telle maniéré que û l’on a en vue, par exemple, de fe mettre en état de remplir, ou de battre le coin dé fon adverfaire ou telles autres dames qui font expofées ; il faut, dis-je, jouer de maniéré qu’on fe ménage le plus grand nombre de coups de dés favorables* L’efpérance enfin qu’on a à chaque coup qu’on va jouer, eft toujours fufceptible d’être appréciée mathématiquement. Parmi les exemples nombreux qu’on en pourroit donner , on fe bornera à un petit nombre des plus curieux & des moins difficiles.
    • I. Pierre & Paul jouent enfemble au trictrac. Pierre entreprend de prendre fon grand coin en deux coups. Combien Paul peut-il parier contre lui ?
    • Ce problème eft un des plus faciles qu’on puifle propofer
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    • ARITHIVtÉTiQtJE. Chap. IX. nt) pfopofer fur ce jeu ; car il eft aifé de remarquer que l’on ne peut prendre Ton grand coin en deux coups qu’en amenant ou deux fois de fuite fonnez , ou deux fois de fuite fix cinq, ou quines la première fois & fonnez la fécondé, ou enfin la première fois fonnez & la fécondé quines. Or la probabilité d’amener deux fois de fuite fonnez eft —- » celle d’amener deux fois de fuite fîx cinq ou cinq & fix, eft : car, comme on peut amener de deux façons fix cinq avec deux dés, la probabilité de l’amener aii premier coup eft ; & confé-quemment celle de l’amener deux fois de fuite eft ~X ji, ou TT96* Pareillement la probabilité d’amener quines au premier coup & fonnez au fécond , eft > & enfin celle d’amener fonnez au premier coup & quines au fécond, eft encore tït?* D’où il fuit que la fomme de toutes ces fraéiions our^T > eft la probabilité d’amener une de ces quatre combinaifons de coups, ou de prendre fon grand coin en deux coups. Ainft Pierre ne doit parier, pour jouer au pair, que 7 contre 1289, ou 1 contre 184 y.
    • Il faut fuppofer ici que Pierre eft premier à jouer, ce à quoi M. de Montmort ne paroîf pas avoir fait attention ; car fi Paul avoit pris lui-même fon coin en deux coups, il eft évident que la combinaifon de deux fois de fuite fonnez feroit inutile , parceque Pierre ne fçauroit prendre fon grand coin par deux fois fonnez, qu’autant que Pierre ne l’aura pas déjà.
    • Suppofons donc , pour réfoudre le problème plus complettement, que Pierre eft fécond à jouer; il eft évident qu’il aura également pour lui les ha-fards ci-de (Tus, à l’exception de celui de deux fois fonnez, car ce dernier ne lui fervira qu’autant
    • Tome 1„ I
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    • ijo Récréations Mathématiques. que fon adverfaire n’aura pas déjà pris Ton coin. D’où il fuit que l’avantage de ce hafard pour Pierre fera d’autant moindre, qu’il fera plus probable que Ton adverfaire ait pris fon coin en deux coups. Si la probabilité que Paul y réuffira étoit, par exemple, £, f, il faudroit multiplier —'^ , valeur du hafard d’amener deux fois de fuite fon-nez, par 7, f. Ainfi il faudra ici multiplier par ±1*19 qUi eft la probabilité que Paul ne prendra pas fon coin en deux coups.; le produit 6 > CIU* un Peu m°indre que tïtz 9 ex~ prime pour le fécond en jeu la valeur du hafard d’amener deux fois fonnez, pour prendre fon coin. Ajoutant donc les trois autres hafards, exprimés par 9on aura 9 Pour l’évaluation de la probabilité que le fécond prendra en deux coups fon coin, —'W + tîSt/t; > ou rf/Wi? jce <P“un peu moindre que -7—.
    • II. Au jeu de trictrac, Pun des joueurs à fon jeu difpoféde cette maniéré: 4 dames fur la première jleclie dont elles partent, 3 fur la fécondé, z fur la troifieme , 3 fur la quatrième, z fur la cinquième , & fur la fixieme. On demande ce qu'il y a à parier qu'il remplira & fera fon petit jan ?
    • H eft facile de voir que je remplirai par toutes les combinaifons de dés dans lefquelies il y aura un cinq, ou un deux, ou un quatre 9 ou dans lef-quelles les dés feront enfemble cinq, quatre ou deux. Or, des 36 combinaifons que peuvent former deux dés, il y en a d’abord onze où il y a au moins un cinq : il y en a pareillement onze où il y a au moins un quatre ; mais les combinaifons quatre-cinq & cinq-quatre ayant déjà été employées parmi les précédentes, nous n’en comp-
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    • Arithmétique. Chap. IX. 131 tërons que neuf. On compte aufli onze combînai-fons de dés où il fe trouve au moins un 2 ; mais, comme les combinaifons deux-cinq & cinq-deux , deux-quatre & quatre-deux ont déjà été employées , on n’en doit compter que fept. On a enfin les coups ambefas , un & trois, trois & un, qui font favorables pour remplir. Ainfi, fur les trente-fix combinaifons des deux dés, il y en a trente avec lefquelles on remplira. Par conféquent il y a 5 contre 1 à parier que, dans pareille pofi-tion de dames , on fera fon petit jan.
    • Si l’on fuppofoit que la dame qui eft quatrième fur la première fléché fût fur la troifieme, alors il feroit aifé de voir qu’il n’y aurait abfolument que fonnez pour ne pas remplir; ainfi l’on pourroit parier 35 contre 1 qu’on feroit fon petit jan.
    • . Nous nous bornons à cette efquiffe de l’utilité de la do&rine des combinaifons dans le jeu de tri&rac. Il y a d’autres queftions plus difficiles fur ce jeu, que M. de Montmort a examinées dans fon EJfai d’analyfe fur les Jeux de hafard. Mais nous invitons le lecteur à recourir à cet ouvrage.
    • PROBLÈME X.
    • Un charlatan tenoit dans une foire le Jeu fuivant : il avoit G dés dont chacun nétoït marqué que fur une face, &c. l’un de Vas, Vautre de deux , juf qu’au Jixieme qui l’étoit de Jîx : on lui donnoit une fournie quelconque, 6* il ojfroit de rembourfer cent fois la mife ,Ji,en jettant ces G dés, on amenoit en vingt fois les G faces marquées. Lorfquon avoit perdu , il ojfroit la revanche fous cette condition , qu’on mît une nouvelle
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    • t$i Récréations MatRématiqûes. fomme égale à la première ; & il s'engageait à rendre le tout, Ji on amenoit trois coups de fuite toutes faces blanches. On demande quel étoit le fort des joueurs?
    • Ceux qui ne connoiffent point la route qu’il faut tenir pour réfoudre les problèmes de cette nature , font fujets à faire fur cette efpece de dés une raifonnement fort erroné; car, remarquant qu’il y a cinq fois autant de faces blanches que de faces marquées, ils en concluent qu’il y a 5 à parier contre 1, qu’en les jettant on n’amenera aucun point. Ils font néanmoins dans l’erreur ; & il y a au contraire près de 2 contre 1 à parier qu’on n’amenera pas tout blanc : ce qu’on démontre ainfî.
    • Prenons un feul dé, il eft évident qu’il y a 5 contre 1 à parier qu’on amènera blanc. Mais n nous y joignons un fécond dé, il eft aifé de voir que la face marquée du premier peut fe combiner avec chacune des faces blanches du fécond, & la face marquée du fécond avec chacune des blanches du premier, enfin la face marquée de l’une avec la face marquée de l’autre. Conféquemment, fur les 36 combinaifons des faces de ces deux dés, il y en a 11 où il y a au moins une face marquée. Or nous avons déjà remarqué que ce nombre 11 •eft la différence du quarré du nombre 6 des faces d’un dé, avec le quarré de ce même nombre diminué de l’unité, ou de 5.
    • Joignons un troifieme dé, nous trouverons, par une femblable analyfe , que, fur les 216 combinaifons des faces de trois dés, il y en a 91 où il y a au moins une face marquée; & ce nombre 91 eft la différence du cube de 6 ou 216, avec le cube de 5 ou 12 5. Et ainfi de fuite pour les cas plus
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    • Arithmétique. Chap. IX. «ompofés. D’où l’on conclut que, fur les 46656 combinaifons des faces des 6 dés en queftion, il y en a 31031 où il y a au moins une face marquée , & 15615 où toutes les faces font blanches. Con-féquemmerit il y a près de deux contre un à parier qu’on amènera au moins quelque point ; tandis que, fuivant le raifonnement ci-deffus, on trou-voit qu’il y avoit 5 contre 1 à parier pour le cas contraire.
    • Cet exemple eft un de ceux qui peuvent fervir à montrer combien, dans ces matières, on doit fe défier de ces demi-lueurs qui fe préfentent du premier abord. Je puis ajouter que .l’expérience eft conforme au raifonnement; car m’étant amufé, un foir de défœuvrement, à voir jouer à la ferme , & ayant compté pendant plusieurs heures tous les coups marqués de quelque point, & tous les choux - blancs , (on appelle ainlî dans ce jeu les coups où il n’y a aucune face marquée, ) je trouvai le nombre de ces derniers beaucoup moindre que celui des premiers, & dans un rapport qui ne s’éloignoit guere de celui de un à deux. Mais revenons à notre charlatan.
    • Il eft clair que, fur les 46656 combinaifons des faces des 6 dés dont il eft queftion, il n’y en a qu’une qui donne toutes les faces marquées en deffus ; ainfi la probabilité de les amener en un coup eft exprimée par 46g^ ; &, comme on avoit 2.0 coups à jouer pour les amener, la probabilité d’y réuffir étoit de , ce qui fe réduit à un peu plus qu’une 2332e. Ainfi, pour jouer au pair, l’homme en queftion auroit dûrembourfer 233 2 fois la mifè. ôr il n’offroit que 100fois cette mile; conféquemment il n’offroit qu’environ la vingt-troifieme partie de ce qu’il auroit du offrir pour
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    • 3 34 Récréations Mathématiques.
    • jouer à jeu égal, & il jouoit conféquemment avec un avantage de 22 contre un.
    • La revanche qu’il offroit étoit une autre fuper-cherie, pour le fuccès de laquelle il profitoit habilement de la propenüon où eft tout homme qui n’a pas fuffifamment examiné la matière, de faire le mauvais raifonnement dont nous avons parlé ci-deffus; & l’on devoit d’autant moins faire difficulté d’accepter cette revanche, qu’il femble qu’il y ait 5 contre 1 à parier qu’on amènera chou-blanc chaque coup, tandis qu’au contraire il y a 2 contre 1 à parier qu’on ne l’amenera pas. Or la probabilité de ne pas amener chou-blanc en un coup, étant à celle de l’amener comme 2 à 1, il fuit delà que la probabilité de ne pas l’amener trois fois de fuite , eft à celle de l’amener comme 8 eft à 1. Ainfi notre charlatan auroit dû mettre 7 contre 1 pour jouer à jeu égal : conféquemment il donnoit la revanche d’un jeu où il avoit un avantage de 22 contre un, à un autre où il en avoit encore un de 7 contre 1.
    • PROBLÈME XI.
    • En combien de coups peut-on parier au pair, avec 6 des marqués fur toutes leurs faces , quon
    • amènera /, 2,3, 4, 3, 6V
    • Nous venons de voir qu’il y auroit 466 55a parier contre un qu’on n’ameneroit pas ces 6 points avec des dés marqués feulement fur une de leurs, faces : mais le cas eft bien différent avec 6 dés marques fur toutes leurs faces ; pour,le faire fentir, il fuffit de faire obferver que le point 1 , par exemple , peut être également amené par
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    • Arithmétique. Chap. IX. 133 chacun des dés, 6c ainfi de même le 2 , le 3, 6cc; ce qui rend le hafard des 6 points 1,2, 3,4, 6cc. incomparablement plus facile.
    • ' Mais, pour analyfer le problème plus exa&e-ment, nous remarquons que pour amener 1, 2, avec deux dés, il y a deux maniérés, fçavoir, 1 avec le dé A & 2 avec le dé B, ou 1 avec le dé B 6c 2 avec le dé A. Pour amener 1, 2,3, avec trois dçs , fur la totalité des combinaifons de faces de ces trois dés, il y en a fix qui donnent les points 1,2, 3 : car on peut amener 1 avec le dé A, 2 avec B, 3 avec C ; ou 1 avec le dé A, 2 avec C, 6c 3 avec B ‘y ou 1 avec le dé B, 2 avec le dé A, 6c 3 avec C ; ou 1 avec le dé B , 2 avec le dé C , 6c 3 aVec A ; ou 1 avec le dé C, 2 avec A, 6c 3 avec B ; ou enfin 1 avec C, 2 avec B, 6c 3 avec A.
    • On voit donc par-là que, pour trouver les maniérés dont on peut amener 1,2,3, avec tr0’s dés, il faut multiplier les nombres 1, 2,3. De même, pour trouver le nombre de maniérés d’amener 1, 2, 3,4, avec quatre dés, il faudra multiplier 1, 2, 3,4, enfemble ; ce qui donnera 24. Enfin, pour trouver de combien de maniérés fix dés peuvent donner 1,2,3,4, 5, 6, il faudra muh-tiplier enfemble ces fix nombres, 6c l’on aura720.
    • Si l’on divife donc le nombre 46656, qui eft celui des combinaifons des faces de nx dés, par 720, on aura 64-^ pour ce qu’il y aura à parier contre 1 qu’on n’amenera pas ces points en un coup , 6c conféquemment on pourra prefque parier au pair de les amener en foixante - quatre coups : Sc il y aura plus du double à parier contre un qu’on les amènera en cent trente coups. Enfin, comme on peut facilement tirer cent trente coups de dés 6c plus en un quart - d’heure, on pourra Iiv
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    • 136 Récréations Mathématiques. parier , avec l’avantage de plus de i contre I, dé les amener dans cet intervalle de temps.
    • Celui qui faifoit la propofition de parier au pair d’amener ces points en un quart d’heure , comme je l’ai ouï dire à quelques perfonnes qui avoiene parié contre , & qui y avoient perdu leur argent, faifoit donc un pari très-avantageux pour lui 6c très-défavantageux pour eux. Ne devoit-il pas en confcience leur rendre leur argent ? La réponfe peut s’en déduire de ce que nous venons de dire.
    • PROBLÈME X IL Du Jeu des fept Dés.
    • Quelqu'un propofe de jouer avec y dès marqués fur toutes leurs faces , aux conditions fuivantes : Celui qui tient le dé gagnera autant d'ècus qu'il amènera de 6; mais s'il n'en amene aucun, il paiera à celui qui parie contre, autant d'ècus qu'il y a de dès , c'efi-à-dire fept. On demande quel rapport il y a entre leurs chances ?
    • Pour réfoudre ce problème, il faut l’anaîyfér avec ordre. Suppofons donc qu’il n’y eut qii’un dé ; il eft évident que , n’y ayant qu’un coup pour celui qui tient le dé, & cinq contre lui, le rapport des mifes devroit être celui de i à 5. Ainfi, fi le premier donnoit un écu toutes les fois qu’il n’ameneroit pas 6,8c n’en recevoit qu’un îorfqu’il l’ameneroit , il joueroit à un jeu très-inégal.
    • Suppofons maintenant deux dés. J’obferve qüe, dans les 36 combinaifons différentes dont font fufceptibles les faces de deux dés, il y en a 25 qui ne donnent point de 6, qu’il y en a 10 qui-en donnent un, 6c une feule qui en donne deux. Ce-
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    • Arithmétique. Chap. IX. 137 ïuî qui tient le dé n’a donc que 11 coups qui lui foient favorables, dont 10 lui feront gagner chacun un écu , & un lui en fera gagner deux : donc fà chance pour gagner fera fuivant la réglé générale & comme, chacun des 25 coups qui
    • ne donnent point de 6 arrivant, il devra payer deux écus, la chance de fon adverfaire fera ~. Conféquemment la chance pour gagner fera à celle pour perdre comme à{|, ou 12 à 50, ou moins de 1 contre 4.
    • Pour déterminer, dans les cas plus compofés , les coups qui ne donnent point de 6, ceux qui en donnent un, ceux qui en donnent deux, trois, &c ; il faut faire attention qu’ils font toujours exprimés par les termes différents de la puiffancede 5+1, dont l’expofant eft égal au nombre des dés. Ainfi , lorfqu’il n’y a qu’un dé, le nombre 5 + 1 exprime par fon premier terme qu’il y a cinq coups fans 6 , & un qui donne un 6 : s’il y en a deux, le produit de 5 +1 par 5 +1, ou le quarré de 5 + 1, étant 25+10+ 1, le premier terme 25 indique qu’il y a 25 coups (fur les 36) qui ne donnent point de 6,
    • 10 qui en préfentent un , & 1 qui en préfente deux.
    • De même le cube de 5 + 1 étant 125 +75 + 15 + 1, défigne que, fur les 216 combinaifons des faces de fix dés, il y en a 125 où il n’y a aucun 6,75 où il y en a un, 15 où il y en a deux , & une où il y en a trois.
    • La quatrième puiffance de 5 + 1 étant 625 + 500 + 150 + 20 +1 , indique pareillement que , furies 1296 combinaifons des faces de quatre dés,
    • 11 y en a 625 fans aucun 6,500 qui donnent un 6, j 50 qui en donnent deux , 20 qui en donnent trois j & une feule qui en donne quatre.
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    • 138 Récréations Mathématiques.
    • Je paffe les cas intermédiaires, pour arriver à celui où il y a fept dés. Or on trouve, dans ce cas, que la feptieme puiffance de 5 +1 eft 78125 +109375+65615+11875+4575+515+3 5 4-1 = à 279936. Il y a donc , fur les 279936 combinaifons des faces de fept dés, 78125 qui ne donnent aucun 6,109375 où il s’en trouve un, 65625 où il y en a deux, 21875 où il y en a trois, &c. Or, chacun des 78125 premiers coups arrivant, celui qui tient le dé doit payer 7 écus : conféquemment il faut, fuivant la réglé générale , ïnultiplîer ce nombre par 7, & divifer le produit par la fomtne de tous les coups ; & l’on aura la chance contre , égale à Pour avoir la
    • chance qui lui eft favorable,. multipliez chacun des autres termes parle nombre des 6 qu’il préfente , additionnez les différents produits , & di-vifez la fomme par la totalité des coups, ou 279936: vous aurez, pour l’efpérance du joueur qui tient le dé, IfUff. Conféquemment fa chance pour gagner eft à fa chance pour perdre, comme 325592 à 546875 ; c’eft-à-dire qu’il joue à un jeu de dupe, où il y a environ 54 contre 32, où 27 contre 16, ou plus de 3 contre 2 à parier qu’il perdra.
    • Par un femblable procédé l’on trouve que , s’il y a huit dés, la chance de celui qui tient le dé eft encore à celle de fon adverfaire comme 225948# à 3125000 ; ce qui eft à peu près comme 3 contre 4.
    • S’il y avoit neuf dés, la chance pour celui qui tiendroit le dé feroit à celle de fon adverfaire comme 151 environ à 175.
    • S’il y a dix dés, la chance du premier fera à celle du fécond comme iqi 176960 à 97656250 ,
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    • Arithmétique, Chap. X. 139
    • fc’eft-à-dire, à très -, peu de chofe près, comme loi à 97-^. Il commence donc à y avoir de l’avantage pour le premier , feulement lorfque le nombre des dés eft 1 o ; & il ne| doit pas y en avoir moins pour jouer ce jeu avec quelque égalité.
    • CHAPITRE X.
    • Quelques Jeux arithmétiques de Divination ou de Combinaifons.
    • M • OzANAM a été très-prolixe dans l’explication des différentes méthodes qu’on peut employer pour ces efpeces de divination. Mais il faut convenir que le plus fouvent ou elles font trop compliquées, ou ce font de ces adreffes qu’en langage populaire on appelle des rufes coufues de fil blanc. Nous nous bornerons, par cette raifon , à ceux de ces moyens où l’artifice eft moins apparent; ce qui en réduira beaucoup le nombre.
    • PROBLÈME I.
    • Deviner le nombre que quelqu’un aura penfé„
    • D.tes à celui qui a penfé un nombre de le tripler, & enfuite de prendre la moitié exa&e de ce triple s’il eft pair , ou la plus grande moitié fi la divifion ne peut pas fe faire exactement, ( ce dont vous vous fouviendrez à part). Vous ferez encore tripler cette moitié, & vous demanderez combien de fois le nombre 9 s’y trouve compris. Le nombre penfé fera le double, fi la divifion ci-deffus par la
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    • î40 Récréations Mathématiques. moitié a pu fe faire ; mais fi cette divifion n’a pu avoir lieu, il faudra ajouter l’unité.
    • Qu’on ait penfé 5 , fon triple eft 15 qui ne peut fedivifer par 2. La plus grande moitié de 15 eft 8 : fi on la multiplie encore par 3, on aura 24, où 9 fe trouve deux fois. Le nombre penfé eft donc 4 plus 1, ou 5.
    • II.
    • Dites à celui qui a penfé un nombre de le multiplier par lui-même ; enfuite qu’il augmente ce nombre de l’unité, & qu’il le multiplie encore par lui-même : demandez-lui après cela la différence de ces deux nombres ; ce fera certainement un nombre impair , dont la petite moitié fera le nombre cherché.
    • Que le nombre penfé foit, par exemple , 10 fon quarré eft 100. Que 10 foit augmenté de 1, ce fera 11, dont le quarré eft 121. La différence des deux quarrés eft 21, dont la moindre moitié 10 eft le nombre cherché.
    • On pourra, pour varier l’artifice , faire faire le fécond quarré du nombre penfé diminué d’une unité : alors, demandant la différence des deux quarrés , la plus grande moitié fera le nombre cherché.
    • Dans l’exemple précédent, le quarré du nombre penfé eft 100 ; celui de ce nombre diminué de l’unité /ou 9, eft 81 ; la différence eft 19, dont la plus grande moitié eft 10 , nombre cherché.
    • III.
    • Faites ajouter au nombre penfé fa moitié exa&e s’il eft pair, ou fa plus grande moitié s’il eft im«
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    • Arithmétique. Ckap. X; 14g
    • pair, pour avoir une première fomme. Faites auffi ajouter à cette Tomme fa moitié exacte, ou la plus grande moitié, félon qu’elle fera un nombre pair ou impair, pour avoir une fécondé fomme, dont dont vous ferez ôter le double du nombre penfé ; enfuite faites prendre la moitié du refte, ou fa plus petite moitié, au casaque ce refte foit un nombre impair; continuez à faire prendre la moitié de la moitié, jufqu’à ce qu’on vienne à l’unité. Cela étant fait, remarquez combien de fous-divifions on aura faites, & pour la première divi-£on retenez 2, pour la fécondé 4, pour la troi-fieme 8, & ainfi des autres en proportion double. Obfervez qu’il faut ajouter 1 pour chaque fois que vous aurez pris la plus petite moitié, parcequ’en prenant cette plus petite moitié il refte toujours 1, & qu’il faut feulement retenir 1 lorfqu’on n’aura pu faire aucune fous-divifîon ; car ainfi vous aurez le nombre dont on a pris les moitiés des moitiés : alors le quadruple de. ce nombre fera le nombre penfé , au cas qu’il n’ait point fallu prendre au commencement la plus grande moitié ; ce qui arrivera feulement lorfque le nombre penfé fera pairement pair, ou divifible par 4: autrement on ôtera 3 de ce quadruple, fi à la première divifion l’on a pris la plus grande moitié ; ou bien feulement 2 , fi à la fécondé divifion l’on a pris la plus grande moitié ; ou bien enfin 5, fi à chacune des deux divifions o.n a pris la plus grande moitié : & alors le refte fera le nombre penfé.
    • Comme, fi l’on a penfé 4, en lui ajoutant fa moitié 2 , on a 6, auquel fi l’on ajoute pareillement fa moitié 3, on a 9, d’où ôtant le double 8 du nombre penfé 4, il refte 1, dont on ne fçauroit prendre la moitié, parcequ’on eft parvenu à l’u-
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    • 142 RécréaTïo&s Mathématiques.
    • nité ; c’eft pourquoi on retiendra i, dont le qua^ druple 4 eft le nombre penfé.
    • Si l’on a penfé 5, en lui ajoutant fa plus grande moitié 3,on a 8, auquel fi on ajoute fa moitié 4, on a 12 , d’où ôtant le double 10 du nombre penfé 5, il refte 2, dont la moitié eft 1 : & comme l’on ne fçauroit plus prendre la moitié, parcequ’on eft parvenu à l’unité, on retiendra 2, parcequ’il y a une fous-divifion. Si de 8 , quadruple de ce nombre retenu 2, on ôte 3 , parceque dans la première divifion on a pris la plus grande moitié, le refte 5 eft le nombre penfé.
    • IV.
    • Faites ôter 1 du nombre penfé, & enfuite doubler le refte ; faites encore ôter 1 de ce double , & qu’on lui ajoute le nombre penfé ; enfin demandez le nombre qui provient de cette addition. Ajoutez-y 3 ; le tiers de cette fomme fera le nombre cherché.
    • Comme, fi l’on a penfé 5 , & qu’on en ôte 1, il reftera 4, dont le double 8 étant diminué de 1, & le refte 7 étant augmenté du nombre penfé 5 , on a cette fomme 12, à laquelle ajoutant 3, on a cette autre fomme 15, dont la troifieme partie 5 eft le nombre penfé.
    • Remarque.^
    • Cette maniéré peut être variée de bien des façons ; car, au lieu de doubler le,-nombre penfé après en avoir fait ôter l’unité, on pourroit le faire tripler : alors, après avoir fait encore ôter l’unité de ce triple & ajouter le nombre penfé, il faudroit
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    • Arithmétique. Chip. X 14$ y ajouter 4. Le 7 de la fomme provenante de ces opérations feroit le nombre cherché.
    • Soit le nombre cherché x : qu’on en ôte l’unité, le reftant fera x— 1 : multipliez ce refte par un nombre quelconque n, le produit fera nx—n: ôtez-en encore l’unité , le refte fera nx—n— 1; ajoutez-y le nombre penfé r,la fomme fera x — n— 1. Si donc on ajoute le multiplicateur^*-deffus augmenté de l’unité, c’eft-à-dire 3 fi l’flÿ doublé , 4 lî l’on a triplé, &c. le reftant fera n^ï x, qui étant divifé par le même nombre , le quotient fera x, le nombre cherché.
    • On pourroit, au lieu d’ôter l’unité, l’ajouter au nombre penfé ; alors, au lieu d’ajouter à la fin le multiplicateur augmenté de l’unité , il faudroit le fouftraire, & faire la divifion comme il eft indiqué ci-deflus.
    • Que 7, par exemple , foit le nombre penfé : faites ajouter l’unité, la fomme fera 8 ; en la triplant on aura 24 : qu’on ajoute encore 1, il viendra 25 ; qu’on ajoute 7, il proviendra 32 , dont ôtant 4, parcequ’on a triplé, on aura 2 8 , dont le quart fera le nombre cherché.
    • V.
    • Faites ajouter 1 au triple du notpbre penfé, ÔC enfuite multiplier la fomme par 3 : qu’on ajoute encore le nombre penfé, il en réfultera une fomme dont ôtant 3 , le reftant fera le décuple du nombre cherché. Ainfi , lorfqu’on vous aura dit cette dernière fomme , ôtez-en 3 , & du reftant le zéro à droite ; l’autre chiffre indiquera le nombre cherché.
    • Soit 6 le nombre penfé : fon triple eft 18 ; ce qui, en y ajoutant l’unité, fait 19 : le triple eft 57;
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    • ï44 Récréations Mathématiques. qu’on y ajoute 6, le produit eft 63, dont ôtant 3, le refte eft 60, dont coupant le zéro à droite, l’autre chiffre eft 6, nombre cherché.
    • Remarque.
    • Si on ôtoit 1 du nombre penfé, qu’on triplât le refte, qu’on y ajoutât de nouveau le nombre i^jifé, il faudrait, après s’être fait dire cette fomme «P fe terminera toujours par 7, ajouter 3 au Heu de les en ôter comme on a fait ci-deflus, & la fomme fe trouveroit décuple du nombre penfé.
    • PROBLÈME IL
    • Deviner deux ou plujieurs nombres que quelqrfun aura, penfîs.
    • I.
    • Lorsque chacun des nombres peilfés ne fera pas plus grand que 9, on les pourra trouver facilement par cette maniéré.
    • Ayant fait ajouter 1 au double du premier nombre penfé , faites multiplier le tout par 5 , ÔC ajouter au produit le fécond nombre. S’il y en a un troifieme, faites doubler cette première fomme & y ajouter 1; &, après avoir fait multiplier cette nouvelle fomme par 5, qu’on y ajoute le troifieme nombre. S’il y en a un quatrième, on procédera de même , en faifant doubler la fomme précédente, ajouter l’unité, multiplier par 5, & ajouter le quatrième nombre, &c.
    • Cela fait, demandez le nombre qui provient de l’addition du dernier nombre penfé, & de ce nombre fouftraifez 5 s’il n’y a que deux nombres, 5 5 s’il y en a trois , 5 5 $ s’il y en a quatre 9 & ainfi de
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    • Arithmétique. Chap. X. i4j
    • èe fuite : le reftant fera compofé de chiffres dont le premier à gauche fera le premier nombre penfé , le fécond le deuxieme, &c.
    • Qu’on ait penfé, par exemple, ces trois nombres , 3 ,4, 6 : en ajoutant i au double 6 du premier , on aura 7> qu’on multipliera par 5, & on aura 3 5 ; à quoi ajoutant 4, le deuxieme nombre penfé, cela donnera 39, qu’il faut doubler pour avoir 78, y ajouter 1, & multiplier la fomme 79 par 5 , d’où réfultera 395; à quoi il faudra enfin ajouter 6, le troifieme nombre penfé, & l’on aura 401, dont ôtant 5 5, il reftera 346, dont les figures 3 , 4, 6 , indiquent par ordre les trois nombres penfés.
    • Nous omettons ici une autre maniéré, parce-qu’on l’emploiera dans la folution d’un autre jeu de cette efpece, appellé de l'Anneau,
    • IL
    • Si un ou pïufieurs des nombres penfés font plus grands que 9, il faut diftinguer deux cas ; le premier où la multitude des nombres penfés eft un nombre impair , & celui où elle eft un nombre pair.
    • Dans le premier cas , demandez les fommes du premier & dU fécond, du fécond & du troifieme, du troifieme & du quatrième , &c. jufqu’au dernier, & enfin la fomme du premier & du dernier. Ayant écrit toutes ces fomines par ordre, ajoutez enfemble toutes celles qui font dans les lieux impairs , comme la première , la troifieme , la cinquième , &c : faites une ‘autre fomme de toutes celles qui font dans les lieux pairs, comme la
    • Tome /. K
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    • i46 Récréations Mathématiques. deuxieme , la quatrième, la fixieme, &c : ôtez cette fécondé fomme de la première ; le reftant fera le double du premier nombre.
    • Qu’on ait penfé, par exemple, ces cinq nombres, 3,7, 13, 17* *0, les premières fommes prifes comme on a dit font 10, 20, 30 , 37, 23; la fomme des première, troifieme, cinquième, eft 63 ; celle des deuxieme & quatrième eft 57 : de 63 ôtez 57, le reftant-eft 6, double du premier nombre 3. Ayant donc 3 , vous l’ôterez de la première des fommes 10; le reftant 7 fera le fécond nombre ; & ainfi de fuite.
    • 2e Cas. Si la multitude des nombres penfés eft paire, il faut demander & écrire par ordre, comme ci-deffus, les fommes du premier & du fécond, du fécond. & du troifieme, &c ; mais au lieu de celle du premier & du dernier, on prendra celle du fécond & du dernier : alors ajoutez enfemble celles qui font dans les lieux pairs, & formez-en une nouvelle fomme à part ; ajoutez aufli enfemble celles qui font dans les lieux impairs, à l’exception de la première, & ôtez cette nouvelle fomme dé la, première : le reftant fera le double du fécond des nombres: donc, l’ôtant de la fomme des premier & fécond , on aura le premier; & en l’ôtant de celle des fécond & troifieme, on aura le troifieme ; & ainfi de fuite.
    • Soient, par exemple, les nombres penfés, 3, 7, 13, 17 : les fommes prifes comme on vient de dire font 10, 20,30, 24; la fomme des deuxieme & quatrième eft 44, dont ôtant la troifieme feulement, qui eft 30, le reftant eft 14. Le fécond nombre cherché eft donc 7, & le premier 3 , & le troifieme 13, &c,
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    • ARITHMÉTIQUE. Ckap» X 147 PROBLÈME III.
    • tînt personne ayant dans une main un nomhfe pair d'écus ou de jetons, & dans Vautre un nombre impair , deviner en quelle main ejl le nombre pair.
    • Faites multiplier le nombre de la main droite par un nombre pair tel qu’il vous plairacomme par x, & le nombre de la main gauche par un impair, 3 par exemple ; faites ajoutêr les deux fommes : fi le total eft impair, le nombre pair de pièces eft dans la main droite, & l’impair dans la gauche ; fi ce total eft pair , ce fera le contraire.
    • Qu’il y ait, par exemple , dans la main droite 8 pièces , & dans la gauche 7 : en multipliant 8 par 2 on aura 16, & le produit de 7 par 3 fera il. La fomme eft 37, nombre impair.
    • Si au contraire il y eût eu 9 dans la main droite, & 8 dans la gauche ; en multipliant 9 par 2 on auroit eu 18, & multipliant 8 par 3 on auroit eu 24, qui, ajouté à 18, donne 42, nombre pair.
    • • PROBLÈME IV.
    • Une perfonne tenant une piece d'or dans une main & une cVargent dans Vautre, trouver en quelle main ejl Vor , & en quelle ejl Vargent.
    • Il faut pour cet effet afligner à la piece d’or une valeur quelconque qui foit ifn nombre pair, par exemple 8, & à la piece d’argent une valeur qui foit un nombre impair, 3 par exemple ; après quoi vous procéderez abfolument comme dans le problème précédent.
    • Remarques.
    • I, Pour laiffer moins appercevoir l’artifice , il
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    • 14# Récréations Mathématiques. fuffira de demander fi le total des deux produits peut fe partager par la moitié ; car, dans ce cas, le total fera pair, & dans le cas contraire, impair.
    • il. Oti voit bien qu’au lieu des deux mains de la même perfdnne, on peut fuppofer que deux
    • ?erfonnes auront pris, l’une le nombre pair, l’autre impair, ou l’une la piece d’or, l’autre celle d’argent. On fera donc à l’égard de ces deux personnes ce que l’on a fait à l’égard des deux mains, en désignant à part foi l’une par la droite, l’autre' par la gauche.
    • PROBLÈME V.
    • Le Jeu de F Anneau,
    • C E jeu, qui n’eft qu’une application d’une des maniérés de deviner plaideurs nombres penfés , peut fe pratiquer dans une compagnie, dont le nombre des perfonnes ne doit pas furpaffer ç>. On propofe un anneau qui doit être pris par une de ces perfonnes, & mis à un doigt de telle main & à telle jointure de ce doigt qu’elle voudra. Il faut deviner quelle perfonne a cet anneau, à quelle main, à quel doigt, à quelle jointure.
    • Pour cet effet on fera valoir i la première perfonne , x la deuxieme, 3 la troifieme, &c : on fera atfffi valoir 1 la main droite, & 2 la gauche : on donnera pareillement 1 au premier doigt de la main , fçavoir le pouce, 2 au fécond, &c. jufi* qu’au petit doigt: on appellera enfin 1 la première jointure ou celle de l’extrémité du doigt, 2 la deuxieme , 3 la troifieme. Ainfi le problème fe réduit.à deviner quatre nombres pris au hafard , dont aucun ne furpaffe 9 ; ce qui fe fera par la méthode fuivante.
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    • Arithmétique. Chap. X 149
    • Suppofons que la cinquième perfonne ait pris la bague, & l’ait mife à la première jointure du. quatrième doigt de fa main gauche : les nombres à deviner feront 5,2,4,!.
    • Pour y parvenir, faites doubler le premier nombre 5, vous aurez 10, dont vous ferez ôter 1 ; le refte fera 9, que vous ferez multiplier par 5, ce qui vous donnera 45. A, ce produit faites ajouter le deuxieme nombre 2, vous aurez 47; à quoi faifani encore ajouter 5,1! viendra 52, qu’il faudra faire doubler ; ce double fera 104, dont vous ferez ôter 1 ; le refte fera 105, que vous ferez multiplier par 5; vous aurez pour produit 515. A ce produit faites ajouter le troifîeme nombre, ou le quantieme du doigt, 4, vous aurez 519 ; à quoi ajoutant encore 5, vous aurez 524, qu’il faudra faire doubler, & du double 1048 ôter 1 ; le reftant fera 1047, que vous, ferez encore multiplier par 5 ; le produit fera 5235. A ce produit faites ajouter le quatrième nombre, ou le quantieme de la jointure, 1 , il viendra 5256; à quoi faifant enfin ajouter 5, la fomme fera 5 241, dont les chiffres marquent par ordre lés quantièmes de là perfonne , de la main, du doigt & de l'a jpiriture.
    • Il eft clair que toutes ces opérations ne re* viennent, au fond, qu’à celle de multiplier le nombre qui exprime le quantieme de la perfonne par 10, puis y ajouter celui qui exprime le quantieme de la main, multiplier encore par 10, &c. Mais l’artifice fauteroit trop facilement aux yeux ; & il faut encore convenir que, pour peu que celui qui fait ce calculait d’attention, il eft difficile qu’il ne voie pas auffi-tôt que ces quatre chiffres repréfentent le quantieme de là perfonne, de la main, du doigt, &ç. Ceft pourquoi j’àimerois mieux y employer
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    • 150 Récréations Mathématiques,
    • la maniéré enfeignée au Problème II, n° I, potrr deviner tant de nombres donnés qu’on voudra ; car, au moyen du nombre qu’il en faut fouftraire , on pourra bien ne pas imaginer du tout l’artifice employé.
    • On pourroit propofer le problème de la maniéré fui vante, & on le réfoudroit de même.
    • Trois ou un plus grand nombre de perfonnes ayant pris chacune une carte ( dont le nombre des points nexcede pas cj) trouver les points de celle que chacun a prife.
    • Dites à la première d’ajouter 1 au double du nombre de points de fa carte, puis de multiplier la fomme par 5 , & au produit d’ajouter les points de la carte de la fécondé ; puis de doubler cette fomme, d’y ajouter l’unité, de multiplier le total par 5, & d’ajouter à ce produit les points de la carte prife par la troifieme perfonne : en ôtant de ce produit $ 5 fi le nombre des perfonnes eft 3 , bu 5 5 5 s’il eft 4, ou 5 5 5 5 s’il y en a cinq, le restant indiquera , par les chiffres qui le compofe-ïont, les points des cartes prifes par chaque perfonne dans le même ordre. :
    • Nous fupprimons l’exemple, afin d’abréger, & parcequ’on n’a qu’à recourir au premier exemple du Problème II. '
    • PROBLÈME VI.
    • Deviner combien il y a de points dans une carte que quelqu'un aura tirée d'un jeu de cartes.
    • Ay Ant pris un jeu entier de 52 cartes, pré-fentez-le à quelqu’un delà compagnie, qui tirera celle qu’il lui plaira, fans vous la montrer. Enfuite, en donnant à toutes les cartes leur va-
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    • Arithmétique. Chap. X. 151
    • leur marquée, Vous ferez valoir le valet r 1, la dame 12, & le roi 13 ; puis, comptant les points de toutes les cartes, vous ajouterez les points de la première carte aux points de la fécondé, ceux-ci aux points de la troifieme, & ainfi de fuite, en rejetant toujours 13 , & gardant le refte pour l’ajouter à la carte fuivante. On voit qu’il eft inutile de compter les rois qui valent 13. Enfin, s’il refte quelques points à la derniere carte, vous ôterez ces points de 13, & le refte marquera les points de la carte qu’on aura tirée : enforte que, fi le refte eft 11, ce fera un valet qu’on aura tiré ; fî le refte eft 12, ce fera une dame, &c ; mais s’il ne refte rien, on aura tiré un roi. Vous connoî-trez quel eft ce roi, en regardant celui qui manque dans les cartes que vous avez.
    • Si l’on veut fe fervir d’un jeu compofé feulement de 32 cartes, dont on fe fert à préfent pour jouer au piquet, on ajoutera tous les points des cartes comme on vient de dire, mais on rejettera tous les 10 qui fe trouveront en faifant cette addition. Enfin on ajoutera 4 au point de la derniere carte pour avoir une fomme, laquelle étant ôtée de 10 fi elle eft moindre, ou de 20 fi elle furpafle 10, le refte fera le nombre de la carte qu’on aura tirée : de forte que, s’il refte 2, ce fera un valet j s’il refte 3, ce fera une dame ; & fi le refte eft 4, on aura tiré un roi, &c.
    • Si le jeu de cartes eft imparfait, on doit prendre garde aux cartes qui manquent, & ajouter à la derniere fomme le nombre des points de toutes ces cartes manquantes, après qu’on aura ôté de ce nombre autant de fois 10 qu’il fera poffible : & la fomme qui viendra de cette addition doit être „ comme auparavant, ôtée de 10, ou de 20, félon
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    • 151 Récréations Mathématiques.
    • qu’elle fera au défieras ou au deflfus (le 10. Il eft: évident que fi l’on regarde encore une fois les cartes, on pourra nommer celle qui aura été tirée.
    • PROBLÈME VII.
    • Une perfonne ayant dans chaque main un nombre égal de jetons ou d'écus , trouver combien il y en a en tout.
    • Dit es-lui d’en faire pafler, par exemple, 4 d’une main dans l’autre ; & demandez-lui enfuite combien de fois le plus petit nombre eft contenu dans le plus grand. Suppofons qu’on réponde que l’un eft triple de l’autre. Multipliez par 3 le nombre 4 des jetons paflfés d’une main dans l’autre, 61 y ajoutez ce même nombre, ce qui vous donnera 16. Au contraire, de ce même nombre 3 ôtez l’unité, relieront 2 , par quoi vous diviferez 16 : le quotient 8 fera le nombre contenu dans chaque main, conléquemment 16en tout. i9
    • Suppofons maintenant qu’en en faifant pafler4 , on trouvât le plus petit nombre contenu 2 fois & ~ dans le grand, on multiplieroit également 4 par z&f, ce qui donneroit 9^ , à quoi ajoutant 4 , on aura 13~ ou . D’un autre côté, ôtant l’unité de i~, on aura iÿ ou 4 tiers, par quoi on divifera ir J & te quotient 10 fera le nombre de jetons de chaque main , comme il eft aifé de le vérifier.
    • PROBLÈME VIII.
    • Deviner entre plujieurs cartes celle que quelqu'un aura penfée^ t
    • Ayant pris à volonté, dans un jeu de cartes, un certain nombre de cartes, montrez-les par ordre fur une table à celui qui en veut pçnfer une j
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    • Arithmétique. Chip. X. ïjj
    • commencez par celle de deflous, & mettez-îes avec foin l’une fous l’autre ; puis dites - lui de fe fouvenir du nombre qui exprime la quantieme qu’il aura penfée ; fçavoir , de i, s’il a penfé la pre-; miere; de 2, s’il a penfé la fécondé; de 3 , s’il a penfé la troifieme ; &c. Mais en même temps comptez fecrétement celles que vous montrez, dont le nombre fera , par exemple, 12 , & féparez-les adroitement du refte du jeu. Après cela mettez ces cartes , dont vous fçavez le nombre, dans une fîtuation contraire , en commençant à mettre fur le refte du j eu la carte qui aura été mife la première fur la table, & en Unifiant par celle qui aura été montrée la derhiere. Enfin, ayant demandé le nombre de la carte penfée , que nous fuppoferons être la quatrième , remettez à découvert vos cartes fur la table l’une après l’autre, en commençant par celle de deflfus, à laquelle vous attribuerez le nombre 4 de la carte penfée , en comptant 5 fur la fécondé carte fuivante, & pareillement 6 fur la troifieme carte plus bafife, & ainfi. de fuite , jufqu’à ce que vous foyez parvenu au nombre 12. des cartes que vous aviez prifes au commencement ; car la carte fur laquelle tombera ce nombre 12, fera celle qui aura été penfée.
    • PROBLÈME IX.
    • P lutteurs cartes differentes étant propofées fuccejjive-ment à autant de perfonnes , pour en retenir une dans fa mémoire , deviner celle que chacune aura penfée.
    • S’ 1L y a, par exemple, trois perfonnes, montrez trois cartes à la première perfonne , pour en retenir une dans fa penfée, & mettez à part ces
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    • tç4 Récréations Mathématiques. trois cartes. Préfentez auffi trois autres cartes st la fécondé perfonne , pour en penfer une à fa volonté, & mettez auffi à part ces trois caftes. Enfin préfentez à la troifieme perfonne trois autres cartes , pour lui faire penfer celle qu’elle voudra > & mettez pareillement à part ces trois dernieres cartes. Cela étant fait, difpofez à découvert les trois premières cartes en trois rangs ,, & mettez deffus les trois autres cartes, & deffus eellej-ci les trois dernieres pour avoir ainfi toutes les cartes difpofées en trois rangs, dont chacun fera com-pofé de trois cartes. Après quoi il faut demander à chaque perfonne dans .quel rang eft la carte qu’elle a penfée : alors il fera facile de eonnoître cette carté, parceque la carte de la première perfonne fera la première de fon rang ; de même la carte de la fécondé perfonne fera la fécondé de fon rang enfin la carte de la troifieme perfonne fera la troi? £eme de fon rang.
    • PROBLÈME X.
    • Trois cartes ayant été prétendes à trois performes » deviner celle que chacune, aura prife.
    • o» doit fçavoir quelles cartes auront été prê-fentées ; c’eft pourquoi nous nommerons l’une A * l’autre B, & la troifieme C : mais on laide la liberté aux trois perfonnes de choifir celle qu’il leur plaira. Ce choix, qui eft fufceptible de fix façons différentes, étant fait, donnez à la première perfonne i z jetons, Ï4 à la fécondé, &c 36 à la troi-lieme ; dites enfuite à la première perfonne d’ajouter enfemble la moitié du nombre des jetons de celle qui a pris la carte A, le tiers des jetons de celle qui a la carte B, & le quart des jetons de icelle qui a pris la carte C; & demandez-lui la
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    • Arithmétique. Chip. k. 155
    • ibmme, qui ne peut être que 23 , ou 24,ou 15 , ou 17 -, ou 28, ou 29, comme vous voyez dans la table fuivante.
    • Premiers. Seconde. Troijîeme. Sommes
    • 12 24 3 6
    • A B C 23
    • A C B 24
    • B AC 25
    • C A B 27
    • B C A 28
    • C ‘ B A 29
    • Cette table montre que fi cette fomme eft 25 , par exemple , la première perfonne aura pris la carte B , la fécondé la carte A, 8c la troifieme la carte C ; 8c que fi cette fomme eft 28, la première perfonne aura pris la carte B , la deuxieme la carte C, 8c la troifieme la carte A : 8c ainfi des autres.
    • PROBLÈME XI.
    • Ayant pris , dans un jeu entier de cinquante-deux cartes , une,' deux, trois 9 ou quatre , ou plus de canes , deviner la totalité de leurs points.
    • P RENEZ un nombre quelconque, 15 par exemple,' qui excede le nombre de points de la plus haute carte , en faifant valoir le valet 11, la dame 12, 8c le roi 13 ; 8c faites compter à part autant de cartes reliantes du jeu qu’il en faut pour aller à 15 , en comptant les points de la première carte : qu’on en fafle autant pour la deuxieme , puis pour la troifieme, pour la quatrième , 8cc : faites-vous dire enfuite le nombre des cartes reliantes du jeu. Ce nombre étant connu, vous opérçrez ainfi.
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    • *j6 Récréations Mathématiques.
    • Multipliez le nombre ci-deffus, 15 (ou tel autre que vous aurez pris ) par le nombre des cartes prifes. Nous les fuppofons ici 5 ; cela fera 4f. A ce produit ajoutez le nombre de ces cartes ; la iomme fera 48, que vous ôterez de 52 : le refte 4 , vous l’ôterez du nombre des cartes qui auront refté : celui des cartes reliantes après cette fouf-tra&ion, fera le nombre des points cherché.
    • Qu’on ait pris , par exemple, un 7, un 10, & un valet qui vaut 11 : pour accomplir 15 avec 7* il faut 8; pour accomplir ce même nombre, avec 10, il faut 5 ; & 4 pour aller à 15.avec le valet valant 11. La fomme de ces trois nombres avec les trois cartes, fait 20 : par conféqueht, cette opération faite, il reftera 3 2 cartes.
    • Pour deviner la fomme des nombres 7, 10,1 r, vous multiplierez 1 y par 3, ce qui vous donnera 45 ; & en y ajoutant le nombre des cartes prifes , 48 , dont le refte à 5 2 eft 4. Otez donc 4 de 3 2 ; lé refte 28 eft la fomme des points des trois cartes choifies, comme il eft aïfé'de le vérifier.
    • Autre Exemple» '
    • On a pris deux cartes feulement, (ce font le 4 & lé roi 13) avec lefquelles on fait accomplir 1J , & l’on dit qu’il refte 37 cartes.
    • Multipliez i 5 par 2, le .produit fera 3a ; à quoi vous ajouterez le nombre des cartes prifes , 2, vous aurez 32, qui étant ôté de fz9 il-refte 20. Otez'donc 20 de 37 , nombre des cartes reliantes, le reliant 17 fera le nombre des points des deux cartes prifes. En effet, 13 & 4 font 17* Remarques.
    • I. Il pourra arriver, fi l’on prend 4 ou. 5 cartes*
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    • v Arithmétique. Chap. X, 157
    • que dams le jeu de 52 cartes il n’y en aura même pas allez pour accomplir le nombre choifi ; mais la méthode ne manquera pas pour cela. Par exemple, qu’on ait pris 5 cartes dont les points foient 1, 2, 3,4, 5 ; en faifant avec chacune de ces cartes compléter le nombre 15 , il en faudroit, avec les 5, au moins 68,6c il ne refteroit rien : mais il y en a feulement 52; ce font conféquemment 16 de moins. Celui qui compte le jeu dira donc qu’il en manque 16.
    • . D’un autre côté , celui qui entreprend de deviner multipliera 15 par 5, ce qui fait 75 ; à quoi il ajoutera le nombre des cartes 5 , ce qui donnera 80, c’eft-à-dire 28 en fus des 52: de 28 ôtez 16 , relieront 12 ; & ce fera le nombre des points des
    • Mais fuppofons qu’il reftât des cartes du jeu de 52, par exemple 22, (ce qui feroit lî l’on avoir pris ces 5 cartes ,8,9, 10 , valet 11, & dame 12) alors il faudroit ajouter ces 22 à oe dont 5 fois 15 plus 5 excede 52, c’eft-à-dire 28, & l’on aura tout jufte ko pour les points de ces 5 cartes ; comme cela eft en effet. .
    • II. Si le jeu n’étoit pas de 52 cartes, mais de 40, par exemple, il n’y auroit encore aucune différence ; le nombre des cartes reliantes de 40 devrait être ôté du nombre produit par la multi plication du nombre des cartes choilies par le nombre accompli, en ajoutant à ce produit le nombre de ces cartes.
    • / .Soient, par exemple, ces points de cartes, 9 , 10, 11, & qu’on faflè accomplir 12, le nombre reliant des cartes du jeu fera 31. D’un autre côté, 3 fois 12 font 36 ; & 3 eh fus, à caufe des 3 cartes, 39, dont la différence à 40 eft 1. Otez un de
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    • *5$ Récréations Mathêmatjçüês,
    • 3 i , le refte 30 eft le nombre des points cherché.
    • III. On pourroit prendre des nombres différents pour les accomplir avec les points de chaque carte choifîe ; mais ce fera encore la même chofe 2 il y aura feulement cette différence qu’il faudra ajouter ces trois nombres avec celui des cartes , au lieu de multiplier le même nombre par le nombre des cartes prifes, & l’y ajouter. Cela n’a aucune difficulté ; &, pour abréger, nous omettons d’en donner un exemple.
    • IV. Nos leéleurs, ou quelques-uns d’entr’eux , defîreront probablement la démonftration de cette méthode. Elle eft fort fimple : la voici. Soit a le nombre des cartes du jeu, c le nombre à atteindre en ajoutant des cartes aux points de chaque carte choifîe , b le reftant du jeu: que x,y, { , expriment, par exemple, les points de 3 cartes ; (on n’en fuppofe que trois) on aura pour le nombre des cartes tirées, c—x-\- c—y + c — { -{- y; ce qui , avec le refte des cartes b, doit en faire la totalité. Ori a donc 5^3 — *—y—{+b=za9 ©V+?+.y=3c+ 3 +*“«> ou é-*—3c—3 = * +.X+Î* Or x+y+i eft le nombre total des points, b eft le reftant des cartes du jeu, & a—$c —3 eft Ie nombre total des cartes du jeu, moins le produit du nombre à compléter par le nombre des cartes choifies, moins ce nombre. Donc, &c.
    • PROBLÈME XII.
    • Trois ckofes ayant été fecrètement dijiribuées à trois
    • perfonnes , deviner celle que chacune aura prife.
    • Que ces trois chofes foient une bague, un écu & un gant 3 vous vous repréfenterez la bague
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    • Arithmétique. Ckap. X. 159 parla lettre A, Vécu par la lettre E, & le gant par I. Que les trois personnes foientPierré, Simon & Thomas ; vous les regarderez dans leur place tellement rangés, que l’un, comme Pierre, fera le premier, Simon le fécond ,• & Thomas le troi-fieme. Ayant fait ces difpofitions en vous-même , vous prendrez vingt - quatre jetons , dont vous donnerez un à Pierre, deux à Simon, & trois à Thomas ; vous laifferez les dix-huit autres fur la table: enfuite vous votis retirerez de la compagnie , afin que les trois perfonnes le diftribueht les trois choies propofées fans que vous le voyiez. Cette diftribution étant faite, vous direz que celui qui a pris la bague prenne, des dix-huit jetons qui font reliés, autant de jetons que vous lui en avez donné ; que celui qui a pris l’écu prenne , des jetons reliés, deux fois autant de jetons que vous lui en avez donné ; enfin, que celui qui a pris le gant prenne, fur le relie des jetons, quatre fois autant de jetons que vous lui en ayez donné : (dans notre fuppofition Pierre en aura pris un, Simon quatre , & Thomas douze ; par conféquent il ne fera relié qu’un jeton fur la table). Cela étant fait, vous reviendrez, & vous connoîtrez par ce qui fera relié de jetons la chofe que chacun aura prife, en faifant ufage de ce vers françois :
    • 11356 7
    • Par fer Céfar jadis devint fi grand prince.
    • Pour pouvoir fe fervir des mots de ce vers, il faut fçavoir qu’il ne peut relier qu’un jeton, ou 2 , ou 3 , ou 5 , ou 6, ou 7, & jamais 4: il faut de plus faire attention que chaque fyllabe contient une des voyelles que nous avons dit repréfenter
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    • t6o Récréations Mathématiques. les trois chofes propofées : enfin il fout confidëref ce vers comme n’étant compofé que de fix mots , & que la première fyllabe de chaque mot repréfente la première perfonne qui eft Pierre, & la fécondé fyllabe repréfente la fécondé perfonne qui eft Simon. Cela bien conçu, s’il ne refte qu’un jeton, comme dans notre foppolition ,*vous vous fervirez du premier mot, ou plutôt des deux premières fyllabes, Par fer, dont la première, qui contient A , fait voir que la première perfonne ou Pierre a la bague répréfentée par A ; & la fécondé fyllabe, qui contient E, montre que la fécondé perfonne ou Simon a l’écu repréfenté par E : d’où vous conclurez facilement que la troifieme perfonne ou Thomas aie gant.
    • S’il reftoit z jetons, vous confulteriez le fécond mot Clfar^ dont la première fyllabe, qui contient E,. feroit connoître que la première perfonne au-roit l’écu repréfenté par E ; & la fécondé fyllabe, qui contient A, montreroit que la fécondé perfonne auroit la bague repréfentée par A : d’où il feroit aifé de conclure que la troifieme perfonne auroit le gant. En un mot, félon le nombre des jetons qui relieront, vous emploierez le mot du vers qui fera marqué du même nombre.
    • Remarques.
    • Au lieu du vers françois qu’on a rapporté, on peut fervir de ce vers latin :
    • 1 1 3 5 6 7
    • Salve c&rta anima femita vita quies.
    • Ce problème peut être exécuté un peu autrement qu’on vient de le faire, & on peut l’appliquer
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    • Arithmétique. Chap. X. 161 à plus de trois perfonnes : Ceux qui voudront en être plus particuliérement inftruits, peuvent corn-fulter Backet, dans le vingt-cinquieme de fes Problèmes plaifants & délectables,
    • PROBLÈME XIII.
    • Plujieurs nombres pris fuivant leur fuite naturelle étant difpofés en rond, deviner celui que,quelqu'un aura penfé.
    • On fe fervira commodément des dix premières cartes d’un jeu entier pour exécuter ce problème : on les difpofera en rond , comme vous voyez les dix premiers nombres dans la figure. L’as fera re-préfenté par la lettre A jointe à i, & le dix fera repréfenté par la lettre K jointe à io.
    • 134 B C D iA Eï
    • 10 K F 6.
    • I H G 987
    • Ayant fait toucher un nombre, ou une carte telle que voudra celui qui en aura penfé une, ajoutez au nombre de cette carte touchée le nombre des cartes que l’on aura choifies, comme 10, dans cet exemple : puis faites compter la fomme que vous aurez à celui qui a penfé la carte, par un ordre contraire à la fuite naturelle des nombres, en commençant par la carte qu’il aura touchée , & en attribuant à cette carte le nombre de celle qu’il aura penfée ", car , en comptant de la forte 3 il Tome /, L
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    • ï«i Récréations Mathémàtiqots.
    • finira à compter cette Comme fur le nombre ou fat la carte qu’il aura penfce, & vous fera par confé-quent connaître cette carte.
    • Comme, fi l’on a penfé 3 marque par la lettre C,’ & qu’on ait touché 6 marqué par la lettre F, ajoutez 10 à ce nombre 6, vous aurez la fomme 16 : puis faites compter (<r) cette fomme 16 depuis le nombre touché F, versE,D,C,B,A, & ainfi de fiiite par un ordre rétrograde , enforte que l’on commence à compter le nombre penfé 3 fur F, 4 lur E, 5 fur D, 6 fur C, & ainfi de fuite jufqu’à 16; ce nombre 16 fe terminera en C , & fera con-noître qu’on a penfé 3 qui répond à C.
    • Remarques.
    • ï. On peut prendre un plus grand on un plus petit nombre de cartes, félon qu’on le jugera à propos. S’il ÿ avoit 15 ou 8 cartes, il faudrait ajouter 15 ou 8 au nombre de la carte touchée.
    • II. Pour mieux couvrir l’artifice, il faut ren-verfer les cartes , enforte que les points foient cachés, & bien retenir la fuite naturelle des cartes , & en quel endroit eft le premier nombre ou l’as , afin de fqavoir le nombre de la carte touchée, pour trouver celui jufqu’où il faut faire compter.
    • PROBLÈME XIV.
    • Deux perfonnes conviennent de prendre alternativement des nombres moindres qu'un nombre donné, par exempte n9& de les ajouter enfemble jufqu’à
    • 00 Obfervez qu’on ne doit pas compter cette fomme îout haut, mais en foi-même, & feulement par penfée,
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    • ÀftîtHtfètîQüÊ. Chàp. X. î6f
    • 'it que l’un des deuxpuijfe atteindre ypar exemple, too; comment doit-on faire pour y arriver in-failliüemcnt le premier ?
    • L’àRT JtiCÉ de ce problème cortfifte à s’era* parer tout de fuite de certains nombres que nous allons taire connoître. Retranchez pour cet effet ii ,• par exemple, de ico qu’il eft queftion d’atteindre , une fois , deux fois, trois fois, & autant de fois que cela fe peut ; il reftera 89, 78,67, 56,45, 34, 13 , 12 & 1 , qu’il faut retenir; caf celui qui, en ajoutant fon nombre moindre que 11 à la fomme des précédents, comptera un de ces nombres avant fon adverfaire, gagnera infailliblement , & farts que l’autre puiffe l’en empêcher* On trouvera encore plus facilement ces nombres en divifant 100 par 11, & prenant le refte 1, auquel on ajoutera continuellement 11 pour avoir 1, 12,23,34, &c.
    • Suppofons, par exemple, que le premier qui fqait le jeu prenne 1 ; il éft évident que fon adverfaire devant compter moins que 11, pourra tout au plus , en ajoutant fon nombre, 10 par exemple , atteindre 11 : le premier prendra encore 1, ce qui fera 12 : que le fécond prenne 8, cela fera 20 : le premier prendra 3, & aura 23 : & ainfî fuc-cefîiveraent, il atteindra le premier 834,45,5^» 67,78,89. Arrivé là, le fécond ne pourra pas l’empêcher d’atteindre 100le premier; car, quelque nombre que prenne le fécond , il ne pourra atteindre qu’à 99 : le premier pourra donc dire, & 1 font iôo. Si le fécond ne prenoit que 1 en fus de 89, cela feroit 90, & fon adverfaire prefn-droit 10, qui avec 90 font ioo.
    • Il eft clair que de deux perfonnes qui jouent
    • L ij
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    • 164 Récréations Mathématiques.
    • à ce jeu, fi toutes deux le fçavent, la première doit néceffairement gagner.
    • Mais fi l’une le fçait, l’autre non, celle-ci, quoique première, pourra fort bien ne pas gagner ; car elle croira trouver un grand avantage à prendre le plus fort nombre qu’elle puifle prendre , fçavoir
    • 10 ; & alors la fécondé, qui fçait la fineffe du jeu, prendra z, ce qui avec i o, fait i z , l’un des nombres dont il faut s’emparer. Elle pourra même négliger cet avantage, & neprendre que i pour faire
    • 11 ; car la première prendra probablement encore ïo , ce qui fera 21 : la fécondé pourra alors prendre 2, ce qui fera 23. Elle pourra enfin attendre encore plus tard pour fe placer à quelqu’un des nombres fuivants, 34, 45, 56, &c.
    • Si le premier veut gagner, il ne faut pas que h plus petit nombre propofé mefure le plus grand; car, dans ce cas , le premier n’auroit pas une réglé infaillible pour gagner. Par exemple, fi au lieu de 11 on avoit pris 10 qui mefure 100, en ôtant 10 de 100 autant dè fois qu’on le peut, on auroit ces nombres, 10, 20, 30, 4Ô, 50; 60, 70, 80, 90, dont le premier 10 ne pourroitpas être pris parle premier ; ce qui fait qu’étant obligé de prendre un nombre moindre que 10, fi le fécond étoit aufli fin que lui, il pourroit prendre le refte à 1 o , & ainfi il auroit une réglé infaillible pour gagner.
    • PROBLÈME XV.
    • Sei[e jetons étant difpofés en deux rangs, trouver celui qui aura été penfé.
    • Ces feize jetons étant difpofés en deux rangs égaux, comme on voit dajis la figure, on deman-
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    • Arithmétique. Chap. X. 165
    • dera à quelqu’un d’en penfer ou choifir mentalement un, & de remarquer dans quel rang il fe trouve.
    • AB C BD 00 000
    • 00 000
    • 00 #00
    • 00 000
    • # o o
    • 00 o
    • 00 o
    • 00 o
    • E B F HB I 000 00%
    • #00 000
    • 000 000
    • 000 000
    • o o
    • o o
    • o o
    • o o
    • Suppofons qu’il foit dans le rang A, on lèvera tout ce rang dans le même ordre où il fe trouve, St on le difpofera en deux rangées C St D, à droite St à gauche de la rangée B ; mais, en les rangeant, faites enforte que le premier du rang A foit le premier du rang C, le fécond du rang A le premier du rang D , le troilieme du rang A le fécond du rang C , St ainli de fuite : cela fait, demandez de nouveau dans quelle rangée verticale C ou D fe trouve le jeton penfé. Nous fup-poferons que ce foit en C ; vous lèverez ce rang ainfi que le rang D, en mettant ce dernier derrière le premier, St fans rien déranger à l’ordre des jetons ; vous en ferez deux autres rangées , comme l’on voit en E St F, St vous demanderez encore dans quelle rangée verticale fe trouve le jeton penfé. Suppofons que ce foit en E ; ou prendra encore cette rangée St la rangée F, comme delïùs, & on en fera de nouveau deux rangées à droite St à gauche de B. Cette fois le jeton penfé doit fe trouver le premier d’un des deux rangs perpendiculaires H St I, Si donc on demande en
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    • i66 Récréations Mathématiques. quel rang il fe trouve, on le reconnoîtra auflitôt;' & comme on fuppofe qu’ils ont chacun quelque figue diftinéfif, on pourra dire de les mêler les uns avec les autres , éc on le reconnoîtra toujours au ligne qu’on aura remarqué.
    • On voit aifément qu’au lieu de jetons le jeu peut fe faire avec feize cartes. Après avoir-reconnu par le moyen ci-defïus celle qui aura été choifie, on les fera mêler, ce qui couvrira davantage l’artifice.
    • Remarque.
    • SI l’on fuppofoit un plus grand nombre de jetons ( ou de cartes ) difpofés en jeux rangées verticales , le jeton où la carte penfée ne fe trouvera pas néceflairement en tête de fon rang à la troifieme tranfpofition : il en faudroit quatre s’il y avoit 32 jetons ou cartes, cinq s’il y en avoit 64 , &c. pour pouvoir dire avec aflurance que le jeton penfé (ou la carte) occupe la première place de fon rang ; car fi ce jeton (ou cette carte) fe trou-voit au plus bas de la rangée perpendiculaire A , ce ne feroit qu’après quatre tranfpofitions qu’il arriverait à la-première place, s’il y en avoit 16 à chaque rangée, ou 3 2 en tout ; & après cinq, s’il y en avèit 64, ou 32 à chaque rangée, &c : ce qui eft aifé à démontrer.
    • PROBLÈME XVI.
    • Manière de deviner entre plufieurs cartes celle qu'on aura penfée.
    • Il faut, pour faire ce jeu, que le nombre des cartes foit divifible par 3, & , pour le faire plus commodément encore, qu’il foit impai.r.
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    • Arithmétique. Chaf. X. t6j
    • La première condition au moins étant fuppofée on fera penfer une carte,puis, les tournant du côté du blanc, on les retournera par ordre, en les dif-pofant en trois tas, enforte que la première du jeu foit la première du premier tas, la deuxieme la première du fécond tas, la troifieme la première du troifieme tas, puis la quatrième la fécondé du premier tas , & ainfi de fuite. La perfonne qui a penfé une des cartes doit être attentive à les voir pafîer ; & on lui demandera, les tas étant achevés , dans lequel fe trouve la carte penfée. On relevera donc les tas en les mettant lfun fur l’autre 9 & en obfervant que celui où eft la carte cherchée doit être toujours au milieu ; après quoi, retournant le jeu, on fera de nouveau &. de la même manière trois tas , & l’on demandera encore dans lequel eft la carte penfée. Ce tas étant connu, on le placera, comme ci-devant, entre les deux autres , & l’on formera trois nouveaux tas ; après quoi on demandera encore dans lequel eft la carte penfée. Alors on relevera pour la troifieme & dernière fois les tas , en mettant au milieu celui où eft la carte ; &, en tournant le jeu du côté du blanc , on retournera lés cartes jufqu’au nombre qui eft la moitié de celles du jeu, par exemple la douzième, s’il y en a 24 : cette douzième carte fera, dans ce cas, la carte penfée.
    • Si le nombre des cartes eft à-la-fois impair & divifible par 3 , comme 15,21,27, &c. le jeu en deviendra plus facile encore ; car la carte penfée fera toujours celle du milieu du tas où elle fe trouvera la troifieme fois, de maniéré qu’il fera facile de la reconnoître fans compter les cartes : car en faifant pour la troifieme fois les tas, il fera facile de fe fouvenir des trois cartes qui feront au
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    • 168 Récréations Mathématiques.
    • milieu de chacun d’eux. Suppofons, par exemple, que la carte du milieu du premier tas foit l’as de cœur, celle, du fécond le roi de cœur, & celle du milieu du troilîeme le valet de pique ; il eft évident que , lorfqu’on vous dira que le tas où eft la carte cherchée eft le troifieme, vous fçaurez auffi-tôt que cette carte eft le valet de pique. Vous pourrez donc faire mêler les cartes fans y toucher davantage; & en les parcourant, pour lq forme , vous nommerez le valet de pique lorfqu’il fe pré-fentera.
    • PROBLÈME XVII.
    • Quinze Chrétiens & quinze Turcs fe trouvent fur . mer dans un même vaiffeau. Il furvient une fu-rieufe tempête. Après avoir jeté dans Veau toutes les marchandifes, le pilote annonce qu'il rfy a, de moyen de fe fauver, que de jeter encore ,à la mer la moitié des perfonnes. Il les fait ranger de fuite; &, en comptant de y en y >on jette le neuvième à la mer, en recommençant a compter te premier du rang quand il ejl fini ; il fe trouve qu après avoir jeté quinze perfonnes , les quinze Chrétiens font refiés. Comment a-t-il difpofé les. trente perfonnes pour fauver les Chrétiens ?
    • L a difpofîtion de ces trente perfonnes fe tirera de ces deux vers françois :
    • Mort, tu ne failliras pas
    • En me livrant le trépas.
    • Ou de ce vers latin, moins mauvais dans fon efpece :
    • Populeam virgam mater rcgina ferebat.
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    • Arithmétique. Chap. X 169
    • Pour s’en fervir * il faut faire attention aux voyelles A, E , I, O, U, qui fe trouvent dans les fvllabes de ces vers, en obfervant que A vaut 1 , É vaut 2, I vaut 3 , O vaut 4, & U vaut 5. On commencera donc par mettre 4 Chrétiens, à caufe de la voyelle O de la première fyllabe ; puis 5 Turcs, à caufe de PU de la fécondé ; & ainfi de fuite jufqu’à la fin : on trouvera que , prenant toujours le neuvième circulairement, c’eft-à-dire en recommençant par le premier après avoir achevé le rang, le fort ne tombera abl’olument que fur des Turcs.
    • On peut aifément étendre davantage la folution de ce problème. Qu’il faille , par exemple , faire tomber le fort fur 10 perfonnes de 40, en comptant de 12 en 12 : on rangera à part circulairement 40 zéro , comme on voit ci-deffous; &, en
    • + + + +
    • commençant par le premier, on marquera le douzième d’une croix ; l’on continuera en comptant jufqu’à 12, & l’on marquera pareillement d’une croix le zéro fur lequel on tombera en comptant 12 ; & ainfi de fuite en tournant, & err faifant attention de paffer les places déjà croifées, attendu que ceux qui les occupoient font cenfés déjà retranchés du nombre. On continuera ainfi, jufqu’à ce qu’on ait le nombre requis de places marquées ; & alots, en comptant le rang qu’elles occupent
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    • 170 Récréations Mathématiques. en commençant par. la première , on connoîtra facilement celles fur lefquelles doit néceffairement tomber le fort de iz en 12. On trouve, dans l’exemple propofé, que ce font la feptieme, la huitième, la dixième , la douzième , la vingt-imieme, la vingt-deuxieme, la vingt-quatrieme , la trente-quatrième, la trente-cinquieme, & la trente-fixieme.
    • Un capitaine , obligé de faire décimer fa compagnie, pourroit ufer de. cet expédient pour faire tomber le fort fur les fujets les plus coupables , en les plaçant fans affe&ation dans les places où le fort tombera immanquablement.
    • On raconte que ce fut par ce moyen que Fhif-torienJofephefauva fa vie. Il s’étoit réfugié avec quarante autres Juifs dans une caverne * après la prife de Jotapat par les Romains. Ses compagnons Téfolurent de s’entre-tuer plutôt que de fe rendre.: Jofephe efraya en vain de les diffuader de cette horribleréfolution: enfin, n’en pouvant venir à bout, il feignit d’adhérer à leur volonté ; &, fe confervant l’autorité qu’il avoit fur eux comme leur chef, il leur perfuada, pour éviter le défendre qui fuivroit de cette cruelle exécution s’ils s’entre-tuoient à la foule, de fe ranger par ordre , &, en commençant de compter par un bout juf-qu’à un certain nombre , de maffacrer celui;fur qui tomberoit ce nombre, jufqu’à ce qu’il n’en demeurât qu’un feul qui fe tueroit lui-même. Tous en étant demeurés d’accord, Jofephe les difpofa de telle forte, & choifit pour lui-même une telle place, que, la tuerie étant continuée jufqu’à la fin, il demeura feul avec un autre auquel il perfuada de vivre, ou qu’il tua s’il ne voulut pas y confentir.
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    • Arithmétique. Chap. X. tj\ Telle eft l’hiftoire qu’Hégéfippe raconte de Jo-fephe , & que nous fommes bien éloignés de garantir. Quoi qu’il en Toit, en appliquant à ce cas le moyen enfeigné ci-deffus, & en fuppofant que chaque troifieme dût être tué, on trouve que les deux dernieres places fur lefquelles le lort devoir tomber étoient les feizieme & trente-unieme ; en-forte que Jofephe dut fe mettre à l’une des deux, & placer à l’autre celui qu’il vouloit làuver, s’il eût eu un complice de fon artifice.
    • PROBLÈME XVIII.
    • Sur le bord d’une, rivière fe trouvent un loup , une chevre & un chou : il n’y a qu’un bateau fipetit, que le batelier feul & Vun d’eux peuvent y tenir„ Il ef. quef ion de les pajfer de forte que le loup ne fajfe aucun mal à la chevre, ni la chevre au chou.
    • Le batelier commencera par palier la chevre,' puis il retournera prendre le loup: après avoir palfé le loup il ramènera la chevre, qu’il lailTerai à bord pour paffer le chou : enfin il retournera à vuide chercher la chevre , qu’il paffera. Ainfi le loup ne fe trouvera jamais avec la chevre, ni la chevre avec le chou, qu’en préfence du batelier.
    • PROBLÈME XIX.
    • Trois maris jaloux fe trouvent avec leurs femmes au pajfage d’une riyiere : ils rencontrent un bateau fans batelier : ce bateau ejl Ji petit, qu’il ne peut porter que deux perfonnes à-la-fois. On demande comment ces Jix perfonnes pajferont deux, à deux
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    • 17* Récréations Mathématiques.
    • enfçrte qu aucune femme ne demeure en la compagnie d'un ou de deux hommes , fi fon mari nejîpréfent?
    • La folution de ce problème eft contenue dan* ces deux diftiques latins :
    • It duplex mulier, redit una , vehitque manentem^ Itque una ; utunturtunc duo puppe vin.
    • Par vadit & redeunt bini , mulierque Jororem Advehit; adpropriam fine maritus abit.
    • Ce qui lignifie :
    • Deux femmes pafleront d’abord ; puis l’une ayant ramené le bateau, repaffera avec la troifieme femme. Enfuite l’une des trois femmes ramènera le bateau, &, fe mettant à terre, laiffera paffer les deux hommes dont les femmes font de l’autre côté, Alors un des hommes ramènera fa femme ; &, la mettant à terre , il prendra le troifieme homme, & repaffera avec lui. Enfin la femme qui fe trouve paffée entrera dans le bateau, & ira en deux fois chercher les deux autres femmes.
    • On propofe encore ce problème fous le titre des trois maîtres & trois valets. Les maîtres s’accordent bien enfemble & les valets auffi ; mais chaque maître ne peut foufïrir les valets des deux autres, de maniéré que s’il fe trouvoit avec un des deux valets en l’abfence de fon maître, il le bat-, troit infailliblement.
    • PROBLÈME XX.
    • Comment peut-on difpofer dans les huit cafés exte-térieures d'un quarré divifè çn neuf des jetons,
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    • Arithmétique. Chap. X. 175
    • tnforte qu'il y en ait toujours cj dans chaque bande de Cenceinte, & que cependant ce nombre puijfe varier depuis zo jufqu'à 3 2 ?
    • Feu M. Ozanam propofe ce problème d’une maniéré affez indécente, & commence même parla fes Récréations Mathématiques , apparemment pour piquer la curiofité de fes lefteurs.
    • Il y a, dit - il, un couvent compofé de neuf cellules, dont celle du milieu eft occupée par une abbeffe aveugle, & les autres par fes religieufes. La bonne abbeffe, pour s’affurer que fes nonnains ne violent point leur clôture, fait une première fois fa vifite ; &, trouvant 3 religieufes dans chaque cellule , ce qui fait 9 par bande, elle va fe coucher. Quatre religieufes fortent néanmoins : l’ab-beffe revient au milieu de la nuit compter fes religieufes ; elle les trouve encore 9 par bande, & elle retourne fe repofer tranquille fur leur conduite. Ces quatre religieufes rentrent chacune avec un homme : l’abbeffe fait une nouvelle vifite ; &, comptant 9 perfonnes par bande, elle eft encore dans la fécurité. Il s’introduit cependant encore quatre hommes ; & l’abbeffe, comptant toujours 9 dans chaque bande, eft dans la perfuafion que perfonne n’eft entré ni forti. On demande comment cela fe peut faire ?
    • La folution de ce problème fe trouvera facilement par l’infpe&ion de$ quatre tableaux qui fui-vent, dont le -premier repréfente la difpofition primitive des jetons dans les cellules du quarré ; le fécond, celle des mêmes jetons lorfqu’on a ôté 4 ; le troifieme, comment ils doivent être difpofés lorfqu’on en a fait rentrer 4 avec quatre autres j le quatrième enfin, celle des mêmes jetons
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    • 174 Récréations Mathémat iQi/es.
    • lorfqu’on y en ajoute encore 4. Il eft clair qu’il en a toujours 9 dans chaque bande d’enceinte; cependant, dans le premier cas, il y en a en tout 14, dans le fécond 20, dans le troilieme 28 , ÔC dans le quatrième 32.
    • III.
    • • M. Ozanam ne paroit pas s’être apperçu qu’ori peut pouffer la chofe plus loin ; qu’il eût pu faire entrer encore 4 hommes au couvent, fans que fon abbeffe s’en apperçût ; & puis faire fortir tous les hommes avec 6 religieufes, enforte qu’il n’en reliât plus que 18, au lieu de 24 qu’elles étoient primitivement. Les deux tableaux fuivants en montrent la poflibilité.
    • 0 1 9 1 0 5 1 0 1 4
    • 9 I 1 9 VI. °l 1 0
    • 0 1 9 | 0 4|°|5
    • Il eft fans doute affez fuperflu de montrer d’où rûvient l’illulîon de la bonne abbeffe. C’eft que :s nombres qui font dans les cafés angulaires du
    • 31 ? h I j 41 » 14 31 13 h. - I l» 313131 41 14
    • 1 1 7 | 1
    • 7| 7
    • < 1 7 '
    • *h i I 1
    • 5! h
    • Mi M*
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    • Arithmétique. Chap. X. i7ÿ
    • quarré font comptés deux fois , ces cafés étant communes à deux bandes. Ainfi , plus on charge les cafés angulaires , en vuidant celles du milieu de chaque bande, plus on fait de ces doubles emplois; ce qui fait qu’il paroît y avoir toujours même nombre, tandis qu’il eft diminué. Le contraire arrive à mefure qu’on charge les cafés du milieu, en vuidant les cafés angulaires ; ce qui fait qu’on eft obligé d’y ajouter.quelques unités pour avoif 9 dans chaque bande.
    • PROBLÈME XXI.
    • 'Quelqu'un ayant une bouteille de huit pintes pleine d’un vin excellent, en veut faire préfent de la moitié ou de quatre pintes à un ami ; mais il na pour le mefurer que deux autres vafes, l’un de cinq, V autre de trois pintes. Comment doit-il faire pour mettre quatre pintes dans le vafe de cinq?
    • Pour cet effet appelions A la bouteille de 8 pintes, B celle de 5, & C celle de 3 ; en fuppofant qu’il y a 8 pintes de vin dans la bouteilleA, & que les deux autres B , C, foient vuides, comme vous voyez en D. Ayant rempli la 853 bouteille B du vin de la bouteille A B C A, où il ne reftera plus que $ D 8 o o pintes, comme vous voyez en E,
    • E 3 50 rempliffez la bouteille C du vin
    • F 3 a 3 de la bouteille B, où par confé-
    • G 6 2 o quent il ne reftera plus que 2 pin-
    • H 6 o 2 tes, comme vous voyez en F :
    • I 152 après cela verfez le vin delà bou-jK. 1 4 3 teille C dans la bouteille A, où
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    • 176 Récréations Mathématiques.
    • par conféquent il y aura 6 pintes, comme vous -voyez en G ; & verfez les 2 pintes de la bouteille B dans la bouteille C, où il y aura 2 pintes, comme vous voyez en H. Enfin, ayant rempli la bouteille B du vin de la bouteille A, où il reliera feulement une pinte, comme vous voyez en I , achevez de remplir la bouteille C du vin de la bouteille B, où il reliera 4 pintes, comme vous voyez en K; & ainli la quellion Te trouvera réfolue.
    • Remarque.
    • S1, au lieu de faire relier les 4 pintes de vin dans la bouteille B, vous voulez qu’elles relient • dans la bouteille A , que nous 853 avons fuppofée remplie de 8 pin-A B C tes, rempliffez la bouteille C du 8 0 0 vin qui ell dans la bouteille A , • D 5 o 3 où alors il ne relie plus que 5
    • E 5 3 o pintes, comme vous voyez en D,
    • F z 3 3 & verfez les trois pintes de la
    • G z 5 1 bouteille G dans la bouteille B,
    • H 7 o 1 où il y aura par conféquent $
    • I 710 pintes de vin, comme vous voyez K 4 z 3 en E : puis, ayant rempli la bou-
    • teille C du vin de la bouteille A , où il ne reliera plus que z pintes, comme vous voyez en F, achevez de remplir la bouteille B du vin qui ell dans la bouteille C, où il ne reliera plus qu’une pinte, comme vous voyez en G. Enfin, ayant verfé le vin de la bouteille B dans la bouteille A , où il fe trouvera 7 pintes, comme vous voyez en H, verfez la pinte de vin qui ell en C dans la bouteille B, où il y aura par conféquent une pinte, comme vous voyez enl, & rempliffez la bouteille
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    • ÀRlTHMEtiQUË. Châp. X. ÏJJ C eluviiï de la bouteille À ; oii.il ne refteraque 4 pintes , comme il étoit propofé, èc comme vous voyez?en K. ' i '
    • PROBLÈME XXII,
    • Une perfonne a une bouteille de dou^e pintes phiiie de vin : il en veut dontier jix pintes au frere quêteur: il n’a , pour les mefùrer, que deuic autres bouteilles , Vunz de fept pintes, & Vautre de cinq. A Que doit-il faire pour avoir les Jtx pintes dans la bouteille de fept pintes ?
    • Ce problème eft la même chofe que le précédent ; on l’exécutera auffi de la même maniéré. Soit nommée D la bouteille de 12 pintes, S celle de fept pintes, & C celle dé 5 pintes. La bouteille D eft pleine, & les deux autres S, C, font vuides comme on voit en G. Remplifîez la bduteille C du vin qui eft en D, & la bouteille D ne contiendra plus que 7 pintes , comme o'n voit en H: puis verfez Hans S le vin que contient la bouteille.C qui demeurera vuiHe, & la bouteille S contiendra 5 pintes , comme ôn voit enl: pv Z X enfuite, ayant rempli ’C avec le
    • G • * & vin qui eft en D, la bouteille D
    • „ ne contiendra plus que 2 pintes ,
    • J1 7 'la bouteille S en contiendra 5, & L 7 5 0 la bouteille C fera pleine, comme
    • ~ 2 5 5 on Voit en k : après cela verfez
    • a* î \ \ de la bouteille C du vin dans la
    • N ^ 7 1 bouteille S, pour la remplir, ÔC
    • q ^ 10 *a ^oute^^ ^ ne contiendra en-
    • p , , core que 2 pintes, la bouteille S
    • 0 en contiendra 7, & la bouteille C
    • n’en contiendra plus que 3, comme on voit en L.
    • Tome /. M
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    • 178 Récréations Mathématiques.
    • Cela étant fait, vuidez S en D & C en S , & il y aura 9 pintes en D, 3 pintes en- S, & G fera vuide, comme on le voit en M : enfuite rempliffez C de la bouteille D, & de G verfezen S pour la remplir ; alors il y aura 4 pintes eh D, 7 pintes en S ,. & une pinte en G, comme vous voyez en N. Gela fait, remettez les 7 pintes de S dans D, & la pinte de C dans' S, & D contiendra 11 pirites , S en contiendra 1, & C fera viiide, comme on le voit en G. Enfin , ayant rempli de la bouteille D la bouteille C qui contient 5 pintes, .& ayant verfé ces 5 pintes de C dans la bouteille S. qui en contient déjà une*', on trouvera que D Contient 6 pintes, & que S en contient àüffi lîx ; ainfi on eft parvenu à ce qu’on fouhaitoit.
    • PROBLÈME XXIII.
    • Faire parcourir au cavalier du jeu des Echecs toutes les cafés du damier Vune après Vautre, fans paffer deux fois fur la même.
    • No T RE lefteur connoît probablement la marche du cavalier dans le jeu des échecs : dans le cas contraire j la voici. Le cavalier étant placé fur la café A, il ne peut aller à aucune de celles qui l’en-virpnnent immédiatement, comme 1,2, 3,4, 5 9 6, 7, 8, ni aux cafés 9, 10 , 11, 12 y qui font direéle-ment au deffus, ou au def-fous, ou à côté , ni aux cafés 13, 14,15,16, qui font dans les diagonales, mais feulement à une de celles qui, dans la figure, font vuides.
    • ni H 1 14
    • hh 3
    • 9 | 8 | A 4 11
    • I 7 | 6 5
    • .6| |., 1 ï
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    • ARlTHMiTIQUE. Chap. X. ï*J$ Quelques hommes célébrés fe font amufés de ce problème de combinaifons ; fçavoir , M. de Montmort, M. de Moivre & M. de Mairan, & ils en, ont donné chacun une folution. Dans les deux premières, on fuppofe le cavalier placé d’abord fur une des cafés angulaires de l’échiquier ; dans la troifiemè , on le fuppofe partant de l’une des quatre du centre : mais je' crois- que, jufqu’à ces dernieres années, on n’en connoiffoit aucune qui fût telle queplaçant le cavalier fur une café quelconque, on pût lui faire parcourir tout le damier ; ôt même enforte que, fans -revenir fur fes pas, il pût continuer fa route, & parcourir encore une fécondé fois le damier fous la même condition. Cette derniere folution efl: due à M. de W***, capitaine au régiment de Kinski, dragons , au fervice de l’Impératrice-Reine.
    • Nous allons donner les quatre tableaux de ces quatre folutions, avec une explication & quelques remarques.
    • !.. De M. de Montmort.
    • } | 3 ^ 1311441 *3 46|19|41
    • J*|35h 39|30 43 | 4 |.47
    • 37 | 8 133 i6|45 6 |41j18
    • 34| 2-51 î6 7 |4° *7j48 5
    • 9 |6o|17 56i11151! "9 5°
    • 2,4 j 51110 63|i8|49|ii 53
    • 6i ‘6|59 “|hI‘4|ï- 10
    • 58|i3|6i *51^4|11|54|13
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    • récréations Mathématiques. II. De M. de Moivre.
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    • Arithmétique. Ckap. X. iSt IV. De M. de JF***.
    • M 137 1-8 I î 5110 |47|6
    • l24 |34|19
    • 23 \i6. 1” 36| Î9N8I 5 [46
    • 10 |îS>M 5‘l5«|53 |1813 3
    • •-7 n î'ï | ï ^ 149 60 45-1 4
    • 40 63 H 61154j Ï7 32l>7
    • J.31 18 1142. | * 513 0 3 |44
    • 64 41 4| l9| z |43 |i6|3.
    • De ces quatre maniérés de réfoudre îe problème, celle de M. de Moivre eft fans contredit la plus facile à s’imprimer dans la'mémoire; car le principe de fa méthode confifte à remplir autant qu’il eft poffible les deux bandes d’enceinte, & de ne fe jettér fur la troifieme que lorfqu’il n’y a nul autre "moyen de paffer, de la place où l’on eft, fur l’une des deux premières ; réglé qui néceflite la marche du cavalier, depuis fon premier pas jufqu’au cinquantième , de la maniéré la plus claire, & même par-delà ; car , de la café marquée 50, il n’y a de choix pour fe placer, que fur celles qui ignt-marquées 5; 1 & 63 : mais la café 51, étant plus proche de la bande, doit être préférée, & alors la marche eft néceffitée par 52 ,' 53, 54, 55, 56, 57, 58 , 59, 60, 6it Arrivé là, il eft indifférent qu’on fe pofe.ïur celle'marquée 64 ; car de-là on ira fur la pénultième 63, & on finira fur 62 ; ou bien d’aller
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    • igi Récréations Mathématiques. à 62 pour paffer à 63 , ,& finir à 64. Ainfi l’on peut dire que la marche du cavalier, dans cette fblution, eft prefque contrainte.
    • Il n’en eft pas ainfi de la quatrième: il eft diffi- * cile de la pratiquer autrement que. de mémoire; mais elle a un avantage très-grand ; c’eft qu’on peut commencer parla café que l’on voudra, ainfi que nous l’avons dit , parceque fon auteur a eu Finduftrie de ramener le cavalier, en finiffant, dans une place d’où il peut répàffer dans la première. Ainfi fa marche eft en quelque forte circulaire & interminable , en'rempliffant la; condition de ne repaffer fur la même café qu’après foixante-quatre coups.
    • Il eft facile de voir que, pour exécuter cette marche fans confufion , il*faut à chaque pas marquer la café que quitte le cavalier. On couvrira donc toutes les cafés chacune d’un jeton, & on ôtera le jeton à mefure que le cavalier aura paffé iur la café : ou bien , au contraire, on mettra un jeton fur chaque café à mefure que le cavalier aura paffé deffus.
    • PROBLÈME XXIV.
    • Dijîribuer entre trois perfonnes vingt-un tonneaux, dont Çept pleins ,fept vuides &fept demi-pleins, enforte que chacune ait la même quantité de vin & de tonneaux.
    • C E problème admet deux folutions ,*qui ne ftjau-roient être rendues plus clairement que par Içs deux tableaux cjui fuivent,
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    • Arithmétique. Chap. X. tgj
    • Eiere Perf.
    • lv ~
    • Tonn. pleins, vuides.
    • 3
    • demi-pleins.
    • 3
    • 3
    • Tonn. pleins. iere Perf. ' 3
    • — 3
    • 3e — i
    • vuides. demi-phins.
    • 3 i
    • 3 i
    • 1 5
    • Il eft évident que, dans ces deux combinaifons, chaque perfonne aura 7 tonneaux, & 3 tonneaux &: demi de vin.
    • Il eft, au reftefacile de voir qp’il eft néceffaire que le nombre total des tonneaux foit divifible par le nombre des perfonnes ; car, autrement, la chofe demandée feroit impoffible.
    • On trouvera de la même maniéré que, ft l’on avoir 24 tonneaux à partager à trois perfonnes fous les conditions ci-deflus, on auroit trois fo-lutions différentes, fçavoir :
    • Tonn. pleins iere Perf. 3
    • 2e — 3
    • 3e — 2
    • . vuides. demi-pleins,
    • 3 2
    • 3 2
    • 2 4
    • riere Perl
    • ” iï -
    • Tonn. pleins, vuides. demi-pleins• Perf. 224
    • 4
    • M iv
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    • [g4 Récréations Mathématiques.
    • Tonn. pleins, ynïdes. demi-pleins, Perf. i i 6*
    • III. — 3 3 ' *
    • (3e------ 4 4 o
    • Si l’on avoit 17 tonneaux à partager, on aüroit aufli trois folutions.
    • Tonn. plans, vuides. demi-pleins. ("e perf- 3 3 3
    • Ke 3 3 3
    • (3e — 3 3 3
    • Tonn. pleins.
    • f?iete perf, r
    • [. f! ~ ' 4
    • (3° — 4
    • vuides. demi-pleins. ? 7
    • 4 «r
    • vuides. demi-pleins.
    • * 5
    • 3 3
    • 4 *
    • #
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    • Arithmétique. Chap. XI. tgj
    • CHAPITRE XI.
    • Contenant divers* Problèmes arithmétiques , curieux.
    • PROBLÈME I.
    • Un pere de famille ordonne , parfon tejlament, que Vaine.de fes enfants prendra fur tous fes biens 10000 livres & laJeptiçme partie de ce qui refera; le fécond 2.0000 livres la feptieme partie de
    • ce qui refera; le troifeme 30000 livres, & la feptieme partie du furplus; & ainf jufqu’au dernier , en augmentant toujours de 10000 livres. Ses enfants ayant fuivi la difpofidon du tefa-ment, il fe trouve qu'ils ont été également partagés. On demande combien il y avoit d’enfants, quel étoit le bien de ce pere, & quelle a été la part de chacun des enfants ?
    • ON trouve, par l’analyfe, que le bien du pere étoit de 3600.00 livres; qu’il y avoit fix enfants , & qu’ils ont eu chacun 60000 livres.
    • En effet, le premier prenant 10000 , le restant du bien eft 350000 livres,"dont la feptieme partie eft 50000, qui, avec 1000b, font 60000 livres. Le premier enfant ayant pris fa portion, il refte 300000 livres ; fur laquelle fomme le fécond prenant 20000 livres, le reftant eft 280000, dont la feptieme partie eft 40000, qui, avec les 20000 ci-deffus, font encore 60000 livres ; 6c ainfî de fuite.
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    • j86 Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME II.
    • Un homme rencontre, en forum Je fa maifon , un certain nombre de pauvres : il veut leur difiribuer Vargent qu'il a fur lui. Il trouve qu'en donnant ù chacun neuf fous, il eri a trente-deux de moins qu'il ne faut ; mais qu'en en donnant u chacun fept, il lui en refie vingt-quatre. Quels étoient le nombre des pauvres, & la fomme que cet homme avoit dans fa bourfe ?
    • Réponse. Il y avoit iS pauvres, & cet homme avoit dans fa bourfe 11 livres; car, en multipliant 2.8 par 9, on trouve 252 ,. dont ôtant 32 , puif-qu’il manquoit 32 fous, le reftant eft 220 fous , qui valent 11 livres : mais , en donnant à chacun des pauvres 7 fous, il n’en fallait que 196 ou 9 fois 16 : par conféquent il reftoit 1 liv. 4 fous.
    • PROBLÈME III.
    • Un particulier a acheté, pour la fomme de no livres, un lot de bouteilles de vin, compofé de cent bouteilles de vin de Bourgogne , & quatre-vingts de vin de Champagne. Un autre a pareillement . acheté au meme prix, pour la fomme de $5 livres, quatre-vingt-cinq bouteilles du premier, & foi-xante-dix du fécond. On demande combien leur a coûté l'une & !autre efpece de vin ?
    • O N trouvera que le vin de Bourgogne leur a coûté 10 fous la bouteille, & celui de Champagne 15. Il eft aifé de le prouver.
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    • \ arithmétique. Chip: XI. I$7 .PROBLÈME IV.
    • Un pere en mourant laijfe fa femme enceinte. Il ordonne par fon tejlament que 9Jî elle accouche d'un male , il héritera des deux tiers de fon ïïien, & fa femme de Vautre tiers ; mais , fi elle accouche d'une fille, la mere héritera des deux tiers & la fille d'un tiers. Cette femme accouche de deux enfants , un garçon 6* une fille. Quelle fera, la part de chacun ?
    • Ce problème n’a de difficulté que celle de reconnaître la volonté du teftateur. Or on a coutume de l’interpréter ainfi : Puifque ce teftateur a ordonné que, dans le cas où fa femme accouche-roit d’un garçon, cet enfant aura les deux tiers de fon bien & la mere un tiers,*il s’enfuit que fon deffein a été de faire à fon fils un avantage double de celui de la mere : & puifque, dans le cas où . celle-ci acpouchera d’une fille, il a voulu que la mere eût le'sdèux tiers de fon bien Sc la fille l’autre tiers, on en' doit conclure que fon deffein a été que la part de la mere fût double de celle de la fillç. Pour allier'donc ces deux conditions, il faut partager la fucceffion de maniéré que le fils ait deux fois autant que la mere, & la mere deux fois autant que la fille. Ainfi, en fuppofant le bien à partager de i oooo écus, la part du fils feroit de 17142 liv. f; celle de la mere, de-8571 f; & celle delà fille, de 4285 y.
    • On propofe ordinairement à la fuite de ce problème une autre difficulté. On fuppofe que cette mere accouche de deux garçons & d’une fille, & î’on demande quel fera, dans ce cas , le partage dç là fucceflion ?
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    • •188 Récréations Mathématiques.
    • ' Nous croyons n’avoir d’autre réponfe à taire que celle que feroient les jurifconfultes, fçavoir, que le teftament feroit nul dans ce cas; car, y ayant un enfant d’omis dans le teftament , toutes les loix connues en prononceroient la nullité, attendu i° que la loi eft précife ; '2° qu’il eft impoflible de démêler quelles auroient été les difpqfitions du teftateur s’il avoit eu deux garçons , ou s’il avoit prévu que fa femme en eût mis deux au monde.
    • PROBLÈME V.
    • Un lion de bronze , placé fur le BaJJin d'une fontaine ,peut jeter Peau par la giteule y par les yeux & par Idpied droit. S'il jette Peau par la gueule , il remplira le bajjin en fîx heures ; s'il la jette par P œil droit, il le remplira en deuxjours; ta jetant par l'œil gauche , il le rempliroit en trois ; enfin , en la jetant par le pied , il le remplira en quatre jours. En combien de temps le bajjin fera-t-il rempli , lorfque Peau fortira à lafois par toutes ces ouvertures ?
    • Pour réfoudre ce problème, on obfervera*que, puifque Le lion, jetant l’eau par la gueule, remplit le baflin dans 6 heures, il en remplira un fixieme dans une heure ; & puifque , la jetant par l’œil droit, il le remplit en deux jours, dans une heure il en remplira —. On trouvera dè même qu’il en remplira dans une heure en jetant l’eau par l’œil gauche, & ^ en la jetant par le pied. Donc , la jetant par les quatre ouvertures à la fois, il en fournira dans une heure j plus-^+^ + ^j c’eft-à-dire, en ajoutant toutes ces fra&ions, les Qu’on fafte donc cette proportion : Si lçs
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    • Arithmétique. Chap. Xi. tgp Ont été'fournies en une hfure ou 60 minutes, combien la totalité du baffin ou les fff exigeront-elles de minutes ? & l’on trouvera 4 heures 43 minutes 16 fécondés, & ou environ 41 tierces.
    • PROBLÈME VI.
    • Un mulet & un âne faifant voyage enfembh, Fane fe plaignoit du fardeau dont il étôit chargé. t Le mulet lui dit : Animdl pareffeux , de quoi te plains-tu ? Si tu me donnois un des facs que tu portes \fen aurois le double des tiens ; mais fije F en donnois un (les miens, nous en> aurions feulement autant Vun que Vautre. On demande quel étoit le nombre de facs dont Vun & Vautre étoient chargés ?
    • Ce problème, un de ceux qu’on propofe ordinairement aux commençants en algèbre, eft tiré d’un recueil d’épigrammes grecques, • connu fous le nom 8Anthologie. On a ainfi traduit en latin , prefque littéralement, le problème grec avec fa folution.
    • Unâ cum mulo vinurmportabat afella,
    • Atque fuo graviter fub pondéré pr'effa gemebat. Talibus at dictis mox increpat ipfe gementem : Mater, quid luges p tenerce de more puella ?
    • Dupla tuis , Ji des menfuram, pondéra gefiq ;
    • At Ji menfuram accipias , cequalia porto.
    • Die mihi menJuras, fapiens geometer, if as?
    • L’analyfe du problème a aufli été exprimée en affez mauvais vers latins , que nous donnerons
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    • 196 Récréations Mathématiques. feulement ici à caufe de la Angularité, Lés voici i
    • Unatn afitia. accipiens, amittens tnulus & unarn , Si fiant cequi , certeutrique antè duobus Difiabant à fie. Accipiat fi mulus at unam , Amittatque afina unam , tune difiantia fia Inter eos quatuor. Muli at cùm pondéra dupla Sint afince, huit fimplexT mulo efi difiântia dupla. Ergo habet heee quatuor tantum, mulufque habetoclo. Unam afince fi addas ,fi reddat mulus & unam , Mepfuras quinque hœc', & fept^m mulus habebunt. .
    • C’eft-à-dire :
    • Puifque, le mulet donnant une de fes mefures à l’âneffe, ils fe trouvent également chargés , il eft .évident que la différence des mefurës qu’ils portent eft égale à deux. Maintenant,"fi le mulet en reçoit une de celles de l’âneffe, la différence fera quatre ; mais aloîs le mulet aura le double du nombre des mefures de l’âneffe : conféquemment le mulet en aura huit, & l’âneffe quatre. Que le mulet en rende donc une à l’âneffe, celle-ci en aura cinq, & le premier en aura fept. Ce font les nombres de mefures dont ils étoient chafgés, & la réponfe à la queftion.
    • On peut revêtir ce problème de bien des formes différentes ; mais il feroit puérile & fuperflu de s’y arrêter
    • Ce problème., au.refte, n’eft pas le feu! que nous préfente l’Anthologie grecque : en voici quelques autres traduits en vers latins par M. Bachet de Méziriac, qui les a inférés dans une note fur un des problèmes de Diophante.
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    • Arithmétique. Ckap. XI. 191
    • t
    • Aurea malqferunt Chantes , cequalia cuiquz Mala infunt cdldtho ; Mufarum kis obvia tîirba Malapetunt, Charités cunclis cequalia douant ; Tune cequalia très contingit habere , novemque.
    • Die quantum dederint numerus fit ut omnibus idem?.
    • Cela lignifie : Les trois Grâces portant des oranges, dont elles ont chacune un égal nombre , font rencontrées par les neuf Mufes qui leur en demandent : elles leur en donnent chacune le même nombre ; après cela chaque Mufe & chaque Grâce fe trouve également partagée. Combien en avoient les premières ?
    • Le moindre nombre qui fatisfafTe à la queftion eft 12 ; car, en fuppofànt que chaque. Grâce en eût donné une à chaque Mufe, elles fe trouveront en avoir chacune 3, & il en reliera 3 à 'chaque Grâce.
    • Les nombres 24, 36, &c. fatisferont également à la queliion ; &, après tadiftribution faite , chacune des Grâces & des Mufès en eût eu 6, ou 9, &c.
    • II.
    • Die, Heliconiadum decus , 6 fublime Sororum Pythagora ! tua quot tyrones tecta fréquentent, Qui9fub te , fophice fudant in agone magifiro ? Dicam ; tuque animo mea dicta, Polyerates , hauri. Dimidia horum pars pmclara mathemata difeit, Quarta immortalem naturam nôjfe laborat,
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    • ï92 Récréations Mathématiques.
    • Septhna , fed tacite, fedet atque audita, revolvit j Très funt fœminai fexûs.
    • . Dis - moi, illuftre Pytha^ore , combien de difciples fréquentent, ton école ? Je .vais tê le dire, répond le philofophe. Une moitié étudie les mathématiques, un quart la; phyfique , une .feptieme garde le fxience ; & il y a de plus trçis femmes.
    • Ainfi, .H s’agit de trouver un'.nombre dont une moitié,un quart & un feptieme j en y ajoutant 3 * faffent ce nombre lui-même. II eft aifé de répondre que ce nombre eft 18.
    • III.
    • Die quota nunc hora eji ? Superejl tantum ecce diei Quantum bis gemini exacid de luce trientes, r
    • On demande quelle heure- il eft ; & l’on répond que cé qui refte du jour eft les quatre tiers des heures déjà écoulées. ..
    • En divifant la durée du jour , comme faifoient les anciens, en iî parties, il eft queftion de partager ce nombre en deux parties, telles que les y de la première foient enfemble égaux à la fécondé ; ce qui donne, pour le nombre des heures écoulées
    • 5 ÿ, & conféquemment, pour le refte du jour,
    • 6 heures & f.
    • IV.
    • Hic Diophantus habet tumulum, qui tempora vita lllius mira dénotât arte tibi.
    • Egit fextantem juvenis , lanugine mala V-fiire hinc cœpit parte duodecimd.
    • Septante
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    • Arithmétique. Ckap. XL ipf
    • Septante uxori pqjl heec fociatur, & anno Formofus quinto ndfcitur inde puer.
    • SemiJJem ceiatis pojlquam attigit ille patentez, Infelix fübitâ morte peremptus obit.
    • Quatuor œjîates genitor lugere fuperjles Cogitur , hinc dnnos illias ajfequere.
    • ^ Cette épitaphe eft celle du célébré mathématicien Diophante. Elle lignifie que Diophante pafla da fixieme partie de fa vie dans la jeunefle, & la douzième dans l’adolefcence ; qu’après un feptieme de fa vie & cinq ans, il eut un fils qui-mourut après avoir atteint la moitié de l’âge de Ton père, & que ce dernier ne lui furvéquit que de quatre
    • II faut trouver pour cela un nombre dont la fixieme, la douzième, la feptieme, la moitié, jointes enfemble, en y ajoutant 5 & 4 ,-faffent le nombre lui-même. Ce nombre eft 84.
    • V.
    • Qui jaculamur aquas très hic adjlamus Amores ; Szd varié liquidas Euripo immittimus undas. Dexter ego ; fummis & quee mihi manat ab alis Ipfum lympha replet folo fextante diei.
    • Quatuor ajl horis Itzvus versa influit urnâ ; Dimidiatque divn médius diim fundit ab areâ.
    • Die, âge , qiùim paucis Enripum implebimus horis, Ex arcâ Jimul atque alis urnâque jluentes ?
    • Il y a trois Amours qui verfent l’eau dans un baffin , mais inégalement. L un le remplit en un Tome /. N
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    • 194 Récréations Mathématiques.
    • fixieme de jour, l’autre en quatre heures , & le troifieme en une demi-journée. On demande combien de temps il faudra pour le remplir, lorfqu’ils vèrferont tous trois de l’eau ?
    • Ce problème eft de la même nature que celui du lion de bronze, que nous avons réfolu précédemment., & qui eft aufii tiré de l’Anthologie grecque. En fuppofant le jour divifé en 12 heures , on trouvera que les trois Amours rempliront le baflin en 77, ou un peu plus d’une heure.
    • PROBLÈME VIL
    • La fomme de 500 liv. ayant été partagée entre quatre perfonnes , il fe trouve que les deux premières enfemble ont eu 2.85 livres , la fécondé & la troifieme 220 livres, enfin la troifieme & la quatrième 215 livres ; de plus , le rapport de la part de la première à. celle de la derniere efl de 4 à g. On demande combien chacune a eu ?
    • L a folution de ce problème eft des plus faciles.1 La première a eu 160 livres, la fécondé 125 , la troifieme 95 , St la quatrième 120.
    • Il faut remarquer que, fans la derniere condition , ou une quatrième quelconque , le problème feroit indéterminé, c’eft-à-dire qu’on pourroit y fatisfaire d’une infinité de maniérés : c’eft cette derniere condition qui limite la folution à une feule.
    • PROBLÈME VIII.
    • Un ouvrier fe loue à ces conditions, qu'on lui don-nera 30 fous par jour lorfqu'il travaillera, mais que chaque jour qu il ckommera il rendra i5 fous•
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    • AftîtHMâTîQüÈ. ttidp. Xï. Î95
    • : Après quarante joilrs , fon décompte monte à gi livres. On demande combien de jours il a travaillé y combien il en a cho'mmé?
    • Réponse. Il a travaillé vingt-huit jours des quarante, & il en a chommé douze.
    • PROBLÈME IX.
    • Une lettre de change de 2.000 livres a été payée en écus de trois livres, & en-piafires dont la valeur ejl de cinq livres ; & il y avoit précifémént quatre cents cinquante pièces de monnoie. Combien y en avoit-il de chaque efpece ?
    • Réponse. Il y avoit cent vingt-cinq écus de trois livres, & trois cents vingt-cinq piaftres de cinq livres.
    • PROBLÈME X.
    • Un homme a perdu fa bourfe , & ne fçait pas pré~ çifément le compte de l'argent qu'il y avoit : il fe rappelle feulement .qu en le comptant deux à. deux pièces , <ou trois à trois , ou cinq à cinq, il rejloit toujours un; mais y en les comptant fepi à fept, il ne rejloit rien.
    • O N Voit aifément que , pour réfoudre ce problème , il eft queftion de trouver un:nombre qui, divifé par 7, ne laiffe aucun refte, & étant divifé par 2, par 3, par 5, laiffe toujours 1. Plufieurs méthodes plus ou moins fçavantes peuvent y conduire ; mais voici la plus fimple.
    • Puifque, le nombre des pièces étant compté fept à fept il ne refte rien, ce nombre eft évidemment
    • N"
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    • i96 Récréations Mathématiques. quelque multiple de 7 ; St puifqu’en les comptant deux à deux il relie 1, ce nombre eft lin multiple impair : il eft donc quelqu’un des nombres de la fuite 7, ai, 35, 49> 63.77> 9‘> >°5> &c;
    • De plus, ce nombre doit, étant divifé par 3 , laiffer l’unité : or, dans la fuite des nombres ci-deffus, je trouve que 7, 49, 91, qui croiffent arithmétiquement, 6t dont la différence eft 42, ont la propriété demandée. Je trouve de plus , que le nombre 91 étant divifé par 5 , il refte 1 : d’où je conclus que le premier nombre qui fatis-fait à la queftion eft 91 , car il eft multiple de 7 ; 6c étant divifé par 2, par 3 & par 3 , il refte toujours un.
    • Je dis que 91 eft le premier nombre qui fatisfait à la queftion ; car il y en a plufieurs autres, qu’on trouvera par le moyen fuivant : continuez la pro-greflion ci-deffus en cette forte, 7, 49, 91,133 , 175, 217 , 259, 301, jufqu’à ce que vous trouviez un autre terme diviiible par 5 , en laiftant l’unité ; ce terme fera 301, qui fatisfera encore à la queftion. Or fa différence avec 91 eft 210 : d’ou je conclus que , formapt cette progreflion ,
    • 91, 301, 511,721,931, 1141,6cc.
    • tous ces nombres rempliffent également les conditions du problème.
    • Il feroit donc incertain quelle fournie étoit dans la bourfe perdue, à moins que fon maître ne fçût à peu près quelle fomme il y avôit. Ainfi, s’il difoit fç avoir qu’il y avoit environ 500 pièces , on lui répondroit que le nombre des pièces étoit déçu.
    • Suppofons préfentement que l’homme à qui
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    • Arithmétique. Chap. XI. 197 appartient la bourfe eût dit que, comptant fort argent deux dJeux pièces , il rejloit F unité ; qu'en les comptant trois à trois , il en rejloit deux; que comptées quatre à quatre , il refait trois; que comptées cinq à cinq , il rejloit quatre ; que comptées jix à Jix , il en rejloit cinq ; enfin, que les comptant jept à fept, il ne rejloit rien : on demande ce nombre.
    • Il eft évident que ce nombre eft , comme ci-deffus, un multiple impair de 7, & conféquem-inentunde ceux de la fuite 7, 21, 3.5,49,63,, 77, 91, 105, &c. Or, dans cette fuite, les nombres 3 5 St 77 fatisfont à la condition d’avoir 2 pour refte quand on les divife par 3 : leur différence eft d’ailleurs 42. C’eft pourquoi je forme cette nouvelle progreffion arithmétique, dont la différence eft 42 , fçavoir :
    • 35,77,119,161, 203, 245, 287, &c.
    • J’y cherche deux nombres qui, divifés par 4 laiffent 3 pour refte, & je trouve que ce font 35, 119, 203, 287. C’eft pourquoi je forme cette nouvelle progreffion, où la différence des termes eft 84:
    • 35, 119,103,187,371,455,539,613, &c.
    • Je cherche encore ici deux termes qui, divifés par 5, laiffent un refte égal à 4 ; & j’apperqois bientôt que ces deux nombres font 119 & 539* dont la différence eft 420. Ainfi la fuite des termes répondant à toutes les conditions du problème , hors une, eft
    • i«9> 539» 959»«379» •799>“,9> i539»
    • Or la dernière condition du problème eft que, le nombre trouvé étant divifé par 6, il refte 5. Cette N iij
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    • i9$ Récréations Mathématiques. propriété convient à 119, 959, 1799» eîî ajoutant toujours 840 : conféquemment le nombre, cherché eft un de ceux de cette progreffion. C’eft pourquoi, auffitôt qu’on fqaura dans quelles limi-* tes à peu près il eft contenu, on fera en état de le déterminer.
    • Si donc le maître de la bourfe perdue dit qu’il y avoit environ cent pièces, le nombre cherché fera 119 ; s’il difoit qu’il y en avoit à peu près mille , ce feroit 959, &c.
    • Remarque.
    • Ce problème feroit réfolu imparfaitement par là méthode qiienfeigne feu M. O^anam ; car, ayant trouvé le plus petit nombre tig, qui fatisfait aux conditions du problème, il fe borneroit à dire que> pour avoir les autres nombres qui y fatisfont , il faut multiplier de fuite les nombres 1,3, 4 , S> <?% 7, & ajouter leur produit.5040 au premier nombre trouvé//f>, 6* quon aura par-là te nombre 6i5c)y qui remplit aujji les conditions prbpofèes. Or il ejl aifé de voir qu'il y à plufieiirs autres nombres entre ne) & 5i5c) qui remplirent ces conditions ,fçavoir*
    • S>J9> ‘799y 2%9 y3479» 4319*
    • Nous donnerons, en traitant de la Chronologie , la folution d’un autre problème du même genre, fçavoir ; de trouver l’année de la Période Julienne, dont le nombre d’or, le cycle folaire ÔC l’indiélion font donnés.
    • PROBLÈME XI.
    • l/ne certaine fomme d'argent, placée à un certain intérêt, s’ejl accrue en huit mois juj,qu'à36iC livres 13 fous 4 deniers , & en deux ans & demi
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    • Arithmétique. Chap.XI. 199' elle a monté à 35)37 livres 10 fous. On demande quel étoit le capital originaire , &à quel intérêt il a été placé ?
    • Nous nous bornerons encore ici, pour exciter la fagacité des jeunes algébriftes, à indiquer la fo-Iution. Ils trouveront , en employant Fanalyfe convenable, que le capital placé étoit de 3.50a livres, & que l’intérêt étoit de cinq pour cent. PROBLEME XII.
    • Une femme a vendu 10 perdrix au marché, une fécondé en a vendu , & une troijîeme en a vendu 30,6* toutes au même prix. Au fortir du marché elles fe quejlionnent fur l'argent qu'elles en rapportent, & il fe trouve que chacune rapporte la même fomme. On demande à quel prix & comment elles ont vendu ?
    • Il eft évident qu’afin que la chofe foit poflible , i! faut que ces femmes vendent au moins à deux différentes fois & à différents prix, quoiqu’à chaque fois elles vendent toutes enfemble au même prix ; car, fi celle qui avoit le moins de perdrix en a vendu un très-petit nombre au prix le plus bas , & qu’elle ait vendu le furplus au plu6 haut prix, tandis que celle qui en avoit le plus grand nombre en avoit vendu la plus grande partie au plus bas prix, & n’a pu en vendre qu’un petit nombre au plus haut, il eft clair qu’elles auront pu faire des fommes égales.
    • Il s’agit donc de divifer chacun des nombres 10,25 , 30, en deux parties telles, que multipliant la première partie de chacun par le premier prix, & la fécondé par le fécond , la fomme des deux produits foit par-tout la même.
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    • ioo Récréations Mathématiques.
    • Ce problème efl indéterminé, & fufceptible de dix (blutions différentes. Il eft d’abord néceflaire que la différence des prix de la première & de la fécondé vente foit un divifeur exaél des différences 15, 20, 5, des trois nombres donnés: or le moindre divifeur de ces trois nombres eft 5 ; c’eft pourquoi les prix doivent être 6&i,ou7&2, ou 8 & 3, &c.
    • En fuppofant les deux prix être 6 & 1, on trouve fept folutions différentes , comme on le voit dans la Table fui vante.
    • Im Vente. Il« Vente.
    • 1ere Fem. 4 Perd, à 6 f. 6 à 1 f.
    • i« ------ 1 24
    • 3e-------o 30
    • Ou bien 9
    • Prod. total. 30 f.
    • 30
    • 30
    • iereFem. 5 f
    • *e-------2 23
    • 3' ------- 1 29
    • Ou bien ,
    • iereFem. 6 4
    • *'---------3 22
    • 3e------2 28
    • Ou bien ,
    • 35
    • 35
    • 35
    • 40
    • 40
    • 40
    • iefeFem. 7 3
    • 2=---------4 21
    • 3'---------3 27
    • Ou bien ,
    • iereFem. 8 2
    • 35 — 4 16
    • 45
    • 45
    • 45
    • 5°
    • 5»
    • 50
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    • Arithmétique. Chap. XI. 201
    • Im Vente. Il* Fente. Prod. total.
    • Ou bien y
    • lereFem. 9 Perd, à 6 f. 1 à 1 f. 55 F.
    • ie------6 19 55
    • y------------------------------5 M 55
    • 0« £ie/z,
    • iereFem. 10 o 6p '
    • i« '-------7 18 60
    • 3e------6 24 60
    • Si l’on fuppofe les deux prix être 7 & i , on aura encore les trois (blutions fuivantes.
    • /e« Vente, IIe Fente. Prod. total.
    • 1 «« Fem. 8 Perd, à 7 f. 2 à 2 f.
    • 3e-------0 30
    • O// bien ,
    • iefeFem. 9 1
    • ae------3 21
    • 3e------1 *9
    • O# y
    • iere Fem. 10
    • Ie------4
    • 3e ----- 2
    • 60 f.
    • 60
    • 60
    • 65
    • «5
    • 65
    • 7»
    • 70
    • 70
    • Il ferait inutile d’effayer 8 St 3, St tout autre nombre; on n’en pourrait tirer aucune folution, par les raifons qu’on verra plus bas.
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    • 201 Récréations Mathématiques.
    • Remarques.
    • On lit dans la fécondé partie de l’Arithmétique universelle de M. de Lagny, page 456 , que cette queftion n’a que fix folutions ; en quoi cet auteur s’eft trompé, car nous venons d’en indiquer 10. Nous croyons devoir enfeigner ici la méthode que l’on a employée, efpérant que cela fera plaifir à ceux qui apprennent l’algebre.
    • J’appelle u le prix auquel les trois femmes ont vendu la première fois, oc p celui auquel elles ont vendu la fécondé.
    • Que x foit le nombre des perdrix vendues par la première femme au prix u ; conféquemment le nombre de celles vendues au prix/» fera 10—xi l’argent retiré de la première vente fera xu, celui de la fécondé fera lop—px; & la fomme totale , xu-\-ïop—px.
    • Que 1 foit le nombre des perdrix vendues par la fécondé femme à la première vente , on aura uç pour l’argent retiré à la première vente, & 15/»—pç pour l’argent retiré à la fécondé ; en tout,
    • De même , nommant y le nombre de perdrix vendues la première fois par la troifieme femme , on aura uy pour l’argent retiré à la première vente, 3op—py pour celui retiré à la fécondé; enfin, pour le total des deux ventes, uy+^o—py.
    • Mais, par la fuppofition, ces trois fommes doivent être égales. Ainfi l’on a xu-\-1 op—px^z^w +*SP—Pl 9 —Hy+iop—py* d’où je tire ces trois nouvelles équations :
    • xu—px={u '-/*£+1}/», xu—px=.uy—j>yArxop>
    • w-pi-vy-py+Vi
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    • ’ ÀRITHMÉTKjUE. Chap. XI. loj 8t, divifant tout par u—p, on aura ces trois autres :
    • ‘ X={+
    • *=*+3»
    • i=y+ÿ-t-.
    • d’où l’on conclut d’abord que u—p doit être un divifeur de 15 , de 20 & de 5 ; car autrement ne leroient pas des nombres entiers , ce qui eft néceflaire. Or le feul nombre qui divife à la fois 15, 20 & 5 , eft 5 ; ce qui montre que les prix des deux ventes ne peuvent être que 5 oco, 6&i,7&£, 5&3, &c.
    • On voit d’abord que la fuppofition de 5 & o ne peut fervir, puifqu’il n’y auroit eu qu’une vente.
    • Il faut donc effayer la fécondé fuppofttion 6 & î, fçavoir, u=6 &/>i ; ce qui donne pour les deux dernieres équations ces deux-ci, x=y-\-^9
    • c=y+i. . . _ r f
    • Or nous avons ici trois inconnues, & feulement deux équations : c’eft pourquoi une de ces inconnues doit être prife à volonté. Choilîffons y, Sc fuppofons-la d’abord =0.
    • Cela donnera x=4 & {==1; & l’on aura la première folution, où l’on voit que la première femme a vendu.la première fois 4 perdrix à 6 fous piece, .& conféquemment, la fécondé fois, 6 à 1 fou piece ; tandis que la fécondé femme en a vendu une la première fois à 6 fous piece, & les 24 autres à 1 fou piece ; & la troifieme aura vendu toutes les lîennes au fécond prix : elles auront glors toutes 30 pièces.
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    • 104 Récréations Mathématiques.
    • Si l’on foityszt9 on aura la fécondé folution.
    • Si l’on fait ^=2 9 on aura la troifieme.
    • En faifant 3 , on aura la quatrième.
    • En faifant y—4, on aura la cinquième.
    • En faifant j—5, on aura la fixieme.
    • En faifant y=z&, on aura la feptieme.
    • On ne peut pas fuppofer y plus grand que 6 ; car, fi on le fuppofoit, on auroit #=10 ; ce qui eft impoffible, puifque la première femme n’a que 10 perdrix à vendre.
    • Il faut donc palier à la fuppofition fuivante,’ fçavoir, de «=7&c/>=2;ce qui donne deux équations 9jsc=y-\$, [—y-|-2.
    • Si donc l’on fait ici d’abordy=Q, on aura x=S & £= 2 ; ce qui donne la huitième folution.
    • En faifant y— 1, on aura la neuvième.
    • En faifant y= 2 , on aura la dixième.
    • Mais on ne peut faire y plus grand ; car on trouverait x plus grand que 10, ce qui eft impoffible.
    • On effayeroit auffi inutilement pour u & p les valeurs 8 & 3, car elles donneraient nécelïaire-ment pour x une valeur plus grande que 10, ce qui ne peut être.
    • Ainfi l’on peut affiner que le problème n’a que les dix folutions ci-deffus.
    • PROBLÈME XIII.
    • En combien de maniérés peut-on payer Go fous9 en employant toutes les monnaies (Tufâge, comme écu de 3 livres , pièces de 24, de 12 , de G, de 2 fous & de 18 deniers, fous a pièces de 2 liards & liards }
    • JE crois qu’il ferait fort difficile de réfoudre ce problème, que par une forte d’énumération; mais*
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    • Arithmétique. Ckap. XI. 205
    • comme elle eft immenfe, il y a un ordre à fuivre t fans lequel on ne s’en démêleroit jamais. C’eft ce que nous avons tâché de faire. Néanmoins, comme le détail de cette méthode nous meneroit beaucoup trop loin , nous nous bornerons à en donner les résultats principaux. Nous avons donc trouvé que,
    • i° On peut payer 6o fous en monnoies d’argent, de 13 maniérés feulement.
    • 20 On peut payer 6 fous en monnoies de cuivre , feulement de 15 5 façons ; 12 fous, de 1292 ; 18 fous, de 5104; 24 fous, de 14147 façons; 30 fous, de 31841 ; 36 fous, de 62400; 42 fous, de 111182 ; 48 fous, de 183999; 54 fous, de 287777 ; enfin 60’fous, de 430264.
    • 30 En combinant les monnoies de cuivre avec celles d’argent, j’ai trouvé que cette même fomme de 60 fous peut être payée de 1383622 maniérés.
    • Conféquemment, en ajoutant ces trois fommes,' fçavoir 13,4302646*: 1383622, on aura 1813899 façons de payer une fomme de 60 fous.
    • Il paraîtra fans doute étonnant qu’avec huit monnoies feulement il y ait autant de maniérés de payer une fi modique fomme ; mais, quoique je ne puifTe abfolument allure r n’avoir pas commis quelque erreur dans mon calcul, parceque j’en a» perdu tout Péchaffaudage, & que je n’ai ni le courage ni le loifîr de le refaire, je fuis alluré que ce nombre n’efl: guere inférieur.
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    • 206 Récréations Mathématiques,
    • PROBLÈME XIV,
    • Trouver le nombre &Je rapport des poids avec te/-quels on peut pe/er de la maniéré la pluk Jimple un nombre quelconque de livres, depuis Vunité ju/quà un nombre donné*
    • Qu o i Q u E ce problème paroiffe d’abord appartenir à la méchanique, il eft cependant facile de voirquecen’eft qu’un problème arithmétique; car* il fe réduit à trouver une fuite de nombres commençants par l’unité, 8c qui, ajoutés ou fouftraits les uns des autres de toutes les maniérés poffibles , forment tous les nombres depuis l’unité jufqu’au plus grand propofé.
    • Ce problème peut fe réfoudre de deux manières, fçavoir, par la feule addition, ou par l’addition combinée avec la fouftra&ion. Dans le premier cas, la fuite des poids qui fatisfait au problème , eft celle des poids croiflants en progref-lion double ; 8c dans le fécond, c’eft la progreflion triple.
    • Qu’on ait en effet ces poids^ i livre, 2 livres 4 livres, 8 livres, 16 livres, on pourra pefer avec eux quelque nombre de livres que ce foit jufqu’à 31 ; car on formera trois livres avec 2 & i, cinq livres avec 4 & i, lix avec 4 & 2, fept avec 4 , 2 8c 1, 8cc. Avec encore un poids de 32,611 peferoit jufqu’à foixante-trois livres ; 8c ainfi de fuite en doublant le dernier poids, 8c retranchant de ce double l’unité.
    • Mais qu’on emploie des poids en progrefliorl triple, 1, 3, 9, 27, 81, on pourra pefer avec eux tout poids depuis une livre jufqu’à 121 ; car , avec le fécond moins le premier, c’eft-à-dire en
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    • Arithmétique. Ckap. XI. 107 mettant le premier dans le baffin de la balance 6C îe fecond dans l’autre, on fera deux livres ; en les mettant tous les deux dans le même baffin, on formera quatre livres ; cinq fe formeront en mettant 9 d’un côté, & 3 & 1 de l’autre ; avec 9 d’un côté & 3 de l’autre, on aura fix ; on fera fept livres avec 9 & 1 d’un côté, & 3 de l’autre ; & ainfi de fuite.
    • Au refte, il eft évident que la derniere façon eft la plus fîmple, étant celle qui exige le moins de poids différents.
    • L’une & l’autre de ces progreffions font enfin plus avantageufes qu’aucune des progreffions arithmétiques qu’on pourrait effayer; car, avec des poids arithmétiquement croiffants, 1, 2, 3, 4, &c. il en faudrait 15 pour pefer 120 livres ; pour en pefer 121 avec des poids dans la progreffion 1, 3 , 5,7, &c. il en faudrait onze. Toute autre progreffion ne rempliroit pas tous les nombres poffi-bles , depuis le poids d’une livre jufqu’au plus grand qui réfulte de la totalité des poids. Ainfi la proportion triple eft de toutes la plus favorable.
    • Il eft, au refte, évident que la folution de ce problème a fon utilité dans l’ufage ordinaire de la vie & du commerce, puifqu’elle offre le moyen de faire toute forte de pefée avec le moindre nombre poffible de poids différents.
    • PROBLÈME XV.
    • Une femme de campagne porte des œufs au marche dans une ville de guerre ou il y a trois corps-de-garde à pajfer. Au premier, elle laiffe la moitié de fes œufs & ta moitié d'un ; au fecond, la moitié de ce qui lui rejloit & la moitié d'un; au
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    • ao8 RÊCRÉAflONS MATttiMATlQUES.
    • troifieme, la moitié de ce qui lui rejloit & la. moitié cCun : enfin elle arrive au marché avec trois douzaines. Comment cela fie peut-il fiaire fians rompre aucun œufi?
    • Il femble, du premier abord , que ce problème foit impoflible ; car comment donner une moitié d’œuf fans en caffer aucun ? Cependant on en verra la poffibiiité, quand on confidérera que , lorfqu’on prend la grande moitié d’un nombre impair , on en prend la moitié exafte plus 7. Airifi on trouvera qu’avant le paflage du dernier guichet, il reftoit à la femme 73 œufs ; car, en ayant donné 37, qui eft la moitié plus la moitié d’un , il lui en reftera 36. De même, avant le deuxieme guichet, elle en avoit 147 ; &: avant le premier, 295.
    • On peut propofer le problème autrement. Un homme efi fibrti de che{lui avec une certaine quantité de louis pour fiaire des emplettes. A la première , il dépenfie la moitié de fies louis & la moitié d'un ; à la fieconde, il dépenfie auffi la moitié de fies louis & la moitié d'un ; a la troifieme, pareillement ; & il rentre che£ lui ayant dépenfie tout fion argent, & fians avoir jamais changé de V or pour de l'argent.
    • Il avoit 7 louis, & à la première emplette il en a depenfé 4 ; à la fécondé, 2 ; à la troifieme ,
    • 1 ; car 4 eft la moitié de 7, & de plus il y a un demi. Le reftant étant 3 , fa moitié eft ~ ; & con-féquemment 2 excede cette moitié de j. Le reftant •eft enfin 1 : or la moitié d’un plus £ font égales à 1; conféquemment il ne refte plus rien.
    • Remarque.
    • S1 le nombre d’emplettes après lefquelles notre homme
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    • ÀRithmétiqüe» Chap. XL 209
    • homme a dépenfé tout Ton argent étoit plus grand , il n’y auroit qu’à faire une puiffance de 2, dont l’expofent fut égal au nombre des emplettes, & la diminuer de l’unité. Ainfi, s’il y en avoit 4, la quatrième puiffanee de 2 étant 16 , le nombre cherché feroit 15 £ s’il yen avoit 5, la cinquième puiffance de 2 étant 32, le nombre cherché ferait 31.
    • PROBLÈME XVII.
    • Trois perfonnes ont un certain nombre d'écus chacune. Il ejl tel que, la première en donnant aux deux autres autant qu'elles en ont chacune, la fécondé pareillement en donnant a chacune des deux autres autant quelle en à, enfin la troi-Jieme faifant la même chofe, elles fe trouvent en avoir autant Vune que Vautre, fçavoir. 8. Quelle ejl la fomme qua chacune de ces per-
    • Réponse. La première en avoit 13, la fécondé 7, & la troifieme 4; ce qui eft aifé à démontrer 9 en diftribuant les écus de chaque perfonne fuivant Pénoncé du problème.
    • PROBLÈME XVIII.
    • Un marchand de vin n'a que de deux fortes de vin, qu'il vend Vune 10 , Vautre S fous la bouteille. On lui demande du vin à 8 foui. Combien faut-il de bouteilles de chaque efpece, pour en former un qui lui revienne d 8 fous la bouteille *
    • Réponse. La différence du plus haut prix , 10 fous, au prix moyen demandé, eft 2; & celle de Tome L 9
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    • no Récréations Mathématiques. ce prix moyen au prix le plus bas, eft 3 : ce qui montre qu’il faut qu’il prenne trois bouteilles du vin du plus haut prix & deux du moindre. Avec ce mélange il fera cinq bouteilles , qui lui reviendront à 8 fous chacune.
    • En général, dans ces fortes de réglés d’alliage,' comme la différence du plus haut prix avec le prix moyen, eft à la différence du moyen avec le plus bas, ainfi le nombre des mefures du plus bas prix, eft à celui des mefures du plus haut, qu’il faut mélanger enfemble pour avoir une pareille mefure au prix moyen.
    • PROBLÈME XIX.
    • Un homme veut placer che{ un banquier une certaine fomme , par exemple 100000 livres. Il veut de plus avoir mangé en vingt ans capital & intérêts, & avoir chaque année la même fomme à dépenfer. Quelle fera la fomme que le banquier devra lui donner annuellement , en fuppofant qu'il lui en paie l'intérêt à raifon de cinq pour
    • La fomme que lui devra donner le banquier, eft de 8014 liv. 19 fous, & une fraéfion de denier
    • S’il n’étoit queftion que d’un petit nombre d’années , par exemple cinq, on pourra réfoudre ce problème fans algèbre, par la voie rétrograde & par une fauffe pofition ; car, fuppofons que la fomme qui épuife à la derniere année capital & intérêts eft de 10000 livres, on trouvera que le capital feul étoit, au commencement de cette année, de 9523 liv. : ajoutez-y 10000 liv. qui ont été payées à la fin de l’avant - derniere
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    • Arithmétique. Chap. XI. iïr
    • année, la fournie Ï9523 liv. ££ étoit le capital accru des intérêts de la quatrième année; confé-queinment le capital n’étoit que de 18594 liv, •£6Tau commencement de cette quatrième année : d’où il fuit qu’avant le paiement de la fin de la troi-lieme année, la fomme étoit de 28594 liv. qui repréfentoit un capital accru des intérêts de la troifieme année. L’on remontera ainfi jufqu’au commencement de la première année, & l’on trouvera pour capital primitif la fomme de 43294 liv. 15 f. 4 d. On fera enfin cette proportion , comme ce capital, à la fomme de 10000 livres; ainfi la fomme propofée à placer fous la condition ci-deffus, à la fomme à retirer chaque année.
    • Mais il eft aifé de fentir que, s’il étoit queftion de 20 ou 30 ans, cette méthode exigeroit des calculs très-longs, que l’algebre abrégé infiniment (æ).'
    • PROBLÈME XX.
    • Quel ejl l'intérêt dont f croit accru au bout de Cannés un capital quelconque, Ji, à chaque infiant de la durée de Vannée , l'intérêt échu devenoit capi-tal, & portoit lui-même intérêt ?
    • Ce problème a befoin d’une explication pour être facilement entendu. Quelqu’un pourroit pla-
    • (a) On trouve en effet que fi a eft le capital, m le denier de l’intérêt, « le nombre dés années, la fomme à reti-
    • rer chaque année eft
    • ce qui, dans le
    • cas de ao années, & d’un intérêt à cinq pour cent (m étant alors =20), fe trouve ^caX jfifffv
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    • îii Récréations Mathématiques.
    • cer Ton argent fous cette condition ; que l’intérêt échu au bout d’un mois, ce qui feroit, à cinq pour cent par an, un foixantieme du capital, fejoin-droit à ce capital, & porteroit intérêt le mois fuivant à ce même denier ; que ce mois expiré , l’intérêt de cette fomme, qui feroit un foixantieme, plus un trois mille fix centième du capital primitif, accroîtroit encore au capital, accru de l’intérêt du premier mois, St porteroit intérêt le mois fuivant, &c. jufqu’à la fin de l’année.
    • Ce qu’il fait ici pour un mois, il pourroit le faire pour un jour, pour une heure , pour une minute , pour une fécondé , qu’on peut regarder comme une partie infiniment petite de l’année : il eft queftion de fqavoir quel feroit fur ce pied l’intérêt produit par le capital au bout de l’année , l’intérêt du premier inftant étant à cinq pour cent , ou à ^, ce que ce premier inftant eft à l’année entière.
    • Il fembleroit d’abord que cet intérêt compofé St furcompofé devroit beaucoup accroître les cinq pour cent : cependant on trouve qu’il en réfulte à peine un accroiflement fenfible ; car , fi le capital eft i, le même capital, accru de l’intérêt fimple à cinq pour cent, fera 1 + +-, ou 1 + 7775-, tandis qu’augmenté de l’intérêt accumulé à chaque inftant, il fera 1, ou, plus exa&ement ,
    • PROBLÈME XXL
    • Un fommelier infidèle, à chaque fois quil va à lit cave , vole une pinte d'un tonneau particulier qui contient cent pintes , & la remplace par une égale quantité d'eau. Aprls un certain temps 9
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    • Arithmétique. Chap. XI.
    • par exemple trente jours, on s'apperçoit de fa friponnerie ; on le chajfe. Mais on demande quelle ejl la quantité de vin qu'il a prife } & celle qui rejle dans le tonneau ?
    • Il eft aifé de voir qu’il n’a pas pris 30 pintes ; car, dès la fécondé fois qu’il puife dans le tonneau , & qu’il prend un centième de ce qu’il contient , il y avoit déjà une pinte d’eau ; & comme chaque jour il fubftitue à ce qu’il prend une pinte d’eau, chaque jour aufli il vole moins d’une pinte de vin. Il eft donc queftion, pour réfoudre le problème , de déterminer dans quelle progreffion décroît le vin qu’il vole à chaque fois.
    • Pour y parvenir , je remarque qu’après l’ex-traclion de la première pinte de vin , il n’en refte dans le tonneau que. 99, & la pinte d’eau qui y a été verfée ; donc , lorfqu’on tire une pinte du mélange , on ne tire en effet que les — d’une pinte de vin : mais il y avoit auparavant 99 pintes de vin ; donc , après cette extra&iôn, il ne reftera que 99 pintes moins ~, c’eft-à-dire ? ou 98 pintes plus A la troilieme extraction, la quantité de vin contenue dans la pinte tirée, fera feulement + .oÔbo > qui? étant ôté de la quantité de vin qu’il y avoit, fqavoir 98 t£ô* fera STï£îm * ou 97 Pintes &
    • On doit préfentement remarquer que eft le quarré de 99 , divifé par 100, & que 9,70°0dT eft le cube de 99, divifé par le quarré de 100 » &c : conféquemment, après la fécondé extra&ion, la quantité de vin reliante fera le quarré de 99 , divifé parla première puiffance de 100; après la troilieme, ce fera le cube de 99, divifé par le quarré de 100 j &c : d’où il fuit qu’après la trentième ex-;
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    • XI4 Récréations Mathématiques.
    • tra&ion, la quantité de vin reliante fera la trentième puiflance de 99, divifée par la vingt-neuvième de 100. Or on trouve, par le moyen des logarithmes , que cette quantité eft 73 confé-quemment la quantité lie Vin prife eft 26. 770M*
    • PROBLÈME XXII.
    • îl y a trois ouvriers que j'appelle Jacques , Jean , & Pierre. Les deux premiers , travaillant enfemble , ont fait un certain ouvrage en huit jours, Jacques & Pierre n'ont pu le faire qiten neuf jours 9 & les deux derniers n'en ont fait un femblable qu'en dix jours, îl efl quefion de déterminer combien chacun d'eux mettroit de jours à faire te meme ouvrage.
    • Réponse. Le premier le fera en 14 jours & le fécond en 17 & ^ & le troifieme en 23 jours
    • •&TT» »
    • PROBLÈME XXIII.
    • Un Efpagnol doit à un François 3/ livres ; mais il n'a , pour J acquitter, que des piajlres qui valent 5 livres, & le François n'a que des ècus dé C livres. Comment s'arrangeront-ils , c'efl-à-dire
    • (a) En faifant le calcul à la maniéré ordinaire, il faudrait calculer la trentième puiffance de 99, qui n’auroit pas moins de 59 chiffres, & la divifer par l’unité fuivie de 58 ?,ér°V“lieu qu’fn opérant par le moyen des logarithmes* il fumt de multiplier le logarithme de 99 par 30; ce qui donne 508690560, & d’en retrancher le produit du logarithme de 100 multiplié par 29, qui eft 580000000. Xe reftant 18690560 eft le logarithme de la quantité cherchée* «m’on trouve, dans la table des logarithmes, être 73, a bien peu de chofe près.
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    • Arithmétique.,^/».XI. 115
    • combien VEfpagnôl donnera-t-il au François de piaftres, & combien celui-ci lui rendra-t-il Ficus , pour que la différence foit égale à 3 / livres , enforte que cette dette foit acquittée ?
    • Réponse. Les nombres les plus {impies qui fa-tisfont à la queftion, font onze piaftres & quatre écus ; car 11 piaftres font 55 livres , &: les quatre écus font 24 livres ; conféquemment leur différence, dont le François eft avantagé dans cette efpece d’échange, eft de 31 livres.
    • Ce problème eft, au refte, fufceptible d’une infinité de folutions ; car on trouve qu’on fatisfera encore au problème avec dix-fept piaftres & neuf écus de 6 livres, avec vingt-trois piaftres & quatorze écus ; en augmentant toujours le nombre des piaftres de fix, & celui des écus de cinq.
    • Remarque.
    • Voici la Solution de ce problème, en faveur des jeunes analyftes. Je nomme x le nombre des piaftres, & y celui des écus; donc 5* fera la fomrne donnée par l’Efpagnol, & celle que le François donnera de fon côté —6y. Leur différence doit être égale à 31; donc jx— 6y—J I livres; donc 5*=3 i-j-6y , & x=31+6y , ou g-H+fo
    • livres. Or x doit être un nombre entier ; d’où il fuit que 6 en étant un , doit être aufli de la
    • même nature. Je le fuppofe égal à u; donc 5u s= 1 +6y, &C.y=5a—1. Or y eft, par la fuppofition ,
    • un nombre entier ; d’où il fuit que y»—1 en eft aufîi Oiv
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    • t\6 Récréations Mathématiques,
    • un. Il faut donc que u foit tel que, fon quintuplé étant diminué de l’unité, le reftant foit divifible par 6 : or le premier nombre qui a cette propriété eft 5 ; car fon quintuple 25 , diminué de l’unité , eft 24, qui eft divifîble par 6 ; & ce quotient, qui eft 4, eft la valeur même dey. On trouvera en-fuite en faifant attention que x=6+i+6y i ce
    • qui ,eny fubftituant la valeur dey ou 4 , donne 11 pour la valeur de x.
    • La fécondé valeur de u qui remplit la condition requife, eft 11 ; car cinq fois 11 font ç 5 , qui, diminués de l’unité, donnent 54, lequel nombre divifé par 6, donne 9. Ainfi 9 eft la fécondé valeur de y, & l’on trouve 17 pour la valeur cor-refpondante de x.
    • La troifieme valeur de u qui réfout la queftion» eft 17 ; ce qui donne pour les valeurs correfpon-dantes dey & les nombres 14 & 23. Ainfi les nombres d’écus qui réfolvent la queftion à l’infini font, 4,9, 14, 19, 24y &c; & les nombres confondants de piaftres font, II, 17, 2}* *9>35>&c-
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    • Arithmétique. Chap. XII. 217
    • CHAPITRE XII.
    • Des Quarrés magiques.
    • ON appelle rjuarré magique, un quarré di-vifé en plufieurs autres petits quarrés égaux ou cellules, qu’on remplit des termes d’une pro-greffion quelconque de nombres, ordinairement arithmétique, en telle forte que ceux de chaque bande, foithorizontale, foitverticale, foit diagonale , faffent toujours la même fomme.
    • Il y a auffi des quarrés dans lefquels le produit de tous les termes, dans chaque bande horizontale, verticale ou diagonale , refte toujours le même. On en parlera auffi, quoique légèrement, parcequ’ils n’ont point de difficulté plus grande que celle des premiers.
    • On a donné à ces quarrés le nom de magiques, parceque les anciens leur attribuoient de grandes vertus, & que cette difpolîtion de nombres for-moit la bafe & le principe de plufieurs de leurs talifmans.
    • Suivant eux , le quarré d’une café rempli par l’imité,, étoit le fymbole de la divinité, à caufe de l’unité de Dieu & de fon immutabilité; car ils remarquoient que ce quarré étoit unique & immuable par fa nature , le produit de l’unité par elle-même étant toujours l’unité même. Le quarré de la racine 2 étoit le fymbole de la matière imparfaite , tant à caufe des quatre éléments, que de l’impoffibilité d’arranger ce quarré magiquement, ainfi qu’on le verra plus bas.
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    • ti8 Récréations Mathématiques.
    • Le quarré de neuf cafés étoit attribué ou ccrnfa-cré à Saturne ; celui de feize, à Jupiter ; on avoit dédié à Mars celui de vingt-cinq ; au Soleil celui de trente-fix ; à Vénus, celui de quarante - neuf; à Mercure celui de foixante-quatre ; & enfin à la Lune, celui de quatre-vingt-un, ou de neuf de côté.
    • Il falloit fans doute avoir l’efprit bien enclin aux vifions , pour trouver aucune relation entre les planètes & ces difpofitions de nombres ; mais tel étoit le ton de la philofophie myftérieufe des Jambliques, des Porphires, & de leurs difciptes. Les mathématiciens modernes , en s’amufant de ces arrangements, qui exigent un efprit de combi-naifon aflez étendu, ne leur donnent que l’importance qu’ils méritent.
    • On divife les quarrés magiques en pairs & impairs. Les premiers font ceux dont la racine eft un nombre pair, comme 2 , 4, 6,8 , &c : les autres font ceux qui ont une racine impaire, & , par une fuite néceflaire , un nombre impair de cafés ou cellules ; tels font les quarrés de 3, 5,7, 9, &c. La difpofition de ces derniers eft bien plus facile «pie celle des premiers ; c’eft pourquoi nous commencerons par-là.
    • §. 1.
    • Des quarrés magiques impairs.
    • Il y a plufieurs réglés pour la conftru&ion de ces quarrés ; mais de toutes la plus limple & la plus commode , me paroît être celle que M. de la Loubere nous a rapportée d’après les Indiens de Surate, auprès defquels les quarrés magiques pa-roiflent n’avoir pas eu moins de crédit que parmi les rêveurs anciens dont nous avons parlé plus haut. V Y
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    • Arithmétique. Chap. XII. 219
    • Le quarré étant impair, par exemple celui de la racine 5 , qu’il eft queftion de remplir des vingt-cinq premiers nombres naturels, on commence à placer l’unité dans la café du milieu de la bande horizontale d’en haut ; puis on va de gauche à droite en montant ; & , comme on fort du quarré , on transporte le 2 à la plus baffe café de la bande verticale où il
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    • fe trouveroit : on continue en montant de gauche à droite ; & le 4 fortant du quarré, on le tranfporte à la cellule la plus éloignée de la bande horizontale où il fe trouveroit : on infcrit 5 dans la cellule fui-vante, en montant de gauche à droite; 6c, comme la café fuivante, où tomberoit le 6, fe trouve déjà remplie par 1, on place le 6 immédiatement au def-fous de 5 : on va de-là en montant, fuivant la réglé générale, & on infcrit les nombres 7 & 8 dans les cafés où on les voit ; puis, en vertu de la première réglé de tranfpofition, 9 au bas de la dçrniere bande verticale ; enfuite 10, en vertu de la deuxieme , à la café la plus à gauche de la deuxieme bande horizontale ; enfliite 11 au deffous, par la troifieme réglé : après quoi l’on continue à remplir la diagonale desn mbres 11,12, 13, 14, 15; &, comme il n’y a plus moyen de monter, 6c qu’on fortiroit du quarré dans tous les fens, on met le nombre fuivant, 16, au deffous de 15 : continuant enfin, félon le même procédé, on remplit fans nouvelle difficulté le reftant des cafés du quarré, comme on le voit plus haut.
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    • iio Récréations Mathématiques. fuivant cette méthode. Ces exemples pourront fervir à exercer ceux de nos lecteurs à qui ce genre d’amufement plaira. Voici maintenant quelques remarques générales fur les propriétés du quarré arrangé fuivant ce principe.
    • 3° 139 481 . | .o(^| 18
    • 38(47 7 | 9 |i8|i7 19
    • 461 6 8 |i7|i6|}5 37
    • 5 |M ,6|i5|34|36 45
    • *31M x413 3141144 4
    • «1*3 3i|4‘ 451 3
    • 4°|49 *!«« 10
    • i° Suivant cette difpofition, la plus régulière de toutes, le nombre moyen de la progreffion occupe le centre, comme 5 dans le quarré de neuf cafés , 13 dans celui de vingt-cinq, 23 dans celui de quarante-neuf ; mais cela n’eft pas nécefîaire dans toutes les difpofitions magiques.
    • 2° Dans chacune des diagonales , les nombres qui remplirent les cafés également éloignées du centre , forment le double de celle du centre; ainfi 30+20=47+3=28+22=24+26, &c. font toujours le double du nombre central 25.
    • 30 II en eft de même des cafés centralement oppofées. J’appelle ainfi celles qui font femblable-ment fituées à l’égard du centre, mais en fens op-pofé, tant de côté que pour la hauteur : ainfi 31 & 19 font des cafés centralement oppofées; il en
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    • Arithmétique. Chap. XII. m
    • eft de même de 48 & 2, de 13 & 37, de 14 & 36, de 32 & 18. Or il arrive, fuivant cette dif-pofition magique , que ces cafés ainfi oppofées forment toujours le double du nombre central, ou 50, comme on le peut éprouver.
    • 40 II eft aifé de voir qu’il n’eft pas néceflaire que la progreffion à arranger magiquement foit celle des nombres naturels 1,2, 3,4, &c : quelque progreffion arithmétique que ce foit, 3,6,9,12, &c. 4,7, 10,13, 16, &c. s’arrangera de la même maniéré.
    • 5° Il y a plus : il n’eft pas néceflaire que la progreffion foit continue ; elle peut être difcontinue , & voici la réglé générale. Si les nombres de la progreffion, rangés félon leur ordre naturel dans les cafés du quarré, préfentent dans tous les fens, vertical, horizontal, une progreffion arithmétique , ils font fufceptibles d’être rangés magiquement dans le même quarré , & par le même procédé. Soit prife, par exemple , la fuite de nombres 1, *,3> 4,5; 7, 8, 9» jo,11513,14,15,.6,
    • 17; 19,10,11,11,13;
    • 2.5 , 26 , 27, 28 , 29 : comme, en les rangeant dans les cafés d’un quarré, elle préfente par-tout une progreffion arithmétique, on peut la ranger magiquement ; & en effet, fuivant la réglé précédente , on formera avec elle le quarré magique ci-joint.
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    • in Récréations Mathématiques.
    • Pareillement, & par la même raifôn, la fuite dénombrés i, 6, n, 16,
    • il ; 1,7,11,17* ^>3»
    • 8,13»18,13;4* 9* J4>
    • 19* *45 5* lo>lh 2°*
    • 15 , fe rangera, par le meme procédé , magiquement, comme on le voit ci-à-côté ; ce qui donne un quarré de 25 tout différent. On parlera ailleurs des variations" du même quarré.
    • Il y a encore la réglé de Mofcopule, auteur Grec moderne; & celle deM. Bachet de Méfiriac, qui, ne connoiffant ni l’une ni l’autre, en a imaginé une. Nous croyons devoir aulïi les faire connoître.
    • Mofcopule place l’unité immédiatement au clef-fous de la café centrale, puis infcrit les nombres fuivants, en defcendant de gauche à droite ; ÔC quand un nombre fort du quarré, il le tranfporte au plus haut de la bande verticale qui lui convient : de-là il continue en defcendant obliquement de gauche à droite ; & quand un nombre fort à la droite , il le tranfporte dans la café la plus éloignée à gauche, d’où il continue fui-vant la première réglé : s’il rencontre une café déjà _
    • remplie, il porte fon chiffre deux cafés au deffous de celui dernièrement infcrit : arrivé au bout de la diagonale, il porte le nombre fuivant le plus haut qu’il fe peut dans la
    • 11 NI 7 M 3
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    • Arithmétique. Chap. XII. aij même verticale Enfin, quand un nombre qui de-vroit être porté deux cafés plus bas que le dernier infcrit fort du quarré, il le porte tout au haut de la même bande. Cette defcription de fa méthode, jointe à l’exemple, fuffit pour la bien entendre ; mais elle eft un peu plus compliquée que l’Indienne. Voici enfin la réglé de Bachet.
    • Elevez fur chaque côté du quarré donné, des cafés en échelons, comme on voit ci - deffous ;
    • A
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    • puis, commençant par la café la plus élevée, inf-crivez tous les nombres de la progreffion en descendant diagonalement, comme on voit de i en < de 6 en io, &c. 11'J
    • Cela fait, tranfpofez dans la café a, la plus voifine & au deffous du centre, le nombre le plus élevé; tranfpofez pareillement 15 en le plus près au deffus du centre ; que 5 foit, par la même
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    • Récréations Mathématiques.
    • raifon, tranfpofé en c & 21 en d, pub 6 en t 8d 24 en/, 20 en m & 2 en /, &e : vous aurez enfin le quarré magique ci-après , dans lequel la fomme de chaque bande, tant verticale, qu’hôrizontàle & diagonale, fera65.
    • .1 24 | 7 |10| 3
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    • *7 5 1
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    • 131 6 9| 1 |>5
    • Cette réglé , quoique différente de celle de Mofcopule, donne absolument le même réfultat* Mais ces différentes méthodes le cedent à la fuivante, qui a pour auteur M. Poignard , chanoine de Bruxelles, & M. de la Hire, qui l’a perfectionnée & amplifiée ; car les précédentes font -tout-à-fait particulières , au lieu que celle-ci va nous donner une multitude de combinaifons presque illimitée.
    • Soit, par exemple, un quarré de racine impaire , comme 5 : ayant cônftruit ce quarré, vous placerez dans le premier rang horizontal d’en haut les cinq premiers nombres de la progreffion dans l’ordre que vous voudrez : prenons 1, 3, 5,2,4; choififfez enfuite un nombre premier avec cette racine 5 , & qui, diminué
    • de
    • 113 ihU
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    • Arithmétique. Chap. XII. nj 3e l’unité, ne le mefure point non plus : nous fup-poferons 3 ; c’eft pourquoi vous prendrez le troi-îieme chiffre de cette fuite, d’où vous compterez , pour remplir la fécondé bande horizontale ,5,2, 4,1, 3 ; puis vous recommencerez encore par le troifieme, après & y compris 5, c’eft-à-dire par 4, ce qui donnera, pour la troifieme bande, 4,1, 3,
    • 2. ; vous aurez en fiiivant le même procédé la fuite des nombres 3, 5, -2, 4, 1, dont vous remplirez la quatrième bande ; & ainfi en continuant & reprenant toujours du troifieme chiffre, y compris le précédent, jufqu’à ce que tout lequarré foit rempli comme l’on voit ici. Ce quarré fera un des coin-pofants du quarré cherché , & fera magique ; car la fomme de chaque bande, foit horizontale, foit verticale, foit diagonale, eft la même, puifque les cinq nombres de la progreflion font dans char, cune fans répétition.
    • Faites présentement un deuxieme quarré géomé-trique de 25 cafés, dans la première bande duquel vous infcrirez les multiples de la racine 5, en com-anenqant par zéro, fçavoir, q, 5, 10, 15, 20 s & dans l’ordre qu’il vous plaira, par exemple celui-
    • vous finirez de remplir le quarré fuivant le même principe que ci-deffus, en ayant néanmoins attention de ne pas prendre le même quantieme pour recommencer continuellement.
    • On a pris, par exemple , pour le premier quarré, le troifieme chiffre j il faudra prendre ici le qua»
    • Tome /, P
    • liüL
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    • ai6 Récréations Mathématiques.
    • trieme, 6t l’on aura le quarré des multiples formé comme on le voit ici. C’eft le fécond compofant, du quarré magique cherché, & il eft lui-même magique, puifque la fomme de chaque bande & de chaque diagonale eft la même.
    • Maintenant, pour avoir le quarré magique cherché , il n’y a qu’à infcrire dans un troifieme quarré de 15 cellules, la fomme des nombres qui fe trouvent dans les cellules cor-refpondantes des deux précédents , par exemple 5 ,
    • -f-i ou 6 dans la première à gauche &c en haut du quarré cherché; 0+3 ou 3 dans la deuxieme, &c : vous aurez, par ce procédé, le quarré de 15 cafés ci-joint, qui fera nécef-fairement magique.
    • On peut, par ce moyen, faire tomber tel nombre qu’on voudra dans telle café qu’on voudra*, par exemple, 1 dans la café centrale : il n’y a qu’à remplir la bande du milieu par la fuite des nombres, enforte que 1 foit au milieu , comme l’on voit ici ;
    • & on continuera de rem' plir le quarré fuivant le principe ci-deffus, en recommençant par la bande la,plus haute, quand on aura rempli la plus baffe.
    • Pour former le fécond quarré, on placera zéro
    • 1 11314 5
    • 3 4|t|» .
    • 3 H 1 1 3 | 4
    • 1 3 | 4 j 5 I 2
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    • Arithmétique. Chap. XII, irj
    • SU centre, comme on voit ci à côté , & on le remplira de la même maniéré,
    • & avec l’attention de ne pas prendre, pour recommencer les bandes, le même quantieme que pour le premier.
    • Enfin l’on additionnera ,
    • dans un troifieme quarré, les cafés- femblables, &: l’on aura le quarré ci-joint, où i occupera nécefîaire-ment le centre.
    • Remarques.
    • ï. Il eft à propos de remarquer que, lorfque le nombre de la racine n’eft pas premier, comme lorf-cju’il eft 9, 15,21 , &c. il eft impofïible de faire enforte qu’il n’y ait aucun nopibre répété, au moins dans l’une des diagonales ; mais, dans ce cas , il faut s’arranger de maniéré que le nombre répété dans cette diagonale foit le moyen de la progref-lion, par exemple , 5 fi la racine du quarré eft 9, 8 ft elle eft 15 ; &, comme le quarré des multiples fera fujet au même accident, il faudra aufli faire enforte, en le rempliflant, que ce foit la diagonale oppofée qui foit remplie du multiple moyen entre zéro & le plus grand, par exemple, 36 fi la racine eft 9, 105 fi elle eft 15.
    • H. On peut aufli faire la même chofe dans les
    • pij
    • 20 5 .0 O -5
    • 0 5 20 5 10
    • 5 10 0 M 20
    • 5 10 5 10 O
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    • 24 5 7|2i «
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    • ai8 Récréations Mathématiques.
    • quarrés dont la racine eft première. Nous formel Tons, par exemple , un quarré magique de ces deux quarrés,
    • io| a I 5 |i5|io
    • 10 j101 0 5 115
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    • dans le premier defquels 3 eft répété dans la diagonale de droite à gauche en defcendant, & dans le fécond defquels 10 l’eft dans la diagonale de .gauche à droite en defcendant. Cela n’empêche pas que le quarré provenant de leur addition ne foit magique.
    • u| 1 |i°|:9|i;
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    • 3 I 6|'7|t;|i4
    • S - »•
    • Des Quarrés magiques pairs
    • La conftru&ion de ces quarrés n’eft pas auffi facile que celle des impairs ; ils ont même différents degrés de difficulté, fuivant qu’ils font paireraent
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    • Arithmétique. Chap. XII ity ©u impairement pairs : c’eft pourquoi il faut en faire deux claffes.
    • Les quarrés pairement pairs font ceux dont la racine partagée par la moitié eft paire ; tels font les quarrés de 4, 8, 12 , ôte. Les impairement pairs font ceux dont la racine, partagée par la moitié, donne un nombre impair; comme ceux de 6 10, 14, &c.
    • Les anciens ne nous ont tranfmis aucune réglé générale , mais feulement quelques exemples de quarrés pairs rangés magiquement, comme ceux de 16, de 36, de 64 cafés. Voici ce que les modernes qui s’y font exercés ont trouvé <îe mieux.. Commençons par les quarrés pairement pairs.
    • On peut d’abord s’affurer facilement que l’on ne fçauroit remplir magiquement le quarré de la racine 2: le premier qu’on puifle ainfi ranger magiquement, eft celui de 16 cafés. H y a une réglé générale & fort limple pour y parvenir.
    • Soit donc le quarré ABCEK, qu’il faut remplir magiquement des 16 premiers nombres naturels? on remplira d’abord les diagonales ; &, pour cet effet, on commencera à compter les nombres naturels par ordre, 1,2,3,4, ôcc. fur les cafés de la première bande horizontale de gauche à droite ; puis on paffera à la fécondé bande, 6c lorf-qu’on tombera fur les cafés appartenantes aux diagonales, on y infcrira les nombres comptés en tombant fur elles : vous aurez d’abord par ce moyen la difpofition ci-contre.
    • Les diagonales ainfi remplies, afin de rempli» Piij
    • 3.1 !
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    • *jo Récréations Mathématiques. les cafés qui ont refté vuides, il faut recommencer à compter les mêmes nombres, en partant de l’angle D , & de droite à gauche, fur les cafés de la bande inférieure C D, & enfuite fur celle qui la fuit en montant ; & quand vous rencontrerez des cafés vuides , vous les remplirez du nombre qui leur compete : vous aurez de cette maniéré le quarré 16 rempli magiquement, comme on le voit ici, & la fomme de chaque bande & de chaque diagonale fera 34.
    • Remarques,
    • 1 |m1m'4
    • 9
    • 8 H» 5
    • .3131
    • I. Il en eft ici comme dans les quarrés impairs î toute progreflion de nombres qui, rangée par ordre dans le quarré géométrique, préfentera en-tous les fens, horizontalement & verticalement, une progreflion arithmétique, fera fufceptible d’être rangée magiquement dans le même quarré.
    • II. Il y a plus ; il n’eft pas néceffaire que la proportion arithmétique dans le fens vertical foit continue ; elle peut être difcontinue : par exemple, loient les nombres 1,2,3, 4» 5» 6, 7, 8; 57» 58, 59,60, 61, 62 , 63, 64, qui, rangés fui-vant leur ordre naturel dans le quarré de 16 cafés , préfentent 1234 feulement dans le fens vertical r « les proportions arithmétiques 1, 5 6 7 *
    • 5> 57>61; 2, 6, 58,62, &c. 57 58 5960
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    • Arithmétique. Chap. XII. iy Et en effet le voici. La fomme eft paf-tout 130.
    • Nous venons enfin aux quartés pairement pairs.
    • Réglé pour les Quarris pairement pairs.
    • Nous fuppoferons le quarré de 8 à--remplir des <64 premiers nombres de la progrefïion naturelle.
    • Il faut d’abord écrire ces 64 nombres comme Ton voit dans les deux lignes inférieures des quatre périodes ci-deffous.
    • I 63 6i| 4
    • 60 6 I 157
    • 8 158\39| 5
    • 61 ! 3 M«4
    • 1 2 3 4 4 5 2 1
    • I. ; I a 3 4 5 <5 7 8
    • (j 64 63 62 61 60 59 58 57
    • { 4 1 * 3 3 * 4
    • II. ; 9 10 11 11 13 14 13 16
    • t 56 55 54 53 51 51 5° 49
    • ( 3 4 « 22143
    • III. 9 17 18 19 10 21 21 IJ 24
    • ( 48 47 46 45 44 43 4* 4»
    • ,2341143»
    • IV. ) 15 26 27 18 29 30 31 32
    • (40 39 38 37 36 35 34 33
    • Çe qui fait 32 couples, dont chacun forme 65.
    • Après cela, formez cette progrefïion arithmétique ,1,2,3, &c. qui doit être continuée jufqu’att
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    • Récréations Mathématiques.
    • nombre qui exprime la moitié de la racine ; ce fera ici 1,1,3,4, d’après laquelle vous en formerez les trois fuivantes ,4,1, 1, 333,4, 1,2; 2,3,4, 1 : vous infcrirez par ordre chacune de ces fuites de numéros fur les premiers termes de chaque période des nombres ci-deffus ; &, comme ces numéros ne porteront que fur les quatre premiers , &t qu’il y en a le double, vous les écrirez en ordre inverfe fur les reliants.
    • Tout fera préparé au moyen de cela pour notre opération, & il n’y aura qu’à écrire tous ces nombres par ordre dans les cafés du quarré, en obfer-vant i° que, lorfque le couple de nombres ell fur monté d’un numéro impair, on doit écrire le nombre d’en haut ; tels font les nombres 1, 3,6, 8, 10: mais lorfque le couple fera furmonté d’un numéro pair, ce fera celui de delfous. 2° Quand, après avoir épuifé la moitié delà fuite, on continuera par 3 3,34, 3 5 , &c. ce fera le contraire.
    • Ainliles nombres à infcrire de fuite dans les cafés du quarré font, 1,63, 3,
    • 61, 60,6,58 ,*
    • 8 ; c’ell ce qui formera la première bande : la fécondé fe trouvera en continuant, 56, 10,
    • J4,i*>i3,5i* otc : enfin l’on aura le quarré de 8 de côté , comme on le voit ci-delfus. ^
    • I 163 3 16 60 |6|58|8
    • 56|>° 34 1» n 151115149
    • r7147 9 |45 44 2l|4l|24
    • 40 j 26 38|x8 29 3 5 [ 3 »133
    • 3>| 34 3° J«l 37 17|39j 25
    • 4i |*3 41 -1 20 46|18|48
    • é|50 *4 H 53 ”1551 9
    • 57 j 7 59 51 4 6i| 1 |64
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    • Arithmétique. Ckap. XII. 23£
    • Si l’on a bien faifi l’efprit de cette méthode, on a dû voir que , par Ton moyen, la première & la derniere bandes font néceffairement remplies des 16 nombres de la première période, & en telle forte que les cafés centralement oppofées font toujours 65. Il en eft de même des deuxieme & pénultième bandes ; elles font remplies des nombres de la deuxieme période, & de la même maniéré. Il en eft ainfi des troifieme & lixieme bandes ; de la quatrième & la cinquième. Or il fuit de-là que les diagonales doivent auffi être juftes.
    • Autre Réglé pour les Quarrés pairement pairs '.
    • Ayant donné, d’après M. de la Hire, pour les quarrés impairs, une réglé très-générale, & propre à produire un grand nombre de variations, nous croyons devoir en faire autant pour les quarrés pairs, & d’autant plus qu’elle fert également pour les quarrés magiques pairement pairs & pour les impairement pairs. La voici.
    • I6 5
    • bM
    • Soit le quarré de 8, par exemple, à remplir
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    • 134 Récréations Mathématiques,
    • magiquement. Pour cet effet, il faut commencer par arranger dans la première bande horizontale d’un quarré de 8 de côté, les 8 premiers nombre» de la progreffion arithmétique ; mais enforte que ceux qui feront également éloignés du milieu faffent la même fournie, fçavoir celle de la racine augmentée de l’unité, comme ici 9 : la fécondé bande fera l’inverfe de la première, la troifîeme comme la première, la quatrième comme la deuxieme ; & ainfi de fuite alternativement, jufqu’à la moitié du quarré : après quoi l’autre moitié fe formera en renverfant Amplement la première , comme l’on peut voir ici. Ce fera le premier quarré primitif.
    • Il faut enfuite former le fécond ; ce qui fe fera en le rempliffant, fuivant le même principe , des multiples de la racine, en commençant par zéro , fçavoir,o, 8, 16,24,32,40,48,56, & fai-fant enforte que les extrêmes faffent toujours 56 : mais au lieu d’arranger ces nombres dans le fens horizontal, vous les arrangerez dans le fens vertical, comme l’on voit dans l’exemple ci-deffous»
    • 481 8 [48 8 | 8 48 8 |48
    • i6j40 l6 40 40 16 4o|i5
    • 3*1*4 3* 24 24 3* M[3*
    • 0 156 56 56 0 56 0
    • 56|o 56 0 0 î<5 0 56
    • m|3* 24 3* 3* 14 3* 24
    • 40|16|40 16 l6 40 l6 40
    • S |48| 8 48 48 8 |48 8
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    • Arithmétique. Chap. XII.
    • Cela fait, ajoutez les cafés femblables de vos deux quarrés, vous aurez votre quarré de 8 construit comme on le voit ici.
    • 49 ,4|îî|*o|m|5iI“Ii«
    • 14 43 zok714»|»^|4« l7
    • 33 3° 37|i6|3,|36|i7 40
    • 8 59| 4 |«3158I 5 |<Si 1
    • 64 3 |6°| 7 | 1 |6i| 6 57
    • M |38|i9|34|39 lg|35 31
    • 481 45 il 4i
    • 9 154|*315°|55111 5i|i6
    • Nous nous bornons à cet exemple des quarrés pairement pairs, & nous allons donner, comme la plus limple, la méthode qui s’en déduit pour la conftruélion des quarrés impairement pairs.
    • Méthode pour les Quarrés impairement pairs. Nous allons prendre pour exemple le quarré de
    • la racine 6. JNous commencerons à le remplir , fuivant le procédé enfeigné plus haut, des fix premiers nombres de la progreflion arithmétique , 1, a, 3 , &c ; ce qui donnera le premier quarré primitif ci-joint.
    • 5 «hUM»
    • * 1 I 4 3 | 6 | 5
    • 5 6 I 3 4 | i | *
    • 5 6 1 3 4 | h
    • 1 1 I 4 | 3 | 6 h
    • I < 3 I 4 1 * 1 *
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    • *36 Récréations Mathématiques.
    • On formera le fécond , en le remplif-fant, dans le fens vertical & fuivant le même principe, des multiples de la racine, en commençant par zéro, fça voir: 0,6,12,18,
    • 24, 30-
    • On ajoutera enfuite les cafés femblables des deux quarrés; ce qui en donnera un troifieme, qui n’aura plus befoin que de quelques corre&ions pour être magique. Ce troifieme quand eft celui ci-deffous.
    • A
    • 7 |i6
    • 1131 i 4 3. 3«| 5
    • :7 j[15 16 i9|i4
    • 22 131“
    • 3*1 « 34 33 6 j 33
    • ”13° 9 10 m| 8
    • B
    • Pour rendre ce dernier quatre magique, il faut^ en laiflant les angles fixes, tranfpofer les autres nombres de la bande horizontale fupérieure, & de la première verticale à gauche. Cette tranfpo-fîtion confifte à renverfer tout le reftant de la bande, en écrivant 7 , 28, 27 , 12 , au lieu de
    • 24 I6 M*4| l« 14
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    • 6 i4| 6 | 6 1*4
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    • Arithmétique. Chap. XII. i37 V ous échangerez auffi les nombres des deux cafes du milieu de la deuxieme horizontale d’en haut & de la plus baffe , de la deuxieme verticale à gauche Sc de la derniere à droite : enfin vous échangerez les nombres des cafés A & B, ainfi que ceux de C & D; vous aurez votre quarré corrigé , & difpofé magiquement.
    • §. III.
    • Des Quarrés magiques par enceintes.
    • Voici une nouvelle difficulté que les arithméticiens modernes ont ajoutée à la queftion des quarrés magiques. Il s’agit non-feulement de ranger une progreffion de nombres magiquement dans un quarré , mais on demande encore que ce quarré , en le dépouillant tout à l’entour d’une bande, ou de deux, ou de trois , &c. refte magique ; ou au contraire , ce qui eft l’inverfe, un quarré étant magique , il faut lui ajouter une enceinte d’une ou plufieurs bandes, telles qu’il foit encore difpofé magiquement.
    • Soit, pour donner un exemple de cette conf-tru&ion , le quarré de la racine 6 à difpofer magiquement ? en le rempliffant des nombres naturels depuis i jufqu’à 36. Le premier quarré magique pair poffible étant celui de 4 de côté, nous commencerons par le difpofer magiquement, en le rempliffant des termes moyens de la progreffion , au nombre de 161 en réfervant les 10 premiers Sc
    • 2Ç>| 7 |i8 9 |.i|iS
    • J»|JI 3 4 |3«| 5
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    • *1* 34 33 6 135
    • -|M IO\27 3°| 8
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    • RÉCRÉÀTIÔNS MaTHÉMàÏIQUÊS; les io derniers pour l’enceinte. Nous prendfôftë donc pour le quarré intérieur, les nombres n , 12, &c. jufqu’à 26 inclufivement, Sc nous leur* donnerons une difpofition magique quelconque : il nous reliera les nombres i, 2, &c. jufqu’à io, & 27 jufqu’à 36, pour l’enceinte.
    • Pour difpofer ces nombres dans l’enceinte , on peut d’abord placer aux quatre angles les nombres 1,6,31, 36, en-forte que diagonale-ment ils faffent 37.
    • Chaque bande devant faire 111, il faudra donc dans la première bande quatre nombres, tels qu’ils faffent 104;
    • &, comme leurs compléments à 37 doivent fe trouver dans la plus baffe, où il y a déjà 67, il faudra qu’ils faffent enfemble 44 : or il y a plufieurs combinaifons de ces nombres quatre à quatre, qui peuvent faire 104, & leurs compléments 44; mais il faut qu’en même temps quatre des reliants puiffent faire 79 , pour remplir la première bande verticale , tandis que leurs compléments feront 69 pour compléter la derniere. Cette double condition limite la première combinaifon 335, 34,30,5, qu’on placera dans la première bande félon l’ordre qu’on voudra, pourvu qu’on mette au deffous de chacun , dans la derniere bande, léurs compléments ; & les quatre nombres qui doivent remplir la première bande verticale feront 33 , 28, 10,8, qu’on y pourra arranger comme l’on voudra , pourvu qu’on oppofe à chacun fon complé-
    • I 33 34 5 3° 6
    • 33 11 M M H 4
    • 28 12 l6 :7 i'9 9
    • 8 18 20 21 M 29
    • 10 13 ‘3 12 26 27
    • 3i 1 3 31 7 3 6
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    • Arithmétique. Chip. XÎI, 139 ment dans la café correfpondante de l’autre côté.
    • Il n’y a pas une néceffité abfolue de placer 1,6, 31, 3 6, dans les quatre angles du quarré : fup-pofons qu’on y eût dans le même ordre 2,7, 30,35, il faudroit alors que les quatre premiers nombres filfent 102 & leurs compléments 46 , tandis que les quatre derniers feraient encore 79 & leurs compléments 69 : or on trouve que les quatre premiers nombres font 36, 31, 117,
    • 8, & les féconds 34,
    • 32,9,4. Les premiers étant rangés comme on voudra dans les quatre cafés vuides de la première bande, & leurs compléments au delfous, on rangera les féconds dans les cafés de la première bande verticale, & leurs compléments chacun à l’extrémité de la même bande horizontale , & l’on aura le nouveau quarré à enceintes qu’on voit ici.
    • Si l’on vouloit former un quarré à enceinte de la racine 8, il faudroit réferver pour le quarré intérieur de 36 cafés, les 36 nombres moyens de la progreffion, & l’on en formeroit, fi l’on vouloit, un quarré à enceinte, à l’entour du quarré magique de 16 cafés : enfuite, avec les 28 nombres reliants, on formeroit l’enceinte du quarré de 36 cafés, &c.
    • Ainfi l’on voit comment on pourroit former un quarré magique qui, dépouillé fucceffivement de une, deux, trois enceintes , reliât toujours magique.
    • 1 3^131|27 8 7
    • 34 II 14 3
    • 31 il ,6|,7| •9 5
    • 9 18 "Mm 18
    • 4 *3 •3|» 26 33
    • 3° 161,0 29 35
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    • 14<j Récréations Mathématiques.
    • §. IV.
    • D'une autre efpece Je Quarri magique à compar-timents.
    • Il eft queftion ici d’un autre artifice dont la plupart des quarrés magiques font fufceptibles ; c’eft d’être non-feulement magiques dans leur totalité , mais encore d’être tels que, les divifant dans les quarrés dans lefquels ils font réfolubles, ces parties du premier quarré foient elles-mêmes magiques. Le quarré de 8 de côté eft, par exemple, formé de quatre quarrés, ayant 4 pour racine : on peut demander que non-feulement le quarré 64 foit difpofé magiquenient, mais encore chacun de ceux de 16 ; & même que ces derniers, arrangés comme l’on voudra, compofent toujours un quarré magique.
    • La chofe eft facile , & même c’eft le moyen le plus fimple de tous, de conftruire les quarrés pai-xement pairs, comme on va le voir.
    • Pour conftruire de cette maniéré le quarré 64 > prenez les 8 premiers nombres de la progreffion naturelle de 1 à 64, & les 8 derniers ; arrangez-les magiquement dans un quarré de 16 cafés ; faites-en autant des 8 termes qui fuivent les 8 premiers, joints aux 8 qui précèdent les 8 derniers ; vous aurez un fécond quarré magique : faites-en un femblable avec les 8 fuivants, joints à leurs correfpondants, & enfin avec les 16 moyens; il en réfultera quatre quarrés de 16 cafés, tous égaux en fommes, foit dans les bandes, foit dans les diagonales; car on trouve par-tout 130. Il eft donc évident que, rangeant ces quarrés à côté l’un de l’autre dans l’ordre quelconque qu’on voudra, le quarré
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    • Arithmétique. Chap. XLî. 241 aarré qui en réfultera fera magique, & la femme ins tous les féns fera 260,
    • I 6î|6i| 4 9 155154| ü
    • 60 6 1 7 j 57 5* 1T4(15|49
    • 8 58 59I ? 16
    • 61 3 1164 53 11110j 56
    • *7 47 4^| 20 2Ç 39)38(28
    • 44 22 13 [41 36 îo|3X 33
    • 24 42| 431 21 32 34)35 29
    • 451*9 j 18(48 ï7| 27|i6 40
    • Pour arranger ainfi le quarré de 9, divifez la progreffion de 1 à 81 inclufivement, en neuf autres , comme 1, 10,19,.................73 ; 2, 1 r,
    • 20, .... 74; 3 ,12, 21, .... 75 ; &c.& arrangez magiquement chacune de ces progreffions par ordre dans un quarré de 9 cafés : celui qui recevra la première fera intitulé I, celui de la fécondé II , &c. Or vous obferverez que dans ces différents quarrés, les femmes des bandes & celles des diagonales feront elles-mêmes en progreffion arithmétique , fçavoir : dans le quarré I elle fera in, dans le quarré II elle fera 114 ; & ainfi de fuite. Enfin rangez ces 9 quarrés magiquement, il éft aifé de voir que le total fera encore magique : mais les quarrés partiaux ne pourront pas être tranf-pofés comme dans le précédent de 64.
    • Le quarré de 15 eft réfolubleen 25 quarrés de 9 cafés. Si donc on arrange magiquement 25 quarrés de 9 cafés, en lesreifipliffant des 25 progref-Tome /, Q
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    • 14» Récréations MatHématiquïs.
    • fions qu’on peut former ainfi, i, 26, 51, . . . .
    • loi ; », »7, 52.................. 3» 5-3»
    • ........203 ; &c. ces quarrés auront fucceflive-
    • ment & par ordre , pour les fournies de. leurs, bandes & celles de leurs diagonales, 303 , 306, 309 , &c. jufqu’au dernier, qui aura 375 dans chacune de Tes bandes & de Tes diagonales. Ainfi , arrangeant magiquement ces 25 quarrés, en fup-pofant le premier I, le deuxieme II, le troifieme III, & le dernier XXV, on aura un quarré magique ; &, autant qu’il y a de variations dont le quarré de 25 cales eft fufceptible, autant il y en aura que le quarré de 15 pourra recevoir étant magique à la fpis, & les quarrés dont il eft com-pofé l’étant auffi.
    • §. V.
    • Des variations des Quarrés magiques.
    • Le quarré de 3 de racine n’eft lufceptible d’aucune variation : quelque méthode qu’on emploie, quelque arrangement qu’on donne aux nombres de la progreffion depuis 1 jufqu’à 9, on voit toujours renaître le même quarré , fi ce n’eft qu’il eft renverfé, ou tourné de gauche à droite ; ce qui n’eft pas une variation.
    • Mais il n’en eft pas ainfi de celui de 4 de racine ou de 16 cafés ; il eft fufceptible au moins de 880 variations, que M. Frenicle a données dans fon Traité des Quarrés magiques.
    • Le quarré de 5 eft fufceptible au moins de 57600 combinaifons différentes; car, fuivant le procédé de M. de la Hire, les 5 premiers nombres peuvent être difpofés de 120 façons différentes dans la première bande du premier quarré primitif; ÔC comme on peut enfuite les ranger dans les
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    • Arithmétique. Chap. XII. *4$
    • bandes inférieures, en recommençant par deux quantièmes différents, cela fait 140 variations au moins dans le premier quarré primitif, lefquelles combinées avec les 240 du fécond, forment 57600 variations du quarré de 5. Mais il y en a fans doute encore bien plus ; car le quarré de 5 à enceinre ne fe réduit pas à la méthode de M. de la Hire : or un feul quarré de 5 à enceinte, les angles reftant fixes , ainfi que le quarré intérieur de 3 , peut éprouver 36 variations. Ainfi, en changeant le quarré intérieur & les angles, combien d’autres variations doivent en naître ?
    • Un fimple quarré de 6 à enceinte, une fois confirait, peut être varié ,les angles reftant fixes, & le quarré intérieur étant compofé des mêmes nombres, de 4055040 maniérés; car le quarré intérieur peut être varié & différemment tranf-pofé dans le centre de 7040 maniérés : enfuite chacune des bandes horizontales , haute & balle , peut, les extrémités reftant fixes, être variée de 24 maniérés ; car il y a quatre paires de nombres fiifceptibles d’être changés de place, qui peuvent fe combiner de 24 façons; & il en eft de même des quatre paires qui fe trouvent dans les bandes verticales entre les angles. Ainfi le nombre des combinaifons eft le produit de 7040 par 576 , quarré de 24; ce qui donne 4055040 variations. Mais les angles peuvent varier, ainfi que les nombres qu’on prendra pour former le quarré intérieur ; d’où il fuit que le nombre des variations totales du quarré de 6, fans cefler d’être à enceintes , eft plufieurs millions de fois le nombre précédent.
    • Le quarré de 7 peut, par la feule méthode de M. de la Hire, être varié de 406425600 maniérés.
    • i
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    • 244 Récréations Mathématiques,
    • Quelque nombreufes que foient ces variations , «lies ne doivent pas furprendre , car le nombre des difpofitions, magiques ou non magiques , de 49 nombres , par exemple, en forme un de 62 . chiffres , dont le précédent n’eft évidemment qu’une partie, pour ainli dire, infiniment petite,
    • §. VI.
    • Des Qtiarrês magiques géométriques.
    • Nous avons dit, au commencement de ce chapitre , qu’on peut arranger dans les cellules d’un quarré des nombres en progreffion géométrique, & de telle forte que le produit de ces nombres dans chaque bande, foit horizontale, foit verticale , foit diagonale , fut toujours le même.
    • Ce font précifément les mêmes principes qu’il faut fuivre pour cette conftru&ion ; & il eft aifé de le démontrer par la propriété des logarithmes : ainli nous ne nous y arrêterons pas. Nous nous, bornerons à un exemple : c’eft celui des 9 premiers termes de la progreffion géométrique double, 1,
    • 2, 4, 8, &c. arrangés dans le quarré de 3 de côté. Le produit eft évidemment le même dans tous les fens, fçavoir 4096.
    • 128 I* 3»
    • 4 16 <s4
    • 8 256 1
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    • ÉTIQUE. Chap. XIIL 14f
    • CHAPITRE XIII.
    • De ÜArithmétique Politique*.
    • DEPUIS que la politique s’efi éclairée fur ce qui conftitue la vraie forcé des Etats , on a fait beaucoup de recherches fur le nombre des hommes de chaque pays, pour reconnoîtrefa po-pulation. D’ailleurs , prefque tous des gouvernements s’étant trouvé contraints à faire de forts emprunts, pour la plupart en rente viagère, on a été naturellement conduit à examiner fuivant quelle progreffion s’éteignoit la race humaine., afin-de. proportionner les intérêts de ces emprunts à la probabilité de l’extin&ion de la rente. Ce font ces calculs auxquels on a donné le: nom 8Arithmétique politique ; & comme ils préfentent plu-fieurs faits curieux, foit qu’on les confidere du côté politique , foit qu’on les envifage du côté phyfique, nous avons cru devoir les inférer ici* pour amufer ôc inftruire nos lecteurs.
    • •'s-1-
    • Du rapport des Mâles aux Femelles,.
    • Beaucoup de gens font dans la perfuafion que le nombre des filles qui naiffent excede le nombre des naiffances de garçons lie contraire eft démontré depuis bien long-temps. Il naît annuellement plus de garçons que de filles ; & , depuis 1631, qu’à une petite lacune près on a le nombre deé aaiflances arrivées à Londres, avec diftinétion de
    • Qüj
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    • 146 Récréations Mathématiques, fexe, on n’a pas pu obferver une feule fois que celui des filles égalât même celui des garçons. On trouve enfin , en prenant un terme moyen, par le calcul d’un grand nombre d’années, que le nombre des garçons naiffants eft à celui des filles, comme 18 à 17. Ce rapport eft aufli celui qui régné dans la généralité de la France; mais, quelle qu’en foit la 1a raifon, il femble être, à Paris, comme de 27 à 26.
    • Ce n’eft pas feulement en Angleterre & en France qu’on obferve cette efpece de phénomène, mais c’eft encore pâr-tout ailleurs. On peut s’en convaincre par la le&ure des gazettes, qui nous communiquent au commencement de chaque année le nombre des naiffances arrivées dans la plupart des capitales de l’Europe : on y verra le nombre des mâles naiffants excéder toujours celui des filles ; &, conféquemment, on peut regarder cela comme une loi générale de la nature.
    • On doit même reconnoître ici une fage vue de la Providence ou de la Divinité, qui a pourvu à la eonfervation de la race humaine. Les hommes, par la vie aftive à laquelle la nature les a deftinés» en leur donnant des forces & un courage dont elle a en général privé les femelles , font expofës à beaucoup plus de dangers: Jes guerres, les longues navigations, les métiers dangereux ou nuifibles à la fanté, les débauches, moiffonnent un nombre confidérable d’hommes : d’ou il réfulte que , fi le nombre des garçons naiffants n’excédoit pas celui des filles , la race des mâles diminueroit allez rapidement , & s’éteindrort bientôt.
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    • Arithmétique. Chap. XIII, 147
    • S- II-
    • De la Mortalité du genre-humain félon les, differents âges.
    • Il y a à cet égard une différence allez confidé-rable, en apparence, entre les villes &C les campagnes : mais cela vient de ce que les femmes des villes nourriffent rarement ; & , conféquemment, la plus grande partie dés enfants étant nourris à la campagne, comme c’efl: dans les prefnieres années de la vie qu’eft la plus grande mortalité, c’efl: là qu’elle fe manifefte le plus. Il faudroit donc pouvoir faire cette réparation, ou accoupler les. lieux où l’on ne nourrit guere, avec ceux où l’on envoie les enfants à nourrir ; & c’efl ce que M. Dupré de Saint-Maur a tâché de faire , en compulfant les regiftrès de trois paroifles de Paris Ô£ de douze de la campagne.
    • Suivant ces obfervations, fur 23 994 fépultures , il s’en eft trouvé 6454 d’enfants n’ayant pas encore un an ; & comme le. nombre des maiflances pendant le même temps balançe alfeç bien le nombre des morts, il s’en enfuit que de 24000 enfants nés, il en arrive feulement à la 2e année «... ...... 17540 ,
    • 3e • * *.......................
    • 4e.............................I4I77,
    • 5e ^ - 13477,
    • 6e ... . . ... . . + * . 12968,
    • 7e • .........
    • 8e..................
    • 9e..................Ii0I5>
    • Qiv
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    • 148 Récréations Mathématiques.
    • à la 10e année............ nS6t 9
    • 15e.......................11405»
    • ...........................10909 *
    • 15e.......................10259,
    • 30e . . . ..................9544 j
    • 35e........................877»,
    • 40e.........................7919 9
    • 45e.........................7008 ,
    • 50'................• Éi97.
    • 55 =......................5575 »
    • 60e.........................4564 *
    • 65e........................ 345° 9
    • 70'.......................2-544.
    • 75e.........................M°7*
    • 80' . . . . ...............807 ,
    • 85e..........................*9" 1
    • 90e..........................X03 ,
    • 9ie.......................' • 7i »
    • 92,6......................
    • 93e...........................47 ,
    • 94e..........................4°»
    • 95e...........................33 »
    • 96'...........................*3 »
    • 97e . 18 »
    • 98e .... ....................16,
    • 99' .......... . 8,
    • 10.0e , ..... ...... 6 ou 7.
    • Telle eft donc la condition'de” l’efpece humaine , que de 24000 enfants qutnaiffent, à peine une moitié atteint fa neuvième année ; les., deux;
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    • Arithmétique. Chap. XIII. 249 tiers font au tombeau avant 40 ans ; il n’en refte qu’un fixieme après 62 ans, un dixième-après 70 ans, un centième après 86 ans; un millième environ arrive à 96 ans, & fix ou fept à 100 ans.
    • Nous devons cependant obferver qu’il y a à cet égard des différences entre les auteurs qui ont traité ces matières, & nous devons en obferver la caufe. Suivant la table deM. de Parcieux, par exemple, la moitié des enfants nés ne périt pas avant 3 1 ans accomplis, tandis que, fuivant celle de M. Dupré de Saint-Maur, elle eft moifTonnée avant le commencement de la neuvième année. Cela vient de ce que la table de M. deParcieux a été formée d’après des liftes de rentiers, qui font toujours des fujets choifis. En effet, un pere ne s’avife pas de mettre en rente viagère fur la tête d’un enfant mal confti-tué ou cacochyme. La loi delà mortalitéeft donc, dans ce cas, différente; & fi l’une eft la loi générale & commune, l’autre eft celle que les admi-niftrateurs qui créent des rentes viagères doivent confulter avec attention , pour ne pas faire des emprunts trop onéreux.
    • §• m-
    • De la Vitalité de Cefpece humaine félon les différents âges , ou de la Vie moyenne.
    • Un enfant vient de naître ; à quel âge peut-on parier au pair qu’il arrivera? Ou bien, cet enfant eft déjà arrivé à un certain âge ; combien d’années eft-il probable qu’il a encore à vivre? Voilà deux queftions dont la folution eft non-feulement cu-rieufe , mais encore importante.
    • Nous accouplerons ici les deux tables, l’une de M. Dupré de Saint-Maur, l’autre de M. de Par-
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    • 15« Récréations Mathématiques.
    • deux. Nous ferons enfuite quelques obfervations générales fur ce fujet.
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    • Arithmétique. Chap. XIII. 251
    • DeïËg obfervations fe préfentent à faire à la fuite de cette double table. La première concerne la différence qu’il y a dans l’une & dans l’autre. On voit en effet cell.e de M. de Par-cieux préfenter toujours, pour chaque âge, un temps plus confidérable. Nous en avons dit plus haut la raifon. Nous avons même fupprimé de la table de M. de Parcieux la première année, comme préfentant une différence trop énorme ; ce qui vient, jepenfë, de ce que i° l’on nes’avife de conftituer une rente viagère fur un enfant qui eft dans fa première année, qu’après s’être parfaitement affuré de la bonté de fa conftitution, &c 20 que ce n’eft pas au moment de la naiffance d’un enfant, mais dans le courant, comme vers le milieu ou la fin de la première année, que l’on ha-farde une pareille conftitution ; car, les rentes viagères reftant quelquefois plufieurs mois & même jufqu’à une année à remplir, on a d’ordinaire le temps de ne faire le placement fur une tête aufli jeune, qu’après avoir eu la commodité de laiffer écouler quelques mois, & s’être affuré de la constitution du fujet. Ainfi je penfe que les 34 ans de vitalité, donnés par M. de Parcieux à un fujet qui vient de naître , doivent être regardés comme ceux d’un enfant qui a 6 ou 9 mois & plus : or c’eft dans les premiers mois de la première année que la vie d’un enfant eft la plus frêle , & qu’il en meurt davantage.
    • La fécondé obfervation eft celle-ci, & elle eft commune aux deux tables : c’eft que la vitalité , qui eft fort foible au moment de la naiffance , va en augmentant paffé ce terme, jufqu’à un autre où elle eft la plus grande ; car il y a moins de 3 contre 1 à parier que l’enfant qui vient de naître
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    • îç2 Récréations Mathématiques. atteindra la fin de fa première année (a) ; SP, à parier au pair, il n’a que 8 ans à vivre : mais, le commencement de la fécondé une fois atteint, il y a: 6 contre i à parier qu’il arrivera à la troifieme ; l’on peut parier au pair qu’il vivra 33 ans. Enfin l’on voit que, fuivant la table de M. Dupré de Sain^Maur, c’eft vers l’âge de 10 ans- accomplis,. & entre 10 & 15 ans, que la vie eft plus aflurée. A cette époque on peut parier au pair que le fujet vivra encore 43 ans ; & U y a. 1-25 contre 1 à parier qu’il vivra encore un an , ou 25 contre r qu’il en» vivra cinq. Paffé ce terme, la probabilité de vivre encore un an diminue. Il n’y a, par exemple, à 20 ans, qu’un peu moins de 16 contre r à parier qu’on ne mourra pas dans les cinq-années fuivantes. Lorfqu’on a atteint fa foixantième année , il n’ÿ a plus que 3 ÿ à parier contre 1 qu’om atteindra le commencement de la foixante-cin-quieme.
    • §- IV.
    • Du nombre, d'hommes de chaque âge , fur una-quantité donnée.
    • On peut déduire des obfervations précédentes,
    • (<z) Suivant les principes q.u’on a développés en traitant des probabilités , celle qu’il y .a qu’un enfant qui vient de naître fera en vie au bout de l’année, eft à celle qu’il fera mort, comme le nombre des enfants reliants au bout de cette année à celui des enfants morts, c’eft-à-dire comme 17540 a 6560; ce qui eft un peu moins que le rapport d© 3ai. Le calcul eft femblable pour les autres cas. Prenez; le nombre des fujets morts dans le courant de l’année , & divifez par ce nombre celui dès fujets reliants ; ce fera l’expreffion de ce qu’on peut parier contre 1, que le fujet qui a atteint cette année atteindra la fuivante.
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    • Arithmétique. Chap. Xlll. ijj
    • que fur un million d’habitants d’un pays, il y en a
    • de o an à i...................38740,
    • 1 5 accomplis .... 119460,
    • 5 10 . 992)0,
    • 10 *5 ............... 9453°»
    • i? 10 ....... . 88675, -
    • 20 25..................82380,
    • 25 30 ....... . 77^5°.
    • 3° 35................ 71665,
    • 35 4°...................64205 ,
    • 4° 45............... 57130,
    • 45 5°................. 50605 »
    • 5° 55 • •.......... 4394°.
    • 55 60.................37>10 »
    • 60 65..................28690,
    • 65 70..................11305,
    • 7° 75..................13195,
    • 75 *°...................7065,
    • 80 85..................2880 ,
    • 85 9O................. 1025 ,
    • 9° 95 ............... 335 9
    • 95 100 . ................82,
    • au deffus de. roo ans......... 3 ou 4.
    • Ainfi, dans un pays peuplé d’un million d’habitants , il s’en trouve entre l’âge de 15 ans accomplis & de 60, environ 572500, dont un peu moins de la moitié font des hommes. C’eft pourquoi cette quantité d’habitants pourroit fournir, à la rigueur, 250 mille hommes en état de porter les armes , en ayant même égard aux malades, percjjus, &c. qu’on peut fuppofer fur cette quantité d’hommes.
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    • *54 Récréations Mathématiques.
    • §• v.
    • Sur le rapport des naiffances & des morts au nombre . total des habitants déin pays : Conséquences de ces obfervations.
    • Comme il ferait bien difficile de faire l’énumération des habitants d’un pays, fur-tout s’il falloit la réitérer autant de fois que des intérêts politiques peuvent exiger qu’on connoiffe fa population, on a tâché d’y fùppléer, en déterminant le rapport des nailfances ou des morts avec le nombre total des habitants de ce pays r car, comme dans tous les pays de l’Europe civilifés on rient des regiftres des naiffances & des morts, on peut, en les com-pulfant, juger de la population , voir fi elle augmente ou diminue , & examiner , dans le dernier cas, les caufes qui produifent cette diminution.
    • On déduit, par exemple, des tables de M. Hal-lêy, qui préfentent l’état de la population de Bref-law vers l’année 1690, que fur 34000 habitants il y arrivoit annuellement, calcul moyen, 1238 naiffances ; ce qui donne le rapport des premiers aux fécondés, de 27 ~ à r. Pour des villes telles que Breflaw, où* il n’y a pas un grand abord d’étrangers , on peut donc prendre pour réglé, de multiplier les naiffances par 27 7, & l’on aura le nombre des habitants.
    • Il a paru il y a quelques années, c’eft-à-dire en 1766, un ouvrage très-intéreffant en ce genre, intitulé Recherches fur la Population des Généralités dlAuvergne, de Lyon, de Rouen , & de quelques Provinces & Filles du Royaume, &c. par M. Meflfance (<z). Par des dénombrements faits
    • {a) Il eft à propos d’obferver que cet ouvrage doit
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    • Arithmétique. Chap. XIII. 25j tête par tête , des habitants de dix-fept petites villes, bourgs ou villages de la généralité d’Auvergne, comparés au nombre moyen des naif-fances dans les mêmes lieux , il montre que le nombre des naiflances eft à celui des habitants, comme 1 à 24 ~ 3V TS : un Semblable dénombrement de vingt-huit petites villes , bourgs ou villages de la généralité de Lyon, donne ce rapport de 1 à 23 enfin, par celui de cent cinq petites villes , bourgs & paroiffes de la généralité de Rouen, il a trouvé que ce rapport étoit de 1 à 27 ^ & Or, comme ces trois généralités comprennent un pays très - montagneux , comme l’Auvergne un qui l’eft médiocrement, comme la généralité de Lyon ; un qui eft prefque tout plaines où collines cultivées , comme la généralité de Rouen, on peut conclure que leur.réunion repréfente allez bien l’état moyen du royaume : c’eft pourquoi, fondant enfemble les rapports ci-deflus, ce qui donne celui de 1 à 25 £, ce fera, pour la totalité du royaume, ( les grandes villes non com-prifes, ) le rapport des naiflances au nombre des habitants , enforte que pour deux naiflances on aura ; 1 habitants.
    • Mais comme, dans les villes un peu confidéra-bles, il y a plufieurs clafles de citoyens qui palfent leur vie dans le célibat , & qui ne contribuent que peu ou point à la population, il eft évident que ce rapport entre les naiflances & les habitants ef-
    • principalement fon exiftenceà M. de la Michodiere, fuc-ceffivement intendant d’Auvergne, de Lyon & de Rouen, a&uellement prévôt des marchands de la ville de Paris. C’eft ce magiftrat qui a fait faire les dénombrements dont on parle, & a fourni par-là à M. Meffance tous les éléments de fon calcul.
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    • s55 Récréations Mathématiques. fedifs doit y être plus c.onfidérable. M. Me'ffanCe ' dit s’être affuré, par plufieurs comparaifons, queN le rapport le plus approchant de la vérité , dans ce cas , eft de i à 28, & que c’eft celui qu’on doit prendre pour déduire, par le nombre des naiflan-ces, le nombre des habitants d’une ville du fécond ordre, comme Rouen, Lyon, &c ; ce qui quadre affez bien avec ce qu’a trouvé M.- Halley pour la ville de Breflav.
    • Enfin il eft très-vraifemblabîe que , pour des villes du premier rang, ou des capitales d’Etats, comme Paris, Londres, Amfterdam , &c. où viennent fondre une foule d’étrangers attirés par les plaifirs bu par les affaires , où régné un luxe confidérable qui multiplie les célibataires volontaires ; il eft , dis-je, plus que vraifemblable qu’il faut hauffer encore le rapport ci-deflus, & le porter au moins à 30 ou 31.
    • M. Kerfeboom s’eft efforcé d’établir, dans fon livre intitulé EJfai de Calcul politique, concernant la quantité des habitants des provinces de Hollande & de Weftfriefland, &c. imprimé à La Haye en 1748, qu’il falloir multiplier par 35 le nombre des naiflancesen Hollande, pour avoir le nombre de fes habitants. Si cela eft, on doit en conclure que les mariages font moins féconds où moins nombreux en Hollande qu’en France, ce qui pour-roit bien être fondé fur des raifons phyfîques.
    • Si l’on applique ces calculs à la détermination de la population des grandes villes, on verra qu’on eft, en général, dans l’erreur à leur égard ; car on dit vulgairement que Paris contient un million d’habitants: mais le nombre des naiflances n’y excede pas , année commune, 19500; ce qui, multiplié par 30, donne 585000 habitants. Si
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    • Arithmétique. Chip. XHU i «m'emploie pour multiplicateur le nombre 31, on aura 604500. C’eft sûrement tout au plus ce qu’il y a d’habitants à Paris.
    • VI.
    • De quelques autres rapports entre les habitants d'un pàys.
    • Nous allons présenter ici, êh abrégé, quelques autres confidétatiohs fur la population. Le livre que nous avons cité dans lé paragraphe précédent, nous fervira encore ici de principal guide.
    • En confondant enfemble les trois généralités ci1-•defTus, on a trouvé ;
    • 10 Que le nombre des habitants d’un pays eft à celui des familles, comme 1000 à 222^; enf#rte que 2000 habitants donnent communément familles, & conféquemment pour chacune, l’une portant l’autre , 4 têtes ; ou 9 perfonnes pour deux familles. A cet égard, celles de l’Auvergne font les plus nombreufes, enfuite celles du Lyon*-nois ; St celles de la généralité de Rouen le font le moins. Par un calcul moyen, oh trouve encore que, fur vingt-cinq familles j il y en a une dans laquelle on compte fix enfants, ou plus.
    • • 20 Le nombre des enfants mâles naiflahts ex-cede, comme on l’a dit, celui des filles haiflantes, St cet-excès fe foutient jufqu’à un certain âge : pat exemple, le nombre des garçons de 14 ans St au deffous, eft aufïi plus grand que celui des filles du même âge , St dans le rapport de 30 à 29 ; toutefois le nombre total des femelles excede celui des mâles dans le rapport d’environ 18 à 19. On voit ici l’effet de la confommation confidérahle d’hommes qu’occafionnent la guerre , la navigation, les métiers de fatigue & la débauche,
    • Tome /, R
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    • *58 Récréations Mathématiques.
    • 30 On trouve qu’il fe fait annuellement trois mariages fur 337 habitants, enforte que 112 en produifent un.
    • 40 Le rapport des hommes mariés ou veufs eft au nombre des femmes mariées ou veuves, à très-peu près comme 125 à 140, & le nombre total de cette claffe de la fociété eft à la totalité des habitants, comme 265 à 631, ou 53 à 126.
    • 50 Suivant MM. King & Kerfeboom, le nombre des veufs eft à celui des femmes veuves, à peu près comme 1 à 3 ; enforte qu’il y a trois veuves pour un veuf. Cela fe déduit au moins des dénombrements faits en Hollande & en Angleterre. Mais eneft-il de même en France? C’eft ce qu’il eût été à defirer que l’auteur cité ci-deflus eût recherché. Je crois, au refte, que ce rapport approche aflez de la vérité ; & l’on ne s’en étonnera pas, fi l’on confidere que la plupart des hommes fe marient tard , en çomparaifon des filles.
    • 6° En admettant le rapport ci-deflus entre les veufs & les veuves, il s’enfuivtoit que, fur 631 habitants, il y a 118 mariages fubfiftants, 7 à 8 veufs, & 21 ou 22 veuves; le refte eft compofé d’enfants, de célibataires, de domeftiques , de paflagers.
    • 7° On déduit encore de-là, que 1870 mariages fubfiftants donnent annuellement 357 enfants; car une ville de 10000 habitants contiendroit ce nombre de couples mariés , & donneroit 357 naiflan-ces annuelles. Ainfi cinq couples mariés, de tout âge, produifent annuellement une naiflance.
    • 8° Le nombre des
    • domeftiques eft
    • total des
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    • Arithmétique* Chap. XIII. ij9 eft lin peu plus que la onzième partie , & moins que la dixième.
    • Au refte , le nombre des dbmeftiques mâles eft affez égal à celui des femelles, étant dans le rapport de 67 à 69 ; mais il eft très-vraifemblable que , dans les grandes villes, où régné beaucoup de luxe, la proportion doit être différente.
    • 90 Le nombre des eccléfiaftiques des deux fèxes , c’eft-à-dire tant féculiers que réguliers, y comprenant auffi les religieufes , eft à peu près, au nombre des habitants de ces trois généralités, dans le rapport de 1 à 112. ; ce qui eft affez contraire à l’opinion commune , qui fuppofe ce rapport beaucoup plus fort.
    • io° En répartiffant le terrain des trois généralités entre tous leurs habitants, on trouve que la lieue quarrée de 2400 toifes en contiendroit 864 : or la lieue quarrée de 2400 toifes contient 6400 arpents de 18 pieds la perche : ainfi chaque homme , l’un portant l’autre, auroit 7 arpents $- ; 8c chaque famille, ou feu, étant compofée, l’une portant l’autre, de 4 têtes - ,il en reviendroit à chaque famille 3 3 arpents Mais il faut obferver que la généralité de Rouen, confidérée feule, eft beaucoup plus peuplée ; car on y trouve 1264 habitants par lieue quarrée ; ce qui ne donne pour chaque tête que 5 arpents.
    • ii° Les mêmes dénombrements ont fait reconnaître , depuis le commencement de ce lîecle, un accroiffement affez fenfible dans la population. On trouve en effet , généralement, le nombre des naiffances annuelles augmenté ; 8t enfin, de la comparaifon de celui qu’on oblèrve actuellement avec celui qui avoit lieu au commencement du
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    • a6o Récréations Mathématiques. fiecle , on eft fondé à conclure que le nombre actuel des habitants eft accru, depuis le commencement du fiecle, dans le rapport de 1456 à 1350 ; ce qui fait moins d’un douzième & plus d’un treizième d’augmentation. On la doit fans doute à une agriculture plus étendue , à un commerce plus aftif, & à la ceffation des guerres qui ont fi longtemps défolé l'intérieur de la France. La plaie faite au royaume par la révocation de l’Edit de Nantes, paroît fermée, & au-delà; mais, fans cet événement , la France feroit probablement plus peuplée d’un fixieme qu’elle ne l’étoit au commencement du fiecle ; car l’expatriation occa-fionnée par cette révocation va probablement à lin douzième.
    • §. VII.
    • Quelques quejlions dépendantes des obfervatîons précédentes.
    • Voici maintenant quelques-unes des queftions que les confédérations ci-deffus fervent à réfoudre. On ne développera pas la folùrion de chacune ; on te bornera à l’indiquer quelquefois , & on laiffera en général au leéleur le plaifir de s’exercer, d’après l’es principes expofés ci-deflus.
    • 1. Vâge dé un homme étant donnée par exemple 30 ans, quelle probabilité y a-t-il qu'il fera en vie apres un nombre d'années déterminé , par exemple 15 >
    • Cherchez dans la table du §. II. l’âge donné dé la perfonne, fqavoir 30 ans, & le nombre qui fe trouve à côté, qui eft 11405 ; prenez enfuite dans la même table le nombre qui fe trouve à côté de 45 9 7°°8 j faites enfin de ce dernier nom-
    • bre le numérateur d’une fraftion , dont le
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    • Arithmétique. Chip. XIII. 161 premier fera le dénominateur ; ce fera le nombre qui exprimera la probabilité qu’il y a. qu’une. per-fonne de 30 ans arrive à 4.5.
    • La démonftration de cette réglé fe prélente d’elle-même à quiconque entend la théorie des probabilités.
    • 2. Un homme âge de 20 ans emprunte 1000 livres , à condition de payer feulement capital & intérêts lorfqu'il aura 26 ans ; & dans lé cas ou il viendroit à mourir avant ce temps , la dette ejl perdue. Quelle fomme doit-il s’engager à payer s’il atteint les 2.5 ans A
    • Il eft évident que s’il y avoit afîurance qu’il ne mourût pas avant 25 ans, la fomme à rendre fer oit le capital accru de fes intérêts pendant 5 années : ( nous fuppofons l’intérêt fimple ) ; ainfi ce fe-roient 1250 livres qu’il devrait s’engager à payer à ce terme. Mais cette fomme doit être augmentée à raifon du danger qu’il y a que le débiteur meure dans ces cinq ans., ou en raifon inverfe de la probabilité qu’il y a qu’il foit en vie. Or cette probabilité eft exprimée par la fraétion ; c’eft pourquoi il faut multiplier la fomme ci-deflus par cette fraélion renverfée , ou par ; ce qui donne 1329 liv. 3 f. 1 denier, c’eft-à-dire 79 îiv. 3 f. 1 d. pour le rifque de perdre la dette, ce qui, je crois , ne feroit pas réputé ufuraire.
    • 3. Un Etat ou un particulier ejl dans le cas Remprunter en rente viagère. Quel denier doit-il & peut-il donner, pour les differents âges, l’intérêt légal étant, comme il ejl en France, a 5 pour 100 ?
    • Le vulgaire, qui eft accoutumé à voir faire des emprunts onéreux, ne doute nullement que le taux de 10 pour 100 ne foit dû bien avant l’âge de 50
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    • 16i Récréations Mathématiques
    • ans, & qu’une pareille maniéré d’emprunter lié foit avantageufe pour la libération de l’Etat ; mais il eft dans une énorme erreur : calcul fait d’après les données ci-deffus, on ne peut allouer, fuivant la table de M. de Parcieux, les io pour ioo avant l’âge de 56 ans; & c’eft celle qu’on 4oit fuivre, attendu qu’on ne conftitue guere de rentes viagères que fur des fuj'ets de bonne fanté. Suivant donc cette table , on ne peut donner à 20 ans que 6 £ pour 100; à 25 ans, 6^; à 30ans, 6y;à 40ans, 7f ; à 50ans, 8£;à 56ans, iojàéoans,!!— ; à 70 ans, 16f; à 80 ans, 27 à 85 ans, 3977.
    • C’eft aufli une erreur très - grande que de penfer qu’à caufe du grand nombre de perfonnes qui placent des fonds dans ces emprunts viagers faits par un gouvernement, il eft affez promptement libéré d’une partie de la rente, par la mort d’une partie des rentiers. La lenteur des accroiffements des rentes en tontines montre affez la fauffeté de cette idée : d’ailleurs, cette multitude de perfonnes eft précifément la caufe pour laquelle i’extin&ion des rentiers fe fait plus conformément à la loi de la probabilité expofée ci-deffus. Un heureux hafard peut libérer au bout de quelques aimées le débiteur d’une rente viagère qui vient d’être conftituée fur la tête d’un homme de 30 ans ; mais , fi cette rente eft répartie fur 300 têtes différentes, d’environ cet âge, il eft bien certain qu’il ne féra pas libéré avant environ 65 ans, & qu’après 32 ou 33 il y aura encore la moitié des rentiers vivants. C’eft ce que M. de Parcieux a fait voir clairement par le dépouillement des liftes de tontines.
    • 4. Vintérêt légal étant à 6 pour /oo , à quel denier peut-on confituer une rente fur deux têtes
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    • Arithmétique. Chap. XIII. 16;
    • dont les âges font donnés} & payable jufqiâà la mort du dernier vivant ?
    • 5. Quel denier pourroit - on donner d'un capital confitué en rente fur deux têtes d'âges donnés , & payable feulement tant que les deux rentiers feront en v ie ?
    • 6. Paul jouit fur les fonds publics d'une rente de tooo liv. en viager; il a befoin d'un capital, 6* offre de vendre fa rente. Son âge ejl donné. On demande ce qu'on peut acheter cette rente ?
    • 7. Deux particuliers, Jean, âgé de 20 ans, 6* Pierre de So, conviennent enfemble de fe faire conf-tituer fur leurs têtes réunies, une rente de tooo livres y à partager également entr'eux pendant leur vie , & qui refera toute entière au dernier vivant. On demande ce que chacun doit contribuer pour fa part dans le capital à fournir ?
    • 8. Que devroit y contribuer chacun , s'il êtoit flipulé entr'eux que Pierre , le plus âgé, en jouira feul jufqu'à fa mort ?
    • 9. On demande ( l'intérêt légal étant à 5 pour 1O0 ) ce que vaut une rente viagère de 100 livres, confituée fur trois têtes d’âges donnés, & payable jufqu'à Vextinction de ta derniere ?
    • 10. On place fur la tête d'un enfant de 3 ans, par exemple , un capital en rente viagère ,fous la condition de ne point toucher la rente, qui accroîtra le capital & fera elle - même placée en rente viagère cl la fin de chaque année , jufqu'à ce que cette rente égale le capital. A quel âge une pareille rente fera-t-elle due y l'intérêt légal étant à S pour 100 l
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    • Récréations Mathématiques.
    • Bien des gens font dans l’idée qu’on peut placer fur la banque de Venife un capital à cette condition ; fçavoir, qu’on ne retirera rien pendant dix ans, après quoi l’on recevra une rente égale au capital même. Mais il n’y a rien de fi mal fondé , comme le montre M. de Parcieux dans fon Addition à l'Effai fur les Probabilités de la durée de ta Vie humaine, publiée en 1760; car on y voit, par un calcul qui porte avec lui fa démonftration , qu’en plaçant, par exemple, une fomme de 1 oa iiv. fur la tête d’un enfant de 3 ans , ce ne feroit qu’à 4 5 ou 46 ans qu’il pourroit commencer à jouir de 100 liv. de rente.
    • La table de M. de Parcieux préfente fur ce lu jet des chofes affez curieufes. Par exemple , dans la fuppofition ci-defïus , fi l’on n’arrêtoit l’accroiffe-ment de la rente qu’à 54 ans, on devroit jouir le relie de fes jours d’une rente de 205 livres ; fi on ne l’arrêtoit qu’à 58 ans, on devroit avoir jufqu’4. fa mort 300 livres ; en l’arrêtant à 7 f ans feulement, on devroit avoir enfuite 2900 livres par an ; enfin, fi Bon continuoit à replacer les arrérages échus chaque année en rente viager-e , juf-qu’à la quatre-vingt-quatorzième année, cette rente devroit être , pour le refie de la vie, dq 613 4069 livres 19 fous 2 deniers, ce qui efl pro-
    • Mais on peut & l’on doit s’étonner de ce que M. de Parcieux n’a commencé fes calculs que par î’age de 3 ans. Il efl bien vrai que ce n’efl guère a la naiffance d’un enfant qu’on hafarde un capital pour lui créer une rente; mais fi l’établifTement dq Venife a eu lieu, il efl évident que ce n’a pu efre que dans la fuppofition que le placement eût tté fait fur la tête d’un enfant qui vient de naître,
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    • Arithmétique. Chap. XIII. 26$
    • attendu la grande mortalité de la première année. Nous avons, par cette raifon, examiné ce qui réfulteroit de cette fuppofition , & nous avons trouvé que, plaçant, fous la condition énoncée ci-deflus , une fomme de 100 livres fur la tête d’un enfant qui vient de naître , on devrait, d’après la table de vitalité de M. Dupré de Saint-Maur, lui conftituer une rente viagère de 10 livres 15 fous ; que cette fomme, placée à 8 pour ioo à la fin de la première année , lui donnerait, en y ajoutant la première rente , à la fin de la deuxieme année, 11 livres 11 fous 7 deniers. Ces 11 livres 11 fous 7 deniers, placés à 6-^ pour 100, qui eft le denier qu’on peut donner au commencement de la troifieme année, feraient à la fin de la troifieme, ou au commencement de la quatrième , 1 x livres 5 fous 1 denier. En faifant enfin un calcul femblable à celui de M. de Par-cieux , on trouverait que la rente fe ferait accrue jufqu’à 100 livres vers l’âge de 36 ans ; ce qui eft encore énormément éloigné de ce que l’on croit vulgairement.
    • Si l’on fuppofoit l’intérêt légal à 10 pour 100 , tel qu’il étoit dans le feizieme fiecle , on trouverait que ce ferait feulement vers les x6 ans qu’on pourrait toucher une rente égale au capital mis fur fa tête au moment de la naiflance.
    • Nous paffons fous filence nombre d’autres queftions curieufes fur cette matière. On peut confulter l’ouvrage de M. de Moivre , intitulé an Ejfay upon annuités on Lires, ou Ejfai furies Rentes viagères, qui mériterait d’être traduit en françois, & qui pourrait faire un fupplément ou une fuite à fon livre intitulé à Treatije of Chantes y dont il eft furprenant que la langue françoife
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    • 166 Récréations Mathématiques. ne foit pas encore enrichie. On doit auffi voir, fur cette matière, le traité de M. de Pareieux, intitulé Effai fur les Probabilités de ta durée de la Vie humaine. Les autres auteurs qui ont traité ces matières mathématiquement, font, parmi les Anglois, MM. Halley, le chevalier Petty, le major Graunt, King, Davenant, Simpfon ; & parmi les Hollandois, & avant tous , le célébré Jean de "Witt, grand-penfionnaire de Hollande, M. Ker-feboom , M. Struyk, &c.
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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES.
    • SECONDE PARTIE,
    • Contenant une fuite de Problèmes & de Qiteflions géométriques , les plus propres à amufer & exercer. PROBLÈME I.
    • A P extrémité d’une ligne droite donnée , élever une perpendiculaire fans prolonger la ligne, & même,
    • Ji Con veut, fans changer (Couverture de compas.
    • ï. O Oit la ligne donnée AB , qu’il n’eft pas pj.
    • v3 permis de prolonger du côté A, & fur l’ex- fig. trémité A de laquelle il eft queftion d’élever une ligne perpendiculaire.
    • De A ver? B, prenez cinq parties égales, à vo-
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    • a68 Récréations Mathématiques, lonté ; puis, du point A à l’ouverture de trois de ces parties , tracez un arc de cercle ; enfuite, de l’extrémité b de la quatrième partie , tracez-en un autre avec une ouverture égale aux cinq parties : ces deux arcs fe couperont néceflairement en un point tel que C ; duquel tirant une droite au point, A, on aura CA perpendiculaire à AB.
    • Car le quarré de CA qui eft 9 > plus le quarré de A b qui eft 16, fontenfemble égaux au quarré 25 de Cb: le triangle CAb eft donc re&angle en A.
    • On pourroit également prendre pour rayon de Farc à tracer du point A, une ligne égale à cinq parties , pour la bafe Ab , 12, & pour l’autre rayon bC , 13 ; car 5,12, 13, forment un triangle reftangle. Enfin , tous les triangles reélangles en nombres , & il] y en a une infinité, peuvent fervir à la réfolution du problème.
    • PL 1, II. Sur une partie quelconque AB de là ligne
    • % 2. propofée, décrivez un triangle ifofcele quelconque ACB, enforte que les côtés AC, CB, foient égaux ; prolongez enfuite AC en D, enforte que CD fort égale à CB: la ligne tirée de D en B fera perpendiculaire à AB ; ce dont la démonftration eft fi aifée, que nous la laiffons chercher au lecleur qui; ne l’appercevroit pas tout de. fuite.
    • PROBLÈME II,
    • Divifer une ligne droite donnée en tant de‘parties égalés quon voudra , fans tâtonnement.
    • F«g- 3. On propofe, par exemple, de divifer la ligne AB en cinq parties égales. Faites - en la bafe d’un triangle équilatéral ABC ; puis, du point C fur le-côté CB, prolongé s’il le faut, portez cinq parties éga»
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    • ÇèomItrîé, 269
    • tès quelconques , que nous fuppofons fe terminer en D : faites CE égale à CD \ enfin prenez, par exemple, DF égale à une de ces cinq parties de CD, & tirez CF, qui coupera AB en G : il eft évident que BG fera la cinquième partie de AB.
    • Si D/étoit égale aux \ de CD, on auroit, en tirant Cf, le point d’interfe&ion g de C/avec AB, qui donnerait Bg égale aux \ de AB.
    • PROBLÈME III.
    • Sans aucun injlrument que quelques piquets & un bâton, exécuter fur le terrain la plupart des opérations géométriques.
    • On fçait que la plupart des opérations géométriques s’exécutent fur le terrain au moyen du gra-phometre ; il femble même que cet inftrument eft d’une néceflité indifpenfable dans la géométrie pratique.
    • On peut néanmoins concevoir un géomètre dans de telles circonftances qu’il fera abfolument dépourvu de tout inftrument, & même privé du moyen de s’en procurer. Nous le fuppofons , par exemple, dans les forêts de l’Amérique, où il ne lui eft poffible de fe procurer avec fon couteau que quelques jalons , & un bâton pour lui fervir de mefure : il fe préfente diverfes opérations géométriques à faire, des grandeurs même inaccelîibles à mefurer : on demande comment il s’y prendra.
    • Nous fuppofons d’abord que l’on fçait de quelle maniéré on trace fur.le terrain une ligne droite, dont l’alignement eft donné nar deux points ; comment on la prolonge indéfiniment de côté ÔC d’autre, ôte. Cela étant, voici quelques-uns des problèmes de géométrie élémentaire, qu’il s’agit
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    • î7o Récréations Mathématiques.
    • de réfoudre fans employer d’autre ligne que là droite, & même en excluant l’ufage du cordeau , avec lequel onpourroit tracer un arc de cercle.
    • 1. Par un point donné, mener une parallèle et une ligne donnée.
    • PI. r, Soit la ligne donnée AB, & C le point duquel
    • %• 4* doit être tracé la parallèle ; par ce point menez une ligne quelconque à un point B de AB, & partagez CB en deux également en D ; à ce point placez un jalon ; &, d’un point quelconque A de la ligne donnée, menez par le point D une ligne indéfinie ADE, fur laquelle on prendra DE égale à AD : la ligne tracée par les points C & E fera parallèle à AB.
    • 2. A un point donné d'une ligne donnée , lui él&~ ver une perpendiculaire.
    • Fig. 5. Prenez, fur la ligne donnée , les parties AC, CB égales; & , du point C, menez comme vous voudrez la ligne C d, fur laquelle vous prendrez la portion CD égale à CA ; tirez la ligne D AA, fur laquelle faites AE égale à AC, & AF égale à AD : par les points EF tirez la ligne FEG, fur laquelle , fi vous prenez EG égale à FE, vous aurez le point G, qui, avec le point A, déterminera la pofition de la perpendiculaire AG.
    • Car, dans le triangle CAD , les côtés AD , AC, étant refpeélivement égaux à AF & AE dans le triangle E AF, ces deux triangles font égaux ; & , dans le triangle DCA , les côtés CD, CA, étant égaux, on aura aufïi dans l’autré les côtés EA , EF , égaux : donc l’angle EFA fera égal à EAF, & conféquemment à CAD. Mais, dans le triangle FGA , le côté FG eft égal à AB, puifque FG eft double de FE par la conf-truftion, & que FE ou AE eft égal à AC qui eft
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    • Géométrie. 171
    • la moitié de AB : donc les triangles F AG, ADB , font égaux, puifque les côtés FG, FA, font égaux aux côtés AB, AD, & que les angles compris font égaux : donc l’angle FAG fera égal à ADB.
    • Mais celui-ci eft droit, parceque les lignes CB,
    • CD, CA , étant égales , le point D eft dans la circonférence d’un demi-cercle tracé fur le diamètre AB : donc l’angle FAG eft droit, & GA eft perpendiculaire fur AB.
    • 3. D’un point donne A, mener fur une ligne donnée une perpendiculaire.
    • Prenez un point quelconque B dans la ligne PL 1, indéfinie BC, & mefurez BA ; faites enfuite BC %• 6. égale à BA, & tirez AC, que vous mefurerez pareillement ; enfin faites cette proportion : comme BC eft à la moitié de AC , ainfi AC eft à une quatrième proportionnelle, qui fera CE : il n’y a qu’à prendre CE' égale à cette quatrième proportionnelle , & l’on aura le point E, duquel menant par A la ligne AE, elle fera la perpendiculaire cherchée.
    • 4. Mefurer une dijlance AB , accejjible feulement par une de Çes extrémités t comme la largeur dune riviere , d’un foffé, &c.
    • On commencera par planter un jalon en A ; Fîg. 7. puis, ayant pris un point quelconque C ÿ où l’on en plantera pareillement un, on en fixera un troi-fieme en D, dans l’alignement des points B & C ; on prolongera indéfiniment les lignes CA , DA, au-delà de A, & l’on fera les lignes AE, AF égales refpeéfivement à AC, AD ; enfin l’on plantera un jalon en G, de maniéré qu’il foit à la fois en ligne droite avec A & B & avec F, E: on aura alors la diftance AG égale à AB.
    • Si l’on prévoyoit ne fe pouvoir retirer affez
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    • &7Ï RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES, dans l’alignement A B, l’on pourroit fie prefi-* dre fur AE, AF, que la moitié ou le tiers de AC » AD, par exemple Ae, A f: alors, plantant efi g uft jalon qui fût à la fois dans les deux alignements BA & ef, on auroit A g, la moitié ou le tiers de AB.
    • 5. Soit maintenant la diftance AB ifiacCeffible par Tes deux extrémités. La folution du cas précé-Pl. 1, dent donnera aifément celle de celui-ci ; car, foit fig! 8.’ planté un jalon en C, & ayant prolongé par une fuite de jalons les alignements BC, AC, qu’on prenne, par le moyen ci-deflus, fur ces lignes , les parties CE, CF, refpeftivement égales à BC , CA , ou la moitié ou le tiers de ces mêmes lignes: il eft facile de voir que la ligne qui joindra les points E, F, fera égale , ou bien la moitié ou le tiers de la ligne cherchée, & que, dans l’un & l’autre cas, elle lui fera parallèle ; ce qui réfoud le problème de tirer une parallèle a une ligne inac-cejffîble.
    • Ces exemples fuffifent pour montrer comment avec un peu de connoiflance de géométrie, on pourroit, fans l’aide d’aucun autre infiniment que de ceux qu’on peut fe procurer avec fon couteau & au milieu d’un bois, exécuter une grande partie des opérations géométriques. On doit néanmoins convenir qu’on ne peut que par un cas très -extraordinaire fe trouver dans des circonftances femblables ; mais , quelqu’éloignée qu’elle foit, quand on eft doué de l’efprit géométrique, on goûte une certaine fatisfaftion à voir comment on pourroit s’y prendre.
    • Une chofe finguliere , c’eft qu’il n’eft peut-être pas poflible de réfoudre de cette maniéré, c’eft-à-dire fans employer un arc de cercle, le problème très
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    • G i O M à T ftî E. 47 j
    • très fimple, & l’un des premiers de la géométrie élémentaire , fqavoir, de tracer un triangle équilatéral.
    • Je l’ai du moins cherché en vain , m’étant amufé à voir jufqu’où l’on pourroit parvenir dans la géométrie , au moyen de (impies lignes droites.
    • PROBLÈME IV.
    • Tracer un Cercle ou un arc de cercle déterminé,fans en connoître le centre & fans compas.
    • Ceci paroîtra d’abord, aux yeux de ceux à qui la géométrie eft peu familière, une forte de paradoxe ; mais la propofition où l’on démontre que, dans tout fegment de cercle, les angles dont le fommet eft appuyé fur la circonférence, & dont les côtés paffent par les extrémités de la corde, font égaux , cette propofition, dis-je , donne la folution du problème.
    • Soient donc les trois points du cercle ou de?1* l’arc de cercle cherché, A, C, B ; les lignes AC, g’ CB, étant tirées, faites un angle égal à AC B, que vous couperez dans quelque matière folide, 6c plantez en A 6c B deux arrêts ou pointes : alors , en faifant couler les côtés de l’angle déterminé entre ces arrêts, le fommet décrira la circonférence du cercle, enforte que fi cet angle C eft: garni d’une pointe ou d’un crayon, il tracera , en tournant entre les points A 6c B, l’arc cherché.
    • Si l’on faifoit un autre angle pareil, qui fût le reliant de l’angle ACB à deux droits, 6c qu’on le fît tourner en touchant toujours de fes côtés les points A, B , mais de maniéré que fon fommet fût du côté oppofé à celui du point C, il décriroit l’autre fegment de cercle , qui ? avec l’arc ACB, complette le cercle entier.
    • Tome J, . S
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    • *74 Récréations Mathématiques.
    • Il pourrait arriver que l’on fût obligé de tracer par deux points donnés un arc de cercle déterminé , dont le centre eft extrêmement éloigné , ou inacceffible par des caufes particulières. Si l’on avoit , par exemple, à tracer fur le terrain un cercle ou un arc de cercle dont le rayon fut de ï , 3 ou 4 cents toifes, il eft aifé de voir au’ii PL j ferait impraticable de le décrire au moyen d’un fig. io! cordeau: il faudrait alors opérer ainfi. Plantez des jalons en A & B , extrémités de la ligne que je fuppofe être la corde de l’arc cherché, dont on connoît l’amplitude ou l’angle qu’il foutend ; cherchez enfuite, avec le graphometre ou la planchette , un point tel que c, d’où mirant en A & B, l’angle AcB foit égal à l’angle donné, & plantez-y un jalon; cherchez pareillement un autre point d, d’où mirant aux points A 6c B, on ait encore l’angle AdB égal au premier; que les points e , f9 foient trouvés de la même maniéré : il eft évident que les points c9d,e3 f9 feront dans un arc de cercle capable de l’angle donné. Si vous cherchez enfuite de l’autre côté de AB, les points g,h, i9k, d’où mirant aux points A 6c B , l’angle AgB ou A/tB foit le fupplément du premier , les points c, d, e9 /, g9 h , i, k, feront évidemment dans un cercle.
    • PROBLÈME V.
    • Trois points étant donnés , qui ne foient pas dans une même ligne droite, tracer un cercle qui pajfe par ces trois points.
    • PI. i,Que ces trois points foient ceux qui font %• la. marqués i, i, 3 ; de l’un d’eux, par exemple
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    • G t O M É T R 11. 17J
    • ï, comme centre, avec un rayon Quelconque,pj. Toit décrit un cercle ; enfuite, d’un des deux au*- fig. très points pris pour centre, par exemple i, foient faites avec le même rayon deux interférions avec la circonférence du premier cercle, comme A & B, & foit tirée la ligne AB ; enfin, prenant le troifieme point 3 pour centre , foient faites avec le même rayon deux interferions avec la circonférence du premier cercle, lefquelles foient D, E, & foit menée DE : elle fe coupera avec la première AB, dans un point C qui fera le centre du cercle cherché. Prenant donc ce point pour centre, & décrivant un cercle par l’un des points donnés, fa circonférence paffera par les deux autres.
    • Il eft facile de voir que cette conftru&ion eft au fond la même que la vulgaire, enfeignée par Euclide & tous les auteurs élémentaires; car il eft évident que, par la conftru&ion qu’on vient de voir , on a les lignes iA, 2A , iB, iB , égales entr’elles : conféquemment la ligne AB eft perpendiculaire à celle qu’on doit concevoir joindre les points 1, 2, ou à la corde 1,1, du cercle cherché : d’où il fuit que le centre de ce cercle eft dans la ligne AB : par la même raifon ce centre eft dans la ligne DE, & par conféquent il eft dans leur in-terfeftion
    • Si les trois points donnés étoient dans une ligne droite , alors les lignes AB , DE , deviendroient parallèles ; & conféquemment il n’y auroit point d’interfeélion, ou elle feroit infiniment éloignée,
    • PROBLÈME VI.
    • fin Ingénieur, en levant une carte, a obfervê d'un
    • certain point Us trois angles fous lefquels il voie
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    • i76 Récréations Mathématiques.
    • Us dijlances de trois autres objets dont il a déjà déterminé les pojitions : on demande la pojîtion de ce point, fans autre opération.
    • L E problème, réduit à l’énoncé purement géométrique , fe propoferoit ainfi : Etant donné un triangle dont les côtés & les angles font connus , déterminer le point duquel les trois lignes menées aux trois angles feront entdelles des angles donnés.
    • Il y a un affez grand nombre de cas dans ce problème; car, ou les trois angles fous lefquels on apperçoit les diftances des trois points donnés occupent toute l’étendue de l’horizon ou les quatre angles droits, ou bien feulement la moitié, ou moins de la moitié. Dans le premier cas, il eft évident que le point cherché eft fitué au dedans du triangle donné ; dans le fécond, il eft fitué fur un des côtés ; & dans le troifieme, il eft dehors. Mais, pour abréger, on fe bornera au premier cas, indiqué par la Figure 11.
    • PI. a, Soit donc à déterminer entre les points A, B, fig. ii. C, dont les diftances font données, le point D, tel que Fangle/ÂÎ)B foit égal à 160 degrés, l’angle CDB égal à 1300, & CDA égal à 70°. Sur le côté AB , décrivez un arc de cercle capable d’un angle de 16o° ; & fur le côté BC, un autre capable d’un angle de 130°: leur interfeftion donnera le point cherché.
    • Car il eft évident que ce point eft fur la circonférence de l’arc décrit fur le côté BA, & capable de l’angle de 1600, puifque, de tous les points de cet arc & de nul autre, la diftance AB eft vue fous un angle de 1200. De même le point D doit fe trouver fur l’arc décrit fur le côté AC , & capable de l’angle de i6qq ; conféquemment
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    • Géométrie.
    • il faut qu’il foit fur leur interfe&ion, & nulle ai part.
    • Remarque.
    • On peut, d’après cette conftruftion, établir une folution trigonométrique, pour déterminer en nombres la diftance du point D aux points A, B, C ; mais nous l’abandonnons à la fagacité de notre le&eur.
    • PROBLÈME VII.
    • Deux lignes concourant en un point inaccejjible , ou qu'on ne peut même appercevoir, on propofe de mener d'un point donné une ligne qui tende au même point.
    • Soient les lignes AO & BO, qui concourentpj. en un point inconnu & inacceffible O, & que le fig. point E foit celui duquel il faut diriger au point O une ligne droite.
    • Par le point E tirez la droite quelconque EC, qui coupe AO St BO dans les points D & C , & par un point F, pris à volonté, foit tirée fa parallèle FG; foit faite enfuite cette proportion: comme CD eft à DE, ainfi FG à GH; enfin, par les points E, H, tirez la ligne indéfinie HE ; ce fera la ligne cherchée.
    • Ou bien, fi c’eft le point e qui eft donné, foit fait, comme CD à Ce, ainfi FG à FH, la ligne eh fera celle qu’on demande.
    • La démonftration en fera facile pour tous ceux qui fçavent que fi dans un triangle on tire des parallèles à la bafe, toutes celles qui feront tirées du fommet du triangle les diviferont proportionnellement.
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    • 178 Récréations Mathématiques, PROBLÈME VIII.
    • Même fuppojition faite que ci-deffas, on demande de retrancher des lignes BO, AO, deux portions égales.
    • PL 2,Pour cet effet, foit abaiffée du point A fur % M- BO la perpendiculaire AC , & fur le même point A foit élevée, perpendiculairement à AO, la ligne AD, rencontrant la ligne BO en D ; divifez enfuite en deux également l’angle CAD par la ligne AE : cette ligne, en rencontrant BO en E, déterminera les lignes AO , EO, égales.
    • Il eft facile de le démontrer, en faifant voir que, par cette conftru&ion l’angle OAE devient égal à OEA. En effet l’angle OAE eft égal à l’angle OAC plus CAE, & l’angle OEA eft égal à ODA ou OAC plus EAD ou EAC, fon égal : donc l’angle OAE eft égal à OEA , & le triangle OAE eft ifofeele: donc ,Jkc.
    • PROBLÈME IX.
    • Même fuppojition encore que ci-dejfus, diviferPan• gle AOE en deux parties égales.
    • Faites la même conftru&ion que dans le problème précédent; puis, à la ligne AE, tirez une parallèle quelconque FG entre les deux lignes données; après cela divifez les lignes AE, FG, en deux également en H & I : la ligne HI divifera l’angle AOE en deux également ; ce qui eft trop facile à démontrer pour s’y arrêter.
    • Ces opérations font, comme l’on voit, des opérations de géométrie pratique affez utiles dans
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    • Géométrie.
    • certains cas ; par exemple, s’il s’agiffoit de percer des routes dans une forêt, ou bien fi l’on vouloir qu’elles circulaflent à l’entour d’un centre commun extrêmement éloigné, ou qu’elles aboutilfent à ce centre.
    • PROBLÈME X.
    • Deux côtés d’un triangle, rectiligne étant donnés, &
    • Vangle compris, trouver fon aire.
    • IVIuxtipliez un de ces côtés par la moitié de l’autre, & le produit par le finus de. l’angle compris ; ce nouveau produit fera l’aire.
    • On démontre en effet aifément que l’aire de tout triangle re&iligne eft égale à la moitié du reélangle de deux de fes côtés quelconques , multiplié par le finus de l’angle compris.
    • Car r foit le triangle ABC, dont l’angle A eft PI. aigu : qu’on conçoive le triangle AFC, dont l’an- %• gle FAC foit droit, & AF égale à AB : foit un quart de cercle décrit du centre A par F & B & enfin la perpendiculaire BD fur la bafe;
    • Il eft évident que les deux triangles FAC, BAC , font entr’eux comme AF à BD, c’eft-à-dire dans la raifon du finus total au finus de l’angle BAC , ou de l’unité au nombre qui exprime ce finus : donc, le triangle FAC étant égal au demi-re&angle de FA par AC , le fécond fera égal à ce demi-re&an-gle multiplié par le finus de l’angle BAC.
    • Cette propriété évite un circuit, qu’on eft obligé de prendre pour trouver d’abord la grandeur de la perpendiculaire abaiflee de l’extrémité d’un des côtés connus, fur l’autre , afin de multiplier eniüite ce dernier côté par cette perpendiculaire*.
    • S iv
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    • 2.So RÉCRÉATIONS MATüiMÀTIQ'üfsi Soient, par exemple, les deux côtés AB , AC J refpe&ivement de 24 & 63*, & l’angle compris de 450. Le produit de 63 par i l* eft 756 ; le finus de 450 eft o, 70710 : multipliez donc 756 par o, 70710 fuivant la méthode des fractions décimales; le produit fera 534t^*
    • PROBLÈME XI.
    • Mefurer ta furface d'un quadrilatère ou trapeçe quelconque y fans la connoiffance de fes cotés,
    • La folution de ce problème eft une fuite du , * 3* précédent. Un trapeze ABCD étant donné, me-* furez les diagonales AC, BD, ainfi que l’angle qu’elles font à leur interfeélion en E ; multipliez-les enlemble, & la moitié du produit par le linus de l’angle ci-deffus ; ce produit fera l’aire ; ce qui eft incomparablement plus court, que li on le ré-duifoit en triangles pour mefurer chacun d’eux.
    • Corollaires.
    • O N tire de*là un théorème affez curieux , & qui n’a, je crois, point encore été remarqué. C’eft que , Si deux quadrilatères ont des diagonales égales & faifant le même angle , quelle que foie d'ailleurs la maniéré dont elles fe coupent l’une F autre y ils font égaux entreux.
    • Fig. 17, Ainfi, le quadrilatère ABCD, fig, 16, eft égal n° *• au parallélogramme abcd, fig. ij, n° 1, qui a les mêmes diagonales, & également inclinées l’une à l’autre.
    • Fig. 17, . z° Ce même quadrilatère ABCD eft égal au n° 2. triangle BAC } fig, ipn°2} formé par les deux
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    • GÉOMiTRIE. 2
    • lignes AC, AB, égales aux diagonales AC, DB,
    • 6t inclinées dans le même angle.
    • 3° Ce même quadrilatère eft encore égal au pi 2 triangle ABC, fig. iy, n° 3, fi les lignes AC, DB, fig. r7> de ce triangle font égales aux diagonales du qua- n° 3. drilatere, 6c également inclinées.
    • 40 Enfin ce quadrilatère ABCD, fig. #<T, eft Fig. 17, égal au quadrilatère abcd , fig. iyt n° 4, dont les n° 4*> diagonales même ne fe coupent pas, fi ac, db9 font égales à AC, DB : 6c l’angle bec égal à l’angle BEC.
    • PROBLÈME XII.
    • Deux cercles qui ne font pas entièrement compris Vun dans Cautre , étant donnés , trouver le point d'où tirant une tangente à l'un , elle foie aujjz tangente à Vautre.
    • P A R les deux centres A 6c B des deux cercles, pi. 3, menez la droite indéfinie ABI ;puis, du centre A, fig. 18, un rayon quelconque AC, 6c par le centre B le n-rayon BD, parallèle au premier 6c dans le même fens. Les points C 6c D étant joints par la ligne CD, elle rencontrera AB dans un point I qui fera le point cherché ; c’eft-à-dire que fi du point I on tire une tangente IE à l’un des cercles , elle fera tangente à l’autre.
    • Le point I, fig. 18 , n° 1, pourroit fe trouver Fig. i$* entre les deux cercles , lorfqu’ils ne fe coupent n° ** point l’un l’autre. Pour le trouver, il n’y a qu’à tirer le rayon BD parallèle à AC, en fens contraire à celui de la fig. i$9 n° 1 : l’interfe&ion de AB avec BD donnera un point I, qui jouira de la même propriété.
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    • i8i Récréations Mathématiques. Remjrque,
    • Nous ne pouvons nous empêcher d’obferver ici que fi l’on tire du point I, à travers les deux PL 3, cercles, une fécante quelconque , comme IDK % l8> ou Idh, le reftangle de ID par IH, ou Id par lkr n° u fera toujours le même, fçavoir, égal à celui des deux tangentes IE, IF. Pareillement le reôangle de IC par IG, ou Ig par le , fera égal au reâangle des mêmes tangentes : ce qui eft une extenfion très-remarquable de la propriété fi connue du cercle, par laquelle le rettangîe des deux feg-ments ID, IG, eft égal au quatre de la tangente IE.
    • PROBLEME XIII.
    • Un pere de famille laiffe en mourant, à deux enfants, un champ triangulaire , & ordonne qu'il leur fera partage egalement. Il y a un puits dans, ce champ, qui fert à Farrofer ; il faut conféquem-ment que la ligne dé divtfion pajfe par fon centre , afin qu'il foit commun aux deux héritiers,. On demande la maniéré de mener par ce point la ligne qui partage ce champ en deux également,.
    • PL3,Solution. Soit le triangle propofé CAB, % & E le point donné. Tirez du point E les lignes
    • ED, ER, parallèles à la bafe AC & au côté CB refpe&ivement, jufqu’à leur rencontre en R & D ; que la bafe CA foit divifée en deux également eii M ; &, ayant du point D tiré la ligne DM , que BN lui foit menée parallèlement , & la ligne- CN divifée également en I ; fur IR foit décrit le demi-cercle IKR , dans lequel appliquez RK=RC, 6C tirez IK, à laquelle vous ferez IF égale : ce point F & le point E détermineront la ligne FEG.
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    • GÉOMiTRIE. iSj
    • Remarque.
    • Il eft évident qu’il faut que CI foit au moins double de CR ; car, autrement, CR ne pourroit être adaptée dans le demi-cercle décrit fur RI ; ce qui rendroit dans ce cas le problème impoffible.
    • En nombres. Soit BA = 48 toiles, BC = 42 , CA=30, CD=i8, & DE ou CR=6 ; confé-quemment CM fera=15. Or CD : CM : : CB : CN, c’eft-à-direque 18: 15::42 : 35 i d’où il fuit que CN=35 &: CI=i7^: conféquemment CR étant égale à 6, on aura IR=i 1 Or le triangle IKR étant reéfangle, on aura IK = 3/ IR2 — R K*=
    • — ou 9* ce qui donne
    • CF de 27*
    • La démonftration de cette conftru&ion eft trop prolixe pour trouver place ici : il y a même une multitude de cas qu’il feroit trop long de développer. En voici feulement un des plus {impies ; fça-voir, celui où le point E eft fur un des côtés.
    • La conftru&ion eft dans ce cas très-fimple ; car, PI. 3, ayant divifé AC en deux également en M, & %• ao* tiré EM, puis fa parallèle BN, fi le point N tombe au dedans du triangle , en tirant la ligne EN le problème fera réfolu : mais fi le point N tombe au dehors, il faudra tirer la ligne AE , 6c enfuite par le point N fa parallèle NO ; enfin par le point O la ligne OE : cette ligne réfoudra le problème.
    • Car , à caufe des parallèles EM, BN, le triangle MBE=MNE; donc, ajoutant à chacun le triangle CME, on aura les triangles CBM , CEN égaux, De plus, à caufe des parallèles EA & NO,
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    • x%4 Récréations Mathématiques. on a les triangles ANE, AOE égaux : conféquem-ment, ôtant de part & d’autre le triangle commun AGE, le triangle ANG=GOE : d’où il fuit qu’ajoutant à l’efpace CAGE ce triangle GOE, on aura l’efpace CAOE=au triangle CEN, qu’on a déjà vu être égal à la moitié de CBA.
    • Mais fuppofons que le même particulier eût trois enfants , & qu'il fallût leur divifer entr eux égale-ment le même champ , en faifant partir toutes les lignes du point donné E, 6* en fuppofant déjà une ligne de divijion EB.
    • PI. 3, Soit pour cela divifée la bafe AC en trois éga-fig* 2I- lement , & que les points de divifion foient D & G ; foit tirée la ligne ED & fa parallèle BF , & du point E la ligne EF : fi le point F n’eft pas hors du triangle , le trapeze BEFAB fera un des tiers cherchés.
    • Mais fi le point F tombe hors du triangle , on opérera comme on a vu plus haut, c’eft-à-dire qu’on tirera à l’angle A la ligne EA, & du point F fa parallèle F O, jufqu’au côté BA, que je fuppofe être rencontré en O : la ligne EO donnera le triangle BOE égal au tiers du triangle propofé.
    • On trouvera de la même maniéré l’autre tiers du triangle propofé BEICB ; & , conféquem-ment, le reliant de la figure en fera auffi le tiers ; & les trois lignes EO, El, EB, partant du point E, diviféront le triangle propofé en trois parties égales.
    • On pourra, par la même méthode , le divifer en 4, 5,6, &c. parties égales , par des lignes partant toutes d’un point donné : ce point pour-roit même être pris au dehors du triangle.
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    • GÈOMÈTIÎIÏ. PROBLÈME XIV.
    • iïf
    • Deux points étant donnés , & une ligne droite qui ne pajfe point mtr eux , trouver un] cercle qui touche la ligne droite , & qui pajfe par les deux points donnés.
    • Soit la ligne donnée ÀB, & les points don-pj . nés C &'D. Joignez ces deux points, &, fur lefig. ai. milieu E de la ligne CD, élevez la perpendiculaire EF, qui rencontre en F la droite donnée, &c abaiffez la perpendiculaire EH fur cette même ligne ; tirez FC, & décrivez du point E au rayon EH un cercle qui coupe FC prolongée en I ; menez IE, & par le point C fa parallèle CK : le point K fera le centre, & KC le rayon du cercle cherché.
    • Car, fi du point K on abaiffe la perpendiculaire KL fur la ligne AB , elle fera égale à KC , qui l’eft elle-même à KD. En effet, FE eft à FK comme EH à KL, & comme El à KC : donc EH eft à KL comme El à KC; &, conféquem-ment, El étant égale à EH , KL le fera à KC : donc, &c.
    • Il eft aifé de voir que fi la ligne donnée pafloit par un des points donnés, le centre du cercle cherché feroit dans l’interfe&ion K de la perpen-pjg^ 2^. dicuîaire CK fur AB , &: de la perpendiculaire EK fur la ligne CD , coupée en deux également
    • On pourroit réfoudre , dans le premier cas, le problème d’une autre maniéré; fçavoir, en pro-Fig.22. longeant la ligne CD jufqu’à fa rencontre en M, avec AB ; puis prenant une moyenne proportionnelle entre MC &: MD, & lui faifant ML égale.
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    • sX6 Récréation? Mathématiques. enfin, par les points C, D, L, traçant un cercle, il réfoudroit le problème. Mais cette folution fe-loit embarraflante lorfque le point M fe trouveroit fort éloigné, au lieu que cela eft indifférent dans la première.
    • PROBLÈME XV.
    • Deux lignes AB, CD, étant données , & un peine £ entre deux, tracer un cercle pajfant par ce point & touchant ces deux lignes.
    • . 3, Si les deux lignes concourent enfemble , comme 24- en F, tirez la ligne FH, qui partage en deux également l’angle BFD, ou, lî elles font parallèles , celle qui, comme FH, eft également éloignée de 2.5. l’une & de l’autre ; enftiite tirez du point E la perpendiculaire EGI à FH ; faites GI égale à GE: les points I & E feront tels que, traçant par ces deux points un cercle qui touche l’une des lignes données , il touchera aufli l’autre : ce qui réduit le problème au précédent.
    • THÉORÈME I.
    • Diverfes dimonjlrations de la quarante-feptieme du premier livre d’Euclide, par de Jimples tranfpo-fitions de parties.
    • La beauté de cette propofition élémentaire, 6c la difficulté que trouvent fouvent les commençants à en comprendre la démonftration, a engagé quelques géomètres à en chercher de plus fimples, parmi lefquelles il y en a de fort ingénieufes, & qui font remarquables en ce que l’on voit, prefque du
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    • GÉOMÉTRIE. ÏSf
    • premier coup d’œil, que le quarré de l’hypothé-nufe eft compofé des mêmes parties que les quatrés des deux côtés, à cela près qu’elles font différemment arrangées. En voici quelques-unes.
    • i. Soit le triangle re&angle ABC , fur les deux pj côtés duquel, AC, CB , foient conftruits les quar-fig. 26. rés CG, CD ; fur la bafe AB foient élevées les deux perpendiculaires AI, BH, la première terminée à la rencontre de GF prolongée, l’autre à celle de ED ; & foit tirée la ligne IH. On démontre d’abord aifément que AI & BH font égales à AB, enforteque AIHB eft le quarré de la bafe AB.
    • Car il eft aifé de voir que le triangle BHD eft égal & femblable au triangle BAC, ainfi que le triangle IGA au même triangle BAC ; enforte que BH & AI font chacunes égales à AB.
    • On fait voir auffi facilement, que le petit triangle KEH eft égal àIFO ; enfin, que le triangle IKL eft égal à AOC.
    • Or les parties compofantes des deux quartés font le quadrilatère CBHK, le triangle BDH , 7
    • le triangle KHE, le quadrilatère GAOF, & le triangle ACO, qu’on va voir être les mêmes que celles qui compofent le quarré ABHI ; car le quadrilatère CBHK eft commun : le triangle BHD eft égal à BCA, & peut être fubftitué & tranfpofé à fa place. Concevez pareillement le triangle ACO porté en IKL ; il reftera dans le quarré de l’hypo-thénufe le vuide ILA, & nous aurons pour le remplir le quadrilatère FOAG, avec le triangle KEH : que ce triangle KEH foit porté en OFI, qui lui eft égal, il complettera le triangle IAG, qui eft égal èc femblable à IAL : d’où il fuit que le quarré de l’hypothénufe eft compofé des mêmes parties qui compofent les deux quarrés des côtés#
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    • a88 Récréations Mathématiques.
    • On pourroit conféquemment découper ces parties fur du carton, & en c.ompofer d’abord les deux quarrés, puis un feul; ce qui feroit une forte de jeu de combinaifon.
    • 2. La fécondé maniéré, qui eft à peu de choie près la même que la précédente, paroîtra peut-
    • Pl. 4 être encore plus claire. Soient les deux quar-fig.^2,7! rés CD , CF, des deux côtés, à l’entour de l’angle droit du triangle ACB : ayant prolongé FA jufqu’à ce que AH égale CB, fur le côté FH formez le quarré FHDG, & fur l’hypothénufe AB le quarré AE ; il fera aifé de prouver que les angles E, N, feront dans les côtés du premier, & que AH, BD, EG, NF, feront égales, ainfi que FA , BH, DE, GN.
    • Or l’on voit d’un coup d’œil qu’en tirant la ligne NI parallèle à FH, les deux quarrés CD, CF, font compofés des parties 1,2,3,4, 5 ; & le quarré AE l’eft des parties 1,5,6, 7, 8. Mais les parties 1 & 5 font communes, les parties 6 & 2 font vifiblement égales : il refte donc que les parties 4 & 3 foient égales à 7 & 8. Or cela eft encore évident, car la partie 3 eft égale à 9 , & la partie 8 eft égale à 5 : conféquemment les parties 4 & 3 ou 4 & 9 font égales aux parties 7 & 8 ou 7 & 5 , puifque le reélangle FI eft partagé en deux également par la diagonale : donc les quarrés des côtés font compofés des mêmes parties que le quarré de l’hypothénufe ; &, par conféquent, il y a égalité de part & d’autre.
    • 3. En retenant la même conftruétion, il eft clair que le quarré FD eft égal aux quarrés des deux côtés AC, CB, du triangle reâangle ACB , plus les deux reftangles égaux AB, CG. Or le quarré AE de l’hypothénufe eft égal au même
    • quarré
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    • Géomét
    • îSj
    • t(ûarré moins les quatre triangles égaux ABH, BED, EGN , NFÂ ? qui, pris enfemble , font ux aux deux reâangles ci-defliis , puifque cha-i de ces triangles eft la moitié d’un des re&an-gles. L’excès du quarré FD fur les deux quarrés des côtés du triangle re&angle ACB, eft donc le même que fur le quarré de l’hypothénufe ; donc ' is quarrés & celui de l’hypothénufe font égaux ;
    • tr des quantités qu’une troifieme excede également , font égales entr’elles.
    • Voici maintenant quelques proportions qui ne font que des généralifations de la quarante-fep-tieme d’Euclide , & d’où cette propofition far meufe fe déduit comme un fimple corollaire,
    • THÉORÈME II
    • Si -, fur ckacun des cotés d'un triangle ABC , on P1.J4,, décrit un quarré ; que (Tun des angles , comme B, fig. 28.29. on abaijfe une perpendiculaire BD , fur le côté oppofé AC; quon tire.enfuite les lignes BE, BF9 de maniéré que les angles AEB , CFB -, foient égaux à t angle B ; eiffin, que des points F & E on mene les parallèles El, FL, au côté CG du quarré, on aura le quarré fur AB égal au rectangle AI, & le quarré fur BC égal au rectangle CL: par conféquent la fomme des quarrés fur AB &
    • BC fera égale au quarré de la bafe, moins le rectangle EL fi Vangle B ejt obtus, & plus ce meme rectangle Ji Vangle B ejt aigu.
    • Démon ST. L e triangle AEB eft femblabte aut triangle ABC , puifque l’angle A eft commun, & que l’angle AEB eft égal à l’angle ABC : confé-quemment on a cette proportion entre les côtés homologues ; AC ; AB : : AB : AE ; d’où il fuit Tomel, T
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    • 290 Récréations Mathématiques. que le reftangle de AC X AE, ou de AEx AH qui eft le meme, puifque AH=AC , eft égal au quarré deAE.
    • On prouve de même que le quarré de BC eft égal au reftangle CL.
    • Mais il eft aifé de voir que fi l’angle B eft obtus, la ligne BE tombe entre les points A & D, & la ligne BF entre C & D ; que c’eft le contraire s’il eft aigu, & que ces deux lignes fe confondent avec la perpendiculaire BD, lorfque l’angle B eft droit.
    • Donc, dans le premier cas , il eft évident que la fomme des quarrés des côtés eft moindre que le quarré de la bafe, fçavoir de la quantité du rectangle EL ;
    • Que, dans le fécond, ils le furpaflfent de la quantité du rectangle EL ;
    • Enfin que, dans le cas du triangle reftangle en B , le re&angle EL devenant nul , la fomme des quarrés des côtés eft égale à celui de la bafe : ce qui eft une généralifation très-ingénieufe du fameux théorème de Pythagore.
    • THÉORÈME III.
    • PI. 4, Soit un triangle quelconque ABC, & fur le côté fig. 30. AC foit décrit le parallélogramme quelconque CE y & fur le côté AD le parallélogramme aujji quelconque B F; que les côtés DE , KF, foient prolongés jufqita leur concours en H, duquel point foit tirée la ligne H AL , & prife LM égale à HA ; qiCon finijfe enfin le parallélogramme CO, fur la bafe BC 6* dans Cangle CLM : ce parallélogramme fera égal aux deux CE, BF.
    • PROLONGEZ NC & OB jufqu’à leur rencontre en R & P, avec les côtés KF & DE des parai-
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    • iélogrammes décrits fur les côtés, & tirez PR.
    • Cela fait, puifque CR & HA font parallèles 6e çomprifes entre mêmes parallèles, fç avoir CA ôe DH, elles font égales : conféquemment CR eft égale à LM : de même on prouvera que BP eft égale à LM : donc CR & BP font égales , & la figure CRPB eft un parallélogramme égal à BN.
    • Maintenant il eft évident que le parallélogramme RL, fur la bafe RC, eft égal au parallélogramme RC AH, comme étant fur même bafe & entre mêmes parallèles : de même le parallélogramme ACDE = ACRH, comme étant fur même bafe entre mêmes parallèles : donc le parallélogramme ACDE = RCLG.
    • On prouvera de même que le parallélogramme BKFA=PGLB : conféquemment les deux parallélogrammes CE, BF, font égaux enfemble à BPRC, oufon égal CNOB.
    • Corollaire.
    • Il fera aifé à tout le&eur un peu géomètre, de voir que cette propofîtion allez ingénieufe n’eft qu’une généralisation de la fameufe propofition fur les quarrés des deux côtés du triangle rectangle , comparés au quarré de l’hypothénufe. En effet, fuppofojis le triangle BAC reétangle en A, & que les deux parallélogrammes CE, BF, foient deux quarrés ; on trouvera bien aifémenr que le troilieme parallélogramme B N fera auffi un quarré, fçavoir, celui de l’hypothénufe : donc , en vertu de la démonftration précédente, ces deux premiers quarrés feront égaux au troilieme.
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    • zçi Récréations Mathématiques* THÉORÈME IV»
    • Dans tout parallélogramme, la fomme des quarrés des quatre côtés ejl égale à celle des quarrés des diagonales.
    • IL n’y a aucune difficulté à le prouver pour les parallélogrammes re&angles ; c’eftune fuite évidente de la fameufe propriété du triangle rectangle. ‘r
    • Soit donc le parallélogramme oblique ABCD , x! dont les diagonales font AD, BC; d’un angle A abaiffez fur la diagonale CB la perpendiculaire AF, vous aurez par la 12e propofition du Livre II d’Euclide, le quarré de AB égal au cjuarré de AE, plus le quarré de BE, plus deux fois le re&angle de FE par EB : on a auffi le quarré de AC égal à la fomme des quarrés de AE, EC , moins deux fois le reétangle de FE par EC, qui eft égal à celui de FE par EB, à caufe que EB eft égale à EC : donc la fomme des quarrés de AC, AB, eft égale à deux fois le quarré de AE, plus celui de EB , plus celui de EC, ou deux fois le quarré de AE, plus deux fois celui de BE.
    • Mais les quarrés de BD, DC , font égaux à ceux de AB, AC, à caufe de l’égalité des lignes CD, BD à AB, AC refpe&ivement : ainfi les 4 quarrés des quatre côtés feront égaux à quatre fois le quarré de BE, plus quatre fois celui de AE. Or quatre fois le quarré de BE forment le quarré de BC, & quatre fois le quarré de AE égalent celui de AD : donc, &c.
    • Nous allons terminer cette fuite de théorèmes, analogues à celui de la fameufe propofition du
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    • Géométrie. 297
    • triangle reélangle , par le théorème ci-après fur les quadrilatères quelconques.
    • THÉORÈME V.
    • Dans tout quadrilatère , quel quil foit, la femme des quarrés des côtés ejl égale à celle des diagonales , plus quatre fois le quarré de la ligne qui joint les milieux de ces diagonales.
    • Soit le quadrilatère ABCD, dont les deux dia- pj. , gonales font AC , BD ; qu’on les fuppofè coupées fïg. y en deux également en E & F, & qu’on tire la ligne EF : on fait voir que les quarrés des quatre côtés , pris enfemble, font égaux aux deux quarrés des diagonales, plus quatre fois le quarré de EF.
    • On fe borne ici à l’énoncé de ce théorème , très-élégant & très-curieux, qu’on doit, je crois, au célèbre M. Eulef. On en trouve la démonftra-tion dans les nouveaux Mémoires de Pétersbourg ,
    • T. V; mais elle feroit trop prolixe pour ce lieu-ci.
    • Remarquons feulement que quand le quadrilatère ABCD devient un parallélogramme, alors les deux diagonales fe coupent en deux également; ce qui fait que les points E & F tombent l’un fur l’autre, & la ligne EF s’anéantit. Ainh le théorème précédent n’efl: qu’un cas de celui-ci.
    • PROBLÈME XVI.
    • Les trois côtés d’un triangle rectiligne étant donnés, en mefurer la futface 9 fans rechercher la perpendiculaire abaijfée d’un des angles furie côté oppofé.
    • Prenez la demi-fomme des trois côtés du triangle , & retranchez de cette demi - fomme chacun des trois côtés : cela donnera trois relies,
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    • 194 Récréations Mathématiques.
    • qui, étant multipliés enfemble, & le produit par cette demi-fomme, formeront un nouveau produit, dont la racine quarrée fera l’aire cherchée.
    • Que les trois côtés foient, par exemple, 50, 120 , 150 toifes; la demi-fomme eft 160, la première différence eft 110, la fécondé 40, la troi-lieme 10; le produit de ces quatre nombres eft 7040000, dont la racine quarrée eft 2653 ,& près de tz.
    • Il eft aifé d’éprouver que, !i l’on procédoit par les voies ordinaires, c’eft-à-dire en cherchant la perpendiculaire tirée d’un angle fur le côté oppofé, on auroit eu beaucoup plus de calculs à faire.
    • Cette méthode fournit un moyen facile de trouver le rayon du cercle infcrit dans un triangle dont les trois côtés font donnés : ü**n’y a qu’à faire le produit des trois différences de chaque côté avec la demi-fomme, puis divifer ce produit par cette demi-fomme , & du quotient extraire la racine quarrée \ elle fera le rayon-cherché.
    • Ainli, dans l’exemple ci-deflus, le produit dés* différences eft 44000 ; ce qui, divifé par 160, donne 275, dont la racine quarrée eft 16 c’eft le rayon du cercle infcrit dans le triangle propofé.
    • PROBLÈME XVII.
    • Lorfqu'on arpente un terrain incliné, doit-on me-Jurer fa furface réelle, ou feulement celle qu'elle occupe dans fa projeÙion horizontale ?
    • Il y a de très-fortes raifons pour ne mefurer la furface d’un terrain que dans fa projedion hori-
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    • G E O M É T R I E.
    • zontale ; car l’objet de l’arpentage n’eft autre que de déterminer la quantité des produirions que peut donner un terrain, ou des conftru&ions qu’on peut élever deffus. Or il efl: évident que les arbres, les plantes, s’élevant toujours perpendiculairement à l’horizon , il n’en tiendra pas davantage fur un plan incliné que fur le plan horizontal qui lui répond perpendiculairement au deffous. De même on n’élevera pas plus de bâtiments fur un terrain incliné que fur celui de fa projeâron horizontale, parceque les murs d’un édifice ne peuvent s’élever que verticalement ; il y a feulement un peu plus de fujétion à bâtir fur un pareil terrain que fur un terrain horizontal.
    • Une autre raifon, c’eft qu’en général les terrains inclinés ont, proportion gardée avec leurs voifins horizontaux, moins de terre végétale, puifque les pluies en entraînent toujours une partie, pour la dépofer fur les terrains qui font au deffous ; fk ils font conféquemmeet hors d’état de nourrir une auffi grande quantité de produirions que les autres.
    • Ces deux raifons ne permettent pas de fe refufer à reconnoître que , dans ces cas-là , on devroit mefurer feulement la furface horizontale, & non la furface réelle ou inclinée, à moins que ces con-fidérations n’entrent enfuite dans l’eftimation du prix ; ce dont je doute fort.
    • Remarque.
    • C’est principalement dans les defcriptions topographiques de pays montagneux qu’il faut avoir attention à réduire tout au plan horizontal; car, fuppofons qu’on ait levé les détails d’un pays , & que dans le penchant d’une montagne un peu
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    • 3.96 Récréations Mathématiques. î-oide on ait pris les diftances réelles, & non celles réduites à l’horizon entre les divers lieux qu’on a voulu placer fur la carte, il fera impoflible , lorfi-qu’on voudra les placer fur cette carte, de faire accorder fes mefures. En effet, c’eft comme fi l’on vouloit rapporter fur le plan ou la hafe d’une pyramide, les triangles que forment fes côtés inclinés. Cela eft impoflible : & , fi on commence par y coucher un des triangles de fes faces , tous les autres ne peuvent être que fauflement repré-lentés.
    • Je ne fqais fi les ingénieurs géographes font d’ordinaire attention à cela. J’ai lieu de croire que non ; car j’ai vu des livres de ce genre, où il ne paroîtpas qu’on fe doutât feulement de la néceflité d’une pareille réduction. Elle n’a pourtant pas échappé à M. l’abbé de la Grive, qui donne la maniéré de la faire, en employant la trigonométrie re&iligne ; mais fa méthode , qui fe préfente au relie du premier coup d’œij, exige la connoif-fance des côtés inclinés, & emploie plufieurs analogies: c’eft pourquoi M. Mauduit a donné, dans fes Leçons de Géométrie théorique & pratique, à Vu-fage des Eleves de VAcadémie £ Architecture, un moyen beaucoup plus fimple & plus ingénieux. En effet, au moyen de quelques confidérations de trigonométrie fphérique, il réduit tout le calcul , à une feule analogie, & n’a befoin que de la cori-noilfance des angles de pofition & de ceux de hauteur. Nous invitons à recourir à ce livre, excellent à-la-fois pour la théorie & la pratique, & qui contient beaucoup plus qu’on ne trouve dans les livres ordinaires d’éléments,
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    • GÉOMÉTRIE. 197
    • PROBLÈME XVIII.
    • 'Avec cinq quarrês égaux, en former un feul.
    • Divisez un côté de chacun des quatre quarrés, PI. 15, A, B, C, D, en deux également, & tirez , d’un%* I23* des angles contigus au côté oppofé , une ligne n° 1 ^2' droite à ce point de divifion ; coupez enfuite ces quatre quarrés par cette ligne, ce qui les partagera chacun en un trapeze & un triangle, comme l’on voit dans la fig. 123, n° 1.
    • Arrangez enfin ces quatre trapèzes & ces quatre triangles autour du quarré entier E , comme vous le voyez dans la fig. 123, n° 2; vous aurez un quarré évidemment égal aux cinq quarrés donnés.
    • Remarque.
    • Au moyen de la folution du problème fuivant, on pourra, former un feul & unique quarré de tant de quarrés que l’on voudra. Car, de tant de quarrés qu’on voudra , on peut former un quarré long ; or on va enfeigner dans le problème qui fuit, comment un quarré long quelconque peut être réfolu en plufieurs parties qui foient fufeep-tibles d’être arrangées de maniéré à former un quarré.
    • PROBLÈME XIX.
    • Un rectangle quelconque étant donné, le transformer , par une Jimple tranfpojition de parties , en un quarré.
    • Soit le rettangle ABCD donné. Pour le re-Fig. 124. couper en plufieurs parties qui puiffent s’arranger en un quarré parfait, cherchez d’abord la moyenne
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    • *9$ Récréations Mathématiques.
    • proportionnelle géométrique entre les côtés BA; AD de ce re&angle ; faites A E égale à cette moyenne proportionnelle, & tirez EF perpendiculaire à AE : cette ligne EF coupera AD en un point F, lequel tombera ou au-delà de D, à l’égard du point A , ou fur le point D même, ou entre D & A : ce qui forme trois cas, dont le dernier même fe fubdivife en deux ; mais l’un d’eux étant bien compris, ne laiffe plus aucune difficulté pour les autres.
    • PI. 15 , Premier Cas. Soit donc premièrement le point F fig. 124 » au-delà de D, comme l’on voit dans \*fig. / 24,n°i; n° ï & 2. ja jjgne jrp COUpera CD en un point L : faites AG égale à DL , & tirez GH perpendiculaire à AE ; elle retranchera du triangle ABE le petit triangle AGH : coupez enfin le re&angle donné AC en quatre parties, fuivant les lignes AE, EL & GH ; il en réfultera quatre parties , fçavoir, le trapeze AELD, le triangle ECL, le trapeze GBEH, & le petit triangle AGH, que nous nommerons refpec-tivement a^b9c9d: arrangez enfin ces quatre morceaux comme vous voyez dans la fig. 124 y n° 2, ôt vous aurez un quarré parfait.
    • La démonftration eft facile à trouver, en con-fidérant, dans la fig. 124, n° 1 , le quarré fait fur AE, fçavoir; AEKI ; mais, avant tout, il faut démontrer que fi l’on tire AI parallèle à EF, & par le point D la parallèle Kl à AE, le reétangle qui en réfultera, AEKI, fera un quarré. Or c’eft ce qui eft très-facile ; car, prolongeant IK jufqu’à fa rencontre en P avec BC prolongée, on a évidemment le re&angle AEKI égal au parallélogramme ADPE , lequel eft égal au reftangle ABCD, ou AB par AD ; d’ou il fuit que AE par AI eft égal à AB x AD : mais le quarré de AE eft égal à AB
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    • GÉOMÉTRIE, îpp
    • par AD ; conféquemment AE par AI eft la même chofe que le quarré de AE.
    • Cela étant démontré, tirez LG parallèle à AD,
    • & LM parallèle à AE; puis, des points M & G, tirez à AD & AE les perpendiculaires MN&GH: il eft évident que le triangle AMN eft égal & fem-blable à ELC : de même le triangle AGH eft égal & femblable à DLK : enfin le trapeze BEHG eft égal & femblable à NDIM ; car BE eft parallèle & égale à DN, BG à MN, DI à EH, & MI à GH. Les quatre parties AELD, ECL, BEHG, AGH, qui compofent le re&angle AC, font donc égales aux quatre , AELD , AMN , NDIM , DLK, qui compofent le quarré AEKI, ou fon égal, celui de la même figure, n° 2 : donc , &c.
    • Second. Cas. Si le point F tomboit fur le point D , la folution du problème feroit extrêmement facile ; car alors le triangle d deviendroit nul, pj j puifque DL feroit nulle ; ainfi le quarré égal au fig. 1 reélangle feroit compofé du triangle AED rec- n" 3. tangle & Hbfcele , & de deux autres triangles auffi re&angles & ifofceles, ABE, CDE, égaux: entr’eux &: à la moitié du premier : ce qui ne préfente aucune difficulté pour être arrangé en quarré. Ce cas en effet ne peut avoir lieu, que quand le côté AB eft précifément la moitié de ÂD : le re&angle AC eft donc alors compofé de deux quarrés égaux. Or on fçait comment de deux quarrés égaux on en forme un feul.
    • Troijieme Cas. Suppofons préfentement le point pjg, F tomber entre A & D, mais en telle forte que n°_ 1. FD foit moindre que EB. Faites, dans ce cas,EG égale à FD , & tirez GH perpendiculaire à AE ; vous aurez le reétangle AC partagé en quatre parties , fqavoir, le triangle AEF, le trapeze EFDC,
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    • 3oo Récréations Mathématiques.
    • le trapeze ABGH, & enfin le triangle EGH, que nous nommerons encore refpeftivement a,b,c,d. PL 15, Le re&angle étant découpé en ces quatre parties , fig. 125, on les arrangera comme on voit dans la fig. 125, 2* n° x , & l’on aura un quarré parfait : ce qui eft encore facile à démontrer.
    • Si FD étoit précifément égale à EB, il eft évident qu’au lieu du trapeze ABGH, on auroit un triangle AB h ; enforte que le quarré à compofer ferait formé de trois triangles & d’un trapeze ECDF, comme on voit dans la fig. 12S, n° 2.
    • Fig. 125, Si FD excédoitEB, & étoit précifément égale n° 3• à AF, alors il faudrait tirer DM parallèle à EF; & le reàangle étant coupé félon les lignes AE, EF & MD , qui formeroient trois triangles & un parallélogramme E D, on les arrangerait comme l’on voit dans la fig. iz3, n° 3, pour en former le quarré AIKE.
    • PI. 16, On peut fuppoler enfin que la hauteur AD du fig. 126. reftangle propofé , foit telle qu’ayant fait la confi-truélion générale enfeignée au commencement de la folution, la ligne FD excede la ligne AF, ou en foit multiple tant * de fois qu’on voudra, avec ou fans refte. Dans ce cas, pour réfoudre le problème , prenez autant de fois que vous le pourrez, la ligne AP fur FD. Pour Amplifier, nous fuppo-ferons ici que la première n’eft contenue dans la fécondé qu’une fois avec le refte LD. Tirez LM parallèlement à EF ; vous aurez le parallélogramme LMEF, que vous pourrez ranger en FANO : faites enfuite EG égale à DL, & tirez GH perpendiculaire à AE ; coupez enfin le reâangle ABCD' par les lignes AE, EF, ML, GH, dans ces cinq parties , fçavoir, le triangle AEF, le parallélogramme FLME, les trapèzes LDCM, AHGB, & le trian-
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    • géométrie. 301
    • gle GHE, que nous défignerons refpeaivement par a, b, c,d, e: ces cinq parties s’arrangeront en un PI. 15, quarré parfait, ainfi qu’on le voit dans le quatre % 115’ AIKE, formé du triangles, du parallélogrammen° 3-b , des trapèzes z & d, & du petit triangle e.
    • Il faudrait fix parties, dont deux parallélogrammes , comme b, fi AF étoit contenu deux fois en FD.
    • On pourra , vice versa, & par une forte de marche rétrograde, réfoudre le problème fuivant.
    • PROBLÈME XX.
    • Un quarré étant donné, le couper en 4,3, G, &c. parties dijfemblables entr elles , & qui puijjent par leur arrangement former un rectangle.
    • Qu’il s’agiffe d’abord de divifer ce quarré , par PL 1?, exemple {fig. 12J, n° 1) AEKI, en quatre par-«g. 12J, ties fufceptibles d’un pareil arrangement. Pour cetn- *• effet, fur le côté EK de ce quarré, prenez EF plus grande que la moitié du côté EK , & tirez AF ; faites AO égale à EF, & tirez OM parallèle à AF ; enfin, du point où OM rencontre IK , tirez MN perpendiculaire à AF : les quatre parties cherchées feront les triangles AEF, OMI, & les deux trapèzes AOMN, MNFK, qui s’arrangeront, fi on le veut, de maniéré à former le re&angle ABCD ; ce qui fera évident à quiconque aura compris la folution du problème précédent.
    • Si vous voulez cinq parties, prenez EF telle qu’elle foit contenue dans EK deux fois, avec un refte quelconque ; que tes parties de la ligne EK foient EF, FO, & le refte OK ; tirez AF; &, Pl. 16. prenant AN, NP , égales chacune à EF, tirez NO, %• 12Ô>
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    • 302 Récréations Mathématiques.
    • PQ , parallèles à AF, dont la derniere rencontrera le côté Kl en Q ; de ce point menez la perpendiculaire QR fur NO: vous aurez deux triangles, un parallélogramme & deux trapèzes, qui feront évidemment fufceptibles de former un quarré long tel que ABCD, puifque ce font les mêmes parties dans lefquelîes on pourroit partager ce quarré long, pour en former, par leur tranfpofition, le quarré AEKI : donc, &c.
    • PROBLÈME XXI.
    • Tranfpojition de laquelle femblc réfulter que le tout peut être égal à la partie.
    • PL x6,Formez un parallélogramme re&angle dont fig. 117’ les longs côtés foient de onze parties, & les petits n° *• de trois, & vous le diviferez en quarrés égaux par des parallèles tirées par chaque point de divifion, comme on voit dans la fig. 127, n° 1 ; ce qui donnera 3 3 quarrés égaux & femblables.
    • Menez enfuite , par les angles diagonalement oppofés, la diagonale AB ; enfin coupez ce parallélogramme félon les lignes EF, GH, & la diagonale BA: vous aurez quatre pièces, qui , alfem-blées comme dans la fig. 127, n° 1, donneront 3 3 quarrés.
    • Fig. 117, Mais fi vous les aflemblez de forte que la ligne n" 2, & 3. AH joigne la ligne BF, & que les deux triangles BHG, EFA, forment un reâangle, vous aurez 34 quarrés au lieu de 3 3.
    • Voilà donc 33 égal à 34.
    • Mais non ; l’illufion eft aifée à découvrir ; car il eft facile de voir que tous les quarrés traverfés par les lignes de réunion obliques AH , AB, font moindres chacun de — en hauteur que les autres.
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    • Géométrie. 305
    • Or il y en a 11 qui font ainfi traverfés ; par con-féquent il n’eft pas furprenant que l’on en trouve un de plus.
    • Cette'fupercherie, il faut en convenir, eft allez puérile aux yeux d’un géomètre ; mais encore eft-elle plus adroite que celle de M. G***; car, en faifant avec lui les longs côtés du reélangle de dix parties, les quarrés traverfés par les lignes de réunion fe trouvent manquer en hauteur d’un cinquième jufte de leur largeur ; ce qui ne permet plus, même à l’œil le moins exercé, de les prendre pour des quarrés parfaits femblables aux autres : mais quand il ne leur manque qu’un onzième dans une de leurs dimenfions , il eft difficile de s’en appercevoir.
    • Remarque.
    • C’est, à ce que je crois, par une femblable fubtilité qu’un certain M. Liger prétendoit démontrer que deux fois 144 ou 288 égaloient 289, quarré de 17 ; d’où il concluoit que le quarré de 17 étoit égal à deux fois le quarré de 12 , & que 17 étoit la valeur précife de la diagonale du quarré ayant 12 de côté. On ne peut fe perfuader qu’il y ait des cerveaux fufceptibles de pareilles abfur-dités.
    • PROBLÈME XXII.
    • Divifer une ligne en moyenne & extrême raifonl
    • Une lignç eft divifée en moyenne & extrême raifon, lorfque la ligne entière eft à un des feg-ments de fa divifion, comme ce fegment eft au reliant de la ligne. Un grand nombre de problèmes de géométrie fe réduilent à cette divifion ; ce qui lui a fait donner par quelques géomètres du fei-
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    • 304 HécRÉAfiONs Mathématiques. zieme fiecle, le nom de fection divine. Sans adopter une dénomination auffi emphatique, voici la folution du problème.
    • PI. 4, Soit la ligne AB à divifer en moyenne & ex-fig. 33! trême raifon. Faites BC perpendiculaire à Ton extrémité , & égale à la moitié de AB ; tirez AC , & prenez CD égale à CB ; faites enfuite AE égale au reftant AD : la ligne AB fera divifée comme on le demande, & on aura ce rapport, AB à AE, comme AE à EB.
    • Remarques.
    • PL 6, 1. ai étant divifée en moyenne & extrême rai-
    • %• 34» fon, fi on lui ajoute fon grand fegment, alors ort ”° I* a une ligne bc pareillement divifée en moyenne &C extrême raifon en a, enforte que bc eft à b a comme ba à ac.
    • 2. Si, ba étant divifé, comme on l’a dit, en c9 Fig- 34> on fait cdégale au petit fegment bc, alors on aura n° 2* ca divifée de la même maniéré, c’eft-à-dire que ca fera à cd comme cd à da.
    • PROBLÈME XXIII.*
    • Sur une bafe donnée, décrire un triangle recîangle tel que les trois côtés foient en proportion continue.
    • PI. 5,Sur la bafe AB foit décrit un demi-cercle; % 35. puis foit AB divifée en moyenne & extrême raifon en C,tz foit élevée la perpendiculaire CD, juf-qu’à fa rencontre avec le cercle en D ; qu’on tire enfin les lignes AD & DB : le triangle ABD fera celui qu’on cherche ; & il y aura même rapport de AB a AD, que de AD à DB, Ce qui eft aifé à démontrer.
    • PROBLÈME
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    • GioMàTRii. jûj
    • PROBLÈME XXIV.
    • JJeux hommes qui coûtent également bien , panent à qui arrivera le premier de A en B , après avoir lté toucher le mur CD. On demande quelle route on doit tenir pour gagner le pari.
    • IL eft aifé de voir qu’il faut pour cela trouver la PL pofîtion des lignes AE, EB, telles que leur fomme % 36* foit moindre que celles de toutes autres, comme Ae, eB. Or on démontre que cètte fomme eft la moindre poffible, lorfque l’angle AEC eft égal à l’angle BED.
    • Car concevez la perpendiculaire AC menée fur CD, & prolongée enforte que CF foit égale à AC, & tirez EF, EB ; les angles AEC, CEF, feront égaux. Mais AEC eft égal à BED par la fuppolîtion : donc les angles CEF & BED le feront aufli : d’où il fuit que CD étant une ligne droite , FEB en fera aufli une. Mais BEF eft égale à BE, EA, prifes enfemble, éomme Be & eF le font à B e & e A : le chemin BEA fera donc plus court que tout autre B*A, par la même raifon que BE eft plus courte que les lignes Be, eF.
    • Pour trouver donc le point E, il faudra tirer les perpendiculaires AC , BD , à la ligne CD ; enfuite divifer CD en E, de forte que CE foit à ED comme CA à DB.
    • PROBLÈME XXV.
    • Un point, Un cercle & une ligne droite étant donnés depofition , décrire un cercle pajfant parle point donné, & tangent au cercle & à la ligne droite„
    • P a R le centre du cercle donné foit tirée là per- Fig. 37, pendiculaire BE à la ligne donnée* & qu’elle1 Tome /, V
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    • jo6 Récréations Mathématiques. coupe le cercle en B & F ; foit encore tirée RA au point donné À ; qu’on prenne enfuite BG , quatrième proportionnelle à BA, BE, BF : par les points A & G, foit décrit un cercle qui touche la ligne CD : il touchera auffi le cercle donné.
    • PI. 5, La conftru&ion fera la même, fi le point A eft fig. 38. au dedans du cercle; dans lequel cas il eft évident que la ligne qui doit être touchée par le cercle cherché, doit auffi entrer dans le cercle donné: il y aura même, dans ce cas, deux cercles qui résoudront le problème , comme on le voit dans la figure 38.
    • PROBLÈME XXVI.
    • Veux cercles & une ligne droite étant donnés , tracer un cercle qui les touche tous.
    • C E problème eft évidemment fufceptible de plu-fieurs cas , car le cercle tangent à la ligne droite Fig. 39. peut renfermer les deux cercles, ou un feul, ou les laiffer tous deux dehors ; mais, pour abréger, nous nous bornerons au dernier cas , laiffant les autres à la fagacité de nos le&eurs , qui n’auront pas beaucoup de peine à les réfoudre , après avoir bien conçu la Solution du dernier.
    • Soient donc les deux cercles, dont les rayons font CA, c <z, donnés , ainfi que la ligne DE, de pofition. Prenez, dans le cas que nous traitons ici, fur le rayon CA, la portion AO égale kca, & tracez du rayon CO un nouveau cercle ; tirez auffi au-delà de DE une ligne de parallèle à DE, & qui en foit éloignée d’une quantité égale à ca; tracez enfuite par le problème ci-deffus un cercle qui paffe par c, & qui touche le cercle au rayon
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    • GÉOMÉTRIE. 307
    • CO & la ligne droite de; que le centre de ce cercle foit B ; diminuez fon rayon de la quantité AO ou car le cercle décrit avec ce nouveau rayon fera évidemment tangent aux cercles donnés, ainfi qu’à la droite DE.
    • PROBLÈME XXVII.
    • De Cinfcription des polygones réguliers dans U cercle.
    • On lit dans plufieurs livres de géométrie pra-pi. tique , une méthode générale pour Finfcription fig. 40. des polygones réguliers au cercle, que voici. Sur le diamètre AB du cercle donné, décrivez un triangle équilatéral, & partagez ce même diamètre en autant de parties égales que le polygone demandé doit avoir de côtés; enfuite, du fommet E du triangle par l’extrémité c de la fécondé divi-fion, tirez la ligne Ec, que vous prolongerez jufqu’à la circonférence du cercle en D : la corde AD fera, difent-ils, le côté cherché du polygone à inferire.
    • On ne parle ici de cette prétendue méthode, que pour dire qu’elle eft défe&ueufe, & n’a jamais pu être l’ouvrage que d’un ignorant en géométrie ; car il eft aifé de démontrer qu’elle eft fauffe, même lorfqu’on l’applique à la recherche des polygones les plus limples, de l’oélogone, par exemple. En effet, on trouve aifément, par le calcul trigonométrique, que l’angle DCA, qui devroit être de 45 °, eft de 48° 14'; d’oà il fuit que la corde AD n’eft pas le côté de l’oftogone inferit.
    • Il n’y a de polygones réguliers infcriptibles géométriquement & fans tâtonnement, au moyen de V ij
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    • 3o8 Récréations Mathématiques. la réglé 8c du compas, que le triangle, 8c les polygones qui en dérivent en doublant le nombre des côtés, comme l’exagone,le dodécagone, 8cc.
    • Le quarré , 8c les polygones qui en dérivent de la même maniéré, comme l’oélogone, le fédéca-gone, 8cc. f *
    • Le pentagone, 8c ceux qui en dérivent, comme le décagone, le 20-gone, 8cc.
    • Le pentédécagone 8c fes dérivés , comme le polygone de 30 côtés , 8cc.
    • Les autres, tels que l’eptagone, l’ennéagone, l’endécagone, 8cc. ne fqauroient être décrits par le moyen feul du compas 8c de la réglé , fans tâtonnement ; 8c tous ceux qui ont cherché à le faire y ont échoué, ou n’ont enfanté que des pa-ralogifmes ridicules.
    • Voici en peu de mots la maniéré de décrire géométriquement dans le cercle les cinq polygones primitifs qu’on peut y infcrire avec la réglé 8c le compas.
    • PI. 5, Soit le cercle ABDE, partagé en quatre parties % 4i* égales par les deux diamètres perpendiculaires AB, DE; foit partagé le rayon CD en deux également en F, 8c foit tirée OG parallèle à AB : la ligne EG fera le côté du triangle infcrit, ainfi que GO 8c OE.
    • La ligne EB fera, comme tout le monde fçait, le côté du quarré.
    • Si l’on fait EH égale au rayon , on fçait auffi que ce fera le côté de l’exagone.
    • Partagez en deux également au point I le rayon CA, 8c tirez El ; faites IK égale à IC, 8c la corde EL égale au reliant EK : ce fera le côté du décagone; 8c en prenant l’arc LM égal à l’arc EL* on aura EM pour le côté du pentagone.
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    • Divifez enfin en deux également en ,N Tare OM, qui eft la différence de l’arc du pentagone avec celui du triangle, & tirez la droite ON ; ce fera le côté du pentédécagone ou du polygone de 15 côtés.
    • Remarque.
    • L’Eptagone eft fufceptible d’une conftru&ion non-géométrique, mais approximée , qui eft affez heureufe , & qui mérite par cette raifon d’être connue : la voici. Pour inferire dans un cercle donné un eptagone, décrivez d’abord un triangle équilatéral, ou du moins déterminez-en un côté : la moitié de ce côté fera à très-peu de chofe près le côté de l’eptagone infcriptible. On trouve en effet, par le calcul, le côté du triangle, le rayon étant l’unité, égal à o, 866oz, dont la moitié eft de o, 43301, & le côté de l’eptagone eft 0,43387; ce qui ne différé de la moitié du côté du triangle que de moins qu’un 1000e. Toutes les fois donc qu’un.millième du rayon du cercle donné fera une quantité infenfible, la conftru&ion ci-deffus différera infenfiblement de la vérité.
    • Il feroit à fouhaiter qu’on trouvât, pour tous les autres polygones, des conftruélions auffi fimples & auffi approchantes de la vérité. Cela n’eft pas impoffible.
    • PROBLÈME XXVIII.
    • Connoijfant le côté d'un polygone d'un nombre de côtés donné , trouver le centre du cercle qui lui ejl circonfcriptible.
    • Ce problème eft en quelque forte l’inverfe du précédent, & eft facile à réfoudre pour les mêmes polygones.
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    • jio Récréations Mathématiques.
    • Nous paffons fous filence le triangle, le qüarré &: l’exagone, parce que les premiers éléments de géométrie fuffifent pour fçavoir comment trouver le centre d’un triangle équilatéral, d’un quarré, & que le côté de l’exagone eft égal au rayon même du cercle qui lui eft circonfcriptible.
    • PI. 5» Ainfi nous commencerons par le pentagone. %• 4»* Soit donc A B le côté du pentagone cherché, A l’extrémité de AB élevez la perpendiculaire AC, égale à 7 AB ; puis tirez BC, dont vous ôterez CE=AC ; faites enfuite BF=BE ; après cela , du centre A au rayon AF, décrivez un arc de cercle, &, du point B au rayon B A, un autre arc qui coupera le premier en G : la ligne BG fera la polition du fécond côté du pentagone , & les deux perpendiculaires fur les milieux de ces côtés , donneront par leur interfe&ion la polition du centre h,
    • PL 6, Pour Voctogone. Soit AB , fig. 45, le côté üg* 43* donné. Décrivez fur cette ligne un demi-cercle, & élevez le rayon CG perpendiculaire & indéfiniment prolongé ; tirez le côté du quarré BG, & - faites CF égale à la moitié de BG ; tirez la perpendiculaire FE au diamètre ; & par le point E, où elle coupera le demi-cercle , tirez AE, qui rencontrera CG prolongée en D : ce point D fera le centre du cercle cherché.
    • PI. 5, Pour le décagone. AB étant le côté donné, %• 42, cherchez, comme lî vous aviez à conftruire un pentagone, la ligne BF, &, des points A & B avec îe rayon AF, décrivez le triangle ifofcçle AAB : le point h fera îe centre du décagone.
    • PI. 6, Pour le dodécagone & les polygones quelconques, *§• 44- Soit la ligne AB donnée pour le côté du polygone. Avec un rayon quelconque CD décrivez un cercle, dans lequel vous décrirez le dodécagone
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    • GÉOMÉTRIE. |it
    • Ou le polygone demandé: fuppofons que DE.en foit le côté ; prolongez DE en F, (fi AB excede DE) enforte que DF Toit égale à AB ; tirez CE & fa parallèle FG : le point où cette derniere rencontrera le diamètre DH prolongé, fera évidemment le cercle, auquel le polygone cherché eft infcriptible.
    • Quoique nous ayons donné des méthodes particulières pour le pentagone , l’o&ogone & le décagone , il eft fuffifamment clair que ce dernier moyen leur eft également applicable.
    • Terminons cet article des polygones par deux tables utiles ; l’une, qui donne les côtés des polygones , le rayon du cercle étant donné ; l’autre, qui préfente la longueur du rayon, le côté même du polygone étant connu. Soit donc le rayon du cercle exprimé pariooooo, le côté du triangle infcrit fera, à une unité près, de . . 173 205 ,
    • celui du quarré . . . . . . . 141421 ,
    • du pentagone.................1175 57 ,
    • de l’exagone....................100000 ,
    • de l’eptagone.................. 86777 ,
    • del’o&ogone.................... 76536,
    • de l’ennéagone ..... 68404,
    • du décagone..................61803 ,
    • de l’endécagone..................56347 ,
    • du dodécagone................51763»
    • du trédécagone...............47^44 >
    • du 14-gone................... 445 °3 9
    • du quindécagone. . ... 41582.
    • Au contraire, que le côté du polygone foit 100000 , le rayon àu cercle fera ,
    • dans le cas du triangle............... 57735 *
    • dans celui du quarré...............7°710 »
    • du pentagone .... 85065,
    • V iv
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    • Récréations MathI^atioues. dansleçasdel’exagone . . . . looooo ,
    • del’eptagone . . • . 115137»
    • del’oftogone .... 130657,
    • de l’ennéagone .... 146190,
    • du décagone...............161804 ,
    • de l’endécagone. . . . 17747°»
    • du dodécagone . . . 193188,
    • du trédécagone . . . • 109012,
    • dui4-gone.................2,247°3 >
    • du quindécagone ... 240488.
    • PROBLÈME XXIX.
    • Former les différents corps réguliers.
    • IL y a long-temps qu’on a démontré en géométrie , qu’il ne peut y avoir que cinq corps terminés par-des figures régulières, toutes égales entre elles, & formant enfemble des angles égaux. Ce font;
    • Le tétraèdre, qui eft formé par quatre triangles équilatéraux ;
    • Le cube ou exaëdre , formé de lix quarrés égaux ;
    • L’oéfaëdre, formé de huit triangles équilatéraux égaux ;
    • Le dodécaèdre , formé de douze pentagones égaux ;
    • L’icofaedre enfin, qui eft formé de vingt triangles équilatéraux.
    • On peut fe prendre de deux manières pour former un de ces corps réguliers quelconques. La première eft de former d’abord une fphere, & d’en retrancher les parties excédentes, enforte que le reftant forme le corps régulier cherché : l’autre,
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    • GÉOMÉTRIE. 31J
    • dont le procédé reffemble à celui qui efl: ufîté dans la Coupe des Pierres, conlîfte à tracer d’abord, fur un plan fait au hafard, une des faces du corps qu’on veut former; enfuite à adapter fous des angles déterminés les faces adjacentes.
    • Pour réfoudre donc le problème dont il s’agit, nous réfoudrons d’abord les queftions fuivantes.
    • 10 Le diamètre d’une fphere étant donné, trouver les côtés des faces de chacun des corps réguliers.
    • z° Trouver les diamètres des petits cercles de cette fphere , où font infcriptibles les faces de chacun de ces corps.
    • 3° Déterminer l’ouverture de compas dont chacun de ces cercles peut être décrit fur la fur-face de la même fphere.
    • 40 Déterminer les angles que font entr’elles les faces contiguës dans leur commune inter-feétion.
    • 1. Une fphere étant donnée , trouver les côtés des faces de chacun des cinq corps réguliers.
    • Soit À B C la moitié du grand cercle de la PI. 6, fphere donnée , & AC un de fes diamètres. Di- % 45' vifez-le en trois parties égales , & que AI en foit les deux tiers ; que IE foit perpendiculaire à ce diamètre, & coupe le cercle en E : la ligne AE fera le côté d’une des faces du tétraèdre, & l’on aura pour celui du cube ou de l’exaëdrela ligne EC.
    • Tirez enfuite par le centre F le rayon FB, perpendiculaire à AC , qui coupe le cercle en B, & menez la ligne AB ; ce fera le côté de l’oéfaëdre inferit dans la même fphere.
    • Le côté du dodécaèdre fe trouvera, en partageant EC, celui de l’exaëdre, en moyenne Sc
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    • 314 Récréations Mathématiques.
    • extrême raifon, & en prenant pour le côté du dodécaèdre le grand fegment CK.
    • Enfin Toit tirée à l’extrémité A du diamètre la perpendiculaire AG, égale à AC, & menez du centre F la ligne FG, qui coupera le cercle en H ; la ligne AH fera le côté de l’icofaëdre.
    • Le rayon de la fphere étant ioooo, on trouve, par le calcul, le côté du tétraèdre égal à 16319; celui de l’exaëdre ou du cube, égal à 11546; celui de l’oétaëdre, 14142; du dodécaëdre, 77136; de l’icofaëdre, 10514.
    • 1, Trouver le rayon du petit cercle de la fphere , auquel la face du corps régulier propofé ejl infcrip-tible.
    • On a déjà enfeigné la maniéré de trouver le rayon du cercle circonfcriptible au triangle, au quarré & au pentagone, qui font les feules faces des corps réguliers : ainfi le problème eft réfolu par-là.
    • Pour les exprimer en nombres, on fqait que le côté du triangle équilatéral étant 10000, le rayon du cercle circonfcriptible eft 5773 ainfi le côté du tétraëdre étant 16329 , il nry aura qu’à faire comme 10000 eft à 5773 , ainfi 16329 à une quatrième proportionnelle, qui fera 9426.
    • On trouvera de même, que le rayon du petit cercle où eft infcriptible la face de l’oftaëdre, eft 8164.
    • Enfin un calcul femblable montrera que celui du cercle de la face de l’icofaëdre eft 6070.
    • Le rayon du cercle circonfcriptible autour du quarré dont le côté eft 10000, eft, comme l’on fcait, 7071; ce qui donnera pour le rayon de la face de l’exaëdre, 8164.
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    • Géométrie. 3IÇ
    • Enfin, le côté d’un pentagone étant ï 0000, on a pour le rayon du cercle circonfcriptiblè , 8506 ; ce qui donne pour le rayon de la face du dodécaèdre , 6070.
    • 3. Trouver P ouverture de compas dont doit être décrit fur la fphere le cercle capable de recevoir la face du corps régulier.
    • Cela eft encore facile ; car , EF étant le rayon PL 6, du petit cercle de la fphere capable de recevoir % cette face , il eft évident que F D eft l’ouverture du compas propre à‘décrire ce cercle fur la furface de la fphere. Or FE eft le finus de l’angle FCD , qui fera conféquemment donné , & FD eft le double du finus .de la moitié de ce premier angle ; ainfi l’on trouvera FD, en cherchant d’abord dans les tables l’angle FCD, le partageant par la moitié, cherchant le finus de cette moitié, & doublant ce finus.
    • Ce procédé donnera la valeur de FD ; pour le cas du tétraèdre, 11742.; pour ceux de l’exaëdre &; de l’oâaëdre, 9192; pour ceux du dodécaèdre & de l’icofaëdre, 6408.
    • 4. Trouver Vangle formé par les faces des corps réguliers.
    • Tracez un cercle aulîi grand que vous pourrez, Fig. 47* & déterminez dans ce cercle le côté du corps régulier demandé ; abaiffez enfuite du centre la perpendiculaire fur ce côté : ce fera le diamètre d’un fécond cercle que vous décrirez. Je fuppofe que ce diamètre foit AB.
    • Décrivez après cela, fur le côté du corps régulier trouyé , le polygone convenable, ou du moins cherchez le centre du cercle circonfcriptiblè
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    • 3i6 Récréations Mathématiques.
    • à ce polygone, &, de ce centre, abattiez furie côté trouvé une perpendiculaire ; faites , dans le fécond cercle ci-deffus, les lignes AD, AC, égales à cette perpendiculaire : vous aurez l’angle DAC égal à l’angle cherché.
    • On trouve au refte, par le calcul, que cet angle eft pour le tétraèdre, de 70° 31'; pour l’exaëdre , de 90 ; ( ce qu’on fçavoit déjà, car les faces du cube font perpendiculaires les unes fur les autres) pour l’oôaëdre, de 109° 28'; pour le dodécaèdre, de 1160 34'; pour l’icofaëdre, de 138° 12'.
    • Réunifions toutes ces dimenfions dans une table, où nous fuppofons le rayon de la fphere de 10000 parties.
    • I NOMS des Corps régu- Cotés R4°:i Dm"-
    • Tétraèdre Exaëdre Odaëdre Dodécaëdre Icofaëdre 16319 11546 I4I41 77536 10514I 9416 8164 8164 6070 6070 11742 9192 9192 6408 6408 700 3*' 9°° O, 109° 25' Il6» 34' .38° .O'
    • Il eft maintenant facile de tracer, de l’une ou de l’autre maniéré, un corps régulier quelconque demandé.
    • Première Maniéré. Qu’on ait, par exemple, une fphere dont on veut former un dodécaèdre. Décrivez un cercle dont le diamètre foit égal à celui de la fphere, & déterminez-y le côté du dodécaèdre , ou le côté du pentagone qui eft une de les faces ; le rayon du cercle circonfcrit à ce pentagone, & l’ouverture du compas propre à le dé-
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    • Géométrie. p J
    • crifé fur la fpbere. Cela eft facile, par les déterminations géométriques ci-dèffüs.
    • Ou bien, fuppofant le rayon de la fphere pro-pofée de ioooo parties, prenez, fur une échelle, 6408 de ces parties , qui feront l’ouverture du compas avec lequel vous décrirez fur la furface de la fphere un cercle, fur la circonférence duquel vous déterminerez les cinq angles du pentagone infcriptible ; de deux points voifins, avec la môme ouverture de compas que ci-deffus, décrivez deux arcs, dont l’interfeéHon fera le pôle d’un nouveau cercle égal au premier ; faites-en ainfi de deux en deux points ; & vous aurez les cinq pôles des cinq faces qui s’appuient fur la première. Vous déterminerez de même facilement les autres pôles, dont le dernier, fi l’opération eft exaâe, doit être diamétralement oppofé au premier. Enfin, de ces douze pôles, décrivez deux cercles égaux, quife trouveront tous coupés en cinq parties égales ; ils détermineront douze fegments de la fphere, qui, étant abattus, laifferont à découvert les douze faces du dodécaèdre cherché.
    • Seconde Maniéré. Pour opérer de cette fécondé maniéré , il faut commencer à découvrir dans le bloc propofé une face plane, fur laquelle on décrira le polygone qui convient au corps régulier demandé ; on abattra enfuite fur chaque côté de ce polygone un nouveau plan , incliné fuivant l’angle déterminé dans la table ci-deflus, ou qui aura été tracé par le moyen de la conftruâion géométrique qu’on a aufli donnée plus haut : on aura autant de faces planes , fur lefquelles on décrira de nouveaux polygones, qui auront avec le premier un côté commun. Faifant la même chofe fur ces polygones, vous arriverez enfin au der-
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    • 318 Récréations Mathématiques.
    • nier, qui doit être parfaitement égal au premier, lî l’on a opéré avec exa&itude.
    • Obfervons néanmoins que la première méthode eft celle qui conduira plus fûrement à la parfaite cxaditude.
    • 5. Former les mêmes corps avec du carton.
    • Si l’on vouloit former ces cor-ps avec du carton ou du papier fort, il faudroit s’y prendre de la maniéré fuivante, qui eft la plus commode.
    • Tracez d’abord fur le carton toutes les faces du corps demandé, fçavoir , les quatre triangles pour PI. 6, le tétraèdre, comme dans la fig. 48,pl. 6‘; les fix %• 489 quarrés du cube, comme dans la fig. 4g; les huit 49» 50< triangles équilatéraux de l’oétaëdre, comme dans la fig. 60 ; les douze pentagones du dodécaèdre, PL 7j comme dans la .fig. 5t,pl.y ; les douze triangles fig. 51,52. équilatéraux enfin, comme dans la fig. 5x : vous en découperez enfuite les bords ; après quoi il fera aifé de plier les faces dans leurs côtés communs , de maniéré qu’elles fe réunifient toutes : enfin , en collant avec du papier fin les côtés qui fe touchent fans fe tenir, vous aurez un corps régulier exécuté.
    • Les anciens géomètres avoient entaffé beaucoup de fpéculations géométriques fur ces corps : les derniers livres des Eléments d'Euclide n’ont prefque que cet objet. Un commentateur moderne d’Euclide (M. de Foix Candalle) a même encore enchéri fur ces fpéculations , en inferivant ces corps les uns dans les autres, & en les comparant fous divers afpefts ; mais tout cela n’eft plus regardé aujourd’hui que comme de vaines recherches. Elles furent fuggérées aux anciens, par la perfuafion où ils étoient que ces corps avoient des propriétés myftérieufes , de la découverte dd-
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    • Géométrie. 319
    • quelles dépendent l’explication des phénomènes les plus cachés de la nature. Ils comparaient avec ces corps les éléments , les orbes céleftes, que -fçais-je encore? Mais depuis que la faine phyfîque a pris le deffus, l’énergie prétendue des nombres,
    • & celle des corps réguliers dans la nature, ont été reléguées parmi les vifions creufes de l’enfance de la philofophie & du platonifme. Nous paffe-rons, par ces raifons, fous filence ces fpéculations ;
    • & nous nous bornerons à un problème alfez curieux fur le cube ou l’exaëdre.
    • PROBLÈME XXX.
    • Percer un cube d’une ouverture , par laquelle peut pajjer un autre cube égal au premier.
    • SI l’on conçoit un cube élevé fur un de lès PI, angles, de forte que la diagonale paffant par cet %• angle foit perpendiculaire au plan qu’il touche ,
    • & que, de chacun des angles qui font en l’air, on conçoive une perpendiculaire abaiffée fur ce plan , la projection qui en réfultera fera un exa-gone régulier, dont chaque côté & chaque rayon fe trouvera ainfi.
    • Sur une ligne verticale AB, fig. 63, égale à la diagonale du cube, ou dont le quarré foit triple de celui du cube, foit décrit un demi-cercle, dans lequel foit faite AC égale au côté du cube, Sc AD égale à la diagonale d’une de fes faces ; &, du point C, foit abaiffée fur l’horizontale tangente du cercle en B , la perpendiculaire CE , qui paffera par le point D : vous aurez BE pour le côté & le rayon de l’exagone cherché abcd, fig. 54.
    • Cela étant, qu’on décrive fur cette projection
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    • 320 Récréations Mathématiques.
    • 7,exagonale, & autour du même centre, le quarré 54* qui eft la proje&ion du cube propofé mis fur une de fes bafes, enforte que Tes côtés foient l’un parallèle & l’autre perpendiculaire au diamètre ac9 on peut démontrer que ce quarré fera contenu dans l’exagone, de maniéré à ne toucher par fes angles aucun des côtés : donc on peut percer dans le cube , & dans le fens parallèle à une de fes diagonales , un trou quarré égal à une des bafes du cube, ôc cela fans fblùtion de continuité d’aucun côté ; & par conféquent on pourra faire paffer dans ce cube un autre cube égal, pourvu qu’il fe meuve dans le fens de la diagonale du premier.
    • PROBLÈME XXXI.
    • D'un trait de. compas, & fans en changer P ouverture ni varier le centre 9 décrire une ovale.
    • Cette efpece de problème n’eft qu’une fur-prife, car on ne fpécifie point fur quel genre de furface on doit tracer la courbe cherchée. Celui à qui l’on propofe le problème fonge à une fur-face plane , & le juge impoffible, comme il l’eft en effet ; tandis qu’il eft queftion d’une furface courbe, fur laquelle il eft aifé à exécuter.
    • En effet, qu’on étende fur une furface cylindrique une feuille de papier , & qu’appuyant fur un point quelconque le compas, on trace fur cette furface une efpece de cercle ; qu’on déploie en-fuite en plan cette feuille : il eft évident qu’on aura une figure allongée, dont le plus court diamètre fera dans le fens qui répondoit à celui de l’axe du cylindre.
    • Mais on fe tromperoit, li l’on prenoit cette courbe
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    • G F. 0 M £ T R I F. )ii
    • courbe pour la vraie • ovale, fi connue des géomètres.
    • Voici la defcription de cette derniere. PROBLÈME XXXII.
    • Décrire C Ovale ou VEllipfe géométrique.
    • L’ovale géométrique eft une courbe qui a deux axes inégaux, & qui a fur Ton grand axe deux points tellement placés, que fi, de chaque point de la circonférence, on tire deux lignes à ces deux points, la fomine de ces deux lignes efl: toujours la même.
    • Soit donc AB le grand axe de l’ellipfe à décrire ; PL 7, DE, qui le coupe à angles droits & en deux par- 55* ties égales, le petit axe, qui efl aufli coupé en deux parties égales en C : du point D, comme centre , avec un rayon égal à CA, décrivez un arc de cercle qui coupe le grand axe en F & /: ces deux points font ce qu’on nomme les foyers : plantez à chacun une pointe, ou , fi vous opérez fur le terrain , un piquet bien droit ; puis prenez un fil, ou, fi c’eft fur le terrain , un cordeau dont les deux bouts foient.noués, & qui ait en longueur la ligne AB, plus la diftance Vf; paflez ce fil ou ce cordeau à l’entour des piquets F, f de maniéré qu’ils foient dans l’intérieur de l’anneau, & tendez-le, comme vous voyez en FGf avec un crayon ou une pointe que vous ferez tourner de B par D en A, & revenir par E en B, en appliquant toujours la pointe ou le crayon avec la même force: la courbe que décrira cette pointe fur le papier ou fur le terrain dans une révolution entière, fera la courbe cherchée.
    • On appelle cette ellipfe VOvale des Jardiniers ,
    • Tome /. X
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    • 311 RiCRiATIONS Màthémàtiqües. pàrceque , lorfqu’ils ont à décrire une ellipfe, ils s’y prennent de cette maniéré.
    • On voit par-là que l’ellipfe ou l’ovale géométrique eft, pour ainfi dire, un cercle à deux centres; car, dans le cercle, l’allée du centre à un point quelconque de la circonférence, & le retour de ce point au centre, font toujours la même fournie , fqavoir, le diamètre. Dans l’ellipfe où il y a deux centres, l’allée d’un d’eux à un point quelconque , & le retour de ce point à l’autre centre, font auffi conftamment la même fomme ou fon grand diamètre.
    • Auffi un cercle n’eft-il encore qu’une ellipfe dont les deux foyers, en fe rapprochant l’un de l’autre, fe font enfin confondus.
    • Voici une autre maniéré de décrire l’ellipfe ^ qui peut avoir quelquefois fon application.
    • 7j Soit ABC une équerre , & BH, BI, les déifie $6. demi-axes de l’ellipfe à décrire. Ayez une réglé, comme DE, égale à la fomme de ces deux lignes ; &, ayant pris EF égale à BH, foit fixée (par un méchanifme qu’il eft aifé d’imaginer) au point F une pointe ou crayon propre à laitier une trace fur le papier ou le terrain ; faites enfuite tourner cette réglé dans l’angle droit donné, de maniéré que fes deux extrémités s’appliquent toujours aux côtés de cet angle : la pointe fixée en F décrira dans ce mouvement une ellipfe véritable & géométrique.
    • Il eft aifé de voir que fi la pointe ou le crayon eût été fixé au point G, qui coupe DE en deux également, la courbe décrite eût été un cercle. Remarque.
    • Il y a une autre ovale fort employée par les ar-
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    • chite&es & les ingénieurs, lorfqu’ils ont à former des arcs furbaiffés ou furhauffés, qu’on appelle anfes de panier. Elle eft compofée de plufieurs arcs de cercle de différents rayons, qui fe touchent mutuellement, & qui repréfentent affez bien l’el-lipfe géométrique : mais elle a un défaut , qui confifte en ce que, quelque bien que fe touchent ces arcs de cercle, un œil un peu délicat apperçoit toujours à leur jon&ion un jarret, qui eft l’effet * du paffage fubit d’une courbure à une autre plus grande. C’eft pour cela qu’un arc quelconque qui monte fur fon pied-droit fans impofte, paroît y faire un jarret, quoique l’arc, à fa réunion avec le pied-droit, lui foit exaélement tangent.
    • Cet inconvénient néanmoins eft compenfé par la commodité de n’avoir befoin, pour les vouffoirs de l’arc , que de deux panneaux fi le quart de l’ovale eft formé de deux arcs, ou de trois s’il eft formé de trois ; au lieu que, s’il étoit formé en véritable ellipfe, il faudroit autant de panneaux que de vouffoirs. Si cependant quelqu’un avoit le courage ( & il n’en faudroit pas beaucoup) pour fur-monfer cette difficulté , nous ne doutons point que la véritable ellipfe n’eut plus de grâces que cette ovale bâtarde.
    • PROBLÈME XXXIII.
    • Sur une bafe donnée, décrire une infinité de triangles9 ou la fournie des deux ccftés fur la bafe foit toujours la même.
    • Ce n’eft là qu’un corollaire du problème précé- PI. dent. Car, fur la bafe donnée, foit décrite une fig* 5 ellipfe dont les deux extrémités de cette bafe foient Xij
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    • 3i4 Récréations Mathématiques. les foyers ; tous les points de l’ellipfe feront les fommets d’autant de triangles fur la bafe donnée F G/, Fgf, & la fomme de leurs côtés fera la même : ils auront conféquemment tous le même contour ; & le plus grand fera celui qui aura fes deux côtés égaux, car c’eft celui dont le fommet eft au point le plus élevé de l’ellipfe.
    • THÉORÈME VI.
    • De toutes les figures ifopérimetres ou de même contour, & ayant un nombre de côtés déterminé , la plus grande ejl celle qui a tous fes côtés & fes angles égaux.
    • PL 7, O N commencera à démontrer ce théorème à fg- 5 7* l’égard des triangles. Soit donc d’abord fur la bafe AB le triangle ACB, dont les côtés AC, CB, font inégaux. On a fait voir plus haut que fi l’on conf-truit le triangle AFB, dont les côtés égaux AF, FB, le foient enfemble à AC, CB , ce triangle AFB fera plus grand que ACB.
    • Par la même raifon, fi, fur AF, comme bafe, on fait le triangle AbF, dont les côtés A b , bF, égaux entr’eux, foient égaux enfemble à AB , BF, ce triangle AbF fera plus grand que AFB. Pareillement , en fuppofant Fa, a B, égaux, & leur fomme égale à FA , AB, ce dernier triangle Fab fera encore plus grand que AFB , qui a le même contour, &c. Or il eft aifé de voir, par cette opération, que les trois côtés du triangle fe rapprochent toujours de l’égalité ; & qu’en la concevant continuée à l’infini, le triangle deviendroit enfin équilatéral, & , conféquemment , que le triangle équilatéral fera le plus grand de tous.
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    • Gèon
    • 3*5
    • Par exemple, fi les trois côtés du premier triangle étoient 11, 13, 5, les côtés du fécond feroient 12 ,
    • 9,9; du troifieme, 9, io~9 io£;.du quatrième,
    • 9J; du cinquième, 9 10 j 10 j;dufi-
    • xieme,10^,977, 9t| ; du feptieme, 9-j-g, 10 10 ; Ôc ainfi de fuite : par où l’on voit que la dif-
    • férence décroît toujours, de forte qu’à la fin les trois côtés deviendront 10, 10, 10; & alors le triangle fera le plus grand de tous.
    • Qu’on prenne à préfent un polygone re&iligne, pi. 7 tel que ABCDEF, dont tous les côtés font iné- fig. 58 gaux ; tirez les lignes AÇ, CE, E A : par ce que l’on a montré plus haut, on verra que , fi fur AC l’on fait le triangle ifofcele AbC, tel que Ab, bC, foient égaux enfemble à AB , BC, le polygone, quoique de même contour , deviendra plus grand de l’excès du triangle AbC fur ABC. En faifant 1a même chofe tout à l’entour, le polygone augmentera continuellement en furface, tous fes côtés & fes angles approcheront de plus en plus de l’égalité ; conféquemment le plus grand de tous fera celui où tous les côtés & les angles feront égaux.
    • Nous allons maintenant démontrer que, de deux Fig. 5 c polygonës réguliersde même contour, le plus grand eft celui qui a le plus de côtés; Pour cet effet, foit un polygone, par exemple le triangle équilatéral circonfcrit au cercle , & que KFHI foit l’exagone circonferit au même cercle ; il eft évident que fon contour fera moindre , que. celui du triangle , car les parties FE, GH, IK, font communes, & le côté GF eft moindre que FB plus BG, &c : l’exagone concentrique au premier, & d’égal contour avec le triangle, que je fuppofe MNO, fera donc extérieur à l’exagone K F H ; conféquemment la perpendiculaire K./ fera plus grande que KL. Or X iij
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    • 3i« Récréations Mathématique;.
    • -le triangle ayant même contour que l’exagone MNO, leurs aires feront comme les perpendiculaires CL, C/, abaiffées du centre du cercle ; con-féquemment l’exagone ifopérimetre avec le triangle fera le plus grand.
    • Ce qu’on vient de démontrer à l’égard du triangle & de l’exagone ifopérimetres, eft évidemment applicable à tout autre polygone dont l’un a un nombre de côtés double de l’autre ; par confé-quent plus un polygone d’un contour déterminé de côtés, plus fon aire eft grande.
    • Remarques.
    • 1. Ceci nous conduit à une conféquence célébré dans la géométrie : c’eft que , de toutes les figures de même contour, le cercle ejl abfolument la plus grande. Car le cercle n’eft qu’un polygone d’un nombre infini de côtés, ou, pour s’exprimer plus géométriquement, il eft le dernier des poly- ' gones qui réfultent du doublement continuel de j leurs côtés ; conféquemment il eft le plus grand j de tous.
    • 2. Remarquons encore ici que fi , fur une bafe déterminée, & avec un contour auiïi déterminé, font décrites plufieurs figures , la plus grande fera encore celle dont le contour, la bafe exceptée, fera formé du plus grand nombre de côtés , & le plus approchant de la régularité : d’où il fuit que fi, avec une longueur déterminée , il eft queftion de décrire fur une bafe donnée la plus grande figure , cette figure fera un fegment de cercle, fça-voir, celui dont cette bafe eft la corde , & dont l’arc eft égal à la longueur donnée.
    • Toutes ces chofes peuvent être démontrées par une coüfidération méchanique. Car, fuppofoitf
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    • Géométrie; Ji7
    • un vafe dont les parois foient parfaitement flexibles , & qu’on y verfe dedans une liqueur ; il eft certain qu’elles s’arrangeront de maniéré à en contenir la plus grande quantité poflible : d’un autre côté, on fçait que ce vafe prendra la figure cylindrique, c’eft-à-dire dontlabafe &les coupes parallèles à la bafe feront circulaires : d’où il fuit que le cercle eft, de toutes les figures d’égal contour , celle qui comprend la plus grande aire.
    • D’après les confidérations ci-deflùs, il eft aifé de réfoudré les queftions fuivantes,
    • I.
    • Coûts a un champ de 600 toifes de contour, qui ejl quarré; Sempronius en a un de même contour, qui ejl un quarré long , & propofe à Cdius un échange. Celui-ci doit-il Vaccepter?
    • Il eft aifé de répondre que non; & Caïus feroit d’autant plus léfé, que le champ de Sempronius au-roit des côtés plus inégaux : ils pourraient même être tels que ce dernier champ ne fût que la moitié , le quart, le dixième de celui de Caïus. Car, fuppo-fons que celui de Caïus eût 100 toifes dans chacune de fes dimenfions , & que celui de Sempronius fut un reâangle dont un des côtés eût 190 toifes & l’autre 10 , il feroit ifopérimetre au premier ; mais fa furface ne feroit que de 1900 toifes quarrées , tandis que celle du premier feroit de 10000 toifes. Si des deux dimenfions du champ de Sempronius, l’une étoit de 19 5 toifes & l’autre de 5 , ce qui donneroit encore 400 toifes de contour , fa furface ne feroit que de 950 toifes ; ce qui n’eft pas même la dixième de celle du champ de Caïus.
    • Xiv
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    • 3i8 Récréations Mathématiques.
    • II.
    • Un particulier a emprunté un fac de grain, de 4 pieds de haut & de Jîx pieds de tour ; l'emprunteur envoie au préteur deux facs de même hauteur, & de 3 pieds de contour chacun. On demande s'il a rendu la même quantité de grain.
    • On répondra qu’il n’en rend que la moitié ; car. deux cercles égaux qui ont même contour qu’un troifieme, ne lui font pas égaux ; ils n’en font que, la moitié, chacun d’eux n’en étant que le quart.
    • III.
    • Un maître-cChôtel a acheté, pour une certaine fomme, la quantité d'afperges que pouvoit contenit un cordeau d'un pied ; le lendemain, voulant en avoir le double, il retourne au marché avec un lien double , & offre un prix double. Son offre ejl-elle raifonnable ?
    • Non. Cet homme eft dans l’erreur de penfer qu’avec un lien double, il ne renfermera que le double de ce qu’il a eu la veillé : il en auroit lq quadruple ; car un cercle d’un contour double, a un diamètre double. Or un cercle d’un diametré double de celui d’un autre, eft quadruple de cet
    • Remarque.
    • Il nous refte a.obferver ici que tout comme , parmi les figures d’égal contour, le cercle eft la plus grande, de même, parmi les folïdés d’égale &rface,la fphere eft celle qui contient le plus grand volume. Ainfi, fi quelqu’un fe propofoit de faire un vafe d’une capacité déterminée, en ménageant?
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    • GÉOMÉTRIE.
    • la matière autant qu’il Ce pourroit, il faudrait qu’il fût fphétique. Mais voici un autre problème de ce genre.
    • PROBLEME XXXIV.
    • Un particulier veut faire une cuvette d’argent, de forme cylindrique & ouverte en dejfus, qui contienne un pied cube de liqueur ; mais, dejîrant épargner autant qu'il fepourra la matière , il s'a-drejfe à un géomètre pour avoir les dimenjions de ce vafe. On demande quelles font ces dimenjions.
    • E N fuppofant que ce vafe doive avoir, par exemple , une ligne d’épaiffeur , il eft évident que la quantité de matière fera proportionnelle à la fur-face. Il s’agit donc de déterminer, entre tous les cylindres d’un pied cube de capacité, celui dont la furface, une des bafes exceptée, fera la moindre.
    • Or nous trouvons que le diamètre de la bafe doit être de 16 pouces 4 lignes, & la hauteur de 8 pouces 2 lignes ,t:’eft'à-dire fenliblement dans le rapport de 2 à 1 entre le diamètre & la hauteur.
    • Si l’on vouloit que le vafe, en forme de tonneau , fût clos des deux côtés, la queftion fe ré-duiroit à trouver le cylindre dont la furface, les deux bafes Comprifes , fût plus grande que dans tout autre de même capacité : il faudroit alors que le diamètre de la bafe fût de 13 pouces, & la hauteur de 12 pouces 5 lignes
    • PROBLÈME XXXV.
    • Les Alvéoles des Abeilles.
    • Les anciens admiroient. les abeilles, à caufe de la forme exagone de leurs alvéoles. Ils remar-
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    • 330 Récréations Mathématiques. quoient que, de toutes les figures régulières qui peuvent s’adapter fans laiffer aucun vuide, hexagone eft celle qui approche le plus du cercle , & qui, avec même capacité, a le moins de contour : d’où ils inféroient en cet infe&e une forte d’inf-tinél qui lui avoit fait choifir cette figure, comme celle qui, en contenant la même quantité de miel, exigeoit le moins de cire pour en former les parois. Car il paroî t que les abeilles ne travaillent pas la cire pour elle-même, mais uniquement pour en former leurs alvéoles, qui doivent être leurs magafîns de miel, & les nids des petits vers défîmes à devenir un jour abeilles.
    • Il s’en faut cependant bien que ce foit là la principale merveille du travail des abeilles ; fi l’on peut appeîler merveille, un travail qu’une organi-fation particulière détermine aveuglément. Car on pourroit d’abord remarquer qu’il n’eft pas abfo-lument merveilleux que de petits animaux, tous doués de la même force , de la même activité , preffants de dedans en dehors de petites loges arrangées les unes à côté des autres, du refte égales & également flexibles, leur donnent, par une forte de néceflité méchanique, la forme exagone. En effet, fi l’on fuppofbit une multitude de cercles ou de petits cylindres infiniment flexibles & un peu extenfibles , à côté les uns des autres, & que des forces agiffantès intérieurement, & toutes égales, tendîffent à appliquer leurs parois, en rem-pliffant les vuides qu’ils laiffent entr’eux, la première forme qu’ils, prendroient feroient hexagone ; après quoi, toutes ces forces reftant en équilibre, rien ne tendroit à changer cette forme.
    • On pourroit cependant, pour réintégrer les abeilles dans la poffeffion où elles font d’être
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    • Géométries 331
    • admirées à ce fujet, remarquer que ce n’eft pas ainfi qu’elles travaillent. On ne les voit pas commencer à faire des alvéoles circulaires, puis, à force de les pétrir & de les étendre en travaillant enfem-ble, les transformer en exagones. Les alvéoles qui terminent un gâteau imparfait font également à pans, inclinés à peu de chofe près fous l’angle que demande la forme exagone. Mais palfons à l’autre fingularité plus merveilleufe du travail des abeilles.
    • Cette fingularité confîfte dans la maniéré dont le fond de leurs alvéoles eft formé. En effet, on ne doit pas s’imaginer qu’ils foient tout uniment terminés par un plan perpendiculaire à l’axe : il y avoit une maniéré de les terminer qui employoit moins de cire, & qui en employoit le moins qu’il étoit poflible, en laiffant toujours à l’alvéole la même capacité ; &, le croiroit-on ? c’eft celle que ces infeftes ont adoptée , & exécutent avec une affez grande précifîon.
    • Pour exécuter cette difpofition, il falloit, i ° PI. 7, que les deux rangs d’alvéoles qu’on fçait former fig. 60. les gâteaux de miel, & qui font adofîés les uns aux autres, ne fuffent pas arrangés de maniéré que leurs axes fe répondirent, mais enforte que l’axe de l’un s’alignât avec la jointure commune des trois poftérieurs. Comme l’on voit, dans lafig. 6o9 l’exagone en ligne pleine répondre aux trois exagones en lignes ponctuées, qui repréfentent le plan des cellules poftérieures, c’eft ainfi que les cellules des abeilles font arrangées pour donner lieu à la difpofition de leurs fonds communs.
    • 2.0 Pour donner une idée de cette difpofition, PI. 8, qu’on fe repréfente un prifme exagone, dont la fig* bafe fupérieure foit Pexagonf ABCDEF, avec le triangle infcrit AEC ; que l’axe GO foit prolongé
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    • 3ji Récréations Mathématiques.
    • en S, & que, par ce point S & le côté AC:, 6n mene un plan qui abattra dans le prifme l’angle B , en formant une face rhomboïdale ASCT : tel eft un des fonds de l’alvéole ; & deux autres plans , femblablement menés par S & les côtés AE,EC, forment les deux autres, enfbrte que le fond eft terminé en une pyramide triangulaire.
    • PI. 8, Il eft aifé de voir que, quel quefoit le point S, % 61. comme la pyramide ACOS eft toujours égale à ACBT, & ainfi des deux autres, la capacité de l’alvéole ne variera point, quelle que foit l’incli-naifon du fond tournant fur AC. Mais il n’en eft pas ainfi de la furface ; il y a une mclinaifpn telle que la furface totale du prifme &. de fes fonds fera plus petite que dans toute autre inclînaifon. Les géomètres l’ont recherchée , & ont trouvé qu’rl fab-ïoit pour cela que l’angle formé par ce fond avec l’axe, fût de 540 44'; d’où réfulte le petit angle du rhombe, ATC ou ASC, deyo0 3 x', & l’autre j S AT ou SCT, de 109° x8'.
    • Or telle eft précifément l’inclinai fon des . côtés du parallélogramme que forme chacun des trois plans inclinés des fonds des cellules des abedles ; fc’fcft ce qui réfulte des dimenfions prifes fur- unè multitude de ee& alvéoles. D’où l’on doit conclure que les abeilles forment les fonds, de leurs cellules de la manière la plus avantageufe pour qu’elles aient le moins de furface poffible , d’une manière enfin que la géométrie moderne feule eût pu déterminer. Qui peut avoir donné à des infeétes au (fi méprifa-bles, non aux yeux du philo fophè, qui ne mé>-prife point les plus petits ouvrages de la Divinité, mais aux yeux du vulgaire ; qui peut, difons-nousv avoir donné à ces infeéies l’inftin& admirable qui les dirige dans un ouvrage aufli parfait, linon le
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    • Géométrie. 33j
    • louverain Géomètre, la Divinité , de qui Platon a dit, par un fentiment qui fe vérifie de plus en plus , à mefure qu’on pénétré plus avant dans les ouvrages de la nature , qu’il fait tout numéro, pondère & men fur i >
    • PROBLÈME XXXVI.
    • Quel ejl le plus grand polygone qu'on peut former avec des lignes données ?
    • Réponse. On démontre que le plus grand polygone qu’on puiffe former avec des lignes données , eft celui qui eft tel qu’on puiffe lui circonscrire un cercle.
    • Mais on pourroit encore demander s’il y a quel-qu’ordre, entre fes côtés, qui puiffe donner un plus grand polygone que tout autre arrangement. Nous répondons que non ; & que, quel que Soit cet arrangement , fi le polygone eft infcriptible à un cercle , il fera toujours le même ; car il eft aifé de fe démontrer que, quel que foit cet ordre, la grandeur du cercle ne variera point : le polygone fera toujours compofé des mêmes triangles ayant leurs fommets à fon centre ; ils ne feront que différemment arrangés.
    • PROBLÈME XXXVII.
    • Quel ejl le plus grand triangle infcriptible à un cercle, & quel ejl le moindre des circonfcriptibles ?
    • Réponse. C’est, dans l’un & dans l’autre cas, le triangle équilatéral.
    • Il en eft de même des autres polygones. Le plus grand des quadrilatères infcriptibles au cercle, eft le quarré: cette figure eft aufli la moindre des circonfcriptibles.
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    • 334 Récréations Mathématiques.
    • Le pentagone régulier, infcrit.au cercle, eft auffi la plus grande de toutes les figures à cinq côtés qu’on peut lui infcrire ; & la même figure circonf-crite eft la moindre de tous les pentagones cir-confcriptibles, &c.
    • PROBLÈME XXXVIII.
    • PL 8, La ligne AB ejl la fêparation de deux plaines, Vune % 61. AGB, qui ejl d'un fable mouvant, où un cheval
    • vigoureux peut feulement faire une lieue par heure; Vautre ejl une belle peloufe , où le même cheval peut faire , fans fe fatiguer davantage , cette lieue en une demi-heure : les deux lieux C & D font donnés de pofition, c'efi-à-dire qu'on connoît tant les dijlances CA, DB, où ils font de la limite AB , que la pofition & la grandeur de AB : enfin un voyageur doit aller deDen <7. On demande quelle route il tiendra pour y mettre le moins de temps pofjîble.
    • I l eft peu de perfonnes qui, jugeant de cette quef-tion par les lumières ordinaires, ne pensâflent que le chemin que doit tenir le voyageur enqueftioneft la ligne droite. Elles fe tromperoient néanmoins, & il eft aifé de le faire fentir ; car, en tirant la ligne droite CED, on concevra facilement qu’il doit y avoir davantage à gagner, de faire dans la première plaine, où l’on marche plus difficilement, un chemin CF un peu moindre que CE , & d’en faire au contraire dans la fécondé, où l’on peut aller le plus vîte , un tel que FD, plus long que DE, c’eft-à-dire que celui qu’on auroit fait en allant dire&ement de C en D ; enforte qu’on emploie réellement moins de temps à aller de C en D par
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    • Géométrie. 335
    • CF, FD , que par CE, ED , quoique le chemin par ces demieres foit plus court.
    • C’eft effeétivement ce que démontre le calcul : on trouve, par fon moyen, que l’on ira de C en D dans le moins de temps poflible, quand, ayant tiré par le point F la perpendiculaire HG à AB, les finus des angles CFG, DFH, feront entr’eux ref-pe&ivement en rayon inverfe des viteflès avec lefquelles le voyageur en queftion peut aller dans les plaines CAB , ABD ; c’eft-à-dire, dans le cas prêtent, comme i à 2. Ainfi il faudra, dans le cas particulier, que le finus de l’angle CFG, foit la moitié de celui de l’angle DFH.
    • PROBLÈME XXXIX.
    • Sur une bafe donnée , décrire une infinité de triangles y tels que la fomme des quarrés des côtés foit confiamment la même, & égale à unquarré donné.
    • Soit AB la bafe donnée, que vous divilerez en p^ g deux également en C; puis, des points A & B,fig. 63,64. avec un rayon égal à la moitié de la diagonale du quarré donné, décrivez un triangle ifofcele dont le fommet foit F ; tirez CF , & du point C avec le rayon CF décrivez un demi-cercle fur AB prolongée s’il eneftbefoin : tous les triangles ayant AB pour bafe, & leurs fommets F, fi <p, dans la circonférence de ce demi-cercle, auront la fomme des quarrés de leurs côtés égale au quarré donné.
    • Remarque.
    • Tout le monde fçait que , lorfque la fomme des quarrés des côtés eft égale à celui de la bafe , le triangle eft re&angle, & a fon fommet dans la circonférence du demi-cercle décrit fur cette bafe.
    • Ici l’on voit que, fi la fomme des quarrés des cô-
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    • 336 Récréations Mathématiques. tés eft plus grande ou moindre que le quarré de la bafe, les Commets des triangles, qui dans le premier cas font acutangles, & dans le fécond obtu-fangles, font auffi toujours dans un demi-cercle ayant le même centre , mais fur un diamètre plus grand ou moindre que la bafe du triangle ; ce qui eft une généralifation fort ingénieufe de la propriété fi connue du triangle rectangle.
    • PROBLÈME XL.
    • Sur une bafe donnée , décrire une infinité de triangles , tels que le rapport des deux côtés fur cette bafe fait confiamment le même,
    • • 8,La baie donnée étant AB, divifez-la en D, de 65* maniéré que AD foit à DB dans le rapport donné. Suppofons-le ici de 2 à 1. Faites enfuite comme la différence de AD & DB eft à DB, ainfi AB à BE, laquelle BE fe prendra dans le fens ABE, fi AD excede DB ; partagez enfin DE en deux également en C, &, du centre C, décrivez avec le rayon CD ou CE, un demi-cercle fur le diamètre DE : tous les triangles, comme AFB, AfB, AçB, &c. ayant la même bafe AB, & leurs Commets F, fi <p, dans la circonférence de ce demi-cercle, auront leurs côtés AF, FB ; A/, FB ; Atp,<p B , dans le même rapport, fçavoir, celui de AD à DB , ou AE à EB, qui eft le même.
    • Mais on trouvera plus facilement le centre C par la conftru&ion fuivante. Sur AD décrivez le triangle équilatéral AGD, & fur DB le triangle pareillement équilatéral DAB : par leurs fommets G, H, menez une ligne droite, qui, étant prolongée , coupera la prolongation de AB en un point C, qui fera ce centre cherché.
    • THÉORÈME
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    • 337
    • Géométrie.
    • THÉORÈME VII.
    • Dans un cercle ,fi deux cordes AB, CD,fe coupent pi. 8, à angles droits, la Comme des quarrés de leurs%. 66. fegments CE, AE, ED, E B, fera toujours égalé au quarre du diamètre.
    • L A démonftration de ce théorème , qui eft affez curieux & élégant, eft néanmoins fort facile ; car il eft aifé de voir, en tirant les lignes BD, AC, que leurs deux quarrés font enfemble égaux aux quarrés des quatre fegments dont il s’agit. De plus ^ en prenant l’arc FC égal à AD, on aura l’arc FD égal à AC, & conféquemment l’angle FDC égal. à ACE, qui eft lui-même égal à ABD : donc l’angle FDB fera droit, puifqu’il eft égal à EDB 8c DBE, qui enfemble font un droit : par conféquent les quarrés de FD, DB, font égaux au quarré de l’hypothénufe, qui eft le diamètre : donc , &c.
    • Il faut remarquer qu’il en feroit de même, fi l’on, fiippofoit le point de rencontre e des deux cordes hors du cercle : on auroit, dis-je, également, dans ce cas, les quatre quarrés de ea,eb ,ec, ed, égaux enfemble au quarré du diamètre ; ce que nous ne démontrons pas ici, pour laifter à nos leéleurs le plaifir de fe le démontrer eux-mêmes.
    • Remarque.
    • Les cercles étant comme les quarrés de leurs diamètres, il eft évident que fi, fur EA, EB, EC ,
    • ED, comme diamètres, on décrit quatre cercles , ils feront égaux enfemble au cercle ACBD, &, de plus, ces quatre cercles feront proportionnels ; car on fçait que BE eft à EC , comme ED à EA.
    • Or, fi quatre grandeurs font en proportion, leurs Tome /. Y
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    • 3 ^8 Récréations Mathématiques.
    • quarrés le fontauffi. Déplus, il eft évident que, quelle que foit la pofition de ces deux cordes, leur Tomme fera toujours tout au plus égale à deux diamètres , fqavoir, lî elles paffent toutes deux par le centre ; & au moins égale à un, fçavoir, fi l’une paffe par le centre, & l’autre prefque à la diftance d’un rayon. On pourra donc , au moyen du théorème ci-deffus, réfoudre facilement le problème fuivant.
    • PROBLÈME XLI.
    • Trouver quatre cercles proportionnels qui, pris en-femble , foient égaux à un cercle donné, & qui foient tels que la fomme de leurs diamètres foit égale à une ligne donnée.
    • IL eft évident, par les raifons ci-deffus , qu’il faut que la ligne donnée foit moindre que deux fois le diamètre du cercle donné, & plus grande que ce diamètre ; ou, ce qui eft la même chofe, que la moitié de cette ligne foit moindre que le diamètre du cercle donné, & plus grande que fon rayon.
    • PI. 8, Cela pofé , que la ligne donnée, ou la fomme fig. 67. des diamètres des cercles cherchés, foit ab, dont la moitié foit ac; que AB DE foit le cercle donné, dont AB, DE, font deux diamètres perpendiculaires l’un à l’autre ; prenez fur les rayons CA , CE,prolongés, les lignes CF, CG, égales a ac, & tirez FG, qui coupera néceffairement le quarré CH du rayon du cercle ; fur la partie IK de cette ligne comprife dans ce quarré, foit pris un point quelconque L, duquel foient menées les lignes LMÿ, LNr, l’une parallèle, l’autre perpendiculaire au diamètre AB ; par les points M & N d’in-terfe&ion avec la circonférence du cercle, foient
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    • GÉ OMÊTIIE, 3,9
    • tirées MR, NQ, l’une perpendiculaire & l’autre parallèle à AB : les cordes NS, MT, feront les deux cordes cherchées.
    • Car il eft clair que NQ & MR font égales à Lq & Lr, qui font enfetnble égales à CG ou CF, ou à la moitié de ab ; donc les cordes entières font enfeinble égales à ab : donc , par la précédente, elles réfolvent le problème ; & les quatre cercles décrits fur les diamètres NO, OM, OS ,
    • OT, feront égaux au cercle ADBE.
    • Remarque.
    • La ligne FG peut feulement toucher le cercle ; dans lequel cas, tout autre point que le point de contaft réfoudra également le problème.
    • Mais fi FG coupoit le cercle , comme on le PI. 8, voit dans la fig. CS, il ne faudra prendre le point %• 68. L que dans la partie de la ligne IK. qui eft hors du cercle, comme on le voit dans cette même figure.
    • Cette folution vaut mieux que celle que donne Fig. 67* M. Ozanam , qui eft fujette à un tâtonnement défectueux ; car il ordonne de prendre fur ac une portion moindre que le rayon, & de la porter comme de C en q, ênfuite de tirer les lignes qM ,
    • MR, puis de porter le reftant de ac de C en r: mais il faut que le point r tombe au - delà de R , fans quoi les deux demi - cordes ne fe couperont pas. Il y a enfin, fuivant la grandeur de ac relativement au rayon, une certaine grandeur qu’il ne faut pas excéder, & que M. Ozanam- ne détermine point ; ce qui rend fa folution vicieufe.
    • Y ij
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    • 34© Récréations Mathématiques. PROBLÈME XLIÏ.
    • De la trifeclion & multifeclion de Vangle.
    • C E problème eft célébré par les efforts infructueux faits dans tous les temps pour le réfoudre géométriquement, à l’aide de la réglé & du compas , & par les paralogifmes & fauffes conftruc-tions données par de prétendus géomètres. Mais il eft aujourd’hui démontré que fa folution dépend d’une géométrie fupérieure à la géométrie élémentaire , & qu’aucune conftru&ion où l’on n’emploiera que la réglé & le compas, ou le cercle & la ligne droite, ne fçauroit le réfoudre, fi ce n’eft dans un petit nômbre de cas, comme ceux où l’arc qui mefure l’angle propofé eft le cercle entier, ou fa moitié, ou fon quart, ou fa cinquième partie. II n’y a plus, en conféquence, que des ignorants qui cherchent aujourd’hui la folution générale de ce problème par la géométrie ordinaire.
    • Mais quoique l’on ne puiffe , par la réglé & le compas feuls, réfoudre ce problème fans tâtonnement, il'y a néanmoins quelques conftruélions méchaniques ou de tâtonnement qui méritent d’être connues, à caufe de leur ftmplicité: les voici.
    • PI. 8, Soit l’angle ABC, qu’on propofe de partager 6g. 69. en trois parties égales. Du point A, abaiffez fur l’autre côté de l’angle la perpendiculaire AC , &, par le même point A, tirez à BC la parallèle AE indéfinie ; enfuite, du point B, menez à AE une ligne BE, telle que fa partie FE, interceptée entre les lignes AC & AE, foit égale à deux fois la ligne AB ; ce qui peut fe faire par un tâtonnement fort fîmple, & très facile à exécuter : vous aurez l’angle FBC égal au tiers de ABC.
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    • Géométrie. 341
    • En effet, divifez FE en deux également en D ,
    • & tirez AD ; le triangle FAE étant reftangle , D fera le centre du cercle paffant par les points F,
    • A, E : conféquemment DA , DE, DF, feront égales entr’elles & à la ligne AB : donc le triangle ADE fera ifofcele, & les angles DAE, DEA , feront égaux ; l’angle ADF extérieur, qui eft égal aux deux inferieurs DAE, DEA, fera donc double de chacun. Or, le triangle B AD étant ifofcele, l’angle ABD eft égal à ADB : donc l’angle AED, ou fon égal FBC, eft la moitié de l’angle ABD : conféquemment l’angle ABC eft divifé par BE, de maniéré que l’angle EBC en eft le tiers.
    • Autre Maniéré. Soit l’angle ACB, du fommet PI* P» duquel on décrira un cercle ; on prolongera en- "S* 7°*! fuite le rayon BC indéfiniment enE ; puis on tirera la ligne AE, de maniéré que la partie DE, interceptée entre BE & la circonférence de ce cercle , foit égale au rayon BC ; par le centre C, tirez CH parallèle à AE : l’angle BCH fera le tiers de l’angle donné BCA.
    • Pour le démontrer, tirez le rayon CD ; cela fait, il eft aifé de voir que l’angle HCA eft égal (à caufe des parallèles) à CAD ou CDA. Or ce dernier eft égal aux angles DCE , DEC, ou double de l’un d’eux, puifque CD & DE font égales par la conftruftion : de plus l’angle HCB eft égal à DCE ou DEC : conféquemment l’angle ACH eft double de HCB , & ACB triple de HCB.
    • PROBLÈME X L111.
    • La Duplication du Cube,
    • It eft aifé de doubler une courbe quelconque, comme
    • furface reétiligne ou un cercle, un quarré*
    • Y iii
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    • 34i Récréations Mathématiques.
    • un triangle, &c ; c’eft-à*dire, étant donnée une de ces figures, ileft aifé d’en conftruire une femblable qui en ioitle double, ou un multiple quelconque, ou dans une raifon donnée telle qu’on le voudra : il n’eft: queftion pour cela , que de trouver la moyenne proportionnelle géométrique entre un des côtés de la figure donnée, & la ligne qui eft à ce côté dans la raifon demandée : cette moyenne fera le côté homologue à celui de la figure donnée, Ainfi, pour décrire un cercle double d’un autre, il faut prendre une moyenne proportionnelle entre le diamètre du premier & le double de ce diamètre ; ce fera celui du cercle double, 6cc. Il en eft de même de toute autre raifon. Tout cela appar-tient à la géométrie la plus élémentaire.
    • Mais, conftruire une figure folide double, ou en raifon donnée d’une autre femblable, eft un problème bien plus difficile , & qui ne peut être réfolu par le moyen du cercle & de la ligne droite, ou de la réglé 6c du compas, à moins qu’on n’emploie un tâtonnement que la géométrie réprouve: c’eft ce qui eft aujourd'hui démontré ; mais la dé-monft ration n’eft pas fufceptible d’être fentie de tout le monde.
    • On fait une hiftoire aflez comique fur l’origine de ce problème : on dit que la pefte régnant à Athènes , & y faifant beaucoup de ravage, on envoya à Delphes confulter Apollon, qui promit de faire cefter le fléau, quand on lui auroit fait un autel double de celui qu’il avoit. Auffi-tôt des entrepreneurs furent envoyés pour doubler l’autel. Ils crurent n’avoir qu’à doubler toutes fes dimen* fions pour remplir la demande de l’oracle , & parla le firent oduple ; mais le dieu, plus géomètre, ne le vouloit que double. La pefte ne cefla point»
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    • Géométrie. 345
    • On envoya de nouveaux députés, qui reçurent pour réponfe, que l’autel étoit plus que double. Il fallut alors recourir aux géomètres , qui s’évertuèrent à chercher la folution du problème. Il y a apparence que le dieu fe contenta d’une approximation ou d’une folution méchanique. Les peuples d’Athènes auroient été à plaindre, s’il avoit été plus exigeant.
    • Il n’étoit rien moins que néceffaire d’immifcer une divinité dans cette affaire. Quoi de plus naturel aux géomètres, que de chercher à doubler un folide, & le cube en particulier, après avoir trouvé la maniéré de doubler le quarré & les autres fur-faces quelconques ? C’eft là la marche de l’efprit humain dans la géométrie.
    • Les géomètres apperçurent bientôt que, tout comme la duplication d’une furface quelconque fe réduit à trouver une moyenne géométrique entre deux lignes, dont l’une eft double de l’autre , de même la duplication du cube, ou d’un folide quelconque , fe réduit à trouver la première des deux moyennes proportionnelles continues entre ces mêmes lignes. On doit cette remarque à Hippocrate de Chio , qui, de marchand de vin ruiné par un naufrage, ou par les commis des aides d’Athenes, devint géomètre. Depuis ce temps, tous les efforts des géomètres fe font réduits à trouver deux moyennes proportionnelles géométriques, & continues entre deux lignes données ; & ces deux problèmes, fçavoir, celui de la duplication du cube, ou, plus généralement, de la conftruôion d’un cube en raifon donnée avec un centre, & celui des deux moyennes proportionnelles continues, font devenus fynonymes.
    • Voici différentes maniérés de réfoudre ce pro-
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    • 344 Récréations Mathématiqües.
    • blême, les unes qui exigent un tâtonnement, les autres qui emploient un infiniment autre que la réglé & le compas.
    • .9, î. Soient les deux lignes AB, AC, entre lef-
    • 71* quelles il s’agit de trouver deux moyennes proportionnelles continues. Formez-en le reétangle B ACD , & prolongez indéfiniment les côtés AB, AC ; tirez les deux diagonales du re&angle qui fe coupent en E : vous aurez la folution du problème, fi, tirant par l’angle D la ligne FDG , terminée entre les côtés de l’angle droit FAG , les points G & F font également éloignés du point E. Car alors les lignes AB, CG, BF, AC, feront en proportion continue.
    • Ou bien, Tracez du centre E un arc de cercle tel que FIG, qui foit tel qu’en tirant FG, cette ligne paffe par l’angle D ; vous aurez encore la folution du problème.
    • Ou bien encore , Circonfcrivez au re&angle BACD, un cercle ; enfuite, par l’angle D , tirez la ligne FG, de forte que les fegments FD , GH , foient égaux : vous aurez encore 'es lignes CG, BF, moyennes proportionnelles continues entre AB, AC.
    • 72. 2. Autre Solution. Faites un angle droit avec les deux lignes AB, BC , données ; & ayant indéfiniment prolongé BC & AB, du point B comme centre.^décrivez le demi-cercle DEA; tirez auflî la ligne AC, & , fur fa prolongation , trouvez un point G, tel que, tirant la ligne DGHI, les feg-ments GH, HI, foient égaux entr’eux : la ligne BH fera la première des deux moyennes.
    • 73. 3., Soit CA la première des données ; du point C décrivez un cercle avec le rayon CB, égal à
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    • Géométrie. 34^
    • la moitié de CA ; prenez dans ce cercle la corde BD égale à la fécondé des données, que vous prolongerez, indéfiniment ; tirez la ligne ADE indéfinie; enfin, du point C, tirez la ligne CEF, de maniéré que la partie EF, interceptée dans l’angle EDF, foit égale à CB : alors la ligne DF fera la première des moyennes proportionnelles cherchées , & CE fera la fécondé. Cette conftru&ion eft de Newton.
    • PROBLÈME XL IV.
    • Un angle qui nef point une portion exacte de la circonférence étant donnée trouver avec une grande exactitude , au moyen du compas feul, quelle ejl fa valeur.
    • Soit décrit du fommet de cet angle, avec le plus grand rayon qu’il le pourra, un cercle, fur . lequel vous marquerez les points principaux de divifion, comme les demi, les tiers, les quarts, les cinquièmes , les fixiemes , les huitièmes, les douzièmes, les quinzièmes de la circonférence ; prenez enfuite avec le compas la corde de l’arc donné, & tranfportez-la le long de la circonférence, à commencer d’un point déterminé , en faifant un tour, deux tours , trois tours, &c. Sc comptant en même temps le nombre de fois tjue vous portez cette corde fur la circonférence , juf-qu’à ce que vous ayiez tombé jufte fur un point de divifion, ce qui ne fqauroit manquer d’arriver après un certain nombre de révolutions , à moins que l’arc donné ne foit incommenfurable avec la circonférence ; alors examinez quel eft ce point de divifion, c’efl>à-dire, de combien 6c de quelles
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    • 34^ Récréations Mathématiques. ahquotes de la circonférence iîeft éloigné du premier point ; vous ajouterez le nombre de degrés qu’il donne au produit de 360°, multiplié par le nombre des tours complets qu’on a faits avec le compas, & vous diviferez la fomme par le nombre de fois que le compas a été porté fur la circonférence : le quotient fera le nombre de degrés , minutes & fécondés cherchés.
    • Suppofons, par exemple, que le compas, ouvert à la grandeur de la corde de l’arc donné, ait été porté dix-fept fois fur la circonférence, & qu’il loit enfin tombé jufte , après quatre révolutions complettes, fur la deuxieme divifion du cercle en cinq parties égales. La cinquième partie dè la circonférence eft 720, & les deux cinquièmes 1440; ajoutez donc 144 au produit de 360° par 4 , qui eft le nombre des révolutions complettes, & vous aurez 1584°; divifez ce nombre par 17, le quotient fera 930 io' 35", grandeur de l’arc cherché.
    • PROBLÈME XL V.
    • Une ligne droite étant donnée , trouver, par une opération facile & fans échelle, fon rapport avec une autre , à des iooou, /oooo", 100000e* près , &c.
    • Q u E la première de ces lignes & la moindre foit nommée A , & la fécondé B.
    • Ayant pris avec le compas la ligne A, tranf-portez-la, autant de fois que cela eft poffible, fur la ligne B: je fuppofe qu’elle y foit contenue trois fois avec un refte.
    • Prenez ce refte avec le compas, & tranfportez-le de même fur la ligne B, autant que cela fe peut :
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    • 347
    • GÊ OMÉTRIE. je fuppofe qu’il y (bit contenu fept fois avec un refte.
    • Prenez ce refte, & faites la même opération: je fuppofe qu’il foit contenu 13 fois dans la ligne B, avec un refte ; enfin, que ce refte foit contenu 24 fois exa&ement dans la ligne B.
    • Faites cette fuite de fra&ions, ÿ, ~, — ,
    • 3-y.1y.a4'? & réduifez-les en fraélions décimales, qui font , 0.333333, 0.047619, 0.003663, 0.000152. Je dis que la ligne donnée eft, en fractions décimales, égale â la première de ces fractions , moins la fécondé, plus la troifieme, moins la quatrième; ce qui donne 0.289215 , fans erreur d’une de ces parties entières , c’eft-à-dire d’une millionième.
    • Il eft aifé de voir qu’aucune échelle ne fçauroit donner un rapport auffi approché, quelque finefle de divifion qu’on lui fupposât ; & que, quand même on fuppoferoit une échelle femblable, il refteroit l’incertitude de la divifion fur laquelle tomberoit l’extrémité de la ligne donnée : au lieu qu’une ligne tranfportée avec le compas le long d’une plus grande, ne fçauroit jamais laiffer aucune incertitude fur le nombre de fois qu’elle y eft comprife, avec ou fans refte.
    • Si l’on avoit voulu fommer les fra&ions ci-def-fus, fous la forme odinaire , on auroit trouvé que la ligne cherchée étoit égale à de ^e" conde.
    • PROBLEME XL VI.
    • Taire, pajjer un même corps par un trou quarrê, rond & elliptique.
    • On ne donne ici ce prétendu problème, que parcequ’il fe trouve dans toutes les Récréations
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    • 348 Récréations Mathématiques*
    • Mathématiques imprimées jufqu’â pré (en t ; car rien au monde n’eft fi fimple & plus facile à trouver , pour peu qu’on connoiffe les corps les plus fimples de la géométrie.
    • Ayez en effet un cylindre droit, & imaginez-le coupé par l’axe ; cette fe&ion fera un quarré ou un re&angle : coupez-le par un plan perpendiculaire à l’axe ; la feélion fera un cercle : enfin con-cevez-le coupé obliquement à cet axe ; la feftion fera une elliple. Conféquemment, fi vous percez dans un carton, une planche , &c. trois trous égaux , l’un à ce re&angle, l’autre au cercle, le troifieme à l’ellipfe, il eft évident qu’on fera paffer le cylindre par le premier de ces trous, en le mouvant dans le fens perpendiculaire à fon axe ; on le fera paffer par le trou circulaire, en le préfentant dans le fens de fon axe ; enfin il paffera par le trou elliptique, en le fai fant paffer fous l’obliquité convenable ; & il effleurera dans tous les cas les bords du trou, enforte que fi ce trou étoit plus petit* on ne fçauroit l’y faire paffer.
    • On pourroit réfoudre le problème au moyen d’autres corps ; mais cela eft fi fimple & même fi puéril, qu’il feroit ridicule de s’étendre plus longtemps fur un pareil objet.
    • PROBLÈME XLVII.
    • Mefurer le cercle, ou trouver un efpace rectiligne égal au cercle ; ou , plus généralement, trouver une ligne droite égale à la circonférence du cercle , ou à un arc donné de cette circonférence.
    • No U s fommes bien éloignés de prétendre donner ici la folution exaéle & parfaite de ce problème : il eft plus que probable qu’il échappera à
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    • Géométrie. 349
    • jamais aux efforts de l’efprit humain ; mais il eft convenu en géométrie que, lorfqu’un problème n’eft pas réfoluble dans fa perfe&ion, c’eft un mérite d’en approcher ; & il y en a d’autant plus , que l’on circonfcrit la quantité inconnue dans des limites plus voifines. Or, à cet égard, les géomètres défefpérant de trouver jamais la grandeur précife du cercle , ou de fa circonférence, ou d’un arc quelconque , ont fait des chofes très-dignes de remarque ; car ils ont trouvé des moyens d’approcher de fi près de la grandeur de cette figure , que, quand même un cercle auroit pour rayon la diftance du foleil aux premières étoiles fixes, on feroit fûr de ne pas fè tromper , fur fa circonférence, du diamètre d’un cheveu'. 11 n’en faut affurément pas tant pour fatisfaire aux befoins les plus recherchés des arts ; cependant , il faut en convenir, l’efprit géométrique goûteroit un plaifir vif à connoître précifément la grandeur du cercle, à la connoître, dis-je, avec cette précifion avec laquelle on fçait, par exemple, qu’un fegment parabolique eft les deux tiers du parallélogramme de même bafe & même hauteur.
    • Nous allons commencer à donner des approximations arithmétiques ; enfuite nous enfèignerons des conftruéfions géométriques affez curieufes & affez approchantes ; enfin nous donnerons un précis hiftorique des recherches qui ont eu la quadrature du cercle pour objet.
    • §. 1.
    • Etant donne le diamètre d'un cercle, trouver en nombres approchés la circonférence, ou au contraire.
    • Si vous n’avez befoin que d’une exa&itude mé-
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    • 350 Récréations Mathématiques. diocre, fervez-vous du rapport d’Archimede , qui a démontré que le diamètre étoit à la circonférence à très-peu près comme i à 3^, ou comme 7
    • Faites donc cette proportion, comme 7 à 12, ainfi le diamètre donné eft à un quatrième terme ; ou bien triplez le diamètre, & ajoutez-y un fep-tieme: vous aurez à peu de chofe près la circonférence.
    • On trouveroit ainfi la circonférence d’un cercle du diamette de 100 pieds, égale à 314 pieds 3 pouces 5 lignes & ÿ : l’erreur feroit d’environ 1 pouce 6 lignes.
    • Voulez-vous approcher davantage de la vérité,-fervez-vous du rapport de Métius, fqavoir, de ce* lui de 113 à 355; c’eft à-dire, faites comme 113 3355, am^ diametre donné à la circonférence cherchée.
    • Même fuppofition que ci-deffus, on trouveroit la circonférence de 314 pieds 1 pouce 10 lignes % , dont la différence avec la véritable cir-
    • conférence eft moindre qu’une ligne.
    • Si l’on veut une exattitude encore plus grande , il n’y a qu’à fe fervir du rapport de 10000000000 à 31415926535: l’erreur, fur la circonférence d’un cercle grand comme l’équateur de la terre , feroit au plus d’une demi-ligne.
    • S’il s’agit de trouver le diamètre, la circonférence étant donnée , il eft clair qu’il faut prendre la proportion inverfe ; ainfi l’on fera cette proportion , comme 22 eft à 7,ou comme 35 5 à 113, ou comme 314159 à 100000, ou comme 31415926-5 3 5 à 10000000000 , ainfi la circonférence donnée à un quatrième terme, qui fera le diamètre cherché*
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    • GÉOMÉTRIE. 351
    • §•11.
    • Le diamètre étant donné, trouver la grandeur du. cercle.
    • Archimede a démontré que le cercle étoit égal au re&angle de la moitié du rayon par la circonférence. Cherchez donc , par le paragraphe précédent, la grandeur de la circonférence ; multi-pliez-la par la moitié du rayon ou le quart du diamètre : le produit fera l’aire du cercle, d’autant plus exa&e que vous aurez pris pour circonférence un nombre plus exaéf.
    • En employant le rapport d’Archimede, l’erreur, fur un cercle de 100 pieds de diamètre, ferait d’environ 3 pieds quarrés j.
    • Celui de Métius ne donnerait qu’une erreur moindre que 15 pouces quarrés , ou environ un fixieme de pied quarré. Or ce cercle ferait d’environ 7854 pieds quarrés; l’erreur ferait donc, au plus, d’une 47124e de l’aire totale.
    • Si l’on fe fervoit du rapport de 10000000000 à 31415926535 , l’erreur ferait à peine d’un 50e de ligne quarrée.
    • Mais on peut, fans rechercher la circonférence, trouver la grandeur du cercle : car, du rapport d’Archimede , il fuit que le quarré du diamètre eft à l’aire du cercle comme 14 à 11 ; de celui de Métius, que ce quarré eft au cercle comme 452 à 355 ; de celui de 100000 à 3 141 59, que ce même quarré eft au cercle comme 100000 à 78539, ou , plus exa&ement encore, comme 1000000 à 785398.
    • Ainfi l’on trouvera encore la grandeur du cercle, en faifant cette proportion, comme 14 à 11, ou comme 452 à 35 5,ou comme 10000003785398,
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    • 3 fa Récréations Mathématiques. , ainfi le quarré du diamètre donné à ufie quatrième proportionnelle, qui fera la grandeur très-approchée du cercle, fi Ton s’eft fervi du dernier rap-
    • Conjlru&ions géométriques fort approchées (Tun quarré égal à un cercle , ou (Tune ligne droite égale à la circonférence circulaire.
    • Quoique l’on vienne de voir le moyen de trouver numériquement le rapport approché d’un cercle avec le quarré de fon diamètre, il y a cependant quelques conftru&ions géométriques allez ingénieufes , & remarquables parleur fimplicité, pour parvenir au même but : nous avons cru qu’elles ne pouvoient être mieux placées qu’ici.
    • PI. 9, i • Soit le cercle BADC, dont AC eft un diaine-fig. 74. tre, & AB un quart de cercle ; que AE, ED, DC, foient des cordes égales au rayon, & que du point B on tire aux points E, D, les lignes BE, BD , qui couperont le diamètre en F & G : la fomme des lignes BF, FG , fera égaie au quart de cercle, à une 5000e près.
    • Fig. 75. 2. Soit le cercle dont le diamètre eft AD, le
    • centre C, & CB le rayon perpendiculaire à ce diamètre. Soit prife dans la prolongation de AD, la ligne DE égale au rayon ; foit enfuite tirée BE, à laquelle on fera , dans la prolongation de AE, la ligne EF égale ; enfin ajoutez à cette ligne fa cinquième partie FG: la ligne AG fera, à moins d’une 17000e près, égale à la circonférence du cercle décrit du rayon CA.
    • Car, en fuppofant DA égale à 100000, on trouve cette ligne égale à 314153, ayec moins d’une
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    • GéôMèïrië. 353
    • d’une unité d’erreur : or la circonférence tépon-dante à ce diamètre eft, à moins d’une unité près 314159 ; ainfi l’erreur eft tout au plus de — du diamètre, ou environ
    • 3. Le demi-cercle ABC étant propofé; aux extrémités A & C de fon diamètre foient élevées fig. 76» deux perpendiculaires ; l’une CE, égale à la tangente de 30°; l’autre AG, égale à trois fois le rayon ; enfin, qu’on tire la ligne GE : elle fera égale
    • à la demi-circonférence du cercle , à une cent millième près du diamètre.
    • Car on trouve, au moyen de cette conftruc-tion, le rayon étant fuppofé 100000 » la ligne EG égale, à moins d’une unité près, à 314161 ; la demi-circonférence feroit, à moins d’une unité près, 314159 : l’erreur eft d’environ 7o/0 — du rayon, ou moins d’une cent millième de la Circonférence.
    • 4. Soit le cercle, dont lé centre eft A, avec fes Fig. 77* deux diamètres perpendiculaires l’un à l’autre. Sur
    • un rayon tel que AD, prenez AF égale à la moitié du côté EC du qüarré infcrit ; tirez B Fl indéfinie ; menez FH au point H, qui coupe AC en moyenne & extrême raifon , AH étant le moindre fegment ; par le point C , foit menée CI parallèle à FH : le quarré BLKI, conftruit fur BI, fera à très-peu de chofe près égal au cercle dont BC eft le diamètre.
    • Car on trouve, par le calcul, que BF Ôt BH font égales à 69098 & 61237 refpeâivement, le rayon étant 100000 : donc BI fe trouve de 88623, dont le quarré eft 78540, le quarré du diamètre étant 100000, tandis que le cercle eft 78539.
    • 5. Infcrivez dans un cercle donné un quarré,
    • &, à trois fois le diamètre, ajoutez un cinquième du côté du quarré : vous aurez encore une ligne
    • Tome /„ Z
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    • 554 Récréations Mathématiques. qui ne différera de la circonférence que d’uriè 17000e environ.
    • §. IV.
    • Quelques manières trés-approchées de déterminer, foit numériquement, foie géométriquement, une ligne droite égale à un arc de cercle donné.
    • .9, 1. Soit l’arc BG, partie du demi-cercle, qui
    • 78. doit néanmoins ne guere excéder 30°. Pour en avoir la longueur approchée en une ligne droite, foit BH , perpendiculaire au diamètre AB, & foit ce diamètre prolongé en AD, de forte que AD foit égale au rayon : fi l’on tire DG, elle retranchera de BH la ligne BE un peu moindre, mais très-approchante de la grandeur de l’arc BG.
    • Mais fi l’on tiroitla ligne dfGe, enforte que le fegment d/, intercepté entre le cercle & le diamètre prolongé, fût égal au rayon, alors la droite B e feroit un peu plus grande que l’arc BG, mais extrêmement approchante, quand cet arc n’excédera guere 30°.
    • Ce théorème eft dû à Snellius, mais M. Huy-gens eft le premier qui l’ait démontré : nous en verrons plus loin un ufage fort commode pour la trigonométrie.
    • 2. On démontre encore, d’après M. Huygens, que deux fois la corde de la moitié d’un arc , plus le tiers de la différence de cette fournie avec la corde de l’arc entier, égalent à très-peu près l’arc lui-même, quand iln’excedepas 30°.
    • Car , fuppofons cet arc de 30°; la corde eft de 25882 parties, dont le diamètre eft 100000; celle de la moitié de cet arc, ou de 150, eft de 13053, dont le double eft 26106 : ôtez-en 25882, la différence eft 224, dont le tiers eft 74! : ajoutez ce nombre à 26106, vous aurez 261805- Pour
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    • Géométrie. 375
    • dè $oô. En effet , le duodécuple de cet arc doit donner la circonférence entière. Or ce duodécuple eft 314168, & la circonférence eft 314159 ; la différence n’eft donc que de neuf cent millièmes du rayon*
    • Remarque.
    • Nous avons promis plus haut de donner une hiftoire abrégée des recherches fur la Quadrature du Cercle : nous acquittons ici notre promette. Ce que nous allons dire eft le précis d’un ouvrage fort curieux, imprimé chez Jombert en 1754.
    • Il eft d’abord à propos de faire deux clafles des hommes qui fe font occupés de ce problème. Les uns, habiles géomètres, ne fe font pas fait illu-lion. Reconnoiflant la difficulté ou Pimpofîibilité du problème , ils fe font bornés à trouver des moyens d’approximation de plus en plus exaéls. Leurs recherches ont eu fouvent l’avantage d’aboutir à des découvertes fur toutes les parties de la géométrie.
    • Les autres, font ces bonnes-gens qui, quelquefois à peine initiés dans la géométrie , à peine fçachant à quoi tient le problème, font tous leurs efforts pour le réfoudre, & entaffent paralogifines fur paralogifmes. Semblables au malheureux Ixion, condamné à rouler éternellement un fardeau, fans pouvoir l’amener à fon terme, on les voit tourner & retourner le cercle de tous les côtés, fans en être plus avancés. Un géomètre les a-t-il convaincus d’une erreur dans leur prétendue démonf-tration; on les voit revenir, peu de jours après , avec la même démonftration reprifeen fous-œuvre, & auffi pitoyable. Bien fouvent ils ne tardent pas à contefter les vérités les plus élémentaires de la
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    • 356 Récréations Mathématiques.
    • géométrie ; &. d’ordinaire, reconnoiflant la fot-bleffe de leurs connoiffances dans ce genre , ils fe regardent comme illuminés fpécialement par le Ciel pour révéler aux hommes des vérités dont il a voulu refufer la découverte aux fçavants, pour l’accorder aux idiots. Tel eft le tableau plaifant 6c tout-à-fait'véritable de ce genre d’hommes. On fent aifément que , dans l’hiftoire abrégée que nous allons tracer de la quadrature du cercle, nous ne ferons pas aux grands géomètres le tort de les accoler avec ces derniers. Les écarts finguliers de quelques-uns de ceux-ci nous fourniront, feulement à la fin, la matière d’un morceau propre à
    • La géométrie naiffoit à peine parmi les Grecs , que la quadrature ou la mefure du cercle y exerça les efprits. On dit qu’Anaxagore s’en occupa dans fa prifon ; mais on ne fçait point avec quel fuccès. La queftion étoit déjà célébré dès le temps d’A-riftophane, & peut-être avoit déjà fait tourner la tête à quelque géomètre ; car , voulant ridiculifer le célébré Méton, il l’introduifit fur la fcene, promettant de quarrer le cercle.
    • Le géomètre Hippocrate de Chio s’en occupa certainement ; car ce ne peut être qu’en cherchant à quarrer le cercle qu’il trouva fes fameufes lu-nulles. On lui attribue même une certaine combi-naifon de lunulles, dont on prétend qu’il déduifoit la quadrature du cercle ; mais c’eft, à mon avis, avec peu de fondement ; & cet homme, qui tint un rang diftingué parmi les géomètres de fon temps, ne pouvoit être dupe d’un paralogifme d’écolier : fon objet n’étoit que de montrer que, fi l’on pouvoit égaler à un efpace reéliligne la lunulle décrite fur le côté de l’exagone infcrit, on en tire-
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    • Géométrie. 3 y 7
    • roït la quadrature du cercle ; en quoi il avoit raifon.
    • Il eft très-probable qu’on n’a pas ignoré longtemps que le cercle eft égal au rettangle de la demi-circonférence par le rayon. La géométrie , dès avant Platon, s’étoit déjà enrichie de découvertes plus difficiles. C’eft néanmoins dans les écrits d’Archimede qu’on trouve pour la première fois cette vérité. Mais cela ne fuffifoit pas ; il ref-toit à fçavoir quel rapport régnoit entre la circon-I férence ôt le diamètre ou le rayon. Cette recher-! che caufa fans doute quelques infomnies à ce profond géomètre. Ne pouvant y parvenir dans l’exattitude géométrique, il fe retourna du côté de l’approximation ; & il trouva, en calculant la longueur d’un polygone infcrit de 96 côtés, & celle du polygone circonfcrit femblable, que le diamètre étant 1, la circonférence eft plus grande que 3 ~, & moindre que 3 ou 3 y. Car il fait voir que le polygone infcrit eft un peu plus grand que 3 yf, & que le circonfcrit eft un peu moindre que 3 g.
    • Depuis ce temps , quand on ne recherche pas une grande exattitude, on prend, pour le rapport du diamètre à la circonférence, ce rapport de 1 à 3 j, ou de 7 à 22 ; c’eft-à-dire, on triple le diamètre , & l’on y ajoute un feptieme : il n’y a même plus que les plus' grofliers des ouvriers qui négligent cette feptieme.
    • On fqait que quelques autres géomètres de l’antiquité s’occupèrent du même objet : tels furent Apollonius, & un certain Philon de Gadare ; mais les approximations plus exattes qu’ils donnèrent ne nous font point parvenues.
    • Le premier des géomètres modernes qui ait «jouté quelque choie à ce que les anciens nous
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    • 358 Récréations Mathématiques. avoient tranfmis fur la mefure du cercle, eft Pierre Métius, géomètre des Pays-Bas, qui vivoit vers la fin du feizieme fiecle. Occupé à réfuter la prétendue quadrature d’un certain Simon à Quercu, il trouva cette proportion très - remarquable , & finguliérement approchée entre le diamètre & la circonférence , fçavoir, de 113 à 355 . L’erreur eft à peine d’un dix-millionieme de la circonférence.
    • Après lui, ou dans le même temps , Yiete , célébré analyfte & géomètre François , exprima le rapport de la circonférence au rayon par celui de 10000000000 à 31415926535 , & fit voir que ce dernier nombre étoit moindre qu’il ne fal-loit, & qu’augmentant d’une feule unité fon dernier chiffre, il étoit trop grand. Vers le même temps encore , Adrianus Romanus , géomètre des Pays-Bas , pouffa cette approximation jufqu’à 16 chiffres. Mais ils furent laiffés fort en arriéré par Ludolph van Ceulen , auffi des Pays-Bas, qui pouffa ce rapport approché jufqu’à 35 chiffres. 11 fit voir <jue , le diamètre étant l’unité fuivie de 3 5 zéro, la circonférence eft plus grande que 314159265358979323846264338327950188, & moindre que 3 141592653589793138462643-8327950289. Il fefçut fi bon gré de ce travail, qui au fond exigeoit plus de patience que de fa-gacité, qu’il voulut, à l’exemple d’Archimede, que fon tombeau en fût orné: ce qui a été exécuté ; & l’on voit , dit-on, encore ce fingulier monument dans une ville de Flandres.
    • "Willebrord Snellius, autre compatriote de Métius ? ajouta diverfes chofes intéreffantes à cette matière , dans. fon livre intitulé Cyclometria. Il trouva la maniéré d’exprimer , par un rapport très-approché ôc par un calcul très-fimple, la
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    • Géométrie. 359
    • grandeur d’un arc quelconque ; & il s’en fervit pour vérifier le calcul de van Ceulen, qu’il trouva exaft. Il calcula auffî la fuite des polygones, tant înfcrits que circonfcrits au cercle, en doublant toujours le nombre des côtés, depuis le décagone , jufqu’à celui de 5241880 côtés; enforte que, lorfqu’on propofe un prétendu rapport exaét du diamètre à la circonférence, on peut, par cette table, le réfuter, & montrer quel eft le polygone circonfcrit au deflbus duquel tombe la prétendue valeur de la circonférence, ou quel polygone circonfcrit elle furpaffe : ce qui, dans l’un & l’autre cas, fert également à montrer la faufleté de la prétendue rectification de la circonférence circulaire.
    • Le célébré Huygens, encore fort jeune, enrichit la théorie de la mefure du cercle de nombre, de nouveaux théorèmes. Il combattit aufîi la prétendue quadrature du cercle, que le pere Grégoire de Saint-Vincent , Jéfuite des Pays-Bas, avoit annoncée comme trouvée, & n’exigeant plus que quelques calculs qu’il avoit habilement négligé de faire. Grégoire de Saint-Vincent étoit d^ailleurs un grand géomètre: il répondit à Huygens: celui-ci répliqua : quelques difciples de Grégoire entrèrent dans la lice : Leotaud, autre géomètre Jéfuite, le combattit encore. Il a refté pour confiant, quoi qu’en ait dit le pere Caftel, que Grégoire s’étoit trompé, & que fon gros ouvrage, rempli d’ailleurs de très-belles chofes, aboutiffoit à une erreur, ou à quelque chofe d’inintelligible. Car, puifqu’il prétendoit avoir trouvé la quadrature du cercle, que ne faifoit-il le calcul qui la devoit exprimer numériquement ? Or c’eft ce que, ni lui, ni quel-ques-uns de fes difciples qui mirent beaucoup d’aigreur dans cette querelle, ne firent jamais.
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    • $6o Récréations Mathématiques.
    • Jacques Grégori, géomètre Ecoffois , entreprit, en 1668, de démontrer l’abfolue impoffibilité de la quadrature du cercle. Il le fit par un raifonne-ment très-ingénieux, & qui mériteroit peut-être d’être plus approfondi. Quoi qu’il en foit, il n’eut pas l’approbation d’Huygens, & ce fut l’occafion d’une querelle affez vive entre ces deux géomètres. Au refte, Grégori donnoit plufieurs pratiques ingé-nieufes pour approcher de plus en plus de la mefure du cercle , & même de celle de l’hyperbole.
    • La haute géométrie fournit un grand nombre de maniérés différentes de trouver par approximation la grandeur du cercle, & la plupart beaucoup plus faciles que les précédentes. Mais ce n’eft pas ici le lieu d’entrer dans leur explication. Il nous fuffira de dire que ces moyens ont permis de pouffer l’approximation de Ludolph yan Ceulen, juf-qu’à 127 chiffres ou décimales. Sharp, géomètre Anglois, la pouffa d’abord jufqu’à 74 chiffres ; enfuite M. Machin la prolongea jufqu’à cent ; enfin M. de Lagny la continua jufqu’à 117. La voici. Le diamètre étant l’unité fuivie de 127 zéro , la circonférence eft plus grande 9^314159265358 9793238462643383279502884197169399375-1058209749445923078174062962089986280-34825342117067982148086 513 27230664709-3 8446, ôt moindre que le même nombre, en augmentant feulement le dernier chiffre de l’unité. Ainfi l’erreur eft moindre qu’une portion du diamètre qu’exprimeroit l’unité , divifée par l’unité fuivie de 127 zéro. En fuppofant un cercle d’un diamètre mille millions de fois plus grand que la diftance de la terre au foleil, l’erreur, fur la circonférence, feroit mille millions de fois moindre que l’épaiffeur d’un cheveu,
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    • Géométrie. 361
    • Il feroît même pofïible d’aller encore plus loin. M. Euler en a montré le moyen dans les Mémoires de Pétersbourg ; mais ce leroit, il faut l’avouer , une peine alTez fuperflue.
    • Nous croyons ne pouvoir mieux terminer ce précis des recherches fur la quadrature du cercle , que par l’hiftoire alTez amufante de quelques-uns de ceux qui ont ridiculement échoué dans la recherche de ce problème, ou qui ont donné dans des travers particuliers à cette occafion.
    • Le premier de ceux qui ont ainfi prétendu, parmi les modernés, avoir trouvé la quadrature du cercle , eft le cardinal de Cufa. Une de fes méthodes , étoit de faire rouler un cercle ou un cylindre fur un plan, jufqu’à ce que le point qui l’avoit touché d’abord retournât s’y appliquer ; enfuite, par des raifonnements qui n’avoient rien de géométrique , il cherchoit à déterminer la longueur de la ligne ainfi parcourue. Il fut réfuté par Régiomontanus, en 1464 & 1465.
    • Après lui, c’eft-à-dire vers le milieu du feizieme fiecle, Oronce Finée, quoique profefleur royal des mathématiques, s’illuftra encore par fes para-logifmes, non-feulement fur la quadrature du cercle , mais encore fur la trifeétion de l’angle & fur la duplication du cube ; mais il trouva dans Pierre Nonius , géomètre Portugais, & J. Borel, fon ancien difciple, des contradicteurs qui dévoilèrent clairement fes faux raifonnements. Je n’ai jamais conçu la réputation de cet Oronce Finée, dont on a auffi une Gnomonique qui n’eft qu’un tiffu de paralogifmes.
    • On eft étonné de voir peu après le fameux Jo-feph Scaliger donner dans le même travers. Comme
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    • 362 Récréations Mathématiques. il eftimoit peu les géomètres * il voulut leur montrer la fupériorité d’un gavant comme lui, en ré-folvant, par maniéré de délaffement, ce qui les embarrafloit depuis fi long-temps : il chercha la quadrature du cercle , & crut bonnement l’avoir trouvée, en donnant pour mefure du cercle, une quantité qui fe trouve feulement un peu moindre que le dodécagone infcrit. Il ne fut pas difficile à Viete, Clavius & d’autres, de le réfuter ; ce qui le mit fort en colere, & attira, fuivant l’ufage du fiecle, au dernier fur-tout, beaucoup d’épithetes honnêtes, & le confirma de plus en plus que les géomètres n’avoient pas le fens commun.
    • Je fuis fâché de trouver ici Longomontanus, l’aftronome Danois, qui prétendit prouver que le diamètre eft à la circonférence , précifément comme i ooooo 3314185. Peu de temps après, le fameux Hobbes crut auffi avoir trouvé la quadrature du cercle; &, ayant été réfuté par Wallis, il entreprit de prouver que toute la géométrie tranf-mife jufqu’alors, n’étoit qu’un tiflu de paralogif-mes. C’eft l’objet d’un ouvrage intitulé : De ratio-ciniis & fajiu Geometrarum.
    • L’agriculteur Olivier de Serres crut avoir trouvé , en pelant un cercle & un triangle égal au triangle équilatéral infcrit, que le cercle en eft précifément le double. Le bon-homme ne voyoit pas que ce double eft précifément l’exagone infcrit au même cercle.
    • Un M. Dethîef Cluver prétendoit, en 1695, quarrer le cercle : il réduifoit le problème à cet autre incomparablement plus aifé , qu’il énonçoit ainfi : Inventre mundum Menti divince analogum. Il déquarroit la parabole, & prouvoit qu’Archimède s’étoit trompé dans la mefure de cette figure.
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    • Géométrie. 365
    • ïl ne tint pas à M. Leibnitz de le mettre aux prifes avec M. Nieuwentyt, qui entaffoit aufii alors beaucoup de mauvaises difficultés contre les nouveaux calculs ; maié cela ne réuffit pas.
    • Quoique ces ridicules euflent dû, ce femble, en prévenir d’autres, on n’a pas laiffé de voir, & l’on voit encore chaque jour, des hommes donner dans des travers équivalents. On a vu , par exemple , jl y a une vingtaine d’années, un M. Liger, qui trouvoit la quadrature du cercle, en démontrant que la racine quarrée de 24 étoit la même que celle de 25 ; celle de 50, la même que celle de 49 : ce qu’il démontrait, fuivant Tes termes, non par des raifonnements géométriques qu’il abhorrait , mais par le méchanifmeen plein des figures.
    • Le heur T. de N. , notaire à ... ., a trouvé quelque chofe de bien plus curieux : c’eft qu’on ne doit pas mefurer les courbes en les comparant aux droites, mais les droites en les comparant aux courbes. Cela démontré, la quadrature du cercle n’eft plus qu’un jeu d’enfant.
    • M. Clerget a fait une autre découverte non moins intéreffante : c’eft que le cercle eft un polygone d’un nombre de côtés déterminé ; & de-là il déduifoit, ce qui eft très-curieux, la grandeur du point où fe touchent deux fpheres inégales. Il démontrait auffi l’impoflibilité du mouvement de la terre. On n’avoit pas entrevu avant lui la moindre affinité entre ces queftions.
    • Que dirai-je des calculs compliqués de feu M. Baflelin, profeffeur de l’uni ver fi té, qui trouva, avec prefque autant de travail que Ludolph, un rapport du diamètre à la circonférence, qui étoit même hors des limites d’Archimede? Ce bonhomme , qui avoit trouvé fi heureüfement la qua-
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    • 364 Récréations Mathématiques. drature du cercle, ignora, jufqu’à quelques jours avant fa mort, qu’Archimede eût quarré la parabole. Il fe propofoit bien auffi, s’il revenoit de fa maladie , d’examiner le procédé d’Archimede, bien convaincu qu’il étoit que le géomètre Syracu-fain s’étoit trompé.
    • Mais li ces hommes n’ont encouru que le ridicule , & un ridicule renfermé dans le cercle étroit d’un petit nombre de géomètres, en voici un à qui l’ambition de quarrer le cercle coûta plus cher. C’étoit un fieur Mathulon, qui, de fabriquant d’étoffes à Lyon, prétendit fe faire géomètre & mé-chanicien ; mais il eut moins de fuccès qu’Hippo-crate de Chio, qui, de marchand de vin à Athènes , devint un géomètre illuftre. Le fieur Mathulon dépofa, il y a une quarantaine d’années, à Lyon, une fomme de 1000 écus, annonçant aux géomètres & aux méchaniciens la découverte de la quadrature du cercle & du mouvement perpétuel, & confentant que cette fomme fût remife à celui qui lui démontrerait fon erreur. M. Nicole, de l’académie des fciences , lui prouva que fa géométrie étoit fort bornée ; que fa prétendue quadrature n’étoit qu’un paralogifme ; & il demanda que les 1000 écus lui fûffent adjugés. Le lîeur Mathulon incidenta , & prétendit qu’il falloit auffi prouver la faufleté de ion mouvement perpétuel ; mais il perdit fon procès à la Sénéchauffée de Lyon, & M. Nicole céda les 1000 écus à l’hôpital général de cette ville, à qui ils furent remis.
    • a Si le Châtelet de Paris eût été auffi févere, il en eût coûté bien davantage à un homme de condition, qu’on vit, il y a une vingtaine d’années, annoncer la quadrature du cercle, provoquer tout l’univers à dépofer les plus fortes fommes contre
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    • GiOMÉTRIE. jffj
    • lui ; enfin configner, par forme de défi, 10000 liv. pour être adjugées à celui qui lui démontrerait qu’il s’étoit trompé. On ne peut voir qu’en gémif-fant fur la foibleffe de l’efprit humain, cette grande découverte fe réduire à partager un cercle en quatre parties égales par des diamètres perpendiculaires , retourner ces quatre quarts de cercle leurs quatre angles en dehors , pour en faire un quarré, & prétendre que ce quarré étoit égal au cercle. Dans fes principes, il n’eft pas néceffaire , pour que deux figures fuffent égales, qu’elles fe tou-chaffent dans toute leur étendue : il fuffit qu’elles fe touchent où elles peuvent fe toucher. Ainft le quarré eft non-feulement égal au cercle infcrit, mais encore à une figure renfermée dans le cercle, & dont les angles faillants s’appuient fur la circonférence : d’où réfulte, fuivant le fens de l’auteur, une explication palpable de la Trinité ; car il eft évident que le quarré eft le Pere, le cercle le Fils, & la troifieme figure eft le S. Efprit. Dirai-je encore que l’auteur expliquoit avec la même faga-cité le péché originel, la figure de la terre, la décli-naifon de l’aiguille aimantée, les longitudes , Sec > Il n’étoit pas difficile de montrer à tout autre qu’à l’auteur , qu’il ll’y avoit pas le fens commun en tout cela. Aufii trois perfonnes, dont étoit une femme, fe mirent fur les rangs pour avoir les i oooo üv. confignées. L’affaire fut plaidée au Châtelet; mais ce tribunal jugea que la fortune d’un homme ne devoit pas fouffrir des erreurs de fon efprit, quand ils ne font point nuifibles à la fociéré. D’un autre côté, le Roi ordonna que les paris fuffent regardés comme non avenus ; Se chacun retira fon argent. L’auteur extorqua à l’académie un jugement qui le renvoya aux premières notions de la
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    • 366 Récréations Mathématiqx/ès. géométrie , & n’en refta pas moins perfuadé que les fiecles à venir rougiront pour le nôtre de l’in* juftice qui lui a été faite.
    • PROBLÈME XLVIII.
    • De la longueur de la circonférence elliptique.
    • Nou S venons de parler affez au long de la cir* conférence circulaire, dont la détermination pré-cife en longueur donneroit la quadrature du cercle ; mais nous ne connoiffons aucun auteur qui ait dit quelque chofe de fatisfaifant & d’utile à la pratique fur la circonférence de l’ellipfe. 11 eft cependant néceffaire dans bien des cas, St même dans la pratique de la géométrie , de connoître la longueur de cette courbe : il y a auffi, dans la haute géométrie,bien des problèmes dont la folution dépend de cette même connoiffance. Nous croyons donc faire ici quelque chofe d’utile, que de traiter de cet objet.
    • Il y a eu des auteurs de géométrie pratique, qui ont penfé que la circonférence d’une ellipfe étoit moyenne arithmétique entre les circonférences des cercles décrits fur fes deux axes comme diamètres : mais ils étoient dans l’erreur ; & s’ils euf-fent été un peu plus doués de l’efprit géométrique, ils s’en feroient apperçu facilement ; car il eft bien aifé de fe démontrer que cela eft faux dans une ellipfe très-allongée, comme celle dont le grand axe feroit 20, & le petit axe 2. En effet, la circonférence de cette ellipfe feroit bien affuré-ment plus grande que 40, tandis que la moyenne proportionnelle entre les circonférences des cercles décrits fur ces axes comme diamètres, ne feroit guere que 34
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    • géométrie. 367
    • Au refte, la rectification de la circonférence elliptique eft un problème qui eft prefque, à l’égard de la quadrature du cercle, ce que celle-ci eft à l’égard d’un problème de géométrie ordinaire. M. Jean Bernouilli eft le feul qui ait donné une méthode fufceptible d’être réduite en pratique, pour mefurer la longueur de la ligne elliptique. Il en-feigne en effet, dans un Mémoire excellent qu’on lit parmi fes ouvrages, il enfeigne, dis-je, à déterminer des circonférences circulaires , qui font des limites alternativement moindres & plus grandes que la circonférence d’une ellipfe donnée. C’eft d’après cette méthode que nous avons calculé la table qui luit. Nous y avons fuppofé une fuite d’ellipfes dont le demi-grand axe commun eft de 10 parties, & dont le demi-petit axe devient fucceffivement 1, 2, 3, &c. jufqu’à 10, derniere valeur qui donne un cercle ; & nous avons trouvé que la longueur de ces circonférences d’ellipfe étoient comme l’on voit ci-deffous.
    • Longueur commune du grand Axe . . .20.
    • P/it Long^de la
    • elliptique. ‘&Cp«.Axï'
    • 2 . 40.63145 . 41.0196s 34-5579
    • 4 • • 37-699°
    • 6 . . 45.68516 . 40.8406
    • 8 . . 46.01506 . 43.9811
    • 10 . . 48-44115 . 47.1238
    • 12 . • 51-°54°7 . 50.1654
    • 14 . • 55-82-377 53-4070
    • 16 . 56-7!759 . 56.5486
    • 18 . . 59.81011 • 59-<59oi
    • 10 . . 62.83185 61.83185 1
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    • 368 Récréations Mathématiques,
    • On voit par-là que la circonférence du cercle moyen entre ceux du grand & du petit axe, eft toujours moindre que la ligne elliptique, & d’autant plus fenfiblement, que rellipfe différé davantage du cercle : l’erreur eft d’un 7e dans la première des ellipfes ci-deffus.
    • On pourra au refte, par le moyen de cette table , calculer toutes les longueurs d’ellipfe moyennes entre les précédentes : il n’y aura qu’à prendre des parties proportionnelles.
    • Suppofons, par exemple, que le grand axe d’une demi-ellipfe fût de 20 pieds, & que la hauteur de fa montée ou fon demi-petit axe fût de 7 pieds & demi ; il eft évident que le petit axe entier feroit de 15 pieds. Cette ellipfe tiendroit donc le milieu entre celle dont le demi-petit axe eft les ^ du grand, & celle dont le petit axe en eft les £f. Or, en partageant en deux la différence entre les longueurs de ces deux ellipfes, on trouvera , fans erreur confidérable, que la longueur de la circonférence de cette ellipfe moyenne fera de 5 5.27558 parties, dont l’axe eft 20 : par conféquent la moitié del’ellipfe propofée ,de 20 pieds d’ouverture & de 7Ÿ de montée, aura 27 pieds 6 pouces 8 lignes, & l’erreur ira à peine à une ligne.
    • PROBLÈME XLIX.
    • Décrire géométriquement un cercle , dont la circonférence foit très-approchante de celle dyune ellipfe donnée.
    • C’est encore M. Jean Bernouilli qui a enfei-gné ce moyen fimple & ingénieux de décrire un cercle ifopérimetre à une ellipfe donnée. Comme il peut fervir de fupplément à ce que nous venons de
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    • G £ 6 M i T R î ë» . 3 6$
    • de dire Air la re&ification de rellipfe, nous allons lui donner place ici.
    • Soit donc une ellipfe dont les deux axes font PL i<5, donnés. Faites-en une feulé ligne droite, comme % 130» AD, dans laquelle AB eft égale au grand axe, &
    • BD au petit ; que cette ligne A D foit le diamètre d’un demi-cerele AED , que vous diviferez en 4, ou 8, ou 16, ou 3z parties, &c. comme vous voudrez, & félon que vous afpirerez à une plus grande précifion. Nous fuppofons ici ce nombre de parties égal à 16. Menez du point B à chaque point de divifîon, des lignes droites ; prenez en- .. fuite la feizieme partie de la fomme de toutes ces lignes, B A, Bi, B2, B3, &c. jufqu’à BD inclu-fivement ; enfin, avec la ligne qui en proviendra comme rayon, décrivant un cercle, vous aurez une circonférence circulaire tellement approchante de celle de l’ellipfe donnée, qu’elle n’en différera pas d’une cent millième partie dans les cas même les plus défavorables , comme fi le rapport des axes de cette ellipfe étoit de 10 à 1.
    • Il eft aifé de voir que, fi l’on n’avoit divifé le demi-cercle qu’en 8 parties, il ne faudroit prendre . que la huitième partie de la fomme de toutes les lignes tirées aux points de divifion, y compris les points B & A.
    • Si l’on exécùtoit cette opération fur un cercle d’un pied de rayon , on parviendrait à un degré de précifion très approchant de la vérité ; & , par le moyen d’une échelle géométrique fubtilement divifée , on trouverait fans calcul des approximations numériques très-fatisfaifantes.
    • Tome /.
    • A
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    • 370 Récréations Mathématiques. PROBLÈME L.
    • Déterminer une ligne droite à trés-peu pris égale i un arc de ligne courbe quelconque.
    • N o u S fuppofons que l’amplitude de l’arc donné eft peu confidérable, & tout au plus d’une vingtaine de degrés ; c’eft-à-dire que, fi l’on tire des tangentes aux extrémités de cet arc , & enfuite des perpendiculaires à ces tangentes, l’angle compris par ces perpendiculaires fera au plus d’une vingtaine de degrés.
    • Cela fuppofé , tirez la corde de cet arc ; prenez enfuite, foit au moyen du calcul, foit au moyen du compas , le tiers des tangentes compri* fes entre leur rencontre & les points de contait ; ajoutez-y les deux tiers de la corde : vous aurez une ligne droite fi approchante de la grandeur de l’arc, que, dans le cas ci-deffus, elle n’en différera pas d’un dix-millieme. Mais fi l’amplitude n’étoit que de 50 environ, l’erreur n’iroit pas à une mil-lioneme, comme M. Lambert, de l’Académie de Berlin , le fait voir dans un ouvrage allemand très - intéreffant, & qui mériteroit fort d’être traduit.
    • Si l’amplitude de l’arc donné étoit plus grande, par exemple, d’environ 50°, il n’y auroit qu’à di-vifer cet arc en trois parties à peu près égales, & mener des tangentes aux extrémités de l’arc & aux deux points de feétion ; ce qui donneroit une portion de polygone circonfcrit à la courbe : enfin il faudroit mener les trois cordes des trois parties de Parc : les deux tiers de ces trois cordes, ajoutés au tiers des tangentes formant le polygone cire ouf"
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    • GÉOMÉTRIE» 371
    • cnt, donneront une ligne approchante à un cent» millième près de la longueur de l’arc donné.
    • PROBLÈME LL
    • Etant donne un cercle dans lequel ejl inferit un quatre , trouver le diamètre du cercle, ou l'on puijj'e inferire un octogone d'égal contour avec ce quarré.
    • Soit AB le diamètre du cercle donné, & AD PI» te le côté du quarré inferit. Divifez AD en deux % 79-également en E, & élevez la perpendiculaire EF à AD, rencontrant le cercle donné en F ; tirez AF : ce fera le diamètre du cercle où l’o&ogone inferit fera égal en contour au quarré donné.
    • Car il eft évident que le cercle décrit fur le diamètre AF paffera par le point E, puifque l’angle . AEF eft droit. Il eft de plus évident que la ligne menée du centre I du fécond cercle au point E, fera parallèle à DF. Or l’angle AFD eft demi-droit, étant la moitié de l’angle DCA qui eft droit, puifque la corde du quarré inferit foutend un arc de 900 : conféquemment l’angle AIE eft de 450 : d’où il fuit que AE eft le côté de l’o&ogone inferit dans le cercle du diamètre AF. Or il eft évident que huit fois AE égalent quatre fois AD.
    • Remarque.
    • SI l’on partage de même AE en deux égale» ment en G; qu’on éleve au point G la perpendiculaire GH, jufqu’à la rencontre du fécond cercle; enfin qu’on mene AH ; cette ligne AH fera le diamètre d’un troifieme cercle ; où, fi l’on inferit un Aaij
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    • 37i Récréations Mathématiques. polygone de 16 côtés , il fera ifopérimetre au quarré ou à l’o&ogone ci-deflus.
    • D’ou il fuit que, li l’on continuoit cette opération à l’infini, on parviendrait à un cercle ou à un polygone d’une infinité de côtés, ifopérimetre au quarré donné. Ainli la circonférence de ce cercle ferait égale au contour de ce quarré, & l’on aurait la quadrature du cercle.
    • J’ai vu une tentative ingénieufe de la quadrature du cercle, au moyen de cette confidération. L’auteur, qui étoit un profefleur de l’Ecole Royale Militaire, nommé M. Janot, réduifoit le problème à une équation alfez compliquée, mais exa&e, dont la réfolution devoit lui donner ce dernier diamètre ; mais , lorfqu’il en tenta férieufement la réfolution, il trouva les deux membres de fon équation compofés des mêmes termes ; ce qui ne lui donnoit aucune folution.
    • PROBLÈME LII.
    • Les trois côtés d’un, triangle rectangle étant donnés, trouver fans table trigonométrique la valeur de fes angles.
    • O N fuppofe d’abord que le rapport de l’hypo-thénufe au plus petit côté efl: plus grand ou n’eft guere moindre que de 2 à i, afin que l’angle op-pofé à ce côté foit au plus d’environ 30° ;car l’erreur fera d’autant moindre, que cet angle fera davantage au deffous de 30°.
    • Cela fuppofé, fuppofons, par exemple, l’hypo-thénufe du triangle égale à 13, le plus grand des côtés autour de l’angle droit 12 , & le plus petit 5. Faites cette proportion, comme deux fois l’hypo-
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    • Géométrie. 373
    • thénufe , plus le grand côté ou 38, au petit côté ou 5, ainfi 3 fois l’unité ou 3 , a une quatrième proportionnelle jj. Or jj , réduits en fra&ion décimale , font 0.39473 : divifez ce nombre par 0.1745 ; le quotient fera le nombre des degrés & parties de degrés de l’angle oppofé au petit côté : ce quotient eft ce qui fait 22° 37' 15".
    • Or, en le cherchant au moyen des tables, on le le trouve de 220 37' 28".
    • ' Si les côtés du triangle approchoient de l’éga- PL to9 lité, par exemple, s’ils étoient 3, 4, 5, il faudroit% imaginer une ligne CD dans le triangle , partageant également l’angle oppofé au côté AB ou 3.
    • Or on fçait que , dans ce cas, le côté oppofé AB , fera partagé dans la même raifon que les côtés adjacents; par conféquent on trouvera le fegment BD en faifant cette analogie.
    • Comme la fomme des deux autres côtés ou 9 eft au troifieme 3 , ainlï CB ou 4 eft à B D , qui fera-^: ajoutez enfuite les quarrés de & de 4 , ou de CD & BD ; & tirant la racine quarrée de la fomme qui eft en fra&ions décimales 17777» on aura pour cette racine 4.21637, qui fera la valeur de CD. En appliquant enfin la réglé ci- delîus au triangle BCD, on trouvera l’angle BCD de 18°
    • 16' 7", & conféquemment fon double, ou l’angle ACB, de 36° 52' 14". Les tables trigonométri-ques l’euflent donné de 36° 52' 15'', enforte que la différence n’eft que d’une fécondé.
    • A a iij
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    • 374 Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME LIII.
    • Un arc de cercle étant donné en degrés, minutes 6* fécondés, trouver, fans table trigonométrique, la grandeur du Jinus qui lui répond.
    • La folution qiie nous allons donner de ce problème n’eft pas tout-à-fait auffi {impie 6c auffi courte que celle du précédent ; mais c’eft, jufqu’à ce moment, ce que je connois de mieux, d’autant qu’elle eft facile, 6c propre à s’imprimer dans la mémoire, au moyen d’une obfervation que nous ferons à la fin, .6c qui en découvrira la fource & la démonftration.
    • Il y a dans ce problème trois cas qui exigent des procédés différents. L’arc donné peut excéder 6o°, ou être au deffous ou tout au plus de 30°; enfin il peut être plus grand que 30°, 6c moindre que 6o°.
    • 1. Suppofons d’abord que l’arc excede 6o°, 6c que vous veuilliez avoir fon finus. Prenez fon complément à 90°, puis réduifez cet arc en parties du rayon , que nous fuppofons 100000; ce qui eft facile en multipliant les degrés qu’il contient par 1745 9 & les minutes par 29.09 , 6c ajou-
    • tant les produits. Faites enfuite le quarré & la quatrième puiffance de cet arc ainfi réduit ; divifez le quarré par 2, 6c ôtez le quotient de l’unité ou du rayon ; divifez la quatrième puiffance par 24 , & ajoutez le quotient au reftant ci-deffus : le nom» bre en réfultant, fera à très-peu près le finus de l’arc donné.
    • Soit, par exemple, l’arc donné de 70® 30', fon complément à 90°, fera 19° 30', qui, réduits en parties du rayon, comme nous l’avons dit ci-deflus, donneront 34015. Le quarré de ce
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    • Géométrie. 37,
    • nombre , en en retranchant les cinq derniers chiffres , qui font inutiles , parce que nous n’avons befoin que des ioooooes du rayon, eft 11583 , & fa moitié 5792 , qu’il faut ôter de 100000 : le reliant eft 94208. Faites encore le quarré de 11583, ce qui fera la quatrième puiflance de 3403 5 , & retranchez - en cinq chiffres, comme inutiles par la même raifon que ci-deffus : vous aurez 1341, que vous diviferez par 24. Le quotient eft à bien peu près 56, que vous ajouterez à 94x08 : la fomme 94264 donnera le finus de 70° 30'. En effet, on le trouve précifément tel dans les tables des finus.
    • 2. Maintenant nous fuppoferons que l’arc donné eft tout au plus de 30°. Faites le cube & la cinquième puiflance de cet arc réduit en parties du rayon ; divifez le cube par 6 , & la cinquième puiflance par 120 ; retranchez le premier quotient de l’arc, & au reliant ajoutez le fécond : vous aurez , à une très-petite erreur près, la valeur du finus.
    • Que l’arc donné foit, par exemple, de 30°. En leréduifant en 100000e* du rayon, on trouvera pour fa valeur 52362, dont le cube, en retranchant les dix derniers chiffres, eft 14354- La fixieme partie de ce nombre eft 2392, qui, retranchée de l’arc 52362 , laiffe 49970. La cinquième puiflance du même nombre 52362, en retranchant les vingt derniers chiffres, eft 3935 ? qui, divifée par 120, donne 32 : ajoutez 32 au reliant ci-deffus, vous aurez 50002 pour le finus de 30° : & en effet il eft, comme tout le monde fçait, de 50000 ; l’erreur n’eft conféquemment que d’une couple d’unités dans le dernier chiffre.
    • 3. Si l’arc eft entre 30° Sc 6o°, par exemple
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    • 376 Récréations Mathématiques.
    • de 450, prenez la différence de cet arc avec 6o ; elle eft 150, que vous ajouterez à 6o° : ce qui vous donnera 750, dont vous chercherez le finus par la première réglé.
    • Cherchez auffi celui de 150 par la fécondé, & ôtez-le de celui de 75 ; le reftant fera celui de 45 : car c’eft un théorème élémentaire de la trigonométrie , que les finus de deux arcs également éloignés de 6o°, ont pour différence le finus de l’arc, dont chacun d^ices deux arcs différé de celui de 6o°.
    • Si, au lieu du finus d’un arc, on a befoin de celui de fon complément, les mêmes réglés fervi-ront ; car le finus de complément de 20° , par exemple , eft le finus droit de 70° ; &, au contraire , lé finus de complément de 70° eft le finus droit de 20° : d’ou il eft aifé de voir que , pour trouver le finus de complément d’un arc , il n’y a qu’à chercher le finus droit du complément de
    • Lorfqu’on a le finus droit & le finus de complément d’un arc, on a facilement la tangente en faifant cette proportion ; comme le finus de complément eft au finus droit, ainfi le finus total eft à la tan-gente : il n’y a , conféquemment, qu’à divifer le finus droit, augmenté de tant de zéro qu’on voudra , par le finus de complément.
    • Remarque.
    • Nous, venons de donner ici un moyen de fe paffer des tables de finus, fi néceffairesdans la pratique de la trigonométrie, ou de fe les former foi-même affez expéditivement, dans des circonftan-ces ou l’on n’en auroit point, & ou l’on fe trou-veroit éloigné de tout moyen de s’en procurer. Je
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    • Géométrie, 377
    • me fuis trouvé moi-même dans ce cas, ayant été de pofte à Ofwego en Canada, & ayant perdu mes effets, qui avoieijt été pillés par un parti d’I-roquois Anglois. Dans ce trifte féjour je cherchois à calmer mon ennui par l’étude & la géométrie : il fe préfenta quelques opérations trigonométriques à faire. Comment m’y prendre ? Je mé reffouvins heureufement du théorème de Snellius, qui fert de bafe à la folution du problème précédent ; enfin , pour comble de bonheur, je me rappellai les deux exprefltons en fuite infinie, qui donnent la valeur du finus & du co-finus ( ou finus de complément) , l’arc étant donné. La première eft , comme l’on fçait, a exprimant l’arc ; la première eft, dis-je, a — ^ -f 9 &c ; & la fécondé
    • efti — ~ ^ — ~ &c. Mais lorfque l’arc a
    • eft fort au deffous de 1$ valeur du rayon ou de l’unité, il eft aifé de voir que l’on peut fe contenter des trois premiers termes de chacune ; car fous les termes qui fuivent deviennent exceffivement petits. La démonftration des réglés ci-deflus eft manifefte d’après cela.
    • PROBLÈME LIV.
    • Un cercle étant donné & deux points , tracer un autre cercle pajfant par ces deux points, & qui touche le premier.
    • Il eft évident qu’il faut que ces deux points foient tous deux au dedans, ou tous deux au dehors du cercle donné.
    • Soient donc les deux points donnés A & B, PL comme dans les deux fig* 81 & 82. Joignez-les fig* 8
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    • 378 Récréations Mathématiques.
    • par une ligne droite AB. Par l’un de ces points, par exemple A, & le centre du cercle doniré, tirez la droite AIH qui le coupe dans les deux points H, I; prenez enfuite AD quatrième proportionnelle à AB, AH, AI; du point D tirez les deux tangentes DE, De; enfin, du point A, menez par les deux points de contactes deux lignesEAF, tAfy qui couperont le cercle en F &/: le cercle tracé par les deux points A & B & par F, touchera le cercle donné en F; & fi vous en tracez un par les points A , B 9 fy il touchera le même cercle donné en/:
    • PROBLEME LV.
    • Deux cercles étant donnés & un point, en tracer un troijieme , pajjant par le point donné> & touchant les deux premiers.
    • PI. 10, Que les deux cercles donnés aient pour centres %. 83. les points A & C, & leg^yons AB, CD. Sur la ligne qui joint les centrés A, C, prolongée, cherchez le point F, qui eft celui d’où la tangente à l’un des deux feroit tangente à l’autre, (parle Problème XII. ) & joignez le point F avec le point E donné ; faites enfuite FG quatrième proportionnelle à FE , FB, FD ; enfin , par le problème précédent, tracez par les points G & E un cercle qui touche l’un des deux cercles AB ou CD ; ce troifieme cercle touchera également l’autre.
    • PROBLÈME L VI.
    • Trois cercles étant donnés, en tracer un quatrième qui les touche tous.
    • Fig. 84.1 l eft facile de voir.que ce problème eft fufeep-tible d’un grand nombre de cas & de folutions
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    • Géométrie. 379
    • différentes, car le cercle demandé peut renfermer les trois cercles donnés, ou deux feulement, ou un feul, ou enfin les laiffer tous au dehors. Mais, afin d’abréger, nous nous bornerons à un de ces cas , celui où le cercle à décrire doit laiffer en dehors les trois autres.
    • Soient donc les trois cercles donnés défignés PL io, par A, B, C, & que leurs rayons foient Aa9 B b-, %• 84* Ce ; que À foit le plus grand, B le moyen, & G le plus petit. Sur le rayon A a prenez a d égale à Ce, ou au rayon du plus petit cercle , Bc du centre A au rayon A d décrivez un nouveau cercle. Sur le rayon B b prenez b e égales à C c, du centre B au rayon Be décrivez un autre cercle ; enfuite , par la propofition précédente, tracez par le centre de C un cercle qui touche les deux nouveaux cercles ci-deffus ; que fon centre foit E, & fon rayon EG; diminuez ce rayon du rayon Ce, & du même centre E décrivez un nouveau cercle : il eft évident qu’il touchera les trois premiers cercles donnés.
    • Car puifque le cercle décrit du centre A au rayon Ad eft en dedans du cercle propofé A, de la quaintité ad ou Ce, il eft évident que, fi l’on diminue le rayon EG de cette même quantité , le cercle décrit de ce nouveau rayon touchera, au lieu du cercle intérieur au rayon A d, le cercle propofé dont A a eft le rayon.
    • U eft également facile de voir.que ce même cercle décrit du rayon EG moins Ce, touchera extérieurement le cercle au rayon B b. Enfin il touchera extérieurement le cercle au rayon Ce: donc il les touchera extérieurement tous trois.
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    • 380 Récréations Mathématiques, Remarque.
    • r Ce problème a eu de la célébrité parmi les anciens , & ne laifle pas d’avoir en effet un certain degré de difficulté. Il terminoit un traité d’Apollonius , intitulé de Contaclibus, qui ne nous eft pas parvenu , mais que M. Viete, célébré géomètre de la fin du feizieme fiecle, a rétabli, & que l’on trouve dans les Œuvres imprimées en latin , à Leyde en 1646, in-fol. Il l’a intitulé : Apollonius Gallus, feu exfufcitata Apollonii Pergai de Tac-tionibus Geometria.
    • M. Newton a donné une belle & tout-à-fait in-génieufe folution de ce problème ; mais celle çle Viete nous a paru préférable pour ce lieu ci, étant fondée fur une géométrie plus élémentaire. Je crois pouvoir ajouter que ce petit morceau de géométrie de Viete eft un des plus élégants morceaux de géométrie traitée à la maniéré des anciens.
    • PROBLÈME L V11.
    • Quels font les corps dont les furfaces ont entr'elles même rapport que leurs foliditês ?
    • Ce problème fut propofé en forme d’énigme, dans un Mercure de 1773.
    • Réponds-moi, d'Alembert s qui découvres les traces Des plus fub limes vérités ;
    • Quels font les corps dont les furfaces Sont en même rapport que leurs foliditês ?
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    • GÉOMÉTRIE. 38*
    • foit géomètre, on voit d’abord deux corps connus , la fphere 5c le cylindre circonfcrit, qui réfolvent le problème. Archimede a démoiftré, il y a longtemps , que la fphere eft les deux tiers de ce cylindre, tant en folidité qu’en furface, pourvu que dans la furface du cylindre on comprenne les deux bafes ; ôc c’eft le mot de l’énigme, donné dans le Mercure fuivant.
    • Mais on peut aller plus loin, ôc dire qu’il y a une infinité de corps qui, comparés entr’eux oc à la fphere , donnent aufli la folution de ce problème ; tels font tous les folides de circonvolution circonfcrits à une même fphere, & même tous les folides à faces planes , réguliers ou irréguliers, qui font circonfcriptibles à la même fphere : car la folidité de tous ces corps eft le produit de leurs furfaces par le tiers du rayon de la fphere inf-crite, tandis que la folidité de la fphere eft le produit de fa furface par le tiers de fon rayon.
    • Ainfi le cône équilatéral eft à la fphere infente, tant en furface qu’en folidité, comme 9 à 4.
    • La même chofe aura lieu entre la fphere ôc le cône ifofeele circonfcrit, fi ce n’eft qu’au lieu de 4 à 9, ce fera un rapport différent, félon l’allongement ou l’applatiflement du cône.
    • Si la fphere ôc le cylindre circonfcrit jouiffent de cette propriété, c’eft que ce cylindre n’eft lui-même que le corps produit par la circonvolution du quarré circonfcrit au grand cercle de la fphere, fur un axe perpendiculaire à deux des côtés parallèles.
    • Si ce quarré 5c le cercle inferit tournoient à l’entour de la diagonale du quarré, la furface 5c la folidité des corps ainfi engendrés, feroient en-tr’elies comme \/i eft à 1.
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    • Récréations Mathématiques.
    • Voici maintenant un problème analogue.
    • Quelles font les figures planes dont les furfaces & les contours font dans un même rapport ?
    • La réponfe eft facile ; c’eft le cèrcle, & tous les polygones, foit réguliers , foit irréguliers, qui lui font circonfcriptibles.
    • THÉORÈME VIII.
    • Le dodécagone inferit au cercle efi les \ du quatre du diamètre , ou égal au quarré du côté du triangle inferit.
    • *°’Ce théorème, qui eft aflez curieux, a été remarqué pour la première fois par Snellius, géomètre Hollandois.
    • Soit AC le rayon d’un cercle où foit inferit le côté. AB de l’exagone ; que AD , DB, foient les côtés du dodécagone régulier : d’où il fuit que, tirant le rayon DC, il coupera en deux également & perpendiculairement le côté AB. Or il eft aifé de voir que l’aire du dodécagone eft égale à douze fois l’un des triangles ADC ou DCB. Mais le triangle ADC eft égal au produit du rayon par la moitié de AF ou par le quart du rayon , c’eft-à-dire égal à un quart du quarré du rayon : donc les douze feront égaux à trois fois le quarré du rayon, ou aux trois quarts du quarré du diamètre.
    • D’un autre part, le côté du triangle équilatere inferit au cercle , le diamètre étant l’unité , eft égal à |/i : conféquemment fon quarré eft égal à J du quarré du diamètre, ou au dodécagone.
    • Remarque,
    • Il n’y a, parmi les polygones inferits, que
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    • Géométrie. 38j
    • le quarré & le dodécagone qui aient cette propriété d’avoir un rapport numérique avec le quarré du diamètre, car le quarré infcrit en eft précifé-ment la moitié ; mais, parmi les polygones réguliers circonfcrits , il n’y a que le quarré lui-même.
    • On pourroit au refte infcrire dans un cercle donné, des polygones irréguliers, & même une infinité , qui feroient commenfurables avec le quarré du rayon.
    • Soient, par exemple, un cercle d’un diamètre égal à i', & que les quatre côtés du quadrilatère infcrit foient A > A •> 77 > > & furface fera ratio-
    • nelle, & égale aux -|^f4 du quarré du diamètre.
    • PROBLÈME LVIII.
    • Le diamètre AB d'un demi-cercle AC B étant divifé PI. 10, en deux parties quelconques AD , DB , fur ces %• 86. parties, comme diamètres , foient décrits deux demi-cercles AED , DF B. On demande un cercle égal au refiant du premier demi-cercle.
    • Elevez au point D la perpendiculaire DC à AB, jufqu’à la rencontre du demi-cercle ACB ; que DC foit le diamètre d’un cercle : ce fera celui que l’on cherche.
    • On en tire la démonftration, dé cette propofi-tion fi connue du Ie Livre des Eléments d’Euclide, fqavoir, que le quarré de AB eft égal aux quarrés de AD & de DB , plus deux fois le re&angle de A D par DB ; re&angle auquel eft égal, par la propriété du cercle, le quarré de DC. A ces quarrés fubftituez des demi-cercles qui font dans le même rapport, & la propofition fera démontrée.
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    • 384 Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME LIX.
    • Un quarré étant donné, en recouper les angles de maniéré qu'il foit transformé en un octogone régulier.
    • PL 10, Soit le quarré donné ABCD. Prenez fur les deux fig- 87* côtés DC, .DA , qui Te rencontrent en D, deux fegments quelconques égaux, DI, DK, & tirez la diagonale IK ; faites enfuite DL égale à deux fois DK, plus une fois la diagonale IK , & tirez LI ; enfin, par le point C, menez CM parallèle à LI : cette ligne recoupera fur le côté du quarré une quantité DM telle.que, lui faifant DN égale, la ligne NM fera le côté de l’oâogone cherché.
    • Prenant donc AE, AF, BG, BH, CN, CO, &c. égales à DM, & tirant EF, GH, ON, on aura l’oétogone demandé.
    • PROBLÈME LX.
    • PL 11, Un triangle ABC étant donné, lui infcrire un rec-%• 88. tangle , tel que FH ou GI9 égal à un quarré
    • donné.
    • Faites d’abord fur la bafe BC le reftangle BD égal au quarré donné, & que E foit le point où AC eft coupé par le côté de ce reâangle parallèle à CB ; fur AC décrivez un demi-cercle ; ot, ayant élevé la perpendiculaire EL jufqu’à la rencontre de fa circonférence, tirez CL : fur KC égale à la moitié de AC décrivez auffi un demi-cercle, dans lequel vous prendrez CM égale à CL ; faites enfin KF égale à KM , ainfi que KG : vous aurez les points F & G, defquels menant les parallèles
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    • Géométrie. 385
    • à la bafe jufqu’à la rencontre de AB, & de ces points de rencontre les perpendiculaires à la bafe , on aura les rectangles FH, GI, égaux entr’eux, ainfi qu’au rectangle DB qui étoit égal au quarré donné : donc , Ôcc.
    • PROBLEME LXI.
    • Dans un angle BAC, par un point donné D> tirer PI. n, une ligne HI, telle que le triangle IHA foie % 89. égal a un quarré donné.
    • P AR le point donné D, tirez la parallèle LE à un des côtés AC de l’angle propofé, & faites le rhoinbe LEGA égal au quarré donné ; puis, fur la ligne DE décrivez un demi-cercle, dans lequel vous ferez DF égale à DL , & vous tirerez EF ; enfin prenez GH égale à EF, & par le point H tirez HDI: ce fera la ligne cherchée.
    • PROBLÈME LXII.
    • De la Lunulle d'Hippocrate de Chio.
    • Quoique la quadrature du cercle foit probablement impoflible, on n’a pas laiffé de trouver des portions de cercle qu’on démontre égales à des efpaces reétilignes. Le plus ancien exemple de portion circulaire ainfi quarrable , eft celui des lu-nultes d’Hippocrate de Chio : en voici la conf-truction.
    • Soit le triangle reftangle ABC, fur l’hypothé- Fig. 90. nufe duquel foit décrit le demi-cercle ABC, qui paffeira par l’angle droit B ; fur les côtés AB, BC, foient auffi décrits des demi-cercles: les efpaces en forme de croiflant, AEBHA, BDCGB, feront enfemble égaux au triangle ABC.
    • Tome /, B b
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    • 3 S6 Récréations Mathématiques.
    • Car il eft aifé de voir que le demi-cercle fur la bafe AC eft égal à la fomme des demi-cercles AEB, BDC : donc, fi Ton retranche de part & d’autre les fegments AHB , BGC, il reftera d’un j côté le triangle ABC, & de l’autre les deux efpaces j en croiftant AEBH, BDCG, & ces reftants feront égaux : donc, &c.
    • PL ii, Si les côtés ab,bc, font égaux, comme dans la fig- 91* fig• S'y l®5 deux lunulles feront évidemment égales , & le feront chacune à la moitié du triangle abc, c’eft-à-dire au triangle bfaoubfc.
    • Fig. 92. Ceci donne une conftru&ion plus fimple de la lunulle d’Hippocrate.Que ABCfoitun demi-cercle fur le diamètre AC, & AFC le triangle ifofcele re&angle. Sur cette bafe AC, du point F comme centre , foit décrit par A & C l’arc de cercle ADC : la lunulle ABCD fera égale au triangle CAF.
    • En effet, puifque le quarré de FC eft double du quarré de EC, le cercle décrit du rayon FC fera double du cercle décrit du rayon E C : confé-quemment un quart du premier , ou le quart de cercle FADC, fera égal à la moitié du fécond, ou au demi-cercle ABC. Otant donc le fegtnent commun ADCA, les reftants, fçavoir, d’un côté le triangle AFC, & de l’autre la lunulle ABCD A, feront égaux.
    • Remarques.
    • C’est ici le lieu de faire connoître diverfes remarques curieufes , ajoutées par les géomètres modernes à la découverte d’Hippocrate.
    • 93* I- Si du centre F on mene une droite quelconque FE, qui retranche une portion de la lunulle
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    • GiOMÉTRîË. 387
    • AEG A, Cette portion fera encore quarrable, & égale au triangle re&iligne AHE re&angle en H.
    • Car il eft facile de démontrer que le fegment AE fera égal au demi-fegment AGH.
    • i. Si du point E on abaifle fur AC la perpendiculaire El, & qu’on tire FI & FE, la même portion de lunulle AEGA fera égale au triangle AFI.
    • Car on démontre aifément que ce triangle AFI eft égal au triangle AHE.
    • 3. On peut donc divifer la lunulle en raifon donnée, par une ligne tirée du centre F : il n’y a qu’à partager le diamètre AC de manière que AI foit à Cl dans cette raifon , élever la perpendiculaire El à AC, & mener la ligne FE: les deux fegments de la lunulle AGE, GEC, feront dans la raifon de AI à IC.
    • Toutes ces chofes ont été remarquées pour la première fois par un prélat géomètre, M. Artus de Lionne, évêque de Gap, dans fon livre intitulé Curvilineorum amœnior Contemplatio, in-40, 1654;
    • & enfuite par divers autres géomètres.
    • 4. Si les deux cercles qui forment la lunulle d’Hippocrate font achevés, il en réfultera une autre lunulle qu’on pourroit appeller conjuguée , & où l’on pourra trouver des efpaces mixtilignes ab-folument quarrables.
    • Soit tirée en effet du point F un rayon quelcon- PI. que FM, coupant les deux cercles en R & M ; on %. aura Fefpace mixtiligne RAMR égal au triangle re&iligne LAR : ce qui eft aifé à démontrer ; car il eft facile de faire voir que le fegment AR du petit cercle, eft égal au demi-fegment LAM du grand.
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    • 388 Récréations Mathématiques.
    • Et de-là il fuit que fi le diamètre m O touche en F le petit cercle, Pefpace triangulaire mixte ARFtoA fera égal au triangle ASF re&angle en S, ou à la demi-lunulle AGCBA.
    • PI. iï, 5. Voici enfin quelques portions abfolument fig. 94. quarrables de la lunulle d’Hippocrate , que je ne crois pas qu’on ait encore remarquées.
    • Soit cette lunulle, & que AB Toit tangente à Parc intérieur. Tirez les lignes EA,eA, faifant avec AB des angles égaux ; du point B tirez les cordes BE, Be, qui feront égales : vous aurez l’ef-pace mixtiligne terminé par les deux arcs de cercle EB e, AGF, & par les droites A e, FE, égal à la figure reéliligne eAEBe.
    • Gela feroit même encore vrai quand la figure ABCFA ne feroit pas abfolument quarrable, c’eft-à-dire que ABC ne feroit pas un demi-cercle, pourvu que les deux cercles fuffent toujours dans îe rapport de 2 à I.
    • PROBLÈME LXIII.
    • Conjlruire d'autres Lunulles abfolument quarrables, que celle d'Hippocrate.
    • Fig. 92. L a lunulle d’Hippocrate efl: abfolument quarrable , parceque les cordes AB, BC & AC, font telles que le quarré de cette derniere eft égal aux quarrés des deux premières ; enforte que, décrivant fur la derniere un arc de cercle femblable à ceux foutendus par AB & BC, les deux feements AB , BC, font égaux à ADC.
    • Cette maniéré de confidérer la lunulle d’Hippocrate , conduit à des vues plus générales. En effet, on peut concevoir dans un cercle tant de
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    • GÉOMÉTRIE. 3S9
    • cordes égales qu’on voudra, quatre, par exemple, comme AB , BC , CD, DE, telles que, tirant pj_ n la corde AE, Ton quarré loit quadruple de l’une fig. 95. d’elles ; ou, plus généralement, le nombre de ces cordes étant n, le quarré de AE peut être à celui de l’une AB, comme n à 1. Ainli, décrivant fur AE un arc femblable à ceux que foutendent ces cordes AB, &c. le fegment AE fera égal aux fegments AB, BC, &c. enfemble : donc , ôtant de la figure re&iligne ABCDE le fegment AE, & lui ajoutant les fegments AB , BC, &c. il en réfultera une lu-nulle formée des arcs ACE St AE, qui fera égale au polygone reêliligne ABCDE.
    • Il en: donc queftion de réfoudre ce problème de géométrie : Dans un cercle donné, infcrire une fuite de cordes égales , AB , BC , CDy &c. telle que le quarré de la corde AE, qui les foutend toutes , foit au quarré de Hune d'elles comme leur nombre à funité ; triple s'il y en a trois , quadruple s'il y en a quatre, &c. Mais nous nous bornerons aux cas CjOnftru&ibles par la géométrie élémentaire ; ce qui nous donnera encore deux lunulles femblables à celle d’Hippocrate, l’une formée par des cercles dans le rapport de 1 à 3 , & l’autre par deux cercles dans celui de 1 à 5 , indépendamment de deux autres lunulles formées par des cercles dans le rapport de 2 à 3 & de 3 à 5.
    • Conjlruclion de ta première Lunulie.
    • Soit AB le diamètre du plus petit des cercles dont la lunulie doit être conftruite. Soit prolongée AB' en D de la longueur du rayon, & décrit Fig. 96, fur AD, comme diamètre, le demi-cercle AED, qui coupe en E la perpendiculaire BE à AD ; tirez B b iit
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    • 390 Récréations Mathématiques.
    • DE , & faites-lui DF égale ; fur AF décrivez en. core un demi-cercle AHF, qui coupe en H le rayon CG perpendiculaire à AB ; menez AH, & faites dans le cercle donné la corde AI égale à AH, ainfi que les cordes IK & KL ; tirez enfin AL, & fur cette corde, avec un rayon égal à DE, tracez un arc de cercle AL : vous aurez la lunulle AGBLA égale à la figure re&iligne AIKLA.
    • Confiruclion de la deuxieme Lunulle , ou les cercla font comme, à S.
    • pj j j Prolongez le diamètre du cercle donné, fçavoiï
    • fig. 97! le plus petit de la quantité PD égale à un demi-rayon , & que DE indéfinie foit perpendiculaire à AD ; puis, du point S qui coupe le rayon AC en deux également, avec un rayon égal à 3 AC, foit tracé un arc de cercle coupant la perpendiculaire ci-deflus en E; faites EF égale à - AC, & DH égale au rayon ; partagez HF en deux également en G, duquel point, comme centre, & avec un rayon égal à GH, foit décrit un arc de cercle coupant en I la droite AD ; foit faite enfuite DK égale à HI, & menée la perpendiculaire KR au diamètre , qui coupe en L le demi - cercle décrit fur AC ; enfin foit tirée AL, & que les cordes AM , MN , NO, OP, PQ, lui foient faites égales ; fur la corde AQ foit, d’un rayon égal à DE, décrit un arc de cercle : la lunulle ANPQA fera égale à la figure reétiligne AMNOPQA.
    • On peut donc former des lunulles abfolument quarrables, avec des cercles qui font entr’eux dans ces rapports, de 1 à 2 , de 1 à 3, & de 1 à 5. H 31’y en a pas d’autres formées par des cercles en rai*
    • fon multiples ou fous-multiples fimples, qui foient
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    • Géométrie. 391
    • çonftru&ibles uniquement par la réglé & le compas : celles qu’on formeroit par des cercles en rai-fon de 1 à 4, de 1 à 6, à 7, &c. exigent une géométrie plus relevée ; c’eft un problème de la même nature & du même degré que celui de la trife&ion de l’angle ou des deux moyennes proportionnelles ,
    • & uniquement réfoluble par les mêmes moyens.
    • Mais il y en a encore deux conftru&ibles au moyen de la géométrie fïmple, & formées par des cercles en raifon de2à3&de3à}. Nous nous bornons, pour abréger, à en indiquer la conftru&ion.
    • Pour la Iere. Soit un cercle quelconque, dont le rayon foit fuppofé 1 ; infcrivez-y une corde AB PI* égale à j/j_ j/il- cette corde étant portée en- ® core deux fois en BC & CD, qu’on tire la corde qu’on décrive fur AB un arc femblable à l’arc ABC ; qu’on tire enfin les deux cordes égales AE ,
    • ED : la lunulle ABCDEA fera égale au polygone re&iligne ABCDEA.
    • Pour la 2e. Dans un cercle dont le rayon eft 1, in£ crivez une corde égale à j/i—± y/|—y/TZ^/T,
    • & portez-la cinq fois ; tirez la corde de l’arc quintuple , & décrivez fur elle un arc avec un rayon = ; dans cet arc infcrivez les trois cordes de
    • fes trois parties égales ; ce qui fera toujours poflible par la géométrie ordinaire, parceque chacun do ces tiers eft femblable à un cinquième du premier arc qui eft déjà donné : vous aurez une lunulle égale à la figure reéttligne, formée par les cinq cordes du petit cercle & les trois du plus grand.
    • Bb iv
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    • 39* Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME LXIV.
    • Une lunulle étant donnée, y trouver des portions absolument quarrables , pourvu néanmoins que les cercles qui la forment Joient entreux dans certains rapports de nombre à nombre.
    • PL ii, S o it la lunulle ABCDA , formée de deux cer-%• 99 » clés dans un rapport quelconque de ceux ci-deffus, ioo,ioi*ABC étant portion du moindre cercle, & ADC du plus grand. Tirez la tangente AE à l’arc ADC; enfuite menez une ligne AF, telle que l’angle EAC foit à l’angle FAC dans le rapport du petit cercle au grand : alors il arrivera une de ces trois chofes ; ou AF fera tangente au cercle ABC, fig. 99, ou elle le coupera comme en F, fig. 100, ou comme
    • Fig. 99. Dans le premier cas, la lunulle fera abfolument quarrable, & égale à la figure rettiligne KALC. Fig. 100. Dans le fécond, cette îunulle , moins le feg-ment circulaire A/f fera égale à la figure re&iligne A/KCLA, ou à l’efpace AK CL, plus le triangle AK /.
    • Fig. 101. Dans le troifieme , la même lunulle , plus le fegment circulaire A <p, fera égale à l’efpace refti-ligne aïKcla, ou à l’efpace aKcl, moins le triangle a K p.
    • Nous en fupprimons la démonftration , tant pour abréger, que parcequ’elle eft allez facile d’après les principes ci-deffus.
    • F«g- 99» Il eft donc aifé de voir que, fi les cercles donnés 100‘ font dans certains rapports qui permettent de conf-truire, avec la réglé & le compas , l’angle FAC, qui foit a l’angle EAC dans le rapport réciproque de ces cercles, on pourra tirer la ligne FA, qui
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    • Géométrie. 393-
    • retranchera de la lunulle la portion ÀDCB/A égale à un efpace re&iligne affignable. Or cela arrivera toutes les fois que le petit cercle fera au grand dans le rapport de i à 2, ou à 3, ou à 4 ? ou à 5, &c. car alors l’angle FAC devra être, ou double, ou triple, ou quadruple , ou quintuple de ECA ; ce qui n’a aucune difficulté. Il en feroit de même fi le petit cercle étoit au grand dans le rapport deià3,ouià5,ouzà7, &c. ou fi l’arc ADC, étant fufceptible de trifeêlion géométrique, comme il y en a plufieurs, le grand cercle étoit au petit comme 3 à 4, ou 3 à 5, ou 3 à 7, &c.
    • Autre, Maniéré. Que AF foit tangente au cercle ABC en A, & AE tangente à l’arc ADC dans le même point. Tirez la ligne AG, enforte que l’an- PI. gle FAG foit à l’angle EAG comme le grand cer-fig* 1 cle eft au petit, c’eft-à-dire , que l’angle FAE foit à EAG comme le grand cercle moins le petit eft à ce dernier ; alors, ou la ligne AG tombera fur AC , ou au deffus comme en AG, ou en def-fous comme en A g.
    • Or , dans le premier cas, il eft aifé de démontrer que la lunulle eft abfolument quarrable.
    • Dans le fécond , on peut auffi faire voir que la même lunulle, moins le triangle mixtiligne MG CM , eft égale à un efpace reéliligne aflignable.
    • Dans le troifieme enfin, on fera voir auffi que la même luniille, fi on y ajoute le triangle mixtiligne Cmg, fera égale à cet efpace re&iligne.
    • Enfin, foit tirée dans chacune des figures précédentes , entre AC, AE , une ligne quelconque AN, formant avec la tangente AE un angle quelconque NAE ; puis foit tirée dans l’angle FAE une Fig. autre ligne An, telle que l’angle «AE foit à EAN 100, comme FAE à CAE, On peut encore démontrerI0^
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    • 394 Récréations Mathématiques. que la figure mixtiligne formée des deux arcs Nn, AP, & des deux lignes AN , PN, fera égale à un/ efpacereftdigne, efpace qui retrouvera en partageant l’arc N/2 en autant de parties femblables à Parc AP, que le petit cercle eft contenu de fois dans le grand ; ce qui fera toujours fufceptible d’exécution géométrique, fi la raifon d’un cercle à l’autre eft comme de i à x, ou à 3 , ou à 4, &c. La fuppofant, par exemple, ici de 1 à 3 , on aura les trois cordes égales no , oE, EN, & la portion de lunulle en queftion fera égale à la figure reéti-ligne A n o E N A , puifque les trois fegments fur noy 0E, &c. font égaux enfemble au fegment AP.
    • Remarque.
    • Nous nous fommesauflî propofé Scnous avons réfolu ce problème : Une lunulle non quarrable, mais néanmoins formée par deux cercles qui font dans le rapport de 1 à 2 , étant donnée , la couper par une ligne parallèle à fa bafe , qui en retranche une portion abfolument quarrable. Mais nous nous bornerons à le propofer à nos le&eurs.
    • PROBLÈME L X V.
    • De divers autres efpaces circulaires abfolument quarrables.
    • Soient deux cercles concentriques, au tra-I03* vers defquels foit tirée la ligne b B, tangente ou fécante au cercle intérieur. Que l’on tire CA, CB, faifant l’angle ACD ; qu’on fafle enfuite l’arc DF à l’arc DA , comme le quarré de CD à la différence des quarrés de CB & CD, & qu’on tire CE : on aura l’efpace mixtiligne ABFE égal au triangle reftiligneACB. 6 5
    • U eft évident que, pour que la pofition de CE
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    • Géométrie. 397
    • foit déterminable au moyen de la géométrie ordinaire, il faut que la raifon entre les arcs AD , DF, foit celle de certains nombres, comme de i à i , l à 2 , ià3, &c. ou 2 à i , 2 à 3 , &c. Il faut, par conféquent, que la différence des quarrés de rayons des deux cercles foit au quarré du moindre , comme i à i, ou là i, ou3 à i, &c. Alors les feéfeurs, de différents cercles étant en raifon compofée des quarrés de leurs rayons , & de leurs amplitudes, on aura le fe&eur BCE égal à ACF : donc, ôtant le feâeur commun DCF, & ajoutant de part & d’autre l’efpace ADB, on aura le triangle reéliligne ACB égal à l’efpace AFEB.
    • 2. Soit un fefteur quelconque, comme ACB- PI. 12, GA dont la corde eft AB. Dans un cercle double, %• I04» ou quadruple, ou oftuple, prenez un feéleur acbga dont l’angle foit la moitié, ou le quart, ou la huitième partie de l’angle ACB , ce qui eft toujours poffible avec la réglé & le compas ; que ce fécond fe&eur foit difpofé comme l’on voit dans la figure , c’eft-à-dire de maniéré que l’arc a g b porte fur la corde AB : vous aurez l’efpace kagb BGA égal à la figure reéliligne ECFc, moins les deux triangles Aa, EÆBF.
    • Cela eft prefque évident ; car, par la conftruc-tion ci-deffus , le feéïeur ACBG eft égal à acbg: donc, ôtant ce qui leur eft commun, il y aura égalité entre ce qui refte d’un côté, fqavoir, l’ef-pece de lunulle AGBbga, plus les deux triangles A<zE, B b F, & ce qui refte de l’autre ou la figure re&iligne EcFC : donc cette efpece de lunulle eft égale à la figure re&iligne ci-deffus, diminuée des deux triangles.
    • 3. Si deux cercles égaux fe coupent en A & B, Fig. 105. & qu’on mens une ligne quelconque AC, coupant
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    • 396 Récréations Mathématique^ l’arc intérieur en E & l’extérieur en C, il eft évident que l’arc EB fera égal à l’arc BC, confé-quemment le fegment EB au fegment BC : d’où il s’enfuit que le triangle formé des deux arcsEB, BC, & de EC, fera égal au triangle reftiligne EBC ; enfin, que fi AD eft tangente en A à l’arc AEB , le mixtiligne AEBCDA fera égal au triangle reftiligne ADB.
    • PL 12, 4. Si deux cercles égaux fe touchent en C , &
    • 6g. 106. que par le point de conta# on mene un troifieme cercle égal aux premiers, l’efpace courbe A F C E DBA fera égal au quadrilatère reéliligne ABDC»
    • Car, menez la tangente CB aux deux cercles» On a fait voir plus haut que l’efpace compris par les arcs CA, AB, & la droite CB, eft égal au triangle refliligne CAB. Il en eft de même de l’efpace mixtiligne CEDB , eu égard au triangle CDB : donc, &c.
    • 5. M. Lambert a fait, dans les A ci a Helvetica T. III, la remarque ci-defliis ; mais on peut encore trouver d’autres efpaces de la même forme, égaux à des figures reftilignes, quoique bornés par des arcs de cercles dont deux feulement font égaux.
    • Soit ABCD le cercle duquel doit être retranché par deux autres arcs de cercles un efpace abfolu-ment quarrable de l’efpece ci-deffus. Prenez fur une droite indéfinie les parties CE, EF, FH, égales chacune au côté du quarré infcrit dans le cer-Fig. 107. cle donné, & que la troifieme FH foit divifée en deux également en G ; fur l’extrémité de CE foit élevée la perpendiculaire El, laquelle foit coupée en I par le cercle décrit du centre Gau rayon GC ; tirez CI, & que CK lui foit égale ; enfin foit fur FG un demi-cercle coupant en L la perpendiculaire KL à FG j qu’on tire la ligne HL , & qu’on
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    • Géométrie. 397
    • lui faffe, dans le cercle propofé, les cordes AB,
    • AD, égales. Si vous tracez avec un rayon égal à CE, les arcs paflant par les points A & B, A &
    • D, tournant leur convexité vers C , vous aurez l'efpace borné par les arcs AB, AD & BCD, égal PL 12, à l’efpace re&iligne formé des cordes AB, AD, %• io7« * & des quatre cordes DM, MC, CN, NB, des quatre portions égales de l’arc BCD.
    • Mais en voilà aflez fur cet objet. Nous nous bornerons à y ajouter une réflexion ; c’efl: qu’on ne doit point regarder ces .quadratures comme de véritables quadratures d’un efpace curviligne. En effet, comme le remarque fort bien quelque part M. de Fontenelle, tout le merveilleux de ceci ne confifte que dans une efpece de tour de pafle-pafle géométrique, au moyen duquel on ajoute adroitement d’un côté à un efpace reâiligne , autant qu’on lui en ôte de l’autre. Ce n’efl: pas ainfi qu’Archimède a le premier quarré la parabole , & que les géomètres modernes ont donné la quadrature de tant d’autres courbes. Toutes ces chofes néanmoins nous ont paru aflfez curieufes, & ne pouvoir être mieux placées que dans un ouvrage de la nature de celui-ci.
    • PROBLÈME LXVI.
    • De la mefure de Pellipfe ou ovale géométrique, & defes parties.
    • On démontre facilement que l’ellipfe,j%. /cK),eft PL 13, au re&angle de fes axes AB, DE, comme le cercle fi§- I09-rettangle des liens , ou au quarré de fon diamètre AB , puifque chaque axe eft égal au diamètre.
    • Àinii le cercle étant les 7^, à peu de chofe
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    • 398 Récréations Mathématiques.
    • près, du quarré de fon diamètre, Fellipfe eft auffi les du reâangle de Tes axes.
    • Il n’y a donc qu’à multiplier le re&angle des axes de Fellipfe donnée par 11, & divifer le produit par 14, le quotient donnera Faire.
    • Ajoutons que chaque fegment ou fe&eur d’el-lipfe, eft toujours en raifon donnée avec un fe&eur ou fegment de cercle facile à déterminer. Etant Fl* *3» donné , par exemple, le fetteur elliptique FCG, % IIO*ou le fegment FBG, fur l’axe AB foit décrit un cercle du centre C ; en prolongeant GF en D & E, on aura le fe&eur elliptique FCGB au feéteur circulaire DCEB, comme FG à DE, ou comme le petit axe de Fellipfe au grand : le fegment elliptique BFG fera aufli au fegment circulaire DBE, comme FG à DE, ou comme le petit axe de Fellipfe au grand axe.
    • Soit encore dans Fellipfe un fegment quelconque , comme nop. Soient abaiftees de n ocp deux perpendiculaires à l’axe , qui foient prolongées jufqu’au cercle en N & P, & qu’on tire N P ; on aura le fegment nop au fegment circulaire NOP, dans la même raifon du petit axe au grand
    • De-là fuit la folution du problème fuivant. PROBLÈME LXVII.
    • Divifer un fecleur d'cllipfc en deux également.
    • Soit, par exemple, le fefteur d’ellipfe DCB , àdmfer en deux également par une ligne, comme
    • Fig. in. . Décrivez fur le diamètre AB un cercle, & ayant tiré DI perpendiculaire à AB , prolongez-la en E, & tirez EC ; ce qui vous donnera le fefteur
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    • Géométrie. 39$
    • circulaire ECB ; divifez en deux également l’arc EB en F, & tirez FH perpendiculaire à l’axe AB ; tirez enfin du centre C au point G, où cette perpendiculaire coupe l’ellipfe, la ligne GC: on aura le fe&eur elliptique BCG égal à GCD, comme le fe&eur circulaire BCF l’eft à FCE.
    • Ce feroit la même chofe fi le feéteur étoit égal au quart d’ellipfe, ou plus grand ; comme aufîi fi c’étoit un feéleur compris entre deux demi-dia-metres quelconques de l’ellipfe, comme DC 9dC.
    • Alors, des points D & d9 abaiflez fur l’axe les perpendiculaires DI, di9 qui, prolongées, coupent le demi-cercle AEB en E & e; divifez l’arc Ee en deux également enf & menez la perpendiculaire fh à AB , qui coupe l’ellipfe en g : la ligne C g divifera le fe&eur DC d en deux également.
    • PROBLÈME LXVIII.
    • Un charpentier a une pièce de bois triangulaire ;
    • & , voulant en tirer le meilleur parti pofjible , il cherche le moyen d'y couper la plus grande table quadrangulaire rectangle qu'il fe puijfe. Comment doit-il s’y prendre ?
    • Soit ABC le triangle donné. Divifez les deux PI. 13, côtés B A, BC, en deux également en F & G, & fig* II2* tirez FG ; puis des points F, G, menez les perpendiculaires à fa bafe FH, GI : le reftangle FI fera le plus grand poffible qu’on puiffe inferire dans le triangle , & en fera précifément la moitié.
    • Si le triangle eft reélangle en A, il y aura deux maniérés de fatisfaire à la queftion, & l’on pourra avoir les deux tables rectangles Fi & FI, qui Fig. 113.
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    • 400 Récréations Mathématiques.
    • font chacune les plus grandes infcriptibles dans le triangle donné, & toutes deux égales.
    • PI* 13» Si le triangle a tous fes angles aigus, fuivant
    • %• XI4* qu’on prendra pour bafe un des côtés, on aura une folution différente. Il y en aura conféquemment trois, & chacune donnera une table plus ou moins allongée, &: toujours de même étendue , fans quoi la plus grande réfoudroit le problème à l’ex-clufion des autres, tels font les reftangles FI, GL, KM.
    • Mais notre charpentier ayant confulté un géomètre , celui-ci lui obferve qu’il y aura encore un plus grand avantage à tailler dans fa piece de bois une table pvale. On demande en conséquence comment il faudra s'y prendre pour y tracer la plus grande ovale pojjîble.
    • Fig. 115. Soit donc de nouveau le triangle ABC la planche de bois propofée. Divifez d’abord chaque côté en deux également en F, D, E ; ces trois points feront les points de contaft de l’ellipfe avec les côtés du triangle: tirez auffi les lignes AE, CF, BD, qui fe coupent en G ; ce fera le centre de l’ellipfe.
    • Faites enfuite GL égale à GE, & tirez par G la parallèle GO à B C, & par le point D la parallèle DQ à AE ; prenez enfin GP moyenne géométrique entre GQ & GO : les lignes GLj GP, feront les demi-axes de l’ellipfe, file triangle BAC eft ifofcele. Or on a vu plus haut comment on peut décrire une ellipfe dont les deux axes font donnés.
    • Mais fi l’angle LGP eft aigu ou obtus, on pourra ! encore décrire l’ellipfe par un mouvement continu , au moyen de l’inftrument que nous avons décrit au Problème XXXII ; car il importe peu
    • que |
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    • Géométrie. 401
    • que Pangïe des.deux diamètres donnés foit droit ou non. Le moyen décrk réuflit toujours également , avec cette feule différence que, lorfque cet angle n’eft pas droit, les portions d’ellipfe décrites dans les angles de fuite LGP, LGR, ne font pas égales & femblables.
    • On peut auffi déterminer direélement les deux axes : on en trouve la méthode dans les traités des ferions coniques ; mais la nature de cet ouvrage ne permet que d’effieurer la matière , & de renvoyer tout au plus aux fources.
    • PROBLÈME L XIX.
    • Les points B & C font les ajutoirs des deux bajjîns PI. t6 , d'un jardin, & A ejl le point qui donne entrée à %• I2^* une conduite qui doit fe partager en deux pour mener l'eau en B & C, On demande oh doit être le point de partage, pour que la fomme des trois conduites AD, DB, DC, & confêquemment la dèpenfe en tuyaux, foit la moindre poffible.
    • Ce problème, qui appartient à Part du fontai-nier, étant réduit en langage géométrique, fe réduit à celui-ci : Dans un triangle ABC, trouver le point duquel menant aux trois angles autant de lignes , la fomme de ces lignes foit la moindre pof-fble. Or il eft vifible qu’il peut y avoir un pareil point, & que, fa pofition étant trouvée , la dé-penfe en tuyaux fera moindre qu’en établiffant le point de partage à tout autre point quelconque. "
    • Il feroit long de développer ici le raifonnement au moyen duquel on réfoud ce problème, auquel il feroit difficile d’appliquer le calcul, fans tomber dans une prolixité extrême. Il nous fuffira de dire qu’on démontre que le point D cherché doit être Tome /, Ç c
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    • 402 Récréations Mathématiques. tel que les angles ADC, BDC, CDA, foient égaux entr’eux , & conféquemment chacun de 120°.
    • Pour conftruire donc ce problème, décrivez fur le côté AC, comme corde, un arc de cercle comme ADC, capable d’un angle de 120°, ou qui foit le tiers du cercle dont il fera partie ; faites la même chofe fur un autre des côtés, comme BC: l’interfe&ion de ces deux arcs de cercle déterminera le point D que l’on cherche : c’eft à ce point que la conduite doit fe partager, pour aller de-là enB&C.
    • Telle feroit du moins la folution du problème, fi les trois tuyaux AD , DC, DB, dévoient être tous les trois du même calibre. Mais un fontainier intelligent fe gardera bien de faire ces trois tuyaux égaux : il fentira que , pour la plus grande hauteur du jet, il convient que les tuyaux DB , DC, n’admettent pas enfemble une plus grande quantité d’eau que le tuyau AD ; car autrement, l’eau le-roit dans ces tuyaux comme ftagnante après être fortie du tuyau AD, ôc ne recevroit pas toute l’impreflion dont elle a befoin pour jaillir à fa plus grande hauteur.
    • Voici donc encore la folution du problème, dans ce nouveau cas. Nous fuppoferons que le calibre du tuyau AD, ou fa capacité, eft précil'é-mënt double de celui de chacun des deux autres, c’eft-à-dire que les diamètres font dans le rapport de 10 à 7 ; car, par ce moyen, l’eau fera toujours également preffée dans le premier & dans les deux derniers. Nous fuppofons auffi que les prix de la toife de chaque eipece de ces tuyaux font dans le même rapport; car, dans cette forte de problème économique, c’eft principalement le rapport des prix qu’il faut confidérer.
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    • G ÉO M É ÎÎUE» 40^
    • Cela étant donc ainfi fuppofé , iloüs trouvons que le point de réparation des tuyaux de conduite doit être en un point d9 tel que les angles C dA i B</A, foient égaux, & foient tels que, dans chacun, Ton finüs foit au finus total comme 10 eft à 14, ou, plus généralement, comme le prix de la toife du gros tuyau eft au double de celui du plus étroit. D’après cela, il eft facile, dans notre hypothefe, de déterminer cet angle. On le trou-
    • vera de 131056', ou 133°.
    • Si donc l’on décrit fur les côtés CA , B A , du triangle ABC , les deux arcs de cercle capables d’un angle de 1330 chacun , leur point de fe&iort donnera le point d9 où îa principale conduite doit fe partager pour mener l’eau en B & C, en faifant îa moindre dépenfe poflible en tuyaux»
    • Remarqué*
    • On peut, en étendant le problème ci-defîüs, fup- PI. pofer que la conduite principale doit porter l’eau %• 1 à trois points donnés, B, C, E. Dans ce cas, on démontre que fi les quatre tuyaux de conduite étoient égaux, le point de partage ne fçauroit être placé plus avantageufement, au moins pour diminuer la quantité de tuyaux, que dans l’interfec* tion même des lignes AE, BC; mais ce ne feroit probablement pas la difpofition la plus avanta-geufe pour que l’eau jaillît avec le plus de force.
    • D’ailleurs, on peut faire ici la même obfervation que fur la première folution du problème précédent. Il conviendra, pour la force du jet, que le calibre du principal tuyau foit à peu près triple de celui de chacun des autres. Suppofons de plus que Ccij
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    • 4©4 Récréations Mathématiques. le prix de la tcfife do premier Toit à celui de la toife des autrescomme ma n ; & enfin , pour limplifier le problème, dont la folution feroit au-trement fort compliquée , nous fuppoferons que les lignes AE, BC, fe coupent à angles droits : cela «tant, je trouve que l’angle EFC doit être tel que
    • fon finus de complément foit £ nVa,nn—~m—i2, le finus total étant l’unité ; ou , ce qui revient au même, il faut que le finus de l’angle DCF foit égal à la quantité ci-defîiis.
    • Si donc onfuppofe, par exemple,m à n comme 5 à 3 , on aura l’expreflion ci - deflus égale à 0.71496 ; ce qui eft le finus d’un angle de 450 38'. Faites donc l’angle DCF de 45 à 46°, & vous aurez, dans cette fuppofition , le point F où conduite principale doit fe partager.
    • Si m étoit à n comme 2 à 1, l’expreflion ci-def* fus deviendroit égale à 0.86600 ; ce qui eft le finus de l’angle de 6o° : c’eft pourquoi il faudroit, dans ce cas , faire l’angle DCF de 6o°, ou chacun des angles DFC, DFB, de 30°.
    • Il eft évident qu’afin que le problème foit fufi ceptible de folution, il faut que m & n foient tels que l’expreflion ci-defîiis ne foit ni imaginaire , ni plus grande que l’unité. Dans l’un & l’autre cas, il n’y auroit aucune folution ; & cela îndiqueroit tout au plus que la divifion devroit fe faire au point A même, ou le plus loin poflible de la ligne BC. Il faut aufli que cette expreflion ne f#it pas égale à zéro ; ou fi cela arrivoit, on devroit en conclure que la divifion doit être prife au point D.
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    • G i O M E
    • TRIE. 405
    • PROBLÈME L X X.
    • Paradoxe géométrique des lignes qui s'approchent fans cejfe l'une de l'autre , fans néanmoins pouvoir jamais fe rencontrer & concourir enfemble.
    • Il n’eft aucun commençant dans la géométrie, qui ne fçache que fi deux lignes droites dans un même plan s’approchent l’une de l’autre, elles concourront néceflairement dans un point d’inter-fe&ion commune. Nous difons dans un même plan, car fi elles étoient dans des plans différents, il eft clair qu’elles pourroient s’approcher jufqu’à un certain terme fans fe couper, & que de-là elles s’écarteroient de plus en plus l’une de l’autre. Sup-pofons en effet deux plans parallèles & verticaux, par exemple , & que dans l’un foit tracée une ligne horizontale, & dans l’autre une inclinée à l’horizon ; il eft évident qu’elles ne feroient pas parallèles, & néanmoins qu’elles ne fçauroient jamais fe couper l’une l’autre, leur moindre éloignement étant de néceflité la diftance de deux plans. Ainfi voilà deux lignes non parallèles, 8>c cependant qui ne concourent point. Mais ce n’eft pas dans ce fens que nous l’entendons.
    • Il y a en effet, & dans le même plan, plufieurs lignes qu’on démontre s’approcher fans ceffe l’une de l’autre, fans néanmoins pouvoir jamais fe rencontrer. Ce ne font pas à la vérité des lignes, droites , mais une courbe combinée avec une ligne droite , ou deux lignes courbes enfemble. Rien n’eft plus familier à ceux qui font verfés dans «ne géométrie un peu relevée : en voici quelques exemples.
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    • 406 Récréations Mathématiques.
    • PI. 13, Sur une ligne droite AG indéfinie , prenez de.
    • üg. 116} parties égales AB, BC, CD, ÔCc ; 6c fur les points B, C, D, Sec. foient élevées des perpéndiculai res B£, Ce, D d, Ee, 6cc. qui décroiffent fuivan une progreffion dont aucun terme ne puiffe deveni zéro, quoiqu’il puiffe devenir aulïi petit qu’on von dra : que ces termes, par exemple, décroiffent fui vant cette progreffion , 1,3-, y, 7, 7, j, 6cc ;i eft évident que la courbe, paffant par le fominet de lignes décroiffantes fuivant cette progreffion , n fqauroit jamais rencontrer la ligne AG, quelqu prolongée qu’elle foit, puifque jamais fa diftanc à cette ligne ne peut devenir zéro : elle s’en appre chera néanmoins de plus en plus , 6c de manieu à en être plus près qu’aucune quantité, quelqu petite que ce foit. Cette courbe eft, dans ce cas-ci celle lî connue des géomètres fous le nom d’hypa bole, qui a la propriété d’être renfermée entre le branches des deux angles rettilignes oppofés pa le fommet, vers lefquelles elle s’approche de plu en plus fans jamais les atteindre.
    • #Si la progreffion fuivant laquelle décroiffent ci lignes B£, Ce, D d, 6cc. étoit celle-ci ,1,7,7 £, 77» &c. la ligne paffant par les points ü, c d, e, 6ce. s’approcheroit encore de plus en plu de la droite AG , fans jamais la rencontrer, puil que , queiqu’éloigné que foit un terme quelconqu de cette progreffion, il ne peut jamais être éga à zéro.
    • Fig. n7, Autre Exempte. Hors de la ligne AF indéfinie
    • foit pris un point P, duquel foit tirée PA perpen diculaire à AF, 6c- tant d’autres lignes que l’oi voudra, PB, PC, PD, ôcc. de plus en plus in clinées, fur la prolongation defquelles on prendn les lignes A<?, B b, Ce, 6cc, toujours égales ; il el
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    • Géométrie. 407
    • clair que îa ligne paffant par les points a,b,c,d9 &c. ne fçauroit jamais rencontrer la ligne AF : cependant elle s’en approchera de plus en plus,
    • & de plus près qu’aucune quantité déterminée , puifque F/s’incline de plus en plus. Cette courbe eft celle qui eft connue des géomètres fous le nom de Conchoi.de, & qu’inventa un géomètre Grec nommé Nicomede , pour fervir à la folution du problème des deux moyennes proportionnelles.
    • Nous n’en donnerons pas d’autre exemple , attendu qu’il y en a une infinité dans la géométrie {un peu relevée.
    • PROBLÈME LXXI.
    • Il y avoit dans l'ifie de Délos un temple confacrê PI. à la Géométrie. Il étoit élevé fur une bafe circu- fig. 1 laire, & furmonté d'un dôme hémifphérique rpercé de quatre fenêtres dans fon contour & d'une ouverture circulaire au fommet , tellement combinées, que le refiant de la furface hémifphérique de la voûte étoit égal à une figure rectiligne. Quant au tambour du temple, il étoit percé d'une porte qui elle - même étoit abfolument quarrabte , ou égale à un efpace rectiligne. On demande comment s'y étoit pris l'architecte géomètre qui avoit élevé ce monument.
    • Tout le monde, du moins géomètre, fçait que la mefure de la furface d’un hémifphere dépend de la mefure du cercle , cette furface étant égale à celle d’un cylindre de même bafe Se même hauteur. L’artifice de cette conftru&ion étoit donc i° d’avoir retranché du dôme, par les ouvertures ci-deffus décrites, des portions fphéri-
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    • 408 Récréations Mathématiques. ques telles que le reftant fût égal à une figure purement reftiligne, & 2° d’avoir décrit fur le tambour ou mur circulaire du temple, une autre figure qui elle-même fût auffi quarrable. Or voici comment on a pu s’y prendre.
    • Soit d’abord un quart de la voûte hémifphéri-119! que du temple, dont la bafe foit le quart de cercle ACB. Soit pris l’arc BD égal à un quart de l’arc AB , pour la largueur de l’arc doubleau qui doit féparer les fenêtres ; tirez la corde du reftant AD ; Maintenant que SCE foit une coupe quelconque par l’axe SC du dôme, dont l’interfe&ion avec AD foit F ; faites CE, CF,.CG, continuellement proportionnelles ; prenez dans l’axe CS la ligne CH égale à EG, & tirez HI parallèle à CE, qui coupera en I le quart de cercle SE : le point I fera un de ceux de la fenêtre cherchée. Ainfî la fuite des points I déterminés de cette maniéré , donnera le contour de cette fenêtre, dont la furface fera égale à deux fois le fegment AED, tandis que la portion fphérique S AI DS fera égale à deux fois le triangle re&iligne CAD.
    • La furface entière de ce quart de voûte fera donc égale à deux fois ce triangle, plus le feéleur fphérique SDB, lequel eft égal à deux fois le fec-teur circulaire CDB, ou au quart du fe&eur fphérique SAEB : donc, fi de ce feéïeur on retranche le quart SLM par un plan parallèle à la bafe, éloigné du fommet S d’un quart du rayon SC, le reftant de ce quart d’hémifphere , c’eft-à-dire la furface AIDBMLÂ , reftera égale au double du triangle reâiligne CAD. Faifant enfin chaque autre quart de la voûte hémifphérique femblable à celui-ci, on aura toute la voûte, les ouvertures ôtees, égale à huit fois le triangle ACD.
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    • Géométrie. 409
    • Pour l'ouverture à faire dans le mur circulaire du temple, Sc qui doit être elle-même égale à un efpace reéliligne , rien n’eft plus facile , quoique cette ouverture foit partie d’une furface cy- pj. lindrique. Pour cet effet, queABDEF repréfente fig. 120* une moitié de cette furface. Prenez pour la largeur de la porte à former, la corde GH parallèle au diamètre AD ; faites HK, GI, qui font perpendiculaires à la bafe, de la grandeur convenable pour que cette porte ait la proportion qu’exigent le bon goût & le caraétere de l’ouvrage ; faites enfin paffer par les points I & K, & par la ligne AD , un plan qui déterminera , par fon interfec-tion avec la furface cylindrique, la courbe ILK : vous aurez l’ouverture cylindrique un peu cintrée par le haut GBHKI, qui fera au re&angle de CB par GH, comme le finus de l’angle LCB au finus de l’angle demi-droit.
    • Donc le problème du géomètre Grec eft réfolu.
    • On pourroit varier ce problème de beaucoup de maniérés ; & pendant le trifte féjour que j’ai fait, en 1758 , dans un pofte du Canada, je me fuis amufé à varier la queftion de bien des manières. Je l’ai réfolue en faifant la totalité de la fur-face du temple abfolument quarrable. Je ne perçois le dôme que d’un trou au fommet, comme celui du Panthéon, & je prenois les quatre fenêtres fur la furface cylindrique du temple , &c. Tout cela eft, au refte, facile pour qui eft un peu géomètre.
    • Remarques.
    • 1. Ce problème eft, à peu de chofe près, celui que Viviani propofa en 1692, fous le titre de Ænigma G&ometricum. Il fut facilement réfolu par les Léibnitz, les Bernoulli, les l’Hôpital. On en
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    • 4io Récréations Mathématiques. peut voir l’hiftoire dans celle des Mathématiques, Tome II , Liv. I. La folution de Viviani lui-même eft tout-à-fait ingénieufe & élégante ; mais comme, fuivant cette folution, la voûte ne feroit pas fuf-ceptible de conftruftion , parcequ’elle porteroit fur quatre points, ce qui eft abfurde en architecture , nous avons fait quelques changements à l’énoncé, en ajoutant l’ouverture circulaire du fom-met ; au moyen de quoi notre voûte porteroit fur des parties ayant quelque folidité, chaque fenêtre étant féparée de fa voifine par un arc qui eft un feizieme de la circonférence totale.
    • 2. Le pere Guido-Grandi a remarqué que fi l’on a un cône droit fur fa bafe circulaire ; qu’on infcrive un polygone dans cette bafe,par exemple, " PL i4>un triangle ABC; que l’on éleve fur chaque côté %• I21* de ce polygone un plan perpendiculaire à la bafe ; la portion de la furface conique, retranchée du côté de l’axe , eft égale à un efpace reéliligne : car il eft aifé de démontrer que cette furface eft à celle du polygone re&iligne ABC qui lui répond perpendiculairement au deffous , comme la furface du cône au cercle de fa bafe, c’eft-à-dire, comme le côté incliné du cône SD au rayon ED de cette bafe.
    • Les portions de cône retranchées par les plans ci-deffus vers la bafe, font auffi vifiblement dans le même rapport avec les fegments de cercle fur lefquels ils appuient. Enfin , quelque figure qu’on décrive dans la bafe, fi fur la circonférence de cette figure on conçoit élevée une furface cylindrique droite , elle retranchera de la furface conique une portion qui lui fera dans le même rapport.
    • Ce géomètre Italien, qui étoit de l’ordre des Camaldules, s’eft avifé de nommer cette portion
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    • conique abfolument quarrable, Vélum Camaldu-ienfe. Il eût pu fe difpenfer de lui donner cette dénomination de mauvais goût. C’eft ainli qu’un bon religieux Francifcain s’eft avifé de faire un cadran folaire fur un corps aflez reflemblant à une fandale, & d’en faire imprimer la defcription fous le titre de Sandalion Gnomonicum,
    • PROBLÈME LXXII.
    • Un polygone quelconque irrégulier ABCDE A étant PI. 14» donné 9 qu'on divife chacun de fes côtés en deux %• lZ2t également, comme en a,b,c,d,e, & qu’on joigne les points de divijion des côtés contigus: il en réfultera un nouveau polygone abc de a.
    • Qu'on fajje même opération fur ce polygone , puis fur celui qui en réfultera , & ainji à Vinfini*
    • On demande le point où. fe termineront ces divi-
    • C E problème, impoffible peut-être à réfoudre par des confidérations purement géométriques, eft fufceptible d’une folution fort limple, tirée d’une autre conlîdération. Nous la donnerons dans le volume fuivant. Nos leéteurs pourront exercer leur fagacité fur cette queftion. Je me bornerai à ajouter qu’elle me fut propofée en 1750, par M, jD., qui me dit la tenir de' M. de Buffon.
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    • 4n Récréations Mathématiques.
    • TABLE
    • De la longueur du Pied, ou autre mefure longitudinale qui en tient lieu, che£ les principales Nations & dans les principales Villes de l’Europe.
    • fOus avons pins d’une fois éprouvé combien
    • r\ro« i eft embarraffé, dans certaines recherches,. à fe procurer la connoiffance des mefures des différents pays : c’eft pourquoi, toutes les fois que nous en avons eu l’occafion, nous avons recueilli avec foin les rapports des mefures étrangères, foit anciennes , foit modernes , avec les nôtres ; & nous croyons que nos lefteurs verront ici avec plailîr une table de ces mefures , la plus ample qui fe trouve aucune autre part. Nous les comparons toutes au pied de Paris, qui eft de 12 pouces divifés chacun en îx lignes, & chaque ligne di-vifée en i o parties ; ce qui donne, pour le pied de Paris, 1440 de ces parties. Nous en préfentorts une double comparaifon, fçavoir, l’une en parties de cette efpece, & l’autre en pieds, pouces , lignes, & dixièmes de lignes.
    • PIEDS ANCIENS ET MODERNES,
    • comparés au Pied-de-Roi de Paris, contenant 1440 parties.
    • Pieds anciens.
    • Part. Pied. Pouc.Ug.P-
    • L’ancien Pied Romain, de..306ouo-io-— io—-6
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    • Géométrie. 41$
    • Part. Pied. Pouc. Lïg. P. Le Pied Grec & Ptolémaïque-de 13640a o — 11 4....4
    • Grec Phyléteri d’Archimede, < 5U ProbabL -1577-1-
    • de Syracufe & Sicile, ... ...986-0...
    • Macédonien 16 1
    • P aCC . ’ 5 7
    • gypnen, 1920—i-
    • Naturel (hom IIP fl} n ^ .......
    • Arabe ^ veJuë') I480 T
    • Babylonique, oa bien .IÇ46-I- .,534....!....
    • Pieds modernes.
    • Part. Pied. Pouc. Lig. P. Le Pied de Paris,..........de 14400a!...o...0—0
    • Amfterdam, — 1253—0— Ancône &Etat Ecdéf—1732—ï — IO-. —5“"2
    • ÀWf ..8.. ,....8.,..»»
    • . ’
    • Ausbour 10- ...h...3
    • __ _ Avignon * — 12Ô0-0— IO ,^0....o
    • Aquilée, -1524 -1- 8-4
    • Balle , 1276 —0- :: 7-6
    • Barcelone, 1340-0- —1682—1— ... a"‘°
    • Bourg (Brefle &
    • Bugey)’ gcrJjn 1392—0... ° 11'
    • • IO- ^ <>0
    • Bergame , — 193 3 •*4 l-r
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    • At4 RàCRêATIO&s'MATHÉiNtAîïiJÜÈS,
    • Part. Pied. Poue.
    • te Pied de Befançon *-“•--de1372oaÔ—il-
    • --------Brefcia, —........2.108—t—Ç---
    • .-------Bruges, — —1013— o 8—
    • .-------Bruxelles, -------1219—0-10
    • --------Breflau,----------1520-1—o-
    • - Chine,leTribunal des
    • Mathématiques, ...1523-
    • Le Pied Impérial, —-1420-
    • - Chambéry (& Savoie), 1496 ••
    • - Copenhague, -...1418—
    • .2966-
    • •*575~
    • - Conftantinoplc , |
    • Lig.Pt
    • -5
    • —6—8 •5-3 *''1 ••“9
    • -8—0
    • ...8-3
    • .5-6
    • •9-8
    • •8-6
    • — --Dantzick, — ...—....1247—0—10...4—7
    • --------Dijon,............1392—0— 11....7- 2
    • — — Delft, ——————739—0.........6—ï - 9
    • --------Danemarck, —---------1415—0—11*—9—5
    • • ----Dordrecht, —.........—-1042—0 8—8—2
    • — --Edimbourg,........1485 — 1...o..4-- 5
    • — Francfort-fur-le-Mein, -1260—O— lO—6—0
    • • ----Franche-Comté,....1583 — ........2—3
    • --------Genes,(lePalme) -..1098—0....9...ï—8
    • —------Geneve, ——...............——2592—1 9.7—2
    • --------Grenoble & Dauphiné, 1512—1— o— -7—2
    • • ----Hall en Saxe,.....1320—ô—11 — 0—0
    • " ------- Hambourg, ....— 1260—0—10—* 6—0
    • • ----Heidelberg (Palat.), —1220—0—10.2-0
    • • ------- Infpruck, •
    • 1488-
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    • GÊOMiTRÎÉ.
    • Part. Pied, i
    • Le Pied de Leyde, —»•-....de 13820a o—
    • --------Leipfick, ........1397****o»»
    • • ----Liege, ...........—1276••••O—-
    • ----------- Lisbone , ....-1287—o—•
    • --------Livourne,...v-........1340—0—
    • --------Lombard ou de Luit-
    • prand , ou Aliprand ,•••* 1926—• 1 •••• --------Londres, .........1331*- ~o—
    • • ----Lubeck, ..........1260—o-—
    • --------Lucques, ............2615 —• 1....
    • --------Lyon &,Lyonnois, Forez & Beaujolois,...........
    • --------Lorraine,................1292
    • ————Madrid, —-............—*-1237
    • --------Malthe, (le Palme).......1237
    • --------Marfeille,...............1100
    • --------Malines,.................1017
    • --------Mayence,.................1335
    • --------Maftricht, .......1238
    • e pied décimal •••• 1153 ’ l pied aliprand—1926 --------Modene,.....*•....-...2812
    • • . — Monaco,.................1042—
    • --------Montpellier, (le Pan) —1050-
    • --------Mofcow, ....-............1255
    • --------Mantoue, (la Brade) -2033 •••
    • --------Munich,.................1280—
    • • ----Naples, ( le Palme).....1164-
    • m . $Pd-de ville 1346-—-------Nuremberg\pUeCanp.^(,~
    • --------Padoue,.......-...».....1899-
    • *——des Pays-Bas, vpyt^ Maftricht.
    • '• Ug. P.
    • -Milan, ,
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    • 416 Récréations Mathématiques.
    • Part. Pied. Pouc. Lig. P.
    • LePied de Parme,—....—de 2516 ou 1 9—0—6
    • -------Pavie, ( îd. )......2080 •• 1 5 —..4....0
    • -------Prague, .....—......—1336—0--11....1-6
    • -------Palerme, —--------1010—0—8—5—0
    • -------Provence, voyt{ Marfeillc.
    • —— duRhîn ou Rhinlandique, —1382—o—iï 6—2
    • -------Riga,................1260—0—10......6—0
    • -------Rome, ( le Palme)...990—0......8...3 -o
    • ------- Rouen, comme Paris, —1440—1——0 0—0
    • -------Savoie , voye^ Chambéry.
    • -------Séville, (Andaloufie).1340—O— 11....2—0
    • -------Stétin en Poméranie, — 1654--1—1....9—4
    • —------Stockholm, —- -—1450— 1 o—1 —o
    • c , (Pà.deville-1292—o—10..........9—2
    • -------Strasbourg, \pJ * f
    • _______Sienne, {piedcomm.)..1674—-1..1 •••• 11 —4
    • -------Tolede, —-----------1237—o—10.......3—7
    • -------Turin, (Piémont)..-—2265 — 1 •...6—10—5
    • -------Trente,.............1622—1.....1....6—2
    • -------Valladolid , ........1227—0—10......2—7
    • -------Varfovie, ------------1580—1—1......2—0
    • -------Vende, ——.............— 1537—1...o-—9—7
    • -------Vérone,.............1510—1.....o...7-0
    • -------Vienne en Autriche, .1400—0 — 11....8—0
    • -------— Vienne en Dauphiné, —1430—0— 11 •••• 11 —0
    • -------Vicence, .......-....1535-1—0......9-5
    • -------Wefel,..............1042-0.....8....8-2
    • -------u,m»................-U 17-0...........9.3-7
    • -------Urbino, —-----------1570— 1—1— 1 —o
    • -------Utrecht,--------------1001—o...8—4—1
    • -------Zurich, ............1323—0—11.......0—3
    • TABLE
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    • Geométriè.
    • 417
    • TABLE
    • De quelques autres Mefures tant anciennes que modernes, & de leurs rapports.
    • LA coudée étoit ordinairement un pied & demi. Les Hébreux néanmoins en avoient trois, fçavoir ; la coudée ordinaire, qui étoit d’un pied & demi hébreu, ou de 245 5 ~ parties, dont le pied de Paris eft 1440.
    • La coudée facrée ou moderne étoit d’un pied babylonique & trois quarts, ou de 2705 ou 2684 parties du pied de Paris.
    • La grande coudée géométrique étoit de 9 pieds hébreux , ou de 6 petites coudées.
    • L’orgye des Grecs étoit de . 6 pieds grecs,
    • L’arura, de..................50
    • Le pléthron , de . ... 100
    • Le dypléthron, de . . . ioo
    • Ces dernieres mefures étoient celles des terres. Mefures de Paris.
    • L’exapeda des Latins étoit de . 6 pieds rom.
    • La decempeda, de .... 10
    • La toife de Paris eft de . » 6 pieds de roi.
    • La perche royale & foreftiere, de 22 La perche moyenne, de . . 20 La perche moindre, & félon la coutume de Paris, de . . . 18
    • L’arpent eft de 100 perches quarrées.
    • Tome /, D d
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    • 418 Récréations Mathématiques. * Mefures de Londres.
    • La verge angloife ( yard ) eft de. 3 pieds angl.
    • La toife ( fathom), de . . . 6
    • La perche (poole), de . . 16 ~
    • L’acre contient 160 perches quarrées, ou 41600 pieds anglois.
    • Mefures de contenance de Paris.
    • Le muid de liqueur (mefure de Paris) eft de 8 pieds cubés, ou 13 824 pouces cubes.
    • Six pouces cubes font un poinçon, ou, par corruption, un poiflon.
    • Deux poiffons ou 12 pouces cubes, le demi-fetier.
    • Quatre poiftons, ou deux demi-fetiers, ou 24 pouces cubes, font la chopine.
    • Deux chopines ou 48 pouces cubes, la pinte.
    • Deux cents quatrervingt-huit pintes font le fetier.
    • Trente-fix fetiers font le muid.
    • Mefures de contenance de Londres.
    • La quarte de Londres contient 57^ pouces cubiques de Londres, ou 47 pouces cubiques de Paris.
    • Le galon contient 4 quartes, ou 231 pouces cubes anglois, ou 190-7— pouces cubes de Paris.
    • La quarte contient deux pintes.
    • Ainfi la quarte de Londres eft tant foit peu moindre que la pinte de Paris, & la pinte de Londres un peu moindre que la chopine de Paris.
    • V
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    • RecreaÂons. ' £1.i-
    • De la ûart
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    • la ûardutc
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    • Tyms.JO [Recreafions. yiril/unétùu& Tl. 2 ,.3ù
    • la Cmrdette Seulp
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    • Tonv.I
    • ; Récréation s
    • Truinvle'Aritkmelttflie- Je Æ''Fa&cal, KryeZ,?af& 88-.
    • F * - - - - - - - - -
    • N. Tlaàa-e/s 2 3 4 6 G 7 8 y - -
    • N. Jrumtjitl * 3 G 20 j5 22 28 3G 45 55
    • N.- liront- -l f nr * 4 20 35 5G 84, 120 2G5
    • .N- Byntnv. z ^ - â 23 35 70 22G 210 33o
    • N.B/ramld.3^ G 21 5G 12G 363, 482
    • - 7 28 84. 220 4G2
    • -> 3 3G 120 93o
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    • JtlalTîn-dtlti <faJf
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    • de Î&. (mr dette
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    • Tom. I.
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    • Tan. I. Recreaûons. ûLnùrle
    • Jfy.jB.m
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    • Tom. I. Récréations •_______________R. 4.
    • De la. tsardeà& Scalp
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    • ûe^me/ne 1*1.6-,
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    • Tom. I. .Récréations. GéomilrU K.&.
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    • Tom-L Récréations. ûJcmùrU J>1. q
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    • j'om_ J. Recreattons. fecmeït'U . PI. w.
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    • Tant. I.
    • De la uàrdeOa Sculp.
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    • Tom. I.
    • Récréations.
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    • Torn.l. Récréations. (réom^rû Iti3.
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    • Tom.. I
    • Hecreaû.on.8.
    • {rccmètrie.. JV. 14.
    • De la GarJeUe Scalp.
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    • 72vn.I
    • ffeornetri& PI, i5.
    • kecreadona
    • de la {rtzr dette Sadf.
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    • 4 ' ^ .
    • SUPPLÉMENT
    • E T
    • ADDITIONS
    • A quelques endroits du premier Volume des Récréations Mathématiques.
    • PAGE iqc) j ligne on dit : Il ejl clair que toutes ces operations ne reviennent au fonds qu'à, &c. C’eftce qu’on erbit devoir démontrer, pour la fatisfàétiùn & l’inftru&ion du leéteur.
    • Que les quatre nombres à deviner foient, par exemple, *, y, £, u, Selon le procédé indiqué j il faut doubler x9 ce qui donnera zx; dë-là ôter 1, on aura donc zx—i ; multiplier par 5 , il viendra 10#— 5. On préferit d’ajouter ënfuite le fécond nombre y, cela donnera iox-<ÿ-\-y; puis d’ajouter 5, ainfî l’on aura iox+y, qu’il faut doubler, & oh aura 20*4-2^; d’ou ôtant 1, il refterâ zox+iy—i. Ce relie étant multiplié par 5, le produit fera ioox-f-iojK—5. A ce produit ajoutons le troifieme nombre ç & le nombre 5, là fomme fera 100*4-1 oy-j-& laquelle étant doublée, & de ce double Ôtant l’unité, il viendra 200*4- 2.oy 4- 24—1 ; & cela multiplié par 5 , produira iooo*4-iôoiy4-I°£—5* Ajoutons 5 & Iè dernier nombre u, la fomme fera 1000*4-idoj4-ib{4-«. Donc fi *, y, u, repréféntent des nombres au deflous de 10, comme 5,2,4, l* la fomme fera 50004-2004-404-1, ou 524T. Si Dd ij
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    • ces nombres étoient 9, 6, 5,4, cette fomme fe~ roit, par la même raifon, 9654. Ce qui démontre le procédé indiqué dans la page 149.
    • Le fécond procédé pour lè même objet { Page t5o) ne fe démontre pas moins facilement; car, que les nombres à deviner moindres que 10, foient encore *, y, {, (nous nous bornons à trois, pour abréger) il faut ajouter 1 au double du premier nombre, ce qui donnera 2*+i ; le multiplier par 5, on aura 10*4-5 > Y aj°uter le fécond nombre , cela donnera 10*454,7; doubler cette fomme & y ajouter 1, on aura 20*4-10+274-1 ; multiplier par 5, le produit fera 200*450+ ïqy+5 ; ajouter letroifieme nombre {, on aura donc enfin ioo*+50410,7454^, ou 100*4 Ioj+î+55 : donc A x, y, % font, par exemple, 5, 6,7, cetteCxpreffion fera 567+55 ou 612. Si donc de cette derniere fomme on ôte 55 , il viendra 567, qui déligne par l’ordre de fes chiffres les trois nombres à deviner.
    • Page 1S0 , Problème VI. On croit devoir aufîi donner la démonftration de la réglé enfeignée pour réfoudre ce problème : la voici.
    • Puifqu’il y a dans un jeu de cartes complet 15 cartes de chaque couleur, dont la valeur eft 1,2, 3, &c. jufqu’à 13, la fomme de tous les points de chaque couleur eft fept fois 13 ; ce qui eft un multiple de 13 : conféquemment le quadruple eft auffi un multiple de 13 : donc, fi on compte les points de toutes les cartes en rejetant toujours 13, on doit à la fin trouver zéro. Il eft donc évident que fi on ôte une carte dont les points foient moindres que J3> la différence de ces points à 13 fera ce qui
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    • SuPPLÉMÊNT. 42*
    • manquera pour compléter ce nombre: donc fi, à la fin , au lieu d’arriver à 13 , on n’arrive qu’a 10* par exemple, il eft clair que là carte manquante eft un trois : & fi., ayant ôté une carte, on arrive à 13 , il eft également évident que cette carte manquante eft une de celles qui valent 13 ou un
    • Si l’on avoit pris deux cartes, on pourroit dire auffi combien leurs points font enfemble ; ce fe-roit, ou ce qui manque pour arrivera 13 , ou ce déficit augmenté de 13 : & pour fçavoir lequel des deux , il fuffiroit de compter tacitement combien de fois on a complété 13 ; car, dans la totalité des cartes, on devroitle trouver 28 fois: fi donc on ne l’avoit que 27 fois plus un refte, par exemple 7, les deux cartes tirées feroient enfemble 6 : û on n’avoit compté 13 que 16 fois avec le même refte 7, on en concluroit que les deux cartes for-meroient enfemble 13 plus 6, ou 19,
    • La démonfîration de la réglé enfeignée pour le cas où l’on fe ferviroit d’un jeu de piquet, en fair fant valoir l’as 1, le valet 2, la dame 3 , le. roi 4 , & les autres, cartes le nombre de leurs points, n’eft pas beaucoup plus difficile ; car , dans chaque couleur, il y aura 44 points, & dans la totalité-176 ; ce qui eft un multiple de 11, ainfi que 44. On pourroit donc toujours compter jufqu’à 11, rejeter n, 8c le déficit pour atteindre 11 feroit la valeur de la carte fouftraite..
    • Mais ce même nombre 176 fëroit un multiple de 1-0 ou de 10, fi on lui ajoutoit 4. D’où fuit encore la démonftration de la maniéré qu’on en-
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    • Supplément,
    • 4**
    • PAGE $6G. Addition a FHijloire de la Quadnfc drature, du, Cercle.
    • Depuis que j’ai écrit cet article, il m’eft par-? venu dans ma province plufieurs annonces de la quadrature du cercle. Telles font celles d’un bon curé de Normandie, qui eût mieux fait de s’attacher à inftruire fes paroiffiens ; celle de M. de la Frainaye, valet-de-chambre de S. A. S. Monfeî-gneur le Duc d’Orléans ; & diverfes autres qui ne méritent pas la peine de la difculïion, parcequ’il n’y a pas même veftige de raifonnement géométrique. Nous nous bornons à parler encore d’un écrit fur ce fujet, par M. le Rohberger de Vau-? fenville , qui eft intitulé, Confultation fur la Quadrature du Cercle, in-8°, 1J pp.
    • M. le R. de V. demande aux géomètres ft, trouvant le moyen de déterminer dans un fe&eur de cercle fon centre de gravité en parties communes du rayon & de la circonférence du même cercle, on aura trouvé la quadrature du cercle. Nous n’entendons pas trop ce qu’il veut dire par parties communes du rayon & de la circonférence : peut-être entend-il par - là des parties du rayon dans lefquelles il eft d’ufage d’exprimer la circonférence, comme lorfqu’on dit que le rayon étant 3 co , la circonférence eft 314.
    • Dans ce cas , nous pouvons lui répondre au no,m de tous les géomètres , qu’il auroit fans doute trouvé la quadrature du cercle. Nous ne craignons point non plus de lui dire que, de quelque manière qu’il détermine fur l’axe d’un.fe&eur, ou d’un fegmen.t, ou d’un arc de cercle , fon centre & grayité, pourvu que dans cette, détermination.
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    • Supplément. 415
    • cet arc lui-même n’y entre pas comme donné, il aura réfolu ce fameux problème. Car qui ne ferait que le centre de gravité de la demi-circonférence, par exemple, eft à une diftance du centre qui eft troifieme proportionnelle au quart de cercle & au rayon? Mais c’eft à cette détermination du centre de gravité du fefteur ou de l’arc de cercle que M. de V. nous permettra de l’attendre.
    • Il n’étoit au furplus pas nécelïaire de provoquer pour cela , foit nommément & en particulier, foit en général, tous les géomètres de l’Europe , mêmç ceux de la Turquie & de l’Afrique, où sûrement on ne fçait pas ce que c’eft que le centre de gravité : encore moins étoit-il nécefîaire de les prévenir que, faute par eux de le contredire, il les tiendra pour vaincus , & fa quadrature avouée pour bonne. Cette bravade n’excitera sûrement ni les Eulers, ni les d’Alemberts, ni les Bernoullis, &c. &c. à attaquer fa quadrature. Ou M. de Vaufenville aura raifon , ces Meilleurs donneront les mains à fa découverte, la célébreront même, j’ofe lui en répondre ; ou fa prétendue quadrature fera un paralogifme, dans lequel cas on ne s’en occupera pas davantage que de celle de l’illuminé Henry Sullamar, vrai échappé de Bedlam (a), qui l’a trouvée dans le nombre 666 du front de la bête de l’Àpocalypfe, ou de de celle du bon curé Normand dont on a parlé plus haut, ou de tant d’autres aufli dignes du profond oubli où elles tombent aufli-tôt.
    • En effet , que M. de V. nous cite quelque exemple de vérité géométrique rejetée par les contemporains de fon inventeur, traitée par eux
    • (4) Hôpital des fous à Londres.
    • Ddb
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    • 4î4 Supplément;
    • de paralogifme , & depuis élevée au rang de découverte géométrique. Que rifque-t-il donc de publier fa découverte? Si elle eft jufte, l’éclat d’une vérité géométrique eft tel qu’il eft impoffi-ble de la méconnoître ; fi elle ne l’eft pas, en vain feroit-il fommer, par un exploit en forme, chacun des géomètres de l’Europe en fon domicile ; en vain les feroit-il même condamner par défaut au Châtelet de Paris , il n’en fera pas plus avancé. Les géomètres riront de tout leur cœur ; & il en fera de fa quadrature, comme de celles de tant de malheureux afpirants à l’honneur de quarrer le cercle , qui font dans l’imbécille perfuafion qu’il y a une ligue entre tous les géomètres, depuis la Néva jufqu’au Guadalquivir, pour étouffer leur découverte dès fa naiflance.
    • J’ai connu, dans un voyage que je fis à Paris il y a quelque temps, un de ces hommes, jadis né-
    • fociant à Cadix, qui étoit dans la ferme perfua-on que s’il avoit 20000 livres à donner à la femme d’un fecrétaire d’une académie, il feroit déclarer bonne une prétendue quadrature qu’il a trouvée il y a quelques années , & où il n’y a pas Je fens commun.
    • O tribus Anticyris (a) caput infanabih !
    • (a) Illes de la mer Egée, qui fourniffoient l'ellébore employé par les médecins Grecs pour la folie.
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    • Supplément.
    • 4*î
    • RECUEIL
    • De divers Problèmes , tant arithmétiques que géométriques , dont on propofe la folution aux Lecteurs Géomètres.
    • ON ne fçauroit trop tôt, en géométrie exercer fes forces dans la réfolution des problèmes que préfente cette fcience ; car c’eft par cet exercice que fe développe & fe fortifie la faculté inventrice. C’eft pour cette raifon que nous avons cru devoir terminer cette partie des Récréations Mathématiques , par un choix de problèmes propres à exercer & amufer les jeunes mathématiciens. On en trouvera même de différents degrés de difficulté, pour fe conformer aux différents degrés de force de ceux qui liront cet ouvrage. On y a inféré aufli quelques théorèmes curieux, dont la démonftration qu’il s’agit de trouver pourra èxercer leur fagacité.
    • Nous ferons au refte ici une remarque; c’eft que la plupart de ces problèmes n’étant rien moins que difficiles lorfqu’on y emploiera les reffources du calcul algébrique, on propofe de trouver leurs folutions par la géométrie pure. Car il eft fuffi-famment connu que l’analyfe algébrique donne le plus fouvent des folutions compliquées; tandis que celles qui découlent de l’analyfe purement géométrique, font incomparablement plus Amples & plus élégantes. On en a fur-tout des exem-
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    • 416 Supplément.
    • pies dans les premiers qu’on va voir , ainfî que
    • dans divers autres.
    • PROBLÈMES ET THÉORÈMES
    • Arithmétiques & Géométriques.
    • Problème premier. Dans un triangle re&ili-gne on connoît la bafe, la fomme ou la différence des deux autres côtés, & l’aire. On demande de déterminer ce triangle.
    • Prob. II. Etant donnés la bafe d’un triangle, le rapport des deux autres côtés, & l’aire , déterminer ce triangle.
    • Prob. Hî. Connoifïant dans un triangle les mêmes chofes, fi ce n’eft qu’au lieu du rapport des deux autres côtés, c’eft l’angle qu’ils comôren- . nent qui eR connu ; il s’agit de trouver ce triangle.
    • Prob. IV. Trois lignes étant données de pofition fur un plan , en tirer une entr’elles qui en foit coupée en deux parties qui foient en raifon donnée.
    • Prob. V. Quatre lignes étant données de pofîtion fur un plan , en tirer une entr’elles qui en foit coupée en trois parties dont la raifon eft donnée.
    • Prob. VI. Au jeu de Piquet, quelle probabilité y a-t-il qu’on aura carte blanche ?
    • Prob. VII. Au même jeu, Pierre efl: le premier en carte ; il n’a pas d’as. Quelle probabilité y a-t-il qu’il en prendra dans le talon, un, ou deux, ou trois, ou quatre }
    • Prob. VIII. Au jeu de Brelan à trois , quelle probabilité y a-t-il qu’il y aura un brelan .entre
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    • Supplément. 417
    • les mains d’un des joueurs, & quelle probabilité y a-t-il que ce brelan fera quatrième ?
    • pROB. IX. Unfubdélégué d’intendance doit faire tirer à la milice; il veut favorifer un des tireurs. Y a-t-il une place dans laquelle on coure moins de rifque que dans une autre ?
    • Prob. X. Un homme a dans la main une certaine quantité de pièces de monnoie , par exemple 12. Combien y a-t-il à parier contre un qu’en les jetant toutes à la fois, (ou féparément ), il y aura autant de croix que de piles ?
    • PROB. XI. Quatre lignes étant données, & étant telles que trois quelconques foient plus grandes que la quatrième, en construire un quadrilatère infcriptible au cercle, ou qui lui foit cirçonf* criptible,
    • Théorème premier. Si des trois angles d’un triangle rettiligne quelconque, on mene trois perpendiculaires fur les côtés oppofés, elles fe couperont au même point.
    • ThéOR. II. Si de ces angles on mene des lignes qui les coupent en deux également, ou qui coupent en deux. également les côtés oppofés, ces trois lignes fe rencontreront encore dans le même point,
    • Prob. XII. Un trapeze étant donné, le couper en .deux également qi^ en raifon donnée, par une ligne paflant par un point donné , foit fur un des côtés, foit au dedans, foit au dehors.
    • pROB, XIJI. Dans un cercle donné, infer ire m triangle ifofcele d’une grandeur donnée.
    • Nota. Il ejl évident qu’il faut que ce triangle foit moindre que le triangle équilatéral infcrit
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    • 4i8 Supplément.
    • dans le cercle donne, car ce triangle êjl le plus grand de tous les infcriptibles.
    • Prob. XIV. A un cercle donné , circonfcrire un triangle ifofeele de grandeur donnée.
    • Nota. Il faut que ce triangle foit plus grand que Véquilatéral circonfcrît , puifque ce dernier ejl le plus petit de tous les clrconfcriptïbles.
    • PROB. XV. Dans un triangle ifofeele, décrire trois cercles dont chacun touche deux côtés , & qui fe touchent tous trois.
    • Prob. XVI. Exécuter la même chofe dans un triangle fcalene.
    • Prob. XVII. Quelle eft la valeur de cette expref-Nota. Je répons qu'elle efi 2. Il ejl quef-tion de le démontrer. De meme la valeur de lion analytique, J//’1j/2 y/2 9 &c. à l’infini} I/3 9 &c* * ^infini 9 efi 3; ainjè
    • de tout autre nombre.
    • Prob. XVIII. On a une pyramide à quatre faces triangulaires ; les côtés de ces quatre triangles font donnés. On demande les angles que font les faces de cette pyramide, la perpendiculaire abailîee d’un angle quelconque fur la bafe, ÔC la folidité de la pyramide.
    • Prob. XIX. Couper un trapeze donné en quatre parties égales, par deux lignes qui fe coupent elles-mêmes à angles droits.
    • Prob. XX. Un particulier a un emplacement quadrangulaire 8c irrégulier ; il veut en recouper , pour en faire un parterre, un quarré long qui foit le plus grand poffible , & dont les an-
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    • Supplément. 429
    • gles foient appuyés fur les côtés du quadrilatère. Comment faut-il qu’il s’y prenne ?
    • Prob. XXI. On connoît dans un triangle l’aire & la fomme des trois côtés ; déterminer le triangle.
    • Plob. XXII. Au jeu de Reveriîs, l’un des joueurs a le quinola quatrième. Quelle probabilité y a-t-il que quelqu’un des joueurs aura quatre cœurs au moins , enforte que le quinola coure rifque d’être forcé.
    • Prob. XXIII. A un cercle donné, circonfcrire un triangle de contour donné, pourvu que ce contour foit plus grand que celui du triangle équilatéral circonfcrit.
    • Prob. XXIV. Dans un triangle non équilatéral, trouver un point duquel les trois perpendiculaires tirées fur les trois côtés, foient enfemble égales à une ligne donnée.
    • Nota. On a exclu le triangle équilatéral, parceque Von peut facilement fe démontrer que , de quelque point de l'intérieur qu'on abaiffe des perpendiculaires fur les côtés d'un pareil triangle , leur fomme fera toujours la même.
    • Il en ejl de même de tout polygone régulier & même irrégulier, pourvu que les côtés en foient égaux.
    • Prob. XXV. Dans un cercle donné, infcrire un triangle ifofcele , ou lui en circonfcrire un d’un contour donné.
    • Nota. Ce problème n'étant pas toujours poJJi-ble, comme il efl aifé de voir ; il ejl aujjî quejlion de trouver fes limitations,
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    • 43° Supplément.
    • Prob. XXVI. Dans un cercle donné, infcrirë ou lui circonfcrire un triangle quelconque de contour déterminé;
    • Prob. XXVII. Dans un quadrilatère donné , infcrirë une ellipfe, c’eft-à-dire y décrire une ellipfe qui en touche les quatre côtés.
    • Prob. XXVIII. Un jouaillier a une table d’agaté précieufe, en forme de trapeze irrégulier ; il defire en tirer la plus grande table ovale poffi-ble, pour en former le deflus d’une boîte. Comment doit-il s’y prendre ?
    • Nota. IL ejî clair que le problème , énoncé géo± métriquement $ ejt celui-ci : Dans un quadrilatère donné, infcrirë la plus grande de toutes les ellipfes qui lui font infcriptibles ; problème qui nejl certainement point facile. Ceux de nos lecteurs qui le tenteront, doivent être prévenus quil exige une grande connoiffance de Panalyfe.
    • On pourroit auffi propofer celui-ci i Autour d’un quadrilatère donné, circonfcrire une ellipfe qui foit la moindrç de toutes les circonf-criptibles.
    • Prob. XXIX. Ün point & une ligne droite étant donnés, on demande quelle eft la trace ou la ligne fur laquelle fe trouvent les centres de tous les cercles qui, paffant par le point donné, touchent la ligne donnée.
    • Prob. XXX. On demande la même chofe i c’eft-à-dire la trace de tous les cercles tangents à uri cercle & à une ligne droite donnée.
    • Nota. Cette ligne droite peut être extérieure au cercle donné, ou le toucher, ou le couper.
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    • Supplément. 431
    • PrôB. XXXI. Deux cercles quelconques étant donnés, quelle eft la trace ou la ligne fur laquelle fe trouvent les centres de tous les cercles qui touchent les deux cercles donnés, foit que le cercle tangent les comprenne tous deux au dedans de lui, foit qu’il les touche l’un en dehors , l’autre en dedans ?
    • Prob. XXXII. La bafe d’un triangle eft donnée ; on connoît aufli la fomme des deux autres côtés , ainfi que la ligne tirée du fommet au milieu de la bafe. On demande de déterminer le triangle.
    • Prob. XXXIII. On connoît dans un triangle les trois lignes tirées des angles au milieu des côtés oppqfés ; trouver ce triangle.
    • Prob. XXXIV. Dans un triangle , la bafe eft connue ; on y connoît aufli la fomme & la différence des quarrés des côtés : il s’agit de déter-
    • , miner ce triangle.
    • Nota. Ce problème eft fufceptible d'une conf-truction fort ftmple & fort élégante; car le fommet de ce triangle eft dans la circonférence d'un certain cercle, & il eft aujft dans une certaine ligne droite.
    • Prob. XXXV. On demande la même choie, c’eft-à-dire le triangle dont on connoît les trois lignes tirées des angles à la bafe , & qui partagent ces angles en deux également.
    • Prob. XXXVI. Un nombre quelconque de points étant donné , tirer à travers une ligne droite, telle que, abaiflant de chacun de ces points fur elle une perpendiculaire , la fomme des perpendiculaires d’un côté foit égale à celle de l’autre.
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    • 43i Supplément*
    • Prob. XXXVII. Même fuppofition faite., on demande que la fomme des quarrés de ces perpendiculaires tirées d’un côté , foit égale à la fomme des quarrés des autres; ou même que la fomme de ces perpendiculaires élevées à une puiflance quelconque n, foit égale de part & d’autre.
    • Prob. XXXVIII. Dans un trapeze quelconque, on connoît les quatre côtés & l’aire ; déterminer le trapeze.
    • Prob. XXXIX. Un angle étant donné, trouver un point duquel abaiflant fur fes côtés deux perpendiculaires, le quadrilatère qu’elles formeront avec les côtés de l’angle, foit égal à un quarré donné.
    • Prob. XL. Comme il y a une infinité de points qui fatisfont à ce problème, trouver leur trace ou la courbe qu’ils forment.
    • Prob. XLI. Trouver quatre nombres qui foierft en progreflion arithmétique, & auxquels ajoutant quatre autres nombres donnés , comme z, 4, 7 , 15, les fournies l'oient en progreflion géométrique.
    • Prob. XLII. Deux courriers partent en même temps, l’un A de Paris pour Orléans, dont la diflance eft 60 milles , l’autre B d’Orléans pour Paris, & ils marchent tellement que A arrive à Orléans quatre heures après avoir rencontré B, & B arrive à Paris lix heures après avoir rencontré A. On demande combien chacun faifoit de milles par heures.
    • Prob. XLIII. Une certaine fomme ayant été placée à intérêt, elle monte au bout d’un an à 1100 liv.
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    • Supplément. 433
    • 1100 liv., & au bout de dix-huit mois à 11201. On demande quelle étoit la fomme & quel étoit l’intérêt.
    • PROB. XLIV. Deux lettres de change, la première de 120O liv., payable dans fix mois, & la fécondé de 2000 liv., payable dans neuf, ont été efcomptées enfemble &: au même intérêt , pour une fomme de 120 liv. On demande quel eft cet intérêt.
    • PROB. XLV. Comment pourroit-on faire 120 liv. en 120 pièces de trois efpeces feulement, fça-voir, des pièces de 12 fous, de 24 fous, & des écus de 3 liv. ou de 60 fous ?
    • PROB. XLVI. Un angle étant donné , & un point au dedans, mener par ce point une ligne droite coupant les deux côtés de l’angle, enforte que le re&angle de leurs fegments jufqu’au foin met foit égal à un quarré donné.
    • Nota. Ce quarré donné ne doit pas être moindre qu'un certain quarré ; ce qui donne lieu ait problème fuivant.
    • Prob. XLVII. Même fuppofition faite que dans le précédent, on demande la pofition de la ligne paffant par le point donné , lorfque le reftangle des côtés de l’angle, retranchés vers le fomrnet, fera le plus petit poflible.
    • Prob. XLVIII. Trois lignes étant données de pofition , trouver un point duquel les trois perpendiculaires à ces lignes , foient dans un rapport donné.
    • Nota. Nous nous bornons a dire que ce problème ejl fùfceptible d'une folution trh-jîrnple & très-élégante , f ans calcul.
    • Tome I. E e
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    • 434 Supplément.
    • ProB. XLIX. Deux cercles étant donnés, lesquels font entr’eux dans un rapport de nombre à nombre, de i à 2, par exemple, & qui fe coupent l’un l’autre, mais de telle forte qu’ils ne font pas une luiiulle quarrable, tirer à travers ces cercles une ligne parallèle à celle qui joint les points d’interfe&ion, enforte que la partie de la lunulle retranchée fupérieurement, foit égale à un efpace reétiligne.
    • PROB. L. Même fuppofition faite que la précédente , couper les deux arcs de cercle par un troilieme, qui foit tel que le triangle concavo-convexe, formé par ces trois arcs de cercle, foit égal à un efpace re&iiigne.
    • Nota. Tavoue-ne fçavoirJi cela ejlpojfible. Je riai pas eu le temps de tenter -ce problème , que y abandonne à qui voudra en rechercher la fo-lution.
    • Prob. Lî. Trois perfonnes ont enfemble iooliv, dans leur bourfe ; l’on fçait de plus que neuf fois ce qu’a la première , plus quinze fois ce qu’a la fécondé, plus vingt fois ce qu’a la troi-lierne, formeroient une fomme de 1500 liv. On demande quelle eft la fomme qu’a chacune.
    • Nota. Il ejl à propos d’obferver que ce problème , ainjî que le quarante - fixieme , ejl fuf-ceptible de plujieurs folutions ; G*, pour le réfoudre complettement, il faut déterminer toutes ces folutions , & montrer qu'il ne peut y en avoir davantage. Car il ne feroit pas bien difficile en tâtonnant, d'en rencontrer quelqu'une.
    • Prob. LII. On a acheté 120 pièces de gibier pour 20 liv. ; il y a des lievres qui ont coûté 2 liv. , des faifans qui ont coûté 3 liv. & des cailles
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    • Suppté ment;
    • 43 S
    • qui ont coûté i o fous. Quel eft le nombre des lièvres, des faifans & des cailles?
    • Nota. Même obfervation fur ce problème qut fur le précédent.
    • PROB. LIII. Trois négociants ont fait fociété , & font convenus de mettre 1.0000 liv. chacun dans une entreptife ; il y en a deux cjui ont fa-tisfait à cette condition ; le troifîeme n’a fourni que 5000 liv. L’entreprife ayant manqué , ils ont non-feulement perdu leurs fonds, mais encore 50 pour 100 en fus. On demande ce qu’ils doivent contribuer chacun pour faire face à cette créance.
    • Prob. LIV. Dans un triangle re&iligne, oncon-noît la bafe, lereéfangle des deux autres côtés, & l’angle compris. Il s’agit de déterminer Ôc conftruire ce triangle.
    • Prob. LV. Un arc de cercle étant donné, le di-vifer en deux parties dont les finus foient en raifon donnée.
    • PrOB. LVI. Dans un jeu de 32, cartes, quelqu’un prend ou reçoit au hafard 4 cartes. Quelle probabilité y a-t^il, ou que peut-on parier contre un, que dans ces quatre cartes il y en aura une de chaque couleur ?
    • Prob. LVII. De combien de maniérés peut-on payer 24 livres, en demi-louis, écus de 6 liv. & écus de 3 livres ?
    • Nota. Ce problème ejl incomparablement plus facile que celui que nous avons réfolu & où. l'on demandoit de combien de façons on peut payer un écu en monnaies inférieures. En voici un peu plus compliqué que le precedent.
    • Prob. LVIIL De combien de maniérés peut-on Ee ii
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    • 436 Supplément;
    • payer 24 livres > en demi-louis, écus de (S liv., écus de 3 liv., pièces de 24-, de 12 & de6 fous? Prob. LIX. Trouver un nombre tel quen lui ajoutant 12 & 25 fucceflivementa les fommes foient nombres quarrés.
    • Prob. LX. Trouver trois nombres dont les quarrés foient en progreffion arithmétique.
    • Prob. LXI. Etant donné un nombre quelconque de points, en trouver un autre tel que, menant à chacun des autres une ligne droite, la fomme de ces lignes foit égale à une ligne donnée. Prob. LX11. Même fuppofition que ci-deffus étant faite, il faut que ce foit la fomme des quarrés des lignes tirées du point cherché aux points donnés, qui foit égale à un quarré donné.
    • Il eft affez fingulier que ce dernier problème foit fuf-ceptible d’une conftruâion bien plus facile que le précédent. Nous remarquons en effet, uniquement pour piquet la curiofité du letteur géomètre, que ( dans le dernier ) le point cherché & tous ceux qui réfolvent la queftion, (car il y en a une infinité), font litués dans la circonférence d’un certain cercle; &, ce qui eft très-remarquable, c’eft que le centre de ce cercle eft le centre de gravité des points donnés, en les fuppofant chacun chargé d’un même poids.
    • Remarquons encore que ,fi l’on demandoit que le quarré d’une des lignes tirées, plus le double de la fécondé, plus le triple de la troifieme’ &c. fiffent la même fomme , il faudroit concevoir le premier point chargé d’un poids fim-pl® 3 le fécond d’un poids double, le troifieme d’un poids triple, &c. & leur centre de gravité feroit encore le centre du cercle cherché.
    • La folution de ce problème ne fut pas inconnue aux anciens géomètres. C’étoit un de ceux des Loca plana d’Ap-pollonius ; ce qui eft propre à donner de leur analyfe une idée plus avantageufe qu’on ne l’a ordinairement.
    • Fin du Tome Premier,
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    • TABLE
    • JO JEL S JMLTl T JE JEL JR. JEI S
    • DU PREMIER VOLUME.
    • PREMIERE PARTIE.
    • Arithmétique.
    • CHAPITRE PREMIER. De Syjlême
    • numérique , 6* des diverfes efpeces d’Arithmétique , Page 2
    • CHAP. II. quelques maniérés abrégées de faire les opérations arithmétiques, 9
    • §. I. Maniéré de foujïraire à-la-fois plujieurs nombres de plujieurs autres nombres donnés, fans
    • faire les additions partielles, ibid.
    • §. II. Multiplicationpar les doigts, 10
    • §. III. De quelques Multiplications & Divijîons abrégées, 11
    • §. IV. Multiplication & Divifion abrégées , par les bâtons ou baguettes arithmétiques de Néper. Idée des Machines arithmétiques , 14
    • V. Arithmétique palpable , ou maniéré de pratiquer VArïhmètique à l'ufage des aveugles , ou dans les ténèbres, 1 &
    • Problème. Multiplier 11 livres 11 fous u deniers, par 11 livres 11 fous 11 deniers , -1
    • E e iii
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    • 438 TABLE
    • GHAP. III. De quelques propriétés des Nombres9
    • Propriétés des Nombres g, 6', 3, 23
    • Des Nombres quarrés f 25
    • Des Nombres premiers. Propriété fort remarquable de ces Nombres, 29
    • Table de ces Nombres jufqu'a 10000 , 30
    • Des Nombres parfaits. Erreur de M. Oqanam ,
    • 33
    • Des Nombres amiables , 35
    • Propriétés de la fuite des quarrés , des cubes , &c.
    • 36
    • CHAP. IV. Des Nombres figurés , 38
    • PROB. I. Un nombre étant propofé , trouver s'il ejl triangulaire, quarré, pentagone, &c. 40
    • PROBi II. Un nombre triangulaire ou figuré quelconque étant donné, trouver fa racine, ou le nombre de termes de la progreffion arithmétique dont il ejl la fomme, ' 41
    • Prob. III. La racine d'un nombre polygone étant donnée , trouver ce nombre , 42
    • Prob. IV. Trouver la fomme de tant de nombres triangulaires, quarrés ou pentagones, qu'on vou-ira, 43
    • CHAP. V. Des Triangles rectangles en nombres,
    • 45
    • Prob. I. Trouver tant de Triangles rectangles en nombres qu'on voudra , 46
    • Prob. II. Trouver tant de Triangles rectangles en nombres qu'on voudra, & dont les côtés ne different que de l'unité, 48
    • Prob. III. Trouver trois différents Triangles rectangles en nombres, dont les aires f oient égales, 50 PROB. IVTrouver un Triangle rectangle, dont les trois côtés f oient, en progreffion arithmétique 3 51
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    • PROp. V. Trouver un Triangle rectangle, dont Voire, exprimée en nombres, foit égale au contour, ou en raifon donnée avec lui , ci
    • CHAP. VI. Quelques Problèmes curieux fur les Nombres quarrés 6* cubes,
    • PROB. I. Un nombre quarréétant donné, le divifer en deux autres quarrés, ' ibid.
    • PROB. IL Divifer un Nombre qui ejl la fomme de deux quarrés , en deux autres quarrés, 5 5 Propriété très-remarquable de tout nombre relativement a fa divifion en nombres triangulaires , quarrés, pentagones , &c. 56
    • PROB. III. Trouver quatre Cubes , dont deux , pris enfemble ,foient égaux à la fomme des deux au-
    • CHAP. VII, Des Progreffions arithmétiques & géométriques , & de quelques Problèmes qui en dépendent, .60
    • §. I. Expofition des principales Propriétés de la Progrejjion arithmétique , ibid.
    • PROB. I .Il y a un panier & cent cailloux rangés en ligne droite & à une toife Vun de Vautre. On propofe de les ramajfer & de les rapporter dans le panier un . à un , en allant d’abord chercher le premier, enfuite le fécond , &c. jufqu’au dernier. Combien de toifes doit faire celui qui l’entreprend ? 64
    • PROB. II. Un Propriétaire ejl convenu, avec un Maçon qui doit lui creufer un puits, de lui donner trois livres pour la première toife de profondeur, çinq pour la fécondé, fept pour la troijîeme , & ainfi jufqu’a la vingtième toife inclufivement, ou il doit rencontrer l’eau. On demande combien il fera dît au Maçon quand il aura fini
    • fon
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    • 44o TABLE
    • Prob. III. Un autre. Propriétaire étant convenu avec un Maçon, pour creuferun pùits de vingt toifes de profondeur, de lui payer une fomme de 400 livres, ce Maçon tombe malade à la huitième toife , & ne peut continuer Vouvrage. On demande combien il lui ejl dû ? 6 6
    • PROB. IV. Un homme doit 1860 liv. a un créancier qui veut bien lui faciliter le moyen de s'acquitter en un an, fous les conditions Juivantes ; fçavoir, de lui payer le premier mois la fomme de 100 liv., & enfuite chaque mois une fomme de plus que le précédent, jufqu’au doufieme qui complettera le paiement. On demande quelle ejl cette fomme dont le paiement de chaque mois doit être augmenté? 67
    • §. II. Des Progreffions géométriques : expofiticn de leurs pi inc fales propriétés , 68
    • PROB. I. Achille va dix fois plus vite qu'une tortue qui a une jlade d'avance. On demande à quelle dijlance il l'atteindra ? 74
    • Prob. II. Les deux aiguilles dé une pendule à minutes partent enfemble du point de midi. On
    • demande quels feront les points du cadran où. elles fe rencontreront fucceffivement , pendant une révolution entière de celle des heures ? PROB. III. Le nombre des grains de bled doublé continuellement depuis / jufqu'à 64 fois. Origine & hijloire du jeu des Echecs. Autres Problèmes analogues. Remarques fur la multiplication des végétaux 6* animaux , 76
    • § III. De quelques autres Progreffons , & entre autres de la P ro greffon harmonique , 85
    • PROB. Quelle efl la fomme de la fuite, infinie des nombres en progreffon harmonique
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    • DES MATIERES. 441
    • IV. De diverfes Progreffions décroiffantes à Vin-fini , dont on connoît la fomme , 86
    • CHAP. VIII. Des Combinaisons 6* Changements d'ordre. Expojition du Triangle arithmétique de M. Pafcal & de fies ufages. Principes de la doctrine des combinaifons & permutations , 88
    • PROB. I. Etant donné un nombre quelconque de chofes, déterminer de combien de maniérés elles fe peuvent combiner deux à deux , trois à trois % &c. fans égard à Vordre, ç>z
    • §. I. De combien de maniérés fe peuvent prendre <)0 nombres combinés deux à deux 9 trois à trois , &c> 9Î
    • §. II. Combien les fept planètes peuvent former entr elles de différentes conjonctions, deux à deux9 ou prifes tant qu'on voudra enfemble ? 94
    • PROB. II. Un nombre quelconque de' chofes étant donné, déterminer de combien de maniérés elles peuvent être arrangées, 9Ç
    • §. I. Sept perfonnes devant dîner enfemble, il s'élève entr'elles un combat de politeffe fur les placesz enfin, quelqu'un voulant terminer la contefiation9 propofe de fe mettre à table comme Von fe trouve 9 fauf à dîner enfemble le lendemain & les jours fuivants, jufqu'à ce qu'on ait épuifé tous les arrangements pofjibles. On demande combien de dîners devront être donnés pour cet effet ? 97
    • §. II. Les diverfes anagrammes du mot Roma, 98 5. III. De combien de maniérés peut-on , en con-fervant la mefure , varier ce vers, Tôt tibi funt dotes 9 Virgo, quot fidera cœlo , 6* quelques autres ? 99
    • PROB. III. Des combinaifons de quarreaux mi-partis de deux couleurs 9 & des compartiments qui . en rèfultent, - 101.
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    • 44a TABLE
    • CHAP. IX. Application de la doctrine, des combi-naifons aux jeux de hafard -& aux probabilités,
    • 104
    • PROB. I. Dans le jeu de Croix ou Pile, quelle probabilité y a-t-il d'amener plujîeurs fois de fuite Croix, ou plujieurs fois de fuite Pile ; ou bien , en jouant avec plujieurs pièces , quelle probabilité y a-t-il quelles fe trouveront toutes Croix gu toutes Pile? 106
    • PROB. IL Un nombre quelconque de dés étant donné, déterminer quelle probabilité il y a qu'on amènera un nombre de points ajjigné. 109 Table & divers exemples , 111
    • Prob. III. Deux joueurs jouent enfemble en un certain nombre de parties liées, par exemple trois : l'un des deux a 2 parties , Vautre une : ne pouvant ou ne voulant point continuer le jeu, ils conviennent de le cejfer, & de partager la mife* On demande de quelle maniéré cela doit être fait?
    • 117
    • PROB. IV. Sur la Loterie de l'École Royale Mili-- taire, 121
    • Prob. V. Pierre a un certain nombre de cartes, dont aucune nef répétée : il les tire fuccejjivement en appellant, f Vivant l'ordre des cartes , as, deux, trois , &c. jujqu'au roi qui ejl la derniere ; & il parie qu'il arrivera ait moins une fois qu'en tirant une carte il la nommera. On demande quelle ejl la probabilité qu'il a en fa faveur ? 125
    • PROB. VI. Qiielle probabilité il y a au Piquet ?
    • r?ayant point d'as , d’en tirer au talon ? 126
    • PROB. VIL Quelle probabilité, au jeu de Whisk , il y a que les quatre honneurs f oient répartis ,
    • 117
    • Prob, VIII, Sur le Jeu des Sauvages7 ibid,
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    • DES MATIERES. 445
    • Prob. IX. Sur le Jeu de Trictrac, 128
    • Quelques quefiions propofées pour exemple, ibid. PROB. x. Un charlatan tenoit dans une foire le jeu fuivant : il avoit G dés dont chacun nétoit marqué que fur une face , l'un de l'as, Vautre de deux, &c, jujqu'au Jîxieme qui l'étoit de Jix : on lui donnoit une fomme quelconque, & il offroit de rembourfer cent fois la mife ,fi, en jettant ces G dés, on amenoit en vingt fois les G faces marquées. Lorfqu'on avoit perdu, il offroit la revanche fous cette condition , qu'on mît une nouvelle , fomme égale à la première ; & il s'engageait à rendre le tout, fi on amenoit trois coups de fuite toutes faces blanches. On demande quel étoit le fort des joueurs ? 13 1
    • PROB. XI. En combien de coups peut-on parier au pair , avec G dés marqués fur toutes leurs faces , qu'on amènera /, 2, 3, 4, 3, G? 134.
    • PROB. XII. Du Jeu des fept Dés , 136
    • CH A P. X. Quelques Jeux arithmétiques de divi-yination ou de combinaifon, 139
    • PROB, \ksDeviner le nombre que quelqu'un aura penfé. '•Diverfes maniérés de réfoudre ce Problème , ibid.
    • PROB. II. Deviner deux ou plufieurs nombres que quelqu'un aura penfés. i44
    • Prob. III. Une perfonne ayant dans une main un. nombre pair d'écus ou de jetons, & dans l'autre un nombre impair, deviner en quelle main efi le nombre pair, 147
    • PROB. IV. Une perfonne tenant une piece d'or dans une.main & une d'argent dans l'autre, trouver en quelle main efi l'or, & en quelle efi l'argent,
    • ibid.
    • 148
    • Prob. V. Le Jeu de l'Anneau
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    • 444 TABLE
    • La démonjlration dans le Supplément J 419 PrOB. VI. Deviner combien il y a de points dans une carte que quelqu'un aura tirée d’un jeu de cartes, 15°
    • La démonjlration dans le Supplément, 421
    • PrOB. VII. Uneperfonne ayant dans chaque main un nombre égal de jetons ou déçus , trouver combien il y en a en tout, 152,
    • PROB. VIII. Deviner entre plujieurs cartes celle que quelqu'un aura penfée, ibid.
    • PrOB. IX. Plujieurs cartes différentes étantpropo-fées JucceJJivement à autant de perfonnes, pour en retenir une dans fa mémoire , deviner celle que chacune aura penfée , 155
    • PROB. X. Trois cartes ayant été préfentées à trois perj'onnes , deviner celle que chacune aura prife,
    • 154
    • PROB. XI. Ayant pris , dans un jeu entier de cinquante-deux cartes , une , deux, trois , ou quatre , ou plus de cartes , deviner la totalité de leurs points, 155
    • Prob. XII. Trois chofes ayant été fecrétement dif tribuées à trois perj'onnes', deviner celle que chacune aura prife, 158
    • Prob. XIII. Plujieurs nombres pris fuivant leur fuite naturelle étant difpofés en rond, deviner celui que quelqu'un aura penfé , 161
    • PROB. XIV. Deux perfonnes conviennent de prendre alternativement des nombres moindres qu'un nombre donné, par exemple n, & de les ajouter en-femble jufqu'à ce que l'un des deux puiffe atteindre , par exemple, 100 ; comment doit-on faire pour y arriver infailliblement le premier ? 162
    • Prob. XV. Sei^e jetons étant difpofés en deux rangs, trouver celui qui aura été pefifé, 164
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    • DES MATIERES. 44y
    • PROB. XVI. Manière de deviner entre plufieurs cartes celle qu'on aura penfée, i66
    • PROB. XVII. Quinze Chrétiens & quinze Turcs Je trouvent fur mer dans un même vaijfeau. Il fur-vient une furieufe tempête. Apres avoir jeté dans Veau toutes les marchandifes, le pilote annonce qu'il n'y a de moyen de fe fauver, que de jeter encore à la mer la moitié des perfonnes. Il les fait ranger de fuite; & , en comptant de g en g 9 on jette le neuvième à la mer, en recommençant à compter le premier du rang quand il ejl fini: il fe trouve qu'apres avoir jeté quinze perfonnes , les ' quinze Chrétiens font refiés. Comment a-t-il dif-pofé les trenteperjonnespour fauver les Chrêtiens> 168
    • PROB. XVIII. Le loup, la chevre & le chou, 17 t. PROB. XIX. Les trois maris jaloux , ibicjj PROB. XX. Comment peut-on difpofer dans les huit cafés extérieures d'un quarré divifé en neuf, des jetons, enforte qu'il y en 'ait toujours g dans chaque bande de l'enceinte, & que cependant ce nombre puiffe varier depuis 20 jufqit'à 32? 172. PROB. XXI. Quelqu'un ayant une bouteille de huit pintes pleine d'un vin excellent, en veut faire préfent de la moitié ou de quatre pintes à un ami ; mais il n'a pour le mefurer que deux autres vafes9 l'un de cinq, l'autre de trois pintes. Comment doit-il faire pour mettre quatre pintes dans le vafe de cinq > i7q
    • PROB. XXII. Uneperfonne a une bouteille de dou^e pintes pleine de vin : il en veut donner fix pintes au- frere quêteur: il n'a , pour tes mefurer, que deux autres bouteilles, l'une de fept pintes, & Vautre de cinq. Que doit-il faire pour avoir les fix pintes dans la bouteille de fept pintes j 179
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    • aa6 TABLE
    • PrOB. XXIII. Faire parcourir au cavalier du jeu des Echecs toutes les cafés du damier l’une apres Vautre, fans paffer deux fois fur la même, 178 PrOB. XXIV. Difiribuer entre trois personnes vingt-un tonneaux, dont fept pleins ,fept vuides & fept demi-pleins, enforte que chacune ait la même quantité de vin & de tonneaux, 182
    • CH AP. XI. Contenant divers Problèmes arithmétiques , curieux, 18 5
    • PROB. I. Un pere de famille ordonne, par fon tef-tament, que l’ainé de fes enfants prendra fur tous fes biens 10000 livres & la feptieme partie de ce qui refera; le fécond 20000 livres , & la feptieme partie de ce qui refera ; le troifeme îoooo livres , & la feptieme partie du furplus; & ainf jufqu’au dernier, en augmentant toujours de 10000 livres. Ses enfants ayant fuivi la difpoftion du tefament , il fe trouve qu’ils ont été également partagés. On demande combien il y avoit d’enfants, quel étoit le bien de ce pere , & quelle a été la part de chacun des enfants?
    • ibid.
    • Prob. II. Un homme rencontre, en forçant de fa maifon , un certain nombre de pauvres : il veut leur difribuer l’argent qu’il a fur lui. Il trouve qu’en donnant à chacun neuf fous, il en a trente-deux de moins qu’il ne faut ; mais qu’en en donnant à chacun fept, il lui en refe vingt-quatre. Quels étoient le nombre des pauvres, & la fomme que cet homme avoit dans fa bourfe ? 186
    • PROB. III. Un particulier a acheté, pour la fomme de no livres, un lot de bouteilles de vin, com-pofé de cent bouteilles de vin de Bourgogne , & quatre-vingts de vin de Champagne. Un autre a pareillement acheté au même prix, pour la fomme
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    • DES MATIERES. 447
    • de C) 6 livres, quatre-vingt-cinq bouteilles du premier , & foixante-dix du fécond. On demande combien leur a coûté F une & Vautre efpece de vin ?
    • 186
    • PROB. IV. Un pere en mourant laiffe fa femme enceinte. Il ordonne par fon tefament que, fi elle accouche d'un mâle, il héritera des deux tiers de fon bien, & fa femme de Vautre tiers; mais, fi elle accouche d'une fille , la mere héritera des deux tiers & la fille d'un tiers. Cette femme accouche de deux enfants , un garçon & une fille. Quelle fera la part de chacun ? 187
    • PROB. V. Un lion de bronze, placé fur le bafjin d'une fontaine , peut jeter Veau par la gueule par les yeux & par le pied droit. S'il jette Veau parla gueule , il remplira le bafjin en fix heures ; s'il la jette par l'œil droit, il le remplira en deux jours; la jetant par Vœil gauche, il le remplirait en trois ; enfin , en la jetant par le pied, il le remplira en quatre jours. En combien de temps le bafjin fera-t-il rempli, lorfque Veau fortira à-la-fois par toutes ces ouvertures ? r88
    • PROB. VI. Un muleit & un âne faifant voyage enfemble , l'âne fe plaignoit du fardeau dont il étoit chargé. Le mulet lui dit : Animal paref-feux , de quoi te plains-tu ? Si tu me donnais un des facs que tu portes , j'en aurais le doubla des tiens ; mais fi je t'en donnois un des miens , nous en aurions feulement autant l'un que Vautre. On demande quel étoit le nombre de facs dont l'un & Vautre étoient chargés ? 189
    • Divers Problèmes tirés de V Anthologie Grecque , ibid. & fuiv.
    • PROB. VII. La fomme de S 00 liv. ayant été partagée entre quatre perfonnes , il fe trouve que les
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    • 44s TABLE
    • deux premières ensemble ont eu 2.83 livres, la. fécondé & la troifeme 220 livres, enfin la troi-Jieme & la quatrième 215 livres ; de plus , le rapport de la part de la première à. celle de la dernieré ejl de 4 à 3. On demande combien chacune a eu ?
    • *94
    • pROB. VIII. Un ouvrier fe loue à ces conditions, quion lui donnera 30 fous par jour lorfqu il travaillera , mais que chaque jour qu il chommera il rendra i3 fous. Après quarante jours , fon décompte monte à 3 / livres. On demande combien de jours il a travaillé y combien il en a chommé ?
    • ibid.
    • pROB. IX. Une lettre de change de 2000 livres -a été payée en écus de trois livres , & en piajlres dont la valeur ejl de cinq livres ; & il y avait prècifément quatre cents cinquante pièces de mon-noie. Combien y en avoit-il de chaque efpece ?
    • 195
    • PROB. X. Un homme a perdu fa bourfe , & ne fçait pas prècifément le compte de Vargent qu il y avoit : il fe rappelle feulement qu'en le comptant deux à deux pièces , ou trois à trois , ou cinq à cinq y il refoi t toujours un ; mais, en les comptant fept a fept, il ne refioit rien , ibid.
    • PROB. XI. Une certaine fomme d'argent, placée à un certain intérêt, s'efi accrue en huit mois jufquà 36K5* livres /3 fous 4 deniers , & en deux ans & demi elle a monté à 35137 livres 10 fous. On demande quel ètoit le capital originaire, & à quel intérêt il a été placé ? 198
    • PROB. XII. Une femme a vendu 10 perdrix au marché9 une fécondé en a vendu 2 S , & une troi-fieme en a vendu 30,6* toutes au même prix. Au fortir
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    • DES MATIÈRES. 449
    • fortir du marché clics fc quefiionnerit fur Cargent qu'elles en rapportent, & il fe trouve que chacune rapporte la même fomme. On demande à quel prix & comment elles ont vendu? 199
    • Prob. XIII. En combien de maniérés peut-on payer 6b fous, en employant toutes les monnaies d'ufage, comme écu de j livres , pièces de 24 , de /2 , de 6\ de 2fous & de 18 deniers, fous, pièces de 2 liards & liards ? 2,04
    • Prob. XIV. Trouver le nombre & le rapport des poids avec lefquels on peut pefer de la inanierc la plus fimple un nombre quelconque de livres i depuis l'unité jufqu'à un nombre donné> 206
    • Prob. XV. Une femme de campagne porte des œufs au marché dans une ville de guerre ou il y a trois corps-de-garde à. pafiir. Au premier, elle laifie la moitié de fes œufs & la moitié d'un ; au fécond -, la moitié de ce qui lui refloit & la moitié d'un; au troifieme , la moitié de ce qui lui refait & la moitié cCun : enfin elle arrive au marché avec trois douzaines* Comment cela fe peut-il faire fans rompre aucun œuf ? 207
    • Prob. XVII. Trois perfonnès ont un certain nombre d'écus chacune. Il efi tel que, la première en donnant aux deux autres autant qu'elles en ont chacune , la fécondé pareillement en donnant à chacune des deux autres autant qu elle en a, enfin la troifieme faifant la même chofe, elles fe trouvent en avoir autant l'une que l'autre , fçavoir 8. Quelle efi la fomme qu'a chacune de Ces per-fonnes ? 209
    • Prob. XVIII. Un marchand de vin n'a que de deux fortes de vin, qu'il vend l'une 1 o , l'autre 5 fous la bouteille. On lui demande du vin à 8 Tome I, F f
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    • 45o TABLE
    • fous. Combien faut-il de bouteilles de chaque ef-pece, pour en former un qui lui revienne à 8 fous la bouteille ? 209
    • Prob. XIX. Un homme veut placer chacun banquier une certaine fomme, par exemple 10000a livres. Il veut de plus avoir mangé en vingt ans capital & intérêts, 6* avoir chaque année la même fomme à dêpenfer. Quelle fera la fomme que le banquier devra lui donner annuellement, en fup-pofant qu'il lui en paie l'intérêt à raifon de cinq pour cent ? 210
    • Prob. XX. Quel efi l'intérêt dont feroit accru au bout de l'année un capital quelconque, fi, a chaque infant de la durée de Vannée, l'intérêt échu devenoit capital, & portoit lui-même intérêt ?
    • 211
    • PROB. XXI. Un fommelier infidèle , à chaque fois qu'il va à *la cave, vole une pinte d'un tonneau particulier qui contient cent pintes, & la remplace par une égale quantité d'eau. Après un certain temps, par exemple trente jours, on s'apperçoit de fa friponnerie ; on le chajfe. Mais on demande quelle ef la quantité de vin qu'il a prife , & celle qui refie dans le tonneau ? ziz
    • PROB. XXII. Il y a trois ouvriers que j'appelle Jacques , Jean , & Pierre. Les deux premiers, travaillant enjèmble, ont fait un certain ouvrage en huit jours, Jacques 6* Pierre n'ont pu le faire qt?en neuf jours, & les deux derniers n'en ont fait un femblable qu'en dix jours. Il efi quefiion de déterminer combien chacun d'eux mettroit de jours à faire le même ouvrage, 214
    • PROB, XXIII. Un Efpagnol doit à un François j/ livres ; mais il n'a, pour s’acquitter, que des
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    • DËS MATIERES. 45i
    • piajlres qui valent 5 livres, & le François n'a que des écus de G livres. Comment s'arrangeront-ils, c ejl-à-dire combien VEfpagnol donnera-t-il au François de piajlres, & combien celui-ci lui rendra-t-il’ (Técus , pour que la différence foit égale à j i livres, enforte que cette dette foit acqiùttée ?
    • CHAP. XII. Des Quarrés magiques, 217
    • §.I. Des Quarrés magiques impairs , 218
    • §, II. Des Quarrés magiques pairs, 228 *
    • Réglé pour les Quarrés pairement pairs, 231 Autre réglé pour les Qriârrés pairement pairs,
    • , . *3?
    • Méthode pour les Quarrés impairement pairs ,
    • , . *35
    • §. III. Des Quarrés magiques par enceintes, 237 §. IV. D'une autre efpece de Quarrè magique à compartiments, 240
    • V. Des variations des Quarrés magiques, 242 §. VI. Des Quarrés magiques géométriques, 244 CHAP. XIII. De l' Arithmétique politique, 245
    • <*. J, Du rapport des Mâles aux Femelles, ibicî.
    • §. II. De la Mortalité du genre humain félon les différents âges, 247
    • §. III. De la Vitalité de V efpece humaine félon les différents âges , ou de la Vie moyenne, 249 §. IV. Du nombre d'hommes de chaque âge , fur une quantité donnée, 254
    • V. Sur le rapport des naiffances &dss morts au nombre total des habitants d'un pays : Confé-quences de ces obfervations , 253
    • §. VI. De quelques autres rapports entre les habitants d'un pays, M7
    • §. VII. Quelques queftions dépendantes des obfervations précédentes, __
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    • TABLE
    • 45*
    • SECONDE PARTIE.
    • Géométri e.
    • Problème premier. A rextrémité d'une ligne droite donnée , élever une perpendiculaire fans prolonger la ligne , & même, fi Von veut , fans changer (Couverture de compas. 267
    • Prob.IL Divifer une ligne droite donnée en tant de parties égales qu'on voudra, fans tâtonnement , 268
    • PROB. III. Sans aucun infrument que quelques piquets & un bâton, exécuter fur le terrain la plupart des opérations géométriques, 269
    • Divers exemples de ces opérations , & entr autres de mefures de longueurs inaccejjibles , 270
    • Prob. IV. Tracer un cercle ou un arc de cercle déterminé, fans en connoître le centre & fans com-pas, 275
    • Prob. V. Trois points étant donnés, qui ne foient pas dans une même ligne droite, tracer un cercle qui paffe par ces trois points, 274
    • Nota. Cette folution efl: plus fimple , à certains égards, que la vulgaire.
    • Prob. VI. Un Ingénieur, en levant une carte , a obfervé d'un certain point les trois angles fous lefquels il voit les diflances de trois autres objets dont il a déjà déterminé les pofîtions : on demande la pofition de ce point , fans autre opération, 275
    • Prob. VII. Deux lignes concourant en un point inaccefjible } ou qu'on ne peut même appercevoir,
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    • DES MATIERES. 4ÎÎ
    • on propofe de mener d'un point donne une tigne qui tende au meme point, 277
    • PROB. VIII. Même fuppojïtion faite que ci-deJfus , on demande de retrancher de ces lignes deux portions égales, jufqu'à leur concours , 278
    • PROB. IX. Même fuppojïtion encore que ci-deffus , divifer V angle quelles font en deux parties égale* > ibid.
    • PROB. X. Deux côtés d’un triangle rectiligne étant donnés, & l'angle compris, trouver fon aire, 27c) PROB. XI. Mefurer la furface d'un quadrilatère, ou trape^e quelconque , fans la connoiffance de fes côtés, 280
    • Propriété des quadrilatères , qui n'a ,àce qu'on croit, encore été appercue , ibid.
    • PROB. XII. Deux cercles qui ne font pas entièrement compris l'un dans Vautre, eta/zr donnés, trouver le point d'où tirant une tangente a l'an , elle foit auffi tangente à l'autre, 281
    • PROB. XIII. Unpere de famille laiffe en mourant y à deux enfants , un champ triangulaire , & ordonne qu'il leur fera partagé également. Il y a un puits dans ce champ , qui fert a Varrofer ; il faut confèquemment que la ligne de divijîon pajfe par fon centre, afin qu'il foit commun aux deux héritiers. On demande la maniéré de mener par ce point la ligne qui partage ce champ en deux également , 2.82
    • Diverfes Qiiefiions analogues a celle-là , 283
    • PROB. XIV. Deux points étant donnés , 6* une ligne droite qui ne pajfe point entr eux, trouyer un cercle qui touche la ligne droite , & qui pujfc pqr les deux points donnés 9 a8 5
    • F f ii)
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    • 454 TABLE
    • PrOB. XV. Deux lignes AB , CD, étant données , & un point E entre deux , tracer un cercle pujfant parce point & touchant ces deux lignes ,
    • 286
    • THÉORÈME Premier. Diverses démonflrations de la quarante-feptieme du premier Livre d'Eu-clide , par de fimples transportions de parties ,
    • ibid.
    • ThÉOR. II. Si, fur chacun des côtés d'un triangle ABC, on décrit un quarré ; que d'un des angles, comme B, on abaiffe une perpendiculaire BD, fur le côté oppofé AC; qu'on tire enfuite les lignes BE, B F, de maniéré que les angles AEB , CFB, foient égaux à l'angle B ; enfin, que des points F & E on mène les parallèles El, FL, au côté CG du quarré, on aura le quarré fur AB égal au rectangle AI, & le quarré fur BC égal au rectangle CL : par conféquent la fomme des quarrés fur AB & BC fera égale au quarré de la bafe, moins le rectangle EL fi l'angle B efi obtus , & plus ce même rectangle fi l'angle B efi aigu, 289 Nota. Nous avons oublié de dire que ce théorème , qui eft fort ingénieux, & duquel dérive la fanteufe proportion du triangle reâangle, eft due à M. Clairault le jeune, qui la donna dans un petit ouvrage qu’il publia, à l’âge de feize ans, en 1731. Il eût sûrement marché fur les traces de fon frere, fi une mort prématurée ne l’eût enlevé.
    • ThÉOR. III. Soit un triangle quelconque ABC , & fur le côte'ACfoit décrit le parallélogramme quelconque CE} & fur le côté AD le parallélogramme auffi quelconque B F; que les côtés DE, KF, foient prolongés jufqu'à leur concours en H, duquel point foit tirée la ligne HAL, & prife LM égale à HA ; qu'on finiffe enfin le parallélogramme Ç0>
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    • DES MATIÈRES. 475
    • fur la bafe BC & dam l'angle CLM: ce parallélogramme fera égal aux deux CE, B F, 290
    • Nota. C’eft encore une généralifatiort de Ta quarante-feptieme du premier Livre d’Euelide. Nous l’avons tirée de Pappus d’Alexandrie.
    • ThêoR. IV. Dans tout parallélogramme, ta fomme des quarrês des quatre côtés ef égale à celle des quarrés des diagonales, 292
    • Th F OR. V. Dans tout qudÜrilatere , quel qu'il foit, la fomme des quarres des côtes ejl égale a celle des diagonales, plus quatre fois le quarré de la ligne qui joint les milieux de ces diagonales , 195
    • PROB. XVI. Les trois côtés d'un triangle reeliligne étant donnés , en mefurer la furface , fans rechercher la perpendiculaire abaifjée dun des angles fur te côté oppofé, ibid.
    • pROB. XVII. Lorfquon arpente un terrain incliné, doit-on mefurer fa furface réelle , ou feulement celle quelle occupe dans fa projection horizontale ?
    • 294
    • Obfervations fur les attentions à avoir en levant des plans topographiques, 295
    • pROB. XVIII. Avec cinq quarrés égaux , en former unfeul, 197
    • PrOB . XIX. Un rectangle quelconque étant donné ,. le transformer, par une Jtmple tratifpqfiûon de parties, en un quarré, ibid.
    • PrOB. XX. Un quarré étant donné * le couper en 4,3, <0, &c.parties dlffemblàbUs entr elles , 6* qui puiffent par leur arrangement former un. rectangle , t 3031
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    • 4j 6 TABLE
    • PROB. XXI. Tranfpojîtion de laquelle fembte réfut-ter que le tout peut être égal à la partie, 301
    • PLOB. XXII. Divifer une ligne en moyenne & extrême raijfon , 3 0 3
    • PROB. XXIII. Sur une bafe donnée, décrire un triangle rectangle tel que les trois côtés /oient en proportion continuey 304
    • PROB. XXIV. Deux hommes qui courent également bien, parient a qui arrivera le premier de A en B y après avoir été toucher le mur CD. On demande quelle route on doit tenir pour gagner le pari y 305
    • PROB. XXV. Un point y un cercle & une ligne droite étant donnés de pofition , décrire un cercle paffant par le point donné y & tangent au cercle & à la ligne droite , ibid.
    • PROB. XXVI. Deux cercles & une tigne droite étant donnés, tracer un cercle qui les touche tous , 306
    • PROB. XXVII. De Vin/ciiption des polygones réguliers dans te cercle , 307
    • Réfutation d'une prétendue méthode générale,
    • ibid.
    • Approximation affe{ heureufe pour Veptagone ,
    • 3°9
    • PROB. XXVIII. Connoijfant le côté Sun polygone d'un nombre de côtés donné y trouver le centre dit cercle qui lui ejl circonfcriptible, ibid.
    • Table des polygones, comparés au rayon du cercle fuppofé 100000 , depuis le triangle juf-qu'au pentèdécagone ou quindécagone y 311
    • Autre des rayons du cercle circonfcrit, le côté du polygone étant fuppofé 100000 A ibid.
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    • DES MATIERES. 457
    • PROB. XXIX. Former les différents corps réguliers , 31 z
    • 1. Une fphere étant donnée , trouver les côtés des
    • faces de chacun des corps réguliers , 313
    • 2. Trouver le rayon du cercle de la fphere auquel
    • la face du corps régulier ejl infcriptible , 314
    • 3. Trouver Vouverture du compas dont doit être
    • décrit fur la fphere le cercle capable de recevoir la face de chaque corps régulier, 315
    • 4. Trouver l'angle formé par les faces des corps
    • réguliers} ibid.
    • Table qui préfente , pour chaque corps régulier, les quatre déterminations ci-deffus , 316
    • Deux maniérés de former les corps réguliers dans la pratique, ibid.
    • 5. Les former avec du carton, 318
    • PROB. XXX. Percer un cube d'une ouverture , par
    • laquelle peut p a fier un autre cube égal au premier , 319
    • PROB. XXXI. D'un trait de compas , & fans en changer l'ouverture ni varier le centre , décrire
    • une ovale, 320
    • PROB. XXXII. Décrire l'Ovale ou l'Ellipfe géométrique , 321
    • Obfervation fur l'ovale formée d'arcs de cercle combinés enfemble, 322
    • pROB. XXXIII. Sur une bafe donnée, décrire une infinité de triangles , ou la fomme des deux côtés fur la bafe foit toujours ki même , 3 23
    • ThéOR. VI. De toutes les figures ifopèrimetres ou de même contour, & ayant un nombre de côtés déterminé , la plus grande efi celle qui a tous fes côtés & fes angles égaux 9 3x4
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    • 458 TABLE
    • De deux polygones réguliers de même contour 9 le plus grand ejl celui qui a le plus de côtés ,
    • 5*5
    • Conféquence furie cercle & les fegments de cercle , 316
    • Solution de quelques queflions communes , 327 Prob. XXXIV. Vn particulier veut faire une cuvette d'argent, de forme cylindrique & ouverte en dejfus, qui contienne un pied cube de liqueur ; mais, dejîrant épargner autant qu'il fepourra lu matière, il s'adrejfe à un géomètre pour avoir les dimenjions de ce vafe* On demande quelles font ces dimenjions, 329
    • Prob. XXXV. Les Alvéoles des Abeilles , ibid. Examen de deux Jingularités de ces alvéoles , & fur-tout de la difpofkion de leurs fonds, oie elles femblent avoir rêfolu un problème de maximis & minimis , ibid.
    • Nota. C’efl: au refte à tort que M. l’abbé Deliflé dit, dans fa Traduéïion des Géorgiques, Notes for le 4e Livre, que M. de Réaumur ayant propofé ce problème à M. Kœnig , celui-ci, après beaucoup de calculs > trouva enfin l’angle d’inclinaifon des plans qui forment les fonds de ces loges ; car rien au monde nTeft plus facile que la folution de ce problème, au moyen du calcul différentiel; deux lignes de calculfuffifent; &la folution n’eft pas même inacceflible en fe paffant de ce feconrs.
    • PROB. XXXVI. Quel efl le plus grand polygone-qu'on peut former avec des lignes données ? 3 33 Prob. XXXVII. Quel ejl le plus grand triangle infcriptible à un cercle, & quel efl le moindre des . circonfcriptibles i ibid»
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    • DES MATIERES. 479
    • PROB. XXXVIII. La ligne AB efi la Jeparation de deux plaines , l'une AC B, qui ejl d’un fable mouvant, où. un cheval vigoureux peut feulement faire une lieue par heure ; Vautre efi une belle peloufe, où le même cheval peut faire , fans Je fatiguer davantage, cette lieue en une demi-heure: les deux lieux C & D font donnés de pojîtion , c'efi-à-dire qu'on connoît tant les difances CA , DB, où ils font de la limite AB , que la po-Jition & la grandeur de AB : enfin un voyageur doit aller de D en C. On demande quelle route il tiendra pour y mettre le moins de temps pojfible, 334
    • PROB. XXXIX. Sur une bafe donnée , décrire une infinité de triangles , tels que la fomme des quarrés des cotés foit conjlamment la même , & égale à un quarré donné, 335
    • Nota. Ceft une généralifation fort curieufe d’une propriété du demi-cercle.
    • pROB. XL. Sur une bafe donnée, décrire une infinité de triangles , tels que le rapport des deux côtés fur cette bafe foit conjlamment le même ,
    • 336
    • Théor. VIL Dans un cercle, fi deux cordes AB , CD, fe coupent a angles droits, la fomme des quarrés de leurs fegments CE, AE, ED, EB, fera toujours égale au quarré du diamètre, 337
    • PROB. XLI. Trouver quatre cercles proportionnels qui, pris enfemble , foient égaux a un cercle donné, & qui f oient tels que la fomme de leurs diamètres foit égale a une ligne donnée , 338
    • PROB. XLII. De la trifeclion & multifeclion de l'angle, 340,
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    • 46o TABLE
    • Prob. XLIIL De la Duplication du Cube. Son hijloire ajfeç curieufe. Diverfes folutions telles que Us comporte la géométrie ordinaire, 341
    • Prob. XLIV. Un angle qui nejl point une portion exacte de la circonférence étant donnée trouver avec une grande exactitude, au moyen du compas feul, quelle ejl fa valeur, 345
    • Prob. XLV. Une ligne droite étant donnée , trouver, par une opération facile & fans échelle, fon rapport avec une autre , a des 1000“ , iooooes, 100000e*près 9 &c. 346
    • Prob. XLVI. Faire pajfer un même corps par un trou quarré 9 rond & elliptique. 347
    • Prob. XLVII. Mefurer le cercle, ou trouver un efpace recliligne égal au cercle ; ou , plus généralement , trouver une ligne droite égale a la circonférence du cercle, ou à un arc donné de cette circonférence y 348
    • §. I. Etant donné le diamètre dun cercle , trouver en nombres approchés |la circonférence ; ou
    • au contraire, 3 49
    • §. II. Le diamètre étant donné9 trouver la grandeur du cercle. 3 51
    • §. III. Conjlruclions géométriques fort approchées 'd’un quarré égal à un cercle, ou dune ligne droite égale à la circonférence circulaire, 352
    • §• IV. Quelques maniérés très-approchées de déterminer , foit numériquement , foit géométriquement 9 une ligne droite égale à un arc de cercle donné, 354,
    • Hijloire curieufe des recherches fur la Quadrature du Cercle 9 & des vijions de quelques bonnes-gens y
    • Addition fur ce fujet 3 41 z
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    • DES MATIERES. 461 PrOB. XLVIII. De la longueur de la circonférence elliptique y 366
    • Table, 367
    • PROB. XLIX. Décrite géométriquement ùn cercle , dont la circonférence foït très - approchante de celle d’une ellipfe donnée, 368
    • PROB. L. Déterminer une ligne droite à très-peu près égale à un arc de ligne courbe quelconque ,
    • PrOB. \A„ Etant donné un cercle dans lequel ejl infcrit un quarré, trouver le diamètre du cercle , ou Fon puijj'e infcrire un octogone dégal contour avec ce quatre , 371
    • Remarque fur une tentative ingénieufe de la quadrature du cercle, au moyen de la folution de ce problème; & sûr de fon ijfue , ibid.
    • PROB. LIL Les trois côtés dun triangle rectangle étant donnés, trouver fans table trigonométrique la valeur de fes angles, yji.
    • PROB. LUI. Un arc de cercle étant donné en degrés , minutes & fécondés, trouver, fans table trigonométrique , la grandeur du Jinus qui lui répond , 374
    • Nota. Ces deux problèmes fourniflent le moyen de fe paffer de tables trigonométriques , ou d’y fuppléer comme j’ai éjé obligé de le faire en Amérique.
    • PROB. LIV. Un cercle étant donné & deux points , tracer un autre cercle pajfant par ces deux points, -6- qui touche le premier, 377
    • PROB. LV. Deux cercles étant donnés & un point, en tracer un troijîeme , pajfant par le point donné, & touchant les deux premiers. 378
    • PrOB. LVI. Trois cercles étant donnés, en tracer un quatrième qui les touche tous, ibid.
    • Nota, Je regrette bien aujourd’hui d’ayoir été fi court
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    • 46i TABLE
    • for ce joli problème a qui méritoit plus de développement: mais j’ai voulu être court, & je fois tombé dans fobfcurité. Cela m’eft arrivé ici plus d’une fois. Je regrette aufli de ne l’avoir pas envifagé d’une maniéré différente, c’eft-'a-dire plus générale, enforteque tous les problèmes analogues n’en euffent été que des cas particuliers.
    • Prob. LVII. Quels font Us corps dont Us furfaces ont mtr'elles même rapport que leurs folidités ?
    • j8o
    • ThÉOR. VIII. Le dodécagone infcrit au cercle ejl Us j du quarré du diamètre , ou égal au quarré du côté du triangle infcrit, 381
    • Prob. LVIII. Le diamètre A B d'un demi - cercle ACB étant divifé en deux parties quelconques AD , DB , fur ces parties , comme diamètres , foient décrits deux demi-cercles AED, DF B. On demande un cercle égal au refiant du premier demi-cercle, 383
    • Prob. LIX. Un quarré étant donné, en recouper Us angles de maniéré qu'il foit transformé en un octogone régulier, 384
    • Nota. La folution qu’on donne ici, eft un exemple de ce qui arrive fouvent en employant le calcul algébrique ; car il y a une folution bien plus fnnple, & qui eft de nature à fe démontrer à l’efprit même d’un commençant.
    • PROB. LX. Un triangle ABC étant donné, lui inferire un rectangle , tel que FH ou GI, égal à un quarré donnée ibid.
    • PROB. LXI. Dans un angle BAC, par un point donné D, tirer une ligne HI, telle que U triangle IHA foit égal à un quarré donné, 385
    • Prob. LXI1, De la Lunulle d'Hippocrate de Chio,
    • ibid.
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    • DES M A Tl ERES. 463
    • Diverfes chofes ajoutes par Us Géomètres modernes , à la découverte d'Hippocrate, 386
    • Prob. LXIII. Confiruire d*autres Lumdles abfolu-ment quarrables , que celle <THippocrate, 388
    • I, ÇonfiruUion de celle où les deux cercUs font dans le rapport de 1 à 3 , 389
    • 1. Çonfi. de celle où ils font comme 1 à 5, 390
    • 3. Çonfi, de celle où ils font comme z à 3, ibid.
    • 4. Confi. de celle où ils font comme 3 à S, 391
    • PROB.LXIV. Une lunulle étant donnée, y trouver des portions abfolument quarrables, pourvu néanmoins que les cercles qui la forment foient entr'eux dans certains rapports de nombre à nombre, - 391
    • Prob. LXV. De divers autres efpaces circulaires abfolument quarrables, 394
    • PrOB. LXVI. De la mefure de l'ellipfe ou ovale géométrique, & de fes parties, 397
    • Prob. LXVII. Diviferun fe&eur tTellipfe en deux également, 398
    • Prob. LXVIII. Un charpentier a une piece de bois triangulaire ; & , voulant en tirer U meilleur parti pofjible , il cherche le moyen d'y couper la plus grande table quadrangulaire rectangle qu'il
    • fepuiffe. Comment doit-il s'y prendre ? 399
    • On demande aujfi d'y recouper la plus grande table ovale pofiible, 400
    • PrOB. LXIX. Il y a dans un jardin deux bafiins, dont les ajutoirs font B & C, & A efi le point qui donne entrée à une conduite qui doit fe partager en deux pour mener Veau en B & C. On demande où doit être le point de partage, pour que la fomme des trois conduites AD, DB, DC, & conféquemment la dépenfe en tuyaux, foit la moindre poffibU , 401
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    • 4*4
    • PrOB. LXX. Paradoxe géométrique des’lignes qui s'approchent fans cejfe P une de Vautre , fans néanmoins pouvoir jamais fe rencontrer & concourir enfemble, 4° 5
    • Prob. LXXI. Il y avoit dans l'ijle de Détos un temple confacré a la Géométrie. Il étoit élevé fur une bafe circulaire, & furmonté d'un dôme hémi-fphérique , percé de quatre fenêtres dans fon contour & d’une ouverture circulaire au fomihet, tellement combinées, que le rejiant dz lafurfaCe hèmifphérique de la voûte étoit égal a une figure rectiligne. Quant au tambour du temple, il étoit percé dune porte qui elle - même étoit abfolument quairable, ou égale à un efpace rectiligne. On demande comment s'y étoit pris l'architecte géomètre qui avoit, élevé ce monument, 407
    • Remarques furies portions de furfaces coniques abfolument quarrables, 409
    • Prob. LXXII. ABCDEA ejiun polygone irrégulier , &e. 411
    • Table de la longueur du Pied, ou autre mefure longitudinale qui en tient lieu, che{ les principales Nations & dans les principales Villes de CEurope, 412
    • Table des Mefures de Contenance de Paris & de Londres, 417
    • Supplément et Additions.
    • Pour le Prob. V. Du Jeu de l'Anneau, 419 Pour le PROB. VI. Deviner combien, &:c. , 420 Pour l'Hijloire de la Quadrature du Cercle, 422
    • Recueil de divers Problèmes , tant arithmétiques que géométriques , dont on propofe la folution aux Lecteurs Géomètres, 425
    • Fin de la Table du Premier Volume.
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TOME 2

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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES,
    • Qui contiennent les Problèmes & les Queftions les plus remarquables, & les plus propres à piquer la curiolité, tant des Mathématiques que de la Phyfique ; le tout traité d’une maniéré à la portée des Le&eurs qui ont feulement quelques connoiffances légères de ces Sciences.
    • Par feu M. O Z A NA M, de CAcadémie royale des Sciences, &c.
    • Nouvelle Edition, totalement refondue & confidérablement augmentée par M. de C G. F.
    • TOME SECOND,
    • Contenant la Micani
    • A PARIS, RUE DAUPHï^rr^
    • Chez Ci. A N T. JomBert, fils aîné, Libraire du Roi pour le Génie & l’Artillerie.
    • M. DCC. L X X V 111.
    • AVEC APPROBATION, ET PRIVILÈGE DU ROL
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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES.
    • TROISIEME PARTIE,
    • Contenant divers Problèmes de Mécanique.
    • ApRfes l’arithmétique & la géométrie, celle des fciences phyfico-mathématiques dont la certitude paraît appuyée fur les fondements les plus fimples, eft la mécanique ; c’eft auffi celle dont les principes , combinés avec la géométrie, font les plus féconds , & le plus fréquemment employés dans les autres parties des mathématiques mixtes. Auffi tous les mathématiciens qui fe font attachés à fuivre le développement des con-noiffances mathématiques, font-ils immédiatement Tome II, A
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    • t Récréations Mathématiques.
    • fuccéder la mécanique aux mathématiques pures £ & en cela nous les imiterons.
    • Au refte , nous fuppofons ici nos le&eurs , comme dans toutes les autres parties des mathématiques que nous traiterons, nous les fuppofons, dis-je, inftruits des principes fondamentaux de la fcience dont nous parlons ; par exemple, quant à la mécanique, des principes de l’équilibre & de l’hydroflatique, des loix principales du mouvement, &c ; car il n’efl: pas queftion ici d’enfeigner ces principes, mais feulement de préfenter quelques-uns des problèmes les plus fînguliers & les plus remarquables de la mécanique. Après cet avertiffement, nous entrons en matière.
    • PROBLÈME I.
    • Faire quune boule rétrograde fans aucun objlacle apparent.
    • Placez furie tapis d’un billard une bille, & frappez-la, fur le côté, d’un coup perpendiculaire au billard & avec le tranchant de la main ; vous la verrez marcher quelques pouces du côté où doit la porter ce coup ; puis rétrograder en roulant, fans avoir rencontré aucun obftacle, & comme d’elle-même.
    • Remarque.
    • Cet effet n’efl: point contraire au principe de mécanique i\ connu , fqavoir, qu’un corps mis une fois en mouvement dans une direftion, continue de s’y mouvoir tant qu’aucune caufe étrangère re l’en détourne. Car, dans le caspropofé, voici comment fe paflent les chofes.
    • Le coup imprimé, comme on vient de dire, à
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    • Mécanique* I
    • îa bille , lui donne deux mouvements , UH de rotation autour de Ton centre, &: un autre dire# , par lequel Ton centre fe meut parallèlement au tapis, dans la dire&ion du coup. Ce dernier mouvement ne s’exécute qu’en frottant fur le tapis ; ce qui l’anéantit bientôt. Mais le mouvement de ro-tation autour du centre fubfifte ; &, le premier une fois cefle, il fait rouler la bille comme pour revenir fur elle-même. Ainlî il n’y a , dans cet effet, rien que de très-conforme aux loix connues de la mécanique.
    • PROBLÈME IL
    • Faire une boule trompeufe au jeu de Quilles.
    • Prenez une boule de jeu de quilles, fk faites-y un trou qui n’aille point jufqu’au centre ; mettez-y du plomb, & bouchez-le fi bien qu’il ne foit pas aifé de le découvrir. Quoiqu’on roule cette boule en la jettant droit vers les quilles, elle ne manquera pas de fe détourner, à moins qu’on ne la jette, par hafard ou par adreffe , de telle forte que le plomb fe trouve défiais ou deflbus en faifant rouler la boule.
    • Remarque.
    • C’ E s 1r - L A le principe du défaut qu’ont toutes les billes de billard ; car, comme elles font faites d’ivoire, & que dans une maffe d’ivoire il y a toujours des parties plus folides les unes que les autres , il n’y a peut-être pas une bille dont le centre de gravité foit au centre de figure. Cela fait que toute bille fe détourne plus ou moins de la ligne dans laquelle elle eft pouflfée, lorfqu’on lui imprime un petit mouvement, comme pour donner ion acquit vers le milieu de l’autre moitié du bil-
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    • 4 Récréations Mathématiques.
    • lard, à moins que l’endroit le plus lourd ( qu’on appelle le fort) ne foit mis deffus ou deffous. J’ai ouï dire à un grand fabricateur de billards , qu’il donnerait deux louis d’une bille qui n’eût ni fort ni foible, mais qu’il n’en avoit jamais trouvé qui fût parfaitement exempte de ce défaut.
    • Dedà il fuit que , lorfqu’on tire fur une bille fort doucement, on s’impute fouvent de l’avoir mal prife & d’avoir mal joué, tandis que c’eft la fuite du défaut de la bille qu’on a pouffée. Un bon joueur de billard doit conféquemment, avant de s’engager dans une forte partie, avoir adroitement éprouvé fa bille, pour connoître le fort & le foible. Je tiens cette réglé d’un excellent joueur •de billard.
    • PROBLÈME III.
    • 'Comment on peut conjlruire une balance qui paroijfe jujle étant vuide, aujjî-bien que chargée de poids inégaux.
    • No T R E deffeïn n’eft affurément pas d’enfeigner une fupercberie auffi condamnable, mais uniquement de montrer qu’on doit être en garde contre les balances qui paroiffent les plus exaéles, & qu’en achetant des matières précieufes , fi on ne connoît pas le vendeur, il eft à propos de faire l’éffai de la balance. Il eft en effet poïfible d’en faire une qui, étant vuide, fera parfaitement en équilibre, & qui néanmoins fera fauffe. Voici comment.
    • Soient deux bâffins de balance inégaux en pe-fanteur ; le plus pefant A , & le plus léger B. Si l’on donne aux bras de la balance des longueurs
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    • MÉCANIQUE. ç
    • inégales dans la même raifon, & qu’on fufpende le baffin le plus pefant A , à l’extrémité du bras le plus court, & le plus léger B, à celle du bras le plus long, ces baflins, étant vuides, relieront en équilibre. Mais ils y feront encore quand on y mettra des poids qui feront entr’eux dans la même raifon que les baflins. Ainfî celui qui ignorera l’artifice croira que ces poids feront égaux, & il fera trompé.
    • Si, par exemple, un des baflins pefoit 15 & l’autre 16, que, réciproquement, les bras d’où ils feroient fufpendus euflent l’un 16 pouces & l’autre 15 de longueur, il y auroit équilibre les baflins étant vuides, & ils ÿ refteroient lorfqu’on y mettroit des poids qui feroient entr’eux dans le rapport de 15 à 16, le plus pefant étant mis dans le baflin le plus lourd. Il feroit même difficile de-s’appercevoir de cette inégalité des bras de la balance. A chaque pefée donc qu’on feroit avec cette balance, en mettant le poids dans le baflin le plus pefant & la marchandée dans l’autre, l’acheteur feroit trompé d’un feizieme ou d’une once par livre.
    • Mais il y a un moyen facile de démêler là tromperie , c’eft de tranfpofcr les poids ; car, s’ils ne font plus en équilibre , c’eft une preuve que la balance eft infidelle.
    • PROBLÈME IV.
    • Trouver le centre de gravité de plusieurs poids^
    • L a folution de divers problèmes de mécanique dépend de là connoiflance.de la nature du centre d& A iij,
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    • 6 Récréations Mathématiques.
    • gravité. C’eft pourquoi nous allons expofer ici les premiers traits de cette théorie.
    • On appelle centre de gravité dans un corps , le point autour duquel toutes Tes parties fe balancent, de maniéré que s’il étoit fufpendu par-là , il refte-roit indifféremment dans toutes les fituations où on le mettrait autour de ce point.
    • Il eft aifé de voir que, dans les corps réguliers & homogènes, ce point ne peut être autre que celui de figure. Ainfi, dans un globe , dans un fphéroïde, c’eft le centre ; dans un cylindre, c’eft le milieu de l’axe.
    • On trouve le centre de gravité entre deux poids ou corps de différente pefanteur, en divifant la distance de leurs points de fufpenfion en deux parties qui foient comme leurs poids, enforte que la plus courte foit du côté du plus pefant, & la plus longue du côté du plus léger. C’eft là le principe des balances à bras inégaux, où, avec un même poids, on pefe plufîeurs corps de différentes pefanteurs.
    • Lorfqu’il y a plufîeurs poids, on cherche par la réglé précédente le centre de pefanteur de deux ; on les fuppofe enfuite réunis dans ce point, & l’on cherche le centre de gravité commun avec le troisième poids, & lès deux premiers réunis dans le point premièrement trouvé ; & ainfi de fuite.
    • PL i, Soient, par exemple, les poids A, B, C, fuf-fig. i. pendus des trois points D, E, F, de la ligne ou balance DF, que nous fuppofons fans pefanteur. Que le poids A foit de 108 livres, B de 144, ôc C de 180 ; la diftance DE de 11 pouces, & EF de 9 pouces.
    • Cherchez d’abord entre les poids B & C, le centre commun de gravité ; ce que vous ferez, en divifant la diftance EF ou 9 pouces en deux
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    • Mécanique. 7
    • parties, quifoient comme 144 & 180, ou 5 8* 4. Ces deux parties font 5 & 4 pouces , dont la plus grande doit être placée du côté du plus foible poids : ainfi , le poids B étant le moindre, on aura EG de 5 pouces, & FG de 4 ; conféquemment, DG fera de 16.
    • Suppofez à préfent au point G les deux poids B & C réunis en un feul, qui fera par conféquent de 3x4 livres ; divifez la diftance DG, ou 16 pouces, dans la raifonde 108 à 324 , ou de 1 à 3 : l’une de ces parties fera 12, & l’autre 4. Ainfi, le poids A étant moindre , il faut prendre DH égale à 12 pouces , & le point H fera le centre de gravité commun des trois poids.
    • On eût trouvé la même chofe , fi l’on eût commencé a réunir les poids A & B.
    • La réglé eft enfin la même, quel que foit le nombre des poids, &. quelle que foit leur pofition dans une même ligne droite ou dans un même plan, ou non.
    • En voilà aflez, pour cet ouvrage, fur le centre de gravité : on doit recourir aux livres de mécanique , pour diverfes véri'és curieufes auxquelles cette confidération donne lieu. Nous nous bornerons à obferver un beau principe de mécanique qui en découle : le voici.
    • Si plujieurs corps ou poids font tellement dif-pofès entr eux, quen fe communiquant leur mouvement , leur centre de gravite commun rejle immobile , ou ne s'écarte point de la ligne horizontale , c'ef-à-dire ne haujfe ni ne baijfe , alors il y aura équilibre.
    • Ce principe porte prefque fa démonftratior» avec fon énonciation; & nous pourrions nous en A iv
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    • g Récréations Mathéüatiques.
    • fervîr pour démontrer toutes les propriétés des machines : mais nous laiffons au leéieur le foin de faire cette application.
    • Remarque.
    • C* E S T ici le lieu de remplir la promeffe que nous avons faite dans le Tome précédent, page 411 , de réfoudre un problème géométrique, dont nous avons dit que la folution ne nous paroilfoit pouvoir fe déduire que de la propriété du centre de gravité.
    • PI. 1, Soit donc le polygone irrégulier propofé AB-%• 2 » CDEA, dont les côtés foient divifés en deux éga-D° I* lement en a9 b,c9d9 e, d’où réfulte le nouveau polygone abc de a; que fes côtés foient divifés pareillement en deux parties égales par les points a', b1, c', d’9 er, qui, réunis, donneront un troi-fieme polygone a' b1 c' d'e' a1; & ainli de fuite. Nous demandions dans quel point fe terminera cette divifion.
    • Pour le trouver, imaginez aux points a9 b, c9 d9 e9 &c. des poids égaux, & cherchez-en le centre de gravité ; ce fera le point cherché.
    • Fig. 2, ? Pour trouver ce centre de gravité, on s’y
    • n° 2. prendra de la maniéré fuivante , qui eft très-fim-ple. Tirez d’abord a b, & que fon milieu foit le point./; enfuite tirez fc9 & parfagez-la en g, de forte que f g en foit le tiers ; menez encore gd% & que gh en foit le quart; ayant enfin mené he , que hi en foit la cinquième partie : le poids e étant le dernier, le point i fera, comme on peut fe le démontrer par ce qu’on a dit plus haut, le centre de gravité des cinq poids égaux placés en c, b9c %d}e y & réfoudra le prohlôme propofé.
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    • MÉCANIQUE, 0
    • PROBLÈME V,
    • Trouver les parties d'un poids que deux personnes foutiennent à Taide d'un levier ou d’une barre quelles portent par fes extrémités.
    • IL eft aifé de voir que fi le poids C étoit préci- pi. fément au milieu de la barre AB , les deux per-fig. fi unes en porteroient chacune la moitié. Mais fi le poids n’eft pas au milieu, on démontre, & il eft aifé de fe le démontrer, que les parties du poids foutenu par les deux perfonnes, font en raifon réciproque de leur diftance au poids. Il eft donc queftion de le divifer en raifon des diftances ; Sc la plus grande portion fera celle que foutiendra la perfonne la plus voifine du poids, & la moindre fera celle que foutiendra la plus éloignée. Ce calcul fe fera par la proportion fuivante.
    • Comme la longueur totale du lévier AB ejl à la longueur AE, ainfi le poids total ejl au poids foutenu par la puijjance qui ejl à l'autre extrémité B; ou comme AB eft à BE, ainfi le poids total eft à la partie foutenue par la puiflance placée en A.
    • Soient, par exemple, AB de 6 pieds, le poids C de 150 livres , AE de 4 pieds, & BE de deux ; vous aurez cette proportion, comme 6 eft à 4, ainfi 150 à un quatrième terme, qui ferç 100. Ainfi le porteur placé à l’extrémité B portera 100 livres ; conféquemment la puiflance placée en A ne fera chargée que de 50 livres.
    • Remarque.
    • L a folution de ce problème donne le moyen de répartir un poids proportionnellement à la force
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    • io Récréations Mathématiques.
    • des agents qu’on emploie à le fouiever. Car, fî l’un des deux eft , par exemple , de la moitié, moins fort que l’autre, il n’y aura qu’à le placer à une diftance du poids double de l’autre.
    • PROBLÈME VI.
    • Comment on peut dijlribuer commodément 4, S j 2 hommes, à porter un fardeau conjiderable fans s’embarrajfer,
    • PL 1» Si le fardeau peut être porté par quatre hommes , %• 4* après l’avoir attaché au milieu d’un grand levier AB, faites porter les extrémités de ce levier fur deux autres plus courts CD , EF , & à chacun des points C, D, E, F, appliquez un homme: il eft évident que le poids fera diftribué également entre les quatre.
    • S’il faut huit hommes, faites à l’égard de chacun des leviers CD, EF, ce que vous avez fait à l’égard du premier, c’eft-à-dire, que les extrémités du levier C D foient portées par les leviers plus courts a b, cd, & celles du levier EF par les leviers e f gh; enfin mettez un homme à chacun des points ab > cd ,efgh: vous aurez huit hommes également chargés.
    • On peut de même porter les extrémités des leviers ou barres,a b, cd, ef gh, par de nouvelles barres difpofées à angles droits avec celles-là ; & , au moyen de cet artifice, le poids fera diftribué entre feize hommes ; & ainfi de fuite.
    • J’ai ouï dire qu’on emploie à Conftantinople cet artifice pour enlever les plus grands fardeaux , comme des canons, des mortiers, des pierres énormes, &c. On m’a ajouté que c’eft une chofe
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    • Mécanique. Il
    • remarquable que la vitefle avec laquelle on transporte ces fardeaux d’un lieu à un autre.
    • PROBLÈME VII.
    • l/ne corde ACB , d'une longueur déterminée, étant attachée lâche par fes deux bouts , à deux points d'inégale hauteur A & B, on demande quelle pojition prendra le poids P, attaché par un cordon à une poulie qui roule librement fur cette corde.
    • Des points A & B Soient abaiffées les verticales PL i, indéfinies AD, BE ; puis du point A, avec une fig- 5* ouverture de compas égale à la longueur de la corde, Soit décrit un arc de cercle coupant la verticale BE en E, & du point B Soit décrit un pareil arc de cercle coupant la verticale AD en D ; Soient enfin tirées les lignes AE, BD : leur interfettion en C donnera la pofition de la corde ACB, lorsque le poids aura pris la Situation où il doit ref-ter, & le point C fera celui où s’arrêtera la poulie. Car on peut facilement fe démontrer que, dans cette fituation, le poids P fera le plus bas qu’il eft poffible.
    • PROBLÈME VIII.
    • Faire foutenir un feau plein d'eau , par un bâton dont une moitié ou moins repofe fur le bord d'une table.
    • P OUR bien faire entendre la maniéré d’exécuter ce tour d’équilibre, qui eft tout-à-fait mal expliqué dans les anciennes Récréations Mathématiques , foit dans le difcours, Soit dans la figure qui eft
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    • i2 Récréations Mathématiques. abfurde, nous repréfenterons feulement, dans la figure fixieme, la coupe de la table & du feau.
    • PI. i, Dans cette figure , foit le deflus de la table fig* 6. AB , fur lequel eft pofé le bâton CD. Sur ce bâton on pafle l’anfe du feau HI, enforte que fon plan foit incliné, & que le milieu du feau foit en dedans du rebord de la table. Pour fixer enfin les chofes dans cette fituation , on place un autre bâton GFE, qui appuie d’un bout contre l’angle .1 G du feau, de fon milieu contre le bord.F, & par Û fon autre extrémité contre le premier bâton C D [' en E, où doit être une entaille pour le retenir. §S Par ce moyen, le feau refte fixe dans cette fitua- jfl tion, ne pouvant s’incliner ni d’un côté ni de ; j l’autre ; & l’on peut, s’il n’eft pas déjà plein d’eau, -l’en remplir avec affurance : car, fon centre de /J gravité étant dans la verticale paflant par le point 9 I, qui rencontre elle-même la table, il eft évident que c’eft la même cbofe que fi le feau étoit || fufpendu du point de la table où elle eft rencon- H trée par cette verticale. Il eft également vifible m que le bâton ne fiçauroit couler le long de la table, fl ni prendre un mouvement fur fon bord , fans 9 faire monter le centre de gravité du feau & de l’eau || qu’il contient. Plus enfin il fera lourd, plus la fta- j/i bilité fera grande.
    • Remarque.
    • On peut exécuter, d’après le même principe , fi divers autres tours du même genre, qu’on propofe j vulgairement dans les livres de mécanique.
    • Ayez, par exemple, un crochet recourbé DFG, . ? comme on le voit dans la même figure ; faites j entrer la partie FD dans le trou de la tige d’un®
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    • Mécanique. i$
    • clé CD , que vous poferez fur le bord d’une table ; fufpendez au crochet G un poids ; difpofez le tout enforte que la verticale GH rencontre le rebord de la table quelque peu en dedans : ce poids ne tombera point, ni la clé , qui peut-être fans cela eût tombé : ce qui réfoud cette forte de problème mécanique propofé en forme de paradoxe :
    • Un corps tendant à tomber par fon propre poids ,
    • Vempêcher de tomber, en lui ajoutant un poids pré-cifément du même côté qu'il tend à tomber. Le poids paroît en effet ajouté de ce côté; mais, dans la réalité, il l’eft du côté oppofé.
    • PROBLÈME IX.
    • Faire tenir un bâton droit fur le bout du doigt, fans qu'il puijfe tomber.
    • Attachez deux couteaux, ou autres corps, à l’extrémité du bâton , de maniéré que l’un penche d’un côté & l’autre de l’autre, en forme de contre-poids, comme on le voit dans la fi- PI* gure ; mettez cette extrémité deffus le bout du "S* 7* doigt : alors le bâton fe tiendra fans tomber; & fi vous le faites pencher, il fe redreffera fkfe remettra dans fa fîtuation.
    • Il faut, pour cet effet, que le centre de gravité des deux poids ajoutés & du bâton, fe trouve au deffous du point de fufpenfion ou de l’extrémité du bâton , & non à l’extrémité , comme le dit M. Ozanam; car alors il n’y auroit aucune fiabilité.
    • C’eft par le même principe que fe tiennent droites ces petites figures garnies de deux contrepoids , qu’on fait tourner & fe balancer fur une efpece de guéridon , portée fur une petite boule
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    • 14 Récréations Mathématiques.
    • Pi. a, ou fur la pointe de leur pied. Telle eft là petite fig. figure DE, portée fur le guéridon I, & garnie de deux balles de plomb attachées par des fils de fer courbés. Le centre de gravité du tout, qui le trouve fort au deffous du point d’appui, foutient la figure droite , & la redreffe lorfqu’on la fait pencher ; car ce centre tend à fe placer le plus bas poG* fible, ce qu’il ne peut faire fans redreffer la figure.
    • C’eft enfin par le même mécanifme qu’on dif-pofe trois couteaux de maniéré à tourner fur la Fig. 9. pointe d’une aiguille ; car, ces trois couteaux étant difpofés comme on le voit dans la figure neuvième , & les ayant mis en équilibre fur la pointe d’une aiguille qu’on tient à la main , ils ne fçau-roient tomber, parce que leur centre de gravité commun eft fort au deffous de la pointe de l’aiguille qui eft fur le point d’appui.
    • PROBLÈME X.'
    • Conjlruclion d’une figure qui , fans contre-poids, Je releve toujours d’elle-même & fe tient debout , quoi qu'on fajfe.
    • Ta 1 l l e L une petite figure humaine de quelque matière extrêmement légère, par exemple , de moelle de fureau, qui fe coupe avec facilité Sc fort proprement ;
    • Fig. 10. Faites-lui enfuite une bafe de forme hémifphéri-que & d’une matière fort pefante, telle que du plomb. Une demi-balle de plomb, bien unie dans fa partie convexe, fera ce qu’il faut. Vous collerez la figure fur la partie plane de cet hémifphere^ Quoi que vous fafliez alors, cette petite figure , auffi-tôt qu’elle fera lailfée à elle-même, fe^rële-vera, parceque le centre de gravité de cette bafe
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    • MÉCANIQUE. IJ
    • jhémifphérique étant dans Taxe, tend à s’approcher du plan horizontal autant qu’il Te peut ; & cela né peut arriver, fans que cet axe devienne perpendiculaire à l’horizon ; car la petite figure qui eft deflus le dérange à peine de fa place, à caufe de la difproportion de fa pefanteur avec celle de la bafe.
    • C’efl: de cette manière qu’étoient formées ces petites figures qu’on appelloit desPruJJîens, & qu’on vendoit à Paris au commencement de la derniere guerre. 'On en formoit des bataillons, que l’on renverfoiten partant deflus une baguette", & aufii-tôt on les voyoit relevés.
    • On a imaginé, depuis peu , de faire des para-vants de cette forme, qui fe relevent toujours d’eux-mêmes. .
    • PROBLÈME XL
    • Sur les deux poulies A , B, pajfe une corde AC B , PI* aux extrémités de laquelle font fufpendus les "S- : poids P & Q donnés ; au point C e(l fixé le poids R par le cordon RC noué en C. On demande quelle fera la pojition que prendront les trois poids & la corde ACB.
    • Sur une perpendiculaire, a b, à l’horizon, prenez une ligne quelconque ac, & fur cette ligne, comme bafe, faites le triangle a de tel que ac foit à cd comme le poids R au poids P, & ac z ad comme R à Q ; tirez enfuite par A la parallèle AC indéfinie à cd, & par B la parallèle BC à\ ad: le point C d’interfeftion fera le point cherché, & donnera la pofition ACB de la corde.
    • -Car, fi fur RC prolongé on prend CD égale kac, & qu’on décrive le parallélogramme EDFC,
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    • 16 Récréations Mathématiques. il eft vifible qu’on aura CF & CE égales à cd> a d; par conféquent les trois lignes EC, CD, CF, feront entr’elles comme les poids P, R, Q : con-féquemment les deux forces tirant de C en F & de C en E, ou félon les lignes CA, CB, feront en équilibre avec la force tirant de C en R. Remarques.
    • i. SI le rapport des poids étoit tel que le point d’interfe&ion C tombât fur la ligne AB ou au def-fus, cela défigneroit que le problème eft impoflible. Le poids Q ou le poids P entraînera les deux autres, de maniéré que le point C tombe en B ou A ; enforte que la corde ne fera aucun angle.
    • Ces poids pourroient encore être tels qu’il fût impoflible de conftruire le triangle acd; comme fi l’un des deux étoit égal ou plus grand que les deux autres à-la-fois : car, pour faire un triangle de trois lignes, il faut que chacune foit moindre que les deux autres enfemble. Alors on devroit en conclure que le poids, égal ou fupérieur aux deux autres, les entraîneroit tous deux, fans pouvoir s’arranger en équilibre.
    • a. Si, au lieu d’un nœud C , on fuppofoit le poids R pendre à une poulie capable de rouler fur la corde A CB , la folution feroit la même ; car il eft vifible que les chofes étant dans l’état du premier cas, fi, au lieu du nœud en C , on y fubfti-tuoit une poulie, l’équilibre ne feroit pas troublée. Mais il y auroit une limitation de plus que dans le cas précédent. Il faudroit que le point d’interfe&ion C , déterminé comme ci-deffus, tombât au deflous de l’horizontale menée par le point B ; car , autrement, la poulie rouleroit jufi-qu’au point B , comme fur un plan incliné.
    • PROBLÈME
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    • Mécanique. PROBLÈME XII.
    • Calcul du temps qu Archimede eût employé, en fup-pofant rexécution de la machine dont il parloit à Hiéron , pour mouvoir la terre.
    • Xout le monde, du moins parmi les mathématiciens, connoit le mot d’Archimede au roi Hiéron, Donnez-moi un point fixe, & je tirerai la terre de fa place. Cela donne lieu à un calcul curieux ; fçavoir , combien de temps il eût fallu à Archimede pour faire mouvoir la terre d’un pouce feulement-, en fuppofant fa machine exécutée & mathématiquement parfaite , c’eft-à-dire fans frottement, fans pefanteur, & dans un parfait équilibre.
    • Nous fuppolèrons pour cet effet la matière dont la terre eft compofée, pefer 300 livres le pied cube ; ce qui eft le poids moyen des pierres mélangées de matières métalliques, telles que probablement font celles que la terre contient dans fes entrailles. Cela étant fuppofe, & la circonférence d’un grand cetcle de notre globe étant de 9000 lieues de 1283 toifes chacune , on trouvera qu’il contiendra en folidité 12301596000 lieues cubiques, ou 17867789902402452000 toifes cubes, ou 385944261881892963 2000 pieds cubes; ce qui, à raifon de 300 livres le pied cube , fait un poids de 1167832785645678889600000
    • On fqait* d’un autre côté, par les loix de la mécanique , que , quelle que foit la conftruttion d’uné machine, le chemin que parcourt le poids eft à celui de la puiffance motrice , en raifon réciproque de celle-ci au premier. On fcait encore Tome II. B
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    • i8 Récréations Mathématiques. que la force d’un homme appliqué à une manivelle, ne fçauroit faire qu’un effort d’une trentaine de livres, continué pendant huit ou dix heures avec une viteffe d’environ 1500 toifes par heure. Ainfi , en fuppofant que la machine d’Àr-chimede fût mife en mouvement par une manivelle, que la force de celui qu’il auroit appliqué à (à machine eût été de 30 livres continuellement appliquées à cette manivelle, avec une viteffe de 1500 toifes par heure, il eût fallu, pour ébranler la terre d’un pouce, que la puiffance motrice eût parcouru l’efpace de 3 85944161881892963 20000 pouces; &, divifant cet efpace par 1500 toifes ou 108000 pouces, on aura pour quotient 357-3 5 5798038789808, qui ferait le nombre des heures employées à ce mouvement. Or il y a dans un an 8766 heures, & dans un fiecle 876600 : donc, divifant le nombre ci-deffus par ce dernier, on aura celui-ci, 407661188728, qui ferait le nombre des fiecles pendant lefquels il eût fallu tourner uniformément la manivelle de la machine, pour faire faire à la terre le chemin d’un pouce. Nous avons négligé la fraétion du, fiecle, comme une minutie inutile dans un pareil calcul.
    • PROBLÈME XIII.
    • Avec une très-petite quantité d'eau , comme de quelques livres , produire l'effet de plujieurs milliers de livres.
    • . 3 ,Ïl faut dreffer un tonneau fur un de fes fonds ;
    • 12. après quoi vous percerez l’autre d’un trou propre à recevoir un tuyau d’un pouce de diamètre , que vous y adapterez enforte qu’il joigne bien, au
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    • Mécanique*
    • moyen de la poix ou de la filafle. Ce tuyau doit avoir 12 à 15 pieds de hauteur. Vous chargerez enfuite le fond fupérieur du tonneau de plufieurs poids, enforte qu’il foit fenfiblement bombé en bas; remplirez enfin votre tonneau d’eau, &c, quand il fera plein, continuez d’en verfer par le tuyau : l’effort de ce petit cylindre d’eau fera tel que, non-feulement les poids qui tenoient le fond fupérieur bombé en bas feront foulevés, mais que , le plus fouvent, ce fond fera relevé Ôc arqué en fens contraire.
    • Il faut avoir foin que le fond d’en bas pofe fur la terre, fans quoi le premier effort de l’eau fe portera de ce côté, ôc l’expérience paroîtra manquer.
    • On pourroit certainement, en donnant plus de hauteur au tuyau, faire crever le fond fupérieur du tonneau.
    • La raifon d’un pareil phénomène fe déduit &. eft à - la - fois une défnonftration oculaire d’une propriété particulière des fluides ; fqavoir, que lorfqu’ils portent fur une bafe, ils font fur elle un effort proportionnel à la largeur de cette bafe multipliée par la hauteur. Ainfi, quoique dans cette expérience il n’y ait dans le tuyau qu’enviroa 150 ou 180 pouces cylindriques d’eau, l’effort eft le même que fi ce tuyau avoit toute la largeur du tonneau fur les 12a 15 pieds de hauteur.
    • Autre Maniéré.
    • Attachez fixément contre une muraille ou un pi. autre appui ferme, un corps pefant 100 livres ou fig. 1 davantage ; ayez enfuite un vale de telle dimenfion qu’entre ce corps 6c fes parois il n’jr ait que la
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    • ao Récréations Mathématiques. place d’une livre d’eau, ôc que ce vafe Toit fuf-pendu à un des bras d’une balance, dont l’autre bafïin foit chargé de ioo livres. Verfez dans le premier baffin une livre d’eau, elle foulevera le bafïïn chargé de i oo livres.
    • On n’aura pas de peine à concevoir la caufe 6c la néceffité de cet effet, fi l’on a bien conçu l’explication du précédent, car elles font les mêmes. 11 y a feulement ici cette différence, que l’eau, au lieu d’être raffemblée dans un tuyau cylindrique , l’eft dans l’intervalle étroit entre le corps L 8c le vafe qui l’environne ; mais celte eau n’en pefe pas moins fur le fond du vafe, que s’il étoit entièrement plein d’eau.
    • Autrement.
    • Ayez un pied cube de bois de chêne bien fec , qui pefe environ 6o livres , 6c un vafe cubique qui ne l’excede que d’une ligne ou deux dans chacune de fes dimenfions. Ce pied cube de bois étant plongé dans le vafe, verfez-y de l’eau ; lorfqu’elle fera parvenue à peu près aux deux tiers de la hauteur , le cube de bois fe détachera du fond 6c fur-nagera. Ainfi, l’on voit ici un poids de 6o livres céder à une demi-livre d’eau 6c même moins.
    • R E M A R d V E.
    • On voit par-là que le vulgaire eft dans l’erreur, lorfqu’il penfe qu’un corps fumage plus facilement dans une grande quantité d’eau que dans une petite ; il y furnagera toujours pourvu qu’il y en ait fuffifamment pour que le corps ne touche pas le fond. Si l’on a vu des vaiffeaux périr à l’embouchure d’une riviere, ce n’eft pas parce qu’il n’y avoit pas affez d’eau , mais parce que le vailfeau
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    • étoit chargé au point d’être prêt à couler bas dans l’eau de mer. Or l’eau de mer étant plus pefante de près d’un trentième que l’eau douce , lorfque le vaiffeau a paffé de l’une dans l’autre, il a du s’enfoncer davantage & couler bas. C’eft ainfi qu’un œuf qui s’enfonce dans l’eau douce, fe fou-tient fur de l’eau qui tient beaucoup de fel en dif-folution.
    • PROBLÈME XIV.
    • Trouver la pefanteur d’un pied cube d'eau,
    • L A connoiffance du poids d’un pied cube d’eau eft un des éléments les plus effentiels de Phydroftatique fkde l’hydraulique ; c’eft pourquoi nous allons enfeigner comment on le mefure avec pré-cifion.
    • On pourroit préparer un vafe dont la capacité futprécifément d’un pied cube, le pefer vuide , & enfuite le pefer plein d’eau. Mais, comme les liquides furmontent toujours les bords d’un vafe allez conlidérablement, on n’auroit par-là qu’un réfultat affez peu exaéî:. Il y auroit à la vérité moyen d’y remédier ; mais Phydroftatique va nous en fournir d’une grande précilion.
    • Ayez un cube de matière bien homogène, de métal, par exemple , de quatre pouces de côté bien exa&ement ; pefez-le à une bonne balance, pour connoître fon poids, à quelques grains près ; attachez-le enfuite avec un crin, ou un fil de foie affez fort, au badin de la même balance, & me-furez de nouveau fa pefanteur pendant qu’il eft plongé dans l’eau : Phydroftatique apprend qu’il perdra précifément autant de poids que pcfe utv
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    • ii Récréations Mathématiques.
    • deux poids fera la pefànteur d’un cube d’eau de quatre pouces de côté, ou de la vingt-feptieme partie du pied cube : d’où il fera aifé de déduire la pefanteur du pied cube.
    • PI. 3, Si vous ne vous piquez pas d’une auffi grande *4- précifion, préparez un cube ou un parallélépipède reâangle , d’une matière homogène & plus légère que l’eau, comme de bois ; pefez - le auffi exaélement que vous le pourrez ; plongez-le dans l’eau avec précaution , de maniéré que l’eau ne le mouille pas au deffus du point où il doit furnager. Je fuppofe que IKL eft la ligne qui marque juf-qu’où il s’eft plongé dans l’eau. Mefurez le folide ABCDMI, en multipliant fa bafè par la hauteur ; ce fera le volume d’eau déplacé par le corps, lequel volume doit pefer autant que le corps lui-même , fuivant les principes de l’hydroftatique. Que ce volume d’eau foit de 720 pouces cubes,
    • 6 que le corps pefe 29 livres 3 onces, on fçaura conféquemment que 720 pouces cubes d’eau pefent 29 livres 3 onces : d’où l’on tirera aifément ce que doit pefer le pied cube, qui contient 1728 pouces cubes. Car il n’y aura qu’à faire cette proportion ; comme 720 pouces cubes font à 1728, ainfi 29 lignes 3 onces à un quatrième terme , qui fera
    • 7 o livres 4 onces.
    • PROBLÈME XV.
    • Connoître de deux liqueurs laquelle ejl la plus légers.
    • Ç E problème fe réfoud ordinairement au moyen d’un inftrument affez commun & aflez connu , qu’on appelle Aréomètre ou Pefe-liqueur. Ce n’eft autre chofe qu’une petite boule furmontée d’un
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    • MÉCANIQUE. 13
    • tube de 4 à 5 pouces de longueur ; il y a dans la PI. 3, boule quelques grains de plomb ou un peu de %• *5* mercure ; & le tout eft tellement combiné que , dans une eau d’une pefanteur moyenne , la petite boule & partie du tuyau font plongées dans l’eau.
    • On conçoit préfentement avec facilité que fi cet infiniment eft plongé dans un fluide, par exemple de l’eau de riviere, qu’on remarque jufqu’où il s’y enfonce, & qu’on le plonge enfuite dans une autre eau, par exemple de l’eau de mer , il s’y enfoncera moins ; & fi, au contraire, on le plonge dans une liqueur plus légère que la première, dans de l’huile, par exemple, il s’y plongera davantage. Ainfî, l’on connoîtra aifément laquelle des deux liqueurs eft la plus pefante ou la plus légère, fans aucune balance. Ces inftruments ont d’ordinaire dans leur tuyau une échelle numérotée,pour reconnoître jufqu’à quel point il eft plongé.
    • Mais cet inftrument eft une machine grofïiere, en comparaifon de celui que M. de Parcieux a donné en 1766 à l’académie royale des fciences.
    • Rien n’eft cependant plus fimple.
    • Cet inftrument eft formé d’une petite bouteille de verre, de deux pouces ou deux pouces & demi au plus de diamètre, & de fix à huit pouces de long.
    • La partie inférieure ne doit pas être renfoncée en dedans , afin d’éviter qu’il ne s’y loge de l’air quand on la plongera dans l’eau. On la bouche avec un bouchon de liege fort ferré , dans lequel on implante , fans le traverfer, un fil de fer bien droit, de 25 ou 30 pouces de longueur, & d’environ une ligne de diamètre. On charge enfin la bouteille en y introduifant du petit plomb, en telle forte que l’inftrument, plongé dans la liqueur la plus légère de celles que l’on veut comparer, s’en-
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    • 14 Récréations Mathématiques.
    • fonce au point de ne biffer qu’un bout du fil de fer au deflus de fa furface, 8>c que, dans la.plus pelante, ce fil de fer n’y fait plongé que de quelques pouces. C’eft un point que l’on atteindra en augmentant ou diminuant, foit le poids qui charge la bouteille, foit le diamètre du fil de fer, foit l’un & l’autre à-la-fois. On aura, par ce moyen, un infiniment qui rendra extrêmement fenfibles les moindres différences de pefanteur fpécifique qui fe trouveront dans des liqueurs différentes, ou que la même liqueur pourra éprouver dans différentes circonftances, comme par l’effet de la chaleur, ou par le mélange de divers fels, &c.
    • ll'eft au furplus aifé de fentir que , pour faire ces expériences, il faut avoir un vafe d’une profondeur fuffifante , comme un cylindre de fer-blanc, de 3 ou 4 pouces de diamètre & 3 à 4 pieds de longueur.
    • J’ai vu un pareil infiniment qui avoit un mouvement fi fenfihle, que , plongé dans de l’eau refroidie à la température ordinaire, il s’enfonçoit de quelques pouces lorfque le foleil donnoit deflus l’eau, & remontoit aufli-tôt qu’on avoit intercepté les rayons de cet aftre. Une très-petite quantité de fel ou de fucre jetée dans l’eau, le faifoit aufîi remonter de quelques pouces.
    • Par le moyen de cet infiniment, M. de Par • cieux a examiné les pefanteurs différentes des eaux, entr’autres celles qu’on boit à Paris, ou qui ont de la célébrité ; ôc il a trouvé que la plus légère de toutes étoit l’eau diftillée. Viennent enfuite , en diminuant fuccefîivement de légéreté, l’eau de Seine, l’eau de la Loire, l’eau de l’Yvette, l’eau d’Arcueil, l’eau de Sainte-Reine, celte de Ville-d’Avray, celle de Briftol, celle de puits»
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    • Mécanique. aj
    • On voit par-là l’erreur où eft le vulgaire, d’imaginer que l’eau de Ville-d’Avray, celle de Sainte-Reine , celle de Briftol, cette derniere fur-tout, qu’on fait venir à fi grands frais, foient meilleures que les eaux communes de riviere ; car elles font au contraire les plus mauvaifes, puifqu’elles font les plus pefantes.
    • Tout comme les eaux différentes ont différentes pefanteurs , ainfi les vins varient en pefanteur 8c légéreté. Le plus léger de tous les vins connus, du moins dans ce pays-ci, eft celui du Rhin. Viennent enfuite le vin de Bourgogne, celui de Champagne rouge , les vins de Bordeaux , de Languedoc , d’Efpagne , des Canaries , de Chypre , 8cc.
    • J’ai vu, il y a quelques années , vendre à la Cour un Oinometre, ou infiniment fait pour me-furer les différents degrés de pefanteur des vins. Il confiftoit en une boule creufe d’argent, furmontée d’une petite lame de 3 à 4 pouces de longueur, 8c d’une ligne ou une ligne 8c demie de largeur, fur laquelle étoient marquées des divifions qui indi-quoient, au moyen d’un petit imprimé, jufqu’où l’inftrument devoit s’enfoncer dans, différentes fortes de vins. Il eft aifé de voir que ce n’étoit là que l’aréometre ordinaire, exécuté en argent.
    • La plus légère des liqueurs connues eft l’éther, ou la liqueur éthérée de Frobénius. Enfuite, par ordre de pefanteur, l’efprit-de-vin bien déflegmé, l’eau-de-vie , l’eau diftillée, l’eau de pluie, les eaux de rivières , les eaux de fources , les eaux de puits, les eaux minérales. Nous ne parlons ici que îles eaux : on verra dans la table qui fuit, Jes rapports de pefanteur fpécifique de différentes autres liqueurs'avec l’eau de pluie, qui, étant la plus fa-
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    • 16 Récréations Mathématiques. cile à fe procurer, fervira de module commun. Nous y donnons auffi les pefanteurs fpécifiques de différents corps folides, tant métaux & minéraux que végétaux & animaux ; en quoi nous croyons faire une chofe agréable à nos lefteurs ; car il arrive fréquemment qu’on a befoin de cette con-noiffance.
    • Cette table des pefanteurs fpécifiques fe préfente ici fous deux formes différentes. On y trouve la pefanteur de chaque corps, exprimée de deux maniérés : dans la première colonne, elle l’eft en parties dont 1000 expriment celle de l’eau de pluie ; dans la fécondé , elle l’eft en livres & millièmes de livres, qu’il eft facile de réduire en onces , &c. c’eft le poids du pied cube de la matière dont il s’agit. L’une de ces expreflions fe réduit facilement à l’autre , dès qu’on a le poids précis du pied cube d’eau de pluie , qui eft de 69ÜV. 9065 (æ). Il ny a en effet, pour une matière donnée , l’argent fin de coupelle , par exemple, qu’à multiplier ce poids (69.9065) par le nombre qui fe trouve dans la colonne des rapports de pefanteurs fpécifiques, à côté de la matière propofée : c’eft ici 11.091. Multipliant donc 69.906 5 par 11.091, le produit fera 77 5 3 3 2.9915, dont on retranchera les quatre derniers chiffres: alors , du nombre reftant, les trois derniers donneront des millièmes de livres, & les trois pre-
    • ( & ) C’eft du moins ainfi que je l’ai déduit par un calcul laborieux; & , à ce fujet, j’avouerai mon étonnement de n’avoir pas trouvé , même dans les Mémoires de l’Académie des Sciences , cet élément fondamental de tout calcul des pefanteurs des autres fubftances, foit folides, foit liquides. L’Encyclopédie dit auffi fur l’eau tout ce qu’oa peut dire, hors cela qu’il étoit important de dire.
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    • Mécanique^ 27
    • miersle nombre même des livres. Ainfi l’argent, abfolument pur &fans alliage, doit pefer 775 liv. & j par pied cube. On trouve de la même maniéré , que le pied cube d’or à 24 karats, pefe 1372 liv. -rérô' Au contraire, Connoiflant le poids du pied cube d’eau & celui du pied cube d’une autre fubftance , il n’y aura qu’à divifer le dernier par le premier, & l’on aura le rapport de la pesanteur fpécifique de cette fubftance à celle de l’eau , oc conféquemment , auffi à toute autre dont la pefanteur fpécifique eft auffi connue.
    • Nous allions livrer à l’impreffion la table que nous venons d’annoncer, lorfque nous nous fom-mes apperçus qu’elle étoit fufceptible d’une amélioration confidérable , mais qui exigeoit une refonte prefque entière de tous nos calculs. Nous avons, pour cette raifon , préféré de la renvoyer à la fin de cette Partie de l’ouvrage, pour nous donner le temps d’y faire les changements convenables.
    • PROBLÈME XVI.
    • Connoître Ji une pièce ou une majj'e d’or ou (Targent , qu’on foupçonne de mélange, ejl pure
    • S1 la mafle ou la piece de la bonté de laquelle on doute, eft, par exemple, d’argent, ayez une autre mafle de bon argent, auffi pefante, enforte que les deux pièces étant mifes dans les baffins d’une balance bien jufte, elles demeurent en équilibre dans l’air ; attachez enfuite ces deux mafles d’argent aux baffins de la même balance avec du fil ou du crin de cheval, pour empêcher que les deux baffins ne foient mouillés lorfqu’on plongera
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    • a8 Récréations Mathématiques. dans l’eau les deux maffes d’argent : elles demeureront en équilibre comme dans l’air, quand elles feront d’égale bonté. Mais fi la maffe propofée pefe moins dans l’eau, elle fera fauffe, c’eft-à-dire, il y aura quelqu’autre métal mêlé, d’une pefanteur fpécifique moindre que celle de l’argent, par exemple, du cuivre; & fi elle pefe davantage, elle fera mêlée de quelqu’autre métal d’une pefanteur fpécifique plus grande, comme celle du plomb. Remarques.
    • I. Ce problème eft évidemment le même que celui dont la folution caufa tant de plaifir à Archimède. Le roi Hiéron avoit donné à un orfevre une certaine quantité d’or pour en faire une couronne. Lorfqu’il la rendit, on eut quelque foup-qon fur fa fidélité ; & Archimede fut confulté fur les moyens de découvrir la fraude, s’il y en avoit. Il en vint à bout par le procédé ci-deffus, qui lui démontra que l’or de la couronne n’étoit pas pur.
    • On pourroit, s’il s’agiffoit d’une grofle maffe de métal, comme dans le cas d’Archimede, fe borner à plonger dans un vafe la maffe d’or ou d’argent qu’on fqait être pur, & enfuite celle fur laquelle on a du foupqon. Car fi cette derniere chaffe davantage d’eau hors du vafe, c’eft une preuve que le métal eft falfifié par un autre moins pefant & plus vil.
    • Mais, quoi qu’en dife M. Ozanam, la différence de poids dans l’air & dans l’eau indiquera plus sûrement le mélange, fur-tout s’il eft peu confidé-rable ; car il n’eft perfonne qui ignore qu’il n’eft pas fi aifé qu’il le paroît d’abord, de mefurer la quantité d'eau chaffée d’un vafe.
    • II. Dans la rigueur mathématique, il faudrait
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    • MÉCANIQUE. 20
    • commencer par pefer les deux maffes dans le vuide ; car, puifque l’air, eft un fluide, il diminue la pe-fanteur réelle des corps’, d’une quantité égale à ce que pefe pareil volume de lui-même.‘ Puis donc que, par la fuppofition , les deux mafles, l’une pure , l’autre falfifiée , font de volume inégal, elles doivent perdre inégalement de leurs poids dans l’air. Mais la grande ténuité de l’air, relativement à celle de l’eau, rend cette petite erreur infenfible.
    • PROBLÈME XVII.
    • Même fuppofition faite que ci-dejfus , connoître la quantité du mélange fait dans la maffe d'or.
    • C’est dans la fblution de ce problème que ré-fide véritablement l’artifice ingénieux d’Archimède. Voici comme il s’y prit.
    • Soupçonnant que c’étoit de l’argent que l’or-fevre avoit fubftitué à une quantité égale d’or, il pefa la couronne dans l’eau, & trouva qu’elle y perdoit un poids que nous appellerons A : il pefa enfuite dans le même fluide une mafle d’or pur, qui dans l’air étoit en équilibre avec la couronne, & trouva qu’elle perdoit un poids que nous nommerons B : enfin il prit une mafle d’argent équi-pondérante dans l’air avec la couronne, & la pe-fant dans l’eau, il trouva qu’elle perdoit le poids C. Il fit enfuite cette proportion ; comme la différence des poids B & C ell à celle des poids A & B , ainfi le poids total de la couronne efl: à celui de l’argent mêlé. C’efl: ce qu’on découvre par un calcul algébrique aflez court, mais par un rai-fonnement un peu long, que nous expoferons néanmoins, après avoir éclairci cette réglé par un exemple.
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    • 3o Récréations Mathématiques.
    • Suppofons que la couronne d’Hiéron pesât lô marcs dans l’air, & que, péfée dans l’eau, elle perdit un marc & demi. Archimededut trouver, en pelant dans l’air 8t dans l’eau une maffe de 20 marcs d’or, une différence de i marc t, ; &, pelant d’une maniéré femblable une maffe de vingt marcs d’argent , il dut trouver une différence de 1 marc & --j. Ainli A eft ici égal à \, B eft égal à , & C à 77. La différence de A & B eft ^ ceue de B & C eft . Faifant donc cette proportion ; comme font à , ainli 20 eft à un quatrième terme , on aura 11 marcs, 5 onces & demie.
    • Le raifonnement qui conduilît ou put conduire le géomètre Syraculain à cette folution, eft celui-ci: Si toute la maffe étoit d’or pur, elle perdroit, étant pelée dans l’air, de fon poids ; & li elle étoit d’argent pur, elle perdroit, étant pefée dans l’eau, 77- de fa pefanteur : donc, li elle perd moins que cette fécondé quantité & plus que la première, elle fera mélangée d’or & d’argent; & la quantité d’argent fubftitué à l’or fera d’autant plus grande , que ce que la couronne perdra dans l’eau approchera davantage de 77 ; & au contraire. 11 faut donc divifer cette maffe de 20 marcs en deux parties qui foient proportionnelles à ces différences , fçavoir, celle de la perte qu’éprouve la couronne avec celle qu’éprouve l’or pur, & celle de la perte que fait l’argent pur avec celle que fait la couronne ; ce feront les rapports de la maffe d’argent & de celle d’or, mélangées enfemble dans la couronne : d’où fe déduitla réglé précédente.
    • Au refte , il n’étoit pas néceffaire de prendre deux maffes, l’une d’or, l’aurre d’argent, équi-pondérantes avec la couronne. Auffi , peut-être,
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    • M É C A N I Q U E. 31
    • Archimede ne le fit-il pas, & fe borna-t-il à s’affu-lurer que l’or perd un 19e de fon poids étant pefé dans l’eau, & l’argent un 11e.
    • PROBLÈME XVIII.
    • On propofe deux coffres égaux , femblables & également pefants , l'un contenant de Cor, l'autre de Vargent. Ejl-il pojjlble de difcerner, par quelque voie mathématique , celui qui renferme üor de celui qui contient C argent ?'Ou bien ,fuppofant deux boules, Vune d'or creufe, l'autre chargent folide & furdorée , pourroit-on difcerner celle (Cargent de celle d'or ?
    • Si, dans le premier cas, les maffes d’or & d’argent font précifément fifes au milieu de leur coffre refpe&if, enforte que les centres de gravité coïncident, je dis, quoi qu’on life dans d’anciennes Récréations Mathématiques, qu’il n’y aura nul moyen de les difcerner , ou du moins que celui qu’on y propofe eft défeéïueux.
    • Il en eft de même du cas des deux globes femblables , égaux & également pefants.
    • • Si pourtant on me preffoit beaucoup de choifir, je tâcherois de difcerner l’un de l’autre par le moyen fuivant. Je les fufpendrois tous les deux, par un fil le plus délié qu’il fe pourroit, aux bras d’une balance très - exaéle, d’une de ces balances qui, quoique chargées d’un poids affez confidéra-ble, trébuchent fenfiblement à un grain de différence dans l’égalité des poids ; je plongerois en-fuite mes deux boules dans un grand vafe plein d’une eau échauffée au degré de l’eau bouillante : celui qui trébucheroit feroit l’or. Car, félon les expériences faites fur la dilatation des métaux ,
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    • 3i Récréations Mathématiques. l’argent, paffant de la température moyenne k celle de l’eau bouillante, augmente probablement plus fon volume que l’or : dans lequel cas, ces deux maffes, qui étoient en équilibre dans l’air & dans l’eau tempérée , ne le feraient plus dans l’eau bouillante. Ou bien :
    • Je ferais un trou rond dans une plaque de cuivre , & tel que les deux boules y paffaffent toutes les deux très-juftement & avec facilité ; j’échauf-ferois enfuite l’une & l’autre fortement, & même beaucoup plus haut qu’au degré de l’eau bouillante. En fuppofant, ce que je chercherais d’abord à conftater, que l’argent fe dilate le plus, je les pré-fenterois l’une & l’autre au trou dont il s’agit : celle qui y éprouverait le plus de difficulté , je la réputerois d’argent.
    • PROBLÈME XIX.
    • Deux plans inclinés , AB , AD , étant donnés , & deux fpheres inégales, P & p, les mettre en équilibre dans cet angle , comme P on voit dans la figure
    • 3 » L E s globes P & p feront en équilibre , lî les l^* forces avec lefquelles ils fe repouffent mutuellement dans la dire&ion de la ligne Ce, qui joint leur centre , font égales.
    • Or , la force avec laquelle le globe P tend à rouler le long du plan incliné B A, ( qui eft connue, l’inclinaifon du plan étant donnée), eft à la force avec laquelle il agit fuivant Ce, comme le linus total eft au co-finus (a) de l’angle C c F; & de
    • (<z) Nous donnerons dorénavant, pour abréger, & h l’exemple des géomètres modernes, le nom de co-finus à ce que, dans les livres anciens de géométrie, on nommoit
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    • Mécanique. 3,
    • même îa force avec laquelle le poids p roule le long de DA, eft à celle félon laquelle il prefle dans la dire&ion cC, comme le finus total eft au connus de l’angle Ce/: d’où il fuit que ces fécondés forces devant être égales, il doit y avoir même raifon du co-finus de l’angle c au co-finus de l’angle C, que de la force du globe P pour rouler le long de BA , à celle de p pour rouler le long de DA. Ainfi le rapport de ces co-finus eft connu ; & comme, dans le triangle CGc, l’angle G eft connu, puifqu’il eft égal à l’angle DAB, il s’enfuit que le problème fe réduit à divifer un angle connu en deux parties telles que leurs co-finus foient en raifon donnée ; ce qui eft un problème de pure géométrie.
    • Mais, pour nous borner au cas le plus fimple, nous fuppoferons l’angle A droit. Il ne fera donc plus queftion que de divifer le quart de cercle en deux arcs, dont les co - finus foient en raifon donnée ; ce qui eft facile.
    • Soit donc la force de P, pour rouler le long de fon plan incliné, égale à M ; & celle de/>,pour rouler le long du fien, égale à m : tirez au plan AB une parallèle à la diftance du rayon du globe P, & au plan DA une autre à la diftance du rayon de/>, qui fe couperont en G; faitesenfuiteGLàG/, comme m à M, Sr tirez L /; enfuite faites cette proportion : comme L /eft à L G, ainfi la fomme des rayons des deux globes eft à GC ; & du point C tirez une parallèle Ce à L/: les points C & c feront les lieux des centres des deux globes, &, dans cette fituation , ils feront en équilibre à l’exclufion de toute autre.
    • finus de complément. Le lefteur à qui ce mot ne feroit pas familier, doit faire attention à cette note.
    • Tome II, C
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    • 34 Récréations Mathématiques. PROBLÈME XX.
    • Deux corps P & Q partent en meme temps de deux points A & B9de deux lignes données de position, & fe meuvent vers a & b avec des vitejjes données. On demande leur pojition lorfqu'ils feront le plus prés Vun de Vautre qu'il ejl pofjîble.
    • PI. 3, Si leurs viteffes étoient dans le rapport des lignes %• I7* BD , AD , il eft clair que les deux corps fe ren-contreroient en D. Mais fuppofant ces viteflès différentes, il y aura un certain point où, fans fe rencontrer, ils feront à la moindre diftance où ils peuvent être, & enfuite ils s’éloigneront continuellement l’un de l’autre. Ici, par exemple, les lignes BD, AD, font à peu près égales. Sup-pofons donc la vifefle de P à celle de Q en raifon de 2 à i. On demande le point de la plus grande proximité.
    • Pour cet effet, foit tirée par un point quelconque R de AD, la ligne RS parallèle à BD , & telle que AR foit à RS , comme la vitefîe de P à celle de Q, c’eft-à-dire , dans le cas préfent, comme 2 à i ; tirez AST indéfinie, & du point B menez BC perpendiculaire fur AT ; enfin, par le point C menez CE parallèle à BD, jufqu’à la rencontre de AD en E ; tirez enfin EF parallèle à CB, qui rencontre BD en F : les points F & E font les points cherchés.
    • PROBLÈME XXL Faire qu'un cylindre fe foutienne de lui-même le long d'un plan incliné a f horizon , fans rouler en bas9 & même qu'il monte quelque peu le long de ce plan.
    • Si un cylindre eft homogène, & qu’on le place fur un plan incliné , fon axe étant dans la fituation
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    • Mécanique.
    • horizontale, il eft évident qu’il roulera'en bas, parceque fon centre de gravité étant le même que celui de figure , la verticale tirée de ce centre paf-fera toujours hors du point de contaél, du côté le plus bas ; conféquemment le corps doit nécef-fairement rouler de ce coté.
    • Mais fi le cylindre eft hétérogène, enforte que fon centre de gravité ne foit pas le même que celui de figure, il pourra fe foutenir le long d’un plan incliné, pourvu que l’angle de ce plan avec l’horizon n’excede pas certaines limites.
    • Soit, par exemple , le cylindre dont la coupe Pb 4» perpendiculaire à l’axe eft le cercle HFD. Pour I^* faire fortir fon centre de gravité hors du centre de figure, on lui fera une rainure parallèle à l’axe 8t en forme de demi-cercle, qu’on remplira d’une matière beaucoup plus lourde ; que ce corps foit F, enforte que le centre de gravité du cylindre foit porté en E ; que le plan incliné foit AB , 8c que BG foit à GA en moindre raifon que CF à CE : le cylindre pourra fe foutenir fur le plan incliné fans rouler en bas, 8c même, fi on l’écarte de cette pofition dans un certain fens, il la reprendra en roulant quelque peu vers le haut du plan.
    • Car, fuppofons le cylindre placé fur le plan , fon axe horizontal, 8c fon centre de gravité dans la parallèle au plan incliné , paffant par le centre,
    • 8c enforte que le centre de gravité foit du côté afeendant du plan, fig. ic> ; qu’on mene par le Fig. 19, point de contaéf D , les perpendiculaires au plan incliné 8c à l’horizon CDH, IDe : on aura BG à GA , ou BI à ID comme DI à IH, ou DC à Ce.
    • Et puifqu’il y a moindre raifon de BG à GA que de CF ou CD à CE, il fuit que Ce eft moindre que CE ; 8c, conféquemment, la verticale abaiffée Cij
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    • 36 Récréations Mathématiques. du point E, paffera hors du point de contaft dü côté de A : le corps tendra donc à tomber de ce côté , & il y roulera en remontant quelque peu, jufqu’à ce que le centre de gravité ait pris une po-fition comme dans la fig. 18, où il tombe dans la verticale paffant par le point de contaâ. Arrivé à cette fituation, ce cylindre s’y tiendra, pourvu que fa furface ne foit pas allez polie ou le plan, pour qu’il puiffe gliffer parallèlement à lui-même. Il aura même une Habilité d’autant plus grande dans cette fituation, que le rapport de BG à GA fera moindre que celui de CF ou CD à CE, ou que l’angle ABG ou CD<? fera moindre que CDE.
    • C’eft encore ici une vérité qu’il faut démontrer. Pour cela, il faut remarquer que le centre de gravité du cylindre, E, décrit, en roulant le long du plan incliné, une courbe telle qu’on voit dans la . 4, 20 •> qui ce que les géomètres appellent une
    • 20. cycloide allongée, laquelle monte & defcend alternativement au deffous de la parallèle au plan incliné, menée par le centre du cylindre. Or, le cylindre étant dans la pofition ' ou le préfente la fig. 20, fi l’on mene la ligne ED du centre de gravité au point de contaft, on démontre d’ailleurs que la tangente au point E de cette courbe eft perpendiculaire à DE : donc, li l’inclinaifon du plan eft moindre que l’angle CDE, cette tangente concourra avec l’horizontale du côté où - monte le plan : le centre de gravité du cylindre fera donc là comme fur un plan incliné IK ; il doit, conféquemment, defcendre jufqu’au point L du creux de la courbe qu’il décrit, où cette courbe eft touchée par l’horizontale.
    • Arrivé enfin à ce point, il ne fqauroit s’en écarter, fans monter d’un côté ou de l’autre: fi donc
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    • Mécanique. 37
    • on l’en écarte un peu, il retournera à fa première pofition.
    • PROBLÈME XXII.
    • Conjlruclion cL'unc horloge qui montre les heures > en roulant le long d'un plan incliné.
    • Cette petite machine, qui eft de l’invention de M. Wheeler, Anglois, eft tout-à-fait ingénieufe: elle a pour principe la folution du problème précédent.
    • Qu’on fe repréfente une boîte cylindrique de PI. laiton, de quatre à cinq pouces de diamètre , por- %. a tant d’un côté un cadran divifé en i 2 ou 24 heures. Dans l’intérieur, qui eft repréfenté par la fig.
    • 2/, eft une roue centrale, qui mene, au moyen d’un pignon, une fécondé roue , laquelle en mene une troifieme, &c. jufqu’à un échappement garni de fon balancier ou reffort fpiral qui fert de modérateur, comme dans les montres ordinaires. A la roue centrale , eft attaché fixément un poids P, qui doit être fuffifant pour que, dans une inclinai-fon médiocre, comme de 20 à 30°, il puiffe faire marcher cette roue & celles qui doivent en recevoir le mouvement. Mais, avant tout, comme la machine doit être parfaitement en équilibre autour de ion axe central, il faut placer du côté diamétralement oppofé au petit fyftême de roues, 2, 3,4, &c. un contre-poids tel que la machine foit abfolument indifférente à toute pofition autour de cet axe. Ayant donc obtenu cette condition, on placera le poids moteur P, dont l’effet fera de faire . tourner la roue centrale I, & par fon moyen le mouvement d’horloge 2 , 3,4, &c: : mais , en même temps que cela fe fera, le cylindre roulera un peu en bas, ce qui ramènera le poids P dans Ciij
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    • 38 Récréations Mathématiques.
    • fa pofition primitive , enforte que l’effet de cettô preflion continuelle fera de faire rouler le cylindre, tandis que le poids P ne changera de pofition que relativement au cylindre , mais non à l’égard de la verticale. On modérera enfin le poids P ou l’inclinaifon du plan, de telle maniéré que la machine faffe une révolution entière en vingt-quatre ou douze heures. On fixera l’aiguille à l’ef-fieu commun de la roue centrale &: du poids P, enforte qu’elle regarde fans ceffe le zénith ou le nadir ; ou, fi l’on veut plus d’ornements, ce même efïïeu pourra porter un petit globe, furmonté d’une figure montrant les heures avec un doit élevé verticalement, &c.
    • On fent aifément que la machine parvenue au plus bas du plan incliné, il fuffira de la remonter au plus haut pour qu’elle continue à marcher. Si elle retarde un peu, on accélérera fon mouvement en élevant le plan incliné ; & au contraire. Remarque.
    • Il y a a&uellement à Paris un horloger qui fait des pendules fur ce principe : c’efl: le fieur Le Gros , demeurant rue de Charonne. Il les livre à un prix fort honnête , fçavoir, de feize louis les plus grandes & les plus belles, avec le fup-port en plan incliné; le tout très-proprement exécuté, & propre à faire décoration dans un cabinet. PROBLEME XXIII.
    • Conjlruclion d'un habillement au moyen duquel on ne fçauroit couler à fond, & qui laiffe la liberté de tous les mouvements.
    • Comme un homme ne pefe pas beaucoup plui
    • qu’un pareil volume d’eau 3 on fent aifément qu’on
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    • Mi C A NIQUE. 39
    • peut lui ajouter une mafle de quelque matière beaucoup plus légère que l’eau, au moyen de laquelle le compofé de l’un & de l’autre foit plus léger que ce fluide; ce qui le fera furnager. C’eft d’après ce principe que , pour s’apprendre à nager, quelques-uns s’attachent fur le ventre & fur le dos deux planches deliege; d’autres des calebaflfes vui-des, au deflous des bras : mais tous ces moyens ont des inconvénients & des incommodités auxquels on remédie de la maniéré fuivante.
    • Entre les deux doubles, c’eft-à-dire le deflus & la doublure, d’une camifole fans bras, difpofez de petits quarrés de liege d’un pouce 8c demi de largeur en quarré , &c d’un .demi pouce ou neuf lignes d’épaifleur. Il faut qu’il y en ait dans toute l’étendue de la camifole, qu’ils foient aflez près pour ne perdre que le moins d’efpace poflible, & qu’ils ne foient cependant pas aflez ferrés pour nuire à la flexibilité de la camifole. Chacun de ces morceaux doit être comme enchâfle entre le deflus 8c la doublure, enforte qu’il ne puifle changer de place ; ce qui fe fera en piquant la camifole dans fes intervalles. Elle doit s’attacher fur le corps par de fortes boutonnières ou de fortes attaches : il eft enfin néceflaire, pour empêcher que. le corps ne glifle en bas, qu’il y ait derrière une efpece de queue, qu’on fera repafler en deflous 8c entre les jambes, pour s’attacher folideinent au deflus du ventre.
    • Au moyen d’une pareille camifole, qui n’etn-barrafle guere plus qu’un vêtement ordinaire, on peut, avec la plus grande fécurité, fe livrer à l’eau; car , fi elle eft faite convenablement, on n’en aura pas même au deflus des épaules. On fqauroit fi peu enfoncer, qu’en fuppofant un homme mort dans
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    • 4© Récréations Mathématiques. cette fi tuation, il furnageroit infailliblement. Ort n’a conféquemment aucun effort à faire pour fe foutenir: aufli peut-on écrire, lire, charger un piftolet & le tirer. On a vu en 1767, à la Râpée, faire l’expérience de toutes ces chofes, par M. l’abbé de la Chapelle, de la Société Royale de Londres , l’inventeur de cette efpece de camifole.
    • Il eft prefque fuperflu d’obferver en combien de cas cette invention fer oit utile tant fur terre que fur mer. Un corps ennemi feroit, par exemple , bien tranquille, au-delà d’une riviere rapide & qu’on ne fçauroit paffer au gué : on donneroit de femblables camifoles à un nombre fuffifant de fol-dats, qui pourraient facilement porter avec eux leurs fabres & leurs piftolets ; ils pafferoient la riviere , & furprendroient ce corps ennemi, fur lequel ils tomberoient le piftolet & le fabre à la main. S’ils étoient repoufles , ils fe rejeteroient à l’eau, & échapperoient fans pouvoir être pourfuivis.
    • Il arrive tous les jours à la mer qu’il périt des hommes qui tombent à l’eau dans des manœuvres dangereufes ; d’autres périffent dans les rades & les ports, les chaloupes ou canots coulant bas par un coup de mer ou par quelqu’autre accident: chaque jour enfin un bâtiment périt à la côte ; & fouvent ce n’eft pas fans beaucoup de peine qu’une partie de l’équipage parvient à fe fauver. Si chaque homme qui monte fur ce perfide élément avoit fa camifole de liege, pour s’en revêtir du moins dans les moments de danger, qui ne voit qu’il en échap-peroit un grand nombre à la mort ? ce qui feroit un grand avantage pour l’humanité.
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    • Mécanique. 41
    • PROBLÈME XXIV.
    • Conjlruire un bateau qui ne fçauroit être fubmergê, quand même Peau y entreroit de tous les côtés.
    • Il faut faire à un bateau un faux fond, qui foit éloigné du véritable d’une diftance proportionnée à l’étendue du bateau, à la charge & au nombre de perfonnes qu’il doit porter. Je penfe, fauf correction à faire d’après un calcul exaft, que cette diftance peut être d’un pied environ 4 pour un bateau de 18 pieds de longueur fur 5 à 6 de large. On remplira le vuide de ce faux fond avec des morceaux de liege, le plus rapprochés qu’il fera pôffible les uns des autres. Ét comme ce faux fond diminue les bords du bateau, on pourra les élever proportionnellement, en leur laiflant néanmoins de chaque côté de larges ouvertures, pour que l’eau qui pourroit être jetée dans le bateau puiflfe s’écouler. On pourra auffi Sc même il fera à propos d’élever l’arriéré, enforte qu’on puiffe s’y réfugier , dans le cas où le bâtiment feroit à fleur d’eau.
    • Je crois que des chaloupes pontées dè cette maniéré, pourroient être utiles à la mer, pour fe rendre, par exemple , à bord d’un vaiffeau qui eft dans une rade , quelquefois à plufieurs lieues de terre, ou pour gagner la terre après avoir mouillé loin du rivage : car il n’arrive que trop fouvent , dans des mers houleufes ou par l’effet d’un vent qui fraîchit, des accidents malheureux ; & il femble même que, dans une traverfée ordinaire , c’eft dans ces circonftances que réfide le plus grand rifque, Des. canots conftruits pomme
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    • Récréations Mathématiques. l’on vient de le dire , préviendroient par leur in-fubmergibilité ces accidents fréquents.
    • Je conviens qu’il refte à ajouter beaucoup à cette idée, préfentée ici dans toute fa {implicite ; car il pourroit y avoir des changements à faire dans la forme du petit bâtiment, peut-être des corps pefants à y ajouter dans certains endroits, pour augmenter fa fiabilité. C’eft un fujet de recherche qui ne fçauroit être plus utile, puifqu’il en réfulteroit la confervation de plufieurs milliers d’hommes par an.
    • On doit cette invention à M. de Bernieres, l’un des quatre contrôleurs généraux des ponts & chauffées , qui conftruifit en 1769 une pareille chaloupe pour le Roi. Il en a depuis conftruit une pour M. le duc de Chartres, beaucoup mieux combinée que la première ; & une autre pourM. le marquis de Marigny. On fit effai de cette derniere , foit en la rempliffant d’eau, foit en tâchant de la faire chavirer ; mais elle fe redreffa dès qu’elle fut livrée à elle-même , & , quoique remplie d’eau , elle étoit encore en état de porter fix perfonnes.
    • 11 ne tiendra fans doute dorénavant qu’aux hommes de diminuer le nombre des accidents fâcheux qui arrivent à ceux qui hantent la mer ou les rivières. Mais le froid qu’en général on a témoigné fur cette invention de M. de Bernieres, montre bien l’indifférence des hommes fur leurs intérêts les plus réels, lorfqu’il n’eft queftion que des intérêts généraux de l’humanité , & qu’il faut, pour les lui procurer, quelques attentions & quel-qués dépenfes aftuelles. Chacun regarde comme éloigné ou nul pour foi le danger qu’on ne peut fe diffimuler. C’eft par ce principe que nos villes font malpropres & prefque infettes, faute d’être
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    • Mécanique. 45
    • plus aérées ; que nos hôpitaux font, pour la plupart, des lieux plus propres à y faire naître des maladies qu’à les y guérir ; qu’une foule d’inftitutions utiles au genre humain font négligées ; qu’enfin l’on regarde prefque comme un fou celui qui s’occupe effentiellement de ces objets, fi intéreffants pour l’humanité & plus dignes encore des veilles des bons efprits, que les fpéculations les plus brillantes de la géométrie & de l’aftroiiomie.
    • PROBLÈME XXV.
    • Gomment on peut retirer du fond de la. mer un vaijfeau qui a coulé bas.
    • On a exécuté plufieurs fois cette entreprife difficile , au moyen d’une confidération hydroflad-que fort fimple, fçavoir, que fi un bateau chargé autant qu’il peut l’être , efl enfuite déchargé, il tend à s’élever avec une force égale à celle du poids du volume d’eau qu’il déplaqoit étant chargé ; ce qui fournit le moyen d’employer des forces énormes à foulever le vaifleau coulé à fond.
    • Pour cet effet, on prendra le nombre de bateaux convenable, ce qu’on eftimera d’après la grandeur du vaifleau , & en confidérant que ce vaifleau ne pefe dans l’eau que l’excès de fon poids fur celui d’un pareil volume d’eau : on les rangera en deux files aux deux côtés du vaifleau fubmergé ; on enverra enfuite des plongeurs amarrer des bouts de cables à différents endroits de ce vaifleau ? enforte qu’il y en ait quatre de chaque côté pour chaque bateau. Les bouts de ces cables reliants hors de l’eau, feront amarrés bas-bord & ftribord du bateau qui leur fera deftiné, Ainfi, fi l’on a quatre
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    • 44 Récréations Mathématiques. bateaux de chaque côté , ce feront trente-deux cables, dont quatre pour chaque bateau.
    • Cela fait, on chargera tous ces bateaux le plus qu’on pourra, fans les fubmerger, & on bandera tous les cables autant qu’il fera poffible ; après quoi on les déchargera de deux en deux. S’ils foulevent le vaifleau, ce fera un ligne qu’ils font en nombre convenable. Mais, en foulevant le vaifleau, les cables amarrés aux bâteaux reliés chargés deviendront lâches : c’eft pourquoi on les bandera de nouveau autant que l’on pourra ; enfuite on déchargera ces bateaux, en faifant pafler leur charge dans les premiers : le vaifleau fera encore un peu foulevé, & les cables des bateaux chargés feront lâchés : on les bandera donc encore, & on tranA vafera la charge de ces derniers dans les autres; ce qui foulevera encore un peu le vaifleau fub-mergé. En répétant enfin cette manœuvre aufli long-temps qu’il fera befoin, on amènera le vaif-feau à fleùr d’eau, & on le conduira au port, ou jufques fur la.grève.
    • On peut voir dans les Mémoires des Académiciens étrangers, Tome II, le détail des manœuvres employées pour relever de cette maniéré le Tojo, vaifleau efpagnol de la flotte des Indes , coulé à fond dans la rade de Vigo, à l’affaire du ioO&obre 1702. Mais comme ce vaifleau avoit refié plus de trente - fix ans dans cet état , il fe trouva comme encadré dans un banc de gtaife tenace , qui exigea des peines incroyables pour l’en détacher ; & quand il fut hors de l’eau, on n’y trouva aucune des richefles qu’on attendoit. II avoit été un de ceux qui furent déchargés avant d’être coulés bas par les Efpagnols mêmes, pour ne pas les laifler au pouvoir des Anglois.
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    • Mécanique.
    • PROBLÈME XXVI.
    • Faire qu'un corps monte comme de lui-même le long d'un plan incliné , en venu de fa propre pefanteur.
    • Ayez un double cône, c’eft-à-dire fait de deux PI. ^, cônes droits réunis par leur bafe, enforte qu’ils %• a** aient un axe commun.
    • Faites enfuite un fupport compofé de deux Fig. 23. branches AC, BC, réunies en angle au point C , que vous placerez enforte que le fommet C foit au deffous de l’horizontale , & que les deux jambes foient également inclinées à l’horizon. Il faut que la ligne AB foit égale à la diftance des fommets du double cône, & la hauteur AD un peu moindre que le rayon de la bafe. Cela étant fuppofé, fî vous placez entre les jambes de cet angle ce double cône, vous le verrez rouler vers le haut, enforte que ce corps femblera, au lieu de defcendre, monter contre l’inclination de la pefanteur.
    • Nous difons qu’il femblera monter, car, dans la réalité, il ne montera pas ; au contraire il defcen-dra. En effet, fon centre de gravité defcend, comme on va le voir.
    • Soit ac (fig. 24) le plan incliné dans lequel feFig. 24. trouve l’angle A CB, ce la ligne horizontale paffaat par le fommet c ; e a fera , par conféquent, l’élévation du plan au deffus de l’horizontale, laquelle eft moindre que le rayon du cercle, bafe du double cône. Il eft évident que, lorfque ce double cône fera au fommet de l’angle, il fera comme on le voit en c d; & lorfqu’il fera parvenu au plus haut du plan, il fera pofé comme on voit en af: fon centre aura donc paffé de d en a; & puifque d c eft
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    • 46 Récréations Mathématiques*
    • égale à af, & que ce eft l’horizontale, cf fera une ligne inclinée à l’horizon, & par conséquent auflî fa parallèle da: le centre de gravité du cône aura donc defcendu , tandis que le cône aura paru monter. Or c’eft, comme on l’a vu plus haut, la chûte ou la montée du centre de gravité qui détermine la véritable defcente ou afcenfion d’un corps. Tant que le centre de gravité peut defcendre, le corps fe meut dans ce fens, &c.
    • On trouve que, dans le problème préfent, le chemin du centre de gravité , dans toute fa defcente, eft une ligne droite. Mais on pourroit fi-tuer d’une maniéré femblable une parabole , une hyperbole, le fommet en bas, & alors le chemin du centre de gravité du double cône feroit une courbe ; ce qui préfente aux jeunes géomètres matière à s’exercer.
    • PROBLÈME XXVIÏ.
    • Conjlruire une horloge avec de Feaü.
    • PL 5 , Si l’eau qui s’écoule d’un vafe cylindrique par urt Æg* *5* trou pratiqué à fon fond, s’écouloit uniformément, rien ne feroit plus facile que de faire une horloge qui marquât les heures avec de l’eau; mais l’on fçait que plus l’eau eft haute au defîus du trou par lequel elle s’écoule, plus elle coule rapidement, enforte que les divifions verticales ne doivent pas être égales. Quel doit être leur rapport ? C’eft en quoi confifte la folution du problème.
    • On démontre dans l’hydraulique, que la vitefte ' avec laquelle l’eau s’écoule d’un vafe par une ouverture très-petite, eft comme la racine quarrée de la hauteur de l’eau au deflus de cette ouverture ; d’où l’on a tiré la réglé fuivante pour les di-
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    • Mécanique. 47
    • vifions de la hauteur du vafe, que nous fuppofons cylindrique.
    • En fuppofant que toute l’eau s’écoule en douze heures , divifez toute la hauteur en 144 parties égales; il s’envuidera 23 dans la première heure, enforte qu’il en reliera 121 pour les onze reliantes : de ces 121 il s’en vuidera 21 pendant la deuxieme heure ; & ainfi de fuite, dans la troilieme 19, dans la quatrième 17, &c. Ainlî la 144e divifion répondant à douze heures, la 121e répondra à onze, la 100e à dix, la 81e à 9, &c. jufqu’à la derniere heure, qui n’épuifera qu’une divifion. Enfin ces mêmes divifions comprendront par ordre rétrograde , en commençant du bas, la première une partie, la deuxieme 3 , la troifieme 5 , la quatrième 7 , &c ; ce qui eft précifément le rapport des ef-paces parcourus par un corps tombant librement, en vertu de fa pefanteur , dans des temps égaux.
    • Mais fi l’on vouloit que les divifions, dans U fens de la verticale, fujfent égales en temps égaux, quelle figure faudroit-il donner au vafe ?
    • Nous répondrons que le vafe en queftion devroit être un paraboloïde formé par la circonvolution d’une parabole du quatrième degré, où les quarré-quarrés des ordonnées feroient comme les abcifles.
    • Ce paraboloïde étant renverfé le fommet en bas,
    • & percé à ce fommet d’un trou convenable, l’eau s’écoulera de forte qu’en des temps égaux elle baiflera également dans la verticale.
    • Mais comment décrire cette parabole? Le voici. VL 5 , Soit une parabole ordinaire ABS, dont l’axe eft %• 2°* PS, & le fommet S. Tirez, comme vous le voudrez , une parallèle à cet axe R r T ; abaiflez en-fuite une ordonnée quelconque de la parabole AP, qui coupe RT en R ; faites PQ moyenne
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    • 4$ Récréations Mathématiques. proportionnelle entre PR-, PA ; que pq le foit de même entre p r, p a , 6cc : la courbe paflant par les points Q, q, 6cc. fera la courbe cherchée, dont on fera un calibre qui fervira à donner au vafe la concavité cherchée. A quelque hauteur qu’on le rempliffe de fluide, il fe vuidera toujours en temps égaux, d’une hauteur égale.
    • Nous donnerons au relie, dans une autre partie de cet ouvrage, le moyen de faire écouler d’un vafe d’une forme quelconque, la même quantité d’eau dans des temps égaux. Mais cela tient à la propriété du fyphon , qui doit trbuver fa place ailleurs.
    • PROBLÈME XXVIII.
    • Un point étant donné, & une ligne qui nejl pas horizontale , trouver la pojîtion du plan incliné, par lequel un corps partant du point donné, & roulant le long de ce plan , parviendra à cette ligne dans le moindre temps.
    • PL 5, Ce petit problème de mécanique eft affez curieux, fig- 27. d’autant qu’il admet une folution très-élégante. Soit donc A le point donné, & la ligne donnée BC. Menez du point A la’verticale AD, 6c la perpendiculaire AE à la ligne donnée ; puis du point D, où la verticale rencontre cette même ligne, mene2 DG parallèle à AE, 6c égale à AD ; enfin tirez AG, qui coupe BC en F : la ligne AF fera la pofi-tion du plan par lequel un corps partant du point A , 6c roulant de lui-même, 6c par un effet de & pefanteur, le long de ce plan, arrivera en moins de temps à la ligne BC, que par tout autre plan incliné différemment.
    • Pour le démontrer, tirez FH parallèle à AE ou DG,
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    • MeCÀNIQÜÊ. 4p
    • DG, jufqu’à fa rencontre H avec la verticale A D. On aura donc, à caufe des triangles femblables , AD à DG comme Att à HF ; & , conféquem-ment, DG étant égale à AD, AH le fera à HF qui eft d’ailleurs perpendiculaire à BE , puifqu’elle eft parallèle à AE : donc le cercle décrit du point H , comme centre, par le point A , paflera par F, & touchera la ligne BC.
    • Or l’on a démontré que , dans un Cercle, fi l’on mene un diamètre vertical, comme AHI, &c des cordes quelconques A F, AK, ces cordes ainfi que ce diamètre feront parcourus dans le même temps par un corps livré à fa pefanteur, qui tom-beroit le long d’elles. Puis donc que le temps employé à tomber le long de AK ou de Al, eft égal à celui qui eft employé à tomber le long de AF, celui qu’il faudra pour tomber le long de AD ou AE, fera plus long que celui qui fera employé à tomber le long de AF ; & le même raifonnement ayant lieu à l’égard de toutes les autres lignes qu’on pourroit tirer de A à la ligne BC , il s’enfuit que AF eft la ligne le long de. laquelle le corps arrivera dans le moindre temps à cette ligne BC.
    • Si la ligne.BC étoit verticale i alors AE feroit horizontale ainfi que DG ; enfin AD & DG fe-roient toutes deux infinies & égales, ce qui donnerait l’angle FAD de 450 : d’où il fuit que , dans ce cas, ce feroit par le plan incliné de 450 que le corps, livré à lui-même, arriverait à la verticale dans le moindre temps poflible.
    • PROBLÈME XXIX.
    • Les points A & B étant donnés dans la même horizontale , on demande la polition des deux plans Tome II, D
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    • 50 Récréations Mathématiques.
    • - AC , CB , tels qu'un corps roulant d'un mouvement accéléré de A en C, puis remontant avec fa vitejfe acquife le long de CB, cela fe fajfe dans le moindre temps pojjible.
    • PL 5,1 l eft évident qu’un corps placé en A fur la ligne 28. horizontale AB , y refteroit éternellement fans fe mouvoir du côté de B. Il faut donc , pour qu’il aille par un effet de fon poids de A en B , qu’il y ait une chute le long d’un plan incliné ou d’une courbe, enforte qu’après avoir plus ou moins def-cendu, il remonte le long d’un fécond plan ou du xeftant de la courbe jufqu’en B. Mais nous fuppo-ferons ici que cela s’exécute au moyen de deux plans. On doit encore fentir que le temps employé à defcendre & à remonter doit être plus ou moins long, fuivant l’inclinaifon & la longueur de ces plans. Il s’agit de déterminer quelle eft leur pofition la plus avantageufe pour que ce temps ioit le moindre.
    • Or on trouve que la pofition cherchée eft telle que les deux plans doivent être égaux & inclinés à l’horizon de 450, c’eft-à-dire que le triangle ACB doit être ifofcele & re&angle en C.
    • Cette folution fe déduit de celle du problème précédent ; car fi l’on conçoit menée par le point Cune verticale, on a fait voir que le plan AC, incliné de 45 0 degrés , étoit le plus favorablement difpofé pour que le corps, roulant le long de ce plan, arrivât à la verticale dans le moindre temps ; mais le temps de la montée par CB, eft égal à celui de la defcente : d’où il fuit que leur fomme , ou ïe double du premier, eft aufli le plus court poflible.
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    • Mécanique. PROBLÈME XXX,
    • Lorfqu'on a un puits extrêmement profond , avec une chaîne garnie de deux féaux , faire enforte que, dans toutes les pojîtions des féaux, le poids de la chaîne f bit nul , de maniéré qu'on n ait jamais à élever que le poids dont le feau montant ejl rempli.
    • .Lorsqu’on a deux féaux fufpendus aux deux bouts d’une corde ou d’une chaîne , qui montent & defeendent alternativement, pendant que la corde s’enroule autour de l’elïieu du tour qui fert à les enlever, il eft évident que quand un feau eft au plus bas, & qu’on commence à l’élever, on a PI. 6, non-feulement le poids du feau à enlever, mais%* 29. encore celui de toute la chaîne depuis l’ouverture jufqu’au fond du puits : & il eft des cas, comme dans des mines de trois à quatre cents pieds de profondeur , où l’on aura à foulever plufteurs quintaux pour n’élever qu’un poids de cent ou de deux cents livres, à la bouche du puits. Telles étoient celles dePontpéan, avant que M. Loriot eût fuggéré le remede à cet inconvénient.
    • Ce remede eft fort fimple, & fi fimple, qu’il eft étonnant qu’on ne l’ait pas imaginé plutôt. Il n’y a en effet qu’à faire faire à la corde ou à la chaîne un anneau entier , dont un des bouts defeende juf-qu’à la profondeur où l’on doit puifer l’eau ou charger les matières , & attacher les féaux à deux points de cette corde, tels que lorfqu’un des féaux fera au plus haut, l’autre foit au plus bas ; car il eft vifible qu’y ayant toujours autant de chaîne en defeente qu’en montée, ces deux parties fe contrebalanceront ; ôt il n’y aura, dans la réalité, que Dij
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    • 51 Récréations Mathématiques. le poids afcendant à élever, le puits eût-il plu-fieurs centaines de toifes de profondeur.
    • Il en feroit évidemment de même, s’il n’y avoit qu’un feau ; on n’auroit, dans toutes les poütions, que le poids du feau & des matières miles dedans à élever : mais, dans ce cas, ce feroit perdre la moitié de l’avantage de cette machine, que de ne pas mettre deux féaux, puifqu’il y auroit de temps - 1 lout celui que le feau qu’on viendrait de
    • yer emploieroit à defcendre.
    • M. le Camus a donné dans les Mémoires de l’Académie j année 1731, une autre maniéré de remédier à l’inconvénient ci-deflus. Il conlifte, lorfqu’il n’y a qu’un feau, à faire enrouler la corde fur un axe à peu près de forme conique tronquée , enforte que lorfque le feau eft au plus bas, la corde s’enroule fur la partie du moindre diamètre, 6c fur celle du plus grand diamètre lorfque ce feau eft au plus haut. Par ce moyen, on emploie toujours la même force. Mais il eft évident que, dans tous les cas, on eft obligé d’en employer plus qu’il ne feroit néceffaire.
    • Lorfqu’il y a deux féaux, M. le Camus fait enrouler une moitié de la corde fur une moitié de l’axe, qu’il divife en deux parties égales, enforte que l’une eft toute couverte de la corde dont le feau eft en haut, pendant que l’autre moitié eft découverte, le feau qui lui répond étant au plus bas. Par ce moyen, les deux efforts fe combinent de maniéré qu’il faut toujours à peu près la même force pour le furmonter. Mais ces inventions, quoiqu’ingénieufes , ne valent pas celle de M. Loriot.
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    • Mécanique.
    • PROBLÈME XXXI.
    • Conjlruclion d'un tournebroche qui marche au moyen même du feu de la cheminée.
    • Cette efpece de tournebroche eft affez com- pj. 6, mune en Languedoc, & eft affez ingénieufe. Au%. 30. milieu du foyer, & environ à un pied du contrecœur de la cheminée, eft fixée folidement une barre de fer qui fert de fupport à un effieu perpendiculaire , dont la pointe tourne dans une cavité en forme de crapaudine : l’autre extrémité porte dans un anneau délié qui lui fert de collet ; cet axe eft garni tout à l’entour d’une hélice en tôle ou en fer-blanc , qui fait une couple de révolutions, &. qui a environ un pied de faillie ; il fuffit même de plu-fieurs plaques de tôle, taillées en feéleur de cercle & implantées à cet axe, enforte que leur plan faffe avec lui un angle d’environ 6o° : on les mettra en plufieurs étages les unes fur les autres, en-forte que les fupérieures foient au deffus du vuide laiffé par les inférieures. Cet axe enfin porte vers fon fommetune roue de champ horizontale, qui engrene avec un pignon dont l’effieu eft horizontal , & porte à fon extrémité la poulie à l’entour de laquelle s’enroule la chaîne fans fin qui fert à faire tourner la broche. Telle eft la conf-tru&ion de la machine, dont voici le jeu. Lorf* qu’on allume le feu à la cheminée, l’air qui, par fa raréfa&ion, tend auffi-tôt à monter, rencontre cette furface hélicoïde, ou ces efpeces d’aubes inclinées ; il fait tourner par conféquent l’axe auquel elle eft attachée , & enfin la broche où eft enfilée la piece de viande à rôtir. Plus le feu s’anime, plus la machine va vite ? parceque l’air monte avec plus de rapidité.
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    • 54 Récréations Mathématiques.
    • On peut, fi l’on veut, démonter la machine, lorfqu’en ne veut pas s’en fervir, enfoulevant un peu l’axe vertical, & retirant fa pointe de deffus fon appui, ce qui permet de dégager le fommet de fon effieu du collet qui l’embraffe. On la peut remonter avec la môme facilité, quand on en a befoin.
    • Remarques.
    • i. Voici un petit jeu mécanique, fondé fur le même principe. Coupez dans une carte un cercle de la largeur de la carte ; puis tracez & coupez dans ce cercle une fpirale qui faffe trois ou quatre révolutions , & qui aboutiffe à un petit cercle réfervé autour du centre, & d’une ligne ou deux de diamètre; étendez cette fpirale en élevant le centre au deffus de la première révolution, comme fi elle étoit coupée dans une furface conique ou pa-raboloïde ; ayez enfuite une petite broche de fer terminée en pointe & portée fur un fupport ; vous appliquerez le centre ou le fommet de votre hélice fur cette pointe ; mettez enfin le tout fur la table d’un poêle un peu chaud : vous verrez votre machine fe mettre peu à peu en mouvement & tourner avec rapidité, fans aucun agent apparent. Cet agent efl: néanmoins l’air qui eft raréfié par le contaél d’un corps chaud , & qui en montant forme un courant.
    • î. Il n’y a nul doute qu’on ne pût appliquer une pareille invention à des ouvrages utiles : on pourroit, par exemple, s’en fervir à former des roues qui feroient toujours plongées fous l’eau , leur axe étant placé parallèlement au courant: on pourroit même, pour donner à l’eau plus d’aéti-vité, renfermer cette roue hélicoïde dans un cy~
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    • MÉCANIQUE.
    • lindre creux , où l’eau une fois entrée, & pouffée parle courant fupérieur, agiroit, je crois, avec beaucoup de force.
    • Si l’on redrefloit ce cylindre , enforte qu’il reçût par fon ouverture fupérieure une chute d’eau , cette eau feroit tourner la roue & l’axe auquel elle feroit attachée, & pourroit mener une roue de moulin ou quelqu’autre machine. Tel efl le principe du mouvement des roues du Bafacîe, fameux moulin de Touloufe.
    • PROBLÈME XXXII. Queft-ce qui foutient debout une toupie ou un totoiz qui tourne ?
    • Réponse. C’est la force centrifuge des parties du toton ou de la toupie mife en mouvement ; car tin corps ne peut fe mouvoir circulairement, làns faire un effort pour s’écarter du centre, enforte que s’il tient à un filet attaché à ce centre, il le tendra, & le tendra d’autant plus , que le mouvement circulaire fera plus rapide.
    • La toupie étant donc en mouvement , toutes fes parties tendent à s’écarter de l’axe avec d’autant plus de force qu’elle tourne plus rapidement %. d’où il fuit que ce font comme autant de puiffan-ces qui tirent perpendiculairement à fon axe. Or, comme elles font toutes égales., & que d’ailleurs, par la rotation, elles paffent rapidement de tous les côtés, il en doit réfulter un équilibre de la toupie fur fon point d’appui, ou l’extrémité de l’axe fur lequel elle tourne.
    • PROBLÈME XXXriI.
    • D'ou vient foutient-on plus aifément en équilibre fur le bout de fon doigt un bâton chargé à fon D iv
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    • Récréations Mathématiques.
    • extrémité fupérkure d'un poids , que lorfque câ poids efi en bas, par exemple, une épée fur fa pointe plutôt que fur fa garde ?
    • L a raifon de ce phénomène bien connu de tous les faiseurs de tours d’équilibre , eft celle-ci. Lorsque le poids eft fort éloigné du point d’appui, fon centre de gravité décrit, en s’écartant d’un côté ou de l’autre de la perpendiculaire, un plus grand cercle cjue lorlque ce poids eft fort vôifin du centre de rotation ou du point d’appui. Or , dans un grand cercle , un arc d’une grandeur déterminée, d’un pouce, par exemple, forme une courbe qui s’écarte bien moins de l’horizontale , que fi le cercle étoit d’un rayon moindre. Le centre de gravité du poids pourra donc , dans le premier cas, s’écarter de la perpendiculaire de la quantité d’un pouce, par exemple, fans avoir autant de propenfion ou autant de force pour s’en éloigner encore davantage , que dans le fecond cas ; car fa tendance à s’éloigner tout-à-fait de la perpendiculaire eft d’autant plus grande , que la tangente au point de l’arc où il fe trouve approche davantage de la verticale : donc, plus le cercle que dé-criroit fon centre de gravité eft grand , moins grande eft; cette tendance à tomber, & confé-quemment, plus grande eft la facilité à le tenir en équilibre.
    • PROBLÈME XXXIV,
    • Quelle eft la pofition la plus avantageufe des pieds
    • pour fe foutenir folidement debout ?
    • O Es T un ufage parmi les perfonnes bien élevées , de porter les pieds en dehors, ç’eft-à-dire
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    • Mécanîquê. 57
    • enforte que là ligne du milieu dé la plante des pieds foit plus ou moins oblique à la dire&ion vers laquelle on éft tourné : cela m’a donné lieu de rechercher s’il y a quelque raifon phyfique ou mécanique qui vienne à l’appui de cet üfage, auquel on attache une .idée de grâce. Voyons donc , examinons ceci, fuivant les principes de la mécanique.
    • Un corps quelconque eft d’autant plus folide-ment porté fur fa bafe, que, par la position du centre de gravité Sc ia grandeur de cette bafe, ce centre eft moins expofé à en fortir par l’effet'des chocs extérieurs Cette confidération fort (impie réduit donc le problème à déterminer fi , félon la pofition des pieds , la bafe dans l’intérieur de laquelle doit tomber la perpendiculaire à l’horizon , abaiffée du centre de gravité du corps humain, eft fufceptible d’augmentation & de diminution, & quelle eft la pofition des pieds où cette bafe a la plus grande étendue. Or ceci devient un problème de pure géométrie, dont l’énoncé feroit celui-ci :
    • Deux lignes AD, BC , égales & mobiles fur les PI. 6, points A & B comme centres , étant données, déter- %• 31» miner leur pofition lorfque le quadrilatère ou trape^e A B CD fera le plus grand pofjîble. Ce problème fe réfoud avec la plus grande facilité, par les méthodes connues des géomètres pour les problèmes de ce genre, & l’on déduit de cette folution la conf-truftion (ùivante.
    • Sur la ligne Ad, égale à AD ou BC, faites le Fig. 3a. triangle ifofcele A Hd re&angle en H, & faites AK égale â AH ; enfuite, ayant pris AI égale à ~
    • AG ou un quart de AB, tirez la ligne Kl, & pre-neHE égale à IK ; puis fur GE élevez une perpendiculaire indéfinie, qui coupe en D le cercle dé-
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    • 5 8 Récréations Mathématiques.
    • crit de À, comme centre , avec le rayon Ad: l’angle DAE fera l’angle cherché.
    • Si la ligne AB , & conféquemment AG ou AI, eft nulle, on trouvera que AE fera égale à AH ,
    • 6 que l’angle DAE fera demi-droit. Ainfi, lorf-qu’on a les talons abfolument appliqués Pun contre l’autre, l’angle que doivent faire enfemble les lignes longitudinales de la plante des pieds , eft demi-droit, ou bien approchant de demi-droit, à caufe de la petite diftance qu’il y a alors entre les deux points de rotation qui font au milieu des talons.
    • Suppofons maintenant que la diftance AB eft égale à AD , on trouverait, par le calcul, que l’angle DAE devrait être de 60 degrés.
    • En fuppofant AB égale à deux fois AD , ce calcul donnera l’angle DAE de 70 degrés bien près.
    • En faifant AB égale à trois fois la ligne AD , l’angle DAE fe trouvera devoir être bien près de 740 30'.
    • On voit donc par-là, qu’à mefure que les pieds feront plus écartés l’un de l’autre, leur direction devra, pour la plus grande folidité du corps, approcher davantage du paraliélifme. Mais, en général, les principes mécaniques font d’accord avec ce que l’ufage & ce qu’on appelle la bonne-grâce enseignent , fçavoir , de porter les pieds en dehors.
    • PROBLÈME XXXV.
    • Du Jeu de Billard.
    • Il eft inutile d’expliquer ici ce que e’eft que le jeu de billard. On fçait affez que e’eft une table couverte d’un tapis bien tendu, & garnie de rebords bien rembourrés, dont l’élafticité renvoie
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    • Mécanique. 59
    • les billes ou balles d’ivoire qui les rencontrent ; que les coups de ce jeu qui donnent du gain, font ceux où , par le choc de fa bille, on envoie celle de fon adverfaire dans quelqu’un des trous lis aux angles & au milieu des grands cotés, qu*on nomme beloufes, &c.
    • Tout confifte donc , dans ce jeu , à reconnoî-tre de quelle maniéré il faut frapper la bille de fou adverfaire avec la fienne , pour que celle-là aille tomber dans une des beloufes, fans s’y perdre foi-même. Ce problème , & quelques autres propres au jeu de billard, reçoivent leur folution des deux principes fuivants :
    • i ° Que l’angle d’incidence de la bille, contre une des bandes ou rebords, eft égal à l’angle de réflexion ;
    • 2° Que lorfqu’une bille en rencontre une autre, lî l’on tire une ligne droite entre leurs centres, laquelle conféquemment paffera par le point de contaél, cette ligne fera la dire&ion de la ligne frappée après le coup.
    • Cela fuppofé, voici quelques-uns des problèmes que ce jeu préfente.
    • I. La pojition de la beloufe & celles des deux billes M9 N, étant données, frapper celle M de fon adverfaire enforte qu'elle aille dans cette beloufe.
    • Par le centre de la beloufe donnée & celui de 7» cette bille, menez ou concevez une ligne droite ; S* 33* le point où elle "coupera la furface de la bille du côté oppofé à la beloufe , fera celui où il faudra la toucher pour lui donner la dire&ion cherchée.
    • En concevant donc la ligne ci-deffus prolongée d’un rayon de la bille, le point O où elle fe terminera, fera celui par lequel devra paflfer la bille
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    • èo Récréations Mathématiques. choquante. On fent aifément que c’eften quoi confifte l’habileté dans ce jeu : il ne s’agit que de frapper la bille convenablement ; & il eft facile de voir ce qu’on doit faire , mais il ne l’eft pas autant de l’exécuter.
    • On voit au refte, par ce qu’on a dit plus haut, que, pourvu que l’angle NOB excede tant foit peu l’angle droit, il eft poflible d’envoyer la bille M dans la beloufè.
    • II. Frapper une bille de bricole.
    • PI. 7» La bille M eft cachée ou prefque cachée der-%• 34*riere le fer à l’égard de la bille N, enforte que cherchant à la toucher directement, il feroit im-poffible de le faire , ou qu’il y auroit grand danger de rencontrer le fer 6c de la manquer : il faut alors chercher à toucher la bille de bricole ou par réflexion. Pour cela, concevez du point M fur la bande DC, la perpendiculaire MO prolongée en m, de forte que O m foit égale à OM. Vifez à ce pointez; la bille N, après avoir touché la bande DC, ira choquer la bille M.
    • ]fig. 35* Si l’on vouloit frapper la bille M par deux bricoles ou après deux réflexions, en voici la folu-tion géométrique. Du point M, concevez fur la bande BC la perpendiculaire MO prolongée , en-forte que O m foit égale à OM ; du point m foit conçue fur la bande DC prolongée, la perpendiculaire m P prolongée en q , de forte que q P foit égale à P m: la bille N dirigée à ce point q, ira , après avoir frappé les bandes DC, CB, choquer la bille M.
    • La démonftration en eft- facile pour quiconque eft tant foit peu géomètre.
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    • Mécanique; èt
    • ÏII. Une bille venant d'en choquer une autre félon une direction quelconque, quelle ejl, après ce choc , la direction de la bille choquante ?
    • Il eft Important , dans le jeu de billard , de reconnoître quelle fera , après avoir tiré fur la bille de Ton adversaire & l’avoir choquée obliquement, la direction de fa bille propre ; car tout le monde fçait qu’il ne Suffit pas d’avoir touché la première ou l’avoir pouffée dans la beloufe ; il faut ne pas y tomber foi-même.
    • Soient donc les billes M , N, dont la derniere va PL 7^ choquer la première en la touchant au point O. %• 36. Par ce point O foit tirée la tangente OP ; & par le centre n de la bille N arrivée au point de conta ft , foit menée ou conçue la parallèle np à o P: la direction de la bille choquante fera, après le choc , la ligne np. On iroit ici fe perdre infailliblement, & c’eft en effet ce qui arrive fréquemment dans cette pofition des billes. Les joueurs qui tentent avoir à faire à des novices dans ce jeu, leur donnent même Souvent cet acquit captieux, qui les fait perdre dans une des beloufes des coins. Il faut, dans ce cas , fe bien garder de prendre la bille de Son adverfaire de moitié , Suivant le terme du jeu , pour la faire à un des coins de l’autre bout du billard ; car, en l’y faifant, on ne manque guere de fe perdre foi-même dans l’autre coin.
    • Remarque.
    • Nous Sommes partis, en raifonnant fur ce jeu, des principes communs; mais nous ne pouvons nous diffimuler que nous avons plus que de l’inquiétude fur ce fujet, & en voici le motif.
    • Si les billes n’avoient qu’un mouvement pro-
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    • 6t Récréations Mathématiques.
    • greflif en ayant, fans volution autour de leur centre , les principes ci-deffus feroient évidemment & fuffifamment démontrés. Mais tout le monde fqait qu’indépendamment de ce mouvement pro-greffif du centre, une bille roule fur le tapis dans un plan qui lui eft perpendiculaire. Lors donc qu’une bille touche la bande, & en eft repouffée avec une force à peu près égale à celle avec laquelle elle l’a choquée, ce mouvement femble devoir fe compofer avec le mouvement de rotation qu’elle avoit au moment du choc, ôc avec celui qu’elle a dans le fens parallèle à la bande. Or , puifque le premier de ces mouvements, compofé avec le dernier, donne l’angle de réflexion égal à l’angle d’incidence, que devient donc le fécond qui devroit altérer le premier réfultat ? C’eft, ce me femble, un problème de dynamique, qui n’a été réfolu par perfonne, & qui mériteroit de l’être.
    • Quoi qu’il enfoit, c’eft ce mouvement de rotation qui, dans certaines circonftances, donne un réfultat qui femble contrarier les loix du choc des corps élaftiques ; car , fuivant cette loi , quand un corps élaftique en choque direftement oc centralement un autre qui lui eft égal, ce premier doit s’arrêter, en communiquant toute fa vitefle au fécond. Cela n’arrive cependant pas dans le jeu de billard ; car, dans ce cas, la bille choquante continue de marcher au lieu de s’arrêter tout court. Mais c’eft là une fuite du mouvement de la bille choquante autour de fon centre, ipouvement qui fubfifte encore en grande partie après le choc : c’eft ce mouvement qui porte encore cette bille en avant.
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    • Mécanique.
    • PROBLÈME XXXVI.
    • Conjlruclion d'une Pendule d'eau.
    • On appelle pendule (Peau, une montre ou hor- pj. 8, loge d’eau, qui à la figure d’un tambour ou barillet fig. 37. de métal bien foudé, comme A B CD, à laquelle le mouvement eft donné par une certaine quantité d’eau renfermée dans l’intérieur. Cette horloge marque les heures le long de deux montants verticaux , contre lefquels elle eft fufpendue par deux filets ou cordes fines , entortillées autour d’un ' effieu par-tout également épais, & qui traverfe le tambour de part & d’autre par le milieu. Le mé-canifme intérieur eft extrêmement ingénieux, & mérite d’être développé, mieux qu’on ne le voit dans les éditions précédentes des Récréations Mathématiques , où M. Ozanam n’explique même pas comment cette machine marche & fe foutient, pour ainfi dire, en l’air, fans tomber tout-à-coup, comme il femble qu’elle devroit faire.
    • Soit (fig- 38} le cercle 1 2 3 4, qui repréfente Fig. 38. la coupe du barillet ou tambour, par un plan perpendiculaire à.fon axe. Nous le fuppofons de cinq à fix pouces de diamètre. Les lignes A, B, C, D ,
    • E, F, G, repréfentent fept cloifons du même métal que le barillet, & foudées exa&ement tant aux deux fonds qu’à la bande circulaire qui en fait le contour ; ces fept cloifons ne doivent pas aller du centre à la circonférence , mais être un peu tranf-verfales & tangentes à un cercle intérieur, d’environ un pouce & demi de diamètre. Le petit quarré H eft la coupe de l’effieu qui doit être quarré en cette partie , & traverfer les deux fonds du tambour , en s’encaftrant très-jufte dans deux trous
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    • 64 Récréations Mathématiques,
    • femblables faits autour de leur centre. Ajoutons encore que chaque cloifon doit être percée le plus près qu’il fe pourra de la circonférence du tambour , d’un petit trou rond, pratiqué avec la même aiguille , afin qu’il n’y ait aucune différence.
    • Suppofons maintenant cju’on ait mis dans le tambour une certaine quantité d’eau, environ huit ou neuf onces, & qu’elle fe foit déjà diftribuée comme l’on voit dans la fig. 38 ; que la ligne IK repréfente le double cordon GH , EF, {fig. 37) enroulé autour de l’effieu cylindrique : il eft facile de voir que , fi la machine étoit vuide, le centre de gravité, qui ferok le centre même de la figure, étant hors de la ligne de fufpenfion, & du coté où la machine tend à tomber, elle tomberoit en effet ; mais l’effet de l’eau contenue derrière la cloifon D, eft de retirer ce centre de gravité en arriéré, enforte que s’il étoit en deçà de la verticale Kl prolongée, lé tambour tourneroitde D en E pour atteindre cette verticale ; &, dans cette pofition, la machine refteroit en équilibre fi Peau ne pouvoit paffer d’une cavité à l’autre ; car le tambour ne fçauroit rouler dans le fens AGF, fans faire remonter le centre de gravité du côté de D : de même il ne fçauroit rouler davantage dans le fens BCD , fans que le même centre remontât du côté oppofé. La machine doit donc refter en équilibre , & y perfifter tant que rien ne fera changé.
    • Mais fi, par le trou de la cloifon D, l’eau s’écoule peu à peu entre les cloifons D, Ë, il eft clair que le centre de gravité s’avancera tant foit peu en delà de Kl prolongée , & la machine roulera imperceptiblement dans le fens AGF ; & comme , en defcendant ainfi, le centre de gravité eft retiré vers la verticale Kl prolongée, l’équilibre fe rétablira
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    • MÉCANIQUE, 65
    • blirâ en même temps , &: ce mouvement cortti* nuera tant que la corde Toit toute défenroulée de deiïus l’effieu» Ce mouvement : à la vérité , ne fera pas tout-à-fait uniforme, car il eft évident que, lorfque l’eau fera prefque en entier derrière la cloifon D , le tambour roulera plus vîte que lorfqu’elle fera prefque écoulée ; & les périodes de ces inégalités feront dans une révolution totale du tambour, en même nombre que celui des cloi-fons; ce que ne paroiffent pas avoir appercu ceux qui ont traité de ces fortes d’horloges.
    • C’eft pourquoi * pour avoir une divifion exafte du temps par ce moyen, il faut faire une marque à la circonférence du barillet; après quoi, ayant monté la machine au plus haut, & l’avoir difpofée de maniéré que la marque en queftion foit au plus haut du barillet, vous aurez une bonne montre , avec laquelle vous marquerez , pendant une révolution entière, les points des heures écoulées. Il faut faire enforte que ce nombre d’heures foit un nombre entier , comme 2,4,6, &c ; & , pour cet effet, retarder ou accélérer le mouvement de la machine, jufqu’à ce que l’on ait atteint cette précifion ; fans quoi on pourra fort bien fe tromper de plufieurs minutes, peut-être d’un demi-quart d’heure. On verra plus bas comment on peut accélérer ou retarder ce mouvement.
    • Enfin, lorfqu’on remontera la pendule , il faudra avoir attention que l’effieu , étant placé contre la première divifion, la marque faite au barillet foit dans la même pofition ; fans quoi, je le répété, il ne faut compter fur l’heure qu’à plufieurs minutes près. Voici maintenant quelques ob-fervations utiles, relativement à cet objet.
    • , I. Il eft de toute néceffité que l’eau qu’on em-Tomc IL E
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    • 66 Récréations Mathématiques. ploiera Toit diftillée, fans quoi elle contra&era bientôt des vices qui lui feront obftruer les trous par lefquels elle doit couler , & la machine s’arrêtera.
    • II. La matière la plus'propre à faire le barillet de ces montres, eft l’or, ou l’argent, ou , ce qui eft moins coûteux, le cuivre rouge bien étamé en dedans, ou enfin l’étain.
    • III. Cette machine eft fujette à aller un peu plus vite en été qu’en hiver; c’eft pourquoi il eft à propos de la régler de temps en temps, & de la retarder ou accélérer. Pour cet effet, il eft bon de lui ajouter un petit contrepoids tendant à la
    • PL 8, faire rouler en dehors. Ce petit contrepoids doit fig. 39. être en forme de feau, & de quelque matière légère , enforte qu’on puiffe le charger plus ou moins , au moyen de petits grains de plomb. Veut-on accélérer la machine ,:on y ajoutera un , ou deux, ou plus de grains ; veut-on la retarder, on en ôtera ; ce qui fera beaucoup plus commode que d’ajouter de l’eau ou d’en ôter.
    • IV. Il faut que l’endroit de l’infertion de l’effieu dans le tambour foit hermétiquement clos, fans quoi l’eau s’évaporera peu à peu, la machine retardera continuellement, & enfin s’arrêtera.
    • V. Avec toutes ces précautions, il eft aifé de fentir qu’une machine de cette efpece eft plus cu-rieufe que propre à mefurer le temps avec préci-fion. Cela peut être bon dans la cellule d’un religieux , ou dans un cabinet de curiofités mécaniques ; mais l’aftronomie n’en fera certainement pas ufage.
    • VI. On ne fçait guere quel eft l’inventeur de cette efpece d’horloge. M. Ozanam écrivoit, en 1693 , que les premières qu’on vit à Paris vers ce temps-là, avoient été apportées de Bourgogne : il
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    • Mécanique. 67
    • ajoute que le pere Thimothée, Êarnabite, qui excelloit dans les mécaniques, avoit donné à cette horloge d’eau toute la perfe&ion dont elle étoic fufceptible. Ce religieux en avoit fait une haute d’environ cinq pieds, qui ne fe montait qu’une fois en un mois. On y voyoit, outre les heures marquées fur le haut de la boîte, dans un cadran régulier, le quantieme du mois, les fêtes de l’année , le lieu du fôleil dans le zodiaque, fon lever & fon coucher, ainfi que la longueur du jour & de la nuit. Cela s’exécutoit par le moyen d’un petit foleil qui defcendoit imperceptiblement , & qu’on levoit au bout du mois au haut de la boîte, lorfqu’il étoit parvenu au plus bas.
    • Le pere Martinelli a traité fort au long de ces pendules , dans un ouvrage italienintitulé Horo-logi Elementari, où il enfeigne à faire des horloges au moyen des quatre éléments, l’eau, la terre, le feu & l’air. Cet ouvrage fut imprimé à Venife en 1663 , &eft fort rare. On y voit comment on peut adapter à une pendule d’eau des fonneries,
    • & toutes les autres particularités qui accompagnent quelquefois les horloges à roues. Nous pourrons, à l’imitation de M. Ozanam, en donner la tradu&ion à la fuite de cet ouvrage , en l’abrégeant néanmoins.
    • PROBLÈME XXXVII.
    • Paradoxe Mécanique.
    • Comment, dans une balance, des poids égaux placés à quelque dijlance que ce foit du point d'appui , je tiennent en équilibre.
    • Faites un chaffis quarré, tel que DEFG, de PI. 8, quatre petites réglés de bois tellement affembîées, %• 4°' Eij
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    • 68 Récréations Mathématiques. qu’elles puiffent fe mouvoir librement fur les angles , enforte que ce chaffis puiffe paffer de la forme de reélangle à celui de parallélogramme, comme efgd. Les longs côtés doivent être environ doubles des autres. Dans le montant perpendiculaire BC, de la grofleur convenable, eft pratiquée une fente, dans laquelle eft inférée ce chaf-iis, de maniéré qu’il foit mobile fur les deux points I, H , où il eft attaché au montant perpendiculaire par deux petits axes; enfin les petits côtés E D , FG, font traverfés chacun par une piece de bois, telles que MN, KL, qui leur font attachées fixement ; le tout eft porté fur un pied tel que AB.
    • Maintenant, qu’on fufpende le poids P au point M, qui eft prefque à l’extrémité du bras M N , la plus éloignée du centre ou des centres de mouvement ; qu’on fufpende le poids Q égal au premier , d’un point R quelconque de l’autre bras KL, plus près du centre, & même en dedans du chafiis : ces deux poids fe feront toujours équilibre, quoi-qu’inégalement éloignés du point d’appui ou de mouvement de cette efpece de balance ; & ils y relieront aulîi, quelque fituation qu’on donne à la machine , comme cdfg.
    • La raifon de cet effet, qui femble d’abord contredire les principes de la ftatique, eft cependant aflez fimple ; car deux corps égaux font en équilibre , lorfque la machine à laquelle ils font fuf-pendus étant fuppofée prendre quelque mouvement , les defcentes de ces deux poids font égales & femblables. Or il eft aifé de voir que cela doit néceflairement arriver ici, puifque les deux poids, quelle que foit leur pofition , font néceiîités à décrire des lignes égales & parallèles,
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    • Mécanique. 69
    • On voit aufli avec facilité que, dans une pareille machine , quelle que foit la pofition dès poids le long des bras MN, KL,' c’eft la même chofe que s’ils étoient fufpendus du milieu des petits côtés du chalïis mobile, ED, FG. Or, dans ce dernier cas, des poids égaux feroient en équilibre ; donc, &c.
    • PROBLÈME XXXVIII.
    • Quelle ejl la viteffe qu'on doit donnera, une machine mue par un courant d'eau } pour qu'elleproduife le plus grand effet ?
    • On concevra facilement que cela n’eft point indifférent, fi l’on fait l’obfervation fuivante. Si la roue fe mouvoit avec la même viteffe que le fluide, elle n’en éprouveroit aucune impreffion ; confé-quemment le poids quelle éleveroit feroit nul, ou infiniment petit. Si, au contraire, elle étoit immobile , elle éprouveroit toute l’impreflion du courant ; mais il y auroit équilibre : il n’y auroit donc point de poids enlevé , & conféquemment pbint d’effet. Il y a donc une certaine viteffe , moyenne entre une viteffe égale à celle du courant & une viteffe nulle , qui donnera l’effet le plus grand ; effet qui eft proportionnel, dans un temps donné, au produit du poids par la hauteur à laquelle il eft élevé.
    • Nous ne donnerons pas ici l’analyfe qui conduit à la folution du problème. Nous nous bornons à obferver que, dans une machine de la nature ci-deffus, la viteffe de la roue doit être égale au tiers de celle du courant. Il faut conféquemment augmenter la réfiftance ou le poids, jufqu’à ce' que la viteffe ci-deffus foit comme on vient de dire. La Eiij
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    • 7ô Récréations Mathématiques. machine produira alors le plus grand effet dont elle eft fufceptible.
    • PROBLÈME XXXIX.
    • Quel ejt le nombre d'aubes qu’on doit mettre a une roue mue par un courant deau, pour quelle produire le plus grand effet ?
    • On a cru pendant long-temps que les aubes d’une pareille roue dévoient être tellement proportionnées que, lorfqu’une d’elles fe trouvoit verticale ou au milieu de fon immerfion , la fui-vante ne fit qu'entrer dans l’eau. On en donnoit bien des raifons, que néanmoins le calcul dément auffi bien que l’expérience.
    • Il eft aujourd’hui démontré que plus une roue femblable a d’aubes, plus grand eft fon effet, & plus il eft uniforme. C’eft ce qui réfulte des recherches de M. l’abbé de Valernod, de l’académie de Lyon, & de celles de M. du Petit-Vandin, qu’on lit dans le Ier Vol. desMém. des Sçavants étrangers. M. l’abbé Bofîiit, qui a examiné à l’aide de l’expérience, la plupart des théories hydrauliques , a aufli démontré la même choie. Dans les expériences qu’il a faites, une roue garnie de quarante-huit aubes a produit un plus grand effet qu’une garnie de vingt-quatre, & celle-ci plus que celle garnie de douze, en les plongeant également dans l’eau. Aufli M. du Petit-Vandin obferve-t-il qu’en Flandres , où l’eau courante eft affez rare pour qu’on la ménage autant qu’il fe peut, on ne met jamais moins de trente-deux aubes à une roue, & qu’on en met jufqu’à quarante-huit lorfque la Toue a 15 à 18 pieds de diamètre.
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    • 7i
    • Mécanique.
    • PROBLÈME XL.
    • Un bâton ou cylindre plein , & un autre creux & de même folidité, étant propofés , lequel des deux rèjifiera davantage à être rompu par un poids fufpendu à une de leurs extrémités , l'autre étant fixe ? On les fuppofe de la même longueur.
    • Quelques-uns de nos le&eurs, & peut-être plufieurs, feront tentés de penfer que la bafe de rupture étant la même, tout doit être égal : on eft même tenté, du premier abord, de regarder le bâton ou cylindre plein, comme doué d’une plus grande réfiftance à être rompu; mais on feroit dans l’erreur.
    • Galilée , qui le premier a examiné mathématiquement la réfiftance des folides à être rompus par un poids fur un appui, Galilée, dis-je, a fait voir que le cylindre creux réfiftera bien davantage, & qu’il réfiftera d’autant plus qu’il y aura plus de creux. Il fait même voir, d’après une théorie fort approchante de la vérité, que la réfiftance du cylindre creux fera à celle du plein, comme le rayon total du creux à celui du plein. Ainfi un cylindre crèux ayant autant de vuide que de plein, réfiftera plus que le plein dans le rapport de \/i à i ou de 1.141 à 1.000; car le premier aura v/a pour rayon, tandis que le premier aura un rayon égal à l’unité. Un cylindre creux , ayant deux fois autant de vuide que de plein, réfiftera plus que ce dernier en raifon de 3/3 à 1, ou de 1.73 à 100; car leurs rayons feront dans le rapport de 1/3 à 1. Un cylindre creux, dont la folidité ne feroit que la vingtième partie du volume total, réfifteroit plus que le cylindre plein de même folidité 9 en raifon de 3/21, ou 4.31 à 100, &c.
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    • 7* Récréations Mathématiques, Remarque.
    • Il efl aifé d’obferver, & Galilée ne manque pas de le faire, que ce mécanifme eft celui dont la Nature ou fon fouverain Auteur s’eft fervi pour concilier en plufieurs occafions la folidité avec la légéreté.- Ainfi les os de la plupart des animaux font creux ;ils euffent perdu de leur force à être fo-lides avec la même quantité de matière ; ou, pour leur donner la même réfiftance, il eût fallu les rendre plus maffifs, ce qui eût nui à la facilité du mouvem'ent. Les tiges de beaucoup de plantes font creufes par la même raifon. Enfin, les plumes des oifeaux , dans la formation defquelles il falloit allier beaucoup de force à une grande légéreté, font creufes , & leur cavité eft même la plus grande partie de leur diamètre total, enforte que les parois font extrêmement minces.
    • PROBLÈME X L I.
    • Fabriquer une lanterne qui conferye la lumière au fond, de Veau.
    • IL faut que la lanterne foit de cuir, qui réfifte mieux aux flots que toute autre matière. On ajoutera à cette lanterne deux tuyaux qui auront communication avec l’air fupérieur ; l’un pour recevoir de nouvel air, afin d’entretenir la lumière; l’autre pour fervir de cheminée , & donner pafïage à la fumée ; tous deux affez élevés au defïus de l’eau pour n’être pas couverts par les vagues dans les gros temps. On conçoit que le tuyau qui .fer-vira à donner de nouvel air, doit avoir communication par le bas de la lanterne, & celui qui fert de cheminée en doit avoir par le haut. On fera
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    • Mécanique. 75
    • dans le cuir tout autant de trous qu’on voudra, pour y placer des verres qui répandront la lumière de tous côtés. Enfin on fufpendra la lanterne avec du liege, afin qu’elle s’élève & s’abaiffe avec les flots.
    • Cette efpece de lanterne, dit M. Ozanam, pourroit fervir à pêcher à la lumière ; mais ce qu’il ne dit pas, c’eft que cette pêche eft févére-ment défendue par de fages ordonnances.
    • PROBLÈME XLII.
    • Construire une lampe qui , dans toutes fes foliations , conferve fon huile , quelque mouvement & quelqu'inclinaifon qu'on lui donne.
    • Pour conftruire une lampe femblable , il faut d’abord que le corps de la lampe, ou le vafe qui contient l’huile & la meche, ait la forme d’un fegment fphérique. Ce fegment aura à fon bord deux pivots diamétralement oppofés, qui rouleront dans deux trous pratiqués aux extrémités du diamètre d’un cercle de fer ou de laiton. Ce cercle aura lui-même deux autres pivots diamétralement oppofés, & éloignés de 90° des trous où portent les premiers : ces féconds pivots tourneront dans deux trous diamétralement oppofés d’un fécond cercle. Ce fécond cercle doit enfin avoir auflU deux pivots, qui feront inférés dans un autre corps concave , propre à environner toute la lampe.
    • Il eft aifé de voir qu’au moyen de cette fuf-penfion, quelque mouvement qu’on donne à la lampe, à moins qu’il ne foit trop précipité, elle fs tiendra dans une lituation horizontale.
    • Cette fufpenfion eft celle de la bouffole, que les marins ont tant d’intérêt d’obferver & de tenir
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    • 74 Récréations Mathématiques. dans une fituation horizontale. J’ai lu quelque part que l’empereur Charles V s’étoit fait faire une voiture fufpendue de cette maniéré, pour être à l’abri du danger de verfer.
    • PROBLÈME XLIII.
    • Conjlruction d'un anémofcope & d'un anémomètre.
    • Ces deux machines, qu’on confond vulgairement , ne font pourtant pas la même chofe. L’a-némofcope eft celle qui fert à reconnoître la direction du vent; ainfi , à proprement parler, une girouette eft un anémofcope. On entend au refte ordinairement par-là , une machine plus compo-fée, 8c qui marque fur une efpece de cadran , foit intérieur, foit extérieur à une maifon, la dire&ion du vent qui fouffle. Quant à l’anémometre, c’eft un inftrument qui fert à marquer non-feulement la diréâion, mais la durée 8c la force du vent.
    • 9> Le mécanifme d’un anémofcope eft fort fimple.
    • 41* Qu’on imagine une girouette élevée au defîus du comble d’une maifon, & portée fur un axe qui, traverfant le toit, s’appuie par fa pointe fur une crapaudine; le mouvement doit en être allez facile pour obéir à la moindre impulüion du vent. Cet axe vertical porte une roue dentée , horizontale , à dents pofées de champ ; 8c cette roue s’en-g'rene avec une autre précifément égale 8c verti-ticale, qui eft attachée à un axe horizontal, lequel porte à ion extrémité l’aiguille d’un cadran.. Il eft vifible que la girouette ne fçauroit faire un tour , que l’aiguille ci-deflus n’en faffe un précifément. Ainfi, fi l’on fixe la pofition de cette aiguille de maniéré qu’elle foit verticale quand le vent eft nord, 8c qu’on obferve dans quel fens elle tourne
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    • Mécanique.' 7j
    • quand il pafle à l’oueft, il fera facile de divifer le cadran en fes trente-deux airs de vent.
    • On peut aufli fe procurer affez facilement un anémomètre , s’il n’eft queftion que de mefurer l’intenfité ou la force du vent. En voici un que nous propofons. La figure quarante-deuxieme repréfente encore une girouette attachée fixement à PI. 9, un axe vertical. Tranfverfalement au plan de la %• 4Z‘ girouette, eft fermement implantée une barre de fer horizontale AB, dont les extrémités recourbées à angles droits, fervent à foutenir un elîieu horizontal , autour duquel tourne un chaflis mobile ABCD, d’un pied de hauteur & d’un pied de largeur. Au milieu du côté inférieur de ce chaflis , foit attaché un fil de foie délié & affez fort, qui pafle fur une poulie adaptée en F, dans une fente pratiquée dans l’axe vertical, d’où il defcend le long de cet axe jufques dans l’étage au deffous du toit. La diftance GF doit être égale à GE. Le bout de ce fil foutiendra un petit poids, feulement fufîifant pour le tendre. Quand le chaflis, que la girouette préfentera toujours dire&ement au vent, eft foulevé, (& il le fera plus ou moins, fuivantla force du vent ), le petit poids ci-defliis fera auffi foulevé, & marquera, contre une échelle appliquée à l’axe de la girouette, la force de ce vent. Onfent aifément qu’elle fera nulle lorfque le petit poids fera- au plus bas, & la plus grande poflible lorf-qu’il fera au plus haut, ce qui indiqueroit que le vent tiendroit le chaflis horizontalement.
    • On pourra, fi l’on veut, déterminer avec plus de précifion la force du vent, félon les différentes inclinaifons du chaflis ; car on trouve que cette force fera toujours égale au poids abfolu du chaflis qui eft connu, multiplié par le finus de l’angle
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    • rj6 Récréations Mathématiques. qu’il fait avec la verticale, & divifé par le quarré du même angle. Il ne s’agira donc que de con-noître, par le mouvement du petit poids attaché au filet EFP, l’inclinaifon du chaffis. Or c’eft ce qui eft facile ; car il eft aifé de voir que la quantité dont il fera élevé au deffus du point le plus bas , fera toujours la corde de l’angle du chaffis avec le plan vertical, ou le double du finus de la moitié de cet angle. Ainfi l’on pourrait marquer le long de l’échelle la grandeur de cet angle , 6c de l’autre la force du vent, calculée d’après la réglé précédente.
    • On lit dans les Mémoires de l’Académie Royale des Sciences, pour l’année 1734, la defcription d’un anémomètre inventé par M. d’Ons-en-Bray, pour marquer à-la-fois la dire&ion du vent, fa durée dans cette dire&ion , & fa force. Cet anémomètre mérite que nous en donnions ici une idée.
    • Il eft compofé de trois parties, fçavoir, d’une pendule ordinaire, qui fert aux ufages qu’on indiquera , 6c de deux machines ; l’une qui fert à marquer la direftion du vent 6c fa durée, l’autre à marquer fa force.
    • La première de ces machines eft compofée comme l’anémofcope ordinaire , d’un axe vertical portant une girouette, 6c qui, au moyen de quelques roues dentées, marque d’abord fur un cadran le nom du vent qui fouffle ; le bas de cet axe enfile un cylindre, fur lequel font implantées trente-deux pointes fur une ligne fpirale. Ce font ces pointes qui, par la maniéré dont elles fe préfentent, appuient contre un papier préparé , 6c tendu entre deux colonnes ou axes verticaux , fur l’un defquels il s’enroule pendant qu’il fe défenroule de deffus l’autre. Ces roulement Ôcdéfenroulement font éxé-
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    • M i C À NI QU Ë. eûtes par le mouvement fitnultané des deux axes, qui leur eft communiqué par la pendule dont nous avons parlé. On fent maintenant que, fuivant la pofition de la girouette, une pointe fe préfentant contre le papier préparé, & qui coule au devant en appuyant légèrement contr’elle, elle y laiffe une trace, & la longueur de cette trace indique la durée du vent. Si deux pointes voifines marquent à-la*fois, c’eft une preuve que le vent tenoit une direction moyenne.
    • La partie de l’anémometre qui marque la force du vent, eft compofée d’une efpece de moulin à la polonoife, qui tourne d’autant plus vite que le vent eft plus fort. Son axe vertical porte une roue qui mene une petite machine dont l’effet eft, après un certain nombre de tours, de frapper avec une pointe fur une bande de papier, qui a un mouvement femblable à celui de la partie de l’anémo-metre qu’en a décrite plus haut. Le nombre de ces coups, dont chacun eft marqué par un trou, leur nombre, dis-je, fur une longueur déterminée de ce papier mobile, fert à défigner la force du vent, ou plutôt la viteffe de la circulation du moulin , qui lui eft à peu près proportionnelle. Mais on doit voir dans les Mémoires de l’Académie cités , le développement de tout ce méca-nifme , dont le peu de place que nous avons ne nous permet de donner qu’une légère idée.
    • PROBLÈME XLIV.
    • Conjlruclion (Tun pefon , au moyen duquel on puijfe fans poids mefurer la pefanteur des corps.
    • Nous allons donner ici les deferiptions de deux mftruments de ce genre, l’un portatif, ÔC deftiné
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    • 78 Récréations Mathématiques. à mefurer des poids médiocres, comme de i à 15 ou 30 livres ; le fécond fixe, pour des poids beaucoup plus confidérables, & même de plufieurs milliers. On en voit un de ce dernier genre à la Douane de Paris , où l’on s’en fert avec beaucoup de commodité pour les poids qui font entre 100 & 3000 livres.
    • PL 9, Le premier de ces pefons eft repréfenté par %• 43* la fig. 43. II eft cçmpofé d’un tuyau ou canon de métal AB , auquel on peut donner environ 6 pouces de longueur & 8 lignes de diamètre. Ce tuyau eft repréfenté ouvert dans la plus grande partie de fa longueur , pour lailfer voir au dedans un ref-fort d’acier en fpirale. Il y a au bout d’en haut A, un trou quarré qui lailfe palfer une verge de cuivre aufli quarrée, dont le relfort eft traverfé, enforte qu’on ne peut la retirer fans comprimer le relfort contre le fond fupérieur du canon. Le bas de ce canon porte enfin un crochet, pour y fufpendre les corps que l’on veut pefer.
    • Il eft maintenant fenfible que fi l’on applique à ce crochet, pendant que le pefon eft retenu par fon anneau, des corps de différente pefanteur, ils entraîneront plus ou moins du canon , en forçant le relfort contre fon fond fupérieur. Ainfi l’on divifera la verge, en fufpendant fucceflive-ment au crochet des poids de différente pefanteur, comme une livre , deux livres, &c, jufqu’au plus grand qu’on puiffe pefer; l’on examinera & marquera d’un trait, accompagné du numéro du poids, la partie de la verge qui fortira du canon ; & l’inf-trument fera préparé. Lorfqu’enfïn on voudra s’en fervir, on n’aura qu’à palfer le doigt dans l’anneau de la verge, foulever le poids attaché au crochet, & regarder fur la face divifée de la verge
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    • Mécanique. 79
    • la divifion qui eft jufte contre le trou ; elle indiquera le nombre de livres que pefe le corps propofé.
    • Le fécond pefon annoncé plus haut, eft formé PI- 9, de deux barres adoffées l’une à l’autre, ou d’une %* 44-feule, ABCDE, courbée comme l’on voit dans la fig. 44. La partie AB eft fixément attachée à une poutre, & la partie DE eft terminée en E par un crochet propre à fufpendre les poids qu’on veut pefer. Cette partie ED porte dans fon prolongement une verge de fer dentelée en crémaillère , qui engrene dans un pignon, lequel porte une roue dentée, & cette roue dentée s’engrene dans un autre pignon dont l’axe porte une aiguille, qui fait une révolution jufte , quand au crochet E eft fufpendu un poids de trois milliers. Car il eft aifé de voir que l’on ne peut fufpendre en E un poids, fans que le reffort DCB foit ouvert plus ou moins ; ce qui donne à la crémaillère D F un mouvement qui fait tourner le pignon auquel elle s’engrene, &, par fon moyen, la roue dentée & le fécond pignon auquel l’aiguille eft attachée. Il n’eft pas moins facile de fentir qu’on peut, en conftruifant la machine, donner à fon reffort une telle force , ou combiner fes roues de maniéré qu’un poids déterminé, comme de 3000livres, faffe faire à l’aiguille une révolution complette.
    • Le centre du mouvement de cette aiguille eft enfin celui d’un cadran circulaire, qui fert à porter les divifions & indiquer les poids. Ces divifions doivent être faites en fufpendant fucceffivement des poids moindres que le plus grand , en progreflion arithmétique, comme 29 quintaux ,2,8, 27, &c.: cela donnera les divifions principales , qu’on pourra du refte , fans erreur confidérable , fubdi-vifer en parties égales.
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    • 80 Récréations Mathématiques.
    • Cette conftru&ion faite, pour pefer un poids au deffous de trois milliers, il n’y a qu’à le fufpen-dre au crochet E , & l’aiguille marquera fur le cadran fa pefanteur en quintaux & en livres.
    • R E MARQUE.
    • Il eft bon d’obferver qu’une pareille maniéré de pefer ne fqauroit être entièrement exafte, qu’en fuppofant la température de l’air la même; car , dans le froid les refforts font plus roides, & dans la chaleur ils le font moins. Je ne doute point, par cette raifon, que le même poids pefé en hiver & en été au pefon de la Douane de Paris , ne préfentât des différences. Il doit paroître pefer moins en hiver qu’en été.
    • PROBLÈME X L V. v
    • Fabriquer une voiture dont un goutteux puijfe fs fervir pour fs promener, fans fecours d’hommes ou de chevaux.
    • PI. io, La fig. 46 repréfente le deflin d’une femblable %• 45* voiture. On y réconnoîtra facilement
    • i° Deux grandes roues, qui doivent avoir environ 44 pouces de diamètre, avec une jante d’une feule piece, recouverte auffi d’une bande de fer d’une feule piece. Cette jante doit être un peu large, pour moins enfoncer.
    • a° Vers les deux tiers de chaque rais, eft appliqué un rouleau d’un pouce d’épaifleur, & de 5 pouces 4 lignes de diamètre, tournant fur fon axe, qui eft implanté par un bout dans le rais, St de l’autre dans un cercle de fer plat, qui fert à les retenir tous au moyen de vis St écroux.
    • 30 Sur chaque brancard , au deflus de l’endroit où il eft traverfé par l’effieu des deux roues, eft implanté
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    • M E OÀ NI Q Ü Ë. Bt
    • implanté tin fupport en forme de fourchette , fervant à foutenir l’axe d’une manivelle, lequel porte à fon extrémité une roué à quatre dents taillées en épicycloïde , lefquelles s’engrenent avec les rouleaux ci-deffus , & fervent à faire tourner la roue. Le bras de la manivelle doit avoir feulement 8 à 9 pouces de longueur.
    • 40 On voit dans la fig. 4<f, qui repréfente les PI. 10, mêmes chofes en plan, la forme du brancard, qui %• 46% eft compofé de deux pièces de bois parallèles, un peu concaves en enhaut, que tient par derrière une barre de bois tournée, & pardevant une piece de fer. Ces deux traverfes fervent à foutenir les deux foupentes deftinées à porter un petit fauteuil garni de fon doffier & de fon marche-pied. On pourra, fi l’on veut, le furmonter d’un parafol en impériale. Il doit être, comme on voit, un peu en arriéré , pour que le poids de la perfonne ne fafle pas tomber la voiture en devant. Le deffous du marche-pied, qui eft fermement attaché à l’effieu des roues, eft au furplus garni d’une piece de fec recourbée, qui, dans le cas où la machine pen-cheroit en devant, fert à la retenir en s’appuyant fur le pavé. Pour retenir la machine par derrière , il y a une roue plus petite, attachée au milieu de • la traverfe de derrière, par un mécanifme fembla-ble à celui des roulettes qu’on met fous les pieds des lits, & dont l’axe vertical eft embrafîe, pour plus de folidité , par une barre de fer attachée à l’eflieu des grandes roues. Enfin les extrémités des brancards font garnies par derrière de deux mains, pour faciliter à un domeftique le moyen de pouffer dans les endroits plus difficiles; & au devant il y a deux étriers, fervant'à y palier & aflùiettir les deux bras d’un brancard ordinaire, pour atteler un Tome II% F
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    • 81 Récréations Mathématiques. cheval à la voiture, fi on le juge à propos. On peut voir de plus grands détails fur cette machine dans les Mémoires présentés à l’Académie Royale des Sciences par divers fçavants, Tome IV.
    • Son auteur ( M. Brodier) l’ayant fait exécuter, nous apprend que, compris le poids de fon corps, elle ne pefoit que 378 livres ; &, en calculant ion effet fuivant les principes de la mécanique, il a trouvé qu’on pouvoit faire fur un plan incliné de 8 degrés , 200 toifes de chemin en 23 minutes ; ce qui eft conforme à fon expérience. A la vérité, en montant ainfi , on ne tarderoit pas d’être fatigué. Mais, fur un chemin de terre un peu ferme, & fur un pavé horizontal, on peut fe conduire allez long-temps, fur-tout fi l’on eft aidé, ne fût-ce que par un enfant de quatorze à quinze ans, dans les endroits difficiles.
    • On lit dans les précédentes éditions des Récréations Mathématiques y les defcriptions très-fom-maires de quelques machines femblables. La première eft une petite chaife roulante, de la forme ordinaire, à quatre roues , dont celles de devant, font mobiles fur leur axe , & 11e doivent rouler que par l’impulfion de celles de derrière. Celies-ei font fixément attachées à leur axe, qui doit porter à Ion milieu un pignon fervant à engrener une roue de champ, que la perfonne alfife dans, la voiture doit faire tourner au moyen d’une manivelle. Nous doutons que cette machine ait jamais été exécutée avec fuccès ; ou, pour mieux dire, n’en déplaife à M. Ozanam , nous la trouvons très-vi-cieufe , puifque la puiflance motrice fe trouve ici appliquée précifément le plus près du centre du mouvement.
    • L’autre voiture marchoit, dit M. Ozanam, au
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    • moyen d’un laquais placé derrière , qui agiffoit alternativement avec fes pieds fur deux tringles mouvantes. Ces deux tringles, en s’élevant & en s’abaiflant, menoient deux efpeces de planchettes qui s’engrenoient dans des roues dentées, fixées à l’eflieu des grandes roues. Mais tout cela eft fi mal expliqué par M. Ozanam, & dans le difcours,
    • & dans la figure, qu’on n’y conçoit rien ; c’eft pourquoi nous avons jugé à propos de changer totalement cet article, comme tant d’autres aufli vicieux , & dans la forme, St dans le fonds.
    • PROBLÈME X L VI.
    • Confiruclion d'une petite figure qui, livrée à elle-même, defcend furfes pieds & fes mains le long d'un petit efcalier.
    • ON' a apporté des Indes fil y a quelques années, cette petite machine qui eft fort ingénieufement imaginée, 8t à laquelle on donne le nom de fau* triaut, parceque fon mouvement eft affez reffem-blant à celui de ces fauteurs qui fe renverfent en arriéré fur leurs mains, relevent leurs pieds, & achèvent le tour en fe remettant debout. Mais le fautriaut ne peut exécuter ce mouvement qu’eri defcendant, St le long d’une forte d’efcalier. Voici l’artifice-de cette petite machine.
    • AB eft une planchette de bois léger, d’environ PI. 11, lo lignes de longueur, 2 d’épaifleur, 6 de hau- fig* 47* teur. Vers fes deux extrémités font percés les deux trous C & D , qui fervent à y placer deux petits axes , autour defquels doivent tourner les bras & les jambes du fautriaut. Aux deux extrémités de cette planchette, font deux petits réceptacles, de la forme que l’on voit dans la figure, c’eft-
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    • 84 Récréations Mathématiques.
    • à-dire à peu près concentriques aux trous C & P , avec un prolongement oblique vers le milieu de la planchette. Des extrémités de ces deux prolongements F & G, partent deux canaux Gg, F/, percés dans l’épaifleur de la planchette, & d’une ligne à peu près de diamètre.
    • On bouche enfuite les deux réceptacles par deux feuilles de carton très-léger, appliquées fur les côtés ; & l’on met dans l’un d’eux du mercure , enforte qu’il foit, à peu de chofe près, rempli. On place fur l’axe qui palfe par un des trous, C , deux fupports recoupés en forme de jambe, avec des pieds un peu allongés, pour leur donner plus d’affiete ; & fur l’axe paffant par l’autre trou D, on place deux fupports figurés en bras , avec leurs mains dans la fituation propre à fervir de bafe lorfque la machine eft retournée en arriéré. On applique enfin à la partie GH , une efpece de maf-que de moelle de fureau , que l’on coiffe à la maniéré des fauteurs : on figure au deffous un ventre avec de la même matière ; & l’on revêt cette figure d’une efpece de jaquette de taffetas , dépendant jufqu’au milieu des cuiffes. Voilà la petite machine à peu de chofe près conftruite. En voici le jeu.
    • PI. ii, Concevons d’abord la figure pofée debout fur %«48,49,fes jambes, comme on voit fig. 4#, ou dans la
    • n- I* 49 , n° 1. Tout le poids étant d’un même côté de l’axe de rotation C , à caufe du mercure dont le réceptacle de ce côté eft rempli, la machine doit trébucher de ce côté , & fe renverferoit totalement en arriéré, fi les bras ou les fupports tournants autour de l’axe D , ne fe préfentoient verticalement; mais, comme ils font plus courts que les jambes , la machine prend la pofition de la
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    • MéCANTQUfi. 8 y
    • fig. 4$, n° 2 ; & alors le mercure trouvant le PI. ir, petit canal G g incliné à l’horizon, coule avec fig- 49» impétuofité dans le réceptacle placé du côté D. n° 2‘
    • Suppofons donc qu’à cet inftant la machine repofe fur les appuis ou bras DL, tournants autour de Taxe D ; il eft évident que fi la machine vuide eft fort légère , le mercure, qui fe trouvera tout au delà du point de rotation D, l’emportera par fa prépondérance confidérable, & fera tourner la machine autour de l’axe D ; ce qui la relevera, 6c la fera retourner de l’autre côté. Mais comme les appuis CK doivent néceffairement être plus longs que les autres DL , afin que la ligne CD ait l’in-clinaifon convenable pour que le mercure puiffe couler par le petit canal F / d’un réceptacle à l’autre, il faut que la bafe fafle un reffaut double en hauteur de la différence de ces fupports , fans quoi la ligne Ff non-feulement n’atteindroit pas l’horizontale, mais refteroit inclinée dans le fens contraire à celui qu’elle devroit avoir.
    • La machine étant donc arrivée à la fituation PI* ir» DL, fig. 49 , n° 3, & le mercure' ayant repafféfië; 49> dans le réceptacle du côté de C, il eft évident n 3* que le même mécanifme que defliis la relevera, en la faifant tourner autour du point C , & la renverfera de l’autre côté, où les deux appuis tournants fur l’axe C , lui préfenteront une bafe ; ce qui la remettra dans la pofition de la fig. 49 , n°z;& ainfi de fuite : c’eft pourquoi ce mouvement fera perpétuel , tant qu’il fe trouvera des marches comme la première.
    • Remarques.
    • Afin que les fupports ou jambes 6c bras de la petite figure fe préfentent convenablement pour F iij
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    • 86 Récréations Mathématiques. la fou tenir à mefure qu’elle tourne , il faut quelques attentions particulières.
    • i ° Il eft néceflaire, que les grands fupports ou jambes, lorfqu’elles font arrivées au point ou la figure , après s’être renverfée, repofe fur elles, il faut, dis-je, qu’elles rencontrent un arrêt qui ne leur permette pas de tourner davantage, ou à la figure de tourner ; ce qui fe fait au moyen de deux petites chevilles qui rencontrent une prolongation des cuifles.
    • 2° Il faut que, tandis que la figure fe releve fur fes jambe-s, les bras faffent fur leur eflieu une demi-révolution , pour fe préfenter perpendiculairement à l’horizon & d’une maniéré ferme, lorfque la figure eft renverfée en arriéré. On y parvient, en garniflant les bras de la figure de deux petites poulies concentriques à l’axe du mouvement de ces bras , à l’entour defquelles s’enroulent deux filets de foie qui fe réunifient fous le ventre de la figure , & vont s’attacher à une petite traverfe qui joint les cuifles vers leur milieu ; ce qui contribue à leur fiabilité. On allonge ou l’on raccourcit ces filets, jufqu’à ce que cette demi-révolution des bras s’accompliffe exactement, & que la figure pofée fur les quatre fupports, la face en haut, ou en bas, ne vacille point ; ce qu’elle feroit fi ces fupports n’étoient pas liés enfemble de cette maniéré , & fi les grands ne rencontroient pas un arrêt qui les empêche de s’incliner davantage.
    • On trouve de ces petites figures à Paris, chez les tablettiers , 6c autres marchands qui débitent des bijoux d’étrennes , & en particulier au finm verd, rue des Arcis,
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    • «7
    • Mécanique.
    • PROBLÈME XLVII.
    • Difpofer trois bâtons fur un plan horizontal, de forte que chacun s’appuie für ce plan par l’une de fes extrémités, & que les trois autres fe fou-tiennent mutuellement en l’air.
    • Ceci n’eft qu’un petit jeu de mécanique , mais qu’on feroit peut-être étonné de ne pas trouver ici.
    • Prenez le premier bâton AB , & appuyez le bout PI. rr,. A fur la table, en tenant l’autre élevé, le bâton%• 5°" étant incliné à angle fort aigu ; appliquez deffus le fécond bâton CD, enforte que le bout C foit celui qui pofe fur la table ; enfin difpofez le bâton EF , enforte qu’il pofe par fon bout E fur la table, qu’il paffe au deffous du bâton AB du côté du bout élevé B , 8t s’appuie fur le bâton CD : ces trois bâtons fe trouveront par-là engagés de telle maniéré que leurs bouts D , B , F, relieront né-celfairement en l’air, en fe fupportant circulaire-ment les uns les autres.
    • PROBLÈME XLVII I.
    • Confruire un tonneau contenant trois liqueurs, qu'on pourra tirer à volonté par la meme broche, fans fe mêler.
    • Il faut que le tonneau foit divifé en trois parties pjg. ^ ou cellules A , B , C, qui contiennent les trois liqueurs differentes', par exemple , du vin rouge , du vin blanc, de l’eau, que l’on fera entrer chacun dans'fa cellule par le même bondon, en cette forte.
    • En conftruifant le tonneau , on auraajufté dans Fiv
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    • 88 Récréations Mathématiques. le bondon un entonnoir D , avec trois tuyaux E ,‘ F, G, qui aboutiffent chacun à fa cellule ; ajoutez à cet entonnoir un autre entonnoir H , percé de trois trous qui puiflent répondre, quand on voudra , aux ouvertures de chaque tuyau. Si l’on fait répondre, en tournant l’entonnoir H, chaque trou fucceffivement à l’ouverture de fon tuyau correspondant , la liqueur que l’on verfera dans l’entonnoir H, entrera dans ce tuyau. De cette maniéré on remplira chaque cellule de fa liqueur , fans que l’une fe puifle mêler avec l’autre, parceque quand un tuyau eft ouvert, les deux autres fe trouvent bouchés.
    • Mais, pour tirer auffi fans confufïon chaque liqueur par le bas du tonneau, il doit y avoir trois tuyaux IC , L , M , qui répondent chacun à une cellule, & une efpece de robinet IN, percé de trois trous , qui doivent répondre chacun à fon tuyau, afin qu’en tournant la broche I, jufqu’à ce que l’un de ces trous réponde vis-à-vis d’un tuyau , la liqueur de la cellule par où pafle ce tuyau , forte toute feule par le même tuyau.
    • PROBLÈME X L I X.
    • Percer une planche avec un corps mou, comme un bout de chandelle.
    • "V"O U s n’avez qu’à charger un fuftl avec de la poudre, &, au lieu de balle , y mettre un bout de chandelle ; tirez enfuite contre une planche qui ne Soit pas bien épaiffe, & vous verrez que la planche fera percée par le bout de chandelle, comme par une balle de plomb.
    • La caufe de ce phénomène eft, fans doute, que la rapidité du mouvement imprimé au bout de
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    • MÉCANIQUE. 89
    • chandelle , ne lui donne pas le temps de s’appla-tir, & alors il agit tout comme un corps dur. C’eft un effet de l’inertie des parties de la matière, qu’il eft aifé d’éprouver. Rien n’eft plus facile à divifer que l’eau. Cependant, fi l’on frappe de la paume de la main contre la furface de l’eau avec quelque viteffe, on en éprouve une réfiftance confidéra-ble, & même de la douleur, comme fi l’on frap-poit contre un corps dur. Il y a plus : une balle de fufil, tirée contre l’eau, en eft repouftee , & même s’y applatit. Si le fufil eft tiré avec une certaine obliquité , la balle en eft réfléchie , & eft capable, après cette réflexion, de tuer quelqu’un qui feroit fur fon chemin. Cela vient de ce qu’il faut un certain temps pour imprimer à un corps quelconque un mouvement fenfible. Donc , lorsqu’un corps, fe mouvant avec une grande rapidité, en rencontre un autre dont la mafîe eft un peu confidérable à l’égard de la fienne , il en éprouve une réfiftance prefque comme fi cet autre étoit fixe.
    • PROBLÈME L.
    • Rompre avec un bâton un autre bâton pofé fur deux verres, fans les caffer.
    • N O us ne donnons ici ce problème & fa Solution /que pareequ’on le trouve dans toutes les éditions des Récréations Mathématiques ; mais, à dire vrai, nous croyons que fi on en fait l’eflai, 011 fera bien de fe munir de verres. Quoi qu’il en foit, voici la Solution vraie ou prétendue du problème.
    • Il ne faut pas que le bâton qu’on veut rompre Soit trop gros, ni qu’il appuie beaucoup Sur les deux verres. Ses deux extrémités doivent être
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    • 90 Récréations Mathématiques. amenuifées en pointe ; & il doit être également gros dans toute fa longueur , autant qu’il fera pof-iïble, afin que l’on puiffe plus facilement connoître ion centre de gravité, qui dans ce cas fera au milieu.
    • Le bâton étant fuppofé tel qu’on vient de le demander, on mettra fes deux extrémités fur les bords des deux verres , dont l’un ne doit pas être plus élevé que l’autre, afin que le bâton ne penche pas plus d’un côté que d’autre, On fera enfofte que la feule extrémité de chaque pointe porte légèrement fur le bord de chaque verre. Alors , avec un autre bâton, on donnera fur le milieu du bâton un coup fec &: prompt, mais cependant proportionné , autant qu’on le pourra juger, à la groffeur du bâton & à la diftance des verres; ce quibri— fera le bâton en deux, fans qu’aucun des verres foit caifé.
    • Remarque.
    • Nous femmes bien éloignés, & on doit le voir, de regarder ceci comme quelque chofe de sûr ; nous croyons qu’on caifera bien des verres avant de caifer le bâton. Il y a néanmoins une raifon phyfique qui rend le fuccès poflible ; & c’eft la même que celle qui fait qu’une girouette ou une porte mobile fur fes gonds eft percée d’un coup de fufil. En effet, le bâton étant frappé dans fon milieu d’un coup vif & fec , ne peut, à caufe de fa maffe, prendre auffi-tôt le mouvement néceffaire pour ceder à Pimpétuofité du coup ; il eft comme retenu fermement par fes extrémités, dans lequel cas il fe romproit affurément. Au refte, nous le répétons , nous ne confeilions pas de faire cette expérience avant d’être approvifionné de verres.
    • On pourroit cependant la tenter d’une maniéré
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    • M É C A N I Q U E. 91
    • moins difpendieufe, fçavoir, en faifant porter les deux extrémités du bâton à rompre fur deux petits bâtons fort menus, & plantés perpendiculairement fur un banc. Peut-être pourra-t-on , après s’être exercé de cette maniéré, faire l’expérience avec l’apparence de merveilleux qu’y donne l’appui du bâton fur les deux verres.
    • PROBLÈME LI.
    • Principes pour juger de P effet poffible <Pune machine.
    • Il eft ordinaire aux charlatans, ou à des per-fonnes qui n’ont pas une connoiflance fuffifante de la mécanique, d’attribuer à des machines des effets prodigieux , >& fort au defîiis de ceux que comporte la faine phyfïque. Ainfi , il n’eft pas inutile d’expofer ici le principe qui doit guider pour porter un jugement fain & raifonnable de toute machine propofée.
    • Quelle que foit la compofition d’une machine , en fuppofant même qu’elle fût mathématiquement parfaite, c’eft-à-dire immatérielle & fans frottement ; fon effet, c’eft-à-dire le poids mis en mouvement , multiplié par la hauteur perpendiculaire à laquelle il fera élevé dans un temps déterminé, ne fçauroit excéder le produit de la puiffance motrice multipliée par le chemin qu’elle parcourt dans le même temps ; &, conféquemment, puifque toute machine eft matérielle, & qu’il eft impofli-ble d’y éviter totalement les frottements, ce qui abforbera néceffairement une portion de la puiffance , il eft évident que le premier produit fera toujours moindre que le fécond. Appliquons ceci à un exemple.
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    • 9i Récréations Mathématiques.
    • Quelqu’un propofe une machine qui, par \t feule force d’un homme appliqué à une manivelle ou aux bras d’un cabeftan , doit élever en une heure 50 muids d’eau à la hauteur de 14 pieds; vous pouvez lui dire'qu’il eft un charlatan ou un ignorant.
    • Car la force d’un homme appliqué à une manivelle , ou à traîner ou pouffer un poids quelconque , n’eft que d’environ 27 livres, ou même 15 , avec une viteffe tout au plus de 1800 toifes par heure ; encore ne pourroit-il travailler ainfi plus de 7 ou 8 heures de fuite. Ainfi le produit de 1800 par 27 étant 48600, on divifera ce produit par 4, nombre des toifes auxquelles l’eau doit être élevée: le quotient fera 12150 livres d’eau, ou 172 pieds cubes, ou 21 muids , à la hauteur de 24 pieds ; ce qui fait environ ~ de muid par minute , à la hauteur de 10 pieds : ce feroit là tout ce que pourroit produire cette puiffance dans le cas le plus favorable. Mais plus la machine fera compofée , plus il y aura de réfiftances à furmonter en pure perte, enforte que fon produit n’égalera pas, même à beaucoup près, le produit ci-deffus.
    • Dans une machine où un homme agiroit par fon propre poids & en marchant, on ne trouveront pas un beaucoup plus grand avantage ; car tout ce que pourroit faire un homme marchant fans autre poids que celui de fon corps, fur un plan incliné de 30 °, feroit de parcourir 1000 toifes par heure, fur-topt s’il avoit à marcher ainfi pendant 7 à 8 heures. Mais c’eft ici la hauteur perpendiculaire qu’il faut confidérer uniquement, & elle fe trouve de 500 toifes : le produit de 500 par 150 livres, qui eft le poids moyen d’un homme, eft 75000. Ainfi le plus grand produit
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    • Mécanique. 93
    • d’une pareille machine eft 75000 livres élevées à la hauteur d’une toife, ou 17500 à la hauteur de 4 toifes, ou un muids un quart par minute, à la hauteur de 10 pieds. En prenant entre cette détermination & la précédente une moyenne arithmétique , 011 trouvera que le produit moyen pofli-ble de la force d’un homme employé à mettre en mouvement une machine hydraulique, eft tout au plus d’un muid par minute, fur - tout fi l’ouvrage doit durer pendant 7 à 8 heures dans la journée.
    • Il eft vrai que fi la puiffance ne devoit agir que pendant fort peu de temps, comme 3,4 ou 5 minutes, le produit pourroit paroitre plus confidé-rable & environ du double. C’eft-là un des artifices employés par les machiniftes pour prouver la fupériorité de leurs machines. Ils la font mettre en mouvement pendant quelques minutes , par des gens vigoureux qui font un effort momentané , & font paroître le produit beaucoup plus grand qu’il ne feroit réellement.
    • La détermination ci-deffus cadre affez bien avec celle que M. Defaguliers a donnée dans fes Leçons de Phyfique ; car il y dit s’être affuré par le calcul, que l’effet des machines les plus parfaites & les plus (impies, mifes en mouvement par des hommes, ne donnent pas, à ra'îfon de chaque homme, plus d’un muid d’eau par minute, à la hauteur de 10 pieds.
    • Un élément fort effentiel pour les machines qui doivent être mues par des chevaux, eft le fuivant. Un cheval équivaut à environ fept hommes, ou peut faire dans l’horizontale un effort de 175 livres, en fe mouvant avec une viteffe de 15 à 1800 toifes par heure , en fuppofant qu’il doive travailler 8 à 10 heures par jour, M. Defaguliers trouve même
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    • £4 Récréations Mathématiques.
    • moins, & penfe qu’on doit feulement quintuple? la force de l’homme pour avoir celle du cheval.
    • Lorfqu’on poffédera ces principes, on ne courra point le rifque d’être trompé par des machiniftes ignorants ou charlatans ; & c’eft un grand avantage que d’être à portée de ne pas être la dupe de cette efpece d’hommes qui n’en veulent fouvent qu’à la bourfe de ceux qui auront la limplicité de les écouter.
    • PROBLÈME LII.
    • Du Mouvement Perpétuel.
    • Le mouvement perpétuel eft l’écueil de la mécanique , comme la quadrature du cercle , la tri-feftion de l’angle, &c. font ceux de la géométrie : &, tout comme ceux qui prétendent avoir trouvé la folution de ces derniers problèmes font ordinairement des gens à peine initiés dans la géométrie , de même ceux qui cherchent ou croient avoir trouvé le mouvement perpétuel font prefque toujours des hommes à qui lés vérités les plus conf-tantes de la mécanique font inconnues.
    • En effet, on peut démontrer , pour tous ceux qui font capables de raifonrier fainement fur ces matières, que le mouvement perpétuel eft impof-ftble ; car, pour qu’il fût poffible, il faudroit que l’effet devînt alternativement la caufe & la caufe l’effet. Il faudroit, par exemple, qu’un poids élevé à une certaine hauteur par un autre poids, élevât à fon tour cet autre poids à la hauteur dont il étoit defcendu. Mais, félon les loix du mouvement, & dans une machine la plus parfaite que l’efprit puiffe concevoir, tout ce que peut faire un poids defcendant, feroit d’en élever un autre dans
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    • le même temps, à une hauteur réciproquement proportionnelle à fa maffe. Or il eft impoffible que , dans une machine quelle qu’elle Toit, il n’y ait ni frottement, ni réfiftance du milieu à éprouver : ainfi il y aura toujours, à chaque alternative de montée & de defcente des poids qui agiffent alternativement, une portion fi petite qu’on voudra, du mouvement, qui fera perdue : ainfi, à chaque fois, le poids élevé montera moins haut, le mouvement fe rallentira , enfin ceffera.
    • On a cherché, mais infru&ueufement, des remontoirs dans l’aimant, dansja pefanteur de l’air, dans le relfort des corps , mais fans fuccès. Si un aimant eft difpofé de maniéré à faciliter l’afcenfion d’un poids, il nuira enfuite à fa defcente. Les ref-foris, après s’être débandés , ont befoin d’être tendus de nouveau par une force égale à celle qu’ils ont exercée. Le poids de i’athmofpherè, après avoir entraîné un côté de la machine au plus bas, a befoin d’être remonté lui-même comme un poids quelconque, pour agir de nouveau.
    • Nous croyons pourtant à propos de faire con-noître quelques tentatives de mouvement perpétuel , parce qu’elles peuvent donner une idée de l’illufion que fe fone faite quelques perfonnes fur ce fujet.
    • La fig. repréfente une roue garnie, à diftan- pf.
    • ces égales dans fa circonférence , de leviers por- fig. tants chacun à fon extrémité un poids, & qui font mobiles fur une charnière, de forte que dans un fens ils puiftent fe coucher fur la circonférence, ÔC du côté oppofé , étant entraînés par Je poids qui eft à leur extrémité, ils foierit contraints à fe ranger dans la direftion du rayon prolongé. Cela fuppofé, on voit que la roue tournant dans le
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    • 96 Récréations Mathématiques. fensabc, les poids A , B , C, s’écarteront' du centre ; & conféquemment , agiffant avec plus de force, entraîneront la roue de ce côté : & comme, à mefure qu’elle fe mouvera , un nouveau levier fe développera , il s’enfuit,. difoit-on, que la roue continuera fans ceffe de marcher dans le même fens. Mais, malgré l’apparence féduifante de ce raifonnement, l’expérience a montré que la machine ne marchoit pas ; & l’on peut en effet démontrer qu’il y a une pofition où, lé centre de gravité de tous ces poids étant dans la verticale menée par le point de fufpenfion, elle doit s’arrêter.
    • Il en eft de même de celle-ci, qui fembleroit aufli devoir marcher fans ceffe. Dans un tympan cylindrique & parfaitement en équilibre fur fon PI. 12, axe, on a creufé des canaux, comme on le voit %. 53. dans la fig. Jj , qui contiennent des balles de plomb , ou, fi l’on veut, du vif-argent. Par une fuite de cette difpofition, ces balles ou ce vif-argent doivent, d’un côté, monter en fe rapprochant du centre, & de l’autre côté , au contraire, elles roulent à la circonférence. La machine doit donc tourner fans ceffe de ce côté-là.
    • Fig. 54. En voici une troifieme. Soit une efpece de roue, formée de fix ou huit bras partants d’un centre où eft l’axe du mouvement. Chacun de ces bras eft garni de deux réceptacles en forme de foufflet, & en fens oppofé, comme on voit dans la fig. 64. Le couvercle mobile de chacun eft garni d’un poids propre à le fermer dans une fituation & à l’ouvrir dans l’autre. Enfin les deux foufflers d’un même bras communiquent par un canal, tk l’un d’eux eft rempli de vif-argent.
    • Cela fuppofé , on voit que d’un côté, par exemple A, les foufflep. les plus éloignés du centre doivent
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    • Vent s’ouvrir, & les plus proches fe fermer ; d’où doit réfulter le paffage du mercure des derniers dans les premiers, tandis que le contraire fe paffera du côté oppofé. La machine doit donc tourner continuellement du même côté.
    • Il feroit affez difficile de montrer en quoi pèche ce raifonnement ; mais quiconque connoîtra les vrais principes de la mécanique , n’héfitera pas à parier cent contre un que la machine , étant exé-cutée , ne marchera pas.
    • On voit dans le Journal des Sçavants* de l’an* née 1685 , la defcription d’un mouvement per- \ pétuel prétendu, où l’on employoit à peu près ainfi le jeu d’un foufflet qui devoit alternativement fe remplir ôc fe vuider de mercure. Il fut réfuté par M. Bernoulli &c quelques autres , & on~ cafionna une affez longue querelle. La meilleure maniéré dont fon auteur eût pu défendre fon invention , étoit de l’exécuter, & de la faire voir en mouvement; mais c’eft ce qu’il ne fit point.
    • Remarquons néanmoins un trait affez Curieux à cet égard. UnM. Orfyreusannonça en 1717, à Leipfick , un mouvement perpétuel ; c’étoit une roue qui devoit toujours tourner. Il l’exécuta pour le Landgrave de Heffe-Caffel, qui la fit renfermer dans un lieu sûra 8c appofa fon fceau fur l’entrée. Après 40 jours, on y rentra, 6c onia trouva en mouvement. Mais cela ne prouve rien pour le mouvement perpétuel. Puifque l’on fait fort bien une pendule qui peut hiarcher un an fans être remontée , la roue de M. Orfyreus pouvoit bien aller 40 jours 8c plus. On ne voit pas la fuite de cette prétendue découverte : un journal nous apprend, qu’un Anglois offrit 80000 écus à M. Orfyreus pour avoir fa machine ; mais M. Or-Tome II. G
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    • 98 Récréations Mathématiques. fyreus refufa de la donner à ce prix , en quoi il eut sûrement grand tort, car il n’a rien eu, ni argent, ni l’honneur d’avoir trouvé le mouvement perpétuel.
    • L’Académie de Peinture à Paris a une pendule qui n’a pas befoin d’être remontée , & qu’on pourrait regarder comme un mouvement perpétuel ; mais ce n’en eft point un. Expliquons-nous. L’auteur ingénieux de cette pendule s’eft fervi des variations de l’état de l’athmofphere pour remonter fon poids moteur. Or on peut imaginer à cet effet divers artifices ; mais ce n’eft pas plus le mouvement perpétuel, qu’une machine où le flux & reflux de la mer ferait employé à la faire aller continuellement, car ce principe de mouvement eft extérieur à la machine, & n’en fait pas partie.
    • Mais en voilà affez fur cette chimere de la mécanique. Nous fouhaitons qu’aucun de nos lecteurs ne donne dans le travers ridicule & malheureux d’une pareille recherche.
    • Il eft au refte faux qu’il y ait aucune récompenfe promife par les Puifîances, pour qui trouverait le mouvement perpétuel, non plus que pour la quadrature du cercle. C’eft-là fans doute ce qui encourage tant de gens à chercher la folution de ces problèmes ; & il eft à propos qu’ils en foient dé-fabufés.
    • PROBLÈME LUI.
    • Juger de la hauteur de la voûte d'une églife, par les
    • vibrations des lampes qui y font fufpendues.
    • Cette invention eft, à ce que j’ai lu quelque part, de Galilée, qui le premier reconnut le rapport des durées des ofcillations des pendules de
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    • différente longueur. Il faut , au refte, pour que cette méthode foit d’une certaine exa&itude, que le poids de la lampe foit plufieurs fois plus confi-dérable que celui de la corde qui la foutient.
    • Cela fuppofé, mettez la lampe en mouvement, en l’écartant fort peu de la perpendiculaire, ou obfervez celui que le mouvement de l’air lui aura communiqué , ce qui eft aflez ordinaire ; avec une montre à fécondés, examinez combien une vibration dure de fécondés ; ou , fi vous n’avez point de montres à fécondés, comptez le nombre des vibrations qui fe font dans un certain nombre de minutes précifes : ce qui donnera avec d’autant plus d’exaftitude la durée de chaque vibration , que ce nombre de minutes fera plus con-fidérable ; car il n’y aura qu’à le divifer par celui des vibrations, & le quotient donnera les fécondés de la durée de chacune.
    • Jé fuppofe que , par l’un ou l’autre de ces moyens, vous ayiez trouvé que chaque vibration duroit 5 fécondés & demie ; faites le quarré de 5 7, qui eft 307; multipliez par ce nombre celui de 3 pieds 8 lignes 7, qui eft la longueur du pendule qui bat la fécondé jufte dans ce pays-ci ; le produit fera 92 pieds, 6 pouces, 5 lignes : ce fera, à peu de chofe près, la hauteur du point de fufpenfion au deftiis du cul-de-lampe. Prenant donc la diftance de la bafe de ce cul-de-lampe jufqu’au pavé, ce qui peut fe faire ordinairement avec un bâton , & ajoutant cette diftance à la hauteur déjà trouvée, vous aurez celle de la voûte au defius du pavé.
    • Cette folution eft fondée fur une propriété des pendules qu’on démontre en mécanique, fqavoir, que les quarrés des durées des vibrations font G ij
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    • ioo Récréations Mathématiques. comme les longueurs ; enforte qu’un pendule quadruple en longueur fait des vibrations qui durent deux fois autant.
    • Mais nous avouons , qu’à caufe de la forme irrégulière de la lampe, & du poids du cordon qui la foutient, cette méthode eft plus curieufe qu’exaéte. Auffi nous fommes-nous fervi du mot juger, au lieu de celui de mefurer> qui préfente avec foi l’idée de l’exaâitude.
    • Voici néanmoins un autre problème du même genre.
    • PROBLÈME L I V.
    • Me/,urer la profondeur d'un puits par le temps écoulé entre le commencement de la chute d'un corps , & celui ou Con entend le bruit de fon arrivée à la furface de Veau.
    • Il faut avoir un petit pendule à demi-fecondes, c’eft-à-dire ayant entre le centre de la balle ôt le point de fufpenlïon, 9 pouces, a lignes j.
    • Il faut auffi fe fervir d’un poids d’ugsj.matière la plus pefante qu’il fe pourra , comme d’une balle de plomb. Une limple pierre ou caillou éprouve un retardement affez conlidérable , & y feroit moins propre.
    • Vous lâcherez donc le poids en même temps que la balle du pendule , & vous compterez le nombre de fes vibrations, jufqu’au moment où vous entendrez le fon du poids arrivé à la furface de l’eau ; je fuppofe qu’il y ait onze vibrations, qui font 5 fécondés
    • Cela fait, multipliez d’abord 15 par 5 ~ 9 nombre des fécondés obfervé ; divifez le produit par 7 5; : ce qui vous donnera pour premier produit—,
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    • à quoi vous ajouterez encore 7 j ou — ; vous au-
    • Divifez enfuite quatre fois le nombre des fécondés obfervé par 75 , & ajoutez le quotient à l’unité, ce qui donnera ici pour fomme , ou, en fra&ions décimales, 1.296333: vous en extrairez la racine quarrée ; elle eft 1.137, qu’il faut multiplier par /£, ce qui donne pour troifieme produit 8.527; de la première fomme trouvée ci-def-fus, 8.600, ôtez le dernier produit 8.527 , le ref-tant eft 0.073 » clue vous multiplierez enfin par le quarré de 75 ou 5625 : ce dernier produit fera 354 pieds ,"g-.
    • Cette réglé, que nous avouons être aflez compliquée , eft fondée fur la propriété de la chute des graves, qui s’accélère en raifon des temps, en-forte que les efpaces parcourus croiflent comme les quarrés des temps. On a fait au furplus abftrac-tion de la réfiftance de l’air, qui ne làiffe pas , dans des hauteurs confidérables , comme de quelques centaines de pieds , de retarder fenfiblement la chute ; enforte qu’il en eft de ce problème à peu près comme du précédent, c*eft-à-dire que la fo~ îution eft plus curieufe qu’utile.
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    • Récréations Mathématiques.
    • HISTOIRE
    • De quelques Ouvrages de Mécanique extraordinaires & célébrés.
    • ÏL paroîtroit manquer à cet ouvrage une partie effentielle, fi nous négligions d’y faire l’hiftoire & de donner une idée de diverfes machines célébrés , tant parmi les anciens que parmi les modernes. Nous allons, dans cette vue, jeter un coup d’œil rapide fur ce que le génie mécanique a enfanté en divers fiecles de plus rare & de plus fin-gulier.
    • I. Des Machines ou Automates d’Architas, d Archimède, de Héron & Ctéjibius.
    • L’hiftoire ancienne nous parle avec admiration de quelques machines de ce genre. Tels furent les trépieds automates de Vulcain ; la colombe d’Architas , qui, dit-on, voloit comme un véritable animal. Nous ne doutons cependant pas que la crédulité & l’éloignement des fiecles n’aient beaucoup groffi le merveilleux de ces machines, fi tant èft qu’elles aient eu quelque réalité. Il y en a davantage dans la fphere mouvante d’Archi-mede. Tout le monde fçait que ce mathématicien célébré y avoit repréfenté les mouvements célef-tes, tels qu’on les concevoit alors ; ce qui étoit affurément un chef-d’œuvre de mécanique pour ce temps éloigné. Les fameux vers de Claudien fur cette machine, font connus de tout le monde.
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    • MÉCANIQUE. 103
    • Héron & Ctéfibius d’Alexandrie, exécutèrent auffi diverfes machines fingulieres. On peut voir quelques-unes de celles inventées par Héron, dans fon livre intitulé Spiritalia. Il y en a qui font très-ingénieufes , & qui font honneur à ce mécanicien.
    • §. II. Des Machines attribuées à Albert le Grande à Régiomontanus, &c.
    • L’ignorance qui couvrit de fes ténèbres toute l’Europe, depuis le lîxieme ou feptieme fiecle juf-qu’au quinzième, n’étouffa pas entièrement le génie mécanique. On raconte que les ambafladeurs envoyés à Charlemagne par le roi de Perfe, lui apportèrent en préfent une machine dont la def-cription feroit encore quelque honneur à nos mécaniciens modernes ; car c’étoit une horloge à fon-nerie, dont les figures exécutoient divers mouvements. Il eft vrai que tandis que l’Europe étoit plongée dans l’ignorance, les arts & les fciences jetoient quelqu’éclat parmi les peuples Orientaux. Quant aux Occidentaux, fi l’on peut croire ce que l’on rapporte d’Albert le Grand, qui vivoit dans le treizième fiecle, ce mathématicien avoit fabriqué un automate de figure humaine, qui, lorfqu’on frappoit à la porte de fa cellule , alloit l’ouvrir, & pouffoit quelques fons, comme pour parler à celui qui entroit. Dans un temps poftérieur de quelques fiecles, Régiomontanus, ou Jean Muller de Konigsberg, aftronome célébré, avoit fait un automate de la figure d’une mouche, qui fe pro-menoit autour d’une table. Mais ce font probablement des récits fort défigurés par l’ignorance-& la crédulité. Voici des traits d’habileté en mécanique , qui font plus réels»
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    • 104 Récréations Mathématiques.
    • ' §. III. De diverfeS Horloges célébrés.
    • Dans le quatorzième fiecle, Jacques de Dondis fabriqua pour la ville de Padoue, une horloge qui fut long-temps réputée la merveille de fon fiecle. Elle marquoit, outre les heures, les mouvements du foleil, de la lune & des planètes, ainfï que les fêtes de l’année. 11 en retint le furnom à’Horologio, qui devint celui de fa poftérité. Peu de temps après, Guillaume Zélandin en fit une encore plus compofée pour la ville de Pavie, qui fut rétablie dans le feizieme fiecle par Janellus Turrianus, mécanicien de Charles-Quint. Mais les plus célébrés ouvrages dans ce genre, ce font les horloges des cathédrales de Strasbourg & de Lyon.
    • L’horloge de Strasbourg eut pour auteur Conrad Daiypodius , mathématicien de cette ville, qui vivoit fur la fin du feizieme fiecle , & qui l’acheva vers l’an 1573. On la réputé la première de l’Europe. Il n’y a du moins que celle de Lyon qui puiflfe lui difputer la prééminence, ou lui être comparée par la multitude de fes effets.
    • La face du foubaffement de l’horloge de Strasbourg préfente trois tableaux ; l’un rond, & formé de plufieurs cercles concentriques, dont les deux extérieurs font ou faifoient leurs révolutions en un an , & fervoient à marquer les jours de l’année, les fêtes, 8c les autres circonftances du calendrier : les deux tableaux latéraux font quarrés , 8c fervoient à indiquer les éclipfes, tant de foleil que de lune.
    • Au deffus du tableau du milieu, 8c dans l’ef-pece d’attique de ce foubaffejnent, les jours de la femaine font marqués par les différentes divinités qui font cenfées préfider aux planètes dont ils.
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    • MÉCANIQUE. IOJ
    • tirent leur dénomination vulgaire. La divinité du jour courant y paroît portée dans un char roulant fur des nuages, & à minuit fait place à celle qui doit la fuivre.
    • Au devant du foubaffement, on voit encore un globe porté fur les ailes d’un pélican, autour duquel rouloient autrefois un foleil & une lune, qui par-là marquoient les mouvements de ces planètes ; mais cette partie de la machine, àinli que plufieurs autres, ne marche plus depuis long-temps.
    • La tour décorée qui efl au deffus de ce foubaffement , préfente principalement un grand cadran en aftrolabe, qui montre le mouvement annuel du foleil & de la lune fur l’écliptique, lgs heures de la journée, 8tc. On voit auffi au deffus les phafes de la lune marquées par un cadran particulier.
    • Cet ouvrage efl: encore remarquable par un jeu confidérable de fonnerie, & de figures qui exécutent divers mouvements. On voit, par exemple, au deffus du cadran dont on vient de parler, les quatre âges de l’homme, repréfentés par des figures fymboliques ; à chaque quart d’heure, en paffe une qui marque le quart en frappant fur de petites cloches : elles font fuivies de la Mort, chafféepar un Chrift reffufcité, qui lui permet néanmoins de fonner l’heure , comme pour avertir l’homme que le temps s’écoule. Deux petits anges exécutent auffi des mouvements , l’un frappant un timbre avec un fceptre, l’autre tournant un fablier à l’expiration de l’heure.
    • Cet ouvrage enfin étoit décoré de divers animaux , qui rendoient des fons analogues à leurs voix naturelles ; mais il n’y a plus aujourd’hui que le coqdont le chant devance la fonnerie de l’heure ; il allonge le cou & bat des ailes avant
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    • io6 Récréations Mathématiques. que de chanter. Au refte, fa voix eft devenue fi enrouée , que celui de Lyon, quoiqu’il le foit auffi beaucoup, a prefque une voix harmonieufe en comparaifon de celui-ci. Il eft fâcheux qu’une grande partie de cette machine foit entièrement dérangée. Il feroit, ce femble, de la dignité de l’illuftre chapitre métropolitain de Strasbourg, de la faire rétablir. J’ai à la vérité ouï dire qu’on l’a tenté, mais que perfonne n’a pu en venir à bout.
    • L’horloge de la cathédrale de Lyon n’eft pas d’un volume auffi confidérable que celle de Strasbourg, mais elle ne lui cede guere par la variété de les mouvements, & elle a de plus l’avantage d’être encore en bon état. Elle eft l’ouvrage de Lippius de Bafle , & elle fut fort bien raccommodée dans le fiecle dernier , par un habile horloger de Lyon, nommé Nourrïffon. On y voit, comme dans celle de Strasbourg , fur différents cadrans , la marche annuelle & diurne du foleit & de la lune, les jours de l’année, leur longueur, & tout le calendrier tant civil qu’eccléfiaftique. Les jours de la femaine y font marqués par des Symboles plus analogues au lieu où l’horloge eft placée ; l’heure y eft annoncée par le chant d’un coq, répété trois fois , après un battement d’ailes & divers mouvements ; ce chant fini, paroiffent des anges qui exécutent, en frappant fur divers timbres, l’air de l’hymne Ut queant Iaxis ; l’Annonciation de la Vierge y eft auffi re-préfentée par des figures mouvantes, & par la descente d’une colombe à travers des nuages. Après tout ce jeu mécanique, l’heure (fonne. On remarque fur un des côtés de l’horloge un cadran ovale, Servant à montrer les heures & les minutes. Celles-ci font indiquées par une aiguille qui s’allonge ou
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    • fe contraire, félon la longueur du demi-diametre de l’ovale qu’elle couvre.'
    • On peut au refte , fans aller ni à Lyon ni à Strasbourg, fe former une idée de ces horloges , par celle qu’on voit au château de Verfailles dans les appartements du Roi. Celle-ci fut l’ouvrage de Martinot, horloger célébré du lîecle dernier. Avant que l’heure fonne, deux coqs, portés fur les encoignures d’un petit corps d’archite&ure, chantent alternativement en battant des ailes ; peu après s’ouvrent deux portes latérales de cet édifice , auxquelles fe préfentent deux figures portant des cymbales , fur lefquelles frappent des efpeces de gardes armés de maffues. Ces figures étant retirées, la porte du milieu s’ouvre., & laide fortir un piédeftal furmonté de la figure équeftre de Louis XIV; & en même temps, un groupe de nuages ( qui pourroient être mieux figurés ) s’entrouvre , & donne paffage à une Renommée qui plane fur la figure. Alors commence une petite fonnerie qui joue un air, après lequel les deux figures rentrent , & les deux gardes relevent leurs maffues, qu’ils avoient baiffées comme par refpeft en pré-fence du Roi. L’heure fonne enfin. Au refte, tout cela n’eft prefque plus aujourd’hui qu’un jeu pour nos horlogers habiles. Nous ne bifferons cependant pas de parler encore dans fon lieu , c’eft-à-dire en traitant de l’aftronomie, de quelques machines purement aftronomiques, qui font honneur au génie inventif de leurs auteurs.
    • §. IV. Machines automates du pere Truchet, de M. Camus , & de M. de Vaucanfon.
    • Vers la fin du fiecîe dernier, le pere Truchet, de l’académie royale des fciences, fit, pour l’a-
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    • 108 Récréations Mathématiques. mufement de Louis XIV, des tableaux mouvants ^ qui furent regardés comme des chefs-d’œuvre très-finguliers de mécanique. L’un de ces tableaux, que ce monarque appelloit fon petit opéra , re-préfentoit en effet un opéra en cinq aâes, & chan-geoit de décoration au commencement de chacun. Les aâeurs exécutoient leurs rôles en pantomimes. La piece pouvoit être repréfentée quatre fois de fuite, fans remonter la machine. On pouvoit l’arrêter où l’on vouloit : une détente lâchée pour cela , produifoit cet effet, & une autre fai-foit recommencer la piece au point où elle avoit été interrompue. Ce tableau mouvant avoit feize pouces & demi de largeur, treize pouces quatre lignes de hauteur, fur un pouce trois lignes d’é-paiffeur pour le jeu de la machine. On lit ces détails dans l’Eloge du pere Truchet, Mémoires de l’Académie, année 1729.
    • Une autre machine très-ingénieufe, & à mon gré bien plus difficile à concevoir , eft celle que décrit M. Camus, gentilhomme Lorrain, qui dit l’avoir exécutée pour l’amufement du feu Roi, encore enfant. C’étoit un petit carroffe attelé de fes deux chevaux , avec fon cocher fur le fiege, une dame dans la voiture, fon laquais derrière, & un petit page couché furxla foupente. Si nous en croyons ce qu’on lit dans l’ouvrage de M. Camus, on pla-Çoit ce carroffe à l’extrémité d’une table de grandeur déterminée ; il partoit , le cocher donnant un coup de fouet à fes chevaux, dont les jambes faifoient tous les mouvements de celles des chevaux marchants. Arrivé au bord de la table, il tournoit à angle droit, en côtoyant ce bord. Lorf-qu’il étoit arrivé devant la place du Roi, il s’arrê-toit ; le page defcendoit, ouvroit la portière ,
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    • la dame fortoit de la voiture un placet à la main, qu’elle préfentoit après une révérence. Après avoir attendu quelque temps , elle faifoit une fécondé révérence, rentrait dans la voiture, le page fe replaçait , le cocher donnoit un coup de fouet à fes chevaux , qui fe remettoient en mouvement ; & le laquais, courant après la voiture, fautoit à fa place.
    • J’avoue qu’il ferait à fouhaiter que M. Camus , au lieu de fe borner à une légère indication du mécanifme qu’il avoit employé pour ces effets , fût entré dans une explication plus détaillée ; car, s’ils font vrais, il a fallu un artifice fingulier pour le produire ; & l’application de ces moyens à des machines plus utiles , peut trouver fa place.
    • Nous avons vu, il y a vingt ou vingt-cinq ans,' les trois machines de M. de Vaucanfon, fon Auteur automate, fon joueur de flûtet & de tambourin, & fon canard artificiel. Lefiûteur jouoit plu-fieurs airs de flûte , avec une précifion que le joueur animé le plus habile n’atteint peut-être pas. II donnoit les coups de langue qui fervent à diftin-guer les notes. C’eft , au rapport de M. de Vaucanfon , ce qui lui coûta le plus à trouver. Les tons enfin étoient réellement produits dans la flûte par la pofition des doigts qu’ils exigent.
    • Le joueur de flûtet & de tambourin exécutait auffi fur ce premier inftrument plufieurs airs, en frappant continuellement fur le dernier.
    • Enfin le canard artificiel efi: ce qui, félon mes foibles lumières, devoit le plus étonner par fès mouvements; car on le voyoit étendre & allonger le cou, lever fes ailes, & les nettoyer avec fon bec : il prenoit dans un auge du grain qu’il avaloit , il buvoit à une autre ; & enfin, après divers autres mouvements, il rendoit une matière reffemblante
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    • no Récréations Mathématiques. à des excréments. Dans le temps où j’ai vu ces machines pour la première fois, je démêlai auffi-tôt quelques-uns des artifices qu’on avoit pu employer pour les deux premières ; mais j’avoue que ma pénétration a toujours relié en défaut à l’égard de la derniere.
    • §. V. De la Machine de Marly.
    • Les machines dont on vient de donner une idée, font, il faut en convenir, plus curieufes en général qu’utiles. Il en ell deux autres dont la célébrité, jointe à l’utilité, exige ici une place. Ce font la machine de Marly, & celle qu’on appelle la Machine à feu. Commençons par la première. Voici une idéefommaire de fa compofition &: de fes effets.
    • La machine de Marly eft compofée de quatorze roues, d’environ 36 pieds de diamètre chacune , qui reçoivent leur mouvement de l’eau de la rivière , retenue par une eftacade, & reçue dans autant de courfiers féparés. Chaque roue porte aux extrémités de fon eflieu deux manivelles ; ce qui fait, vingt-huit puilfances, dont la diftribution eft celle-ci.
    • Il faut noter auparavant, que l’eau eft portée en trois reprifes au lieu où elle doit être élevée , fçavoir, d’abord, de la riviere à un réfervoir élevé de 150 pieds au deflus du niveau de la Seine; delà, à un fécond réfervoir élevé de 325 pieds au deffus de ce niveau ; enfin, de ce dernier, au fom-met d’une tour plus haute de 500 & quelques pieds que la riviere.
    • Des vingt-huit manivelles dont on a parlé ci-deffus, il y en a huit qui font employées à faire agir foixante-quatre corps de pompe. Cela fe fait
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    • au moyen de balanciers qui portent à chaque extrémité de leurs bras quatre piftons ; ce qui fait huit à chaque balancier, qui afpirent & refoulent alternativement. Ces foixante - quatre corps de pompe font employés à afpirer l’eau, & à la refouler jufqu’au premier réfervoir, qui fournit l’eau au premier puifard dont on va parler, & fur lequel eft établi le fécond jeu de pompe.
    • Onze autres manivelles font employées à faire monter l’eau de ce premier puifard jufqu’au fécond réfervoir. Cela fe fait au moyen de longs bras adaptés à ces manivelles, qui font mouvoir des équerres horizontales, à un des bras defquelles font attachées des chaînes formées de barres de fer, qui s’étendent du bas de la montagne jufqu’au premier puifard. Ces chaînes, qu’on nomme chevalets, font formées de barres de fer parallèles , dont les extrémités font liées par des boulons, & qui font portées de diftance en diftance par des pièces de bois tranf-verfales, mobiles dans leur milieu fur un elîieu ; enforte que lorfqu’on tire , par exemple , la barre de fer fupérieure par le bout d’en bas , toutes ces pièces de bois s’inclinent dans un fens, & la barre inférieure rétrograde, & pouffe en fens contraire de la fupérieure. Ces barres ou chaînes fervent à mettre en mouvement les balanciers ou équerres qui font mouvoir les piftons de quatre-vingts pompes afpirantes & refoulantes, qui portent l’eau du premier puifard au fécond réfervoir.
    • Enfin neuf autres manivelles fervent, par un mécanifme femblable , à mettre en mouvement les chaînes appellées grands chevalets, qui font mouvoir les pompes du fécond puifard, & élevent l’eau de ce fécond puifard au fommet de la tour. Ces pompes font au nombre de foixante • douze.
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    • ni Récréations MàTHéMàtiÇuës.
    • Tel eff en peu de mots le mécanifme de la ma* chine de Marly. Son produit moyen eft, à cè que j’ai ouï dire , de 159 ou 100 pouces d’eau continus; ce qui fait 450 à éôomuids d’eau par heure. Nous difons le produit moyen, car il y a des temps où elle éleve jufqu’à près de 300 pouces, mais ce n’eft que dans des cifconftances très-favorables. Il y a les temps de très-groffes eaux , ceux des glaces , ceux des très - baffes eaux, celui des réparations , pendant lesquels elle chomme en tout ou en partie. J’ai lu encore qu’en 1685 elle élevoit jufqu’à 1000 muids par heure; mais j’ai grande peine à le croire, fi on entend par-là fon produit moyen, car ce feroit 333 pouces continus.
    • Quoi qu’il en foit , voici un calcul qui eft fondé fur des détails dont j’ai eu communication. Les dépenfes annuelles de la machine, compris les appointements & gages des employés & ouvriers de toute efpece , réparations aux bâtiments & à la machine , fournitures diverfes, &c. peuvent monter à environ 80000 liv. ; ce font 220 liv* par jour; ce qui fait environ 5 deniers le muid. Mais fi l’on fait entrer dans cette dépenfe l’intérêt de 8 millions (a) qu’elle a, dit-on, coûtés, on trouvera que ce muid revient aujourd’hui au Roi à 30 deniers, ou les 9 pintes & demie à un denier. Cela eft fort éloigné du' prix que le roi de Danemarck croyoit pouvoir mettre à cette eau ; car ce prince, dans la vifite qu’il fit à la machine en 1769, étonné apparemment de fa maffe , de la multitude de fes mouvements, & des ou-
    • (a) On dit 8 millions, & non 80 millions, comme on le lit dans Defaguliers ; car cela feroit abfurde.
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    • *1*
    • Mécanique.
    • Vriêrs qui y font employés, dit que cette eau re* Venoit peut-être au même prix que le vin. On Voit, par le calcul ci-deffus, combien il s’en faut.
    • C’en une grande queftion fi la machine de Marly pourroit être fimplifiée* Nous allons dire fur cela ce que quelques expériences, & l’examen fait en détail de diverfes parties de cette machine, nous parodient préfenter de plus probable.
    • On eft d’abord, en général , furpris de ce que l’auteur de la machine a fait en quelque forte faire deux repos à l’eau pour l’amener au fommet de la tour. Quelqu’un a dit en plaifantant, que fans doute il avoit penfé que l’eau eût été trop fatiguée de monter 500 pieds & plus de hauteur perpendiculaire tout d’une haleine. Il eft plus probable qu’il a cru que fa force motrice ne feroit pas fuffi-fante pour élever l’eau à cette hauteur ; ce qui n’eft pas conforme à la théorie, car , calcul fait, on trouve que la force d’une manivelle eft plus que fuffifante pour élever un cylindre d’eau de cette hauteur, & de 8 pouces ou même plus de diamètre. D’habiles mécaniciens font néanmoins perfuadés que quoique cela ne foit pas impoflible , il pourroit y avoir de grands inconvénients à l’exécuter. Il feroit trop long de les détailler.
    • Mais il paroît aujourd’hui confiant qu’on pour* roit au moins élever l’eau d’un feul jet au fécond puifard. Cela réfulte de deux expériences faites l’une en 1738, l’autre en 1775. Dans la première, M. Camus, de l’Académie Royale des Sciences, tentoit de faire monter l’eau d’un feul jet à la tours il n’y parvint pas , mais il la fit monter juf* qu’au pied, ce qui eft confidérablement plus haut que le fécond réfervoir : d’où il réfulte que, s’il s’étoit borné à faire monter l’eau d’un feul jet à Tome //. H
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    • U4 Récréations Mathématiques. ce fécond réfervoir , il y eût réufli. On dit au relie que, dans cette épreuve, la machine fatiguait prodigieufement ; qu’il fallut même en raffermir quelques parties avec des chaînes ; enfin, qu’il fallut près de vingt-quatre heures pour faire monter l’eau à cette hauteur, qui eft d’environ 450 pieds, & qu’on ne put lui faire dépaffer. Dans la fécondé épreuve , faite en 1775, on n’avoit pour objet que d’amener l’eau au fécond puifard. Or elle y monta à diverfes reprifes, & avec abondance. Il eft vrai que les tuyaux fatiguoient extrêmement dans le bas, que plufieurs creverent, & qu’il fallut à plufieurs reprifes fufpendre & recommencer l’expérience ; mais il eft évident que cela ne venoit que de la vieilleffe & du manque de force des tuyaux, qui n’avoient pas Pépaifleur convenable; & rien ne feroit plus facile que d’y remédier. Ainfi voilà déjà un pas fait vers la perfection de la machine ; & il réfulte de cette épreuve, que l’on peut fupprimer les chaînes qui vont de la riviere au premier puifard, & ce premier puifard lui-même.
    • 11 refteroit à fçavoir s’il feroit pofîible de faire monter d’un feul jet l’eau au fommet de la tour. Ce feroit une expérience vraiment curieufe ; mais probablement elle feroit difficile, & coûteufe, parcequ’il faudroit faire des changements confi-dérables à diverfes parties de la machine ; & dans le cas même où l’on y parviendroit, peut-être l’eau feroit-elle fi peu abondante, qu’il vaudroit mieux conferver le mécanifme aétuel.
    • Il eft au furplüs probable qu’il y auroit dans les détails de la machine, plufieurs chofes à perfectionner. Il y a plufieurs pofitions où les puiffances n’agiffent qu’obliquement ; ce qui fait perdre beau-
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    • MIcàNIQÜE. ÎÎÇ
    • coup de force , & doit tendre au détriment de la machine. Peut-être la forme des pillons, des fou-papes, des tuyaux d’afpiration, feroit-elie à changer. Mais ce n’eft pas ici le lieu d’entrer dans ces détails. Palïons à la machine à feu, dont nous avons promis de donner une idée.
    • §. VI. De la Machine à Feu.
    • La machine à feu eft peut-être celle dans laquelle le génie de la mécanique s’eft le plus mani-fefté ; car quelle idée heureule que celle d’employer pour moteurs , alternativement la force expanlive de la vapeur de l’eau & le poids de l’athmofphere! Tel eft en effet le principe de cette machine in-génieufe , qui eft aujourd’hui employée avec le plus grand fuccès à des épuifements de mines, ôt fur-tout à fournir d’eau une partie de la ville de Londres.
    • Imaginez une grande chaudierê , au couvercle de laquelle eft adapté un corps de pompe ou cylindre creux, de 2 , 3 ou 4 pieds de diamètre* La communication de ce cylindre avec la chaudière , eft formée par une ouverture fufceptible d’être alternativement libre ou interceptée. Dans ce cylindre enfin joue un pifton , dont la tige eft attachée à l’extrémité d’un des bras d’un balancier , dont l’autre bras porte à fon extrémité le poids à enlever , qui eft communément le pifton de quelque pompe afpirante, deftinée à élever l’eau d’une grande profondeur. Tout cela doit être combiné de telle maniéré que, quand l’air aborde librement dans le cylindre qui communique à la chaudière, le poids feul des équipages attachés au bras oppofé foit fufceptible d’enlever
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    • n6 Récréations Mathématiques.
    • Suppofons à préfent la chaudière remplie d’eau jufqu’à une certaine hauteur; qu’un grand feu foit allumé au deffous, & falTe bouillir cette eau vivement ; une partie s’élèvera continuellement en vapeur. Ainfî , lorfque la communication entre la chaudière & le cylindre fera ouverte , cette vapeur, qui eft élaftique , s’y introduira, & le poids oppofé enlevera le pifton ; car cette vapeur eft équivalente à de l’air. Suppofons encore que, par quelque mécanifme aifé à imaginer, ce pifton étant parvenu à une certaine hauteur, faffe mouvoir une piece de la machine qui intercepte la communication entre la chaudière & le cylindre; enfin que, par la même caufe, un jet d’eau fraîche foit lancé dans ce cylindre contre le fond du pifton, d’où il retombera en forme de pluie à travers la vapeur : il arrivera dans ce moment que cette vapeur fera condenfée en eau ; il fe formera un vuide dans la capacité du cylindre, & par conféquent le pifton fe trouvera à l’inftant chargé du poids de l’athmofphere, ou d’un poids équivalent à un cylindre d’eau de même bafe, & de 32 pieds de hauteur. Si, par exemple, le pifton a 5 2 pouces de diamètre, comme dans une des machines à feu de Montrelais près d’ingrande , ce poids équivaudra à 33024livres; ce pifton fera confé-quemment obligé de defcendre avec une force égale à plus de 30 milliers, & l’autre bras du balancier , s’il eft égal au premier, agira avec une force égale pour furmonter la réfiftance qui lui eft oppofée. Ce premier coup de pifton donné, la communication entre la chaudière & le cylindre fe rétablit ; la vapeur de l’eau bouillante y entre de nouveau ; enfin, l’équilibre entre l’air de l’ath-mofphere & le fluide de l’intérieur du cylindre
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    • MÉCANIQUE. Ifÿ
    • étant rétabli, le poids des équipages attachés à l’autre bout du balancier , enleve le pifton ; le même jeu que deffus fe renouvelle, le pifton retombe , 8t la machine produit de nouveau fon effet.
    • On fent aifément que nous devons nous borner à cette efquifle de la machine , car il faudroit un long difcours St beaucoup de figures pour décrire les pièces différentes 8c nombreufes qui font né-ceffaires pour Ton jeu ; telles font la piece qui alternativement ouvre & ferme la communication de la chaudière avec le cylindre , celle qui produit le jet d’eau dans l’intérieur du cylindre, celles qui fervent à évacuer l’air 8t l’eau qui fe forment dans cet intérieur, le régulateur néceffaire pour empêcher que la vapeur, devenant trop forte, ne faffe éclater la machine en morceaux, 8tc. Oa doit recourir aux auteurs qui ont traité ex profeffo de cette machine, comme M. Bélidor, dans fon Architecture Hydraulique, Tome II, première Partie ; M. Defaguliers, dans fon Cours de Phyjîque Expérimentale,. T orne II ; & divers autres..
    • La machine que nous venons de décrire eft, au furplus, très - différente de celle dont Mufchen-broeck parle dans fon Cours de Phyjîque Expérir mentale. Dans celle-ci, la vapeur agit par fa comr preffion fur un cylindre d’eau qu’elle fait monter ; ce qui exige une vapeur très-élaftique St très-échauffée. Mais il en réfulte un très-grand danger que la machine n’éclate en morceaux. Dans la nouvelle machine , celle que nous avons décrite , il fuffit que la vapeur ait l’élafticité de l’air, 8c il ne faut pas pour cela que l’eau bouillonne bien vivement • ce qui fait que le danger de voir tout fauter en pièces n’eft pas, à beaucoup près, fi grand : on ne dit même pas que cela foit arrivé
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    • ïi8 Récréations Mathématiques. à aucune des grandes machines à feu établies depuis affez long-temps.
    • La plus grande machine à feu que je connoiffe , eft celle qui eft établie à Montrelais près d’ingrande , & fert à épuifer des mines de charbon. Son cylindre a pouces y de diamètre. Elle éleve à 612 pieds de hauteur, & par huit reprifes, la quantité de 1193 pieds cubes d’eau par heure, ou 150 muids ; & comme on eftime que, toute déduction faite du temps perdu pour commencer à la mettre en jeu, pour les réparations accidentelles qui furviennent de temps à autre, &c.^elle travaille 22 heures des 24 de la journée, fon effet journalier eft d’élever à 612 pieds & de vuider en 24 heures, environ 3300 muids d’eau. Elle con-fomme dans le même temps environ 220 pieds cubes de charbon de terre. Je defirerois fqavoir le détail, ou au moins la totalité des autres dépen-fes annuelles, qu’occafionne fon entretien. Je crois qu’elles doivent être affez confîdérables, attendu les huit reprifes ou relais par lefquels l’eau eft ame* née à cette hauteur de 612 pieds.
    • . Il y a dans le même lieu une fécondé machine, qui paroît à quelques égards mieux entendue. Son cylindre n’eft que de 34 pouces de diamètre; & elle éleve en 24 heures, à la même hauteur & d’une feule portée , 19880 pieds cubes , ou 2485 muids, ce qui eft à peu près les deux tiers du produit de la première, tandis que fa force motrice, qui eft proportionnée au quarré du diamètre du pifton, n’eft que les j environ de celle de la pre-
    • On a tenté, il y a quelques années, d’appliquer la machine à feu pour faire mouvoir des voitures : on èn fit même l’épreuve à l’arfenal de Paris, La
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    • MÉCANIQUE. ii9
    • machine marcha en effet; mais je regarderai toujours cette idée comme plus ingénieufe que fuf-ceptible d’être mife en ufage. Ce n’en feroit pas une fort agréable pour des voyageurs, que de fen-tir derrière foi une machine capable de les foudroyer à chaque inftant -9 & je doute que les places de fond fuffent fort recherchées.
    • On a vu auffi pendant affez long-temps , au milieu de la Seine, visrà-vis Paffy, un bateau qu’on prétendoit faire remonter au moyen de la machine à feu. On n’efpéroit pas moins de cette invention, que d’amener en deux ou trois jours , de Rouen à Paris, un bateau chargé de marchandées ; mais à peine la machine fut-elle en mouvement, que les roues, dont les aubes dévoient fervir de rames, fauterent en morceaux, par un effet de l’impreffion trop violente & trop fiibite qu’elles recevoient, & le bateau alla à la dérive. Tel fut le fuccès de cette tentative, prévu au refte par la plupart des mécaniciens qui en avoient vu les préparatifs.
    • Nous nous, bornons à ce que nous venons de dire concernant diverfes machines qui ont eu ou qui ont de la célébrité. Il nous fuffira d’ajouter encore ici une indication de quelques livres, que les amateurs des machines & ceux qui cherchent à s’inftruire par des exemples , peuvent confulter dans cette vue. Tel eft le Théâtre mécanique de Leupolds, en allemand, & en plufieurs volumes in-folio, dont le dernier parut en 1715. C’eftun ouvrage curieux , mais dont l’auteur n’a pas toujours une théorie sûre , car on le voit n’être pas bien perfuadé de. l’impoffibilité du mouvement perpétuel. Il y a auffi le Théâtre des Machines , en italien & en franqois, de Jacques Beffon; celui
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    • ii9 Récréations Mathématiques.
    • de fcoeckler , en latin ; l’ouvrage de Ramelli, en italien & en franqois, fur le même fujet, qui eft rare & fort recherché. Le Cabinet des Machines de M. de Servieres (in-40. Paris, 1733) eft un des plus curieux ouvrages de ce genre, par la multitude des machines qu’on y voit décrites, & qui font de l’invention de l’auteur. Il y en a qui font fort ingénieufes, & dont l’artifice eût mérité d’être développé davantage ; mais en général elles font plus curieufes qu’utiles.
    • La Defcription de la maniéré dont le cavalier Carlo Fontana éleva à Rome le fameux obélifque qu’on voit aujourd’hui au devant de Saint-Pierre, eft encore un ouvrage digne de trouver place dans le cabinet des amateurs de la mécanique.
    • M. Loriot, dans le cabinet duquel on peut voir un grand nombre de machines très-ingénieufement inventées, promet d’en donner un jour la defcription. Je crois que ce feroit un ouvrage aulïi utile que curieux ; car la plûpart de fes machines font marquées au coin du génie. Nous avons vu de lui une machine à battre les pieux, qui agit par un mouvement toujours dans le même fens , fans être jamais obligé de s’arrêter ni rétrograder pour reprendre le poids. Il n’eft , à mon gré, rien de fi ingénieux que le moyen par lequel, après la chute du poids ou mouton, le crochet fervant à le remonter vient le reprendre, & par lequel le cable s’allonge fans cefle pour l’atteindre de plus en plus bas, à mefure que le pieu eft plus enfoncé. Si l’on compare cette manœuvre à la meilleure de celles qui ont été employées jufqu’ici, on ne pourra pas fe refufer à lui donner la préférence»
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    • Mécàviqui.
    • TABLE
    • DES PESANTEURS SPÉCIFIQUES
    • de divers corps f celle de CE au de pluie ou dijlillée étant fuppofée Vunité, & exprimée en parties décimales, comme 1.000 ou 1.0000 (a).
    • M ET A U X.
    • ’ied cube.
    • Or de 24 karats, ....-—..........
    • Or des guinées, —•..........
    • Or de ducats, ..................
    • Or des louis,...................
    • Mercure fublimé 511 fois,.......
    • Mercure très-purifié, .............
    • Mercure ordinaire du commerce, -
    • Plomb,......-......—•...........
    • Argent de 12 den. de fin , .....
    • Argent monnoyé de Hollande,
    • Bilmuth,-----------------..—.....
    • Cuivre du Japon, —— .............—
    • Cuivre de Suede,—...............
    • Cuivre jaune ou laiton, ........
    • Régule d'antimoine, —......~.....
    • Fer, -----------------.....-....
    • Zinc, —---------——-....---------
    • Etain d’Angleterre, ....—.......—-
    • Etain pur, .....................
    • 11.888-18.261»
    • • 18.166-
    • • 13.996-13.500-11.325-11.091-IO-535--9.700-
    • ' l'HI'
    • -7.850-
    • .-7.707-
    • -7.645-
    • ...7.500-
    • -7.47
    • -7.320-
    • ...*373-749
    • ..1277‘37î
    • ..1270.640
    • ....986.940
    • ....978.964
    • ....944-275
    • ....792.140
    • ....775-773
    • 736.873
    • ....678.47»
    • ....6*9-5 JS
    • ....614.477
    • '•-•559-569
    • ....S 49-°77
    • ....53907S
    • ....534-738
    • ---5*4-596 ....522.568
    • ....5lI.O06
    • («) Dans la plus grande partie de cette Table, on s’eft borné à des millièmes ; mais lorfqu’il a été queftion des fluides, comme certaines eaux, dont la différence de poids avec l’eau douce & pure étoit de moins d’un millième, on a pouffé le calcul à des dix-milliemes & même plus lÿin, comme pour l’air.
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    • jiï Récréations Mathématiques. Pierres précieuses.
    • Saphir oriental, Ptfanteur fpicifique. 3.Ï62- Ptfanteur du Pied cube.
    • Opale, ——* Emeraude, • Topafe orientale, —• “’Jfc —2.777- ... mettre ici ... le poids du pied cube
    • Agate onix, -•*—• Péridot, - Jade, ... i|C eft * sûr ... qu’on n’aura jamais a
    • Hyacinthe, — - ainf,.
    • C« ^ * q
    • Liqueurs. Acide vitriol, extrêmement concentré, 2.125- Itv. >48.635
    • Ef r't de vitriol * .>5-4>1
    • Efprit de nitre très-concentré, E prit de fel marin, - •••• M1?- 1 lie.. .— 105.618
    • '•“J 77*99°
    • Lait de vache "**"*!*.!, 1.040- 7x-744
    • Lait de chevre , - - Urine, ->—1.032- «-009- 72.155 70*575
    • Vinaigre ordinaire rouge, Vinaigre diftillé, Eau de mer (a). -1.0294- 7*-*75 70.505 7*-oooo
    • w «ICI yaj, 1 —1.0275-—1.0030- 7Ï.8755 7°* >5 50
    • Eau de Briftol, — Eau de Ville-d’Avray, — - —1.0009 -—1.0006— •—70.0161 69-988 ’
    • Eau de Sainte-Reine, —. Eau d’Arcueil, - —1.0005— —1.0004 j • 69.9881 -69-9775
    • (.JLWcme
    • plus pelante dans L _ ____
    • ifieri feptentrionales fit près des ti
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    • Mécanique.
    • Pefan,
    • Eau de l’Yvette,....
    • Eau de la Seine,....-......-.....
    • Eeau de la Loire, ...............
    • Eau de pluie, /.\..................
    • Eau diftillée, — J ' *
    • Bierre douce de Paris, —•---------
    • Vin des Canaries,................
    • Vin de Pacaret,........—••••—....
    • Vin de Champ, blanc moufleux (£), •• Vins ordinaires, blancs & rouges, ••-
    • Vin deTavel,......................-
    • Vins de Mâconnois, Torrens, 8cc. •••
    • Vin de Bordeaux rouge, ..........
    • Vin de Bourgogne , leconde qualité, Vins de Bourgogne, prem. qualité , ••
    • Huile de lin ,...................
    • Huile de noix, —..................-
    • Huile de navette,...............—...
    • Huile d’olive,...................-
    • Huile éthérée de térébenthine,...
    • Huile grade de falTafras, gérofle,
    • candie , .......—............
    • Eau de vie fimple (c) ,..........
    • Eau de vie double,...............
    • Efprit de vin commun,............
    • Efprit de vin très-déphlegmé, ••-•••• Ethervitriolique, ou liqueur éthcré
    • de Frobénius, —..............-.
    • Air, ............................
    • 0.983-
    • •0.982-
    • 0.932-
    • J •,.°3°....
    • (••1.040 (
    • • 69.9741 -69.967 ï -69.9635 -•69.9462 •—72.744
    • ..69-154
    • ..*>9-385
    • --O9.94O
    • ..é9-385
    • ..69.105
    • ..68.965
    • -"68.827
    • ..68.755
    • -• 68.685
    • ..65.190
    • -•65.3^0
    • ..63.860
    • 72.044
    • 72.744
    • 65.37O7
    • 0.9343-3.9030-
    • 0.8400....5»-754»
    • 3.8325....58.1960
    • 0.7325----51.2555
    • .00125....oo.oj86
    • ( a ) Ï1 eft faux que l’eau de pluie & l’eau diftillée different, comme on le lit dans les Tables de MM. Cotes & Mufcftenbroeck : la différence eft abfolument infenfible , n’allant à peine qu’à un grain ou un demi-grain par livre, il eft également faux que les eaux de riviere & de fource aient avec Peau de pluie une Suffi ' grande différence qu’il eft marqué dans ces mêmes Tables.
    • ( b ) Ôn ne s’attendroit pas à cela. La caufe eft probablement U grande quantité d’air combiné.
    • (c) J’appelle eau de vie fimple, celle qui contient parties égales d’efprit & de phlegme ; double, celle OÙ il y a deux parties d’efprit avec une de phlegme.
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    • H4 Récréations Mathématiques.
    • Sois (a).
    • Bois de gayac, ———
    • Buis , ......— —•
    • Chêne, ........——
    • Orme, ——«
    • Sapin , —..........
    • Liege, —....—.......
    • 6-777
    • Diverses Substances.
    • Cire jaune, «9-59^ ••••117.650
    • Marbre ftatuaire, —««—«.«- 2.700 f~».7<x> — • 189.000
    • Lapis-lazuli, •— •— — - (-•3.600--* 3.050- ••••152.000 -113.556
    • Jafpe, —- —— - 2.610— f-2.°0°- -181.559 -139.891
    • Corail, (-•2.080 • 1-SQO— -145.488 — 181.160
    • Corne de cerf, ...........-....---1.875-----131.130
    • Ambre jaune ou fuccin,....1.065...............74-49®
    • Ambre gris, ..........-—......——• 1.040......72.744
    • Matériaux empli •.... —.... 1.7Z0.— .... 1 au. iris a Paris ex
    • A R CUITE CT U RB.
    • Pierre tendre ou de Saint-Leu. Cette co- US
    • Pierre de liais, ^ SE 'jj?
    • Grès, Brique , .............. ......... Plâtre en pierre, ..................... ïtS n'tontque , IJ»» I-140 -86
    • (a) On fuppofe ces bois fort fecs} car on doit obferver que, lorf-ïèau Us vont v'fonT beauC0BPPlusPefants> & qu’étant imbibés
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    • MiCANIQVK.
    • Plâtre gâché pour être employé, •• des eppro-
    • Sable fort, ..................
    • Sable de riviere,--—.......... tes.
    • Terre ordinaire végétale, -.-..........
    • T erre grâffe, ...- ....- —..........
    • Terre argileufe , ......... -—.......
    • Ardoife, ..............................
    • Tuile,.................................
    • REMARQUE GÉNÉRALE.
    • 125
    • ‘pudcübi
    • Nous avons tiré une grande partie de cette table, des Leçons de Phyjîque de M. Cotes , ou de YEjJai de Phyjîque de Mufchenbroeck ; mais nous devons obferver ,
    • i° Que nous avons fupprimé plufieurs corps, Toit pour nous reftreindre à ce qui pouvoit être le plus utile, Toit pareeque plufieurs des déterminations données dans ces tables, m’ont paru fort fufpe&es ou évidemment erronnées. En effet , quelle confiance peut-on avoir dans une table comme celle qu’on voit dans le livre de M. Mufchenbroeck , ( trad. de Maffuet * édit, de Leyde , 1739 ) » PaSe 4I4> Tome I, où dans trois lignes il y a trois fautes évidentes? Car i° il eft faux que, entre les pefanteurs fpécifiques de l’eau de pluie & de l’eau diftillée , il y ait le rapport de 1000 à 993 : il n’y a prefque aucune différence. 20 II eft egalement faux que l’eau de puits\{oit plus légère que l’eau de pluie : le contraire eft notoire. 30 II eft encore faux qu’aucune eau de riviere foit en pefanteur fpécifique à l’eau de pluie, comme 1009 à 1000 II faudroit pour cela une eau qui tînt près de 10 onces de Tels par pied cube en diffolution.
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    • ti6 Récréations Mathématiques.
    • La plus crue de toutes les eaux de puits n’ell pas auffi pefante. La table de M. Cotes, moins vi-cieufe, adopte cependant aulïi une partie de ces erreurs.
    • 2° Nous avons ajouté les pefanteurs spécifiques de quantité d’autres corps, que nous avons trouvées dans des livres dignes de confiance , ou que nous avons déduites en combinant diverfes expériences ; telles font les pefanteurs fpécifiques de plufieurs eaux, dont quelques-unes ont de la célébrité & n’en font pas meilleures ; celles de diverfes efpeces de vins.
    • 3° Lorfqu’on trouve deux nombres accolés à côté d’une même fubftance, cela lignifie que ce font à peu près les termes entre lefquels fa pefan-teur varie.
    • Malgré ces foins, je ne regarde encore cette table que comme un ouvrage bien éloigné de ce qu’il pourroit & devroit être ; car il y a une multitude de circonftances auxquelles M. Cotes ni M. Mufchenbroeck ne paroiffent pas avoir fait attention. Il faudroit, pour avoir une bonne table de cette efpece, que toutes les pefanteurs fulfent réduites à une même température ; ce qui n’a pas été fait par ces auteurs. Il y a des fubftances, telles que les huiles, qui certainement different en pefanteur, fuivant qu’elles font plus anciennes ou plus récentes. On ne doit donc regarder tout ce qu’on lit ici, que comme une forte d’approximation qui n’ell pas beaucoup éloignée de la vérité. Nous projetons, au relie, de faire de nouvelles expériences beaucoup plus étendues & beaucoup plus exaéles , qui nous mettront à portée de donner une table telle que celle dont on devroit être déjà en polfelfion.
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    • Mécanique.
    • tl7
    • TABLE
    • Des poids tant anciens que modernes , comparés à la livre de Paris , qui contient 16 onces ou 9zi6 grains.
    • DE même que nous avons donné à la fuite de la partie de la géométrie, une table comparative des principales fnefures longitudinales, tant anciennes que modernes, nous croyons devoir donner ici une pareille table pour les poids des différents pays de l’univers , & principalement d’Europe, en les comparant à la livre de Paris.
    • Il faut donc fçavoir d’abord que la livre de Paris fe divife en 16 onces, chacune defquelles fe partage en 8 gros, chaque gros en 3 deniers , & le denier en 24 grains, enforte que le gros contient 72 grains, l’once 576 , 6c la livre 9216. On paffe aflez ordinairement la fous-divifion des gros en drachmes ou deniers, 6c en mettant les grains immédiatement après les gros , en cette forte , par exemple, 1 livre 5 onces 5 gros 61 grains, au lieu de 1 livre 5 onces 5 gros 2 deniers 13 grains.
    • Le poids monétal eft le marc, qui eft compofé de 8 onces, dont les 16 font la livre ; les fubdi-vifions font d’ailleurs les mêmes que ci-deflus.
    • Après cette petite inftruéfion préliminaire, nous allons entrer en matière, en commençant par les poids anciens. Ce que nous dirons ici eft au refte emprunté du livre de M. Chriftiani, intitulé ddU
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    • n8 Récréations Mathématiquès.
    • Mifurc dogni genere , antiche e moderne, , &C« imprimé à Venife en 1760, in-4° ; livre dans lequel cet auteur femble avoir entrepris d’épuifer la matière. On ne conviendra peut-être pas généralement de l’évaluation qu’il donne à quelques poids anciens, mais la matière eft obfcure, & il n’eft pas furprenant qu’il y régné encore quelque indécifion.
    • POIDS ANCIENS.
    • Poids des Hébreux, Rapp. à la liv. de Par. Uv. onc. gr. grain.
    • L’obole , appelle eerach, • Demi-ficle, (beka) ~ — ZZTi'âZ O 0—O—I3-
    • Siclc, (feckel) »5*- • 0 0
    • Mine,(manen) - 15180- ... t.... j o—2—60—
    • Talent, (cicar) —« -••759000- 82 5
    • Poids grecs uniques (a).
    • Le calcho,...——......-...-.1-— O...0—0
    • L’obole ,........-....-.....10..o...0—0—10-
    • Ladragme , ...........——637—0........0—0—637
    • La didragme,..............-126..0...O— 1 — 54-
    • La tetradragme,.......-...253...o....0—3—37-
    • La petite mine de 75 dragmes, ..47437 —o 8—1—637
    • La grande mine de 100 drag., —6325 o—10—7—61-
    • Le petit talent de 60 petites
    • mines (b), —..........284625—30—14— 1...9..]
    • Le grand talent de 60 grandes mines,................379500—41—.2—6—60-:
    • 00 II faut remarquer que ces poids étoient en même temps mon-noie ; ce qui étoit bien mieux entendu que ce qui fe paffe chez nous.
    • (6) Je m’écarte ici de M. Chriftiani , qui me paroît fe tromper dans ton évaluation de ces deux talents, s’il eft vrai, comme il le dit ailleurs, que l’un fût de foixante petites mines l’autre de Soixante grandes.
    • La
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    • ll9
    • Mécanique,
    • Poids Romains.
    • Grains. Rapp. à la liv.de Par
    • Uv. onc. g,. g.
    • Le denier, ............-.—....63l-o—o—o—63-
    • L’once égaleà 8 deniers,...506 o—0—7.. 4
    • L’as ou la livre, de iîonces, ••••6072.0—10—4-
    • Autre livre de 10 onces,...-5060—0—8-6-
    • Le petit talent, ..............30—14—1...
    • Le grand talent, %—5.,.
    • POIDS MODERNES
    • Des principaux pays & lieux de Vunivers, tS* ticulièrement de P Europe.
    • Alep, la liv. appellée rotolo,
    • Alexandrie en tgypte,..
    • Alicante,........-.....
    • Amllerdam ,.............
    • Anvers 6c Pays-Bas, ...
    • Bayonne,’ IIZIZ-I
    • Balle, ----------------
    • Bergame,----—..........
    • Berghen ,..............
    • Bilbao,................
    • Bois-le-Duc, -s!.......
    • Bordeaux, voye[ Bayonne.
    • Brefaa’................
    • Bruges, comme à Anvers.
    • Bruxelles, idem.
    • Cadix,.................
    • Chine, (le kin)........
    • Cologne, ..............
    • Conltantinople, —......—•
    • Copenhague, ...........
    • Damas, (le rotolo ) .•••—••-
    • Tome //,
    • -37768..
    • .863,.. "7578-
    • ..9°o4...
    • .8744...
    • ...,48,..
    • .-8579-
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    • 130 Récréations Mathématiques.
    • • Grains. Rapp. à la liv.
    • Dantzik,------—.......-...
    • Dublin, —-----------------
    • Florence & Tofcane , — Garni, voyez Anvers.
    • Hambourg,...............
    • Konigsberg, — •—•—*•••
    • ï-««êe*..................
    • Lille,-------------------
    • Lisbone, ——-----------—
    • Livourne, —•.....-•— ....
    • Louvain. vov<? Anvers.
    • Malines, voye^ Anvers. Saint-Malo, voye{ Bayonne.
    • Marfeille,................
    • Mefline,..................
    • Mclan,--------------------
    • Montpellier,............-•
    • Nantes, voyeç Rayonne.
    • NapS’,...................'
    • Nuremberg,.............*•
    • Pife, voyez Florence.
    • Revel, ...................
    • Riga, -....-..............
    • Rouen,.....-..............
    • Rome, .....-..........-...
    • Séville,..................
    • Smyrne,...................
    • • 8013— •9476..
    • .6444 ••
    • ...7175-
    • ...$579-
    • —•8641-. —7977-
    • ...$539-
    • ...6»7*-
    • ...7021-
    • ...8544..
    • C poids de [oie, ' 1 poids de ville , 6427 0—il- 8467.-0-14. '•**"** 19 z\zi\
    • 7977-..0-13. «•-57
    • ...7364...
    • -5905-.
    • .5413-
    • •••7579"'
    • ...8745...
    • ~*A7F
    • - 6036 •• ...9594...
    • ...7495...
    • 23:
    • • 8579..
    • "7977—
    • 13..Û....57
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    • Mécanique*
    • Stockolm, • Strasbourg,
    • Touloufe& haut Languedoc, ••—7707—•••o-—13....3—...3 Turin & Piémont en général,.....6021....o -10—3—45
    • R E
    • A R q U
    • Je fuis cependant loin d’affurer l’exa&itude parfaite de tous ces rapports, car je ne puis diffimuler que je trouve des contradictions entre ceux donnés par M. Chriftiani, 6c un tarif mercantile des poids d’Italie entr’eux. J’ai pourtant plus de confiance en M. Chriftiani, qui paroît avoir fait des recherches plus exaftes que l’auteur de ce tarif, qui m’a paru peu inftruit, puifqüe, à l’égard de Paris, il dit que la livre s’y divife en 11 onces, qu’à l’égard de Londres, il ne fbupçonne même pas les deux poids différents appelles de troy 6c averdupois.
    • Au refte, à l’afpect des poids différents qu’on er dans des endroits très-voifins , 6c
    • quelquefois dans la même ville, (car à Genes, par exemple, il n’y en a que cinq différents ), on ne peut fe refufer à une réflexion, fçavoir , qu’il feroit bien à defîrer que les Puiffances tra-vaillaffent à établir plus d’uniformité. Demander qu’il n’y ait en Europe qu’un même poids, un même pied, c’eft faire un fouhait chimérique; mais il fembls qu’il coûteroit peu d’introduire
    • I ij
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    • 13 2 Récré aïtons Mathématiques. dans chaque Etat une feule mefure. Alors on dire it Amplement la mefure do France, la mefure d’Angleterre, la mefure dç. Hollande, ôcc. 6c tous les calculs 8c réductions feroient extrêmement Amplifiés. Que de chofes reftent à faire pour débrouiller le chaos de nos inftitutions barbares! Tous les pays de l’Europe font prefque encore dans cet état informe qui pourroit leur faire appliquer ces vers d’Ovide :
    • “ . . . . I . rudis indigejlaque moles,
    • Nec benè junUarum difeordia femina rerum.
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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES.
    • QUATRIEME PARTIE,
    • Contenant divers Problèmes curieux d* Optique,
    • LES propriétés de la lumière , & les phénomènes de la vifion, forment l’objet de cette partie des mathématiques mixtes, appellée Y optique. Elle fe divife communément en quatre branches, fqavoir, l’optique direfte, la catoptrique,. la dioptrique , ôc la perfpe&ive.
    • En effet, la lumière peut arriver à nos yeux , ou dire&ement, ou après avoir été réfléchie, ou après avoir été rompue. Confidérée fous le premier afpeft , elle donne naiflance à la première branche de l’optique, appellée Y optique directe. On
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    • ij4 Récréations Mathématiques.
    • y explique tout ce qui a trait à la propagation di-refte de la lumière, à la maniéré dont on apper-çoit les objets, &c.
    • La catoptrique s’occupe des effets de la lumière réfléchie , & des phénomènes auxquels donne lieu la réflexion de la lumière fur des furfaces de dif« férentes formes, planes , convexes , concaves , &c.
    • Lorfque la lumière, en paflant à travers divers corps tranfparents, eft détournée de fa route directe , ce qu’on nomme réfraélion, elle eft l’objet de la dioptrique. C’eft elle qui rend compte des effets des télefcopes & microfcopes par réfra&ion,
    • La perfpe&ive ne devroit former qu’une branr che de l’optique direfte ; car ce n’eft que la folu-tion des différents cas de ce problème : Sur une furface donnée , tracer l'image d'un objet de telle maniéré qu'elle fajfe fur un œil, placé dans le lieu convenable, la meme fenfadon que l'objet lui-même ; problème purement géométrique, & dans lequel il n’eft queftion que de déterminer fur un plan donné de pofition, les points où il eft: coupé par les lignes droites , tirées à l’œil de chaque point de l’objet. On n’emprunte conféquemment ici de l’optique , que le principe de la re&itude des rayons de lumière, tant qu’ils fe meuvent dans le même milieu ; le refte eft de la géométrie pure.
    • Nous allons , fans nous aftreindre à d’autre, ordre qu’à celui de la méthode , paffer en revue les problèmes & les objets les plus curieux de cette partie intéreflante des mathématiques.
    • Sur la nature de la lumière.
    • Avant d’entrer dans des détails fur l’optique,
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    • Optique. i35
    • nous ne pouvons nous difpenfer de dire quelque choie fur la nature 6C les propriétés de la lumière en général.
    • Les philofophes font encore partagés, & le feront probablement long-temps fur la nature de la lumière. Quelques-uns la regardent comme l’ébranlement d’un fluide extrêmement délié & élaf-tique , ébranlement communiqué à ce fluide par les vibrations du corps lumineux, Sc qui fe propage circulairement à des diftances immenfes & avec une rapidité inconcevable. La lumière eft , fuivant eux, tout-à-fait analogue au fon, qu’on fçait confifter dans un femblable ébranlement de l’air, qui en eft le véhicule. Plufieurs raifons fort fpécieufes donnent à cette opinion une grande vraifembîance, malgré quelques difficultés phyfi-ques qu’il n’eft pas aifé de réfoudre.
    • Suivant Newton, au contraire, la lumière con-fifte dans l’émiflion même des particules du corps lumineux, extrêmement raréfiées, & lancées avec une viteffe prodigieufe. Les difficultés phyfiques qui militent contre l’opinion précédente, fem-blent fervir de preuves à celle-ci; car il n’y a que ces deux maniérés de concevoir la nature ôc la propagation de la lumière.
    • Mais ce n’eft pas ici le lieu d’entrer dans une femblable difcuflion. Quelle que foit la nature de la lumière, il eft démontré aujourd’hui qu’elle fe meut avec une viteffe qui effraye l’imagination ; car on fqait qu’elle ne met que fept à huit minutes à venir du foleii à la terre. Et comme la diftance du foleii à la terre eft, fuivant les obfervations les plus récentes, de 22000 demi-diametres terreftres, ou 3 3 millions de lieues, la lumière en parcourt plus de 73000 dans une fécondé : elle iroit 6c
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    • 136 Récréations Mathématiques.
    • reviendront en moins de trois fécondés , de la terre à la lune & de la lune à la terre.
    • Les propriétés principales de la lumière, celles fur lefquelles eft fondée toute l’optique, font les fuivantes.
    • 1. La lumière fe meut en ligne droite, tant qtêelle parcourt le même milieu transparent.
    • Cette propriété eft une fuite néceflaire de la nature de la lumière ; car, quelle qu’elle foit, elle eft un corps en mouvement. Mais un corps fe meut toujours en ligne droite , tant que rien ne tend à l’en détourner : or, dans un même milieu, tout eft égal dans tous les fens: ainfi la lumière doit s’y mouvoir en ligne droite.
    • On démontre d’ailleurs ce principe d’optique ainfi que le fuivant, par l’expérience.
    • 2. La lumière , à la rencontre d'un plan poli, fe réfléchit en faifant Vangle de réflexion égal à. P angle d’incidence , & la réflexion fe fait toujours dans un plan perpendiculaire à la furface réfUchiffante au point de réflexion.
    • j t C’eft-à-dire que fi AB eft un rayon incident i.fur une furface plane , B le point de réflexion, pour trouver la direttion du rayon réfléchi BC , il faut d’abord concevoir par la ligne AB un plan perpendiculaire à cette furface, & la coupant dans la ligne DE, puis faifant l’angle CBE égal à ABD , la ligne CB fera le rayon réfléchi.
    • Si la furface réfléchiflfante eft courbe, comme de 9 Ü ^t concevoir par le point B de réflexion , un plan tangent à cette furface ; la réflexion fe fera tout comme fi c’étoit le point-B de cette fur-fcce qui opérât la réflexion ; car il eft évident que
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    • la furface courbe & le plan tangent au point B , coïncident dans cette partie infiniment petite , qui peut être confidérée comme un plan commun à la furface courbe & au plan tangent : donc le rayon de lumière doit fe réfléchir de deflus la furface courbe , tout comme du point B du plan qui la touche.
    • 3. La lumière , en paffant obliquement d’un milieu dans un autre de différente denjité, fe détourne de la ligne droite, & s’incline vers la perpendiculaire , Ji elle paffe d'un milieu rare dans un plus denfe , comme de l'air dans le verre , ou dans Veau ;
    • & au contraire.
    • Deux expériences, qui font des efpeces de jeux d’optique, vont nous prouver cette vérité.
    • Première Expérience.
    • Expofez au foleil, ou à une lumière quelconque, pj# , un vafe ABCD dont les parois foient opaques, & fig. 2. examinez à quel point du fond fe termine l’ombre.
    • Que ce foit, par exemple, en E. Verfez-y de l’eau, de l’huile , jufqu’au bord ; vous remarquerez que l’ombre , au lieu de fe terminer à ce point E, ne l’atteindra plus , & fe terminera comme en F,
    • Cela ne peut venir que de l’inflexion du rayon de lumière SA , qui touche le bord du vafe. Ce rayon, quand le vafe étoit vuide, continuant fa route en ligne droite SAE, alloit terminer l’ombre au point E ; mais il fe replie en AF lorfque ce vafe eft plein d’un fluide plus denfe que l’air. C’efl: cette inflexion du rayon de lumière, en paflant obliquement d’un milieu dans un autre, qu’on nomme réfraction,
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    • 138 Récréations Mathématiques. Seconde Expérience.
    • PI. 1, Placez au fond d’un vafe dont les parois font fig- 3- opaques , en C, par exemple, une piece de mon-noie , ou un objet quelconque, & éloignez-vous du vafe jufqu’à ce que le bord vous cache cet objet ; faites y verfer de l’eau ; vous le verrez aufli-tôt paroître, ainfi que partie du fond qui étoit cachée à votre vue. En voici la raifon.
    • Lorfque le vafe eft vuidç, l’œil O ne peut ap-percevoir le point C que par le rayon direéf CAO, qui eft intercepté par le bord A du vafe ; nais lorfque le vafe eft plein d’eau, il .y a un ra. on comme CD, qui, au lieu de continuer fa route direâement en E, eft rompu en DO , en s’éloignant de la perpendiculaire DP. Ce rayon porte à l’œil l’apparence du point C, & l'œil le voit dans la prolongation de OD en ligne direâe, comme en c : auffi le fond paroît-il dans ce cas élevé. C’eft par une fembable raifon qu’un bâton bien droit, étant plongé dans l’eau, paroît plié au point où il rencontre la furface, à moins qu’il ne foit plongé perpendiculairement.
    • Les physiciens géomètres ont examiné foigneu-fement la loi fuivant laquelle fe fait cette inflexion de la lumière , & ils ont trouvé que , lorfqu’un Fig. 4. rayon, comme EF, paffe de l’air dans le verre , il eft rompu en FI, de maniéré qu’il régné entre le finus de l’angle CFE & celui de l’angle DFt, une raifon confiante. Ainfi , que le rayon EF foit rompu en FI, & le rayon e¥ en Fi, il y aura même raifon du finus de l’angle CFE au finus de l’angle DFI, que du finus de l’angle CF« au finus de l’angle DFi. Ce rapport, lorfque le paflage fe fait de l’air dans le verre ordinaire , eft conftam-
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    • Optique. 159
    • ment de 3 à 2 ; c’eft-à-dire que le fi nus de l’angle fait par le rayon rompu avec la perpendiculaire à la furface réfringente, eft conftamment les deux tiers de celui de l’angle que fait le rayon incident avec la même perpendiculaire.
    • On doit obferver que lorfque ce dernier angle, c’eft-à-dire l’écart du rayon incident d’avec la perpendiculaire, ce qu’on nomme Y angle d’inclinaifon , eft fort petit, on peut regarder l’angle rompu comme en étant les deux tiers ; cela s’entend lorfque le rayon pafle de l’air dans le verre ; car on fçait , & il eft aifé de le vérifier par les table des finus , que lorfque deux angles font fort petits , c’eft-à-dire qu’ils ne furpaflent pas 5 à 6 degrés , par exemple, ils font fenfiblement dans la même raifon que leurs finus : ainfi, dans le cas ci-deftus, l’angle rompu IFD fera les deux tiers de l’angle d’inclinaifon GFE ; & l’angle de réfraction , ou l’écart du rayon rompu d’avec l’incident prolongé en ligne droite, en fera conféquemment le tiers.
    • Lorfque le paflage fe fait de l’air dans l’eau, le rapport des finus des angles d’inclinaifon & rompu , eft de 4 à 3 ; c’eft-à-dire que le finus de l’angle DFI eft conftamment les \ de celui de l’angle d’inclinaifon GFE, du rayon incident dans l’air; & conféquemment, lorfque ces angles léront fort petits, on pourra les regarder comme étant dans le même rapport, & l’angle de réfraâion fera le ^ de l’angle d’inclinaifon (a).
    • ( a) Il eft d’ufage aujourd’hui d’appeller l’anele du rayon incident avec la perpendiculaire , comme CFE , l'angle d’incidence, & de donner le nom $ angle de réfraflion à ççlui du rayon rompu avec la même perpendiculaire pro-
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    • 140 Récréations Mathématiques.
    • Cette proportion eft la bafe de tous les calculs de la dioptrique, & il faut, par cette raifon, fe la graver profondément dans la mémoire. On en doit la découverte au célébré Defcartes, quoiqu’il paroifle certain, par le témoignage d’Huygens, que Willebrod Snellius, mathématicien Hollandois, avoit découvert avant lui une loi de la réfraâion également confiante, & qui au fond eft la même que celle de Defcartes. Mais Voflius a eu tort de prétendre, comme il fait dans fon livre de Naturâ Lucis, que l’expreflion de Snellius étoit plus commode. Ce fçavant ne fçavoit guere ce qu’il difoit quand il fe mêloit de parler phyfique.
    • PROBLÈME I.
    • Repréfenter dans une chambre fermée les objets extérieurs, avec leurs couleurs & leurs proportions naturelles.
    • Fe R m e z la porte & les fenêtres de la chambre, enforte qu’il n’y entre aucune lumière que par un trou fort petit & bien tranché, que vous aurez réfervé à une fenêtre en face d’une place fréquentée ou d’un payfage ; tendez contre le mur oppofé, s’il n’eft pas bien drefle, un drap bien blanc. Si les objets extérieurs font fortement éclairés & la chambre bien noire, ils fe peindront fur ce mur ou fur le drap , avec leurs couleurs & dans une fituation renverfée.
    • L’expérience faite de cette maniéré fort fimple,
    • longée , comme IFD. Il eft à propos d’être prévenu de cette différence de langage, pour ne pas trouver les opticiens modernes en contradi&ion avec ceux du dernier
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    • Optique. 141
    • féuffit affez bien pour furprendre ceux qui la voient pour la première fois ; mais on la rend bien plus frappante au moyen d’un verre lenticulaire.
    • Adaptez au trou du volet , qui doit alors avoir quelques pouces de diamètre, un tuyau portant à fon extrémité intérieure un verre lenticulaire convexe, de 4, 5 ou 6 pieds de foyer (a) ; tendez à cette diftance du verre , & perpendiculairement à l’axe du tuyau, le drap ou le carton ci-deflus : vous verrez les objets extérieurs peints avec une vivacité & une diftinétion bien fupérieures à celles de l’expérience précédente ; elles feront telles, que vous pourrez diftinguer les traits des perfonnes que vous verrez. On ne fqauroit dire enfin combien ce petit fpe&acle eft amufant, fur-tout quand on confidere de cette maniéré une place publique & fort paflagere, une promenade remplie de monde, &c.
    • Cette peinture eft à la vérité renverfée, ce qui nuit d’abord un peu à l’agrément ; mais on peut la redrefter de plufieurs maniérés : il eft feulement fâcheux que cela ne fe faffe point fans nuire à la diftinftion ou à l’étendue du champ du tableau. Si néanmoins on veut fe procurer la commodité de voir les objets droits , voici un moyen pour cela.
    • Vers la moitié de la diftance du foyer du verre lenticulaire , placez à angles de 450 un miroir
    • (a) On expliquera plus loin ce que c’eft qu’un verre lenticulaire ou une lentille de verre, ainfj que fon foyer ^ & quels en font les effets & les propriétés : il fuffit qu’on fçache ici qu’un de ces effets confifte à produire derrière le verre convexe, à une diftance déterminée, une image des objets parfaitement femblable aux objets eux-mêmes.
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    • i4i Récréations Mathématiques.
    • PI. i,plan, enforte qu’il réfléchifle vers le bas les rayons fig. 5. venants de la lentille ; placez horizontalement au-deffous, le tableau ou le carton blanc à la hauteur convenable : vous aurez l’image des objets extérieurs peints fur ce carton, dans la fituation droite à l’égard de ceux qui auront le dos tourné à la croifée. La fig. J repréfente le mécanifme de cette inverfion, qu’on ne concevra au refte clairement, qu’autant qu’on aura déjà quelqu’idée de catop-trique.
    • Ce tableau pourra être placé fur une table ; il ne fera queftion que de difpofer le verre & le miroir à la hauteur convenable pour que l’objet s’y peigne diftinélement : on aura, par ce moyen, la commodité de defliner exa&ement un payfage, un édifice, &c.
    • PROBLÈME II.
    • Confiruire une chambre obfcure qu'on puijje tranfi-porter.
    • Fig. 6. Fait es une caiffe de bois ABCD, à laquelle vous donnerez environ un pied de hauteur 8c autant de largeur, 8c deux ou trois de longueur environ , fuivant la diftance du foyer des lentilles que vous emploierez ; ajoutez à l’un des côtés un tuyau EF, formé de deux qui, s’emboîtant l’un dans l’autre, puiffent s’alonger ou fe^raccourcir , félon le befoin ; à l’ouverture antérieure du premier tuyau , vous adapterez deux lentilles convexes des deux côtés, de fept pouces environ de diamètre, de maniéré qu’elles fe touchent prefque, 8c au trou intérieur vous en placerez une autre de cinq pouces environ de foyer; vous difpoferez perpendiculairement vers 1$ milieu de la longueur
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    • Optique. i4î
    • de cette boîte, un papier huilé GH, attaché fur un chaflis ; enfin, vous ménagerez au côté oppofé au tuyau une ouverture en I, affez grande pour recevoir les deux yeux.
    • Quand vous voudrez voir quelques objets, vous tournerez le tuyau garni de fes lentilles vers ces objets, 8c vous les ajufterez de maniéré que l’image Toit peinte diftin&ement fur le papier huilé ; ce à quoi vous parviendrez, en retirant ou'alon-geant le tuyau mobile.
    • Voici la defcription d’une autre chambre obfi-cure, inventée par M. s’Gravefande, qui l’a donnée à la fuite de fon EJJai de Perfpeftive.
    • Cette machine a la forme à peu près d’une PL 2, chaife à porteur ; le deffus en eft arrondi- vers le %• 7* derrière ; &. par le devant elle eft bombée , ôc faillante dans le milieu de la hauteur. Voyez la figure qui repréfente cette machine dont le côté oppofé à la porte eft enlevé, afin qu’on puilfe voir l’intérieur.
    • 1. Au dedans, la planche A fert de table ; elle tourne fur deux chevilles de fer portées dans le devant de la machine, 8c eft foutenue par deux chaînettes, pour pouvoir être levée, & faciliter l’entrée dans la machine.
    • 2. Au derrière de la machine , en dehors, font
    • attachés quatre petits fers ,C,C,C,C, dans lef-quels gliflent deux réglés de bois DE, DE, de la largeur de trois pouces, aux travers defquels palfent deux lattes, fervant à tenir attachée une petite planche F, laquelle, par leur moyen, peut avancer ou reculer. v
    • 3. Au deflus de la machine eft une échancrure PMOQ , longue de neuf ou dix pouces, 8c large de quatre, aux côtés de.laquelle font attachées
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    • 144 Récréations MaîhéMA?iqüeS, deux réglés en forme de queue d’aronde, entre lefquelles on fait gliffer une planche de même longueur, percée dans fon milieu d’un trou rond d’environ trois pouces de diamètre , & garni d’un écrou qui fert à élever 6c abaiffer un cylindre garni de la vis correfpondante, ôc d’environ quatre pouces de hauteur. C’eft ce cylindre qui doit porter le verre convexe.
    • 4. La planche mobile, ci-deffus décrite, porte encore avec elle une boîte quarrée X , large d’environ fept à huit pouces, 6c haute de dix, dont le devant peut s’ouvrir par une petite porte ; ôc le derrière de la boîte a vers le bas une ouverture quarrée N , d’environ quatre pouces , qui peut, quand on le veut, fe fermer par une petite planche mobile.
    • 5. Au deffus de cette ouverture quarrée, eft une fente parallèle à l’horizon, 6c qui tient toute la largeur de la boîte. Elle fert à faire entrer dans la boîte un miroir plan qui gliffe entre deux réglés , enforte que l’angle qu’il fait avec l’horizon du côté de la porte B, foit de 111 0 ~, ou de cinq quarts de droit.
    • 6. Ce même miroir peut, quand on le veut, fe placer perpendiculairement à l’horizon, comme on voit en H , au moyen- d’une platine de fer adaptée fur un de fes côtés , 6c garnie d’une vis de fer, qu’on fait entrer dans une fente pratiquée au toit de la machine , 6c qu’on ferre avec un écrou.
    • 7. Au dedans de la boîte eft un autre petit miroir LL, qui peut tourner fur deux pivots fis un peu au deffus de la fente du n° 5, 6c qui étant tiré ou pouffé par la petite verge S , peut prendre toutes les inçlinaifons qu’on voudra à l’horizon.
    • 8. Pour avoir de l’air dans cette machine , on
    • adaptera
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    • Optique.
    • >45
    • adaptera à un des côtés le tuyau de fer-blanc re- Pl. 2, courbé vers les deux bouts, fig. S, qui donnera ac- %• 8. cès à l’air fans le donner à la lumière. Si cela ne paroiffoit pas fuffifant, on pourroit mettre fous le fiege un petit foufflet, qu’on feroit agir avec le pied. De cette maniéré on pourra renouvell'er l’air continuellement. Voici préfentement les divers ufages de la machine.
    • I. Repréj'enter les objets dans leur Jituation naturelle.
    • Quand on voudra repréfenter les objets dans cette machine , on étendra un papier fur la table, ou, ce qui efl: mieux, on en aura un bien tendu ,
    • & attaché fur une planchette ou tin carton fort, qu’on mettra fur cette table , & qu’on y fixera for lidement & invariablemement.
    • On garnira le cylindre C d’un verre convexe , Fig, 7,] dont le foyer foit à peu près à une diftance égale à la hauteur de la machine au defîus de la table ; on ouvrira le derrière de la boîte X, &, l’on fup-primera lé miroir H, ainfi que la planche F & les réglés DE; enfin l’on inclinera le miroir mobile LL, enforte qu’il fade avec l’horizon un angle à peu près de 450, s’il s’agit de repréfenter. des objets fort éloignés & formant le tableau perpendiculaire : alors tous les objets qui enverront des rayons fur le miroir LL, qui peuvent être réfléchis fur le verre convexe, fe peindront fur lé papier; & l’on cherchera le point de la plus grande, diftinélribn^ en élevant ou abaiffant, par le moyen de la vis , le cylindre qui porte le verre convexe.
    • On pourra, par ce moyen, repréfenter avec la 1 — grande vérité un payfage, une vue de ville,
    • Tome II,
    • K
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    • i46 Récréations Mathématiques.
    • II. Repréfenter les objets , en faifant paroître à droite ce qui ejl à gauche, 6* au contraire.
    • La boîte X étant dans la fituation repréfentée dans la figure, il faut ouvrir la porte B , mettre le le miroir H dans la fente & la fituation indiquée plus haut, n° 5 , élever le miroir L L de maniéré qu’il fafle avec l’horizon un angle de n° 7 : alors, en tournant le devant de la machine du côté des objets à repréfenter, que nous fuppofons fort éloignés , on les verra peints fur le papier, & feulement renverfés de droite à gauche.
    • Il fera quelquefois utile de former un deffin dans ce fens ; par exemple, fi on fe propofoit de le faire graver ; car la planche renverfant le 'deffin de droite à gauche feulement, elle remettroit les objets dans leur pofition naturelle.
    • III. Repréfenter tour-à-tour tous les objets qui font aux environs & autour de la machine.
    • Il faut placer le miroir H verticalement, comme on le voit dans la figure, & le miroir L fous un angle de 45 0 : alors, en faifant tourner le premier verticalement, on verra fucceffivement fe peindre fur le papier les objets latéraux.
    • C’efl: une précaution néceflaire que de couvrir le miroir H d’une boîte de carton , ouverte du côté des objets, comme aufll du côté de l’ouverture N de la boîteX; car. fi on laiffioit le miroir entièrement expofé, il réfléchirait fur le miroir L beaucoup de rayons latéraux qui affoibliroient con-lidérablement la repréfentation.
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    • O
    • PTÏQUE. î47
    • ÏV. Repréfenter des peintures ou des taillés-douces»
    • Il faudra les attacher contre la planche F, du côté qui regarde le-miroir L , & enforte qu’elles foient éclairées par le foleil. Mais, comme alors l’objet fera extrêmement proche , il faudra- garnir le cylihdre d’un verre d’un foyer dont la longueur foit à peu près la moitié de la hauteur de la machine au deffus du papier ; & alors, fi la diftance du tableau jufqu’au Verre eft égale à celle du verre jufqu’au papier , les objets du tableau feront peints fur ce papier précifément de la même grandeur.
    • On faifira le point de diftin&ion , en avançant ou reculant la planchette F, jufqu’à ce que la re-préfentation foit bien diftin&e.
    • Il y a quelques attentions à avoir relativement à l’ouverture du verre convexe.
    • La première eft qu’on peut ordinairement donner au verre la même ouverture qu’à une lunette de même longueur.
    • La fécondé, qu’il faut diminuer cette ouverture dorfque les objets font fort éclairés, & au contraire.
    • La troifieme, que les traits, paroiffant plus dif-tin&s lorfque l’ouverture eft petite que quand elle eft plus grande, lorfqu’on voudra defliner, il faudra donner au verre la plus perite ouverture po£ fible, avec cette précaution de ne pas trop exténuer la lumière ; c’eft pourquoi il faudra avoir, pour ces différentes ouvertures, différents cercles de cuivre ou de carton noircis, qu’on emploiera fuivant les cir confiances.
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    • ,48 récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME III.
    • Expliquer la maniéré dont fefait la vifion , & fes principaux phénomènes.
    • Pour expliquer comment l’on apperçoit les objets, il eft néceffaire de commencer par une defeription de l’organe merveilleux qui fert à cet uiage.
    • L’œil eft un globe creux, formé par trois membranes qui enveloppent des humeurs de différentes denfités, & qui fait à l’égard des objets extérieurs l’effet d’une chambre obfcure. La plus extérieure de ces membranes eft appellée la felérotique, & n’eft qu’un prolongement de celle qui tapiffe l’intérieur des paupières. La fécondé, qu’on nomme la choroïde , eft une prolongation de la membrane qui couvre le nerf optique, ainlî que tous les autres nerfs. La troifieme enfin , qui tapiffe l’intérieur de l’œil, eft une expanfion du nerf optique : c’eft cette membrane toute nerveufe qui eft l’organe de la vifion ; car, quelques expériences qu’on ait alléguées pour attribuer cette fonélion à la choroïde , on ne fçauroit chercher le fentiment ailleurs que dans les nerfs & dans les parties nerveufes.
    • Au devant de l’œil, la felérotique change de nature , & prend une forme plus convexe que le globe de l’œil; c’eft ce qu’on appelle la cornée tranfparente. La choroïde, en fe prolongeant au deffous de la cornée, doit conféquemment laiffer un petit vuide : c’eft ce vuide qui forme la chambre antérieure de l’humeur aqueufe. Ce prolongement de la choroïde vient fe terminer à une ouverture circulaire, connue de tout le monde fous le nom de la prunelle, La partie colorée qui envi-
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    • Optique. i49
    • ronne cette ouverture, eft ce qu’on nomme Vins ou Puvée : elle eft fufceptible d’extenfion & de refferrement, enforte que, lorfqu’on eft expofé k une grande lumière, l’ouverture de la prunelle Te reflerre ; & au contraire elle fe dilate, quand on eft dans un endroit obfcur.
    • Cette ouverture de la prunelle eft proprement l’ouverture de la chambre obfcure. Derrière elle eft fufpendu, par un ligament circulaire, un corps tranfparent, & d’une certaine confiftance, fait en forme de lentille ; c’eft ce qu’on nomme le cryjlallin, lequel fait dans cette chambre obfcure naturelle, la fonction du verre que nous avons employé dans l’artificielle.
    • D’après cette defcription , on voit qu’il refte entre la cornée & le cryftallin une forte de chambre , partagée à peu près en deux également par l’uvée, & une autre entre le cryftallin & la rétine.
    • La première eft remplie d’une humeur tranfparente & femblable à de l’eau, d’où lui eft venu le nom d’humeur aqueufc. La fécondé chambre eft remplie d’une humeur dont la confiftance approche de celle du blanc d’œuf ; on lui donne le nom de vitrée. La Jig. c> met ces différentes parties fous pi. ^ les yeux, a eft la fclérotique 9 b la cornée , c la.fig. 9, N choroïde , d la rétine, e l’ouverture de la prunelle , ff l’uvée, h le cryftallin, ii l’humeur aqueufe, k k l’humeur vitrée, l le nerf optique.
    • L’œil n’étant évidemment, félon la defcription. précédente, qu’une chambre obfcure, mais feulement plus compofée que celle que nous avons déjà décrite, il eft aifé de reconnoître que les objets, extérieurs fe peignent renverfés dans le fond de l’œil fur la rétine ; ce font ces images qui, affectant cette membrane nerveufe , excitent dans Kiij
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    • 150 Récréations Mathématiques.
    • l’ame la perception de la lumière, des couleurs & de la figure des objets. L’image eft-eîl&diftin&e & vive, l’ame reçoit une perception vive & dif-tinéle; eft-elle confufe, obfcure , la perception que reçoit l’ame eft de la même nature : c’eft ce que l’expérience prouve fuffifamment. On s’afîure aifément de Texiftence de ces images, au moyen d’un œil d’animal, de mouton, par exemple ; car fi on en dépouille la partie poftérieure , en ne laiflant que la rétine, & qu’on préfente fa cornée au trou d’une chambre obfcure, on verra les images des objets extérieurs qui fe peindront au fond.
    • Mais comment, demandera-t-on peut-être , les images des objets étant renverfées, ne laiffe-t-on pas de les voir droits? Cette queftion n’en eft une que pour ceux qui n’ont aucune idée métaphyfi-que. En effet, les idées que nous avons de la fi-tuation droite ou renverfée des objets à notre égard, ainfi que de leur diftance, ne font que le réfultat des deux fens de la vue & du ta&, combinés. Du moment qu’on commence à faire ufage de la vue, on éprouve, au moyen du taô, que les objets qui affe&ent les parties fupérieures de la rétine , font du côté de nos pieds relativement à ceux qui affeélent les parties inférieures , que le ta& apprend en être plus éloignées. De-là s’eft établie la liaifon confiante de la fenfation d’un objet qui affefte les parties fupérieures de l’qeil, avec l’idée de l’infériorité de cet objet.
    • Qu’eft-ce enfin qu’être en bas ? C’eft être plus volfin de la partie inférieure de notre corps. Or, dans la repréfentation d’un objet quelconque, la partie inférieure de cet objet peint fon image plus près de celle de nos pieds que la partie fupérieure; dans quelqu’endroit que fe peigne l’image de nos
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    • pieds dans la rétine, cette image eft donc né-ceflairement liée avec l’idée d’infériorité ; con-féquemment ce qui l’avoifine le plus produit né-ceflairement dans l’efptit la même idée. Les deux bâtons de l’aveugle de Defcartes ne fervent de rien ici ; & certainement Defcartes auroit dit les mêmes chofes, s’il n’avoit pas adopté les idées innées, que la métaphy fique moderne a profentes.
    • PROBLÈME IV.
    • Conjlruclion d'un œil artificiel , propre a rendre Jenfible la raifon de tous les phénomènes de lavifion.
    • Ad eft une boule creufe de bois, de cinq à lix PI* pouces de diamètre , & formée de deux hémi- %• fpheres qui fe joignent enfemble en L M, & de maniéré qu’ils puiflent s’approcher & s’éloigner l’un de l’autre d’environ un demi-pouce-Le fegment AB de l’hémilphere antérieur eft un verre d’égale épaifleur, comme ün verre de montre y au deflous duquel eft un diaphragme percé au milieu d’un trou rond , d’environ fix lignes de diamètre. F eft une lentille convexe des deux côtés, foutenue par un diaphragme , & ayant fon foyer à la diftance FE, lorfque les deux hémifpheres font à leur diftance moyenne. Enfin la partie DCE eft formée par un verre d’égale épaiffeur, & concentrique à la fphere, dont la furface intérieure, au lieu d’être polie, eft Amplement doucie , de maniéré à n’être qu’à moitié tranfparente. Voilà un œil artificiel , auquel il ne manque prefque que les humeurs aqueufe & vitrée. On pourrait même, fui-vant la matière dont il ferait formé, y repréfenter ces humeurs, en mettant dans la première chambre
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    • ÏÇI- Récréations Mathématiques.
    • de Peau commune, & dans la poftérieure ùne eau chargée d’une forte folution de fel. Mais cela eft abfolume'nt inutile pour les expériences que nous avons en vue.
    • On peut, au refte , beaucoup Amplifier cette petite machine , & la réduire à deux tuyaux d’un pouce & demi ou deux pouces de diamètre, rentrants l’un dariS l’autre. Le premier ou l’antérieur fera garni à fon ouverture d’un verre lenticulaire de trois pouces environ de foyer, dont on aura foin de ne laiffer découvert que la partie la plus voifîne de l’axe, au moyen d’un cercle de carton, percé d’un trou d’un demi-pouce environ de largeur, dont on le couvrira. Le fond du fécond tuyau fera couvert d’un papier huilé, qui fera la fonction de la rétine. Le tout enfin fera arrangé de maniéré que la diftance du verre au papier huilé puiffe varier d’environ deux pouces à quatre, en enfonçant ou retirant les tuyaux. Il n’eft perfonne qui ne puiffe facilement & à peu de frais fe procurer une pareille machine.
    • Première Expérience.
    • Le verre ou le papier huilé étant précifément au foyer du verre lenticulaire , fi vous tournez la machine vers des objets fort éloignés, vous les verrez peints avec beaucoup de diftinftion fur ce fond. Raccourciffez ou allongez la machine, de forte que le fond ne foit plus au foyer du verre, vous ne verrez plus ces objets peints diftinâement, mais confufément.
    • Seconde Expérience.
    • Eréfentez un flambeau , ou autre objet éclairé,' à la machine, à une diftance médiocre, comme
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    • Optique. 155
    • de trois ou quatre pieds, & faites enforte qu’il foit peint diftin&ement, en rapprochant ou éloignant du verre le fond de la machine. Alorsfi vous approchez davantage l’objet, il ceffera d’être peint diftin&ement ; mais vous aurez une image diftin&e en allongeant la machine. Au contraire , fi vous éloignez l’objet à une diftance confidéra-ble, il ceffera d’être peint diftinâement 9 & vôus ne recouvrerez l’image diftintte qu’en raccourcif-fant la machine.
    • Troisième Expérience.
    • Vous pourrez néanmoins, fans toucher à la machine , vous procurer l’image diftinâe d’une autre maniéré. En effet , dans le premier cas, préfentez à l’œil un verre concave, à une diftance que vous trouverez en effayant ; vous reverrez naître la diftinction dans la peinture de l’objet. Dans le fécond cas, préfentez-lui un verre convexe ; vous produirez le même effet.
    • Ces expériences fervent à -expliquer de la maniéré la plus fenfible tous les phénomènes de la vilion, ainfi que l’origine des défauts auxquels la vue eft fujette , & les moyens par lefquels on y remédie.
    • On ne voit les objets diftin&ement, qu’autant que ces objets font peints avec diftin&ion fui la rétine ; mais lorfque la conformation de l’œil eft telle que les objets médiocrement diftants font peints avec diftin&ion , les objets beaucoup plus voifins ou plus éloignés ne fçauroient être peints diftin&ement. Dans le premier cas , le point de diftin&ion de l’image eft au-delà de la rétine ; & fi l’on peut changer la forme de fon œil, de maniéré à éloigner la rétine de ce point ou le cryf-
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    • 154 Récréations Mathématiques.
    • tall'in de la rétine, on a l’image diftincle. Dans le fécond cas, c’eft le contraire ; le point de dif-tinâion de l’image eft en deçà de la rétine, & il faut, pour avoir la fenfation diftinâe, avancer la rétine vers le cryftallin, ou le cryftallin vers la rétine. Auffi l’expérience apprend - elle que, dans l’un ou l’autre cas, il fe paffe un changement qui, même fouvent, ne fe fait pas fans effort. Au refte , en quoi confifte ce changement? Eft-ce dans un allongement ou un applatiffement de l’œil ? eft-ce dans un déplacement du cryftallin ? C’eft ce qui n’eft pas encore entièrement éclairci.
    • II y a dans les vues deux défauts oppofés : l’un confifte à ne voir diftinâement que les objets éloignés ; & comme c’eft ordinairement le défaut des vieillards, on appelle presbytes ceux qui en font attaqués : l’autre confifte à ne voir diftin&ement que les objets fort proches; on les nomme myopes.
    • La caufe du premier de ces défauts eft une conformation de l’œil, qui fait que les objets voifins ne peignent leur image diftinéle qu’au-delà de la rétine. Or l’image des objets éloignés eft plus proche que celle des objets voifins ou médiocrement diftants: l’image de ceux-là pourra donc tomber fur la rétine, & l’on aura la vifion dif-tinfte des objets éloignés, tandis qu’on verra con-fufément les objets proches.
    • Mais fi l’on veut rendre diftin&e la vifion des objets proches, il n’y aura qu’à fe fervir d’un verre convexe, comme on a vu dans la troifieme expérience ; car un verre conyexe, en hâtant la réunion des rayons, rapproche l’image diftin&e des objets ; conféquemment il produira fur la rétine-une image diftin&e, qui fans lui n’eût été peinte qu’au-delà.
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    • Optique. 155
    • Ce fera tout le contraire à l’égard des myopes. Le défaut de leur vue confiftant dans une conformation de l’œil qui réunit trop tôt les rayons , & fait que le point de diftinélion de l’image des objets médiocrement éloignés , eft en deçà de la rétine , ils recevront du fecours des verres concaves interpofés entre leur vue & l’objet ; car ces verres, en faifant diverger les rayons, éloignent l’image diftin&e fuivant la troifieme expérience : ainfi l’image diftinâe des objets, qui fe fût peinte en deçà de la rétine, s’y peindra diftin&ement lorfqu’on fe fervira d’un verre concave.
    • Les myopes difcerneront en outre mieux les petits objets à portée de leur vue , que les presbytes ou les gens doués d’une vue ordinaire ; car un objet placé à une plus petite diftance de l’œil, peint dans fon fond une plus grande image, à peu près en raifon réciproque de la diftance. Ainfi un myope qui voit diftinélement un objet placé à fix pouces de diftance, reçoit dans le fond de l’œil une image trois fois aufli grande que celle qui fe peint dans l’œil de celui qui ne voit diftinc-tement qu’à dix-huit pouces ; conféquemment toutes les petites parties de cet objet feront grof-fies proportionnellement, & feront fenfibles au myope , tandis qu’elles échapperont au presbyte. Si un myope l’étoit au point de ne voir diftinâe-ment qu’à un demi-pouce de diftance, il verroit les objets feize fois plus gros que les vues ordinaires , dont la limite de diftin&ion eft de huit pouces environ : fon œil feroit un excellent mi-crofcope, & il difcerneroit des chofes dans les objets que les vues communes n’y voient qu’à l’aide de cet inftrument.
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    • 156 Récréations Mathématiques, PROBLÈME V.
    • Faire qu'un objets vu de loin ou de près , paroiffe toujours de la même grandeur. L’apparence des objets eft, toutes chofes d’ailleurs égales, d’autant plus grande, que l’image de l’objet, peinte fur la rétine, occupe un plus grande efpace. Or l’efpace qu’occupe une image fur la rétine, eft à peu près proportionnelle à l’angle que forment les rayons des extrémités de l’objet, comme il eft aifé de voir par la feule infpeélion de la jig. 11 ; conféquemment c’eft, toutes chofes d’ailleurs égales , de la grandeur de l’angle formé par les rayons extrêmes de l’objet qui fe croifent. dans l’œil, que dépend la grandeur apparente de cet objet.
    • 3, Cela pofé, foit l’objet AB, qu’il eft queftion "• de voir de différentes diftances , 8c toujours fous le même angle. Sur AB , comme corde, décrivez un arc de cercle quelconque, comme ACDB ; de tous les points de cet arc, comme A, C , D, B , vous verrez l’objet AB fous le même angle , 8c conféquemment de la même grandeur ; car tout / le monde fçait que les angles ayant AB pour bafe, & leur fommet dans le fegment ACDB , font égaux.
    • Il en fera de même d’un autre arc quelconque , comme A c d B.
    • PROBLÈME VI.
    • Deux parties inégales d'une meme ligne droite étant données , foit qu'elles /oient adjacentes ou non , trouver le point d'où elles paroîtront égales.
    • 12. Sur AB 8c BC, formez du même côté les deux triangles ifofceles femblables AFB, BGC 5 puis
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    • Optique. ï57
    • du centre F avec le rayon FB, décrivez un cercle,
    • & du point G avec le rayon GB, décrivez-en un autre qui coupera le premier en D ; ce point D fera le point cherché.
    • Car les arcs de cercle AEDB , BDeC, font femblables par la conftruftion ; d’où il fuit que l’angle ADB eft égal à BDC, puifque le point D appartient à-la-fois aux deux arcs.
    • Remarques.
    • i . Il y a une infinité de points comme D, qui fatisfont au problème , & on démontre que tous ces points font dans la circonférence d’un demi-cercle tracé du centre I. Ce centre fe trouve en menant par les fommets F & G des triangles femblables AFB , BGC, la ligne FG jufqu’à fa rencontre en I avec AC prolongée.
    • 2. Si les lignes AB, BC, faifoient un angle, là folution du problème feroit toujours la même : les deux arcs de cercle femblables, décrits fur AB,
    • BC, fe couperont néceflairement en quelque point D, ( à moins qu’ils ne fe touchent en B, ) & ce point D donnera également la folution du problème.
    • 3. La folution du problème fera encore la mê- PI. me, fï les lignes inégales AB , bC propofées, ne % font pas contiguës : il y aura feulement cette attention à avoir, fçavoir, que les rayons FB ,
    • G b des deux cercles , foient tels que ces cercles puiflfent au moins fe toucher l’un l’autre. Si l’on nomme AB z=.arbb—c9bCz=.b9\\ faudra, pour que les deux cercles fe touchent, que FB foit àù . moins = {\/ ac*-{-a*c-\-âbc9 & Gb—\\/bc*-\-b*c+ahc.
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    • i^8 Récréations Mathématiques*
    • Si ces lignes font moindres, les deux cercles ne fë toucheront ni ne fe couperont point. Si elles font plus grandes , les cercles fe couperont en deux points , qui donneront chacun une folution du problème. Que a foit, par exemple, = 3, b =.i9 c— 1 ; on trouvera FB = J & G b =zj]/-^.
    • PI. 4, 4- Suppofons enfin trois lignes inégales & con-
    • fig. ^tiguës, comme AB , BC, CD, & qu’onpropofe de trouver un point duquel elles paroiffent toutes trois fous le même angle. Trouvez , par l’article premier de cette remarque, la circonférence BEF, &c. des points de laquelle les lignes AB, B C, paroiffent fous le même angle ; trouvez pareille-r ment celle CÊG, de laquelle BC & CD paroiffent fous le même angle : leur interfeâion donnera le point cherché. Mais pour que ces deux demi-cercles fe touchent, il faut, ou que la plus petite des lignes données foit au milieu des deux autres , ou qu’elles fe fuivent dans cet ordre , la plus grande , la moyenne , & la moindre.
    • Si les lignes AB, BC, CD, ne font pas contiguës ou en ligne droite, le problème devient trop difficile pour trouver place ici. Nous l’abandonnerons à la fagacité de ceux de nos le&eurs qui font le plus avancés.
    • PROBLÈME VII.
    • Au devant d’un édifice, dont CD efl la face , ejl un parterre dont la longueur ejl AB. On demande le point de cet édifice dlou Von verra le parterre AB le plus, grand.
    • Fig. 15. Soit faite la hauteur CE, moyenne proportionnelle entre CB & CA, ce fera la hauteur cherchée; car, fi l’on décrit par les points A, B, E,
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    • O PT ï QUI. Î59
    • un cercle, il fera tangent à la ligné CË, par la propriété fi connue des tangentes 8c fécantes. Ot il eft aifé de voir que l’angle AEB eft plus grand qu’aucun autre Ae B, dont le fommet eft dans la ligne CD ; car l’angle AeB eft moindre que A ffB, qui eft égal à AEB.
    • PROBLÈME VIII.
    • Un cercle étant donné fur le plan horizontal, trouver la pojition de Vceil d'où fon image fur le plan perfpectif fera encore un cercle.
    • Nous fuppofons que notre leéteur connoiffe le principe fondamental de toute repré/èntation perf-peétive , qui confifte a imaginer entre l’œil 8c l’objet un plan vertical que l’on nomme perfpe3if.
    • On conçoit de chaque point de l’objet des rayons allants à l’œil : fi ces rayons laiftoient une trace fur le plan vertical ou perfpeétif, il eft évident qu’elle produiroit la même fenfation fur cet œil que l’objet même, puifqu’ils peindroient la même image fur la rétine. C’eft cette trace qu’on appeïlé Y image perfpeUive.
    • Soit donc AC le diamètre du cercle dans le plan Pb4 horizontal, ACP la perpendiculaire au plan perf- %* pe&if, QR la coupe de ce plan, par un plan vertical élevé fur AP, 8c PO la perpendiculaire à l’horizon 8c à la ligne AP, fur laquelle il eft queftiotï de trouver le point O, que l’œil doit occupejr pour que la repréfentation ac du cercle AC foît auffi un cercle.
    • Pour cet effet, faites PO moyenne proportionnelle entre AP & CP , le point O fera le point cherché.
    • Car fi AP : PO comme PO : CP les triangles
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    • i6o Récréations Mathématiques*
    • PAO , COP, feront femblables , & les angles PAO, COP, feront égaux : donc les angles PAO & C cQ, ou PAO & RcO, feront auffi égaux : d’où il fuit que dans le petit triangle a c O, l’angle en c fera égal à l’angle O AC , & l’angle en O étant commun aux triangles AO C, <z O c , les deux autres ACO , ç a O feront égaux : donc AO fera à CO comme cO kaO: ainli le cône oblique ACO fera coupé fub-contrairement par le plan vertical Q R, & conféquemment la nouvelle fec-tion fera un cercle, comme on lé démontre dans les feétions,coniques.
    • PROBLÈME IX.
    • D'où vient C image du foleil, reçue dans la chambre
    • obfcure parun trou quarré ou triangulaire , ejl-elle toujours un cercle ?
    • Aristote fe propofoit autrefois ce problème , & le réfdlvoit fort mal ; car il difoit que cela ve-noit de ce que les rayons du foleil affeétoient une certaine rondeur , qu’ils reprenoient dès qu’ils avoient furmonté la gêne que leur avoit oppofée le trou différemment figuré. Cette raifon n’a aucun fondement ni folidité.
    • Pour rendre raifon de ce phénomène, il faut faire attention qu’un objet quelconque, lumineux ou éclairé, rayonnant par un très-petit trou dans la chambre obfcurey peint une image femblable à lui-même ; car tous lés rayons partants de cet objet:, &pâffants par un même point, forment au-delà une efpece de pyramide femblable à la première & oppofée par le fommet, qui étant coupée par un plan parallèle à celui de l’objet, doit donner la même figure, mais feulement renverfée. ' ~...1 ' ' ‘
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    • Optiquê. irfl
    • Cela entendu , on fent aifément que chaque ' point du trou triangulaire, par exemple, peint lur le carton ou fur le pavé fori image folairé toride , d’autant plus grande que le carton fera plus éloigné du trou ; car il n’eft aucun de ces points qui iie Toit le fommet d’un cône dont le difque folaire eft la bafe.
    • Qu’on décrive donc fur un papier une figure femblable & égale à celle du trou, triangulaire par exemple , fi le trou eft triangulaire ; que de tous les points de Ton contour, comme centre, on décrive des cercles égaux : quand ces cercles feront petits , vous n’aurez d’abord qu’une figure triangulaire , à angles émouffés circulairement : mais augmentez ces cercles de plus en plus, en-forte que leur rayon foit beaucoup plus grand qu’aucune des dimenfions de la figure ; vous la verrez s’arrondir de plus en plus , &. enfin dégénérer fenfiblement en un cercle.
    • Or c’eft là ce qui arrive dans la chambre obfc cure; car, quand vous préfentez le carton affez près du trou triangulaire , vous n’avez encore qu’une image mêlée du triangle & du cercle : mais quand vous vous éloignez beaucoup , alors chaque image circulaire du foleil devenant fort grande , eu égard au diamètre du trou, l’image eft fenfiblement ronde. Si le difque du foleil étoit quarré & le trou rond, l’image feroit, à une certaine diftance & par la même raifon, un quarré , ou en général de la même figure que le difque. Àuffi l’image de la lune en croiflant, eft-elle toujours, à une diftance fuffifante, un croiflant femblable , ainfi que le montre l’expérience.
    • Tome //.
    • L
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    • i6x Récréations Mathématiques.
    • PROBLEME X.
    • faire voir dijlinclemcnt, fans Pinterpojîtion d’au-cun verre, un objet trop proche de U œil pour être apperçu dijtinctement.
    • Percez une carte avec une aiguille; ôc fans changer de place, ni l’œil, ni l’objet, regardez ce dernier par le trou de cette carte ; vous verrez cet objet très - diftinélement, & même confidéra-blement groflj.
    • La raifon de cette apparence eft que, lorfqu’on ne voit pas diftinélement un objet à caufe de fa trop grande proximité , c’ell que les rayons partants de chacun de Tes points, & tombants fur l’ouverture de la prunelle, ne font pas réunis en un point, comme lorfque l’objet eft à la diftance convenable : l’image de chaque point eft un petit cercle, & tous les petits cercles produits par les points divers de l’objet, empiétant les uns fur les autres, toute diftinétion eft détruite. Mais lorfqu’on regarde l’objet à travers un très-petit trou, chaque pinceau de rayons qui part de chaque point de l’objet, n’a de diamètre que le diamètre du trou, & par conféquent l’image de ce point eft confidérablement refferrée dans une étendue qui furpaffe à peine la grandeur qu’elle auroit fi l’objet étoit à la diftance néceffaire : on doit donc le voir diftinélement.
    • PROBLÈME XI.
    • Pourquoi , en dirigeant fes yeux de maniéré à voir un objet fort éloigné, voit-on doubles Us objets proches ; & au contraire ?
    • L a raifon de cette apparence eft celle-ci. Lorfque nous regardons un objet, nous prenons l’habi-
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    • Ô P T i Q Ü È.
    • tttée de diriger l’axe optique de nos yeux vers le point que nous cotifidérons principalement : les images des objets étant d’ailleurs entièrement fem-blables , il réfulte de-là que Ce peignant à l’entour de ce point principal de la rétine, auquel aboutit l’axe optique, les parties latérales, par exemple droites, d’un objet, Ce peignent dans chaque œil à gauche , St les parties gauches Ce peignent à droite de cet axe. De-là s’eft établie une correspondance entre ces parties de l’œil, qui eft telle que lorfqu’un objet fe peint à-la-fois dans la partie gauche de chaque œil, & à un même éloignement de l’axe optique, nous le jugeons unique St à droite : mais fi, par un mouvement forcé des yeux, nous faifons enforte qu’un objet peigne dans un œil fon image à droite de l’axe optique, St dans l’autre à gauche, nous le voyons double. Or c’eft ce qui arrive lorfque , dirigeant fa vue fur un objet éloigné, nous donnons néanmoins attention à un objet, voifin & fitué entre les axes optiques : il eft aifé de voir que les deux images qui Ce forment dans les deux yeux font placées l’une à droite St l’autre à gauche de l’axe optique, fçavoir, dans l’œil droit à droite , St à gauche dans l’œil gauche : c’eft le contraire fi l’on dirige l’axe optique à un objet proche, Sr qu’on donne attention à un objet éloigné St direét. On doit donc, par un effet de l’habitude dont on a parlé ci-deffus, juger cet objet à droite par un œil, St à gauche par l’autre. Les deux yeux enfin font alors en contradiction , St l’objet paroit double.
    • Cette explication , qui eft d’ailleurs entièrement fondée fur la maniéré dont nous acquérons des idées par la vue, eft encore confirmée par le fait fuiyant. Chefelden, fameux chirurgien Anglois,
    • Lij
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    • 164 Récréations Mathématiques.
    • raconte qu’un coup ayant dérangé à un homme l’un de Tes yeux , enforte qu’il ne pouvoit plus diriger l’axe optique de tous deux vers un même point, cet homme vit tout-à-coup double : mais cette incommodité ne fut pas perpétuelle; peu à peu les objets les plus familiers lui parurent lim-ples, & enfin fa vue fe rétablit dans fon état naturel.
    • Ce qui fe paffe ici à l’égard de la vue, on l’imite par le taél ; car lorfque deux parties du corps, qui ne fe^correfpondent pas habituellement pour palper un objet unique, font employées à toucher un même corps , nous le jugeons double. C’efl: une expérience vulgaire. On croife un des doigts fur l’autre, & l’on inféré entre-deux quelque petit corps, un bouton, par exemple , enforte qu’il foit touché à la fois par le côté gauche de l’un & le droit de l’autre ; on jureroit alors palper un double bouton. L’explication de ce petit jeu tient aux mêmes principes.
    • PROBLÈME XII.
    • Faire qu'un objet vu dijlinclement, & fans Cintef-pojition d’aucun corps opaque ou diaphane , paroijfe renverfé à l’ceil nu.
    • PI. 4,Faites-vous une petite machine, telle qu’elle % *7* eft repréfentée dans la fig. ij. Cette machine eft compofée de deux petites lames parallèles, AB, CD, réunies par une troifieme AC, d’un demi-pouce de largeur, & d’un pouce & demi de longueur. Cela peut être facilement fait avec une carte. Au milieu de la lame AB, percez un trou rond, E, d’une ligne & demie environ de diamètre, au milieu duquel vous fixerez une tête d’é-
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    • Optique. i6j
    • pingle ou une pointe d’aiguille, comme on voit dans la figure ; vis-à-vis Toit percé un trou de groffe épingle : lorfque vous appliquerez l’œil en E, en tournant le trou F du côté de la lumière, ou de la flamme d’une bougie, vous verrez la tête de cette épingle extrêmement groflïe, & renver-fée comme on la voit en G.
    • La raifon de cette inverfion eft que la tête de l’épingle étant exceflivement proche de la prunelle , & les rayons qui partent du point F étant aufli fort divergents à caufe de la proximité du trou F, au lieu d’une image diftihéte & renverfée, il ne fe peint au fond de l’œil qu’une efpece d’ombre dans fa fituation droite. Or les images renver-fées donnent l’idée d’un objet droit; conféquem-ment cette efpece d’image étant droite, doit donner l’idée d’un objet renverfé.
    • PROBLÈME XIII.
    • Faire qu^un objet, fans rinterpojîtion d'aucun au~
    • tre , difparoijfe à l'œil nu tourne de fon côté.
    • Cette expérience efl: de M. Mariotte; & quoiqu’on n’ait pas adopté les conféquences qu’il en tiroit, elle n’en eft pas moins finguliere, & elle femble prouver un fait particulier dans l’économie animale.
    • Fixez à la hauteur de l’œil, fur un fond obfcur, un petit rond de papier blanc pour fervir de point fixe ; & à deux pieds vers la droite , un peu plus bas, fixez-en un autre de trois pouces environ de diamètre ; placez-vous enfuite en face du premier papier , & après avoir fermé l’œi'l gauche, retirez-vous en arriéré, en fixant toujours ce premier objet ; lorfque vous ferez arrivé à une diftance de
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    • *66 Récréations Mathématiques. neuf à dix pieds , le fécond difparoîtra entiére-
    • On rend raifon de cette expérience , en obfer-vant que lorfqu’on eft parvenu à l’éloignement fufdit, l’image du fécond papier tombe fur l’infer— tion du nerf optique dans l’œil, & qu’apparem-ment cet endroit de la rétine n’eft pas propre à tranfmettre l’impreffion des objets ; car, tandis que dans le refte de la rétine les fibres nerveufes font frappées direttement fur le côté par les rayons venants des objets , ici elles le font tout-à-fait obliquement, & comme en gliffant fur leur longueur ; ce qui anéantit le choc de la particule de lumière.
    • PROBLÈME XIV.
    • Faire difparoitre un objet aux deux yeux à-la-fois ,
    • quoiqu'il puijfe être vu de chacun d’eux à part.
    • Attachez à une muraille brune un rond de papier blanc, d’un pouce ou deux de diamètre, ÔC à la diftance de deux pieds de chaque côté, & un peu plus bas, faites deux marques; placez-vous enfuite dire&ement en face du papier, &: placez le bout de votre doigt vis-à-vis de vos deux yeux, de maniéré qu’ayant l’œil droit feul ouvert, il cache la marque gauche, & qu’ayant le feul gauche ouvert, il cache la marque droite ; regardez enfuite de vos deux yeux le bout de votre doigt ; le papier, qui n’en eft point du tout couvert, ni pour l’un ni pour l’autre de vos yeux, difparoîtra néanmoins,
    • Cette expérience reçoit la même explication que la précédente ; car, par ce moyen , on fait tomber l’image du papier fur l’infertion du nerf
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    • Optique. i 67
    • optique de chaque œil : de-là vient la disparition de l’objet pour chacun.
    • PROBLÈME XV.
    • Jeu optique , qui prouve quavec un feul œil on ne juge pas bien de la dijlance d’un objet,
    • oN préfente à quelqu’un, ou l’on place un anneau à quelque diftance, & de maniéré que fon plan foit tourné du côté de fes yeux ; on lui pro-pofe enfuite de l’enfiler avec un bâton recourbé, affez long pour l’atteindre, &* en tenant un de fes yeux fermés. Il eft rare qu’il en vienne à bout.
    • On donne facilement la raifon de cette difficulté : elle réfide en ce que nous fommes habitués à juger des diftances des objets au moyen de nos deux yeux ; mais lorfque nous ne faifons ufage que d’un, alors nous en jugeons fort imparfaite-
    • TJn homme borgne n’éprouveroit pas la même difficulté, parceque, accoutumé à ne faire ufage que d’un œil, il a acquis l’habitude de juger affez exa&ement les diftances.
    • PROBLÈME XVI.
    • Un aveugle de naiffance ayant recouvré la vue , on lui préfente un globe & un cube , qu'il a appris à difcerner par te toucher. On demande Ji, fans le fecours du tact & a la première vue , il pourra dire quel ejl le cube, quel ejl le globe,
    • C’EST là le fameux problème de M. Molineux problème propofé à Locke, & qui a fort exercé les métaphyficiens.
    • L’un oc l’autre ont penfé avec raifon , & c’eft
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    • i68 Récréations Mathématiques.
    • le fentiment général, que l’aveugle devenu clairvoyant , ne fqauroit reconnoître le cube d’avec le globe, du moins fans le fecours du raifonnement. En effet, comme le dit M. Molineux, quoique cet aveugle ait appris par l’expérience de quelle maniéré le cube &. le globe âffe&oient fon taél, il ne fqait point encore comment ce qui affeéle le taél affe&era la vue, ni que l’angle Taillant qui preffe inégalement la main lorfqu’il palpe le cube , doive paroître à Tes yeux tel qu’il paroît à fon taft. 11 n’y a donc aucun moyen pour lui de discerner le globe du cube.
    • Tout au plus pourroit-il faire le raifonnement Suivant, en examinant avec attention & de côté fk d’autre ces deux corps. De quelque côté que je palpe le globe, diroit-il, je le trouve abfolument Semblable à lui-même ; toutes fes faces, relativement à mon ta&, font les mêmes ; un de ces corps, entre lefquels je dois reconnoître le globe , préfente, de quelque côté que je le regarde, la même figure, la même face : ce doit donc être le globe. Mais ce raifonnement, qui fuppofe d’ailleurs une forte d’analogie entre les fens du ta& & de la vue, n’eft-il pas un peu trop fçavant pour un aveugle né ? Ce feroit tout au plus ce que pourroit faire un Saunderfon. Ce n’eft pas au réfte ici le lieu de traiter cette queftion ; elle l’a été par Molineux , Locke, & par la plupart des métaphyficiens modernes,
    • Ce que l’on obferva à la guérifon de l’aveugle de Chefelden, a depuis confirmé la jufteffe de la Solution de MM. Locke & Molineux. Le célébré chirurgien Chefelden ayant rendu la vue à un aveugle de naiflance, on obferva avec grande attention tes imprçffions qu’éprouva ççt aveugle
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    • Optique. 169
    • dans les premiers temps de fa guérifon. En voici le précis.
    • Lorfqu’il commença à jouir de la vue, il crut d’abord que tous les objets touchoient fon œil, comme ceux qu’il connoifloit par le taâ touchoient fa peau. Il ne connoifloit aucune figure, & il ne pouvoir diftinguer un corps d’avec un autre. Il étoit dans l’idée que les corps doux & polis , qui afte&oient agréablement fon toucher, dévoient auflî affeâer agréablement fes yeux ; 8c il fut fort furpris de ce que ces deux chofes n’avoient aucune liaifon. Enfin il s’écoula quelques mois avant qu’il pût rien reconnoître dans un tableau ; il ne lui parut long-temps qu’une furface barbouillée de couleurs ; aufli fut-il étrangement étonné , lorf-qu’enfin il reconnut fon pere dans un portrait en miniature : il ne pouvoir comprendre comme on avoit pu mettre un grand vifagè dans un fi petit efpace ; 8c cela lui paroiffoit aufli impofïible, félon l’expreflion de l’auteur Anglois, que de faire entrer un tonneau de liqueur dans une pinte.
    • PROBLÈME XVII.
    • Çonjtruction d’une machine au moyen de laquelle on pourra décrire ^rfpeciivement tous les objets donnés , fans la moindre teinture de la fcience de la perspective.
    • L’esprit de cette machine confifte à faire décrire à la pointe d’un crayon qui s’applique continuellement contre un papier, une ligne parallèle à celle d’un point qu’on promene fur les linéaments des objets, l’œil étant fixe, 6c regardant par une pinnule immobile. PI. 5,
    • Les réglés SG, SG, font deux réglés perpendi- %. 18.
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    • 170 Récréations Mathématiques,
    • PL 5, culaires à une forte pièce de bois , avec laquelle %. 18. elles forment une efpece d’empâtement, qui fert à foutenir perpendiculairement une planche un peu forte T T TT , fur laquelle on attache ou colle par les quatre coins la feuille de papier où l’on veut tracer Ion tableau perfpe&if.
    • F E eft une réglé tranfverfale, qui eft perpendiculaire aux deux pièces SG, SG, & qui porte à fon extrémité une autre piece KD , qui peut tourner fur Taxe en K. A cette piece eft implantée une barre de bois perpendiculaire, DC , portant la pinnule mobile B A, à laquelle on applique l’œil.
    • La piece N P eft une piece de bois mobile, & portant à fon extrémité le poinçon délié terminé par un petit bouton. Vers les deux extrémités de cette piece font attachées deux poulies , fous lef-quelles paftent les deux fils ou petits cordons déliés M, M, qui de-là vont paffer au deffus des poulies L, L, attachées aux deux coins du bâtis T T. Ces deux cordons, après avoir paffé fur ces deux poulies, vont s’enrouler fur deux autres en R, R, qui les renvoient derrière le bâtis, où ils s’attachent à un poids Q qui coule dans une rainure , enforte que le poids Q, s’élevant ou s’abaif-fant, la piece mobile NP refte toujours dans une fituation parallèle à elle-même. Elle doit être à peu de chofe près en équilibre avec le poids, pour qu’en la foulevant ou l’abaiffant un peu, elle cede facilement à tous ces mouvements. Cette piece enfin porte dans fon milieu le ftyle ou crayon I.
    • On fent préfentement que fi l’on applique l’œil au trou A, & qu’on amene avec la main la réglé mobile NP, en la foulevant, l’abaiffant, & la
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    • Optique. 171
    • menant de côté, enforte que le bout P parcoure les linéaments d’un objet éloigné, la pointe du crayon I décrira néceflairement une ligne parallèle & égale à celle que décrit le point P, & par con-féquent elle tracera fur le papier O O , ^contre lequel elle appuie , l’image de l’objet dans toute l’exattitude perfpettive.
    • Cette machine eft du chevalier "Wren, mathématicien célébré , &. l’architette qui a conftruit Saint-Paul de Londres. Mais fi l’on vouloit, fans le fecours de cette machine, mettre bien régulièrement en perfpettive un objet quelconque, nous allons en enfeigner le moyen fort fimple dans le problème fuivant.
    • PROBLÈME XVIII.
    • Autre maniéré de repréfenter un objet en perfpecîive, fans aucune connoijfance des principes de cet art.
    • Cette maniéré de repréfenter un objet perf-peétivement, n’exige, non plus que la précédente, aucune connoiflance des réglés de la perfpettive ; & l’efpece de machine qu’on y emploie eft incomparablement plus fimple : mais elle fuppofe qu’on fçache bien deffiner, du moins aflez pour rendre dans un petit efpace ce qu’on apperçoit dans un autre femblable. • •
    • Pour la pratiquer, il faut former un cadre de la grandeur fuffifante pour que, regardant d’un point déterminé l’objet à repréfenter, il foit contenu dans fon étendue. Vous fixerez enfuite la place de l’oeil au devant de ce cadre & à l’égard de fon plan, comme vous le jugerez à propos. La pofition la plus convenable, à moins que vous n’ayiez deflfein de faire un tableau un peu bizarre
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    • i/i Récréations Mathématiques. par la pofition des objets, doit être fur une ligne perpendiculaire au milieu du plan du cadre, à une diftance à peu près égale à fa largeur, & à une hauteur à peu près égale aux deux tiers de la hauteur du même cadre. Cette place doit être marquée par une pinnule, ou un trou d’une ou de deux lignes de diamètre, percée au milieu d’un plan vertical, circulaire ou quarré, d’un pouce ou deux de largeur. Enfin vous diviferez le champ de ce cadre en quarrés d’un pouce ou de deux de côté, par des filets tendus entre les côtés, & fe coupant perpendiculairement les uns les autres.
    • Préparez enfin un papier, fur lequel vous tracerez une figure femblable à celle du cadre, & que vous diviferez par des traits foibles, mais néanmoins fenfîbles, en un même nombre de carreaux que le champ du cadre : tout fera préparé pour votre tableau perfpe&if.
    • Vous n’avez en effet qu’à préfenter l’œil à la pinnule dont nous avons parlé plus haut, & tranf-porter dans chaque quarré du papier ci-deffus , la partie de l’objet qu’on apperçoit dans le carreau correfpondant, vous aurez néceffairement cet objet mis en perfpeftive avec toute l’exa&itude pof-fible ; car il eft évident qu’il fera repréfenté tel qu’il paroît à l’œil, & que le tableau que l’on au«a deffiné fera parfaitement femblable à celui qui refteroit fur le plan du cadre, fi les rayons allant de chaque point de l’objet à l’œil ou à la pinnule, laiffoient fur ce plan une trace. On aura donc cet objet, ou ce fyftême d’objets, mis en perfpe&ive avec toute la vérité qu’on peut defirer. Remarque.
    • Ce même moyen peut fervir à fe démontre!
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    • Optique. 175
    • (ènlîblement, Sc fans la moindre connoiffance de %
    • géométrie, la vérité de la plupart des réglés de *
    • la perfpe&ive ; car fi vous placez derrière le cadre une ligne droite perpendiculaire à Ton plan , vous verrez Ton image paffer par le point de vue, ou celui du plan du cadre qui répond à la perpendiculaire abaiffée de l’œil fur ce plan. Si vous placez cette ligne horizontalement, & que vous lui faffiez faire un angle de 450 avec le plan du tableau, vous'verrez fon image paffer par l’un des points qu’on nomme les points de dijlance. Si vous mettez cette ligne dans une fituation quelconque., vous verrez fon image concourir dans l’un des points accidentaux. Or c’eft dans ces trois réglés que confifte prefque toute la perfpe&ive.
    • PROBLÈME XIX.
    • De la grandeur apparente des ajlres à Ühorizon.
    • C'est un phénomène fort connu, que la lune & le foleil, lorfqu’ils font voifins de l’horizon, pa-roiffent beaucoup plus grands que lorfqu’ils font à une hauteur moyenne ou près du zénith. Ce phénomène a beaucoup occupé les phyficiens, & quelques-uns d’eux en ont donné de fort mauvaifes explications.
    • En effet, ceux qui raifonnent fuperficiellement fur ce fujet, croient en avoir trouvé la caufe, & une caufe fort fimple, dans la réfraélion ; car, difent - ils, fi l’on regarde obliquement un écu plongé dans un vafe plein d’eau, on le voit fenfi-blement plus gros. Or tout le monde fçait que les rayons qui nous viennent des corps céleftes , éprouvent une réfra&ion en entrant dans l’athmo-fphere de la terre. Le foleil ôc la lune font donc
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    • » *74 Récréations Mathématiques,
    • i comme l’écu plongé dans l’eau ; & voilà le pr<fr»
    • * blême réfolu.
    • Mais ceux qui font ce ra’ifonnement ne font pas attention que fi un écu plongé dans un milieu plus denfe, paroît groffi à l’œil fitué dans un milieu plus rare, ce doit être le contraire d’un écu plongé dans un milieu plus rare pour un œil plongé dans le plus denfe. Un poiflon verroit cet écu hors de l’eau, plus petit que s’il étoit dans l’eau. Or nous fouîmes dans la partie la plus denfe de l’athmofphere, tandis que la lune & le foleil font dans le milieu plus rare. Ainfi, loin de pa-roître plus gros, ils devraient paraître plus petits ; & c’eft auffi ce que confirment les inftruments qui fervént à mefurer le diamètre apparent des aftres : ils démontrent que le diamètre perpendiculaire de la lune & du foleil à l’horizon, font rétrécis d’environ deux minutes ; ce qui leur donne la forme ovale affez apparente qu’ils ont le plus fouvent.
    • Il faut donc rechercher la caufe du phénomène dans une pure illufion optique ; & voici, à mon gré, ce qu’il y a de plus probable.
    • Lorfqu’un objet peint dans notre rétine une image d’une grandeur déterminée, cet objet nous paroît d’autant plus grand que nous le jugeons plus éloigné , & c’eft en vertu d’un raifonnement tacite affez jufte ; car un objet qui à la diftance de cent toifes eft peint dans l’œil fous un diamètre d’une ligne, doit être bien plus grand que celui qui eft peint fous un pareil diamètre, & qui n’eft qu’à vingt toifes. Or, quand la lune & le foleil font à l’horizon, une multitude d’objets interpofés nous donnent l’idée d’une grande diftance, au lieu que lorfqu’ils font près du zénith, nul objet n’étant
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    • OptIQÜÊ.
    • ïnterpofé, ils paroiflent plus voifins. Ils doivent donc , dans la première fituation, exciter un fen-timent de grandeur tout autre que dans la fécondé.
    • Nous ne devons cependant pas dilîimuler quelques difficultés qüe préfente cette explication ; les voici. i° Lorfqu’on regarde la lune horizontale avec un tube, ou en faifant avec fes doigts une efpece de tuyau un peu rétréci, on la voit extrêmement diminuée de grandeur, quoique les doigts ne cachent que fort imparfaitement les objets in-terpofés. i° Souvent on voit lever la lune de derrière une colline très-voilîne , & on la voit dé-mefurément greffe.
    • Ces faits , qui paroiflent renverfer l’explication ci-deflus , (ce que pourtant je ne penfe pas), ont engagé d’autres phyficiens à en chercher une autre. Voici celle de M. Smith, opticien célébré.
    • La voûte célefte ne nous préfente pas l’apparence d’une demi-fphere, mais celle d’une furface beaucoup applatie , & bien moins élevée vers le zénith qu’éloignée à l’horizon. Le foleil & la lune paroiflent d’ailleurs fenfiblement fous le même angle, foit à l’horizon, foit près du zénith. Or l’iii-terfe&ion d’un angle déterminé eft, à une moindre diftance du fommet, moindre qu’à une plus grande. Ainfi la projeâion du foleil & de la lune, ou leur image perfpe&ive fur la voûte célefte, efl: moindre à une grande diftance de l’horizon que dans fon voifinage. On doit donc les voir moindres loin de l’horizon que près de ce cercle.
    • Cette explication du phénomène eft fort fpé-cieufe. Mais ne peut - on pas demander encore pourquoi ces deux images, vues fous le même angle, paroiflent néanmoins l’une plus grande que l’autre ? Ne fera-t-on pas encore obligé de recou-
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    • 176 Récréations Màthématïqüês, rir ici à la première explication ?. C’eft ce que 1 pour abréger, je laiffe à juger au le&eun
    • Il fuffit qu’il Toit bien démontré que ce grofliffe-ment apparent n’eft point produit par une plus grande image peinte dans la rétine. Elle eft même pour la lune un peu moindre, puifque cet aftre étant à l’horizon, eft plus près de nous d’environ un demi-diametre de la terre, ou d’un foixantieme, que lorfqu’il eft fort élevé fur l’horizon. Ce phénomène enfin n’eft qu’une illufion optique, quelle qu’en foit la caufe qui eft affez obfcure, mais que je crois toujours être principalement le jugement d’une grande diftance, occafionné par les objets interpofés.
    • PROBLÈME XX.
    • Sur le rétrécLJfement des allies parallèles.
    • C’est un phénomène bien connu que celui dont nous parions ici. Il n’eft perfonne qui n’ait remarqué , étant à l’extrémité d’une allée d’arbres extrêmement longue, que fes côtés, loin de pa-roître parallèles comme ils le font réellement , paroiffent converger dans l’éloignement : il en eft de même du plafond d’une longue galerie. Et effectivement , s’il falloit mettre ces objets en perf-peftive , les côtés de cette allée ou de ce plafond devroient être repréfentés par des lignes convergentes ; car elles le font réellement dans l’image ou le petit tableau qui fe peint au fond de l’œil.
    • L’explication complette du phénomène exige toutefois d’autres considérations ; car, comme la grandeur apparente des objets ne fe mefure point par la grandeur réelle des images peintes dans l’œil, mais qu’elle eft toujours le réfultat d’un jugement
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    • Optiquê. i 77
    • gement que l’ame porte de la diftanee, .combiné avec la grandeur de l’image prélente dans l’œil , il s’en faut bien que les côtés d’une allée paroiffent converger auffi rapidement que le font les lignes qui font leurs images dans le plan perfpe&if ou dans l’œil. M. Bouguer eft le premier qui ait parfaitement démêlé ce qui fe pane dans cette occa-lion ; le voici.
    • Tout comme, pour un œil placé à l’extrémité d’une longue galerie , le plafond paroit s’abaifler , de même, pour un œil placé à l’extrémité d’une longue allée de niveau & de côtés parallèles, le plan de cette allée, au lieu de paroître horizontal , feinble s’élever. C’eft-là la raifon pour laquelle, étant au bord de la mer, nous la voyons comme un plan incliné qui menace la terre d’une inondation. Quelques perfonnes, plus dévotes qu’éclairées en phyîique, ont été jufqu’à regarder cette inclinaifon comme réelle, & la füfpenfion apparente des eaux de la mer comme un miracle fubfiftant & continu, Ainfi, placé au milieu d’une vafte plaine, on la voit s’élever autour de foi, comme fi l’on étoit au fond d’un entonnoir extrêmement évafé. M. Bouguer enfeigne un moyen fort ingénieux de déterminer cette inclinaifon apparente ; il nous fuffira de dire que, pour le plus jrrand nombre des hommes, elle eft de a à 3
    • Imaginons donc deux lignes horizontales & parallèles, & un plan incliné de 2 à 3 degrés paf* fant par nos pieds ; il eft évident que ces deux lignes horizontales paroîtront à notre œil comme ft elles fe projettoient fur ce plan incliné. Or leurs projetions fur ce plan feroient des lignes concourantes en un point, fçavoir, celui où l’horizontale Tome IL M
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    • 178 Récréations Mathématiques. menée de Pçeil le rencontreroit : ôn doit donc -voir ces lignes comme convergentes.
    • Il fuit de-là que fi, par quelqu’illufion particulière de la vue , le plan où font fituées ces . lignes parallèles, au lieu de paroître au deffus, paroifloit incliné en deffous, l’allée paroîtroit divergente. C’eft ce que M. Smith, dans Ton Traité <TOptique, dit arriver à l’avenue du château de M. North, dans le comté de Norfolk. Mais il feroit à fouhai-ter que M. Smith eût décrit avec plus de détail la pofition des lieux.
    • Quoi qu’il en foit, nous allons, d’après ces données, réfoudre un problème allez curieux, & affez célébré parmi les opticiens.
    • PRO BLÊME XXI.
    • Comment faudroit-il s'y prendre pour tracer une allée qui , vue de Vune de fes extrémités , parût avoir fes cotés parfaitement parallèles ?
    • Imaginez un plan incliné de 2 degrés & demi, & que fur ce plan foient tracées deux lignes parallèles. Que de l’œil foient menés deux plans par ces deux lignes, lefquelles étant prolongées, cou-peroient le plan horizontal en deux autres lignes : ces deux lignes feront divergentes, & concouraient , étant prolongées en arriéré, derrière le fpe&ateur.
    • Il n’eft donc queftion que de trouver ce point de concours. Or cela eft facile : avec un peu de géométrie, on doit voir que c’eft celui ou une ligne menée par l’œil parallèlement au plan incliné ci-deffus, & dans la dire&ion du milieu de l’allée, iroit rencontrer le plan horizontal. Soit donc menée par l’œil du fpettateur, Ô£ dans le
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    • Optiqüë.
    • plan vertical paflant par le milieu de l’allée , une ligne inclinée à l’horizon de 2 à 3 degrés ; le point où elle rencontrera le plan horizontal, fera celui où les deux côtés de l’allée doivent concourir. Ainfi, menant de ce point par les deux extrémités de la largeur initiale de l’allée, deux lignes droites , ce fera la trace dans laquelle doivent être plantés tous les arbres pour paroître former des côtés parallèles.
    • En fuppofartt la hauteur de l’œil égale à 5 pieds > & le commencement de l’allée large de 6 toifes ou 36 pieds, on trouve par le calcul, que le point de concours ci-deffus feroit à 102 pieds en arriéré, & que l’angle formé par les côtés de l’allée devroit être d’environ 18 degrés.
    • J’ai cependant peine à croire que des lignes faifant un angle fi fenfible , puiffent jamais paroître parallèles à un œil fis au dedans , en quelque endroit qu’on le plaçât.
    • PROBLÈME XXII.
    • Faire un tableau qui, fuivant les côtés F ou on U conjîdérera ^préfentera deux peintures différentes.
    • Préparez un nombre fuflifant de petits prifmes équilatéraux , de quelques lignes feulement de largeur, & d’une longueur égale à la hauteur du tableau que vous voulez faire.
    • Placez enfuite tous ces prifmes les uns à côté des autres, fur le fond que devroit occuper votre tableau.
    • Coupez ce tableau en bandes égales en largeur à chacune des faces des prifmes ci-deflùs, & col-lez-les par ordre fur les faces d’un même côté.
    • Prenez enfin un autre tableau tout différent dut M ij
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    • ï8o Récréatjons Mathématiques.
    • premier, & l’ayant pareillement divifé en bandes, collez-les fur les faces du côté oppofé.
    • Il eft évident que quand on fera d’un côté, on ne pourra voir que les faces de ce prifme tournées de ce côté : on verra donc l’une des peintures ; & en confidérant le tableau du côté oppofé, on perdra de vue la première , & l’on n’appercevra que la fécondé.
    • On peut même faire un tableau qui, vu de face & des deux côtés, préfentera trois fujets différents. Il faut, pour cela, couper en bandes le tableau du fond, & les coller fur ce fond, de maniéré qu’il refte entr’elles i’efpaçe d’un carton extrêmement fin. Sur ces intervalles vous éleverez perpendiculairement au"fond, des bandes de ce carton, à peu près égales en hauteur à leur intervalle, & fur les faces droites de ces cartons vous collerez les parties d’un fécond tableau découpé en bandes. Enfin fur les faces gauches vous collerez les parties d’un troifieme tableau découpé de la même maniéré. Il éft évident que quand vous verrez le tableau en face & d’un certain éloignement, vous ne verrez que le fond; mais éloignez-vous de côté, & de manière que la hauteur des bandes de carton vous cache le fond, vous verrez uniquement le tableau collé en parties détachées fur les faces tournées de ce côté ; enfin, en paffant de l’autre côté, vous verrez un troifieme tableau.
    • PROBLÈME XXIII.
    • Décrire fur un plan une figure diforme , qui pa-roijfe dansfes proportions étant vue dé un point déterminé.
    • On peut déguifer, c’eft-à-dire rendre difforme wme figure, par exemple, une tête, enforte qu’elle
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    • Optique. 181
    • n’aura aucune proportion étant regardée de front fur le plan où on l’aura tracée; mais étant vue d’un certain point, elle paroîtra belle, c’eft-à-dire dans fes juftes proportions. Cela fe pratiquera de la forte.
    • Ayant defliné fur du papier avec fes juftes me- pi. ^ fures la figure que vous voulez déguifer, décrivez fig. 19. un quarré autour de cette figure, comme AB CD,
    • & réduifez-le en plufieurs autres petits quarrés , divifant les côtés en plufieurs parties égales, par exemple en fept, & tirant des lignes droites en long & en travers par les points oppofés des divisons , comme font les peintres quand ils veulent contre-tirer un tableau & le réduire au petit pied, c’eft-à-dire de grand en petit.
    • , Cette préparation étant faite, décrivez à dif-crétion fur le plan propofé le quarré long EBFG ,
    • & divifez l’un des deux plus petits côtés EG, BF, comme EG, en autant de parties égales qu’en contient DC, l’un des côtés du quarré ABCD, comme ici en fept. Divifez l’autre côté BF en deux également au point H, duquel vous tirerez par les points de divifion du côté oppofé EG, autant de lignes droites, dont les deux dernieres. feront EH, GH.
    • Après cela, ayant pris à difcrétion fur le côté BF le point I, au deflus du point H, pour la hauteur de l’œil au deflus du plan du tableau, tirez de ce point I au point E, la ligne droite El, qui coupe ici celles qui partent du point H, aux points 1,2,3,4, 5, 6,7. Par ces points d’interfeftion vous tirerez des lignes droites parallèles entr’elles ,
    • & à la bafe EG du triangle EGH, qui fe trouvera ainfi divifé en autant de trapèzes qu’il y a de quarrés dans le quarré ABCD. C’eft pourquoi, fil’oa
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    • jgi récréations Mathématiques. rapporte dans ce triangle EGH, la figure qui eft dans le quarré ABCD , en faifant pafler chaque trait par les mêmes trapèzes ou quarrés perfpeftifs, qui font repréfentés par les quarrés naturels du grand ABCD , la figure difforme fe trouvera décrite. On la verra conforme à fon prototype, c’eft-à-dire comme dans le quarré ABCD , en la regardant par un trou qui doit être petit du côté de l’œil, & bien évafé du côté de la figure, comme K, que je fuppofe perpendiculairement élevé fur le point H , enforte que fa hauteur LK foit égale à la hauteur HI, qui ne doit pas être bien grande, afin que la figure foit plus difforme dans le tableau.
    • Il y a aux Minimes de la Place Royale une déformation femblable d’une Magdeleine en prières, qui a quelque célébrité. Elle eft l’ouvrage du pere Niceron, religieux de cet ordre, qui s’eft extrêmement exercé fur ce genre d’amufement optique.
    • On peut encore faire plufieurs autres déformations femblables, peindre, par exemple, fur une furface courbe, cylindrique , conique, fphéri-que, une figure qui, vue d’un point déterminé, paroiffe régulière ; mais, outre que cela ne réuffit pas dans la pratique tout-à-fait auffi bien que dans la théorie , nous ne croyons pas devoir imiter M. Ozanam , en nous appefantiffant fur ce fujet, tandis qu’il y en a tant d’autres beaucoup plus curieux. Ceux qui eftiment plus que de raifon ces gentillefles optiques , peuvent confulter la Perfpective curuufe du pere Niceron, où ils trouvent fur cela les plus grands détails.
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    • '«3
    • O P T I Q 0 E.
    • PROBLÈME XXIV.
    • Etant donne un quadrilatère quelconque , trouver les divers parallélogrammes ou rectangles dont, il peut être la repréfentation perfpeclive; ou bien,
    • Etant donne un parallélogramme quelconque, rectangle ou non , trouver fa pojition 6* celle de l’œil, qui feront que fa représentation perfpec-ùve fera un quadrilatère donné.
    • S O IT le quadrilatère trapézoïde donné ABCD, PI. 6, que nous fuppoferons le plus irrégulier qu’il fe %• 2Qa puifle , &c n’ayant aucuns côtés parallèles. Prolongez les côtés AB , CD, jufqu’à leur concours en F , & les côtés AD , BC , jufqu’à leur rencontre en E ; tirez EF, & par le point A fa parallèle GH.
    • Je dis premièrement que, quelle que foit la pofition de l’œil, pourvu que ce qu’on appelle le point de vue foit dans la ligne EF, & non feulement dans la ligne EF, mais dans fa prolongation de part ou d’autre, l’objet dont le quadrilatère ABCD eft la repréfentation perfpe&ive, fera un. parallélogramme.
    • Car tous ceux qui connoiffent les réglés de la perfpeftive, fçavent que les lignes parallèles entre elles fur le plan horizontal, ont des apparences qui concourent dans un même point de la parallèle à l’horizon tirée par le point de vue. Ainfi toutes les lignes perpendiculaires à la ligne de terre, ont des apparences qui concourent dans le point de vue même ; toutes celles qui font avec cette ligne des angles de 45 degrés, ont leurs images concourantes dans ce qu’on appelle les points de diftance ; celles enfin qui font des angles plus.
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    • 184 Récréations Mathématiques. grands ou moindres, ont des images qui concourent Sans d’autres points, qu’on détermine toujours en tirant de l’œil jufqu’au tableau une ligne parallèle à celles dont on cherche la repréfentation perfpeâive : donc toutes les lignes qui dans le tableau concourent dans des points litués dans la ligne du point de vue, font des images de lignes horizontales & parallèles.. Ainfi les lignes fur le plan horizontal, qui ont pour repréfentation dans le tableau les lignes BC, AD, font parallèles: il en eft de même de celles qui donnent les images linéaires AB, DC. Or deux paires de lignes parallèles forment néceflairement par leurs interfec-tions un parallélogramme : donc l’objet dont le quadrilatère ABCD eft l’image pour un œil fi tué à la hauteur de la ligne FE, dans quelqu’endroit que foit le point de vue, eft un parallélogramme.
    • Cela démontré, nous fuppoferons d’abord qu’on veuille avoir pour objet un re&angle. Pour trouver dans ce cas la place de l’œil, divifez la distance FE en deux également en I, & fuppofez l’œil fitué enforte que la perpendiculaire tirée de fa place au tableau tombe fur le point I, & que la diftance foit égale à IE ou IF : les points F, I, feront donc ce qu’on nomme, dans le langage de la perfpeftive, les points de diftances. Prolongez les lignes CB, CD , jufqu’à la ligne de terre en G & H ; les lignes HCF , ABF, feront les images de lignes faifant avec la ligne de terre des angles de 45 degrés. Il en fera de même de celles dont GCE, ADE, font les images. Donc , tirant d’un côté H de, A b, indéfinies, & inclinées à la ligne de terre d’un angle de 45 degrés, & de l’autre côté & dans un fens contraire les lignes Gbc & A4) inclinées aufii d’un angle demi-droit, ces
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    • lignes fe rencontreront néceflairethènt à angle droit, & formeront le reâangle A bcd..:;
    • Si l’on fuppofoit le point de vue dans un autre point, par exemple au point Ec’eft-à-dire que Fœil fût direttement au devant du point E , & à un éloignement égal à EK, il faudrait;, après avoir tiré les perpendiculaires EL, FM, à la ligne de terre dans le plan du tableau, mener à la même ligne de terre dans le plan horizontal, la perpendiculaire LN égale à EK, puis la ligne NM „;fai-fant avec la ligne de terre l’angle LMN. M%ez enfuite aux points G & A les perpendiculaires indéfinies AD, GK, & par les points A & H les lignes indéfinies HK AB, faifant avec la ligne de terre des angles égaux à LMN & en fens contraires ; ces deux paires de lignes fe rencontreront en BKD, & donneront évidemment un parallélogramme oblique qui ferait l’objet dont BCDA eft la repréfentation pour un œil fitué vis-à-vis E, & à une diftance du tableau égale à EK.
    • Si les côtés A b , c d, dans le re&angle Abcd9 étoient divifés en parties égales par des parallèles aux autres côtés, il eft clair que prolongeant ces parallèles , elles couperaient en autant de parties égales la ligne AG. Il en eft de même des parallèles à Ab , cd, qui couperoient en portions égales les côtés A d,bc; la ligne AH en ferait divifée auffi en parties égales. Ceci donne le moyen de divifer, fi l’on veut, le trapeze AB CD en carreaux, qui feraient la’ repréfentation de ceux dans lefquels Abcd ferait divifé.
    • Nous donnerons dans la fuite la folution d’un problème affez curieux , & relatif à la décoration des jardins, qui eft une fuite de celui que nous venons de réfoudre.
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    • 186 Récréations Mathématiques.
    • Des Miroirs plans (a).
    • On appelle miroirs plans, ceux dont ta fur-face réfléchiffante eft plane ; tels font les miroirs ordinaires de glaffe (V) dont on décore les appartements. On pourroit auffi faire des miroirs plans de métal ; tels étoient ceux des anciens : mais, depuis l’invention des glaffes , on n’en fait plus guere, linon en petit, pour quelques inftru-ments d’optique, où il eft néceflaire de prévenir la double réflexion qui fe fait fur ceux de glaffe, l’une fur la furfaçe antérieure, l’autre fur la pofté-rieure. C’eft cette derniere qui donne l’image la plus vive ; car ôtez l’étamage d’une glaffe, vous verrez aufli - tôt cette image vive prefque difpa-roître , & celle qu’on aura à fa place égalera à peine celle que donne la première furface.
    • On fuppofe, au refte, ordinairement dans la catoptrique, les deux furfaces d’un miroir fi peu éloignées l’une de l’autre , qu’elles n’en font qu’une , fans quoi il y auroit beaucoup de modifications à faire à fes déterminations.
    • PROBLÈME XXV.
    • Un point de Vobjet B & le lieu de l'œil A étant donnés , trouver h point de réflexion fur la furface (Tun miroir plan.
    • P1.6,Par le point B donné de l’objet, & Ale lieu de 2I» l’œil, foit conçu un plan perpendiculaire au miroir,
    • (<0 M. Ozanam les appelle plats, mais cette expreflion me paroît plate.
    • (b) On nous permettra, malgré l’ufage, d’écrire ainfi ce mot ; car il vient du mot anglois ou faxon glajf, qui lignifie verre.
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    • & le coupant dans la ligne CD ; du point B foit menée à CD la perpendiculaire BD, que vous prolongerez jufqu’en F, de forte que DF, DB , foient égales ; par les points F & A , tirez la ligne AF qui coupera CD en E: ce point E fera le point de réflexion, le rayon incident fera BE, le rayon réfléchi EA ; &; les angles d’incidence BED , & de réflexion AEC , feront égaux.
    • Car il eft évident, par cette conftru&ion , que les angles BED, DEF, font égaux. Or les angles DEF, AEC le font auffi , comme étant oppofés au fommet : donc, &c.
    • PROBLÈME XX VI.
    • Même fuppojition faite que ci-dejfus, trouver le lieu de, l'image du point B.
    • L E lieu de l’image du point B n’eft autre chofe que le point F ; mais nous n’en donnerons pas pour raifon celle qui eft vulgairement alléguée dans lés livres de catoptrique, fqavoir que , dans toute efpece de miroirs, le lieu de l’image eft dans la prolongation du rayon de réflexion, jufqu’à la perpendiculaire tirée du point de l’objet fur la fur-face réfléchiflante ; car quelle énergie peut avoir cette perpendiculaire, qui n’eft qu’un être imaginaire , pour fixer ainfi cette image dans fon concours avec le rayon réfléchi prolongé , plutôt qu’en tout autre point ? Ce principe eft donc ridicule^ & dénué de fondement.
    • • Il eft cependant vrai que , dans les miroirs plans, le lieu où l’on apperçoit l’objet eft dans le concours de cette perpendiculaire avec le rayon réfléchi prolongé ; mais c’eft accidentellement, & en voici la raifon.
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    • i88 Récréations Mathématiques.
    • Tous les rayons émanés du point de l’objet B & réfléchis par le miroir, concourent étant prolongés au point F ; donc leur arrangement à l’égard de l’œil eft le même que s’ils venoient du point F. Ils doivent donc faire fur les yeux la même fenfation que fi l’objet étoit en F ; car l’œil n’en feroit pas autrement affefté, s’ils venoient réellement de ce point.
    • D’où il eft aifé de conclure que , dans un miroir plan, l’objet paroît aufli enfoncé qu’il eft éloigné du miroir.
    • Il s’enfuit aufli que la diftance AF de l’image F à l’œil, eft égale à la fomme des rayons d’incidence BE & de réflexion AE, puifque BE & EF font égales.
    • Il s’enfuit encore que, quand le miroir plan eft parallèle à l’horizon comme CD, une grandeur perpendiculaire comme B D doit paroître ren-verfée.
    • Enfin que, quand on fe regarde dans un miroir plan, la gauche paroît à droite, & la droite à gauche de l’image.
    • PROBLÈME XXVII.
    • Etant donnés plusieurs miroirs plans, & tes places de r-ce.il & de Vobjet, trouver le chemin du rayon venant de f objet à Vœil, après deux, trois , quatre réjlexions.
    • fi,Soient les miroirs AB, CD; queOFEfoit 22* la perpendiculaire tirée de l’objet O fur le miroir AB , & prolongée au deflous, enforte que FE foit égale à OF ; que SHI foit pareillement la perpendiculaire tirée de l’œil fur le miroir CD, & prolongée enforte que HI foit égale à HS ; joignez
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    • les points I, E , par la ligne El, qui coupera les miroirs en G & K ; tirez les lignes OG, GK, KS : ce fera le chemin du rayon allant du point O à l’œil par deux réflexions.
    • Ou bien, la première partie de la conftru&ion fubfiftant, du point E abaiffez fur le miroir CD la perpendiculaire E L M prolongée au delfous , de forte que LM foit égale à LE ; tirez la ligne SM, qui coupera CD en K, & du point K la ligne KE, qui coupera AB en G, enfin KO : les lignes OG, GK, KS, feront encore le chemin du rayon partant du point O, & allant à l’œil après deux réflexions.
    • Dans ce cas, le point M fera l’image du point O, & la diftance SM fera égale à' la fomme des rayons SK, KG, GO.
    • Suppofons à préfent trois miroirs & trois réflexions ; on trouvera de même le chemin que doit tenir un rayon incident pour parvenir à l’œil après ces trois réflexions. Soit, pour cela, OI la perpen- PI. 7, culaire de l’objet fur le miroir AB, & HI égale à %• a3* HO. Du point I foit IK perpendiculaire fur CB prolongée s’il le faut, & que KM foit égale à MI ; enfin du point K foit abaiflee fur DC prolongée la perpendiculaire KN, qui foit prolongée en L, en-forte que LN foit égale à KN : tirez SL , qui coupera CD en G ; puis du point G la ligne GK, qui coupera CB en F ; enfuite de F la ligne FI, qui coupe AB en E ; enfin foit tirée EO : cette ligne EOeft celle fuivant laquelle le rayon incident doit tomber fur le premier miroir, pour arriver à l’œil S après trois réflexions en E, F, G.
    • Et dans ce cas, le point L fera le lieu de l’image de l’objet pour l’œil placé en S ; & la diftance SL fera égale à SG, GF, FE, EO prifes enfemble.
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    • 190 Récréations Mathématiques.
    • On montre d’ordinaire l’application de ce proM» blême au jeu de billard. Mais comme nous avons déjà traité ce fujet dans la mécanique , nous y renvoyons.
    • PROBLÈME XXVIII.
    • Propriétés diverfes des Miroirs plans.
    • I. Dan S les miroirs plans , l’image de l’objet eft toujours égale & femblable à l’objet ; car il eft aifé de démontrer que chaque point de l’objet paroiïTant autant enfoncé dans le miroir qu’il en eft éloigné, chaque point de l’image eft femblable-ment placé, & à égale diftance à l’égard de tous les autres, que dans l’objet ; d’où doit néceflaire-ment fuivre l’égalité & la fimilitude de l’objet & de l’image.
    • II. Dans un miroir plan, ce qui eft à droite paroît à gauche de l’image , & vicifsim. C’eft ce qui eft aifé à éprouver. Ainfi , lorfqu’à un miroir on préfente une écriture ordinaire, c’eft-à-dire de gauche à droite , on ne fçauroit la lire, car ce mot AIMANT, par exemple, fe pré fente fous cette forme, TNAMIA; mais, au contraire, fi l’on préfente ce dernier mot au miroir, on verra AIMANT. On a par-là un moyen de faire une forte d’écriture fecrete ; car , fi l’on écrit de droite à gauche, on ne pourra lire cette écriture ; mais celui qui en fera prévenu, en la préfentant à un miroir, la verra comme une écriture ordinaire. Il ne faut pas au refte employer ce moyen pour cacher de grands fecrets, car il eft peu de perfonnes qui ne le connoifle.
    • III. Lorfque, dans un.miroi.r plan, vous pouvez vous voir tout entier, à quelque diftance que vous vous en éloigniez, vous vous verrez toujours tout
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    • Optique. t9t
    • entier ; & la hauteur du miroir, occupée par votre image, fera toujours la moitié de votre hauteur.
    • IV. Si vous recevez un rayon du foleil fur un miroir plan , & que vous donniez à ce miroir un mouvement angulaire, vous verrez le rayon fe mouvoir d’un mouvement angulaire double ; en-forte que quand le miroir aura parcouru 90°, le rayon en aura parcouru 180.
    • V. Si vous inclinez à une furface horizontale un miroir plan à angle de 45 °, fon image fera verticale.
    • VI. Si deux miroirs plans font difpofés parallèlement, St qu’on place entre deux un objet, par exemple une bougie allumée, on verra dans l’un & l’autre une longue fuite de bougies, qui s’étendroit à l’infini fi chaque image ne s’affoiblif-foit pas à mefure que les réflexions qui la produi-fent font plus multipliées.
    • VII. Lorfque deux miroirs font difpofés de maniéré qu’ils forment un angle au moins de 120°, on verra plufieurs images , fuivant la pofition de l’œil. Si l’on diminue l’angle des miroirs fans que l’œil change de place , on verra ces images fe multiplier comme fi elles fortoient de derrière un corps opaque.
    • Il faut remarquer que toutes ces images font dans la circonférence d’un cercle tracé du point de concours des miroirs par le lieu de l’objet.
    • Le pere Zacharie Traber, Jéfuite, dans fon Nervus opticus , & le pere Tacquet dans fon Optique , ont beaucoup examiné tops les cas réfultants des différents angles de ces miroirs , ainli que des différentes pofitions de l’œil 6c de l’objet. Nous croyons devoir y renvoyer.
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    • 191 Récréations Mathématiques.
    • VIII. Lorfqu’on confidere obliquement un objet lumineux, comme la flamme d’une bougie, dans un miroir plan de verre,ayant quelque épaif-feur, on apperçoit plufièurs images de cet objet : la première ou la plus voifine de la furface de la glace, eft moins brillante que la fécondé; celle-ci eft la plus brillante de toutes ; après elle on en àpperçoit une fuite de moins en moins éclatantes, quelquefois jufqu’à cinq ou fix.
    • La première de ces images eft produite par la furface antérieure de la glace, & la fécondé par la furface poftérieure , qui étant enduite de la feuille d’étain, & devenue opaque par-là, doit donner une réflexion plus vive : auffi eft-elle la plus brillante de toutes. Les autres font produites par des rayons de l’objet, qui, après plufièurs réflexions contre les furfaces tant antérieure que poftérieure du miroir, parviennent à l’œil. Nous allons développer ceci.
    • 7, Soit V X l’épaifleur, de la glace en queftion ;
    • 4* que A foit l’objet& O le lieu de l’œil, que nous fuppofons également éloignés du miroir. Parmi tous les petits faifceaux des rayons incidents, il y en a un AB , qui étant réfléchi par la furface antérieure en B , atteint l’œil par la ligne; BO. Il forme en À' la première image de l’objet.
    • Un autre, comme AC, pénétré la glace en fe rompant fuivant CD ; il fe réfléchit en DE & dans fa totalité , à caufe de l’opacité de la furface poftérieure du miroir ; St au point E fe rompant de nouveau, il parvient en O, St forme en A" l’image la plus vive du point A.
    • Un autre petit faifceau AF pénétré aufli dans la glace, fe rompt en FG , fe réfléchit en GB, d’où une partie fort, mais ne fijauroit parvenir à l’œil ;
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    • Optique. 195
    • l’œil ; l’autre partie fe réfléchit fuivant BH, puis fuivant HI, d’où une petite partie fe réfléchit en-core ; mais le furplus fort de la glace, & fe rompt fuivant la ligne I O, par laquelle il arrive à l’œil : il donne conféqueminent la troifieme image en A1" plus foible que les deux autres.
    • La quatrième image eft formée par un faifceau de rayons incident, qui éprouve deux réfra&ions comme les autres, & cinq réflexions, fçavoir, trois contre la furface poftérieure de la glace, Sc deux contre l’antérieure. Il faut, pour la cinquième , deux réfra&ions & fept réflexions, fça-voir, trois contre la furface antérieure, & quatre contre la pollérieure ; &c ainfi de fuite. Il eft aifé de fentir par-là combien ces images doivent diminuer de vivacité : aufli eft-il bien rare d’en voir plus de quatre ou cinq.
    • PROBLÈME XXIX.
    • Difpofet- plusieurs miroirs de maniéré qu'on puijje fe voir dans chacun en même'temps.
    • Il eft aifé de fentir qu’il n’y a qu’à difpofer ces miroirs fur la circonférence d’un cercle, de maniéré qu’ils conviennent avec les cordes de ce cercle : alors, en fe plaçant au centre, on fe verra dans tous les miroirs à-la-fois.
    • Remarque.
    • S 1 ces miroirs font difpofés fuivant les côtés d’un polygone régulier &: de côtés en nombre pair, ( l’exagone ou l’o&ogone paroiflent le plus convenables ) ; fl d’ailleurs tous ces miroirs font bien verticaux 8c bien plans , vous aurez un cabinet qui vous paroîtra d’une étendue immenfe,
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    • i94 Récréations Mathématiques.
    • dans lequel, quelque part que vous vous placiez ; vous vous verrez répété un nombre prodigieux de fois.
    • Ce cabinet étant éclairé intérieurement par un luftre placé dans fon centre , vous jouirez d’un fpe&acle extrêmement agréable, en voyant ces longues files de lumière qui fe préfenteront à vous de quelque côté que vous jetiez la vue.
    • PROBLÈME XXX.
    • Mefurer une hauteur verticale , & dont le pied ejl même inaccejjible, au moyen de la réflexion.
    • PI. 7,On fuppofe que la hauteur verticale AB eft £g. 25-celle d’une tour, d’un clocher, &c. dont on cherche la mefure. Pour cet effet, placez en C un miroir bien horizontalement, ou , parceque cela eft affez difficile , & que la moindre aberra-ration cauferoit une grande erreur fur la hauteur à mefurer, placez en C un vafe contenant de l’eau , & réfléchiflant la lumière comme un miroir. L’œii qui reçoit le rayon de réflexion étant en O , me-furez avec foin la hauteur O D fur le plan horizontal du miroir placé en C, mefurez aufli DC , ainfi que CB fl cette derniere eft acceflible ; faites enfin comme CD eft à DO, ainfi CB eft à BA î ce fera la hauteur cherchée.
    • Mais fuppofons à préfent que le pied de la tour ne foit pas acceflible ; comment s’y prendra-t-on pour mefurer la hauteur AB ? Le voici.
    • Après avoir exécuté l’opération précédente, à l’exception de la mefure de CB , qui pâr la fuppo-fition eft impoflible , prenez une autre ftation, comme c, où vous placerez un miroir; puis vous plaçant en d, d’où votre œil appercevra le
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    • core cd & do ; après quoi, vous ferez cette proportion: comme la différence de CD &c<leftà CD,, ainfî la diftance C c des deux points de ré-flexion eft à une quatrième proportionnelle , qui fera la diftance BC , qui nous étoit inconnue.
    • Cette quantité B C connue, il n’y a plus qu’à faire la réglé de proportion indiquée ci-deffus , ÔC l’on aura la hauteur AB.
    • Nous ne donnons affurément pas cette opération comme fufceptible d’une grande exa&itude dans la pratique. Les moyens purement géométriques , en y employant de bons inftruments, feront toujours préférables. Mais nous avons cru qu’on trouverait ici à redire l’omiffion de cette fpéculation géométrico - catoptrique , quoique peut-être elle n’ait jamais été mile en pratique.
    • PROBLÈME XXXI.
    • Mefurer une hauteur verticale , inacceffible même par le pied, au moyen de fon ombre.
    • Elevez perpendiculairement fur un plan bien horizontal, un bâton dont vous mefurerez avec foin la hauteur au deffus de ce plan ; nous la fup-poferons de 6 pieds exactement.
    • Prenez enfuite, lorfque le foleil commence à M* baiffer après midi, fur le terrain qui vous eft ac-%* ceilible, un point d’ombre C du fommet de la tour à mefurer , & en même temps un point d’ombre c du fommet du bâton implanté perpendiculairement fur le même plan ; attendez une couple d’heures, plus ou moins, & prenez avec promptitude les deux points d’ombre D fk d, du fommet de la tour & du fommet du bâton ; vous
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    • ip6 Récréations Mathématiques, tirerez enfuite une ligne droite, qui joindra les deux points d’ombre du fommet de la tour , & vous la mefurerez ; vous mefurerez de même la ligne qui joint les deux points d’ombre c & d, appartenants au bâton. 11 ne reliera plus qu’à faire une réglé de proportion , fqavoir : comme la longueur de la ligne qui joint les deux points d’ombre du bâton , à la hauteur de ce bâton , ainfi la longueur de la ligne qui joint les deux points d’ombre de la tour, à la hauteur de cette
    • 11 ne faut qu’avoir la connoiflance des premiers éléments de la géométrie, pour reconnoitre à la première infpeélion de la fig. zG, que les pyramides BADC & b ad c font femblables, & confé-quemment que c d eft à a b comme CD à AB qui ell la hauteur cherchée.
    • PROBLÈME XXXII.
    • De quelques tours ou efpeces de Jubtilités qu'on peut exécuter avec des miroirs plans.
    • On peut, avec différentes combinaifons de miroirs plans, exécuter divers tours curieux , & qui pourroient embarraflèr ôt furprendre des gens n’ayant aucune idée de la catoptrique. Nous allons en faire connoître quelques-uns.
    • i. Tirer par dejjus Vépaule un coup de pijlolet aujfi sûrement que fi l'on couchoit en joue.
    • PL 8, Pour exécuter cette efpece de tour , placez de-fig- 27. vant vous un miroir plan, dans lequel vous ap-petceviez l’objet que vous devez frapper; enfuite mettez le canon du fulil ou du piffolet fur l’épaule , & dirigez-le, en regardant dans le miroir,
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    • Optique. m
    • comme fi l’Image étoit l’arme èlle-même, c’eft-à-dire de forte que l’image de l’objet à frapper foit cachée à l’œil par le canon, ou dans l’alignement de la mire : il eft évident que fi vous lâchez alors le coup , le but doit être frappé.
    • î. Faire une boite dans laquelle on verra des. corps pefants, comme une balle de plomb, monter contre leur inclination naturelle.
    • Soit une boîte quadrangulaire ABCD , qui eft' PL 8». repréfentée par la fi§. 28, où l’on fuppofe un des % côtés enlevé pour faire voir l’intérieur. Le plan HGDC eft un plan légèrement incliné, fur la fur-face duquel eft tracée une rainure demi-circulaire.
    • & en zigzag, le long de laquelle une balle de plomb puiffe rouler & defcendre. HGFI eft un miroir incliné. M enfin eft une ouverture à la face oppo-fée, qui doit être tellement arrangée , qu’en y mettant l’œil on ne puiffe point voir le plan incliné HD, mais feulement le miroir. On fent aifément que l’image de. ce plan, fqavoir HLKG, fera en apparence un plan prefque vertical, ÔC qu’un corps qui roulera de G en zigzag iufqu’eti C , paroîtra au contraire monter en zigzag de G en L ; c’eft pourquoi, fi le miroir eft bien net, enforte qu’on ne puiffe point lé voir lui - même , ce à quoi pourra contribuer lé jourfôible qu’on laiffera pour éclairer la boîte intérieurement, Pii-lufion fera affez grande, & ce ne fera pas fans quelque raifonnement qu’ôn la démêlera, fi l’ôn n’eft pas déjà au fait dé l’artifice.
    • 3» Conjlruclion d’une boîte où Von voie des ob-. jets tout differents de ceux qu’on aurait vus par une N iij
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    • 198 Récréations Mathématiques.
    • autre ouverture, quoique les uns & Us autres panifient occuper toute la boîte.
    • Il faut faire faire une boîte quarrée ; car c’eft celle qui, à caufe des angles droits, eft la plus propre à ce jeu optique. Vous la diviferezen quatre par quatre cloifons perpendiculaires au fond , qui fe croiferont au centre , & contre lefquelles vous appliquerez des miroirs plans. Vous percerez enfuite chaque face de la boîte d’un trou propre à regarder au dedans , & qui foit tellement ménagé, que l’on ne puiffe voir que les miroirs appliqués contre les cloifons, & non la bafe. Dans chaque petit triangle re&angle enfin, qui eft formé par deux cloifons , vous difpoferez un objet qui fe répétant dans les glaces latérales, puiffe former un deffm régulier, comme un deffin de parterre, un plan de fortification, une place de ville, un pavé de compartiments. Pour éclairer l’intérieur, vous, ne couvrirez la boîte que d’un parchemin tranf-parent.
    • Il eft évident que lî l’on place l’œil à chacune des petites ouvertures pratiquées aux côtés de cette boîte, on appercevra autant d’objets différents, qui paroîtront néanmoins remplir toute la boîte. L’un fera un parterre très-régulier, l’autre un plan de fortification, le troifieme un pavé de compartiments , le quatrième une place décorée.
    • Si plufieurs perfonnes ont regardé à-la-foîs par ces différentes ouvertures , & qu’elles fe questionnent enfuite fur ce qu’elles ont vu, il en pourra réfulter entr’elles une conteftation affez piaffante.-pour celui qui fera au fait du tour, l’une affurant qu’elle a vu un objet, l’autre un autre, & chacune étant également perfuadée qu’elle a ra’ffon*
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    • Optique Remarqué.
    • Pour rendre plus tranfparent le parchemin dont on fè fert dans les machines optiques telles que la précédente , il faut le laver plufieurs fois dans une leflive claire qu’on changera à chaque fois , & à la derniere, dans de l’eau de fontaine ; on le mettra enfuite fécher à l’air, en le tenant bien étendu.
    • Si l’on veut lui donner de la couleur, on Ce fer-vira, pour le verd, de verd-de-gris délayé dans du vinaigre avec un peu de verd foncé ; pour le rouge % de l’infufion de bois de Bréfîl ; pour le jaune, de l’infufion de baies de nerprun, cueillies au mois d’Août : l’on paffera^enfin de temps en temps un vernis fur ce parchemin.
    • 4. Voir d'un premier étage ceux qui je prêj.'entent à la porte de ta maifon , fans je mettre à la fenêtre & fans être apperçu.
    • Placez fous la clef du bandeau de la fenêtre, PI. S 9 un miroir regardant en bas, & un peu incliné *9» du côté de l’appartement, enforte qu’il réflé-chiffe à quelques pieds de l’appui de la croifée, ou fur cet appui même, les objets placés au devant & près de l’ouverture de la porte. En vous plaçant près de cet appui, & regardant dans le miroir, vous pourrez voir ce qui fe préfente à l’entrée de la maifon. Mais comme vous verrez % par ce moyen, l’objet renverfé, ôc qu’on ne re-connoît que difficilement un objet lorfqu’on le voit de cette maniéré ; que d’ailleurs il efî fatiguant & incommode de regarder en haut, it faut
    • ? lacer à l’endroit où le premier miroir renvoie image des objets, un fécond miroir plan qui foit
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    • 1O0 Récréations Mathématiques. horizontal, & dans lequel vous regarderez : ce fécond miroir redreffant l’objet, vous le recon-noîtrez beaucoup mieux, & vous le verrez feulement à une diftance plus grande, & comme placé perpendiculairement fur un plan un peu incliné, & à peu de chofe près comme fi vous le regardiez de haut en bas, en vous mettant à la fenêtre ; ce qui fuffira ordinairement pour difcerner les perfonnes de fa connoiffance.
    • La fig. 29 repréfente cet arrangement de miroirs , & l’artifice en queftion.
    • M. Ozanam, & les autres précédents auteurs des Récréations Mathématiques, propofent en forme de problème , de faire voir à un mari jaloux ce que fait fa femme dans une autre chambre. Il faut convenir qu’il eft bien fpirituel & bien fin de percer vers le plancher le mur qui fépare deux chambres , de mettre dans cet endroit un miroir horizontal, moitié dans une chambre, moitié dans l’autre, pour réfléchir, au moyen d’un miroir placé en face du lieu de la fcene, l’image de ce qui s’y pafle dans l’autre chambre. Sans doute M. Ozanam ni fes prédécefleurs n’étoient pas des maris jaloux, ou comptoient étrangement fur la paflion et la fottife de deux amants.
    • PROBLÈME XXXIII.
    • Avec des miroirs plans, produire 1e feu & Cincendie à une dijlance confidérable.
    • Disposez un grand nombre de miroirs plans , & d’une certaine largeur, comme de 6 ou 8 pouces en quand, de maniéré que la lumière folaire qu’ils réfléchiront fe porte toute fur un même endroit ; il eft évident, & l’expérience le démontre,
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    • OPTIQUfe. loi
    • que iî le nombre de ces miroirs eft fuffifant, comme de ioo , de 150, il s’excitera à ce foyer commun une chaleur capable d’enflammer des matières combuftibles, & même à une très-grande diftance.
    • Gette invention eft fans doute celle dont le fervit Archimede, s’il brûla la flotte de Marcellus, comme on le raconte , au moyen de miroirs ardents ; car le pere Kircher, étant à Syracufe, a remarqué que les vaifleaux romains ne pouvoient être moins éloignés des murs de cette ville que de 13 pas. Or l’on fçait qu’un miroir concave fphérique a fon foyer à la diftance de la moitié du rayon : conféquemment le miroir dont Archimede fe fervit eût dû être portion d’une fphere au moins de 46 pas de rayon ; ce qui, dans l’exécution , préfente des difficultés infurmontables. D’ailleurs , peut - on croire que les Romains, à une diftance aufli peu confidérable de fa machine, lui en euflent laiffé tranquillement faire ufage ? Ne l’auroient-ils pas au contraire détruite en un moment par une grêle de traits ?
    • L’arehiteâe & ingénieur Anthémius deTralles, qui vivoit fous Juftinien, eft le premier qui fe foit avifé, au rapport de Vitellion , d’employer des miroirs plans pour brûler (a) ; mais on ignore s’il réduifit jamais ce moyen en pratique. C’eft à M. de Buffon qu’on doit la démonftration de la pof-fibilité de ce fait par l’exécution1: il fit fabriquer en 1747, une machine compofée de 360 miroirs plans de 8 pouces de largeur en quarré -, tous mobiles fur des pivots & genoux, de manière à prendre la fituation qu’on voudroit leur donner ; & il
    • (a) Hiftoire des Mathématiques, T. I, page 318.
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    • 201 Récréations Mathématiquis. parvint, par leur moyen, à allumer du bois à 200 pieds de diftance. On peut voir dans les Mém. de l’Acad., année 1748 , le Mémoire curieux de M. de Buffon fur ce fujet.
    • Des Miroirs fphériques , fou convexes, foie concaves.
    • Un miroir fphérique n’eft autre ebofe qu’une portion de fphere , dont la furface eft polie de maniéré à réfléchir régulièrement la lumière. Si c’eft la furface convexe qui eft ainfî polie , ce fera un miroir fphérique convexe ; fi c’eft la fur-face concave, ce fera un miroir concave.
    • Il faut d’abord remarquer ici que , lorfqu’un rayon de lumière tombe fur une furface courbe quelconque, il n’y a qu’à mener un plan tangent ali point de cette furface où tombe ce rayon , & qu’il fe réfléchit tout comme il feroit s’il n’y avoit que ce plan. Ainfi, dans un miroir fphérique, il n’y a qu’à tirer au point de réflexion une tangente à la furface , dans le plan du rayon incident & du centre ; le rayon fe réfléchira en faifant avec cette tangente un angle de réflexion égal à l’angle d’incidence.
    • PROBLÈME XXXIV.
    • Le lieu de l'objet & celui de P œil étant donnés >
    • déterminer le point de réflexion & le lieu de l'image fur un miroir fphérique«
    • Ces deux problèmes ne font pas aufli aîfés à réfoudre fur les miroirs fphériques que fur les miroirs plans ; car, lorfque l’œil Sc l’objet font à des diftances inégales du miroir, la détermination du
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    • Optique.
    • point de réflexion dépend néceflairement d’une géométrie fupérieure à la géométrie élémentaire ,
    • & ce point ne peut être afligné fur la circonférence du cercle, qu’en faifant ufage d’une des fèélions coniques. Nous omettrons pour cette rai-fon cette conftru&ion, & nous nous bornerons à dire qu’il y en a une extrêmement Ample , où l’or» emploie deux hyperboles entre les afymptotes, dont l’une détermine le point de réflexion fur la ftirface convexe , & la fécondé le point de réflexion fur la furface concave.
    • Il nous fuffira d’obferver ici une propriété dé PI. 9, ce point. Que l’objet foit B , A le lieu de l’œil, %• 3°* E le point de réflexion fur la furface convexe, par exemple du miroir fphérique DEL, dont le centré eft C ; FG la tangente au point E, dans le plan' des lignes BC , AC , qu’elle rencontre en I & i; que le rayon réfléchi A E étant prolongé , coupe en H la ligne B C : les points H & I feront tellement fitués , que vous aurez cette proportion : comme B C eft à CH, ainfi B I eft à HI.
    • De même, prolongeant BE jufqu’à la rencontre de AC en A, vous aurez comme AC: CÆ, ainfi A i:ih; proportions qui font également vraies lors de la réflexion fur une furface concave.
    • Quant au lieu de l’image, les opticiens ont pendant long-temps pris pour principe que ce lieu étoit le point H où le rayon réfléchi rencontre la perpendiculaire tirée de l’objet fur le miroir; mais cela n’eft fondé que fur ce que cette fuppo-fltion fert à montrer affez bien comment les images des objets font moindres dans les miroirs convexes , & plus grandes dans les miroirs concaves que dans les miroirs plans. Ce principe n’a du
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    • 104 Récréations Mathématiques*
    • refte aucun fondement phyfique, & eft regardé aujourd’hui comme abfolument faux.
    • Un principe plus phyfique , que Barrovr a mis en avant, c’eft que l’œil apperçoit l’image de l’objet dans le concours des rayons formant le petit faifceau divergent qui entre dans la prunelle de l’œil. Il eft en effet naturel de penfer que cette divergence étant plus grande quand l’objet eft voifin , moindre quand il eft plus éloigné, elle doit fervir à l’œil pour juger de la diftance.
    • Ce principe fert auffi à rendre une raifon affez plaufible de la diminution des objets dans les miroirs convexes, & de leur augmentation dans les miroirs concaves; car la convexité des premiers rend les rayons compofants chaque faifceau qui entre dans l’œil, plus divergents que s’ils étoient tombés fur un miroir plan ; conféquemment le point où ils concourroient fur le rayon centré prolongé, eft plus près ; on démontre même que, dans les miroirs convexes, il eft plus près, & dans les miroirs concaves plus loin que le point H, pris par les anciens & la plupart des modernes pour le lieu de l’image. On en conclud enfin que, dans les miroirs convexes, cette image fera encore plus refferrée, & dans les miroirs concaves plus étendue que dans la fuppofition des anciens ; ce qui rend raifon de l’augmentation de l’apparence des objets dans ceux-ci, &: de fa diminution dans les premiers.
    • Nous ne difconviendrons cependant pas que ce principe eft lui-même fujet à-des difficultés que le dofteur Barrow, fon auteur, ne s’eft point diffi-mulées , & auxquelles il convient ne voir aucune réponfe fatisfaifante. Cela a engagé M. Smith à en propofer un autre dans fon Traite d'Optiquea.
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    • Optique. iqç
    • Mais il eft aifé de fentir que ce n’eft pas ici le lieu d’entrer fur cet objet dans une difcuffion qui deviendroit trop aride 8c trop profonde.
    • PROBLÈME XXXV.
    • Propriétés principales des miroirs fpkériques convexes & concaves.
    • i. La première 8c la principale propriété des miroirs convexes, eft de repréfenter les objets moindres que fi on les voyoit dans un miroir plan , à la même diftance. Cela fe peut démontrer indépendamment du lieu de l’image ; car on peut faire voir que les rayons extrêmes d’un objet pofé d’une maniéré quelconque , qui entrent dans l’œil après «voir été réfléchis par un miroir convexe , forment un angle moindre , 8c peignent conféquem-ment une moindre image fur la rétine , que s’ils avoient été renvoyés par un miroir plan qui ne change en aucune maniéré cet angle. Or, en général, le jugement que porte l’œil fur la grandeur des objets, dépend de la grandeur de cet angle 8c de cette image, à moins que quelque raifon particulière ne le modifie.
    • Au contraire, dans les miroirs concaves, il eft facile de démontrer que les rayons extrêmes d’un objet quelconque fitué comme on voudra, arrivent à l’œil en faifant un angle plus grand que s’ils euflent été réfléchis dans un miroir plan ; & con-féquemment, par la même raifon que ci-deflus , l’apparence de cet objet doit être plus grande.
    • i. Dans un miroir convexe, quelque grande que foit la diftance de l’objet, fon image n’eft jamais plus éloignée de la furface que la moitié
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    • %ù6 ÎIécréatioNs Mathématiques. du rayon, enforte qu’une ligne droite perpendiculaire au miroir, fût-elle infinie, ne paroîtroit pas plus enfoncée dans le miroir que le quart du diamètre.
    • Dans un miroir concave, au contraire, l’image d’une ligne perpendiculaire au miroir eft toujours plus longue que l’objet; 6t li cette ligne égale la moitié du rayon , fon image paroîtra infiniment allongée.
    • 3. Dans les miroirs convexes, l’apparence d’une ligne courbe 6c concentrique au miroir, eft une ligne circulaire également concentrique au miroir; mais l’apparence d’une ligne droite ou d’une fur-face plane préfentée au miroir, eft toujours convexe vers le dehors ou vers l’œil.
    • C’eft tout le contraire dans le miroir concave: l’image d’un objet re&iligne ou plan, paroît concave vers l’œil.
    • 4. Un miroir convexe difperfe les rayons, c’eft-à-dire que s’ils tombent parallèles fur fa furface , il les renvoie divergents ; s’il tombent divergents, il les renvoie plus divergents encore.
    • 11 arrive tout le contraire aux miroirs concaves: ils font converger les rayons qu’ils reçoivent parallèles ; 6c ceux qui font divergents, ils les renvoient ou parallèles ou moins divergents, fuiyant les circonftances.
    • C’eft fur cette propriété des miroirs fphériques concaves, qu’eft fondé l’ufage qu’on en fait pour réunir les rayons du foleil dans un petit efpace oy leur chaleur, multipliée en raifon de leur condensation , produit des effets furprenants. Ceci mérite d’être traité à part.
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    • O P T I Q V E. i07
    • PROBLÈME XXXVI.
    • Des Miroirs ardents.
    • Lts propriétés des miroirs ardents fe déduifent de la propofition fuivante :
    • Si un rayon de lumière tombe fort près de taxe d'une furface fpkérique concave & parallèlement à cet axe , il fe réfléchira de maniéré qu'il le rencontrera à une dijlance du miroir à bien peu de chofe près égale a la moitié du rayon.
    • Car Toit ABC la furface concave d’un miroir PL fphérique bien poli, dont le centre foit D, & DB% 3 le demi-diametre dans la dire&ion de l’axe ; que EF foit un rayon de lumière parallèle à BD : il fe réfléchira par le rayon FG, qui coupera le demi-diametre BD en un point G. Or ce point G fera toujours plus près de la furface que du centre.
    • En effet, menant le rayon DF, on aura les angles DFE,DFG égaux; & conféquemment les angles DFG, GDF, aufli égaux, puifque le dernier eft, à caufe des parallèles, égal à DFE : donc le triangle D G F eft ifofcele, & G D égal à GF : mais GF furpafle toujours GB ; d’où il fuit que D G furpafle aufli GB : ainfi le point G eft plus près du miroir que du centre.
    • Mais lorfque l’axe B F eft extrêmement petit , on fqait que G F ne différé qu’infenfiblement dé GB ; par conféquent, dans ce cas, le point G eft à peu de chofe près au milieu du rayon.
    • Ceci fe confirme par la trigonométrie ; car on trouve que fi l’arc B F eft feulement de 5 degrés, en fuppofant le demi-diametre DB de 100000 parties, U ligne BGeft de 49809 ; ce qui ne différé
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    • iôS Récréations Mathématiques. de la moitié du rayon que de » ou 4e moins que 773-(<r). trouve même que tant que l’arc BF
    • ne furpaffe pas 15 degrés, la diftance du point G à la moitié du demi - diamètre en eft à peine une. 56e ; par où*l*on voit que tous les rayons qui tombent fur un miroir concave parallèlement à fon axe, & à une diftance de fon fommet qui ne fur-pafle pas 15 degrés, fe réunifient, à peu de chofe près , à une diftance du miroir égale à la moitié du demi-diametre. Ainfi les rayons folaires, qui font fenfiblement parallèles, tombant fur cette fur-face concave, y feront condenfés , linon dans un point, du moins dans un très-petit efpace, & y produiront une chaleur véhémente & d’autant plus
    • ande, que la largeur du miroir fera plus grande.
    • ’eft cette raifon qui a fait donner à ce point le nom de foyer.
    • Le foyer d’un miroir concave n’eft donc pas un point ; il a même une largeur aflez fenlible. Dans un miroir, par exemple, portion de fphere de 6 pieds de rayon & de 30 degrés d’arc, ce qui donne un peu plus de 3 pieds de largeur, le foyer doit avoir une 56e environ de cette largeur, c’eft-à-dire 7 à huit lignes. Les rayons tombants fur un cercle de 3 pieds de diamètre, feront donc pour la plupart raflemblés dans un cercle d’un diamètre cinquante-lîx fois plus petit, & conféquemment qui n’eft que la 3136e partie. Il eft aifé de fentir
    • (a) Le calcul eft aifé: car, l’arc BF étant donné,on a l’angle BDF ainfi que l’angle GFD, fon égal; & par con-féquent l’angle DG F,, qui eft le complément de leur fomme, a deux droits. On connoît donc dans I DGF les trois angles & un côté, fçavoir DF rayon ; d’où il fuit qu’on aura, par une fimple analogie trigonométrique, le côté DG ou GF qui lui eft égal.
    • quel
    • le triangle qui eft le
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    • Optique. îo9
    • quel degré de chaleur ils doivent produire, puisque la chaleur de l’eau bouillante n’eft guere que triple de la chaleur des rayons directs du foleil, un beau jour d’été. . -*
    • On a néanmoins tenté de faire des miroirs qui réunifient tous les rayons du foleil dans un même point. Il faudroit pour cela donner à une furface polie la courbure d’üne parabole. Car foit C B D PI. 9, une parabole dont l’axe foit AB. Nous fuppofonsfig* 3*» ici que notre le&eur a quelque teinture des fettions coniques. On fçait qu’il y a fur cet axe un certain point F, qui eft tel que, quelque rayon parallèle à l’axe qui vienne rencontrer cette parabole, il fe réfléchira dans ce point précifément. Aufli les géomètres lui ont-ils donné le nom de foyer. Si donc on donne une furface bien polie à la concavité d’un fphéroïde parabolique, tous les rayons folaires parallèles entr’eux & à fon axe fe réuniront dans un feul point , & y produiront une chaleur beaucoup plus forte que fi la furface eût été fphérique.
    • Remarques.
    • I. Le foyer d’un miroir Iphérique étant éloigné .d’un quart du diamètre, il eft aifé de voir l’im-poflibilité dont il eft qu’Archimede ait pu-, avec un femblable miroir, brûler les vaifleaux romains , quand leur diftance n’auroit été que de 30 pas, comme Kircher dit l’avoir obfervé étant à Syra-cufe ; car il eût fallu que la fphere dont ce miroir étoit portion, eût été de 60 pas de rayon ; ce qui feroit d’une exécution impolfibïe. Il y auroit femblable inconvénient dans un miroir parabolique.
    • Il eût fallu enfin que les Romains euflent été d’une condefcendance meryeilleufe, pour fe laifler brû-Tome IL O
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    • aïo Récréations Mathématiques.
    • 1er d’auffi près fans déranger la machine. Si donc le mathématicien de Syracufe a brûlé les vaiffeaux romains au moyen des rayons folaires ; fi Proclus a traité, comme on le raconte, de la même maniéré les vaiffeaux deVitàlien qui vaffiégeoit By-fance , ils ont employé des miroirs d’une autre efpece ; & ils n'ont pu y réuffir que par une invention femblable à celle que M. de Buffon a ref-fufcitée, & dont il a démontré la poffibilité. Voye^ le Probl. XXXIII ci-deffus.
    • II. Nous ne pouvons nous difpenfer de parler ici de quelques miroirs célébrés par leur grandeur & par les effets qu’ils produifoient. L’un étoit l’ouvrage de Settala, chanoine de Milan : il étoit parabolique ; & , au rapport du pere Schott, il mettoit le feu au bois à 15 ou 16 pas de diftance,
    • Villette, artificier & opticien Lyonnois, en fit trois vers l’an 1670, dont l’un fut acheté par Ta-vernier, & offert en préfent au roi de Perfe ; le fécond fut acheté par le roi de Danemarck, & le troifieme par le roi de France. Ce dernier avoit 30 pouces de largeur , & environ 3 pieds de foyer. Les rayons y étoient réunis dans un efpace d’un demi-louis de diamètre. Il mettoit le feu fur le champ au bois le plus verd ; il fondoit en peu de fécondés l’argent & le cuivre, & vitrifioit en une minute, plus ou moins, la brique , la pierre à fufil, & les autres matières vitrifiables.
    • Ces miroirs le cedent néanmoins à celui que M. le baron de Tchirnhaufèn exécuta vers l’an 1687, & dont il donna la defcription dans les Aftes de Leipfik de cette année. Ce miroir étoit fait d’une lame de métal, d’une épaiffeur double de celle d’un couteau ordinaire ; il avoit de largeur environ 3 aunes de Leipfik, ou 5 pieds 3
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    • Optique. i,,
    • polices; fonfoyer étoit éloigné de 2 de ces aunes, ou 3 pieds 6 pouces : il produifoit les effets fui-vants.
    • Le bois préfenté au foyer s’enflammoit fur le champ, & le vent le plus violent ne pouvoit l’éteindre.
    • L’eau contenue dans un vafe de terre bouilloit à l’inftant, enforte que des œufs y etoient cuits dans le moment, & bientôt après toute l’eau étoit évaporée.
    • Le cuivre & l’argent y entroient en peu de minutes en fufion. L’ardoife s’y transformoit en un verre noir qui, pris avec une pince, fe tiroit en filaments.
    • Les briques y couloient en un verre jaune ; la pierre-ponce, des morceaux de creufets qui avoient réfifté au feu le plus violent des fourneaux , s’y vitrifioient pareillement ; &c.
    • Tels étoient les effets du fameux miroir de M. de Tchirnhaufen, qui a depuis paffé au pouvoir de S. M. T. C., & qu’on voit aujourd’hui au Jardin du Roi, allez maltraité par les injures de l’air, qui lui ont ôté une grande partie de fon poli.
    • Ce n’eft pas feulement de métal qti’on a fait des miroirs ardents ; fi nous en croyons M. Wolf, un ouvrier de Drefde , nommé Gartner, en fit, à l’imitation de celui de M. Tchirnhaufen , qui n’é-toient que de bois , & dont les effets ne cédoient guere à ceux de ce premier. Mais cet auteur ne nous apprend point comment Gœrtner étoit parvenu à donner à cette matière un poli fuffifant.
    • Le pere Zacharie Traber y a, ce femble , fup-pléé , en nous apprenant comment, avec du bois & de l’or en feuilles, on peut fe faire un miroir ardent. Car il n’eft queflion que de faire tourner
    • Oij
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    • ni Récréations Mathématiques.
    • dans un morceau de bois bien fec & bien fblide , un fegment concave de fphere, l’enduire bien uniformément de poix mélangée de cire, & y appliquer des morceaux de feuilles d’or de 3 ou 4 doigts de largeur. On pourra, dit-il, au lieu de morceaux de feuilles d’or , adapter dans cette concavité de petits morceaux de miroirs plans ; & l’on verra avec étonnement que l’effet d’un tel miroir approche beaucoup de celui d’un miroir continu.
    • Le pere Zahn rapporte quelque chofe de plus jfingulier que ce que V/olf raconte de l’ouvrier de Drefde dont on a parlé ci-deffus ; car il dit qu’un ingénieur de Vienne (en Autriche) fit en 1699, un miroir de carton , & intérieurement recouvert de paille collée, qui fondoit tous les métaux. J’avoue que je voudrois en avoir été témoin.
    • On peut aujourd’hui , à beaucoup moins de frais , fe procurer des miroirs concaves d’un diamètre confidérable , & qui produifent les mêmes effets que les précédents. On en a l’obligation à M. de Bernieres, un des contrôleurs généraux des ponts 8c chauffées, auteur de l’invention de courber les glaces de miroirs, invention qui, indépendamment de fes ufages optiques, a des applications nombreufes dans la fociété. Les miroirs concaves qu’il exécute, ne font autre chofe que des glaces rondes, courbées en figure fphérique concave d’un côté & convexe de l’àutre, & éta-mées du côté convexe. M. de Bernieres en a exécuté un pour le Roi, qui a 3 pieds 6 pouces de diamètre, & qui fut préfenté à S. M. en 1757. On le voit dans le cabinet de phyfique de la Meute, où il eft aujourd’hui dépofé. Le fer battu, expofé à fon foyer, s’y fond en deux fécondés de temps ; l’argent y coule de maniéré qu’en
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    • tombant dans l’eau, il s’étend en forme de toile d’araignée : les cailloux s’y vitrifient, &c.
    • Ces miroirs ont des avantages confidérables fur ceux de métal. Leur réflexion contre la furface poftérieure , malgré la perte de rayons qu’occa-lionne leur paflage à travers la première furface, eft encore plus vive que celle de la furface métallique la mieux polie ; de plus , ils ne font pas fujets comme les premiers à perdre leur poli par le conta# de l’air, toujours chargé de vapeurs qui corrodent le métal, mais qui ne peuvent rien fur le verre : il fuflit enfin de les préferver de l’humidité , qui détruit l’étamage.
    • PROBLÈME XXXVII.
    • Quelques propriétés des miroirs concaves, relativement à la vif on , ou à la formation des images.
    • I. Si un objet efl; placé entre un miroir concave & fon foyer, on l’apperçoit au dedans du miroir , & d’autant plus groffi qu’il s’approche davantage de ce foyer ; enforte que lorsqu’il eft au foyer même, il paroît occuper toute la capacité du miroir, & l’on ne voit rien de diftinél.
    • Si l’objet placé à ce foyer eft un corps lumineux , les rayons qui en fortent, après avoir été réfléchis par le miroir, marchent parallèlement, enforte qu’ils forment comme un cylindre de lumière qui porte fa clarté très-loin, & prefque fans diminution. On appercevra aifément dans l’obfcurité cette colonne de lumière, lorfqu’on fe tiendra fur le côté ; & fi , étant à plus de cent pas de diftance du miroir, on préfente un livre à cette lumière , on y pourra lire.
    • II, Que l’objet foit maintenant placé entre le-
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    • îi4 Récréations Mathématique*.
    • foyer & le centre, & que l’œil le foit ou au de-là du centre, ou entre le centre &: le foyer, on ne fçauroit en avoir par la vilîon une perception difi-tin&e, car les rayons réfléchis par le miroir font convergents. Mais fi l’objet eft fortement éclairé, ou lumineux comme un flambeau, de la réunion de fes rayons il fe formera au-delà du centre une image dans une fituation renverfée, qui fe peindra in carton mis à la diftance conve-ir à l’égard d’un œil
    • fur un drap o nabie , ou qui paroîtra e placé au-delà.
    • III. Il < '
    • n fera à peu près de même lorfque l’objet fera à l’égard du miroir au-delà du centre. Il fe peindra alors entre le foyer & le centre une image de l’objet dans une fituation renverfée ; & cette image s’approchera du centre à mefure que l’objet lui-même en approchera, ou s’approchera du foyer à mefure que l’objet s’éloignera.
    • Quant au lieu où l’image fe peindra dans l’un & dans l’autre cas, vous le trouverez par la réglé fuivante.
    • PI. 9, Que AC S foit l’axe du miroir indéfiniment 33* prolongé , F le foyer , C le centre, O le lieu de l’objet entre le centre & le foyer. Prenez F ^ troiiieme proportionnelle à F O & F C : ce fera la diftance à laquelle fe peindra l’image du point placé en O.
    • Si l’objet eft en & , fon image fe trouvera en O, en faifant la même proportion avec les changements convenables, fçavoir FO troifieme proportionnelle à F a , & F C comme en o.
    • Enfin, fi l’objet eft entre le foyer & le verre, le lieu où l’on appercevra l’image au dedans du miroir, ou fon enfoncement, fe trouvera en faifant Fa» à FA, comme FA à F o,
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    • Optiquï. 1,j
    • Remarques.
    • 1. Cette propriété des miroirs concaves, de former entre le centre & le foyer , ou au-delà du centre , une image des objets qui lui font présentés, eft une de celles dont on tire le plus grand Sujet de furprife pour ceux qui ne font pas verfés dans cette théorie. Car, qu’un homme s’avance *vers un grand miroir concave en lui préfèntant une épée ; il verra , quand il fera parvenu à la distance convenable, s’élancer hors du miroir une lame d’épée, la pointe tournée vers lui ; s’il fe retire , l’image de la lame fe retirera ; s’il s’avance de maniéré que la pointe foit entre le centre & le foyer, l’image de l’épée la croifera, comme fi les fers étoient engagés.
    • 2. Si, au lieu d’une lame d’épée, vous présentez au miroir le poignet à une certaine diftance , vous verrez Ce former en l’air un poignet dans une fituation renverfée , qui s’approchera du poignet véritable, lorfque celui-ci approchera du centre, de maniéré à fe rencontrer l’un l’autre.
    • 3. Placez-vous un peu au-delà du centre du miroir ; & alors, en regardant dire&ement dedans , vous verrez au-delà du centre l’image de votre vifage renverfée. Si alors vous continuez d’approcher , cette image phantaftique s’approchera de vous , au point que vous pourrez la baifer.
    • 4. Qu’on fufpende un bouquet renverfé entre PI 9»
    • le centre & le foyer, un peu au deffous de l’axe, 34*
    • & que, par le moyen d’un carton noir, on le cache à la vue du fpeélateur, il fe formera au deffus de ce carton une image droite de ce bouquet , qui furprendra d’autant plus, qu’on ne verra
    • O iv
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    • Récréations Mathématiques.
    • point l’objet qui la produit.: on; fera tenté par cette raifon de ie prendre pour un objet ré.el, & de l’aller toucher & fentir.. ,, .. ' J
    • 5. Si vous placez un miroir concave dans lé fond
    • d’une faite , en face d’un payïage fortement éclairé par le foleil, & qu’un peu au-delà du foyér vous lui préfentiez un carton blanc vertical, vous verrez fe peindre fur .cç carton l’image des objets extérieurs, avec leurs couleurs naturelles & dans une fituation renverfée. C’eft-là un des moyens de faire les expériences de la, chambre, obfcure par la fimple réflexion. . .... ; .
    • 6. Placez enfin fur une table un grand miroir concave , dans une inclinaifôri approchante de 450, & au devant du miroir , fur la table, une eltampe ou un tableau, lé bâs-tourné vers le miroir, vous verrez les figurés dé Cette éftampe ou de ce tableau extféfhement groffies ; Sc fi lescho-fes font difpofées dè manière à favorifer l’Hlufion , comme fi vous regardez, dans le miroir .par une ouverture qui vous dérobe la vue de l’eftampe ou du tableau, vous croirez voir les objets eux-mêmes.
    • C’eft fur ce principe que font confirmes ces boites aujourd’hui affez communes, qu’on appelle optiques , & dont nous allons donner la eonfi-truétion.
    • PROBLÈME XXXVIII.
    • Conjîruire une boîte ou chambre optique, ou Con voie les objets plus grands que la boîte. '
    • Faites une boîte quarrée, convenable pour le miroir concave dont vous voulez vous fervir, c’eft-à-dire telle que fa largeur foit un peu moindre que la diftancè du foyer de ce miroir, & couvrez le deffus de la boîte d’un parchemin tranfparent,
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    • Optique. 117
    • ou d’un taffetas blanc , ou d’une glace Amplement adoucie & non polie.
    • Appliquez votre miroir à un des fonds verticaux de la boîte , & placez contre le fond oppofé une eftampe enluminée , ou une peinture repré-fentant des fabriques, un pâyfage , un port de mer, une promenade, &c. Cette eftampe doit entrer dans la boîte par une rainure , enforte qu’on puifle la retirer , en fubftituer une autre à volonté.
    • Au haut du fond oppofé au miroir , foit pratiquée une ouverture ronde , ou une fiinple fente , par laquelle on puifle voir dans la boîte : lorfqu’on y appliquera l’œil, on appercevra les objets peints dans l’eftampe énormément groflis ; on croira voir les.bâtiments , les promenades qui y font repré-fentés.
    • J’ai vu. quelques-unes de ces machines qui , par leur conftruétion, la grandeur du miroir & la vérité de. l’enluminure , préfentoient un fpe&acle plus amufant qu’on ne pourroit fe le figurer.
    • Des Miroirs cylindriques , coniques , &c. & des déformations qw on exécute par leur moyen.
    • Il y a d’autres miroirs courbes que ceux dont nous venons de parler ; tels font, entr’autres, les miroirs cylindriques & coniques , au moyen defquels on produit des effets allez curieux. On décrit, par exemple , fur un plan une figure qui eft tellement difforme , qu’il eft prefqu’impofîible dereconnoître ce que c’eft; mais, en plaçant un miroir cylindrique ou conique, ainfi que l’œil, dans des endroits déterminés, on l’apperçoit dans fes juftes proportions. Voici comment cela s’exécute.
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    • îi8 Récréations Mathématiques. PROBLÈME XXXIX.
    • Décrire fur un plan horizontal une figure difforme, qui paroiffe belle étant vue d’un point donné, par réflexion fur la furface convexe d’un miroir cylindrique droit.
    • IO # Q u E ABC /oit la bafe de la portion de furface , 35, cylindrique & polie qui doit fervir de miroir, & 2. que AC en foit la corde. Sur le rayon perpendiculaire à AC, & prolongé indéfiniment, foit pris le point O qui répond perpendiculairement au deflous de l’œil. Ce point O doit être à une distance médiocre du miroir, 6c élevé au deflus du plan de la bafe de 3 ou 4 fois feulement le diamètre du cylindre. Il eft à propos que le point O foit à un tel éloignement du miroir, que les lignes OA , OC, tirées du point O, faffent avec la furface cylindrique un angle médiocrement aigu ; car fi les lignes OA, OC, étoient tangentes aux points A 6c C \ les parties de l’objet, vues par ces rayons, fe-roient extrêmement refferrées, 6c vues peu diftinc-tement.
    • Le point O étant donc ainfi déterminé , 6c ayant tiré les lignes OA, OC, tirez aufli AD 6c CE indéfinies, de telle forte qu’elles faffent avec la furface cylindrique ou la circonférence de la bafe , des angles égaux à ceux que font avec elles les lignes OA , OB ; enforte que fi l’on confidéroit les lignes OA, OC, comme des rayons incidents , AD, CE en fuffent les rayons réfléchis.
    • Divifez enfuite AC en 4 parties égales, 6c formez au deflus un quarré, que vous diviferez en 16 autres petits quarrés égaux. Tirez après cela aux points de divifion 2 6c 4, les lignes 0 2,04, qui coupent le miroir en F 6c H, defquels points vous
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    • Optique. 119
    • mènerez indéfiniment F G, HI, en telle forte que ces dernieres lignes foient les rayons réfléchis qui répondroient aux lignes O F, OH, confidérés comme rayons incidents.
    • Cela fait, fur l’extrémité O d’une ligne indéfi- PI. 10, nie , élevez ON égale à la hauteur de l’oeil au def- %-35> fus du plan du miroir ; faites OQ égale à OA,&n°2, élevez fur le point Q la perpendiculaire Q 4 égale à AC , que vous diviferez en quatre parties égales ; après quoi, par le point N & ces points de divi-fion, vous tirerez des lignes droites qui, prolongées , couperont la ligne OQP dans les points I,
    • 11, III, iv. Tranfportez ces divifions dans le même ordre fur les râyons AD & CE, enforte que A 1, A 11, A in, A iv, foient refpettivement égales à Q1, Q 11, Q ni, Q iv.
    • Procédez de la même maniéré pour divifer les lignes FG, H I, en parties inégales, comme F 1,
    • F 11, F in, F iv , H 1, H11, H iii , H iv ; enfin divifez de la même maniéré la ligne B iv : il ne vous reliera plus qu’à joindre par des lignes courbes les points femblables de divifion fur ces 5 lignes ; ce que vous ferez facilement, en prenant une réglé bien flexible, & l’appuyant fur ces points.
    • Mais on s’écartera peu de la vérité, en joignant ces points trois à trois par des arcs de cercle. Cjs arcs de cercle ou de courbe avec les lignes droites A iv, F iv, B iv, H iv, C iv, formeroient des portions de couronnes circulaires, très-irrégulieres à la vérité, qui répondront aux 16 quarrés dans lefquels on a divifé celui de AC , enforte que l’ar-cole mixtiligne a répond au quarré a, l’arcole b au quarré b, c a c 9 d à. d, &c.
    • Si donc on décrit fur le quarré de AC une figure régulière, & qu’on tranfporte, par exemple,
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    • 2*o Récréations Mathématiques. dans Parcote a de la bafe, ce qui fe trouve dans le petit quatre a, en Pallongeant ou rétréciffant delà maniere convenable, & ainfi des autres, on aura une figure extrêmement irrégulière & abfolument méconnoiffable, qui, vue dans le miroir cylindrique par l’œil placé convenablement au deffus du point O, paraîtra régulière ; car on démontre dans la théorie des miroirs cylindriques , que toutes ces arcoles irrégulières doivent paroître former le quarré de AC & fes divifions, ou à peu près. Nous difons à. peu près , car cette conftru&ion n’efl pas géométriquement parfaite , & ne le fçauroit être , à caufe de l’indécifion du lieu de l’image dans les miroirs de cette efpece. Cependant cette conftruc-tion réuffit aflez bien pour que des objets , abfolu-ment méconnoiflables fur la bafe du miroir, foient
    • paffablement réguliers dans leur repréfentation. Nous obferve.rons au furplus qu’il faut, pour que cela réuffiffe bien, placer l’œil à une pinnule ou à un trou de quelques lignes feulement, élevé perpendiculairement fur le point O, & à une hauteur égaie à ON.
    • Remarque.
    • On pourroit, au lieu d’un miroir cylindrique, fe fervir d’un miroir prifmatique droit, qui auroit cela de remarquable, que, pour voir une image régulière & bien proportionnée, il faudroit qu’elle fut tranfportée dans des parties de la bafe qui ne feraient point continues enfemble, mais qui feraient des parallélogrammes appuyés fur la bafe , & difpofés à l’entour en forme d’éventail, avec des intervalles triangulaires entre deux : ainfi l’on pourroit peindre dans ces intervalles quelque fujet particulier, enforte que plaçant le miroir, on y verrait toute autre chofe que ce qui eft repréfenté*
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    • Optique. m
    • Mais nous n’entrons pas dans les détails de cette déformation, parce que nous donnerons celle du miroir pyramidal, qui produit un effet femblable.
    • Voilà au refte un problème fur lequel les commençants peuvent s’exercer, & dont la folution n’eft pas bien difficile.
    • PROBLÈME XL.
    • Décrire fur un plan horizontal une figure difforme, qui paroiffe belle étant vue par réflexion fur la furface d'un miroir conique, d'un point donne dans l'axe de ce cône prolongé.
    • Décuvez autour de la figure que vous voulez PL *o, déguifer, le cercle ABCD d’une grandeur prife %• à volonté, & divifez fa circonférence en tel nom- a-1 bre de parties égales qu’il vous plaira ; tirez du centre E par les points de divifion autant de demi-diametres, dont l’un, comme AE, ou DE, doit auffi être divifé en un certain nombre de parties égales ; décrivez du centre E par les points de divifion , autant de circonférences de cercle, qui, avec les demi-diamètres précédents, diviferont I’efpace terminé par la première & plus grande circonférence ABCD, en plufieurs petits efpaces, qui ferviront à contenir la figure quiy fera comprife,
    • & à la défigurer fur le plan horizontal autour de la bafe FGHI du miroir conique, en cette forte :
    • Ayant pris le cercle FGHI, dont le centre eft Fig. 36, O , pour la bafe du cône, faites à part le triangle «• 3. re&angîe KLM, dont la bafe KL foit prife égale au demi-diametre OG de la bafe du cône, & la hauteur K M égale à la hauteur du même cône ; prolongez cette hauteur KM en N, de forte que la partie MN foit égale à la diftance de l’œil à la pointe du cône, ou toute la ligne KN égale à la
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    • xxx Récréations Mathématiques.
    • hauteur de l’œil au deflfus de la bafe du cône?; Ayant divifé la bafe KL en autant de parties égales qu’en contient le demi-diametre AE, ou DE, du prototype, tirez du point N, par les points de divifion P, Q,.R, autant de lignes droites, qui donneront fur Fhypothénufe LM, qui repréfente le côté du cône, les points S , T, V ; faites au point V l’angle LV i égal à l’angle LVR, au point T l’angle LTi égal à l’angle LTQ, au point S l’angle LS 3 égal à l’angle L S P, & au point M, qui repréfente le fommet du cône, l’angle L M 4 égal à l’angle LMK, pour avoir fur la bafe KL prolongée les points , 1,2,3,4.
    • Enfin décrivez du centre O de la bafe FGHI du miroir conique, & des intervalles Kl , Kl, K3 , K4, des circonférences de cercles, qui re-préfenteront celles du prototype ABCD, & dont la plus grande doit être divifée en autant de parties égales que la circonférence ABCD ; puis tirez du centre O , par les points de divifion , des demi-diametres qui donneront fur le plan horizontal autant de petits efpaces difformes que dans le prototype ABCD, dans lefquels par conféquent on pourra tranfporter la figure de ce prototype. Cette image fe trouvera extrêmement défigurée fur le plan horizontal, & paroîtra néanmoins par réflexion dans fes juftes proportions , fur la furface du miroir conique pofé fur le cercle FGHI, quand l’œil fera mis perpendiculairement au deffus du centre O, & éloigné de ce centre O d’une distance égale à la ligne KN.
    • Remarque.
    • PI. 10, Pour ne vous pas tromper en tranfportant ce
    • fig. 36, qui eft dans le prototype ABCD fur le plan ho-n° x & a. rizontal, on prendra garde que ce qui eft le plus
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    • OPTIQUI. 11}
    • éloigné du centre E, doit être le' plus proche de la bafe FGHI du miroir conique , comme vous voyez par les mêmes lettres 9a9b 9ç 9d9 e,fg9h9 du plan horizontal & du prototype. La déformation fera d’autant plus bizarre , que ce qui, dans l’imaee régulière, eft contenu dans un fefteur a (n° i), eft renfermé dans la déformation par une portion de couronne circulaire.
    • PROBLÈME XL I.
    • Exécuter la même ckofe par U moyen d'un miroir pyramidal.
    • On fçait, & il eft aifé de le reconnoître, qu’un PI. miroir pyramidal quadrangulaire fur la bafe AB % CD, ne réfléchit à l’œil élevé fur l’axe, que les n° 1 triangles BEC , CFD, DGA, AHB , du plan qui environne la bafe , & qu’aucun rayon provenant de l’efpace intermédiaire n’arrive à l’œil. Il eft d’ailleurs aifé de voir que ces quatre triangles occupent toute la furface du miroir, & que l’œil étant élevé au deflus de fon fommet, & regardant par un petit trou, ils doivent paroître enfèmble remplir le quarré de la bafe : ainfi il faut, dans ce cas, décrire l’image à déformer dans le quarré ABCD , égal au plan de la bafe ; enfuite tirer par le centre e, tant les diagonales que les lignes perpendiculaires aux côtés , lefquelles, avec les petits quarrés concentriques décrits dans celui de la bafe, la diviferont en petites portions triangulaires & trapézoïdes.
    • Maintenant la feftion du miroir par l’axe & par la ligne e L étant un triangle re&angle , il fera facile, par une méthode femblable à celle du problème précédent, de trouver fur la ligne e L prolongée , fon image LE, & les points de divifîon
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    • H4 Récréations Mathématiques. qui font l’image de ceux de la première. Que ces points foient L, III, II, E , tirez par ces points des parallèles à la bafe B C, & faites pareille chofe dans chacun des autres triangles H AB, &c rvous aurez l’aire de l’image à peindre divifée en parties correfpondantes à celles de la bafe. Décrivant donc dans chacune, & dans la fituation & l’allongement ou le rétréciffemënt convenables, lès parties de la figure contenues dans les parties correfpondantes de la bafe, vous aurez la déformation demandée, qui, étant vue d’un certain point dans l’axe prolongé, paroitra régulière & occuper la bafe.
    • Cette efpece de déformation l’emporte par la lingularité fur les précédentes, en ce que les parties de la figure déformée font féparées les unes des autres, quoique contiguës lorfqu’on les voit dans le miroir ; ce qui permet de peindre dans les ef-paces intermédiaires, d’autres objets ^ qui jetteront abfolument dans l’erreur fur ce qu’on s’attendra à voir , &: cauferont par-là plus de furprife.
    • Des Verres lenticulaires ou Lentilles de verre.
    • On appelle verre lenticulaire ou lentilles de verre , un morceau de glaffe figuré des deux côtés, ou du moins d’un feul, en courbure fphérique. Il y en a qui font convexes d’un côté & plans de l’autre ; d’autres font convexes des deux côtés ; il y en a de concaves d’un côté feul ou de tous les deux ; d’autres enfin font convexes d’un côté & concaves de l’autre. La forme de ceux qui font convexes des deux côtés, & qui les fait reflembler à une lentille, leur a fait donner généralement le nom de verre lenticulaire ou de lentille de verre.
    • Lés ufages de ces verres font allez vulgairement connus. Ceux qui font convexes agrandiffent l’apparence
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    • ÔPTÎQUEi ài$
    • ^apparence des objets , & aident Ja vue des vieillards ; les verres concaves i au contraire, diminuent les objets, & fervent aux myopes. Lès premiers réunifient les rayons du foleil aux environs d’un point qü’on nomme foyer ; & quand ils font d’une largeur un peu confidérable, ils y produiferit le feu. Les verres concaves difpèrfent au contraire les rayons du foleil. Les uns & lés autres enfiii entrent dans la compofition des lunettes d’approche & des microfcopes.
    • PROBL ÉME X L 11.
    • Trouver le foyer d'un globe de verre.
    • Les globes de verré ténant en bien des occa-fions la place des lentilles de verre , il eft à propos de dire un mot de leur foyer. Voici comment on le détermine.
    • Soit la fphere de verre BCD , dont le centre PI. n* eft F, & CD un diamètre auquel eft parallèle le %* 3& rayon incident AB. Ce rayon rencontrant la fur-face de là fphere eh B , rie continue pas fon chemin en ligrie droite, comme il feroit s’il ne pé-nétroit pas dans Un nouveau iriilieu ; mais il approche de la perpendiculaire tirée du centre F fur le point d’incidence B. Ainfi il concourrait avec le diamètre en un poirit E, fi, fortant au point t de la fphére, il né s’écartoit de la perpendiculaire FI ; ce qui lui fait prendre la route IO, arriver au point O qui eft le foyer cherché.
    • Pour déterminer ce foyer O, ori chefchera d’abord le point de concours E ; ce qu’on trouvera facilement, en faifant attention que dans le triangle FBE il y a même raifon de FB à FE, que du finus de l’angle FEB à celui de l’angle FBE ; ou ,
    • Tome II\ P
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    • zi6 Récréations Mathématiques. à caufe de la petiteffe de ces angles, que de l’angle* F£B ou Ton égal GBE à l’angle FBE : car nous fuppofons le rayon incident AB extrêmement près du diamètre CD ; & conféquemment l’angle ABH eft très-petit, ainfi que Ton égal l’angle FBG. Or, dans les angles extrêmement petits, la raifon des angles & de leur finus eft la même. Mais, par la loi de la réfra&ion, lorfque le paf-fage fe fait de l’air dans le verre, la raifon de l’angle d’incidence ABH ou GBF à l’angle rompu FBI étant, (lorfqu’ils font très-petits), de 3 à i, il s’enfuit que l’angle FBE eft à très-peu près double de EBG : conféquemment le côté FE du triangle FBE, eft à très-peu près triple de FB, ou égal à deux fois le rayon ; DE eft par conféquent égale au rayon.
    • Pour trouver maintenant le point O , où le rayon fortant de la fphere, & s’écartant de la perpendiculaire , doit rencontrer la ligne DE, on fera un raifonnement tout femblable. Dans le triangle IOE , le rapport de IO à OE eft le même à très-peu près que celui de l’angle IEO , ou de fon égal IFE à l’angle OIE. Or ces deux angles font égaux, car l’angle IFD eft le tiers de l’angle d’incidence BFG ou ABH ; mais, par la loi de la réfra&ion, l’angle OIE eft à très-peu près la moitié de l’angle d’incidence EIK , ou de fon égal FIB , qui eft les f de l’angle FBG : il eft donc le tiers de FBG ou HB A, comme le précédent : les angles OIE, OEI, font donc égaux ; d’où il fuit que OE eft égale à OI, qui elle-même eft égale à DO, à caufe de leur très-grande proximité. Ainfi DO, ou l’éloignement du foyer du globe de verre à fa furface, eft la moitié du rayon ou le quart du diamètre. C. Q. F. T,
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    • Qt/Èi
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    • PROBLÈME XLiif.
    • 'trouver U foyer <Tune lentille quelconque de Verre.
    • Nous pourrions faire ici un raifonnement fem-blable à celui que nous avons fait pour déterminer la route d’un rayon traverfant une fphere de verre; mais, pour abréger , nous nous bornerons à donner une réglé générale démontrée par les opticiens , & qui renferme tous les cas polîibles des lentilles de verre, quelque combinaifon qu’on faite de Convexités & de concavités. Nous en montrerons ertfuite l’application, en parcourant quelques-uns des principaux cas. Voici cette réglé.
    • Comme la. fômme des demi-diametres des deux Convexités
    • ejl à Vune des deux, ainjî le diamètre de Vautre à la dijtance du foyer.
    • Il y a dans l’ufage de cette réglé une attention à avoir. Lorfqu’une des faces du verre fera plane, il faut regarder le rayon de fa fphéricité comme infini ; & lorfqu’elle fera concave , le rayon de la fphere dont cette concavité eft partie , doit être regardé comme négatif. Ceux à qui l’algebre eft tant foit peu familière, nous entendront facilement.
    • Ier Cas. Lorfque la lentille ef également convexe des deux cotés.
    • Soit, par exemple, le rayon de la convexité de chacune des faces, égal à 12 pouces. On aura , par la réglé générale, cette proportion : comme }a fomme des rayons ou 24 pouces eft à l’un des Pij
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    • iz8 Récréations Mathématiques. deux ou à 12 pouces, ainfi le diamètre de l’ürt d’eux ou 14 pouces, à un quatrième terme qui eft 12 pouces, diftance du foyer; ce qui apprend qu’une lentille de verre , également convexe des deux côtés , réunit les rayons folaires , ou en général les rayons parallèles à fon axe, à la diftance du rayon d’une des deux fphéricités.
    • IIe Cas. Lorfque la lentille ejl inégalement convexe des deux côtés.
    • Que les rayons de ces convexités foient, par exemple, 12 & 24. On fera cette proportion : comme 12 plus 24 ou 36 font à 12, rayon d’une des convexités, ainfi 48, diamètre de l’autre, eft à 16 ; ou bien, comme 12 plus 24, ou 36', font à 24, rayon d’une des convexités, ainfi le diamètre de l’autre 24 eft à 16: la diftance du foyer fera donc de 16 pouces.
    • IIIe Cas. Lorfque la lentille a un côté plan.
    • Soit d’un côté la même fphéricité que dans le premier cas. On dira donc , en appliquant la réglé générale : comme la fomme des rayons des deux fphéricités, fqavoir 12 & une grandeur infime, eft à l’une des deux ou cette grandeur infinie, ainfi 24,diamètre de l’autre convexité, eft à un quatrième terme qui fera 24 ; car les deux premiers termes font égaux, pareequ’une quantité infinie, augmentée ou diminuée d’une quantité finie, eft toujours la même: donc les deux derniers termes font aulfi égaux : d’où il fuit qu’/az verre plan-convexe a fon foyer a la défiance du diamètre de fa convexité.
    • IVe Cas. Lorfque la lentille ejl convexe d’un côté & concave de Cautre.
    • Que le rayon de la convexité foit encore 12
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    • Optique. 229
    • pouces , & que celui de la concavité Toit 27. Comme une concavité eft une convexité négative , ce nombre 27 doit être pris en l’affe&ant du ligne — : on aura donc cette proportion ;
    • Comme 12 p. — 27 ou — 15 p. eft au rayon de la concavité — 27, ( ou comme 15 eft à 27,) ainfi 24 p., diamètre de la convexité, eft à 43 j. C’eft la diftance du foyer de cette lentille. Il eft pofitif ou réel , c’eft-à-dire que les rayons, tombants parallèlement à l’axe, fe réuniront véritablement au-delà du verre. En effet, la concavité étant d’un diamètre plus grand que la convexité, elle doit faire moins diverger les rayons que cette convexité ne les fait converger. Mais fi la concavité étoit d’un diamètre moindre , les rayons , au lieu de converger au fortir du verre, feroient divergents , & le foyer feroit au devant du verre. On l’appelle alors virtuel. En effet , que 12 foit le rayon de la concavité, & 27 celui de la convexité ; on aura , par la réglé générale : comme 27 — 12 ou 1 5 eft à 27, ainfi — 24 eft à — 43 ÿ. Ce dernier terme étant négatif, indique un foyer en avant du verre , & annonce que les rayons en fortiront divergents, comme s’ils venoient de ce point,
    • Ve Cas. Lorfque la lentille ejl concave des deux côtés.
    • Que les rayons des deux concavités foient 12 S1 27 p. ; vous aurez cette proportion : comme — 12 — 27 eft à — 27, ou comme 39 eft à 27 , ainfi — 24 eft à — 16-^-. Ce dernier terme étant négatif, annonce que le foyer n’eft que virtuel, & quç les rayons fortants du verre iront en diver»
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    • *30 Récréations Mathématiques,
    • géant, comme s’ils venoient d’mi point, fitué ÿf 16 p. tj au devant du verre.
    • VIe Cas, Lorfque la lentille éjl concave d'un coté & plane de l'autre.
    • Que le rayon de la concavité ibit encore 12 ; la réglé donnera cette proportion : comme — 12 plus une quantité infinie eft à une quantité infinie, ainfi — 24 eft à — 24 ; car une quantité infinie , diminuée, d’une quantité finie, refte toujours la même. Ainfi l’on voit que, dans ce cas, le foyer virtuel d’un verre plan-concave, ou le point d’ou les rayons , après leur réfra&ion, paroiffent di* verger, eft à la diftance du diamètre de la conca?-vité,comme, dans le cas du verre plan-convexe, le point auquel iis convergent eft à la diftance d’un diamètre.
    • Voilà tous les cas que peuvent préfenter les verres lenticulaires ; car celui dans lequel on fupr poferoit les deux concavités égalés, eft contenu dans le cinquième.
    • R E M A R d U E,
    • On a fuppofé au refte, dans tous ces calculs que l’épaiffeur du verre étoit de nulle confidéra-tion , relativement au diamètre de la fphériçité ; ce qui eft le cas le plus ordinaire ; car autrement ces déterminations feroient différentes.
    • Des Verres ardents,
    • £es verres lenticulaires foumiffent un troifîeme moyen de réfoudre le problème déjà réfolu par le fecours des miroirs, fçavoir, de réunir les rayons dw lpleil de nianiçre à produire le feu & l’inçems
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    • . r , •: i i, GpT I Q U E. Ck± * : • Xyt
    • die. Car un verre de quelques pouc.es dé diamètre produit déjà une chaleur affez forte pour mettre le feu à l’amadou, au. feutre, aux étoffes, au papier noir ou gris, &c.
    • Les anciens corinoiffoient à cet égard la propriété des globes de verre ; ils s’en : fer voient même quelquefois à cet ufage. C’étoit probablement avec un globe de verre qu’on allumoit le feu de Vefta. .11 y a eu à la vérité des gens qui ont prétendu prouver que c’étoit au moyen de verres lenticulaires qu’ils produifoient cet effet; mais M. de la Hire a fait voir que. cela étoit fans fondement, & que les verres ardents des anciens ri’étoient que des globes de verre, conféquemment incapables d’un effet bien remarquable.
    • M. de Tchirnhaufen , auteur du célébré miroir, dont nous avons parlé plus haut, l?eft aufîi du. plus grand verre ardent qu’on eût. encore vu. Ce gentilhomme & mathématicien Saxon, étant à portée des verreries de Saxe, parvint enfin.à fe procurer, vers l’àn 1696 , des: glaffes de verre, affez épaiffes & affez larges pour en tirer des' verres lenticulaires de plufieurs pieds de diamètre. Un entr’autres avoit: 3 pieds ènvironde diamètre , & mettoit, à la diftance de 12 pieds , le feu. ai toutes les matières combuftibles. Son foyer avoit à cette diftance environ un pouce & demi de diamètre ; mais lorfqu’il étoit queftion de lui faire produire fes grands effets , on • rétréciffoit ,. air moyen d’une. fécondé lentille parallèle à la première, tk placée à 4 pieds de diftance, on rétréciffoit , dis-je ,r ce foyer de maniéré qu’il n’avoit plus que 8 lignes de diamètre ; alors il fondoit les métaux , & vitrifioit les cailloux, lés thuiles ,' les ardoifes, la fayance, ôcc ; il produifoit enfin les P iv
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    • Récréations Mathématiques. mêmes effets que les miroirs ardents dont nous avons-parlé plus haut.
    • On a vu à Paris, il y a une vingtaine d’années,'1 un verre lenticulaire femblable, qu’on feroit tenté de croire être celui de M. Tchirnhaufçn. Le verre en étoit jaunâtre ôt rayé, & celui à qui il appar*. tenoit n’en demandoit pas moins de I zooo livres. Je doute qu’il ait trouvé des acheteurs.
    • On doit à M. de Bernieres, dont nous avons déjà parlé, le moyen d’avoir à moindres frais des verres propres à produire les mêmes effets. Au moyen de fon invention pour courber les glaffes, il donne à deux glaffes rondes la courbure fphéri-que ; & enfuite, les appliquant l’une à l’autre , il remplit leur intervalle d’eau diftillée ou d’efprit de vin. Ces verres , ou plutôt ces lentilles d’eau , ont le foyer un peu plus éloigné, & devroient, toutes chofes égales, faire un peu moins d’effet ; mais la petite épaiffeur du verre, & la tranfpa-rence de l’eau , oçcafionnent moins de perte dans les rayons qui les traverfent, qu’il n’y en a dans une lentille d’eau de plufieurs pouces d’épaiffeur. Enfin il eft incomparablement plus aifé de s’en procurer de cette forme, que de folides telles que celles de M. de Tchirnhaufen. M. de Trudaine vient de faire exécuter à fes frais, par M. de Bernieres , une de çes loupes d’eau, de 4 pieds de diamer tre, avec laquelle on a déjà fait quelques expériences phyfiques relatives à la calcination des métaux & d’autres fubftances. La chaleur qu’on s’eft procurée par fon moyen , eft bien fupérieure à celle de tous les miroirs & verres cauftiques connus jufqu’à préfent, ainfi qu’à celle de tous les fournaux. On doit attendre de-là de nouvelle découvertes en chymie,
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    • Optique. *3$
    • Nous devons ajouter ici, qu’avec des lentilles à eau beaucoup moindres, M. de Bernieres a fondu les métaux, les pierres vitrifiables, &c,
    • PROBLÈME XLIV.
    • De quelques autres propriétés des verres lenticulaires.
    • i. Si un objet eft extrêmement éloigné, enforte qu’il n’y ait aucune proportion entre fon éloignement & la diftance du foyer du verre, il fe peint au foyer du verre lenticulaire, une image de cet objet dans une fituation renverfée. Cette expérience eft celle qui fert de bafe à la formation de la chambre obfcure. C’eft ainfi que les rayons du foleil ou de la lune fe réunifient au foyer d’une lentille de verre, dans un petit cercle qui n’eft autre chofe que l’image du foleil même ou de la lune, comme il eft aifé de s’en afîùrer.
    • 2. A mefure que l’objet s’approche du verre l’image formée par les rayons partis de cet objet, s’éloigne du verre , enforte que lorfque l’objet eft éloigné du double de la diftance du foyer, l’image fe peint précifément au double de cette diftance ; s’il continue de s’en approcher, l’image s’éloigne de plus en plus ; & lorfque l’objet eft au foyer, il ne fe peint plus d’image ; car c’eft à une diftance infinie qu’elle eft cenfée fe former : ainfi, dans ce cas , les rayons tombés en divergeant de chaque point de l’objet fur le verre, font rompus de maniéré qu’ils font renvoyés parallèlement.
    • En général voici la maniéré de déterminer la diftance de la lentille où fe forme l’image de l’objet. PI. n , Spit DE la diftançe de l’objet OC au verre, EF % 39*
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    • Récréations Mathématiques. celle du foyer du verre. Faites comme FD à FE, ainfi EF à EG,en prenant EGde l’autre côté du verre, lorfque E D eft plus grande que EF ; ce point G fera celui de l’axe auquel répondra l’image du point D de l’objet qui eft dans l’axe.
    • D’où il eft aifé de voir que, lorfque la diftance de l’objet au foyer eft nulle, la diftance EG doit être infinie, c’eft-à-dire qu’il ne fçauroit y avôir d’image.
    • On doit aufli remarquer que, lorfque EF eft plus grande que ED, ou que l’objet eft entre le verre & le foyer, la diftance EG doit être prife en fens contraire, ou en deçà du verre, comme Eg; ce qui indique que les rayons partis dé l’objet, au lieu de peindre une image au-delà du verre, divergent comme s’ils partoient d’un objet placé en g.
    • Des Lunettes d'approche ou Télefcopes , tant de réfraâion que de réflexion.
    • Parmi les inventions optiques, il n’en eft aucune qui ne le cede à celle des télefcopes ou lunettes d’approche ; car, fans parler des Utilités* nombreufes que préfente dans l’ufage vulgaire ce merveilleux infiniment, c’eft à lui que îloùs devons les découvertes les plus intéreflantes dans les aftres. C’eft par fon moyen que l’efprit humain eft parvenu à s’élever jufques dans ces régions inac-ceflibles aux hommes , & à y démêler les faits principaux qui fervent de bafe à la phyfîque cé-
    • La première lunette fut inventée vers l’an 1609, en Hollande. Il y a beaucoup d’incertitude fur* le nom de l’inventeur, & fur la maniéré dont il y parvint. On peut voir cette difcuflion dans YHifl
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    • Optique, t5T
    • foin des Mathématiques. Il nous fuffira ici de donner une' idée des différentes- efpeces de lunettes , & de la maniéré dont elles produifent leur effet. Il y en a de réfraction 8c de réflexion.
    • Des Lunettes de réfraction,
    • 1. La première efpece de lunette,‘8c la plus communément en ufage, eft compofée d’un verre convexe qui eft appellé objectif, parceque c’eft celui qui eft tourné vers les objets ; 8c d’un verre concaye qu’on appelle oculaire, _parcequ’il eft le plus vôifin de l’œil. Ils doivent être difpofés de maniéré que le foyer poftérieur de l’obje&if coïncide avec le foyer poftérieur du verre concave. Au moyen de cette difpofition , l’objet paroît grofli dans le rapport de la diftance du foyer de l’objeétif à celle du foyer de l’oculaire. Ainfi, le foyer de .l’objectif étant à i o pouces de diftance, 8c l’oculaire ayant le lien à un pouce, l’inftrument aura 9 pouces de longueur, 8c groflira les objets 10 fois.
    • Cette forte de lunette d’approche eft appellée batavique, à caufè du lieu de fon invention, ou de Galilée, parceque ce grand homme en ayant entendu parler, 6c s’étant mis à combiner des verres, y parvint de fon côté , 8c fit par fon moyen les découvertes dans le ciel qui l’ont im-mortalifé. On ne fait au refte aujourd’hui, fui-vant cette combinaifon , que des lunettes très-courtes , parcequ’elles ont. le défaut d’avoir un champ très-étroit, pour peu qu’elles aient de longueur.
    • 2. La fécondé efpece de lunette eft appelle'e ffironomique, parceque les aftronomes s’en fer-
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    • Récréations Mathématiques.
    • vent principalement. Elle eft compofée de deux verres convexes, difpofés de maniéré que le foyer poftérieur de l’obje&if & le foyer antérieur de l’oculaire, coïncident enfemble, ou foient très-voifîns. L’œil doit être placé à une petite ouverture , éloignée de l’oculaire d’environ la diftance de fon foyer. Alors il appercevra un champ affez vafte,& verra les objets renverfés, & groflis dans le rapport des diftances des foyers de i’objetlif & de l’oculaire. Ainfi, en prenant encore pour exemple les proportions ci-deffus, le télefcope aftronomique aura 12 pouces de longueur, & groflira
    • On peut, fuivant cette combinaifon de verres faire des lunettes très-longues. Il eft commun aux aftronomes d’en employer de 12, 15,20,30pieds de longueur. M. Huygens s’en étoit fait une de 123 pieds , & Hevelius en avoit une de 140. Mais la difficulté de fe fervir de lunettes auffi longues, à caufe du poids & de la flexion des tuyaux, y a fait aujourd’hui renoncer pour un autre infiniment plus commode. M. Hartfoecker avoit fait un obje&if de 600 pieds de foyer, qui auroit produit un effet extraordinaire s’il lui eût été poffible de s’en fervir. Cela n’eft cependant pas abfolument impoffible par des moyens que j’ai dans la tête, & que je communiquerai quelque jour.
    • 3. L’incommodité des lunettes bataviques, qui ne laiffent voir qu’une petite quantité d’objets à-la-fois , & celle de la lunette aftronomique qui les repréfente renverfés, a fait imaginer une troifieme difpofition de verres tous convexes, qui repréfente les objets droits , qui a le même champ que la lunette aftronomique, & qui eft par conféquent propre pour les objets terreftres: auffi appelle-t-on
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    • cette lunette du nom de terrejlre. Elle eft compofée d’un objectif convexe, & de trois oculaires égaux. Le foyer poftérieur de l’obje&if coïncide à l’ordinaire avec l’antérieur du premier oculaire ; le foyer poftérieur de celui-ci coïncide pareillement avec le foyer antérieur du fécond, & de même le foyer poftérieur de celui-ci avec l’antérieur du troifîeme oculaire, au foyer poftérieur duquel l’œil doit être placé. L’inftrument groflit toujours dans le rapport des diftances des foyers de l’obje&if &: de l’un des oculaires. Mais il eft aifé de voir que la longueur eft augmentée de quatre fois la diftance du foyer de l’oculaire.
    • 4. On pourroit auffi,avec deux oculaires feulement, redrefler l’apparence des objets : il faudroitr pour cela , que le premier oculaire fut éloigné du foyer de l’objeétif de deux fois la diftartce de fort foyer, & qu’à deux fois cette même diftance, fût placé le foyer antérieur du fécond oculaire. Voilà une lunette terreftre à trois verres. Mais l’expérience a appris que cette difpofition déforme un peu les objets ; ce qui y a fait renoncer.
    • 5. On a enfin propofé des lunettes à cinq verres.' Cette difpofition a été imaginée pour plier, pour ainfi dire, par degrés les rayons , & éviter les inconvénients d’une trop forte réfraction qui fe fait tout-à-coup au premier oculaire , comme auflï d’augmenter le champ de la vifion. J’ai même ouï parler de quelques lunettes de ce genre qui avoient eu un grand fuccès ; mais je ne vois pas que l’ufage ait adopté cette combinaifon.
    • 6. Il y a quelques années qu’on a imaginé une nouvelle efpece de lunette, à laquelle on donne le nom d’achromatique , parcequ’on y a corrigé les
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    • 238 Récréations Mathématiques, défauts des autres lunettes à réfraéiiori, défauts qui naiffent de la differente réfrangibilité de la lumière , laquelle produit dans les lunettes ordinaires les couleurs & la confufion. Ces lunettes ne different des autres qu’en ce que l’objeélif, au lieu d’être formé d’un feul verre lenticulaire, eft coin-* pofé de deux ou trois, qui font de différents verres que l’expérience a appris difperfer inégalement les rayons différemment colorés qui compofent la lumière. L’un de ces verres eft un verre cryftallin , que les Anglois nomment crown-glajf; & l’autre eft un verre mélangé de verre métallique : les Anglois l’appellent jlint-glajj'. Cet objeétif, com-pofé fuivant les dimenfions déterminées par les géomètres, peint à fon foyer une image beaucoup plus diftin&e que les objeftifs ordinaires; ce qui permet de fe fervir d’oculaires beaucoup plus petits fans nuire à la diftin&ion, & c’eft ce que l’expérience confirme. On appelle aufli ces lunettes , lunettes à la Dolloni, pareeque c’eft cet artifte Anglois qui en eft l’inventeur. Il fait par ce moyen des lunettes d’une longueur médiocre , qui équivalent à d’autres beaucoup plus confidé-rables ; & l’on débite fous fon nom de petites lorgnettes un peu plus longues que celles d’opéra , avec lesquelles on peut appercevoir les Satellites de Jupiter. M. Anthéaume a fait à Paris, d’après les dimenfions données parM. Clairault, une lunette achromatique de 7 pieds de foyer , qui, comparée à une ordinaire de 30 à 35 pieds, produifoit le même effet.
    • Cette invention permet d’efpérer qu’on fera quelque jour dans le ciel des découvertes qui pa-roifloient, il y a peu d’années, fort éloignées de toute poffibilité. Peut-être viendra-t-on à bout de
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    • Optique. 239
    • reconnaître dans la lune des traces d’habitation & d’animaux, des taches dans Mercure & Saturne; le Satellite de Vénus, fi fouvent vu, & fi fouvent perdu de vue.
    • Pour dpnner une idée fenfible de la maniéré dont les lunettes grofliflent l’apparence des objets, nous prendrons pour exemple celle qu’on appelle agronomique, comme étant la plus fimple. On n’aura pas de peine à la concevoir, fi l’on Te rappelle qu’une lentille de verre convexe peint à Ton foyer une image renverfée des objets qui font à une grande diftance. L’objeâif de la lunette formera donc derrière lui, à la diftance de fon foyer, une image renverfée de l’objet vers lequel il fera tourné. Or, parla conftru&ion de l’inftrument, cette image eft au foyer antérieur de l’oculaire auquel l’œil eft appliqué ; conféquemment l’œil l’appercevra diftinéiement ; car c’eft une chofe connue, qu’un objet étant placé au foyer d’un verre lenticulaire ou tant foit peu en deçà, on le voit diftinftement à travers ce verre & dans le même fens. L’image de l’objet qui en tient lieu ici étant donc renverfée , l’oculaire à travers lequel on la regarde ne la redreflera pas, & l’on verra conféquemment l’objet renverfé.
    • Quant à la grandeur , on démontre que l’angle fous lequel on voit cette image, eft à celui fous lequel on voit l’objet, de la même place , comme la diftance du foyer de l’obje&if à celle du foyer de l’oculaire: de-là-vient l’amplification de l’objet.
    • Dans les lunettes terreftres, les deux premiers oculaires ne font que retourner l’image ; ainfi cette lunette doit représenter les objets droits. Mais en voilà affez fur les lunettes à réfrattion. Paffons à celles de réflexion.
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    • 240 Récréations MAtfhiMATiQ&Êfj
    • Des Télefeopes à rèfi'exioru -
    • Il fuffit d’avoir bien connu la maniéré dont les lunettes ordinaires repréfèntent les objets , pouf Concevoir qu’on peut produire le même effet pat la réflexion; car un miroir concave peint à fort foyer, comme une lentille convexe * une imagé des objets éloignés* Si donc on trouve le moyen de réfléchir cette image fur le côté ou en arriéré , de maniéré qu’on puiffe la faire tomber au foyer1 d’un verre convexe, & la regarder au travers dé ce verre, on aura un télefeope de réflexion. Il n’eft donc pas étonnant qu’avant Newton, & dès le temps de Defcartes 6c Merfenne $ on ait pro-pofé cette efpece de télefeope.
    • Mais Newton y fut conduit par des vues particulières : il cherchoit à remédier au défaut dé diftinélion des images peintes par des verres, défaut qui vient de la différente réfrangibilité des! rayons de la lumière qui fe décompofent. Tout rayon, de quelque couleur qu’il foit, ne fe réflé-cliiflant que fous un angle égal à celui d’incidence , l’image eft infiniment plus diftinéle, 8ê mieux terminée dans toutes fes parties* Il eft aifé d’en faire l’épreuve avec un miroir concave. Cela permettait donc de lui appliquer un oculaire beaucoup plus petit, d’où devoit naître une augmentation beaucoup plus grande ; & l’expériencea vérifié ce raifonnement.
    • M. Newton n’a jamais conftruit de télefeopes que d’une quinzaine de pouces de longueur. Suivant fa conftruélion , le miroir occupoit le fond du tube, & réfléchiffoit vers fon orifice l’imagé de l’objet. Vers cet orifice était placé un miroir plan , fçavoir, la bafe d’un petit prifme ifofeele rcâangle,
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    • Optique. 241
    • re&angle , étaiiiée, & inclinée à Taxe de 45 ». Çe petit miroir réfléchifloit l’image fur le côté où le tube étoit percé , ôc où étoit adaptée une lentille de verre d’un foyer très-court, qui étoit l’oculaire. On regardoit donc de côté l’objet , chofe commode dans bien des circonftances. M. Hadley, écuyer, & de la Société royale de Londres, fabriqua en 1723 un télefcope de cette efpece, de 5 pieds de longueur, qu’on trouva faire le même effet que la lunette de 123 pieds donnée à la Société royale par Huygens.
    • Les télefcopes à réflexion, qui font les plus ufités aujourd’hui, font un peu différemment conf-truits. Au fond du tube eft le miroir concave qui eft percé dans fon milieu d’un trou rond. Vers le haut du tube eft un miroir, quelquefois plan 9 tourné directement vers le fond, qui, recevant l’image vers le milieu de la diftance du foyer, la réfléchit en bas près du trou du miroir objeétif. A ce trou une lentille d’un court foyer eft appliquée , & fert d’oculaire ; ou, ft l’on veut redreffer l’objet comme pour voir les objets terreftres , on y adapte trois oculaires dans une difpofition fem-blable à celle des lunettes terreftres.
    • On a un télefcope qui groffit encore beaucoup davantage, de cette maniéré. Le miroir obje&if eft, comme dans tous les autres, au fond, &: percé de fon trou central pour faire place à l’oculaire. Au haut du tube eft un miroir concave d’un foyer moindre que l’obje&if, &: tellement difpofé, que la première image fe peint tout près de fon foyer , & un peu plus loin de fa furface que n’eft le foyer. Cela produit une autre image au-delà du centre , qui eft d’autant plus grande, que la première eft plus près du foyer : cette Tome //, Q
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    • 24î Récréations Mathématiques.
    • image vient fe peindre très-près du trou du miroir obje&if, où l’oculaire eft adapté comme à l’ordinaire. •
    • Cette forte de télefcope à réflexion s’appelle grégorienne , parceque Grégori l’avoit propofée , même avant que Newton eût imaginé la fienne. C’eft aujourd’hui la plus ufitée. .
    • Il y a encore celle de Caflegrain, qui emploie un miroir convexe pour agrandir l’image formée par le premier miroir concave. M. Smith y a trouvé des avantages qui l’ont engagé à l’analyfer dans fon Optique. Caflegrain étoit un artifte François , qui propofoit cette conftru&ion vers l’an 1665 , & à peu près dans le même temps que Grégori propofoit la fienne. 11 eft certain que la longueur du télefcope eft confidérablement raccourcie par ce moyen.
    • Les Anglois ont été pendant long-temps dans la pofleflion exclufive de réuflir à ce genre d’ouvrage. C’eft en effet un art très-difficile que celui de la compofition & du poliflage des miroirs de métal, néceflaires pour ces inftruments. M. Pafle-ment, célébré artifte François, & les freres Paris & Gonichon , opticiens de Paris, font les premiers qui leur aient dérobé cette induftrie. Ils ont fait les uns & les autres un grand nombre de télef-copes de réflexion, dont quelques - uns même d’une longueur aflez confidérable, comme de 5 & 6 pieds. Parmi les Anglois, aucun artifte ne s’eft diftingué à cet égard comme M. Short, & n’a fait de télefcopes auflï longs ; car, outre plu-fieurs télefcopes de 4, 5,6 pieds de longueur, il en a fait un de 12 pieds anglois , qui appartenoit., il y a une vingtaine d’années, au médecin du milord Madesfield. En y appliquant la lentille du
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    • Optique. ïi *4î
    • plus court foyer qu’il puiffe comporter, il groffit environ 1100 fois. Auffi dit-on que les Satellites de Jupiter y ont un diamètre apparent fenfible. Au refte, ce télefcope n’exifte plus, à ce que j’ai ouï dire, le miroir objectif s’étant égaré.
    • Le plus long de tous les télescopes à réflexion qui aient été exécutés , eft fans contredit celui qu’on voit au Cabinet de phyfique & d’optique du Roi, à la Meute, & qui eft l’ouvrage de dom Noël, religieux BenédiCtin, garde & démonf-trateur de ce Cabinet. Il avoit commencé à y travailler long-temps avant d’être à la tête de cet établiffement, où il l’a achevé, & où il n’a tenu qu’aux curieux de le voir, & de contempler le ciel par fon moyen. Il eft monté fur une efpece de piédeftal mobile ; & il reçoit, malgré fon poids énorme, fon mouvement dans tous les fens , par une mécanique fort bien entendue, & que peut mener l’obfervateur même : mais ce ne font-là que des accefloires. Ce qu’il feroit intéreflant de fçavoir, c’eft fon degré de bonté, & s’il produit un effet proportionné à fa longueur, ou au moins considérablement plus grand qu’un des meilleurs & des plus longs télefcopes à réflexion, fabriqués avant celui-là ; car on fçait affez que les effets de ces inftruments, en leur fuppofant même degré de perfection dans le travail, ne croît pas en proportion de la longueur. La lunette de 125 pieds d’Huygens,quoiqu’excellerite, puifqu’il crut devoir en faire un préfent à la Société royale de Londres , ne produifoit pas un effet quadruple d’une excellente lunette de 30 pieds ; & il en doit être de même des télefcopes à réflexion , où les difficultés du travail font encore plus grandes ; enforte que fi un télefcope de 24 pieds produifoit
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    • 144 Récréations-Mathématiques.
    • «ne moitié en fus de l’effet d’un autre de 12 pieds , ou feulement ie double d’un de 6 pieds, je crois qu’on devroit le regarder comme un bon ouvrage, & un pas de plus vers la perfection de l’art.
    • J’ai ouï dire qu’il n’avoit pas tenu à dom Noël de fane cette comparaifon , & le moyen qu’il propofoit eft fort raifonnable. Il y a long-temps que je le regarde comme l’unique qui foit propre à comparer de pareils inftruments. C’eft de fixer, à «ne diftance de plufieurs centaines de toifes, des caraéteres imprimés de toute dimenfion , & com-pofants des mots barbares & fans aucun fens, afin que l’on ne puiffe s’aider d’un ou de deux mots entrevus pour deviner le refte. Le télefcope par le fecours duquel on lira les caraéteres les plus menus , fera inconteftablement le plus parfait. J’ai vu au dôme des Invalides des affiches fembla-bles, que dom Noël y avoit fixées pour faire cette comparaifon. Mais, malheureufement, de pareils inftruments ne peuvent guere fe rapprocher : il faudrait donc, fans déplacer ces inftruments, fixer à une diftance convenue de chacun, des caraéteres imprimés tels qu’on vient de dire, & que des per-fonnes choifies & nommées à cet effet, fe tranfi* portaffent dans les divers obfervatoires , en des temps abfolument femblables , & examinaient quels carafteres l’on pourrait lire avec chaque télefcope. Ce moyen pourrait fournir une réponfe pofitive à la queftion ci-deflus.
    • J’aurais fort defîré pouvoir confidérer Jupiter & Saturne avec le télefcope de dom Noël ; car, ayant bien nettement imprimé dansl’efprit le degré de diftinftion avec lequel ôn apperçoit quelques détails des apparences de ces planètes, dans les meilleurs télefcopes que j’ai eu occafion de
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    • Optique. i4î
    • voir dans mes divers voyages en Europe, j’aurois pu me former pour moi - même une idée de ce qu’on doit penfer de celui de dom Noël ; mais un voyage précipité m’a empêché de fatisfaire ma curiofité à cet égard t j’efpere le faire à mon premier voyage à Paris*
    • PROBLÈME X L V.
    • Conjlruclion d’une, lunette par laquelle, on peutcon-Jidêrer un objet différent de celui auquel on paroît mirer.
    • Comme il eft impoli de lorgner avec attention une perfonne, on a imaginé en Angleterre une forte de lorgnette, au moyen de laquelle, en pa-roiflant confidérer un objet, on en regarde réellement un autre. La conftru&ion de cet inftrument, bien fait pour avoir été imaginé à Paris , eft fort iimple.
    • Adaptez au devant d’une lorgnette d’opéra, PI. dont l’obje&if devient inutile , un tuyau percé %• 4 d’un trou latéral, le plus large que le comportera le diamètre de ce tuyau. Au devant de ce trou foit placé un miroir incliné à l’axe du tuyau d’un angle de 450, & ayant fa furface réfléchiflante tournée du côté de l’obje&if. Il eft évident que , quand on dirigera cette lunette vis - à - vis foi-, l’on n’appercevra qu’un des objets latéraux , fqa-voir , celui qui fe trouvera fitué aux environs de la ligne tirée de l’œil dans la direction de l’axe de la lunette , & réfléchie par le miroir. Cet objet pa-roîtra droit, mais tranfpofé de droite à gauche.
    • Au refte, pour mieux déguifer l’artifice, il convient de laifler le devant de la lunette garni d’tms
    • Q«i
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    • *46 Récréations Mathématiques.
    • verre plan , qui figurera un obje&if placé à la maniéré ordinaire.
    • Cet infiniment, qui n’eft pas bien commun en France (æ), feroit fort utile pour fatisfaire fa cu-riofité au fpe&acle, fur-tout fi le miroir étoit fuf-ceptible d’être plus ou moins incliné ; car tandis qu’on paroîtroit regarder le théâtre, on pourroit, fans affectation, & fans violer les loix de la poli-teffe, considérer & analyfer une figure intéref-fante placée dans les loges. Falloit-il que la gloire d’avoir découvert un inftrument fi précieux, fut ravie par l’Angleterre à la nation Françoife !
    • Il faut pourtant dire que l’idée de cette inftrument n’eft pas extrêmement neuve ; il y a déjà long-temps que le fameux Hévélius , qui apparemment craignoit les coups de fufil, (cela eft au refte permis à un aftronome, ) avoit propofé fon polémofcope, ou lunette à voir à couvert & fans danger des opérations de guerre, & fur-tout de fiege. C’étoit un tube à double coude, dans chacun defquels fe trouvoit un miroir plan, incliné de 45°. On dreffoit fur le parapet du côté de l’ennemi la première partie du tube 5 l’image réfléchie par le premier miroir incliné, enfiloit le tube perpendiculaire, & rencontrant le fécond miroir, en étoit réfléchie horizontalement du côté de l’oculaire, près duquel l’œil étoit placé convenablement : on voyoit par-là, à l’abri d’un bon parapet, ce que faifoit l’ennemi au dehors de la place. Le plus grand danger étoit d’avoir fon ob-jeftif càffé par une balle ; ce qui étoit affurément un danger bien léger & bien éloigné.
    • W O” peut en trouver à Paris, chez Sayde , opticien
    • du Roi, vis-à-yîs la ftatue de Henri IV, fur le Pont-Neuf,
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    • Optique. i47
    • Des Microfcopes.
    • Ce que la lunette d’approche a été pour la phy-fique eélefte, le microfcope l’eft pour la phyfique fublunaire ; car c’eft par le fecours de ce dernier infiniment qu’on eft venu à bout de découvrir un ordre d’êtres qui échappent à nos lèns, 8c de pénétrer dans Ta contexture de divers corps ; enfin, de reconnoître des phénomènes qui fe paffent uniquement entre les'parties les plus infenfibles de la matière. Rien de fî curieux que les faits dont le microfcope a mis à portée de s’afîiirer. Mais qu’il refte encore à faire à cet égard !
    • Il y a deux fortes de microfcope , le fimple 8c le compofé ; nous allons en parler fucceflive-ment, en commençant par le premier.
    • PROBLÈME XL VI.
    • Conflruclion du Microfcope fimple.
    • I. Toute lentille convexe de verre, d’un foyer très-court, efl: un microfcope ; car l’on démontre qu’une lentille de verre groflit l’objet dans le rapport de la diftance .de fon foyer, à la moindre dé celles où l’objet doit être placé pour être vu dif-tin&ement ; ce qui, pour la plupart des hommes non-myopes, efl à environ 8 pouces. Ainfi une-lentille dont le foyer efl de 6 lignes, groflira 16 fois l’une des dimenfions de l’objet ; fi elle n’avoit qu’une ligne de foyer, elle la groffiroit 96 fois.
    • II. Il efl difficile de fabriquer une lentille de verre d’un fi court foyer, car il faudroit que le rayon de chacune de fes convexités fût feulement d’une ligne; ce qui feroit difficile dans l’exécution : c’eft pourquoi on leur fubftitue de petits globules de verre, fondus à la lampe d’é-
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    • a48 Récréations Mathématiques. mailleur ou à la lumière d’une bougie. Voici comment on s’y prend.
    • On égrife du verre bien net & bien tranfparent, foit avec un égrifoir, foit avec les dents d’une clef ; on prend enfuite, avec la pointe d’une aiguille un peu hume&ée de falive, un de ces fragments qui s’y attache , & on le préfente à la ôamme bleue d’une bougie, qu’on tient un peu inclinée , afin que ce morceau de verre ne tombe pas dans la cire. A peine y eft-il préfenté qu’il fe fond , s’arrondit en globule, & tombe : ainfi il faut avoir au deflous un papier avec un rebord, afin que le globule foit retenu.
    • Il faut remarquer qu’il y a des efpeces de verre qui fe fondent difficilement : dans ce cas, il faut en choifir une autre. Les morceaux de tuyau de baromètre qui viennent de Normandie , les frag-jnents d’aigrettes, font d’une fufîbilité facile.
    • Parmi les globules ci-deffiis, choififfez les plus nets &: les plus ronds ; prenez enfuite une lame de cuivre, de5 à6 pouces de longueur & de 6 lignes de largeur, que vous replierez en deux ; vous les percerez d’un trou un peu moindre que le diamètre du globule, & vous en ébarberez les bords ; enfin engagez un des globules dans ce trou entre les deux lames, & liez le tout folidement : vous aurez un microfcope {impie.
    • Comme il eft aile, d’avoir des globules de A, ~9 } de ligne de diamètre, & que le foyer d’un globule de verre eft à un quart de fon diamètre en dehors, on a, par ce procédé, un moyen de groffir énormément les objets : car fi le globule n’a que ligne de diamètre, fi l’on fait ce rapport; comme les { d’une demi-ligne ou les { font à 96 lignes, ainfi 1 eft à 153 ; ce nombre 153 exprimera i’augmen-
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    • Optique. i49
    • tation du diamètre de l’objet ; ce qui fera en fur-face 23409 fois, &en folidité 3581677 fois.
    • Le célébré Lewenhoeck, fameux par fes obfer-vations microfcopiques, n’a jamais employé d’autres microfcopes. Il eft néanmoins certain qu’ils font fujets à beaucoup d’incommodités, & l’on ne peut guere s’en fervir que pour des objets tranfpa-rents, ou au mojns demi-tranfparents ; car on fent aifément qu’il n’eft pas poflible d’éclairer lafurface qu’on confidere autrement que par derrière. Quoi qu’il en foit, Lewenhoeck s’en eft fervi pour faire une foule d’obfervations curieufes, qu’on verra dans le détail des observations microfcopiques.
    • , III. Voici un autre microfcope bien plus {impie ; c’eft le microfcope d’eau de M. Gray.
    • On prend une lame de plomb, de j de ligne d’épaifteur au plus ; on y fait un trou rond avec une aiguille ou une grofle épingle, & on l’ébarbe ; on met enfuite dans ce trou, avec la pointe d’une plume, une petite goutte d’eau : fes deux furfaces antérieure & poftérieure s’y arrondiffent en convexités fphériques, & voilà un microfcope fait.
    • Le foyer d’un pareil globule eft un peu plus éloigné que celui d’un globule égal de verre ; car le foyer d’un globule d’eau eft à la diftance du rayon en dehors. Ainfi un globule d’eau de j ligne de diamètre , ne groflira que 128 fois ; mais cela eft bien compenfé par la facilité de s’en procurer d’un diamètre auffi petit que l’on veut.
    • Si l’on fe fert d’une eau dans laquelle on ait fait infufer à l’air des feuilles , du bois, du poivre, de la farine , ce microfcope fera à-la-fois l’objet & l’inftrument ; car on verra, par ce moyen, les petits animaux microfcopiques que cette liqueur contiendra. M, Gray fut fort étonné la première
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    • ajo Récréations Mathématiques.
    • fois qu’il vit pareille chofe. Il fit enfuite réflexion que la furface poftérieure de la goutte faifoit à l’égard de ceux de ces animaux qui fe trouvoient entr’elle Sc fon foyer, l’effet d’un miroir concave qui groflâffoit d’abord leur image, laquelle étoit encore groffie par l’efpece de lentille convexe de la furface antérieure. Telle eft la caufe de ce phénomène.
    • IV. On peut encore avoir à moindre frais un microfcope: il faut percer, pour cet effet, dans une carte ou une lame de métal très-mince, un trou d’un quart ou d’un cinquième de ligne de diamètre : vous pourrez voir par ce moyen des objets extrêmement petits, & ils vous paroîtront groflis en raifon de leur diftance à l’œil, à celle où l’on apperçoit diftin&ement l’objet avec l’œil nu.
    • On a fort vanté dans un journal de Trévoux cette efpece de microfcope ; mais, je l’avoue, je n’ai guere pu voir diftin&ement, par de pareils trous, de petits objets qu’à un pouce ou un demi-pouce de diftance; aufli ne me paroiffent-ils pas extrêmement groflis.
    • PROBLÈME XLVII.
    • Des Microfcopes compofés.
    • Le microfcope compofé eft formé d’un objectif , qui eft une lentille d’un très - court foyer, comme de 6 ou 4 lignes. A la diftance de quelques pouces , comme de 6 à 8 , eft un oculaire d’une couple de pouces de foyer. L’objet doit être placé un peu au-delà du foyer de l’obje&if, & l’œil éloigné de l’oculaire à peu près à la diftance de fon foyer. Ayant une combinaifon de verres femblable, fi vous approchez doucement l’objet
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    • Optique. xji
    • de l’objeélif, il y aura un point où vous le verrez confidérablement grofli.
    • Le mécanifme de cet effet eft aifé à concevoir. L’objet placé un peu au-delà du foyer de l’objet, peint, comme on l’a vu plus haut, a plufieurs pouces de diftance derrière le verre, une image qui eft à l’objet, comme la diftance de cette image au verre eft à celle de l’objet à ce même verre. Cette image étant placée au foyer de l’oculaire, qui n’eft que de quelques pouces, eft: apperçue dif-tinâement, & encore augmentée par cet oculaire : ainfi elle doit paroître confidérablement groflie.
    • Que l’obje&if foit, par exemple, de 4 lignes de foyer, & que l’objet en foit à 4 -j lignes ; l’image fe formera , par le problème , à 64 lignes de diftance, ou 5 pouces 4 lignes : ainfi elle fera 15 fois aufli grande que l’objet ; car 64 eft à peu près à 4^, comme 15 eft à 1. Que l’oculaire au foyer duquel fe peint cette image ait 2 pouces de foyer, il groflira environ quatre fois : multipliez 15 par 4 , vous aurez 60 : ce fera le nombre de fois que l’objet paroîtra grofli en diamètre.
    • Si vous voulez qu’il paroifle moins grofli, éloignez graduellement l’objet de l’obje&if, & rapprochez l’oculaire ; vous verrez l’objet moins gros, mais plus diftinét.
    • Au contraire, li vous voulez le groflir davantage , avancez infenfiblement l’objet vers l’obje&if, ou l’obje&if de l’objet , & éloignez l’oculaire ; vous verrez l’objet d’autant plus gros. Mais il y a des limites au-delà defquelles on ne voit plus que confufion.
    • Au lieu d’un feul oculaire, on fe fert quelquefois , pour augmenter le champ de la vifion, d’un double oculaire, dont le premier verre eft de 4 à 5 pouces
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    • 151 Récréations Mathématiques. de foyer, & le fécond beaucoup moindre ; mais c’eft toujours la même chofe. L’image du petit objet doit être placée à l’égard de cet oculaire compofé, au même point où devroit être un objee I pour être apperçu diftin&ement au travers.
    • On pourrait Ce fervir d’un oculaire concave, en faifant enforte que fon foyer poftérieur coïncidât avec l’image ; ce ferait une efpece de microfcope analogue à la lunette batavique, & qui aurait le même inconvénient , fqavoir, celui de n’avoir qu’un champ très-étroit.
    • Il y a auffi des microfcopes comme des télescopes de réflexion : le principe en eft le même. Un très-petit objet, placé fort près du foyer d’un miroir concave, & en-deqà à l’égard du centre, peint une image au - delà du centre, laquelle eft I d’autant plus grande qu’il eft plus près du foyer. | Cette image eft confidérée avec une lentille con- ! vexe , & l’on peut fe fervir ici d’un oculaire de foyer beaucoup plus court; ce qui contribue d’autant plus à l’amplification de l’objet.
    • On peut voir toute cette matière des microfcopes, traitée à fond dans le Microfcope mis à la portée de tout le monde, ouvrage très-curieux , §C traduit de l’anglois de Baker: il fè trouve chez Jombert. On peut auffi confulter la IVe Partie de l'Optique de Smith , nouvellement traduite de l’anglois. On verra dans ces ouvrages, & fur-tout dans le premier, une infinité de détails curieux fur la maniéré d’employer ces microfcopes ,
    • & fur les obfervations faites par leur moyen. Voyeç auffi les EJfais de Phyjique de Muflenbroeck.
    • Notre deflein eft de faire connoître les obfervations les plus curieufes qu’on a faites à l’aide du microfcope : mais, pour ne pas interrompre notre
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    • Optique. ay*
    • fujet, nous les renverrons à la fin de cette partie de notre ouvrage. •,
    • PROBLÈME XLVIII.
    • Maniéré fort fimple de juger de la grandeur réelle des objets vus dans le microfcope.
    • ÏLeft fouvent utile, & c’eft du moins toujours un objet de curiofité , de connoître la grandeur réelle de certains objets qu’on examine au moyen du microfcope: voici un moyen fort fimple & très*ingénieux, de l’invention du dofteur Jurin , ancien fecrétaire de la Société royale de Londres , & phyficien célébré.
    • Prenez du fil d’argent trait, auffi délié qu’il eft poffible, & enroulez-le, aulfi ferré que vous le pourrez, fur un petit cylindre de fer ayant quelques pouces de longueur. Il faudra examiner avec le microfcope s’il n’y a point de vuide : vous connoîtrez par-là avec beaucoup de précifion le diamètre de ce fil d’argent. Car, fuppofons qu’il y en eût 520 tours dans l’efpace d’un pouce,, il eft évident que le diamètre de ce fil feroit la 520e partie d’un pouce , mefure qu’aucune autre maniéré ne fçauroit donner.
    • Coupez enfuite en très-petits morceaux ce fil d’argent, & difperfez-en une certaine quantité fur la platine objective, celle fur laquelle on place les objets à examiner : vous verrez ces fils dans le microfcope, & vous jugerez aifément du rapport de groffeur des objets que vous confidérerez, avec le rapport de ces fils ; d’où vous conclurez la di-«nenfion de ces objets.
    • C’eft par un procédé femblable que M. Jurin a déterminé la grolfeur des globules qui donnent
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    • 154 Récréations Mathématiques. au fang fa couleur rouge. Il trouva d’abord que le diamètre de Ton fil d’argent étoit la 485 e partie d’un pouce ; & il jugea enfuite, par comparaifon , que le diamètre d’un globule rouge clu fang étoit le quart de celui du fil ci-deffus ; d’où il conclut! que le diamètre de ce globule étoit la 1440® partie d’un pouce.
    • PROBLÈME X L I X.
    • Conjlruire un tableau magique , ou tel qu'étant vu dans un certain point & à travers un verre, il préfentera un objet tout différent de celui qu'on verra à F œil nu.
    • Comme ce problème optique fe réfoud au moyen d’un verre à facettes, nous allons d’abord donner une idée de ces fortes de verres.
    • Les verres à facettes font des verres lenticulaires , ordinairement plans d’un côté, & de l’autre taillés à plufieurs faces en forme de polyèdres. Tel eft celui repréfenté par les fig. 4/ & 42, de côté & de face , il eft compofë d’une facette plane & ennéagonale au centre, & de fix trapèzes rangés à la circonférence.
    • pj# j 2 Ces verres ont la propriété de repréfenter au-fig. 41,42. tant de fois le même objet qu’il y a de facettes ;
    • car, fuppofant cet objet O, il envoie des rayons fur toutes les faces du verre, AD, DC, CB. Ceux qui traverfent la facette DC , pallient comme à travers une glafle plane interpofée entre l’œil & l’objet ; mais les rayons tombants de O fur la facette AD inclinée, éprouvent une double réfraction qui les fait converger vers l’axe OE, à peu près comme ils feroient s’ils tomboient fur la fur-face iphérique dans laquelle le verre polyèdre fe-
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    • Optique. 155
    • roit infcrit. L’œil étant placé au point commun de concours , il apperçoit le point O en w dans la prolongation du rayon EF ; conféquemment on verra encore une image du point O différente de la première. La même chofe ayant lieu à l’égard de chaque facette, on verra l’objet autant de fois qu’il y en a dans le verre, & en des lieux différents.
    • Maintenant, fi on fuppofe un point lumineux dans l’axe du verre, &à une diftance convenable, tous les rayons qui tomberont fur une facette, iront peindre , après une double réfra&ion, fur un carton blanc perpendiculaire à l’axe pfolongé , une image de cette facette plus ou moins grande, & qui à une certaine diftance fera renverfée. Conféquemment, fi, au lieu du point lumineux, nous fuppofons l’œil, & que cette image foit elle-même lumineufe ou colorée , les rayons partants de cette image ou partie du carton, aboutiront à l’œil ; & ils feront les feuls qui y parviendront, après avoir éprouvé une réfraéiion fur cette même facette : & faifant un pareil raifonnement pour toutes les autres, il eft aifé de voir que l’œil étant placé à un point fixe, il verra par chaque facette pne certaine portion feulement du carton, & que toutes enfemble rempliront le champ dè la vifion, quoique détachées fur le carton ; enforte que fi fur chacune eft peinte une certaine partie d’un tableau régulier & continu, toutes enfemble repré-fenteront ce tableau même. L’artifice du tableau magique propofé, confifte donc, après avoir fixé le lieu de l’œil, celui du verre & le champ du tableau, à déterminer les portions de ce tableau qui feules feront vues au travers du verre ; à peindre fur chacune la portion déterminée & convena-i ble d’un tableau donné, d’un portrait, par exem-
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    • 256 Récréations Mathématiques. pie, enforte que, réunies enfemble, il en réfuîte ce portrait même; à remplir enfin le refte du champ du tableau de ce qu’on voudra, en raccordant le tout enfemble de maniéré qu’il en réfulte un tableau régulier.
    • Tel eft le principe de ce jeu optique. Entrons à préfent dans les détails de la pratique.
    • PI. 12, La fig. 43 repréfente une table ABCD, à l’ex-fig. 43* trémité de laquelle eft adaptée perpendiculairement & fixément une planche garnie de deux rainures , qui fervent à y glifler une planchette, garnie à fa furface antérieure d’une feuille de papier blanc, ou d’une toile à peindre. C’eft-là le champ du tableau à exécuter. EDH eft un fupport vertical, qui doit être fufceptible d’être approché ou éloigné de ce tableau , & qui doit porter un tuyau garni à fon extrémité antérieure d’un verre à facettes, & à l’autre d’un carton percé, à fon centre d’un trou d’aiguille feulement. Ce trou eft la place de l’œil. Nous fuppoferons ici le verre plan d’un côté, & compofé de lix facettes rhom-boïdales appuyées au centre, & de fix autres triangulaires qui occupent le reftant de l’exagone.
    • Ayant tout ainfi préparé , on fixera le pied EDH à un certain éloignement du champ du tableau, félon qu’on voudra que les parties de la figure à defliner foient plus voifines ou plus écartées les unes des autres. Mais il eft à propos que cette diftance foit au moins quadruple du diamètre de la fphere à laquelle le polyèdre du verre feroit circonfcrit, & la diftance de l’œil à ce verre peut commodément être égal à deux fois ce diamètre. On placera donc l’œil au trou K ainfi déterminé ; puis, & avec un bâton garni d’un crayon, ( fi la main ne peut y atteindre,) on tracera avec toute la légéreté
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    • légèreté poffible , le contour de l’efpace qu’on ap-percevra à travers une .facette, -puis à travers fa voifine , & ainfi fucceffivement. Cette opération exige beaucoup de précifion & de patience, car il faut, pour la perfe&ion de l’ouvrage , que les deux efpaces apperçus par deux facettes contiguës, ne paroiflent laiffer entr’elles aucun intervalle perceptible : à tout prendre , il vaudroit mieux qu’ils empiétaflent tant foit peu l’un fur l’autre.
    • On aura foin aufli de numéroter chacun de ces efpaces, du même numéro qu’on aura affigné à la facette, afin de fe reconnoître. Cela feroitau fur-plus aifé , en faifant attention que l’efpace répondant à chaque facette eft toujours tranfporté parallèlement à lui-même de haut en bas, ou de droite à gauche, de l’autre côté du centre.
    • Il s’agit préfentement de tracer le tableau régulier qu’on veut appercevoir , Sc de le tranfporter fur les efpaces du tableau déformé. A toute rigueur , il faudroit pour cela faire une proje&ion du verre à facette, en fuppofant l’œil à la diftance où on le place réellement; mais, comme on l’en fuppofe un peu loin, on pourra, fans erreur fenfi-ble, prendre pour le champ du tableau régulier , la proje&ion verticale, ainfi qu’on la voit dans la fig, 44, ti° i, qui le repréfente tel qu’on le verroit PI. 12, fi on avoit l’œil perpendiculairement au deflùs de fig- 44, fon centre & à une diftance très-confidérable. 1 & 2 Vous décrirez donc dans ce champ, qui fera ici exagone , & compofé .de 6 rhomboïdes & de 6 triangles, une figure quelconque, par exemple un portrait ; après quoi, en considérant que l’efpace a b c d eft le lieu où doit paroître la portion 1 du tableau, vous l’y tranfporterez avec le plus de foin que vous pourrez ; vous en ferez autant des Tome IL R
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    • a 58 Récréations Mathématiques. autres, & vous aurez la principale partie de votre tableau faite. Mais, comme il eft queftion de montrer autre chofe que ce qu’on doit voir , on la déguifera au moyen de quelqu’autre peinture qu’on exécutera dans le furplus du tableau, en fe raccordant avec ce qui eft déjà fait de maniéré que cela ferve au fujet principal. Cela dépend du génie & du goût de l’artifte.
    • On trouve dans la Perfpeciive curieufe du pere Niceron, une explication beaucoup plus détaillée de tout ce procédé. Ceux à qui ceci ne fuffira pas, font invités à y recourir. Ce môme pere Niceron nous dit avoir exécuté à Paris, & mis dans la bibliothèque des peres Minimes de la Place Royale, fes confrères, un tableau de ce genre, qui, vu à l’oeil nu, préfentoit une quinzaine de portraits de fultans Turcs; mais, régardé à travers le verre, c’étoit le portrait de Louis XIII.
    • On a vu en 1759, au fallon ou à l’éxpofition des ouvrages de l’Académie Royale de Peinture , un tableau de M. AmédéeVanloo, quiétoit beaucoup plus ingénieux. A l’oeil fimple, c’étoit un tableau allégorique , repréfentant les différentes Vertus avec leurs attributs, grotippées ingénieufe-ment ; mais, lorfqu’on regardoit à travers le verre , on y trouvoit le portrait de Louis XV.
    • Remarques.
    • 1. Il eft néceffaire d’obferver que la place du verre , étant une fois fixée, doit être invariable ; car, comme les verres ne fçauroient être d’une régularité parfaite , fi on les déplace, il eft prefque impoffible de jamais les remettre au point convenable ; c’eft pourquoi il eft auffi néceffaire
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    • de s’affurer que le verre eft d’une bonne qualité j car s’il eft trop alkalin, & qu’il vienne à perdre fon poli par le contaél de l’air, on ne pourra plus lui en fubftituer un qui produife le même effet. C’eft un accident que j’ai ouï dire être arrivé au Verre du tableau de M. Amédée Vanloo.
    • 2. Au lieu d’un verre comme celui qui a fervî à l’exemple ci-deffus , ou un plus compofé, on pourroit fe fervir d’un fimple verre pyramidal ; ce qui fimplifieroit beaucoup le problème.
    • 3. On pourroit auffi fe fervir d*un verre qui fût une portion de prifme taillée à un grand nombre de pans parallèles à l’axe .* alors la peinture à voir au travers du verre, devroit être deflinée dans des bandes parallèles.
    • 4. On pourroit former un verre de plufïeurs furfaces coniques concentriques, ou de plulieurs furfaces fphériques de différents diamètres, fem-blablement concentriques ; & alors la peinture à Voir au travers du verre, devroit être diftribuée en différents anneaux concentriques.
    • 5. On peut former un tableau magique par réflexion. Il faudra pour cela avoir un miroir de métal à facettes, bien poli, & à arêtes bien vives. On placera devant ce miroir, & perpendiculairement à fon axe, un carton ou une toile , & , par les mêmes principes que ci-deffus, on y décrira un tableau qui, vu à l’œil nu & en face, repré-fentera un certain fujet ; mais fi , par un trou ménagé dans le tableau , on le regarde dans le mi-
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    • aéo Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME L.
    • Conjlruclion d’une lanterne artificielle, avec laquelle on puijfe lire la huit de fort loin.
    • Faites une lanterne qui ait la forme d’un cylindre ou d’un petit tonneau, fitué félon fa longueur , ou enforte que fon axe foit horizontal ; mettez à un de fes fonds un miroir parabolique, ou Amplement un miroir fphérique. dont le foyer foit vers le milieu de la longueur du cylindre ; à ce foyer foit placée la flamme d’une bougie ou d’une lampe : cette lumière fe réfléchira fort loin en partant par l’autre fond , & fera li éclatante, que de nuit on pourra lire très-loin des lettres très petites, en les regardant avec une lunette. Ceux enfin qui verront de loin cette lumière, en fe trouvant dans l’axe prolongé de la lanterne, croiront voir un grand feu.
    • PROBLÈME LI.
    • Conjlruclion de la Lanterne magique.
    • On donne, comme tout le monde fçait, le nom de lanterne magique, à un inrtrument optique , au moyen duquel on repréfente fur un mur ou un drap blanc des objets extrêmement groflis. Cet inftru-ment, dont l’inventeur eft, je crois, le P. Kircher, Jéfuite , a fait une telle fortune, qu’il eft devenu la reflource d’une foule de gens qui gagnent leur vie à montrer ce petit fpeâacle au peuple. Mais, quoique tombé en des mains viles , il n’eft pas moins ingénieux, èc mérite de trouver place ici. En voici donc la conftruélion, avec quelques ob-
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    • Optique. i 6t
    • fervatïons propres à le perfectionner & à le rendre plus intéreflant.
    • Pour fe former une lanterne magique, il faut PI. faire faire avec du fer-blanc, du cuivre ou dü%4£* bois, une boîte quarrée, d’environ un pied en tout fens ; on en percera vers le milieu le fond de devant, d’un trou d’environ 3 pouces de diamètre , auquel on foudera ou viflera un tuyau. L’ouverture de ce tuyau du côté de la boîte, doit être garnie d’un verre lenticulaire bien tra'nfparent, égayant fon foyer vers les deux tiers ou les trois quarts de la profondeur de la boîte, où l’on placera une lampe garnie d’une forte meche, pour qu’elle donne une vive lumière. U faudra, pour plus de perfection de la machine , que cette lampe foit fufceptible d’être approchée ou éloignée, enforte qu’on puifle la placer bien exactement au foyer du verre. On pourra auffi , pour éviter l’aberration ~ de fphéricité, former la lentille dont nous venons de parler , de deux lentilles d’un foyer double chacune. Cela me paroît propre à contribuer beaucoup à la diftinCtion de la peinture.
    • Le tuyau foudé ou vide à la caiffe , doit être interrompu, à peu de diftance du trou, par une boîte quarrée , percée latéralement de deux rainures propres à faire gliffer une petite planchette d’environ 4 pouces de largeur , fur la longueur Fig. qu’on voudra» Cette planchette fervira de cadre à un verre fur lequel feront peints , avec des couleurs tranfparentes , tels objets que l’on jugera à propos. Gn choifit ordinairement des fujets gro-tefques & bizarres.
    • Gn fera entrer dans la partie antérieure dé ce tuyau , un autre tuyau garni d’un verre îen** ticulaire de 3 pouces environ de foyer , que
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    • jfo Récréations Mathématiques. l’on pourra, par ce moyen, approcher ou éloigne? à volonté.
    • Telle eft la conftruâion de la machine : en voici l’effet. La lampe étant allumée, & la lanterne étant placée fur une table , à l’oppofite d’un mur blanchi, on fermera, fi c’eft le jour, toutes les fenêtres de la chambre ; on introduira par les rainures ci-deffus un des petits tableaux dont nous avons parlé, dans une fituation renverfée ; enfuite on approchera ou l’on éloignera le verre mobile : on verra, lorfqu’il fera au point convenable , les figures de ce tableau dépeintes fur la muraille , êc énormément groflies.
    • Si l’on garnit l’autre extrémité du tuyau mobile d’une lentille d’un foyer beaucoup plus éloigné , le champ de la lumière fera augmenté, & les figures groflies à proportion. Il eft à piopos de placer à ce tuyau mobile, & à la diftance à peu près du foyer de la première lentille , un diaphragme ; il fervira à écarter les rayons des objets latéraux, ce qui contribuera beaucoup à la dif-ftinftion de la peinture.
    • Nous avons dit qu’il faut que les petites figures à repréfenter foient peintes avec des couleurs tranfparentes. Ces couleurs font, pour le rouge, une forte infufîon de bois de Bréfil ou de cochenille , ou le carmin, fuivant la teinte qu’on voudra ; pour le vert, une diffolution de vert-de-gris, ou, pour les verts foncés, de vitriol martial ; pour le jaune, Pinfufion de baies de nerprun ; pour le bleu, la diffolution de vitriol de Chypre. Ces trois ou quatre couleurs fuffifent , comme tout le monde fçait, pour former toutes les autres. On leur donnera de la confiftance & de la te-pue, au moyen d’une eau gommée bien tranfpa-
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    • Optique. 263
    • rente St tien blanche, St l’on s’en fervira pour peindre fur le verre.
    • Il faut convenir que dans la plupart des machines de ce genre, ces peintures font fi groffiérement faites , qu’on ne peut les voir fans quelque dégoût. Mais lorfqu’elles font exécutées avec propreté êc avec entente dans le deffin , on ne peut fe refufer à goûter quelque plaifir à cette petite repréfenta-tion optique.
    • PROBLÈME LII.
    • Conjlruciion du Microfcope folaire.
    • L e microfcope folaire, dont l’invention eft due à M. Liéberkün,.n’eft proprement qu’une efpece de lanterne magique dans laquelle le foleil fait la fon&ion de la lampe, St les petits objets expofés fur un verre ou à la pointe d’une aiguille, celle des figures peintes fur le verre mobile de la lanterne magique. Mais en voici une defcription plus détaillée.
    • Faites au volet d’une fenêtre un trou rond , ÔC d’environ 3 pouces de diamètre. Ce trou doit être garni d’un verre lenticulaire d’environ 12 pouces de foyer. A ce même trou doit être adapté intérieurement un tuyau garni, à peu de diftance du premier verre, cî’une couliffe ou rainure dans laquelle on puifle faire couler une ou deux lames de verre fort déliées, fervant à porter, au moyen d’un peu d’eau gommée bien tranfparente, les objets qu’on veut regarder. Faites entrer dans ce tuyau, un autre tuyau garni à fon extrémité antérieure d’une lentille d’un court foyer, comme d’un demi pouce. Enfin adaptez extérieurement au devant du trou , un miroir au moyen duquel vous
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    • 164 Récréations Mathématiques.
    • puifliez jeter la lumière du fbleil dans le tube ci-deflus : vous aurez votre microfcope folaire conftruit. Vous vous en fervirez de la maniéré iuivante.
    • La chambre étant bien obfcurcie, 8c le foleil étant réfléchi dans l’axe des verres au moyen du miroir ci-deffus, mettez quelque' petit objet entre les deux lames de verre mobiles, ou attachez-le à l’une d’elles , avec de l’eau légèrement gommée & bien tranfparente placez cet objet dans l’axe du tuyau, 8c avancez ou reculez le tuyau mobile, enforte que l’objet Toit un peu au-delà du foyer : vous le verrez peint diftinélement fur un carton ou linge blanc placé à la diftance convenable , 8c îl y paroîtra exceflivement grofli. Le plus petit infefte , une puce par exemple , y paroîtra , fi l’on veut, grofle comme un mouton , un cheveu comme un gros bâton ; les anguilles du vinaigre ou de la colle de farine , y auront l’apparence de petits ferpents.
    • Comme le foleil n’eft pas immobile, il réfulte de-là un inconvénient, fçavoir, que le foleil pafle avec rapidité, 8c qu’il faut continuellement rajuf-ter le miroir extérieur. Mais M. s’Gravefande y a remédié par une machine fort ingénieufe, 8c au moyen de laquelle le miroir a un mouvement qui ramene toujours les rayons folaires dans le tube. Cela a fait donner à cette machiné le nom de
    • MA-
    • On peut voir des détails curieux fur le microfcope folaire, dans la tradu&ion françoife en 2 vol. in-40 de VOptique de Smith : on y explique plufleurs inventions utiles pour le perfe&ionner,
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    • Optique. *6$
    • qui font dues à M. Euler. On y voit suffi comment on peut le rendre propre à repréfenter des objets opaques. Cette derniere invention eft due à M. Æpinus. Elle confifte à réfléchir, par le moyen d’une grande lentille & d’un miroir, la lumière du foleil condenfée fur la furface de l’objet qui eft préfenté à la lentille objeéHve du microfcope. Un opticien Suiffe, M. Mumenthaler , a propofé pour cela un autre expédient.
    • Il y a cependant encore un inconvénient dans les microfcopes folaires : il confifte en ce que les objets étant fort voifins du foyer de la première lentille, y éprouvent une chaleur qui les brûle oa les dénature bientôt. Le doéteur Hill, qui a beaucoup fait ufage de ce microfcope , a propofé, par cette raifon, de fe fervir de plufieurs lampes, dont la lumière réunie en un foyer eft très-éclatante, & n’a pas l’inconvénient ci - deflus. J’ignore s’il a réduit cette idée en pratique, 8c avec quel fuccès.
    • PROBLÈME LIII.
    • Des Couleurs, 6* de la différente réfrangibilité de la Lumière.
    • Une des plus belles découvertes du fiecle dernier, eft celle que fit en 1666 le célébré Newton fur la compofition de la lumière 8c la caufe des couleurs. Qui eût cru que le blanc , qui paroît une couleur fi pure, ne fût autre chofe que le ré-fultat de fept couleurs primitives, inaltérables, 8c mêlées enfemble dans un certain rapport? C’eft néanmoins ce qui réfulte de fes expériences.
    • L’inftrument qui lui fervit à décompofer ainfi la lumière, eft le prifme, inftrument bien connu, mais jufqu’alors Amplement objet d’une curiofité ftérile ,à caufe des couleurs dont il borde les objets
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    • i66 Récréations Mathématiques,
    • qu’on regarde à travers. Nous nous bornons à deux des expériences de Newton, fk à en tirer les conféquences qui en font la fuite.
    • PI. 13, Laiffez entrer dans une chambre obfcurcie avec fig. 47. foin, un rayon de lumière folaire, d’un pouce ou un demi-pouce de diamètre ; recevez-le fur un prifine placé horizontalement, au-delà duquel doit être un carton blanc; tournez le prifme de maniéré que l’image femble s’arrêter : vous verrez fur ce carton, au lieu d’une image du foleil à peu près ronde, une longue bande perpendiculaire , dans laquelle vous compterez fept couleurs , dans cet ordre invariable ; rouge , orangé, jaune, vert, bleu, indigo, violet. Le rouge fera en bas quand l’angle du prifme y fera , & au contraire ; mais l’ordre fera toujours le même.
    • De-là , & de diverfes autres expériences analogues , Newton conclud,
    • i° Que la lumière du foleil contient ces fept couleurs primitives ;
    • 20 Que ces couleurs font formées par des rayons qui éprouvent des réfraélions différentes , & qu’en particulier le rouge eft celle qui eft le moins rompue ; vient enfuite l’orangé ; &c. enfin que le violet eft celui de tous qui fouffre, fous la même inclinaifon , la plus grande réfra&ion. Pour peu qu’on foit géomètre, on ne peut fe refufer à ces conféquences.
    • Mais l’expérience délicate eft celle par laquelle Newton prouve que ces rayons différemment colorés font enfuite inaltérables. Voici comment il faut s’y prendre pour ne pas s’expofer, comme plus d’un phyficien, à contredire ce grand homme par une expérience imparfaite.
    • Il faut d’abord que le trou de la chambre obf-
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    • Optique. 267
    • cure foit réduit à une ligne tout au plus de diamètre & qu’elle foit obfcurcie avec le plus grand foin. Cela fait, recevez le rayon folaire à 12 ou 15 pieds de diftance du trou, fur une grande lentille de verre de7 à 8 pieds de foyer. Tout près de ce verre & au-delà, foit pofé le prifme qui recevra ce filet de lumière. Enfin foit placé un carton blanc , à telle, diftance que l’image folaire s’y peindroit diftin&ement fans l’interpofition du prifme : vous verrez, au lieu d’une image ronde, fe peindre fur le carton une bande très-étroite, & colorée , comme on l’a vu plus haut, des fept couleurs primitives.
    • Percez enfin ce carton d’un trou d’une ligne environ de largeur, par lequel vous ferez palier telle couleur que vous voudrez , en ayant l’attention de la prendre vers le milieu de l’efpace qu’elle occupe , & vous la recevrez fur un fécond carton placé derrière le premier. Préfentez-lui un prifme ; vous verrez qu’elle ne donnera plus d’image alon-gée, mais une image ronde & de la même couleur. De plus, fi vous plongez dans cette lumière colorée un objet quelconque, vous le verrez teint de fa couleur ; & fi vous regardez cet objet avec Un troifieme prifme, vous ne lui appercevrez point d’autre couleur que celle dans laquelle il èft plongé, & cela fans aucun alongement, comme îorfqu’il eft plongé dans une lumière fufceptible de décompofition.
    • Cette expérience , qui eft aujourd’hui un jeu pour les phyficiens un peu exercés, prouve le troifieme des faits principaux avancés par Newton, fqavoir ;
    • 30 Que lorfqu’une couleur eft épurée du mélange des autres, elle eft inaltérable ; qu’un rayon
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    • i6S Récréations Mathématiques.
    • rouge, quelque réfra&ion qu’on lui fafle foufFrir, reliera toujours rouge ; & ainfi des autres.
    • C’eft une chofe allez peu honorable pour les phyliciens François du fiecle dernier , d’avoir contefté, & même déclaré fauffe, cette affertion du philofophe Anglois, & cela d’après une expérience auffi mal faite & aufli incomplette que celle de M. Mariotte. On ne peut même s’empêcher d’accufer ce phyficien, d’ailleurs digne des plus grands éloges, de beaucoup de précipitation ; car fon expérience n’étoit point celle que Newton avoit détaillée dans les Tranfaclions Philofophi-ques, année 1666 ; il eft aifé de voir que, faite à la maniéré de M. Mariotte, elle ne pouvoir réuffir.
    • Quoi qu’il en foit, il eft confiant aujourd’hui, nonobftant les réclamations du pere Caftel & du fieur Gautier (a), qu’il y a dans la nature fept couleurs primitives, homogènes, inégalement réfran-gibles, inaltérables, & qui font la caufe des couleurs des corps ; que le blanc les contient toutes , & que toutes enfemble compofent le blanc ; que ce qui fait qu’un corps eft d’une couleur plutôt que d’une autre, c’eft la configuration des parties infenfibles de ce corps, qui fait qu’il réfléchit en
    • (a) Le fieur Gautier, foi-difant inventeur de la maniéré de graver en couleurs, a combattu en 1750, avec acharnement, la théorie de Newton,foit fur les couleurs, foit fur le fyftêttie de l’univers. Ses rayonnements & fes expériences font aufli concluantes, que le feroient contre la pefanteur de Fair des expériences faites avec un récipient fêlé. Aufli n’a-t-il jamais eu de partifans qu’un ou deux, de fes compatriotes, dont l’un étoit un poete qui avoit trouvé que les objets ne fe peignoient pas renverfés dans
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    • Optique. 169
    • plus grande quantité des rayons de la première que de toute autre ; enfin, que le noir eft la privation de toute réflexion : .cela s’entend du noir parfait ; car le noir matériel & ordinaire n’eft qu’un bleu extraordinairement foncé.
    • Il y a des gens, tels que le pere Caftel, qui fe font retranchés à n’admettre que trois couleurs primitives, le rouge, le jaune & le bleu. Ils fe fondent fur ce que le rouge & le jaune forment l’orangé, le jaune & le bleu font le vert, & que du bleu & du rouge naît le violet ou l’indigo, fuivant que l’un ou l’autre des premiers domine. Cette nouvelle prétention eft une nouvelle.erreur. Il eft bien vrai qu’avec deux rayons, l’un jaune , l’autre bleu, on fait un vert, & cela eft encore vrai des couleurs matérielles ; mais le vert de l’image colorée du prifme eft tout différent; il eft primitif, & fubit fans fe décompofer les mêmes épreuves que le rouge, le jaune ou le bleu. Il en eft de même de l’orangé , de l’indigo & du violet.
    • PROBLÈME LIV.
    • De t'Arc-en-ciel : comment il fe forme : maniéré de Vimiter.
    • Parmi les phénomènes de la nature, l’arc-en-ciel eft un de ceux qui de tout temps ont le plus excité l’admiration des hommes ; mais il n’en eft peut-être aujourd’hui aucun dont la phyfique rende une raifon plus fatisfaifante & mieux démontrée.
    • L’arc-en-ciel eft formé par la décompofition des rayons folaires en fes principales couleurs, dans les gouttelettes de pluie, au moyen des deux réfractions qu’ils y fouffrent en entrant & en for-tant. Dans l’arc-en-ciel intérieur, qui fouyent
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    • 170 Récréations MatheMatiquês. paraît feul, le rayon folaire entre par là partie fupérieure de la goutte, Te réfléchit contre le fond, 6c fort par la partie inférieure. On voit fa décom-Pl. î4,polition dans la fig* 48. Dans l’arc-en-ciel exté-fig. 48. rieur , les rayons entrent par le bas de la goutte , éprouvent deux réflexions, 6c fortent par la partie Fig. 49. fupérieure. On en voit dans la fig. 49 la marche 6c décompofition , qui donne les couleurs dans urt fens oppofé à la première. C’efl aufli la raifon pour laquelle l’arc-en-ciel extérieur a fes couleurs renverfées à l’égard du premier.
    • Fig. 50. La fig. 60 montre enfin comment le même œil apperçoit cette double férié de couleurs.
    • Mais l’explication feroit encore incomplette, fl l’on ne faifoit pas voir qu’il y a une certaine in-elinaifon déterminée fous laquelle les rayons rouges fortent le plus ferrés qu’il eft poflible , 6c parallèlement entr’eux , tandis que tous les autres font divergents ; qu’il en efl: une autre fous laquelle ce font les rayons verts qui fortent de cette manière ; 6cc. C’efl par-là feulement qu’ils peuvent affe&er un œil éloigné.
    • Cette explication de l’arc-en-ciel fe confirme par une expérience fort Ample. Lorfque le foleil efl fort voifin de l’horizon , fufpendez dans une chambre un globe de verre rempli d’eau , enforte ' qû’il foit éclairé par le foleil, 6c placez-vous le dos tourné à cet aftre, enforte que le globe foit élevé à l’égard de votre œil d’environ 42° fur l’horizon. En vous avançant ou retirant un peu , vous ne manquerez pas de rencontrer les rayons colorés, 6c il vous fera facile de voir qu’ils fortent du bas du globe ; que le rayon rouge en fort fous un angle plus grand avec l’horizon, 6c le violet, qui efl l’extrême, fous le moindre ; en-
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    • Optique. 171
    • forte que le rouge doit être en dehors de l’axe , & le violet en dedans.
    • Elevez enfuite votre boule à l’égard de votre œil d’environ 540, ou continuez de vous en approcher , enforte qu’elle foit élevée de cet angle : vous rencontrerez les rayons colorés fortants du haut de la boule , d’abord le violet , puis le bleu , le vert, le rouge , dans un ordre tout contraire au précédent. Si vous couvriez, dans le premier cas , la partie fupérieure de la boule , & dans le fécond la partie inférieure , vous n’auriez point de couleurs , ce qui prouve la .maniéré dont ils y entrent St.dont ils en fortent.
    • On peut fe procurer facilement le fpe&acle d’un arc-en-ciel artificiel : on le voit dans la vapeur d’un jet d’eau que le vent difperfe en gouttelettes infenfibles. 11 faut pour cela fe mettre dans la ligne entre le jet d’eau & le foleil, en tournant le dos à cet aftre. Si le foleil n’eft que médiocrement élevé fur l’horizon, en s’avançant ou s’éloignant du jet d’eau, on trouvera bientôt un point d’où l’on verra l’are-en-ciel dans les gouttes qui retombent en pluie fine & légère.
    • Au défaut d’un jet d’eau, on peut en faire un à peu de frais. Il faut pour cela' remplir fa bouche d’eau , & , en tournant le dos au foleil médiocrement élevé, la jeter en l’air le plus haut qu’il eft poffible, & dans une direéf ion un peu oblique à l’horizon. Après quelques elfais , vous ne tarderez pas d’y voir l’arc-en-ciel. Une feringue qui éparpillera l’eau en gouttelettes très - menues , facilitera beaucoup l’imitation du phénomène.
    • Voulez-vous faire cette expérience d’une maniéré plus facile encore ? pofez fur une table, &: debout, une bouteille cylindrique de verre bien
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    • vj2 Récréations Mathématiques.
    • blanc , après l’avoir remplie d’eau; mettez â io ou i z pieds un flambeau allumé à la même hauteur; puis promenez^vous tranfverfalement entre la lumière & cette bouteille, en tenant votre, œil à leur hauteur. Quand vous ferez parvenu à un certain point, vous verrez les faifceaux de rayons colorés, fortants d’im des flancs de la bouteille , dans cet ordre, violet, Jaleu, jaune, roüge; St fi vous continuez* de marcher tranfverfalement, vous en rencontrerez une fécondé fuite dans un ordre oppofé, fçavoir, rouge, jaune, bleu, violet , fortant de l’autre côté de la bouteille. C’eft-là précifément ce qui fe paffe dans les gouttes de pluie ; & pour imiter parfaitement le phénomène , il ne feroit pas impoflible de fixer fept bouteilles fembiables, de telle maniéré que, dans chacune , l’œil placé au point convenable y vît une des fept couleurs, & à quelque diflance de-là fept autres, qui préfenteroient au même œil les mêmes couleurs dans l’ordre renverfé du fécond arc-en-ciel.
    • Si les rayons folaires n’étoient pas différemment réfrangibles , on auroit bien également deux arcs-en-ciel ; mais ils feroient fans couleur , & ce feroit feulement deux bandes circulaires d’une lumière blanche ou jaunâtre.
    • L’arc-en-ciel forme toujours une portion de cercle à l’entour de la ligne tirée du foleil par l’œil du fpe&ateur ; c’eft pourquoi, quand cet aftre eft élevé fur l’horizon, l’arc-en-ciel eft moindre que le demi-cercle. Il eft égal au demi-cercle lorfque le foleil eft à l’horizon.
    • On a pourtant vu une fois un arc-en-ciel plus grand que le demi-cercle, & qui coupoit l’àrc-en-ciel ordinaire ; mais c’eft qu’il étoit produit par 1 image du foleil réfléchie fur l’eau tranquille d’une
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    • Optique. 17î
    • rîvïere. Cette image du foleil faifoit îe même effet que fi cet aftre eût été fous l’horizon.
    • M. Halley a calculé, d’après le rapport des divetffes téfrangibilités des rayons du foleil, que le demi-diametre de l’arc-en-ciel intérieur, pris au milieu de fa largeur, doit être de410.10', Sc que fa largeur, qui ne ferait que i° 45', fi le foleil n’étoit qu’un point, doit être de i° if'f à caufe du diamètre apparent de cet aftre. Ce diamètre apparent eft la caufe pour laquelle les couleurs ne font pas tranchées avec cette diftin&ion qu’elles auroient fi le foleil n’étoit qu’un point lumineux. Le rayon de l*arc-en-ciel extérieur, pris de la même maniéré, c’eft-à-dire au milieu de fa largeur, eft de 51° 30'.
    • Ce géomètre St aftronome Angîois ne s’eft pas borné à calculer les dimenfions de l’arc-en-ciel que nous voyons ; mais il a auffi calculé celles des arcs-en-ciel qui naîtraient, fi la lumière du foleil ne fortoit de la goutte d’eau qu’après 3, 4, 5 réflexions , Slc. comme pour l’arc-en-ciel principal & intérieur il en fort après une, Sc pour le fécond & l’extérieur après deux. On trouve que le demi-diametre du troifieme arc-en-ciel, compté du lieu même du foleil, ferait de 410 ; que celui du quatrième ferait de 430 <o' ; ôte. Mais ici la géométrie va beaucoup plus loin que la nature; car, indépendamment de l’affoibliffement des rayons , qui ne permettroit pas de voir ces arcs-en-ciel, comme ils fe trouvent du côté du foleil même, l’éclat de cet aftre les offufqueroit. Si les gouttes qui forment l’arc-en-ciel , au lieu d*être d’eau , étoient de verre, le demi-diametre moyen de l’arc-en-ciel intérieur ferait de 11° Çi', SC celui de l’extérieur, de Q° 30' du côté oppofé au foleil.
    • Tome II. S
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    • 174 Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME LV.
    • De Vanalogie entre Us couleurs & les tons-de la
    • Mujîque. Du Clavejjin oculaire du pere Cajlel.
    • A.USSI-TOT qu’on a eu obfervé qu’il y avoit dans la nature fept couleurs primitives, il a été naturel de concevoir qu’il pouvoit y avoir une analogie entre les couleurs & les tons de la mu* lique ; car ces derniers forment auffi , dans l’étendue de l’oéfave, une fuite de fept tons. Cette ob-fervation n’échappa pas à Newton, qui remarqua de plus que dans le fpeâre coloré, les efpaces occupés par le violet, Vindigo, le bleu, &c. répon-doient aux divifions. du monocorde qui donnent les fons re, mi, fa, fol, la, fi,ut, re.
    • Newton s’arrêta là ; mais le pere Caftel, dont l’imagination eft connue de tout le monde, enchérit beaucoup fur cette idée, & bâtit fur cette analogie des fons, un fyftême d’après lequel il promit pour les yeux , malheureufement fans fuc-cès, un nouveau plaifîr femblable à celui que les oreilles éprouvent à un concert.
    • Le pere Caftel change d’abord , par des raifons d’analogie, l’ordre des couleurs dans celui-ci , fçavoir, bleu , vert, jaune, orangé, rouge, violet, indigo, & enfin bleu, qui forme comme l’oftave du premier. Ce font-là, fuivant lui, les couleurs qui répondent à l’oétave diatonique de notre mu-fïqué moderne, ut, re, mi, fa, fol, la, fi, ut. Les dîefes & les bémols ne l’embarraftoient pas ; & l’o&ave chromatique, divifée en fes douz,e couleurs , étoit bleu, céladon , vert, olive , jaune ,
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    • Optique. *7S
    • indigo , bleu , qui répondoient à ut, ut X 5 re 9 reX ,mi, fa, faX, fol, folX, ba9 laX,Ji9 ut.
    • Qu’on difpofe maintenant, dit le pere Caftel, un claveffin de maniéré qu’en enfonçant la touche ut, au lieu d’un fon vous découvriez une bande bleue ; en enfonçant la touche re, qu’elle faffe découvrir le vert, &c : vous aurez votre claveffin conftruit ; bien entendu que pour la première octave d'ut, par exemple, vous ayiez un bleu différent & à l’oftave du premier. Mais qu’eft-ce qu’un bleu à l’o&ave d’un autre? C’eft fur quoi je ne trouve pas que le pere Caftel fe foit jamais expliqué bien clairement. Il dit feulement que, tout comme on compte douze oftaves appréciables à l’oreille, depuis le fon le plus bas jufqu’au plus aigu , de même on doit compter douze o&aves de couleurs , depuis, le bleu le plus foncé jufqu’au bleu le plus clair ; ce qui donne lieu de croire que le bleu le plus foncé étant celui qui devoit répondre à la plus baffe touche, le bleu répondant à l’oéfave feroit celui formé de onze parties de bleu pur fur une de blanc, & le plus clair, celui qui eut été formé d’une partie de bleu fur onze parties de blanc ; & ainfi des autres couleurs.
    • Quoi qu’il en foit, le pere Caftel ne défefpé-roit pas de produire par ces moyens une mufique oculaire, auffi intéreffante pour les yeux , que la mufique ordinaire l’eft pour des oreilles bien orga-nifées. Il penfoit qu’on pourroit traduire une piece de mufique en couleurs, pour l’ufage des fourds. « Concevez-vous bien, dit-il quelque part, » ce que ce fera qu’une chambre tapiffée de » rigaudons & de menuets, de farabandes & de » paffacailles , de fonates & de cantates , &, fi » vous le voulez bien, d’une représentation com-
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    • ±j6 Récréations Mathématiques.
    • » plette de tout un opéra? Ayez vos couleurs bien » diapafonnées , & rangez-les fur une toile, dans » la fuite, la combinaifon & le mélange précis »> des tons, des parties & des accords d’une piece » de mufique que vous voulez peindre, en obfer-»> vant toutes les valeurs , fyncopes, foupirs, croches , blanches , &c. & rangeant toutes les » parties par ordre de contre - point. Vous voyez » bien que cela n’eft pas impoflible ni même diffi-» cile pour un peintre de quatre jours, & que, » pour le moins , une pareille tapifferie vaudra »> bien celles où les couleurs ne font jetées qu’au » hafard, comme fur le marbre.
    • « Ce claveffin , ajoute-t-il , eft une grande » école pour les peintres , qui pourront y trouver » tous les fecrets des combinaifons des couleurs , »? & de ce qu’ils appellent le ciair-obfcur. Mais nos w tapifferies harmoniques auront auffi leur avan-» tage ; car on pourra y contempler à loifir ce » qu’on ne peut jufqu’ici qu’entendre rapidement, » en paflant & fans réflexion. Et quel plaifîr de » voir les couleurs dans une difpofition vraiment » harmonique, & dans cette variété infinie de w difpofitions que l’harmonie nous fournit ! Le » feul deflin d’un tableau fait plaifir. Il y a cer-» taineinent un deflin dans une piece de mufique , » mais il n’efl pas allez fenfible quand on la joue » rapidement. L’œil la contemplera ici à loifir : » il verra le concert, le contraire de toutes les 9> parties, l’effet de l’une contre l’autre, les fu-» gués, les imitations, les expreflions , l’enchaî-» nement des cadences, le progrès de la modula-» tion. Et croyez-vous que ces endroits pathéti-» ques, ces grands traits d’harmonie, ces change-» ments inespérés de tons, qui caufent à tous
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    • Optique. 277
    • » moments des fufpenfions , des langueurs , des » émotions , & mille fortes de péripéties dans » l’ame qui s’y abandonne, perdent rien de leur » énergie en paffant des oreilles aux yeux , &c } » Il fera curieux de voir les fdurds le récrier » aux mêmes endroits où les aveugles fe récrieront, &c. Levert, qui répond au’/*, fera fans » doute fentir que ce ton de re eft champêtre , » riant, paftoral ; le rouge, qui répond au fol9 » leur donnera l’idée d’un ton guerrier, fanglant, » colere, terrible ; le bleu, répondant à Y ut, fera » connoître fon ton noble , majeftueux , célefte , » divin, &c. Il eft lingulier, pour le dire en paf-» fant, que les couleurs fe trouvent avoir les pro-» près cara&eres que les anciens attribuoient aux » tons précis qui leur répondent; mais il y a beau-» coup à dire , &c.
    • » On peut faire un jeu de toutes fortes de figu-» res humaines, angéliques, animales, volatiles , » reptiles, aquatiques, quadrupèdes, même géo-» métriques. On pourra, par un {impie jeu, dé-»> montrer toute la fuite des Eléments d’Euclide. » Ici l’imagination du pere Caftel le mene tout droit aux Petites-Maifons.
    • Nous n’avons pu rélifter à l’envie de citer ces. morceaux linguliers du pere Caftel. Malheureufe-ment toutes ces belles promeffes fe font évanouies. Il avoit, dit-il, fait le modèle de fon claveflin dès la fin de 1:734. Prefque tout le refte de fa vie, jufqu’à fa mort en 1757, s’eft écoulé dans le travail de cette conftru&ion qui n’a pas réulfi. Ce claveflin, fabriqué à grands frais, n’a rempli> comme le dit l’auteur de fa vie, ni le devis de l’auteur, ni l’attente du public. Et en effet, s’il y a quelque analogie entre les couleurs & les fons,^
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    • ay8 Récréations Mathématiques. il y a tant d’autres points dans lefquels ils different , qu’il n’y a pas lieu de s’étonner que ce projet ait échoué.
    • PROBLÈME L VI.
    • 'Compofer un tableau reprèfentant toutes les couleurs , & déterminer leur nombre.
    • C^UOIQUE Newton ait démontré l’homogénéité des couleurs dans lefquelles fe décompofe le rayon folaire , & que l’orangé , le vert, le pourpre , données par cette décompofition, ne foient pas moins inaltérables, malgré les réfractions ultérieures , que le rouge, le jaune, le bleu, il eft cependant reconnu qu’on peut , avec ces trois dérnieres couleurs, imiter les premières & toutes les autres de la nature ; car le rouge, combiné avec le jaune en différentes proportions , donne toutes les nuances d’orangé ; le jaune & le bleu donnent les verts purs ; le rouge & le bleu pro-duifent les violets pourpres & indigos ; enfin , des différentes combinaifons de ces couleurs compo-fées , naiffent toutes les autres. Cela a donné lieu à l’invention ingénieufe du triangle chromatique qui fert à les repréfenter.
    • 5, Soit formé, comme l’on voit dans la planche 1. /i, un triangle équilatéral, dont vous diviferez deux des côtés à l’entour de l’angle du fommet en 13 parties égales : & tirant par les points de di-vifion de chacun de ces côtés, des lignes parallèles à l’autre , vous formerez 91 rhombes égaux.
    • Aux trois rhombes angulaires placez les trois couleurs primitives , le rouge , le jaune & le bleu, dans un degré égal de force, &, pour ainfi dire , déconcentration : vous aurez conféquemment,
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    • entre le jaune & le bleu, onze cafés que vous remplirez ainfi ; dans la plus voifine du jaune , vous mettrez 11 parties de jaune & i de rouge ; dans la fuivante, io parties de jaune & z de rouge , enforte que dans la plus voifine du rouge il n’y aura que i partie de jaune & 11 de rouge : nous aurons par - là tous les orangés , depuis le plus voifin du rouge jufqu’au plus voifin du jaune. En rempliffant de la même maniéré les cafés intermédiaires entre le rouge & le bleu, entre le bleu Sc le jaune, il en réfultera toutes les nuances pourpres & toutes celles des-verts, dans une dégrada-dation femblable.
    • Pour remplir les autres cafés , prenons, par exemple, celles du troifieme rang au delfous du rouge , où. il y a trois cafés. Les deux extrêmes étant remplies d’un côté par io parties de rouge combinées avec 2 de jaune, fk de l’autre par 10 de rouge combinées avec 2 de bleu, la café moyenne fera compofée de 10 parties de rouge,
    • 1 de bleu & 1 de jaune.
    • Dans la bande au delfous on aura, par la même raifon, dans la première café du côté du jaune r 9 parties de rouge & 3 de jaune ; dans la fuivante , 9 parties de rouge, 2 de jaune , 1 de bleu ; dans la troifieme , 9 parties de rouge , r de jaune *
    • 2 de bleu ; & enfin dans la quatrième, 9 parties de rouge & 3 de bleu ; & ainfi des autres bandes inférieures, dont nous nous contenterons de détailler l’avant-derniere au delfus de la ligne des verts, dont les cafés feront fucceflîvement remplies ainfi qu’il fuit.
    • La iere à gauche, 11 parties de jaune, t de rouge.
    • S
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    • a$o Récréations Mathématiques,
    • La 2e,io p. de jaune, i de rouge, i de bleu#
    • La 3e, 9 p. de jaune, i de rouge , 2 de bleu.
    • La 4e, 8 p. de jaune, i de rouge , 3 dé bleu.
    • La 5 e, 7 p. de jaune, 1 de rouge , 4 de bleu.
    • La 6e, 6 p. de jaune, 1 de rouge , 5 de bleu.
    • La 7e, 5 p. de jatine, 1 de rouge , 6 de bleu.
    • La 8e, 4 p. de jaune, 1 de rouge, 7 de bleu.
    • La 9e, 3 p. de jaune, 1 de rouge, 8 de bleu.
    • La 10e. 2 p. de jaune, 1 de rouge , 9 de bleu.
    • La 1 Ie, 1 p. de jaune, 1 de rouge , 10 de bleu.
    • La 12e, o p. de jaune, 1 de rouge , 11 de bleu.
    • Cette bande contient, comme l’on voit, tous les verts de la bande inférieure, dans lefquels on a jeté une partie de rouge. De même , dans la Lande parallèle aux pourpres , on trouve tous les pourpres, dans lefquels on a jeté 1 partie de jaune ; & dans la bande parallèle & contiguë aux orangés , on trouve tous ceux où l’ôn a jeté une partie de bleu.
    • Dans la café centrale du triangle , on trouve-roit 4 parties de rouge , 4 de bleu & 4 de jaune.
    • On pourrait faire facilement ces mélanges avec des poudres colorées , & broyées très-fin ; 6c en prenant les dofes convenables de ces poudres, & en les mélangeant bien, nous ne doutons point qu’on n’eût toutes les nuances des couleurs.
    • Mais fi l’on vouloit avoir toutes les couleurs de la nature du plus clair au plus brun, fçavoir du blanc au noir ,nous trouverions pour chaque café 12 degrés de gradation jufqu’au blanc , & 12 autres jufqu’au noir. Ainfi, multipliant 91 par 24, nous aurions 2184 couleurs perceptibles ; à quoi ajoutant 24 gris formés par la combinaifon du noir & du blanc a & enfin le blanc & le noir purs ,
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    • Optique. 181
    • nous aurions 2210 couleurs compofées, que nous croyons diftinguibles par les fens. Mais peut-être ne doit-on pas regarder comme des couleurs réelles , celles qui font formées de couleurs pures a le noir ; car le noir ne fait que falir & non colorer. Il faudroit, dans ce cas , réduire les ritables couleurs, & leurs nuances du plus foncé au plus clair, à 1092; ce qui, avec le blanc, le noir & 12 gris, formeroit 1106 couleurs.
    • PROBLÈME LVII.
    • D'ou vient la couleur bleue du ciel?
    • C E phénomène eft fprt remarquable, quoique , nos yeux y étant accoutumés dès notre plus tendre enfance, nous n’y faffions plus d’attention ; & il ne feroit pas moins difficile à expliquer, fi la théorie de Newton fur la lumière, en nous apprenant qu’elle fe décompofe en fept couleurs qui ont des réfrangibilités & réflexibilités différentes, ne nous avoit pas donné les moyens d’en reconnoître la caufe.
    • Nous obferverons donc , pour expliquer ce phénomène, que, d’après la théorie de Newton, fi bien prouvée par l’expérience, parmi les fept couleurs que donne la lumière folaire décompofée par le prifme, le bleu , l’indigo & le violet font celles qui fe réfléchiffent avec le plus de facilité à la rencontre d’un milieu de différente denfité. Or, quelle que foit la tranfparence de l’air, celui qui environné notre terre, & qui conftitue notre atmofphere , eft toujours mélangé de vapeurs plus ou moins bien combinées avec lui ; d’où il réfulte que la lumière du foleil ou des aftres , renvoyée en cent façons différentes dans l’atmo-
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    • agi Récréations Mathématiques, fphere , doit y éprouver des inflexions & réflexions fans nombre. Mais à chacune de ces reflexions contre les particules inlénfibles de vapeurs que ces rayons ont à traverfer, ce font les rayons bleus , indigos & violets qui nous font principalement renvoyés. Il eft donc néceflaire que le milieu qui les renvoie paroiflfe prendre une teinte bleue.
    • Cela devrait même arriver, en fuppofant une homogénéité parfaite dans l’atmofphere; car, quelque homogène que foit un milieu tranfparent, il réfléchit néceffairement une partie des rayons de lumière qui le traverfe. Or , de tous ces rayons , ce font les bleus qui fe réfléchiffent avec plus de facilité : ainfi l’air, même fuppofé homogène, prendrait une couleur bleue, ou peut-être violette.
    • C’eft par la même raifon que l’eau de la mer paroît bleue lorfqu’elle efl bien pure, comme loin des côtes. Lorfqu’elle eft éclairée par la lumière du foleil, une partie des rayons pénétré dans fon fein, une autre eft réfléchie : mais celle-ci eft principalement compofée des rayons bleus ; elle doit par conféquent paraître bleue.
    • Cette explication eft confirmée par une curieufe obfervation de M. Halley. Ce célébré phyficien étant defcendu affez avant dans la mer , pendant qu’elle étoit éclairée de la lumière du foleil, il fut extrêmement furpris de voir le dos de fa main, qui recevoit des rayons direéfs du foleil, teint d’une belle couleur de rofe, & le deffous, qui l’étoit par des rayons réfléchis, teint en bleu. C’eft effe&ive-ment ce qui devoit arriver, en fuppofant que les rayons réfléchis par la furface de la mer , ainfi que par les parties infenfibles du milieu , fufîent des rayons bleus. A mefure que la lumière pénétrait plus profondément, elle devoit fe dépouiller
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    • Optique. 28$
    • de plus en plus des rayons bleus, & le refte con-féquemment devoir tirer fur le rouge.
    • PROBLÈME LVIII.
    • Pourquoi , dans certains temps , tes ombres des corps font bleues ou apurées, au lieu d'être noires ?
    • On obferve affez fouvent, au lever du foleil & dans des jours extrêmement fereins, que les ombres des corps, projetées fur un fond blanc affez voifin, font bleues ou azurées. Ce phénomène m’a paru affez curieux pour mériter de trouver place ici, de même que fon explication.
    • Si l’ombre que projette un corps expofé au foleil étoit abfolue, elle feroit profondément noire, puifqu’elle ne feroit qu’une privation complette de la lumière ; mais cela n’eft pas. En effet, il faudrait , dans le cas que nous analyfons , que le fond du ciel fut abfolument noir. Or il eft bleu ou azuré ; & il n’eft tel que pareequ’il nous renvoie principalement des rayons bleus , comme nous l’avons fait voir plus haut.
    • Ainlî l’ombre que projettent les corps expofés au foleil n’eft pas une ombre pure ; mais cette ombre eft elle-même éclairée par toute la partie du ciel que n’occupe pas le corps lumineux. Cette partie du ciel étant donc bleue, l’ombre eft rompue par des rayons bleus ou azurés, & doit paraître de cette couleur. C’eft précifément ainfi que, dans la peinture, les reflets font teints de la couleur des corps environnants. L’ombre que nous analyfons, n’eft autre choie qu’une ombre mêlée du reflet d’un corps bleu, & conféquemment elle doit participer de cette couleur.
    • Il eft fuffifamment connu que c’eft M. de Buffon
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    • i?4 Récréations Mathématiques. qui a le premier obfervé & expliqué ce phénol
    • Mais on demandera pourquoi toutes les ombres ne font pas bleues. Nous répondrons à cela qu’il faut, pour produire cet effet, le concours de plu-fieurs circonfiances, fçavoir : i° un ciel très-pur & d’un bleu très-foncé ; car fi le ciel eft parfemé de nuages , les rayons qui en feront réfléchis, en tombant fur l’ombre bleuâtre, en détruiront l’effet fi le bleu eft foible, comme il l’eft fouvent, la quantité des rayons bleus ne fera pas fuffifante pour éclairer l’ombre. i° Il faut que la lumière du foleil foit plus vive qu’elle n’eft d’ordinaire à l’horizon , afin que les ombres foient fortes & épaiffes. Or ces circonftances font affez rarement réunies. Il faut d’ailleurs que le foleil foit peu élevé fur l’horizon; car lorfqu’il l’eft déjà médiocrement, il régné dans l’atmofphere trop d’éclat pour que les rayons bleus foient fenfibles. Ainfi cette lumière ne fait que rendre l’ombre moins épaiffe, mais ne la teint point en bleu.
    • PROBLÈME LIX.
    • Expérience fur les Couleurs.
    • Placez devant vos yeux deux verres de différentes couleurs, l’un bleu par exemple , l’autre rouge ; &, vous étant placé à une diftance convenable d’une bougie allumée, fermez l’un de vos yeux, & regardez la lumière avec l’autre, par exemple avec celui qui eft garni d’un verre bleu ; vous la verrez bleue. Celui-ci étant fermé & l’autre ouvert, vous la verrez rouge. Ouvrez enfin les deux yeux, vous la verrez d’un violet clair.
    • Nous croyons qu’il n’y a perfonne qui n’eût
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    • U PT I QUE. 155
    • prévu le fuccès de Cette expérience ; & nous n’en parlons ici, que parcequ’un ocuiifte de Lyon , (M. Janin), a cru pouvoir en inférer une confé-quence particulière, fçavoir, que la rétine pourrait bien faire l’office d’un miroir concave réfléchif-fant les rayons de lumière, enforte que chaque œil formât à une certaine diftance une image aérienne de l’objet. Ainfi, les deux yeux en formant chacun une dans le même lieu, il en réful-teroit une double image, l’une bleue, l’autre rouge, & de leur réunion une image violette; comme lorfqu’on mêle enfemble des rayons bleus & des rouges. Mais cette explication ne fçauroit à coup sûr foutenir un examen fondé fur les principes fains & avérés de l’optique. Comment concevoir que la rétine puifle former une pareille image ? N’eft-il pas plus vraifemblable, & plus fondé fur les phénomènes connus de la vifion, que des deux impreffions reçues par les deux yeux, il réfulte dans le fenforium commune., ou dans la réunion des nerfs optiques dans le cerveau, une impreffion compofée & unique? Il doit donc arriver dans cette expérience, la même chofe que fi l’on regar-doit la lumière avec un œil, & à travers deux verres, l’un rouge , l’autre bleu. Dans ce dernier cas, on la verrait violette. On la doit conféquem-ment voir de même dans le premier.
    • PROBLÈME L X.
    • Conjlruction d’un photophore ou portt-lumicrc , tris-commode & très-avantageux pour éclairer une table où Von lit ou écrit.
    • Faites faire en fer-blanc un cône dont la bafe foit de 4 pouces a-de diamètre, & le côté de
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    • Récréations Mathématiques.
    • 7 pouces f; ce qu’on exécutera facilement, en coupant dans un cercle de 7 pouces f de rayon , un fefteur de 109° 7 d’ouverture , & le repliant en forme de cône ; enfuite, par un point de l’axe éloigné du fommet de 1 pouces 7, faites retrancher la partie de ce cône la plus voifine du fom-met, par un plan incliné à un côté du cône, de 450 : il en réfultera une feétion elliptique & allongée , que vous placerez au devant de la lumière le plus près qu’il fe pourra, le plan de dette fec-tion étant verticale , & le plus grand diamètre dans le fens perpendiculaire. Dans cette difpofi-tion, fi la flamme du flambeau ou de la lampe eft élevée de 12 à 13 pouces au defius du plan de la table , on verra avec étonnement la vivacité & l’égalité de la lumière qu’elle projettera fur une étendue de 4 à 5 pieds de longueur.
    • M. Lambert, inventeur de ce nouveau porte-lumiere, remarque qu’on pourroit s’en fervir avec utilité pour s’éclairer dans le lit iorfqu’on veut y lire ; car, en plaçant la lampe ou le flambeau garni de ce porte-lumiere fur un guéridon allez haut, à 5, 6 ou 8 pieds du lit, on y verra fort clair fans aucun danger. Il dit avoir encore eflayé d’éclairer la rue, en plaçant une lampe avec fon porte-lumiere à une fenêtre élevée de 15 pieds au defius du pavé, & que l’effet en fut tel, qu’à une diftance de 60 pieds on voyoit un brin de paille, qu’on fe reconnoifloit mieux qu’au clair de la lune, & qu’on pouvoit lire à une diftance de 3 5 à 40 pieds. Ainfi il faudrait peu de ces porte-lu-mieres placés des deux côtés d’une rue , & dirigés en forme de diagonale, pour l’éclairer fort bien, & peut-être mieux que par tous les moyens employés jufqu’ici. V. les Mém. de Berlin, ann. 1770.
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    • O P T I Q v i.
    • PROBLÈME L XI.
    • »S7
    • La place cPun objet, par exemple d'un papier fur une table , étant déterminée, & celle du pied dit flambeau qui doit Véclairer, déterminer la hauteur à laquelle il faut placer cette lumière pour que cet objet fait le plus éclairé qu’il ejl pojjible.
    • Pour ne pas faire entrer dans ce problème plufieurs confidérations qui en rendroient la folu-tion fort difficile, nous fuppoferons que l’objet à éclairer eft fort petit, ou qu’il faille feulement faire enforte que le milieu de cet objet foit le plus éclairé qu’il fe puiffe. On fuppofèra aufli que la lumière eft toute concentrée en un feul point, qui réuniroit l’éclat de toutes fes différentes parties.
    • Or, on fqait que la lumière répandue par un point lumineux fur une fur-face qu’il éclaire-, diminue , l’angle étant le même, en raifon inverfe du quarré de la diftance, & que l’angle d’inclinaifon variant, elle eft comme le finus de cet angle ; d’où il fuit qu’elle croît ou décroît dans le rapport compofé de l’inverfe du quarré de la diftance & du direâ du finus d’inclinaifon. Pour réfoudre le problème , il faut donc trouver la hauteur du point lumineux dans la perpendiculaire donnée, qui rendra ce rapport le plus grand poflible.
    • Or on trouve que cela fera, quand cette hauteur perpendiculaire, & la diftance du point à éclairer au pied de la lumière, feront entr’elles comme le côté du quarré eft à la diagonale. Ainfi, fur cette diftance donnée & invariable , comme hypothé-nitfe, décrivez un triangle ifofeele re&angle ; le côté de ce triangle fera la hauteur où la lumière
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    • 188 Récréations Mathématiques. étant placée, le point donné, ou le milieu du papier dont il s’agit, fera le plus éclairé.
    • On peut proposer un autre problème analogue, fçavoir celui-ci : Deux lumières d'inégale hauteur , & placées aux extrémités d'une ligne horizontale, étant données, trouver fur cette ligne le point tellement Jitué, que Cobjet qui y fera placé foil le plus éclairé qitil ejl pojjîble. Mais nous n’en donnons pas la folution , pour laiffer à notre le&eur le plaifir de la trouver.
    • PROBLÈME LXII.
    • Quel ejl le rapport de la lumière de la lune à celle du foleil ?
    • C’est un problème fort curieux que celui-ci; mais ce n’eft que depuis un affez petit nombre d’années qu’on s’eft avifé des principes & des moyens qui peuvent conduire à fa folution. On les doit à M. Bouguer, qui les a expofés dans fon traité fur la gradation de la lumière, ouvrage qui contient mille chofes curieufes, dont quelques-unes trouveront place ici.
    • Pour parvenir à cette mefure de Pintenfité de la lumière, M. Bouguer part d’un fait donné par l’expérience , fçavoir, que l’œil exercé jifge affez exa&ement, lorfque deux furfaces femblables & égales font également illuminées. Il ne s’agit donc que d’éloigner inégalement deux lumières inégales, ou leur procurer, par le moyen de verres concaves de foyers inégaux , des dilatations inégales/enfor te que les furfaces illuminées paroiffent l’être également. Ce n’eft plus qu’une affaire de calcul ; car fi deux lumières , dont l’une eft quatre fois plus proche que l’autre, illuminent également
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    • Optique. ig?
    • deux furfaces femblâbles, il eft évident que les degrés d’iliumiriation d’une même lumière, diminuant en raifon inverfe des quarrés des diftances , on devra conclure que l’éclat de la première lumière eft feize fois àuffi grande que celui de la fécondé. De même fi une lumière dilatée dans un efpa'ce circulaire d’un diamètre double, éclaire autant qu’une autre lumière direéle , on devra en conclure que la première eft quadruple de la fécondé.
    • En employant ces moyens, M. Bouguer a trouvé que la lumière du foleil , diminuée 11664 fois, étoit égale à celle d’un flambeau éclairant une furface à 16 pouces de diftance ; & que ce même flambeau éclairant une furface femblable à 50 pieds de diftance i lui donnoit la même lumière que celle de la lune diminuée 64 fois» Il en conclud , en compofant ces deux raifons, que la lumière du foleil eft à celle de la lune , dans fes diftances moyennes & à même hauteur, comme 256289 a i, c’eft-à-dire plus de 250000 fois plus grande. Quelques autres expériences le portent même à conclure que la lumière de la lune n’eft guere que la 300000e partie de celle du foleil.
    • On ne doit donc point être furpris du réfultat d’une expérience célébré, faite par deux académiciens de Paris (MM. Couplet & de la Hire ). Ces deux phyficiens employèrent le miroir ardent de l’Obfervatoire, de 3 5 pouces de diamètre, à réunir les rayons lunaires, & firent tomber le foyer fur la boule d’un thermomètre. Il n’en réfulta aucun mouvement dans la liqueur. Et e_n effet cela devoit arriver ainfi ; car fuppofons fun miroit comme le précédent, qui réunit les rayons tora-Tome II. T
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    • 290 Récréations Mathématiques. bants fur fa furface en un efpace 11 à 1400 fois moindre ; la chaleur qui en réfultera fera 11 ou 1400 fois plus grande : mais, à caufè de la dif-perfion des rayons, c’eft beaucoup de fuppofer cette lumière un millier de fois plus denfe que la lumière direâe, & la chaleur à proportion. Ainli un pareil miroir, réunifiant les rayons lunaires, produiroit à fon foyer une chaleur 1000 fois plus grande que celle de la lune. Divifant donc 300000 par 1000, on aura pour quotient le nombre 300, qui exprime le rapport de la chaleur folaire directe, à celle de la lune ainfi condenfée. Or, une chaleur 300 fois moindre que celle du foleil direct , ne fçauroit produire aucun effet fur la liqueur du thermomètre. Il s’en faut donc bien que ce fait foit inexplicable, comme le dit l’auteur de YHiJloire des progrès de Yefptit humain dans la PhyJique. B'ien loin de-là, il efl: une fuite nécef-faire du calcul de M. Bouguer, qu’apparCmment l’auteur avoit perdu de vue.
    • Nous remarquerons encore ici que, par un calcul moyen, M. Bouguer a trouvé que l’éclat de la lune dans l’horizon , ( en le fuppofant même net, fans brume & fans nuage)', eft 2000 fois environ moindre que l’éclat de ce même aftre élevé de 66°. Il doit en être de même de la lumière de la lune.
    • PROBLÈME LXIII.
    • De quelques illujions optiques.
    • I.
    • Ayez un cachet gravé d’un chiffre, & regardez-le avec un verre convexe d’un pouce au plus de foyer; vous verrez le chiffre ou la gravure en-
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    • O P t I Q U E. 191
    • foncée : mais fi vous continuez de la regarder fans changer de fituation, vous la verrez en relief ; puis, continuant de regarder, elle vous paroîtra de nouveau enfoncée, enfuire de relief. Quel-lué de regarder, on au lieu de la voir ainfi de fuite. Lorsque le côté de la lumière change , cela fait aufli ordinairement changer l’apparence.
    • Je vois que quelques perfonnes fe font donné beaucoup de peine pour trouver la caufe de ce jeu. Il me femble qu’elle n’eft pas bien difficile à démêler. Lorfqu’on confîdere un objet avec une lentille d’un foyer court, & conféquemment avec un feul œil, on ne juge que fort imparfaitement de'la diftance , & l’imagination feule a beaucoup de part à celle qu’on affigne à l’image qu’on apperqoit. D’un autre côté , la pofition de l’ombre ne peut guere fervir à redreiïer le jugement qu’on en porte ; car l’ombre eft à droite li la gravure eft en creux & le jour venant de la droite, & elle eft également à droite fi la gravure eft en relief Sc que, la lumière vienne de la gauche. Mais lorfqu’on confidere attentivement une pierre gravée avec une loupe, on ne fait pas attention au jour d’où vient la lumière. Ainfi tout eft ici, pour ainfi dire, équivoque & indéterminé. Il n’eft donc pas furprenant que l’organe porte un jugement indécis & continuellement variable ; mais je fuis convaincu qu’un œil exercé ne tombe pas dans ces variations.
    • On ne voit pas la même chofe en faifant l’expérience avec une piece de monnoie. La raifort en eft, probablement, que l’on eft^ accoutumé à manier des pièces de monnoie, & à les voir gra-
    • quefois, après a l’apperçoit d’ab<
    • r difcontin l’apperçoit d’abord de relief enfoncée : puis enfoncée», &
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    • a9i Récréations Mathématiques.
    • vées en relief; ce qui ne permet pas à l’ame de Te former à l’occafion de l’image peinte dans l’oeil, une autre idée que celle qu’elle a toujours eue à Fafpeft d’une piece de monnoie , fçavoir , celle d’un relief.
    • Si l’on préfente à un miroir concave, & à une diftance convenable, c’eft-à-dire entre le centre & le foyer, une bouteille de cryftal à demi remplie d’eau, on la verra renverfée au devant du miroir. Rien jufqu’ici que de connu. Mais une apparence qui paroît finguliere à plufieurs per-fonnes, quoiqu’elle ne foit cependant pas générale , c’eft que l’on croit voir l’eau dans la moitié de la bouteille qui avoifine le cou qui eft en bas. J’ai vu donner ce phénomène comme difficile à expliquer. Pour moi, il me femble qu’à l’égard de ceux qui croient voir ainfi, cela vient de ce que nous avons l’expérience que fi l’on renverfe une bouteille demi-pleine d’eau, ce fluide s’écoule dans la partie inférieure ou du côté du cou.
    • Une autre caufe fe joint ici pour aider ce jugement. Loriqu’une bouteille de cryftal eft demi - pleine d’eau bien limpide, les deux moitiés font fenfiblement auffi transparentes l’une que l’autre, Ôc l’on ne s’apperçoit guere de la préfence de l’eau, que par la réflexion de la lumière qui fe fait fur fa furface ; or, dans l’image renverfée, cette furface réfléchit la lumière, mais par def-fous, & même avec plus de force. On eft par-là conduit à juger que le fluide eft en bas.
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    • Optique.
    • PROBLÈME LXIV.
    • *95
    • EJl- il vrai que la lumière fe réfléchit plus vive-• ment de deflus Pair que de dejfus Veau ?
    • Cela eft très-vrai, pourvu qu’on l’entende dans le fens convenable , fçavoir celui-ci : Lorfque la-lumière tend à pafler de l’air dans l’eau, fous une: certaine obliquité , par exemple de 30°, l’eau réfléchit moins de rayons que lorfque, fous la même inclinaifon , la lumière tend à pafler de l’eau dans, l’air. Ce qui eft fort fingulier, c’eft que fi l’on-fupprimoit abfolument cet air , pour ne laifler qu’un vuide parfait, loin que la lumière paffâtr plus facilement dans ce vuide qui n’oppofe aucune réfiftance, au contraire elle éprouveroit plus de difficulté, & plus de rayons feroient réfléchis au paflage.
    • Je ne fçais pas pourquoi on a donné celi, dans les Tranfaclions Philofophiques, comme une nouveauté paradoxale; car cetteefpece de phénomène eft une fuite néceflaire de la loi de la réfra&ion. En effet, lorfque la lumière pafle d’un milieu plus rare dans un plus denfe, comme de l’air dans-l’eau, le paflage eft toujours 'poffible, pareeque le finus de réfraéfion eft moindre que celui d’incidence , fçavoir, en raifon de 5 à 4, dans le cas énoncé. Mais au contraire , lorfque la lumière tend à pafler obliquement de l’eau dans l’air, le paflage eft impoffible fous une certaine obliquité , pareeque le finus de réfraftion eft toujours plus-grand que celui d’incidence , fçavoir, ici dans le rapport de 4 à 3. Il y a donc une obliquité telle que le finus de réfra&ion feroit plus grand que le finus total ; &: cela arriveroit fi le finus d’inci-
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    • ^94 Récréations Mathématiques. dënce étoit tant Toit peu plus grand que les J du rayon, ce qui répond à un angle de 48° 36'. Mais un finus ne peut excéder le finus total. Il y a donc , dans ce cas, impoflibilité que le rayon de lumière pénétré le nouveau milieu. Ainfi , tandis que fous toutes les inclinaifons la lumière paffe du milieu plus rare dans le plus denfe, de l’air , par exemple, dans l’eau, il en eft, fçavoir toutes celles qui font moindres que l’angle de 410 24' avec la furface réfringente , qui ne permettent plus le paffage de la lumière de l’eau dans l’air : elle eft alors obligée de fe réfléchir, & la réfraction fe. change en réflexion. Or, quoique , fous des angles d’inclinaifon plus grands , la lumière puiffe paflfer de l’eau dans l’air , cependant cette difpofition à fe réfléchir, ou cette difficulté à tra-verfer d’un milieu dans l’autre, fe perpétue dans tous ces angles , de maniéré qu’il y a moins de layons réfléchis lorfqu’un rayon mu dans l’air tend à paflfer dans l’eau fous un angle de 6o° , que lorfqu’il tend à for'tir de l’eau dans l’air fous le même angle. Enfin, lors même que la lumière tend à paffer perpendiculairement de l’eau dans l’air, il s’en réfléchit davantage que lorlqu’elle tend à paffer perpendiculairement de l’air dans l’eau.
    • Une expérience fort fimple fert à démontrer cette vérité. Rempliffez une bouteille de vif-argent, à peu près jufqu’au tiers, & enfuite mettez-y de l’eau jufqu’à l’autre tiers , enforte que vous ayiez deux furfaces parallèles, l’une de vif-argent, l’autre d’eau. Mettez quelqu’objet lumineux à une hauteur mitoyenne entre ces deux furfaces , & l’œil du côté oppofé & à la même hauteur que cet objet : vous le verrez à travers la bouteille, &
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    • Optique. *9,
    • réfléchi prefque avec la même vivacité, fort fur la furface du vif - argent , foit fur celle qui fépare l’eau de l’air. L’air réfléchit donc ici la lumière prefque avec autant de vivacité que le vif-argent.
    • R E M A R QU E S.
    • 1. On efl: donc fondé à conclure de-là , que la furface de l’eau efl: pour les êtres plongés dans ce fluide, un miroir beaucoup plus réfléchiflant que cette même furface ne l’eu pour les êtres qui font dans l’air. Les poiffons fe voient beaucoup plus diftin&ement & plus vivement lorf» qu’ils nagent près de la furface de l’eau, que nous ne nous voyons fur cette même furface.
    • 2. Rien n’efl plus propre que ce phénomène à prouver la vérité des raifons que Newton donne de la réflexion & de la réfraétion. La lumière,, paffant d’un fluide denfe dans un plus rare, efl précifément , fiiivant Newton , dans le même cas où feroit une pierre lancée obliquement en-l’air, fi l’on fuppofoit que l’énergie de la pefan-teur n’agit pas au-delà d’une diftance déterminée, par exemple de 4 toifes ; car on démontre que > dans ce cas , la déviation de cette pierre feroit précifément la même , & aflujettie à la même loi que la lumière dans la réfradion. Il y auroit de même des inelinaifons fous lefquelies la pierre ne fçauroit paffer de cet atmofphere de pefanteur au dehors, quoiqu’il n’y eût au dehors rien de ré-fiftant, fut-ce même un vuide parfait.
    • Il ne faut cependant pas dire dans ce cas i comme un homme célébré , expliquant la philo-fophie neutonienne, que le vuide réfléchit la lumière: ce n’efl qu’une façon de parier. Pour s’énoncer avec exa&itude, il faudroit dire que la.
    • 7 h
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    • Récréations Mathématiques. lumière eft ramenée d’autant plus fortement vers le milieu denfeque le milieu qui eft au-delà eft plus rare.
    • Nous ne fommes rien moins que fatisfaits de ce qu’on dit fur, cela dans le Dictionnaire d'Induf-trie, où l’on pourroit d’ailleurs être étonné de voir traiter de phénomènes optiques; car on dit que ce phénomène dépend de l’impénétrabilité de la matière , & de l’extrême poliflure de la furface réfléchilfante. Mais lorfque la lumière eft réfléchie fortement à fon paflage de l’eau dans le vuide , ou un efpace prefque vuide d’air, où eft l’impénétrabilité de la matière réfléchiflante, puifqu’un pareil efpace a bien moins d’impénétrabilité que l’air ou l’eau ? Quant à la polifliire de la furface réfléchiflante, elle eft égale, foit pour le rayon paflant de l’air dans l’eau , foit pour celui qui pafîe de l’eau dans l’air,
    • PROBLÈME LXV.
    • 'JLxpoJition d’un phénomène non - apperçu ou négligé par les Phyficiens,.
    • En plaçant votre doigt perpendiculairement & fort près de votre œil, comme à quelques pouces tout au plus, regardez la lumière d’un flambeau , enforte que le bord de votre doigt paroifle très-» voifin de la flamme : vous verrez alors le bord de cette flamme colorée de rouge. Faites enfuite paf-. fer le bord de votre doigt au devant de la flamme, çnforte qu’il n’en laifle appercevoir à l’œil que le fécond bord : celui-;ci paroîtra teint de bleu , tan-» dis que le bord du doigt fera çoloré de rouge.
    • Si vous faites la même chofe à l’égard d’ut*
    • CGîps ppàque plongé au milieu de la lumierç*
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    • comme d’une traverfe de croifée , les couleurs paroîfront dans un ordre oppofé. Ainfi, lorfqu’il reliera feulement entre le doigt & la traverfe un filet de lumière, le bord de votre doigt fera teint de rouge, & le bord voilin de la traverfe fera bordé de bleu ; mais lorfque vous aurez rapproché le bord de votre doigt du fécond bord de la traverfe , enforte qu’elle en foit prefque entièrement cachée, çe fécond bord fera teint de rouge ; & fans doute le bord du doigt paroîtroit coloré en bleu , li cette coulêùr fombre pouvoit paroître fur un fond brun & obfcur.
    • Ce phénomène tient fans doute à la différente réfrangibilité de la lumière, & l’on en demande l’explication & le développement.
    • PROBLÈME L X VI.
    • De quelques autres Phénomènes curieux des Couleurs & de la Fifion,
    • I.
    • Lorsque votre croifée eft fortement éclairée par la lumière du jour, regardez-la fixément & attentivement pendant quelques minutes, ou jufqu’à ce que votre œil foif un peu fatigué ; fermez enfuite les yeux : vous verrez dans l’œil la repréfentation des carreaux que; vous avez confédérés , mais la place des traverfes fera lumineufe & blanche , & celle des carreaux obfcure & noire. Mettez enfin votre main devant; vos yeux, de maniéré à en intercepter abfolument le refiant de lumière que îaiffent paffer les paupières ; le phénomène changera : vous verrez les carreaux lumineux & les tf&Yçrfçs noires, Otez votre main; la place des
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    • 198 Récréations Mathématiques. carreaux fera noire, & celle des traverfes lumi^ heufe.
    • II.
    • Confidérez & fixez quelque temps attentivement un corps très-lumineux , par exemple le fo-leil ; lorfque vous jetterez la vue fur d’autres objets dans un lieu fort éclairé , vous y appercevrez une tache noire ; un peu moins de jour fera paroî-tre cette tache bleue ; moins encore de lumière la fera devenir pourpre ; enfin cette tache que vous porterez au fond de l’œil fera lumineufe dans un endroit abfolument obfcur ,
    • III.
    • Si vous regardez long-temps, &: jufqu’à vous fatiguer un peu , un livre imprimé, avec des con-ferves vertes ; lorfque vous les aurez ôtées, le blanc du livre vous paroîtra rougeâtre : mais regardez de la même maniéré un livre avec des lunettes ou conferves rouges ; lorfque vous les aurez quittées, le blanc du livre vous paroîtra verdâtre.
    • IV.
    • Si vous confidérez avec attention une tache d’un rouge éclatant fur un fond blanc , comme un petit quarré de papier rouge fur un papier blanc , vous verrez après quelque temps, autour de ce papier rouge, une bordure bleue : détournez alors l’œil de deffus cet objet, pour le porter fur le papier blanc, vous verrez un quarré de vert tendre ,-tirant fur le bleu, qui durera plus ou moins’, félon que vous aurez confidéré la couleur rouge plus long - temps, & que fon éclat aura été plus
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    • Optique. , 199
    • vif. Cette impreffion s’affoiblira à mefure que vous porterez l’œil fur d’autres objets.
    • Si, au lieu d’un qu^rré de papier rouge fur un fond blanc , vous confidérez de même une tache jaune , vous verrez, en portant l’œil fur le fond blanc, une tache bleue.
    • Un papier vert fur un fond blanc, confidéré de la même maniéré, produira dans l’œil une tache d’un pourpre pâle ; & un papier bleu, une tache d’une teinte d’un rouge pâle.
    • Enfin, fi l’on confidere de la même maniéré une tache noire fur un fond blanc, on verra, après quelque temps d’attention, une bordure blanche fe former autour de la tache noire ; & alors, détournant l’œil fur le fond blanc , vous verrez une tache d’un blanc plus éclatant que ce fond, & qui s’en détache très-bien. C’eft tout le contraire lorfi-qu’on regarde une tache blanche fur un fond noir.
    • Ainfi, dans ces expériences, le rouge eft oppofé au vert & le produit, comme le vert produit le rouge; le bleu & le jaune font oppofés, & fe produisent l’un l’autre. Il en eft de même du noir & du blanc ; ce qui indique évidemment un effet confiant, & dépendant de l’organifation de l’œil.
    • Creft-là ce que l’on appelle les couleurs accidentelles ; objet que le doéteur Jurin , de la S. R. de Londres , a le premier confidéré, que M. de Buf-fon a enfuite beaucoup étendu , & fur lequel il a donné un Mémoire à l’Académie en 1743. Cet homme célébré ne donne aucune explication de ces phénomènes, & s’y borne à dire que , quoi-qu’afluré de fes expériences , les conféquences ne lui paroiffent pas encore affez certaines pour rien hafarder fur la formation de ces couleurs. Il y a tout lieu de croire qu’il en eût démêlé la caufe, fi fes
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    • 3©o Récréations Mathématiques. autres occupations le lui euflent permis. Mais ce que M. de Buffon n’a pas fait, le dofteur Godard, médecin de Vervier, vient de le tenter avec fuc-cès. L’explication qu’il donne de ces phénomènes , & de plufieurs autres du même genre, dans le Journal de Phyjique (Mai & Juillet 1776) de M. l’abbé Rofier, me paroit tout-à-fait fatisfai-fante, & porter avec foi la convi&ion.
    • PROBLÈME LXVIL
    • Déterminer combien de temps la fenfation de la lumière dure dans U oui.
    • Tout le monde connoit un phénomène qui dépend de cette durée. Qu’on agite un tifon en rond ; fi ce mouvement eft aflfez rapide, on verra comme un cercle de feu. Il eft évident que cela vient uniquement de ce que la vibration imprimée dans les fibres de la rétine , n’eft pas encore éteinte lorfque l’image du tifon repaffe fur les mêmes fibres. Ainfi, quoique probablement il n’y ait fur la rétine qu’un point de lumière, à chaque inftant on reçoit la même fenfation que fi ce point de lumière laififoit une trace continue.
    • Or on a trouvé, en calculant la viteffe du corps lumineux qu’on met en mouvement, que lorfqu’il faifoit fa révolution en plus de 8 tierces, le ruban de feu étoit interrompu ; d’où l’on doit conclure que l’impreflion faite fur une fibre, dure cet intervalle de temps. Mais l’on pourroit demander lî ce temps eft le même pour toutes les lumières , de quelqu’intenfité qu’elles foient ; c’eft ce que je ne crois pas ; fans doute une lumière plus vive excite en même temps une imprefiion plus vive & plus durable.
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    • supplément
    • Contenant un précis des Observations Mi-crofcopiques les plus curieufes.
    • LE.S phyficiens n’ont pas plutôt été en poflef* lion du microfcope , qu’ils le font empreffés à faire ufage de cet infiniment merveilleux pour pénétrer dans la contexture des corps qui, par leur petiteffe, fe déroboient à leurs regards. Il n’efl: prefque point d’objet dans la nature qu’on n’ait appliqué au microfcope, & plufieurs ont préfenté un fpeftacle qu’on n’auroit jamais imaginé. Quoi de plus inattendu en effet que les animaux ou les molécules ( car tout le monde ne convient pas de leur animalité) qu’on voit nager dans le vinaigre, dans les infufions des plantes, dans la femence des animaux ? quoi de plus curieux que le mécanifme des organes de la plupart des infeéies , même de ceux qui échappent ordinairement à notre vue, comme leurs yeux, leurs tarières , leurs trompes, leurs filières, &c ? Quoi de plus digne d’admiration que la compofition du fang, dont le microfcope nous fait appercevoir les éléments ; la contexture de l’épiderme, la ftru&ure du lichen, celle dé la moififfure , &c, &c? Nous allons parcourir les principaux de ces phénomènes , & donner ici un précis des obfervations les plus curieufes de ce genre.
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    • 302 Récréations Mathématiques.
    • Des animaux ou prétendus animaux du vinaigre & des infujions des plantes.
    • 1. Laiffez pendant quelques jours du vinaigre expofé à l’air; après quoi prenez-en une goutte, & pofez-la fur le porte-objet tranfparent du mi-crofcope, Toit fimple, foit compofé ; éclairez par deffous le porte - objet : vous àppercevrez dans cette goutte de liqueur des corps reffemblants à de petites anguilles qui font dans un mouvement continuel. On ne fçauroit mieux les comparer .qu’à de petits ferpents, à raifon des circonvolutions qu’on voit faire à leur corps délié & allongé.,
    • Mais on auroit tort d’attribuer , comme de bonnes-gens l’ont penfé, l’acidité du vinaigre à l’a&ion de ces animalcules, vrais ou prétendus, fur l’organe de la langue &: du goût ; car le vinaigre qui en eft privé n’eft pas moins acide , s’il ne l’eft davantage. On ne voit en effet ces anguilles ou ferpents que dans du vinaigre qui, expofé depuis quelque temps à l’air, commence à paffer de l’acidité à la putréfaction.
    • 2. Faites infufer pendant quelques jours', du poivre légèrement Concaffé dans de l’eau pure, & après cela expofez-en une goutte au microfcope ; ce fera un autre fpeétacle : vous y verrez de petits animaux en nombre innombrable. Ils font de forme elliptique, médiocrement oblongue. On les voit dans un mouvement continuel, allant & venant dans tous les fens, fe détournant lorfqu’ils fe rencontrent , ou qu’ils trouvent fur leur paffage quelque maffe immobile. On en voit quelquefois s’a-longer pour paffer dans un éfpace étroit. Quel-
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    • Optique. 50$
    • tpies auteurs , d’une imagination vive apparemment, croient même en avoir vu ^accoupler ôc accoucher ; mais on peut fe difpenfer d’ajouter foi à cette obfervation.
    • Si vous faites infufer dans de l’eau d’antres corps végétaux, vous verrez des animalcules d’une forme différente. Dans certaines infufions, ils reffem-blent à des ovales avec un petit bec & une longue queue ; dans d’autres, ils font alongés comme des lézards: il en eft où ils ont l’apparence de certaines chenilles ou vers armés de longs poils: quelques-uns dévorent ou femblent dévorer leurs camarades.
    • Lorfque la goutte dans laquelle ils nagent, & qui eft pour eux comme un vafte baflin, diminue par l’effet de l’évaporation, ils fe retirent à mefure vers le milieu, où ils s’amoncelent, & périffent enfin quand l’humide leur manque abfolument. On les voit alors fe tourmenter, faire des efforts, s’élancer , pour échapper à la mort, ou à l’état de mal-aife qu’ils éprouvent. Ils font, pour la plupart, très - ennemis des liqueurs falées ou acides. Si, dans une goutte d’infufion qui fourmille de ces animalcules , vous mettez la plus petite quantité d’acide vitriolique ou de vinaigre , vous les voyez tout-à-coup périr , en fe renverfant fur le dos ; quelquefois même en perdant leur peau , qui fe brife , & laifle fortir une quantité de petits globules , qu’on apperçoit le plus fouvent au travers de leur peau tranfparente. Il en eft de même fi l’on jette dans l’infufion quelque peu d’urine.
    • Il fe préfente naturellement ici une queftion.’ Doit-on regarder ces molécules mobiles comme des animaux ? On eft partagé fur cela. M. de Buf-fon ne le penfe pas, & les range feulement, ainfî
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    • 304 Récréations Mathématiqués. que les animaux fpermatiques, dans la elaffe d€ certains corps qu’il appelle molécules organiques, Mais qu’eft-ce que des molécules organiques? C’eft ce qu’il feroit trop long d’expliquer. Il faut recourir à l'Hijloire Naturelle de ce fçavant Ô£ célébré écrivain.
    • M. Needham contefte aufli à ce* petits corps lWimalité, c’eft-à-dire une animalité parfaite, qui confifte à fe nourrir , croître , multiplier , être doué d’un mouvement fpontanée ; mais il leuf donne une forte de vitalité obfcure ; &, de toutes ’ fes obfervations, il tire des conféquences fur lef-quelles il étaye un fyftême très-fingulier. Il penfe que la matière végétale tendàs’animalifer. Comme ce font les anguilles produites par l’infufion de la colle de farine qui jouent un grand rôle dans le fyftême de ce nâturalifte, un homme célébré n’a jamais laiffé échapper l’occafîon de verfer fur lui le ridicule à pleine coupe, en lesappellant les anguilles du Jéfuite Needham, & en le repréfentant comme un partifan des générations fpontanées , juftement rejetées aujourd’hui par tous les philofo-phes modernes. Mais des plaisanteries ne font pas des raifons. Nous connoiffons fi peu la limite entre le régné végétal & l’animal, que c’eft être bien hardi que de la fixer. Au refte, il faut en convenir , les idées de M. Needham fur cela font fi obfcures, que je penfe que peu de le&eurs font parvenus à l’entendre.
    • D’autres naturaliftes & obfervâteurs tiennent au contraire pour l’animalité de ces petits êtres : car, difent ces obfervâteurs, qu’eft-ce qui peut caraélérifer davantage l’animal,que la fpontanéité de^fon mouvement ? Or ces molécules , lorsqu’elles fe rencontrent dans leurs courfes, rétrogradent,
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    • OfcîtQÜÏ. 305
    • dent, non par l'effet d’un choc, comme feroient deux globules diadiques ; mais la partie qui ordi-nairement marche la première , fe détourne à la proximité du corps qui vient au devant d’elle 1 quelquefois l’une & l’autre fe Contentent d’infléchir leur direction pour ne le pas choquer. A la vérité on ne les a pas vues encore ni s’accoupler, ni pondre, ni même fe nourrir ; mais cette dernier© fonction peut bien s’exécuter fans un aéle apparent , comme celui de la plupart des autres animaux. L’extrême petitefle & la forme étrange de ces molécules , ne feroient pas des raifons contre leur animalité. On ne doute point aujourd’hui de celle des polypes aquatiques. Leur forme efl: bien auffi extraordinaire, fi elle ne l’eft davantage, que celle des molécules mobiles des infufions. Pourquoi donc refufer l’animalité à celles-ci.
    • On pourrait pourtant encore répondre à cette parité prétendue. On voit le polype naître, croître, fe régénérer, à la vérité par un moyen fort éloigné de celui des autres animaux connus : on les voit fur-tout le nourrir. Les animaux prétendus microfcopiques ne font rien de femblable : on ne doit donc pas les ranger dans la même clafle. Mais convenons que tout cela efl: encore fort obfcur, & qu’il efl fage de fufpendre fon jugement.
    • § a.
    • Des Animaux fpermatiques.
    • Parmi les découvertes microfcopiques du fiecle dernier, il n’en efl: aucune qui ait fait plus de bruit que celle de ces molécules mobiles qu’on apper-çoit dans la femence des animaux, & qu’on appelle animalcules fpermatiques. Ce fut le fameux Lewen-hoek qui le premier fit ÔC annonça cette finguliere Tome II. Y
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    • 306 Récréations Mathématiques. découverte. Il vit dans la femence humaine une multitude de petits corps, la plupart avec des
    • fueues très-longues & très-déliées, qui étôient ans un mouvement continuel. Leur groffeur eft beaucoup moindre que les plus petits grains de fable ; elle eft même fi petite dans quelques liqueurs féminales, que cent mille, & meme un million, n’égaleroient pas un grain de pavot. Par un autre calcul, Lewenhoek fait voir que, dans la laite d’un merlus, il y a un plus grand nombre d’animaux de cette efpece, qu’il n’y a d’hommes fur la furface de la terre.
    • Lewenhoek ne s’eft pas borné à confidérer la femence humaine ; il a examiné de la même maniéré la liqueur prolifique de quantité d’animaux, tant quadrupèdes que volatiles , & même celle de quelques infeâes. Dans toutes ces femences, il vit à peu près le même phénomène. Cette obferva--tion a depuis été réitérée par nombre d’obferva-teurs , & a donné lieu à un fyftême fur la génération , çju’il eft fuperflu de développer ici.
    • Mais perfonne .n’a fait des obfervations plus foi-fes & plus exaftes que M. de Buffon fur le fujet dont nous nous occupons, & nous allons par cette raifon en donner le précis.
    • Ce naturalifte célébré, s’étant procuré une quantité aflfez confidérable de la femence extraite des véficules féminales d’un homme qui venoit de périr de mort violente, le premier objet qui fe préfenta à fa vue , armée d’un excellent microf-cope , furent des filaments longuets , qui a voient un mouvement comme de vibration; ils lui pâturent aufli renfermer dans leur intérieur de petits corps. La femence qu’il obfervoit ayant pris un peu plus de liquidité, il vit ces filaments s’enfler
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    • Optique. 307
    • en quelques points, & il en fortit des corps oblongs 8c elliptiques, dont une partie refta d’abord attachée à ces filaments par une longue queue très-déliée. Quelque temps après, 8c cette femence étant devenue encore plus liquide, les filaments avoient difparu ; &c il ne reftoit plus dans la liqueur que ces corps ovales avec des queues, par l’extrémité desquelles ils fembioient attachés , fur lefqueiles ils Te balariqoient comme un pendule, 8c ayant cependant un mouvement progreflif, mais lent, & comme embarraffé par l’adhérence de leurs queues à la liqueur : iis avoient de plus une forte de mouvement de roulis ; ce qui prouve qu’ils n’avoient pas une bafe applatie, mais qu’ils étoient à peu près ronds dans leur. coupe tranfverfale. Quelque temps étant encore écoulé, 8c la liqueur, féminale ayant acquis plus de fluidité, c’eft-à-dire douze ou quinze heures après , les petits corps mobiles s’étoient dépouillés de leurs queues, 8c n’avoient l’apparence que de corps elliptiques, fe mouvant avec beaucoup de vivacité. Enfin, à mefure que la matière s’atténue davantage, ils fe divifent de plus en plus , jufqu’à difparoître, ou ils fe précipitent au fond de la liqueur, 8c Semblent perdre leur vitalité.
    • Il arriva une fois à M. de Buffon , lorfqu’il confidéroit ces molécules mobiles , de les voir défiler comme un régiment, fept à fept, ou huit à huit, marchants toujours très-ferrés 8: du même côté. Il rechercha la caufe de cette apparence, 8c il trouva que ces molécules partoient toures d’une mafle de filaments amoncelés , qui fe trou voit dans un coin de la goutte fpermatique, 8c fe réfolvoit ainfi fucceflivement en petits globules alongés. Ils étoient au refte tous fans queue. Cela
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    • jo8 Récréations Mathématiques. rappelle l’idée finguliere d’un naturalifte , qui 5 voyant pareille chofe dans la femence d’un bélier , crut y trouver la raifon de l’inclination particulière de ces animaux à marcher en troupe , & à fe fuivre les uns les autres.
    • M. de Buffon a obfervé de la même maniéré la liqueur fpermatique de divers autres animaux , de bœuf, de bélier, Ôte ; & il y a vu les mêmes molécules d’abord avec des queues, ôc s’ej^privant par degré, à mefure que la liqueur prenoit de la fluidité. Quelquefois auffi elles lui ont paru fans queue dès leur première apparition ôt formation. C’eft en quoi fes obfervations different de celles de Lewenhoek, qui repréfente conftamment ces prétendus animalcules avec des queues, dont il dit même qu’ils paroiffent s’aider dans leurs mouvements , oc qu’on leur voit tortiller en différents fens. Les obfervations de M. de Buffon different auffi de celles du naturalifte Hollandois , en ce que le dernier dit n’avoir jamais pu trouver de trace de ces animalcules dans la femence ou la liqueur extraite des ovaires des femelles, tandis que M. de Buffon a vu ces molécules mobiles dans cette liqueur, à la vérité moins fréquemment, ôc feulement dans quelques circonftances.
    • On voit par-là qu’il y a encore des recherches à faire fur la nature de ces molécules mobiles , puif-que deux obfervateurs auffi célébrés ne s’accordent pas dans toutes les circonftances du même fait,
    • On n’apperçoit, au refte, rien de femblable dans les autres liqueurs animales , telles que le fang, la lymphe, le lait, la falive, l’urine, le fiel, le chyle ; ce qui femble indiquer que ces animaux ou molécules vivantes jouent un rôle dans la génération.
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    • §. III.
    • Des Animaux ou Molécules mobiles du blé vicie.
    • Voici encore une obfervatron microfcopique qu’on peut hardiment regarder comme la plus fin--guliere de toutes ; car, fi on en tire toutes les con-féquences qu’en déduifent quelques-uns de Tes auteurs , elle nous préfente l’exemple d’une réfurrec-tion répétée, pour ainfi dire à volonté.
    • La maladie du blé qui préfente ce phénomène étrange , eft, non la carie, ni l’ergot, comme quelques auteurs l’ont dit, faute d’une connoiflance fuffifante des différences fpécifiques des maladies des grains, mais cette maladie qu’on doit appeller l'avortement ou le rachitifme. Si l’on prend un grain dé blé qui eft dans cet état, & qu’on l’ouvre avec précaution , on le trouvera rempli d’une fubftance blanche , qui fe divife elle-même facilement en une multitude de petits corps blancs & alongés, comme de petites anguilles renflées dans le milieu de leur corps. Tant que ces molécules , ( car on nous permettra d’être encore neutres fur leur animalité prétendue ou vraie ), tant que ces molécules, dis-je, font dans cet état de féchereffe, elles ne donnent aucun ligne de vie ; mais fi on les hume&e avec de l’eau bien pure, on les voit fur le champ fe mettre en mouvement, & donner toutes les marques de l’animalité. Lailfe-t-on deflecher la goutte de fluide dans laquelle elles nagent, elles perdent leur mouvement ; mais on eft maître de le leur rendre, même plufîeurs mois après leur mort apparente , en les replongeant dans l’eau M, Fontana obfervateur Italien, ne fait nulle difficulté de regarder cela comme une réfurrec-» V üi
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    • 510 Récréations Mathématiques.
    • tion. Si, après des obfervations réitérées, ce phénomène fe vérifie, ainfi que celui du ferpent du Pérou, auquel, plufieurs mois après l’avoir lailTé deffécher au bout d’une corde, on rend la vie en le plongeant dans un bourbier qui eft fon élément , nos idées fur l’animalité pourroient étrangement changer. Mais j’avoue que je n’ajoute pas foi à ce dernier fait, quoique M. Bouguer, qui le rapporte fur le témoignage du P. Gumilla, Jéfuite, & d’un chirurgien François , ne le rejette pas entièrement (a). Au refte quelques autres obfervateurs, (comme M. Roffredi, ) prétendent avoir reconnu dans ces molécules anguilliformes, l’ouverture de la gueule, celle des parties féminines, &c. Ils prétendent enfin avoir démêlé dans lé ventre de l’anguille. mere le mouvement des petites anguilles qu’elle contenoit, & , ayant ouvert le corps à celle-ci, en avoir vu fa progéniture fe répandre fur le porte-objet de leur microfcope. Ce font des obfervations à conftater : elles le méritent affurément, par les lumières qu’elles jetteroient fur l’animalité.
    • §. iv.
    • Les Mouvements de la Tremella.
    • La tremella eft cette plante gélatineufe, verdâtre , qui fe forme dans les eaux ftagnantes, & qui eft connue des naturaliftes fouÿle nom de conferva gelatinofa omnium tenerrima & minima , aquarum limo innafcens. Elle eft compofée d’une multitude
    • , (<*) Il feroit à fouhaiter que M. Bouguer fe fut affuré de la vérité ou de la fauffeté du phénomène; cela’feul vau-; droit la peine d’un voyage au Pérou: mais il dit avoir été trop preffé dans fon voyage pour vérifier ce fait,
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    • de filets entrelacés les uns avec les autres. Confi-dérés feuls, ils font compofés de petites partie» d’environ une ligne de longueur, articulées les unes avec les autres.
    • Jufqu’ici rien ne rend cette production de la nature recommandable & linguliere aux yeux du phyficien; mais les obfervations microfcopiques y ont fait découvrir deux propriétés fort extraordinaires. L’une efi un mouvement fpontanée dont ces filets font doués. Si l’on en confidere un ifolé , 6c placé fur le porte-objet du microfcope, fuffi-famment hume&é , on apperqoit fes extrémités s’élever 8c s’abaHTer alternativement, 6c fe porter à droite 6c à gauche ; il fe tortille en même temps en divers fens , 8c fans aucune impreffion extérieure. Quelquefois , au lieu de la ligne droite qu’il formoit par fa longueur, il vient former une ovale ou une courbe irrégulière. Si deux font à côté l’un de l’autre , ils fe tortillent 6c s’entrelacent , ou quelquefois ils s’avanqent lentement, 8c par un mouvement imperceptible, l’un d’un côté , l’autre de l’autre. Ce mouvement a été eftimé par M. Adanfon, être d’environ un 400e de ligne par minute.
    • L’autre propriété de cette plante efl: qu’elle meurt 6c reflufcite, pour ainfi dire , à plufieurs reprifes ; car, fi plufieurs filets ou une maffe de tremella fe deffeche , elle perd entièrement la faculté dont nous venons de parler. Elle refiera plufieurs mois dans cet état de mort, ou, fi l’on veut ,, de fommeil ; maïs reptongez-la dans l’humidité néceflaire , elle renaît, pour ainfi dire , fes mouvements fe rétabliflent, & elle fe multiplie comme elle a coutume de faire.
    • M, l’abbé Fontana, obfervateur célébré dé
    • V iy
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    • 3ii Récréations Mathématiques,
    • Parme , n’héfite point, d’après tous ces faits, à ranger la tremella au nombre des zoophytes, & de la regarder comme le paffage du végétal à l’animal , ou de l’animal au végétal ; enfin, comme un animal ou végétal doué de la belle propriété de pouvoir mourir & reffufçiter alternativement. Mais cette mort eft-elie une véritable mort, ou un limple foinmeil, une fufpenfion de toutes les facultés dans lefquelles confifte la vie de cette plante? Pour répondre à cette queftion, il faudroit lqavoir précifément ce que c’eft que la mort. Nous dirions ici bien des chofes, fi c’en étoit la place.
    • S-v.
    • De la Circulation du Sang.
    • Si l’on veut fe procurer le plaifir d’obferver la circulation du fang au moyen du microfcope , on y parviendra facilement. Parmi les objets qu’on peut employer à cet ufage, font principalement la membrane déliée & tranfparente qui joint les doigts des grenouilles, & la queue du têtard. Etendez & alTujétiffez cette membrane fur un verre, que vous éclairerez par deflous ; vous verrez avec un plaifir fingulier le cours du fang dans les vaif-feaux dont elle eft parfemée ; vous croirez voir un archipel d’îles, entre lefquelles coule un courant rapide.
    • On prend aufli un têtard, ou cet animal qui eft la première forme fous laquelle paroît la grenouille ; &, après avoir enveloppé fon corps d’un linge humide & délié, l’on pofe fa queue fur le porte-objet tranfparent du microfcope , & on l’éclaire par deffous : on voit très-diftinftement le mouvement du fang, qui, dans certains vaifîeaux,
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    • Optïqüê. 315
    • marche par efpece d’ondulations, & dans d’autres d’un mouvement uniforme. Les premiers font les arteres dans lefquelles le fang marche par un effet de la pulfation alternative du cœur : les autres font les veines.
    • On peut voir aufli circuler le fang dans les jambes & queues des crevetes, en mettant ces poiffons dans l’eau avec un peu de fel ; mais leur fang n’efl: pas rouge. Les ailes des fauterelles y font auffi propres ; & l’on ne verra pas fans plaifir les globules verts de leur fang emportés par la fé-rofité dans laquelle ils nagent.
    • Les jambes tranfparentes des petites araignées , celles des petites punaifes , préfentent enfin des moyens d’obferver le mouvement de leur fang. On voit dans les dernieres une vibration extraordinaire de vaiffeaux, que M. Baker dit n’avoir vue aucune autre part.
    • Mais, de tous les fpeélacles femblables, le plus curieux eft celui que préfente le méfentere d’une grenouille vivante , appliqué fur-tout au microscope folaire, comme M. Baker dit l’avoir fait avec le dofteur Alexandre Stuard , médecin du roi d’Angleterre. On ne peut pas exprimer, dit-il, la fcene merveilleufe qui fe préfenta à nos yeux : nous vîmes dans un même inftant le fang qui rouloit dans un nombre innombrable de vaiffeaux , allant dans les uns d’un côté, & dans les autres du côté oppofé. Plufieurs de ces vaiffeaux étoient groffis au deffus d’un pouce de diamètre, & les globules du fang y paroiffoient prefque auffi gros que des grains de poivre, pendant que dans plu-lieurs beaucoup plus petits ils ne pouvoient paffer qu’un à un, & étoient obligés de changer leur figure en celle de fpéroïde oblong.
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    • 314 Récréations Mathématiques,
    • S- VL
    • De la Compojîtion du Sang.
    • Il faut prendre avec la pointe d’une plume ou un pinceau bien doux, une petite goutte de fang tout récemment tiré- de la veine ; vous l’étendrez auffi mince que vous pourrez fur une lame de talc ; alors, fi vous vous fervez d’une des plus fortes lentilles de votre microfcope , vous verrez diftintte-ment fes globules.
    • On a obfervé par ce moyen que les globules rouges du fang humain font compofés de fix autres globules plus petits , réunis en un feul ; & que lorfque , par une caufe quelconque, ils font défunis entr’eux, ils n’ont plus la couleur rouge* La petiteffe des globules rouges eft , au furplus , exceflive , leur diamètre n’étant que d’une 160e partie de ligne, enforte qu’une fphere d’une ligne de diamètre en contiendroit 4096000.
    • §. VII.
    • De la Peau, de fes Pores & de fes Ecailles.
    • Pour faire cette obfervation , il faut, avec un rafoir bien tranchant , s’enlever un morceau de l’épiderme, & l’appliquer au microfcope: vous le verrez couvert d’une multitude d’écailles extrêmement petites, fi, petites enfin , que, fuivant M* Lewenhoek , un grain de fable en peut couvrir deux cents ; c’eft-à-dire que, dans le diamètre d’un grain de fable, il y en a 14 ou 15. Ces écailles font rangées comme fur le dos d’un poiffon , ou comme les tuiles d’un toit, c’eft-à-dire en recouvrement les unes fur les autres.
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    • Optique. 315
    • Si l’on veut reconnoître plus commodément leur forme, il n’y a qu’à ratifier l’épiderme avec un canif, St mettre l’efpece de poufliere qui en proviendra, dans une goutte d’eau ; on verra avec plaifir que ces écailles font ordinairement à cinq pans , ot formées chacune en particulier comme dé plufieurs couches.
    • Au deflous de -ces écailles font les pores de l’épiderme : lorfqu’on les en a ôtées, on les apperçoit diftin&ement, comme autant de petits trous formés par une aiguille extrêmement fine. Lewenhôek en a compté 120 dans la longueur d’une ligne ; enforte qu’une ligne quarrée , dont 10 forment le pouce, en contiendroient 14400; un pied quarré, par conféquent, 144000000 ; St, comme la fur-face du corps humain peut être eftimée de 14 pieds quarrés -9 elle en contiendra 2016 millions.
    • A chacun de ces pores répond dans la peau même un tuyau excrétoire , dans lequel fe plonge l’épiderme qui en revêt intérieurement le bord. Lorfque l’épiderme a été détaché de defliis la peau, on apperqoit par derrière ces prolongements intérieurs de l’épiderme, comme, quand on a percé un papier avec une aiguille peu tranchante, on voit au verfo de la feuille , la bavure faite par la furface qui a été enfoncée St déchirée.
    • Les pores de la peau font fur-tout remarquables dans les mains St aux pieds. On n’a qu’à fe bien laver les mains avec du favon, St confidérer la paume de la main avec un verre ordinaire ; on verra une multitude de filions, entre lefquels font les pores. Si l’on eft dans un état de fueur, on aura un grand plaifir à voir fortir de chacun de ces trous une goutte infenfible de liqueur, qui donnera à chaque pore l’apparence d’une fontaine.
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    • jis Récréations Mathématiques.
    • §. VIII.
    • Des Poils des Animaux.
    • Les poils des animaux , vus au microfcopey paroiffent être des corps organifés , comme les autres parties du corps humain, & préfentent la matière de beaucoup d’obfervations agréables, par la variété de leur conformation & contexture. La plupart paroiffent compofés de fibres creufées en tube, longues & minces, ou de plufieurs petits poils recouverts d’une écorce commune : quelques autres font percés de part en part & dans toute leur longueur ; tels font ceux des cerfs de l’Inde. Le poil de la mouftache d’un chat, coupé en travers , préfente l’apparence d’une partie médullaire , qui régné dans fa longueur comme dans une tige de fureau. Ceux du hériffon ont une vraie moelle , qui eft blanchâtre & étoilée.
    • On n’eft cependant pas encore entièrement affuré de l’organifation du cheveu humain. Des obfervateurs qui ont vu au milieu d’un cheveu une ligne blanchâtre, en ont tiré la conféquence que c’étoit un vaiffeau qui portoit jufqu’à l’extrémité un fuc nutritif. D’autres conteftent cette obferva-tion, & prétendent que ce n’eft qu’une apparence optique formée par la convexité du cheveu. Il pa-roît cependant que le cheveu doit porter dans fa longueur quelque vaiffeau, s’il eft vrai qu’on a vu, dans des perfonnes attaquées de la plicapolonica , des cheveux étant coupés, jeter du fang par l’extrémité. Mais cette obfervation eft-elle sûre ?
    • §• IX.
    • Singularités des Yeux dans la plupart des Infecles.
    • La plupart des infeftes n’ont point les yeux
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    • mobiles, & couverts à volonté d’une paupière, comme le refte des animaux : cet organe eft, chez les premiers, abfolument immobile ; & comme il manque de cette couverture utile qu’ont les autres pour les défendre, la nature y a pourvu en la formant d’une fubftance cornée, & propre à réfifter aux chocs auxquels il eft expofé.
    • Mais ce n’eft pas en cela que confifte la grande fingularité des yeux des infe&es. Le microfcope nous a appris que ces yeux étoient eux-mêmes di-vifés en une multitude prodigieufe d’autres yeux plus petits. Prenons , par exemple , une mouche commune, & examinons fes yeux au microfcope: nous trouverons d’abord aux deux côtés de fa têté deux vaftes bourrelets, comme deux hémifpheres applatis. On peut voir cela fans microfcope ; mais, pat fon moyen, nous verrons ces bourrelets hé-mifphér.iques divifés en une multitude prodigieufe de rhomboïdes , ayant au milieu une convexité lenticulaire qui fait l’office de cryftallïn. Hodierna en a compté plus de 3000 fur l’un des yeux d’une mouche commune ; M. Puget en a compté 8000 fur chacun des yeux d’une mouche d’une autre efpece ; enforte qu’il y a de ces inléâes qui ont jufqu’à 16000 yeux : il y en a même qui en ont une plus grande quantité encore, Lewenhoek en ayant compté jufqu’à 14000 fur chaque œil d’un autre infe&e.
    • Ces yeux, au furplus, ne font pas difpofés fur tous de la mêmè maniéré ; la petite demoifelle a , par exemple, indépendamment des deux bourrelets prefque hémifphériques latéraux, deux autres éminences entre deux, dont la furface fupé-rieure & convexe eft aulîi garnie d’une multitude d’yeux qui regardent le ciel. Le même infe&e en
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    • 318 Récréations Mathématiques. a enfin trois en forme dé cône obtus & arrondi fur le front. La mouche eft dans le même cas , mais ces yeux font chez elle moins relevés.
    • C’eft , dit Lewenhoek, un charmant fpe&acle que de confidérer cette mafle d’yeux fur ces infectes; car, fi l’on eft placé d’une certaine maniéré, les objets voifins fe peignent fur ces éminences fphériques d’un diamètre exceffivement petit ; & on les apperçoit, avec le microfcope, multipliés prefque autant de fois qu’il y a d’yeux , avec une diftinétion parfaite, & que l’art ne fçauroït jamais atteindre.
    • Il y auroit une multitude d’autres chofes à dire fur les organes des infe&es, & leur merveilleufe variété & conformation ; mais nous réfervons cela pour un autre endroit.
    • S- x.
    • jDes Mites du fromage , & autres.
    • Mettez fur le porte-objet du microfcope, de la poufliere qui fe forme fur l’écorce & aux environs de diverfes efpeces de fromages vieux; vous la verrez fourmiller d’une multitude dé petits animaux tranfparents, de figure ovale terminée en pointe & en forme de groin : ils font munis de huit jambes écailleufes &: articulées, au moyen def-quelles ils fe traînent lourdement & languiffam-ment de côté & d’autre : leur tête eft terminée par un corps obtus & en forme de cône tronqué , où eft apparemment placé l’organe par lequel ils fe nourriffent. Plufieurs poils fort longs & terminés en pointe font placés fur leurs corps, & principalement fur les parties latérales. On apperçoit enfin l’anus bordé de poils dans la partie inférieure du ventre.
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    • Il y a d’autres efpeces de mites qui n’ont que lîx jambes , St qui font conféquemment d’une efpece différente.
    • Il y en a d’autres qui font vagabondes, St qu’on trouve par-tout dans les endroits oit il y a des matières propres à les nourrir.
    • Cet animal , au refte , eft très - vivace ; car Lewenhoek dit en avoir attaché une fur une épingle devant fon microfcope, St qu’elle vécut ainfi pendant onze femaines.
    • §. XI.
    • Le Pou & la Puce,
    • Voilà deux animaux bien défagréables, fur-tout le premier, St ils ne paroiffent guere propres à être la matière d’une obfervation intéreflante. Mais, pour le philofophe, il n’eft point d’objet hideux dans la nature, parceque cette difformité n’eft que relative, St que l’animal le plus affreux préfente fouvent des Angularités qui font mieux éclater l’infinie variété des oeuvres du Créateur.
    • Prenez un pou, St faites-le jeûner une couple de jours ; mettez-le enfuite fur votre main : vous le verrez, preffé par la faim , s’y fixer bien vite , St enfoncer fon fuçoir dans votre peau. Si alors vous le confidérez au microfcope, vous appercevrez à travers fa peau votre fang couler, fous la forme d’un petit ruiffeau, dans fon ventricule ou le vaif-feau qui en tient lieu , St de-là fe diftribuer dans d’autres parties, qu’on voit s’enfler par fon abord.
    • Cet animal eft un des plus hideux qu’on puiffe Voir : fa tête eft triangulaire, St terminée en une pointe aiguë , qui donne naiflance à fa trompe ou fuçoir : aux deux côtés de la tête, Sc un peu loin
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    • 320 Récréations Mathématiques. de fa pointe antérieure, font placées deux grofles antennes garnies de poils, & derrière, vers les deux autres angles émoufles du triangle , font les deux yeux de l’animal : elle eft liée, par un court étranglement, au corcelet, qui porte fix jambes garnies de poil à leurs articulations, & de deux crochets à chaque bout. Le ventre eft pref-que tranfparent par deflbus , & porte fur fes côtés des efpeces de tubercules, dont les derniers font garnis de deux crochets. M. Hook en a donné dans fa Micrographie une figure d’environ un demi pied de large. Quand on a vu la repré-fentation de cet animal, on n’eft plus furpris des démangeaifons qu’il caufe fur la peau de ceux que leur malpropreté y rend fujets.
    • La puce a beaucoup de reflemblance à la chevrette , ayant fon dos arqué comme cet animal. Elle eft comme cuiraffée par dé larges écailles placées en recouvrement les unes fur les autres fur tout fon corps : fa partie poftérieure & arrondie , eft fort grofle relativement au furpîus du corps : fa tête eft recouverte d’une écaille d’une feule piece ; & du devant partent trois efpeces de tarières avec lefquelles l’infe&e fuce le fang des animaux : fix jambes, dont les cuifles font dé-méfurément grofles, & dont la première paire eft auffi déméfurément longue, fervent à éxécu-ter fes mouvements. La groffeur confidérable des cuifles eft fans doute deftinée à renfermer les mufcles puiflants qui font néceflaires pour porter l’infe&e à une hauteur ou une diftance égale à plufieurs centaines de fois fa longeur: il falloit aufli que, deftiné à exécuter ces fauts, il fût puifi-famment armé contre les chutes qu’il devoit faire ; & c’eft à quoi la nature a pourvu par fon armure écailleufe.
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    • ëcailleufe. Vous trouverez dans Hook & dans Jo-blot la figure de la puce , ainfi que celle du pou , énormément groffies.
    • § . XII.
    • La Moifijfure.
    • Il n’eft rien de fi curieux que ce que préfente la moififlure vue au microfcope. On feroit tenté, en la confidérant à la vue fimple, de la regarder comme un plexus toüt-à-fait irrégulier de filaments ; mais le microfcope nous apprend que ce n’eft autre chofe qu’une petite forêt de plantes , qui prennent leur nourriture fur le fond humide, & tendant à fa décoifipofition, qui leur fert de bafe. Ondiftingue leurs tiges , & fur quelques-unes leurs boutons , les uns fermés, les autres épanouis. M. le baron de Munchaufen a fait plus : en confidérant avec la plus grande attention ces pîantules, il a reconnu qu’elles font fort analogues aux champignons. Ce ne font enfin que des champignons microfcopi-ques , dont le chapiteau, parvenu à fa maturité , jette une poufliere comme infiniment tenue , qui eft fa femence. Cette femence, tombant dans lés endroits propres à la recevoir, y germe à fon tour, & produit des plantes femblables, qui parviennent à leur grandeur dans fort peu de temps , & jettent elles-mêmes leur femence. On fçait que les champignons prennent leur accroiffement dans une nuit : ceux dont nous parlons, plus rapides pref-que en raifon inverfe de leur grandeur, prennent leur accroiffement en peu d’heures. De-là la rapidité avec laquelle la moififlure fait fes progrès.
    • Voici encore une obfervation fort curieufe de ce genre, faite par M. Ahlefeld de Gieffen. Ayant remarqué des pierres couvertes d’une forte de Tome II. X
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    • yii Récréations Mathématiques.
    • pouffiere, il eut la curioftté d’examiner au microf-cope ce que c’étoit. Il trouva, à Ton grand étonnement , que c’étoient de petits champignons mi-crofcopiques,élevés fur des pédicules fort courts, & dont la tête, arrondie au milieu , étoit retrouf-fée fur les bords : ils étoient auffi ftriés du centre à la circonférence , comme le font certains champignons. Il remarqua encore qu’ils contenoient au deffus de leur enveloppe fupérieure une multitude de petits grains.femblables à des cerifes un peu ap-platies. C’étoient probablement les femences de ces champignons. Il vit enfin dans cette forêt de petits champignons , plufieurs petits infe&es rouges, qui fans doute s’en nourriffoient. Voy&{ les A&esdeLeipfik, année 1739.
    • §. XIII.
    • La Pouffiere du Lycoperdon.
    • Le lycoperdon , ou vefle de loup , eft une plante de la claffe des fungus,qui croît fous la forme d’un gros tubercule chagriné. Si on le preffe avec le pied, il éclate en jetant une pouffiere extrêmement déliée, & qui reffemble à une fumée. Il en refte ordinairement une allez grande quantité dans la cavité entr’ouverte de la plante. Si on la met fur le porte-objet du microfcope, on la voit fous la forme de globules parfaitement fphériques, de couleur orangée , & dont le diamètre n’eft guçre que la 50e partie de celui d’un cheveu ; enforte que chaque grain de cette pouffiere n’eft guère que là 125000e partie d’un globule qui auroit un diamètre égal à un cheveu. Quelques lycoperdons donnent des fphérules plus brunes, & attachées à un petit pédicule. Cette pouffiere eft fans doute la femence de cette plante anomale.
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    • Optique.
    • §. XIV.
    • De la PouJJiere des étamines des Fleurs.
    • Il n’y a pas encore long-temps qu’on a reconnu l’utilité de cette poufliçFe dans l’économie végétale. L’or» croyoit auparavant qu’elle n’étoit qu’un excrément des fucs de la fleur ; mais le miprofcppe a fait découvrir qpe cette poufliere étoit régulièrement & uniformément Ofganifée dans chaque pece de fleur. Ainfi, dans la mauve , chaque grain eft une balle opaque, hériflee de pointes. La pouf-liere de la tulipe & de la plupart des liliacées, (oi| plantes de là famille des lis), eft reflemblanteà la femençe des concombres & melpns. Celle du pavot reflemble à un grain d’orge, avec une rainure dans fa longueur.
    • Mais l’obfervation a appris de plus, que cette poufliere n’eft elle - même qu’une capfule qui en contient une autre incomparablement plus menue ; & c’eft celle-ci qui eft la vraie poufliere fécondante des plantes.
    • S- xv.
    • Les Trous apparents de quelques feuilles de Plantes.
    • Il y a certaines plantes dont les feuilles paroif-fent percées d’une multitude de petits trous ; telle eft, en particulier, celle que les botaniftes appellent hypericum, ou qu’on nomme vulgairement le millepertuis : mais fi l’on expofe un fragment de feuille de cette plante au microfcope , on apper-qoit que ce qu’on àvoit pris pour des trous n’en eft point ; que ces trous prétendus font des véfi-cules engagées dans l’épaifleur de la feuille, recouvertes d’une membrane extrêmement déliée >
    • Xij
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    • 314 Récréations Mathématiques. enfin, qu’elles font le réfervoir de l’huile effentïèlle & odorante qui eft particulière à cette plante.
    • §. XVI.
    • Le Duvet des Plantes.
    • C’éft un curieux fpe&acle que celui que préfen-tent les plantes qui ont du duvet, comme les bourraches , les orties , &c. Lorfqu’on les regarde au microfcope, on les voit hériflees d’épines à faire horreur. Celles de la bourrache font pour la plupart coudées ; &, quoique réellement très-près , on les voit au microfcope affez éloignées les unes des autres. Si l’on n’étoit pas prévenu, l’on croiroit voir la peau d’un porc-épic.
    • $. XVII.
    • Des Etincelles qu'on tire P un fujîl d'acier avec une
    • Si, avec une pierre à fulîl, on tire des étincelles d’un morceau .d’acier, & qu’on les faffe tomber fur un papier, on trouvera que ce font pour la plupart des globules formés de petites parties d’a--cier détachées par le choc, & fondues par le frottement. M. Hook en a obfèrvé qui étoient parfaitement polies, & réfléchiffoient avec vivacité l’image de la fenêtre voifine. Lorfqu’elles font dans cet état, elles font attirables à l’aimant ; mais très-fréquemment elles font réduites par la fufion •en uneefpece de fcorie, & alors l’aimant ne les attire plus. On en dira ailleurs la caufe. On ne fera au refte point furpris de cette fufion, quand on Içaura que les corps les plus difficiles à liqué-
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    • Optique. 3M
    • fier, n’ont befoin pour cela que d’être réduits en particules allez minces
    • §. XVIII.
    • Les afpéritès des corps qui paroijfent les plus polis & les plus tranchants.
    • Expofez au microfcope l’aiguille la plus pointue en apparence ; elle vous paroîtra n’avoir qu’une pointe émouffée, inégale éc irrégulière, dont la forme reffembie à celle d’une cheville rompue par le bout.
    • Il en eft de même du tranchant d’un rafoir le mieux affilé. Ce tranchant y vu au microfcope , reffembie au dos d’un canif, & préfente de distance en diftance des dentelures comme une fcie, mais irrégulières.
    • Si l’on confidere enfin avec le microfcope la furface d’un verre poli avec foin, on fera fort étonné du fpeétacte que préfentera cette furface : on la verra toute filïonnée, & remplie d’afpéri-tés qui réfléchiffent la lumière irrégulièrement » en la colorant; Il en eft de même de l’acier polir avec le plus de foin*
    • L’art eft à cet égard bien au deffous de la nature ; car fi les ouvrages que cette derniere a en quelque forte travaillés & polis, font expofés au microfcope, ils n’ÿ perdent point leur poli ; il n’en paroîtra même que plus, éclatant. Lorfqu’on confidere avec cet inftrument les yeux d’une mouche, s’ils font éclairés d?un .flambeau, chacun d’eux en préfente l’image avec une netteté & une vivacité dont rien n’approche*.
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    • }i6 Récréations Mathématiques.
    • §• XIX.
    • Des Sables vus au Microfcope.
    • Il y a, comme Von ftjâit, des fables calcaires , il y en â de vitriïkbles. Les premiers * yuS au mi* crofcope , reffemblent en grande partie à de gros morceaux irréguliers de pierre ; mais les vitreux prèféhtéht lé fpé&àcié le plüS èurièü*.' Lorftjüè ce fôWt dés fàbîei Mrtilés ? Oh appértjoit të'mmé Autant dé diamartft bruts , & quelquefois polis. Il y a un ï^rtàih fàble qui-, vu au micfbfcope -, parôît êtbé un affemblage de diamants , de rubis, d’émetâû-d’es : ütn autre, xonfidéré de la même manière, fait vôit dès embrions prefque infiniment petits de coquillages.
    • §. XX..
    • Les Pores du Charbon.
    • M. Hook a eu la curiofi te.d’examiner avec un microfcope là contexture d’un charbon : il Va trouvé tout criblé de poires difpoféspar ordre j ,$C tràvêrfant toute fa longueur, enforte qu’il n’y a point de charbon le long duquel l’air ne s’intro-’duife. "Cet obfervateur a compté dans la 18e partie d’un pouce, 150 de ces pores ; d’où il fuit qüè -, dàhs un èhârbôn'd’tin pbh'ce de diamètre, il ÿ'efi a environ '5 y içcrot).
    • Nous n’avons pu & flous n’àvofls dû donner ici qu’un précis très-abrégé de cttré matière ; mais * pour fuppléer àcequenous n’avons pu dire, hou* allons indiquer les principaux livres qui contiennent dès obfervatiowmicrôgraphiques , & les auteurs qui fe font principalement adonnés à cé genre d’obfervations. Tel eft d’abord le pere
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    • Optïqvè. 517
    • Boftamiï, défaite, auteur da livre intitulé, Ricrea-fione dtWochio è dclla mente, dont une partie roule uniquement fur cet objet. Le célébré Lewen-hoek a paffé prefque toute fa vie dans la même occupation, & aexpofé fes obfervations dans fes Arcana Naium; Le fameux Hook a donné un ouvrage très - curieux fur le même fujet, intitulé Micrographie!. On trouve dans tous les journaux & mémoires de fociétés fçavantes, nombre d’ob-fervations de ce genre, éparfes de côtés & d’autres. Mais perfonne n’a fait fur çette matière autant d’obfervations fuivies que M. Joblot, de qui nous avons un volume in-40, intitulé Defcription & ufages de plufeurs nouveaux Microfcopes , &c. avec de nouv. obfervat. fur une multitude innombrable d*Infectes, &c, qui naiffent dans les liqueurs, &c. ( Paris, 1716). Il a fait infufer dans l’eau une multitude de fubftances différentes , & a fait graver les figures des petits animaux qui y ont pris naiffance ; il a même donné à la plupart, des noms tirés de leur reffemblance avec des corps connus , ou d’autres crrconftances. rMais nous nous bornons à renvoyer 1e 'lë&éttr et" cet ouvrage, qui' à reparti en 1754 fort augmenté, & fous ce titre : Obfervations d'Hifoire Naturelle, faites avec le Microfcope fur un grand nombre d'infectes, 6* fur les Animalcules qui fe trouvent dans les liqueurs préparées 6* non préparées, &c ; in-40, avec une multitude de planches (à). M. Needham donna en 1750 fon ouvrage intitulé, Nouvelles Obfervations microfcopiques. On lit dans YHifoire Naturelle de M. de Buffon, fes obfervations propres fur les molécules
    • (<z) Cet ouvrage, qui eft très-curieux, fe trouve à Paris, chez Jombert, rue Dauphine*
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    • 3*8 Récréations Mathématiques.
    • ou prétendus animaux de- la femence des animaux. On a encore l’ouvrage de Baker, intitulé , Traite du Microfcope, ou le Microfcope à la portée de tout le monde, traduit de l’anglois ; in-8°, Paris , 1754. La première partie de l’ouvrage contient les defcriptions de Vapparatus, & de l’ufage de divers microfcopes ; & la fécondé, un affez long détail des obfervations microfcopiques faites fur les divers objets de la nature. Cet ouvrage a eu tin grand fuccès en Angleterre , & efl: finguliére-ment inftruétif fur cette matière. M. l’abbé Spa-lanzani a fait enfin imprimer en italien les obfervations microfcopiques, où il contredit plufieurs fois M. Needham: on en a une traduction françoife, s. imprimée à Paris, (1769, in-8°), qui a pour titre , \ Nouvelles Obfervations Microfcopiques, avec des notes de ce dernier phyficien. Ajoutez à cela divers Mémoires imprimés dans le Journal de Pky-Jique de M. l’abbé Rozier , dont les auteurs font MM. Fontana, Roffredi, Spalanzani, &c. & vous aurez à peu près la connoiflânce de tous les écrits qui ont paru jufqu’à ce moment fur cette matière, ou du moijis des principaux d’entr’eux.
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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES.
    • CINQUIEME PARTIE,
    • Contenant ce quil y a de plus curieux dans l'Acouflique & la Mufique.
    • LE S anciens ne paroiffent pas avoir confidéré les Tons fous un autre point de vue que celui de la mufique, c’eft-à-dire comme affeâant agréablement l’oreille ; il eft même fort douteux qu’ils aient connu quelque chofe de plus que la mélodie, & qu’ils aient eu rien de femblable à cet art que nous appelions la compojition. Mais les modernes ayant confidéré les fons du côté purement phyfi-que, & ayant fait dans ce champ négligé par les anciens plufîeurs découvertes, il en eft né une fcience toute nouvelle, à laquelle on a donné le
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    • §3<> Récusations Mathématiques. 7
    • nom d’acœflique. L’acouftique eiî; doue la fciemee des fous confidéres en général fous des vues mathématiques & phyfiques ; & elle comprend fous elle la mufique, qui çonfidere les rapports des fons entant qu’agréables au fens de fouie, Toit par leur fucçeffion, ce qui conftitue la-m&odu; foit par leur flmultanéité, ce qui forme l'harmonie. Nous allons rapporter brièvement ce qu’il y a de plus curieux & de plus intéreffant fur cette fcieace.
    • ARTICLE PREMIER.
    • En quoi conjijle le fon: comment il Je répand & fe tranfmet à notre organe -, expériences relatives à cet objet: des diverses maniérés de produire le fon.
    • LE fon n’eft autre choie que le frëmiflêment des parties de l’air , occasionné ou par la commotion fubite d’une inaiTe quelconque d’air tout-à-coup relferrée ou dilatée, ou par la communication de l’ébranlement des parties infenfi-bles d’un corps dur & élaftique.
    • Telles font les deux maniérés les plus connues de produire du fon. L’cxplofion d’un coup de pif-tolet ou d’arme à feu, produit du bruit ou du fon, pareeque l’air ou le fluide ëiaflique contenu dans la poudre étant tout-à-coup dilaté , & frappant avec violence l’air extérieur & voifm, le condenfe Subitement au-delà de fon état naturel de con-denfation caufée par le poids de l’atmofphere. Cette malTe, en vertu de fon refïbrt, fe reftitue Finflanï après, & comprime à fon tour l’air dont
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    • ACôüStïQùfc ét Mûsiqüe. 33i
    • éîlé êft Environnée, & celür-fci en fait de même ; & ainfi fucceflivemeut de loin en loin : d’où ré-fùlte dans toutes les parties de l’air , jufqu’à une certaine diftance , un mouvement d’ofcillation dans Jequel confifte le fon.
    • Pour s’en former une idée, qu’on conçoive une file de ïêfforts Te foutenant tous en équilibre ; que le premier foit tout-à-coup comprimé violemment par un choc ou autrement : en faifant effort pour fe refti'tuer, il comprimera celui qui fuit, celpi-ci comprimera le troineme, & ainfi de fuite jufqu’au dernier, ou au moins jufqu’à une très-grande distance , car le fécond fera un peu moins comprimé que le premier, le troifieipe un peu moins que le fécond , fctc ; enforte qu’à une diftance plus ou moins grande, la compreffion fera prefque nulle, & enfin nulle; Mais chacun de ces reflbrts , en fe rétabliffant, paffera un peu le point d’équilibre ; ce qui occàfionnera dans toute ta file mife en mouvement -, une vibration qui durera plus ou moins long-temps, & ceftera enfin. De-là vient qu’aucun fon n’eift inftantanée, mais dure toujours plus ou moins , fuivant les circonftances.
    • L’autre maniéré de former du fon, confifte à produire dans un corps élaftique, des vibrations aflez promptes pour exciter dans les parties de l’air qui l’avoifinent un mouvement femblable. C’eft ainfi qu’une corde tendue rend un fon quand on la pince : il ne faut qu’avoir des yeux pour apper-cevoir fes allées & venues. Les parties élaftiques dè l’atr, 'frappées pat cet-tè Oorde dans fes vibrations , font ftiifes elles-mêmes en vibration, & communiquent ce mouvement à leurs voifines, &c. Tel eft encore le mécanifme par lequel une cloche produit du fon : lorfqu’on la frappe, fes
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    • 33i Récréations Mathématiques, vibrations font fenfibles à la main de celui qui la touche.
    • Si l’on doutoit des faits ci-deffus, voici quelques expériences qui les mettent dans un nouveau jour.
    • Première Expérience.
    • Remplirez à moitié d’eau un vafe , comme un verre à boire, &, après l’avoir affermi, paflez fur le bord votre doigt un peu mouillé : vous en tirerez un fon , & vous verrez en même temps l’eau frémir, & former des ondulations, jufqu’à faire réjaillir de petites gouttes. Qui peut produire dans l’eau un pareil mouvement, linon les vibrations des parties du verre }
    • Seconde Expérience.
    • Si l’on renferme fous le récipient d’une machine pneumatique, une cloche qui ne touche à aucune partie de la machine , & qu’on en pompe Pair : lorfqu’on fera fonner cette cloche, on fentira qu’à mefure que l’air eft évacué & devient plus rare, le fon s’affoibüt, au point de ne plus rien entendre quand le vuide eft auffî parfait qu’il eft poffible. Qu’on rende Pair peu à peu, le fon renaîtra, pour ainfi dire, & augmentera à mefure que Pair contenu dans la machine approchera de la confti-tution de celui de l’atmofphere.
    • De ces deux expériences il réfulte que le fon ; confidéré dans les corps timorés, n’eft autre chofe que les vibrations fuffifamment promptes de leurs parties infenfibles ; que Pair en eft le véhicule, & qu’il le tranfmet d’autant mieux, que, par fa den-
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    • Acoustique et Musique. 333 fité, il eft plus capable de recevoir lui-même dans fes parties un mouvement femblable.
    • A l’égard de la maniéré dont le fon affe&e notre ame , on doit fçavoir qu’à l’entrée de l’oreille interne , qui contient les différentes parties de l’organe de l’ouïe, eft une membrane tendue comme celle d’un tambour, à laquelle on donne aufli le nom de tympan de Coreille. Il eft fort probable que les vibrations de l’air, produites par le corps fonore, en excitent dans cette membrane ; que celles-ci en produifent de femblables dans l’air dont la cavité de l’oreille interne eft remplie, & que le retentiffement y eft augmenté par la conf-tru&ion particulière & les circonvolutions tant des canaux demi-circulaires que du limaçon ; ce qui occafîonne enfin dans les nerfs dont ce limaçon eft tapifle, un mouvement qui fe tranfmet au cerveau , & par lequel l’ame reçoit la perception du fon. Il faut s’arrêter ici, car il n’eft pas pofli-ble de fçavoir comment le mouvement des nerfs peut affe&er l’ame : mais il nous fuffit de fçavoir par l’expérience , que les nerfs font, pour ainfi dire , les médiateurs entre cette fubftance qui forme notre ame, & les objets extérieurs & fen-fibles.
    • Le fon ne tarde pas à cefler, dès que les vibrations du corps fonore ceflent ou deviennent trop foibles. C’eft ce que l’expérience montre encore ; car lorfque , par le contaft d’un corps mou , on amortit ces vibrations dans le corps fonore, le fon femble cefler tout-à-coup. C’eft pour cela que, dans la conftruttion d’un claveflin, les fau-tereaux font garnis d’un morceau de drap, afin qu’en retombant il touche la corde, & amortifle fes vibrations. Au contraire, lorfque le corps fo-
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    • 534 Récréations Mathématiques1.
    • nore eft, par Ta nature , en état de continue^ Tes vibrations pendant long temps, comme l’eft une groffe cloche, le fon continue long-temps après le coup : c’eft ce qu’il n’y a perfonne qui n’ait rer marqué, en entendant Tonner une cloche d’une capacité un peu eoniidérable.
    • ARTICLE IL
    • Sur la viteffe du fon : expériences pour la déterminer : maniéré de mefurer les dif-tances par ce moyen.
    • IL n’en eft pas du Ton comme de la lumière, qui Te tranfmet d’un lieu à un autre avec une rapidité inconcevable. l,a viteffe du fon eft affez médiocre, & eft à peine de 200 toi Tes par fécondé. Voici comment on l’a mefurée.
    • A l’extrémité d’une diftance de quelques milliers de toifes, qu’on tire un coup de canon ; qu’un obferyateur, placé à l’autre extrémité avec un pendule à fécondés, ou, çe qui fera mieux , avec un pendule à demi-fecondes, foit attentif au moment où il apperçoit le feu, & laiffe dans le même inftant échapper fon pendule ; qu’il compte le nombre des fécondés ou demi-fecondes écoulées depuis le moment où il a apperçu le feu §C lâché fon pendule , jufqu’au moment où il entend le bruit de l’explofion : il eft évident que, fi l’on regarde le moment où il a apperçu le feu comme le montent de l’explofion, il n’aura qu’à divifer par le nombre des fécondés ou des demi-fecondes comptées, celui des to.ifes que comprend la diftance pù il eft du canon, & il aura le nombre
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    • Acoustique et Musique. 333 de toifes parcourues par le fon en une fécondé ou une demi-féconde.
    • Or l’on peut prendre le moment où l’on apper-çoit le feu, à quelque diftance que l’on foit, pour le vrai moment de l’explofion ; car la viteffe de la lumière eft telle , qu’elle met à peine une fécondé à parcourir 40 demi-diamètres de la terre , ou environ 60 mille de nos lieues.
    • C’eft par de femblables expériences que MM. de l’Académie royale des Sciences ont anciennement trouvé que le fon parcouroit dans une fécondé 117a pieds de Paris. MM. Flamfteed ôc Halley ont trouvé 1171 pieds anglois , qui fe ré-duifent à 1070 pieds de France. Comme il eft bien difficile de fe déterminer entre ces autorités 9 nous prendrons pour la viteffe moyenne du fon la quantité de 1120 pieds de France.
    • 11 eft à remarquer que, fuivant les expériences de M. Derham , la température de l’air, quelle qu’elle1 foit, feche ou humide, froide, tempérée , ou chaude, ne fait point varier la viteffe du fon. Il étoit à portée de voir la lumière & d’entendre le bruit du canon qu’on tiroit fréquemment à Blacheat, éloigné de 9 à 10 milles, d’Upminfter, lieu de fa demeure. Quel que fut le temps, pourvu qu’il n’y eût point de vent, il comptoit toujours le même nombre de demi-fecondes entre le moment où il appercevoit le feu & celui où il enten-doit le bruit : mais quand il y avoit du vent qui portoit de l’un à l’autre de ces lieux, ce nombre varioit de 1 n jufqu’à 122 fécondés. On conçoit en effet que le vent tranfportant le fluide mis en vibration du côté de l’obfervateur, elles doivent plutôt l’atteindre que fi ce fluide étoit en repos, ou mu en fens contraire.
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    • 336 Récréations Mathématiques*
    • Quoi qu’en dife néanmoins M. Derham, nous ne pouvons nous perfuader que la température de l’air ne faffe rien à la viteffe du fon ; car un air plus chaud, & par conféquent plus raréfié ou plus élaftique, doit avoir des vibrations plus promptes. Cette observation feroit à réitérer avec plus de foin.
    • On pourra donc mefurer une diftance inaccef-lible au moyen du fon. Pour cela, qu’on fe faffe un pendule à demi - fécondés, au moyen d’une balle de plomb d’un demi-pouce de diamètre, qu’on fuf-pendra à un fil, de maniéré que, du centre de la balle au point de fufpenfion, il y ait précifément c> pouces 2 lignes du pied-de-roi; qu’au moment où l’on appercevra la lumière de l’explofion d’un canon ou d’un moufquet, on laiffe aller ce pendule , & qu’on compte les vibrations jufqu’au moment où l’on entend le bruit : il eft évident qu’il n’y aura qu’à multiplier par ce nombre celui de 560 pieds, & l’on aura la diftance où l’on eft de l’origine du bruit.
    • On fuppofe le temps calme, ou du moins que le vent ne foit que tranfverfal. Si le vent fouffloit du lieu où s’eft faite l’explofion vers l’obfervateur, & qu’il fût violent , il faudroit ajouter à la diftance trouvée autant de fois deux toifes ou 12 pieds, que l’on aura compté de demi-fecondes ; & au contraire il faudra les ôter, fi le vent fouffie de l’obfervateur vers le lieu où fe fait le bruit.-On fçait en effet qu’un vent violent fait parcourir à l’air environ 4 toifes par fécondé ; ce qui eft à peu près un 42* de la viteffe du fon. Si le vent eft médiocre, on pourroit ajouter ou ôter un 84® ;
    • s’il étoit foible , quoique fenfible, un 168e: mais je crois, du moins dans le dernier cas, cette corre&ion
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    • Acoustique et Musique. 337 correélion fuperflue ; car peut-on fe flatter de ne pas fe tromper d’un 168e dans la mefure du
    • Il fe préfente chaque jour, dans les rades & fur les côtes de la mer, l’occafion de mefurer ainlï des diftances.
    • Le moyen qu’on vient de décrire peut fervir, dans les temps d’orage, à juger de la diftance où l’on eft du foyer de l’explofion. Mais comme on peut n’avoir pas fous fa main un pendule pareil à celui que nous avons décrit, on pourra fe fervir , au lieu de pendule, des battements de fon pouls , en obfervant que , lorfqu’il efl: très - tranquille , l’intervalle entre chaque battement équivaut à peu près à une fécondé ; mais quand le pouls efl un peu agité & élevé , chaque battement ne vaut guere que deux tiers de fécondé.
    • ARTICLE III.
    • Comment les fins peuvent fi répandre dans tous les fins fins confufion.
    • C’Est un phénomène affez fingulier, que celui que préfente la tranfmiflion des fons; car, que plufieurs perfonnes parlent à-la-fois, ou jouent de quelqu’inftrument, leurs fons différents fe font entendre à-la-fois , ou à la même oreille, ou à plufieurs oreilles différentes , fans qu’ils fe confondent en traverfant le même milieu dans des fens différents, ou qu’ils s’amortiflent mutuellement. Tâchons de rendre une raifon fenfible de ce phénomène.
    • Cette raifon réfide fans doute dans la propriété Tome II. Y
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    • 338 Récréations Mathématique*. des corps élaftiques. Qu’on conçoive une file de globules à reffott égaux , &. tous appuyés les uns contre les autres ; qu’un globule vienne frapper avec une vitefle quelconque le premier de la file : on fçait que, dans un temps très-court, le mouvement fe tranfmettra à l’autre extrémité, en-forte que le dernier globule en recevra le même mouvement que s’il avoit été choqué immédiatement. Je fuppofe maintenant que deux globules vînflent à-la-fois choquer, avec des vitefles inégales , les deux extrémités de la file, le globule a 15, l’extrémité A, & le globule b l’extrémité B ; il eft 1. certain, par les propriétés connues des corps élaftiques , que les globules a & b9 après un inftant de repos, feront repouffes en arriéré , en faifant échange de vitefle, comme s’ils fe fuflent choqués immédiatement.
    • Soit à prefent une fécondé file de globules, qui coupe la première tranfverfalement ; les mouvements de cette fécondé fe transmettront, au moyen du globule commun, aux deux files; ils fe tranfmettront, dis-je, d’un bout à l’autre de cette file, tout comme fi elle étoit unique, ainfi que dans la première : il en feroit de même , fi deux, trois, quatre ou plus de files fe croifoient avec la première, ou dans le même point, ou dans des points différents. Les mouvements particuliers imprimés au commencement de chaque file, fe tranfmettroient à l’autre bout, tout comme fi elle étoit ifolée.
    • Cette comparaifon me paroît propre à faire fentir comment plusieurs fons fe tranfmettent dans tous les fens, à l’aide du même milieu : il y a cependant quelques petites différences que nous ne devons pas diflimuler.
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    • Acoustique et Musique. 339
    • Car premièrement on ne doit pas concevoir i’air, qui eft le véhicule du fon , comme compofé de files élaftiques, difpofées auffi régulièrement que nous l’avons fuppofé ; chaque particule de l’air eft fans doute appuyée fur plufieurs autres à-la-fois, & ion mouvement fe communique parla en tout fe ns ; de-là vient auffi que lé fon , qui parviendroit à une diftance très-grande , prefque fans aucune diminution, s’il fe communiquoit comme on l’a fuppofé, en éprouve une confidé-rable à mefure qu’il s’éloigne du corps qui le produit. Il y a cependant apparence que, quoique le mouvement par lequel fe tranfmet le fon foit plus compliqué , il fe réduit, en dernière analyfe, à quelque chofe de femblable à celui qu’on a décrit
    • La fécondé différence confifte , en ce que les particules de l’air, qui affeéfent immédiatement le fens de l’ouïe, n’ont pas un mouvement de tranflation comme le dernier globule de la file , qui part avec une viteffe plus ou moins grande, à l’occafion du .choc fait à l’autre extrémité de la file : il n’eft queftion dans l’air que d’un mouvement de frémiffement &: de vibration , qui, en vertu de l’élafticité des particules aériennes , fe tranfmet à l’extrémité de la file, tel qu’il a été reçu à l’autre extrémité. Il faut concevoir que le corps fonore imprime aux particules de l’air qu’il touche, des vibrations ifôchrones à celles qu’il éprouve lui-même ; & ce font les mêmes vibrations qui fe tranfmettent de l’un à l’autre bout de la file, toujours d’ailleurs avec la même viteffe ; car l’expérience a appris qu’un fon grave n’emploie pas, toutes chofes d’ailleurs égales, plus de temps qu’un fon aigu à parcourir un efpacè déterminé.
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    • 340
    • Récréations Mathématiques,
    • ARTICLE IV.
    • Des échos : leur production : kiftoire des échos les plus célébrés : de quelques autres phénomènes analogues,
    • RIen de fi connu que l’écho. Il faut cependant convenir que , quelque commun que foit ce phénomène, la maniéré dont il eft produit ne laiffe pas d’être encore enveloppée de beaucoup d’çbfcurité, & que l’explication qu’on en donne ne rend pas entièrement raifon de toutes les cir-conftances qui l’accompagnent.
    • Presque tous les phyficiens ont attribué la formation de l’écho à une réflexion du fon, fembla-ble à celle qu’éprouve la lumière quand çlle tombe fur un corps poli; mais, comme l’a obfervé M. d’Alembert dans l’article Echo de Y Encyclopédie, cette explication n’eft pas fondée ; car fi elle l’é-toit, il faudrait,".pour la production de l’écho, une furface polie ; ce qui n’eft pas conforme à l’expérience. En effet, on entend chaque jour des échos en face d’un vieux mur qui n’eft tien moins que poli, d’une maffe de rocher, d’une forêt, d’un nuage même. Cette réflexion du fon n’eft donc point de la même nature que Celle de la lumière.
    • Il eft cependant évident que la formation de l’écho ne peut être attribuée qu’à une répereuf-fion du fon ; car un écho ne fe fait jamais entendre qu’au moyen d’un ou de plufieurs obfta-cles qui interceptent le fon, & le font rebrouffer
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    • Acoustique et Musique. 341 en arriéré. Voici la maniéré la plus probable de concevoir comme cela fe fait.
    • Nous reprendrons pour cela notre comparaifon des fibres aériennes , avec une file de globules élaftiques. Si donc une file de globules élaftiques eft infinie, on fent aifément que les vibrations imprimées à un bout fe propageront toujours du même côté, en s’éloignant fans ceffe ; mais fi cette file eft appuyée par une de fes extrémités , le dernier globule réagira contre toute la file, & lui imprimera en fens contraire le même mouvement qu’il eût imprimé au refte de la file , fi elle n’eut pas été appuyée: cela doit même arriver, foit que l’obftacle foit perpendiculaire à la file, foit qu’il foit oblique, pourvu que le dernier globule foit contenu par fes voifins : il y aura feulement cette différence , que le mouvement rétrograde fera plus fort dans le premier cas , & d’autant plus fort, que l’obliquité fera moindre. Si donc les fibres aériennes & fonores font appuyées par une de leurs extrémités, & que l’obftacle foit affez éloigné, de l’origine du mouvement, pour que le mouvement direét & le mouvement répercuté ne fe faffent pas fentir dans le même inftant perceptible , l’oreille les diftinguera l’un de l’autre, il y aura écho.
    • Or on fçait par l’expérience, que l’oreille ne diftingue point la fucceffion de deux fons , à moins qu’il n’y ait entr’eux un intervalle au moins d’un 1 ze de fécondé ; car , dans le mouvement le plus rapide de la mufique inftrumentale, dans lequel on ne fçauroit, je crois, apprécier chaque mefure à moins d’une fécondé (1) , douze notes
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    • I4i Récréations Mathématiques.
    • feroient tout au plus ce qu’il feroit poffible dé comprendre dans une mefure, pour qu’on pût diftinguer un fon après l’autre : conféquemment il faut que i’obftacle qui répercute le fon Toit affez éloigné, pour que le fon répercuté ne fuccede pas au fon direét avant un 12e de fécondé ; & comme le fon parcourt dans une fécondé environ 1120 pieds, & conféquemment environ 93 dans un 12e de fécondé, il s’enfuit que I’obftacle ne doit être éloigné tout au plus que de 45 à 50 pieds, pour qu’on puilfe diftinguer le foii répercuté du fon direft. ^
    • Il y a des échos fîmpîes & des échos compofés. Dans les premiers, on entend une feule répétition du fon ; dans les autres, on les entend deux , trois, quatre fois, & davantage ; on parle même d’échos où l’on entend le même mot répété jufqu’à 40 ôt 50 fois. Les échos Amples font ceux où il n’y a qu’un feul obftacle ; car le fon répercuté en arriéré, continuera fa route dans la même direction , fans revenir de nouveau fur lès pas.
    • Mais un écho double, triple, quadruple , peut être produit de plusieurs maniérés. Qu’on fuppofe, par exemple, plufieurs murailles les unes derrière les autres, les plus éloignées étant les plus élevées : iî elles font chacune difpofées à produire un écho, on entendra autant de répétitions du même fon qu’il y aura dè ces obftacles.
    • PI. 15, L’autre maniéré dont peuvent être produites
    • % 2- ces répétitions nombreufes, eft celle-ci. Quon conçoive deux obftacles A & B, oppofésl’un à l’autre , & la caufe produ&rice du fon entre deux, au
    • qui feroit exécutée dans une minute, feroit d’un mouvement dont il y a peu d’exemples dans lamufique.
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    • Acoustique et Musique. 34$
    • point S ; Ie fon produit dans la dire&ion de S en A, après être revenu de A en S , fera répercuté par l’obfiacle B , & reviendra- en S ; puis, après avoir parcouru SA, il éprouvera une nouvelle ré-percuffion qui le reportera en S ; puis il y reviendra encore en S , après avoir frappé l’obfiacle B; ce qui eontinueroit à l’infini, fi le fon ne s’affoiblifi-foit pas continuellement. D’un autre côté, lé fon fe produifant auffi également de S vers B que de S vers A, il fera auffi renvoyé d’abord de B vers S ; puis, après avoir parcouru l’efpace SA, de A vers
    • 5 ; enfuite de nouveau dé B vers S , après avoir parcouru SB ; & ainfi de fuite, jufqu’à ce que le îbn foit entièrement amorti.
    • Ainfi l’on entendra le fon produit en S:, après des temps qui pourront être exprimés par 2 SA, zSB, 2SB + 2SA; 4 S A + 2 S B , 4-SB-p-2SA;4S A + 4SB;6SA+4SB;6SB + 4SA;
    • 6 S A -f- 6 SB, &c ; ce qui formera une répétition de fons après des intervalles égaux, lorfque SA fera égale à SB, Sc même lorfque SB fera double de S A : mais lorfque SA fera, par exemple , le tiers de SB , il- y aura cela de remarquable, qu’après là première répétition il y aura une efpece dë filènce double, puis fuccéderont trois répétitions à inter*-valies égaux, enfuite il y aura un filence double de l’un de ces intervalles, puis trois répétitions à intervalles égaux aux premiers ; & ainfi de fuite, jufqu’à ce que le fon foit abfolument éteint. Les différents rapports des diftances SA, SB, feront ainfi naître différentes bizarreries dans la fucceffion de ces fons, que nous avons cru devoir remarquer comme poffibles, quoique nous ne fqachions pas qu’on les ait obfervées.
    • U y a des échos qui répètent plufieurs mots dfe
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    • 344 Récréations Mathématiques.
    • fuite les uns après les autres ; cela n’a rien de fur-prenant , & doit arriver toutes les fois que l’on fera à une diftance de l’écho, telle que l’on ait le temps de prononcer phifieurs mots avant que la répétition du premier foit parvenue à l’oreille.
    • Il y a divers échos qui ont aycquis une forte de célébrité par leur fingularité , ou par le nombre de fois qu’ils répètent le même mot. MilTon , dans fa Defcription de VItalie, parle d’un écho de la vigne Simonetta, qui répétoit quarante fois le
    • A Woodftock en Angleterre, il y en avoit un qui répétoit le même fon jufqu’à cinquante fois.
    • On lit dans les Tranfactions Philofophiqties, année 1698, la defcription d’un écho encore plus fingulier, qu’on trouve près de Rofneath, à quelques lieues de Glafcow en Ecoffe. Un homme , placé de la maniéré convenable, joue un morceau d’air de trompette, de 8 à 10 notes; l’écho les répété fidèlement, mais une tierce plus bas : après un petit filence, on en entend encore une nouvelle répétition fur un ton plus bas : fuccede enfuite un nouveau filence, qui eft fiiivi d’une troi-fieme répétition des mêmes notes, fur un ton plus bas d’une tierce.
    • Un phénomène analogue , eft celui que pré-fentent ces chambres où une perfonne , placée dans un endroit, & prononçant à voix baffe quelques mots, eft entendue uniquement de celle qui eft placée à un certain autre endroit déterminé. Mufchembroeck parle d’une pareille chambre , qu’il dit être dans le château de Cleves. Il y a peu de perfonnes qui aient été à l’Obfervatoire royal de Paris , fans avoir fait la même expérience dans un fallon du premier étage.
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    • Acoustique et Musique; 347
    • Les phyficiens s’accordent unanimement à attribuer ce phénomène à la réflexion des rayons fonores qui, après avoir divergé de la bouche de celui qui parle , font réfléchis de maniéré à fe réunir dans un autre point. Or l’on conçoit aifé-ment, difent-ils, que cette réunion renforçant le fon dans ce point, celui qui aura l’oreille placée tout près l’entendra, quoique ceux qui en feront éloignés ne puiflent l’entendre. C’efl: ainfi que les rayons qui partent du foyer d’un miroir elliptique , fe réunifient à l’autre foyer.
    • Je ne fçais fi le fallon du château de Cleves, dont parle Mufchembroeck , eft elliptique, & fi les deux points où doivent fe placer celui qui parle & celui qui écoute, font les deux foyers ; mais, à l’égard du fallon de l’Obfervatoire de Paris, cette explication n’a pas le moindre fondement , car
    • i° La falle de l’écho, ou, comme on l’appelle, des Secrets , n’eft nullement elliptique ; c’efl un o&ogone fur fon plan , & dont les murs, à une certaine hauteur, font voûtés de la maniéré qu’on appelle en terme de l’art arc de cloître, c’eft-à-dire par des portions de cylindre qui, en fe rencontrant , forment des angles rentrants , qui continuent ceux qui font formés par les côtés de l’octogone qui en eft le plan.
    • 20 On ne fe place pas à une diftance médiocre du mur, comme cela devroit être pour que la voix partît d’un des foyers de l’ellipfe fuppofée : on applique la bouche dans un des angles rentrants , & fort près du mur ; alors une perfonne qui a l’oreille placée du côté diamétralement op-pofé, & à peu près à même diftance du mur, en-
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    • 346 Récréations Mathématiques*
    • tend celui qui lui parle de l’autre côté, même à voix fort baffe.
    • Il eft conféquemment évident qu’il n’y a ici nulle réflexion de la voix, conformément aux loix de la catoptrique ; mais l’angle rentrant , continué le long de la voûte d’un côté à l’autre du fallon, fait une forte de canal qui contient la voix, & la tranfmet de l’autre côté. Le phénomène rentre abfolument dans la même claffe que celui d’un tuyau très-long, au bout duquel une, perfonne parlant, même à voix baffe, fe fait entendre de'celui qui eft à l’autre bout.
    • Les Mémoires de l’Académie, de 1691, parlent d’un écho très - fingulier, qui fe trouve dans une cour d’une maifon de plaifance appellée le Gene-tay, à peu de diftance de Rouen. Il a cela de particulier, que la perfonne qui chante ou parle à voix haute , n’entend point la répétition de l’écho, mais feulement fa voix ; au contraire ceux qui écoutent n’entendent que la répétition de l’écho, mais avec des variations furprenantes, car l’écho femble tantôt s’approcher, tantôt s’éloigner, & difparoît enfin à mefure que la perfonne qui parle s’éloigne dans une certaine ligne ; tantôt on n’entend qu’une voix, tantôt on en entend plufieurs ; l’un entend l’écho à droite, l’autre à gauche. On lit dans le même recueil une explication de tous ces phénomènes, déduite de la forme demi-circulaire de cette cour & de quelques circonftances ; elle eft affez fatisfaifante.
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    • Acoustiqu:
    • Müsiqute. 347
    • ARTICLE V.
    • Expériences fur les vibrations des cordes fonores > qui font la bafe de la Mufique théorique.
    • QU’ON prenne une corde de métal ou de boyaux d’animaux, dont on fe fert dans les inftruments de mufique ; qu’on l’attache par une de fes extrémités ; qu’après l’avoir étendue horizontalement , & l’avoir fait paffer fur un arrêt fixe, on fufpende à l’autre extrémité un poids quelconque qui la tende: alors ^ qu’on la pince ou qu’on la mette en vibration , on entendra un fon , lequel eft certainement produit par les vibrations réciproques de cette corde.
    • Raccourciflez préfentement la partie de la corde que vous mettez en vibration, & réduifez-la à la moitié ; vous obferverez, fi vous avez l’oreille muficale, que ce nouveau fon fera l’oftave du premier.
    • Si la partie vibrante de la corde eft réduite à fes deux tiers, le fon qu’elle rendra fera la quinte du premier.
    • Si la longueur de la corde eft réduite aux trois quarts, elle donnera la quarte du premier fon.
    • Lorsqu’elle fera réduite aux f, elle donnera la tierce majeure. Réduite aux \, ce fera la tierce mineure. Si on la réduit aux f, elle donnera ce qu’on appelle le ton majeur; aux , ce fera le ton appelle mineur; enfin aux -fj, ce fera le demi-ton , tel que celui qui, dans la gamme muficale 9 eft entre mi & fa, ou/ & ut.
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    • 348 Récréations Mathématiques.
    • On aura les mêmes résultats fi , ayant arrêté fixement & tendu une corde par Tes deux extrémités, on fait couler deffous un petit chevalet qui en intercepte fucceflivement d’un côté la j, les f, les \, &c.
    • Voilà ce qui réfulte d’un degré déterminé de tenfion , appliqué aux extrémités d’une corde qu’on fait varier de longueur. Imaginons préfente-ment la longueur de la corde abfolument fixe, & appliquons-lui des degrés de tenfion différents : voici ce que l’expérience a appris à ce fujet.
    • Si à une corde d’une longueur déterminée, & fixe par une de fes extrémités, on appehd un poids & qu’on examine le fon qu’elle rend, lorfqu’on aura fubftitué à ce premier poids un poids quadruple , le fon qu’elle rendra fera à l’oftave ; fi le poids eft neuf fois le premier, le nouveau fon fera à l’oôave de la quinte ; fi ce nouveau poids efi le quart feulement du premier, le fon nouveau fera l’oftave au deffous. Il n’en faut pas davantage pour fe démontrer que ce qu’on produit en réduifant fucceflivement une corde à fa moitié , fes j, fes j, &c. on le produira également en la chargeant fucceflivement de poids qui foient comme 4 , J, -y, &c ; c’eft-à-dire qu’il faut que les quarrés des poids ou des tenfions, foient réciproquement comme les quarrés des longueurs propres à donner les mêmes tons.
    • On raconte à ce fujet comment Pythagore fut conduit à cette découverte. Ce philofophe fe promenant, dit-on, un jour, entendit fortir de la boutique d’un forgeron des' fons harmonieux, produits par les marteaux dont ils frappoient l’enclume : il entra dans l’attelier, & pefa les marteaux qui formoient ces fons. Il trouva que celui
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    • Acoustique et Musique. 349
    • qui donnoit l’o&ave, étoit précifément la moitié de celui qui donnoit le ton le plus bas ; que celui qui donnoit la quinte , en étoit les deux tiers ; Sc enfin que celui qui produifoit la tierce majeure, en étoit les quatre cinquièmes. Rentré chez lui, il médita ce phénomène ; il tendit une corde, qu’il raccourcit fucceffivement à fa moitié , à fes deux tiers, à fes quatre cinquièmes , Si il vit qu’elle ren-doit des Tons qui étoient l’o&ave, la quinte & la tierce majeure du Ton rendu par la corde dans fa longueur. Il fufpendit auffi des poids à la même corde ; & il trouva que ceux qui donnoient l’octave , la quinte & la tierce majeure , dévoient être refpeéiivement comme 4,7, jf-, de celui qui donnoit le fon principal, c’eft-à-dire en raifon inverfe des quarrés de £, f, j.
    • Quoi qu’il en foit de ce conte, qu’on apprécie équitablement dans ŸHiJioire des Mathématiques, tels furent les premiers faits qui mirent les mathématiciens à portée de foumettre les accords au calcul. Voici ce que les modernes y ont ajouté.
    • On démontre aujourd’hui, par les principes dé la mécanique ,
    • i° Qu’une corde de groffeur uniforme, reftant tendue par le même poids , Si étant allongée ou raccourcie, la viteffe des vibrations qu’elle fera dans ces deux états, fera en raifon inverfe des longueurs. Si donc on réduit cette corde à la moitié de fa longueur, fes vibrations auront une viteffe double, & elle fera deux vibrations pendant que l’autre en auroit fait une : réduîfez-la aux deux tiers, elle fera trois vibrations quand la première en eût achevé deux. Ainfi, toutes les fois que deux cordes feront dans le même temps, l’une deux vibrations, l’autre une, elles rendront des
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    • 350 Récréations Mathématiques. fons qui feront à l’oftave: ils feront à la quinte , lorfque trois vibrations de l’une s’achèveront en même temps que deux de l’autre , &c.
    • 1° La viteffe des vibrations que fait une corde de longueur déterminée, & tendue de différents poids, eft comme la racine quarrée des poids qui la tendent : ainfi des poids quadruples produiront une viteffe double, & conféquemment, dans le même temps, un nombre double de vibrations ; un poids noncuple produira des vibrations triples en viteffe , ou un nombre triple dans le même temps.
    • 30 Si deux cordes different à-Ia-fois de longueur & de maffe, & font en outre tendues par des poids différents , les viteffes des vibrations qu’elles feront, feront comme les racines quarrées des poids tendants, divifés par les longueurs & les maffes , ou les poids des cordes : ainfi, que la corde A , tendue par un poids de 6 livres, pefe 6 grains, .& ait un pied de longueur, tandis que la corde B , tendue par un poids de io livres, pefe 5 grains, & a un demi-pied de longueur^; la viteffe des vibrations de la première fera à celle des vibrations de la fécondé, comme la racine quarrée de 6x6xi, à celle de 5X 10X7, c’eft-à-dire, comme la [racine quarree de 36 ou 6 , à celle de 25 ou à 5 : ainfi la première fera 6 vibrations , quand la fécondé en fera 5.
    • De ces découvertes combinées, il réfulte que Vacuité ou la gravité des fons, eft uniquement l’effet de la plus ou moins grande fréquence des vibrations de la corde qui les produit ; car , puifque d’un côté on fqait par l’expérience , qu’une corde raccourcie, & éprouvant le même degré de ten-fion, rend un ton plus élevé, & que d’un autre on
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    • Acoustique et Musique.
    • fçaît, & par l’expérience & parla théorie, qu’elle fait des vibrations d’autant plus fréquentes qu’elle eft plus courte, il eft évident que ce n’eft que cette plus grande fréquence de vibrations qui peut produire l’effet de hauffer le ton.
    • Il rëfulte auffi de-là , qu’un nombre double de vibrations, produit l’oôave du ton que donne le nombre fimple; qu’un nombre triple produit l’octave de la quinte ; un nombre quadruple, la double oélave ; le nombre quintuple, la tierce majeure au deffus de la double o&ave , &c : & fi nous def-cendons à des rapports moins fimples , trois vibrations contre deux, produiront l’accord de quinte ; quatre contre trois , celui de quarte, &c.
    • On peut donc indifféremment exprimer les rapports des tons, foit par les longueurs des cordes également tendues qui les produifent, foit par le rapport des nombres de vibrations que forment ces cordes : ainfi, le fon principal étant défigné par i, l’on exprime mathématiquement l’oélave ïupérieure par f ou par 2,1a quinte par f ou parf, la tierce majeure par fou &c. Dans le premier cas, ce font les longueurs refpe&ives des cordes ; dans le fécond, ce font les nombres refpe&ifs de vibrations. Les réfultats feront les mêmes , en s*aftreignant dans le calcul au même fyftême de dénomination.
    • PROBLÈME.
    • Déterminer le nombre Je vibrations que fait une corde de longueur & de grojfeur données, & tendue par un poids donné; ou bien, quel ejl le nombre de vibrations qui forme un ton afjigné ?
    • On n’a confidéré jufqu’ici que les rapports des nombres de vibrations que font les cordes qui
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    • 352 Récréations Mathématiques. donnent les différents accords ; mais un problème plus curieux & bien plus difficile , eft celui de trouver le nombre réel de vibrations que forme une corde qui donne un certain ton déterminé ; car il eft aifé de fentir que leur viteffe ne permet rien moins que de les compter : la géométrie , aidée de la mécanique, eft pourtant venue à bout de cette détermination. Voici la réglé.
    • Divifei le poids qui tend la corde par celui de la corde même ; multiplie£ le quotient par la longueur du pendule à fécondés , qui ejl à. Paris de 3 pouces 8 lignes 7 ou de 440 lignes.7, & divife1 le produit par là longueur de la corde depuis le point fixe jufquau chevalet ; tire{ la racine quarrée de ce nouveau quotient, & multiplie^-la par la raifon de la circonférence au diamètre , ou par la fraction -f~-: le produit fera le nombre de vibrations que fera cette corde dans la durée d’une fécondé.
    • Soit, par exemple, une corde d’un pied & demi, & pefant 6 grains , tendue par un poids de 3 livres ou 27648 grains ; le quotient de 27648 divifé par 6, eft 4608 : la longueur du pendule à fécondés étant de 440 7, le produit de ce nombre par 4608 eft 2029824, que vous diviferez par 216 , nombre de lignes que contient un pied & demi ; le quotient eft 9397 ÿ, dont la racine quarrée fera 96 — : ce nombre , multiplié par 777, donne 304ts* c’eft le nombre des vibrations que fait la corde ci-deffus dans l’efpace d’une fécondé.
    • On peut voir dans les Mémoires de l'Académie des Sciences, (ann. 1700) , une maniéré fort in-génieufè, que M. Sauveur avoit imaginée pour trouver ce nombre de vibrations. Il avoit remarqué que, lorfque deux tuyaux d’orgue fort bas, ÔC accordés à des tons fort voifins, jouent enfemble,
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    • Acôustique êt Musique. 355 on éïitend une fuite de battements ou de ronflements de fans» Réfléchiffant fur la caufe de cet effet, il reconnut que ces battements proviennent de la rencontre périodique des vibrations coïncidentes des deux tuyaux ; d’où il conclut que fi , avec un pendule à fécondés, on mefure le nombre de ces battements pendant une fécondé, qtfon-connoiffe d’ailleurs , par la nature de l’accord des deux: tuyaux, le rapport des nombres de vibrations qu’ils doivent faire pendant le même temps, on pourra trouver le nombre réel de vibrations qu’ils font l’un 8c l’autre.
    • Soient, par exemple , deux tuyaux accordés exa&ement, l’un au mi bémol, 8c l’autre au mi ; on fixait que l’intervalle de ces deux tons étant un demi-ton mineur, exprimé par le rapport de 24 à 25 , le tuyau le plus haut fera 25 vibrations pendant que le plus grave en fera 24 ; enforte qu’à chaque 25e vibration du premier, ou 24e du fécond , il y aura un battement. Si donc on ob-ferve dix battements dans une fécondé, 011 en devra conclure que 24 vibrations de l’un 8c 25 de l’autre fe font dans un dixième de fécondé, 8c conféquemment que l’un fait 240 8c l’autre 250 vibrations dans l’efpace d’une fécondé.
    • M. Sauveur a fait des expériences conféquentes à cette idée 8c dit avoir trouvé qu’un tuyau d’orgue d’environ 5 pieds, ouvert, fait 100 vibrations par fécondé ; conféquemment un de 40 pieds , qui donne la triple oélave en deffous 8c le plus bas fon perceptible à l’oreille, n’en feroit que 12 ~ : au contraire, le tuyau d’unqjouce moins «j- étant le plus court dont on puiffe diftin-guer le fon , le nombre de fes vibrations dans une fécondé fera de 6400. Les limites des vibrations Tome II. Z
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    • Récréations Mathématiques. les plus lentes & les plus promptes , qui faflent des Tons appréciables à l’oreille, font donc , fui-vant M. Sauveur, 11 £ & 6400.
    • Nous ne prolongerons pas davantage ces détails : nous paffons à un phénomène très-curieux des cordes mifes on vibration.
    • Qu’on ait une corde fixement attachée par Tes extrémités, & qu’on place au deffous un chevalet qui la divife en parties aliquotes, par exemple trois d’un côté & une de l’autre ; qu’on mette la plus grande, c’eft-à-dire les j, en vibration : alors, 4î le chevalet intercepte abfolument la communication de l’une & de l’autre partie, ces f de la corde Tonneront, comme tout le monde fçait, la quarte de la corde entière : fi ce font les j, ce fera la tierce majeure.
    • Mais que cet arrêt empêche feulement la corde de vibrer dans fa totalité, fans intercepter la communication du mouvement entre les deux parties ; alors la plus grande ne rend plus que le même Ton que rend la petite : les trois quarts de la corde, qui, dans le cas précédent, donnoient la quarte de la toute, n’en donnent plus que la double oôave , qui eft le fon propre au quart de la corde. Il en eft de même fi on touche ce quart; Tes vibrations, en fe communiquant aux trois autres quarts , les feront Tonner, mais de maniéré à ne donner que cette double oftave.
    • On rend de ce phénomène une raifon que l’expérience rend fenfible. Lorfque l’arrêt intercepte abfolument la communication des vibrations entre les deux parties de la corde, la plus grande portion fait fes vibrations dans fa totalité ; & fi elle eft les trois quarts delà corde entière, elle fait, conformément à la réglé générale, 4 vibrations
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    • Acoustique et Musique. 355 quand la corde entière en feroit 3 : ainfi le Ton eft à la quarte de celui de la corde totale.
    • Mais, dans le fécond cas, la grande partie de la corde fe divife en autant de portions qu’elle contient la plus petite ; dans l’exemple propofé, en trois ; & chacune de ces portions , ainfi que la quatrième , font leurs vibrations à part : il s’établit aux points de divifion , comme B , C, D, des PI. 15, points fixes, entre lefquels les parties de la corde %• 3* A B, B C, CD, DÉ, vibrent en formant des ventres alternativement en fens contraire , comme fi ces parties étoient uniques , & invariablement fixées par leurs extrémités.
    • Cette explication eft un fait que M. Sauveur a rendu fenfible aux yeux, en préfence de l’Académie royale des Sciences. ( Hijî. de CAçad., année 1700. ) On plaçoit fur les points C & D, de petits morceaux de papier pliés ; alors, en mettant en vibration la petite partie de la corde AB , les vibrations fe communiquant à la partie reftante BE, on voyoit avec étonnement les petits morceaux de papier, portés par les points C & D , refter immobiles, tandis que ceux pofés par-tout ailleurs étoient jetés à bas.
    • Si la partie A B de la corde j au lieu d’être précifément une partie aliquote du reliant BE , en étoit, par exemple, les f, alors toute la corde AE fe partageroit en fept parties, dont AB en contiendrait deux, & chacune de ces parties vibrerait à part, & ne rendrait que le fon qui convient à j de la corde.
    • Si les parties AB , BE, étoient incommenfura-bles, elles ne rendroient qu’un fon abfolument difcordant, & qui s’éteindroit auffi-tôî, à caufe de l’impofïibilité qu’il y aurait à ce qu’il s’établît Zij
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    • 556 Récréations Mathématiques. des ventres & des points de repos, ou nœuds invariables.
    • ARTICLE VI.
    • Maniéré d*ajouter > fouflraire les accords en-treux i les divifer, les multiplier, &c.
    • LA théorie de la mufique exige qu’on fqache quels accords réfultent de deux ou plufieurs accords, foit ajoutés , Toit fouftraits les uns des autres : c’eft pourquoi nous allons en donner les réglés.
    • PROBLÈME I.
    • Ajouter deux accords entfeux.
    • Exprimez chacun de ces accords par la fraétion qui lui eft propre ; multipliez enfuite ces deux fractions enfemble , c’eft-à-dire numérateur par numérateur, & dénominateur par dénominateur : le nombre qui en proviendra exprimera l’accord qui réfulte de la fomme de deux donnés. Exemple Premier.
    • Soient la quinte & la quarte à ajouter enfemble ; l’expreffion de la quinte eft f, celle de la quarte eft \ : multipliez § par J ; le produit eft -A. ou ^ , qui eft l’expreffion de l’oétave. On fqait effectivement que l’odtave eft compofée d’une quinte & d’une quarte.
    • Exemple II.
    • On demande quel accord réfulte de l’addition de la tierce majeure & de la mineure. L’expreffion
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    • Acoustique et Musique. 377
    • de la tierce majeure eft f > celle de la tierce mineure eft j ; leur produit eft ~ ou §•, qui exprime la quinte. Cet accord eft effeélivement compofé d’une tierce majeure & d’une mineure. Exemple III.
    • Quel accord produifenc deux tons majeurs ajoutés l'un à. l'autre ? On exprime un ton majeur par | ; ainfî, pour ajouter deux tons majeurs, il faut multiplier enfemble | par | ; le produit eft |4 : or |4 eft une fraâion moindre que ou f » qui exprime la tierce majeure ; d’où il luit que l’accord exprimé par |4 plus grand que la tierce majeure, & conféquemment que deux tons majeurs font plus qu’une tierce majeure , ou une tierce majeure fauffe par excès.
    • On trouve au contraire, en ajoutant deux tons mineurs qui s’expriment par , que leur fomme — eft plus grande que T8^- ou j, qui défignent la tierce majeure : donc deux tons mineurs font moins qu’une tierce majeure. Cette tierce eft en effet compofée d’un ton majeur &: d’un ton mineur ; ce qu’on trouve en ajoutant lès accords | qui font > ou ou j.
    • Nous pourrions montrer de même, que deux demi-tons majeurs font plus qu’un ton majeur, & deux demi-tons mineurs moins qu?un ton même, mineur ; qu’enfin un demi-ton. majeur &: un demi.-*-ton mineur, font précifément un. ton mineur.
    • PROBLÈME II.
    • S.oufiraire un accord d'un autre,.
    • A u lieu de multiplier enfemble les fra&îôns qui expriment les accords donnés, renverfez celle qui Züi
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    • 358 Récréations Mathématiques. exprime Paçcord à fouftraire de l’autre, & mul-tipliez-la dans cet état ; le produit vous donnera là fraction qui exprime l’accord cherché.
    • Quel accord réfulte-t-il lorfque de F octave on ôte la quinte? L’expreflion de l’oâave eft j, celle de la quinte eft f, qui étànt renverfée; donne } ; multipliez j par \\ vous aurez J, expreffion de la quarte.
    • Exemple IL
    • On demande la différence du ton. majeur au ton mineur. Le ton majeur s’exprime par f-, & le ton mineur par fràétion qui, renverfée, donne Le produit de | X eft f^- : telle eft l’expreflion de l’intervalle dont différé le ton majeur avec le ton mineur. Ç’eft ce qu’on appelle le grand comma.
    • PROBLÈME III.
    • Doubler ou multiplier un accord autant de fois qu'on voudra.
    • I l n’y a qu’à élever les termes de la fraétion qui exprime l’accord donné à la puiffance défignée, par le nombre de fois qu’il faut le rendre multiple, au quarré s’il faut le doubler, au cube fi on demande de le tripler, &c.
    • Ainfi l’accord qui eft le triple d’un ton majeur,
    • 7îf » ce qui répond à l’intervalle qu’il y a entre ut » & un fa plus haut que le fa diefe de la gamme.
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    • Acoustique et Musique. 359 PROBLÈME IV.
    • Divifer un accord par tel nombre qu’on voudra, ou trouver un accord, qui foit la moitié, le tiers, &c, d’un accord donné.
    • Pour cet effet, prenez la fraâion qui exprime l’accord, & tirez-en la racine défignée par le di-vifeur déterminé ; par exemple , la racine quarrée s’il eft queftion de partager l’accord en deux, ou la racine cubique s’il eft queftion de le partager en trois , &c : cette racine exprimera l’accord cherché.
    • Exemple.
    • L’oélave étant exprimée par-j, fi on en tire la racine quarrée, elle fera, à peu de chofe près , 7^. Or eft moins que \, & plus que f ; confé-quemment le milieu de l’oftave eft entre la quarte & la quinte, & bien près du fa diefe.
    • ARTICLE VII.
    • De la réfonnance du corps fonore , principe fondamental de lyharmonie & de la mélodie : autres phénomènes harmoniques.
    • Première Expérience.
    • ECoutez attentivement le fon d’une cloche, fur-tout d’une cloche un peu grave ; pour peu que vous ayiez de l’oreille , vous y diftinguerez aifément, outre le fon grave, qui eft le fon principal , plufieurs autres plus aigus : mais fi vous
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    • 366 Récréations Mathématiques. avez l’oreille exercée à apprécier des intervalles muficàux, vous reconnoîtrez que l’un de ces fons eft la douzième ou la quinte au deffus de l’oftave, & un autre la dix-feptieme majeure, ou la tierce majeure au deffus de la double oftave ; vous y diftinguerez aufli, fi vous avez l’oreille extrêmement délicate, Ton o&ave, fa double & même fa triple oftave : on les entend à la vérité un peu plus difficilement, parce que les o&aves fe confondent avec le fon fondamental, par un effet de ce fentiment naturel qui nous fait confondre l’octave avec l’uniffon.
    • Vous trouverez la même chofe, fi vous raclez une des plus groffes cordes d’une viole ou violoncelle , ou d’une trompette marine. Plus enfin vous aurez l’oreille expérimentée en harmonie, plus vous ferez capable de diftinguer ces différents fons, foit dans la réfônnance d’une corde, foit dans celle de tout autre corps fonore, même de la voix.
    • Autre maniéré de faire cette expérience.
    • Prenez une pincette ordinaire de cheminée, & fufpendèz-la fur unè jarretière de laine ou de coton , ou fur un cordon quelconque un peu mince, dont vous appliquerez les deux extrémités à vos oreilles. Si quelqu’un frappe alors fur cette pincette , vous entendrez d’abord un fon très-fort & très-grave, comme d’une très-groffe cloche dans le lointain ; & ce fon fera accompagné d’une multitude d’autres plus aigus, parmi lefquels, lorf-qu’ils commenceront à s’éteindre, vous diftinguerez facilement la douzième & la dix-fèptieme du ton le plus bas.
    • Cette multiplicité de tout fon fe confirme par
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    • Acoustique et Musique. 36* une autre expérience , que cite M. Rameau dans fa Génération harmonique. Prenez, dit - il, les jeux de l’orgue qu’on appelle bourdon, prejlant ou flûte, nanard & tierce, & qui forment entr’eux l’oftave, la douzième & la dix-feptieme majeure du bourdon. Pendant que le feul bourdon réfonne, tirez fucceffivement chacun des autres jeux ; vous entendrez leurs fons fe mêler fucceffivement les uns aux autres ; vous pourrez même les diftinguer pendant qu’ils feront enfemble : mais fi, pour vous en diftraire, vous préludez un moment fur le même clavier, & que vous reveniez à la feule touche d’auparavant, vous croirez ne plus entendre qu’un feul fon, celui du bourdon, le plus grave de tous, qui répond au fon du corps total. Remarque.
    • Cette expérience fur la réfonnance du corps fonore, n’eft pas nouvelle : M. Wallis & le pere Merfenne l’ont connue, & en ont parlé dans leurs ouvrages ; mais c’étoit pour eux un fimple phénomène,.dont ilsétoient bien éloignés de démêler les conféquences : c’efl: M. Rameau qui le premier en a fenti l’ufage pour déduire toutes les réglés de la compofition muficale, jufqu’alors uniquement fondées fur le fimple fentiment, & fur une expérience incapable de guider dans tous les cas, & de rendre raifon de tous les effets. C’eft-là la bafe de fon fyftême de la bajfe fondamentale, fyftême contre lequel on a beaucoup déclamé dans la nouveauté, & que la plupart des muficiens paroiffent avoir aujourd'hui adopté.
    • Ainfi tout fon harmonique eft multiple, & com-pofé des fons que donneroient les parties aliquotes du çorps fonore y, j ; on peut même
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    • 362 Récréations Mathématiques. ajouter ÿ, j, &c ; mais la foibleffe de ees Tons , qui vont toujours en diminuant de force , ne permet que difficilement de les diftinguer. M. Rameau dit néanmoins avoir très-bien diftingué fou-vent le fon exprimé par j, qui eft la double oélave d’un fon qui partage à peu près en deux parties égales l’intervalle qu’il y a entre le la & le Ji bémol au deffous de la première oftave : il l’appelle un fon perdu, & l’exclud totalement de l’harmonie. Il feroit en effet finguliérement difcordant avec tous les autres fons donnés par le fon fondamental.
    • Remarquons néanmoins que le célébré Tartini n’a pas penfé fur ce fon comme l’a fait M. Rameau. Loin de.l’appeller un fon perdu, il prétend qu’on peut l’employer tant dans la mélodie que dans l’harmonie ; il le défigne par le nom de feptieme conformante. Mais nous laiffons aux muficiens le foin d’apprécier cette idée de Tartini, dont la célébrité, tant pour la compofition que pour l’exécution , demandoit une réfutation d’un genre différent de celle qu’on trouve à la fin d’une Hifioire de la Mujîque , imprimée ,en 1767. .
    • Seconde Expérience.
    • Accordez plufieurs cordes à l’o&ave, à la douzième, à la dix-feptieme majeure d’une corde donnée , tant au deffus qu’au deffous ; alors , fi vous faites fonner cette corde fortement & avec continuité, vous verrez les autres fe mettre auffi en vibration ; vous entendrez même fonner celles qui font accordées au deffus, fi vous avez l’attention d’éteindre fubitement par un corps mou le fon de la première.
    • Il n’eft perfonne qui n’ait quelquefois entendu
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    • Acoustique et Musique. 363
    • réformer les verres d’une table au fon d’une voix vigoureufe & éclatante. C’eft une maniéré de faire cette expérience.
    • On entend auffi quelquefois réfonner les cordes d’un infiniment qu’on ne touche point, au fon feul de la voix, fur-tout après des tenues un peu longues & renflées. Je me fuis plufieurs fois procuré ce plaifir, par le moyen d’un ami qui avoit une grande & belle voix de baffe.
    • La càufe de ce phénomène eft inconteftable-ment la communication des vibrations de l’air à la corde , ou au corps fonore monté aux tons ci-deffus; car il eft aifé de concevoir que les vibrations des cordes montées à l’uniffon ou à l’octave , ou à la douzième , &c. de celle qu’on met en mouvement , font difpofées à recommencer régulièrement, & en même temps que celles de cette corde, en fe répondant vibration pour vibration , dans le cas de l’uniffon, ou deux pour une, dans le cas de l’odave, ou trois pour une, dans celui de la douzième : ainfi, les petites im-pulfiô.ns de l’air vibrant, que produira la corde mife en vibration, confpireront toujours à augmenter les mouvements, d’abord infenfibles qu’elles auront caufés dans ces autres cordes, parcequ’elles fe feront dans le même fens , & parviendront enfin à les rendre fenfibles. C’eft ainfi qu’un léger fouffle d’air, toujours dans la même direâiori, parvient enfin à foulever les eaux de l’océan. Mais lorfque les cordes en queftion feront tendues de maniéré que leurs vibrations ne puiffent avoir aucune correfpondance avec celles de la corde frappée, alors elles feront tantôt aidées , tantôt contrariées, & le petit mouvement, qui pourra leur être communiqué fera aufli-tôt anéanti
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    • 364 Récréations Mathématiques.
    • qu’engendré ; conféquemment elles referont en
    • P QUESTION.
    • Les fons harmoniques qu'on entend avec le fon principal , ont-ils leur fource immédiate dans le corps fonore , ou rèjîdent-ils feulement dans Voir ou dans l'organe ?
    • Il eft très-probable que le fon principal eft le feul qui tienne fon origine immédiate des vibrations du corps fonore. D’habiles phyficiens ont cherché à démêler fi , indépendamment des vibrations totales que fait un corps, il en faifoit de partielles, & ils n’ont jamais pu y rien voir que des vibrations fimples. Comment concevroit-on d’ailleurs que la totalité d’une corde fût en vibration, & que, pendant ce mouvement, elle fe partageât en deux parties qui fiflent aufli leurs vibrations à part, ou en trois qui fiflent aufli leurs vibrations particulières, 6cc ?
    • Il faut donc dire que ces fons harmoniques d’oftave, de douzième, de dix-feptieme, font dans l’air ou dans l’organe. L’un 6c l’autre ont de la probabilité ; car, puifqu’un fon déterminé a la propriété de mettre en vibration les corps difpo-fés à rendre fon oélave, fa douzième, 6cc. on doit reconnoître que ce fon peut mettre en mouvement les particules de l’air fufceptibles de vibrations , doubles, triples, quadruples , quintuples en vitefle. Néanmoins, ce qui me paroît à cet égard de plus vraifemblable , c’eft que ces vibrations n’exiftent que dans l’oreille. L’anatomie de cet organe paroît en effet démontrer que le fon ne fe tranfmet à l’ame que par les vibrations
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    • Acoustique et Musique. 365 des filets nerveux qui tapiffent la conque de l’oreille ; &, comme elles font d’inégales longueurs , il y en a toujours quelques-unes d’entr’elles qui font des vibrations ifochrones à celles d’un fon donné ; mais en même temps, & par la propriété ci-deffus, ce fon doit mettre en mouvement les fibres fufceptibles de vibrations ifochrones , & même celles qui peuvent faire des vibrations doubles, triples , quadruples , &c. en viteffe. Tel eft, à mon avis , ce qu’on peut dire de plus probable fur ce phénomène fingulier. J’adopterai de tout mon cœur une explication plus vraifem-blable , quand je la connoîtrai.
    • Troisième Expérience.
    • On doit cette expérience au célébré Tartini de Padoue. Faites tirer à-la-fois , de deux inftru-ments, deux fons quelconques ; vous en entendrez dans l’air un troifieme , qui fera d’autant plus perceptible , que vous aurez l’oreille plus voifîne du milieu de la diftance entre les inftruments. Que ce foient, par exemple , deux fons qui fe fucce-dent dans l’ordre des confonnances, comme l’octave & la douzième, la double oftave & la dix-feptieme majeure, &c ; le fon réfultant, dit M. Tartini, fera l’oélave du fon principal.
    • Cette expérience, répétée en France, a réufli, comme l’attefte M. Serres dans fes Principes de VHarmonie, imprimés en 1753 ; à cela près que M. Serres a trouvé ce dernier fon plus bas d’une oêtave ; ce qu’on trouve par la théorie devoir être. Il eft fi aifé de confondre les oétaves entre elles, que cela ne doit pas furprendre. Au furplus, nous devons remarquer, ici que le célébré mufi-
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    • 366 Récréations Mathématique,
    • cien de Padoue a établi fur ce phénomène un fyftême d’harmonie & de compofition ; mais il ne paroît pas avoir fait encore la fortune de celui de Rameau.
    • ARTICLE VIII.
    • Des différents S y fiâmes de Mufique, Grec 9 Moderne, & de leurs particularités.
    • De la Mujique Grecque.
    • DANS la naiffance de la mufique chez les Grecs, il y avoit à la lyre quatre cordes, dont les fons auroient répondu à fi, ut, re , mi s dans la fuite on y ajouta trois autres cordes, fa, fol, la: ainfi la première échelle diatonique grecque , traduite en notre langue mulicale, étoit fi, ut, re, mi, fa, fol, la, & étoit compofée de deux tétracordes, ou fyftême de quatre fons, fi, ut, re, mi; mi, fa, fol, la, dont le dernier de l’un & le premier de l’autre étoient communs ; ce qui les fit appeller tétracordes conjoints.
    • Remarquons que, quelque bizarre que paroifle cette difpofition de fons à ceux qui ne connoiffent que l’ordre diatonique moderne, elle n’en eft pas moins naturelle, & conforme aux réglés de l’harmonie ; car M. Rameau a montré qu’elle n’eft autre chofe qu’un chant dont la bafe fondamentale feroit fol, ut, fol, ut, fa, ut, fa. Elle a auffi l’avantage de n avoir qu’un feul intervalle altéré, fçavoir, la tierce mineure du « au fa, qui, au lieu d’être dans
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    • Acoustique et Musique. 367 le rapport de 5 à 6, eft dans celui de 27 à 32 , qui eft un peu moindre, conféquemment trop baffe d’un comma de 80 à 81.
    • Mais cette perfection étoit balancée par deux grandes imperfections, fqavoir, i° de nepascom-pletter l’oCtave, 20 de ne pas fe terminer par un repos, ce qui laiffe à l’oreille l’efpece d’inquiétude qui réfulte d’un chant commencé & non fini. Elle ne pourrait néanmoins ni monter au ji9 ni defcendre au la. Aufïi les muficiens qui, pour completter l’oCtave, avoient ajouté cette derniere note au defïbus,Ia regardoient-ils comme étrangère , pour ainfi dire, & lui donnoient le nom de proslanbanomtne.
    • On chercha, par cette raifon, un autre remede à ce défaut, & l’on propofa (ce fut, dit-on, Pythagore) la fucceflion de fons, mi9fa9 fol, lai Ji, ut,re9 mi, compofée , comme l’on voit, de deux tétracordes disjoints. Cette échelle diatonique eft prefque la même que la nôtre , à cela près que la nôtre commence & finit par la tonique, & celle - là commence & finit par la médiante ou la tierce majeure. Cette définence, aujourd’hui prefque réprouvée, étoit affez ordinaire aux Grecs , & l’eft encore dans nos chants d’églife.
    • Mais ici, par une fuite de la génération harmonique , les valeurs des fons & des intervalles ne font pas les mêmes que dans la première échelle. Dans celle-ci, l'intervalle du fol au la étoit un ton mineur ; il eft, dans la fécondé, un ton majeur. Il y a enfin , dans cette fécondé difpofition, trois intervalles altérés ou faux, fqavoir, la tierce majeure du fa au la, trop haute ; la tierce mineure de la à ut, trop baffe ; enfin la quinte du la au mi, trop haute. Ce font les mêmes défauts que ceux
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    • 368 Récréations Mathématique^. de notre échelle diatonique ; mais le tempérament les corrige.
    • Dans la fuite, les Grecs ajoutèrent à ces fons un tétracorde conjoint au deftous )Ji>ut ,re , mi, & un autre en montant, mi , fa, fol, la ; au moyen de quoi ils remplirent à peu près tous les befoins de la mélodie, tant qu’elle fe bornoit au même ton. Ptolémée parle d’une combinaifon, au moyen de laquelle on joignoit le fécond tétracorde primitif au premier, en baiffant le Ji d’un demi-ton; ce qui faifoit Ji bémol, ut, re , mi. Sans doute cela fervoit lorfque du ton d'ut on paffoit à celui de fa quinte inférieure fa, tran-lîtion familière à la mufique grecque, ainfi qu’à notre'mufique d’églife ; car il faut alors en effet un Ji bémol. Plutarque enfin parle d’une combinaifon où l’on disjoignoit les deux derniers tétra-cordes, en élevant le fa d’un demi-ton , & fans doute celui de fon oéfave au deffous. Qui ne re-connoîtra là notre fa %, qui eft néceffaire lorfque du ton Sut on paffe à celui de fa quinte fupé-rieurèfol? Sans doute les cordes du Ji bémol & du fa die Je étoient Amplement ajoutées & non fubfti-tuées à celle de / & de fa. Difons maintenant quelque chofe des modes & des genres de la mufique ancienne.
    • Tout le monde fqait qu’il y avoit dans la mufique grecque trois genres ; fçavoir, le diatonique, le chromatique, & l’enharmonique. Tout ce qu’on vient de dire ne concerne que le diatonique.
    • Ce qui cara&érife le chromatique , eft d’employer , foit en montant , foit en defcendant, plufieurs demi-tons de fuite. La gamme chromage grecque étôit Ji, ut, ut diefe, mi, fa, fa diefe, la. Cette difpofition, dans laquelle de Y ut
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    • Acoustique et Musique. 369
    • diefe on pafle immédiatement au mi, en omettant 1ère, paroîtra fans doute très-étrange ; mais il n’eft pas moins certain que c’étoit la gamme dont les Grecs faifoient ufage dans le genre chromatique. On ne fçait point, au refte , fi les Grecs avoient des morceaux de mufique confidérabîes dans ce genre, ou fi, comme nous , ils n’en faifoient ufage que dans des paflages ou des traits de chant fort courts : car nous avons auffi un genre chromatique, quoique dans une acception différente. Cette tranùtion de demi - totis en demi-tons , eft moins naturelle que la fücceffion diatonique ; mais elle n’en a que plus d’énergie pour exprimer certains fentiments particuliers.: auffi les Italiens, grands coloriftes en mufique, en font-ils fréquemment ufage dans leurs airs.
    • Quant à l’enharmonique grec, quoique regardé par les anciens comme le genre le plus parfait , c’eft encore une énigme pour nous. Pour en donner une idée , qu’on prenne le figne1 * pour celui du diefe enharmonique , c’eft-à-dire qui éleve la note d’un quart de ton ; l’échelle enharmonique étoitJi, Ji *, ut, mi, mi * , fa, la ,où l’on voit qu’après deux quarts de ton duJi à l’ut, ou du mi au fa, on paffoit au mi ou au la. On ne conçoit guere comment il pourroit y avoir des oreilles affez exercées pour apprécier des quarts de ton, &, en fuppofant qu’il y en eût,quelle modulation on pourroit faire avec ces fons. Cependant il eft très-certain que ce genre fit pendant longtemps les délices de la Grece ; mais fa difficulté le fit enfin abandonner, enforte qu’il ne nous eft pas même parvenu de morceau de mufique grecque dans le genre enharmonique , ni même dans le
    • Tome II, A a
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    • 37o Récréations Mathématiques, chromatique, tandis que nous en avons dans le diatonique.
    • Nous croyons cependant devoir remarquer ici, que cet enharmonique grec n’eft peut-être pas auffi éloigné de la nature quon l’a penfé jufqu’ici ; car enfin M. Tartini, en propofant l’ufage de fa feptieme confonnante , qui eft un Ton à très-peu de chofe moyen èntre le la & le Ji bémol, ne prétend - il pas que cette intonation, la9Jibb9jib9 re , rey Jib 9jibb, la, eft non-feulement fuppor-table, mais pleine d’agrément ? ( Le double bb indique ici le quart de ton.) M. Tartini fait plus ,car il afligne à cette fucceffion de fons fa baffe fa,ut> fol, fol, ut, fa, en chiffrant l’ai de ce figne by9 qui fignifie feptieme confonnante. Si cette prétention de M. Tartini trouve des feélateurs, ne peut-on pas dire que voilà l’enharmonique grec retrouvé }
    • Il nous refte à dire un mot des modes de la mufique grecque. Quelque obfcure que foit cette matière, li nous en croyons l’auteur de VHiJloire des Mathématiques , qui s’appuie de certaines tables de Ptolémée, ces modes ne font autre chofe que les tons de notre mufique y & il en donne la comparaifon fuivante.
    • Le dorien étant pris hypothétiquement pour le mode d’ar, ces modes, les uns plus bas que le dorien, & les autres plus hauts a étoient :
    • VHypodorien, ... . . répondant au fol.
    • VHypophrygien .................... la bémol.
    • L'Hypophrygien acutior, .... la.
    • L’Hypolydien, ou Hypoceolien, . . Ji bémol.
    • VHypolydien acutior .........Ji.
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    • Acoustique et Musique. 37*
    • Le Dorien , . . . répondant ; à l’ut.
    • L'IaJtien ou Ionien, . . . . ut diefei
    • Le Phrygien , . re.
    • L‘Eolien ,**>,.* . rediefe.
    • Le Lydien
    • L’Yperdorien, .... i • fa.
    • L’YperiaJlien, ou Mixolydien , . fa diefe»
    • L’Hypermixolydieh, » . .
    • Mais on poùrroit faire cette queflion : Si la différence des modes chez les Grecs ne confiftoit que dans le plus ou le moins de hauteur du ton de la modulation, comment expliquer ce qu’ort nous raconte des carafteres de ces différents mo-. des , dont l’un excitoit la fureur, & dont l’autre la calmoit, &c? Cela donne lieu de croire qu’il y avoit quelque chofe de plus ; peut-être* indépendamment du différent ton, y avoit-il un caraftere de modulation proprei Le phrygien, par exemple , qui probablement tiroit fon origine du peuple de ce nom, peuple dur & belliqueux, avoit un caraftere mâle & guerrier ; tandis que le lydien , qui venoit d’ün peuple motl & efféminé , portoit Un câraftere analogue, & conféquemment tout-à-fait propre à adoucir les mouvements excités par le premier.
    • Mais en voilà affez fur la mufique grecque; paffons à la mufique moderne.
    • De la Mujique Moderne.
    • Tout le monde ftjaît que la gamme ou l’échelle diatonique moderne, eft repréfentée par ces fons, Aaij
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    • 372 Récréations Mathématiques. ut,re, mi, fa, yb/, A* , Jî, ut, qui complètent toute l’étendue de Poôave. Il faut ajouter ici que , de fa génération développée par M. Rameau , il fuit que de Yut au re , il y a un ton majeur ; du re au mi, un mineur ; du mi au fa, un demi-ton majeur; du fa au fol, un ton majeur, ainfi que du fol au la ; enfin du la au Ji un ton mineur, & du Jia Yut un demi-ton majeur.
    • On conclud de-là , qu’il y a dans cette échelle trois intervalles qui ne font pas entièrement juf-tes , fçavoir , la tierce mineure du re au fa: en effet, n’étant compofée que d’un ton mineur & d’un demi-ton majeur, elle n’eft que dans le rapport de 27 à 3 2, qui eft un peu moindre, fqavoir d’un 80e, que celui de 5 à 6, rapport jufte des fons qui compofent la tierce mineure.
    • Pareillement la tierce majeure de fa à la eft trop haute , étant compofée de deux tons majeurs, au lieu qu’elle doit etre compofée d’un ton majeur &: d’un mineur , pour être exaftement dans le rapport de 4 à 5. La tierce mineure de la à ut eff enfin altérée, par la même raifon que celle re à fa.
    • Si cette difpofifion des tons majeurs & mineurs étoit arbitraire , ils pourroient fans doute être arrangés de maniéré qu’il y eût moins d’intervalles altérés: il fuffiroit pour cela de faire mineur le ton de ut à re, & majeur celui du re au mi : on pourroit aufli faire mineur le ton du fol au la, &c majeur celui du la au Ji. Car on trouvera, énumération faite , qu’il n’y auroit plus, par ce moyen, qu’une feule tierce altérée ; au lieu qu’il y en a trois dans l’autre difpofition. De-là font venues les difputes entre les muficiens fur la distribution des tons mineurs & majeurs, les uns
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    • Acoustique et Musique. 375 voulant, par exemple, que de F ut au re il y eût un ton majeur, les autres voulant qu’il fût mineur. Mais la génération harmonique de l’échelle diatonique , développée par M. Rameau, ne permet pas cette difpolition , mais uniquement la première : c’eft celle qui eft indiquée par la nature ; &, malgré fes imperfeélions que le tempérament corrige dans l’exécution, elle eft préférable à la première des échelles grecques, fort défe&ueufe, en ce qu’elle ne comprenoit pas toute l’étendue de l’o&ave : elle vaut mieux auffi que la fécondé , attribuée à Pytliagore, mi 9fa9fol9 &c. parceque fa définence eft plus parfaite , & porte à l’oreille un repos qui n’eft pas dans celle de Pythagore, à caufe de fa chute fur la tonique, annoncée & précédée par la note Jî9 tierce de la quinte fol, dont l’effet eft ft marqué pour toutes les oreilles muficales, qu’elle en a retenu le nom de note fenfible.
    • On reconnoît dans la mufique deux modes proprement dits, dont les carafteres font bien marqués aux oreilles douées de quelque fenfibilité mu-ficale: c’eft ce qu’on appelle le mode majeur & le mineur. On eft dans le mode majeur, quand , dans l’échelle diatonique , la tierce de la tonique eft majeure: telle eft la tierce del*ut au mi. Ainft la gamme , ou l’échelle diatonique ci-deffus , eft dans le mode majeur.
    • Mais lorfque la tierce de la tonique eft mineure , on eft dans le mode mineur. Ce mode a fon échelle , comme le majeur. Prenons la pour tonique ; l’échelle du mode mineur en montant eft la, Ji, ut 9re 9 mi,fa9fol%, la. Nous di-fons en montant, car c’eft ici une fingularité du mode mineur , que fon échelle eft différente eu
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    • 374 Récréations Mathématiques. défendant qu’en montant. En effet, on doit dire en défendant, la, fol, fa, mi, n, ut, fi, la. Si le ton étoit en ut, l’échelle montante feroit, ut, re,mib , fa, fol, la b, fi, ut; & en dépendant , ut, fi b, la b,fol, fa ,mib,re, ut. Voilà pourquoi, dans les airs e'n mineur, fans que le ton ait changé, on rencontre fi fouvent des diefes ou des bémols accidentels, ou des béquarresqui dé-truifent bientôt leur effet, ou celui de ceux qui font à la clef. C’eft une de ces fingularités dont l’oreille avoit fait fentir la néceffité aux muficiens, mais dont M. Rameau ale premier développé la caufe, qui réfide dans la marche de la baffe fondamentale.
    • Ajouterons-nous à ces deux modes un troifieme, propofé par M. de Blainville , fous le nom de mode mixte, & dont il enfeigne la génération & les propriétés , dans fon Hifioire de la Mufique ? Son échelle eft, mi, fa, fol, la ,fi,ut, re, mi. Je me borne à dire que je ne vois pas que les muficiens aient encore fait beaucoup d’accueil à ce mode nouveau, & j’avoue n’être pas affez vèrfé en ces matières pour pouvoir dire s’ils ont tort ou raifon.
    • Quoi qu’il en foit, le cara&ere du mode majeur eft la gaieté & le brillant ; le mineur a quelque chofe de fombre & de trifte, qui le rend particuliérement propre aux expreflions de cette ef-pece.
    • La mufique moderne a auffi fes genres , comme l’ancienne. Le diatonique eft le plus commun, comme il eft auffi celui qui eft le plus clairement indique par la nature ; mais les modernes ont auffi leur chromatique , & même , à certains égards, Jçur enharmonique, quoique dans des fens un peq
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    • Acoustique et Musique. 375 différents de ceux que les anciens attachoient à ces mots.
    • La modulation eft chromatique , lorfque l’on paffe plufieurs demi-tons de fuite, comme fi l’on difoit, fa, mi'9 mi b, re, ou fol, fa%, fa, mi. Il eft allez rare d’avoir ainfi plus de trois ou quatre demi-tons confécutifs. On trouve néanmoins , dans un air du fécond a&e de la Zingara, ou la Bohémienne, intermede italien, une oâave pref-que entière de Vue au re inférieur, toute en demi-tons ; ce qui fait dix demi-tons confécutifs. C’eft le plus long paffage chromatique que je connoiffe.
    • M. Rameau trouve l’origine de cette progref-fion dans la marche de la baffe fondamentale , qui, au lieu d’aller de quinte en quinte, ce qui eft fon mouvement naturel, marche de tierce en tierce. Mais il faut remarquer ici que, dans l’exactitude , il ne doit y avoir dans le premier paffage du mi au mi b qu’un demi-ton mineur, & un demi-ton majeur du mi b au re; mais le tempérament & la conftitution de la plupart des inftru-ments, en confondant le re% avec le mi b, partagent également l’intervalle du re au mi, & l’oreille en eft affe&ée parfaitement de .même, fur-tout au ;moyen de l’accompagnement.
    • Il y a deux enharmoniques , l’un appellé diatonique enharmonique, l’autre chromatique enharmonique , mais très-rarement employés par les mufi-ciens. Ce n’eft pas qu’on y faffe ufage des quarts de ton , comme dans l’enharmonique ancien ; mais ces genres ont reçu ces noms , parceque de la marche de la baffe fondamentale réfultent des fons qui, quoique pris les uns pour les autres, different réellement entr’eux du quart de ton appellé par les anciens enharmonique, ou de 125
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    • yj6 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES# à 12.8. Dans le diatonique enharmonique, la baffe fondamentale marche alternativement par quinte 8c par tierce ; oc dans le chromatique enharmonique , elle va alternativement par tierce majeure & mineure. Cette marche introduit, tant dans la mélodie que dans l’harmonie, des fons qui , n’entant point du ton principal ni de fes relatifs, portent l’étonnement à l’oreille, & l’affe&ent d’une, maniéré dure ôt extraordinaire, mais propre à de certaines expreffions violentes Sc terribles. C’eft pour cela que M. Rameau avoit employé le diatonique enharmonique dans fon trio des Parques de l’opéra d'Hippolite & Aride ; & quoiqu’il ne l’ait pu faire exécuter , il n’en a pas moins refté per-fuadé qu’il eût produit un grand effet, s’il avoit trouvé des exécuteurs difpofés à fe prêter à" fes idées ; enforte qu’il l’a laiffé fubfifter dans la partition imprimée. Il cite comme un morceau d’enharmonique , une fcene de l’opéra italien de Corio-lano, commençant par ces mots, O iniqui Marmi! qu’il dit admirable. On trouve enfin des échantillons de ce genre dans deux de fes pièces de claveflin , la Triomphante & Y Enharmonique, & il ne défefpéroit pas de venir à bout d’employer même le chromatique enharmonique , du moins dans les fymphonies. Pourquoi effe&ivement ne l*auroit-il pas fait, puifque Locatelli, dans fes premiers concertos, a employé ce genre, en laif-fant fubfifter les diefes $c les bémols.; (diftin-guant, par exemple, le re % du mi b?) C’eft un morceau, dit un hiftorien moderne de la mufique , (M. de Blainville ) vraiment infernal, & qui met l’ame dans une fituation violente d’appréhenfion & d’effroi. r
    • Nous ne pouvons mieux faire, pour terminer
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    • Acoustique et Musique. 377 cet article, que de donner quelques exemples de la mufique de différentes nations. Nous avons fait graver, dans cette vue , divers airs grecs, chinois , turcs , perfans, qui pourront fervir à donner PL 16. une idée de la modulation qui cara&érife la mufique de ces peuples différents.
    • ARTICLE.IX.
    • Paradoxes Mujicaux.
    • §.I.
    • On ne peut entonner jujle ces fons, fol, ut, la , re, fol, fçavoir , de fol à ut en montant , de ut à la en redefeendant de tierce mineure, puis montant de quarte à re, & dejCendant de re à fol , de quinte ; on ne peut , dis-je , entonner jujle ces intervalles , & faire le fécond fol à Funijfon du premier.
    • EN effet, on trouve par le calcul que, le premier fol étant repréfenté par 1, Par en montant de quarte fera \ ; conféquemment le la, en defeendant de tierce mineure , fera ~ ; donc le re au deffus fera enfin le fol, en defeendant de quinte, fera |^. Or le fon repréfenté par §£, eft plus bas que celui repréfenté par 1 ; donc le dernier fol eft plus bas que le premier.
    • D’où vient, dira-t-on, l’expérience eft-elle cependant contraire à ce calcul ? Je réponds que cela vient uniquement de la réminifcence du premier ton fol. Mais fi l’oreille n’étoit point affeélée de ce ton, & que le chanteur fût uniquement attentif
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    • yj% Récréations Mathématiques.
    • à entonner jufte les intervalles ci-deffüs, il eff: évident qu’il finiroit par un fol plus bas. Auffi arrive-t-il bien fréquemment qu’une voix non-ac-compagnée, après avoir chanté un long air dans lequel on parcourt plufieurs tons, refte, en finif-fant, plus haut ou plus bas que le ton par lequel' elle a commencé.
    • Cela vient de l’altération néceflaire de quelques intervalles dans l’échelle diatonique. Dans l’exemple précédent de la à ut, il n’y a qu’une tierce mineure dans le rapport de 27 à 32, & non de 5 à 6 : mais c’eft cette derniere que l’on entonne , fi l’on a la voix jufte & exercée : on baiffe conféquemment d’un comma plus qu’il ne faudrait : il n’eft donc pas étonnant que le dernier fol foit auffi plus bas d’un comma que le premier.
    • §. IL
    • Dans un injlrument à touches, comme dans un
    • clavejjiti, il ejl impoffible que les tierces & les quintes foient enfemble jufies.
    • On le démontre aifément de cette maniéré. Soit cette fuite de tons à la quinte les uns des autres en montant, ut, fol, re, la, mi ; en défignant ut par 1 ,fol fera f, re f, la £•, mi g: ce mi devroit faire la tierce majeure avec la double oéfave de ut ou-, c’eft-à-dire qu’ils devraient être dans le rapport de 1 à f, 0u de 5 à 4, ou de 80 à 64; ce qui n’eft pas, car 7 & font comme 81 à 64: ainfi ce mi ne fait pas la tierce majeure avec la double oélave d'ut; ou, les abaiffant l’un & l’autre de la double o&ave, ut & mi ne font pas à la tierce, fi mi eft à la quinte jufte de la.
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    • Acoustique èt Musiq'ue. 379 Àufli, dans un infiniment à touches, un cla-veffin, par exemple, quelque bien accordé qu’il fqit , tous les intervalles, aux o&aves près, font faux ou altérés. Cela fuit néceffairement de la maniéré dont on accorde cet infiniment ; çar, ayant mis tous les ut à l’o&ave les uns des autres, comme il convient, on met fol à la quinte d’«r , re à la quinte de fol, & on le rabaiffe d’oétave, parcequ’il l’excede ; de-là on met la à la quinte du re ainli abaiffé, & mi à la quinte du la, & on rabaiffe ce mi d’oâave : en continuant ainfi de monter deux fois de quinte , enfuite de defcendre d’oâave , on trouve la fuite des fons -, Ji9fa%9 ut*9fol%9re*9la*9 mi*9fi*. Or ce dernier jî% , qui devroit être tout au plus à l’uniffon de Yut, oftave du premier , fe trouve plus haut; car le calcul montre qu’il eft exprimé par , ce qui eft moindre que \, valeur de l’o&ave à!ut : c’eft-là ce qui néceflite ce qu’on nomme le tempérament , qui confifte à baiffer toutes les quintes légèrement & également, enforte que ce dernier Jî%9 fe trouve précifément à l’o&ave du premier ut: c’eft du moins la pratique enfeignée par Rameau, & c’eft la plus fondée en raifon. Mais, quelle que foit la méthode employée, elle confifte toujours à rejeter plus ou moins également cet excès du au deffus de Yut, fur les notes de l’o&ave ; ce qui ne peut fe faire fans altérer plus ou moins les quintes, les tierces, &c.
    • Nous venons de voir 1 eji%9 donné par la pro-greflion des quintes, plus haut que Yut ; mais fi on emploie la progrefîion fuivante des tierces 9ut9 mi9 fol%9 fiX, ce Jî% fera fort différent du premier ; car on trouve qu’il eft exprimé par j£j9 tandjs que l’o&ave d’«r eft Or £ eft moindre
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    • 380 Récréations Mathématiques. qUe -é±r ; ainfi ceji%. eft au deffous de Y ta exprimé par j, & l’intervalle de ces deux Tons eft exprimé par le rapport de 128 à 125 , ce qui eft le quart de ton enharmonique.
    • §. III.
    • Une note inférieure, par exemple re, affectée du diefe , ni eft pas la même chofe que la note fu-périeure mi, affectée du bémol ; & ainfi des autres notes dijiantes d’un ton entier.
    • Les diefes font ordinairement donnés par le mode majeur, & même par le mineur, pour que la fous-tonique ne foit éloignée de la tonique que d’un demi-ton majeur, comme dans le ton à’ut, le Ji l’eft de Y ut : donc , du re au mi y ayant un ton mineur, qui eft compofé d’un demi-ton majeur & d’un mineur, fi l’on ôte un demi-ton majeur dont le re % doit être au deffous du mi, le reftant fera un demi-ton mineur dont ce même re % fera au deffus du re.
    • S’il étoit queftion de deux notes dont la dif-tance fût d’un ton majeur, le diefe éleveroit la note inférieure d’un intervalle égal à un demi-ton mineur, plus un comma de 80 à 81, qui eft un demi-ton moyen entre le majeur & le mineur.
    • Le diefe n’éleve donc la note que d’un demi-ton mineur ou moyen.
    • Les bémols font ordinairement introduits dans la modulation par le mode mineur , lorfqu’on eft obligé d’abaifl'er la note de la tierce , de maniéré qu’elle faffe avec la tonique une tierce mineure : ainfi le mi bémol doit faire avec ut une tierce mineure : donc , de la tierce majeure ut miy qui
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    • Acoustique et Musique; 381
    • eft f, ôtant la tierce mineure qui eft J , le reftant ff eft ce dont le bémol abaifte le mi au deflous du ton naturel ; conféquemment le mi bémol eft plus haut que le re diefe.
    • Dans la pratique néanmoins on prend l’un pour l’autre, fur-tout dans les inftruments à touches : le bémol y eft abaiffé, & le diefe infenfiblement haulfé , de maniéré qu’ils coïncident l’ùn avec l’autre ; & je ne crois pas que la pratique gagnât grUnd’chofe à en faire la diftin&ion, quand elle n’entraïneroit pas beaucoup d’inconvénients.
    • ARTICLE X.
    • Quelle eft la caufe du plaifir mufical? Des effets de la muftque fur les hommes & fur les animaux.
    • ON demande communément pourquoi l’on goûte du plaifir à entendre deux fons qui forment enfemble la quinte, la tierce ; & pourquoi au contraire l’oreille éprouve un fentiment défagréable en entendant deux fons qui ne font qu’à un ton ou un demi-ton l’un de l’autre? Cette queftion n’eft pas aifée à réfoudre. Voici néanmoins ce qu’on a dit ou qu’on peut dire de plus probable.
    • Le plaifir, dira-t-on, confifte dans la perception des rapports : c’eft ce qu’on prouve par divers exemples tirés des arts. Ainfi le plaifir de la mufique confifte dans la perception des rapports des fons. Ces rapports font-ils affez fimples pour que l’arae
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    • 38Ü RÉCRÉATIÔftS MATHEMATIQUES; puiffe les faifir & en appercevoir l’ordre ? Les fdris plairont étant entendus enfemble ; ils déplairont an contraire, fi leurs rapports font trop compofés $ ou n’ont abfolument aucun ordre.
    • L’énumération des confonnanees & des dif-fonnances connues, confirme aflez bien ce rai-» fonnement. Dans l’uniffon , les vibrations de deux fons coïncidant fans ceffe enfemble dans leur durée , voilà le rapport le plus fimple : aüfli l’uniffon eft-il la première des confonnanees. Dans l’octave, les deux fons qui la forment font leurs vibrations de maniéré que deux de l’un s’achèvent en même temps qu’une de l’autre : ainfi l’oétave fuccede à l’uniffon. Elle eft fi naturelle à l’homme , que celui qui ne peut, par le défaut de fa voix , atteindre à un fon trop grave ou trop aigu , entonne tout naturellement, l’o&ave ou la double oétave au deffus ou au deffous.
    • Maintenant, que les vibrations de deiix fons fe faffent enforte que trois de l’un répondent à une de l’autre, vous aurez le rapport le plus fimple après ceux ci-deffus. Qui ne fçait auffi que, de tous les accords, le plus flatteur à l’oreille eft celui de la douziemé ou de l’o&ave de la quinte ? Il furpaffe en agrément la quinte même, dont le rapport, un peu plus Compofé, eft celui de 1 à 3.
    • Après la quinte , vient la double oftave de la tierce, ou la dix-feptieme majeure, qui eft exprimée par le rapport de 1 à 3. Cet accord eft auffi, après celui de la douzième , le plus agréable ; & fi on l’abaiffe de la double oélave pour avoir la tierce même, il fera encore confonnance , le rapport de 4 à 5 , qui l’exprime alors, étant aflez fimple.
    • Enfin la quarte exprimée par J, la tierce mi-
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    • Acoustique et Musique; j8j
    • Heure exprimée par les fixtes , tant majeures que mineures, exprimées par { 8c f-, font des confonnances par la même raifon.
    • Mais, pafle ces rapports, tous les autres font trop compofés pour que l’ame puifle, ce femble , en appercevoir l’ordre : tels font l’intervalle du ton, tant majeur que mineur, exprimé par f ou ^, à plus forte raifon celui du demi-ton, tant majeur que mineur, exprimé par ou fy : tels font encore les accords de tierce 8c de quinte, pour peu qu’ils foient altérés ; car la tierce majeure, par exemple , hauflee d’un comma, eft exprimée par — , 8c la quinte, diminuée de la même quantité, a pour'expreflion le triton enfin, comme d’ut à fa %, eft une des plus défàgréables diffonnances ; aufli eft-il exprimé par yf-.
    • Voici pourtant une objeâion très-forte contre ce raifonnement. Comment, dira-t-on, le plaifir des accords peut-il confifter dans la perception des rapports , tandis que le plus fouvent l’ame ignore qu’il exifte de pareils rapports entre les fons ? L’homme le plus ignorant n’eft pas moins flatté d’un concert harmonieux , que celui qui a calculé tous les rapports des parties. Tout ce qu’on a dit ci-deflus ne feroit-il pas plus ingénieux que folide ?
    • Nous ne fqaurions diflimuler que nous fommes portés à le penfer ; 8c il nous femble que la célébré expérience de la réfonnance du corps fonore , fournit une raifon plus plaufible du plaifir des accords : car, puifque tout fon dégénéré en fimple bruit, lorfqu’il n’eft pas accompagné de fa douzième 8c de fa dix-feptieme majeure, indépendamment de fes oâaves, n’eft-il pas évident que, toutes les fois qu’on joint à un fon fa douzième
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    • 384 Récréations Mathématiques. ou fa dix-feptieme majeure, ou toutes deux en-femble, on ne fait qu’imiter le procédé de la nature , en donnant à ce fon , d’une maniéré plus développée & plus fenfible, l’accompagnement qu’elle lui donne elle-même, & qui ne fqauroit manquer de lui plaire, par l’habitude que l’organe a contra&ée de les entendre enfemble ? Cela eft fi vrai, qu’il n’y a que deux accords primitifs , la douzième & la dix-feptieme majeures, & que tous les autres , comme la quinte, la tierce majeure , la quarte , la fixte, en tirent leur origine. On fixait auffi que ces deux accords primitifs font les plus parfaits de tous, & que c’eft l’accompagnement le plus gracieux qu’on puiffe donner à un fon, quoique, pour la facilité de l’exécution, dans le claveffin par exemple, on leur fubftitue la tierce majeure & la quinte elle-même , qui, avec l’oftave, forment ce qu’on nomme Vaccord parfait ; mais il n’eft parfait que par repréfentation , & le plus parfait de tous feroit celui qui au fon fondamental & à fes oêlaves joindroit la douzième & la dix-feptieme majeures : auffi Rameau l’a-t-il pratiqué, quand il l’a pu, dans fes chœurs, entrautres dans un de Pygmalion. Nous pourrions étendre davantage cette idée, mais ce que nous avons dit fuffira pour tout lefteur intelligent.
    • On raconte des chofes fort extraordinaires de l’effet de la mulique ancienne. C’eft ici le lieu de les faire connoître, à caufe de leur lingularité. Nous les difcuterons enfuite, & nous montrerons que la mufique moderne peut aller,, à cet égard, de pair avec l’ancienne.
    • On dit donc qu’Agamemnon partant pour la guerre de Troye, & voulant conferver fa femme dans la continence, lui laiffa un mulicien Dorien, qui
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    • Acoustique et Musique. 385: qui, pendant allez long- temps , par l’effet de lès airs , rendit vaines les. entreprises d’Egifte pour , s’en faire aimer ; mais ce prince s’étant ap-perçu de la caulè de cette réfiltance, fit tuer le muùcien , après quoi il n’eut guere de peine à triompher de Clytemneftre.
    • On raconte qpe, dans un temps poftérieur , Pythagore compofoit des chants ou airs pour guérir les pallions violentes , & ramener les hommes à la vertu & à la modération : ainfi , tandis qu’un médecin prefcrit une potion pour là guérifon corporelle d’un malade un bon muficien pourroit prefcrire un air pour, déraciner une paflion vi-cieufe.
    • Qui ne contio.ît. enfin l’hiffoire de Timothée, le furintendant- de la roufique d’Alexandre ? Uîi jour q,ue ce prince était à table, Timothée joua un air dans le mode phrygien, qui fit une telle im-preffion fur luique, déjà échauffé par le vin, il courut à fes armes,, & allôit charger les convives, fi Timothée n’eût prudemment paffé aulfi-tôt dans le mode fous-phrygien. Ce mode calma la fureur de l’impétueux monarque, qui revint prendre place à table. C’eft ce Timothée qui effuya à Sparte l’humiliation de voir en public retrancher quatre des cordes qu’il avoit ajoutées à fa lyre. Le févere Spartiate penfa que cette innovation ten-doit à amollir les mœurs, en introduifant uoe mufique plus étendue & plus figurée. Cela prouve du moins que les Grecs étoient dans la perfuafion que la mufique avoit fur les mœurs une influence particulière , & que le gouvernement devoit y avoir l’œil.
    • Eh !; qui peut douter que la mufique ne foit capable de produire cet effet ? Qu’on s’interroge Tome II, B b
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    • Récréations Mathématiques,
    • foi-même , & qu’on confulte fes difpofitions forf-qu on a entendu un air grave & majeftueux, Un air guerrier, oubien un air tendre joué ou chanté avec fentiment; qui ne fent qu’autant lek premiers lemblenf élever l’ame , autant le dernier tend à l’amollir & à la difpofer à la volupté ? Combien dè Clytemneftres ont cédé plus encore au mufi-cien qu’à l’amant I Divers traits de la mufique moderne la mettent,à cet égard,en parallèle avec l’ancienne.
    • En effet la mufïqfie moderne a eu auffi fon Ti-mothée, qui excitoit & calmoit à fon gré les mouvements les plus impétueux. On raconte de Claudin le jeune, célébré muficien du temps de Henri III,' {yoye^ le Journal de Sàncy) que ce prince donnant un concert pour les noces du duc de Joyéüfe, Claudin fit exécuter certains airs, qui affe&erent tellement un jeune feigneur, qu’il mit l’épée à la main , provoquant tout le monde au combat; maïs , auffi prudent que Timothée , Claudin fit paffer fur le champ à un air, apparemment fous-phrygiên, qui calma le jeufie homme emporté.
    • Que dirons-nous de Stradella, des affaffins duquel la mufique de ce fameux compofiteur fit tomber une fois le poignard? Stradella avoit enlevé a un Vénitien fa maîtreffe, & s’étoit fauve à Rome ' le Vénitien gagea trois fcéléràts pour lutter affy-finer ; mais, heiirèufemenf' pour Stradella j ds avoient l’oreiîle fenfible à la mufique. Gué tan' donc le moment de faire leur coup, ils entrèrent à Saint-Jean de Latranf ôù l’on exécutoit «n Oratorio de celui qu’ils dévoient tuer : ils en faren
    • fiaffe&és, qu’ils renoncèrent à leur projet allèrent même trouver Je muficien, a qui ib re part du danger qu’il courdk. Il eft vrai que
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    • AeOÜSTlQtJË et Musiqüè. 387 éella n’en fut pas toujours quitte à auffi bon marché : d’autfes fcélérats, gagés par le Vénitien, & qui apparemment n’a voient point d’oreille , le poignirderent peu de temps après à Genes. Cela s’eft paffé vers 167°- . . .
    • Il n’eft perfonne qui ignore i-hiitoire de la tarentule. Le remede à la morfure de cet infefte cft .la mufique. Ce fait , au refte , qui a pafle autrefois pour certain , eft aujourd’hui contefté. Quoi qu’il en foit, le bon pere Schott nous a traafmis dans fa Mufurgia curiofa , l’air de la tarentule , qui m’a paru aflez plat, ainli que celui qu’il donne comme employé par les pécheurs Siciliens pour attirer les thons dans leurs filets. Il eft vrai que les poiffons ne font probablement pas grands connoiffeurs en mufique.
    • Gn raconte divers traits de perfbnnes à qui la mufique a confèrvé la vie, en opérant une forte de révolution dans leur conftitution. J’ai connu une femme qui,.attaquée depuis plufieurs mois de vapeurs, & opiniâtrement renfermée chez elle, avoit réfolp de s’y laiffer mourir. On la détermina, non fans grande peine , à voir une repré-fentation de la Serva Padrona : elle en fortit presque guérie , & abjurant fes noirs projets : quelques rèpréfentations de plus la guérirent entièrement.
    • 1 11 y a en Suide un air célébré, appelle le ran^
    • des vaches, qui faifoît fur les Suides engagés au fervice de France un.effet fî extraordinaire, qu’ils ne manquoient pas de tomber dans une mélancolie mortelle quand ils l’avoient entendu : audï Louis XIV avoit-il défendu, fous des peines très-graves, ne le jouer en France. J’ai ouï parler d’un airécof-
    • 01S* auffi dangereux pour ceux de cette nation*
    • B b ij
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    • 3$8 Récréations Mathématiques.
    • La plupart des animaux, jufqu’aux infe&es, ne font pas infenfibles au plaifir de la mufique. Il n’eft peut-être aucun muficien à qui il ne Toit arrivé de voir des araignées defcendre le long de leurs fils pour s’approcher de l’inftrument ; car j’ai eu plufieurs fois cette fatisfaâion. J’ai vu un chien qui, à un adagio d’une fonate de Sennaliez, ne manquoit jamais de donner des marques d’une attention & d’un fentiment particulier, qu’il té-moignoit par .des hurlements.
    • Croirons-nous néanmoins le fait rapporté par Bonnet, dans fon Hijioire de la Mufique ? Il raconte qu’un officier ayant été mis à la Baftille, obtint la permiffion d’y avoir un luth, dont il touchoit très-bien. Il n’en eut pas fait ufage pendant quatre jours, que les fouris fortant de leurs trous, & les araignées defeendant du plancher par leurs fils, vinrent participer à fes copcerts. Son averfion pour ces animaux lui rendit d’abord cette vifite fort déplaifante , & lui fit fufpendre cet exercice ; mais enfuite il s’y accoutuma tellement , qu’il s’en fit une forte d’amufement.
    • Le même auteur raconte avoir vu en 1688, dans une maifon de plaifance de milord Portland, en Hollande, où il étoit en ambaflade, une écurie où il y avoit une tribune, -qu’on lui dit fervir à donner une fois la femaine un concert aux chevaux ; & on lui ajouta qu’ils y paroiffoient fort fenfibles. C’eft pouffer , il faut en convenir, bien loin l’attention pour les chevaux. Peut-être, & cela eft plus probable, voulut-on s’amufer aux dépens de M. Bonnet.
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    • Acoustique et Musique. 389
    • ARTICLE XI.
    • Des propriétés de quelques injlruments, & fur-tout des injlruments à vent.
    • I./~\N ftjait, à n’en pouvoir douter, comment V/ un inftrument à cordes rend fes Tons : mais on a été long-temps dans l’erreur à l’égard des inftruments à vent, par exemple d’une flûte ; car on en attribuoit le Ton aux furfaces intérieures du tuyau. Le célèbre M. Euler a diffipé le premier cette erreur. De Tes recherches fur ce fujet il refaite,
    • i° Que le fon produit par une flûte, n’eft autre que celui du cylindre d’air qui y eft contenu ;,
    • ( i° Que le poids de l’atmofphere qui le comprime, fait ici l’office de poids tendant;.
    • 30 Enfin, que le fon de ce cylindre d’air eft parfaitement le même que celui d’une corde de même maflfe.& même longueur , qui feroit tendue par un poids égal à celui qui preffe la bafe de ce cylindre.
    • L’expérience & le calcul confirment cette vérité. M. Euler trouve en effet qu’un cylindre d’air de 7 pieds & demi du Rhin, <Mns un temps où le baromètre eft à fa moyenne hauteur, doit donner le C ou le C~fol-ut : telle eft auffi , à peu de chofe près , la longueur du tuyau d’orgue ouvert qui rend ce fon. Si on lui donne ordinairement 8 pieds, c’eft qu’effeftivement il faut cette Ion»
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    • 390 Récréations Mathématiques.; gueur dans les temps où le poids de l’atmofphere eft le plus grand.
    • Car, puifque le poids del’atmofphere fait, à l’égard du cylindre d’air réfonnant, l’effet du poids qui tend une corde; plus ce poids fera con-fidérable, plus le fon fera élevé : auffi remarque-t-on que , dans les temps fereins & chauds, les inftruments à vent hauifent de ton, &, tout au contraire, baiffent dans les temps froids & orageux. Ces mêmes inftruments hauffent à mefure qu’ils s’échauffent, parceque le cylindre d’air échauffé, diminuant de maffe, & le poids de l’atmofphere reftant le même , c’eft tout comme fi une corde, devenant plus mince , reftoit chargée du même poids. Tout le monde fçait qu’elle donneroit un ton plus haut.
    • Or, comme les inftruments à cordes doivent baiffer , parceque le reffort des cordes diminue peu à peu, il fuit de-là que des inftruments à vent, & d’autres à cordes , quelque bien accordés qu’ils aient été enfemble, ne tardent pas à être difcords : de-là vient que les Italiens n’admettent guere les premiers dans leurs orçheftres.
    • II. On remarque dans les inftruments à vent, comme dans les flûtes & les cors de chaffe , un phénomène particulier : dans une flûte, par exemple, tous les trous étant bouchés, & infpirant foiblement dans l’embouchure, vous tirez un ton ; foufflez un peu plus fort, vous paffez d’un faut à l’o&ave; de-là un fouffle fucceflivement plus fort , donnera la douzième ou quinte au deffus de l’oftave, puis la double oftave, ladix-fep-tieme majeure.
    • La cmife de cet effet eft la divifion du cylindre
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    • Acoustique et Musique. 391
    • «Pair renfermé dans l’inftrument : quand on inf-pire foiblement, il réfonne dans fa totalité , il donne le ton le plus bas : li, par une infpiration plus forte, vous tendez à lui faire faire des vibrations plus promptes, il fe divife en deux, qui font leurs vibrations féparées, & conféquemment doivent donner l’oftave : un -fouffle plus fort encore le fait divifer en trois, ce qui doit donner la douzième j &c, &c.
    • III. Il nous refte à parler de la trompette marine. ' Cet inftrument n’eft qu’un monochorde , dont la tablature eft fort lînguliere, & qu’on touche avec un archet, en appuyant légèrement le doigt fur les divifions indiquées par les divers tons : mais, au lieu que dans les inftruments à cordes ordinaires, le ton baifle à mefurequela partie de la corde touchée ou pincée s’allonge, ici c’eft le contraire ; la moitié de la corde, par exemple , donnant ut, les deux tiers donnent le fol au defîus ; les trois quarts donnent l’o&ave.
    • M. Sauveur a le premier rendu raifon de cette lîngularité, & l’a démontrée à la vue. Il a fait voir que, lorfque la corde eft divifée par l’obf-tacle léger du doigt, en deux parties qui font l’une à l’autre comme 1 à 2, quelle que fort la partie que l’on touche , la plus grande fe divife aufli-tôt en deux parties égales, qui conféquemment font leurs vibrations dans le même temps, & donnent le même fon que la plus petite. Or la plus petite étant le tiers de la toute, & les deux tiers de la moitié, elle doit donc donner la quinte ou fol, quand cette moitié donne ut. De même les trois quarts de la corde fe divifent en trois portions égales au quart reftant; & comme
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    • 39i Récréations Mathématiques.
    • «Iles font leurs vibrations à part, elles doivent donner le même fon, qui ne peut être que l’o&ave de la moitié. Il en eft de même des autres forts dè la trompette marine, qu’on expliquera aifément d’après ce principe.
    • ARTICLE XI L
    • Du fon fixe : maniéré de le transmettre & de le conferver.
    • AV ANT qu’on connût les effets de la température de l’air fur le fon , & fur les inftru-ments avec lefquels on le produit, ceci n’auroit pas même formé une queftion, finon peut-être pour quelques perfonnes douées d’une oreille extrêmement fine & délicate, & dans lefquelles la réminifcence d’un ton eft parfaite: pour toute autre , il ne ferait guere douteux qu’une flûte à laquelle on n’auroit point touché, donnerait toujours le même ton. Elle ferait cependant dans l’erreur ; & fi l’on demandait le moyen de tranf-mettre à Saint - Domingue , par exemple, ou à Quito , ou feulement à notre poftérité, le ton précis de notre opéra, le problème ferait plus difficile à réfoudre qu’il ne paraît d’abord.
    • Je vais néanmoins , malgré ce qu'on dit communément à cet égard , commencer ici par une forte de paradoxe. Je lis par-tout que le degré du ton varie à raifon de la pefanteur de l’atmofphere , ou de la hauteur du baromètre. C'eft ce que je ne peux admettre, & je crois pouvoir démontrer le contraire.
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    • Acoustique et Musiqué. 355
    • Il eft démontré par les formules de M. Euler , & perfonne ne doute de leur vérité ; que fi G exprime le poids comprimant la colonne d’air d’une flûte, L> fa longueur, P fa pefanteur; le nombre des vibrations qu’elle fera fera proportionnel à cette expreflion j/*il, c’eft-à-dire en raifon compofée de la direfte de la racine quar-rée de G, ou le poids comprimant, & del’inverfe du produit de la longueur par le poids. Suppo-fons donc invariable la longueur de la colonne d’air mife en vibration, & que la pefanteur feule de l’atmofphere, ou G, foit changeante, ainfi que le poids de la colonne vibrante ; on aura le nombre des vibrations proportionnel à l’expreflion \Z"Or la denfité d’une couche quelconque d’air, étant proportionnelle à tout le poids de la partie de l’atmofphere qui lui eft fupérieure, il fuit de-là que P, qui eft fous la même longueur , comme la denfité , il fuit, dis-je, que P eft comme G : ainfi la fra&ion — eft conftamment la même , quand la différence de chaleur n’altere point la denfité. La racine quarré de — eft donc aufli toujours la même ; & conféquemment le nombre des vibrations, ainfi que le ton, ne varie point, à quelque hauteur de l’atmofphere qu’on foit fitué, ou quelle que foit la pefanteur de l’air , pourvu que fa température n’ait point varié.
    • Voilà, ce me femble, un raifonnement auquel il eft impoflible de répliquer ; & fi l’on a, jufqu’à ce moment, fait entrer la pefanteur de l’air dans les caufes qui altèrent le ton d’un inftrument à
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    • 394 Récréations Mathématiques. vent , c’eft que l’on a implicitement regardé comme invariable la pefanteur de la colonne d’air mife en vibration. Cependant il eft évident que, fous même température , elle doit être plus ou moins denlè , à proportion de la plus ou moins grande pefanteur de l’atmofphere, puifqu’elle communique avec la couche d’air environnante, dont la denfité eft proportionnelle à cette pefanteur. Or la pefanteur eft proportionnelle fous même volume à la denfité : donc , &c.
    • Il ne refte donc que la variation de la température de l’air à confidérer, & c’eft l’unique caufe qui puiffe faire varier le ton d’un inftrument à vent. Mais on parviendrait de la maniéré fuivante à rendre le ton fixe, quel que fût le degré de chaleur ou de froid.
    • Ayez pour cet effet un inftrument, tel qu’une flûte traverfiere, dont le cylindre d’air peut être allongé ou raccourci par l’infertion plus ou moins profonde d’un corps dans l’autre ; ayez-en ürië autre qui doit refter- invariable, & que vous coïï-ferverez dans la même température , par exemple celle de io degrés au deffus de zéro du thermomètre de Réaumur. La première flûte étant ai même degré de température , vous les mettre^ .l’une & l’autre parfaitement à l’uniffon. Echauffez enfuite la première jufqu’au 30e degré du therr mometre , ce qui imprimera néceffairement au cylindre d’air contenu le même degré de. cha-leur, & allongez-la de la quantité néceffairë pour rétablir parfaitement l’uniffon : il eft évident que fi l’on divifoit cet allongement en vingt parties , chacune d’elles repréfenteroit la quantité dont la flûte devrait être allongée pour chaque degré du thermomètre de Réaumur,
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    • Acoustique et Musique. 395
    • Mais il eft aifé de, fentir que la quantité de cet allongement, qui feroit tout au plus de quelques lignesne feroit guere divifible en tant de parties ; c’eft pourquoi il faudroit qu’il fe fît par un mouvement de vis, c’eft-à-dire qu’un des corps de l’inftrument entrât dans l’autre par un pareil mouvement ; car alors' il fera aifé de faire que cet allongement réponde à une révolution entière, qu’il fera facile de divifer en un grand nombre de parties égales. Il fuffit d’indiquer ce méca-nifme pour le fentir.
    • On pourroit par ce moyen monter , li l’on voulôit, l’opéra de Lima , où la chaleur atteint fréquemment le 35e degré , au même ton préci-fément que celui de Paris. Mais en voilà affez fur un fujet dont l’utilité ne vau droit pas, il faut l’avouer , la peine que l’on prendroit pour atteindre à un pareil degré de précifion.
    • ARTICLE XIII.
    • Application finguliere de la mufique à une queftion de mécanique.
    • CEtte queftion a été anciennement propofée par Borelli, & quoique nous ne croyons pas qu’elle puifle être aujourd’hui la matière d’une controverfe, elle ne laiffe pas d’avoir en quelque forte partagé des. mécaniciens peu attentifs.
    • Attachez le bout d’une corde à un arrêt fixe, & après l’avoir fait pafler fur une efpece de chevalet, fufpendez-y un poids, par exemple de 10 livres.
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    • 396 Récréations Mathématiques.
    • Maintenant , au lieu de l’arrêt fixe qui mainte-noit la corde contre l’aâion du poids, fubflituez-lui un poids égal au premier. On demande fi , dans les deux cas, la corde èft également tendue.
    • Je ne crois pas qu’aucun mécanicien inftruit doute que, dans l’un & l’autre cas 9 la tenfion ne foit la même. Cela fuit néceffairement du principe de l’égalité entre l’aélion & la réaêlion. D’après ce principe , l’arrêt immobile , oppofé dans le premier cas au poids appendu à l’autre extrémité de la corde, ne lui oppofe ni plus ni moins de réfiftance que ce poids lui-même exerce cfaélion : donc, en fubftituant à cet arrêt fixe un poids égal au premier pour le contrebalancer, tout relie égal quant à la tenfion qu’éprouvent les parties de la corde, & qui tend à les réparer.
    • Mais la mufique fournit un moyen de prouver cette vérité à la raifon par le lèns de l'ouïe ; car, puifque la tenfion reliant la même , le ton relie le même, il n’y a qu’à prendre deux cordes de même métal 8c même calibre > en attacher une par un bout à un arrêt fixe , la faire pafler fur un chevalet qui en retranche, depuis cet arrêt fixe, une longueur déterminée, par exemple d’un pied ; enfin fufpendre à fon bout un poids donné , par exemple de io livres ; puis, ayant éloigné deux chevalets de la diftance d’un pied, attacher à chacune des deux extrémités de la fécondé corde un poids de io livres : fi les tons font les mêmes, on en conclura que la tenfion ell la même. Nous ne fçavons fi cette expérience a jamais été faite , mais nous ofons répondre qu’elle décidera pour l’égalité de la tenfion.
    • Cette application ingénieufe de la mufique à
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    • Acoustique et Musique. 397 la mécanique, eft de M. Diderot , qui l’a proposée dans Ses Mémoires fur différents fujets de Mathématique & de Phyjîque ; in-8®, Paris 1748.
    • ARTICLE XIV.
    • Quelques confidérations Jingulieres fur les diefes & les bémols , ainji que fur leur progreffon dans leurs différents tons.
    • PO U R peu que l’on Soit inftruit dans la mufi-que , on fçait que, Suivant les différents tons dans lefquels on module, il faut un certain nombre de diefes ou de bémols, parceque dans le mode majeur, l’échelle diatonique, de quelque ton que l’on commence, doit être Semblable à celle d’ar, qui eft la plus {impie de toutes, n’y ayant ni diefe ni bémol. Ces diefes ou bémol ont une marche finguliere, qui mérite d’être obfervée, & qui eft même Susceptible d’une forte d’analyfe, & de calcul, pour ainfi dire, algébrique.
    • Pour en donner une idée , nous remarquerons d’abord qu’un bémol peut & doit être conlidéré comme un diefe négatif, puifque Son effet eft de bailler la note d’un demi-ton, au lieu que le diefe Sert à l’élever de cette même quantité. Cette Seule confidération peut Servir à déterminer tous les diefes & bémols des différents tons.
    • Il eft facile de voir que, lorfqu’une mélodie en ut majeur eft montée de quinte, ou mife Sur le ton de fol, il faut un diefe fur le fa. On peut donc conclure de-là que cette modulation, baiffée de quinte ou mife en fa9 exigera un bémol. Il en faut en effet un fur le f
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    • 39$ Récréations Mathématiques,
    • De-là fuit encore cette conséquence ; c’eft que , !ï on monte encore cet air d’une quinte, c’eft-à-dire en re, il faudra un diefc de plus: c’eft pourquoi il en faudra deux. Or monter de deux quintes , & baiffer enfuite d’une oélave, pour fe rapprocher du ton primitif, c’eft s’élever feulement d’un ton ; ainfi, pour monter l’air d’utf ton , il faut y ajouter deux diefes. En effet le ton de re exige deux diefes; donc, par la même raifon, le ton de mi en exige quatre, k Continuons. Le ton de fa exige un bémol, celui de mi demande quatre diefes; donc, lorf-qu’on éleve l’air d’un demi-ton , il faut lui ajouter cinq bémols ^ car le bémol étant un diefe négatif, il eft évident qu’il faut ajouter aux quatre diefes de mi un tel nombre de bémols, qu’il efface ces quatre diefes, & qu’il refte encore un bémol, ce qui ne peut fe faire que par cinq bémols ; car il faut, en langage analytique , — $x pour que, ajoutées à 4.x, il refte — x.
    • Par la même raifon , fi l’on baiffe fa' modulation d’un demi-ton, il faut y ajouter cinq dièfis: ainfi le ton d9ut n’ayant ni diefes ni bémols, on trouve pour celui de fi cinq diefes ; ce qui eft en effet. Bâillons encore d’un ton pour être en la; il faut ajouter deux bémols t comme, lorlqu’ort monte d’un ton, il faut ajouter deux diefes. Or cmqdiefes plus deux bémols, font la même choïè que cinq diefes moins deux diefes, ou trois diefes: ainfi nous trouvons encore par cette voie, que leton de la exige trois diefes.
    • Mais', avant que •d’aller plus loin, il eft né-ceffaire d’obferver que tous les tons chromatiques , c’eft-à-dire inférés entre ceux de l’échelle diatonique naturelle, peuvent être confidérés comme
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    • Acoustique Et Musique. 399
    • dièfes ou bémols ; car il eft évident que ut % ou re b font la même chofe. Or il fe trouve ici une chofe fort fînguliere ; c’eft que, fuivant la maniéré dont on confidere cette note, ou comme l’inférieure afleftée du diefe, ou la fupérieure af-feftée du bémol, le nombre des diefes qu’exigeroit le ton de la première, par exemple ut%, & celui des bémols que demanderoit le ton de la fécondé , par exemple re b, font toujours 12; ce qui vient évidemment de la divifion de l’oétave en 12 demi-tons : ainfi re b demandant, comme on l’a vu plus haut, cinq bémols, fi, au lieu de ce ton, on. le regardoit comme ut il faudroit fept diefes; mais, pour la facilité de l’exécution, il vaut mieux, dans ce cas, regarder ce ton comme re b que comme ut
    • On doit faire ce changement toutes les fois que le nombre des diefes excede fix ; enforte, par exemple, que, comme on trouveroit dans le ton de la % dix diefes, il faut le nommer fib,&. l’on aura deux bémols pour ce ton; parceque deux bémols foilt le complément de dix diefes.
    • Si, au contraire, en fuivant la progreflion de demi-tons en defcendant , on trou voit un plus grand nombre de diefes que 12 , il faudroit en rejeter 12, & le reftant feroit celui du ton pro-pofé : par exemple, ut n’ayant point de diefe ni de bémol, on a cinq diefes pour le femi-ton inférieur fi ; dix diefes pour le femi-ton au deffous, la^\ quinze diefes pour le femi-ton encore inférieur-^ la : retranchant donc douze diefes, il en reftera trois, qui font en effet le nombre des diefes néceffaires dans le ton d'A-mi-la.
    • Le ton de fol % devra en avoir 8 ou 4 bernois, en l’appellant la b.
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    • 400 Récréations Mathématiques;, *
    • Le ton de fol aura 13 diefes, dont ôtant 12. > refte unfeul diefe, comme tout le monde fqait.
    • Le ton 6e fa ^ aura donc 6 diefes , ou 6 bémols. en l’appeliant fol b.
    • Le ton de fa devra avoir 6 bémols, plus 5 diefes, c’eft-à-dire 1 diefe, les 5 diefes détruifant autant de bémols.
    • Celui de mi aura un bémol plus 5 diefes, c’eft-à-dire 4 diefes, le bémol détruifant un des cinq..
    • Celui de re ^ aura 9 diefes, ou 3 bémols étant confidéré comme mi b.
    • Celui de re aura 14 diefes, c’eft-à-dire 2 en en rejetant 11, ou 3 bémols plus 5. diefes , qui fe réduifent à 2 diefes.
    • Celui de ut % aura 7 diefes, ou 5 bémols û nous l’appelions re b.
    • Enfin le temps d’ut naturel aura 12 diefes, c’eft-à-dire point, ou 5 bémols plus 5 diefes , qui s’sl-néantiffent auffi mutuellement.
    • On trouveroit précifément les mêmes réfultats en allant en montant depuis ut de demi-ton en demi-ton, & en ajoutant pour chacun 5 bémols avec l’attention d’en retrancher 12 quand ils excé-deroient. Notre le&eur peut s’amufer à en faite, le calcul.
    • On peut même , en calculant le nombre des demi-tons, foit en montant, foit en defeendant, trouver tout de fuite celui des diefes qù bémols d’un ton donné.
    • Soit pris, par exemple, celui de fa % ; il y a 6 demi-tons depuis ut en montant ; donc fîx fois 5 bémols font 30 bémols, dont ôtant 24,. multiple de 12, il en refte 6 : ainfi fol b aura 6 bémols*
    • Le même fa ^ eft de 6 tons au deffous de ut; donc il doit avoir fix fois 5 ou 30 diefes, dont ôtant
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    • Acoustiqüe et Musique. 401
    • ©tant 14 , il relie 6 diefes, ainli que nous l’avons trouvé par une autre voie.
    • Le ton dé fol eft éloigné de 5 demi-tons au deffous de ut; donc il doit avoir cinq fois 5 ou a 5 diefes, dont ôtant 24 , il relie un feul diefe* Le même ton ell .de 7 demi-tons plus haut que ut ; il doit donc avoir fept fois 5 ou 3 5 bémols , dont ôtant 24 , relient 11 bémols , c’ell-à-dire
    • pour être remarquée ici ; mais, pour la préfenter fous un coup d’œil plus clair & plus favorable , nous allons en former une table qui fera du moins utile pour ceux qui commencent à toucher du claveflin. Pour cet effet, à chaque ton chromatique , nous le préfenterons foit comme diéfé , foit comme bémolifé; & à gauche du premier nous marquerons fes diefes néceffaires, Comme les bémols à droite du fécond. Ainli
    • O diefe. . . . ut*
    • 7 diefes. ut ^ ou
    • 2 diefes.. . . re *
    • 9 diefes. re % ou
    • 4 diefes. . . mi *
    • il diefes. . . fa*
    • 6 diefes. fa% ou
    • 1 diefe. . . fol*
    • 8 diefes. fol % ou
    • 3 diefes. . . la*
    • 10 diefes. la ^ ou
    • 5 diefes. . .fi* q diefe. . , ut*
    • Tome If
    • o bémol. reb*. . .5 bémols.
    • mi b*. . .3 bémols.
    • ............1 bémol..
    • fol b* . .6 bémols.
    • lab*% . .4 bémols.
    • fi b*. % .2 bémols.’
    • . .... o bémol.
    • C c
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    • 40i Récréations Mathématiques.
    • Parmi ces tons, nous avons marqué d’un * ceux qu’il eft d’ufage d’employer ; car il eft aifé de fentir qu’en employant re % fous cette forme, on aurait o diefes 9 ce qui donnerait deux notes doublement diéfées, fçavoir fa $$ *, ut * * ; enforte que la gamme ferait « *, mi* ou fa, fa** on fol, fol*yl**yfiX ou uty ut ^^ou«,«^} ce qui ferait d’une difficulté infernale à exécuter: mais en prenant, au lieu de re le mi b, on n’a que 3 bémols; ce qui Amplifie beaucoup ; St la gamme eft miby fat fol, lab, Jib, ut,re , mib.
    • Nous fommes tentés de demander pardon à nos lefteurs de les avoir amufés de cette fpéculation frivole ; mais le titre de ce livre paraît propre à nous excufer.
    • ARTICLE XV.
    • Maniéré de perfectionner les Injiruments à cy lindre , & de les rendre capables d'exécuter toutes fortes d'airs.
    • IL n’eft perfonne , je penfe, qui ignore le mé-canifme de L’Orgue de Barbarie, ou de la Serinette. Tout le monde fqait que ces inftruments font compofés de plufieurs tuyaux, gradués félon les tons Sr demi-tons de l’oâave, ou du moins les demi-tons que lé progrès de la modulation nécef-fite le plus ordinairement ; que ces tuyaux ne fondent que quand 4e vent d’un fouffiet, qui eft continuellement en aftion, peut y pénétrer au moyen d’une foupape qui i'e lçveôt fe ferme; que cette
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    • Acoustique et Musique. 405 ïoupape, qui eft naturellement fermée par un ref-fort , : s’ouvre au moyen d’un petit levier , que foulevent les pointes implantées dans un cylindre qui a un mouvement affez lent, lequel lui eft communiqué par une manivelle ; que cette même ma? nivelle fait agir le foufflet qui doit fournir continuellement l’air deftiné à former les fons, par fon intromiffion dans les tuyaux.
    • Mais la maniéré dont le cylindre mobile eft noté , mérite principalement l’attention , pour fentir ce que nous allons dire.
    • Les différents petits leviers qui doivent être élevés pour former les différents tons, étant ef-pacés à une certaine diftance les uns des autres , par exemple à celle d’un demi-pouce, à cette diftance font tracées, fur la circonférence du cylin-r dre, des lignes circulaires, dont l’une doit porter les pointes qui feront fonner ut; fa voitfne, celles qui feront fonner ut ; la fuivante , celles qui donneront re9 &c. 11 y a autant de lignes fembla-bles que de tuyaux fonores. On lent, du réfte , que toute la durée de l’air ne doit pas excéder une révolution du cylindre.
    • Suppofons donc que l’air foit de douze mefures. On divife chacune de ces circonférences au moins en douze parties égales, par douze lignes parallèles à l’axe du cylindre ; puis , en fuppofant , par exemple, que la note la plus courte de l’air foit une croche, & que le mouvement foit à 3 temps, appelîé \9 on divife chaque intervalle en lîx parties égales, parçeque, dans ce cas, une mefure contient lix croches. Suppofons à préfent que les premières notes de l’air foient la, ut 9Ji9 n , ut9 mi, re, &c. toutes notes égales, & fimples noires. On commencera par planter au commencement
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    • 404 Récréations Mathématiques. , de la ligne des la & de la première mefure, une pointe tellement fabriquée qu’elle tienne Soulevé pendant un tiers de mefure le petit levier qui fait fonner la ; puis , dans la ligne des ut, à la fin de la fécondé divifion, ou au commencement de la troifieme, on implantera encore dans le cylindre une pointe fèmblable à la première ; puis, aux deux tiers de la même mefure, fut*la ligne desfi, ort implantera une pareille pointe : il eft évident que, lorfque le cylindre commencera à tourner, la première pointe fera fonner ut pendant un tiers de mefure ; la fécondé prendra le levier faifant fonner ut, auffitôt que le premier tiers de mefure fera écoulé, & la troifieme fera de même fonner fi pendant le dernier tiers. L’inftrument dira donc la, ut9 fi, &c.
    • . Si, au lieu de trois noires, on avoit fix croches, qui dans cette mefure fe paffent la première longue, la fécondé breve , la troifieme longue, & ainfi alternativement, ce qu’on nomme des croches pointées, il eft aifé de fèntir qu’après avoir placé les pointes de la première, troifieme & cinquième notes dans leurs places refpeétives de la divifion où elles doivent être, il faudra feulement faire enforte que la première croche, qui dans ce mouvement doit valoir une croche & demie, ait la tête figurée de maniéré qu’elle fou-tienne le levier pendant une partie Sc demie des üx divifions dans lefquelles la mefure eft partagée ; ce qui fe fait par une queue en arriéré, de la longueur néceflaire. Quant aux croches paffées brèves , leurs pointes devront être reculées d’une demi-divifion , & figurées enforte qu’elles ne puiffent tenir le levier qui leur correfpond fou-levé, que pendant qu’une demi-divifion du cy-
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    • Acoustique et Musique. \of
    • lindre s’écoule en tournant. Il eft aifé, par cés exemples, de voir ce qu’il y a à faire dans les autres cas , c’eft-à-dire lorfque les notes ont d’autres valeurs.
    • On n’auroit enfin qu’un feul air , fi le cylindre étoit immobile dans la direélion de fon axe ; mais fi l’on conçoit que les pointes ne puiffent faire mouvoir les petits leviers qu’autant qu’ils les toucheront par deffous dans un intervalle fort étroit, comme d’une ligne ou moins, ce qui eft un méca-nifme fort aifé à imaginer* on verra facilement qu’en donnant au cylindre un petit mouvement latéral d’une ligne, aucune des pointes ne pourra faire mouvoir les leviers : ainfi l’on pourra tirer à côté de chacune des premières lignes, une autre fufceptible de recevoir des pointes qui donneront un air différent ; & ce nombre pourra aller à fix ou fept, fuivant l’intervalle des premières lignes , qui eft le même que celui du milieu d’une touche au milieu de fa voifine : on fera, par ce moyen & par un petit mouvement du cylindre , changer
    • Tel eft le mécanifme de la Serinette,.de l’Orgue de Barbarie, & des autres inftruments à cylindre ; mais l’on voit qu’ils ont l’incommodité de ne fer-vir qu’à exécuter un très-petit nombre d’airs. Or un cercle de cinq, fix, huit ou douze airs, eft bientôt parcouru ; il feroit conféquemment agréable d’en pouvoir changer quand on voudroit.
    • Nous concevons avec M. Diderot , qui s’eft occupé de cette idée dans le livre cité plus haut, que l’on pourroit remplir cet objet, en formant le cylindre de cette maniéré. Il feroit d’abord compofé d’un noyau folide de bois, recouvert d’une pelote fort ferrée ; cette pelotte feroit elle?-
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    • 406 Récréations Mathématiques. même emboîtée dans un cylindre creux, d’une ligne ou environ d’épaiffeur; ceferoit ce cylindre qui porteroit les lignes fur lefquelles doivent être implantées les pointes convenables pour faire Tonner chaque ton. Pour cet effet, ces lignes feroient percées de trous efpacés à la diftance convenable, par exemple, lix à chaque divifion de mefure à trois témps ordinaire, ou huit pour la mefure à deux temps, appellée C barré, en fuppofant qu’on neût pas à noter un air ayant de plus courtes notes que de fimples. croches. Il faudroit douze trous par mefure dans le premier cas, & feize dans le fécond, fi Pair contenoit des doubles croches.
    • Il eft maintenant aifé de fentir qu’on pourra noter fur ce cylindre Pair qu’on voudra ; car, pour en noter un , il fuffira d’enfoncer dans les trous du cylindre extérieur, les pointes de la longueur convenable, en les plaçant ainfi qu’on l’a expliqué : elles y feront folidement implantées , par un effet de l’élafticité du couffin ou pelote, fortement comprimé entre le cylindre & le noyau. Sera-t-on las d’un air, on en arrachera les pointes , & on les replacera dans les caffetins d’une café faite exprès, comme les lettres d’une impref-fion qu’on décompofe. On fera faire un léger mouvement de rotation au cylindre, pour écarter les trous du couffin d’avec ceux du cylindre extérieur ; enfin l’on notera un nouvel air avec la même facilité que le premier.
    • Nous ne parcourrons pas, avec M. Diderot, tous les avantages d’un pareil infiniment, parce-que nous convenons qu’ils feront toujours fort médiocres, & à peu près de nulle valeur aux yeux des muficiens. Il eft cependant vrai qu’il feroit agréable pour ceux qui poffedent de femblables
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    • , Acoustique et Musique. 407 inftrùments , de pouvoir varier un peu leurs airs; & c’éft ce que rempliroit la conftruttion qu’on vient d’indiquer.
    • ARTICLE XVI.
    • De quelques Inftrùments ou Machines de Muftque , remarquables par leur fingu-laritè ou leur composition.
    • A La tête de toutes ces machines ou inftru-ments muficaux, on doit inconteftablement mettre l’orgue, dont l’étendue & la variété des fons exciteroit bien autrement notre admiration, fi cet inftrument n’étoit pas auffi commun qu’il l’eft dans nos églifes ; car, indépendamment de l’artifice qu’il a fallu pour produire les fons au moyen des touches , quelle fagacité n’a-t-il pas fallu pour fe procurer les différents cara&eres de fons qu’on tire de fes différents jeux , tels que ceux qu’on appelle voix humaine , flûte, &c ? Auffi la defcription complette d’un orgue , ou de la maniéré de les conflruire , eft elle feuie la matière d’un gros volume ; & l’on ne peut y voir fans étonnement la prodigieufe multitude de pièces dont il eft compofé.
    • Les anciens avoient des orgues hydrauliques, c’eft-à-dire des orgues dans lefquelles le fon étoit produit par l’air qu’engendroit le mouvement de l’eau. Ce fut Ctéfibius d’Alexandrie, & Héron fon difciple , qui imaginèrent ces inventions. Vitruve donne, dans le Xe Livre de fon Archi-te&ure, la defcription d’un de ces orgues hy
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    • 408 Récréations Mathématiques. drauliques, d’après lequel M. Perrault en exécuta un, qu’il dépofa à la Bibliothèque du Roi, où fe tenoient alors les affemblées de l’Académie royale des Sciences. Cet infiniment éft fans doute peu de chofe, en comparaifon de nos orgues modernes ; mais l’on ne peut s’empêcher d’y recon-jioître un mécanifme qui a fervi de bafe à celui de nos orgues. S. Jérôme parle avec enthoufiafme d’un orgue qui avoit douze paires de foufflets , & dont le fon pouvoit s’entendre d’un mille. Il paroît par-là qu’on ne tarda pas de fubftituer à la maniéré dont Ctéfibius produifoit l’air, pour remplir fon réfervoir, une maniéré plus fimple, fça-voir celle des foufflets.
    • On peut mettre au rang des machines muficales les plus curieufes, le joueur de tambour de bafque & le flûteur automate de M. de Vaucanfon , qu’une grande partie de l’Europe a vus avec admiration, vers l’an 1749. Nous ne nous étendrons pas beaucoup fur la première de ces machines , parceque la fécondé nous paroit incomparablement plus compliquée. Le flûteur automate jouoit plufieurs airs de flûte, avec toute la précision & la jufteffe du plus habile tnuficien : il tenoit fa flûte de la maniéré dont on tient cet instrument , & en tiroit des fons avec la bouche, tandis que les doigts , appliqués fur les trous, produisent les fons différents, comme cela s’exécute fur la flûte. On conçoit affez facilement, comment les pointes d’un cylindre noté pouvoient foulever les doigts en plus ou moins grand nombre , pour produire ces tons ; mais ce qui eft difficile a concevoir, c’eft la maniéré dont étoit exécuté ce mouvement, affez difficile à faire, qu’on appelle le coup de langue , & fans lequel la flûte,
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    • Acoustique et Musique; 40$ quoiqu’on y infpire de l’air , refte muette, ou n’articule point les notes. Aufli M. de Vaucanfon , ainfi que nous l’avons remarqué précédemment ,• (p. 109) convient-il que ce mouvement fut, dans cette machine , ce qui lui coûta le plus à trouver & à exécuter. On doit voir ce qu’il en dit, dans un imprimé in-40, qu’il publia dans le temps fur ce fujet.
    • On a imaginé en Allemagne un infiniment bien commode pour les compofiteurs : c’eft un claveflin qui, en même temps qu’on exécute, marque & note l’air qu’on a joué. Quel avantage pour un compofiteur que la chaleur de fon imagination entraîne, de pouvoir retrouver tout ce qui a fuc-ceffivement reçu de fes doigts une exiftence fugitive , & dont bien fouvent il lui feroit impoffible de fe fouvenir ! La defcription de cette machine fe trouve dans les Mémoires de Berlin, ann. 1773» auxquels nous renvoyons.
    • ARTICLE XVII.
    • D’un infiniment nouveau , appellé
    • Harmonica.
    • E nouvel infiniment a pris naiffance en Amé-
    • rique , & eft une invention du célébré docteur Francklin , qui en donne la defcription dans une lettre au P. Becçaria, inférée dans le recueil de fes œuvres, imprimé en 1773.
    • Il eft affez connu que , lorsqu’on fait gliffer le long du bord d’un verre à boire, un doigt un peu humeété, on en tire un fon affez doux, & que ce fon varie de hauteur , félon la forme , la
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    • 4*o Récréations Mathématiques, grandeur & l’épaiffeur du verre. On monté ou on baiffe aufli le ton, en mettant dans le verre y ne quantité plus ou moins grande d’eau. Nous apprenons de M. Francklin, qu’un M. Puckeridge, Irlandois, s’avifa , il y a une vingtaine d’années , de fefaire un infiniment de plufieurs verres ainfi montés à différents tons, & affurés fur un plateau , & de jouer par ce moyen des airs. Ce M. Puckeridge ayant été brûlé dans fa maifon avec fon inftrument, M. Délavai, de la Société royale de Londres, en fit un autre à fon imitation, & avec des verres mieux choifis, dont il fit le même ufage. M. Francklin l’ayant entendu, & ayant été charmé de la douceur de fes fons, chercha à le perfectionner, & fes idées aboutirent à l’inftru-ment qu’on va décrire.
    • Il faut faire fouffler des verres de différentes grandeurs, d’une forme approchante de l’hémi-fphérique, & ayant chacun un gouleau ou col ouvert en fon milieu. L’épaiffeur du verre près du bord, doit être tout au plus d’un dixième de pouce, & cette épaiffeur doit augmenter par degrés jufqu’au col, qui aura, dans les plus grands verres, un pouce de hauteur, fur un pouce & demi de largeur en dedans. Quant aux dimenfions des verres, les plus grands pourront avoir neuf pouces de diamètre à leur ouverture , & les moindres trois pouces, & ils décroîtront d’un quart de pouce. 11 eft à propos d’en avoir cinq à fix du même diamètre , pour pouvoir les monter plus facilement aux tons convenables ; car une différence très-légere fuffit pour les faire varier d’un ton & même d’une tierce.
    • Cela fait, on effaie ces différents verres , pour en former une fuite de trois ou quatres oélaves.
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    • Acoustique et Musique. 411
    • chromatiques. Pour élever le ton, il faut en égrifer le bord du côté du col avec une meule -, & les eflayer de moment en moment, car, quand ils font montés trop haut, il n’y a plus de moyen de les baiftêr.
    • Tous ces verres étant ainli gradués , il faut les enfiler dans un axe commun. Pour cet effet, on place dans le col de chacun un bouchon de liege fort jufte, qui le déborde d’enviro.n un demi-pouce : on.perce tous ces bouchons d’un trou de la groffeur convenable, pour les enfiler tous avec un axe de fer, de mefure telle qu’on ne foit pas obligé de l’y faire entrer avec trop de force ; ce qui feroit éclater les cols de ces verres. Ils font ainfi placés l’un dans l’autre, enforte que leurs bords font éloignés d’environ un pouce ; ce qui eft à peu près la diftance des milieux des touches du claveffin.
    • Une des extrémités enfin de cet axe, eft garnie d’une roue d’environ dix-huit pouces de diamètre, qui doit être chargée de vingt à vingt-cinq livres , pour conferver quelque temps le mouvement qui lui fera imprimé ; cette roue eft mife en mouvement au moyen d’une pédale, & par le même mécanifme qui fert à faire tourner la roue d’un rouet à filer ; & en tournant, elle fait tourner l’axe des verres & les verres eux-mêmes , cet axe portant fur deux collets , l’un à fon extrémité, l’autre à quelques pouces de la roue. Le tout peut être enfermé dans une boîte de la forme convenable , & fe pofe fur une table propre, à quatre pieds.
    • Les verres répondants aux fept tons de l’oftave diatonique, peuvent être peints des fept couleurs du prifme, dans leur ordre, & même cela eft à propos , afin de reconnoître au premier coup
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    • 4i2 Récréations Mathématiques.
    • d’œil les différents tons auxquels ils répondent;
    • Pour jouer de cet inftrument, on s’affied au devant de la rangée des verres, comme au devant des touches d’un claveffin ; on humeéfe légèrement les verres, & faifant mouvoir la pédale, on leur donne un mouvement fur leur axe commun : on applique les doigts fur les bords, & on en tire des fons. Il eft aifé de voir qu’on peut y exécuter plufieurs parties, comme fur le claveffin.
    • On a vu à Paris, il y a une huitaine d’années , cet inftrument dont touchoit une dame Angloife. Ses fons font extrêmement doux , & conviendraient fort à l’accompagnement de certains récits, ou airs tendres & pathétiques. On a l’avantage de pouvoir y foutenir les fons autant qu’on le veut, de les filer, de les enfler, &c ; & l’inf-trument, mis une fois d’accord, ne peut plus être défaccordé. Plufieurs amateurs de mufique en ont été fort fatisfaits. J’ai ouï dire feulement qu’à la longue le fon de cet inftrument paroiffoit un peu fade, par fa douceur extrême; & c’eft peut-être cette raifon qui l’a, jufqu’à ce moment, fait reléguer parmi les curiofités muficales.
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    • Acoustique et Musique. 4Ij
    • ARTICLE X VI IL
    • De quelques idées bicarrés relatives à la mufique.
    • n’imagineroit fans doute pas qu’on pût v^/compofer un air fans fqavoir un mot de mufique , du moins de la compofition. On a donné ce fecret, il y a quelques années, dans un petit livre intitulé , Le Jeu de De^ harmonique, ou Ludus melotkedicus, contenant plufieurs calculs par lefquels toutes perfonnes peuvent compofer divers menuets avec l’accompagnement de baffe, même fans fçavoir la mufique ; in-8°, Paris, 1757. On y enfeigne comment, avec deux dez jetés au hafard , & d’après les points qu’ils donnent, on peut, au moyen de certaines tables, compofer un menuet &: fa baffe.
    • Le même auteur a auflî donné une méthode pour faire la même chofe au moyen d’un jeu de cartes. Nous n’avons pu recouvrer le titre de cet ouvrage ; & nous avouerons n’avoir pas cru devoir y mettre plus d’importance que l’auteur lui-même.
    • Nous nous bornons à indiquer les fources où l’on peut recourir pour cette forte d’amufement, dont la combinaifon a dû coûter beaucoup plus de travail que la chofe ne le méritoit. Nous remarquerons cependant encore, que cet auteur a donné un autre ouvrage intitulé, Invention d’une Manufaclure & Fabrique de Fers au petit métier, &c. in-8°, 1759; dans lequel, par le moyen de
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    • 414 Récréations Mathématiques.
    • deux dez & de certaines tables, on enfeigne â répondre en vers latins à des queftions propofées. C’eft, il faut en convenir, bien du travail en pure perte.
    • 2. Il y a quelques années qu’un médecin de Lorraine publia un petit traité, dans lequel il appli-quoit la mufique à la connoiflance du pouls. Il re-préfentoit le battement d’un pouls bien réglé par un mouvement de menuet ; & ceux des différentes autres efpeces de pouls , par d’autres mefures plus ou moins accélérées. Si cette maniéré de pratiquer la médecine vient à s’introduire , ce fera une chofe fort agréable de voir un difciple d’Hippocrate tâtant le pouls d’un malade au fon d’un inf-trument, & eflayant des airs analogues par leur mouvement à celui de fon pouls, pour en recon-noître la qualité. Si toutes les maladies ne fuient pas à la préfence du médecin, il eft à croire que la mélancolie du moins ne tiendra pas contre une pareille pratique.
    • Fin du Tome II.
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    • Toiri'll. = Récréations Af^ammé Wl.i.
    • de
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    • / /
    • Récréations.
    • de la Irai Jcltr Scu/p,
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    • Tcm. II.
    • Récréations.
    • JJ&çMuguePl. 3.
    • de (<x L/ârJcüë^hîîp‘
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    • Mécanique PL. 4
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    • Tojn. H.
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    • Récréations
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    • •L JJ <m/?72£27ipciir 'StrOT^ÜÙ.OOXT
    • %' , / CL
    • de la (rardette Sculf.
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    • Récréations.
    • -Mcchanùjuc Pl. 0.
    • Tbm.JI
    • Fuf. Aû.
    • tic la, (rar. dette J’atlp.
    • 22
    • 9
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    • Tom Il •
    • Kecreaüons .
    • Æec<mùjuc g.
    • Fig.
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    • Tom.U.
    • Récréations.
    • JHerarntpié \Pl. 10.
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    • Jfeca/tt/ue PI. l
    • Fuf. 63.
    • Fuf. 5t
    • Ve la ImrJeüe Seulp
    • B9B
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    • Tjm. U.
    • Récréations.
    • Opiujue Pl-i.
    • J%a. 2.
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    • Tom.U
    • Recr eations
    • Optique PL • <?•.
    • de la ûar dette ifculf
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    • Tom. IX.
    • Récréations .
    • Ûphifue PI. 4
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    • Tom- II-
    • Recreadoas.
    • Optique PI 5.
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    • Récréations
    • Optique. _/?• 7
    • Tcm. II.
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    • Ibm. JI-
    • Optique PL B
    • 2à
    • Fig. 2j.
    • 29‘
    • 9405
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    • Unn^If.
    • Récréations.
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    • Tom. H,
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    • Opligue PL il
    • dnâ!7ar3ê^ '<Jc
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    • Ttrni-H.
    • Récréations.
    • Optique PI .12.
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    • de kt (rardcttç Scuj?
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    • 2.«/v^yv^;
    • B..
    • V. ./-Y<?• S-\4- J-7\3-S'Y» s.
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    • Mtr 1 ti/iiifc ytiure .
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    • TABLE
    • JO T S MC~A.TXJE1R.JES
    • DU SECOND VOLUME.
    • TROISIEME PARTIE.
    • Mécanique.
    • Problème premier. Faire qu'une boule rétrograde fans aucun objiacle apparent. z PROB. II. Faire une boule trompeufe au jeu de Quilles. 3
    • PROB. III. Comment on peut conflruire une balance qui paroiffe jufie étant vuide, aujji-bien que chargée de poids inégaux. 4
    • PROB. IV. Trouver le centre de gravité de plufieurs poids. ç
    • PROB. V. Trouver les parties d'un poids que deux perfonnes foutiennent à Faide <Fun levier ou cFune barre qu’elles portent par fes extrémités. 9 PROB. VI. Comment on peut dijlribuer commodément 4,8, iC, 32 hommes, aporter un fardeau conjidérable fans s'embarrajfer. 10
    • PROB. VII. Une corde AC B, d’une longueur déterminée , étant attachée lâche par fes deux bouts, à deux points d'inégale hauteur A & B, on demande quelle pofition prendra le poids P, atta-
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    • 416 table
    • ché par un cordon à une poulie qui roule Vibré-ment fur cette corde. 11
    • PROB. VIII. Faire foutenir un feau plein eCeau , par un bâton dont une moitié ou moins repofe fur le bord dlune table. ibid.
    • Prob. IX. Faire tenir un bâton droit fur le bout du doigt , fans qu’ilpuiffe tomber. 13
    • PROB. X. Confiruclion d’une figure qui , fans contre-poids,fe releve toujours £ elle-même & fe tient debout , quoi qu'on faffe. 14
    • Prob. XI. Sur les deux poulies A, B, pajfe une corde A CB , aux extrémités de laquelle font fuf-pendus les poids P & Q donnés; au point C efl fixé le poids R par le cordon R C noué en C. On demande quelle fera la pofilion que prendront les trois poids & la corde AC B. X 5
    • PROB. XII. Calcul du temps qu Archimede eût employé , en fuppofant C exécution de la machine dont il parloit à Hiéron , pour mouvoir la terre.
    • *7
    • PROB. XIII. Avec une très-petite quantité d'eau , comme de quelques livres , produire l'effet de plu-fieurs milliers de livres. ' 18
    • Autre maniéré. 1 g
    • Autre maniéré. 20
    • Prob. XIV. Trouver la pefanteur d'un pied cube d'eau. H
    • Prob. XV. Connoître de deux liqueurs laquelle efl la plus légère. 22
    • PROB. XVI. Connoître fi unt pièce ou une maffe d or ou d’argent, qu'on foupçonne de mélange , efl pure ou non. 17
    • Prob. XVII. Même fuppofition faite que ci-deffus, connoître la quantité du mélangé fait dans la maffe d'or. 29
    • Prob.
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    • DES MATIERES. 4,7
    • PROB. XVIII. On propofe deux coffres égaux, femblables & également ptfants, contenant fuit de Cor y rautre de Cargent. EJl-il poffble de dijcerner, par quelque voie mathématique , celui qui renferme Cor de celui qui contient C argent? Ou bien , fuppofant deux boules, Cune d'or creufe, C autre d'argent folide & furdorée, pourrait-on difcerner celle d'argent de celle d’or? 3 t Prob. XIX. Deux plans inclinés , AB, AD, étant donnés, & deux Jpheres inégales, P & pt les mettre en équilibre dans cet angle , comme Con voit dans la figure. 3 z
    • Prob. XX. Deux corps P & Q partent en même temps des deux points A & B de deux lignes données de pofition, & fie meuvent vers a & h avec des viteffes données. On demande leur pofition lorfqu'ils feront le plus prés Cun de l'autre qu’il ejl poffble. 34
    • Prob. XXI. Faire qu'un cylindre fe foutienne de lui-même le long d’un plan incliné à Chorizon, fans rouler en bas , & même qu’il monte quelque peu le long de ce plan. ibid.
    • PROB. XXII. Conjlruclion d’une horloge qui montre les heures , en roulant le long d’un plan incliné. 37
    • Prob. XXIII. Conjlruclion tCuri habillement au moyen duquel on ne fçauroit couler à fond, & qui laiffe la liberté de tous les mouvements. 38 Prob. XXIV. Confiruire un bateau qui ne fçauroit être fubmergé, quand même Ceau y entreroit de tous les côtés. 41
    • Prob. XXV. Comment on peut retirer du fond de la ‘ mer un vaiffeau qui a coulé bas. 43 Tome II, D d
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    • '4i 8 TABLE
    • Prob. XXVI. Faire qu'un corps monte comme de lui-même le long d’un plan incliné , en vertu de fa propre pefanteur. 45
    • PROB. XXVII. Confiruire une horloge avec de Veau. , . 4^
    • Prob. XXVIII. Un point étant donnée & une ligne qui défi pas horizontale , trouver la pofi-tion du plan incliné,par lequel un corps partant du point donné , & roulant le long de ce plan, parviendra à cette ligne dans le moindre temps.
    • Prob. XXIX. Les points A & B étant donnés dans la même horizontale , on demande la pofi-tion des deux plans AC , CB, tels qu'un corps roulant dun mouvement accéléré de A en C, puis remontant avec fa vitejfe acquife le long de CB, cela fe fajfe dans le moindre tempspojfible.
    • 49
    • Prob. XXX. Lorfqu'on a un puits extrêmement profond , avec une chaîne garnie de deux féaux , faire enforte que, dans toutes les pojîtions des féaux, le poids de la chaîne foit nul, de maniéré qu'on n'ait jamais à élever que le poids dont le feau montant efi rempli. 5; 1
    • Prob. XXXI. Confiruaiohdun tournebroche qui marche au moyen même du feu de la cheminée.
    • PROB. XXXII. Qu'efi-ce qui foutient debout une toupie ou un toton qui tourne ? 55
    • PROB. XXXIII. D'oît vient foutient-on plus ai-fément en équilibre fur le bout de fon doigt un bâton chargé à fon extrémité fupérieure dun poids , que lorfque ce poids efi en bas, par exemple , une épée fur fa pointe plutôt que fur fa garde ? ibid.
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    • DES MATIERES. 4i9
    • PROB. XXXIV. Quelle ejl la pojîtion la plus avantageufe des pieds pour fe foutenir fondement debout?
    • PROB. XXXV. Du Jeu de Billard. 58
    • §. I. La pojîtion de la beloufe & celles des deux billes M , N, étant données , frapper celle M de fon advtrfaire enforte qu'elle aille dans la beloufe. 59
    • §. II. Frapper une bille de bricole. 60
    • §. III. Une bille venant d'en choquer une autre félon une direction quelconque, quelle ejl, après' ce choc, la direction de la bille choquante ? 61 PROB. XXXVI. Conjlruction d’une Pendule d’eau.
    • 65
    • PROB. XXXVII. Paradoxe mécanique. Comment , dans une balance, des poids égaux placés à quelque difiance que ce foit du point d’appui , fe tiennent en équilibre. 67
    • PROB. XXXVIII. Quelle ejl la viteffe qu’on doit donnera une machine mue par un courant d’eau , pour qu’elle produife le plus grand effet ? 69
    • Prob. XXXIX. Quel ejl le nombre d’aubes qu’on doit mettre à une roue mue par un courant d’eau, pour qu’elle produife le plus grand effet ? 70
    • Prob. XL. Un bâton ou cylindre plein, & un autre creux & de même folidité, étant prepofés , lequel des deux réffiera davantage à être rompu par un poids fufpendu à une de leurs extrémités , l’autre étant fixe ? On les foppofe de la même longueur. 71
    • PROB. XLI. Fabriquer une lanterne qui ccnfervp
    • la lumière au fond de Veau. 72
    • Prob. XLII. Confiruire une lampe qui , dans toutes fes jituations 9 conferye fon huile 9 quel-
    • D d ij
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    • 410 TABLE
    • que mouvement & quelque inclinai fon. qu'on lui donne. 75
    • Prob. XLIIÏ.* Confiruclion d'un anémofcope & d'un anémomètre. 74
    • Prob. XLIV. Confiruclion d'un pefon , au moyen duquel on puijfe fans poids mefurer la pefànteur des corps. 77
    • PROB. XLV. Fabriquer une voiture dont un goutteux puijfe fe fervir pour fe promener, fans fe-cours d’hommes ou de chevaux. So
    • Prob. XLVI. Confiruclion d’une petite figure qui, livrée à elle-même, defeend fur fes pieds & fes mains le long d’un petit efcalier. 85
    • Prob. XLVII. Difpofer trois bâtons fur un plan horizontal, de forte que chacun s’appuie fur ce plan par l’une de fes extrémités, & que les trois autres fe foutiennent mutuellement en l’air. 87 PROB. XLVIII. Confiruire un tonneau contenant trois liqueurs, qu’on pourra tirer à volonté par la meme broche, fans fe mêler. ibid.
    • Prob. XLIX. Percer une planche avec un corps mou., comme un bout de chandelle. 88
    • Prob. L. Rompre avec un bâton un autre bâton pofé fur deux verres, fans les caffer. 89 ,
    • Prob. LI. Principes pour juger de P effet pojjible dune machine. 91
    • Prob. LII. Du Mouvement Perpétuel. 94
    • PROB. LIII. Juger de la hauteur de la voûte dune églife, par les vibrations des lampes qui y font fufpendues. 98
    • Prob. LIV. Mefurer la profondeur d’un puits par le temps écoulé entre le commencement de la chute d’un corps, & celui où Von entend le bruit de fon arrivée a la furface de Veau. 100
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    • DES MATIERES. 4U
    • HISTOIRE de quelques ouvrages de Mécanique extraordinaires & célébrés. ioz
    • §. I. Des Machines ou Automates d'Architas, d’Archimede, de Héron & Ctéjîbius. ibid.
    • §. II. Des Machines attribuées à Albert le Grande à Régiomontanus , &c. 103
    • §. III. De diyerfes Horloges célébrés. 104
    • §. IV. Machines automates du pere Truchet, de M: Camus , & de M. de Vaucanfon. 107 §. V. De la Machine de Marly. 110
    • §. VI. De la Machine à Feu. 11 ç
    • TABLE des Pefauteurs fpécifiques de divers corps, celle de P Eau de pluie ou dijlillée étant fuppofée Vunité, & exprimée en parties décimales, comme 1.000 ou 1.0000. 121 Métaux. ibid.
    • Pierres précieufes. 122
    • Liqueurs. ibid.
    • Bois. 124
    • Diverfes Subjlances. ibid.
    • Matériaux employés a Paris en architecture, ibid. Remarque générale. 125
    • TABLE des Poids , tant anciens que modernes, comparés à la livre de Paris, qui contient 16 onces ou 92.16" grains. 127
    • Poids anciens. Poids des Hébreux. 128
    • Poids Grecs Attiques. ibid.
    • Poids Romains. I29
    • Poids modernes dès principaux pays 6r lieux de Vunivers, & particulièrement de tEurope. ibid.
    • Remarque.
    • D d iij
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    • QUATRIEME PARTIE.
    • Optique.
    • 5Ur la nature de la lumière. 134
    • Problème Premier. Représenter dans une chambre fermée les objets extérieurs, avec leurs couleurs & leurs proportions naturelles. 140
    • PROB. H. Conjlruire une chambre obfcure qu’on puijfe tranfporter. ^4i
    • I. Repréfenter les objets dans leur Jituation naturelle. 145
    • §. II. Repréf enter les objets , en faifant paraître à droite ce qui eft à gauche; 6* au contraire.
    • ï4Ô
    • §. III. Repréf enter tour-à-tour tous les objets qui font aux environs & autour de la machine. ibid.
    • §. IV. Repréfenttr des peintures & des tailles-douces. 147
    • PROB. III. Expliquer la maniéré dont fe fait la vijion , & fes principaux phénomènes. 148
    • PROB. IV. Confiruction d'un Oeil artificiel > propre à rendre Jenfibte la raifon de tous les phénomènes de la vijion. 151
    • PROB. V. Faire qu'un objet, vu de loin ou de prés , paroiffe toujours de la même grandeur.
    • JS*
    • PROB. VI. Deux parties inégales d’une même ligne droite étant données , fait quelles Joient adjacentes ou non, trouver le point d'ou elles paraîtront égales. ibid.
    • PROB. VII. Au devant d'un édifice , dont CD efi la face , efi un parterre dont la longueur efi AB.
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    • DES MATIERES. 4iy
    • On demande le point de cet édifice d'où P on verra le parterre AB le plus grand.
    • Prob. VIII. Un cercle étant donné fur le plan horizontal, trouver la pojition de l'œil d'où fon image fur le plan perfpcctiffera encore un cercle.
    • PROB. IX. D'où, vient Pimage du foleil, reçue dans la chambre obfcure par un trou quarré ou triangulaire , efi-ellê toujours un cercle ? 160
    • Prob. X. Faire voir dijlinclement, fans Pinter-pofition <Paucun verre, un objet trop proche de P œil pour être apperqu dijlinclement. 162
    • PROB. XI. Pourquoi, en dirigeant fes yeux de maniéré à voir un objet fort éloigné, voit-on doubles les objets proches ; & au contraire ? ibid. Prob. XII. Faire qu'un objet vu dijlinclement, 6* fans Pinterpofition cPaucun corps opaque ou diaphane , paroijfe renverfé à P œil nu. 164
    • Prob. XIII. Faire quun objet, fans Pinterpofi-tion P aucun autre, difparoiffe à P œil nu tourne de fon côté. 165
    • PROB. XIV. Faire difparoître un objet aux deux yeux a-là-fois, quoiqu'il puijfe être vu de chacun d'eux à part. 166
    • PROB. XV. Jeu optique, qui prouve qu'avec un feul œil on ne juge pas bien de la difiance d'un objet. 167
    • Prob. XVI. Un aveugle de naiffance ayant recouvré la vue, on lui préfente un globe & un
    • cube , qu'il a appris à difcerner par le toucher, On demande fii fans le fecours du tact & a la première vue, il pourra dire qtiel efi le cube, quel efi le globe. ibid.
    • PROB, XVII. Conftruclion d'une machine au moyen de laquelle on pourra décrire perfpeclivement tous
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    • 4*4 TABLE
    • Us objets donnés , fans la moindre teinture de la fciencede la perfpeBive. 169
    • PROB. XVIII. Autre maniéré de repréfenter un objet en perfpeBive} fans aucune connoiffance des principes de cet art. 171
    • PfiOB. XIX. De la grandeur apparente des ajlres à Chorizon. *73
    • PROB. XX. Sur le rétréciffement des allées parallèles: 17*
    • PROB. XXI. Comment faudroit-il s'y prendre pour tracer une allée qui } vue de Cune de fes extrémités , parût avoir fes cotés parfaitement parallèles> 178
    • PROB. XXII. Faire un tableau qui, fuivant les côtés d'où on le conjidérera , préfentera deux peintures différentes. 179
    • PROB. XXIII. Décrire fur un plan une figure difforme, qui paroiffe dans fes proportions étant Vue d'un point déterminé. 180
    • PROB. XXIV. Etant donné un quadrilatère quelconque , trouver les divers parallélogrammes ou rectangles dont il peut être la repréfentation perfpective; ou bien, -
    • Etant donné un parallélogramme quelconque , rectangle ou non , trouver fa pofition & celle de l'œil, qui feront que fa repréfentation perfpective fera un quadrilatère donné. 183
    • Des Miroirs plans, 186
    • Prob. XXV. Un point de l'ob jet B & le lieu de l'œil A étant donnés, trouver le point de rèfle-xion fur la fiufacc d’un miroir plan. ibid.
    • PROB. XXVI. Même fuppofition faite que ci-def-fas , trouver le lieu de l'image du point B. 1835
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    • DES MATIERES. 4I5
    • PrOB. XXVII. Etant donnés plufleurs miroirs plans, & les places de Vœil & de P objet, trouver le chemin du rayon venant de l'objet à l'œil, après deux, trois, quatre réflexions. 188
    • Pr.OB. XXVIII. Propriétés diverfes des Miroirs plans. 190
    • PROB. XXIX. Difpofer plufleurs miroirs de maniéré qu'on puifje fe voir dans chacun en meme temps. 195
    • PrOB. XXX. Mefurer une hauteur verticale , & dont le pied efl même inaccejflble , au moyen de la réflexion. 194
    • PrOB. XXXI. Mefurer une hauteur verticale , inaccejflble même par le pied, au moyen de fon ombre. 1.95
    • PROB. XXXII. De quelques tours ou efpeces de fubtilités qu'on peut exécuter avec des miroirs plans. 19 6
    • 1. Tirer par dejfus l'épaule un coup de piflolet auffl sûrement que fi l'on couchoit en joue. ibid.
    • 2. Faire une boîte dans laquelle on verra des corps pefants , comme une balle de plomb , monter contre leur inclination naturelle. 197
    • 3. Conflruclion d’une boîte où l'on voit des objets tout differents de ceux qu'on auroit vus par une autre ouverture, quoique les uns & les autres paroiffent occuper toute la boîte.
    • ibid.
    • 4. Voir d’un premier étage ceux qui fe préj.'entent
    • à la porte de la maifon, fans fe mettre à la fenêtre & fans être apperçu. 199
    • PrOB. XXXIII. Avec des miroirs plans, produire le feu & l'incendie à une diflance confidêrabk.
    • J 200
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    • 202
    • 426 TABLE
    • Des Miroirs fphériques, foit convexes, foit caves.
    • Prob. XXXIV. Le lieu de Fobjet & celui de P œil étant donnés , déterminer le point de réjlexion & le lieu de l'image fur un miroir fphérique. ibid. pROB. XXXV. Propriétés principales des miroirs fphériques convexes & concaves. 205
    • Prob. XXXVI. Des Miroirs ardents. 207 Prob. XXXVII. Quelques propriétés des miroirs concaves , relativement d la vijion , ou d la formation des images. 213
    • Prob. XXXVIII. Conflruire une boîte ou chambre optique, où. Von voie les objets plus grands que la boîte. 216
    • Des Miroirs cylindriques, coniques , &c ; & des déformations qu’on exécute par leur moyen , 2,17
    • Prob. XXXIX. Décrire fur un plan horizontal une figure difforme, qui paroi fie belle étant vue d'un point donnée par réjlexion fur la furface convexe £un miroir cylindrique droit. 218
    • Prob. XL. Décrire fur un plan horizontal une figure difforme, qui panifie belle étant vue par réflexion fur la furface d'un miroir conique, d'un point donné dans taxe de ce cône prolongé.
    • Prob. XLI. Exécuter la meme chofe par le moyen d'un minir pyramidal. 213
    • Des Verres lenticulaires , ou lentilles de verre.
    • 224
    • Prob. XLII. Trouver le foyer cVun globe de verre.
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    • DES MATIERES. 417 PROB. XLIIl. Trouver le foyer d’une lentille quelconque de verre, ' 227
    • , Des Verres Ardents. 230
    • PROB. XLIV. De quelques autres propriétés des verres lenticulaires. 23 3
    • Des Lunettes d’approche ou Télefcopes, tant de réfraction que de réflexion. 234
    • Des Lunettes de réfraction. 23 5
    • Des Télefcopes à réflexion. 240
    • Prob. XLV. Conflruction d’une lunette par laquelle on peut confldèrer un objet différent de celui auquel on paroît mirer. 245
    • Des Microfcopes. 247
    • PROB. XLVI. Conflruction du Microfcope flmple.
    • ibid.
    • Prob. XLvn. Des Microfcopes compofés. 256 Prob. XLVIII. Maniéré fort flmple de juger de la grandeur réelle des objets vus dans le microfcope. 253
    • Prob. XLIX. Conftruire un tableau magique, ou tel qu’étant vu dans un certain point & à. travers un verre, ilpréfentera un objet tout différent de celui quon verra à l'œil nu. 254
    • Prob. L. Conflruction dune lanterne artificielle , avec laquelle on puiffe lire la nuit de fort loin.
    • 2 60
    • PROB. LI. Conflruction de la Lanterne magique.
    • ibid.
    • Prob. LII. Conflruction du Microfcope folaire.
    • 263
    • PROB. LIII. Des Couleurs, & de la différente réfrangibilité de la Lumière, 265
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    • 418 T A B L L
    • Prob. LIV. De VArc-en-ciel: comment il fi forme , & maniéré de Vimiter. 269
    • Prob. LV. De Vanalogie entre les couleurs & les tons de la Muflque. Du ClaveJJin oculaire du pere Caflel. 274
    • PROB. LVI. Compofer un tableau repréfentant toutes les couleurs, & déterminer leur nombre. 278 Prob. LVII. D’où vient la couleur bleue du ciel?
    • 281
    • Prob. LVIII. Pourquoi, dans certains temps, les ombres des corps font bleues ou apurées, au lieu d’être noires ? 28}
    • Prob. LIX. Expérience fur les Couleurs. 284
    • Prob. LX. Conflruclion d’un photophore ou porte-lumiere , três-commode & très-avantageux pour éclairer une table où Con lit ou écrit. 285
    • PROB. LXI. La place d’un objet, par exemple d’un papier fur une table , étant déterminée, & celle du pied du flambeau qui doit Céclairer , déterminer la hauteur a laquelle il faut placer cette lumière pour que cet objet foit le plus éclairé qu’il efl pofflble. 287
    • PROB. LXII. Quel efl le rapport de la lumière de la lune à celle du foleil? 288
    • Prob. LXIH. De quelques illufions optiques. 290 Prob. LXIV. Efl - il vrai que U lumière fi réfléchit plus vivement de dejfus Pair que de deffus . Peau? 293
    • PROB. LXV. Expofition dun phénomène non-apperçu ou néglige par les Phyflciens. 296
    • PROB. LXVI. De quelques autres Phénomènes curieux des Couleurs & de la Viflon. 297
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    • DES MATIERES. 419
    • PROB. LXVn. Déterminer combien de temps la fenfation de la lumière dure dans P œil. 300
    • SUPPLÉMENT, contenant un précis ePObfer-vations microfcopiques les plus curieufes. 301 I. Des animaux ou prétendus animaux du vinaigre & des infujîons des plantes. 301 §. II. Des Animaux fpermatiques. 30^
    • §. III. Des Animaux ou Molécules mobiles du blé vicié. 309
    • §. IV. Des Mouvements de la Tremella. 310
    • §. V. De la Circulation du Sang. 3 iz
    • §. VI. De la Compojition du Sang. 314
    • $. VII. De la Peau, de fes Pores & de fes Ecailles. ibid.
    • §. VIII. Des Poils des Animaux. 316
    • §. IX. Singularités des. Yeux dans la plupart des Infectes. ibid.
    • §. X. Des Mites du fromage , & autres. 318 §. XI. Le Pou & là Puce. 319
    • §. XII. La Moififfure. 311
    • §. XIII. La Poujjiere du Lycoperdon. 32Z
    • XIV. De la Poufjiere des étamines des Fleurs.
    • 323
    • §. XV. Les Trous apparents de quelques feuilles de Plantes. ibid.
    • §. XVI. Le Duvet des Plantes. 324
    • §.XVII. Des Etincelles quon tire d'un fujil (Pacier avec une pierre. ibid.
    • §. XVIII. Les Afpérités des corps qui paroijfent les plus polis & les plus tranchants. 325
    • §. XIX. Des Sables vus au Miçrofcope. 3 26 XX. Les Pores du Charbon. ibid.
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    • 43°
    • TABLE
    • CINQUIEME PARTIE.
    • Acoustique et Musique.
    • Article premier. En quoi confju u fin :
    • comment il fe répand, Cf je tranfmct à notre organe : expériences relatives à cet objet : des diverfes maniérés de produire le fon. 330 ARTICLE II. Sur la viteffe du fon : expériences pour la déterminer: maniéré de mefurer les dif-tances par ce moyen. 334
    • ARTICLE III. Comment les fons peuvent fe répandre dans tous les fensjkns confujîon. 337 ARTICLE IV. Des échos : leur production : hif-toire des Echos les plus célébrés : de quelques autres phénomènes analogues. 3 40
    • ARTICLE V. Expériences fur les vibrations des cordes fonores, qui font u bafe de la Mujîque théorique. 347
    • PROBLÈME. Déterminer le nombre de vibrations que fait une corde de longueur & de grojfeur données , & tendue par un poids donné; ou bien, quel ejl le nombre de vibra-lions qui forme un ton ajfigné > 351
    • ARTICLE VI. Maniéré dajouter, foufraire les Accords entr eux , les divifer, les multiplier, &c. 356
    • PROB. I. Ajouter deux accords entdeux. 356 PROB. IL Soujlraire un accord d'un autre. 357 PROB. III. Doubler ou multiplier un accord autant de fois qu'on voudra. 358
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    • DES MATIERES. 431
    • Prob. IV. Divifer un accord par tel nombre qu’on voudra , ou trouver un accord qui foit la moitié, le tiers , &c. d’un accord donné.
    • 359
    • ARTICLE VII. De la Refonnance du corps fo-nore , principe fondamental de Vharmonie & de la mélodie : autres phénomènes harmoniques. ibid.
    • Question. Les fans harmoniques quon entend avec le J on principal, ont-ils leur four ce immédiate dans le corps fonore , ou réjident-ils feulement dans l’air ou dans l'organe ? 364 ARTICLE VIII. Des différents Syjlêmes de Mu-Jique , Grec , Moderne , & de leurs particula-
    • rités. 3 66
    • I. De la Mujique Grecque. ibid.
    • §. II. De la Mujique Moderne. 371
    • ARTICLE IX. Paradoxes mujicaux. 377
    • §. I. On ne peut entonner jufle ces fons, fql, ut, la, re, fol, fçavoir, de fol à ut en montant, de ut à la en dejtendant de tierce mineure , puis montant de quarte à re, 6* redef-cendant de re à fol, de quinte ; on ne peut , dis-je, entonner jufle ces intervalles, & faire le fécond fol à funiffon du premier. ibid.
    • §. II. Dans un infiniment à touches , comme dans un clavefjin , il ejl impoffible que les tierces & les quintes foient enfemble jujles.
    • 37*
    • §. III. Une note inferieure, par exemple re , affectée du diefe, n’ejl pas la même chofe que la note fupérieure mi, affectée du bémol ; & ainfi des autres notes diflantes d'un ton entier.
    • 380
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    • 4fi TABLE DES MATIERES. ARTICLE X. Quelle ÀU càufi Ju plaifir Mit-ficalï Des effets de la mufique fur les hommes - & fur les animaux. .381
    • ARTICLE XI. Des propriétés de quelques infiru-ments, fur-toüt des infiruments à vent. 389 ARTICLE Xil^Diffon fixe : maniéré de le tranf-niéttre & de le conferver. 391
    • ARTICLE XIII. Applicationfingulieredelà mu-Jique à une quefiion de mécanique. 395
    • ARTICLE XIV. Quelques confidérations fingu-lieres fur les diefes & fur les bémols , ainjî que fur leur progreffon dans leur différents tons. 397 ARTICLE XV. Maniéré de perfectionner les Inf-truments à cylindre, & de les rendre capables £exécuter toutes fortes d'airs. 402
    • ARTICLE XVI. De quelques... Injlruments ou Machines de Mujîques , remarquables par leur Jîngulanté ou leur compofition. 407
    • ARTICLE XVII. D'un infiniment nouveau, ap-pellé harmonica. 409
    • ARTICLE XVIII. De quelques idées bigarres relatives à la Mufique. 412
    • Fin de la Table du fécond Volume.
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  •  

TOME 3

• •  
    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • ET
    • PHYSIQUES.
    • tome' TROISIEME.
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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES,
    • Qui CONTIENNENT les Problèmes & les Queftions les plus remarquables, & les plus propres à piquer la curiofité, tant des Mathématiques que de la Phyfique ; le tout traité d’une maniéré à la portée-des Leéteurs qui ont feulement quelques connoiflances légères de ces Sciences.
    • Par feu M. O Z A NA M, de F Académie royale des Sciences, &c.
    • Nouvelle Edition, totalement refondue & confidérablement augmentée par M. de C. G. F.
    • TOME TROIS IEME,
    • Contenant Y Agronomie , la Géograp Navigation t Y Architecture &
    • A PARIS, rue D Chez Cl. Ant. Jombert, fils
    • pour le Génie & l’Artillerie.
    • aîné, Libraire du Roi
    • M. D C C. LXXVIII.
    • ! VEC APPROBATION, ET PRIVILÈGE DU
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    • RÉCRÉATIONS
    • mathématiques
    • E T
    • P H Y S IQUES.
    • SIXIEME PARTIE,
    • Contenant les Problèmes les plus curieux & les plus faciles, ainji que les vérités les plus intérejfantes de VAJlronomie & de la Géographie, tant mathématiques que phyjiques.
    • DE toutes les parties des mathématiques, aucune n’eft plus propre à piquer la curiofité, que l’aftronomie & fes différentes branches. Rien ne prouve mieux en effet la force & la dignité de l’efprit humain , que d’avoir pu s’élever à des con-j noiffances aulfi abftraites que celles des caufes Tome, III, A
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    • % Récréations Mathématiques.
    • des phénomènes que nous préfente la révolution dés aftres, de la conftruftion véritable de cet univers, des diftances refpe&ives des corps qui le compofent, &c. Audi, dans tous les temps , a-t-on regardé cette étude comme un -des plus fublim.es efforts de l’intelligence humaine ; & Ovide lui-même, quoique poète., ne s’exprime-t-il jamais fur cet objet qu’avec une forte d’en-thoufiafme. Tel eft celui des vers où, parlant de la pofition de l’homme , il dit :
    • Cun claque cùm fpeclent animalia caetera, terram, Os homini fublime dédit, cœlumque tuen Jujjit, & ereclos in fidera tollcre vultus. Met.L. I.
    • Felices animez l ( dit-il ailleurs, en parlant des agronomes ) quibus heee cognofcere primis Inque domos fuperas feandere cura fuit. Credibile ejl illos pariter vitiifque, jocifque , Aldus humants exendjfe caput.
    • Non venus aut vinum fublimia pectora fregit, Officiumve fort, milidceve labor,
    • Nec levis ambitio , perfufaque gloria fuco, Magnarumve famés follicitavit opum. Admovere oculis dijlanda Jidera nojlris , Ætheraque ingenio fuppofuere fuo.
    • Si dès ce temps l’aftronomie excitoit cette admiration, que doit-ce être aujourd’hui, que les oonnoiflances agronomiques font infiniment plus étendues & plus certaines que celles des anciens , qui n’a voient, pour ainfî dire , fait qu’ébaucher cette fcience ! Quel eût été l’enthoufiafme, quelles euffent été les exprefïions de ce poète, s’il eût pu
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    • ÀStftONÔMIE Êt GâôGftAt>HiËi 5 prévoir une partie feulement des découvertes que la fagacité des modernes, aidée du télefcope , leur a Tait faire ! celles de ces lunes qui environnent Jupiter 8c Saturne, de l’anneau lingulier qui accompagne ce dernier; de la rotation du foleil 8c des planètes fur leurs axes ; des divers, mouvements de la terre, de fon éloignement énorme du foleil, de celui plus incroyable encore des étoiles fixes; du cours régulier des cometes ; de la dif-pofîtion enfin 8c des loix du mouvement de tous les corps céleftes, aujourd’hui démontrées à l’égal' des vérités géométriques. C’eft alors qu’il eût dit avec bien plus de raifon , que les efprits qui fe font élevés à ces vérités agronomiques, 8c qui les ont mifes hors de doute, étoient des êtres privilégiés, 8c d’un ordre fupérieur à la nature humaine.
    • CHAPITRE I.
    • Problèmes élémentaires. cPAJlronomie & de * Géographie*
    • PROBLÈME. I.
    • Trouver la ligne méridienne d'un Heu.
    • La connoiflance de la ligne méridienne eft fans contredit la bafe de toute connoiffance 8c de toute opération foit aftronomfque, foit géographique ; c’eft pourquoi c’eft aulïi le premier des problèmes qui nous occuperont ici.
    • Il y a diveçfes maniérés de déterminer cette ligne, que nous allons faire connoître.
    • I.
    • Sur un plan horizontal plantez folidement 8c
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    • 4 Récréations Mathématiques.
    • PI. i, obliquement une pointe de fer, comme une greffe
    • H' *• aiguille, ou un morceau de fer quelconque AB, terminé en pointe ; ayez enfuite une double équerre , c’eft-à-dire formée de deux équerres, dont les plans forment un angle, St par fon moyen trouvez fur le plan horizontal le point C , qui répond perpendiculairement au fommet du ftyle ; de ce point décrivez plufieurs cercles concentriques, St marquez avant midi le point D, où le fommet de l’ombre les rencontre. Faites la même choie après midi ; 8t, deux points D & E étant ainfi déterminés dans le même cercle, partagez en de'ux également l’arc qu’ils interceptent ; tirez enfin par le centre 8t par ce point de bifteâion F une ligne droite ; ce fera la méridienne.
    • En prenant deux points d’un des autres cercles, St faifant la même opération, fi ces lignes coïncident , ce fera une preuve, ou du moins une forte préfomption, que l’opération eft bien faite ; finon il y aura erreur, St il faudra recommencer l’opération avec plus de foin.
    • On doit préférer en général les deux obferva-tions les moins éloignées de midi, foit parceque le foleil eft plus brillant St l’ombre mieux terminée , foit parceque le changement de déclinaifon du foleil eft moindre ; car cette opération fup-pofè que le foleil ne s’éloigne ou ne s’approche point de l’-équateur, du moins fenfiblement, pendant l’intervalle des deux obfervations.
    • Au refte , pourvu que ces deux obfervations aient été faites entre 9 heures du matin St 3 heures du foir, le foleil fut-il même voifin de l’équateur, la méridienne trouvée par cette méthode , fera alfez exaéte pour les ufages communs de la fociété , fous une latitude de 45 à 6o° ; car
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    • Astronomie et Géographie. 5 je trouve que, fous la latitude de Paris, & en feifant les fuppofitions les plus défavorables, la quantité dont la méridienne pourra être en défaut , ira à peine à 20". Si on la veut parfaitement exa&e, il n’y a qu’à choifir un temps où le foleil foit ou dans l’un des tropiques , fur-tout celui du Cancer, ou très-voifin , enforte que , dans l’intervalle des deux opérations , le foleil ne change pas fenliblemeut de déclinaifon.
    • Nous n’ignorons pas que, pour les ufages délicats de l’aftronomie , il faut encore quelque choie, de plus précis ; mais cet ouvrage n’a pour objet que les pratiques les plus (impies & les plus cu-rieufes de cette fcience. Voici néanmoins une fécondé maniéré de trouver la méridienne par le moyen de l’étoile polaire.
    • II.
    • Pour trouver la ligne méridienne de cette maniéré, il faut attendre que l’étoile polaire, que nous fuppofons connue (a) , foit arrivée au méridien. Or on le connoîtra lorfque cette étoile, & la première de la queue de la grande Ourfe, c’eft-à-dire celle qui eft la plus voiline du quarré de cette conftellation, fe trouveront enfemble dans une même ligne perpendiculaire à l’horizon ; car vers 1700 ces deux étoiles paffoient exa&ement enfemble par le méridien dans le même temps ; enforte que , quand l’étoile de la grande Ourfe étoit en bas, la polaire étoit au deffus du pôle : mais quoique cela, ne foit plus aftuellement auffi
    • (a) Nous donnerons ailleurs une maniéré de recon-noître dans le ciel les principales étoiles & conftellations.
    • A iij
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    • 6 Récréations Mathématiques. exa£, on peut encore fans erreur fenfible, & ort pourra encore pendant plufieurs années fe fervir des étoiles , comme on va voir.
    • Ayant donc difpofé un fil à plomb immobile , on attendra que l’étoile polaire , &' celle de la grande Ourfe défignée ci-deffus , foient à-la-fois cachées par ce fil. Dans ce moment on difpofera un fécond fil à plomb , tellement qu’il cache à-la-fois le premier & les deux étoiles. Ces deux fils comprendront un plan qui fera celui du méridien : c’ed pourquoi, fi l’on joint par une ligne droite les deux points où ces aplombs aboutirent fur le pavé , on aura la direclion de la mérir diénne.
    • On peut, au refte , déterminer chaque jour l’heure à laquelle l’étoile polaire , ou une étoile quelconque, pafie au méridien : c’eft un calcul dont on indique le moyen dans toutes les Ephé-mérides ; mais, pour en éviter la peine, on va donner ici une table, où l’on trouvera pour chaque premier jour du mois , le moment où l’étoile polaire paffe par le méridien, foit au defTus, foit au defibus du pôle.
    • Mois, ï Janvier Février . Mars . . Avril . . Mai . . Juin . . Juillet . Août . . Septembre
    • Au deJJus du Pô! 5h 54'du S
    • 3 4i • •
    • 1 53 • •
    • 10 12 du M
    • 8 10 . .
    • 6 6 . .
    • 4 1 • .
    • 1 4 . .
    • Au defibus.
    • 5h 56' du M. 3 44
    • 1 55
    • :o 10 du S. 8 8 6 4
    • 3 59
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    • Astronomie et Géographie. 7
    • Mois. Au dejfus du Pôle. Au dejfous.
    • 1 O&obre ... oh 16'duM. oh 14' du S.
    • ' Novembre . . 10 16 duS„ 10 18 du M.
    • Décembre . . 8 12 . . . 8 14
    • Ce calcul, aurefte, n’efl: que pour les années 1769 , 1773, 1777» &c. tes premières après la bif-fextile. On devroit, pour plus d’exa&itude, ajouter une minute pour la fécondé, 2 minutes pour la troifieme , 3 minutes pour la quatrième, dans les mois de Janvier & Février. Mais fi l’on fait attention que, l’étoile polaire décrivant un cercle feulement de i° 59' de rayon, elle change à peine de pofition, non-feulement dans 334 minutes ,, mais même dans un quart-d’heure, on fe convaincra que cette précifion efl: inutile.
    • On peut, par la même raifon, regarder cette table comme fuffifamment exaéte pendant tout le refte du fiecle à écouler ; car les différences que peut y apporter le mouvement propre de l’étoile po* laire, ne fçauroient aller au-delà de 3 à 4 minutes.
    • Il y a feulement une attention à faire ; c’eft au jour du mois: car, du commencement d’un mois à fa'fin, il y a près de deux heures de différence. L’anticipation journalière efl; enfin exa&ement de 3' 56" par jour: ainfi il faudra multiplier ces 3' 56" par le nombre des jours du mois qui font écoulés, & ôter le produit de l’heure du paflage au premier du mois ; on aura l’heure cherchée.
    • On fe propofe , par exemple, le 15 Mars, de tracer une méridienne par l’étoile polaire. Multipliez 3' 56" par 14, le produit efl: 5 5'; ôtez ce nombre de 17 5 5 ", le reftant 1 ' o" donne l’heure du matin où l’étoile polaire paffe au méridien au deflous du pôle.
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    • 8 Récréations Mathématiques.
    • Il y a des mois , comme ceux de Juin , Juillet, & partie de celui d’Août, où, à caufe de la grande longueur des jours, l’un & l’autre paffage n’eft point vifible, fe faifant dans le jour ou dans le crépufcule. On y fuppléera ainfi.
    • Vous chercherez l’heure du jour à laquelle l’étoile polaire paftera par le méridien au defïùs du pôle , & vous examinerez fi , en comptant 6 heures de plus, cette heure tombe dans la nuit : dans ce cas , vous attendrez ce moment, & vous opérerez comme on a enfeigné plus haut. Il eft clair que vous aurez par-là la pofition du vertical ou cercle paft'antpar le zénith , & par l’étoile polaire lorfqu’elle efi: arrivée à fa plus grande diftance du méridien du côté du couchant ; car fi elle pafle par le méridien à une certaine heure, il efi: évident que 6 heures après elle en fera à fa plus grande diftance. Or, calcul fait, on trouve que l’angle de ce vertical avec le méridien (pour la latitude de 48° 50', qui eft celle de Paris,) eft de 20 57' : ainfi , en faifant avec la ligne trouvée un angle de 2.0 y/' vers l’orient, on aura la vraie ligne méridienne. \
    • Si les 6 heures comptées après le paflagé par le méridien au deftus du pôle , ne conduifent pas dans la nuit, il n’y a qu’à compter 6 heures de moins ; l’heure ainfi trouvée fera certainement une de celles de la nuit , & celle où l’étoile polaire eft à fa plus grande digreflion du méridien du côté du levant : il faudra alors faire l’angle de 2° ^y' du côté du couchant.
    • On trouvera peut-être quelque difficulté à faire un angle de 20 57', mais en voici le moyen.
    • Sur la ligne avec laquelle vous voulez faire un
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    • Astronomie et Géographie. 9 tant vers le nord, une longueur de 1000 lignes, PL 1, ou 6 pieds 11 pouces 4 lignes ; au point B, où fe %• 2» terminera cette longueur, élevez une perpendiculaire du côté du couchant, fi vous voulez que l’angle à faire foit du côté du couchant, ou du côté du levant, fi vous le voulez tracer du côté du levant ; portez fur cette perpendiculaire 51 lignes 7, & que cette longueur fe termine au point C ; tirez la ligne AC : elle formera avec AB l’angle cherché de i° 57', & cet angle fera incomparablement plus exa& que par toute autre voie qu’on pourroit employer.
    • Remarque.
    • O N lit dans les éditions précédentes de cet ouvrage, plufieurs moyens phyfiques de trouver la méridiennequ’il féut faire connoître ici, 11e fût-ce que pour les apprécier.
    • Pour connoître le méridien fans bouflole ou fans aiguille aimantée, fût-on plongé dans les entrailles de la terre, ayez, dit-on, une aiguille ordinaire à coudre, menue & bien nette, & pofez-la doucement fur la furface d’une eau tranquille ; elle fe placera dans la direction du méridien.
    • Cette expérience efi: vraie à quelques égards. Si l’aiguille efi: longue & menue, elle fe foutient affez facilement fur la furface de l’eau , où elle produit un petit enfoncement ; l’air qui lui eft adhérent, la préferve pendant quelque temps du contaft de l’eau ; & au furplus, fi on y trouve quelque difficulté , on la furmonte en graiflant l’aiguille avec un peu de fuif : elle fe foutient alors fur l’eau avec facilité, & elle prend, d’elle-môme un mouvement qui l’approche du méridien ; j’en ai fait plufieurs fois l’épreuve,
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    • lo Récréations Mathématiques.
    • Mais il eft faux que la ligne de dire&ion o& elle s’arrête foit la méridienne du lieu ; ce n’eft que la méridienne magnétique ,. parceque tout fer allongé & bien fufpendu eft une aiguille magnétique. Or la méridienne magnétique n’eft que la direction du courant du fluide magnétique ; & cette dire&ion fait, comme tout le monde fçait, dans prefque tous les lieux de la terre, un angle plus ou moins grand avec le méridien aftronomi-que. Il eft, par exemple, a&uellement à Paris de 19 à 20°. D’ailleurs , à moins de connoître déjà le côté du nord St celui du fud , on ne pour-roit, par ce moyen, les diftinguer l’un de l’autre.
    • Le P. Kircher donne un moyen qu’il dit facile pour connoître le midi 8c le feptentrion. Il veut que l’on coupe horizontalement le tronc d’un arbre bien droit, qui foit au milieu d’une plaine, fans le voifinage d’aucune hauteur, ni d’aucun abri qui l’ait pu de ce côté garantir du vent ou du foleil. On verra dans la feélion de ce tronc plusieurs lignes courbes autour du centre, qui feront plus ferrées d’un côté que de l’autre. Le côté le plus ferré fera celui du feptentrion, parceque le froid venant de ce côté, relferre , 8t que le chaud qui vient du côté oppofé, raréfie les humeurs & la matière dont fe forment les couches de l’arbre.
    • Il y a quelque chofe de vrai 8t de fondé en raifon dans ce moyen ; mais, outre que tous les bois ne préfentent pas ce phénomène, il n’eft pas. vrai que par-tout le vent de nord foit le plus froid c’eft fouvent, félon la pofition des lieux, le north-oueft ou le nord-eft : ce fera alors un de ces. rhumbs de vent qu’on prendroit pour le nord*
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    • Astronomie et Géographie, it PROBLÈME II.
    • Trouver la latitude d'un lieu.
    • La latitude d’un lieu de la terre eft la diftance de ce lieu à l’équateur. Cette diftance fe mefure par l’arc du méridien célefte , entre le zénith de ce lieu & l’équateur ; car cet arc eft femblable à celui qui eft compris fur la terre entre ce lieu & l’équateur terreftre. Cet arc eft égal à la hauteur du pôle, qui eft l’arc du méridien intercepté entre le pôle & l’horizon : ainfi ceux qui font fous l’équateur ont les pôles dans l’horizon ; & , au contraire , ceux qui aüroient le pôle au zénith auroient l’équateur dans l’horizon.
    • La latitude d’un lieu de la terre eft facile a trouver de plufieurs maniérés.
    • i° Par la hauteur méridienne du foleil, un jour donné ; car fi de cette hauteur on ôte la déclina ifon du foleil pour ce jour-là, (lorfque le foleil eft dans les lignes ieptentrionaux, & le lieu donné dans l’hémifphere boréal, ) on aura la hauteur de l’équateur, dont le complément eft la hauteur du pôle. Si le foleil étoit dans les lignes auftraux , il eft aifé de voir qu’il faudroit au contraire ajouter la déclinaifon , & l’on auroit la hauteur de l’équateur.
    • 2° Si l’on mefure dans l’intervalle d’une même nuit la hauteur d’une des étoiles circumpolaires qui ne fe couchent point ; qu’on retranche de chacune de ces hauteurs la réfraéfion , {Vce qu’on dit plus loin de la réfra&ion. ) la hauteur moyenne fera celle du pôle.
    • 3° Enfin fi l’on connoît, par les catalogues des
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    • ti Récréations Mathématiques.
    • étoiles fixes, l’éloignement d’une étoile à l’équateur , c*eft-à-dire fa déclinaifon, on mefurera fa hauteur méridienne, & en y ajoutant ou en fouf-traifant cette déclinaifon, on aura la hauteur de l’équateur, dont le complément, ainfi qu’on l’a dit, eft la latitude.
    • PROBLÈME III.
    • Trouver la longitude d’un lieu de la terre.
    • La longitude eft le fécond élément de toute po-fition géographique. On appelle ainfi la diftance du méridien d’un lieu, à un certain méridien qu’on eft convenu de regarder comme le premier. Ce premier méridien eft vulgairement réputé celui qui paffe par l’ifle de Fer, la plus orientale des Canaries. On prend aufli fouvent pour premier méridien, celui de l’obfervatoire de Paris, obfer-vatoire le plus célébré de l’univers , par la quantité d’obfervations qui s’y font faites, ou par celles faites en correfpondance avec fes aftronomes.
    • Les longitudes ne fe comptoient autrefois que d’occident en orient dans toute la circonférence de l’équateur; mais il eft aujourd’hui d’un ufage prefque général de lés compter, les unes à l’orient , les autres à l’occident du premier méridien , ou du méridien réputé tel ; enforte que la longitude ne fçauroit excéder 18o° ; & l’on marque dans les tables fi elle eft occidentale ou orientale. Voyons enfin comment on détermine la longitude.
    • Si deux méridiens terreftres , éloignés, par exemple, l’un de l’autre de 15°, font conçus prolongés jufqu’au ciel, il eft clair qu’ils interçep-teront dans l’équateur & dans tous fes parallèles
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    • Astronomie et Géographie; 13 des arcs de 150 : il eft encore aifé de voir que le fo leil arrivera au méridien le plus oriental le premier, & qu’alors il aura encore dans l’équateur, ou dans le parallèle qu’il décrit ce jour, 150 à parcourir avant que d’arriver au méridien le plus occidental. Or il faut une heure au foleil pour parcourir 150, puifqu’il en emploie 24 à parcourir 360°; d’où il fuit que, tandis qu’il fera midi dans le lieu le plus oriental , il ne fera que 11 heures du matin dans le plus occidental. Si la distance des méridiens des deux lieux étoit plus grande ou moindre , la différence d’heures feroit plus grande ou moindre , à proportion, en comptant une heure pour 150, 6c conféquemment 4 minutes par degré, 4 fécondés par minute, 6tc.
    • Ainfi l’on voit que, pour connoitre la longitude d’un lieu, il ne faut que fqavoir l’heure qu’on y compte , lorfqu’on en compte une*certaine dans un autre lieu fitué fous le premier méridien, ou dont la diftance au premier méridien eft connue ; car fi l’on convertit cette différence de temps en degrés 6c parties de degrés, en prenant 150 pour une heure, un degré pour 4 minutes de temps, ôte. on aura la longitude du lieu propofé.
    • Pour connoitre cette différence des heures, la méthode la plus ufîtée eft d’employer l’obferva-tion d’un phénomène qui arrive au même inftant par tous les lieux de la terre; telles font les éclip-fes de lune. Deux obfervateurs, placés dans les deux endroits dont on délire connoitre la différence de longitudes, obfervent, au moyen d’une pendule bien réglée, les inftants où l’ombre atteint fucceffivement diverfes taches remarquables de la lune; ils fe communiquent enfuite leurs ob-fervations ; 6c par la différence de temps qu’ils ont
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    • 14 Récréations Mathématiques*
    • compté lorfque l’ombre arrivoit à tine même tache, Us déterminent, comme on a dit ci-deffus* la différence des longitudes des deux lieux.
    • Que l’obfervateur placé à Paris ait, par exem* pie, obfervé que l’ombre atteint la tache appeliée Tycho à ih45'50" du matin, & que l’autre, placé au lieu A, l’ait obfervé à minuit 24' 30", la différence de ces temps eft de i*» 21 ' 20": ce temps, réduit en degrés 8t minutes de l’équateur, fait. 20° ^o,. Telle eft la différence de longitude ; & comme il étoit plus tard à Paris que dans le lieu A au moment du phénomène, il s’enfuit que le lieu A eft plus occidental, de cette quantité de
    • .Comme les éclipfes de lune font aflez rares , 82 qu’il eft difficile d’obferver avec précifion , foit le contaéf de l’ombre avec le difque de la lune pour fixer le commencement de l’éclipfe , foit l’arrivée de l’ombre à une tache quelconque , les aftronomes modernes font fur-tout ufage des im-merfions , c’eft-à-dire des éclipfes des Satellites de Jupiter, 8c principalement de celles du premier, qui, allant fort vite, éprouve des éclipfes fréquentes , 8c qui fe font en peu de fécondés. Il en eft de même de l’émerfion, ou du retour de la lumière du Satellite , qui fe fait prefque fu-bitement. De deux obfervateurs, par exemple, placés l’un au lieu A, l’autre au lieu B, l’un a vu l’immerfion du premier Satellite arriver un certain jour à 4*» 55' du matin, l’autre à 3h 25'. On en conclura que la différence des temps eft de il> 30'; ce qui donne 220 30' de différence de longitude, oc annonce que le lieu A eft le plus oriental, puifqu’au même inftant on y comp-toit une heure plus avancée.
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    • Astronomie et Géographie. t j
    • R E MARQUE.
    • Ces observations des Satellites, qui, depuis la découverte de Jupiter, ont été extrêmement mul-pliées par-tout l’univers, ont en quelque forte réformé entièrement la géographie ; car la pofition en longitude de prefque tous les lieux, n’étoit déterminée que par des diftances itinéraires mal réduites ; enforte qu’en général on comptoir ces longitudes beaucoup plus grandes qu’elles n’étoient réellement. Dès la fin du fiecle paffé , on fut alluré qu’il y avoit plus de 25 ° à retrancher fur l’étendue en longitude qu’on affignoit à notre ancien continent, depuis l’océan occidental jufqu’aux côtes orientales de l’Afie.
    • Cette méthode fi évidente & fi démonftrative a néanmoins été critiquée par le célébré Ifaac Voflius ; il préféroit de beaucoup les réfultats des itinéraires des voyageurs, ou des eftimes des pilotes : mais il n’a prouvé par-là autre chofe , finon qu’autant il avoit d’érudition , du refte aflfez mal digérée, autant il avoit l’efprit faux , & étoit éloigné de connoître même les premiers éléments dè la fphere.
    • La connoiffance de la latitude & de la longitude des différents lieux de la terre eft fi importante pour les aftronomes , géographes, gnomo-niftes, &c. que nous croyons devoir donner ici une table de celles des principaux points de notre globe. Cette table eft fans contredit la plus étendue qui ait encore été donnée. On y trouve la pofition de prefque toutes les villes de France un peu confidérables, ainfi que celle de la plupart des capitales & villes célébrés du refte de l’univers, le
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    • 16 Récréations Mathématiques. tout fondé fur les obfervations agronomiques les plus récentes, ou fur les meilleures'combinaifons des diftances & polirions.
    • Cette table , nous l’ofons dire, ne reftemble point à celle qu’on voit à la fin dé la traduction nouvelle de la Géographie de Salmon. On jugera par le trait fuivant , de la foi qu’on peut avoir dans cette derniere. L’auteur, ou le traducteur, annonce que les longitudes font comptées du méridien de Londres, & cependant il donne à Londres 170 & quelques minutes de longitude. C’eft abufer de la confiance du public, que de lui préfen-ter des ouvrages traduits par des perfonnes aum peu inftruites.de l’objet qu’elles traitent.
    • Dans la table que nous allons joindre iéi, il faut obferver que les longitudes font comptées dii méridien de Paris , tant à l’orient qu’à l’occident. Lorfqu’elles font orientales, elles font défignées par ces lettres, or., & quand elles font occidentales , par ces lettres-ci, oc. Le ligne * marqué que la détermination eft fondée fur des obfervations de quelque membre de l’Académie royale des Sciences. Le ligne *{• défigne qu’elle eft fondée fur des obfervations de quelque autre aftronome. Enfin , quand il n’y a aucun ligne , cela veut dire que cette détermination eft fondée fur l’eftime, ou des obfervations moins certaines que les autres.
    • A l’égard des latitudes, lorfqu’elles ne feront point accompagnées d’aucune lettre , cela lignifiera que lfi latitude eft boréale ; quand elle fera auftrale, on y trouvera jointe la lettre A.
    • table
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    • Astronomie et Géographie. 17
    • TABLE Des Longitudes & Latitudes des Filles & Lieux les plus remarquables de la Terre.
    • NOMS Latitude Différ. des MériD*
    • Villes et Lieux. haut, du Pôle. en Temps. enDeg.
    • D. M. S. H. M. S. D. M.
    • Abbeville — 50—7—1....
    • Abo , Finlande Acapulco *, Amcriq. -- Aede — i7..3o .. 5 .... -7-14-11 oc. 1X48
    • Agra, Mogol *6-45 -o-- 43. 31. 3S-- 4 -57-36 or. -74-24
    • A* * .—o-iT
    • Alençon • - ' .... ~ -- ü .1 43-55 44 48 -15.-0 •••• -0‘.*'0"45 oc‘ ..0-.-9-.-0 oc. ..-2-15
    • Alep, Syrie ................ Alexandrete *, Syrie 35 45-23 -36-.35-.10 -. • 1-16—0 or. -35 -û •34-0
    • Alexandrie Egypte 3Ï..H..10 .1-51-46 or. •27-57 •.-o.-7
    • Alger - Altona - Altorf ——• 49-17 38*- -7-3° ..-8-46
    • Amfterdam * —• Ancône *, Etat eccl. —• Andrinople, Turquie Angoulêmc * ............ 49-5 3"38 - 51-.11-.45 •••• 43"37 54 — 41..40....0 — 47-.18—• 8 — . 0 -10-36 or. -0-44-42 or. • 1-36 24 or. -o-H-35 oc. -2-54
    • 45-39—3 ..0-8-45 <*•
    • Antioche .......... 43..34..50 .... 35-55—° — ..a-25-19 or.
    • Anvers* *4 *o -0-8-17 or. ..2-26-20 or. ..36-35
    • 43-40-33 .218
    • Tome III% B
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    • ,8 Récréations Mathématiques.
    • NOMS Latitude Différ. des Mérid.
    • Villes et Lieu*. Haut, du Pôle. en Temps. en Deg.
    • Arras— — D. M. S. 50 .18-25 — H. M. S. -o—i.40 or. D. M. -0-25
    • Aflife * Aftracan ——• •••• •••• —• Athènes , Grèce-— Auch* - -•—— Augsbourg - Avignon* Av ranches *——— -- —• •— Auriilac* — 43—4~*2~-40-30—0 — 37.40-.10 — 43-38-46- 48-24—0 — 42-57-25 — 48 4* iB *•* 47 47 54 ..0-41—7 or. ••i.-33-o on -0-7-20 oc. •.0.34-4 or. -48- -23.15 ....1..45 -8-1
    • -O..I4..5 loc! -0-0 28 or. • 0—4"57 or. ....3..43 -0-7
    • Azoph, Crimée —• Awatchaf» Kamskatka — Bagdad, Afie 47.10-0-53...1-20 - 34 .45... O.... - 2-34-0 or. «0-24 30or. -2-5O-O0T. -38-30 156-5 -42-30
    • Balfora ou BaCTora p AJie••••••
    • 1 26 O ' •.3—4—0 or. • 0—0 28 or.
    • Batavia *, Indes Baye de tons les S»*, B réfil. Baye de Hudfon*, Fort Alb• -6-15-0-12-54-30 A. ••6..57..53 or. :ï.îV°,Z: 10419 ••4116 ••82-20
    • Bayeux *
    • Bayonne* Beauvais* Belgrade 45—3— 0 — 61—0—0 — 52-.3I-30 - ITTV" :°0 21?“; .."3"3 ....3..50 -0-15
    • Berghen, Norvège-— Berlin* r - Berraude, ifle- ..- .... ..O-22.49 or. ..0.-44.. 17 or. 4 -23-000. --s-40 -11.15 .65.45 -5-6 ....3-43 -0-53
    • Befançon* Béziers *, T. de VEvêché Bilbao - 40-59—0— 47" *3 "45 •• 43 20-20 — 40-20-0- • 0-20-24 or. •0-14-50 or. -0-3-30 or. 0-11-4000.
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    • Astronomie Et Géographie.
    • NOMS Latitude Différ. des —1 % Mérid.
    • Villes et Lieux. haut, du Pôle. en Temps. : enDeg.
    • Blois - - D. M. S. 47 35- o- H. M. S. •0—4 15 oc. D. M.
    • Bologne*,//. S. Pétrone Bolkcreskoy, * Kamshatka Bordeaux*—.* - 44 *940 — 52 54-30-445018 - 0-36-5 or. 8 16-0 or. •0 11-39 oc. “9-i 154-0 —2-55
    • Bofton* 42 22—0 -• -4-53-20 oc. -rt- 1 » ..-if* or -73-20
    • Bourfc^* ^rC C 17-4 40 -O H-30 or. — 2-54 ;
    • Breflau, Silifie Breft* 48^3'" Ô:: 0-59.16 or. 0 20 l8 oc 31
    • Briftol Bruges ----- 51-28—-o — 5t.i1.30.... 0-2-8 or. -5-4 —0-47
    • Bruxelles* 5° 28 0 0-8-7 * i1 26
    • Buenos-Ayres *, Parâguai. Cadix* 34-35-26A. 36-31—7.... -i—9-52 •4—3-25 -0-34*160c. -60-51 —8-34
    • Caen* - Caffa Crimée 49-11*. 10 •••• -0-10-47 oc. —2-42
    • Caire *, (le) Egypte -— Calais * * 44.45 ....0 .... 30-3 12 — -2-14—0 or. -1-56-40 or. -33-30 -29-10
    • 50-57 -31 — ^ 44 33 or* ..86—1
    • Cambray* -— 22-34-43 — 50-10-39- TTJl°oc -0-54
    • Cambridge, Anglet Canton*, Chine Cantorbéry 50-10-0 — 35-18-45 -23 -8-0 - -1-31-52 or. -7-22**53 or. — 1-37 -22-50 110-43
    • 51-17—0 — -0—4-II oc. ....1..-3
    • Cap Comorin , pointe de la prefqu’ifle de l’Inde -8—0—0 —
    • Çap de Bonne - Efpéran,ce * CapFinifterre* - Cap François *, S. Dpming. 33* 55 -15 -• 42-51-50 -19-57—3.... ..5—3..50 or. Tl ^4
    • -o-4 35 ^ -4-55-8 oc. -11-39 ..73-47
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    • Récréations Mathématiques.
    • 20
    • NOMS Latitude Différ. des Mérid.
    • Villes et Lieux. haut, du Pôle en Temps. en Deg.
    • Cap Kamshatka, Afie Cap Leezard * - D. M. S. 49-.57.-30 H. M. S. 10-7-9 or. T2220 or* D. M. 157 47 "*19 35
    • Cap N'îrd * « Cap Ortegal * -, Cap Saint-Lucas*, pointe de la Californie -——• 43- 3e 37 — 13..28 — 0 -7..28—-40c. -I-18- 0 oc. m-.45
    • Carthagene d'Europe Carthagene * d’Amérique — Cafan, Rujfie - Î7 -M 30 -10-26-35 ~ 55-45—0 — 0-.13.15 oc. .5.11-5 oc. •3--5-0 or. -3-2Ç -77.46 ..46-15 —6- 56
    • Caffel, Helfe - —•1 CiftreS .......... 5I-I9 -O —
    • Cayannebourg *, Finlande. Cayenne *, Amérique Caye S. Louis*, ifie S. Dom. Cette — 43.57.IO — 64-I3..3O-. ..4 56.. O-. 18-I9—O.... •2-34.57 or. -3..38-200C. 5-1..44 oc. ••38-44 -54-35 ••75-26
    • Cézene *, Ital - Châlons-fur-Marne *—— Châlons-fur-Saône * — 43-2O-3O.- 44.-8 ÎÇ .. 48-57-lî- 46- 46 5O — 22-51-26.— 0 39-24or. ::r;8oX: -9-52 :sbi
    • ••5-44-i5 or.
    • Chartres * - 48 26 49 - -0—3.24 oc.
    • CWra-Vecchia* Qagenfurth, Carinthie Clermont-Ferrand * —• t Collioure, RouJJillon £§£ïi:iE: 42—5 24 .— 47..20—0 — 45-46 .45 — 42-34-0-, "O-15-53 oc. ••0-37-45 or. -O-50-10 or. -o-3-o or. -0-10—4 3 5® —9. 26 -12-32 —0-45 -0-41
    • 5O-55—O — 49..25..IO — 36-42..53 - -O-19—0 or. -5-O-0 oc. —4 45 -0-30 -75
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    • Astronomie et Géographie. ij
    • NOMS , Latitude Différ. des Mérid.
    • Vieles et Lieux. haut, du Pôle. en Temps.
    • D. M. S. H. M. S. D. M.
    • 16 36
    • Copenhague * - Î5 -40-45 -• ‘• 0-41-O or. -10-15
    • Cordoue - Coutances* ;—— •*—— 37-41—-o -4950 -- • O-14 48 oc. -O 15-10 Of. —6-il -•3-47
    • Crefmunfter*, obf — Cufco, Pérou -— - Dantzick* 48-.-3.36 ----12-.25.-0 A. 54-22-23 - -1-47-10 or. ••5—4—0 or- -I....4..44 or. ••”"47 ..76—° -16-h
    • Dieppe* 49' 55***7 “** •0-5-3 -i-td
    • Dillingen —- 4*-JO—0 -• -0-31-36 or. -T' 54
    • Do!e’.™“^ » 48-33.-9 — 45 —5-30 *— - 0-12-.36 or. ..O—4—8 or. "•3-9
    • D°J"C5 3I— 7-47 —• K i —•6--n — -11—6
    • Drontheim., Norwege Dublin— Dunkerque* y 00 63-10-0 - 51—2—4 - • 0‘ 28 -40 or. -O-36-40 oc. -7-10 ~9-,«
    • Durazzo, Albanie - •— 41-n—o •••• • 9-41 or. -17-25'
    • Edimbourg —— Embden -- 55-58—0 — 5 3.... 5—0 — 51—6—0 — '•0-11-41 0C‘ * 0-11-10 or. . 5 30 —7-55
    • Embron * Erivan, Arménie 44.34—0 — 40-30-0 — -O-16 36 or. -2-48-0 ar. -4-9 ..42.—0
    • Erzerom * Turq Afiatique -46-16
    • Evreux Faenza *, Italie - Fernambouc % Bréfil- Ferrare* - 39"3°"55 ***’ 49—1—0 — 44 17-19 -,8-13-0 A. 44 49 56 - \iiii ....9..30 .>37.30 -9-Ms
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    • RéCRÉATiôSts Mathématiques.
    • NOMS Latitüde DifêeïÊ. des' Mérid.
    • Villes et LieuA. hant.daF^ôle. en Temps. enDég.
    • Fléché (fa)* Francfort-fur-le-Mem ¥ Francfort-lur-l’Oder Fréjus * D. M. S. 47' 41—0 •••• 43-46' 3°--i°" ""°-51' -r‘ " ° "" 4}"^ ""3 •••• H. M. S. • o 10-500C. • o 34-48 or. O 48 55ur. • O . 17 39 or. •015.24 0r. 0-25-3 or. TZ2Z D. M. — 2-42 -8-4* -6.15 •12..13. •••4..25
    • Genes* Geneve* Glafgow, Ecoffe 4415—0 — 46 II—0 56 54 44' " —6-16 —4—0 ...6-35
    • Gottineen *, Obf Gottenbourg, Suède • — Granville 51-31-54 — 57- 41—0 — 4-45-40 or. -0-30-16 or. •0-.37 .15 or. •0-15.48 oc. -0-18-24 or. -7-34 -9 *9 —3-57 -436
    • Grade 43. 39 25.... AT—A. -18 —
    • Gréenwich \ Obf. ccl Grenoble *.... 47 4 10 5i. 28-.36 - -0—9.100c. -2.18
    • Grypfwald ", Pomèr 45 II 49 — ^2 II 20 "" 0 13 32or. O 4Î-46 or. —3-24 :r?o
    • Hall, Saxe Hambourg « Havane (la) . 51..34-O- .3.28—0 OC. -9-21
    • 53-38 20 — 52 .22. 30 -23. IO—O - O 30 20 or .5.38-0 oc. -• 7-35 -84-30
    • Iacouftk *, Tart. Rujfe v. Jena — —— —.... ** 49.31—0 — 62-20 — 0 — 51—2—0-w. ..O—9—0 OC. ••8-29 30 or. -0-35-55 or. -2.. 15 127-21 -8-58
    • Jgrufalem ...... .... .......-. Jédo, Japon ......... Jenifeik*, Tart. Rujfe—.... 31 50-O- ..8-C2 —0 “33-0
    • 58.27.i5- 0 52-0 ..{••56-01». -EL
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    • Astronomie et Géographie.
    • NOMS LÀTÎTtFDE Diffêr. des Mérid.
    • VlLt.ES ÈT LlÊUX. haut, du Pôle. eh Tëmps. 1^05.
    • Ingolftadt *, Obf — Inîpruck, cap. du Tirol D. M. S. 48~46....o 47.18—0 — H. M. S. -0-36-10 or. -0,38-20 ••7”28—0 or D. M. —9"2 -9"35
    • Ifle de l’Afcenfion * Ifle de Bourbon *, S. Denis 52.10-.15 ..7..57-0A. 20-51. 43 A. / Jd\j u or. -l-f~l6«r. -3-32-40 or. -16-29 -53-10
    • Ifle de Fer * Ifle de France *, P. Louis- Ifle Sainte-Hélene * Ifle d’Huefne *, Obf. de Tyc. Ifle Madagafcar, à Foui- 27-47 20 — 20 9 -45 A-16—0—0 A. 55-54-15 - • I-19..3600 ..3.40-32^. -0"z6-^6or. -19-54 "55 .8 -.6-39 -10-32 -47-l6
    • Ifle Rodrigue *, habitation-Ifle S.-Domingue % cap.f Ifle Taity *, mer du fud - Ifle Saint-Thomas Afr 19-40-30 A. 19 .57.... 3 .... 17-28-55A. 4-3-48 or. ..4-58—8 oc. 10-7-9 oc. •60-52 -74-31 I5Ï-47
    • Ifpahan , Perfe- 32-25-0 — l°^0o°or. -5O-3O
    • Kongkitao" cap. de la Corée- Konisberg, Pruffc R - — Landau ““ 37-30-0-54-42- •7-36-8 or. "«IS-52 or. 1*4-2 -18-58
    • 49-11-40 — O-23-10 or. I
    • angres 47"5°”5° — -0-12—3 or.
    • Laufanne^ 46-31—5 Ifin r —.4.-25
    • ïC' ÎT* 43-56—2 — .0—0.52 OC. “"i"43
    • Leyde* 51-19.14 — .•O-40—O or.
    • Uege LHle * 52-IO—O — ,0.36.-0 - ÎO-37-JO-12—, -, 5 -0-13—0 or. —2-15 —3-15
    • Lima % Pérou — •Tt6-j8oc. -79-10
    • Linc°fCS Al ** ******** 4J.49*-20 ' -0—4—1 ^ "O-II—0 oc.
    • mco n, ng '"—S
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    • i4 Récréations Mathématiques.
    • * ' NOMS Latitude Différ. des Mérid.
    • Villes e^t Lieux. haut, du Pôle. en Temps. ‘enDeg.
    • Lintz, Allemagne-'-—- Lisbone ", cong. orat—-— D. M. S. 4S 16-0-38-42-20— H. M. S. • 0..46-30 or. .0.45.500c D. M. mm7„ç6.
    • Lorette* •• Louisbourg *, Amer••« 43.27-0.-. 45 53 *45 * ..0.44..5 2 or. A-9--0 0C. 7 5® 33
    • Londres * — •••• — — 51-31—o— •O-9..41 oc. ....2.-25
    • Louvain —~ ——— Liicques ::::: :::::::::::: 50.50-.0- 4627-14... -0-14—20c —2—30
    • Lunden *, Scanie n 4° 36 .-0—4..«3 or. "11—1
    • Macao *, Chine......... Madras Inde .••••••••*••• .••••••- 45.45-.51~ 22-12-44-- ....2-30 m-26
    • Madrid *, gr. place -«. 13 — 5-20— :r6:474
    • Maîulipatan, Inde 16-20.-0 ... •79-0
    • Mahon \fort S. Phïl- Malaca* Malé, princ. des Mald Matines * 39••50••46— .•4-.3c.-0— 51—0-50— .0—5-1400 :ÏXZ; ..O—8-35 or. -1-28 -99-4S ..91..30
    • Malthe *, cité Valette Manchefter, Angl Manille % Philipp Mantoue Marfeille * — Martinique % fort Royal— 35.. 54-0- 53.24.~0- 14.. 36-0— 45 ....2-0-43I7~45~ I4-3S-SO-- •O.48-34 or. .0-.19.-0 OC. •7 -54—4or. •0.31-22 or. O-12-9 or. ..4..14..4O0C •••4-45 118-30 ....7.-50 •63-40
    • Méaco, Japon - Meaux * Mecque, (la) Arabie 49..54-0- ..O-24—O or. •8-43-.4SO. —6—0 i3°-55 -0..30 ,0 , _
    • Médine, Arabie 24.40-0- -2-32-0 or. ••35-40 -38-Q
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    • Astronomie et Géographie.
    • *î
    • NOMS Latitude Différ. des Mérid.
    • Villes et I.ieux. haut, du Pôle. en Temps. anDeg.
    • D. M. S. H. M. S. M. D. -I2»<8
    • Metz —«• - Mexico , Mexique - Merguy *, Inde - 49 -7 "5 - 19-54 - o ... •o-.15.240r. -6-46.-0 UC. -6-23-52 or. -4-51 101-30 •95*58
    • Modene — - — Moka, Arabie. -— 44-34-0 .... 13-40-0 .... 43-36"33 -55-45-*° --48-9-55 - , 52.-0.-0 .... 50 .25—0 - -O-27-13 &r. •I-16-50 or. .2.48-0 or. -19.12 -42-0
    • Montpellier * - Mofcow* Munich —- — — Munfter, Weflphalie Namur ..2-21-45 O'* "O-36-40 or. -0-20-19 or. — 1-32 -35-26 -9-10 —5—5 -a”5°
    • Nancy — I Nangazaqui , Japon - i Nanking*, Chine 48-.41.28 — 32-5-0 - 3I-57-3I - 0 *5 26 or. •-8.22.30 or. "7 *36.-0 or. -3-52 I25* 37 114-0
    • Naples * coll. R 40-50.15 -0-47-35 “"“$4
    • Nerzinsk * T t R JJ* 43-11-13 7it?o
    • Newftadt, Autr — Nice* Nieuport* — Nîmes* - N°ov. Orléans *, JLouiJîane. 52—0—0.... 47' 58- 0 ••• 4; .41.-54 .... . 0-56-58 or. -0-19-49 or. -14-14 ““4*51
    • 43 50..35 .... Lÿ 57-45 - :p:45- -6-9-I5 0£. -92-19
    • Nure°mbe^ 49-34-37 — 49-26-55 - 49-43 —0 — "O—2"43 oc‘ ....0-41 ....S..AA
    • Olinde. Voye{ Fernanbuc. Olmutz, Moravie -0-34-56 or. ..1-0-49 or. ..-O-44 -I54.I2
    • Orembourg *, RuJJie Orléans* 51-46-0 -47-54*-4 -• -3-31-20 or. • 0—1-43 oc. -82-20 -..O-26
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    • Récréations Mathémàtîqués^
    • i 6
    • \ NOMS Latitude DiFFÉR. DEè Mérid.
    • Villes et Lieux. haut, du Pôle. en Temjps. cnDeg.
    • Ormus, golphe Per fi que Oftende*— Oxford* Ozaca, Japon — Padoue* Pampcltmc D. M. S. 26-30—0 — 51-13-53 •••• 51-44-57.... H. M. S. 0^220 or -0-14-20 oc. D. M. -54....0 --0.35 .."3-55
    • 35.-5 — 0 — 45-22-26 — 42-43-30 — 130-50 .-9-36 --4—O
    • Panama *, Amer- -8.-57-.48 - -5-30-44 oc. -82-4I
    • Paris, obf. royal• 48-50.ta-- -o’.-o.-o°C' •5O-3O
    • Parme « Paflàu 44-44.50- 48-30—0 — -0-30-2, or. -0-42-50 or. -7-35
    • Pavie Pau * 45-46-10 --. -..6-51
    • Pclcih , obi« impérial ...... 43-15—0 — -O—0-56 de. — 2-29
    • Péroufc * ... , *1 * 7-36-35 or. II4—9
    • 43—0-40 — O 40'“'°0r'
    • Pétetsbourg * (Saint-) Philadelphie *, Amer---. Pic des Açores-" Pifc de Téncriffc * 42-41-55 — 59-56-0-39 55 *55 * 38-35-0-28-15-54 — -t.5i.586r. -5 •lô-—6oc; 2—1-5Ù0Î:. -1-15-28 OC. ....0-34 -48-0 •77-31 -^0-27 .19-52
    • Pife -— - Pondichéry *, Inde - Pôrf-Royal, Acadie Port-Royal, Jamaïque Polliiigen % Bav., obf Prague............ 43-41-30 - 11-53 47 - 45—2-30 — 17-30-0 -47.48-8 - 0.3,-28 or. •5-11-30 or. 4-29-40 oc. -5. .14—0 oc. 0-33-3$ or. ...7-52 •77»37 •67-25 -78-30 -8-24
    • Presbourg Pprtobelo % Amer .... Québec* 50.40-30 -48—8—7 — *9 34-35 .0-49-40 or. -I-O.33 or. .5-28-40 oc. -12-25 T,l
    • 46-55-0--0-13-10 — -4-48-52 oc. "$”21—6 oc. Z",}
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    • AsTRôftôMi* et Géographie. 47
    • NOMS Latitude Différ. des Mérid.
    • VltiES Et LieuR. haut, du Pôle. en Temps. enDeg.
    • Ragufe « -- ••••——— D. M. S. 41.44-0 - H. M. S. 1—3-44 or. Ol8"2<or D. M. -15-5^
    • Ravenne * -—— - Rennes * Reims * —•••——• Rimhii * - Rio-Janéiro *, Amir Rochelle * (la) • Rome*—— - - Roftock * 44-15—5 - 48- 6 45 — 49- 14-36 — 44- 3-43 " “••54 'O A. 46 — 9-43 -4I..53..54- 0 t Xr. -O.16-8 oc. -0—6-51 or. • O-40 44 or. -3-0 aooc. o -14 -13 oc. 0-40-37 or. “9” 19 ....4....! —ï. 43 ..45...:, — 3-56 ..10-9
    • Rbterdam — S'-SS-o - -0-11-26 or.
    • Rouen*— Salt?bourg , Allemag- Saint-Flour * —— Saint-Malo * •••••••••*•••••*•••••• 49-2Ô-43 — 47”34-0 - 48 38 59 .0-4-59 or. -041-30 or. ° ï3 ^9 oc -1-15 ....0-46
    • Saint-Marin , républ 43* 58 -45 - 0-41-0 or. -10-15
    • Saint-Omer * Salé*, Maroc - 50-44-46 — 0-36-24 °oc ZqZ.6
    • Satanique *, Grèce 5 4.-4.... 0 40-41-10 -• 'oVi'llZ' -20-48
    • Schamaki, Peife-.— Schonbrun *, chat, irttp Selingtnsk *, Tan. Rujfe Senlis *- Sens * - - 40-30—0 •••• 48- 11—0 •••• 51... 6—6 — 49- 13—0 - 1-18-40 or. •O SS .5677. .6-57-8 or. •0-0.56 or. .0....1..48 or ..34.40 ••*3*59 104-17 o° 57
    • Séville 48-11-50 37-11-10- 43-10—0 — -0-3Î-M*. ..8—29
    • Siam. Voye^ Juthia. Sienne — •O .36 —4 or.
    • Skalolt, lflande 64.10 - 0 - -1—20—0 OC. -20 — 0
    • Smyrne ¥, Ajic j8.28-.7- ..,..40-0 or.
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    • Récréations Mathématiqvis.
    • *8
    • NOMS Latitude Différ. des Mérid.
    • Villes et Lieux. haut.duPôle. enTemps.
    • D. M. S. H. M. S. ..o—. 3.-56 or. D. M.
    • Soldons 57 *5° •IO-ÎC
    • Stettin, Poméranie Stokholm* 53.. 28—o .... 59.. 20-30.... 52 i '.-11-38
    • 40 ” ..0-16-48 or. -6.42
    • Surate, Inde — Syracufe - 37-4-0.... -4-40-40 or. -70-10 ..6—11
    • Sweuingen oif "2' 58 ^o or
    • . i..eF . n or.
    • Tefflis, Géorgie Perf- Terne fwar, Hongrie Theflalonique *, Grèce Tobolsk *, Sibérie Tolede* ........ 44-42 —-O .... 48-36-.lI... 58 11.-30 .... ..I-50—O or. -i-18-21 or. -1-13.. 11 or. -4-14.10 or. :îî -66-5
    • 39 5«--0- —5..40 .•n-52
    • Toulon * 5-.5O.-5O — -I-. 17-18 or.
    • Touloufe * « 4 2-ï<-<4 -0-14-16 or. ....3-37
    • ..2 c ..SO " -o-h-3i6^ —0-54
    • Tours* 47*-23 "44 . 0—6. nr —3-34
    • 0—o- 35 OC. 8 12
    • Triefte 45-43 -0-... . 0.33-30 or. • 0-42-58 or. -10-49
    • Tripoli de Syrie Turin* , PL du chat— 45 20 ..O-43 — l or. -2-13-44 or. -33-2^
    • Tyrnau *, Hongrie 3 obf- Valence, E/pagne Valence, France 48.-ai.-58.... ..1-O..55 or. —5-20 ..15-14
    • -0-10—0 or. — 1....5;
    • Valladolid —2-30
    • Val-Parayfo *, Chili 34-O..I5- -0-31-50 oc. .•4..38-37 oc. -.7-59 •74-39
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    • Astronomie et Géographie. 10
    • î- ———" NOMS Latitude Différ. des Mérid.
    • Villes et Lieux. haut, du Pôle. en Temps. enDeg.
    • v r D. M. S. H. M. S. D. M. -18-45
    • VpHift * -o-*8-<8 or.
    • Vera-Crux *, (la) Amér— Vérone* — 9 --9-3» -• -6-29-13 oc. -0.35 .54 or. —9-45 -97-*8 ....8-59
    • -0-56-10 or. 0 13
    • Vigo*, Efpagne • Vilna, Pologne—• 42-I3-20 - 54-4,-0 - -0-43-11 oc. -1-33-25 or. -10-47 -23-21
    • Upfal *, 59-5,-50 — -15-15
    • Uranibourg. F.Hled’Huefne Urbin * Ital e — • -10-18
    • Wardhus * 70-22-36 — -0-43—4 or. .1..55—8 or. -28»4<C
    • Wittemberg *, Saxe--—- -0-40-54 or. iu T) ••10-13
    • Wurtzboui g, Franconie -0-31-35 or. ....7-54
    • Ylo *, Pérou - Yorck ,7-36-15 A. -4-54-12 oc. •73"33
    • Zagrab, Croatie Zara, Dalmatie Zunch 46—6—0 — 44-26-40 — ..0-56-5! or. -14-15 -12-50 ....6-56
    • 47-22—0 — -0-27-45 or.
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    • jo Récréations Mathématiques. PROBLÈME IV.
    • Déterminer Vheure quil ejl dans un lieu de la terre ,
    • pendant qu'il ejl une certaine heure dans
    • La folution de ce problème eft le premier ufage qui fe préfente à faire de la table que nous venons de donner ; car fi les deux lieux propofés fe trouvent dans cette table , il n’y aura qu’une fimple addition ou fouftraélion à faire pour déterminer l’heure qu’il eft dans l’un , pendant qu’on a certaine heu je dans l’autre.
    • Si l’un des lieux eft Paris , comme les longitudes font comptées du méridien de cette ville , tant à l’orient qu’à l’occident, il faut confidérer. d’abord de quel côté eft le fécond lieu donné : s’il eft à l’occident, ce que marquent les lettres oc.9 mifes à côté de la différence d’heure, il faudra la fouftraire de l’heure de Paris, & vous aurez celle du fécond lieu.
    • Au contraire, fi le fécond lieu donné eft à l’orient , ce que défigneront les lettres or,, il faudra ajouter cette heure à celle de Paris.
    • On demande, par exemple , quelle heure il eft à Cayenne quand il eft midi à Paris. Cayenne eft occidental à l’égard de Paris , ce qu’on apprendrait , fi on ne le fçavoit pas déjà, par les lettres oc., qu’on voit à côté de la différence de temps, qui eft 5h 38' 20"; ainfi ôtant ce nombre de 12 heures, relieront 8h 21'40" : il n’eft donc encore que 8h 21 ' 40" du matin à Cayenne, quand il eft midi à Paris; & quand il eft midi à Cayenne, il eft à Paris 3h 38' 20" du foir.
    • Qu’on demande maintenant quelle heure il eft 4 Pékin quand il eft midi à Paris. Comme Pékin
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    • Astronomie eî Géographie. 31
    • eft à l’orient , il faudra ajouter à 12 heures ou midi , les 7b 36' 35" qu’on trouve dans la table à côté de Pékin 5 on aura 7h 36' 35" du foir : & au contraire , quand il eft midi à Pékin , il n’eft encore à Paris que 4h 23' 25" du matin.
    • Lorfque les deux lieux donnés font tous deux à l’occident de Paris , comme Madrid & Mexico, il faut chercher les différences d’heures de chacun avec celle de Paris, & ôter la moindre de la plus grande ; le reftant fera la différence d’heures des deux lieux , différence qu’il faudra ôter de l’heure du lieu le plus oriental, par exemple ici Madrid, pour avoir l’heure du plus occidental : ainfi l’on a à côté de Madrid 23' 3", & à côté de Mexico
    • 46' ; la différence eft 6h 22' 57", qu’il faudra ôter de l’heure de Madrid pour avoir celle de Mexico.
    • Si des deux lieux, l’un eft à l’oriept, l’autre à l’occident du méridien de Paris, il faut alors ajouter enfemble les différences de temps de chacun d’eux avec Paris , & la fomme de ces différences fera la différence de temps cherchée entre les deux lieux.
    • Soient propofées / par exemple , les villes de Conftantinople & de Mexico , dont la première eft à l’orient de Paris. La différence en temps de Paris & de Conftantinople eft ih 46' 25" ; celje entre Paris & Mexico eft 6h 46' : la fomme de ces deux nombres eft 8h 32' 25". Telle fera donc la différence des heures qu’on comptera dans le même moment à Conftantinople & à Mexico ; enforte que, quand il fera midi dans le premier de ces lieux, il ne fera qpe 3b 27' 35" dans le dernier ; & quand il fera midi dans celui-ci, il fera déjà 8h 32' 25" du foir à CopftantiRople.
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    • 3î Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME V.
    • Comment deux hommes peuvent être nés le mêmt jour y mourir au même moment, <S* cependant avoir vécu un jour, ou même deux , Vun plus que Vautre.
    • C’est une chofe connue de tous les navigateurs, que fi un vaifleau fait le tour du monde en allant d’orient en occident , lorfqu’il rentrera au port, il fe trouvera compter un jour de moins que ne comptent les habitants de ce port. Cela vient de ce que le vaifleau fuivant le cours du foleil, a fes jours plus longs ; &, fur la totalité des jours comptés dans le voyage, il trouve néceflairement une révolution du foleil de moins.
    • Au contraire, fi on fait le tour de la terre de l’occident à l’orient, comme on va au devant du foleil, les jours font plus courts; & , dans le circuit entier autour de la terre , on compte nécef-fairement une révolution du foleil de plus.
    • Suppofons donc qu’un des jumeaux fe foit embarqué fur un vaifleau faifant le tour de la terre de l’eft à l’oueft, & que l’autre ait refté féden-taire au port ; qu’à l’arrivée du vaifleau , on compte jeudi dans le port, le vaifleau arrivant ne comptera que mercredi, & le jumeau embarqué aura un jour de moins dans fa Vie. S’ils mouroient donc le même jour , quoiqu’ils foient nés à la même heure , l’un feroit plus âgé que l’autre d’un jour.
    • Mais fuppofons à préfent que, tandis que l’un fait le tour de la terre de l’eft à l’oueft , l’autre le fait de l’oueft à l’eft , & qu’ils arrivent le même jour au port où l’on comptera, par exemple, jeudi,
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    • Astronomie et Géographie; 33 le premier comptera mercredi, 6c l’autre comptera vendredi ; ainfi il y aura deux jours de différence entré leurs âges.
    • Au refie il eft aifé de voir qu’ils n’en font pas moins âgés l’un que l’autre, mais que l’un a eu les jours plus longs 6c l’autre plus courts dans fon voyage.
    • Si le dernier arrivoit un mercredi au port, & le premier un vendredi, celui-là compteroit le jour de fon arrivée jeudi ; ce feroit le lendemain un jeudi pour le port ; 6c enfin ce feroit encore le lendemain un jeudi pour les navigateurs arrivants fur le fécond vaiffeau : ce qui feroit, malgré le proverbe populaire, la femaine des trois jeudis.
    • PROBLÈME VI.
    • Trouver lu grandeur du jour, lorfque le foleil ejl dans un degré donné de l'écliptique , 6* pour une latitude donnée.
    • Que le/cercle ABCX repréfente un méridien, PL t » AC l’horizon. Prenez l’arc CE égal à la hauteur %• 3* du pôle du lieu propofé, par exemple , pour Paris, de 480 50'; Ôc ayant tiré DE, menez BF per-\ pendiculaire à ED ; ou bien faites l’arc AF égal au complément de CE, 6c tirez FD : il eft évi-,
    • | dent que ED repréfente le cercle de 6 heures, 6c DF l’équateur.
    • Cela fait, cherchez dans les Ëphémérides la dé-clinaifon du foleil lorfqu’il occupe le degré de l’écliptique propofé ; ou bien déterminez-la par l’opération que nous enfeignerons cbaprès. Je fup-pofe que cette déclinaifon foit boréale: prenez l’arc FM égal à cette déclinaifon, du côté du pôle arétique, 6c par le point M tirez MN parallèle Tome ///. C
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    • 34 Récréations Mathématiquês.
    • à FD , qui rencontrera la ligne DE en O, & l’horizon AC en N. Du point O, comme centre, avec le rayon OM , décrivez un arc de cercle MT, compris entre le point M & NT, parallèle à DE ; vous mefiirerez le nombre des degrés compris dans cet arc ce que vous ferez aifément avec le rapporteur; vous convertirez enfuite ce nombre de degrés en temps, à raifon de ih pour i 50, &c : ce qui en proviendra étant doublé, fera la longueur du jour.
    • - Ainli, s’il étoit queftion du jour où le foleil eft parvenu à fa plus grande déclinaifon boréale , comme elle eft de 230 30', on prendrait FB de 23° 30', & alors on trouverait l’arc BI de no° , ce qui répond à 8h, dont le double eft 16h. Telle eft en effet, à quelques minutes près, la durée du jour à Paris au temps du folftice d’Eté.
    • Si vous n’avez point de table de déclinaifon du foleil pour chaque degré de l’écliptique, vous y fuppléerez de la maniéré fuivante.. Cherchez le nombre de degrés dont le foleil eft éloigné du plus prochain folftice, foit qu’il n’y foit pas encore arrivé, foit qu’il l’ait paffé. Je le fuppofe, par exemple, au 23e degré du Taureau. Le folftice le plus prochain eft celui du Cancer, dont le foleil eft alors éloigné de 370 : tirez la ligne BD, qui repréfente un quart de l’écliptique ; prenez enfuite du point B les arcs BK , Bk, égaux chacun à 370, & tirez KA, qui coupera BD en L , par lequel vous tirerez MN, qui fera la pofition du parallèle cherché.
    • On trouvera fans doute toutes ces chofes plus exa&ement par le calcul trigonométrique ; mais nous croyons devoir renvoyer pour cela aux livres d’aftronomie.
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    • Astrônomiê et Géographie. PROBLÈME VII.
    • Le plus grand jour d’un lieu étant donné, trouver fa latitude.
    • Ce problème eft Pinverfe du précédent, & n’eft pas difficile à réfoudre.
    • Car le plus grand jour arrive , pour tous les lieux PL de la terre, lorfque le fôleil eft au commencement %• du ligne du Cancer. Soit donc, dans la fig. 4, FD, repréfentant l’équateur célefte, ou plutôt Ton diamètre ; BL, celui du tropique du Cancer, fur lequel on décrira le demi - cercle BKL. Faites l’arc BK égal au nombre de degrés répondant à la longueur du demi-jour donné, àraifon de 150 par heure, & tirez KM perpendiculaire à BL ; tirez enfin par M le diamètre NMO : l’angle PCO fera la hauteur du pôle ou la latitude dü lieu.
    • Il feroit facile de tirer de - là la réfolution tri-gonométrique , pour déterminer cette latitude par le calcul ; mais , par la raifon dite plus haut , nous nous bornerons à cette conftruélion graphique.
    • PROBLÈME VIII.
    • Trouver le climat d’un lieu dont la latitude ejl connue.
    • On appelle climat en aftrohomie, l’intervalle de la furface de la terre, compris entre deux parallèles , fous lefquels la différence des plus longs jours eft d’une demi-heure : ainfi les jours d’Eté f fous le parallèle foit feptentrional foit méridional 9 éloigné de l’équateur de 8° 25', étant de 12 h 30', cet intervalle , ou la zone terreftre comprife entre
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    • y6 Récréations Mathématiques.
    • l’équateur & ce parallèle, eft appelle le premier climat.
    • On trouvera donc facilement les limites des différents climats, en cherchant à quelles latitudes les plus grands jours font de i ih j, 13h, 13h {, I4h « problème dont on vient de donner la folution ; & l’on trouvera les climats compris entre les parallèles des latitudes qui fuivent.
    • XV»
    • XVI»
    • XVÜ»
    • XVIII»
    • X1X<= .
    • XX» .
    • XXI» .
    • XXII»
    • XXIII»
    • XXIV»
    • i3 50 36 18
    • 59 5?
    • 61 15
    • 63 zi
    • Lotit, du par. Uplusfept.
    • 8» 15' 16 25
    • 13 50
    • 30 10
    • 36 18
    • 41 11
    • 45 *9
    • 49 21
    • .51 18
    • 56 37
    • 58 29
    • 59 5*
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    • Astronomie et Géographie. 37
    • Comme au cercle polaire le plus grand jour eft de 14 heures , & qu’au pôle il eft de 6 mois , on a établi fîx climats de ce cercle au pôle.
    • Latit. du paratl le plus mérid.
    • XXVe Climat. . 66° 31'
    • XXVIe ... 67 30
    • XXVIIe . . . 69 30
    • XXVIIIe ... 73 20
    • XXIXe ... 78 20
    • XXXe ... 84 00
    • Ainfi, fi l’on demandoit dans quel climat eft Paris , il feroit facile de répondre, qu’il eft dans, le neuvième, fa latitude étant de 490 50', & fes~ plus longs jours de i6h 4'.
    • Remarque.
    • Toute cette confîdération de climats eft de l’ancienne aftronomie ; mais l’aftronomie moderne ne tient aucun compte de cette divifion , qui manque en grande partie de' juftefle, à caufe des réfractions ; car en y ayant égard , comme on le doit, quoi qu’en dife M. Ozanam, on trouvera que, fous le cercle polaire, fera le plus grand jour, au lieu d’être de 24 heures , & eft réellement de plufieurs fois 24 heures ; car la réfraction horizontale y élevant le centre du foleil au moins de 32', le. centre de cet aftre ne do.it pas s’y coucher depuis le 9 Juin jufqu’au 3 ou 4 Juillet, & le bord fupérieur depuis le 6 Juin jufqu’au 6 Juillet ; ce qui fait un mois entier, pendant lequel on ne perd pas le foleil de vue,.
    • C iij
    • Latit. du par; le plus fept.
    • 67o 30'
    • . 6, 30
    • • 75 »o
    • . 78 20
    • . 84 OO
    • . 90 OO
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    • jg Récréations Mathématiques,
    • PROBLÈME IX.
    • Mefurcr la grandeur d'un degré (Tun grand cercle de la terre , & la terre elle-même.
    • Une multitude de phénomènes aftronomiques prouvent la rondeur de la terre , c*eft-à-dire qu’elle eft un globe, ou d’une forme très-approchante. Nous croyons fuperflu de rapporter ici ces preuves, qui doivent être connues de tous ceux qui ont quelque teinture de phylique & de mathématiques. Ce livre n’eft pas fait pour les autres.
    • Nous fuppoferons donc ici d’abord la terre parfaitement fphérique, telle qu’elle eft fenfiblement, & nous commencerons par raifonner d’après cette fuppofition.
    • Ce qu’on appelle un degré d’un méridien de la terre, n’eft autre chofe que la diftance qu’il y a entre deux obfervateurs dont les zénith font éloignés entr’eux de la quantité d’un degré, ou la dif-tance géométrique entre deux lieux fous un même méridien, dont la latitude ou la hauteur du pôle différé d’un degré : c’eft pourquoi , lî quelqu’un parcourt un méridien de la terre, en mefurant le chemin qu’il fait, il aura parcouru un degré quand il aura changé fa latitude d’un degré, ou quand une étoile voifine de fon zénith, dans fa première ftation , s’en fera approchée ou éloignée d’un degré.
    • Il n’eft donc queftion que de choifir deux lieux fîtués fous un même méridien, dont on connoît exaélement les diftances & les latitudes ; car , ôtant la plus petite de ces latitudes de la plus grande, on aura l’arç du méridien compris entre
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    • Astronomie et Géographie. 39
    • ces deux lieux : ainfi l’on fçaura qu’à un certain nombre de degrés & minutes, répond une certaine quantité de toifes. Il n’y a donc qu'à faire cette proportion : comme ce nombre de degrés & de minutes eft à ce nombre de toifés, ainfi un degré à un quatrième nombre , qui fera celui des toifes répondant à un degré.
    • Mais comme on commence par choifir fes Hâtions , qui peuvent n’être pas précisément fous le même méridien , mais feulement à peu près, comme Paris & Amiens, on mefure géométriquement la difiance méridienne entre leurs deux parallèles ; & connoiflant cette diftance , ainfi que la différence de latitude des deux endroits , il n’y a qu’à faire une proportion femblable à la précédente , & l’on a la quantité de toifes qui répond à un degré.
    • C’eft ainfi que M. Picard opéra pour déterminer la grandeur du degré terreftre aux environs de Paris. Il mefura, par une fuite d’opérations trigonométriques, la diftance, du pavillon de Mal-voifine, au fud de Paris, jufqu’au clocher de la cathédrale d’Amiens, en la réduifant au méridien, & la trouva de 78907 toifes. Il trouva d’ailleurs , par les obfervations aftronomiques, que la cathédrale d’Amiens étoit plus nord que le pavillon de Malvoifine de i° 22' 58". Faifant donc cette réglé de trois : comme i° 22' 58" font à un degré, ainfi 78907 toifes font à 57057, il en conclut que ce degré étoit de 57057 toifes.
    • On a depuis re&ifié en quelques points la mefure de M. Picard, & l’on a trouvé ce degré de 57070 toifes.
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    • 46 Récréations Mathématiques. Corollaires.
    • I. Ainfi, en fuppofant la terre fphérique, fa circonférence fera de 10545200 toifes.
    • II. On trouvera aifément fon diamètre , en fai-fant cette proportion : comme la circonférence du cercle eftau diamètre, ou comme 314159 éft à 100000, ainfi le nombre ci-deffus à un quatrième , qui eft 6530196 toifes : ce fera la grandeur du diamètre de la terre.
    • III. On auroit fa furface, en la fuppofant unie comme celle de la mer dans un temps calme, on l’auroit, dis-je , de 134164182859200 toifes quafrées ; fqavoir, en multipliant la circonférence par la moitié du rayon, & enfuite quadruplant le produit, ou plus brièvement multipliant la circonférence par deux fois le rayon.
    • IV. On auroit enfin fa folidité, en multipliant la furface trouvée ci-deffus par le tiers du rayon; ce qui donneroit 146019735041736067200 toifes cubes.
    • Remarque.
    • L’opération faite par M. Picard entre Paris & Amiens, a depuis été continuée dans toute l’étendue du royaume, foit au nord, fo.it an fud, depuis Dunkerque, dont l’élévation du pôle eft de 5 Ie? z' zj", juiqu’à Collioure, dont la latitude eft de 420 31' 16" : ainfi la diftance de leurs parallèles eft de 8° 31' 11". Or on trouvoit en même temps, pour la diftance de ces parallèles mefurés en toifes, 486058, ce qui donne pour le degré moyen, dans l’étendue de la France, 57051 toifes ; mais des correétions poftériçures Vtmt réduit à 57038 toifes*
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    • Astronomie et Géographie. 41
    • Dans cette opération, on a eu l’attention dëdéterminer la diftance de la méridienne, qui eft celle de l’Obfervatoire de Paris, avec les lieux principaux entre lefquels elle pafte. Il paroîtra peut-être curieux à quelques-uns de nos lefteurs de les connoître. En voici une table, dont la première colonne contient les noms des lieux dont on vient de parler. Dans la fécondé on voit le nombre des toifes dont ils font éloignés de la méridienne, & la troifieme marque de quel côté ils font fitués , à l’eft ou à l’oueft. On a marqué fur la méridienne , par un pilier, l’endroit où elle eft rencontrée par la perpendiculaire tirée fur elle du clocher de la cathédrale de Bourges.
    • TABLE des Lieux de la France les plus voijîns de la Méridienne de VObfervatoire de Paris.
    • Fort de Revers .... no6T-Eft. Dunkerque . . . . . . 1414 Eft.
    • Saint-Omer .............3011 Eft.
    • Dpurlens...........................Oueft.
    • Villers-Boccage..................580 Oueft.
    • Amiens.........................1151 Oueft.
    • Sourdon........................2341 Eft.
    • Saint-Denis........................Eft.
    • Montmartre. . O
    • Lay . . Juvify . .
    • Orléans Bourges Saint-Sauvier
    • 1350 Eft. 16396 Oueft. 1358 Eft. 345 Oueft.
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    • 4i Récréations mathématiques.
    • Mauriac................ 381 Oueft.
    • Rhodez......................9528 Eft.
    • Alby........................8316 Oueft.
    • Caftres.....................3911 Oueft.
    • Carcaflfone . . '............246 Eft.
    • Perpignan.............. .23461 Eft.
    • Sommet du Canigou .... 4664 Eft.
    • De-là la méridienne de Paris, prolongée au fud , entre dans l’Efpagne , laiflant Gironne à l’orient, à environ y de degré de diftance , pafle à 2 ou 3000 toifes à l’eft de Barcelone, traverfe Pille de Majorque fort près & à l’eft de cette ville , entre en Afrique laiflant Alger à 7 minutes de degré à l’eft. Nous ne la fuivrons pas davantage à travers des peuples & des pays inconnus. Elle fort de l’Afrique dans le royaume d’Ardra.
    • PROBLÈME X.
    • De la vraie Figure de la Terre.
    • Nous avons dit que divers phénomènes aftro-nomiques & phyfiques prouvent la rondeur de la terre; mais ils ne prouvënt pas qu’elle foit un globe parfait. On n’a pas plutôt fait ufage de méthodes bien précifes pour la mefurer, qu’on a commencé à douter de fa fphéricité parfaite. Enfin il eft aujourd’hui démontré que notre habitation eft applatie par les pôles, & relevée fous l’équateur, c’eft-à-dire que fa coupe, par fon axe, au lieu d’être un cercle, eft une figure approchante ' de l’ellipfe, dont le moindre axe eft celui delà terre , ou la diftance d’un pôle à l’autre ; & le plus grand, le diamètre de l’équateur. C’eft Ne v ton
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    • Astronomie et GIogràphïe. 43
    • & Huygens qui les premiers ont établi cette vérité fur des raifonnements phyfiquês, tirés de la force centrifuge & de la rotation de la terre ; & les obfervations agronomiques, faites il n’y a pas encore quarante ans, y ont mis le dernier fceau. Le raifonnement de Huygens & Newton étoit celui-ci. En fuppofant la terre primitivement fphé-rique & immobile, ce feroit un globe couvert d’eau dans une grande partie de fa furface. Or il eft démontré aujourd’hui que la terre a un mouvement de révolution autour de fon axe. Tout le monde fçait d’ailleurs que l’effet du mouvement circulaire eft d’écarter les corps circulans du centre du mouvement : ainfi les eaux qui feront fous i’équateur perdront une partie de leur pefanteur , & il faudra qu’elles s’élèvent à une plus grande hauteur, pour regagner par cette hauteur la force néceffaire pour contre-balancer les colonnes latérales étendues jufqu’aux autres points de la terre, où la force centrifuge qui contre-balance la pefanteur , eft moindre , & agit moins directement. Les eaux de l’océan s’élèveront donc fous l’équateur, aufli-tôt que la terre, fuppofée d’abord immobile, prendra un mouvement de rotation autour de fon axe : les parties voifines de l’équateur, s’élèveront un peu moins , & celles du voiftnage du pôle s’affaifferont ; car la colonne polaire , n’éprouvant aucun effet de la force centrifuge, fe trouvera la plus pefante de toutes.
    • On ne pourroit guere infirmer ce raifonnement, qu’en fuppofant que le noyau de la terre fût d’une forme allongée, ou en fuppofant dans fon intérieur une contexture finguliere, & adaptée exprès à produire cet effet ; ce qui n’a aucune probabilité,
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    • 44 Récréations Mathématiques.
    • On s’eft cependant obftiné pendant quelque temps dans le Continent à ne pas admettre cette vérité. On fe fondoit principalement fur la me-fure des degrés du méridien exécutée en France , par laquelle il paroifloit que ce degré étoit moindre dans la partie feptentrionale de la France, que dans la partie méridionale : il en réfulteroit en effet pour la terre une figure de fphéroïde allongé par les pôles, & voici comment.
    • Si la terre étoit parfaitement fphérique, il fau-droit s’avancer également fous un méridien, pour que la hauteur du pôle parût varier également. Si s’avançant de Paris vers le nord , par exemple , de 57070 toifes, la hauteur du pôle varie d’un degré , il faudrait s’avancer encore de 57070 toifes au nord, pour que la hauteur du pôle augmentât de nouveau d’un degré ; & ainfi dans toute la circonférence d’un méridien. Donc , s’il arrive qu’à mefure qu’on avance vers le nord, il faille faire plus de chemin pour un changement de latitude d’un degré , il en faudra conclure que la terre n’eft pas fphérique , mais qu’elle eft plus applatie, moins courbe vers le nord ; que cette courbure enfin va en diminuant à mefure qu’on approche du pôle ; ce qui eft le propre d’une ellipfe dont les pôles de rotation feraient aux extrémités du petit axe. Dans le cas contraire , ce feroit une preuve que la courbure de la terre diminue, qu’elle s’applatit à mefure qu’on marche vers l’équateur ; ce qui conviendrait à un corps formé par la révolution d’une ellipfe tournant autour de fon grand axe.
    • Or on crut d’abord trouver en France, que les degrés du méridien croifloient à mefure qu’on s’avançoit vers le midi. Le degré mefuré aux ei>
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    • Astronomie et Géographie* 45
    • virons de Coilioure -, terme auftral de la méridienne, paroiffoit de 57192 toifes ; celui des environs de Dunkerque, le plus feptentrional, paroiffoit feulement de 56944 toifes. On avoit rai-fon d’ep conclure que la forme de la terre étoit un fphéroïde allongé, ou formé par la révolution d’une ellipfe autour de fon grand axe.
    • Ceux qui étoient partifans de la philofophie Newtonienne, trop peu connue alors en France , répondoient que ces obfervations ne prouvoient rien, parceque cette différence étoit trop peu coa-lidérable pour qu’on ne pût l’imputer aux erreurs inévitables des obfervations. En effet, 19 toifes répondent à environ une fécondé: ainfi les 238 toifes de différence ne faifoient qu’environ 12 fécond es, dont il eft aifé de fe tromper par bien des caufes : ils prétendoient même que cette différence pouvoit être en fens contraire.
    • On propofa alors , pour décider la contefta-tion , de mefurer deux degrés les plus éloignés qu’il fût poffible, un fous l’équateur, & un autre le plus près du pôle qu’il fe pourroit. Pour cet effet, MM. de Maupertuis, Camus, Clairaut, furent envoyés en 173 5, par le Roi, fous le cercle polaire arctique, au fond du golphe de Bothnie , pour y mefurer un degré du méridien. MM. Bou-guer, Godin , de la Condamine, furent envoyés dans le voifinage de l’équateur, & y mefurerent non feulement undegré du méridien, mais prefque trois. Il réfulta de ces mefures, faites avec des attentions dont on n’avoit point encore eu d’exemple , que le degré voifin du cercle polaire étoit de 57422 toifes, & que le degré voifîn de l’équateur en contenoit 56750; ce qui fait une différence de 672 toifes, différence trop confidérable
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    • 46 Récréations Mathématiques. pour pouvoir être imputée aux erreurs néceffaires des obfervations. Il a refté depuis ce temps incon-teftable que la terre étoit applatie par les pôles, ainfi que Newton & Huygens l’avoierrt avancé. Ajoutons ici que les mefures anciennement prifes en France ayant été réitérées , on reconnut que le degré alloit en croiffant du midi au nord, comme cela doit être dans le cas du fphéroïde
    • ^Plufieurs autres mefures du méridien, faites en différents lieux de la terre , ont depuis confirmé cette vérité. M. l’abbé de la Caille ayant mefuré un degré au cap de Bonne-Efpérance, c’eft-à-dire fous la latitude auftrale d’environ 3 3 degrés , l’a trouvé de 57037 toifes. Les PP. Mairé & Bofco-vich, Jéfuites, mefurerent en 1755 un degré du méridien en Italie , fous la latitude de 43 degrés , & ils le trouvèrent de 56979 toifes : ainfi il eft confiant que les degrés des méridiens terreftres vont en croiflant depuis l’équateur au pôle, & que la terre a la forme d’un fphéroïde applati.
    • Il y a eu même depuis quelque temps de nouvelles mefures de degrés terreftres, telle eft celle de M. l’abbé Liefganic , faite en Allemagne près de Vienne ; celle du P. Beccaria, dans la Lombardie ; & celle de MM. Mafon & Dixon, de la Société royale de Londres, faite dans l’Amérique feptentrionale. Ils confirment la diminution des degrés terreftres , en approchant de l’équateur, quoiqu’avec des inégalités difficiles à concilier avec une figure régulière. Au furplus, pourquoi la terre auroit-elle une figure d’une parfaite régularité ?
    • Il eft du refte impoffible de déterminer précifé-ment quel eft le rapport de l’axe de la terre avec
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    • Astronomie et Géographie. 47
    • le diamètre de l’équateur : il eft démontré que le premier eft le plus court ; mais la détermination de Ton rapport précis exigeroit des obfervations qu’on ne pourroit faire qu’au pôle. Néanmoins le rapport le plus probable eft celui de 177 à 178.
    • Ainfi,en fuppofantcerapport, l’axe de-la terre d’un pôle à l’autre, feroit de 6525576 toifes, & le diamètre de l’équateur, de 6562026.
    • L’excès enfin de la diftance d’un point de l’équateur au niveau de la mer, jufqu’au centre de la terre, fur la diftance du pôle à ce même centre , fera de 18325 toifes, ou environ 8 lieues.
    • Corollaires.
    • I. Il fuit de ce qu’on vient de dire, plufieurs vérités curieufes ; la première eft que tous Us corps , à Vexception de ceux placés fous Véquateur & les pôles, ne tendent point au centre de la terre; car la figure circulaire eft la feule qui foit telle, que toutes les perpendiculaires à fa circonférence tendent au même point. .Dans les autres, dont la courbure varie continuellement, comme font les méridiens de la terre, ces perpendiculaires à la courbe paffent toutes par des points différents de l’axe. -
    • II. L’exhaulTement des eaux fous l’équateur, & leur affaiffement fous les pôles , étant les effets de la rotation de la terre fur fon axe , il eft aifé de concevoir que fi ce mouvement de rotation s’ac-céléroit, l’exhauffement des eaux fous l’équateur augmenteroit ; & comme la terre folide a pris , depuis fa création, une confiftancequi neluiper-mettroit pas de fe prêter elle-même à un exhauf-fement femblable, celui des eaux pourroit devenir tel que toutes les terres placées fous l’équateur
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    • $ Récréations Mathématiques. feVoient fubmergées , & les mers polaires , fï elles-ne font pas exceffivement profondes , feroient mifes à fec.
    • Au contraire, fi le mouvement diurne de la terre s’anéantiffoit ou fë rallentiffoit, les eaux accumulées & foutenues aéluellement par la force centrifuge fous l’équateur, retomberoient vers les pôles, & noieroient toutes les parties feptentrio-nales de la terre ; il fe formeroit de nouvelles ifies , de nouveaux continents dans la zône torride, par l’afFaifTement des eaux, qui laifferoient de nouvelles terres à découvert.
    • Remarque.
    • Nous ne pouvons nous empêcher de remarquer ici un avantage dont, en ce cas , jouiroit la France, ainfi que tous les pays où la latitude moyenne eft de 45 degrés environ : c’eft que fi pareille cataftrophe arrivoit, ces pays feroient à l’abri de l’inondation, parcequele fphéroïde , qui eft a&uellement la vraie figure de la terre, & le globe ou le fphéroïde moins applati dans lequel elle fe changeroit, auroient leur interfeéiion vers le 45e degré : ainfi la mer ne s’éleveroit point dans cette latitude.
    • PROBLÈME XI.
    • Déterminer la grandeur d’un degré (Tun petit cercle propofé , ou Sun parallèle.
    • Comme l’excès du grand fur le petit diamètre de la terre, ne va pas à une cent cinquantième, dans ce problème & dans les fuivants nous la confidé-rerons comme abfolument fphérique, d’autant plus que la folution de ces problèmes , en regardant
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    • Astronomie et Géographie. 49 la terre comme un fphéroïde, entraîneroit des difficultés qui ne font pas compatibles, avec l’objet de ce livre-ci.
    • Soit donc propofé de déterminer combien de lieues, combien de toifes vaut le degré du parallèle paffant par Paris, c’eft-à-dire le parallèle du 48e degré 50 minutes ; vous le ferez ou géométriquement , ou par le calcul, des deux maniérés Vivantes;
    • i° Prenez une ligne AB, que vdus diviferez en PL i 57 parties égales , parceque le degré du méridien % S* eft de 57000 toifes , où bien vous la diviferez en 25 parties , qui repréfenteront des lieues de 25 au degré; du point A, comme centre, décrivez par l’autre extrémité B l’arc BC * que vous ferez de 48° 50', & du point C menez CD perpendiculaire à AB : la partie AD indiquera le nombre de mille toifes, ou le nombre de lieues de 25 au degré , contenu dans le degré du parallèle de 48°
    • 50', Vivant qu’on aura exécuté la première ou la fécondé divifion.
    • Cela fe trouvera plus exa&ement par le calcul trigonométrique ; il ne faut pour cela que faire la
    • réglé de proportion Vivante.
    • Comme, le Jinus total . . . . i iôoooo
    • au Jinus de complément de la latitude, lequel
    • ejl ici de 40° io?,................. . 64500
    • Ainjî la quantité dé toifes contenues dans
    • le degré du méridien*.................. 57060
    • a un quatrième terme , qui fera . . i . 36805
    • Tome III\ O
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    • yo Récréations Mathématiques.
    • Ou bien,
    • Comme le premier de ces termes . . 100000
    • ejl au fécond............................64500
    • Ainfi le nombre des lieues moyennes contenues dans le degré du méridien, . . . 25
    • à un quatrième termey qui fera . . . . l6j
    • Ainfi le degré du parallèle de Paris contient
    • 36803 toifes, ou 16 lieues moyennes &
    • Il eft aifé de fe démontrer cette réglé , en fai-fant attention que les circonférences des deux cercles, ou les degrés de ces mêmes cercles, font dans le rapport de leurs rayons. Or le rayon du parallèle de Paris, eft le finus de la diftance de Paris au pôle, ou le finus de complément de fa latitude ; tandis que le rayon de.la, terre ou de l’équateur eft le finus total : d’où il fuit évidemment la réglé ci-deffus.
    • 3. Si l’on veut avoir la grandeur de la circonférence du parallèle, il n’y a qu’à multiplier la grandeur trouvée du degré par 360 ;on aura cette circonférence: ainfi le degré du parallèle de Paris ayant été trouvé de 36803 toifes , il faudra multiplier ce nombre par 360, & l’on aura 13249080 toiles pour la circonférence entière de ce cercle.
    • PROBLÈME XII.
    • Trouver la dijlance de deux lieux prapofls de la terre y dont on connoît les longitudes & les latitudes.
    • Nous devons d’abord remarquer que la diftance de deux lieux fur la furface de la terre, fe doit mefurer par l’arc de grand cercle qu’ils intercep-
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    • Astronomie èt Géographie, jî
    • tént : ainfi deux lieux qui font fous le même parallèle , n’ont pas pour diftance l’arc du parallèle intercepté entr’eux (a) , mais un arc de grand cercle ; car c’eft fur la furface de la fphere le plus court chemin d’un point à l’autre, comme fur la furface plane c’eft la ligne droite.
    • Cela remarqué , il eft aifé de voir que ce problème eft fufceptible de bien des cas : car les deux lieux propofés peuvent, ou être fous le même méridien, c’eft-à-dire avoir la même longitude , mais différentes latitudes; ou avoir même latitude, c’eft - à - dire être fous l’équateur , ou fous un même parallèle ; ou enfin avoir différentes longitudes & différentes latitudes : ce qui fe fubdivife aufli en deux cas, fçavoir, celui où les deux lieux font dans le même hémifphere, & celui où l’un eft dans l’hémifphere boréal, tandis que l’autre eft dans l’auftral. Mais nous nous bornerons à la folu-tion du feul cas qui ait quelque difficulté.
    • Car il eft aifé de voir que fi les deux lieux font fous un même méridien , l’arc qui mefure leur dif-ftanceeft la différence de leurs latitudes, s’ils font dans un même hémifphere ; ou la fournie de ces latitudes, s’ils font dans des hémifpheres différents. Il n’y a donc qu’à réduire cet arc en lieues , en milles ou en toiles, & l’on aura la diftance des deux lieux en pareille mefure.
    • Si les deux endroits propofés font fous l’équateur , il eft pareillement aifé de déterminer l’amplitude de l’arc qui les lepare, & de le réduire en lieues , en milles , &c.
    • Suppofons donc, ce qui eft le feul cas ayant
    • (a) C’eft en quoi s’eft trompé M. Ozanam, & plufieurs
    • Dij
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    • 52 Récréations Mathématiques. quelque difficulté , les deux lieux propofés différents tant en longitude qu’en latitude, Paris & Conftantinople , par exemple , dont le premier eft plus occidental que le fécond de 290 30% &‘plus feptentrional de 70 45'. On imaginera un grand cercle paffant par ces deux villes , & l’on trouvera la grandeur de l’arc compris par la conf-tru&ion géométrique qui fuit.
    • PI. T Décrivez du centre A, avec une ouverture de fig. 6, compas prife à volonté, le demi-cercle BCDE, n° *• qui repréfentera le méridien de Paris. Soit pris l’arc BF, de 48° 51', qui eft la latitude de Paris, pour avoir fon lieu en F; tirez le rayon AF.
    • Soient pris fur le même demi - cercle les arcs BC, ED , chacun de 410 6', latitude de Conftantinople ; la ligne CD fera le paraliele de Conftantinople , dpnt vous trouverez le lieu en cette forte.
    • Sur CD, comme diamètre, foit décrit le demi-cercle CGD , fur la circonférence duquel vous prendrez l’arc CG égal à' la différence des- longitudes de Paris & Conftantinople, ou de 290 30'; du point G menez GH perpendiculaire à CD , pour avoir en H la projection du lieu de Conftantinople ; du point H tirez HI perpendiculaire à AF, & terminée en I par l’arc BCDE : l’arc FI étant mefuré , donnera en degrés & minutes la diftance cherchée. Elle eft ici de près de 22 degrés.
    • Si l’un des lieux étoit de l’autre côté de l’équateur, comme eft, par exemple, à l’égard de Paris la ville de Fernambouc au Brélîl, qui a 70 30' de Fig. 6, latitude méridionale, il auroit fallu prendre l’arc n° BC , de l’autre côté du diamètre BE , égal à la latitude du fécond lieu donné, c*eft-à-dire ici de 7° 30'; & comme la différence de longitude de
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    • Astronomie et Géographie. 53 Paris & Fernambouc eft 44° 15 il fàudroit prendre l’arc CG de 440 15': on trouvera l’arc F î de 70° ; ce qui, réduits en lieue de 25 au degré, en donné 1750 pour la diftance de Paris à cette ville du Brélil.
    • Remarque.
    • LORSQUE la diftance des deux lieux n’eft pas conftdérable, comme celle de Lyon à Geneve, ville plus feptentrionale que Lyon de 36' feulement , & plus orientale de 6' de temps, qui valent fous l’équateur i° 30', on peut abréger beaucoup le calcul.
    • Prenez en effet la latitude moyenne des deux lieux, elle eft ici de 46° 4'; & cherchez par le problème précédent la grandeur du degré du parallèle paflant par cette latitude. Nous trouvons qu’elle eft de 17 de lieues, dont il y en a 25 au degré d’un grand cercle : ainfi la différence de longitude étant de 1® 30', cela fait fur ce parallèle 26 lieues & D’un autre côté, lenombre des lieues répondant à la différence de latitude, eft 15.
    • C’eft pourquoi imaginez un triangle re&angle, dont un des côtés autour de l’angle droit eft de 15 lieues, & l’autre de 26 ; l’hypothénufe fe
    • trouvera , par le calcul ordinaire, être de 30 lieues & T0Ô06 f & ce fera la diftance de Lyon à Geneve en ligne droite.
    • C’eft ici naturellement le lieu de faire connoître les mefures dont fe fervent les différents peuples pour mefurer les diftances itinéraires ; & ce fera probablement une chofe agréable pour nos lecteurs, car il n’eft pas aifé de raffembler ces mefures de comparaifon. Nous y avons joint, par cette même raifon , les mefures itinéraires des
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    • 54 Récréations Mathématiques,
    • peuples anciens. Toutes ces mesures font réduites à notre toife de Paris.
    • TABLE DES MESURES ITINÉRAIRES anciennes & modernes. Ancienne Grèce.
    • Toifes,
    • Le Stade Olympique.......• . . 94^
    • Autre Stade moindre ....... 757
    • Autre moindre.................joÿ
    • Egypte.
    • Le Schæne ........., . , . 3024
    • Perse.
    • La Parafange ou Farfang ..... 2268 Empire Romain.
    • Le Mille, (Milliard)..........756
    • Judée.
    • Stade ou Rez .......... 76
    • Mille ou Berath . . .........5697
    • Ancienne Gaule.
    • La Lieue, (Leug) . . . . . . , 1134
    • Germanie.
    • La Lieue, (Rafi).............2268
    • Arabie,
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    • r r r
    • Astronomie et Géographie. 55
    • France.
    • Toiles.
    • Le Mille ............................1000
    • petite Lieue de 30 au degré . . . 1901
    • Lieue moyenne de 15.........1183
    • grande Lieue de ïo, ou Marine . . 1853
    • Allemagne.
    • Le Mille de 11 j au degré........45 3 6
    • Autre de 15 au degré...........3800
    • SUEDE.
    • Le Mille.......................54»3
    • Danemarck.
    • Le Mille....................... 393°
    • Angleterre.
    • Le Mille ; il eft de 1760 verges angloifes ,
    • qui font...........................816
    • £ co SSE.
    • Le Mille........................”47
    • Irlande.
    • Le Mille..............................
    • Espagne.
    • La Lieue Légale, de 5000 vares . . . ”47
    • La (.ieue commune, (174au degré) . . 3161
    • Italie.
    • Le Mille Romain.................768
    • Le Mille Lombard...............8484
    • Le Mille Vénitien...............991
    • D iv
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    • 56 Récréations Mathématiques,
    • Pologne.
    • Toifes,
    • La Lieue . . . . , . , , 2.8 5 o
    • Russie.
    • La Verfte ancienne....... . 656
    • La Verfte moderne.........547
    • Turquie.
    • L’Agash .......... 2536
    • Indes.
    • Le petit CofT ......... 1342
    • Le grand CoflT ...........1541
    • Le Gau , (côte dç Malabar) .... 6000
    • Le Nari ou Nali , (ibid.).900
    • Chine.
    • Le Li aéluel..........., 295
    • Le Pu, égal à 10 Lis ...... 2950
    • Nous avons tiré toutes ces évaluations du livre de M. Danville, intitulé, Traité des Mefures itinéraires anciennes & modernes, Vans, 1768, in-8°, Imprim.- royale : c’eft un ouvrage où cette matière eft traitée avec une fagacité & une érudition peu communes ; enforte que, dans l’incertitude où l’on eft encore fur les rapports précis de plu-fieurs de ces mefures aux nôtres , les évaluations données par M. Danville font certainement ce qu’il y a -de plus probable & de mieux fondé. Je me fuis , par cette raifon , écarté en bien des points de celles qu’a données M. Chriftiani, dans jfon livre delle Mifure d’ognL généré, antu.kc h
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    • Astronomie et Géographie. 57 moderne. Cet ouvrage eft eftimable & fort bon à plufieurs égards, mais il s’en faut bien que la matière y foit difeutée aufli profondément que dans celui de M. Danville. Si donc quelqu’un s’ap-puyoit de cette autorité, ou contredifoit par d’autres motifs quelques-unes des déterminations cj-deflus, il me permettra d,e le renvoyer à l’ouvrage .de l’académicien François.
    • PROBLÈME XIII.
    • Repréfenter le globe terrejlre en plan.
    • I-iA carte qui repréfente toute la furface du globe terreftre fur une furface plate, fe nomme planU fphere, mappemonde, 6c carte générale du globe terrejlre.
    • On repréfente ordinairement cette carte en deux hémifpheres, parce que le globe artificiel re-préfentant le globe terreftre , ne peut être vu d’un feul afpeêfc ; ainfi l’on efl: contraint de le repréfenter en plan par deux moitiés, dont chacune eft appel-lée hémifphere. Il y a trois maniérés dé le décrire ainfi.
    • La première efl: de le repréfenter divifé par le plan du premier méridien en deux hémifpheres, l’un oriental, l’autre occidental. Cette forme de mappemonde efl: la plus ordinaire, pareequ’elîe préfente dans un de fes hémifpheres l’ancien continent , & tout le nouveau dans l’autre.
    • La fécondé eft de repréfenter le globe divifé par l’équateur en deux hémifpheres, l’un fepten-trional, l’autre méridional. Cette repréfentation a fes avantages dans quelques cas ; on y voit mieux, par exemple , la difpofition des terres les plus feptentrionales & les plus auftrales, On vient de
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    • Récréations Mathématiques;
    • publier une carte de ce genre pour rhémifphere auftral, dans laquelle oh voit les routes & lès. découvertes de nos navigateurs modernes dans la mer du fud.
    • • La troifieme confifte à faire voir le globe ter-reftre divifé par l’horizon en deux hémifpheres, l’un fupérieur, l’autre inférieur, par rapport à chaque pofition.
    • Cette difpofition a encore fes avantages dans certaines circonftances. On y voit mieux la difi-pofition des différentes parties de la terre, relativement au lieu propofé ; nombre de problèmes géographiques fe réfolvent par-là beaucoup plus aifément.
    • Le P. Chryfologue, de Gy en Franche-Comté, capucin, a publié depuis peu deux hémifpheres femblables, de l’un defquels Paris occupe le centre ; & il a donné une explication des divers ufages de cette manière de repréfenter le globe terreftre.
    • On peut fe fervir de deux méthodes pour ces repréfentations.
    • L’une fuppofe le globe vu par dehors , & tel qu’il paroîtroit apperçu d’une diftance infinie.
    • Suivant l’autre, on confidere chaque hémifphere du côté concave, & comme fi l’œil étoit placé au bout du diamètre central ou au pôle de l’hémi-fphere oppofé, & on le conçoit projeté fur le plan de fa bafe. De-là naiffent diverfes propriétés de^ces repréfentations, que nous allons faire con-noître.
    • Lorfqu’on reprefente le globe vu du côté convexe, & partagé en deux hémifpheres par le plan du premier méridien, on fuppofel’œil à une diftance infi*
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    • Astronomie et Géographie. 59
    • nie vis-à-vis le point où l’équateur & le 90e méridien fe coupent l’un l’autre. Tous les méridiens font alors repréfentés par des ellipfes, hors le premier, qui l’eft par un cercle, & le 90e, qui l’eft par une ligne droite ; les parallèles enfin font repréfentés par des lignes droites. Il y a dans cettç rçprélèn-' tation un grand défaut, fqavoir^qué lëfÿàrties qui avoifinent le premier méridien font fort rétrécies , à caufe de l’obliquité fous laquelle elles fe préfentent.
    • Il arrive le contraire , lorfqu’on repréfente les deux hémifpheres par la fécondé méthode, c’eft-à-dire vus du côté concave, ôt projetés fur le plan du méridien. On fuppofè, pour l’hémifphere oriental, que l’œil eft placé à l’extrémité du diamètre qui paffe par la fe&ion du 90e méridien & de l’équateur. Il y a alors plus d’égalité entre les diftances des méridiens, & même les parties de la terre qui font au milieu de la carte font un peu plus ferrées que vers les bords. D’ailleurs, tous les méridiens & les parallèles font repréfentés par des arcs de cercle, ce qui eft fort commode pour la defcrip-tion de la carte. 11 y a feulement cet inconvénient, que les 'parties de la terre paroiffent tout autrement que vues par dehors. L’Afie, par exemple , paroît à la gauche , & l’Europe à la droite ; mais on y remédie facilement, au moyen d’une contre-épreuve.
    • II.
    • Si l’on veut repréfenter le globe de la terre projeté fur le plan de l’équateur, on peut, félon la première méthode, fuppofer l’œil à une diftance infinie dans l’axe prolongé : le pôle occupera alors Je centre de la carte; les parallèles feront des
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    • 6o Récréations Mathématiques.
    • cercles concentriques, & les méridiens des lignes droites. Mais il y aura encore ici le défaut, que les parties de la terre, voifines de l’équateur, feront fort refferrées.
    • .C’eft pourquoi il vaudra mieux recourir à la deuxieme méthode, qui fuppofe l’hémifphere boréal vu p^: un oeil placé au pôle auftral, & vice versa ; ôï. comme il y aura ici un renverfement relatif de pofition des lieux, on y remédiera aufli par la contre-épreuve.
    • III.
    • Si l’on fuppofe un œil au zénith d’un lieu déterminé , de Paris , par exemple, & à une diftance infinie, on aura fur le plan de l’horizon une re-préfentation de l’hémifphere terreftre , dont Paris occupe le pôle, & qui fera de la troifieme efpece. Il y aura encore, à la vérité, l’inconvénient du reflerrement des parties voifines de l’horizon.
    • Mais fi l’on veut remédier à cet inconvénient, „on le fera en employant la deuxieme méthode, ou en fuppofant cet hémifphere vu à travers l’horizon , par un œil placé au pôle de l’hémifphere inférieur': les méridiens différents feront alors re-préfentés par des arcs de cercle, ainfi que les parallèles : les cercles de diftance du lieu propofé à tous les autres lieux de la ferre, feront des lignes droites. On remédiera du refte, comme pour les autres , par la contre-épreuve, au renverfement de pofition.
    • On peut voir les ufages nombreux de cette projection particulière, dans un écrit publié en 1774 par ce P. Chryfologue, de Gy en Franche-Comté, capucin, & qui fert d’explication' à fa double mappemonde , dont nous avons parlé plus haut.
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    • Astronomie et Géographie. 6t On pourroit imaginer plufïeurs autres projections du globe terreftre , &, en fuppofant l’œil dans un autre point qu’au pôle de l’hémifphere oppofé , mettre plus d’égalité entre les parties qui avoilïnent le centre Sc les bords de la proje&ion : mais il y auroit d’autres inconvénients, fçavoir, que lés cercles fur la furface de la fphere ou du globe ne feroient plus repréfentés par des cercles ou des lignes droites ; ce qui rendroit leur défcrip-tion embarraffante. Il vaut mieux s’en tenir à la projeétion, faite en fuppofant l’œil au pôle de l’hémifphere oppofé à celui qu’on veut repréfenter, foit que, comme dans les mappemondes ordinaires , on repréfente le globe terreftre fur le plan du premier méridien , foit qu’on le veuille repréfenter fur le plan de l’équateur, ou fur celui de l’horizon d’un lieu déterminé.
    • PROBLÈME XIV.
    • Etant données les latitudes & les longitudes de deux lieux, (Paris & Cayenne , par exemple,) trouver à quel point de l’horizon répond la ligne tirée de Vun à. Vautre , ou quel angle fait avec le méridien le cercle vertical mené du premier de ces lieux par Vautre.
    • C E problème n’eft rien moins que difficile à réfoudre , en y employant la trigonométrie fphé-rique ; car il fe réduit à celui-ci : Etant donnés les deux côtés £ un triangle fphérique 6* Vangle compris, trouver Vun des deux autres angles. Mais comme, au défaut de tables de finus , que j’avois perdue avec tous mes effets dans un naufrage, je me fuis trouvé, dans une certaine circonftance, obligé de
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    • èt Récréations Mathématiques^ réfoudre ce problème par Une fimple conftru&ion géométrique, je vais la donner ici. Je ne puis cependant taire l’occafion finguliere qui m’y conduisit.
    • J’étois à l’ifle de Socotora, près de celle de Madagafcar, fur un vaifleau de la Compagnie des Indes qui y étoit en relâche, lorfque je fis con-noiflance avec un dévot Mufulman, des plus riches & des plus accrédités de l’ifle.
    • 11 fçut bientôt, par des observations aftrono-miques qu’il me vit faire, que j’étois un aftro-nome ; ce qui lui donna l’idée de me propofer de lui déterminer dans fon oratoire la direction précisé de la Mecque, pour fe tourner du côté de ce lieu, vénérable félon lui, dans le temps de fes prières. J’eus aSTez de peine à m’y déterminer, à caufe de l’objet ; mais le bon Iahia ( c’étoit fon nom ) m’en pria avec tant d’inftances, que je ne pus le lui refufer. Comme je n’avois ni cartes ni globes , mais que je connoiSTois feulement les longitudes & latitudes des deux lieux, je recourus à une conftru&ion graphique aSTez en grand : je déterminai l’angle de pofition de la Mecque avec cette ifle, & je traçai fur le pavé de fon oratoire la ligne félon laquelle il falloit qu’il regardât pour envifager la Mecque. Je ne puis dire combien le bon Iahia me fçut gré de ma complaifance : il me promit de ne jamais l’oublier; & je ne doute point que, s’il vit encore, il ne faSTe par recon-noilfance des prières à fon prophète, de m’ouvrir les yeux. Mais revenons à notre problème, où nous prendrons pour exemple les villes de Paris & de Cayenne.
    • Pour le réfoudre par une pure conftru&ion géo-
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    • Astonomie et Géographie. 6$ métrique, décrivez un cercle repréfentant l’hori- PL a, zon de Paris que nous fuppofons élevé d’un rayon % 7. au deffus du centre P, eniorte que ce point P repréfente la projeétion de Paris. Plus ce cercle fera grand, plus vous opérerez sûrement. Tirez les deux diamètres perpendiculaires AB, CD; prenez DN égale à la diftance de Paris au pôle ,
    • & menez le rayon NP, & fa perpendiculaire PE , qui repréfentera un rayon de l’équateur ; faites l’arc EK égal à la diftance du fécond lieu à l’équateur, qui eft pour Cayenne 40 56'i tirez encore KF,
    • KG, perpendiculaires aux rayons PB , PN, fk du point G la perpendiculaire GO au diamètre AB, que vous prolongerez de part & d’autre ; après cela, avec le rayon GK, décrivez du centre O un demi cercle RHQ fur la ligne ROQ : les points R & Q tomberont néceffairement en dedans du cercle , parceque PG étant plus grande que PO, on a au contraire GK ou OR moindre que O S.
    • Le demi-cercle RHQ étant décrit, prenez l’arc HI égal à la différence de longitude des lieux donnés, fçavoir du côté de C , que nous fuppofons désigner l’oueft , & du côté du fud, fi le fécond lieu eft à l’oueft & plus méridional que Paris ; ce qui eft le cas de l’exemple propofé, car Cayenne eft à l’oueft de Paris, & beaucoup plus près de l’équateur. Il eft aifé de voir ce qu’il fau-droit faire fi ce fécond lieu étoit plus feptentrio-nal, ou à l’eft , &c. L’arc HI ayant donc été pris de 540 36', tirez la perpendiculaire IL au diamètre RQ ; menez HI jufqu’à fa rencontre M, avec ce diamètre prolongé ; tirez enfin MF, qui coupera LI en T : ce point T repréfentera la projection de Cayenne fur l’horizon de Paris ; & con-
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    • 64 Récréations Mathématiques. féquemment, menant la ligne PT, l’angle TPAl fera celui que fera le vertical de Paris paflanf par Cayenne.
    • On trouve par ce procédé, que la ligne de poJ fition de Cayenne à l’égard de Paris , fait avec la ligné méridienne un angle de 6ÿ6 30', c’eft-à-dire qu’elle eft à l’oueft-fud-oueft, déclinant d’uni degré à l’oueft.
    • Nous convenons que fi l’on a un globe, on ré-1 foudra mécaniquement ce problème beaucoup plus facilement & plus commodément ; car, dans ce cas, amenez Paris au zénith, &: faites tourner le cercle vertical le long de l’horizon , jufqu’à ce qu’il pafle par le fécond lieu donné : il vous fera facile de compter fur l’horizon le nombre des degrés qu’il fera avec le méridien, foit du côté du midi, foit du côté du nord : ainfi vous aurbz l’angle qu’il fera avec le méridien. Mais on peut n’avoir pas de globe pour réfoudre ainfi le problème, ni même de table de finus pour le réfoudre trigonométriquement ; dans lequel cas, on pourra y fuppléer par la projeâion graphique que nous avons enfeignée plus haut.
    • THÉORÈME.
    • On ne voit prefque jamais Us ajlres au lieu où ils font réellement. Le Soleil, par exemple, ejl tou* jours couché, tandis qu’on l'apperçoit encore tout entier fur Vhorizon.
    • Ceci a l’air d’un paradoxe ; c’éft néanmoins une vérité reconnue de tous les aftronomès, & dont voici l’explication.
    • La terre eft environnée d’une couche d’un fluide beaucoup
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    • Astronomie et Géographie. 6$ beaucoup plus denfe que celui qui remplit les efpaces céleftes. La fig. 8 repréfente une petite portion du globe terreftre , & de cette couche g‘ qu’on nomme atmofphere. Soit le foleil en S, dont le rayon central SE, en arrivant à l’atmo-fphere, au lieu de continuer fa route en ligne droite , fe rompt en approchant de la perpendiculaire, & fe prolonge par EF : le fpe&ateur en F. ne voit donc l’aftre ou le foleil que par la ligne FE ; & , comme on juge toujours l’objet dans la prolongation direéle du rayon par lequel l’œil eft affe&é , le fpe&ateur en F voit le centre du foleil en /, toujours un peu plus près du zénith qu’il n’eft réellement ; & cet écart eft d’autant plus grand que l’aftre eft plus près de l’horizon, parce-que le rayon tombe avec plus d’obliquité fur la furface du fluide de l’atmofphere.
    • Les aftronomes fe font affurés que, lorfque l’aftre eft à l’horizon, cette réfra&ion eft d’environ 33' ; donc, lorfque le bord fupérieur du foleil eft dans la ligne horizontale, enforte que , fans l’atmofphere, il fembleroit feulement commencer à monter fur l’horizon , il paroîtra déjà élevé de 33'; St comme le diamètre apparent du foleil eft moindre que de 3 3 ', le bord inférieur paroîtra aufflà l’horizon. Voilà donc le foleil levé en apparence , quoiqu’il ne le foit pas réellement, & même qu’il foit en entier fous l’horizon. De-là fuivent plufieurs conféquences curieufes, qu’il eft bon de faire connoître.
    • I.
    • On voit toujours plus d’une moitié de la. fphere télejle, quoique, dans tous les traités de la fphere, on démontre qu’on n’en doit voir que la moitié ; Tome III, E
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    • 66 Récréations Mathématiques.
    • çar, indépendamçnt de l’hémifphere , on voit encore tout autour de l’horizon une bande de 33' environ de largeur , qui appartient à l’hémifphere inférieur.
    • II.
    • Par-tout les jours font plus longs* & les nuits font plus courtes qi?elles ne devroient être, relativement à la latitude du lieu ; car le lever apparent du foleil précédé le lever réel, & le coucher apparent fuit le coucher effeâif : ainfi, quoique par-tout la quantité du jour & celle de la nuit duffent, au bout de l’année, fe balancer, la première excede affez confidérablement.
    • III.
    • L’effet qu’on a décrit plus haut, donne encore la raifon d’un paradoxe agronomique que voici.
    • On peut voir à-la-fois la lune éclipfée, même totalement & centralement, avec le foleil fur l'horizon.
    • Une éclipfe de lune totale & centrale ne peut avoir lieu, que le foleil & la lune ne foient diamétralement oppofés. Nous fuppofons , quoique nous n’ayons point encore parlé des éclipfes, que nos le&eurs- font inftruits des caufes & des conditions de ce phénomène. Lors donc que la lune éclipfée centralement a fon centre dans l’horizon rationel, le centre du foleil doit être au point diamétralement oppofé; mais, par l’effet de la réfra&ion, ces points font élevés de 33 minutes au deffus de l’horizon : donc , le demi-diametre apparent de la lune & du foleil n’étant que de 15 minutes environ, les bords inférieurs de l’un
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    • Astronomie et Géographie* 6y & de Vautre paroîtront élevés d’environ 17 mi-
    • Telle eft l’explication du phénomène qui, à chaque éclipfe de lune centrale, doit arriver ; car il y a toujours quelque endroit de la tetre, qù l’é-clipfe de lune étant dans fon milieu, cet aftre fe trouve à l’horizon*
    • IV.
    • La réfra&ion enfin nous donne la raifon d’un phénomène fort commun , fçavoir, Vellipticité apparente du foleil & de là lune à l'horizon ; car le bord inférieur du foleil touchant, par exemple , l’horizon , il eft élevé de 33' par l’effet de la réfraction ; mais le bord füpérieur étant élevé réellement de 3ci minutes, (car tel eft le diametrô apparent du foleil dans fes moyennes diftances, ) il eft élevé en apparence, par ta réfrà&ion, de 18 minutes au deffüs de fa hauteur réelle : ainfi le diamètre vertical paraîtra rétréci de toute la différence qu’il y a entre 33 St z8 minutes , c*eft-à-dire de 5 minutes; car fi la réfra&iôn du bord fupérieur étôit égale à celle de l’inférieur, ce diamètre vertical ne fetoit ni allongé ni rétréci. Le diamètre vertical St apparent fera donc réduit à environ ±6 minutes.
    • Mais il ne doit y avoir aucun rétréciffement fenfible dans le diamètre horizontal, car les extrémités de ce diamètre ne font que rapportées un peu plus haut, dans les deux cercles verticaux qui paflènt par ces extrémités, St qui, ne concourant qu’au zénith, font prefque parallèles. Le diamètre vertical étant donc contraâé, St le diamètre horizontal n’éprouvant rien de fethblable , il doit réfulter pour le difque une figure elliptique»
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    • 68 Récréations Mathématiques.
    • V.
    • Il y a toujours plus d’une moitié de la terre éclairée d’une illumination centrale & complette, c’eft-à-dire d’où l’on apperçoit le centre & tout le difque du foleil ; car, fans la iéfra&ion, on appercevroit le centre du foleil, de tout le bord de l’hémifphere au zénith duquel il fe trouveroit, à 8 ou io fécondés près: mais , au moyen de la réfra&ion, il eft apperçu de tout le bord du petit cercle parallèle , qui en eft éloigné de 33 minutes vers le nadir ; & on appercoit le foleil entier de tout le bord du cercle parallèle, éloigné de célui de l’hémifphere de 10 minutes. Il y a donc illumination centrale pour tout l’hémifphere, plus la zone comprife entre le bord de cet hémifphere &c le parallèle éloigné dè 3 3 minutes ; & il y a illumination complette de tout le difque du foleil pour tout ce même hémifphere, & la zone comprife entre fon bord & le parallèle éloigné de 16 minutes.
    • Ainfi tout ce que démontre laborieufement Sç fort longuement le bon M. Ozanam ou fon continuateur , d’après le P. Defchales, (V-)ye{ Récréât. Mathémat.jVol.II, p. 277, édit, de 1750,) eft abfolument faux, parcequ’on y fait abftraélion de la réfra&ion. Aufli tout ce morceau, affez long , femble n’être là que pour groflir le volume.
    • PROBLÈME XV.
    • Déterminer, Jans tables agronomiques, s'il y a éclipfe à une nouvelle ou pleine lune donnée.
    • Qu o 1 q u E le calcul des éclipfes, fur-tout de celles du foleil, foit très-pénible 3 on pourra ce-
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    • Astronomie et Géographie. 69
    • pendant, fans beaucoup de peine, les connoître par 1^ pratique fuivante, du moins pendant le dix-huitieme fiecle, c’eft-à-dire depuis 1700 juf-qu’en 1800.
    • Pour les Nouvelles Lunes.
    • Comptez le nombre des lunaifons complexes , depuis celle du 8 Janvier 1701, fuivant le calendrier Grégorien, jufqu’à la nouvelle lune propo-fée ; multipliez ce nombre par 7361 ; ajoutez 33800au produit, & divifez lafomme par 43200, fans avoir égard au quotient. Si ce qui refte de la divifion, ou la différence entre ce refte & le divifeur, eft moindre que 4060, il y a éclipfe, & conféquemment éclipfe de foleil.
    • Exemple. On demande s’il y eut éclipfe de foleil le Ier Avril 1764. Depuis le 8 Janvier 1701, jufqu’au Ier Avril 1764, il y a eu 782 lunaifons complexes : multipliez donc ce nombre par 7361, le produit fera 5756302 ; à quoi ajoutant 33800 , on aura 5790102 : divifez ce nombre par 43 200 ; le reftant de la divifion fera 1302 ; ce qui eft moindre que 4060: donc le Ier Avril 1764 il doit y avoir eu éclipfe ; & en effet il y a eu ce jour une éclipfe de foleil, & même annulaire pour une partie de l’Europe.
    • Pour les Pleines Lunes.
    • Comptez le nombre des lunaifons complexes , depuis celle qui commença au 8 Janvier 1701 , jufqu’à la conjonâion qui précédé la pleine lune^ propofée ; multipliez ce nombre par 7361 ; ajou-tez-y 3732.6, & divifez la fomme par 43200: fi ce qui refte après la divifion, ou la différence-
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    • yO McMATlONS MATHÉMATIQVIS. entre ce refte & le diviTeur , eft moindre que ^8oo, il y aura éclipTe de lunç.
    • Exemple. On demande fi, dans la pleine lune du 13 Décembre 1769, il y a eu éclipfe. Depuis le 8 Janvier 1701, juTqu’au 28 Novembre 1769, jour de la nouvelle lune qui précéda le 13 Décembre , il y a eu 852 lunaifons complexes ; le produit de ce nombre par 7361 eft 6271572, à quoi ajoutant 37326 , la Tomme eft 6308898. Or cette Tomme étant diviTée par 43200, le refte eft 1698, qui eft moindre que 2800: d’où il Tuit qu’il y a eu éclipTe de lune le 13 Décembre 1769 , ainfi qu’on le voit par les Almanachs & les Ephémérides, Remarque.
    • On Tera quelquefois embarrafte à déterminer le nombre des lunaiTons écoulées depuis l’époque du 8 Janvier 1701 juTqu’au jour donné: on les trouvera toujours facilement par ce moyen. Diminuez de l’unité le nombre des années au defliis de 1700, 6t multipliez-le par 365; au produit ajoutez le nombre des biffextiles qu’il y a eu jufqu’à l’année donnée : vous aurez le nombre des jours depuis le 8 Janvier 1701 , juTqu’au 8 Janvier de Tannée propoTée. Ajoutez-y encore le nombre de jours depuis le 8 de Janvier de Tannée donnée > juTqu’au jour de la nouvelle lune propoTée , ou de celle qui précédé la pleine lune donnée ; doublez la Tomme, & diviTëz-la par 59: le quotient Tera le nombre de lunaiTons cherchées.
    • On propofe , par exemple, le 13 Décembre 1769, jour de pleine lune. La nouvelle lune précédente tombe- au 28 Novembre. Je diminue 69 de l’unité , & j’ai 68 ; ce qui, multiplié par 365, donne 14810. Il y a eu de plus dans cet intervalle
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    • Astronomie et Géographie. 71
    • 17biffextiles : j’ajoute 17, ce qui me donne 24837. Enfin du 8 Janvier au 28 Novembre 1769 il y a 309 jours, qui, ajoutés à la Tomme ci-deffus , dqnnent 25146. Je double ce nombre, qui Te trouve par-là 50292 ; je le divife par 59, le quotient eft 852: ainfi lé nombre de lunaifons complexes, avant la pleine lune du 13 Décembre 1769, eft de 852, comme nous l’avons trouvé ci-deffus par un autre moyen.
    • PROBLÈME XVI.
    • Conjlruclion d'une machine fervant à montrer les nouvelles, les pleines Lunes, 6* les Eclipfes qui auront ou qui ont eu lieu pendant une certaine période de temps.
    • C’est M. de la Hire qui eft l’inventeur de cette machine ingénieufe, faite pour trouver place dans un cabinet aftronomique. Elle eft compofée de trois platines rondes de cuivre ou de carton, 8c pt d’une réglé ou alidade, qui tournent autour d’un fig. c centre commun , 8c s’emploient de la maniéré qu’on va. l’expliquer, après avoir enfeigné leurs divifions.
    • Vers le bord de la platine fupérieure, qui eft la plus petite , il y a deux bandes circulaires, dans îefquelles on a fait de petites ouvertures, dont les extérieures marquent les nouvelles lunes & l’image du fôleil, 8c les intérieures marquent les pleines lunes 8c l’image de la lune.
    • Le bord de cette platine eft divife en douze mois lunaires, qui font chacun de 29 jours 12 heures 44 minutes, mais de telle forte que la fin du douzième mois, qui fait le commencement de la fécondé année lunaire, furpâffe la première
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    • 7i Récréations Mathématiques.
    • nouvelle lune de la quantité de 4 des 179 divisons marquées fur la fécondé platine, qui eft au milieu des deux autres.
    • Au bord de cette platine il y a un index attaché , dont l’un des côtés, qui en eft la ligne de foi, fait partie d’une ligne droite qui tend au cen-. tre de la machine ; cette ligne paffe auffi par le milieu de' l’une des ouvertures extérieures , qui montre la première nouvelle lune de l’année lunaire. Le diamètre des ouvertures eft égal à l’étendue de quatre degrés ou environ.
    • Le bord de la fécondé platine eft divifé en 179 parties égales, qui fervent pour autant d’années lunaires, dont chacune eft de 3 54 jours & 9 heures ou environ. La première année commence au nombre 179 , auquel finit la derniere.
    • Les années accomplies font marquées chacune par leurs chiffres 1 , 1,3, 4, &c. qui vont de quatre en quatre divifions, &. qui font quatre fois le tour pour achever le nombre 179, comme on le voit en la figure de cette platine. Chacune des années lunaires comprend quatre de ces divifions, de forte que dans cette figure elles anticipent l’une fur l’autre de quatre des 179 divifions du bord.
    • Sur cette même platine, au deffous des ouvertures de la première, il y a aux deux extrémités d’un même diamètre un efpace coloré de noir, qui répond aux ouvertures extérieures, & qui marque les éclipfes du foleil ; & un autre efpace rouge , qui répond aux ouvertures intérieures , & qui marque les éclipfes de la lune. La quantité de chaque couleur qui paroît par les ouvertures, fait voir la grandeur de l’éclipfe. Le milieu des deux couleurs, qui eft le lieu du noeud de la lune, répond d’un côté à la divifion marquée 4, & f de
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    • Astronomie et Géographie. 73 degré de plus ; St d’autre côté il répond au nombre oppofé. La figure de l’efpace coloré fie voit fur cette fécondé platine , &: fon amplitude ou étendue marque les termes des éclipfes.
    • La troifieme & la plus grande des platines, qui eft au deffous des autres, contient les jours & les mois des années communes. La divifion commence au premier jour de Mars , afin de pouvoir ajouter un jour au mois de Février , quand l’année eft biftextile. ' Les jours de l’année font décrits en forme de fpirale, & le mois de Février paffe au-delà du mois de Mars, à caufe que l’année lunaire eft plus courte que l’année folaire ; de forte que la quinzième heure du dixième jour de Février, répond au commencement du mois de Mars. Mais après avoir compté le dernier jour de Février, il faut rétrograder avec les deux platines fupérieures, dans l’état où elles fe trouvent, pour reprendre le premier jour de Mars.
    • Il y a 30 jours marqués au devant du mois de Mars, qui fervent à trouver les épa&es.
    • Il faut remarquer que les jours , comme nous les prenons ici, ne font point comptés fuivant l’ufage des aftronomes, mais comme le vulgaire les compte , commençant à minuit , & finif-fant à minuit du jour fuivant. C’eft pourquoi, toutes les fois qu’il s’agit du premier jour d’un mois, ou de tout autre, nous entendons l’efpace de ce jour marqué dans la divifion ; car nous comptons ici les jours courants fuivant l’ufage vulgaire , comme nous venons de le dire.
    • Dans le milieu de la platine fupérieure, on a décrit des époques qui marquent le commencement clés années lunaires par rapport aux années fols ires, lèlon le calendrier Grégorien, & pour
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    • 74 Ri créations Mathématiques.
    • le méridien de Paris. Le commencement de la première année, dont la marque doit être o, & qui répond à la divifîon 179, eft arrivé à Paris le 29 Février à 14 heures & demie de l’année 1680. La fin de la première année lunaire , qui eft le commencement de la fécondé, répond à la di* vifion marquée 1 ; & elle eft arrivée à Paris l’an 1681, le 17 Février, à 23 heures j9 en comptant, comme nous avons dit, 24 heures de fuite d’une minuit à l’autre. Et de crainte qu’il n’y eût quelque erreur en rapportant les divifions du bord de la fécondé platine avec celles des époques des années lunaires qui leur correfpondent, nous avons mis les mêmes nombres aux unes & aux autres.
    • Nous avons marqué les époques de fuite de toutes les années lunaires , depuis 1777 jufqu’à l’année 1791 , afin que l’ufage de cette machine fût plus facile pour accorder enfemble chacune des années lunaires & folaires. Quant aux autres années de notre cycle de 179 ans, il 11e fera pas difficile de le rendre complet, en ajoutant 354 jours 8 heures 48 minutes & deux tiers pour chaque année lunaire.
    • La réglé ou alidade, qui s’étend du centre de l’inftrument jufqu’au bord de la plus grande platine , fert à rapporter les divifions d’une platine avec celle des deux autres. Si l’on applique cette machine à un horloge, on aura un inftrument parfait & accompli en toutes fes parties.
    • La table des époques, qui eft dreffée pour le méridien de Paris, pourra facilement fe réduire aux autres méridiens, fi, pour les plus orientaux que Paris., on ajoute le temps de la différence des
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    • Astronomie et Géographie. 77 méridiens , & au contraire, fi on l’ôte pour les lieux plus occidentaux.
    • Il eft à propos de mettre la table des époques au milieu de la platine fupérieure, afin qu’elle puifle être vue avec cette machine.
    • EPOQUES DES ANNÉES LUNAIRES, rapportées aux années civiles pour le Méridien de Paris.
    • AiZ Ann. civiles. Mois. J. H. M.
    • 179 .. . 1680 B. Février . . , . 29 M 24
    • I . . . l68l . Février . . • l7 *3 13
    • 2 . . . 1681 . Février . . • 7 8 J
    • 10 . . . 1689 . Novembre . 6 3°
    • 20 . . . 1699 . . Juillet . . . . 26 îi 37
    • 30 • • • 1709 . . Avril 9 14 43
    • 40 . . . I7l8 . . Décembre . 22 6 5°
    • 50 . . . T728 B. Septembre • 3 12 55
    • 60 . . . 1738 . . Mai . . . . . 18 5 1
    • 70 . . . 1748 B. Janvier . . . • 3° 7 7
    • 80 . . . 1757 • • Octobre . . , 12 23 •5
    • 90 . . . 1767 . . Juin . . . . 26 5 20
    • IOO . . . 1777 • • Mars . . . 9 7 35
    • IOI . . . 1778 . . Février . . . . 26 16 14
    • 102 .. . 1779 . . Février . . . 16 1 2
    • IO3 .. . 1780 B. Février . . , 4 9 5°
    • IO4 . . . I78i . . Janvier . . , . 24 18 38
    • 105; 17.8» • • Janvier . . . • 14 3 26.
    • 106 . . . 1783 . . Janvier . . . • 3 12 14
    • 107 . . . 1783 • • Décembre - 23 2! 1
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    • Récréations Mathématiques, Ann. Mois. J. H.
    • 1784
    • 1785 .
    • 1786 .
    • 1787
    • 1788
    • 1790
    • 1815 . 1815 . 1835 . 1845 1854
    • Décembre Novembre Novembre O&obre . O&obre . Oétobre . Septembre Août . . .
    • . Décembre . Septembre .Mai... .
    • . Octobre .
    • 1 5* 10 40 19 28 M 39
    • 2 6 8
    • 6 o 20 16
    • Maniéré de faire les divijîons fur les platines.
    • Le cercle de la plus grande platine eft divifé de telle façon, que 368 degrés 2 minutes 42 fécondés comprennent 354 jours 9 heures un peu moins; d’où il fuit que ce cercle doit contenir 346 jours 15 heures, lefquels on peut prendre, fans erreur fenfible, pour deux tiers de jour. Or, pour divifer un cercle en 346 parties égales & deux tiers , ré-duifez le tout en tiers, qui font en cet exemple 1040 tiers ; cherchez enfuite le plus grand nombre multiple de 3 , qui fe puifle facilement divifer par moitié, & qui foit contenu en 1040. Ce nombre fe trouvera dans cette progreffion géométrique double, dont le premier & moindre terme eft 3 ,
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    • Astronomie et Géographie. 77 comme, par exemple, 3,6, 12,24, 48, 96, 192 , 384,768.
    • Le neuvième nombre de cette progreffion eft celui qu’on cherche : il faut donc fouftraire 768 de 1040, reftera 272, & chercher combien ce nombre reftant fait de degrés, minutes & fécondés par la réglé de trois, en difant ; 1040 tiers : 360 degrés : : 272 tiers : 94 degrés 9 minutes 23 fécondés.
    • C’eft pourquoi retranchez de ce cercle un angle de 940 9' 23", & divifez le- refte du cercle toujours par moitié : après avoir fait huit foufdivi-fions , vous parviendrez au nombre 3 , qui fera l’arc d’un jour, par lequel divifant auffi l’arc de 940 9' 23", tout le cercle fe trouvera divile en 346 jours & deux tiers ; car il y aura 256 jours dans le plus grand arc, & 90 jours deux tiers dans l’autre. Chacun de ces efpaces répond à i° 2' 18", comme on voit en divifant 360 par 346 deux tiers; & 10 jours répondent à io° 23'. Par ce moyen on pourroit faire une table qui fervi-roit à divifer cette platine.
    • Ces jours feront enfuite diftribués à chacun des mois de l’année, fuiyant le nombre qui leur convient , en commençant par le mois de Mars, & continuant jufqu’à la quinzième heure du dixième de Février , qui répond au commencement de Mars, & le refte du mois de Février paflfe au-delà & par deffus.
    • Le cercle de la fécondé platine doit être divifé en 179 parties égales. Pour cet effet, cherchez le plus grand nombre qui fe puiffe toujours divifer par moitié jufqu’à l’unité, & qui foit contenu en 179 ; vous trouverez 128, lequel ôté de 179, refte 51 : cherchez quelle partie de la circonfé-
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    • 78 RicÉATIONS Màthématiquès. rence du cercle fait ce refte, par la réglé de trois, en difant ; 179 parties : 360 degrés : *. 51 parties : 102 degrés 34 minutes iï fécondés.
    • C’eft pourquoi ayant retranché du cercle un arc de 1020 34; n", divifez le refte du cercle toujours par moitié ; & après avoir fait fept foufdivi-fions , vous parviendrez à l’unité : ainfi cette partie du cercle fera divifée en 128 parties égales ; puis, avec la même derniere ouverture de compas, vous diviferez l’arc réftant en 51 parties , & tout le cercle fe trouvera divifé en 179 parties égales, dont chacune répond à 2 degrés 40 fécondés, comme \ il eft aifé de voir en divifant 360 par 179. C’eft un fécond moyen pour divifer cette même platine.
    • % Enfin , pour divifer le cercle de la platine fupé-rieure, prenez le quart de fa circonférence , & ajoutez-y une des 179 parties ou divifions du bord de la platine du milieu : le compas ouvert du quart ainfi augmenté, ayant tourné quatre fois, divifera ce cercle de la maniéré qu’il doit être ; car en foufdivifant chacun de =ces quarts en trois parties égales, on aura 12 efpaces pour les 12 mois lunaires , de telle forte que la fin du douzième mois, qui fait le commencement de la douzième année lunaire, furpafle la première nouvelle lune de 4 des 179 divifions marquées fur la platine du milieu.
    • Voici préfentement la maniéré de faire ufage de cette machine.
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    • Astronomie et Géographie. 79 PROBLÈME XVII.
    • Une année lunaire étant donnée, trouver, au moyen de la machine précédente , les jours de Vannée Jolaire qui lui répondent, & dans lefquels il y aura nouvelle ou pleine lune , & éclipfe de foleil ou de lune.
    • Soit propofée,par exemple, la 101e année lunaire de la table des époques, qui répond à la divifion de la platine du milieu marquée 101. Arrêtez la ligne de foi de l’index de la platine fu-périeure, fur la divifion marquée 101 de la platine du milieu, où eft le commencement de la 101e année lunaire ; &, voyant par la table des époques que ce commencement arrive le 26 Février 1778 , à 16 heures (a) 14 minutes , tournez enfemble les deux platines fupérieures en cet état, jufqu’à ce que la ligne de foi de l’index attaché à la platine fuperieurè, convienne avec la 16e heure, ou les deux tiers (un peu plus) du 26 Février marqué fur la platine inférieure , auquel temps arrive la première nouvelle lune de l’année lunaire propofée.
    • Enfuite, fans changer la fituation des trois platines , étendez depuis le centre de l’inftrument un fil ou la réglé mobile, la faifant pafler par le milieu de l’ouverture de la première pleine lune : la ligne de foi de cette réglé répondra au 13 Mars vers le milieu, & qui doit être, à quelques heures près, le moment de la pleine lune ; & comme l’ouverture de cette pleine lune ne préfentera point de couleur rouge, il n’y aura point d’éclipfe de lune.
    • Ça) On compte ici 24 heures depuis minuit jufqu’à n
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    • go Récréations Mathématiques,
    • Pour trouver ce qui arrivera à la pleine lune fuivante, ajoutez à la nouvelle lune de l’époque , 29 jours 12 heures 44 minutes, & vous aurez le moment de la nouvelle lune de Mars le 28, à 4 heures 56 minutes ; &: faifant la même opération , vous trouverez encore qu’il n’y aura nulle éclipfe, ni à cette nouvelle lune, ni à la pleine lune fuivante.
    • Mais , en marchant ainfi progrelîivement, vous parviendrez à la nouvelle lune du mois de Novembre , qui arrivera le 19 de ce mois, à 1 o heures 48 minutes ; enfuite, faifant la même opération, vous trouverez la pleine lune fuivante le 4 Novembre, vers les 5 heures du matin, &. vous verrez qu’il y a éclipfe partielle , l’ouverture de la pleine lune étant en partie remplie par la couleur rouge.
    • On trouvera de même les éclipfes dé foleil, & on les reconnoîtra à la couleur noire qui fe pré-fentera à l’ouverture des nouvelles lunes.
    • Le 24 Juin, par exemple , de l’année 1778 , il y aura nouvelle lune à 19 heures 8 minutes, ou 7 heures 8 minutes du foir; & comme l’ouverture de cette nouvelle lune fera en partie occupée par la couleur noire qui eft au deffous, vous en conclurez qu’il y aura éclipfe partielle de foleil le 24 Juin dans la foirée; ce qui eft en effet vérifié par le calcul.
    • Au refte on ne peut pas , au moyen d’une machine femblable, déterminer l’heure &le moment d’une éclipfe ; il eft aifé de le fentir. C’eft bien affez de pouvoir par-là déterminer fi une conjon&ion ou une oppofition eft écliptique. Le refte doit être enfuite déterminé au moyen du calcul des éclipfes , qu’on peut apprendre dans les livres qui traitent ex profejjo de cette matière.
    • Nous
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    • Astronomie et Géographie^ St
    • Nous allons j pour fati'sfaire la curiofité du îeçfeur, terminer ceci par une table des éclipfes, tant de lune que de ioleil, qui doivent arriver dans le reftant de ce iîecle, & qui feront vîfibles, en tout ou en partie, fur l’horizon de Paris, avec les différentes circoiiftances qui doivent les accompagner, comme le moment du milieu de l’éclipfe , & la grandeur ; on y verra fî l’éclipfe eft totale ou partiale : 6c à l’égard des éclipfes de lune , de combien de doigts ou de douzièmes parties du difque cet aftre fera éclîpfé ; &c.
    • Nous remarquerons cependant , du moins à l’égard des éclipfes de foleil, que cette table étant extraite d’un travail immenfe (a), fait pour un autre objet, on ne doit pas s’attendre à une exactitude parfaite , pour la quantité ni même pour le moment : car tout le monde fqait qu*une éclipfe de foleil, à caufe de la parallaxe de la lune, varie de quantité pouf tous les endroits de la terre ; qu’une éclipfe, par exemple , totale & centrale pour les régions de l’hémifphere auftral, peut n’être que partiale & peu confidérable pour ces pays-ci. L’auteur du travail dont nous parlons, s’eft donc borné à indiquer plutôt qu’à calculer précifément ces éclipfes, & renvoie aux astronomes pour des déterminations plus exaétes. J’avoue n’avoir pas eu le loifïr de faire tous ces calculs.
    • (a) Ce travail eft une table des éclipfes de foleil & de lune, depuis le commencement de l’ere chrétienne juf-qu’en l’an 1900, inférée dans 1'Art de vérifier les Dates, & dont l’auteur eft M* l’abbé Pingré, de la congrégation de fainte Genevieve, aftronome célébré, ôc membre de l’Académie royale des Sciences,
    • Tome ///.
    • F
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    • Sî Récréations Mathématiques. TABLE des Eclipfts de Soleil (r de Lune, vifibles , en tout ou en partie, fur l’horizon de Paris, depuis ,yyy jufeju'en 1S00.
    • 1777.
    • Le 9 Janvier , à 4h du foir, éclipfe de foleil, vifible feulement dans fon commencement.
    • Le 11 Janvier, à 4!» A du foir, eclipfe de lune , partiale, 6 doigts j.
    • 1778.
    • 1 o Juin, 4h -r du matin , éclipfe de lune, fimple pénombre, commencement vifible dans l'horizon.
    • i4 Juin , 4h du foir , éclipfe de foleil, partiale & confidérable.
    • 4 Décembre, 5hJdu matin , éclipfe de lune, partiale, 6 doigts.
    • 1779.
    • 30 Mai, 5h du matin, éclipfe de lune , commencement feulement vifible ; elle fera totale.
    • 14 Juin, 9h du matin, éclipfe de foleil, partiale & confidérable.
    • 23 Novembre, 8h\du foir, éclipfe de lune, totale.
    • 1780.
    • 27 Oétobre, à 5?1 ~ du foir, éclipfe de foleil, commencement vifible.
    • 12 Novembre , 5h du matin, éclipfe de lune , partiale, 7 doigts
    • 1781.
    • 23 Avril, 5h 7 du foir, éclipfe de foleil, commencement vifible.
    • 17 Octobre, 9h du matin, éclipfe de foleil, partiale.
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    • Astronomie et Géographie. 83
    • 1781.
    • i i Avril, 5h ~ du foir, éclipfe de foleil, commencement vifible.
    • 1783.
    • 18 Mars, 9h - du foir, éclipfe de lune, totale.'
    • 10 Septembre, nh^dù foir, éclipfe de lune,
    • totale.
    • 1784.
    • 7 Mats, 3^7 du matin, éclipfe de lune, partiale , 4 doigts 7.
    • 1785.
    • 9 Février, ih après midi, éclipfe de foleil, partiale & petite.
    • 1786.
    • Nulle éclipfe vifible à Paris»
    • «787-
    • 3 Janvier, minuit, éclipfe de lune, totale.
    • 19 Janvier, nh du matin, éclipfe de foleil, partiale & petite.
    • 15 Juin, 4h du foir, éclipfe de folèil, partiale.
    • 1788.
    • 4 Juin, 9H du matin, éclipfe de foleil,, partiale.
    • 1789.
    • 3 Novembre, ih du matin, éclipfe de lune, partiale , 3 doigts 7.
    • I79°*
    • 29 Avril, o 7 du matin, éclipfe de lune, totale.
    • 23 Oftobre, ih du^tnatin, éclipfe de lune, totale.
    • Fij
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    • 84 Récréations Mathématiques.
    • 1791.
    • 3 Avril, ih du foir, éclipfedefoleil, partiale & confidérable.
    • iz Oftobre, ih£ du matin, éclipfe de lune, partiale, 8 doigts j.
    • 1792.
    • 16 Septembre, 9h £ du matin, éclipfe de foleil, partiale.
    • *793-
    • 25 Février, 1 il» du foir, éclipfe de lune , partiale , 5 doigts & j.
    • 5 Septembre, midi, éclipfe de foleil, partiale & confidérable.
    • .1794.
    • 31 Janvier , midi, éclipfe de foleil, partiale très-grande.
    • 14 Février, ioh£ du foir, éclipfe de lune, totale & centrale.
    • *795-
    • 4 Février, £, du matin, éclipfe de lune ,
    • partiale, 7 doigts.
    • 31 Juillet, 8h du foir, éclipfe de lune, partiale , 3 doigts.
    • 1796.
    • Nulle éclipfe vifible à Paris.
    • 1797.
    • 24 Juin, 4h a du foir, éclipfe de foleil, partiale & petite.
    • 4 Décembre, 4*» 7 du matin, éclipfe de lune, totale*
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    • Astronomie et Géographie. 8j
    • 1798.
    • 29 Mai, 6h £ du foir , éclipfe de lune , totale & vifible fur la fin.
    • *799-
    • Nulle éclipfe.
    • 1800.
    • 2 O&obre, ioh du foir, éclipfe de lune, partiale , 3 doigts.
    • PROBLÈME XVIII.
    • Obferver une Eclipfe de Lune,
    • Pour faire une obfervation d’éclipfe de lune qui foit utile à la géographie ou à l’aftronomie, il faut premièrement avoir une horloge ou pendule , ou une montre qui marque les fécondés & qui foit affez bonne pour être afluré que fon mouvement eft uniforme : on la réglera quelques jours d’avance, au moyen d’un méridien, fi l’on en a un tracé ; ou par quelques-unes des méthodes ufitées par les aftronomes ; & l’on reconnoîtra. de combien elle avance ou retarde dans les 24 heures, pour en tenir compte lors de l’obferva-
    • On doit auffi être pourvu.d’une lunette de quelques pieds , foit à réfraétion, foit à réflexion: plus elle fera longue , plus, oa fera affuré de dif-cerner exaétement le moment des phafes de l’é-clipfe. Il eft auffi à propos qu’elle foit garnie d’ua micromètre , du moins fi l’on veut obferver la quantité de l’éclipfe.
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    • 86 Récréations Mathématiques.
    • L'orfqu’on verra le moment de l’éclipfe approcher , ce qu’on connoîtra toujours, foit par les almanachs ordinaires, foit par les éphémérides que les aftronomes publient en divers endroits de l’Europe , on examinera avec attention l’inftant où l’ombre de la terre entamera le difque de la lune. On doit être prévenu qu’il y aura toujours à cet égard quelque incertitude, à caufe de la pénombre ; car ce n’eft pas une ombre épaiffe & noire qui commence à couvrir le difque de la lune, elle eft précédée par une ombre imparfaite , 6c qui s’épailîit par degrés ; ce qui vient de ce que le difque du foleil eft occulté par degrés à la lune ; 6c cela fait que l’on ne peut fixer exactement la limite de la vraie ombre & de la pénombre., Ici, comme par-tout ailleurs, l’habitude fait beaucoup pour diftinguer cette limite , ou ne commettre qu’une erreur légère.
    • Lorfqu’on fera alluré que le difque de la lune eft entamé par la vraie ombre, on en marquera le moment, c’eft-à-dire l’heure , la minute 6c la fécondé à laquelle cela eft arrivé.
    • On fuivra de cette maniéré l’ombre fur le difque de la lune, & l’on remarquera à quelle heure, minute ôc fécondé, cette ombre a atteint les taches les plus remarquables du difque lunaire ; ce dont on tiendra note.
    • Si l’éclipfe n’eft pas totale, l’ombre , après avoir couvert partie du difque de la lune , diminuera ; 6c l’on obfervera de même les morqpnts où l’ombre abandonnera les taches qu’elle a voit couvertes, 6c enfin le moment où le difque de la lune ceffera d’être touché par l’ombre : ce fera la fin de l’éclipfe.
    • Si l'gçlipfe eft totale, 6c avec féjour dans
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    • Astronomie et Géographie. 87 l’ombre, on marquera le moment où elle a été totalement éclipfée , ainfi que celui où elle commencera à être éclairée , & enfin ceux où chaque tache fera abandonnée par l’ombre.
    • Cela fait, fi l’on retranche l’heure du commencement de l’éclipfe de celle de fa fin, on aura fa durée ; & fi l’on prend la moitié de cette durée, & qu’on l’ajoute au moment du commencement , on aura le milieu.
    • Pour faciliter ces opérations , les afironomes ont donné des noms à la plupart des taches dont le difque de la lune eft couvert. La dénomination la plus ufitée eft celle de Langrenus, qui leur a donné , pour la plupart, les noms des aftronomes & philofophes fes contemporains, ou qui avoient vécu avant lui. On y en a depuis ajouté quelques autres ; mais il n’y a pas eu place pour les plus célébrés des modernes, comme les Huygens, les Defcartes, les Newtons, les Caflinis. Hévélius, à mon gré plus judicieux, a donné à ces mêmes taches des noms tirés des lieux de la terre les plus remarquables : ainfi la plus haute montagne de la lune, il l’appelle le mont Sinai, &e. Cela eft au furplus affez indifférent, & il fuffit qu’on s’entende. Nous joignons ici une figure de la lune, Pi. au moyen de laquelle , & du catalogue qui fuit, on pourra facilement les reconnoître , en conférant les numéros de la planche avec ceux du catalogue.
    • ï—Grimai di.
    • 2— -Galilée.
    • 3— Ariftarque.
    • 4— Képler.
    • 5—Gaflendi. fi—Schickard.
    • 7— Harpalus.
    • 8— Héraclide.
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    • 88 Récréations
    • 9—Lamberge.
    • 10— Reinholde,
    • 11— Copernic.
    • 1 a—Héliçon.
    • 13— Capuanus,
    • 14— Bouillaud.
    • 15— Eratoftenes.
    • 16— Timocharis,
    • 17— Platon.
    • j 8—Archimede.
    • 19— L’ifle du (inus moyen,
    • 20— Pitatus.
    • 21— Tyc'ho.
    • 12— Eudoxe.
    • 23— Ariftote.
    • 24— Manilius..
    • A—Mer des humeurs. B—Mer des nues.
    • C—Mer des pluies. P—Mer de neâar.
    • Mathématiques.
    • 25— Menelaus.
    • 26— Hermès.
    • 27— Poflidonius,
    • 28— Dionyfius,
    • 29— Pline.
    • 3 0—Catharina , Cyrillus , Theophilus.
    • 31— Fracaftor.
    • 32— Promontoire aigu.
    • 33— Meflala.
    • 34— Promont, des Congés. 3 5— Proclus.
    • 36— Cléomede.
    • 37— Snellius &Furnerius.
    • 38— Petau.
    • 3 9—Langrenus,
    • 40—Taruntius.
    • E—Mer de tranquillité. F—Mer de férénité.
    • G—Mer de fécondité, H—Mer des crifes.
    • PROBLÈME XIX.
    • Obfcrver une Eclipfe de Soleil.
    • ï° On prendra les mêmes précautions, relativement à lamefure du temps, que pour les éçlipfes de lune, c’efl>à-dire qu’on aura foin de régler au foleil une bonne pendule , la veille ôç le iour même dç l’éclipfç,
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    • Astronomie et Géographie. 89
    • 2° On aura une bonne lunette, c’eft-à-dire ai» moins de trois ou quatre pieds , qu’on dirigera au foleil fur un fupport commode. Alors, fi l’on veut confidérêr le foleil immédiatement avec fes yeux , on aura foin de fe munir d’un morceau de glace noirci à la fumée d’une chandelle ; ou mieux encore de deux petits morceaux de glace, dont les côtés enfumés feront tournés l’un vers l’autre, fans fe toucher , au moyen d’un petit diaphragme de carton mis entre-deux. Ces deux petits morceaux de glace peuvent enfuite être maftiqués fur leurs bords, de maniéré à ne pouvoir fe féparer ; ce qui eft à-la-fois commode & durable. Au moyen de ces verras, & en les interpofant entre l’œil & la lunette , on confidérera le foleil fans aucun rifque pour la vue.
    • On examinera donc avec attention, vers le temps où l’éclipfe doit commencer , le moment où le difque du foleil commencera à être écorné par le difque de la lune ; ce fera le commencement de l’éclipfe. S’il y a fur la furface du foleil quelque tache, on obfervera aufli le moment où le difque de la lune l’atteindra , & enfuite la laiffera paroître. Enfin l’on obfervera avec toute l’attention poflible , l’inftant où le difque de la lune ceflera d’écorner le bord du difque du foleil ; ce fera la fin de l’éclipfe.
    • Mais fi , au lieu d’obferver immédiatement avec les yeux, on veut faire une obfervation ful-ceptible d’être vue par grand nombre de per-fonnes à-la-fois , attachez à votre lunette , du côté de l’oculaire , un fupport qui porte une planchette ou un carton bien plan, à la diftance de quelques pieds. Ce carton doit être perpendiculaire à l’axe de la lunette, & s’il n’efl pas fuffî-
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    • 50 Récréations Mathématiques. famment blanc, on doit y coller défias une feuille de papier blanc. On fait pafler le bout de la lunette qui porte l’obje&if , par l’ouverture d’une chambîe obfcure, ou confidérablement obfcurcie : alors, fi l’on dirige l’axe de la lunette au foleil, l’image de cet aftre vient fe peindre fur le carton + & d’autant plus grande, qu’il fera plus éloigné. On aura, au refte , eu foin de tracer fur ce carton un cercle de la grandeur à peu près convenable y enforte qu’en avançant ou reculant un peu le carton , l’image du foleil foit exa&ement comprife dans le cercle. Ce cercle doit être divifé par douze autres cercles concentriques, à égales diftances entr’eux , enforte que le diamètre du plus grand foit divifé en 24 parties égales, dont chacune re-préfentera un demi-doigt.
    • Il eft maintenant aifé de voir, que fi , un peu avant Péclipfe, on fixe attentivement l’image du foleil, on verra le moment où elle commencera d’être écornée par l’entrée du corps de la lune , & qu’on pourra pareillement en obferver la fin , ainfi que la grandeur.
    • On ne doit pas, au refte, fe flatter d’atteindre , par ce moyen, à la même exaâitude qu’en employant le premier, fur-tout fi , en faifant ufage de celui-ci, on a une longue lunette & un bon micromètre.
    • Remarques,
    • Il y a des éclipfes de foleil partiales, c’eft-à-dire où un* partie feulement du difque folaire pa-roît couverte ; ce font les plus communes. Il y en a de totales & d’annulaires.
    • Les éclipfes totales arrivent lorfque le centre
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    • Astronomie et Géographie. 91 de la lune paiTe fur celui du foleil, ou fort près, 8c que le diamètre apparent de la lune eft égal à celui du foleil, ou plus grand. Dans ce dernier cas, Téclipfe totale peut être ce qu’on appelle cum mora, c’eft-à-dire avec durée des ténèbres ; telle fut la fâmeufe éclipfe de 1706.
    • Dans les éclipfes totales 8c cum mora, l’obf-curité eft fi grande, qu’on voit les étoiles comme pendant la nuit, à plus forte raifon Mercure 8c Vénus. Mais ce qui caüfe une forte d’épouvante, c’eft le ton lugubre que prend toute la nature dans les derniers moments de la lumière : aufli les animaux , faifis d’effroi, regagnent-ils leurs demeures , en le marquant par leurs cris : les oifeaux de nuit fortent de leurs retraites ; les fleurs fe reffer-rent ; on fent de la fraîcheur, 8c la rofée tombe. Mais la lune ne laiffe pas plutôt échapper un filet de lumière folaire , que tout eft éclairé; le jour renaît dans un inftant, 8c un jour plus grand que celui d’un temps couvert.
    • Il y a, nous l’avons dit plus haut, des éclipfes vraiment annulaires : elles arrivent lorfque l’é-clipfe eft bien près d’être centrale , 8c que le diamètre apparent de la lune eft moindre que celui du foleil ; ce qui peut arriver fi, au temps de l’é-clipfe , la lune eft la plus éloignée de la terre qu’il fe peut, 8c le foleil le plus proche. L’éclipfe de foleil du Ier Avril 1764, fut de cette elpece pour une partie de l’Europe.
    • Dans les éclipfes totales, on apperçoit fouvent autour du foleil entièrement éclipfe, un cercle lumineux de couleur d’argent, 8c large de la douzième partie du diamètre de la lune ou du foleil; il s’efface dès que la plus petite partie du foleil re-
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    • çz Récréations Mathématiques.
    • commence à briller : il paroît plus vif vers le boré , & va en diminuant de vivacité, à mefure qu’il s’en éloigne. On eft porté à croire que ce cercle eft formé par l’atmofphere lumineufe qui environne le foleil : on a auffi conjeâuré qu’il eft pro-, duit par la réfraâion des rayons dans l’atmo-fphere de la lune : enfin on l’a attribué à la diffraction de la lumière. Mais on doit voir à cette occafion les Mémoires de l’Académie des Sciences, années 1715 & 1748.
    • PROBLÈME XX.
    • Mefurer la hauteur des Montagnes.
    • On peut mefurer la hauteur d’une montagne par les réglés ordinaires de la géométrie; car, fuppofons une montagne dont on veut fqavoir la PI. 5, hauteur perpendiculaire au deffus d’une ligne ho-fig* 9*rizontale donnée. Mefurez, fi vous en avez ta commodité , dans la plaine voifine, une ligne horizontale AB , qui foit dans le même plan vertical avec le fommet S de la montagne. Plus grande fera cette ligne, plus votre mefure fera exafte. Après cela, aux deux ftations A, B, mefurez les angles SAE, SBE, qui font les hauteurs apparentes fur l’horizon du fommet S, vu de A & de B. Onfqait, par la trigonométrie reétiligne, trouver dans le triangle reâangle SEA, le côté EA, ainfi que la perpendiculaire SE, ou l’élévation du fommet S fur AE prolongé.
    • Concevez la verticale S F H tirée & coupant la ligne BE en F. Comme, dans ces fortes de di-menfions , l’angle ESF, formé par cette verticale SFH, & parla perpendiculaire SE, fera prefque
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    • Astronomie et Géographie. 9$’ toujours extrêmement petit, & fort au deffous d’un degré , on peut regarder les lignes SE, SF, comme égales entr’elles (a). D’un autre côté , la ligne FH, comprife entre la ligne A E & la fur-face fphérique CA , eft vifiblement la quantité dont le vrai niveau eft au deftous du niveau apparent , dans une longueur comme AF, ou, plus exa&ement, dans une longueur moyenne entre AF & BF : c’eft pourquoi prenez la longueur moyenne entre AE & DE, qui different peu de AF & BF, & cherchez, dans la table des différences entre les niveaux apparents & véritables, la hauteur qui répond à cette diftance moyenne ; ajoutez-la à la hauteur trouvée SE ou SF : vous aurez SH pour hauteur corrigée de la montagne , au deffus de la furface fphérique où font fitués les points A , B.
    • Ainfî, fi l’on fqait de combien cette furface eft plus élevée que celle de la mer , on fçaura de combien le fommet S de la montagne eft plus haut que le niveau de la mer.
    • Autre Maniéré.
    • On peut trouver des difficultés à établir une ligne horizontale , dont la dire&ion fe trouve dans le même plan vertical avec le fommet de la montagne. Dans ce cas, il vaudra mieux procéder ainfi.
    • Tracez votre bafe dans la fituation la plus commode pour qu’elle foit horizontale. Nous fuppo-
    • (<*) Car elles ne différeront pas même d’une dix-mil-lieme, dans le cas oh cet angle feroit d’un degré; ce qui fuppoferoit la diftance des nations à la montagne, de plus de 50000 toifes.
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    • ç4 Récréations Mathématiques. fons que ce Toit la ligne ab ; que f c Toit la per-pendiculaire tirée du fommet / fur le plan horizontal paflant par la ligne ab, & c le point auquel ce plan eft rencontré par cette perpendiculaire : en concevant les lignes ac & b c tirées à ce point, on aura les triangles fac, fbc, reftangles en c; & l’on trouvera ces angles, en mefurant des points a & Mes hauteurs apparentes de la montagne fur l’horizon : on mefurera pareillement les angles fa b 9fba9 dans le triangle afb.
    • Maintenant, puifqu’on connoîtra dans le triangle fab les angles fab,fba, ainfi que le côté a b9 on déterminera aifément, par la trigonométrie reftiligne, un des côtés, par exemple /a. Ce côté étant déterminé, on trouvera pareillement dans le triangle acf reâangle en c, dont l’angle fac eft connu, on trouvera, dis-je, le côté a c, & la perpendiculaire f c. On procédera enfuite comme dans la méthode précédente, c’eft-à-dire qu’on cherchera quelle eft la dépreflion du niveau réel au deffous du niveau apparent, pour le nombre de toiles que comprend la ligne ac, & on l’ajoutera à la hauteur fc : la Tomme fera la hauteur du point f au deflus du niveau réel des points a, b.
    • Exemple. Soit la longueur a b horizontale, de 2000 toifes ; l’angle fab, de 80 degrés 50 minutes ; l’angle fba, de 8 5 degrés 10 minutes: conféquemment l’angle b fa fera de 14 degrés 20 minutes. Au moyen de ces données, on trouvera dans le triangle afb, le côté fa de 8048 toiles. D’un autre côté, que l’angle fac ait été mefuré, & trouvé de 18 degrés ; on trouvera, par le calcul trigonométrique, le côté ac de 7655 toifes ; & enfin la perpendiculaire /c fur le plan horizontal paflant par ab, fe trouvera de 2486
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    • Astronomie et Géographie. 95 toifes. D’un autre côté, la dépreffion du niveau réel au defîous du niveau apparent, à la diftance de 7655 toifes, eft de 8 toifes 5 pieds: ajoutons ce nombre à celui déjà trouvé pour la hauteur f c,
    • & nous aurons 1494 toifes 5 pieds, ou 2496 toifes pour la hauteur réelle de la montagne propofée.
    • Remarque.
    • Lorsqu’on emploiera l’une ou l’autre de ces méthodes, fi la montagne dont on mefure la hauteur eft à une diftance confidérable, comme de PL
    • 10 ou 20 mille toifes ; comme alors fon fommet %. 1 fera fort peu élevé fur l’horizon , il faudra corriger
    • fa hauteur apparente , en ayant égard à la réfraction , de la maniéré fuivante ; car autrement il en pourrait réfulter une erreur très-confidérable dans la mefure cherchée : on le fentira , en faifant attention que le fommet C delà montagne BC eft vu par un rayon de lumière ECA, qui n’eft pas reétiügne, mais qui eft une courbe , & qu’on juge ce fommet C en D, fuivant la direction de la tangente AD à la courbe ACE, qui, dans le petit efpace AC , peut être regardée comme un arc de cercle. Ainfi l’angle DaB de la hauteur apparente de la montagne, excede la hauteur à laquelle paraîtrait fon fommet, fans la réfra&ion de la quantité de l’angle CAD , qu’il faut déterminer. Or je trouve que cet angle CAD eft , à bien peu de chofe près, égal à la moitié de la réfraction qui conviendrait à la hauteur apparente DAB : ainli
    • 11 faudra chercher dans les tables qui font entre les mains de tout le monde, la réfraâion qui répond à la hauteur DAB apparente du fommet de la montagne , & ôter la moitié de cette hauteur:
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    • §6 Récréations Mathématiques/ le refte fera celle du fommet de la montagne 4 telle qu’on l’auroit eue fans la réfraCtion.
    • Suppofons,ipar exemple, que le fommet de la montagne , vu de 10000 toifes, parût élevé de 5 degrés : la réfraction qui convient à 5 degrés , eft de 9' 54", dont la moitié eft 4' 57" : vous ôterez de 50, & vous aurez 40 55' 3", que vous emploierez comme hauteur réelle*
    • On voit par-là que, pour procéder sûrement dans une pareille dimenfion, il faut choifir des Rations qui ne foient qu’à une diftance peu con* fidérable de la montagne, enforte que fon fommet paroifle à une élévation de plufieurs degrés fur l’horizon. Sans cela, la variété des réfractions, qui font aflez inconftantes près de l’horizon , jettera beaucoup d’incertitude fur cette mefure.
    • Nous parlerons ailleurs d’une autre méthode pour mefurer les hauteurs des montagnes. Celle-ci emploie le baromètre, & fuppofe qu’on puifle monter à leur fommet. Nous donnerons même une table des hauteurs des principales montagnes de la terre au deffus du niveau de la mer ; nous voulons dire de celles où il a été pofîible d’obfer-ver. Il nous fuffira de dire ici, qu’on a trouvé que les plus hautes montagnes de l’univers, du moins de la partie de notre globe qui a été jufqu’à pré-fent acceffible aux fqavants, font lituées aux environs de l’équateur ; & c’eft avec raifon qu’un hiftorien du Pérou dit qu’elles font aux montagnes de nos Alpes & de nos Pyrénées , comme les tours ôt les clochers de nos villes font aux édifices ordinaires. La plus haute connue jufqu’à ce moment , eft celle de Chimboraço au Pérou , qui a 3120 toifes d’élévation perpendiculaire au deflfus du niveau de l’Océan.
    • Comme
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    • Astronomie et Géographie. 97
    • Comme toutes les montagnes connues de notre Europe atteignent à peine les deux tiers de la hauteur de ces maffes énormes, on peut juger parla de la faufleté de ce que les anciens, & quelques modernes , comme Kircher, ônt débité fur la hauteur des montagnes. - Si on les en croit , le mont Ethna a 4000 pas géométriques de hauteur ; les montagnes de la Norvège, 6000; le mont Hœmus, le Pic des Canaries, 10000; le mont Atlas , les montagnes de la Lune en Afrique, 15000 ; le mont Athos, 20000 ; le mont Caffius, 28000. On prétend avoir trouvé cela par la longueur de leur ombre : mais rien n’eft plus deftitué de vérité ; & fi jamais quelque obfervateur monte fur ces montagnes, ou mefure géométriquement leur hauteur, il les trouvera fort inférieures aux montagnes du Pérou, comme il eft arrivé au Pic des Canaries, qui, mefuré géométriquement par le P. Feuillé , a été trouvé n’excéder guere 2200 toifes.
    • On voit encore par-là, que la hauteur des montagnes les plus élevées eft très-peu de choie, en comparaifon du diamètre de la terre, & que la figure régulière de notre globe n’en eft point fen-fiblement altérée ; car le diamètre moyen de la terre eft d’environ 6583000 toiles: ainfi, enfup-pofant la hauteur d’une montagne égale à 3500 toifes, ce ne fera qu?une 1880e partie du diamètre de la terre ; ce qui eft moindre que l’élévation d’une demi-ligne fur un globe de fix pieds de diamètre.
    • Tome III.
    • G
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    • çg Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME XXL
    • Manière de connoître les Conjlellations.
    • Pour apprendre à connoître le ciel , il faut d’abord fe pourvoir de quelques bonnes cartes céleftes , au moins d’un planifphere aflez grand pour y diflinguer facilement les étoiles de la première & fécondé grandeur. Nous indiquerons, à la fin de cet article, les ouvrages les meilleurs en ce genre.
    • Muni d’une de ces cartes, & de celle qui renferme le pôle boréal, vous vous tournerez vers !e 1. ç, nord , & vous commencerez à chercher la grande 12. Ourfe, vulgairement appellée le Chariot. Elle eft facile à connoître, car elle forme un des groupes les plus remarquables qui foient dans le ciel, par fept étoiles de la fécondé grandeur, dont quatre forment un quarré irrégulier , & trois autres une prolongation en forme de triangle fcalene très-obtus. D’ailleurs la comparaifon de la figure de ces fept étoiles, préfentée par la carte, vous fera facilement reconnoître dans le ciel celles qui lui correfpondent. Lorfque vous aurez connu ces fept étoiles principales, vous examinerez fur la carte les configurations des étoiles voifînes qui appartiennent à la grande Ourfe , & vous apprendrez à reconnoître par-là les autres étoiles moins con-fidérables qui compofent cette conftellation.
    • De la connoifTance de la grande Ourfe, on paffe facilement à celle de la petite Ourfe ; car il ïj. n’y a qu’à tirer , comme vous le verrez par la carte , une ligne droite par les deux du quarré de la grande Ourfe les plus éloignées de la queue, ou les deux antérieures : cette ligne ira paffer fort
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    • Astronomie et Géographie» 99
    • près de l’étoile polaire , étoile de la 2e grandeur, la feule aufli confidérable dans un efpace affez grand. Peu loin d’elle, font deux autres étoiles de la 2e & 3e grandeur, qui, avec quatre autres un peu moindres, forment une figure fort approchante de celle de la grande Ourfe , mais plus petite. C’eft-là ce qu’on appelle la petite Ourfe , dont on apprendra à connoître les autres étoiles, de la même maniéré qu’on a fait pour celles de la grande Ourfe.
    • Menez maintenant une ligne droite par celles Pl. 5, dès étoiles du quarré de la grande Ourfe la plus % *4 voifine de la queue, & par l’étoile polaire ; cette ligne vous conduira à un groupe fort remarquable, de cinq étoiles, en AA fort évafé : c’eft la conftel-îation de Cafliopée , dans laquelle parut en 1572 une nouvelle étoile très - brillante , qui s’affoiblit enfuite peu après , 8c difparut entièrement.
    • Si, après cela , vous tirez à travers cette conf-tellation une ligne perpendiculaire à la ligne ci-deffus , elle vous conduira, d’un côté, à une affez belle étoile qui eft au dos de Perfée, ôc qu’on nomm e Algenib ; 8c de l’autre, à la conftellation Fig. 15, du Cygne, remarquable par une étoile de la première grandeur. Près de Perfée, eft la brillante de la Chevre , étoile de la première grandeur, appellée Capella, qui fait partie de la conftellation du Cocher*
    • Décrivez enfuite .une ligne droite par les deux dernîeres de la queue de la grande Ourfe, vous arriverez dans le voifinage d’une des plus brillantes étoiles du ciel : c’eft Arcturus, qui fait partie de Fig. 16. la conftellation de Bootes.
    • On s’aidera ainfi fucceffivement de la connoit-fance des étoiles d’une conftellation, pour trouver
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    • ïoo Récréations Mathématiques.
    • fes voifines. Il nous fuffit d’avoir indiqué la méthode ; car on fent aifément que nous ne pouvons pas ainfï parcourir tout le ciel; mais il n’eft point de bon efprit qui ne puiffe, dans une nuit, apprendre de cette maniéré à connoître une bonne partie du ciel, ou du moins les principales étoiles.
    • Les anciens n’ont connu, ou, pour mieux dire, n’ont enregiftré dans leurs catalogues, que 1022 étoiles fixes, qu’ils diviferent en 48 conftella-tions ; mais leur nombre eft bien plus confidérable, même en Te bornant à celles qui font perceptibles à la vue fimple. M. l’abbé de la Caille en a obfervé 1942 dans l’efpace compris entre le tropique du Capricorne 6c le pôle auftral, de partie defquelles il a formé de nouvelles conftellations. Or cet ef-pace eft à toute la fphere, environ comme 3 à 10 : ainfi je penfe qu’on peut fixer à environ 6500 , le nombre des étoiles fixes vifibles à l’œil nu. C’eft au refte une pure illufion, qui fait juger au premier coup d’œil qu’elles font innombrables ; car , qu’on prenne un efpace renfermé entre quatre, cinq ou fix étoiles de la 2e ou 3 e grandeur, 6c qu’on effaye de compter celles, que comprend cet efpace , on n’y trouvera pas grande difficulté, 6c l’on pourra fe faire par-là un apperçu de leur nombre total, qui n’excédera pas beaucoup celui ci-deffus.
    • On divife les étoiles en étoiles de la première grandeur , de la fécondé, de la troifieme, Ôcc. jufqu’à celles de la 6e, qui font les plus petites que l’œil nu puiffe appercevoir. Il y en a 18 de la première grandeur , 70 de la fécondé, 100 de la troifieme, 452 de la quatrième, Ôcc.
    • Quant aux conftellations, le nombre de celles communément reconnues, eft de 63, dont 25
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    • Astronomie et Géographie, ioi
    • appartiennent à l’hémifphere boréal, 12 au zodiaque, & les 16 autres à l’hémifphere auftral. Nous allons en donner ici le catalogue , avec le nombre des étoiles dont chacune en compofée, & leur grandeur relative.
    • TABLE DES CONSTELLATIONS.
    • Conjlcllations fepuntrionales.
    • ? * g
    • 1 La petite Ourfe .10 o
    • 2 La grande Ourfe .35 o
    • 3 Le Dragon ... 35 o
    • 4 Céphée.......zi o
    • 5 Cafliopée . ... 28 o
    • 6 Perfée...........41 o
    • 7 Le Charretier . . 40 1
    • 8 Le Bouvier. ... 32 1
    • 9 Hercule..........62 o
    • 10 Le Cygne .... 40 o
    • 11 Andromède ... 27 o
    • 12 Le Triangle ... 60
    • 13 La Chevelure de
    • Bérénice .... 13 o
    • 14 La Couronne. • , 21 o
    • 2 1 3
    • 7 3 12 1 10 14 o 3 7 o y 5
    • i o 7 o 6 13 o 9 21 1 5 16
    • 3 1 11
    • 003
    • 1 o 5
    • « 3 8 5
    • 8 2 7 4 3 »ï 12 12
    • 3 *7
    • 4 8 11 21
    • 7 1* 10 2
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    • « L’Aigle..........27 o i 6 « 5-4
    • *3 Antinoiis.....15 p o 6 1 1 6
    • s4 La Fléché ....8 0003 r4
    • *5 Le Dauphin . , . 10 .q o 5 o 1 4
    • 16 Le Bélier .... 19 o 0 3 1 113
    • IJ Le Taureau . . : 48 I I 5 8 20 13
    • 28 Les Gémaux ... 34 0 3 4 7 9 11
    • 29 L’Ecrevife.... 32 o o 2 4 6 20
    • 38 Le Lion..........43 2 2 5 13 7 14
    • 31 La Vierge .... 45 1. o 5 6 11 22
    • 32 La Balance. . . . 14 o 1 1 8 1 x,
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    • Astronomie et Géographie. 103
    • 33 Le Scorpion ... 35 t 1 9 10 11 3
    • 34 Le Sagittaire ... 30 o 1 7 g 8 5
    • 35 Le Capricorne . . 28 o o 4 1 7 16
    • 36 Le Verfeurd’eau . 42 o o 4 7 23 8
    • 37 LesPoiffons ... 36 o o 1 6 19 10
    • Conjlcllations méridionales.
    • 38 La Baleine .... 29 o
    • 39 L’Eridan ..... 44 1
    • 40 Le Lievre .... 13 o
    • 41 Le grand Chien. .19 1
    • 42 L’Hydre ..... 29 1
    • 43 LaTaffe..........11 o
    • 44 Le Corbeau ... 8 .0
    • 45 Le Poiffon auftral. 12 1
    • 46 LePhœnix. ... 14 o
    • 47 La Colombe ... 12 o
    • 48 Le Navire Argo .51 I
    • 49 Le Centaure ... 41 2
    • 50 Le Loup..........20 o
    • 51 La Couronne auft'r. 13 0
    • 32 La Grue.........ij o
    • 2 7 14
    • o 6 29
    • 044 1 5 4
    • o 4 1
    • 009 . 3 8
    • 209 7 10 *3 5 7 >6 o 2 11
    • 5 ' 5 î
    • 8 o
    • 9 4
    • 7 3 ,9 2 7 o 7 1 2 6
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    • io4 Récréations Mathématiques.
    • CoTijldlations méridionales.
    • >4
    • I
    • g-
    • 53 Hydrus
    • 54 La Dorade.... 5 5 Le Poiffon volant.
    • 56 La Mouche . . .
    • 57 Le Triangle auftral
    • 58 L’Autel......
    • 59 Le Paon......
    • 60 L’Indien.....
    • 61 Le Toucan, . , .
    • 62 Le Caméléon , . €3 Apus, ou l’Oifeau
    • d’Inde.......
    • 15 O I O 4 10 O
    • 60003 3 O 400001 3
    • 4000400 4030010 6000510
    • 16 o 1 £ 1 6 6
    • 15 o o o 6 3 o
    • 8040310 9 O Q 9 O O O
    • Il 0 0 O I II O
    • Nous n’entrerons pas ici dans des détails phyfi-ques fur les étoiles ; nous les réfervons pour un autre endroit, on nous parlerons de leurs diftan-ces , de leurs groffeurs, de leur mouvement, & de plufieurs autres objets relatifs à cette matière , comme les étoiles nouvelles , les étoiles changeantes ou périodiques, &c. ,
    • Les meilleures cartes céleftes ont été long-temps celles de VUranométrie de Bayer, ouvrage pu-, blié en 1603 , in-fol,, & qui a eu de nombreufes éditions. Mais çes cartes ont cédé la place à celles
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    • Astronomie et Géographie, ioç
    • du magnifique Atlas célefie de Flamftéed, donné en 1729, à Londres , in-fol. Un aftro.nome pratique ne peut pas fe palier de cet ouvrage. Parmi les autres cartes ou planifpheres, on a eftimé celles que le P. Pardies donna en 1673 , en ftx feuilles magnifiquement gravées par Duchange. On a auffi les deux planifpheres de M. de la Hire, en deux feuilles. Le graveur Anglois Senex, a donné pareillement deux nouveaux planifpheres, d’après les ob-fervations de Flamftéed, l’un en deux feuilles, où les deux hémifpheres font projetés fur le plan de l’équateur, l’autre où ils font projetés fur le plan de l’écliptique. Au défaut de 19Atlas célefie de Flamftéed, on ne peut guere fe palier de l’un de ces planifpheres. Lesaftronomes modernes, M. de la Caille fur-tout, ayant ajouté dans l’hémifphere auftral un allez grand nombre de conftellations aux anciennes , on a formé en conféquence de nouveaux planifpheres. Tel eft celui de M. Robert , en deux feuilles, où le fond du ciel eft lavé en bleu , enforte que les conftellations s’en détachent bien. Il eft formé d’après les obfervations les plus modernes, & eft accompagné d’une explication inl&uélive fur la maniéré de connoître le ciel.
    • Comme la connoiflance des conftellations & des étoiles du zodiaque eft la plus importante aux aftronomes, parceque cette bande circulaire eft la route des planètes , Senex , dont nous avons parlé ci-deflus, donna , il y a une quarantaine d’années, le Zodiaque étoilé, d’après les obfervations de Flamftéed ; & , comme il étoit difficile de fe le procurer à Paris , le fieur Dheuland , graveur , en donna, plufieurs années après, c’eft-â-dire
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    • io6 Récréations Mathématiques. cations que néceffitoit l’intervalle de temps écoulé depuis l’édition de celui de Senex. Il fut dirigé dans ce travail par M. de Seligny, jeune officier de la Compagnie des Indes. Le Zodiaque de Dheuland eft accompagné d’un catalogue détaillé des étoiles zodiacales, avec leurs longitudes & latitudes réduites à l’année 1755. Ce catalogue comprend 924 étoiles. Il eft vrai que fon auteur , pour les rendre plus utiles aux obfervations nautiques , a donné à fon Zodiaque 10 degrés de latitude de chaque côté de l’écliptique. Il eft aifé de voir, par ces détails , que quand on ne poflede pas l’Atlas célefte de Flamftéed, on ne peut fe difpenfer d’avoir au moins le Zodiaque & le Catalogue de Dheuland, ou plutôt de Seligny , & même que la poffeffion du premier ouvrage ^affranchit pas de la néceffité d’avoir le dernier.
    • On annonce en ce moment une nouvelle édition de 19Atlas de Flamftéed , réduite au tiers dé la grandeur de l’original, avec un planifphere des étoiles auftrales obfervées par M. l’abbé de la Caille. M. Fortin , ingénieur pdur les globes, (rueSaint-Jacques) qui eft l’auteur de cet ouvrage , a réduit les polirions des étoiles à l’année 1780; il y a auffi ajouté une carte des étoiles , qui montre les differentes figures qu’elles font, & leurs differents alignements. Cette derniere eft très-commode pour apprendre à connoître le ciel: enfin c’eft un préfent utile que M. Fortin fait aux aftronomes, vu la médiocrité du prix de ce nouvel Atlas, qui ne coûtera que 9 à 12 livres.
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    • Astronomie et Géographie. 107
    • CHAPITRE IL
    • Expojîtion fommairc des principales vérités de l’Aflronomie phyfique , ou du Syftême de l’Univers.
    • IL n’y a plus aujourd’hui de partage , entre les phyficiens éclairés , fur la difpofition des planètes <k du Soleil. Tous ceux qui font en état de pefer les preuves déduites de Paftronomie & de la phyfique , reconnoiflent que le foleil occupe le milieu d’un efpace immenfe, dans lequel tournent autour de lui, à différentes diftances, Mercure , Vénus ; la Terre, fans ceflfe accompagnée de la Lune ; Mars ; Jupiter, fuivi de fes quatre lunes ou fatellites ; Saturne, environné de fon anneau, & accompagné de fes cinq fatellites ; un très-grand nombre enfin de cometes, qu’on a démontré n’ê-tre que des planètes dont l’orbite eft extrêmement allongée.
    • La route de chacune des planètes autour du foleil n’eft pas un cercle , mais elle eft une ellipfe plus ou moins allongée, dont cet aftre occupe l’un des foyers ; enforte que , lorfque la planete eft à l’extrémité de l’axe au-delà du centre, elle eft à fa plus grande diftance du foleil : elle en eft au contraire le plus près -, lorfqu’elle eft à l’autre extrémité de ce même axe. Cette ellipfe, au refte, n’eft pas fort allongée : celle que décrit Mercure l’eft le plus de toutes, car la diftance de fon foyer au centre , eft un cinquième de fon axe. Celle de Vénus eft prefque un cercle. Dans l’orbite de la
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    • io8 Récréations Mathématiques. Terre, la diftance du foyer au centre n’eft que d’environ un 57e de l’axe.
    • Deux loix fameufes , & dont la découverte mérite l’immortalité au célébré Képler , règlent les mouvements de tous ceà corps à l’entour du foleil. La première de ces loix eft relative aux mouvements d’une planete , dans les différents points de fon orbite elliptique. Elle confifte en ce que cette planete s’y meut tellement, que l’aire que décrit, le rayon veéleur, c’eft-à-dire la ligne continuellement tirée du foleil à la planete, croît uniformément dans des temps égaux, ou eft toujours proportionnelle au temps ; enforte, par exemple, que fi la planete a employé 30 jours à fe mouvoir PI. 5, de A en TT, & 20 à fe mouvoir de n en p, l’aire % 17. mixtiligne A Sv, fera à l’aire mixtiligne 71S p , comme 30 à 20 ; ou AS 77 à AS/>, comme 30 à 50 ou 3 à 5. Ainfi, dans un temps double, cette aire eft double, &c ; d’où il fuit que, lorfque la planete eft la plus éloignée , elle a une moins grande viteffe fur fon orbite. Les anciens étoient dans l’erreur, lorfqu’ils penfoient que ce retardement qu’ils remarquoient dans le mouvement d’une planete, du Soleil, par exemple, étoit une pure apparence optique ; ce retardement eft moitié réel, moitié apparent.
    • La fécondé loi découverte par Képler, eft celle qui réglé les diftances des planètes au Soleil, 6c leurs temps périodiques ou les temps de leurs révolutions. Suivant cette loi, les cubes des diftances moyennes de deux planètes au Soleil, à l’entour duquel elles font leurs révolutions, font toujours entr’eux comme les quarrés des temps périodiques ; ainfi , fi les diftances moyennes de deux planètes au Soleil font doubles l’une de
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    • Astronomie et Géographie. 109 l’autre, les cubes de ces djftances étant comme 1 & 8, les quarrés des temps périodiques feront comme 1 à 8, & conféquemment les temps eux-mêmes feront entr’eux comme 1 à la racine quar-rée de 8. r
    • Cette réglé s’obferV<r*fion-feulement à l’égard des planètes principales, celles’ qui tournent autour du foleil, mais encore à l’égard des planètes fecondaires qui tournent autour d’une planete principale , comme les quatre fatellites de Jupiter autour de Jupiter , & les cinq de Saturne autour de Saturne. Si la Terre avoit deux lunes, elles obfer-veroient entr’elles cette loi, par une nécefîité mécanique.
    • Ces deux loix, d’abord démontrées par les ob-fervations de Képler, l’ont enfuite été par Newton , d’après les principes & les loix du mouvement ; & il faut n’être pas en état de fentir une démonftration, pour fe refufer à des vérités aufli bien établies.
    • Nous allons maintenant préfenter ce qu’il y a de plus remarquable fur chacun des corps cé-lefles qui nous font connus, en commençant par le foleil. Celui qui, témoin de ce curieux tableau , ne fera pas frappé, doit être mis au rang de ces êtres ftupides , dont l’atne eft incapable de tout fentiment réfléchi fur les œuvres les plus magnifiques de la Divinité.
    • §.I. Du Soleil.
    • Le Soleil efl:, comme nous l’avons dit, placé au milieu de notre fyftême : fource également de lu/nieie & de chaleur, c’eft lui qui éclaire & qui vivifie toutes les planètes qui lui font fubordon-nées. Que feroit le globe que nous habitons, fans
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    • Iio RÉCRÉATIONS MATHÉMàTIQÜÊS. fes influences bénignes! Car fi la privation de ik lumière, pendant une partie delà révolution diurne de la terre, commence à plonger la nature dans l’engourdiflement, quel feroit celui où la jetteroit l’ablénce abfolue du foleil ? La terre ne feroit qu’un bloc, dont la dureté furpafleroit celle des marbres & des matières les plus dures que nous connoif-fions ; nulle végétation, nul mouvement poffible s elle feroit enfin le fejour des ténèbres, du repos Ô£ de la mort. Auffi ne peut-on refufer au Soleil le premier rang parmi les êtres inanimés ; & fi l’on pouvoit excufer l’erreur d’adreffer à la créature les hommages uniquement dus au Créateur, on feroit tenté d’excufer le culte que rendoient au Soleil les anciens Perfes, & que lui rendent encore les Gue* bres leurs fucceffeurs , & quelques peuples de l’Amérique.
    • Le Soleil eft un globe de feu ou enflammé , dont le diamètre égale à peu près cent 11 fois celui de la Terre, ou en à peu près de 333 mille lieues : fa furface eft conféquemment 12311 fois auffi grande que celle de la Terre, Scfamafle 1367631 fois auffi grande. Sa diftance à la terre eft, fui-vant les obfervations les plus récentes, d’environ 21600 demi-diametres de la Terre, ou d’environ trente-deux millions quatre cents mille lieues.
    • Cette malfe énorme n’eft pas abfolument en repos : les aftronomes modernes lui ont découvert un mouvement par lequel il tourne, en 25 jours, 12 heures autour de fon axe. Ce mouvement fe fait fur un axe incliné au plan de l’écliptique, d’environ 70 -, enforte que l’équateur du Soleil eft incliné à l’orbite de la Terre de cette même quantité.
    • C’eft par le moyen des taches dont la furface
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    • Astronomie et Géographie, tii du Soleil eft couverte en certains temps , qu’on a découvert ce phénomène. En effet, on remarque quelquefois avec le télefeope , fur le difque du Soleil, des taches obfcures , de forme ordinairement très-irréguliere, & fouvent affez permanentes pour durer des mois entiers. Ce fut Galilée le premier qui fît cette découverte ; & par elle il porta un coup mortel à l’opinion des philofophes de fon temps, qui, marchant fur les traces d’Arif-tote, réputoient les corps céleftes des corps inaltérables. Il obferva en différents temps, & à différentes reprifes, de groffes taches fur le difque du Soleil; il les vit s’approcher toujours, dans un même fens & prefque en ligne droite, d?un des bords , enfuite difparoître, puis reparoître au bord oppofé ; d’où il conclut que le Soleil avoit un mouvement de révolution autour de fon centre. On remarque que ces taches emploient 27 j ours 12 heures pour revenir au même point du difque où l’on a commencé de les obferver ; d’où ïi ré-fulte qu’elles mettent 25 jours 12 heures à faire une révolution complette (a) , & conféquemment que le Soleil met 25 jours 12 heures à faire fa révolution autour de fon axe.
    • Il fuit aufli de-là, qu’un point de l’équateur du Soleil, fe meut quatre fois un tiers environ plus vite qu’un point de l’équareurde la Terre, em-j porté par fon mouvement diurne ; car la circonfé-
    • (4) La raifon de cette différence eft que, pendant que le Soleil fait une révolution complette fur fon axe, la Terre, qui fe meut dans fon orbite, s’avance d’environ degrés du même côté ; ce qui fait qu’il faut que la tache parcoure encore environ *5 degrés pour fe replacer dans le même afpeét à l’égard de la Terre.
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    • na Récréations Mathématiques. rence d’un grand cercle folaire, étant cent onza fois auffi grande, ces points fe mouvroient avec la mêmeviteffe, fi la révolution du Soleil étoit de cent onze jours. Or elle eft quatre fois 6c un tiers plus rapide , étant feulement de 25 jours 8c quelques heures.
    • Les aftronomes ont auffi eu la curiofité de me-furer la grandeur de quelques-unes des taches du Soleil, &c ils ont trouvé qu’elles étoient quelquefois beaucoup plus groffes que la Terre.
    • A l’égard de la nature de ces taches, quelques phyficiens ont conjeéluré que ce pouvoit n’être que des parties mêmes de la fubftance ou du noyau du Soleil, qui, par les mouvements irréguliers d’un fluide énormément agité , reftoient à découvert. Un aftronome Anglois, M. Wilfon, vient de renouveller cette idée dans les Tranfactions Philofophiques, ann. 1773 , avec cette différence que, fuivant lui, la matière lumineufe du foleil ne feroit pas fluide, mais d’une confiftance telle que , par des circonftance; particulières, il pourrait quelquefois s’y former des excavations çonfi-dérables, qui mettraient à découvert une portion du noyau du Soleil. Les talus de ces excavations forment, félon lui, les fécules, ou ce bord moins lumineux fans être noir, qui environne d’ordinaire les taches. Il s’efforce d’établir tout cela, par l’examen des phénomènes que devraient préfenter de pareilles excavations, félon la maniéré dont elles fe préfenteroient à un obfervateur.
    • Mais en voilà affez fur cette idée. D’autres phyficiens aftronomes ont penfé que ces taches n’é-toient que des tourbillons de fuliginofités, qui reC-toient fufpendus au deffus de la furface du Soleil , comme dans les exploitons du Véfuve, on verrait du
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    • Astronomie et Géographie. 113
    • du haut de l’atmofphere la fumée couvrir une alTez grande étendue de pays. D’autres enfin ont penfé que c’étoient des efpeces d’écumes produites par la combuftion de matières hétérogènes tombées fur fa furface. Il faut probablement fe réfoudre à ne rien fçavoir jamais de pofitif fur ce fujet.
    • Il s’écoule quelquefois des années entières fans qu’on voie des taches fur le difque du Soleil; quelquefois on y en voit un très - grand nombre. On raconte qu’en 1637 elles furent fi nombreufes, que la chaleur du Soleil 8c fon éclat en furent un peu diminués. Si l’opinion de Defcartes fur l’encroûtement des étoiles & leur changemenr en planètes opaques, eût été connue, on eût pu avoir l’appréhenfion de voir le Soleil fubir, au grand malheur de l’efpece humaine , cette étrange mé-tamorphofe.
    • Au refte, une certaine figure du Soleil, donnée d’après Kircher, 8c rapportée dans diverfes mappemondes , ne doit être regardée que comme un jeu d’imagination. Jamais aucun aftronome ne fit d’obfervation qui puiffe fervir à lui donner le moindre fondement.
    • M. Caffini découvrit en 1683 , que non-feulement le Soleil a line lumière propre, mais qu’il eft accompagné d’une efpece d’atmofphere lumi-neufe, qui s’étend aune diftance immenfe, puifque quelquefois elle atteint jufqu’àla Terre. Mais cette atmofphere n’eftpas, comme celle de la Terre, à peu près fphérique ; elle eft lenticulaire, 8c fituée de maniéré que fa plus grande largeur eft à. peu près dans la prolongation de l’équateur fo-laire. On voit en effet affez fouvent, dans les temps extrêmement fereins, 8c peu après le coucher du Soleil, une lumière un peu inclinée à l’é-
    • Tome ///, H
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    • 114 Récréations Mathématiques. cliptique , large de quelques degrés à l’horizon , & diminuant en pointe, qui s’élève jufqu’à 450 de hauteur. C’eft principalement vers l’équinoxe du printemps & celui d’automne que ce phénomène fe fait remarquer ; & comme il a été vu depuis, & en divers lieux , & par une foule d’afi-tronomes , on ne peut fatisfaire à ces apparences, qu’en reconnoiffant autour du Soleil une atmo-fphere telle que nous venons de dire.
    • §. II. De Mercure.
    • Mercure eft la plus petite de toutes les planètes, & la plus voifine du Soleil. Sa diftance à cet aftre eft à peu près égale aux de celle de la Terre à ce même aftre : ainfi Mercure circule à environ 1231x000 lieues du Soleil. Cette pofition fait qu’il ne s’écarte guere de cet aftre que de 28° ; enforte qu’il eft affez difficile de l’appercevoir dans ces contrées. Quand il eft vers fes plus grandes élongations du Soleil, il paroît en croiflant, comme la Lune vers fes quadratures ; mais il faut de bonnes lunettes pour appercevoir cette configuration.
    • Rien, au refte , n’a pu encore apprendre fi Mercure a un mouvement autour de fon axe , comme cela eft affez probable.
    • Cette planete achevé fa révolution en 87 jours 23 heures, & fon diamètre eft à celui de la Terre comme 1 à 3, ou comme 2 à 5 ; enforte que fon volume eft à celui de la Terre comme 8 à 125 , ou comme 1 à 15L.
    • La planete de Mercure, étant à une diftance du Soleil qui n’eft que les ~ ou les 7^ de celle de la Terre à cet aftre, & la chaleur croiflant en
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    • Astronomie et Géographie, hj raifon inverfe. des quarrés des diftances, il fuit de-là qu’il fait environ fept fois auffi chaud dans cette planete que fur notre globe , toutes chofes d’ailleurs égales. Cette chaleur excede même de beaucoup celle de l’eau bouillante. Si donc cette planete eft conformée comme la Terre, & qu’elle foit habitée, les êtres qui la peuplent doivent être d’une nature bien différente de la nôtre ; ce qui n’a rien de répugnant à la raifon : car qui ofera borner la puiflance de la Divinité à des êtres à peu près femblables à ceux que nops connoiffons fur notre Terre ? Nous verrons même ailleurs que la conformation de la furfece de Mercure, & la nature de fon fluide ambiant, pourroient être telles qu’il ne fût pas impoffible à des êtres de notre nature d’y fubfifter.
    • §. III. De Venus.
    • La planete de Vénus eft la plus brillante du ciel. Tout le monde fçait que c’eft elle qui, tantôt devançant le Soleil, eft appellée Lucifer ou l’étoile du matin ; tantôt le fuivant , paroît la première après fon coucher, & porte alors le nom de Vfper, ou d’étoile du foir.
    • Cette planete circule autour du Soleil, à une diftanee de cet aftre qui eft à celle de la Terre , à peu près comme 71 à 100; conféquemment fa diftanee du Soleil eft d’environ 13 millions 328 mille lieues : elle ne s’écarte du Soleil, à notre égard , que d’un angle d’environ 48°, & elle eft fujette aux mêmes phafes que la Lune.
    • La révolution de Vénus autour du Soleil eft de 124 jours 14 heures 49 minutes ; fon diamètre eft, fuivant les obfervations les plus récentes ôc
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    • h 6 Récréations Mathématiques. les plus exaftes, à celui de la Terre, comme 4 à 5, enforte que ion volume eft à celui de la Terre comme 64 a 115.
    • On a découvert fur la furface de Vénus , des taches paflageres , qui ont fervi à démontrer la révolution de cette planete fur fon axe ; mais la durée de cette révolution n’eft pas encore mife hors de toute contradi&ion. M. Bianchini la fait de Z4 jours, & M. Calfini de 23 heures 10 minutes. Nous inclinons néanmoins pour le dernier fentiment, qui fe concilie avec les deux obferva-tions, au lieu que la détermination de M. Bianchini étant admife , il faut rejeter les obfervations de M. Caflini. Malheureufement ces taches, vues par Maraldi & Caflini, ne fe voient plus, même avec les plus forts télefcopes, du moins dans ce pays-ci ; ©n n’apperqoit plus aucune tache fur Vénus, enforte qu’on reftera partagé jufqu’à ce que l’on en découvre de nouvelles.
    • Vénus peut quelquefois pafler entre la Terre & le Soleil, de maniéré à être vue fur le difque de cet aftre. Elle y paroît alors comme une tache noire, d’environ une minute de diamètre apparent. On l’a vue pour la première fois, paflant ainfi fur le difque du Soleil, en Novembre 1631 : on l’a obfervée de nouveau dans cette circonftance, le 6 Juin 1761, & on vient de faire la même obfèr-vation le 3 Juin 1769. On ne la verra plus pafler fous le difque du Soleil, avant le 9 Décembre 1874. Cette obfervation , au fuccès de laquelle tous les fouverains de l’Europe ont pris intérêt, a des utilités en aftronomie, qu’on peut voir dans les livres qui en traitent expreflement.
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    • Astronomie et Géographie. 117
    • §. IV. De la Terre.
    • La Terre, ce globe que nous habitons, eft la troifieme dans l’ordre des planètes. Son orbite , qui a environ 32- millions 4O0 mille lieues de demi-diametre, embrafle celles de Vénus & de Mercure. Elle fait fa révolution autour du Soleil en 365 jours 6 heures 11 minutes ; car il faut di£* tinguer la révolution réelle & complette de la Terre, d’avec la révolution tropique ou l’année folaire. Celle-ci n’eft que de.365 jours 5 h 49' 50", parcequ’elle repréfente feulement le temps du retour du Soleil d’un point équinoxial au même point ; mais, comme les points équinoxiaux rétrogradent annuellement de 50", (ce qui fait pa-roître les étoiles s’avancer chaque année de cette quantité ) lorfque la Terre eft revenue au point de l’équinoxe du printemps, il lui refte encore 50" à parcourir pour atteindre le point de la fphere fixe où étoit l’équinoxe l’année précédente. Or elle y emploie environ 20 minutes, qui, ajoutées à l’année tropique, donnent la révolution complette, depuis un point de la fphere fixe , au même point de 365 jours 11 ", comme nous avons dit plus haut.
    • Pendant une révolution de cette efpece , la Terre, en conféquence des loix du mouvement, conferve toujours fon axe parallèle à lui-même , & elle fait fa révolution autour de cet axe, à l’égard des fixes, en 23h 5 6' ; car c’eft à l’égard des fixes que cette révolution doit être mefurée, & non à l’égard du Soleil, qui a, en apparence , avancé dans le même fens d’environ un degré par jour. C’eft ce parallélifme de l’axe de la Terre
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    • 118 Récréations Mathématiquïs. qui occafionne la diverfité des SaiSons, parcequ’il expofe tantôt l’hémiSphere bôréâl, tantôt l’hémi-fphere auftral, plus directement au Soleil.
    • Ce parallélisme n’eft néanmoins pas absolument fans altération. En vertu de certaines cauSes physiques , il a un petit mouvement par lequel il s’en écarte à chaque révolution, d’une quantité de 50 Secondes, comme s’il avoit un mouvement conique extrêmement lent, à l’entour de l’axe immobile & fiâif de l’écliptique. Par une Suite de ce mouvement, le pôle apparent du monde dans les étoiles fixes, n’eft pas fixe ; il tourne autour du pôle de l’écliptique , St s’approche de certaines étoiles, tandis qu’il s’éloigne d’autres. L’étoile polaire n’a pas toujours été la plus voifîne du pôle ar&ique : ce qui lui a fait donner ce nom ; elle n’en eft pas même encore à Sa plus grande proximité : ce Sera vers l’an 2100 de notre ere qu’elle en fera la plus proche, St Sa diftance du pôle Sera alors de 28 à 29': le pôle ar&ique s’en éloignera alors , St de plus en plus ; enSorte que, dans la Suite des fiecles , on aura une autre étoile polaire , St même d’autres Succeflivement.
    • Nous avons dit que l’axe de la Terre eft actuellement incliné de 23° 28' St quelques Secondes fur le plan de l’écliptique ; ce qui cauSe l’incli-naiSon de l’écliptique à l’équateur, St produit la variété des SaiSons. Cette inclinaison eft aufTi variable , St, Selon les obfervations modernes, elle diminue d’environ une minute par fiêcle: l’écliptique s’approche conSéquemment avec lenteur de l’équateur, ou plutôt l’équateur de l’écliptique ; & fî ce mouvement fè fait toujours avec la même vitefle, St dans le même Sens, l’équateur Se confondra avec l’écliptique dans environ 140 mille
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    • Astronomie et Géographie. 119 ans, & alors il régnera fur la Terre un équinoxe &c un printemps perpétuel.
    • §. V. De la Lune.
    • De tous les corps céleftes qui nous environnent & qui nous éclairent, le plus intéreffant, après le Soleil, eft la Lune. Fidelle compagne de notre globe dans fon immenfe révolution, elle nous tient fouvent lieu du Soleil, par fa foible lumière, elle nous confole de la privation de celle de cet aftre. C’eft elle qui, foulevant deux fois par jour les eaux de l’Océan, leur caufe ce mouvement de réciprocation , fi connu fous le nom de flux & reflux , mouvement peut-être néceflaire dans l’économie de ce globe.
    • La diftance moyenne de la Lune à la Terre, eft d’environ 60 demi - diamètres terreftres, ou ço mille lieues. Son diamètre efl à celui de la Terre , à peu près comme 133 à 500; enforte que fa mafle, ou plutôt fon volume , efl: à celui de la Terre , comme 1 à environ 52.
    • La Lune efl un corps opaque. Nous ne croyons pas avoir befoin de le prouver ici. Ce n’efl point un corps poli comme un miroir ; car, fi cela étoit, il ne nous renverroit prefque aucune lumière y puifqu’un miroir convexe difperfe les rayons de maniéré qu’un œil tant foit peu éloigné ne voit qu’un point de la furface qui foit éclairé , au lieu que la Lune nous renvoie de tout fon difque une lumière fenfiblement égale.
    • D’ailleurs l’obfervation fait voir dans le corps de la Lune des afpérités plus grandes encore à (on égard , que celles dont la Terre efl couverte. Qu’on confidere en effet la Lune quelques jours H iv
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    • no Récréations Mathématiques. après fa conjonâion , on voit la limite de l’ombre comme dentelée ; ce qui ne peut être que l’effet de fes inégalités. Il y a plus, on apperçoit à peu de diftance de cette limite, dans la partie qui n’eft point encore éclairée, des points lumineux qui, croiffant par degrés à mefure que la partie éclairée s’en approche , fe confondent enfin avec elle, & forment les dentelures dont on a parlé: on voit enfin l’ombre de ces parties, lorf-qu’elles font entièrement éclairées, fe porter plus ou moins loin, & changer de pofîtion à mefure qu’elles font plus ou moins obliquement éclairées, & d’un côté ou d’un autre. C’efl ainfi que, fur notre Terre, le fommet des montagnes eft éclairé, tandis que les vallons & les plaines voifines font encore dans l’ombre , & qu’elles jettent leur ombre plus ou moins loin, à droite ou à gauche, fuivant l’élévation du Soleil & fa pofîtion. Galilée , le premier auteur de cette découverte, a mefuré géométriquement la hauteur d’une de ces montagnes , & a trouvé qu’elle étoit d’environ trois de nos lieues ; ce qui eft, à peu de chofe près, le double de la hauteur des pics les plus élevés des Cordillieres, les plus hautes montagnes connues de la Terre.
    • Nous avons parlé ailleurs des noms que les aftronomes ont donnés à ces taches, & de leur ufage dans l’aftronomie ; ainfî nous ne le répéterons point ici, ôc nous paierons à quelque chofe de plus intéreffant.
    • Il y a fur la furface de la Lune des taches de différentes efpeces, les unes lumineufes, les autres en quelque forte obfcures. On a regardé pendant long-temps comme fuffifamment conftaté, que les taches les plus lumineiifes étoient des portions
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    • Astronomie et Géographie, ut de terre, &les parties obfcures des mers ; car, dit-on, l’eau abforbant une partie de la lumière, doit renvoyer un éclat plus foible que des terres, qui la réfléchiffent fortement. Mais cela n’eft pas fondé ; car fi ces taches obfcures, refpe&ivement au refte de la Lune, étoient de l’eau, lorfqu’elles feraient éclairées obliquement, comme elles le font à notre égard dans les premiers jours après la conjonction, elles devroient nous renvoyer la lumière la plus vive. C’eft ainfi qu’un miroir , qui paraît noir quand on n’eft pas au point où il réfléchit les rayons du Soleil, paroît au contraire très-éclatant quand on eft à ce point.
    • Cela a fait penfer à d’autres, que ces parties obfcures étoient de vaftes forêts ; & cela feroit plus probable. Nous ne doutons nullement que qui confidéreroit d’une grande diftance les vaftes forêts qu’il y a encore en Europe, celles de l’Amérique , ne les vît plus brunes que le refte de la furface terreftre.
    • Mais ces taches font-elles pour cela des forêts ? Cela n’eft guere plus fondé , & en voici les rai-fons.
    • Il eft comme démontré que la Lune n’a point d’atmofphere, car , fi elle en avoit une , elle pro-duiroit les effets de la nôtre. Une étoile dont la Lune approcheroit, changeroit de couleur ; ôc fes rayons, rompus par cette atmofphere, lui donneraient un mouvement irrégulier, à une diftance même allez grande de la Lune. Or on n’apperçoit rien de femblable. Une étoile cachée par le bord obfcur de la Lune, difparoît fubitement fans changer de couleur , ni éprouver aucune réfraétion fenfible. Il eft vrai que quelques aftronomes ont cru voir, dans des éclipfes totales du Soleil,
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    • jji Récréations Mathématiques. éclairer & tonner dans la Lune; mais c’eft fans doute uneillufion de leurs yeux, fatigués d’avoir confidéré trop attentivement le Soleil. D’ailleurs, s’il y avoit dans la Lune une évaporation de và* peurs , s’il y avoit des nuages comme fur la Terre, on les auroit quelquefois appêrçus cachant des parties connues de la Lune ; comme certainement un obfervateur placé dans la Lune, verroit quelquefois des portions allez grandes de la Terre , comme des provinces entières de la France, cachées pendant des jours, pendant des femaines entières , par les nuages qui les couvrent quelquefois auffi long-temps. M. de la Hire a démontré qu’une étendue grande comme Paris feroit perceptible à un obfervateur fitué fur la Lune, au moyen d’un télefeope d’environ 25 pieds , ou groffifîant les objets environ 100 fois.
    • Or , s’il n’y a fur la furface de la Lune ni air denfe, ni élévation des vapeurs, il eft difficile de concevoir qu’il y ait aucune efpece de végétation ; Conféquemment des plantes, des arbres, des forêts ; enfin il n’eft pas poffible qu’il y ait des animaux. Ainfi il y a grande apparence que la Lune n’eft pas habitée: d’ailleurs, fi elle l’étoit, du moins par des animaux à peu près femblables à l’homme , ou doués de quelque raifon, il feroit bien difficile qu’ils ne fi fient pas des changements fur la furface de ce globe. Or, depuis l’invention du télefeope jufqu’à préfent, on n’y a pas apperçu la moindre altération.
    • La Lune préfente toujours, à fort peu de chofe près, la même face à la Terre ; il faut pour cela qu’elle ait ou un mouvement de révolution autour d’un axe à peu près perpendiculaire à l’écliptique , & dont la durée foit celle du mois lunaire, out
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    • Astronomie et Géographie. 113 qu’il y ait dans un de Tes hémifpheres une caufe qui le fafle pencher vers la Terre. Cette derniere conje&ure eft la plus probable : car pourquoi la révolution de la Lune fur Ton axe feroit-elle ainfi précifément de 29 jours li1* 44'? Quoj qu’il en Toit, la Lune préfentant toujours la même face à la Terre, il s’enfuit que toute fa furface eft éclairée par le Soleil dans le courant d’un mois lunaire î ainfi les jours font, dans la Lune, égaux à environ 15 des nôtres, & les nuits de pareille durée.
    • Feignons, nonobftant ce que nous avons dit, qu’il y ait des habitants dans la Lune ; ils jouiront d’un fpe&acle affez fingulier. Un obfervateur, par exemple, placé vers le milieu de fon difque, verra toujours la Terre immobile vers fon zénith, ou àyant feulement un mouvement de balancement, par les raiforts que nous dirons plus bas : chaque habitant enfin de cet hémifphere, la verra toujours dans un même point de fon horizon, tandis que Je Soleil parôîtra faire dans un mois fa révolution ; au contraire , les habitants de l’hémifpbere oppofé ne la verront jamais; & s’il y avoit des aftronomes, fans doute il y en auroit qui feroient le voyage de l’hémifphere tourné à la terre, pour voir cette efpece de Lune immobile, fufpendue au ciel comme une lampe, & d’autant plus remarquable , qu’elle préfente aux habitants lunaires un diamètre prefque quadruple de celui que nous offre la Lune , avec une grande variété de taches faifant leurs révolutions dans l’intervalle de 24 heures: car on ne fçaiiroit prefque douter que notre Terre, coupée de vaftes mers , de très-grands continents, d’immenfes forêts comme celles de l’Amérique, ne préfente à la Lune un difque
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    • i24 Récréations Mathématiques. varié de beaucoup de taches plus ou moins lurm-neufes.
    • Nous avons dit que la Lune préfente toujours fenjiblement le même difque à la Terre. En effet, cela n’eft pas rigoureufement vrai. On reconnoît dans la Lune un mouvement qu’on appelle de libration, en vertu duquel les parties voifines du bord du difque vifible à la Terre, s’approchent ou s’éloignent alternativement de ce bord par une efpece de balancement. On diftingue principalement deux efpeces de librations , l’une qu’on appelle de latitude , par laquelle des parties près du pôle auftral ou boréal de la Lune, femblent fe balancer du nord au fud & du fud au nord , par un arc qui peut aller jufqu’à 5 degrés. C’eft un limple effet optique, produit par le parallélifme de l’axe de rotation de la Lune, qui eft incliné de 2 degrés & demi à l’écliptique.
    • L’autre libration eft celle en longitude, qui fe fait autour de cet axe par un angle qui peut monter jufqu’à 70 & demi ; & , comme elles fe compliquent toutes deux, il n’eft pas étonnant que ce phénomène ait occupé pendant long-temps in-fruélueufement les philofophes. Les caufes de la derniere ne font même pas encore entièrement hors de contradi&ion. Quoi qu’il en foit, il eft évident que les habitants de la Lune, s’il y en a qui font fitués près du bord du difque tourné vers la Terre, doivent voir notre globe alternativement fe lever & fe coucher, en décrivant un arc feulement de quelques degrés.
    • §. VI. De Mars.
    • La planete de Mars, qui fe fait reconnoître aifément par fon éclat rougeâtre, eft la quatrième
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    • Astronomie et Géographie, 125 dans l’ordre des planètes principales. Son orbite environne celle de Mercure, de Venus & de la Terre; ainfi les mouvements de ces planètes doivent préfenter aux habitants de Mars, les mêmes phénomènes que Mercure & Vénus préfentent aux habitants de notre globe.
    • La révolution de Mars autour du Soleil eft de 686 jours 23 heures 27 minutes, ou de près de deux ans. Sa diftance moyenne au Soleil eft environ les | de celle de la Terre, ou, plus exactement , de 15 2000 parties, dont le rayon de l’orbite terreftre contient 100000.
    • On apperçoit quelquefois des taches fur le dif-que de Mars : elles ont fèrvi à démontrer qu’il tourne fur un axe à peu près perpendiculaire à fon orbite, & que cette révolution s’acheve en 24 heures 40 minutes. Ainfi les jours des habitants de Mars, s’il y en a, font à peu près égaux aux nôtres, & il y régné un équinoxe perpétuel, puif-que fon équateur fe confond avec fon orbite.
    • Quant à la grofleur de Mars, elle eft à peu prés égale à celle de la Terre.
    • §. VII. De Jupiter.
    • Après Mars , fuit dans l’ordre des planètes, celle de Jupiter. Sa diftance du Soleil eft environ 5 fois plus grande que celle de la Terre à cet aftre , ou, plus exactement, ces diftances font entr’elles comme 52 à 10. La durée de fa révolution autour du Soleil eft de 11 ans 317 jours 12 heures 20 minutes. Son diamètre, comparé à celui de la Terre, eft 10 fois auffi grand, enforte que fon volume eft 1000 fois auffi confidérable que celui de notre globe.
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    • Ü6 Récréations Mathématiques.
    • Cette maffe n’empêche cependant pas que 1a révolution de Jupiter autour de fon axe no Toit beaucoup plus prompte que celle de la Terre. En effet, les taches obfervées fur le difque de Jupiter ont appris que cette révolution eft de 9h 56', en-forte qu’elle eft plus de deux fois auffi rapide ; &, comme un point de l’équateur de Jupiter eft dix fois auffi éloigné de t’axe de cette planete, qu’un point de l’équateur de la Terre ne l’eft de l’axe terreftre , il fuit de-là que dans Jupiter ce point fe meut avec une viteffe environ vingt-quatre fois auffi grande.
    • Auffi a-t-on obfervé que le globe de Jupiter n’eft pas parfaitement fphérique , & même qu’il s’éloigne allez de la fphéricité parfaite : il eft un fphéroïde applati par les pôles ; & le diamètre de fon équateur eft à celui qui va d’un pôle à l’autre dans le rapport de 14 à 13, fuivant les obferva-tions les plus récentes , & faites avec les inftru-ments les plus parfaits.
    • L’axe de Jupiter eft prefque perpendiculaire au plan de fon orbite, car fon inclinaifon n’eft que de 3 degrés : ainfî les jours & les nuits doivent, lur cette planete, être en tout temps prefque égaux les uns aux autres.
    • La furface de Jupiter eft le plus fouvent parfe-mée de taches en forme de bandes , les unes obf-cures, les autres lumineufes : il y a des temps où l’on a peine à les appercevoir, & elles ne font pas également marquées dans leur étendue, enforte qu’elles font comme interrompues : leur nombre varie auffi, & on ne les voit guere qu’avec de fortes lunettes, ou lorfque Jupiter eft le plus voifin de la Terre. L’année 1773 a été très-propre à ces obfervations, parceque Jupiter s’eft trouvé le
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    • Astronomie et Géographie, tij
    • plus près de l’orbite de la Terre qu’il eft poffible.
    • La planete de Jupiter étant environ cinq fois plus éloignée du Soleil que la Terre , il eft évident que le diamètre du Soleil doit y paroître cinq fois moindre, ou d’environ 6 minutes feulement : l’éclat du Soleil y fera conféquemment 25 fois moindre que fur la Terre. Mais une lumière 25 fois moindre que celle du Soleil eft encore une lumière très-vive , & plus que fuffifante pour donner un très-beau jour : ainfi les habitants de Jupiter (car probablement il y en a) ne font pas à cet égard fort à plaindre.
    • Mais s’ils font à cet égard traités moins favorablement que ceux de la Terre, ils font à d’autres égards bien mieux partagés ; car , tandis que la Terre n’a qu’une Lune pour la dédommager de l’abfence du Soleil, la planete de Jupiter en a quatre. Galilée en fit le premier la découverte, & elle lui fervit à répondre à ceux qui obje&oient contre le mouvement de la Terre l’impoflibilité de concevoir comment la Lune pouvoit accompagner la Terre dans fa révolution. La découverte de Galilée leur ferma la bouche.
    • Les Satellites de Jupiter tournent autour de lui, dans des temps & à des éloignements indiqués par la table fui vante.
    • Ordre des Diftance en demi* Terni 7S périodiq.
    • Satellites. dïam. de Jupiter. h H. M.
    • Ie* . . • • ÎT • • • . 1 18 *7
    • 2e . . . . 9 . . . • 3 «3 4
    • 3' • • . . I4I7 • • . 7 3 43
    • 4' • • . 16 16 3»
    • Les habitants de Jupiter ont donc, à cet égard ,
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    • i2g Récréations Mathématiques. de grands avantages fur ceux de la Terre; car, avec leurs quatre Lunes, il eft bien difficile qu’il n’y en ait pas toujours quelqu’une fur l’horizoni qui n’eft pas éclairé du Soleil : ils les auront quelquefois toutes quatre, l’une en croiflant, l’autre pleine, l’autre demi-pleine : ils les verront s’édip-fer, comme nous voyons de temps en temps la Lune perdre fa lumière en entrant dans l’ombre projetée par la Terre , mais avec cette différence , que beaucoup plus près de Jupiter, eu égard à fa maffe , elles ne fqauroient paffer derrière lui, à l’égard du Soleil, fans fouffrir d’éclipfe.
    • Les aftronomes ne fe font pas bornés à conftater l’exiftence de ces Lunes attachées à Jupiter ; ils ont plus fait; & l’on prédit leurs éclipfes avec au moins autant d’exaéfitude que celles de notre Lune. Les Ephémérides aftronomiques préfentent à chaque jour du mois l’afped des fatellites de Jupiter, l’heure à laquelle leurs éclipfes doivent arriver , & fi elles font vifibles ou non fur l’horizon du lieu : on y trouve auffi le moment où quelqu’un de ces fatellites doit fe cacher derrière le difque de Jupiter , ou difparoître en paflant au devant. Ces prédirions, au refte, ne font pas de pures curiofités ; on en tire une grande utilité pour la détermination des longitudes fur terre.
    • §. VIII. jDe Saturne.
    • Cette planete eft de toutes la plus éloignée du Soleil, & celle qui préfente le Ipeftacle le plus ftngulier par fes cinq lunes & l’anneau qui l’environne. Elle fait fa révolution autour du Soleil en 29 ans 174 jours 6 heures 36 minutes; & fa distance moyenne à cet aftre eft neuf fois & demi plus grande que celle de la Terre au Soleil, ou ,
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    • Astronomie et Géographie. 1291 plus exaâement, comme 954 à 100; enforte que fi le demi-diametre de l’orbite de la Terre eft de 3 2 millions 400 mille lieues * celui de l’orbite de Saturne fera de 309 millions 96000 lieues.
    • A une diftance auffi immenfe, le diamètre apparent du Soleil, pour un Ipeâateur placé fur Saturne, n’eft plus que les de ce qu’il eft pour nous, c’eft-à-dire d’environ 3 ' £: 8c fa lumière doit être 90 fois moindre , ainfi que fa chaleur. Un habitant de Saturne, tranfporté dans la Laponie , que dis-je ? fur les glaces des pôles de la Terre , y éprouveroit une chaleur infupportable ; il y pé-riroit, ce lemble, plus vite qu’un homme plongé dans l’eau bouillante , tandis qu’un habitant de Mercure geleroit dans les climats les plus ardents de notre zone torride.
    • Il eft probable que Saturne a un mouvement de rotation fur fon axe ; mais les meilleures lunettes n’ont encore fait voir fur fa furface aucun point remarquable, au moyen duquel on puiffe appercevoir &t déterminer cette rotation.
    • La nature femble avoir voulu dédommager Saturne de fon éloignement du Soleil, en lui donnant cinq lunes , qu’on appelle fes fatellites. La table fuivante préfente leurs diftances du centre de Saturne en demi-diametres de cette planete, 8t la durée de leurs révolutions.
    • Satellites
    • Diftances.
    • Révolutions.’
    • 3 £
    • 8 . 24 .
    • 2 17 41 4 «2 25 15 22 41
    • 79 7 48
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    • 130 Récréations Mathématiques.
    • Nous ne nous étendrons pas fur les avantages que tant de lunes doivent procurer à cette planète: ce que nous avons dit de Jupiter eft, à plus forte raifon, applicable à Saturne.
    • Mais quelque chofe de plus fingulier que ces cinq lunes, c’eft l’anneau qui environne Saturne. Qu’on fe repréfente un globe placé au milieu d’un corps circulaire , plat, mince, fit évuidé concentriquement; enfin, que l’œil foit à l’extrémité d’une ligne oblique au plan de cet anneau circulaire; tel eft l’afpeél que préfente Saturne confidéré avec un excellent télefcope, & telle çft la pofition du fpeélateur terreftre. Le diamètre de Saturne eft à celui du vuide de l’anneau, comme 3 à 5 , & la largeur de l’anneau eft environ égale à l’intervalle entre l’anneau & Saturne. On eft affiné que cet intervalle eft vuide, car on a vu une fois une étoile fixe entre l’anneau & le corps de cette planète : ainfi cet anneau fe foutient autour de Saturne , comme feroit un pont concentrique à la Terre, & par-tout également pefant.
    • Ce corps d’une conformation fi fînguliere, eft alternativement éclairé par le Soleil d’un côté & de l’autre ; car il fait, avec le plan de l’orbite de Saturne , un angle confiant & d’environ 31° 20', en reftant toujours parallèle à lui-même ; ce qui fait qu’il préfente au Soleil tantôt une face, tantôt l’oppofée : ainfi les habitants de deux hémifpheres oppofés de Saturne, en jouiffent alternativement. Quelques obfervations femblent prouver qu’il a un mouvement de rotation autour d’un axe perpendiculaire à fon plan, mais cela n’eft pas encore abfolument démontré.
    • On voit quelquefois, de la Terre, la planete de Saturne fans anneau. C’eft un phénomène aifé à expliquer.
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    • Astronomie et Géographie; -131
    • Trois caufes font difparoître l’anneau de Saturne. i° Il difparoît lorfque fon plan prolongé paffe par le Soleil, car alors fa furfàce eft dans l’ombre, ou trop foiblement éclairée par le Soleil pour fe faire appercevoir de li loin ; & fon tranchant eft auffi trop mince pour que, quoique éclairé , on puiffe le voir d’une pareille diftance. Cela lui arrive lorfqu’il eft vers le 19e degré 45 minutes de la Vierge & des Poiffons.
    • 2.0 On doit encore perdre de vue l’anneau de Saturne, lorfque fon plan-prolongé paffe par la Terre ; car alors le fpe&ateur terreftre n’en apper-çoit que le tranchant, qui eft, comme nous l’avons dit, trop mince pour pouvoir affe&er de fi loin l’œil du fpeclateur terreftre ; en effet ce n’eft alors qu’un filet de lumière de quelques fécondés de lar-. geur.
    • 30 Enfin l’anneau de Saturne difparoît, lorfque fon plan prolongé paffe entre la Terre & le Soleil ; car alors le plat de l’anneau, tourné vers la Terre, n’eft pas celui que le Soleil éclaire. On ne fçau-roit donc le voir de la Terre ; mais alors on voit fon ombre fe projeter fur le difque de Saturne.
    • ' C’eft une belle matière à conje&ures que la nature de cet anneau fingulier. Quelques-uns ont dit que ce pouvoit être une multitude de lunes , circulant fi près les unes des autres, que leur intervalle ne s’apperçoit pas de la Terre, ce qui leur donne l’apparence d’un corps continu. Cela eft peu probable.
    • D’autres ont conje&uré que c’étoit la queue d’une coinete , qui, paffant très-près de Saturne , en avoit été arrêtée. Mais un pareil arrangement d’un fluide circulant, feroit quelque chofe de bien extraordinaire. Je crois qu’il faut admirer cet
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    • 13* Récréations MatRématiques.
    • ouvrage du fouverain Artifte , créateur de l’uftî-vers, & attendre , pour former des conjectures fur fa nature, que la perfection des télefcopes nous fournifle de nouveaux faits pour les appuyer.
    • La diftance de Saturne au Soleil eft telle, que toutes les planètes lui font inférieures, comme le font pour nous Vénus & Mercure. Il y a plus ; s’il y a des êtres intelligents fur cette planete, il eft fort douteux qu’ils aient feulement connoiflance de notre exiftence, & bien moins encore de celle de Mercure & de Vénus; car, à leur égard , Mercure ne s’éloigne jamais du Soleil de plus de 2° 2 5 Vénus de 40 15& la Terre elle-même de 6°; Mars s’en éloignera feulement de près de 90, & Jupiter de 28° 40': auffi les trois ou quatre premières de ces planètes font beaucoup plus difficiles à ap-percevoir par les Saturniens, que nel’eft pour nous la planete de Mercure, qu’on voit à peine , parce-qu’eüe eft prefque toujours cachée dans les rayons du Soleil.
    • Il eft cependant vrai que la lumière du Soleil eft d’un autre côté bien foible, ôt que la conftitu-tion de l’atmofphere de Saturne, fi elle en a une, pourroit être telle, que l’on verroit encore ces planètes auffi-tôt que le Soleil feroit couché.
    • §. IX. Des Cometes.
    • Les cometes ne font plus, comme on le croyoit autrefois , des lignes de la colere célefte , des annonces de la pefte, de la guerre ou de la famine. Il falloit que les hommes de ces temps fulfent bien crédules, pour penfer que des fléaux qui n’affedent qu’une infiniment petite portion d’un globe qui n’eft lui-même qu’un point dans le
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    • Astronomie et Géographie. 135 fyftême de l’univers, duffent être annoncés par un dérangement de l’ordre naturel & immuable des deux. Les cometes ne font plusaufli, comme le penferent la plupart des philofophes anciens, & ceux qui fuivirent leurs traces , des météores formés dans la moyenne région de l’air. Les obfer-vations aftronomiques , faites dans divers enr droits de la Terre à-la-fois, ont appris qu’elles font toujours à une diftance même beaucoup plus grande que la Lune , & conféquemment qu’elles n’ont rien de commun avec les météores formés dans notre atmofphere.
    • Ce que quelques philofophes anciens , comme Appollonius Myndien , & fur-tout Séneque , ont penféfur les cometes, s’eft depuis vérifié. Selon eux , les cometes font des aftres auffi anciens, auffi durables que les planètes mêmes, dont les révolutions font pareillement réglées ; & fi on ne les apperçoit pas toujours , c’eft qu’elles font leur cours de maniéré que, dans une partie de leurs orbites, elles font fi éloignées de la Terre qu’on les perd de vue, & elles ne paroififent que dans la partie inférieure.
    • En effet Newton , & fur fes traces M. Halley, ont démontré, par les obfervations des différentes cometes de leur temps , qu’elles décrivent à l’entour du Soleil des orbites elliptiques , dont cet aftre occupe un des foyers, & que ces orbites different feulement de celles des planètes connues , en ce que celles-ci font prefque circulaires, au lieu que celles des cometes font extrêmement alîongéés ; ce qui fait que, dans une partie de leur cours , elles fe rapprochent affez de nous pour être apperçues ; & dans le refie de leurs orbites , elles s’éloignent dans l’immenfité des deux, au
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    • ij4 Récréations Mathématiques. point de n’être plus vifibles. Ils ont aufli enfeigné comment, à l'aide d’un petit nombre d’obferva-tions du mouvement d’une comete -, on peut déterminer la diftance où elle paffera ou a pafle du Soleil, ainfi que le temps où elle en a été le moins éloignée, enfin Ton lieu dans le ciel pour un moment donné. Les calculs faits d’après ces principes , s’accordent avec l’obfervation d’une maniéré lurprenante.
    • Les philofophes modernes ont fait plus ; ils ont déterminé le retour de quelques-unes de ces comètes, Le célébré M. Halley, confidérant que fi le mouvement des cometes fe fait dans des ellipfes , elles doivent avoir des révolutions périodiques, puifque ces courbes rentrent en elles - mêmes , examina avec attention les obfervations de trois cometes, qui parurent en 15 31 & 1532, en 1607 & 1682; & ayant calculé la pofition & les di-menfions de leurs orbites , il reconnut que ces trois cometes avoient à peu près la même orbite, & conféquemment que ce n’en étoit qu’une feule, dont la révolution s’achevoit dans environ 7Ç ans : il ofa donc prédire que cette comete repa-roîtroiten 1758 , ou 1759 au P^us tafd* Tout le monde fçait que cette prédi&ion s’eft vérifiée dans le temps annoncé : ainfi il refte confiant que cette comete a autour du Soleil une révolution périodique de 75 ans & demi. Suivant les dimenfions de fon orbite, déterminée par les obfervations, fa moindre diftance du Soleil eft de du demi-diametre de l’orbite terreftre ; elle s’en écarte en-fuite à une diftance qui eft égale à 3 5 ~ de ces demi-diametres ; enforte qu’elle s’éloigne de cet aftre près de quatre fois autant que Saturne. L’in-clinaifon de l’orbite à l’écliptique eft de 170 40',
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    • Astronomie et Géographie, ijj dans une ligne allant du 13e degré 45 minutes du Taureau, au 13e degré45' minutes du Scorpion.
    • Il y a encore trois cometes dont on efpere avec fondement le retour ; ce font celle de 1661, qu’on attend pour 1790; celle de 1556, pour 1048; enfin celle de 1680 & 1681, qu’on penfe , quoique avec moins d’affurance, devoir reparaître vers 2156. Cette derniere a paru, par les circonftances qui ont accompagné fon apparition , être la même que celle qu’on vit, fuivant les hiftoriens, 44 ans avant l’ere Chrétienne, celle de l’an 5 31 & celle de 1106 ; car il y a entre ces époques un intervalle de 575 ans. Cette comete aurait une orbite exceflivement allongée , & s’éloignerait du Soleil environ 135 fois autant que la Terre.
    • Cette comete a de plus cela de remarquable que, dans la partie inférieure de fon orbite, elle pafla extrêmement près du Soleil, c’eft-à-dire à une diftance de fa furface qui étoit à peine une 6e du demi-diametre folaire; d’où Newton conclud que , dans le temps de ce paffage, elle fut expo-fée à une chaleur deux mille fois plus grande que celle d’un fer rougi à blanc. Il faut donc que ce corps foit extrêmement compare, pour pouvoir réfifter à une chaleur fi prodigieufe , qu’elle vo-latiliferoit probablement tous les corps terreftres que nous connoiflfons.
    • Il y a aujourd’hui 63 cometes dont on a calculé les orbites, enforte qu’on connoît leur pofition , & la moindre diftance où la comete doit pafler du Soleil : ainfi, quand il paraîtra quelque nouvelle comete qui décrira le même chemin , ou à peu de chofe près, on pourra aflurer que c’eft la même qui a paru dans des temps antérieurs : on connoi-tra alors la durée de fa révolution & la grandeur
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    • 136 Récréations Mathématiques. de fon axe ; ce qui déterminera l’orbite en entier ; on fera enfin en état de calculer fes retours & les autres circonftances de fon mouvement, comme ceux des autres planètes anciennement connues.
    • Les cometes ont cela de particulier, qu’elles font communément accompagnées d’une chevelure ou d’une queue plus ou moins allongée. Ces queues ou chevelures font tranfparentes , & plus ou moins longues : on en a vu qui a voient 45 , 50,60 & même 100 degrés de longueur ; telles furent celles des cometes de 1618 & de 1680. Quelquefois néanmoins cette queue fe réduit à une efpece de nuage lumineux très-peu étendu, qui environne la comete en forme de couronne : telle étoit celle qui accompagnoit la comete de 1585. Il arrive auffi quelquefois que cette queue a befoin, pour être apperque, d’un ciel plus ferein & plus dégagé de vapeurs que celui de ces régions. La fameufe comete, revenue fur la fin de 1758 , paroiffoit à Paris avoir à peine une queue de 4 degrés de longueur : à Montpellier, des obfer-vateurs la virent de 250 de longueur, & elle parut encore plus longue à des obfervateurs de l’ifle de de Bourbon.
    • Quant à la caufe productrice des queues des cometes, il n’y a que deux fentiments à cet égard qui aient de la probabilité. Newton a penfé que c’étoit une traînée de vapeurs élevées par la chaleur du Soleil, lorfque la comete defcend dans les régions inférieures de notre fyfîême. Auffi remarque-t-on que les cometes n’ont jamais de plus longue queue , que lorfqu’elles ont pafle leur périhélie ; & cette queue femble être d’autant plus longue, qu’elles en ont paffé plus près. Il ne laiffe pas d’y avoir de fortes difficultés contre cette
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    • Astronomie et Géographie. 137 Opinion. Celte de M. de Mairan eft que ces queues font une traînée de la lumière zodiacale, dont les cometes fe chargent en paffant entre la Terre 6c le Soleil. Auffi remarque-t-on que les cometes qui n’atteignent pas jufqu’à l’orbe de la Terre, n’ont pas de queue fenfible, & ont tout au plus une couronne: telles furent la comete de 1-585, qui paffa à une diftance du Soleil d’un dixième plus grande que celle de la Terre; celle de 1718, qui en paffa à une diftance à peu près égale ; celle de 1729 , qui en paffa à une diftance environ quadruple ; 6c celle de 1747, qui en paffa à une diftance plus que double. 11 eft vrai que la comete de 1664, qui paffa plus loin du Soleil que la Terre, eut une queue , mais elle fut médiocre ; & comme fa diftance périhélie excédoit très-peu celle de la Terre au Soleil, 6c que l’atmofphere folaire s’étend quelquefois au-delà de l’orbe ter-reftre, il n’en réfulte pas une obje&ion de grand poids contre le fentiment de M. de Mairan.
    • Remarquons enfin qu’il n’en eft pas des cometes comme des planètes. Toutes celles-ci font leurs révolutions dans des orbites peu inclinées à l’écliptique , 6c marchent du même fens : les cometes , au contraire, ont des orbites dont les inclinaisons à l’écliptique vont jufqu’à l’angle droit. D’ailleurs les unes marchent félon l’ordre des fignes , 6c font appellées directes ; les autres marchent dans le fens contraire, & on les nomme rétrogrades. Ces mouvements fe compliquent enfin avec celui de la Terre ; ce qui leur donne une apparence d’irrégularité , qui doit excufer les anciens d’avoir été dans l’erreur fur la nature de ces aftres.
    • On a vu plus haut qu’il y a des cometes qui
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    • 138 Récréations Mathématiques.
    • qui paffent affez près de la Terre. Il en pourroie arriver quelque jour une cataftrophe funefte pour notre globe , fi la Divinité ne fembloit y avoir mis ordre par des circonftances particulières. En effet, une comete comme celle de 1744, qui paffa à une diftance du Soleil, plus grande feulement que le rayon de l’orbite terreftre d’environ un 50e, fi elle éprouvoit quelque dérangement dans fa courfe, pourrait ou choquer la Terre ou la Lune, peut-être nous enlever cette derniere. Dans la multitude même des cometes qui defcendent dans les régions inférieures de notre fyftême, il pourrait fe faire que quelqu’une, en fe plongeant vers le Soleil, pafsât à fi peu de diftance de l'orbite terreftre, qu’elle nous menaçât d’un pareil malheur. Mais l’inclinaifon très-variée des orbites cks cometes fur l’écliptique, femble avoir été dirigée par la Divinité pour prévenir cet effet. Ce feroit , au furplus, un calcul curieux à faire, que de déterminer les moindres diftances où quelques-unes de ces cometes peuvent paffer de la Terre ; on con-noîtroit par-là celles dont on a quelque chofe à redouter : fi pourtant il pouvoit être utile de con-noître le moment ou le danger d’une pareille ca-taftrophe ; car à quoi bon être prévenu d’un malheur que rien ne peut ni retarder ni prévenir?
    • Un auteur Anglois, doué de plus d’imagination & de connoiffances que de jufteffe , le célébré "Whifton, a penfé que le déluge n’a été occa-fionné que par la rencontre de la Terre avec la queue d’une comete, qui retomba fur elle en vapeurs & en pluies : il a aufli avancé la conjecture que l’incendie univerfel, qui doit, félon les Livres faints, précéder le jugement dernier , fera caufé par une comete comme celle de 1681, qui,
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    • Astronomie et Géographie. 139 revenant du Soleil avec une chaleur deux ou trois mille fois plus grande que celle d’un fer rouge, s’approchera fuffifamment de la Terre pour l’em-brafer jufques dans fes entrailles. Tout cela eft plus hardi que judicieux. Et quant au déluge universel caufé par la queue d’une comete , on peut, au contraire, dilîiper toute crainte à cet égard. Quand on fera attention à la ténuité extrême de l’éther dans lequel nagent les cometes, on concevra aifément que toute la queue d’une comete , condenfée, ne fçauroit produire une quantité d’eau fuffifante pour l’effet que Whifton lui attribue.
    • M. Caffini avoit cru appercevoir que les cometes faifoient leurs cours dans une efpece de zodiaque , qu’il avoit même défigné par ces vers :
    • Antinous Pegafufque , Andromeda , Taurus , Orion ,
    • Procyon atque Hydrus 3 Centaurus 9 Scorpius, ' Arcus.
    • Mais les obfervations de beaucoup de cometes ont fait voir que ce prétendu zodiaque cométique n’a aucune réalité.
    • §. X. Des Etoiles fixes.
    • Il ne nous refte plus à parler que des étoiles fixes. Nous allons raffembler ici tout ce que l’af-tronomie moderne renferme de plus curieux fur cet objet.
    • On diftingue aifément les étoiles fixes des planètes. Les premières ont, du moins dans ces contrées , & quand elles font d’une certaine groffeur, un éclat accompagné d’un tremblement qu’on
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    • 140 Récéations Mathématiques.
    • appelle fcintillation. Mais ce qui les diftingue fur-tout , c’eft qu’elles ne changent point de place les unes à l’égard des autres, du moins fenfiblement : aufli font-elles des efpeces de points fixes dans le ciel , auxquels les aftronomés ont toujours rapporté les pofitions des étoiles mobiles , comme la Lune, les planètes & les cometes.
    • Nous avons dit que les étoiles fixes font, dans ces contrées, fujettes à une fcintillation. Ce mouvement paroît dépendre de l’atmofphere ; car on allure que dans certaines parties de l’Afie, où l’air eft d’une pureté & d’une féehereffe extrêmes , comme à Bender-Abaffi , les étoiles ont une lumière abfoluinent fixe , & que la fcintillation ne fe fait appercevoir que lorfque l’air fe charge d’humidité, comme pendant l’hiver. Cette obferva-tion de M. Garcin, confignée dans YHiJloire de VAcadémie, année 1743, mériteroit d’être entièrement conftatée.
    • La diftance qu’il y a delà Terre aux étoiles fixes , eft immenfe : elle eft telle, que les 66 millions de lieues qu’a le diamètre de l’orbite terreftre , ne font, pour ainfi dire, qu’un point en comparaifon de cette diftance ; car , dans quelque partie de fon orbite que foit la Terre, les obfervations d’une même étoile ne préfentent aucune différence d’af-peft, aucune parallaxe fenfible. Des aftronomés prétendent néanmoins avoir découvert dans quelques fixes une parallaxe annuelle de quelques fécondés. M. Caffini dit , dans un Mémoire fur la parallaxe des fixes, avoir reconnu dans Arcturus une parallaxe annuelle de fept fécondés, & dans l’étoile appellée Capella une de huit. Cela donnerait la diftance du Soleil à la première de ces étoiles, égale à environ 20150 fois le rayon de
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    • l’orbite terreftre , qui, étant de 3 2400000 lieues , donneront pour cette diftance 656100000000 lieues. Entre Saturne, la planete la plus éloignée de notre fyftême , reftera enfin un efpace égal à environ 2000 fois fa diftance au Soleil.
    • Placées à des diftances aufli énormes de nous , que peuvent être les étoiles , finon d’immenfes corps brillants de leur propre lumière , des foleils enfin femblables à celui qui nous échauffe, & autour duquel nous faifons nos révolutions ? Il eft aufli très-probable que ces foleils amoncelés, pour ainfi dire, les uns fur les autres, ont une même deftination que le nôtre, & qu’ils font les centres d’autant de fyftêmes planétaires qu’ils vivifient & qu’ils éclairent. Il feroit, au furplus, ridicule de former des conjectures fur la nature des êtres qui peuplent ces mondes éloignés ; mais, quels qu’ils foient, qui pourra fe perfuader que notre Terre ou notre fyftême feul foit peuplé d’êtres capables de jouir d’un fi bel ouvrage ? Qui croira qu’un tout immenfe & prefque fans bornes ait été formé pour un point imperceptible , un infiniment petit ?
    • Les lunettes d’approche les plus parfaites n’augmentent en aucune maniéré le diamètre apparent des étoiles fixes ; au contraire , en augmentant feulement leur éclat, elles femblent tellement diminuer leur groffeur, qu’elles ne préfentent qu’un point lumineux ; mais elles font appercevoir dans le ciel une foule d’étoiles que les yeux ne peuvent voir fans leur fecours. Galilée, avec fa lunette , affez foible relativement à celles que nous employons , en compta dans les Pléiades, 36 invifibles à l’œil nu ; dans l’épée & le baudrier d’Orion, 80; dans la nébuleufe de la tête d’O-
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    • 142 Récréations Mathématiques. rion, 21 ; dans celle du Cancer, 36. Le P. de Rhéita dit en avoir compté 2000 dans Orion, & 188 dans les Pléiades (a). Dans la partie feule de l’hémifphere auftral, comprife entre le pôle & le tropique, M. l’abbé de la Caille en a obfervé plus de 6000 de la feptieine grandeur, c’eft-à-dire perceptibles avec une bonne lunette d’un pied : une lunette plus longue en fait appercevoir d’autres apparemment plus éloignées , & ainli de fuite, fans qu’il y ait peut-être de bornes à cette pro-greffion. Quelle immenlîté dans les œuvres du Créateur ! & quelle raifon de s’écrier , Cœli marrant gloriam ejus!
    • Les étoiles fixes paroilfent avoir un mouvement commun & général , par lequel elles tournent autour du pôle de l’écliptique : elles paroiffent parcourir un degré en 72 ans. C’eft par un effet de ce mouvement que toutes les conftellations du zodiaque ont aujourd’hui changé de place. Le Bélier occupe la place du Taureau, celui-ci celle des Gemeaux, & ainfi de fuite ; enforte que les conftellations ou les lignes apparents font avancés d’environ 30 degrés au-delà de la divifîon du zodiaque à laquelle ils ont donné le nom. Mais ce mouvement n’eft qu’une apparence, & nullement une réalité ; il vient de ce que les points équinoxiaux rétrogradent chaque année d’environ 51 fécondés fur l’écliptique. L’explication de ce mouvement eft au refte de nature à ne pouvoir ni ne devoir trouver place ici.
    • On a toujours été dans la perfuafion que les étoiles fixes n’ont aucun mouvement réel, ou du
    • (a) II y a apparence que le bon P. Rhéita avoit la vue fatiguée, ou qu’il a beaucoup exagéré.
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    • Astronomie et Géographie. 143
    • moins n’en ont pas d’autre que celui par lequel elles changent de longitude. Mais les obfervations délicates de quelques aftronomes modernes, ont fait découvrir dans plufieurs d’elles de petits mouvements particuliers , par lefquels elles fe déplacent lentement. ÀrUurus, par exemple, a un mouvement par lequel il fe rapproche de l’écliptique d’environ 4 minutes par lîecle. La diftance de cette dtoile à une autre aflfez petite qui eft dans fon voifinage, a changé fe-nfiblement depuis un fiecle. Sirius parbît auffi avoir en latitude un mouvement de plus de 2 minutes par fiecle, & il s’éloigne de l’écliptique. On obferve de pareils mouvements dans Aldtbaran ou l’œil du Taureau, dans Rigel, dans l’épaule orientale d’Orion, dans la Chevre, l’Aigle , &c. Quelques autres paroiflent avoir un mouvement particulier, dans un fens parallèle à l’équateur ; telle eft la luifante de l’Aigle, car elle s’eft rapprochée, dans 48 ans, de 73" d’une étoile voifine , ôt éloignée de 48" d’une autre. Peut-être toutes les étoiles font-elles fu-jettes à de femblables mouvements, enforteque, dans la fuite des fiecles , le fpeftacle du ciel fera tout autre qu’il n’eft au moment aétuel. Tant il eft vrai qu’il n’eft rien de permanent dans cet univers ! Quant à la caufe de ce mouvement, quelque étonnant qu’il paroifle au premier coup d’œil, il le paroîtra moins , fi l’on fe rappelle que Nevton a démontré qu’un fyftême planétaire entier peut avoir un mouvement progreffif & uniforme dans l’efpace, fans que les mouvements particuliers en foient troublés. Il n’eft donc point furprenant que des foleils, tels que font les étoiles fixes , aient un mouvement propre. Que dis-je ? l’état de repos étant unique , & celui du mouve-
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    • 144 Récréations Mathématiques.
    • ment, dans une direftion quelconque, étant infiniment varié, on devroit s’étonner davantage de les voir abfolument en repos, que d’y découvrir quelque mouvement.
    • Mais ce ne font pas là les feuls phénomènes que nous préfentent les étoiles fixes ; il y en a qui ont tout-à-coup paru, & enfuite difparu. L’année 1572 eft fameufepar un phénomène de cette ef-pece. On vit tout-à-coup paraître, au mois de Novembre de cette année, une étoile extrêmement brillante, dans la conftellation de Caflio-pée : elle égala d’abord en éclat la planete de Vénus quand elle eft dans fon périgée, & en-fuite Jupiter lorfqu’il eft le plus brillant ; trois mois après fon apparition , elle n’étoit plus que comme les fixes de la première grandeur; fon éclat diminua enfin par degré jufqu’au mois de Mars de 1574, qu’elle difparut entièrement.
    • Il y a d’autres étoiles qui paroiffent & difpa-roiffent après des périodes réglées : telle eft celle du cou de la Baleine. Lorfqu’elle eft dans fa plus grande clarté, elle égale à peu près les étoiles de la fécondé grandeur : elle conferve cet éclat une quinzaine de jours , après lefquels elle diminue , & difparoît entièrement : elle reparoît enfin , & revient à fa plus grande clarté, après une période d’environ 330 jours.
    • La conftellation du Cygne préfente elle feule deux phénomènes de la même efpece ; car il y a dans la poitrine du Cygne une étoile qui a une période de quinze ans, pendant dix defquels elle eft invifible : elle paroît enfuite pendant cinq ans, en variant de groffeur & d’éclat. On en voit une autre dans le cou, près du bec : celle - ci a une période d’environ treize mois. Enfin l’on vit dans la
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    • Astronomie et Géographie, i4$ îa même conftellation , en 1670 & 1671 , une étoile qui difparut en 1672 , & qu’on n’a pas revue depuis.
    • L’Hydre polfede auffî une étoile de cette efpece. Ëlle a cela de remarquable, qu’elle ne paroît guere que quatre mois, après lefquels elle en relie vingt fans paraître, enforte que fa période ell d’environ deux ans. Ëlle ne paiTe pas les étoiles de la quatrième grandeur quand elle ell dans fon premier éclat.
    • Quelques étoiles enfin paroilfent s’être éteintes depuis Ptolémée, car il en compte dans fon catalogue, qu’on ne voit plus aujourd’hui : quelques autres ont changé de grandeur, <k cette diminution de grandeur apparente ell prouvée à l’égard de plufieurs étoiles. On peut ranger dans cette clalfe l’étoile B de l’Aigle, qui, au commencement du fiecle dernier, étoit la fécondé en éclat, &. qui ell actuellement à peine de la troifieme grandeur. Telle ell encore une étoile de la jambe gauche du Serpentaire.
    • Il nous relie à parler des étoiles appellées ne-buleufes. On leur donne ce nom , parceque , con-fidérées à la vue lîmple, elles ne fe préfentefit que. comme un petit nuage lumineux. Il y en a de trois efpeces. Les unes font formées de l’amas de grand nombre d’étoiles très-voifines , & comme entaf-fées les unes fur les autres ; mais la lunette les fait voir dillinéles & fans nébulolité. De ce nombre ell la fameufe nébuleufe du Cancer, ou le prccfcpe Can.cn: c’ell un amas de 25 à 30 étoiles, qu’on compte avec la lunette. On en voit de fein-blables en plufieurs. endroits dû ciel.
    • D’autres nébuleufes font formées d’une ou plufieurs étoiles diltinétes , mais accompagnées ou
    • Tome III. K
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    • 146 Récréations Mathématiques.
    • environnées d’uné tache blanchâtre, au travers de laque 1 e elles femblent reluire. Il y en a deux de certe efpece dans Andromède, une dans fa ceinture , & l’autre plus petite à un degré environ au midi de la première. Telles font encore celle de la tête du Sagittaire, celle qui eft entre Syrius & Procion, celle de la queue du Cygne, les trois de Caffiopée. Il eft probable que notre Soleil pa-roît fous cette forme, vu des environs des étoiles fixes , qui font fituées vers, la prolongation de fon axe ; car il a autour de lui une atmofphere lenticulaire & lumineufe qui s’étend jufques près de la Terre. M. l’abbé de la Caille a compté dans l’hé-mifphere auftral, quatorze étoiles ainfi environnées de nébulofités ; mais la plus remarquable apparence de ce genre, eft celle de la nébuleufe de l’épée d’Orion ; car quand on la regarde avec le télefeope, on voit qu’elle eft formée d’une tache blanchâtre & à peu près triangulaire, darte laquelle brillent fept étoiles, dont une eft elle-même environnée d’un petit nuage plus clair que le refte de la tache. On eft tenté de croire que cette tache a éprouvé quelque altération depuis Huygens qui la découvrit.
    • La troifieme efpece de nébuleufes n’eft formée que par une tache blanche, fans que la lunette même y fafle voir aucune étoile. On en voit quatorze de cette nature dans l’hémifphere auftral, parmi lefquelles les fameux nuages de Magellan, vôifins du pô.le antarctique , tiennent le premier rang. Ce font comme de petites portions détachées de la voie laétée. On fe tromperoit, au refte, fi l’on attribuoit l’éclat de cette partie du ciel à une multitude de petites étoiles plus entaflees que par-tout ailleurs j car on n’y en voit pas un nombre fuffi-
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    • Astronomie et Géographie* 147 fant pour produire cet effet, 8c il y a des portions de la voie laétée, non moins brillantes que les autres, où il n’y a aucune étoile.
    • Qu’eft-ce donc que la voie laétée , dira quelqu’un t Je lui répondrai q»ue je n’en fqais rien ; mais je crois pouvoir conjeéfurer avec quelque vraifemblance , que c’eft une matière femblable à celle de l’atmôfphere folaire , 8: qui eft répandue dans ces ef’paces céleftes. En effet, fi notre fyf-tême entier étoit rempli d’une femblable matière , il préfenteroit aux étoiles fixes voifines la même apparence que la voie laftée. Au refte, pourquoi tous ces fyftêmes difféminés dans cette partie du ciel, font-ils remplis de cette matière lumineufe? c’eft ce que certainement perfonwe ne fçaura jamais.
    • Remarquons que la fameufe étoile nouvelle de Cafliopée prit naiffance dans la voie laéfée. Ce fut peut-être une quantité prodigieufe de cette matière lumineufe, qui tout-à-coup fe précipita fur un centre. Mais je ne trouve pas la même facilité à expliquer pourquoi 8c comment l’étoile difparut. Cette origine de la nouvelle étoile rece-vroit quelque probabilité , s’il eft vrai qu’il y ait dans cet endroit de la voie laéfée un vuide femblable aux autres endroits du ciel.
    • §. X. Récapitulation de ce qiéon vient de dire fur le Syjlême de V Univers.
    • Nous croyons devoir terminer ce chapitre par une comparaifon fenfible, 8c propre à faire con-noî tre , par des mefures connues 8c familières, la petite place qu’occupe notre fyftéme planétaire dans l’immenfité de l’univers ; 8c à plus forte
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    • î48 Récréations Mathématiques. raifon la petite figurç , qu’on me permette cette expreffion, qu’y fait notre Terre. Qu’elle eft propre à humilier ces êtres orgueilleux qui, n’occupant eux-mêmes'qu’un infiniment petit de cet atome, penfent que l’Univers a été fait pour eux!
    • Pour lé faire une idée de notre fyftême comparé à l’Univers, qu’on fe repréfente au milieu du jardin des Thuileries, le Soleil comme un globe de 9 pouces 3 lignes de diamètre; la planete de Mercure fera repréfentée par un globule d’environ jde ligne de diamètre, placé à 28 pieds j de diftance ; "Vénus le fera par un globe d’un peu moins d’une ligne, circulant à la diftance de 54 pieds, du même centre; placez à la diftance de 75 pieds un globule d’une ligne de diamètre , voilà la Terre, ce théâtre de tant de pallions & d’agitations , dont le plus grand potentat polfede à peine un point fur la furface , & dont un efpace , fou-vent imperceptible, excite entre les animalcules qui la couvrent, tant de débats & tant d’effufion de fang. Mars , un peu moindre que la Terre, fera repréfenté par un globule d’un peu moins d’une ligne, placé à la diftance de 114 pieds ; Jupiter fera figuré par un globe de 10 lignes de diamètre, éloigné du globe central de 390 pieds; enfin le globe repréfentant Saturne, devra avoir environ 7 lignes de diamètre, & être placé à environ 715 pieds.
    • Mais de-là aux étoiles fixes les plus voifines , la diftance eft immenfe. On fe figurera peut-être que , dans notre fuppofition , il faudroit placer la première étoile à 2 ou trois lieues. C’eft l’idée que je m’en étois formée d’abord, & avant que d’avoir employé le calcul ; mais j’étois dans une •erreur grofliere. Il faudroit placer cette première
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    • àstonomie eï Géographie. 149
    • étoile , je veux dire la plus voifine, à la diftance où Lyon eft de Paris, c’eft-à-dire à cent & quelques lieues. Telle eft à peu prés l’idée qu’on doit avoir de l’éloignement où la première des étoiles fixes eft du Soleil ; encore même eft-il probable qu’il eft beaucoup plus confidérable , car nous avons fuppofé dans ce calcul , que la parallaxe de l’orbite terreftre étoit la même que la parallaxe horizontale du Soleil, c’eft-à-dire de 8" Mais il eft vraifemblable que cette parallaxe eft beaucoup moindre, car il eft difficile de croire qu’elle eût échappé aux aftronomes, fi elle eût été de cette grandeur.
    • Ainfî donc notre fyftême folaire, c’eft-à-dire celui de nos fept planètes principales & fecon-daires circulantes autour du Soleil, eft à peu près à la diftance des étoiles fixes les plus voifines, ce que feroit un cercle de 120 toifes de rayon à un de 200 lieues qui lui feroit concentrique, & dans ce premier cercle notre Terre tient la place d’une ligne de diamètre.
    • Veut-on une autre comparaifon propre à faire fentir la diftance immenfe qu’il y a entre le Soleil, ce centre de notre fyftême, & le plus proche de fes voifins. On fqait que la lumière fe meut avec une rapidité telle, qu’elle parcourt la diftance du Soleil à la Terre dans environ un demi-quart d’heure ; dans une fécondé & demie, elle iroit à la Lune & en reviendroit, ou bien elle feroit dans une fécondé quinze fois le tour de la Terre. Quel temps imaginerons-nous donc que la lumière emploieroit à venir à nous de l’étoile fixe, la plus prochaine ? vingt-quatre heures ? une femaine è Non; ce font 108 jours qu’elle mettra à faire ce
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    • 150 Récréations Mathématiques.
    • deux ou trois fécondés, ce qui paroît aflez probable , ce temps feroit d’un an & plusf.'
    • Quel immenfe défère entre ce point habité & fes plus voifïns ! N’eft- il pas probable qu’il y ait, dans cet intervalle prodigieux, des planètes qui feront à jamais inconnues à l’efpece humaine?
    • L’aftronomie moderne a cependant découvert que cet efpace n’eft pas entièrement défert : on connoît aujourd’hui foixante & quelques cometes qui s’y plongent à des diftances plus ou moins grandes; mais elles n’y pénètrent pas bien profondément. Celle de 1531 , 1607, 1682, 1759, eft la feule dont la révolution & l’orbite foient connues, ne s’y enfonce que d’environ trente-fept fois & demi le rayon de l’orbite terreftre , ou quatre fois la diftance de Saturne au Soleil. Si celle de 1681 a une révolution de 575 ans, comme on le préfume , elle s’éloigneroit d’environ cent-trente fois la diftance de la Terre au Soleil, ou environ quatorze fois celle de Saturne à cet aftre ; ce qui n’eft encore qu’un point à l’égard de la diftance des fixes les plus prochaines. Mais peut-être y a-t-il des cometes qui ne font leur révolution que dans dix mille ans , & qui s’approchent à peine du Soleil autant que Saturne : celles-ci alors s’enfonceroient dans l’efpace immenfe qui nous fepare des premières fixes, jufqu’à une cinquantième de fa profondeur.
    • Si l’on veut voir une multitude de conjectures curieufes fur le fyftême de l’Univers, fur l’habitation des planètes , fur le nombre des cometes, &c. on doit lire le livre de M. Lambert, acadé* rnicien de Berlin, qui eft intitulé, Syfiême du Mondej Bouillon, 1770 , in-8°.Tout le monde connoît la Pluralité des Mondes de M. de Fon*
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    • Astronomie et G£ographie. 151
    • tenelle ; le Cofmothèoros du célébré Huygens ; le Somnium de Képler ; enfin Y lier exfiaticum du P. Kircher. Le premier de ces ouvrages (A* Pluralité des Mondes') eft ingénieux & charmant, mais un peu précieux. Le fécond eft fqavant & profond ; il plaira aux aftronomes feuls , ainfi que le Songe de Képler. Quant au dernier, n’en dé-plaife aux mânes du P. Kircher , on ne peut le regarder que comme un ouvrage tout-à-fait pé-dantefque & ridicule.
    • CHAPITRE III.
    • Du Calendrier, & des diverfes quejlions. qui y font relatives.
    • TOutes les nations policées tiennent compte du temps , foit écoulé, foit à venir, par des périodes qui dépendent du mouvement des aftres ; & c’eft même une des chofes qui diftinguent l’homme civilifé, de l’homme purement animal & fauvage : car, tandis que le premier eft en état de compter à chaque inftant la durée de fon exif-tence écoulée, de prévoir à point nommé le renouvellement de certains événements, de certains travaux ou devoirs ; ce dernier , plus heureux peut-être en cela, puifqu’il jouit du préfent fans fe rappeller prefque le paffé , & fans anticiper fur l’avenir, ce dernier, dis-je, ne fçauroit dire fon âge, ni prévoir l’époque du renouvellement de fes occupations les plus familières: les événements les plus frappants dont il a été témoin, ou auxquels il a eu part, n’exiftent dans fon efprit que K '
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    • 151 Récréations Mathématiques. comme pafles, tandis que l’homme civilifé les lie â des époques & des dates précifes qui les rangent dans leur ordre. Sans cette invention , tout ce que les hommes ont fait jufqu’à ce moment feroit comme perdu pour nous ; fhiftoire n’exifteroit pas ; les hommes enfin, dont la vie en lociété exige le concours de fes différents individus dans certaines circonftances , ne fçauroient y mettre ce concert néceffaire ; il ne fçauroit enfin exifter de fociété vraiment civilifée, fans une convention de compter le temps d’une maniéré réglée : c’eft-là ce qui a donné lieu à la naiffance du calendrier , Ô£ des calendriers des diverfes nations.
    • Mais avant d’aller plus loin , il eft à propos de préfenter quelques définitions & quelques faits hiftoriques , néceffaires pour l’intelligence des queftions qu’on propofera dans la fuite.
    • Il y a deux efpeces d’années ufitées par les nations différentes de l’univers : l’une eft régleé par le cours du foleil , l’autre par celui de la lune. La première s’appelle folaire, & la fécondé lunaire. L’année folaire eft mefurée par une révolution du foleil le long de l’écliptique , depuis un point équinoxial , celui du printemps par exemple , jjufqu’au meme point; & il eft, comme on l’a dit plus haut, de 365 jours 5 heures 49 minutes.
    • L’année lunaire eft compofée de douze lunai-fons, & fa durée eft de 3 54 jours 8 heures 44 minutes 3 fécondés. JDe-là il fuit que l’année lunaire eft plus courte d’environ 11 jours que l’année folaire , & conféquemment que, fi une année lunaire & une année folaire commencent le même jour, après trois années écoulées, le commencement de l’année lunaire devancera celui de l’année folaire 9 de 33 jours, Ainfi le commencement
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    • Astronomie et Géographie. 153
    • de l’année lunaire parcourt fucceffivement tous les mois de l’année folaire en rétrogradant. Les Arabes , & en général les Mufulmans, ne comptent que par années lunaires ; les Hébreux & les Juifs n’en eurent jamais d’autres.
    • Mais les nations plus policées & plus éclairées ont toujours tâché de combiner enfemble les deux efpeces d’année. C’eft ce que firent les Athéniens par le moyen du fameux cycle d’or, invention du mathématicien Méton , dont Ariftophane fit l’objet de fes railleries : c’eft ce que font aujourd’hui les Européens, ou en général les Chrétiens , qui ont pris des Romains l’année folaire pour l’ufage civil, & l’année lunaire des Hébreux pour leur année eccléfîaftique.
    • Avant Jules-Céfar, le calendrier romain étoit dans un défordre inexprimable. Il eft fuperflu d’entrer içi dans des détails fur ce fujet : il fuffit de fçavoir que Jules-Céfar voulant y remettre l’ordre, fuppofa, d’après fon aftronome Sofigenes, que la durée de l’année étoit précifément de 365 jours 6 heures. En conféquence il ordonna que dorénavant on feroit trois années de fuite de 365 jours, & la quatrième de 366. C’eft cette dernière année qu’on a depuis appellée bijjèxeile, parceque le jour ajouté chaque quatrième année fuivoit le fixieme des calendes, & que pour ne rien déranger dans la dénomination des jours fui-vants, on le nommoit bis. fexto calendas. Chez nous , on le met à la fin de Février, qui a alors 29 jours, au lieu de 28 qu’il a les années communes. On nomma cette forme d’année, l'année Julienne, & le calendrier qui l’emploie, le calendrier Julien.
    • Mais Jules-Céfar fe trompoit, en regardant
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    • 154 Récréations Mathématiques,
    • l’année folaire comme étant de 365 jours 6heures précil es ; elle n’eft que de 365 jours 5h 49' ; d’ou il fui' que .l’équinoxe rétrograde continuellement, dans l’année Julienne, de 11 minutes par année ; ce qui donne précisément 3 jours dans 400 ans. De-là eft venu que , le concile de Nicée ayant trouvé l’équinoxe du printemps au 21 Mars , cet équinoxe, après environ 1200 ans écoulés, c’eft-à-dire en 1500, arrivoit vers le 11. C’efl pourquoi le pape Grégoire XIII, voulant réformer certe erreur, fupprima en 1582 dix jours de fuite, en comptant, après le 11 d’Oélobre, le 21 du même mois ; & par-là il ramena l’équinoxe du printemps {iiivant.au 21 Mars : enfin , pour faire qu’il ne s’en écartât plus, il voulut que , dans la fuite, on fupprimât trois biflextiles dans 400 ans. C’eft par cette raifon que l’année 1700 n’a pas été biffextile, quoiqu’elle eût dû l’être fuivant le calendrier Julien: les années 1800, 1900 ne le feront pas non plus, mais l’an 2000 le fera : les années 2100, 2200, 2300 ne le feront pas, mais feulement 2400: & ainfi de fuite.
    • Tout cela eft fuffifant & plus que fuffifant pour l’année folaire ; mais la grande difficulté de notre calendrier vient de l’année lunaire, qu’il a fallu y lier. Car les Chrétiens, ayant pris leur origine chez les Juifs , ont voulu lier leur fête principale & la plus augufte, celle de Pâques, avec l’année lunaire , parceque les Juifs célébroient leur pâque à -une certaine lunaifon , -fçavoir le jour de la pleine lune qui fuivoit l’équinoxe du printemps. Mais le concile de Nicée établit à cet égard, pour ne pas faire concourir la pâque des Chrétiens avec la pâque des Juifsque les premiers la célé-Jbreroient le dimanche après la pleine lune qui
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    • Astronomie et Géographie. 15$
    • tomberoit ou le jour,de l’équinoxe du printemps , ou qui viendront immédiatement après. De-là eft née la néceffité de fe former des périodes de lunaifons propres à trouver toujours avec facilité le jour de la nouvelle ou pleine lune de chaque mois, pour déterminer la lune pafcale.
    • Le concile de Nicée fuppofa l’exaélitude parfaite du cycle de Méton , ou du nombre d’or, fuivant lequel 235 lunaifons égalent précifément 19 années folaires. Ainfi , après 19 années, les .nouvelles & pleines lunes eufient dû revenir les mêmes jours des mois. 11 étoit aifé , d’après cela , d’afligner à chacune de ces années la place des lunaifons ; & c’eft ce qu’on fit par le moyen des épaéfes , ainfi qu’on l’expliquera dans la fuite.
    • Mais , dans la réalité , 23 5 lunaifons font moindres que 19 années folaires Juliennes , d’une heure & demie environ ; d’où il arrive que, dans 304 ans, les nouvelles lunes rétrogradent d’un jour vers le commencement de l’année, & conféquem-ment de quatre dans 1216 ans: telle eft la caufè par laquèlle , vers le milieu du feizieme fiecle , les nouvelles & pleines lunes avoient anticipé de quatre jours fur leurs places anciennes ; enforte •que l’on célébroit fréquemment la pâque contre la difpofition du concile de Nicée
    • Grégoire XIII entreprit d’y remédier par une réglé ftable, & propofa le problème à tous les mathématiciens de l’Europe ; mais ce fut un médecin & mathématicien Italien , nommé Aloijio Lilio, qui en vint à bout le plus heureufement, par une nouvelle difpofition d’épa&es, que l’Eglife a adoptée. Voilà en quoi confifte toute la réformation du calendrier. On nomme ce nouvel arrangement, le Çiilendrier Grégorien. Il commença à avoir lieu
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    • 156 Récréations Mathématiques.
    • en 1581 dans l’Italie, la France, l’Efpagtte, & autres pays Catholiques. Les Etats d’Allemagne , même Proteftants, ne tardèrent pas de l’adopter, du moins en ce qui concerne l’année folaire ; mais ils le rejetèrent en ce qui concerne l’année lunaire, & préférèrent de faire calculer aftronomiquement le jour de la pleine lune pafcale ; ce qui fait que nous ne célébrons pas toujours la.pâque en même temps que les Proteftants Allemands. Les Anglok ont été les plus opiniâtres à rejeter l’année Grégorienne, & à peu près par le même motif qui a fait long-temps exclure de leurs pharmacopées le quinquina , parcequ’on le devoit aux Jéfuites : mais ils ont enfin fenti qu’on doit prendre le bon & l’utile de toutes mains , même ennemies, & ils fe font conformés à la maniéré de compter du refte de l’Europe. C’eft en 1750 feulement que ce changement fe fit. Avant cette époque , & depuis 1700, quand nous comptions le 21 d’un mois, ils comptaient feulement le 10. Dans la fuite des fie-cles ils euffent eu l’équinoxe du printemps à Noël, & enfuite l’hiver à la S. Jean. Les Rufles font les feuls peuples de l’Europe qui tiennent encore a a calendrier Julien. Leurs Papas ne haïffent pas moins les prêtres Romains, que les Anglois un Jé-fuite.
    • Après cette petite exposition hiftorique, nous allons parcourir les principaux problèmes du calendrier.
    • PROBLÈME I.
    • Connoître Ji une année ejl bijfextile, ou de $6G jours, ou non.
    • Divisez le nombre qui marque le quantieme de l’année par 4 $ s’il ne refte rien, l’année eft
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    • Astronomie et Géographie. 177 biffextile ; s’il refte quelque chofe, ce reftant indiquera quelle année court après la biffextile. On propofe , par exemple , l’année 1774. Divifez 1774 par 4 , il reliera 2 : on en conclura que l’année 1774 eft la fécondé après la biffextile.
    • Il y a néanmoins quelques limitations à cette réglé.
    • i° Si l’année eft une des centénaires, & eft poftérieure à la corre&ion du calendrier par Grégoire XIII , c’eft-à-dire à 1582 , elle ne fera biffextile qu’autant que le nombre des fiecles qu’elle défigne fera divifible par 4 : ainfi 1600, 2000, 2400,2800 , ont été ou feront biffextiles ; mais les années 1760, 1800,1900,2100,2200, 2300, 2500, 2600, 2700, ne doivent pas être'biffextiles : on en a vu plus haut la raifon.
    • 20 Si l’année eft centénaire, & précédé 1582, fans être néanmoins au deffous de 474, elle a été biffextile.
    • 30 Entre 459 & 474, il n’y a point eu de biG-fextile.
    • 40 II n’y en a point eu dans les fix premières années de l’ere chrétienne.
    • 50 Comme la première biffextile après l’ere chrétienne fut la feptieme, & qu’elles fe fuivirent régulièrement, de quatre en quatre ans , jufqu’à 459, lorfque l’année donnée fera entre la 7e & la 459e, il faudra ôter 7 du nombre de l’année, & divifer le refte par 4 : fi le reftant eft zéro, l’année fera biffextile ; finon, le refte de la divifion montrera quelle année après la biffextile étoit l’année propofée. Soit, par exemple, l’année donnée la 148e : ôtez 7, relieront 141 , qui, divifés par 4, laiffent 1 pour refte: ainfi la 148e année après J. C. fut la première après la biffextile.
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    • •jj.g BIcréations Mathématiques.
    • Du Nombre d’or, & du Cycle lunaire.
    • Le nombre d’or, ou le cycle lunaire , eft une révolution de 19 années folaires, au bout def-quelles le foleil & la lune reviennent, à peu de chofe près , dans la même pofition. En voici l’origine.
    • L’année folaire Julienne étant, comme nous l’avons dit plus haut, de 365 jours 6 heures, 8>c la durée d’une lunaifon étant de 19 jours 12 heures 44 minutes, on a trouvé , en combinant ces durées, que 235 lunaifons faifoient, à peu de chofe près ,19 années folaires : la différence n’eft en effet que de ih 31'. Ainfi l’on voit qu’après 19 ans folaires, les nouvelles lunes doivent retomber aux mêmes jours des mois, & prefque à la même heure. Si, dans la première de ces années folaires , la nouvelle lune eft arrivée le 4 Janvier, le 2 Février, &c. au bout de 19 ans les nouvelles lunes arriveront pareillement les 4 Janvier, 2 Février, &c ; & cela arrivera éternellement, li l’on fup-pofe que les 235 lunaifons équivalent précifément à 19 révolutions folaires. Il fuffira donc d’avoir déterminé une fois, pendant 19 années folaires, les jours des mois où arriveront les nouvelles lunes ; & quand on fçaura quel rang tient dans cette période une année donnée, on fçaura auffi-tôt quels jours de chaque mois tombent les nouvelles lunes.
    • Ce cycle parut aux Athéniens fi ingénieufemerit imaginé, que, lorfque Méton i’aftronoine le leur propofa, il fut reçu avec acclamation , & écrit en lettres d’or dans la place publique. Voilà d’où lui eft venu le nom de nombre d’or. On le dé-
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    • Astronomie et Géographie. 159 nomme moins pompeufement, cycle lunaire, ou cycle de Méton, du nom de Ton inventeur.
    • PROBLÈME II.
    • Trouver le Nombre d'or d'une année propofée, ou le rang qiCelle occupe dans le cycle lunaire.
    • Ajoutez un à l’année propofée, & divifez la fomme par 19, fans avoir égard au quotient: s’il refte zéro , l’année propofée aura 19 de nombre d’or ; s’il refte un autre nombre, qui doit né-ceflairement être moindre que 19 , ce fera le nombre d’or cherché.
    • Soit propofée, par exemple, l’année 1780. Ajoutez 1 , & divifez la fomme 1781 par 19; le reftant après la divifion fera 14; ce qui indique que I4eft le nombre d’or de l’année 1781, ou que cette année eft la quatorzième dans le cycle lunaire de 19 ans.
    • Si l’année propofée étoit 1718, on trouverait, par une femblable opération , que le reftant de la divifion par 19 ferait zéro; ce qui fait voir que 19 étoit le nombre d’or de cette année.
    • On ajoute 1 au nombre propofé, parceque la première année de l’ere chrétienne avoit 2 de nombre d’or.
    • S’il étoit queftion d’une année avant J. C., par exemple la 25e, il faudra ôter 2 de ce nombre , & divifer le refte , qui eft ici 23 , par 19 ; la divifion étant faite, il reftera 4, qu’on ôtera de 19: le reftant 15 fera le nombre d’or de la 25e année avant l’ere chrétienne.
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    • i6o Récréations Mathématiques.
    • R E MARQUE.
    • IL eft aifé de voir que quand oi) a trouvé le nombre d’or d’une année , on peut, par la feule addition, avoir le nombre d’or de l’année ; fui— vante, en ajoutant i au nombre d’or trouvé. On peut aufli , par la feule fouftra&ion , avoir le nombre d’or de l’année précédente, en ôtant i du même nombre d’or trouvé. Ainfi, ayant trouvé 14 pour le nombre d’or de l’année 1780, en ajoutant 1 à ce nombre trouvé 14, on a 15 pour le nombre d’or de l’année 1781 ; & en ôtant 1 du même nombre trouvé 14, on a 13 pour le nombre d’or de l’année 1779.
    • De l'Epacle.
    • L’épa&e n’eft autre chofe que le nombre de jours dont la lune eft vieille à la fin d’une année donnée. On en concevra aifément la formation , en faifaiit attention que l’année lunaire ou douze lunaifons font moindres qu’une année Julienne, de 11 jours euviron : ainfi, fuppofant qu’une année lunaire & qu’une année folaire commencent enfemble au Ier Janvier, la lune fera vieille de 11 jours à la fin de cette année ; car il y aura eu douze lunaifons complettes, & 11 jours écoulés d’une treizième, conféquemment, à la fin de la fécondé année , la lune fera vieille de zi jours , & à la fin de la troifieme elle le feroit de 3 3 jours. Mais, comme ces 3 3 jours excédent une lunai-fon, on en intercale une de 30 jours, enforte que cette année a 13 iunaifons, & que la lune eft feulement vieille de 3 jours à la fin de cette troifieme année.
    • Telle
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    • Astronomie et Géographie. i6t
    • Telle eft donc la marche des épaftes. Celle de la première année du cycle lunaire , ou qui répond au nombre d’or i, eft XI; on ajoute enluite perpétuellement XI ; & quand la Tomme excede XXX, on fouftrait XXX, & le reftant eft l’é-pa&e , à l’exception de la derniere année du cycle , où le produit de l’addition étant feulement 29 , oh retranche 29 pour avoir o d’épacle ; ce qui annonce que la nouvelle lune arrive à la fin de cette année, qui eft auffi le commencement de la fuivante. Ainfi l’ordre des épa&es eft , XI, XXII, III, XIV, XXV, VI, XVII, XXVIII, IX, XX, I, XII, XXIII, IV, XV, XXVI, Vil, XVIII, XXIX.
    • Cet arrangement eût été parfait & éternel, fî 19 années folaires de 365 jours 6 heures euflfent précifément égalé 235 lunaifons, comme le fup-pofoient les anciens aftronomes ; mais malheu-reufement cela n’eft pas. D’un côté l’année fo-laire n’eft que de 365 jours 5 heures 49 minutes; & d’ailleurs les 235 lunaifons font moindres d’une heure & demie que les 19 années Juliennes; en-forte que, dans 304 aùs, les nouvelles lunes réelles précèdent d’un jour les nouvelles lunes calculées de cette maniéré. De-là il arrivoit qu’au milieu du feizieme fiecle , elles précédoient de quatre jours le calcul ; car il s’étoit écoulé quatre révolutions de 304 ans depuis le concile de Nicée, où l’ufage du cycle lunaire avoit été adopté pour fupputer la pâque : de-là la néceffité de corriger le calendrier , pour ne pas célébrer le plus fouvent cette fête contre les difpofitions de ce concile, qu’on verra plus bas. Cela a occafionné quelques changements dans le calcul des épa&es, qui forment deux cas : l’un eft celui où l’on propofe des Tome III. L
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    • 16z Récréations Mathématiques. années antérieures à la réformation du calendrier , ou à 1581 ; le fécond eft celui où il eft queftion d’années poftérieures à cette époque. L’on va traiter ces deux cas dans le problème fuivant.
    • PROBLÈME III.
    • Une année étant donnée, trouver fon Epacie.
    • I. Si l’année propofée eft antérieure à 1582 , quoique poftérieure à l’ere chrétienne, ce qui forme le premier cas , cherchez , par le problème précédent, le nombre d’or de l’année propofée ; multipliez-le par 11 , & du produit retranchez 30 autant de fois que cela fe peut : le reftant fera l’épa&e cherchée.
    • Soit propofée, par exemple , l’année 1489. Son nombre d’or , par le problème précédent, eft. 8 : multipliez 8 par 11,8c divifez le produit 88 par 30; le refte 28 fera l’épa&e de 1489.
    • De même, li on regarde 1796 comme une année Julienne , c’eft-à-dire, fi ceux qui n’ont pas reçu la réformation veulent fçavoir l’épaéte de 1796 , après avoir trouvé 11, nombre d’or de 1796 , multipliez 11 par 11 ; le produit fera 121, qui, divifé par 30, biffera 1 pour refte : ce fera l’épa&e de 1796, regardée comme année Julienne.
    • II. Nous fuppoferons maintenant que l’année propofée eft poftérieure à la réformation, ou à 1582; ce qui eft le fécond cas. Multipliez, da,ns ce cas, le nombre d’or par 11, & ôtez du produit le nombre de jours retranchés par la réformation de Grégoire XIII, fçavoir 10, fi l’année eft entre 1582 & 1700 ; 11 jours entre 1700 & 1800 ; 12 jours entre 1800 & 1900 ; 13 jours entre 1900
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    • Astronomie et Géographie.
    • & iioô , &c : divifez le reftant du produit ci-deflus , après cette fouftraélion, par 30, & ayez feulement attention au relie : ce fera l’épaéte cherchée.
    • Qu’il foit propofé de trouver l’épa&e de l’année Grégorienne 1693 , dont le nombre d’or étoit 3. Multipliez 3 par 11 ; du produit 33 ôtez 10: le reftant 23 ne pouvant être divifé par 30, fut l’épaâe de 1693.
    • Si on demande l’épaâe de l’année 1796 , dont le nombre d’or eft 11, multipliez 11 par 11 ; du produit in retranchez 11 : le reftant 110 étant divifé par 30, il refte 20, qui fera l’épa&e de cette année.
    • Remarques.
    • L’ÉPACTE peut fe trouver fans la divifion, en cette forte. Faites valoir 10 l’extrémité d’en haut du pouce de la main gauche, 20 la jointure du milieu, & 30, ou plutôt o, la derniere ou la racine. Comptez le nombre d’or de l’année propo-fée, fur le même pouce, en commençant à compter 1 à l’extrémité , 2 à la jointure, 3 à la racine ; enfuite 4 à l’extrémité , 5 à la jointure, 6 à la racine ; de même 7 à l’extrémité, 8 à la jointure ,
    • 9 à la racine ; ainfi de fuite, jufqu’à ce que vous foyiez parvenu au nombre d’or trouvé, auquel vous n’ajouterez rien s’il tombe à la racine, parceque nous lui avons attribué o : mais vous y ajouterez
    • 10 s’il tombe à l’extrémité , & 20 s’il tombe à là jointure, parceque nous les avons fait valoir autant. La fomme fera l’épa&e qu’on cherche , pourvu qu’on en ôte 30 quand elle fera plus grande.
    • Le nombre d’or de i486 étoit 8. En comptant
    • LiP
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    • ié4 Récréations Mathématiques.
    • 8 far le pouce, comme on vient de dire, & commençant à compter i fur l’extrémité du pouce, 2 fur la jointure, 3 fur la racine , puis 4 fur l’extrémité , &c. on trouvera que 8 tombe fur la jointure. Ajoutez 20, qui a été attribué à la jointure, au nombre d’or 8, vous aurez 28, qui eft l’épaéle cherchée de l’année 1489. De même <i on1 veut fçavoir l’épa&e vieille de 1726 , dont le nombre d’or fera 17, commencez à compter 1 fur l’extrémité du pouce , 2 fur la jointure , &c. jufqu’à ce que vous ayiez compté 17, qui tombera fur la jointure ; puis ajoutez 20 , nombre attribué à la jointure, au nombre d’or 17 ; de la fomme 37ôtez 30, il reftera 7 pour l’épafte vieille de 1726.
    • Par le même artifiçè, on pourra trouver l’épaâe pour quelque année que ce foit du dernier fiecle, pourvu que l’on faffe valoir 20 l’extrémité du pouce, 10 la jointure , o ou rien la racine, &C que l’on commence à compter 1 fur la racine, 2 à la jointure, fkc.
    • PROBLÈME IV.
    • Trouver la nouvelle lune d'un mois propofé dans une année donnée.
    • Cherchez d’abord l’épa&e de l’année pro-pofée, & fi vous avez un calendrier romain, tel qu’il eft à la tête du Bréviaire ou d’un Miffel, cherchez dans le mois donné cette épaéte : le jour qui lui répondra, fera, celui de la nouvelle lune. . Q«’il foit queftion, par exemple, de trouver le jour de la nouvelle lune de Mai de l’année 1726 , dont l’épaéte étoit XXVI. Je cherche ce nombre XXVI dans le mois de Mai 9 & je trouve qu’il
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    • Astronomie et Géographie. 165 répond au 3 : ainfi la lune fut nouvelle le 3 Mai 172.6.
    • Mais fi l’on n’a pas un calendrier romain, on s’y prendra ainfi.
    • Cherchez, par les deux problèmes précédents , l’épaâe de l’année ; ajoutez à cette épaâe le nombre des mois écoulés depuis le mois de Mars , 8c retranchez la Comme de 30: ce fera le quantieme du mois où arrive la nouvelle lune.
    • On demande , par exemple, le jour de la nouvelle lune en Juillet 1769. Le nombre d’or de 1769 eft 3 ; le produit de 3 par 11 eft 33 , dont , fuivant la réglé , il faut ôter 11 : le reftant xz , étant moindre que 30 , eft l’épaâe cherchée. Lorfqu’on compte Juillet, le nombre des mois écoulés depuis Mars inclufivement eft 4 ; ainfi , ajoutant 4 à l’épaâe , la Comme eft 26 ; ce qui étant ôté de 30, refte 4 : ainfi la lune a été nouvelle le 4 Juillet 1769. Elle l’a été plus exactement le 3 à 3h 49' de l’après-midi.
    • Remarque.
    • Il ne faut pas s’attendre à une exactitude parfaite dans des calculs de cette nature. L’arrangement irrégulier des mois de 31 jours, les nombres moyens qu’on eft obligé de prendre pour la formation des périodes , dont ces calculs font dérivés , les inégalités enfin des révolutions lunaires , font caufe que l’erreur peut être à peu près de 48 heures.
    • On arrivera à un peu plus d’exaâitude, en fc. fervant de la table fuivante, qui indique ce qu’il faut ajouter à l’épaâe pour chaque mois commençant»
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    • 166 Récréations Mathématiques.
    • Janvier . . . . 2 Juillet. . . • 5
    • Février. . . . 3 Août . . . • 7
    • Mars . . . . . 1 Septembre . • 7
    • Avril . . . . . 2 Ottobre . . . 8
    • Mai .’ . ... 3 Novembre. 10
    • Juin . . ... 4 Décembre. 10
    • PROBLÈME V.
    • Trouver Page de la lune un jour propofê.
    • A l’épacte de l’année, ajoutez, conformément à la table ci-deffus, le nombre qui convient au mois dans lequel eft le jour propofé ; ajoutez à cette fomme le nombre qui indique le quantieme de ce jour: lî la fomme n’égale pas 30 , ce fera l’âge de la lune au jour donné : fi elle eft 30, cela indiquera que la lune eft nouvelle ce jour-là : fi elle furpaffe 30, retrancbez-en ce nombre; le reftant fera l’âge de la lune.
    • On demande l’âge de la lune au 20 Août 1769. L’épaéle de 1769 eft 22 : le nombre à ajouter pour le mois d’Août, dans la table précédente , eft 7j ce (pii, ajouté à 22 , forme 29: à 29 ajoutez encore 20, quantieme du jour propofé x la fomme fera 49 , dont 30 étant ôté, il refte 19 : ce fera l’âge de la lune au 20 Août ; ce qui eft en effet conforme à ce qui eft indiqué par les Ephémérides.
    • Du Cycle folâtre, & de la Lettre dominicale.
    • On appelle cycle folaire, une révolution perpétuelle de 28 années, dont voici l’origine.
    • 1. On a difpofé dans le calendrier, les fept premières lettres de l’alphabet , A B CD EFG, enforte que A réponde au t*e Janvier, B au z, C
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    • Astronomie ét Géographie. i$j au 3 , D au 4, E au 5, F au 6, G au 7; A au 8 , B au 9, & ainfi de fuite par plufieurs révolutions de fept.- Les fept jours de la femaine , qu’on nomme aulîi fériés , font répréfentés par ces fept premières lettres.
    • 2. Parceque dans une année de 365 jours il y a 52 femaines & un jour, & que ce jour de refte eft le premier d’une 53e révolution, une année commune de 365 jours doit commencer 6c finir par un même jour de la femaine.
    • 3. Dans cette difpofition, une même lettre de l’alphabet répond toujours à une même férié de la femaine, pendant le cours d’une année commune de 365 jours.
    • 4. Ces lettres , fervant toutes alternativement à marquer le dimanche dans une fuite de plufieurs années, font pour cela appellées lettres dominicales.
    • 5. Il fuit de-là que, fi une année commence par un dimanche, elle finira auffi par un dimanche : ainfi le Ier Janvier de l’année fuivante fera un lundi, qui répondra à la lettre A , & le feptieme fera un dimanche, qui répondra à la lettre G. Cette lettre G fera la lettre dominicale de cette année-là. Par la même raifon, l’année d’après aura F pour lettre dominicale ; celle qui fuivra aura E ; & ainfi de fuite , en circulant dans un ordre rétrograde de celui de l’alphabet. C’eft de cette circulation des lettres qu’eft venu le nom de cycle folaire, parceque le dimanche, chez les payens, étoit appellé dits folis, jour du foleil.
    • 6. S’il n’y avoit point d’années biflextiles à ajouter, tous les différents changements de lettres dominicales fe feroient dans l’efpace de fept ans. Mais cet ordre eft interrompu par les années bifi-fextiles , dans lefquelles le 24 Février répond à
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    • tj6$ Récréations Mathématiques.
    • deux différentes fériés de la femaine. Ainfi la lettre F, qui auroit marqué un famedi dans une année commune, marquera un famedi & un dimanche dans une année biffextile : ou, fi elle eût marqué un dimanche dans une annee commune , elle marqueroit un dimanche & un lundi dans une année biffextile, &c. D’où il fuit que la lettre dominicale change dans cette année , & que celle .qui marquoit un dimanche dans le commence--ment de l’année , marquera un lundi après l’addition du biffextile. On voit par-là la raifon pourquoi on donne .deux lettres dominicales à chaque année biffextile, l’une qui fert depuis le Ier de Janvier jufqu’au 24 Février, & l’autre depuis le 24 Février jufqu’à la fin de l’année ; de forte que la deuxieme lettre dominicale feroit naturellement celle de l’année fuivante , fi on n’y avoit point ajouté de biffextile.
    • 7. Enfin toutes les variétés poffibles qui arrivent aux lettres dominicales, tant dans les années communes que dans les biffextiles, fe font dans l’efpace de 4 fois 7, ou 28 ans ; car, après fèpt biffextiles, le même ordre des lettres dominicales revient & circule comme auparavant. C’eft cette révolution de 28 ans qu’on appelle cycle folaire, ou cycle de la lettre dominicale.
    • Ce cycle a été inventé pour connoiître facilement les dimanches d’une année propofée, en connoiffant la lettre dominicale de cette année.
    • PROBLÈME VI.
    • Trouver la Lettre dominicale d'une année propofée,
    • 110 Po u R trouver la lettre dominicale d’une année propofée, fuivant le calendrier nouveau ,
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    • Astronomie et Géographie. 169
    • ajoutez au nombre de l’année propofée fa quatrième partie , ou fa plus prochainement moindre, fi ce nombre ne Ce peut exa&ement divifer par 4 ; ~ôtez 5 de la Comme pour le fiecle 1600,6 pour le fiecle fuivant 1700, 7 pour le fiecle 1800, & 8 pour les liecles 1900 , 1000, parceque les années 1700, 1800, 1900, ne feront point biflexti-les ; 9 pour le fiecle 2100, 10 pour le fiecle 2200, & 11 pour les fiecles 2300 & 2400, parceque les trois années 2100, 2200, 2300, ne feront point biflextiles ; & ainfi de fuite. Divifez le refte par 7 ; &, fans avoir ég3rd au quotient, le refte de la divifion vous fera connoître la lettre dominicale qu’on cherche , en la comptant depuis la derniere G vers la première A ; de forte que s’il ne refte rien , la lettre dominicale fera A ; s’il refte 1 , la lettre dominicale fera G ; s’il refte 2 , la lettre dominicale fera F ; & ainfi des autres.
    • Ainfi , pour trouver la lettre dominicale de l’année 1693, ajoutez à ce nombre 1693 fa quatrième partie 423. Après avoir ôté 5 de la Comme 2116, divifez le refte 211 par 7 ; puis, fans avoir égard au quotient 301 , le refte 4 fait connoître qu’en l’année 1693 on eut D pour lettre dominicale , puifqu’elle eft la quatrième, en commençant à compter depuis la derniere lettre G, par un ordre rétrograde.
    • Obfervez que pour avoir sûrement, par cette pratique, la lettre dominicale d’une année biffex-tile, il faut d’abord trouver la lettre dominicale de l’année qui la précédé, puis prendre la lettre précédente , qui fervira jufqu’au 24 Février de l’année biflextile ; enfuite la lettre qui précédé , pour la faire fervir le refte de l’année.
    • Si je veux trouver la lettre dominicale de 1724,
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    • 170 Récréations Mathématiques. je cherche d’abord celle de 1723, en lui ajoutant fa quatrième partie prochainement moindrè 430; ôtant 6 de leur fomme 2153, & divifant le refte z 147 par 7: fans avoir égard au quotient, le refte 5 , après la divifion , me fait voir que la lettre dominicale de cette année 1723 eft C, qui eft la cinquième des fept premières lettres de l’alphabet , en les comptant par ordre rétrograde. Connoiffant que C eft la lettre dominicale de 1723, il fera aifé de connoître que B doit être la lettre dominicale de l’année fuivante 1724. Mais comme 1724 eft biffextile , B ne fervira que jufqu’au 24 Février, St on prendra A qui précédé B , pour le faire fervir depuis le 24 Février jufqu’à la fin de l’année : d’où l’on voit que B St A font les deux lettres dominicales de l’année biffextile 1724
    • 2° Pour trouver le cycle folaire, ou plutôt le quantieme du cycle folaire d’une année propofée, ajoutez 9 à l’année propofée, St divifez la fomme par 28 : s’il ne refte rien , 28 étoit le nombre du cycle folaire de cette année ; s’il refte quelque choie, ce reftant eft le nombre du cycle folaire qu’011 cherche.
    • Si on demande , par exemple, quel quantieme du cycle folaire étoit l’an 1693 , ajoutez 9, la fomme fera 1702, qui étant divifée par 28, le reftant de la divifion fera 22 : l’année 1693 étoit donc la 22e du cycle folaire.
    • La raifon de cette réglé eft, que la première année de J. C. étoit la 10e du cycle folaire ; ou autrement, qu’à la première année de J. C. il y avoit 9 années du cycle déjà révolues.
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    • Astronomie et Géographie. 171 Remarques.
    • I.
    • O N peut, fans divifîon, 8c au moyen de la table fuivante, trouver le cycle folaire d’une année quelconque avec beaucoup de facilité.
    • Cette table , que l’on voit ci-deffous, efl ainfi confiante.
    • Ayant mis vis-à-vis des dix premières années les mêmes nombres pour les cycles folaires des mêmes années , 8c 20 pour le cycle folaire de la 20e, au lieu de mettre 30 pour celui de la 30e année, vous ne mettrez que 2, qui efl l’excès de 30 fur 28,ou fur la période du cycle folaire.
    • Pour la 40e année , vous ajouterez les nombres qui répondent à 30 6c à 10, fçavoir 2 8c 10, 6c ainfi des autres , en ôtant toujours 28 de la fomme, quand elle efl plus grande. -v Telle efl la conflruélion de la table. Voici fon ufage.
    • Premièrement , fi l’année propofée, dont on cherche le cycle folaire > eft dans la table ci-deffus , on aura ce cycle folaire, en prenant le nombre correfpondant à l’année propofée dans la colonne à droite, 6c en y ajoutant 9 : ainfi, ajoutant 9 à 12, qui répond à l’an 2000, on aura 11 pour le cycle folaire de l’an 2000.
    • I I 100 16
    • 1 2 200 25
    • 3 3 300
    • 4 4 400 8
    • 5 5 500 24
    • 6 6 600
    • 7 7 700 0
    • 8 8 800 16
    • J_ 9 900 4
    • 10 10 îoo° 20
    • 3° *2 3000 4
    • 40 . 11 4000 *4
    • 5° 22 5000 16
    • 60 4 6000 8
    • 70 ,l4 7000 0
    • 80 .2-4 8 000 20
    • 90 6 9000 IZ
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    • *7* Récréations Mathématiques.
    • Mais fi l’année donnée ne fe trouve pas exactement dans la table ci-deflus, on la divifera en plufieurs années qui s’y puilfent trouver. On ajoutera enfemble tous les nombres qui fe trouveront dans la colonne à droite vis-à-vis de ces années qui font à gauche. La Tomme de tous ces nombres étant augmentée de 9, donnera le cycle folaire de l’année propofée , pourvu qu’on ôte 28 de cette Tomme autant de fois qu’il Tera poffible, quand elle Tera plus grande.
    • Comme, pour trouver le cycle Tolaire de l’année 1693 , on réduira ce nombre d’années 1693 en ces autres quatre, 1000,600,90,3 , auxquels répondent, dans la table précédente, ces quatre nombres ,20, 12, 6, 3, dont la Tomme 41 étant augmentée de 9, donne cette Teconde Tomme 50 ; d’où ôtant 28, il reliera 22 pour le nombre du cycle folaire de l’année 1693.
    • II.
    • On ajoute 9 à la Tomme de tous ces nombres , parceque le cycle Tolaire avant la première année de J. C., étoit 9 ; par conTéquent ce cycle avoit commencé dix ans avant la naiffance de J. C. ; ce qu’on peut connoître en cette Torte.
    • Sçachant, par tradition ou autrement, le cycle Tolaire d’une année, par exemple, que 2 2 eft le cycle Tolaire de l’année 1693, ôtez 22 de 1693 ; diviTez le relie 1671 par 28 ; enfin ôtez de 28 le relie 19 de la divifion : le nombre reliant 9 Tera le cycle Tolaire avant la première année de J. C. III.
    • On pourra, de la même façon , conllruire une table propre pour connoître le nombre d’or d’une année propofée, avec cette différence, qu’au lieu
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    • Astronomie et Géographie. 175 d’ôter 28, il faut ôter 19, parceque la période de ce cycle eft 19 ; & qu’au lieu d’ajouter 9 , il faut ajouter feulement 1, parceque le nombre d’or avant la première année de J. C. étoit 1 : par conféquent ce cycle avoit commencé deux ans avant la naiffance de J. C. , c’eft-à-dire que la première année de J. C. avoit 2 de nombre d’or, &c.
    • IV.
    • On peut encore trouver la lettre dominicale d’une année propofée, d’une autre maniéré que celle que nous venons de donner. Cette lettre dominicale étant trouvée, fervira à faire connoître la lettre qui convient à chaque jour de la même année, comme vous allez voir.
    • Divifez le nombre des jours qui fe font écoulés inclufivement depuis le Ier de Janvier jufqu’au jour propofé, qui doit être un dimanche, quand on veut trouver la lettre dominicale de l’année : autrement on trouvera feulement la lettre qui convient au jour propofé; divifez , dis-je, ce nombre de jours par 7 : s’il ne relie rien de la dîvilîon, la lettre qu’on cherche fera G; s’il relie quelque chofe, ce nombre reliant fera connoître le nombre delà lettre qu’on demande, en la comptant félon l’ordre de l’alphabet, depuis la première lettre A.
    • Ainli, pour connoître la lettre qui convient au a6 d’Avril de l’année 1693 , en divifant par 7 le nombre 116 des jours compris entre le Ier de Janvier & le 26 d’Avril inclufivement, le relie de la divifion ell 4, qui fait connoître que la quatrième D convient au jour propofé ; lequel étant un dimanche , on en conclut que la lettre dominicale de l’année 1693 étoit D.
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    • 174 Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME VII.
    • Trouver quel jour de la femaine tombe un jour donné d’une année propofée.
    • Ajoutez au nombre donné des années, Ta quatrième partie, ou fa plus proche qui foit moindre , quand il n’en a pas une exa&ement ; à cette i'omme ajoutez encore le nombre des jours écoulés depuis le Ier Janvier inclufivement, jufqu’au jour propofé aufli compris ; de cette fécondé fomme ôtez 13 pour ce fiecle-ci, & divifez le refte par 7 : le nombre qui reftera après la divifion , fera le dimanche s’il refte 1 , le lundi s'il refte 2 , & ainfî de fuite ; s’il ne refte rien, ce fera un famedi.
    • Ainfi , pour fqavoir à quel jour de la femaine tomboit le 27 Avril de l’année 1769, ajoutez à 1769 fa quatrième partie la plus prochaine 442, & à ce nombre celui de 117 , nombre des jours depuis le Ier Janvier jufqu’au 27 Avril inclufive-ment ; la fomme fera 2328, dont vous ôterez 13 : le reftant 2315 étant divifé par 7, le refte fera 5 , ce qui indique le jeudi. Ainfi le 27 Avril 1769 a dû être un jeudi.
    • Remarque.
    • Si l’année propofée étoit entre 1582 8c 1700, il ne faudroit ôter que 12 de la fomme formée de la maniéré ci-defîus.
    • Si l’année étoit antérieure à 1582 , il ne faudroit ôter que 2. Cela vient de ce qu’en 1682 on ôta dix jours du calendrier ; & fi l’on en ôte 13 dans le fiecle préfent, c’eû que lebiftextile fu>
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    • Astronomie et Géographie. 175 primé en 1700, forme l’équivalent d’un onzième jour omis.
    • Par la même raifon il faudra, dans le dix-neu-viemeliecle, ôter 14; dans le vingtième, 15; dans le vingt-unieme , auffi 15; &c.
    • PROBLÈME VIII.
    • Trouver la fête de Pâques , & les autres fêtes mobiles.
    • Suivant l’ordonnance du concile de Nicée , la pâque chrétienne doit fe célébrer le dimanche après la pleine lune qui arrive le jour de l’équinoxe du printemps , qui eft cenfé fixé au 21 Mars, ou qui le fuit immédiatement. Ainfi, s’il arrivoit que ce jour de pleine lune fût le dimanche même, alors ce dimanche ne feroit pas pafcal, mais feulement le dimanche après : telle fut la conftitution du concile de Nicée, relativement à la pâque : d’où il eft aifé de déterminer le dimanche pafcal par diverfes méthodes.
    • Première Maniéré,
    • Il eft aifé de voir, d’après ce qu’on vient de dire, que le commencement de la lune pafcale eft entre le 8 Mars & le 5 Avril inclufîvement.
    • Pour trouver donc le jour de la pâque l’année 1769 9 Par exemple, cherchez l’épa&e de cette année par les méthodes données ci-deffus ; elle eft 22 : enfuite, fi vous avez un calendrier romain, cherchez entre le 8 Mars & le 5 Avril cette épa&e ; vous la trouverez vis-à-vis le 8 : ce fera , comme on l’a dit plus haut, le jour de la nouvelle lune.
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    • 176 Récréations Mathématiques. Comptez 14 après la date de ce jour, ce q_ui vous conduira au zz ; le premier dimanche après , qui tombe le 26, fera le dimanche de Pâques.
    • Ou bien comptez trois dimanches après le jour de la nouvelle lune , qui tombe depuis le 8 Mars jufqu’au 5 Avril; le troifieme fera celui de Pâques.
    • Cette derniere réglé eft exprimée par ces deux vers latins, pour l’intelligence defquels il faut remarquer que fuivant la maniéré de compter des anciens Romains , encore fuivie dans les expéditions de la cour de Rome, les nones tomboient toujours le 7 Mars.
    • Pofi Martis nonas ubi fit nova luna require :
    • Ténia lux domini proxima Pafcha dabit.
    • Cela eft encore exprimé par ces deux vers François ;
    • De Mars apres le y cherche1 lune nouvelle :
    • Trois dimanches comptés, le $ Pâques s'appelle.
    • Cela s’entend aifément fans autre explication.
    • Seconde Maniéré.
    • Comme on peut ne pas avoir fous fa main un calendrier romain, 011 trouvera encore le jour de Pâques au moyen de la table fuivante. Elle eft compofée de neuf colonnes, ou de fept cafés , dont chacune contient neuf colonnes. Chacune de ces cafés porte à la première colonne une des lettres dominicales ; les fept fuivantes contiennent les nombres des épaéfes ; enfin la neuvième le tour de la pâque.
    • TABLE
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    • Astronomie et GéogràphU. 177
    • TA BLE pour trouver la Fête de Pâques.
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    • 178 Récréations Mathématiques.
    • Pour en faire ufage , il faut connoître l’épaéle & la lettre dominicale. On propofe V par exemple, l’année 1769. Son épaéle étoit 22, & fa lettre dominicale A. Cherchez donc dans la café A , & dans l’une des colonnes des épa&es , celle de l’année 22, vous la rencontrerez dans le premier rang horizontal, vis-à-vis lequel, dans la neuvième colonne, vous aurez le 26 Mars.
    • En 1771,1’épafte étoit 14, & la lettre dominicale F. Dans la café où fe trouve F, à la première colonne, cherchez 14 dans les fept fuivantes : elle fe trouve dans la fécondé rangée horizontale, dans la continuation de laquelle, à la neuvième colonne , on lit le 31 Mars: ainfi, en 1771, Pâques tomba le 31 Mars.
    • Troijîeme Maniéré.
    • Si vous n’avez ni calendrier romain , ni la table précédente, fervez-vous de cette méthode.
    • Si l’épaéle de l’année propofée ne furpaffe pas 23 , ôtez-la de 44 ; le relie donnera le jour de Mars pour le terme de pâques , s’il ne furpaffe pas 31, car s’il excecle 31, le furplus donnera le jour d’Avril pour le terme de pâques.
    • Mais li l’épacle courante eft plus grande que 23 , ôtez-la de 43 , ou feulement de 42, quand elle fera 24 ou 25 ; le relie fera le jour d’Avril pour le terme de pâques.
    • Ainli, pour avoir le terme de pâques en 1769, dont l’épaéle étoit 22, ôtez-la de 44 ; le reliant 22 indique le 22 Mars pour le terme de pâques; le dimanche après a été le dimanche pafcal.
    • En j 666 l’épaéle étoit 24. Otant 24 de 42 , le reliant ell 18 ; le 18 Avril a été le terme de pâques , & le dimanche après celui de la pâque.
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    • Astronomie et Géographie. 179 Remarqué,
    • Puisque la fête de pâques réglé toutes les autres fêtes mobiles, il fera facile de connoître les jours auxquels ces fêtes doivent fe célébrer, ayant une fois connu le jour de pâques ; car le lundi après le cinquième dimanche, c’eft-à-dire 35 jours après pâques, viennent les rogations, après lef-quelles , fqavoir le jeudi fuivant, fuit immédiatement VAfcenfion de N. S. J. C., le quarantième jour après pâques. Dix jours après, ou le cinquantième jour après-pâques, on célébré la fête de la Pentecôte. Le dimanche fuivant, fçavoir 56 jours après pâques , on célébré la fête de la fainte Trinité. Et le jeudi fuivant, ou 11 jours après la pentecôte , c’eft-à-dire, 60 jours après pâques, arrive la fête-Dieu.
    • Le neuvième dimanche avant pâques eft la Sep-tuagêfime, qui eft éloignée de pâques de 63 jours. Le dimanche fuivant, ou le huitième dimanche avant pâques , eft la fexagéjime, qui eft éloignée' de pâques de 56 jours. Le dimanche fuivant, ou le feptieme dimanche avant pâques , eft la Quin-quagéjîme, qui eft éloigné de pâques de 49 jours. Enfin le mercredi fuivant, qui eft éloigné de pâques de 46 jours, eft Je, jour des Cendres.
    • Pour le dimanche de VAvent, qui ne dépend point de pâques, c’eft celui qui arrive ou le 30 de Novembre, fête de S. André, ou le dimanche qui eft le plus proche de cette fête ; ce qui eft facile à connoître par la lettre dominicale.
    • L’Eglife appelle Quadragêjime le premier dimanche du carême : Reminifcere le fécond dimanche du carême : Oculi le troifieme dimanche du carême: Latare le quatrième dimanche du caïd ij
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    • ï8o Récréations Mathématiques.
    • Tême : JvAica le dimanche de la paffion, qui eft le cinquième dimanche du carême : & Hofanna le dimanche des rameaux, qui eft le fixieme dimanche de carême , ou le premier dimanche avant piques.
    • Elle appelle Quajlmodo le premier dimanche après piques : Mifericordia le fécond dimanche après piques : Jubilate le troifieme dimanche après piques : Cantate le quatrième dimanche après piques : & Vocem Jucundhatis le cinquième dimanche après piques, ou le dimanche avant les rogations.
    • Enfin les Quatre-temps fe trouvent par le moyen de ce petit vers :
    • Pojl Pent. Crue. Luc. Cin. funt tempora quatuor
    • dont le fens eft tel. Les Quatre-temps arrivent le mercredi d’après la Pentecôte, le mercredi d’après l’Exaltation de la Croix, en Septembre ; le mercredi d’après la fête de fainte Luce, en Décembre ; & enfin le mercredi d’après les Cendres.
    • PROBLÈME IX.
    • Trouver quel jour de la femaine commence chaque mois (Tune année.
    • Il faut d’abord trouver la lettre dominicale. Cela fait, fervez-vous de ces deux vers latins : AJlra Dabit Dominus , Gratifque Beabit Egenosy Gratta Chrijlicolce Feret Aurea Dona Fideli.
    • Ou bien de ces deux vers françois :
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    • Astronomie et Géographie* iSr
    • dont voici l’ufage.
    • Les fix mots du premier vers répondent aux fix premiers mois de l’année, fçavoir, Janvier, Février, Mars, Avril, Mai & Juin ; & les fix mots du fécond vers aux fix derniers mois, Juillet, Août, Septembre, O&obre , Novembre & Décembre. Chaque lettre capitale de ces douze mots eft celle du premier jour de chaque mois, & indique le jour de la femaine par le rang qu’elle tient dans l’alphabet, lorfque la lettre dominicale eft A : ainfi en 1769, la lettre dominicale étant A, l’on voit du premier coup d’œil, que Janvier com-menqoit par un dimanche , Février par un mercredi , Mars par un Mercredi, Avril par un Samedi, &c.
    • Mais lorfque la lettre dominicale ne fera pas A mais C, par exemple, qui eft la troifieme de l’alphabet , comptez , pour le mois donné, deux lettres de plus, après celle qui lui convient fui-vant ces vers : cette lettre fera celle qui indiquera le jour de la femaine. En 1773 , par exemple , la lettre dominicale étoit C. Qu’on veuille donc fça-voir par quel jour de la femaine commençoit le mois de Mai ; le mot qui lui convient eft Beabit ou Bien. Comptez deux lettres dans la fuite des dominicales; la fécondé D, qui indique mercredi> annonce que le premier jour de Mai 1773 étoit ua mercredi.
    • Si l’on propofoit le mois d’Avril de la même année, dont le mot eft Gratis ou Gloire, comme G eft la feptieme des lettres dominicales, vous recommenceriez par A, & le B, fécondé lettre après G, indiqueroit que le Ier Avril 1773 étoit un lundi*
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    • i8i Récréations ^fAffcÉMÂTïQUÉs. PROBLÈME X.
    • Connaître les mois de rahnle qui ont 31 jours, & ceux qui n'en ont que 30.
    • PI* S» E levez le pouce A, le doigt du miliêu C -, &C % l8‘ l’auriculaire E, ou petit doigt de la main gàüchè ; abaiffez les deux autres , fçavoir l’index B , qui fuit le pouce , & l’annulaire D , qui êft entre le doigt du milieu & l’auriculaire^ Après cela, commencez à compter Mars fur le pouce A , Avril fur l’index B, Mai fur le doigt du milieu C , Juin fur l’annulaire D , Juillet fur l’auriculaire E ; continuez à compter Août fur le pouce, Septembre fur l’index , Oftobre fur le doigt du milieu, Novembre fur l’annulaire , Décembre fur l’auricu-- laire ; enfin , en recommençant, continuez à
    • compter Janvier fur le pouce, & Février fur l’index : alors tous les mois qui tomberont fur les doigts élevés A, C, E, auront 31 jours, & ceux qui tomberont fur les doigts abàifles B, D, n’eti auront que 30, excepté le mois de Février, qui a 28 jours dans les années communes, & 29 dans les biffextiles.
    • PROBLÈME XI.
    • Trouver le jour de chaque mois , auquel le foleîl entre dans un Jigne du qodiaque.
    • Le foleil entre dans chaque ligne du zodiaque vers le 20 de chaque mois de l’année; fçavoir, au premier degré du Bélier vers Je 20 Mars , au premier degré du Taureau vers le 20 Avril, & ainli de fuite. Pour fçavoir ce jour un peu plus
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    • Astronomie et Géographie. 18$
    • exaâement, fervez-vous de ces deux vers artificiels ;
    • lnclita Lans Jujlis Impendltur, Hœrejïs Horret9
    • Grandia Gejla Gerens Felici G audit Honore. dont voici l'ufàge.
    • Diftribuez les douze mots de ces deux vers aux douze mois de l’année, en commençant par Mars, que vous attribuerez à lnclita ; & en Unifiant par Février, qui répondra à Honore. Confidérez quel eft le nombre de la première lettre de chaque mot dans l’alphabet ; car fi de 30 vous ôtez ce nombre, le refte donnera le jour du mois qu’on cherche.
    • Par exemple , lnclita répond au mois de Mars, & au ligne du Bélier ; la première lettre I eft la neuvième lettre de l’alphabet : fi l’on ôte 9 de 30, le refte 21 fait connoître que le 21 de Mars le fo-leil entre dans le Bélier. Pareillement Gaudet répond au mois de Janvier & au ligne duVerfeau ; fa première lettre G eft la feptieme dans l’ordre alphabétique : en ôtant 7 de 30, le refte 23 fait connoître que le 23 Janvier le foleil entre au Ver-feau. Il en eft ainfi des autres.
    • PROBLÈME XII.
    • Trouver le degré du Jigne ou le foleil fe rencontre en un jour propofè de Cannée,
    • IL faut d’abord chercher dans le mois propofé le jour auquel le foleil entre dans un des lignes du zodiaque, & quel eft ce ligne. Cela fait, fi le jour propofé précédé ce jour, il eft évident que le foleil eft alors dans le ligne qui précédé ; c’eft pourquoi il faut ôter de 30 degrés la différence
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    • 184 Récréations Mathématiques.
    • du quantieme propofé , d’avec celui où le foleil entre dans un nouveau ligne : le reliant indiquera le quantieme du degré du ligne précédent où fe trouve le foleil.
    • Soit propofé, par exemple, le 18 Mai. On trouve par le problème précédent, qu’en Mai le foleil entre le 21 dans le ligne des Gemeaux. Or, comme le 18 précédé le 21 de trois jours, ôtez 3 de 30 ; le reliant 27 indiquera qu’au 18 Mai le foleil fe trouvera dans le 27e degré du Taureau.
    • Mais li le quantieme propofé du mois étoit poilérieur au jour du même mois où le foleil entre dans un nouveau ligne, alors il faudra prendre le nombre des jours dont ils different : ce fera le degré de ce ligne où fe trouvera le foleil au jour donné.
    • Suppofons , par exemple, qu’on ait propofé le 27 Mai. Comme le foleil entre le 21 Mai dans les Gemeaux , & que la différence de 21 à 27 eft 6, on en conclura que le foleil ell au 27 Mai dans le 6e degré des Gemeaux.
    • PROBLÈME XIII.
    • Trouver le lieu de la lune dans le zodiaque, un jour propofé de Vannée.
    • On trouvera premièrement le lieu du foleil dans le zodiaque, comme il a été enfeigné au problème précédent ; & enfuite la diftance de la lune au foleil , ou l’arc de l’écliptique compris entre le foleil & la lune, comme nous allons enfeigner.
    • Ayant trouvé par le problème V l’âge de la lune, & l’ayant multiplié par iz, divifez le produit par 30 ; le quotient donnera le nombre des
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    • Astronomie et Géographie. i8j
    • lignes , & le refte de la divifion donnera le nombre des degrés de la diftance de la lune au foleil. C’eft pourquoi li , félon l’ordre des lignes , on compte cette diftance, dans le zodiaque, en commençant depuis le lieu du foleil , on aura le lieu de la lune qu’on cherche.
    • Comme li l’on veut fçavoir le lieu où étoit la lune le 28 Mai 1693 , le foleil étant au 27e degré du Taureau, & l’âge de la lune étant 14 , multipliez 14 par 12, & divifez. le produit 268 par 30: le quotient 5, & le refte 28 de la divifion, font connoître que la lune eft éloignée du foleil de 5 lignes & de 18 degrés. Si donc on compte ç lignes 6c 18 degrés dans le zodiaque depuis le 27e degré du Taureau, qui eft le lieu du foleil, on tombera fur le 15e degré du Scorpion, c’étoit le lieu moyen de la lune.
    • PROBLÈME XIV.
    • Trouver à quel mois de Vannée appartient une lunaifon.
    • Dans l’ufage du calendrier romain, chaque lunaifon eft eftimée appartenir au mois où elle fe termine, fuivant cette ancienne maxime des computiftes :
    • In quo completur , menji lunatio detur.
    • C’eft pourquoi, pour fçavoir fi une lunaifon appartient à un mois propofé de quelque année que ce foit, par exemple au mois de Mai 1693 , ayant trouvé, par le problème V, que l’âge de la lune au dernier jour de Mai étoit 27 ; cet âge 27 fait cônnoître que la lune finit au mois fuivant,
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    • iS6 Récréations Mathématiques. c’eft-à-dire au mois de Juin, & que par confé-quent elle appartient à ce mois. Il fait auffi con-noître que la lunaifon précédente a fini au mois de Mai, & que par conféquent elle appartient à ce mois. Il en eft ainfi des autres.
    • PROBLEME XV.
    • Connaître les années lunaires qui font communes ,
    • & celles qui font embolifmiques.
    • Ce problème eft aifé à réfoudre par le moyen du précédent, par lequel on connoît facilement qu’un même mois folaire peut avoir deux lunai-fons. Car il fe peut faire que deux lunes finiffent en un même mois, qui aura 30 ou 31 jours , comme Novembre , qui a 30 jours , où une lune peut finir le premier de ce mois, & la fuivante le dernier ou le 30 du même mois : alors cette année aura treize lunes, & fera par conféquent embolifmique. En voici un exemple.
    • En l’année 1712 , la première lune de Janvier étant finie au huitième de ce mois, la deuxieme de Février au fixieme, la itoifieme de Mars au huitième, la quatrième d’Avril au fixieme, la cinquième de Mai auffi au fixieme, la fixieme de Juin au quatrième, la feptieme de Juillet auffi au quatrième, la huitième d’Août au deuxieme , la neuvième de Septembre au premier, la dixième d’Oc-tobre auffi au premier, l’onzieme auffi d’Oftobre au trentième du même mois, la douzième de Novembre au vingt-neuvieme, & la treizième de Décembre au vingt - huitième ; on connoît que cette année, ayant treize lunes., fut embolifmique.
    • On connoît que toutes les années civiles lunai-
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    • Astronomie et Géographie. 187
    • res du calendrier nouveau, qui ont leur commencement au premier de Janvier, font etnbolifmi-ques, quand elles ont pour épafte * 29,28, 27, 26, 25 , 24, 23 , 22 , 21 , 19 , & auffi 18 , quand le nombre d’or eft 19.
    • Ainfi l’on connôît qu’en l’année 1695 , dont l’épaéte étoit 3 , l’année lunaire civile fut embo-lifmique, c’éft-à-dire qu’elle eut treize lunes : ce qui arriva à caufe que le mois d’Août eut deux lunaifons, une lunaifon étant finie le premier de ce mois, & la fuivante étant finie le trentième du même mois.
    • PROBLÈME XVI.
    • Trouver combien de temps la lime doit éclairer pendant une nuit propofée.
    • Ayant trouvé par le problème V l’âge de la lune, & l’ayant augmenté d’une unité, multipliez la fomme par 4, fi cette fomme ne pafie pas 15 ; car fi elle pafie 15 , il la faut ôter de 30 , & multiplier le refte par 4; après quoi diviifez le produit par 5 : le quotient donnera autant de douzièmes parties de la nuit, pendant lefquélles la lune luit. Ces douzièmes parties font appellées heures inégales. Il faut les compter après le coucher du foleil, lorfque la lune croît, & avant le lever du foleil», lorfque la lune décroît.
    • Si l’on veut fçavoir le temps que la lune éclaira pendant la nuit du 21 Mai 1693 , où l’âge de la lune étoit 17 , ajoutez 1 à 17, & ôtez la fomme 18 de 30 ; il refterg 12, lequel étant nuiltiplié par 4, 6c le produit 48 étant divifé par 5 , le quotient donnera 9 heures inégales , & } pour le
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    • 188 Récréations Mathématiques;
    • temps pendant lequel la lune éclaira la nuit avant le lever du foleil.
    • Si je veux fçavoir combien de temps la lune éclaira pendant la nuit du 14 au 15 de Février de l’année 1730 , je trouve d’abord que l’âge de la lune du 14 Février eft 26, auquel ayant ajouté 1, la fomme fera 27. Je retranche cette fomme 27 de 30, il relie 3, que je multiplie par 4 ; je divife le produit 12 par 5, le quotient eft if, qui font des heures inégales , c’eft-à-dire huit douzièmes parties de l’arc noélurne, qu’on réduira en heures égales & aftronomiques par la remarque fuivante.
    • Remarque.
    • Il eft aifé de réduire les heures inégales en heures égales ou aftronomiqiies, qui font la vingt-quatrieme partie d’un jour naturel, comprenant le jour 8c la nuit, lorfque l’on fçait la longueur de la nuit au jour propofé. Comme dans ce premier exemple, fçachant qu’à Paris la nuit du 21 Mai eft de 8 heures 34 minutes, en divifant ces 8 heures 34 minutes par 12 , on aura 42 minutes 8t 50 fécondés pour la valeur d’une heure inégale, laquelle étant multipliée par 9}, qui eft le nombre des heures inégales , pendant lefquelles la lune éclaire depuis fon lever jufqu’au lever du foleil , on aura 6 heures égales , 8c environ 51 minutes , pour le temps compris entre le lever de la lune 8c le lever du foleil.
    • Corollaire.
    • Par-là on peut trouver P heure du lever de ta lune lorfqu’on fçait l’heure du lever du foleil ; car fi à l’heure du lever du foleil, qui eft 4 heures 8c 27
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    • Astronomie et Géographie. 189 minutes, on ajoute 1 i heures, & que de la fomme 16 heures & 17 minutes on ôte 6 heures & 51 minutes, qui eft le temps compris entre le lever de la lune & le lever du foleil, on aura au refte 9 heures & 16 minutes pour l’heure du lever de la lune.
    • PROBLÈME XVII.
    • Trouver facilement les Calendes, les Nones & les Ides de chaque mois de l'année.
    • Cette dénomination des nones, des ides & calendes, étoit une grande bizarrerie dans le calendrier romain ; mais, comme elle a fubfifté dans les expéditions de la Cour de Rome, il peut être utile de fçavoir la réduire à notre maniéré de compter.
    • On le fera facilement au moyen de tes trois vers latins.
    • Principium menjîs cujufque vocato Calendas ,
    • S ex Malus Nonas, Oclober, Julius & Mars , Quatuor at reliqui ; dabitldus quilibet 0B0.
    • En voici la tradu&ion en vers franqois.
    • A Mars , Juillet, Octobre & Mai Six Nones les gens ont donné;
    • Aux autres mois quatre gardé ;
    • Huit Ides à tous accordé.
    • Le fens de ces vers eft, que le premier jour de chaque mois eft toujours dénommé calendes ;
    • Que dans les mois de Mars, Mai, Juillet & Oâobre , les nones font au feptieme jour, & daps tous les autres au cinquième;
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    • 190 Récréations Mathématiques.
    • Enfin , que les ides font huit jours après les no-nes , fçavoir, les quinzièmes de Mars, Mai, Juillet Sc O&obre , & les treizièmes jours des autres mois.
    • Il faut préfentement remarquer que les Romains comptoient les autres jours à rebours, allant toujours en diminuant; & ils donnoient le nom de nones d’un mois , aux jours qui font entre les calendes & les nones de ce mois ; le nom des ides d’un mois , aux jours qui font entre les nones & les ides de ce mois ; & le nom de calendes d’un mois, aux jours qui relient depuis les ides jufqu’à la fin du mois précédent.
    • Ainfi dans les quatre mois, par exemple, Mars, Mai, Juillet & Oftobre, où les nones ont 6 jours, le deuxieme jour du mois s’appelle VI° nouas, c’eft-à-djre le fixieme jour avant les nones , la pré-pofition ante, étant fous-entendue. De même le troifieme jour fe nomme V° nouas, pour dire le cinquième jour des nones, ou avant les nones ; & ainfi des autres. Mais au lieu d’appeller le fixieme jour du mois 11° nouas , on dit pridie nouas, c’eft-à-dire la veille des nones. On dit aufli pof-tridie caletzdas, le jour d’après les calendes; pof-tridie nouas, le jour d’après les nones ; pojlridie idus, le jour d’après les ides.
    • PROBLÈME XVIII.
    • Connoître quel quantième des Calendes, des Nones & des Ides répond à un certain quantieme d'un mois donné.
    • IL faut faire attention à la remarque qu’on vient de faire , qui eft que tous les jours qui font entre
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    • Astronomie et Géographie, 191
    • les calendes & les nones, appartiennent aux no-nes; les jours qui font entre les nones & les ides, portent le nom des ides ; & que ceux qui font entre les ides Sc les calendes du mois fuivant , portent le nom des calendes de ce même mois. Cela TuppoTé,
    • i° Si le quantieme du mois appartient aux calendes , ajoutez 2 au nombre des jours du mois, & de la Tomme retranchez le nombre donné. Le relie fera le quantieme des calendes.
    • Si vous voulez Tçavoir, par exemple, à quel quantieme des calendes le 25 Mai répond : ce jour appartient aux calendes, puifqu'il eft entre les ides de Mai Ôc les calendes de Juin. Le mois de Mai 831 jours, auquel nombre ajoutez 2 ; de la Tomme 33 retranchez 25, il reliera 8, qui marque que le 25 de Mai répond au 8e des calendes de Juin , c’ell-à-dire que le 25 Mai étoit appellé chez les Romains VIII° cahndas Junii.
    • 20 Si le quantieme du mois appartenoit aux ides ou aux nones, ajoutez 1 au nombre des jours écoulés depuis le premier du mois juTqu’aux ides ou aux nones inclulivement ; de cette Tomme retranchez le nombre donné , qui ell le quantieme du mois : le relie Tera préciTément le quantieme des nones & des ides.
    • Je TuppoTe , par exemple, que le quantieme du mois Toit le 9 Mai. Ce jour appartient aux ides, parcequ’il Te trouve entre le Teptieme jour des nones & le quinzième jour des ides. Si on ajoute 1 à 15 , & que de la Tomme 16 on retranche 9 , le relie 7 marque que le 9e de Mai répond au 7e des ides de ce mois ; c’ell-à-dire que le 9e du mois de Mai étoit appellé chez les Latins VII® idus Maii,
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    • 19* Récréations Mathématiques.
    • De même, û le quantieme du mois étoitle de Mai, ce jour appartient aux nones, parcequ’il eft entre le 1 & le 7. Ajoutant donc 1 à 7, & de la fomme 8 ôtant 5, qui eft le quantieme du mois, le refte 3 montre que le 5 e Mai répond au 3 e des nones; c’eft-à-dire que ce jour-là étoit appelle chez les Romains 111° nouas Mail.
    • PROBLÈME XIX.
    • Le quantieme des Calendes , des Ides 9 ou des Nones , étant donné, trouver quel quantieme du mois doit y répondre.
    • oN fatisfera 'à cette queftion par une méthode toute femblable à celle qu’on vient de donner dans le problème précédent. Il y a néanmoins cette différence , qu’au lieu defouftraire le quantieme du mois pour avoir le quantieme des calendes, &c. on fouftrait le quantieme des calendes pour avoir celui du mois.
    • Je cherche, par exemple, à quel quantieme du mois doit répondre Vl° calendas Jünii, le 6 des calendes de Juin. Puifque les calendes fe comptent en rétrogradant depuis le Ier Juin vers les ides de Mai, il eft clair que le 6 des calendes de Juin répond à un des jours du mois de Mai. Et comme ce mois a 31 jours, j’ajoute 2 à 31 ; de la Comme 33 je retranche 6, qui eft le quantieme des calendes : il refte 17 , qui marque que le 6 des calendes de Juin répond au 27 Mai.
    • On fera la même chofe à l’égard des nones & des ides.
    • Remarque.
    • Il fera facile de fatisfaire aux deux queftions précédentes,
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    • Astronomie et Géographie. 19$
    • précédentes ? fi on a un calendrier où les jours des calendes, des nones & des ides (oient marqués vis-à-vis les quantièmes des mois, comme on les voit dans le calendrier eccléfiaftique.
    • Du Cycle (TIndiclion.
    • L’indi&ion eft un efpace de quinze années, au bout defquelles on commence de nouveau à compter par une circulation perpétuelle. On l’a appelle indi&ion, pareeque, félon quelques auteurs , elle fervoit à indiquer l’année du paiement d’un tribut à la république ; ce qui lui fit donner le nom d’indiSion romaine..
    • On l’appelle auffi indiciion pontificale, pareeque la Cour de Rome s’en fert dans fes bulles & dans toutes fes expéditions. Voici l’origine qu’on attribue à cet ufage. L’empereur Conftantin donna en 311 un édit, par lequel il autorifoit dans l’empire l’exercice de la religion Chrétienne. Quelques années après, le concile de Nicée fut affemblé, & condamna l’héréfie d’Arius ; ce qui arriva en 3 28 : ainfi , dans l’efpace de quinze ans, le Chriftianifme triompha de la perfécution & de l’héréfie. Cette durée de quinze années fut regardée comme une période mémorable ; &, pour en conferver la mémoire, on établit le cycle d’in-diftion , dont le commencement fut fixé au Ier Janvier de l’année 313, pour le commencer avec l’année folaire , quoique , félon l’inftitution de Conftantin , l’époque de ce cycle èût été fixée au mois de Septembre de l’an 312, date de fon édit en faveur des Chrétiens. Ce ne fut cependant que l’empereur Juftinien qui ordonna de compter par années d’indiélion dans les aéles publics.
    • Quoi qu’il en foit de ces origines , que le Tome III. N
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    • i94 Récréations Mathématiques.
    • P. Petau trouve fort douteufes, il eft certain que la première année de l’indiélion eft la 513e de). C. Ainfi l’an 311 auroit eu 15 d’indiftion, fi dès-lors on eût compté ainfi ; & en divifant 311 par 15 , on trouve que le relie eft 12 ; ce qui fait voir que la douzième année de J. C. avoit 15 d’indiction : par conféquent ce cycle eût commencé trois ans avant J. C. ; ou autrement la première année de l’ere chrétienne eût eu 4 d’indiélion ; ce qui donne la folution du problème fuivant.
    • PROBLÈME XX.
    • Trouver le nombre de C Indiction Romaine qui répond à une année donnée.
    • A.JOUTEZ3 au nombre de l’année, & divifez la fomme par 13 : ce qui reliera indiquera le nombre de l’indiétion courante.
    • Soit, par exemple , propofée l’année 1780. Ajoutez 3 , vous aurez 1783 ; divifez par 15 , le relie fera 13 : ainfi en 1780 on comptera 13 d’in-diélion.
    • On trouvera de meme qu’en 1769 on comp-toit 2.
    • Lorfqu’il n’y aura aucun relie, alors on aura 15 d’indiélion.
    • De la Période Julienne, & de quelques autres Périodes de ce genre.
    • La période Julienne eft une période formée par la combinaifon des trois cycles; fçavoir, le lunaire de 19 ans, le folaire de 28 , & celui d’in-diâion de 15. La première année eft cenfée avoir été celle où l’on eut 1 de cycle lunaire, 1 de cycle folaire, & 1 d’indidion.
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    • Astronomie et Géographie. 195
    • Si l’on multiplie enfemble les nombres 19,28 & 15 , le produit 7980 eft le nombre des années comprifes dans la période Julienne ; 8c par les loix des combinaifons, on eft alluré qu’il ne fçau-roit y avoir dans une révolution deux de ces années qui aient à-la-fois les mêmes nombres.
    • Cette période , au refte, n’eft qu’une période feinte ; mais elle eft commode, à caufe de fon étendue , pour y rapporter les commencements de toutes les eres connues, même celles de la création du monde, li l’époque en étoit certaine ; car, fuivant la chronologie commune, cette époque devance feulement l’ere chrétienne de 3950 ans. D’ailleurs le commencement de la période Julienne devance cette même ere de 4714 ans ; d’où il fuit que la création du monde répond à l’an 764 de la période Julienne.
    • On demandera comment l’on a trouvé que l’année de la naiffance de J. C. eft la 4714e de cette période. Le voici. On démontre par un calcul rétrograde , que fi les trois cycles , fçavoir le fo-laire , le lunaire , 8t celui d’indiéfion , avoient eu cours lors de la naiffance de J. C., l’année où il naquit auroit eu 2 de cycle lunaire, 10 de cycle folaire , 8c 4 d’indiftion. Or ces carafteres font propres à l’an 4714 de la période, comme on le verra dans le problème fuivant. Il faut donc adapter cette année à celle de la naiffance de J. C. ; d’où, en remontant 8c calculant les intervalles des événements antérieurs dans les hiftoriens profanes , 8c enfuite les livres faints , l’on trouve entre cette année 8c la création d’Adam, 3950. Si donc on ôte 3950 de 4714, on trouvera 764. Le commencement de la période devance donc la création du monde de 764 ans.
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    • i$6 Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME XXI.
    • Etant donnée une année de la période Julienne, trouver combien elle a de cycle lunaire, de cycle folaire , & d’indiclion.
    • Soit, par exemple, donnée l’année 6522 de la période Julienne. Divifez ce nombre par 19, _le reliant, fans avoir égard au quotient, fera 5 ; ce fera le nombre d’or. Divifez ce même nombre par 28, le reliant de la divilîon fera 26 ; ce fera le nombre du cycle folaire. Divifez enfin 6522 par 15 , le relie de la divifion fera 12 ; ce qui montre que cette année a 12 d’indiélion. Lorf-qu’il ne relie rien en divifant l’année donnée par le nombre d’un de ces cycles , c’ell ce nombre même qui ell celui du cycle. Si, par exemple, l’année donnée étoit la 6525e, en divifant par 15, il ne relleroit rien ; ce qui donneroit 1 5 pour l’in-didlion.
    • Mais lï l’on veut trouver à quelle année de l’ere Chrétienne répond une année de la période Julienne , par exemple la 6522e, il n’y a qu’à en ôter 4714 ; le reliant 1808 fera le nombre des années écoulées depuis le commencement de l’ere Chrétienne.
    • Tout cela porte avec foi fa démonllration
    • PROBLÈME XXII.
    • Etant donnés les nombres des cycles lunaire , folaire & cTmdiction , qui répondent à une année , trouver fon rang dans la période Julienne.
    • Multipliez le nombre du cycle lunaire par 4200, celui du cycle folaire par4845, celui de Findiélion par 6916.
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    • Astronomie et Géographie. 197
    • Ajoutez ces produits en un , 8c divifez la fomme par 7680 ; le nombre reftant après la divifion indiquera l’année de la période Julienne.
    • Soit le nombre du cycle lunaire 2, celui du cycle folaire 10, celui d’indiftion 4 , ce qui eft le caraftere de la première année de l’ere Chrétienne ; vous aurez pour premier produit 8400 , pour fécond 48450, pour troifieme 27664: leur fomme eft 84714. Divifez ce nombre par 7980, le reftant fe trouvera 4714 : ainlî l’année à laquelle conviennent, dans la période Julienne, les caractères ci-deflus, eft la 4714e, ou l’origine de la période Julienne devance l’ere Chrétienne de
    • 4713
    • Remarques.
    • I. Il y a une autre période , appellée Diony~ Jîenne, qui eft le produit des nombres 19 du cycle lunaire, 8c 28 du cycle folaire , 8c qui comprend par conféquent 532 années. Elle fut imaginée par Denys le Petit, vers le temps du concile de Ni-cée, pour renfermer toutes les variétés des nouvelles lunes 8c des lettres dominicales ; enforte qu’après 532 ans, elles dévoient fe renouveller dans le même ordre ; ce qui eût été très- commode pour le calcul de la pâque 8c des fêtes mobiles : mais elle fuppofoit que le cycle lunaire étoit parfaitement exaét ; ce qui n’étant pas, cette période n’eft plus d’autun ufage.
    • . II. Comme parmi les cycles de la période Julienne , il y en a un , fqavoir celui d’indiftion , qui eft purement d’inftitution politique, c’eft-à-dire qui n’a nulle relation avec les mouvements, céleftes, il eût peut-être été avantageux de fubfti-tuer à ce dernier cycle celui des épaftes , qui eft
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    • 198 Récréations Mathématiques. aftronomique , St dont la révolution eft de 30 ans : alors le nombre des années de la période eût été de 15960 ans. Cette période de 15960 années a été appellée par le P. Jean-Louis d’Amiens , capucin , fon inventeur , la période de Louis le Grand. Mais les chronologies rie pa-roiffent pas lui avoir fait l’accueil qu’efpéroit ion
    • De quelques Epoques ou Eres célébrés dans C Hijloire.
    • La première de ces époques eft celle des Olympiades. Elle tire fon nom des jeux olympiques, qui fe célébroient, comme tout le monde fqait, avec beaucoup de folemnité dans la Grece, tous les quatre ans révolus, vers le folftice d’été. Les jeux olympiques avoient été fondés par Hercule. Mais étant tombés en défuétude, ils furent rétablis par Iphitus, un des Héraclides, ou des def-cendants de ce héros, l’an 776 avant l’ere Chrétienne ; & depuis ce temps ils continuèrent à fe célébrer avec beaucoup d’exaftitude , jufqu’à ce que la conquête de la Grece par les Romains y mit fin. Ainfi l’ere ou l’époque des olympiades commence l’an 776 avant J. C., au folftice d’été.
    • PROBLEME XXII ï.
    • Changer les années des Olympiades en années de f Ere Chrétienne , ou au contraire.
    • 1. Il faut pour cela retrancher l’unité du nombre qui défigne le quantieme de l’olympiade ; enfuite multiplier le reliant par 4, & y ajouter le nombre
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    • Astronomie et Géographie. 199
    • des années complettes de l’olympiade ; enfin ôter de cettefomme775, ou, fi elle eft moindre, l’ôter de 776 : on aura, dans le premier cas, l’année courante de l’ere Chrétienne, & dans le fécond , l’année avant cette ere.
    • On propofe , par exemple, la troifieme année de la foixante-feizieme olympiade. J’ôte l’unité de 76, refte 7 5 , qui, multipliés par 4, donnent 3 00. Les années complettes d’une olympiade , lorfque court la troifieme , font 2 : j’ajoute donc 2 à 300, ce qui me donne 302. Or 302 font moindres que 775 ; ainfi j’ôte 302 de 776: le refiant eft 474, ou l’année courante avant J. C.
    • Soit propofée la deuxieme année de la 201e olympiade. J’ôte 1 de 201 , relient 200, qui, multipliés par 4, donnent 800 ; à quoi j’ajoute une année complette , ce qui donne 801 ; j’en ôte 775, il refte 261, qui eft l’année de l’ere Chrétienne à laquelle répond la deuxieme année de la 201e olympiade.
    • 2. Pour convertir au contraire les années chrétiennes en années d’olympiades , il faut ôter de 776 le nombre des années , fi elles font antérieures à J. C. ; ou au contraire leur ajouter 775 , s’il eft queftion d’une année poftérieure à l’ere Chrétienne ; enfuite divifer ce qui en réfultera par 4 : le quotient, augmenté de l’unité, fera le nombre de l’olympiade ; & le reliant, pareillement augmenté de l’unité, fera l’année courante de cette olympiade.
    • Qu’on propofe, par exemple, l’année 1717. En y ajoutant 775, on a 2490 ; ce nombre divifé par 4, donne au quotient 622, & il refte 2 : ainfi en 1715 on tenoit la troifieme année de la 623e olympiade : ou , plus exactement ; le dernier N iy
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    • aoo Récréations Mathématiques.
    • femeftrede l’année 1715 avec le premier de 1716, répondoient à la troilieme année de la 623e olympiade.
    • II.
    • L’ere de l’hégyre ell: celle que fuivent la plus grande partie des feclateurs de Mahomet ; c’eft l’époque des Arabes, des Turcs, des Africains, fcc ; & conféqueniment la connoiffance de leur hiftotre exige qu’on fçache réduire les années de l’hégyre en années chrétiennes, Si au contraire.
    • Pour ce; effet, il faut d’abord obferver que les années de l’hégyre font purement lunaires; 5c comme l’année lunaire, ou 12 lunaifons commettes, forment 354 jours 8 heures 48 minutes, :: . on. fnfoit toujours l’année de 354 ou de 355 ïoot s, la nouvelle lune s'écarterait bientôt fenfi- o soient du commencement de l’année. Pour pré-%ts? f inconvénient, on a imaginé une pé-<>rnt ae 30 !CTn'*s> dans laquelle il y a 10 années communes, ou de 354 jours & 1, embolif-jntijues, ou de 355 jours. Ces dernières font la 5e’ la 7Sla 10e, la 13 e, la ije,lai8e, la 21e, la 24e, la 26e 5c la 29e.
    • On doit encore obfenrer que la première année de lhegyre commença le 15 Juillet de l’an 622
    • PROBLÈME XXIV.
    • Trouver 1’ann.lt ic l'Hlgy rt qui répond à une année Julienne donnée.
    • Pour réfoudre ce problème, il faut d’abord
    • oofe.ver que 228 années Juliennes forment à très-
    • peu près 235 années de l’hégyre.
    • e a fuppofé , qu’on propofe, par exemple,’
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    • Astronomie et Géographie. 201 l’année 1770 de notre ere. Il faut commencer par diminuer ce nombre de 621, parceque il y avoit au commencement de l’ere de l’hégyre, 621 ans complets de notre ere déjà écoulés. Le reliant fera 1149. Faites enfuite cette proportion: fi 228 années Juliennes donnent 23 5 années de l’hégyre , combien en donneront 1149 années ?j& vous trouverez 1184 avec un relie de 99 jours. Ainlî l’année 1770 des Chrétiens fe trouve coïncider, du moins en partie, avec la 1184 de l’hégyre.
    • Si vous voulez , au contraire, trouver l’année chrétienne qui répond à une année donnée de l’hégyre , faites l’opération inverfe ; le nombre qui en réfultera fera celui des années Juliennes écoulées depuis le commencement de l’hégyre. Il n’y aura donc qu’à y ajouter 621 , & vous aurez l’année de J. C. courante.
    • Nous n’en dirons pas davantage fur cet objet; mais nous allons terminer ceci par un tableau qui préfentera les dates des événements principaux de l’hiftoire , celles du commencement des eres les plus célébrés, liées foit à la période Julienne, foit à l’avénement de J. C.
    • Epoques des Evènements & An.de la Avant
    • des Eres les plus célébrés. P. Jul. J. C.
    • La création du monde.......... 764 395°
    • Le déluge félon le texte hébreu. . 2420 2294
    • La prife de Troye............ 353° 1184
    • Le commencement de l’ere des
    • Olympiades....................3938 776
    • Le comm. de l’ere de Nabonaffar. 3967 747
    • La fondation de Rome.........3,961 752
    • La mort d’Alexandre.......... 439° 324
    • Le comm. de l’ere Julienne . . . 4669 45
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    • rsrsr
    • 102 Récréations Mathématiques.
    • Epoques des Evénements & An. de la Après
    • des Eres les plus célébrés. P.Jul. J.C.
    • comm. de l’ere Chrétienne. .4714 o
    • comm. de l’ere de l’Hégyre. . 5336 622
    • prife de Conftantinople par
    • les Turcs...........................6175 1461
    • La découverte de l’Amérique. . . 6206 1492
    • L’année courante 1778...............6492 1778
    • Ainfi ilrefle encore 1488 ans pour achever la première période Julienne.
    • Nous dirons enfin, pour réfumer tout ce qu’on a dit jufqu’à préfent fur cette matière, que l’année courante 1778 eft,
    • Depuis la création du monde, félon le calcul vulgaire, la 5728e.
    • De la période Julienne, la 6492e.
    • De l’ere des Olympiades , la 2e de la 639e Olympiade.
    • De l’ere de Nabonaffar , la 2524e.
    • De l’ere de l’Hégyre, la 1192e.
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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES.
    • SEPTIEME PARTIE,
    • Contenant les Problèmes les plus curieux & les plus remarquables de la
    • Gnomonique.
    • A gnomonique eft la fcience de tracer fur un
    • M__i plan, ou même fur une furface quelconque, un cadran folaire, c’eft-à-dire une figure dont les différentes lignes marquent au foleil, par l’ombre d’un ftyle, les différentes heures de la journée. Cette fcience eft par conféquent dépendante de la géométrie & de l’aftronomie , ou du moins fup-pofe les connoiflances de la fphere.
    • Il y a beaucoup de gens qui font des cadrans (blaires, fans avoir une idée nette du principe qui
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    • 204 Récréations Mathématiques; fert de bafe à cette partie des mathématiques : c’eft pourquoi il eft à propos de commencer par l’expliquer ici.
    • Principe, gênerai des Cadrans folaires.
    • Concevez une fphere avec Tes douze cercles horaires ou méridiens qui divifent l’équateur , & conféquemment tous fes parallèles, en vingt-quatre parties égales. Que cette fphere foit placée dans fa pofition convenable pour lieu du cadran, c’eft-à-dire que fon axe foit dirigé au pôle du lieu, ou élevé de l’angle égal à la latitude. Imaginez pré-fentement un plan horizontal coupant cette fphere par fon centre. L’axe de la fphere fera le ftyle , & les différentes interférions des cercles horaires avec ce plan feront les lignes horaires ; car il eft évident que fi les plans de ces cercles étoient infiniment prolongés , ils formeroient dans la fphere célefte les cercles horaires qui divifent la révolution folaire en vingt-quatre parties égales. Conféquemment , lorfque le foleil fera arrivé à un de ces cercles, par exemple à celui de trois heures après midi, il fera dans le plan du cercle fem-blable de la fphere ci-deffus, & l’ombre du ftyle ou de l’axe tombera fur la ligne d’interfeftion de ce cercle avec le plan horizontal : c’eft pourquoi ce fera la ligne de 3 heures ; & ainfi des autres.
    • , Tout ceci eft: expliqué dans la fig. 1, planche première, qui repréfente une partie de la fphere avec fix des cercles horaires. Pp eft: l’axe dans lequel tous ces cercles s’entre-coupent ; AHBÆ le plan horizontal , ou l’horizon de la fphere prolongé indéfiniment; AB la méridienne, DE le diamètre de l’équateur qui eft dans le méridien , 6c DHE4 la circonférence de l’équateur, dont
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    • GNOMONIQUE. 10ÿ
    • DHE eft une moitié , & DH le quart. Ce quart de l’équateur eft divifé en fix parties égales , D i, il, 1 3, 3 4, 4 5 , 5 6, par lefquels paffent les cercles horaires , dont lès plans coupent évidemment l’horizon dans les lignes Ci, Ci, C3, C4 , C5 , C6 : ces lignes font les lignes horaires, lesquelles, en les fuppofant prolongées jufqu’à AF, qui eft perpendiculaire à la méridienne CA, donnent les lignes horaires Cl, C II, C III, C iv, C V, C vi. Le ftyle fera une portion CS de l’axe de la fphere , lequel doit conféquemment faire avec la méridienne & dans fon plan un angle SCA, égal à celui de la hauteur du pôle ou PCA.
    • Si l’imagination du leéteur eft- fatiguée de ce raifonnement, & c’eft fans doute ce qui arrivera à plufieurs , il lui fera aifé de la foulager avec une figure folide; car on peut faire une fphere divifée par fes douze cercles horaires: coupez-la enfuite de maniéré que l’un de fes pôles foit éloigné du plan de la coupe, d’un angle égal à la hauteur du pôle du lieu. Placez enfin cette fphere ainfi coupée , fur un plan horizontal, enforte que le pôle foit dirigé vers celui de ce lieu. Vous verrez facilement fur ce plan horizontal les lignes d’inter-feftion des cercles horaires avec lui ; & la coupe commune de tous les cercles, qui eft l’axe , dé-fignera la pofition du ftyle.
    • Nous avons fuppofé la coupe de la fphere faite par un plan horizontal, afin de fixer les idées. Si ce plan eft vertical, la chofe fera la même , & les lignes d’interfe&ion feront les lignes horaires d’un cadran vertical. Si ce plan eft déclinant ou incliné , on aura un cadran déclinant ou incliné î il eft même aifé de voir que cela eft vrai de toute furface, quelle que foit fa forme, convexe, con-
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    • io6 Récréations Mathématiques. cave , irrégulière , & quelle que Toit fa pofitioiî.
    • On appelle jfyle, la ligne ou la verge de fer, ordinairement inclinée, dont l’ombre fert à montrer les heures. C’eft, comme nous l’avons dit , une partie CS de l’axe de la fphere, & alors il montre l’heure par l’ombre de toute fa longueur.
    • On pofe néanmoins quelquefois à des cadrans un ftyle droit, comme S Q ; mais alors il n’y a que l’ombre du fommet S qui montre l’heure, parceque ce fommet eft un point de l’axe de la fphere.
    • Le centre du cadran eft le point, comme C , où concourent toutes les lignes horaires. II arrive quelquefois néanmoins que ces lignes ne concourent point : c’eft le cas des cadrans dont le plan eft parallèle à l’axe de la fphere ; car il eft évident que, dans ce cas, les interférions des cercles horaires doivent être des lignes parallèles. On nomme ces cadrans, fans centre. Les verticaux , orientaux & occidentaux , les cadrans tournés dire&ement au midi, & inclinés à l’horizon d’un angle égal à celui de la latitude , ou qui prolongés pafteroient par le pôle , font de ce nombre.
    • La méridienne eft , comme tout le monde fqait , l’interfe&ion du plan du méridien avec celui du cadran. Elle eft toujours perpendiculaire à l’horizon , lorfque le plan du cadran eft vertical.
    • La ligne fouftylaire eft celle fur laquelle tombe le plan perpendiculaire au plan du cadran , ôt mené par le ftyle. Comme cette ligne eft une des principales à confidérer dans les cadrans déclinants , il eft nécefîaire de s’en former une idée tres-diftinfte. Pour cet effet, concevez que, d’un point quelconque du ftyle, foit abaiffée une per-
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    • Gnomoniqüe. 207
    • pendiculaire au plan du cadran ; que par le ftyle & par cette perpendiculaire, Toit mené un plan qui fera néceuairement perpendiculaire à celui du cadran, il le coupera dans une ligne paffant par le centre & par le pied de cette perpendiculaire : ce fera la ligne fouftylaire.
    • Cette ligne eft la méridienne du plan, c’eft-à-dire qu’elle donne le moment auquel le foleil eft le plus élevé fur l’horizon de ce plan. Cette méridienne du plan doit bien être diftinguée de celle du lieu, ou de la ligne de midi du cadran ; car cette derniere eft l’interfe&ion du plan du cadran avec le méridien du lieu, qui eft le plan paffant par le zénith du lieu & par le pôle ; au lieu que la méridienne du plan du cadran eft l’interfec-tion de ce plan avec le méridien, ou le cercle horaire paffant par le pôle & par le zénith du plan.
    • Dans le plan horizontal, ou tout autre qui n’a aucune déclinaifon , la fouftylaire & la méridienne du lieu fe confondent ; mais dans tout plan qui n’eft pas tourné directement au midi ou au nord , ces lignes font des angles plus ou moins grands.
    • L’équinoxiale enfin eft l’interfe&ion du plan de l’équateur avec le cadran : on peut aifément fe démontrer que cette ligne eft toujours perpendiculaire à la fouftylaire.
    • PROBLÈME I.
    • Trouver fur un plan horizontal la ligne méridienne.
    • L’ invention de la ligne méridienne eft la bafe de toute la fcience des cadrans folaires ; mais , comme elle eft en même temps la bafe de toute
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    • *o8 Récréations Mathématiques.
    • opération agronomique, & que , par cette raïfon * nous en avons traité au long dans la partie de cet ouvrage qui a l’aftronomie pour objet, nous ne nous répéterons pas ici, & nous y renverrons notre le&eur. Nous nous bornerons à enfeigner ci-def-fous une pratique ingénieufe & peu connue.
    • Nous donnerons auffi plus loin une maniéré de déterminer en tout temps, & par une obfervation unique, la position de la ligne méridienne, pourvu que la latitude du lieu foit connue.
    • PROBLÈME IL
    • Comment on peut trouver la méridienne par trois observations d'ombres inégales. '
    • On trouve ordinairement la ligne méridienne fur un plan horizontal , au moyen de deux ombres égales d’un ftyle perpendiculaire, l’une prife avant, l’autre après midi. C’eft pour cette rai Ton qu’on décrit du pied du ftyle plufieurs cercles concentriques ; mais, malgré cette précaution , il peut arriver, & fans doute il eft arrivé fou-vent, qu’on n’aura pu avoir deux ombres égales l’une à l’antre. Dans ce cas, doit-on regarder fon opération comme manquée ? Non, pourvu qu’on ait trois obfervarions au lieu de deux. Voici comment , dans ce cas, on devra opérer. On doit cette méthode , qui eft ingénieufe, à un aftez ancien auteur de gnomonique, appellé Muçio oddi daUrbino , qui l’a donnée dans un traité intitulé , gli Orologi folari nelle fuperficie piane. C’étoit un auteur très-dévot, car il remercie pieufement N. D. de Lorette de lui avoir infpiré les pratiques enfeignées dans fon ouvrage.
    • Soit
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    • G N O M O N I <3 U Ë. 209
    • Soit P le pied du ftyle, & PS fa hauteur ; que les trois ombres projetées foient PA, PB , PC , PL que nous fuppofons inégales, & que PC fôit la %• moindre. Au point P* élevez fur PA, PB, PC, les perpendiculaires PD, PE, PF, égales entf’elles & à PS, & tirez DA, EB , FC ; fur les deux plus grandes defquelles, fqavoir DA, EB , vous prendrez DG, EH, égales à FC ; de G & H menez fur PA , PB , les perpendiculaires GI, HK, Sc joignez les points I & K par une ligne indéfinie; faites IM & KL perpendiculaires à IK , & égales à GI, KH , & tirez ML, qui concourra avec IK dans un point N, par lequel & par C, menez CN ; ce fera la perpendiculaire à la méridienne : confé-quemment, en menant de P la ligne PO, perpendiculaire à CN , ce fera la méridienne cherchée.
    • Comme la déinonftration de cette pratique fe-roit un peu longue, nous la fupprimons, &nous nous bornons à renvoyer notre lefleur au cinquième livre de l’ouvrage de Schotten, intitulé Exercitaùones Mathematicæ,
    • PROBLÈME III.
    • Trouver la méridienne d’un plan , ou la ligne foujtylaïrc.
    • Cette opération eft facile, d’après ce que nous avons dit plus haut fur la ligne fouftylaire ; car, puifque cette ligne eft la méridienne du plan, il n’y a qu’à le confidérer comme s’il étoit hori-r zontal, & y tracer la méridienne par la même opération : la ligne qui en réfultera fera la fouftylaire , dont la connoiffance eft très-néceffaire pour Tome ///, O
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    • 110 Récréations Mathématiques. la defcription des cadrans inclinés ou déclinants, & ceux qui font à-la-fois l’un & l’autre.
    • PROBLÈME IV.
    • Trouver un Cadran équinoxial.
    • PI.a,D’un point C comme centre, décrivez un % 3* cercle AEDB ; menez les deux diamètres AD , EB , qui fe coupent à angles droits au centre C ; divifez enfuite chaque quart de cercle en fix parties égales, & menez les rayons Ci, Cl, C3 , & les autres que vous voyez dans la figure. Ces rayons feront les lignes qui marqueront les heures, par le moyen d’un ftyle que l’on plantera à plomb fur le plan du cadran, qui fera placé dans le plan de l’équateur. La ligne AD doit concourir avec le plan de la méridienne, & le point A doit être tourné du côté du midi.
    • Remarques.
    • Ce cadran équinoxial étant placé, fi les lignes horaires regardent le ciel, il eft appellé fupérieur ; mais fi elles regardent la terre , il eft nommé in-
    • IL
    • Le cadran équinoxial fupérieur ne montre les heures du jour que dans le printemps & l’été; & le cadran inférieur ne lès montre que pendant l’automne & l’hiver ; mais dans les équinoxes , lorfque le foleileft dans l’équateur, ou qu’il en eft fort près, les cadrans équinoxiaux ne font d’aucun Mfage, puifqu’ils ne font point éclairés du foleil.
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    • IONIQUE.
    • III.
    • On fçait qu’à Paris l’élévation du plan de l’équateur eft de 4ï degrés, qui eft le complément de l’élévation du pôle.1 ainfi l’angle du plan du cadran avec l’horizon doit être , à Paris, de 41°.
    • I V.
    • D’où l’on voit qu’il eft aifé de conftruire un cadran équinoxial univerfel, que l’on ajuftera à telle élévation de pôle que l’on voudra. 11 ne faut que joindre deux pièces d’ivoire ou de cuivre ABCD, PI. 2, & C D E F, qui s’ouvriront à difcrétion par une %• 4* * charnière mife en CD ; décrire fur les deux fur-faces de la piece ABCD deux cadrans équinoxiaux, & mettre un ftyle qui traverfera à plomb par le centre I la piece ABCD. On ménagera au milieu G de la piece CDEF, une petite boîte pour y placer une aiguille aimantée, que l’on couvrira d’un verre. On attachera à cette même piece un quart de cercle HL, divifé en degrés que l’on fera pafler par une ouverture faite en H, dans la piece ABCD. Les degrés & minutes doivent commencer à fe compter du point L.
    • Quand on voudra fe fervir de ce cadran pour quelque lieu que ce foit, on mettra l’aiguille aimanté dans la méridienne, ayant pourtant égard à fa déclinaifon dans ce lieu, & l’on fera faire aux deux pièces ABCD, & CDEF un angle BCF, qui foit égal à l’élévation de l’équateur du lieu où l’on fe trouve. On obfervera de tourner le quart de cercle du côté du midi. L’un ou l’autre des cadrans équinoxiaux montrera l’heure de ce lieu, à l’exception du jour de l’équinoxe.
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    • an Récréations Mathématiques. PROBLÈME V.
    • Trouver les divifions horaires fur un cadran horizontal , avec deux ouvertures de compas feulement.
    • ^jIVIenez la méridienne SM, & du point C , 5*pris vers le milieu comme centre, décrivez le cercle ETOP, avec un rayon CE, première ouverture de compas ; puis, du centre O & avec un rayon égal au diamètre OE du premier cercle , décrivez le cercle EAMB ; & du point E comme centre , avec le même rayon EO , le cercle AOBS : ces deux cercles fe couperont en A&B, qui feront les centres de deux autres cercles égaux XIEF, ZLEG. Obfervez les interfeaions F & G , afin de tirer les lignes EG, EF. Cela étant fait, par les points A, B , menez la droite XACBZ , qui fera l’équinoxiale , & qui fera coupée tant par les cercles décrits ci-deflus, que par les lignes EG, EF, & le centre C du premier cercle, en h points, qui feront ceux des heures:rc’eft pourquoi on y inferira les nombres 7, 8,9,10 , 11 , 12,1,2,3,4,5.
    • Il faut maintenant trouver le centre du cadran, dont les points ci-deflus. font les divifions. horaires , ce que vous ferez ainfi.
    • Pour cet effet, du point E fur le cercléÈTOP, prenez vers T ou P un arc'EK égal au complément de la hauteur du pôle, par exemple de 40 degrés, fi la hauteur du pôle etoit de 50 degrés ; tirez CK , & faites KN perpendiculaire à CK : elle coupera la méridiénne èn V, qui fera le centre du cadran; enforte que, tirant de ce point V
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    • Gnomonique, II j
    • les lignes V7, V8 , V9 , &c. on aura les lignes horaires depuis 7 heures du matin jufqu’à 5 du foir. Enfin par le point V on tirera une parallèle à la ligne équinoxiale, ce fera la ligne de 6 heures. Les 7 & 8 heures du matin, prolongées au-delà du centre V, donneront les 7 & 8 heures du foir ; comme les 4 & 5 heures du foir donneront, étant pareillement prolongées, les 4 & 5 heures du matin. Du point V enfin, ou de quelque autre pris à difcrétion, on décrira une ou deux circonférences de cercle qui ferviront à terminer les lignes horaires, auxquelles on infcrira les nombres, des heures.
    • PROBLÈME VI.
    • Conjlruire le même Cadran par une feule ouverture de compas.
    • M E N e z par un point C deux lignes SM, 75, pj. perpendiculaires l’une à l’autre ; de ce même point fig. 6» C, décrivez le cercle E.TOP, de quelque ouverture de compas que ce foit ; puis, l’ouverture de compas étant la même, portez une pointe fur O , l’autre fur Q ; de Q détournez au point 4, 8t de 4 par deux tours fur 5 ; de 5 revenez par quatre tours fur 1 1.
    • Mettez encore le compas fur O & fur N ; de N détournez fur 8 , & de 8 par deux tours fur 7 ; de 7 revenez par quatre tours fur 1. Enfuite vous tirerez les lignes EN., EQ, qui donneront fur la. ligne 7 5., 2 heures & 10 heures, &le cadran fera fait. Le centre du cadran fe trouvera, comme, on a dit dans le problème précédent.
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    • ai4 Récréations Mathématiques. PROBLÈME VIL
    • Conjlruciion des autres Cadrans principaux & réguliers.
    • J’appelle cadrans réguliers, ceux dans lesquels les lignes horaires , de côté & d’autre de la méridienne, font des angles égaux. Ces cadrans font conféquemment l’équinoxial, l’horizontal, les deux verticaux , l’un méridional, l’autre fep-tentrional, & le polaire. Nous avons parlé de l’équinoxial ôc de l’horizontal ; nous allons parler des verticaux, foit méridional, foit feptentrional.
    • Du Cadran vertical méridional.
    • PI. a, Si le cadran vertical eft tourné dire&ement au %• 5- midi, il n’y a qu’à faire l’angle ECK. ou l’arc EK. égal à la hauteur du pôle : enfuite, ayant fait l’angle CKV droit, le point V fera pareillement le centre du cadran ; & l’angle CVK., qui fe trouvera alors égal au complément de la hauteur du pôle, défignera l’angle que le ftyle doit faire avec le plan du cadran dans celui du méridien.
    • Du Cadran feptentrional.
    • Fig. 5. Si le cadran vertical eft feptentrional, il n’y aura qu’à faire comme ci-deflus l’angle OCk égal à la hauteur du pôle, & l’angle CA:H droit : le point H fera le centre du cadran, & l’angle CHR fera l’angle du ftyle avec le méridien. Ce ftyle , au lieu d’être incliné vers le bas avec la méridienne, regardera au contraire en haut, comme il eft aifé de le concevoir, vu la pofition du pôle à l’égard d’un plan vertical tourné dire&ement au nord.
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    • Gnomo nique. ÎIJ
    • Des Cadrans polaires.
    • Pour faire un cadran polaire, décrivez, comme on l’a enfeigné, la méridienne 11, 12 , & menez-lui une perpendiculaire XZ ; fur cette ligne, faites de part & d’autre du point M, la conftruc-tion enfeignée dans le Problème V ; puis par PI. 4, les points de divifion menez des lignes parallèles : %• & ce feront les lignes horaires. Car il eft aifé de voir que le pôle étant dans la prolongation de ce plan, elles ne doivent concourir qu’à une diftance infinie , ou que le centre du cadran eft infiniment éloigné ; d’où il fuit que les lignes doivent être parallèles.
    • On élevera le ftyle perpendiculairement au point M, & de la longueur de la ligne 12,3; ou bien l’on placera à cette diftance de la méridienne 12, 12, & parallèlement à cette ligne, une verge de fer, qui en foit éloignée de la longueur de la ligne 12,3: elle montrera l’heure de toute fa longueur.
    • PROBLÈME VIII.
    • Des Cadrans verticaux, orientaux & occidentaux»
    • Après les cadrans qu’on vient d’enfeigner à conftruire, les plus (impies font les cadrans tournés direttement au levant ou au couchant. Leur conftru&ion tient encore à la même divifion enfeignée dans le Problèmes V.
    • Menez une verticale, telle que AB , le long dit plan , au moyen d’un fil à plomb ; puis ayant pris vers le bas un point I, faites, à main droite pour le cadran oriental, & à main gauche pour l’occi-
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    • ai6 Récréations Mathématiques. dental, l’angle AIL égal au complément de la hauteur du pôle , par exemple , de 41 ° pour Paris ; enfuite, ayant pris un point F à discrétion fur cette ligne, tirez-lui la perpendiculaire SM, & pi appliquez fur la ligne IFL les points des heures fig. 7* trouvés par la conftruftion ci-delTus , le point F ,n° 1. étant réputé celui de midi ; mais vous aurez attention de ne marquer en deffus que deux de ces pi points de divifîon ; vous tirerez enfin par tous ces £g. 7’ points de divifions autant de parallèles à la ligne a" a! SM : ce feront les lignes horaires. La ligne paffant par F, fera celle de 6 heures ; les deux au deflus feront, dans le cadran oriental, 4 & 5 heures du matin , & les lignes au deffous feront ,7,8,9, 'io , 11 heures du matin. Dans les cadrans occidentaux , les lignes au deffus de F marqueront 8 & 7 heures du foir ; & au deffous vers le bas, ce feront les lignes de 5,4,3, 2, 1 heures du foir. Il eft aifé de voir que ces cadrans ne fçauroient marquer midi, car le dernier ne commence qu’à cette heure à être éclairés du foleil ; & le premier ceffe à la même heure de l’être. L’aiguille ou le ftyle s’y place parallèlement à la ligne SM , fur un ou deux fupports perpendiculaires au plan du cadran , & à une diftance égale à celle de 6 heures à 3 ou 9,
    • PROBLEME IX.
    • Décrire un Cadran horizontal, ou vertical méridio-nal, fans avoir befoin de trouver les points horaires fur Véquinoxiale.
    • Q[ue la ligne AB foit la méridienne du cadran, que nous fuppoferonshorizontal, &C fon centre ;
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    • Gnomoniqüe. 217
    • faîtes l’angle HCB égal à celui de l’élévation du pôle, pour avoir la pofition du ftyle , en imagi- • nant le plan du triangle relevé verticalement au de dus de celui du cadran. Du point B pris à vo- i>l. lonté, mais cependant enforte que CB foit d’une fig. 9. grandeur raifonnable , menez la perpendiculaire
    • BFà CH.
    • Maintenant du point C décrivez, avec le rayon CB, un cerclé BDAE ; & du même centre, avec le rayon B F, foit décrit un autre cercle MQNP ; divifez enfuite toute la circonférence du premier cercle en 24 parties égales, BO, OO, CO, &c ; que la circonférence du fécond le foit pareillement en 24 parties égales, NR , RR, &c ; enfin , des points O de divifion du grand cercle, tirez des perpendiculaires à la méridienne, ôc des points R, correfpondants du petit cercle, tirez des parallèles à cette méridienne : ces parallèles & perpendiculaires fe rencontreront dans des points qui Serviront à déterminer les lignes horaires. Par exemple, les lignes O 3 , R 3 , qui partent des troifiemes points de divifion correfpondants O & R, fe rencontrent en un poipt 3 , par lequel menant C3, ce fera la pofition de la ligne de 3 heures ; & ainfi des autres.
    • Il eft évident que plus les cercles feront grands, plus les lignes tirées des points de divifion O &
    • R donneront leurs interférions diftinâes.
    • Il eft remarquable que tous ces points d’inter-fe&ion fe trouvent dans la circonférence d’une ellipfe, dont le grand axe eft égal à deux fois CB,
    • & le petit PQ égal à deux fois CN ou deux fois BF.
    • La raifon de cette conftruâion fera aifément devinée par les géomètres*
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    • ai8 Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME X.
    • Tracer un Cadran fur un plan quelconquevertical ou incline^ déclinant ou non, enfin fur une fur-face quelconque , & même dans Vabfence du foleil.
    • C E problème comprend , comme l’on voit , toute la gnomonique ; & il n’eft perfonne qui ne foit en état de le mettre en pratique, pourvu qu’il fqache trouver la méridienne, & faire un cadran équinoxial. En voici la folution.
    • 5, Après avoir échaffaudé , s’il eft néceflaire, tra-10. cez une méridienne fur une table, de la maniéré qu’on l’a enfeigné dans le premier problème ; po-fez, au moyen de cette méridienne, dans la fitua-tion convenable, un cadran équinoxial, enforte que le plan de ce cadran foit élevé de l’angle néceflaire, c*efl>à-dire de la hauteur de l’équa-.teur, & que fa ligne de midi fe rapporte avec celle ci-deuus tracée ; ajuftez le long de l’axe un fil, ou ficelle qui!, étant tendue, aille rencontrer le plan où le cadran doit être décrit : le point où elle rencontrera ce plan, eft le lieu où doit être pofé le ftyle ou l’axe , enforte qu’il foit en ligne droite ou qu’il n’en fafle qu’une avec la ficelle , & avec le ftyle du cadran équinoxial.
    • Cela fait, & l’axe du cadran étant fixé, pour tracer toutes les lignes horaires, prenez une bougie ou un flambeau, & préfentez-le au cadran équinoxial , enforte que fon ftyle marque midi ; l’ombre que jettera en même temps la ficelle ou l’axe du cadran à décrire, fera la ligne de midi. Ainfi vous en prendrez un point qui, avec le centre, fervira à déterminer cette ligne. Faites changer
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    • GNO MONIQUE. 219
    • de pofition à la bougie , enforte que le cadran équinoxial marque une heure ; l’ombre que jettera la ficelle, ou l’axe du cadran que vous décrivez , fera la ligne d’une heure, & ainfi de toutes les autres.
    • Remarques.
    • I. Si le plan fur lequel on a propofé de décrire un cadran étoit tellement fitué qu’il ne pût être rencontré par l’axe prolongé, fuivant la méthode précédente , il faut attacher fur ce plan deux fou-tiens pour arrêter une verge de fer, enforte qu’elle faffe une même ligne avec la ficelle, & vous opérerez du refte comme on vient de le dire.
    • II. Au lieu d’un cadran équinoxial, rien n’empêche de fe fervir d’un cadran horizontal, qu’on placera enforte que la ligne de midi réponde à la méridienne tracée.
    • III. On peut faire auffi cette opération pendant le jour, & le foleil luifant. Alors vous vousfer-virez d’un miroir, dont là réflexion fera le même effet que le flambeau employé ci-deflus.
    • PROBLÈME XI.
    • Décrire dans un parterre un Cadran horizontal avec des herbes.
    • O N pourroit décrire, par les méthodes ordinaires , un cadran horizontal dans un parterre, en marquant les lignes des heures avec du buis ou autrement, & en faifant fervir de ftyle quelque arbre planté bien droit fur la ligne méridienne, & terminé en pointe, comme un cyprès ou un fycomore.
    • Au lieu d’un arbre , une perfonne pourra aufli
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    • iio Récréations Mathématiques.
    • fervir de ftyle , en fe plaçant bien droite au lieu marqué fur la méridienne, relativement à fa hauteur ; car, fuivant cette hauteur, la place doit varier. Elle fera plus voifine du centre du cadran pour une perfonne moins élevée , & au contraire. Une figure placée fur un piédeftal, ferviroit à-la-fois , dans un femblable parterre , St d’ornement St de ftyle.
    • PROBLÈME XII.
    • Décrire un cadran vertical fur un carreau de vitre j’ où Von puijfe connoître les heures aux rayons du foleil, 6* fans fyle.
    • ]VT. O Z A N A M , rapporte qu’il fit autrefois un cadran vertical déclinant, fur un carreau de vitre d’une fenêtre, où l’on pouvoit fans ftyle connoître les heures au foleil.
    • Je détachai, dit- il, un carreau de vitre, collé en dehors contre le châflïs de la fenêtre ; j’y traçai un cadran vertical, félon la déclinaifon de la fenêtre St la hauteur du pâle fur l’horizon , ayant pris pour longueur du ftyle l’épaiffeur du châffis de la même fenêtre. Je fis enfuite recoller ce carreau de vitre en dedans contre le châflis, ayant donné à la ligne méridienne une lituation perpendiculaire à l’horizon, telle qu’elle doit être dans les cadrans verticaux. Je fis coller en dehors contre le même châffis , vis-à-vis du cadran, un papier fort, qui n’étoit point huilé, afin que, les rayons du foleil le pénétrant moins, la furface du cadran en fût plus obfcure. Et pour pouvoir connoître les heures au foleil fans l’ombre d’un ftyle, je fis un pe-
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    • dran. Le trou repréfentant le bout du ftyle, & les rayons du foleil paflant au travers , faifoient fur la vitre une petite lumière, qui montroit agréablement les heures dans Pobfcurité du cadran.
    • PROBLÈME XIII.
    • Décrire, trois Cadrans, & même quatre , fur autant de plans dijférents_, où l’on puijfe connoître Vheure par Vombre d'un feul axe.
    • PiiiPÀREZ deux plans re&angulaires ABCD, PL CDEF , d’une largeur égale ; joignez-les félon la %•: ligne CB, enforte qu’ils faffent un angle droit : ainli l’un étant horizontal, l’autre fera vertical.
    • Partagez après cela leur commune largeur BC, en deux également en I, & tirez les perpendiculaires IG, IH, qui feront prifes pour les méridiennes des deux plans ; prenez enfuite le point G à volonté pour le centre du cadran horizontal ; <k faifant GI la bafe d’un triangle reftangle GIH, dont l’angle en G.fôit égal à la hauteur du pôle , vous aurez le point H pour le centre du cadran vertical méridional, de la même latitude. Tracez donc ces deux cadrans , qui auront les mêmes points de divifion fur leur commune feâion BC.
    • Vous placerez enfuite un fil de fer iervant d’axe,
    • & allant du point H au point G : ce fera l’axe & le ftyle commun des deux cadrans.
    • Enfin , d’un rayon à volonté, tracez un cercle , fur lequel vous décrirez un cadran équinoxial j que vous placerez fur l’axe HG, enforte que cet axe paffe par Ion centre, & qu’il foit perpendiculaire à fon plan, & enfin que la ligne de i z heures foit dans le plan du triangle GIH.
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    • 112 Récréations Mathématiques.
    • Ce triple cadran étant expofé au foleil, de maniéré que la, ligne GI foit horizontale & dans le plan de la méridienne, il eft évident que le même axe GH montrera l’heure fur les trois cadrans à-la-fois.
    • Si vous voulez un quatrième cadran montrant l’heure à-la-fois au moyen du même ftyle, menez dans le plan du triangle GIH une parallèle à GH , & par cette ligne un plan perpendiculaire à celui de la méridienne, lequel coupera le plan vertical dans la ligne LK., & l’horizontal dans la ligne MN , les lignes horaires de l’un & l’autre cadran feront coupées par ces deux lignes dans des points dont on joindra les correfpondants ; par exemple , le point de feétion de 11 heures fur l’une, avec le point de feétion de 11 heures fur l’autre ; ce qui donnera fur ce plan les lignes horaires parallèles , comme cela doit être dans un cadran polaire fans déclinaifon : ces quatre cadrans montreront en même temps l’heure, au moyen du même ftyle ou axe GH.
    • Autre Maniéré.
    • Prenez un cube ABCD, dont ayant divifé les côtés AB , CE, FD, en deux également en H, G, I, vous mènerez les lignes GH, GI ; puis prenant ces lignes pour méridiennes du plan horizontal CD , & du vertical CA , & le point G pour centre, vous décrirez fur l’un & l’autre les cadrans, l’un horizontal, l’autre vertical, qu’exige la latitude du lieu ; prenez enfuite.les lignes EM , EN, enforte que l’angle ENM foit égal à la latitude du lieu ; que CP, CO , leur foient égales, & menez par MN, OP, un plan qui recoupera cet angle du cube : ce même plan coupera les lignes horaires
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    • Gnomonique. iij
    • des deux cadrans, déjà tracés dans des points dont les correfpondants donneront les lignes horaires du troilîeme cadran.
    • Il ne refte qu’à placer l’axe ou le ftyle, ce qui eft facile ; car menez EQ perpendiculaire à MN , puis fichez perpendiculairement fur la méridienne LK , & dans fon plan , deux fupports égaux à EQ, & portant leftyle RS un peu allongé , lequel fera parallèle à LK : ce ftyle montrera les heures fur les trois cadrans à-la-fois.
    • PROBLÈME XIV.
    • Trouver la méridienne fous une latitude donnée, par une feule obfervation faite au foleil, & à une heure quelconque de la journée.
    • Ayez un cube bien dreflfé , & dont le côté foit d’environ 8 pouces. Chacune de fes faces étant bien applanie, prenez-en une pour celle de deflus, qui doit être horizontale, & décrivez fur cette face un cadran horizontal pour la latitude du lieu ; fur la façe verticale que traverfe la méridienne de c_e premier cadran, foit décrit un cadran vertical ; enfin, fur la face adjacente à gauche, décrivez un cadran oriental, & fur l’oppofée un occidental , que vous garnirez de leur ftyle ainfi que les précédents.
    • Cela fait, voulez-vous trouver la méridienne fur un plan horizontal; placez fur ce plan votre triple ou quadruple cadran, enforte que le cadran vertical méridional regarde à peu près le midi ; puis tournez-le infenfiblement, jufqu’à ce que trois de ces cadrans montrent à-la-fois la même heure: iorfque vous y ferez parvenu , vous ferez afluré
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    • a»4 Récréations Mathématiques. que vos trois cadrans font dans leur vraie pofï-tion. Ainfi tracez avec un crayon une ligne le long d’un des côtés latéraux du cube ; ce fera la dire&ion de la méridienne.
    • Il eft en effet évident que ces trois cadrans ne fçauroient montrer la même heure , fans avoir tous les trois la pofîtion convenable, relativement à la méridienne : ainfi leur concordance indiquera qu’ils font placés convenablement, & que leur méridienne commune eft la méridienne du lieu.
    • PROBLÈME XV.
    • Tailler une pierre à plujieurs faces, fur lesquelles on puijfe décrire tous les Cadrans réguliers.
    • , S O i T le quarré ABCD le plan de la pierre qu’il > faut préparer & difpofer pour recevoir tous les cadrans réguliers. Suppofant que cette pierre repréfente un cube imparfait, ou quelque autre folide , il faut la bien unir dans toutes fes faces , la mettre d’équerre, & lui donner une égale épaiffeur partout ; enfuite, ayant décrit fur le plan de la pierre ABCD le cercle HELF, aufli grand que la pierre le pourra permettre, tirez les deux diamètres FE , HL à angles droits ; puis faites l’angle F OI de 41 degrés , & menez le diamètre IOM ; faites enfuite l’angle EOG de 49 degrés, & tirez le diamètre GO K. ; par les points I, G, M,K, menez des tangentes au cercle HELF, qui rencontreront les autres tangentes qui paffent par les points H, E , L, F, & font partie des côtés du carré ABCD , qui. repréfente le plan de la pierre ; coupez carrément la pierre félon ces tangentes, afin d’avoir des plans ou'des faces perpendiculaires au plan
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    • 6 n 6 MONIQUE. llf
    • plan de la pierre ABCD, & la pierre fera préparée pour recevoir dans tous fe$ plans les eâarans qui leur conviennent*
    • Sur la face ou fur le plan qui pane par là ligne VX , on. décrira un cadran horizontal ; fur le plan qui paffe par X N , on décrira l’équinoxial fupérieur; & fur le plan oppofé qui paffe par SR , on aura l’équinoxial inferieur : lé polaire fupé-rieur fe fera fur le plan qui paffe par VT, & le polaire inférieur for le plan qui paffe par QP. Sur le plan paffant par TS, on aura le vertical auftral , & fur le plan NP , qui eft fôn oppofé , on aura le vertical boréal. Sur le côté [dé la pierre IM , on aura le vertical oriental, & fur le côté oppofé on décrifa le verticàl Occidental.
    • Si on veut que la pierre foit creufe, ou plutôt percée à jour , on n’aura qu’à tirer des lignes parallèles à ces tangentes, & couper carrément là pierre félon ces lignes , afin d’àvoir en dedans de la pierre des furfaces parallèles à celles qui font tracées par dehors ; & fur les fürfacés intérieures de la pierre , vous décrirez les cadrans que vous avez décrits fur les faCes extérieures de la pierre , qui font parallèles & oppofées de tout le diamètre de la pierre.
    • Remarquez que , creufant la pierre , vous n’y fqauriez décrire le cadran oriental ni l’occidental ; mais fi l’on fait à cette pierre un piédeüal qui foit un oCtogone régulier, dont une des faces foit directement tournée au midi, vous pourrez encore tracer à l’entour de ce piédeftal divers cadrans verticaux, fqavoir , un méridional, un fep-tentrional , un occidental & un oriental, avec quatre verticaux déclinants j enforte que vous-1 Tome ///. P
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    • n5 Récréations Mathématiques. pourrez avoir fur cette pierre & fon piécleflal vingr ou vingt-cinq cadrans.
    • Si vous expofez directement au midi'le cadran vertical méridional, & que l’horizontal foit bien de niveau, tous ces cadrans montreront à-la-fois la même heure.
    • PROBLÈME XVI.
    • Former un Cadran fur la furfaçe convexe d'un globe.
    • C E cadran, qui eft le plus (impie & le plus naturel de tous, confifte dans la.div.ifion.du cercle de l’équateur en Tes vingt-quatre parties. Pofez Hti globe fur un piédeftal, enforte que fon axe.foit dans le plan du méridien, & précifément élevé de la.hauteur du pôle du Heu. Cela fait, divifezfon équateur en 24 parties égales, & vous aurez votre cadran conftruit.
    • 7, Vous pourriez vous en fervir fans rien de plus ;
    • 15. car, la moitié de ce globe étant continuellement éclairée par le foleil, la limite de l’illumination fuivra précifément fur l’équateur le mouvement du foleil d’orient en occident. Quand il fera midi, elle tombera fur les points de l’équateur tournés dire&ement à l’orient & à l’occident ; quand il fera une heure , elle aura avancé de 150 ; &c. Si donc on vouloit fe fervir de ce globe comme cadran, il faudroit infcrire le nombre VI à la di-vifion qpi fe trouve dans le méridien, VII à la fuivante, & ainfi de fuite, enforte que la douzième fe trouvât précifément au point tourné à l’occident ; puis I, II, III, &c. fous l’horizon. U fufbroit alors de faire attention à quelle divifion
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    • Gnomonique. 217
    • répond la limite de la lumière & de l’ombre : le nombre répondant à cette divifion feroit celui de l’heure.
    • Ce cadran a néanmoins une grande incommodité ; c’eft que la limite de la lumière & de l’orii-bre y eft toujours indécife dans la largeur de plu-fieurs lignes , enforte qu’on ne fçait précifément où elle fe termine : c’eft pourquoi il vaut mieux fe fervir de cette horloge de la maniéré fuivante.
    • Joignez à ce globe un demi-méridien, fait d’une lame plate de laiton , qui ait 7 à 8 lignes de largeur, fur une demi-ligne d’épaifteur, & qui foit mobile à volonté autour de fon axe, le même que celui du globe : alors, lorfque vous voudrez connoître l’heure , vous n’aurez qu’à faire mouvoir ce demi méridien de maniéré qu’il donne la moindre ombre poffible au foleil ; cette ombre marquera fur l’équateur l’heure qu’il eft. Il eft évident que nous entendons qu’on aura, dans ce cas, infcrit aux points de divifion de l’équateur , les nombres qui leur conviennent naturellement, fça-voir , XII à celui qui eft dans le méridien, I à celui qui fuit en allant vers l’occident, &c.
    • PROBLÈME XVII.
    • Autre Cadran dans une fphere armillaire.
    • C e cadran n’eft pas moins fimple que le précédent, s’il ne l’eft même encore plus; &il a l’avantage de pouvoir faire décoration dans un jardin.
    • Imaginez une fphere armillaire, compofée feu- pi, 7, lemeht de fes deux colures, de fon équateur & fig. 16. de fon zodiaque , avec fon axe qui la traverfe ; que cette fphere foit placée fut un piédèftal, en-
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    • n8 Récréations Mathématiques.
    • forte qu’un de fes colures fafle l’office du méridien ; & que fon axe foit dirigé au pôle du lieu : il eft évident que l’ombre de cet axe montrera l’heure par fa marche uniforme fur l’équateur. Ainfi , fi l’on divifoit l’équateur en 24 parties égales, & qu’on infcrivît à ces divifions les nombres des heures, on auroit fon cadran .conftruit.
    • Mais comme l’équateur n’a pas ordinairement une épaiffeur fuffifante, c’efl: fur la zone que forme le zodiaque , & qu’on peint intérieurement en blanc , que l’on marque ces heures. Or, dans ce cas, il faut avoir l’attention de ne pas divifer chaque quart du zodiaque en parties égales ; car , tandis que l’ombre de l’axe parcourt des arcs égaux fur l’équateur, elle n’en parcourt pas d’égaux fur le zodiaque : ces divifions font plus refierrées vers les points de la plus grande déclinaifon de ce cercle ; enforte qu’au lieu de 150, qui répondent à lin intervalle horaire fur l’équateur, la divifion dans le zodiaque, la plus voifine du colure des folftices, n’en doit comprendre que 13°4ç/, la fécondé 14° 1 ç', la troifieme 150 20', la quatrième M° 25', la cinquième 150 55', la fixieme, & plus voifine des équinoxes, 160 20'. C’efi donc de cette maniéré qu’on doit divifer la bande zodiacale où les heures font marquées, fans quoi il y aura plufieurs minutes d’erreur. On pourra en-fuite , fans erreur fenfible, divifer chaque intervalle en quatre parties égales. Enfin, fi par les points de divifion on tire des lignes tranfverfales dans la largeur du zodiaque, il faudra auffi avoir l’attention de les faire concourir au pôle.
    • J’ai vu des cadrans de ce genre, conftruits par des ignorants, qui n’avoient pas eu l’attention ci-deflus ; auffi étoient-ils fort inexaâs.
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    • GNOMONIQUE. J,2ÿ
    • PROBLÈME XVIII.
    • Faire un Cadran folaire auquel un aveugle puijfe connoître les heures.
    • Voici un fingulier paradoxe. Nous allons néanmoins faire voir qu’on pourroit établir aux Quinze-Vingts, pour l’ufage des aveugles qui l’habitent , un cadran folaire où , par le moyen du ta&, ils reconnoîtroient l’heure.
    • Soit, pour cet effet, un globe de verre de 18 pouces de diamètre St plein d’eau ; il aura fon foyer à 9 pouces de fa (urface, 8t la chaleur que ce foyer produira fera affez confidérable pour être très-fenfible à la main fur laquelle il tombera. D’un autre côté il eft facile de voir que ce foyer fuivra abfolument le cours du foleil, puifqu’il lui feÿt toujours diamétralement oppofé.
    • Soit donc ce globe environné d’une portion de fphere concentrique , éloignée de fa furface de 9 pouces, St comprenant feulement les deux tropiques avec l’équateur, St les deux méridiens ou colures ; St que cet inftrument foit expofé au foleil dans la pofition convenable, c’eft-à-dire fon axe parallèle à celui de la terre.
    • Que chacun des tropiques St l’équateur foient divifés en 24 parties égales , St que les parties correfpondantes foient liées par une petite barre qui repréfentera une portion de cercle horaire , comprife entre les deux tropiques : on aura, par ce moyen, tous les cercles horaires, repréfentés de maniéré qu’un aveugle pourra les compter, depuis celui qui repréfentera le midi, qu’il fera facile de défigner par une forme particulière.
    • Lors donc qu-’un aveugle voudra connoître
    • P iij
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    • iyo Récréations Mathématiques. l’heure à ce cadran, il commencera à porter la main fur le méridien, & il comptera les cercles horaires par les barres qui les repréfentent. Lorf-qu’il fera arrivé à la barre où fe trouve le foyer du foleil, il en fera averti par fa chaleur : ainfi il connoitra par cet artifice, combien d’heures font «coulées depuis midi, ou combien relient à s’écouler jufqu’à midi.
    • Il fera facile de divifer chaque intervalle entre les barres principales qui marquent les heures , par d’autres plus petites, pour avoir les demies & les quarts. Ainfi notre problème éft réfolu.
    • PROBLÈME XIX.
    • Rendre un Cadran horizontal, décrit pour une latitude particulière, propre à indiquer l'heure • dans tous les lieux de la terre.
    • IL n’eft point de cadran , quel qu’il foit & pour quelque latitude qu’il ait été conftruit , qui ne puifte être difpofé de maniéré à montrer exactement l’heure dans un lieu donné ; mais nous nous bornerons ici au cadran horizontal, & à faire voir comment on peut le faire fervir pour un lieu quelconque.
    • i. Si la latitude du lieu eft moindre ou plus grande que celle du lieu pour lequel étoit le cadran , après l’avoir expofé convenablement, c’eft-à-dire fa méridienne fur celle du lieu, & l’axe ou le ftyle oblique tourné du côté du nord, il n’y a qu’à l’incliner de maniéré que cet axe fafle avec l’horizon l’angle égal à la latitude du lieu auquel on veut faire fervir le cadran. S’il a été , par exemple, conftruit pour une latitude de 390, & qu’on veuille le faire fervir à Paris, où la lati«
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    • G-Nt) MONIQUE. 2$I
    • tude eft de 490 50', la différence eft de io° 50': pj. g c’eft l’anglé que lé plan dû cadran doit faire avec ng. 17 l’horizon, comme on voit dans la figure, où SN eft la méridienne, ABCD le plan du cadran, &
    • ABE ou abe l’angle d’inclinaifon de ce plan à l’horizon. Si la latitude du lieu primitif du cadran eût été moindre, il auroit fallu l’incliner dans le fens contraire.
    • 2. Pour la fécondé maniéré de rendre un cadran horizontal univerfel, il ne faut pas que les lignes horaires foient tracées , mais feulement les points de divifion de la ligne équinoxiale , comme on l’a enfeigné au problème V. A l’é- Fig* 28». gard du ftyle, il doit être mobile de la maniéré fuivante. Que ABC repréfente le triangle dans le plan du méridien où NBC eft l’axe ou le ftyle oblique, & AB le rayon de l’équateur. Il faut que le ftyle foit mobile, quoique reftant toujours dans le plan du méridien ; de forte que le rayon AB dé l’équateur , tournant autour du point A, puiffe former l’angle BAC égal à un angle donné, Ravoir celui du complément de la latitude : c’eft pourquoi il faudra pratiquer dans la méridienne une rainure qui permette à ce triangle de fe hauffer & fe baiffer, en reftant toujours dans le plan du méridien. ,
    • Cela étant donc ainfi préparé , pour adapter ce cadran à une latitude donnée , par exemple de 400, prenez le complément de 40°, qui eft f o°; faites l’angle BAC de 50°: le ftyle fera dans la pofîtion convenable ; &, le cadran étant expofé au foleil de maniéré que fa méridienne coïncide avec la méridienne du lieu, l’ombre du ftyle, qui doit être un peu long, montréra l’héuré par l’endroit où elle coupera l’équinoxiale.
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    • ft$i Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME XX.
    • Conjlrudion de quelques. Tables nécejfaires pour les.
    • Problèmes fuivants.
    • Il y «a trois tables qui font d’un ufage fréquent en gnomonique , & dont nous nous fervirons Souvent dans la fuite. Ce font,
    • i° La table des angles que font fur un cadran horizontal les lignes horaires , fuivant les différentes latitudes ;
    • 2° Celle des angles que font avec le plan du méridien, les verticaux occupés par le foleil aux différentes heures du jour , félon les latitude* différentes, & le lieu du foleil dans l’écliptique ;
    • 3° Enfin, celle des hauteurs du foleil aux différentes heures d’un jour donné, &: dans un lieu de latitude donnée*
    • De celle-ci dérive celle des diflances du foleil au zénith , aux différentes heures du jour , pour un lieu & un jour donnés ; car ces diflances font lçs compléments des hauteurs du foleil aux mêmes moments.
    • La première de ces tables efl aifée à calculer , çar on démontre facilement que l’on a çette proportion ;
    • Comme le finus total EJl au Jîmts de la latitude du lieu ,
    • Ainji la tangente de Vangle qui mefure ta dijlance du foleil au méridien, à une heure donnée y
    • A la tangente de Cangle que fait la ligne, ho? <tyeç la méridienne*
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    • GN O MONIQUE. 235
    • D’après cette analogie, on a calculé la tablé fuivante, qu’on a jugé fuffire ici, attendu qu’elle comprend toute l’étendue de la France , & fpé-cialement la latitude de Paris.
    • TA BLE des Angles des lignes horaires d'un Cadran horizontal avec la méridienne , & pour des latitudes depuis 42 degrés jufqu’à 52.
    • L* I 1 xi kf. ni. îx. | iv. vin | v. vn. | vïvi
    • 4*°|«o. 7 il. 7 33*47 (49*13168.11190.0
    • 43 ] 10.U 111.19134.149.46168.33190.0
    • 44 10.33 | JI-51134*471 50-*6168.54|90.0
    • 45 10.44111.1 î 13 5.16150.46169.15 190.0
    • 46 10.5 5111.3 313 5*44151 •15169-34! 9°-°
    • 47111 • 6|ü-53 h6-111 îi-431^9-5319°-°
    • 48J1 i.i6| 13.13136.37152.. 9 70.10 90.0
    • 4S.50I11.14I13.19I36.59I51.31 70.15 90.0
    • 49]11.16 13-33137- 31 îa-35 70.17 90.0
    • 5°| 1 i-3<S »3-T»|37-*7|53- 0 70.43 90.0
    • 5i|ii.46 14.10j37.51j53.13 70.59 90.0
    • 51I11.56I14.1SI3S.14I53.46 71.13 90.0 —-SS
    • On 11’a point marqué dans cette table les angles des lignes de V heures du matin & VII heures du foir, IV heures du matin & VIII heures du foir, parceque ces lignes ne font que la prolongation d’autres : par exemple, celle de IV heures du matin, eft la prolongation de celle de IV heures du
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    • *54 Récréations Mathématiques. foir ; celle de VIH heures du foir, eft de même la prolongation de celle de VIII heures du matin; &c.
    • L’ufage de cette table eft facile. Si le lieu où il s’agit de conftruire un cadran horizontal eft fous une latitude qui fe trouve dans la table, par exemple 450, On voit d’un coup d’oeil que les lignes de XI & I heures doivent faire avec la méridienne , des angles de 10.44' au centre du cadran ; celles de X & II heures, des angles de 22.12'.
    • Si la latitude ne fe trouve pas dans la table, oft peut prendre fans erreur fenfible des parties proportionnelles : ainfi, par exemple , pour la latitude de 48° 50', qui eft celle de Paris , on prendra les j de la différence qui fe trouve entre les angles de la même ligne horaire pour 470 & 49°, & on ajoutera cette partie proportionnelle à l’angle répondant à la latitude de 48°. On a , pat exemple, 10 minutes pour la différence des angles de la ligne de XI heures dans ces dernieres latitudes ; les \ de cette différence font 8' & y : ajoutez donc 8'à l’angle de 11° 16', qui répond à la latitude de 48°, & vous aurez n° 24' pour l’angle cherché.
    • Il eft néceffaire d’obferver que cêtte table, annoncée pour les cadrans horizontaux, eft également propre à fervir aux cadrans verticaux méridionaux ou feptentrionaux ; il fuffit de faire attention qu’iin cadran vertical méridional, pour un certain lieu , eft le même que l’horizontal d’un lieu dont la latitude feroit le complément de la ftenne. Ainff un cadran vertical méridional, pour le 42e degré de latitude, eft le même qu’un horizontal pour le 48e degré, & vice versa.
    • C’eft fur-tout dans la conftruftion de ces ca-
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    • G NO M O NIQUE. 135
    • drans verticaux que fe manifefie l’utilité de cette table ; car ces cadrans étant d’ordinaire très-grands, on ne peut y pratiquer facilement les réglés ordinaires de la gnomonique. Pour y fuppléer, après avoir fixé le centre du cadran & l’équinoxiale ,aon prend pour finus total la partie de la méridienne comprife entre l’équinoxiale & le centre, & on la fuppofe divifée , ou on la divife en 1000 parties ; puis 011 cherche dans la table & pour la latitude donnée , c’eft - à - dire fon complément pour un cadran vertical, les tangentes des angles des lignes horaires avec la méridienne , pour I, II, III, IV, &c. & on les porte de côté & d’autre fur l’équinoxiale : les points où elles fe terminent font les points horaires de I & XI heures, II & X heures, &c.
    • Sous la latitude de 41°, par exemple, on a à conftruire un cadran vertical méridional ; le complément de 42° eft 48°. On confidérera donc ce cadran comme un cadran horizontal pour le 48e degré. Or l’on trouvera pour les angles des lignes horaires avec la méridienne , pour cette latitude, 11° 16/, 230 13', 36° 37', 520c)/, 70°
    • 1 o', 90° o', dont les tangentes ( le rayon étant feulement divifé en 1000 parties) font refpe&i-vement 199,428, 743,1286,2772 , infin. ; ainfi divifant en 1000 parties la portion de méridienne comprife entre le centre & l’équinoxiale , vous porterez fur cette équinoxiale, de part & d’autre de la méridienne , 199 parties , vous aurez les points de XI & I heures ; portez enfuite, de part & d’autre de la méridienne, 428 parties, vous aurez les points de X & II heures, & ainfi des autres ; tirez enfin du centre à chacun de ces points des lignes droites, ce feront les lignes horaires.
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    • 23 6 Récréations Mathématiques.
    • hx derniere tangente, qui répond à VI heures ; étant infinie, cela annonce que la ligne horaire qui lui répond doit être parallèle à l’équinoxiale , ainfi qu’on le fqait d’ailleurs.
    • Pour peu qu’on Toit géomètre, tout cela n’a pas la moindre difficulté.
    • pi Afin de donner une idée de la conftruftion de la fie. iq. fécondé table, que le cercle MBND repréfente l’horizon d’un lieu, Z fon zénith, P le pôle, ZB le vertical où fe trouve le foleil, Ôc PSA le cercle horaire où fe trouve le même aftre : il eft^évident que, l’heure étant donnée, l’angle ZPS eft connu ; que, le jour de l’année étant donné , on connoît ladiftancedu foleil à l’équateur, & par confé-quent l’arc PS, qui n’eft autre chofe, pour notre hémifphere, que le quart de cercle, moins la dé-clinaifon du foleil, fi elle eft boréale, ou plus cette déclinaifon , fi elle eft auftrale ; enfin, laJiauteur du pôle étant donnée, on connoîtra l’arc PZ, qui eft fon complément : on connoîtra donc dans le triangle fphérique ZPS , les arcs ZP & PS , avec l’angle compris ZPS : on pourra donc trouver l’angle PZS, dont le reftant à i8o°, fera l’angle MZB ou MCB, que fait avec le méridien le vertical du foleil.
    • Enfin dans le même triangle on trouvera le côté ZS, complément de la hauteur du foleil fur l’horizon au même inftant , êt par conféquent èette hauteur même.
    • C’eft par ce procédé qu’on a conftruit les tables fuivantes , que nous ne donnons que pour la latitude de 490, qui eft, à 9' près, celle de Paris. Elles exigeroient trop d’étendue , fi nous entreprenions de les donner pour tous, ou même feulement pout quelques degrés de latitude.
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    • On s’eft borné ici au commencement des lignes, pour abréger.
    • TABLE DES VERTICAUX DU SOLEIL
    • à chaque heure du jour & au commencement de chaque figne y pour la latitude de Paris f 4 8 de g. b 0 min.
    • Gnomonique.
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    • Zf-Xi fo£'911 ïwî [
    • x '911 if-6i 11 * IX |
    • 13g Récréations Hathématiquïs.
    • Nous avons fait , au relie , à cette table, quelque changement, dont nous expliquerons le motif un peu plus bas.
    • TABLE DES HAUTEURS DU SOLEIL
    • à chaque heure du jour, pour le commencement de chaque
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    • V
    • GNO MO NIQUE. 139
    • PROBLÈME XXL
    • Autre manière de conjlruire un Cadran folaire horizontal & univerfel.
    • Dans une des deux conftru&ions précédentes,' on a rendu la ligne équinoxiale propre à montrer les heures pour toutes les latitudes, en éloignant ou rapprochant le ce.ntredu cadran; mais ici nous, fuppoferons que ce centre foit fixe, Sc qu’on puifle feulement faire varier à ce point l’inclinaifon du ftyle, qui doit toujours regarder le pôle. Voici la conftruction d’un cadran horizontal de ce genre.
    • Soient tirées par le centre déterminé dit cadran PL C, les deux lignes perpendiculaires AB, EF, dont la première étant prife pour la ligne de. 6 heures,, la fécondé fera la méridienne : du point B , pris à diferérion, comptez fur la méridienne, autant: de parties égales qu’il vous plaira , par exemple fix ; & décrivez par les points de divifion fept cercles concentriques, qui repréfenterontles cercles de latitude de 5 en 5 degrés , depuis 30^ jufqu’à 70 , afin que ce cadran puifle fervir dans la plus grande partie de l’Europe. Cette divifion de y en 5 degrés eft fuffifante , pareequ’on peut facile— ment juger à l’œil des points intermédiaires. On fuppofera donc que le plus petit cercle, pafiant par le point D, repréfente le cercle de latitude; de 6o°. Prenez fur ce cercle, à-compter de la. méridienne & de chaque côté, les arcs ou angles: marqués dans la première des tables ci-defîus pour les lignes horaires de I & XI heures, II & X heures, &c. & pour la latitude de 6o°.
    • Faites la même opération pour le cercle fui-
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    • *40 Récréations Mathématiques, vant, qui répond à la latitude de 550 ; & ainfî fucceffivement pour tous les autres. Joignez enfin par une ligne courbe les points de divifion fem-blablës, vous aurez votre cadran conftruit.
    • Vous y connoîtrez l’heure , en élevant le ftyle de l’angle convenable à la latitude du lieu ; & , ayant orienté le cadran de maniéré que fa méridienne coïncide avec la méridienne du lieu , & que i’axe regarde le nord, Vous examinerez où tombe l’ombre de cet axe ou ftyle fur le cercle répondant à la latitude dé ce lieu, & vous aurez l'heure.
    • Remarque»
    • On oriente ordinairement ces cadrans portatifs* au moyen d’une petite bouflole placée dans uh renfoncement circulaire, creufé quelque part dans l’épaiffeur du cadran. Mais on le tromperoit beaucoup fi l’on fe bornoit à faire tomber l’aiguille aimantée fur la méridienne du cadran, car il n’eft prefque aucun endroit de la terre où cette aiguille ne décline plus ou moins vers l’eft ou l’oueft. A Paris, par exemple, elle décline a&uellement vers l’oueft, de 190 30'. Il faudroit donc , pour orienter à Paris ce cadran, le placer de maniéré que l’aiguille aimantée de fa petite bouflble fît avec fa méridienne un angle de 19° 30', & fût placée du côté de l’oueft : alors la méridienne du cadran coïncideroit avec celle de Paris. Cet exemple fuffit pour faire concevoir comment on devroit fe conduire à cet égard dans un lieu où la déclinaison feroit plus grande ou moindre, ou dans un fens contraire , • c’eft-à-dire à l’eft , comme elle étoit à Paris il y a un fiecle & demi.
    • PROBLÈME
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    • *4f
    • Gnomonique.
    • PROBLÈME XXII.
    • Etant donnés la hauteur du foleil, le jour de Vannée , & la hauteur du pôle du lieu , trouver l'heure par une conftruBion géométrique.
    • Nous ne donnons cette opération que comme une forte de curiofité géométrique ; car il faut convenir que le calcul donnera une toute autre précifion. Cependant, comme la folütion de ce problème préfente un exemple affez ingénieux de réfolution graphique d’un des cas les plus compliqués de la trigonométrie fphérique, nous avons cru que nos le&eurs, ceux du moins qui font affez géomètres pour cela , la verront avec plaifir.
    • Reprenons donc la fig. icf, pl. 9 , dans la- PI. 9, quelle PZ repréfente le complément de la hauteur %• 19‘ du pôle ; Z S le complément de la hauteur du foleil , lequel eft connu, cette hauteur étant donnée par la fuppofition ; PS enfin , la diftance du foleil au pôle, qui eft aufli donnée chaque jour, puif-que chaque jour on connoît la déclinaifon du' foleil ou fon éloignement de l’équateur : on connoît donc dans ce triangle ZPS les trois côtés, & l’on demande l’angle ZPS, qui eft l’angle horaire, ou l’angle du cercle horaire occupé par le foleil avec le méridien. Ce cas eft donc un de ceux de la trigonométrie fphérique , où les trois côtés d’un triangle non-re&angle étant donnés, on demande un des angles.
    • On le réfoudra ainfi graphiquement. Dans un cercle affez grand , pour avoir les demi quarts de degrés, prenez fur fa circonférence un arc égal à l’arc PZ , & tirez les deux rayons CP, CZ; Fl* 9» . d’un côté de cet arc, prenez PS égal à l’arc PS, %• l9> Tome III. Q
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    • *4* RÊCRÉÂTIOtJS MATHÉMÀtlQUES.
    • & de l’autre Z R égal à l’arc Z S ; des points R & S abaiflez deux perpendiculaires , ST, RV, fur les rayons PC, CZ, lefquelles fe couperont en un point quelconque X : alors,fi ST eft le finus total, on aura TX pôür le co-finus de l’angle cherché : ce qu’on conftruira géométriquement de cette ma-
    • Du centre T, avec le rayon TS , ou fon égal T./, décrivez un quart de cercle compris entre TP & TX prolongées ; tirez XY parallèlement à TP ; l’arc YS fera l’arc cherché , ou la mefure de l’angle horaire SPZ ; ainfi l’angle YTX fera égal à cet angle.
    • On pourroit, par une conftruâion femblable, trouver l’angle en Z, dont le complément eft l’a-zimuth du foleil. Mais en voilà affez fur une opération plus curieufe qu’utile.
    • Cette conftru&ion eft au furplus incomparablement plus fimple & plus élégante que celle que M. Ozanam enfeigne pour la folution du même problème.
    • PROBLÈME XXIII.
    • Conjlruire un Cadran folairc horizontal qui montre Us heures au moyen d’un Jlyle vertical immobile à fon centre.
    • La conftruélion de ce cadran exige l’ufage de la table des verticaux ou azimuths du foleil, qu’on a donnée dans le problème XXI. Cette table fup-pofée conftruite , on opérera ainlî.
    • Tirez par le pied du ftyle la ligne méridienne AB, d’une longueur à volonté , & décrivez du centre C, par l’extrémité B , un arc de cercle , que vous prendrez pour le tropique du Cancer
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    • Gnômônique. 143
    • ( ^5 )» Ayant fait enfuite C D environ le tiers de C B , divifez l’intervalle D B en trois parties égalés j par lefquelles, du centre , vous tracerez des cercles concentriques au premier: le plus petit repréfentera le tropique du Capricorne % ; les autres repréfenteront les parallèles des lignes moyens.
    • Cela fait, fur le cercle extérieur, en commençant du point B , prenez les angles ou les arcs B I, BII, égaux à ceux qui font donnés par la table pour I & II heures , lorfque le foleil eft dans 05, & marquez ces points de I & II heures ; faites-en autant pour les II & X heures, &c.
    • Vous prendrez pareillement, au moyen de la même table, les angles ou les arcs compris entre la méridienne pour XI & I heure, X & II, IX & III * &c. lorfque le foleil entre dans les Gemeaux & le Lion ( H ). Vous en ferez de même fur le troifiemé cercle, qui répond à l’entrée du foleil dans le Taureau & la Vierge (V1^) ; & ainfi des autres : ce qui Vous donnera fur chaque cercle les points de chaque heure. Vous réunirez enfin tous les points des heures femblables par une ligne courbe, & vous aurez votre cadran conf-truit* Vous y reconnoîtrez l’heure , en examinant l’ombre fur le cercle qui défigue le lieu du foleil dans le zodiaque au jour donné. On pourra , pour plus de précifion , divifer en trois parties égales les petits intervalles que ces cercles laiffent entre eux, & y faire paffer des cercles pon&ués, qui ferviront pour les jours où le foleil occupe dans le zodiaque des pondons moyennes.
    • Remarque.
    • On pourroit, par ce moyen, faire fervir dans line diambre le bord de l’ombre du montant d’une Oii
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    • 144 Récréations Mathématiques.
    • croifée, pour défigner les heures ; car fi ce montant eft bien à plomb, il repréfentera un ftyle vertical indéfini, & l’on pourroit, par le procédé ci-def-fus , tracer fur le carreau de la chambre les cercles répondants aux lignes du foleil & les lignes horaires. On y connoîtra l’heure, en examinant fur le cercle qui répond au lieu que le foleil occupe dans le zodiaque, l’interfeftion de l’ombre avec ce cercle.
    • PROBLÈME XXIV.
    • Conjlruclion <Tun autre Cadran folaire horizontal & mobile , montrant les heures par les feules hauteurs du foleil.
    • Ce cadran nous a paru fort ingénieux, & d’un ufage fort commode, vu qu’il n’exige ni méridienne tracée, ni bouffole, mais feulement la con-noiffance du ligne & du degré qu’occupe le foleil ; ce que nous rendons même plus facile, en fubftituant à cette connoiflance celle du jour du mois, qui n’eft ignoré de perfonne. Il eft feulement fujet à cet inconvénient, que les heures approchantes & voifines du lever ou du coucher du foleil, ne fqauroient y être marquées. Nous enfeignerons pourtant le moyen d’y remédier, io, Ayant pris A pour le fommet d’un ftyle AB , 23* d’un pouce, par exemple , de hauteur, foit tirée la ligne indéfinie D A C, & fa perpendiculaire AG; foient aufli tirées les lignes AI, AH, AF, AE, faifant les angles CAI, IAH , HAG, &c. égaux ; puis, ayant pris la ligne AC pour celle qui répondra au zi Décembre jour du folftice • d’hiver, vous prendrez, au moyen de la 3 e table
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    • Gnomoniquë; 247
    • donnée ci-deftiis, les diftancés du foleîl au zénith pour chaque heure du jour, lors de l’entrée du foleil dans le Capricorne , & vous ferez les angles AB 12, AB 11, AB 10 , &c. égaux aux angles que vous aurez trouvés.
    • Sur la ligne AD , deftinée au 21 Juin, jour du folftice d’été, prenez A 12, A 1, A2, A3,A4,. A 5 , &c. telles que les angles AB 12, AB 1 , AB2, AB 3, &c. foient éga'ux aux diftancés du foleil au zénith lorfqu’ii eft midi, une heure ou 11 heures, 2 heures ou 10 heures , &c.
    • Pareillement fur la ligne Al , ayant élevé ipie perpendiculaire égale à la hauteur du ftyle AB faites les angles AKL , AKM, AKN , &c. égaux aux diftancés du foleil au zénith , à midi, une heure, deux heures, &c. lorfque le foleil entre dans le Verfeau ou le Sagittaire, & marquez fur cette ligne les points L , M , N, &c : ce feront ceux de midi, une heure ou 11 heures, 2 heures ou 10 heures , &c.
    • Sur chacune des lignes AH , AG, AF, &c. faites une conftruftion femblable ; vous aurez fur chacune de ces lignes les heures de la journée.. Joignez enfin par une ligne courbe les points horaires femblables, comme les points de midi, les points d’une heure ou 11 heures , &c ; vous aurez votre cadran conftruit, & vous y trouverez l’heure de la maniéré fuivante.
    • Suppofons , par exemple, que le jour donné foitle 21 Oélobre, vous prendrez la ligne AH* & vous expoferez fur un plan horizontal le cadran au foleil, enforte que l’ombre du ftyle tombe fur cette ligne AH : l’endroit où fe terminera cette ombre donnera l’heure.
    • Si le jour donné eft un jour autre que l’un de
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    • 146 Récréations Mathématiques.
    • ceux auxquels conviennent les lignes AC , AH Al, &c. on trouvera facilement la ligne intermédiaire , fur laquelle on doit faire tomber l’ombre du ftyle, en comptant le nombre des jours écoulés depuis le 21 du mois le plus prochain. Que ce foit, par exemple, le 10 Avril. Il y a du 21 Mars au 10 Avril 19 jours; ainfi il faudroit que la ligne de l’ombre fît avec la ligne A, un angle de 19 degrés. Si donc du centre A on décrit un demi* cercle divifé en degrés, & qu’on tire des lignes ponctuées de 5 en 5 degrés, il n’y aura aucune difficulté à diriger l’ombre fur la ligne convenable.
    • Remarques.
    • I. Il eft aifé de voir que , dans les heures voisines du lever ou du coucher du foleil, la Ion-* gueur de l’ombre la fera tomber hors du cadran. Mais fi l’on veut remédier à cet inconvénient, on le pourra ainfi : Il n’y aura qu’à ajufter au cadran un rebord circulaire, concentrique au ftyle, & de même hauteur : il fera facile de trouver fur ce re-bord les points où fe terminera l’ombre aux différentes heures , jufqu’au moment du coucher du foleil.
    • II. On pourroit auffi donner au cadran une concavité qui fût une portion de furface fphérique, afiez creufe pour que le Commet du ftyle Ce trouvât à même hauteur que le rebord. On troc a, par la méthode indiquée ci-deffus , les points horaires, fans en excepter les plus voifins du coucher & du lever du foleil ; car il eft évident que l’ombre du ftyle ne fortira jamais de l’étendue de ceftç furface fphérique-conçave,
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    • Gno
    • NIQUE.
    • *47.
    • PROBLÈME XXV.
    • Décrire un Cadran horizontal, qui montre les heures au foleil fans l'ombre d'aucun Jlyle,
    • L’invention de ce cadran eft fort ingé-nieufe ; mais M. Ozanam n’a pas fait attention à une circonftance très-effentielle, fçavoir la dé-clinaifon de l’aiguille aimantée, qui étoit de fon temps déjà conlîdérable , & qui , étant aujourd’hui de 19 degrés & demi, cauferoit une erreur énorme, fans l’expédient que nous ajouterons à fa conftru&ion. Mais nous commencerons par fuppofer cette aiguille fans déclinaifon.
    • Cette conftruétion fuppofe la table des azi-muths ou verticaux du foleil , que nous avons' donnée dans le problème XXL Décrivez fur un PI. n, plan horizontal mobile , le parallélogramme rec- %• 24* tangle ABCD ; que chacun des deux côtés oppo-fés, AB, CD , foit aufli divifé en deux également aux points E, F, que vous joindrez par la droite EF, qui fera la méridienne ; fur cette ligne prenez à difcrétion le point G pour le pied du ftyle, & les points F & H pour les points folfti-ciaux du Cancer & du Capricorne, par lefquels vous décrirez du point G , comme centre, deux: circonférences de cercles qui repréfenteront les tropiques ou les commencements de ces lignes.
    • Vous diviferez enfuite l’efpace HF en lîx parties égales, par les extrémités defquelîes vous décrirez cinq autres cercles, qui repréfenteront par ordre les cercles de déclinaifon des commencements des autres lignes deux à deux ; car la déclinaifon du premier degré du Lion, eft la même que celle du premier degré des Gemeaux j celle
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    • '*4$ Récréations Mathématiques.
    • du premier degré du Taureau, la même que celle du premier degré de la Vierge, &c.
    • Prenez après cela, fur le cercle repréfentant le tropique du Cancer, les arcs qui répondent aux azimuths du foleil à i ih & ih , à ioh & 2h, à 9h ôc 3 heures , &c. tels qu’ils font marqués, dans la table indiquée ci-defliis, & portez-les fur ce cercle d’un côté & de l’autre de la ligne GH ; faites-en autant pour le cercle qui convient aux commencements des Gemeaux & du Lion , & ainfi des autres; liez enfin, par une ligne qui fera né-ceffairement courbe (fi ces cercles font égale-ment efpacés) , les points des mêmes heures : vous aurez votre cadran tracé.
    • Afin de fuppléer au ftyle, élevez au point G une petite pointe , fur laquelle vous poferez une aiguille aimantée, enforte qu’elle puiffe libremexit tourner, & prendre fa direction naturelle.
    • Pour connoure l’heure, il fuffira de préfenter ce cadran au foleil, le côté H B étant du côté oppofé à cet aftre, & de telle maniéré que les côtés CB , Dâ, ne jettent aucune ombre: alors l’aiguille aimantée montrera , par fon interfèélion avec l’arc du figne où fe trouve alors le foleil, l’heure qu’il eft. Dans la figure, fi Ton fuppofe le foleil au commencement du Cancer, elle indique-roit qu’il eft environ 9 heures \ du matin.
    • Remarque.
    • Mais nous avons déjà obfervé plus haut que cela feroit feulement vrai, fi l’aiguille aimantée n’avoit point de déclinaifon : or elle en a une à Paris qui eft a&uellement de 19°^ à l’oueft* Ceci exige donc une correction, &la voici. L’aiguille fe trouvant toujours trop avancée vers
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    • Gn o Monique; 249
    • l’oueft de 19°^, au lieu de faire les angles C, B , A, D, droits, recoupez votre planchette de maniéré que les angles B & D foient de 109° &
    • les angles C & A de 70°^ feulement : cela' r'e&ifiera l’erreur de la déclinaifon ; & il fuffira d’expofer le cadran au foleil, comme on l’a dit ci-defîus, en-forte que les côtés CB, AD , ne jettent point d’ombre.
    • PROBLÈME XXVI.
    • Décrire un Cadran qui montre les heures par réjlexion.
    • O N peut décrire fur une muraille obfcure, ou bien fur un plafond , un cadran où l’on puifle connoître les heures par réflexion , en cette forte. Décrivez un cadran fur un plan horizontal qui puifle être éclairé -des rayons du foleil, par exemple fur l’appui d’une fenêtre, enforte que le centre du cadran foit du côté du feptentrlon, & l’équinoxiale du côté du midi ; ce qui donnera aux lignes horaires une pofition contraire à celle qu’elles doivent avoir dans les cadrans horizontaux ordinaires. Ce cadran étant ainfi conf-truit avec fon petit ftyle droit, appliquez un filet fur quelque point que vous voudrez d’une ligne horaire , & étendez-le fermement, jufqu’à ce que , paflant par le bout du ftyle , il rencontre la muraille ou le plafond en un point : ce fera un de ceux de l’heure fur laquelle le filet aura été appliqué. On trouvera de cette maniéré, pour chaque ligne horaire , quatre ou cinq points, par lefquels on mènera une ligne qui fera celle qu’on cherche. En répétant cette conftru&ion pour toutes les lignes horaires, le çadran fera tracé.
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    • *50 Récréations Mathématiques.
    • Enfin 7 four connoître les heures par réflexion y on adaptera au Commet du ftyle un petit miroir d’un pouce ou deux de diamètre, fixé bien horizontalement : la lumière qu’il réfléchira donnera l’heure.
    • Au lieu d’un miroir , on pourra adapter à ce Commet un petit godet d’un pouce ou deux de diamètre , qu’on remplira d’eau , jufqu’à ce que fa furface foit à la hauteur précife de la pointe du ftyle : fa lumière réfléchie marquera également les heures, & fera plus facile à difcerner dans les temps nébuleux, ou le foieil paroît à peine, par-ceque la furface de l’eau a d’ordinaire un petit mouvement qui, en faifant trembloter cette lumière, la rend perceptible malgré fa foiblefle.
    • Autre Maniéré.
    • Placez dans un endroit déterminé de l’appui d’une croifée, un petit godet que vous remplirez d’eau jufqu’à une hauteur donnée ; ayez à proximité , fur ce même appui, un cadran folaire; & , lorfque vous verrez l’ombre du ftyle tomber fur l’heure de midi, marquez fur le plafond ou le mur qui reçoit la lumière réfléchie du foieil, le point du milieu de l’image de cet aftre ; faites la même chofe à l’égard de toutes les autres heures, & notez ces points de l’heure à laquelle ils répondent.
    • Deux ou trois mois après, lorfque le foieil aura confidérablement changé de déclinaifon, faites l^i même opération : vous aurez deux points de chaque ligne horaire : c’eft pourquoi, fi la furface où ils font tracés eft plane, en les joignant par une ligne droite, on aura la ligne horaire cherchée.
    • Mais fi la furface qui reçoit la lumière réflé-^
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    • faudrait, un plus grand nombre de points pour avoir la ligne horaire. Pour la tracer exaftement, il faudrait réitérer l’opération de trouver un point de chacune pendant cinq à lix mois, depuis un folftice jufqu’à l’autre ; en joignant tous ces points par une courbe, on aurait la ligne horaire.
    • Troifieme Maniéré.
    • Ayant décrit fur un plan horizontal, comme PI. ABCD , les heures à la maniéré ordinaire, tour-nez ce cadran en fens contraire de celui où il devrait être, & fur la ligne méridienne élevez en un point E un ftyle droit, de la hauteur dont il devrait être pour marquer les heures ; garniffez ce ftyle d’un petit miroir plan, lis de telle maniéré qu’il foit bien vertical, que fon plan foit perpendiculaire à celui de la méridienne, & que fon centre enfin réponde au fommet du ftyle , comme on voit dans la figure : la lumière réfléchie du foleil marquera les heures fur ce cadran.
    • Quatrième Maniéré.
    • On pourroit, par un moyen femblable , tracer un.cadran folaire contre un mur expofé au nord,
    • & qui montrerait les heures par la réflexion du foleil contre un petit miroir vertical placé contre un mur expofé au midi. La chofe ne feroit pas bien difficile ; mais nous bifferons à notre lecteur le plaifir de s’exercer à la trouver.
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    • 251 Récréations Mathématiques; PARADOXE GNOMON IQUE.
    • Tout Cadran folaire, quelque exactement confinât qu'il foit , efi faux , & même fenfiblement , dans les heures voijines du coucher du foleil.
    • Les aftronomes qui connoiffent l’effet de la ré-fradion, n’auront pas de peine à fentir aufli-tôt la vérité de ce que nous avançons. Nous allons la rendre fenfible pour tous nos ledeurs.
    • C’eft un fait connu aujourd’hui de tous les phy-ficiens, que les aftres paroiffent toujours plus élevés qu’ils ne le font réellement, à moins qu’ils ne foient au zénith. Ce phénomène eft produit par la réfradion qu’éprouvent leurs rayons dans Pat-mofphere, & l’effet en eft affez confidérable dans le voifinage de l’horizon; car, lorfque le centre du foleil eft réellement dans l’horizon, il paroît encore élevé de plus d’un demi-degré, ou de 33 minutes qui font, dans nos climats, la quantité de la réfradion horizontale. Le centre du foleil eft donc réellement dans l’horizon, & aftronomique-ment couché , lorfque fon bord inférieur ne touche pas même l’horizon, mais qu’il en eft encore éloigné d’un demi-diametre apparent du foleil.
    • Suppofons donc que le jour de l’équinoxe, par exemple, on obferve l’heure que montre un cadran folaire vertical tourné au couchant, lorfque le foleil eft prêt à fe coucher. Au moment où une pendule bien réglée fonneroit fix heures, l’ombre du ftyle devroit être fur la ligne de fix heures, & elle y feroit effedivement, fi le foleil étoit dans l’horizon ; mais, étant élevé fur l’horizon de 32/, l’ombre du ftyle reftera au deffous de 6 heures >
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    • Gno Monique; iyj
    • car c’eft pat l’image apparente du foleil que cette ombre eft formée : elle n’arrivera même à cette ligne que lorfque le foleil aura encore deicendu de 3 z'; ce à quoi il emploiera , fous la latitude de Paris, plus de 3 Or, dans un grand cadran fo-laire, une erreur de 3 ' & plus eft très-fenfible.
    • Si le foleil eft dans le folftice d’été, comme il met, fous la latitude de Paris, plus de 4' à defcen-dre verticalement de 33' l’horizon, à caufe de l’obliquité avec laquelle le tropique coupe ce cercle, & de la place que fon diamètre occupe fur le tropique , la différence fera encore plus fenfible, & d’autant plus, que le chemin que parcourt l’ombre entre 7 Sc 8 heures , eft affez grand pour qu’un douzième ou un quinzième d’erreur foit très-perceptible. J’ai vu, dans un cadran de cette efpece, le point d’ombre qui devoit tomber fur la ligne de 7 heures, en être encore éloigné de plus d’un pouce , quoique à toutes les autres heures du jour ce cadran fût fort exaft, & s’accordât avec une excellente horloge qui lui étoit placée en regard. Nous allons en conféquence enfeigner une conf-tru&ion de cadran, par laquelle on remédie à cet inconvénient.
    • PROBLÈME XXVII.
    • Tracer un Cadran folaire qui montre exactement Vheure , nonobjlant la réfraction.
    • Nous nous bornerons à l’exemple d’un cadran vertical fans déclinaifon , & dire&ement tourné au midi, pour un lieu dont la latitude eft, comme celle de Paris, de 48° 50'. Ce que nous allons dire pourra facilement s’appliquer à tout autre cadran vertical, même déclinant.
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    • I54 Récréations Mathématiques.
    • ia, Soit donc C le centre du cadran qu’on veut . 26. tracer, CXIl la ligne de midi. A un point P de cette ligne, fichez un ftyle droit , formé d’une fimple verge de fer perpendiculaire au plan du cadran, & terminée par un bouton rond de 7 à 8 lignes de diamètre , enforte que le centre de ce bouton faffe avec celui du cadran une ligne parallèle à l’axe célefte.
    • Portez enfuite la longueur de ce ftyle, comptée du centre du bouton, de P en A ; par le point P tirée l’horizontale QR.
    • Qu’il faille préfentement tracer , par exemple , la ligne de 4 heures après midi. Confidérez AP comme finus total, & décrivez du centre A au rayon AP un quart de cercle. Cherchez dans la table des verticaux du foleii, aux différentes heures du jour ( nous fuppofons la latitude de Paris) le vertical du foleii à 4 heures du foir, lors de l’entrée du foleii dans le Capricorne ; ce même vertical a la même heure lors de l’entrée du foleii clans le Verfeau ou le Sagittaire, dans la Balance ou le Bélier, & enfin dans le Taureau ou la Vierge £ ces quatre verticaux ferviront à donner quatre points de la ligne horaire de 4 heures , & feront fuffifants. Ainfi vous trouverez d’abord le vertical du foleii à 4heures du foir, lors de fon entrée dans le Capricorne, de 520 35'; c’eft pourquoi vous tirerez AK, faifant l’angle KAP égal à cet angle trouvé ; c’eft-à-dire que vous prendrez cet angle avec le rapporteur, ou en faifant l’arc P* du nombre de degrés trouvés. Vous tirerez de même pour les trois autres lignes, les lignes AL, AM, AN , faifant les angles PAL , PAM , PAN , ref-peftivement de 540 28', 66° 30', 740 21', &
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    • GnOMONIQÜE. îfÿ
    • vous mènerez les verticales indéfinies , KL, LG, MH, NI.
    • Après cela , cherchez pour le moment de l’entrée du foleil dans le Capricorne, fa hauteur fur l’horizon à 4 heures ; vous la trouverez de 40', à quoi répond une tangente de 1153, dont le rayon en contient 100000. Or 1153 eft la 86e partie de iooooo ; c’eft pourquoi, divifant la ligne AK en 86 parties, portez-en une de K en f: le point f fera un des points cherchés de la ligne horaire de 4 heures.
    • Pareillement, pour trouver le point g, vous chercherez la hauteur du foleil à la même heure, lors de fon entrée dans le Verfeau , & vous la trouverez de 30 io', à quoi répond une tangente de 5532 parties, ce qui eft la 18e partie du rayon. Divifant donc AL en 18 parties, & en portant une de L en g, vous aurez le fécond point cherché.
    • Vous trouverez de même les deux autres ; en-fuite vous ferez paffer par ces quatre points une ligne qui fera un peu courbe, &: vous aurez la ligne horaire de 4 heures.
    • Faites une femblable opération pour les autres lignes horaires, & vous aurez votre cadran tracé.
    • Si l’on fait palier une courbe par les points dé chaque ligne horaire , qui répondent au commencement du même ligne , on aura ce qu’on appelle les arcs des lignes, tracés beaucoup plus exactement que parla méthode ordinaire, où l’ombre du fommet du ftyle doit s’écarter de la trace qu’on lui a marquée, lorfque le foleil eft voifin de l’horizon.
    • Remarque.
    • Il eft à propos de commencer par tracer , mais
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    • ^5$ Récréations Mathématiques.
    • feulement en lignes occultes , les lignes horaires par la méthode ordinaire ; car on s’appercevra mieux par-là de la différence des lignes horaires tracées par l’un & l’autre moyen.
    • PROBLÈME XXVIII.
    • Décrira un Cadran fur la furface convexe d'un cylindre perpendiculaire à Vhorizon 9 & immobile.
    • Ce cadran eft un des plus ingénieux , & a cela de particulier, qu’au lieu d’un ftyle, c’eft l’ombre d’un cercle horizontal qui fert à montrer l’heure par fon interfeCtion avec le parallèle du foleil, Il eft propre à faire décoration dans un jardin ou une cour, en fervant de piédeftal à une figure ou à un autre cadran, fphérique par exemple, comme celui qu’on a décrit & enfeigné à conftruire dans le problème XVI ; tel eft celui que repréfente la Jhfg- 27» P1' ’3‘ On pourroit arranger les chofes 27* de maniéré que la corniche circulaire , régnant à l’entour de ce piédeftal, lui ferviroit de ce ftyle circulaire ; ce qui feroit beaucoup meilleur effet que ce cercle horizontal détaché. On voyoit autrefois un femblable cadran, exécuté avec foin en pierre & en marbre, dans le jardin des RR. PP. Bénédictins de l’abbaye Saint-Germain-des-Prés. Il étoit l’ouvrage du P. Quefnet, religieux de cet ordre, qui a perfectionné à plufieurs égards ce que Kircher & BenediCtus avoient déjà enfeigné fur ce genre de cadran.
    • On fait ufage, pour cette conftruCtion , de la table des verticaux & des hauteurs apparentes du foleil, qu’on a donnée plus haut. Nous difons des hauteurs apparentes, car il eft évident que ce que
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    • Gnomoïîîque. 257
    • nous avons dit des réfra&ions eft applicable ici,
    • & il n’en coûte d’ailleurs pas plus de peine d’employer les hauteurs apparentes que les hauteurs réelles, comme on a fait iufqu’à prefent.
    • Avec cette double table, on opérera comme on va l’enfeigner.
    • Soit AB le diamètre du cylindre fur lequel on PL 14» *!T> veut décrire le cadran. De l’une de fes extrémités, %• a7-comme A, ayant mené la tangente AE égale au demi-diametre AC , on tirera la fécante CE , qui coupera le cylindre en D : la ligne DE fera la longeur du ftyle, Ce n’ell pas qu’on ne pût le faire plus long ou plus court ; mais la longueur DE nous a .paru une des plus convenables. En-fuite , du centre C on décrira par le point E, un cercle qui iera concentrique au premier, & qui repréfentera l’extrémité de tous les ftyles qu’on fuppofe implantés à l’entour de ce cylindre. Sur la grandeur de ce cercle on en fait un de fer, que l’on foutient par des tenons qui l’entretiennent à égale diftance du cylindre, & qui fert à marquer les heures. H vaudroit mieux couronner ce piédestal cylindrique par une tablette de marbre propre , & ayant la faillie convenable , enforte que fon bord inférieur marquât l’heure.
    • Cela fait, fur KF, égale à la ligne DE , ayant Kg-décrit le quart de cercle EN, & l’ayant divifé en fes degrés, on comptera depuis F vers N la plus grande hauteur du foleil fur l’horizon du lieu, laquelle étant à Paris de 64° 39/, donnera l’arc FM d’autant de degrés & de minutes. On tirera par le point M la fécante Kl, laquelle rencontrant le cylindre au point I, on aura FJ, tangente de 64®
    • 39' pour la hauteur du cadran, que l’on doit néanmoins prendre un peu plus grande, afin de laifler
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    • *58 Récréations Mathématique^.
    • çntre la plus baffe ombre & le pied quelque dif-tance, pour y infcrire les heures & les lignes. Il faut auffi que le cylindre foit de telle groffeur que les heures puiffent être marquées diftin&ement fur fa furface.
    • Comme l’opération fur le corps cylindrique le fait de même que fur le plan, mais moins commodément , il faut développer la furface du cylindre en un redangle FHLI, dont la longueur foit égale à fa circonférence ADBF, & la hauteur LI égale au moins à la tangente ci-deffus.
    • Ayant diviféFH par le milieu en G, tirez-lui par ce point la perpendiculaire GXII ; après quoi divifez chacun des deux efpaces H G, GF, en 180 parties ou degrés, qui commenceront à fe compter de part & d’autre du point G, qui eft le point de midi : les points de 90 degrés, qui partagent en deux également chacun des intervalles HG, GF, en deux parties égales, font les points de 6 heures du matin & du foir, qui fe trouvent diamétralement oppofées fur le cylindre , comme la ligne GXII de midi eft diamétralement oppofee à la ligne FI ou HL, qu’il faut imaginer réunies, & n’en faire qu’une fur le cylindre.
    • Enfuite, par chaque degré de l’arc FM, tirez des fécantes; elles marqueront fur FI les tangentes fucceffivement de 1,2., 30, &c. jufqu’à celle de 64° 39;» au-delà de laquelle il eft fuperflu de palier, puifque l’on ne fçauroit en employer de plus grande.
    • Ces préparations faites, pour avoir les heures fur ce cadran , & y marquer par exemple le point de X heures du matin ou de II heures du foir, pour le temps de l’entrée du foleil dans le ligne des &, vous trouverez dans la table des verticaux
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    • GNO MONIQUE.
    • du foleil donnée plus haut, fous X. II, le nombre 5 3° 49f Pour *e verfica^ du Soleil à X ou II heures , bu commencement de Vous trouverez aulîi dans la table des hauteurs, que celle du foleil, pour la même heure & le même parallèle, eft de Ç5° zzf. Avec ces deux nombres vous irez au cadran, où vous compterez fur l’horizontale FH, depuis le point*G de midi vers F, 530 49' pour le vertical du foleil , & fur FI vous compterez, depuis F , 55° zz'. Par les deux points où fe termineront ces nombres , tirez deux parallèles aux côtés refpe&ifs du re&angle : leur interfe&ion donnera le point horaire cherché.
    • Remarquez que les heures du foir doivent être la droite de celle de midi, & celles du matin la gauche.
    • Jefùppofe encore, pour inftruire le le&eurpar plus d’un exemple, qu’on veuille marquer le point de Vil heures du matin ou V heures du foir, pour l’entrée du foleil aux lignes de & de irp , on confultera les deux tables ci-defïus, & l’on trouvera qu’à VII heures du matin ou V heures du foir, le vertical du foleil eft éloigné du méridien de 86° 23% & que fa hauteur eft de 180 29^. Avec ces deux nombres on viendra au cadran , & l’on comptera fur FH, depuis G, 86° 23' pour le vertical du foleil ; & fur la ligne FI on comptera , depuis F, 18° 29' : l’interfeâion des deux lignes tirées parallèlement aux côtés du reftangle, donnera le point de VU heures du matin ou V heures du foir, lors de l’entrée du foleil dans les figues \S ou nj>.
    • Par tous les points ainfi trouvés pour une même heure, à l’entrée du foleil dans chaque ligne du zodiaque, ce qui donne fept opérations feulement,
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    • ï6o Récréations Mathématiques.
    • on tracera une ligne qui fera la ligne horaire ; ori joindra auffi par une ligne courbe toutes les heures du jour , lorfque le foleil occupe le commencement de chaque ligne, & l’on aura fept autres lignes , qui couperont les lignes horaires , & qui feront les parallèles des commencements des lignes.
    • Pour connoître l’heure fur ce cadran , il faut fqavoir premièrement dans quel parallèle eft le foleil, & obferver l’interfeélion de l’ombre avec ce parallèle : la ligne horaire qui paflera par ce point, fera celle qui délignera l’heure. Par exemple , fuppofons que l’ombre du llyle coupe, le jour de l’entrée du foleil dans le ligne de la Vierge, le parallèle de ce ligne, PQR , dans le point O, qui eft à moyenne diftance des points où ce parallèle eft coupé par les lignes de VIII & IX heures, ,on en conclura qu’il eft VIII heures & demie.
    • On pourroit auffi connoître l’heure par l’inter-feétion du parallèle du foleil avec la ligne d’ombre du cylindre, comme l’enfeigne M. Ozanam ; mais cette ligne étant toujours mal terminée, comme on l’a obfervé à l’égard des cadrans faits d’un globe, on ne doit point fe fervir de cette maniéré.
    • Remarques.
    • I. L’ufage de ce cadran deviendra plus commode , li, au lieu des lignes du zodiaque, on emploie les mois de l’année ; car prefque tout le monde fçait chaque jour quel mois & quel quantième du mois court ; mais , à l’exception des aftronomes, peu de perfonnes fçavent quel ligne répond à chaque mois, & dans auel tiers ou quart de chaque ligne on eft à chaque jour. Il fautcon-fulter pour cela un Almanach,
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    • G N O M O N I Q U E. iSi
    • Cette Innovation à ce genre de cadran folaire eft facile à faire ; car on peut prendre pour vrai 9 fans erreur fenfible, que îe 10e degré de chaque ligne répond à chaque premier du mois, attendu que l’équinoxe tombe ordinairement & le plus fouvent au ai Mars. Au lieu donc de prendre le vertical & la hauteur du foleil pour le commencement d’un ligne quelconque du zodiaque, il n’y a qu’à prendre ce vertical & cette hauteur pour le 10e degré de chaque ligne ; & l’opération étant faite comme on l’a enfeignée , & ayant joint tous les points appartenants au premier du même mois , on aura les parallèles de chaque commencement du mois , & l’on reconnoitra l’heure avec beau-coup plus de facilité.
    • II. On fait de petits cadrans cylindriques portatifs , où l’on reconnoît l’heure au moyen d’un ftyle attaché au chapiteau mobile de ce cylindre. On place ce ftyle fur le ligne courant, & on le tourne dire&ement au foleil : la longueur de l’ombre fur la verticale parallèle à l’axe du cylindre , montre l’heure. La conftruéïion de ce genre de cadran cylindrique eft li facile , que nous là paf-fons fous lilence. On peut la voir dans la plupart des livres de gnomonique.
    • PROBLÈME. XXIX.
    • Décrire un Cadran portatif dam un quart de cercle*
    • L A defcription de ce cadran dépend encore de la connoiffance des hauteurs du foleil à chaque heure du jour , pour une latitude déterminée, fui-vant le degré du zodiaque qu’occupe le foleil. Ainft on fera ufage de la table donnée plus haut»
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    • j62 Récréations Mathématiques.
    • PI. iç. Soit donc le quart de cercle dont lé centre % a9*eft A. Décrivez à volonté , du centre A, fept quarts de cercle, également éloignés entr’eux ; vous les prendrez pour les commencements des lignes du zodiaque, le premier & le dernier étant pris pour les tropiques , & celui du milieu pour l’équateur ; vous marquerez fur chacun de ces parallèles des lignes les points des heures, félon la hauteur que le foleil doit avoir à ces heures, d’après la table dont nous avons parlé. Pour trouver , par exemple, le point de 1 heures du foirou 10 heures du matin , pour la latitude de Paris, lorsque le foleil entre dans le ligne du Lion, ayant trouvé dans la table que le foleil a 520 54' de hauteur , faites dans le quart de cercle propofé l’angle B AO de 5 2° 54', & l’interfe&ion du parallèle du commencement du Lion avec la ligne AO, fera le point cherché de 2h du foirou ioh du matin, le foleil ayant la latitude du commencement de ce ligne.
    • Ayant fait pareille conftruélion pour toutes les autres heures, & pour le jour de l’entrée du foleil dans chaque ligne, il n’y aura plus qu’à joindre enfemble , par des lignes courbes, tous les points d’une même heure, pour avoir le cadran achevé. Elevez enfuite au centre A un petit llyle perpendiculairement , ou, au lieu de llyle, placez deux pinnules dont les trous répondent perpendiculairement & à hauteur égale fur le rayon AC, ou nne autre ligne qui lui foit parallèle ; enfin fuf-pendez au centre A un petit lil ou une foie garnie d’un petit plomb.
    • Pour vous fervir de cet infiniment, dirigezen le plan de maniéré qu’il foit dans l’ombre, 8C placez le rayon enforte que l’ombre du petit ftyle
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    • G N O M O N I Q U ff. 26?
    • tombe fur la ligne AC, ou que le rayon folaire enfile les deux trous des pinnules : alors le fil à plomb, par fon interfeâion avec le parallèle du foleil, marquera l’heure qu’il eft.
    • Pour connoître l’heure plus facilement, On a coutume d’ajouter au filet pendant du centre A , une petite perle énfilée qui n’y coule pas trop librement ; on avance cette perle fur le ligne 6c degré du foleil marqués fur la ligne AC ; 6c dirigeant enfuite l’inftrument au foleil, comme on l’a dit plus haut, cette perle montre l’heure fur la ligne horaire qu’elle touche.
    • Remarque.
    • Pour rendre ce cadran plus commode, & par les raifons que j’ai dites en parlant du cadran cylindrique, je voudrois qu’au lieu de marquer les fignes du zodiaque * on marquât les jours des mois où le foleil y entre : par exemple, au lieu de marquer à côté du plus petit cercle , on mît 11 Décembre; à côté du fécond, d’un côté zi Janvier au lieu de sas, ligne des Verfeaux, 8c de l’autre zi Décembre auljeu de , ligne du Sagittaire, ëcc ; car, en fupjSofant les équinoxes invariablement fixés aux zi Mars 6c z 1 Septembre, les jours où le foleil entre dans chacun des lignes du zodiaque , font, à peu de chofe près , les zi de chaque mois : il ne feroit plus enfuite befoin que dé connoître le quantieme du mois pour fe fervir de ce cadran.
    • On vend à Paris, chez le lieur Baradelle , un cadran portatif, qui ne différé guere du précédent que en ce qu’il eft décrit fur un carré long de carton î le principe de fa conftruftion eft abfolument le même»
    • Riv
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    • iÔ4 Récréations Mathématiques,
    • PROBLÈME XXX.
    • Décrire un Cadran portatif fur une carte.
    • L E cadran que nous allons décrire eft ordinal-rement appellé le capucin , pareequ’il reffemble à la tête d’un capucin qui a Ion capuchon renverfé. U le peut décrire fur une petite piece de carton , ou bien fur une carte, en cette forte.
    • 15, Ayant décrit à volonté une circonférence de 30, cercle, dont le centre eft A , & le diamètre B 12, divifez cette circonférence en 14 parties égales , ou de 15 degrés en 15 degrés, en commençant depuis le diamètre B iz. Joignez les deux points de divifion également éloignés du diamètre B 1 z , par des lignes droites parallèles entr’elles, & perpendiculaires à ce diamètre B 12: ces parallèles feront les lignes horaires, dont celle qui pafîe par le centre A, fera la ligne de 6 heures.
    • Après cela, faites au point 1 z, avec le diamètre B 1 2, l’angle B 1 z T égal à l’élévation du pôle ; & ayant mené par le point 'Y', où la ligne 1 z X coupe la ligne de 6 heures , la ligne indéfinie 0© , perpendiculaire à la ligne iz T, vous
    • terminerez cette ligne 0© aux points 0©*5, par les lignes iz 0© , iz , qui feront avec la ligne iz T, chacune un angle de 23 degrés & demi, telle qu’eft la plus grande déclinaifon du foleil.
    • On trouvera fur cette perpendiculaire 0© , les
    • points des autres lignes , en décrivant dû point nr, comme centre, par les points 0©., une circonférence de cercle, & en la divifant en 1 z parties égales, ou de 30 degrés en 30 degrés, pour les commencements des douze lignes du zodiaque. Joignez deux points de divifion oppofés
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    • G N O M O N I <3 V t. 265
    • & également éloignés des points Ëô 5 £>, par des lignes parallèles entr’elles & perpendiculaires au diamètre Ë3 ’b > qui donneront fur ce diamètre les commencements des lignes, d’où, comme centres, on décrira par le point 12 des arcs de cercle , qui repréfenteront les parallèles des lignes , auxquels par conféquent on ajoutera les mêmes caraéleres, comme vous voyez dans la figure.
    • Il faut enfin pratiquer le long de la ligne Ëô /b» une fente qui permette d’y faire couler, mais pas trop librement, un filet garni d’un petit poids fuffifant pour le tendre, enforte qu’on puiffe placer fon point de fufpenfion à celui de la ligne Ëô Vo qu’on voudra.
    • Ces arcs des lignes ferviront à connoître les heures aux rayons du foleil, en cette forte : Ayant tiré à volonté la ligne Cfc parallèle au diamètre B 12, élevez à fon extrémité C un petit llyle bien droit, & tournez le plan du cadran au foleil, en-forte que l’ombre de ce llyle couvre la ligne C^fo: alors , le filet pendant librement avec fon plomb du point du degré du ligne courant du foleil, marqué fur la ligne Ëô Vo , montrera en bas , fur l’arc du même ligne, l’heure cherchée.
    • On pourroit garnir ce filet d’une petite perle , pour s’en fervir au même ufage que dans le problème précédent.
    • Remarque.
    • Ce cadran tire fon origine d’un certain cadran reftiligne univerfel, publié autrefois par le P. de Saint-Rigaud, Jéfuite, & profeffeur de mathématiques au college de Lyon , fous le titre de Anakmma novum ; mais il nous a paru , quoique M. Ozanam lui ait donné une grande place dans
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    • i66 Récréations Mathématiques.
    • fes Récréations Mathématiques, ainfi qu’à un autre analemme re&iligne univerfel, que tout ce qu’i! en dit efl: fi compliqué, que ce n’étoit guère le lieu de leur donner place dans un ouvrage tel que celui-ci.
    • PROBLÈME XXXI.
    • Conjlruction d'un anneau qui marque Vheure pendant toute l'année.
    • On débite chez les fa&eurs ordinaires d’inftru-ments de mathématiques , des anneaux fervant de cadrans portatifs , qui font défe&ueux. Les heures font marquées dans l’intérieur fur une feule ligne, & il y a une petite bande mobile portant un trou qu’on arrête fur le ligne du foleil courant, qui eft marqué extérieurement. Ces cadrans , di-fons-nous, font défectueux ; car, rendant ce trou commun à tous les lignes du zodiaque marqués fur la circonférence de l’anneau , on ne peut avoir que l’heure de midi julle, & les autres feront indiquées infidèlement. Il faut, au lieu de cela y décrire dans la concavité dë l’anneau, fept cercles féparés , pour repréfenter autant de parallèles de l’entrée du foleil dans les lignes, & fur chacun defquels on doit marquer féparément les hauteurs du foleil, à fon entrée dans le ligne qui appartient au parallèle pour lequel le cercle a été tracé. Ces points ainlî notés , doivent être réunis par des lignes courbes, qui feront les véritables lignes horaires, ainli que l’a remarqué le P. Defchales.
    • PL 16, Soit donc préparé un anneau , ou plutôt foit £g. 31. décrit un cercle de la grandeur de l’anneau que l’on veut divifer ; enfuite ayant choili le lieu B de fufpenfion, foient pris en A & O, à droite &
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    • GNOMONTQUE. 167
    • â gauche de B, 49 degrés pour la latitude de Paris, c’eft-à-dire pour la diftance du zénith à l’équateur; St par les points A & O foit menée AO,
    • & la perpendiculaire AD à AO ; foit enfin menée par A & le centre la ligne A 12 , qui défignera l’équateur : le point 12 fera l’heure de midi pour le jour de l’équinoxe.
    • Afin de trouver les autres points horaires du -même jour au commencement du Bélier St de la Balance , décrivez du centre A le quart de cercle OD , St prenez du point O, en comptant vers P, les hauteurs du foleil aux diverlès heures du jour, comme à 1 & 11 heures, à 2 & 10 heures , Stc : les lignes tirées par le centre A St ces points de de divifion, étant prolongées jufqu’à la circonférence du cercle B 12 D , Stc. y donneront les points horaires pour le jour de l’équinoxe.
    • Pour avoir les divifions horaires des cercles correfpondants aux autres lignes, vous procéderez ainfi. Prenez d’abord, à droite St à gauche du point A , la double déclinaifon des lignes, fçavoir les arcs AE , AI, de 23 degrés, pour le PI* *6» commencement du Taureau, ou de la Vierge, du hS* 32“ Scorpion ou des Poilîons ; AF de 400 26', pour le commencement des Gemeaux St du Lion, St fon égale AK, pour celui du Sagittaire St du Verfeau ; enfin AG St AL , de 47°, pour le commencement du Cancer St du Capricorne.
    • Qu’il foit queftion maintenant de trouver fur le cercle les points horaires , par exemple, répondants au commencement du Verfeau. Par le point K , qui répond à l’entrée du Verfeau , menez la parallèle KP à AO, St la ligne K 12 ; de ce même point K décrivez , entre K 11 & l’horizontale KP, l’arc de cercle QR, fur lequel vous prendrez,
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    • i68 Récréations Màthématiquis.
    • en comptant de R vers Q les hauteurs du foleil aux différentes heures de la journée, lorfque le foleil entre dans le commencement du Sagittaire & du Verfeau , comme l’on voit dans la figure ; & en tirant de K des lignes à ces points de divi-fïon, vous aurez les divifions horaires des deux cercles répondants au commencement du Sagittaire &c du Verfeau. En procédant de même à part pour chaque autre entrée de ligne , vous aurez les points horaires des cercles qui leur répondent.
    • 16, Vous tracerez enfin , dans la concavité de l’an-
    • 33* neau, fept cercles parallèles; celui du milieu pour les équinoxes ; les deux à côté , pour le commencement des lignes du Taureau & de la Vierge, du Scorpion & des Poiffons ; les deux fuivants à droite & à gauche, pour les lignes des Gemeaux & du Lion, du Sagittaire & du Verfeau ; les deux extérieurs enfin , pour le Cancer & le Capricorne : vous joindrez les points horaires fembla-bles par une ligne courbe, & vous aurez votre anneau décrit.
    • Il relie à placer convenablement le point qui admettra le rayon folaire ; car il doit être mobile, enforte qu’au jour de l’équinoxe il foit au point A, le jour dufolftice d’été en G, en L le jour du folftice d’hiver, & dans lespofitions intermédiaires pendant les autres jours de l’année. Il faut, pour cet effet, pratiquer dans la partie CBD de l’anneau & dans fon milieu, une rainure dans laquelle foit mobile une petite plaque circulaire , portant fur elle le trou qui doit biffer entrer le rayon du foleil ; on marquera fur l’extérieur de cette partie de l’anneau , par des lignes parallèles, les divisons L, K, I, A, E, F, G, en plaçant d’ua
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    • Gnomonique. 2 69
    • côté les marques des lignes amendants , & de l’autre celles des lignes defcendants. Il fera facile après cela d’arrêter le point mobile A fur la divi— lion convenable, ou dans l’entre-deux ; car, pour peu que l’anneau foit grand , on pourra facilement divifer chaque ligne en trois ou quatre parties.
    • Pour connoître l’heure, on commencera par placer le point A de la maniéré convenable , fui-vant le degré du ligne occupé par le foleil le jour du mois où l’on eft ; on tournera enfuite l’inftru-ment de maniéré que le rayon folaire, admis par le point A, tombe fur le cercle du ligne où eft le foleil : la divilion fur laquelle il tombera, marquera l’heure.
    • Remarques.
    • I. Pour rendre l’ufage de cet inftrument plus facile , on pourroit, au lieu des divilions des lignes, y marquer les jours de leur commencement; par exemple, au lieu deÇ3, marquer 21 Juin ; au lieu de & pp , marquer 20 Avril, 20 Août, &c.
    • II. On pourroit rendre le point A immobile , & alors fa polition la plus convenable feroit à la distance que nous lui avons donnée primitivement pour le jour de l’équinoxe ; mais alors , au lieu que l’heure de midi, fuivant la méthode précédente , fe trouve pour tous les cercles des lignes fur une ligne horizontale, ce fera une ligne courbe, & toutes les autres lignes des heures feront auffi des courbes aftez contournées ; ce qui eft fujet à embarras St difficulté : c’eft pourquoi nous pen-fons qu’il vaut mieux faire le point A mobile.
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    • *70 Récréations Mathématiques. PROBLÈME XXXII.
    • Comment Vombre d'un Jlyle peut rétrograder fur un cadran folaire fans miracle.
    • C e phénomène, qui préfente d’abord une im-poffibilité phyfique , n’a néanmoins rien que de très-naturel, comme on va le voir. On en doit la remarque au géomètre Portugais Nonius ou Nu-gnez, qui vivoit fur la fin du feizieme lîecle. Il eft fondé fur le théorème fuivant.
    • Dans tous les pays dont le {énith ejl ftué entre Véquateur & le tropique , tant que le foleil paffe au-delà du iénith du côté du pôle apparent, il arrive deux fois avant midi au meme vertical t & pareille ckofe fe répété apres midi.
    • 17, Soit , dans la fig. 34, Z le zénith d’un lieu 34* fitué entre le point E de l’équateur, & T le point où paffe le foleil le jour du folftice d’été ; que le cercle H A Q C K H repréfente i’horizon , R E Q une moitié de l’équateur , TF la portion orientale du tropique extante fur l’horizon, & GTla.portion occidentale. Il eft évident que du zénith Z on peut mener un vertical, comme ZI, qui touchera le tropique en un point O, par exemple, & qui tombera fur l’horizon en un point I, fitué entre les points Q & F, qui font ceux où l’horizon eft coupé par l’équateur & le tropique ; & , par la même raifon, on peut mener auffi un autre vertical , comme Z H, qui touchera en o l’autre portion du tropique.
    • . Suppofons préfentement le foleil dans le tropique, & fe levant conféquemment au point F, & foit un ftyle vertical d’une longueur indéfinie
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    • Gnomonique. 171
    • élevée en C. Soient tirées les lignes ICK, FCN : il eft clair qu’au moment du lever du foleil, l’ombre du ftyle fera projetée en CN, & que , lorf-que le foleil fera arrivé au point de contaft O, cette ombre fera projetée en C K : elle marchera donc pendant que le foleil parcourra FO, elle marchera, dis-je, de CN en CK ; mais que le foleil foit parvenu au méridien en T, cette ombre fera dans la ligne CB : elle fera donc revenue de CK en CB : elle aura donc été, depuis le lever du foleil jufqu’à midi, de CN en CK, ôc de CK en CB : elle aura conféquemment marché en fens contraire , ou rétrogradé dans cet intervalle de temps, puifqu’elle a d’abord marché du midi vers le couchant, & enfuite du couchant au midi.
    • Pareille chofe arrivera après midi ; l’ombre marchera d’abord du midi vers l’orient. Parvenue à un certain terme, elle rebrouflera chemin vers le midi, jufqu’au coucher du foleil.
    • Supposons préfentement que le foleil fe leve entre les points F & I ; alors le parallèle qu’il décrira avant midi, coupera évidemment le vertical ZI en deux points. Ainfi, dans la durée d’une journée, l’ombre commencera par tomber dans l’angle KCL, puis elle marchera vers CK , & la dépaflera même en fortant de cet angle ; puis elle y rentrera, & marchera vers la méridienne, de-là vers l’orient, jufques au-delà de la ligne CL, où elle reviendra , pour finir avec le coucher du foleil dans l’angle LCB.
    • Nous avons trouvé que , fous la latitude de ia degrés, le foleil étant au tropique du même côté , les deux lignes CN, CK, font un angle de 90 48', que l’ombre met ah y' à parcourir.
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    • 17i Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME XXXIII.
    • Sous une latitude quelconque, tracer un cadran oà la rétrogradation de l'ombre ait lieu.
    • Inclinez, pour cet effet, un plan dire&ement tourné au midi, de maniéré que fon zénith tombe entre le tropique & l’équateur, & à peu près vers le milieu de la diftance entre ces deux cercles ; par exemple, fous la latitude de Paris, qui eft de 490 50', ce plan devra faire un angle d’environ 38°. Fichez au milieu de ce plan un ftyle droit & un peu long, enforte que fon ombre déborde le plan ; tracez plufieurs lignes angulaires du pied de ce ftyle , du côté du midi : vous verrez aux environs du folftice l’ombre du ftyle éprouver les deux rétrogradations décrites plus haut.
    • Cela eft évident, puifque ce plan eft parallèle au plan horizontal qui auroit fon zénith fous le même méridien, à 1 z degrés de l’équateur du côté du nord : les deux ombres des deux ftyles doivent conféquemment marcher de la même maniéré dans l’une & dans l’autre.
    • Remarque.
    • Quelqu’un dira peut-être que voilà l’explication naturelle du miracle que les Livres faints nous apprennent avoir été opéré en faveur d’Ezé-chias , roi de Jérufalem ; mais à Dieu ne plaife que nous ayions eu l’idée d’atténuer ce miracle. II eft d’ailleurs bien peu probable que, fi la rétrogradation de l’ombre, opérée fur le cadran de ce prince, eût été un effet auffi naturel, on l’eut méconnu au point de ne s’en appercevoir que lorfque
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    • Gnomoniq üe, 175
    • le prophète lui annonça ce ligne Ôe fa guérifon ; car il devoir s’opérer toutes les fois que le foleil fe trouvoit entre le tropique & le zénith du cadran : ainfi la merveille citée par les Livres faints refte entière*
    • PROBLÈME XXXIV.
    • Déterminer la trace de Vombre du fommet du flyle fur un plan.
    • On fuppofe ici que le foleil, pendant une révolution diurne , ne change point fenfiblement de déclinaifon ; car s’il en changeoit, la courbe en queftion deviendroit d’une nature très-compliquée , & d’une détermination très-difficile.
    • Soit donc le foleil dans un parallèle quelconque. Il efl: aifé de voir que le rayon folaire central , mené à la pointe du ftyle, décrit une furface conique, à moins que le foleil ne fôit dans l’équateur : conféquemment l’ombre projetée par cette pointe , qui lui efl: toujours directement oppofée, parcourt dans fa révolution la furface du cône oppofé par le fommet. Il n’eft donc queftion que de connoître la pofition du plan qui coupe les deux cônes \ car fon interfeCtion avec la furface conique décrite pat l’ombre, fera la courbe cherchée.
    • Il ne faut plus être qu’initié dans la connoif-fance des feéiions coniques pour réfoudre le problème ; car i° qu’on propofe un lieu fous l’équateur , & que le plan foit horizontal : il efl: évident que ce plan coupe les deux côriès oppofés parlé fommet : conféquemment la trace de l’ombre fera PI. une hyperbole BCD, dont le fommet fera tourné % 3 vers le pied du ftyle.
    • Tome III, S
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    • 274 Récréations Mathématiques.
    • Ileft aifé de voir qu’à mefure que le foie il s’approche de l’équateur , cette ligne hyperbolique s’applatit de plus ën plus, ÔC dégénéré en une ligne droite le jour de l’équinoxe ; qu’enfui te elle paffe de l’autre côté, en fe courbant de plus en plus, jufqu’à ce que le foleil fpit arrivé au tropique, 6tc.
    • J’ajouterai ici que le foleil fe leve chaque jour dans une des afymptotes de l’hyperbole, &: qu’il fe couche dans l’autre.
    • 2° Dans tous les lieux litués entre l’équateur & les cercles polaires, la trace de l’ombre fur un plan horizontal eft encore une hyperbole ; car il eft facile de voir que ce plan coupe les deux cônes oppofés par le fommet que décrit le rayon fo-laire paffant par la pointe du ftyle, puifque, dans toutes ces latitudes, les deux tropiques font coupés par l’horizon.
    • 3° Dans les lieux fitués fous un cercle polaire, le jour que le foleil eft dans le tropique, l’ombre décrit fur le plan horizontal une ligne parabolique : les autres jours elle décrit des hyperboles.
    • 4° Dans les lieux litués entre le cercle polaire & le.pôle, tant que le foleil fe leve & fe couche, la trace de l’ombre du fommet du ftyle eft une hyperbole : lorfque le foleil eft parvenu à une latitude affez grande pour ne faire que toucher l’horizon au lieu de fe coucher, cette trace eft une parabole : lorfqu’enfin le foleil refte toute la journée fur l’horizon, elle eft une ellipfe plus ou moins allongée.
    • 5° Enfin fous le pôle, il eft aifé de voir que la trace de l’ombre du fommet d’un ftyle, eft tou-
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    • jours un cercle , puifque le foleil fe tient pendant la journée à la même hauteur.
    • COROLLAIRE.
    • Les arcs des lignes n’étant autre chofe que la trace de l’ombré du Commet du ftyle, lorfque le foleil parcourt le parallèle du commencement de chaque ligne, il s’enfuit que ces arcs ne font autre ehofe que des ferions coniques, ayant leur axe dans la méridienne ou la fouftylaire. Ce font en partièulier des hyperboles dans tous les cadrans horizontaux de lieux entre l’équateur & les cercles polaires , & dans tous les verticaux de la zone tempérée , tant méridionaux ou feptentrionaux , qu’orientaux ou occidentaux. C’eft ce qu’il eft aifé d’appercevoir du premier coup d’œil, à la forme de ces lignes, dans la plupart des cadrans de nos contrées.
    • Ces chofes, qui peut-être feront peu goûtées des gnomoniftes vulgaires, nous ont paru dignes de la curiofité de ceux qui font verfés dans la géométrie, & dont plulieurs peuvent n’y avoir pas fait attention. C’efl: ce qui nous a dé'termiaé à leur donner place ici.
    • PROBLÈME XXXV.
    • Connoitre les heures à un cadran folaire éclairé par la lune.
    • C E problème ne paroitra pas bien difficile à qui fçait que la lune retarde tous les jours fon paffage par le méridien d’environ 48' ; qu’elle paffe au méridien précifément avec le foleil lorfqu’elle eft nouvelle, & i% heures après lorfqu’il eft pleine
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    • £76 Récréations Mathématiques.
    • Sçachez donc quel eft l’âge de la lune; ce que vous pourrez toujours apprendre facilement au moyen des calendriers les plus ordinaires, où les jours & heures de la nouvelle & de la pleine lune font toujours marqués. Suppofons qu’au moment où l’on veut fçavoir l’heure qu’il eft, il y ait 6 jours & demi écoulés depuis la nouvelle lune. Multipliez j d’heure par 6 £, ce qui vous donnera y-, ou -f, ou 5I1 12', qu’il faudra ajouter à l’heure montrée par le cadran. Ainfi , fi le cadran marquoit à la lune 4 heures, il feroit 9^ 12'.
    • Mais on pourra trouver l’heure beaucoup plus exa&ement de la maniéré fuivante. Il faut, pour cela, Ravoir à quelle heure de la journée la lune a paile ou doit paffer par le méridien. On pourra le fçavoir au moyen des Almanachs qui font entre les mains de tout le monde, comme des Etrennes mignones, le Calendrier de la Cour, où le lever & le coucher de la lune font marqués jour par jour ; car fi on partage l’intervalle du lever au coucher en deux également, on aura à peu de chofe près le paflage au méridien.
    • Suppofons donc qu’au jour d’hui la lune ait pafle au méridien à 3h 30' du foir. La différence d’heure avec le foleil feroit, fi la lune eût été immobile , <3e 3hÿ dont l’heure à la lune retarderoit fur celle du foleil. Maintenant que la lune marque fur le cadran folaire 7 £ du foir, on en concluroit donc qu’il efi: précifément ioh du foir, dans l’hypothefe que la lune eût été immobile. Mais comme, dans cet intervalle de , la lune a eu un mouvement rétrogradé vers l’orient, dont la quantité opéré fur Ion paflage parle méridien, ou un cercle horaire quelconque, un retard de 48'par jour, à raifon de 2 minutes par heure, on aura pour jh ± la qUan-
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    • G N O MONIQUE. 277
    • titéde 15', qu’il faudra ajouter à l’heure indiquée par la lune, en fus de ce dont fon paflage par le méridien a retardé fur celui du foleil.
    • Si la lune avoit pafle la première par le méridien , il faudroit ôter de l’heure marquée par la lune , ce dont elle a devancé le foleil, & ajouter à ce qui en proviendroit autant de fois 2 minutes qu’elle marqueroit d’heures. Mais voici une petite machine qui peut éviter ce calcul, quelque léger qu’il foit.
    • Cette machine eft eompofée de deux plaques PI. 18* faites de cuivre, de laiton , ou de carton. L’une 3^* AHGI, eft fixe Ôc immobile; l’autre befl eft mobile. Sur la plaque immobile il y a un cercle ahgij diviféen 24parties égales, qui fervent à repréfenter les 24 heures du jour, dont chacune doit être divifée en demis & quarts d’heure ; fur le centre C de ce cercle, on applique l’autre plaque ronde & mobile befl, dont le bord eft dî-vifé en parties qui représentent les heures que la lune fait par fon ombre fur un cadran au foleil.
    • Ces heures ne font pas égales à celles du foleil y décrites fur le cercle immobile ; mais elles doivent être plus grandes de la valeur de 2 minutes par heure, puifque la lune retarde d’environ 48 minutes par jour, & de 12 minutes en fix heures. Ainfi , puifqu’un degré de ligne vaut 4 minutes de temps, il eft clair que 3 degrés valent 12 minutes de temps. C’eft pourquoi, ayant tiré la ligne de midi A CG, il faut prendre pour fix heures 93 degrés de part & d’autre , depuis le point b jufqu’aux points e9 /, & divifer chacun de ces efpacesen fix parties égales pour 6 heures, puis en demies & et% quarts, comme on le voit dans la figure.
    • Ufage, Placez l’index nb de la plaque mobile
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    • 178 Récréations Mathématiques. fur l’heure du paflage par le méridien du jour auquel vous voulez trouver l’heure. La machine étant ainfi difpofée, obfervez quelle heure marque l’ombre de la lune fur un cadran horizontal : la même heure fur la plaque mobile vous montrera , vis-à-vis fur la plaque immobile, la vraie heure au foleil.
    • PROBLÈME XXXVI.
    • Conjlruire un Cadran qui marque Vheure a la lune.
    • Pour fe fervir de ce cadran, il eft néceffaire de connoître l’âge de la lune ; ce qu’on peut toujours fçavoir au moyen d’un Almanach des plus communs, ou au moyen de quelqu’une des pratiques dont nous avons parlé en traitant de l’aftro-nomie.
    • Afin donc de décrire un cadran lunaire fur quelque plan que ce foit , par exemple un plan horizontal, tracez fur ce plan un cadran horizontal folaire pour le lieu où vous êtes ; tirez à volonté les deux lignes 57, 39 parallèles à l’équinoxiale , dont la première étant prife pour le jour de la pleine lune , la fécondé repréfentera le jour de la nouvelle, où les heures lunaires conviennent avec les folaires : ce qui fait que les points horaires, marqués fur ces deux parallèles par les lignes qui partent du centre du cadran A, font communs au foleil & à la lune.
    • Cette préparation étant faite, divifez l’efpace terminé par les deux lignes parallèles 3 9, 5 7, en douze parties égales ; menez à ces deux mêmes lignes, par les points de divifion, autant de lignes
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    • Gnomoniqüe. 2 79
    • parallèles, qui repréfenteront les jours de la lune auxquels elle s’éloigne fucceffivement d’une heure, par fon mouvement propre vers l’orient, & auxquels par conféquent elle paffe au méridien d’une heure plus tard chaque jour : ainfi la première parallèle 4, io, étant le jour auquel la lune paffe au méridien une heure plus tard que le foleil, le point B , de 11 heures à la lune, fera le point de midi au foleil ; la fuivante 5, 11* repréfentant le jour auquel la lune paffe au méridien 2 heures après le foleil, le point C, de 10 heures à la lune, fera le point de midi au foleil ; & ainfi des autres.
    • Il eft évident que fi l’on joint les points 12, B , C, & tous les autres qui appartiendront à midi, & que l’on peut trouver par un raifonnement femblable au précédent , par une ligne courbe : cette ligne courbe fera la ligne méridienne lunaire. C’eft de la même façon qu’on tracera les autres lignes horaires à la lune ; & il ne faut que regarder la figure pour le comprendre.
    • Parceque la lune emploie environ quinze jours depuis fa conjonftion avec le foleil jufqu’à fon oppofition, c’eft-à-dire depuis qu’elle eft nouvelle jufqu’à ce qu’elle foit pleine, ou diamétralement oppofée au foleil, enforte qu’elle fe leve quand le foleil fe couche ; on effacera toutes les parallèles précédentes , excepté les deux premières , 58,39; & au lieu de divifer leur intervalle en douze parties égales , on le divifera en quinze , pour tirer par les points de divifion d’autres parallèles , qui repréfenteront les jours de la lune, auxquels par conféquent on ajoutera les chiffres convenables, comme nous avons ici fait le long de la ligne méridienne, par le moyen defquels on
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    • a8o Récréations Mathématiques.
    • connoîtra de nuit l’heure du foleil aux rayons de la lune, en cette forte.
    • Appliquez au centre du cadran A un axe, c’eft-à-dire une verge qui falTe à ce centre A , avec la méridienne A 12, un angle égal à l’élévation du pôle fur le plan du cadran, que nous fuppofons horizontal : cet axe montrera , par fon ombre for le jour courant de la lune, l’heure qu’on cherche.
    • PROBLÈME XXXVII.
    • Décrire les arcs des Jîgnes fur un cadran folaire.
    • Parmi les accefîbires qu’on a imaginé d’ajouter aux cadrans folaires, les arcs des lignes ne font pas un des moins agréables ; car on voit avec plaifir, par leur moyen , dans quel ligne eft le foleil, & l’on fuit, pour ainli dire, fa marche dans le zodiaque : c’eft pourquoi nous croyons ne pas devoir omettre dans cet ouvrage la maniéré de tracer ces arcs.
    • Nous fuppofons , pour abréger, que le plan eft horizontal. On commencera donc par y décrire un cadran tel que l’exige la polition de ce plan , c’eft-à-dire horizontal ; on y placera de la maniéré convenable un ftyle droit, & terminé ou par un bouton fphérique, ou par une plaque circulaire , ayant à fon centre un trou d’une ligne ou deux de diamètre, fuivant la grandeur du cadran. Cela fait, vous opérerez ainli.
    • Qu’il s’agilfe, par exemple, de décrire l’arc qui répond au commencement du ligne du Scorpion ou des Coiffons. Vous trouverez d’abord ainli le point de la méridienne où cet arc la coupe, en cherchant dans la table des hauteurs du foleil à chaque heure du jour ( pour la latitude de Paris,
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    • Gnomonique; 2$i
    • où nous fuppofons le cadran décrit), en cherchant , dis-je, dans cette table la hauteur méridienne du foleil. Lorsqu’il entre dans le Scorpion ou les Poiffons , elle eft de 290 40'. Faites donc PL 19, le triangle STE, dans lequel ST eft la hauteur du %• 38 ftyle, tel que l’angle SET foit de 29° 40': le point E fera le premier point de l’arc de ces deux lignes.
    • Cherchez enfuite dans la même table la hauteur du foleil à une heure après midi, le même jour; vous la trouverez de 28° 1 a1 : ainli faites le triangle STF, tel que l’angle F foit de 28° 14'; pu'£, du pied du ftyle S , comme centre, tracez avec le rayon SF, l’arc de cercle qui coupe les lignes de I & XI heures dans les deux points G & H : ce feront les points de l’arc de ces lignes fur les lignes de XI & I heure.
    • Si vous faites la même opération pour toutes les autres heures, vous aurez autant de points par lelquels vous mènerez , au moyen d’une réglé bien flexible, une ligne courbe : ce fera l’arc des lignes du Scorpion & des PoilTons.
    • La même conftruérion, pour les autres lignes, vous donnera les autres arcs qui leur conviennent.
    • Autre Maniéré.
    • Cette fécondé maniéré n’exige point le fecours de la table des hauteurs du foleil aux diverfes heures du jour ; une limple opération graphique eft fuffifante, & l’on y emploie une figure qu’on appelle le triangle des Jîgnes, & qu’il faut d’abord enfeigner à décrire.
    • Soit une ligne AB, d’une grandeur indéterminée; Ôc du point A pris comme centre, au rayon arbitraire AB, tracez un arc de cercle indéfini ;
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    • 2$2 Récréations Mathématiques.
    • Tl. 19, prenez de B en E & en e, des arcs de 11° je/, qui fig. 39. font les déclinaifons des lignes du Taureau & de la Vierge , du Scorpion oc des Poiffons, l’une boréale, l’autre méridionale ; & tirez les lignes
    • AE, Ae, dont la première conviendra aux deux premiers lignes, & la fécondé aux deux autres.
    • Faites de même BF, B/, de 20° 12', & tirez
    • AF, A/, dont la première répondra aux lignes des Gemeaux & du Lion, 8c la fécondé à ceux du Sagittaire 8c du Verfeau.
    • Que BG, B g, foient enfin de 230 30'; les lignes AG, A g, répondront, la première au Cancer, & la fécondé au Capricorne.
    • Cela fait, nous fuppofons qu’on veuille décrire les arcs des lignes fur un cadran horizontal. Après avoir, comme ci-delîus, fixé dans la place conve-Fig. 39,40. nable un ftyle droit ST, tiré l’équinoxiale & les lignes horaires, élevez fur AB une perpendiculaire AD, égale à la diftance TP, fommet du ftyle, au centre du cadran P.
    • Maintenant voulez-vous avoir fur la méridienne les fept points de divifion des arcs des lignes, faites fur la fig. 33, AC égale à la diftance RT du fommet du ftyle à l’équinoxiale , ôc tirez la ligne DC , qui coupera les lignes des lignes dans les points 6,4,2, C,i, 3, 5 ; transférez ces points fur la méridienne dans le même ordre, en faifant R 6 égale à C 6, R 4 égale à C 4, R 2, égale à C 2, R 1 égale à C 1, ôcc. ; vous aurez les points par lefquels paffe le foleil à midi, les jours de fon entrée dans les lignes.
    • Qu’il s’agiffe à préfent de trouver les mêmes points fur une des lignes horaires , celle, par exemple , de 3 heures ou 9 heures. Du pied du ftyle droit S, abaiflez fur cette ligne horaire PM
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    • Gnomoniqvk. iSj
    • une perpendiculaire SV, que vous prolongerez juf-qu’à la rencontre N du demi-cercle décrit fur PM, comme diamètre ; faites enfuite AH égale à PN, Fig. 39. & AI égale à PM, & tirez HI à travers le triangle des lignes : elle fera coupée par les fept lignes des lignes, en fept points , lefquels étant tranfportés dans le même ordre fur l’horaire propofée, y donneront ceux où elle fera rencontrée par l’ombre du fommet du ftyle, à l’entrée de cet aftre dans chacun des lignes du zodiaque.
    • Vous joindrez enfin tous les points répondants au même ligne fur les lignes horaires, en y faifant palier une ligne courbe : ce fera le parallèle de ce figne.
    • Desdiverfes efpeces d'Heures.
    • Dans tout ce qu’on a dit jufqu’à préfent, il n’a été queftion que des heures équinoxiales & égales, telles que nous les comptons en France, le jour étant cenfé commencer à minuit, d’où on les compte au nombre de 24 ou deux fois iz , jusqu’au minuit fuivant. C’eft aufli la maniéré la plus commune de compter les heures en Europe. Les heures aftronomiques n’en different qu’en ce qu’on les compte au nombre de 24 , du midi d’un jour au midi du jour fuivant.
    • Mais il y a quelques autres efpeces d’heures qu’il convient de faire connoître, parcequ’on les trace quelquefois fur les cadrans foîaires ; telles font les heures naturelles ou judaïques, les babyloniques , les italiques modernes, celles de Nuremberg.
    • Les heures naturelles ou judaïques commencent au lever du foleil, & on en compte 12 depuis ce lever jufqu’au coucher de cet aftre ; d’où l’on voit qu’elles ne font égales en durée que le jour de
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    • 184 Récréations Mathématiques,
    • l’équinoxe : dans tout autre temps elles font inégales. Celles du jour font les plus grandes depuis l’équinoxe du printemps jufqu’à celui d’automne ( dans notre hémifphere) ; celles de la nuit font au contraire les plus grandes , pendant que le fo-leil parcourt l’autre moitié du zodiaque^
    • Celles de Babylone étoivnt égales, St com-mençoient au lever du foleil : on en comptoit 24 jufqu’au lever du jour fuivant.
    • Les italiques modernes ( car les Romains comp-toient à peu près comme nous de minuit à minuit) fe comptent du coucher du foleil au coucher du jour fuivant, au nombre de 24 ; enforte que, les jours des équinoxes, le midi tombe à la 18e heure, St qu’enfuite, à mefure que les jours s’allongent, le midi agronomique arrive à i7hî-, i7h, Stc ; St au contraire. Cette maniéré , affez bizarre St incommode, n’a pas laiffé d’avoir des défenfeurs , St même dans des François, qui ont trouvé qu’on pouvoit fort bien, avec un crayon 8t un petit calcul aftronomique, fixer tous les jours l’heure de fon dîner, St que cela n’étoit pas trop ernbar-raffant.
    • Quoi qu’il en foit, comme ces heures font encore en ufage dans prefque toute l’Italie, nous croyons devoir donner la maniéré de les tracer , comme une curiofité gnomonique pour ces pays-ci.
    • PROBLÈME X X X V11 F.
    • Tracer fur un cadran les heures italiques.
    • Décrivez d’abord fur le plan propofé, que nous fuppofons horizontal, un cadran horizontal ordinaire, avec les heures agronomiques ou eu?
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    • Gnomonique. i8f
    • ropéennes ; marquez - y auffi les arcs des lignes folfticiaux, du Cancer & du Capricorne, ainli que la ligne équinoxiale, qui eft l’arc des lignes équinoxiaux. y
    • Cela'fait, obfervez que , les jours des équinoxes , le midi arrive à la fin de la 18e heure italique,
    • & que, le jour du folftice d’été, il arrive à la fin de la 16e heure, pour un cadran conftruit à Paris.
    • Ainli le midi, compté par les heures aftronomiques ©u izh,répond, le jour de l’équinoxe, à la 18e heure italique , & le jour du folftice d’été, à la 16e; conféquemment la 18e heure italique au jour du folftice d’été, répondra à la 2e après midi comptée aftronomiquement. Ainli ûl faudra joindre par une ligne droite le point de midi marqué fur la ligne équinoxiale, avec celui de 2 heures fur le tropique ou l’arc du ligne du Cancer, & vous y inscrirez 18 heures. Vous joindrez pareillement par des tranfverfales, ih fur la ligne équinoxiale , avec 3h fur l’arc du Cancer ; ih avec 4*1,
    • &c ; & avant midi, 1avec ih , ioh avec i2h,
    • 9h avec 1 ih, &c : vous effacerez enfuite les lignes aftronomiques , que nous avons fuppofé ne devoir PI. ao, pas fubfifter ; vous prolongerez toutes les tranf- fig. 41* verfales ci-deffus, jufqu’à la rencontre du paral-lelle du Capricorne, en y infcrivant à leurs extrémités les nombres convenables, & vous aurez votre cadran tracé, comme on le voit fig. 20. Remarque.
    • 11 eft aifé de voir, par l’exemple ci - deffus , quel calcul il faudroit faire fous une latitude différente de celle de Paris, où le jour a i6h au folftice d’été, St 8h feulement à celui d’hiver. Dans une autre latitude, où le plus long jour n’auroit que
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    • 186 Récréations Mathématiques.
    • 14I», & le plus court 10, le midi arriverait, le jour du folftice d’été, à 17 heures. Ainfi le midi ou la 12e heure comptée aftronomiquement, répond, le jour du folftice , à la 17e heure italique; conféquemment la 18e heure italique, le jour du folftice, répondra à la première après midi , comptée aftronomiquement. Ainfi il n’y aura qu’à joindre le point de 1 heure après midi fur l’arc du Cancer, avec le point de midi de l’équinoxiale, on aura la ligne horaire italique de 17 heures; & ainfi des autres.
    • PROBLÈME XXXIX.
    • Tracer fur un cadran les lignes des heures naturelles du jour.
    • Nous avons dit plus haut, qu’on appeloit heures naturelles, les heures égales & au nombre de 12, que l’on peut compter d’un lever du foleil à fon coucher ; car c’eft cet intervalle de temps qui forme vraiment le jour naturel.
    • On tracera facilement fur un cadran , que nous fuppoferons horizontal, les heures de cette efpece. Il faut, pour cet effet, tracer la ligne équinoxiale & les deux tropiques, par les méthodes précédentes.
    • Cela fait, vous obferyerez que, puifque fous la latitude de Paris , le foleil fe leve à 4 heures du matin, le jour du folftice d’été, & fe couche à 8h, cet intervalle eft de 161» aftronoiniqües ; con-féquemment, fi nous divifons cette durée en 12, chacune de ces parties fera de ih y : c’eft pourquoi vous tirerez du centre du cadran, des lignes aux points de divifion de la ligne équinoxiale, qui répondent à 5hy> 6bf, 8h, £hiohf, nh,
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    • Gnomoniqüe. i$7
    • ih i, &c. mais en vous bornant à marquer fur le tropique du Cancer les points de feâion de ces heures avec lui.
    • Vous obferverez de même que le jour du fol£ tice d’hiver, le foleii fe levant à 8h & fe couchant à 4, la durée totale du jour n’eft que de 8h ; ce qui, étant divifé en 12 parties égales , donne pour chacune f- d’heure aftronomique. Vous tirerez donc les lignes horaires répondantes à 8h j, <>hj, ioh, &c. en marquant feulement leur fec-tion avec le tropique du Capricorne. Enfin , fi vous joignez par une ligne courbe , au moyen Pi. d’une réglé flexible, les points correfpondants de fig. divifion fur les deux tropiques & la ligne équinoxiale , vous aurez votre cadran tracé comme on le voit pl. zi, fig. 44.
    • Si on vouloit plus d’exaélitude , il faudroit tracer deux autres parallèles des fignes , par exemple celui du Taureau & celui du Scorpion, & trouver fur chacun les points répondants aux heures naturelles, par un procédé femblable à celui ci-deflus : on feroit alors paffer les lignes horaires naturelles par cinq points, ce qui les donneroit beaucoup plus exa&ement.
    • PROBLÈME XL.
    • Trouver l'heure par quelqu’une des étoiles circom-polaires.
    • I L y a des méthodes aftronomiques pour con-noître l’heure par le paflage au méridien, ou même par la hauteur de chaque étoile ; car, au moyen des Ephémérides , comme la Connoijfance des Temps , publiée chaque année par l’Académie royale des Sciences, ou trouve , par un très-petit
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    • ±88 Récréations Mathématiques.
    • calcul, combien chaque étoile devance le foleil au méridien, ou y paffe après lui ; & par cette connoiffance & celle de fa déclinaifon , on peut, par la {impie obfervation de fa hauteur, déterminer l’heure. Mais tout ceci feroit peut-être trop compliqué pour- la plupart de nos le&eurs. Nous nous bornerons donc à la folution du problème ci-deffus, pour la facilité duquel on a imaginé un petit infiniment appellé nocturlabe, dont voici la conftru&ion. Elle eft adaptée pour employer la brillante des deux dernieres, qu’on appelle les gardes de la petite Ourfe.
    • Décrivez & coupez'fur quelque matière folide, PL 20 comme du bois ou du métal, un cercle de la fig. 42. grandeur d’un écu de fix livres , dont vous divife-rezla circonférence en 365 parties, pour marquer les jours de l’année , que vous diftribuerez enfuite de mois en mois , fuivant le nombre que chacun en contient.
    • A ce cercle en foit ajouté un autre concentrique & mobile, dont vous diviferez la circonférence en 14 parties égales, pour défigner les 14 heures du jour : chacune de ces divifions portera une petite dent, afin qu’qn puiffe dans les ténèbres compter ces parties par le taô. Une de ces dents doit être plus longue, pourfervir à l’ufage qu’on dira.
    • Attachez enfuite un petit manche au bord du cercle extérieur. Le centre de ce petit manche doit être avec le centre de l’inftrument, dans une ligne paffant par le 7 Novembre, parceque c’eft le jour ou a midi l’étoile ci-deffus paffe par le méridien en même temps que le foleil, fçavoir, à midi au deffus du pôle, & à minuit au deffous.
    • Enfin foit attachée encore à l’inftrument une alidade
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    • alidade mobile, tournante autour de Ton centre, . qui fera percé pour y appliquer l’œil.
    • Ôn s’en fervira ainfi. On amènera d’abord la pointe de la dent la plus longue fur le jour du mois ; enfuite, prenant l’inftrument à la main, 8c appliquant l’œil à fon centre, on fe tournera .du côté du nord, 8c on confidérera l’étoile polaire, en tenant le plan de l’inftrument autant perpendi-" culaire qu’on pourra au rayon vifuel, 8c le manche de l’inftrument dans le plan vertical. Cela fait , conduifez l’alidade enforte que fon bord, qui va au centre de l’inftrument, effleure l’étoile ci-defi* fus, ou la plus claire des gardes de la petite Ourfe ; comptez enfin le nombre des dents qui fe trouvent entre cette alidade 8cla plus longue dent: ce fera le nombre des heures écoulées depuis minuit.
    • Il feroit facile d’adapter l’inftrument à une autre étoile quelconque. Il fuffiroit que le petit manche de l’inftrument regardât le jour du mois où cette étoile pafle au méridien fupérieur avec le foleil ; tout le.refte feroit abfolument le même.
    • Nous allons terminer cette partie de notre ouvrage par une forte de badinage gnomonique.
    • P R O BLÊME XLI.
    • Trouver l'heure du jour au moyen de la main gauche.
    • O N. fent aifément qu’il ne peut pas y avoir de précifion dans une pareille méthode : on ne la donne ici que pour ce qu’elle vaut.
    • Il faut d’abord étendre la main gauche , 8c là pofer horizontalement, enforte que le dedans foit tourné vers le ciel ; puis on prendra un brin de paille ou de bois, qü’on placera à angles droits à
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    • 190 Récréations Mathématiques. la jointure, entre le pouce & le doigt index, & qu’on tiendra élevé au defliis de la main, de la longueur qui eft depuis cette jointure jufqu’à l’ex-Pl. îo, trémité du doigt index, comme on le voit repré-fig-43* fenté dans la ^8ure en A : ce brin Pai^e ^ert de ftyle. Enfuite on tournera la racine du pouce vers le foleil, la main étant toujours étendue, jufqu’à ce que l’ombre du mufcle qui eft au deffous du pouce fe termine à la ligne de vie marquée C. Alors l’extrémité de l’ombre du brin de paille montrera l’heure, en tournant le poignet ou la racine de la main vers le foleil, & tenant les doigts également étendus. L’ombre tombante au bout du doigt index , marquera 5 heures du matin ou 7 heures du foir ; au bout du doigt du milieu, 6 heures du matin du foir ; au bout du doigt fuivant, 7 heures du matin & 5 heures du foir ; au bout du petit doigt, 8 heures avant midi & 4 heures du loir ; à la jointure prochaine du même petit doigt, ^ heures du matin ôt 3 heures après midi ; à la Jointure fuivante du petit doigt, 10 heures avant midi & 2 heures après midi; à la racine du même doigt, 11 heures du matin & 1 heure après midi ; enfin l’ombre tombante fur la ligne de la main marquée D, dite ligne de la table, marquera 12 heures ou midi.
    • Nous n’avons pu donner place ici qu’à quelques-unes des pratiques les plus curieufes de la gnomonique, fans, y joindre les démonftrations, qui, pour la plupart, fe préfenteront facilement à tous - ceux qui font un peu verfés dans la géométrie. Cependant nous croyons devoir, pour terminer ceci, donner une notice des principaux ouvrages fur la gnomonique, où les autres pourront s’y inftruire des démonftrations.
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    • GnO MO NIQUE* 191
    • Nous ne parlerons pas de la Gnomoriîque de Clavius, parçeque ce mathématicien femble avoir trouvé l’art de rendre exceffivement embrouillé ce qui étoit aflez {impie de foi-même ; nous nous bornerons même à des ouvrages françois, & pour la plupart allez récents : car notre objet n’eft pas de faire une bibliographie gnomonique.
    • La Gnomonique de M. de la Hire, qui parut en ï68 3 , in-12, mérite attention, malgré une forte d’obfcurité allez générale dans les ouvrages de ce mathématicien : on y trouve la folution de beaucoup de problèmes gnomonico-agronomiques. L’ouvrage de M. Ozanam fur le même fujet , eft plus clair & plus à la portée de tout le monde ; il tient encore fa place parmi beaucoup d’autres livres plus modernes. Le célébré xM. Picard n’a pas jugé au deffous de lui d’enfeigner la maniéré de tracer les grands cadrans folaires par le calcul trigonométrique. On trouve ce traité dans le VII® volume des anciens Mémoires & ouvrages de l’Académie. Un académicien de Montpellier a donné dans les Mémoires de l’Académie royale des Sciences, année 1707 , les analogies fervant à déterminer les angles horaires pour toutes les fituations de cadrans, avec leurs démonftrations.
    • Depuis ce temps-là il a p^ru en France de nombreux traités de gnomonique , parmi lefquels on fe bornera à citer la Gnomonique de M. Rivard , Paris, 1767, in-8°, ouvrage clair & méthodique, qui avoit déjà eu plufieurs éditions. Celle de M. de Parcieux, qui eft à la fuite de fa Trigonométrie rectiligne & fphérique , publiée à Paris en 1741 ? in-40, eft un ouvrage qu’on doit confeillerà ceux qui afpirertt à une connoiffance bien nette de cette partie des mathématiques. La gnomonique que
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    • 191 Récréations Mathématiques.
    • Ton trouve dans le 4e tome du Cours de Mathématiques de M. Wolf, eft extrêmement claire 6c concife. On peut encore recommander à ceux qui veulent apprendre à tracer avec beaucoup d’exa&itude les cadrans folaires, la Gnomonique pratique , ou VArt de tracer les Cadrans folâtres avec beaucoup de précifion , &c. par Dom Bèdos, de Celles, ouvrage qui a paru pour la première fois en 1770, in-8°, 6: de nouveau en 1774, avec beaucoup d’additions. L’auteur y emploie principalement le calcul trigonométrique, 6t entre dans les plus grands détails en ce rjui concerne la pratique ; car on peut pofleder parfaitement la théorie de la gnomonique, & être aflez embar-raffé lorfqu’on veut en venir à l’exécution. On trouvera enfin des tables utiles pour toute l’étendue de la France , dans la Gnomonique mife à la portée de tout le monde , par Jofeph-Blaife'Garnier Marfeille, 1773 , ïn-8°. Du refte cet ouvrage eft peu de chofe. Quant à VHorlogiographie du pere de la Madelaine , quoiqu’elle foit fort commune , nous n’en parlons que pour dire que c’eft un ouvrage bon uniquement pour ces efpeces de maçons qui courent les campagnes, 6c gagnent leur vie à y tracer des cadrans.
    • Nous ne pouvons omettre ici la maniéré ingé-nieufe dont le célébré M. s’Gravefande envifage , dans fon Effai de Perfpeclive, imprimé à Leyde en 1711 , le problème général de tracer un cadran folaire : il le réduit à un fîmple problème de perfpeftive , qu’il réfoud félon les principes de cette branche de l’optique. Cette partie de fon ouvrage eft un morceau remarquable par fon élégance, fa précifion 6c fa généralité.
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    • Gnomonique. ,
    • A? P E ND IX
    • Contenant une Méthode générale pour la defcription des Cadrans folaires , quelle que fait la déclinaifon ou Vinclinaifon du plan.
    • CEtte partie de notre ouvrage étoit prefque imprimée ', lorfque nous avons fait réflexion que les lefteurs géomètres y défapprouveront probablement l’omiflion d’une méthode géométrique pour la defcription des cadrans folaires inclinés & déclinants. Prévoyant donc que la matière que nous avons deftinée à ce troifieme volume nous laiflera la place néceflaire , nous allons donner ici une méthode fort ingénieufe & fort Ample à cet effet ; car, au moyen de quelques calculs, la defcription du cadran le plus compliqué par la déclinaifon & l’inclinaifon de fon plan ,, ne donnera pas plus de peine que celle d’un cadran horizontal ou vertical fans déclinaifon. *
    • Cette méthode eft fondée fur cette confîdéra-tion ingénieufe, fçavoir , qu’un plan quelconque eft toujours un plan horizontal pour quelque lieu de la terre ; car un plan quelconque étant donné, il eft évident qu’il eft quelque point de la terre dont le plan tangent ou le plan horizontal lui eft parallèle. Il eft encore évident que deux plans ainfi parallèles , montrent en même temps les mêmes heures. Ainfi, par exemple, foit fuppofé à Paris un plan tellement incliné & déclinant t
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    • 294 Récréations Mathématiques. qu'il fût parallèle au plan horizontal d’Ifpahan : en traçant fur ce plan un cadran tout comme s'il étoit horizontal, on auroit les heures d’Ifpahan. Quand ce cadran montreroit midi, par exemple, l’ombre tombant fur fa fouftylaire, on . pourroit dire il eft midi à Ifpahan ; quand cette ombre tomberoit fur la ligne d’une heure, on pourroit dire que les habitants d’Ifpahan comptent une heure ; &c.
    • Mais comme ce ne font pas les heures d’Ifpahan dont nous avons befoin à Paris , il faut trouver le moyen de marquer celles de Paris. Or cela ne fera pas difficile, dès qu’on connoîtra la différence de longitude entre ces deux villes. Supposons qu’elle fait précifément de 45 degrés ou de 3 heures. Ainfi donc , lorfque l’on comptera midi à Paris, il fera 3 heures du foir à Ifpahan, & il y fera 2 heures après midi, lorfqu’on comptera 11 heures à Paris, &c. Si donc , fur ce cadran fup-pofé horizontal, nous prenons la ligne de 3 heures pour ila ligne de midi, & que nous y marquions midi, & les autres à proportion, nous aurons à Paris. le cadran horizontal d’Ifpahan , lequel marquera non les heures d’Ifpahan , mais celles de Paris dont nous avons befoin.
    • Nous croyons avoir énoncé le principe allez clairement pour le rendre fenfible à nos leéleurs un peu géomètres ou aftronomes ; mais il eft à propos de donner un exemple fuivi & détaillé, pour en faire mieux fèntir l’application.
    • Suppofons donc ici à Paris , un plan faifant avec l’horizon un angle de 12 degrés, & déclinant vers l’oueft de 22 degrés & demi.
    • La première opération à faire , eft de trouver la longitude la latitude du lieu de la terre, dont
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    • Gnomonique. 195
    • le plan horizontal eft parallèle au plan donné.
    • Pour cela imaginons un vertical AI perpendi- PL culaire à ce plan donné, & fur ce vertical, que % " nous fuppofops tracé fur la furface de la terre , prenons , du èôté qui regarde la partie fupçrieure du pian, un arc AH , égal à l’inclinaifon de ce plan avec l’horizon : l’extrémité de cet arc H fera le point de la terre dont l’horizon fera parallèle au plan donné. Cela eft fuffifamment fenfible fans l’appareil d’une démonftration. Concevons enfuite un méridien P H, mené du pôle P à ce point : il eft évident que ce fera le méridien du plan donné, & que l’angle APH de ce méridien avec celui de Paris , donnera la différence de longitude des deux lieux. Il faudra donc trouver cet angle; & , pour le trouver, nous avons un triangle fphérique APH, où trois chofes font connues y fçavoir; iQla diftance AP de Paris au pôle, laquelle eft de 41d 9' ; 2° la diftance AH de Paris au lieu dont le plan horizontal eft parallèle au plan donné, qui eft de I2d; 30 l’angle PAH , compris entre ces deux côtés, & qui eft égal à l’angle droit HAL, plus celui du plan avec la méridienne PAL.
    • On trouvera, en réfolvant ce triangle fphérique , que l’angle awpôle APH, ou celui des deux méridiens , eft de çd 41' : c’eft la différence de longitude des lieux A & H.
    • La latitude du lieu H fe trouvera auffi par la réfolution du même triangle ; car cette latitude eft mefiirée par le complément .de l’arc PH\dans le triangle PAH, & le calcul le donne de. 36d 42' *-
    • * On peut s’éviter le calcul trigonométrique, au moyen-d’une opération graphique qui eft fort fimple, & qui eft
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    • 2^6 Récréations Mathématiques.
    • Ainfi le plan incliné de I id à Paris, & déclinant de izd 7 à l’oueft, eft parallèle au plan horizontal d’un lieu qui a çd 41; de longitude à Pdc-cident de Paris, & 36e1 41'de latitude. Ce deri nier angle eft aufli celui que doit faire le ftyle avec la fouftylaire, car l’angle aue fait l’axe delà terre avec le plan horizontal, eft toujours égal à la latitude.
    • Enfin il eft évident que , lorfqu’on comptera midi au lieu H, on aura 22'44" après midi au lieu A ; car <jd 41' en longitude , répondent à il' 44" d’heure : conféquemment, lorfque au lieu A l’ombre du ftyle tombera fur la fouftylaire qui eft la méridienne du plan, il fera dans ce lieu A il? 44" après midi, ou il y aura ce temps que midi eft pafle. Pour trouver donc l’heure de midi, il faudroit tirer à l’oueft de la fouftylaire une ligne horaire, répondante à nh 37' ië", ou nh 37'. Par un même raifonnement, on verra que les 11 heures du matin du lieu A répondront à ioh 37' du lieu H, les 10 heures à 9h 37', &c. De même après midi, la ligne d’une heure , pour le lieu A ,
    • une fuite de celle qu’on a enfeignée au Problème XXII. Dans un cercle de la grandeur convenable, prenez un arc P * égal à PA, fig. 4j; prenez ah égal à AH, & du point h PI. a'z, abaiüez une perpendiculaire hi fur le rayon ca; fur ht fig. 45,46. décrivez un quart de cercle, où vous ferez h k égal à l’arc qui mefure l’angle de la déclinaifon du plan, ou au fup-plément de l’angle PAH; tirez kl perpendiculaire if Ai, & enfin, du point/, la perpendiculaire Im au rayon cp , laquelle foit prolongée iufqu’au cercle en n : l’arc p n fera égal à P H ; & fi fur mo on décrit un arc de cercle, qu’on mene lp perpendiculaire à ut /, rencontrant en p cet arc de cercle : l’angle p m l fera égal à l’angle cherché P du triangle APH.
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    • GnOMONIQUI. 297
    • répondra à celle de midi & 37 minutes du lieu H ; ' 2heures, à 1 heure 37 minutes; 3 heures, à 2 heures 37 minutes, &c.
    • Ainfi , en fuppofant la fouftylaire du plan fur lequel le.cadran doit être tracé, être la méridienne, il faudra^ décrire un cadran qui marque , avant midi, 11J 37', ioh 37', 9* 37', 8h 37', &c. ; & après Jbidi, midi 37', |h 37% ih 37%
    • 3h 37'» 4h 3
    • Tous ces calculs faits , nous tracerons notre cadran avec facilité. Pour cet effet on cherchera d’abord , par le Problème III, la fouftylaire qui eft la méridienne du plan. Je fuppofe, dans la Jig. PI* 47 , qu’elle foit PE , & P le centre du cadran. ^8* Ayant pris PB de la longueur convenable, tirez par le point B la perpendiculaire ABC à PE ; que A foit le côté de l’oueft : la ligne Pd qui répond à 11 heures 3 7 minutes, ou qui eft éloignée de la méridienne de 23 minutes d’heure , fe trouvera en faifant cette analogie ; -
    • Comme le Jinus total
    • Au Jinus de complément de la hauteur du pôle furie plan, qui ejl de 36° 42',
    • Ainji. la tangente de Vangle horaire qui répond à 23 ' d’heure, ou la tangente de 5 0 45
    • A un quatrième termt^ qui fera la tangente de l'angle B P d.
    • On la trouve , par cette analogie, égale à 81 parties, dont PD en contient iooô : prenant donc avec une échelle 81 de ces parties, & les portant de B en d9 & tirant Pd, on aura la ligne horaire de 11 heures 37 minutes pour le plan du cadran ou le lieu H.
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    • *9g Récréations Mathématiques.
    • De même on trouvera la ligne Ve de io heures 37 minutes, en faifant cette analogie ;
    • Commme le Jînus total Au jinus de complément de 3 6° 42'9 Ainfi la tangente de Cangle horaire répondant à ioh 37', ou la tangente de 20° 45',
    • A la tangente de C angle BP e.
    • On la trouve de 319 des parties çi-deffus.
    • Ainfi , prenant fur la même échelle ce nombre de parties, & le tranfportant de B en e, on aura la ligne horaire Pe, répondante à 10 heures 37 minutes.
    • On trouvera de même les autres lignes avant midi. Les deux premiers termes de l’analogie font les mêmes : le troilieme terme eft toujours la tangente d’un angle qui augmente fucceffivement de 150 : ainfi ces tangentes feront celles desangles de 50 45', 10°45', 35° 45'. 5°° 45'. 65» 45', dont il faudra ajouter fucceffivement les.logarith-mes au logarithme dufinus de complément de 36° 41' : on en ôtera le logarithme du finus total, & les reliants feront les logarithmes des tangentes des angles des lignes horaires ; & ces tangentes elles-mêmes feront fucceffivement, pour B d, Be9 B/, &c. 81,319, 576,979, 1775, 5114, &c. en parties dont le rayon, ou PD , contient 100a Pour les heures après midi , on opérera de même. Comme 37' d’heure répondent à 90 iç#, le premier angle horaire fera de 90 15 le fécond, en y ajoutant 150, fera de 240 15'; le troifieme, de 390 15'; le quatrième, de 540 15'; &c. On aura donc fucceffivement ces proportions à faire ;
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    • GN O MONIQUE. 2^
    • Comme le Jinus total
    • Ejl au Jinus de compliment de 36° 42',
    • Ainji la tangente de op 15 ou de 240 15 ou de 39° ,5',6-c.
    • A un quatrième terme.
    • Ce fera la tangente de l’angle BP/, ou BPm, ou BP«, &c.
    • Ainfi, ajoutant fucceffivement au logarithme du finus de 530 18', les logarithmes des tangentes de 90 15', 240 15', 390 15', &c. & des femmes retranchant le logarith. du finus total, on aura les logarithmes de tangentes des angles que font avec la fouftylaire les lignes horaires P /, Pm, Pn, &c. & ces tangentes mêmes , qui feront refpective-ment de 131, 361, 6)6 , 1115 » 2121 , 8028 parties, dont PB en contient 1000. Qu’on prenne donc avec le compas , fur une échelle convenable , ces grandeurs fucceffivement ; qu’on'les porte de B en /, de B en m , de B en n, &c. ; qu’on tire les lignes P/, Pm, Pn , Po, &c. ; enfin, en marquant lq point </de XII heures, parceque Pd eft la méridienne du lieu A , qu’on marque les autres points horaires de nombres convenables , comme on le voit dans la figure : le cadran fera tracé.
    • Il eft à propos encore, pour ne pas tracer plus de lignes horaires qu’il ne faut, de déterminer à. quelle heure, dans le plus long jour d’été, le foleil fe leve & fe couche fur le plan propofé. Cela fe fera facilement au moyen de la confidération fui-
    • 11 eft aifé de voir que , fi l’on fitppofe deux plans parallèles en deux lieux différents de la terre , le foleil commencera à les éclairer tous les deux
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    • 3©o Récréations Mathématiques.
    • au même inftant, & que pareillement il fe couchera en même temps pour tous les deux : ainli le plan de notre Cadran étant parallèle au plan horizontal d’un lieu qui a 36° 41' de latitude fepten-trionale, il n’eft queflion que de fçavoir quelle eft l’heure à laquelle, dans les plus longs jours d’été, le foleil Te lèvera à l’égard de ce plan. Or l’on trouve que, pour une latitude de 36° 42/, le plus long jour efl: de 14 heures & demie, ou que le foleil fe leve ce jour-là à 7 heures \ avant midi, & fe couche à 7 heures ^ : il fuffira donc , fur le cadran en queftion , de marquer la ligne horaire qui précédé la méridienne du plan , de 7 heures j, c’eft-à-dire, à bien peu de chofe près, la ligne de 5 heures du matin pour le lieu A ; car, à quelque heure que cet aftre fe leve, il ne commencera que vers cette heure-là à éclairer le plan : quant aux heures après midi, la derniere devra être 7 heures £ ; car, à cette heure-là, quelque temps que le foleil refle encore fur l’horizon , il fe couchera pour le plan.
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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES.
    • HUITIEME PARTIE,
    • Contenant quelques-uns des Problèmes les plus curieux de la Navigation.
    • LÉ navigation eft lin des arts qui font le plus d’honneur à l’efprit humain ; car en eft r il quelqu’un dans lequel l’induftrie éclate davantage que cet art, par lequel l’homme fçait fe conduire à travers les vaftes plaines des mers, fans autre guide que le ciel & la bouffole ; par lequel il s’af-fujettit les vents , & les emploie à braver la fureur même de l’Océan qu’ils fouleverit; que cet arf'Snfifi qui fait le lien des deux mondes , le reflort principal de l’induftrie, du commerce & He l’opiA
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    • 30i Récréations Mathématiques. lence des nations : ee qui a fait dire énergiquement à un de nos poètes*
    • Le trident de Neptune eft le fceptre du monde.
    • Mais ce n’eft pas ici le lieu d’une digreffion politique fur l’utilité de la marine. Nous nous bornerons donc, comme mathématicien, à dire que la navigation peut être confidérée fous deux afpeéts. Sous l’un, c’eft une fcience dépendante de l’aftro-nomie & de la géométrie. Envifagée de cette maniéré, on l’appelle \e Pilotage, qui eft l’art de déterminer la route qu’on doit tenir pour aller d’un lieu dans un autre ; de reconnoître à chaque moment le lieu du globe auquel on eft parvenu ; &c. Sous l’autre afpeâ, c’eft un art fondé fur la mécanique & la connoilfance des puiffances motrices du vaiffeau : on l’appelle alors la Manœuvre, qui en-feigne à donner à cette lourde maffe qui fend les flots , la direction convenable, au moyen des voiles & du gouvernail. Nous allons préfenter ici ce que chacune de ces parties de la navigation offre de plus piquant pour la curiofité.
    • PROBLÈME F.
    • De la ligne courbe que décrit un vaiffeau fur la furface. de la mer, en fuivant un même rhumb de la boujfole,
    • 11 eft néceflaire , lorfqu’on eft fur le point de mettre à la voile, d’orienter fa route , c’efléSt-dire de déterminer la direftion que l’on doit tenir pour arriver le plus promptement & le plus sûrement au lieu où l’on veut aller ; & lorfqu’on a une fois déterminé cette direâion, ou l’angle qu’elle fait
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    • Navigation. 30$
    • avec le méridien , on la fuit tant que des circonstances particulières ne s’y oppofent pas. En fe dirigeant ainfi continuellement pendant plufieurs jours fur le même rhumb de la bouffole, on décrit une ligne qui fait conftamment avec les méridiens un même angle : c’eft-là ce que l’on nomme une loxodromie (ou courfe oblique), & il en réfuite fur la furface du globe une courbe particulière , dont la nature & les propriétés ont excité l’attention des mathématiciens. C’eft d’après elles qu’ils ont donné les réglés pratiques de la navigation ; & comme ces propriétés font affez remarquables , il nous a paru à propos de les développer ici.
    • Nous préfumons , au refte, que notre lecteur fçait ce que c’eft qu’une bouffole, un rhumb de vent, &c., enfin ces premiers éléments de la navigation ; car il ne nous feroit pas poffible d’entrer ici dans ces détails abfolument élémentaires.
    • Suppofons donc maintenant que le feéleur AÇB PI. représente une portion de la furface fphérique de %• la terre, dont\C eft le pôle & AB l’équateur, ou feulement l’are d’un parallèle compris entre deux méridiens , comme ÂC, BC ; que CD, CE, CF, repréfentent autant d’arcs du méridien, très-voi-iins l’un de l’autre.
    • Qu’un vaiffeau parte du point A de l’arc AB, dont le méridien eft AC , en faifant avec ce méridien un angle CAH moindre qu’un droit, par exemple de 60 degrés ; il décrira un chemin AH, au moyen duquel il changera continuellement de méridien : qu’après cette courfe AH, il foit arrivé en H fous le méridien AD, & qu’il continue de fe diriger en faifant l’angle CHl égal au premier,
    • & ainfi de fuite ; la dire&ion de fa route, étant
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    • 3Ô4 Récréations Mathématiques.
    • conftamment inclinée de 60 degrés au méridien, il eft aifé de voir que la ligne AHIK ne fera point un arc de grand cercle fur la furface de la fphere. Car on démontre dans les fphériques, que fi AHK étoit un pareil cercle, l’angle CH 1 feroit plus grand que CAH , & CIK plus grand que CHI. Il en feroit de même fi la courbe AHIK étoit un arc d’un petit cercle de la fphere ; d’où il eft aifé de conclure que la courbe que décrit un navire, en fe dirigeant toujours fuivantun même rhumb, eft iine courbe particulière qui va toujours en s’approchant du pôle.
    • Remarques.
    • I. Il eft vifible que -fi l’angle loxodromique eft nul, c’eft-à-dire fi le vaifleau cingle nord ou fud, la ligne loxodromique eft un arc du méridien.
    • Mais fi cet angle eft droit, & que le vaifleau foit fous l’équateur, il décrira un arc de l’équateur. Enfin, s’il eft hors de l’équateur, il décrira un parallèle.
    • II. Si l’on divife la ligne loxodromique AKL en plufieurs parties égales, fi petites qu’elles puif-fent pafler pour des lignes droites, ôt que, par les points de divifion H, I, K, &c. on fafle pafler autant de parallèles ou cercles de latitude, tous ces cercles feront égaux & également éloignés en-tr’eux , enforte que, faifant pafler des arcs de méridiens par les mêmes points, les portions de ces méridiens, comme DH, MI, NK, ôte. feront égales entr’elies, aufli bien que les arcs correfpon-dants AD , HM, IN, &c. Toutefois cette égalité ne fera pas en degrés , mais en lieues ; ce qui eift facile à démontrer: car les triangles ADH, HMI, IN K-, &c. font évidemment femblables ; ainfi
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    • Navigation* 305
    • les hypothénufes AH, HI, IK , &c. étant égales en longueur , les autres côtés des mêmes triangles feront aulîi égaux refpe&ivement. D’un autre côté il eft vifible que fi AD , qui eft partie d’un pi. plus grand cercle , eft égale en longueur ou enfig. 1. lieues à HM , qui eft partie d’un plus petit cercle , cette derniere doit contenir un plus grand nombre de minutes ou de degrés que la première,
    • III. Quand on a parcouru une portion de loxodromie très-petite, comme AH, en fuivant un même rhumb, Sc qu’étant arrivé en H on con-noît, par l’obfervation , la différence de latitude ou Parc DH, il eft aifé de connoître le chemin AH, puifque DH eft à AH, comme le finus de l’angle HAD connu eft au finus total. Que l’angle CAH foit, par exemple, de 60 degrés, & pat conféquent HAD de 30 degrés ; que DH foit égal à un demi-degré ou 10 lieues marines: le chemin AH fera de 10 lieues marines , car le finus de 30 degrés eft précifément la moitié du rayon.
    • IV. On connoîtra vice versa la différence de latitude, fi l’on connoît le chemin parcouru, & le rhumb fous lequel il a été parcouru.
    • V. L’angle de la loxodromie CAH ou HAD étant connu, ainfi que la différence de latitude DH, on connoîtra la valeur de l’arc AD ; car DH eft à AD, comme le finus de l’angle HAD eft à foh co-finus. Or , connoiffant la longueur ou le nombre des lieues d’un arc d’un parallèle , on connoît combien de degrés & minutes contient cet arc.
    • Ainfi l’on a par ce moyen le changement en longitude opéré pendant que le vaifleau parcourt le petit arc de loxodromie AH; & faifant la même opération fur les autres petits arcs HM , IN, &c.
    • Tome ///, V
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    • joS Récréations Mathématiques.
    • PL i, on aura le changement total de longitude , pefi-
    • fig. i. dant que le vaifleau aura parcouru l’arc loxodro-mique quelconque AK.
    • La difficulté de cette opération vient de ce que tous les arcs AD , HM, IN , &c. quoique égaux en longueur, font des arcs difîemblables. Mais les géomètres ont trouvé les moyens d’éviter ces calculs par des tables ingénieufes ou d’autres opérations , & dont l’explication ne peut trouver place
    • VI. Cette ligne courbe a une propriété fort finguliere ; c’eft qu’elle s’approche fans cefle du pôle fans y arriver jamais. Cela fuit évidemment de fa nature; car , en fuppofant qu’elle arrivât au pôle, elle couperoit tous les méridiens dans ce même point : donc, puifqu’elle coupe chaque méridien fous le même angle , elle les couperoit tous au pôle fous la même inclinaifon ; ce qui eft abfurde , puifqu’ils font tous inclinés dans ce point les uns aux autres. Elle s’approchera donc de plus en plus du pôle , & en faifant autour de lui une infinité de circonvolutions, fans cependant jamais l’atteindre. Ainfi , dans la rigueur mathématique , un vaifleau qui iuivroit continuellement un même rhumb de vent, autre que celui de nord ou fud, ou eft & oueft, s’approcheroit fans cefle du pôle, mais n’y arriveroit jamais.
    • VIL Quoique la loxodromie, lorfqu’elle fait un angle aigu avec les méridiens, doive*faire une infinité de circonvolutions autour du pôle avant de l’atteindre, fa longueur eft néanmoins finie ; car on démontre que la longueur de la loxodromie , comme. AKL, eft à la longueur de l’arc du méridien qui indique le changement de latitude ,
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    • comme le finus total au co-finus, ou finus de complément , de l’angle fait par la loxodromie avec le méridien : conféquemment, vice, versa, le changement de latitude eft au chemin parcouru loxo-dromiquement, comme le co-finus de l’angle ci-deflus au finus total.
    • La remarque précédente eft principalement pour les géomètres, & préfente une efpece de paradoxe qui étonnera ceux à qui ces fortes de vérités ne font pas familières : on ne peut cependant pas en douter, fi l’on a conçu les démonstrations qui ont précédé. Ainfi , pour fixer nos idées, fuppofons une loxodromie inclinée de 60 degrés au méridien , avec fes circonvolutions infinies autour du pôle, & qu’on faffe ; comme le co-finus de 60 degrés ou le fînus de 30 degrés eft au finus total, ainfi le changement de 90 degrés en latitude à un quatrième terme : ce fera la longueur abfolue de cette loxodromie. Or le finus de 30 degrés eft la moitié du finus total; d’où il fuit que le quart de cercle eft la moitié de la loxodromie fufdite, ou bien qu’elle eft égale précisément à un demi-cercle de la fphere, malgré le nombre infini de fes circonvolutions.
    • PROBLÈME IL
    • Comment un vaij/eau peut alUr contre le vent.
    • C E qu’on propofe ici eft un paradoxe pour ceux qui ignorent les principes de la mécanique. Rien n’eft pourtant plus ordinaire dans la navigation ; & c’eft ce qu’on pratique toutes les fois qu’on va, en terme de mer, au plus près du vent, ou en louvoyant. Nous allons faire Sentir comment cela
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    • 308 Récréations Mathématiques.
    • fe peut faire ; en obfervant néanmoins que, quand nous difons qu’un vaiffeau peut aller contre le vent, nous n’entendons pas qu’il puiffe aller directement dans la même ligne fuivant laquelle le vent fouffle, mais feulement faifant un angle aigu avec cette ligne ; ce qui fuffit pour remonter contre fon origine, en faifant plufieurs bordées.
    • PI. i, Soit un vaiffeau dont la quille foit AB, une des
    • 6g. 2. voiles CD , orientée de maniéré à faire avec la quille l’angle BED de 40 degrés ; que la direction du vent foit EF, faifant avec cette même quille l’angle BEF, de 60 degrés, par exemple : il eft vi-fible que l’angle DEF fera de 20 degrés. Ainfi la voile fera choquée par un vent tombant fur elle fous un angle de 20 degrés. Mais , félon les principes de la mécanique , le choc d’un corps tombant obliquement fur une furface, s’exerce dans le fens perpendiculaire à cette furface. Ainfi, tirant EG perpendiculaire à CD , l’effort du vent s’exercera fuivant la direction EG.
    • Si donc le vaiffeau étoit rond, il marcheroit fuivant cette direction ; mais, comme fa longueur fait qu’il a beaucoup plus de facilité à marcher fuivant la direction de fa quille EH que fuivant toute autre qui lui eft inclinée, il prendra une direction EK, moyenne entre EG & EH, mais beaucoup plus voifine de EH que de EG, à peu près en raifon des facilités qu’il auroit à fe mouvoir fuivant EH 8c EG. Ainfi l’angle KEF de la route du vaiffeau avec la direction du Vent, peut faire avec cette direction un angle aigu. Que l’angle KEHfoit, par exemple, de 10 degrés, l’angle KEF fera de 70 degrés j : ainfi le vaiffeau remontera contre la direction du vent de près de deux ihumbs entiers. Or l’expérience apprend qu’on
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    • Navigation. 30$
    • peut faire décrire au vaifleau une ligne encore plus approchante de la direction du vent, d’environ un rhumb entier ; car on tient que, pour un vaifleau fin de voiles, des 32 airs de vent que comprend la bouflole, il y en a 22 qui peuvent fervir à aller dans le même lieu.
    • Il eft vrai que plus un vaifleau ferre le vent, ou , pour nous énoncer en termes vulgaires , plus l’angle d’incidence du vent fur la voile eft aigu, moins il y a de force employée à pouffer le vaifleau ; mais cela eft compenfé par la quantité de la voilure qu’on peut mettre dehors : car, dans cette fituation, aucune des voiles ne nuit à l’autre, & un vaifleau peut porter abfolument toutes fes voiles. Ainfi ce qu’on perd par le peu de force employée fur chacune, on le regagne par la quantité de la furface expofée au vent.
    • Il eft aifé de fentir combien cette propriété de Pî. ï* nos vaiffeaux eft avantageufe pour la navigation ; % 3» car, quel que foit le vent, on peut s’en fervir pour arriver à un lieu déterminé, quand même le vent viendroit dire&ement de ce côté* Car, fuppofons que la route à faire fut de E en F, Sc que le vent foufflât dans la dire&ion FS, on ferrera le vent d’aufli près qu’on pourra pour décrire la ligne EG, faifant avec FE l’angle aigu FEG,
    • Après avoir couru pendant quelque temps fuivant EG, on revirera de bord pour parcourir GH , & enfuite HI, puis IK,&c: ainfi l’on s’approchera toujours du terme de fa route.
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    • 3io Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME III.
    • Ve la force du gouvernail, & de la maniéré dont il agit.
    • C E n’eft pas un médiocre fujet d’étonnement, que la force qu’a le gouvernail d’un vaiffeau pour lui imprimer tous les mouvements qu’on délire , fur-tout li on confidere le peu d’aâion des énormes gouvernails dont font garnis les bateaux qui navigent fur nos rivières. Nous allons tâcher d’en développer la caufe , & de la rendre fenlible.
    • Le gouvernail d’un bateau ou d’un vaiffeau n’a d’aclion qu’autant qu’il eft choqué par l’eau. C’eft la force réfultante de ce choc qui, étant appliquée tranfverfalement à la poupe, tend à faire tourner le vaiffeau autour d’un point de fa maffe, qu’on appelle centre fpontanée de rotation. La proue du vaiffeau décrit à l’entour de ce point un arc de cercle, dans un fens oppofé à celui que décrit la poupe ; d’où il fuit que la proue du vaiffeau tourne du côté vers lequel l’on tourne le gouvernail, conféquemment du côté oppofé à celui vers lequel on porte la barre avec laquelle le gouvernail eft mis en mouvement. Ainfi, lorf-qu’on pouffe la barre à ftribord, le vaiffeau tourne à bâbord ; & au contraire.
    • Il faut donc une force, & même d’une certaine intenfîté , appliquée au gouvernail, pour faire tourner le vaiffeau. Auffi la conftruéfion du vaiffeau eft-elle difpofée de maniéré à augmenter cette force autant qu’il eft poffible ; car, à la différence des bateaux qui flottent fur les rivières, & dont l’arriéré eft ordinairement plat, & mafque, pour
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    • ainfi dire , le gouvernail, enforte que l’eau , coulant le long des flancs, peut à peine le toucher, l’arriere d’un bâtiment deftiné à la mer eft aminci & pincé, de maniéré que l’eau qui coule le long de Tes flancs , doit néceiïairement couler aufli le long du gouvernail, le choquer, pour peu qu’il quitte la direction de la quille. Tâchons maintenant d’eftimer à peu près la force réfultante de ce choc.
    • Un bâtiment de 900 tonneaux prend ordinairement, étant chargé , 13 à 14 pieds d’eau, Sc fon gouvernail a environ 2 pieds de largeur. Supposons à préfent qu’il fe meuve avec la viteffe de deux lieues marines par heure, ce qui fait 100 toifes par minute, ou 10 pieds par fécondé; que le gouvernail foit tourné de maniéré qu’il faffe avec la quille prolongée un angle de 30 degrés : l’eau coulant le long des flancs, le choquera fous ce même angle de 30 degrés. La partie du gouvernail plongée fous l’eau, ayant 14 pieds de hauteur & 2 de largeur, ce fera une furface de 28 pieds carrés, choquée fous un angle de 30 degrés, par une eau coulant avec une vitefle de 10 pieds par fécondé. Or l’aétion d’un pareil courant, qui cho-queroit perpendiculairement une femblable fur-face, feroit de 3370 livres; ce qui doit être réduit en raifon du carré du Anus d’incidence a celui du finus total, ou en raifon de - à 1, puiique le linus de 3.0 degrés eft j, le rayon étant t. Ainfi cet effort fera de 842 livres. Telle eft la force exercée perpendiculairement à la furface du gouvernail; & , pour fçavoir la portion de cette force: qui agit perpendiculairement à la quille & qui fait tourner le vaiffeau, il n’y a qu’à multiplier l’effort précédent par le co-finus de l’angle d’inclinaifon
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    • 3ii Récréations Mathématiques. du gouvernail à la quille, qui eft ici \/\, ou o.$66 cela donnera 708 livres.
    • Mais il y a une caufe qui rend cet effort plus confidérable ; c’eft que l’eau qui coule le long des flancs du navire, ne fe meut pas parallèlement à la quille , mais à peu près parallèlement aux flancs eux-mêmes , qui vont fe terminer angulairement à Pétambot, ou la piece de Parriere qui porte les gonds du gouvernail ; enforte que cette eau fe porte plus directement fur le gouvernail même d’un angle de 30 degrés environ: ainfî, dans le cas ci-deffus, l’angle fous lequel Peau choquera le gouvernail, fera à peu près de 60 degrés. Faisons donc cette proportion ; comme le carré du finus total eft au carré du finus de 60 degrés , ou comme 1 à ainfi 3370 font à ^^7, dont il réfulte pour la force agiffante dans le fëns perpendiculaire à la quille, celle de 2127 livres.
    • Cet effort paroîtra fans doute encore bien peu confidérable pour l’effet qu’il produit, qui eft de faire tourner une maffe de 1800 milliers ; mais il faut faire attention que cet effort eft appliqué extrêmement loin du point de rotation & du centre de gravité du vaiffeau : car ce centre dans un vaiffeau eft un peu au-delà de fon milieu & vers la proue, parceque la partie antérieure eft renflée , tandis que la, partie poftérieure eft pincée dans fes œuvres vives, pour ne pas nuire au gouvernail. D’un autre côté, on fait voir que ce qu’on appelle le centre fpontanée de rotation, le point autour duquel il tourne, eft encore un peu au-delà du cote de la proue ; d’où il fuit que l’effort applique a l’extrémité de la quille vers la poupe, » P°ur déplacer le centre de gravité du vaiffeau , par un bras de levier douze ou quinze fois
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    • plus long que celui par lequel agit ce centre de gravité où le poids du navire eft cenfé réuni. Enfin il n’y a nulle comparaifon de l’aâion qu’exerce ce poids nageant dans l’eau, avec celle qu’il exercerait s’il étoit queftion de le foulever feulement d’une ligne. Il n’eft donc plus furprenant qu’un poids de deux milliers, appliqué avec cet avantage , faffe rouler le centre de gravité du vaiffeau autour de fon centre de rotation.
    • Si le vaiffeau , au lieu de faire deux lieues par heure, en faifoit trois, la force appliquée au gouvernail ferait à la première, dans le rapport de 9 à 4 ; & conféquemment, dans notre fuppofition de pofition du gouvernail, elle ferait de 4725 livres. Si le vaiffeau avoit une viteffe de 4 lieues par heure , cette force équivaudroit, dans la même pofition du gouvernail, à 8400 livres.
    • On voit par-là pourquoi, quand un vaiffeau marche rapidement, il eft fort fenfible à l’aêtion du gouvernail ; car, avec une viteffe double, cette aftion quadruple ; elle fuit enfin la raifon doublée de la viteffe.
    • PROBLÈME IV.
    • Quel angle le gouvernail doit-il faire pour tourner le vaiffeau avec le plus de force ?
    • SI l’eau fe mouvoit parallèlement à la quille en choquant le gouvernail , on trouverait que cet angle devrait être de 54 degrés 44 minutes ; mais, comme nous l’avons obiervé plus haut, la direction de l’eau fe porte angulairement vers la direction de la quille prolongée , ce qui rend le problème plus difficile. En fuppofant que cet angle foit de 15 degrés, ce que M. Bouguer regarde comme
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    • 314 Récréations Mathématiques. approchant de la vérité, on trouve que l’angle en queftion doit être de 46 degrés 40 minutes.
    • Les vaiffeaux ne profitent pas de la totalité de cette force , car la longueur de la barre du gouvernail ne lui permet guere de faire avec la quille un angle de plus de 30 degrés.
    • PROBLÈME V.
    • Un vaiffeau peut-il avoir une viteffe égale à celle
    • du vent , ou plus grande ?
    • Cela ne fçauroit arriver dans une courfe di-re&e ou vent arriéré; car, indépendamment de ce qu’alors une partie des voiles nuit à l’autre, il eft évident que fi le vaifTeau avoit, par quelque moyen que ce fût, acquis une viteffe égale à celle du vent, il n’en recevroit plus aucune impulfion : fa viteffe commenceroit donc à fe ralentir, par un effet de la réfiftance de l’eau, jufqu’à ce que le vent fît fur la voile une impreflion égale à celle de cette réfiftance ; & alors il continueroit à fe mouvoir uniformément, fans aucune accélération.
    • Mais il n’en eft pas ainfi d’une courfe oblique à la dire&ion du vent : quelle que foit fa viteffe la voile reçoit fans ceffe du vent une impulfion qui approche toujours d’autant plus de l’égalité , que la courfe approche plus de la perpendiculaire à la dire&ion du vent : ainfi , quelque vite que marche le vaiffeau , il peut recevoir , fans ceffe , du vent une nouvelle follicitation au mouvement; ce qui eft capable de porter fa viteffe à un degré même fupérieur à celui du vent.
    • Mais il faut, pour cela, que le vaiffeau foit tel que , dans une courfe dire&e, il put, avec la
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    • Navigation. 315
    • même voilure , prendre une vitefTe égale aux -~ ou aux j de celle du vent. Cela ne feroit pas im-poffible, fi toutes les voües qu’un vaiffeau peut mettre au vent dans une courfe oblique, étoient expofées en une feule dans la courfe dire&e. Cela donc fuppofé, M. Bouguer fait voir que ce même vaiffeau, orientant fes voiles de maniéré à faire un angle de 15 degrés environ avec la quille, & y recevant le vent dans la direction perpendiculaire, le vaiffeau recevra fans ceffe une nouvelle accélération dans le fens de la quille, jufqu’à ce que fa viteffe foit fupérieure à celle du vent, &c dans le rapport d’environ 4 à 3.
    • Il eft vrai que , dans l’état aftuel de la mâture des vaiffeaux , il n’eft pas poffible que les vergues faffent avec la quille un angle au deffous de 40 degrés; mais il y a des marins qui prétendent qu’au moyen de quelque changement, on pourroit amener cet angle à 30 degrés. Dans ce cas, & en fuppofant que le vaiffeau pût prendre dans la ligne direfte une viteffe égale aux \ de celle du vent, celle qu’il prendroit, en recevant dans fes voiles le vent à angles droits , pourroit aller jufqu’à 1.034 de la viteffe du vent ; ce qui eft un peu plus que l’unité , Sc conféquemment un peu plus que cette viteffe même.
    • En faifant la même fuppofition de viteffe poifi-ble dans la courfe direéte , & la voile faifant avec la quille un angle de 40 degrés, on trouvera que la viteffe que prendroit le vaiffeau dans la courfe oblique, feroit, à peu de chofe près , les ££ de la viteffe du vent.
    • Cela feroit du moins fi , dans cette pofition des voiles à l’égard du vent, elles ne fe nuifoient pas un peu les unes aux autres. Ainfi 9 toutes ces
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    • 3i 6 Récréations Mathématiques.
    • circonftances combinées, il paraît que, quoique mathématiquement parlant, il foit poflible qu’un vaiffeau aille aulli vite ou même .plus vite que le vent, cela ne peut que très-difficilement avoir lieu dans la pratique.
    • PROBLÈME VI.
    • Le vent foufflant félon une direction donnée, & te vaiffeau devant aller félon une route déterminée , quelle ejl la pofition de la voile qui fera la plut avantageufe pour fa marche ?
    • Supposons que le vent fouffiedu nord, & que le vaiffeau doive faire route à l’oueft. Si le vaiffeau , ayant le cap à ce point, avoit fes vergues parallèles à la quille, fa marche ferait zéro , puifqu’il ne recevroit d’impulfîon que perpendiculairement à la quille. Si, au contraire, les vergues étoient perpendiculaires à la quille, les voiles ne recevant point de vent, le vaiffeau ne marcherait point. Ainlî, depuis la première pofition jufqu’à la derniere , l’impulfion dans le fens de la quille, & conféquemment la viteffe, va d’abord en croiffant, puis en diminuant : il eft donc une pofition où cette impulfiori eft la plus forte , & où le vaiffeau marchera le mieux. C’eft ce qu’il eft queftion de trouver.
    • Les géomètres ont réfolu ce problème ; & on trouve que, pour déterminer cet angle, il faut partager celui du vent & de la route propofée, enforte que la tangente de l’angle ( apparent ) du vent avec la vergue, foit double de celui de la vergue avec la route ou avec la quille. Ainfi, dans ce cas, il faudrait commencer par orienter fa voile
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    • Navigation. 317
    • de maniéré qu’elle fît avec la quille un angle de 35 degrés 16 minutes , 6c conféquemment avec le vent de 54 degrés 44 minutes.
    • Nous difons dans le commencement; car, auffi-tôt que le vaifleau aura pris de l’erre , cet angle ceflera d’être le plus favorable, 6c le fera d’autant moins que la vitefle s’accélérera, comme cela doit arriver , jufqu’à ce que l’impulfion du vent foit en équilibre avec la rélîftance éprouvée par le vaiffeau à fendre l’eau : mais , à mefare que la vitelTe s’accélère , le vent frappe plus obliquement la voile, 6c perd de fa force ; c’efl: pourquoi il fau-droit orienter la voile de telle maniéré, qu’elle fît avec la quille un angle de plus en plus aigu , 6c l’on pourroit réduire cet angle jufqu’à 30 degrés 6c moins, enforte que le vent fît avec la voile un angle de 60 degrés 6c plus.
    • On a fait abftraélion de la dérive; mais fi on y vouloir avoir égard , en fuppofant qu’elle fût, par exemple, dans le cas propofé , d’un rhumb de vent, il faudroit, pour y avoir égard , mettre le cap d’un rhumb plus au vent : ainfi l’angle du vent avec la route , feroit de 78 à 79 degrés ; 6c l’on trouveroit qu’au commencement de la marche , l’angle du vent avec la voile devroit être de 48° 45', 6c celui de la vergue avec là quille, de 290 45', qu’il faudroit peu à peu réduire à 24 ou 25 degrés: tenant alors le rhumb oueft-nord-oueft un quart à l’oueft, on fuivroit réellement l’oueft avec la plus grande vitefle poflible, ou à peu près*; 6c comme, dans les environs des points de maximum, l’accroiflement progreflif eft infen-flble , on aura toujours cette plus grande vitefle à peu de chofe près, quand même les angles ci-def-fus ne feroient pas bien exa&s.
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    • 318 Récréations Mathématiques. PROBLÈME VII.
    • Comment faudroit-il faire four fe diriger d’un lieu
    • à Vautre fur la mer,par le chemin le plus court ?
    • L a ligne loxodromique, fuivant laquelle on a coutume de fe,diriger fur la mer, n’étant pas le chemin le plus court d’un lieu à l’autre, il eft naturel de demander s’il n’y auroit pas moyen de fuivre le chemin le plus court ; car, toutes chofes d’ailleurs égales, il eft évident que, faifant moins de chemin, la navigation feroit plutôt terminée.
    • Il n’y a nul doute que cela ne Toit poffible. Nous allons donner le moyen de le faire, & nous examinerons en même temps quel avantage il peut y avoir.
    • Tout le monde fçait que le plus court chemin d’un lieu à l’autre fur la furface de la terre, eft l’arc de cercle mené de l’un à l’autre. Il n’eft donc queftion que de fe maintenir continuellement fur cet arc de grand cercle, ou du moins de s’en écarter très-peu.
    • Suppofons donc un vaiffeau faifant voile de Breft pour Cayenne. On trouve, par le calcul trigonométrique, que l’arc de grand cercle tiré de Breft à Cayenne , fait à Breft , avec le méridien , un angle de 58 degrés 45 minutes , & à Cayenne de 34 degrés 45 minutes, tandis que celui de la ligne loxodromique avec le méridien , fe trouve à Breft de 43 degrés 20 minutes. Ainfi l’angle de partance avec le méridien, devroit être de 58 degrés 45 minutes.
    • Mais, pour fe maintenir fur cet arc de cercle , il faudroit changer d’angle à chaque jour, & meme, en toute rigueur, à chaque heure & à
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    • Navigation. 319
    • chaque moment ; car autrement on décriroit de petites loxodromies & non un arc de cercle. Pour effectuer ce changement, on pourroit s’y prendre de la maniéré fuivante , qui,fi elle n’eft pas parfaitement exaéle , approche allez de la vérité.
    • L’angle, à Cayenne, étant de 34 degrés 45 minutes, on voit que , depuis le moment du départ jufqu’à celui de l’arrivée, il faudroit que l’angle du rhumb diminuât graduellement depuis 58 degrés 45 minutes, jufqu’à 34 degrés 45 minutes. La différence eft de 24 degrés. Divifons-la en 10 portions égales, qui font chacune de 2 degrés 24 minutes: il faudroit donc que, toutes les fois qu’on auroit gagné un 10e de la longitude, ou 4 degrés j, ou 95 lieues vers l’oueft, on plongeât davantage au fud de 2 degrés 24 minutes : on le maintiendroit par ce moyen affez fenfiblement fur l’arc de grand cercle ayant de Breft à Cayenne.
    • On pourroit déterminer plus exaélement ces angles au moyen de la trigonométrie, fqavoir, en tirant de 4 en 4 degrés de longitude un méridien , & réfolvant fucceflivement les triangles fphériques qui en réfulteroient ; mais nous convenons n’avoir ofé entreprendre un calcul auffi inutile.
    • Car, fi nous.examinons quel avantage réfulte-roit de ce procédé, nous trouverons qu’il eft in-fenfible. En effet on trouve que la diftance de Breft à Cayenne, mefurée fur le grand cercle mené de l’un à l’autre, eft de 1186 lieues ; & fi on le ine-fure fur la loxodromie tirée de l’un à l’autre, cette diftance fe trouvera de 1221 lieues. Il ne vaut donc pas la peine de courir par le plus court chemin pour épargner une trentaine de lieues, d’autant même que, fur la- mer, il eft moins queftion
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    • 310 Récréations Mathématiques.
    • de fuivre le chemin le plus court , que de tirer parti du . vent tel qu’il fe trouve, pour avancer vers le terme de Ton voyage.
    • PROBLÈME VIII.
    • Quelle ejl la forme la plus avantdgeüfè à donner à la proue d'un vaiffeau , foie pour aller vite , foie pour bien gouverner ?
    • S i l’on n’avoit qu’un de ces objets à remplir par exemple celui de fendre l’eau avec le plus de facilité, le problème feroit facile à réfoudre. Plus le vaiffeau feroit aigu par la proue, plus il fen-droit l’eau avec facilité, & conféquemment plus il feroit propre à fe mouvoir rapidement.
    • Mais il eft un objet bien plus important encore que celui de la viteffe , c’eft celui de bien gouverner. Sans cela un vaiffeau, femblable à un cheval infenlîble au mords, rendroit inutile tout l’art du pilote. Or l’expérience & la raifon démontrent également que, pour bien gouverner, il faut que le vaiffeau foit effilé vers la proue, dans la partie qui plonge dans l’eau, afin que l’eau, qui coule le long de fes flancs, frappe plus facilement le gouvernail. 11 gouvernera d’ailleurs d’autant mieux, que le centre de gravité du vaiffeau fera plus éloigné de la poupe : ainfi, par cette raifon, il faut mettre du côté de la proue le côté le plus obtus & le plus renflé du vaiffeau. C’eft auffi ce qui a lieu dans tous les bâtiments de mer.
    • La nature femble, à cet égard , avoir mis les hommes fur la voie pat la forme des poiffons ; car il eft aifé d’obferver que la partie la plus renflée eft du côté de la tête 3 qui eft même ordinairement , affez
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    • Navigation. 311
    • aflez obtufe. Ils avoient, comme nos vaifléaux, beaucoup plus befoin de fe diriger avec aifance que d’aller fort vite. Le meilleur -vaifleau feroit peut-être celui qui feroit formé d’après les dimen-fions précifes d’un poiflon voyageur, comme le faumon, qui paroît réunir mieux qu’aucun autre les deux qualités (Palier vite & de bien gouverner.
    • M. Camus , gentilhomme Lorrain , rapporte dans fa Mécanique, des expériences par lefquelles il tente d’établir qu’un modèle de vaifleau , marchant le gros bout le premier, va plus vite que fendant l’eau de l’autre bout plus aigu : il tâche même d’en donner des raifons qui font certainement mauvaifes. Ces expériences font abfolument contradictoires à toute bonne théorie ; & fi les vaifleaux ont cette forme, ce n’efl: pas pour qu’ils aillent plus vite , mais c’eft qu’on a fenti la nécef-fité de facrifier l’avantage de la vitefle à celui de bien gouverner.
    • PROBLÈME IX.
    • Quel ejl le plus court chemin pour atteindre un vaijfeau auquel on donne chajje , & qu’on a fous lèvent?
    • LoRSQU’ON rencontre un vaifleau en mer , & qu’on veut l’atteindre, on fe tromperoit beaucoup fi l’on dirigeoit la proue fur lui; car, à moins qu’il ne courût précifément le même air de vent, il arriveroit de deux chofes l’une, ou qu’on feroit obligé à chaque inftant de changer de direétion dans fa courfe, ou que l’on perdroit l’avantage du vent en tombant au deflous.
    • En effet, qu’un mobile A fe meuve dans une Tome III, X
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    • 3zi Récréations Mathématiques.
    • Pl.i, ligne abcd, & qu’il fût queftion de'ie faire at-
    • %. 4. teindre par un autre mobile A, il ne fàudroit pas imprimer à A une direction telle que A a, car, dans peu d’inftants, a aura avancé fur la ligne qu’il parcourt, & fera, par exemple, en b. Ainfi, en fuppofant que le mobile A changeât continuellement de direction en fe dirigeant fur celui qu’il pourfuit, il décrirait une courbe telle que ABC DE. Il atteindroit à la vérité enfin le mobile a s’il alîôit plus vite, mais ce ne feroit pas par le plus court chemin. Que s’il ne changeoit pas de direction à chaque moment, il arriveroit fur la ligne ad, à un point où le mobile ne feroit déjà plus, & il la dépafleroit, à moins qu’il ne fe mît à le pourfuivre fuivant la ligne ad, ce qui lui feroit perdre encore plus de temps.
    • Fie ç Pour faire donc enforte que le mobile A attei-5’gne le mobile a le plutôt poffible, il faut que A fe dirige fur un point de la ligne ae, tel que AE & ae foient entr’eux dans le rapport de leurs viteffes refpe&ives. Or ces lignes feront dans ce rapport, fi à chaque inftant le mobile A a dans fa courfe celui qu’il pourfuit femblablement fîtué dans une direftion parallèle à la direftion A a; fi, par exemple, A a étant dirigé au fud , le mobile a, parvenu en b, eft au fud du mobile A parvenu en B ; car il eft évident que les lignes AE , ae, feront dès-lors proportionnelles aux vi-tefles des deux mobiles, & qu’ils arriveront à*la-fois en E ou e.
    • La pratique & le raifonnement ont fort bien fait fentir cela aux marins ; car qu’un vaiflèau en A apperçoive un autre vaiflèau en a, dont il fera aifé de reconnoître à peu près la route de : au lieu <ie fe diriger ou mettre le cap fur a, on prendra
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    • Navigation. jtj
    • une route comme AB , portant en avant de a; en même temps on releve avec la bouflole l’air de vent A a, auquel on a le vaifleau a ; puis, après avoir couru quelque temps, par exemple jufques en B , tandis que a eft arrivé en b, on releve de nouveau avec la bouffole l’air de vent B b, auquel on a le vaifleau pourfuivi. S’il eft le môme , c’eft un ligne qu’on fait bonne route ; car A a St B b font parallèles. Si le vaifleau pourfuivi refte un peu de l’arriere , c’eft ligne qu’on peut le poursuivre par une ligne faifant avec fa dire&ion un angle moins aigu. Enfin, s’il a gagné de l’avant, cela indique qu’il faut prendre pour l’atteindre une ligne plus inclinée ; & fi la ligne eft aufli inclinée qu’elle peut être, & approche du parallé-iifme, on en doit conclure que le vaifleau pourfuivi eft meilleur voilier, 8c qu’on doit renoncer à l’atteindre.
    • Tout çeci fuppofe qu’on a l’avantage ou le deflus du vent, car fi l’on étoit au déficits, la manœuvre feroit fort différente, à moins qu’on n’eût un grand avantage à pincer le vent. Mais ce n’eft pas ici le lieu de détailler ces manœuvres du plus ingénieux de tous les arts.
    • PROBLÈME X.
    • De la détermination des longitudes en mer.
    • L A détermination des longitudes en mer p’a guere moins exercé les mathématiciens, que le mouvement perpétuel, la quadrature du cercle -, 8c la duplication du cube , mais avec bien plus. de raifon ; car on ne retirerait pas de grandes utilités de la folution des deux derniers; au lieu que de celle du problème des longitudes réfulteroient de
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    • 314 Récréations Mathématiques.
    • grands avantages pour la navigation. On pour-roit toujours , dès qu’on auroit l’infpeâion du ciel , déterminer le lieu de la terre où l’on fe trouve , en obfervant la longitude & la latitude ; au lieu que , dans l’état a&uel de la navigation , on ne peut qu’eftimer la longitude fort vaguement , Sc rien n’eft plus ordinaire dans de longues traverfées de l’eft à l’oueft, ou au contraire , de commettre fur là longitude des erreurs de cent lieues & plus : auffi le Parlement d’Angleterre a-t-il propofé, il y a plus de 60 ans, un prix de 20000 livres fterlings à celui qui démontreroit un moyen sûr, & praticable pour le vulgaire des navigateurs, de déterminer la longitude en mer.
    • Le problème des longitudes fe réduit à déterminer la différence d’heure que l’on compte dans le vaiffeau, avec celle qu’on compte dans un lieu déterminé, tel que le port dont on eft parti, & dont la longitude eft connue. On détermine toujours avec aflfez de facilité quelle heure on a dans le vaiffeau , pourvu qu’on ait pu obferverle midi & la latitude ; car , au moyen des inftruments qu’on emploie aujourd’hui en mer, on eft affûté , à environ 2 minutes près, du moment du midi. On peut auffi, connoiffant la latitude fous laquelle fe trouve le vaiffeau , & la déclinaifon du foleil, déterminer l’heure par le coucher du foleil. On peut voir ces pratiques dans les bons livres de navigation.
    • Mais pour trouver quelle eft en même temps l’heure du port dont on eft parti, c’eft-là la difficulté. 11 y a néanmoins deux moyens qu’on s’eft attaché à rendre praticables . & sûrs ; l’un eft dépendant de la mécanique, l’autre purement aftro-iromique.
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    • Navigation; 315
    • Si les inftruments à mefurer le temps confer-voient fur la mer la régularité du mouvement qu’on eft parvenu à leur donner fur la terre, il feroit aifé de connoître à chaque inftant dans un vaifleau l’heure qu’il eft dans un port déterminé. Un vaifleau partant de Breft, par exemple , met-troit bien exa&ement l’horloge deftinée à cet ufage fur l’heure de ce lieu : cette horloge, montée avec les précautions convenables, montreroit toujours l’heure qu’il eft dans ce port : ainfi, quand on voudroit connoître la longitude du lieu du vaif-feau , on prendroit le midi avec exa&itude, & l’on examineroit l’heure de la montre ; la différence donnerait la différence de longitude. Si* par exemple , après quinze jours de navigation , quand il eft midi dans le vaifleau , l’horloge mar-quoit z heures 10 minutes, on en concluroit que la différence de temps feroit de z heures 1 o mis* nutes; ce qui revient à 3Z degrés 30 minutes r ainfi l’on fçauroit qu’on eft à 3Z degrés 30 minutes à l’oueft de Breft j ce qui, au moyen de la latitude obfervée , ferviroit à fixer très-exa&ement le lieu occupé par le vaifleau fur le globe terref-tre au moment de l’obfervation.
    • Mais on ne fçauroit fe fervir fur mer d’une pendule ; & les montres les plus exa&es, qui ne le font pas déjà trop fur terre, fe dérangent ^entièrement à la mer : c’eft pourquoi le problème des longitudes, envifagé de ce côté, fe réduirait à trouver quelque maniéré de mefurer le temps , qui ne fût pas fujette à cet inconvénient, ou à perfectionner les inftruments connus, de maniéré à les en affranchir. . . .
    • On a propofé pour cet effet bien des inventions qu’on a cru être moins fujettes aux irrégularités X iij
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    • 316 Récréations Mathématiques.
    • ôccafionnées par les mouvements d’un yâHTeau, On lit dans les éditiôns précédentes de cet ouvrage, qû’iï n’y a qu’à prendre une excellente pendule de la conftru&ion ordinaire , changer Ton grand reffort en huit autres moindres en force, qui, pris enfembîe, exercent la même aétion ; en remonter un fucceffivement & par ordre toutes les vingt-quatre heures ; fubftituer au pendule un reffort fpiral , avec un échappement à rochet; enfin renfermer cet infiniment ou plufieurs dans une ou deux boîtes, qu’on placera dans le lieu du vaiffeau où fès mouvements fe font le moins fen-tir, en ayant le foin d’échauffer l’air du dedans de ces boîtes d’une maniéré toujours égale.; ce qu’on reconoîtra facilement au moyen du thermomètre : on aura, dit-on, par-là un infiniment qui donnera exactement l’heure fur la mer. Si des moyens auffi fimples fuffifoient pour la folution de ce problème, il n’eût pas occupé auffi longtemps les aftronomes & les mécaniciens.
    • Quelques autres fe font retournés du côté des Tabliers. On en voit un, de l’invention de M. l’abbé Soumille, dans les Mémoires adreffés à l’Académie royale des Sciences , par des fçavans étrangers , T. I. Ileft ingénieux, mais je ne fçais s’il a été éprouvé, & quel fuccès il a eu.
    • Enfin, après bien des années de recherche, on a vu éclore en Angleterre l’invention d’une montre marine, qui a l’avantage de conferver fur la mer toute fa régularité. Cette invention eft due à M. Harrifon , qui l’avoit déjà propofée vers 1757 * mais elle ne parut pas avoir encore la régularité demandée. Le Bureau des Longitudes * Fencou-
    • * une Commiffion perpétuelle, établie par le Par-
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    • ragea cependant, par une récompenfe , à perfectionner fon ouvrager Enfin, après vingt années employées à ce travail, & à faire diverfes épreuves , il la propofa de nouveau en 1758 au même Bureau, qui ordonna que l’épreuve en feroit faite dans une traverfée d’Europe à la Jamaïque. Elle fut faite avec toutes les précautions & formalités néceffaires pour la conftater, à la fin de 1761 ; & il en réfulta que la montre de M. Harrifon donna ,à 5 fécondés de temps près, la longitude de Port-Royal de la Jamaïque. Au retour, l’erreur ne fut, malgré les gros temps effuyés pendant le voyage, que de 1 minute 54 fécondés en temps , ou de 18 milles anglois, tandis que le Parlement d’Angleterre adjugeoit la récompenfe à l’auteur de la machine qui, dans une traverfée femblable , ne fe trouveroit en défaut que de 20 milles au
    • pli
    • Les commifîaires des Longitudes ne purent en conféquence refufer à M. Harrifon au moins une partie de la récompenfe promife : on lui accorda 5000 livres fterlings à compte des 20000 livres , qui lui feroient payées après une nouvelle expérience , & après avoir dévoilé le mécanifme de fa montre , & avoir mis des ouvriers en état d’en conftruire de fcmblables. Cette fécondé épreuve fut faite en 1765 , dans un voyage de Porftmouth à la Barbade ; & fon fuccès ayant confirmé celui de la première, M. Harrifon reçut encore 500a livres fterlings. Il devoit recevoir le furplus après avoir formé des ouvriers qui puffent fournir de ces montres aux befoins de la navigation ; je crois
    • lement d’Angleterre, pour l’examen des inventions pro-pofées pour la découverte des longitudes fur mer»
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    • 3x8 Récréations Mathématiques.
    • que cela a été effe&ué, & que M. Harrifon a touché les iocoo liv. qui reftoient à lui être payées. On peut voir les détails de l’hiftoire de cette inté-reffante découverte, & même la defcription dis mécanifme inventé par M. Harrifon, dans plu-fieurs écrits d’abord imprimés en anglois, enfuite traduits en françois, & publiés en 1767. La navigation enfin eft en pofieffion, & a l’obligation à l’Angleterre, d’un moyen affuré de conferver à la mer le temps du port du départ ; ce qui eft un avantage ineftimable , & préfervera certainement du naufrage une multitude d’hommes dans les temps à venir.
    • L’invention de M. Harrifon ayant refié longtemps fous le fecret, les horlogers François , qut avoient déjà fait des tentatives pour parvenir à la folution de ce problème, ont redoublé leurs efforts pour la découvrir, ou pour trouver un moyen équivalent. Ce fut afin de les y exciter que l’Académie propofa pour le prix de 1767 & 1773, ta conftruétion d’une montre qui eût les propriétés de celle de M. Harrifon. Le prix a été remporté par M. Le Roy, fils du célébré Julien Le Roy, & digne héritier de fon nom , qui a juftifié qu’il avoit dès long-temps fait la découverte du principe qui fert à concilier à fa pendule l’égalité dont on a befoin. Ce fut en partie pour en faire l’épreuve , que M. le Marquis de Courtenvaux fit conftruire & équiper à fes frais la frégate Y Aurore, fur laquelle il fit, en 1767, un voyage jufqu’au Texel. Pendant tout ce voyage, la montre de M. Le Roy a toujours marché avec la plus grande régularité, malgré les mouvements les plus vifs & les plus irréguliers que ce petit bâtiment a éprouvés dans une mer qui eft prefque toujours groffe, Ainfi *
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    • quoiqu’on ne puiffe contefter à M. Harrifon & à l’Angleterre le mérite de la découverte, on peut dire que la France y touchoit en même temps *.
    • Nous ne devons pas laiffer ignorer qu’il eft un autre artifte François qui a marché de fi près fur les traces de M. Harrifon, qu’il difpute à M. Le Roy l’avantage d’être le premier en France qui ait fait une montre marine : c’eft M. Berthoud, dont les montres, éprouvées dans le long voyage de M. de Fleurieu, ont aufli paru remplir toutes les conditions 'défirées. C’eft le fujet d’un grand procès encore pendant au tribunal du public , & da ns lequel nous ne nous immifçerons point.
    • On a annoncé plus haut une autre maniéré d’en-vifager la folution du problème des longitudes, qui eft purement aftronomique. 11 faut aufli faire connoître ce que les aftronomes ont fait à cet égard.
    • Lorfque Galilée découvrit les fatellites de Jupiter , dont les éclipfes font fi fréquentes, il eut l’idée d’en faire ufage pour la folution du problème des longitudes. On conçoit en effet que fi la théorie des fatellites de Jupiter eft affez perfectionnée pour déterminer exactement pour un lieu donné, Paris , par exemple , le moment où ils doivent s’éclipfer, & qu’on obferve à la mer une éclipfe d’une de ces petites planètes, avec l’heure à laquelle on la voit, il n’y aura qu’à comparer cette heure avec celle où ce phénomène aura été annoncé d’avance pour Paris, & la différence de
    • * jVoye{ le Mémoire de M. Le Roy fur fa montre, imprimé en 1768, & la Relation du voyage de M. le Marquis de Courtenvaux, imprimée aufli la même année.
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    • 330 Récréations Mathématiques. temps donnera la différence de longitude. Qu’on ait, par exemple, obfervé un foir à io11 iof une éclipfe du premier fatellite, & qu’en confultant la Connoijfance des Temps, on ait trouvé que cette éclipfe a dû y arriver à nh 55' du foir ; il eft évident que la différence ih 45' eft celle du temps compté à Paris & dans le vaiffeau j ce qui fait 26° 15 ' de différence en longitude.
    • Plufieurs obftacles néanmoins fe font oppofés à ce qu’on fit grand ufage de ce moyen ; car, ia ces édipfes ne font pas affez fréquentes, n’y en ayant qu’une du premier fatellite toutes les 41 heures : d’ailleurs elles ne font pas vifibles pendant plufieurs mois, où Jupiter eft trop près du foleil , &c. z° Il faut, pour les obferver, des lunettes d’une certaine longueur. Or les mouvements d’un vaiffeau ne permettent nullement de fuivre Jupiter, ou un aftre quelconque, avec une lunette un peu longue.
    • Ôn a , il eft vrai, tâché de remédier à cet inconvénient. Un gentilhomme Irlandois, M. Irwin, propofa en 1760 fa chaife marine, c’eft-à-dire une chaife fufpendue de telle' maniéré dans un vaifc feau , qu’on pouvoit y obferver affez aifément les fatellitesde Jupiter, fur-tout au moyen des nouvelles lunettes achromatiques, qui peuvent produire les mêmes effets que de beaucoup plus longues , conftruites à la maniéré ordinaire. Les épreuves en ont été faites en Angleterre, par ordre des commiffaires de l’Amirauté ; &, fuivant les écrits publiés dans le temps , elles avoient affez bien réuffi. Mais depuis que M. Harrifon a pro-pofé fa montre marine, il me femble que l’on n’a plus dit mot de la chaife de M. Irvin.
    • Il y a plus d’un fiecle qu’on fçait que, fi la
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    • théorie de la lune étolt fuffifamment perfeCtion-née, on auroit la folution du problème des longitudes en mer ; car on pourroit calculer pour un lieu déterminé, comme Paris, les moments où la lune atteindroit diverfes étoiles zodiacales de la première ou fécondé grandeur, ou s’en approcheroit le plus. D’ailleurs le mouvement de la lune eft fuffifamment rapide pour que, dans un temps affez court , elle ait changé de pofition d’une maniéré fenfible. C’eft pour cela que les aftronomes fe font adonnés avec tant de foin, fur-tout depuis une trentaine d’années, à perfectionner la théorie de la lune ; St ils font en effet parvenus au point de ne commettre plus fur le lieu calculé de la lune, que des erreurs de 2 ou 3 minutes dans les lieux les plus défavorables de fa révolution , tandis qu’elles étoient autrefois de plufieurs degrés. L’Angleterre a cru devoir récompenfer à cet égard , dans la veuve St les héritiers de M. Mayer, les efforts St les fuccès de cet infatigable St fçavant aftronôme, auquel nous devons , jufqu’à ce moment , les meilleures tables de la lune. Elle leur a décerné une gratification de 2500 livres fterlings; St comme M. Euler a aufîi travaillé avec les plus grands fuccès à la perfection de la théorie de la lune, elle lui a pareillement adjugé une fomme de 500 livres fterlings. Les nations s’honorent par des traits femblables de générofité St de juftice , envers les hommes qui ont bien mérité de l’humanité.
    • Un fécond pas à faire, étoit de rendre les calculs de ces obfervations affez faciles pour être pratiqués, finon par tous les gens de mer, du moins par les plus inflruits. M. l’abbé delà Caille eft un de ceux qui ont travaillé fur ce fujet avec
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    • 33i Récréations Mathématiques.
    • le plus defuccès. Il a donné , pour faire ces calculs , des pratiques qui n’emploient la plupart que la réglé & le compas, & qui n’exigent qu’une médiocre connoiffance de géométrie & d’aftro-nomie. On les trouve dans l’édition qu’il a donnée du Traite de Navigation de M. Bouguer, ainfi que dans les volumes de la Connoijfance des Temps des années 1765 & 1766. On publie depuis quelques années à Londres, pour l’ufage des navigateurs , un Almanach nautique , ( nautical Alma-nacK) où l’on trouve tout calculés les apputfes de la lune à diverfes fixes pour le méridien de Greenwich , ainfi. que les inftruéttons & les pratiques néceffaires pour employer les obfervations de la lune à la détermination des longitudes. (
    • On a propofé enfin, itÿ a quelque temps , un nouvel infiniment pour obferver avec plus de facilité les diftances de la lune aux étoiles fixes. Cet infiniment, appellé mégametre par fon auteur, M. de Charnières , officier de marine, lui a fervi à faire des obfervations dans une traverfée d’Europe en Amérique, & il en a publié en 1768 les réful-tats qui paroiflent prouver que cet infiniment peut être fort utile à la mer. Je ne vois cependant pas qu’il ait été fort accueilli par les marins, & j’en ignore les raifons.
    • PROBLÈME XI.
    • Si un vaiffeau itoit parvenu jufqu’à un des pôles, comment ferait - il pour fe diriger dans un méridien déterminé?
    • L A difficulté que préfente au premier abord ce problème, vient de ce que , quand on eft à un des pôles, de quelque côté qu’on fe tourne, on
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    • regarde le midi. Toute ligne tirée de ce point à un point quelconque de l’horizon, eft un méridien : il n’y a donc plus ni eft ni oueft. Or s’il n’y a ni eft ni oueft, de quel côté fe diriger, comment reconnoître parmi tous les méridiens fem-blables, celui qu’il faut prendre pour aller au lieu déliré }
    • Ce n’eft pas tout ; il eft probable que fi l’on parvenoit à un des pôles, la boufîole deviendroit entièrement inutile, ou, comme difent les marins, abfolument folle. Il n’eft pourtant que ces deux maniérés de naviguer, ou par l’infpe&ion des affres , ou , pour mieux dire, par l’une & l’autre combinées.
    • Tel eft le problème qu’auroit eu à réfoudre l’aftronome embarqué fur le vailfeau du capitaine Phipps , chargé de tenter de nouveau un paflage à travers l’Océan glacial. Si les glaces ne s’y fuf-fent pas oppofées, il eût été jufqu’au 90e degré de latitude, pour arriver par le plus court chemin au détroit qui fépare l’Afie de l’Amérique, détroit dont l’exiftence eft aujourd’hui conftatée par les navigations des Rufles , & qui gît par le 176e degré environ de longitude. Je me propofai ce problème , lorfque j’entendis parler de cette nouvelle tentative, qui devoit en France être exécutée par M. de Bougainville. J’ai ouï dire qu’on le propofa à un aftronome célébré de l’Académie royale des Sciences. J’ignore ce qu’il répondit : quant à moi, voici ma folution.
    • Je fuppofe que j’eufle été le navigateur chargé de cette expédition. Je me ferois muni, pour n’ê-tre pas pris au dépourvu, de deux ou trois bonnes montres marines, montées enfemble au temps du port de départ, que nous luppofons Breft*
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    • 334 Récréations Mathématiques.
    • Suppofons maintenant que j’eufle trouvé une mer ouverte , & que je fufle arrivé au pôle arctique. Suppofons encore que ma bouflble fût devenue abfolument inutile, mais que j’eufle eu le foleil fur l’horizon ; ce qui eft le cas d’une pareille navigation , qu’on n’entreprendroit jamais que pendant l’été de ces climats , temps où le foleil refte levé plufieurs mois : il eft évident qu’en confultant mes montres marines , le moment où elles euflTent marqué midi, eût été celui où le foleil étoit dans le méridien de Breft : donc, fi j’eufle voulu y retourner, je n’eufle eu qu’à mettre à cet inftant le cap fur le foleil, & cingler fur cette route, de telle maniéré qu’au bout d’une heure j’eufle eu le foleil 15 degrés à ftribord ; au bout de deux heures, à 30 degrés; &c.(Il eft aifé de fentir que , par ce moyen, j’eufle, quoique destitué de bouflble , confervé mon vaifîeau afîez exa&ement fur la trace du méridien déterminé.
    • Maintenant, que le méridien fur lequel j’eufle dû naviguer eût été éloigné de celui du lieu de départ de 176°, comme pareît l’être celui du détroit qui fépare l’Afie de l’Amérique : il eft facile de voir que je n’aurois eu qu’à mettre le cap, à 4 degrés près , fur le point diamétralement oppofé au foleil, lorfque les montres auroient marqué midi, ou fur le foleil lui-même , lorfqu’elles auroient marqué minuit & 16 minutes ; puis me foutenir fur cette route par le moyen expliqué ci-deflus, en relevant d’heure en heure l’angle du vertical du foleil avec la route du vaifleau. En fuppofant que l’ouverture du détroit dont nous avons parlé, fût par la longitude que nous avons avons dite à l’égard de Breft, il eft évident que je n’eufle pu manquer de donner dedans.
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    • Navigation. jjj
    • Mais il faut obferver que l’expédient que nous venons de décrire ne feroit nécefiaire que dans une grande proximité du pôle : on n’en feroit pas plutôt éloigné d’une dixaine de degrés , qu’on auroit à choix divers autres moyens de fe diriger. Mais nous n’infifterons pas fur cela; car il feroit fort inutile d’indiquer ces moyens, puisque les dernieres navigations paroiffent prouver que le pôle ar&ique de la terre eft entouré , dans le temps le plus favorable , c’eft-à-dire même pendant l’été de notre hémifphere , d’une calotte de glace d’une dixaine de degrés au moins de diamètre , & même qui s’étend davantage fur les côtés de l’Afie & de l’Amérique, où affez probablement elle tient à ces deux, continents, fi ce n’eft peut-être dans quelques étés exceffivement chauds. Je fuis enfin perfuadé que la tentative de traverfer l’Océ-an glacial , pour aller dans les mers de la Chine & du Japon , çftr une chimere; & quand même on y parviendront en longeant les côtes boréales de l’Afie ou de l’Amérique jusqu’au détroit dont nous avons parlé, ce voyage feroit accompagné de tant de dangers , & exige-roit des circonftances fi favorables, que ce feroit une folie de prendre cette route. Que deviendroit en effet un vaiffeau qui, ayant été retardé par des accidents Ji communs à la mer, feroit obligé d’hiverner un an entier ou environ, dans un port prefque inhabité de la côte-nord de l’Afie ? Quel fecours pourroit-il attendre d’une peuplade de Samoïedes , ou de quelque autre nation plus barbare encore ? Si l’équipage de ce vaiffeau y reftoit, comment fe garantiroit-il du froid excef-fif de ces climats ? S’il l’abandonnoit pour habiter une cabane bien clofe ôc bien calfeutrée , après y
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    • 336 Récréations Mathématiques.
    • avoir porté Tes vivres , quel rifque ne coiifroit pas le vaiffeau d’être pillé, brûlé ou mis en morceaux ? Un pareil voyage exigeroit que la nation commerçante qui le feroit , eût un port à elle dans une fituation avantageufe , afin que les vaif-feaux forcés d’hiverner, puffent y trouver un abri & un afyle. Mais quelle apparence que la Ruflie , maîtreffe de ces pays, y confentît, elle qui a caché pendant fi long-temps les lumières même qu’elle avoit fur le détroit dont nous avons parlé ?
    • RÉCRÉATIONS
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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES.
    • NEUVIEME PARTIE,
    • Dans laquelle on traite de quelques objets curieux de l*Architecture.
    • L’Architecture peut Sc doit être con-fidérée fous deux afpe&s. Sous l’un , c’eft un art dont l’objet eft d’allier enfemble la commodité & la décoration ; de donner à un édifice la forme à la fois la plus convenable à fa destination , & la plus agréable par fes proportions ; de frapper en même temps par de grandes malles, & de plaire par l’harmonie des rapports entre les principales parties d’un bâtiment , ainfi que par les detai s : plus onréufïit à concilier ces différents objets, plus on mérite d’être rangé parmi les grands Architectes. Tome III. ^
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    • 338 Récréations Mathématiques.
    • Mais ce n’eft pas fous cet afpe'â que nous con-fidérerons ici cet art ; nous nous bornerons à ce qu’il a de dépendant de la géométrie & de la mécanique; ce qui ne lai fie pas de préfentér plu-fieurs queftions curieufes & utiles, que nous allons parcourir à mefure qu’elles s’offriront à notre efprit.
    • PROBLÈME I.
    • Tirer d'un arbre la poutre de la plus grande réjîjiance.
    • Ce problème appartient proprement à la mécanique ; mais fon ufage dans l’archite&ure nous a portés à lui donner plutôt place ici, & à le discuter , foit comme géomètre , foit comme phyfi-cien. Nous allons d’abord le traiter fous ce premier afpeét.
    • Galilée, qui le premier a entrepris de foumettre à la géométrie la réfiftance des folides , a établi fur un raifonnement fort ingénieux, qu’un corps arrêté horizontalement par une de fes extrémités , comme une poutre quadrangulaire engagée dans un mur, qu’on tendroit à rompre par des poids fufpendus à fon autre extrémité, y oppofe une réfiftance qui eft en raifon compofée de celle du quarré de la dimenfion verticale, & de celle de la dimenfion horizontale. Cela feroit exactement vrai , fi la matière de ce corps étoit d’une contexture homogène & inflexible.
    • On démontre aufli que, fi une poutre eft foute-nue par fes deux extrémités, & qu’on fufpende à fon milieu un poids tendant à la rompre, la réfif* tance qu’elle y oppofe eft en raifon du produit du quarré de la hauteur par la largeur, divifé par la moitié de la longueur.
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    • Àinfi, pour réfoudre le problème propofé, il faut trouver dans un tronc d’arbre une poutre dont les diménfions foiênt telles, que le produit du quarré de l’une par l’autre , foit le plus grand produit poffible.
    • Soit donc AB le diamètre du cercle qui eft la PI. coupe de ce tronc. Il s’agit d’infcrire dans ce cer- %• 3 cle un retlangle comme AEBF, qui foit tel que le quarré de l’un de fes côtés A F, multiplié par l’autre côté AE, fafle le plus grand produit. Or on démontre que, pour cet effet, il faut prendre fur le diamètre AB la partie A D qui en foit le tiers , élever la perpendiculaire DE, jufqu’à fa rencontre avec la circonférence en E ; mener BE , EA , enfuite AF, & FB, leurs parallèles : on aura le rectangle AEBF, qui fera tel que le produit du quarré de AF par BF, fera le plus grand produit que puifle donner tout autre reftangle infcrit dans le même cercle. Mettant donc la poutre de ces diménfions, extraite du tronc propofé, de telle maniéré que fa plus grande largeur AF foit de champ, ou perpendiculaire à l’horizon, cette poutre réfiftera davantage à la rupture que toute autre qu’on pourroit tirer du même tronc, & même que la poutre quar-réè qu’on pourroit en extraire, quoique celle-ci contienne plus de matière.
    • Remarque.
    • Telle feroit la folution de ce problème , fi les fuppofitions dont Galilée a déduit fes principes fur la réfiftance des fol ides, étoiént tout-à-fait exa&es.
    • Il fuppofe en effet que la matière du corps à rompre eft parfaitement homogène, ou compofée de fibres parallèles, également diftribuées à l’entour de l’axe, & également réfiftântes à la rupture:
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    • 340 Récréations Mathématiques. mais cela n’eft pas entièrement le cas d’une poutre formée d’un tronc d’arbre équarri.
    • En effet, par, l’examen de la maniéré dont fe fait la végétation, on a appris que les couches ligneufes d’un arbre, qui fe forment chaque année, font à peu près concentriques, & que ce font comme autant de cylindres emboîtés les uns dans les autres, & réunis par une efpece de matière médullaire qui oppofe peu de réfiftance : ainfi ce font principalement & prefque uniquement ces cylindres ligneux qui oppofent de la réfiftance à la rupture.
    • PL i, Or qu’arrive-t-il lorfque l’on équarrit un tronc
    • fig. 2. d’arbre pour en former une poutre ? 11 eft évident, & la fig. 2, pl. /, le rend fenfible, qu’on coupe fur les côtés tous les cylindres ligneux qui excédent le cercle infcrit dans le carré qui eft la coupe de la poutre : ainfi prefque toute la réfiftance vient du tronc cylindrique infcrit dans le folide de la poutre. Les portions de couches qui fe trouvent vers les angles, renforcent à la vérité quelque peu ce cylindre, car elles ne peuvent manquer d’oppofer quelque réfiftance à la rupture ; mais elle eft beaucoup moindre que fi le cylindre ligneux étoit entier. Dans l’état où elles font, elles n’oppofent qu’un médiocre effort à la flexion, & même à la rupture. C’eft-là la raifon pour laquelle il n’y a nulle comparaifon à faire entre la force d’une fo-live de brin & celle d’une folive de fciage, c’eft-à-dire prife au hafard dans le reftant de quelque tronc dont on a extrait une poutre. Cette derniere eft d’ordinaire foible, & fi fujette à rompre, que l’on ne fçauroit trop foigneufement bannir celles de cette efpece, de tout ouvrage de charpente qui a quelque poids à foutenir.
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    • Ajoutons encore que tous ces cylindres ligneux & concentriques n’ont pas une égale force. Les couches les plus voifines du centre, étant les plus âgées, font auffi le, plus dures, tandis que , dans la théorie, on fuppofe la réfiftance abfolue égale par-tout.
    • On ne doit donc pas être furpris fi l’expérience ne confirme pas entièrement, & même contrarie quelquefois beaucoup le réfultat de la théorie; &c l’on a des obligations confidérables à M. Duhamel & à M. de Buffon, d’avoir fournis à l’expérience la réfiftance des bois ; car il eft important, dans l’ar-chiteâure , de connoître la force des poutres qu’on emploie , afin de ne pas employer plus de bois & de plus gros bois qu’il eft néceflaire.
    • Malgré ce que nous venons de dire , il eft pourtant très-probable que la poutre de la plus grande réfiftance qu’on peut tirer d’un tronc d’arbre, n’eft pas la poutre quarrée ; car voici des expériences faites par M. Duhamel, qui prouvent qu’à même groffeur, celle qui a plus de hauteur que de largeur , étant mife de champ, réfifte d’autant plus , & même fans s’écarter extrêmement de la loi propofée par Galilée, fçavoir, la raifon compofée de celle du quarré de la dimenfion raife de champ & de celle de la largeur.
    • M. Duhamel r en effet, a fait rompre vingt barreaux quarrés de même volume , pour déterminer quelle eft la forme d’équarriffage qui les ren-droit - capables d’une plus grande réfiftance. Ils avoient tous ioo lignes de bafe, & varioient quatre à quatre par les dimenfions de leur équarri£* fage.
    • Les quatre premiers avoient 10 lignes en tout, fens, ils portèrent 13.1 livres»
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    • 34i Récréations Mathématiques.
    • Quatre autres avoient 11 lignes dans un ferts , & 8 j dans l’autre : ils portèrent chacun 154 livres. On trouveroit par la loi ci-deffus ,157 livres»
    • Les quatre fuivants avoient 14 lignes de hauteur , & 7 & y de largeur : ils portèrent chacun 164 livres. Le calcul donneroit 183 livres. ..
    • Quatre autres avoient 16 lignes de hauteur.; & 6 Sc ^ de largeur : ils portèrent chacun 180 livresi Ils auroient dû porter 109 livres.
    • Quatre autres, ayant 18 lignes de hauteur & 5 4- de largeur, portèrent chacun 2.43 livres. Le calcul n’auroit donné que 133 livres. On voit ici par une lingularité affez grande , le calcul donner moins que l’expérience, tandis que , dans les autres épreuves, le contraire a eu lieu.
    • M. de Buffon avoit commencé des expériences faites plus en grand fur la rélütance du bois, & a donné un détail de ces expériences dans les Mémoires de T Académie, ann. 1741. Il eft fâcheux qu’il n’ait pas fuivi cet objet, fur lequel perfonne ne pouvoit jeter plus de jour que lui. De ces expériences il paroît réfulter, que la réfiftance. augmente moins qu’en raifon duquarréde la dimen-fion verticale, & diminue auffi en une raifon un peu plus grande que l’inverfe des longueurs.
    • Pour nous réfumer enfin, ilréfulte de tout cela que, pour réfoudre le problème, propofé , il'fou-droit avoir des données phyfiques qu’on n’a pas! encore ; qu’à la vérité la poutre la plus réfiflanîe qu’on puiffe tirer d’un tronc d’arbre, n’eft.pas la poutre quarrée, & qu’il y auroit en général des recherches à faire fur l’allégement des charpentes ,• qui le plus fouvent contiennent des forêts de.bpis çn grande partie inutile.
    • Î1 y auroit auffi des chôfe$ intéreffantes à faire
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    • liir leurs affemblages , qui pourraient être plus fimples, plus commodes pour les réparations, & pour fubftituer une piece à une autre. J’ai fur cela quelques idées que peut-être je développerai un jour. En tout cas je ferai charmé d’exciter quelqu’un à ce genre de recherche.
    • PROBLÈME II.
    • De la forme la plus parfaite d'une voûte. Propriétés de la chaînette, & leur application à la folution de ce problème.
    • L A voûte la plus parfaite ferait fans doute celle qui, compofée de vouffoirs extrêmement petits,
    • & même polis fur leurs joints, fe tiendrait dans un équilibre parfait. 11 eft aifé de fentir que cette forme donnerait la facilité d’employer des matériaux très-légers, & l’on fera voir auffi que fa pouffée fur les pieds-droits, ferait beaucoup moindre que celle, de toute autre voûte de même montée, établie fur les mêmes pieds-droits.
    • On trouve cette propriété cet avantage dans une courbe fort connue des géomètres, & qu’on nomme la caténaire ou la chaînette. On lui a donné ce nom, parceque fa courbure eft celle <jue prendrait une chaîne ACB, compofée d’une PI. infinité de chaînons infiniment petits & parfaite- %• ment égaux, ou bien une corde parfaitement uniforme & infiniment flexible , en la fufpendant lâche par fes deux extrémités.
    • La détermination de cette courbure fut un de ces problèmes que les Leibnitz & les Bernoulli propoferent vers la fin du fiecle dernier, pour montrer la fupériorité des calculs qu’ils manioient
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    • 344 Récréations Mathématiques.
    • fur Panalyfe ordinaire , qui en effet eft prefque infuffifante pour réfoudre un pareil problème. Mais nous devons nous borner ici à quelques-unes des propriétés de la courbe en queftion.
    • PI. i, La principale eft la fuivante. Si la courbe ACB %• 3> 4* de la Jîg. 3 , eft relevée en haut, c’eft-à-dire qu’on place fon fommet C en deffus, & qu’on difpofe une multitude de globes de maniéré qu’ils aient leur centre dans la circonférence de cette courbe, ils relieront tous immobiles & en équilibre. A plus forte raifon cet équilibre fubliftera, lî, au lieu de globes , on leur fubftitue de petits vouffoirs, dont les joints pafferoient par les points de contaét, puifqu’ils fe toucheront dans une furface infiniment plus étendue que les points où nous fuppofons ces globes fe toucher.
    • Or la defcription d’une pareille courbe eft bien facile ; car fuppofons qu’on ait à couvrir d’une voûte l’efpace AB , compris entre les deux pieds-droits A & B de la Jîg. S , & que la montée de cette voûte doive être SC. Tracez fur un mur une ligne & b, (Jîg. 6,) horizontale, égale Fig. 5,6. à A B ; & ayant fait J'c perpendiculaire fur fon milieu & égale à SC, attachez aux points a & b un cordeau extrêmement flexible, ou une chaîne formée de petits chaînons bien égaux & bien mobiles les uns fur les autres, enforte que, fufpendue lâche, elle paffe par le point c ; puis marquez fur le mur une quantité fuftifante de points ou ceils de ces chaînons, fans les déranger : la courbure que vous ferez paffer par ces points fera celle que vous cherchez ; & rien de plus facile que d’en décrire l’épure fur un mur, comme elle eft en ACB, Jîg. S,
    • Tracez enfuite à égale diftance, en dehors ÔC
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    • en dedans de ACB , deux courbes qui repréfente-ront l’extrados 8c l’intrados de la voûte à former ; enfin divifez la courbe AC en tant de parties égales que vous voudrez; par ces points de divifion tirez des lignes perpendiculaires à la courbe : ( ce qu’on pourra toujours faire mécaniquement, avec une exaélitude fuffifante pour la pratique) ces perpendiculaires diviferont la voûte en vouflbirs, 8c vous aurez l’épure de cette voûte décrite contre le mur. D’après cette épure, il vous fera facile de lever les panneaux de tête pour la taille des pierres. Si ces opérations font bien faites, la ligne AB fût-elle de 100 pieds, 8c la hauteur SC de plus encore , les vouflbirs de cette voûte fe main-tiendroient en équilibre , quelque peu de joint qu’on leur donnât ; car , mathématiquement parlant , ils devroient fe foutenir en équilibre, quand même ces joints feraient infiniment polis 8c glif-fants: ainfi , à plus forte raifon, l’équilibre fu b liftera-1-il , lorfqu’ils feront tels que les donne la coupe des pierres.
    • Pour trouver maintenant la force avec laquelle une pareille voûte tend à écarter fes pieds-droits, tirez une tangente à la naiflance a (fig. <?) de la courbe ; ce que vous pourrez faire mécaniquement, en prenant deux points extrêmement près de la courbe, 8c en tirant par ces points une ligne qui rencontrera en t l’axe f c prolongé *. Cette
    • * On peut tirer cette tangente géométriquement, par la méthode fuivante. Soit faite cette proportion ; comme a/c eft à ac +/c, ainfi ac—fc eft à un quatrième terme auquel eu foit égal : enfuite on fera cette fécondé proportion; comme eu eft à ac, ainfi û/eftà/t: le pointe fera celui auquel iroit aboutir fur l’axe la tangente au point æ»
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    • 346 Récréations Mathématiques. tangente étant donnée , on démontre dans la mécanique , que le poids total de la demi-chaînette ou demi-voûte ca, eft au poids ou à la force par laquelle il tend à écarter horizontalement le pied-droit, comme ft eft à fa. D’un autre côté il faut ajouter au poids du pied-droit, la force par laquelle cette demi-voûte le charge perpendiculairement à l’horizon, c’eft-à-dire le poids ab-folu de cette demi-voûte : ainfi l’on trouvera l’é-paiffeur du pied-droit par l’opération arithmétique fuivante , que nous fubftituons à une conftru&ion géométrique., qui peut-être paroîtroit trop compliquée à la plupart des archite&es.
    • PI. i, Nous fuppofons AB de 60 pieds d’ouverture, fig. 5 .» 6. conféquemment AS de 30 pieds , SC auffi de 30 pieds ; ce que nous faifons, afin de comparer la poufîee de cette voûte avec celle d’une voûte en plein ceintrç. Que la longueur AC foitde 45 pieds 1 pouce 8 lignes *, la largeur de la voûte un pied; car, par les raifons ci-defliis, on peut fans crainte lui donner une pareille légéreté. Que la hauteur du pied-droit foit 40 pieds. On demande l’épaif-feur qu’il doit avoir pour réfifter à la pouflee de la voûte.
    • Je trouve d’abord que, dans cette fuppofition , la tangente au point a de la naiflance de la chaînette ou de la voûte , va rencontrer fon axe f c prolongé, en un point r, tel que ft eft de 71 pieds Je divifej^z par f t, ce qui me donne le nombre ~j, que je garde, & nomme N.
    • Soit maintenant prife une troifieme proportionnelle à la hauteur du pied-droit, à la longueur AC
    • * Nous trouvons, par le calcul, que telle feroit longueur.
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    • du ceintre & à Ton épaiffeur, & que la moitié de cette moyenne proportionnelle foit nommée D : ce fera ici
    • Soit enfuite multiplié AC par l’épaifleur i, & le produit de nouveau par deux fois le nombre ci-deffus N; on aura 37^,3 quoi il faudra ajouter le quarré de D trouvé ci - deffus , 8t de la fomme extraire la racine quarrée, qui fera 6 j. Enfin de cette racine ôtant le nombre ci-deffus D, on aura 5 pieds 7 pouces pour la largeur du pied-droit. Ce pied-droit étant d’unè matière homogène à la voûte, il eft certain qu’elle réfiftera à la pouffée de cette voûte ; car nous avons même fait, pour Amplifier le calcul, une fuppofition qui n’eft pas entièrement exaéle, mais qui tend à augmenter quelque peu la largeur du pied-droit ; ce que nous obferverons , afin que l’on ne nous impute pas une erreur que nous commettons de propos délibéré.
    • Si l’on compare cette largeur à celle qui feroit néceffaire pour fupporter une voûte en plein ceintre circulaire, on trouvera cette derniere bien plus grande ; car elle devroit être de près de 8 pieds.
    • Une voûte conftruite fur un emplacement cir-? culaire , comme une voûte de dôme , n’ayant qu’une pouffée environ moindre de moitié qu’r.ne voûte en berceau de même épaiffeur fur fes pieds-droits , il s’enfuit que, dans les fuppofitions ci-deffus, le tambour d’une pareille voûte en dôme n’exigeroit que 33 pouces - d’épaiffeur. Or il eft démontré , par la propriété même de la figure caténaire , qu’il ne faudroit pas à beaucoup près donner l’épaiffeur d’un pied à la voûte : on voit eonféquernment combien étoit peu fondée la pré-
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    • 348 Récréations Mathématiques,
    • tendue impoffibilité obje&ée à l’archite&e de l’é-glife de fainte Geneviève, de conftruire fur la bafe qu’il peut employer le dôme qu’il projette; car il le pourroit, même en fuppofant que fa conf-truftion fût telle que l’auteur de l’obje&ion la lui trace d’après les préceptes de Fontana, ou plutôt d’après l’ufage que cet architecte fuivoit dans la conftruêtion de fes dômes ; que fera-ce donc , fi l’architeéte dont nous parlons, au lieu de commencer par élever un tambour de 36 pieds , ( ce qui ne paroît pas avoir été jamais fon deffein) fait monter fa voûte immédiatement en chaînette, de deffus la corniche circulaire qui couronnera fes pendentifs , ou de deffus un focle de peu de hauteur ? Il elt de toute évidence que fa pouffée fera encore bien moindre ; & je ne ferois point étonné
    • 3ue , calcul fait , on trouvât que fes pieds-roits feroient en état de foutenir la voûte élevée au deffus, même en les fuppofant ifolés, & ne leur accordant aucun renfort de la part des angles rentrants de l’églife, qu’on peut faire butter contre
    • Finiffons par obferver que, s’il étoit queftion de trouver, par des principes femblables à ceux qui ont fait trouver la chaînette, la forme la plus avan-tageufe à donner à une voûte en dôme , le problème feroitextrêmement difficile; car, fuppofant cette voûte divifée en petits fe&eurs, on voit que les poids des vouffoirs ne l'ont point égaux, & leur rapport dépend même de la forme à donner à la voûte. Ce que nous avons dit ci-deffus ne doit donc être regardé que comme une approximation de la figure la plus avantageufe que la voûte devroit avoir dans ce cas.
    • Nous fupprimons à deffein mille autres chofea
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    • Architecture.
    • que nous pourrions dire fur ce fujet, car nous Tentons la néceffité de nous refferrer.
    • PROBLÈME III.
    • Comment on peut conjlruire une voûte hémifphc-rique ou en cul-de-four , qui n'exerce aucune poujjee fur fes /apports.
    • La querelle agitée, il y a lîx ou fept ans, avec affez de chaleur, fur la poffibilité d’exécuter la coupole de la nouvelle églife de fainte Genevieve , m’a donné lieu d’examiner li, dans la fuppofition même où fes fupports feroient néceffairement trop foibles pour réfifter à la pouffée d’une voûte de 63 pieds de diamètre, il n’y auroit pas des reffour-ces pour conftruire cette coupole. Je n’ai pas tardé de reconnoître que l’on peut, par un artifice affez fimple, conftruire une voûte hémifphérique ou en demi-fphéroïde, qui n’ait aucune efpece de pouf-fée fur fes pieds-droits , ou fur la tour cylindrique qui la fupporte. On le fentira aifément par le rai-fonnement & le développement qui fuivent.
    • Il eft évident qu’une voûte hémifphérique n’exer-ceroit aucune pouffée fur fon fupport, fi fa première aflife étoit d’une feule piece. Mais, quoique cela foit impoflible, on peut y fuppléer, & faite que non-feulement cette première aflife, mais que plufieurs de celles au deffus, foient tellement dif-pofées que leurs vouffoirs ne puiffent avoir le moindre mouvement capable de les disjoindre, ainfi que nous allons voir. La voûte hémifphérique fera donc alors fans aucune efpeçe de pouffée fur fes fupports , enforte que non-feulement elle pour-roit être foutenue par le pied-droit cylindrique le
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    • 35<> Récréations Mathématiques. plus léger, mais même par de fimples colonnes i; ce qui fourniroit le moyen de faire un ouvrage Singulièrement remarquable par fa conftru&ion. Voyons donc comment on peut lier les voulToirs d’une alfife quelconque, de maniéré qu’ils n’aient aucun mouvement tendant à les écarter du centre. Voici plufieurs moyens.
    • PI. 2, i° Soient deux voulions A & B, contigus l’un £g. 7, à l’autre. Je leur fuppofe trois pieds de longueur , *° I* & un pied & demi de largeur. Je ferai excaver fur les côtés contigus deux cavités en formé de queue d’aronde, ayant 4 pouces de profondeur, autant d’ouverture en a b , 5 ou 6 pouces de longueur & autant de largeur en c d. Cette cavité ferviroit à recevoir une double clef de fer fondu , Fig. 7, comme on voit dans la même figure, n° 2, ou n° 2. même de fer ordinaire forgé, ce qui feroit encore plus sûr, le fer forgé étant beaucoup moins fragile que le premier : par ce moyen ces deux voulToirs feroient liés l’un avec l’autre, de maniéré à ne pouvoir être disjoints , fans rompre cette queue d’aronde à Ton angle rentrant : mais, comme elle aura 4 pouces en toute dimenfion dans cet endroit , il eft aifé de juger qu’il faudroit une force immcnfe pour opérer un pareil .effet ; car les expériences connues fur la force du fer, nous apprennent qu’il faut une force de 4500 livres pour rompre en travers une barre d’un pouce quarré de fer forgé , par un bras de levier de* 6 pouces : il en faudra par conféquent 288000 pour rompre une barre de fer de 16 pouces quarrés, comme celle-ci : d’ou il eft aifé de conclure que ces vouf-foirs feront liés. entr’eux par une force de 288 milliers ; & comme ils n’éprouveront pas, pour être disjoint? , un effort à beaucoup près aulfi
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    • grand, atnfi qu’il eft aifé de le prouver par le calcul, il fuit qu’on pourra les regarder comme une feule piece.
    • On pourroit même les renforcer encore confi-dérablement ; car on pourroit donner à ces queues d’aronde une hauteur double , & creufer dans le milieu du lit du vouffoir fupérieur une cavité propre à l’encaftrer exa&ement; alors la queue d’aronde ne pourroit fe rompre fans que le vouffoir fupérieur fe rompît auffi. Or il eft aifé de juger quelle force immenfe il faudroit pour cela.
    • Second Moyen. Mais, comme il pourra y avoir des perfonnes qui improuvent l’ufage du fer dans une pareille conftruclion *, nous allons en donner une autre qui n’aura pas cet inconvénient, fi c’en n ^ 1 îera que de la pierre com-
    • Pour l’expliquer, que A B repréfentent deux PL vouffoirs contigus de la première aflife , &c C le %• vouffoir renverfé de Faffife fupérieure, qui doit recouvrir le joint. Chacun des deux premiers vouffoirs étant divifé en deux, au milieu de chaque moitié foit creufée une cavité hémifphérique d’un demi- pied de diamètre ; prenez enfuite , avec beaucoup d’exaflitude , la diflance des centres de
    • * Tous les archite&es n’ont pas à la vérité uns façon de penfer auffi rigoureufe ; mais il me lemble que l’emploi multiplié du fer,pour confolider les bâtiments, eft fujet à beaucoup d’inconvénients & de dangers. Je voudrois du moins que les monuments publics en fuffent exempts; car s’ils peuvent fe foutenir fans fer, il eft donc inutile ; fi le fer eft effentiel à la folidité, il arrivera certainement dans la fuite des années, que ce fer fera confommé parla rouille, & alors l’édifice ou s’écroulera, ou fouffrua beaucoup. L’ufage du fer eft donc vicieux dans ce cas..
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    • 35^ récréations Mathématiques. ces cavités a & c, qui font fur deux vouffoirs contigus ; & par ce moyen creufez deux cavités fem-blables for le lit inférieur du vouffoir qui doit être placé en liaifon for les précédents. On remplira enfoite les cavités a & c de deux globes de marbre très-dur, & l’on placera le vouffoir fupé-rieur de telle forte que ces deux boules s’emboîtent exa&ement dans les cavités, de Ton lit inférieur. Cette opération étant exécutée avec pré-cifion & dans tout le pourtour de la.premiere, fécondé & troifieme aflife , il eft aifé de fentir que tous ces vouffoirs feront enfemble un corps unique & inébranlable , & dont les parties ne fçauroient être écartées les unes des autres ; car les deux vouffoirs A & B ne peuvent s’écarter l’un de l’autre fans brifer ou les globes de marbre qui les lient avec le vouffoir fopérieur, ou fans brifer ce vouffoir fopérieur par la moitié. Mais, en fuppo-fant même cet effet, qui ne peut s’opérer fans une force difficile à imaginer, du moins fort fupérieure à celle de l’a&ion de la voûte, les deux moitiés du vouffoir rompu, étant entretenues elles-mêmes d’une maniéré femblable par les vouffoirs fo-périeurs, il ne fqauroit réfulter aucun mouvement d’écartement èntr’elles : ainfi donc les trois aflifes de notre voûte ne formeront équivalemment qu’une feule piece, ÔC il n’y aura aucune pouffée. Il fuffira que la bafe de cette voûte ait l’épaiffeur foffifante pour ne pas être écrafée par fon poids abfolu ; & pour cela il ne faut qu’une épaiffeur fort médiocre en bon matériaux.
    • Ainfi nous croyons avoir démontré , par deux moyens, qu’on pourroit faire une voûte hé-mifphérique n’ayant aucune pouffée fur fes fop-ports : par conféquent, en foppofant même que l’archtteéle
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    • Architecture. 35$
    • IVchiteéle de Sainte-Genevieve eût adopté la forme des dômes de Fontana, & qu’il commençât à élever fùr les pendentifs une tour d’environ 36 pieds d’élévation , pour la couronner par une coupole hémifphérique , ou un peu furhauflee, il n’y auroit pas d’impoffibilité à conftruire fondement cette coupole.
    • PROBLÈME IV.
    • Comment on pourroit diminuer conjîdérablemem la poujjïe des voûtes.
    • Les architeéles , à ce qu’il me femble, n’ont pas allez réfléchi fur les reflources que la mécanique préfente pour diminuer , en bien des occa-flons, la pouflfée des voûtes. Nous allons donc préfenter ici quelques vues fur ce fujet.
    • Lorfqu’on analyfe la maniéré dont une voûte tend à renverfer fes pieds-droits, on remarque que la voûte fe divife nécefîairement quelque part dans fes reins, & que la partie fupérieure agit en forme de coin furie reliant de la voûte & le pied-droit, qui font cenfés faire un feul corps. Cette conlîdération fuggere donc que , pour diminuer la pouf-fée de la voûte, ou augmenter la Habilité du pied-droit, il faut charger la naiflance des reins, & di-aninuer confidérablement l’épaifleur des vouflbirs voifins de la clef ; faire enfin que la voûte, au lieu d’avoir une épaifleur uniforme dans toute fon étendue , foit fort épaifle à fa naiflance , &c n’ait à fa clef que l’épaifleur nééeflaire pour réfifter à la preffion des reins. Il efl: aifé de fentir que , rejetant de cette maniéré une partie de la force qui agit pour renverfer, fur celle qui réfille au ren-Tome III. Z
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    • 354 Récréations Mathématiques. verfement, celle-ci gagnera beaucoup d’avantage fur l’autre.
    • C’eft fur-tout dans les voûtes en dôme que cette confidération pourront avoir lieu ; & non-feulement on pourroit y employer ce moyen, mais encore l’hétérogénéité des matériaux. Mettons-nous pour cela à la place de l’architeéle de Sainte-Ge-nevieve , & fuppofons qu’il fût néceffité à conf-truire fon dôme, en commençant à élever une tour ronde de 36 pieds de hauteur, pour la couronner enfuite par une voûte, que nous fuppofe-rons hémifphérique, quoiqu’on lui accorde qu’elle doit être un peu furhauffée , afin de paroître hémifphérique , étant vue d’une diftance modérée. On a trouvé qu’en donnant un pied & demi d’épaiffeyr uniforme à cette voûte , la tour devroit avoir 4 pieds j d’épaiffeur à toute rigueur ; ce qui, joint à quelques empâtements nécefîaires , pour la foli-dité, excede la largeur des bafes qu’on peut lui donner dans une partie de fon circuit. Mais, d’après les confidérations ci-deflus, qui eft-ce qui empêcheroit de faire cette tour & les premières affiles , jufques vers le milieu des reins de la voûte, d’une matière beaucoup plus lourde que le reliant de cette voûte ? Car on connoît des pierres* comme les marbres durs & greffiers, qui pefent jufqu’à 130 livres le pied cube, tandis que le faint-Leu des environs de Paris, ne pefe que 132 livres, 8c la brique encore moins. Au lieu de faire la voûte d’une épailfeur uniforme d’un pied ôc demi, qui empêcheroit de la faire de 3 pieds à fa naiflance, & de ne lui donner que 8 pouces vers le fommet ? Or, en faifant les fuppolîtions Vivantes , fçavoir, que la tour Ôc les premières affifes de la voûte, jufques vers le milieu des reins, fulfent
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    • de pierre dure des environs de Paris, qui pefe 170 livres le pied cube, 8t le furplus en brique , qui n’en pefe que 130 ; que la voûte eût à fa naif-fance, jufques vers le milieu, 2 pieds & demi d’é-paiffeur, oc 8 pouces de-là vers le fommet, j’ai trouvé que la tour en queftion ne devroit avoir que 1 pied 8 pouces & demi d’épaiffeur pour être en équilibre avec la pouffée de la voûte. Si donc on donnoità cette tour 3 pieds d’épaiffeur, ( l’on ne difconvient pas qu’on ne puiffe lui donner jufqu’à 3 pieds 9 pouces au droit des clefs des archivoltes, ) il eft évident, pour l’homme le plus timide, qu’elle fera plus que fuffifamment hors de toute atteinte de la part de la pouffée ; 6C elle le feroit encore plus,fi on lui donnoit d’abord 3 pieds & demi d’épaiffeur, jufqu’à une certaine hauteur , par exemple de 9 pieds, ôc de-là 3 pieds ou 2 pieds 9 pouces, jufqu’à la naiffance de la voûte ; car on renforce un pied-droit, en rejetant fur fa partie inférieure une portion de fon épaiffeur, au lieu de lui donner la même dans toute fa hauteur , puifqu’on éloigne le point fur lequel il doit tourner pour être renverfé.
    • Mais en voilà affez fur cet objet, que nous ne traitons ici qu’incideinment.
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    • 3jÔ Récréations Mathématiques. PROBLÈME V.
    • Deux particuliers voijins ont chacun un emplace-ment ajfe{ rejjerré , où ils veulent bâtir. Mais, pourfe ménager de la place, ils conviennent de conjlruire un efcalier qui puiffe fervir aux deux maifons, & qui foit tel que leurs habitants n'aient rien de commun entr'eux que l'entrée & le vejli-bule. Comment s'y prendra l'architecte à qui ils expefent cette idée?
    • C E problème peut s’exécuter de cette maniéré, dont il y a quelques exemples.
    • PI. 2, Soit, fig. cf, la cage de l'efcalier, dont la me-%• 9, fure eft telle qu’on puiffe, faus donner à la rampe n° *• trop de-roideur, monter en une révolution ou un peu moins, du rez-de-chauffée au premier étage. Dans un veftibule commun A, dans lequel on entrera par une porte commune P, vous établirez en B, à droite , la naiffance de la rampe deftinée à la maifon droite, & vous la ferez circuler de droite à gauche jufqu’à un palier , que vous aurez foin de ménager au deffus du palier B : vous la pourrez ainfi continuer jufqu’au fécond , troifieme étage, &c.
    • La naiffance de l’autre efcalier fera établie du côté diamétralement oppofé en C, & circulera dans le même fens pour arriver, après une révolution , à un palier qui donnera entrée dans le premier étage de la maifon fife à gauche ; enforte que, lî la cage intérieure eft à jour, comme il eftaifé de le pratiquer, les perfonnes qui monteront ou defeendront par un de ces efcaliers , pourront appercevoir celles qui feront fur l’autre, fans
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    • avoir aucune autre communication que le vefti-bule commun A , & la porte d’entrée. On voit la coupe de ce double efcalier dans la jig. c), n° 2. PL 2 ;
    • Il y a au château royal de Chambord, un efca- %• 9 * lier à peu près de cette forme, qui fert à tout len° ** château. Car, cet édifice étant formé de quatre grands veftibules ou fallons immenfes, oppofés les uns aux autres comme les branches d’une croix grecque , & dans lefquels débouchent tous les appartements , Serlio, fon architefte, a placé l’efcalier au centre de cette croix ; &, au moyen de la double rampe , ceux qui font entrés par le veftibule du midi au rez-de-chauffée, & qui enfilent l’efcalier qu’ils ont devant eux, arrivent, après une révolution, au veftibule ou fallon méridional du premier étage ; & au contraire.
    • Mais quoique cet efcalier foit ingénieux dans fa forme, Serlio n’a pas fqu y éviter de grands défauts , quoique cela fût bien facile. 10 L’entrée de l’efcalier, au lieu de fe préfenter directement en face du milieu de chaque fallon, eft un peu de côté.
    • 20 II n’y a point de palier ménagé à chaque étage, au devant de la porte qui donne entrée dans cet étage. 30 Enfin la cage intérieure, qui auroit pa être légère & prefque entièrement à jour, n’eft percée que d’un petit nombre d’ouvertures.
    • On pourroit, fi l’emplacement le comportait, conftruire par un femblable artifice , un efcalier à quatre rampes féparées les unes des autres , pour monter à quatre appartements différents. Tel eft: celui dont on voit le deffin dans Palladio, & qu’on y lit avoir été pratiqué à Chambord. Sans doute celui de Serlio eût été bien plus beau, s’il eût été tel , attendu les quatre galeries dans lefquelles on avoit à déboucher; mais nous poy*-
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    • 358 Récréations Màthémaïiques. vons affûter que Pefcalier de Chambord n’eft qu’à deux rampes, & comme on l’a décrit plus haut.
    • Remarque.
    • IL y a d’autres efcaliers remarquables par une autre particularité, fçavoir, la hardieffe de leur conftruétion. Tels l'ont ces efcaliers à vis, dont le limon forme une fpirale, entièrement fufpendue en l’air , enforte qu’il refte au milieu un vuide plus ou moins grand. Cette conftru&ion hardie eft un effet de la coupe des marches , & de leur engagement par un bout dans la cage de l’efcalier. Mais on peut en voir le mécanifme plus au long, dans les livres de la coupe des pierres.
    • PROBLÈME Vf.
    • Comment on peut former le plancher d'un emplacement avec des poutrelles qui n'ont quun peu plus de la moitié de la longueur néceffaire pour atteindre d’un mur à l’autre.
    • Soit le quarré ABCD , par exemple , qu’il eft queftion de couvrir d’un plancher, avec des Éoli-ves qui ne font qu’un peu plus longues que la moitié d’un des côtés AB. Prenez fur les côtés du , 2, quarré les lignes AG , BI, CL, DE, égales à la io. longueur donnée des poutrelles, que vous difpo-ferez enfuite comme on voit dans la fig. io; c’eft-à-dire , vous placerez d’abord EF au deffous du bout F, de laquelle vous ferez paffer GH, dont le bout H fera foutenu par IK ; enfin le bout K fera porté fur LM , dont le bout M portera fur la première EF, 11 eft aifé de fe démontrer que, dans
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    • cette pofttion, elles s’entre-tiendront mutuellement fans tomber.
    • Il eft fuperflu de remarquer qu’il faut que le bout de chaque poutrelle foit taillé de maniéré à entrer dans une entaille femblable de la poutrelle fur laquelle il porte , & dans laquelle il doit être foli-dement entre-tenu.
    • Néanmoins , comme une entaille faite fur le corps de la folive, ne peut manquer d’en altérer beaucoup la force, j’aimerois mieux que le bout de chaque poutrelle portât Amplement fur un étrier de fer fuffifamtrçent large, & folidement attaché aux poutrelles.
    • Il n’eft pas même néceflaire que les poutrelles aient une longueur un peu plus grande que la moitié de la largeur de l’emplacement à couvrir: on pourroit former un plancher avec des bouts de bois beaucoup plus petits , en leur donnant la forme qu’on va voir, & les arrangeant de la maniéré convenable.
    • On fuppofe , par exemple, qu’on ait à couvrir un emplacement de 12 pieds en tout fens, & qu’on n’ait que des tronçons de bois de 2 pieds de longueur. Soit une de ces pièces de bois fur fon PI, champ ; vous en couperez les extrémités enbifeau , %•1 comme il eft repréfenté par la coupe A C D ou BEF,fig. 11. Au milieu de la mêmepiece, formez de chaque côté une entaille propre à loger le Bout d’une autre piece femblablement taillée. Cela fait, vous aurez un échafaudage mobile, fur lequel vous arrangèrez vos pièces de bois comme on le voit dans la figure, dont l’examen eft plus propre à faire fentir cet arrangement qu’un long difcours. Vous remplirez enfuite les efpaces oblongs qui relieront le long des murs, par des pièces de bois
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    • 3<$o Récréations Mathématiques.
    • de la moitié de la longueur des premiers. Vous pourrez en toute sûreté retirer l’échafaudage ; toutes ces pièces de bois formeront un plancher fo-lide , & s’entre-tiendront mutuellement,. pourvu que l’on n’en fupprime aucune , ou qu’aucune ne manque; cat on doit obferver que la rupture ou le dérangement d’une feule, fera écrouler tout le plancher à-Ia-fois.
    • Le doéleur Wallis a beaucoup varié ces com-binaifons, dans un écrit qu’on trouve à la fin du troifieme tome de fes œuvres ; & il dit qu’on a mis en ufage cette invention dans quelques endroits de l’Angleterre. Mais , par les raifons ci-deflus, je la regarde comme plus ingénieufe qu’utile , & bonne tout au plus à pratiquer, dans un befoin extrême de bois des dimenfions convenables , pour un plancher qui n’auroit rien à fup-porter.
    • Remarque.
    • Si , au lieu de pièces de bois, on fuppofoit des pierres taillées de la même maniéré, il eft évident qu’elles feroient une voûte plate; mais il faudrait alors, pour écarter le danger de la rupture, qu’elles n’euffent tout au plus que 2 pieds de longueur fur une hauteur & largeur convenables. On nomme communément cette voûte, la voûte plate de M. Abeille , parceque cet ingénieur la propofa en 1699 à l’Académie des Sciences. Elle a l’avantage de rejeter fa pouffée fur les quatre murs qui lui fervent d’appui ; au lieu qu’une voûte en plate bande, fuivant la méthode ordinaire, l’exerceroit contre deux feulement. Mais cet avantage eft trop compenfé parle danger de voir tout crouler, fi une feule pierre vient à manquer, M, Frézier a traité
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    • avec quelque étendue ce fujet, dans Ton ouvrage fur la coupe des pierres, & a montré comment on peut varier les compartiments tant d’intrados ou deffous, que d’extrados ou deffus , qu’on peut former avec ces voûtes. Mais, nous le répétons, tout cela eft plus curieux qu’utile, ou, pour mieux dire , cette conftru&ion eft fort dangereufe.
    • PROBLÈME VII.
    • Des trompes dans l'angle.
    • Un des ouvrages les plus hardis dans la coupe des pierres , eft l’efpece de voûte appelée trompe dans l'angle. Qu’on fe repréfente une voûte conique , comme SAFBS , élevée fur le plan d’un PL triangle ASB ; que du milieu de la bafe foient me- %• nées les deux lignes ED , EC, ordinairement parallèles aux côtés refpeftifs SD, SC, fur lefquels foient élevés deux plans perpendiculaires à la bafe, DEF, CEF : ils retrancheront du côté du fommet S, une partie de la voûte, comme FDSCF, dont la moitié CFDC fe trouvera en porte-à-faux. Cette partie tronquée de voûte conique FCSDF, eft ce qu’on nomme trompe dans l'angle, parceque ordinairement on la pratique dans un angle rentrant, pour foutenir une piece hors d’œuvre dans un édifice. Pour cet effet, on éleve fur les pans curvilignes DF, CF, des murs qui, quoique portants à faux, ne biffent pas d’avoir une folidité fuffifante, pourvu que la coupe des vouffoirs foit faite bien exactement, qu’ils foient d’une longueur fufR-fante pour être engagés dans la moitié qui ne porte point à faux, pourvu enfin que cette partie foit convenablement chargée.
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    • 362 Récréations Mathématiques.
    • On voit affez fréquemment de ces ouvrages; mais le plus fingulier, à ce que je crois, eft une trompe dans l’angle, qu’on voit à Lyon, foutenir une portion conlidérable d’une maifon fife fur le pont-de-pierre. On ne peut regarder fans quelque inquiétude l’encoignure de cette maifon qui eft élevée de trois ou quatre étages, faillir de plufieur-s toifes fur la riviere. On dit que c’eft l’ouvrage de Defargues, gentilhomme du Lyonnois , & géomètre habile du temps de Defcartes. Si cela eft * il y a environ 130 aris que cet ouvrage fubfifte ; ce qui femble prouver que ce genre de conftruc-tion a une folidité réelle, & plus grande qu’on ne iêroit porté à le croire.
    • Remarque.
    • Si la trompe eft droite, c’eft-à-dire portion d’un cône droit ASBF, & que les plans de feflion FED, FEC, foient parallèles à SC, SD , refpec-tivement, les courbes FD , FC, feront, comme l’on fiçait, des paraboles , ayant leur Commet en D, & CE ou DE pour axe. Or nous devons remarquer ici une curiofité géométrique , fçavoir que, dans ce cas , la furface conique FCSDF, quoique courbe & terminée en partie par des lignes courbes* ne laide pas d’être égale à une figure re&iligne ; car, qu’on tire DG parallèlement à l’axe SE, on démontre que la furface conique en queftion eft égale à une fois & un tiers le reftan-gle de SB ou SF par EG.
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    • PROBLÈME VIII.
    • Un architecte a un terrain quadrangutairc & irrégulier , ul que A B C D , & veut y planter un quinconce, enforte que toutes les lignes d'arbres, tant tranfverfales que diagonales -, foient en ligne droite. On demande comment il faudra qu'il s'y prenne.
    • Nous fuppofons ce quadrilatère tellement irré- PL3, gulier, que les côtés oppofés, AB, DC, concou- % *3-rent enfemble en un point F, & les deux AD,
    • CB, en un autre point E. Prolongez donc ces côtés deux à deux , jufqu’à leurs points de concours E & F, -que vous joindrez par une ligne droite FE; tirez enfuite par le point D, une parallèle à EF; prolongez auffi BC , B A , jufqu’à leurs concours H, G, avec cette parallèle ; après quoi di-vifez GD & DH en un même nombre de parties égales : nous fuppoferons ici ce nombre être de quatre. Enfin , des points de divifion de GD, tirez au point F , & de ceux de DH tirez au point E autant de lignes droites : ces lignes couperont les côtés du quadrilatère, & fe couperont entr’elles dans des points qui feront ceux où il faudra planter les arbres pour réfoudre le problème.
    • Nous pourrions nous borner, pour la démonstration, à renvoyer au problème XXIV de l’Optique , où nous avons montré comment le quadrilatère ABCD peut être la repréfentation perfpec-tive d’un parallélogramme donné. Toutefois nous allons donner ici de nouveau cette démonftration.
    • Par les points H & D, foient menées les lignes D a, H b9 inclinées à GH de 45 degrés de droite à gauche, & par les points G & D, deux autres
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    • 564 Récréations Mathématiques. lignes De, G b, pareillement inclinées de 45 degrés à GH, mais en fens contraire des premières : ces quatre lignes fe couperont néceflairement à angles droits, & formeront un re&angle a b c D , dont, par les réglés de perfpe&ive, le quadrilatère ABCD feroit la repréfentation pour un œil fitué en face du point I, qui partage EF en deux également , & qui eft a une diftance du plan du tableau égale à IF ou IE.
    • Suppofons donc le carré long abcï) divifé en carrés femblables par des lignes parallèles à fes côtés, au nombre de quatre, par exemple: ces lignes , étant prolongées jufqu’à leur rencontre avec GD & DH, les diviferont en un même nombre de parties égales : & de même que DC, GAB font les repréfentations perfpe&ives de D c, Gab, les lignes partantes des divifions égales de GD, & aboutiffantes au point F, feront les repréfentations perfpeâives des lignes parallèles à a b ou D c. 11 en fera de même des lignes parallèles aux deux côtés Da9cb. Donc les petits quadrilatères que formeront ces lignes, en fè coupant dans le quadrilatère ABCD, feront les images perfpec-tives des carrés longs qui divifent abc D. Or tous les points qui font en ligne droite dans l’objet, font auffi en ligne droite dans l’image : ainfi les lignes d’arbres qui feroient plantées aux angles des divifions du carré long abc D, formant né-ceflairement des lignes droites, tant dans les tranfi-verfales que dans les diagonales, leurs places dans le quadrilatère ABCD, qui font les images de ces angles dans le carré-long , formeront auffi des lignes droites dans le même fens ; car , dans les repréfentations perfpe&ives , les images des lignes droites font toujours des lignes droites.
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    • Architecture. $6$
    • Si les côtés a b , cD, oppofés du quadrilatère donné, étaient fort inégaux, il faudrait renoncer à les divifer en un même nombre de parties, car alors elles feroient trop inégales ; &, pour une pareille plantation , il faut que les carrés foient à peu de chofe des carrés parfaits. Par exemple , fi un côté a b étoit de 50 toifes, & l’autre de 20, en les divifant chacun en 10, les divifions d’un côté feroient de 5 , & de l’autre elles feroient de 2 toifes ; ce qui formerait des carrés trop oblongs. Il vaudroit mieux alors divifer le premier en 16 , & le fécond en 6 ; ce qui donnerait des divifions prefque quarrées , fqavoir, de 3 toifes j en un fens, & 3 toifes f dans l’autre; mais alors il n’y aura aucune ligne d’arbre en diagonale, foit dans le carré long abcD, foit dans le quadrilatère propofé ABCD. Du refte, en divifant alors l’une des lignes GD, DH , en 16 parties , & l’autre en 6, on aura toutes les lignes d’arbres de la figure irrégulière, en lignes droites.
    • Si l’on vouloit avoir un véritable quinconce *, il fuffiroit, après cette première opération, de tirer dans chaque petit quadrilatère de la plantation , les deux diagonales , & de planter un arbre dans leur interfeâion : tous ces nouveaux arbres formeront aufli des lignes droites.
    • 11 Le véritable quinconce eft celui 011, au milieu de chaque carré, il y a un arbre ; car le mot de quinconce vient de quincunx 3 qui annonte cinq arbres en carré ; ce qui ne peut être autrement.
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    • $66 Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME IX.
    • Conftruclion d'une charpente qui, fans entrait *, ri a aucune poujfée fur les murs fur lefquels elle repofe.
    • K I vu à Paris, dans un jardin du fauxbourg Saint-Honoré , un petit bâtiment formant une efpece de tente, dont les murs n’avoient que quelques pouces d’épaiflfeur , & qui étoit couvert d’un toit fans entraits : le tout étant tapiffé intérieurement , on eût cru être dans une tente. C’étoit l’appartement d’été pendant la journée, & un lieu vraiment délicieux.
    • Une des furprifes qu’occafionnoit cet endroit à ceux qui avoient quelque connoiffance de la conftruâion, étoit comment on s’y étoit pris pour établir fans entrait le toit de ce petit bâtiment ; car, quelque léger qu’il fut, les murs étoient lî peu épais, que toute toiture ordinaire les auroit renverfés. En voici l’artifice, qu’on nous a dit être l’ouvrage de M. Arnoulf , chargé de la manœuvre des théâtres des Menus-Plaifirs. pj. j ^ Sur les deux fablieres AB, a b, foient d’abord éta-fig. 14. blis & foutenus les deux arrêtiers CD, ED, affem-blés foliaement l’un avec l’autre au fommet D. Des angles que font en C & F ces deux arrêtiers , partiront auffi deux autres pièces FH, GI, fermement aftemblées en G & F avec les fablieres, en I
    • * On appelle en archite&ure entrait, cette poutre horizontale qu’on pofe fur les murs d’un bâtiment, & fur laquelle on établit les pièces montantes & inclinées qui forment le faite.
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    • Architecture. 367
    • & H avec les arrêtiers, 8c l’un 5c l’autre en K , par une entaille double artiftement faite. Enfin, pour plus de sûreté , qu’en M 8c L foient placées deux petites traverfes , l’une liant les pièces CD, FH, 8c l’autre les pièces FD , Gl : il eft évident que ces quatre pièces inclinées ne fçauroient avoir aucun mouvement pour s’écarter, 8c pouffer les murs fur lefquels font pofées les fablieres AB ; car elles ne peuvent s’écarter qu’en rendant l’angle D plus obtus. Or j pour cela , il faudroit que l’angle en K. le devînt lui-même ; mais les affemblages en I 8c H s’oppofent à un pareil mouvement: ainfi cette travée de charpente pofera fur les fablieres AB, ab ,fans les écarter en aucune maniéré, 8c elles n’exerceront aucune pouffée contre les murs.
    • Il eft aifé de fentir combien cet artifice peut avoir d’ufages dans l’architeélure. Il peut être précieux toutes les fois qu’on voudra couvrir un grand emplacement, en diminuant l’épaiffeur des murs, 8c en évitant i’afpeft défagréable des entraits apparents.
    • PROBLÈME X.
    • Du toifage des voûtes en eul-dc-four, furhaujfées & furbaijfées.
    • O N appelle en archite&ure , voûtes en cul-de-four, les voûtes fur un plan ordinairement circulaire , 8c dont la coupe par l’axe eft une ellipfe, ou , en terme de l’art, une anfe de panier. Elles different d’une voûte hémifphérique, en ce que , dans celle-ci, la hauteur du fommet au deffus du plan de la bafe , eft égale au rayon de cette bafe , au lieu que , dans les autres, cette hauteur eft plus
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    • 368 Récréations Mathématiques.
    • grande ou moindre. Si elle eft plus grande, la'
    • voûte fe nomme cul-de-four furhaujfé; fi elle eft moindre , on l’appelle cul-de-four furbaijfl.
    • PI. 4, Telles font celles qu’on voit pl. 4, fig. i5 & 16. fig. 15,16. La première eft une voûte en cul de-four furhaufle, & la fécondé en cul-de-four furbaifle. En langage géométrique , celle-là eft un demi-fphéroïde allongé , ou formé par la circonvolution d’une demi -ellipfe autour de fon demi-grand axe : celle-ci eft le demi-fphéroïde formé par la circonvolution de la même demi-ellipfe autour de fon demi-petit
    • Les livres d’architeclure donnent vulgairement des réglés fi faufles pour le toifage de la furface de ces voûtes, que nous ne pouvons réfifter à l’envie de donner des méthodes plus exaftes. Buliet, par exemple, & Savot, donnent tout fimplement pour réglé, de multiplier la circonférence de la bafe par la hauteur *; comme fi la voûte à toifer étoit hémifphérique. L’erreur eft groffiere ; & il eft étonnant qu’ils ne fe foient pas apperqus que , fi cela étoit exaét, il y a telle voûte en cul-de-four furbaifle, qui feroit moindre en furface que le cercle qu’elle couvre ; ce qui eft abfurde.
    • Car fuppofons , par exemple, une voûte d’un pied de hauteur fous clef, fur un cercle de 7 pieds de diamètre ; l’aire de ce cercle fera, fuivant l’approximation d’Archimede, égale à 38 pieds quar-rés & demi : mais, en multipliant la circonférence
    • * On voit dans les oeuvres de Monconys un bon para-logifme, commis fur ce fujet par un géomètre Lyonnois, que ce voyageur donne pour un habile géomètre , mais qui prouva par-là n’étre pas aufli habile que Monconys le crovoit. •
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    • Architecture. 369
    • 4i par un pied de hauteur , on n’auroit que zz pieds quarrés, ce qui n’eft pas même les deux tiers de la furface de la bafe. L’entrepreneur feroit ici lézé de plus du tiers de ce qui doit lui revenir. Nous allons donc donner, pour toifer la furface de ces voûtes , des réglés allez exactes pour l’ufage commun de l’architeéfcure.
    • I. Pour les Voûtes en cul-de-four furhaujfé.
    • Le rayon de la bafe & la hauteur d’un cul-de-four furhaulfé étant donnés , faites d’abord cette proportion; comme la hauteur eft au rayon de la bafe, ainfi celui-ci à une quatrième proportionnelle , dont vous prendrez le tiers , que vous ajouterez aux deux tiers du rayon de la bafe.
    • Cherchez enfuite la circonférence qui répon-droit à un rayon égal à cette fomme , & multipliez cette circonférence par la hauteur : vous aurez, à peu de chofe près, la furface du cul-de-four furhaulfé.
    • Exemple. Soit la hauteur io pieds , & 8 pieds le rayon de la bafe. Faites, comme io eft à 8 , ainli 8 à 6 fs 9 dont tiers » *es deux tiers
    • de 8 font 5 qui, joints avec z -f-, font 7 jj, ou 7 pieds 5 pouces 7 lignes.
    • Or la circonférence répondante à 7 p. 5P 71 de rayon , ou à 14 p. 1 ip il de diamètre , eft 44 p. 11P i1, ou 7* z p. iip I1,.ce qui doit être multiplié par i toife 4 pieds , hauteur de la voûte: on aura au produit 12* 1 p. iop 51.
    • On eut trouvé par la réglé de Bullet, 13' 5 p. 9p 81, dont la différence en excès eft une toife & demie , ou près du 8e du total, & ceia dans un cas où la voûte ne s’écarte pas beaucoup du plein Tome III, A a
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    • 370 Récréations Mathématiques. ceintre; car fi «elle s’en éçartoit beaucoup , l’erreor pourroit bien monter à un tiers.
    • II. Pour les Voûtes en cul-de-four furbaijp.
    • Qu’on propofe présentement un cul-de-four furbaiffé. La réglé fera encore, à fort peu de chofe près, la même. On cherchera, comme ci-deffus, une troifieme proportionnelle à la hauteur & au rayon de la bafe , on en ajoutera les deux tiers au tiers du rayon de la bafe, & on cherchera la circonférence répondante à un rayon égal à cette Somme : cette circonférence étant multipliée par la hauteur, on aura, à peu de chofe près , la fur-face cherchée.
    • Soit un cul-de-four furbaiffé , de 10 pieds de Tayon de bafe , & 8 pieds de hauteur fous clef. Faites d’aboTd , comme 8 font à io, ainfi io font à 12 pieds 6 pouces, dont les deux tiers font 8 p. 4P; le tiers de 10 pieds eft d’un autre côté 3 p, 4P, & la Somme eft 11 p. 8p.
    • Or la circonférence répondante à un rayon de 11 p. 8P, ou à un diamètre de 23 p. 4P, eft 73 p. 4P, ou 12e 1 p. 4P : multipliez ce nombre par la hauteur 8 p. ou 1 * aP, vous aurez 16* 1 p. 9P 41.
    • En fuivant la réglé de Bullet, on n’eût trouvé <jue 13* 3 p. 9P 81 ; oe qui fait 2* 1 p. 11P 81 d’erreur en défaut, ou environ ~ de la furface totale. Mais aufli il faut convenir que Bullet & Savot ne fe doutent même pas de géométrie tant foit peu au deffus de la plus élémentaire.
    • Remarque.
    • Il nous feroit facile de donner pour les géomètres des réglés plus exades ; car on iqait que la
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    • Architecture. 371
    • dirtienfion des furfaces de fphéroïdes allongés, dépend de la mefure d’un fegment elliptique ou circulaire tronqué, & celle des furfaces de fphé-roïde applatis , de la mefure d’un efpace hyperbolique ; conféquemment la première peut être déterminée au moyen d’une table de finus St d’arcs de cercle, St l’autre en employant une table de logarithmes.
    • Quant à la méthode que nous avons donnée ci-deflus, elle efl déduite d’après les mêmes principes ; mais en regardant un fegment de cercle ou d’hyperbole de médiocre étendue , comme un arc de parabole, ce qui n’expol'e qu’à une fort petite erreur, quand ce fegment ne fait lui-même qu’une petite partie de l’efpace à mefurer ; cette confidé-ratîon fournit, dans une infinité de cas, des réglés pratiques fort commodes.
    • Quelques architeéles diront peut-être ; que nous importe de connoître avec précifion la furface de ces voûtes } Ce n’efl pas quelques toifes de plus ou de moins qu’on doit confidérer ici. Je leur répondrai que, par la même raifon , ils devroient bannir toute efpece de toifé exaél ; ils devroient s’embarraffer peu qu’Archimede ait démontré que la furface d’un hémifphere efl égale à celle du cylindre de même bafe & de même hauteur ; ou , pour m’énoncer en leurs termes, que la furface d’une voûte en cul-de-four en plein ceintre , efl égale au produit de la circonférence de la bafe par la hauteur. S’ils emploient, à l’égard des voûtes dont nous parlons, des réglés aufli fautives, c’eft qu’ils les croient exa&es, & qu’elles leur ont été tracées par des gens qui ne fqavoient pas a fiez de géométrie pour en donner de meilleures.
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    • 37î Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME XI.
    • Mcfure des voûtes en arcs de cloître, 6* des voûtes d’arête.
    • Il arrive Couvent que, fur un emplacement quar-ré, ou quarré-long, ou polygone , on éleve une voûte formée de plufieurs berceaux, qui, prenant leur naifîance des côtés de la bafe, viennent Ce réunir à un point commun , comme en un Commet , & forment en dedans autant d’angles rentrants qu’il y a d’angles dans la figure qui fert de PL 4, bafe. Ces voûtes font appellées arcs de cloître. On fig. 17,18. en voit la repréfentation dans la fig. ij, pl. 4.
    • Mais fi un emplacement, quarré par exemple , eft voûté par deux berceaux comme dans la fig. 18 , qui femblent Ce pénétrer , & qui forment deux arêtes ou angles rentrants, qui Ce coupent au plus haut de la voûte, on appelle cette voûte , voûte d’arête.
    • Or voici ce qu’il y a de remarquable fur ces voûtes.
    • i° Toute voûte à arc de cloître à plein ceintre , fur une bafe quelconque quarrêe ou polygone , efi précifénient double en furface de la bafe ; de même qu’une voûte hémifphêrique, ou cul-de-four en plein ceintre, efi double en furface de fa bafe circulaire.
    • En effet, on peut dire qu’une voûte hémifphé-rique n’eft qu’une voûte à arc de cloître, fur un polygone d’une infinité de côtés.
    • Lors donc qu’on voudra mefurer la furface d’une voûte femblable , il fufiîra de doubler la furface de la bafe ; bien entendu que les berceaux fuffent en plein ceintre ; car s’ils étoient furhauffés ou fur-baiffes, ils auroient à la bafe le même rapport
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    • Architecture. 37î
    • qu’une voûte en cul-de-four furhauflee ou fur-baiflee au cercle de fa bafe.
    • 2° Une voûte a arc de cloître, & une voûte d'arête fur un quarré, forment enfemble les deux berceaux complets élevés fur ce quarré. Cela eft aifé de PI. 4, voir dans la fig. /C). fig. 19.
    • Ainfi , fi des deux berceaux on ôte la voûte à arcs de cloître , il refte la voûte à arêtes; ce qui fournit, dans ce cas, un moyen fimple de mefti-rer les voûtes d’arête : car fi de la fomme des fur-faces des deux berceaux, on ôte la furface de la voûte à arc de cloître , reftera celle de la voûte d’arête.
    • Soit, par exemple, la bafe de 14 pieds en tout fens ; la circonférence du demi-cercle de chaque berceau fera de 21 pieds, & la furface fera de 22 par 14, ou 308 pieds quarrés:les deux berceaux réunis enfemble, donneront donc 616 pieds quarrés. Mais la furface intérieure de la voûte à arc de cloître, eft deux fois la bafe , ou deux fois 196 ou 392 : ôtant donc 392 de 616, reftera 224 pieds quarrés pour la furface de cette voûte.
    • 30 Si l’on cherchoit la folidité intérieure d’une voûte à arc de cloître , on la trouveroit par la réglé fuivante.
    • Multiplie{ la bafe par les deux tiers de la hauteur; le produit fera la folidité cherchée : ce qui eft évident, par la même raifon que nous avons donnée plus haut, relativement à fa furface; car cette efpece de voûte eft, foit en folidité , foit en fur-face, au prifme de même bafe & même hauteur, en même rapport que l’hémifphere au cylindre cir-conferit.
    • 40 La folidité de l'efpace renfermé par la voûte A a iij
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    • 374 Récréations Mathématiques.
    • d’arête fur un plan quttrré ou quarré long, efi les Ai du folide de même bafe & même hauteur, en fuppofant du moins le rapport approché du diamètre à la circonférence du cercle, de 7 à 22.
    • Cela fe démontre auffi facilement, en faifant remarquer que le folide intérieur d’une pareille voûte , eft égal à la fomme des deux berceaux ou demi-cylindres, moins une fois la lolidité de la voûte en arc de cloître , qui dans ce double eft comprife deux fois, & conféquemment doit en être retranchée.
    • PROBLÈME XII.
    • Comment on pourrait conftruire un pont de bois de 100 pieds & plus de longueur, & d'une feule arche, avec des bois dont aucun nexcéderoit quelques pieds de longueur.
    • JE fuppofe que , pour la conftruéïion d’un pareil pont, on n’eût que des bois d’un équarriflàge allez fort, comme de 12 à 14 pouces, mais très-courts , comme d’une dixaine de pieds dé longueur, ou que des circor.ftances particulières em-pêchaffent de frapper des files de pieux dans la riviere , pour porter les poutres qu’on emploie dans de pareilles conftru&ions : comment pour-roit-on s’y prendre pour conftruire ce pont, no-nobftant ces difficultés ?
    • Je ne crois point que cela fût impoflible, & voici comment on pourroit l’exécuter.
    • Je commencerois par tracer fur un grand mur l’épure du pont projeté, en décrivant deux arcs concentriques à la diftance que comporteroit la longueur des bois à employer, que je fuppofe, par
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    • Architecture. m
    • exemple , de j© pieds ; je lui donnerois la forme d'un are de 90° d’une eulée à l’autre ; je diviferois en fuite cet aie en un certain nombre de parties égales , tel que l’are de chacune 11’excédât pas 5 ou
    • Dans la fuppofition , par exemple, que noua faifons iei d’une diflance de 100 pieds entre les deux culées, un arc de 90° qui la couvrirait, au-roit 110pieds de longueur, & fon rayon auroit 70 pieds. Je diviferois donc cet arc en n parties égales de 5 pieds chacune , & je formerois, avec les bois ci-defifus, des efpeces de vouffoirs de charpente de 8 ou 10 pieds de hauteur, fur 5 pieds de largeur à l’intrados, & 5 pieds 8 pouces 6, lignes à l’extrados ; car telle eft la proportion de ces ares, d’après les dimenfions ei-deflus. La fig. PL 20 préfente la forme d’un pareil vouffoir, qu’on fig* voit être formé de 4 pièces principales de bois fort, de 10 pouces au moins d’équarriffage, qui concourent deux à deux au centre de leur arc refpe&if; de trois traverfes principales à chaque face, comme AC, BD, EF, ac9 bd,ef, qui doivent être de la plus grande force, & pour cet effet avoir iz ou 14 pouces de champ fur 10 de largeur ; enfin de plufieurs traverfes latérales , & moindres entre les deux faces , pour les lier entre elles & en divers fens , afin de les empêcher de fléchir. On pourroit donner à cette efpece de vouffoir 6 pieds de longueur ou d’intervalle entre fes deux faces ÀEFB , a&fb.
    • On formera enfuite une travée de l’arc propofé avec ces vouffoirs de charpente, précifément comme fi c’étoient des vouffoirs de pierre. Enfin , lorfqu’on les aura affemblées, on liera enfemble les différentes pièces de cette charpente fuivant Aaiv
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    • 576 Récréations Mathématiques.
    • les réglés de l’art, Toit par des clavettes, Toit par des moifes, & on aura utie travée du pont. On en fera plufieurs l’une à-côté de l’autre, fuivant la largeur qu’on voudra lui donner, & on les liera pareillement aux premières, de forte à former un tout inébranlable. On aura, par ce moyen, un pont de bois d’une feule arche , que l’on auroit bien de la peine à élever par une autre conftruc-
    • II nous refie à examiner fi ces vouffoirs auront la force de réfifler à la preflion qu’ils exerceront les uns fur les autres. On n’en doutera point après le calcul fuivant.
    • On conclud des expériences de M. Mufchen-broeck, (Ejfais dePhyfique, T. I , ch. xj. ) & de la théorie de la réfiuance des corps, qu’une piece de bois de chêne, de 12 pouces d’équarrif-fage en tout fens , & de 5 pieds de longueur, peut foutenir debout jufqu’à 264 milliers fans fe brifer ; d’où il fuit qu’une traverfe comme AB ou EF, de 5 pieds de longueur & de 12 pouces fur 10 d’équarriffage., foutiendroit 220 milliers. Mais réduifons ce poids , pour plus de fureté, à 150 milliers : ainfi, comme nous avons fix traverfes de cette longueur , à quelques pouces plus ou moins , dans chacun de nos vouffoirs de charpente , il s’enfuit que l’effort que peut foutenir un de ces vouffoirs, eft au moins de 900 milliers. Voyons maintenant quel effort réel il a à porter.
    • J’ai trouvé, par le calcul que j’ai fait du poids abfolu d’un pareil vouffoir, & en le fuppofant même renforcé outre mefure, qu’il peferoit tout au plus 7 à 8 milliers, ou 7500 livres. Ainfi celui qui repoferoit immédiatement fur l’une des culées, & qui feroit le plus chargé, en ayant 10 à fup-
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    • Architecture. 377 porter, ne feroit chargé que d’un poids de 75000 livres, poids néanmoins qui, à caufe de la portion de ce vouffoir , exerceroit une preffion de 115 milliers; nous la fuppoferons même de 120 milliers. Ainfi l’on doit conclure de ce calcul, qu’un pareil pont auroit non-feulement la force de fe foutenir, mais encore celle de porter fans aucun danger de rupture les plus lourds fardeaux: on en conclura même qu’il feroit fupeiflu que les bois fuffent d’un li fort équarriftage.
    • Si l’on comparoit la dépenfe d’un pareil pont à celle qu’entraîne la méthode ordinaire, on trou-veroit peut-être aufli qu’elle eft beaucoup moindre ; car un de nos voufîoirs ne contiendroit pas plus de 45 à 50 pièces de bois *; ce qui, à raifon de 600 liv. le cent, y compris les façons qui font fort fimples, ne feroit qu’une fomme de 300 liv. environ, & les 22 d’une travée 6600 liv. : con-féquemment, en en fuppofant quatre , ce feroit une fomme de 26400 liv. Il y auroit, je l’avoue , enfuite bien d’autres dépenfes à faire pour compléter un pareil pont; mais il eft ici moins quef-tion de la dépenfe, que de la pofîibilité de l’exécution.
    • L’idée d’un pareil pont m’eft venue à l’occafion d’un paflage dangereux dans la province de Cufco au Pérou. On y traverfe un torrent qui coule entre deux rochers, éloignés d’environ 125 pieds, & a plus de 150 pieds de profondeur. Les naturels du pays y ont établi une Taravita ** où je faillis
    • * Ge qu’on appelleriez, en langage de charpente, eft la quantité de 3 pieds cubes.
    • ** C’eft un pont indien, dont l’idée feule fait frémir. On met un homme dans un grand panier tait de lianes du
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    • 378 Récréations Mathématiques.
    • périr. Arrivé à la ville la pins voifine, je réfléchis profondément fur les moyens de faire en ce lieu un pont de bois, & je trouvai cet expédient. Je propofai mon projet au corrégidor don Jayme Alon^o y Cuniga, homme fort inftruit, ÔC qui, aimant les François, me reçut très-bien. Il goûta fort mon idée, & convint qu’avec mille piaftres on pourroit faire dans cet endroit un pont de iz pieds de largeur , que tout le Pérou viendroit voir par curiofité. Mais étant parti trois jours après, je ne fçais fi ce projet, dont cet honnête homme étoit enchanté, a eu quelque exécution.
    • Il eft à remarquer qu’il feroit facile d’arranger les voufToirs d’un pareil pont, de maniéré à pouvoir au befoin en extraire un pour y en fubftituer un autre ; ce qui fourniroit le moyen d’y faire toutes les réparations néceffaires.
    • PROBLÈME XIII.
    • Ejî-il pojjîble de faire une plate-bande qui naît aucune pouffèe latérale ?
    • Il feroit fort avantageux de pouvoir exécuter un pareil ouvrage ; car un des obftacles qu’éprouvent
    • pays ; ( ce font des plantes farmenteufes , dont les habitants de l’Amérique font prefque tous leurs ouvrages de vannerie.) D’un côté du torrent à l’autre, eft tendu un cable de la même matière, fur lequel roule une poulie à laquelle le panier eft attaché par une corde fem-blable. Quand on eft embarqué dans cette machine, on vous tire d’un côté à f autre par une corde attachée près de la poulie. Si cette corde fe rompt, on refte ainfi fuf-pendu quelques heures , jufqu’à ce qu’on y ait trouvé remede. On peut juger que la fituation eft fort intéref-l'ante pour ceux qui s’y trouvent.
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    • 379
    • ARCHITECTURE.
    • les archite&es à employer des colonnes, vient fouvent de ta pouffée de leurs architraves, ce qui exige que les colonnes latérales foient butées par des maffifs, ou doublées : c’eft l’embarras qu’on éprouve fur - tout lorfqu’on fait des porches ifo-lés & en faillie au devant d’un édifice, comme celui deSainte-Genevieve: les deux plates-bandes, celle de la face & celle du côté, pouffent la colonne ou les colonnes d’angles de telle maniéré qu’on a beaucoup de peine à les affurer ; & l’on eft même obligé d’y renoncer, li l’on ne trouve pas des pierres affez grandes pour pouvoir faire des architraves d’une feule piece d’une colonne à l’autre, au moins dans les travées les plus voifines des angles.
    • On éviteroit ces difficultés, (i l’on pouvoit faire des plates-bandes fans pouffée. Or c’eft ce que je ne crois point impoffible ; je crois même avoir trouvé un mécanifme propre à remplir cet objet. Je le donnerai quelque jour, lorfque j’aurai pu en faire l’épreuve en petit. On me permettra de propofer en attendant le problème aux archite&es mécaniciens , & je m’eftimerai heureux (i j’excite quelqu’un d’eux à le réfoudre.
    • PROBLÈME XIV.
    • Efl-ce une perfection dans réglife de Saint-Pierre de Rome, quen la voyant pour la première fois on ne la juge point aufjî grande quelle Ve fl réellement, & qu’elle paroît apres C avoir parcourue?
    • 0.UO1QUE nous ayons annoncé au commencement de cette partie de notre ouvrage , que nous nous interdirions ce qui eft purement ma*
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    • 380 Récréations Mathématiques. tiere de goût , cependant , comme la queflion ci-deflus tient à des raifons phyfiques & métaphysiques , nous avons cru pouvoir lui donner place
    • J’ai ouï vanter plus d’une fois, tomme un effet de la perfe&ion de Péglife de Saint-Pierre de Rome, l’impreffion qu’elle fait au premier abord. Il n’eft perfonne, à ce que j’ai lu &c entendu dire, qui, entrant pour la première fois dans cette basilique , ne juge fon étendue fort au deSTous de ce que la renommée en publie. Il faut l’avoir parcourue , & en quelque forte étudiée, pour concevoir une idée jufte de fa grandeur.
    • Avant de hafarder notre avis, il n’eft pas inutile d’examiner les caufes de cette première im-preffion. Nous penfons qu’elle a deux fources.
    • La première eft le peu de parties principales dans lesquelles cet immenfe édifice eft divifé ; car il n’y a que trois arcades latérales, depuis l’entrée jufqu’à la partie du milieu qui conftitue le dôme. Or, quoique de divifer une grande mafie en beaucoup de petites parties , ce Soit d’ordinaire en diminuer l’effet, il y a cependant un milieu à tenir, & Michel-Ange nous paroît avoir refté trop en deçà.
    • La fécondé caufe de l’impreffion que nous ana-lyfons, eft la grandeur exceffive des figures & des ornements qui fervent d’accefloires à ces principales parties. En effet, nous ne jugeons des grandeurs auxquelles nous ne pouvons atteindre , que par comparaifon avec les objets qui leur font voifins, & dont les dimenfions nous font familières. Mais fi ces objets dont les dimenfions nous font connues, ou à peu près données par la nature, en accompagnent d’autres ayec lelquels
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    • Architecture. 381
    • ils aient un rapport trpp approchant de l’égalité, il s’en enfuivra néceffairement que ces derniers perdront, dans l’imagination du fpe&ateur , une partie de leur grandeur. Or tel eft le cas de l’é-glife de Saint-Pierre de Rome : les figures placées dans les niches qui décorent le nud des piliers des arcades , entre les pilaftres, celles qui décorent les tympans des arcades latérales , font à la vérité gigantefques ; mais ce font des figures humaines ; elles font d’ailleurs , pour la plupart, élevées très-haut : ainfi elles paroiffent moindres , St font pa-roître moindres les parties principales qu’elles .accompagnent.
    • Il eft des perfonnes à qui cette illufion paroît un chef-d’œuvre de l’art St du génie du célébré archite&e, principal auteur de ce monument : me fera-t-il permis de ne pas être de leur avis} Car quel eft l’objet qu’ont eu les auteurs de cet im-menfe édifice, St qu’auront toujours ceux qui en éléveront qui excédent les mefures ordinaires ? C’eft fans doute d’exciter l’étonnement St l’admiration. Je fuis convaincu que Michel - Ange eût été mortifié, s’il eût entendu un étranger arrivé récemment à Rome, St entrant pour la première fois dans Saint-Pierre, dire comme prefque tout le monde : Voilà une églife dont on publie par-tout rimmenjité: elle ejl grande, il ejl vrai ; mais elle ne l'ejl pas autant qu'on le dit.
    • Il y auroit, ce me femble , bien plus d’artifice à conftruire un édifice qui, médiocrement grand , faisît tout-à-coup l’imagination par l’idée d’une étendue confidérable, que d’en conftruire un im-menfe qui, au premier abord , paroît médiocre. Je ne penfe pas que les avis puiflent être partagés fur cela. Quelle que foit donc la perte&ion qu’on
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    • 381 Récréations Mathématiques. ne peut refufer à l’églife de Saint-Pierre, en ce qui concerne l’harmonie des proportions, la belle St noble architecture, nous croyons que Michel-Ange a manqué Ton but quant à l’objet que nous confidérons ici, & il eft probable que des accef-foires moins gigantefques l’en enflent rapproché. Si, par exemple, les enfants qui portent les bénitiers enflent été moins grands, fi les figures qui accompagnent les archivoltes de fes arcades latérales enflent été moins énormes, ainfi que celles qui décorent les niches qui font entre fes pilaftres, la comparaifon des uns avec les autres eût fait pa-roître les parties principales beaucoup plus grandes. On l’éprouve lorfque , retirant les yeux de defîiis ces objets gigantefques, on les porte fur un homme qui eft vers le milieu ou l’autre extrémité de l’églife : c’eft alors que, comparant (à grandeur propre avec celle des parties principales de l’édifice qui l’avoifinent , on commence à prendre une idée de fon étendue, & qu’on eft pénétré d’étonnement : mais cette fécondé impreflion eft l’effet d’une forte de raifonnement ; & ce fentiment n’a plus la même énergie quand il eft produit de cette maniéré, que lorsqu’il eft l’effet d’une première
    • Pendant que nous difcutons cette matière, nous fera-t-il permis de faire ici quelques obfervations fur les moyens d’aggrandir , pour ainfi dire, un efpace à l’imagination ? Il nous a paru que rien n’y contribue davantage que des colonnes ifolées, je veux dire par-là non engagées ; car , du refte, qu’elles foient accouplées, groupées, elles pro-duifent toujours plus ou moins cet effet, quoique fans doute il vaille mieux les employer {impies. Il en réfulte, à chaque pofition du fpeÔateur, des
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    • perces différents , & «ne variété d’afpe&s qui étonne l’imagination & qui la trompe.
    • Mais il faut, lorsqu’on emploie des colonnes , qu’elles foient grandes : autant elles font alors ma-jeftueufes, autant font-elles, à mon avis, mef-quines lorlqu’elles font petites, & fur-tout portées par des piédeftaux. La cour du Louvre , quoique d’ailleurs très belle, en impoferoit bien davantage, fi fes colonnes, au lieu d’être guindées fur des piédeftaux maigres, partoient de terre Amplement élevées fur un focle , comme l’on voit celles de quelques veftibules de ce palais. On diroit, & je fuis tenté de le croire, que les piédeftaux ont été inventés pour faire fervir des colonnes de hafard , qui n’avoient pas les dimenfions requifes pour l’édifice.
    • Si donc Michel-Ange, au lieu de former fes travées latérales d’immenfes arcades fupportées par des piliers décorés de pilaftres, y eût employé des groupes de colonnes ; fi , au lieu de ne mettre que trois travées d’arcades latérales entre l’entrée & la partie du dôme, il y en eût mis un plus grand nombre, ce que cette difpofition lui eût permis ; fi les figures employées au milieu de cette décoration n’euffent pas exceffivement furpaffé le naturel ; nous ne doutons point que, dès le premier afpeét, on n’eût été frappé d’étonnement, & que la bafilique n’eût paru beaucoup plus grande.
    • Mais il faut remarquer en même temps que, dans le fiecîe de Michel-Ange, on n’avoit pas fur la réfiftance des matériaux, & fur la phylïque ou la mécanique de l’architeêlure , les lumières qu’on a aujourd’hui. Il eft probable qu’il n’eût pas ofé charger des colonnes, même groupées , d’un poids auffi confidérable que celui qu’il avoit à
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    • 384 Récréations Mathématiques.
    • élever au deffus de Tes piliers. Mais des expériences récentes fur la force des pierres, prouvent qu’il n’eft prefque pas de poids qu’une colonne ifolée, de fix pieds de diamètre, faite de bonne pierre bien dure, bien choisie & bien appareillée, ne foit capable de fupporter. Nos anciennes églifes, affez mal-à-propos appelées gothiques, en font la preuve ; car on en voit quelques-unes dont toute la mafferepofe fur des piliers ayant à peine fix pieds de diamètre & quelquefois moins : auffi préfentent-elles en général un air d’étendue que l’architeflure grecque, employée dans les mêmes lieux , ne donne point.
    • récréations
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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES.
    • DIXIEME PARTIE,
    • CONTENANT les pratiques les plus eu« rieufes & les plus récréatives de la Pyrotechnie.
    • JE ne fçais d’où vient l’ufage où l’on efl: de mettre la pyrotechnie au nombre des parties des mathématiques. Quiconque voudra y faire attention, fe convaincra facilement que c’eft un art qui n’eft nullement mathématique , quoiqu’on y fafle ufage de dimenlïons , de proportions, &c. Il eft un grand nombre d’autres arts qui pour-roient, à plus jufte titre , être rangés parmi ces fciences.
    • Quoi qu’il en foit, comme on défapprouveroit Tome III. B b
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    • 3§S Récréations Mathématiques.
    • probablement notre filence fur cet art, qui préfente une matière confidérable à l’amufement, &c comme il tient du moins à la phyfique , nous allons en faire l’objet d’une des parties de cet ouvrage. Au relie nous n’avons nul delfein de donner un traité complet de pyrotechnie ; nous nous bornerons à ce qu’il y a de plus commun & de plus curieux : nous en écarterons auffi tout ce qui a trait à l’art funefle de détruire les hommes. Nous ne trouvons rien de récréatif dans le mouvement d’un boulet qui emporte des files de foldats, ni dans i’aclion d’une bombe ou d’un globe à feu qui incendie une ville. Les éditeurs précédents, & continuateurs de M. Ozanam, avoient apparemment l’efprit fort militaire, s’ils n’ont vu dans cela qu’une récréation honnête. Pour nous, qui avons puifé dans l’heureufe Penfylvanie d’autres principes , nous frémirions de nous occuper, par forme d’amufement, de pareilles atrocités.
    • La pyrotechnie, telle que nous l’envifageons ici, efl donc l’art de manier le feu , & de former, au moyen de la poudre à canon & autres matières inflammables , diverfes compositions , agréables aux yeux par leur forme & leur éclat. Tels font les fufées, les ferpenteaux, gerbes de feu, foleils fixes ou tournants, & autres pièces d’artifice, employées dans les décorations &: feux de joie.
    • La poudre à canon étant l’ingrédient le plus commun qu’on emploie dans la pyrotechnie, nous devons commencer par parler de fa composition,,
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    • PYROtECHNIE.
    • 387
    • SECTION PREMIERE.
    • De la Poudre à canon.
    • LA poudre à canon eft une compofition de foufre , de falpêtre & de charbon pulvérifés : ces trois ingrédients, mêlés enfemble à des dofes convenables, forment un tout dont l’inflammabi-lité eft prodigieufe, telle enfin que le hafard feul pouvoit la faire connoître. Une étincelle fuffit pour enflammer, dans un inftant prefque indivifi-ble , la maffe la plus confidérâble de cette compofition. L’expanfion que reçoit tout-à-coup, foit l’air logé entre les interftices de fes grains, foit l’acide nitreux , qui eft un des éléments du fal-t pêtre, produit un effort auquel rien ne peut réfil-ter, & les plus lourdes maffes font chaflees avec une viteffe inconcevable. Tel eft l’effet de la poudre à canon, effet que la méchanceté des hommes n’a pas tardé d’appliquer à leur deftruc-tion. Difons pourtant que cette invention , fi fou-vent qualifiée de diabolique., n’eft pas aufli funefte à l’humanité qu’elle le paroît du premier abord : les combats femblent être devenus moins meurtriers , depuis qu’on y en fait principalement ufage ; & , comme le remarque le célébré Maréchal de Saxe , le bruit & la fumée des armes à feu , dans une bataille, font plus confidérables que leur exécution. Exceptons-en néanmoins le canon, quand il eft bien dirigé. Mais revenons à notre fujet, & donnons une idée de la fabrication de la poudre.
    • r k ;;
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    • 388 Récréations Mathématiques.
    • Le foufre eft, comme l’on fçait, un mixte compofé de l’acide vitriolique combiné avec le phlogiftique ou le feu principe. On n’entendra ceci que quand on aura lu la partie chymique de cet ouvrage.
    • Le falpêtre eft un fel formé de la combinaifon d’un acide particulier , appelé l’acide nitreux, avec l’alkali fixe végétal. La propriété de cet acide, qui fert de bafe à la poudre , eft la celle qu’elle a de détonner aufli-tôt qu’elle eft touchée par un charbon enflammé. 11 faut néceffairement, pour produire cet effet , une matière charbon-neufe en feu ; car un fer rouge ne le produiroit pas ; & c’eft-là la raifon pour laquelle le charbon pulvérifé eft un ingrédient néceffaire de la poudre.
    • Il eft fuperflu de décrire le charbon ; il fuffit de dire que le charbon qui a été trouvé le plus propre à la compofition de la poudre, eft celui du fufain ou bourdaine.
    • Pour faire de la poudre, prenez donc ,
    • 100 livres de njtre bien purifié & pulvérifé, 25 livres de foufre bien pur & en poudre, 25 livres de charbon en poudre; mêlez ces trois ingrédients enfemble, & ajoutez-y une quantité d’eau fuffifante pour les réduire en une pâte humide. Mettez le tout dans un mortier de bois ou de cuivre, &, avec un pilon auffi de bois ou de cuivre , ( pour prévenir l’inflammation) pilez ces matières pendant vingt-quatre heures, pour les bien mélanger, en ayant l’attention de les tenir toujours médiocrement humides. Lorfque le tout fera bien incorporé, verfez cette matière fur un tamis percé de petits trous de la groffeur
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    • Pyrotechnie. 3 $9
    • que vous voulez donner à la poudre. En l’y pref-fant deffus, & fecouant le crible , elle paffera toute en grains, qu’il faudra faire fécher au foleil ou dans une étuve fans feu. Lorfqu’elle fera feche , on la renfermera dans des vafes qui la tiennent à l’abri de l’humidité.
    • Tout le monde fçait que l’ufage confidérable qu’on fait de la poudre, a fait inventer une machine qu’on appelle moulin à poudre. ; que cette machine confifte en un arbre tournant au moyen d’une roue mue par un courant ; que cet arbre eft garni, dans toute fa longueur, de bras faillants qui foulevent fuccelfivement une fuite de pilons , & les laiffent retomber ; qu’au deffous de ces pilons font autant de vafes ou mortiers de cuivre, qui contiennent la matière à broyer & à incorporer ; qu’enfin cette machine eft un fort mauvais voifin : car, malgré les précautions que l’on prend, il en eft peu qui ne fautent en l’air de temps à autre : c’eft pourquoi il eft très à propos qu’elles foient éloignées des villes.
    • Voilà à peu près tout ce qu’il convient de fça-voir ici fur la fabrication de la poudre. Difons quelques mots fur les caufes phyflques de fon inflammation & de fon explofion.
    • La poudre étant compofée des ingrédients ci-deffus, lorfqu’une étincelle, excitée par le briquet ou la batterie du fufil, tombe fur ce mixte, elle met le feu à quelque parcelle de charbon. Cette parcelle enflammée fait détonner, & réduit en flamme le nitre avec lequel elle eft mélangée ou. contiguë, ainfi que le foufre, dont la combufti-bilité eft reconnue. Voilà donc tout-à-coup les parcelles de charbon contiguës à la première , qui font enflammées elles-mêmes , & qui produifent B biij
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    • 390 Récréations Mathématiques.
    • le même effet à l’égard de la maffe environnante * ainfi la première parcelle embrafée en embrafe cent contiguës, &c ces cent portent Pembrafement dans dix mille, ces dix mille dans un million. On fent aifément qu’une inflammation dont la progreffion eft aufli rapide , ne peut manquer de s’étendre, dans un temps extrêmement court, d’un bout à l’autre de la plus grande maffe.
    • Nous remarquerons encore à l’appui de cette explication , que la poudre grainée s’enflamme beaucoup plus rapidement que celle qui ne l’eft pas. Celle-ci ne fait que fufer affez lentement, pendant que l’autre prend feu prefque fubitement; & parmi les poudres grainées, celle qui l’eft en grains ronds, comme la poudre de Suiffe , s’enflamme plus rapidement que celle qui l’eft en grains irréguliers oblongs, &c. comme les poudres fran-qoifes. Cela vient de ce que la première laiffe à la flamme des premiers grains enflammés, des interfaces plus grands & plus libres ; ce qui fait que l’inflammation marche à proportion plus rapide-
    • Quant à l’expanfion de la poudre enflammée, eft-ce l’air interpofé entre fes grains, qui en eft la caufe, ou le fluide aqueux qui entre dans la com-pofifion du nitre, qui produit cette expanfion ? Je doute que ce foit l’air ; fon expanfibilité ne me paroit pas fufiire à expliquer le phénomène : mais on fçait que l’eau, réduite en vapeurs par le contai de la flamme, occupe un efpace 14000 fois plus grand que fon volume primitif, & que fa force eft très-confidérable. C’eft ce qui me fait penfer que c’eft l’acide nitreux qui, dans l’inflammation, fe, réduit en vapeurs , & que telle eft la caufe de la violence avec laquelle agit la poudre,
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    • Pyrotechnie. 39, Remarques.
    • I. Ainfi c’eft une imbécillité que de croire à ce qu’on appelle la poudre blanche, c*eft-à-dire à une poudre qui chaffe une balle fans aucun bruit ; car il ne peut y avoir de force fans expanlion fu-bite, & d’expanfion fubite fans choc de l’air, ce qui produit le fon.
    • II. C’eft une puérilité que d’enfeigner, comme l’on fait dans les précédentes éditions de cet ouvrage , à faire de la poudre rouge, verte , bleue , &c. ; car à quoi bon cela?
    • Nous allons donc pafîer à notre objet principal, fqavoir, la conftru&ion des pièces d’artifice les plus ufitées 61 les plus curieufes.
    • SECTION IL
    • Conjlruclion des Cartouches de Fufées volantes.
    • LA fufée eft un cartouche, ou canon de carton , qui, étant plein en partie de poudre à canon , de falpêtre & de charbon, s’élève de lui-même en l’air lorfqu’on y applique le feu.
    • Il y a trois fortes de fuféès : les petites, dont le calibre n’excede pas une livre de balle , c’eft-à-dire dont l’orifice a pour largeur le diamètre d’une balle de plomb qui ne pefe pas plus d’une livre » car on meftire les calibres ou orifices des moules ou modèles des fufées , par les diamètres de balles de plomb. Les moyennes, qui portent depuis une livre iufqu’à trois livres de balle ; & les grandes *
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    • 39i Récréations Mathématiques,
    • qui portent depuis trois livres jufqu’à cent livres de balle.
    • x ' Pour donner à ce cartouche une même lon-gueur & une même épaiffeur, afin qu’on puiffe faire autant de fufées qu’on voudra d’une même portée & d’une égale force, on le met dans un cylindre concave folide , ou piece folide concave tournée exa&ement au tour, qu’on appelle modèle , moule & forme. Ce modèle eft quelquefois de métal ; il doit être au moins de quelque bois très-dur.
    • Il ne faut pas confondre ce moule ou modèle, avec une autre piece de bois qu’on appelle bâton , autour duquel on roule le carton ou gros papier qui fert à faire le cartouche. Le calibre du moule étant divifé en huit parties égales, on en donne cinq au diamètre du bâton , qui eft ici repréfenté PL j par la lettre B, & le moule par la lettre A. Le fjg. i, refte de l’efpace qui fe trouvera entre le bâton & la furface intérieure du moule, c’eft-à-dire les trois huitièmes du calibre du moule, fera rempli exactement par le cartouche.
    • Comme on fait des fufées de différentes grandeurs , on doit aufli avoir des moules de différentes hauteurs & groffeurs. Le calibre d’un canon n’eft autre chofe que le diamètre de la bouche du canon ; & l’on appellera ici le calibre d’un moule, le diamètre de l’ouverture de ce moule.
    • La groffeur du moule fe mefure par le calibre de ce moule. La hauteur du moule n’a pas , dans les fufées différentes, la même proportion avec fon calibre, car on diminue cette hauteur à mefure que le calibre augmente. La hauteur du moule, pour les petites fufées, doit être fextuple de fon calibre. Mais il fuffit que la hauteur du moule a
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    • Pyrotechnie; 393
    • pour les moyennes & les grandes fufées, foit quintuple ou même quadruple du calibre de leurs moules.
    • On donnera à la fin de cette Seétion deux tables , dont l’une fervira à connoître les calibres des moules au deffous d’une livre de balle, & l’autre fervira à connoître les mêmes calibres, depuis une livre jufqu’à cent livres de balle.
    • On fe fert de gros papier ou de carton pour former les cartouches. On roule ce papier autour du bâton B, & on le colle avec de la colle faite PI. de fine farine détrempée dans de l’eau. Ce papier %• roulé doit avoir un huitième & demi du calibre du moule, félon la proportion qu’on a donnée au diamètre du bâton ou baguette B. Mais fi on vou-loit donner au diamètre de ce bâton les troisquarts du calibre, du moule , on donneroit à l’épailfeur du cartouche un douzième & demi de ce calibre.
    • Quand le cartouche eft formé, on retire en tournant la baguette B , jufqu’à ce qu’elle foit éloignée du bord du cartouche de la longueur de fon diamètre. On paffe fur le cartouche, à l’endroit où fe trouve l’extrémité du bâton, une ficelle , à laquelle on fait faire deux tours ; & dans le vuide qui a été laiffé au cartouche, on fait entrer une autre baguette ou bâton, de maniéré qu’il refte quelque efpace entre ces deux bâtons. Cette ficelle doit être arrêtée par un bout à un clou attaché à quelque chofe de ferme , & avoir à l’autre bout un bâton que l’on paffe entre les jambes , de forte qu’il demeure au derrière de celui qui étrangle le cartouche. Alors on tire la ficelle en reculant, & on ferre le cartouche jufqu’à ce qu’il ne demeure au dedans qu’une ouverture où l’on puiffe faire entrer la broche du culot DE.
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    • 394 Récréatîons Mathématiques.
    • Cela étant fait, on ôte la corde qui fervoit â étrangler, & à fa place on met une autre ficelle; on la ferre bien fort, en lui faifant faire plufieurs tours, & on l’arrête par des nœuds coulants, que l’on fait les uns fur les autres.
    • Outre le bâton B, on fe fert encore d’une ba-PL i, guette C , qui, fervant à charger le cartouche , % i. doit être tant foit peu plus petite que le bâton B , afin qu’elle puifle entrer à l’aife dans le cartouche. Cette baguette C eft percée dans fa longueur allez profondément pour recevoir la broche du culot DE, qui doit entrer dans le moule A , & fe joindre exactement à fa partie inférieure. La broche, qui va en diminuant, entre dans le cartouche par l’endroit qui eft étranglé : elle fert à conferver un trou au dedans de la fufée. Elle doit être haute d’un peu plus des deux tiers de la hauteur d« moule, lorfqu’il n’a point fon culot. Enfin , fi on donne à fa bafe l’épaifleur du quart du calibre du moule , on donnera à fa pointe un fixieme du même calibre.
    • Il eft clair qu’on doit avoir au moins trois baguettes , telles que C, qui foient percées à proportion de la diminution de la broche, afin que la poudre , qu’on frappe à grands coups de maillet, foit également entaffée dans toute la longueur de la fufée. On voit bien aufli que ces baguettes doivent être faites d’un bois fort dur, pour pouvoir réfifter aux coups de maillet.
    • Il eft plus commode de ne point fe fervir de broche en chargeant les fufées : lorfqu’elles font chargées fur un culot fans broche, avec une feule baguette maflive, on les perce avec une tariere vuide, & un poinçon mis au bout d’un vilbrequin* On obferve cependant de faire ce trou dans h
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    • Pyrotechnie. j9J
    • proportion qu’on a donnée à la diminution de la broche du culot, c’eft-à-dire que l’extrémité du trou qui eft à l’étranglement du cartouche, doit avoir environ le quart du calibre du moule ; Sc l’extréinité du trou qui eft dans l’intérieur, environ aux deux tiers de la fufée, doit avoir le fixieme du même calibre. Il faut que le trou qu’on fera , pafle directement par le milieu de la fufée. Au refte Pexpérience &: l’induftrie feront connoître ce qui fera plus commode, & comment on peut varier la maniéré de charger les fufées, que nous allons expliquer.
    • Après avoir placé le cartouche dans le moule, on y verfe peu à peu la compofition préparée, en obfervant de n’y mettre qu’une ou deux cuillerées à-la-fois , que l’on battra auffi - tôt avec la baguette C , en frappant perpendiculairement deflus avec un maillet de grofteur proportionnée , & en donnant un nombre égal de coups, par exemple 3 ou 4 , à chaque fois qu’on • compofition.
    • Quand le cartouche fera re moitié de fa hauteur, on fépare la moitié des doubles du carton qui refte , on les repliera fur la compofition , & on les foulera avec la baguette quelques coups de maillet, pour preffer le carton replié fur la compofition.
    • On percera ce carton replié de 3 ou 4 trous, PL avec un poinçon , qu’on - fera entrer jufqu’à la compofition de la fufée , comme l’on voit en A. Ces trous fervent à donner communication du corps de la fufée à la chaffe, qui n’eft autre chofe que l’extrémité du cartouche qu’on a laiffée vuide.
    • Dans les petites fufées on remplit cette chafle de poudre grainée, qui fert à la faire péter ; puis
    • :rfera de nouvelle
    • npli jufques vers la a avec un poinçon
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    • 396 Récréations Mathémaïiques, on la couvre de papier, & on l’étrangle comme on a fait à l’autre extrémité. Mais , dans les autres fufées, on y ajufte le pot, qui contient les étoiles, les ferpenteaux, les fufées courantes, comme on le verra plus loin.
    • On peut néanmoins fe contenter de faire, avec une tariere ou avec un poinçon , un feul trou , qui ne foit ni trop large ni trop étroit, comme d’un quart du diamètre de la fufée , pour donner feu à la poudre, en prenant garde que ce trou foit le plus droit qu’il fera poflible, juftement au milieu de la compofition.
    • Au relie on doit obferver de faire entrer dans ces trous un peu de compofition de la fufée, afin que la communication du feu à la chaffe ne manque point.
    • 11 relie à charger la fufée de fa baguette ; ce qu’on fait ainfi.
    • La fufée étant faite comme on vient de le dire, on y lie une baguette de bois léger, comme de lapin ou d’olier, qui fera grolfe & plate au bout qui joint la fufée, & qui ira en diminuant vers l’autre bout. Cette baguette ne doit être ni tortue, ni courbe, ni noueufe , mais droite autant qu’il fe pourra , & dreffée , s’il en ell befoin, avec le rabot. Sa longueur & fa pefanteur doivent être proportionnées à la fufée , enforte qu’elle foit lix, fept ou huit fois plus longue que la fufée, & qu’elle demeure en équilibre avec elle , en la tenant fufpendue fur le doigt près de la gorge à un pouce ou un pouce & demi.
    • Avant que d’y mettre le feu, on met la gorge en bas, & on l’appuie fur deux clous perpendiculairement à l’horizon. Pour la faire monter plus haut ôc plus droit, on ajoute à fa tête A un cha-
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    • Pyrotechnie. 397
    • pîteau pointu, fait de papier {impie , comme C ; ce qui fert à faciliter le paflage de la fufée à tra-
    • Ces fufées fe font ordinairement plus compo-fées ; on y ajoute plusieurs autres chofes pour les rendre plus agréables : par exemple, on ajoute à leur tête un pétard, qui eft une boîte de fer blanc foudée, & pleine de poudre fine. On pofe le pétard fur la compofition, par le bout où il a été rempli de poudre, & on rabat fur ce pétard le refte du papier du cartouche ou de la fufée, pour l’y tenir fermé. Le pétard fait fon effet quand la fufée eft en l’air, & que la compofition eft con-fumée.
    • On leur ajoute auffi des étoiles, de la pluie d’or, des ferpenteaux, des fauciflons, & plufieurs autres chofes agréables , dont nous enlëignerons la compofition dans la fuite. Ce qui fe fait en ajuftant à la tête de la fufée un pot ou cartouche vuide, &c beaucoup plus large que la fufée n’eft groffe, afin qu’il puifle contenir les ferpenteaux , les étoiles , & tout ce qu’on voudra , pour faire une belle fufée.
    • On peut faire des fufées qui s’élèvent en l’air fans baguettes. Pour cela il faut leur attacher quatre panaceaux difpofés en croix, & femblables à ceux qu’on voit aux fléchés ou dards, comme A. La longueur de ces panaceaux doit être égale aux deux tiers de la fufée ; leur largeur vers le bas , à la moitié de leur longueur; & leur épaiffeur, de celle d’un carton.
    • Mais cette maniéré de faire monter les fufées, eft beaucoup moins sûre Sl moins commode que celle des baguettes ; c’eft pourquoi elle eft très-rarement employée.
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    • Récréations Mathématiques.
    • Il nous faut maintenant donner la maniéré de connoître les diamètres ou les calibres des fufées , relativement à leurs poids ; fur quoi il faut d’abord fqavoir qu’on appelle une fufée d’une livre , celle dans laquelle entre jufte une balle de plomb d’une livre; & ainfi des autres. Voici donc deux tables pour cet effet, l’une pour les fufées dont le poids eft d’une livre ou au deffous, l’autre pour celles qui excédent une livre, depuis ce poids juf-qu’à cinquante livres.
    • Première Table, du Calibre des Moules d'une livre & au Jejfous.
    • Onces. | Lignes. Gros. Lignes.
    • 16 | t9i 7 7i
    • ta | t7 6 7
    • 8 | 15 5 6t
    • 7 | >4i 4 6i
    • 6 | 14^ 3 1 1 5 T
    • 5 ! *3 * 1 4*
    • 4 | HT - 1 3*
    • 3 |
    • 1 1 9i
    • . 1 «i
    • L’infpeftion feule de cette table fuffit pour en connoître l’ufage ; car on y voit qu’une fufée de il onces, par exemple, doit avoir 17lignes de
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    • PYROTECHNIE. 399
    • diamètre ; une de 8 onces ,15 lignes ; une de 5 gros ou { d’once, 6 lignes un tiers ; &c.
    • Si au contraire on a le diamètre de la fufée , il fera facile de connoître aufli-tôt quel eftle poids de la balle qui convient à ce calibre. Par exemple, fi ce diamètre eft de 13 lignes, on verra aufli-tôt , en cherchant ce nombre dans la colonne des lignes,qu’il convient à une balle de 5 onces; &c,
    • Seconde Table , pour les Calibres des Moules depuis 1 liv. jufquà 5o liv. de balle.
    • N». Cal. | | N». | Cal. | | No. | Cal. | | N». | Cal.
    • ,Uv. ioo|| 14 |z4i| | 17 130o| | 40 I341
    • * iz6|| ,5 *4711 *8 |3°4|| 4‘ 344
    • 3 144I| 16 *5*| | z9 |307| | 4Z 347
    • 4 M8|| 17 *57|| 3° | 3 I0j | 43 |35°
    • 5 |‘7I|| >8 *6*| | 3* 13’4| | 44 1353
    • 6 |i8i 1 l67|| 3* 1317j | 45 1355
    • 7 I ’9l 1 z° *711 | 33 b1®! | 46 13,5»
    • 8 |zoo 1- *75 II 34 13*31| 47 136*
    • 9 1208 1“ *801 | 35 | J*6| | 48 1363
    • ,0 |xi5 13 z84| 1 36 |33o| j 49 | 366
    • „ Izzzl 24 *8811 37 j 33311 5° 1368
    • «* |zz8| *5 *9*11 38 |336| | |
    • •3 |*35| 26 *9SI1 39 |339| | |
    • Voici l’explication de cette fécondé table.
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    • 400 Récréations Mathématiques.
    • Si vous connoiflez le poids de la balle , (fuppo-fons-le de 24 livres ) cherchez ce nombre dans la colonne des livres ; vous trouverez à côté, dans la 'colonne des calibres, le nombre 288. Faites donc *cette proportion, comme 100 font à 19^, ainfi 288 font à un quatrième terme: ce fera le nombre des lignes du calibre cherché ; c’eft-à-dire , il fuffira de multiplier le nombre trouvé (c’eft ici 288) par 19-' . Du produit, qui eft ici 5616, retranchez les deux derniers chiffres ; vous aurez 56 & 7^: ainfi le calibre cherché fera 56 lignes, ou 4 pouces 8 lignes & £ ou j.
    • Si au contraire , connoiffant le calibre en lignes, on veut trouver le poids de la balle qui convient à la fufée, cela fera également facile. Que ce calibre foit, par exemple , 28 lignes : faites , comme 19^ font à 28, ainfi 100 à un quatrième terme , qui fera 143 ~, ou bien près de 144. Or, dans la table ci-deffus , on trouve dans la fécondé colonne 144, & à côté, dans la première , le nombre 3 ; ce qui enfeigne que la fufée de 28 lignes de diamètre ou de calibre, eft une fufée de bien près de 3 livres de balle.
    • SECTION III.
    • De la Compofition de la Poudre des Fufée s, & de la maniéré de les charger.
    • LA compofition des fufées doit être différente,’ félon les différentes grandeurs Celle qui convient aux petites fufées feroit tfop violente pour les groffes. C’eft un fait à peu près convenu entre les
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    • Pyrotechnie. 401
    • les artificiers. Voici donc celles que l’expérience a fait reconhoître pour les meilleures.
    • Pour lis fufèes qui peuvent contenir une ou deux onces de matière.
    • Ajoutez à une livre de poudre d’arquebufe , deux onces de charbon doux : ou bien à une livre de poudre d’arquebufe, une livre de grolfe poudre pour les canons : Ou bien à neuf onces de poudre d’arquebufe , deux onces de charbon : ou bien encore, ajoutez à une livre de poudre, une once & demie de falpêtre St autant de charbon.
    • Pour les fufèes de deux à trois onces.
    • Ajoutez à quatre onces de poudre, une once de charbon : ou bien à neuf onces de poudre , deux onces de falpêtre.
    • Pour une fufèe de quatre onces.
    • Ajoutez à quatre livres de poudre, une livre de falpêtre &. quatre onces de charbon, &, fi vous voulez, une demi-once de foufre: ou bien à une livre & deux onces &: demie de poudre, quatre onces de falpêtre & deux onces de charbon : ou bien à une livre de poudre, quatre onces de falpêtre & une once de charbon : ou bien à dix-fept onces de poudre, quatre onces de falpêtre Sc autant de charbon: ou bien encore, ajoutez à trois onces & demie de poudre , dix onces de falpêtre & trois onces & demie de charbon. La compofi-tion fera plus forte, fi vous la faites de dix onces de poudre, de trois onces demie de falpêtre, & de trois onces de charbon.
    • Tome III, C c
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    • 402 Récréations Mathématiques.
    • Pour les fufées de cinq ou Jix onces.
    • Ajoutez à deux livres & cinq onces de poudre, une demi-livre de falpêtre , deux onces de foufre, fîx onces de charbon , deux onces de limaille de fer.
    • Pour les fufées de fept ou huit onces.
    • Ajoutez à dix-fept onces de poudre, quatre onces de falpêtre fk trois onces de foufre.
    • Pour les fufées de huit à dix onces.
    • Ajoutez à deux livres Sc cinq onces de poudre, une demi-livre de falpêtre , deux onces de foufre , fept onces de charbon, ôt trois onces de limaille de fer.
    • Pour les fufées de dix à dou^e onces.
    • Ajoutez à dix-fept onces de poudre , quatre onces de falpêtre, trois onces ôc demie de foufre, & une once de charbon.
    • Pour les fufées de quatorze ou quinze onces.
    • Ajoutez à deux livres & quatre onces de poudre , neuf onces de falpêtre, trois onces de foufre , cinq onces de charbon, & trois onces de limaille de fer.
    • Pour les fufées d'une livre.
    • Ajoutez à une livre de poudre , une once de foufre & trois onces de charbon.
    • Pour une fufée de deux livres.
    • Ajoutez à une livre & quatre onces de poudre,
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    • Pyrotechnie. 403
    • deux onces de falpêtre, une once de foufre, trois onces de charbon, ôc deux onces de limaille de fer.
    • Pour une fufée de trois livres.
    • Ajoutez à trente onces de falpêtre , fept onces & demie de foufre, &c onze onces de charbon.
    • Pour les fufées de quatre, cinq , Jix , ou fept livres.
    • Ajoutez à trente-une livres de falpêtre , quatre livres & demie de foufre, & dix livres de charbon.
    • Pour les fufées de huit, neuf3 ou dix livres.
    • Ajoutez à huit livres de falpêtre, une livre & quatre onces de foufre , & deux livres & douze onces de charbon.
    • Ayant ainli déterminé la proportion des diver-fes matières qui entrent dans la compofition des fufées qu’on a deffein de faire, avant que de les mêler enfemble, il les faut piler chacune à part, les paffer par un tamis, & enfuite les pefer & les mêler enfemble , pour en charger le cartouche , qu’on doit tenir tout prêt dans fon moule ou modèle, & qui doit être fait d’un papier fort, doublement collé avec de la colle faite avec de l’eau claire & de la fine farine, comme on l’a dit ci-defîus. On chargera enfin la fufée comme on l’a expliqué .dans la fe&ion précédente.
    • Des Etoupilles.
    • Avant que d’aller plus loin, il eft aufli nécef-faire de donner la compofition de l’étoupille, dont l’ufage eft continuel & néceflaire pour les Ce ij
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    • 404 Récréations Mathématiques.
    • communications du feu. L’on appelle ainfi l’étoupe que l’on prépare pour les feux d’artifice, & qui fert pour amorcer toutes fortes de machines pour les feux artificiels, comme des fufées, des lances à feu, des étoiles , & autres chofes fem-blables. On l’appelle auffi meche pyrotechnique, pour la diftinguer de la meche commune, qui ne fert que pour amorcer les armes à feu ; d’où vient qu’au lieu de dire amorcer , on dit, en termes de pyrotechnie, étoupiller, quand on fe fert de l’é-toupille, dont la conftruciion eft telle.
    • Prenez du fil de lin, de chanvre ou de coton, doublez-le huit ou dix fois, fi vous en voulez faire une amorce pour les grottes fufées & les lances à feu ; ou feulement quatre ou cinq fois, fi c’eft pour paffer au travers des étoiles. Ayant fait une meche d’autant de cordons qu’elle foit affez grotte pour votre ufage, fans qu’ils foient trop tors, trempez-la dans de l’eau pure, & la preffez entre les mains, pour en faire fortir l’eau. Trempez auffi de la poudre à canon dans un peu d’eau, pour la réduire en boue, dans laquelle vous tremperez votre meche, en la tournant & la maniant jufqu’à ce qu’elle foit bien imbibée de cette poudre : après cela retirez votre meche , & mettez par-deffus un peu de poudre feche pulvérifée ; ou bien , ce qui eft la même chofe, femez fur quelque grande planche bien polie, de la poufliere de bonne poudre, & roulez votre meche par deffus. De cette maniéré vous aurez une meche excellente , qui, étant féchée au foleil, ou à l’ombre fur des cordes, pourra fervir très - utilement en toutes fortes d’occafions.
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    • Pyrotechnie.
    • SECTION IV.
    • Quelle efl la caufe de l’afcenjlon des Fufées
    • CEtte caufe étant à peu de chofe près la même que celle du recul des armes à feu * il eft à propos de commencer par expliquer celle-ci.
    • Lorfque la poudre s’enflamme en un inftant prefque indivifible, dans la chambre ou au fond d’un canon, elle agit à-la-fois & néceffairement de deux côtés , fqavoir, contre la culaffe du canon , & contre le bdulet ou le tampon qui efl: fur la poudre. Elle agit auffi contre les parois de la chambre qu’elle occupe ; îk , comme ils op-pofent une réfiftance prefque infurmontable 3 tout l’effort du fluide élaftique, produit par l’inflammation , fe porte des deux côtés ci-deffus : mais la réfiftance oppofée par le boulet étant beaucoup moindre que celle de la maffe du canon, ce boulet part avec- une grande rapidité. Cependant il eft impoflible que le corps même du canon n’é< prouve pas lui-même un mouvement en arriéré ; car fi un reffort fe débande tout-à-coup entre deux obftacles mobiles, il les chaffera l’un & l’autre 9 en leur imprimant des viteffes en raifon inverfe de celle de leurs maffes: ainfi le canon doit recevoir une viteffe en arriéré, en raifon à peu près inverfe de fa maffe à celle du boulet. Je dis en raifon à peu près inverfe, car il y a des circonftances nom-breufes qui apportent des modifications à ce rapport ; mais il eft toujours vrai que le corps du ca^ Cciii
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    • 406 Récréations Mathématiques.
    • non eft repoufîe en arriéré, & que, fi avec Ton affût il pefe mille fois plus que le boulet, il reçoit une vitefle qui eft à peu près mille fois moindre, St qui eft bientôt anéantie par le frottement des roues contre le terrain, &c.
    • Telle eft auffi à peu près la caufe de l’afcenfion de la fufée. Au moment où la poudre commence à s’enflammer, fa dilatation produit, par l’ouverture de fa gorge, un torrent de fluide élaftique : ce fluide agit en tout fens, fçavoir, contre l’air qui s’oppofe à fa fortie, & contre la partie fupé-rieure de la fufée ; mais la réfiftance de l’air eft plus confidérable que le poids de la fufée, à caufe de la rapidité extrême avec laquelle le fluide élaftique fe porte par l’ouverture de la gorge à fe précipiter dehors : ainfi la fufée monte avec l’excès de l’une des forces fur l’autre.
    • Cela n’arriveroit cependant pas , fi la. fufée n’étoit pas percée jufqu’à une certaine profondeur. Il ne fe formeroit pas affez de fluide élaftique , car la compofition ne s’enflammeroit que par couches circulaires d’un diamètre égal à celui de la fufée ; ce que l’expérience a fait voir ne pas fuffire. On a donc eu l’idée, & c’eft une idée fort heureufe, de percer la fufée d’un trou conique qui en fait brûler la compofition par des couches coniques qui ont beaucoup plus de furface, & qui produifent par cette raifon une plus grande quantité de matière enflammée & de fluide. Ce n’a fu-rement pas été l’ouvrage d’un jour que de trouver cet expédient.
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    • Pyrotechnie* 407
    • SECTION V.
    • Du Feu brillant & du Feu chinois.
    • LA propriété que le hafard fans doute a fait reconnoître dans la limaille de fer, fçavoir, de s’embrafèr dans le feu en jetant une forte lumière , a fait imaginer le moyen de rendre le feu des fufées beaucoup plus brillant que par l’emploi feul de la poudre ou des matières qui la compo-fent. 11 n’eu queftion que de prendre de la limaille de fer bien nette & non rouillée , & de la mêler avec la compofition de la fufée. Il faut 9 au refte , obferver que ces fufées ne peuvent pas fe confer-ver plus d’une femaine, parceque l’humidité que contra&e le falpêtre rouille cette limaille, & la rend inutile pour l’effet qu’on en attend.
    • Mais les Chinois font en poffeflion depuis longtemps , d’un moyen de rendre ce feu beaucoup plus brillant, 6c varié en couleurs. Nous avons au P. d’Incarville , Jéfuite , l’obligation de nous l’avoir fait connoître. Il confiée dans l’emploi d’un ingrédient fort fimple, fçavoir, du fer de fonte, réduit en une poufliere plus ou moins groffe. Les Chinois lui donnent un nom qui revient à celui de fable de fer.
    • Prenez , pour cet effet, une vieille marmite ; brifez-la en morceaux fur une enclume, & pulvé-rifez enfin ces morceaux autant qu’il vous fera poflible , & enforte que les grains qui en résulteront n’excedent guere la groffeur d’un grain de rave ; vous les pafferez enfuite, pour les féparer félon leurs différentes groffeurs , par fix tamis-
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    • 408 Récréations Mathématiques.
    • gradués, & vous conferverez ces fix différentes, efpeces à part & dans un lieu bien fec, pour éviter la rouille, car elle rend ce fable abfolument inutile à l’objet propofé. Ce qu’on entend par le fable du premier ordre, eft celui qui paffe par le tamis le plus ferré ; celui du fécond ordre , eft celui qui paiTe par le tamis fuivant ; &c.
    • Ce fable, en s’enflammant, rend une lumière extraordinairement éclatante. Il eft très-furpre-nant de voir des parcelles de cette matière, groffes comme un grain de pavot , former tout-à-coup des fleurs ou étoiles lumineufes de 12 & 15 lignes de diamètre. Ces fleurs font aufli de différentes formes , fuivant celle du grain enflammé, & même de différentes couleurs, fuivant les matières auxquelles elles font mélangées. Mais tes fufées dans lefquelles entre cette compofition, ne peuvent , comme les précédentes, fe garder que peu de temps , Açavoir, une huitaine de jours pour le fable le plus fin , &£ une quinzaine au plus pour le plus gros. Voici maintenant quelques compofî-tions de feu chinois pour les fufées.
    • Feu chinois rouge.
    • u. w.
    • Livre*. 3 4 7
    • 8i»l 3 1 5 l 7 4
    • 14 à }6 1 » 1 4 1 6. 1 8
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    • Pyrotechnie.
    • Feu chinois blanc.
    • Calibres. Salpêtre. J Poufiier. Charbon. Sable du 3 c ordre.
    • Livres. Livres. 1 Onces. One. Gr. One. Gr.
    • nà 15 I j 12 7 4 11
    • 18 à 21 - 1 » « “ 4
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    • Après avoir pefé les matières de ces comportions , on pafle trois fois au tamis de crin le mélange de falpêtre & de charbon ; cela eft efîentiel pour les bien mêler ; on humefte enfuite le fable de fer avec de bonne eau-de-vie , afin que le fou-fre s’y attache, & on les mêle bien enfemble; enfin il faut répandre ce fable ainfi foufré fur le mélange de falpêtre & de charbon, & on mêle le tout, en le répandant fur une table avec l’écré-moire. Cet infiniment n?eft autre chofe qu’une plaque de laiton fort mince, de 5 à 6 pouces de longueur fur 3 pouces de largeur. Si l’on faifoit repafler par le tamis cette compofition, dans la vu>. de la mieux mélanger, le fable de fer, étant le plus pefant, fe ramafleroit tout dans un même monceau.
    • «©
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    • 410 Récréations Mathématiques.
    • SECTION VI.
    • Des Garnitures des Fufées.
    • ON garnit ordinairement la partie fupérieure des fufées de quelque compofition, qui, prenant feu lorfqu’elle eft arrivée à fa plus grande hauteur , donne un éclat confidérable, ou produit un bruit éclatant, 8c même le plus fouvent produit l’un 8c l’autre à-la-fois. Tels font les faucif-fons, les marrons, les étoiles, la pluie de feu, 8cc. Pl.i, Pour donner place à cet artifice , on cou-%• 5* ronne aujourd’hui la fufée d’une partie d’un diamètre plus grand, qu’on appelle le pot, ainfi qu’on le voit dans la fig. 3 ,pl. i. Ce pot fe fait 8c fe lie ainfi au corps de la fufée.
    • Le moule à former le pot, quoique d’une même piece, doit avoir deux parties cylindriques de différents diamètres. Celle fur laquelle on roule le pot, doit avoir trois diamètres de la fufée en longueur , 8c un diamètre de trois quarts de la fufée prife en dehors; l’autre doit avoir de longueur deux de ces mêmes diamètres, & j de diamètre.
    • Ayant donc roulé fur le cylindre le carton à faire le pot, qui fera le même que celui de la fufée , 8c qui doit faire au moins deux tours , on en étrangle une partie fur le moule de moindre diamètre ; on rogne cette partie de maniéré à n’en laiffer que ce qu’il faut pour lier le pot fortement fur la tête de la fufée, 8c l’on recouvre la ligature avec du papier.
    • Pour charger enfuite une pareille fufée de fa garniture, on commence par percer avec un poin-
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    • Pyrotechnie. 4,1
    • qon trois ou quatre trous dans le carton redoublé PL i ; qui couyre la chafle ; puis on verfe une cornée *%• 6, de la compofition dont on a rempli la fufée , & en la fecouant on en fait entrer une partie dans ces trous ; on range enfuite dans le pot l’artifice dont on veut le charger, en obfervant de n’en pas mettre une quantité plus pefarite que le corps de la fufée ; on affure le tout par quelques petits tampons de papier pour que rien ne balotte, & l’on couvre le pot avec du papier collé au bord du pot : on lui ajoute enfin fon chapiteau pointu , & la fufée eft préparée.
    • Parcourons maintenant les différents artifices dont on charge une pareille fufée.
    • §. I. Des Serpenteaux.
    • Les ferpenteaux font de petites fufées volantes , fans baguettes, qui, au lieu d’aller droit en haut, montent obliquement , Sc defcendent en tournoyant qà & là & comme en ferpentant, fans s’élever bien haut. Leur compofition eft à peu près femblable à celle des fufées volantes : ainfi il n’y a plus qu’à déterminer la proportion & la conf-truftion de leur cartouche , qui eft telle.
    • La longueur AC du cartouche peut être d’environ quatre pouces ; il doit être roulé fur un bâton un peu plus gros qu’un tuyau de plume d’oie ; en- Fig. 7. fuite, l’ayant étranglé à l’un de fes bouts A, on le remplira de compofition un peu au-delà de fon milieu, comme en B , où on l’étranglera, en laif-fant un peu de jour. On remplira le refte BC de
    • * La cornée eft une efpece de petite cuillère, faite en forme de houlette arrondie, dont les artificiers fe fervent pour entonner la compofition dans les fufées,
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    • 41 i Récréations Mathématiques. poudre gainée, qui fervira à faire péter la fufée en crevant.
    • Enfin on étranglera entièrement le cartouche vers fon extrémité C. On mettra à l’autre extrémité A une amorce de poudre mouillée, où le feu étant mis , il fe communiquera à la compolition qui eft dans la partie AB , & l’élevera en l’air ; enfuite le ferpenteau en tombant fera plufieurs petits tours & détours, & ferpentera juiqu’à ce que le feu fe communiquant dans la poudre grai-née qui eft dans la partie BC, la fufée crèvera en faifant un bruit en l’air avant que de tomber.
    • Si on n’étrangle point la fufée vers fon milieu , au lieu d’aller en ferpentant, elle montera & descendra par un mouvement ondoyant, puis elle pétera comme auparavant.
    • On fait ordinairement les cartouches des fer-penteaux avec des cartes à jouer. On roule ces cartes fur une baguette de fer ou de bois dur, un peu plus grolfe, comme on l’a déjà dit, qu’une plume d’oie. Pour aflujettir la carte dont on fait le cartouche , on a foin de la renforcer avec du papier que l’on colle par deffus.
    • Le moule aura environ quatre lignes de calibre , & fa longueur fera proportionnée aux cartes à jouer dont on fe fervira. La broche du culot ne fera longue que de trois ou quatre lignes. On chargera ces ferpenteaux de poudre battue, & mêlée feulement avec très-peu de charbon. On fe fèrvira d’un tuyau de plume, coupé en forme de cuillère, pour faire entrer cette compofition dans le cartouche ; on la foulera avec la baguette, & on frappera quelques coups fur cette baguette avec un petit maillet.
    • Ce ferpenteau étant chargé jufqu’à la moitié,
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    • Pyrotechnie. 4ij
    • on peut, au lieu de l’étrangler en cet endroit, y faire entrer un grain de veffe , fur lequel on mettra de la poudre grainée, pour achever de remplir le cartouche. Par deffus cette poudre on mettra un petit tampon de papier mâché. Enfin on étranglera cet autre bout du cartouche. Lorfqu’on veut faire des ferpenteaux plus gros , on colle deux cartes à jouer l’une fur l’autre, & pour les mieux manier on les mouille quelque peu. L’amorce fe fait avec du feu grugé, c’eft-à-dire avec de la pâte faite de poudre écrafée , détrempée dans de l’eau.
    • §. II. Les Marrons.
    • Les marrons font de petites boîtes cubiques , remplies d’une compofition propre à les faire éclater. Rien de plus facile que de les conftruire.
    • On coupe du carton comme nous l’avons en-feigné dans la géométrie pour former le cube, & pj T comme on le voit dans la fig. 8; on joint ces fig. 8. quarrés par les bords, en n’en biffant d’abord qu’un à coller , & on remplit la cavité du cube de poudre grainée ; on colle enfuite en plufieurs fens du fort papier fur ce corps, qu’on finit par recouvrir d’un ou deux rangs de ficelle trempée dans de la colle forte ; on perce un trou dans un des angles, & l’on y place une étoupille avec de l’amorce.
    • Si l’on veut des marrons luifants , c’eft-à-dire qui,avant d’éclater en l’air, préfentent une lumieré brillante, on les recouvre de la pâte dont nous donnerons plus loin la compofition pour les étoiles, ôc on les roule dans du pouffier pour leur fervir d’amorce.
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    • 414 Récréations Mathématiquês.
    • On fait aufli ufage des marrons au lieu de boîtes , pour fervir de prélude à un feu d’artifice.
    • $.11 h Les Sauciffons.
    • Il n’y a, entre les marrons & les fauciffons, de différence que dans la forme. Les cartouches de ceux-ci font ronds, & doivent avoir feulement quatre de leurs diamètres extérieurs : on les étrangle par un bout comme une fufee, après quoi l’on y frappe, pour boucher le trou qui refte, un tampon de papier ; on les charge enfuite de poudre grainée, fur laquelle on fe contente de mettre un tampon un peu foulé, pour ne point écrafer la poudre ; après quoi l’on étrangle le fécond bout du fauciffon, & l’on rogne d’un côté & de l’autre le bord des étranglements ; on recouvre le tout de plufieurs tours de ficelle trempée dans de la colle-forte , & on laiffe fécher.
    • Lorfqu’on veut charger, on les perce par un bout, & on les amorce comme les marrons.
    • Ils fervent aufli à terminer avec éclat certains artifices qui, par le peu de force de leur cartouche , ne peuvent produire cet effet.
    • §. IV. Les Etoiles.
    • Les étoiles font de petits globes d’une compo-fition qui donne une lumière fi brillante, qu’elle peut être comparée à celle des étoiles du firmament. Ces petits globes ne font pas plus gros qu’une balle de moufquet ou une noifette. On les enveloppe de tous côtés d’étoupes préparées, quand on veut les mettre dans les fufées. Nous avons enfeigné plus haut la maniéré de préparer
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    • Pyrotechnie. 415
    • ces étoupes, après avoir enfeigné la compofition des étoiles , qui eft telle.
    • Ajoutez à une livre de poudre fine, fubtilement pulvérifée , quatre livres de falpêtre & deux livres de foufre. Toutes ces poudres étant bien mêlées enfemble, enveloppez-en la groffeur d’une mufcade dans de vieux linge ou dans du papier : ayant bien lié cette petite balle avec une ficelle , percez-la par le milieu avec un poinçon affez gros pour y paffer de l’étoupe préparée , qui fervira d’amorce ; & vous aurez une étoile qui, étant allumée , paroîtra belle , parceque le feu, en fortant par les deux trous qui ont été faits au milieu, s’étendra en long , & la fera paroître grande.
    • Si, au lieu d’une compofition feche , vous voulez vous fervir d’une compofition humide en forme de pâte, il ne fera pas néceffaire d’envelopper l’étoile de quoi que ce foit, à moins que ce ne foit d’étoupe préparée , parcequ’elle fe peut maintenir dans la figure fphérique, étant faite de cette pâte. Il ne fera pas befoin non plus de la percer pour lui donner fon amorce, parceque , quand elle eft fraîchement faite, & par conféquent humide, on la peut rouler dans de la poudre à canon pulvérifée, qui s’y arrêtera : cette poudre lui fervira d’amorce , laquelle étant allumée, fera brûler la compofition de l’étoile , qui en tombant fe formera en larmes.
    • Autre maniéré de faire des Fufées a étoiles.
    • Prenez trois onces de falpêtre, une once de foufre , & un gros de pouffier ou poudre battue ; ou bien , quatre onces de foufre, autant de falpêtre & huit onces de pouffier. Après avoir bien
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    • 4i6 Récréations Mathématiques. tamifé toutes ces matières, arrofez-les d’un peu d’eau-de-vie, dans laquelle vous aurez fait diffou-dre un peu de gomme , puis vous en ferez des étoiles de cette maniéré.
    • Servez-vous d’un moule de fufée, qui ait de calibre ou de diamètre huit ou neuf lignes. Faites-y entrer un culot dont la broche foit d’égale grof-feur dans toute fon étendue , & auffi longue que l’intérieur du moule eft haut ; mettez dans ce moule un cartouche, que vous chargerez d’une des compofîtions précédentes avec une baguette percée. Quand le cartouche fera chargé , faites-le fortir du moule fans en ôter le culot, dont la broche paffe au travers de la compolîtion ; alors coupez le cartouche tout à l’entour, par pièces de l’épaiffeur de trois ou quatre lignes. Ce cartouche étant ainfi découpé, vous en retirerez doucement la broche ; &, les pièces qui refTemblent à des dames à jouer percées par le milieu, feront des étoiles, que vous enfilerez avec de l’étoupille, & que vous pourrez encore couvrir d’étoupes, fi vous le jugez à propos.
    • Pour donner plus de brillant à ces fortes d’étoiles , on peut fe fervir d’un cartouche plus gros que celui dont on vient de parler, & moins épais que celui d’une fufée volante de la même groffeur : mais avant que de le découper, il faut percer chaque piece qu’on deftine à être découpée, de cinq ou fix trous dans fa circonférence. Quand le cartouche eft découpé, & que les pièces font défilées , on colle fur la compolîtion de petites plaques de cartes percées dans leur milieu , de forte que ces trous répondent à l’endroit où la compo-fition eft auffi percée.
    • Remarques.
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    • P Y R
    • 4*7
    • Remarques.
    • . ï. Il y a plufieurs autres maniérés de faire des étoiles , qu’il feroit trop long de rapporter ici; j’enfeignerai feulement le moyen de faire des étoiles à pet, c’eft-à-dire des étoiles qui donnent des coups comme un piftolet ou un moufquet, ce qui fe peut faire en cette forte.
    • Faites de petits fauciffbns comme il a été en-feigné au §. III. Il n’eft pas befoin de les couvrir de corde ; il fuffit qu’ils foient percés par un bout, pour y lier une étoile conftruite félon la première méthode, dont la compofition eft feche; car fi la compofition eft de pâte, il ne fera pas befoin de la lier ; il faudra feulement: lailfer le papier creux un peu plus long au bout du faucif-fon qui fera percé, pour y mettre la compofition ; & l’on mettra entre deux, vers la gorge du fau-ciffon, de la poudre grainée, qui portera le feu dans le fauciffon lorlque la compofition fera conr fumée,
    • II. Comme l’on fait dés étoiles qui à la fin deviennent des pétards, on peut de la même façon faire des étoiles qui, en finiffant, deviendront des ferpenteaux ; ce qui eft fi facile à concevoir & à exécuter, que ce feroit perdre le temps que d’en parler davantage. Je dirai feulement que ces fortes d’étoiles ne font guere en ufage, pareequ’ii eft difficile qu’une fufée les puifle porter bien haut en l’air : elles diminuent l’effet de la fufée ou du fauciffon, & il faut employer beaucoup de temps pour les faire. t
    • §. V. La Pluie de feu»
    • Pour former une pluie de feu , moulez de petits
    • rn: D d
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    • 418 Récréations Mathématiques.
    • cartouches de papier fur une baguette de fer de deux lignes & demie de diamètre, & donnez-leur deux pouces & demi de longueur. Il ne faut point les étrangler , il fuffit de tortiller le bout du cartouche , & ayant mis la baguette dedans , de frapper deffus pour lui faire prendre fon pli. Après avoir rempli ces cartouches, ce qui fe fait en les plongeant dans la compofition, vous vous contenterez de plier l’autre bout, & de les amorcer. Cette garniture remplira l’air de feu ondoyant.
    • Voici quelques composions qui leur conviennent.
    • En feu chinois. Pouffier une livre , foufre deux onces, charbon deux onces, fable de fer du premier ordre cinq onces.
    • Feu ancien. Pouffier une livre, charbon deux
    • Feu huilant. Pouffier une livre, limaille quatre
    • Lé feu chinois eft fans contredit le plus beau.
    • §. VI. Les Etincelles.
    • Les étincelles ne different des étoiles qu’en leur grandeur 6c en durée ; car on fait les étincelles plus petites que les étoiles ; ces dernieres ne font pas fitôt confumées que les étincelles , que l’on pourra conftruire en cette forte.
    • Ayant mis dans un vafe d’argile une once de poudre battue , deux onces de falpêtre pulvérifé, une once de falpêtre liquide, 6c quatre onces de camphre réduit en farine, jetez par deffus de l’eau gommée, ou de l’eau-de-vie dans laquelle vous aurez fait diffoudre de la gomme adragant ou de
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    • Pyrotechnie. 419
    • îagomme arabique, enforte que la compofition devienne en bouillie un peu liquidé. Vous prendrez de la charpie qui aura été bouillie dans de l’eau-de-vie, ou dans du vinaigre, ou bien dans du falpêtre, St enfuite féchée St effilée ; vous en jetterez dans cette bouillie autant qu’il en faudra pour l’abforber toute entière, en la brouillant.
    • - Cette matière préparée fervira à faire de petites boules ou globes de la forme St de la groffeur d’un pois , que vous ferez fécher au foleil ou à l’ombre, après les avoir faupoudrées de farine de poudre à canon, afin qu’elles puiffent prendre feu avec facilité. Ce feront vos étincelles.
    • Autre maniéré de faire des Etincelles.
    • Prenez de la fciure de bois qui brûle fort facilement, comme de pin , de fureau , de peuplier, de laurier, Stc; faites bouillir ces fciures dans de l’eau où vous aurez fait 'fondre,du falpêtre. Quand cette eau aura bouilli quelque temps, vous la retirerez de deffus le feu , St la vuiderez de maniéré que les fciures demeurent dans le vaif-feau ; enfuite vous les mettrez fur une table , ôc tandis qu’elles feront mouillées, vous les poudrerez avec du foufre paffé par un tamis très-fin. Vous pourrez y ajouter un peu de pouffier. Enfin, ayant bien mêlé ces fciures , vous les bifferez fécher pour en faire des étincelles, comme on vient de î’enfeigner.
    • §. VII. De la Pluie d'or.
    • On fait des fufées volantes qui, en tombant, font de petites ondes en l’air , comme des cheveux à demi frifés. On les appelle//#* chevelues; elles
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    • 4io Récréations Mathématiques. finirent par une efpece de pluie de feu, qu’on a appelée pluie d’or, qui fe fait en cette forte.
    • Rempliffez des canons de plumes d’oie de la compétition des fufées volantes, & mettez fur l’embouchure, de chacun un peu de poudre mouillée , tant pour arrêter la compofition qui eft au-dedans, que pour fervir d’amorce. Si l’on emplit une fufée volante de femblables canons, elle finira par une pluie de feu très-agréable , qui, à caufe de fa beauté, a été appelée pluie d’or.
    • SECTION VIL
    • De quelques Fufées différentes pour l'effet des Fufées ordinaires. •
    • ON fait, par le moyen des fimples fufées, plufieurs morceaux d’artifice affez ingénieux '& amufants. Nous ne pouvons nous difpenfer d’en donner ici une idée.
    • § I. Des Fufées volantes fur des cordes, ou Courantins.
    • On peut faire qu’une fufée ordinaire, qui ne doit pas être bien greffe , coure le long d’une corde tendue. Il faut, pour cela, attacher la fufée à un cartouche vuide, dans lequel on pafferâ la corde qui doit la porter, en mettant la tête de la fufée du côté où l’on veut la diriger : fi on met le feu à une fufée ainfi ajuftée, elle courra le long de la corde fans s’arrêter, jufqu’à ce que fa matière foit confumée.
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    • Pyrotechn rfc. 42b
    • Si Pon veut que la fufée rétrograde, on en remplira d’abord la moitié , de compofition ; on la couvrira d’une petite rotule de bois', pour fervir de réparation à celle dont on remplira l’autre moi* tié ; enfuite on fera au deffous de cette réparation un trou qui répondra à un petit canal plein, de poudre battue , qui fe terminera à l’autre bout de la fufée : alors le feu, en Unifiant dans la première moitié de la fufée , fe communiquera par le trou dans le petit canal, qui le portera à l’autre bout, lequel étant ainfi allumé, la fufée rétrogradera > & reviendra au lieu d’où elle étoit partie.
    • On peut encore ajufter à la corde, par le moyen d’un canal de rofeau, deux fufées égales , qui foient liées enfemble avec une bonne ficelle , & tellement difpofées, que la tête de l’une foit contre le col ou la gorge de l’autre, afin que le feu . ayant confumé ha compofition de la première jusqu’au bout, il fe communique à la compofition de l’autre, 6c les oblige toutes deux à rétrograder* Mais, pour empêcher que le feu de la première ne-fe communique trop tôt à la fécondé, on les doit couvrir d’une chape de toile cirée, ou bien d’une enveloppe de papier.
    • Re
    • RQVE
    • On fe fert ordinairement de ces fufées, pour mettre le feu à plufieurs autres machines d’un feu de joie ; &, pour les rendre plus agréables, on leur donne plufieurs figures d’animaux.,. comme de
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    • 42i Récréations Mathématiques.
    • par la gueulé des ferpenteaux ; ce qui feroit un effet affez agréable & analogue à la figure d’un dragon.
    • g. II. Fufées volantes le long d’une corde , & tournantes en. même temps.
    • Rien n’eft plus facile que de donner à une pareille fufée un mouvement de rotation à l’entour de la corde le long de laquelle elle s’avance : il fuffit pour cela de lui lier tranfverfalement une autre fufée. Mais celle-ci, au lieu, d’avoir fon ouverture dans le fond , doit l’avoir vers un des bouts par le côté. En leur faifant prendre feu à-la-fois , cette derniere fera tourner l’autre à l’entour de la corde, à mefure qu’elle s’avancera.
    • §. III. Des Fufèes qui brûlent dans Peau.
    • Quoique le feu & l’eau foient deux éléments bien oppofés l’un à l’autre, néanmoins les fufées dont nous avons enfeigné la conftru&ion , foit pour l’air, foit pour la terre, étant allumées , ne laiffent pas de brûler & de faire leur effet dans l’eau ; mais elles le font deffous l’eau , & nous privent du plaifir de les voir : c’eft pourquoi, quand on voudra faire des fufées qui brûlent en nageant fur l’eau , il faudra changer un peu les proportions de leur moule & des matières de leur compofition.
    • Quant au moule, on pourra lui donner huit ou neuf pouces, de longueur fur un pouce de calibre : le -bâton à rouler le cartouche fera épais de neuf lignes , & la baguette à charger fera , comme à l’ordinaire, un peu moins épaiffe. Il n’eft pas befoin de broche au culot pour la charge du cartouche, * °
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    • Pyrotechnie. 41$
    • A l’égard de la compofition, elle «fie peut faire en deux maniérés ; car fi l’on veut que la fufée, en brûlant fur l’eau , paroiffe claire comme une chandelle, la compofition doit être faite de ces trois matières mêlées enfemble , fçavoir, trois onces de poudre pilée & paflee, une livre de fal-pêtre , 6c huit onces de foufre. Mais quand vous voudrez faire paroître la fufée fur l’eau avec une belle queue , employez ces quatre matières aufli mêlées enfemble, fçavoir, huit onces de poudre à canon pilée 6c paflee, une livre de falpêtre, huit onces de foufre pilé 6c pafîe , 6c deux onces de charbon.
    • La compofition étant préparée félon ces proportions , 6c la fufée en étant remplie comme il a été dit ailleurs, appliquez un fauciflon au bout ; enfuite , ayant couvert la fufée de cire , de poix noire, ou de poix réfine , ou de quelque autre chofe qui puifle empêcher le papier de fe gâter dans l’eau, attachez à cette fufée une petite baguette d’ofier blanc, longue d’environ deux pieds 9 afin que la fufée puifle commodément flotter fur l’eau.
    • Si on veut que ces fottes de fufées fe plongent 6c fe relevent, il faut, en les chargeant, mettre d’efpace en efpace un peu de poudre pilée toute pure , à la hauteur , par exemple, de deux , trois ou quatre lignes , félon la grofleur du cartouche.
    • Remarques.
    • I. On peut, fans changer ni le moule, ni la compofition , faire de femblables fufées, quand elles font petites, en plufieurs, maniérés différentes , dont nous ne parlerons point ici, pour abréger. Ceux qui en • voudront fisavoir davanr-D a iv
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    • 424 Récréations Mathématiques,
    • tage, pourront confulter les auteurs qui ont com-pofé des traités particuliers de la pyrotechnie, que nous indiquerons à la fin de la Seélion XII.
    • II. On peut aufli faire une fufée qui, ayant brillé quelque temps fur l’eau , vomira des étincelles & des étoiles , qui s’envoleront en l’air quand elles auront pris feu. Cela peut s’exécuter en féparant la fufée en deux parties par une rotule de bois percée au milieu ; la partie d’en haut contiendra la compofition ordinaire des fufées, & la partie d’en bas contiendra les étoiles, qui doivent être mêlées de poudre grainée & battue enfem-ble, &c.
    • III. On peut encore faire une fufée qui s’allumera dans l’eau , y brûlera jufqu’à la moitié de fa durée , & enfuite montera en l’air avec une grande viteffe, en cette forte.
    • Prenez une fufée volante, équipée de fa baguette ; attachcz-la à une fufée aquatique avec un PL i > Peu de colle, feulement par le milieu A , de ma-ûg, 9»niere que celle-ci ait la gorge en haut, & la volante en bas ; ajuftez à leur extrémité B, un petk canal pour communiquei^le feu de l’une à l’autre. Le tout doit être bien enduit de poix, de cire, &c. afin que l’eau ne puiffe les endommager.
    • Après cela , attachez à la fufée volante ainfi collée à l’aquatique , une baguette telle qu’on l’a exigée dans laSe&ion II, comme vqus le voyez dans la figure vers D.
    • Enfin vous nouerez une ficelle en F, qui fou-tiendra un balle d’arquebufe E , arrêtée contre la baguette par le moyen d’une petite aiguille ou fil de fer. Toutes ces préparations étant faites, vous mettrez le fffi en C, lorfque la fufée fera dans.
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    • l’eau. La compofition étant confumée jufqu’en B , le feu entrera par le petit canal dans l’autre fufée , qui montera en l’air, & lailTera la première fufée , qui ne pourra pas la fuivre , à caufe du poids quelle foutient.
    • §. IV. Repréfenter , parle moyen des fufées, plu~ jieurs figures en P air.
    • Si l’on met plufieurs petites fufées fur ane groffe, en paffant leurs baguettes tout autour du grand cartouche qu’on a coutume d’attacher à la tête de la fufée, pour tenir ce qu’elle doit porter en l’âir, & que ces petites fufées prennent feu pendant que la groffe fufée monte en haut, elles repréfenteront un arbre fort agréable à voir, dont le tronc fera la groffe fufée, & les branches feront les petites.
    • Que fi les mêmes petites fufées prennent feu quand la groffe eft à demi-tournée dans l’air, elles repréfenteront une comete ; & quand la grande fufée fera tout-à-fait tournée, enforte que fa tête commence a regarder en bas pour tomber , elles repréfenteront une efpece de fontaine de feu.
    • Si vous, mettez fur une groffe fufée plufieurs canons ou tuyaux de plume d’oie , remplis de la compofition des fufées volantes , comme il a été dit ci-devant; quand ces tuyaux prendront feu, ils repréfenteront une belle pluie de feu, fi vous êtes deffous, ou de beaux cheveux à demi frifés , fi vous êtes un peu de côté.
    • Enfin vous ferez paroître en l’air plufieurs beaux ferpents, fi vous attachez à la fufée plufieurs fer-penteaux avec une ficelle par les bouts qui ne prennent point feu ; & fi entre chacun on laiffe
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    • 4i6 Récréations Mathématiques.
    • pendre la ficelle deux ou trois pouces de long ÿ cela fera paroitre plufieurs fortes de figures agréables & divertiffantes.
    • §. V. Fufée qui monte en forme devis,
    • Une baguette droite dirige, comme l’apprend l’expérience , une fufée perpendiculairement & en ligne droite vers le haut : on peut la comparer au gouvernail d’un vaiffeau ou à la queue des oifeaux , dont l’effet eft de faire tourner le vaiffeau ou l’oifeau du côté vers lequel eft leur incli-naifon : ainfi , fi à une fufée on adapte une baguette courbe , fon effet fera d’abord de faire pencher la fufée du côté où elle eft courbée ; mais enfuite fon centre de gravité la ramenant dans la fituation verticale, il réfultera de ces deux efforts oppofés, que la fufée montera en zig-zag ou en fpirale. Il eft vrai que déplaçant alors un plus grand volume d’air , & décrivant une ligne plus longue , elle ne montera pas aufli haut que ft elle eût été chaffée en ligne droite ; mais l’effet ne biffera pas d’être agréable , par la fingularité de ce mouvement. i
    • SECTION VIII.
    • De quelques Artifices mobiles, différents des Fufiées 3 comme les Globes ou Balles à fieu.
    • NO U s nous fommes jufqu’à ce moment allez occupés des fufées, & des divers artifices qu’on peut compofer par leur moyen : il en eft un grand nombre d’autres, dont nous devons faire
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    • Pyrotechnie. 417
    • connoître les principaux. De ce nombre font les globes ou balles à feu. Les unes font deftinées à faire leur effet dans l’eau ; d’autres le font en roulant & fautant fur la terre ; les derniers enfin, qu’on appelle bombes , le font dans l’air.
    • §. I. Des Globes récréatifs qui brûlent fur Veau.
    • Ces globes ou balles à feu fe font de trois maniérés différentes, en fphere, en fphéroïde, &: en cylindre ; mais nous nous bornerons à la figure fphérique.
    • Pour faire donc une balle à feu fphérique, fai- PI. tes fabriquer un globe de bois , de telle grandeur fig* qu’il vous plaira, creux , & bien rond tant par le dedans que par le dehors, enforte que ton épaiffeur AC ou BD, foit égale environ à la neuvième partie du diamètre AB. Ajoutez au deffus un cylindre concave droit EFGH, dont la largeur EF foit égale environ à la cinquième partie du même diamètre AB , & dont l’ouverture LM, ou NO, foit égale à l’épaiffeur AC ou BD , c’eft-à-dire à la neuvième partie du diamètre AB. C’eft par cette ouverture que l’on amorcera le globe ou balle à feu, quand on l’aura rempli de compofi-tion par l’ouverture d’en bas IK. On fera palier par cette même ouverture d’en bas IK , le pétard de métal chargé de bonne poudre grainée , & couché en travers, comme vous voyez en la figure.
    • Cela étant fait, on bouchera avec un tampon imbibé de poix chaude cette ouverture IK , qui eft à peu près égale à l’épaiffeur EF ou GH du cylindre EFGH , Sc l’on coulera par deffus du plomb, en telle quantité que fa pefanteur puiffe faire enfoncer entièrement le globe dans l’eau, enforte
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    • RIcréItTons Mathématiques,
    • qu’il n’y ait que la partie GH qui paroiffe hors de l’eau ; ce qui arrivera fi la pefanteur de ce plomb avec celle du globe & de fa compofition, eft égale à la pefanteur d’un égal volume d’eau. Si donc on met ce globe dans l’eau, le plomb , par fa pefanteur, fera tendre l’ouverture IK droit en bas , & tiendra à plomb le cylindre EFGH, où le feu doit avoir été mis auparavant.
    • Pour connoître fi le plomb qu’on a ajouté au globe rend fon poids égal à celui d’un égal volume d’eau , il faut frotter ce globe de poix ou de graifle, & en faire l’épreuve en le mettant dans l’eau.
    • La compofition dont on doit charger ce globe * eft celle-ci.
    • A une livre de poudre grainée , ajoutez 32 livres de falpêtre réduit en farine fort déliée , 8 livres de foufre, 1 once de raclure d’ivoire, & 8 livres de fciure de bois , bouillie auparavant dans l’eau de falpêtre , & féchée à l’ombre'ou au foleil.
    • Ou bien encore, ajoutez à 2 livres de poudre battue ,12 livres de falpêtre, 6 livres de foufre , 4 livres de limaille de fer, & 1 livre de poix grecque.
    • Il n’eft pas néceffaire que cette compofition foit battue fi fubtilcment que pour les fufées : elle ne doit être nijiulvérifée, ni tamifée ; il fuffit qu’elle foit bien mêlée bien incorporée. Mais, de peur qu’elle 11e devienne trop feche , il fera bon de l’arrofer tant foit peu d’huile, ou de quelque autre liquide fufceptible d’inflammation.
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    • Pyrotechnie.
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    • §. II. Globes récréatifs, fautants ou roulants fur la terre.
    • I. Ayant fait un globe de bois A, avec lin cylindre C , femblable à celui que nous venons de dé- PI. crire, & l’ayant chargé d’une femblable compo- fig. fition , faites entrer dedans quatre pétards, ou davantage, chargés de bonne poudee grainée juf-qu’à leurs orifices, comme AB , que vous boucherez fortement avec du papier ou de l’étoupe bien ferrée ; & vous aurez un globe qui, étant allumé par le moyen de l’amorce qui eft en C, fautera en brûlant fur un plan horizontal &. uni, à mefure que le feu prendra à fes pétards.
    • Au lieu de mettre ces pétards en dedans , vous les pouvez attacher en dehors fur la fuperficie du globe, qu’ils feront rouler & fauter à mefurè qu’ils prendront feu. Ils s’appliquent indifféremment fur la furface du globe , comme l’on voit dans la figure , qu’il fuffit de regarder pour la comprendre.
    • II. On peut encore faire un femblable globe qui roulera çà & là fur un plan horizontal, par un mouvement fort prompt. Faites deux demi-glo- Fig. bes ou hémifpheres égaux de carton ; ajuftez dans l’un des deux , comme AB, trois fufées communes , chargées & percées comme les fufées volantes ordinaires qui n’ont point de pétard, en-forte que ces fufées C , D , E, ne furpaffent pas
    • la largeur intérieure de l’hémifphere. Vous les difpofez de telle forte que la queue de l’une réponde à la tête de l’autre.
    • Ces fufées C, D, E, étant ainfi ajuftées, joignez l’autre hémifphere à celui-ci, en les collant enfemble bien proprement avec de bon papier, en-
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    • 450 Récréations Màthématiquês. forte qu’ils ne fe féparent point quand le globe tournera & courra dans le temps que les fufées feront leur effet. Pour faire prendre feu à la première , on fera vis-à-vis de fa queue un trou au globe pour mettre une amorce, qui étant allumée, portera le feu dans cette fufée, qui ayant été confumée , le communiquera par le moyen d’une étoupille à la fécondé , & la fécondé à la troifieme ; ce qui donnera un mouvement continuel au globe, quand il fera pofé fur un plan horizontal bien égal & uni.
    • Remarquez qu’il faut faire quelques autres trous à ce globe , car il ne manqueroit point de crever s’il n’y en avoit plufieurs.
    • Les deux hémifpheres de carton fe feront en cette forte. Faites faire un globe de bois maffif ôt bien rond ; enduifez-le de cire fondue , enforte que toute fa furface en foit couverte ; collez deffus plufieurs bandes de gros papier, larges de deux ou trois doigts ; collez auffi de ces bandes les unes fur les autres, jufqu’à l’épaiffeur d’environ deux lignes. Ou bien , ce qui me femble meilleur 8c plus facile , faites dmbudre avec de l’eau de colle, cette maffe ou pâte de papier dont on fe fert ordinairement dans les papeteries pour faire le papier ; couvrez-en la furface du globe, qui, après avoir été féché peu à peu à un petit feu , doit être coupé par le milieu, pour en faire deüx hémifpheres folides. Vous retirerez aifément le globe de bois qui efl: dedans , enforte qu’il ne demeure que le carton, en approchant ces deux hémifpheres d’un feu bien chaud, qui fera fondre la cire, & laiflera le globe de bois féparé du carton. Au lieu de cire fondue, on peut fe fer-vir de favon.
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    • Pyrotechnie.- 431
    • §. III. Des Globes aériens , appelés Bombes.
    • Ces globes font appelés aériens, pareequ’on les envoie en l’air avec le mortier, qui efl: une piece courte d’artillerie renforcée de gros calibre.
    • Quoique ces globes foient de bois, & qu’ils aient une épaiffeur convenable, fqavoir, la douzième partie de leur diamètre, néanmoins fi dans le mortier on mettoit trop de poudre, ils ne pour-roient réfifter à la force de cette trop grande quantité : c’efl: pourquoi il faut proportionner la charge de poudre à la pefanteur du balon qu’on veut jeter. L’on a coutume de mettre dans le mortier une once de poudre fi le globe à feu pefe quatre livres, ou deux onces s’il pefe huit livres ; & ainfi de fuite dans la même proportion.
    • Comme il peut arriver que la chambre du mortier foit trop grande pour contenir exa&ement la poudre fuffifante pour le globe à feu, qui doit être mis immédiatement fur cette poudre, afin qu’elle le pouffe 8c l’allume en même temps, on peut faire un autre mortier de bois ou de carton, PI. qui ait fon fond de deflbus en bois, comme AB : %• on le mettra dans le grand mortier de fer ou de fonte, & on le chargera d’une quantité de poudre proportionnée à la pefanteur du globe.
    • Ce petit mortier doit être d’un bois léger, ou de papier collé & roulé en cylindre ou en cône tronqué, excepté , comme j’ai déjà dit, le fond de deffous, qui doit être de bois. La chambre AC de la poudre doit être percée obliquement avec une petite tariere, comme vous voyez en BC ; de forte que la lumière B réponde à la lumière du mortier de métal, où le feu étant mis, il fe communiquera à la poudre qui efl: dans le fond de
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    • 43 z Récréations Mathématiqüës. la chambre AC, immédiatement au deffous du globe. De cette façon ce globe prendra feu , &t fera un bruit agréable en s’élevant en l’air ; ce qui ne réuffiroit pas fi bien, s’il y a voit quelque efpace vuide entre la poudre & le globe.
    • Le profil ou la fe&ion perpendiculaire d’un femblabie globe, eft repréfenté par le parallélogramme reftangle ABCD, dont la largeur AB eft environ égale à la hauteur AD. L’épaiffeur du bois vers les deux côtés L, M , eft égale , comme nous avons déjà dit, à la douzième partie du diamètre du globe ; & l’épaiffeur EF du couvercle eft double de la précédente, ou égale à la fixieine partie du même diamètre. La hauteur GK ou HE de la chambre GHIK , où fe met l’amorce, & qui eft terminé par le demi-cercle LGHM, eft égale à la quatrième partie de la largeur AB , Sc fa largeur GH à la fixieme partie de la même largeur AB.
    • Remarquez qu’il eft dangereux de mettre des couvercles de bois EF fur les balons ou globes aériens; car ces couvercles pourroient être affez pefants pour bleffer ceux fur qui ils retomberoient. Il fuffit de mettre fur le globe du gazon ou du foin, afin que la poudre trouve quelque réfiftance.
    • Il faut remplir ce globe de plufieurs cannes ou rofeaux communs , qui doivent être aufli longs que la hauteur intérieure du globe, & chargés d’une compofition lente, faite de trois onces de pouffer, d’une once de foufre humeété tant foit peu d’huile de pétrole, & de deux onces de charbon ; & afin que ces rofeaux ou cannes prennent feu avec plus de viteffe & de facilité, on les chargera, par les bouts d’en bas qui pofent fur le fond du globe, de pouffer hume&é pareillement
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    • PYROTECHJÏIt* 43|
    • d’huile de pétrole, ou bien arrofé d’eau-de-vie, & enfuite féché.
    • Ce fond doit être couvert d’tfn peu de poudre moitié battue & moitié grainêe, qui fervira à mettre le feu par en-bas aux rofeaüx , quand cette poudre aura pris feu par le moyen de l’amorce qu’on ajoutera au bout de la chambre GH. On aura eu foin de remplir cette cha'mbre d’une com-pofition femblable à celle des rofeaux , ou d’une autre compofition lente, faite de huit onces de poudre, de quatre onces de falpêrre, de deux onces de foufre , & d’une once de charbon : ou bien de quatre onces de falpêtre, & de deux onces de charbon ; le tout doit être pilé, mêlé, ÔC bien incorporé.
    • Au lieu de rofeaux, on peut charger le globe de fufées courantes, ou bien de pétards de papier , avec quantité d’étoiles à feu ou d’étincelles mêlées de poudre battue, & pofées confufément par deffus ces pétards, qui doivent être étranglés à des hauteurs inégales , afin qu’ils faffent leur effet en des temps différents.
    • On fait ces globes en plufieurs autres maniérés» qu’il feroit trop long de rapporter ici. Je dirai feulement que , quand ils font chargés, avant que de les mettre dans le mortier, il les faut bien couvrir par deffus, les envelopper d’une toile imbibée de colle, & attacher par deffous une piece de drap ou de laine bien preffée, d’une forme ronde, justement fur le trou de l’amorce, &c.
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    • 4|4 Récréations Mathématiques.
    • SECTION IX.
    • Des Jets de Feu.
    • LE s jets de feu font des efpeces de fufées immobiles , <îont l’effet confifte à lancer une gerbe de feu en l’air, à Yinfiar d’un jet d’eau. Elles fervent aufli à repréfenter des cafcades ; car fi une fuite de pareilles fufées eft mife horizontalement fur la même ligne , il eft aifé de fentir que leur feu fe raflemblera en forme de nappe. Lorf-qu’elles font rangées circulairement en forme de rayons d’un cercle, elles forment ce qu’on nomme un foleil fixe.
    • Pour former ces jets, il faut donner au cartouche le quart de l’épaiffeur de fon diamètre pour les feux brillants, & le fixieme feulement pour les feux chinois.
    • On charge enfuite ce cartouche fur un culot, portant une pointe de la longueur du même diamètre & d’un quart de fon épaiffeur ; mais, comme il arrive d’ordinaire que la bouche du jet s’élargit plus qu’il ne faut par l’effet du feu, il faut, à l’exemple des Chinois, commencer la charge du cartouche par une demi-cornée, ou un quart de <3iametre de hauteur, de terre glaife , que l’on frappera comme fi c’étoit de la poudre. Le jet en montera beaucoup plus haut. On continuera à charger, en employant la compofition qu’on aura choifie ; & enfin on fermera le cartouche avec un tampon-, fur lequel on étranglera.
    • On amorce avec la même compofition que celle qu’on a employée ; fans quoi la dilatation de l’air
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    • Pyrotechnie. 43î
    • contenu dans le trou de la broche, feroit crever le jet.
    • On peut percer les fufées terrées de deux trous près de la gorge, afin d’avoir trois jets dans le même plan.
    • On pourroit leur adapter une efpece d’ajutoir percé de nombre de trous, ce qui leur feroit imiter un bouillon d’eau.
    • Les jets dont on veut faire des nappes de feu ne doivent pas être étranglés. On les place horizontalement , ou tant foit peu inclinés en en-bas.
    • Il nous femble qu’on pourroit les étrangler en fente , fk les percer de même ; ce qui contribueroit à étendre davantage la nappe de feu. Op pourroit même avoir des eipeces d’embouchures étroites ÔC allongées, pour cet effet particulier.
    • Comportions principales pour les Jets de feu.
    • i° Pour les Jets de 5 lignes & au dejfous , de diamètre intérieur.
    • Feu chinois. Salpêtre I livre, pouffier 8 onces, foufre 3 onces, charbon 2 onces, fable de fer du premier ordre 8 onces.
    • 2° Pour les Jets de loà iz lignes de diamètre.
    • Feu brillant. Pouffier i livre, limaille de fer de moyenne groffeur 5 onces.
    • Feu blanc. Salpêtre 1 livre , pouffier idem, foufre 8 onces, charboh 2 onces.
    • Feu chinois. Salpêtre 1 livre 4 onces, foufre 5 onces, charbon 5 onces, fable du troifieme ordre 12 onces. _ ..
    • Eeq
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    • Récréations Mathématiques.
    • 30 Pour les Jets de iS à 18 lignes.
    • Feu chinois. Salpêtre i livre 4 onces, foufre 7 onces, charbon 5 onces, des fix fables mêlés 12 onces.
    • Le P. d’Incarville donne dans fon Mémoire, diverfes autres dofes pour les comportions de ces jets ; mais nous devons nous borner ici à ce que nous venons de dire, & renvoyer au Mémoire de ce Pere, que l’on trouvera dans le Manuel de VArtificier.
    • On paffe trois fois au tamis de crin le falpêtre, le pouflier & le charbon. On humefte tant foit peu avec l’eau-de-vie le fable de fer, pour qu’il iè faupoudre du foufre , & on les mêle enfemble ; après quoi on répand ce fable foufré fur «le premier mélange , ôc on mêle le tout avec l’écré-moire feulement ; car le tamis fépareroit le fable des autres matières. Enfin , quand on a employé des fables plus gros que celui du fécond ordre , on humefte avec de l’eau-de-vie cette compofi-tion , enforte qu’elle pelote , & l’on charge : s’il 'y avoit trop d’humidité, le fable ne feroit pas fon effet.
    • SECTION X.
    • Des Feux de différentes couleurs.
    • IL feroit fort à fouhaiter, pour la variété des artifices, qu’on pût leur donner toutes les couleurs à volpnté. Mais, quoique l’on connoiffe plufieurs matières qui colorent la flamme de di-yerfes maniérés 9 on n’a pu encore introduire qu'un
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    • Pyrotechnie;
    • petit nombre de couleuts dans celle de la poudre enflammée.
    • Pour faire un feu blanc , il faut mêler de la limaille de fer , ou mieux encore d’acier, avec la poudre.
    • Pour faire un feu rouge, il faut employer de la même maniéré le fable de fer du premier ordre.
    • Comme la limaille de cuivre, jetée dans la flamme, la rend verte , on devroit en conclure que, mélangée avec la poudre, elle devroit donner une flamme verte ; mais l’expérience ne réuf-lît pas. On conje&ure que la flamme eft trop ardente , 6c confume trop promptement le phlo-giftique du cuivre. Mais peut-être n’a-t-on pas fait encore fur cela toutes les tentatives qu’on pourroit délirer; car ne pourroit-on pas affoiblir confî-dérablement la force de la poudre , en augmentant la dofe du charbon}
    • Quoi qu’il en foit, voici encore quelques matières qu’on donne dans les livres de pyrotechnie, comme variant un peu les feux.
    • Le camphre mêlé dans la compofition, fait pa-roître un feu blanc & pâle.
    • La raclure d’ivoire donne un feu clair, de couleur d’argent , tirant un peu fur la couleur de plomb, ou plutôt une flamme blanche ôc relui-fante.
    • La poix grecque fait jeter une flamme rougeâtre 6c de couleur de bronze.
    • La poix noire fait vomir un- feu fombre, fem-blable à une fumée épaiffe qui obfcurcit tout l’air.
    • Le foufre, mêlé avec modération., fait paroitre une flamme bleuâtre.
    • Le fel ammoniac & le verd-de-gris, font jeter un feu verdâtre.
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    • 43$ Récréations Mathématiques.
    • La rapure d’ambre jaune rend le feu d’une cou-leur citrine.
    • L’antimoine crud donne au feu une couleur rouffe.
    • Le borax doit donner un feu bleu , car l’efprit de vin où l’on a fait diffoudr.e, en l’échauffant, du fel fédatif qui eft un des compofants du borax , brûle avec une belle flamme verte.
    • Au refte il y auroit fur cette matière encore beaucoup d’effais à faire ; car il feroit fort agréable de pouvoir varier de différentes couleurs les feux d’une illumination ; ce feroit créer pour les yeux un nouveau plaifir.
    • SECTION XI.
    • Compojirion (Tune Pâte propre à reprêfenter des animaux y des devifesy &c. en feu.
    • C’Est encore aux Chinois que nous devons cette maniéré de former des figures ardentes. Pour cela , prenez du foufre réduit en poudre impalpable, & de la colle de farine ; faites-en une pâte, dont vous enduirez l’objet que vous voulez reprêfenter en feu/après néanmoins l’avoir enduit de terre glaife, afin de le garantir du feu.
    • Après avoir fnis fur la figure dont il s’agit cet enduit de pâte, on la faupoudre de poufïier pendant qu’elle eft .encore humide ; enfin, lorfque tout eft bien fec , on arrange des étoupilles fur les principales parties, afin que le feu fe communique promptement par-tout.
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    • Pyrotechnie;
    • 43?
    • * On peut employer cette même pâte fur un fond d’argile , pour en former des devifes , des deflins quelconques. On pourroit, par exemple , former dans une frife d’un corps d’architeâure revêtu de plâtre , des rinceaux & autres ornements , des guirlandes, &c. dans lefquelles même , au moyenne feux de couleur différente, on po.urroit imiter des fleurs, &c. Les Chinois imitent fort bien les raifins , en amalgamant la poudre de foufre avec de la chair de jujube, au lieu de colle de farine.
    • Il ne paroît pas qu’on ait tiré dans ce pays-ci grand parti de cette invention. Peut-être eft-elle plus belle dans la fpéculation que dans l’exécution.
    • SECTION XII.
    • Des Soleils > tant fixes que mobiles.
    • LE S foleils font une des inventions pyrotechniques qu’on emploie avec le plus de fuccès dans les feux d’artifice. On les diftingue en deux efpeces, les fixes & les tournants. La formation des uns & des autres eft fort Ample.
    • Pour les foleils fixes, on fait faire une pièce de bois ronde, dans la circonférence de laquelle peuvent fe viffer des pièces de bois en forme de rayons , au nombre de douze à quinze. A ces pièces de bois on attache des jets de feu , dont ora a enfeigné plus haut laxompofition, enforte qu’ils foient comme des rayons tendants au même centre. La bouche du jet eft du côté de la circonfé-
    • le feu, mis
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    • 440 Récréations Mathématiques.
    • au centre, puiffe fe porter en même temps à îat bouche de chacun des jets : alors chacun jetant fon feu, il en réfulte l’apparence d’un foleil rayonnant. Nous fuppofons que cette roue eft placée dans une (ituation perpendiculaire à l’horizon.
    • On peut arranger ces fufées ou jets de maniéré à fe croifer angulairement : alors on a , au lieu d’un foleil , une étoile ou efpece de croix de Malthe.
    • On fait auffi de ces foleils avec plufteurs rangs de jets : alors on les appelle gloires.
    • Les foleils tournants fe font de cette maniéré : Ayez un plateau à pans, de la grandeur que vous voudrez , & bien en équilibre autour de fon centre, afin que le moindre effort le faffe tourner ; attachez à la circonférence des jets de feu couchés dans le fens des pans de cette roue. Ces jets doi-vent n’être pas étranglés par leur fond , & ils doivent être tellement difpofés que la bouche de l’un foit voifine du fond de l’autre , afin que le feu ceffant à l’un, paffe aufli*tôt à l’autre. Il eft aifé de voir que , lorfqu’on mettra le feu à une de ces fufées ou jets, le recul de la fufée fera tourner la roue à laquelle elle eft attachée, du moins fi elle n’eft pas trop grande & trop lourde : c’eft pourquoi , quand ces foleils font un peu grands , comme de zo fufées, par exemple , il faut que le feu prenne à-la fois à la première, la fixieme , la onzième , la feizieme , d’où il paflera à la fécondé ,1a feptieme, la douzième, la dix-feptieme, 6îc. Ces quatre fufées feront tourner la roue avec rapidité.
    • Si on met deux foleils femblables l’un derrière l'autre, & tournants en fens contraire, ils feront un joli effet de feu croifé.
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    • Pyrôtechnie. 441
    • On peut en mettre trois ou quatre enfilés à autant d’axes horizontaux , implantés dans un axe vertical mobile, au milieu d’une table ronde : alors ces trois ou quatre foleils tournent à l’entour de la table, & femblent fe pourfuivre les uns les autres. Pour que ces foleils puififent tourner autour de la table, il eft aile de voir qu’il faut qu’ils foient fixes fur leur axe, & que cet axe , dans l’endroit où il repofe fur le bord de la table, foit garni d’une roulette de quelques pouces , bien mobile.
    • Nous n’en dirons pas davantage fur les feux d’artifice, parcequ’il n’eft pas poffible de donner ici pn traité de pyrotechnie complet. Nous nous contenterons d’indiquer aux amateurs de cet art les ouvrages où ils peuvent plus commodément s’en inftruire. L’un eft le Traité des Feux d'artifice de M. Fréziet, dont il y a eu en 1745 une nouvelle édition. Nous citerons encore celui de M. Perrinet d’Orval, intitulé , Traité des Feux dar-tifice , pour le Spectacle & pour la Guerre. Si l’on veut enfin avoir dans un très-petit volume la fubf-tance de tout l’art des artifices , on n’a qu’à con-fulter le Manuel de l'Artificier, in -11, Paris , ï757,qui eft un abrégé de ce dernier, augmenté de plufieurs compofitions nouvelles & curieufes concernant les feux chinois, par le P. d’Incarville.
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    • 441 Récréations Mathématiques
    • SECTION XIII.
    • De quelques Onguents pour la brûlure.
    • IL eft affez fage de terminer un traité de pyrotechnie , par quelques fecours contre un accident qui ne peut manquer d’arriver fouvent, en maniant un élément dangereux comme le feu, nous voulons dire la brûlure : ainfi nous ne ferons aucune difficulté d’imiter ici M. Ozanam , qui lui-même en cela marche fur les traces de Siemie-nowitcz & de la plupart des autres artificiers : nous bornerons même âbfolument aux pratiques qu’il enfeigne.
    • Faites bouillir du fain-doux, ou graHTe de porc frais, dans de l’eau commune, fur un petit feu ; écumez-la continuellement, jufqu’à ce qu’il n’y ait plus d’écume ; laiffez refroidir au ferein cette grailfe fondue pendant trois ou quatre nuits ; après cela faites refondre la même graitfe dans un vaif-feau de terre , fur un feu lent & modéré ; coulez-îa au travers d’un linge fur de l’eau froide ; lavez-la bien enfuite dans de l’eau claire de riviere ou de fontaine, pour lui ôter fon fel, & la faire devenir blanche comme neige ; enfin ferrez cette graiffe ou onguent ainfi purifié dans un vaiffeau de terre vernifie, pour vous en fervir au befoin.
    • Il arrive ordinairement que, par une brûlure, il s’élève fur la peau des ampoules ou veffies , qu’il ne faut faire crever qu’après le troifiéme ou le quatrième jour qu’on y aura appliqué l’onguent précédent, ou cet autre qui eft très-bon, & qui
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    • Pyrotechnie. 44*
    • jfe fait avec du lard fondu, & mêlé avec deux: I dragmes d’eau de morelle & une dragme d’huile de Saturne : ou bien avec deux onces de jus d’oignons , & une once d’huile de noix.
    • SECTION XIV.
    • Pyrotechnie fans feu , & purement optique.
    • L’Art dont nous venons d’expofer quelques-unes des inventions, entraîne néceffairement beaucoup de dépenfe ; il eft de plus dangereux, car on ne fe joue pas impunément avec l’élément deftru&eur du feu. En voici un d’une invention moderne , par lequel on a cherché & réuffi affez heureufement à imiter l’effet optique de différentes pièces d’artifice, & à leur donner un air de mobilité , quoiqu’elles foient fixes dans la réalité. On peut, par fon moyen , fe procurer à affez bon marché & à fon gré le fpeéiacle d’un feu d’artifice ; & lorfque les pièces qui le compofent font faites artiftement, qu’on y a bien obfervé les réglés de la perfpe&ive ; qu’on emploie enfin, pour confidérer ce petit fpe&acle, des verres qui, en groffiffant les objets , les éloignent & les rendent un peu moins diftin&s, il en réfulte une illufion affez agréable. Ces motifs nous ont engagé à donner ici place à cette invention.
    • Les pièces d’artifice qu’on imite avec le plus de fuccès, font les foleils fixes , les gerbes & les jets de feu , les cafcades , les globes , pyramides & colonnes mobiles fur leur axe. En voilà affez pour former un feu d’artifice affez varié.
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    • *444 Récréations Mathématiques,
    • Voici les principes & quelques exemples de ces différentes pièces optiques de pyrotechnie.
    • Voulez-vous repréfenter une gerbe de feu ? il faut prendre du papier noirci des deux côtés & bien opaque ; enfuite , ayant deffiné fur un papier blanc la figure d’une gerbe de feu, vous la tranf-porterez fur le papier noir, fk vous le percerez avec la pointe d’un canif tranchant, de plufieurs traits, comme 3 , 5 ou 7, partants de l’origine de la gerbe : ces lignes ne doivent pas être continues , mais entrecoupées d’intervalles inégaux. Ces PL a, intervalles feront aufli percés de trous inégaux , %• 14* qu’on y fera au moyen d’un emporte-piece , afin de repréfenter les étincelles d’une pareille gerbe ; en un mot on doit peindre par ces trous & les lignes l’effet fi connu du feu de la poudre enflammée , élancée par une petite ouverture.
    • On peindra d’après les mêmes principes les caf-cades fk les nappes de feu qu’on délirera faire en-Fîg. 15. trer dans cet artifice purement optique, ainfi que les jets de feu qui partent des rayons des foleils foit fixes, foit mobiles. Il eft aifé de fentir que le goût doit préfider à cette peinture.
    • Si vous voulez repréfenter des globes, des py-Fig. ï6.ramides, ou des colonnes tournantes, il faudra, après les avoir deffinés fur le papier, les déchiqueter en hélice , c’eft-à-dire y couper des hélices avec la pointe du canif, & d’une largeur proportionnée à la grandeur de la piece.
    • O11 obfervera encore que, comme ces feux différents ontdifférentes couleurs , on les leur donnera facilement, en collant derrière les pièces ainfi découpées, du papier ferpente très-fin , & coloré de la maniéré convenable. Les jets de féu, par exemple, donnent, quand ils font chargés de feu chinois.
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    • Pyrotechnie. 44î
    • une lumière rougeâtre : il faudra donc coller derrière la découpure de ces jets, du papier tranfpa-rent , légèrement coloré en rouge ; & ainfi des autres couleurs qui diftinguent les différentes com-pofitions d’artifice.
    • Les choies étant difpofées ainfi, il faut donner du mouvement ou l’apparence du mouvement à ce feu. Pour cela on s’y prend de deux maniérés, applicables aux différentes circonftances.
    • S’il s’agit, par exemple , d’un jet de feu, on PI.2, pique une bande de papier de trous inégaux & iné-gaiement efpacés ; on fait couler enfuite, entre une lumière & le jet de feu ci-deffus, cette bande en montant : les traits de lumière qui s’échappent par les trous de ce papier mobile , & rencontrent les ouvertures du papier immobile, reffemblent à des étincelles qui s’élèvent'en l’air. Pour peu qu’on ait de goût, on fentira qu’il ne faut pas que ce papier mobile foit percé de trous ni égaux ni également ferrés ; il faut qu’il foit d’abord entier , enfuite percé de trous fort clair-femés, puis très-ferrés , puis médiocrement ; ce qui fervira à re-préfenter les efpeces de bouffées de feu qu’on ob-fèrve dans les artifices.
    • S’il étoit queftion d’une cafcade, il faudroit, pour en rendre le mouvement, que le papier percé dont il eft queftion, defcendît au lieu de monter.
    • Il ’feft au furplus facile de produire ce mouvement par deux rouleaux , fur l’un defquels s’enroulera ce papier, pendant qu’il fe déroulera de deffus l’autre.
    • Il y a un peu plus de difficulté pour les foleils, où il eft queftion de repréfenter un feu qui s’échappe du centre vers la circonférence. Cela fé fait ainfi.
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    • 446 Récréations Mathématiques.
    • Décrivez fur du‘fort papier un cercle de mênte diamètre que le foleil que vous voulez repréfenter, même quelque peu au-delà ; vous tracerez enfuite fur ce cercle de papier deux hélices, à une ligne ou demi-ligne de diftance, & vous ouvrirez avec le canif leur intervalle, enforte que le papier foit fendu depuis la circonférence , & en diminuant de largeur, jufqu’à quelque diftance du centre ;
    • 1 2, vous garnirez àinfi ce cercle de papier, tant plein 18. que vuide, de pareilles hélices ; enfuite vous collerez ce cercle découpé fur un petit cercle de fer, fupporté par deux filets de fer fe croifants à fon centre, & vous ajufterez le tout à une petite-machine qui permette de le faire tourner autour de fon centre. Ce cercle découpé & mobile étant placé au devant de votre repréfentation de foleil, avec une lumière au-delà , lorfque vous le ferez mouvoir du côté que regarde la convexité des hélices, ces hélices lumineufes, ou qui donnent paflage à la lumière , donneront fur l’image des rayons ou jets de feu de votre foleil, l’apparence d’un feu qui va continuellement, comme par ondulation , du centre à la circonférence.
    • On donnera une apparence de mouvement aux colonnes, pyramides & globes découpés comme on l’a dit plus haut, en faifant mouvoir verticalement & en montant une bande découpée d’ouvertures inclinées dans un angle un peu différent de celui des hélices. Par ce moyen, on croira voir un feu qui circule continuellement, en montant le long de ces hélices ; d’où réfultera une forte d’illufion, par laquelle on verra ces colonnes ou pyramides tourner avec elles.
    • Mais en voilà affez fur ce fujet. Il fuffit d’avoir ici indiqué le principe de cette pyrotechnie peu
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    • P Y RO TECHNII. 447
    • coûteufe : le goût de l’artifte lui fuggérera beaucoup de chofes pour rendre cette repréfentation plus vraie & plus féduifante.
    • Nous ne dirons plus qu’un mot des illuminations , qui font une partie de ce fpe&acle pyrotechnique.
    • On prend pour cet effet des eftampes repréfen-tant une place , un château , un palais , &c ; on les enlumine de leurs couleurs naturelles, & l’on colle derrière elles du papier , enforte qu’elles ne foient plus qu’à demi tranfparentes ; enfuite , avec des emporte-pieces de différents calibres, on perce de petits trous dans les lieux & fur les lignes où l’on a coutume de pofer des lampions, comme le long des appuis de fenêtres, fur des corniches, des baluftrades, &c. On a l’attention de faire ces trous de plus en plus petits & plus ferrés, félon la dégradation perfpeftive de l’eftampe. Avec d’autres emporte - pièces plus grands, on figure dans d’autres endroits des lumières plus fortes , comme des pots-à-feu, &c. On découpe en quelques endroits les carreaux des croifées de fenêtres, & l’on colle derrière du papier tranfparent, rouge ou vert, pour figurer des rideaux de croifées, tirés devant elles, & cachant un appartement éclairé.
    • Cette eftampe étant ainfi découpée, on la place au devant de l’ouverture d’une efpece de petit théâtre fortement éclairé par derrière, & on la confidere au moyen d’un verre convexe d’un foyer un peu long , comme ceux de ces petites machines qu’on nomme des Optiques. Ce petit fpe&a-cle eft affez agréable quand les eftampes font bien en perfpe&ive, & que le goût a préfidé à la distribution & à la dégradation des lumières. On
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    • 44® Récréations Mathématiques* f*
    • peut l’entre-mêler de quelques pièces du fpe&acle pyrotechnique décrit cï-defîus, qui y conviennent d’autant mieux, que les illuminations accompagnent d’ordinaire les feux d’artifice.
    • On a vu à Paris, & l’on voit encore chez le jfieur Zaller, une fuite d’illuminations de ce genre, qui ont une vérité qui fait affez de plaifir.
    • Fin du Tome III,
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    • Récréations.
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    • ^P^rakchruePLl^
    • De la Lrardefà Sculp.
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    • De la, Hntrdelfe. Sciilp
    • «If
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    • 449
    • TABLE
    • X>JSS
    • DU TROISIEME VOLUME.
    • SIXIEME PARTIE. Astronomie et Géographie. Chapitre PREMIER. Problèmes éUmtntai-
    • ns £Afironomie & de Géographie. 5
    • PROBLÈME PREMIER. Trouver la ligne méridienne d'un lieu. ibid.
    • Prob. IL Trouver la latitude etun lieu '. 1 r
    • Prob. III, Trouver la longitude £un lieu de là
    • TABLE des Longitudes & Latitudes des villes b lieux de la terre. , 17
    • Prob. IV. Déterminer rheure qu'il efi dans un . lieu de la terre, pendant qu'il efi une certaine heure dans un autre. $0
    • PROB. V. Comment deux hommes peuvent être nés le même jour, mourir au même moment, & cependant avoir vécu un jour , ou même deux, l'un plus que 1'autre. 3 z
    • PrOB. VI. Trouver la grandeur du jour, lorsque le foleil efi dans un degré donné de üécliptique y & pour une latitude donnée. 3 y '
    • Tome III. Ff
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    • ;o TABLE
    • Prob. VII. Le plus grand jour d'un lieu étant donné, trouver fa latitude. 3 5
    • Prob. VIII. Trouver le climat dyun lieu dont la latitude ejl connue. ibid.
    • Prob. IX. Mefurer la grandeur dun degré dun grand cercle de la terre , 6* la terre elle-même.
    • TA BLE des Lieux de la France les plus voi-Jins de la Méridienne de VObfervatoire de Paris. 41'
    • Prob. X. De la vraie Figure de la Terre. 41 Prob. XI. Déterminer la grandeur d'un degré dun petit cercle propofé , ou dun parallèle.
    • 48
    • Prob. XII. Trouver la dijlance de deux lieux propofés de la terre, dont on connoît les longitudes & les latitudes. ÇO
    • TA BLE des mefures itinéraires anciennes & modernes. 54
    • Prob. XIII. Repréfenter le globe terrejlre en plan. 57
    • Prob. XIV. Etant données les latitudes & les longitudes de deux lieux, ([Paris & Cayenne , par exemple ,) trouver à. quel point de V horizon répond la ligne tirée de Vun à Vautre, ou quel angle fait avec le méridien le cercle vertical mené du premier de ces lieux par Vautre. THÉORÈME. On ne voit prefque jamais les ajlres au lieu ou ils font réellement. Le Soleil , par exemple, ejl toujours couché, tandis qu'on Vapperqoit encore tout entier fur Vhorizon. 64
    • Prob. XV. Déterminer, J ans tables agronomiques, s'il y a éclipfe à une nouvelle oit pleine lune donnée. 6$
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    • DES MATIERES. 451
    • Pour Us Nouvelles Lunes. 69.
    • Pour les PUines Lunes, ibid.
    • Prob. XVI. Conjlruciiort d'une machine fer-vaut à montrer les nouvelles, les pUines Lunes , & les E clip f es qui auront ou qui ont eu lieu pendant une certaine période de temps.
    • 71
    • Epoques des années lunaires, rapportées aux années civiles pour le méridien de Paris. 75 Maniéré de faire les divifions fur les platines.
    • 76
    • PROB. XVII. Une année lunaire étant donnée9 trouver, au moyen de la machine précédente , les jours de Cannée folaire qui lui répondent, & dans lefquels il y aura nouvelle ou pleine lune, & éclipfe de foleil ou de lune. 79
    • TABLE des E clip f es de Soleil & de Lune , vifibles , en tout ou en partie ,fur l'horizon de Paris, depuis iJJJ jufquen 1800. 82
    • Prob. XVIII. Obferver une Eclipfe de Lune.
    • Prob. XIX. Obferver une Eclipfe de Soleil.
    • Prob. XX. Mefurer la hauteur des Montagnes.
    • 9Z
    • Autre Maniéré. 93
    • Prob. XXI. Maniéré de connoître les Conf-tellations.
    • TA BLE des Confections. loi
    • CHAPITRE II. Expofition fommaire des principales vérités de CAfironomie phyfque , ou du Syfême de VUnivers» 107
    • §.I. Du Soleil. 109
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    • 452 TABLE
    • §. III. De Vénus. ’tlf
    • §. IV. De la Terre. 117
    • §. V. De la Lune. 119
    • §. VI. De Mars. 124
    • §. VII. De Jupiter. 125
    • §. VIII. De Saturne. 128
    • §. IX. Des Cometes. 132
    • §. X. Des Etoiles fixes. 139
    • §. XI. Récapitulation de ce quion vient de dire furie Syfiême de VUnivers. 147
    • CHAPITRE III. Du Calendrier, & de diverfes quefiions qui y font relatives. 151
    • Prob. I. Connoître fi une année efi biffextile, ou de 366 joursy ou non. 156
    • Du Nombre d'or, & du Cycle lunaire. 158 Prob. II. Trouver le Nombre d'or d'une année propofée, ou le rang qitelle occupe dans le cycle lunaire. 159
    • DeVEpacte. 160
    • Prob. III. Une année étant donnée, trouver fon Epacle. 162
    • Prob. IV. Trouver la nouvelle lune d'un mois propofé dans une annee donnée. 164
    • Prob. V. Trouver l'âge de la lune un jour propofé. 166
    • Du Cycle folaire 9 & de la Lettre dominicale.
    • ibid.
    • Prob. VI. Trouver la Lettre dominicale d'une année propofée. 168
    • Prob. VII. Trouver quel jour de la femaine tombe un jour donné d'une année propofée.
    • *74
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    • CES MATIERES. 45*
    • PROB. VIII. Trouver la fête de Pâques 9 & les autres fêtes mobiles. i
    • Première Maniéré. ibid.
    • Seconde Maniéré. 176
    • TABLE pour trouver la fête de Pâques'. 177
    • Troijieme Maniéré. 178
    • PROB. IX. Trouver quel jour de la femaine commence chaque mois d'une année. 180
    • PROB. X. Connoître les mois de Fannée qui ont 31 jours , & ceux qui n'en ont que 30. 182. PROB. XI. Trouver le jour de chaque mois, auquel le foleil entre dans un figne du zodiaque.
    • ibid.
    • PROB. XII. Trouver le degré du figne où U foleil fe rencontre en un jour propofé de Fan-née. 185
    • PROB. XIII. Trouver le lieu de ta lune dans le ^odiaque , un jour propofé de Fannée. 184
    • PROB. XIV. Trouver à quel mois de Fannée appartient une lunaifon. 185
    • PROB. XV. Connoître les années lunaires qui font communes , & celles qui font embolifmi-ques. 18&
    • PROB. XVI. Trouver combien de temps la lune doit éclairer pendant une nuit propofée. 187 PROB. XVII. Trouver facilement les Calendes-9 lès Nones 6* les Ides de chaque mois de Fan-née. 189
    • PROB. XVIII. Connoître qud quantieme des Calendes, des Nones & des Ides répond a un certain quantieme d'un mois donné, 19a PROB. XIX. Le quantieme des Calendes , des Ides, ou des Nones, étant donné, trouver quel quantieme du mois doit y répondre.. 19%.
    • F iij
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    • ^4 TABLE
    • Du Cycle d'Indiclion. 195
    • Prob. XX. Trouver le nombre de CIndiclion Romaine qui répond à une année donnée, 194 De la Période Julienne, & de quelques autres Périodes de ce genre. ibid.
    • Prob. XXI. Etant donnée une année de la période Julienne, trouver combien elle a de cycle lunaire, de cycle folaire y & <Tindiction.
    • 196
    • Prob. XXII. Etant donnés les nombres des cycles lunaire , folaire & d'indiction , qui répondent à une année, trouver fon rang dans la période Julienne, ibid»
    • De quelques Epoques ou Eres célébrés dans CHifioire. 198
    • Prob. XXIII. Changer les années des Olympiades en années de l'Ere Chrétienne , ou au contraire. ibid.
    • Prob. XXIV. Trouver Cannée de CHégyre qui répond à une année Julienne donnée. lOQ
    • SEPTIEME PARTIE,
    • Gnomonique.
    • Principe général des Cadrans folaires; 104
    • Prob. I. Trouver fur un plan horizontal la ligne méridienne. 207
    • PROB, II. Comment on peut trouver la méridienne par trois observations d'ombres inégales. 208 P^OB. III. Trouver la méridienne d'un plan , oie la ligne foujlylaire. 209
    • Prob. IV. Trouver un Cadran équinoxial* ISO
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    • DES MATIERES. 455
    • PROB. V. Trouver les divijions horaires fur un cadran horizontal, avec deux ouvertures de compas feulement. 212.
    • PROB. VI. Confiruire le même Cadran par une feule ouverture de compas. 21J
    • PROB. VII. Confiruction des autres Cadrans principaux & réguliers, 214
    • Des Cadrans polaires. 215
    • Du Cadran vertical méridional. ibid.
    • Du Cadran feptentrional. . ibid.
    • PROB. VIII. Des Cadrans verticaux , orientaux 6* occidentaux. 215
    • PROB. IX. Décrire un Cadran horizontaly ou vertical méridional 9 fans avoir befoin de trouver les points horaires fur Véquinoxiale. 216
    • PROB. X. Tracer un Cadran fur un plan quelconque , vertical ou incline, déclinant ou non 9 enfin fur une furface quelconque, & même dans Tabfence du foleil. 2.1 S
    • PROB. XI. Décrire dans un parterre un Cadran horizontal avec des herbes. 119
    • PROB. XII. Décrire un cadran vertical fur un carreau de vitre , où Von puijfe connaître les heures aux rayons du foleil y 6* fans fy h. 2 20 PROB. XIII. Décrire trois Cadrans ,& même quatre , fur autant de plans différents 9 où Von puijfe connoître Vheure par Vombre d’un feul
    • Autre Maniéré. 2-22‘
    • PROB. XIV. Trouver la méridienne fous une latitude donnée, par une feule obfervation faite, au foleil, & à une heure quelconque de la journée* a2,-à
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    • 456 TABLE
    • Prob. XV. Tailler une pierre àplufeurs faces?fut lejquelles on puïffe décrire tous les Cadrans réguliers. - .224
    • Prob. XVI. Former un Cadran fur la furfaçe convexe d'un globe. > 226
    • Prob. XVII. Autre Cadran dans une fphere ar* miliaire. 227
    • Prob. XVIII. Faire un Cadran folaire auquel un aveugle puiffe connoître les heures. 229
    • Prob. XIX. Rendre un Cadran horizontal, décrit pour une latitude particulière, propre à indiquer Pheure dans tous tes lieux de la terre. 230 PROB. XX. Confruclion de quelques Tables né-cejfaires pour tes Problèmes fuivants. 232 TA BLE des Angles des lignes horaires d'un Cadran horizontal avec la méridienne, & pour des latitudes depuis 42 degrés jufqu'à 62.
    • 23î
    • TA BLE des verticaux du Soleil a chaque heure du jour & au commencement de chaque fgne 9 pour la latitude de Paris , de 48° 50V 237
    • TABLE des hauteurs du Soleil à chaque heure du jour , pour le commencement de chaque figne, & pour la latitude de Paris, de 48° 50'. 238
    • PROB. XXI. Autre maniéré de confruire un Cadran folaire horizontal 6* univerfel. 239
    • PROB. XXII. Etant donnés la hauteur du foleily le jour de Cannée, & la hauteur du pôle du lieu , trouver l'heure par une confruclion géométrique. 2411
    • PROB. XXIII. Confruire un Cadran folaire horizontal qui montre les heures au moyen d'un fyle vertical immobile à fin centre. 243,
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    • DES MATIERES. 4*7
    • PROB. XXIV. Conjlruction d'un autre Cadran folaire horizontal & mobile, montrant les heures par les feules hauteurs du foleil. 244 PROB. XXV. Décrire un Cadran horizontal, qui montre les heures au foleil fans P ombre d'aucun Jly le. 247
    • PROB. XXVI. Décrire un Cadran qui montre les heures par réflexion. Première Maniera 249 Seconde Maniéré. 250
    • Troifieme Maniéré. 251
    • Quatrième Maniéré. ibid.
    • Paradoxe GNOMONIQUE. Tout Cadran folairey quelque exactement conjlruit qu'il foit , efl faux, & même fenfiblement, dans les heures voifines du coucher du foleil. 252
    • PrOB. XXVII. Tracer un Cadran folaire qui montre exactement l'heure, nonobjlant la réfraction. 255
    • PROB. XXVIII. Décrire un Cadran fur la fur-face convexe d'un cylindre perpendiculaire i
    • Chorizon, & immobile. • 256
    • PROB. XXIX. Décrire un Cadran portatif dans un quart de cercle. 161
    • PROB. XXX. Décrire un Cadran portatif fur une carte. 264
    • PrOB. XXXII. Conjlruclion d'un anneau qui marque Vheure pendant toute Pannée. 2 66
    • pRpB. XXXII. Comment l'ombre d'un Jly le peut rétrograder fur un cadran folaire fans miracle. Prob. XXXIII. Sous une latitude quelconque , tracer un cadran où la rétrogradation de Vombre ait lieu. 272
    • PROB. XXXIV. Déterminer la trace de P ombre dujommet du Jly le fur un plan. 275
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    • 458 T A B L E
    • Prob. XXXV. Connoîtrc les heures à un cadran folaire éclairé par la lune. 27 ç
    • PROB. XXXVI. Conftruire un Cadran qui marque Cheure à la lune. 278
    • Prob. XXXVII. Décrire les arcs des Jîgnes Jur un cadran folaire. 280
    • Seconde Maniéré. 281
    • 'Des diverfes efpeces d'Heures. 284
    • Prob. XXXVIII. Tracer fur un cadran les heures italiques. 284
    • Prob. XXXIX. Tracer fur un cadran les lignes des heures naturelles du jour. 286
    • Prob. XL. Trouver Theure par quelqu'une des étoiles circompolaires. 287
    • Prob. XLI. Trouver l'heure du jour au moyen de la main gauche. 28^
    • APPENDIX contenant une méthode générale pour la defcription des Cadrans folaires , quelle que foit la déclinaifon ou rinclinaifon du plan. 295
    • HUITIEME PARTIE.
    • Navigation.
    • Problème I. De la ligne courbe que décrit un vaijfeau fur la furface de la mer, en fuivant un meme rhumb de la boujfole. 301
    • Prob. II. Comment un vaijfeau peut aller contre le
    • Prob. III. De la force du gouvernail, & de la maniéré dont il agit. 307
    • Prob. IV. Quel angle le gouvernail doit-il faire, pour tourner le vaijfeau avec le plus de force A
    • w
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    • DES MATIERES. 459
    • PROB. V. Un vai fléau peut-il avoir une viteflè égale à celle du vent, ou plus grande ? 314
    • PROB. VI. Le vent foufflane félon une direction donnée, & le vaifleau devant aller félon une route déterminée , quelle ejl la pojition de la voile qui fera la plus avantageufe pour fa marche ? 316
    • PROB. VII. Comment faudroit-il faire pour fe diriger d'un lieu à Vautre fur la mer, parle chemin le plus court ? 317
    • PrOB. VIII. Quelle ejl la forme la plus avantageufe à donner a la proue d'un vaifleau , foit pour aller vite, foit pour bien gouverner ? 3 20 PROB. IX. Quel ejl le plus court chemin pour atteindre un vaijfeau auquel on donne cliafle , & qu'on a fous le vent ? 321
    • PROB. X. De la détermination des longitudes en mer. 3*î
    • PROB. XI. Si un vaifleau étoit parvenu jufqu'à un des pôles} comment feroit - il pour fe diriger dans un méridien déterminé? 3 3 Z
    • NEUVIEME PARTIE.
    • Architecture.
    • Problème I. Tirer d'un arbre la poutre de la plus grande réjîjlance. 33^
    • PrOB. II. De la forme la plus parfaite (Tune voûte. Propriétés de la chaînette, & leur application à la folution de ce problème. 343
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    • 460 TABLE
    • PROB. III. Comment on peut confruire une voûte hémifphérique ou en cul-de-four, qui ri exerce aucune pouffée fur fes fupports. 349
    • Prob. IV. Comment on pourroit diminuer conji-dérablement la pouffee des voûtes. 353
    • Prob. V. Deux particuliers voijins ont chacun un emplacement affe{ rejferré , ou ils veulent bâtir. Mais, pour fe ménager de la place 9 ils conviennent de conjlruire un efcalier qui puiffe fervir aux deux maifons, & qui foit tel que leurs habitants riaient rien de commun entr'eux que rentrée & le veflibule. Comment s'y prendra Varchitecte à. qui ils expofent cette idée ? 356
    • PROB. VI. Comment on peut former le plancher ri un emplacement avec des poutrelles qui ri ont • qu'un peu plus de la moitié de la longueur né-cejfaire pour atteindre ri un mur à Vautre. 358
    • Prob. VII. Des trompes dans l'angle. 361
    • Prob. VIII. Un architecte a un terrain quadran-gulaire & irrégulier, tet que AB CD, & veut y planter un quinconce, enforte que toutes les lignes d'arbres, tant tranfverfales que diagonales , foient en ligne droite. On demande comment il faudra qu'il s'y prenne. 363
    • PROB. IX. Confruciion d'une charpente qui, fans entrait, ri a aucune pouffée fur les murs fur lef-quels elle repofe. 366
    • PROB. X. Du toifage des voûtes en cul-de-four, furhauffées & furbaiffées. , 367
    • §. I. Pour les Voûtes en cul-de-four furhauffè.
    • 3^
    • §. II. Pour les Voûtes en cul-de-four furbaiffé.
    • 370
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    • DES MATIERES. 4 St PROB. XL Mejure des voûtes en arcs de cloître, & des voûtes d'arête. 372
    • P RO B. XII. Comment on pourroit conjlruire un pont de bois de 100 pieds & plus de longueur, & 1l’une feule arche, avec des bois dont aucun n’ex-céderoit quelques pieds de longueur. 374
    • PROB. XIII. Ejl-il pojjible défaire une plate-bande qui n ait aucune poujfée latérale ? 378
    • PROB. XIV. EJl-ce une perfection dans l’èglife de Saint-Pierre de Rome9 qu’en la voyant pour la première fois , on ne la juge point auffi grande qu’elle l’ejl réellement, & quelle paroît après l’avoir parcourue ? 379
    • DIXIEME PARTIE.
    • Pyrotechnie.
    • Section PREMIERE. Ve la Poudre à canon.
    • 387
    • SECTION II. Conjlruclion des Cartouches de Fu-fées volantes. 391
    • Première Table , du Calibre des Moules d’une livre & au dejfous. 398
    • Seconde Table , pour les Calibres des Moules depuis / liv. jufquà So liv. de balle. 399
    • SECTION III. De la CompoJition de la Poudre des Fufées, & de la maniéré de les charger.
    • 400 403
    • Des Etoupilles»
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    • 46i T A B L Ë
    • SECTION IV. Quelle efi la caufe de tafcenfiorl des Fufées en Vair. 405
    • SECTION V. Du Feu brillant & du Feu chinois.
    • 407
    • Feu chinois rouge. 408
    • Feu chinois blanc. 409
    • SECTION VI. Des Garnitures des Fufées. 410 J.I. Des Serpenteaux. 411
    • §. II. Les Marrons. 413
    • §. III. Les Sauciffons. 414
    • §. IV. Les Etoiles. ibid.
    • Autre maniéré de faire dés Fufées à étoiles. 415 §. V. La Pluie de feu. 417
    • §.VI. Les Etincelles. 418
    • Autre maniéré de faire des Etincelles. . 419 §. VII. De la Pluie d'or. ibid.
    • SECTION VII. Des Fufées différentes pour P effet y des Fufées ordinaires. 410
    • §. I. Des Fufées volantes fur des cordes, ou Courantins. ibid.
    • §. II. Fufées volantes le long dé une corde, & tournantes en même temps. 412
    • §. III. Des Fufées qui brûlent dans Veau. ibid. §. IV. Repréfenter, par le moyen des fufées , plujîeurs figures en Pair. 425
    • §. V. Fufée qui monte en formé de vis. 426 SECTION VIII. De quelques Artifices mobiles, différents des Fufées > comme les Globes ou Balles de feu. ibid.
    • §. I. Des Globes récréatifs qui brûlent fur Peau.
    • 4*7
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    • DES MATIERES. 463
    • §. II. Globes récréatifs , fautants ou roulants fur la terre. 41^
    • §. III. Des Globes aériens, appelés Bombes.
    • 431
    • SECTION IX. Des Jets de Feu. 434
    • Comportions principales pour les Jets de feu.
    • 435
    • SECTION X. Des Feux de différentes couleurs.
    • 435
    • SECTION XI. Compofition «Tune Pâte propre à repréfenter des animaux , des devifes &c. en fiu. 438
    • SECTION XII. Des Soleils, tant fixes que mo-biles. 439
    • SECTION XIII. De quelques Onguents pour la brûlure. 442.
    • SECTION XIV. Pyrotechnie fans feu , & purement optique. 443
    • Fin de la Table du troifieme Volume.
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TOME 4

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    • Qui contient les objets les plus curieux de la Phyjîque générale & particulière.
    • APRÈS avoir parcouru les differentes parties des mathématiques, & des fciences ou arts qu’on range dans cette clafle, nous allons entrer dans le champ de la phylîque, qui ne nous préfente pas moins d’objets dignes de euriofité que les mathématiques, ou , pour mieux dire, qui eft encore plus fertile en ce genre, ainfi que plus à la porté de la plus grande partie des lecteurs. Cette matière eft même tellement abondante , que nous aurions peine à y établir des di-
    • Tome IV.
    • A
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    • i Récréât. Ma^hémat. et Phys^
    • vifions; c’eft pourquoi cette partie de notre ouvrage fera une efpeçe de mélange, fans beaucoup d’ordre, de tout ce dont traite la phyfique générale. On y paflera fucceflivement en revue les propriétés générales des corps & des éléments ; les inventions, foit utiles, foit récréatives , auxquelles ces propriétés donnent lieu ; diverfes quef-tions tenant au fyftême du monde, les météores , l’origine des fontaines, & mille autres objets refîortifïants de la phyfique , & dont il feroit beaucoup trop long de faire l’énumération. Mais avant de fe jeter dans ce vafte champ, il eft né-ceflaire d’établir quelques principes généraux qui puiflent fervir à ce qui fuivra. C’eft ce qu’on va faire dans le difcours fuivant , qui a pour objet principal les propriétés de ce que les phylîciens appellent les Eléments, fçavok , l’air, le feu, l’eau, & la terre.
    • DISCOURS PRÉLIMINAIRE,
    • Sur les Eléments des Corps.
    • Lorsque, dans l’analyfe d’un mixte, on eft arrivé à fes derniers compofants, & qu’on ne peut les décompofer eux-mêmes, on doit les regarder comme fes éléments. Or tout le monde fçait que tous ou la plupart des corps fournis à l’analyfe , fourniffent une matière fixe, quelque chofe d’inflammable, un fluide invifible, & qui ne fe ma-nifefte que par fon expanfibilité & fon reffort, un autre enfin que la chaleur réduit en vapeurs, & qui fe raffemble enfuite fous une forme vifible : ce font ces quatre compofants qu’on a nommés la terre , le feu , 1W, ôt Veau. Ils entrent dans la
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    • Physique. j
    • compofition de [la plus grande partie des corps ; mais on n’a pu encore les décompofer eux-mêmes. On doit donc les regarder comme les éléments de tous les autres corps ; & ceci juftifie la dénomination vulgaire & établie prefque depuis la naiflance de la phytique , félon laquelle il y a dans la nature quatre éléments, le feu, l’air, l’eau, & la terre.
    • Du Feu y tant élémentaire que matériel.
    • Qu’eft-ce que le feu ? Voilà peut-être la queftion de phyfique la plus obfcure, & la moins fufcepti-ble d’une folution abfolument fatisfaifante. Cependant voici ce que fes propriétés connues permettent de donner comme probable.
    • Le feu eft un fluide univerfellement répandu dans la nature ; qui pénétré tous les corps avec plus ou moins de facilité ; fufceptible de s’accumuler dans quelques-uns , & alors cette accumulation produit fur nous cette fenfation que nous appelons la chaleur. Portée plus loin, elle produit l’embrafement, qui eft toujours accompagné de la lumière. En tout état ce fluide dilate les corps , à mefure qu’il s’y trouve en plus grande quantité ; enfin il fépare leurs parties , ce que nous appelons brûler, calciner, fondre.
    • Que le feu foit un fluide , c’eft ce dont il n’eft pas permis de douter ;'car s’il ne l’étoit pas, comment feroit-il répandu dans l’air, dans l’eau, fans faire obftacle au mouvement des corps ? comment pénétrerait-il les corps les plus déniés & les plus compares, les métaux , par exemple ?
    • 11 y a plus. Non-feulement le feu eft un fluide, Aij
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    • 4 Récréât. Màthémat. et Phys,
    • mais il eft le principe de toute fluidité. Sans lui » tous les fluides connus feraient réduits à une maffe abfolument folide. Les métaux fe congèlent à un degré de chaleur encore bien fupérieur à celui de l’eau bouillante. L’eau perd fa fluidité aufli-tôt •que la chaleur ou la quantité de feu a diminué à an certain point ; enfuite l’efprit de vin ; enfin le mercure fe congele à fon tour, par la diminution progrelfive de la chaleur. Il eft peut-être un degré de froid ou de rareté de feu qui réduirait l’air en un fluide comme l’eau, & même en un folide ; mais nous fommes prodigieufement éloignés de
    • II pénètre tous les corps avec plus ou moins de facilité. C’eft ce qui réfulte de la communication de la chaleur d’un corps échauffé, à un corps froid. C’eft avec plus ou moins de facilité, & non avec une facilité extrême, que la chaleur fe communique ; car il eft reconnu que cette communication n’eft pas inftantanée : une aiguille un peu longue, dont on préfente la pointe à la flamme d’une bougie, n’eft pas aufli-tôt également chaude par fes deux bouts. Un corps reçoit cette chaleur plus promptement que l’autre.
    • U accumulation du fluide igné produit fur nous cette fenfation que nous appelons chaleur. Cela n’a pas befoin de preuve. Mais cette fenfation n’eft que relative. Tant que la paume de notre main, par exemple , eft plus chaude que le corps en con-taél avec elle, il nous paraît froid ; mais au contraire il lui paraîtra chaud, fi elle eft plus froide, ou fi elle contient moins de fluide igné, ou fi ce fluide tend à paffer, comme il le fait, peu à peu de ce corps dans notre main. Tout le monde connoît cette expérience triviale , de s’échauffer
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    • Physique* ?
    • fortement une main , de refroidir l’autre prefque à la température de la glace : plongez-les alors-l’une & l’autre dans de l’eau tiede ; l’une éprouvera le fentiment du froid , & l’autre celle de la chaleur.
    • Cette, accumulation, portée à un degré conjidéra— b le , produit Cembrafement, toujours accompagné de la lumière. De certaines expériences de M. de Buffon , il réfui te que le fer, expofé fans contaft avec un autre corps embrafé , à l’a&ion de ce corps, devient lui-même embrafé & rouge. Or qu’eft-ce qu’un feu rouge, linon un corps où le fluide igné eft accumulé au point d’être lumineux Toute lumière, à la vérité, n’eft pas chaleur mais toute chaleur, portée à un certain degré9 devient lumière.
    • Le feu ejl - il pefant ? Il ne me paroît y avoir de doute que le feu foit pefant : il eft matière y puifqu’il agit fur la matière ; donc il doit être doué de la pefanteur. Mais la queftion eft de (Ravoir s’il a une pefanteur perceptible & appréciable avec les inftruments que nous pouvons employer. S’Gravefande & Mufchenbroeck ont fait des expériences, au moyen defquelles ils n’ont trouvé aucune différence entre des maffes de fer rougies ou pénétrées de feu, & ces mêmes maffes devenues froides. Ils en coneluoient feulement que , puifque le fer rouge augmentant de volume doit pefer un peu moins dans l’air , & que cependant il pefoit également, cela devoit venir de l’addition du poids du feu dont il étoifi pénétré. Mais ces expériences n’étoient pas faites avec les foins néceffaires.
    • M. de Buffon, qui, au moyen des forges qui lui appartiennents’eft trouvé en état de faire des A iij
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    • 6 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • expériences plus multipliées & plus en grand, à conftamment trouvé que des morceaux de fer forgés & rougis, pefoient un peu plus qu’étant refroidis ; & il a fixé cette diminution à un 6oo* du poids du corps emhrafé. Mais, il faut en convenir, & M. de Buffon l’a fenti lui-même, Cette expérience ne feroit pas encore décifive , puifqu’il a fait voir que le fer tenu rouge pendant quelque temps , perd continuellement de fon poids, parcequ’il fe brûle peu à peu : aufti a-t-il fait d’autres expériences fur une matière fort commune dans les fourneaux, fqavoir le laitier ; il s’eft d’abord affiné que le laitier conferve fa même pefanteur, ou n’en perd qu’une portion in-fenfible , après avoir été embrafé & refroidi. Il a donc pris du laitier, & l’a pefé froid dans une balance extrêmement fenfible il l’a fait rougir au blanc , & l’a pefé de nouveau & enfin, après fon refroidiffement. Cinq expériences de ce genre lui ont conftamment donné un excès de poids dans le morceau de laitier rouge, fur celui qu’il avoit avant & après. Cette différence donne , pour la pefanteur du feu dans cet état, une 580e ou une 600e environ , de celle du morceau de laitier.
    • Mais, dira-t-on , fi cela eft , le feu eft donc plus pefant que l’air ; car le laitier eft d’une pefanteur fpécifique qui eft à celle de l’eau comme à 1 ; ainfi cette pefanteur eft à celle de l’air comme' 1125 à 1. Or le feu dont eft imprégné un moN ceau de laitier rougi, eft environ ^ de fon poids ; donc il eft au poids de l’air d’un pareil volume , comme 3- à 1. Or cela n’eft pas croyable. La ténuité du feu eft telle , que l’on ne fçauroit fe perfuader que fa pefanteur approche même de celte de l’air.
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    • Physique. 7
    • Mais il faut faire attention que, dans une mafte embrafée & rougie à blanc , il y a une grande quantité de feu accumulée : ainli le feu, dans fon état ordinaire, 8c dans les corps échauffés à la température moyenne de notre atmofphere, n’aura qu’une pefanteur infenfible ; mais lorfqu’on aura accumulé cinq ou fix cents fois, ou même encore plus, la même quantité de feu , 8c au point de produire l’ignition, alors cette pefanteur pourra être fenfible. Suppofons, par exemple, que le feu difféminé dans l’air échauffé au I degré du thermomètre , ne pefe que la 300e partie du poids de cet air; lorfque , pour produire l’ignition, on en aura fait entrer 5 ou 600 fois autant, alors fa pefanteur pourra égaler 8c même furpaffer le poids de l’air tel que nous le refpirons. J’ignore fi ce feroit-là la répcmfe de M. de Buffon ; mais telle eft celle que je crois qu’on pourroit faire.
    • On s’eft au refte trompé, lorfqu’on a regardé l'augmentation de poids qu’acquierent les métaux en fe calcinant, comme une preuve de la pefanteur du feu, qu’on croyoit, dans cette opération , fe fixer 8c fe folidifier en quelque forte avec les chaux métalliques. On fçait aujourd’hui que le feu n’a aucune part à cette augmentation de poids.
    • Le feu dilate les corps; en les dilatant, il écarte leurs molécules conjlituantes, & finit par liquéfier ces corps. Ce phénomène, quant à l’effet, eft connu de tout le monde. On fçait que le feu dilate les corps ; on le montrera d’ailleurs dans la fuite, au moyen d’une machine fort ingénieufe, qui fërt à déterminer le degré 8c le rapport de cette dilatation. Or il ne peut produire cet effet fans écarter les particules conftituantes de ces corps, 8c c’eft-là le mécanifme par lequel il vient enfin à les liquéfier,
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    • 8 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • & même à les volatilifer ; car la folidité d’un corpÿ eft l’effet de l’adhélion de fes parties intégrantes les unes avec les autres , adhéfion qui eft probablement produite par le contaél de ces molécules dans de grandes furfaces. Mais lorfque le feu , s’introduifant entr’elles, les écarte, & fait qu’elles fe touchent à peine, alors leur adhéfion eft diminuée, le corps devient fluide. Le feu augmente-t-il encore, au point que ces molécules ne peuvent même fe toucher ; voilà le corps arrivé à un degré de fluidité extrême , au point de fe volatilifer. Ces particules n’ayant plus aucune adhéfion, pourront être entraînées par le moindre effort, comme celui du feu, qui exerce fans ceffe une aéfion pour s’étendre de toute part.
    • 11 eft cependant des corps que le feu tend d’abord à refferrer ; mais c’eft parcequ’ils contiennent des principes que le feu diffipe : telle eft l’argille, qui prend d’abord de la retraite au feu. Mais fi on la pouffe à un plus grand feu , elle fe dilate , fé liquéfie , & fe convertit en verre.
    • $.H-
    • De l'Air,
    • L’air eft un fluide élaftique , pefant, fufcepti-ble d’être comprimé, que la chaleur dilate 6c que le froid refferre ; qui eft néceffaire à la vie de tous les animaux connus ; qui fe charge & fe combine avec l’eau, comme l’eau fe combine avec lui. Telles font les propriétés principales de l’air, ôç dont nous allons donner une première idée, remettant à les prouver par diverfes expériences dont les effets curieux en dérivent.
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    • Physique. 9
    • L'air efl un fluide pefant. Il ne faut qu’une légère teinture de phyfique pour connoître cette propriété de l’air, & pour en être convaincu. Une expérience bien fimple la démontre. On prend un globe de verre de 6 pouces de diamètre , & garni d’un tube qu’on peut ouvrir & fermer au moyen d’une clef de robinet ; on en évacue l’air au moyen de la machine pneumatique , & l’on ferme l’accès à l’air extérieur ; on pefe ce globe ainfi vuide d’air, à une balance très-fenfible ; on laiffe enfuite entrer l’air extérieur , en tournant la clef du robinet : alors l’équilibre fe rompt, & le côté du vafe l’emporte. Il faut ajouter au poids, pour le volume qu’on vient de dire , 45 ou 50 grains , afin de rétablir l’équilibre. Ainfi l’air eft pefant, & un demi-pied fphérique d’air pefe environ 48 grains ; ce qui fait une 850e environ du poids d’un pareil volume d’eau.
    • U air efl un fluide élaflique. Une expérience fort fimple le prouve. Qu’on emplifle d’air une veflie, fans néanmoins la trop gonfler, c’eft-à-dire enforte qu’elle foit encore un peu flafque ; qu’on la porte au haut d’une montagne élevée : on verra qu’elle fera plus diftendue ; & on pour-roit, en la portant fur des montagnes exceflive-ment élevées, comme les Cordillieres du Pérou, la diftendre au point de la faire crever.
    • L’expérience réulïira de même, en plaçant cette veflie fous un récipient, qu’on évacuera d’air par la machine pneumatique. Au premier coup de pif-ton , la veflie s’enflera,-m’y eût-on laifle qu’un pouce d’air ; & lorfqu’on laiflera rentrer l’air extérieur , elle reprendra fon premier état.
    • Cet effet, on ne peut en douter, eft produit
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    • xo Récréât. Mathémat. et Phys. par le reffort de l’air, qui, quand il eft décharge de l’air extérieur, augmente de volume, & quand il en eft chargé de nouveau, revient à Ton premier état. C’eft un reffort plus ou moins comprimé par un poids , & qui s’étend plus ou moins, à proportion que ce poids eft plus léger ou plus grand.
    • L'air ejl un fluide fufceptible d'être comprimé. C’eft-là une fuite de l’élafticité de l’air. L’expérience a prouvé qu’un poids double le comprime de maniéré à n’occuper qu’un volume de moitié $ un poids quadruple le réduit au quart ; &c. en-fbrte qu’ort peut dire généralement que la même inaffe d’air ( la température reftant la même, ) occupe des volumes qui font en raifon inverfe des poids comprimants.
    • L'air fe dilate par la chaleur & Je rejjerre par le froid. C’eft encore ici une propriété de l’air , que les expériences les plus ftmples démontrent évidemment. En effet, dans une chambre échauffée au degré de la température moyenne , rempliffez une veflie d’air, enforte qu’elle n’en foit pas entièrement remplie; tranfportez-la près du feu, enforte que fon air foit échauffé au deffus de la température moyenne : vous verrez la veflie fe diftendre, & occuper un plus grand volume. On éprouveroit le contraire , en l’expofant à un air plus froid.
    • L'air eft nécejfaire cl la vie de tous les animaux. C’eft une vérité qui n’a nul befoin d’être prouvée ; elle eft trop connue. Au refte on la démontre plus fenfiblement par le moyen de la machine pneumatique, où l’on renferme des animaux ; car, aufli-tot qu’on a commencé à en extraire l’air , on voit ces animaux s’inquiéter, haleter, &c. & enfin périr, loîfque l’air eft en trop petite quan-
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    • Physique. ït
    • îité. Si, avant qu’ils foient morts, on leur rend l’air peu à peu, ils reviennent à la vie.
    • L'air fe charge de Peau & fe combine avec elle , comme au contraire l'eau fe charge de l'air & fe combine avec lui. La première partie de cette proportion eft affez prouvée par les faits connus de tout le monde. L’air eft tantôt plus, tantôt moins humide: c’eft l’air chargé d’humidité, qui la dé-pofe dans certains corps propres à l’attirer & à î’abforber puiftamment, comme le fel de tartre, qui s’en imprégné tellement, qu’il fe réfout en liqueur par le feul contaéf de l’air ordinaire , quoiqu’il ait été defféché par un feu violent. C’eft l’air, relâchant l’eau avec laquelle il étoit combiné , qui occafionne cette humidité qui fe dépofe principalement fur les pierres, les marbres, &c. dans les temps que nous nommons humides. Le (impie contaél de l’air diminue peu à peu l’eau contenue dans un vafé, fur-tout fi cet air a du mouvement, pareeque à chaque inftant de nouvel air s’applique à la furface de l’eau. C’eft par ce mécanifme que les vents qui ont paffé une grande étendue de mer, comme font pour nous les vents d’oueft , fe chargent d’eau & nous apportent la pluie.
    • L’eau à fon tour fe charge de l’air. Une expérience curieufè de M. Mariotte le prouve. On purge bien d’air une certaine quantité d’eau , &C on la met enfuite dans une petite bouteille , en ne laiftant de vuide qu’un petit efpace , comme.de la groïïeur d’un pois : au bout d’environ vingt-quatre heures l’eau occupe toute la capacité de la bouteille. Que peut être devenu cet air, s’il n’a pas été abforbé par l’eau qui étoit en contaél avec lui ?
    • C’eft cette propriété de l’air de fe combiner
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    • iz Récréât. Mathêmat. et Phys. avec l’eau, de s’en faturer même, enfuite de l’abandonner , qui eft la caufe de plufieurs effets phyfiques, tels que les nuages, la pluie, l’afcen-fio'n ou la defcente du baromètre, &c. Mais ceci mérite d’être expliqué ailleurs plus au long.
    • §• HL
    • De l’Eau.
    • L’eau eft ce fluide fi connu de tout le monde, & fi commun, dont les propriétés principales font d’être tranfparent, fans faveur & fans odeur ; de fe mettre toujours en équilibre , c’eft-à-dire de fe ranger félon une furface concentrique à la terre : ce qui lui eft du refte commun avec les autres fluides pefants & non élaftiques ; d’être incom-preflible, de fe réduire en vapeurs par un feu porté à un certain degré , & d’être alors doué d’une force élaftique très-grande ; de fe transformer en un corps folide & tranfparent, lorfou’il eft expofé à un certain degré de froid ; de difloudre les fels & une infinité d’autres fubftances , & d’être parla le véhicule des parties nourriflantes , foit des animaux , foit des végétaux : ce qui le rend fi effentiel dans l’économie animale , qu’il eft en quelque forte plus difficile de vivre fans eau, ou fans quelque fluide dont elle eft la bafe , que fans aliment folide.
    • Telles font les propriétés de l’eau, dont nous devons donner ici quelques preuves légères, en attendant que la fuite de cet ouvrage nous mette à portée d’en donner, par occafion, de plus étendues.
    • Il eft fuperflu de prouver la tranfparence, la
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    • Physique. i)
    • nullité de l’odeur & de la faveur de l’eau. Lorfque ce fluide a de l’odeur ou de la faveur, c’eft par-cequ’il tient quelque corps étranger en diffolution. On doit, par cette raifon, fe défier des eaux qu’on appelle agréables ii boire ; à coup sûr elles ne font pas pures.
    • L’eau fe range toujours félon une furface concentrique à la terre. Pe.rfonne n’ignore cette propriété , qui lui eft commune avec les autres fluides élaftiques : c’eft la bafe de l’art du nivellement. Toutes les fois que deux maffes d’eau communiquent enfemble, on peut être sûr que leurs fur-faces font de niveau, ou à égale diftance du centre de la terre. C’eft une erreur de croire que l’eau de la Méditerranée eft plus élevée ou plus baffe que celle de la mer Rouge au fond du golfe de Sués ; ce qui, dit-on, a fait renoncer au projet de couper cet ifthme, de crainte de faire écouler la Méditerranée dans la mer Rouge , ou au contraire. Rien n’eft plus abfurde, puifque ces deux mers communiquent entr’elles par l’Océan. Si elles avoient été créées de niveau différent, elles n’au-roient pas tardé d’en prendre un même.
    • L’eau ejl incompreffible. Les académiciens del Cimento, les premiers, à ce qu’il nous paroît, qui aient faifi la bonne maniéré de philofopher , c’eft-à-dire de tout foumettre aux expériences , en ont fait une fort curieufe , qui prouve cette incom-preflibilité. Ils renfermèrent dans une boule d’or, creufe , & d’une certaine épaiffeur , une certaine quantité d’eau, en s’affurant qu’elle en rempliffoit bien la cavité ; on frappa enfuite la boule avec un marteau, ce qui tendoit à en diminuer la capacité : l’eau, plutôt que de fe refferrer, paffa à travers les pores de l’or, quoique extrêmement étroits.
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    • 14 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • Boyle a répété cette expérience , ainfi que Mufchenbroek ; & ils en attellent la vérité.
    • L’eau fe réduit en vapeurs très-élajliques, par une chaleur poujjèe à un certain degré. C’eft encore là une vérité que prouvent des expériences fort {impies, Jetez fur un fer ardent une petite quantité d’eau ; vous la verrez fur le champ transformée en vapeurs.
    • Lorfqu’on tient, dans un vafe fermé, de l’eau en grande ébul ition , il s’en éleve une vapeur elafti-que d’une fi grande puiffance , que, fi on ne lui jnénage pas une iffue , ou que le vafe n’ait pas une force fuffifante, elle fait tout éclater : c’eft pour cela qu’à la chaudière de la machine à feu il y a une fou pape qui doit s’ouvrir lorfque la vapeur eft d’une certaine force : fans cela tout fau* teroit en morceaux.
    • Cette vapeur, félon le calcul des phyficiens , occupe un efpac'e 14000 fois plus grand que l’eau dont elle provient. De-là naît fa force prodi-gieufe lorfqu’elle eft refferrée dans un efpace beaucoup moindre.
    • Veau expofée à un certain froid fe transforme en un corps J'olide & tranfparent, que nous nommons de la glace. Il eft fuperflu de prouver ce fait trop connu de tout le monde : nous nous bornerons à développer le mécanifme de cet effet fin-gulier.
    • Il eft fuffifamment démontré, par la formation de la glace, que la nature primitive de l’eau eft d’être un corps folide. C’eft un folide mis en fu-Jîon par un degré de chaleur fort au deffous de Celui que nos fenfations nous font appeler tempéré; car on feroit dans une étrange erreur, fi l’on imagiijojt que ce que nous appelons le degré o
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    • Physique. i;
    • du thermomètre, fût l’abfence de toute chaleur. Puifque l’efprit de vin & diverfes autres liqueurs ie tiennent fluides à des degrés de froid fort fupé-rieurs à celui qui glace l’eau, il eft évident que ce degré qu’on appelle o n’eft qu’un terme relatif, un commencement de divifion.
    • Ainfi l’eau n’eft donc qu’un folide liquéfié, & qui fe tient en liquéfaction à un degré de chaleur tant foit peu plus grand que celui qui, dans nos thermomètres ordinaires, eft marqué o, & qui, dans celui de Farenheit, eft marqué 32. Ceci fera expliqué plus au long, lorfque nous parlerons des thermomètres.
    • Confidérons donc , pour un moment , l’eau dans fon état de folidité. Lorfqu’on l’échauffe juf-qu’à un certain degré de chaleur, la matière du feu, dont elle eft pour lors imprégnée , fouleve & écarte les unes des autres les molécules dont elle eft compofée; car ces molécules ne fe touchant plus alors par d’aufli grandes furfaces, mais étant encore dans les limites de leur adhéfion , elles coulent avec facilité les unes fur les autres. Voilà la glace conftituée dans l’état de fufion, comme le plomb, par un degré de chaleur de 226 degrés. La matière du feu s’échappe-t-elle pour fe mettre en équilibre dans d’autres corps qui en ont encore moins, car c’eft ainfi que s’opère le refroidiffe-ment, ces molécules fe rapprochent les unes des autres ; elles viennent à fe toucher par les petites facettek qu’elles fe préfentent, elles adhèrent les unes aux autres, & forment un corps folide. Ce que nous difons des petites facettes des particules de l’eau , paroit prouvé par les ramifications de la glace ; car ces ramifications, tant dans la glace que dans la neige, fe font toujours fous des angles
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    • 16 Récréât. MàIhémàI*. et Phÿs, de 60 ou 120 degrés ; ce qui indique des plans uniformément inclinés. On parlera ailleurs , avec quelque étendue, de ce phénomène qui tient à la cryftallifation.
    • Il feroit au furplus ridicule aujourd’hui de rencourir , pour expliquer la formation de la glace , à de prétendues particules frigorifiques, dont jamais rien ne juftifia l’exiftence. L’eau Te glace à un degré de chaleur qui ne peut plus la tenir en fiifion , par la même raifon oc par le même mé-canifme que le plomb fe fige à un degré de chaleur moindre que le 226e du thermomètre de Réau-mur. Or ces mêmes phyficiens qui ont recours aux particules frigorifiques répandues dans l’air, n’y recourent pas dans ce cas : ils reconrioiffent très-bien ici que la congélation du plomb ne vient que du rapprochement de fes molécules, que le feu ne tient plus fuffifamment écartées les unes des autres ; pourquoi donc , dans le cas de la congélation de l’eau , recourir à quelque chofe de plus }
    • Il eft vrai qu’il y a dans la congélation de l’eau un phénomène fort fingulier ; c’eft que l’eau diminue de volume à mefure qu’elle fe refroidit : mais au moment que la glace fe forme, ce volume augmente : d’où les phyficiens dont nous parlons concluent l’introdu&ion d’une matière étrangère, ou de leurs particules frigorifiques. Mais nous ob-ferverons, i° que le fer eft dans le même cas , 2° que cet effet eft celui de la cryftallifation ; car , nous le répétons , la congélation de l’eau n’eft qu’une cryftallifation, dans laquelle fes molécules prennent entr’elles un arrangement déterminé par leur forme primitive. Or cet arrangement ne peut fans doute pas s’effeftuer fans qu’il en réfulte une augmentation de volume , comme cela arrive au fer
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    • Physique. 17
    • fer quand il fe fige ou perd fa fluidité, par la feule diminution de la chaleur qui le tenoit en.fufion. Ceci fera plus clair quand on aura connu les phénomènes de la cryftallifation. *
    • L’eau dïjjout Les fels & une infinité de fubfiances. C’efl: encore un phénomène connu. 11 n’eft: perfonne qui ignore que tous les corps falins, foit acides , foit alkalis, foit neutres, font iolubles dans l’eau, en plus ou moins grande quantité ; & un phénomène fort finguüer à cet égard , c’efl: que de l’eau qui tient en diflolution un certain fel autant qu’elle en peut tenir, ne laiflfe pas de diflToudre encore quelque autre fel. Mais le plus fouvent elle abandonne l’un en fe chargeant de l’autre , fi elle a avec ce dernier une plus grande affinité.
    • Parmi les autres fubftances que l’eau diflfcut, nous remarquerons principalement la partie gom-meufe ou mucilagineufe des animaux ou des végétaux, qui eft précifément celle qui fert à la nourriture des premiers , & la feule qui ferve à cet objet. C’efl: par cette propriété que l’eau eft fi utile à l’économie animale ; car il faut que les parties nourriflantes des aliments foient diflbutes & étendues dans l’eau ou dans quelque fluide équivalent avant que d’étre avalées, ou que cette diflolution fe fafle dans l’eftomac après la déglutition. De-là vient que l’eau eft en quelque fôrte le premier aliment de l’homme & des animaux. Elle n’eft pas aliment elle-même , mais elle eft le véhicule de tout ce qui eft aliment.
    • L’eau enfin , &. nous nous bornerons à ceci , eft la bafe de tous les autres fluides aqueux , comme les efprits , les huiles , &c ; car d’abord il n’en eft aucun dont, par une opération fort Ample, celle de la diftillation, on ne tire plus ou Tome IV. B
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    • i$ Récréât. Mathémat. et Phys. moins d’eau. La combuftion produit le même effet, en dégageant la matière purement aqueufe. Ainfi donc il nous paroît que toutes les liqueurs inflammables, confine les huiles, Toit grades, Toit éthérées , les efprits, ne font qu’une combinaifon de l’eau avec le phlogiftique, & quelquefois avec Un peu de la terre dont nous allons parler.
    • §. IV-
    • De la Terré.
    • La terre eft cette partie compofante des mixtes , qui refte fixe après leur analyfe. Lorfque , par l’aftion du feu, on a confumé ou fait exhaler la partie inflammable , qu’on a rendu l’air à la maffe atmofphérique , que l’eau s’eft élevée en vapeurs, il refte un corps fixe & folide, déformais inaltérable par le feu ; c’eft la terre élémentaire ; & ce font fes diverfes efpeces qui conftituent or-nairement la nature de ce mixte.
    • On eft forcé en effet, du moins jufqu’à ce qu’on foit arrivé à une décompofition ultérieure de ce corps fixe, à reconnoître que la terre élémentaire n’eft pas toute de la même nature ; au lieu qu’il eft démontré que toute eau, tout air refpirable, eft homogène ; car lorfque, par la calcination , par exemple, on eft parvenu à réduire un métal en chaux, laquelle eft vitrifiable, cette chaux ou terre n’eft certainement point homogène, ni à une autre chaux métallique , ni au caput mortuum, ou à la terre d’un autre corps, comme la chaux de la pierre , ou la terre des végétaux quelconques ou animaux calcinés. La preuve en eft fimple, car la chaux métallique étant revivifiée par l’addi-
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    • PhŸSÎQÜË.
    • tïôri dü phîogiftique, ne produit que le même métal qui avoit donné cette chaux ; & , par quelque voie que ce Toit, la terre d’un autre mixte qu’un métal né donnera un métal, quelque combinai-fon qu’on faffe. Cette propriété des chaux métalliques, eft la bafe de l’art de féparer les métaux d’avec les terres & pierres avec lefquelles ils font jninéralifés ; car aufli-tôt que leurs chaux , vitrifiées par la violence du feu, fe trouvent en contait avec les matières charbonneufes, celles des métaux reprennent leur forme métallique, St fe dégagent par leur poids des chaux vitrifiées de ces autres matières hétérogènes avec lefquelles elles étoient confondues.
    • On diftingue ordinairement les terres erl Calcaires , vitrifiables , & apyres ou réfraétaires. Les terres calcaires font celles qui, brûlées au feu , fe réduifent en chaux. Il n’eft perfonne qui ne con-noiffe les propriétés de la chaux, dont la principale & caraitériftique eft celle d’attirer & abfor-ber avec violence l’humidité, & de s’en abreuver avec effervefcence. Mais il n’eft pas néceffaire de les faire paffer par cette épreuve pour les re-connoître. On les diftingue facilement, en les expofant à l’aétion d’un acide un peu actif. Les terres calcaires s’y difîolvent avec plus ou moins d’effervefcence , à la différence des autres qui n’y éprouvent aucune diffolutiort.
    • Les terres vitrifiables font celles qui, expofées à un feu plus ou moins actif, y éprouvent une fufion, & deviennent plus ou moins fluides.
    • Les terres apyres ou réfractaires font celles fur lefquelles le feu le plus violent que,peuvent produire nos fourneaux, n’a aucune aition.
    • Nous difons le feu le plus violent que nous-Bij
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    • ao Récréât. Mathémat. et P hys. puiffions exciter dans nos fourneaux ; car nous penfons que fi toutes les terres ne font pas vitrifia-bles, cela vient uniquement de ce que nous ne pouvons produire un feu fuffifant. En effet, à mesure que l’on eft parvenu à produire des degrés de feu plus confidérables, on eft auffi parvenu à vitrifier des matières qui jufqu’alors avoient réfifté à la violence du feu. Mais un phénomène bien fingu-lier, c’eft que des matières qui féparément font infufibles , étant mêlées enfemble deviennent fu-fibles & vitrifiables : ainfi , par exemple , une terre calcaire mélangée avec l’argile, coule & devient verre. Ordinairement les matières métalliques mélangées, foit avec les terres calcaires, foit avec des terres réfra&aires, comme l’argile pure, leur communiquent aulfi la fufibiiité qu’elles n’ont pas elles-mêmes féparément.
    • Nous bornons ici ce qu’on peut dire des éléments ; ce que l’on vient de voir eft ce qu’il y a de plus folide & de mieux démontré fur ce fu-}et. Nous allons paffer à parcourir fucceflivement toutes les parties de la phyfique , en choififlant ce qu’elles préfentent de plus curieux & de plus piquant. Nous l’avons déjà dit,nous ne nous aftrein-drons prefque à aucun ordre : des entrailles de la terre, nous nous élèverons quelquefois tout-àcoup aux régions fupérieures de l’atmofphere ; d’un problème de phyfique célefte, nous pafferons à une queftion de météorologie. Nous nous bornerons à traiter à part l’éle&ricité, le magnétifme, & la chymie, parceque ces parties de la phyfique font extrêmement fertiles en expériences curiéu-fes, & préfentent toutes feules matière à des traités confidérables.
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    • Physique. 21
    • P R O B L Ê M E I.
    • Conjtruction de la machine pneumatique , & expo-Jition de quelques-unes des principales expériences auxquelles elle fert.
    • L’air étant un fluide. élaft.ique , il ne faut qu’une légère attention pour fentir que s’il eft renfermé dans un vafe clos, qu’à ce vafç foit adapté un corps de pompe auquel il communique,, lorfque l’on retirera le pifton, l’air contenu dans, ce vafe fe répandra dans la capacité de ce corps de pompe. Si donc alors on intercepte la communication du vafe &. du corps de pompe, & qu’on en ouvre une entre ce dernier & l’air extérieur , on chaffëra , en pouffant le pifton, l’air contenu dans le corps de pompe. Qu’on ferme maintenant la communication entre le corps de pompe & l’air extérieur , qu’on ouvre celle dit corps de pompe & du vafe, & enfin qu’on retire le pifton : l’air contenu dans le vafe fe répandra encore en partie dans la capacité du corps de pompe ; 6t réitérant la même manœuvre que la première, on évacuera Pair contenu dans cette capacité. Si le corps de pompe eft, par exemple , égal en capacité à ce vafe avec lequel il communique , la première opération réduira Pair à la moitié de fa denfité, la fécondé à la moitié de la moitié , ou au quart, & ainfi de fuite : ainfi un affez petit nombre de coups de pifton réduira Pair contenu dans le vafe propofé , à une très-grande ténuité.
    • Tel eft le mécanifme de la machine pneumatique , dont voici une defeription plus précife. PI. AB eft (/#. / ) un corps de. pompe cylindrique, % B iij
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    • %% Récréât. Mathémat. et Phys»
    • clans lequel joue le pifton D, au moyen de la branche D C , à l’extrémité de laquelle eft un étrier dans lequel on puiffe pafier le pied pour l’entraîner en bas , en agiffant de tout fon poids, Ce corps de pompe eft dans le haut embraffé par un collet , duquel partent trois ou quatre pieds formants un empâtement, & qui s’implantent dans un bâtis foiide Ôt horizontal, quarré ou triangulaire. Du fond A du corps de pompe, part un tuyau cl’un pouce environ de diamètre , fur la partie fupérieure duquel s’adapte un plateau circulaire avec un petit rebord. C’eft fur ce plateau que fe pôle le récipient en forme de cloche, dont on fait fréquemment ufage dans les expériences pneumatiques. Ce plateau eft ordinairement percé par le petit tuyau dont nous avons parlé plus haut, qui fert à établir la communication entre le vafe & le corps de pompe. Il eft communément tourné extérieurement en vis, afin de pouvoir , fuivant le befoin , y vider le tuyau d’un autre vaifteau,. comme un ballon dont on voudrait vuider l’air. Enfin, au. deftous de la platine, entr’elle le corps de pompe , eft une clef I, tellement conformée , qu’en la tournant d’un côté on établit une communication entre le corps de pompe & le récipient, pendant qu’on empêche la communication entre l’air extérieur & la capacité de ce corps de pompe ; & au contraire, en tournant la clef en iens contraire , on ouvre cette derniere , & on interdit la première. Telle eft la forme d’une machine pneumatique, du moins de certaines & des plus /impies, car il en eft de plus compofées. Il y en a, par exemple, à deux corpsxle pompe, dont les piftons font mus alternativement par une manivelle , enfotte qu’il y a toujours un de ces corps
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    • Physique. ij
    • qui fe remplit de l’air du vafe, pendant que l’autçe évacue dans l’air extérieur celui qu’il, coutenoit. Mais il eft fuperflu , pour notre objet, d’entrer dans ces détails. On peut confulter les divers ouvrages de phyfique qui traitent de cette matière : on y verra ce que divers phyficiens fk mécaniciens ont ajouté à la machine pneumatique, pour en rendre l’ufage plus commode ou plus général.
    • Il eft aifé , en combinant cette description avec ce qu’on a dit plus haut, de deviner comment on fe fert de cette machine. On commence , lorf-qu’on fe fert d’un récipient en forme de cloche on commence, dis-je, à placer fur la platineFG un cuir mouillé, percé dans fon centre, pour laiffer pafler le, bout de tuyau H. L’utilité de ce cuir confifte à faire que le contact des bords du récipient Toit plus exaét que s’ils pofoient fur le métal ; car il refteroit toujours quelque ouverture > quelque fente , par laquelle l’air extérieur s’intro-duiroit. Cela fait, on pofe deftus le récipient, en le comprimant un peu fur le cuir ; on tourne la clef de maniéré à ouvrir la communication entre le corps de pompe <k le récipient, & l’on abaifle le pifton , ( que nous fuppolions relëvé jufqu’au plus haut, ) en appuyant avec le pied fur l’étrier. Lorfque le pifton eft au plus bas, on tourne la clef de maniéré à intercepter la première communication , & à établir celle du corps de pompe avec l’air extérieur ; alors on releve le pifton , ce qui chafte l’air contenu dans le corps de pompe ; on retourne enfuite la clef, ce qui ferme cette fécondé communication & rouvre la première, & on rabaifîele pifton. Chaque coup de pompe évacue une portion de l’air primitif contenu dans le récipient, & dans une progreflion géométrique décroiftante. Si> B iv
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    • ±4 Récréât. MatHémAt.- et Phys,
    • par exemple, le corps de pompe eft égal en capacité au-récipient-,'le premier coup de pifton fera fortir la moitié de l’air contenu dans ce récipient, le fécond un quart, le troifieme un huitième, le quatrième un feizieme, &c. enforte qu’il eft vrai de dire qu’on ne fçauroit jamais l’évacuer entièrement ; mais, en quatorze ou quinze coups de pifton, il fera fi raréfié, qu’il n’y en aura plus qu’une partie infiniment petite ; car} dans la fup-pofition ci- deftiis, par exemple , la quantité d’air reliante après le premier coup de pifton, fera { ; après le fécond, j ; après le troifieme, elle fera ainfi de fuite*: elle fera donc, après le quinzième coup de pifton, d’une 32768e feulement; ce qui équivaut ordinairement à lin vuide parfait pour les expériences qu’on a à faire.
    • * Après cette inftru&ion fur la forme & l’ufage de la machine pneumatique , nous allons palfer à quelques-unes des expériences les plus curieufes. Première Expérience.
    • Pofez fur le plateau de la machine un récipient en forme de cloche. Tant que vous n’en aurez point pompé l’air, vous n’éprouverez aucnne ré-fiftance, que celle de fon poids, à l’enlever ; mais donnez feulement un coup de pifton, il adhérera déjà très - fortement à la platine : il y tiendra encore plus fortement, après 2,3,4, &c. coups ; après 18 ou 20 coups, il y adhérera avec une force de phifieurs milliers. Si, par exemple, la bafe du récipient étoit un cercle d’un pied de diamètre , cette force feroit de 1760 livres.
    • Cette expérience prouve la pefanteur de l’air de l’atmofphere ; car cet air eft le feul corps qui puiffe , en s’appuyant fur le récipient, caufer l’adhérence
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    • Physique. 15
    • qu’on éprouve : il n’y en à aucune quand il y a de l’air fous le récipient , aufli denfe que celui qui eft dehors ; ils fe font alors équilibre l’un à l’autre : mais celui de dedans étant évacué en tout ou en partie, l’équilibre eft rompu, & l’air extérieur preffe le récipient contre la platine, avec l’excès de fon poids fur la force que lui oppofe l’air intérieur. On trouve enfin que cette force eft égale à celle d’un cylindre d’eau de 31 pieds de hauteur, fur une bafe égale à celle du récipient. C’eft ainfi que nous avons trouvé, dans l’exemple ci-deffus , une force de 1760 livres ; car le pied cylindrique d’eau pefe 55 livres, & conféquemment les 31 en pefent 1760.
    • Ile Expérience.
    • Placez dans le récipient une pomme extrêmement ridée, ou une veflie fort flafque, & dans laquelle il refte néanmoins quelque peu d’air; évacuez l’air du récipient : vous verrez la peau de la pomme fe tendre , & reprendre prefque la forme & la fraîcheur qu’elle avoit lorfqu’on l’a cueillie. La veflie fe tendra pareillement , & pourra même fe diftèndre jufqu’à crever. Lorfque vous rendrez l’air, elles reviendront l’une & l’autre à leur premier état.
    • On a ici une preuve de l’élafticité de l’air. Tant que la pomme ridée , ou la veflie fort flafque , font plongées dans l’air atmofphérique , fon poids contient l’effort élaftique de l’air contenu dans l’une & l’autre; mais, dès que ce dernier eft foulagé du poids du premier, fon élafticité agit & fouleve les parois du vaiffeau où il eft renfermé. Rendez l’air , voilà le reffort com-
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    • *6 Récréât.. Màthémàt. et Phys. primé corfime auparavant, & il revient à Ton pre* mier état.
    • 11Ie Expérience.
    • Placez fous le récipient un petit animal j comme un petit chat, une fouris , &c. & pompez Pair ^ vous verrez auffi-tôt cet animal s’agiter, s’enfler , mourir enfin diftendu & écumant. C’eft l’effet de Pair contenu dans la capacité de fon corps , qui, n’étànt plus comprimé par Pair extérieur, agit par fon reflbrt, diftend les membranes, & jette dehors les humeurs qu’il rencontre fur fon chemin»
    • IVe Expérience.
    • Mettez fous le récipient des papîlllons, des mouches ; vous les verrez voltiger tant que Pair fera femblable à Pair extérieur : mais auffi-tôt que vous aurez donné quelquès coups de pifton , vous les verrez faire de vains efforts pour s’élever ; Pair devenu trop rare, ne le leur permettra plus.
    • V® Expérience.
    • Ayez une bouteille applatie , à laquelle vous adapterez un-petit tuyau propre à de fe viffer avec le bout du tuyau qui excede la platine de la machine : vous n’aurez pas plutôt donné une couple de coups de pifton, ou même au premier, que vous la verrez fauter en morceaux : c’eft pourquoi il eft à propos de l’envelopper d’un linge , pour éviter le mal que pourroient faire les éclats.
    • Cela n’arrive pas à un récipient en forme de ballon, à caufe de fa forme fphérique, qui fait voûte contre le- poids de Pair extérieur»
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    • Physique, 17
    • Vie Expérience.
    • Ayez une petite machine compofée d’un timbre , & d’un petit marteau qui Toit mis en mouvement ôc frappe le timbre au moyen d’un rouage; montez cette petite machine, 6c, après l’avoir mife en mouvement, placez-la fous un récipient ; pompez l’air : vous entendrez aulîi-tôt le fon s’affaiblir; ils’affaiblira même de plus en plus, 5c au point de n’être plus entendu, à mefure que vous extrairez davantage l’air. Au contraire, à mefure que vous le rendrez , le fon du timbre fera entendu de mieux en mieux.
    • Cette expérience, que nous avons citée ailleurs, prouve que l’air eft abfolument néceflaire pour la tranfmiflicn du fon, 6c qu’il en eft le véhicule. VIIe Expérience.
    • Percez le fommet d’un récipient, 6c par le trou faites pafler le tuyau d’un baromètre, enforte que la petite cuvette fait dans l’intérieur du récipient ; vous fermerez au rçfte l,e trou du fommet avec du maftic, enforte que l’air n’y puifle point pénétrer ; mettez enfin ce récipient ainfi préparé, fur la platine de la machine pneumatique, 6c pompez l’air : au premier coup de pifton, vous verrez le mercure s’abaifler confidérablement ; un fécond coup le fera encore s’abaifler , mais d’une hauteur moindre que la première ; 6c ainfi de fuite, dans une proportion décroiflante. A mefûre enfin qu’il reftera moins d’air dans le récipient, le mercure approchera davantage de fe mettre de niveau. VIIIe Expérience.
    • Ayez deux hémifpheres creux, de fer ou de-
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    • 2$ Récréât. Mathémat. et Phys.
    • cuivre, de deux pieds de diamètre, qui puiflent s’adapter l’un fur l’autre par leurs bords bien unis » de maniéré qu’enfemble ils forment un globe creux ; que l’un des deux foit garni d’un tube pénétrant dans fa capacité, garni d’une clef de robinet , & fufceptible de fe vifler fur le bout du tube H de la machine pneumatique. Chacun de ces hémifpheres doit être auffi garni d’un anneau , au moyen duquel on puifle fufpendre l’un & attacher des poids à l’autre.
    • Cela ainfi préparé , adaptez ces deux hémifpheres concaves l’un fur l’autre, avec une rondelle de peau mouillée entre deux, pour que le contaél des bords foit plus exaét. Viffez fur le bout du tube H de la machine pneumatique , celui qui communique à l’intérieur du globe, éc éva-cuez-en l’air autant qu’il vous fera poflible, par quarante ou cinquante coups de pifton, ou davantage. Fermez enfuite, en tournant la clef du robinet, la communication de la capacité du globe avec l’extérieur, & retirez-le de deffus la machine. Vous.fufpendrez après cela ce globe, par un des anneaux, à un crochet éloigné de quelques pieds d’une muraille, & à l’autre crochet vous attacherez par quatre chaînes un plateau quarré un peu-élevé dé terre. Vous mettrez enfin des poids fur ce plateau ,. & vous verrez qu’il en faudra une quantité confidérable. En effet, fi l’air eft bien évacué , & que ce globe creux ait deux pieds de diamètre , on trouve que la force avec laquelle ils font preffés l’un contre l’autre, équivaut à un poids de fept milliers.
    • C’eft-là ce qu’on appelle la fameufe expérience de Magdebourg , parceque fon auteur eft Otton Guerrike, bourgmeftre de cette ville. H metcoit
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    • Physique. 19
    • pîufieurs paires de chevaux, les uns tirant d’un côté , les autres de l’autre , fans qu’ils puffent parvenir à disjoindre les deux hémifpheres. Et cela n’a rien d’étonnant ; car quoique lix chevaux, par exemple, tirent une charrette chargée de pîufieurs milliers, on fçait qu’ils n’exercent pas , chacun & l’un portant l’autre, un effort continu qui excede beaucoup 180 livres; & en tirant par façade, peut-être n’excede-t-il pas 4 à 500 livres. Ainfi , lix chevaux ne font qu’un effort de trois milliers. Nous le fuppoferons même de quatre à cinq milliers ; mais les fix chevaux, tirant en fens contraire, ne doublent pas cette force; ils ne font qu’oppofer à la première la réfifiance néceffaire pour que celle-ci agiffe, & ne font rien de plus qu’un obftacle immobile auquel le globe feroiç attaché. Il n’eft donc pas étonnant que , dans l’expérience de Magdebourg, douze chevaux ne par-vinffent pas à disjoindre les deux hémifpheres; car, dans cette difpofition, ces douze chevaux n’équivaloient qu’à fix ; & l’on voit que l’effort de ces fix chevaux , évalué au plus haut, étoit encore fort inférieur à celui qu’ils avoient à fur-monter.
    • PROBLÈME II.
    • Renverfer un verre plein de liqueur, fans quelle s'écoule.
    • Versez une liqueur quelconque dans un verre, enforte qu’il foit plein jufqu’au bord ; appliquez deffus un quarré de papier un peu fort, qui couvre entièrement l’orifice, & par-deffus le papier une furface plane, comme le dos d’une afliette ou une glace : retournez enfuite le tout, enforte que le
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    • 30 Récréât. Mathémat. et Phys. vafe foit renverfé : vous le fouleverez alors , &j vous. verrez que le papier & l’eau ne tomberont point.
    • Cet effet eft produit par la pefanteur de l’air, qui preffant fur le papier qui couvre l’orifice du verre, avec un poids bien fupérieur à celui de l’eau, doit néceffairenient le foutenir. Mais comme le papier fe mouille, & donne peu à peu paffage à l’eau , il arrive à la fin qu’elle tombe tout-à-coup.
    • Remarque.
    • On pourra , par un moyen à peu près fembla-ble , puifer de l’eau par un tube ouvert des deux côtés ; car foit un tube renflé par le milieu,
    • PI.’i, terminé aux deux bouts, comme AB, (fig. 2.) fig. 2. par deux ouvertures affez étroites ; plongez-le dans un fluide les deux bouts ouverts, jufqu’à ce qu’il foit plein ; pofez enfui ce le bout du doigt fur un des bouts , de maniéré à en boucher l’ouverture : vous pourrez retirer ce tuyau plein , fans que le fluide s’écoule par l’autre ouverture, & il ne fë vuidera que lorfque vous retirerez le doigt qui bouche la première.
    • Au lieu d’employer un tuyau comme celui qu’on vient de décrire , on pourroit employer un Fig. 3. vaffe tel que AB , fig. 3, fait comme une-bouteille dont le fond foit percé d’une grande quantité de petits trous. Ce vafe étant plongé dans l’eau par le fond , & l’orifice fupérieur étant ouvert, fe remplira. Mettez enfuite le-bout du doigt fur cet orifice, & retirez le vafe de l’eau ; il reftera plein, tant que votre doigt reftera dans cette fttuation : retirez-le, l’eau s’écoulera aufli-tôt.
    • C’eft ce qü’on appelle la clepfydre ou Varrofalr
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    • Physique. 31
    • d'JrlJlote ; mais ni Ariftote , ni les phyficiens qui le fuivirent, jufqu’à Torricelli, ne donnèrent pas de meilleure raifon de cet effet, que celle de l’horreur que la nature avoit, dil'oient-ils, pour le vuide.
    • PROBLÈME III.
    • Vuider toute Veau contenue dans un vafe, par le moyen d'un fyphon.
    • On appelle fyphon, un tuyau formé de deux branches AB, CD, réunies entr’elles par une partie courbe ou rectiligne BC , cela n’importe aucunement. Dans cette partie eft quelquefois une ouverture , qui fert ou à remplir les deux branches, ou à afpirer le liquide dans lequel la plus courte eft plongée , tandis que l’autre eft bouchée. On s’en fervira ainfi pour réfoudre le problème propofé.
    • Ayant rempli de liqueur les deux branches du JP1. fyphon, & les ayant bouchées avec les doigts, fi§*4-vous plongerez la plus courte dans le vafe , e®-fbrte que fon bout touche prefque au fond ; v/>üs ôterez alors le doigt du bout de la plus longue, '
    • qui fera conféquemment plus baffe que le fond du vafe à vuider : la liqueur s’écoulera par l’extrémité D de cette branche, & entraînera , pour ainfi dire, celle du vafe jufqu’à la derniere goutte.
    • Ce phénomène eft encore un effet de la pefan-teur de l’air ; car lorfque le fyphon eft plein de liqueur, & placé comme on l’a dit, l’air agit par fon poids fur la furface de la liqueur à vuider, & en même temps fur l’orifice de la branche la plus' baffe. Cette derniere preflion l’emporte à la vérité, par cette raifon, un peu fur l’autre ; cependant , comme cette branche eft pleine d’une li-
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    • 3i Récréât. Mathémat. et Phys. queur qui eft plus pefante que l’air, l’avantage doit lui refter, & cette colonne doit fe précipiter en bas. Mais en même temps l’air qui preffe fur la furface du fluide du vafe, fait entrer de la liqueur dans la branche du fyphon qui y eft plongée ; ce qui en fournit de nouvelle à la plus longue , & ainfi continuellement, jufqu’à ce que toute la liqueur foit épuifée.
    • Remarques.
    • I. On pourroit aifément vuider de cette maniéré , par le bondon, tout le vin qui eft contenu dans un tonneau ; & c’eft ainfi qu’on s’y prend dans quelques endroits , pour tranfvafer le vin d’un tonneau dans un autre, fans troubler la lie qui eft au fond.
    • II. On pourroit de cette maniéré faire pafler l’eau d’un endroit dans un autre plus bas , en paf-fant par-deflus un obftacle plus élevé que l’un & l’autre , pourvu néanmoins que le lieu fur lequel l’eau devroit commencer à monter, ne fût pas plus haut que 3 2 pieds ; car on fiçait que la pefan-teur de l’atmofphere ne fçauroit foutenir une colonne d’eau de plus de 32 pieds. Il feroit même à propos que cet obftacle fût au moins de plufieurs pieds moins haut que de 32 pieds au deflus du niveau du fluide à élever; car autrement l’eau ne marcheroit qu’avec beaucoup de lenteur, à moins que la branche la plus longue n’eût fon orifice beaucoup plus bas que ce même niveau.
    • C’eft-là une forte de pompe peu difpendieufe , qu’on pourroit employer pour dériver de l’eau d’un endroit dans un autre , lorfqu’on n’auroit pas la liberté ou la faculté de percer l’obftacle in-terpofé, pour y établir un canal de communication.
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    • Phÿsiquê, n
    • tîon. Je n’oferois néanmoins, Tans en avoir fait l’expérience, donner ce moyen comme bien sûr, à caufe de l’air qui pourroit fe cantonner dans le haut du coude du tuyau.
    • C’eft encore, de la propriété du Typhon que dépendent les jeux hydrauliques qui fuivent.
    • PROBLÈME IV.
    • Préparer un vafe qui, étant rempli de quelque li~ queur à une certaine hauteur, la conferve , & qui la perde toute, étant rempli de la même liqueur à une hauteur tant foit peu plus grande.
    • 0 EUX qui ont voulu donner à cette petite machine hydraulique un air plus piquant, y ont ajouté, une petite figure qu’ils ont appelée Tantale, parce-qu’elle eft dans l’attitude de boire, mais auffi-tôt que l’eau eft parvenue à la hauteur de fes levres , elle s’écoule tout-à-coup. Voici fa conftru&ion.
    • Soit un vafe de métal ABCE, partagé en deux PI* cavités par le diaphragme /F. Le milieu eft percé %• 5 d’un trou rond, propre à recevoir un tuyau MS d’environ deux lignes de diamètre , & dont l’orifice inférieur doit defcendre quelque peu au def* fous du diaphragme. On couvre ce tuyau d’un autre un peu plus large, fermé par en haut, 61 ayant en bas fur le côté une ouverture , enforte que, lorfqu’on verfera de l’eau dans le vafe , elle puiffe s’y inférer entre deux, & monter jufqu’à l’orifice fupérieur S du premier. Enfin l’on maf-quera ce mécanifme par une petite figure dans l’attitude d’un homme qui fe baiffé pour boire, & dont les levres feront un peii au deftus de l’orifice S.
    • Tome IK
    • C
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    • 34 Récréât. Mathémat. et Phys*
    • Lorfqu’on verfera de l’eau dans ce vafe, elle n’aura pas plutôt touché les levres de la petite figure, que, furpaffant l’orifice S, elle commencera à s’écouler par le tuyau SM, & il s’établira un mouvement de Typhon, en vertu duquel l’eau s’écoulera jufqu’à la derniere goutte dans la cavité inférieure, qui doit avoir fur le côté, vers le diaphragme , une ouverture par laquelle l’air s’échappe en même temps.
    • On pourroit rendre cette machine hydraulique encore plus plaifante, en faifant la petite figure de maniéré que l’eau, arrivée vers Ton dernier point de hauteur , lui fît faire un mouvement de tête pour s’approcher d’elle ; ce qui repréfenteroit mieux le gefte de Tantale, tâchant de faifir l’eau pour étancher Ta foif.
    • PROBLÈME V.
    • Conjlruction d'un vafe qui contienne fa liqueur étant droit, & qui étant incliné comme pour boire 9 la perde aujji-tôt toute.
    • C E vafe pourroit s’àppeller la coupe enchantée, & pourroit fervir à mettre en aéiion le conte fameux de La Fontaine qui porte ce titre : il feroit feulement befoin d’en mafquer le mécanifme, ce qui n’eft pas difficile.
    • Pour former un vafe qui ait cette propriété, il faut percer Ton fond ou Ton côté , & y adapter la plus longue jambe d’un fyphon, dont l’autre pl. i, atteindra prefque le fond, comme on voit dans la fig6. Cela fait, qu’on rempliffe ce vafe d’une liqueur quelconque,*jufqu’à la courbure inférieure du fyphon ; il eft évident que, lorfqu’on le portera
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    • PHYSIQUE. 3 J
    • à la bouche & qq’on l’inclinera, ce mouvement fera furmonter cette courbure par la furface de la liqueur : alors, par la natute du fyphon , la liqueur commencera à y couler , & elle ne ceflera de le faire jufqu’à ce qu’il n’y en ait plus, quand même on remettroit le vafe droit.
    • La fig. y repréfente la maniéré dont on pour- PI*1 » roit mafquer l’artifice entre les deux fonds d’une %* 7* coupe; car le fyphon abc caché entre ces deux fonds , produira le même effet. On préfenrera donc le vafe de la maniéré convenable, à celui qu’on voudra tromper, c’eft-à-dire ertforte qu’il applique les levres du côté de b, fommet du fyphon : l’inclinaifon de la liqueur la fera furmonter ce fommet, & auffi-tôt elle fuira par c. Mais celui qui fera inftruit de l’artifice, l’appliquera à fa levre du côté oppofé, & n’éprouvera point la même difgrace.
    • PROBLÈME VI.
    • Conjlruclion de la fontaine qui coule & s'arrête alternativement.
    • Cette fontaine, qui eft de l’invention de M. Shermius, eft'fort ingénieufe , & préfente un petit fpeclacle affez divertiffant , parcequ’il femble qu’elle coule & s’arrête au commandement. C’eft encore un jeu de fyphon qui, par le mécanifme particulier de, cette machine, tantôt eft obftrué & fufpendu, tantôt eft libre & agiffant, comme on .va le voir par la defcription qui fuit.
    • AB eft un vafe femblable à un tambour, & PI* * » fermé de tous côtés. Au fond d’en bas & au mi- 6* lieu F, eft foudé un tuyau CD. Ses deux extré-.mités C, D. font ouvertes; mais celle d’en haut C ij
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    • 36 Récréations Mathématiques.
    • C ne doit pas toucher le fond , afin de donner palTage à l’eau. Pour remplir ce vafe, on le ren-verfe, &: l’on introduit l’eau par l’ouverture D , jufqu’à ce qu’il foit à peu près plein.
    • Du milieu du fond d’une autre cuvette cylindrique un peu plus large, GH, s’élève un tuyau DE , tant foit peu plus étroit, enforte qu’il puiffe entrer exa&ement dans le premier. Il doit être auffi un peu moins haut, & fon fommet E doit être ouvert.
    • Ces deux tuyaux CD, ED , doivent avoir à une égale hauteur peu au deffus du fond de la cuvette inférieure , deux trous correfpondants I, i, enforte qu’introduifant un des tuyaux dans l’autre , ils fe correfpondent, & établilfent entre l’air extérieur & celui du vafe fupérieur une communication. Enfin le vafe AB doit avoir à fon fond deux ou quatre ouvertures, comme K, L, par où l’eau puiffe s’écouler dans la cuvette d’en bas GH ; fk cette cuvette doit avoir auffi un ou deux trous, comme M, N, moindres, par où l’eau puiffe auffi s’écouler dans un autre grand vafe fur lequel portera toute la machine.
    • Pour faire jouer cette petite machine , on commencera par remplir prefque entièrement d’eau le vafe AB ; puis, bouchant les tuyaux K, L , on fera entrer le tuyau DE dans CD , enforte que la cuvette GH ferve comme de bafe, & on fera répondre l’un à l’autre les deux trous I, i ; on débouchera enfin les trous ou petits tuyaux K, L : alors l’air extérieur, communiquant par l’ouverture I i, avec celui qui eft au deffus de l’eau du vafe AB , l’eau coulera fans difficulté dans la Cuvette GH : mais comme il en fortira moins de cette cuvette qu’il n’en tombera d’en haut, elle s’élé-
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    • Physique. #
    • vera bientôt au deflus de l’ouverttfre I i , & interceptera la communication de l’air extérieur avec celui du haut du vafe AB , & peu après l’eau s’arrêtera. L’eau continuant de couler de la cuvette , fans qu’il y en arrive de nouvelle , peu après l’ouverture I i fe trouvera débouchée, & la communication ci-deffus fe trouvera rétablie : ainfi l’eau fe remettra à couler par les tuyaux K, Ly & elle montera au deflus de Ii, ce qui fera que peu après l’eau s’écoulera de nouveau, & ainfi alternativement, jufqu’à ce que toute l’eau du vafe AB foit vuidée.
    • On reconnoît à un petit gargouillement le moment où l’air va s’introduire par l’ouverture I i dans le haut du vafe AB, & l’on faifit ce moment pour commander à la fontaine de couler ; on lui ordonne pareillement de ceffer, lorfque l’on voit l’eau pafler au deflus de cette même ouverture I i. De-là vient le nom qu’on lui a donné, de fontaine de commandement.
    • PROBLÈME VII.
    • Conjlruclion d’une clepjidre montrant l’heure par
    • Vécoulement uniforme de F eau.
    • No U s avons vu dans la Mécanique, que fi un vafe eft percé par fon fond , l’eau s’en écoule plus vite dans le commencement que fur la fin ; enforte que fi l’on vouloit employer l’écoulement de l’eau pour marquer les heures, ainfi que faifoient les anciens, il faudroit que les divifions fuflent fort inégales, puifqu’en divifant toute la hauteur en 144 parties égales, la plus élevée devroit, fi le vafe étoit cylindrique, en comprendre 23,1a fécondé ai. &c. & la derniere 1 feulement.
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    • 38 Récréât. MatHêmat. et Phys,
    • Y àuroit-il quelque moyen de faire que cetté eau s’écoulât uniformément? Voilà un problème qui fe préfente naturellement à la fuite de l’ob-fervation précédente. Nous l’avons déjà réfolu dans la mécanique, en enseignant quelle forme il faudroit donner à un vafe pour que l’eau s’ert écoulât uniformément par un trou percé à fort fond. Mais en voici une autre folution plus parfaite , en ce que, quelle que foit même la loi de la retardation de la viteflè de l’eau, elle eft également exaéle.
    • Cette folution eft fondée fur la propriété du fyphon , & elle eft affez ancienne, puifqu’elle eft de Héron d’Alexandrie. La voici.
    • Ayez un fyphon ABC, à branches inégales, dont vous garnirez la plus petite AB d’un fupport de liege, capable de tenir cetté derniere branche & tout le fyphon dans la fituation verticale , 2> comme on le voit dans la fig. y. Lorfque vous 9. l’aurez mis en jeu, & que l’eau aura commencé à couler par la plus longue branche, elle continuera de couler avec la même vitefle à quelque hauteur que foit l’eau ; car elle ne fe vuide dans cet inftrument que par un effet de l’inégalité des forces avec lefquelles l’atmofphere pefe fur la fur-face du liquide & fur l’orifice de la plus longue branche : puis donc qu’à mefure que la furface du liquide baiffe, le fyphon baiffe aufli, il eft évident qu’il y aura égalité dans la viteffe de foh écoulement.
    • Si donc on divifoit en parties égales la hauteur du vafe DE, les divifions pourraient marquer des intervalles égaux de temps. Et pour rendre cetté clepfydre plus agréable , on pourrait mafquer la branche AB par une petite figure légère furnageant
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    • Physique.
    • l’eau du vafe, & montrant fur un petit tableau , avec une petite verge ou avec le doigt, l’heure qu’il eft.
    • On pourrait, au contraire, faire tomber par un pareil fyphon, l’eau d’un vafe quelconque, dans un autre de forme prifmafique ou cylindrique, dont s’éléveroit une petite figure furnageant l’eau, & qui montreroit les heures de la maniéré qu’on vient de dire.
    • PROBLÈME VIII.
    • Quelle ejl la plus grande hauteur a laquelle la tour de Babel eût pu être élevée, avant que les matériaux portés à. fon fommet eujfent perdu touts leur pefauteur b
    • Pour répondre à cette plaifanterie mathématique , qui tient autant à l’aftronomie phyfique qu’à la mécanique , il faut fçavoir ,
    • i° Que les corps diminuent de pefanteur en rai-fon inverfe du quarré de leur diftance au centre de la terre. Un corps, par exemple, élevé à la diftance d’un demi-diametre de la terre au deflus de fa furface, étant par-là à la diftance de deux rayons, ne peferoit que £ de ce qu’il pefoit à la furface.
    • 2° Qu’en fuppofant que ce corps fuivît, avec le refte de la terre, le mouvement de rotation qu’elle a fur fon axe , cette pefanteur feroit encore diminuée par la force centrifuge, qui, en fuppofant que des cercles inégaux foient décrits dans le même temps , eft comme leurs rayons. Ainfi, à une diftance double du centre de la terre , cette force feroit double, & retrancherait deux fois autant de la pefanteur qu’à la furface de la terre.
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    • 40 Récréations Mathématiques.
    • Or l’on eft parvenu à découvrir que, fous l’équateur, la force centrifuge retranche^ de la pe-fanteur naturelle des corps.
    • 3° Ailleurs que fous l’équateur, la force centrifuge étant moindre, & agiflant obliquement contre la pefanteur, en retranche une portion moindre, en raifon du quarré du finus de complément de la latitude au quarré du finus total.
    • Toutes ces chofes pofées, on peut trouver à quelle hauteur devroit être un corps au deflus de la furface de la terre, & fous une latitude donnée , pour que, participant à fon mouvement diurne, il n’eut aucune pefanteur.
    • Or je trouve par l’agalyfe , que fous l’équateur , où la diminution de la pefanteur occafion-née par la force centrifuge eft précifément , à la furface de la terre la hauteur cherchée , à
    • compter du centre de la terre , devroit être i/289, ou 6 demi-diametres de notre globe plus ou de 5 demi-diametres au deflus de la furface de la terre.
    • Sous la latitude de 30 degrés, qui efl: à peu près celle des plaines de la Méfopotamie, où les defcendants de Noé Ce raflemblerent d’abord, & tenrevent, fuivant les livres faints, leur folle confi. tru&ion, on trouvera que la hauteur au deflus de la furface de la terre eût dû être de 6-frayons de la terre.
    • Sous la latitude de 60 degrés, cette hauteur eût du être , au deflus de la furface de la terre , de de 9 demi - diamètres terreftres & ,
    • Sous le pôle enfin, cette hauteur pourroit être
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    • Ai
    • Phtsiqui.
    • infinie ; car en ce lieu il n’y a point de force centrifuge , puifque le corps qui feroit au pôle ne feroit que tourner fur lui-même.
    • PROBLÈME IX.
    • Si Von fuppofoit la terre percée cVun trou jufqu'à fon centre , combien de temps un corps mettroit-il à parvenir à ce centre, en faifant d?ailleurs abstraction de la réjijtance de l'air ?
    • La circonférence de la terre ayant 9000 lieues, de 2283 toifes chacune , fon demi diamètre fe trouve de 1432 lieues, ou de 19618400 toifes. Il n’y auroit donc aucune difficulté à réfoudre ce problème, fi l’accélération étoit uniforme ; car il n’y auroit qu’à dire, fuivant la réglé de Galilée, comme 15 pieds & ^ de Paris font à 19618400 pieds, ainfi le quarré d’une féconde, qui eft le temps employé à parcourir 15 pieds de Paris , à un quatrième terme, qui fera le quarré du nombre des fécondés employées à parcourir 19618400 pieds» Or ce quatrième terme fe trouvera de 1299167 : donc , en tirant fa racine quarrée , on aura le nombre cherché , fçavoir, 1140 fécondés ou 19 minutes. Tel feroit, dans cette première hypothefe, le temps qui feroit employé par un corps grave à tomber au centre de la terre.
    • Mais il eft beaucoup plus probable qu’un corps porté le long d’un rayon terreftre , perdroit de fa pefanteur à mefure qu’il approcheroit du centre ; car à ce centre il n’en auroit aucune ; & l’on démontre d’ailleurs que , la terre étant fuppofée uniformément denle , ôc l’attraftion étant en raifon inverfe du quarré des diftances , la pefanteur dé-
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    • 4i Récréât. Mathémat. et Phys. croîtroit comme la diftance au centre. Il faut donc réfoudre le problème de cette fécondé maniéré.
    • On y parvient au moyen de cette propofition , que Newton a démontrée : Si fon décrit un quart de cercle ayant pour rayon la dijlance au centre de la terre, F arc qui a i5 pieds 6* pourfinus verfe
    • ejl au quart de cercle, comme une fécondé employée à décrire, en tombant, ces i S pieds —, au temps employé à décrire tout le demi-diametre terrefre.
    • Or l’arc terreftre qui répond à 15 pieds & de chute ou de finus verfe, eft de 4' 16" & cet
    • arc eft au quart de cercle, comme 1 à 1265-^: conféquemment on a cette proportion à faire ; comme 4' 16" 5'" font à 90°, ou .comme 1 eft à 1265 ir» ainfi une fécondé employée à tomber de 15 pieds de haut à la furface de la terre , eft 31265" 36"', ou 21'5" 36'" : ce fera le temps employé à tomber de la furface de la terre au centre , dans la fuppofition que nous examinons , qui éft plus conforme à la phyfique que la précédente.
    • PROBLÈME X.
    • Qu’ejl-ce qui arriverait Ji la lune étoit tout-à-coup
    • arrêtée dans fon mouvement circulaire, & en
    • combien de temps tomberoit-elle fur la terre ?
    • La lune ne fe foutenant dans l’orbite qu’elle décrit autour de la terre, que par un effet de la forcé centrifuge qui naît de fon mouvement circulaire , & qui contrebalance fa pefanteur vers la terre, il eft évident que fi le mouvement circulaire étoit détruit,la*force centrifuge fero.itaufli anéantie: la lune feroit donc alors uniquement livrée à fon
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    • Physique. 45
    • mouvement de tendance vers la terre, & tombe-roit fur elle par un mouvement accéléré.
    • Mais ce mouvement ne lèroit pas accéléré fui-vant la loi découverte par Galilée, car cette loi fuppofe que la force de pefanteur eft uniforme ou toujours la même. Or ici la pefanteur de la lune vers la terre, varieroit & augmenteroit en raifon inverle du quarré de la diftance, à mefure qu’elle fe rapprocheroit de ce centre ; ce qui rend le problème beaucoup plus difficile.
    • Newton cependant nous a enfeigné le moyen de le réfoudre ; il fait voir que ce temps eft égal à la moitié de celui que cette même planete em-ploieroit à faire une révolution autour du même corps central, mais à une diftance moindre de la moitié.
    • Or on fqait que l’orbite lunaire eft à peu de chofe près un cercle dont le rayon eft de 60 demi-diametres terreftres, & fa révolution eft de 27 jours 7 heures43/*: d’où l’on conclud , au moyen de la fameufe réglé de Kepler, que fi elle n’étoit éloignée de la terre que de 30 rayons terreftres , elle emploieroit feulement, dans cette révolution , 9 jours i^h 51'; conféquemmenr fa demi-révolution feroit de 4 jours i$)h 55' 7. C’eft le temps que la lune emploieroit à tomber juf-qu’au centre de la terre.
    • * On dit que la révolution de la lune eft de 27 jours 7 heures, 43 minutes, & non de 29 jours la heures 44 min. ; car il eft ici queftion de la révolution depuis un point du ciel jufqu’au même point, & non de la révolution fy-nodique, qui eft plus longue, parceque, quand la lune a fait fon tour entier, elle a encore à Rejoindre le foleil, qui, pendant les 27 jours, s’eft avancé en apparence de a7 degrés ou environ.
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    • 44 Récréations Mathématiques; Remarque.
    • Si on examinoit de même en combien de temps chacune des planètes circumfolaires tomberoiç dans le foleil, on trouveroit que
    • Mercure y tomberoit en . . .5i •3’* 7'
    • Vénus en .... • • 39 16 49
    • La Terre en ... . • • 57 '5 3
    • Mars en . . 121 IO 9
    • Jupiter en .... 6 9
    • Saturne en ... . 13 3»
    • PROBLÈME XI.
    • Quelle feroit la pefanteur d'un corps tranfporté a la furface du Soleil, ou d'une autre planete que la Terre, comparée à celle de ce corps fur la fur-face de notre globe ?
    • Il eft démontré aujourd’hui, pour tous ceux qui font en état d’en pefer les preuves, que la pefanteur d’un corps fur la furface de la terre, n’eft autre chofe que le réfultat des tendances de ce corps vers toutes les parties de la terre, dont doit ré fut-ter une tendance compofée, paffant par le centre, dans la fuppofition où la terre feroit précifément un globe ; ce que nous fuppofons ici, à caufe du peu de différence qu’il y a entre fa figure & la figure fphérique. Il eft pareillement démontré que, l’attraftion fe faifant en raifon direéfce des malles, & en raifon inverle du quarré des diftances, un corpufc'ule de matière, placé fur la furface d’une fphere qui exerce fur lui fon attraction, tendra vers elle avec une force qui fera la même que fî toute fa maffe étoit réunie à fon centre.
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    • Il fuît de-là que , li l’on fuppofe deux fpheres inégales en diamètre & en maffe, la pefanteur du corpufcule fur l’une, fera à celle du même cor-pufcule fur l’autre , en raifon compofée de la di-reéle de leurs malles , & de l’in ver fe des quarrés de leur demi-diametre.
    • Or, par les obfervations aftronomiques, on démontre que le demi-diametre du foleil étoit égal à 111 demi-diametres terreftres, & que fa malfe eft à celle de la terre, comme 341908 à 1 : donc la pefanteur d’un corps fur la furface du foleil, eft à celle de ce même corps fur la furface de la terre, en raifon compofée de 341908 à 1, & de l’inverfe du quarré de 111 à celui de 1, c’eft-à-dire de 12321 à 1.
    • Divifez donc le nombre 341908 par 12321, vous aurez 27 & environ \ : ainfi un corps d’une livre , tranfporté à la furface du foleil, en péfe-roit 27
    • . Faifons fentir ceci par un raifonnement encore plus {impie. Si toute la maffe du foleil, qui eft 341908 fois aufli grande que la terre , étoit ramaffée dans un globe égal à la terre , le corps dont nous parlons, au lieu de pefer une livre, en peferoit 341908. Mais comme la furface du foleil eft 111 fois autant éloignée de fon centre que celle de la terre l’eft du lien, il s’en enfuit qu’il faut diminuer le poids ci-deffus en raifon de 123 21 , ou du quarré de 111 au quarré de l’unité, c’eft-à-dire qu’il ne faut prendre que la 12321e partie du poids trouvé ci-deffus ; ce qui donne celui que nous avons trouvé plus haut.
    • Par un raifonnement femblable, on trouveroit qu’un corps d’une livre, porté à la furface de Jupiter , en peferoit 3 6c à celie de Saturne,
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    • 46 Récréât. Mathémat. et Phys. il; fur celle de la lune , 3.onces feulement.
    • On ne peut fçavoir quelles font les mafles de Mercure, de Vénus & de Mars, parceque aucun corps ne circule autour d’eux ; ce qui ne permet pas de réfoudre ce problème à leur égard.
    • PROBLÈME XII.
    • Conjlruire une fontaine qui jailliffe par la tom~ prejjion de Pair.
    • Soit un vafe dont la feftion eft repréfentéepar PL a, la fig• /o,c’eft-à-dire compoféd’un piédeftal cylin-fig. 10. drique ou parallélépipède, couronné d’une efpece de coupe FADE. Ce piédeftal eft partagé en deux cavités par un diaphragme NO. La cavité fupé-rieure doit être un peu moindre que l’inférieure.
    • Du fond de la coupe part un tuyau GH, à travers ce diaphragme, qui va jufques près du fond CB. Au contraire , le tuyau LM doit avoir fon orifice fupérieur L près du fond de la coupe , & l’inférieur M fort peu au delfous du diaphragme NO. IK repréfente enfin un tuyau très-menu par fon bout fupérieur, & dont l’orifice inférieur va prefque jufqu’au diaphragme.
    • Le vafe étant ainfi conftruit, on remplira par un trou latéral la cavité fupérieure j,ufques près de l’orifice L du tuyau LM ; après quoi l’on bouchera foigneufement ce trou ; on verfera enfuite de l’eau dans la coupe : cette eau, coulant dans la cavité NB, en comprimera l’air, & le forcera à paffer en partie par ML, au defîus de l’eau de la cavité fupérieure ; il s’y condenfera de plus en plus, & forcera l’eau à jaillir par l’orifice I, fur-tout fi on Ja retient pendant quelaue temps, foit en tenant
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    • Physique. 47
    • le doigt fur l’ouverture I, Toit au moyen d’un petit robinet qu’on n’ouvrira qu’à propos.
    • Remarques.
    • I. Cette petite fontaine peut être variée de bien des façons. Par exemple, fi le poids de l’eau coulant par GH dans la cavité inférieure NB, n’étoit pas fuffifant pour donner allez de jet à l’eau for-tant par I, on pourrait y infinuer de l’eau avec une feringue , ou bien de l’air avec un foufflet adapté à l’orifice G, & garni à fon tuyau de Torde d’un robinet.
    • On ^pourrait y couler du vif-argent, qui, par fon poids, y pénétrerait malgré la réfiftance de l’air, & le forcerait d’agir avec force contre le fluide renfermé dans la cavité fupérieure.
    • II. On peut exécuter cette petite fontaine d’une maniéré bien plus fimple ; car ayez une bouteille telle que AB , par le goulot & le bouchon de la- pj,
    • 2uelle vous introduirez dans fa cavité un tuyau fig.
    • , dont,l’orifice inférieur Dfoit plongé jufques bien près du fond, & l’orifice fupérieur terminé par une ouverture allez étroite. La communication entre l’air extérieur & l’intérieur de la bouteille , doit être bien interceptée en A. Suppofons maintenant cette bouteille remplie aux trois quarts d’eau ; fouffiez par l’orifice C dans le tube avec toutes vos forces : vous y condenferez l’air dans l’efpace AEF, au point que ,-preflfant fur la furface EF, l’eau fortira avec impétuofité par le petit orifice C, & s’élèvera allez haut. Lorfque le jeu de la machine aura celfé, il fuffira, s’il relie de l’eau, d’y fouiller encore de l’air , & fon jeu recommencera tant qu’il y aura de l’eau.
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    • 48 Récréations Mathématiques.
    • PROBLÈME XIII.
    • Conjlniclion d'un vafe qui donne autant de vin qu'on y verfe d'eau.
    • La folution de ce problème eft une fuite , ou 9 pour mieux dire, une limple variation de celle du précédent. Qu’on fuppofe en effet le petit tuyau IK fupprimé, qu’on rempliffe la cavité AO de vin, & qu’on adapte vers le fond NO un petit PI* !» robinet R un peu étroit ; il eft évident que, quand I0' on verfera de l’eau dans le vafe fupérieur FADE , l’air forcé de paffer dans la cavité fupérieure , preffera la furface du vin, & l’obligera de couler par le robinet, jufqu’à ce qu’il foit en équilibre avec le poids de l’atmofphere : alors , qu’on verfe Fig. 10. de nouvelle eau dans la coupe FD, il fortira à peu près autant de vin par le robinet ; enforte qu’il femblera que l’eau eft changée en viq.
    • C’eft pourquoi, s’il étoit permis de faire allufion à un trait célébré de l’hiftoire fainte, on pourroit , en donnant à ce vafe la forme d’une cruche, le nommer la cruche de Cana.
    • PROBLÈME XIV. Conjlruclion d'une machine hydraulique, où un oifeau boit autant d'eau qu'il en jaillit par un ajutage.
    • Soit le vaifteau dont la coupe eft repréfentée Fig. i2. par la jig. izy qui eft divifé en deux par le diaphragme horizontal EF, & dont la cavité fupérieure eft aufli partagée en deux par une cloiibn verticale GH. Le tuyau LM , prenant du fond du premier diaphragme , & defcendant prefque juf* qu’au
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    • Physique* 49
    • qu'au fond DC, forme la communication de la Cavité fupérieure HF, avec l’inférieure EC. Un tuyau IK, montant du fond EG prefque jufqu’au fond AB, forme une autre communication entre la cavité inférieure EC St la fupérieure AG. Le tuyau NO, terminé à fon fommet par une ouverture très-petite, defcend fort près du diaphragme inférieur EG, 8t paffe par le centre d’une coupe RS, deftinée à recevoir l’eau fortant de ce tuyau. Enfin , au bord de cette coupe eft un oifeau y plongeant fon bec , où eft l’ouverture d’un fyphon recourbé QP, dont l’orifice P eft beaucoup inférieur à l’orifice Q. Telle eft la conftruétion de la machine ; en voici l’ufage 8t l’effet.
    • On remplira d’eau les deux cavités fupérieures , par deux trous ménagés exprès fur les côtés du vafe , St qu’on fermera enfuite. Il eft aifé de voir que l’eau ne doit pas excéder, dans la cavité AG , la hauteur de l’orifice K du tuyau Kl. Cela fait, en ouvrant le robinet adapté au tuyau LM , l’eau de la cavité fupérieure HF s’écoule dans la cavité inférieure , elle y comprime l’air qui paffe par le tuyau Kl dans la cavité AG, St y comprimant celui qui eft au deffus de l’eau, la force de jaillir par le tuyau NO ; d’où elle retombe dans la coupe.
    • Mais en même temps que l’eau s’écoule de la cavité BG dans l’inférieure, l’air fe raréfie dans la partie fupérieure de cette cavité : ainfi le poids de l’atmofphere agiflant fur l’eau déjà verfée dans la coupe par l’orifice O du tuyau montant NO ; l’eau s’écoulera par le tuyau recourbé QSP dans cette même cavité BG ; St ce mouvement, une fois établi, continuera tant qu’il y aura de l’eau dans la cavité AG,
    • Tome IK.
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    • 50 Récréât. Mathémat. et Phys. PROBLÈME XV.
    • Faire une fontaine qui jaillijfe par la raréfaction de Voir dilaté par la chaleur.
    • Faites un vafe cylindrique ou prifmatique, PI. 4, dont la coupe eft repréfentée par la fig. 12. Il fau-fig. 14. dra qu’il Toit porté fur trois ou quatre pieds un peu élevés, pour pouvoir placer au deffous un réchaud plein de feu. La cavité de ce vafe doit être divifée en deux par un diaphragme EF, lequel fera percé d’un trou rond, d’un pouce environ de diamètre. Ce trou fervira de bafe à un tube cylindrique GH, qui s’élèvera prefque jufqu’au fond fupérieur, qui fera furmonté d’une cavité en forme de coupe ou coquille, pour recevoir l’eau que fournira le jet d’eau. Enfin le centre de cette coupe ou du fond fupérieur, donnera paffage à un tuyau foudé 1K , qui defeendra prefque jufqu’au diaphragme EF : il pourra s’évafer un peu par en bas ; mais fon bout fupérieur doit être un peu étroit, pour que l’eaü jailliffe plus haut. Il fera à propos de garnir la partie apparente du tuyau IK d’un petit robinet, au moyen duquel on puiffe retenir l’eau jufqu’à ce que l’air, allez raréfié dans la machine, puiffe produire le jet.
    • La machine étant ainfi conftruite , vous remplirez d’eau le réfervoir fupérieur, prefque jufqu’à la hauteur de l’orifice H du tuyau GH; enfuite vous mettrez fous le fond inférieur du vafe un réchaud plein de charbons ardents, ou une lampe à plufieurs meches : l’air contenu dans la chambre inférieure fera aufli-tôt raréfié, & paffera par le tuyau GH au deffus de l’eau contenue dans la cavité fupérieure, & la forcera d’entrer par l’orifice I
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    • Physique. 51
    • du tuyau IK, & de jaillir par l’autre ouver-
    • Pour rendre l’effet plus fenfible & plus sûr, il ne fera pas mal de mettre une petite quantité d’eau dans la cavité inférieure ; car, lorfque cette eau. bouillira, la vapeur élaftique qu’elle produira, paflant dans la capacité du réfervoir fupérieur , la prçflera avec beaucoup plus de force , & fera jaillir l’eau plus haut.
    • Il faut cependant prendre garde de ne pas échauffer trop fortement cette machine, fi l’on y emploie la vapeur de l’eau bouillante ; car elle pourroit éclater en morceaux, par un effet de la violence de l’eau réduite en vapeurs.
    • PROBLÈME XVI.
    • Mcfurer le degré de chaleur de l'air & des autres fluides. Hifloire & conflruclion du Thermomètre.
    • L’une des inventions les plus ingénieufes qui cara&érifent la renaiflance de la faine philofophie dans les premières années du fiecle dernier, eft celle de l’inftrument que nous appelons le thermomètre , parce qu’il fert à mefurer la chaleur des corps, & principalement celle de l’air & des fluides dans lefquels on peut le plonger. Cette invention eft communément attribuée à l’académie del Cimento, qui floriffoit à Florence, fous la protection des grands-ducs de la Maifon de Médicis, & qui fut la première de l’Europe qui s’adonna à la phyfique expérimentale. On prétend aufli que Corneille Drebbel, d’Alcmaër dans la Nort-Hollande, qui vivoit à la cour de Jacques I, roi d’Angleterre , a part à cette invention. Ce n’eff
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    • 5i Récréât. Mathémat. et Phys, pas ici le lieu de difcuter ce point d’hiftoire de la phyfique *.
    • L’invention du thermomètre eft fondée fur la propriété qu’ont les corps , & fur-tout les fluides , de fe dilater par la chaleur qui les pénétré. L’efprit de vin pofledant éminemment cette propriété, fut auffi le liquide qu’on employa de préférence. On prit un tube de verre fort étroit, terminé par une boule d’un pouce environ de diamètre, que l’on remplit de cette liqueur, après l’avoir colorée en rouge au moyen d’une teinture de tournefol ou d’orfeille, afin qu’elle fût plus vifible. Il eft aife de fentir que la capacité de la boule étant confi-dérable eu égard à celle du tube, pour peu que la liqueur fe dilatât, elle étoit forcée de paflfer en partie dans le tube : ainfi la liqueur y devoit monter. Elle defcendoit au contraire néceflaire-ment, lorfqu’elle étoit condenfée par le froid. On avoit feulement l’attention de faire enforte que , dans le plus grand froid, la liqueur ne rentrât pas entièrement dans la boule, & que, dans la plus grande chaleur qu’on vouloit mefurer, elle n’en
    • * Note du Cenfeur. Le premier thermomètre décrit & publié par la voie de l’impreffion, l’a été par Salomon de Caux, ingénieur François, dans fon livre des Forces mouvantes., imprimé en 1624, in-folio, mais, à ce qu’il pa-roît, antérieur pour la compofition, car l’Epître dédica-toire à Louis XlU eft de 1615 , & le privilège accordé par ce monarque eft de 1614. Ce thermomètre eft un thermomètre d’air, qui agit, par la dilatation de ce fluide renfermé dans une caille, contre l’eau qu’il force de s’élever dans un tube. Drebbel, dont on fçait feulement que le thermomètre étoit auffi un thermomètre à air, a-t-il précédé Salomon de Caux, ou celui-ci a-t-il précédé le phyficien Nort-Hollandois ? C’eft ce qu’il paroît difficile de déterminer.
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    • Physique, 55
    • fortîtpas. Vers le bas étoit infcrites, par eftime, quelques indications , comme froid, & plus bas grand froid; vers le milieu, tempéré; & dans le haut chaleur, grande chaleur.
    • Telle eft la conftruttion du thermomètre appelé de Florence, dont on a fait ufage pendant près d’un lïecle ; & tels font ceux que débitent encore fouvent dans les provinces des charlatans ambulants , & qu’achetent avec confiance des gens peu inftruits.
    • Ce thermomètre, en effet, quoique l’on ait retenu fa forme 6t la plus grande partie de fa conftruftion, a le défaut de n’indiquer que d’une maniéré fort vague & incertaine les variations de la chaleur. On peut bien fçavoir, par fon moyen , qu’un jour il a fait plus froid ou plus chaud qu’un autre , mais on ne peut comparer ce chaud ou ce froid à aucun autre, ni à celui d’un autre lieu : d’ailleurs les mots de froid & de chaud n’indiquent que des relations. Un habitant de Mercure trouveroit probablement très - frais , & peut-être froid , un de nos étés les plus chauds ; tandis que celui de Saturne , transporté fur la terre dans un hiver de notre zone glaciale, le trouveroit peut - être d’une chaleur intolérable. Nous éprouvons nous-mêmes , à la fin d’un beau jour d’été, un fentiment de froid, lorfque nous fommes tranfportés dans un air beaucoup moins chaud ; & au contraire.
    • On a cherché, par cette raifon, à faire des thermomètres où les degrés de chaud & de froid fuffent comparables à un degré de chaleur ou de froid invariable dans la nature ; enforte que tous, les thermomètres conftruits fuivant ce principe , quoique par des mains differentes & en différents.
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    • 54 Récréât. Mathêmat. et Phys.
    • lieux oü temps, s’accordaffent cependant entre eux , & marquaflent le même degré, étant expo-fés à la même température. C’étoit le feul moyen de faire des expériences de quelque utilité fur cette matière.
    • On y eft enfin parvenu , au moyen des deux principes fuivants , que l’expérience a fait découvrir.
    • Le premier eft, que le degré de température de la glace pilée & commençant à fondre , ou , fi l’on veut, de l’eau commune commençant à fe glacer, eft conftamment le même en tout lieu & en tous les temps.
    • Le fécond eft, que le degré de température de l’eau bouillante eft auffi toujours confiante. Nous entendons parler de l’eau douce, & nous fuppofons d’ailleurs que la hauteur du thermomètre ne varie point ; car on fçait aufli que, lorfque l’eau eft chargée d’un plus grand poids, elle a befoin d’un degré de chaleur un peu plus grand que lorf-qu’elle eft moins chargée. C’eft ce qu’on éprouve dans la machine pneumatique , où, une partie de l’air étant vuidé , l’eau bout à un moindre degré de chaleur qu’expofée à l’air libre. D’où fuit cette efpece de paradoxe, qu’au fommet d’une montagne l’eau n’a pas befoin d’autant de chaleur pour bouillir qu’au pied. Mais quand la pefanteur de l’air eft la même, & que l’eau ne tient fenfîble-ment aucun fel en folution , elle commence à bouillir au même degré de chaleur ; &, une fois parvenue à cet état, elle n’en contracte pas un plus grand, quelque fort que paroifle le bouillonnement.
    • Ces deux degrés confiants de froid & de chaud , fi aifés à fe procurer ,‘ont paru par cette raifon bux phyficiens, tout-à-fait propres à fervir à la
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    • Physique. jf
    • conftruflridn de leurs thermomètres. Voici la maniéré la plus fimple d’y procéder.
    • Aye2 un tube, dont un des bouts foit renflé en boule d’un pouce environ de diamètre : une moindre dimenfion fuflira, fi le tuyau étoit abfo-lument capillaire. Rempliflez-le de vif-argent, jufqu’à quelques pouces au deflus de la boule. Nous enseignerons plus bas comment cela fe peut faire. Prenez enfuite de la glace pilée , que vous mettrez dans un vafe, & vous y plongerez la boule de votre thermomètre. Lorfque le mercure aura ceffé de defcendre , faites une marque au tube pour reconnoître ce point ; après cela faites bouillir de l’eau douce, plongez-y votre thermomètre, & remarquez le point où il ceffera de monter : ce fera celui de l’eau bouillante. Il ne refte plus qu’à divifer cet intervalle en un nombre de parties égales , tel qu’on voudra : celui de ioo me paroit le plus convenable. Pour cet effet, on applique ce tube à une petite planchette, l’on colle un papier derrière le tube, & l’on divife l’intervalle entre les deux marques, dans le nombre de parties qu’on a choifi ; on en porte quelques-unes au deflous du point de la glace, auquel on infcrit o; voilà un thermomètre confirait.
    • Il eft feulement néceffaire de s’affurer avec foin fi le diamètre du tube eft le même dans toute fa longueur ; car il eft aifé de voir qu’un tube inégal dans fon calibre , cauferoit au mercure des mouvements irréguliers. Pour cet effet, on introduit une petite goutte de mercure dans le tube, 6c on le lui fait parcourir. Si elle y occupe partout la même longueur, il eft évident que le tube n’a aucun endroit plus large ou plus rétréci qu’un autre : fi la goutte éprouve des allongements ou
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    • 5'6 Récréât. Mathêmat. et Phys.
    • raccourciffements , on doit y avoir égard, ou ré* jeter le tube.
    • Plufieurs phylîciens modernes font entrés, pour la conftru&ion de leurs thermomètres , dans de grands détails fur l’augmentation de volume qu’ac-quierent le mercure & l’efprit de vin, lorfque du degré de glace ils paffent à celui de l’eau bouillante. Mais il me paroît que, ces deux termes étant reconnus comme invariables, ils pouvoient s’épargner ces conlîdérations , qui ne font que rendre leurs procédés fort embarraflants.
    • Il nous refte à dire comment on remplit le tube & la bouteille de la liqueur deftinée à former le thermomètre, & que nous fuppoferons ici du mercure , par les raiions qu’on verra plus bas ; car il y a des difficultés à exécuter cette opération , fur-tout quand le tube eft capillaire. Voici la maniéré de le faire.
    • Une première attention à avoir, eft de bien nettoyer l’intérieur du tube; ce qui fe peut faire, s’il n’eft pas capillaire, au moyen d’un petit tampon bien fec, emmanché à un fil de métal, ÔC qu’on promene dans l’intérieur. Si le tube eft capillaire , il faut échauffer d’abord le tube, & ensuite la boule. L’air fortant de cette demiere, chaiTera les petites immondices qui y peuvent être attachées.
    • Il faut auffi que le mercure foit bien pur ou revivifié du cinabre, & qu’il ait bouilli, pour en chaffer l’air qui peut y être difféminé.
    • Après cela, on attache au fommet du tube un petit entonnoir de papier; on approche d’abord, & peu-à-peu, le tube d’un brafier ardent, de maniéré à l’échauffer par degrés, & enfuite on échauffe la boule de la même maniéré, enforte que le tout
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    • Physique.
    • loit affez chaud pour ne pouvoir être tenu fans un gand épais. Quand le thermonietre eft à ce degré de chaleur, on le releve, & on remplit de mercure échauffé le petit entonnoir ci-deflus. A me-fure que le verre fe refroidit, l’air s’y raréfie, & donne entrée au mercure dans la boule, jufqu’à ce qu’il foit en équilibre avec lui. On réitéré cette opération pour faire entrer de nouveau mercure, jufqu’à ce que la boule & le tube foient pleins. Alors on gradue le thermomètre, en en châtiant, parle moyen de la chaleur, tout ce quiexcede cô qui doit y relier pour atteindre, étant plongé dans l’eau bouillante, le point qu’on a fixé vers le haut du thermomètre. Ayant fixé ce point de Feaii bouillante , & l’ayant marqué ou par un fil ou par un trait de lime, on laifle refroidir le thermomètre, & on le plonge dans la glace fondante; ce qui donne le point de la glace.
    • Il eft aifé de fentir que fi, dans cette opération , tout le mercure rentroit dans la boule , il faudrait y faire entrer un peu de mercure, pour porter plus haut le point de Peau bouillante.
    • Cela fait, on allongera un peu à la lampe d’é-mailleur le bout fupérieur du tube, & on échauffera le. mercure au point de monter tout près de fon fommet ; enfin on le clorra hermétiquement à la lampe, & par ce moyen il ne reliera dans le haut du tube qu’une quantité d’air imperceptible , ou abfolument nulle.
    • On attachera enfuite ce tube à la planchette qui doit le porter, ainfi que les divifions. Cette planchette doit être de quelque matière qui éprouve très-peu d’allongement dans fa longueur par la chaleur. Le fapin à cette propriété, & l’avantage de la légéreté; il faut que la boule foit ifolée du
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    • 5$ Récréât. Màthémat. et Phys.
    • bois, afin que l’air puiffe mieux circuler, & qu’elle ne Toit pas affe&ée par la chaleur que le bois peut contrarier lui-même.
    • Une queftion fe préfente ici. Quelle eft la liqueur la meilleure &: la plus convenable pour former un thermomètre bon & durable ? eft-ce l’efi* prit-de-vin, eft-ce le mercure?
    • Nous croyons qu’il n’y a plus, à cet égard, de difficulté ni même de divifion parmi les phyfi-ciens. C’eft le mercure qui eft la liqueur la plus», convenable pour les thermomètres. Ses avantages fur l’efprit-de-vin ne paroi front point équivoques à qui confidérera, -
    • i° Que tous les efprits-de-vin , à moins qu’ils ne foient bien déphlegmés , ne font pas tous fèmblables. Et qui peut affurer que , dans ces différents états, leur marche foit la même, ou qu’ils n’aient pas des mefures différentes de dilatation à un même degré de chaleur? C’eft même un point que l’experience a depuis vérifié. Dès-lors, plus de comparai fon certaine entre les divers thermomètres à efprit-de-yin.
    • z° Si l’efprit-de-vin eft très-déphlegmé, alors , étant devenu une liqueur très-fpiritueufe & très-volatile , n’y a-t-il pas à craindre que peu à peu il ne diminue de volume ? Il eft vrai que pour y obvier, on bouche hermétiquement le tube par en haut : mais cette précaution n’empêchera pas la partie la plus volatile de s’exhaler dans la capacité fupérieure du tube ; & dès-lors l’efprit-de-vin » devenu moins dilatable à caufe du phlegme ref-tant, reftera au deffous du degré où il devrait être ; c’eft même là ce qui arrivera à tout état de l’efprit-de-vin, foit qu’on l’emploie pur ou presque pur, foit qu’on l’emploie avec l’eau , comme
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    • Physique; 59
    • cela Te pratique, ordinairement pour modérer fa dilatabilité.
    • 30 L’efprit-de-vin bout à un degré de chaleur moindre que celui de l’eau bouillante, par confé-quent il n’eft plus propre à examiner des degrés de chaleur plus grands que celui-là ; car, paffé l’ébullition, la marche de la dilatation d?une liqueur ne fuit plus les mêmes loix, puifque, paffé ce terme, elle fe volatilife , ou fe réduit tout-à-coup en vapeurs d’un volume de plufieurs milliers de fois plus grand.
    • D’un autre côté , l’efprit-de-vin allié d’eau eft fufceptible de fe geler à un degré de froid qui n’eft pas beaucoup au deffous de celui de la congélation de l’eau : ainfi il fera peu propre à mefurer des degrés de froid fort au deffous de ce dernier
    • Le mercure n’a aucun de ces défauts. Tout mercure, autant que les chimiftes ont pu l’éprouver, eft homogène, lorfqu’il eft pur , avec tout autre mercure : il ne bout qu’à un degré de chaleur fîx à fept fois plus loin du terme o, que celui auquel l’eau elle-même devient bouillante : il ne fe congele qu’à un degré exceflivement plus bas que celui de la congélation de l’eau *.
    • Un autre avantage qu’il a, foit dans les thermomètres , foit dans les baromètres, c’eft que, tandis qu’il eft dans l’aftion de monter, la furface de la petite colonne de mercure prend une figure convexe, & quand il defcend, une figure concave: ainfi, tant qu’on voit cette figure convexe , on peut dire qu’il eft dans l’aâion de monter, &
    • * On parlera plus loin de cette expérience extraordi-
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    • 6o Récréât. Mathémat. et Phys,
    • quand elle difparoit & devient concave, c’eft un ligne qu’il defcend déjà infenfiblement ; ce qui eft affez commode pour le pronoftic de la chaleur, & pour reconnoître fi elle augmente encore , lî elle eft ftationnaire, ou fi elle commence à diminuer.
    • PROBLEME XVII.
    • Difcription des Thermomètres les plus célébrés &
    • les plus ufnés : Réduction des uns aux autres.
    • On fait ufage en Europe de plufieurs thermomètres qui, quoique conftruits fur les mêmes principes , different néanmoins dans leur divifion ou échelle ; car cette divifion ou échelle eft abfolu-ment arbitraire. Il eft par conféquent néceflaire d’en donner une idée , pour les réduire l’un à l’autre.
    • Ces thermomètres font celui de Fareinheit, artifte Anglois, celui de M. de Réaumur, celui de M. Celfius, & celui de M. Delifle.
    • Le premier de ces thermomètres eft fait avec le mercure , & a une gradation qui au premier abord paroît fort bizarre. Au froid de la glace répond le 32e degré, & depuis ce terme jufqu’à celui de l’eau bouillante on compte 180 degrés , enforte que la chaleur de l’eau bouillante répond au 212e degré. La raifon de cette divifion eft, que Fareinheit prit pour le degré o de fon thermomètre , le plus grand froid qu’il put exciter avec un mélange de neige & d’efprit de nitre ; il plongea en-fuite fon inftrument dans la glace fondante , èc enfin dans l’eau bouillante, & il divifa en 180 parties l’intervalle entre ces deux derniers points ce qui lui en donna 32 entre le froid artificiel cir
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    • Physique. 6t
    • deffus, & celui de la glace ordinaire. L’expérience a appris depuis, qu’on peut produire un froid artificiel bien plus confidérable que celui qu’avoit produit Fareinheit.
    • Ce thermomètre eft celui dont les Anglois font le plus communément ufage ; en quoi ils me pa-roiffent facrifier un peu à cet attachement national qui leur fait rejeter les inventions étrangères , quoique meilleures. Ce que je dis, au refte, ne tombe que fur. la divifion bizarre du thermomètre de Fareinheit ; car il nous paraît être le premier qui ait employé le mercuré, & en cela on ne peut trop applaudir à fon idée. On pourrait donner toujours fon nom à fon thermomètre , en re&ifiant fon échelle , c’eft-à-dire en portant le le degré o à fon $ze : alors il y en aurait 180 entre la glace & l’eau bouillante , & le degré usuellement marqué o dans ce thermomètre, ferait le —3 Ie, en délignant par le figne négatif— les degrés au delfous de la glace.
    • ' Le thermomètre de Réaumur eft fait ordinairement avec l’efprit-de-vin ; & fa graduation eft telle, que le degré de la glace fondante étant marqué o, Celui qui répond à l’eau bouillante eft 80 : ainli il y a 80 degrés entre ces deux termes. Au delfous de o on compte encore 1,2 , 3,4, en ajoutant ces mots, au dejfous de la. glace , ou , pour abréger, en joignant au degré le ligne—, C’eft ainli que nous en avons ufé dans les tables fuivantes.
    • Nous avons déjà fait nos obfervations fur l’ef-prit-de-vin, employé de préférence par M. de Réaumur ; il eft fuperflu de les répéter ici.
    • Le thermomètre de M. Delille eft fort ulité dans le nord, & par cette raifon il eft à propos
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    • 6i RicRÉAT Mathémat. et Phys. d’en faire connoître la divifion. M. Deliflepar des raifons affez arbitraires, a fait partir fa divifion du degré de l’eau bouillante en defcendant, & elle eft telle, qu’entre ce point & celui où l’eau fecongele, il y a 150 degrés: ainfi 150 degrés de fon thermomètre répondent, pour l’étendue , à 80 de celui de Réaumur, ou 180 de celui de Fareinheit.
    • Enfin MM. Celfius d’Upfal, & Chriftin de J y on, reconnoiffant les défauts de l’efprit-de-vin , & trouvant auffi des inconvénients dans la divifion en 80 degrés, ont cherché à y remédier, en faifant leur thermomètre avec du mercure, & en comptant 100 degrés depuis le terme de la glace jufqu’à celui de l’eau bouillante. Ce thermomètre ne différé au fond de celui de M. de Réaumur, qu’en ce qu’ils y ont employé le mercure au lieu de l’efprit-de-vin, & qu’ils mettent 100 divifions dans le même efpace où M. de Réaumur n’en a mis que 80 : ainfi un degré du thermomètre de M. Celfius, équivaut aux j d’un degré de celui de M. de Réaumur ; & par conféquent la réduction de l’un à l’autre eft facile, & il ferait fuperftu de l’enfeigner ici. Nous nous bornons à montrer comment les divifions de Fareinheit & de M. Delifle fe réduifent à celle de M. de Réaumur, attendu qu’il y a un peu plus de difficulté.
    • Si donc le degré de Fareinheit eft au déffus du 31e, il faut en retrancher 32 , multiplier le refte par 4, & divifer le produit par 9 : le quotient fera le degré correfpondant de la divifion de Réaumur. Que le degré propofé de Fareinheit foit, par exemple, le 149e: de ce nombre ôtant 32, le
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    • Physique. 65
    • quotient 51 : c’efl: le degré correfpondant du thermomètre de Réaumur.
    • Si le degré de Fareinheit eft entre 1 & 32, il faut l’ôter de 3 2 : le reftant étant multiplié par 4 , & le produit étant divifé par 9, on a au quotient le degré correfpondant du thermomètre de Réaumur. Ainfi le 12e degré du thermomètre de Fa-renheit, répond au 8e 4 de Réaumur au deffous de la glace.
    • Enfin jJtprfque le degré propofé eft au-deflous de o, il faut l’ajouter à 32, 6c opérer fur le reftant comme on a dit plus haut : on aura au quotient de la divifion le degré correfpondant de M. de Réaumur. On trouve ainfi que le 45 e degré du thermomètre de Fareinheit au deffous de o, répond au 34ef au deffus de o dans le thermomètre du phyficien François.
    • Que fi , au lieu de multiplier par 4 & divifer par 9, on eût multiplié par 5 & également divifé par 9, on auroit eu le degré du thermomètre de MM. Celfius & Chriftin.
    • Quant à la maniéré de réduire la graduation de M. de Réaumur , ou celle de M. Celfius à celle de Fareinheit, il eft aifé de voir qu’il faut faire une opération inverfe de la précédente. Cela eft trop facile pour s’y arrêter.
    • A l’égard du thermomètre de Delifle, il eft aifé devoir, par fa conftruâion, que le 150e degré de celui-ci répond au degré o de celui de Réaumur. Si donc le degré montré dans le premier eft moindre que 150, il faut commencer par l’ôter de 150, & le reftant, multiplié par 8 & divifé par 15, fera celui du thermomètre de Réaumur au deffus de la glace.
    • Que l’on ait, par exemple, le degré 120 du
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    • 64 Récréât. Mathémat. et Phys, thermomètre de Delifle : ôtez ce nombre de i f O * il vous reftera 30; puis faites, comme 150 à 80, ou comme 15 à 8, ainfi 30 à un quatrième terme, qui fera 16: ce fera le degré du thermomètre de Réaumur au deflus de la glace, ou de o.
    • Si le degré du thermomètre de Delifle exe é-doit 150, qu’il fut, par exemple, 190 ; ôtez-en 150, le refte fera 40 ; puis faites cette proportion , comme 1538, ainfi 40 à xi j : ce fera le degré du thermomètre de Réaumur au deflous de o, qui répond au 190e degré du thermomètre de Delifle.
    • Il doit être facile au leéleur intelligent de faire la réduction contraire., ainfi nous nous bornerons aux exemples ci-deflus.
    • Il feroit fans doute fort à fouhaiter que tous les phyficiens convinfïent aujourd’hui de ne faire ufage que d’un thermomètre uniforme, foit par la matière qui y feroit employée, & qui devroit être le mercure, foit par la divifion de l’échelle. A ce dernier égard, il n’y a non plus nul doute qu’on ne dût donner la préférence à la divifion de 100 entre la glace & l’eau bouillante, les divifions décimales ayant beaucoup d’avantages , pour la facilité du calcul, fur toute autre divifion.
    • PROBLÈME XVIII.
    • Conjlrucîion d'un autre Thermomètre mefurant la chaleur par la dilatation cCune barre de métal,
    • La propriété qu’ont tous les métaux de fe dilater par la chaléur, fert de principe à la conftru&ion d’un autre thermomètre extrêmement utile, en ce que l’on peut, par fon moyen, mefurer des degrés de chaleur beaucoup plus grands qu’avec les thermomètres
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    • Physique# 65
    • ïrtômetres ordinaires ; car le thermomètre à efprit-de-vin ne peut fervir à mefurer de chaleur plus grande que celle que peut prendre l’efprit-de-vin bouillant. Avec celui de mercure, on ne peut mefurer une chaleur plus grande que celle du mercure parvenu à l’ébullition. C’en peut-être pour cette raifon que Newton employoit dans le fieu l’huile de lin ; car il eft reconnu que les huiles grades ne parviennent à l’ébullition que par une chaleur beaucoup plus grande que celle de plu-fieurs métaux ou demi-métaux fondants, comme le plomb, l’étain, le bifmuth , &c.
    • M. Mufchenbroeck eft l’auteur de cette nouvelle efpece de thermomètre, autrement appelé Pyrometre. Nous nous bornons à indiquer fa conf-tru&ion.
    • Qu’on fe repréfente une petite verge de métal de 11 ou 15 pouces de longueur, arrêtée fixément par une de fes extrémités ; il eft évident que fi la chaleur la dilate, elle fera allongée, & fon autre extrémité pouflee en avant. Si donc cette extrémité tient au bout d’un levier, dont l’autre extrémité s’engraine avec le pignon d’une roue dentée j que cette roue fafle pareillement mouvoir le pignon d'une fécondé, celle-ci celui d’une troi-fieme, &c : il eft aifé de fentir , qu’en multipliant ainfi les roues & les pignons ,on parviendra à donner à la derniere un mouvement très-fenfible , en-forte que l’extrémité mobile de la petite barre ne fçauroit parcourir un centième, un millième de ligne * fans qu’un point de la circonférence de la derniere roue parcoure plufieurs pouces. Cette circonférence s’engrainant donc avec un pignon portant une aiguille , cette aiguille elle - même pourra faire plufieurs révolutions , quand la barre Tome IK% E
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    • 66 RicRiAT. Màthémat. et Phys.
    • ne fe fera étendue que d’une quantité tout-à-fait infenfible ; ou au contraire. On pourra enfin me-furer fur un cadran divifé en parties égales, les portions de cette révolution, &, par le moyen du rapport des roues avec les pignons, déterminer la quantité ablolue dont un certain degré de chaleur aura fait allonger la petite barre ; ou bien, par l’allongement de cette barre , juger du degré de chaleur qui lui a éré appliqué.
    • Telle eft la conftru&ion du pyrometre de M. Mufchenbroeck. Il eft néceflaire d’ajouter qu’il y a une cuvette adaptée à la machine, afin de recevoir les matières liquides ou fondues qu’on veut foumettre à l’expérience, & dans laquelle fe trouve alors plongée la barre d’épreuve.
    • Lors donc qu’on voudra mefurer, au moyen de cet inftrument, un degré de chaleur confidé-rable, comme celui de l’huile bouillante ou d’un métal fondu , on remplira de cette matière la cuvette deftinée à h recevoir, & on l’y tiendra dans l’état où on veut faire l’expérience. La dilatation de la barre de fer plongée dans la matière, indiquera , par les tours de l’index , le degré de chaleur qu’elle a pris, & qui doit néceflairement être égal à celui de la matière dans laquelle elle eft plongée.
    • Cette même machine fert à déterminer les rapports de la dilatation des métaux ; car , en fubfti-tuant à la barre d’épreuve des barres de différents métaux & exa&ement de même longueur, en les échauffant enfuite également, & à des degrés déterminés , on voit, par le chemin de l’aiguille qui fert d’index, les rapports de leur allongement. On peut aufii les échauffer par une ou plusieurs meches à l’efprit-de-vin. On donnera plus loin la table de ces rapports.
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    • Physique. 67
    • ï; Tablé des differents degrés de chateür auxquels différentes matières commencent à fe fondre ou à je geler, ou à entrer en ébullition , réduits aux thermomètres de Fareniheit, Réaumur, & Celjius.
    • NOMS DES MATIERES. Degrés de Farenh Degrés! de Réaum. Degrés Celsius
    • Mercure fe congelant, -.... Mercure devenu malléable, -568 1 1 2I2,
    • ”333*
    • Eaufe glaçant, 708 32 3 00 375
    • Eau bouillante, 80 100
    • Efprit-de-vin reâifié fe glaçant, Le même bouillant,»- - .... Eau-de-vie formée de parties égales d’efprit & d’eau, fe glaçant, La même bouillante,-- - - 33 >75 ~ *9, 6 37 - 36 79 ~ 87!
    • — 7 190 - *7? 70
    • Eau faturéede fel marin, bouil-
    • Leffive de cendres gravelées , bouillante, — — Vin de Bourgogne, Bordeaux, 218 240 82f 921 103 i 114
    • &c. fe glaçant, — 20 5} —
    • Efprit de nitre glacé, — Le même bouillant, — — 40 242 - 31 93 T — 40 “ Il6
    • La cire fondante, --—— Le beurre fondant, -— 142 80 à 90 2là92ê 62 i 26 à 32
    • Huile de Térébenthine commençant à bouillir, — - 560 234 4
    • Huile d’olive fe figeant, — 43 Ç 6\
    • Huile de navette, bouillante & /
    • prête à s'enflammer, -.... Etain fondant, .... Plomb fondant, —- Bifmuth, id ...... Régule d’antimoine, «/•••— Antimoine, 714 408 298 167 372 309
    • 540 460 805 > J? 22 6 I90 344 282 238 430
    • Argent, - Or, fï
    • Cuivre, - „
    • Eij
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    • 68 Récréât. Màthémat. et Phys.
    • II. Tablé des differents degrés de chaleur oti dt froid, obfervés en divers lieux de la Terre, ou dans certaines circonjlances, ou pour certaines opérations , réduits au thermomètre de Rèaumur.
    • Degrés.
    • Chaleur confiante des caves de PObfervat. de Paris ,95
    • de l’incubation des poules, »—*jJ
    • pour faire éclore les vers-à-foie,-----19
    • à maintenir dans une orangerie,------—ij
    • pour la ferre aux ananas, •—•—•••••••18
    • pour la chambre d’un malade,...... -...-17
    • pour le poêle, 12
    • Chaleur humaine à la pean,----------------—29 à 30
    • humaine intérieure, ......—----------31
    • humaine avec la fievre,.......-— 3a à 40
    • obfervée à Paris en 1753 »-------------—30-;
    • au Sénégal,---------------------37
    • en Syrie en 1736,---------------3;
    • à la Martinique, —............ jz
    • Froids obfervés à Paris en 1766,..........—......— 9I
    • Froid artificiel refroidis au
    • en 1740,-------------
    • en 1734,-------------
    • en 1767,-------------
    • en 1768,-------------
    • en 1709,-------------
    • en 1776,-------------
    • à Pétersbourg, Décemb. 1759,.
    • ibid., 6 Décembre 177a,...
    • à Tornéo en 1737,........—•
    • à Kébec,-------------------
    • à Upfal en 1733 ,-----------
    • à Kiringa en Sibérie, en 1738,
    • ( Voyei Flora Siberica, ).
    • avec l’efprit de nitre & la neige,
    • —»4r -Mï —x6|
    • —33 T
    • -30
    • ”37
    • -37
    • —40
    • -70
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    • Physique. 69
    • III. TABLE des rapports de dilatation des Métaux parla chaleur9fuivant M. Ellicot.
    • Or, . .
    • Argent, . Cuivre, . Similor, . Fer, . . Acier , . Plomb, . Etain,
    • refpeftiles!
    • • 73 . 10.3 . 89
    • • 9Î . 60
    • •
    • • 149 . 148
    • Observations fur les Tables précédentes.
    • Les tables précédentes nous donnent lieu & occafion de faire qiielques remarques intéreffantes„
    • I. La première eft la coagulation du mercure > produite par un degré extraordinaire de froid. Cette finguliere expérience fut faite dans le mois de Décembre 1759, à Pétersbourg., & mérite, qu’on en parle avec quelque étendue.
    • Le froid s’étant fait reffentir dans cette ville avec une rigueur extraordinaire en Décembre 1759, M. Braun crut devoir faifir cette occafion pour faire quelques expériences fur le froid artificiel qu’on pourroit produire par fon moyen : il mit dans un verre de la neige déjà refroidie an 208e degré du thermomètre de Delifie , ou au 3 Ie de celui de Réaumur, & ayant refroidi au même, degré de bon efprit de nitre fumant, il le verfa. fur cette neige. Il y plongea auffi-tôt la.boule d’un.
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    • 70 Récréât. Màthémàt. et Phys. thermomètre, tellement confirait qu’il aVoit environ 600 degrés tant au deflus qu’au defious du zéro, (qui, dans le thermomètre de Delifle , eft le terme de l’eau bouillante ) ; il vit avec étonnement le mercure defcendre affez rapidement jusqu’au 470e degré au defious de ce point. Le mercure s’étant alors arrêté , M. Braun Secoua le thermomètre , & il reconnut que le mercure n’avoit aucun mouvement &: étoit gelé. Il caffa la boule du thermomètre , & trouva en effet le mercure glacé. Cette expérience fut répétée , Soit le même jour, Soit le 26 Décembre, où le froid naturel fut encore plus rigoureux, & fit defcendre le mercure jufqu’au 212e degré de Delifle, ou le 33e de Réaumur. Plufieurs académiciens de Pétersbourg aflifterent à cette dernière, & en conftaterent la vérité. La petite boule de mercure congelé fut même foumife au marteau , & parut avoir la ductilité du plomb.
    • Une chofe affez finguliere, & que M. Braun remarque avec étonnement, c’eft que , dans plufieurs de ces expériences, le mercure defcendoit avec une viteffe modérée , du point de la température de l’air, à celle de 470 degrés au deffus de zéro ; mais arrivé à ce terme, il fe précipitoit tout-à-coup jufqu’au deffous du 600e , fans que la boule du thermomètre fût rompue.
    • Ce phénomène eft, à mon Sens, à peu près l’in* verfe de celui qui arrive dans la congélation de l’eau. On fçait qu’à mefure qu’elle fe refroidit elle diminue de volume ; mais arrivée une fois au degré de congélation, & au moment que fè fait cette congélation, elle augmente tout-à-coup de volume, enforte que probablement, dans un thermomètre à eau pure 3 on verroit d’abord l’eau
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    • Physique. 71
    • baiffer, & enfuite monter tout-à-coup, ou faire fauter en morceaux la boule du thermomètre. C’eft un effet de l’arrangement nouveau des parties , qui fe fait avec une force prefque irréfiftible, an moment où elles font toutes en contaft.
    • Or. il arrive probablement au mercure tout le contraire ; c’eft-à-dire que , refroidi au point où fes particules intégrantes fe trouvent prefque en contatt, elles s’arrangent tout-à-coup en vertu de leur attraftion mutuelle , & leur forme eft apparemment telle que, dans cette difpofition, elles doivent occuper moins de volume , comme celles de l’eau en occupent davantage.
    • Quoi qu’il en foit de cette explication , il eft conftaté par l’expérience de M. Braun , que le mercure n’eft qu’un métal, tenu en fufion par un degré de chaleur beaucoup moindre que celui qur gele l’eau & une multitude d’autres liqueurs. Il faut même le tirer de la claffe des demi-métaux, & le ranger au nombre des véritables métaux, qui par-là fe trouvent au nombre de fept ; grande & belle découverte pour ceux qui tiennent aux propriétés myftérieufes des nombres ; car ils étoient fort déroutés de ne trouver que fix métaux véritables. J’ai connu un homme enchanté, par cette feule raifon, de l’expérience de M. Braun; & de fon double effet de porter au nombre de 7 les vrais métaux , & de réduire à 5 celui des demi-métaux.
    • On voit auffi dans cette expérience, la raifon pour laquelle le mercure eft le plus volatil des métaux. En effet, puifqu-’il ne faut, pour le tenir en fufion, qu’un degré de chaleur fi fort au deffous> de celui qui liquéfie la glace, il n’y a plus à s’étonner qu’au-delà du 500e degré du thermomètre.
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    • rji Récréât. Mathémat. et Phys.
    • de Réaumur, il commence à fe volatilifer ; car ce degré eft environ le 500e au defïus de celui qui le tient déjà en fufion : il eft à peu près à fon égard ce que feroit le 600e pour le plomb, ou le 3200e pour le cuivre, &c.
    • ' II. Une fécondé remarque à faire ici, c’eft qu’à la vérité le degré de l’eau commençant à fe glacer , eft fixe ; mais il n’en eft pas tout-à-fait de même de celui de l’eau bouillante. Il eft reconnu que plus l’eau eft chargée par le poids de l’atmo-fphere, plus il faut qu’elle foit échauffée pour bouillir. Cela avoit déjà été remarqué par M. lè Monnier, qui avoit trouvé au fommet- du Cani-gou, que l’eau bouillante ne faifoit monter le thermomètre qu’au 78e degré. Cela a depuis été vérifié par divers phyficiens, comme M. de Secondât , fils du célébré M. de Montefquieu, fur le Pic du Midi, l’une des montagnes les plus hautes des Pyrénées; & par M. Duluc, fur une montagne plus élevée encore que celles-là. On fait auffi bouillir de l?eau fous le récipient de la machine pneumatique , à un degré fort inférieur au 80® du thermomètre ; il fuffit d’en évacuer l’air en partie. Ce degré du thermomètre a donc befoin d’être fixé, en faifant attention à la hauteur du baromètre ; & dans les thermomètres reftifiés ÔC comparables, dont nous avons entendu parler, le degré 80 eft celui que donne l’eau bouillante , lorfque le baromètre eft élevé de 27 pouces de Paris. C’eft ce qu’on doit entendre par le degré de l’eau bouillante.
    • On voit auffi que les liqueurs les plus tenues bouillent à un degré de /chaleur moindre que Veau, mais que les huiles graffes exigent un degré de chaleur incomparablement plus grand,
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    • Physique. 7j
    • III. Nous avons reâifié d’après des obferva-tions de M. Duluc, ou faites à fon invitation', le degré de la température des caves de l’Obferva-îoire de Paris, qui n’eft pas io, comme on le dit ordinairement, mais 9^ au plus. Nous avons aufli re&ifié, d’après les observations de M. Braun, le degré du mercure bouillant, qu’on place d’ordinaire au 600e de Farenheit, mais qui, fuivant ce phyficien, eft le 70B ou 709.
    • IV. Dans la table de la dilatation des métaux , on voit que l’acier eft celuj. qui fe dilate le moins par la chaleur , enfuite le fer, l’or. Le plomb & l’étain font ceux qui fe dilatent le plus. Au refte on voit par cette table, que la dilatabilité ne fuit, ni le rapport des pefanteurs fpécifiques , ni celui des degrés de du&ilité , ni celui des forces de ces métaux : il y a même des irrégularités dans leurs dilatations, qui pourroient faire defirer quelques expériences plus précifes & plus multipliées.
    • PROBLÈME XIX.
    • Quelle ejl la caufe qui fait que fur les hautes montagnes, même fur celles qui font Jituées fous la [One torride , on éprouve prefque continuellement un froid rigoureux, tandis que dans la plaine ou dans les vallons il fait chaud ?
    • C’EST un phénomène qui a depuis long-temps excité l’attention des phyficiens , que ce froid rigoureux qu’on éprouve fur les hautes montagnes , tandis que dans la plaine on effuie quelquefois la plus grande chaleur. On fqait aujourd’hui qu’un des climats les plus chauds de l’univers, eft la côte
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    • 74 Récréât. Màthémàt. et Phys.
    • du Pérou : cependant, qu’on s’élève de-là peu à peu dans les Cordillieres , on obferve que la chaleur diminue progreffivement ; enforte que quand on eft dans la vallée de Quito, à 1400 toifes environ au deffus du niveau de la mer, le thermomètre atteint à peine, pendant toute l’année, le 13e ou 14e degré au deffus de zéro. Si l’on monte plus haut , à cette température fuccede celle d’un hiver rigoureux ; & quand on s’eft élevé a environ 2400 toifes de hauteur perpendiculaire , on ne rencontre plus, même fous la ligne, que des glaces qui ne fe fondent jamais.
    • Comment, ont dit quelques phyfiiciens, cela peut-il fe faire ? A mefure qu’on s’élève au deffus de la furface de la terre, on s’approche du fo-leil ; fes rayons doivent conféquemment être plus chauds, & Ton éprouve tout le contraire. Quelques-uns en ont conclu que les rayons du foleil n’étoient pas le principe de la chaleur que nous éprouvons ; car s’ils le font, par quel mécanisme , par quelle caufe ont-ils moins d’a&ivité, précifément dans le lieu où ils devroient en avoir davantage? Nous allons travailler à éclaircir ce paradoxe.
    • Il faut d’abord confidérer ici que, quoique l’on s’élève de quelques milliers de toifes au deffus de la furface de la terre , on a tort d’en conclure que les rayons du foleil doivent y avoir plus d’activité qu’à la furface même. Cette différence fe-roit infenfible, quand on s’éleveroit même d’un demi-diametre ; car le foleil étant à 22000 demi-diametres de la terre , & la chaleur des rayons folaires augmentant en raifon inverfe des quarrés des diftances, la chaleur du foleil direft à la hauteur d’un demi-diametre tcrréftre, fera à celle qu’on
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    • Physique. 7T
    • éprouvera à la furface, comme le quarré de 21999 au quarré de 21998 ; raifon qu’on trouve être celle de 10999 a 10998, ou de 11000 à 10999, enforte que la chaleur ne feroit que d’un 11000e moindre à la furface qu’à la diftance d’un demi-dia-metre. Quelle fera donc la différence qui pourra réfulter de s’être élçvé au deffus de la furface de la terre de 2 à 3 mille toifes? Rien affurément, & l’on ne doit en aucune maniéré faire attention à cette différence.
    • Mais il eft des caufes phyfiques, St bien fenfi-bles, pour lefquelles les corps doivent moins s’échauffer , & conferver moins long-temps la chaleur dans ces parties élevées de la terre que dans les bas. Il eft confiant que la chaleur que nous éprouvons à la furface de la terre, n’eft pas uniquement le produit de la chaleur direâe du foleil, mais celui de plufieurs caufes réunies.
    • Ce font, i° la maffe des corps échauffés, qui confervent d’autant plus long-temps la chaleur qu’ils ont une fois reçue , qu’ils font plus denfes & plus volumineux : ainfi la chaleur communiquée aux corps terreftres pendant un jour de beau foleil, y refte encore en très-grande partie pendant la nuit : le lendemain elle reçoit un accroiffe-ment de la préfence du foleil ; & ainfi fucceffive-ment. 2° L’air étant plus denfe dans la plaine & dans les vallons, y conferve auffi une plus grande partie de la chaleur qu’il a reçue dans la journée , & empêche la diffipation de la chaleur qu’ils ont reçue. De-là vient que la chaleur s’accroît dans les bas continuellement, à mefure que le foleil monte fur l’horizon. Mais il n’en eft pas ainfi fur le fommet des montagnes.
    • En premier lieu, l’air y eft d’une beaucoup plus
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    • 76 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • grande rareté que dans les bas ; le foleil n’eft pas plutôt abaiffé vers l’horizon, qu’il perd la chaleur qu’il en a reçue depuis Ton lever. Car il n’eft perfonne qui n’ait obfervé qu’un corps denfe, comme une piece de monnoie , conferve plus long-temps fa chaleur qu’un corps de peu de den-fité , comme de l’étoffe. Qu’on s’approche en effet d’une cheminée où brûle un grand feu ; après y avoir refté quelque temps debout, on trouvera l’argent qu’on a dans fa poche, brûlant : qu’on s’enretire, il le fera encore long-temps, tandis que l’on aura déjà fes vêtements réduits au degré de chaleur ordinaire. Ainfi le peu de chaleur que l’air léger de la montagne a reçu pendant une journée d’été, eft aufli - tôt diffipé : il ne s’y en accumule point comme dans les bas, où d’ailleurs le contaft des corps denfes & terreftres violemment échauffés , contribue à le maintenir dans fon état. Secondement, les pics ifolés de ces montagnes extrêmement élevées, ne font que de petites maffes en comparaifon de la totalité des corps terreftres—des plaines ou des vallons voi-fins. S’ils font échauffés jufqu’à un certain point, la chaleur qu’ils ont reçue s’évapore très-vîte ; en quoi elle eft aidée par la fraîcheur de l’air environnant, refroidi au degré de la glace prefque auffi-tôt que le foleil eft couché.
    • D’après ces raifons, il eft aifé de concevoir que l’air qui régné fur les hautes montagnes, ne contraâe que très-palfagérement un certain degré de chaleur ; qu’il eft prefque toujours au deffous de la température de la glace même ; qu’ainli tous les météores aqueux qui s’y forment, tournent en neige & en glace ; qu’une fois qu’il s’y en fera formé une certaine maffe, elle oppofera à l’intro-
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    • Physiqué. 77
    • du&ion de la chaleur, Toit dans l’air circonvoifin , foit dans les parties qu’elle couvrira, un nouvel obftacle qui tendra à augmenter le froid & la maffe de ces glaces. C’eft ainfi que fe font formés ces immenfes amas de neige de glaces accumulées qui couvrent les fommets des montagnes des Cordillieres , ainfi que quelques cantons des Alpes, des Apennins , enfin de toutes les montagnes de l’univers dont la hauteur excede une certaine limite , qui eft, dans la zone torride, d’environ 2400 toifes d’élévation perpendiculaire au delfus du niveau de la mer.
    • Nous difons dans la zone torride, car il faut remarquer que cette hauteur eft d’autant moindre , que la latitude eft plus grande : ainfi, dans la zone torride, il faut s’élçver jufqu’à 2400 ou 2500 toifes pour arriver à cette région de glaces perpétuelles ; mais dans la zone tempérée, par exemple , il ne faut s’élever qu’à 14 ou 15 cents toiles de hauteur pour arriver à ces glacières éternelles. Le commencement de celles qu’on trouve dans la Suiffe, eft, fuivant les mefures de M. Duluc, a 1500 toifes au deftus de la mer Méditerranée: avancez encore davantage dans le Nord, vous les trouverez plus voifines du niveau de la mer. Les glaciers de la Norvège font certainement moins élevés que ceux de la Suiffe. Enfin, dans la zone glaciale, cette région de glaces continues eft précifément à la furface de la terre. De-là vient que la glace n’y fond point, comme tout le monde fçait. Une couronne de glaces environne à plufieurs centaines de lieues le pôle tant ar&ique qu’antarftique , & probablement interdit à jamais l’efpérance de voir traverfer par des vaiffeaux l’Océan glacial, pour gagner les mers
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    • 78 Récréât. Màthêmat. et Phys. de la Chine 8c du Japon par le paffage qu’on fqait exifter entre l’Alie ôc l’Amérique.
    • PROBLÈME XX.
    • De Vatténuation dont quelques matures font fuf-ceptibles ; calcul de la longueur d'un lingot d'argent trait, & de Vèpaifjeur de fa dorure.
    • N ou S n’entrerons pas ici dans la queftion qui a fi fort agité les phyficiens , fçavoir fi la matière eft divifible à l’infini ou non. Il faudroit, pour la réfoudre , connoître la nature des derniers éléments des corps, 8c c’eft ce qui fera probablement toujours refufé à nos lumières. Mais la nature 8c l’art nous préfentent quelques exemples d’atténuation de la matière, qui font tels, que s’ils ne prouvent pas fa divifibilité à l’infini, ils prouvent du moins que les bornes de cette divifion font reculées au-delà de ce que l’imagination peut nous repréfenter.
    • La duttilité de l’argent, 8c fur-tout celle de l’or, font deux de ces exemples que l’art nous fournit. Une once d’or eft un cube de 5 lignes j de côté, 8c dont une des faces couvre conféquemment environ 27 lignes quarrées. Le batteur d’or la réduit en feuilles qui enfemble couvriroient 146 pieds quarrés. Or 27 lignes quarrées font contenues dans J46 pieds quarrés, 111980 fois : conféquemment l’épaifleur de cette feuille d’or eft la 111980e partie de 5 lignes j , ou une 21534e de ligne.
    • Mais allons plus loin , car cette atténuation n’eft encore rien en comparaifon de celles qu’on va voir.
    • On prend un lingot cylindrique d’argent, de
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    • Physique. 79
    • 45 marcs pefant, & d’environ 22 pouces de longueur fur 1 5 lignes de diamètre ; on le couvre de fix onces d’or réduit en feuilles. Dans cet état, l’or a l’épaiffeur d’un 15e de ligne: c’eft ce qu’on appelle furdoré. Mais on peut, fi l’on veut, n’y employer qu’une once d’or, & alors il n’aura fiir cette furface que l’épaiffeur d’une 90e de ligne.
    • On fait enfuite paffer, fuivant l’art du tireur d’or, ce lingot ainfi doré, par divers trous fuc-ceffivement de plus en plus petits , jufqu’à ce qu’on l’ait enfin réduit à un fil de l’épaiffeur d’un cheveu. M. de Réaumur a pris un fil d’argent doré , ainfi allongé ; &, en ayant pefé un demi-gros avec le plus grand fcrupule, il enmefura la longueur, & la trouva de 202 pieds ; d’où il eft aifé de conclure <ju’un gros avoit 404 pieds de longueur ; une once, 2232 ; le marc , 23856 ; & les 45 marcs, 1163520, ou 96 lieues de 2000 toifes chacune. Voilà donc un lingot d’argent, de 22 pouces de longueur , allongé de maniéré à faire un fil de 96 lieues de long.
    • Il y a plus. On prend ce fil doré , &: on le fait paffer entre deux meules d’acier poli, pour l’ap-platir & le réduire en lame. Cette opération , en lui donnant ± de ligne de largeur , l’allonge d’un 7e au moins , enforte que le fil eft réduit par la en une lame de 110 lieues de longueur , & dont 1 é-paiffeureft d’une 256e de ligne. Quant à l’or, on trouve qu’il n’a plus qu’un 59000e & même un 60000e de ligne d’épaiffeur.
    • Ainfi , en fuppofant que le lingot d’or n’eût été doré qu’avec deux onces d’or, on trouve que fon épaiffeur ne feroit qu’un 175000e de ligne ; & en ne fuppofant qu’une once d’or, cette épaiffeur ne feroit que d’un 350000e. Or, comme il y a
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    • $0 Récréât. Mathémat. et Phys,
    • dans la lame des endroits inégalement dorés, en fuppofant que les uns le foient d’une moitié plus que les autres, on trouve que ces derniers n’auront qu’une épaiffeur d’or d’un 525000 de ligne.
    • Enfin il eft reconnu qu’on peut faire paffer cette lame une fécondé fois fous les meules d’acier, & , en les rapprochant, lui donner une largeur double ; d’où il fuit que, dans ce dernier état, il y a des parties où l’épaiffeur de la dorure n’eft guere qu’un 1000000e de ligne en épaiffeur , ce qui eft dans la même proportion qu’une ligne à une longueur de 1200 toifes, ou une demi-lieue.
    • Il eft cependant certain que ces parties d’or ont de l’adhérence & de la continuité entr’elles ; car , qu’on plonge dans de l’eau - forte ce fil d’argent trait, l’argent fera diffous, & l’or reftera comme un petit tuyau creux. En confidérant enfin cette dorure avec un microfcope, on n’y apperçoit aucune trace de difcontinuité.
    • L’or ayant une duâilité bien plus grande que l’argent, on pourroit faire , avec un lingot d’or du même poids, un fil bien plus long. Mais croirons-nous ce que Mufchenbroeck rapporte à ,cet égard ? Il dit qu’un ouvrier d’Ausbourg parvint à faire , un fil d’or qui ne pefoit qu’un grain , & qui avoit cependant 500 pieds de longueur. Il eût donc pu faire un fil d’or d’une lieue de 2000 toifes, & qui n’eût pefé qu’une dragme ou un tiers de gros ; un fil de 24 lieues, n’eût pefé qu’une once; & enfin, avec un marc d’or, cet ouvrier eût pu faire un fil de 192 lieues. Un fil de cette groffeur, & capable de faire le tour du globe de la terre, ne péferoit qu’environ 50 marcs.
    • Au refte voici un fil, ouvrage d’un infefte qui ne le cede guere à celui qu’on attribue à l’ou-
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    • Physique, St
    • vrief d’Ausbourg. On a obfervé qu’un fil fimple de foie, de 360 pieds de longueur, pefe un grain ; ainfi 24 grains feront i440toifes, & 36 grains feront une lieue de 2160 toifes: une once de ce fil aura donc 16 lieues ; & un marc ,128; enfin un pareil fil, capable de faire le tour du globe de la terre, ne péferoit guere que 70 marcs ou 3 5 livres. Ajoutons que comme un fil d’araignée , qui eft beaucoup plus fin & plus léger qu’un fil de ver-à-foie eft comparée au moins de 36 brins, un pareil fil fimple, & de la longueur ci-deflus, ne péferoit que deux marcs ou une livre. •
    • PROBLÈME XXI.
    • Continuation du même fujet : Apperçu de la divijlon. de la matière dans les dijfolutions des corps , les odeurs & la lumière.
    • Yo.crde nouveaux fujets d’admiration dans l’exiguité prodigieufe de quelques parties de la matière: nous les réunifions ici, à caufe de leur affinité.
    • Les diflblutions métalliques nous en préfentent le premier exemple. Faites difloudre un grain de cuivre dans la quantité fuffifante d’alkali volatil, il vous donnera une couleur bleue. Verfez cette dilfolution dans trois pintes d’eau, toute cette eau fera fenfiblement colorée en bleu. Or trois pintes font 144 pouces cubiques ; chaque pouce peut être divifé en longueur d’abord en lignes, puis en 10e de ligne, qui feront vifibles : ainfi on trouvera dans ces 144 pouces cubiques le nombre de 248832000 parties, dont il n’eft aucune qui ne foit colorée en bleu. Un grain de cuivre Tome IF, F
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    • 81 Récréât. Mathémàt. it Phys* fe divife donc par ce moyen au moins en 24883* 2000 parties. Mais nous irons plus loin : on peut voir chacune de ces parties avec un microfcope groffiffant 100 fois les objets en longueur, confé-quemment 10000 fois en fuperficie, 6c il n’eft aucune de ces parties qui ne foit colorée : confé-quemment il faut multiplier le nombre ci-deftus par 10000, ou lui ajouter quatre zéros; ce qui nous donne un grain de cuivre divifé en 248832-0000000 parties vifibles, du moins à l’œil armé d’un microfcope.
    • Paffons maintenant aux odeurs. On dit qu’un grain de mufc parfume pendant plufieurs années une chambre de 12 pieds au moins dans toutes fes dimenfions, fans perdre fenfiblement de fôn volume ni de fon poids. Or un pareil efpace renferme 1728 pieds cubes, dont chacun contient lui-même 1728 pouces cubes, 6c chacun de ces derniers, 1728 lignes cubes; enforte que le nombre des lignes cubes eft la 3 e puiffance de 1728. Il n’eft probablement aucune de ces lignes cubes qui ne contienne quelques - unes des particules odorantes ; cet air peut être, dans le courant de plufieurs années, renouvellé 1000 fois, 6c le grain de mufc, fans altération fenfible, fournit de nouvelles particules odorantes. L’imagination fe perd dans le calcul de la ténuité de chacune.
    • Cependant, malgré la ténuité de ces particules odorantes, elles ne paflent pas au travers du verre & des métaux, 6c il eft des effluvia qui les pénètrent : tels font ceux des corps lumineux , ou la lumière, le magnétifme, l’éleftricité. Quelle doit donc être l’exiguité des particules dans lefquelles ils confident 1 Nous ne nous arrêterons plus qu’à la lumière.
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    • Physique.
    • Si les particules dont l’émiflion conflitue la lumière n’étoient pas d’une petitefle en quelque forte infinie, il n’eft aucun corps qui pût réfifter à l’aélion de la lumière la plus foible ; car leur ex-ceffive multitude, k rapidité avec laquelle elles partenttdu corps lumineux, font telles que, fans cette ténuité prodigieufe, la lumière mettroit en pièces tous les corps fur lefquels elle tomberoit, au lieu d’y exciter feulement ce léger frémifle-ment, ce mouvement infenfible de vibration dans lequel confifte la chaleur, lorfqu’eile n’a que la denfité de la lumière du foleil.
    • La lumière parcourt en effet, dans une fécondé , 118880 lieues, ou 157760000 toifes. Par confé-quent, fi une particule de lumière n’étoit que la 157760000e partie d’un grain de plomb d’une ligne de diamètre, elle feroit fur nos organes la même impreflion qu’un pareil grain de plomb -porté avec une viteflfe d’une toife par fécondé. Il n’y a nul doute qu’une pareille impreflion ne fût très-fenfible aux parties délicates de notre corps. Mais quelle feroit-elle , fi à-la-fois des millions de millions de pareils globules venoient le choquer, & étoient fuivis, dans un intervalle de temps infiniment petit, d’une pareille quantité d’autres , comme cela arrive à un corps éclairé par la lumière ! Aucun être ne pourroity réfifter.
    • La ténuité d’une particule de lumière eft donc encore immenfément au deflbus de celle que nous venons de lui afligner pour première limite. Tâchons d’en déterminer une autre plus approchante de la vérité.
    • La denfité de la lumière du foleil, telle qu’elle arrive à notre terre & dans ce climat, efl: telle, qu’étendue dans un efpace 250000 fois plus grand,.
    • Fij
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    • 84 Récréât, Mathémat. et Phys. elle a encore l’éclat de celle de la lune pleine. Il eft probable que celle-ci, étendue de la même maniéré , égaleroit au moins celle d’un ver-luifant, éclairant un objet à 10 pieds de diftance : ainfi celle-ci fê trouvera, par le calcul, 6x500000000 fois plus foible. Il eft d’ailleurs extrêmement probable que, dans la prunelle de l’œil qui regarde à cette diftance la lumière d’un ver-luifant, il n’y a pas une partie fenftble qui ne foit éclairée elle-même : fuppofons-la d’une ligne quarrée de fur-face , & cette ligne quarrée divifée en 10000 parties fenlibles: il y a donc à chaque inftant 10000 globules de lumière qui arrivent à la rétine, réunis en un point imperceptible, & avec une viteffe de 257760000 toiles par fécondé, fans néanmoins y produire une impreffion de choc fenftble , & même à peine l’apperception de la lumière.
    • En fuppofant la même quantité de globules de lumière, lancés par la lumière la plus foible fur une ligne quarrée de furface , on trouve que, dans une ligne quarrée de lumière du foleil, il y en a 625000000000000, & dans un pouce 90000-000000000000. Cette quantité de globules mus avec une viteffe de 257760000 toifes par fécondé, & peut-être renouvellés mille fois dans cet intervalle de temps, ne produit cependant fur la paume de la main qu’un léger fentiment de chaleur ; d’où il faut au moins conclure que 900 mille millions de millions de ces particules, mues avec la viteffe ci-deffus , font moins d’impreflion que le chpc d’une balle de plomb d’une ligne de diamètre , tombant de 3 pieds de hauteur ; & de-là fuit cette nouvelle conféquence , qu’en fuppofant du moins aux particules de la lumière la même denfité que le plomb, chacune d’elles, comparée à une balle
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    • Physique. 85
    • de plomb d’une ligne de diamètre, eft en un moindre rapport qu’un 257760000e par 900000-000000000000, ou un 231984000000000000-000000000e à l’unité.
    • Telle eft donc au moins la ténuité des particules de la lumière ; & peut-être, par d’autres rai-fonnements, pourrions-nous établir qu’elle eft encore beaucoup plus grande ; enforte que probablement il faudroit réduire le rapport ci-deffus à celui de l’unité à un nombre comparée de 30 ou 35 chiffres. Mais nous nous bornerons à ce que nous venons de dire , parceque cela eft fufiifant pour notre objet, & pour montrer (ce que nous ferons ailleurs) que le foleil peut, pendant plufieurs lie— clés de fuite, fournir, fans diminution fenfible., à l’émiflion de la lumière qui fort de fon fein ; ce qui fert à répondre à une objeêlion qu’on fait contre la théorie Newtonienne de la lumière.
    • PROBLÈME XXXII.
    • Quelle vitejfe faudroit-il donner à un boulet de canon , dans la direction horizontale, pour qu'il ne retombât pas fur la terre, & qu'il circulât autour d'elle comme une planete, en faifant néanmoins ab(traction de la réjijlance de l'air ?
    • Si du haut d’une montagne on tire un boulet de canon dans la dire&ion horizontale, il ira, comme tout le monde fçait, tomber à une certaine dif-tance fur la terre. Suppofons maintenant qu’on augmente de plus en plus la viteffe imprimée à ce boulet, il ira tomber de plus en plus loin ; car la parabole, ou plutôt Pellipfe qu’il décrit, fera d© plus en plus évafée. On peut donc concevoir que
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    • $6 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • la viteffe fût telle, que le boulet allât tomber aii point de la terre diamétralement oppofé. Alors , pour peu que l’on augmentât la viteffe, le boulet ne toucheroit plus la terre, mais reviendroit au point d’où il eft parti par une ligne femblable à celle qu’il a décrite en premier lieu. Il décriroit alors fans ceffe une ligne elliptique autour de la terre, & il feroit véritablement une petite planete, qui feroit autour d’elle fes révolutions.
    • Il s’agit donc de trouver de quelle durée feroit cette révolution; car, la connoiffant, on trouvera facilement la viteffe de cette petite planete, ou celle avec laquelle eft parti notre boulet ; puisqu’il n’y aura qu’à divifer l’efpace parcouru , qui fera à peu près la circonférence terreftre, par le temps employé à la parcourir.
    • La fameufe réglé de Képler donne facilement la folution de ce problème. Car, fuppofons notre petite planete en mouvement ; elle devra confé-quemtnent, comparée avec la lune , faire fes révolutions dans un temps tel, que les quarrés des temps périodiques foient comme les cubes des diftances. Or la diftance moyenne de la lune à la terre eft de 60 demi-diametres , & celle de notre petite planete fera d’un rayon terreftre ; on aura donc néceffairement ce rapport ; comme le cube de 60 ou 216000 eft à 1 , ainfi le quatre du temps périodique de la lune au quarré du temps périodique de notre petite planete. Or le temps périodique de la lune eft de 27 jours 8 heures, ou heures, dont le quarré eft430336: donc on aura ce rapport ; comme 216000 à 1 , ainfi 430336 à un quatrième terme , qui fera ftrHf i°u en frayions décimales, 1.9923 , dont la racine quarrée 1 , exprimera aufli le nombre
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    • Physique. 87
    • des heures employées par la petite planete dans fa révolution. Or 1.41 en heures & minutes, font ih 14/ 36". Notre petite planete devroit donc faire fa révolution dans le temps ci-delfus ; ce qui donne, en fuppofant un grand cercle de la terre de 9000 lieues , 107 lieues & environ — par minute, ou une lieue & \ par fécondé.
    • Si l’on donnoit à ce corps une vitelfe plus grande que celle cî-deffus , quoique moindre que de 149 j lieues, il décriroit une ellipfe dont le périgée feroit au point de départ. Si la vitelfe de laprojeâion éloit de 149 lieues y par minute ou plus grande, le corps ne retomberoit plus fur la terre ; car , dans le premier cas , il décriroit une parabole dont le fommet feroit au point d’où il auroit été projeté; ôc dans le fécond, il décriroit une hyperbole.
    • PROBLÈME XXIII.
    • Examen d’une opinion Jinguliere fur la Lune & les-autres planètes ordinaires.
    • On a dit, & c’efl: une conje&ure à laquelle' fa lingularité a donné de l’éclat, qu’il pouvoit fe faire que la Lune ne fût autre chofe qu’une comete qui, allant au Soleil ou en revenant, & palfant à la proximité convenable de la terre., avoit été' détournée de fon cours, & étoit devenue cette planete fecondaire qui nous accompagne. Gar, fuppofons qu’une pareille comete , n’ayant que le mouvement de projeftion néceflaire pour décrire un cercle autour de la terre, à 60 demi-diametres de fon centre, eût palfé à cette diftanee de notre globe, & dans un plan incliné à fon orbite ; ellet
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    • 88 Récréât. Mathémat. et Phys. eût dû, dit-on, néceffairement devenir notre Lune.
    • On appuie cette conje&ure de quelques remarques qui femblent lui donner de la probabilité. La Lune, dit-on d’abord, préfente à la vue, armée d’un excellent télefcope, l’apparence d’un corps torréfié ; les cavités dont elle eft parfemée font les déchirures qu’y a occafionnées l’extrême chaleur , en faifant fortir en vapeurs l’humidité dont elle étoit imprégnée ; on ajoute qu’il n’y refte plus aucune apparence d’humidité , puifqu’il n’y a point d’atmofphere. Tout cela convient fort à une comète qui a paffé très-près du Soleil.
    • Remarquez , dit - on encore , que les planètes les plus groffes , comme Jupiter & Saturné, ont quatre ou cinq fatellites. C’eft que leur attraélion s’étendant bien plus loin que celle de la Terre, ils ont eu bien plus d’empire fur les cometes qui ont paffé à leur proximité , le mouvement de ces cometes étant d’ailleurs fort ralenti, à caule de leur diftance au Soleil. Les petites planètes, comme Mercure, Vénus . Mars, n’ont point de fatellites , à caufe de la petiteffe de leur maffe, & de la viteffe avec laquelle les cometes, allant au Soleil ou en revenant, ont paffé à -leur proximité.
    • Tout cela eft fort ingénieux. Néanmoins cette affertion ou conjefture ne peut fe foutenir, quand on l’examine avec le flambeau de la géométrie.
    • Nous trouvons en effet par le calcul , que , quelle que foit la pofition ou la grandeur de l’orbite d’une comete, elle ne fqauroit, lorfqu’elle paffera près de l’orbite de la terre, avoir une viteffe convenable pour devenir un fatellite de notre globe, à quelque proximité même qu’elle en paffât ; car on démontre que toute comete ,
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    • Physique. 89
    • parvenue à une diftance du Soleil égale à cellé de la Terre, a dans ce moment fur fon orbite une viteffe qui eft à celle de la Terre, comme y/i à 1, ou 1414 à 1000. Or cette viteffe eft incomparablement plus grande que celle de la Lune fur fon orbite, & même plus grande que celle d’une planète qui circuleroit prefque à la furface de la terre, ainfi que le calcul fuivant va le montrer.
    • La Terre parcourt en 365 jours, une orbite de 66 millions de lieues de circonférence ; ainfi fa viteffe fur fon orbite eft telle, qu’elle parcourt en un jour 567000 lieues , en une heure 23625 , en une minute 984 lieues: ainfi, multipliant ce dernier nombre par on aura 1391 lieues
    • pour le chemin que toute comete , arrivée à la diftance de la Terre au Soleil, parcourt néceffai-rement par minute.
    • Voyons maintenant celle de la Lune fur fon orbite. Le diamètre moyen de l’orbite de la Lune eft de 60 diamètres terreftres , & fa circonférence , par conféquent, de 188 de ces diamètres ; ce qui, en évaluant le diamètre de la terre à 3000 lieues , donne pour la circonférence de l’orbite lunaire, 564000 lieues. Cet efpace eft parcouru en 27 jours 8 heures moins quelques minutes , ou 27 j : ainfi la Lune parcourt fur fon orbite, ën un jour, 20142 lieues ; en une heure 839, & en une minute 14 lieues. L’on voit donc avec la plus grande évidence, que fi une comete paffoit aune diftance de la Terre égale à celle de la Lune, ce qu’auroit du faire la comete transformée en notre fatellite, elle pourroit feulement avoir une viteffe de 14 a 15 lieues par minute, au lieu de celle de 1390, que toute comete a néceffairement à cet éloignement du Soleil. La Lune n’a donc pu
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    • ^0 Récréât. Mathémat. et Phys. être une comete qui, paffant trop près de IaTerre* en a été, pour ainfi dire, fubjuguée.
    • Voyons maintenant fi, paffant beaucoup plus près de la Terre , & même près de fa furface , la comete dont nous parlons pourroit être arrêtée par l’attra&ion de la Terre. Nous trouverons encore , par un calcul femblable , qu’elle ne fqauroit circuler autour d’elle ; car nous avons vu précédemment que , pour qu’un corps pût circuler autour de notre globe près de fa furface, il lui fau-droit une viteffe de 106 lieues environ par minute. Or ceci eft encore extrêmement au deffous de la viteffe qu’auroit néceffairement une comete paffant tout près de la Terre ; car, fi un corps partoit du fommet d’une montagne vers l’Orient ou l’Occident, avec une viteffe de 1390 lieues par minute , il s’écarteroit de la Terre fans jamais y revenir, cette viteffe étant beaucoup plus grande qu’il ne faut pour lui faire décrire autour de la Terre une ellipfe quelconque , même infiniment allongée, ou une parabole.
    • Voilà donc la Terre, & fans doute Mars, exclus du privilège de'pouvoir jamais gagner un fa-teîlite de cette maniéré; à plus forte raifon Vénus & Mercure. Mais en eft-il de même de Jupiter &c de Saturne ? C’eft ce que nous allons encore examiner , en y employant des calculs femblables.
    • La viteffe de révolution de Jupiter autour du Soleil, eft de 423 lieues par minute ; & par con-féquent celle de toute comete allant au Soleil ou en revenant, lorfqu’elle eft à la même diftance-de cet aftre que Jupiter, fera de 498 lieues dans le même temps. On trouve d’ailleurs, que la viteffe du premier fatellite de Jupiter eft de 13680 lieues par heure dans fon orbite, ou de par
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    • P H Y S I Q Ü E. 91
    • minute : ainfi la vitefle de toute cometè paflant à la proximité de Jupiter & à la diftance de Ton premier fatellite , fera toujours néceffairement beaucoup plus confidérable, & prefque triple ; d’où il fuit que, ni ce premier fatellite, ni aucun des autres, n’a été originairement une comete, que cette grofle planete s’eft appropriée ; car les autres fatellites ont une vitefle encore moindre que celle du premier.
    • Il relierait à fçavoir li uhe comete, paflant à une très-grande proximité de Jupiter, pourroit en être arrêtée. Cela ne nous paraît pas abfolument impoflible : car un fatellite qui feroit fa révolution prefque à la furface de Jupiter, y emploierait un peu plus de 3 heures ; ce qui donne une viteffe de 5 57 lieues par minute. Mais on a vu plus haut que celle de la comete feroit de 598. Or, quoique cette vitefle foit trop grande pour faire décrire à un corps un cercle autour de Jupiter, fort près de fa furface, elle ne l’eft pas trop pour lui faire décrire une ellipfe. Si donc une comete , allant au Soleil ou en revenant, alloit étourdiment donner dans le fyftême de Jupiter entre lui & fon premier fatellite , il pourroit arriver qu’elle continuât de circuler autour de cette planete, dans une orbite linon circulaire , du moins elliptique plus ou moins allongée.
    • Car, fuppofons que l’orbite de Jupiter foit AB,
    • & que Jupiter étant en I & tendant vers B , la comete foit en C , par exemple, & tendant en D PI. a, fous un angle d’environ 45 degrés, & que CD *3* défigne la vitefle de cette comete, que nous avons dit être plus grande que celle de Jupiter fur fon orbite, & environ triplé; prenez DE égale à la •vitefle de Jupiter : alors CE feroit la vitefle ref-
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    • 92 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • peâive de la comete, & même Ta route à l’égard de Jupiter fuppofé fixe, & fans aâion fur la comete. Mais, à caufe de cette a&ion, elle décri-roit une route infléchie, comme CF, qui la feroit tomber prefque perpendiculairement fur l’orbite de Jupiter, & avec une vitefle qui pourrait n’être guere plus grande que celle du premier fatellite. Si donc à ce moment Jupiter fe trouvoit en un point I, tel que IF fût moindre que la distance de Jupiter à celle de fon premier fatellite , je ne vois nullement ce qui empêcherait la comete de prendre autour de lui le mouvement circulaire ou elliptique qui conviendrait à la force de fa proje&ion ; 8>f fi elle avoit fait une fois une révolution , il efl: évident qu’elle devrait continuer à jamais d’en faire de nouvelles.
    • J’avoue, au refte, n’avoir pas tellement examiné cet objet, que je puifîe dire que je tiens la chofe pour démontrée. Pour en être afliiré, il faudrait réfoudre ce problême-ci, qui n’eft qu’un rameau de celui des trois corps, & que nous propofons à ceux de nos le&eurs aflez verfés dans l’analyfe 4, pour s’en occuper. Deux corps l & C, qui s'atù-14- rent l'un Vautre en raifon inverfe des quarrés des dijlances , 6* en raifon directe de leurs majfes , étant lancés des points I 6* C, félon les dijlances IB , CG , avec des viteffes données, trouver les courbes quils décriront. On peut même, pour Amplifier le problème, fuppofer que l’un des deux, I, foit fi gros à l’égard du fécond, qu’il ne foit prefque pas détourné de fa route.
    • Nota. Depuis l’impreflion de ceci, nous avons fait quelques remarques fur ce fujet , que nous donnerons dans la fuite de ce volume.
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    • 9*
    • Physique.
    • PROBLÈME XXIV.
    • Jufquà quel point peut & doit-on craindre Cap-proche ou le choc d'une comete , & les ravages qui pourroient en réfulter fur la Terre ?
    • Ce que nous avons dit dans le problème précédent fur les cometes, nous conduit naturellement à traiter une queftion devenue célébré par Pal-larme que conçut tout-à-coup cette capitale , il y a quelques années. Nous avons vu en, 1774, tout Paris dans le trouble & l’inquiétude, d’après l’expofé peu fidele du Mémoire d’un académicien, qu’on difoit annoncer l’approche très-voifine d’une comete avec la Terre, approche dont l’effet devoit être au moins d’élever les eaux de l’Océan au point de fubmerger notre continent. J’ai vu plus d’une femme ne pas fermer l’œil plufieurs nuits de fuite ; & j’ai même été obligé , pour rendre le fommeil à une d’elles, de l’affurer, par un menfonge officieux, qu’on avoit trouvé une énorme erreur dans le calcul de l’académicien, & qu’il s’étoit fait à cette occafion une affaire très-grave avec fa compagnie. Ce motif m’excufera, à ce que j’efpere , auprès de l’illuftre aftronome. Je fuis affuré qu’il fe fût prêté lui-même, pour une auffi belle caufe, à cette innocente fupercherie ; car il ne s’agiffoit pas moins que de rendre le repos & leur éclat à deux yeux bien capables de diftraire de l’obfervation la plus intéreffante l’aftronomé le plus fauvage. Quoi qu’il en foit , dévoué, malgré mon goût pour les fciences abftraites, à cette charmante portion du genre humain , je vais tâcher de la tranquillifer , & de lui prouver que lç danger
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    • 94 Récréât, Màthémat.'et Phys. d’être écrafé ou inondé par une comete , ne vaut pas la peine de troubler Ton repos.
    • Il y a déjà long-temps que quelques aftronomes ont conje&uré qu’une comete pouvoit devenir funefte à la Terre. Le célébré Whifton, homme chez qui l’imagination dominoit un peu trop la faculté raifonnante , voyant une comete comme celle de 1680 , accompagnée d’une immenfe queue, s’avifa de conje&urer que li une planete venoit à donner dans cette queue , elle pouvoit en condenfer les vapeurs par fon attra&ion, SC en être noyée. Il conje&uroit auffi que le déluge avoit eu cette caufe ; & il ajoutoit que fi une comete comme celle-là, revenant d’auprès du Soleil , où elle avoit dû prendre un degré de chaleur plufieurs milliers de fois plus grand que celui d’un fer rouge , elle pouvoit brûler notre Terre. Il penfoit même que c’eft ainfi que doit s’opérer la conflagration générale qui anéantira un jour notre habitation.
    • Ces idées, plus fingulieres que juftes, prouvent a fiez ce que nous venons de dire de la trempe d’efi-prit- de Whifton. Nous ne pouvons dire ce qui arriveroit, fi une comete auffi violemment chauffée venoit à palier très-près de nous. Il eft probable que, vu la rapidité avec laquelle elle pafleroit près de la Terre, ainfi qu’on le verra plus loin , nous n’en ferions guere incommodés. Quant au danger d’être inondé par les vapeurs de fa queue , il n’eft nullement fondé , parceque l’on peut aifé-ment démontrer que ces vapeurs qui nagent dans un milieu auffi délié que l’æther, doivent être elles-mêmes d’une ténuité prefque infinie. Toute cette immenfe queue réduite en fluide comme l’eau, fourniroit probablement à peine la raatiere
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    • Physique. 9$
    • à une pluie abondante. Au refte , la comete ea queftion ne revient que tous les 575 ans environ: elle a paru en i£8o; ainlî elle ne reviendra dans notre voifinage que dans environ 480 ans. Ce fera l’affaire de nos defcendants.
    • M. Halley a envifagé ce danger d’une autre maniéré. Il a remarqué que li la comete de la fin de 1680 eût pafle 31 jours plus tard par l’écliptique , elle fe fût trouvée à une diftance de la Terre guere plus grande qu’un demi - diamètre folaire , ou que 137500 lieues ; & il ajoute qu’il n’y a nul doute qu’une pareille proximité entre ces deux corps, n’occafionnât des dérangements allez con-fidérables dans le mouvement de la Terre, comme un changement d’excentricité & de temps périodique. « Veuille, dit-il enfin, l’Auteur de lana-» ture nous garantir du choc de ces ma0es énor-» mes, ou même de leur contaél, qui n’eft que » trop poffible. »> Il remarque cependant que la pofition infiniment variée de l’orbite des cometes , leur inclinaifon ordinairement très-confidérable à l’écliptique, femblent être arrangées par l’Auteur de la nature, pour nous garantir d’une aufli funefte cataftrophe.
    • Comme , depuis le temps de Halley, l’aftrono-mie cométique s’eft enrichie de la connoiffance d’une quarantaine de cometes nouvelles, il étoit naturel d’examiner s’il y en avoit qui, par quelque changement dans la pofition & la grandeur de leurs orbites, puffent être de mauvais augure pour la Terre. C’eft ce que M. de la Lande entreprit de faire, à l’occafion de la comete qu’on vit en 1770 ; & il trouva qu’il y en a quelques-unes dont, en changeant quelque peu les éléi^ents, il pouvoit arriver qu’elles approchaient beaucoup de l’orbite
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    • 96 Récréât. Mathémat. et Phys. que nous décrivons. Il fit voir en même temps que ce danger ne devoit pas beaucoup effrayer, y ayant plufieurs fois mille à parier contre un, que la comete paffant fur l’orbite de la Terre, elles ne fe rencontreroient pas l’une l’autre.
    • Ce danger étoit, comme l’on voit, affez éloigné pour ne pas beaucoup allarmer; mais il ajou-toit, qu’en fuppofant qu’une pareille comete paf-sât à 15000 lieues de la Terre, elle éléveroit les eaux de l’Océan, occafionneroit , fuivant fa pofition , un flux capable de couvrir notre continent , & d’en balayer tous les êtres vivants avec leurs habitations. Ceci augmentoit confidérable-ment le danger : car, s’il y avoit 10000 contre un à parier que la comete & la Terre ne fe trouve-roient pas à-la-fois dans l’écliptique à la dtftance d’un diamètre de notre globe, il n’y avoit plus que 2000 contre un à parier qu’elles pourroient fe trouver à 5 diamètres l’une de l’autre, & con-féquemment de nous voir noyés. Or l’intérêt eft: affez grand pour ne pas envifager cette chance fans inquiétude, & il eft: des gens qui ne tireroient pas fans trembler à une loterie où il y auroit un feul billet noir fur cent mille.
    • Mais heureufement tous ces calculs font fondés fur des fuppofitions qui, quoiqu’elles puiffent fe réalifer dans la fuite des fiecles , n’ont pas actuellement lieu dans l’état de l’univers. Il n’y a , au moment aétuel, aucune comete connue, dont l’orbite rencontre la trace du chemin de la Terre fur l’écliptique. Il eft vrai que les orbites, tant des planètes que des cometes, étant fujettes à des variations infenfibles, il peut arriver dans la fuite que l’orbite d’une comete entrecoupe juftement l’orbite de la Terre; mais, à moins qu’elle ne foit abfolument
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    • Physique. 97
    • abfolument couchée fur le plan de l’écliptique, cette pofition ne peut être que momentanée ; 6>c les révolutions cométaires étant extrêmement longues , il y a déjà une probabilité très-forte que cette pofition aura ceffé, lorfque la comete tra-verfera l’écliptique.
    • Mais fuppofons que cette pofition foit affez confiante pour qu’une comete , traverfant l’écliptique , fe trouve précifément dans le même plan & fur la trace delaTerre. Voyons , en confultant les loix de la probabilité, quelle chance il y a pour qu’au moment où la comete fera fur l’écliptique , la Verre fe trouve fur un point affez voifin pour la choquer ou en être choquée. En voici le calcul.
    • Au moment où la comete eft fur l’écliptique même , il y a pour la Terre, fur le même cercle, autant de pofitions différentes que l’on peut compter de diamètres terreftres ; mais il n’y a que trois de ces pofitions qui foient abfolument critiques , car il en eft une qui donnerait un choc central, & les deux autres, à un diamètre près, plus avant ou après le lieu de la comete, donnerpient un iitnple choc fuperficiel. Or on trouve que l’orbite de la Terre contient fur fa circonférence 71450 fois le diamètre terreftre; ce qui, divifé par 3 , donne 14150. Ainfi, dans la fuppofition où une comete devrait néceffairement fe trouver fur le chemin de la Terre, il y aurait encore 24150 contre un à parier , que la Terre ne ferait pas en ce moment à portée d’en recevoir un choc quelconque, même fuperficiel. Ajoutons à cela, que cette pofition dangereufe de la comete eft , pour ainfi dire , l’affaire d’un inftant; car, en traverfant l’orbite de U Terre, elle a une viteffe de Tome IF. G
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    • c)8 RâcRiAT. Mathémàt. et Phys.
    • 1390 lieues par minute: ainfi le danger ne durèrent pas 3 minutes de fuite. Il y auroit certes bien du malheur, fi une comete, fe trouvant aufîi peu de temps dans la proximité du chemin de la Terre, celle-ci alloit mal-adroitement lui barrer le chemin , & fe rencontrer avec elle.
    • Le danger pour notre globe d’être inondé par le foulevement des eaux de l’Océan, eft encore moins fondé ; quand même la comete pafferoit à une diftance très-médiocre de la Terre, comme à 11000 ou 15000 lieues , ce qui eft un fixieme de la diftance de la Terre à la Lune. Il eft vrai qu’en fuppofant une comete rencontrant précifé-ment l’orbite de la Terre, il y a une probabilité qui n’eft plus que de 1 contre environ 7200 , que notre globe pourroit fe trouver à une diftance qui n’eft pas plus grande que de quatre à cinq de fes diamètres ; mais la rapidité avec laquelle fe feroit cette approche, & avec laquelle les deux globes s’éloigneroient enfuite , ne donneroit pas aux eaux de l’Océan le temps de s’élever affez pour fubmerger notre continent ; car il faut un certain temps pour imprimer à la maffe énorme des eaux de la mer, un mouvement tel que celui du flux & du reflux. Ce qui le prouve , c’eft que le flux ne fuit que de loin le pafîage de la Lune par le méridien, même dans les mers ouvertes , & que les grands flux des nouvelles & pleines lunes ne fe font même pas ce jour-là, mais les fuivants. Or une comete arrivant à l’orbite de là Terre, traverferoit notre fyftême lunaire à peu près dans une heure : ainfi il ne pourroit en réfulter qu’un léger mouvement dans les mers très-ouvertes, telle que la mer du Sud. Quelques-uns des petits iflots qui y font parfemés, & qui font prefque
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    • PhysiQüè* 99
    • li fleur d*eau, pourroient en être fubmergés, triais notre continent feroit absolument à l’abri d’un pareil malheur.
    • Ce qu’il y a de plaifant dans cet effroi que conçut la ville de Paris, fur le faux expofé du Mémoire de M. de la Lande, c’eft qu’il y avoit déjà quatre ans que le plus grand danger que la Terre ait couru à cet égard depuis plufieurs ficelés, étoit paffé ; car , de toutes les cometes connues , celle qui s’eft le plus approché de la Terre, eft celle de 1770: elle en fut, le Ier Juillet , à environ 750000 lieues, ce qui eft plus de huit fois la distance de la Lune à la Terre. Il n’y avoit pas là de quoi troubler le fommeil de qui que ce foit.
    • Au furplus, ce feroit un beau & magnifique fpeétacle pour les aftronomes, que celui d’une comete à peu près groffe comme la Terre, traver-fant les deux avec une viteffe aufli grande que nous venons de le dire. Quel beau phénomène que celui d’un nouvel aftre d’environ 9 degrés de diamètre apparent, & parcourant de fon mouvement propre, dans une ou deux heures, environ 180 degrés dans le ciel ! Quel aftronome ne fouhaite-roit pas d’être témoin d’un phénomène fi rare , dût-il en arriver quelque petite cataftrophe pour de petits iflots déjà à demi noyés dans le vafte Océan ?
    • On a cependant calculé que cela n’arriveroit pas fans quelque dérangement dans le mouvement de notre globe. M. du Séjour a trouvé qu’une comete groffe comme la Terre, paffant auprès d’elle à une diftance d’environ 13000 lieues, changeroit fa révolution périodique , & que cette révolution deviendroit de 367 jours & quelques heures, ail lieu dfi 365 jours 6 heures Se quelques minutes,
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    • ioo Récréât. Mathémat. et Phys.
    • Mais de cela il ne réfulteroit aucun mal phyfique pour l’univers. Il eft vrai que les aftronomes au* roient à refondre leurs tables, devenues inutiles ; les chronologiftes , leur maniéré de calculer les temps ; les Etats , leurs calendriers : ce feroit matière à des fpéculations nouvelles, & une nouvelle occupation pour les fçavânts.
    • THÉORÈME I.
    • Une livre de liege pefe davantage qu'une livre de plomb ou d'or.
    • Un corps pefe plus en été qu'en hiver.
    • Ces deux propofitions paroîtront du premier abord un paradoxe à plufieurs de nos leéleurs ; mais ce paradoxe s’évanouira , au moyen des réflexions fuivantes.
    • Lorfqu’on pefe des corps dans l’air , ce qui eft ordinaire , on les pefe au milieu d’un fluide qui, fuivant les loix de l’hydroftatique , leur enleve toujours une portion de leur poids, égale à ce ce que pefe un volume femblable de ce fluide : ainfi un morceau d’or ou de plomb d’un pouce cube, par exemple , pefé dans l’air, y perd de fon poids abfolu, ce que pefe un pouce cube d’air ; & il en eft de même de tout autre corps. Une livre de liege y perd de fon poids, ce que pefe un volume d’air égal à celui d’une livre de liege. Mais le volume d’une livre de liege eft bien plus grand que celui d’une livre d’or ou de plomb : ainfi une livre de liege, pelée dans l’air, a un poids abfolu plus grand que celui d’une livre d’or, puifque la première étant diminuée du poids d’une plus grande quantité d’air que la fécondé, elles relient encore égales.
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    • Physique. iot
    • L’expérience confirme le raifonnement : car , que l’on mette en équilibre, avec une bonne balance , une livre d’or ou de plomb, avec une livre de liege ; que l’on couvre le tout d’un récipient 9 & qu’on en pompe l’air, on verra auffi-tôt le liege 1’empOrter. Il arrive en effet alors, que le poids du liege eft augmenté du poids d’un pareil volume d’air ; & l’or eft également augmenté du poids d’un volume d’air égal au lien. Mais le premier eft beaucoup plus grand : ainfi l’équilibre doit être troublé , & le liege doit l’emporter.
    • Voilà le premier paradoxe réfolu & démontré; nous paffons au fécond.
    • En été l’air eft dilaté par la chaleur, & moins denfe : de-là il réfulte nécefîàirement que le même volume d’air a moins de pefanteur, & confé-quemment que chacun des corps mis en équilibre, perd moins de fon poids que quand l’air étoit plus denfe. Mais ce n’eft pas dans la même proportion ; la livre de liege perd, par exemple , dans l’air ordinaire , quatre grains de fon poids , & a par conféquentun poids abfolu de i livre 4 grains ; tandis que l’or ne perdant qu’un demi-grain, la livre pelé, dans la réalité, une livre & un demi-grain. Dans un air dilaté au point de pefer la moitié moins, le volume d’air égal au volume de liege, ne pefe que 2 grains ; & celui d’air égal au volume d’or, ne pefera qu’un quart de grain : ainfi la livre de liege , pefée dans l’air ordinaire , pefera dans cet air dilaté, 1 livre 2 grains ; & la livre d’or, une livre & un quart de grain : le liege l’emportera donc encore.
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    • 'soi Récréât. Mathémat. et Phys.
    • I. On peut de ceci tirer la conféquence, que deux poids en équilibre à la fur/ace de la terre , ne le font pas étant portés fur une montagne ; car fur une montagne l’air eft plus dilaté : conféquem-ment, d’après le raifonnement ci-deflus, l’équilibre doit être troublé ; le corps le plus volumineux l’emportera.
    • il. Ce feroit le contraire , fi les corps étoient en équilibre fur la montagne, & qu’on les pefât enfuite dans la plaine ; ou fi, pefés dans la plaine , on les portoit au fond d’une mine ; alors le plus volumineux deviendroit le plus léger.
    • III. Il y auroit de l’avantage à acheter de l’or en été pour le revendre en hiver, ou de l’acheter dans un lieu froid pour le revendre dans une étuve ; car on a coutume de pefer l’or avec des poids de cuivre, qui perdent moins de leur poids abfolu en été qu’en hiver ; d’où il fuit qu’en été ils pefent davantage. Oh aura donc une plus grande quantité d’or , par leur moyen, en été qu’en hiver ; au contraire, ces poids perdent plus en hiver qu’en été : conféquemment, en revendant en hiver, on donnera moins d’or.
    • Il faudroit en agir tout autrement pour acheter des diamants, parcequ’on les pefe avec des poids de cuivre qui font fpécifiquement plus pefants que le diamant. Si donc un poids de cuivre eft en équilibre dans un air tempéré avec un poids de diamants, en les tranfportant dans un air froid a le poids de cuivre l’emportera ; & ce fera le contraire, en les tranfportant dans un air plus chaud. Il faudroit donc acheter dans un air froid ou en hiver, pour revendre en été ou dans un air chaud.
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    • Physique. 105.
    • Il eft vrai que , dans l’un & l’autre cas, la différence eft lî légère, qu’on feroit une mauvaife fpécuiation d’acheter des diamants en hiver pour les revendre en été, ou d’acheter de l’or en été pour le revendre en hiver. On pourroit bien fe ruiner promptement. Mais , quoi qu’il en foit, l’efprit mathématique démontre & peut apprécier la différence ; & lî ce n’eft pas une vérité utile à la Bourfe , ce n’en eft pas moins une vérité phy-lique & mathématique.
    • THÉORÈME II.
    • Deux poids homogènes qui font en équilibre fur la furface de la terre, aux extrémités d'une balance à bras inégaux , ne le doivent plus être , fi on la tranfporte au fommet d'une montagne ou au fond d'une mine%
    • Supposons une balance à bras inégaux, AB, PI. 3» BD, chargée de poids en équilibre P &Q, conféquemment inégaux ; que cette balance foit dans la lîtuation horizontale : ces poids , tendants au centre de la terre, que nous, fuppofons C, feront avec la balance des angles CAB, CDB, inégaux ; & l’angle A, du côté du grand bras , fera conféquemment le moindre. Du point B , qu’on abaiffe les perpendiculaires BE, BF, fur les lignes de direction AC, D C ; on aura , félon les îoix de la mécanique, ces perpendiculaires en raifon réciproque des poids, enforte que BE fera à BF, en même raifon que le poids Q au point P ; c’eft-à-dire que le produit de P par BF, fera le même que celui de Q par BE.
    • Que la balance foit maintenant tranfportée plus près du centre de direction , ou, ce qui revient
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    • io4 Récréât. Màthémat. et Phys,
    • au même, que ce centre foit rapproché comme enc; les nouvelles dire&ions feront Ac & De. Que Be, B f foient les nouvelles perpendiculaires fur ces lignes de dire&ion*; il y aüroit encore équilibre , fi le rapport de B/à B e étoit le même que celui BF à BE, ou celui de Q à P : mais il eft aifé de démontrer que ce rapport n’eft plus le même; ainfi le produit de Q par B e, ne fera plus égal à celui de P par B f : il n’y aura donc plus d’équilibre. On peut même faire voir que , dans le cas du rapprochement du centre, le rapport de Be à BE, eft moindre que celui de B/à BF ; d’où fuit que B e eft moindre qu’il ne faudroit pour que ces rapports fulfent égaux ; & confé-quemment que, dans ce cas, le poids le plus proche du point de fufpenfion l’emportera.
    • Le contraire arrivera par la même raifon, fi la balance étoit tranfportée plus loin du centre, comme au fommet d’une montagne.
    • Pourquoi donc, dira-t-on, l’équilibre fubfifte-t-il no'nobftant cette démonftration ? La raifon en eft fimple. Le centre de la terre eft toujours fi éloigné , relativement à la longueur d’une pareille balance, que les lignes de direâion font fenfiblement parallèles , à quelque hauteur ou profondeur au deflus ou au deflfous de la furface de la terre que nous puiflîons nous placer. Ainfi la différence d’avec l’équilibre rigoureux eft fi petite, que l’on ne peut l’appercevoir avec les balances les plus parfaitesiqu’on puiffe fuppofer forties de la main des hommes.
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    • Physique. ioj
    • PROBLÈME XXV.
    • Du Feu central.
    • IL n’eft queftion dans la phyfique que du feu central de la terre. Mais un pareil feu exifte-t-il ? Quelle eft la caufe de la chaleur qu’on éprouve dans l’intérieur de notre globe ? Voilà diverfes queftions que nous allons examiner ici ; & elles font d’autant plus intéreffantes , que leur folution donne lieu à quelques conféquences tout-à-fait dignes d’attention.
    • Lorfqu’on connoît les phénomènes obfervés par divers phyficiens dans l’intérieur de la terre, on ne peut fe refufer à reconnoître que la furface feule , dans ces climats, eft fujette aux viciflitudes du phaud & du froid que nous éprouvons. A une certaine profondeur , qui n’eft même pas bien grande , car il fuffit de defcendre à une centaine de pieds , la chaleur eft conftamment la même, fqavoir, de io degrés environ du thermomètre de Réaumur. C’eft ce qu’on obferve dans tous les climats & dans tous les pays.
    • Il faut donc reconnoître que le globe de la terre a, indépendamment de la chaleur variable du foleil, un fonds de chaleur qui lui eft propre, quelle qu’en l’oit la'caufe.
    • Il y a plus. Nous allons démontrer que le degré de chaleur que la préfence du foleil, pendant plu-fieurs mois de l’année , ajoute à la chaleur interne de la terre, ou celui que fon abfence lui fait perdre, n’eft qu’une petite partie de la chaleur interne du globe de la terre. I
    • En effet, l’on feroit bien dans l’erreur, & nous
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    • io6 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • l’avons déjà dit, fi l’on penfoit que le degré de froid qui fait geler l’eau fût le degré o de chaleur ; il n’y a de froid & de chaleur que relativement. Si les liqueurs communes de notreqdobe étoient de la nature de l’efprit-de-vin, comme alors les liqueurs de notre corps feroient à l’abri d’être glacées, à moins qu’elles ne fuffent expofées à une diminution de chaleur au-delà de celle qui glaceroit l’efprit-de-vin, il eft plus que probable que nous n’éprouverions aucune fenfation défa-gréable , en vivant dans une température fembla-ble à celle qui fait glacer l’eau ; & au contraire , fi nos liqueurs étoient de nature à fe congeler au degré qui commence à laiffer figer la cire, nous éprouverions probablement à cette température, la même fenfation que nous éprouvons à celle où l’eau fe gele. Tout ce qui feroit au deffus feroit chaleur, tout ce qui feroit au defîous feroit froid.
    • D’ailleurs il n’y a nul doute qu’un degré ab-folu de froid congéleroit toutes les liqueurs. Or l’efprit-de-vin ne fe congele qu’au 29e degré au deffous de zéro du thermomètre de Réaumur ; il y a donc encore de la chaleur au 28e degré, quoique , par le fentiment défagréâble que nous éprouvons, nous l’appellions un froid cuifant. Mais à ce qiême degré, & même fort au deffous, le mercure éft encore fluide ; il ne fe congele qu’au 170e degré au moins au deffous de zéro : ainfi au 169e il y a encore de la chaleur : on a même fait defcendre le thermomètre jufqu’au 240e degré * de la divifion de M. de Réaumur, & le mercure, apparemment plus pur, ne s’eft figé qu’à
    • * On verra ailleurs comment on eft venu à produire ce prodigieux degré de froid.
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    • Physique. 107
    • ce degré. Il n’eft même pas probable que ce degré de froid foit le froid extrême. Il y a beaucoup de raifons, trop longues à expofer ici, d’après lesquelles on peut prefque affurer que ce degré ab-folu de froid eft au moins mille degrés plus bas que le zéro du thermomètre de Réaumur.
    • Mais bornons-nous au 240e degré, 6c prenons-le comme celui de la privation abfolue de la chaleur ; imaginons en conféquence un thermomètre dont le degré zéro foit placé à ce terme, ou Substituons dans nos thermomètres ordinaires le degré 240 à celui marqué vulgairement zéro, qui n’eft que le degré de la congélation de l’eau : alors on aura au moins 250 degrés au terme que nous appelons tempéré. Or, en prenant le degré moyen de chaleur de l’été dans notre hémifphere, on trouve qu’il n’excede pas 26 degrés au deffus de la congélation de l’eau, 6c conféquemment de 16 au deffus du tempéré : ainlî nous avons pour ce degré de chaleur, le degré abfolu de 266. Le thermomètre variera donc du tempéré au plus grand chaud, de la quantité de 16 degrés fur 250 ; ce qui eft un peu moins de la 15e partie.
    • On a trouvé de même, que le degré de froid moyen de l’hiver de notre hémifphere Septentrional , eft de 6 degrés au deffous de la congélation , prife au thermomètre de Réaumur ; c’eft-à-dire 16 degrés au deffous du tempéré : ainfi la diminution moyenne de la chaleur au deffous du tempéré, laquelle eft occafionnée par la retraite du foleil, eft aufli d’un 15e environ de la chaleur marquée par le degré 10 ; d’où il fuit que, de l’hiver à l’été, la variation de la chaleur n’eft tout au plus que de j, ou comme de 7 à 8. Mais il eft probable 6c très-probable, ainfi que M. de
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    • 108 Récréât. Mathémàt. et Phys.
    • Mairan l’a fait voir dans les Mémoires de VAcadémie de 1765 , & après lui M. de Buffon dans fes Suppléments à fon Hijioire Naturelle , il eft , dis-je , très-probable que cette variation eft dans un rapport beaucoup moindre.
    • Le premier la fixe à , ou comme de 31332, & le dernier à-^, ou comme de 50 à 51. Mais bornons-nous à celui que nous avons trouvé, afin de partir d’un point entièrement démontré.
    • De tout cela que conclure ? Le voici, & c’eft une conféquence à laquelle il eft impoffible de fe refufer. Il y a dans le globe de la terre un degré de chaleur confiant, & qui eft au moins 7 à 8 fois auffi grand que celui que la préfence du foleil y ajoute, pendant qu’il l’éclaire de la maniéré la plus avantageufe pour l’échauffer. Voilà un feu ou un fonds de chaleur qu’on peut & qu’on doit appeler central. Il nous refte à difeuter ion origine.
    • Suivant quelques phyficiens., ce feu eft uniquement l’effet des effervefcences continuelles que les. matières minérales , renfermées dans le fein de la terre, y caufent en fe rencontrant & fe combinant les unes avec les autres. Le fer, qui paraît univerfellement répandu dans la nature, & colorer fur-tout les terres argileufes, fait, comme l’on fçait, une effervescence violente avec l’acide vi-triolique , qui eft auffi le plus univerfellement répandu. C’eft-là, félon eux , ce qui excite & entretient dans les entrailles de la terre ce feu con- . tînu qui l’échauffe, & qui fe manifefte fou vent par les explofions des volcans, dont le nombre eft encore confidérablç fur la furface de la terre : ces volcans ne font, félon eux, que les cheminées & les foupiraux du feu central.
    • Il eft difficile d’arguer abfolument de faux cette
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    • Physique. io*
    • opinion. Cependant il n’y a pas d’apparence qu’un feu de cette nature foit général dans les entrailles de la terre. Le nombre des volcan^ exiftants fur la furface de la terre , eft trop peu confidérable pour avoir une caufe aufli univerfelle ; il n’y en a même qu’un bien petit nombre qui brûle fans eeflè. Cependant le feu central, fi c’eft un vrai feu, doit être confiant & perpétuel : il eft donc à peu près néceffaire de recourir à une autre caufe.
    • En voici une qui nous a paru long-temps d’une grande probabilité. La chaleur centrale, ont dit quelques philofophes , n’eft autre chofe que la chaleur que le corps de la terre, continuellement échauffé par le foleil, a acquife par la pré-fence de cet aftre. Nous rendrons cette idée fen-lîble par l’expérience fuivante.
    • Qu’on expofe au devant d’un feu un globe de fer, qui faffe fur fon axe fa révolution dans un temps déterminé ; nous le fuppoferons d’abord refroidi au degré de la glace, ainfî que tout l’air environnant : l’impreflion de ce feu échauffera d’abord la furface qui lui eft expofée, & la chaleur pénétrera peu à peu dans l’intérieur : enfin il eft certain qu’après un grand nombre de révolutions , le globe parviendra à un degré de chaleur interne tel qu’il n’en acquerra plus, mais que la préfence de ce feu ne fera que lui conferver ce qu’il a acquis.
    • , On peut encore fort facilement concevoir que ce globe, ou fon éloignement du feu , foit tel que, ce degré de chaleur confiant ne foit pas fort, éloigné de celui de la congélation de l’eau.
    • Qu’arrivera-t-il dans ce cas ? Comme c’eft toujours la furface des corps qui commence à perdre
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    • no Récréât. Mathémat. et Phys.
    • la chaleur, parcequ’elle en perd plus par le conta# de l’air, qu’il ne lui en eft fourni par l’intérieur , il arrivera néceffairement, fi l’air environnant eft à peu près au degré de la congélation , que la furface de ce globe qui fera éclairée le plus obliquement, ou celle qui, dans une révolution un peu lente, fe trouvera oppofée au côté du feu, perdra un peu de fa chaleur ; & comme nous fuppofons la chaleur moyenne que le globe a pu acquérir peu éloignée du froid de la congélation, comme eft celle de la terre, il pourra fort bien fe faire que , dans ces endroits moins favorablement expofés à l’a#ion du feu, la fur-face y prenne un degré de froid égal à celui de la glace. Donc , s’il y avoit fur la furface de ce globe quelque matière, comme de la cire ou de l’eau , fufceptible de fe fondre & fe congeler alternativement , il arriveroit sûrement qu’elles éprouveraient ces alternatives ; il pourrait même arriver qu’elles reftaflent continuellement glacées aux environs des pôles, qu’elles le fondiffent & fe con-gelaffent alternativement dans les parties moyennes entre les pôles & l’équateur, & qu’elles reftaffenc toujours fluides dans les environs de l’équateur du globe.
    • Or c’eft-là ce qui fe pafle précifément fur la furface de la terre : expofée depuis un grand nombre de fiecles à la chaleur bénigne dp foleil, elle en a été réchauffée jufques dans fes entrailles, & ce n’eft que cette chaleur intérieure qui eft ce qu’on nomme le feu central : elle en reçoit perpétuellement une nouvelle quantité, qui lui rend ce que fa furface en diflipe par le conta# de l’air moins échauffé. Enfin, de même que le globe de l’expérience précédente aurait, à quel-
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    • Physique. lit.
    • ques lignes au deffous de fa furface, une chaleur qui refteroit à peu près confiante , de même le degré de chaleur qui régné à quelque profondeur au deffous de la furface de la terre , eft un degré à peu près confiant *. Il n’y a pas d’autre myftere à chercher dans cette matière.
    • Mais nous avons bien de la peine à croire que lamaffe de la terre", privée de toute chaleur, & expofée au foleil, eût jamais pu en recevoir juf-qu’à fon centre la chaleur dont elle paroît douée. Que de fiecles, &>de millions de fiecles, n’auroit-ii pas fallu à une chaleur aufli foible que celle du foleil, pour fondre un océan tout glacial, & s’in-finuer jufques dans fes entrailles! Nous croyons que la glace, qui eût été fondue même fous la ligne par la préfence du foleil, eût été regelée pendant fon abfence de douze heures ; enforte que ce globe , expofé au foleil dans cet état, y eût refté éternellement, fi quelque autre caufe puif* fente n’y eût mis tout-à-coup ce fonds de chaleur qui, en vivifiant la nature, rend la terre habitable , & fufceptible de végétation.
    • Il nous refte une troifieme caufe de la chaleur centrale à examiner. C’eft celle que lui afligne M. de Buffon.
    • Suivant ce philofophe célébré , la Terre & les autres planètes circonfolaires ont autrefois fait partie du Soleil ; elles ont été arrachées de fa fur-face par une comete qui, en la fillonnant, en a projeté des fragments à différentes diftances. Comme ils étoient en fufion, chacun a dû nécef-
    • * Nous difons 4 peu près; car je ne connois guere d’autre obfervation du thermomètre dans des lieux (outer-rains, que celle faite dans les caves de l’Obfervatoire de
    • Paris.
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    • ii» Récréât. Mathémat. et Phys.
    • fairement s’arrondir, en vertu des loix de îa gravitation univerfelle. Les morceaux un peu considérables , comme Vénus , la Terre , Mars , Jupiter , Saturne, ont reçu pay cette projeftion une dire&ion tangentielle , qui , combinée avec la force attraélive du Soleil, leur a fait décrire autour de cet aftre des orbites plus ou moins allongées. Celles de ces nouvelles planètes, enfin, qui ont eu par hafard dans leur voifinage de plus petits fragments, les ont en quelque forte fuîjju-gués; & ces petits fragments , tournant autour des plus gros en vertu des mêmes loix, font devenus leurs fatellites. C’efl: ainfi que notre globe , Saturne, Jupiter , ont acquis les lunes qui le$ accompagnent.
    • En partant de cette génération de la Terre & des planètes circonfolaires , il eft clair que ces globes ont d’abord été fluides ; & ceci explique à ravir leur formation en fphéroïdes applatis: car il faut néceffairement que la Terre & les autres planètes aient été pendant quelque temps, ou dans un état de fufion , ou comme une pâte à demi fluide, pour que leur mouvement diurne leur ait donné la forme qu’elles ont. Mais partons de leur état hypothétique de fufion. Des mafles aufîi confi-dérables que Vénus, la Terre, &c. n’ont pu aflu-rément fe refroidir dans un jour , ni dans une année, ni même dans vingt fiecles. Elles ont pafle d’abord de l’état de fufion à l’état de folidité; elles ont refté encore long temps imprégnées d’une quantité de feu qui les rendoit inhabitables-; enfin peu-à-peu leur furface s’eft refroidie , au point de n’avoir plus que la chaleur nécelfaire pour ne point incommoder les animaux, & pour être fuf-çeptible de végétation. L’intérieur de la Terre '• conferve
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    • PHYSIQUÊ. IIJ
    • conferve encore un degré de chaleur plus confî-dérable que la furfaCe , & qui doit même aller en augmentant jufqu’au centre : voilà le feu central. Mais, par une fuite néceffaire de la caufe de ce feu, il doit aller toujours en diminuant, 6c nous perdons chaque jour quelque peu de cette chaleur. Il femble en effet que la fertilité de la terre diminue de jour en jour, ainfi que les forces de la nature, foit dans la vitalité des hommes , foit dans leur maffe 6c leur vigueur. On ne peut cependant pas encore démontrer* cette diminution ; il y a trop peu de temps que nous poffédons un infiniment propre à mefurer la chaleur : à peine même y a-t-il cinquante ans qu’on a des thermomètres comparables. Mais fi, dans 500 ans d’ici, par exemple, on trouve dans les caves de l’Ob-fèrvatoire , que la chaleur confiante qu’on y obferve n’efl plus que de 7 à 8 degrés , au lieu de 9 \ qu’elle efl aujourd’hui, le refroidiffement fuc-ceffif de la maffe de la terre fera un fait dont il n’y aura plus moyen de douter, quelle que foit l’origine de cette chaleur 6c la caufe de fa déperdition.
    • Cependant nous ne pouvons diffimuler, malgré notre refpeél pour le philofophe illuflre 6c l’éloquent auteur de cette idée, qu’il y a fur cette formation des planètes quelques difficultés qu’il n’efl pas aifé de réfoudre.
    • 10 Si les planètes ont été formées de cette maniéré , on ne conçoit pas d’où vient les cometes auroient une autre origine ; 6c fi les dernieres font originairement des planètes circulantes autour du Soleil, on ne voit pas qu’il en eût coûté davantage à la Caufe fouveraine qui a arrangé l’uni-yers, de former les plafletes de la même maniéré. Tome IV* H
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    • ii4 Récréât. Màthêmàt. et Phys.
    • i° Il paraît difficile de concilier avec les loix du mouvement & celles de la gravitation univer-felle, la pofition & les dimenfions des orbites de ces nouvelles planètes ; car, d’après ce qui a été démontré par Nevton & par d’autres , puifqu’elles font parties du Soleil par une ligne à peu près tangente à fafurface & d’un point de fa furface, elles devraient à chaque révolution paffer par le même point : c’eft cependant ce qui n’arrive pas ; au contraire , les orbites des planètes font prefque circulaires.
    • Il paraît auffi que , dans cette projeélion, les plus grades maffes n’euffent pas dû aller le plus loin, & décrire les plus grands cercles : ce devrait être, ce femble , les plus petites planètes qui fe feraient le plus éloignées du Soleil ; car fi une force quelconque jette promifcià plulieurs corps d’inégale groffeur , ce feront les plus petits qui feront lancés avec le plus de viteffe.
    • Au refte l’effet d’une pareille proje&ion eft incalculable ; & l’on pourroit dire d’ailleurs , qu’en même temps que la comete dont il s’agit a fillonné la furface du Soleil, elle lui a commu- -, niqué une impulfion qui l’a fait changer de place. En effet, cette comete qui a pu entraîner des maffes telles que toutes les planètes à-la-fois , de-voit être d’une maffe énorme , & a bien pu, venant choquer le Soleil avec une viteffe immenfe , déplacer un peu cet aftre qui eft au centre de notre fyftême dans une forte d’inertie.
    • Remarque.
    • Quel que foit le fort de ces idées, voici quelques conféquences que M. de Buffon tire de fon fyftême fur la formation de la Terre, & qui
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    • Physique. itf
    • font trop curieufes pour ne pas trouver place ici.
    • M. de Buffon, partant de fes principes fur la formation de la Terre & des planètes, a fait une fuite très-curieufe d’expériences, pour déterminer dans quel rapport fe fait le refroidiffement des mafles différentes de matière, eu égard à leur nature & à leur grofleur ; & de ces expériences il conclud,
    • Qu’un globe tel que Mercure a dû mettre 2117 ans à fe confolider jufqu’au centre, 24813 à fe refroidir au point de pouvoir être touché, 54192 à fe refroidir au point de la température a&uelle , & enfin qu’il lui faut 187775 ans Pour re^r°idir de maniéré à n’avoir plus que la 25e partie de la température a&uelle : c’eft ce que , pour abréger , nous appellerons iere, 2e, 3 e, 4e époques.
    • Que Vénus a du employer 3596 ans dans la première, 41900 à la fécondé , 91600 à la troi* fieme , & 228540 à la quatrième.
    • Que la Terre en a employé à la première 2936 , à la fécondé 34270; que la durée de la troifieme époque a été de 74800 ans ; enfin que, 168125 ans après, il n’y aura plus qu’un 25e de la chaleur aétuelle.
    • Ainfi donc la Terre exifteroit déjà depuis 112 mille ans ; d’où il fuit qu’à l’heure qu’il eft, il y a déjà 30000 ans que Mercure a paffé le degré de la température a&uelle de la Terre, & qu’il a même déjà perdu environ 6 degrés fur les 25 qui lui reftoient.
    • La Lune, n’a mis que 644 ans à la première époque, 7515 à la fécondé, 16409 à la troi-lieme, & 72514 à la quatrième.'
    • Ainfi il y a déjà 15000 ans que la Lune eft re*
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    • U6 Récréât. Màthémat. et Phys.
    • froidie au point de n’avoir même pas la 15e partît de notre chaleur attuelle. Il n’eft pas étonnant qu’elle fe préfente à nous comme un amas de glace , & qu’il n’y ait fur elle aucune apparence de nature vivante. Si elle a eu des habitants, il y a long-temps qu’ils font gelés.
    • Mars a mis 1130 ans à le confolider jufqu’au Centre, 13000 ont été employés dans la fécondé époque, 285.38 à la troilieme, & 60300 à la quatrième : il y a conféquemment auffi déjà 9 à 10 mille ans qu’il n’eft plus bon à rien.
    • Quant à Jupiter, il eft dans un cas bien différent : il a dû employer 9400 ans à fa première époque; il lui en faut 110000 pour la fécondé. Or il ya 111000 ans feulement que la Terre eft formée , ainfi que Jupiter : conféquemment il faut encore 7 à 8 mille ans avant que Jupiter foit refroidi au point de pouvoir mettre les pieds def-fus fans fe brûler. Parvenu à cette époque, il lui faudra 240400 ans pour venir à notre température aâuelle, & enfin 483000 pour perdre à peu près toute chaleur. Voilà un beau globe, qui commencera feulement à être habité quand nous ferons abfolument engourdis par le froid. Ainfi va le monde.
    • Saturne enfin a mis 5140 ans à fe durcir jufqu’au centre, 59900 à pouvoir être touché; la durée de fa troifieme époque doit être de 130800 ans, & cette troifieme époque court pour lui depuis environ 47000 ans , enforte que ce ne fera que dans 84000 ans qu’on y éprouvera la température aftuelle de la Terre.
    • Nous ne dirons qu’un mot des fatellites des deux dernieres planètes. Ils font la plupart en état de pleine habitabilité & végétation ; il faut feule-
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    • Physique; 117
    • 'ment en excepter le 4e de Jupiter,, qui eft déjà avancé dans fa quatrième époque ; le 3e de Saturne , eft à peu près au même degré que la Terre, un peu plus chaud néanmoins ; le 4e eft déjà fort avancé dans fa quatrième époque, & le 5e ne doit plus être qu’une mafle de glace depuis près de 50000 ans.
    • PROBLÈME XXVI.
    • Mefurer les variations de pej,auteur de Pair : Construction du Baromètre.
    • Le baromètre eft encore un de ces inftruments dont la découverte , due au fieclè dernier, eft une des plus remarquables de ce fiecle, fertile en idées heureufes. Il eft devenu trop commun pour ne pas exiger que nous ne tardions pas davantage à préfenter à nos le&eurs quelques-uns des traits principaux relatifs à cette partie de la phyfique , d’ailleurs affez élémentaire pour n’avoir rien que d’amufant & facile à comprendre.
    • On a donné le nom de baromètre , à l’inftru-ment qui fert à reconnoître les variations de la pefanteur de l’air. Son nom vient des deux mots-grecs , tepoç & jueTpt/p, dont le premier lignifie pefant, & le fécond mefurer. L’invention en eft due au célébré difciple de Galilée, Torricelli, à qui il fervit principalement à démontrer la pefanteur de l’air au milieu duquel nous vivons & que nous refpirons. Mais ce fut Pàfcal qui foupqonna & reconnut fes variations , au moyen de la fameufe expérience du Püy-de-Domme, qu’il engagea fon beau - frere de faire fur cette montagne voifine de Clermont. Elle lui fervit à. mettre dans un nouveau jour la pefanteuc
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    • iig Récréât. Mathémat. et Phys,
    • de l’air, que quelques efprits faux s’obftinoient £ nier , malgré l’expérience de Torricelli.
    • Il eft aifé de fe former un baromètre fans beaucoup de peine. Ayez un vafe de quelques pouces de profondeur, qui foit rempli de mercure ou de vif-argent; ayez encore un tube de*verre de 30 ou 35 pouces de longueur, hermétiquement fermé par un bout. Après l’avoir renverfé, c’eft-à-dire mis en bas le bout fermé, rempliffez-le de mercure jufqu’à fon orifice ; appliquez-y le bout du doigt, & redreflant le tuyau , plongez le bout ouvert dans le mercure du vafe , fk retirez le doigt, pour permettre au mercure du tube la com* munication avec celui du vafe : la colonne de mercure contenue dans le tube s’abaiffera , de maniéré néanmoins que fon extrémité fupérieure reftera d’environ 27 pouces, plus ou moins, au defîus du niveau du mercure du vafe, fi l’expérience eft faite à une petite hauteur feulement au defius du niveau de la mer. Vous aurez un baromètre conftruit. Et fi , par quelque invention , vous rendez immobile ce tube ainfi plongé dans le vafe, vous verrez , fuivant les différentes constitutions de l’atmofphere, le bout de la colonne de mercure fe balancer entre 26 & 28 pouces de hauteur.
    • Voilà le baromètre le plus fipiple, & tel qu’il Sortit d’abord des mains de Torricelli. On a depuis imaginé, pour plus de commodité, de prendre un tube de verre de 33 à 3 6 pouces environ de longueur , de le boucher hermétiquement par un bout, & de recourber l’autre , après l’avoir dilaté à la lampe d’émailleur, de maniéré qu’il reffemble à une fiole , ainfi qu’on voit dans la figure. On remplit le tube de mercure, en l’incli-
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    • Physique. nef
    • nant Se le renverfant à plufieurs reprifes ; 8e après l’avoir redreffé , on fait enforte qu’il n’en refte PI. dans la fiole inférieure que jufque vers le milieu fig. 16» de fa hauteur , comme AB. La différence entre la ligne CAB Se la ligne DE, à laquelle fe fou-tient le mercure , eft la hauteur de la colonne qui fait contre-poids avec l’atmofphere , aiufi qu’il eft aifé de voir. Enfin l’on attache ce tube de verre ainfi rempli de mercure, contre une planche plus ou moins ornée, Sc vers le haut on divife en lignes l’intervalle du 26 au 28e pouce au deffus de CB ; on y inferit à diftances égales, en commençant par la ligne de 28 pouces , beau-fixe , beau r variable, pluie, tempête : on a un baromètre conf-truit. C’eft à peu près ainfi que font faits ceux qu’on débite vulgairement; mais il y a quelques précautions à prendre pour qu’ils foient bons.
    • i° Il faut que la fiole ou réceptacle inférieur du mercure, ait un diamètre beaucoup plus.con-fklérable que celui du tuyau vers le haut ; car il eft aifé de voir qu’autrement la ligne AB variera fenfiblement, à mefure que le mercure hauflera $£ baiffera ; finon il faut y avoir égard.
    • 2° Il faut que le mercure foit purifié d’air autant qu’il eft poflible, ou du moins jufqu’à un certain point ; Sc que le tube ait été chauffé 8c frotté en dedans pour en chaffer l’humidité 8c les ordures qui s’y amaffent d’ordinaire, autrement il s’en dégagera de l’air , qui , occupant le haut du tuyau, y formera par ion élafticité un-petit contre-poids à la pefanteur de l’atmofphere ,
    • & fera que la colonne fe tiendra plus bas qu’elle ne devroit. Cet air, fe dilatant auffi par la chaleur , fera contre la colonne de mercure un plus grand effort, enforte que fes mouvements dépens
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    • iio Récréât. Mathémat.'et Phys,
    • dront à-la-fois & de la chaleur & de la pefanteür de l’air, tandis qu’ils ne doivent dépendre que de la dérniere caufe.
    • PROBLÈME XXVII.
    • La fufpenjion du mercure dans le Baromètre , dépend-elle de la pefanteür ou de Vèlajticité de Vair ?
    • On ne parle ici de cette queftion, que parce-quelle eft agitée dans quelques livres de phyfique , où même on décide que le phénomène doit être attribué-au reffort & non à la pefanteür de l’air. L’analyfe fui van te fera fentir combien Ceux qui penfent ainli raifonnent mal.
    • Il y a deux cas dans cette queftion. Dans l’un^ on fuppofe le baromètre expofé à l’air libre, & c’eft proprement celui dont il s’agit. Dans l’autre , il eft renfermé dans une chambre tellement clofe que l’air ne fiçauroit y pénétrer, ou fous un récipient de la machine pneumatique, qui interdit tout accès à l’air.
    • Dans ce (ècond cas , il eft bien évident que la caufe de la fufpenfion du mercure eft uniquement le reffort de l’air; mais étendre cela au cas où le baromètre eft expofé à l’air libre, c’eft, nous l’o-fons dire, raifonner d’une maniéré peu digne d’un phylicien.
    • En effet, pour reconnoître à laquelle des deux caufes on doit attribuer la fufpenfion du mercure' dans le baromètre expofé à l’air libre, fuppofons que l’air fût privé de fon poids ou de fon reffort, & examinons ce qui arriverait.
    • Si l’air étoit privé de fon reffort, il eÔ évident
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    • PHYSÏQUE. ïitf
    • qu’il retomberoit fur lui-même, & formeroit autour de la Terre une efpece d’océan d’un fluide d’une nature particulière , qui, au lieu d’avoir comme l’atmofphere plufieurs milliers de toiles de hauteur, en auroit beaucoup moins ; mais il auroit toujours le même poids, comme un ballot de crin qui a perdu Ton élafticité & Ton volume, ne pefe pas moins que lorfque, par l’effet de fon reffort,, il occupoit beaucoup d’efpace. Ainfi le mercure d’un baromètre plongé au fond de ce fluide, n’en feroit ni plus ni moins preflfé ; il fe foutiendroit à la même hauteur.
    • Feignons , au contraire, maintenant que l’air,’ confervant fon reffort, perde fa pefanteur. Qu’ar-riveroit-il ? Alors les parties de l’air n’éprouvant plus aucune réfîftance à s’écarter les unes des autres , leur reffort enfin n’étant plus comprimé par la force du poids qui réfulte des parties fupérieures fur les inférieures , l’air fe diflïperoit fans exercer aucune aétion fur la colonne de mercure , à moins qu’on n’imaginât au haut de l’atmofphere une voûte tranfparente , contre laquelle le reffort de l’air fût appuyé ; ce qui feroit ridicule : car un reffort a befoin, pour agir par une de fes extrémités, d’être appuyé par l’autre. Or ce qui appuie, ce qui bande le reffort de l’air, n’efl: autre chofe que fon poids.
    • Puifque donc l’air , dénué de poids & doué de tout le reffort pofljble, n’auroit aucune aélion fur le mercure du baromètre ; qu’au contraire, en lui biffant fori poids & lui ôtant fon reffort, il le foutiendroit également, je demande à quelle caufe U faut attribuer cette fufpenfion ? La réponfe eft facile, & je puis me difpenfer de la donner.
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    • il» Récréât. Mathémat. et Phys; PROBLÈME XXVIII.
    • Ufage du Baromètre pour reconnaître P approche du beau ou du mauvais temps , & précautions à prendre à ce fujet pour n être pas induit en erreur*
    • Un des principaux ufages des baromètres , eft de fervir à reconnoître l’approche du beau ou du mauvais temps. L’expérience a en effet appris que l’afcenfion du mercure au deflus de fa hauteur moyenne , étoit ordinairement fuivie du beau temps ; & qu’au contraire , lorfqu’il baillait au deffous de cette hauteur, cela indiquoit la continuation ou l’approche de la pluie. Cela n’eft cependant pas absolument général & infaillible. Le vent a auffi beaucoup d’influence fur l’afcenfion ou la defcente du mercure dans le baromètre ; c’eff pourquoi nous croyons à propos de donner ici quelques réglés, fondées fur l’obfervation , lesquelles peuvent fervir à porter un jugement plus alluré fur les indications de cet inftrument.
    • 1. L’élévation du mercure annonce en générât le beau temps, & fon abaiffement eft auffi en général l’avant-coureur du mauvais temps * comme pluie, neige , grêle, ou orage.
    • 2. Dans un temps très - chaud , l’abaiflement prompt du mercure annonce la tempête & le tonnerre.
    • 3- En hiver, l’élévation du mercure préfage la gelée ; & dans le temps de la gelée , fi le mercure defcend de 3 ou 4 lignes , cela annonce du dégel; mais, dans une gelée continue, s’il monte , il y aura certainement de la neige.
    • 4. Lorfque le mauvais temps fuccede auffi-tôt
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    • Physique. 113
    • à î’abaïflement du mercure, ce mauvais temps ne fera pas de durée ; & ce fera la même choie à l’égard du beau temps, s’il fuccede promptement a l’élévation du mercure.
    • 5. Mais dans le mauvais temps , lorfque le mercure s’élève beaucoup, 6c qu’il continue de le faire pendant deux ou trois jours avant que le mauvais temps foit palfé, on peut s’attendre à un changement de temps en beau , qui fera de durée.
    • 6. Dans le beau temps , quand le mercure tombe fort bas, 6c qu’il continue ainfi pendant deux ou trois jours avant que la pluie vienne , on eft fondé à préfager que cette pluie fera longue , grande, 6c accompagnée de grand vent.
    • 7. Le mouvement incertain du mercure annonce auffi un temps incertain 6c variable.
    • Telles font les réglés que le do&eur Défaguliers donne, d’après les obfervations fuivies du fieur Patrick, excellent faifeur de baromètres, à Londres.
    • Il n’y a cependant nul doute qu’elles ne foient encore fujettes à quelques exceptions.
    • Il eft reconnu , par exemple, que , dans les pays fttués entre les Tropiques, le baromètre n’a prefque aucune variation; il s’y foutient toujours, au bord de la mer, à 28 pouces, plus ou moins quelques lignes. C’eft un phénomène difficile à expliquer , 6c je n’en connois aucune raifon bien fatisfaifante, pas même celle que tente d’en donner le célébré M. Halley. On fe tromperoit donc, fi on appliquoit les .réglés ci-deffus aux obfervations du baromètre porté dans ces pays-là.
    • Il arrive auffi quelquefois que l’abaiflement du mercure fe pafle fans pluie ; mais alors il régné
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    • ii4 Récréât. Màthémàt. et Phys. linon dans le bas, du moins dans le haut de l’atmofphere , un vent confîdérable ; car M. Hauksbée a imaginé une expérience par laquelle il produit artificiellement cet effet fur le baromètre. x
    • PROBLÈME XXIX.
    • Comment fe fait-il qui la plus grande hauteur dit Baromètre annonce le beau temps 9 & que ta moindre annonce la pluie prochaine ou mauvais temps ?
    • Si l’on n’étoit pas inftruit de la marche du baromètre, fi l’on ne fçavoit pas que l’afcenfion du mercure arrive d’ordinaire quand le ciel eft bien ferein & que l’air eft bien pur, qu’au contraire fa defeente eft ordinairement le précurfeur de la pluie, il n’eft perfonne qui n’en jugeât autrement, & qui ne pensât que le mercure devroit baiffer quand l’air eft ferein & pur, & qu’il devroit monter quand l’air eft chargé & imprégné de vapeurs : car il eft naturel, & prefque indifpen-fable, de croire que l’air pur & ferein eft plus léger qu’un air qui tient beaucoup de vapeurs en diffolution. La marche du mercure dans le baromètre , eft pourtant toute contraire à celle-là : auffi eft-ce un phénomène qui a beaucoup occupé les phyficiens, & fans fuccès ; car toutes leurs explications fe renverfent les unes les autres ; aucune ne foutient l’examen & la difeuflron.
    • Quelques phyficiens ont dit : L’air n’eft jamais plus ferein & plus tranfparent que quand il eft bien chargé de vapeurs, ou du moins quand elles y font parfaitement diffoutes ou combinées avec lui ; car c’eft le propre des diffolutions parfaites s
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    • Physique. 125
    • que d’être tranfparentes : il n’eft donc pas étonnant que le mercure, plus chargé, monte alors. Mais dès que quelque caufe fait féparer de l’air les vapeurs aqueufes , elles troublent fa tranfparence, & elles commencent à fe précipiter; elles ne font plus partie de fon poids, puifqu’elles n’y furna-gent pas ; il eft foulage de leur pefanteur : &, pour prouver cela, ils s’autorifent de l’expérience célébré du do&eur Rammazini, que voici.
    • On prend un vafe étroit & de plufieurs pieds de hauteur ; on le remplit d’eau, & l’on place deffus un morceau de liege, auquel eft fufpendu par un filet un poids de plomb, enforte que le tout fumage. Ce vafe ainfi préparé, on le place fur un baffin de balance , & l’on charge l’autre de maniéré à établir l’équilibre. Les chofes étant en cet état, on coupe le filet qui tenoit le plomb attaché au liege : il tombe ; & l’on obferve, dit - on, que pendant tout le temps de fa chute ce côté de la balance en eft allégé, & que l’autre l’emporte : d’où , conclud - on, il eft évident que , pendant qu’un poids tombe dans un fluide, il n’en charge pas la bafe ; donc, pendant que les vapeurs de l’air raf-femblées fe précipitent, ou dès qu’elles commencent à fe précipiter, l’air eft plus léger, & le mercure en eft moins chargé.
    • Tout ce raifonnement, qui eft de Leibnitz, eft fort ingénieux. Mais malheureufement cette expérience de Rammazini prouve feulement que le baffin de la balance eft déchargé pendant la chute du poids, mais elle ne prouve pas que le fond du vafe eft déchargé àe( la quantité du poids qui tombe ; car ce font-là deux chofes bien différentes, il faut donc recourir à une autre explication.
    • Pour nous, nous fommes perfuadés avec M.
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    • 13.6 RÉCRÉÂT. MATHÉMAT. RT PhŸS. de Luc *, d’après le peu de fuccès de toutes les explications données jufqu’à préfent, qu’il n’y a pas d’autre caufe de l’abaiflement du baromètre à l’approche de la pluie, que la diminution de la pefanteur de l’air, lorfqu’il eft faturé de vapeurs aqueufes.
    • Nous croyons, dis-je, que l’air n’eft jamais plus pefant que quand il eft très-pur, & nous fommes portés à penfer ainfi par diverfes raifons.
    • Les vapeurs qu’on voit nager fous la forme d’un nuage dans l’atmofphere, ne font qu’une dif-folution de l’eau par l’air : tant que cette combi-naifon eft imparfaite, elle n’a qu’une demi-tranf-parence, comme cela arrive dans toutes les diffo-lutions. Or nous voyons dans cet état les vapeurs monter dans l’air. Que peut-on en conclure autre chofe, finon que ces vapeurs font plus légères que l’air ? Or qu’eft-ce qu’un air chargé d’eau, finon un air dans lequel une très-grande quantité de ces vapeurs fe font intimement noyées & combinées ? On doit donc conclure l’état de l’air ainfi chargé de vapeurs, quant à la pefanteur, de celui de ces vapeurs elles-mêmes ; & , puifqu’elles font plus légères que l’air dans lequel.elles montent, on doit en tirer la conféquence que l’air dans lequel elles font diffoutes, eft plus léger que l’air pur.
    • Mais comment, dira-t-on , concevoir que l’air combiné avec un fluide plus pefant que lui, en devienne plus léger ? Je répondrai à cela, que fi cette combinaifon n’étoit qu’une interpofition des parties de l’eau entre celles de l’air, comme on pouvoit le croire autrefois , & avant les lumières
    • * Traité des Baromètres» Thermomètres, &c. Geneve, >770, a vol. in-40.
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    • Physique. 117
    • que la chimie a jetées fur nombre de queftions de la phyfique ord naire, cela feroit impoffible. Mais ce n’eft point-là le mécanifme des diflblutions ou combinaifons de corps entr’eux : chaque particule du diflolvant fe combine avec chaque particule du corps diflous ; & cela Te fait ici probablement par Pintermede du feu, incomparablement plus léger que Pair & Peau. On ne peut donc conclure la pefanteur des particules compofées, de celles des particules féparées. D’ailleurs, dans cet état de combinaifon, elles peuvent être douées d’une plus grande force de répulfion ; & cela même pa-roît allez probable, puifque l’expanfibilité de Peau réduite en vapeurs efi immenfe. Il n’y a donc nulle abfurdité à avancer que Pair chargé de vapeurs, foit plus léger que Pair pur. On le démontrera peut-être quelque jour a priori, par des procédés chimiques ; & fi cela eft, l’on fera alors bien furpris de l’embarras où Pon a été jufqu’à préfent pour expliquer la defcente du mercure dans le baromètre aux approches de la pluie.
    • PROBLÈME XXX.
    • Du Baromètre compofè ou réduit.
    • On a vu plus haut qu’il falloit une colonne de mercure de 28 pouces de hauteur environ pour contrebalancer le poids de l’atmofphere ; d’où il réfulte que le baromètre fimple ne peut avoir moins de 28 pouces de hauteur, à moins qu’on ne trouvât un fluide plus pefant que le mercure. Comme cette longueur a paru incommode, on a cherché à la raccourcir, dans la vue , à ce qu’il femble , de renfermer le baromètre dans la même bordure
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    • 12.8 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • que le thermomètre, auquel on peut ne donner, fi l’on veut, qu’une dimenfion beaucoup moindre. Voici comment on y eft parvenu.
    • Tout le fondement de la conftrucfion de ces fortes de baromètres , confifte à oppofer plufieurs colonnes de mercure contre une d’air, enforte que ces colonnes, prifes enfemble, aient environ les 18 pouces de longueur qu’une feule doit avoir pour faire équilibre avec le poids de l’atmofphere. Il faut conféquemment divifer la longueur ordinaire de la colonne de mercure , ou 28 pouces, par la hauteur dont on veut faire le baromètre ; le . quotient donne le nombre des colonnes de mercure qu’il faut oppofer au poids de l’air.
    • Ainfi, veut-on avoir un baromètre qui n’ait que 15 à 16 pouces de longueur, on le formera de trois branches de verre , jointes enfemble par quatre renflements cylindriques ; deux de ces tuyaux feront remplis de mercure, & communiqueront enfemble au moyen de la troifieme, qui doit être remplie d’une liqueur plus légère. La fig. ly met ce mécanifme fous les yeux. On y voit trois branches du baromètre, dont la première PI.3,de D en E, eft remplie de mercure; la fécondé . fig. 17. de E en F, eft remplie moitié d’huile de tartre colorée, moitié d’huile de karabé ; enfin la troifieme de F en G, eft remplie de mercure. Ainfi c’eft la même chofe que fi ces deux colonnes de mercure étoient mifes l’une fur l’autre ; car on voit aifément que la colonne FG de mercure pefe, au moyen de la colonne FE de renvoi, fur la première , précifément comme fi elle étoit au deflus. Dans cette efpece de baromètre , c’eft la féparation des deux liqueurs contenues dans la branche EF, qui fert à marquer les variations du poids
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    • PkŸSIQVË. 119
    • poids de l’air ; & c’eft pour cela qu’il faut que ces liqueurs foient de deux couleurs différentes , comme auffi de différentes pefanteurs fpécifiques , afin qu’elles ne fe mêlent pas. -
    • Pour remplir ce baromètre , il faut boucher l’ouverture A , mettre du mercure dans les deux branches latérales par l’ouverture B ; enfuite ver-fer les liqueurs dans la branche du milieu par la même ouverture ; après quoi on la bouchera hermétiquement.
    • Si l’on vouloit. conftruire un baromètre qui n’eût que 9 à 10 pouces de hauteur, on diviferoit .
    • 28 par 9, ce qui donneroit 3 : ainfî il faudroit trois branches de mercure de 9 à 10 pouces, avec deux branches de communication, remplies d’huile de tartre & de karabé. La fig. 18 met ce baro- PJ. métré à cinq branches fous les yeux. Il eft bon fig. d’obferver que la hauteur dé chaque branche ne fe doit eftimer que par la différence du niveau de la liqueur dans le réfervoir d’en haut & dans celui d’en bas.
    • Cette conftruction, qui eft due à M. Amon-tons, a, il eft vrai, l’avantage de diminuer la hauteur embarraffante du baromètre, & de le rendre plus propre à figurer dans certaines circonftances comme ornement ; mais il faut remarquer que c’eft aux dépens de fon exa&itude. M. de Luc , l’homme qui a le plus étudié les baromètres, ÔC qui en a le mieux traité *, nous affûte qu’il n’a jamais pu avoir un inftrument femblable qui fût médiocrement bon. La colonne intermédiaire agit en effet comme thermomètre ; & ceux qui ont
    • Foye{ Traité des Baromètres, &c.
    • Tome IK I
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    • ,jo Récréât. Mathémat. et Phys.
    • entrepris de prouver que cela ne nuifoit pas à l’exaftitude , ne faifoient pas attention que leur raifonnetnent n’efl: vrai qu’autant que la ligne de réparation des deux couleurs eft dans le milieu de la hauteur du tube.
    • PROBLÈME XXXI.
    • Quel efpace occuperait un pouce cube d'air, transporté à la hauteur d’un demi-diamctre terrejlre >
    • Non S avons déjà fait connoître cette propriété de l’air, qui eft une fuite de fon élafticité, & qui confifte en ce que, chargé d’un poids double, il fe réduit à un volume de moitié, & ainfi proportionnellement, du moins autant que les expériences faites jufqu’à ce moment peuvent aller. Par la même raifon, lorfqu’on le décharge de la moitié du poids qu’il fupporte, il occupe un efpace double, & un efpace quadruple quand il n’a que le quart du même poids à fupporter. Ainfi , par exemple, lorfque, montant fur une montagne , on trouve que le mercure a baiffé de la moitié de la hauteur qu’il avoit dans la plaine, on en con-clud que, déchargé de la moitié du poids qu’il fupportoit en bas , il eft dilaté du double, ou que la couche d’air où l’on eft n’a de denfité que la moitié de celle qu’a l’air du bas de la montagne ; car la denfité eft en raifon inverfe de l’efpace qu’occupe la même quantité 4e matière.
    • Cette loi de la dilatation de l’air, en raifon inverfe du poids dont il eft chargé, a mis les géomètres en état de démontrer qu’à mefure qu’on s’élève dans l’atmofphere, la denfité décroît, ou la rarcfa&ion croît, dans une progreffion géomé-
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    • Physique. *31
    • trique, tandis que les hauteurs auxquelles on s’élève , croiflent en progreffioii arithmétique. Airifî donc , fi l’on fqait une fois à quelle hauteur il faut s’élever pour avoir, par exemple, un air raréfié d’un quart, ou réduit aux trois quarts de fa den^ fité au bord de la mer , on fçaura qu’à une hauteur double fa denfité fera le quârré de -, ou à une triple, ce fera le cube, où ~ &c ; enfin , à une haureur centuple , ce fera la 100e puiflànce de \, &c. Ou bien , fi l’on fqait par expérience quel eft le rapport de la denfité de l’air à la hauteur de millé toifes ou ün mille , avec la denfité de l’air au bord de la mer, 6c que l’on nomme ce rapport D, on aura D1 pour l’expreffion de ce rapport à 2 milles de hauteur ; à 3 milles, ce fera î)3, &c. & à n milles ce fera Dn.
    • Or on fqait par l’expérience, qü’à mille toifes ' d’élévation perpendiculaire au deffüs du niveau de là mer, la hauteur du mercure qui, au bord de la mer, étoit de 18 pouces ou 336 lignes, n’eft plus que de 22 pouces 4 lignes, ou exprimé par l'a fraftiôîlffi, l’unité étant la hauteur totale; d’où il fuit que le rapport de la denfité de l’air à celle du bord de la mer, eft exprimé par cette même fraftion dé l’unité î conféquemment, pour trouver quel feroit ce' rapport à la hauteur d’un démi-diametre terreftre, il faut d’abord fqavoir combien de milles il y a dans ce demi-diametre* On en trouve 3000 y en lé fuppofant feulement de 1500 lieues de 2000 toifes chacune. Il faut donc élever cette fra&ion §|f ou ||, à la 3000e püilîatice ; cé qu’ori peut faire aifément par le inbyen dés logarithmes : car, prenant le logarithme dé II', qui eft — 0.0982045 , & le multipliant par 3000, ori aura pout logarithme du
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    • tji Récréât. Mathémat. et Phys, nombre cherché, celui-ci, —294.6135000; ce qui indique d’abord que ce nombre eft au moins compofé de 295 chiffres. Ainfi l’on peut dire que la denfité de l’air que nous refpirons à la furface de la terre, eft à celle qu’auroit l’air à la hauteur d\in demi-diamètre terreftre, comme un nombre de 295 chiffres à l’unité. Il eft fuperflu de faire un calcul pour prouver que la fphere même de Saturne ne comprend pas autant de pouces cubes qu’en exprime ce nombre , & conféquemment qu’un pouce cube d’air, tranfporté à un demi-diametre terreftre au deffus de fa furface, s’y étendroit de maniéré à occuper un efpace plus grand que la fphere de Saturne.
    • Nous nous bornerons à remarquer ici que cette rareté feroit même encore plus grande , par la •raifon fuivante. Nous avons fuppofé la pefanteur uniforme, ce qui n’eft pas exaâ ; car la pefanteur décroiffant en raifon inverfe de la diftance au centre , il s’enfuit qu’à mefure qu’on s’élève au deffus de la furface de la terre, cette pefanteur diminue ; enforte qu’à un demi-diametre au deffus, elle n’eft plus qu’un quart de ce qu’elle eft à la furface de la terre : chaque couche d’air fera donc moins chargée par les couches fupérieures, puifqu’elles peferont moins à même hauteur que dans la fup-pofition précédente : ainfi l’air fera plus dilaté. Newton a enfeigné la maniéré d’en faire le calcul, mais nous l’omettons pour abréger. Remarque.
    • L’extrême rareté de l’air à une diftance de la terre aufli médiocre, peut fervir à prouver l’extrême ténuité de la matière qui remplit les efpaces celeftes ; car, quand même cette denfité feroit
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    • Physique. i?$
    • far-tout telle qu’on vient de voir qu’elle eft à un demi-diametre de la terre , il eft aifé de voir combien peu les corps planétaires peuvent perdre de leur mouvement en traverfant ces efpaces. La Lune ne fçauroit, depuis plufieurs milliers d’années qu’elle Te meut, avoir déplacé encore la valeur d’un pied cube de notre air.
    • PROBLÈME XXXII.
    • Si F on creufoit un puits jufqu’au centre de la terrel. quelle feroit la denjîté de F air dans les differentes profondeurs & au fond de ce puits ?
    • Nous commençons par répondre à cette question , qu’on ne tomberoit pas bien profondément fans rencontrer un air tellement condenfé, qu’on y furnageroit comme du liege fur du vif-argent.
    • Cela eft d’abord évident, en fuppofant la pefan-teur uniforme à toutes les profondeurs de ce puits ; car un demi-diametre au deffous de la Surface, la denfité doit être'à celle de l’air de la Surface , en raifon inverfe de celle-ci à celle qu’il auroit à un demi-diametre au defîus. Or nous avons vu par quel étrange nombre la rareté de ce dernier feroit exprimée : ainfi ce même nombre exprimeroit la condenfation au centre, Le mercure n’eft pas tout-à-fait 14000 fois plus pefant que l’air que nous refpirons ; ainfi l’air, au centre, feroit plufieurs milliards de millions de millions, &c. de fois plus denfe que le mercure.
    • Mais, pour nou^ amufer, puifqu’it éft ici quef-tion de récréations phyfiques, examinons l’hypo-thefe plus vraifemblable de pe&hteur qui régneroit.
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    • 134 Récréât, Màthémàt. et Phys,
    • pas uniforme , mais elle décroîtroit à mefure qu’on s’approcheroit du centre , & feroit précrfément comme la diftance à ce centre. Or Newton a fait voir que, dans ce cas, les quarrés des diftances au centre décroiffant arithmétiquement, les denfités Croîtroient géométriquement.
    • Il nous faut donc d’abord trouver quelle feroit la denfité de l’air à une profondeur déterminée, par exemple de 1000 toifes. Or cela eft facile, car, attendu la proximité de la furface, il eft fen-fiblement vrai que la denfité à la furface étant repréfentée par l’unité, celle à iooo toifes au deflous fera l’inverfe de celle à 1000 toifes au deflus. Or celle-ci étoit exprimée par par con-féquent l’autre le fera par -ff ou i : ainfi la denfité étant i aune diftance du centre de 3000. ?nilles, çette denfité à celle de 2.999 > fera ff * Faifons donc le quarré de 3000, qui eft 9.000000, & celui de 2999, qu'l eft £994001 ; fa différence avec 9000000 eft 5999, par lequel nombre il faut divifer 9000000 , pour avoir le nombre de quar-, rés arithmétiquement décroiffants dans le même rapport, lefquels font contenus dans ce premier quarré. Qn en trouve 1500, plus une petite fraction qu’on peut négliger. Multiplions donc le logarithme de-fy, qui eft 0.0982045 par 1500, nous aurons 147.3067500 : ce fera le logarithme de la denfité au centre, celle à la furface étant 1. Qr le nombre répondant à ce logarithme auroiç au moins 148 chiffres; d’où il fuit que la denfité de l’air au centre de la terre , feroit à celui de la fprface, comme un nombre de 148 chiffres, ou
    • moins l’unité fuivie de 147 zéros , à l’unité.
    • Si l’on vouloir fqavoir à quelle profondeur t’ai? dçnfç çonque l’eau , on trouyeroit ^ par un
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    • Physique. 135
    • calcul que nous fupprimons , & qui eft fondé fur les mêmes principes, que ce feroit 830 milles au deflous de la furface.
    • On trouverait de même que, à 41 milles aü deflous de la furface , l’air aurok la denfité du vif-argent.
    • PROBLÈME XXXIII.
    • De VArquebuft à vent^
    • Cet infiniment , dont l’invention ell due à Otton Guerike, bourgmeftre de Magdebourg, fi célébré, vers le milieu du dernier fiecle, par fes expériences pneumatiques , éle&riques, &c. eft une machine dans laquelle le reflort de l’air, violemment comprimé, eft employé à pouffer une balle de plomb ? comme fait la poudre à canon. L’arquebufe ou fufil à vent eft compofé d’un ré-fervoir d’air, formé du vuide qui refte entre deux tuyaux cylindriques & concentriques l’un à l’autre , l’un intérieur , l’autre extérieur î le fond de ce vuide communique à un corps de pompe caché dans la crotte du fufil, & dans lequel agit un pif-ton qui fert à y faire entrer & condenfer l’air, au moyen des foupapes placées de la maniéré convenable. Au fond du tuyau intérieur où fe place -la balle, en la retenant avec un peu de bourre, il y a aufli une otfverture fermée par une foupape , qui ne peut s’ouvrir que lorfqu’on fait agir une détente.
    • On conçoit maintenant qu’ayant comprimé dans le réfervoir l’air autant qu’il eft poflible y ayant placé la balle au fond du tuyau intérieur % fi l’on fait agir la détente qui doit ouvrir la fou-
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    • 136 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • pape qui eft derrière la balle, Pair, violemment comprimé dans le réfervoir, agira fur elle, & la pouffera avec une viteffe plus ou moins grande, fuivant le temps qu’il aura eu pour exercer fur elle fon aftion.
    • Pour que le fufil à vent faffe donc bien fon effet:, il faut i° que l’ouverture de la foupape dure exa&ement autant de temps que la balle en met à parcourir la longueur du tuyau ; car, pendant tout ce temps , l’air en accélérera le mouvement, fon expanfion étant beaucoup plus rapide que le mouvement de la balle. Si le réfervoir reftoit plus long-temps ouvert, ce feroit- en pure perte. r° Il faut que la balle foit bien ronde & bien calibrée, afin que Pair ne s’échappe point par les côtés. Comme les balles de plomb ne font pas toujours fort régulières, on y fupplée en les enveloppant d’un peu de filaffe.
    • Quand toutes ces attentions font bien obfer-vées, un fufil à vent fert très-bien à percer une planche de z pouces d’épaiffeur , à 50 & même 100 pas de diftance. Le réfervoir d’air étant une fois plein , il peut fervir à huit à dix balles fuccef-fivement. Un artifte Anglois a même imaginé un moyen pour y mettre ces dix balles en réferve dans un petit canal courbe, d’où , à mçfure que le’coup eft parti, il en fortune qui vient occuper la place convenable ; enforte qu’on peut tirer dix coups de fuite , dans bien moins de temps que le foldat Pruffien le plus exercé n’en tireroit la moitié. A la vérité les coups de fufil à vent vont en diminuant de force, à mefure que le réfervoir fe décharge.
    • On fent aifément que fi cet infiniment paffoit des cabinets des phyficiens dans les mains de
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    • Physique. 137
    • certaines gens , il feroit une arme très-redoutable ,
    • & d’autant plus dangereufe , que le coup ne fait prefque aucun bruit. Mais qui fçait. li , de même que la poudre à canon , après avoir été pendant long-temps un fimple ingrédient de feu d’artifice eft devenue l’ame de l’inftrument le plus meurtrier , qui fçait, dis-je, fi, dans la fuite des fie-cles, le fufil à vent perfectionné, ne deviendra pas l’inftrument dont les hommes raffemblés en corps d’armée, fe ferviront pour s’entre-détruire glorieufement & fans remords ?
    • La fig. ic) repréfente un arquebufe à vent. On P y reconnoîtra aifément la coupe des deux cylin-dres , dont l’intervalle fiert de réfervoir à l’air; MN le pifton qui fert à introduire l’air dans ce réfervoir ; TL la foupape qui fert à ouvrir la communication du réfervoir avec le cylindre intérieur, ou l’ame du fufil ; O la détente fervant à cet objet. Tout cela s’entend de foi-même , par la feule infpeétion de fa figure.
    • P R O B LÊME XXXIV.
    • De VEolipyle.
    • L’ÉOLIPYLE eft un vafe creux de métal folide,
    • & d’ordinaire fait en forme de poire terminée par une longue queue un peu recourbée. On la remplit d’eau ou d’une autre liqueur , en la faifant fortement chauffer ; après quoi on plonge fon orifice dans la liqueur qu’on veut y faire entrer. L’air intérieur reprenant fon volume, cette liqueur y entre néceflairement pour le fuppléer, au moyen de la preffion de l’air extérieur.
    • Si l’on place l’éolipyle ainfi rempli fur des
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    • 138 Récréât, Mathémat. et Phys.
    • charbons ardents, leur chaleur réduit cette eau en vapeurs, qui fortent avec violence par l’orifice étroit de fa queue ; ou fi, par la pofition de l’éolipyle , c’efl: le fluide qui fe préfente à l’entrée, ce fluide, preflfé par la vapeur, fort lui-même avec force par cet orifice, & fait un jet affez élevé.
    • Si, au lieu d?eau , ona pris de l’eau - de - vie , on pourra, avec un flambeau , mettre le feu à cette liqueur ; & alors , au lieu d’avoir un jet d’eau, on aura le fpeâacle agréable d’un jet de feu.
    • Cette expérience fert à rendre fenfible la force qui réfulte de la vapeur qui efl: produite par un fluide fortement chauffé ; car, dans le premier cas , ce font ces vapeurs qui fortent avec impé-tuofité par l’orifice de l’éolipyle, & dans le fécond , c’efl: la force élaftique de cette vapeur qui » preffant fur le fluide, le fait fortir par ce même orifice.
    • On rend cette expérience encore plus amu-fante , par le procédé fuivant. On a une efpece de petit charriot portant une lampe à'efprit-devin , fur laquelle on place le ventre de l’éolipyle. On bouche fon orifice avec un bouchon, qui n’y tienne pourtant que médiocrement. On met le feu à la lampe , & quelque temps après on voit fauter le bouchon, & le fluide ou la vapeur fortir avec violence par l’orifice. Dans le même temps Je charriot, repouffé par la réfiftance que ce fluide ou cette vapeur éprouve de l’air extérieur, reçoit un mouvement en arriéré ; & fi l’eflieu des roues eft fixé à un axe vertical, le charribt prend un mouvement circulaire, qui dure tout le temps que l’éolipyle contient quelque portion de fluide.
    • On fent aifément que ce vafe doit être d’an.
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    • Physique. 139
    • métal folide , car autrement on courroit rifque de le voir éclater, & tuer ou bleffer les témoins dç l’expérience.
    • PROBLÈME XXXV,
    • Confirucïion de quelques petites figures qui nagent entre deux eaux , & qu'on fait danfer, hauffer & baiffer, en appuyant feulement h doigt fur l'orifice de la bouteille qui les contient.
    • IL faut faire fabriquer de petites figures d’émail, creufes; mais dans la partie inférieure, comme dans les pied? , on laide un petit trou par lequel on puiffe introduire une goutte d’eau, ou bien à la partie poftérieure on ménage une appendice en PI. 3 , forme de queue percée par le bout, enforte qu’on %• 20. puiffe faire entrer dans ce tuyau plus ou moins d’eau. Après cela , on équilibre la figure , enforte qu’avec cette petite goutte, d’eau elle fe tienne bien debout, & nage entre deux eaux. On remplit le vafe d’eau jufqu’à fon orifice , & on le couvre d’un parchemin bien lié au cou de la bouteille.
    • Cela fait, veut-on donner du mouvement à cette petite figure, il fuffit de preffer avec le doigt le parchemin qui couvre l’orifice, la petite figure defcendra ; en retirant le doigt, vous la verrez monter; enfin, en appliquant & retirant le doigt alternativement , vous l’agiterez au milieu de la liqueur , de maniéré à exciter l’étonnement de ceux qui ignoreront la caufe de ce jeu.
    • Cette caufe n’eff autre que celle-ci. Lorfqu’au travers du parchemin qui couvre l’orifice de la bopteille on prçffe l’eau, comme elle eft incom-
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    • 140 Récréât. Màthémat. et Phys.
    • preffible, elle condenfe l’air contenu dans la petite figure, en y faifant entrer un peu plus d’eau qu’elle n’en contenoit. La figure devenue plus pefante devra donc aller au fond. Mais quand on retire le doigt, cet air comprimé reprend fon volume , chaffe l’eau qui avoit été introduite par la com-preffion ; ainfi la petite figure, devenue plus légère , devra remonter.
    • PROBLÈME XXXVI. •
    • Conjlruclion d'un baromètre oit les variations de Pair Je démontrent par une petite figure qui haujje & baifie dans Peau.
    • Nous avons jeté dans le problème précédent, les fondements de la conftruâtion de ce petit baromètre curieux. Car , puifque la preffion du dbigt fur l’eau qui contient la petite figure dont on y a parlé, la fait defcendre, & qu’elle remonte quand cette preffion ceffe, on fentira aifément que le poids de l’atmofphere produira le même effet, fuivant qu’il fera plus ou moins confidérable ; c’eft pourquoi, fi la petite figure eft équilibrée de maniéré à être dans un temps variable entre deux eaux , elle s’enfoncera au plus bas lorfque le temps fera au beau, parce que alors le poids de l’atmofphere fera plus confidérable. L’effet contraire arrivera lorfque le temps étant tourné à la pluie, le mercure defcendra ; car alors le poids de l’atmofphere qui repofe fur l’orifice de la bouteille eft moindre, & conféquemment la petite figure devra remonter.
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    • Physique. 141
    • PROBLEME XXXVII.
    • Equilibrer dans de Peau deux petites figures, de maniéré qu'y yerfant de nouvelle eau , la figure qui étoit au dejjiis s'enfonce , & l'autre prenne le defus.
    • Ayez pour cela de l’eau Talée, & équilibrez-y une petite figure ou une petite bouteille de verre de telle matière, que pour peu que l’eau fût moins Talée elle coulât à fond. Difpofez de la même maniéré une figure ou une petite bouteille ouverte dans Ta partie inférieure , enforte que dans cette eau, elle Te tienne au fond par le mécanifme enfeigné dans l’avant-dernier problème.
    • Les choies ainfi arrangées, verfez de l’eau douce bien chaude dans celle qui contient les deux figures. Vous verrez la première aller au fond , & l’on en' Tent aifément la raifon : en même temps la fécondé viendra à la fuperficie , car la chaleur de l’eau dilatera l’air contenu dans cette ' fécondé bouteille , & en chaffe.ra en tout ou en partie la goutte d’eau qui faifoit portion de Ton poids ; conféquemment, devenue plus légère, elle s’élèvera. Ainfi, par cette feule affufion d’eau nouvelle , ces deux petites figures changeront de place. Il eft vrai que la fécondé, quand l’eau fera refroidie, redefcendra.
    • PROBLÈME XXXVIII.
    • Des Larmes Bataviques.
    • O N donne ce nom à des morceaux de verre figurés en larmes, & terminés par une longue queue, qui jouiffent d’une propriété fort fingu-
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    • *4Î Récréât. Mathémat. et Phÿs.
    • îiere. Elle confifte en ce qüe fi vous frappez, mémè affez for*, une de ces larmes fur le corps ou lé ventre, elle oppofe à la rupture une réfiftaneé confidérable ; mais fi vous brifez le plus petit bout de fa queue, elle éclate auflitôt en mille morceaux , & prefqtie en pouffiere.
    • Ces larmes fe forment en laiffarit tomber goutte à goutte, dans un vafe plein d’eau, de la matière du verre en fufion. On les trouve au fond toutes formées. Il en eft au refte ordinairemenr un grand nombre qui éclatent dans l’eau, ou immédiatement après en être retirées. Comme c’eft en Hollande que les premières ont été faites , on leur a donné le nom de bataviques.
    • On a multiplié les expériences fur ces larmes de verre, pour découvrir la caufe de leur rupture. Voici les principales.
    • i. Si par un procédé facile à imaginer on rompt dans la machine du vuide, la queue d’une de ces l'armes, elle éclate tout dé même que dans l’air ; & fi l’expérience fe fait dans l’obfcurité , on ap-perçoit dans l’inftant de la rupture un éclair de lumière.
    • 2. Si on ufe avec une rheule, ou fur une pierre à aiguifer , & tout doucement, le corps d’une de ces larmes , elle éclate quelquefois , mais le plus fouvent elle n’éclate pas.
    • 3. Si l’on fait avec une femblable pierre une entaille à la queue, la-larme éclate.
    • 4. On peut cependant couper la queue d’une larme batavique par le moyen fuivant. Il faut pre-fenter à la flamme d’une lampe d’émailleur l’endroit où vous Voulez couper cette queue. Elle y fondra, & vous pourrez alors féparer une partie de Tàutrefaris crainte de rupture.
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    • Physique. 14?
    • ç. Si on échauffe avec précaution une larme batavique fur les charbons ardents , 8c qu’on la laifle enfuite lentement refroidir, elle ne fe rompra plus lorfqu’on lui brifera la queue.
    • Les phyficiens ont toujours été fort embarraffés fur la caufe d’un phénomène fi extraordinaire, Ôc il faut avouer qu’au moment aétuel nous ne fom-mes guere plus avancés. Nous pouvons dire feulement que ce n’eft pas l’air qui le produit ; la première des expériences ci-deflus le démontre. Nous croyons auffi pouvoir dire , d’après la 5 e , que ce phénomène tient à la même caufe qui fait rompre tous les ouvrages de verre fondus , fi l’oà n’a pas la précaution de les recuire, c’eft-à-dire, fi, avant de les expofer au contaCt de l’air , on ne les laiffe encore expofés à une longue chaleur pour fe refroidir par degrés. Ceft ce qui paroît réfulter de la derniere expérience ; mais on ne voit rien'moins que clairement comment cela s’opère. C’eft probablement l’éruption, dans l’intérieur de la larme, d’un fluide qui s’y précipite par l’endroit rompu de la queue. Peut-être eft-ce un phénomène éleétrique, 8c peut-être la larme fe brife-t-elle par le même mécanifme qui fait fouvent brifer une jarre de verre lorfqu’on la décharge, c’eft-à-dire lorfqu’on reftitue l’équilibre entre fa fur-face intérieure 8c extérieure. Mais nous ne nous épuiferons pas en conjectures. Contents d’avoir expofé les principaux phénomènes des lances ba-taviques, nous abandonnons le furplus à la faga-cité 8c aux recherches de nos -leéteurs.
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    • i44 Récréât. Mathémat. et Phys. PROBLÈME XXXIX.
    • Mefurer la quantité annuelle, de la Pluie.
    • Parmi les obfervations météorologiques que font aujourd’hui les phyficiens, eft celle de la quantité de pluie tombée annuellement fur la fur-fàce de la terre. Cette obfervation eft une des plus faciles, & fe fait au moyen d’un inftrument que le P. Cotte, dans fon Traité de Météorologie, a appelé Udomeire * ; & que nous aimerions mieux appeler Uometre **. Quoi qu’on pénfe de notre idée, voici l’inftrument. ‘
    • Il confifte en une caifle quarrée, de fer blanc, de plomb ou d’étain, de deux pieds en tout fens , ce qui fait quatre pieds de furface. Elle doit avoir des rebords de lix pouces au moins de hauteur, & avoir fon fpnd tant foit peu incliné vers un des angles, où eft ménagé un petit tuyau garni de fon robinet. L’eau qui s’écoule de ce tuyau tombe dans un autre vafe quarré, d’une dimenfion beaucoup moindfe, & telle par exemple, qu’une ligne de hauteur dans le grand vafe, fafle une hauteur de trois pouces dans le petit. Ainfi, dans le cas préfent , ce vafe ne devroit avoir que deux pouces & fix lignes de bafe en quarré. On fent aifément, d’après cette defeription , que l’on pourra mëfurer jufqu’à de très-petites portions de ligne d’eau tombée dans le grand vafe , puifque une ligne de hauteur dans le petit, répondra à une. trente-fixieme de ligne dans le grand.
    • * De t>ïop, eau, & piêpo,, melure.
    • ** De tici, pluie.
    • Fi
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    • fen fituant le grand vafe de la maniéré conve* tiable, en plaçant le petit au deffous du robinet, & y adaptant ce robinet, de maniéré que l’air extérieur n’ait prefque aucun accès fur la furface de î’eau dans le petit vafe, on pourroit fe difpen-fer de irtefurer l’eau tombée , à la fin de chaque pluie. On pourroit ne l’aller examiner &c mefurer que tous les trois, quatre ou cinq jours* Cependant il vaut mieux le faire à chaque fois.
    • On tient enfin regiftre de la quantité d’eau tombée à chaque fois qu’il a plu , & toutes ces quantités additionnées enfemble , donnent celle qui eft tombée dans le courant de l’année.
    • C’eft ainfi qu’on a trouvé, par une fuite d’ob-fervations faites pendant 77 ans à Paris , que la quantité d’eau qui y tombe par an eft , l’un portant l’autre, de 16 pouces 8 lignes.
    • Mais cette quantité d’eau n’eft pas la même par tout. Il eft d’autres lieux * d’autres pays où elle eft moindre ou plus confidérable, fuivant leur fituation près de la mer ou des montagnes* Voici une table des principaux lieux dans lefquels on a fait cette observation , & de la quantité d’eau qui y tombe annuellement*
    • PouC. tig*
    • Paris,.........* i i . 16 8
    • Bayeux, .*...*.* 20
    • Êeziers, ...*.* * . 16 3
    • Aix en Provence, . * * . * 18 3
    • Touloufe, • • • 17 *
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    • 146 Récréât. MatHémat. et Phys.
    • Pouc. Lîg.
    • Londres, ............... . 18 9
    • La Haye, ....................26 6
    • Rome,..........................28
    • Padoue,........................30
    • Pétersbourg,...................16 1
    • Berlin,........................19 6
    • Remarque.
    • Nous croyons devoir faire ici une remarque qui paraît avoir échappé à tous les phyficiens qui ont fait des obfervations de la quantité d’eau dé pluie. C’eft qu’à chaque fois qu’il pleut de nouveau , il y a une petite quantité d’eau perdue , fa-voir, celle qui a fervi à mouiller le fond du ré-fervoir ; car l’eau ne commence à couler en bas que quand ce fond eft mouillé jufqu’à un certain point, & revêtu, pour ainfi dire , d’une certaine épaifleur d’eau qu’il faudroit déterminer, & dont il faudroit tenir compte à chaque fois qu’il pleut. Cette quantité d’eau pourroit être mefurée ainfi. Il faudroit prendre une petite éponge hume&ée au point de n’en pouvoir exprimer d’eau en la prenant très-fort ; remplir enfuite le vafe, & en laiffer écouler toute l’eau ; enfin, quand il ne s’en écouleroit plus, ramafler avec cette éponge l’eau reftante fur le fond , & l’exprimer dans un vafe d’un pouce quarré de bafe, déjà humeélé d’eau. Il eft évident que fi un vafe de 4 pieds quarrés de bafe donnoit de cette maniéré 1 pouce de hauteur dans le petit, on en devrait conclure que la pellicule d’eau adhérente au métal, étoit au moins de -~z de pouce, ou une 48e de ligne d’épaiffeur. Je dis au moins ; car il eft impoffible
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    • Physique*
    • de reprértdre & mefurer toute cette pellicule d’eau* On pourroit fans , crainte l’évaluer à un 30 ou Un 36e de ligne. Si doncja pluie s’étoit renouvelée dans le courant de l’année 2 à 300 fois, ce feroit environ 8 lignes à ajouter à la quantité trouvée.
    • PROBLÈME XL.
    • De l'origine des fontaines : Calcul de la quantité d'eau des pluies, qui démontre quelle fuffit pout leur donner naijjance & les entretenir.
    • L’origine des fontaines & des fources n’auroit pas dû, ce femble , occafionner parmi les phyficiens un partage tel que celui qui a régné entr’eux pendant quelque temps ; il n’y avoit qu’à conlidérer attentivement les phénomènes * pour fe perfuader que cette origine eft uniquement due aux pluies qui abreuvent continuellement la furface de la terre , & qui, coulant fui? des lits de terre propres à les empêcher de pénétrer plus avant, fe font à la fin jour dans les lieux bas. En effet, qui n’a pas obfervé que la plus grande partie des fources diminuent confidé-tablement lorfqu’il a régné pendant long - temps une grande fécherefle , que plufieurs tariflent ab-folument quand cette fécherefle efl: prolongée trop long-temps , qu’elles renaiflent lorfque les pluies, les neiges, reviennent humetter la furface de la terre, & qu’elles croiflent prefque en même prOgreflion que ces eaux deviennent plus abondantes ?
    • Cependant, malgré un phénomène fi propre à mettre fur la bonne voie, on a vu quelques phi-lofophes penfer que cette origine des fontaines K ij
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    • 148 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • étoit due à une efpece de fublimation des eaux de la mer, qui, coulant dans les entrailles de la terre , étoient pouffées en vapeurs dans les fentes des rochers, & découloient de-là dans des cavités & des réfervoirs préparés par la nature , d*où elles fe faifoient jour fur la furface. Quelques-uns ont été jufqu’à figurer ces efpeces d’alembics fouterrains.
    • Mais tout cela eft mal fondé. Si l’eau de la mer produifoit ainfi les fontaines, elle auroit déjà depuis long-temps engorgé de fon fel les conduits fouterrains par où on la fait paffer. D’ailleurs, qui ne voit qu’alors il n y auroit plus entre l’abondance des pluies & celle de l’eau de la plupart des fontaines , la liaifon qu’on y obferve, puifque, foit qu’il plût, foit qu’il ne plût point, la diftillation intérieure n’en auroit pas moins lieu? Enfin c’eft encore une obfervation, que les eaux de fources diftillent toujours de deffus des lits de glaife & non de deffous. Or, comme ces lits interceptent le paffage des vapeurs & des eaux, il faut nécef-fairement que ces eaux viennent de deflus. Un moyen sûr de perdre une fource , eft de rompre ce lit. Or on produiroit le contraire, fi l’eau; venoit de deffous.
    • Ce qui a fans doute engagé ces phyfïciens à recourir à cette caufe éloignée & fauffe , c’eft qu’ils ont penfé que les eaux des pluies n’étoient pas fuflifantes pour alimenter les fources & les rivières. Mais ils étoient affurément dans l’erreur ; car, loin de ne pas trouver dans les pluies affez d’eau pour cet effet, on eft en quelque forte em-barraffé de la trop grande quantité qu’on en trouve. Le calcul fuivant, de M. Mariotte, va le prouver.
    • M. Mariotte obferve que, fuivant les expé-
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    • Physique. 149
    • riences, ïl tombe annuellement environ 19 pouces d’eau fur la furface de la terre. Pour rendre Ton calcul encore plus convainquant, il n’en fuppofe que 15 ; ce qui fait par toife quarrée, 45 pieds cubes; par lieue quarrée de 1300 toifes en tout fens, 238050000 pieds cubes.
    • Or les rivières 8c fources qui alimentent la Seine avant fon arrivée au pont-royal à Paris , comprennent une étendue de terrain d’environ 60 lieues de longueur fur environ 50 de largeur , ce qui fait 3000 lieues fuperficielles , dont le produit par 238050000, eft 714150000000 : c’eft le nombre de pieds cubes d’eau qui tombe, en l’évaluant au plus bas fur cette étendue de pays.
    • Examinons maintenant quelle quantité d’eau fournit chaque année la Seine. Cette riviere, au delfus du pont - royal , 8c étant à fa hauteur moyenne, a 400 pieds de largeur 8c 5 pieds de profondeur, réduite. La viteffe de l’eau, dans cet état de la riviere, peut être évaluée à 100 pieds par minute, en prenant un milieu entre la viteffe de la furface 8c celle du fond. Ainfi le produit de 406 pieds de largeur par 5 de hauteur , ou 2000 pieds quarrés, étant multiplié par 100 pieds, on a 200000 pieds cubes pour la quantité d’eau qui paffe à chaque minute par cette feftion de la Seine au delfus du pont royal. Cette quantité fera donc dans une heure, de 12000000 * dans les 24heures, de 288000000 ; 8c en un an* de 105120000000 pieds cubes. Or cela n’elt pas., la feptieme partie de la quantité d’eau que nous avons vue tomber fur l’étendue du pays qui nourrit la Seine.
    • Mais que ferons-nous du relie de cette eau? Il eft facile d’y répondre. Les rivières, les ruilfeau» *
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    • 150 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • les eaux Gagnantes, perdent une quantité confidé-rable d’eau, par la (impie évaporation ; il en entre enfin une quantité prodigieufe dans l’accroiflement & la nutrition des plantes. Voilà ce que devient le furplus de cette eau.
    • M. Mariotte fait auffi le calcul de l’eau que doit naturellement fournir une fource qui coule un peu au deffous du fommet de la montagne de Montmartre, & qui eft alimentée par une étendue de terrain de 300 toifes de largeur fur environ 100, ou de 30000 toifes de fuperficie. Il tombe fur ce terrain , par an, la quantité de 1620000 pieds cubes, à raifon de 18 pouces de hauteur d’eau pluviale. Mais une partie confidérable de cette eau, peut-être les trois quarts, s’écoule tout de fuite en bas ; ainfi il n’en pénétré que la quantité de 405000 à travers la terre & le fol fablon* neux, jufqu’à ce qu’elle rencontre un lit deglaife, fitué à 2 ou 3 pieds de profondeur : de-là cette eau coule jufqu’à l’embouchure de la fontaine, & e’eft elle qui l’alimente. Ainfi , en divifant 405000 par 365 , on trouve environ 1100 pieds cubes qu’elle doit fournir par jour, ou 38500 pintes ; ce qui fait environ 1600 pintes par heure, ou bien 27 pintes par minute , ou enfin de 2 pouces d’eau. Tel efl: auffi à peu près le produit de cette fource.
    • On éleve d’ordinaire contre ce fentiment fur J’origine des fources, une obje&ion fondée fur une expérience de M. de la Hire, confignée dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris , année 1703. Ce fqavant ayant fait fouiller dans un terrain jufqu’à 2 pieds de profondeur, n’y trouva aucune trace d’humidité; d’où l’on prétend Conclure quç Içs pluies ne font que couler fupçrfi-
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    • Physique, 151
    • ciellement, & ne contribuent en rien à la naif-fance des fources.
    • Mais cette expérience n’eft d’aucun poids, en ce qu’elle eft particulière , & contredite par mille autres faits. Il n’eft perfonne qui ignore que l’eau fuiiiteen mille endroits du ciel des carrières, des cavernes , des voûtes fouterraines : c’eft elle qui, ayant pénétré les terres & coulé entre les joints des pierres, y produit les ftalaélites & les autres concrétions pierreufes qu’on y obferve. Il eft donc faux que la pluie ne pénétré pas au-delà de quelques pieds. Le fait obfervé par M. de la Hire étoit un fait particulier, duquel il avoit tort de tirer une conféquence générale.
    • ' On obje&e encore , qu’on voit quelquefois des eaux raflemblées à des hauteurs où il eft impofîible que les pluies donnent naiflance à une fource. Nous répondrons que , fi l’on examine les terrains où fe trouvent ces amas d’eaux, on verra toujours qu’elles font le produit des pluies ou des neiges fondues ; que ces lieux, fur le fommet d’une montagne où fe trouvent ces amas, ne font que des efpeces d’entonnoirs qui ramaffent les eaux à’une petite plaine circonvoifine, entretenues continuellement par les pluies ou les neiges, à quoi contribue auffi le peu d’évaporation qui s’en fait , à caufe de la ténuité de l’air. Il reftera enfin démontré pour tout bon efprit, que l’origine des fources & fontaines ne doit pas être attribuée à une autre caufe qu’aux eaux de pluie & de neige raf-femblées.
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    • ij» Récréât. MathéMat. et PhyS, PROBLÈME XLI.
    • Le Marteau d'eau, ou de mercure.
    • Ce qu’on appelle le marteau d'eau, n’eft autre çhofe qu’une bouteille de verre allongée , dans laquelle eft renfermée de l’eau, qui, étant feçouée dans ce vafe , le frappe avec un bruit qui approche de celui d’un petit coup de marteau.
    • La caufe de cet effet eft la privation de Pair. Ce fluide ne divifant plus l’eau dans fa chute, elle arrive au fond de la bouteille comme corps folide, & produit le bruit qu’on vient de dire.
    • Pour faire donc le marteau d’eau, il faut avoir une fiole de verre, affez folide & allongée , qui foit terminée par un col que l’on puifle fceller hermétiquement : on en pompe l’air dans la machine pneumatique , après y avoir introduit un quart ou un cinquième d’eaù : on bouche hermétiquement l’ouverture de la bouteille & l’ayant retirée, on le fait plus folidement, en fondant doucement le col de cette bouteille à la lampe d’émailleur ; l’inftrument eft confirait.
    • Si, au lieu d’eau, on renferme dans cette fiole du mercure, il donnera un coup bien plus éclatant ; on en fera même étonné, & l’on aura peine à concevoir commentai ne brife pas la bouteille. Si, de plus, ce mercure eft bien purifié, il fera lumineux, & l’on ne pourra le faire couler d’un fond à l’autre, fâtfs voir dans Pobfcurité une jolie trace dç lumière.
    • Remarque.
    • On pourrait, à ce tjue nous penfons, employer Utilçmçnt çette propriété du merçurç à faire un&
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    • Physique: 15$
    • lanterne \ qu’on pourroit appeler philosophique. Il faudroit, pour cela, difpofer dans une efpece de tambour, un grand nombre de petites fioles comme les précédentes , ou des tubes en fpirale, dans lefquels du mercure purifié couleroit continuellement au moyen du mouvement de ce tambour , mouvement qu’il feroit facile de lui donner par une petite machine fort fimple & fort peu coû-teufe : il en réfulteroit une lumière continue qui n’auroit pas befoin d’aliment. Qui fçait fi un jour on ne viendra point à bout par-là de fe paffer du feu aftuel pour nous éclairer dans nos appartements? Je crains cependant que , quelque multipliée que foit cette lumière, elle ne foit toujours trop foible pour fuppléer à une feule bougie. Mais il eft peut-être d’autres applications utiles de cette invention.
    • PROBLÈME XL 11.
    • Faire une Pluie lumineufe de mercure.
    • 5 U R la platine de la machine pneumatique, mettez un plateau circulaire percé de trous, fur lequel portera un petit récipient cylindrique terminé en hémifphere, ; recouvrez le tout d’un récipient plus grand, percé à fon fommet d’un trou qui recevra un entonnoir de verre rempli de mercure : cet entonnoir doit être tel qu’on puiffe le fermer par un bouchon, pour l’ouvrir quand il en fera temps.
    • Cela ainfi préparé, faites le vuide , ou à peu près, dans le récipient ; enfuite ouvrez l’entonnoir qui contient le mercure : il s’écoulera tant par fon poids que par celui de l’atmofphere qui le preffe ,
    • 6 il tombera fur le fommet convexe du récipient
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    • 154 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • intérieur; ce qui le fera éparpiller eri mille gouttelettes lumineufes, & imiter une pluie de feu.
    • On peut encore faire cette expérience de cette maniéré. Ayez un bois médiocrement compare , dans lequel vous ferez creufer un petit réfervoir en forme d’hémifphere ou de cône renverfé ; vous en garnirez l’ouverture fupérieure d’un récipient, & vous le remplirez de mercure. Lorfqu’on pompera l’air du récipient, la preffion de l’air extérieur fera pénétrer le mercure par les pores du bois, il fe fera jour dans le récipient » & y tombera en petites gouttes lumineufes.
    • PROBLÈME XLIIL
    • Pour quelle raifort, dans les mines qui ont des fou* piraux fur le penchant d'une montagne , à différentes hauteurs , syétablit-il un courant d'air, qui a dans P hiver une direction différente de celte qu'il a pendant l'été? Explication d'un phénomène femblable qu'on remarque chaque jour dans les cheminées : Ufage qu'on peut faire d'une cheminée pendant Pété.
    • Il eft d’ufage, pour donner de l’air à une mine,' de percer de diftance à diftance, des puits perpendiculaires qui aboutiffent à la galerie horizontale ©u peu inclinée où l’on extrait le minéral ; & d’ordinaire les embouchures de ces puits font à différentes hauteurs, à caufe de l’inclinaifon de la croupe de la montagne. Or, dans ce cas, on éprouve un phénomène affez fîngulier : c’eft que , pendant l’hiver, l’air fe précipite dans la mine par l’embouchure du puits le plus bas, & fort par celle du puits le plus haut ; le contraire arrive en été»
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    • Physique. 155
    • Pour expliquer ce phénomène, il faut confidé-rer que , dans la mine, la température de l’air eft conftamment la même, tandis que dehors elle eft alternativement plus froide & plus chaude, fça-voir, plus froide en hiver, Sc plus chaude en été. D’un autre côté , on doit remarquer que le puits dont l’embouchure eft la plus élevée, la galerie ÔC l’autre puits, forment un fyphon recourbé à branches inégales. Or voici ce qui arrive.
    • Lorfque l’air extérieur eft plus froid que celui de la mine, la colonne d’air qui prefle fur l’orifice inférieur D , prefle davantage fur tout l’air con- PL tenu dans le fyphon DCBA , que celle qui prefle fig* fur l’orifice A : ainfi cet air doit être chafle en circulant dans le fens DCBA. Mais l’air froid qui entre par D, eft aufli-tôt échauffé au même degré que celui de la mine : ainfi il eft pouffe comme le premier par la colonne repofante fur l’orifice D.
    • C’eft le contraire qui arrive en été ; car alors l’air extérieur eft plus chaud que celui de la mine.
    • Ce dernier étant le plus pefant, la branche AB du fyphon prépondere fur BC , fans que la différence des colonnes qui pefent fur A & fur D , puifle opérer le contrepoids. Ainfi l’air contenu dans le fyphon ABCD, doit prendre un mouvement dans ce fens, & conféquemment fe mouvoir en fens contraire du précédent. Telle eft l’explication du phénomène.
    • On én obferve un femblable chaque jour dans les cheminées , & qui eft d’autant plus fenfible, que les tuyaux de cheminée font plus hauts; car une cheminée , avec la chambre où elle aboutit , la porte ou la croifée, forment un fyphon femblable au précédent. D’ailleurs l’air extérieur eft, depuis les 9 heures du matin jufqu’aux 8 ou 9
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    • i5$ Récréât. Mathémat. et Phys.
    • heures du foir , plus chaud que l’intérieur pendant l’été , & au contraire. Le matin donc, l’air doit defcendre par la cheminée, & fortir par la fenêtre ou la porte ; au contraire , cet air extérieur étant plus froid la nuit que le jour, il doit entrer par la porte ou la fenêtre , & monter par la cheminée. Vers les 8 ou 9 heures du matin, & les 8 ou 9 heures du foir, l’air eft comme Actionnaire ; effet néceffaire dans le temps du paffage d’une direction à l’autre.
    • On pourroit, dit M. Francklin, qui paraît avoir le premier obfervé ce mouvement, on pourroit , dit-il, l’appliquer à quelques ufages économiques pendant l’été ; & alors le proverbe qui dit, utile comme une cheminée en été, fe trouveroit en défaut. Un de ces ufages feroit de fervir de garde-manger ; car en bouchant les deux ouvertures de la cheminée par un Ample treillis ou canevas , le courant d’air alternatif & prefque continuel qui s’établirôit dans la cheminée, ne pourroit manquer de tenir la viande fraîche & de la conferver.
    • On pourroit peut-être encore faire ufage de ce courant pour quelque ouvrage qui exige moins de force que de continuité. Pour cet effet, il faudroit établir dans le tuyau de la cheminée un axe vertical , garni d’une hélice ; le courant d’air la mènerait continuellement, tantôt dans un fens, tantôt de l’autre, & probablement avec affez de force pour élever une petite quantité d’eau par heure. Mais comme elle ne chommeroit que trois ou quatre heures de la journée, elle ne laifferoit pas de produire un effet affez grand par jour. Au furplus le moteur ne coûterait rien. 11 faudroit, dans ce cas, employer un engrenage qui fût tel..
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    • Physique. 157
    • que, de quelque côté que tournât l’axe garni d’hélices , le mouvement du furplus de la machine fe fît toujours dans le même fèns ; ce qui eft non-feulement poflible, mais que nous avons vu exécuté chez M. Loriot, à Paris.
    • PROBLÈME X LIV.
    • Mefurer les hauteurs des montagnes au moyen du Baromètre.
    • IL eft affez rare qu’on puiffe mefurer les hauteurs des montagnes par des opérations géométriques ; fouvent même cela eft impraticable. Un voyageur , par exemple, qui traverfe une chaîne de montagnes , & qui defire connoître les hauteurs des points principaux fur lefquels il a gravi, ne fçauroit recourir à ce moyen. Le baromètre en fournit un commode, & affez exaél, pourvu qu’on l’emploie avec les attentions néceffaires.
    • On fentira aifément le principe fur lequel eft appuyée cette méthode , lorfqu’on fe rappellera qu’un baromètre porté au haut d’une montagne , fe foutient à une moindre hauteur qu’au bas; i° parcequ’il a une moindre quantité d’air au deffus de lui ; 2° parceque cet air eft moins denfe , puif-qu’il eft déchargé d’une partie du poids qu’il fup-porte au bas de la montagne. Tel eft le fondement des réglés qu’on a imaginées pour appliquer à la mefure des hauteurs des montagnes, la hauteur à laquelle le baromètre s’y tient. Toutefois ce n’eft pas une légère difficulté de donner une réglé bien exafte pour cela; car la hauteur du mercure dans le baromètre tient à tant de caufes phyfiques qui fe compliquent enfemble, qu’il eft extrême-
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    • 158 Récréât. Mathémat. et Êhÿs.
    • ‘ment difficile de les concilier, & de les foumettrg au calcul. M. de Luc , citoyen de Geneve, qui a traité avec le plus grand foin ce fujet, en combinant toutes les circonftances & toutes ces cau-fes, nous paroît cependant être venu à bout de donner une méthode qui, fi elle n’eft pas abfolu-ment parfaite, eft du moins celle qui approche le plus de l’exaétitude. C’eft à celle-là que nous nous bornerons.
    • Pour procéder avec exa&itude dans cette opération , il eft néceffaire d’avoir un bon baromètre purgé d’air & portatif, avec un bon thermomètre» Nous le fuppoferons de Réaumur, quoique M. de Luc, pour faciliter le calcul, ait propofé une di-vifion particulière. Si l’on afpire à une grande exactitude, il faut encore avoir au pied de la montagne , ou dans une des villes les plus voifi-nes, dont la hauteur au deflus de la mer eft connue , un obfervateur qui examine la marche du baromètre.
    • Parvenu au fommet de la montagne, ou au lieu dont on veut obferver la hauteur, on y examinera la hauteur du baromètre , après l’avoir mis bien verticalement ; on fufpendra auffi à fa proximité le thermomètre dans un endroit ifolé, & l’on tiendra note du degré auquel s’élève le mercure.
    • Cela fait, on comparera la hauteur du baromètre obfervéé fur la montagne, avec, celle du baromètre correfpondant, obfervée dans le même temps; on prendra les logarithmes de ces deux hauteurs exprimées en lignes , & l’on en retranchera les quatre derniers chiffres : ce fera la différence des hauteurs exprimées en toifes de Paris.
    • Mais cette hauteur exige une corre&ion , car elle n’eft exaûe que lorfque la température fimul»
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    • Physique. 159
    • tanée des deux lieux eft de 167, comptés au thermomètre de Réaumur. Pour chaque degré que le thermomètre fera refté au deffous de 167 dans la dation fupérieure, il faudra ajouter une toife fur 215 , & au contraire l’ôter pour chaque degré au deffous de la température qu’on vient de dire.
    • On fera la môme corre&ion *, mais en fens contraire, au moyen du thermomètre qui a refté dans la dation fixe ; c’eft-à-dire que, pour chaque degré dont il s’eft tenu au deffus de 160 7, on retranchera de la hauteur trouvée ci-deffus, une toife fur 115 ; & au contraire. La hauteur trouvée ainfi corrigée deux fois, fera, à bien peu de chofe près, la différence de hauteur des deux lieux au deffus de la furface de la mer, ou la hauteur de l’un fur l’autre.
    • Suppofons, par exemple , que dans la dation inférieure le baromètre fe foit tenu à 27 pouces 2 lignes, ou 3 26 lignes ; que dans la dation fupérieure il ait baiffé à 23 pouces 5 lignes , ou 281 lignes.
    • Le logarithme de 316 eft 1.5132176, celui de 281 eft 24487063 : leur différence eft 0.0645-113, dont retranchant les trois derniers chiffres, pour équivaloir à la divifion par 1000 , il refte 645 toifes.
    • Nous fuppoferons encore qu’au haut de la montagne , le thermomètre de Réaumur montroit 6 degrés au deffus de la congélation, & dans la fta-tion inférieure , 12: c’en, pour la dation fupé-tieure, 107 au deffous de 16 J; par conféquent
    • * Cette fécondé corre&ion, quoique non indiquée par M. de Luc, nous paroît néceüaire par plufieurs raifons qu’il feroit trop long de développer.
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    • 160 Récréât. MathémAt. et Phÿs.
    • lo toifes \ à ajouter par chaque 215, à la hauteur ci - deflus, qu’on trouvera conféquemment, par une réglé de trois, être 32 toifes.
    • On trouvera , par la correction contraire , que la hauteur à retrancher eût 20 ; il reliera confé-quemment 12 toifes à ajouter, ôc la hauteur dou-blement corrigée fera 657 toifes.
    • M. Néedham a obfervé fur le mont Tourné , l’une dés montagnes des Alpes, la hauteur du baromètre de 18 pouces 9 lignes, ou 225 lignes, Suppofons qu’au même inftant on l’eût obfervée , au niveau de la mer, de 28 pouces juftes, ou 3 36 lignes , ce qui elt la hauteur moyenne au bord de la mer : la différence des logarithmes de 336 & 225 , en en retranchant les trois derniers chiffres , elt 1742 : on en pourroit conclure que la hauteur du mont Tourné elt de 1742 toifes au deflus de la mer. Mais comme nous n’avons point d’ob-fervation correfpondante au niveau de la mer , ni d’obfervation du thermomètre , faite en même temps , nous n’employons cette obfervation de M. Néedham, que comme un exemple du calcul. Il elt probable feulement que la hauteur du mont Tourné eft entre 1700 & 1800 toifes. Remarques.
    • Comme un baromètre portatif eft un infiniment très-difficile à fe procurer & à conferver, il eft prefque néceffaire qu’un voyageur obfervateur fe contente de fe former fon baromètre toutes les fois qu’il veut obferver. Mais comme alors fon mercure ne fera point purgé d’air, il fe tiendra quelques lignes plus bas que le baromètre conftruit avec toutes les précautions imaginables. Cette différence peut aller à 2 ou 3 lignes.
    • Ouant
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    • Physique* i6i
    • Quanta un thermomètre de M. de Réaumur, rien de fi facile que d’en tranfporter un ; ainfi il n’y a nulle difficulté.
    • Mais comment fera un voyageur pour avoir des obfervations correfpondantes, foit au bord de la mer, foit dans quelque autre Heu fixe ; ce qui eft pourtant néceflaire pour pouvoir faire un ufage fuffifamment exaft de fes obfervations propres? Cela me paroît mettre à cette maniéré de déterminer les hauteurs des montagnes, des limitations bien confidérables.
    • D’ailleurs il nous femble que, quand même on auroit au bord de la mer , ou dans quelque ville fituée, par exemple, au milieu de la France, dont la hauteur au deffus de la mer feroit connue , un obfervateur affidu, on ne feroit pas beaucoup plus avancé ; car la température de l’atmofphere peut varier fur le bord de la mer de Genes, être à la pluie, par exemple, pendant que le temps fera beau & ferein fur les montagnes des Alpes ou des Apennins, ou au contraire ; nouvelle difficulté à furmonter.
    • On le pourroit faire néanmoins en partie, en. fçachant, pour le bord de la mer la plus voifine , quelle eft la plus grande, la moyenne & la moindre élévation du baromètre 5, & en jugeant , par diverfes conjectures météorologiques, de la nature de la température fur la montagne à mefu-rer, quoiqu’on ne faffe prefque qu’y paffer : car fi un hygromètre y marquait, par exemple, une grande humidité, il y aurbit lieu de croire que le temps eft à la pluie, & que le baromètre ftable y indiqueroit fes moindres hauteurs ; comme au contraire, fi l’air étoit très-fec , on en pourroit conclure avec probabilité que le temps eft ferein, Tome IV. L
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    • 161 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • & que le baromètre fixe y indiqueroit fa plus grande hauteur : mais, il faut en convenir, tout cela n’eft pas d’une exa&itude bien capable de fa-tisfaire.
    • Quoi qu’il en foit, on a fait fur le haut des montagnes bien des observations barométriques, & on en a conclu leurs hauteurs. On en a auffi , par occafion , mefuré plufieurs géométriquement : c’eft pourquoi nous croyons que nos leéïeurs verront avec plaifir une table de ces obfervations ôc hauteurs différentes. Celle que nous allons donner eft formée de plufieurs colonnes , dont la première s’explique d’elle-même ; la fécondé contient la hauteur du baromètre, obfervée dans les lieux défignés par la première. Comme, pour la plupart, on n’a point défigné la température actuelle de l’air, nous prendrons cette hauteur pour la hauteur moyenne , & au degré moyen de chaleur. La troifieme contient la hauteur déduite de l’obfervation , luivant la méthode de M. de Luc. Dans la quatrième nous avons porté la dimen-fion géométrique, quand elle nous a été connue. Quelquefois auffi , ne connoiffant que la dimen-fion géométrique, nous nous fommes bornés à la donner.
    • Nous ne répéterons pas ici ce que nous avons dit ailleurs fur l’exceffive hauteur que les anciens attribuoient à quelques montagnes : on peut le voir dans le tome précédent, page 97.
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    • PHrsîQUË. i6j
    • TABLE des hauteurs de différents lieux de la Terre & de diverfes Montagnes au deffus du niveau de la Mer.
    • NOMS DES Lieux. Haut. du Baromet. Haut. déd.du Baromet. Haut. mefure géométr.
    • France. Paris , niveau de la Seine aux moyennes eaux, au Pont-Royal. Paris, re{ de chauffée de l'Obferv. P. L. Toifes. l8i
    • 58‘
    • Orléans , niveau de la Loire baffe, Lyon, niv. du Rhône, Clermont-Ferrand, Montag. de VAuvergne. 77 i
    • Le Pu de Doinc
    • La Coûta * •—-— Le Puy-de-Violent, - Le Cantal, •••• ••*.* — ..23.9! •23"4- ..43.3.. ".7i6- ....825.. ....840- .851 "Hl
    • Le Mont d’Or, Pyrénées. Mont S. Barth. dans le p. de Foix, Le Mouflet •••• .... .•••... ....... -22 5- ...•984 1040 ITo
    • ••21 ••Oy ••1241- -1289
    • Bains de^Bareee, ——• — Le Pic du midi, .......... ï%9: ••1481- -1454
    • Mont Ventoux, — - Alpes Suisses. Le Lae de Geneve, -1036 -188
    • Lac de Neuchâtel, Le Glacier de Buet.près Geneve, La montagne de la Dole, «£»•••• 19-6 ....825.. —214 ....847
    • LS
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    • ,64 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • NOMS des Lieux. Haut. du Baromet. Haut. déd. du Baromet. Haut. mefure géométr.
    • Le Mont Blanc ou maudit, dans P. L. Toifes. Toifes.
    • le Faucigny, -239O
    • Le Fort d Aarbourg, Le Mont Pilate, C. de Lucerne, L’Antfendas, C. de Berne, ••-„•••• Mont Cothard,/j/tti haute pointe * Apennins. — 237 -1430 •1460 ••2420
    • ....-ttR
    • *|î Carpegna, ....R6R
    • — 8Ô8
    • Alpes Pièmontoises.
    • S Remi "•V * "
    • Mont S. Bernard, au Couvent, — "23 ••20-10 -1254-
    • Cor-May eur, au fommet de VAl- 20"7”
    • Ville des Glacières, Mine de Pefey, en Savoie, -21-10 ••1302 .-94a- -1080-
    • Sicile. Mont Æthna -l8-I7 -1676"
    • * Cette montagne paroît être la plus élevée de notre Europe. J’en al déduit la hauteur de la hauteur apparente, mefurée par M. Micheli, du fort d’Aarbourg, qui en eft à 62000 toifes. Mais comme cette hauteur n’eft que de deux degrés fur l’horizon, je l’ai corrigée, en en déduifant la réfraftion : c’eft une attention que n’a pas eue M. Micheli, & qui lui a fait donner un catalogue des hauteurs des montagnes de la Suiffe, qui excédent sûrement la vérité.
    • * * Cette mefure eft déduite d’obfervations fimultanées du baromètre, faites àCatane, où le mercure étoit à 27 p. 101. (pied de France), & fur l’Æthna, où il étoit à x 8.1 On y a eu aufli égard, fuivant la réglé de M. de Luc, aux différentes températures de l’air, qui étoient fur l’Æthna — 2 4 au thermomètre de Réaumur, 5c à Catane à 19 i.,
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    • Physique.
    • NOMS des Lieux. Haut. B dU Haut. déd. du Baromet. Haut.
    • Canaries. P. L. Toifes.
    • P à ro a. • 17.5..
    • La Vallée de Quito, à Quito, cap. de cette province, — Pitchintcha, volcan éteint, fom- met oriental, —- — Antifana, volcan éteint, El-Coraçon, llinica, - — - —•— .15..II • 15..10 -2453- -2496- -1470 -2434 •3020 -2470
    • Kotopaxi, vole. rail, en 1744, Chimboraço, vole, éteint t -2950 '-2430
    • Tongouragoa, id. — Sangai, id. — — Kota-Catché, au n. de Quito, •••• EEï -2620 •2570
    • J F RI QUE.
    • Montagne de la Table, -24-10 ....52!.. -•537
    • Observation Générale.
    • Nous remarquerons , pour achever cette matière , que l’on ne doit pas entièrement imputer à la méthode les différences affez confidérables qu’on rencontre affez fouvent dans cette table, entre la mefure barométrique & la mefure géométrique. Cette derniere eft certaine ; mais les obfervateurs des hauteurs barométriques ont fouvent fait ufage d’inffruments fort imparfaits ; ordinairement ilè-
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    • 166 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • n’ont point en d’obfervations correfpondantes ; prefque jamais iis n’ont tenu compte de la différence de chaleur dans les poftes de comparaifon: on ne doit donc pas s’étonner de ces différences, qui feroient certainement beaucoup moindres fans ces défauts des obfervations.
    • PROBLÈME X L V.
    • Faire une Fontaine artificielle, à Cimitation F une fource naturelle.
    • N O U S fuppofons qu’on ait à fa difpofition un terrain un peu en pente, dont le fond foit glaifeux 6c peu éloigné de la fuperficie de la terre. Dans ce cas on pourra, par le procédé fuivant , fe procurer une fontaine ou une fource abfolument femblable aux fontaines naturelles, 6c propre à remplir tous les befoins d’une maifon.
    • Pour cet effet, découvrez ce lit glaifeux fur une étendue , par'exemple, d’un arpent ou 30toifes de long fur 30 toifes de large. Il faudra l’encein-dre d’une bande de glaife dans la partie inférieure, en n’y biffant d’ouverture qu’à l’endroit abfolu-ment le plus bas, qui fera celui par où l’eau for-tira. On y adaptera quelque pierre percée d’un trou d’un pouce au plus de diamètre. Cela fait, on ramaffera des cailloux de différentes groffeurs , 6c l’on couvrira cette aire des plus gros, enforte qu’ils ne biffent entr’eux qu’un intervalle de quelques pouces. On en placera d’autres un peu moins gros fur les interftices biffés parles premiers, 6c on en fera ainfî plufieurs amas les uns fur les autres, en diminuant toujours de groffeur, jufqu’à ce que les derniers ne foient plus que comme de très-
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    • Physique. 167
    • gros graviers. On jettera enfuite là-deffus du gros fable à quelques pouces d’épaifleur, & enfuite du plus menu, tel que celui qu’on emploie à fabler les promenades. Mais lî l’on étoit à portée de fe procurer de la moufle , il feroit bon , pour empêcher le fable de couler dans les interftices des cailloux , il feroit bon, dis-je, d’en couvrir la couche de gros graviers , à l’épaifîeur d’un demi-pouce.
    • Il eft évident que l’eau pluviale qui tombera fur toute la fuperficie de cet arpent ,»pénétrera à travers le fable, coulera dans les interftices des cailloux qui couvrent l’aire de glaife , & enfin, par l’effet de la pente du terrain, fe portera vers l’ouverture ménagée dans le bas, d’où elle s’écoulera par un filet plus ou moins gros, fuivant fon abondance.
    • Or, en fuppofant que l’eau qui tombe annuellement fur ce terrain eft de 18 pouces de hauteur, on trouvera que la quantité d’eau qu’il raflemble-roit feroit de 48600 pieds cubes. Nous en fup-poferons un quart abforbé par l’évaporation, ou reftant entre les joints 6c interftices des pierres, du fable 6t de la moufle : on aura donc encore 36000 pieds cubes d’eau par an, ou 4500 muids d’eau, fur lefquels on pourra compter, c’eft-à-dire au moins 12 muids d’eau par jour; ce qui eft , je penfe, tout ce qui eft néceflaire pour les befoins d’une maifon, même confidérable.
    • On me dira peut-être que voilà une fource dont l’eaü coûteroit allez cher. J’en conviens; mais i° je doute que la formation de cette fontaine coûtât autant que la conftruttion d’une citerne , ouvrage qui exige , pour contenir Peau des attentions particulières, un courroi de glaife , &c. 6c qui ne raflemble les eaux pluviales que de
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    • i68 Récréât. MàthémàtC et Phys.
    • quelques toits, de quelques cours, &c. eaux par* conféquent pour la plupart fort mal-propres;'2° je n’ai pas voulu perdre le fruit de mes rêveries. Le leâeur en fera ce qu’il voudra.
    • On pourra , au- refte, rendre ceci beaucoup moins coûteux, en ne préparant, de la maniéré qu’on vient de dire, qu’une petite portion de terrain , comme d’une dixaine de tolfes en quarré dans l’endroit le plus bas ; & pour fuppléer au peu d’abondance de l’eau pluviale qu’on auroit parla, car elle ne feroit que de 5400 pieds cubes, on pourroit dériver fur ce terrain , par des canaux ouverts, celle qui tomberoit fur les environs à une diftance de quelques centaines de toifes : on auroit , par ce moyen, un réfervoir d’eau filtrée très-abondant , &, à ce que je crois, peu coûteux ; l’agrément enfin de jouir d’une fource tout-à-fait femblable à celles que nous donne la nature.
    • Je craindrois feulement que l’eau ne s’en écoulât avec trop de rapidité ; mais on pourroit y obvier , en ne lui laiffant fa fortie que par un trou de la dimenfion convenable pour qu’elle fût à peu près perpétuelle , ou en le garniflfant d’un robinet qu’on tiendroit fermé quand on n’auroit pas befoin de tirer de l’eau.
    • PROBLÈME XLVI.
    • Quelle ejl la. pefanteur de l'air dont le corps d'un
    • homme ejl continuellement chargé ?
    • Qui eft-ce qui s’imagineroit que nous vivons continuellement chargés d’un poids de 30 à 40 milliers qui nous comprime & nous preffe dans tous les fens ? C’eiWà cependant une vérité que
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    • Physique. 169
    • la découverte de la pefanteur de l*aîr met hors de doute.
    • Tout fluide pefe fur fa bafe en raifon de l’étendue de cette bafe & de fa hauteur. Or on a démontré que le poids de l’air équivaut à une colonne d’eau de 32 pieds de hauteur ; conféquem-ment chaque pied quarré à la furface de la terre, eft chargé d’une colonne d’air équivalente à une de 32 pieds cubes d’eau , c’eft-à-dire de 2240 livres, le pied cube pefant 70 livres. On évalue du refte la furface du corps humain , dans un homme de ftature médiocre, à 14 pieds quartés : ainfï, multipliant 2240 livres par 14, on a 31360 livres pour le poids appliqué fur toute la furface du corps d’un homme de ftature médiocre.
    • Mais comment peut-on réfifter à une charge femblable ? la réponfe eft facile. Toute notre machine eft imprégnée d’un air qui eft en équilibre avec cet air extérieur. On n’en fqauroit douter , quand on a vu un animal mis dans la machine pneumatique , s’enfler aufli-tôt qu’on a commencé à en pomper l’air, fe diftendre enfin au point de périr, & de crever même, fi l’on con-
    • C’eft cette différence de pefanteur qui nous rend ou plus leftes ou abattus, fuivant que notre corps eft plus ou moins chargé. Dans le premier cas , le corps étant plus reflerré par le poids de l’air, le fang circule avec plus de rapidité, & toutes les fonctions de l’animal fe font avec plus de facilité. Dans le fécond, le poids ayant diminué , toute la machine eft relâchée , & les orifices des vaifleaux le font à proportion ; le fang manque de vélocité, & ne donne plus au fluide nerveux l’aAivité qu’il avoir : l’on eft abattu, incapable
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    • 170 Récréât. Màthémàt. et Phys.
    • de travail & de réflexion , & cela arrive fur-tout lorfque l’air eft en même temps humide ; car rien ne relâche autant les fibres de notre frêle machine , que l’humidité.
    • PROBLÈME XLVII.
    • Conjlruclion d'une petite machine qui, à limitation de la jlatue de Memnon , produira des fons au lever foleil.
    • Tout le monde fqait ce qu’on raconte de fa ftatue de Memnon, expofée dans un temple d’Egypte. Si l’on en croit les anciens hiftoriens, elle faluoit le foleil levant par des fons qui paroiffoient fortir de fa bouche. Quoi qu’il en foit de ce trait hiftorique, voici la maniéré de produire un pareil effet.
    • 4, Soit un piédeftal en forme de parallélépipède
    • 12* concave ABC ; que la concavité en foit divifée en deux parties par un diaphragme DE. La partie inférieure doit être bien clofe, & remplie d’eau jufqu’au tiers environ de la hauteur, & le furplus doit être rempli, d’air. Le diaphragme DE doit être percé d’un trou qui donne palfage à un tuyau de quelques lignes de diamètre, bien foudé avec ce diaphragme , & defcendant jufques près du fond de la cavité inférieure. Il doit y avoir dans ce tuyau affez d’eau pour que, l’air étant refroidi au degré de la température de la nuit, l’eau foit à peu près au niveau de FG. Une des faces du piédeftal doit être enfin affez mince pour s’échauffer facilement aux rayons du foleil. Le plomb eft un des métaux qui s’échauffent le plus de cette maniéré ; c’eft pourquoi une lame mince de plomh fera propre à cet effet.
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    • Physique. 171
    • KL eft un axe tournant librement fur des pivots en K & L, & autour de cet axe eft enroulé un filet très-flexible, foutenant d’un côté le poids N, & de l’autre le poids M, qui plonge librement dans le tuyau HI. Le rapport de ces poids doit être tel, que le poids M l’emporte fur N lorfque le premier fera livré à lui-même, mais N doit l’emporter fur M lorfque celui-ci perdra une partie de fon poids en nageant dans l’eau ; ce qui eft facile à combiner.
    • Enfin l’axe KL porte un tympan de quelques pouces de diamètre & de longueur , garni à fa circonférence de dents qui, en appuyant fur les touches d’un petit clavier, font lever des faute-reaux qui frappent des cordes accordées harmoniquement. Il faut qu’un tour ou deux du tympan achèvent l’air, qui doit être au furplus très-fim-ple, & compofé de peu de notes. Toute cette petite mécanique peut être facilement renfermée dans la cavité fupérieure du piédeftal. Le deffus portera une figure en bufte, telle qu’on repréfente la ftatue de Memnon, avec la bouche ouverte & en attitude de parler. Il ne feroit pas difficile de lui faire des yeux mobiles , & qui euflent un mouvement dépendant de celui de l’axe KL.
    • D’après cette conftru&ion, on fentira aifément que le côté du piédeftal expofé au levant, ne pourra recevoir les-rayons du foleil fans s’échauffer ; qu’en s’échauffant, il échauffera l’air contenu dans la cavité inférieure; que cet air fera monter l’eau dans le tuyau HI ; qu’alors le poids N l’emportera , & fera tourner l’axe KL avec le tambour garni de pointes, qui feront lever les touches du petit clavier; ce qui donnera des fons, & fera ionner le petit air qu’on aura noté. Mais il faudra,
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    • i7i Récréât. Màthémat: et Phys.
    • pour cet effet, que le diamètre de l’axe KL fort ntodelé de maniéré que le poids N, en dépendant , par exemple de deux lignes, faffe faire affez rapidement un tour ou deux au tambour, afin que les fons fe fuccedent affez rapidement l’un à l’autre pour former un air.
    • Le P. Kircher avoit, dit-on, dans fon Mufeum , une machine à peu près femblable, dont le P. Schott donne , la defcription ; mais je crois être fondé à dire qu’elle ne produifoit point fon effet, car le P. Schott fe borne à faire pouffer de l’air par un petit tube contre des efpeces de vannes dont étoit garnie une petite roue: mais, comme cet air ne feroit forti que fort lentement, il eft clair que la roue n’eût eu aucun mouvement. Si donc la machine du P. Kircher produifoit fon effet, comme on le dit, la defcription du P. Schott n’eft pas celle de fon mécanifme. Je n’oferois encore gager que celle-ci remplît fon objet, car je doute fort que le foleil levant raréfiât fenfible-ment l’air renfermé dans la cavité inférieure. Remarque.
    • Nous bornerons ici ce que nous avons à dire fur les différentes machines qu’on peut mettre en mouvement au moyen de la compreflion, de la raréfa&ion , de la condenfation , 'ôcc. de l’air ; car fi nous voulions imiter le bon P. Schott, nous trouverions la matière d’un volume in-40. Nous nous contenterons donc d’indiquer aux curieux de ces machines, la Mecanica hydraulico-pneuma-tica ( Francf. 1657, in-40) de ce Jéfuite, ou fa Technica curiofa, feu Mirabilia artis ( Herbip. 1664,2 vol. in-40) i on y trouvera de quoi s’amit-fer jufqu’à fatiété de ces inventions affez frivoles,
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    • Physique. i7î
    • compilées pour la plupart des ouvrages du P. Kircher, qui s’en eft beaucoup occupé ; ou d’après Héron , dans fes Spiritalia ; Alleoti, fon traducteur & commentateur ; Dobrezensky, dans fa Philofophia Fontium ; &c, &c.
    • PROBLÈME XLVIII.
    • Des Phénomènes des. Tuyaux capillaires.
    • O N appelle tuyaux capillaires, des tuyaux de verre dont la capacité intérieure eft d’un diamètre très-étroit, comme d’une demi-ligne & au defîbus. L’origine de cette dénomination eft aifée à re-connoître.
    • Ces tuyaux préfentent des phénomènes fort fin-guliers , & fur l’explication defquels je ne vois pas qu’on fe foit encore accordé. Il a été jufqu’à ce moment plus aifé de détruire à cet égard que d’élever. Voici les principaux de ces phénomènes.
    • I. On fçait que dans deux tuyaux qui fe communiquent , l’eau, ou un fluide quelconque, s’élève à même hauteur ; mais !î une des branches eft capillaire, cette réglé n’a plus lieu ; l’eau s’élève plus haut que le niveau dans le tube capillaire, & d’autant plus au deffus du niveau de l’autre branche , qu’il eft plus étroit.
    • Il parut d’abord bien facile aux premiers phyfi-ciens, témoins de ce phénomène, d’en donner une explication. On imagina que l’air qui preffe fur l’eau contenue dans le,tube capillaire , éprou-voit quelque difficulté à exercer fon aélion, à caufe du peu de largeur du tuyau ; il devoit donc en réfulter un exhauffement du fluide de ce côté.
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    • 174 Récréât. Mathémat. et Phÿs.
    • Cela n’étoit pas bien fatisfaifant ; car quelle apparence que l’air, dont les particules font fi déliées , ne fût pas fort à fon aile dans un tuyau d’une demi-ligne ou d’un quart de ligne de diamètre?
    • Mais quelle que fût cette explication, fatisfai-fante ou non à cet égard , les deuxieme & troi-lieme phénomènes des tuyaux capillaires la ren-verferent entièrement. En effet,
    • II. Lorfqu’au lieu d’un fluide aqueux on emploie du mercure, ce fluide, au lieu de s’élever dans la branche capillaire jufqu’au niveau de la ligne qu’il atteint dans l’autre, ce fluide, dis-je, relie au delfous de ce niveau.
    • III. Qu’on falfe l’expérience dans le vuide, tout relie de même que dans l’air ouvert. Ce n’eft donc pas dans l’air qu’il faut chercher la caufe du phénomène.
    • IV. Si l’on frotte l’intérieur du tube avec une matière graiffeufe, comme du fuif, l’eau , au lieu de s’élever au deflus du niveau, relie au delfous. Il en elt de même li l’on fait l’expérience avec un tube de cire, ou avec des plumes d’oifeaux, dont l’intérieur eft toujours graifleux.
    • V. Si l’on plonge le bout d’un tuyau capillaire dans l’eau, ce fluide s’y éleve aufli-tôt au delfus du niveau de celui du vafe, à la même hauteur qu’il s’éléveroit dans le cas d’un fyphon à branches d’un côté capillaire & de l’autre de diamètre ordinaire ; enforte que, fi on touche feulement la fuperficie de l’eau, elle eft aufli-tôt comme attirée à la hauteur que nous venons de dire, & elle y relie fufpendue lorfqu’on retire le tube de l’eau.
    • VI. Si un tube capillaire étant foutenu perpen-
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    • Physique. 175
    • diculairement ou fort près de la verticale, on fait couler fur fa fuperficie extérieure une goutte d’eau, lorfqu’elle eft arrivée à l’orifice inférieur , elle entre dans le tube, & fi elle eft fuffifamment groffe, elle y occupe la hauteur à laquelle elle fe «endroit au deflus du niveau dans une branche de fyphon de ce calibre.
    • VII. Les hauteurs auxquelles l’eau fe foutient dans un tube capillaire, font en raifon inverfe des diamètres. Ainfi, ayant obfervé, par exemple , que dans un tuyau d’un tiers de ligne l’eau s’élève à la hauteur de 10 lignes , elle devra s’élever à la hauteur de 20 lignes dans un tuyau d’un fixieme de ligne ; à la hauteur de 100, dans un tuyau d’un trentième de ligne.
    • Dans de pareils tuyaux , l’abaiflement du mercure au deffous du niveau , fuit auffi la raifon inverfe des diamètres des tubes.
    • VIII. Si un tube capillaire eft formé de deux PI. 4, parties ayant des calibres inégaux, comme l’on nS- 23* vok dans la fig. 23, où AB eft d’un calibre beaucoup moindre que BC ; que a b foit la hauteur
    • où l’eau fe foutiendroit dans un tube tel que AB ,
    • & c d celle où il fe tiendroit dans le plus large BC ; qu’on plonge ce tube enforte que l’orifice du plus petit B , foit élevé au deflus du niveau d’une hauteur plus grande que c d, l’eau s’y foutiendra, comme on voit dans la fig. 24, à cette hauteur 24* cd au deflus du niveau : mais fi on plonge le tube enforte que l’eau arrive jufqu’à B, elle s’élèvera tout de fuite à la même hauteur que fi le tube eût été du même calibre que celui d’en haut.
    • Il en eft de même fi l’on plonge le tube capillaire en commençant par le plus étroit.
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    • 176 Récréât. Math£mat. et Phys.
    • IX. On fe tromperoit fi l’on imaginoit que les liqueurs les plus légères s’élèvent davantage. L’ef-prit-de-vin eft des liqueurs aqueufes celle qui s’y éleve le moins : dans un tube où l’eau s’élevoit à 26 lignes, l’efprit-de-vin ne s’y élevoit qu’à 9 ou 10. En général l’élévation de l’efprit-de-vin n’eft que la moitié ou le tiers de celle de l’eau.
    • Cette élévation dépend auffi de la nature du verre ; dans certains tubes, l’eau fe tient beaucoup plus haute que dans d’autres, quoique leurs calibres foient les mêmes.
    • Il eft néceffaire de connoitre ces phénomènes, pour fe convaincre que ce n’eft rien d’extérieur au tube & à la liqueur qui produit ces effets. En effet, les phénomènes font abfolument les mêmes dans le vuide ou dans l’air extrêmement atténué , que dans celui que nous refpirons. Ils varient auffi félon la nature du verre dont le tube eft formé : ils font auffi différents , félon la nature du fluide. C’eft donc dans quelque choie d’inhérent à la matière du tube &. à celle du fluide, qu’on doit les rechercher.
    • On donne communément pour caufe de ces phénomènes , l’attraftion qu’exercent mutuellement le verre fur l’eau & l’eau fur le verre. Cette explication a trouvé un grand contradiéleur dans le P. Gerdil, religieux Barnabite & habile phyfi-cien, qui a fait tout fon poffible pour la renver-fer. M. de la Lande, au contraire, a pris fa dé-fenfe, & eft un des écrivains modernes qui ont mis cette explication dans le plus beau jour. On peut voir auffi à ce fujet, parmi les Mémoires de Pétersbourg , un écrit de M. Weitbrecht, très-profond & très-fqavant. On ne trouvera pas mauvais que nous nous bornions à ces indications.
    • PROBLÈME
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    • Physique. 177
    • PROBLÈME XL I X.
    • De quelques tentatives du mouvement, perpétuel , au moyen de fyphons capillaires.
    • Dè s cju’on a vu l’eau s’élever dans un tube capillaire au deflus du niveau de celle dans laquelle il étoit plongé , ou au deflus de celui où elle étoit dans le tube non-capillaire, avec lequel il forme un fyphon renverfé , on n’a pas manqué d’en conjetturer la poflibilité du mouvement perpétuel ; car, a-t-on dit, fl l’eau s’élève à la hauteur d’un pouce au deflus de ce niveau, interrompons ion afeenfion, en ne donnant au tube que trois quarts de pouce : l’eau s’élèvera donc au deflus de l’orifice , & retombant par «les côtés dans le vafe , il s’en élevera d’autre, & ainfl fans ceffe : ou bien, que l’eau élevée dans la branche capillaire du fyphon foit dérivée par un tube incliné dans l’autre branche, il fe fera un mouvement de circulation continuel ; & voilà un mouvement perpétuel donné par la nature.
    • Mais malheureufement l’expérience ne confirme pas cette idée. Si l’on intercepte l’âfcenfion de l’eau dans un tube capillaire, en le^oupant, par exemple, à la moitié de la hauteur à laquelle elle devroit s’élever, l’eau ne s’élève pas pour cela au deflus de l’orifice pour retomber fur les côtés. Il en eft de merne de l’autre tentative.
    • Mais en voici une fort ingénieufe, & telle, qu’il eft bien difficile de reconnoître la caufe de fon peu de füccès.
    • Soit le tuyau capillaire ABC, mais dont la Ion- PI. 4, gue branche foit d’un diamètre beaucoup plus fig. *5-petit que l’autre. On fuppofe que l’orifice A étant Tome IK M
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    • 178 RicRiAT. Màthémat. et Phys. plongé dans l’eau du vafe DE, elle s’élève jufqu’en B, fommet de la courbure du tuyau ; dans l’autre branche BC , l’eau ne s’éleveroit que de la hauteur CH au-deflus du niveau.
    • Retournons à préfent ce Typhon, rempliflons-le d’eau , & plongeons-le à la profondeur fuffifante pour que l’eau pût s’élever , comme il a été dit ci-deffus, jufqu’à la courbure B : il paroît évident & inconteftable que l’eau qui remplira la partie BH, forcera en enbas l’eau contenue en CN. Or cela ne peut Te faire fans que l’eau contenue en AB la fuive ; ainfi l’eau montera continuellement de A en B, & retombera par la branche BC dans le vafe. Ainfi voilà un mouvement perpétuel.
    • Rien de plus fpécieux ; mais malheureufement encore l’expérience détruit cette illufion : l’eau ne tombe point par la branche BC ; au contraire , elle remonte jufqu’à ce que la branche AB foit feule remplie.
    • Nous croyons devoir ioindre ici une autre idée de mouvement perpétuel au moyen de deux typhons , quoique ce ne foient pas précifément des Typhons capillaires qui y foient employés. Elle mérite d’autant plus attention, que ce n’eft pas un homme fans nom qui l’a propofée, mais un homme des plus célébrés avec raifon dans les mathématiques ; pour le dire enfin en un mot, l’il-luftre Jean Bernoulli.
    • Soient, dit M. Bernoulli, deux liqueurs mif-cibles entr’elles , & dont les pefanteurs fpécifiques foient comme les lignes AB, CD : on fçait que fi deux tuyaux, communiquant l’un à l’autre, ont leurs hauteurs au deflus de la branche de communication dans ce même rapport, on pourra remplir la branche la moins haute du fluide le plus
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    • Physique. 179
    • pefant, & la plus haute du plus léger, & que ces deux fluides Te tiendront en équilibre ; d’où il fuit que fi la branche la plus haute étoit recoupée quelque peu au défions de la longueur qu’elle doit avoir, le fluide contenu dans cette branche pour-roit couler dans la plus baffe.
    • Suppofons maintenant que la branche la moins Pl. élevée EF, Toit remplie d’un fluide compôfé de fig. deux liqueurs de différentes pefanteurs fpécifiquès,
    • & qu’au point F foit établi un filtre qui ne laiffe paffer que la plus légère ; que le tube FG Toit rempli de celle-ci, & qu’il Toit un peu moins haut, pour établir l’équilibre entre la liqueur de la branche EF, & celle de la derniere FG.
    • Les chofes étant ainfi , & le filtre ne laiffant paffer que la liqueur la plus légère, celle-ci, en vertu de l’équilibre rompu , fera pouffée dehors par l’orifice G, & conféquemment pourra , par un petit tuyau de dérivation, être ramenée dans l’orifice E, où elle fe mêlera de nouveau à la liqueur contenue dans EF ; & cela continuera toujours, car la colonne de liqueur GF fera toujours trop légère pour contre-balancer la colonne de liqueur compofée EF. Ainfi voilà un mouvement perpétuel ; St c’pff celui, dit M. Bernoulli, par lequel la nature entretient les fleuves au moyen de l’eau de la mer. Car, .tenant encore aux idées anciennes fur l’origine des fontaines, il imaginoit que c’étoit par un mécanifme femblable que l’eau de la mer , dépouillée de fon fel, patvenoit au fommet des montagnes. Il rejetoit feulement l’idée de ceux qui prétendoient qu’elle s’élevoit au deffus de fon niveau par une fuite de la propriété des tuyaux capillaires ; car il remarquoit qu’elle n’auroit pu couler
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    • 1S0 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • Nous n’ofons dire ee qui arriveroit, fi l’on pou-voit parvenir à remplir les fuppofitions de M. Bernoulli : cependant nous Tommes très-portés à croire que cela ne réufliroit pas ; & de même que le raifonnement précédent fur les tubes capillaires, quoiqu’en apparence convainquant, eft néanmoins démenti par l’expérience , nous croyons que celui de M. Bernoulli le feroit pareillement.
    • PROBLÈME L.
    • Force prodigj.eu.fe de P humidité pour enlever des fardeaux.
    • Un des phénomènes les plus finguliers de la phyfique , eft la force avec laquelle agiffent les vapeurs de l’eau ou l’humidité pour pénétrer dans les corps qui en font fufceptibles. Qu’on attache un fardeau très - confidérable à une corde bien feche & bien tendue ; que cette corde foit de la longueur précife pour que le fardeau repofe feulement à terre : vous n’avez qu’à mouiller la corde , vous verrez ce fardeau foulevé.
    • Tout le monde fçait ce qu’on raconte du fameux obélifque élevé par Sixte V devant Saint-Pierre de Rome. On prétend que le chevalier Fontana, que ce pape avoit chargé d’élever ce monument, fut fur le point de voir manquer fon opération , lorfqu’il fallut le placer fur fon piédef-tal. Il étoit en l’air ; mais les cordes s’étant un peu relâchées, la bafe de l’obélifque ne pouvoit atteindre le deflus du piédeftal. Un François cria , dit-on , au hafard de la vie, de mouiller les cordes : le confeil fut fuivi, & l’obélifque s’éleva, comme de lui-même, à la hauteur néceflaire pour fe placer debout fur le piédeftal préparé.
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    • Physique. tSi
    • Au refte cette hiftoire, quoique répétée partout , n?en eft pas moins un conte. On n’a qu’à lire la defcription de la manœuvre par laquelle le chevalier Fontana éleva fon obélifque, &: l?on» verra qu’il n’avoit pas befoin de ce fecours. Deux tours de plus de lès cabeftans étoient plus faciles à faire , que d’aller chercher des éponges & de l’eau pour mouiller fes cables. Mais le conte eft établi, & on le répétera encore long-temps, fur-tout en France, parcequ’il y eft queftion d’un-François.
    • Quoi qu’il en foit, voici un fécond exemple de la force de l’humidité pour furmonter les plus grandes réfiftances : c’eft le moyen par lequel on fait les meules de moulins. Lorfqu’on a trouvé une maffe de meuliere aflez confidérabfe, on la taille en forme de cylindre de plufieurs pieds de hauteur : il s’agit enfuite de la- recouper par tranches horizontales, pour en former autant de meules. Pour cet effet, on fe contente de faire tout autour des tranchées circulaires & horizontales, aux diftances convenables pour l’épaiffèur qu’on veut donner à ces meules. On fait fécher au four des coins de bois de faule, qu’on enfonce: enfuite dans ces tranchées à coups de malle. Lorsqu'ils font fuffifamment enfoncés, on l’es mouille* ou même on fe contente de les laiffer expofés à l’humidité de la nuit : on trouve le lendemain chaque tranche féparée, & toutes les meules déro-quées. Tel eft le procédé que , félon M. de Mai-ran, on fuit en divers endroits pour cette fabrique;.
    • Par quel mécanifme un pareil effet s’opere-t-il * C’eft une queftion que fe fait M. de Makan, 8t à laquelle il me femble qu’il répond mal. Pour nous, nous penfons que c’eft l’effet del’attta&kMfe
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    • 1S1 Récréât. Mathémat. et Phys. par laquelle l’eau Te porte dans les tuyaux capillaires infiniment étroits dont le bois eft plein. Suppofonseneffetun de ces tuyaux extrêmement petit, comme d’une centième de lignes de diamètre, Suppofons de plus , que les parois en foient inclinées d’une fécondé ; que la force avec laquelle l’eau tend à s’introduire dans ce tuyau, foit d’un quart de grain : cette force fi légère tendra à écarter les parois flexibles du tube , avec une force d’environ 50000 grains, qui font 5 livres & demie. Que dans un pouce de longueur il y ait feulement 50 de ces tubes , ce qui fait 1500 dans le pouce quarré, il en réfultera un effort de 13700 livres. Un coin de ceux dont on a parlé, peut bien être de 4 à 5 pouces quarrés fur fa tête: ainfi voilà 51 ou 65 mille livres d’effort qu’il exerce. Suppofons-en environ 10 dans le contour d’un tambour deftiné à former des meules ; ils exerceront enfemble un effort de 520 ou 650 milliers. Il ne doit plus paroître étonnant qu’ils produifent une féparation entre les blocs dans les intervalles defquels on les a introduits,
    • PROBLÈME LI.
    • De. la Machine eu Digejleur de Papin.
    • La machine ou le digefteur de Papin, eft un vafe au moyen duquel on donne à l’eau un degré de chaleur fupérieur à celui de l’eau bouillante. En effet, l’eau expofée à l’air ordinaire ou à la fimple preflion de l’atmofphere, ne peut prendre , quelque fort qu’elle bouillonne, qu’un degré de chaleur qui ne varie point ; mais celle qui eft renfermée dans la machine ou le di-
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    • Physique. 183
    • gefleur de Papin, y prend un tel degré de chaleur , qu’on peut, par fon moyen., exécuter de$ opérations auxquelles l’eau bouillante ordinaire eft abfolument infuffifante : on en verra la preuve dans la defcription des effets qu’on obtient par cette machine.
    • Il fuffit pour cela de contenir l’eau dans un vafe dont elle rempliffe toute la capacité , & qui foit affez folide pour réfifter à l’effort qu’elle exerce contre fes parois. Ce vafe peut par conféquent être de la forme qu’on voudra , quoique la forme cylindrique ou fphérique y foit à préférer; mais il faut qu’il foit de cuivre ou de bronze : il faut de plus que le couvercle s’y adapte de maniéré à ne laiffer aucun interftice par lequel l’eau puiffe s’échapper. Pour empêcher plus sûrement que le vafe n’éclate, on pratique au côté du vafe ou au couvercle un trou de quelques lignes , garni d’un tuyau montant, fur lequel on place un bras de levier retenu par un poids. Ce bras de levier fert, pour ainfi dire, de modérateur à la chaleur; car s’il n’y avoit aucun poids fur l’orifice de ce régulateur, l’eau parvenue au degré d’ébullition ordinaire fuiroit prefque toute par cette ouverture , ou en eau , ou en vapeurs : fi le poids eft léger, il faudra, pour le foulever, qu’elle prenne un degé de^chaleur plus grand. S’il n’y avoit point de fera-blable régulateur, la machine pourroit éclater en. morceaux, par l’effort de l’expanfion de l’eau. C’eft pourquoi il eft à propos que la machine foit en cuivre ou en fer du&ile, & non en fer de fonte;, car ces premiers métaux n’éclatent pas en morceaux comme le dernier , mais fe déchirent en quelque forte ; ce qui ne produit pas des accidents dangereux, comme fait le dernier en éclatant.
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    • 184 Récréât. Màthémàt. et Phys.
    • La machine donc ainfi conftruite, on la remplit d’eau, on y adapte le couvercle, qu’on affure fur la machine par un cadre de fer qui l’embraffe de haut en bas, St la ferre fortement par des vis : on finit de la remplir par le petit tuyau de rëgiftre, & on l’expofe au feu des charbons ardents. L’eau ne fçauroit y bouillonner, mais elle y prend un tel degré de chaleur, qu’elle peut ramollir St dé-compofer en peu de temps les corps les plu? durs, tandis que l’on n’en viendroit pas à bout par l’ébullition ordinaire , prolongée pendant des Cernâmes entières : on dit même qu’on peut pouffer cette chaleur jufqu’à faire rougir la machine ; dans lequel cas il eft clair que l’eau même eft réduite au même état : mais je crois cette expérience fort dangereufe.
    • Quoi qu’il en foit, voici quelques effets de cette chaleur pouffée feulement à trois, quatre ou cinq fois celle de l’eau bouillante.
    • La corne de bœuf, l’ivoire, les écailles de tortue, y font en peu de temps ramollis, St enfirz réduits en une efpece de gelée.
    • Les os les plus durs , comme de h cuiffe de bœuf, y font pareillement ramollis, St enfin entièrement décompofés , de maniéré que la partie gélatineufe en eft féparée, St le reftant n’eft plus que la matière terreufe. Lorfqu’on n’a employé à cette décompofition que le degré de chaleur convenable , cette gelée peut fe raffembler ; elle fe coagule à mefure qu’elle fe refroidit, 6c peut faire du bouillon nourriffant, qui fèroit même tout aulîî bon que le bouillon ordinaire, s’il n’avoit pas un peu de goût empyreumatique. On peut faire ab-folument deffécher ces tablettes de gelée, St elles te confervent très-bien, pourvu qu’elles foient à
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    • Physique. i8f
    • l’abri de l’humidité. Elles peuvent fuppléer au bouillon de viande , &c.
    • On peut concevoir par-là combien cette machine préfente d’utilité aux arts, à l’économie, à la navigation.
    • On pourroit, de ces os rejetés comme inutiles, tirer pour les pauvres une fubfiftance dans les temps de difette, où quelques onces de pain, avec le bouillon provenant de ces tablettes, leur feroient un aliment fain & plein de fubftance.
    • Les marins pourroient emporter avec eux, dans de longues navigations, de pareilles tablettes renfermées dans des jarres fcellées hermétiquement ; elles coûteroient infiniment moins que des tablettes de viande , puifque la matière dont ces premières feroient retirées n’a aucune valeur. Les matelots , qui ne vivent habituellement que de viande falée, feroient moins expofés au fcor-but. On pourroit tout au moins réferver ces tablettes pour les temps de difette de viande fraîche ou d’aliments quelconques, ce qui arrive fi fou-vent à la mer. Quel avantage de pouvoir tenir raffemblée dans un petit volume la partie nour-riffante de dix bœufs! car , puifqu’une livre de bœuf contient au plus une once de matière géla-tineufe réduite àficcité. Il fuit que 1500 pefant de cette viande, ce qui eft tout au plus le poids d’un bœuf, n’en donneraient que 94 livres, qui pourroient facilement tenir dans une jarre de grès.
    • Dans les arts enfin, combien d’utilité à retirer d’une machine où les matières les plus dures, comme l’ivoire , la corne , les os, les bois, font amollies, & rendues, fufceptiblès d’être moulées, & de garder la forme qu’on leur aura donnée !
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    • i86 Récréât. Mathémàt. et Phys<
    • PROBLÈME LU.
    • Pourquoi dans l'hiver, lorfque le temps fe radoucit tout-à-coup , l'air intérieur des maifons continue , même pendant plusieurs jours , à être plus froid que L'extérieur ?
    • Cette queftion ne fera pas fort embarraffante pour ceux à qui les phénomènes de la communication de la chaleur font connus. Ils fçavent en effet que plus un corps eft rare, moins il faut de temps pour l’échauffer ou le refroidir ; qu’au contraire, plus il eft denfe, plus il retient, pour ainli dire , avec opiniâtreté la chaleur qu’il a une fois reçue.
    • D’après cela on fent aifément que , quand le froid a régné pendant quelque temps , tous les corps qui compofent nos maifons fe font refroidis au même degré que l’air extérieur. Mais lorfque cet air extérieur, par quelque caufe particulière , devient tout-à-coup plus chaud, ces mêmes corps ne prennent pas tout de fuite la même température ; ils ne perdent que peu à peu celle qu’ils avoient reçue ; & pendant tout ce temps l’air intérieur, qui en eft environné de toutes parts, con-ferve le même degré de froid.
    • Les maifons bâties bien folidement, c’eft-à-dire de bonnes & fortes pierres de taille , qui ont des murs fort épais , doivent par cette raifon con-ferver beaucoup plus long-temps le froid qu’elles ont une fois reçu de l’air extérieur ; & par cette même raifon, l’air y reftera pendant plus long-temps dans une température inférieure à celle de l’extérieur, que dans une maifon plus légèrement bâtie ; par la même raifon enfin, il y fera
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    • Physique. 187
    • suffi moins froid dans le commencement de l’hiver, que dans une maifon moins folide.
    • PROBLÈME LIII.
    • De quelques Jignes naturels auxquels on peut prévoir le changement de la température actuelle de Vair.
    • Cette partie de la phyfigue eft, nous l’avouons, encore fort peu avancée. Nous ne con-noiffons perfonne qui ait fait une fuite fuffifante d’obfervàtions, pour montrer la liaifon des changements de la température de l’air avec les divers lignes phylîques qu’on en réputé ordinairement comme les avant-coureurs. Je comptois trouver fur ce fujet beaucoup de chofes dans le Traité de Météorologie du P. Cotte ; mais cet ouvrage , extrêmement utile à d’autres égards, ne touche pas un feul mot de cette matière *. Nous nous bornerons donc ici à rapporter quelques-uns des lignes qu’on donne communément comme annonces du beau ou du mauvais temps. Les voici. Nous ne les ga-rantilîbns point fans exception.
    • 1. Lorfqu’en hiver on voit le matin fur la terre une grolfe rofée blanche, il ne manque guere de pleuvoir le fécond ou troifieme jour au plus tard.
    • 2. On a auffi remarqué qu’il ple^jfc ordinairement le jour où le foleil paroît rouge ou pâle , ou bien le lendemain , quand le foleil fe couche en-
    • * Note du Cenfeur. Il y a l’ouvrage de M. Toaldo, qui contient probablement ce que l’auteur a vainement cherché dans celui du P. Cotte ; mais je ne le connois pas moi-même allez pour l’affurer.
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    • iSS Récréât. MatHémat. et Phys.
    • veloppé d’un gros nuage ; & alors, s’il pleut d?a« bord, il fait le lendemain beaucoup de vent. Cela arrive aufli prefque toujours, lorfque le foleil en fe couchant paroît pâle.
    • 3. Lorfque le foleil eft rouge à fon couchant, c’eft ordinairement un ligne de beau temps pour le lendemain ; & au contraire, s’il eft rouge en fe levant, il y a ordinairement le lendemain pluie ou grand vent.
    • 4. Lorfque le foleil étant couché , ou peu avant qu’il fe leve, on voit s’élever fur les eaux & les endroits humides une vapeur blanche, on peut conjeélurer avec vraifemblance que le jour fuivant fera beau.
    • 5. La lune donne des marques d’une pluie future lorfqu’elle eft pâle, de vent quand elle eft rouge, & de beau temps lorsqu’elle eft claire & argentine ; félon ce vers latin :
    • Pallida luna pluit, rubicunda fiat9 alba fermât.
    • 6. On a des marques en été d’une tempête future , quand on voit dans le ciel de petites nuées noires, détachées & plus baffes que les autres , errer qà & là ; ou bien lorfqu’au lever du foleil on voit plufieurs nuages s’affembler à l’occident. Si au contraire ces nuages fe diffipent, c’eft une marque de beau temps. Enfin, quand le foleil- paroît double ou triple au travers des nuages, il pronoftique une tempête de longue durée. On a encore des marques d’une grande tempête, quand on voit autour de la lune deux ou trois cercles interrompus ôt tachetés.
    • 7. Quand on voit une iris, ou plutôt un halon
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    • Physique. 1&9
    • autour de la lune, c’eft un ligne qu’il y aura de la pluie ; & lorfque, dans un air ferein & clair, on voit un halon autour du foleil, c’eft encore un ligne de pluie ; mais c’en eft un de beau temps, quand ce halon paroît en temps de pluie.
    • 8. Lorfque le temps eft extraordinairement tranquille & pefant, que les animaux donnent des lignes d’effroi, on peut prefque aflurément compter fur une grande tempête. Le baromètre defcend dans ce cas tout-à-coup , & extraordinairement bas.
    • 9. On a plulîeurs autres lignes d’une pluie peu éloignée, dans les a&ions de quelques animaux, fçavoir :
    • Quand on a coutume de voir les oifeaux plus occupés que de coutume à chercher dans leurs plumes les petits infe&es qui les moleftent ;
    • Lorfque ceux qui ont coutume de fe tenir fur les branches des arbres fuient dans leurs nids ;
    • Lorfque les foulques & les autres oifeaux d’eau, fur-tout les oies, criaillent plus qu’à l’ordinaire ;
    • Lorfque les hirondelles rafent en volant la fur-face de la terre ;
    • Quand les pigeons retournent dans leur colombier avant l’heure accoutumée ;
    • Quand certains poiffons, comme les marfouins, viennent fe jouer à la furface de l’eau ;
    • Lorfque les abeilles ne quittent pas leurs ruches, ou s’en éloignent peu;
    • Quand les moutons fautent extraordinairement , éc fe battent les uns les autres avec leurs têtes;
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    • 196 RicRÉAt. Màthémat. et Phys.
    • Lorfque les ânes fecouent les oreilles, ou qu’ils font extraordinairement piqués de mouches ;
    • Quand les mouches & les puces piquent plus vivement & plus opiniâtrement qu’à l’ordinaire ;
    • Lorfqu’il fort de la terre une grande quantité de vers ;
    • Quand les grenouilles croaffent plus qu’à l’ordinaire ;
    • Lorfque les chats fe frottent la tête avec les pattes de devant, Sc qu’ils fe nettoient le refte du corps avec la langue ;
    • Lorfque les renards & les loups heurlent forte*
    • Quand les fourmis quittent leur travail, & fe vont cacher dans la terre ;
    • Lorfque les bœufs liés enfemble lèvent la tête en haut, & fe lechent le mufeau ;
    • Lorfque le coq chante avant fon heure accoutumée ;
    • Quand les poules affemblées fe prefïent dans la pouffiere ;
    • Lorfqu’on entend crier les crapauds en des lieux élevés.
    • 10. On peut prefque affurer que la pluie ne fera pas de longue durée, quand, malgré la pluie, on apperqoit quelque petit efpace du ciel bleu : c’eft un ligne fort connu des chaffeurs.
    • 11. Les très-grandes tempêtes , fur-tout lorf-qu’elles font accompagnées de tremblements de terre, font toujours précédées d’un calme extraordinaire de l’air, mais de ce calme effrayant, qui femble être le lilence de la nature prête à entrer en
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    • Physique. 191
    • crhivulfion. Les animaux, plus fenfibles que nous à ces indications naturelles, en font épouvantés , & fe hâtent de regagner leur gîte. Quelquefois on entend un bruit fouterrain & fourd» Quand tous ces lignes font réunis, hâtez-vous de fuir de vos maifons, habitants des pays malheureux fujets à ces fléaux défolants, fi vous ne voulez courir le rifque d’être écrafés fous les débris de vos foyers.
    • Nous épargnerons , au refte , à nos le&eurs la prolixe defcription que le bon M. Ozanam, ou fon continuateur, fait ici d’une de ces tempêtes, qui défola le royaume de Naples, du temps de la fameufe reine Jeanne ; des procédions & des cris du peuple confterné ; &c. M. Ozanam avoit apparemment befoin de quelques pages faciles à compiler , pour remplir fa tâche journalière.
    • 12. Un navigateur Anglois dit avoir obfervé que quand il y a eu une aurore boréale, on ne manque pas d’avoir, deux ou trois jours après , un coup de vent de fud-oueft. C’eft un avis qu’il donne aux navigateurs qui font prêts à entrer dans la Manche, afin qu’ils fe précautionnent. Voye^ Tranfad. Philof., Tome LXV, p. 1.
    • PROBLÈME LI V.
    • La Fiole des Eléments.
    • Quelques philofophes ont voulu donner une idée de l’arrangement invariable & néceffaire des quatre éléments , par le petit infiniment que nous allons décrire.
    • Prenez du verre ou de l’émail noir, ou autre corps vitreux pulvérifé, pour repréfenter la terre.
    • L’eau fera repréfentée par l’alkaii fixe de tartre
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    • 191 kécrèat. mathemat. et phÿs. tombé en ddiquium , autrement appelé huile de tartre.
    • On repréfentera l’air par de l’erprit-de-virt légèrement teint en bleu, au moyen du tournefol.
    • Enfin l’on repréfentera le feu au moyen de l’huile de pétrole très-re&ifiée, qu’on teindra d’une légère couleur rouge avec le bois de Bréfil.
    • Ayant préparé ces quatre matières, rempliffez-en à peu près les quatre cinquièmes d’une fiole de verre beaucoup plus longue que large, en ayant l’attention d’en mettre à peu près autant de chacune , & bouchez la fiole hermétiquement. Lorf-que vous la fecouerez, tout fe confondra ; mais en la laiffant repofer, ces quatre matières fe fépa-reront : le verre ou émail pulvérifé ira au fond , au deffus de lui fe placera l’alkali fixe ou huile de tartre , viendra enfiiite l’efprit-de-vin, & enfin l’huile de pétrole, fuivant l’ordre de leurs gravités fpécifiques.
    • Remarque.
    • Il eft aifé de voir que les philofophes auteurs de cette prétendue repréfentation des éléments, étoient d’affez pauvres philofophes ; car, quoiqu’il foit vrai qu’en général la terre foit plus pefante que l’eau , celle-ci plus que l’air, ce dernier plus que le feu, il eft très-faux que le feu occupe la partie fupérieure : il régné certainement dans les efpaces céleftes un froid très-rigoureux. D’ailleurs tous les éléments font ordinairement très-mélan-gés enfemble, puifque la pierre la plus dure contient un tiers d’eau , & un grand nombre de fois fon volume d’air, & plus ou moins de feu, félon fa température.
    • PROBLÈME
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    • Physique i9J
    • PROBLÈME LV.
    • Séparer deux liqueurs mélangées enfemble.
    • Cette opération n’eft qu’une application de la propriété des tubes capillaires , & de cette loi de la nature par laquelle des fluides homogènes , qui font à proximité, fe réunifient. C’eft ce qu’on remarque dans deux gouttes de mercure , ou d’eau , ou d’huile , qui viennent à fe toucher. 11 eft même probable qu’avant le contaâ elles s’allongent & s’approchent mutuellement l’une de l’autre.
    • Quoi qu’il en foit, veut-on féparer , par exemple , l’eau de l’huile avec laquelle elle eft mélangée, on prend une languette de drap ou d’éponge,' qu’on imbibe bien avec de l’eau ; on la place en-fuite trempant par un bout dans le vafe où font les liqueurs à féparer : il faut que l’autre bout , paflant au deflus du bord du vafe, tombe beaucoup plus bas que la furface de la liqueur : on verra bientôt ce bout dégoutter , & il attirera ainfi & féparera toute l’eau mélangée avec l’huile.
    • Si on eût voulu tirer l’huile , il eût fallu imprégner le filtre de cette liqueur.
    • Mais on fe tromperoit, fi l’on imaginoit féparer ainfi du vin d’avec l’eau , de l’efprit-de-vin d’avec la même liqueur : il faut, pour que l’opération réuflifle, que les deux liqueurs foient à peu près immifcibles l’une avec l’autre, linon elles paffent toutes deux à-la-fois. On ne doit donc nullement compter fur ce moyen pour féparer l’eau d’avec le vin , quoiqu’on donne ce procédé dans les éditions précédentes des Récréations Mathématiques & Phyliques, avec plufieurs autres Tome IK N
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    • 194 Récréât. Mathémat. et Phys. très-puériles. A la vérité la partie colorante du vin paraît relier en arriéré, parcequ’elle eft moins atténuée que le flegme & l’efprit ; mais dans le fond ces deux liqueurs, dans lefquelles confident eflentiellement le vin, ne font pas féparées l’une de l’autre.
    • PROBLÈME L V I.
    • Quelle ejl la caufe de Vébullition de Veau >
    • Quoique cette queftion paroiffe d’abord peu intéreflante, elle ne laide pas de mériter d’être difeutée ; car on fe tromperait fi l’on penfoit que ce foulevement qu’on obferve dans l’eau bouillante , foit une fuite néceflaire de la chaleur qu’elle a reçue. L’expérience fuivante prouve le contraire.
    • Plongez avec les précautions néceflaires un vafe, une bouteille pleine d’eau , par exemple , dans de l’eau qui bout à gros bouillons dans un chaudron ; cette eau ne tardera pas à prendre un degré de chaleur abfolument égal à celui de l’eau qui bouillonne : un thermomètre le démontrera ; cependant on n’y appercevra pas le moindre bouillonnement.
    • Quelle elt donc la caufe de celui qu’on obferve dans l’eau qui reçoit immédiatement l’aélion du feu?
    • Nous penfons que ce bouillonnement eft l’effet des portions de l’eau qui touchent les parois du vafe , tout-à-coup changées en vapeurs par le contaél de ces parois ; car lorfqu’un vafe repofe fur des charbons ardents, fon fond tend à recevoir un degré de chaleur beaucoup fupérieur
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    • Physique. ,9î
    • à celui qui eft néceffaire pour qu’une goutte d’eau tombant deffus, foit fur le champ convertie en vapeurs. La pellicule d’eau qui touche ce fond doit donc continuellement fe changer en vapeurs, & s’y change en effet ; car on voit fans ceffe s’élever du fond, des bulles d’un fluide élaftique, Sc ce font ces bulles qui, portées d’un mouvement accéléré à la furface, à caufe de leur légéreté, y occafionnent ce foulevement qui conftitue le bouillonnement.
    • Mais la matière d’un vafe plongé dans ce liquide , ne peut prendre un degré de chaleur plus grand que celui de l’eau bouillante , puifque, quelque fort que foit ce bouillonnement, l’eau n’en contrarie pas un plus grand degré de chaleur. D’un autre côté, un métal échauffé au degré feulement de l’eau bouillante, ne convertit point en vapeurs l’eau qui le touche; ainfi celle qui eft contenue dans le vafe intérieur , quoique devenue auffi chaude, ne peut bouillonner. Telle eft l’explication des deux phénomènes ; & leur liaifon néceffaire entr’eux, ainfi qu’avec la caufe afli-gnée, prouve la vérité de cette caufe,
    • L’efprit-de-vin fe convertiffant en vapeurs à un degré de chaleur beaucoup moindre que l’eau , on fait très-bien bouillir cette première liqueur dans un vafe plongé dans la derniere , lorfque celle-ci eft parvenue au bouillonnement. C’eft encore une fuite de l’explication que nous avons donnée, & qui la confirme.
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    • i96 Recréât. Mathémat. et Phys. PROBLÈME LVII.
    • Quelle ejl la caufe pour laquelle le fond d’un vafe
    • contenant de Veau bouillante a gros bouillons , ejl à peine chaud ?
    • Avant que de rechercher cette caufe , j’ai cru devoir commencer par m’affurer du fait, de crainte de donner dans le ridicule de ceux qui expliquèrent fi ingénieufement le phénomène de la dent d’or de l’enfant de Siléfie ; phénomène qui n’étoit cependant qu’une fupercherie, ainfi que celui arrivé au marquis de Vardes, que Régis expliqua auffi avec beaucoup de fagacité, & qui n’étoit qu’un tour domeftique ; comme tant d’autres enfin, qu’il faudroit commencer par avérer avant de tenter de les expliquer. J’ai donc fait bouillir de l’eau dans un vafe de fer & à très-gros bouillons, & ayant touché le fond pendant que le bouillonnement continuoit, j’ai vu qu’en effet il n’avoit qu’une chaleur très-médiocre : elle ne com-mençoit à être brûlante qu’au moment où l’ébullition ceffoit.
    • Nous croyons que cet effet eft produit de la manière fuivante. Nous avons fait voir plus haut, que la caufe de l’ébullition eft la converfion continuelle en vapeurs de la pellicule d’eau qui touche le fond du vafe. Cette converfion en vapeurs ne peut fe faire fans que le fond perde continuellement la chaleur qui lui arrive par le contaél des charbons ou du feu. Or, dans l’intervalle que l’on met à retirer du feu le vafe bouillonnant & à le toucher, comme il ne lui arrive point de nouveau fluide igné, & que néanmoins le bouillonnement continue , il eft probable que le reftant de ce
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    • Phys ïq m, 197
    • fluide eft abforbé par l’eau qui touche le fond, 6c qui fe convertit en vapeurs.
    • Sans donner cette explication comme abfolu-ment démonftrative , je fuis très-porté à penfer jue les chofes fe paffent ainfi ; 6c ce qui me donne :ette confiance , c’en que pendant que le fond lu vafe dont provient le bouillonnement efl: très-,eu chaud, les parois ont abfolument la chaleur le l’eau bouillante : on fe brûleroit en y tenant le loigt aufli long-temps qu’on peut le tenir fur le ond. Mais le bouillonnement n’à pas plutôt ceffé, jue ce fond reçoit lui-même partie de la chaleur le l’eau, 6c alors on ne peut plus le toucher fans è brûler.
    • Remarque.
    • C’est apparemment à une caufe femblable que ient la folution du petit problème fuivant.
    • Faire fondre du plomb dans une feuille de papier;
    • On prend pour cet effet une balle de plomb )ien liffe ; on enveloppe cette balle avec du palier , en ayant bien foin qu’il ne faffe aucune ide, 6c qu’il foit bien appliqué à la furface de la ialle ; on la met fur la flamme d’une bougie » ainfi enveloppée : le papier ne fe brûle point 6c la balle fe liquéfie. Il efl vrai que le plomb, une fois fondu , ne tarde pas à percer le papier, 6c à s’écouler-
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    • 198 Récriât. Mathémat. et Phys. PROBLÈME LVIII.
    • Mefurer C humidité & la fèchereffe de Vair: Idée des principaux Hygromètres imaginés pour cet objet ; leurs défauts : Confiruction d'un Hygromètre comparable.
    • L’ai R eft non-feulement pefant, il eft non-feulement fufceptible de contracter plus ou moins de chaleur, mais il l’eft encore d’être plus ou moins humide. Ainfi il entre dans l’objet de la phyfique de mefurer ce degré d’humidité, d’autant plus que cette qualité de l’air influe beaucoup fur le corps humain, fur la végétation, & fur un grand nombre d’autres effets de la nature. C’eft ce qui a donné lieu à l’invention de l’hygrometre, ou inf-trument propre à mefurer l’humidité de l’air.
    • Mais, il faut en convenir, on n’a pas encore imaginé des inftruments qui rempliffent à cet égard tout ce que l’on eft fondé à defirer. On a, à la vérité, des hygromètres qui marquent que l’air eft plus ou moins humide qu’il ne l’étoit un peu auparavant , mais ils ne font pas comparables ; c’eft-à-dire qu’on ne peut point, par leur moyen, comparer l’humidité d’un jour ou d’un lieu à celle d’un autre *. Il eft cependant à propos de faire connoitre ces différents hygromètres, ne fût-ce que pour les apprécier.
    • I. Comme le bois de fapin eft extrêmement fufceptible de participer à la féchereffe & à l’hu-
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    • Physique. m
    • midité de l’air , on en a pris l’idée d’appliquer cette propriété à la conftru&ion d’un hygromètre. Pour cet effet on place entre deux couliffes immobiles & verticales , une petite planche de fapin fort mince, &en travers, c’eft-à-dire enforte que le fens des fibres foit horizontal ; car c’eft dans le fens latéral & tranfverfal à fes fibres, que le fapin & les autres bois reçoivent leur extenfion par l’humidité. Le bord fupérieur de la planchette doit porter un petit rateau qui engrènera dans un pignon, ce pignon dans une roue, & celle-ci avec un autre pignon , dont l’axe portera une aiguille. Il eft aifé de fentir que, par ce moyen , le moindre mouvement que le bord fupérieur de la planche imprimera au rateau, en s’élevant ou s’abaiffant, fe manifeftera par un mouvement très-fenfible de l’aiguille ; conféquemment, fî le mouvement de cette aiguille eft combiné de maniéré que de l’extrême féchereffe à l’extrême humidité elle faffe un tour complet, les divifions de ce cercle ferviront à marquer combien l’état a&uel de l’air eft éloigné de l’un ou de l’autre de ces extrêmes.
    • Cette invention eft affez ingénieufe , mais elle n’eft pas fuffifante. Le bois retient l’humidité encore long-temps après que l’air a perdu la fienne i: d’ailleurs cette planche devient peu-à-peu moins fenfible à l’impreffion de l’air , & ne produit plus-fon effet.
    • II. On fait auffi un hygromètre avec la barbe d’un épi d’avoine fauvage. On la plante au milieu d’une boîte ronde, fur le fommet d’une petite-colonne placée au centre de cette boîte ; l’autre extrémité de la barbe doit paffer par le centre dit couvercle de cette boîte, dont la circonférence:
    • N iv
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    • loo récréât. MàthéMàt. et Phys. fera divifée en parties égales ; on garnit enfin cette extrémité de la barbe d’avoine, d’une petite aiguille de papier fort légère. Il eft néceflaire , pour donner accès à l’air, que le contour de la boîte foit découpé à jour.
    • Lorfqu’on expofe cet inftrument à un air plus fec ou plus humide, la petite aiguille tourne dans un fens ou dans l’oppofé.
    • Mais ce petit hygromètre, qui eft fort fenfible dans le commencement, perd peu-à-peu fa fenfi-bilité : ainfi c’eft un inftrument fort imparfait, de même que le fuivant.
    • III. Sufpendez par fon centre de gravité un petit plateau circulaire à une corde allez fine, ou à une corde de boyaux , & que l’autre extrémité de cette corde foit attachée à un crochet. : fuivant que l’air fera plus ou moins humide , vous verrez le petit plateau tourner dans un fens ou dans un autre. On peut couvrir ce petit mécanifme d’une cloche de verre, pour empêcher le dérangement qu’occafionneroit l’agitation de l’air ; mais il faut que la cloche foit élevée au deftus de la bafe, pour que l’air ait accès fur la corde.
    • C’eft-là le principe de ces hygromètres que l’on débite communément, & qui font formés d’une boîte dont la face préfente l’apparence d’un bâtiment à deux portes. Sur le plateau tournant font placées, d’un côté une petite figure avec un parapluie, & de l’autre une femme avec fon éventail, dans l’attitude de fe garantir du foleil. Suivant que l’une ou l’autre de ces figures fe préfente, on juge que le temps eft humide ou difpofé à la pluie, ou au contraire.
    • IV. Si une corde de boyaux eft attachée par «ne de fes extrémités, contre une planchette de
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    • quelque matière qui n’en éprouve aucun effet; que de-là elle faffe plufieurs tours & retours fur j des poulies, comme B, C, D, E, F, G, &c;Pl-4» qu’enfin fon extrémité H porte un poids : il eft °§* aifé de voir qu’il devra monter ou baiffer d’autant plus fenfiblement par l’humidité & la féchereffe , que le nombre de ces tours &c retours fera plus considérable. Mais on rendra cela encore plus fenfible en attachant au bout H de la corde l’extrémité d’une aiguille HK , tournante fur le centre I, mais dont la branche IK foit beaucoup plus grande que IH : le plus léger changement dans l’humidité de l’air fe manifeftera par le mouvement de la pointe K de l’aiguille.
    • V. On pourrait tendre une corde de cinq ou fix pieds de long, entre les arrêts A &: B, fufpendre à fon milieu C un poids P par un filet PC , lequel feroit attaché à l’extrémité D d’une aiguille tour- Fig. nante autour du point E, & ayant la branche EF plufieurs fois plus longue que ED. L’humidité raccourcifTant la corde A C B, & la féchereffe l’allongeant , le poids P fera foulevé , ainfi que le point D; ce qui fera parcourir à la pointe de l’aiguille l’arc GH. Les divifions indiqueront le degré de l’humidité ou de la féchereffe.
    • VI. Mettez dans le baffin d’une balance un fel qui attire l’humidité de l’air , & dans l’autre un poids qui faffe exactement équilibre : le baffin où eft le fel baillera dans un temps humide, & marquera cette difpofition de l’air. Il feroit facile d’y adapter un index, comme aux hygromètres précédents.
    • Mais cet infiniment eft le plus mauvais de tous ; car un fel plongé dans un air humide, fe charge bien d’humidité ; mais il ne la perd pas, ou ne 1a
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    • iôi Récréât. Mathémàt. et Phys.
    • perd que très-lentement, quand l’air eft devenu fec. L’alkali fixe du tartre continue même de s’en charger, jufqu’à ce qu’il Toit tombé en deliquium ou réfout en liqueur.
    • VII. La mufique peut fervir à reconnoître la fécherefle ou l’humidité de l’air. Une flûte eft plus haute en temps fec qu’en temps humide. Si donc l’on tend une corde de boyaux entre deux arrêts , & qu’on la mette en vibration, elle rendra un ton à l’uniflon duquel on mettra un tonometre. •Si le temps devient plus humide, la corde donnera un fon plus bas ; ce fera le contraire fi l’air devient
    • VIII. M. de Luc , citoyen de Geneve, auquel nous avons l’obligation d’un excellent ouvrage fur les thermomètres & baromètres, a tenté de faire un hygromètre comparable, & a donné fur cet objet un Mémoire dans les TranfaB. Phitof, Tome LXI, pour l’année 1771. Voici, d’après ce Mémoire, la defcription de fon hygromètre.
    • Il eft fort reffemblant au thermomètre. La première & principale piece eft un réfervoir cylindrique d’ivoire, de 2 poucês & demi environ de hauteur, dont la cavité cylindrique eft de 2 lignes & demie de diamètre, & l’épaifleur de j ou de ligne. Cette piece d’ivoire doit être prife vers le milieu de l’épaifleur d’une dent d’éléphant, entre le centre & la furface , ainfi que vers le milieu de la longueur ; & il eft effentiel que la cavité foit percée dans le fens parallèle à la direâion des PL ^ fibres. On voit la repréfentation de cette piece fig. dans la fig. 29, n<> 1, où elle eft défignée par les n° 1. lettres A B C.
    • La fécondé piece eft un tuyau de cuivre, tra-
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    • Physique. 103
    • avec précifion dans le cylindre d’ivoire, & de l’autre à recevoir dans fa cavité cylindrique un tube de verre, d’un quart de ligne environ de dia- p. métré intérieur. On en voit la repréfentation dans g ** tefig. 29 , n° i. n°a/’
    • L’on adapte folidement enfembîe ces trois pièces , en faifant entrer dans le cylindre d’ivoire le bout du tuyau de cuivre qui doit le remplir, avec de la colle de poiffon entre deux. Pour mieux attacher ces parties enfembîe, on ferre le collet du cylindre d’ivoire avec une virole de cuivre qui doit l’embralfer avec force.
    • On place aulîi dans la cavité cylindrique du même tuyau, un tube de verre de 30 pouces environ de longueur, & du calibre extérieur qui convient à cette cavité. La fig. zc), n° 3 , repré- Fig. 29, fente l’alfemblage 'de ces trois pièces & l’inftru- n° 3* ment conftruit.
    • On le remplit enfuite de mercure , de maniéré qu’il y en ait jufques vers le milieu de la hauteur du tube de verre. On plonge enfin le réfervoir d’ivoire dans de l’eau prête à fe glacer, & qu’on a foin d’entretenir dans cette température pendant plufieurs heures ; car il en faut 10 ou iz pour que l’ivoire ait pris toute l’humidité qu’elle pouvoit abforber. Aufli-tôt que ce réfervoir eft plongé dans l’eau , on voit le mercure defcendre d’abord très-vîte, enfuite plus lentement, jufqu’à ce qu’il refte enfin Actionnaire vers le bas du tube. On a foin de marquer cet endroit, qui doit être de quelques pouces au defifus de l’infertion du tube de verre dans le tuyau de cuivre , & on le marque o ; ce qui lignifie zéro de féchereffe, ou plus grande humidité. Nous difons que ce point doit être quelques pouces plus haut que le tuyau
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    • i64 Récréât. Mathémat. et Phts.
    • de cuivre, car on remarque que fi on fait chauffer l’eau, & qu’on y plonge l’inftrument, le mercure defcend encore plus bas ; & c’eft pour y marquer ces divifions qu’on laiffe cet intervalle au defious de zéro.
    • Je n’entends pas trop bien , je l’avoue , la maniéré dont M. de Luc s’y prend pour rendre fon infiniment comparable : il refte, je crois, encore ici quelque chofe à faire pour lui allurer cette propriété ; mais ce feroit une difcuflion un peu longue ; ainfi je renvoie au Mémoire original qu’on lit dans le Joumai de Phyjîque de M. l’abbé Ro-zier, de l’année 1775. Il nous fuffira de dire ici que cet hygromètre eft fort fenfible ; qu’à peine eft-il placé dans un air plus ou moins humide , qu’il donne des lignes de cette fenfibilité par l’af-cenfion ou la chute du mercure : mais il exige & exigera toujours d’être accompagné d’un thermomètre ; car le même.degré d’humidité l’affe&e davantage en temps chaud qu’en temps froid : d’ailleurs le mercure y monte ou defcend, indépendamment de toute humidité, par le fimple effet de la chaleur. Ainfi cet infiniment exige une double corre&ion ; la première, pour tenir compte de la dilatation que le mercure reçoit par la chaleur , correétion qui fera fouftra&ive toutes les fois que cette chaleur excédera le terme de la glace ; la fécondé , pour réduire l’effet de l’humidité obfervée, à ce qu’il auroit été fi la température avoit été à la glace.
    • On fent aifément combien il feroit avantageux pour lâ perfe&ion de cet hygromètre, de trouver un degré de féchereffe ou de moindre humidité fixe & déterminable en tout pays, pour fervir de fécond terme fixe, comme l’eau réduite à la tein-
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    • Physique. 205
    • pérature de la glace fondante en efl: un , fça-voir celui de la plus grande humidité : cela fimpli-fieroit beaucoup la graduation de l’inftrument, qui me paroît compliquée & incertaine, fuivant la méthode de M. de Luc. Mais en voilà affez fur cette matière, que la nature de cet ouvrage ne nous permet que d’effleurer.
    • PROBLÈME LIX.
    • En fuppofant ce que nous avons démontre plus haut fur la ténuité des particules de la lumière & fon extrême rapidité, quelle déperdition le foleil peut-il faire de fa fubjlance dans un nombre d’années déterminé?
    • Une des obje&ions les plus fpécieufes qui aient été faites contre la théorie newtonienne de la lumière, eft que , fi la lumière confiftoit dans une émanation continuelle de particules lancées du corps lumineux , le foleil devrait faire une telle déperdition de fa fubftance, qu’il devrait être déjà éteint ou anéanti depuis le temps auquel on fait vulgairement remonter fon exiftence. Pour nous, nous avons toujours été peu ébranlés de cette obje&ion, & nous avions, il y a long-temps, fenti qu’en prenant pour bafe ce qu’il étoit facile de démontrer fur la ténuité des particules de lumière & leur exceffive rapidité , on pou voit faire une hypothefe très-vraifemblable, d’après laquelle on feroit voir que le foleil n’auroit pas diminué fenfiblement, depuis les 6000 ans que nous donnons vulgairement à fon ancienneté. J’ai vu depuis, dans les Tranfacl. Philof Vol. LX , des calculs femblabies de M. Horfiey, qui montrent
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    • io6 Récréât. Mathémat. et Phys. le peu de folidité de cette obje&ion. Mais comme chacun a fa maniéré de voir, voici notre raifon-nement fur cette matière ; il n’a guere de commun avec celui du fçavant Anglois, que la ténuité prodigieufe de chaque particule de lumière.
    • Pour former un pareil calcul, nous concevons , & je demande qu’on nous accorde qu’à chaque émanation inftantanée de lumière lancée du îo-leil, cet aftre en projette hors de lui, dans tous les fens imaginables, toutes les particules de lumière qui font à fa furface.
    • Nous demandons encore qu’on nous accorde que cette émanation n’eft pas abfolument continue , mais compofée d’une foule d’émanations ou de jets inftantanés, qui fe fuccedent avec une rapidité prodigieufe : nous en fuppoferons ioooo dans une fécondé. Notre rétine confervant environ j de fécondé l’imprefîion de lumière qu’elle a reçue, il eft évident que celle du foleil fera abfolument continue à notre égard.
    • Nous fuppofons auffi, ce qui eft comme démontré , que le diamètre d’une particule de lumière eft à peine la 10oo'oo~i'oo'0ooo d’un pouce.
    • D’après ces fuppolîtions, il eft clair qu’à chaque émanation le foleil fe dépouille d’une efpece de pellicule lumineufe , dont l’épaiffeur eft celle ci-deffus ; par conféquent, dans une fécondé, elle fera la 100000000e d’un pouce ; conféquem-ment dans 100000000 fécondés cet aftre aura perdu un pouce d’épaiffeur. Or 100000000 fécondés font près de trois ans ; ainfi dans trois ans le foleil ne perdra qu’un pouce d’épaiffeur.
    • Cette perte fera donc dans 3000 ans, de 1000 pouces ou 83 pieds un tiers de profondeur ; & depuis les 6000 ans que nous fuppofons cet
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    • aftre exifter, elle fera de 166 f. De-là il fuit que , pour que le foleil perde une fécondé feulement de fon diamètre apparent, il faudroit un intervalle de temps de quarante millions d’années ; car une diminution d’une fécondé fur le diamètre apparent du foleil, répond à 180000 toifes : donc , fi en fix mille ans la diminution n’eft que d’environ 27, toifes de profondeur , on trouve par la réglé de proportion, qu’il faut 40 millions d’années pour la porter à 180000 toifes d’épaifleur , ou à une fécondé de diamètre apparent.
    • Ainfi donc nous ne devons avoir aucune crainte que le foleil finiflfe fi - tôt. Nos enfants & nos petits enfants font à l’abri d’être témoins de cette funefte cataftrophe.
    • Ajoutons que nous n’avons pas ufé de tous nos avantages; car nous aurions encore pu reculer confidérablement cette époque, & en effet M. Horfley trouve un intervalle bien plus confidéra-ble de ce moment-ci à la confommation abfolue du foleil : mais nous nous fommes bornés aux fup-pofitions les plus admiflibles.
    • PROBLÈME LX.
    • Produire au milieu de la plus grande chaleur un froid conjidérable & propre à glacer Veau : Des congélations artificielles , &c.
    • O EST un phénomène bien fingulier & bien digne d’admiration , que celui de produire au milieu de l’été un froid qui l’emporte de beaucoup fur celui de l’hiver; & ce qui ajoute à la fin-gularité, c’eft que cette produ&ion du froid ne fe fait qu’autant que les ingrédients qu’on emploie fe
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    • io8 Récréât. Mathémat. et Phys. liquéfient ; quelquefois même , en réagiffant l’un fur l’autre, ils produifent une vive effervefcence. On va parcourir ces differents moyens de produire du froid, & l’on tentera enfuite de donner quelque explication de ce phénomène.
    • I. Prenez de l’eau rafraîchie feulement au degré de la température de nos puits, c’eft-à-dire au 10e degré du thermomètre de Réaumur ; jetez-y dedans environ 12 onces de fel ammoniac pul-vérifé par pinte : cette eau prendra tout-à-coup un degré de froid confidérable, & égal à celui de la congélation. Si donc , dans le vafe où l’on fait ce mélange, vous en avez un autre beaucoup moindre contenant de l’eau pure, cette derniere fe gelera en tout ou en partie. Si elle ne fe gele qu’en partie, faites dans un autre vafe un mélange femblable au premier, & plongez-y tout-à-coup votre eau à demi gelée , elle fe gelera entièrement.
    • Si vous-vous ferviez de cette eau à demi glacée, ou du moins extrêmement refroidie, dans le vafe intérieur, & que vous y jetaffiez du fel ammoniac , le froid que vous produiriez feroit beaucoup plus confidérable, & certainement il en réfulteroit tout-à-coup un froid de plufieurs degrés au deffous de la glace.
    • En faifant ce mélange dans un vafe plat, fur une table, avec un peu d’eau entre deux, la glace qui fe formera au deffous rendra le vafe adhérent à la table.
    • Il faut accélérer autant qu’il eft poflible la dif-folution du fel, en remuant le mélange avec un bâton ; car plus cette diffolution eft prompte, plus grand eft le froid.
    • II.
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    • P H Y S I 0 U Ë* 2.09
    • îî. Pulvérifez de la glace , & mêlez avec elle deux parties de fel marin pour une de glace ; remuez bien le mélange ; à mefure qu’il fondra , il s’excitera au milieu de cette maffe un froid égal à celui de nos plus grands hivers, M. de Réaumur eft parvenu par ce moyen à produire un froid de 130 âu deffous de la congélation.
    • En employant du falpêtre à même dofe, on ne produit qu’un froid de 3 à 4 degrés au de flous de ce terme. Ainfi, comme l’obferve encore M. de Réaumur , on eft dans l’erreur lorfqu’on penfe que le falpêtre vaut mieux que le fel marin. On n’emploie le falpêtre que parcequ’il eft bien moins cher, 5c que d’ailleurs , dans l’ufage ordinaire aur quel on deftine ce froid artificiel, on n’a pas be-foin qu’il foit fi confidérable.
    • On pourroit, au lieu de falpêtre, employer de la foude d’alicante , ou des cendres de bois neuf, qui contiennent un fel équivalent : on obtiendrait à peu près le même effet, 6c à bien moindres frais,
    • III. Mais voici un troifieme moyen de produire un froid plus confidérable que les précédents. Prenez de la neige, 6c de l’efprit de nitre bien concentré , refroidis l’un 6c l’autre au degré de la glace ; verfez cet efprit de nitre fur la neige : il s’y excitera tout de fuite un froid de 17 degrés au deffous de la congélation.
    • Si vous voulez produire encore un froid plus confidérable, environnez cette neige 6c cet efprit de nitre avec de la glace 6c du fel marin, qui y produiront un froid de 12 à 13 degrés au deffous de zéro ; fervez-vous enfuite de cette neige 6c de cet efprit de r.itre ainfi refroidis : vous produirez par leur moyen un froid de 24 degrés, froid Tome 1K O
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    • 410 KÊCRÈAT. MATHEMAT. ET PHYS, beaucoup plus grand que celui que Farenheit étoiî venti à bout de produire, car il n’a pas paffé au-delà du 8e degré de Ton thermomètre au deffous de zéro ; ce qui revient au 17e degré & - de Réau-mur au deffous du même terme.
    • Mais tout cela n’eft rien encore, en comparai-fon de ce que les phyficiens de Pétersbourg ont exécuté fur la fin de 1759. Aidés d’un froid de 30 degrés & au-delà, ils firent refroidir de la neige & de l’efprit de nitre à cette température, 6t par ce moyen ils obtinrent un degré de froid qui, réduit au thermomètre de Réaumur, alloit au 170e degré au deffous de zéro. Chacun fçait que le mercure y gela. Nous avons parlé ailleurs des conféquences de cette expérience.
    • IV. Un quatrième moyen de produire un froid fupérieur même à celui qui fuffit pour glacer l’eau, eft celui-ci. Il eft fondé fur une propriété bien finguliere des fluides évaporables. Plongez la boule d’un thermomètre dans un de ces fluides, de l’ef-prit-de-vin bien déflegmé, par exemple, & ba* lancez-le enfuite dans l’air , pour exciter l’équivalent d’un vent qui fait évaporer ce fluide ; vous verrez le thermomètre, defcendre : vous pourrez même, du moins en employant de l’æther , la plus évaporable des liqueurs, faire baiffer le thermomètre de 8 à i o degrés au deffous de zéro.
    • Il y auroit des chofes bien curieufes à dire fur cette propriété de l’évaporation; mais cela nous meneroit trop loin. Nous nous bornerons à obfer-ver que ce moyen de refroidir les liqueurs n’eft pas inconnu dans l’Orient. Les voyageurs qui veulent boire frais, mettent leur eau dans des vafes d’une argile poreufe, qui laifle fuinter à M-avers elle une humidité. Ces bouteilles, on le'
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    • füfpertd aux côtés du chameau, enforte qu’elles font dans un mouvement continuel, qui équivaut à Un petit vent qui viendrait frapper demis , $C qui fait évaporer cette humidité. Cela rafraîchit le reftant de la liqueur de telle forte qu’elle approche du degré de froid de la glace.
    • Difons maintenant quelque chofe fur la caufe de ces effets fînguliers , & commençons par les moyens expliqués dans les trois premiers articles*
    • Lorfqu’on mêle enfemble de la glace & du fel marin * ou de l’efprit de nitre & de la neige très-refroidie, on obferve que le froid ne fe produit qu’autant que ces mélanges fe mettent en fufion. D’après ce fait, je conje&ure que le mélange abiorbe ie fluide igné qui eft répandu dans les corps environnants, ou que le mélange environne, ce qui eft la même chofe. Le mélange fondant fait ici quelque chofe de femblable à ce que fait une éponge defféchée &t appliquée à un corps humide : tant qu’elle fera Amplement ferrée contre lui, il reftera dans fon état ; mais fitôt que l’éponge pourra prendre fon volume , elle afpirera une bonne partie de l’humidité contenue dans ce corps. J’avoue qu’on ne voit pas le mé-»
    • ‘ canifme par lequel le mélange frigorifique produit le même effet ; mais j’ofe regarder la comparaifon ci-deffus comme pouvant en donner une idée.
    • Quant a celui pâr lequel une liqueur évapora-ble refroidit les corps de deflus lefquels elle s’évapore , il me femble que la rai fon la plus probable qu’on puiffe en donner, eft une affinité de cette liqueur avec celle du feu , qui fait que chacune de fes molécules, en s’envolant, emporte avec elle une ou quelques-unes de celles du feu contenu dans ce corps. Mais pourquoi ces molécules de la
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    • lia RECREAT» MATHEMAT. ET FHYS. liqueur évaporable ne fe combinent-elles pas plutôt avec le feu que Pair peut lui fournir, & avec lequel-cet élément paroît avoir moins d’adhérence qu’avec les corps folides, puifqu’il fe refroidit avec plus de promptitude ? C’eft ce que je ne vois pas ; mais auffi ne donné - je ceci que
    • Sun effai d’explication que je n’ai point eu le d’approfondir.
    • PROBLÈME L XI.
    • Faire glacer de l'eau , en remuant feulement le vafi qui la contient.
    • Pendant un temps très-froid , mettez de l’eau dans un vafe fermé avec foin, & dans un lieu où elle n’éprouve aucune commotion : il arrivera fouvent qu’elle prendra ainfi un degré de froid fupérieur à celui de la glace , fans néanmoins fe glacer. Mais alors remuez tant foit peu le vafe, ou donnez-lui un coup léger ; fur le champ l’eau fe glacera, & avec une rapidité finguliere. Cela arrive fur-tout lorfque l’eau eft dans le vuide.
    • Ce phénomène eft fort curieux ; mais , à mon avis, il eft fufceptible d’une explication très-vrai-femblable , pour quiconque connoît les phénomènes de la congélation. L’eau ne fe congele qu’autant que fes molécules prennent entr’elles un arrangement nouveau. Lorfque l’eau fô refroidit dans le plus grand repos, ces molécules fe rapprochent , le fluide qui la tient en fufion s’en échappant peu-à-peu ; mais il faut quelque chofe de plus pour les déterminer à fe groupper d’une maniéré différente , fous des angles de 60 ou 110 degrés. Or elle reçoit cette détermination
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    • par le fimple choc donné au vafe : elles étoient en équilibre , le choc rompt cet équilibre, & elles retombent les unes fur les autres , en fe grouppant de la maniéré qu’exige leur rapproche-
    • Voici un autre phénomène de la congélation.
    • Si vous faites bouillir de l’eau, qu’enfuite vous l’expolîez à la gelée , à côté d’üne égale quantité d’eau non bouillie, la première fera plutôt gelée que la fécondé.
    • C’eft un fait avéré par des expériences faites à Edimbourg, par M. Black, Tranfaft. Phi-
    • lofoph. Tome LXV, Part. I, année 177 5.)
    • Ceci me paroît auffi facile à expliquer. La. congélation étant caufée par le rapprochement des molécules de l’eau, elle doit fe congeler d’autant plutôt, que ces molécules, avant d’être expo-fées à la gelée, font déjà phis voifines les unes des autres. Or l’eau qui a bouilli a, pour ainfi dire, à cet égard de l’avance fur celle qui n’a pas bouilli ; car l’effet de ce bouillonnement a été de lui ôter une grande partie de fon air combiné : donc *, toutes chofes égales, ces molécules doivent arriver plutôt au terme de proximité où elles s’appliquent les unes aux autres, & forment un corps folide. Je fuis convaincu que-, par cette même raifon , de l’eau imprégnée artificiellement de beaucoup d’air , fe géleroit plus tard que l’eau ordinaire*
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    • îi4 Récréât. Mathémat. et Phys. PROBLÈME L X 11.
    • De la figure, qu'on obferye quelquefois dans la neige :
    • Explication de ce phénomène.
    • IL arrive affez fouvent, & il y a long-temps qu*on l’a remarqué avec admiration, que les petits flocons de neige ont une figure régulière. Cela arrive fur-tout îorfque la neige tombe par flocons extrêmement petits & bien tranquillement. Cette figure eft exagone ou étoilée ; quelquefois c’eft une fimple étoile à fix rayons ; d’autres fois cette étoile eft plus compofée, & reffemble à une croix de malthe, ayant fix angles faillants & fix rentrants. Il arrive par fois que chaque branche préfente des ramifications, comme les barbes d’une plume. Il feroit trop long de les décrire toutes. Nous nous bornerons à donner la repréfentation pj ^des plus remarquables, dans les numéros de la f%.'3°-
    • Ce phénomène a toujours beaucoup embarraffé les phyficiens, à commencer par Pefcartes & Kepler, qui paroiffent avoir été les premiers qui l’aient obfervé. Ba.rtholin a donné un traité de. Figura Nivis fextangula, où il raifonne affez mal fur ce fujet. A dire vrai, il étoit difficile * d’en raifonner juftement, avant que M. de Mairan eût obfervé, comme il l’a fait, avec fagacité les phénomènes de la congélation, & avant que la çhi-
    • * Note du Cenfeur. On trouve cependant que Gaffendi avoit déjà rapporté à la criftallifation la figure régulière de la neige. Voyez ad Diog. Laert. Not. Opp. , T, I, P* 577*
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    • mie eût reconnu ceux de la cryftallifation des corps , lorfque de l’état de fluidité ils paffent à celui de folidité.
    • En effet la chimie nous a appris que tous les corps dont les éléments, nageant dans un fluide , fe rapprochent tranquillement, prennent des figures régulières 6c cara&ériftiques. Ainfi le fou-fre, en fe figeant, forme de longues aiguilles; le régule d’antimoine figure une étoile fur fa fu-perficie. Les fels, en fe cryftallifant lentement, prennent auffi des figures régulières: le fel marin forme des cubes, l’alun des o&aëdres , le gypfe des efpeces de coins régulièrement irréguliers , 6c dont les lames fe brifent en triangles d’angles déterminés ; le fpath calcaire, appelé cryflal d'If-lande , des parallélépipèdes obliques , fous des angles invariables ; &c.
    • D’un autre côté M. de Mairan, obfervant les progrès de la congélation, a vu que les petites aiguilles de glace qui fe forment, s’implantent les unes fur les autres , fuivant des angles réguliers 6c déterminés, qui font toujours de 60 ou 12a degrés.
    • Quiconque connoît ces phénomènes, ne verra donc dans la glace 6c dans la neige qu’une cryftallifation de l’eau rapprochée dans un air refroidi : une première particule d’eau glacée en rencontre une autre, 6c fe grouppe avec elle fous un angle de 6o° : une troifieme furvient, 6c eft déterminée par faction de la pointe de ce premier angle, à s’y réunir de la même maniéré, 6cc. C’eft-là la plus fîmple des étoiles de la neige, qui eft repré-fentée par len° 1.
    • S’il furvient de nouvelles aiguilles de glace* ce qui arrivera le plus fouvent, il faudra qu’elles.
    • O iv
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    • ii6 Récréât. Mathémat. et Phys. fe couchent fur les premiers rayons, ou en fai* fant l’angle obtus du côté du centre, ou l’angle aigu du même côté. Dans le premier cas, il en naîtra une étoile dont les rayons porteront des efpeces de barbes, comme la tige d’une plume , (n° 2. ) ou comme une étoile, (n°3.) Cette derniere difpofition eft néanmoins rare, & celle du n° 2 eft la plus commune. On en voit enfin , mais en moindre nombre , de beaucoup plus compofées ; mais quelle que foit leur compofî-tion, leurs éléments font toujours des angles de 6o ou 120 degrés.
    • M. Lulolf de Berlin a conje&uré que ces figures étoient dues au fel ammoniac, ou plutôt à l’alkali volatil dont la neige feroit imprégnée : il rapporte même à l’appui de fon idée une jolie expérience : c’eft qu’ayant mis de l’eau geler près des latrines , il trouva fa furface toute couverte de petites étoiles de glaces, tandis que de l’eau gelée plus loin ne repréfentoit rien de femblable. Cependant il convient lui-même n’avoir jamais pu démontrer, par aucun procédé, ce principe dans la neige ou l’eau de neige fondue dans des vafes fermés. En effet, aucun phyficien d’aujourd’hui ne fe perfuadera qu’il y ait dans la neige ni fel ammoniac, ni alkali volatil, que fort accidentellement , & il n’y a nulle néceffité d’y en fuppofer pour expliquer la cryftallifation en étoiles.
    • PROBLÈME LXIII.
    • Conjiriftre une Fontaine oit Veau coule & s'arrête alternativement.
    • Novs avons déjà donné plus haut le mécanifme d’une fontaine qui produit cet effet, & qui eft
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    • Physique. 217
    • fort connue des hydrauliciens ; mais comme fa conftru&ion ne peut pas s’adapter aux ufages que nous avons en vue, voici une autre maniéré de réfoudre le problème.
    • Que ABCD foit un vafe d’une forme quelcon- PL 5, que, qui reçoit par le tuyau DE un flux perpé- fig. 31-tuel d’eau , capable de le remplir à la hauteur GH, dans l’intervalle, par exemple, de deux heures. Que FGH foit un fyphon dont l’orifice fupé-rieur, plongé dans la liqueur, efl: F, FG la moindre branche , GH la longue branche, dont l’orifice H, doit être fort au deflous du niveau de F ; enfin que ce fyphon foit d’un calibre tel qu’il pût tirer la liqueur contenue dans la hauteur CG en une demi-heure. Cela fuppofé, St le vafe étant vuide, qu’on laifle couler l’eau par le tuyau DE, il remplira le vafe jufqu’à la hauteur G en deux heures, par exemple ; mais une fois parvenu à la courbure G, le fyphon FGH fe remplira ; St l’eau y coulant, il épuifera en un peu plus de demi-heure * non-feulement la quantité d’eau amaflee jufques en G H, mais encore celle que le tuyau DE aura fournie pendant ce temps, puifque ce tuyau de décharge FGH débite beaucoup plus rapidement que celui qui fournit, fçavoir DE. La furface de l’eau bailfera donc enfin au niveau de l’orifice F, St l’air s’y introduifant, le jeu du fyphon fera interrompu : l’eau recommencera donc à s’élever jufqu’à la courbure du fyphon en G,
    • St alors le jeu du fyphon recommencera , St ainfi toujours , tant que le tuyau DE fournira de l’eau.
    • * Ce temps fera exa&ement de 40 minutes; caril eft la fomme d’une progreflion fous-quadruple , dont le premier terme eft 30 minutes, le fécond 7 & demie,
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    • ai8 Recréât. Mathémat. et Phys,
    • R E M A R Q UE,
    • Il eft néceflaire de remarquer que le fyphon ne fera pas fon effet, à moins que fa hauteur à l’endroit de fa courbure ne foit capillaire; car s’il avoit â cet endroit un diamètre de ç ou 6 lignes, l’eau étant arrivée un peu au deffus de la courbure inférieure, couleroit fans remplir tout le tube, PI. ç , comme on voit fîg 319 n° i, & il ne verferoit %* 3 l* qu’une quantité d’eau égale à celle que fourniroit n° 2‘ le tube DE. C’eft une obfervation que fait fort juftement M. l’abbé Para du Phanjas , qui recourt en conféquence , dans ce cas, à plufieurs tubes capillaires qui fe réunifient en un feul.
    • Il y a un autre remede, qui confifte à faire le calibre du tube de décharge , capillaire dans fa hauteur, & évafé à proportion dans le fens horizontal , afin qu’il ait la même furface, & qu’il y coule la même quantité d’eau. Par ce moyen ce tube de décharge, quoique unique , remplira fa deftination.
    • Il eft auffi à propos que l’orifice F de la branche GF du fyphon foit taillé comme on voit 3'» n° 3 j afin d’aflurer d’autant fnieux l’in-n° 3* troduâion de l’air dans le fyphon, lorfque la furface de l’eau aura baifle jufqu’en F. Je ne crois pourtant pas la chofe effentielle.
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    • Physique. 219
    • PROBLÈME L X IV.
    • Faire une Fontaine qui coulera & s'arrêtera un certain nombre de fois de fuite, & qui enfuite s'arrêtera pendant un temps plus ou moins long, après lequel elle reprendra fon cours intermittent ; & ainji de fuite.
    • La folution de ce problème dépend d’une com-binaifon affez ingénieufe de deux fontaines intermittentes femblables à la précédente. Suppofons en effet une pareille fontaine, dont les écoulements périodiques foient très-prompts , par exemple de 2 à 3 minutes, & l’intermifîion femblable, ce qui fera en total un intervalle de 4 ou 5 minutes; que cette fontaine foit elle-même alimentée par une autre fontaine intermittente & fupérieure, dont la durée de l’écoulement foit d’une heure, & l’intermittence de i, 3 ou 4 : il s’enfuivra que l’inférieure ne fournira de l’eau que pendant que la fupérieure lui en donnera elle-même, c’eft-à-dire pendant une heure ; & pendant cette heure cette fontaine inférieure aura 12 ou 15 écoulements coupés par autant de ceffations ; après lequel temps la fontaine ou le tuyau DE de la fig. 3 /, ne fourniffant lui-même plus d’eau pendant deux ou trois heures, la fontaine inférieure ceffera abfolument pendant une, deux ou trois heures. Voilà donc une fontaine qui fera doublement intermittente, en ce qu’elle fera un certain temps confidérable fans couler , & quand elle coulera, ce fera avec intermittence.
    • Remarques.
    • L Avec trois fontaines femblables combinées
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    • aio Récréât. Mathémat. et Phys. enfemble , on pourroit produire des périodes fi bizarres d’écoulement & de ceffation , qu’elles paroîtroient abfolument inexplicables. Mais l’on lent aifément quelles pourroient tenir au même principe.
    • II. On pourroit facilement faire, au moyen des principes ci-defîus, une fontaine qui coulât fans ceffe, mais qui grossît & diminuât par alternatives ; car il fuffiroit de combiner avec la fontaine du problème précédent, une fontaine continue : il eft évident qu’elle grofliroit quand le fyphon FGH couleroit ; & quand il s’arrêteroit, elle re-viendroit à fon état ordinaire.
    • Si on combinoit cette fontaine continue avec la double intermittente de ce problème, on au-roit une fontaine continue & égale pendant plu-iîeurs heures de la journée, & qui enfuite groffi-rdit & diminueroit par accès pendant une heure.
    • PROBLÈME L X V.
    • Conjlruclion d'une Fontaine qui cejfera de couler quand on y verfera de Veau , & qui ne reprendra fon cours que quelque temps apres qu'on aura cejfê.
    • PL 6,Il faut fuppofer pour cela un réfervoir bien clos %• 32* & à demi rempli d’eau, comme ABCD, ayant un tuyau d’écoulement en E, de quelques lignes feulement de diamètre. Ce réfervoir fait partie d’un autre vafe dans lequel il eft placé, HBFD; il refte une portion du vafe HGF qui eft vuide ; IK eft un tuyau qui va du haut du réfervoir intérieur jufques bien près du fond FD du vafe ; le deflus de ce vafe a un rebord en forme de coupe 2
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    • Physique1.' m
    • dont la partie HG eft percée de beaucoup de petits trous. On mettra dans cette efpece de coupe de la moufle avec du gros fable, &, fi l’on veiit, de l’herbe ou du gazon ; enforte néanmoins que l’air puifle avoir accès par la plaque HG dans la cavité HC.
    • Cela fuppofé, que le petit réfervoir foit à moitié rempli d’eau, elle coulera par l’ajutage E ; qu’enfuite on en verfe dans la coupe fupérieure ; cette eau tombera dans le réfervoir latéral HC , & elle bouchera l’orifice K du tuyau HI. Cet orifice étant bouché, l’air contenu au defliis de l’eau du réfervoir intérieur, ne pourra plus fe dilater ; l’eau coulante par E tombera d’abord plus lentement, & enfin s’arrêtera. Mais lî à l’angle F on ménage un petït écoulement à l’eau tombée dans le réfervoir HC, lorfque cette eau fera écoulée, l’écoulement par E recommencera.
    • Si l’on verfoit fans cefle de l’eau dans la coupe HB, St que fon écoulement par F fût caché, on pourroit être fort étonné de cette machine , qui ne couleroit que quand il paroîtroit qu’on n’y met plus d’eau.
    • On pourroit donner à cette machine la figure d’un rocher, du pied duquel fortiroit une fontaine: le deflus pourroit repréfenter une prairie, une forêt, &c. Lorfqu’on verferoit de l’eau avec un arrofoir, pour repréfenter la pluie, on verroit la petite fontaine s’arrêter, & s’arrêter aufli longtemps qu’on y verferoit de nouvelle eau. On verra plus loin l’ufage de cette idée.
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    • 122 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • PROBLÈME L X V I.
    • Faire une Fontaine qui , apres avoir coulé pendant quelque temps par fa décharge de fuperficie, commencera à baiffer jufquà un certain point, enfuite remontera, & ainjî fuccejjivement.
    • J’avo u E n’avoir rien trouvé de fatisfaifant à cet égard. Cela eft néanmoins poffible, car nous citerons plus bas quelques exemples de fontaines dont les baflins préfentent ce phénomène. Nous nous bornons donc à propofer le problème à nos le&eurs.
    • Remarques,
    • Contenant Vhijloire & les phénomènes des principales Fontaines intermittentes connues, ainji que de quelques lacs 6* puits qui ont des mouvements analogues : Hijloire du f ameux lac de Zirchnit
    • Nous avons donné dans les problèmes précédents les principes de l’explication des phénomènes que préfentent un affez grand nombre de fontaines ou amas d’eaux, dont les mouvements ont de tout temps apprêté matière à penfer aux phyfi-ciens, & été un fujet d’admiration pour le vulgaire. Il eft vrai qu’en général il y a beaucoup à retrancher de ce que le vulgaire croit appercevoir ou raconte à ce fujet. Plufieurs de ces fources, examinées par des philofophes ou obfervateurs exaéls, ont perdu la plus grande partie de ce qu’elles avoient de merveilleux. Il refte néanmoins encore , dans plufieurs d’entr’elles, fuffi-famment de quoi exercer la fagacité des fcruta-teurs de la nature. L’objet de cet ouvrage nous
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    • g ;
    • Physiqüe. ilj
    • prefcrit en quelque forte de faire connoître les --ipales & les plus fingulieres de ces fontaines, nous bornerons à ce qui eft le mieux conf-taté par de bonnes defcriptions ; car à quoi bon répéter des choies incertaines & inexactes ? La maffe des erreurs n’eft - elle pas affez grande, fans l’augmenter de propos délibéré ?
    • I. On remarque une intermittence dans la plupart des fources qui prennent leur origine des amas de glaces. Telles font quelques-unes de celles que j’ai vues dans le Dauphiné, fur la route de Grenoble à Briançon : elles coulent, à ce qu’on m’af-fura, plus abondamment la nuit que le jour , ce qui paroîtroit d’abord difficile à concilier avec la faine phyfique ; mais nous ferons voir que cela s’explique facilement.
    • L’auteur de la Defcription des Glacières de Suiffe parle d’une pareille fource , fituée à Engftler dans le canton de Berne ; elle eft fujette à une double intermittence, fçavoir à une intermittence annuelle & journalière ; elle ne commence à couler que vers le mois de Mai, & les bonnes-gens du voifinage croient fermement que la Divinité leur envoie chaque année cette fource pour abreuver leurs beftiaux , qu’ils amènent vers ce temps dans la montagne. D’ailleurs, femblable à celles dont nous avons parlé , c’eft pendant la nuit que fe fait fon écoulement le plus abondant.
    • Il n’y a rien que de fort (impie dans la réapparition annuelle de cette fontaine à l’approche de l’été ; car c’eft feulement vers ce temps que la maffe de la terre, fuffifamment échauffée, commence à fondre les glaces par deffous. Ainfi ce
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    • ii4 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • c’eft ainfi que fondent ces malles énormes de glaces. On n’en peut douter lorfqu’on remarque qu’elles donnent fans ceffe naiflance à de grands courants d’eau, tandis que leur furface fupérieure préfente les couches des années précédentes à peine altérées. Mais comment & pourquoi la plupart de ces fontaines donnent-elles pendant la nuit leur plus grande quantité d’eau? Ceci mérite explication.
    • Ce phénomène provient, félon nous, de l’alternative de chaleur & de refroidiffement caufée, parla préfence &l’abfence du foleil, dans la malle de la terre, couverte par cet amas de glace. Mais comme il faut un certain temps pour que la chaleur du foleil produife fon effet, & qu’elle fe communique aux parties éloignées, il arrive que le moment de leur plus grande chaleur eft poftérieur de plulieurs heures à celui de la plus grande chaleur de l’air, qui a lieu vers les trois heures de l’après-midi : ce n’eft donc que quelques heures après le coucher du foleil qu’arrivera la plus grande liquéfaction de la glace qui touche la terre : ajoutez-y le chemin que l’eau qui en provient doit faire dans ces conduits relferrés entre des vallons & fous les glaces, il ne fera point étonnant qu’elle n’arrive au jour que vers le milieu de la nuit. Ainfi ce fera vers les onze heures ou minuit que ces ruilfeaux , provenants de maffes glaciales , donneront la plus grande quantité d’eau.
    • II. L’intermittence dont on vient de parler ne tient pas à des caufes bien difficiles à découvrir ; ce n’eft pas même une véritable intermittence. Mais les fontaines dont il va être queftion tout-à-l’heure, font vraiment intermittentes.
    • Une fontaine de ce genre eft celle qu’on voit à Fontainebleau
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    • Physiqvë. ilj
    • Fontainebleau dans un des bofquets du parc. Elle feroit probablement plus connue, & ne céderait guere en célébrité à celle de Laywell, fi les phyli-ciens hantoient davantage les cours.
    • Cette fontaine coule de déflore terre & d’un fond fablonneux, dans un baffin quarré de 6 à 8 pieds en quarré ; on y defcend par plufieurs marches , dans la derniere defquelles , ou la plus voifine de l’eau , eft creufée une rigole qui lui fert de décharge de fuperficie. Voici ce qu’on obferve.
    • L’eau étant fuppofée remplir feulement la moi-tié du baffin , comme cela arrive lorfqu’on y a | puifé une allez grande quantité d’eau , elle monte peu-à-peu jufqu’au bord de la derniere marche, & s’écoule par la décharge de fuperficie pendant quelques minutes. Cet écoulement eft fuivi d’un gargouillement quelquefois allez fort pour fe faire entendre d’affez loin ; c’eft-là le ligne de l’abaiffe-ment prochain de l’eau. Elle commence en effet auffi-tôt à baiffer jufqu’à quelques pouces au def-fous du plus bas de la rigole. Cette hauteur, du relie, eft allez variable. Elle eft alors ftationnaire pendant quelque temps ; enfuite elle remonte & répété le même manege. Chaque flux de cette nature eft d’un demi-quart d’heure environ. Quelquefois cependant elle fe joue en quelque forte des curieux, & relie des demi-heures , des heures entières fans répéter fon jeu.
    • On lit dans les Tranfact. Philof. nos zoi Ô£ 414 , ainfi que dans le Cours de Défaguliers, T. II, la defcription d’une fontaine très-reffem-blante à la précédente : elle eft fituée près de Torbay dans le Devonshire, à une des extrémités de la petite ville de Brixham. Les habitants du pays Tome 1K p
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    • ii6 Récréât. Mathémat. et Phys. l’appellent Lay - Wdl. Elle eft fur le penchant d’une petite colline, & éloignée de la mer d’un bon mille ; ce qui exclud toute communication avec la mer. Le baffin eft , fuivant la defcription la plus récente, de 4 pieds & demi de large fur 8 de longueur. Il y a un courant qui coule conftam-ment dans ce baffin , & l’eau en fort par l’autre extrémité, & par une ouverture de 3 pieds de large fur une hauteur convenable.
    • Il s’écoule quelquefois un temps aftez confidé-rable , comme de quelques heures, pendant lesquelles l’eau cbule uniformément, fans haufter ni baiffier ; ce qui a donné lieu à des gens crédules de penfer que la préfence de quelques perfonnes avoit fur cette fontaine une influence qui arrêtoit fon jeu. Mais le plus fou vent elle a un mouvement de flux & de reflux fort fenfible & aftez prompt. L’eau s’élève de quelques pouces pendant environ deux minutes , après quoi elle s’abaifle pendant environ autant de temps , qui eft fuivi d’un petit repos ; enlorte que la durée totale eft d’environ cinq minutes. Cela s’exécute une vingtaine de fois de fuite, après lesquelles la fontaine femble fe repofer pendant environ deux heures, & l’eau coule uniformément pendant ce temps-là. C’eft,-dit l’auteur de la defcription , une particularité qui la diftingue des autres fontaines de cette efpece qui font venues à fa connoiftance. Mais nous avons vu que celle de Fontainebleau éprouve quelque chofe de femblable ; nous remarquons même une analogie très-grande entre l’une & l’autre ; & il nous paroît prefque évident par leur defcription , que leur périodifme n’eft pas dans la fource même, mais uniquement dans la décharge : cela eft du moins certain à l’égard de celle de
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    • PfcŸSlQÜE. iiy
    • f oiitaînebieau, car la nature du terrain lie permee pas d’y fuppofer rien de femblable à ce qu’exige un écoulement périodique dans la fontaine même.
    • Quoi qu’il en foit, voici une troifieme fontaine beaucoup plus confidérable que les deux précédentes , & qui préfente une intermittence bien marquée : c’eft celle de Franche-Comté, dont on lit une defcription fort bien faite dans le Journal des S gavants, Oéfobre 1688.
    • Cette fontaine eft, ou étoit du moins alors près du grand chemin qui conduifoit de Pontarlief à Touillon , au bout d’un petit pré, St au pied de quelques montagnes qui la dominent : elle coule , par deux endroits féparés , dans deux baffins dont la rondeur lui a fait donner le nom de la Fontaine ronde. Le baflin fupérieur, qui eft le plus grand, a environ fept pas de longueur fur fix de largeur , & il y a au milieu une pierre en talus, qui fert à rendre fenlible fon mouvement de réciprocation.
    • Quand le flux va commencer, on entend un bouillonnement au dedans de la fontaine, St l’on voit auffi-tôt l’eau fortir de tous côtés , en pro-duifant beaucoup de bulles d’air : elle s’élève d’un grand pied.
    • Dans le reflux , l’eau s’abaiffe à peu près dans le même temps St par les mêmes gradations in-verfes. La durée totale du flux St du reflux eft d’environ un demi-quart d’heure, y compris environ deux minutes de repos.
    • La fontaine tarit prefque entièrement à chaque reflux , fur-tout de deux l’un ; St à la fin de ce reflux on entend une efpece de gazouillement qui annonce cette fin.
    • La petite ville de Colmars en Provence, dio-cefe de Senèz, nous préfente encore une fontaine
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    • ii8 Récréât. Mathémay. et Phys. de ce genre. Elle fe tfouve aux environs de cette ville , & elle eft remarquable par la fréquence de fes écoulements. Quand elle eft prête à couler, un léger murmure annonce fon arrivée ; elle croît enfuite pendant une demi-minute ; alors elle jette de l’eau de la groffeur du bras ; puis elle décroît pendant cinq à fix minutes, & s’arrête un moment; après quoi elle reprend fon écoulement. De cette maniéré la durée de fon écoulement &C de fon intermittence enfemble, eft de fept à huit minutes, enforte qu’elle coule & s’arrête huit fois environ dans une heure. Gaffendi a donné une defcription plus détaillée de cette fontaine, dans fes œuvres, ainfi que M. Aftruc , dans fon Hifl. Nat. du Languedoc & de la Provence.
    • La fontaine de Fonzanches , dans le diocefe de Nifmes , mérite aufli de trouver place ici. Fonzanches eft litué entre Sauve & Quiflac , à la droite & alfez près du lit de la Vidourle : cette fontaine fort de terre à l’extrémité d’une pente alfez roide tournée au levant. Son intermittence eft des plus marquées ; elle coule & s’arrête régulièrement deux fois par jour ou dans l’efpace de 24 heures: la durée de l’écoulement eft de 7 heures 25 mi-putes , & celle de l’intermiflion de 5 heures jufte ou très-près ; enforte que fon écoulement retarde chaque jour de 50 minutes. Mais on au-roit tort d’en conclure aucune liaifon, foit avec le mouvement de la lune , foit avec la mer, quoiqu’on lui ait donné le nom de la Fontaine au flux & reflux. Il feroit abfurde d’établir de-là des canaux jufqu’à la mer de Gafcogne, qui en eft à 130 lieues. D’ailleurs le retardement de 50 minutes n’étant pas précifément celui des marées, ou du paffage de la lune par le méridien, l’ana-
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    • Physique. 229
    • logie d’un mouvement avec l’autre ne fe foutient pas davantage que fi ce retardement étoit beaucoup plus grand ou moindre.
    • Nous terminerons ce paragraphe par la defcrip-tion de la fameufe fontaine appelée Fonttflorbe 9 qu’on trouve dans le diocefe de Mirepoix. C& que nous allons en dire eft l’extrait de la defcrip-tion que M. Aftruc en a donnée, dans l’ouvrage cité ci-deflùs.
    • Fonteftorbe eft fituée à l’extrémité d’une chaîne de rochers , qui s’avance prefque jufqu’aux bords de la riviere de Lers, entre Fougas Sc Belleftat, dans le diocefe de Mirepoix. Fort au defius du lit de la riviere, on voit une voûte de 20 à 30 pieds de profondeur, & de 40 pieds de largeur fur 30 de hauteur. Au côté droit eft la fontaine dont il s’agit, dans une ouverture triangulaire du rocher, dont la bafe eft de 8 pieds environ de largeur. C’eft par cette ouverture que coule l’eau quand le flux eft arrivé. Ce qui cara&érife d’une maniéré finguliere fon intermittence , c’eft qu’elle n’eft intermittente que dans les temps de féche-reffe , c’eft-à-dire ordinairement pendant les mois de Juin , Juillet, Août & Septembre : alors elle coule pendant 36 à 37 minutes, en s’élevant de 4 à 5 pouces fur la bafe de l’ouverture triangulaire , & après ce temps elle celle de couler pendant 32a 33 minutes : vient-il à pleuvoir, le temps de l’intermifîion fe raccourcit, & s’anéantit enfin lorfqu’il a plu trois ou quatre jours de fuite, enforte que la fontaine eft alors continue , quoi-qu’ave.c une augmentation périodique : mais enfin, lorfque la pluie a duré allez long-temps, le flux eft continu & égal, ce qui dure pendant tout l’hiver, jufqu’au temps de la lèchereffe , où la
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    • i3ô Récréât. Mathémat. et Phys. fontaine redevient périodique & intermittente par les mêmes gradations inverfes.
    • On peut déduire des principes expofés dans les problèmes précédents , la raifon de la plupart des phénomènes qu’on vient de décrire : il fuffit pour cela de concevoir une cavité plus ou moins grande, formée par l’affaiffement d’un banc de glaife, & qui fert de réfervoir à un amas d’eau fourni par une fource. Que cette cavité communique au dehors par une efpece de canal circonflexe , dont l’orifice intérieur foit voifin du fond de la cavité , & l’extérieur beaucoup plus bas ; ce canal fera évidemment l’office du fyphon du Problème LXIII & de la fig. 3 /, & produira les mêmes phénomènes , en fuppofant toutefois l’accès de l’air extérieur dans la cavité.
    • Si donc la fourçe qui vient remplir la cavité décrite, fournit conftamment moins d’eau que le fyphon fuppofé n’en peut évacuer, l’eau ne coulera que périodiquement; car, pour qu’elle coule, il faudra que l’eau foit montée jufqu’au fommet, ou l’angle des deux branches du fyphon : il coulera alors , & évacuera l’eau contenue dans la cavité ; & enfuite il s’arrêtera, jufqu’à ce qu’il foit furvenu de nouvelle eau.
    • Mais lï la fource cachée qui alimente le réfervoir fuppofé eft variable, c’eft-à-dire qu’elle foit beaucoup plus abondante en temps d’hiver & pluvieux , que pendant l’été ou un temps de féche-reffe, la fource apparente ne fera intermittente que dans ce dernier temps ; la durée de fes inter-millions ou repos diminuera à mefure que la fource cachée deviendra plus abondante ; & en-fuite , quand cette dçrniere le fera au point de
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    • Physique. 231
    • évacuer, la fource apparente deviendra continue ; elle reprendra enfin par degrés fon intermittence , à mefure que la fource intérieure diminuera de volume.
    • Ainfi voilà les phénomènes de la fource de Fonteftorbe, expliqués par le même mécanifme que celui des autres fontaines purement intermittentes. Il y a apparence que , dans ces dernieres, la fource cachée tire fon origine d’une eau fou-terraine qui ne reçoit que peu ou point d’augmentation des eaux extérieures, & qu’au contraire celle de Fonteftorbe a pour aliment une eau. provenant des neiges & des pluies.
    • Nous ne dirons qu’un mot de quelques autres fontaines de ce genre, dont il eft parlé dans divers auteurs. Telle eft celle des environs de Pa-derborn , qu’on nomme Bulhrbom, qui coule, dit-on , 11 heures , & fe repofe autant de temps ; celle de Haute-Combe en Savoie, près du lac du Bourget, qui coule & s’arrête deux fois par heure ; celle de Buxton , dans le comté de Derby, &C dont parle Childrey dans fes Curiojités d'Angle-terre, qui coule tous les quarts d’heure feulement; une près du lac de Corne, célébré dès le temps de Pline le jeune, qui hauffe & baille trois fois par jour périodiquement; &c. &c. Comme les defcriptions qü’on en donne font très-imparfaites, nous ne nous y arrêterons pas davantage.
    • III. Mais voici des phénomènes d’un autre genre ; ce font ceux que nous préfentent certains puits ou certaines fources qui s’élèvent & s’abailfent à certaines périodes, fans qu’on leur connoifte d’écoulement. Il y a près de Breft un puits fujet à ces abaiflement & élévation périodiques, dont l’explication a beaucoup occupé les pbyliciens. La
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    • *3* Récréât. Màthémàt. et Phys. defcription de ce qu’on y obferve eft tirée du Journal de Trévoux, (O&obre 172.8) , & eft l’ouvrage d’un P. Aubert, Je fuite, phyficien qui paroît très-exaft & très-inftruit.
    • Le puits dont nous parlons eft iitué à deux lieues de Breft, au bord du bras de mer qui s’avance dans les terres jufqu’à Landerneau. Sa dif-tance au bord de la haute mer eft de 7 5 pieds , & à peu près du double au bord de la baffe mer. Il a 20 pieds de profondeur , & fon fond : eft plus bas que la haute mer, & moins élevé que la baffe.
    • Il feroit peu étonnant, & ce feroit même une cliofe tout-à-fait dans l’ordre naturel, que le puits baiftât à la baffe mer & montât à la haute ; mais c’eft tout le contraire, ainft qu’on va le voir par la fuite détaillée de ce qu’on y obferve.
    • L’eau du puits eft la plus baffe, c’eft-à-dire à ti ou 12. pouces au deffus de fon fond, lorfcjue la mer eft la plus élevée. Elle refte en cet état environ une heure , à compter du moment de la haute mer ; elle croît enfuite pendant environ 2 heures & demie dans le temps que la mer baiffe , après quoi elle refte ftationnaire pendant environ deux heures. Elle commence alors à décroître, c’eft-à-dire une demi-heure environ avant le moment de la plus baffe mer, & cela continue pendant les quatre premières heures de la mer montante. Enfin elle refte dans le même état d’abaiffe-ment environ 3 heures, c’eft-à-dire pendant les deux dernieres heures de la mer montante , & la première heure de la mer defcendante ; après quoi elle recommence à monter, comme on l’a expliqué plus haut. On a remarqué dans la grande fé* çhereffe de 1724, que le puits dont il s’agit tarif*
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    • Physique. 25*
    • jfoît quelques heures à la mer montante, & qu’il fe rempliffoit à la mer defcendante. Je ne fçais. fi ce puits fubfifte encore. Ce qui ajoute à la Angularité du phénomène , c’eft que des puits voi-fins, & qui femblent devoir éprouver les mêmes viciffitudes , n’y font point fujets.
    • On voit près de Londres, entre cette ville & Gravefande, une forte de petit lac appelé Green-hive, qui, fuivant M. Défaguliers, offre les mêmes phénomènes : il ajoute avoir ouï dire qu’à Lambourn, dans le Berckshire , il y a une fontaine qui eft pleine quand le temps eft fec, & à fec quand le temps eft pluvieux. Il feroit à defirer qu’il eût avéré le fait avec fes circonftances.
    • IV. Mais tout ce que nous venons de dire, quoique fort remarquable, n’approche pas de la Angularité du fameux lac de Zirchnitz. On nomme ainfi un lac affez grand, fitué près la petite ville de ce nom , dans le duché de Carniole. Il a environ trois lieues de France de longueur, & une & demie de largeur, fous une forme affez irré-
    • La Angularité de ce lac confifte en ce qu’il eft plein d’eau pendant prefque toute l’année ; mais vers la fin de Juin , ou dans les premiers jours de Juillet, l’eau s’écoule par 18 efpeces de puits ou conduits fouterrains ; enforte que ce qui avoit été le féjour des poiffons &c des oifeaux aquatiques , qui y font très-nombreux , devient celle des beftiaux , qui viennent y paître une herbe abondante. Les chofes reftent ainfi pendant trois à quatre mois, fuivant la conftitution de l’année ; & ce temps expiré, l’eau revient par les trous qui l’avoient abforbée , & avec une violence fi confidérable , qu’elle jaillit jufqu’à la hauteur
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    • 134 Récréât. Màthémàt. et Phys. d’une pique, de maniéré qu’en moins de vingt-quatre heures le lac eft revenu dans Ton premier état.
    • On doit cependant remarquer qu’il y a quelques irrégularités dans le temps 6c la durée de cette évacuation. Il eft quelquefois arrivé que le lac s’eft rempli & vuidé deux ou trois fois dans l’année. Une fois il n’éprouva de toute l’année aucune évacuation ; mais il n’eft jamais arrivé qu’il ait refté vuide plus de quatre mois. Ces irrégularités n’empêchent pas que le phénomène mérite de tenir une place parmi les Angularités les plus extraordinaires de la nature. On peut voir fur ce fujet l’ouvrage d’un fçavant de ce pays, ( M. Weichard Valvafor, ) intitulé Gloria duca-tus Carniolæ , &c. 1688, in-40. Cet auteur entre dans des détails qui lui concilient toute croyance, & d’ailleurs c’eft un fait connu 6c rapporté par divers voyageurs inftruits.
    • M. Valvafor déduit avec beaucoup de probabilité les phénomènes de ce lac , de cavités fouter-raines qui communiquent avec lui par les ouvertures dont nous avons parlé, & qui font pleines d’une eau alimentée par les pluies. Lorfque ces pluies ont celle pendant long-temps, & qu’elles font évacuées jufqu’à un certain point , elles donnent lieu à un jeu de Typhons qui vuide tout le lac. Mais il faut voir les détails de cette explication dans l’ouvrage cité, ou bien dans les Actes de
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    • Physique.
    • PROBLÈME LXVII.
    • Du Porte-voix & du Corna acoujlique ; leur explication : Le jeu de la Tête enchantée.
    • Tout comme on aide la vue par les lunettes d’approche & par les microfcopes, de même on a imaginé d’aider l’ouïe, par des inftruments analogues. L’un, appelé le porte-voix, fert à fe faire entendre de fort loin ; & l’autre, appelé cornet acoujlique, à groflir pour l’oreille les plus petits fons.
    • Le chevalier Morland efl:, parmi les modernes, celui qui s’eft le plus occupé à perfectionner ce moyen d’augmenter les fons. Il publia en 168.. un traité intitulé, de Tuba Stentorophonicâ, nom qui fait allufion à la voix de Stentor, fi célébré parmi les Grecs par fa force extraordinaire. Ce que nous allons dire ici efl: en partie extrait de cet ouvrage curieux.
    • Les anciens connurent le porte-voix , car on dit qu’Alexandre avoit un cornet avec lequel il don-noit des ordres à fon armée, quelque nombreufe qu’elle fût. Kircher, d’après quelques paflages d’un manuferit du Vatican, fixe le diamètre du pavillon à 7 pieds & demi. Quelle étoit fa longueur ? il n’en dit rien ; il ajoute feulement qu’il fe faifoit entendre à 500 ftades, ou 5 de nos lieues. Il y a fans doute de l’exagération. Un inftrument avec lequel on pourroit fe faire entendre de Verfailles à Paris, feroit un inftrument fort curieux.
    • Quoi qu’il en foit, le porte voix, autrement trompette parlante , ou Jlentorophonique , n’eft autre chofe qu’un long tuyau, qui d’un côté n’a que la largeur néceflaire pour y appliquer la bou»
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    • ±$6 Récréât. Mathémàt. et Phys.
    • che, & qui va de-là en s’évafant jufqu’à l’autre extrémité en forme de pavillon. L’ouverture du petit bout doit être égale à celle de la bouche d’un homme, & un peu applatie, pour mieux fe conformer à la figure de cet organe ; deux petites appendices latérales fervent à embraflfer les joues.
    • PL 6, On voit tout cela dans la fig. 33 , qui n’a pas %• 33-befoin d’autre explication.
    • Le chevalier Moriand dit avoir fait faire de ces trompettes parlantes de plufieurs grandeurs ; fça-voir, une longue de 4 pieds & demi, par laquelle on fe faifoit entendre à 500 pas géométriques ; une autre , de 16 pieds 8 pouces r fe faifoit entendre à 1800 pas ; une troifieme enfin , de 2.4 pieds, qui portoit le fon à plus de 2500 pas.
    • Nous ne dirons pas comme M. Ozanam , pour expliquer cet effet, que les tuyaux fervent généralement à renforcer l’a&ivité des caufes naturelles ; que plus ils font longs , plus cette énergie eft augmentée ; &c. car ce n’eft pas là parler en phyficien ; c’eft prendre l’effet pour la caufe. Il faut raifonner avec plus de précifion.
    • L’air eft un fluide élaftique » & tout fon qui y eft produit fe répand circulairement & fphéri-quement à l’entour du lieu où il eft produit. Si donc l’on parle à l’extrémité d’un long tuyau , tout le mouvement qui feroit communiqué à une fphere d’air, par exemple de 4 pieds de rayon, eft communiqué à un cylindre ou plutôt un cône d’air, dont la bafe eft le pavillon. Si ce cône eft , par exemple, la 100e partie de la fphere entiers de même rayon , c’eft à peu près comme fi l’on avoit parlé 100 fois aufli fort dans un air libre : on doit donc entendre à une diftance 100 fois aufli grande.
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    • Physique. i}7
    • Le cornet acouftique, infiniment fi utile pour les fourds, eft à peu près l’inverfe du porte-voix. Il raffemble dans le conduit auditif toute la quantité de fon contenue dans fon pavillon, ou il augmente le fon qui eft produit à fon extrémité , dans un rapport qui eft à peu près le même que celui de cette extrémité au pavillon. Si, par exemple , le pavillon a 6 pouces de diamètre, & l’ouverture qu’on applique à l’oreille 6 lignes, ce qui donne en furface le rapport de i à 144 , le fon fera augmenté 144 fois, ou à peu près ; car je ne crois pas que ce rapport fuive précifément l’inverfe des étendues. Il faut convenir que fur cela l’acouftique n’eft pas encore auffi avancée que l’optique.
    • Remarque.
    • L’expérience a appris, & c’eft un fait," quelle qu’en foit la raifon , que le fon renfermé dans un tube fe propage à une diftance incomparablement plus grande que dans l’air libre. Le P. Kircher rapporte quelque part, que les ouvriers qui travaillent dans les fouterrains des aqueducs de Rome, s’entendent à la diftance de plufieurs milles.
    • Si l’on parle, même fort bas, à l’extrémité d’un tuyau de quelques pouces de diamètre , celui qui aura l’oreille à l’autre extrémité , entendra diftinélement ce qu’on aura dit, quel que foit le nombre de circonvolutions de ce tuyau;
    • Cette obfervation eft le principe d’une machine qui furprend beaucoup les gens médiocrement instruits. On place une figure en bufte fur une table ; mais de l’une de fes oreilles, ou de chacune, on conduit à travers l’épaiffeur de la table & un de
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    • *3» Récréât. MàthéMàt. et Phÿ$. fes pieds, un tuyau qui perce le plancher, & Va aboutir dans l’appartement inférieur ou latéral. Un autre tuyau part de la bouche , & va aboutir par un chemin femblable dans le même appartement. On dit à quelqu’un de faire à cette figure une queftion en lui parlant bas à l’oreille ; la per-fonne qui eft de concert avec celle qui montre la machine, ayant fon oreille appliquée à l’extrémité du même tuyau, entend fort bien ce qu’on a dit : elle fait alors à l’embouchure de l’autre tuyau, une réponfe qu’entend à fon tour l’auteur de la queftion. Enfin , fi par quelque moyen mécanique on a donné en même temps un mouvement aux levres de la machine, les ignorants font extrêmement furpris, & tentés de croire à la magie. Il n’y en a pourtant aucune, ainlî qu’on le voit.
    • PROBLÈME LXVIII.
    • Dam le jeu du Ricochet, quelle ejl la caufe qui fait remonter la pierre au deffus de la furface de l'eau , après y avoir plongéP
    • Rien n’eft plus connu &c plus commun que le jeu appelé Ricochet, puifqu’il eft peu de jeunes gens qui, fe trouvant fur le bord d’une eau un peu étendue, ne s’amufent à ce petit jeu. Mais la caufe de ce rebondiffement de la pierre , après avoir touché la furface de l’eau , n’en a p is moins quelque chofe t|ui ne fe préfente pas d’abord à l’efprit ; & même, le dirons-nous ? il y a des phyficiens qui s’y font mépris, en attribuant cet effet à l’élafticité de l’eau. Comme l’eau n’a aucune élafticité , il eft évident que leur explication eft vicieufe.
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    • PHYSIQUE. 239
    • Ce rebondiffement tient néanmoins à une caufe qui approche affez de l’élafticité. C’eft l’effort que font les colonnes d’eau, enfoncées par le choc , pour fe relever ôc reprendre leur place, par une fuite de l’équilibre qui doit régner entr’elles 6c les voifines. Mais entrons dans une analyfe un peu plus approfondie de ce qui fe paffe en cette oc-caiion.
    • Lorfque la pierre, qui doit être plate, eft lancée obliquement à la furface de l’eau , & dans le feus fie (on tranchant, il eft évident qu’elle eft portée de deux mouvements qui fe compofent, l’un horizontal qui eft le plus vite , Sî l’autre vertical qui l’eft beaucoup moins. La pierre , arrivée à la furface de l’eau , la choque par l’effet de ce dernier feulement, & elle enfonce un peu la colonne d’eau qu’elle rencontre ; ce qui produit une réfiftance qui affaiblit ce mouvement vertical , mais fans le détruire encore : elle continue à plonger en enfonçant d’autres colonnes ; d’où il résulte de nouvelles réfiftances qui anéantirent enfin ce mouvement en ce qu’il a de vertical. La pierre eft alors parvenue à la plus grande profondeur qu’elle puiffe atteindre , 6c elle a dû décrire né-ceffairement une petite courbe , dont la convexité eft oppofée au fond de l’eau , comme on voit dans la fig. 34: mais dans le même temps fig. 34. fon mouvement, en ce qu’il a d’horizontal, n’a rien ou prefque rien perdu. D’un autre côté , la colonne enfoncée par le choc de la pierre, réagit contr’elle , forcée par les colonnes voifines ; d’où I il réfui te un mouvement vertical, qui eft imprimé | à la pierre, & qui fe combine avec le mouve-jj ment horizontal qui lui refte. Il doit donc en ré-j fulter un mouvement oblique tendant en haut 5
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    • 240 Récréât. Maïhémat. êt Phys. c’eft celui qui fait rebondir la pierre de deffué l’eau , en lui faifant décrire une petite parabole fort applatie, à la fin de laquelle elle frappe encore l’eau fort obliquement; ce qui produit un fécond bond , puis un troifieme, un quatrième , &c. qui vont toujours en diminuant d’étendue & de hau-teur, jufqu’à ce que le mouvement foit tout-à-fait anéanti.
    • PROBLÈME LXIX.
    • Le mècanifme du Cerf-volant : Diverfes queflioni & recherches fur ce jeu.
    • Tout le monde connoît l’amufement du cerf-volant , petite machine fort ingénieufe, & dans laquelle éclate un mécanifme très - adroit. Cependant on s’étonnera peut-être de ce qu’un objet de cette nature a pu faire le fujet d’un mémoire académique ; car on en lit un fur le cerf-volant parmi ceux de l’Académie de Berlin, année 1756. Mais cette furprife ceffera, quand on fqaura que M. Euler le fils étoit déjà profond géomètre à un âge ou la plupart des jeunes gens ne voient dans un cerf-volant qu’un objet d’amufement : ainfi il étoit difficile qu’il ne fût pour lui un fujet de méditation. Il préfente en effet plufieurs quef-tions curieufes , & même, pour la plupart, im-poffibles à traiter fans une analyfe profonde. On peut donc regarder, fi l’on veut, ce Mémoire, comme les juvenilia d’un grand géomètre. Nous ne le fuivrons pas dans lès calculs profonds ; nous nous bornerons à traiter la matière d’une maniéré moins exatte, & plus facile à entendre.
    • Le cerf-volant eft, comme l’on fçait, une fur-face plane, ÔC légère autant qu’il eft poffible, ABCD,
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    • Physique. m,
    • ABCD, taillée en rhombe ifrégulièr, c’eft-à-dire formée de deux triangles BAC, BDC, dans lef- PL 6, quels l’angle A dut premier eft beaucoup plus %* 35* grand que l’angle D du fécond. Du côté A eft la tête, & D eft la queue, à laquelle on attache ordinairement un long fil garni de floccons de papier : on en met auffi de beaucoup plus courts aux angles B & C ; ce qui fait que la petite machine, étant élevée, préfente de loin le fpeéïacle d’un oifeau monftrueux qui fe balance dans les airs à l’aide de fes ailes & de fa queue.
    • A un point de l’axe AD, & vers le point E, eft attachée une ficelle de quelques centaines de pieds de longueur, & qui s’enroule fur un bâton , pour la lâcher ou la retirer fuivant le befoin. Mais cette corde a befoin d’être attachée au cerf-volant d’une certaine maniéré ; car il faut, i° que d’un point de la corde , voifin de fon attache, partent deux autres petites cordes allant aux point B & C, pour empêcher la machine de tourner fur l’axe AD.
    • 2° Du même point de la corde doit partir une autre petite corde allant à un point voifin de la tête A, enforte que l’angle formé par la corde avec l’axe A B foit aigu du côté de A, & invariable : on en fait même pafler une quatrième de ce point de la corde à un point voifin de D.
    • Les chofes ainfi préparées , quand on veut mettre le cerf-volant au vent, on fait tenir la corde à quelqu’un, ôt à quelques toifes de di£ tance ; on expofe la furface inférieure au vent, en lâchant le cerf-volant en l’air. Celui qui tient la corde fe met auffi-tôt à marcher avec rapidité contre le vent, afin d’augmenter l’aétion de l’air fur cette furface. Si l’on éprouve une réfif-tance confidérable , on lâche un peu & fucceffi-TomcIF. Q
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    • 141 Récréât. Màthémàt. et Phys. vement la corde, & le cerf-volant s’élève : il fuf-fit de fiçavoir bien gouverner, en lâchant ou retirant la corde à propos ; la lâchant lorfque, par Peffort qu’on éprouve, on juge que le cerf-volant peut s’élever encore ; la retirant quand on le fent mollir. Un cerf-volant bien fait, peut, dans un lieu & un temps favorables, s’élever à 3 ou 400 pieds & même davantage.
    • Pour analyfer ce jeu, & reconnoître ce qui s’y paffe, imaginons que AD repréfente l’axe du cerf-volant , auquel eft attachée la corde EC , retenue en C par la perfonne qui le manœuvre. L’angle PI. 6, AEC doit être aigu. Que VE foit la direftion du 36* vent, dont nous fuppofons tous les filets réunis en un feul, agiffant fur le centre de gravité de la furface du cerf-volant, & que nous fuppoferons, pour Amplifier , ne pas différer de celui du corps même, ou en être fort près.
    • Que FE repréfente la force avec laquelle le vent auquel le cerf - volant eft expofé, choque-roit perpendiculairement fa furface ; qu’on tire EG perpendiculaire à cette furface, & qu’on mene FG perpendiculaire à EG ; qu’on faffe enfin EL troifieme proportionnelle à EF & EG, & qu’on mene LM parallèle à GF ; alors EL repréfentera la force avec laquelle le vent choque la furface inférieure du cerf-volant dans le fens perpendiculaire , & LM fera l’effort que ce choc exercera dans le fens ML ou AED.
    • Nous remarquerons d’abord que, par ce dernier, le cerf-volant tendroit à être précipité en bas ; mais l’angle AEC étant aigu, il en réfulte un effort dans le fens EA, qui contre-balance le premier : fans cela le cerf-volant ne pourroit fe I
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    • Physique. i43
    • foutenir ; & telle eft la raifon pour laquelle cet angle doit néceflairement être aigu.
    • Prenons maintenant EH égale à EL ; & menant El perpendiculaire à l’horizon, & HI perpendiculaire à EH, nous aurons deux nouvelles forces, dont l’une IH agira dans le fens ED , &c tendra à précipiter le cerf-volant : mais elle eft anéantie , ainfi que la première ML , par la puif-fance en C , qui tire félon l’angle oblique AEC. L’autre El, fera celle qui tendra à faire monter le cerf-volant dans le fens vertical.
    • Ainfi, fi la force El eft plus grande que le poids du cerf-volant , il fera élevé en l’air ; & fi l’oa fuppofe que l'extrémité de la ficelle foit fixe en C, il tournera autour de ce point C en s’élevant ; mais en tournant ainfi , il arrivera néceflairement que le vent choquera avec plus d’obliquité la fur-face AB ; .enforte qu’il y aura enfin équilibre. Le cerf-volant ne s’élèvera donc pas davantage , à moins qu’on ne lâche la ficelle ; car alors il s’élèvera parallèlement à lui-même ; & comme en montant il rencontrera un air plus libre & un vent plus fort, il tournera encore un peu à l’entour de l’angle C , ou l’angle C deviendra plus grand & plus approchant du droit.
    • Tel eft le mécanifme par lequel s’élève le cerf-volant. Il eft aifé de voir qu’on peut, connoiflant la vitefle du vent, la furface & le poids du cerf-volant , ainfi que la grandeur confiante de l’angle AEC, déterminer la hauteur à laquelle il s’élèvera.
    • Une queftion qui fe préfente naturellement ici, eft , Quelle, grandeur doit avoir Vangle AEFy pour i]ue la petite machine s'élève avec plus de facilite ? Nous n’en donnerons pas l’analyfe ; nous nous
    • Q u
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    • 144 Récréât. Mathémat. et Phys. bornerons à dire qu’en fuppofant le vent horizontal, il faut que cet angle foit de 540 44', c*eft-à-dire le même que celui que doit faire le gouvernail d’un vaiffeau avec la quille, pour le faire tourner avec le plus de facilité, dans la fuppofi-tion où les filets d’eau qui le choquent auroient une dire&ion parallèle à la quille.
    • Nous remarquerons ici qu’il n’y a pas une né-ceflité abfolue que l’angle AEC foit invariable , & déterminé à être tel par une petite ficelle attachée d’un point de CE à un point voifin de la tête ; mais il faut alors que le point d’attache E de cette ficelle au cerf-volant, ne foit pas le même que le centre de gravité de la furface du cerf-volant, & que ce centre de gravité foit le plus loin qu’il fe pourra vers le centre de la queue D. C’eft pour cette raifon que l’on ajoute à ce point D un filet garni de floccons de papier , qui retire ce centre de gravité vers le point D. Sûrement ceux qui s’amufent du cerf-volant n’y pot pas été conduits à priori : l’origine de cette appendice a été l’envie de donner à la petite machine l’air d’un oifeau à longue queue, fe balançant dans les airs. Mais le hazard les a fort heureufèment fervis ; car M. Euler a' trouvé, par un calcul dont il n’eft pas poffible de donner ici même l’idée, que cette petite queue contribue beaucoup à faire élever le cerf-volant.
    • Au refie ce petit jeu, tout frivole qu’il eft, préfente encore quelques autres confédérations mécaniques qui exigent beaucoup d’adrefle & un calcul fort compliqué ; mais on nous permettra de nous borner à renvoyer au Mémoire de M. Euler le fils, cité plus haut.
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    • Physique. 24Ç
    • Remarq ue.
    • On peut, en obfervant toutefois les réglés ci-deffus, donner à cette machine plufieurs figures différentes, comme celle d’un aigle, d’un vautour, &c. Je me fouviens d’avoir vu un cerf-volant repréfentant un homme. Il étoit fait de toile taillée & peinte pour cet effet, & attachée fur un châffis léger, conftruit de maniéré à foute-tenir tous les contours de la figure. Elle étoit droite , & paroiffoit vêtue d’une efpece de gilet. Ses bras difpofés en anfes de chaque côté de fon corps , & fa tête ornée d’un bonnet terminé angulairement, favorifoient l’afcenfion de la machine , qui, étant à terre , avoit environ 12 pieds de haut ; mais, pour en faciliter le tranfport, on pouvoit la plier en deux par le moyen de charnières adaptées au châffis. Celui qui guidoit cette efpece de cerf-volant, parvint à l’élever, quoique dans un temps affez calme, à près de 500 pieds ; & une fois élevé, il le foutenoit en l’air , en ne donnant qu’un léger mouvement au cordeau. La figure avoit alors un balancement fem-blable à celui d’un homme patinant fur la glace. L’illufion que caufoit ce petit fpe&acle, qui ne femble d’abord fait que pour récréer des écoliers , ne laiffoit pas d’attirer & amufer un grand nombre de curieux.
    • PROBLÈME LXX.
    • De la Baguette divinatoire ; ce qu'on en doit penfer.
    • Nous ne parlons ici de la baguette divinatoire, que parceque cette illufion ou ce charlatanifme phyfique a fait trop de bruit pendant un temps,
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    • 146 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • pour ne pas exciter la curiofité du lecteur, & qu’il s’attend fans doute à trouver dans un ouvrage tel que celui-ci, au moins quelques mots fur cette matière. Sans ce motif, de pareils délires nous paroiffent rrop méprifables & trop au deffous de la philofophie de ce fiecle , pour que nous leur euffions donné ici la moindre place.
    • La baguette divinatoire n’eft autre chofe qu’une fourche de bois de coudrier, dont les deux branches doivent avoir 15 ou 18 pouces de longueur, & faire entr’elles un angle de 30 à 40 degrés. On en prend les deux branches dans les mains fk d’une certaine maniéré , en plaçant le tronc ou le milieu en l’air. On prétend que quelques per-fonnes font douées d’une telle propriété , que, tenant ainfi cette baguette entre les mains, elle tend , par un mouvement violent, à abaifler fon tronc en bas , lorfqu’on eft à proximité d’une fource, de métaux précieux renfermés dans le fein de la terre , d’un argent volé, &c. Le dirons-nous fans une forte de confufion pour l’efprit humain ? on a été jufqu’à dire qu’elle tournoit fur les traces de gens criminels, voleurs ou alfaflins. On vit, dit-on, en 1691 ,1e fameux Jacques Aymar fuivre de cette maniéré, depuis Lyon jufqu’à la foire de Beaucaire , deux hommes qui en avoient affaffiné un autre dans la première de ces villes , tracer leur marche & leur féjour d’auberge en auberge , les trouver enfin à Beaucaire , où ils furent arrêtes , & firent l’aveu de leur crime. La célébrité de cet homme fit qu’on voulut le voir à Paris ; mais il y parut moins merveilleux que le long de la côte du Rhône; & après quelques épreuves de fon art fingulier qui réunirent mal, il fut renvoyé baffoué comme il le méritoit. Il n’y a même pas
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    • Physique. 247
    • d’apparence que la juftice des pays méridionaux du royaume l’ait davantage employé à luivre les criminels fugitifs ; car on ne trouve plus un feul mot concernant cet homme dans l’hiftoire de ce temps : on dit même que , malgré fa célébrité, il mourut dans la mifere. Il y a apparence qu’il avoit été témoin du crime commis par les deux fcélérats ; que, voulant fe faire un grand nom dans l’art de faire tourner la baguette , U les avoit fuivis jufqu’à Beaucaire, où il avoit fqu leur projet d’y relier pendant la foire ; qu’il étoit retourné fort vite à Lyon pour annoncer fon fecret, & les avoit fuivis ainlî à la pille. Il faut du relie regarder comme des contes ce qu’on ajoutoit, fçavoir, qu’il reconnoilïoit les verres où ils avoient bu, les couteaux qui leur avoient fervi, &c.
    • Comment des têtes organisées pour être rai-fonnables , ont-elles pu penfer qu’une aélion qui n’eft que moralement mauvaife, ait pu imprimer quelque qualité, phyfique aux auteurs de cette aflion? que l’alfaffin d’un homme, ou un argent volé, falTe plutôt tourner la baguette que celui qui a tué un mouton, ou que de l’argent Amplement déplacé ? H faut être ïmbécille pour adopter de pareilles rêveries.
    • Audi quelques phyliciens, encore bien crédules , ont-ils borné la propriété de la baguette divinatoire à tourner à la proximité des tréfors , c’eft-à-dire des malles confidérables d’or ou d’argent , des fontaines ou des amas d’eaux, &c. Tout comme, difent-ils, l’aimant agit fur le fer par des particules invifibles, de même ces corps peuvent , par une émanation particulière, agir fur le bois de la baguette, ou les bras de celui qui s’en fert, &c. On peut voir ce beau raifonnement
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    • 148 Récréât. Mathémàt. et Phys.
    • & vingt autres dans le livre de la Baguette divinatoire , par l’abbé de Vallemont, homme qui n’é-toit pas fans connoiffances , mais crédule, & prêt à adopter tout ce qui avoit quelque chofe de merveilleux.
    • Le P. Kircher, autre homme célébré, mais guere moins entiché de l’amour du merveilleux , & fouvent dupe ou crédule, a auffi tâché de concilier avec la faine phylîque les merveilles prétendues de la baguette divinatoire : il a fait pour cela quelques expériences. Par exemple, il for-moit une baguette ou verge droite, dont une moitié étoit de fel gemme & l’autre de bois ; il la mettoit en équilibre, & l’expofant à la vapeur d’une diffolution de fel marin échauffé , il remar-quoit que fa moitié faline s’inclinoit ; d’où il con-cluoit qu’une pareille baguette, portée au deffus d’une mine de fel, pourroit l’indiquer en perdant l’équilibre. Ce raifonnement étoit pitoyable, car la mine de fel n’exhale pas des vapeurs comme une eau échauffée ; mais en le fuppofant, c’eft de l’eau pure qui forme ces vapeurs, & Kircher eût éprouvé la même chofe en expofant fa baguette mi-partie à la vapeur d’une eau pure. Mais ce fe* roit du temps perdu que de difcuter ces fottifes, qui ne font plus que la vaine pâture de quelques efprits crédules , & induits en erreur par des fripons.
    • On doit mettre au même rang les prétendues merveilles du nommé Parangue , qu’on vanta beaucoup, il y a fix ou fept ans, dans les provinces méridionales du royaume. Il étoit, dit-on , doué de la propriété merveilleufe de voir dans les entrailles de la terre les eaux coûtantes , même à une très-grande profondeur ; il
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    • en traçoit le cours ; il difoit à peu près à quelle profondeur elles étoient. Les nouvelles venues de ce pays annonçoient chaque jour un nouveau fait qui atteftoit cette prodigieufe faculté ; on fit même des livres où l’on tâchoit d’expliquer comment il étoit poffible que fes yeux viffent l’eau dans les entrailles de la terre : car, pour rendre cette faculté encore plus merveilleufe, on vouloit qu’il vît réellement, & dans toute l’étendue du terme, les objets fouterrains. Mais ce petit charlatan n’eut pas le même honneur que Jacques Aymar, fça-voir, d’être appelé à Paris ; on le laifta exécuter fes merveilles dans la province qui l’avoit vu naître , où il ne fut pas même long-temps un grand prophète, non plus que dans les provinces voifines. Montelimart eft la ville où il a fur-tout fait fes plus grands miracles ; mais il en a, dit-on, coûté quelque argent à fes magiftrats municipaux, pour avoir, fur la parole du petit Parangue, fait creufer affez profondément pour trouver une fource. Les partifans du petit charlatan ont dit qu’on s’étoit découragé trop tôt, & que tôt ou tard on auroit trouvé de l’eau. Nous le croyons aufli : la prophétie, entendue de cette maniéré , ne peut manquer de fe vérifier.
    • J’ai ouï dire qu’on voit aujourd’hui, à peu près dans le même pays, un autre charlatan qui trouve les eaux cachées, d’une autre maniéré. On le promené dans les lieux où l’on en foupqonne ; & lorfqu’il paffe delfus, il reffent un accès violent de fievre, qui ne ceffe que quand il a dépaffé la fource. Crcdat Judetus Apdla.
    • Les folies des hommes femblent ne faire que fe répéter. On avoit vu à Lisbonne, vers 1738, une femme qui avoit bien une propriété plus
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    • ijo Récréât. Màthémàt. et Phys.
    • extraordinaire que celle de Parangue. Dès l’âge de 5 ans elle avoit vu un enfant dans le ventre de la cuifiniere de la maifon, & l’avoit dit naïvement à fa mere. L’événement juftifia, dit-on, la jeune perfonne, dont les talents allèrent toujours en fe perfe&ionnant. Arrivée à un certain âge , elle voyoit dans le corps humain comme s’il eût été tranfparent, & même elle indiquoit aux médecins les vifceres attaqués de maladie. Une chofe néanmoins remarquable, c’efl qu’elle ne voyoit ainfî dans le corps humain que lorfqu’on étoit déshabillé. Mais quoique quelques habits légers lui interceptaient la vue de ce qui étoit au-delà, elle ne laiffoit pas, dit-on, de voir à de grandes profondeurs fous terre. C’efl: ainfi que le petit Parangue , qui voyoit à travers les rochers, ne voyoit pas à travers une planche. Quant à la dame mer-veilleufe de Lisbonne, elle voyoit très-bien, & même lifoit à travers une planche d’un pouce d’é-paiffeur. Un jour, étant encore enfant, & fe promenant , elle vit un mineur fous terre. On trouva qu’en effet il y en avoit un à 60 toifes de profondeur. On imagine bien qu’elle voyoit l’eau & les fburces fouterraines, & l’on prétend qu’il y a un grand nombre de puits creufés à Lisbonne d’après fes indications. C’efl: à elle, dit-on, que l’on doit la découverte d’un obélifque caché depuis longtemps fous terre , & qu’on fit relever pour la décoration de cette ville.
    • On raconte qu’un religieux de la même ville reconnoiffoit en tout temps la préfence des eaux fouterraines, en regardant le foleil à midi. II voyoit, difoit - il, une colonne de vapeurs qui s’élevoient vers cet aftre.
    • On lit toutes ces fottifes dans un ouvrage ’mth
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    • PHYSIQUE. IJf
    • tuîe Mémoires mjlru&ifspour un Voyageur, Amft. 1738 ; & les admirateurs du petit charlatan de Montelimart n’ont pas manqué de les compiler,' pour prouver que ce qu’on racontait de ce dernier n’étoit pas imposable. Ils ne s’appercevoient pas qu’ils prouvoient une abfurdité par une plus grande encore.
    • Mais comment attendre quelque raifonnement folide de bonnes-gens qui prennent comme un fait, que de la fontaine de Cintra en Portugal fort un rayon de lumière dirigé perpendiculairement vers le foleil ; que l’on eft guéri de la jauniffe quand on peut voir l’oifeau appelé le Loriot; qu’un éléphant furieux eft tout-à-coup calmé quand il voit un mouton, &c. &c ? Ceux-là font capables de croire qu’on peut voir fans lumière; & l’on pourroit dire qu’eux-mêmes , avec des yeux & de la lumière , n’y voient guere , du moins des yeux de l’entendement.
    • Nous bornerons ici çe que nous avons à dire fur la phyfîque générale, St nous n’imiterons pas M. Ozanam ou ion continuateur, en entaffant comme eux une foule de queftions ou d’objets puériles. Nous ne remplirons pas plulieurs pages de l’énumération des propriétés du bois de frêne , fur-tout coupé au moment précis de l’équinoxe ; propriétés qui ne peuvent trouver de croyance qu’auprès de bonnes-femmes , ou d’hommes à ranger dans la même clafle.
    • Nous ne dirons pareillement rien de la fameufe poudre de fympathie , quoiqu’un homme allez célébré du fiecle dernier, ( le chevalier Digby,) mais amateur du merveilleux, & partifan de la philofo-phie fpagirique, ait fait beaucoup d’efforts pour
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    • 25x Récréât. Mathémat. et Phy$.
    • lui donner crédit. Ces rêves fe font diflipés k là naiffance de la faine philofophie, de même que les vains fantômes de la nuit difparoifTent à la lumière éclatante du foleil.
    • Cette même raifon nous empêche anffi de rapporter , comme le continuateur d’Ozanam, toutes les fottifes débitées & crues par le vulgaire fur la fympathie & l’antipathie de certains corps. Ce feroit, nous l’avouons , quelque chofe d’amufant que le tableau de toutes les abfurdités qu’on a crues fur ce fujet : il montrerait jufqu’où peut aller la fotte crédulité des hommes & leur penchant naturel à adopter fans examen ce qu’on leur dit, malgré les raifons évidentes de doute. Peut-être nous amuferons-nous quelque jour de cette hiftoire ; mais nous avons en ce moment quelque chofe de plus intéreifant à faire.
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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES.
    • DOUZIEME PARTIE.
    • De rAimant, & de fes divers Phénomènes.
    • DE tous les phénomènes que nous offre la nature , le magnétifme ou les propriétés de l’aimant, & Féleôricité, peuvent être avec rai-fon regardés comme les plus extraordinaires. Ce font aufli ceux fur lefquels les phyficiens font le plus en défaut ; car, il faut en faire l’aveu, malgré toutes les tentatives d’explications présentées par les plus fçavants phyficiens , on ne connoît encore fur ces deux phénomènes guere plus que des faits. On eft parvenu à ramener quelques-uns de ces phénomènes à certaines hypothefes ; mais quand on examine ces hypothefes mêmes,
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    • 254 Récréât. Mathémât. et Phys.
    • d’un œil défintéreffé & fans Te faire illufion , on eft forcé de convenir de leur peu deTolidité, & de reconnoître qu’elles font fujettes à des difficultés qu’on ne fçauroit lever, tant qu’on Ce fera une réglé de ne raifonner que d’après les propriétés connues de la matière & des loix du mouvement. Peut-être nos defcendants feront-ils plus heureux, &, aidés du temps &: des expériences accumulées, verront ils plus clair fur ces matières ; peut-être aufli fera-ce à jamais une énigme impénétrable pour l’efprit humain.
    • Dans cette partie de notre ouvrage, nous nous bornerons à parler de l’aimant, de fes propriétés, & des jeux phyliques qu’on peut opérer par fon moyen. L’éleêlricité nous fournira la matière de la partie fuivante.
    • SECTION PREMIERE.
    • De la nature de VAimant.
    • L’aimant eft une pierre métallique, ordinairement grisâtre ou noirâtre , compacte & fort pe-fante , qu’on trouve affez communément dans les mines de fer. Elle n’affe&e aucune forme particulière , & n’a rien extérieurement qui la diftin-gue des produélions les plus viles des entrailles de la terre. Mais fa propriété d’attirer le fer ou de le repouffer , de fe diriger au nord lorfqu’elle a toute liberté de fe mouvoir, lui donne un rang diftin-gué parmi les objets les plus finguliers de la nature.
    • Cette pierre n’eft, à proprement parler, qu’une mine de fer , mais du nombre de celles qu’on
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    • de l’Aimant. iyf
    • appelle pauvres , parcequ’elles ne contiennent qu’une fort petite quantité de ce métal. Les mé-tallurgiftes modernes font en effet venus à bout d’en tirer du fer. Mais, outre que fa fufion eft très-difficile , il y eft en fi petite quantité, qu’il ne dédommageroit pas d’une fort petite partie des frais de l’exploitation.
    • Pourquoi donc toutes les mines de fer ne font-elles pas des aimants? Voilà une queftion à laquelle je ne crois pas qu’on ait jamais répondu. Cela vient fans doute d’une combinaifon particulière du fer avec les parties hétérogènes auxquelles il eft allié. Peut-être y entre-t-il quelque principe qui n’entre point dans les autres mines de ce métal ; mais nous convenons que ce n’eft: rien dire. Il n’eft pas, au furplus , impoffible que la chimie découvre quelque jour en quoi confifte cette combinaifon ; & peut-être notre ignorance profonde fur les caufes phyftques de l’a&ion de l’aimant, ne vient-elle que de ce que les chimiftes fefont jufqu’à préfent peu occupés de cette production de la nature.
    • L’aimant étoit autrefois affez rare. Le nom de magnes qu’il portoit, tant chez les Grecs que chez les Latins , pâroît lui venir de la Magnéfie, province de la Macédoine, où il fe trouvoit en plus grande quantité , ou qui fournit les premiers aimants connus ; mais l’on a depuis trouvé des aimants dans prefque toutes les régions de la terre, &c principalement dans les mines de fer. L’ifle d’Elbe , fi renommée par les mines de ce métal qu’on y exploite de toute antiquité, eft en poffefîion de fournir les plus gros & les meilleurs aimants.
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    • 156 Récréa*. Mathémat. et Püÿs.
    • SECTION IL
    • Des propriétés principales de üAimant,
    • îuEs anciens ne connurent dans l’aimant que fa propriété attra&ive à l’égard du fer ; mais les modernes en ont découvert plufieurs autres, fçavoir, fit communication, fa direftion, fa déclinaifon, fon inclinaifon, à quoi nous ajouterons aujourd’hui fa variation annuelle & journalière.
    • §• I.
    • De Fattraction de VAimant avec le fer, ou des Aimants entreux.
    • Première Expérience,
    • Qui prouve F attraction de F Aimant à F égard du fer.
    • Tout le monde connoît la propriété attra&ive de l’aimant à l’égard du fer. Préfentez de la limaille de ce métal à une pierre d’aimant, & même à quelque éloignement, vous verrez cette limaille s’élancer fur la pierre & s’y attacher. Il en fera de même d’un morceau quelconque de fer, pourvu qu’il foit peu pefant, comme une aiguille : vous le verrez également s’approcher de l’aimant, auffi-tôt qu’il en fera à une certaine proximité plus ou moins grande, fuivant la force de la pierre.
    • Cette expérience fe fait encore de cette maniéré. Sufpendez en équilibre à un fil de foie, ou mieux encore fur un pivot qui lailfe toute liberté au mouvement, une longue aiguille de fer ;
    • préfentez-
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    • ï> ë l’Aimant. içy
    • préfèntez-lui un aimant à la diftance de plufieurs pouces,même de quelques pieds, fi c’efl un bon aimant : vous verrez un des bouts de cette aiguille fe tourner du côté de l’aimant, jufqu’à ce qu’il en foit le plus près , & s’arrêter dans cette fituation ; eniorte que fi l’aimant change de pofition, l’aiguille le fuivra continuellement. Si l’aiguille de ter nageoit fur l’eau, ce qui eft aifé à faire, en la pofant fur un petit fupport de liege , non-feulement elle tournera un de fes bouts vers l’aimant, mais elle s’en approchera jufqu’à ce qu’elle le touche.
    • Toutes ces mêmes chofes arriveront, y eût-il entre deux une lame de cuivre , de verre, une planche de bois, tels corps enfin qu’on voudra, autre néanmoins que du fer ; ce qui prouve que la vertu magnétique n’efl point interceptée par tous ces corps, à l’exception de ce dernier.
    • Si donc la vertu magnétique efi produite par des corpufcules agités ou mis en mouvement d’une maniéré quelconque, il faut que ces corpufcules foient d’une ténuité extrême , & du moins bien fupérieure à celle des autres émanations connues , comme les odeurs, puifqu’ils traverlènt fans obf-tacle tous les métaux , &. même le verre. Que s’ils ne produifent pas leur effet au travers du fer, c’efl que probablement ils y trouvent une fi grande facilité à s’y mouvoir, qu’ils ne paffent pas au-delà, & c’efl ainfi qu’ils fe trouvent interceptés.
    • I Ie Expérience.
    • Reconnaître les pôles de l'Aimant.
    • Plongez un aimant dans de la limaille de fer vous l’en retirerez chargé de cette limaille ; mais Tome IF,; R
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    • aj8 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • vous remarquerez qu’il y a deux endroits, à peu près diamétralement oppofés, où elle eft beaucoup plus ferrée, & où les petits fragments oblongs de la limaille fe tiendront debout, pour ainfi dire, tandis que dans les autres parties ils feront couchés.
    • Cette expérience fert à reconnoître les pôles de l’aimant. En effet toute pierre d’aimant a deux pôles ou deux points oppofés, qui ont, comme on le verra bientôt, des propriétés différentes & particulières. On donne à l’un de ces points le nom de pôle boréal, & à l’autre celui de méridional , parceque fi l’aimant eft librement fufpendu, le premier fe tournera de lui-même vers le nord , & conféquemment l’autre regardera le fud. Ces deux points doivent être remarqués dans une pierre d’aimant avec laquelle on fe propofe de faire des expériences.
    • IIIe Expérience.
    • Propriétés des pôles de VAimant l'un à Cégard de Vautre.
    • Ayez une pierre d’aimant dont vous aurez marqué les deux pôles, & que vous ferez nager fur l’eau , en la pofant fur un morceau de liege de la grandeur convenable ; préfentez au pôle boréal de cette pierre le pôle boréal d’une autre : la première fera repouffée au lieu d’être attirée ; mais elle fera attirée, fi à fon pôle boréal on préfente le pôle auftral de l’autre.
    • De même, fi au pôle auftral de la première on préfente le pôle auftral de la fécondé, la première foira; mais elle s’approchera, fi à ce pôle auftral on préfente le pôle boréal de la fécondé.
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    • t>é l’Aimant. 159
    • Ainfi les pôles de même dénomination fe repouffent , 8c ceux de différent nom s’attirent.
    • IVe Expérience.
    • Production de nouveaux potes dans l'Aimant.
    • Coupez une pierre d’aimant perpendiculairement à l’axe paffant par fes deux pôles A 8c B ; PI. 6, il fe formera par la feftion deux nouveaux pôles , %• 37* tels que F ôc E ; enforte que fi A étoit le pôle auftral de la pierre entière, E fera un pôle boréal , & F un pôle auftral. Ainfi , par cette biffec-tion, le côté boréal de la pierre acquerra un pôle auftral, 8c le côté auftral un pôle boréal.
    • Remarques.
    • I.
    • Une pierre d’aimant, quelque bonne qu’elle foit, à moins qu’elle ne foit très-groffe , foutient. à peine quelques livres de fer ; 8c en général le poids qu’une pierre d’aimant peut porter, eft toujours fort au deffous de fon poids propre. Mais l’on eft parvenu à lui faire produire un effet beaucoup plus confidérable, au moyen de ce que l’on appelle l'armure. Nous allons décrire la maniéré dont on arme un aimant.
    • Il faut d’abord donner à fon aimant une figure à peu près régulière, 8c l’équarrir fur les côtés où font les deux pôles, enforte que ces deux côtés forment deux plans parallèles. Formez enfuite d’un fer doux ,* ( car l’acier n’eft pas aulfi bon, ) deux pièces comme vous voyez dans la fig. 38, Fig. 38. dont la branche montante 8c applatie ait la même hauteur 8c la même largeur que les faces de l’ai-
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    • i6o Récréât. Mathémat. et Phÿ$.
    • mant où fe trouvent Tes pôles. Ce n’eft, au relie, <jue par beaucoup d’effais qu’on peut trouver l’é-paiffeur la plus convenable de cette branche, ainfi que la faillie du pied & fon épaiffeur. Ces deux pièces doivent erpbraffer l’aimant par les deux faces où font fes pôles, les pieds panant au deffous , comme pour le fupporter ; & enfuite on affujettira le tout dans cette lîtuation, par des bandes tranfverfàles de cuivre qui entoureront l’aimant, ôc ferreront les branches montantes de fer contre les faces des pôles.
    • On-doit enfin avoir une piece de fer doux , de PI. 6 , la forme qu’on voit dans la fig. gg, un peu plus *8’ 39* long que n’eft la diftance des deux bandes de fer appliquées au pôles de l’aimant, & dont l’épaif-feur excède un peu les faces plates de deffous les pieds de l’armure. Quant à la hauteur, il faut ef-fayer la plus convenable. Cette piece fera percée, vers fon milieu, d’un trou auquel fera attaché un crochet, pour y fufpendre le poids que doit fuppor-Fig. 4o.ter l’aimant. On voit dans la fig. 40 , une pierre armée ; & elle fuffira, fans autre explication, pour en concevoir tout le mécanifme & l’arrangement.
    • Une pierre étant ainfi armée, foutient un poids incomparablement plus grand que non armée. Ainfi une pierre de 2 à 3 onces Soutiendra par ce moyen 50 à 60 onces de fer, c’eft-à-dire vingt à trente fois fon poids.
    • Lemery dit avoir vu un aimant de la groffeur d’une pomme médiocre , qui portoit 22 livres. On en a vu une qui pefoit environ 11 onces, & qui portoit jufqu’à 28 livres. On en vouloit 5000 livres. M. de la Condamine , de l’Académie royale des Sciences, en poffédoit une qui lui avoit été donnée par M. de Maupertuis : elle eft, je
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    • de l’Aimant. z6i
    • croîs, celle qui porte le plus grand poids connu. Je ne me Souviens plus de fes dimenfions & de Ton poids , qui n’étoient pas bien considérables ; mais je crois me rappeler lui avoir ouï dire qu’elle portoit Soixante livres.
    • t I I.
    • On a examiné s’il y a d’autres corps que le fer qui Soient attirés par l’aimant ; mais il ne paroît pas qu’il y en ait aucun autre. On lit cependant dans M. MuSchenbroeck, qu’on a trouvé que l’aimant agiffoit Sur une pierre qu’il appelle loughr neagk. Nous ne Sqavons ce que c’eft que cette pierre. C’eft probablement quelque mine de fer où ce métal eft peu minéralifé.
    • Il rapporte dans Son Cours de Phyfîque cxpéri--mentale, chap. vij, les effais qu’il a faits Sur beaucoup de matières différentes, pour s’afifurer fi elles étoient attirables par l’aimant. Il a trouvé que , fans aucune préparation, cette pierre attire la totalité ou beaucoup de parties dans diverfies Sortes de Sables & terres dont il fait l’énumération ’r qu’il y en a plufieurs autres qui ne présentent des particules attirables en tout ou en partie à l’aimant, qu’après avoir éprouvél’aftion du feu, en-les faisant rougir & brûler avec du Savon, du charbon ou de la graiïïe : après quoi, dit-il, elles Sont attirables à l’aimant avec preSque autant de force que la limaille-de fer: telles Sont, ajoute-t-il, les terres dont on fait les briques , & qui deviennent rouges après avoir été brûlées ; différents bols Sc fables colorés. Il y en a d’autres qui, brûlées de cette maniéré , ne présentent que peu de parties faiblement. attirables à. L’aimant : il en fait aufll
    • R üj,
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    • i6i Récréât. Màthémat. et Phys.
    • une affez longue énumération que nous épargnerons au le&eur.
    • On ne fera point furpris de cela, fi l’on rapproche ces deux faits ; le premier, que l’aimant n’attire le fer que quand il eft dans fon état métallique , & qu’il n’a aucune aéfion fur ce métal lorf-que, par le grillage , on l’a réduit en chaux ou en ochre ; le fécond, que le fer eft univerfellement répandu dans la nature, & qu’il eft prefque dans tous les corps, plus ou moins éloigné de fon état métallique , ou , comme on le verra dans la fuite , plus ou moins privé de fon phlogiftique. Les corps où il eft dans fon état métallique, font en tout ou en partie attirables à l’aimant fans préparation ; mais dans les autres , le fer n’eft attirable qu’aprés avoir été brûlé avec des matières graffes, qui lui rendent fon phlogiftique & fon état métallique. Telle eft uniquement la caufe du phénomène dont M. Mufchenbroek paroît embarraffé. Il ne l’eût été en aucune maniéré, fi la chimie lui avoit été aufli familière que les autres parties de la phyfique.
    • Un navigateur Ànglois a rapporté avoir obfervé que du fuif tombé fur la glace qui couvre une bouffole, troubloit l’aiguille aimantée , & que le laiton produifoit le même effet. Si cette obferva-tion eft exatte , il faut en conclure qu’il y avoit par hafard quelques particules ferrugineufes dans ce fuif & dans ce laiton ; car je crois qu’on peut regarder comme certain que le fer feul, dans fon état métallique , eft fufceptible d’agir fur l’ai* tnant, & d’être attiré par lui.
    • Ve Expérience.
    • La direction du courant magnétique.
    • Mettez fur un carton un aimant nu, & jetez
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    • de l’Aimant, 16$
    • autour de la limaille de fer ; frappez alors doucement fur le carton : vous verrez toute cette limaille s’arranger en lignes courbes qui environneront l’aimant, & qui, fe rapprochant comme les méridiens d’une mappemonde, concourront à fes deux pôles.
    • Cette expérience favorife l’opinion de ceux qui penfent que les phénomènes magnétiques dépendent d’un fluide qui fort par un des pôles de la pierre, & entre par l’autre , après avoir circulé à l’entour d’elle.
    • VIe Expérience,
    • Qui prouve l'action mutuelle des Aimants & du Fer.
    • Mettez deux aimants, ou un aimant & un morceau de fer fur deux petits bateaux de liege, que vous ferez nager dans un vafe plein d’eau. Après avoir dirigé le pôle feptentrional de l’un vis-à-vis l’auftral de l’autre , ( fi ce font deux aimants, ) abandonnez les deux petits bateaux à eux-mêmes ; vous les verrez s’élancer l’un vers l’autre, le plus foible faifant le plus de chemin. Il en fera de même fi c’eft un fimple morceau de fer préfenté au pôle feptentrional de l’aimant. Ainfi cette attraction eft réciproque , & l’on peut dire que le fer attire autant l’aimant que l’aimant attire le fer. Au refte cela doit être néceflairement, puif-qu’il n’y a point d’aétion fans réaction, & que cette derniere eft toujours égale à la première.
    • Remarque.
    • M. Mufchenbroek a cherché à reconnoître en quel rapport décroiffoit l’aétion de l’aimant rela-R iv
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    • 164 Récréât. Mathêmat. et Phys.
    • tivement aux diftances, & il a cru voir que fa force d’attraâion diminue dans une raifon qua-clruplée , ou comme les quarrés-quarrés des diftances. Ainfi , fi à une ligne de diftance une particule de fer eft attirée avec une force comme I à 1 lignes cette force fera 16 fois , à 3 lignes 81 fois, à 4 lignes 256 fois moindre. Peut-être même cette aétion diminue-t-elle encore plus rapidement ; car, dans un vaiffeau de guerre qui eft chargé d’une multitude de gros canons de fer, on ne s’apperçoit pas qu’ils agifient fenfiblement fur la bouffole. Je crois cependant qu’il feroit prudent de les éloigner le plus qu’il eft poflible.
    • §. n.
    • De la communication de la propriété magnétique.
    • Le magnétifme, ou la propriété d’attirer le fer, 'de fe diriger vers un certain endroit du ciel, n’eft pas tellement propre à l’aimant , qu’elle ne fe puiffe communiquer ; mais on n’a encore trouvé que le fer ou l’acier qui en foit fufceptible. On ne connoifloit, il y a un demi-fiecle , que l’attouchement même ou la continuité de la pré-fence d’un aimant qui pût produire cet effet; mais depuis quelque temps on a trouvé le moyen de rendre un morceau de fer magnétique fans aimant, & même ces aimants artificiels font fuf-ceptibles d’une force qu’ont rarement des aimants, naturels. On va détailler ces différents moyens dans les expériences fuivantçs.
    • VIIe Expérience.
    • Maniéré d'aimanter.
    • Ayez un aimant armé ou non armé; paffez un
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    • de l’Aimant. 365
    • des pieds de l’armure, ou un des pôles, fur une lame de fer trempé, comme une lame de couteau, mais en allant toujours du même fens , du milieu, par exemple, vers la pointe : après un certain nombre de pareilles friélions , la lame de fer fe trouvera aimantée, & attirera comme l’aimant lui-même le fer qui fe trouvera dans fa fphere d’aéti-vité.
    • La même chofe arrivera , li on lailfe pendant long-temps attaché à un aimant un petit morceau d’acier allongé : ce morceau acquerra, par fon féjour dans cette fituation, la propriété magnétique ; il aura des pôles comme l’aimant : enforte que le pôle boréal fera au bout qui étoit contigu au pôle auftral de la pierre ; & au contraire , s’il touchoit le pôle boréal par un bout, ce bout deviendra pôle auftral.
    • VIIIe Expérience.
    • Manière de faire avec des barreaux d'acier un Aimant artificiel.
    • Nous allons enfeigner ici le moyen de faire avec des lames d’acier un aimant artificiel beaucoup plus fort qu’un aimant naturel. Pour cet effet, prenez une douzaine de lames d’acier trempées, de 6 pouces environ de longueur, de C lignes de largeur & 2 d’épaiffeur. On aura eu foin , avant de les tremper, de faire à l’une de leurs extrémités une marque avec un poinçon ou autrement. Difpofez fix de ces lames en une feule ligne droite, en obfervant qu’elles foient en contact , & que les bouts marqués foient dirigés vers le nord; vous prendrez enfuite un aimant armé, dont vous pofere? les deux pôles fur une de ces
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    • lames, le pôle nord du côté du bout marqué, & le pôle fud du côté du bout non marqué ; vous coulerez après cela la pierre fur toute la ligne , en commençant par le bout non marqué de la première , & vous réitérerez cette fri&ion trois ou quatre fois.
    • Cela fait, vous ôterez les deux lames du milieu , & vous les fubftituerez aux deux des extrémités, que vous placerez au milieu ; après quoi vous ferez glifler dans le même fens la pierre fur les quatre du milieu feulement, car il eft fuperflu d’y comprendre celles des extrémités ; enfin vous renverserez toute la ligne, c’eft-à-dire que vous mettrez deftus la face qui étoit deffous, ôc vous l’aimanterez de la même maniéré, en ayant foin aufli de tranfpofer les lames des extrémités à la place de celles du milieu.
    • Vous aurez par ce moyen fix lames aimantées , dont vous ferez deux faifceaux , chacun de trois. Dans chacun de ces faifceaux, les extrémités nord doivent être du même côté ; mais, en adoffant l’un des faifceaux à l’autre , vous aurez foin de faire que les extrémités nord des lames de l’un s’appuient fur les extrémités fud des autres. Ces deux faifceaux doivent fe toucher par leur partie fupérieure, & être féparés de l’autre côté ; ce qui fe fait au moyen d’un petit morceau de bois mis entre deux.
    • Après cela, difpofez les fix lames auxquelles on n’a point touché , de la même façon que les lix précédentes, & aimantez-les de la même maniéré , au moyen du double faifceau des premières; c’eft-à-dire en faifant pafier les deux extrémités nord & fud de ce double faifceau fur la nouvelle ligne de lames : vous aurez ces fix lames
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    • de l’Aimant. 167
    • aimantées beaucoup plus fortement que les premières. Vous referez donc une ligne des lîx premières , que vous aimanterez de la même façon avec le double faifceau fait des fécondés ; & en-fuite , au moyen des premières, vous aimanterez de nouveau les fécondés, fuivant la même méthode : vous aurez enfin , par ce moyen , des lames d’acier qui porteront jufqu’à 16 fois leur poids, & même plus.
    • Ce procédé en: de M. Michell, de la Société royale de Londres. M. Canton, célébré obferva-teur des phénomènes de l’aimant, en a aufli en-feigné un pour le même objet. M. Duhamel, de l’Académie des Sciences, a pareillement donné le fien. Mais on peut voir tout cela dans le petit traité fur les aimants artificiels, traduit en françois, & imprimé en 1755. Nous ne pouvons pas en dire davantage ; il nous fuffit d’obferver que , par ces procédés, le plus foible commencement de magnétifme fuffit pour fe procurer les barres magnétiques les plus puiflantes. Il n’eft pas même néceflaire d’avoir un aimant ; car nous allons en-feigner dans l’expérience fuivante , divers moyens de communiquer le magnétifme fans aimant.
    • IXe Expérience.
    • Produire dans une barre de fer la vertu magnétique fans aimant.
    • C’eft fans doute une forte de paradoxe que de propofer d’aimanter fans aimant. On y eft cependant parvenu au moyen de quelques confédérations théoriques fur la nature de l’aimant, & fur la maniéré dont le fluide magnétique agit fur le fer. Ainfi l’on n’a pas befoin d’un aimant pour produire un commencement de magnétifme 9
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    • qu’enfuite on augmente à un degré très-confidéra-ble par le procédé ci-deffus.
    • MM. Canton, Michell & Anthéaume , font les auteurs de divers moyens employés pour aimanter fans aimant. Suivant M. Canton , prenez un fourgon, c’eft-à-dire une de ces barres de fer terminées en pointe, qui fervent en Angleterre à attifer le feu; mettez-la verticalement entre vos genoux la pointe en bas, & attachez avec de la foie contre la partie fupérieure & fuivant fa longueur , une petite lame d’acier trempé mou ; enfuite, tenant cet appareil de la main gauche avec le fil de foie, prenez de la main droite la pincette prefque verticalement , & avec le bout inférieur de cette pincette frottez une douzaine de fois de bas en haut cette petite barre : vous lui donnerez par ce moyen une force magnétique propre à lui faire foutenir une petite clef.
    • M. Michell s’y prend d’une autre maniéré. Il faut mettre , dit-il, une petite lame d’acier en ligne direéïe, entre deux barres de fer, dans la direélion du méridien magnétique, & de maniéré qu’elles foient un peu inclinées du côté du nord ; on prendra enfuite une troifieme barre, qu’on-tiendra prefque verticalement, enforte néanmoins que l’extrémité fupérieure foit un peu inclinée vers, le midi ; on gliflera l’extrémité inférieure de cette barre le long des trois barres fituées en ligne di-re&e, avec l’attention d’aller du nord au fud : il en réfultera un commencement de vertu magnétique dans la lame d’acier.
    • Voici la méthode de M. Anthéaume. On commencera par fixer invariablement une planche dans la direélion du courant magnétique , c’eft-à-dire, pour Paris, inclinée d’un angle de 70 degrés en-
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    • de l’Aimant. 269
    • viron à l’horizon, & dont la projeélion horizontale en fafle un avec le méridien d’environ 20 degrés au moment a&uel ; on placera enfuite de fil fur cette planche deux barres de fer quarrées, de 4 à 5 pieds de longueur, ou même davantage , & de 1 5 lignes de gros : elles feront limées quarré-inent par leurs extrémités qui fe regardent. Chacune de ces extrémités doit être garnie d’un petit quarré de tôle de deux lignes d’épaifleur, tk débordant la face fupérieure de la barre de la hauteur d’une ligne, limé fur ce côté quarrément, pour former au deflus de la barre une efpece de reflaut ou de talon. Les trois autres côtés de ce quarré de tôle doivent effleurer les faces corref-pondantes de la barre, & être taillés en bifeau ou chanfrein. Enfin l’on mettra une languette de bois entre ces deux armures des extrémités de ces deux barres.
    • Cela étant ainfi difpofé , on gliffera fur les deux talons ci - deflus décrits , la lame d’acier qu’on veut aimanter, en la faifant couler lentement d’un de fes bouts à l’autre , comme l’on aimante une barre de fer fur les deux talons de fon armure : elle prendra un magnétifine aflez puiflant. M. Anthéaume dit même avoir été fur-pris de voir que par ce moyen il aimantoit, non de petites barres d’acier, comme MM. Canton Sc Michell, mais des barres d’un pied de longueur & de plufieurs lignes d’épaifleur.
    • Le même phyficien dit avoir obfervé que les aciers de carme ou à la rofe, & l’acier d’Angleterre , font les meilleurs pour cet objet ; que le premier acier réuflit mieux trempé *lur à l’ordinaire , & que l’acier d’Angleterre a befoin d’être trempé en paquet ; enfin, que fl l’on fe contente
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    • 170 Récréât. Mathémat. et Phys. de l'acier trempé & recuit, toute trempe eft indifférente.
    • R E MARQUE.
    • Il n’eft pas même befoin du frottement d’un fer contre un autre pour produire la vertu magnétique. On a obfervé qu’une barre de fer tenue pendant long-temps dans la dire&ion du méridien magnétique, ou dans une fituation qui en approche beaucoup, contra&e le magnétifme. Un grand orage ayant fort endommagé le clocher de Notre-Dame de Chartres en 1690 , on en retira des barres de fer qui fe trouvèrent aimantées. Mais ce qu’il y eut de plus remarquable encore , c’eft que les morceaux de ces barres qui étoient prefque détruits par la rouille, étoient d’excellents aimants. L’abbé de Vallemont en donna dans le temps l’hiftoire, qui fit la matière d’un petit traité imprimé en 1692.
    • Gilbert , médecin & phyficien Anglois, qui donna en 1640 un ouvrage fur l’aimant, avoit déjà obfervé que de petites barres de fer fervant à retenir des vitrages, & qui avoient refté pendant longues années dans la même pofition du fud au nord, étoient devenues magnétiques. Il raconte, liv. iij , chap. 13 , que le vent ayant courbé une barre de fer qui portoit un ornement fur l’églife de S. Auguftin de Rimini, lorfque , après 10 ans, les religieux qui delTervent cette églife voulurent la faire redrelfer, on fut fort furpris de lui trouver toutes les propriétés d’un bon aimant. M. Mufchenbroeck rapporte la même chofe de ferrements tirés de la tour de Delft. On lit enfin dans les Mémoires de VAcadémie des Sciences, année ,73I> qu’il y avoit à Marfeille une cloche tour*
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    • DE L* A I M A N T. VJ f
    • nante fur un eflieu de fer pofé dans le fens du levant au couchant, & portant par fes bouts fur de la pierre ; que de la rouille de ces bouts, mêlée avec la poufliere de la pierre ufée, & avec l’huile dont on l’oignoit pour faciliter le mouvement, il s’étoit formé une maffe dure & pefante, qui, en étant détachée , fe trouva avoir toutes les propriétés de l’aimant. On croit que cette cloche étoit là depuis plus de 400 ans.
    • Gilbert remarque encore qu’une barre de fer qu’on a fait rougir dans la forge pendant qu’elle étoit dirigée du midi au nord , & qu’on bat enfuite fur l’enclume dans la même polition , acquiert la vertu magnétique ; & que fi la première fois cette vertu n’eft guere fenfible, elle le devient davantage réitérant l’opération. Mais on doit obferver qu’il faut pour cela que ce morceau de ferait 100 ou 150 fois en longueur fon diamètre. Il en eft de même d’une barre de fer qui, après avoir été échauffée , fe refroidit dans la dire&ion du méridien.
    • Mais vôici'une conje&ure de ce phyficien qui ne s’eft pas vérifiée. Il a dit que fi l’on donne à un aimant une forme fphérique , & que fes deux pôles foient aux extrémités d’un diamètre, enfin que cet aimant fphérique foit bien équilibré 8C fufpendu fur fes pôles, il tournera fur fon axe en vingt-quatre heures ; donc , ajoutoit-il, la Terre n’étant qu’un grand aimant , elle doit avoir un pareil mouvement. C’eût été là une preuve a fiez puiffante du mouvement de la Terre, au moins autour de fon axe. Mais M. Petit, phyficien in-duftrieux du dernier fiecle , ayant pris la peine de faire l’expérience alléguée par Gilbert, le petit globe d’aimant refta parfaitement immobile. Cela
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    • 2.71 Récréât. Mathémat. et Phys. n’empêche pas que le mouvement de la Terre ne Soit certain, & même qu’on ne puiflfe la confidé-rer comme un gros aimant, quoique le P. Gran-dainy ait conclu du défaut de l’expérience alléguée par Gilbert, que la Terre étoit immobile.
    • §. III.
    • De la direction de VAimant, de fa déclinaifon & de fa variation.
    • Xe Expérience.
    • Reconnaître la direction de l'Aimant.
    • Ayant reconnu les pôles d’un aimant, pofez-Ie fur un petit bateau de liege, que vous mettrez fur l’eau ; vous le verrez fe placer de lui-même constamment dans une direction.
    • Il en fera de même d’une aiguille aimantée, que vous ferez nager fur l’eau par un femblable moyen, ou que vous aurez mife en équilibre fur un pivot délié, enforte qu’elle ait toute liberté de fe mouvoir dans un fens ou dans un autre ; vous la verrez conftamment affecter la même direêtion.
    • Il n’eft même pas abfolument néceffaire qu’une aiguille foit aimantée pour fe diriger du côté du nord. Lorfqu’elle eft extrêmement légère & qu’elle a toute liberté de fe mouvoir , elle affeéte d’elle-même cette direétion.
    • En effet, prenez une aiguille à coudre fort menue ; pofez-la fur la Surface d’une eau tranquille , où elle furnagera : au bout de quelques heures, vous la trouverez dans la direction que l’aiguille aimantée prend tout-à-coup.
    • La direction ou la ligne Suivant laquelle s’arrange
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    • fange ainfi d’elle-méme une aiguille, foit aimantée , Toit non aimantée , s’appelle le méridien ma-
    • Sue, qu’il faut bien diftinguer du méridien re ; car on verra bientôt qu’ordinairement ils font un angle l’un avec l’autre. Les phylîciens s’accordent prefque unanimement à penfer que cette propriété de l’aimant eft l’effet d'un courant d’un fluide particu’ier qui environne la Terre , & qui péné'rant l’aiguilie aimantée dans fa longueur, ou d’un pôle à l'autre , la range dans fa direction propre.
    • Ce qu’il y a de bien finguber, c’eft que ce méridien magnétique non-feulement eft, dans prefque tous les lieux de la terre, different du'méridien terreftre , & déclinant tantôt à î’eft , tantôt à l’oueft, mais encore que certe déclinaifon varie annuellement, comme le prouvent les expériences fuivantes,
    • X Ie & X I Ie Expériences.
    • Le changement de déclinai/on de VAimant.
    • Sur une ligne méridienne tracée avec foin, & dans un lieu éloigné de tout morceau de fer, placez une aiguille aimantée fur fon pivot ; observez fa dire&ion , & vous trouverez communément qu’elle fait un angle avec le méridien. Il étoit,par exemple,en 1770a Paris, de 19 deg:és 55 minutes à l’oueft.
    • Si, quelques années après, vous réitérez cette obfervation, vous trouverez que cet angle 11’eft plus le même, mais qu’il a augmenté ou diminué, A Paris, par exemple, cet angle , ou la déclinaifon de l’aiguille aimantée , étoiten 1750 de 170 157 à l’oueft ; en 1760 elle a été obftrvée de 180 Tome IV, S
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    • *74 RIcréat. Mathémàt. et Phys.
    • 45'; en 1770, de 19° 55', ou même 10 degrés 6c quelques minutes.
    • Remarque.
    • Dans la plus grande partie de notre continent, ainfi que dans toute l’Amérique feptentrionale, à l’exception de la partie la plus voifine du golfe du Mexique , la déclinaifon fe fait actuellement à l’oueft , 6c elle va continuellement en croiflant. Dans toute l’Amérique méridionale , dans tout le golfe du Mexique, ainfi que la partie de la mer Pacifique entre les tropiques, 6c du côté du fud, elle fe fait à l’eft, 6c elle va continuellement en diminuant.
    • Le célébré M. Halley ayant pris la peine de raffembler une prodigieufe multitude d’obferva-tions de navigateurs, donna en 1700 une carte extrêmement curieufe , fur laquelle il a lié par des lignes les lieux de la terre où la déclinaifon de l’aiguille aimantée eft la même. On y voit, par exemple, que la ligne fur laquelle en 1700 l’aiguille aimantée n’avoit point de déclinaifon, par-tageoit à peu près également la partie du fud de l’Océan Atlantique, 6c venoit couper l’équateur vers le premier degré de longitude, ou fon inter-fe&ion avec le premier méridien ; de-là elle alloit gagner en ligne courbe la nouvelle Angleterre, 6c traverfant le nouveau Mexique 6c la Californie elle couroit au nord de la mer Pacifique. Probablement elle gagnoit l’Afie, 6c pafioit par le nord de la Tartarie ; d’où defcendant à travers la Chine 6c les Moluques , elle traverfoit la nouvelle Hollande. Au fud 6c à l’oueft de cette ligne, la déclinaifon étoit à l’eft ; au nord 6c à l’eft, elle étoir à l’oueft.
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    • Bfc L AîMANT, lyj
    • D’autres obfervations faites environ cinquante ans après , ont appris que cette ligne eft aujourd’hui déplacée , & qu’elle a eu en quelque forte un mouvement vers le fud-oueft, & en changeant un peu de forme. Suivant ces obfervations raf-femblées par MM. Mountaine & Dodfon, de la Société royale de Londres , elle traverfoit en 1744 à peu près le milieu de l’Océan Atlantique , coupoit l’équateur vers le douzième degré de longitude à l’oueft du premier méridien ; delà elle paffoit vers le milieu de la Floride, & côtoyant à peu près la Louifiane , elle traverfoit le vieux Mexique, d’où elle gagnoit la pointe de la Californie, enfuite elle fe jetoit au nord de la mer Pacifique, & coupoit le premier méridien vers le 44e degré de latitude nord, d’où elle redefcendoit vers le fud & traverfoit le Japon , la plus grande des Philippines , les royaumes de Pégu & d’Arracan, venoit faire une pointe à l’eft vers l’ifle de Ceylan ; enfin, revenant tra-verfer les Moluques, alloit par une ligne courbe vers le pôle auftral, en biffant à l’oueft la nouvelle Hollande. Telle étoit la pofition de cette ligne en 1744; d’où l’on peut à peu près déterminer fa pofition a&uelle.
    • On trouvoit de même fur la carte de M. Hal-ley, la ligne qui joignoit tous les points où la dé-dinaifon étoit de 50 à l’eft ou à l’oueft ; ceux où elle étoit de 10, de 15° &c. On remarque aujourd’hui qu’elles ont eu toutes un mouvement à peu près femblable à celui de la ligne fans décli-naifon.
    • L’objet de M. Halley , dans un travail aufli pénible , n’étoit pas de pure curiofité : il avoitxlef-fein de faire fervit ces cartes à la déterminatioa
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    • 176 Récréât. Mathémat. et Phys. des longitudes en mer. En effet, fi l’on avoit une carte bien sûre de ces lignes de déclinaifon, il eft vifible qu’en obfervant la déclinaifon réelle de la bouffole & la latitude, on auroit la détermination du point précis occupé au moment de l’ob-fervation fur la furface de la terre. Car, fuppo-fons qu’on eût obfervé dans l’Océan Atlantique la déclinaifon de 70 7 à l’oueft, & la latitude nord de 3 20 ; il eft évident que le lieu du vaiffeau feroit le point où fe coupent le parallèle nord de 3 20, & la ligne de déclinaifon de 70 7. Il ne ref-teroit qu’à perfectionner les moyens de trouver fur mer avec beaucoup d’exaétitude la déclinai- , fon, ce qui ne feroit pas impoflible.
    • Il eft fâcheux qu’on n’ait pas des obfervations j bien anciennes de la déclinaifon de l’aiguille aimantée. Cela vient probablement de ce que cette déclinaifon n’a guere été bien conftatée & reconnue des phyficiens que vers la fin du feizieme fiecle. On voit au furplus par ces obfervations, qu’anciennement à Paris, à Londres, & dans la plus grande partie de l’Allemagne, la déclinaifon «toit orientale ; car elle fut trouvée à Paris en 1 1580, de ii° 30'à l’eft. Depuis ce temps elle a diminué jufqu’en 1666, qu’elle fut nulle relie a enfuite paffé du côté de l’oueft, en augmentant continuellement dans ce fens ; car elle fut obfer-véeen 1670, de i° 30'; en 1680, de 2° 40'; en 1701, de 8° 15' ; on l’obfervoit en 1770, de 20° moins 'quelques minutes. Elle devroit, à en juger par fa marche ordinaire , être aujourd’hui de 20°7 ou plus; mais, au grand étonnement des phyficiens, fon progrès s’eft arrêté là ; & la déclinaifon de l’aiguille à l’oueft paroît même en ce moment commencer à diminuer. Elle n’a été ces
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    • dernieres années, que d’environ 190 30 à 4a minutes, enforte que très-probablement l’aiguille va rétrograder, repafler par le méridien , ce qui arrivera dans environ cent dix ans , pour décliner enfuite du côté de l’eft, comme en 1580.
    • J’ai toujours été dans la perfuafion que ce feroit là fa marche ; mais j’avoue que voyant fa décli-naifon augmenter chaque année affez régulièrement de 8 à 9 minutes , je ne croyois pas que fa flation & fon retour vers l’eft fut auffi prochain : caries géomètres fqavent que, lorfqu’unegrandeur approche de fon maximum ou de fon minimum , fes accroiffements ou fes diminutions deviennent de plus en plus infenfibles, pour être zéro à ces points. Mais ici la marche de la nature n’eft pas celle de la géométrie, quoique ordinairement elles foient à cet égard fort d’accord.
    • Mais quelle eft la caufe de la déclinaifon de l’aimant ? Voici quelques conjectures fur ce fujet;
    • MM. delà Hire , pere & fils , ont fait une expérience curieufe, & qui peut fervir à jeter de la lumière fur la caufe de ce phénomène. Ils avoient un fort gros aimant, qu’ils arrondirent en globe autant qu’il leur fut poflible ; ils en cherchèrent les pôles , qui fe trouvèrent exactement aux extrémités d’un diamètre , & ils tracèrent fon équateur & douze de fes méridiens ; enfuite ils appliquèrent fur ce globe d’aimant, qui avoit environ un pied de diamètre, & cjui pefoit près de cene livres, une aiguille aimantée : ils obferverent qu’il y avoit des endroits, où elle déclinoit vers l’oueft , & d’autres où elle n’avoit aucune déclinaifon » & qui formoient une ou deux lignes continues
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    • jy8 Récréât. Mathémat. et Phys. fur fa furface, comme M. Halley l’avoit déterminé fur la furface terreftre, quoique d’une forme abfolument différente.
    • Il eft plus que probable, dit l’hiftorien de l’Académie , ([voyez ann. 1705 , ) que la caufe des déclinaifons obfervées fur ce globe d’aimant, étoit uniquement l’inégalité de fa contexture Sc de la force magnétique de fes différentes parties, On peut auffi conje&urer que la Terre étant un grand aimant, ou du moins un globe renfermant dans fon fein de grandes maifes magnétiques, c’eft leur inégale diftribution qui caufe fur fa fur-face la variété de la dire&ion de l’aiguille aimantée. Mais il y a cette différence, que dans le fein de la Terre il fe fait fans ceffe de nouvelles générations, au lieu que la maffe de l’aimant de MM. de la Hire n’étoit fujette à rien de fembla-blç. De-là vient aufli que fur la furface de la Terre la direélion de l’aimant eft variable, au lieu que fur la furface de cet aimant elle ne pou* .voit qu’être confiante.
    • II faut cependant contenir que, dans cette explication, il eft difficile de rendre raifon pourquoi , depuis deux fiecles au moins , l’on voit la ligne fans déclinaifon, fe mouvoir conftamment de l’eft à l’oueft. Des effets provenants de caufes auffi variables que des éeftru&ions & générations nouvelles dans lç fein de la Terre, devroient éprouver de plus grandes irrégularités, & la marche dç l’aiguille aimantée devroit être tantôt du côté de l’eft, tantôt de celui de l’oueft.
    • M, Halley avoit propofé une hypothefe phyfi* que pour rendre raifon de la variété des déclinaifons de l’aimant. Il fuppofoit pour cet effet deux pôles magnétiques fixes, & deux mobiles dans
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    • de l’Aimant. 179;
    • certaines pofitions. Mais M. Albert Euler l’a Amplifiée dans un mémoire fort curieux, qu’on lit parmi ceux de l’Académie de Berlin, (ann. 1757.) Il fuppofe feulement deux pôles magnétiques, l’un à 14° 53' du pôle boréal de la Terre, & l’autre à 290 23' du pôle auftral. Le méridien dans lequel fe trouve le premier, pafle par le 2 58e degré de longitude; & celui du fécond, par le 303e. Il prend enfuite pour principe, que l’aiguille aimantée fe range toujours dans le plan qui pafle par les deux pôles magnétiques & le lieu de l’ob-îervation , & il détermine par le calcul l’inclinai— fon de ce plan au méridien dans les divers lieux de la Terre. Or il trouve qu’au moyen de ces fuppofitions, le calcul lui donne aflez exa&ement la quantité de la déclinaifon obfervée dans ces dernieres années, & les contours des lignes de déclinaifon telles que MM. Mountaine & Dodfon les ont trouvées pour 1744, au moins dans l’Océan Atlantique ^ car M. Albert Euler eft obligé d’arguer de faux le contour que donnent ces membres de la Société royale à la ligne fans déclinaifon, dans-le nord de la mer Pacifique , & il dit à ce fujet des chofes fort vraifemblables.
    • Il efl: au refte aifé de concevoir qu’en fàifant varier ces pôles, les lignes de déclinaifon varieront aulïi, & que , fuivant qu’elles fe rapprocheront ou s’éloigneront, elles pourront changer de forme ainli qu’on l’obferve.
    • M. Canton , membre de la Société royale de Londres, a découvert, il y a quelques années , urt nouveau mouvement de l’aiguille aimantée. Il efê fondé fur l’expérience fuivante.
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    • i8o Récréât. Mathémat. et Phys.
    • XI Ie Expérience.
    • La vanation diurne de VAimant.
    • Ayez une aiguille aimantée fort grande, comme de 11 ou 15 pouces de longueur, très-bien fiifpen-due. Elle doit être environnée d’un cercle ayant pour centre le point de fufpenfîon, & div.ifé en degrés, & demis ou quarts de degré , du mo ns dans la partie de fa circonférence que regarde la pointe de l’aiguille. Le tout doit être couvert de maniéré à n’éprouver aucune impreflion de l’air.
    • Si vous obfervez cette aiguille à diverfes heures de la journée, vous remarquerez qu’elle n’eft pref-que jamais en repos. Selon M. Canton, la décli-n^ifon fera la plus grande le matin , moyenne vers le midi, & moindre le foir. Il en donne même une raifon affez probable, fçavoir celle-ci.
    • C’eft un fait prouvé par l’expérience , qu’un aimant échauffé perd un peu de fa force. Or les parries orientales de la Terre ayant midi lorfque le foleil le leve pour nous, c’eft le moment, ou à peu près , auquel elles font le plus échauffées. L’aiguille aimantée , dont la direPion eft probablement l’effet compofé des attrapions de toutes les parties magnétiques de la Terre, fera donc au lever du folçil un peu moins follicité vers l’eft, que fi le foleil n’étoit pas de ce côté; conféquem-mçnt elle cédera à l’aPion des parties de l’oueft , & tournera un peu plus de ce côté-là. M. Canton rend même cette explication fenfîble par le moyen de deux aimants, dont il échauffe l’un ou l’autre alternativement.
    • Quoi qu’il en foit de cette explication, le phé*
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    • DE l’AlMANT. 2$1
    • nomene eft aujourd’hui reconnu ; 5: les obferva-teurs météorologifles ne manquent pas d’obferver en différents temps la déclinaifon de l’aiguille aimantée, qui varie quelquefois du matin au foir de 20' & plus. Voye^ le Traité de Météorologie du P. Cotte.
    • §. iv.
    • De Vinclinaifon de CAiguille aimantée.
    • XIIIe Expérience.
    • Obferver rinclinaifon de VAimant.
    • Si l’on a une aiguille de bouffole non encore aimantée , & parfaitement en équilibre fur fon pivot, enforte qu’elle fe tienne parallèlement à l’horizon, lorfqu’on l'aura touchée de l’aimant, elle perdra cet équilibre, & plongera fa pointe nord au deffous de l’horizon.
    • Cette expérience eft connue de tous ceux qui font des bouffoles ; car, après avoir aimanté l’aiguille , ils font obligés de limer la partie la plus pefante , jufqu’à ce qu’elle foit en équilibre & de niveau avec l’autre. On pourroit produire le même effet, en chargeant l’autre bout d’un petit contrepoids ; & même il feroit avantageux que ce contrepoids fût mobile, car l’inclinaifon étant variable , il faut, pour faire équilibre à l’effort que fait l’aiguille pour s’incliner, des forces différentes. Auffi eft-on obligé de charger légèrement d’un petit morceau de cire plus ou moins gros, un des bjouts de l’aiguille, fuivant les différents parages qu’on occupe, afin qu’elle foit parfaitement horizontale.
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    • *82 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • XIVe Expérience.
    • Obferver Uinclinaifon de VAiguille aimantée.
    • Il faut avoir une aiguille aimantée, faite d’un fil d’acier bien droit, & fe terminant en pointe à à fe s extrémités. Son milieu doit être applati, & formé en cercle d’une ligne & demie ou deux de diamètre , ayant fan centre bien parfaitement dans l’alignement des deux pointes de l’aiguille. Ce cercle portera perpendiculairement à fon plan un fil d’acier très-menu, qui lui fervira de pivot, enforte qu’étant placé bien horizontalement dans les deux trous de deux platines, de cuivre placées verticalement, elle foit tout-à-fait indifférente à toute pofition , & refie en équilibre dans quelque fituation qu’on la mette. Ces deux platines feront attachées aux deux bords d’une bande de cuivre courbée circulairement, & d’un diamètre tant foit peu plus grand que la longueur de l’aiguille , dont les pivots feront au centre. Il doit y avoir extérieurement un anneau pour fufpendre ce cercle de cuivre, & mettre un de fes diamètres dans le fens vertical. L’intérieur fera divifé en degrés & quarts de degrés, s’il eft poflible, mais enforte que la divifion commençant par zéro aux extrémités du diamètre horizontal, finiffe par 90 degrés aux extrémités du diamètre vertical. On s’afïurera de la pofition de ce diamètre, au moyen d’un 61 à plomb qui pendra de fon extrémité fupérieure, & qui devra paffèr par l’extrémité inférieure , pour qu’il foit dans fa vraie pofition.
    • Il faudra auflî fe munir d’un pied de bois en forme de parallélépipède obîong, dans la partie fupérieure duquel il y aura une échancrure circu-
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    • de l'Aimant. î8j
    • laire, propre à loger l’inftrument dans le fens de la longueur. Enfin on doit avoir un petit coin propre à gliffer plus ou moins fous ce pied, jufqu’à ce que le plan de l’inftrument, ou celui que parcourt l’aiguille dans fon mouvement, foit exactement-vertical.
    • L’aiguille étant enfin aimantée, on appliquera aux deux côtés de l’inftrument, dans des rainures faites pour cela, deux glaces circulaires, pour préferver l’aiguille & fes pivots du contaét extérieur de l’air & de l’humidité, qui eft contraire au magnétifme.
    • Par la defcription de cet infiniment, il eft aifé de fentir qu’il faut d’abord le mettre, foit en le fufpendant, foit en le plaçant fur fon fupport, dans une fituation verticale ; ce qu’on fera aifé-ment au moyen du fil à plomb.
    • Il faut de plus, que le plan de l’inftrument, ou celui que parcourt l’aiguille , foit dans le plan du méridien magnétique. Pour cet effet, on couchera l’inftrument à plat fur une table horizontale ; l’aiguille étant arrêtée, indiquera le méridien magnétique, & l’on tirera fur la table une ligne dans cette direction, fur laquelle on alignera le long côté du fupport auquel le plan de l’infi» trument doit être aufli parallèle, quand il fera dans l’échancrure qui doit le recevoir. Au moyen du petit coin & de l’à-plomb, on achèvera de le mettre dans la pofition convenable. L’aiguille , après des balancements affez longs , s’arrêtera enfin, & indiquera par fa pointe le nombre de degrés dont elle eft éloignée de l’horizontale , ce qui donnera l’inclinaifon.
    • On trouve par ce moyen, à Paris, que l’incli-lîaifon eft aftuellement de 71 degrés.
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    • 284 RIcréàt. Màthémat. et Phys, Remarques.
    • Quoiqu’il ne paroiffe pas y avoir beaucoup de difficulté à exécuter un pareil infiniment, l’expérience apprend néanmoins qu’il eft d’une exécution très-difficile, à moins d’une adreffe particulière , dont M. Magny, artifte très - ingénieux en optique , &c. paroît jufqu’à préfent feul en polfeffion. En effet, à moins que l’inftrument ne loit parfaitement exécuté, l’aiguille aimantée ne le remet point dans fa même pofition lorfqu’on l’a déplacée, ou lorfqu’on tourne l’inftrument en fens contraire, c*eft-à-dire de forte que le plan qui regardoit l’orient regarde l’occident. Mais j’ai eu une bouffole d’inclinaifon, fortant des mains de cet artifte, qui, pourvu qu’elle fût dans le méridien magnétique % à chaque fois qu’on faifoit l’obfervation dans un même lieu , & quelque face qu’on tournât à droite ou à gauche, montroit toujours parfaitement le même, degré d’inclinaifon. C’eft-là néanmoins une condition très-nécef-faire pour pouvoir faire quelque fonds fur des obfervations de cette efpece ; & fans cela on ne peut les regarder que comme des approximations dans lefquelles il peut facilement fe gliffer quelques degrés d’erreur.
    • II.
    • L’inclinaifon de l’aiguillé aimantée n’eft pas moins variable que fa déclinaifon. On obferve qu’elle eft différente dans les différents lieux de la
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    • DE L'AIMANT.
    • dans le fiecle paffé, qu’elle eût quelque rapport avec la latitude. On obferve, par exemple, à Pa ; ris, qu’elle eft aujourd’hui de y%° x ÿ au nord. à Lima, environ i8° au fud. à Quito , environ 150 id. à Buenos-Ayres, environ 60°^ id. à l’Ifle-de-France, 52°\ au nord.
    • Cela fuffit pour détruire toute idée qu’elle ait le moindre rapport avec la latitude.
    • L’obfervation de l’inclinaifon n’étant réputée prefque d’aucune utilité dans la navigation, on ne doit pas s’étonner qu’on en ait à peine quelques-unes. Elles font d’ailleurs beaucoup plus difficiles à la mer que celles de la déclinaiîbn, à caufe du roulis. Le P. Feuillée en a fait néanmoins un affez grand nombre dans Tes voyages d’Europe en Amérique ; mais, félon toutes les apparences, on ne doit guere y compter qu’à quelques degrés près. Quoi qu’il en foit, il feroit à defirer que ces ob-fervations fuffent plus multipliées ; car, quoiqu’elles ne paroiffent pas du premier coup d’œil bien utiles, elles peuvent le devenir dans la fuite. Ne laiffons pas d’accumuler des faits, quoique en apparence fans grande utilité. Souvent une lumière inefpérée naît d’une obfervation réputée longtemps frivole & ifolée.
    • III.
    • Nous remarquerons encore ici que les mouvements de l’aiguille aimantée éprouvent des variations fort finguüeres à l’approche ou par l’effet des météores ignées. On a vu plus d’une fois le tonnerre défaimanter une aiguille , ou l’aimanter en fens contraire. Les aurores boréales paroiffent auffi agir d’une manière fort fenfible fur l’aiguille
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    • 1Î6 Récréât. Màthémàt. et Phys. aimantée. Mais nous nous bornerons à renvoyer encore au Traité de Météorologie du P. Cotte.
    • SECTION III.
    • De quelques Moyens propofés pour ôter à rAiguille aimantée fa déclinaifon, ou faire des Bouffoles fans déclinaifon.
    • IL y auroit un fi grand avantage à avoir des bouffoles qui montraffent sûrement le nord, que l’on ne doit point être étonné des efforts que l’on a faits pour imaginer des combinaifons qui détruififfent la déclinaifon de l’aiguille aimantée; mais malheureufement elles ont été jufqu’à préfent infru&ueufes , & nous penfons qu’elles le feront toujours. Ces tentatives méritent néanmoins d’être connues, ne fût-ce que pour éviter à quelqu’un de nos le&eurs l’illufion que fe font faite ceux qui ont cru avoir réfolu ce problème.
    • M. Mufchenbroeck fait la defcription d’une de ces inventions. Elle confifte à combiner pour un lieu déterminé deux aiguilles de forte égale, de telle maniéré qu’elles s’écartent l’une d’un côté, l’autre de l’autre, du méridien magnétique , de la quantité de la déclinaifon. Ainfi l’une déclinera du double, & l’autre fe trouvera précifément dans le méridien. Suppofons, par exemple , que la déclinaifon foit de 20 degrés à l’oueft, comme elle étoit à Paris en 1770. Si l’on fait porter fur une même chape deux aiguilles aimantées de force égale , qui faffent enfemble un angle de 40 degrés, il.eA évident que , .ne pouvant ni
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    • de l’Aimant. 287
    • l’une ni l’autre Te placer dans le méridien magnétique, elles s’en écarteront également : ainfi l’une déclinera de 20 degrés à l’oueft de ce méridien , ou à 40 degrés de celui de la terre ; & conféquem-ment l’autre aiguille fera néceffairement dans le méridien, & n’aura aucune déclinaifon.
    • On doit s’étonner qu’on ait pu penfer qu’on auroit par-là une combinaifon d’aiguilles aimantées , cjui en fera tomber une fur le méridien ter-reftre. Il eft aifé de voir que ces deux aiguilles , lî elles font égales en force, ne feront jamais que s’arranger de maniéré que le méridien magnétique partagera en deux également l’angle qu’elles comprendront. Ainfi, en fuppofant que le méridien magnétique, au lieu de décliner de 20 degrés du méridien terreftre, ne décline que de 10 degrés à l’oueft, l’une des aiguilles fera portée à 20 degrés de plus à l’oueft , & aura conféquemment 30 degrés de déclinaifon: donc en même temps l’autre aiguille fera portée à 10 degrés du méridien du côté de l’eft.
    • Le dernier traducteur de Pline a donné un moyen à peu près femblable pour anéantir la déclinaifon; il n’en différé qu’en ce que l’une des aiguilles doit être plus groffe que l’autre. Mais M. Mufchenbroeck avoit déjà propofé & analyfé cette combinaifon de deux aiguilles inégales , & elle lui avoit paru auffi peu faite pour réuffir que la précédente. En effet, les mêmes raifons, ou desraifons femblables, s’yoppofent ; & il n’y a rien de fi légèrement fondé, pôur ne rien dire de plus, que la théorie phyfique qui femble y avoir conduit l’auteur dont nous parlons ; car il paroît penfer que ce qui fait qu’une aiguille aimantée décline, eft une forte de foibleffe qui rte lui per-
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    • Récréât. MatHémat. et Phÿ$. met pas d’atteindre le nord. C’eft une idée quS non-feulement eft fans fondement, mais même qui eft incompatible avec les phénomènes 6t avec la théorie la plus probable de, mouvements magnétiques ; car l’aiguille aimantée qui, dans les premières cinquante années du ficelé dernier , déclinoit à l’eft , s’étant enfuite rapprochée du nord , & l’ayant dépaflfé pour fe diriger à l’oueft, il faudroit dire qu’elle éioit malade , qu’elle s’eft guérie vers 1660, & qu’enfuite elle eft redevenue malade en fens contraire. Ainfi l’on ne fçauroit trop admirer la précipitation de quelques journa-liftes & de quelques auteurs *, qui fe font hâtés d’annoncer avec de grands éloges cette découverte prétendue , comme devant changer la face de la navigation. Malheureufement rien de plus imaginaire, & un peu plus de connoiflances des phénomènes magnétiques , eût préfervé les uns & les autres de cette erreur.
    • J’ai vu autrefois à Paris un pilote Génois, nommé M. Mandilo , qui prétendoit avoir trouvé une autre combinaifon d’aiguilles aimantées, propre à corriger la déclinaifon de la bouflole. Il plaçoit l’une fur l’autre deux aiguilles égales en force, de maniéré que chacune d’elles eût la liberté de fon mouvement ; il les rapprochoit en-fuite pour Paris, par exemple, de maniéré que leur écartement fût double de la déclinaifon ob-
    • * VAnnée Littéraire, le Pi&rcnnaire d’Induftr:e. Ce dernier ouvrage, qui adupte pleinement l’idée de la maladie de 1’aiguille aimantée , trouve encore dans cette découverte imaginaire celle des longitudes. La découverte en queftion leroit réelle, que celle des longitudes ne s’en enfuivroit pas.
    • fervée»
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    • fervéè: Car , dans cette pofition, elles divergent l’une de l’autre par l’effet de la répulfîon de leurs pôles ou pointes de môme dénomination ; & elles divergent d’autant plus, qu’elles font plus rapprochées l’une de l’autre. Par ce riioyen donc, une des deux aiguilles eft , comme dans le procédé ci-deflus , rapportée fur le méridien. Or le fieur Mandilo prétendoit que cela devoit arriver également par-tout ; ce qui eft vifiblement faux : car l’écartement de deux aiguilles étant l’effet de la répulfîon de deux pôles de même nom, cette ré-pulfion , & conléquemment l’écartement, feront les mêmes, quel que foit l’angle du méridien ma-gnérique avec le méridien terreftre. Pour que cela fût autrement , il faudroit fuppofer que cette répulfîon diminuât en même temps que la décli-naifon , ce qui ne peut pas être. C’eft ce que j’obje&ai d’abord au fieur Mandilo , mais en vain. Un homme qui croit avoir trouvé le moyen de corriger la déclinaifon de l’aiguille aimantée, ou avoir découvert la folution du problème des longitudes , n’eft guere moins opiniâtre dans fon fentiment, que celui qui croit avoir trouvé la quadrature du cercle.
    • C’eft auffi le cas de parler ici d’une idée de M. de la Hire fur ce fujet. Elle étoit fondée fur ce qu’il croyoit avoir trouvé que les pôles d’un aimant naturel avoient changé de place, comme les pôles magnétiques de la terre l’avoient fait dans le même temps. D’après cela, il avoit imaginé d’aimanter des anneaux d’acier , préfumant que leurs pôles changeroient de même. Or il eft aifé de fentir que, dans ce cas, la ligne marquée primitivement nord & fud fur l’anneau, refteroic immobile, & marquerait toujours le vrai nord.
    • Tome IV, T
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    • 190 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • Mais le principe s’eft trouvé faux; & quand il eût été vrai, la conféquence que M. de la Hire en droit n’étoit pas néceffaire.
    • SECTION y.
    • De quelques Tours de fubtilité quon exécute au moyen de CAimant.
    • G N a imaginé depuis quelques années d’appliquer les propriétés de l’aimant à divers jeux & tours de fubtilité, qui ont fort embarrafle les premiers qui en ont été les témoins. On ne pouvoit en effet employer de moyen plus Caché, & néanmoins plus propre à agir, que le magné-tifme , puifqu’il n’eft arrêté par aucun corps connu dans la nature, fi l’on en excepte le fer. C’eft le célébré M. Cornus qui a le premier eu cette idée. Il a finguliérement varié les différents tours de fubtilité qu’on exécute par ce moyen; auffi tout Paris s’eft-il porté avec empreffement dans les lieux où il les exécutoit. Les ignorants l’admiroient, en le réputant prefque pour forcier; les fqavants cherchoient à pénétrer fon artifice ; & il faut convenir qu’il étoit impénétrable, tant qu’on n’a pas foupçonné le magnétifme d’en être le principal reffort.
    • Nous nous bornerons néanmoins à donner une idée du inécanifme de quelques-uns de ces tours ; car nous fçavons que leur auteur fe propofe de les développer dans un ouvrage à part, ainfi que nombre d’autres de fon invention, tenant Toit à la phyfique, foit à des comhinaifons très-ingé-
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    • ce l’Aimant. i9,
    • nieufes. Cet ouvrage fera intéreffant, perfonne n*ayant jamais réuni à une adreffe qui approche du preftige , autant de connoiflances dans la phy-fique.
    • §• I.
    • Conjlruction de la Lunette magique.
    • On fe fert fréquemment dans ces tours de fub* tilité, d’une prétendue lunette magique , au moyen de laquelle on apperçoit, dit-on , au travers des corps opaques. C’eft un difcours que l’on tient pour dérouter les fpe&ateurs. Cette prétendue lunette magique n’eft autre chofe qu’une forme de lunette , au fond de laquelle , c’eft-à-dire du côté de l’obje&if, eft une aiguille aimantée, qui prend fa dire&ion lorfque la lunette eft pofée fur le côté qui figure cet obje&if.
    • Pour former cette lunette , il faut faire tourner un tuyau d’ivoire, ayant l’apparence d’un tuyau de lunette fort évafé du côté de l’objeéHf ; mais il faut que cette ivoire foit tournée affez mince pour qu’elle laifle introduire la lumière néceflaire pour voir au dedans. Le côté de l’oculaire eft; garni d’un verre qui fert à voir plus diftin&ement au dedans de la lunette. Le côté de l’obje&if porte auffi un verre, mais ce n’eft que l’apparence d’un obje&if. Sa furface poftérieure eft opaque, & fert de bafe ou de fond à une bouflble ou une aiguille aimantée tournant fur une pointe implantée à fon centre. Cette aiguille prend la pofition horizontale , quand la lunette eft pofée fur le côté de l’obje&if, & fe dirige ou vers le nord, ou vers le fer aimanté qui eft aux environs. Il eft nécef-faire d’avoir une lunette véritable & tout-à-fait femblable extérieurement, afin de pouvoir mon-
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    • a9i Récréât. Mathémat. et Phys. trer cette derniere à la place de la première ; ce que l’on fait, en fubftituant adroitement l’une à l’autre.
    • Lors donc qu’on voudra fe fervir de la lunette prétendue magique , on la placera, l’obje&if en bas, fur ce que l’on voudra examiner. Si au def-fous il y a un aimant ou un fer aimanté, l’aiguille fe tournera de ce côté.
    • §. n.
    • Etant donnes plufieurs chiffres , qu'une perfonm rangera les uns à côté des autres dans une boîte, reconnoître à travers le couvercle le nombre formé par ces chiffres.
    • Si vous voulez employer les dix chiffres, prenez dix petits quarrés a’un pouce & demi de côté ; creufez fur la face fupérieure de chacun une rainure , mais dans diverfes iituations ; la première , par exemple , déftinée au nombre i, ira directement de bas en haut ; la fécondé déviera à droite, d’un angle égal à la dixième de la circonférence ; la troifieme, de deux dixièmes ; &c. ce qui donne dix pofitions différentes. On introduira enfuite dans ces rainures de petites barres d’acier bien aimantées, en ayant l’attention de tourner leur pôle nord de la maniéré convenable. On couvrira ces rainures & la face du quarré avec de fort papier, afin qu’on ne foup-qonne point l’exiftence de ces barreaux. Il faut enfin avoir une boîte affez étroite pour ne tenir en largeur qu’une des tablettes, & affez longue pour pouvoir les y ranger toutes.
    • On propofe enfuite à une perfonne de prendre pendant qu’on s’éloigne, plufieurs de ces tablettes, & de les ranger comme elle jugera à propos dans
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    • de l’Aimant. 295
    • la boîte décrite ci-deftus, pour en faire un nombre quelconque. Cette même perfonne fermera la boîte, & vous devinerez ainfi le nombre formé.
    • Mettez votre prétendue lunette fur la place de la première tablette, c’eft à-dire à gauche ; fi le chiffre qui eft au defious eft l’unité, l’aiguille tournera de maniéré que la pointe ou le pôle nord regardera au devant de vous. Si ce chiffre étoit 4, elle tourneroit à la quatrième divtfion. du cercle divifé en 10 également; & ainfi des autres. Il fera donc fort facile de deviner par-là quel eft le chiffre de chaque place, conféquem-ment de nommer ce chiffre même.
    • Nous en avons dit aflez fur cet artifice. On devinera de même un mot qu’on aura écrit en fecret avec des cara&eres donnés ; l’anagramme qu’on aura formé d’un mot propofé, comme de Roma, qui donne amor, mora , orma , maro , &c ; une queftion qu’on aura choifie parmi plufieurs, & qu’on aura mife dans la boîte : on pourra même, avec un peu d’adreffe, faire trouver la réponfe dans une autre boîte. Ce tour enfin pourra être varié de bien 'des maniérés, plus agréables les unes que les autres , mais toutes dépendantes du même principe.
    • La boîte aux métaux , par exemple, n’eft encore qu’une pareille variation du même tour. On a dans une boîte fix plaques de différents métaux : on propofe à quelqu’un d’en prendre une, de.la-placer dans une autre boîte, & de ta fermer; ce qui. n’empêchera pas qu’on ne la devine. Rien de plus, facile. Ces plaques font de telle forme, qu’elles ne peuvent avoir qu’une feule fituation dans la petite boîte. Chacune d’elles, hors celle de fer, renferme dans fon épaiffeur un barreau.
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    • 194 Récréât. Mathémàt. et Phys. magnétique, placé dans des fituations connues^ Au moyen de la lunette prétendue magique , on reconnoît ces fituations ; conféquemment on ne peut ignorer la nature du métal. On ne met point de barreau dans la plaque de fer , parceque cela feroit inutile ; mais on peut aimanter un côté de cette plaque ; ou, fi on ne l’aimante point, la di-re&ion indéterminée de l’aiguille annoncera que c’eft le fer.
    • §• HL
    • La Mouche fgavante, ou la Syrene.
    • Ce tour-ci eft un peu plus compliqué que le précédent, & même il eft fondé moitié fur la phyfique, moitié fur une petite fupercherie. On a fur une table un vafe encaftré dans fon épaiffeur,
    • garni d’un large rebord, fur lequel font inf-crits des nombres, ou les heures du jour, ou des réponfes à certaines queftions. On propofe à quelqu’un d’indiquer un nombre, ou de nommer une heure du jour, ou de la demander, ou de choifir une des queftions infcrites fur des cartes qu’on lui préfente. Une mouche, une fyrene, ou un cygne mis à l’eau , doit défigner les chiffres de ce nombre dans leur ordre , répondre enfin à la nature de la queftion qu’on lui aura faite.
    • Tout cela s’exécute au moyen d’un barreau fortement aimanté , qui eft porté par un cercle de cuivre, dans Pépaiffeur du rebord du baffin. 11 eft évident que fi l’on fçait donner à ce barreau le mouvement néceffaire pour indiquer les lettres ou les nombres néceffaires pour la réponfe, la mouche ou la fyrene qui nage fur un petit bateau qui contient un autre barreau aimanté, s’y
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    • de l’Aimant, &9j
    • dirigera, & paroîtra répondre à la queftion. Voilà tout le phyfique du tour; voici la petite fuper-cherie. ,
    • L’épaifleur de la table, qui eft de quelques pouces, eft creufe, & dans ce creux eft contenu un mécanifme qui eft mis en mouvement par un cordon qui patte le long des pieds de la table » traverfe le plancher , & aboutit à une chambre voiftne, féparée feulement de celle où fe fait le tour par une cloifon très - légère. Le bout de ce cordon aboutit à un tableau où font marquées les divifions du baffin , & le tout eft tellement combiné , (ce qui n’eft pas une chofe difficile , ) que lorfque le bout de ce cordon eft amené vis-à vis un chiffre, par exemple 4, le barreau aimanté eft fous le 4 infçrit fur le rebord du vafe.
    • Lors donc qu’on demande à la fyrene de marquer l’heure qu’il eft , celui qui eft derrière la cloifon & qui entend la queftion , n’a autre chofe à faire que de tirer le cordon, & cl’en amener le bout, fur le tableau qu’il a devant lui, vis-à-vis l’heure qui court. Le barreau aimanté va fe placer deffous , & auffi-tôt la fyrene docile fe met en mouvement, & va marquer cette heure.
    • Si l’on a choifi une queftion, celui qui fait le tour, fous prétexte d’interroger la fyrene, la lui répété. Son adjoint l’entend , & fait mouvoir le barreau aimanté fur la réponfe.
    • Il ne feroit pas difficile d’établir entre l’un & l’autre une correfpondance cachée , & telle que 9 fans parler , la fyrene parût deviner elle-même la queftion , & y répondre. _
    • Les livres pr ncipaux qui traitent de 1 aimant font, le traité de Magnat de Gilbert, philofophe Anglois , imprimé en 1633 : on ^trouve des
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    • ifî RÉCRÉÂT. MATHÉMAT. ET PHYS, traces de cet efprit d’obfervation qui a fait faire à la phyfique tant de progrès ; YJrs magnetica du P. Kircher : c’eft une efpece d’encyclopédie de tout ce qui s’étoit dit jufqu’à lui fur cette matière , augmentée de beaucoup d’idées de l’auteur , dont la plupart tiennent de fon caraftere d’efprit dans lequel l’imagination dominoit ; la Magnetologia du P. Léothaud , in-40, 1668: c’eft un ouvrage de peu d’importance. L’ouvrage du P. Scarella, intitulé de Magnete, en 4 volumes in-40, imprimé à Brefcia en 1759 , peut tenir lieu de tous les précédents, & renferme d’une maniéré claire & bien développée tout ce qu’il y a d’utile & de folide dans ce qui a été dit ou écrit fur l’aimant jufqu’à cette époque ; à quoi l’auteur, phyficien fort éclairé, a ajouté fes vues particulières. Le petit Traité fur les Aimants artificiels, traduit de l’anglois en 1751 , & augmenté d’une préface hiftorique du tradu&eur, mettra le leéteur au fait de cette partie de la théorie de l’aimant. On peut, à fon défaut, lire le Mémoire fur les Aimants artificiels, par M. .Anthéautne , qui a remporté le prix de l’Académie de Pétersbourg en 1758, & qui a été imprimé à Paris en 1760. On lit enfin dans les Mémoires préfentés à l’Académie par des fçavants étrangers, plufieurs morceaux de M. Dutour, qui méritent d’étre connus & médités par ceux qui s’attachent à cultiver & amplifier cette théorie»
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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES.
    • TREIZIEME PARTIE.
    • De l’Électricité.
    • L’Électricité eft une fource prefque inépuifable de phénomènes furprenants & finguliers, qui frapperoient la curiofité de ceux mêmes qui donnent le moins d’attention à ob-ferver la nature. Quoi de plus extraordinaire & de moins facile à concilier avec les loix connues de la phyfique, que de voir un fimple frottement exciter dans certains corps la faculté d’attirer & repouffer les corps légers qui font à proximité; cette faculté fe communiquer par le contaéf à d’autres corps jufqu’à des diftances très-grandes ; le feu jaillir d’un corps qui eft dans cet état ; &
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    • 29S Récréât. Mathémat. et Phys.
    • inille autres phénomènes plus inattendus les uns que les autres , dont l’énumération feroit trop longue! Nous nous bornerons à la fameufeexpérience de Leyde, où l’on voit une file de per-fonnes fe tenant par la main, ou fe communiquant feulement par une barre de métal, recevoir tout-à-coup d’un agent invifible une commotion interne, qui pourroit même être affez violente pour tuer ceux qui l’éprouveroient.
    • On conviendra qu’il n’en eft pas encore de l’éle&ricité comme du magnétifme. Ce dernier a fervi, par l’invention de l’aiguille aimantée , à allurer la navigation , à découvrir un nouveau monde, fource de nouvelles richelfes, de nouveaux befoins 8c de nouveaux maux pour l’ancien. Mais l’élettricité n’a encore rien produit de fi brillant pour le genre humain 8c pour les arts ; fi nous en exceptons l’analogie aujourd’hui démontrée entre le feu électrique & celui du tonnerre , analogie d’où a réfulté un préfervatif allez probable des effets de ce terrible météore: car, quant aux guérifons opérées par l’éle&ricité , il faut convenir qu’elles font pour la plupart mal confiatées ou très-rares.
    • Gardons-nous néanmoins de traiter les recherches fur cet objet de pures inutilités , car quand on confidérera les phénomènes que préfente l’é-k&ricité, on ne pourra s’empêcher de reconnoî-tre qu’elle eft un des agents les plus généraux 8c les pins puiffants de la nature. Peut-on difconve-nir que l’identité du feu éleftrique avec celui de la foudre ne l'oit déjà une belle 8c grande découverte ? Que dire d’une foule d’autres analogies ébauchées entre l’éleftricité, le magnétifme, le fluide nerveux, le principe de la végétation, 8cc ?
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    • »E l’Electricité. î99 Elles promettent une grande moiffon à ceux qui continueront de cultiver ce champ fertile.
    • §. i.
    • Ce que cejl que ÜElectricité ; Dijlinclion entre les
    • corps électriques par frottement ou par communication.
    • L’éle&ricité eft une propriété que certains corps acquièrent par le frottement, fçavoir, d’attirer ou repouffer des corps légers qui fe trouvent dans leur voifinage. Frottez, par exemple, un bâton de cire d’Efpagne avec la main , ou mieux encore fur du drap, ôt paffez-le à quelques lignes de petits morceaux de papier ou de paille; vous les verrez fe jeter fur le bâton, 6c s’y tenir comme collés , jufqu’à ce que la vertu acquife par ce frottement fe foit diflipée. Les anciens avoient remarqué que l’ambre jaune ainfi frotté, attiroit Ses corps légers : de-là le nom d'électricité , car ils nommoient cette matière éleclrum. Mais c’eft-là que fe borna leur obfervation.
    • Les modernes ont obfervé qu’une foule d’autres corps ont la même propriété. Tels font l’ambre gris, 6c en général toutes les réfines qui peuvent fupporter un certain frottement fans s’amollir ; le foufre , la cire , le jayet, le verre, le diamant, le cryftal, la plupart des pierres précieufes, la foie, la laine, le poil des animaux , le bois bien defféché.
    • A l’égard des corps qui ne peuvent acquérir Péle&ricité par le frottement, on a obfervé qu’ils peuvent l’acquérir par communication, c’efl-à-dire par le contaft , ou par une très-grande proximité avec ceux de la première efpece , 6c qu’ils
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    • 300 Récréât. Mathémat. et Phys. peuvent la tranfmettre à d’autres corps de même nature & par le même moyen. Ces corps non-éleéfrifables par le frottement, font les métaux, & l’eau foit fluide , foit glacée * ; les corps terreux , les animaux. Mais nous remarquerons qu’à proprement parler, les métaux & le fluide aqueux font les feules fubftances vraiment conductrices de Péle&ricité, & que les autres ne le font qu’autant qu’elles participent de la nature métallique, ou qu’elles contiennent plus ou moins d’humidité. L’éleéfricité femble même encore préférer les corps métalliques pour fe tranfmettre d’un corps à un autre. Si donc vous placez un des corps de cette derniere efpece , comme une barre de métal, une de bois humide, dans la proximité ou en contaéf avec un corps de la première clafle éle&rifé par le frottement, avec les précautions qu’on indiquera plus loin, il deviendra lui-même éleftrique ; ce que vous recon-noîtrez aifément par le mouvement qu’il imprimera aux corps légers qui fe trouveront dans le voifinage.
    • Ainfi donc tous les corps font fufceptibles d’être électriques, mais de deux maniérés différentes : les uns le font en quelque forte par eux-mêmes ; on excite dans eux cette vertu par le Ample frottement ; on les nomme par cette raifon électriques : les autres pe le font que par communication ; on les nomme communément électriques par commit*
    • * On a remarqué depuis, que le verre échauffé jufqu’à être rouge, & même plutôt, & la flamme , étoient des conducteurs de l’éleâricité. Au contraire , l’eau qui, dans fon état de fluidité, eft un condufleur de l'éleârictté 9 ceffe de l’être lorfqu’elle eft fortement gelée.
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    • de l’Electricité. jbi
    • nication, ou non-électriques: il vaudrait mieux les appeler conducteurs de Célectricité ; & c’eft ainfi que nous le ferons le plus fouvent.
    • Il eft à propos d’obferver que ceux de la première clafle ne font point fufceptibles de recevoir l’éle&ricité par communication , ou ne la reçoivent ainfi que difficilement. De-là vient que, dans les expériences qu’on va décrire, on place les corps qu’on veut éle&rifer par communication , ou fur des gâteaux de réfine, ou fur des cordons de foie ; car autrement, l’éle&ricité produite dans eux fe diffiperoit tout-à-coup par le conta& des corps éleftrifables par communication , auxquels ils toucheraient.
    • §. n.
    • Defcription de la Machine électrique ou à électrifier,
    • ainfi que des Infiruments accefioires pour Us expériences de CElectricité.
    • Lorfqu’on commença à cultiver la théorie de l’éleélricité, on fe fervoit uniquement pour l’exciter , d’un tube de verre de 3 pouces environ de diamètre , & de 15 à 30 pouces de longueur. On le frottoit dans fa longueur & dans le même fens avec la main nue, pourvu qu’elle fût bien feche , ou enveloppée d’un morceau de flanelle ou de drap ; on préfentoit enfuite ce tube à un corps qu’on vouloit éleôrifer. C’eft ainfi que les Gray, les Dufay, ont fait leurs premières expériences éleéf riques.
    • On a enfuite fubftitué à ce moyen celui d’un globe fufpendu avec de la poix entre deux mandrins de bois qui lui fervoient d’axe, & qu’on faifoit tourner rapidement avec une manivelle ou
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    • 3oz Récréât. Math&mat. et Phys. une roue ; on appliquoit la main feche à ce globe -9 ou on le faifoit frotter par un couflinet : cela y excitoit l’éleélricité , qu’on recueilloit , pour ainfi dire , au moyen d’une frange métallique qui pendoit fur le globe, ou autrement.
    • A ces machines a fuccédé celle que nous allons décrire , qui eft beaucoup plus lîmple ; aufli a-t-elle comme banni des cabinets des phyliciens la machine précédente.
    • PI. 7, La nouvelle machine électrique eft compofée %. 40. d’un bâtis formé d’un pied A,. fur lequel font élevés & affemblés deux montants B & C, affermis par le haut au moyen d’une piece circulaire D. Ces deux montants doivent être plus ou moins hauts ', fuivant que le plateau circulaire de verre fera d’un plus ou moins grand diamètre ; car il faut que le bord n’approche pas trop près ni du haut de cet affemblage, ni du bas.
    • C’eft cette piece circulaire de verre E qui eft la piece effentielle de la machine. Elle eft percée dans fon centre d’un trou affez grand pour y paffer & affurer folidement un axe d’acier1 qui porte fur les deux montants , cet axe du côté C eft prolongé en dehors , & terminé quarrément pour y emmancher une manivelle qui fert à faire tourner cette glace.
    • Les deux montants portent enfin dans le haut & dans le bas deux couflinets de cuir remplis de crin, enforte que la piece circulaire déglacé, en tournant, foit frottée par ces couflinets, à quelques pouces de fon bord.
    • Enfin, fur la partie allongée de l’empâtement, eft établi le conducteur, fur un pied de verre en forme de colonne. Ce conducteur eft une piece cylindrique de cuivre, terminée d’un côté par
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    • cf. l’Electricité. 303
    • une boule G du même métal, & formé de l’autre côté en un arc à peu près demi-ci culaire, por-tant à chaque extrémité deux efpeces de demi-globes H & I, qui préfentent à la glace leur bafe circulaire. Cette bafe circulaire eft garnie de quatre pointes d’acier, aiguës & de même longueur. Le pied de ce condu&eur peut avancer & reculer fur l’empâtement qui le fupporte, de maniéré à approcher ou éloigner à volonté les pointes ci-deflus décrites de la furface de la glace de verre; car ce font ces pointes, comme on le verra, qui attirent & pompent, pour ainfi dire , le fluide éle&rique excité ou mis en mouvement par le frottement des petits couflins fur la glace circulaire.
    • Lors donc qu’on voudra produire l’éleélricité, on placera la machine fur une table folide, & on l’aflurera par des vis. On fixera le condufteur enforte que fes pointes approchent de très-près la glace circulaire , & on la mettra en mouvement, en faifant tourner la manivelle. Le condu&eur donnera prefque fur le champ des marques d’électricité , foit èn produifant des étincelles à l’approche du doigt, foit en attirant & éloignant les corps légers qu’on en approchera.
    • Remarques.
    • Il y a quelques autres inftruments qui font né-ceffaires pour les expériences éle&riques. Nous parlerons néanmoins uniquement ici de ceux dont l’ufage eft le plus général, nous réfervant de décrire les autres à mefure que nous expofe-rons lés diverfes expériences où ils font nécef-faires.
    • I. On doit être pourvu de quelques marche-
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    • 3<>4 Récréât. Mathémat. et Phys. pieds enduits de réfine , quarrés ou circulaires. On leur donne 15 à 18 pouces de côté ou de diamètre, & pour plus de ÿûreté de l’effet, on peut les faire porter fur quatre corps de bouteilles de gros verre. Ils fervent à ifoler les corps ou les personnes qu’on veut éie&rifer.
    • II. Comme il y a quelquefois du danger à tirer l’éle&ricité avec le doigt, il faut être muni d’un
    • PI. 7, inftrument appelé Xexcitateur. C’eft un arc de 4** cercle métallique, emmanché à fon milieu à un manche de verre ou de cire d’Efpagne ; mais le premier eft préférable & plus folide. En touchant avec l’une des boules de cet inftrument le corps le plus fortement éleftrifé, on peut en tirer fans danger une étincelle , parceque le manche de verre intercepte le paffage de l’éleélricité , de l’excitateur à la perfonne qui le tient.
    • III. On doit auffi avoir une chaîne de métal, ou de plufieurs fils de fer liés les uns aux autres. Elle fert à tranfmettre l’éle&ricité loin du premier condu&eur HGI ; ce qui fe fait en faifant porter cette chaîné par des cordons de foie attachés au plancher, ou tendus entre deux traverfes.
    • IV. Il eft à propos d’être muni d’un long tube de métal, ou de carton doré, & de plufieurs pouces (3 ou 4) de diamètre. Ce tube fe communiquant au premier condu&eur par une chaîne, forme un fécond condu&eur qui fe charge de beaucoup d’éle&ricité, & fert à quantité d’expériences. Plus ce tube eft long & gros, plus l’é-leélricité dont il fe charge eft confidérable. Il eft effentiel qu’il n’ait aucune pointe ni éminence aiguës, par les raifons qu’on verra plus loin.
    • V. On ne peut fe paffer de quelques efpeces
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    • UE L’EtECtRtCITÊ. 305 de foucoupes de verre, pour ifoler les corps dont on veut conferver l’éleCtricité.
    • VI. Il faut auffi être pourvu de quelques pièces de métal, les lines pointues, les autres terminées par une éminence fphérique ; les unes emmanchées à des manches de verre, les autres portées par des manches de matière tranfmettant l’électricité , comme on a dit plus haut.
    • VII. Les couffins ont befoin d’être de temps à autre faupoudrés d’un amalgame fervant à y entretenir le frottement. Celui qui paroît le mieux réuffir, eft l’amalgame d’étain & de mercure, tel que celui qu’on met derrière les glaces, avec une moitié de craie ou blanc d’Efpagne ; le tout mélangé & réduit en une pouffiere impalpable.
    • Telles font les principales parties de l’appareil néceffaire pour les expériences éleCtriques les plus communes. Nous allons pafler à ces expériences, en allant du .plus {impie au plus compofé.
    • Première Expérience.
    • VEtincelle électrique.
    • Tout étant difpofé comme on l’a expliqué plus haut, & l’air de la chambre étant fec, mettez la machine en mouvement pendant quelques minutes. Que quelqu’un préfente alors un doigt au conducteur : lorfqu’il en fera diftant d’une ligne ou deux, ou davantage , fuivant la force de l’éleCtricité , il fortira à-la-fois du conducteur & du doigt une double étincelle , accompagnée de bruit, & qui caufera même quelque douleur. Lorf-que cette perlonne , que nous fuppofons fur le plancher, touchera le conduCteur , il ne donnera plus de marque d’éleCtricité, parcequ’elîe fe com-TomelK V
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    • 3o6 Récréât, Mathémat. et Phys.
    • ifluniquera par elle à toute la maffe des corps rion-éleétriques à laquelle elle touche.
    • 1I<= Expérience.
    • Communication de Vélectricité à diverfes perfonnes.
    • Faites monter la perfonne en queftion fur un gâteau de réfine, ce qui l’ifolera du plancher , & mettez la machine en mouvement : non-feulement le condüéteur, mais cette perfonne, feront électrifiés; enforte que tous ceux qui ne feront pas dans le même état, & qui viendront à toucher l’un ou l’autre , en tireront l’étincelle électrique.
    • Vingt perfonnes & bien davantage, pourront ainfi être éleétrifées, pourvu qu’elles foient toutes ifolées.
    • IIIe Expérience.
    • U Attraction & la Répuljion.
    • Préfentez à une perfonne éleétrifée ou au conducteur , des feuilles de métal battu, des brins de paille, de papier, & autres corps légers non-électriques; vous les verrez, quand ils feront à la diftance convenable, s’élancer fur le corps élec-trifé : mais ils ne l’auront pas plutôt touché, qu’ils en feront repouffés. Si alors on les reçoit fur un corps non-éleétrique, ils ne l’auront pas plutôt touché, qu’ils reviendront vers le corps éleétrifé, & en feront de nouveau repouflfés , &c.
    • IVe Expérience.
    • Quelques Jeux électriques fondés fur la propriété précédente. Le Poiffon d'or, la Danfe électrique, la Pluie lumineufe.
    • Cette; propriété des corps électriques, fçavoir,
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    • de l’Electricité. 507
    • de fe repouffer iorfqu’ils font dïms cet état, & de s’attirer quand l’un d’eux l’eft feulement, a donné naiflance à quelques petits jeux affez agréables, que nous allons expliquer ici avec l’étendue que peut mériter leur importance.
    • I. Coupez dans une feuille d’or battu qui ait quelque fermeté, un rhombe dont les deux angles oppofés foient fort obtus, tandis que les deux autres feront fort aigus. Préfentez cette feuille de métal au condu&eur , enforte qu’un des angles aigus s’élève le premier, & auffi-tôt pladfez au deffous un plateau métallique ; vous la verrez fe placer ôc relier prefque immobile entre le conducteur & ce plateau.
    • Si ces feuilles de métal font taillées en petites figures humaines, furmontées d’un angle aigu, en forme de bonnet pointu, qu’on les couche fur le plateau , qu’on les préfente enfin ainfi au deflbus du conduéleur, ou d’un autre plateau communiquant au condu&eur, on les verra fe relever, fe tenir droites , fauter vers le conducteur, s’abaifi-fer, en tournant en rond plus ou moins rapidement , ce qui figurera une efpece de danfe; & fi l’expérience fe fait dans l’obfcurité, vous verrez des aigrettes lumineufes s’élancer alternativement des pieds & de la tête ; ce qui formera un petit fpeâacle très-agréable.
    • II. Maintenant taillez cette feuille de métal en figure fort allongée d’un côté , tandis que de l’autre elle fera beaucoup moins aiguë. Dans cette partie vous lui donnerez , fi vous voulez, l’apparence de la tête d’un poiffon. Prenez-la par l’angle le plus aigu, en la préfentant au condu&eur par le plus obtus, à la diftance d’un pied , fi l’é-lcftricité eft forte : elle s’échappera de vos doigts,
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    • 308 Récréât. Mathémat. et Fhys.
    • & volera d’un mouvement ondoyant vers le conducteur , au deffous duquel elle fe placera à un demi ou un quart de pouce de diftance, en lui tournant l’angle obtus : quelquefois elle s’en approchera jufqu’au contaét, & fera aufli-tôt re-pouffée ; ce qui figvfrera le jeu d’un petit poiffon qui viendrait becqueter ou mordre le condu&eur. De-là ce petit jeu a été appelé le Poijfon d'or.
    • III. La pluie lumineufe fe fera de cette maniéré. Sufpendez au condu&eur un plateau circulaire de 5 ou 6 pouces de diamètre ; ayez enfuite un plateau métallique en forme de foucoupe, dont vous environnerez le i-ord d’un cylindre de verre de 5 à 6 pouces de hauteur»; couvrez ce plateau de recoupes de feuilles de métal bien fines & légères , & placez-le fous le plateau fuf-pendu au conduéteur. Lorfque ce dernier fera fortement éleétrifé , vous verrez toutes ces petites feuilles de métal s’élever du plateau inférieur contre le fupérieur, y étinceler, être repouffées contre celui d’en bas, y étinceler encore, ou étinceler entr’elles loüfqu’une d’elles, étant élec-trifée , en rencontrera une qui ne l’étoit pas ; ce qui remplira le cylindre de verre de beaucoup de lumière , & donnera l’apparence d’une pluie de feu.
    • Ve Expérience.
    • Rêpuljion entre des corps également éleclrifés.
    • Sufpendez à l’extrémité du conduéfeur deux fils de matière non-éleârique , comme de lin, de chanvre , de coton, &c : ils pendront perpendiculairement & fe toucheront, fi leurs extrémités fupérieures fe touchent. Faites tourner le globe,
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    • de l’Electricité. 309 & produirez l’éle&ricité dans le condu&eur 6c ces fils : vous les verrez auffi-tôt Te repouffer l’un l’autre, & former entr’eux un angle d’autant plus ouvert, que l’éélricité fera plus forte. Lorfque l’é-le&ricité diminuera, ils fe rapprocheront L’un de
    • Cette expérience démontre un. fait important dans la théorie éle&rique, c’eft que deux corps éle&rifés femblablement, fe repouffent l’un l’autre. Plufieurs phénomènes & jeux élettriques tirent de-là leur explication.
    • V Ie Expérience.
    • Conjlruclion d'un Electrometre.
    • L’expérience ci-deffus fournit un moyen de juger de la force de l’élëélricité ; & l’on peut regarder les deux fils dont on a parlé, comme une forte d’éleélrometre. Néanmoins , comme deux fils femblables peuvent être fujets à bien des mour vements indépendants de l’éle&ricité , les électriciens ont adopté prefque généralement le petit infiniment fuivant, qui n’eft guere moins fimple.
    • Deux petites boules de 2 lignes de diamètre , & de liege ou de moelle de fureau, portées aux deux extrémités d’un fil condu&eur de l’éle&ri-cité, forment toute cette machine. On paffe ce fil fur le condu&eur , enforte que les petites boules pendent à la même hauteur. Audi-tôt qu’on produit l’élettricité dans le condu&eur, & con-féquemment dans les petites boules , elles s’écartent l’une de l’autre j 6c la grandeur de l’angle que forment les fils, fait juger de l’intenfité de l’éleébricité. Nous difons juger de cette intenfité > car. on, ne peut pas, ni par ce. moyen, ni.pas
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    • 310 Récréât. MathÉmat. et Phys. aucun autre que je connoiffe , déterminer une éleftricité double, triple, quadruple d’une autre, mais au moins eft-on fondé à conclure qu’un degré d’éle&ricité eft plus grand ou moindre qu’un autre , ou que deux degrés d’éle&ricité font égaux, fuivant que l’écartement des deux boules eft plus grand ou moindre , ou le même ; ce qu’il fuffit ordinairement de connoître.
    • VIIe Expérience.
    • 'Allumer de Pefprit de vin avec Vétincelle électrique.
    • Une perfonne étant éle&rifée, qu’une autre portée fur le plancher s’approche d’elle, ayant dans fa main une cuillère remplie d’efprit de vin bien déflegmé & un peu échauffé ; que la perfonne éle&rifée préfente le doigt à cet efprit de vin , ou mieux encore une pointe de fer émouffée comme un poinçon , ou la pointe d’une épée : il fortira de la liqueur, une étincelle éle&rique qui y mettra le feu.
    • Si la piqûre douloureufe, caufée par l’étincelle éleftrique , pouvoir encore laiffer quelque doute qu’elle fût un vrai feu , cette expérience-ci en çonvaincroit.
    • VIIIe Expérience.
    • Propriétés des Pointes.
    • Au lieu d’un conducteur tel que nous l’avons décrit plus haut, fervez-vous d’une barre dé me-
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    • S E l’Elèctkïcité. 3H
    • /ans néanmoins lé faire affez pour en tirer l’étirt-célle éleCtriqUe, vous reflemitez comme un fouf-fle qui s’én exhale, & même avee un petit bruif-fement.
    • Mais fi vous faites l’expérience dans Pobfcurité, vous jouirez d’un joli fpeétacle ; car, lorfque l’é-leCtricité fera vigoureufe , vous verrez fortir de ces anglês dès gçrbés lumineufes, qui s’augmenteront eonfidéràblement quand vous leur préfen-terez le doigt.
    • Vous reconnoîtrez en même temps, qüe la caüfe de de foufflé léger & accompagné de bruit, n’eft autre chofe que l’éruption dü fluide éleétrique , quel qü’il fôit, qui fort dü corps éleétrifé , 8c qui fe précipite vers votre doigt ; d’où il fuit que c’eft un corps, puifqu’il réagit contre un autre
    • On doit remarquer que lorfque le corps élec-trifé efl: anguleux, il perd beaucoup plutôt l’é-le&ricité qui lui â été communiquée. Ces angles & ces pointés femblent être autant de décharges fpontanées de là matière éleCtriqUe : ainfi l’on doit les éviter dans les corps qu’on veut éleétrifer, & dans lefquels on véut maintenir le plus longtemps polfible l’éleétricité.
    • IXe Expérience.
    • Différence des pointes & des corps èmouffés9
    • Eleétrifez dans l’obfcurité un conducteur ordinaire j ou un autre corps quelconque non-anguleux ; & lorfqu’il fera fortement éleétrifé, pré-fentez-lui un corps émoufle, comme le doigt ou un poinçon obtus & arrondi. Il faudra qü’il en foit affez voifin pour tirer l’étincelle électrique-.
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    • 3i2 Récréât. Màthémat. et PrfYS.
    • Mais fi vous lui préfentez une pointe fort aiguë , vous verrez , avant qu’elle foit à beaucoup près fi voifine, s’y former à la pointe une étoile lumi-neufe en forme de gerbe fort courte ; & fi le corps éleârifé ne reçoit pas à chaque inftant un fupplément d’éleétricité , il en fera bien vite privé.
    • Si cette pointe eft portée par un gâteau de réfine , elle deviendra elle-même éle&rifée, mais l’éleftricité du condu&eur ne s’anéantira pas entièrement.
    • Il paroît par cette expérience, que fi dans la précédente les gerbes lumineufes font formées par une matière qui s’écoule du corps éle&rifé , ici c’eft le contraire ; elles font formées par une matière qui afflue & qui fe précipite vers la pointe préfentée au corps éleftrifé. Que peut-on dire en effet, lorfqu’on voit un corps non-éle&rifé le devenir par cette voie, finon que la matière, le feu ou le fluide éleélrique, fe porte du corps éle&rifé dans l’autre , d’autant qu’il eft confiant que le premier perd par-là tout ou partie de fon éle&ri-cité, félon les circonftances , c’eft-à-dire, fuivant que l’aytre eft fur le plancher, où ifolé }
    • Quoi qu’il en foit, voilà une finguliere Sc remarquable propriété des pointes. On verra plus loin l’ufage extraordinaire que M. Francklin en a fait.
    • Xe Expérience.
    • Maniéré de reconnaître fi un corps efi dans Vétat d’électricité,
    • Lorfque deux corps font également éle&rifés, & qu’on les approche l’un de l’autre jufqu’au con*
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    • de l’ Electricité. 313 taâ, il ne fe manifefte entr’eux aucun figne d’é-le&ricité par l’étincelle ou l’émanation éle&rique : c’eft ce dont il eft aifé de fe convaincre ; car, qu’une perfonne éle&rifée par l’attouchement du conduéleur, donne la main à une autre éleftrifée de la même maniéré, ii n’y aura point d’étin-celle.
    • Ces deux perfonnes pourroient néanmoins re-connoître qu’elles font éle&rifées, à un figne que voici : elles n’auront qu’à prendre chacune à la main un fil de matière non éle&rique, ou une boule de liege fufpendue à un pareil fil ; fi ces deux boules ou ces deux fils fe repouffent, elles en devront conclure qu’elles font dans un état éleélrique.
    • X Ie Expérience.
    • Dijiinction des deux Electricités.
    • Ayez une machine éle&rique montée comme elles l’étoient anciennement, c’eft-à-dire avec un globe de verre ; ayez*en une fécondé où ce globe , au lieu d’être de verre, foit de foufre ; que chacune éle&rife un condu&eur par un de fes bouts : on verra avec étonnement que fi les deux machines vont également vite, on ne tirera point ou pref-que point d’étincelles du condu&eur.
    • Il n’en feroit certainement pas de même fi l’on éle&rifoit le condu&eur avec deux globes de verre à-la-fois, ou avec deux globes de foufre ; les étincelles feroient beaucoup plus vives que fi l’on n’eût mis en mouvement qu’un feul globe.
    • Remarque.
    • Cette expérience, que M. Franchi in dit avoir
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    • $i4 Récréât. MathImay. et Phys.
    • faite à la follicitation de M. Kinnerfléy, fort artii^ me paroît mettre hors de doute la différence de l’éleélricité communiquée par le verre, d’avec celle communiquée par le foufrê , & par cônfé-quent la diftin&ion des éleélricités vitrée & ful-phureufe ou réfineufe ; diftinéticn déjà avancée par M. Dufay.
    • En effet, M. Dufay avoit déjà obfêrvé que , tandis que deux corps éleétrifés par le verre ou le foufre fe repouffént mutuellement, cependant lorfque l’un étoit éleétrifé par une de ces matières , & l’autre par l’autre, au lieu de fe repouffer ili s’attiroient. Je ne fqais quelle plus forte preuve on peut defirer de deux états bien différents.
    • Qu’on joigne à cela l’expérience ci-deffus de M. Franckîin , comment pourra-t-ôn éluder la cônféquence qu’il en tire avec M. Dufay? Car il eft évident & connu que deux corps éleétrifés également, & tous deux par le globe de verre, peuvent fe toucher fans étincelle, fans diminution de vertu éleétrique dans tous les deux. Puis donc que ces mêmes corps éleétrifés , l’un par le verre , l’autre par le foufre, détruifent mutuellement leur éleélricité , il faut que l’une foit d’une nature oppofée à l’autre, & tout-à-fait différente.
    • Je fçais que d’habiles ph'yficiens, malgré ces raifons, perfiftent à rejeter cette diftinélion j mais je crois que le préjugé agit en eux, ou que , féduits par des idées particulières, ils refufent d’ouvrir les yeux à la lumière. Je fuis porté à penfer que ft M. l’abbé Nollet n’avoit pas eu déjà fort fyftéme. fur l’éleélrrcité , il eût adopté la diftinc-?ion des deux éleélricités contraires.
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    • de l’Electricité. 315 tricité. Suivant ce phyficien célébré , tous les corps dans leur état naturel, renferment dans leur fubftance ou fur leur furface une certaine quantité d’un fluide qui eft le fluide éle&rique. L’air, qui étant bien fec n’eft point un conducteur d’é-leftricité, empêche fa diffipation. Mais le frottement de certains corps, du verre, par exemple , raffemble fur la furface de ce verre une plus grande quantité de fluide, enforte que fi ce verre eft en contaft ou très-voifin avec un corps éleCtrique par communication, une malfe de fer, par exemple , ce fluide accumulé fur la furface dû verre , tend à paffer, pour conferver l’équilibre , dans la mafle de fer. Ainfi cette maffe acquiert par là une plus grande quantité de fluide électrique : il eft alors éleétrifé pojîtivement. Mais fi le corps électrique , au lieu d’acquérir par le frottement une plus grande quantité de fluide électrique, en perd au contraire, ce qui arrive au foufre , le corps en contaCt avec celui-ci perdra une partie de fon fluide électrique propre & naturel : il fera alors éleétrifé négativement. L’un aura plus de fluide éleétriqùe que dans l’état naturel, & celui de tous les corps qui communiquent à la terre; l’autre en aura moins. Voilà l’éleétricité pojîtive & l’électricité négative.
    • Il faut convenir qu’on r^e voit pas trop clairement comment le frottement accumule fur la fur-face du corps frotté une plus grande quantité de fluide éleétrique. On ne fçait pas même fi l’effet du frottement eft de l’accumuler fur le verre, ou d’en diminuer la quantité ; s’il la diminue fur le foufre & les réfines, ou s’il l’augmente. Ainfi l’on ne fçait pas quelle eft l’électricité pojîtive , quelle eft la négative; mais on fçait, à n’en pouvoir
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    • 316 Récréât. Mathémàt. et Phy5.
    • guere douter, que leurs effets font contraires, 8î cela fuffit. Plufieurs raifons néanmoins rendent probable que Féleftricité produite par le frottement du verre eft la pofltive , ou par accumulation.
    • Malgré cette incertitude , la théorie ou l’hypo-thefe de M. Francklin a pour elle un grand avantage fur celle de M. l’abbé Nollet. Ce dernier conçoit une matière répandue dans tous les corps, & même dans l’air, qu’il nomme, ainfi que tous les autres philofophes éle&riciens, le fluide électrique. Cela lui eft commun avec M. Francklin ; mais il veut que l’effet du frottement foit de faire tantôt jaillir ce fluide des pores du corps frotté , tantôt de l’y attirer. Ainfi l’éleftricité ou le fluide éle&rique eft tantôt effluent, tantôt affluent ; & c’eft au moyen de cette effluence ou affluence, que ce phyficien explique tous les phénomènes de l’éle&ricité. Mais un grand défaut de ce fyf-tême , c’eft que tout y eft , pour ainfi dire , arbitraire. Ce qu’on n’explique pas par le fluide affluent , on ne peut manquer de l’expliquer par l’effluent. Ce font les diverfës matières de Défi-cartes , ou fa matière fubtile qui fe prête à tout. Au contraire , les effets font beaucoup plus liés aux caufes, fi l’on veut hypothétiques, de M. Francklin. Pourquoi part-il une étincelle à l’approche d’un corps éleétrifé pofitivement ou négativement , avec un autre qui eft dans l’état naturel ? La réponfe eft aifée. Le fluide éle&rique accumulé d’un côté, & bandé, pour ainfi dire, en forme d’atmofphere fur la furface d’un corps , fe remet en équilibre dès qu’il eft en contaêl avec une autre atmofphere éle&rique moins conden-fée: ce fluide fe répartit également entre les deux
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    • de l’Electricité. 317 corps ; ce qui ne peut fe faire fans un écoulement infiniment rapide qui produit la lumière. Mais ce qui charme fur-tout dans l’hypothefe de M. Franc-klin, & qui eft prefque la pierre de touche de la vérité, c’eft qu’il n’y a guère d’expérience dont la fimple defcription ne fuffife à celui qui a bien conçu cette hypothefe, pour en deviner fur le champ le réfultat. J’ai eu ce plaifir prefque autant de fois que j’ai lu des livres traitant de l’éleâri-cité & des defcriptions d’expériences éle&riques. Il n’en eft pas de même du fyftême de M. l’abbé Nollet : on ne prévoit rien de ce qui doit arriver ; & fi l’on explique tout, c’eft que aucun effet n’eft lié néceffairement avec fa caufe. Si le phénomène eût été tout oppofé, on l’eût également expliqué : on y emploieroit l’effluence au lieu de l’affluence : l’un eft le remede ou le fup-plément de l’autre.
    • Nous ne diffimulerons cependant point qu’il n’y ait quelques faits difficiles à concilier avec le mouvement du fluide éle&rique, qui eft une fuite néceflaire du fyftême de M. Francklin.
    • Pourquoi , par exemple , en approchant le doigt d’un corps éle&rifé, foit pofitivement, foie négativement , voit-on également une double étincelle partir de chacun des deux corps ? Il fem-bleroit qu’elle devroit partir feulement de celui qui eft doué de l’éleftricité pofitive.
    • Pourquoi, dans une certaine expérience où l’on perce une main de papier par l’étincelle éleéfri-que , voit-on la bavure du trou tournée en fen$ contraire de ce qu’elle devroit être fi le fluide accumulé fur la furface du corps éleélrifé pofitivement , étoit le feul qui fe portât fur le corps éle&rifé négativement} Nous ne parlons pas de
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    • 3 xS Récréât. Mathémat. et Phys. plufieurs autres qui ont été remarqués par les par-tifans de M. l’abbé Nollet. Il y a matière à fuf-pendre encore Ton jugement fur le mécanifme de ce phénomène.
    • XIIe Expérience.
    • La Bouteille électrique , & la Commotion.
    • Iln’eft peut-être point, dans la phyfique, de phénomène plus étonnant que celui que nous allons décrire. Ayez une bouteille de verre blanc , fort mince & à long col, comme une caraffe, & rem-pliffez-la jufqu’aux deux tiers environ d’eau, ou de limaille métallique , ou de grenaille de plomb. Après l’avoir fermée d’un bouchon de liege, in-troduifez à travers ce bouchon un fil de fer qui plonge dans l’eau ou dans la limaille , & qui par l’autre bout déborde le bouchon de quelques pouces, & foit terminé en pointe émoulTée ou en crochet.
    • Cette bouteille étant ainfi préparée , prenez-la par le ventre, & préfentez-en le fil de fer au conducteur de la machine à éle&rifer, pendant qu’elle 'agit; la bouteille fera ce qu’on appelle chargée. Alors , & pendant que le fil de fer eft en contait avec le condufteur, tentez de toucher le conducteur de l’autre main ou le fil de fer : vous reffenti-rez à travers le corps un coup violent, qui paraîtra affecter plus particuliérement tantôt la poitrine , tantôt les épaules, le bras ou le poignet.
    • On reffentira le même effet fi, s’étant retiré avec la bouteille tenue par le ventre d’une main , on touche avec l’autre le fil de fer.
    • Il y a plus, on peut former une chaîne de tant
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    • de l’Electricité. 319
    • de perfonnes qu’on voudra, fe tenant toutes par la main, & fans être ifolées. La première perfonne touche le ventre de la bouteille ou la tient par-là, pendant que le fil de fer eft en conta& avec le condu&eur ; la derniere touche le condufteur : à l’inftant tous ceux qui forment la chaîne font frappés du coup interne décrit plus haut. Lorfque la bouteille eft groffe & fort chargée, le coup eft quelquefois fi violent, qu’on en perd pour un moment la refpiration. Le fameux Mufchenbroek , à qui M. Cuneus fit part de ce phénomène que le hafard lui avoit préfenté , avoit apparemment été frappé avec bien de la violence, puifqu’en l’annonçant aux phyficiens François, il proteftoit qu’il ne s’expoferoit pas à un pareil coup une fécondé fois, pour le royaume de France. Il eft probable qu’il s’eft dans la fuite un peu plus aguerri. Comme cette expérience finguliere s’eft faite à Leyde pour la première fois, on lui donne aflez communément le nom d'Expérience de Leyde; & à la bouteille aitafi préparée, le nom de la Bouteille de Leyde.
    • Les phyficiens François ont fait une fois une chaîne de 900 toifes de longueur, au moyen de cent à deux cents perfonnes qui fe communi-quoient par des fils de fer. Toutes reffentirent au même iuftant la commotion. Une autre fois on tenta de tranfmettre la commotion le long d’un fil de fer de deux mille toifes de longeur; (k l’expérience réuflit, quoique le fil traînât fur l’herbe humide, & la terre nouvellement labourée. Enfin ils comprirent dans la chaîne l’eau du grand baf-fin des Thuileries, qui a près d’un arpent de fur-face ; & la commotion fe tranfmit très-bien à travers, Si les Anglois ont exécuté cette expé-
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    • 320 Récréât. Mathémat. et Phts, xience encore plus en grand, il eft évident que les François les y ont comme menés par la main.
    • Remarques.
    • I. Comme il réfulte des inconvénients du poids de l’eau ou de la grenaille qu’on met-toit d’abord dans la bouteille, on a imaginé dé garnir l’intérieur d’un fimple enduit métallique. Cela fe peut faire en plulieurs maniérés. La plus fimple eft de couler dans la bouteille de l’eau fortement gommée, & d’en hume&er la partie qu’on veut couvrir de cet enduit. On ôte l’excédent de cette eau gommée, & on verfe dans la bouteille de la limaille de cuivre bien fine : elle s’attache à l’eau gommée , & forme un enduit intérieur qui doit être touché par le fil de fer, pour que la bouteille fe charge.
    • On augmente aufli l’effet de la bouteille de Leyde, en recouvrant la plus grande partie du dehors d’une feuille de métal, comme d’étain.
    • II. On peut charger la bouteille d’une autre maniéré que celle décrite ci-deffus, fçavoir par l’extérieur. Pour cet effet, on la tient fufpendue par le crochet ou le fil de fer qui va à l’intérieur, & l’on met l’extérieur en contaâ avec le conducteur élettrifé. Alors , fi celui qui la tient fufpendue d’une main par le crochet, s’avife d’en toucher l’extérieur avec l’autre main, il recevra la commotion ; & l’on pourra également former une chaîne de plufieurs perfonnes, dont la derniere ou la plus éloignée de celle qui tient le fil de fer, en touchant l’extérieur, produira le même phénomène dans toute la chaîne.
    • III. M. Francklin obferve une chofe fort fin-guliere, qui arrive en faifant l’expérience de
    • Leyde ;
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    • Leyde ; c’eft que , fi l’on Veut charger l’intérieur de la bouteille , il faut que l’extérieur communique à quelque corps qui foit condu&eur de l’é-le&ricité ; car fi la bouteille étoit mife fur un gâteau de réfine , ou fur un plateau de verre, le fil de fer qui va toucher l’eau ou la garniture de métal qui la revêt en dedans, fera en vain éleârifé par le conducteur de la machine; tette bouteille ne fe chargera point. Faut-il, pour qu’elle fe charge, qu’à proportion qu’on accumule l’électricité d’un côté elle diminue de l’autre ? C’eft ce que M. Francklin en conclut , & qu’il femble qu’on doive en effet en conclure. Mais comment le fluide éleéirique eft-il chaffé d’un côté, pendant que l’autre s’en charge davantage ? C’eft ce qui me paroît être une grande difficulté.
    • IV. Le verre paroît être imperméable à l’électricité , du moins quand il eft froid, ou qu’il n’a que le degré de chaleur de la température de l’air. M. Francklin a effayé une fois d’ufer à la meule le ventre d’une bouteille chargée, & qui étoit de l’épaiffeur ordinaire. Il alla jufqu’aux \ de l’épaif-fèur, fans qu’elle fe déchargeât ; ce qui feroit arrivé fi le fluide intérieur eût eu communication avec l’extérieur. Il feroit à fouhaiter que ce phy-ficien eût continué à diminuer cette épaiffeur, jufqu’à ce que la décharge fç fût faite.
    • Mais lorfque le verre eft dilaté & amolli par une chaleur qui le rend prêt à fondre , alors non-feulement il devient conducteur de l’éle&ricité , mais encore la bouteille chargée fe décharge fpontanément.
    • V. Si l’on fufpend au conducteur une chaîne , & qu’on la faffe entrer dans la bouteille^ qu’on tient d’une main par l’extérieur, la bouteille eft
    • Tome ir. X
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    • 312 RÉckÉÀT* Mathémat. et Phys. chargée également ; mais fi on baffe la bouteille de maniéré qu’elle né foutienne plus aucune portion de la chaîne, alors elle ne donne plus aucun ligné d’éle&ricité.
    • On doit conclure de-là , que l’eleftricité dont l’intérieur de la bouteille eft chargée , doit avoir pour fupport une matière non-éle&rique ou con-du&rice de l’éleâricité. On travàilleroit en vain à charger une bouteille qui feroit vuide, ou dont l’intérieur fie feroit pas au moins tapifTe d’un enduit métallique.
    • VI. Si l’on charge l’intérieur de la bouteille en le faifanl communiquer par le crochet au con-duéleur éleftrifé pofitivement, alors l’extérieur fera éleftrifé négativement ; car cet extérieur attirera la petit© boule de liege fufpendue à ce condu&eur, tandis que le crochet de la bouteille la repoufle. Or il eft connu qu’un corps éleârifé en repoufle un autre éle&rifé comme lui : il n’attire que le corps non-éleétrifé , ou éle&rifé en fens contraire. Puifque donc l’extérieur de la bouteille, éle&rifée par le crochet, attire la petite boule de liege, dont l’éleâricité eft de la même nature qué celle du condu&eur ou de l’intérieur de la bouteille , il faut que l’éle&ricité extérieure foit de nature entièrement différente.
    • VII. Si l’on a deux bouteilles égales & chargées également Sc de la même maniéré, qu’en-fuite vous les approchiez l’une de l’autre, crochet à crochet i ou ventre contre ventre , elles ne fe déchargeront point ; mais fi vous approchez le crochet de l’une du ventre de l’autre , aufli-tôt la décharge fe fera.
    • Si l’une des deux bouteilles étoit chargée au globe de foufre, & l’autre au globe de verre ,
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    • alors approchant le crochet de l’une au crochet de l’autre , ou le ventre de l’une au ventre de l’autre, elles fe déchargeroient.
    • VIII. Si plufieurs perfonnes, au lieu de fe tenir par les mains , fe contentent de préfenter les unes aux autres le bout du doigt à la diftance d’une ou de deux lignes, au moment que la derniere touche le condu&eur, on apperçoit entre tous les doigts une étincelle éle&rique, & chacune ref-fent la commotion.
    • IX. Si, au lieu de fe tenir par la main, les perfonnes qui forment la chaîne communiquent les unes aux autres en tenant des tubes de verre pleins d’eau , & bouchés par un bouchon au travers duquel paffe un 61 de fercpii plonge dans le fluide, & qui efl: en contaét avec chaque perfonne ; au moment où la derniere perfonne touchera le conducteur ou le fil de fer qui plonge dans la bouteille , on appercevra un trait de lumière dans l’eau de chacun des tubes , qui en fera toute éclairée.
    • X. Si, la chaîne étant faîte, une ou deux perfonnes , ou davantage, en forment une nouvelle tenant d’un côté à une des perfonnes. .de la première chaîne, & de l’autre côté à une autre perfonne de la même chaîne, celles de la derniere rie reffentiront rien; le fluide éle&rique paroît fe porter d’un bout à l’autre de la première chaîné' par le plus court chemin.
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    • j»4 Récréât, mathémat. et fhys.
    • XII« Expérience.
    • Autre maniéré de donner la commotion , Jçavoir, parle carreau de y erre électrique. Percer une main de papier avec P étincelle électrique.
    • L’effet fingulier que nous avons obfervé dans l’expérience précédente, tient-il à la figure de la bouteille de Leyde, ou Amplement à la nature du verre ? Voilà une queftion qui Ce préfente natu-tellement. Cette expérience-ci va la réfoudre , & prouver que c’eft à la nature du verre qu’il tient uniquement.
    • En effet, prenez un carreau de verre d’une di-menfion quelconque ; couvrez fes deux furfaces d’une lame d’étain, en biffant de chaque côté & fout à l’entour une bande du verre à découvert ; placez la glace horizontalement fur un fupport non éleétrique ; faites enfuite tomber la chaîne du condufteur fur la furface , & mettez la machine en mouvement : la glace fè trouvera chargée comme la bouteille de Leyde; c*eft-à-dire que fi, appuyant un côté de l’excitateur à la furface fupé-rieure, vous portez l’autre contre la garniture inférieure, vous en tirerez une forte & puiffante étincelle. Il y auroit du danger, fi la glace étoit grande, à toucher l’une des furfaces avec une main, & l’autre avec l’autre.
    • Voulez-vous percer une main de papier avec l’étincelle éleétrique, en voici le moyen. Couchez fur une table un fil de fer, Ôc fur ce fil placez le carreau de verre, enforte que le bout de ce fil touche la garniture inférieure. Sur la garniture fupérieure, placez une main de papier; enfin éle&rifez cette furface du carreau au moyen de la chaîne du conducteur, que vous ferez tomber
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    • de l’Electricité. ^5
    • fur la garniture de .cette furface. Quand vous croirez l’éleôricité très-forte, faites toucher l’un des bouts de l’excitateur au fil de fer ci-deflus, ÔC appliquez l’autre bout fur le papier. Il en fortira une très-forte étincelle, qui fera prefque autant de bruit qu’un coup de piftolet ; & la main de papier fera percée d’outre en outre.
    • En faifant l’expérience avec une glace d’environ 35 pouces en tout fens, on pourra percer jufqu’à 150 feuilles de papier, & même davantage.
    • Ce moyen de faire l’expérience de Leyde a l’avantage d’en augmenter beaucoup l’effet ; car on ne peut guere avoir de bouteille dont la fur-face ait plus de 2 ou y pieds quarrés. Mais une glace de 36 pouces en tout fens en a 9, & l’effet eft augmenté par-là à peu près dans la même proportion.
    • On fent aifément qu’en faifant pareille expérience , il faut bien fe garder de fe trouver dans le cercle entre la furface fupérieure & inférieure „ car on c.ourroit rifque d’être tué.
    • XIII* Expérience.
    • Moyen d*augmenter comme indéfiniment la> foret de P électricité : Batterie électrique
    • Une petite bouteille chargée d’éle&ricité ne produit pas un grand effet ; mais cet effet augmente à mefure que la bouteille elle-même augmente de volume. U feroit néanmoins incommode, & peut-être impoffible, d’avoir des bouteilles qui excédaffent une certaine grandeur;, c’eft pourquoi à une houteille on en fubftitue plufieurs, dont l’effet réuni feroit très-dangereux» fi, l’on ne prenoitpas de grandes précautions.
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    • 516 Récréât. Mathémàt. et Phys.
    • On prend à cet effet, au lieu de bouteilles â long col, plufieurs de ces grands bocaux cylindriques , beaucoup plus hauts que larges. Il ne faut pas néanmoins qu’ils foient d’un diamètre fort grand, parceque des cylindres de petit diamètre ont , à proportion de leur folidité , une plus grande furface , & que ce que l’on cherche ici à augmenter, c’eft la furface. On les revêt intérieurement d’une garniture d’une feuille d’étain collée , qui en recouvre le fond & les côtés jufqu’à deux pouces de leur bord. Oh en fait autant extérieurement. Après cela on range, tous ces vafes les uns à côté des autres, dans une boîte recouverte intérieurement d’une feuille d’étain & de poudre de cuivre. Cette feuille- d’étain communique avec un anneau de fil de fer qui paffe extérieurement, & o’eft à cet anneau qu’on attache la chaîne par le moyen de laquelle on veut établir la communication d’un corps avec l’éxté-rieur de la batterie.
    • Pour établir une communication avec l’intérieur des jarres, on enfonce dans chacune, à travers un bouchon de liege, un fil de fer tordu par en bas, qui appuie au fond de la jarre, & qui eft formé en anneau dans fa partie fupérieure. Tous ces anneaux d’un rang font enfilés par une même barre , terminée des deux côtés en boulon. Ainfi l’on a autant de barres pareilles que l’on a de rangs de jarres. Enfin , pour établir la communication entre toutes ces barres, on fait repofer fur elles la chaîne du conduéfeur, & l’on a l’avantage de ne charger, fi l’on veut, qu’un rang ou deux, en ne faifant porter la chaîne que fur une barre ou deux.
    • PI- 7» Telle eft la conffru&ion d’une batterie éleftri»
    • S* 42- que. On voit ici fa figure, en la fuppofant com-
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    • DÉ l-lLICTMCTi 3*7 pofée feulement de neuf jarres, qui, à 3 pouces de diamètre, 1 5 pouces de haut, & 11 pouces de garniture en hauteur, donnent 6 pieds \ de fur-face en entier. Une batterie femblable de foixante-quatre jarres, donneroit 48 pieds quarrés, & ne foriperoit néanmoins qu’une boîte de deux pieds quelques pouces en tout fens , fur 1 ç à 18 pouces de hauteur. L’effet en feroit, je crois, prodigieux.
    • Voici maintenant la maniéré de fè fervir de cet appareil. Pour charger les jarres , faites re-pofer la chaîne qui vient du conduéleur de la machine fur les barres tranfverfales ; & faites tourner le globe ou le plateau de verre pendant quelque temps , vos jarres feront éle&rifées ou chargées. L’expérience vous apprendra combien de tours du globe ou du plateau font néceffaires pour cet effet ; car elles fe déchargent d’elles-mêmes , avec explofion, quand elles font trop chargées. Lorfqu’elles font dans l’état convenable , fi vous voulez les décharger, vous n’avez qu’à prendre la chaîne qui communique à l’extérieur, avec «4,in manche de verre ou de cire d’Efpagne , & en porter le bout en contaél avec le condu&eur: il fe fera une forte étincelle, & les jarres feront déchargées.,
    • Si quelqu’un, tenant le bout de cette chaîne, s’avifoit de toucher avec le doigt, ou le conducteur de la machine, ou l’une des barres qui touchent à l’intérieur des jarres , il pourroit être tué roide , par l’effet de la terrible commotion qu’il reffentiroit. En effet, fi une bouteille de J à 6-pouces de diamètre* fortement chargée, donne par fa décharge une commotion violente dan* les bras & la poitrine, on peut juger de l’effet que produiroit la décharge de 12, 15 , 20, 3a
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    • $i8 Récréât. Mathémat. et Phts,
    • ou 50 pieds quarrés, déchargés de la même maniéré. Le phyficien doit donc être très-attentif fur lui & fur les fpe&ateurs, de crainte de faire une funefte expérience.
    • Tous les phyficiens qui font des expériences en grand fur l’éle&ricité , ont aujourd’hui un appareil fetnblable , plus ou moins confidérable. C’eft par ce moyen qu’on fond les métaux, qu’on les réduit même en chaux ; qu’on aimante une aiguille , ou qu’on en change les pôles ; qu’on tue des animaux ; qu’on imite les effets du tonnerre, &c. &c. ainfi qu’on va le voir.
    • XIVe Expérience.
    • Tuer un animal au moyen de Vélectricité.
    • Attachez au pied de l’animal la chaîne qui communique à l’extérieur de la batterie ; enfuite, avec l’excitateur ifolé, établiffez la communication du front ou du crâne de l’animal , avec une des verges qui communiquent à l’intérieur : l’animal, fût-il un mouton, peut-être un bœuf, tombera foudroyé.
    • Remarque.
    • On a obfervé que les animaux tués de cette maniéré étoient fur le champ bons à manger ; car le coup qui les tue, eft fort analogue à celui du tonnerre ; & c’eft un fait connu, que les animaux tués par la foudre , paffent très-rapidement à l’état de putréfa&ion. On pourroit donc employer cette foudre artificielle à tuer les animaux que nous deftinons à être mangés fur le champ : ils feront ce qu’on appelle mortifiés dans la minute. Mais comme l’opération eft dangereufe, M. Francklin prévient, en plaifantant, le phyficien
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    • de l’Electricité. 329 de fe précautionner, de crainte que voulant mortifier fa poularde, il ne mortifie fa propre chair.
    • X Ve. Expérience.
    • Production du magnctifme par VèUctricitc.
    • Ayez une aiguille d’acier de quelques poucés de longueur, comme une aiguille de boufifole. Placez-la entre deux lames de verre, de forte que fes deux bouts A & B débordent un peu. Faites enfuite communiquer un de fes bouts A avec le condufteur de la machine éleftrique , ou quelqu’une des traverfes de fer de la batterie électrique ; chargez enfuite fortement cette batterie, & déchargez-la à travers l’aiguille, en ramenant (avec l’excitateur ifolé) le bout de la chaîne qui communique avec le dehors des jarres, contre le bout B de l’aiguille. Tout le feu éleétrique paffera à travers l’aiguille, entrant par le bout A, & fortant par le bout B , & l’aiguille fera aimantée de maniéré que le bout A fe tournera au nord.
    • Si une aiguille eft aimantée, & que le bout A fe tourne au nord ; en faifant l’opération contraire, c’eft-à-dire,en faifant paffer le feu électrique de B en A , l’aiguille fera défaimantée ; & en réitérant une fécondé fois cette même opération, elle fe trouvera aimantée en fens contraire, c’eft-à-dire enforte que ce fera le bout B qui fe tournera au nord.
    • On fent au refte que cela dépendra de la quantité du fluide éleftrique. Si elle eft moindre dans la fécondé opération que dans la première, il pourra refter quelque peu de magnétifme ; fi elle eft beaucoup plus confidérable , les pôles pourront être changés du premier coup.
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    • 33© Récréât* Mathémat. et Phys» XVI* Expérience.
    • Fondre Us métaux au moyen de CElectricité.
    • Cette expérience eft une des plus curieufes de celles qu’on fait fur l’éleéfcricité. Prenez un fil de fer d’une demi-ligne de diamètre, & fufpendez-y un poids d’environ 6 livres ; faites-le enfuite parcourir dans fa longueur par le feu éle&rique , au moyen d’une batterie de 16 ou 15 jarres : ce fil s’allongera tout-à-coup, fouvent même fe rompra. Or cela n’a pu arriver qu’autant qu’il aura été amolli ou liquéfié dans une partie au moins de fon étendue.
    • Autre maniéré. Prenez une feuille d’or des plus minces ; coupez-en une lame d’une ligne de largeur & de deux pouces de longueur, que vous placerez entre deux lames de verre bien ferrées l’une contre l’autre ; faites enfuite que cette lame fafle partie du cercle éleftricjue d’une forte batterie, comme de 50 à 60 jarres: la feuille d’or pafiera par l’état de fufiôn ; & ce qui le prouve , c’eft que plufieurs de fes parties feront incorporées dans le verre même.
    • Mais fi vous mettez entre les verres & la lame de petits bouts de carte, & que vous ferriez fortement les lames, l’étincelle éle&rique , tirée de cette maniéré, au travers & dans la longueur de la lame d’or, la réduira en grande partie dans cette efpece de chaux pourpre , qu’on connoît dans la chimie fous le nom de précipité de Caflîüs, pareeque ce chimifte trouva le premier ou Amplifia cette préparation. Les deux cartes feront teintes en cette couleur, que l’on pourra rehauf-
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    • DE l’ELECTRTClTi JJt fér en réitérant l’opération avec de nouvelles latine lame d’argent, traitée de la même maniéré, donne une poudre d’un beau jaune.
    • Une de cuivre , donne une poudre verte.
    • Celle d’étain , donne une poudre blanche qui reflemble à la chaux d’étain entièrement déphlo-giftiquée.
    • La platine , traitée de cette maniéré, & après des fulminations réitérées , fe réduit en une poudre noirâtre , qui, appliquée fur la porcelaine , produit une couleur olive foncée.
    • On s’eft alluré , au refte , par diverfes épreuves chimiques, que ces chaux font précifément les mêmes que celles qu’on produit par d’autres procédés plus longs.
    • Ces expériences font dues à M. Cornus, dont l’induftrie & l’adrefle font fi célébrés , & qui réunit aux talents les plus extraordinaires en ce genre, des oonnoiffances profondes dans les diverfes parties de la phyfique. On en peut voir le détail plus circonftancié & vraiment intéreflant , dans le Journal de Phyjîque de M. l’abbé Rozier, année 1773.
    • XVIIe Expérience.
    • Qui prouve P identité de la foudre avec V étincelle électrique.
    • Sur un endroit élevé & ifolé, comme le fom-met d’une tour, placez une barre de fer verticale, terminée en pointe fort aiguë. Plus cette pointe s’élèvera dans l’atmofphere , mieux l’expérience réuflira. Il faut d’ailleurs que cette barre ne touche à rien, & qu’elle foit fupportée par une bafe
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    • 33t Récréât. Mathémat. et Phys.
    • quelconque, qui l’ifole de tout corps condu&eur de l’éleâricite.
    • Cela fait, attendez un jour d'orage ; & lorfque le nuage tonnant paffera au deffus de la barre, ou à peu près, touchez cette barre , non avec le doigt, mais avec une barre de métal attachée à un manche de verre : vous ne manquerez pas d’en tirer des étincelles, quelquefois môme extrêmement groffes & bruyantes. Il y auroit du danger à en approcher de trop près, car quelquefois la barre en fi chargée d’éleélricité, que les étincelles partent à plufieurs pieds de diftance , & font le bruit d’un coup de piftolet. M. Richman , pro-feffeur de mathématiques à Pétersbourg, & membre de l’académie de cette ville, a été, comme tout le monde fçait, la vi&iine d’une pareille expérience; car, s’étant approché, dans un moment de diftraétion , trop près de fa machine, il fut tué, & l’on remarqua fur fon corps tout ce qu’on obferve lur ceux des perfonnes tuées par le tonnerre.
    • Cela a engagé quelques phyficiens qui cultivent l’éle&ricité, à difpofèr leur machine de maniéré qu’elle ne puifle jamais fe trop charger d’éleftricité. Pour cet effet, il faut difpofer à quelque diftance de la barre une pointe de métal fort aiguë, & communiquant au plancher ou à la mafte des corps non-élettriques. Cette pointe, quand i’éleftricité fera médiocre, ne tirera point l’éleélricité ; mais lorfqu'elle fera très-forte, elle l’afpirera, pour ainfi dire , & la déchargera in-fenfiblement, enforte qu'il ne s’y en accumulera jamais qu’une quantité médiocre & incapable de nuire. Plus la pointe fera proche de la barre, plus elle abforbera d’éle&ricité.
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    • DE l' Electricité. 33}
    • On connoîtra, par Ton moyen, dan9 l’obfcu-rité , fi le nuage eft éleétrifé pofitivement ou négativement ; car, dans le premier cas, on apper-cevra à cette pointe une fitnple étoile lumineufe ou gerbe fort courte ; dans le fécond cas, au contraire, on verra une grande & belle gerbe lumineufe.
    • On a coutume auffi de difpofer à proximité de la barre , une boule de métal fufpendue par un fil de foie , & plus loin un timbre communiquant au corps du bâtiment. Son ufage eft d’avertir l’obfervateur que la barre eft éleftrique ; car, au moment où elle eft chargée d’éle&ricité, elle attire la balle qui n’en a point, l’éleftrife , & la repouffe contre le timbre, dont le fon annonce que le nuage éle&rique a produit fon effet. Cela a auffi l’avantage d’indiquer le degré de l’é-le&ricité ; car, fi elle eft fort vive, la vivacité du carillon lui eft proportionnée , & l’obfervateur eft averti de prendre garde à lui.
    • On peut, fans tour & fans terraffe, fe procurer le moyen de faire cette expérience dans fa chambre. Il n’y a qu’à faire paffer dans fa cheminée une barre de fer, ifolée au moyen de cordons de foie qui l’affujettiront de toutes parts. Cette barre doit élever fa pointe de quelques pieds au deffus de l’ouverture de la cheminée ; U ou 15 pieds, même moins, fuffifent. Alors, toutes les fois qu’il paffera au deffus quelque nuage éle&rifé, votre barre donnera des lignes d’électricité , lorfque vous la toucherez avec précaution , ou au moyen du petit carillon élettrique , fi vous en avez difpofé un à fa proximité.
    • Au lieu de cet appareil, le pere Cotte, de l’Oratoire, obfervateur affidu de tous les phéno-
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    • 354 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • menés météorologiques , difpofe en travers 6c entre deux lieux élevés, une chaîne de fer dont les chaînons font hériffés de pointes aiguës. Les deux bouts de la chaîne font fupportés par des cordons de foie gaudronnés. Du milieu de la chaîne, en part une autre de la forme 6c groffeur ordinaires pour les expériences de l'électricité, qu’on fait entrer dans l’appartement, foit par la cheminée, foit par la fenêtre , au moyen de cordons de foie qui la fupportent. A fon bout doit être attachée une boule de métal, qui fournit des étincelles beaucoup plus confidérables que ne fe-roit la chaîne elle-même. La multitude de pointes dont la chaîne extérieure eft hérilfée, fournit une quantité de matière éledrique telle, qu’il faut ufer de circonfpedion avant de toucher cette boule.
    • Remarque.
    • Cette expérience curieufe , & tout-à-fait in-térelfcnte pour la phyfique, a été propofée 6c indiquée par le célébré M. Francklin, dans des lettres à M. Collinfon, de la S. R. de Londres ; mais elle a été faite pour la première fois à Marly, par les l'oins de M. Dalibart 6c du curé de ce lieu, ( M. Raulet, ) le io Mai 1752. Elle fut vue en-fuite par le Roi 6c toute la Cour. Depuis ce temps elle a été répétée par tous les phyliciens ; 6c rien n’eft aujourd’hui plus connu 6c plus commun que cet appareil éleéirique, qui met fous les yeux l’identité du feu éle&rique 6c de celui du tonnerre. Mais c’eft à l’Amérique, 6c en particulier à M. Francklin, que nous en avons l’obligation primi*
    • De cette découverte découle l’explication de
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    • de l’Electricité. 335
    • plufieurs phénomènes fur lefquels on n’avoit fait encore que balbutier fans aucun fuccès. Tels font ces feux qu’on apperçoit fouvent, en temps d’orage , fur des croix de clochers , à l’extrémité des mâts .& des vergues des vaifleaux, que les anciens appeloient des noms de Cajior & Pollux , & que les modernes connoiflent fous le nom de feu S. Elme. Ce n’eft autre chofe que le feu électrique des nuages, attiré par les pointes de ces croix, ou des ferrements de ces mâts. Céfar raconte que fon armée étant rangée en bataille , & un grand orage étant furvenu, on vit des flammes fortir des pointes des piques de fes foldats. Ce phénomène n’aura plus rien de merveilleux pour celui qui connoîtra ceux de l’éleéfricité. Ces feux étoient le feu éleétrique qui s’échappoit par ces pointes , les nuages étant probablement élec-trifés en moins, comme M. Francklin dit que cela arrive le plus fouvent.
    • XVII Ie Expérience,
    • Qui prouve la même vérité d'une autre maniéré; ou le Cerf-volant électrique.
    • Il efl: difficile, pour ne pas dire impraticable, d’élever extrêmement haut une verge de fer. Cela ' a donné lieu d’imaginer un autre artifice pour aller ravir, en quelque forte , aux nuages leur feu éle&rique ou leur tonnerre. C’eft le cerf-volant, petite machine jufqu’alors plus employée par les jeunes-gens & les écoliers , que par les phyficiens; mais l’ufage qu’en ont fait quelques-uns de ces derniers , l’a en quelque forte ennobli.
    • Il faut avoir un cerf-volant recouvert de taffetas , 6c un peu grand, comme de 5 à 6 pieds de
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    • 336 Récréât. Mathêmat. et Phys. longueur au moins ; car plus il eft grand, plus il s’élève, à caufe que le poids de la ficelle eft moindre relativement à la force avec laquelle le vent tend à l’enlever. On lui adaptera à la tête une verge de fer déliée , qui d’un côté s’étendra le long de l’axe inférieur du cerf-volant, jufqu’au point d’attache de la corde, & de l’autre, fera terminée en pointe fort fine , qui s’élèvera au deflus du cerf-volant, de maniéré que lorfqu’il fera à fa plus grande hauteur, elle foit à peu près verticale, &t le déborde d’environ un pied. La ficelle doit être faite d’une ficelle ordinaire, mais autour de laquelle on aura entortillé un fil trait de cuivre très-flexible , à peu près comme on garnit les cordes les plus balfes de quelques inftru-ments, mais beaucoup moins ferré. Cela fe fait parceque le chanvre eft un conducteur d’éleétri-cité affez médiocre, à moins qu’il ne foit mouillé.
    • On attachera à l’extrémité de cette corde un cordon de foie de quelques pieds, pour ifoler le cerf-volant quand il fera parvenu à fa plus grande hauteur, & près de ce cordon on joindra à la corde du cerf-volant un petit tube de fer-blanc, d’un pied environ de longueur fur un pouce de diamètre, pour y exciter les étincelles.
    • Les choies ainfi préparées, on mettra au vent le cerf-volant, lorfqu’on verra approcher un temps orageux, & on le laiflera s’élever à fa plus grande hauteur : on attachera le cordon de foie à quelque obftacle immobile, & enforte que la pluie ne puifle point mouiller ce cordon : on ne tardera pas d’obferver, le plus fouvent, des marques d’é-le&ricité très-fortes , quelquefois même telles, qu’il y auroit du danger à toucher la corde ou le tube fans de grandes Ôc férieufes précautions.
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    • Dfc L’ELEGTRlCITi. 337
    • Pour cet effet, on emmanchera au bout d’un tube de verre, ou d’ün cylindre de cire d’Efpa-gne , d’un pied au moins de longueur , un morceau de fer long de quelques pouces, duquel pendra jufqu’à terre une chaînette de métal. Sans cette précaution , on ne tireroit que des étincelles foibles, parceque ce morceau de fer étant lui-même ifolé, feroit, au premier attouchement, éleélrifé comme la corde même du cerf-volant.
    • M. de Romas, qui eft le premier en Europe qui ait employé ce moyen de tirer l’éle&ricité des nuages , s’étant fervi d’un cerf-volant qui avoit 7 pieds & demi de longueur, fur 3 de largeur dans fon plus grand diamètre, & Payant élevé jufqu’à 550pieds de hauteur perpendiculaire, il en réfulta des effets très-extraordinaires. En effet, ayant d’abofd touché imprudemment avec le doigt le tuyau de fer-blanc , il reçut une commotion violente ; & heureufement pour lui l’é-leélricité n’étoit pas alors à beaucoup près parvenue à fon plus haut degré ; car quelque temps après, l’orage s’étant renforcé, il reffentit, à plus de 3 pieds de la corde, une impreffion femblable à celle d’une toile d’araignée : il toucha alors le tube de fer-blanc avec l’excitateur, & il tira une étincelle de plus d’un pouce de longueur, fur 3 lignes de diamètre. L’éle&ricité augmentant même en fuite de force, il en tira , à la diftance de plus d’un pied , qui avoient jufqu’à 3 pouces de. longueur fur 3 lignes de diamètre , & dont le craquement fe faifoit entendre de 200 pas.
    • Mais ce qu’il y eut de ]&is remarquable dans cette expérience, eft ceci. Pendant que l’éleélri-cité étoit à peu près à fon plus haut degré, trois pailles, dont l’une d’un pied de longueur, fe Tome IF, Y
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    • 3jS Récréât. Mathémat. et Phys.
    • drefferent par l’effet de l’attra&ion du tube de fer-blanc, & pendant quelque temps fë balancèrent entre lui ôt la terre, tournant en rond, juf-qu’à ce que l’une s’éleva enfin jufqu’au tube, &c occafionna une explofion en trois craquements, qui fe fit entendre jufqu’au centre de la ville de Nérac : ( l’expérience fe faifoit dans un faux-bourg.) L’étincelle qui accompagna cette explo-iion , fut vue de quelques fpeélateurs comme un fufeau de feu de 8 pouces de longueur, fur 4à 5 lignes de diamètre. La paille enfin qui avoit oc- ' cafionné cette étincelle, fuivit la corde du cerf-volant , tantôt s’en éloignant, tantôt s’en rapprochant, & excitant des craquements très-forts lorfqu’elle s’en approchoit. Quelques fpe&ateurs la fuivirent des yeux jufqu’à plus de 50 toifes.
    • On peut voir de plus grands détails fur cette expérience non moins intéreffante que curieufe, dans les Mémoires des Sçavants étrangers, publiés par l’Académie royale des Sciences, Tome U. Elle fut fuivie de beaucoup d’autres du même phyficien, qui prouvent que, dans un temps même qui n’a rien d’orageux , un pareil cerf-volant s’éleCtrife quelquefois au point de faire étinceler fa corde, & de donner de violentes commotions à tous ceux qui la touchent fans précautions.
    • Nous avons dit plus haut, que M. de Romas eff le premier en Europe qui ait fait cette curieufe expérience. On trouve en effet que M. Francklin l’avoit faite quelques mois auparavant en Pen-fylvanie ; car il en mformoit M. Collinfon, fon correfpondant à Londres , en O&obre 1751* Mais on n’a connu qu’affez long-temps après en France cette invention, & M. de Romas l’avoit
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    • dê ,l’Electricité* 339
    • même annoncée énigmatiquement à l’Académie des Sciences, dès le milieu de 175z. Ainfî, en décernant le premier mérite de l’invention à M. Francklin, on ne peut refufer à M. de Romas de reconnoître qu’il concourut à cet égard avec le célébré phyficien de Philadelphie.
    • XIXe Expérience.
    • La Maifon endommagée par le Tonnerre.
    • Le dofteur Lind eft l’auteur de cette expérience , qui fert à démontrer quelle différence il y a de recevoir l’explofîon de la foudre par une éminence émouffée, ou de la recevoir par une pointe aiguë , aboutiffant à un conduéleur non-interrompu. Elle met dans tout fon jour l’avantage des pointes terminées par de bons conducteurs , pour préferver les édifices de la foudre.
    • AB eft le modèle d’une petite maifon , dont PI. 8, C eft le fommet du pignon ; AD un mur dans %• 4> lequel eft percé le trou quarré GFHE. Ce trou eft deftiné à recevoir une planche quarrée, garnie diagonaiement d’une barre de fer qui, fuivant la pofition de la planche, peut aller de F en E, comme dans la figure , ou de G en H. LG eft une barre de fer terminée par une boule L, qui va aboutir au point G. De H en I il y a une autre barre femblable , dont le bout I fe termine en une chaîne de langueur convenable pour l’objet qu’on dira.
    • Cela fait, on place la planche comme on voit dans la ligure, c’eft-à-dire enforte que la barre de fer qui y eft enchâffée aille de F en G, & qu’il y ajt une interruption de G en N. On paffe la chaîne à l’entour du corps du bocal, comme
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    • 340 Récréât, mathémat. et i'hys. ceux delà batterie éleftrique. On charge ce bo. cal autant qu’il peut l’être. Enfin l’on attache à un des côtés de l’excitateur garni d’un manche de verre , la chaîne du condu&eur ; & l’on touche avec l’autre côté de l’excitateur terminé en boule, la boule L qui furmonte la barre GC , & le pignon de la petite maifon. Le cercle éle&rique fe fait, une forte explofion eft produite, & la planche FGHE eft jetée hors de fa place avec fracas, à caufe du faut que la matière électrique a à faire •de G en H , pour regagner le condu&eur inter-rompu en cet endroit.
    • Mais au lieu de la barre terminée par mie boule L , placez-y une barre finifîant en pointe aiguë; placez aufli la planchette FGHE de maniéré que la petite barre de fer EF aille de G en H ; faites enfin la même chofe que deflus : l’éle&ricité paf-fera en filence le long de la barre LGHI, fans rien déplacer.
    • Voilà l’image de ce qui fe paffe quand la foudre frappe un édifice. L’éminence du bâtiment reçoit le coup de tonnerre avec explofion ; la foudre fuit le premier condu&eur métallique qu’elle rencontre fans l’endommager , quand il eft de grofleur fuffifante ; mais ce conducteur eft* il interrompu quelque part, elle fait là une explofion , & fait fauter en morceaux, mur, boi-lerie, &c. jufqu’à ce qu’elle ait trouvé quelque nouveau condufteur. A chaque interruption, nouvelle explofion , & malheur à ceux qui fe trouvent à proximité ; car, comme le corps d’un homme eft un affez bon conducteur de l’éleCtri-cité, à caufe des fluides dont il abonde, elle le prend faute de mieux, & le tue immanquablement.
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    • Mais rien de cela n’arrive, fi la barre élevée au deflus de la maifon eft terminée par une pointe aiguë, & que le condufteur ne foit point interrompu. Il pourra y avoir quelque explofion légère à la pointe de la barre , mais de-là' le fluide électrique , ou celui de la foudre , fuivra le conducteur jufqu’à fon extrémité , qu’on enfouit dans la terre à une profondeur fuffifante pour atteindre l’humidité.
    • M. Sigaud de la Fond, profefleur de phyfique expérimentale, à rendu cette expérience plus fen-fible encore, par la difpofition qu’il a donnée à fa petite maifon. Elle eft telle, que l’explofion électrique en fait fauter le toit & écarter les murs.-
    • X Xe Expérience.
    • Le Faijfeau frappé on préfervé de la Foudre,.
    • Cette expérience n’eft, à quelques égards r /une variation de la précédente. Quoi qu’il en foit, la voici, parcequ’el-ie n’eft pas moins amu-fante , & moins propre à prouver l’utilité des pointes & des conduéteurs métalliques non-interrompus , pour détourner le feu de la foudre.
    • Sur une efpece de bateau repréfentant la carène d’un vaifleau, élevez vers le milieu un tube de 8 pouces environ de hauteur & d’un demi-pouce de diamètre , qui repréfentera le grand mât. Ce tube qui fera plein d’eau, fera bouché aux deux extrémités par deux tampons de liege, à. travers lefquels pafîeront deux fils de fer qui s’avanceront dans l’intérieur du tube , à un demi-pouce de dif-! tance l’un de l’autre. Le fil de fer inférieur plongera dans l’eau fur laquelle nagera le bateau; le
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    • 342 Récréât. Màthémat. et Phys. fupérieur doit être terminé hors du tube par un arrondiflement.
    • Maintenant fi l’on établit une communication de la furface extérieure de la batterie éle&rique avec le fil de fer inférieur, & qu’on approche du fil de fer fupérieur le bout de la chaîne qui communique à la furface intérieure de la batterie , quand même on n’en emploierait qu’une petite partie , l’explofion du feu éle&rique , en fautant dans l’intérieur du tube d’tiiie pointe à l’autre , fera telle, qu’elle fera fauter le tube en morceaux, & le petit vaiffeau fera percé & coulera à fond. Voilà à peu près comment le grand mât d’un vaiffeau eft quelquefois brifé en pièces, & le vaiffeau en danger de fe perdre.
    • Mais fi au lieu de ce double fil de fer on fait paffer à travers les deux bouchons & l’eau qui remplit le tube , un fil de métal , & qu’ôn éta-bliffe de même la communication avec la batterie éle&rique, on pourra décharger à travers ce fil jufqu’à 64 jarres , fans faire éclater le tube de verre. Quelquefois néanmoins le feu éleârique, ou de ce petit tonnerre artificiel, fera te), que le fil de fer en fera détruit.
    • Cette expérience a été imaginée par M. Edouard Nairne , & pourrait facilement être adaptée à repréfènter d’une maniéré plus conforme à la réalité, la difpofition d’un vaiffeau frappé de la foudre ; mais nous avons préféré de la décrire telle qu’elle eft expofée dans les Tran-factions Philofophiques de l’année 1773 . Elle ne laiffe pas de faire voir combien l’interruption des côndutleurs métalliques eft dangereufe , & combien le plus petit conducteur » bien continué, peut dériver de feu éle&rique.
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    • »E l’Electricité. 343 Remarque générale,
    • Sur Canalogie du feu de la foudre 6- la matière électrique ; Moyen de garantir la édifices du tonnerre.
    • Les expériences précédentes mettent dans lin jour fuffifant l’identité de la foudre & de l’électricité. Cependant, pour la prouver encore plus complettement, nous allons rapporter quelques-uns des phénomènes qu’on obferve le plus communément dans la marche du feu de la foudre , lorfqu’elle frappe une maifon ou un autre objet quelconque.
    • Le premier de ces phénomènes , celui qui a le plus conftamment lieu , c’efl: que la foudre fuit le& corps métalliques qu’elle rencontre dans fon chemin. Au défaut de corps métalliques, elle fait explofion, ou elle s’attache aux corps humides, ou aux animaux qui font prefque entièrement compofés de fluides. Ainfi voit-on, lorfque la foudre tombe fur un clocher, que du coq ou de la croix qui le couronne , & qui reçoit le premier coup, elle fuit les ferrements qui vont de-là juf-qu’au bord du toit ou dans l’intérieur de la maçonnerie : c’eft-là qu’elle fait explofion ; car, ne rencontrant que de la pierre ou du bois, qui font de mauvais condu&eurs, elle ne peut commodément continuer fon chemin : elle fe jette donc fur les hommes qui fe trouvent fouvent dans le clocher, par une fuite de la mauvaife habitude de fonner les cloches dans cette occafion. Quelquefois , fe jetant fur la cloche, elle en fuit la corde jufqu’à fon extrémité ; mais fi en ce moment la. corde efi tenue par un homme, il efir
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    • 544 Récréât. Mathêmat. et Phys.
    • rare qu’il n’en Toit pas tué ; car , étant un meilleur conducteur que le chanvre , la foudre femble lui'donner une funefte préférence.
    • Il eft arrivé très-fréquemment que le tonnerre a fondu les plombs des croifées : c’eft qu’il a trouvé ces plombs à proximité, & les a fuivis de préférence à d’autres corps moins bons conducteurs.
    • On explique encore par-là pourquoi il eft arrivé quelquefois qu’un homme portant une épée à fon côté, 6c ayant été frappé du tonnerre , il n’a reçu aucun mal, 6c l’on a trouvé la pointe de fon épée fondue dans le fourreau : c’eft que le feu électrique a de préférence choifi fon paffage dans la lame de l’épée, entrant par la garde & Portant par le bout ; 6c comme ce bout eft terminé en pointe plus aiguë , il s’eft trouvé plus refferré , & l’a fondu. On imite cet effet, en forçant une forte quantité de matière éleCtrique à paffer par un filet de métal.
    • Lorfque le tonnerre tombe fur un arbre, s’il y a des animaux au pied, il eft rare qu’ils n’en foient pas tués, fur-tout fi l’arbre eft d’une matière huileufe ou réfineufe. Cela vient de ce que le bois eft un mauvais conducteur : la foudre l’abandonne , fi elle en rencontre à fa proximité un meilleur, comme font les animaux , par la raifon que nous en avons donnée ci-deflfus. De-là vient que le noyer eft réputé particuliérement dangereux : fon fuc huileux le rend plus mauvais con-duéteur de l’éleCtricité qu’un autre.
    • Mais c’eft fur-tout lorfque le tonnerre tombe fur une maifon, qu’éclate principalement fa prédilection à fuivre les corps métalliques. Prefque toutes les relations dés effets du tonnerre, eon-
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    • de l’Electricité. 545 viennent à nous repréfenter la foudre s’attachant de préférence à fuivre des fils de renvois des fonnettes ; les bordures métalliques des corniches, des glaces, des tableaux ; faifant explofion à chaque fois que ce chemin , commode pour elle , fe trouve interrompu. On l’a vue fuivre de cette maniéré plufieurs appartements , plufieurs étages. Ce chemin enfin eft fi bien tracé par toutes les obfer-vations, que l’on ne peut douter que fi ces conducteurs métalliques ne lui euffent manqué, ou qu’ils euffent été fuffifants, elle n’eût produit aucun défordre.
    • Parmi les obfervations de ce genre , une des plus détaillées & des plus remarquables , eft celle des effets du tonnerre qui tomba à Naples fur l’hôtel occupé par le lord Tilney, le 20 Mars 1775.
    • Nous en devons la relation à M. le chevalier Hamilton , qui fut témoin de l’événement ; car il étoit dans l’appartement même qui fut parcouru par la foudre, avec M. de Sauffure, profeffeur d’hiftoire naturelle à Geneve ; & ils vifiterent fort peu après , avec beaucoup de foin , tout l’hôtel, pour examiner les traces du météore. En voici les circonftances.
    • L’appartement du lord Tilney , compofé de neuf pièces de plein pied , étoit, ainfi que ceux des maifons diftinguées de ce pays-là , fort décoré. Une ample corniche régnoit dans toutes les pièces; & cette corniche étoit dorée à la mode du pays , c’eft-à-dire avec une feuille d’étain, recouverte d’un vernis jaune imitant l’or. De cette corniche partoit un grand nombre de plates-bandes , fervant d’encadrement aux tapifferies, & dorées de la même maniéré, ainfi que les bor
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    • 346 RÉckÉAT. Mathémat. et Phys. glaces, des chambranles de portes, &c. L’appartement au deffus n’étoit guere moins décoré. Cet hôtel eft un de ceux de Naples ou régné la plus grande profufion en ce genre. Ajoutons à cela , que toutes les pièces de cet appartement commu-niquoient entr’elles par des fils de fer de fonnettes, tfè$-multipliées pour la commodité. •
    • Le lord Tilney a voit ce jour affemblée chez lui, & M. Hamilton dit qu’il y avoit dans l’hôtel environ 500 perfonnes, tant maîtres que domefti-ques. On entendit tout-à-coup un grand coup de tonnerre, ôc fur le champ l’appartement où tout le monde étoit ralTemblé, parut en feu à ceux qui s’y trouvoient. Chacun fe crut frappé de la foudre ; îk l’on peut s’imaginer aifément la terreur & la confufion qui s’emparèrent des efprits. Perfonne néanmoins ne fut tué ni bîeffé ; & fan& doute on le dut à cette prodigieufe quantité de conducteurs métalliques , qui fournirent à la foudre un écoulement.
    • En effet, M. le chevalier Hamilton & M. de Sauffure, ayant vifité fort peu après & le lendemain les deux appartements , remarquèrent la dorure de la plus grande partie de cette imnvenfe corniche fort endommagée , noircie dans un grand nombre d’endroits, fur-tout aux angles & aux paffages des fils de fonnettes ; le vernis doré avoit été détaché dans beaucoup d’endroits, & jeté à bas fous la forme d’une pouffiere ; en quelques endroits les fils des fonnettes étoient brûlés. Dans une piece où deux tableaux l’un au deflus de l’autre étoient placés entre la corniche & la porte, le feu de la foudre avoit fauté de la corniche fur 1» bordure du tableau immédiatement inférieur; delà à celle de celui qui étoit au deffous, & de
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    • de l’Electricité. 347
    • cellé-ci au chambranle de cette porté ; & ces paf-fages étoient marqués fur le mur , blanchi à la mode du pays , par des impreflions de fumée. Dans une autre piece, le feu du tonnerre avoit pareillement paffé de la corniche à la bordure d’un tableau qui la tôuehoit, & de-là à la bordure intérieure d’un chambranle, en faifant explosion entre deux ; il avoit enfin defcendu le long de ce chambranle, 6c avoit fait fauter un morceau du petit focle auquel viennent fe terminer les moulures. Les dorures des meubles qui touchoient les lambris, avoient enfin été endommagées 6c noircies. Les mêmes chofes à peu près s’étoient paffées dans l’appartement fupérieur.
    • On voit par cette defcription, l’efpece d’affectation avec laquelle le feu du tonnerre fuivit toutes ces matières métalliques ; 6c l’on ne peut douter que ce ne foit cette grande profufion en dorures, ainfi qu’en fils de fer de fonnettes, qui ait empêché qu’un fi terrible accident n’ait coûté la vie à une grande partie des affiliants.
    • L’efpece de prédilection que le feu éleClrique ou du tonnerre montre pour les conducteurs métalliques , a engagé M. Francklin à propofer, dès 1752.» à Philadelphie , un moyen de préferver les bâtiments de ce météore terrible. Il cowfifte à placer fur le haut des maifons une barre de fer terminée en pointe, 6c prolongée en en-bas par une ou plufieurs barres de fer jointes enfemble. Cette barre doit enfin s’enfoncer en terre, à une profondeur affez grande pour rencontrer l’humidité , qui, étant un bon cottduCleur, abforbe l’éleârri-cité, en la rendant à la maffe totale du globe. Quant à la groffeur de cette barre , M. Francklin penfe que 3 ou 4 lignes de diamètre font fuffifantes.
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    • 348 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • Mais qui empêche de lui en donner 6, & même un pouce? Une barre de fer de 6 lignes ou un» pouce de côté, & de 50 ou 60pieds de longueur9 n’eft pas un objet bien coûteux.
    • Il y avoit déjà en 1755 un graiw* nombre de maifons ainfi garnies dans les colonies angtoifes de l’Amérique feptentrionale, fur-tout dans la Penfylvanie , le Maryland, la Virginie , où le tonnerre eft extrêmement fréquent, & frappe fort fouvent les édifices. On ne difconvient point que plufieurs édifices garnis de pointes n’aient été frappés de la foudre ; mais on a toujours obfervd en Amérique, 10 que ces maifons l’étoient moins que les autres, & 20 que quand elles l’étoient, la foudre , au lieu d’y faire les ravages qu’elle caufe dans les autres , ne faifoit que s’écouler par le conduCteur, & faire quelque impreffion légère aux environs. Le plus fouvent la pointe s’eft trouvée fondue dans ces cas-là.
    • L’objet de ces barres pointues n’eft pas en effet , comme on l’a cru d’abord en Europe, de dépouiller un nuage immenfe d4 fon éteCtricité , mais de fournir un conducteur ou un écoulement à cette éleCtricité, lorfque , par un accident qu’on ne-peut pas toujours éviter, un nuage fortement». éleCtrifé eft porté contre un édifice.
    • Cet expédient a néanmoins trouvé , fur-tout en France , de grands contradicteurs. Un des principaux, a toujours été le célébré abbé Nol-let, rival de M. Francklin dans la théorie de l’é-leCtricité. Mais, il faut en convenir, rien de plus loible que les armes avec lefquelles le phyficiett-François combat le philofophe Américain. Ce-font de pures affertions deftituées de preuves , 01* plutôt contraires à. ce qui réfulte de diverfes ex-
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    • périences. Suivant lui, ces pointes de fer font plus propres à attirer le tonnerre qu’à en préfer-ver ; & ce n’eft pas, dit-il, un projet raifonnable pour un phyficien, que d’épuiier une nuée ora-geufe du feu éleéfrique qu’elle contient. Ilfuffit* pour répondre à ces affermons, de connoître les effets du tonnerre. Ils démontrent avec la plus grande évidence , que fi les lieux où il eft tombé' euflènt été garnis de pointes communiquant à de bons condu&eurs, tout fe fût paffé fans la moindre explofion.
    • Il eft faux d’ailleurs, qu’une pointe attire le tonnerre ou la nuée orageufe ; car, au contraire , une pointe préfentée à un floccon de coton fufpendu au condu&eur de la machine éleétrique, le repouffe fur le champ. Vaut-il donc mieux attendre qu’une nuée orageufe , chargée d’éleftricité , & portée par le vent contre un bâtiment, faffe explofion avec lui, & y ver fe tout-â-coup un déluge de fluide éleélrique , que de le dériver par degrés, à mefure que ce nuage approche , en-forte que , lorfqu’il en eft à proximité, il en foit totalement privé ? Quant à l’impoflibilité de dépouiller un nuage de tout fon feu éle&rique, on ne l’entend ni ne le prétend pas ; on veut feulement fournir au fluide éledrique verfé par le nuage orageux, un débouché facile. Or, quand on con fidere que prefque toutes les fois que la foudre eft tombée quelque part, elle a fuivi, fans prefque faire de dommage, des conduéleurs aulfi étroits qu’un fil de fer de fonnette ou de renvois d’horloge , des dorures , &c ; qu’elle n’a fait explofion que quand ce chemin a été interrompu, on ne peut prefque douter qu’une barre d’un demi-pouce ou d’un pouce de diamètre, ne donnât
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    • 350 Récréât. Mathémat. et Phys. paffage à tout le fluide électrique que pourront donner la foudre la mieux conditionnée.
    • Les pointes de fer, confidérées comme confèr-vatriees des bâtiments contre la foudre, ont aulli éprouvé des contradictions en Angleterre , de la part du fameux éleCtricien M. Wilfon. Voici à quelle occafion. Les moyens de M. Francklin, pour prévenir les effets de la foudre, ayant excité l'attention du gouvernement en 1772, la Société royale de Londres fut confultée fur les moyens de garantir les nouveaux magaflns à poudre de Purfleet. Elle nomma MM. Cavendish, Watfon, Francklin, Wilfon & Robertfon. Quatre de ces cinq commiflaires furent d’avis de garnir le bâtiment de bons eonduCteurs terminés par des pointes aiguës. M. Wilfon fut feul d’avis de les terminer par des pointes émouflees , & il refufa de ligner l’avis des quatre autres. Il eft aifé de voir que le motif de M. Wilfon fut la crainte que les pointes n’attirafîent de trop loin le fluide éleClrique. M. Francklin tenta en vain de lui faire changer de fentiment, par un écrit exprès, qui contient d’ingénieufes & nouvelles expériences ; mais il n’y réulflt pas. Au relie, les magaflns de Purfleet furent garnis , fuivant l’avis de M. Francklin & des trois autres commiflaires. J’ai ouï dire que M. Wilfon a écrit depuis peu contre, mais j’ignore les nouvelles obfervations.
    • XXIe Expérience.
    • De quelques Jeux fendis fur l'attraction & la ri-
    • puljîon électriques : JJAraignée électrique , &c.
    • Figurç?un petit morceau deliege ou de moelle de fureai* çn corps d’araignée, & attachez-y fix
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    • ou huit fils de coton ou de lin, de quelques lignes de longueur ; fufpendez enfuite cette petite figure par un fil de foie à un crochet ; placez enfin, d’un côté & de l’autre de cette araignée feinte, & à la même hauteur, le bouton d’une bouteille de Leyde chargée pofitivement, & celui d’une autre bouteille chargée négativement, ou Amplement un bouton femblable non-éleéfrifé , & communi-quapte à la mafle générale des corps non-éle&ri-ques : vous verrez cette figure d’abord portée vers le bouton éle&rife, enfuite en être repouflee ; & comme les brins de fils eux-mêmes fe repou£ fent auffi mutuellement, il femblera que l’araignée ouvre & étend fes jambes -pour < îtnbrafler le fécond bouton. Elle ne l’aura pas plutôt touché, qu’elle le femblera fuir ; car, dépouillée de fon éleftricité, elle fera attirée par le premier, dont elle fera enfuite repouflee ; & ce petit manege durera tant qu’il y aura un peu d’éle&ricité dans la bouteille.
    • Un fimple condu&eur éleârifé, tiendra lieu, fi l’on veut, de la bouteille éle&rifée ; & au lieu du bouton non-éleârifé , on pourra préfenter le doigt : il femblera que l’araignée , après avoir touché le conduâeur, vient fe jeter for le doigt pour le faifir & i’embrafîer de fes jambes.
    • XXII» Expérience.
    • La Roue & le Toumebroche ékclriques.
    • Faites une roue formée de huit ou dix rayons de verre, implantés dans un moyeu commun , qui aient 6 ou 8 pouces de longueur, & qui portent chacun à leur extrémité une balle de plomb.
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    • 35* Récréât. Mathémat. et Phys.
    • Cette efpece de roue doit être bien équilibrée Tuf un eflieu vertical & délié, tournant dans une cra-paudine de verre , enforte que l’effort le plus léger puiffe la mettre en mouvement. Le bâtis fur lequel elle porte, doit enfin être fufceptible d’être ifolé.
    • Ayez enfuite deux bouteilles chargées, l’une pofitivement, l’autre négativement ; & ayant ifolé la roue ci-deffus, placez ces deux bouteilles des deux côtés de la roue , enforte que les balles puiffent paffer à un quart de pouce du bouton de chaque bouteille.
    • On conçoit maintenant que fi cette petite machine eft bien équilibrée, lorfqu’unedes balles fera à proximité d’un des boutons , par exemple celui qui répond à la bouteille chargée pofitivement, il en fera attiré, & la machine tendra à tourner ; la balle, en paffant fort près de ce bouton , fera éle&rifée pofitivement, & par conféquent elle en fera aufli-tôt repouffée.
    • Même chofe arrivera du côté de la bouteille dont l’intérieur fera chargé négativement : la balle non-éle&rifée en fera attirée , & en paffant tout près, elle s’éleétrifera négativement ; conféquem-ment elle en fera repouffée aufli-tôt après l’avoir dépaffée.
    • Pareille chofe enfin arrivant à chacune des autres balles , il en réfultera un mouvement circulaire qui s’accélérera de plus en plus , & qui continuera tant que les deux bouteilles feront en état d’éleftricité. Mais il eft facile de les y entretenir, en faifant toucher au bouton de l’une celui d’une autre bouteille fortement chargée, & au bouton de l’autre le ventre de la même bouteille : cela les
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    • chargera chacune, l’une pofitivement, l’autre né» gativement.
    • Lorfque l’éle&ricité eft bien forte, & que cette machine eft bien conftruite & équilibrée , elle prend un mouvement capable de faire circuler un poids de quelques livres, enfilé à fon effieu vertical.
    • Les^éle&riciens de Philadelphie s’en font fervis en forme de tournebroche , dans une partie dont l’objet étoit d’égayer un peu la philofophie. Per* fuadés apparemment qu’il faut que la Raifon fe fauve quelquefois dans les bras de la Folie, ilsfe raffemblerent fur les bords de la Skuylkill, riviere qui baigne Philadelphie. Là ils tuerent un dindon par la commotion éle&rique ; ils l’embrocherent au tournebroche éle&rique , & le firent rôtir à- un feu allumé avec l’étincelle éle&rique ; enfin ils burent à la fanté des philofophes tant Européens qu’Américains qui cultivoient l’éle&ricité, non au bruit de la moufquéterie , mais à celui des batteries électriques , déchargées à chaque fanté. Voilà ce que M. Francklin, le premier des philofophes éleCtriciens appelle le repas électrique*
    • XXIIIe Expérience.
    • Le Carillon & le ClaveJJin électriques.
    • Sufpendez au conducteur de l’éleCtricité, trois timbres à diftances égales , d’environ un pouce mais enforte que les deux latéraux le foient par un cordon ou fil de matière qui tranfmet l’éleCtricité , & que celui du milieu le foi't par un cordon de foie ou autre matière éleCtrique. Ce timbre du milieu doit en même temps communiquer au pavé par une petite chaîne ou fil métallique.
    • Tome IK Z
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    • j-j4 Récréât* Mathémat. et Phys.
    • A diftances égales entre ces trois timbres, foient encore fufpendus par des filets de foie, deux petits globes de métal , de maniéré qu’en s’écartant à droite ou à gauche , ils puiffent choquer les timbres.
    • EleCtrifez préfentement le conducteur ; vous verrez aulfi-tôt ces petits battans fe mettre en mouvement , & choquer alternativement les timbres ; ce qui formera un petit carillon dont la caufe fe-roit difficile à deviner , fi l’on cachoit la machine éleCtrique.
    • Il eft facile d’appercevoir la caufe de ce jeu continu;car, par la conftruCtion de cette petite machine, les deux timbres latéraux font éleCtri-Lés auffi-tôt que le globe éleCtrique eft mis en •mouvement. Lès petites boules pendantes entr’eux & celui du milieu, feront donc attirées par ces timbres , qu’elles n’auront pas plutôt touchés, qu’elles en feront repouffées , étant éleCtrifées comme eux : alors elles feront portées contre le timbre du milieu , qui, communiquant au pavé , les privera fur le champ de leur éleCtricité. Elles devront donc retomber vers les timbres éleCtrifés, qui les attireront de nouveau; & ce jeu fe perpétuera tant qu’on continuera à faire agir la machine éleCtrique.
    • Remarque.
    • D’après ce principe, on a imaginé ce qu’on appelle un clavejjîn électrique. Voici une idée de cette petite machine irigénieufe , dont l’invention eft due au P. de la Borde, jéfuite, qui en donna la defcription én 1759, dans un petit ouvrage particulier.
    • Qu’on conçoive une barre de fer portée fur
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    • des cordons de foie, & garnie de deux rangs de timbres, qui deux à deux font propres à rendre le même fon ; car il en faut deux pour chaque ton. L’un de ces timbres eft fufpendu à la barre par un fil d’archal , enforte que quand elle eft éle&rifée, ce timbre Feft aufii. L’autre n’eft fufpendu que par un cordon de foie. Entre chaque paire de timbres pend une petite boule d’acier, fufpendue de cette première barre par un filet de foie.
    • Le timbre fufpendu de la barre d’en haut par le cordon de foie, porte un fil d’archal qui def-cend, &c eft arrêté par un autre cordon de foie. Son extrémité inférieure porte un petit levier, qui, dans fa pofition ordinaire, repofe fur une autre barre ifolée, & communiquant, ainfi que la première , au condu&eur de la machine.
    • Enfin, au defibus de cette fécondé barre eft un clavier tellement difpofé, que quand on enfonce une de fes touches , elle fait lever par fon autre extrémité le petit levier correfpondant ; ce qui intercepte la communication du timbre avec le condu&eur éleârifé , & en établit une avec la mafle générale des corps terreftres.
    • D’après cette defcription, on concevra que, fi l’on enfonce une touche pendant que la machine éle&rique eft en mouvement, un des timbres étant déféleélrifé, la balle d’acier fe portera fur le champ vers l’autre , en fera éleélrifée , re-pouffée contre le premier qui abforbe fon électricité ; ainfi elle reviendra contre l’autre. Ce mouvement s’exécute en effet avec beaucoup de vi~ téffe, & il en réfulte un fon ondulé, & reflem-blar.t au tremblement de l’orgue. Le levier re-tombe-t-il. les deux timbres fe trouvent également 7 ;;
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    • 356 Récréât. Mathemat. et Phys. éleftrifés , & dans un inftant la balte d’acier s’arrête.
    • Le P. de la Borde ayant exécuté cette mécanique , étoit venu à bout de jouer avec affez de propreté des airs (impies ; mais tout cela valoit-il bien la peine d’en faire l’objet d’un ouvrage à part, puifque ni la mufique, ni la théorie de l’e-le&ricité, n’en recevoient aucun avancement}
    • XXIVe Expérience.
    • Les Chevaux électriques fe poursuivants ; ou h Manege électrique.
    • Préparez avec deux petites lames ou deux petits fils de fer, une efpece de croix, avec une chape de cuivre à fon centre , comme feroient deux aiguilles de bouflole qui fe couperoient à angles droits fur une chape commune. Les bouts de ces quatre branches doivent être terminés en pointe, & repliés par leurs extrémités un peu moins qu’à angles droits, de la grandeur d’un pouce, plus ou moins , fuivant la grandeur de la machine. Sur ces bouts de fer recourbés, placez un petit plateau de carton fort léger, fur lequel vous ajouterez des figures de chevaux, de maniéré qu’ils tournent la croupe du côté de la pointe. Enfin que le tout foit difpofé fur une pointe d’acier élevée perpendiculairement , enforte que cette croix avec fa charge fe tienne horizontalement, & ait un mouvement de rotation extrêmement facile.
    • Cela fait, ayant ifolé la machine & fon plateau , faites communiquer ce dernier ou la pointe d’acier avec le condu&eur éleétrifé ; bientôt vous
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    • verrez ces quatre branches de fer prendre comme d’elles-mêmes un mouvement de rotation en fens contraire de celui où leurs extrémités font recourbées, enforte que les quatre chevaux fembleront fe pourfuivre dans un manege circulaire; 6t ce jeu durera tant que durera l’éle&ricité, ôt même au-delà , à caufe du mouvement acquis.
    • Si l’expérience fe fait dans l’obfcurité, 6t fans cette petite cavalerie, c’efl>à-dire feulement avec les quatre pointes, vous en verrez fortir des aigrettes de lumière ou de feu éle&rique ; ce qui formera unfpeûacle fort agréable, car il en ré-fultera comme un ruban circulaire de feu, que l’on pourra rendre plus large en donnant des longueurs inégales aux branches de cette croix.
    • On pourroit établir ainfi plufîeurs rangs de fils en croix , qui iroient en diminuant, 6c par ce moyen on formeroit une pyramide lumineufe.
    • La caufe de ce mouvement , en apparence fpontanée, eft aifée à appercevoir. C’eft le choc de l’effluence éle&rique qui fe fait par les pointes, & qui rencontrant l’air, en éprouve une réaélioa qui la repouffe en arriéré;
    • Remarque..
    • On a prétendu tirer de cette expérience une difficulté affez forte contre l’hypothefe de M. Francklin ; car, foit qu’on éle&rife pofitivement ou négativement cette petite machine, le mouvement s’en fait dans le même fens ; ce qui a même fort étonné des . Franckliniens décidés. Quant à nous, cette obje&ion ne nous frappe guere ; car il nous fembîe qu’on peut dire que, dans le cas de l’éleftricité négative, le fluide électrique qui fe précipite dans les pointes , ne peut
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    • 358 Récréât. Mathémat. et Phys. s’y engouffrer fans leur imprimer une impulfion qui agit précifément dans le même fens que la répulfion qu’éprouve le fluide électrique en for-tant, lorfque les pointes font éleCfcrifées pofitive-
    • XXVe Expérience.
    • Faire paroître tout-à-coup une écriture en caractères de feu , par le moyen de Vélectricité.
    • Ce jeu éleCtrique eft fondé fur cette obferva- j tion connue de tout le monde, fçavoir, que fi l’on a plufieurs filets métalliques, difpofés enfemble de maniéré que leurs bouts, fans fe toucher, foienî très-voifins, comme à une ligne ou une demi-ligne , lorfqu’on éleCtrife le premier, pendant que le dernier communique à la maffe des corps non-éleCtriques, il fe fait des étincelles continuelles entre les bouts de ces fils métalliques.
    • Pareille chofe arrive, fi le dernier de ces fils eft terminé en pointe ; car , perdant par-là fon éleCtricité , il faut qu’il en afflue fans ceffe de ! nouvelle, fk cela ne fe peut faire que par une étincelle dans chacun des petits intervalles qui féparent les bouts des fils.
    • Cela étant entendu, l’on fent que l’on produi-roit une file d’étincelles formant un deflîn quelconque, (à quelques limitations près qu’on verra,) en rangeant des fils de fer le long des linéaments de ce defïin. Alors, en touchant le dernier des fils avec le doigt, ou, ce qui fera encore mieux, avec la garniture extérieure de la bouteille de Leyde , il fe formeroit tout à-la-fois, dans les intervalles de ces fils, des étincelles'repréfentant le contour du defïin.
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    • Mais comme ceci auroit des difficultés, on l’exécutera plus facilement ainfi. Il faut prendre une de ces feuilles d’étain battues & n’ayant que l’épaifleur d’un papier ; on la découpera en petits quarrés d’une ligne où une denfi-ligne de côté, ou en forme de rhombe un peu alongé ; on deffinera enfuite fur un papier les lettres qu’on veut exprimer ; & ayant mis une lame de glace, d’une ligne environ d’épaiffeur, fur ce deffin, on collera fur cette glace les petits quarrés ou rhombes décrits ci-deflus , félon les contours du deffin , en faifant enforte que les angles regardent les angles , & foient éloignés les uns des autres d’environ une demi-ligne, comme l’on voit dans le deffin de là lettre S , fig. 44 ; on lie ènfuite l’extrémité d’une pj. lettre avec le commencement de la fuivante , par fig. une petite lame circonflexe du même métal, terminée de côté & d’autre en pointe, comme on le voit dans la même figure ; enfin une petite lame femblable au commencement de la première lettré & une autre du bout de la derniere va au bord de la même glace & au-delà.
    • Préfentement, fuppofons que la première de ces petites lames communique au condu&eur élec-trifé, & que l’on vienne toucher la fécondé, ou au contraire, chaque angle des petits quarrés portera le feu éleftrique par une étincelle à fon voi-fin; & fi l’expérience fe fait dans l’obfcurité, on appercevra ces deux: lettres deffinées par une fuite d’étincelles de feu.
    • Si la derniere lame communique à une mafle de corps non-éle&riques , & que l’éle&ricité foit forte, il fe fera entre chaque quarré une explofion qui rendra permanente cette écriture lumineufe.
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    • j6o Récréât. Mathémat. et Phys» Remarque.
    • Mais il faut obferver que toutes les lettres de l’alphabet ne peuvent pas fe repréfenter d’une maniéré aufli {impie que les deux que nous venons de donner en exemple. Ainfi 1*0 ne fe repréfen-teroit point par ce moyen ; le fluide éleéirique, au lieu de faire le tour, fauteroit du premier au dernier quarré. De même l’A refteroit tronqué de fa partie fupérieure, le fluide éle&rique paffant par la traverfe. Il faut donc un artifice particulier pour obvier à cet inconvénient , qui fe rencontre dans un grand nombre d’autres lettres , comme l’E, l’F, l’H , &c.
    • Çet artifice confifte à écrire une moitié de la lettre fur un côté du verre, & l’autre moitié fur l’autre, & à les faire communiquer enfemble par une petite bande métallique, qui, en paffânt du deffus au deffous du verre, porte le feu éle&rique g du dernier quarré de la première moitié de l’O, 45. par exemple, au premier quarré de la fécondé moitié de la même lettre ; enfuite on joint, par une femblable bande, le dernier quarré de cette ’lèconde moitié, avec le premier quarré de la lettre fuivante. En examinant attentivement la fig. 4S , on reconnoîtra facilement ce mécanifme. Les lettres ou parties de lettres repréfentées fur le côté de deffus du verre, font ombrées fortement, & celles de deffous légèrement. La propagation du feu éle&rique étant comme inftantanée , il ne s’enfuivra de ces renvois aucun inconvénient pour l’effet.
    • Il eft aifé de voir combien un pareil artifice auroit pu, dans des temps d’ignorance , contribuer à jeter la terreur dans les efprits. Si une foule
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    • de l’Electricité. 361 d’hommes raffemblés dans un lieu obfcur, après un grand coup de tonnerre, voyoient écrit contre les murailles un ordre, une décifion prétendue de la divinité, de quoi ne feroient-ils pas capables ! à quel point de fanatifme ne les conduiroit-on pas ! De quelle terreur ne feroit pas frappé un homme qui, s’éveillant en furfaut, verroit écrit contre fa glace , Tu mourras aujourd’hui !
    • XXVIe Expérience.
    • Feu d'Artifice électrique.
    • Voici un nouveau genre de fpeétacle, dont nous n’ofons cependant abfolument garantir la réuflite; mais nous fommes fort portés à penfer que notre idée eft fufceptible d’exécution.
    • Un fpeétacle d’artifice eft ordinairement com-pofé d’une décoration immobile , confiftanteen un édifice analogue au fujet, & diverfes pièces de feu, mobiles ou immobiles, telles que fufées, gerbes, cafcades , foleils fixes ou tournants, étoiles, pyramides ou colonnes , foit fixes , foit mobiles. Or il n’y a aucune de ces pièces d’artifice qui ne puifle être, à ce que nous croyons , repréfentée par des feux purement éleétriqués.
    • Prenons d’abord pour exemple une décoration d’architeéture. On la repréfente en illumination par des files de lampions qui en tracent les principaux membres : ne peut-on pas, au lieu de ces lampions, leur fubftituer des files de points rendus lumineux par l’éleétricité ? L’expérience précédente en fournit le moyen ; car, puifque l’on peut rendre apparentes des lettres dont les. contours font bien plus compofés, par une fuite de
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    • RIchéat. Mathémat. et Phys,
    • pareils points, à plus forte raifon pourra-t-on rendre apparentes des lignes pour la plupart droites & parallèles, ou perpendiculaires entr’elles, en y employant les précautions indiquées dans l’ex-pofé de cette expérience. Mais voici un autre
    • ""surune planche de bois rélîneux , fort fec & bien plahé, tracez le deffin de votre décoration, & marquez par des points les endroits où vous placeriez des lampions, fi vous exécutiez cette décoration en illumination ; placez à chacun de ces points un fil de fer d’une ou deux lignes de hauteur, & terminé en dehors par une pointe déliée & fort aiguë ; faites enfin communiquer tous ces fils par un fil de fer continu qui les em* brade. Si vous excitez une électricité puiflante , il n’y a nul lieu de douter que chacune de ces pointes ne donne dans l’obfcurité une petite gerbe lumineufe ; ce qui tracera le deffin de votre décoration architeâurale : car on fqait qu’une barre de fer fortement éle&rifée, jette dans les ténèbres , de tous fes angles , de fortes gerbes de lumière , quelquefois de plufieurs pouces de lon-
    • Pour repréfenter une gerbe de feu, rien de plus facile ; un groupe de fils de fer terminés en pointes , donnera un affemblage de petites gerbes qui en formeront une confidérable.
    • Si l’on veut repréfenter un foleil fixe, dix ou douze pointes , .difpofées en forme de rayons , à l’extrémité d’un fil de fer terminé en bouton, donneront un foleil fixe; & fi ces douze pointes font difpofées de la maniéré convenable, elles pourront, par leur émanation éleftrique , former une étoile : il n’y aura qu’à les difpofer comme l’oa
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    • Se l’Electricité. 35j fait des fufées dans l’artifice ordinaire pour représenter la même chofe.
    • Rangez maintenant plufieurs fils de fer terminés en pointe, & communiquants à une tige commune en forme de demi-cercle, & dans une direction inclinée à l’horizon ; ils formeront une cafcade , par les gerbes électriques qui Sortiront de ces pointes.
    • Voulez-vous avoir l’image d’un Soleil tournant, il faudra pour cela former une croix femblable à celle de l’expérience 24e ; mais , au lieu de la faire tourner fur un axe vertical , il faudra la mettre parfaitement en équilibre fur un axe horizontal : les gerbes lumineufes qui Sortiront des pointes recourbées, formeront ou un ruban circulaire de feu, fi le mouvement eft rapide, ou quelque cKofe d’aflez reflemblant à un foleil.
    • Enfin , ce qui pourra donner à ce petit fpeétacle un air de réalité, c’eft qu’il eft poflible de l’accompagner d’un bruit de batterie éleétrique, qui donnera l’idée des marrons & fauciffons dont la décharge accompagne d’ordinaire les autres pièces d’artifice, finon continuellement, du moins d’intervalle en intervalle. Cela fe pourroit faire par le moyen de petites batteries éle&riques qu’on déchargeroit fucceflivement & par partie.
    • Tout ceci, nous le répétons, n’eft encore qu’une idée gui a befoin d’être foumife à l’expérience ; mais je crois qu’un artifte ingénieux pourroit en tirer parti. On Sent, au refte, aifément qu’il faudrait une éle&ricité vigoureufe. Mais ce qu’une machine éle&rique ne pourroit pas faire, deux , trois, quatre 9 le feroient probablement.
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    • 364 Récréât. Mathémat. et Phys;
    • XXVIIe Expérience.
    • Sur l'Electricité de la Soie.
    • Voici d’autres expériences bien fingulieres ÿ dont l’auteur eft M. Symmer, qui les publia en 1759, dans les Transactions Philofophiques de cette année.
    • 1. Dans un temps extrêmement froid & fec , par un beau vent de nord ou de nord-eft, prenez, après les avoir bien chauffés , deux bas de foie neufs , l’un blanc, l’autre noir, fur la même jambe : i’a&ion feule de les mettre les élefrrifera. Tirez-les enfuite l’un dans l’autre, en les faifant gliffer tous les deux à-la-fois fur la jambe ; vous les trouverez alors éle&rifés au point d’adhérer mutuellement, avec une force plus ou moins grande. Il eft arrivé à M. Symmer de les voir foutenir ainfi un poids égal à foixante fois au moins le poids de l’un d’eux.
    • 2. Retirez-les l’un de dedans l’autre , en tirant l’un par le talon , l’autre par l’ouverture , ils resteront éleéfrifés, & l’on verra avec étonnement chacun d’eux fe renfler de maniéré à repréfenter le volume de la jambe.
    • 3. Maintenant préfentez un de ces bas à l’autre à quelque diftance ; vous les verrez fe précipiter l’un fur l’autre, s’applatir , & adhérer enfem-ble avec une force de plufieurs onces.
    • 4. Mais fi vous faites cette expérience fur deux paires de bas combinés de la même maniéré, blanc contre noir, & que vous préfentiez le bas blanc au bas blanc , le noir au noir, ils fe repoufl-feront mutuellement. Préfentez enfuite le noir au blanc , ils s’attireront & fe joindront3 ou tea-
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    • DE L-tLECTRICITÊ. 36; clront à Te joindre , comme dans la 3 e expérience. (
    • 5. On peut charger la bouteille de Leyde avec ces bas.
    • Il paroît réfulter de-là , que la foie frottée contre la foie, peut s’éle&rifer ; mais il faut pour cela que l'une des deux ait une préparation que l’autre n’a pas ; car deux bas blancs ou deux bas noirs l’un fur l’autre, ne s’éle&rifent nullement. Ce n’eft pas, au refte, le noir en tant que noir , oppofé au blanc comme blanc , qui produit cet effet. M. l’abbé Nollet a fait voir que cette préparation , étoit l’engallage qui précédé la teinture en noir ; car deux rubans blancs , dont l’un des deux feulement eft engallé , étant frottés convenablement l’un fur l’autre , produifent les mêmes phénomènes d’adhérence, d’attra&ion, de répul-fion. Il n’y a nul doute que ce ne fût la même chofe pour les bas.
    • Les partifans de la doétrine de M. Francklin fur l’éle&ricité, n’auront pas de peine à expliquer les autres phénomènes qu’on a expofés. Chacun des bas eft éle&rifé d’une maniéré différente, l’un pofitivement, l’autre négativement ; il paroît que c’eft le blanc qui l’eft pofitivement ou à la maniéré du verre. L’enflure remarquée dans chacun des bas ifolés, n’eft donc que l’effet de la répulfion entre des corps femblablement éleéirifés ; car toutes les parties du même bas ont reçu la même éleéiricité. Par la même raifon, deux bas de la même couleur fe repouffent néceffairement.
    • Mais fi l’on préfente un bas noir au bas blanc, comme leurs électricités font différentes, les deux corps s’attirent ; phénomène connu, 6c linon gé-
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    • 366 Récréât. Mathémat. et Phtss.
    • néral, du moins prefque immanquable entre deux corps éle&rifés, l’un politivement, l’autre négativement , ou l’un à la maniéré du verre, l’autre à celle du foufre.
    • Un phénomène fort remarquable ici, c’eft que deux corps éle&rifés , l’un politivement, l’autre négativement, félon le langage des Franckliniens, puiflent s’appliquer l’un contre l’autre, fans que leurs éle&ricités s’anéantilTent. M. Symmer le remarque avec étonnement ; & cela l’engage â s’écarter de la do&rine francklinienne , en en donnant des raifons qui , comme le remarque M. l’abbé Nollet, le rapprochent beaucoup de l’explication de ce dernier.
    • Au refte, on a depuis remarqué, que deux fur-faces de corps éle&riques , éleétrifées l’une politivement , l’autre négativement, s’appliquent très-bien l’une à l’autre fans détruire leurs électricités. C’eft-là le principe de l’éle&rophore, nouvel inf-trument éle&rique, imaginé ces'dernieres années. Il y a plus, c’eft que ces deux furfaces appliquées de cette maniéré, retiennent beaucoup plus longtemps leurs électricités ; mais elles ne fe manifef-tent que quand elles font féparées. L’éleétricité eft une mine qui plus on la creufe, plus elle préfente des choies inexplicables. Comment expliquer cela félon la théorie de M. Francklin ? Je n’en fçais rien ; & quoique- penchant vers elle , je ne l’entreprends pas.
    • XXVIIle Expérience,
    • Qui prouve que l'Electricité accéléré le cours des fluides.
    • Ayez un tuyau, ou capillaire, ou terminé par
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    • de l’Electricité. 367
    • une ouverture allez étroite pour que l’eau, coulant par cette ouverture, ne puiffe le faire que goutte à goutte. Eleétrifez cette eau ; vous la verrez aufli-tôt couler par un jet continu.
    • Remarque
    • Sur tes conféquences de cette Expérience, 6* fur les guérifons opérées ou prétendues Opérées par V Electricité.
    • C’eft probablement cette expérience qui a donné lieu d’appliquer l’éle&ricité à la médecine ; car il étoit allez naturel de raifonner ainlî : puifque l’éle&ricité accéléré le cours des fluides , il eft vraifemblable qu’elle accélérera celui du fang & du fluide nerveux dans les animaux. Or il y a certaines maladies qui paroiflent n’être qu’une fuite de l’engorgement du fluide nerveux, telle que la paralylie, & diverfes maladies qui tiennent à cette caufe, comme la furdité, la cécité , &c : conféquemment l’éle&ricité , en accélérant foit le cours du fang, foit celui du fluide nerveux, pourra forcer cet engorgement ; ce qui opérera la guérifon de la maladie.
    • On a donc commencé à éle&rifer des malades attaqués de paralylie ; & il faut convenir, attendu les témoignages de perfonnes exemptes de toute fufpicion , comme M. Jallabert de Geneve, & autres, que ce n’a pas été fans quelque fuccès. Il eft certain que ce célébré profelTeur & citoyen de Geneve a , linon guéri radicalement, du moins extrêmement foulagé, entr’autres paralytiques, le nommé Noguez. Get homme qui ne pouvoit lever le bras, fut, après trois mois d’éleélrifa-tion, en état de lever un marteau.
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    • 368 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • Cette annonce, publiée dans les journaux, fît, comme on lepenfebien, un grand bruit; & l’on vit dans l’Europe une foule d’éle&riciens entreprendre la guérifon des paralytiques, des fourds, des aveugles, &c. On a un recueil en trois volumes, donné par M. Sauvages , non de ces guéri-fons , car il y en a eu peu qui puiffent porter ce nom, mais des progrès de l’éle&rifation. Il y en a eu néanmoins quelques-unes d’affez bien confta-tées ; telle eft en particulier celle d’un jeune homme de Colchefter, à qui M. Wilfon rendit la vue qu’il avoit perdue à la fuite d’une fievre violente. A l’égard de la plus grande partie des autres, le traitement a été inutile & fans effet.
    • On ne peut cependant difconvenir que, dans les commencements de l'éleftrifation , les malades n’éprouvent ordinairement quelque amélioration. Les paralytiques reffentent dans la partie pa-ralyfée, de la chaleur, des picotements, qui fem-blent annoncer un retour de fentiment ; les aveugles voient quelquefois des étincelles de lumière. Mais, en général , tout fe borne là ; & ces commencements , qui femblent annoncer le plus grand fuccès , n’ont pas de fuite.
    • Quelques philofophes Italiens ont bien prétendu quelque chofe de plus merveilleux. On annonça vers 1750, à Padoue, que l’électricité exaltoit & atténuoit les odeurs, au point qu’elles paffoient à travers le verre ; que des drogues purgatives , foigneufement & hermétiquement clofes dans un vafe, purgeoient celui à qui on le faifoit tenir dans la main pendant qu’on éleârifoit le. vafe. C’eût été affurément une belle découverte pour la médecine ; mais malheureufement cette prétendue découverte, annoncée avec affez d’em-
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    • CE l'Electricité. 3S9 phafe à toute l’Europe, s’eft évanouie aux yeux éclairés de M. l’abbé Nollet > qui fit, en partie pour cet objet, le voyage de l’Italie. Il trouva qu’il y avoit au moins de la précipitation & du mal - entendu dans toutes ces brillantes annonces qu’on ne put réalifer devant lui. Ayant lui-même réitéré l’expérience plufieurs fois dans fon cabinet, il n’a jamais trouvé que l’odeur la plus pénétrante pafsât à travers les pores d’un verre véritablement clos, foit éleélrifé, foit non éleftrifé, non plus que les émanations purgatives de la caffe , & de la rhubarbe.
    • M. le Roy, un des philofophes François qui ont cultivé avec le plus de foin cette branche de la phy-fique, a été conduit à eflayer les effets de l’électricité fur quelques fujets, dont le premier étoit attaqué d’une hémiplégie depuis trois ans ; le fécond, d’une goutte-fereine ; & les autres, de fur-dité. De fréquentes commotions , données à travers les parties paralyfées du premier -, femblerent d’abord ranimer le fentiment: le malade fua beaucoup , ce que tous les remedes adminiftrés par fon médecin n’avoient pu lui procurer. Après quatre ou cinq mois d’éle&rifation, le fentiment & le mouvement revinrent aux doigts paralyfés , & le malade put faifir un verre , le porter à fa bouche , élever même un poids de 40 à 50 livres ; mais cette guérifon ébauchée fut tout ce qu’il put obtenir ; & après quatre autres mois continus d’é-le&rifation , le malade n’étant pas mieux , il prit le parti de ceffer un traitement inutile.
    • L’aveugle ne donna pas à M. le Roy plus de fatisfa&ion , quoique , pour défobftruer le nerf optique , il eût imaginé une armure au moyen de laquelle il lui donnoit au travers de la tête des Tome IF. A a
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    • 370 Récréât, mathemat. et fhys. commotions ménagées. Il appercevoit une flamme au moment de l’explofion électrique à travers fa tête. Une autre fois il apperçut des fantômes d’objets. Mais après quelques mois de traitement, il fe dégoûta comme le premier d’un remede inutile.
    • Enfin les malades attaqués de furdité, ne furent pas plus heureux. M. le Roy dirigeoit le fluide électrique d’une oreille à l’autre. Chaque commotion fe faifoit reffentir dans la tête par un bruit apparent , que l’un d’eux comparoit à tous les pétards de la Grève. Mais les nerfs auditifs ne furent pas défengorgés , ni la furdité diflipée. On voit l’hiftoire de ces traitements dans les Mémoires de?Académie des Sciences, année 1755»
    • J’ai lu quelque part, dans les Transactions Philosophiques , qu’on avoit guéri une fievre intermittente par l’éle&ricité. Cela ne feroit pas im-poffible, attendu que l’éleélricité, accélérant le mouvement des fluides , paroît être tonique.
    • On a vu à Paris, il y a quelques années, un chanoine de Perpignan , M. l’abbé Sans , annoncer beaucoup de guérifons opérées dans fon pays par l’éleétriçité. Il les a publiées dans un ouvrage exprès, revêtues de. toutes fortes de certificats. Mais je l’ai vu opérer inutilement fur M. de la Condamine , attaqué d’une infenfibilité parfaite dans la moitié du corps, & d’une furdité profonde. Il eft vrai que cette double infirmité étoit déjà enracinée depuis long-temps , & il y auroit de l’injuftice à exiger des fuccès, en opérant fur des maladies de cette nature ; mais je n’ai pas ouï dire que cet électricien ait eu d’autres fuccès marqués à Paris.
    • Pour nous réfumer, il nous paroît que l’on a
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    • de l* Electricité. 371
    • d’abord conçu trop d’efpérance de PéleCtricité appliquée aux maladies ci-deffus, mais que cependant êîle n’éft pas abfolumént fans effet ; & que, dans des maladies récentes, il ne feroit pas mal de tenter fon application. Les rhumatifmes font celles qui, fuivant M. le Roy, ont été les moins rebelles à ce remede ; & c’eft peut-être en rétabliffant la tranfpiration qu’il a agi. Il a procuré des Tueurs copieufês à la plupart des malades ; enfin l’on ne peut douter qu’il n’occafionne dans le corps humain un orgafme univerfel, qui pourroit, dans quelques circonftanees , être critique & avantageux.
    • XXIXe Expérience.
    • De rElectricité naturelle 6* animale.
    • Prenez dans un temps très-froid un chat, paffez-lui la main fur le dos à rebrouffe-poil & à différentes reprifes : vous en tirerez fouvent des étincelles très-vives & qui pétilleront.
    • Il n’y a nul doute que fi l’animal étoit fur un fupport éle&rique ou ifolé, on ne pût communiquer cette électricité à un conduCieur, comme celle qu’on excite par le frottement d’un globe ou d’un plateau de verre.
    • Remarque.
    • Ce n’eft pas feulement l’animal dont on vient de parler qui préfente par le frottement les phénomènes éleCfriques : les hommes même , dans certaines ci'rconiftances , jettent aufîi des étincelles qui font abfolumént de la même nature. Il n’eft perfonne à qui cela ne foit arrivé quelquefois. C’eft dans les hivers très-froids, & après
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    • 37i Récréât. Mathêmat. et Phys. s’être bien chauffé , qu’on éprouve ce phénomène. Si alors on tente de quitter fa chemife dans l’obf-curité, il en fortira fouvent des étincelles plus ou moins vives , & accompagnées d’un bruiffement fenfible. Il y a des perfonnes qui, par un tempérament particulier , font plus fujettes à ce fymp-tôme que d’autres. Ce font probablement les perfonnes très-velues; car le poil étant d’une nature approchante de celle de la foie, eft éie&rique par frottement ; & c’eft, félon les apparences, le frottement des linges fecs & échauffés contre le poil fec & échauffé lui-même, qui produit cette électricité & les étincelles qui l’accompagnent.
    • On claffoit autrefois ces feux parmi les feux phofphoriques ; mais depuis les découvertes nouvelles fur l’éle&ricité, il n’y a nul doute que ce ne foit un pur phénomène éle&rique.
    • Il nous auroit été facile de groffir beaucoup davantage cette partie des Récréations Phyjîques , en y faifant entrer un grand nombre d’autres expériences curieufes , furprenantes, & inexplicables dans toute théorie de l’éle&ricité ; mais nous fommes obligés de nous contenir dans des limites étroites; c’eft pourquoi nous allons nous borner à faire connoître ici les principaux livres où l’on peut s’inftruire à fond de cette matière. De ce genre font YEJfai fur F Electricité, de M. l’abbé Nollet, & fur-tout fon livre intitulé, Recherches fur les Caufes particulières des Phénomènes électriques , & fur les Effets nuijibles ou avantageux qu on peut en attendre ; Paris 17 54, in-12 , nouv. édit. ; ouvrages auxquels on peut joindre fes Lettres fur rElectricité, 3 vol. in-12. En effet, quoique la théorie Francklinienne paroiffe avoir en général
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    • beaucoup plus de partifans que celle de M. l’abbé Nollet, on ne peut refufer à ce phyficien d’avoir cultivé avec le plus grand fuccès le champ de l’é-leélricité. Ajoutez à cela divers mémoires du même auteur, dans lefquels il difcute la théorie de M. Francklin., imprimés dans les Mémoires de FAcadémie, ann. 175 5 8*1760, &c. ; les Recherches fur les Mouvements de la Matière électrique, par M. Dutour, in-11, 1760; vous aurez ce qu’il y a de meilleur parmi les écrits qui défendent ou amplifient la théorie du phyficien François.
    • La théorie Francklinienne a été pour la première fois expofée en France, dans le livre intitulé, Expériences & Obfervations Jur lElectricité-, faites à Philadelphie en Amérique , par M. Benjamin Francklin, ouvrage traduit de l’anglois, Paris 1756, i vol. On a depuis vu paroître une édition des œuvres de M. Francklin, en 1 vol. in-40, dans le premier defquels fe trouvent toutes ces expériences , & une multitude d’autres chofes intéreflantes fur L’éleâricité. Ce font les livres dans lefquels on peut le plus facilement s’inftruire de cette théorie. On doit y ajouter divers mémoires de M. le Roy, un des principaux partifans de M. Francklin, qui font inférés dans les Mémoires de VAcadémie, ann. 1754, 8*c. Un ouvrage encore très-intéreffant à cet égard , c’eft le livre du P. Beccaria , intitulé, dell' Eleclrkifmo naturalel artificiale, qui parut en 1757a Turin, in-40. R contient des expériences très-prefîantes-pouf la théorie Francklinienne, & un grand nombre d’ob fer varions neuves fur l’éle&ricité des nuages. N’oublions pas de dire ici , que le P. Beccaria eft un des phyficiens qui ont le plus heureufe-ment cultivé î eledricité , & qu’il a découvert
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    • 374 Récréât. Mathémat. et Phys. une foule de phénomènes nouveaux & très-extraordinaires. Il y a enfin dans les Tranfaciions Philofophiqy.es des dernieres années, un grand nombre de mémoires curieux fur divers phénomènes de l’éle&riçité , qui font l’ouvrage de MM, Nairne , le do&eur Lind, MPilfon, "Wal-fon , &c. mais il feroit trop long de les indiquer.
    • On publia en 1752 une Hifioire de VElectricité, en 3 petits vol. in-12 ; ouvrage rempli de mauvaises plaifanteries, & de farcafmes du plus mauvais ton : il ralfemble d’ailleurs affez bien tout ce qui avoit été fait ou dit avant cette époque. Mais, depuis ce temps, M. Prieftley, un des meilleurs phyficiens de l’Angleterre, a donné une nouvelle Hifioire de VElectricité, qui eft beaucoup meilleure & plus inftruélive. Elle a paru traduite en franqois fous ce titre en 1771, Paris, 3 vol. in-12.
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    • RÉCRÉATIONS
    • MATHÉMATIQUES
    • E T
    • PHYSIQUES.
    • QUATORZIEME PARTIE.
    • Chimie.
    • IL ne faut qu’être initié dans la chimie, pour concevoir de cette fcience une idée bien différente de celle qu’en a le vulgaire. Pour le commun des hommes , la chimie n’eft que l’art chimérique de la iranfmutation des métaux , ou tout au plus celui de produire quelques phénomènes extraordinaires, plus curieux qu’utiles; mais aux yeux du phyficién qui laconnoît, c’eft de toutes les parties de la phÿfique la plus étendue & la plus intéreffante. Nous le difons même hardiment, nous ne fçavons fi l’on peut légitimement donner le nom de gfaftd phyficien à celui qui h’efl: point A a iv
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    • 376 Récréât. Mathémàt. et Phys.
    • éclairé du flambeau de la chimie ; du moins éft-il certain que fi l’on peut fans elle rendre compte de certains phénomènes de la nature * comme les mouvements dés corps céleftes , les effets de la pefanteur de l’air, &c. il y en a un nombre incomparablement plus grand, dont la chimie feule peut donner l’explication. La chimie en effet n’eft pas moins étendue que la nature même ; les animaux , les végétaux , les minéraux , font de fon reffort ; c’eft elle qui les analyfe , combine leurs principes, examine les phénomènes qui en réful-tent, & pénétré par-là plus intimement dans leur nature. De-là découlent une multitude d’ufages utiles, & tels, qu’on peut dire qu’une foule d’arts ne font autre chofe qu’une application continuelle de la chimie : tels font l’art de la verrerie, de la teinture , de la métallurgie, &c. Le dirai-je enfin? les arts les plus communs & les plusnécef-faires à l’homme, ne font fouvent que des procédés chimiques ; tel eft, par exemple, celui du lavandier, dont à la vérité ne fe doute guere celui qui le pratique, mais qui n’en eft pas moins une opération dont la chimie feule peut rendre raifon. Cette raifon eft la propriété qu’ont les alkalis fixes de rendre les matières graffes folubles dans l’eau, en formant avec elles un favon. Celui qui fçait que l’une des premières opérations de cet art eft de faire tremper les linges dans une forte leflive de cendres de bois neuf, qui contiennent l’alkali fixe, concevront la jufteffe de ce que nous avons avancé. Nous en donnerons dans cette partie de notre ouvrage d’autres exemples remarquables.
    • La chimie eft aufli de toutes les parties de la phyfique celle qui offre les phénomènes les plus étranges & les plus curieux. Qui ne fera étonné
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    • Chimie. 377
    • de voir de la limaille de fer plongée dans un fluide froid comme elle, y exciter tout-à-coup une ébullition violente , & des vapeurs fufceptibles d’inflammation? Peut-on voir enfuite, fans admirer les opérations de la nature, ce métal fi folide détruit en quelque forte par ce fluide, & uni avec lui au point de le fuivre à travers les filtres les plus étroits ? Qui ne s’émerveillera en voyant une autre liqueur limpide, diffoudre tout-à-coup cette union, & faire tomber le fer au fond du vafe en poufliere impalpable ? Il feroit fuperflu & excefli-vement prolixe de faire ici une énumération de ces phénomènes , puifque nous allons en faire connoître plus au long les principaux &: les plus remarquables. Mais , avant tout, il eft nécefifaire de donner une idée des principales fubftances qui font les agents de ces opérations.
    • ARTICLE PREMIER
    • Des Sels.
    • ON appelle fels , ou matières falines, toutes celles qui plongées dans l’eau, ou expofées à un air humide , fe réfolvent d’elles-mêmes en liqueurs. On en a un exemple dans le fel marin 9 fi connu de tout le monde , le nitre ou falpêtre , l’alun , le vitriol, le tartre, le fel ammoniac , &c« Qu’on les plonge dans l’eau , on fçait qu’ils y difparoîtront en fe mêlant intimement à toute la liqueur. Voilà ce qu’on appelle une folution ou dijfolution.
    • Les fels exigent, fuivant leur nature, une quan-
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    • 378 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • titë plus ou moins grande d’eau, pour fe diftbudre entièrement. Le Tel marin exige deux fois fon poids d’eau pour fe diffoudre entièrement ; l’alun, douze fois fon poids ; la félënite, fix à fept Cents fois, &c.
    • Il y a des Tels acides, des alk ilis , des neutres. Nous allons les décrire, & faire connoître leurs propriétés principales.
    • \ §. I. Des Acides.
    • Nous ne dirons pas , avec l’auteur du Dictionnaire de Phyjîque portatif & à la fuite de quelques anciens chimiftes , qu’un acide eft formé de particules longues , aiguës &: tranchantes , car rien n’eft moins fondé ; & avec une pareille définition , on ne diftinguerok pas dans une boutique d’apothicaire un acide d’un alkali ou d’un fel neutre. Voici quelque chofe de plus précis.
    • Un acide eft un fel ordinairement fous la forme liquide , dont la propriété taélile au goût, eft de faire fur la langue une impreffion d’aigreur & de fraîcheur. Cette désignation eft fuffifante , car il n’eft perfonne qui n’ait une idée diftin&e de la faveur aigre. Cependant, s’il y avoit fur
    • * Suivant cet auteur, le fer eft un compofé de vitriol, de foufre êc de terre : la fermentation eft un mouvement oecâfiohné par l’introduftion des acides dans les alkalis : lorfque les alkalis fe coagulent, ils forment des criftaux : le foufre eft un mixte inflammable , compofé de feu , d'huile, d’eau & de terré: le cuivre eft un compofé de foufre & de vitriol: &c, &c, &c. Il y a là,pour un chimifte, de quoi rire à gorge déployée.
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    • Chimie. 37^
    • cela quelque incertitude, voici un autre ligne qui fera reconnoître l’acide.
    • Prenez du lirop de violette, ou du papier teint en bleu, & verfez deffus un Tel acide ; il changera la couleur violette ou bleue en rouge. Toutes les fois donc qu’une liqueur verfée fur le lirop de violette ou fur le papier bleu , changera fa couleur en rouge , on pourra aflurer qu’elle eft acide , ou que l’acide y prédomine.
    • Il y a dans la nature trois acides minéraux , un acide végétal , & même un acide animal. Les acides minéraux font, l’acide vitriolique, vulgairement l’efprit de vitriol, l’acide marin, & l’acide nitreux. Le premier eft fourni par le vitriol, le fécond par le fel marin , & le troilieme par le nitre. On les appelle minéraux, parcequ’ils font tirés du genre minéral. Ils ont des propriétés très-diftin&es & très-remarquables.
    • L’acide végétal eft fourni par les fruits acides , ou par les vins tournés à l’aigre : tels font le vinaigre , le fuc de citron, & de la plupart des fruits avant qu’ils foient parvenus à leur maturité, l’acide du tartre , &c. Ils ont tous à peu près les mêmes propriétés.
    • L’acide animal eft donné par quelques corps animaux : tels font, entr’autres, les fourmis ; il y a une efpece de chenille que M. de Geer a remarqué éjaculer un trait de liqueur qui a tous les carafte-res de l’acide. Le lait tourné à l’aigre eft, à certains égards, un acide animal.
    • De V Acide vitriolique.
    • Cet acide , le plus puiflfant de tous, eft fourni, comme on l’a dit plus haut, par le vitriol, foit vert, foit bleu, ou par l’alun ; car le vitriol n’eft
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    • 380 Récréât. Mathémât. et Phys. qu’un Tel formé par la combinaifoir ou l’union d’un acide avec le fer ou le cuivre. L’alun n’eft pareillement que la combinaifon d’un acide avec une terre argileufe ; & l’expérience a appris que ces trois acides font abfolument de la même na-
    • II nous fuffira de dire ici, que l’on extrait ces acides par la force du feu. On renferme ces matières avec certaines précautions dans une cornue; l’on pouffe le feu, qui oblige par fa violence l’acide qui eft fufceptible d’être réduit en vapeurs, à abandonner la bafe à laquelle il eft uni, & à paffer fous la forme de liqueur dans le récipient.
    • Une autre maniéré plus fimple de fe procurer de l’acide vitriolique, eft la combuftion du fou-fre ; car le foufre n’eft autre chofe que le réfultat de la combinaifon de l’acide vitriolique avec ce que les chimiftes appellent le phlogiflique*, ouïe principe inflammable. Si donc on fait brûler du foufre lentement fous une cloche de verre, les vapeurs qui. s’en éléveront, & qui ne font que de l’acide vitriolique, s’attacheront aux parois intérieures de la cloche, & la liqueur qui en dif-tillera enfuite fera du vrai acide vitriolique , à la vérité encore altéré par un mélange de phlogif-tique, mais qui s’en détache peu à peu & de lui-même , enforte que l’on a enfin de l’acide vitriolique pur.
    • Lorfque l’acide vitriolique eft bien déflegmé, ou privé de l’eau qu’il afpire, pour ainfi dire, avidement, il pefe beaucoup plus que l’eau. Le rapport de leurs poids eft de plus de 2 à 1.
    • * On verra phlogiftique.
    • plus bas, page 388, ce que c’eft que le
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    • Chimie. 3&1
    • L’acide vitriolique eft le plus puifiant de tous: lorfqu’il fe trouve en concurrence avec les autres acides , il les dépoffede, pour ainfi dire, en s’emparant de la bafe à laquelle ils étoient unis. Quelques expériences que nous donnerons, mettront fous les yeux ce jeu chimique , qui eft fort curieux , & qui eft la caufe de mille effets finguliers dans la nature.
    • De l'Acide nitreux.
    • Le nitre ou falpêtre, matière connue de tout le monde , donne l’acide nitreux. En effet, le falpêtre eft le réfultat de l’union d’un acide d’une nature particulière , avec une autre matière connue des chimiftes fous le nom d'alkali fixe. On les fépare l’un de l’autre par des procédés qu’il n’eftpas de notre objet de décrire ici. On aune liqueur à laquelle on donne le nom d'acide nitreux. Il eft moins pefant, & , en général, moins aftif que l’acide vitriolique. Sa couleur eft ordinairement un jaune foncé ; & quand il eft bien concentré , il jette fans cefle des vapeurs rougeâtres , qui femblent circuler dans le vafe où il eft contenu. Son poids eft alors à celui de l’eau, comme 3*1.
    • On donne aufli à l’acide nitreux dans un état médiocre de concentration , le nom d'eau-forte. C’eft le diffolvant propre de l’argent ôt du cuivre.
    • De l'Acide marin.
    • Le fel marin, ce fel fi communément employé St fi connu de tout le monde , eft la fubftance qui donne l’acide marin ; car ce fel n’eft formé que par la combinaifon d’un acide particulier avec
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    • 382 Récréât. Màthémàt. et Phys.
    • «ne fubftançe appelée par les chimiftes Yalkalifixe minéral. On les fépare l’un de l’autre, comme on fait à l’égard du vitriol , du falpêtre , par des procédés particuliers , & la liqueur qui en réfulte eft de l’acide marin.
    • L’acide marin a des caraéleres & des propriétés qui le rendent très-diftinéf des deux autres. Dans Ton plus grand état de concentration, il n’eft qu’un peu plus pelant que l’eau , & dans le rapport de 19 a 17. Sa couleur eft un jaune ci-trin, & Ton odeur approche de celle du fafran.
    • De P Acide végétal.
    • Cet acide eft celui que fourniflent les matières végétales tournées à Paigre, ou celles qui ne font pas parvenues à leur maturité. Du vinaigre , du verjus, du jus de citron , ne font autre choie que de l’acide végétal étendu dans beaucoup d’eau. Dans cet état, il n’a qu’une force médiocre. Mais on peut, par diverfes voies, le priver de la plus grande partie de cette eau fuperflue ; & alors il a une force qui ne cede pas beaucoup à celle des acides minéraux.
    • Un moyen (impie de concentrer ainfi l’acide végétal, eft d’expolèr du vinaigre à toute la rigueur du froid pendant l’hiver. Il fe gèlera en partie: vous ôterez les glaçons; le reliant fera un vinaigre beaucoup plus fort. En réitérant cela plufieurs fois , vous aurez un vinaigre d’autant plus concentré, que le froid aura été plus rigoureux. On pourroit enfuite y employer les froids artificiels, qu’on peut poulïer bien plus loin que les froids les plus grands qu’on ait éprouvés dans nos climats.
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    • Chimie. j83
    • Remarque Gà n èrale.
    • De très-habiles chimiftes font dans la perfua-fïon qu’il n’y a dans la nature qu’un feul acide , fçavoir le vitrio tique , qui, par les diverfes altérations qu’il éprouve dans les plantes & les animaux , par la putréfra&ion & par d’autres caufes, donne les autres acides nitreux, marin & végétal : cela paroît même certain à l’égard de l’acide nitreux , & eft probable à l’égard des autres.
    • Il y a des chimiftes d’un grand nom qui recon-noiflent un quatrième acide minéral ; ils le nomment phofphorique, parceque c’eft le fameux phof-phore d’urine qui l’a d’abord fourni, quoiqu’il exifte , fuivant eux , dans divers cprps minéraux. Cet acide eft beaucoup plus denle & plus puif-fant que le vitriolique. Il paroît difficile de le re-fufer aux preuves de ces chimiftes. Cependant, pour ne pas trop embrouiller la matière , nous nous en tiendrons à la do&rine généralement reçue à cet égard.
    • §. II. Des Alkalis.
    • De même qu’il y a des acides minéraux & végétaux , il y a auffi deux alkalis, l’un minéral, & l’autre végétal. Il y a encore un alkali fixe & un alkali volatil. Mais commençons par faire con-noître ce qui cara&érife un fel alkali.
    • Une faveur âcre & brûlante eft ordinairement le ligne auquel un alkali fe fait connoître. Un autre ligne auquel on le connoît encore, eft la couleur verte dans laquelle il change celle du firop violât, ou la teinture bleue de l’héliotrope. Ainli, toutes les fois qu’une liqueur verfée fur le firop violât, qu le papier teint en bleu par l’hélio-
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    • 384 Récréât. Màthémat. et Phys.
    • trope, le colorera, en vert, on pourra prononcer qu’elle eft alkaline, ou que l’alkali y eft dominant.
    • De VAlkali fixe.
    • Il y a, nous l’avons dit plus haut, un alkali fixe & un alkali volatil.
    • L’alkali fixe eft ainfi nommé , pareeque, quoique expofé à un feu affez fort, il ne fe diffipe point : il fond alors à la maniéré des métaux, & rougit comme eux. Il facilite la fufion des pierres, des terres, des fables, & eft par cette raifon d’un ufage immenfe dans les verreries & dans divers arts.
    • L’alkali fixe minéral eft fourni par le fel marin ; car, lorfqu’on a privé ce fel de l’acide qui entre dans fa compofition , le refte eft l’alkaH fixe minéral : mais il feroit embarraflant & dispendieux de le tirer de là. La maniéré la plus commune eft de faire brûler certaines plantes qui croilfent ou font jetées fur les bords de la mer: tels font le kali, qui a donné le nom à cette efpece de fel ; & diverfes fortes de plantes marines , le varec ou gouemon, les fucus, &c. Les cendres de ces plantes contiennent en abondance cette efpece d’alkali fixe, qu’on peut en retirer pur en les leflivant, & faifant évaporer la leffive. C’eft ce qu’on connoît dans le commerce fous le nom de foude.
    • L’alkali fixe végétal eft tiré communément par la combuftion de la plupart des autres plantes & bois, tel que le bois ordinaire à brûler. On en fait beaucoup par cette voie dans diverfes forêts, où l’on brûle pour cet effet d’immenfes quantités de bois dans des foffes ; & l’on en retire les cendres , qui contiennent beaucoup de cet alkali
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    • fixe, & qui font connues dans le commerce fous le nom de potaffes *. On peut les leffiver, & en-fuite tirer de la leffive, par l'évaporation, un al-kali beaucoup plus a&if.
    • Une autre maniéré de fe procurer un alkali fixe végétal & fort épuré, eft de prendre la lie du vin, & le tartre qui fe dépofe contre les parois des tonneaux. On en fait des paquets ou malles de la groffeur du poing, & on les fait brûler ! jufqu’à ce qu’ils aient pris une couleur blanche. On a par ce moyen du fel alkali fixe végétal affez pur. On le connoît dans le commerce, fous | le nom de fel de tartre ou alkali du tartre.. Il eft abfolument le même que celui de potalfe.
    • Les deux alkalis fixes, le minéral & le végétal, different principalement entr’eux par une propriété . particulière. L’alkaB fixe végétal attire fi fortement l’humidité de l’air, que, pour le con-ferver folide, il faut le mettre dans des vafes fcru-puleufement bouchés. Si on le laiffe expofé à l’air, il fe réfoud de lui-même en liqueur, & dans cet état on l’appelle huile de tartre par défaillance ; dénomination au refte fort impropre, car ce n’eft point une huile.
    • L’alkali fixe minéral, au contraire, loin d’attirer l’humidité, perd la fienne, & tombe en efflo-refcence, c’eft-à-dire en pouffiere: c’eft pourquoi il eft beaucoup plus commode à conferver que l’autre.
    • De P Alkali volatil.
    • Cet alkali eft le produit de la combuftion de la plupart des matières animales, ou feulement de
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    • 386 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • la putréfaction des matières animales ou végétales. L’odeur des corps putréfiés ne vient que de l’alkali qui s’en dégage pendant cette opération, par laquelle la nature les réduit en quelque forte à leurs premiers principes, pour fervir à de nouvelles compofitions. Celle qui faifit fi fortement à l’approche des latrines, n’eft qu’un alkali volatil très-exalté. Il eft appelé volatil, parcequ’une chaleur , même moindre que celle de l’eau bouillante , fuffit pour le diffiper en vapeurs qui fe décèlent toujours par leur odeur pénétrante. Le fel ammoniac n’eft autre chofe que le réfultat de la combinaifon du fel marin avec l’alkali volatil.
    • §. III. Des Sels neutres.
    • Toutes les fois qu’un fel n’eft ni acide , ni alkali, qu’il ne rougit ni ne verdit le firop violât ou le papier bleu *, on l’appelle neutre. La raifon de cette dénomination eft fenfible. Tels font le fel marin, le nitre, les différents vitriols que donne la nature, & uue multitude d’autres fels, tant naturels qu’artificiels.
    • Un fel neutre eft ordinairement formé d’un acide combiné avec une bafe alkaline, ou ter-reufe, ou métallique. Nous allons en donner des exemples, en parcourant les principales combi-naifons des trois acides minéraux avec les diver-fes bafes ci-deflus.
    • Ainli l’acide vitriolique , combiné avec le zinc, forme le vitriol blanc.
    • Avec le cuivre, le vitriol bleu.
    • * Cette réglé eft fujette à quelques exceptions. On çeut cependant la fuivre , avec l’aflurance de n’en être égaré que fort rarement.
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    • Chimie.
    • Avec le fer, le vitriol vert.
    • Avec une terre argileufe, l’alun.
    • Avec une terre calcaire, la félénite.
    • Avec l’alkali volatil, le vitriol ammoniacal.
    • Avec l’alkali fixe minéral, le fel de Glauber, d’Epfom , ou de Seydlitz.
    • Avec l’alkali fixe végétal, le tartre vitriolé.
    • Avec le phlogiftique, le foufre commun.
    • L’acide nitreux , combiné avec l’alkali fixe végétal, forme le nitre.
    • Avec l’alkali fixe minéral, le nitre quadrangu-laire ou cubique.
    • Avec l’alkali volatil, un fel ammoniacal ni-
    • Avec l’argent, un fel particulier, fufible à une chaleur médiocre , connu fous le nom de pierre infernale, à caufe de fa caufticité.
    • L’acide marin , combiné avec l’alkali fixe minéral, forme le fel marin commun.
    • Avec l’alkali fixe végétal, le fel fébrifuge de Silvius.
    • Avec l’alkali volatil, le fel ammoniac.
    • Avec le mercure , lorfqu’il y a excès d’acide , le fublimé corrofif.
    • Lorfque l’acide marin eft parfaitement faturé de mercure , il forme un fel mercuriel doux, ou fublimé doux.
    • L’acide végétal , en particulier celui du tartre, avec l’alkali fixe végétal, forme le tartre.
    • Avec l’alkali fixe minéral, le fel a'ppelé de S ci guette, végétal, ou polycrefe.
    • L'acide du vinaigre , qui ne différé de celui du tartre qu’eo quelques circonftances, avec l’alkali
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    • 388 Récréât. Mathémat. et Phys. végétal, forme le fel appelé terre foliée du tartre;
    • Avec le cuivre , il forme le verdet, fel fort connu dans le commerce , 6c poifon violent.
    • Avec le plomb, il forme le fel appelé fucre de Saturne 9 employé dans les arts , 6c également poifon.
    • Avec le mercure, le fel mercuriel, encore innommé , d’un grand ufage dans les maladies vénériennes. C’eft celui de M. Keyfer.
    • Nous nous fommes bornés ici à donner une idée des compofitions les plus connues des différents acides avec diverfes fubftances. Nous aurions pu en augmenter confidérablement le nombre , car il n’eft pas d’acide qui ne puiffe fe combiner avec prefque tous les alkalis, les terres calcaires , 6c prefque tous les métaux ; mais ces combi-naifons n’ont guere été encore examinées par les chimiftes, 6c plufieurs même ne l’ont été en aucune maniéré ; ce qui fournit un champ bien vafie à de nouvelles recherches.
    • A R T I C L E 11.
    • Du Phlogiflique.
    • LE phlogiflique joue un fi grand rôle dans la chimie , qu’on ne peut auffi fe difpenfer d’en donner une idée avant d’aller plus loin.
    • De tout temps on a reconnu dans les corps fuf-ceptibles d’inflammation , un principe particulier, en vertu duquel ils peuvent fervir d’aliment au feu. Un charbon, par exemple, de bois ou de terre, étant une fois enflammé, continue de bru-
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    • Chimie. 389
    • 1er, diminue, & enfin fe réduit en cendrés. Au contraire, un morceau d’argile rougira au milieu du feu ; mais, laiffé à lui-même , il ne jettera aucune flamme, le feu dont il étoit pénétré fe diffi-pera , & le morceau d’argile reftera tel qu’il étoit. Il y avoit donc dans le charbon un principe d’inflammabilité combiné avec la partie terreufe du charbon , & qui a fervi d’aliment à la flamme ou au feu, qui a enfin été détruit ou exhalé par l’application du feu ; principe qui n’exifte point dans l’argile, dans la pierre , dans le verre, & une multitude d’autres corps. C’eft-là ce que les chimiftes modernes ont appelé le phiogijiique. Les corps gras, huileux, le contiennent éminemment ; car, le feu y étant appliqué, ils font confu-més prefque dans leur totalité, & ne laiffent que très-peu de charbon.
    • Les métaux, tant qu’ils font fous la forme métallique , contiennent du phlogiftique ; car réduifez par une combuftion continuée, du plomb, par exemple, en chaux; ce ne fera plus qu’une matière terreufe, qui, par la fufion, fera fem-blable au verre, & inaltérable comme lui. Mais à ce verre ou à cette chaux en fufion, ajoutez des matières graffes ou de la pouffiere de charbon ; vous verrez aufli-tôt ce verre redevenir métal , & fe féparer des autres matières vitrifiées avec lefquelles il étoit confondu. C’eft-là , pour l’obferver en paflant, le principe de la métallurgie; car le minerai préparé par le grillage, ou fortant de la mine, n’eft ordinairement qu’en état de chaux ; mais en le ftratifiant dans le fourneau avec le charbon, on lui préfente le phlogiftique , qui, fe combinant avec lui, le rétablit fous la forme de métal ; & c’eft par-là qu’il fe dégage B b iij.
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    • des autres terres vitrifiées, qui ne font pas fufcepi tibles de fe combiner avec le phlogiftique : il va au fond , & ces autres matières furnagent.
    • On ne peut pas avoir le phlogiftique feul, ce qui donne lieu de croire que c’eft un être {impie; mais on l’ôte à un corps , on le lui rend, en le faifant paifer d’un corps à un autre.
    • Le corps le plus fimple réfultant de la combi-naifon du phlogiftique, eft le foufre, qu’on démontre n’être que la combinaifon de l’acide vi-triolique avec ce principe : on le démontre, dis-je , par l’analyfe & la recompofition ; car le foufre brûlé produit de l’acide vitriolique encore foiblement combiné avec quelque peu de phlogiftique ; & au moyen de l’acide vitriolique & du phlogiftique'du charbon, on refait du foufre tout-à-fait femblable au foufre naturel.
    • Ce principe aujourd’hui appelé phlogiftique étoit connu, mais imparfaitement, des anciens chimiftes , fous le nom de foufre; mais le foufre n’étant pas un corps fimple, ou du moins n’étant pas aufli fimple que le phlogiftique, il ne fçauroit être un principe : d’ailleurs il n’y a pas plus de foufre dans un morceau de bois ou dans un charbon , que de nitre dans l’air. C’eft la reflource des phyficiens de college, qui, ne fçachant ni ce que c’eft que le foufre , ni ce que c’eft que le nitre, croient avoir tout expliqué quand ils ont, à tout hafard , mis en jeu des nitres & des foufres.
    • Les chimiftes qui cherchent au hafard la pierre philofophale, ont aufli la tête & les difcours fort embrouillés de tous ces foufres. Quand on rencontre aujourd’hui de ces hommes, on peut dire à coup sûr , c’eft un ignorant en chimie, ou un adepte, c’eft-à-dire un vifionnaire.
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    • Chimie.
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    • ARTICLE III.
    • Des Affinités.
    • NO u S ne pouvons pareillement nous difpen-fer de dire ici quelque chofe de ce qu’on appelle affinités ; car elles font la clef de l’explication d’une foule de comportions & de décom-pofitions chimiques.
    • On appelle affinité, la force avec laquelle deux fubftances tendent à s’unir & fe maintiennent dans leur union. Ainfî, par exemple , de l’acide vitrioiique verfé fur une terre calcaire, s’en empare , fe combine avec elle molécule à molécule , & forme un mixte qui n’eft ni terre, ni acide pur ; mais, à cette diffolution , ajoutez de l’alkali fixe, foit végétal, foit minéral, la terre calcaire fera chaffée de fa place, l’acide vitrioiique s’emparera de l’alkali fixe , en abandonnant la première , & formera un nouveau fel.
    • Il y a donc une tendance à fe réunir entre le$> molécules de la pierre calcaire & celles de l’acide vitrioiique , & conféquemment une force qui maintient cette union ; car ce fluide, quoique mixte, paflfe à travers les filtres : d’où il réfulte que ce n’eft pas une fimple divifion & interpofî-tion des parties de la pierre entre celles du fluide diffolvant, comme \e penfoient & le penfent encore les phyficiens qui n’ont aucune teinture de chimie. Ils fe demandent en effet, pourquoi les parties du fer diffous par un acide, fe foutiennenfr da ’ ” —r, malgré leur excès de pefanteur fpé-ci eft inexplicable dans leur phyfique.
    • Bbiv
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    • 591 Récréât. Mathèmat. et Phys.
    • Mais fi chaque partie du fer eft unie à chaque partie du fluide diffolvant, cela ne fait plus de difficulté ; & en admettant ce principe, en admettant auffi une inégalité de force dans cette tendance , fuivant la différente nature des fubftances, tous les phénomènes chimiques s’expliquent fi facilement , qu’on ne peut fe rerufer à admettre cette force dans les particules des corps.
    • On a d’ailleurs des preuves pofitives de la force avec laquelle adhèrent des furfaces polies , même indépendamment de tout fluide environnant. Rien donc de plus naturel que de concevoir une pareille force entre les particules infenfibles des corps ; il fuffit de leur concevoir de petites facettes de différentes formes & grandeurs, par lefquelles elles adhéreront avec une force qui pourra fuivre des lois fort compliquées, puifqu’elle pourra dépendre de l’étendue de la facette, de la denfité de la particule & de fa forme ; car tout cela peut la faire varier de bien des maniérés.
    • Ces affinités ou tendances font en effet très-inégales ; & pour en donner un exemple , la force par laquelle la terre calcaire fe combine avec l’acide vitriolique , eft moindre que celle par laquelle fe combine avec lui un alkali quelconque. C’eft-là la raifon pour laquelle cet alkali fe fubf-titue à la place de la terre calcaire. En général, tous les acides ont plus d’affinité avec les alkalis qu’avec les terres calcaires, avec celles-ci qu’avec les métaux , avec certains métaux qu’avec d’autres ; ce qui fournit des moyens faciles de décom-pofer certains mixtes. Nous en donnerons des exemples auffi inftru&ifs que curieux.
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    • C H I M I i.
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    • ARTICLE IV.
    • Des Dijlolutions & Précipitations.
    • LA diflolution eft une opération par laquelle un fluide fe combine avec les molécules d’un folide ou d’un autre fluide, enforte que chaque particule de l’un contra&e adhérence avec chaque particule de l’autre. Cette union ou adhérence eft produite par l’affinité de c es particules entr’elles ; car s’il n’y a pas affinité plus ou moins grande, il ne fqauroit y avoir diflolution.
    • La diflolution ne confifte pas dans une Ample atténuation des corps diflous , & une interpofition de Tes molécules entre celles du fluide. Quand il n’y a qu’une pareille interpofition, la réparation ne tarde pas de fe faire.
    • La précipitation fe fait, lorfque les molécules du corps diflous, étant abandonnées par le diflol-vant, tombent au fond de la liqueur. Cela fe fait quelquefois par la fimple diminution de la force de ce diflolvant, procurée en l’étendant de beaucoup d’eau ; mais le plus fouvent cela fe fait en préfentant au diflolvant un corps avec lequel il ait plus d’affinité qu’avec le corps déjà diflous. Par exemple, fi, de l’acide nitreux tenant en diflo-lution une terre calcaire, on met dans la diffolu-tion un alkali fixe , l’acide faifira l’alkali, à caufe de fa plus grande affinité , & abandonnera la terre , qui tombera au fond du vafe.
    • D’autres fois la précipitation fe fait, parceque l’on a préfenté à la diflolution un corps, qui, en fe combinant avec le corps diflous, forme un
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    • 594 RécRiat. Màthémàt. et Phys. nouveau mixte infoluble dans le diffolvant : alors il fe précipite au fond ; on en a un exemple dans Popération fuivante. Si l’on fait diffoudre une terre calcaire dans l’acide nitreux ou marin, & qu’on y verfe de l’acide vitriolique, ce dernier s’empare de la terre, & forme avec elle un fel connu fous le nom de félénite. Mais comme la félénite n’eft pas foluble dans les premiers acides, ni même dans l’eau, à moins qu’elle ne foit en très-grande quantité , elle fe précipite au fond* Pareille chofe fe paffe lorfque , dans une folution de mercure par l’acide nitreux, on verfe de l’acide vitriolique: la pouffiere précipitée au fond, eft ce qu’on nomme le précipité blanc.
    • ARTICLE V.
    • De rEffervefcence & de la Fermentation ; Leur différence•
    • RIen de plus commun, parmi ceux qui n’ont qu’unefoible teinture de'chimie , que de confondre ces deux chofes, qui font néanmoins effen-tiellement différentes ; &: il faut convenir que , jufqu’à ces derniers temps, les chimiftes François confondoient ces termes, quoiqu’ils ne confondant pas les opérations qu’elles défignent.
    • L’effervefcence eft le mouvement joint à la chaleur qui accompagne fréquemment une dif-folution. Lorfque, par exemple, on jette quelque peu d’acide nitreux fur de la limaille de cuivre, ou de l’acide vitriolique fur celle de fer , lorfqu’on met une goutte des mêmes acides fur une terre
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    • I Chimie. 39Ç
    • I calcaire, il fe fait tout de fuite une violente ébul-I lition, jufqu’à ce que la combinaifon étant faite 9 I le tout fe raffeoit, & la liqueur devient tranfpa-| rente. Voilà l’effervefcence. Ainfi on dit que les I acides font d’ordinaire effervefcence avec les al-I kalis , les métaux , les terres calcaires.
    • I Mais la fermentation eft toute autre chofer I c’eft le mouvement inteftin & lpontanée qui fe I produit dans certaines liqueurs extraites du genre | végétal, & qui, de douces ou infipides, les rend I fpiritueufes ou vineufes. Le moût, par exemple 9 I ou le jus des raifins preffés ou foulés , n’eft pas S du vin ; il n’y a pas une feule goutte d’efprit, K mais il y en a les principes. Cette liqueur expofée I à une chaleur modérée , fe trouble d’elle-même , | s’agite intérieurement, bouillonne ; & lorfque ce I bouillonnement eft appaifé, c’eft une liqueur j toute nouvelle , fpiritueufe, enivrante, &c. Il I en eft de même de la biere, qui provient de la fermentation du malt, ou de la forte déco&ion de l’orge préparé d’une certaine maniéré. C’eft-là , comme l’on voit, une opération bien différente | de l’effervefcence décrite ci-deffus. Audi, quand un homme parlant chimie confond ces mots, les oreilles d’un chimifte inftruit en font auffi ! cruellement choquées, que le feroient celles d’un [ phyficien qui entendroit employer l’horreur du vuide à expliquer un phénomène.
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    • 396 Récréât. Mathémât. et Phys*
    • ARTICLE VI.
    • De la Criftallifation.
    • ON appelle ainfi cet arrangement particulier que la plupart des fels & même beaucoup d’autres corps affe fient de prendre, lorfqu’ayant été diffous dans un liquide , ôc leurs parties ayant été affez rapprochées les unes des autres par l’évaporation de ce liquide, elles fe mettent en groupes. Comme le criftal de roche eft le premier des corps dans lequel on ait obfervé cet arrangement régulier, il a donné fon nom à celui que les obfervations ultérieures des chimiftes Ôc des naturaliftes ont fait reconnoître dans quantité d’autres corps, ôc en particulier les fels.
    • Qu’on faffe en effet diffoudre dans de l’eau, du fel marin ; qu’on faffe évaporer la folution jufqu’à un certain point, 5c qu’on la laiffe re-pofer dans un lieu tranquille 6c frais, les particules falines étant rapprochées les unes des autres , 6c fe précipitant enfemble au fond du vafe, ou s’attachant aux parois du vaiffeau, formeront des maffes dans lefquelles on ne pourra méconnoître la figure cubique, comme dans le criftal de roche on recorinoît des prifmes à fix pans terminés en pyramides, 5c implantés les uns dans les autres. Si, en faifant évaporer le fluide, on provoque la criftallifation à la furface , elle fe fait en forme de trémies , qui ne font formées que de petits cubes amoncelés dans un certain ordre les uns fur les autres , ainfi que l’a fait voir M. Rouelle, qui a fort ingénieufement expliqué ce phénomène.
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    • Chimie. 397
    • Si c’étoit du falpëtre tenu en diffolution, les criftaux qu’ils formeroit feroient abfolument ref-feinblants à ceux du criftal de roche , c’eft-à-dire* formés de prifmes exagones, terminés par des pyramides auffi exagones.
    • Chaque fel enfin affe&e fa forme particulière.
    • L’alun fe criftallife précifément en o&aëdres , c’eft-à-dire forme une double pyramide quadran-gulaire , adoffée à une bafe commune & quarrée.
    • Le vitriol de fer, ou le vitriol vert, forme des criftaux en cubes obliquangles , ou dont les fix faces font des rhombes à côtés égaux.
    • Les criftaux du vitriol bleu font des dodécaèdres comprimés, dont la forme eft difficile à être exprimée ici fans un long difcours.
    • Le verdet, ou fel provenant du vinaigre combiné avec le cuivre, forme des criftaux qui font en parallélipipedes obliquangles.
    • Le fucre criftallife, ou candi, forme des priâmes quadrangulaires , recoupés obliquement par un plan incliné.
    • Mais, comme nous l’avons dit plus haut, ce ne font pas feulement les fels qui , fe formant en mafles, affettent ces figures régulières , une multitude d’autres corps jouiflent de la même propriété ; la plupart des mines, des pyrites , font reconnoiflables à leur forme particulière ; le plomb minéralifé affeéle, par exemple , beaucoup la forme cubique reâangle ou obliquangle. Il n’eft pas jufqu’aux pierres qui n’aient, dans ce cas, leur régularité. Les criftaux de gypfe ou de plâtre font faits en fer de lance ; aujfi le gypfe eft-il proprement un fel. Le fpath calcaire , connu fous le nom de crijlal cTIJlandc, eft toujours un parallélépipède obliquangle, & incliné dans le fens de
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    • 398 Récréât. Mathémât. et Phys. fa diagonale , & dans des angles déterminés. Les métaux enfin, lorfque, fe refroidiffant lentement, leurs particules ont la liberté de s’arranger, pour ainfi dire , à leur gré ; les métaux , dis-je , prennent une forme régulière , remarquée depuis longtemps dans l’antimoine , mais que depuis on a obfervée dans le fer, le cuivre, le zinc , &c.
    • Comme ce phénomène eft un des pltis curieux de la phyfique , il y auroit matière à un affez long article ; mais, contents de donner ici une forte d’avant-goût de ces phénomènes intéref-fants , nous nous bornons à renvoyer à VEJfai de Crijîallographie} de M. Romé Delifle, qui parut en 1772, in-8°.
    • Nous allons maintenant donner une fuite d’expériences chimiques , qui feront en partie une application des principes ci-deffus, ou qui préfen-teront des phénomènes curieux.
    • ARTICLE VII.
    • Diverfes Expériences chimiques.
    • Première Expérience.
    • Comment un corps de nature combujiible , peut être fans eejfe pénitri de feu fans fe confumer?
    • IL faut renfermer dans une boîte de fer un charbon qui en remplifle toute la capacité , & fouder le couvercle de la boîte. Si vous la jeter enfuite dans le feu, elle y rougira ; vous pourrez même l’y laiffer plufieurs heures, plufieurs jours : lorfqu’après l’avoir laiffé refroidir vous l’ouvrirez, vous trouves» le charbon dans fon entier, quoi-
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    • Chimie.
    • qu'on ne puiffe douter qu’il n’ait été pénétré de la matière du feu, tout comme le métal de la boîte dans laquelle il étoit renfermé.
    • Voici la caufe de cet effet. Pour que le charbon & tout autre corps combuftible fe confume , il faut que le phlogiftique ou la partie inflammable puiffe s’exhaler ; car bn fent aifément que ce qui fait qu’un corps eft inflammable, doit être de fa nature indeftru&ible , & que le feu ne fait que la diffiper. Mais cette diflipation ne peut avoir lieu dans un vaiffeau clos : ainfi le phlogiftique refte toujours appliqué à la matière purement tpr-reftre du charbon , par conféquent il doit toujours refter dans le même état.
    • C’eft-là la caufe pour laquelle des charbons couverts de cendres tardent beaucoup plus longtemps à fe confumer, que s’ils reliaient expofésà l’air libre ; phénomène qui, quoique connu de tout le monde , feroit difficile à expliquer pour tout phyficien qui ignoreroit cette propriété du phlogiftique, & l’expérience ci-deffus qui la conf-
    • IIe Expériense.
    • Tranfmutation apparente du fer en cuivre, ou en argent > & fort explication.
    • Faites diffoudre du vitriol bleu dans de l’eau , enforte que cette eau en foit à peu près faturée; plongez alors dans cette folution, de petites lames de fer, ou de la limaille groffiere de ce métal : ces petites lames de fer ou cette limaille , s’y diffoudront, & la liqueur dépofera à leur place un limon ou une pouffiere qui fe trouvera être du cuivre.
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    • 400 Récréât. Mathemat. et Phys.
    • Si le morceau de fer eft trop gros pour être entièrement diffous, il fe colorera en cuivre ; en-forte que s’il n’eft atteint que fuperficiellement, il femblera qu’il ait été tranfmuté en ce dernier métal. C’eft-là une expérience qu’on fait faire ordinairement à ceux qui vont voir les mines de cuivre ; du moins l’ai-je vu faire à celle de Saint-Bel dans le Lyonnois : une clef, plongée pendant quelques minutes dans une eau qu’on recueilloit au bas de la mine , en étoit retirée colorée en cuivre.
    • Dans une diffolution de mercure par l’acide marin , plongez du fer, ou fur du fer étendez cette diffolution ; le fer fe colorera en argent. On a vu de hardis charlatans tirer parti de ce jeu chimique , aux dépens de la bourfe de gens crédules & ignorants.
    • Remarque.
    • Il n’y a en effet ici de tranfmutation que pour ceux qui ignorent entièrement la chimie. Le fer n’eft point changé en cuivre ; mais le cuivre tenu en folution par la liqueur imprégnée d’acide vi-triolique, eft Amplement dépofé à la place du fer, dont l’acide fe charge en même temps qu’il abandonne le cuivre. En effet, toutes les fois qu’on préfente à un menftrue tenant une fubftance quelconque en diffolution, une autre fubftance qu’il diffout avec plus de facilité , il abandonne cette première, & fe charge de la fécondé. Cela eft £ vrai, que la liqueur qui a dépofé le cuivre étant évaporée , donne des criftaux de vitriol vert, que tout le monde fçait être formés de la combinaifon de l’acide vitriolique avec le fer. C’eft auffi ce que l’on pratique en grand dans cette mine : on met la
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    • C h i m i ë. 4ot
    • liqueur en queftion, qui n’eft qu’une folution affeZ forte de vitriol bleu, dans des tonneaux ou de grands réfervoirs quarrés ; on y plonge de la vieille ferraille, qui au bout de quelque temps difparoît ; & l’on trouve à fa, place un limon qu’on porte à la fonderie , & dont on tire du cuivre. On fait évaporer jufqu’à un certain point la liqueur ainfi chargée de fer, & l’on y plonge des baguettes de bois, qui fe couvrent de criftaux de vitriol vert, qui font d’un débit courant dans le commerce.
    • Cette expérience fe fera également, en diffol-vant du cuivre dans de l’acide vitriolique, & en étendant en/uite un peu , (i l’on veut, cette folution. C’eft une nouvelle preuve que la liqueur ne fait que dépofer le cuivre dont elle étoit chargée.
    • II Ie Expérience,
    • Ou Von précipite fuccefjivement diverfes fubjlances ,
    • par Vaddition d'une autre dans la folution.
    • On a vu dans l’expérience précédente, le cuivre précipité par le fer ; nous allons préfentement précipiter le fer lui-même. Pour cet effet, jerez dans la folution du fer , un morceau de zinc : à mefure qu’il s’y diffoudra, le fer tombera au fond du vafe ; & l’on reconnoîtra aifément que c’eft du fer, car cette pouffiere fera attirable à l’aimant.
    • Voulez-vous préfentement précipiter le zinc, vous n’avez qu’à jeter dans cette folution un morceau de pierre calcaire , de marbre blanc , par exemple, ou d’une autre pierre quelconque dont on peut faire de la chaux ; l’acide vitriolique attaquera cette nouvelle matière , &£. laiflera tomber au fond du vafe une pouffiere qui fera du zinc.
    • Tome IF% C c
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    • 4<n Récréât. Mathémat. et Phys.
    • Pour précipiter maintenant cette terre calcaire, vous n’avez qu’à verfer dans la liqueur, de l’alkali volatil fluide, ou y jeter de cet alkali volatil fous la forme concrète ou folide ; la terrre fera abandonnée par l’acide, & fera dépofée au fond du vafe.
    • Vous précipiterez également , ôc même encore mieux , cette terre calcaire, en verfant dans la liqueur de l’alkali fixe en folution, comme l’eft ordinairement l’alkali fixe végétal, ou en y jetant de l’alkali fixe minéral.
    • Remarque.
    • C’est par un effet femblable, que les eaux dures décompofent le favon au lieu de le diffou-dre, & laiflent tomber au fond une quantité plus ou moins grande de terre calcaire. Voici comment cela fe fait.
    • Les eaux dures ne le font ordinairement, que parcequ’elles tiennent en folution de la félénite ou du gypfe , qui n’eft qu’une combinaifon d’acide vitriolique avec une terre calcaire, foit que cette eau ait roulé à travers des bans de félénite , foit que, contenant des fels vitrioliques, elle ait coulé fur des bans de terre calcaire, qu’elle aura dû attaquer.
    • D’un autre côté, le favon n’eft qu’une combinaifon affez forcée d’un alkali-fixe avec l’huile ou une autre matière graffe ; combinaifon qui n’eft pas d’une grande ténacité.
    • Lors donc que l’on fait diffoudre du favon dans une eau féléniteufe, l’acide vitriolique de la félénite ayant plus de tendance à s’unir avec l’alkali fixe du favon qu’avec la terre calcaire qui entre dans la compofition de la félénite , il
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    • CHIMIE* 4Ô)
    • abandonne cette terre > Te combine avec l’alkali fixe, enforte que le fgvon eft décompofé ; & comme l’huile eft immifcible avec l’eau , elle s’y difperfe en petits flocons , tandis que la tergs calcaire de la félénite tombe au fond.
    • Voilà un nouvel exemple de l’ufage de la chimie pour rendre raifort de certains effets vulgaires, que tout phyficien, qui n’efl: pas éclairé de fon flambeau, ne fqauroit expliquer , au grand fçan-dale des hommes ignorants , qui lui feroient volontiers la réprimande de la bonne-femme à l’aftro-logue tombé dans un puits.
    • IVe Expérience.
    • Avec-deux liqueurs, chacune tranfparente, produire une liqueur noirâtre & opaque : Maniéré de faire de bonne Encre.
    • Ayez d’urt côté une folution de vitriol ferrugineux ou vert, &de l’autre une infufion de noix de galle , ou de quelqu’autre matière végétale Sc aftringente, comme les feuilles de chêne, bien tirée au clair & filtrée ; mélangez une liqueur avec l’autre : vous verrez auffi-tôt le compofé s’obfcur-cir, & devenir noir & opaque.
    • Si vous biffez néanmoins repofer la liqueur , la partie noire qui y étoit d’abord füfpendue, tombera au fond & la biffera tranfparente. Remarque.
    • CétTE expérience donne la raifon de la formation de l’encre ordinaire ; car l’encre que nous employons n’efl: autre chofe qu’une folution de vitriol vert, mélangée avec l’infufîon de noix de galle , & de la gomme» La caufe de fa noirceur
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    • 404 Récréât. Màthemàt. et Phys. n’eft autre que l’effet de la propriété de la noix de galle, de précipiter en noir ou en bleu foncé le fer tenu en folution par l’eau imprégnée d’acide vitriolique. Mais Gomme ce fer ne tarderoit pas à tomber au fond, pour le prévenir, on y met de la gomme qui donne à l’eau une vifcofité fuf-fifante pour empêcher que ce fer , comme infiniment atténué, ne fe précipite.
    • Le lecteur ne fera peut-être pas fâché de trouver ici la maniéré de faire de très-bonne encre.
    • Prenez , de noix de galle une livre, de gomme arabique fix onces, de couperofe verte fix onces, de l’eau commune ou de la biere quatre pintes ; concaflez la noix de galle, & faites-la infufer à une chaleur douce pendant 24 heures, & fans bouillir. Ajoutez la gomme concaffée, & laiffez-la diffoudrë ; enfin ajoutez le vitriol vert, il donnera aufii-tôt la couleur noire. Vous pafferez le mélange au tamis, & vous aurez une encre dont vous pourrez vous fervir auffi-tôt.
    • Ve Expérience.
    • Comment on peut produire des vapeurs inflammables & fulminantes.
    • Mettez dans une bouteille de médiocre capacité , & dont le col foit un peu large & pas trop long, trois onces d’huile ou d’efprit de vitriol, avec douze onces d’eau commune. Il faut faire un peu chauffer ce mélange ; après quoi vous y jetterez à diverfes reprifes une once ou deux de limaille de fer : il fe fera une ébullition violente, & il fortira du mélange des vapeurs blanches. Préfentez une bougie à l’ouverturp de la bouteille; ces
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    • Chimie. 40^
    • vapeurs prendront feu, & feront une fulmination violente ; ce que vous pourrez réitérer même plufieurs fois, tant que la liqueur fournira de fem-blables vapeurs.
    • Il n’eft pas bien difficile d’expliquer ce phénomène , quand on fçait que l’acide vitriolique, en s’unifiant avec le fer, le prive d’une grande quantité de fon phlogiftique ou de fon principe inflammable.
    • VI* Expérience.
    • La Chandelle philofophique.
    • Ayez une veffie, dont l’orifice fort garni d’un tube de métal de quelques pouces de longueur, qui puifle s’adapter dans le col de la bouteille oit vous ferez le mélange de l’expérience précédente. Après en avoir laiffé fortir l’air expulfé par la vapeur ou le fluide élafiique qui eft produit par la difiolution , appliquez au col de cette bouteille l’orifice de la veffie, dont vous aurez auparavant exprimé l’air avec foin : elle fe remplira du fluide élafiique produit par la difiolution du fer. Lorf-qu’etle fera pleine , retirez-la, & appliquez à l’orifice la flamme d’un flambeau ; cette vapeur s’enflammera , & brûlera lentement ; enforte que fi vous comprimez la veffie, vous aurez un beau jet de flamme d’un vert jaunâtre. Voilà ce que les chimifies ont appelé la chandelle philofophique s ou des chimifies.
    • Vire Expérience.
    • Comment on peut faire , par une compofition chimique y un volcan artificiel.
    • On doit à M. Lémery cette curieufe expé-Cc uy
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    • 4o6 Récréât. Mathémàt. et Phys. rience, qui fert à rendre une raifon allez fenfible & affez vraifemblable des volcans.
    • Faites un mélange de parties égales de limaille de fer & de foufre pulvérifé ; réduifez-le en pâte avec de l’eau , & enfouiffez une forte quantité de cette pâte, comme une cinquantaine de livres, à un pied environ fous terre: fi le temps eft chaud, vous verrez, après une dixaine d’heures environ , la terre fe bourfouffler, fe créver, ôç fortir des flammes qui agrandiront les ouvertures , & répandront à l’entour une poudre jaune & noirâtre.
    • Il eft probable que ce qui fe paffe ici en petit, fe pafle en grand dans les volcans ; car on fçait d’abord, que les volcans fournirent toujours du foufre en quantité ; on fçait de plus, que les matières qu’ils rejettent abondent en particules métalliques & probablement ferrugineufes , car il n’y a que le fer qui ait la propriété de faire effervefcençe avec le foufre lorfqu’on les mélange enfemble.
    • Or il eft aifé de concevoir par ce que produit une petite quantité du mélange ci-defliis, de celui que produiroit une quantité de plufieurs milliers ou millions de livres d’un pareil mélange : on ne i peut douter qu’il n’en réfultât des phénomènes j auffi redoutables que ceux des tremblements de terre, & des volcans qui les accompagnent ordinairement.
    • VIII® Expérience.
    • Çompofoion de l'Or fulminant.
    • Faites une eau régale, en mêlant à quatre parties d’efprit de nitre, une de fel ammoniac ; jetez-y des fragments d’or de coupelle : lorfque la folution fera faite, vous verferez dans la liqueur de la
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    • Chimie. 407
    • folution d’alkali fixe, ou autrement de Vhuile de tartre par défaillance : l’or fe précipitera au fond en forme de poudre jaune, que vous retirerez en verfant la liqueur. Il faudra enfuite verfer fur cette poudre de l’eau chaude pour la laver, enfin la fé-cher : vous aurez de l’or fulminant.
    • Pour en faire l’expérience, vous en prendrez une très-petite quantité, que vous mettrez fur la pointe d’une lame de couteau. Cette lame étant mife fur la flamme d’une bougie , lorfqu’elle fera échauffée à un certain point, la poudre s’enflammera, & fera une explofion terrible, 6c incomparablement plus grande que celle d’une quantité femblable de poudre à canon.
    • Ce n’eft pas feulement l’application du feu qui peut faire fulminer l’or ainfi préparé ; le fimple frottement produit cet effet. On a vu quelques particules d’or fulminant engagées entre le col d’un flacon 6c le bouchon , pendant qu’on le fer-moit, faire explofion, brifer le flacon en mille pièces, bleffer 6c eftropier celui qui le tenoit. Pareille chofe arriveroit immanquablement , fi l’on s’avifoit de triturer cet or dans un mortier , ou d’entreprendre de le faire fondre, pour le réduire en maffe métallique, fans des préparatifs convenables.
    • Remarque.
    • L’or ne feroit pas fulminant ,fi l’eau régale étoit faite avec un mélange d’efprit de nitre 6c d’efprit de fel marin, ou d’efprit de nitre dans lequel on auroit mis du fel marin , ( car ce font autant de maniérés de faire de l’eau régale, ) 6c fi l’on précipitoit l’or avec l’alkali fixe ; car il faut, pour que l’or devienne fulminant, quMl entre ou dans
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    • 408 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • l’eau régale, ou dans le précipitant, de l’alkali volatil.
    • Si donc vous employiez pour dilfoudre l’or, une eau régale faite avec l’efprit de nitre & celui de fel marin, il faudroit précipiter l’or avec Pal-kali volatil ; vous aurez encore de l’or fulminant.
    • Pour lui ôter fa propriété fulminante , il faut verfer deflus, ou de l’acide vitriolique , ou de l’alkali fixe en diflolution : il fe fait par-là avec ce qui conftitue l’or fulminant une combinaifon qui le lui enleve ; & après l’avoir lavé, on le retrouve en poudre, qu’on peut réduire fans danger par les voies ordinaires.
    • IXe Expérience.
    • Compojition de la Poudre fulminante.
    • Il faut mélanger enfemble trois parties de nitre, deux d’alkali fixe bien defféché, & une de fou-fre ; mettre enfuite ce mélange dans une cuillère de fer, qu’on expofera à un feu doux , capable néanmoins de fondre le foufre : lorfqu’il fera parvenu à un certain degré de chaleur, il détonnera avec un fracas épouvantable, & tel qu’un coup de canon.
    • Cela n’arriveroit pas, fi cette poudre étoit ex-pofée à un feu trop violent ; il n’y auroit alors que les parties les plus expofées au feu , & en petite quanrité , qui détonneroient tout-à-coup, ce qui diminuerait de beaucoup l’effet.
    • Si on la jetoit fur le feu , elle ne détonneroit pas non plus , & elle ne produirait guere d’autre effet que le nitre pur, qui détonne bien, mais fans explofion.
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    • 409
    • Chimie.
    • Xe Expérience.
    • Liqueur qui fe colore & fe décolore alternativement %
    • en permettant ou interceptant le contact de l'air extérieur avec elle.
    • Faites digérer, c’eft-à-dire diffoudre lentement , au moyen d’une chaleur modérée, du cuivre dans une forte folution d’alkali volatil : à mefure que cette folution attaquera le cuivre , elle fe colorera d’un beau bleu. Mettez la liqueur dans une petite bouteille qui en foit à peu près pleine, & bouchez-la exactement : la couleur s’affoiblira peu à peu, & enfin difparoîtra. Ouvrez la bouteille, elle fe colorera de nouveau peu à peu, & ainfi alternativement, tant qu’on le voudra.
    • XIe Expérience.
    • Prétendue production d'un nouveau Fer.
    • Prenez de l’argile , ou des cendres de végétaux ou d’animaux brûlés, promenez-y un barreau d’acier aimanté ; vous en tirerez fouvent quelques parcelles de fer qui s’y attacheront. Vous vous affurerez par-là qu’il n’y a point de fer en nature dans cette terre ou dans ces cendres.
    • Mélangez enfuite cette terre ou ces cendres avec du charbon en poudre, ou faites-en une pâte avec de l’huile de lin, & mettez le tout dans un creufet , que vous tiendrez rouge pendant quelque temps, mais pas alfez pour produire une vitrification : lorfque cette maffe fera refroidie & remife en poufliere , vous y promènerez un barreau de fer aimanté ; il s’y attachera encore un grand nombre de parcelles de fer.
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    • 4io Récréât. Màthémàt. et Phys, Remarque.
    • On a prétendu donner cette expérience comme une preuve qu’on pouvoit , avec de l’argile 6c de l’huile de lin, produire du fer. Un chimifte célébré de l’Académie , a même été dans cette idée, 6c ne paroît pas l’avoir abandonnée, malgré la contradiction qu’il efluya de la part d’un de Tes confrères. Mais je ne crois, pas qu’il y ait plus aucun chimifte qui voie là une production du fer.
    • En effet, on auroit tort de penfer, qu’après avoir retiré de l’argile le peu de fer qu’y trouve d’abord le barreau aimanté, il n’y en refte plus. L’aimant n’attire que le fer dans fon état métallique, ou en approchant beaucoup ; mais il ne laiffe pas d’y en en relier qui eft en l’état 'd’ocre, ou de fer plus ou moins dephlogiftiqué : dans cet état, il n’ell plus attirable à l’aimant, ainfi que le prouve l’expérience faite fur l’ocre formée artificiellement par la torréfaCtion du fer, ou fur la rouille.
    • Il eft d’ailleurs reconnu que le fer eft de tous les métaux le plus univerfellement répandu fur la terre : c’eft-lui qui eft le principe de la couleur des argiles ; 6c tant qu’une argile eft colorée , elle contient du fer.
    • Que fait donc la torréfaCtion de l’argile avec la pouffiere du charbon ou l’huile de lin, ou toute autre huile ou corps gras quelconque, qui contient éminemment le phlogiftique ? Rien autre chofe que de préfenter à cette ocre de fer , du phlogiftique qui, en revivifiant quelques parcelles, les rend attirables à l’aimant. Voilà toute ta merveille de cette opération.
    • Mais , dira-t-on , quelle apparence y a-t-il que des cendres de bois contiennent du fer ? Nous.
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    • Chimie. 4n
    • répondons à cela, que le fer étant répandu avec la plus grande abondance dans la nature, il n’eft presque aucune terre qui n’en contienne ; qu’il eft fuf-ceptible d’une atténuation prodigieufe ; & que dif-fous dans les liqueurs , il pafle avec elles , en partie du moins , par les filtres : ainfi il a pu facilement s’élever avec la feve des plantes : il circule dans le corps humain avec le fang : enfin, c’eft une vérité aujourd’hui reconnue par les chimiftes, qu’il y a des molécules de fer dans prefque tous les corps ; & même on croit que c’eft ce métal qui colore les plantes, avec le concours de la lumière ; enforte que, fans le fer ou fans la lumière, les plantes n’auroient aucune autre couleur que la blanche» XIIe Expérience.
    • Avec deux liquides mélangés, former un corps folide , ou du moins ayant de la conjîjlance.
    • Faites une folution d’alkali fixe très-concentré ; faites-en une autre de nitre à bafe terreufe *, éga-ment très-concentrée ; mêlez les deux folutions. enfemble : il fe fera une précipitation très-abondante d’une matière qui prendra une forte de fo-lidité.
    • . Cela a paru à quelques chimiftes affez merveilleux pour leur faire donner à cette opération le nom de miracle chimique , & c’eft fous ce nom qu’on la connoît. Il n’y a pourtant ici rien de fort merveilleux, car voici ce qui fe pafte. Les deux folutions étant mélangées , l’acide nitreux abandonne la terre pour s’emparer de l’alkali fixe ;
    • 41 Le nitre à bafe terreufe, eft une combinaifon de l’a-cidç nitreux avec une terre calcaire.
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    • 412 Récréât. Mathémat. et Phts.
    • cette terre fe précipite, & formé le corps folide qui réfulte de ce mélange.
    • Voici une autre opération qu’on pourroit à plus jufte titre appeler miracle chimique. On en doit la remarque à M. de Laffonne, premier médecin de la Reine.
    • XII Ie Expérience.
    • Former une combinaifon qui étant froide foit liquide, & au contraire , étant échauffée , devienne conjijlante en forme de gelée.
    • Prenez parties égales d’alkali fixe, foit végétal , foit minéral, & de chaux vive bien pulvérifée ; mettez-les enfemble dans une quantité d’eau fuf-fifante , que vous foumettrez à une forte & prompte ébullition ; filtrez ce qui en réfultera : cette liqueur palfera d’abord avec difficulté par le filtre , enfuite plus facilement. Confervez-la dans une bouteille bien clofe ; faites-la de nouveau bouillir promptement, foit dans la bouteille , foit dans un autre vafe : vous la verrez fe troubler, & prendre tout de fuite la confiftance d’une colle très-épaiffe. Laiffez-la refroidir , elle reprendra fa tranfparence & fa liquidité, & cela à plufieurs reprifes.
    • M. de Laffonne a fait beaucoup d’expériences pour démêler la caufe d’un phénomène fi fingu-lier , & il en affigne une raifon fatisfaifante. Mais nous croyons devoir renvoyer aux Mémoires de l'Académie des Sciences , année 1773.
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    • Chimie.
    • 4i3
    • XI Ve Expérience.
    • Faire paraître, tout-à-coup un éclair dans une chambre , quand on y entrera avec un flambeau allumé.
    • Il faut faire dilfoudre du camphre dans de l’efprit de vin ; placez enfuite le vafe dans une chambre petite & bien clofe, & faites évaporer l’efprit de vin par une forte & prompte ébullition : lorfque vous entrerez peu après dans cette chambre avec un flambeau , l’air s’enflammera , mais fans aucun danger , tant cette inflammation fera prompte & de peu de durée.
    • On obtiendrait probablement le même effet, en rempliflant l’air d’une chambre d’une pouffiere épaiffe de la femence d’un certain lycoperdon , qui eft inflammable ; car cette femence , qui eft très-menue & comme une pouffiere, s’enflamme tout comme la poix-réfine pulvérifée, dont on fe fert pour les flambeaux des furies & pour faire des éclairs dans l’opéra ; & l’on feroit peut-être bien de l’y fubftituer , parcequ’elle ne produit pas l’odeur grave & défagréable qui réfulte de la poix-réfine brûlée, & qui empoifonne les fpe&ateurs.
    • X Ve Expérience.
    • Des Encres fympathiques , & de quelques Jeux quon exécute par leur moyen.
    • On appelle encres fympathiques ou de fympa-thie, certaines liqueurs qui, feules ou dans leur état naturel, font fans couleur, mais qui,par l’addition d’une autre liqueur ou de quelque circonf-
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    • 414 Récréât. Mathémat. et Phys. tance particulière , prennent de la couleur, quelle qu’elle foit.
    • La chimie préfente un grand nombre de liqueurs de cette efpece , dont nous allons faire connoitre les principales & les plus curieufes.
    • 1. Ecrivez avec une folution de vitriol vert, dans laquelle néanmoins vous aurez ajouté un peu d’acide : cette folution étant abfolument décolorée , on ne verra point l’écriture : lorfque vous la voudrez voir, plongez-la dans une eau où aura été infufée de la noix de galle, ou imbibez le papier avec une éponge plongée dans cette eau ; l’écriture paroitra auffi-tôt. En effet, il eft aif’é , pour qui a compris la 4e expérience , de voir qu’il fe forme ici une encre fur le papier. Dans la formation de l’encre , on combine les deux ingrédients avant que de s’en fervir pour écrire ; ici l’on ne les combine que l’écriture faite : voilà toute la différence.
    • 2. Si vous voulez une encre qui fe coloreroit en bleu , après avoir écrit avec la folution acide de vitriol vert, vous hume&erez l’écriture avec la liqueur fuivante.
    • Faites détonner avec un charbon ardent 4 onces de nitre avec 4 onces de tartre ; vous mettrez enfuite cet alkali dans un creufet, avec 4 onces de fang de bœuf defféché , & vous couvrirez le creufet d’un couvercle percé feulement d’un petit trou ; calcinez ce mélange à un feu modéré, jufqu’à ce qu’il ne forte plus de fumée, après quoi vous ferez rougir le tout médiocrement ; la matière qui en fortira, vous la plongerez encore toute rouge dans deux pintes d’eau, où elle fe diffoudra en faifant bouillir cette eau,
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    • Chimie. 41^
    • que vous réduirez environ à la moitié: vous aurez une eau avec laquelle, fi vous humeâez l’écriture tracée de la maniéré ci-deflus, elle prendra aufli-tôt une belle couleur bleue. Car , dans cette opération , il fe forme , au lieu d’une encre noire , un bleu de Prufle.
    • 3. Diflolvez du bifmuth dans de l’acide nitreux , ce fera la liqueur avec laquelle vous écrirez.
    • Pour la faire paroître, vous vous fervirez de la liqueur fuivante. Faites bouillir une forte folu-tion d’alkali fixe fur du foufre en poudre très-fine, jufqu’à ce qu’il en ait diffous autant qu’il fe peut: il en réfultera une liqueur qui exhalera, on l’avoue , une odeur fort défagréable. Expofez aux vapeurs qui en fortiront l’écriture ci-deflus, elle fe colorera en noir.
    • 4. Mais de toutes les encres fympathiques , la plus curieufe eft celle qu’on fait au moyen du cobalt. C’eft un phénomène fort remarquable, que celui de voir paroître 8c difparoître alternativement , 8c à fon gré , des caraéferes ou des défi-fins tracés avec cette encre ; 8c c’eft une propriété qui lui eft particulière , car les autres encres fym-pathiques font à la vérité invifibles, tant qu’on ne leur applique pas l’ingrédient qui doit fervir à les faire paroître ; mais , ayant une fois paru, ils ne s’effacent plus. Celle qu’on fait avec le cobalt, paroît 8c difparoît prefque tant qu’on veut.
    • Pour faire cette encre, il faut prendre du fafre , que l’on trouve chez les droguiftes ; faites-le digérer dans l’eau régale , enforte qu’elle en tire ce qu’elle peut en diffoudre , c’eft-à-dire la terre métallique du cobalt, qui colore le fafre en bleu ; vous étendrez enfuite cette diflolution, qui eft très-
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    • 4i6 Récréât. Mathémàt. et Phys. cauftique , avec Peau commune , & vous pourrez vous en fervir comme d’encre pour écrire fur le papier. Les caraéteres feront invifibles, car cette folution eft fans couleur fenfible ; mais fi vous les expofez à une chaleur fuffifante, ils paroîtront en vert. Lorfque vous les aurez laiffé refroidir, ils difparoîtront de nouveau.
    • Il faut pourtant obferver que fi on chauffoit trop fort le papier, ils ne difparoîtroient plus.
    • Remarque.
    • On exécute par le moyen de cette encre quelques jeux affez ingénieux & affez amufants ; tels que ceux-ci.
    • i. Faire un tableau qui repréfente alternativement Chiver & l'été.
    • Faites un payfage dont la terre , les troncs d’arbres, les branches, foient peintes avec les couleurs ordinaires, & appropriées au fujet ; mais deflinez & lavez les herbes, les feuilles des arbres, avec la liqueur ci-deffus : vous aurez un tableau qui, à la température ordinaire de l’air , repré-fentera une campagne privée de fa verdure : mais faites-le chauffer fuffifamment, & point trop, vous le verrez fe couvrir de plantes, de feuilles, en-forte qu’il repréfentera alors le printemps..
    • On a fait & l’on fait encore, je crois, à Paris, des écrans peints de cette maniéré. Ceux à qui on les donne , Ôt qui ignorent l’artifice, font bien étonnés de voir, peu après qu’ils s’en font fervis au devant du feu, le tableau qu’ils préfentent ab-folument changé.
    • t. VOracle
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    • Chimie* 417
    • 1. U Oracle magique.
    • On écrit fur plufieurs feuilles de papier , des queftions avec de l’encre ordinaire ; &: au deffous on écrit les réponfes avec la derniere encre fym-pathique. On doit avoir plufieurs feuilles portant la même queftion & des réponfes différentes, afin que l’artifice foit moins aifé à foupçonner.
    • Ayez enfuite une bèîte, que vous appellerez T antre de la Sibylle, ou autrement, & qui dans fon couvercle contiendra une plaque de fer très-chaude , enforte que fon 'intérieur puiffe être échauffé jufqu’à un certain degré.
    • Après avoir fait choifir des queftions, vous prendrez les feuilles choifies , & vous direz que vous allez les envoyer à la Sibylle ou à l’Oracle pour en avoir la réponfe , fk vous les placerez dans la boîte échauffée ; enfin, après quelques minutes., vous les retirerez, & vous montrerez les réponfes écrites. Il faut bien vite remettre à part ces feuilles ; car. fi elles reftoient entre les mains des témoins du tour, ils s’appercevroient que les réponfes s’effacent peu à peu, à mefure que le papièrTe refroidit.
    • XV le Expérience.
    • Des Végétations métalliques.
    • C’eft un fpe&acle des plus curieux de la chimie, que de voir s’élever dans un vafe une efpece d’ar-briffeaü , de le voir pouffer des branches, quelquefois même des efpeces de fruits. Cette image trompeufe de la végétation, a fait donner à cette opération le nom de végétation chimique ou métallique ; & c’eft probablement par un femblable Tome IV; D d
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    • 418 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • artifice qu’on en a impofé à quelques hommes de bonne foi, qui ont cru voir réalifer la palin-généfie. Quoi qu’il en foit, voici les plus cu-rieufes de ces efpeces de végétations, qui ne font dans le fait qu’une forte de criftallifation.
    • Arbre de Mars.
    • Diffolvez dans de l’efprit de nitre médiocrement concentré , de la limaille de fer, jufqu’à faturation. Ayez enfuite de la folution d’alkali fixe de tartre, communément appelée huile de tartre per deliqulum ; vous la verferez peu à peu dans la première folution : il fe fera une forte effervefcence, après laquelle le fer, au lieu de tomber au fond du vafe, s’élèvera au contraire le long de fe s parois, le rapiffera en dedans , & formera une multitude de branchages amoncelés les uns fur les autres, qui débordera fouvent, & fè répandra fur les parois extérieures du vafe , avec toute l’apparence d’une plante. Si, ce qui arrivera quelquefois, il fe répand de la liqueur, il faut avoir foin de la recueillir & de la remettre dans le vafe ; elle formera de nouveaux branchages , qui contribueront à augmenter la maffe de cette efpece de végétation.
    • PI. 8, On donne ici les repréfèntations de deux de fig. 46. ces végétations, tirées d’un mémoire de M. Lé-mery, fils, & inféré parmi ceux de l’Académie, année 1706. On lit une explication affez vrai-femblable de ce phénomène parmi ceux de 1707.
    • Arbre de Diane.
    • On appelle cette végétation arbre de Diane, parcequ’elle eft formée au moyen de l’argent;
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    • comme la précédente eft nommée arbre de Mars, parceque c’eft le fer qui la produit. Pour faire cette fécondé, voici deux procédés, l’un de M. Lémery , l’autre de M. Homberg.
    • Faites diffoudre une once d’argent de coupelle dans une quantité fuffifante d’efprit de nitre très-pur 6c d’une force médiocre ; vous mettrez enfuite cette diflolution dans un bocal, 6c vous l’étendrez dans environ vingt onces d’eau diftillée ; vous y ajouterez enfin deux onces de mercure, Sc vous laifferez le tout en repos : dans l’efpace de quarante jours il fe formera fur le mercure une efpece d’arbre qui, par fes branchages, imitera beaucoup une végétation naturelle.
    • Si l’on trouve ce procédé, du refte fort fim-ple , un peu trop long, voici celui de M. Homberg , au moyen duquel la curiofité eft aufli-tôt fatisfaite.
    • Amalgamez enfemble ( c’eft-à-dire mêlez, au moyen de la trituration , dans un mortier de porphyre & avec un pilon de fer,) deux gros de mercure bien pur , 6c quatre d’argent fin réduit en limaille ou en feuilles ; vous ferez diffoudre cette amalgame dans quatre onces d’efprit de nitre bien pur 6c médiocrement fort, & vous étendrez la iolution dans environ une livre 6c demie d’eau diftillée , que vous agiterez 6c conferverez dan? un flacon bien bouché. Prenez une once de cette liqueur, que vous verferez dans un verre, 6c vous y jetterez gros comme un pois d’une amalgame de mercure 6c d’argent, femblable à la précédente , 6c molle comme du beurre : vous ne tarderez pas à voir s’élever de deffus cette boule d’amalgame, une multitude de petits filaments qui croîtront à
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    • 410 Récréât. Mathémàt. et Phys. vue d’œil, jetteront des branches, & formeront des efpeces d’arbrifleaux.
    • M. Homberg enfeigne , ( Mém. de : F Acad., ann. 1710,) une maniéré de faire uné pareille végétation , foit avec l’or, foit avec dé l’argent, par la voie feche , c’eft-à-dire fans folution, mais par la voie de la diftillation1.
    • Il y a encore une efpece de végétation remarquée par M. de Morveau , & appelée par lui barbe de Jupiter, parceque l’étain y entre comme compofant ; mais je ne puis pas la décrire, n’étant pas à portée d’avoir fes EJJ'ais chimiques.
    • Végétation non métallique.
    • Faites détonner avec un charbon ardent 8 onces de falpêtre, que vous mettrez enfuite à la cave, pour qu’il en réfulte une huile de tartre per deli-quium; verfez deflfus peu à peu & jufqu’à faturation parfaite, de bon efprit de vitriol ; faites évaporer toute l’humidité : vous aurez une matière faline , blanche, compafte & très-âcre. Vous la mettrez dans une écuelle de grès , vous verferez deflus un demi-feptier d’eau froide , & laiflTerez le tout ex-pofé à l’air : au bout de quelques jours l’eau s’évaporera , & il fe formera de côtés & d’autres des branchages en forme d’aiguilles diverfement entrelacées , & qui auront jufqu’à 15 lignes de longueur. Lorfque l’eau fera entièrement évaporée , fi on en ajoute de nouvelle, la végétation continuera.
    • Il eft aifé de voir que c’eft ici une fimple crif-tallifation d’un fel neutre, formé de l’acide vi-triolique & de la bafe du nitre, c’eft-à-dire d’un tartre vitriolé.
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    • Chimie. 421
    • X VI Ie Expérience.
    • Produire la chaleur & même la flamme par lé moyen de deux liqueurs froides.
    • Prenez de l’huile de gaïae, que vous mettrez5 dans une petite terrine ; ayez enfuite de l’efprit de nitre, allez concentré pour qu’une petite bouteille qui contiendroit une once d’eau , contienne 9 étant remplie de cet acide , une once 8c demie & quelque chofe de plus. Cet acide doit être dans une bouteille emmanchée à un long bâton ; on en-verfera les deux tiers environ fur l’huile contenue dans la terrine : il s’excitera un violent bouillonnement , qui ne tardera pas d’être fuivi d’une très-grande flamme. Si la flamme ne furvient pas après quelques fécondés, vous n’avez qu’à verfer le ref-tant de l’acide nitreux fur l’endroit le plus noir de l’huile, l’inflammation ne manquera pas de. fuccéder, 8c il reliera une efpece de charbon fpongieux 8c fort gros.
    • On enflamme de même l’huile de térébenthine , l’huile de faffafras , 8c toutes les autres huiles effentielles.
    • A l’égard des huiles gralfes , comme celles d’olive , de noix, 8c autres tirées par expreflion, on y réuflit au moyen d’un acide formé du mélange des acides vitriolique 8c nitreux bien concentrés , parties égales de chacun.
    • XVIIIe Expérience.
    • Fondre du fer dans un inflant, & le faire coûter en gouttes.
    • Il faut faire chauffer à blanc une barre de fer , & enfuite lui préfenter une bille de foufre ; le fer Ddiij
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    • 4i2 Récréât. Mathémat. et Phys. fe mettra tout de fuite en fufion, & coulera en goutte^. Il fera à propos d’expofer au deflbus une terrine pleine d’eau, dans laquelle les gouttes qui couleront s’éteindront aulîi-tôt. On les trouvera réduites en une efpece de fer de fonte.
    • On fe fert de ce procédé pour faire la grenaille de fer pour la chaffe ; car ces grains de fer fondu tombant dans l’eau, s’y arrondirent affez bien.
    • Voici encore deux petites expériences que nous ne donnons ici, que parcequ’on a coutume de leur donner place dans les récréations phyfiques.
    • XIX* Expérience.
    • Paire fondre du métal dans une coquille de noix.
    • Prenez une piece de monnoie très-mince, comme une piece de 18 deniers, & même plus mince encore ; mettez-la, après l’avoir pliée en un rouleau, dans une demi-coquille de noix, où elle foit environnée d’une poudre compofée de trois parties de falpêtre broyé fin & bien defféché , deux parties de fleur de foufre & une de rapurè de quelque bois tendre ; mettez enfuite le feu à cette poudre avec une allumette : la piece de métal fondra, fans que la coquille foit plus que fuper-ficiellement brûlée.
    • _ Cela vient fans doute de l’a&ivité de ce feu, aidé de l’acide vitriolique contenu dans le foufre, & qui agit avec une telle promptitude, qu’il n’a
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    • Chimie.
    • XXe Expérience.
    • 4*3
    • Partager une piece de monnoie en deux dans fort épaifeur.
    • Fichez dans une table trois épingles, fur lesquelles vous placerez la piece de monnoie ; mettez au deflus & au deffous un tas de fleurs de foufre , auxquelles vous mettrez le feu : lorfqu’il fera éteint, vous trouverez fur la partie fupérieure une Superficie du métal qui fera détachée de la piece.
    • On a obfervé que fur une piece d’or, comme un louis, on enleveroit pour 12 fous d’or, en dé-penfant pour 30 à 40 fous de foufre ; ce qui fuffit pour rendre cette expérience nullement dange-reufe pour la sûreté publique. D’ailleurs la piece de monnoie perd en grande partie la netteté de fon empreinte ; ainfi celui qui entreprendroit- de rogner ainfi la monnoie, feroit la vi&ime de fa mauvaife volonté.
    • Ce que nous venons de dire eft bien propre à infpirer à nos le&eurs la curiofité de pénétrer plus profondément dans cette belle fcience. Nous allons donc indiquer à ceux qui attroient ce def-fein , les livres où ils peuvent puifer le plus facilement cette connoiflance. Nous mettons dans ce rang, & au nombre des ouvrages les mieux faits , les Eléments de Chimie théorique & pratique de M. Macquer, en 3 vol. in-12, dont le premier contient la théorie, & les deux autres la pratique, c’eft-à-dire les expériences déduites & expliquées d’après les principes jetés dans le premier volume. On doit au même auteur un excellent Dictionnaire de Chimie, en 2 vol. 111-8°, dont il par oit r a bientôt Ddiv
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    • 414 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • une nouvelle édition augmentée de plus d’un tiers. Cet ouvragé doit faire fuite au précédent. On peut joindre à Ces ouvrages le Manuel de Chimie de M. Baumé ; c’eft un précis très-bien fait de toutes les opérations de cet art. Nous ajouterons, heureux & trois fois heureux ceux qui ont pu fe procurer le précis des leçons de chimie de M. Rouelle ! Mais elles n’exiftent encore que manufcrites*, entre les mains de quelques-uns de ceux qui ont fuivi fon cours.
    • On vient d’imprimer à Dijon un Traité de Chimie, dû principalement à M. de Morveau, magiftrat qui, à l’étude des lois & à l’exercice éclairé des fondions de fon état, réunit des con-noiflances profondes dans la phylîque & la chimie. Cet ouvrage envifage la chimie fous un af-pe& particulier, & en préfente un développement tout-à-fait neuf & fatisfaifant.
    • On faifoit autrefois grand cas des Eléments de Chimie de Boerhaave ; mais aujourd’hui ils ne jouiffent plus, comme livre de chimie, de la même eftime: c’eft néanmoins un excellent traité de phyfique, & une très-bonne introduftion à la chimie moderne. La partie qui traite du feu, pafle entr’autres pour un chef-d’œuvre.
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    • Chimie.
    • 4*5
    • DIGRESSION
    • Sur la Pierre philofophale , VOr potable , &. la Palingénéjîe.
    • NOus venons de nommer les deux plus célébrés chimères de l’efprit humain : nous difons les deux plus célébrés ; car, quoique la quadrature du cercle dans la géométrie , le mouvement perpétuel dans les mécaniques, aient auffi une grande célébrité par les efforts inutiles d’une foule de gens, cette célébrité le cede néanmoins à celle des deux premières queftions ci-deffus , à peu près dans le même rapport que l’intérêt de trouver la quadrature du cercle ou le mouvement perpétuel, le cede à celui de trouver le moyen d’acquérir d’immenfes richeffes , ou de fe rendre prefque immortel : auffi y a-t-il eu dans tous les temps un grand nombre d’hommes qui, féduits par ces chimères , ont fait des recherches incroyables pour arriver à l’un ou l’autre de ces buts.
    • Tel eft le caraâere de l’efprit humain ;
    • Quid non mortalia peclora cogunt,
    • Auri facra famés, vitœque immenfa cupido !
    • Nous allons donc ici traiter de ces problèmes chimiques , foit parcequ’ils préfentent une matière toute de notre reffort, foit parceque ce que nous dirons fervira peut-être de préfervatif contre l’il-lufion dont tant de gens ont été les dupes.
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    • 426 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • § . I. De la Pierre philofopkale.
    • La pierre philofophale , autrement dite l’œuvre par excellence, la chryfopeè *, ou la tranfmuta-tion des métaux vils & imparfaits, en or ou en argent, a, depuis un temps immémorial, été lé but auquel ont tendu les efforts d’une foule de gens, foit verfés dans la chimie, foit à peine initiés dans cette fcience. Le vulgaire même croit que c’eft-là l’unique objet de la chimie ; &, il faut en convenir, c’eft un peu*la faute des premiers qui ont cultivé cette belle partie de la phy-lique : il en eft peu qui n’aient donné jà plein col- . lier dans le travers de chercher à faire de l’or.
    • Il n’y a plus aujourd’hui un auffi grand nombre de gens entêtés de la pierre philofophale ; du moins parmi les chimiftes éclairés , aucun ou prefque aucun ne court après le moyen de faire de l’or : mais il y a encore beaucoup de gens qui, ayant à peine une idée des plus fimples opérations de la chimie , s’épuifent en tentatives inutiles à régénérer ce métal précieux : on les voit, marchant au hafard, fe croire toujours fur le point de réuflir ; manquant de tout , s’en confoler par l’agréable idée qu’à cette indigence va fuccéder la pofTeflion des tréfors les plus immenfes. Ils s’appellent adeptes, parcequ’ils prétendent avoir atteint le point le plus élevé de la philofophie , quaji fummam fapientiam adepti ; ils ne parlent qu’énigmatiquement & d’une maniéré inintelligible , parceque le monde ne mérite pas de poffé-der un pareil fecret ; pleins enfin d’un froid
    • Xpvrê
    • tua, auri fabrication
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    • Chimiê. 417
    • orgueil, ils honorent d’un rire fardonique les chimiftes raifonneurs , & qui cherchent à déduire les phénomènes de principes lumineux & établis. J’en ai vu un de cette efpece, écouter avec pitié une leçon de chimie du do&eur Roux : il n’avoit pas de fouliers ; mais il fembloit dire à part lui : A quoi s’amufent ces grands enfants ? C’étoit pourtant une des leçons les plus intéreffantes d’un cours de chimie de ce fçavant homme ; elle rou-loit fur le phlogiftique.
    • On pourroit dire à ces chercheurs de la pierre philofophale : Avant que de nous faire de l’or, défaites-le, & recompofez-le ; car s’il eft quelque moyen de reconnoître & démontrer la compofi-tion d’une fubftance, c’eft celui de la décompo-fer & de la recompofer. C’eft ainfi que les chimiftes , décompofant & recompofant le foufre , démontrent qu’il eft formé par l’union de l’acide vitriolique avec le‘phlogiftique. On pourroit encore dire à ces mêmes alchimiftes : Avant que de nous faire des métaux précieux, comme l’or & l’argent, faites-nous feulement du plomb * ? car , avant d’aller au plus difficile, la méthode exige qu’on exécute le plus aifé. Mais je ne connois aucune opération chimique qui réfolve un feul de ces deux problèmes. L’or , auffi rebelle à la dé-compolition qu’à la compofition , refte toujours le même, de quelque maniéré qu’on le traite; il eft feulement plus ou moins atténué, mais il n’eft jamais dans un état de chaux , ou privé de fon phlogiftique. On en a tenu pendant plufieurs
    • * On a prétendu faire du fer ; mais il eft aujourd’hui démontré qu’on n’a fait que rendre au fer fa forme métallique.
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    • 4i8 Récréât. Màthemat. et Phys., années en fufion , fans qu’il ait perdu la moindre partie de fon poids. Mais entrons dans un raifon-nement plus profond fur cette matière.
    • En raifonnant fur la compofition des métaux , il faut reconnoître nécefîairement l’une de ces deux chofes : Ou tous les métaux ont chacun leur terre propre , qui, alliée au phlogiftique qui leur eft commun, leur donne la forme métallique ; ou il y a une terre commune , qui, alliée avec le phlogiftique, dans des dofes plus ou moins grandes , ou d’une maniéré plus ou moins tenace , conftitue les différents métaux.
    • La première de ces propofitions paroît la plus, probable. Jufqu’à préfent, quelques opérations qu’on ait tentées, avec quelque confiance qu’ort ait tourmenté par le moyen du feu une matière métallique, de la chaux de plomb, par exemple , jamais on n’en a fait de l’étain ou du cuivre. Quand cette chaux a reparu fous fa forme métallique , elle s’eft trouvée du plomb. On n’a jamais tiré du plomb de matières qui n’en conte-noient pas déjà. On eft fondé à en conclure, & la raifon avoue cette conféquence, qu’il y a une terre uniquement propre à faire du plomb , & qui n’a befoin, pour en faire, que de l’addition du phlogiftique. Si cela eft, on ne peut donc faire d’autre plomb, d’autre or, d’autre argent, que celui qui étoit difleminé dans la terre. Toute la prétendue chryfopée ou argyropée fe réduira à raf-fembler, par quelque procédé, l’or ou l’argent qui y étoit déjà formé , fk feulement déguifé par la perte de fon phlogiftique.
    • Si tous les métaux ont une terre commune, que quelque principe particulier, quelque combinaison inconnue, rende or , argent ou plomb, il faut
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    • tHIMIE. 419
    • convenir que la génération de l’or ou de l’argent n’eft pas abfolument impoffible. Mais il faut être bien infenfé pour chercher cette combinaifon au hafard, & pour la chercher fans s’être alluré d’abord qu’en effet tel eft le principe de la formation des métaux. Il faudroit donc, avant de chercher la pierre philofophale, commencer par avérer fi ce dernier principe eft le véritable. Or cela exigeroit une prodigieufe fuite d’expériences & de travaux chimiques ; car il feroit néceflaire,
    • 10 De s’affurer fi toutes les terres métalliques font abfolument les mêmes, lorfqu’elles font entièrement privées de leur phlogiftique. Mais ce n’eft d’abord pas un problème facile que d’ôter tout le phlogiftique à ces terres ; on n’a pu encore venir à bout de le faire à l’égard de plufieurs ; il en eft même , fçavoir celles des métaux parfaits, qui en retiennent toujours la plus grande partie. On a tenu de l’or pendant plufieurs années en fufion , fans qu’un feul atôme fe foit réduit en chaux.
    • 11 y a même toute apparence que ces terres font de différentes natures , car les verres métalliques ont tous des couleurs différentes. Or des couleurs différentes annoncent des contextures différentes , & conféquemment l’hétérogénéité.
    • Mais fuppofons qu’on fût venu à bout de priver abfolument de fon phlogiftique une terre métallique , un nouveau problème non moins difficile , feroit de le lui rendre ; car l’expérience a appris que plus une terre métallique a été déphlogifti-quée, plus on a de peine à lui rendre la forme métallique. Il en eft quelques-unes que tout l’art de la chimie n’a encore pu réduire en métal.
    • On voit par-là quelles difficultés s’oppofent à ce que l’on fçache même ce qu’on doit penfer
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    • 45<> Récréât. Mathémat. et Phys.
    • fur la nature des métaux , & fur ce qui les confti-tue*tels. Comment donc faire de l’or ou de l’argent , puifqu’on ne fçait pas même comment on feroit du plomb ?
    • Mais écoutons les alchimiftes, & voyons quelques-unes de leurs prétentions fur la formation des métaux.
    • Suivant eux, les métaux font tous formés d’une terre qu’ils appellent mercurielle, mais plus ou moins mure, plus ou moins mêlée d’hétérogénéités ; de maniéré qu’il ne s’agit que de les purger de cette hétérogénéité & de les mûrir, pour convertir les métaux imparfaits en métaux parfaits.
    • Voilà qui eft fort beau. Mais qui a prouvé I’exiftence de cette terre mercurielle? qui a prouvé que la différence des métaux confiftoit dans ce plus ou moins de maturité ? en quoi confîfte cette maturité ? par quels moyens peut-on la donner ? Aucune réponfe folide. Les partifans de cette idée , féduits par des mots, n’ont aucune idée jufte & précife de ce qu’ils difent.
    • Suivant d’autres alchimiftes, le mercure contient en principe tous les métaux parfaits ; il en a l’éclat, à peu de chofe près le poids, il eft même plus pefant que l’argent. S’il eft fluide & extrêmement volatil, c’eft qu’il eft allié à des impuretés qui le dégradent. Il ne s’agit donc que de fixer le mercure, en lui enlevant ces impuretés : alors vous aurez le mercure des philofophes, qui n’a befoin que d’un degré de cuiflon pour être pouffé au rouge; il en réfultera de l’or: pouffé feulement au blanc, il fournira de l’argent : que dis - je ? cette matière aura une telle aftivité fur les parties impures des autres métaux, qu’en en jetant une pincée dans un creufet rempli de plomb fondu,
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    • Chimie. 43«
    • elle le tranfmuera en argent ou en or , fuivant qu’elle aura été pouffée ou au blanc ou au rouge. 11 relie à fçavoir comment détruire les impuretés qui dégradent le vif-argent. Ariftée, adepte célébré , va nous l’apprendre le plus clairement du monde dans fon Code de Vlrité. Prenez, dit-il, le roi Gabertin, 8c la princefle Beya fa fœur , jeune fille, belle , blanche 8c très-délicate ; ma-riez-les enfemble : Gabertin mourra prefque auflï-tôt. Mais ne vous effrayez pas; mettez-le au tombeau : après quatre-vingts jours, Gabertin renaîtra de fes cendres ; 8c devenu plus beau 8c plus parfait qu’avant fa mort, il engendrera avec Beya un enfant roux, plus beau 8c plus parfait qu’eux-mêmes. Dira-t-on, après cela, que les alchimilles s’expliquent obfcurément ? Quel eft le vrai adepte, (car il y en a de vrais 8c de faux, 8c chacun ne doute point qu’il ne foit du nombre des premiers,) quel eft, difons-nous, le vrai adepte qui ne verra évidemment dans cette allégorie , tout le procédé de la fixation du mercure 8c de la poudre de pro-jeélion ?
    • Ce langage 8c cette affeftation d’allégories obf-cures, font fans doute bien propres à faire palier ces prétendus adeptes pour d’infîgnes 8c méprifa-bles charlatans, ou au moins pour des gens à qui le feu de leurs fourneaux a fort dérangé le cerveau. Mais les partifans de leurs recherches 8c de leurs folies allèguent des faits, 8c nous devons auffi les faire connoître.
    • On raconte que M. Helvétius, médecin, 8c profefleur célébré de médecine en Hollande, ayant déclamé un jour vivement, dans une de fes leçons , fur la vanité 8c l’abfurdité de la pré-, tention de faire de l’or, fut vifité par un adepte ,
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    • 432 Récréât. Mathémat. et Phys. qui lui donna d’une certaine poudre, dont une pincée projetée dans un creufet plein de plomb fondu, le transformeroit en or; que le fçavant Hollandois l’exécuta, & tira en effet une bonne quantité d’or de fori plomb. Il voulut voler chez fon adepte ; mais il lui avoit donné une fauffe adreffe, & avoit difparu ; car les chimiftes de cet ordre ne manquent jamais de difparoître ainfi , au moment où ils ont fait preuve de leur fçavoir profond.
    • Pareille chofe arriva , dit-on, à l’empereur Ferdinand. Un adepte vint le trouver, & lui propofa de transformer du mercure en or. On fit, en la préfence du prince, fondre du mercure dans un creufet ; l’adepte exécuta les opérations qu’il lui plut, & le fond du creufet fournit un culot d’or. Mais dans l’intervalle où l’on vérifioit le métal, il difparut, au grand regret de l’empereur, qui envifageoit déjà d’immenfes tréfors dans l’ac-quifition de ce beau fecret.
    • En ce moment (Septembre 1777,) on voit à la vente des effets délaiffés par feu M. Geoffroy, trois clous qui font, dit-on, une preuve de la poifi-bilité de tranfmuer du moins en argent un métal commun, tel que le fer. Ils font, à ce qu’on dit, l’ouvrage d’un fçavant adepte , qui voulut lui prouver la poffibilité de la tranfmutation des métaux. Un de ces clous a été changé en argent, ayant été trempé dans une liqueur appropriée ; l’autre, n’ayant été trempé que par la tête, eft fer par la pointe, & argent du côté de la tête ; le troifieme, ayant été trempé dans la liqueur par la pointe, a ce bout tranfmué en argent, & le fur plus eft refté fer.
    • Malgré ces autorités, nous ne croyons point à la
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    • Chimie.
    • la pierre philofophale. Il eft très-vraifemblable qu’il y a eu de la fourberie dans toutes ces prétendues tranfmutations, fi toutefois les hiftoires racontées ci-deffits ont quelque réalité. Enfin , nous croirons à la pierre philofophale , quand nous aurons vu quelque adepte faire devant nous les mêmes opérations ; mais il nous permettra de fournir nous - même les creufets , lés baguettes St les. ingrédients : car il eft'plus que probable que , fi l’on a fait de l’or de cette maniéré, c’eft qu’il étoit dans les matières qu’on a employées, ou qu’on l’y a glifte par un tour de main adroit.
    • Quoi qu’il en foit, les aîchimiftes prétendent que toutes les fables de l’antiquité ne font autre chofe que le procédé du Grand-œuvre, expliqué fymboliquement. La conquête de laToifon d’or, la guerre,de Troye , les événements qui la fuivirent, St tout'ela mythologie, ne font que des emblèmes de la chryfopée , fageinent vcfilée par les anciens philofophes , qui n’ont pas voulu que leur fecret, devenu commun, fût employé à multiplier excefli-vement les métaux précieux, qui dès-lors auraient perdu leur prix , St cefte d’être les médiateurs du commerce entre les hommes. On peut voir dans le curieux ouvrage de Dom Pernetty, intitulé, les Fables Egyptiennes & Grecques , en 3 vol. in-8°, y compris le Dictionnaire Mytho-hermétique , juf-qu’oii la fagacité humaine peut s’étendre à trouver de femblables explications. Mais il n’eft rien qu’on ne puiffe expliquer d’une pareille maniéré. Auffi ai-je ouï parler d’un adepte qui demeure au faux-bourg Saint-Marceau ,, St qui, perfuadé que toute l’Hiftoire Romaine n’eft qu’une fi&ion , «va en donner une explication chimique, qui fervira.de pendant aux Fables Egytiennes & Grecques: j’ai Tome IF. Ee
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    • 434 Récréât. Mathémat. et Phys. même ouï dire que l’hiftoire du combat des Ho-races avec les Curiaces y eft expliqué avec une apparence de vérité, capable de faire douter que ce fameux trait de l’Hiftoire Romaine ait jamais eu quelque réalité.
    • §. II. De l'Or potable.
    • S’il n’y a pas d’apparence qu’on fafle jamais de l’or, n’eft-il pas poflible de tirer parti de ce métal précieux pour prolonger la vie ? L’or eft un métal inaltérable , aufli difficile à défaire qu’à faire : il eft le roi dans le monde métallique , comme le foleil, auquel on l’affimile , l’eft dans le fyftême de l’univers. La nature ne peut avoir manqué de cacher dans ce corps précieux les re-medes les plus utiles pour l’humanité ; mais pour cela il faudroit le faire pafler fous la forme d’un liquide dans le corps humain; il faut le rendre potable : travaillons donc à l’or potable. Une vie prolongée prefque indéfiniment, vaut bien au moins autant que tous les tréfors de l’univers.
    • Tel eft en fubftance le raifonnement des alchi-miftes ; & en conféquence ils ont fournis l’or à une multitude d’opérations, au moyen defquelles ils ont prétendu le rendre foluble comme un fel dans l’eau. Il en a en effet l’apparence, mais, à dire vrai, ce n’eft que de l’or extrêmement atténué, & foutenu par-là dans un liquide : du refte, il n’eft nullement combiné avec le fluide , & même peu à peu il fe dépofe au fond fous fa forme métallique.
    • Quoi qu’il en foit, voici un moyen de faire une efpece d’or potable : nous examinerons enfui te fi, quand même ce feroit une vraie folution d’or,
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    • les vertus d’une pareille liqueur feroient .auffi mer-veilleufes & auffi falutaires pour le corps humain, qu’on le prétend.
    • Il faut d’abord diffoudre de l’or dans l’eau régale ; puis agiter cette folution avec quinze ou jfeize fois autant d’une huile effentielle quelconque , de romarin, par exemple ; enfuite féparer l’eau régale qui occupe le fond, d’avec l’huile effentielle ; enfin diffoudre cette huile effentielle dans quatre ou cinq fois fon poids d’efprit de vin bien re&ifié : on aura une liqueur jaunâtre , connue fous le nom de l’or potable, de mademoifelle Grimaldi.
    • L’éther vitriolique & les liqueurs1 éthérées de diverfes efpeces, jouiffent de la même propriété que les huiles efferttielles , fqavoir , de s’emparer de l’or diffous dans l’eau régale. Ainfi l’on peut faire une efpece d’or potable avec de l’éther. Cet or pourra alors fe prendre en gouttes fur du fucre, comme l’on fait quand on prend de l’éther; car cette liqueur n’eft pas mifcible avec l’eau.
    • Les fameufes gouttes du général Lamotte , ne different guere de l’or potable de mademoifelle Grimaldi. On'a remarqué qu’un gros d’or y étoit étendu dans 216 gros de liqueur fpiritueufe; &C comme les bouteilles dévoient être du poids de deux gros, & que le général Lamotte les vendoit 24 livres chacune, il réfulte qu’avec un gros d’or il faifoit au moins 108 bouteilles, dont il retiroit au moins 2592 livres. Dans la réalité, il en faifoit 136 , ce qui lui valoit 3264 livres.
    • On voit par-là que fi les gouttes du général Lamotte nétoient pas fort utiles pour la fanté, elles étoient fort utiles pour fa bourfe ; car un pa-
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    • Récréât. Mathémat. et Phys. reil gain peut être qualifié de mônftrueux. Que ne fait pas chez les hommes le charlatanifme , quand il a pour bafe l’ignorance & l’amour de la vie!
    • Mais examinons s’il y a quelque fondement dans les merveilleufes propriétés de l’or potable. Pour peu qu’on raifonne , on n’aura pas de peine à reconnoître que rien n’eft plus légèrement fondé. Quelles preuves en effet les alchimiftes ont-ils , que l’or eft fi lalutaire au corps humain ? Parce-que ce métal eft le plus fixe de tous , qu’il a la belle couleur jaune des rayons du foleil , qu’il eft défigné en cara&eres chir iques par le ligne cara&ériftique de cet aftre, eft-ce une raifon d’en conclure que, réduit fous une forme liquide ôc verfe dans le fang , il le régénérera, & rendra la jeunefte ou la fanté ? Quelle tête accoutumée à tirer des conféquences légitimes d’un principe, en conclura pareille chofe ? Toutes les vertus de l’or potable ne font fondées que fur des analogies inventées fans aucun fondement phy fique * par des imaginations exaltées , & des cerveaux brûlés par le feu des fourneaux. C’eft tout ce qu’on peut dire de plus honnête ; car il eft probable qu’il y entre autant d’impofture, que de crédulité ou de défaut de raifonnement.
    • §. III. De la Palingénéjie.
    • La palingénéfie eft une opération chimique , par le moyen de laquelle on refiuicite, dit-on , une plante, un animal, de fes cendres. Ce feroit-là fans doute un des beaux fecrets de la phyfique Sc de la chimie. Si l’on en croit quelques auteurs, plufieurs fqavants du fiecle dernier en ont été en poffeflionj mais quoiqu’il n’y ait aucune compa-
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    • raifon à faire entre l’état aéluel de la chimie 5c celui où elle étoit au milieu du fieele pafle, quoique ce beau fecret loit configné dans divers livres r il n’en eft pas moins perdu. Nous n’entreprendrons pas de le rendre au monde fçavant ; nous nous bornerons à examiner les fondements fur lefquels de bonnefe-gens, comme l’abbé de Valle-mont* 5c autres, ont pu croire qu’il ait jamais exifté.
    • Si l’on en croît ce bon abbé, rien n’eft plus limple 6c plus facile à expliquer que cela. En effet, dit-il d’après le P. Kircher, là vertu fémi-nale de chaque mixte eft renfermée dans fes fels , 5c ces fels, dès que là chaleur les met en mouvement , s’élèvent dans la capacité du vafe. Libres alors de s’arranger à leur gré, ils reprennent leur difpofition primitive , ils s’alignent comme ils fe feroient alignés par l’effet de la végétation, ou comme ils l’étoient avant que le feu eût tout bouleverfé: ils forment enfin une plante ou un fantôme de plante tout reffemblant à la plante détruite.
    • Ce railonnement eft tout-à-fait digne dé celui qui a pu penfer qu’un homme qui vole la bourfé d’autrui, peut exhaler des particules différentes de celles qu’exhale l’homme qui emporte la fienne , 6c peut par-là faire tourner la baguette divinatoire fur les lieux où il a pafle ou féjourné. Nous l’avons dit ailleurs, il faut être à peu près imbé-cille, pour croire que la {impie moralité d’une action puifle produire des effets phyfiques. Nous croirions donc faire tort à nos leâeurs, que de
    • Voyez les Curiofités de la Végétation, &c.
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    • tâcher de leur faire fentir le foible ou le ridicule du raifonnement ci-deffus, foit de Kircher, foit de ce bon abbé. Difcutons maintenant les faits qu’il rapporte.
    • Le chimifte Anglois Coxes raconte, qu’ayant tiré le fel effentiel de la fougere, l’ayant fait dif-foudre, & enfuite ayant filtré cette folution, après cinq ou fix femaines de repos , il remarqua fur le fel qui étoit tombé au fond, une végétation de petites fougères.
    • Ayant de même pris de la potaffe du Nord, il la mêla avec partie égale de fel ammoniac; & quelque temps après il vit s’élever une forêt de pins & d’autres arbres qn’il ne connoiffoit pas.
    • Enfin, Sc ceci eft plus concluant, le célébré M. Boyle, quoique fort peu favorable à la palin-généfie, ra'pporte qu’ayant pris du vert-de-gris, qui e/l, comme l’on fçait, le réfultat de la com-binaifon du cuivre avec l’acide du vinaigre, il le fit diffoudre dans de l’eau , qu’il fit enfuite geler cette eau au moyen d’un froid artificiel, & qu’il lui arriva enfin de voir fur la furface de cette glace , de petites figures qui repréfentoient excellemment (’cximïe) des vignes.
    • Malgré ces faits, & divers autres cités par l’abbé de Vallemont, d’après Daniel Major, Hanneman, & divers autres , fi les partifans de la palingénéfie n’en ont pas de plus concluants, il faut avouer qu’ils étayent leurs prétentions de foibles preuves. U n’e/l aucun chimifte qui ne voie a&uellement dans ces premiers faits une fimple criftallifation branchue, comme l’on en produit au moyen de diverfes compofitions connues : les plus belles meme de ces criftallifations, mal-à-propos appe-
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    • iées végétations, font produites par des combi-naifons de corps tirés du régné minéral, ainfi qu’on l’a vu plus haut.
    • La derniere expérience rapportée par Boyle r pourroit embarraffer davantage : mais comme , parmi un grand nombre d’épreuves tentées parce physicien fur quantité de fels elfentiels de plantes,, cette expérience eft la feule qui ait réuffi, on ne peut douter que ces figures ne foient un pur effet du hafard ; car combien d’autres phyficiens ont tenté la même chofe, & n’ont rien vu que ce que préfente d’ordinaire la furface d’une eau gelée, qui forme des ramifications, quelquefois affez com-pofées ?
    • Auffi les partifans de la palingénéfîe citent-ils des autorités plus puiffantes. Le chevalier Digby rapporte, fur le témoignage de Quercetan , médecin de Henri IV, qu’un Polonois faifoit voir douze vaiffeaux de verre fcellés hermétiquement, qui contenoient chacun des fels différents de plantes ; qu’on n’y voyoit au fond qu’un monceau de cendres ; mais que, quand on les expofoit à une chaleur douce & modérée, on voyoit naître peu à peu la figure de la plante, d’une rofe, par exemple, fi le vaiffeau contenoit les cendres d’une rofe ; enfin, que le vaiffeau fe refroidiffant, le tout difparoiffoit peu-à-peu. Il ajoute que le pere Kircher lui avoit affuré avoir fait la même expérience, & lui avoit.communiqué le fecret, mais qu’il n’avoit cependant pu réuffir., L’hiftoire de ce Polonois eft auffi rapportée par divers autres auteurs, comme Bary dans fa Phyjique, Guy de la; Froffe dans fon livret la Nature des Plantes.
    • Enfin le P. Kircher nous dit lui-même dans fon Ars Magnetica, qu’il avoit une fiole à long
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    • coi , lcellée hermétiquement , & dans laquelle étoient contenues les cendres d’une plante qu’il reflufcitoit quand il vouloit, au moyen de la cha-.leur ; qu’il fit voir ce prodige à la reine Chiftine, qui. y prit un lîngulier plaifir; mais que la gelée le priva de cette curiofité précieufe, qu’il avoit oubliée un jour d’hiver fur fa fenêtre. Le P. Schott dit aufli avoir vu ce miracle chimique : c’étoit, félon lui, une rofe qui renaifloit de fes cendres. Il ajoute qu’un prince ayant prelfé Kircher de lui en faire une pareille, il aima mieux lui céder la fienne que de recommencer.
    • En effet, il faudroit une patience extrême pour tenter & fuivre le procédé enfeigné par le P. Kircher, tant il eft long & minutieux. Le P. Schott le rapporte tout au long dans fon livre intitulé : Jocojeria Naturce 6* Artis, & il l’appelle le fecret impérial, parceque l’empereur Ferdinand l’acheta d’un chimifte , & le donna à Kircher. Cet empereur étoit bien heureux ; car ce fut aüffi à lui que s’adrefla l’adepte qui avoit le fecret de la pierre philofophale, & qui lui en donna la preuve , en tranfmuant, dit-on , devant lui trois livres de mercure en deux livres & demie d’or'.
    • Nous croyons pourtant devoir nous borner à indiquer les endroits, où les .curieux pourront retrouver ce rare procédé ; car, indépendamment de ce que la defcription en feroit un peu longue , rien au monde ne paroît moins fait pour réuflir. Aufli Digby & une foule d’autres ont-ils échoué en fuivant cette voie ; & il eft à croire que, curieux comme ils étoient de la palingénéfie, ils n’ont rien oublié pour y parvenir.
    • Dobrezensky de Négrepont a -donné aufli un
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    • procédé pour la réfurre&ion des plantes , qui ne paroît pas avoir été fuivi avec plus de fuccès; du moins le P. Schott raconte , que le P. Conrad , fon confrère , ne réuflit point, & il foup-çonne que Dobrezensky s’étoit réfervé le tour de main , & n’avoit pas rapporté toutes les cir-conftances.
    • Que répondre donc à ces autorités ? Le voici. Nous penfons que le médecin Polonois" étoit un charlatan. Nous enfeignerons en effet plus loin une fauffe palingénéfie, qui, exécutée avec art & dans un lieu convenable, pourroit en impofer à des gens difpofés par la crédulité à voir ce qu’on veut leur montrer. Dobrezensky de Négrepont étoit un fieffé impofteur : il ne faut, pour s’en convaincre, que lire la Technica curiofa, ou les Jocoferla Natures & A rds du P. Schott; car il avoir l’impudence de prétendre qu’il pouvoit arracher l’œil à un animal, & le lui faire revenir en quelques heures, au moyen d’une liqueur que fans doute il débitoit pour les maux d’yeux. 11 y a plus, c’eft qu’il en faifoit l’épreuve fur un coq. On peut donc croire que celui qui mentoit auffi impudemment fur un fait, a également menti fur l’autre.
    • L’autorité du P. Schott ne fera certainement pas de grand poids auprès de celui qui connoîtra, fes ouvrages ; c’eft la crédulité perfonnifiée.
    • Quant au P. Kircher , nous avouons éprouver quelque embarras à éluder fon témoignage : un Jéfuite n’auroit certainement pas voulu mentir. Mais Kircher étoit un homme à imagination ardente ; paflionné pour tout ce qui étoit lîngulier & extraordinaire ; extrêmement porté à croire au merveilleux. De quoi n’eft pas capable un homme doué de ce cara&ere? Il croit fouvent voir quand
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    • 44i Récréât. Mathémat. et Phys.
    • il ne voit rien ; il ne ment pas aux autres, parce-' qu’il fe ment à lui-même le premier.
    • Quelques palingénéfifles ont été bien pjps loin : ils ont prétendu qu’on pouvoit reffufciter un animal de Tes cendres. Le P. Schott préfente même, dans fa Phyjica curiofa, la figure d’un moineau ainfi refTufcité dans une bouteille. Gaffarel, dans fes Curiojités inouies , ne manque pas d’y croire , & même il en tire une preuve probable de la poflibilité de la réfurredfion univerfelle des corps. Tout cela n’empêche pas que ce ne foit une chimère plus ridicule encore que la première , & qu’il feroit même aujourd’hui ridicule de réfuter férieufèment.
    • Enfin quel homme raifonnable croira aujourd’hui , avec le P. Kircher , que les cendres d’une plante étant femées fur la terre , il en naîtra des plantes femblables, ce qu’il dit avoir éprouvé plufieurs fois? Qui fe perfuadera que des écre-viffes ayant été brûlées, & enfuite diftillées , fuivant un procédé du chevalier Digby, il fe forme dans la liqueur de petites écreviffes, grof-fes comme des grains de millet , qu’il faut nourrir avec du fang de bœuf, & qu’on peut en-fuite abandonner à elles-mêmes dans un ruiffeau ? C’eft-là cependant ce que ce chevalier Anglois raconte comme l’ayant éprouvé. Sans doute on ne peut le laver de la tache d’impofture, qu’en d^fant qu’il a été induit en erreur par quelque circonflance. D’ailleurs il efl confiant que le chevalier Dygby, avec beaucoup de zele & de con-noiflances, avoit une propenfion fînguliere pour toutes les vifîons de la phyfique occulte & fpa-gyrique. C’étoit même, je penfe, un de ces foux connus fous le nom de Rofecroix.
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    • Chimie.
    • 44J
    • Efpece de Palingénêjîe illufoire.
    • Nous avons annoncé plus hput une forte de tour de fubtilité, au moyen duquel on pourroit perfuader à des gens crédules la réalité de la pa-lingénéfie ; nous allons acquitter notre promeffe.
    • Ayez un bocal double, de grandeur médiocre, c’eft-à-dire que ce vafe foit formé de deux bocaux placés l’un dans l’autre, enforte qu’il refte entre deux un intervalle d’une ligne feulement d’épaiffeur. Ce vafe doit être recouvert d’un couvercle opaque, & tellement difpofé , qu’en le tournant dans un fens ou dans l’autre , cela rapproche ou éloigne le bocal intérieur du fond de l’extérieur. Dans le bocal intérieur, & fur une bafe repréfentant un monceau de cendres, foit placée une tige de rofe artificielle. Enfin , dans l’intervalle entre les deux parois des bocaux , foit mife d’abord une certaine quantité de cendres, ou de quelque matière folide leur reffemblant, & que le furplus foit rempli d’une matière compofée d’une partie de cire blanche, douze parties de faindoux, & une ou deux d’huile de lin bien claire. Cette cire compofée, quand elle fera froide, voilera entièrement l’intérieur du bocal ; mais lorfqu’on le mettra fur le feu avec précaution , elle fe fondra , & l’on pourra , en remuant le couvercle fous prétexte de hâter l’opération, la faire couler dans le fond du bocal extérieur. On verra donc alors la rofe dans l’intérieur. Les bonnes-gens , qu’on ne biffera pas trop approcher, crieront au miracle ! Quand le charlatan voudra faire difpa-roitre la rofe, il retirera le bocal du feu , & par un nouveau tour de main , il fera refluer la cire
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    • 444 Récréât. Mathémàt. et Phys.
    • fondue & demi-tranfparente, dans PépaifTeur ménagée entre les deux bocaux : cette cire fe figera de nouveau , & interceptera la vue de la rofe. En aflaifonnant tout ce petit fpe&acle des paroles convenables , il étourdira les fpe&ateurs^béné-voles , & ils fe retireront dans la perfu^fion d’avoir vu exécuter devant eux la chofé la plus eu-rieufe de la phyfique & de la chimie réunies.
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    • des Phosphores. 445
    • Ier SUPPLÉMENT.
    • Des Phosphores, tant naturels
    • quartificiels *.
    • N E des matières les plus intéreflantes de la
    • U phyfique, eft celle des phofphores ; car c’eft un fpeétacle allez étrange , & bien digne de la curiofité, que de voir des corps abfolument froids jeter une lumière plus ou moins vive ; d’autres s’allumer d’eux-mêmes, fans l’application d’aucun feu. Quelle ame fufceptible de quelque goût pour l’étude de la nature , peut fe défendre d’être frappée d’étonnement à la vue de pareils phénomènes ?
    • Ces phénomènes font d’autant plus étranges, que jufqu’à préfent la phyfique n’a fait que balbutier , lorfqu’on a tenté d’en donner l’explication. Nous en exceptons néanmoins les phofphores
    • * L’auteur du Traité des Phofphores, qui fait partie du IVe Tome des anciennes Récréations Mathématiques, & que nous avons reconnu à quelques partages être le crédule & bavard abbé de Vallemont, a trouvé le moyen d’en faire un allez gros volume ; mais ce n’efl: qu’à l’aide de répétitions perpétuelles, d’écarts de fon fujet, de fables abfurdes dont à peine il doute ; de citations d’auteurs faites toutes au long, l’un n’eût-il fait que copier l’autre mot à mot. Si malheureufement il eût connu cent auteurs parlant des mouches luifantes, il eût fait de ce chapitre un volume in-folio. Je ne crois pas que jamais mortel doué de quelque goût ait pu foutenir la leéture d’un pareil fatras.
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    • 446 Récréât. Mathémat. et Phys. artificiels, fur lefquels on dit des chofes fort probables , & fondées fur des caufes chimiques bien démontrées. Mais à l’égard des phofphores naturels , il n’a encore été dit rien de fatisfaifant. Leur explication tient fans doute à une connoif-fance plus profonde de la nature du feu & de la lumière.
    • Il y a des phofphores naturels , il y en a qui font le produit de l’art, & fur-tout de la chimie ; ce qui nous fournit une divifion naturelle de ce Supplément. Nous allons commencer par les phof-phores naturels.
    • SECTION PREMIERE.
    • Des Phofphores naturels.
    • §. I. De la Mer lumineufe.
    • QUoiqüe depuis bien des fîecles les navigateurs aient du s’appercevoir de ce phénomène , car il eft commun à toutes les mers , & il n’eft prefque aucun climat qui ne le préfente en certaines circonftances, il ne paroît cependant pas qu’on y ait fait grande attention jufqu’à ces derniers temps. La plupart des marins étoient dans la perfuafion que cette lumière n’étoit qu’une réflexion de celle des étoiles, ou de celle dü vaif-feau même; d’autres, la regardant comme une vraie lumière, l’imputoient au choc des foufres & des fels ; & , contents de cette explication vague , ils daignoient à peine faire attention au phénomène.
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    • des Phosphores. 447
    • Ce phénomène étoit cependant bien digne d’être approfondi, & préfente des circonftances tout-à-fait remarquables. Nous l’allons expofer tel que nous l’avons vu dans une traverfée d’Europe à la côte de la Guyane , en 1764.
    • Je ne me rappelle pas que nous ayions vu la mer lumineufe avant notre arrivée entre les tropiques ; mais à cette époque, & quelques femai-nes avant notre arrivée aux atterrages , je remarquai prefque conftamment que le lillage du vaif-feau étoit parfemé d’une multitude d’étincelles lumineufes, &: d’autant plus lumineufes que l’obf-curité étoit plus parfaite ; l’eau enfin qui choquoit le gouvernail en étoit toute brillante ; & cette lumière s’étendoit, en diminuant infenfiblement , fur tout le fillage. Je remarquai aulîi que fi quelque manoeuvre trempoit dans l’eau , elle produifoit le même effet.
    • Mais ce fut près des atterrages que le fpe&acle le montra dans toute fa beauté. Il fouffloit un petit frais, &C toute la mer étoit couverte de petites lames , qui fe brifoient après avoir roulé quelque temps. La brifure étoit éclatante de lumière ; enforte que toute la mer, tant que la vue pouvoit s’étendre, paroiffoit couverte d’un feu qui s’allumoit & s’éteignoit alternativement. Ce feu avoitdans la haute mer, c’eft-à-dire à 50 ou 60 lieues des côtes de l’Amérique , un ton rougeâtre. Je fais cette remarque , parceque je ne fçache pas que perfonpe ait encore obfervé un phénomène que je vais décrire.
    • Lorfque nous fûmes dans les eaux vertes *, le
    • * L’eau de la mer, du moins de l’Océan Atlantique, loin des côtes, eft d’un bleu foncé; mais aux atterrages,
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    • 448 Récréât. Matiiémat. et Phys.
    • fpe&acle changea. Le même petit frais eohti-nuoit ; mais la nuit que nous voguâmes , faifaiit petites voiles, entre le 3e &; le 4e degré de latitude nord , le feu que j’ai décrit plus haut prit un ton tout-à-fait blanc , & femblable à la lumière de la lune, qui du refte n’étoit pas fur l’horizon. Le deffus des petites lames dont toute la furface de la'mer étoit crifpée, paroilïoit comme un drap d’argent, au lieu que la nuit précédente ilreffem-bloit à un drap d’or rougeâtre. Je ne puis exprimer combien ce fpe&acle m’amufa & m’inte'-reffa.
    • La nuit fuivante je le vis encore plus beau, mais plus effrayant par les circonftances où je me trouvois. Le vaiffeau avoit mouillé allez loin de terre , en attendant , pour entrer au. port de Cayenne, la nouvelle lune qui étoit prochaine. Je me mis fur le foir dans le canot, avec quelques autres paffagers preffés de coucher à terre. A peine fûmes-nous à une lieue du vaiffeau, que nous entrâmes dans un parage d’autant plus houleux, que la mer montoit aidée d’un vent de fud-eft affez frais. Bientôt nous vîmes des lames épouvantables qui, en fe déployant à notre arriéré, venoient fondre fur nous. Mais quel fpe&acle, fi
    • c’eft-à-dire à 20 ou 25 lieués de la côte de la Guyane, cette eau change tout-à-coup de couleur, & eft d’un beau vert. On reconnoît à cela qu’on eft près de terre. Ce changement eft probablement caufé par les eaux va-feufes & jaunâtres de la riviere des Amazones ; car on fçait que le bleu & le jaune forment du vert. Mais une circonftance remarquable, c’eft que ce changement eft abfolument tranché ; il nefe fait point par degrés, mais tout-à-coup, & dans un intervalle qui, jugé de deflin le pont, ne me parut pas avoir un pied de largeur.
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    • des Phosphores. 449 nous n’euffions pas été en danger ! Qu’on Te figure un rouleau de drap d’argent d’un quart de lieue de largeur, développé avec rapidité, & tout éclatant de lumière : tel étoit l’effet de ces lames, dont heureufement deux ou trois feulement nous atteignirent avant que de brifer. Cela fut fort heureux pour nous, car elles nous laifferent à moitié pleins d’eau ; & une de plus, en me rendant la proie des requins, m’eût certainement affranchi de la peine de refondre le bon M. Ozanam.
    • Il n’eft prefque point de mers où l’on n’oblerve quelquefois le phénomène de cette lumière ; mais il y a des parages où elle eft beaucoup plus lumi-neufe que dans d’autres. En général,elle l’eft plus dans les pays chauds & entre les tropiques qu’ail-leurs : elle l’eft finguliérement fur les côtes de la Guyane ; aux environs des ifles du Cap-Verd ; près des ifles Maldives & de la côte de Malabar , où, fuivant l’obfervation de M. Godeheu de Ri-ville, elle préfente un fpe&acle fort reffemblant à celui que nous avons décrit.
    • Un phénomène fi furprenant devoit exciter l’attention des phyficiens ; mais, jufqu’à ces derniers temps, on s’étoit borné à des explications vagues : on mettoit en jeu des foufres, des nitres , dont il n’y a pas un atôme dans la mer ; &c l’on croyoit avoir bien raifonné.
    • M. Vianelli, phyficien Italien, eft le premier, à ce qu’il nous paroît, qui ait cherché, à l’aide de l’obfervation, à démêler la caufe de cette lumière ; & cela l’a conduit à une découverte fort étrange. Remarquant que l’eau de la mer brilloit beaucoup près de Chioggia, & que la lumière étoit concentrée dans de petits points brillants, il eut l’idée de les examiner au microfcope ; & il
    • Tome IK Ff
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    • 450 Récréât. Mathémat. et Phys. découvrit que ces points lumineux étoient de petits infe&es reffemblants à des vers, ou plutôt à des chenilles cômpofées de douze articulations ; qu’à la différence de nos vers luifants , ils brillent dans toute l’étendue de leur corps ; que quand ils font dans un repos parfait leur lumière celle , mais qu’elle reparoît quand ils s’agitent. Ceci explique pourquoi les coups de rame, le choc de l’eau contre le gouvernail, le brifement des vagues, font étinceler ces parties, fans que le furplus de l’eau foit rendü lumineux. Ces obfervations ont été confirmées par M. l’abbé Nollet, qui fit peu de temps après le voyage de l’Italie.
    • Il paroît cependant que l’infeéte lumineux qui fait briller les eaux de la mer, n’eft pas par-tout le même. M. Gôdeheu de Riville , obfervant ces points lumineux dans la mer de l’Inde, entre les Maldives & la côte de Malabar, a vu un infeéfe tout différent des vers à douze anneaux de M. Vianelli. Cet infefte reffemble affez à celui qu’on appelle la puce d'eau; & il eft renfermé entre deux coquilles tranfparentes, qui repréfentent affez bien la forme d’un rein entr’ouvert. Le fiége de la liqueur lumineufe paroît être une efpece de grappe de petits grains ronds , qui, lorfqu’on preffe l’infecte, rendent une liqueur lumineufe : elle femêle alors à l’eau ; & comme elle eft d’une nature hui-leufe, elle s’y raffemble en forme de petits globules éclatants , ou de petites gouttes rondes, fur la furface. Apparemment l’infeâe n’eft déterminé à lâcher cette liqueur phofphorique, que par le choc & l’agitation, ou dans certaines autres cir-conftances ; & voilà pourquoi la mer n’eft ltimi-neufe que quand elle eft agitée, & dans certains temps beaucoup plus que dans d’autres. Voye^
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    • £>ÈS Phosphores. 451
    • les Mémoires des Sqavants étrangers, Tome III*
    • M. Rigaült a vu dans les mers entre l’Europe & l’Amérique, un autre infe&e qui n’eft ni le ver de M. Vianelli, ni la puce d’eau de M. Godeheu , mais une efpece de polype prefque fphérique, à un bras feulement.
    • Enfin Mk Leroy, médecin de Montpellier, n’a vu ni ver, ni puce d’eau., ni "polype, mais feulement des globules d’une matière phofphorique, fur lefquels il a fait diverfes expériences pour recon-noître quelle circonftance leur rendoit leur lumière , & quelle autre la leur faifoit perdre. Il etl eft conduit à conclure que, quoique MM. Vianelli, &c. aient légitimement attribué la lumière de la mer à des infe&es, ou à une liqueur qu’ils portent en eux & qu’ils répandent, cette caufe n’eft pas unique ; mais qu’elle peut être due auffi à une matière phofphorique qui fe trouve dans l’eau de la mer, & qui s’y engendre par une combinaifon^ particulière de principes qui y font répandus ; que cette matière ne luit pas toujours, mais devient lu-mineufe par diverfes caufes, comme le choc des particules d’eau les unes contre les autres, le coti-taél de l’air , le mélange avec certaines liqueurs# Foyei les Mém. des Sçav. étrang. Tome III.
    • §. II. De quelques Infectes lumineux.
    • Si ces êtres que nous foulons fouvent aux pieds, tiennent dans le régné animal une place bien petite* nous dirions même méprifable , la nature, qui femble tout compenfer, a donné à plufieurs des propriétés bien extraordinaires, & que les plus gros animaux pourroient leur envier : telle eft celle de la lumière, dont plufieurs font'doués. Je ne gros
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    • Récréât. Màthémàt. et Phys. pendant qu’il eft vivant ; mais il y a plufieurs in-feCtes qui jettent de la lumière , & il paroît que c’eft à leur gré. A quoi leur fert cette lumière ? comment eft-elle produite? Voilà des problèmes que nou$ n’entreprendrons pas de réfoudre ; nous nous bornerons à des faits.
    • i. Du Ver luifant de notre pays.
    • Il n’eft perfonne qui ne connoifle ce petit in-feCte ; car il n’eft perfonne qui, fe promenant dans une belle nuit d’été à la campagne, n’ait été frappé de cette petite lumière qu’on apperçoit affez fréquemment au bas des buiflons.
    • Le ver luifant, appelé lampyris par les Grecs, cicendula par les Latins, eft un infeCte qui n’a rien de remarquable à l’extérieur ; il reflemble affez à la cloporte, finon qu’il eft beaucoup plus petit & beaucoup moins large à proportion : ce n’eft que par le dernier anneau où eft fitué l’anus, qu’il jette la lumière qui le diftingue des autres animaux de cette clalfe. Cette lumière eft d’un pâle verdâtre ; & l’animal la montre ou la cache à fon gré. On foupçonne que c’eft par cette lumière que ce ver, qui eft , dit-on , toujours la femelle , attire fon mâle, qui eft ailé, & qui ne brille point. A la vérité , ceci eft un peu conjectural ; & M. de Geer, célébré naturalifte Suédois, contefte, d’après quelques obfervations, la réalité de cette conjecture.
    • Un infeCte auffi lingulier méritoit fans doute d’être chanté par les poètes ; aufli l’a-t-il été par le célébré évêque d’Avranches, M. Huet, dans un poëme intitulé Lampyris, qui eft fort eftimé de
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    • DES PftOSPrtORES. 453 Qua nova per cæcas fplendefcit fiellula nocles Sepibus in nojlris ? an ab æthere lapfafereno AJlra cadunt, tacitis an captant frigora Jîlvis ? Si quando qrdentis cceperunt tædia cotli.
    • Non ita , fed duris frujlrà exercita matris Imperiis, fentes lujlrat Lampyris opacos ,
    • Si fortè amijfum pojjit reperire monile.
    • Il feint dans la fuite du poëme, que la nymphe Lampyris , ayant perdu fon collier , eft chaffée par fa mere, & que, aidée d’une lanterne , elle le cherche dans les boisi Tout cela paroiffoit charmant dans le fiécle pafle ; je ne fçais fi celui-ci en jugera de même, ni lequel des deux aura tort.
    • 2. De la Mouche luifante des pays chauds.
    • Tel eft l’infe&e lumineux de nos climats ; mais les pays plus tempérés ont été davantage favo-rifés par la nature. Leurs vers luifants font ailés : on les rencontre en Italie prefque après avoir franchi les Alpes ; & ils font plus fréquents, à mefure: qu’on approche des parties de l’Italie les plus méridionales. C’eft un fpeflacle des plus curieux que celui qu’ils préfentent dans une belle nuit d’été : on les voit en effet voltiger de tous côtés dans l’obf-curité ; on ne peut faire un pas dans une, prairie , fans voir ces petits animaux partir de côté & d’autre , & tracer leur route par un fillon de lumière. Je n’ai pas joui de ce fpe&acle en Italie, mais je l’ai vu dans l’Amérique méridionale.
    • Il paroît au refte que l’infefte volant & luifant de l’Italie & de l’Amérique, eft tout différent du Ffiij
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    • 454 Récréât. Màthémàt. et Phys.
    • ver luifant même mâle de notre climat. J’aVOue ji*y avoir pas donné pendant mon féjour en Amérique une attention fuffifante ; j’étois occupé de foins bien plus èmbarraffan'ts & plus intéreffants : mais ce qu’il y a de certain, c’eft que cet infe&e ne brille que quand il vole. Apparemment la partie de Ton corps qui eft brillante , eft cachée par fes ailes ou fes fourreaux, pendant qu’elles font appliquées fur fon corps. Je n’ai trouvé nulle part une bonne defcription de cet infeâe remarquable. Il tient beaucoup de la forme d’unie mouche.
    • On fent aifément que ces infe&es lumineux ont dû donner à quelques hommes l’efpérance d’en former un phofphore perpétuel. On a fait bien dès épreuves pour cet effet ; mais quoique, l’animal étant coupé en deux, fa partie poftérieure conferve encore quelque temps de la lumière , elle s’éteint peu à peu ; & tous les efforts tentés jufqu’à présent pour la conferver, ont été inutiles. Il eft vrai que quelques auteurs ont donné des recettes pour parvenir à cet objet ; mais c’étoient ou des gens trompés ou des charlatans : il eft confiant que buts prétendus procédés ne réufliffent point. -:
    • 3. Du Cucuyo de F Amérique.
    • Voici encore une richeffe en ce genre que pdf-fede l’Amérique ; c’eft le Cucuyo. Les Caraïbes ont donné ce nom à un affez gros Scarabée qu’on trouve dans les îles du golfe du Mexique , & dans le Mexique même : fà lumière réfide dans fes yeux * & dans deux parties de fon corps qui font recouvertes parles fourreaux de fes ailes. On prétend que cinq ou fîx de ces Scarabées fuffifent pour donner la lumière néceffaire pour fe conduire dans l’obf-
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    • des Phosphores. 455 curité la plus profonde ; que les naturels du pays les attachent, çnfetnble vivants, s’en font, par cette raifon, des eipeces de colliers pour fe guider à travers les bois ; & qu’ils les emploient enfin dans leurs cafés pour s’éclairer dans leurs travaux no&urnes ; ce que j’ai peine à croire.
    • 4. Du Scarabée de la Guyane.
    • Un hafârd fort fingulier a fait voir en France un infe&e lumineux aifez relfèmblant au Cucuyo , peut:être le même. On avoit apporté de Cayenne» en 1764 & les années fuivantes 9 beaucoup de bois de marqueterie ; car ffette colonie en abonde, & , par des raiforts que je crois mal entendues, cette richeffe eft à peu près perdue pour elle. Un ébé-nifte avoit acheté une bille de ce bois, &, en atr tendant.l’emploi, la confervoit chez lui. Sa femme entendit une nuit quelque bruit comme d’un animal qui bourdonne en voltigeant, & apperqut bientôt une vive lumière attachée à fa croifée. Après quelques moments de frayeur, elle y courut, & trouva un infe&e du genre des Coleopteres, ( ou infe&es dont les ailes font recouvertes par des fourreaux,) qui jetoit par la partie poftérieure de fon corps un li vif éclat, que toute la chambre en étoit éclairée. L’infe&e fut enfuite donné à M. Fougeroux , qui en a configné la defçription ôt l’hiftoire dans les Mémoires de l’Académie, année 1766-
    • Ilgrande apparence, ou, pour mieux dire » il eft certain que l’animal étoit venu dans la bille de bois, en état de nymphe, où elle étoit cachée dans quelque trou : le temps de fon développement étant arrivé, l’animal eft forti de fa retraite, & a paru fous la forme de Scarabée.
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    • 45$ Récréât. Mathémàt. Et Phys.
    • Si ce n’eft pas le Cucùyo des îles de l’Àrftérique ou de la Nouvelle-Efpagne, c’eft un quatrième irir fefte qui jouit de la propriété de jeter de la lüinjère.
    • §. III. De quelques autres Corps pkofphoriques.
    • Nous allons parcourir ici brièvement un grand nombre d’autres corps phofphoriques. , i. Les Yeux de divers
    • La nature a deftiné plufieurs animaux à chercher leur pâture pendant la nuit ; tels font, parmi les quadrupèdes, le tigre, lé chat qui n’eft qu’un tigré nain , le loup, le renard, &c ; & parmi les oi-feaux, la chouette, le chat-huant, &c. Il leur fal-loit un flambeau pour les conduire ; elle le leur a donné dans leurs yeux, car ils font éclatants de lumière ; & c’eft fans doute au moyen de cette lumière qu’ils fe conduifent dans l’obfcurité. Comme ils ont la rétine extrêmement fenfible, la lumière de leurs yeux éclaire les objets fuffifamment pour eux : ajoutez à cela que la nature les à favorifés d’une très-grande ouverture de prunelle, ce qui multiplie la quantité de lumière qui aborde à leur rétine. Telle eft probablement le mécanifme par lequel ces animaux voient pendant la nuit ; l’extrême fenfibilité de leur rétine leur rend le jour incommode, & même en aveugle quelques-uns.
    • Il eft à remarquer que ces animaux paroiflent être les maîtres de rendre leurs yeux lumineux.'J’ai vu fouvent fans lumière ceux d’un chat que j’avois , d’autres fois ils étoient comme un Charbon ardent.
    • Le chien n’eft pas entièrement dépourvu de cette propriété ; j’ai vu plufieurs fois étinceler les yeux de cet animal.
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    • Enfin l’on prétend qu’il y a des hommes qui jouifférit de cette propriété : on dit que Tibere y voyoit pendant la nuit ; 8t i’oh raconte la même chofe de quelques autres. Le plus fingülier exemple dè cette faculté, eft celui d’un' foliîaire qui, au rappbrt de Mofchus dans fon Pré fpirituel, n’a-voit jamais eü befoin de lampe pour fes travaux & fes le&ures noélumes; 'Qiùs cïedet hœc l Je crois que Ceux qui-ajoûtérônt foi aü réç'it de cet agio-graphe , ne font p&s éloignés de mériter d’être mis dans un pré, cum àjinis & jumchtis.
    • 2. Le Dïamant de Clayton.
    • Ce diamant a eu-!une grande célébrité, &, s’il n’étoit pas un des plus beaux de fon efpece, cela étoit bien racheté par la propriété unique dont i4 jouïffoït. Ilfüffifoit en effet de le frotter dans l’obf-curité contre quelque étoffe feche * -ou contre fejs doigts-, & il brilloit alors d’une lumière fôible Sc blànlchâtre. Le célèbre Boyîe- â ffaifun aflez grand nombre d’obfervations fur oe diamant ; dont il rendit compte à la Société roÿalede Londres en 1668, & il ne fait aucune difficulté ded’appeler une pierre précieufe unique en fon efpece, gemma fui generis unica; car du moins alors on-ne connoiffoit aucune autre pierre qui fût douée de cette propriété-: j’ai néanmoins ouï dire que, depuis ce temps, on a trouvé d’autres diamants que le frottement ren-dôit brillants dans les ténèbres. Ce diamant fingu-lier fut acquis par le roi d’Angleterre Charles IL ( C’eft ici le lieu de dire un mot de l’efcarboucle, prétendue pierre brillante dans l’obfcurité ; mais nous n’en parlons que pour dire que cette propriété de l’efcarboucle eft abfolument fabuleufe :
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    • J’efcarboucle eft un rubis, mais aucun rubis ni autre pierre précieufe ne luit dans l’obfcurité; enfin ce n’eft là qu’une fable populaire.,
    • Remarquons encore ici que cette lumière n’eft pas proprement phofphorique , mais du- genre des lumières électriques. Le diamant eft en effet fufcep-tible de devenir éleétrique par le frottement ; il en eft de même de la lumière que rendent le fuçre quand on le râpe, & divers autres corps frottés..
    • 3. Le Bois pourri.
    • Il n’eft pas rare de trouver, dans les forêts des morceaux de bois pourri qui jettent une lumière affez vive, d’un, blanc tirant fur le bleu il eft même arrivé plus d’une fois que ce phénomène a caufé de grandes frayeurs.
    • Malheureûfement tout bois pourri n’eft pas phofphorique , & l’on ignore ce qui le rend tel.
    • Du refte, on doit ranger au nombre de fables puériles ce que raconte Jofephe d’une plantelumi-neufe dans l’obfcurité, appelée Baaras , qu’on ne peut arracher fans danger de mourir peu à près; mais on attache, dit-il, un chien à la plante déjà prefque déracinée, & l’animal, en cherchant à rejoindre fon maître, finit de l’arracher. Peut-011 abufer ainfi de la crédulité de l’efpece humaine î On doit fans doute mettre au même rang ce que Pline rapporte d’une autre plante, appelée Niiïy-gretum, qui croît, dit-il, dans la Gédrofie,<& qui, arrachée avec fa racine &c féchée aux rayons de la lune pendant Un mois, devient lumineufe de nuit. Cela n’eft pas abfolument impoflible ; mais cette plante feroit probablement connue de nos na-turaliftes, ainfi que 1'Aglao-phytis> & la Lunaire»
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    • des Phosphores. 459
    • à qui, fur les témoignages d’Elien, on attribue la mèmè-propriété. On peut, quand un fait efï raconté par Elien, pariçr cent contre un que c’eft une fable.
    • 4. Les Vers des Huîtres.
    • On doit à un M. de la Voye la remarque de ce phofphôre naturel, dont il donna avis à M. Auzout en 1666.
    • J Il s’éngendre Couvent dans les huîtres de petits
    • Ivers oblongs qui brillent dans l’obfeurité, Suivant la defcription qu’il en fait, les uns font gros comme | un petit fer d’aiguillette, & longs de cinq à fix li-f gnes ; lès autres feulement comme une groffe épin-I gle, & de trois lignes de longueur ; les autres efc-! fin beaucoup plus petits. Il en a auiïi trôuvé'de trois S efpecés ; la première, avec des jambes au nombre S de vingt-cinq environ de chaque coté. Lâ feconde I eft de vers rouges* & femblables, à la groffeur près, I à nbs vers luifanfs de terre. Ceux de la troifieme efpece font bigarrés , & ont la tête comme celle de la folle. Ils fe réfolventfacilement, & au moindre attouchement, en uné matière gluante qui confervé fa lumière une vingtaine dé fécondés.
    • Telles font les obfervations de M. de la Voye, avec lefquelles ne s’accordent pas entièrement celles de M. Auzout, qui ne vit jamais qu’une matière gluante étendue en longueur. Mais il faut ob-ferver que le dernier-phyficien ne fit fes expériences, à ce qu’il paroît, que fur des huitres vieilles, au lieu que le premier ies fit fur dés huitres très-fraîches.
    • 5. Les Chairs corrompues.
    • Les chairs corrompues font aufli quelquefois fit-
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    • 460 Récréât. Mathémat. et Phys, jettes à devenir lumineufes dans l’obfcurité. Lémery rapporte qu’en 1696, on vit-à Qrléans une;grande quantité de ces chairs lumineufes : les unes l’etoient en totalité, les autres feulement en quelques points qui préfentoient l’apparence de petites étoiles. On craignit d’abord d’en manger ; mais l’expérience apprit qu’il n’y avoit aucun danger, & l’on reconnut qu’elle étoit tout aufli bonne que d’autre. On remarqua que , chez quelques bouchers, la viande étoit prefqué toute lumineufe, chez d’autres feulement en partie. :
    • Fabrice d’Aquapendente raconte pareille chofe d’un agneau acheté par trois jeunes gens de Rome. La moitié qu’ils n’avoient pas mangée ayant été réfervée, & la nuit étant venue, ils apperqurent que plulïeurs endroits de cette viande étoient lumineux : ils l’envoyerent à ce médecin, qui examina avec attention ce phénomène, & obferva que la chair & la graille brilloient d’une lumière argentine, & qu’un morceau de chevreau qui y avoit touché brilloit lui-même ; les doigts, de ceux qui la touchoient devenoient aufli lumineux^ Il ob-fenra aufli que les endroits lumineux étoient plus mollalfes. Il n’y a nul doute que ce phénomène ne s’obfervât plus fouvent, li l’on entroit fréquemment dans les boucheries & les garde-maijgers , fans aucune lumière.
    • 6. Divers PoiJJons ou parties de Poijfons.
    • Mais ce font fur-tout les poiflbns & diverfes de leurs parties, qui préfentent le plus fréquemment ce phénomène.
    • C’eft ordinairement lorfque ces poiflfons ou leurs parties approchent de la putréfa&ion, qu’ils acquie-
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    • rent la propriété phofphorique. Léo Allatius raconte dans une lettre à Fortunius Licetus, avoir éprouvé une forte de frayeur occaiîonnée par des écreviffes d’eau douce , jetées dans un coin par un valet négligent. Il décrit fort au long toute cette petite aventure , mais nous en fupprimerons le détail, pour abréger.
    • Les dails ou glands de mer, apparemment déjà très-avancés, font fort fujets, fuivant Pline & d’autres , à briller de cette maniéré : ceux qui habitent les bords de la mer font à portée de l’éprouver.
    • Le fameux Thomas Bartholin a obfervé la même chofe fur des polypes qu’il dilféquoit,. (c’eft ainfi qu’il appeloit le poiffon que nous connoiffons fous le nom dela feche') puifqu’il dit qu’il contient une liqueur noire qu’on peut employer comme de l’encre. Cette lumière, dit-il, s’écouloit de deffous la peau, & étoit d’autant plus abondante, que l’animai approchoit davantage de la putréfaction.
    • Nous ne parlerons plus que de quelques expériences du dofteur Beale , inférées dans les Tran-faftions philofophiques de l’année 1666. On avoit fait bouillir des maquereaux frais dans de l’eau, avec du fel & des herbes : quelques jours après, le cuifinier remuant l’eau pour en tirer quelques-uns de ces poiffons, remarqua qu’au premier mouvement, elle devint fort lumineufe, ainfi que les poiffons qui brilloient fortement à travers cette eau , devenue tranfparente ; quoique vue pendant Je jour, elle parut opaque.
    • Les gouttes de cette eau étoient fort lumineufes ; & par-tout où elles tomboient, elles laifibient une tache lvunineufe & large comme un denier : ceux
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    • 461 Récréât. Mathémat. Et Phÿs. qui s’en frottèrent les mains les avoient toutes ref-* plendiflantes.
    • Nous nous fommes bornés à rapporter des faits ; car c’eft encore tout ce qu’on peut dire fur cét objet. On ne peut encore rien avancer de probable & de fondé fur la caufe de cette lumière, La matière globuleufe de Defcartes étoit allez commode pour expliquer ces phénomènes ; car il fuffifoit de dire que la fermentation putride étant une efpece de mouvement inteftin , ce mouvement mettoit, félon les apparences, en a&ion cette matière globuleufe dans laquelle confifte la lumière. Mais malheureufement cette matière eft reconnue aujourd’hui pour une chimere.
    • Addition du Cenfeur.
    • Il y a quelques inexaéKtudes dans ce qu’on a lu plus haut, concernant les infeétes lumineux des paragraphes i,a, 3,4, de cette Seéfion. L’auteur paroît s’être trop confié à fa mémoire qui l’a induit en erreur, & il n’a pas connu tout ce qui a été écrit fur cette matière. On y va fuppléer.
    • 1. Le mâle du ver luifant eft un infe&e ailé de la claffe des coleopteres, ou infe&es à fourreaux. Ces fourreaux font mous & flexibles. Il n’eft pas dépourvu entièrement de la faculté lumineufe. M. Fougeroux nous apprend avoir pris plufieurs fois dans l’obfcurité de ce9 mâles attirés par la lumière de leur femelle, & il a ob* fervé qu’ils en jetoient eux-mêmes peu après l’accouplement.
    • 2. La mouche luifante d’Italie , connue vulgairement fous le nom de lucciola, n’eft rien moins qu’une mouche ; c’eft encore un infeéle à fourreaux, & très-approchant du mâle de notre ver luifant : ce font les deux derniers anneaux de fon corps qui font lumineux. On pour-roit d’abord être tenté de croire que c’eft cet infeéle
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    • ces Phosphores. 465
    • même à qui la chaleur du climat donne la faculté de briller, que celui de notre pays a inême en certaines cir-coriftances. Mais il y a des différences qui ne permettent pas de les confondre ; & ce qui paroît exclure abfolu-ment cétte identité, c’eft que dans les lieux où l’on trouve la lucciola, on ne trouve point le ver luifant ordinaire , quoique ce dernier exifte auffi en Italie.
    • A l’égard de l’infèéte lumineux des pays chauds de l’Amérique, je n’en connois , pas plus que l’auteur, de defcription exaéte.
    • 3. Ce que, l’on a lu plus haut fur l’infeéte lumineux de Cayenne, n’eft pas entièrement exaét ; & l’hiftoire de fa découverte a beloin d’être réformée. Ce fut au mois de Septembre 1766, que deux femmes du fauxbourg Saint-Antoine, virent cet infeéte fur la brune, comme un trait de lumière traverfant les airs , & allant, fe repo-fer fur une croix. Elles crurent d’abord que^c’étoit une de ces étoiles tombantes, fi communes dans les nuits d’été. Mais la lumière continuant, elles allèrent avertir ceux qui habitoient la maifon contre laquelle l’animal étoit venu fe repofer. On le prit, & il fut donné à M. Fougeroux pour l’examiner. Ce n’eft que par con-jeétures qu’on dit que l’animal étoit venu de Cayenne. Mais fa comparaifon avec les infeétes de ce pays-là, le fait reconnoître pour habitant de ce climat ou d’un climat voifîn. C’eft un coleoptere, connu fous le nom de maréchal, & de la claffe de ceux qui étant mis fur le dos, s’élancent en l’air comme un reffort qui fe débande ; ce qui leur a fait donner le nom d'dater. Cet infeéte a un pouce^ & demi de longueur, & fa lumière réfide dans deux protubérances alongées qu’il porte fur la partie poftérieure & latérale du corfelet. Il en jette auffi dans certaines pofitions par la féparation du corps avec le corfelet, & probablement par celles des anneaux du corps les uns avec les autres. Cette lumière eft d’unë belle couleur verte, & aflèz vive pour que l’infeéte, mis dans un cornet de papier, ferve d’un fanal pour lire les caraéteres les plus- fins à quelques pouces de diftance. Cet infeéte exifte auffi à la Jamaïque, M. Brown l’a décrit fous le nom d'dater major fujcus phofphoricus. Il y en a effeétivement, foit à la Jamaïque, foit à Saint-Do-
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    • 464 Récréât. MathémàT. et Phys.
    • mingue , une autre efpçce plus petite, & aufli phofpho-rique.
    • 4. Ce que l’auteur dit du cucuyo de l’Amérique, fça-voir, qu’il jette la lumière par les yeux &' deux parties au deflous des fourreaux, ne paroît pas exaét. II pour-roit bfèn fe faire que les voyageurs non naturaliftes qui en ont parlé, euffent mgl vu.
    • 5* n y a quelques autres in fe êtes lumineux, dontTau-teur n’a point parlé. Le porte-lanterne ou acud'ia, que M. de Réaumur range dans la claffe des pro-cigales, ou uWe claffe fort approchante de celle de la cigale ; le vielleur fcarabée de Surinam ; nous n’en connoiffons ,.ainfi que l’auteur, aucune defcription affez bien faite pour déterminer en quoi ils different du cucuyo, & les uns des autres. Telle eft encore la cigale porte - lanterne de la Chine, dont M. Linnæus a donné une defcription dans les A (les de Stockholm ; mais l’animal étant mort, ce fçavant naturalifte n’a pu nous inftruire par quelle partie l’animal eft lumineux : il foupçonne que c’eft par fa trompe, ce qui ne me paroît pas probable. 11 y a enfin aufli- à Madagafcar un infefte à peu près femblable, connu fous le nom de herecherche, qui luit pendant la nuit ; Mais fa defcription m’eft inconnue.
    • 6. Le diamant de Clayton a été réputé pendant longtemps l’unique qui brillât dans l’obfcurité. Mais M. Du-fay a trouvé, par un grand nombre d’expériences .fur quantité de diamants, que plufieursd’entr’eux participoient de cette propriété, fans néanmoins avoir pu découvrir ce qui la donnoit aux uns, & pourquoi les autres ne l’avoient pas. M. Beccari, phyftcien célébré de Boulo-logne , a fait dans le - même temps des expériences fem-blables, qui confirment la découverte de M. Dufay. Ce phyficien a aufli découvert que la claffe des corps phof-phoriques eft beaucoup plus confidérable qu’on ne le penfe vulgairement ; & il réfulte de fes expériences, que les corps phofphoriques qui ont frappé l’attention des physiciens, ne l’ont fait que parceque cette faculté fe loutient pendant plus long-temps ; mais qu’un très-grand nombre de corps paroiflent lumineux à un œil plongé dans une obfcurité profonde, lorfqu’ils font tranfportés fort promptement de la lumière dans l’ombre.
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    • DES PHOSPHORES; 46$ 7. Les glands de mer font éminemment doués de la ^propriété phofphorique, non pas quand ils approchent de la putréfaction, comme on l’a dit plus haut , mais quand ils font vivants & frais, au point d’étre bons à manger. Les obfervations de MM. Beccari, Monti & Calcati de Boulogne, fur ces poiflons marins, font fort anciennes ; elles confirment parfaitement, & étendent beaucoup ce que Pline le naturalifte avoit dit fur ce fujet. Voyez auffi un Mémoire deM. dé Réaumur fur le même objet, Mé/n. de V Acad, année 1713.
    • SECTION IL
    • Des Phofphores artificiels*
    • CE que la nature produit en quelques cir* confiances , l’art, aidé de l’obfervation, efl: parvenu à l’imiter dans les phofphores artificiels ; mais avant d’expofer ces opérations curieufes , il faut faire une diftin&ion que les chimiftes & les phyficiens modernes ont introduite, & qui efl: néceflaire.
    • On a continué d’appeler du nom de phojphore, ces corps qui jettent de la lumière fans chaleur fenfible ; mais lorfqu’un corps non - feulement jette de la lumière, mais s’enflamme de lui-même étant expofé à l’air , on lui donne le nom de py-rophore. Auffi on dit le pyrophore d’Homberg , pour défigner cette compofition d’alun & de matière animale ou végétale, qui, expofée à l’air , prend feu. Le phofphorê d’Angleterre eft à-la-fois pholphore & pyrophore ; car, expofé à l’air en maffe, il brûle St Ce confume comme le foufre , dont il eft une efpece finguliere : mais, extrêmement atténué, & mélangé avec une liqueur, il ne fait que la rendre lumineufe fans chaleur.
    • Tome IK G g
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    • 466 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • §. I. Expérience phofpkorique, ou brûler de la poudre à canon fans explojion.
    • Prenez une tuile , que vous ferez chauffer affez fortement, & portez - la dans un lieu obfcur. Pendant qu’elle fe refroidira, vous y jetterez def-ius, de temps à autre , des grains de poudre, qui d’abord s’enflammeront. Iyaiffez-la davantage fe refroidir, jufqu’à ce que la poudre ne détonne plus. Alors vous la couvrirez de poudre. Cette poudre, parvenue au degré de chaleur de la tuile, jettera dans les ténèbres une lumière foible ou une flamme légère, qui confutnera tout le foufre , fans néanmoins faire détonner le nitre.
    • On voit par-là que le foufre commun eft fuf-ceptible de deux combuftions ; l’une douce & tranquille, qui ne fçauroit même allumer le charbon , car autrement le nitre détonneroit ; l’autre violente , qui brûle fk allume les corps çombuf-tibles contigus.
    • §. II. De la Pierre de Boulogne.
    • On donne à ce phofphore le nom de la pierre de Boulogne, parceque les premiers phofphores de cette efpece fe faifoient avec une pierre qui fe trouvoit feulement au pied du mont Paterno, près de cette ville. Un cordonnier, nommé Vincen^o Cafciarolo , fut le premier qui s’apperçut de la propriété qu’avoient ces pierres de luire dans l’obfcurité après avoir été calcinées. Il travailloit au Grand-CEuvre ; & il crut, à l’afpeét du brillant de ces pierres, qu’elles contenoient ou des métaux , ou un principe propre à remplir fon
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    • des Phosphores. 467 objet :: il fes fit rougir dans un creufet. Le hafard lui en ayant enfuite fait porter une dans un lieu obfcur, fort éclat le frappa, & il publia fa découverte. C’eft ainfi que le phofphore de Boulogne a été découvert. Voici comment le font les chimiftes modernes.
    • On prend une de ces pierres ; & après l’avoir dépouillée de toutes fes parties hétérogènes, on la lime avec une grofTe lime tout à l’entour, pour avoir une Certaine quantité de pouffiere. On trempe enfuite la pierre dans de la glaire d’œuf, &on la roule dans cette poudre, enforte qu’elle en foit toute faupoudrée jufqu’à une certaine épaif-feur. La pierre étant feche, on la place dans un fourneau rempli de charbons, de maniéré qu’elle en foit recouverte & environnée. Ôn met le feu à ce charbon ; & quand le tout eft confumé, la pierre eft calcinée au point défiré. On peut la tranfporter dans un lieu obfcur, & on la voit éclater d’un brillant fingulier, qui va pourtant en s’affoibliflant peu à peu, & qui ceffe après quelques minutes. Mais cet éclat renaît en expofant de nouveau la pierre à la lumière du jour pendant quelque temps. On conferve ces pierres dans un lieu fec , enveloppées de coton également bien fec. Elles perdent néanmoins peu à peu leur faculté de s’imprégner de la lumière , mais on la leur rend en les faifant calciner de nouveau.
    • La pierre de Boulogne eft , par les obfervations qu’ont faites les naturaliftes , une de ces pierres qu’ils connoiffent fous le nom de fpâth fufible. Il entre dans leur compolïtion de l’acide vitriolique. Cela a donné lieu à M. Margraf, célébré chi-mifte, l’idée d’eflayer li tous les autres fpaths fufi-bles n’étoient pas doués de la même propriété. Il
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    • Récréât. Mathêmat. rt Phys.
    • a trouvé que , traités de la maniéré convenable, ils devenoient tous lumineux. Voici de quelle maniéré on les prépare & les calcine , fuivant fa méthode.
    • Après les avoir bien nettoyés des parties hétérogènes , on les fait rougir dans un creufet, enfuite on les réduit en poumere très-fine dans un mortier de verre ou de porphyre. On fait après cela,, avec de la gomme adragant ou du blanc d’œuf, & cette poudre, de petits gâteaux d’une ligne d’épaifleur au plus, & de la grandeur qu’on veut. Enfin on les calcine de la maniéré fuivante, après les avoir fait deffécher à une afifez forte chaleur.
    • Il faut avoir un fourneau de réverbere ordinaire , qu’on remplit de charbon jufqu’aux trois quarts de fa.hauteur; on pofeà plat les gâteaux ci-deffus, & on les recouvre de charbons. On allume le fourneau ; & quand tous les charbons font confumés & refroidis, on trouve les gâteaux calcinés : on les prend, & on les nettoie de cendres au moyen du vent d’un foufflet ; on les renferme comme on a dit plus haut ; & quand on veut faire l’expérience, on les expofe quelque temps à la lumière, après quoi on les tranfporte dans un lieu obfcur: ils y paroiffent brillants comme des charbons ardents, fi on a tenu pendant quelques minutes les yeux fermés.
    • Quelle eft la caufe d’un phénomène aufli fingu-lier? Voici ce qu’ont dit de plus probable d’habiles chimiftes.
    • Quand on confidere que l’on ne fait de phof-phore femblable qu’en brûlant, au moyen du charbon, des pierres qui contiennent de l’acide
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    • des Phosphores. 469
    • vitriolique *, on eft conduit à penfer qu’il Te forme dans cette opération une efpece de foufre extrêmement combuftible, & dans lequel l’a&ion feule du jour ou de la lumière eft capable de produire cette combuftion lente & prefque fans chaleur , dont nous avons vu que le foufre commun lui-même eft fufceptible. Cette combuftion ne fe manifefte que par la lumière foible qu’elle répand I de même. Elle celle par l’abfence de la caufe qui | l’a produite, & la pierre ceffe d’être lumineufe.
    • Parmi plufieurs raifons qui confirment cette ; explication > il en eft une entr’autres qui eft d’un grand poids : c’eft que fi, après que la pierre a celle de luire, &: fans l’expofer de nouveau à l’a&ion du jour, on fe contente de la placer dans l’obicurité fur une plaque de fer échauffée, fans l’être allez pour jeter aucune lumière, elle devient aulfi-tôt lumineufe. On peut encore ajouter à cette raifon, celle de l’odeur qu’exhale la pierre de Boulogne après fa calcination ; car cette odeur eft précifément celle du foufre. Mais, fur tout ceci, nous invitons à confulter le Dictionnaire de Chimie de M. Macquer, à l’article Phojphores pierreux; on y trouvera des développements de cette explication, que nous ne pouvons donner ici*
    • §. III. Du Phofphore de Baldwin ou Baudouin*.
    • Ce phofphore, ainfi que le fuivant, a beaucoup d’affinité avec celui de la pierre de Boulogne ; car, tout comme ce dernier eft certainement
    • * M. Margraf du moins le prétend, quoique M. Dufay ait dit avoir fait le phofphore de Boulogne avec des> pierres purement calcaires.
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    • 47o Récréât. Mathémat. et Phys. une combinaifon de l’acide vitriolique avec lé phlogiftique, de même celui de Baldwin eft une combinaifon de l’acide nitreux avec ce même principe. En voici le procédé.
    • Prenez de la craie blanche très-pure , que vous diffoudrez dans de bon efprit de nitre ; après quoi vous filtrerez la folution , & vous ferez évaporer l’humidité jufqu’à ce que le réfidu foit bien fec ; il faudra mettre enfuite ce réfidu dans un bon creufet, de la capacité convenable & médiqcre-ment creux ; vous le placerez dans un fourneau de réverbere pendant une heure ; enfin vous mettrez cette matière ainfi calcinée dans une bouteille garnie d’un bouchon de verre : vous aurez le phof* phore de Baldwin.
    • Sa propriété eft de reluire dans l’obfcurîté, comme celui de Boulogne, quand il a été expofé dans fa bouteille ouverte à la lumière du jour. Mais comme il a le défaut d’afpirer l’humidité , il ne tarde pas de perdre fa propriété.
    • IV. Phofphore de M. Homberg.
    • Prenez une partie de fel ammoniac en poudre, & deux parties de chaux vive éteinte à l’air; inêlez-les exa&ement, remplifîez-en un creufet, & mettez-le à un petit feu de fonte. Sitôt que le creufet commencera à rougir, votre mélange commencera à fe fondre ; mais comme il s’élève & fe gonfle dans le creufet, vous le remuerez avec une baguette de fer , de peur qu’il ne fe répande. Auffitôt que cette matjere fera fondue , verfez-la dans un baflin de cuivre : après qu’elle fera refroidie , elle paroîtra grife & comme vitrifiée. Si l’on frappe deffus avec quelque chofe de dur, comme
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    • DES PHOSPORES. 47I
    • avec du fer, du cuivre, ou autre chofe fembla-ble, on la verra un moment en feu dans toute l’étendue où le coup aura porté. Mais comme cette matière eft fort caffante , on n’en fçauroit réitérer fouvent l’expérience. Pour y remédier r M. Homberg s’eft avifé de tremper dans le creufet où cette matière étoit en fonte , de petites barres de fer & de cuivre , lefquelles s’en font couvertes comme d’un émail. Sur ces barres émaillées on peut frapper, & faire cette expérience commodément & plufieurs fois, avant que la matière s’en
    • Il faut remarquer que l’émail phofphorique qui s’attache fur ces barres, s’hume&e facilement à l’air ; c’efl: pourquoi il faut les tenir dans un lieu fec & chaud ; par ce moyen, elles conferve-ront pendant affez long-temps leur propriété.
    • §. V. Phofphore en poudre , ou de M. Canton
    • Voici encore un phofphore fort analogue àr celui de la pierre de Boulogne & à celui de Baldwin.
    • Il faut prendre des coquilles d’huîtres ordinaires , & les bien faire calciner , en les tenant dans un feu ordinaire pendant une demi-heure : ©n-achevera enfuite de les pulvérifer , & l’on en prendra la poudre la plus fine , que l’on mêlera avec un tiers de fon poids de fine fleuî de foufre on placera ce mélange dans un creufet, qu’on-remplira jufqu’au bord, & qu’on tiendra pendant une bonne demi-heure au moins au milieu des charbons ardents, enforte qu’il foit bien rouge : on le laiflera enfuite refroidir ; & la matière contenue dans le creufet, étant pulvérifée encore s’il
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    • 47i Récréât. Mathémat. et Phys. en eft befoin, fera un phofphore qu’il fuffira d’ejc pofer pendant quelques minutes à la lumière du jour , pour rendre une lumière affez vive dans l’obfcurité.
    • Ceux qui auront conçu la nature du phofphore de Boulogne , n’auront pas de peine à voir que celui de M. Canton n’eft proprement que la même choie ; car la pierre de Boulogne, les ipaths fufibles auxquels on a reconnu la propriété phofphorique, ne font que des combinaifons de l’acide vitriolique avec des terres calcaires. Le mélange du foufre avec la craie, dans le procédé de M. Canton, fournit cet acide vitriolique & le phlogiftique, fans lefquels des matières calcaires ne peuvent devenir phofphoriques.
    • M. Dufay, de l’Académie royale des Sciences, étoit déjà parvenu à faire des phofphores avec des pierres calcaires combinées avec le phlogiftique.
    • §. Vï. Du Pyrophore d*Homberg.
    • Voici encore une invention chimique due au hafard. On avoit affuré au célébré Homberg qu’on pouvoit tirer des excréments humains une huile blanche & nullement fétide, qui avoit la propriété de fixer le mercure. Il travailla fur cette matière, & il en tira en effet une huile blanche & fans odeur. Elle ne fixa pas le mercure. Mais ayant expofé à l’a'ir le réfidu de fa diftillation , il fut fort Airpris de lui voir prendre feu. Telle eft l’origine de fon pyrophore.
    • On a au refte reconnu depuis , qu’il n’étoit pas eéceflaire de travailler fur des matières auffi fales que celles dont Homberg tira fon pyrophore pour la première fois. Voici le procédé vulgaire, dç Ç«tte opération ; il eft fort fi m pie.
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    • Mêlez enfemble dans une poêle de fer mife fur le feu, 8c avec une fpatule auffi de fer, trois parties d’alun 8c une de -fucre, enforte que la matière foit parfaitement defféchée, 6c réduite en une maife noirâtre 8c charbonneufe : s’il y a des grumeaux un peu gros, vous les concafferez. Mettez enfuite cette matière dans un matras à col étroit 8c long d’une huitaine de pouce ; placez ce matras dans un petit creufet capable d’en contenir le ventre , environné de tous côtés d’un demi-pouce de fable ; vous plongerez après cela ce creufet au milieu des charbons , enforte qu’ils puiffent le faire bien rougir ainfi que le matras ; vous l’échaufferez par degrés, 8c enfin très-fortement , enforte qu’il foit rouge , 8c qu’on voie for-tir par le col du matras une flamme vraiment ful-fureufe. On do^t foutenir cet état du feu pendant environ un quart d’heure , enfuite laiffer éteindre le feu peu à peu ; 8c lorfque le col du matras ne fera plus rouge , on le bouchera avec un bouchon de liege , fans quoi le pyrophore s’enflammeroit.
    • Quand le tout eft bien refroidi, on verfe promptement le pyrophore dans une ou plufieurs fioles fufceptibles d’être bien fermées, 8c on les clôt bien promptement. Quelquefois il s’enflamme en paffant du matras dans la bouteille ; mais cela n’importe pas , car il s’éteint auflitôt qu’elle eft bouchée.
    • Pour faire l’expérience du pyrophore , il faut en mettre fur le papier environ un demi-gros. Peu après il s’enflamme , devient rouge comme les charbons ardents , 8c met le feu aux corps com-buftibles qu’il touche. On accéléré l’inflammation du pyrophore en le mettant fur du papier un
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    • peu humide , ou en envoyant deffus fon haleine.
    • 11 paroît, & on ne peut déformais prefque plus en douter, que cet effet eft produit de la maniéré fuivante. Dans l’opération du pyrophore, il fe fait une combinaifon de l’acide vitriolique avec le plilogiftique des matières animales ou végétales brûlées; mais comme l’opération eft en quelque forte interrompue , il fe trouve une certaine quantité d’acide vitriolique prbdigieufement concentré & à nu c’eft - à - dire non combiné avec le phlogiftique. Or, l’on fçait que l’acide vitriolique très - concentré abforbe l’humidité de Pair avec une telle avidité, qu’il s’échauffe violemment ; & ici cette chaleur eft apparemment telle, qu’elle enflamme le foufre formé, & par lui les matières fuligineufes & charbonneufes qui entrent dans la compofition du pyrophore. On peut voir dans un Mémoire de M. Lejay de Suvigny, inféré dans le Tome III des Mémoires des S gavants Etrangers , le développement & les preuves de cette explication , pouffés jufqu’à la démonftration. M. de Suvigny y démontre auffi qu’on peut à l’alun fubftituer toute autre matière, pourvu qu’elle contienne de l’acide vitriolique : l’alun eft feulement ce qui réuflit le mieux.
    • §. VII. Du Phofphore on Pyrophore de Kunckely autrement appelé d’Angleterre.
    • Voici la compofition la plus curieufe de la chimie moderne. Qui croiroit que de l’urine putréfiée , on tirât un corps lumineux ? que dis-je l un corps fufceptible de s’enflammer, & d’enflammer très-vivement, par fon contaft, les autres corps combuftibles? Telle eft néanmoins l’origine*
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    • en quelque forte abjeéfe , du phofphore ; tant i! eft vrai que pour le phyficien rien n eft abjeéi dans la nature , & que les objets les plus dégoûtants contiennent quelquefois des principes capables des effets les plus rares & les plus finguliers !
    • La découverte du phofphore d’urine eft, comme beaucoup d’autres, l’effet du hafard. Un bourgeois de Hambourg, homme entêté de la pierre philofophale, travailloit fur l’urine. Il n’étoitpas le premier ni le feul qui eût penfé que c’étoit'dans les excréments humains qu’il falloit chercher la matière propre à fixer le mercure. A force de faire des effais fur cette matière , il trouva le phofphore. Cette découverte fit grand bruit dans le monde chimique. Mais Brandt n’étoit pas homme à donner fon fecret pour rien. Kunckel ,. habile chimifte , s’affocia avec un certain Krafft pour tirer de lui ce fecret. Mais Krafft trompa Kunckel, acheta de Brandt le fecret de faire le phofphore , fk , voulant en faire un commerce lucratif, refufa de le communiquer à Kunckel. Celui-ci irrité de la fraude de Krafft, & fqaehant d’ailleurs qu’il avoit beaucoup travaillé fur l’urine, humaine, fe mit à la recherche du fecret, enfin le trouva. Aufli la gloire lui en. eft reftée , car on nomme communément ce phofphore , le Phofphore de Kunckel*.
    • D ’un autre côté, Krafft ayant paffé en Angleterre , & ayant montré fon phofphore an roi Sc à la reine d’Angleterre , le célébré Boyle, dont la
    • * M. Leibnitz prétend que ce que Ton raconte ainft ordinairement de Brandt, n’eft nullement fondé. Il fait une hiftoire du phofphore., qu’on peut voir dans fes oeuvrçs, Tome II. Mais^e ne les ai pas à ma portée.
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    • 476 Récréât. Mathémat. et Phys. curiofïté fut piquée par un phénomène fi rare,; entreprit auffi de deviner le fecret. Il fçavoit feulement , comme Kunckel, que Krafft travailler fur l’urine. Il fe mit donc à travailler fur cette matière, & trouva de fon côté le phofphore qu’on en tire. Il en communiqua le procédé au public dans les TranfaBions PhiloJ'ophiques de 1680 , & apparemment inftruifit plus particuliérement du tour de main néceffaire un chimifte Allemand établi à Londres , nommé Godfreyd Hanckwit{, car il a été pendant long-temps le feul qui fît du phofphore.
    • En effet, quoique Boyle eût publié le procédé du phofphore en 1680, que Homberg l’eût auffi enfeigné en 1692, quoiqu’enfin divers autres livres le décrivirent auffi , ce n’étoit qu’en Angleterre qu’on faifoit du phofphore, & c’étoit le feul Hanckwit^ qui le faifoit. Un étranger qui vint en France en 1737 , offrit néanmoins de mettre parfaitement au fait du procédé, & le miniftere lui promit une récompenfe pour cela. Plufieurs chi-iniftes & phyficiens de l’Académie royale des Sciences , furent chargés d’être témoins de l’opération, qui fut faite au Jardin royal des Plantes , & qui réuffit très-bien. M. Hellot rédigea le procédé, & le publia en 1738 dans les Mémoires de FAcadémie royale des Sciences. Depuis ce temps feulement, la maniéré de faire le phofphore eft bien connue ; ce qui n’empêche cependant pas que ce ne foit une opération des plus délicates dé la. chimie, & qui ne réuffit guere qi dans des mains fort exercées.
    • De tous les chimifles modernes, M. Margraf eft celui qui a réduit la compofition du phofphore de Kunckel aux procédés les plus^certains , les
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    • plus exa&s & les moins difpendieux : c’eft pourquoi nous allons fuivre ici ceux qu’il enfeigne.
    • i° Prenez une bonne quantité d’urine, que vous laifferez putréfier ; vous la mettrez enfuite dans un vafe de verre fur le feu , 8c vous en ferez évaporer le flegme, jufqu’à ce qu’elle foit réduite à une confiftance de miel ou de crème de lait.
    • Il eft à propos de remarquer ici que cette matière contient un fel particulier , appelé fel fujiblc de 1‘urine; que ce fel eft compofé d’un acide d’une nature différente de tous les autres, 8c qu’on a nommé phofphorique, pareequ’il eft l’ingrédient néceffaire du phofphore , par fa combinaifon avec un autre principe , 8c pareequ’on tire cet acide par la. déflagration du phofphore, comme i’acide vitriolique par celle du foufre ordinaire.
    • 2° Mêlez enfuite quatre livres de minium avec deux livres de fel ammoniac en poudre , 8c diftil-lez ce mélange , qui fournira un alkali volatil très-concentré; au refte cet alkali eft inutile. Mais l’acide marin attaquera le minium ou la chaux de plomb , 8c formera avec elle un compofé connu des chimiftes fous le nom de plomb corne. On peut employer du plomb corné tout fait ; nous avons cependant cru devoir indiquer à-la-fois ici la manière de le faire, pareeque tous nos le&eurs ne fe trouveront pas des chimiftes.
    • 3° Ce plomb corné réfultant de la diftillation ci-deffus , vous le mêlerez peu à peu, 8c en le remuant fans ceffe dans une chaudière de fer, avec 8 à ç) livres de l’extrait d’urine , indiqué dans l’article I ; vous y ajouterez une demi-livre de charbon en poudre , 8c vous continuerez de le deffécher jufqu’à ce qu’il foit réduit en une
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    • 478 Récréât* Mathémat. et Phys. poudre noire ; vous jetterez en fuite cette matière dans upe retorte, pour la diftiller à un feu médiocre , 6c en retirer tous les produits, qui font, de l’alkali volatil, une huile fétide , 6c une efpece de fel ammoniac qui s’attache aü Col du vafe : faites rougir enfuite médiocrement la cornue ; 6c quand il ne pafîera plus rien , vous déluterez 6c réferverez le réfidu , qui eft une' efpece de caput mortuum. C’eft ce réfidu qui contient le phof-phore, ,6c qu’il eft maintenant queftion de diftiller à un feu beaucoup plus violent. On re-connoîtra qu’il eft bien préparé ? fi un petit morceau étant jeté fur les charbons , exhale une odeur d’ail, 6c brûle avec une petite flamme voltigeante.
    • 40 Mettez ce réfidu dans une bonne cornue de Hefle. M. Margraf recommande celles de Waldenbourg , comme les meilleures ; mais il n’en vient pas en France. Celles de Hefle rem-pliflent l’objet, fi ce n’eft qu’elles laiifent tranfpi-rer un peu de la matière phofphorique, à quoi l’on obvie en partie par un lut de terre mélée de bourre.
    • 50 Cette cornue étant remplie jufqu’aux trois quarts de la matière ci-defîiis , vous la placerez dans un fourneau , furmonté d’une chape ou cheminée en tuyau, de 5 ou 6 pouces de diamètre, & de 8 ou 9 pieds de haut. Cette chape fert à augmenter. l’a&ivité du feu par la rapidité du courant d’air, 6c à introduire par fa porte , à différentes fois, la quantité de charbon néceflaire pour foutenir l’opération pendant une fixaine d’heures.
    • 6° Vous luterez le col de cette cornue avec, celui d’un ballon de moyenne grandeur, à moitié rempli d’eau 6c percé d’un petit trou , au
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    • des Phosphores. 479
    • moyen d’un lut gras que vous affujettirez par des bandes de linge, enduites de lut, de chaux & de blanc d’œuf. Le trou biffé au ballon, fert à donner iffue à des vapeurs qui le feroient fauter en pièces. On le bouche légèrement par un petit tampon de papier, qu’on retire de temps à autre pendant la diftillation. Il faut avoir la précaution de boucher d’un lut d’argile l’échancrure du fourneau par où paffe le col de la cornue , d’élever entre le fourneau & le ballon un mur de brique, qui empêche la chaleur de fe communiquer à ce ballon.
    • 7° Les chofes étant ainfi préparées vingt-quatre heures d’avance, vous mettrez le feu au fourneau , & vous échaufferez la cornue par degrés pendant une heure & demie ; après quoi vous augmenterez le feu jufqu’à lui donner le rouge-blanc. Cette opération fera paffer dans le ballon, d’abord des vapeurs lumineufes , enfuite des gouttes de pur phofphore, qui, en tombant dans l’eau du ballon, s’y figeront ; vous continuerez ainfi l’opération , jufqu’à ce qu’il ne paffe plus rien dans le ballon. Ce fera l’ouvrage de quatre à cinq heures, au lieu que le procédé décrit par M. Hellot en exige environ vingt-quatre.
    • 8° Comme le phofphore obtenu par cette diftillation violente eft noir, à caufe des vapeurs fuligineufes qu’il entraîne avec lui, vous le diftil-lerez une fécondé fois dans une plus petite cornue , & à un feu médiocre. Ce feu fuffira pour l’enlever pur ; car, une fois formé, il eft d’une grande volatilité.
    • 90 Enfin, vous réduirez le phofphore en petits bâtons, en le mettant dans des tubes de verre un peu coniques & plongés dans de l’eau tiede ; car
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    • 480 Récréât. Mathémat. et Phÿs. il coule comme du fuif à une chaleur pareille. Ces opérations doivent fe faire dans l’eau , pour empêcher l’inflammation du phofphore ; & quand l’eau fera refroidie , le phofphore fera figé en bâtons , que vous retirerez , & plongerez auflitôt dans des bouteilles pleines d’eau & foigneufement clofes.
    • Il faut convenir qu’on n’a pas encore trouvé d’ufage utile du phofphore d’Angleterre ; fi ce n’efl: que fa nature &: fa décompofition ont jeté de la lumière fur quelques points de chimie. Mais on fent aifément qu’on peut fe fervir dè cette matière pour exécuter divers jeux phyfiques affez curieux : tels font les fuivants.
    • Ecrire en caractères qui feront lumineux dans Cobfcuritê.
    • Il faut d’abord faire du phofphore liquide* Pour cela il faut prendre un grain de phofphore , le placer au fond d’une petite bouteille, l’écrafer, & verfer auflitôt par deflus environ une demi-once d’huile de gérofle bien claire. Le tout étant mis en digeftion à une chaleur douce, comme celle du fumier, le phofphore fera prefque entièrement diflous. La bouteille étant retirée , la matière qu’elle contiendra fera brillante dans les ténèbres , quand on l’ouvrira & qu’on l’agitera un peu.
    • Prenez donc quelque peu de cette huile avec un pinceau, & écrivez-en des cara&eres contre un mur ; ils feront brillants dans l’obfcurité.
    • On pourra encore , fi l’on veut, fe rendre la face & les mains toutes lumineufes. Il fuffira pour cela
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    • dës Phosphores. 481
    • cela de fe. frotter de cette huile qui n’a aucune chaleur fenfible, pareeque le feu phofphorique eft fort raréfié.
    • Ce phofphore s’amalgame auffi avec le mercure, & forme un compofé lumineux. On prend pour cela environ dix grains de phofphore, qu’on met dans une fiole longue & un peu grande, avec deux onces d’huile d’afpic : le phofphore s’y dif-fout , pourvu qu’on l’échauffe un peu. On ajoute enfuite une demi - dragme de vif - argent bien pur: il s’en fait une amalgame qui fera toute lumineufe pendant l’obfcurité.
    • On peut enfin , pour le même effet, mélanger un peu de phofphore avec de la pommade ; elle en deviendra lumineufe, & l’on pourra s’en frotter le vifage & les mains fans danger.
    • g, VIII. Compojition d’une efpece de Pyrophore qui jette des flammes par le contact d'une goutte d’eau.
    • C’eft au fameux chimifte Glauber qu’on doit cette compofition. Mélangez enfemble de la limaille de fer, de la cadmie, du tartre & du nitre, & faites-en une pâte , que vous ferez cuire & fortement deffécher à une grande chaleur, comme celle d’un four à potier. Lorfqu’enfuite vous jetterez quelques gouttes d’eau fur cette malle, elle lancera des flammes & des étincelles. Telle eft la defeription que.Beccher donne du procédé. En voici Un autre , tiré de la Magie naturelle de Martius.
    • Il faut pulvérifer de la chaux vive, de la tutie, & du ftorax calamite, de chacun une once ; du foufre vif & du camphre, de chacun deux onces -, Tome IK H h
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    • 4$2 RIcréàt. Mathémat. et Phys.
    • mêler enfuite le tout, le tamifer, & l’envelopper dans un linge très-ferré. Ce linge étant mis dans un creufet, on le recouvrira d’un autre, qu’on liera fortement avec le premier , & on lutera la réunion avec de la terre glaife. Enfin, ce lut étant bien fec, on mettra ce double creufet dans un four à potier, d’où l’on ne le retirera que quand la calcination fera parfaite ; ce qu’on re-connoîtra à la couleur des creufets, qui doit être un rouge pâle. Le tout étant refroidi, fi vous jetez une goutte d’eau ou fi vous crachez fur cette matière , vous en tirerez des étincelles.
    • C’étoit fans doute une pareille compofition au moyen de laquelle un Juif Allemand tiroit du feu du pommeau de fa canne , en crachant deffus. Cette invention eft en effet bien propre à être faifîe par les charlatans , pour exciter l’admiration & tirer l’argent du peuple. Ce Juif dont nous parlons faifoit auffi-, dit-on, très-bien fes affaires, par le moyen de ce fecret phyfique.
    • Remarq ue.
    • Il y a quelques autres prétendus phofphores, mais qui , à proprement parler , n’en font pas ; ce font uniquement des phénomènes éle&riques.
    • Telle eft la lumière qu’on voit dans l’intérieur de certains baromètres, appelés lumineux par cette raifon. On lui avoit donné, ou du moins on lui donne, dans les anciennes Récréations Mathématiques, le nom dephofphore de Dutal, parce que ce médecin étoit parvenu, néanmoins après M. Bernoulli, à faire des baromètres lumineux : mais on fqait aujourd’hui que ce n’eft pas là un phofphore, mais une lumière éle&rique. M. Lu-
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    • des Phosphores. 4S3 dolff, phyficien Allemand, a prouvé démonftra-tivement que cet effet n’eft que celui de l’é-leftricité, produite dans le tuyau du baromètre par le frottement du mercure.
    • Il en eft à peu près de même du mercure lumineux , lorfqu’il eft renfermé dans un vafe de verre bien net & vuide d’air. Nous avons décrit ce phénomène dans le commencement de ce volume : ce n’eft encore là qu’un phénomène élec-r trique.
    • La lumière que rend un diamant frotté dans, les ténèbres, ou un morceau de fucre qu’on râpe, n’eft encore qu’une lumière éle&rique.
    • Hhii
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    • 484 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • IIME SUPPLÉMENT.
    • Des Lampes Perpétuelles *.
    • LE fujet des lampes perpétuelles a une liaifon trop naturelle avec celui des phofphores, pour ne pas lui donner place ici; car, fi l’onétoit extrêmement preffé d’expliquer les hiftoires qu’on allégué de feux trouvés dans des tombeaux anciens , & defquelles on prétend conclure que l’antiquité étoit en poffeflion du fecret d’entretenir pendant des fiecles une lampe allumée, il faudrait recourir au phofphore. Mais ces faits font fi légèrement établis, quelques-uns même portent des caraéferes fi marqués de fuppofition, & la plupart de ceux que le bon Fortunio Lîceti 9 grand partifan des lairipës perpétuelles , a compilés comme preuves de cette découverte., font fi vifî-blement des preuves du contraire, qu’il ne faut que la plus médiocre critique pour voir que rien n’efl: plus mal établi que cette prétention. Que fi l’on y ajoute les raifons phyfiques qui s’oppofent à ce qu’une liqueur inflammable brûle toujpurs fans fe confumer , on ne pourra plus regarder les lampes perpétuelles que comme une chimere
    • * On ne peut douter que le traité des lampes perpétuelles , qui fuit celui des phofphores dans le quatrième volume des anciennes Récréât. Mathémat., ne foit du bon abbé de Vallemont, comme ce dernier : c’eft le même bavardage, les mêmes répétitions , le même fatras de chofes qui vont ou ne vont pas au fujet.
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    • des Lampes perpétuelles. 485 indigne d’occuper un phyficien , & bonne à reléguer dans le pays de l’or potable & de la palin-généfie. Si nous en parlons donc ici, c’eft à caufe de la célébrité de la matière , & parceque nous fçavons qu’il eft des efprits qui tiennent à ces fujets linguliers & extraordinaires.
    • SECTION PREMIERE.
    • Examen des Faits qu’on allégué comme preuve de l’exifience des Lampes Perpétuelles.
    • Avant que la phyfique eût éclairé fur la poflibilité d’un feu aéluel St inextinguible , les fqavants ont été affez partagé fur ce qu’on devoiten croire. Mais de tous les champions des lampes perpétuelles, aucun n’a fait plus d’effort pour en établit l’exiftence , que Fortunio Liceti, dans fon livre intitulé de reconduis antiquorum Lucemis.
    • Si l’on en croit ce fqavant, rien n’étoit plus commun chez les anciens que les lampes perpétuelles ; il en voit par-tout. La lampe de Démof-thène, celle qui btûloit dans le temple de Minerve à Athènes, le feu de Vefta à Rome, tout cela lui fournit autant de preuves de la poflibilité d’un feu inextinguible. On ne peut s’empêcher de rire d’une érudition fi mal digérée ; car qui ne fçait que ces feux n’étoient appelés perpétuels, que parceque c’étoit un point de religion de ne les laifler jamais éteindre, & qu’on leur fourniffoit un aliment continuel ?
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    • 486 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • A la vérité , les autres partifans des lampes perpétuelles, en riant de la bonhomie de Liceti, s’appuient, ainlî que lui, de faits plus féduifants. Les voici.
    • 1. La Lampe de Tulliola.
    • Sous le pontificat de Paul III , on trouva , dit-on, le tombeau de Tulliola, cette fille chérie de Cicéron , à la perte de laquelle il donna tant de larmes. On prétend qu’il y avoit dedans une lampe aftuellement brûlante , & qui s’éteignit auffitôt que l’air y pénétra.
    • 2. La Lampe d'Olybius.
    • Mais c’elt fur-tout la lampe du tombeau d’Oly-bius qui fournit aux partifans des lampes perpétuelles un de leurs forts arguments.
    • On raconte qu’en 1500, des payfans fouillant un peu profondément à Atefte près de Padoue , on parvint à un tombeau dans lequel on trouva deux urnes de terre l’une dans l’autre. Celle-ci contenoit , ajoute-t-on, une lampe ardente, fituée entre deux fioles , l’une pleine d’un ©r liquide, l’autre d’un argent fluide.
    • Sur la grande urne on lifoit ces vers :
    • Plutoni facrum munus ne attingite ^ fures ; Ignotum eji vobis hoc quod in orbe latet ;
    • Namque elementa gravi çlaujit digejia labore 9 Ffab hoc modico, maximus Olybius,
    • Adfit fecundo cujlos fibi copia cornu 3 Ne tanùpretium depereat laticis.
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    • des Lampes perpétuelles. 587
    • La fécondé portoit, à ce qu’on dit, cette inf-cription :
    • Abitt kinc, pejjimi furcs ;
    • Vos quidvultis vefiris cum ocutis emijjitiis ?
    • Abite kinc vejlro cum Mercurio
    • Petajato caduccatoque.
    • Maximus maximum donum Plutoni hoc facrum fecit.
    • C’eft à peu près ainfi que Gefner raconte cette curieufe découverte. Mais voici quelque ehofe de plus fort. On lit dans Liceti une lettre d’un certain Maturantius, qui écrit à fon ami Alphène que ce curieux tréfor eft venu en fa pofleffion.. « L’un & l’autre vafe, dit-il, avec les infcrip-»tions, la lampe & les fioles d’or, font venus » en mes mains, & je les poffede : vous en feriez-» émerveillé fi vous les voyiez. Je ne donnerais » pas tout cela pour mille écus d’or. » Voilà bien le langage d’un homme convaincu de polféder la plus précieufe rareté. Je ne fçache cependant pas qu’elle ait paffé dans aucun cabinet connu..
    • Au refte, il paroît qu’ici, comme au tombeau de Tulliola, un accident empêcha les gens un peu. inftruits d’être témoins du phénomène ; car on lit dans le crédule Porta, que les payfans qui trouvèrent ce tréfor le maniant trop rudement, la lampe fe brifa entre leurs mains, & s’éteignit^
    • j. La Lampe de P allas , fils d'Evandre».
    • On raconte encore que, vers l’an 800 de J. C. * on trouva à Rome le tombeau du fameux Pallas fils d’Evandre, tué, comme l’onfçait, par Tu mus..
    • Hhiv
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    • 488 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • On reconnut que c’étoit ce Pallas par ces vers :
    • Filius Evandri Pallas quem lancea Turni Militis occidit, more fuo jacet hic.
    • Il y avoit une lampe ardente, qui devoit con-féquemment avoir brûlé près de 2000 ans, puif-que cet événement arriva vers Pan 1170 avant l’ere chrétienne.
    • 4. La Lampe du temple de Vénus.
    • C’eft S. Auguftin lui-même qui parle de cette lampe, & du temple de Vénus dans lequel elle bruloit. Il dit qu’elle étoit perpétuellement ardente , & que la flamme étoit fi folidement attachée à la matière combuftible , que ni vent, ni pluie, ni tempête ne pouvoit l’éteindre, quoiqu’elle fût perpétuellement expofée à Pair &£ à l’inclémence des faifons. Ce pere fe travaille mer-veilleufement à expliquer l’artifice de cette lampe inextinguible ; & après avoir propofé une idée affez jufte en partie, fqavoir , que peut-être011 y avoit employé une meche d’amiante, il finit par dire que ce pourroit bien être un ouvrage des démons, fait dans la vue d’aveugler de plus en plus les payens , & de les attirer au culte de l’infâme divinité adorée dans ce temple.
    • Voilà donc, fuivant les partifans des lampes perpétuelles, un feu inextinguible, dont l’exif-tence eft bien conftatée par le témoignage d’un homme des plus éclairés de fon fiecle, & qui, malgré fes lumières, eft obligé de recourir à l’artifice des démons pour expliquer ce phénomène.
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    • des Lampes perpétuelles- 489
    • 5; Les Lampes de Cajfiodore.
    • Le célébré Cafliodore étoit, comme l’on fqait, un homme aufli refpe&able par Tes emplois que par Tes lumières. Or, il raconte lui-même avoir fait pour fon monaftere de Viviers , des lampes perpétuelles. Chaque moine avoit peut-être la iienne. Ecoutons fes propres paroles. Paravimus etiam nociurnis vigiliis mecanicas lucernas conservatrices illuminantium fiammarum , ipfas fibi nu-trientes incendium 9 quee humano minijlerio cef-fante prolixè cujlodiant uberrimi luminis abundan-tijjîmam claritatem ubi olei pinguedo non déficit, quamvis jugiter fiammis ardentibus torreatur.
    • Peut-on, dira quelque partifan des lampes perpétuelles , fe refufer à un témoignage aufli authentique , aufli clair & aufli refpe&able }
    • Tels font les faits principaux qu’on allégué en faveur des lampes perpétuelles. Mais nous ne craignons pas de dire qu’ils s’évanouiflent entièrement au flambeau cl’une critique éclairée. En effet, d’abord à l’égard des trois premiers , quel fond peut-on faire fur des faits rapportés d’une maniéré aufli vague, & accompagnés de circonf-tances incohérentes ou romanelques ? Il n’efl: aucun de ces faits qui ait d’autres garants que des auteurs qui ont vécu long-temps après; aucun témoin oculaire de quelque poids, ne dépofe en avoir été témoin. Or, quand il efl: queftion de chofes qui .contredifent les loix ordinaires de la nature, au moins faut-il qu’elles foient certifiées par des hommes inftruits, & au deflus du foupçon de crédulité ou d’ignorance.
    • L’hiffoire du tombeau de Tylliola date de
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    • 490 Récréât. Mathémat. et PhySi l’année 1345: c’étoit alors le moment de l’ignorance la plus profonde qui ait régné en Europe. On dit qu’on y trouva un corps. Dans ce cas, ce n’étoit pas celui de Tulliola ; car les Romains , • à l’époque de Cicéron , brûloient leurs corps morts. Auffi quelques auteurs ont-ils conje&uré , d’après quelques circonftances_, que le tombeau dont il s’agit étoit celui de la femme de Stilieon : mais les Chrétiens ne mirent jamais de lampes dans leurs tombeaux. La circonftance de la lampe trouvée dans ce tombeau, a conféquemment tout l’air d’une fi&ion.
    • Que dirons-nous du tombeau d’Olybius , de fa lampe, & de fes deux fioles, remplies l’une d’or, l’autre d’argent fluides ? Ce furent des payfans qui trouvèrent cette double urne. Suivant les uns, ils manièrent la lampe renfermée dans la fécondé urne fi mal-adroitement, qu’ils la briferent. Cependant Maturantius prétend l’avoir en fa poffef-fion. Quel homme a vu cette lampe brûler ? Où font les témoignages' qui conftatent que ces payfans l’ont vue en cet état ? & ces témoignages même feroient-ils bien admifîibles? Une vapeur exhalée d’un lieu clos depuis plufieurs fiecles , peut facilement en impofer à des hommes grof-liers & ignorants.
    • Que fignifie encore cette infcription ? Où trouve-t-on qu’il foit queftion de feu perpétuel ? Un don fàcré à Pluton eft-il néceffairement une lampe ardente? A tout prendre , fi la découverte de ce tombeau a quelque réalité, on pourroit feulement penfer que c’étoit celui de quelque fouffleur d’un fiecle peu reculé ; car d’ailleurs on fqait que les Romains ne fe doutèrent jamais de chimie : il n’a jamais été queftion parmi eux de
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    • » des Lampes perpétuelles. 491
    • chercher à tranfmuer les métaux. Si cette folie eût exifté alors, on en trouveroit certainement des traces chez leurs écrivains ; mais tous gardent le plus profond lilence fur cela. Cette folie nous a été amenée par les Arabes , avec quelques con-noiflances folides de chimie.
    • Or, fi les Romains ne connoiiïoient pas la chimie, comment veut-on qu’ils aient fait des lampes perpétuelles, qui feroient le chef-d’œuvre de cette fcience?
    • L’hiftoire du tombeau de Pallas, fils d’Evan-dre, mérite à peine d’être réfutée. Quel homme fera allez imbécille pour croire que les vers cités ci-defliis foient du temps d’Enée? Il ne faut qu’avoir vu le langage des douze Tables , pour juger combien l’ancienne langue des Romains , & con-féquemment celle du temps des Rois d’Albe, ref-fembloit peu au latin de ces vers, tout plats & mauvais qu’ils font. C’étoit un fot & un imbécille que Je fauflaire qui les a fabriqués pour donner crédit à fa fable.
    • Quant à la lampe du temple de Vénus , qui caufe tant d’embarras à S. Auguftin , remarquons que ce pere ne dit nullement qu’on ne lui fournit pas un nouvel aliment. Ce qui paroît l’intriguer principalement, c’eft que ce feu étoit inextinguible au vent & à la pluie. Mais cela n’a rien de merveilleux, puifque nos épiciers font aujourd’hui des flambeaux qui ont cette propriété. Tous les livres de chimie enfeignent à faire un pareil feu. D’ailleurs , en admettant que cette lampe fût perpétuelle comme inextinguible, qui ignore combien les prêtres payens étoient impofteurs , & combien d’artifices ils pouvoient mettre en œuvre
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    • 49i Récréât. Mathémat. et Phys. pour faire couler dans cette lampe un aliment - nouveau?
    • Les lampes de Caffiodore ne font pas plus em-barralfantes : c’étoient des lampes qui, femblables à celles de Cardan, fe fourniffoient elles-mêmes • d’huile, au moyen d’un réfervoir. Auffi Caffiodore fefert-il uniquement du, mot prolixè, qui lignifie feulement que ces lampes duroient long-temps, plulîeurs nuits, par exemple , à la différence des lampes ordinaires de ce temps, qui avoient fréquemment befoin qu’on y versât de l’huile. Voilà certainement tout ce qu’a voulu dire Caffiodore.
    • Toutes ces réflexions n’avoient pas échappé à divers auteurs raifonnables , tels que M. Aréfi, évêque , auteur des Symbolafeu Emblemata facra ; M. Buonamici, phyficien contemporain de Li-céti ; & fur-tout M. Ottavio Ferrari, auquel eft dû le curieux & fqavant ouvrage de veterum Lu-cernis fepulcralibus. Tous ces auteurs, & fur-tout le dernier, battent en ruine le bon Licéti ; ils font voir fort au long le peu de folidité de tous les faits allégués à l’appui des lampes perpétuelles , & les circonftances abfurdes ou contradictoires dont ils fourmillent ; ils tournent même en ridicule la crédulité & la bonhomie de ce fçavant, qui, par un excès incroyable de pédantifme, trouve jufque dans la lampe du tombeau de l’enchanteur Merlin , décrit par l’Ariofte , une preuve de l’exiftence des lampes perpétuelles.
    • Terminons ceci par quelques réflexions fort juftes de M. Ferrari, qui fe préfentent affez naturellement. Si le fecret de fe procurer un feu perpétuel & inextinguible eût été connu des anciens , un fecret auffi utile eût-il pu refter dans la profonde obfcurité qui le couvre ? Nous admettons
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    • des Lampes perpétuelles; 495 que le fecret fe fût perdu faute de connoiflances phyfiques & chimiques : mais feroit-il poffible que Pline, qui a dénombré les inventions les plus communes comme les plus belles, n’eût rien dit de ce feu perpétuel 8c fi merveilleux ? Comment Plutarque, faifant mention de la lampe de Jupiter Ammon, parcequ’elle brûloit un an entier, comment, dis-je, Plutarque auroit-il gardé le filence fur des lampes en comparaifon defquelles cette première n’étoit qu’une méprifable & vile bagatelle ? Perfonne ne fe le perfuadera.
    • Difons donc que l’hiftoire 8c la faine critique s’oppofent à ce qu’on penfe qu’une pareille invention ait jamais exifté. Nous allons voir comment elle s’accorde avec la phyfique.
    • SECTION IL
    • Examen de la poflibilité phyfique de faire une Lampe perpétuellement ardente.
    • APRÈS avoir, à ce que nous penfons , démontré le peu de folidité de toutes les preuves de fait alléguées en faveur des lampes perpétuelles, il nous relie à difcuter leur poflibilité , d’après les principes de la faine phyfique.
    • Pour avoir une lampe perpétuelle, il faut avoir,
    • i° Une meche qui ne fe confume point;
    • 20 Un aliment qui ne fe confume point, ou une fubftance qui, après avoir fervi d’aliment au feu, puiffe retourner dans le vafe fans avoir perdu fa qualité inflammable ;
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    • 494 Récréât. Mathémat. et Phÿ$.
    • , 30 II faut qu’une flamme puifle fublifter long* temps dans un lieu abfolument clos & de fort petite dimenfion ; car tels étoient les tombeaux dans lefquelspn dit qu’ont été trouvées ces lampes perpétuelles.
    • Or toutes ces chofes font impoffibles, ainfi qu’on va le voir dans les paragraphes fuivants.
    • §. I. ImpoJJîbilité Savoir une meche perpétuelle : Hijloire de VAmiante ; maniéré de le filer, & d'en former un tiffu ou une meche ; examen de fa prétendue incombufiibilité.
    • Nous n’ignorons point toutes les belles propriétés qu’on attribue à l’amiante, & qui font en partie fondées ; nous allons même en donner î’hiftbire, qui eft allez curieufe, & qui ne peut mieux trouver fa place qu’ici. Nous ferons à la vérité un peu plus courts que l’intariflàble abbé de Vallemont.
    • L’amiante, autrement appelé lin incombufiible , asbefie, eft une fubftance minérale qu’on trouve en pluheurs endroits de la terre. Elle eft formée de paquets de fibres d’un blanc plus ou moins grisâtre : ces fibres font allez fortement appliquées les unes contre les autres. On trouve néanmoins le moyen de les féparer ; & alors elles ont, du moins après avoir été bien lavées, l’apparence d’un lin d’une blancheur argentine. On trouve de l’amiante dans les Pyrénées , dans les Alpes, &c. Le plus beau, je crois, qui exifte, eft celui qu’on trouve dans ou près la mine de Pefey en Savoie. J’en ai vu dont les filamens avoient un pied & plus de longueur, & étoient d’une blancheur admirable.
    • Mais ce qui cara&érife cette fubftance, eft une
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    • des Lampes perpétuelles. 495 propriété vraiment finguliere ; c’eft celle de fortir inta&e du milieu des flammes, d’en fortir même plus pure & plus blanche qu’elle n’étoit avant d’y avoir été jetée. Aufli cette propriété n’a-t-elle pas manqué de fervir de bafe à mille comparaifons morales & pieufes que nous n’entafferons pas ici, à l’exemple du bon abbé cité fi fouvent.
    • Il eft bon d’obferver ici, que les droguiftes, cfpece d’hommes qui jettent la confufion fur toute l’hiftoire naturelle par leur nomenclature vicieufe, ne connoiffent l’amiante que fous le nom d9alun de plume : mais il y a une ignorance profonde dans cette dénomination ; l’alun eft un fel, il eft folu-ble dans l’eau ; l’amiante n’eft , au contraire, nullement foluble dans ce liquide : ainfi l’amiante n’eft point un alun. Ce qui a donné lieu à cette fauffe dénomination, c’eft qu’il y a en effet un alun de plume , ou un alun criftallifé en fibres foyeufes, & ayant quelque reffemblance à l’amiante ; mais cet alun eft extrêmement rare, & les droguiftes lui fubftituent l’amiante , lorfqu’on leur demande l’autre. Je crois néanmoins que la plupart n’y entendent pas fineffe , & le croient un véritable alun , ce qui les juftifie ; car encore vaut-il mieux être ignorant que fripon.
    • Quoi qu’il en foit, il paroît que la propriété de l’amiante eft connue depuis bien long temps; car Pline nous rapporte dans fon Hifloire Naturelle , L. xix, chap. 1 , que lorfque certains rois des Indes étoient morts, on les enveloppoit d’un linceul fait de lin vif, & qu’on les brûloit ainfi, afin que leurs cendres ne fuffent point mêlées avec celles des matières du bûcher. Il eft certain que cela eft poflible ; & l’on ne peut pas révoquer en doute le témoignage de Pline , qui dit d’ailleurs ,
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    • 496 Récréât. Mathêmat. et Phys.
    • ainfi que Plutarque , avoir vu des toiles, des réfeaux , qu’on n’avoit befoin que de jeter dans le feu pour les nettoyer , & qu’ils en fortoiënt inta&s- & propres. Mais ce naturalifte s’eft évidemment trompé , lorfqu’il a dit. que ce lin vif provenait' d’une plante qui fe ne trouvoit que dans les climats de l’Inde les plus torréfiés des ardeurs du foleil, comme fi elle aimoit à vivre au milieu des flammes. Il connoiflbit la chofe, mais il fe trompoit fur fon origine. Au refte, l’ufage ci-deffus paroît s’êtrç éteint dans l’Inde : je ne con-nois aucun voyageur qui dife y avoir vu brûler des corps de cette maniéré.
    • Il feroit fuperflu d’entaffer un plus grand nombre d’autorités fur la poflibilité de faire des efpe-ces de tiflus femblables & incombuftibles : j’ai vu moi-même des bourfes apportées des Pyrénées, qui jouiffoient de cette propriété : il eft vrai qu’elles étoient d’une extrême grofliéreté. Il eft certain qu’on peut faire quelque chofe de mieux.
    • Pour parvenir à filer l’amiante, & à en former cet-iflu, il faut néanmoins de l’induftrie. En voici la maniéré , donnée par M. Ciampini, dans fon traité de incombujiibili Lino , deque illius filandi modo ; Rornœ , 1691.
    • Pour filer cette pierre, dit M. Ciampini, il faut commencer par la mettre tremper dans de l’eau chaude ; après qu’elle y a refté quelque temps , 011 la prend, on la manie dans fes mains, on l’ouvre, on la dilate, en la trempant fouvent dans l’eau , afin de la nettoyer de quantité de parties terreftres. On réitéré cette opération cinq à fix fois, jufqu’à ce que les filaments foient bien détachés les uns des autres ; après quoi on les raffemble.
    • Cela
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    • des Lampes perpétuelles. 497 Cela fait, on les fait fécher fur quelque chofe au travers de quoi l’eau puiffe facilement s’écouler ; il faut enfuite avoir deux petites fardes plus fines que celles avec lefquelles on carde la laine des chapeaux & des étoffes , & mettre entre ces deux cardes le lin incombuftible, afin d’en tirer peu à peu quelques filaments à-la-fois, pour les filer avec un petit fufeau.
    • Mais il faut obferver que comme les filaments de ce lin font ordinairement fort courts , il eft né-ceffaire de les filer avec quelque fine filaffe, qui puiffe les faifir , les embraffer & les réunir. Il faut avoir l’œil à ce qu’il y ait toujours un peu plus d’amiante que de coton ou de laine, fuivant que vous aurez choifi l’un ou l’autre pour fervir de filaffe ou de bafe à votre fil d’amiante. En voici la raifon : c’eft que lorfque vous aurez mis en i oeuvre votre fil , foit à faire de la toile ou des ! bourfes , vous jetez votre ouvrage dans le feu : alors la filaffe ajoutée brûle, fe confume , & il ne refte que l’amiante tout pur. C’eft à peu près ainft qu’on file l’or & l’argent avec la foie, & comme on brûle les vieux galons d’or ou d’argent pour en ôter la foie , & avoir le métal pur.
    • M. Ciampini avertit qu’il faut un peu mouiller fes doigts, particuliérement le pouce l'index, pour réuflir à filer, & même pour éviter que les doigts ne s’excorient, paresquz V amianteefi cor-rojîf. Au refte il eftime qu’on peut fe difpenfer d’ufer de cardes , & qu’il fuffit de mettre les filaments d’amiante en place , de façon qu’ils fe lépa-rent aifément pour s’infinuer dans la filaffe empruntée, afin de les filer conjointement. Quand la toile ou les bourfes font fales , on les jette au feu , d’où on les retire plus blanches & plus brii-
    • Tnm, Tr I i
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    • 498 Récréât. Mathémat. et Phys. lantes que jamais. Il confeille de les imbiber d’un peu d’huile ou d’eflence, toutes les fois qu’on les retire du feu, parceque cela nourrit l’amiante, & fait que le fil demeure plus lié & plus uni.
    • J’ajoute que pour faire des meches à mettre dans les lampes , il n’eft point néceflaire que l’amiante foit ni fi purgé, ni filé ; il fuffit d’en prendre des filaments des plus longs, & à proportion de la grofleur que vous voulez faire votre meche, & les lier avec un filet de foie blanche. Il eft étonnant combien aifément l’amiante tire , imbibe &: fuce l’huile. On peut l’employer tel qu’on le trouve en filaments chez les droguiftes , & la lampe ne laiflera pas de brûler & éclairer fort vivement.
    • Au relie , M. Ciampini fe trompe lorfqu’il attribue à l’amiante une qualité corrofive : fa nature pierreufe & nullement faline ne la comporte point.
    • Après cette hiftoire de l’amiante, il nous refie à examiner les conféquences qu’on en tire.
    • Si l’on en croit les parti fans des lampes perpétuelles , puifque le premier pas vers l’exécution d’un pareil ouvrage eft une meche perpétuelle & incombuftible, le voilà fait ; car l’amiante donne cette meche , puifqu’il eft incombuftible , & l’épreuve même qui en a été faite juftifiele procédé. Le P. Kircher allure avoir eu à une lampe une meche de cette matière, qui lui réuffit très-bien.
    • Nous ne contefterons pas qu’on ne puiffe faire une meche de très-longue durée au moyen de l’amiante ; mais ce que nous nions, c’çft qu’elle fût perpétuelle : car, quoique l’on vante l’incom-buftibilité de l’amiante, cette propriété n’eft pas abfolue : nous voulons dire qu’à la longue le feu anéantit l’amiante comme tout autre corps. Il eft
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    • des Lampes perpétuelles. 499 bien vrai qu’un linge d’amiante, jeté dans le feu , en eft retiré fain & entier, mais pas abfolument: on remarque qu’il perd quelque peu de fon poids ,
    • & ainfi à chaque fois qu’on l’expofe au feu. Il fe détruiroit donc à la longue, & peut-être même dans un temps affez court, comme de quelques jours de fuite, fi l’on ne faifoit autre chofe que le faire rougir & le laifler refroidir, ou fi on le laif-foit tout ce temps dans un feu très-vif. Ainfi, une meche d’amiante fouffriroit de même au bout d’un temps une entière deftru&ion.
    • On a tenté de faire des meches avec des faisceaux de fils d’or trait, de la plus grande finefle. Ce feroit peut-être là le moyen d’avoir une meche d’une durée prefque perpétuelle ; mais on n’a pu venir à bout d’allumer ces mèches ; & quand même on eût pu le faire, un autre inconvénient eût bientôt nui au fuccès de ce moyen : c’eft que les filets d’or fe feroient fondus dans la flamme , & feraient devenus dès-lors incapables de remplir cet objet ; car on fçait qu’il fuffit de préfenter à la flamme d’une bougie un fil d’argent trait, pour qu’il fe liquéfie tout de fuite. Il en fera donc même d’un fil d’or ; car ce métal eft encore plus fulible que l’argent.
    • g. II. Impojjibilité de fe procurer un aliment in-defruclible pour les lampes perpétuelles : Prétendues recettes pour faire une huile incombuf ible.
    • Mais fuppofons qu?on eût trouvd une meche abfolument inaltérable, & qui ne s’engorgeât pas des fuliginofités de la matière combuftible qu’elle afpireroit, ce ne feroit encore qu’une petite partie de ce qu’il faudroit trouver pour fe procurer <une
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    • lampe perpétuelle : il lui faudroit, comme on l’a dit plus haut, un aliment qui n’éprouvât aucune diminution , ou qui ayant fervi à la flamme , & n’y ayant éprouvé aucune altération , retournât, par une circulation perpétuelle , dans le vafe duquel elle feroit fortie. Tout cela eft-il poflible ? on en jugera par les principes fuivants, qui font ceux de la fainephyfiquei
    • 11 n’y a de corps inflammables que ceux qui abondent en ce principe connu des chimifles fous le nom de phlogiftique. De-là tous les corps huileux font inflammables , car ils contiennent éminemment ce principe. Or, quel eft l’effet du feu appliqué à un corps inflammable ? Il eft évidemment , & d’après tous les faits connus de la phyfi-que, il eft, dis-je, dedécompofer le mixte dans lequel l’union du principe inflammable avec la partie fixe & terreufe eft peu tenace ; de biffer d’un côté cette partie fixe, & de volatilifer ou détruire le phlogiftique. J’avoue ne fçavoir bien précifément lequel des deux arrive ; mais , quoi qu’il en foit, fi le principe inflammable eft détruit par la. combuftion , comment cette combuftion pourroit-elie être éternelle, & comment ce'principe détruit pourroit - il être régénéré pour fe recombiner fous fa première forme avec le réfidu du corps combuftible ? Il eft aifé de voir qu’il fc’y a pas ombre de raifon à le prétendre.
    • Si le principe inflammable eft feulement vola-tilifé, il y auroit peut-être quelque procédé chimique pour le raffembler, & lui préfenter une bafe avec laquelle il pût fe recombiner, par exemple en forçant tout l’air imprégné de phlogiftique à paffer à plufieurs reprifes au travers d’une liqueur ayant une très-grande affinité avec ce der-
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    • des Lampes perpétuelles. 501 nier. Mais, en fuppofant même que cette opération ne fût pas chimérique , il faudroit fuppofer un chimifte continuellement occupé à faire cette opération, que la nature ne fera pas d’elle-même ; car elle ne forcera pas l’air d’un vafe ou d’un caveau à paffer & repafler fans cefle à travers un fluide, pour s’y dépouiller d’un principe dont il eft imprégné.
    • Au refte, quel appareil a-t-on trouvé dans les lieux où exiftoient, dit-on , ces prétendues lampes incombuftibles , qui reffeinblât à un appareil chimique propre à produire un femblable effet oa une femblable circulation ? On n’en trouve pas même de trace dans les récits qu’on a faits de ces prétendues découvertes. Ainfi , la raifon & les faits s’oppofent à-la-fois à ce qu’on admette la fuppo-fition d’un femblable artifice.
    • Nous devons cependant ici prévenir une objection. L’or eft doué du principe inflammable, car c’eft ce qui loi donne, ainfi qu’aux autres métaux, la forme métallique ; mais ce principe lui eft tellement adhérent , que , quelque longtemps qu’il foit enflammé, il n’eft point détruit. Il n’eft donc pas néceffaire que l’inflammatioiï détruife ou difperfe ce qui rend un corps inflammable.
    • Il eft aifé de répondre à cela. Quoiqu’une maffe d’or foit toute en feu , elle ne brûle pas d’une inflammation qui lui foit propre ; elle n’eft que pénétrée d’un feu étranger ; & cela eft fi vrai, que retirée du milieu des charbons ardents, elle s’éteint peu à peu. Si fon phlogiftique étoit moins lié avec fa terre métallique, elle flamberoit, au moins pendant quelque temps, d’une flamme fu-perfieielle, comme quelques métaux imparfaits ou
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    • 502 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • demi-métaux , qui font auffi bientôt réduits en chaux. Or c’eft ce qui ne lui arrive pas : ainfi il ne peut y avoir d’inflammabilité proprement dite, ou de combuftibilité, que dans des corps où le phlogiftique n’eft pas aflez foiblement uni avec la partie fixe , pour pouvoir en être féparé, & fervir d’aliment à la flamme. L’objeâion ci-deflus devient elle-même une preuvede ce que nous avons dit.
    • Ecoutons néanmoins les alchimifles, ou les partifans des lampes perpétuelles ; ils vont beaucoup nous amufer par leurs idées fur la maniéré dont on pourroit fe procurer une huile telle que l’exigeroient ces lampes.
    • Les uns, voyant que l’amiante eft indeftru&i-ble au feu, ont tenté ou propofé de tirer l’huile de cette pierre : mais malheureufement les pierres n’ont pas une atôme d’huile : tout le monde le fçait ; & de-là vient le pro^rbe ufité pour dé-figner une impoflibilité abfolue, C'efl vouloir tirer de l'huile d'un mur.
    • D’autres remarquant que l’or & l’argent, fur-tout le premier de ces métaux , font indeftru&i-bles, ont eu l’idée d’y chercher l’huile précieufe qui doit mettre en pofleflion des lampes perpétuelles. C’eft-là le beau fecret dont Licéti veut que le grand Olybius fut en pofleflion. Mais il n’y a pas plus d’huile dans les métaux que dans les pierres. Il y a dans les premiers un principe inflammable, appelé le phlogiftique ; mais, outre que ce phlogiftique eft le même dans tous les métaux, on ne peut l’obtenir ifolé ; & dans l’or fur-tout, il eft fi étroitement lié avec fa bafe ou la terre métallique de l’or, qu’on n’a jamais pu
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    • des Lampes perpétuelles. 503
    • les féparer. Le projet de tirer de l’or une huile incombuftible, eft donc une chimere abfurde.
    • Mais, dit un autre, fi nous pouvions réduire l’or en une liqueur, peut-être aurions-nous une huile incombuftible , puifque l’or eft inaltérable au feu. Ceci eft vrai; mais , indépendamment de l’impoffibilité de réduire l’or en liqueur, qui nous eft garant qu’il en réfultât une liqueur inflammable comme l’huile?
    • L’abbé Trithême, ou celui qui a mis fous fon nom beaucoup d’impoftures , a néanmoins prétendu nous donner deux moyens pour faire l’huile-incombuftible. Nous allons en faire connoître un, avec tout le procédé d’une lampe perpétuelle.
    • Mêlez, dit ce vifionnaire célébré, ou celui qui parle en fon nom, quatre onces de foufre, Sc quatre onces d’alun ; fublimez-les, & en faites des fleurs. Prenez deux onces & demie de ces fleurs ; joignez-y demi-once de borax & de criftaL de Venife , & pulvérifez le tout dans un mortier de verre ; mettez le tout dans une fiole ; verfez deflfus de bon efprit de vin quatre fois re&ifié , ÔC faites digérer cela; retirez l’efprit de vin, St re-mettez-en de nouveau , & répétez la même chofe trois ou quatre fois, jufqu’à ce que le foufre coule fans fumée comme de la cire , fur des plaques d’airain chaudes. Voilà la nourriture de votre feu éternel. Enfuite il faut préparer une meche convenable ; & la chofe fe fait ainfi : Prenez des filaments de la pierre asbejlosr de la longueur du doigt auriculaire & de la grolfeur d’un demi-doigt, & liez-les avec de la foie blanche. Votre meche étant ainfi faite, couvrez-la du foufre ci-devant préparé , dans lequel vous l’enfevelirez en un vafe de verre de Venife ; & vous mettrez
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    • 504 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • le tout cuire fur un feu de fable bien chaud durant vingt-quatre heures, enforte que vous voyiez toujours le foufre bouillir. Par ce moyen, la meche étant bien pénétrée & imprégnée de cet aliment, fe met dans un petit vaiffeau de verre , dont l’ouverture foit large. Il faut que la meche s’élève un peu au deflfus. Puis rempliriez ce vafe de verre de votre foufre préparé ; mettez le vafe dans du fable chaud , afin que le foufre fonde & ensjloutifîe la meche. Allumez-la , & elle brûlera d’un feu perpétuel. Mettez où vous voudrez cette petite lampe, elle fera inextinguible.
    • Tel eft le premier feu de l’abbé Trithême. Il ne faut qu’avoir les plus légères connoiflances de chimie, pour voir clairement qu’il n’y a pas de bon fens à efpérer de-là un feu inextinguible & perpétuel. Auffi aucun des partifans des lampes perpétuelles, pas même le bon Licéti, n’a-t-il confiance à un pareil procédé, ni même au fécond ; d’où il conclud qu’aucun des modernes ne poffede ni n’a pofledé ce fecret précieux.
    • Il y a des alchimifles qui promettent une huile încombuftibîe , tirée par un autre procédé. Ils prétendent que de l’huile de vitriol édulcorée fur de l’or, & qu’ils appellent oleurn vitrioli auri-ficantm, donnera cette liqueur précieufe. Mais qui ne fqait que l’huile de vitriol n’eft appelée ainfi que fort improprement? car elle n’a rien de véritablement huileux ou inflammable ; & nous croirons aux lampes perpétuelles, quand un alchimifte nous aura montré une lampe ordinaire, garnie d’huile de vitriol & d’une meche quelconque, où le feu fubfifte feulement une fécondé.
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    • des Lampes perpétuelles. 505
    • §. I IL ImpoJJibilitè d’entretenir un feu brûlant fans cejfe dans un lieu abfolument clos.
    • C’eft un fait connu depuis qu’on obferve en phyfique, qu’une flamme ne peut fubfifter dans un lieu clos. Qu’on renferme une bougie fous un récipient de verre, & que tout accès de l’air extérieur lui foit interdit ; on verra peu à peu fa flamme diminuer, s’obfcurcir, s’allonger, & enfin s’éteindre. Le célébré Haies a même calculé quelle quantité d’air une bougie d’une certaine dimenfion rendoit, dans un temps donné , incapable de fervir à entretenir fa flamme , enforte qu’on peut prédire en combien de temps cette flamme s’éteindra infailliblement.
    • Peut-être néanmoins dans un lieu vafte, quoique hermétiquement clos, une flamme pourroit-elle perpétuellement brûler ; mais on fçait que les caveaux des tombeaux étoient extrêmement petits : & pour augmenter la difficulté, on dit que les lampes perpétuelles brûloient dans des vafes où elles étoient renfermées. Telle étoit du moins celle d’Olyhius. Or, la cruche d’Olybius eût-elle été de trois pieds de diamètre , ce qui ne paroît nullement, il eft certain qu’une lampe n’eût pu y fubfifter feulement deux heures fans vicier tout l’air intérieur & fans s'éteindre.
    • Nous n’en dirons pas davantage fur cette matière ; ce feroit fe mettre en frais de raifonnements fuperflus, que d’en entafter un plus grand nombre pour combattre la chimere des lampes perpétuelles ; car nous préfumons qu’il n’y a plus aujourd’hui aucun phyficien inftruit qui n’en porte le même jugement que nous.
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    • ço6 Récréât. Mathémat. et Phys.
    • ADDITION,;
    • Malgré toutes ces raifons, qui paraîtront sûrement déduites des principes de la plus faine phy-fique , nous avons vu dans un journal, que le
    • prince de S..-S...., Napolitain, étoit eu
    • poffeffion du fecret des lampes perpétuelles. Mais comme il y a déjà bien des années que cette annonce a paru , & que ce fecret n’eft point encore divulgué, il y a lieu de croire que l’annonce a été prématurée. Ce n’eft pas d’aujourd’hui qu’on a vu des chimiftes occupés de la pierre philofo-phale , annoncer leur découverte avant leur opération finie : on en a même vu un marchander une terre d’un million, d’après la belle couleur de fa matière , en tout femblable à la defcription qu’en donne le Philalethes & le fçavant Morien*. Mais malheureufement tout manqua encore ; & le bon alchimifte mourut à l’hôpital, en protef-tant qu’il n’avoit manqué à fa matière qu’un degré imperceptible de coftion, pour le rendre l’homme le plus riche de la terre.
    • Quant à la lampe perpétuelle de Naples , nous changerons d’avis quand nous ferons sûrement informés que l’épreuve en a été faite, & qu’elle a feulement brûlé une année.
    • * Deux adeptes célébrés, les meilleurs qu’on puifle fuivre pour fe ruiner capitalement.
    • Fin du quatrième & dernier Tome.
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    • Totn-JJ
    • .-E.ecréaù.ous.
    • Plwûfua PL .1.
    • de la. GardeÜe SaUp
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    • Tom,. IPT
    • Récréations
    • Ikirique H.3
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    • Tom.IF-
    • Récréations
    • Tkûstçu& Tl.
    • Je la. tfar dette J'culp.
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    • Tom- JF-
    • Récréations,
    • ' Phiriqnu
    • '<rûjrti0 Fl. 5.
    • de la. üur dette Jeufr.
    • 0890360154702991347
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    • Toni. /K
    • HécreatLOUs /
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    • JI '«*&
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    • Torrt'Ifc
    • Récréations »
    • Phrnqu^ PL Ô.
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    • TABLE
    • 30 JE S 'EMLAlÆXKTLXLS
    • DU QUATRIEME VOLUME.
    • ONZIEME PARTIE. Physique générale et particulière. Discours préliminaire fur ta eu-
    • ments des Corps. page 2
    • §. I. Du Feut tant élémentaire que materiel.
    • i
    • §. II. De l'Air. 8
    • §. III. De l'Eau. 12
    • §. IV. De ia Terre. 18
    • Problème Premier. Confiruction de la machine pneumatique , & expojîtion de quelques-unes des principales expériences auxquelles elle fert. 21 PrOB. II. Renverfer un verre plein de liqueur, fans qu'elle s'écoule. 29
    • PROB. III. Vuider toute Veau contenue dans un vafe,par le moyen d'un Jiphon. 31
    • PROB. IV. Préparer un vafe qui , étant rempli de quelque liqueur a une certaine hauteur, la con-ferve, & qui la perde toute , étant rempli de la même liqueur à une hauteur tant fait peu plus grande. 3 3
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    • 5o& TABLE
    • Prob. V. Conjlruclion d’un vafe qui contienne fa liqueur étant droit , 6* qui étant incliné comme pour boire , la perde aujjitôt toute. 3 4 PROB. VI. Confruclion de la fontaine qui coule & s’arrête alternativement. 3 5
    • Prob. VII. Conjlruclion d’une clepjidre montrant l’heure par l’écoulement uniforme de l’eau. 37 Prob, VIII. Quelle ejl la plus grande hauteur a laquelle la tour de Babel eût pu être élevée, avant que les matériaux portés à fon fommet euffent perdu toute leur pej,auteur ? 3 9
    • PROB. IX. Si l’on fuppofoit la terre percée d’un trou jufqu’à fon centre , combien de temps un corps mettroît-il à parvenir à ce centre, en fai-faut d’ailleurs abjlraction de la réjîfance de l’air ? 41
    • PROB. X. Qu’ejt-ce qui arriverait Ji la lune étoit tout-à-coup arrêtée dans fon mouvement circulaire , & en combien de temps tomberoit-elle fur la terre ? 41
    • PROB. XI. Quelle feroit la pefanteur d’un corps tranfporté à la furface du Soleil, ou d’une autre plane te que la Terre, comparée à celle de ce corps fur la furface de notre globe ? 44
    • Prob. XII. Conjlruire une fontaine qui jaillijfe par la comprejjion de Vair. 46
    • Prob. XIII. Conjlruclion d'un vafe qui donne autant de vin qu’on y verfe d’eau. 48
    • PROB. XIV. Conjlruclion d’une machine hydraulique , ou un 0 if eau boit autant d’eau qu’il en jaillit par un ajutage. ibid.
    • PROB. XV. Faire une fontaine qui jaillijfe par la raréfaction de l'air dilaté par la chaleur\ 50
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    • PrOB. XVI. Mefurer le degré de chaleur de Voir &des autres fluides. Hijloire & conjlruclion du Thermomètre. 51
    • PrOB. XVII. Defcription des Thermomètres les plus célébrés & les plus ujités : Réduction des uns aux autres. 60
    • PROB. XVIII. Conjlruclion d'un autre Thermomètre mefurant la chaleur par la dilatation d'une barre de métal. 64
    • I. Table des différents degrés de chaleur auxquels différentes matières commencent à fe fondre, ou à /e geler 9 ou à entrer en ébullition , réduits aux thermomètres de Fareinheit, Réaumur, & Celjîus.
    • 67
    • II. Table des différents degrés de chaleur ou de froid, obfervés en divers lieux de la Terre, ou dans certaines circonjlances, ou pour certaines opérations , réduits au thermomètre de Réaumur.
    • 68
    • III. TABLE des rapports de dilatation des Métaux
    • par la chaleur, fuivant M. Ellicot. 69
    • OBSERVA T ion s fur les Tables précédentes.
    • ibid.
    • PrOB. XIX. Quelle ejl la caufe qui fait que fur les hautes montagnes, même fur celles qui font fituées fous la {One torride , on éprouve prefque continuellement un froid rigoureux, tandis que dans la plaine ou dans les vallons il fait chaud >
    • 73
    • PrOB. XX. De Vatténuation dont quelques matières font fufceptibles; calcul de la longueur d'un lingot d'argent trait, & de Vépaijjeur de fa
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    • 3 io T A B LE
    • PrOB. XXI. Continuation du même fujet: Ap-perçu de la divijion de la matière dans les diffolu-dons des corps, les odeurs & la lumière. 81 Prob. XXII. Quelle vitejfe faudroit-il donner à un boulet de canon, dans la direction horizontale , pour qu'il ne retombât pas fur la terre , & qu'il circulât autour d'elle comme une plane te , en faifant néanmoins abjiraciion de la réjijiance de l'air? ^ 85
    • Prob. XXIII. Examen dune opinion Jinguliere fur la Lune & les autres planètes fecondaires.
    • .87
    • PROB. XXIV. Jufqu'à quel point peut & doit-on craindre Rapproche ou le choc d'une comete , & les ravages qui pourroient en réfulter fur la Terre ?
    • ' ............ • 93
    • ThÉOREME I. Une livre de liege pefe davantage qu'une livre de plomb ou dor.
    • Un corps pefe plus en été qü'en hiver. -IOO Théor. II. Deux poids homogènes qui font en équilibre fur Idfurface de la terré, aux extrémités d'une balance a bras inégaux, ne té doivent plus être y Ji on la tranfporte;. au fommet : d'une montagne ou au fond dune mine. îoj
    • Prob. XXV. Du Feu central. 105
    • PROB. XXVI. Mefurer les variations de pefanteur de Pair : Conflruction du Baromètre. 117
    • Prob. XXVII. La fufpenjion du mercure dans le Baromètre , dépend-elle dé la pefanteur ou de l'é* laficité de l'air? 120
    • Prob. XXVIII. Ufâge du Baromètre pour recon* noître l'approche du beau ou du mauvais temps, & précautions à prendre à ce fujet pour h'être pas induit en erreur, 122
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    • DES MATIERES. 511 ProB. XXIX. Comment fe fait-il que la plus grande hauteur du Baromètre annonce le beau temps y & que la moindre annonce la pluie prochaine ou mauvais temps ? 124
    • Prob. XXX. Du Barometr.e compofé ou réduit.
    • 127
    • PROB. XXXI. Quel efpace occuperoit un pouce cube <Pair y tranfporté à la hauteur d'un demi-diametre terfejlre ? 130
    • PROB. XXXII. Si Pon creufoit un puits j.ufqu'au centre de la terre , quelle feroit la denjité de Pair dans les différentes profondeurs & au fond de ce puits? 135
    • Prob. XXXIII. De PArquebufe a vent. 135 Prob. XXXIV. De PEolipyle. 137
    • PROB. XXXV. Conjlruclion de quelques petites figures qui nagent entre deux eaux, & quon fait datifer 9 hauffer & baijfery en appuyant feulement h doigt fur l’orifice de la bouteille qui les contient. 139
    • PROB. XXXVI. Conjlruclion d’un baromètre ou les variations de Pair fe démontrent par une petite figure qui haujfe & baiffe dans Peau. 140 PROB. XXXVII. Equilibrer dans de Peau deux petites figures, de maniéré qu’y verfant de nouvelle eau, la figure qui étoit au dejfus s’enfonce y & P autre prenne le de fus. 141
    • Prob. XXXVIII. Des Larmes Batavtques, ibib. Prob. XXXIX. Mefurer la quantité annuelle de - la Pluie. *44
    • Prob. XL. De l’origine des fontaines : Calcul de la quantité d’eau des pluies, qui démontre qu’elle
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    • 5,i TABLE
    • fujjjt pour leur donner naiffance 6* les entretenir.
    • 147
    • PROB. XLI. Le Marteau d'eau 9 ou de mercure.
    • PROB. XLII. Faire une Pluie lumineufe de mercure. 153
    • PROB. XLIII. Pour quelle raifon, dans les mines qui ont des foupiraux fur le penchant d’une montagne , à différentes hauteurs , s'établit-il un courant d’air , qui a dans C hiver une direction différente de celle qu’il a pendant l'été? Explication d’un phénomène femblable qu’on remarque chaque jour dans les cheminées : Ufage qu'on peut faire d’une cheminée pendant Pété. 154 PROB. XLIV. Mefurer les hauteurs des montagnes au moyen du Baromètre. 157
    • Table des hauteurs de différents lieux de la Terre & de diverfes Montagnes au deffus du niveau de la Mer. 163
    • PROB. XLV. Faire une Fontaine artificielle, à Limitation d'une fource naturelle. 166
    • PROB. XLVI. Quelle ejl la pefauteur de l'air dont le corps d’un homme ejl continuellement chargé ?
    • 168
    • PROB. XLVII. Conjlruclion d'une petite machine qui , à l'imitation dé la Jlatue de Memnon, produira des fons au lever foleil. 170
    • PROB. XLVIII. Des Phénomènes des Tuyaux capillaires. 173
    • PROB. XLIX, De quelques tentatives du mouvement perpétuel, au moyen de Jîphons capillaires.
    • «77
    • PROB.
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    • DES MATIERES. ;iJ
    • PROB. L. Force prodigieufe de Chumidité pour enlever des fardeaux. 180
    • Prob. LI. Delà Machine ouDigejleurdePapin.
    • 182
    • Prob. LII. Pourquoi dans l'hiver, lorfque le temps fe radoucit tout-à-coup , l'air intérieur des mai-fons continue , même pendant plujieurs jours , à être plus froid que Vextérieur} 186
    • Prob. LUI. De quelques Jignes naturels auxquels on peut prévoir le changement de la température actuelle de l'air, 187
    • Prob. LIV. La Fiole des Eléments, 191
    • PROB. LV. Séparer deux liqueurs mélangées en-femble. 19}
    • Prob. LVI. Quelle ejl la caufe de Vébullition de Peau} 194
    • PROB. LVII. Quelle ejl la caufe pour laquelle le fond d'un vafe contenant de l'eau bouillante à gros bouillons, ejl à peine chaud ? 19 G
    • Prob. LVIII. Mefurer Chumidité & la fécherejfe de Vair : Idée des principaux Hygromètres imaginés pour cet objet ; leurs défauts : Conjlruction d'un Hygromètre comparable, 198
    • Prob. LIX. En fuppofant ce que nous ayons démontré plus haut fur la ténuité des particules de la lumière & fon extrême rapidité, quelle déperdition le foleil peut-il faire de fa fubjtance dans un nombre d'années déterminé} 20 J
    • Prob. LX. Produire au milieu de là plus grande chaleur un froid conjîdérable & propre à glacer Peau : Des congélations artificielles , &c. 207
    • Prob. LXI. Faire glacer de l'eau, en remuant feulement le vafe qui la contient, 212
    • Tome IV. Kk
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    • ,,4 TABLE
    • PrOB. LXII. De là figure qu'on obferve qüelquéfoti dans la neige : Explication de ce phénomène,
    • 214
    • Pkob. LXIII. Confiruire une Fontaine oit Veau coule & s'arrête alternativement, 216
    • PROB. LXIV. Faire une Fontaine qui coulera & s'arrêtera un certain nombre de fois de fuite , & enfuite s'arrêtera pendant un temps plus ou moins long, après lequel elle reprendra fon cours intermittent; & ainjî de fuite. 219
    • PROB. LXV. Confiruclion cPune Fontaine qui cef-fera de couler quand on y verfera de l'eau , & qui ne reprendra fon cours que quelque temps après qu'on aura cejfé. 2.20
    • PrOB. LXVI. Faire une Fontaine qui , après avoir coulé pendant quelque temps par fa décharge de fuperficie, commencera à baiffer jufqu'à un certain point, enfuite remontera, & ainji fucceffive-ment. 222
    • REMARQUE, contenant l'hifioire 6* les phénomènes des principales Fontaines intermittentes connues, ainji que de quelques lacs & puits qui ont des mouvements analogues : Hifioire du fameux lac de Zirchnitibid. Prob. LXVII. Du Porte-voix & du Cornet acouf-tique ; leur explication : Le jeu de la Tête enchantée. 235
    • Prob. LXVIII. Dans le jeu du Ricochet, quelle efi la caufe qui fait remonter la pierre au deffus de la fur face de l'eau} après y avoir plongé ?
    • 238
    • Prob. LXIX. Le mécanifme du Cerf-volant : Di-
    • verfes quefiions & recherches fur ce jeu. 24Q
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    • DES MAT 1ER ?ROB. LXX. De la Baguette qu’oit en doit penfcr.
    • ES. 5,5
    • divinatoire; et
    • DOUZIEME PARTIE.
    • De i’Aimast.
    • Section première. De la nature de CAimant. 2-54
    • SECTION II. Des propriétés principales de F Ai-mant.
    • I. De P attraction de VAimant avec le fer,
    • ou des Aimants entreux. ibid.
    • Première Expérience, qui prouve P attraction de PAimdnt à P égard du fer. ibid.
    • 2e Expérience. Reconnaître les pôles de P Aimant, 257
    • . 3 e Expérience. Propriétés des pôles de P Aimant P un à. P égard de P autre, 258
    • 4e Expérience. Production de nouveaux pôles dans P Aimant. 259
    • 5 e Expérience. La direction du courant magnétique. z6z
    • 6e Expérience , qui prouve P action mutuelle des Aimants & du Fer. 263
    • II. De la communication de la propriété magnétique, 264
    • 7e Expérience. Maniéré d'aimanter. ibid.
    • 8e Expérience. Maniéré de faire avec des barreaux d'acier un Aimant artificiel. %6 5
    • Kkij
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    • 5,$ TABLE
    • c>e Expérience. Produire dans une barre de fer la vertu magnétique fans aimant. 267
    • III. Delà direction de VAimant, fa dé-
    • clinaifon & de fa variation. 172
    • 10e Expérience. Reconnaître la direction de FAimant. ibid.
    • IIe Expérience. Le changement de dêclinaifon deFAimant. 275
    • 12e Expérience. La variation diurne de VAimant. 280
    • §. IV. De rinclinaifon de VAiguille aimantée. 281
    • 13e Expérience. Obferver Cinclinaifon de VAimant. ibid.
    • 14e Expérience. Obferver Linclinaifon de F Aiguille aimantée. 282
    • SECTION III. De quelques Moyens propofés pour oter a F aiguille aimantée fa dêclinaifon , ou faire des Boujfoles fans dêclinaifon. 286
    • SECTION IV. De quelques Tours dé fubtilitê quon exécute au moyen de F Aimant. 290 §. I. Conjtruction de la Lunette magique. 291 §. II. Etant donnés plujieurs chiffres, qu'une perfonne rangera les uns à côté des autres dans une boîte, reconnaître à travers le couvercle le nombre formé par ces chiffres, 292
    • §• III, La Mouche f gavante, ou la Syrene.
    • 294
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    • DES MATIERES.
    • TREIZIEME PARTIE.
    • De l’Electricité.
    • §. I. Ce que c'ejè que rEkctriciti; Dijlinction entre les corps électriques par frottement ou par communication.
    • 299
    • IL Defcription de la Machine électrique o\ électrifer, ainjî que des Injlruments accejfoires pour les expériences de CElectricité. 301
    • Première Expérience. U Etincelle électrique. 305 2e Expérience. Communication de l'électricité à diverfes perfonnes. 30 6
    • 3 e Expérience. U Attraction & la Répuljion. ibid. 4e Expérience. Quelques Jeux électriques fondés fur la propriété précédente. Le Poijfon d'or, la Danfe élettrique, la Pluie lumineufe. ibid. 5 e Expérience. Répuljion entre des corps également éleclrifés. 308
    • 6e Expérience. Conftruction d'un Electrometre.
    • 309
    • 7e Expérience. Allumer de l'efprit de \
    • Cétincelle électrique. 310
    • 8e Expérience. Propriétés des Pointes. ibid.
    • 9e Expérience. Différence des pointes & des corps imoujfis. _ ^ 3rI
    • 10e Éxpérience. Maniéré de reconnoître Jt un corps ejt dans Vétat d'électricité. 312
    • IIe Expérience. Dijtinction des deux Electricités.
    • Idée du fyjlême de M. Francklin. 313
    • 12e Expérience. La Bouteille électrique, & la Commotion, 3x8
    • Kkiii
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    • çi8 TABLE
    • Iie Expérience. Autre maniéré de donner ta com< motion , fçavoir, par le carreau de verre électrique. Percer une main de papier avec F étincelle électrique. 324
    • 13e Expérience, Moyen <Paugmenter comme indéfiniment la force de F électricité : Batterie électrique. 325
    • 14e Expérience, Tuer un animal au moyen de Vélectricité. 3 28
    • 15e Expérience. Production du mdgnètifme par Vélectricité. * 319
    • 16e Expérience. Fondre les métaux au moyen de F Electricité. 330
    • 17e Expérience, qui prouve F identité de la foudre avec F étincelle électrique. 331
    • 18e Expérience, qui prouve la même vérité <Fune autre maniéré; ou le Cerf-volant électrique. 335 19e Expérience. La Maifon endommagée par le Tonnerre. 339
    • 1 préfervé
    • 341
    • Démarque générale, fur Fanalogie du feu de la foudre avec la matière électrique ; Moyen de garantir les édifices du tonnerre. 345
    • 21e Expérience. De quelques Jeux fondés fur F attraction & la, répuljioji électriques : VAraignée électrique, &c. 35b
    • 22e Expérience, La Roue & le Tournebroçhe élecr triques.. 351
    • 2-3® Expérience. Le Çàrillon & le Çlayeffin électriques.^ ' 355
    • £4* Expérience. Les Chevaux électriques fepoursuivants ; ou le Mqnege électrique^
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    • DES MATIERES. 519
    • 15 e Expérience. Faire paroître tout-à-coup une écriture en caractères de feu , par le moyen de Pé-lectricité. , 358
    • 3.6e Expérience. Feu £ Artifice électrique. 361
    • 27 e Expérience, fur PElectricité de la Soie. 364
    • 28e Expérience, qui prouve que FElectricité accéléré le cours des fluides. 366
    • Remarque fur les conféquences de cette Expérience , & fur les guérifons opérées ou prétendues opérées par P Electricité. 3 67
    • 29e Expérience. De PElectricité naturelle & animale, 371
    • QUATORZIEME PARTIE.
    • Chimie.
    • Article premier, du ses. 377
    • §. I. Des Acides. 37*
    • De P Acide vitriolique. 379
    • De P Acide nitreux. 3*1
    • De P Acide marin. îbid.
    • De P Acide végétal. 3*1
    • II. Des Alkalis. 3*3
    • De PAlkali fiL e.
    • De PAlkali volatil. 3*f
    • §. III. Des Sels neutres. 386
    • ARTICLE II. Du Phlogiftique. 388
    • ARTICLE III. Des Affinités. 39»
    • ARTICLE IV. Des Diffolutions 6- Précipita-
    • tiçnSt 39Î
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    • 510 TABLE
    • ARTICLE V. De l'Effenefcence & de U Fermentation ; leur différence. 394
    • ARTICLE VI. De la. CrijlatUfation. 396 ARTICLE VII. Diverfes Expériences chimiques.
    • 398
    • Première Expérience. Comment un corps de na-turc combuflible, peut être fans ceffe pénètre de feu fans fe confumer? ibid.
    • 2e Expérience. Tranfmutation apparente du fer en cuivre, ou en argent 3 & fon explication.
    • 399
    • 3e Expérience. Oit Von précipite fuccefjivement diverfes fubfiances , par Vaddition d'une autre dans la folution. 401
    • 4e Expérience. Avec deux liqueurs, chacune tranfparente , produire tint liqueur noirâtre & opaque : Maniéré de faire de bonne Encre.
    • “5
    • 5e Expérience. Comment on peut produire des vapeurs inflammables & fulminantes, 404
    • 6e Expérience. La Chandelle philofophique. 405 7e Expérience. Comment on peut faire, par une compofition chimique , un volcan artificiel.
    • ibid.
    • 8e Expérience. Compofition de VOr fulminant.
    • 9e Expérience. Compofition de la Poudre fui-mindnte. 408
    • 30e Expérience. Liqueur qui fe colore & fe décolore alternativement, en permettant ou interceptant le contact de Vair extérieur avec elle.
    • IIe Expérience. Prétendue production d'un nouveau Fer, & ce qu'on en doitpenfer% ibid.
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    • DES MATIERES. 521
    • j Ie Expérience. Avec deux liquides mélangés, former un corps folide, ou du moins ayant de la confijlana. 4! i
    • 13e Expérience. Former une combinaifon qui étant froide foit liquide , & au contraire , étant échauffée , devienne confiante en forme de gelée. 412 14e Expérience. Faire paroître tout-à-coup un éclair dans une chambre 9 quand on y entrera avec un flambeau allumé. 413
    • 15e Expérience. Des Encresfympathiques, & de quelques Jeux qu’on exécute par leur moyen.
    • ibid.
    • Remarques.
    • 1. Faire un tableau qui repréfente alternativement
    • Phiver & Pété. 416
    • 2. VOracle magique. 417
    • 16e Expérience. Des Végétations métalliques.
    • ibid.
    • Arbre de Mars. 41 $
    • Arbre de Diane. ibid.
    • Végétation non métallique. 410
    • 17e Expérience. Produire la chaleur & meme la flamme par le moyen de deux liqueurs froides.
    • 4Zt
    • 18e Expérience. Fondre du fer dans un infant, & le faire couler en gouttes. ibitfe
    • 19e Expérience. Faire fondre du métal dans une coquille de noix. 4ZZ
    • 20e Expérience. Partager une piece de monnoie en deux dans fon épaiffeur. 4Z3
    • DIGRESSION fur la Pierre philofophale, POr potable , & la Palingénéfie. 4M
    • §. I. De la Pierre philofophale„ 4*»
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    • 3*1 TABLE
    • §. II. De tf)r potable. 434
    • §. III. De la Palingénéfie. 436
    • Efpece de Palingénéfie illufoire. 443
    • I« SUPPLÉMENT. Des Phofphores, tant naturels qu artificiels. 445
    • Section I. Des Phofphores naturels. 44$
    • §. I. De la Mer lumineufe. ibid.
    • §. II. De quelques Infectes lumineux. 451
    • 1. Du Ver luifant de notre pays. 45 a
    • 2. De la Mouche luifante de VItalie & des
    • pays chauds. 455
    • 3. Du Cucuyo de VAmérique. 454
    • 4. Du Scarabée de la Guyane. 45
    • 3. III. De quelques autres Corps phofphoriques.
    • 456
    • 1. Les Yeux de divers animaux. ibid*
    • . Le Diamant de Clayton. 457
    • 3. Le Bois pourri. 45$
    • 4. Les Vers des Huitres. 45c)
    • 5. Les Chairs corrompues. ibid.
    • . Divers Poiffons ou parties de Poifions.
    • 460
    • Section II. Des Phofphores artificiels. 465
    • §• I. Expérience phofphorique , ou brûler de la poudre à canon fans explojion.
    • §. II. De la Pierre de Boulogne.
    • §. III. Du Phofphore de Baldwin
    • §. IV. Phofphore de M. Homberg.
    • 4 66 ibid*
    • 1 Baudouin.
    • 469
    • 470
    • S* V. Phofphore en poudre , ou de M. Canton. §» VI, Du Pyrophore d'Homberg.
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    • DES MATIERES. 51* §. VII. Du Phofphore ou Pyrophore de Kitncko,/„ autrement appelé d’Angleterre. 474
    • Ecrire en caraÛeres qui feront lumineux dans Cobfcuritè. 480
    • §. VIII. Compojition (Tune efpece de Pyrophore qui jette desflammes parle contact d'une goutte d’eau. 481:
    • IIe SUPPLÉMENT. Des Lampes perpétuelles 484
    • SECTION I. Examendes faits qu’on allégué comme preuve de Fexiflence des Lampes perpétuelles
    • 48*
    • 1. La Lampe de Tulliola. 480
    • z. La Lampe d’Olybius. ibid.
    • 3. La Lampe de P allas , fils dEvandre. 487
    • 4. La Lampe du temple de Vénus. 488
    • 5. Les Lampes de Cajflodore. 489
    • Section II. Examen de la poffibilitéphyfique de
    • §. I. Impofjibilité d'avoir une meche perpétuelle : Hifloire de l’Amiante ; maniéré de le filer , & d’eh former un tifiii ou une meche ; examen de fa prétendue incombufiihilitè. 494
    • §. II. Impofiîbilité de fe procurer un aliment indefiruhible pour les Lampes perpétuelles: Prétendues recettes pour une huile incombuf-tible. 499
    • §. III. Impofiîbilité d’entretenir un feu brûlant
    • Fin de la Table du quatrième Volume,
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