Mémoires et compte-rendu des travaux de la société des ingénieurs civils

- - MEMOIRES
 - BT
 - COIPTE'RINDU DES TRAVAUX
 - DIS LA
 - SOCIÉTÉ DES IHGÉÜIEÜR9 CIVILS
 - (Janvier, Février et Mars 185L)
 - (N® 12.)
 - Pendant ce trimestre, on a traité les questions suivantes:
 - 1® Suite et fin du rapport de la commission des ponts suspendus ; discussion sur ce rapport (Y. les résumés des séances, p. 33,49);
 - 2° Lecture de la première partie du mémoire de M. Yvon Villarceau sur la théorie de la stabilité des machines locomotives en mouvement (Y. le résumé des séances, p. 29);
 - 3° Analyse des travaux de l’Institut des ingénieurs civils de Londres (V. le résumé des séances, p. 45).
 - Pendant ce trimestre, la Société a reçu :
 - De M. Bazaine, ingénieur en chef des ponts et chaussées,
 - 1° Un exemplaire de la grande carte du chemin de fer d’Amiens à Londres par Boulogne;
 - 2° Un exemplaire d’une carte des profils en long des divers chemins de fer unissant Paris à Londres;
 - 3° Le dessin gravé du pont construit sur la Canche àEtaples.
 - De M. Bergeron, ingénieur en chef du chemin de fer de
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 - Paris à Versailles (rive gauche^ ope collection complète des dessins des travaux d’art de ce chemin.
 - De M Goschler, une note (extraite des Annales de la Société des ingénieurs mennois') relative à l’emploi de la tourbe desséchée à l’air au soudage du fer extrait des minerais carbo-natés.
 - De M. Mirecki, une note sur l’emploi des traverses en peuplier.
 - De M. Mayer, une note sur le prix de revient des transports sur les chemins de fer français.
 - De M. Nillis, un exemplaire d’un mémoire de M. Versluys sur la construction des égouts au point de vue do la salubrité publique.
 - De MM. Lechatelier, Eug. -Flachat, J. Petiet et C. Polon-ceau, un exemplaire de leur Guide du mécanicien constructeur et conducteur de machines locomotives.
 - De M. Yvon Villarceau, un mémoire sur la théorie de la stabilité des machines locomotives en mouvement.
 - De M. Guibal, un mémoire sur un projet de chemin de fer de Mons à Nieuport.
 - De M. Lefrançois, deux notes relatives à la construction d’une voûte en ellipse.
 - De M. Laurens, une note sur la quantité d’air insufflée dans les hauts-fourneaux.
 - De M. Volland , des tables au moyen desquelles il a réduit à une multiplication et à une addition le calcul des largeurs d’emprises et des'surfaces de profils.
 - DeM. Vuigner, une note relative aux chemins de halage et aux berges des canaux en Angleterre et en Ecosse.
 - Les membres nouvellement admis sont les suivants :
 - Au mois de février.
 - MM. Steg&b, présenté par MM. Alcan, Huet et Geyler.
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 - Girard, présenté par MM. Ch. Gallon, Y. Bois et Yvon Viliarceau.
 - Ebray, présenté par MM. Perdonnet, Pepin-Lehaîleur et Faure.
 - Evrard, présenté par MM. Petiet, G. Loustau et De-gousée.
 - Thévenet, présenté par MM. Faure, Priestley et Piquet. Au mois de mars.
 - MM. Tourneux (Félix), présenté par MM. Eug. Flachat, À. Barrault et Y. Bois,
 - Thétard, présenté par MM. Eug. Fl achat y Gavé et A. Bellier.
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 - LISTE GÉNÉRALE DES SOCIÉTAIRES AO 1" JANVIER 1851-
 - Membre® «lia ÜBaare&'ïs.
 - Président :
 - M. Perdonnet^, rue Neuve-des-Mathurins, 73. Vice-présidents :
 - MM. E. Flachat, ^>$<rue de Londres, 51.
 - Charles Gallon , rue des Vosges, 18.
 - C. Polonceau^, boulevart de l’Hôpital, 4.
 - Emile Vuignier^, rue du Faubourg-Saint-Denis, 146, Secrétaires ;
 - MM. Adolphe Bellier, rue Saint-Honoré, 83.
 - Léon Yvert, rue Bleue, 5.
 - Goschler, quai de l’Ecole, 26.
 - E. Gerder, rue Richer, 10.
 - Trésorier :
 - M. Locstau, rue Saint-Quentin, 23.
 - membres «les Comité.
 - MM. Faüre, boulevart Saint-Martin, 55.
 - Nozo, place du Château-Rouge, 2, à Montmartre. Hoüel-&, quai de Billy, 48.
 - J. Petiet rue Lafayette, 34.
 - M. Alcan, rue d’Enghien, 28.
 - P. Seguin, rue Louis-le-Grand, 3.
 - Léonce Thomasrue des Beaux-Arts, 2.
 - Degoüsêe, rue Chabrol, 37.
 - A. Salvetat, à Sèvres (Manufacture nationale).
 - Yvon Yillarceaü, rue Cassini, 14.
 - A. Barrault, rue de Clichy, 63.
 - Deligny, à Asnières.
 - Gouin^, rue Neuve-des-Mathurins, 26.
 - Gavé#, rue du Faubourg-Saint-Denis, 214.
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- - Victor Bois, place du Havre , 14.
 - Stéphane Mony#, rue Saint-Lazare, 23. Pepin-Lehalleur rue de la Victoire, 14. Bergeron, rue de Lille, 79.
 - Knab, rue de Seine, 72.
 - La Salle, rue Saint-Georges, 58.
 - Sociétaires.
 - MM. Aboilard, boulevart Beaumarchais, 91.
 - Albrizio.
 - Alby, place Garline, 11, à Turin.
 - Alquié, rue d’Enghien, 15.
 - Armengaud, rue Saint-Sébastien, 45.
 - Arson, à Vaux (Seine-eL-Oise).
 - Andry (Alfred), à Boussu, près Mons (Belgique). Badarocs , en Algérie.
 - Bardon, quai d’Austerlitz , 75.
 - Baümal (Henri), rue de Bercy, 2, à Bercy.
 - Beaumont (Victor).
 - Belval.
 - Bénard, rue des Enfants-Rouges ,11.
 - Benoist du Portail, rue Saint-Jacques, 75. Bertholomey, rue de la Roquette, 90, h la Raffinerie. Bertot, boulevart du Temple, 42.
 - Beugnot, à Mulhouse, maison Kœehlin.
 - Bevan de Massy, boulevart Montmartre, 3.
 - .Biver , à Biache-St-Waast, prèsVitry (Pas-de-Calais). Blacher, à Avignon, Mson Gostlob,r. des Marchands, 10. Blanche, à Puteaux (Seine).
 - Blard, chef de dépôt à Varades (chemin de fer de Tours à Nantes).
 - Blonay, chez M. Dichrich, maître de forges, à Nieder-bronn (Bas-Rhin).
 - Bonnefoi (De), rue de Vendôme, 24.
 - Bonnet (Félix), rue de Sèvres, 8.
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 - Blot (Léon), au chemin de fer de Bordeaux à Tours à Tours.
 - Borbet, à Remilly, par Sombernon (Côte-d’Or). Bosïe, boulevarf Poissonnière, 1k.
 - Boucart, Faubourg-Poissonnière, 98 et 100. Boudard-, rue Saint-Denis, 813.
 - Boudsot, en Egypte.
 - Bougère, à Angers.
 - Bourcart, à Guebwiller (Haut-Rhin).
 - Bourdon^, au Creusot.
 - Bqurgougnon, aux Baiignolles, rue Notre-Dame, 1. Bousson, à Roanne (Loire).
 - Boutin, chez M. Mollerat, fabricant de produits chi rniques, à Pouilly-sur-Saône (Côte-d’Or).
 - Boutmf, rue Blanche, 36.
 - Bricogne, rue Ribouté, 1 bis.
 - BruJel, rue Mazagran, 8.
 - Bureau (Jules), rueMayet, 18.
 - Buschofp, rue de Crussol ,21.
 - Belanger, à Fresne-sur-Escaut (Nord). .
 - Caillé, au Creusot (hôtel du Commerce).
 - Caillet, quai d’Austerlitz, 75.
 - Calla&, rue Lafayette, 11.
 - Cambier, rue de Babylone, 5.
 - Chabrier, rue d’Amsterdam, 52.
 - Championmère , rue Ollivjer, h.
 - Chaplin, rue Pavé-Saint-André, 12.
 - Chappon , a Bar-sur-Àube.
 - Chauvel (Emile), à Navart, prè3 Evreux (Eure), Chavès, rue de l’Echiquier, 27.
 - Charpentier , rue du Temple, 192.
 - Chevalier (Emile),.rue la Victoire, é8.
 - Chevalier (Martial), rue Chauchat, 16.
 - Chevandier, rue de la Victoire, 22.
 - Chobrzïnski, rue du Nord, 11.
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 - Clémandot, à Çlichy-la-Garenne.
 - Comte, en Amérique.
 - Cornet, rue . Meslay, 21.
 - Corot, pompe à feu de Chaillot, quai de Billy. Courtépée, rue des Francs-Bourgeois, 7.
 - Crétin, rue du Faubourg-Saint-Honoré,, 105.
 - Cortel, rue du Court-Debout, à Lille.
 - Daguin, rue de9 Francs-Bourgeois, 10.
 - Danré, à Stockholm (Suède), à Bollhusgrund. Daeblay, à Corbeil.
 - Debas, rue Bréda, 26.
 - Debauge à Tours (Indre-et-Loire),.
 - Deffosse, à Tours, au chemin de fer.
 - Dejoly, palais de l’Assemblée nationale.
 - Dellisse, rue du Faubourg-Poissonnière, 98 et 100. De la Rochette, à Givors (Rhône).
 - Delom (Florentin)j rue Montholon, 13.
 - Deville, rue du Faubourg-Saint-Germain, 70. Desmazüres, boulevart Beaumarchais, 22. D’hamelincourt, rue Neuve-Coquenard, 26 bis. Donnay, passage Sandrier, 38.
 - Dübied (Ed.), à Mulhouse.
 - Dubois, à Saint-Gaulin, près Mans (Belgique). Dugourd, au château de Beaurepaire, àVie, près Breuil (Allier).
 - Duméry, rue des Petites-Ecuries,, â5.
 - Duolmard, à Saint-Malo (Ile-et-Vilaine).
 - Durenne, rue des Amandiers-Popincourt, 11. Durocher, rue de la Verrerie, 83.
 - Dutilleux, à Cologne, Àpostelu-Kloster, 3j à Paris, rue Louis-le-Grand ,8.
 - Duval (Edmond), aux forges de Paimpont, près Ple-lan (Ille-et-Vilaine).
 - Do^Lr^oN,; rjjg, ,. ,r (,^,, ; ;
 - Eck, rue du Vert-Bois, 3$, .,iw
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- - Edwards^, rue du Faubourg-Poissonnière, 55» Erhard.
 - Estoublon, aux forges d’Ivoy, à La C.-d’Angillon (Cher) Faüre de Vieeat, boulevart de îa Chapelle, 8.
 - Fèvre, rue Richer, 26.
 - Feachat (Adolphe), rue d’Amsterdam, 54.
 - Fontenay (de), boulevart Beaumarchais, 3.
 - Fontenay (Toni), avenue Matignon, S.
 - Forqüenot, à Tours (Indre-et-Loire).
 - Fournier (J.-B.), à Orléans (Loiret).
 - Fournier, rue Louis-le-Grand, 3.
 - Frèrejean, rue de la Tour-d’Auvergne, 21.
 - Fresnaye, à Maresquel, par Champagne-lez-Hesdira (Pas-de-Calais).
 - Gallicher , forges de Rigny, près Châteauneuf (Cher). Ganneron, rue de Chabrol ,14.
 - Garnaud, rue de l’Abbaye, 14.
 - Gasteelier, rue des Filles-du-Calvaire, 18.
 - Gauzenback, au Havre.
 - Gayrard (Gustave), rue Saint-Nïcolas-d’Antin, 46. Gentilhomme, quai de la Tournelle, 45.
 - Getting, avenue Dauphine, à Passy.
 - Geyler (Alfred), rue de Buffault, 13.
 - Goelnisch, rue des Petites-Ecuries, 53.
 - Gonssolin, à Alger.
 - Gouvion, au chemin de fer de St-Germain, r. Sfc-Lazare. Grandvoinnet, rue des Beaux-Arts, 2.
 - Granier.
 - Grenier (Achille), route de Paris, à Yincennes. Grouveele, rue de la Sorbonne, 5.
 - Grosset, à Tours.
 - Grun, à Guebwiller (Haut-Rhin).
 - Gueele, rue des Fossés-Saint-Marcel, 39.
 - Guênard de la Tour, aux forges de Saucourt, par Joinville (Haute-Marne).
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- - Güêrard, rue du Haut-Pavé, à Epernay.
 - Guettier, aux forges de Marquise (Pas-de-Calais). Güibal, rue Pargaminières, 71, à Toulouse.
 - Guibal, h l’école des Mines, à Mons (Belgique). Guillaume, 'a Angers.
 - Guntz.
 - Germon, à Epernay, rue des Fusiliers.
 - Hermary, à Lambres (Pas-de-Calais).
 - Holcroft, à Tours (Indre-et-Loire).
 - Holm, en Angleterre.
 - Hovine, boulevart Beaumarchais, 62.
 - Hubert, rue Blanche, 69.
 - Huet, rue de Buffault, 13.
 - Humblot (Léon), à Metz (Moselle).
 - Hbrvier, à Saint-Germain.
 - Jüllien, à Montataire (Oise).
 - Koechlin, rue de Chabrol, 63.
 - Klafft (Ed.), à Strasbourg.
 - Lachèvre, à Rouen (Seine-Inférieure).
 - Laborie (de), quai de Béthune, 18.
 - Labouverie, à Bouillon (Ardennes).
 - Lalo, rue Saint-André-des-Arts, 45.
 - Laligant, à Maresquel, par Champagne-lez-Hesdin (Pas-de-Calais).
 - Langlois (Ed.), rue de la Tour-d’Auvergne, 21. Landry, à Pithiviers.
 - Lapersonne, rue de Paradis-Poissonnière, 44. Lassalle, boulevart National, à Marseille.
 - Lasseron, à Tours.
 - Laurens, rue des Beaux-Arts, 2.
 - Laurent (Victor), à Planchay-les-Mines, près et par Champagny (Haute-Saône).
 - Lavalley, rue de Tivoli, 3.
 - Lebon (Eugène), rüe Richelieu, 110.
 - Lecleb (Achille), rue Richer, 60.
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 - Lecoeuvre, rue des Francs-Bourgeois, 25.
 - Lecointk, rue Bréda, 22.
 - Lefrançois, a Pithiviers (Loiret).
 - Lemaire, conducteur des ponts et chaussées, rue des Réservoirs, à Yersailies.
 - Lemaire-Teste, boulevart Beaumarchais, 79. Lemoinne, à Bar-le-Duc.
 - Lepeudry, rue Montholon, 28.
 - Leroy, à Bar-le-Duc.
 - Letrange.
 - Lisboa.
 - Lichsteinsten (Paul), à Montpellier (Hérault). Lorentz, rue Blanche, 83.
 - Loisel, boulevart Beaumarchais, 89.
 - Love, rue du Bac, 81.
 - Loyd, chez M* Gouin , aux Batignolles.
 - Limet, rue d’Enghien, 28.
 - Mangeon, à Melun.
 - Marais, à la Chapelle-Saint-Denis.
 - Mariotte, a Orléans (Loiret).
 - Mathias (Félix)chemin de fer du Nord, à Paris. Mathias (Ferdinand), à Lille (chemin de fer du Nord). Mathieu, rue Ps-ougemont, 10.
 - Marguet, à l’école industrielle de Lausanne (Suisse), Martenot, à Ancy-le-Franc (Yonne).
 - Martin, à Besançon (Doubs).
 - Martin (Charles), à Bourg (Ain).
 - Maire, rue d’Enghien, 11.
 - Mayer, rue Notre-Dame-de-Lorette, 36.
 - Mélin, rue Neuve-Coquenard, 11.
 - Mesdach, rue Saint-Paul, 28.
 - Mesmet, Grande-Rue, 41, à Sauraur.
 - Meyer, boulevart de la Madeleine, 17.
 - Mignon, rue de Thorigny, 8. •. „ , -
 - Mirecki, à la station d’ÀmJens. >
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- - — il
 - Mitchell, boulevart Beaumarchais, 76.
 - Montcarvxlle (de), place des Vosges, 26.
 - Morard, rue de Flandre, 59, à la Villette.
 - Moreau (Albert), rue de Lille, 21.
 - Morin (G.), à la Croix-Rouge, banlieue de Marseille. Moureâu, rue des Carrières, 25, à Charenton.
 - Nancy, à Strasbourg (Haut-Rhin).
 - Nillis (Auguste), rue Blanche, 69.
 - Oriolle, à Saumur.
 - Pecquet (Nemours), rue Buffault, 7.
 - Petre, à Rive-de-Gier, chez M. Jackson; à Paris, rue Notre-Dame-de-Nazareth, 25.
 - Picard, cité de l’Union, 2.
 - Piquet, rue de Bondy, 52.
 - Planhol (de), a Braffac, près Jumeaux (Puy-de-Dôme). Poînsot, au Conservatoire des Arts et Métiers.
 - Pommier (Alphonse), à San-Francisco (Californie). Fox, Grande-Rue-Marengo, 20, à Marseille. ’ Pothier, rue de l’Arcade, ïk.
 - Pottier (Ferdinand), rue des Beaux-Arts, 9.
 - Poupé, rue de Flandres, 57, à la Villette.
 - Poussin (le major), rue Richer, 63.
 - Priestley, rue Pavée-Saint-Antoine, 3. '
 - Proal, rue du Pont-de-la-Réforme, 1.
 - Pury (de), a Neufchâtel (Suisse).
 - Quétil , cour des Petites-Ecuries, 16.
 - Raabe, a Rive-de-Gier (Loire).
 - Redon, à Limoges.
 - Regel (de), à Strasbourg (Bas-Rhin).
 - Reynadd (Ch.), à Cette (Hérault).
 - Reytier, à Epinac (Saône-et-Loire).
 - Rérolle, rue Saint-André-des-Arts, 13.
 - Rhoné, rue Saint-Lazare, 126.
 - Ruoltz (de), rue de Verneuil, 53.
 - Richard, à Vitry-le-Français.
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 - Richard, à Aix-la-Chapelle.
 - Riche, rue des Marais- Saint-Martin, 95.
 - Rider.
 - Rivier, professeur de physique à Lauzanne (Suisse). Rossire, a Mazargues, près Marseille.
 - Rddlër , rue Jean-Goujon , 6.
 - Salleron, à Sens (Yonne).
 - Sadtin, rue de Seine, 6.
 - Saulnier (Ernest), rue d’Enfer, 8.
 - ScHMERBER, à Mulhouse.
 - Schlincker, à Creutzwald (Moselle).
 - Scribe, en Californie.
 - Servel , quai de Béihune, 24.
 - Slavecki, garde-mine de 2e classe, à Rouen.
 - Sadtter, rue de la Victoire, 90.
 - Sciama, rue Pigale, 48.
 - Thauvin, rue de Lancry, 10.
 - Thomas (Frédéric), chemin de fer de Tours à Nantes , à Tours.
 - Thomas (Emile), Faubourg-Poissonnière, 98 et 100. Thomas (Pierre), Faubourg-Poissonnière, 98 et 100. Trélat (Emile), à Melun (Seine-et-Marne ).
 - Valério, à Vieille-Montagne, près Liège.
 - Vaelier, à Versailles, rue Nationale, 75.
 - Verdavaine.
 - Vigneaux, à Aiguillon (Lot-et-Garonne).
 - Vierain, rue Saint-Germain-deSrPrés, 12.
 - Vinchon, rue de Choiseul, 25.
 - Voulant, à Vitry-le-Francais.
 - Vile aine (Achille de), à Roanne (Loire).
 - Viron, au chemin de fer de Tours à Nantes, à Tours. Volski, quai Maison-Rouge, à Nantes.
 - Vüieremin , à Metz.
 - Weimberger, rue des Vieux-Augustins, 13.
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- - mémoire r mi o.
 - Vltéorie «Se I® stabilité des nifitçliliieg lufomnotMe
 - eia BBawMYeimneBRà,
 - Par M. YVON VILLARCEAü.
 - i. Diverses causes concourent à la stabilité ou à l’instabilité des machines locomotives en mouvement. Parmi ces causes, il en est qui tiennent particulièrement à la distribution des masses dont se composent les organes de ces machines. Je me propose d’étudier les effets de ces dernières causes, et d’établir Jes conditions que doivent remplir les masses en mouvement pour que, sous ce point de vue, la stabilité des machines locomotives soit aussi grande que possible. Les conditions théoriques étant établies, il restera à examiner si elles sont toutes compatibles entre elles dans chaque système donné de locomotives, et de plus si, étant compatibles, elles sont toutes réalisables pratiquement. Nous reconnaîtrons que, dans cette dernière hypothèse, l’une des conditions établies présenterait de graves (*)
 - (*) Ce Mémoire est un résumé de divers mémoires et notes présentés à la Société des ingénieurs civils vers la fin de 1850 et pendant l’année 1851. Nous avons cherché à en reproduire ici la substance, en réduisant la partie analytique à ce qui est strictement nécessaire pour qu’un ingénieur exercé aux opérations algébriques puisse, en effectuant celles que nous indiquerons, obtenir les résultats auxquels nous parviendrons successivement. Dans ces divers mémoires j’ai étudié d’abord les cas les plus simples, puis les cas plus compliqués. L’étendue qui m’est accordée ici me force à traiter le cas le plus général, et l’on verra s’en déduire avec la plus grande facilité les résultats qui se rapportent aux cas particuliers. Il est seulement à craindre que la complication qui en résulte nécessairement n’effraie quelques personnes ; toutefois nous devons prévenir qu’elles ne rencontreront pas de sérieuses difficultés, mais seulement des longueurs inévitables. Y. V.
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- - inconvénients; sinon des impossibilités, an point de vue du frottement et de la résistance de certaines pièces. Le manque de données sur la manière dont l’usé et autres détériorations se produisent sous l’influence des forces mises enjeu nous obligera à proposer un système d’expériences basées sur notre théorie, et sans lesquelles il est actuellement impossible d’obtenir le degré de stabilité le plus satisfaisant et présentant le moins d’inconvénients à d’autres égards.
 - Quelques ingénieurs anglais et allemands, M. Nollau entre autres, avaient déjà abordé cette question, lorsqu'on 18ê9, M. Lechatelier, ingénieur des mines, s’en est occupé de son côté. Les ingénieurs français doivent savoir gré à ce dernier des efforts persévérants qu’il a faits pour vulgariser chez nous l'emploi des contrepoids appliqués aux roues motrices des locomotives. Le succès obtenu dans les expériences faites aux chemins de fer d’Orléans et du Nord a bien vite décidé l’adoption des contrepoids sur nos lignes de chemins de fer.
 - A l’époque où M. Lechatelier publia son Mémoire sur la stabilité des machines locomotives, plusieurs membres de la Société des Ingénieurs civils, qui n’avaient pas bien saisi la théorie exposée par M. Lechatelier et qui désiraient néanmoins en faire des applications éclairées, m’engagèrent vivement à m’occuper de cette question. Des travaux scientifiques d’un autre ordre m’ont long-temps empêché de le faire, et ce n’est que depuis un an environ que j’ai été en mesure de présenter à la Société le résultat de mes premières recherches. Préalablement j’en fis part à l’un des ingénieurs du chemin du Nord, et j’appris de lui, sans surprise, que les contrepoids n’avaient pas produit tous les bons effets qu’on en avait espérés. Les mouvements que l’on se proposait de détruire ont bien à peu près disparu $ mais les bandages des roues motrices s’usent encore en certains points de leur circonférence d’une manière fâcheuse. Pour faire disparaître les inconvénients de cet usé, qui atteint souvent une profondeur de 5 à 6 millimètres après un parcours de trente mille kilomètres environ, l’on est obligé de mettre les
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 - roues sur le tour, pour en enlever les portions de la circonférence qui n’ont pas été atteintes. Il en résulte des pertes de temps et de matière, en un mot des dépenses, que les ingénieurs doivent chercher à éviter ou tout au moins à diminuer.
 - J”âi dit que j’avais appris ces choses sans en être surpris : en effet, la théorie de M. Lechateîier, dont on fait usage, n’indique pas toutes les conditions à remplir, il en est plusieurs que cet ingénieur ne paraît pas avoir entrevues. Je suis porté h croire que, si ces conditions avaient été connues, et que l’on se fût efforcé de les réaliser en ce qu’elles offrent de réalisable, on aurait obtenu des mouvements plus réguliers encore, et l’usé local des bandages aurait été notablement diminué. Il ne pourrait disparaître à peu près entièrement qu’en satisfaisant à toutes les conditions que nous indiquons.
 - Cet usé local des bandages atteste, en même temps que la théorie l’indique, une variation dans l’action que les rails exercent sur les roues, et que réciproquement celles-ci transmettent aux rails. Si donc on pouvait parvenir à rendre ces actions constantes ou à peu près, on comprend toute l’importance que pourrait avoir ce résultat relativement à l’établissement de la voie elle-même. Les charges sensiblement permanentes étant alors plus faibles que les charges maximum qui se produisent dans l’état actuel des locomotives, il serait possible de réduire la masse de fer employée dans la construction de la voie, sans que la stabilité en fût diminuée. Je suis parvenu effectivement à fixer les conditions théoriques relatives à l’invariabilité presque complète des actions qui se développent au contact des rails et des roues.
 - 2. Parmi les conditions dont il s’agit, il en est qui peuvent s’obtenir très aisément par la voie synthétique. Ces conditions dérivent de la considération du mouvement du centre de gravité de la locomotive. (J’ai présenté cette déduction h la Société dans une communication en date du 7 mars 1851.)
 - Les autres conditions se tirent de la considération des mo-
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 - mentsj on les obtiendrait aussi par la même voie, mais moins aisément,
 - Il est extrêmement intéressant de former les expressions des inégalités qui se produisent dans les machines locomotives en mouvement j il devient bien facile ensuite de fixer les conditions pour que ces inégalités (*) s’annulent. C’est de cette manière que j’ai procédé, en suivant la méthode analytique qui m’a paru être le moyen le plus sûr à employer dans cette recherche. En effet, il suffit d’énoncer le problème pour que sa traduction algébrique s’ensuive immédiatement. Une fois les équations écrites, la série des opérations à effectuer se trouve indiquée très clairement.
 - Les principes de mécanique auxquels j’ai recours sont des plus élémentaires de la dynamique. Je ne crois pas inutile de les énoncer ici : 1° Le produit de la masse d'un élément matériel par l'accélération de sa vitesse projetée sur une droite \fixe est égal à la somme des projections sur la même droite des forces qui le sollicitent; 2° Les actions et réactions mutuelles de deux éléments matériels sont égales et opposées. — Je fais pourtant usage de la notion des centres de gravité, des moments des forces et des moments d’inertie ; mais il me suffit à la rigueur que l’on en comprenne les définitions.
 - Des deux principes que je viens d’énoncer, je déduis les transformations des théorèmes concernant le mouvement du centre de gravité et les aires, pour le cas du mouvement relatif que nous avons à envisager. Je n’ai pas cru devoir renvoyer aux traités élémentaires de mécanique, et transformer les énoncés qui se trouvent dans ces traités, attendu que la dé-
 - (*) Parmi les inégalités qui se développent durant le mouvement, il en est que négligent ordinairement les ingénieurs : ce sont celles qui dépendent de la variation de vitesse angulaire des manivelles. J’ai eu égard à ces inégalités, ce qui était facile. De cette manière, on peut aborder la discussion de l’effet des variations de vitesse angulaire et l’étude des modifications que l’on pourrait proposer de tenter dans, la distribution de la vapeur pour atténuer cet effet.
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 - monstration des énoncés transformés n’est pas plus longue que la transformation des énoncés primitifs. Du reste, les anciens élèves de l’Ecole centrale ne possèdent pour la plupart aucune notion sur le principe des aires, et il importe de leur faciliter l’intelligence d’un théorème de mécanique sans lequel il est impossible de calculer l’intensité des forces qui se développent dans les machines pendant qu’elles fonctionnent, et, par suite , de résoudre les questions qui se rattachent à leur stabilité.
 - 5. Les machines accouplées feront l’objet de la discussion générale ; les résultats auxquels nous parviendrons s’appliqueront encore aux machines non couplées, puisqu’il suffira d’y faire abstraction de tout ce qu’entraîne l’accouplement des roues. Les axes des cylindres y seront supposés inclinés par rapport à la voie : en faisant varier l’inclinaison convenablement, les formules s’appliqueront aussi bien aux cylindres placés à l’arrière qu’à ceux placés à l’avant de la locomotive.
 - Le problème étant assez compliqué, je supposerai l’axe do la voie rectiligne, et incliné à l’horizon d'un angle quelconque. En admettant que la solution qui serait relative à une courbure donnée de la voie ne coïncidât pas avec celle qui correspondrait à une voie rectiligne, on reconnaîtra qu’il serait, sinon impossible, du moins peu praticable de faire varier suivant la courbure de la voie la distribution des masses en mouvement. On voit donc qu’il faut s’en tenir à la solution correspondante à la voie rectiligne. Disons à l’avance que cette solution est in-dépendantede la pente de la voie, cequ’il est facile de prévoir.
 - Nous serons obligés de supposer la voie rigoureusement rectiligne , c’est-à-dire que nous ferons abstraction de la flexion des rails. Pour avoir égard à cette flexion, il serait nécessaire de définir géométriquement la loi du contact d’un point donné de la circonférence des roues avec les rails, comme, par exemple , cela se pourrait si les roues étaient dentées et que le rail fût muni d’une crémaillère; encore faudrait-il que les nombres de dents de la roue et d’un rail fussent commensurables, et
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 - qu’à chaque parcours de la locomotive les mêmes dents fussent toujours en contact. La solution que l’on obtiendrait serait très probablement différente de celle qui convient au cas de rails inflexibles. Or, dans la pratique, tout s’oppose à la permanence d’une pareille loi des contacts : il ne paraît pas, dès lors, qu’il y ait mieux à faire que de négliger la flexion des rails.
 - Nous négligerons encore les effets de la flexion des ressorts de suspension. D’ailleurs, voulût-on y avoir égard, on commencerait par obtenir une première approximation en les négligeant, et i’onvse servirait des résultats obtenus pour procéder à une seconde approximation, dans laquelle on en tiendrait compte. En sorte que, si, sous ce rapport, notre travail n’est pas complet, il doit cependant être considéré comme un acheminement nécessaire à une solution plus complète.
 - De plus, nous admettrons que les diverses pièces qui entrent dans la composition des machines locomotives soient assez résistantes pour ne point être déformées sous l’influence des forces mutuelles ou des forces extérieures qui les sollicitent, et qu’elles ne puissent prendre d’autres mouvements relatifs que ceux qui répondent aux fonctions de chacune d’elles, de manière que, pour ces pièces, on puisse fairo usage des formules qui conviennent à des corps solides.
 - Les locomotives sont généralement formées par la réunion de deux machines séparées , alimentées par une chaudière et un foyer communs. Le plan de juxtaposition des deux machines se nomme plan méridien. Sauf les exceptions que nous allons indiquer, nous supposerons les deux machines symétriques quant à la distribution des masses par rapport au plan méridien, à cela près que l’angle des manivelles sera constamment droit. 11 sera plus simple de considérer comme une seule pièce l’ensemble d’une roue et du contrepoids dont elle pourra être munie : ce sera une roue dont le centre de gravité n’est pas situé sur l’axe. Cet organe pourra, suivant les cas, être ou ne pas être assujetti à la loi de symétrie (les roues seules pourront faire exception à cette loi) $ mais, cependant,
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 - nous supposerons égales les masses des roues et contrepoids portées sur le même essieu, et aussi les distances de leurs centres de gravité au plan méridien.
 - Il sera également nécessaire, pour la simplification des calculs, d’admettre, comme cela a presque toujours lieu, que chacun des organes mobiles, ou chaque partie géométriquement distincte d’un de ces organes, sont formés de deux parties symétriques par rapport aux plans parallèles au plan méridien qui passent par leurs centres de gravité.
 - Nous disons partie distincte d’un organe mobile parce que , par exemple, on ne pourrait pas, dans certaines équations, concentrer les masses d’une manivelle et de son bouton à leur centre commun de gravité, et qu’il faut, dans ces équations, écrire un terme pour la manivelle et un autre pour le bouton : ces parties distinctes d’un même organe satisfont, en effet, individuellement à la condition de symétrie qui vient d’être énoncée. Toujours dans le même but de simplification, on admettra que les centres de gravité des organes mobiles sont, en outre, situés sur leurs axes de figure. Ainsi, le centre degra-vité d’une manivelle sera situé sur une perpendiculaire commune à l’axe de l’essieu et du bouton ou manneton de la manivelle. Le centre de gravité de la bielle se trouvera sur la droite qui joint le centre du manneton et celui de la tête du piston. Le centre de gravité d’une bielle d’accouplement sera situé sur la perpendiculaire commune aux axes des boutons des manivelles d’accouplement, etc.
 - Les masses en mouvement qui produisent les effets les plus sensibles sont les bielles, manivelles, pistons et roues munies de contrepoids. Les faibles masses, ou plus encore les faibles vitesses 'des organes de distribution de l’eau et de la vapeur, rendent leurs effets moins importants. Aussi, dans la question qui nous occupe, néglige-t-on les mouvements de ces organes. Nous aurions cherché à en tenir compte si les modes de transmission du mouvement dans ces derniers systèmes ne présentaient pas des variétés extrêmement nombreuses. Il serait im-
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 - possible d’établir des formules générales qui s’appliquassent directement à ces divers systèmes. Pour cette raison, nous n’en avons pas tenu plus de compte que ne l’ont fait nos prédécesseurs. Au reste, le calcul que nous exposerons, en ce qui concerne les bielles, manivelles, pistons et roues munies de contrepoids, pourra servir de guide à ceux qui voudraient avoir égard au mouvement de pièces autres que celles-ci. Nous rangerons donc les organes de distribution de l’eau et de la vapeur dans la catégorie des pièces fixes, et disons de suite que, pour la symétrie des calculs, nous nommerons demi-ensemble des pièces fixes l’ensemble de ces pièces qui sont situées d’un même côté du plan méridien.
 - Toutes ces restrictions ou conventions étant préalablement établies, nous allons dire actuellement comment nous envisageons le problème de la stabilité des machines locomotives en mouvement.
 - DONNÉES ET ÉNONCÉ DU PROBLÈME.
 - 4. Les données du problème consistent dans les conditions auxquelles doit être soumise toute locomotive, savoir, que les parties relativement fixes de cet appareil, le bâti, par exemple, conservent un mouvement rectiligne, et, sinon uniforme, du moins aussi près de l’être qu’il est possible de le faire.
 - Ces conditions, on le prévoit, impliquent certaines relations entre les forces extérieures qui sollicitent la locomotive et les vitesses et variations de vitesse des masses en mouvement. Théoriquement, on pourrait imaginer des dispositions de rails ou de guides présentant une résistance en quelque sorte illimitée, et telle que le mouvement rectiligne serait assuré dans tous les cas. Mais, dans la réalité, les rails ne doivent point être assujettis à présenter d’aussi grandes résistances ; les boudins des roues ne doivent point être utilisés d’une manière permanente pour éviter les déviations latérales. Les relations dont nous venons de parler, étant supposées formées, donneraient la mesure des réactions que doivent opposer les rails dans tous
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 - Ses sens , et, s’ils étaient effectivement incapables do les produire, on en conclurait que le mouvement rectiligne ne saurait être maintenu. Par exemple, la limite de la composante horizontale des réactions dans le sens perpendiculaire à la voie serait le produit de la composante verticale par le coefficient du frottement de glissement ; les limites de la composante verticale seraient l’une zéro, l’autre égale à la résistance du rail à la rupture, etc.
 - Voici maintenant comment le problème à résoudre nous paraît pouvoir être énoncé : Les conditions relatives au mouvement rectiligne étant censées remplies, trouver les conditions sous lesquelles les réactions exercées par les rails non seulement restent beaucoup au-dessous de leurs limites, mais se maintiennent aussi constantes que possible, quelles que soient la situation des manivelles y la vitesse et les variations de la vitesse.
 - La dernière partie de cet énoncé montre que la solution complète du problème devrait avoir pour conséquence de diminuer très notablement l’usé local des bandages, et de permettre la construction de la voie avec des rails moins résistants que ceux en usage aujourd’hui.
 - Les conditions qu’il s’agit de rechercher conduiraient, ainsi que nous le verrons, à l’usage des contrepoids, si la pratique n’en avait pas déjà montré la nécessité. Elles comprendront celles que l’on connaît aujourd’hui pour le cas des cylindres horizontaux, et qui sont relatives aux mouvements de tangage et de lacet, et, de plus, les conditions relatives aux oscillations normales au plan de la voie, au mouvement de roulis et de galop, conditions q'ue l’on n’avait pas fait connaître jusqu’ici.
 - L’exposé de ces diverses conditions est l’objet principal de ce Mémoire. Nous pensons pouvoir nous dispenser de rechercher les limites des réactions des rails : en effet, ces réactions, si les précédentes conditions étaient satisfaites , différeraient peu de celles qui auraient lieu au repos, sous l’influence du poids de la locomotive et de la force de traction transmise au convoi. Elles n’intéressent que la pose et la résistance des rails. Ajou-
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- - tons que, dans l’hypothèse où ces conditions seraient remplies, l’établissement de la voie pourrait être pratiqué en faisant, à très peu près, abstraction du mouvement de la locomotive, si ce n’est pour parer aux chances de déraillement provenant de causes fortuites.
 - PRINCIPES A APPLIQUER POUR LA SOLUTION DU PROBLÈME.
 - 5. Les termes du problème étant acceptés, voyons maintenant comment il convient de l’aborder. Notre énoncé conduit à des conséquences que nous exposerons tout d’abord. — Si les réactions des rails dans tous les sens doivent être constantes durant le mouvement, il suit nécessairement que la somme des composantes de ces réactions, parallèles à une droite de direction quelconque, doit être constante, et que la somme des moments de ces réactions par rapport à un axe quelconque doit l’être pareillement. Or la théorie des projections montre que, pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que ces conditions soient remplies à l’égard de trois axes rectangulaires. Nous sommes donc conduits à former les expressions des trois sommes des composantes parallèles à trois axes rectangulaires et des moments autour de ces axes, puis à en tirer les conditions propres à annuler les parties variables de ces expressions.
 - Voici une autre manière d’envisager la question. Etant donnés les mouvements relatifs des organes de la machine et le mouvement rectiligne de translation du bâti, on se propose de rendre constante chacune des trois composantes des réactions développées parles rails.—Les équations du mouvement du centre de gravité de la locomotive, et celles des aires ou des moments, sont au nombre de six seulement et les principes généraux de la mécanique ne peuvent point en fournir d’autres (*)
 - (*) On doit remarquer que l’équation des forces vives servirait seulement à déterminer le mouvement du système, mouvement que nous supposons donné. C’est pour cela que nous n’avons point à faire usage du principe des forces vives.
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 - entre les composantes, lorsque, comme ici, l’on fait abstraction complète de l’élasticité du bâti et de celle des ressorts de suspension. Cette dernière, du reste, disons-le en passant, n’aura d’effet sensible que sur les composantes normales au plan de la voie. Or le nombre des composantes, ou plutôt le nombre des groupes de composantes réductibles à une seule, est de beaucoup supérieur à six, et la détermination de leurs valeurs individuelles présente une difficulté théorique analogue à celle de la répartition des pressions exercées sur un plan horizontal par un corps solide en repos qui s’appuie par plus de trois points.
 - Toutefois, concevons que l’on joigne à ces six équations un nombre suffisant de relations arbitraires entre les composantes: on pourra tirer de l’ensemble des équations la valeur de chacune de ces composantes. Les relations arbitraires dont nous parlons dépendent en réalité de l’élasticité des pièces de la locomotive et de l’état accidentel de la voie ; sous ce dernier rapport elles pourront varier d’une manière discontinue d’un instant, à l’autre. Mais si on les considère comme absolument arbitraires, et que l’on observe que la solution cherchée doit rester la même quels que soient les changements que ces relations viennent à subir, la solution cherchée devra convenir au cas où les relations arbitraires seraient indépendantes des variables qui entrent dans les expressions des trois sommes des composantes parallèles aux trois axes coordonnés et des sommes des moments autour de ces axes. Dans ce cas, les valeurs des composantes individuelles que l’on tirera de la résolution de l'ensemble des équations ne contiendront pas de nouvelles fonctions de ces variables. Donc une condition nécessaire pour l’invariabilité des composantes individuelles des réactions exercées par les rails est l’anéantissement des termes variables qui entrent dans les seconds membres des équations du mouvement du centre de gravité et des moments, comme nous l’avons trouvé ci-dessus. Et cette condition suffira lorsque les relations arbitraires n’introduiront pas elles-mêmes de termes variables,
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 - mais ces relations sont étrangères à la constitution essentielle de la locomotive dans l’hypothèse de la rigidité absolue.
 - La discussion purement analytique à laquelle nous venons de nous livrer nous a obligés à employer le mot arbitraire, qui ne peut être remplacé par aucun autre dans le langage algébrique. Il convient de montrer que les relations arbitraires dont il est question répondent en réalité à des circonstances étrangères à la constitution géométrique de la locomotive. En effet, la répartition de la charge d’une locomotive sur chacune des six roues est produite par un serrage des ressorts de suspension qui reste arbitraire entre des limites assez étendues. D’un autre côté, il existe pour chaque roue une relation entre la composante horizontale perpendiculaire à la voie, la composante normale et le coefficient de frottement, relation qui dépend de l’inclinaison de la tangente commune aux courbes de contact de la jante et du rail, et aussi du sens dans lequel le glissement sur cette tangente tend à se produire. Or cette relation est purement accidentelle.
 - Nous pourrions ajouter que, suivant l’inclinaison relative des tangentes de contact qui répondent à deux roues montées sur le même essieu, l’élasticité des essieux et des roues joue un certain rôle. Ces diverses circonstances accidentelles et celles qui se rattachent au serrage arbitraire des ressorts de suspension répondent donc bien à ce que nous avons désigné dans le langage algébrique sous la dénomination de relations arbitraires.
 - Enfin nous aurions pu couper court à cette discussion en disant que l’hypothèse de solidité absolue et de rails rectilignes ne nous fournit pas d’autres relations que les six équations du mouvement du centre de gravité et des moments.
 - MISE EN ÉQUATION.
 - 6. D’après ce qui a été dit dans le numéro précédent, nous avons à former les expressions des sommes des réactions produites par les rails décomposées suivant trois axes rectangu-
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 - laires et des moments de ces réactions par rapport aux mêmes axes. A cet effet, soient :
 - m, l’un des éléments matériels dont se compose la locomotive j
 - y\ z\ les coordonnées de m, rapportées à trois axes rectangulaires entraînés avec la locomotive : l’axe des xr (fig. 1
 - étant une droite située dans le plan méridien et passant par Taxe de l’essieu moteur principal, dont le côté positif est dirigé dans le sens positif du mouvement de translation j l’axe des yr étant horizontal, perpendiculaire au plan méridien, et coupant l’axe des ær en un point quelconque, que nous particulariserons suivant les cas (*) ; l’axe des zr, situé dans le plan mé-
 - horizontal
 - avant
 - (*) Nous essayons d’embrasser ici la plus grande généralité possible. Afin que nos formules s’appliquent à certaines machines employées au chemin du Nord, nous admettrons que le mouvement ne soit pas communiqué directement à la manivelle des roues motrices principales. Dans ces machines, l’une des extrémités de la bielle agit en un point M de la bielle d’accouplement, et le mouvement est communiqué aux roues motrices par un bouton B. Or tous les points des bielles d’accouplement décrivent des cercles égaux à celui que décrit le point B-, les centres de ces cercles sont d’ailleurs dans le plan CC> des axes des essieux moteurs : il s’ensuit que le point M décrit un cercle de rayon OM*=>CB, et dont le centre O est distant du centre C de la roue motrice du milieu d’une quantité OC^MB. C’est ce point O que nous prendrons pour origine des coordonnées. Pour que nos formules s’appliquent aux autres machines, il suffira d’y égaler à zéro la distance OC.
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 - ridien, perpendiculairement aux deux premiers, et passant par leur point d’intersection, aura son côté positif dirigé en bas.
 - D’autre part, nous rapporterons le mouvement absolu de m à trois axes rectangulaires fixes ; l’axe des x sera parallèle à l’axe de la voie, son côté positif étant dans le sens positif du mouvement j l’axe des y, perpendiculaire à l’axe de la voie et horizontal; l’axe des z, perpendiculaire au plan de la voie, son côté positif étant dirigé en bas.
 - Soient :
 - x, y, z, les coordonnées de m rapportées aux axes fixes ;
 - x0, y0, zQ, les coordonnées de l’origine des axes mobiles rapportées aux axes fixes.
 - Le bâti de la machine ne devant posséder qu’un mouvement de translation, il s’ensuit que les axes mobiles doivent rester constamment parallèles aux axes fixes. Les conditions de ce parallélisme sont exprimées par les équations
 - Les conditions pour que l’origine des coordonnées mobiles décrive une droite parallèle à la voie sont :
 - y0—const. z0=const.
 - (2)
 - Enfin la condition de t'uniformité du mouvement de transla-
 - férentiel du tempsi Cette dernière condition est difficile, sinon impossible à remplir exactement. L’équation des forces vives montre en effet que la variation de la vitesse de translation dépend du mode de distribution de la vapeur, des mouvements verticaux tant absolus que relatifs, du degré de tension des ressorts qui transmettent l’effort de traction aux wagons, etc.
 - Nous aurons égard aux conditions exprimées par les équations (1) et (2), mais nous ne nous astreindrons pas à satisfaire à la dernière condition. Nous regarderons donc la quan-
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 - disposer autant que possible des coefficients de cette quantité, qui ne peut être constante, mais seulement périodique après un certain temps de marche, de manière que les termes des équations du mouvement du centre de gravité et des moments qui en sont affectés soient toujours très petits ou même nuis. La discussion de l’équation des forces vives pourrait être ensuite appliquée à la recherche des conditions que doit remplir l’appareil de distribution de la vapeur pour rendre minimum les
 - d2\
 - plus grandes valeurs absolues de lorsque la vitesse
 - moyenne que l’on veut maintenir est atteinte.
 - ÉQUATIONS DD MOUVEMENT DU CENTRE DE GRAVITÉ OU DE TRANSLATION.
 - 7. SoientX, Y, Z, les sommes des composantes parallèles aux axes des #, y , z, des forces tant mutuelles qu’extérieures qui sollicitent la masse élémentaire m. Le premier principe fondamental do la dynamique , rappelé au n° 2 , donne
 - et, en vertu des équations (1)
 - (3)
 - Si l’on fait la somme 2 de semblables équations relatives à toutes les masses m dont se compose la locomotive, et que: l'on (*)
 - (*) Pour faciliter la lecture de ce Mémoire aux anciens élèves de l’Ecole centrale qui ne connaîtraient pas les dérivées différentielles d’ordres supé-rieurs au premier, nous devons avertir que la notation •—j n’est autre chose
 - dvx.
 - que —— ou ~ en employant la notation de M. Bellangcr.
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- - (4)
 - On doit remarquer qu’en vertu du 2e principe fondamental, rappelé au n°2, celui de l’égalité entre l’action et la réaction, les composantes des forces mutuelles se détruisent deux à deux comme égales et opposées dans le premier membre de l’équation (4), en sorte que la somme 2X ne contient plus que les composantes des actions extérieures h la locomotive.
 - La considération du mouvement projeté sur les axes des y et des z fournirait deux équations pareilles j seulement, on observera que les équations (2) donnent
 - On aura donc simplement
 - Nous allons faire subir aux équations (4) et (6) quelques faciles transformations.
 - Soit v la vitesse de translation de l’origine des coordonnées mobiles, on aura
 - dx o_ à2x «_____de
 - ~dt i>> ~dF~~Tt
 - (7)
 - f Soient d’autre part :
 - , a l’angle de la manivelle située dn côté des y positifs avec Taxe du piston, et mesuré du côté des x positifs vers le côté positif de l’axe des z j R le rayon des roues motrices.
 - En supposant que ces roues ne glissent pas, on aura
 - x0~const.-f-«Rj
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- - Actuellement, menons, par le centre de gravité de chacun des organes de la locomotive, trois axes rectangulaires parallèles aux axes fixes ou mobiles.
 - Soient : Ç, «, ç, les coordonnées de la masse m par rapport à ces axes $
 - M la masse entière de l’organe considéré ;
 - æ,y, z, les coordonnées du centre de gravité de M par rapport aux axes mobiles liés au bâti de la locomotive : on aura
 - y’—y+v,
 - Zr=ZZ-j- ç,
 - (9)
 - et, relativement au même organe,
 - 2m—M, 2m£=o, Zmy~o, Zmç~o, (10)
 - en vertu de ladéfinition du centre de gravité.
 - Il s’ensuit, en ne considérant qu’un seul organe,
 - 2mxrz=Mx, J
 - Zmyr = My, J (11)
 - Zmz' = Mz. J
 - On observera encore que, tous les points de la machine étant assujettis à se mouvoir dans des plans parallèles au plan des xzf les coordonnées y1, y et y, sont des constantes, relativement au temps, pour toutes les masses mj d’où il suit généralement
 - dy v
 - ~-=o, 2m
 - dt2
 - dy
 - dt2
 - o.
 - (12)
 - (Ceci ne serait pas toujours vrai pour les molécules d’eau ou de vapeur qui peuvent être entraînées dans des trajectoires non situées dans des plans verticaux, ou non symétriques, à un instant donné, par rapport au plan méridien j mais, vu leurs faibles masses, nous ferons abstraction du mouvement de l’eau et déjà vapeur.)
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- - Enfin, nous distinguerons dans les premiers membres des équations (4) et (6) les termes qui répondent au poids des pièces.
 - Soient : g le poids de l’unité de masse ;
 - g' la pente de la voie, que, pour fixer les idées, nous supposerons positive dans le cas du mouvement direct descendant, et négative dans l’autre cas ; les composantes du poids de m suivant les trois axes seront respectivement
 - mgsingf, o, mgcosgf.
 - La masse entière de la locomotive pourra être désignée par
 - 2M.
 - En convenant que les sommes XX., 2Y, XZ, ne comprendront pas les composantes des poids des pièces , on voit qu’il faudra remplacer la première et la dernière par XX.-j-</sin<?r2M et 21g cosg’IM.
 - En vertu de ce qui vient d’être établi ou convenu, les équations (4) et (6) deviendront
 - 2 Y ~o, [(13)
 - 21 =—0cos/2M+2M J
 - On eût pu poser immédiatement ces équations en invoquant l’un des principes élémentaires de la théorie des forces apparentes dans les mouvements relatifs; mais nous avions besoin de poser plusieurs des équations qui nous ont servi à les établir.
 - ÉQUATIONS DES MOMENTS OU DES AIRES.
 - 8. Reprenons l’équation (8) et joignons-y une équation pareille relativement à l’axe des y :
 - d2\o , d2x'
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- - SI —
 - Multiplions la première de ces équations par yr et la seconde par x', puis retranchons le premier résultat du second, il viendra
 - Yxr—Xyr = m
 - xr
 - d2y0 , cü2x0'
 - -dï-y-w
 - -f- mf æ
 - Æ
 - df
 - -y'
 - dV\
 - dt2 y
 - Si nous supposons formées autant d’équations pareilles qu’il y a de masses m dans le système et. que nous les ajoutions , nous aurons, en ayant égard aux facteurs communs,
 - 2[Yx'-Xy’)^^I,nx’-^2my'+2m(x'l^-y'^y (ld)
 - D’autres combinaisons du même genre, ou l’emploi des permutations tournantes, donneront
 - 2(Xs(_Za;,)=f£-w_^2m3!,+2m^'_œ^) j 16
 - Les premiers membres des équations (14) et (15) sont les sommes des moments des forces qui sollicitent les diverses masses m par rapport aux axes mobiles des z, x et y. Il est important de remarquer que les forces mutuelles disparaissent ici comme dans les équations de translation. En effet ces forces donnent lieu à des moments égaux et de sens contraire deux à deux, qui se détruisent dans les sommes. De cette manière on ne doit avoir égard qu’aux moments des forces extérieures. Ainsi, les équations des moments, comme celles de translation, se trouvent être indépendantes explicitement des forces intérieures, qui répondent ici à la tension de la vapeur, aux frottements d’axe, etc.
 - On pourra remarquer que les équations des moments relatives à des axes mobiles assujettis à rester constamment parallèles à des directions données ne diffèrent des équations relatives à des axes fixes de mêmes directions que par la présence des deux premiers termes des seconds membres des équations (14) et (15). Ces termes peuvent disparaître dans
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 - deux circonstances distinctes: 1° lorsque l’on a lmxr— o, '2,my,—o, %mzr=o, c’est-à-dire lorsque l’origine des coordonnées mobiles coïncide avec le centre de gravité du système;
 - dans les cas où le mouvement de l’origine des axes mobiles est uniforme.
 - Les derniers termes des seconds membres, et qui les forment à eux seuls dans les deux cas que nous venons de mentionner, sont susceptibles d’une double interprétation que nous allons présenter ici. Considérons par exemple le dernier terme de la dernière équation des moments ; ce terme pourra s’écrire :
 - ce dont on s’assurera en effectuant la différentiation indiquée ici. On peut encore l’écrire comme il suit :
 - dt
 - dxf
 - Or m — est la quantité de mouvement de m projetée sur dæf
 - l’axe des x, et m — est le moment par rapport à l’axe
 - des y de cette quantité de mouvement projetée, moment dont le sens est celui de z vers x. Le terme suivant, en ayant égard au signe dont il est précédé, est le moment de la quantité de mouvement projetée sur l’axe des z par rapport à l’axe des y et de même sens que le précédent. Là somme des deux termes est donc égale au moment de la quantité de mouvement de m par rapport à l’axe des y. Observons maintenant que les moments des forces contenus dans le premier membre de la seconde équation (15) sont relatifs à l’axe des y et de même sens que les précédents. Il en résulte que la même équation, dans les cas où le second membre se réduit à son dernier terme, peut s’énoncer ainsi :
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- - — 33
 - La somme des moments des forces extérieures far rapport à un axe donné est égale à la différentielle de' la somme des moments des quantités de mouvement par rapport au même axe, divisée par la différentielle du temps.
 - Cet énoncé justifie la dénomination de théorème des moments sous laquelle on désigne l’équation que nous venons de considérer.
 - Voici la seconde interprétation, qui nous sera utile dans un instant.
 - Soient (fig. 2) : (J la projection de la distance de m à l’ori-
 - o
 - gine des coordonnées, ou le rayon vecteur de m projeté sur le plan des zx;
 - a’ l’angle de cette projection avec l’axe des z compté des vers x ou dans le sens adopté des moments positifs : on aura
 - zr —p’coscd y x'—p* sine/ y
 - d’où
 - il s’ensuit, toutes réductions faites ,
 - ,dxr ,dz' ,.da! zf~— —;
 - ________rf' —- n'2 ...
 - dt dt 9 dt
 - Oa a donc
 - (15 bis)
 - 3
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- - — ùli -—
 - Mais p,2dx! est le double de l’aire décrite par la projection du rayon vecteur pendant l’instant dt, dans le sens des moments positifs 5 &'2 — est Ie double de l’àire décrite en projection par unité de temps à l’instant considéré: donc le terme en question est égal à la différentielle de la somme des produits de chaque masse et de l’aire décrite pendant l’unité de temps par le rayon vecteur projeté, divisée par la différentielle du temps.
 - D’un autre côté, l’un des moments qui entrent dans le 1er membre de la 2e éq. (15) est égal à la force projetée sur le plan des zx, multipliée par la perpendiculaire abaissée de l’origine des coordonnées sur la direction de la force projetée j en représentant cette projection par une ligne, le moment de la force sera représenté par le double de l’aire d’un triangle ayant son sommet à l’origine des coordonnées et ayant pour base la projection delà force j cette aire devant être prise positivement ou négativement, suivant le sens du moment. Lors donc que les seconds membres de nos équations peuvent être réduits à leurs derniers termes, on énonce ces équations de la manière suivante :
 - La somme des aires des triangles qui ont pour sommet commun Vorigine des coordonnées, et pour hases les projections des forces extérieures sur un plan donné, est égale à la différentielle de la somme des produits de chaque masse et de l’aire décrite pendant l’unité de temps par le rayon vecteur projeté sur le même plan, divisée par là différentielle du temps.
 - Cet énoncé explique la dénomination de principe des aires»
 - Ajoutons que les équations des moments ou des aires s’appellent encore équations du mouvement rotatoire.
 - On n’aura pas besoin de se préoccuper de retenir les énoncés précédents, attendu, que nous ne ferons usage que des équations elles-mêmes.
 - 9. Nous allons opérer dans les équations (ÏU) et (15) les réductions qui résultent immédiatement des relations (2), (7)
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- - 5 —
 - et (12) ; il viendra ainsi
 - fj i/ fl? Ùs '
 - 2(Y \
 - r/2zf F
 - 2(Zy' —Yzf')~2my’ (161
 - SCXx'-Z«')=+i W+2«(*'^~^) )
 - Une conséquence de la symétrie admise au n° 3 , et de ce que nous négligeons le mouvement des molécules d’eau et de vapeur, est que l’on a, relativement à la masse entière de la locomotive,
 - 2my'" o. (17)
 - (x*
 - En vertu des équations (9) et suivantes, le produit y’ devient
 - , , fd2x , d?l\ d?x , d2l , d2x , d2l
 - ^ w+d?ry j?+y w+' w+" W'
 - d’où, en multipliant par m et faisant la somme étendue à l’un des organes de la machine,
 - v ,d2xr d2xx . „ d2\ . d2x„ . _ âft
 - 2my-df=ywlm+ylmip+i
 - ou bien, à cause de 2m=
 - d2xr dt2
 - ,f v d2l :M, 2m ^
 - 2my’
 - d2l
 - dv
 - d2x , v d?\
 - d?+lmdp-
 - o, 2mi3=o,
 - Le terme 2mn peut être regardé comme nul dans les locomotives. En effet, il est nul d’abord pour les pièces fixes, quant aux pièces mobiles ou parties distinctes d’un organe mobile, dont nous avons parlé au n° 3, ces pièces sont symétriques par rapport à un plan vertical passant par leur centre de
 - gravité, en sorte qu’il existe toujours deux masses m égales d2l
 - pour lesquelles •—ayant la même valeur, les ordonnées » sont égales et de signes contraires.
- p.35 - vue 35/310
- - 36
 - Si nous convenons comme plus haut de séparer, parmi les forces, celles qui proviennent de l’action de la pesanteur, le terme — XXy devrait être changé en — 2Xy* — gsing’lmy?-, mais nous avons déjà trouvé 2my'~o pour la masse entière de la locomotive. En étendant maintenant les sommes 2 au système entier, la première équation (16) deviendra
 - /72 ry*
 - 2(Y«'-Xï') = -2My^. (18)
 - Passons à la 2e équation (16). Le facteur y' vertu des équations (9),
 - d2z' dt2
 - devient, en
 - d2K d2z d?K dt2’*'* dt2'*'* di2'
 - Multiplions (par m, et faisons, comme plus haut, la somme étendue seulement à la masse de l’un des organes, il vient
 - v , d2zr d2zx . _ d\ . d2z„ . v d2r
 - 2my W=y dfi + l?lmn+Zmï’ -:>
 - dt2)
 - ou encore, à cause de 2m=M, 2m
 - :o. 2m-n = o
 - v d*z , _
 - dt2
 - di2'
 - d?i
 - La remarque faite tout à l’heure à legard de 2mn -r~ s’ap-
 - eu
 - d2t
 - plique à 2m-n qui s’annule par les mêmes motifs.
 - Le terme 2Zy', qui devrait être changé en 2Zyr-\-gcosg'2myl, se réduit à 2Zyr lorsqu’on l’applique à la locomotive entière.
 - Etendons les sommes 2 au système entier, la seconde équation (16) deviendra
 - 2{Zy'-Yzf)=:+2My
 - d2z
 - dt2'
 - (19)
 - Il reste à transformer la 3e équation (16).
 - La partie du facteur 2mz' qui se rapporte à un organe de la locomotive est évidemment M*. Quant au dernier terme, il
- p.36 - vue 36/310
- - — 37
 - vient, en vertu des équations (9),
 - . d2x
 - C='^S W
 - d2z , d2x
 - TP^dP
 - (Pz dt2
 - +*5r*“"*dr*+çdi2“ç5?-
 - En multipliant par m et faisant la somme étendue h l’un des organes de la locomotive, il vient
 - „ f d2xf dV\ ( d2x d2z\ v . d2x d2z„
 - . v d2^ d2% { d2l d2ç\
 - +z2mw-xlm £+^--1-),
 - ou bien,
 - d2t d2t
 - à cause de2m=M, 2m-ç=o, 2m£=:o, 2m—2m-—~o,
 - v f ,d\vr fd2zF\ __/ d2® d2z\ , / d2£ „
 - 2m U'-—---a/— ]=M s——}4-2m(ç—£
 - \ dt2 dt1 J \ dt2 dtV \ d*
 - dT2
 - Le dernier terme de cette expression doit encore être transformé. Soient : la projection sur le plan des zx, de la distance de m à l’origine des coordonnées mobiles qui passent par le centre de gravité de M, ou bien la distance de m k l’axe des y, qui passe par ce centre; a!' l’angle de cette projection avec l’axe des z compté de z vers xi on aura, de la même manière que nous avons obtenu l’équation (15 bis) ,
 - K'2-'§)=
 - ^,,2vr
 - dt
 - Toutes les masses m se mouvant dans des plans parallèles au plan des zx, leurs distances prr à l’axe y qui passe par le centre de gravité de l’organe M sont des longueurs constantes. En outre, soient : y" l’angle qu’une droite prise arbitrairement dans un plan parallèle au plan des xz, etliée à l’organe en mouvement, fait avec l’axe des z dans le sens de z k x\ y' l’angle
- p.37 - vue 37/310
- - 38 —
 - constant du rayon vecteur p" avec cette droite, en sorte que l’on ait
 - il viendra
 - du" _ d7" dt dt
 - H*
 - La dérivée est la vitesse angulaire de rotation du corps
 - dt
 - M autour d’un axe parallèle à i’axe des y. Cette quantité étant commune à toutes les masses m, il s’ensuit
 - 2mpr,2^~=â^-2mp'r\
 - 1 dt dt ^
 - La quantité 2mpn2 est le moment d’inertie de la masse M par rapport à un axe parallèle à y et qui passe par le centre de gravité de M; nous le désignerons suivant l’habitude par MI2. L’équation précédente étant différentiée, le terme qui nous occupe devient simplement
 - dW?
 - La dérivée seconde — dt
 - est ce que l’on appelle accélération de la vitesse angulaire par unité de temps.
 - En ne considérant donc qu’un seul organe de la machine , on a
 - 2m(z>d^.. \ dt2
 - ,dv
 - dt2
 - cPæ d2z\ . ._T,dy'
 - =“(*3F^b2?)+1ip1F-
 - Il convient encore de séparer dans le premier membre de l’équation (16) les termes qui dépendent de l’action de la pesanteur. Il faudra, pour rela, ajouter h ce membre, ou, ce qui est préférable,, retrancher au second, les termes
 - gm\g!2mz!—gcosgr2mxr,
 - qui se réduisent, lorsque l'on ne considère qu’un seul organe, à gsmg'Mz — gcosg^Mæ.
- p.38 - vue 38/310
- - La 3e équation (16) devient donc finalement
 - do.
 - 2(Xzr—Zx’) — — gsmg,2Mz-\-gç,osgr2Mx-\- —2M«
 - +2M (*0)
 - Les équations (18), (19) et (20), sont les transformées qn’il s’agissait d’obtenir. Ces équations, jointes aux trois équations (13), vont servir de base aux développements que nous allons bientôt entreprendre.
 - Observons qu’elles ne sont pas particulières aux locomotives, mais qu’elles conviennent à toute machine remplissant les conditions de symétrie auxquelles sont assujetties les roues, et dont certaines pièces auxquelles on rapporte les mouvements relatifs sont animées d’un mouvement rectiligne quelconque , parallèle à l’axe des x.
 - ÉQUATION DES FORCES VIVES.
 - *
 - 10. Nous ne ferons pas usage de l’équation des forces vives pour établir les conditions de l’emploi des contrepoids. Cependant, si l’on voulait calculer les variations qu’éprouvent les sommes des projections des réactions des rails, et de leurs moments, dans une machine équilibrée plus ou moins imparfaitement, il serait nécessaire d’avoir recours à l’équation des forces vives, en l’absence d’indications instrumentales sur les variations de
 - vitesse angulaire de la manivelle. Dans cette circonstance, la (Pu
 - quantité — que renfermeront les équations développées des mouvements de translation et des moments ne pourrait être effectivement obtenue qu’à l’aide de l’équation des forces vives. Au lieu de la déduire de celle qui répond au mouvement absolu, nous la formerons directement pour le mouvement relatif.
 - Multiplions l’équation (3) par dx\ puis par dyr, dzr} deux équations pareilles relatives aux axes des y et des z, et faisons
- p.39 - vue 39/310
- - la somme étendue à toutes les masses du système , il viendra, en ayant égard aux équations (5) ,
 - v,v, d7x0 . v (dx’dïx’ , dyr d2yr dzr d2zr\
 - ZMx'+Ydy’+Zdz’^lmdx'+lml-+ -»- -£~+*-^
 - Occupons-nous d’abord du premier membre.
 - Ce premier membre exprime la somme des travaux élémentaires dus aux forces tant intérieures qu’extérieures, mais estimés au moyen des déplacements relatifs aux axes mobiles. Le travail dû aux actions mutuelles, tel que frottements intérieurs, travail delà vapeur, etc., conserve donc la signification ordinaire ; mais il n’en est plus ainsi du travail des forces extérieures en général. Ainsi, le travail dû a la traction transmise au convoi et celui de la résistance de l’air sont nuis, attendu que les points d’application de ces forces n’ont aucun mouvement relatif, du moins en ce qui concerne les organes que nous avons appelés pièces fixes. D’un autre côté , le travail dû aux composants des actions des rails parallèles à la voie, et qui est nul dans le naouvement absolu, acquiert ici une importance considérable.
 - Soit F-j-F, la somme des composantes parallèles à l’axe des x des actions exercées par les rails j R étant le rayon des roues motrices, et dx l’angle dont elles tournent sans glisser dans le temps dt‘, on aura, pour le déplacement longitudinal des points de contact des roues et des rails, dxr^=z—Pvda,
 - et pour le travail de ces forces
 - — (F-f F,)IW*.
 - Le travail de la composante de la pesanteur parallèle à x est, pour la masse m,
 - mg&\ngrdx\
 - et pour un organe de masse M,
 - gs\ngf2mdx!z=:gsingrMdx,
 - en vertu de (11).
 - La partie de 2Ydyr, qui répond aux forces extérieures, est
 - (21)
- p.40 - vue 40/310
- - — h 1
 - nulle, puisque les mouvements relatifs ont lieu dans des plans perpendiculaires à l’axe des y.
 - Le travail des forces extérieures contenu dans 21 dzr ne comprend point le travail de la composante normale de l’action des rails, parce que le déplacement parallèle aux z des points de contact des roues et des rails est une quantité infiniment petite du second ordre ; mais il comprend : 1° le travail de la composante de la pesanteur, que l’on trouvera être égal pour un organe à gcosg'Mdz ; 2° le travail dû au frottement de roulement; 3° le travail négatif dû à la pression de l’air sur la vapeur et la fumée qui s’échappent, puis le travail positif dû à l’introduction de l’air par la grille.
 - Désignons par efTm le travail élémentaire dû aux actions mutuelles, c’est-à-dire travail de la vapeur, frottements intérieurs, travail des ressorts, augmenté, pour plus de simplicité, des termes dus à la pression de l'air sur les fluides de la machine. Le premier membre de l’équation (21) deviendra —(F -f- F,)Rda -j-^sin/IiMcLc -f- gc,o&gr2Mdz -]- dT m.
 - Soient —Q la composante de la résistance à la traction produite par le convoi, et —Q' celle de la résistance de l’air, suivant l’axe des x : la première équation (13) donnera , en y développant la valeur de 2X ,
 - F+F,-(Q+Q') = - ffshg'm+^2M + 2M
 - D’un autre côté, en supposant toujours qu’il n’y ait pas glissement, on aura
 - R<Lc vdt.
 - Éliminant doncF-f-F, entre les deux précédentes équations, le premier membre de l’équation (21) deviendra 2(\dær +Ydy'+ldz')~— {Q-{-Q!)vdt+gsmgr(vdt2M+2Mdx)
 - z/2 /p
 - -j- gcosg'2Mdz -f- dT m — vdt,2M. ~— vdv2M.
 - Le second membre de l’équation (21) se réduit tout d’abord à dv „ _ . v (dx’d’x' . dzrd2z'
 - 7(a“'+M*T+*¥
- p.41 - vue 41/310
- - — 42 —
 - Le second de ces termes doit être transformé. En vertu des équations (9), il vient
 - dx'2 + dy'2z=(dx-{-dt)2-{-{dz -f dtf
 - =:dx2-\- dz2-\~el{dxdl-\-dzd^)-\-di2-\-dt2.
 - Multipliant parm, puis faisant la somme étendue à la masse M de l’un des organes, ori aura, en ayant égard aux facteurs communs et aux sommes qui s’annulent,
 - 2m (dx'2 + dz,2)=L M(dx2-\-dz2) -f 2m (d? -fdç2) ;
 - mais, en se reportant aux notations du numéro précédent, on aura
 - et par suite
 - 2m(de-^di:2)=Ml2d7n2'?
 - d’où
 - 2m(dx'2-\-dzr2)?=zM(dx2-\-dz2)-\-Ml2d7,n.
 - Différentions cette équation et divisons par %dt, il viendra, relativement à l’un des organes de masse M , v /dxr d2x' , dzf d2z’\ (dxd2x dz d?z\ dy" d2y"
 - lm(ir -dr^Tïurr^Ttiü^Ttiü )+MI ir sr
 - Enfin nous désignerons par 2mwdw le terme de l’équation des forces vives qui répond au mouvement relatif des fluides dans la locomotive.
 - Réunissant ces divers résultats et divisant tout par dt, on obtient, relativement à la masse entière de la locomotive
 - ^+0sin9'(ÆM+2M^)+Jcosj,2M^=4KQ+Q>+(.2M^
 - i dv dv dx
 - -+-c— 2M4- — 2M —
 - dt 1 dt dt
 - -j-m
 - dx d2x dt dt2
 - +mvtùA±Ç+2m^
 - dt dt2 1 dt
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- - — 43 -
 - Telle est l’équation des forces vives qu’il convient d’appliquer aux machines locomotives. En supposant qu’il n’y ait pas glissement, toutes les variables qui entrent dans cette équation et leurs dérivées pourront s’exprimer en fonction de a et de ses dérivées, lorsque le mode de distribution de la vapeur sera donné. Tous les termes de cette équation deviendront alors
 - divisibles par et l’on en pourra tirer la valeur de
 - On parviendrait exactement au résultat que nous venons d’obtenir en partant de l’équation des forces vives établie pour le cas du mouvement absolu et y substituant les expressions (9) des coordonnées ; mais la transformation serait un peu plus longue que le calcul précédent.
 - Nous renverrons pour quelques explications concernant les quantités dTm et 'Lmwdw à la deuxième partie d’un mémoire sur l’emploi de l’air chaud dans les hauts-fourneaux, que nous avons présenté à la Société des ingénieurs civils.
 - TRANSFORMATION DES COORDONNÉES,
 - POUR AVOIR ÉGARD A I,'INCLINAISON DES CYLINDRES.
 - ii. Les coordonnées que renferment les équations (13), (18), (19), (20) et (22), sont toutes relatives aux axes mobiles parallèle et perpendiculaires à la voie ; xr, yr, z', désignent particulièrement les coordonnées des points de contact des roues et des rails, tandis que x, y, z, sont les coordonnées du centre
 - de gravité d’un organe quelconque, fixe ou mobile: la dérivée dy"
 - -j- est la vitesse angulaire d’un organe mobile mesurée dans le sens de z à x, ou en sens contraire du mouvement de rota-
 - dW'
 - tion de la manivelle; est l’accélération de cette vitesse
 - angulaire.
 - Nous prendrons pour origine des coordonnées le milieu de la droite qui joint les centres des cercles décrits par les extrémités des bielles. Cette origine se confondra avec le milieu de l’axe des roues motrices principales dans la plupart des machines.
- p.43 - vue 43/310
- - Les nouveaux axes que nous allons employer auront la même origine j Taxe des y coïncidera également avec le précédent ;
 - mais nous prendrons pour nouvel axe des x un axe parallèle à, celui des cylindres, et pour axe des z un axe faisant avec l’ancien un angle égal et de même sens que celui du nouvel et de l’ancien axe des x. Nous désignerons provisoirement par x" et z" les coordonnées des centres de gravité des masses M rapportées à ces axes.
 - Définissons l’inclinaison des cylindres.
 - O (fig. 3) étant le centre du cercle décrit par l’extrémité M de la bielle, P la tête du piston élevé au dessus de l’avant de la machine, nous désignerons par 6 l’inclinaison x"Ox=z"Oz. Dans le cas où les cylindres seraient à l’arrière sur le prolongement de Ox, l’angle 0 deviendrait égal à 180°. A l’aide de cette convention, nos formules conviendront à toute situation donnée des cylindres.
 - Les formules connues de la transformation des coordonnées nous fournissent les relations
 - x — x,feosd -J- -S^sinO, z = zrrcos 0 — x’r&\nd ;
 - (28)
 - on en tire, par la différentiation,
 - (24)
- p.44 - vue 44/310
- - — 45 —
 - d’où
 - dx dz z
 - dz dxn dzu ai Z dt ~X ~dp
 - dz2___dx"2 r dz"2
 - ~~ dt2
 - d/m2 dx2
 - puis, en différentiant de nouveau ,
 - \
 - d2z d2zn . d2x" -r-s zzzcosO —r smô -7-7-
 - (25)
 - dxd2x . dz f£_dx^ d2xn dz" d2z" dt dt2 ‘ dt dt2 dt dt2 ‘ dt dt2
 - 1
 - Telles sont les valeurs qu’il faut actuellement substituer dans les équations (13), (18), (19), (20) et (22) : nous allons opérer cette substitution, et nous supprimerons ensuite les accents, afin de ne pas compliquer l’écriture j seulement nous 11’oublierons pas que les coordonnées x et z se rapporteront à des axes l’un parallèle et l’autre perpendiculaire aux axes des cylindres. Ajoutons encore que nous nous réserverons plus tard la faculté de rapporter les positions de quelques masses aux anciens axes, et qu’il suffira pour cela de faire 0=o dans les termes correspondants.. En effet, il vient, dans cette hypothèse, en vertu des équations (23), æ=x’\ z=zzn.
 - Yoici le résultat de la substitution :
 - Equations du mouvement de translation.
- p.45 - vue 45/310
- - — 66 —
 - Équations du mouvement rotatoire.
 - 0) \ 0*0 I
 - (27)
 - Les notations [x], [y], [z], rappellent que les équations auxquelles elles se rapportent sont celles du mouvement de translation parallèlement aux trois axes x, y, z, primitifs.
 - Les notations (s), (x), (y), rappellent que les équations correspondantes sont les équations du mouvement de rotation autour des axes z, x et y.
 - (Nous nous dispenserons d’opérer les substitutions dans l’équation des forces vives, attendu que nous n’en ferons pas usage dans le présent Mémoire.)
 - Il s’agit actuellement de calculer les valeurs des différents termes qui entrent dans ces équations, et de les exprimer en fonctions de l’angle a de la manivelle avec l’axe du piston et des deux premières dérivées de cette quantité.
 - CALCUL DES COORDONNÉES X, Z, DUN POINT PRIS SUR L’AXE DE LA BIELLE, DES DÉRIVÉES DE CES COORDONNÉES,
 - et de l’accélération de vitesse angulaire de la bielle.
 - 42. Il nous sera facile de déduire, à l’aide de ces déterminations , celles qui se rapportent au centre de gravité même de la bielle et au piston : c’est pourquoi nous préférons traiter la question analytique qui concerne un point quelconque pris sur l’axe de la bielle.
 - Soient, (fig. L\) :
 - r le rayon de la manivelle située du côté des y positifs, ou
- p.46 - vue 46/310
- - plus généralement le rayon du cercle décrit par l’extrémité de la bielle,
 - (Fig. 4.;
 - « l’angle de r avec l’axe des x compté de x vers z, ou en sens contraire de l’angle du il3 9 ;
 - B la longueur de la bielle ;
 - b la distance d’un point M, pris sur l’axe de la bielle, à la tête du piston, comptée de celle-ci vers le bouton de la manivelle; x, ij, z, les coordonnées du point M ;
 - (3 l’angle aigu de la bielle avec le prolongement de l’axe des x, positif pour « compris entre 0° et 180°, négatif pour a compris entre 180° et 360°; l’angle p croît dans le sens dé l’angle 7", et, d’après la signification de éet angle, on a
 - ây" _ dp dt dt
 - (28)
 - relativement à la bielle.
 - Les coordonnées du point M en fonction des angles K et pf et de la distance b, sont
 - x = r cos« -j- (B— b) cos/3,
 - V
 - 6sin/3:rz — b sina.
 - (29)
 - La seconde de ces valeurs de z résulte de la proportionnalité des sinus, qui fournit la relation
 - sin;3 = —sin«. (30)
- p.47 - vue 47/310
- - En différentiant les équations (29), il vient
 - dx ~dt '
 - d«. . dfi
 - •rsina —---(B —6)sinS-4-7
 - dt K J r dt
 - dz r dcr,
 - —— — b COSa —
 - dt B dt
 - (31)
 - Au moyen de ces valeurs et des précédentes, on obtient
 - dx dz
 - ---x — :
 - dt dt
 - ~r B~dt
 - N b ( . dt3 dv
 - -r(B—o)-( sinc*sin|3——j-cos«cos/3
 - X) \ (tt et t
 - Différentions l’équation (30), nous aurons
 - dt3 r doc
 - dt
 - cos B -)- == — cos« ^ dt B
 - (32)
 - Cette dernière et l’équation (30) donnent
 - sin«:
 - . dp d,rt. B . . ~ , rfi3 B tfâ
 - a sin/3~ -f cosa C0Si3 — = - (sm2,34 cos2;0 — = - —;
 - on a donc simplement
 - dz
 - z—----x —
 - dt dt
 - dt
 - 7 b d* 1 ro
 - -rï7,-b(-K-
 - dt r dt1
 - b)
 - dp.
 - dt ’
 - d’où ensuite, par la différentiation,
 - d2x d2z 9 6 d2« z-^r-x~=z—r2^ —
 - dt2
 - dt2
 - B dt2
 - (33)
 - (34)
 - Il resterait encore à différentierles équations (31)et(32) et à éliminer l’angle p et ses dérivées mais l’obligation
 - où nous serons de combiner deux à deux les termes de même forme qui sont relatifs aux organes correspondants ou conjugués des deux machines séparées par le plan méridien, nous détermine à recourir à l’emploi des séries. Cette combinaison serait impraticable sous forme finie, à cause du radical introduit par cos/3. Notre mémoire déposé aux archives de la Société contient les expressions des dérivées sous forme finie; nous nous dispensons de les reproduire ici, attendu que nous ne devons point en faire usage.
- p.48 - vue 48/310
- - 09
 - EXPRESSIONS DES COORDONNÉES LINÉAIRES DES CENTRES DE GRAVITÉ DE LA BIELLE ET DU PISTON, DE LEURS DÉRIVÉES , ET DE LA VITESSE
 - angulaire de la bielle , en séries ordonnées suivant les sinus et cosinus des multiples de l’angle de la manivelle avec l’axe du piston.
 - 15. L’angle p étant nécessairement aigu , son cosinus est essentiellement positif; on tire de réquation (30)
 - cos-1-4 /-==( 1—^sin2«
 - La quantité entre parenthèses peut être remplacée par
 - (Vil
 - 1-
 - (1—cos2«).
 - (35)
 - Posons
 - 1 r
 - s'n,,=FiB;
 - cette même parenthèse se changera en
 - 1—sin2(p -f- sin2çp cos2a = cos2<p -f- sin2y cos2a ; et, si nous convenons que ^ soit toujours un angle aigu, afin que son cosinus reste positif, il viendra
 - cos —1 p — cos —4 <p (1+ tang2^ cos2k) — â.
 - Nous développerons cette double expression au moyen de la
 - formule de Newion, et nous aurons
 - f \ 1 1.3 \
 - eosp—eos'f ( 1-j- - tang2<pcos2a— -— tang4çpcos22a-j- tang6epcos32a \ \ 2 2.1\ 2*!\% o
 - —>ansV°s<2*+etc-) -
 - ^=^(1_5,an82îC0s2“+^5,a"§,ïC0S,2“_lxlla“*fi,,C0SÎ2“
 - -f- tang8?cos42«—etc. J.
 - (36)
 - 2.0.6.8
 - TT
 - L’angle ^ est la valeur de j3 qui répond à ou 05°,
 - 4
 - et
 - à oc —3 - ou 135®. U
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- - — 50 —
 - On peut exprimer tarig2<p directement en fonction de r et B comme il suit :
 - lan«2T=: 5ÏP3?- (”)
 - La première série (36) contient les puissances entières de eos2aj et comme celles-ci s’expriment, au moyen de formules connues, par les premières puissances des cosinus des multiples entiers de 2a, nous pouvons poser
 - cosj3~cosœ2f AiCosSia. (38)
 - La seconde série (36) s’exprimerait de la même manière au moyen de termes de la forme A^cos2ia : il s’ensuit que la fonc-
 - .. cosa • , t ,, • , rZ/3
 - tion qui entre dans i expression de équation (32), se
 - compose de termes de la forme A'icosa cosîta.Or on a, par les
 - formules trigonométriques,
 - 1 1
 - cosa co.s2ia— - cos(2i—l)a-f - - cos(2i-j- l)a.
 - Le premier des facteurs de cette forme se réduirait évidemment à cosa : nous pouvons donc poser encore
 - cosa 1
 - cosp COS'P
 - 2fBfcos(2i-j-l)a.
 - (39)
 - Les sommes 2 comprises dans les expressions (38) et (39) doivent être considérées comme formées en donnant à l’indice i toutes les valeurs entières , depuis et y compris zéro jusqu’à l’infini.
 - Si l’on se reporte aux développements (36) et qu’on ait égard aux formules de transformation des puissances de cosinus en cosinus de multiples, on observera que les coefficients Ai et Bi sont des fonctions de tang2œ, dans lesquelles la plus faible puissance de cette quantité est i. En convenant de prendre tang? pour type des quantités du premier ordre de petitesse, on devra considérer les coefficients A i et B; comme étant de l’ordre 2i. Nous ne présenterons point le calcul de ces coefficients, que chacun pourra effectuer sans difficulté, attendu
- p.50 - vue 50/310
- - que le seul d’entre eux qui reste dans les équations de condition est le coefficient B». Il est d’ailleurs associé à cos^, sous la
 - remplacée avec une très grande approximation par
 - Mais comme ces coefficients pourraient être employés au calcul des réactions des rails dans le cas de machines imparfaitement équilibrées, nous donnerons dans la dote ci-jointe les expressions de ces mêmes coefficients (*). ,
 - Au moyen des expressions (38) et (39), dont il nous suffisait à la rigueur de justifier la forme, il vient d’abord, par les^équa-fions (29) et (32),
 - .t—rcosx-f-(B— è)cos? cos'2îa:
 - (*) En posant, pour abréger,
 - on aura :
 - {- etc.
 - 3.5.7.9
 - <ps°— etc.
 - 4.6.8.10.12
 - "^4.6.8.10.12.14
 - 3.5.7.9.11
- p.51 - vue 51/310
- - — 52 -
 - On en tire par la différentiation
 - dx dt dPp dt2
 - [rsina-j-2(B~ 6)cosy2“ïAt-sin2ia]
 - r 2rB<cos(2»+l)«. d2*
 - da.
 - Tt'
 - dt2 ’
 - 1 Beos?
 - V (J a2
 - ~ (2‘ + 1)BiSin (2i+>)“- ~üï.
 - /72/y* fl2r/.
 - -^2 = ~ [r sina + 2(B — 6) cosy t A* sm2«V] —,
 - da?
 - — [r cosa 4 (B — &) cosyHfi2A* cos2i«] ^.
 - Ces coefficients sont d’ailleurs liés entre eux par les relations
 - Ai+.=-4"3((2i_3)Ai-l+2iT,)-
 - au moyen desquelles les coefficients se déduiraient successivement des deux premiers, si ces formules n’exigeaient pas l’emploi d’un grand nombre de chiffres pour donner de bons résultats. Toutefois, on en tire la combinaison suivante, qui peut servir à vérifier l’ensemble des calculs :
 - A4(l+| ?,) + (*+2?,) [2Aa + 3As+4A4 + ...... -K* - 2)Ai_3]
 - + !?,[(2i — l)A;_I+(2i+l)Al-] + (i-l)AI-_l=A0yI.
 - Les coefficients B* s’obtiendront indirectement de la manière suivante. Soit
 - cosy COS/3 '
 - C( COS2ia;
 - cos/5 cos?»
 - la comparaison des développements de —- et —-, équations ( 36), montre
 - COS^ COS/3
 - que l’on passe du premier au second, en multipliant les termes affectés des
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- - 53
 - L’équation (36) donnera ensuite très aisément
 - JPx d2z r2b <Pa. rb(B—b)
 - Zdt2"~X~df2~~~“B~lt2 B cos©
 - 2“BiCos(2i -J-Dc*.
 - (Px dt27
 - rb( B—6) B cos P,3. Pi4»
 - respectivement par —1, —3, —5, —7,... —(2n—1).
 - Les coefficients C/ se déduiront de A- en multipliant généralement la puissance niè>ne de p, par 2n — 1 ; il vient delà sorte
 - r 4 . 1-32
 - 1.3.5.7 4.3
 - 1.3.5.7.9.11 6.5.4
 - 2 4.6.8 1.2
 - 2.4.6.8.10.12 1.2.3
 - y,6-)- etc.
 - C !=—?,
 - 3
 - C2=
 - c3=
 - + 4P,i
 - _^5
 - 4.6 *
 - , 3.5.7
 - 3.5 3 , 4SÏ*'
 - , 3.5.7 4
 - '4.6.8 1
 - 3.5.7.9 5.4
 - 4.6.8.101.2
 - s _
 - 3.5.7.9.11.13 7.6.5 4.6.8.10.12.141.2.3
 - 3.5.7.9.11 6.5 .
 - 4.6.8.10.12 1.2 9l ”^e C'
 - 3.5.7.9 5 ,
 - 4.6.8.10 lr
 - . 3.5.7.9.11 6
 - ^5 =
 - c6=-
 - €7=-
 - <?1
 - 4.6 8 ;
 - 3.5.7 9 ‘ 4.6.8.10 3.5.7.9.11 '4.6.8.10.12
 - 4.6.8.10.12 1
 - 5,
 - 3.5.7.9 11.13 7.6 4.6.8.10.12.14T2
 - p,6+ etc.
 - <pj— etc.
 - 3.5.7.9.11.13 7 , -?«-
 - 4.6.8.10.12.14 1 p,6-f- etc.
 - • etc.
 - 3 5.7.9.11.13 4.6.8.10.12.14
 - P,7— etc.
 - etc.
 - Les coefficients B, se déduisent des précédents par les relations :
 - B0 = Co+^C2
 - iCt+c )
 - 1 *
 - Ba=5(ca+cs)
 - B-=-|(Ci+Ci+0
 - On en tire, pour le calcul direct de Bo,
 - 1.3 2
 - 1.3.5 3
 - Bo=i--2p,+^
 - 4.6 1
 - 1.3.5.7 4.3 . 1.3.5.7.9 5.4 _ , .
 - 2.4.6.8 1.2 Vl 2.4.6.8:10 1.2 ?l etC'
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- - Résumons actuellement les diverses formules que nous venons d’obtenir, eu ayant le soin d’y séparer le premier terme des sommes 21 qui répond à l’indice *=o. De cette manière, il
 - Si l’on suppose B0 calculé, on pourra calculer les autres coefficients au moyen de la série A,, en se servant de la formule générale que voici :
 - * '
 - Ceci suppose que les coefficients A, seront calculés en tenant compte , dan© les développements, des termes de l’ordre supérieur d’une unité à celui auquel l’exactitude des résultats définitif est fixée d’avance.
 - On devra remarquer lu convergence rapide de nos séries dans le cas de©
 - T 1
 - machines locomotives. En effet, le rapport g est presque toujours égal à - , ou
 - 1) O
 - 1
 - du moins en diffère peu; l’équation (37) donne alors tang2? = —, d’où
 - 49
 - 4 *
 - ?,= —, ou 9, =0,010 2041. En calculant avec cette valeur la quantité
 - on trouve 1,005077 ; la valeur approchée—- — , que nous proposons COS? J/ eos?
 - de lui substituer, est dans ce cas 1,005:063. On voit donc que l’erreur sera toujours insensible dans la pratique.
 - Voici maintenant les valeurs numériques des coefficients À,, B,, G,, pour les machines dans lesquelles la longueur de la bielle est égale à cinq fois le rayon de la manivelle :
 - A0= + 0,9999740 jV J CT +0,0102045 A2= —0,0000260 A3 =+0,0000001
 - B0 = + 0,994 9751 Bt ==—0 0050640 B2=+0,000 0387 B 3 = — 0,0000003
 - C<, = +1,000 0781
 - ct = — 0,0102061
 - c2 = + 0,0000780 C3 =-0,0000007
 - Ces valeurs montrent que l’un pourra toujours se borner, dans la pratique, à l’emploi des deux premiers coefficients de chaque série.
 - Il existe, entre les divers coefficients dont nous venons de nous occuper et leurs dérivées prises par rapport à ?,, des# relations que nous ne pouvons qu’indiquer ici. Les coefficients A<>, B„, G», s’expriment très, aisément au mpy;en des fonctions elliptiques., Enfin, ajoutons que ces coefficients, qui peuvent âtMUïîites.dans uneloul» de cas relatifs, aux systèmes articulés, pré-
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- - 55
 - viendra, relativement au point M et à l’accroissement de vitesse angulaire de la bielle ,
 - x ~ (B — 5) A 0cosçp -frcosa-f (B— b) cos» 2 ™ A i cos2i«, b .
 - ,d2x
 - 'dt2'
 - à2 y” dt2
 - Z :
 - d2x dt2
 - d2z
 - dt2
 - cEl
 - dt2'
 - d2(î dt2
 - :r— sma B
 - d2o.
 - [rsioa 2( B — è) cos» 2 * iki sin2i«] ^
 - d'/2
 - • [rcosa —(- A (B— b) cos» 2 “ i2A» eos2ia] ^
 - b d2a
 - :T IC0Sal^
 - 2 b d2v. \
 - ~r B dïr~~
 - . rb{B—b).
 - r B sm“ dt2 ’
 - ^[B.cos^B.-cos^+lM-
 - do
 - / W
 - B cosep
 - Bcos? L~oSina+2f (2^-J-i)BjSm(2t-fA)a]-^
 - d2a
 - — [)BoCOSa —J- 2 BjCOS (2î-]~ 1 ja]
 - [Bosina 2^5(2i-{— I^B^sin^t-j—1 )a]
 - BcosyL °~... 1 1 v ' 11 ’v ' 1 dt2
 - Ces formules sont celles qu’il s’agissait d’obtenir- En y faisant b=Bf, (cette dernière lettre désignant la distance du centre de gravité de la bielle à la tête du piston), nous aurons tous les termes qui répondent à la bielle. Nous nous dispenserons de faire ici ce changement j il suffit d’avertir qu’il doit être fait plus tard.
 - Quant au mouvement du piston, soit a la distance de son centre de gravité à la tête, mesurée dans le sens des x positifs : il est évident que pour obtenir les termes qui s’y rapportent il faudra faire, dans les formules (40), 6=o, puis ajouter a à
 - dV'
 - l’abscisse œ et faire abstraction de quantité essentiellement nulle pour le piston.
 - sefitènt une grande analogie, dans leurs relations et leur mode de dérivation, avec ceux auxquels donne naissance le développement de la fonction perturbatrice dans la mécanique céleste. /
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- - — 56
 - On aura de cette manière, relativement au piston ;
 - x — a-{- BA0cosy -j-r cos* -}- B cosyS " AiC0s2ia, \
 - Tous les autres termes sont nuis.
 - Nous pourrions déduire des formules (40) les valeurs qui sont relatives à la manivelle -, mais comme nous avons à considérer d’autres organes de même espèce, nous présenterons les expressions générales qui s’y rapportent.
 - COORDONNÉES ET DÉRIVÉES RELATIVES AUX ORGANES DONT LES CENTRES
 - DE GRAVITÉ ONT UN MOUVEMENT CIRCULAIRE LIÉ A CELUI DE LA
 - MANIVELLE MOTRICE.
 - 14. Ces organes sont les manivelles, leurs boutons, les bielles d’accouplement et les roues motrices principales ou accouplées, en comprenant la masse des contre-poids dans celle de ces dernières.
 - Les centres des cercles décrits par les centres de gravité de ces pièces sont situés sur une droite parallèle à la voie et passant par l’origine des coordonnées. Nous prendrons cette dernière droite pour axe des abscisses, ce qui exigera, conformément aux remarques du n° 11, que l’on fasse explicitement cos0 = 1 et sin0 = o dans les termes des équations (26) et (27) qui se rapportent à ces organes, ou tout simplement que l’on se serve à leur égard des seconds membres des équations (13),(18;> (19) et (20), dans lesquelles les coordonnées se rapportent à des axes parallèle et perpendiculaires à la voie.
 - Les ordonnées des centres des cercles décrits par les centres de gravité seront conséquemment milles.
 - Observons encore que les liaisons des pièces dont nous nous occupons, avec la manivelle motrice, sont telles que leurs mouvements angulaires autour des centres des cercles décrits sont
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- - — 57
 - égaux à celui de la manivelle motrice elle-même. Les vitesses angulaires de rotation autour d’axes parallèles aux y et passant par les centres de gravité sont aussi égales à celle de la manivelle motrice, excepté pour les bielles d’accouplement, dont la vitesse de rotation est nulle.
 - Ceci posé, soient généralement :
 - l l’abscisse du centre du cercle décrit par le centre de gravité, p la distance du centre de gravité au centre du cercle, s l’angle constant de p avec le rayon de la manivelle motrice compté dans le même sens que k.
 - Nous aurons (Voir fig. (1), n° 6) :
 - X '—: l -J— p COS(jx -J- z — O') , z =psin(a-|-s — 0)j
 - d’où
 - dx
 - — ~ — p sin;«-j-e —
 - dx
 - ^ dt'
 - dz
 - dt
 - —J— p CQS^cc —j— £
 - puis
 - £
 - dx
 - dt
 - ~~X~dt~~'lp C08(“ +E — 0
 - du dx.
 - dt p dt
 - En differentiant ces trois dernières équations, il viendra
 - d2x . , . . d2x , du2 \
 - ^ = -ps,n(«+!_0^-PcoSl«+*-e)
 - d2z d2x . , . . du2
 - — =z-\-p cos(«-f ô—0) -7-5 — p Sin(a~f £—0)
 - dt2 d2i
 - dt2
 - d2x.
 - dt2' d*2
 - d2x d2z . d2v. . d*2 „ d2x
 - ‘dï~Xdfi---------ip -K» sin(«+î-8)
 - D’un autre côté, si l’on excepte les bielles d’accouplement, qui n’ont pas de mouvement de rotation autour de leur centre de gravité, on aura
 - d2y” __ d2<x dt2 ~ ~dï2'
 - attendu que l’angle y" est compté dans le sens opposé à celui
 - (43)
- p.57 - vue 57/310
- - — 58
 - de l’angle « ; mais afin de comprendre tous les cas dans une formule unique, si nous désignons par n' le rapport de la vitesse angulaire de rotation à celle de la manivelle principale 5, nous écrirons :
 - dV'__
 - cit2 n dî2>
 - m
 - nf étant nul pour les bielles d’accouplement, et égal à l'unité pour les autres pièces.
 - Les manivelles et bielles d’accouplement sont toujours disposées de manière que le rayon p soit parallèle à celui qui répond à la manivelle motrice; seulement il arrive que ce rayon p se trouve disposé tantôt dans le même sens, tantôt dans le sens contraire. Il faudra donc faire, pour ces pièces, s — o dans le premier cas, et £ = 180° dans le second. Par suite nous devrons remplacer les quantités sin(«-J-e — G) cos(k-J-s — 6) respectivement par ±:sin(a—0) et ±:cos(« — G) dans les termes des équations (42) et (43) lorsque nous les appliquerons à ces pièces.
 - Occupons-nous actuellement des roues non accouplées et des demi-essieux, Nous ne confondons pas en une seule masse celle d’une roue et du demi-essieu correspondant, attendu que l’ensemble de ces deux pièces ne jouit pas de la propriété d'être symétrique par rapport à un plan parallèle au plan méridien, et passant par le centre de gravité commun.
 - Soient l et n les coordonnées parallèles aux x et z des axes de ces pièces. Par la raison que leur centre de gravité coïncide avec l’axe de figure, on aura simplement
 - æ—l, z — n. (45)
 - Les dérivées et combinaisons de dérivées de ces quantités sont toutes nul les.
 - L’angle 7" étant compté en sens contraire de l’angle a, et n’ ayant la même signification que ci-dessus, on aura encore
 - fyf(Pa dp —~'n dp'
 - (46)
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- - (N* 1S,)
 - Tableau général des valeurs des termes contenus dans les équations (26) et (27) des mouvements de translation et de rotation, relatives à chacun des organes dé une locomotive situés d'un même côté du plan méridien. (Côté des y positifs,
 - Moment d’inertie autour d’un Rayon du cercle Angle du rayon p Abscisse parallèle à la voie, Ordonnée horizontale et perpendi- Equation [#] (*) Equation [z] Equation (z) Equation (pc) Equation (y) 1
 - axe passant du centre n ( . _ |rTr_
 - DÉSIGNATION DES ORGANES. Masse par le centre de gravité et parallèle à Taxe des y. par le centre de gravite. la manivelle principale. du cercle décrit par le centre de gravité. à la voie, du centre de gravité. . „ _ d2x , . „d2z +cos5M^+s,n9M*r ri2* rl-r -f- cosG M — sinG M ÔP" CG (JP1 Z> —cosGM y-jpp —sineMt/^j ^ ^ ^a||| . cPz . d?x + cos 0 My — sin0 My 4~ ^cos(ÿ,_G)—sinG — J Ma?— jj/sin(gd—G)—cosG Mæ / i2x d2z\ +mVïf-xw) fPr.rr +Mi2-s4
 - M MI2 P £ 1 y
 - — M V cosG sina 2^ 4-M'r 2. sine cosa 2*- dp 1 B dt- -j- M V sinG sina ~ -}-M V 2 CosG cosa ~ 1 dp 1 B dP MV AcosG sin« 2|—MV 2 AsinG cosa 22 -f- MVA sinO sina 4~M'r 2 Acosecosa ~ 4~[5'cos(ÿr—0) — sinG 2) Mr(B —B')A0cos(p _MVÆg_Mv5(B-B')icoS«S
 - Bielle. W MT2 )) » » A B' dx2 — MVcosG cosa —s—MV^ sinG sina dii B dt1 4~MV sinG cosa ~ — M V 2 cosG sina ~ 4-M VA cosG cosk^- 4-M'r2 AsinG sina 2^ 4- MVA sin9 cosa —MV 2 Acos5sina ~~ —|~[<7^os(ÿ^—G)*—sinG 2j MVcosa liJf fï r*> 1' -M 1 B 55i8,"“*5
 - — MA(B — B') cosG. 2cos<p2^ iki sin2za. 2f -f-MA(B—B')sin0.2cosyS*iA£-sin2/«.2| -f- M'(B—B')Acos0.2 cos^S“i'Af-sin2ia. 4-M^(B-B0Asinô.2 cosTSf »A; sin2ia. ^ —[ysin(^^— G) —cosG 2] MV 2 sina +M'I'2B-c4SrBiC0S(9J+1)“-S
 - dx% — M'(B— B') cosG.4cos<p2“i2AIcos2ia. -f M'(B—B')sin0.4cos?S^i2A£cos2i«.^ -f-Mr(B—Br)AcosS.4 cosyS^2A£cos2ia.^- 4-Mr(B—B'r)Asin5.4cos!p2100i2AI-cos2ia. ~ 4-[ycos(ÿ’—G) — sin0 2]M'(B—B^.cosy^f A;cos2*a +M'r ï (B-B'J j (2i+l )B,sin(2i+l>. g -W BW 2"C2i+»)B- %
 - — M'VcosG sina -4 dt- -j- M'V sinG sina 2f -f- M'VA cos<5 sin«2| 4“ M'VA sin0 sina 4~[ÿC0s(yr—G)—sinG ^^"(a-f-BA^os?) 0 0
 - — M'VcOSG COSa^- -j- M'V sinG cosa ^ -f - M'VA COS0 COSa dor" 4- M'VA sine cosa ~ +[ycos(^— 0) — sinG 2] M^Vcosa
 - Piston. M" )> )) » )) A —M"Bcos0.2cosySf î‘AiSin2ia.^| 4-M''BsinG.2cosy£“zA;sin2ia.— -j-M,,BAcos0.2cosyS”t'A£sin2ia. ^ 4-M"BA sinG.2 cosfflS“iAisin2ia.2^ i
 - — M"BcosS.4cosyI*rAi-cos2£«. 2^- -j-M"Bsin0.4cosyS1œz2A;cos2i«. ^ dP -f - M"BA cos5.4 cosyi2Ai cos2ia. 4“ M"B A sin O.h cos» S" i2 A; cos2ia.^- 4-[5,cos(ÿr—G)—sinG2)M”B. cosw2”A;cos2ia
 - | ( — (±MWC'") cosG sina § -f- (±:M"'C'") cosG cosa 2| + (:ï:M'''C"'Am)cos5 sin« J -f A'") cosd cosa J 4-g cos/M'"L'"4-<7 cosÿ'(±:MrrrCr,0 cosG cosa —W!FC'"2 HzM'"C"'L"')COSG cosa 2^- at-
 - Manivelle, \ . W -j-(±:MmC",)sin0 cosa 4-(rtM"'C"')sin0sina^ -(±M,,,C,"A^)sin0 cosa.f2| 4- (± Mr"C,rA!rr) sinG sina fI~ 44flrC'0sy,(±M,,,C”,)s^n® s*n</- —;±M,ffC'f,L"0sinG Sina ~
 - Bouton de manivelle, ’ Bielle d’accouplement (**). i /' Mm M"T"2 C 0°oul80° V" A — (=hM'"C"')cos0 cosa2j — (±M'"C"0 cosG sin«^ -{- (±M"'C'"A'") cos^ cosa ^ - (±MmC'"Aw) cosG sina ^ 4-^2—gs\ngr^ (±M"rC")cosQ sina . da2 4-(r-Mf”CfUL^,)cosG sma^|
 - — (±:M,"C"7)sin0sin« 4-(±:M'"C'") sinG cosa 2! 4-(±M'"Cr"A'")sin0 sina^ 4-(±M'"C'"A"') sinG cosa ^ — \Tt—#sin2)(—sinG cosa ’-^(CzW"C,nL'!r) sinG cosa 2j
 - Roue non accouplée ; partie distincte d’un demi-essieu. W MV][V2 0 )> Lv Av 0 0 0 0 4-'7cosÿrMvLv-(- ^2 —flsin/) MVNV O -«,vs
 - Demi-ensemble des pièces fixes. ' M r » )> » U • 0 0 0 0 +ycos!,'M/L/'+ ( t -jsinj' i, ’ 0 i 0
 - . d!a — [j.p cose sma . d2x -j~pp cose cosa jp -j- pp\cose sina -f- ppk cose COSa -\-gcosgrul-\- gç.osgrpp cose cosa ,d2* , d2* —-gp. —y pic ose cosa ey d“
 - d2* — [J.p SlIiecOSa^" . . d-x — jj.p sine sina 4* ppy. sine cosa * . . . dV — PPA sine sma ^2 — gcosg'pp sine sina , , . . d2a 4-ppisme sma-^5
 - Roue motrice, y compris le contrepoids. V- P2 P S—e-j-G l À d«2 — PPcose cosa jp . dcP —pp cose sin«^2 1 d°P 4* pplcose COSa ^2 . . doP — pp\ cose sma + (2-gsing') pp cose sina , . , . da- -f-ppl cose sma
 - I . . da2 -f-p-p sine smv.jp d'P — pp sine cos« — ppl sine sina , . d*2 — ppk sine cosa 4~^2’7—sing'^jpp sinecosa t ? • 4~p.pt smecosa-^ '
 - (*) il faut se rappeler que les coordonnées x et z, dans les termes de cette équation et des suivantes, sont comptées parallèlement et perpendiculairement à Taxe du cylindre, tandis que les abscisses I sont comptées parallèlement à la voie. - (**) Les signes ±: qui sc rapportent à ces pièces doivent être pris + ou —, suivant que l’angle £ correspondant est 0° ou 180°.
 - A placer en regard de la page 89,
- pl.n.n. - vue 59/310
- - — 59
 - Relativement aux demi-essieux des roues motrices , on aura n—o, n' — l.
 - Quant aux roues non accouplées et à leurs demi-essieux , R' désignant le rayon de ces roues , les valeurs précédentes deviendront
 - »=R-R\ =
 - en supposant que les roues ne glissent pas.
 - Il nous reste à dire un mot des pièces fixes.
 - Nous désignerons par M/• la moitié de la masse clés pièces fixes réunies, et par et N/ les coordonnées du centre de gravité de Mf, parallèles aux x et z. Leurs dérivées sontnul-les, ainsi que celle de la vitesse angulaire, puisque ces pièces n’ont pas de mouvement relatif. r
 - Tableau des termes des seconds membres des équations (26) et (27) relatifs à
 - chaque espèce particulière d’organe situé du côté des y positifs, et Sommes
 - des termes de même forme,
 - SS. Les formules que nous avons réunies dans les fieux numéros précédents sous les marques (40) à (46) donnent les valeurs fies termes des équations (26); et (27), ou de leurs équivalentes qui sont relatives à chaque espèce particulière d’organe faisant partie fie la machine située du côté fies y positifs. Elles n’exigent d’autre soin que d’y introduire les valeurs particulières des masses, dimensions, etc. La formation de ces termes revient à peu près à une simple transcription. Toutefois , afin d’être sûr de n’omettre aucun terme et aussi de ne pas trop fatiguer l'attention ultérieurement, nous avons cru indispensable' de-présenter en un tableau l’ensemble fies divers termes dont il est question.
 - Le tableau ci-joint n’exige que peu d’explications pour être compris.
 - La première colonne contient la désignation des organes ; les six colonnes suivantes indiquent les lettres qui servent à reprér
- p.59 - vue 60/310
- - 60 —
 - senter les valeurs particulières des quantités inscrites en tête de chaque colonne.
 - Pour compléter ces indications, nous rappellerons que B désigne la longueur de la bielle, et B1’ la distance de son centre d© gravité à la tête du piston.
 - r est le rayon de la manivelle.
 - R est celui des roues motrices,.
 - n! désigne le rapport des vitesses de rotation à celle de la manivelle motrice.
 - n' est égal à l’unité pour les manivelles et boutons de manivelle, et nul pour les bielles d’accouplement.
 - Nv désigne l’ordonnée z des pièces tournantes dont le centre de gravité coïncide avec l’axe de rotation; Nv est nulle pour
 - toute autre pièce que les roues non accouplées et leurs essieux.
 - R
 - Rr étant le rayon de ces roues, on a Nv — R—R' et n'= nr est égal à l’unité pour toutes les autres pièces du même genre.
 - Plusieurs des quantités désignées par des lettres, accents, ou indices différents, pourront dans beaucoup de cas se trouver égales; nous devions, pour donner à nos formules la plus grande généralité, tenir compte de différences qui n’existent pas toujours en réalité.
 - Afin d’éviter la reproduction des termes de même forme, nous avons compris sous une désignation générale unique les termes de même espèce qui répondent aux manivelles, boutons de manivelles et bielles d’accouplement. Le double signe qui accompagne ces termes provient de e=0o ou 180° : on prendra donc le signe -J- ou le signe —, suivant que le rayon du cercle décrit par le centre de gravité sera de même sens ou de sens opposé au rayon de la manivelle motrice. Nous avons développé les quantités sin(a—0) et cos(«—0) contenues dans les équations (62) et (63).
 - Enfin, dans les termes relatifs aux roues motrices et contrepoids, nous avons développé aussi sin(«4*s—9) et cos(«-j-s—0);
- p.60 - vue 61/310
- - 61
 - seulement, l’angle s —0 y a été remplacé par un angle unique e %
 - e = s — B. (47)
 - Ayant notre tableau sous les yeux , il sera facile de faire la somme des termes de même espèce, ordonnée suivant les sinus et cosinus des multiples de a, et d’y séparer les termes affectés des facteurs — et En faisant ces sommes, qui seront uniquement relatives à l’une des deux machines dont se compose la locomotive, nous réunirons sous le signe S les termes qui se rapportent à un même genre d’organes, attendu que le tableau n’en renferme qu’un seul pour chaque genre.
 - Posons, pour abréger :
 - «0=M'r-f-M"r, • u,= 2±W"Cm, \
 - u'o~Mrr-—,
 - ?0=(M'f4-M"r)A,
 - B'
 - / = M'r — A,
 - JD
 - e =2dbM'"C'"A'",
 - (48)
 - /c —M'(B-Bf)-f-M"B; nous aurons :
 - Équation [#],
 - («0
 - d2æ d2z
 - Somme des termes -j-cosô M -j-sinô M :
 - —K Wo-K)c°se +2.uf cose]sin* ^ —[(îf0-j-w,)cos5-f-Sp/3Cose]cos« ^
 - 4~[-M,o“l"wi)s*n®—2«psine]cos«^ —[(wfo-f-îf,)sin0 —^^/Dsinejsiny.
 - d2ct da.2
 - —fecos0.2 cos<? iAisin2ia. —--------kcosd. 4cosep2f i2AiC0s2^x. —
- p.61 - vue 62/310
- - Equation [2],
 - dP'Z
 - Somme des termes -f-cose^ — sinflM : -]-[(w0-j-wI)sin9—2apsine]sin« + [(w0+M.)sin5—Sf/-psine]cos« ^7
 - -|_[^o_|_Mi)coS0_j-Sp.pcoSe]c°sa ^ —[(tt^-j-îiJcose-j-SptpcoseJsina ^7 -J- /c sïn 0.2 cos y SfiAiSin2ï«. — -]-ksin0 .4-cosçpS" PAiCOSÏÏa.
 - Equation (z),
 - d^sc cfê z
 - Somme des termes — cossMy ^7- —sineMy ^7 :
 - (Pa. dP
 - tOc°s9-}-2p.p/.cose]sina ^7 +[(eo4-^I)cos04-2^cose]cosa
 - d2a. dP
 - —[(^o+^Osinô—Sptp),siine]cosK +[(t/o-f"('«)s*D0—Su,p),sine]sin« ^7
 - d2x
 - j-7«cos9A.2cosçpSf’iki sin2ia. — -HfccosSA. 4cosip2f>i2Aîcos2iK. 5
 - Equation (a?),
 - d2z d2x
 - Somme des termes -j-cosôMy sinôMy-^7 :
 - +[(t'o+Osin0—SppAsinelsina ^7 -f [(eo+^)sin0 —2f*p).sine]cos« ~
 - +[(f,o+^cos0"f'^wj°^cose]cosa ^7 —[(^o+^)cos0-j-21v.p)cose]sina ~ d*x dP
 - -f-/esin0A.2cos(pS“iAtSin2ta. ^--f-ZcsinSA. 7icosŸ2!j0i2AiCOs2î«.
 - Equation (y),
 - Posons, pour abréger :
 - S=M'r2|--|-2M"'C'''2-f Zn'M"'I"r2~j-2w2+ZyP, \
 - 7T02M— cosfy'—0)(M"a+7cAocosŸ) F
 - -fCosy'[M/L/«f2Mf"Lf"+2MVLv-|-2f*q ' f ^ — siny'[M/N/+2MvNv], \
 - S,=M/-N/'+2MvNv— sin6[M"fl+ftA0cosT]. )
- p.62 - vue 63/310
- - 63
 - Les quantités S, Tc et S? seront des constantes, et i’on aura, en effectuant les développements nécessaires,
 - S« d. ter. ~\-
 - gvos(gf—Q)—sinS^l Ma?—{""lysin^ --0)—cos0 dtj L
 - Mzi
 - +1»^» +dis'
 - dv
 - "f-g,cos5f[(î/0-J-MI)cose-f-Sjy.pcose]coS(z— — [(wo'j"M.)s'n0 —Sppsine]cosa g^tigr[(uo-\- w,)sinô —2ppsine]cosa
 - •~j-ÿCos5'''[(ttfo-J-M,)sin0—ïppsine]sina-j- ^ [,'Mf0-j-MJ)cosô -j-2ppcose]sin« — gsingr-[(u' 0-\-uï)cmQ -j-2ppcos«]sina
 - -J-ÿcos^''—0)fc.cos<pZf’At-cos2ia — ^ Æsin0.cosa>2“AiCos2ia.
 - n ! i -1/1 f && dZZ\ , d2J,f
 - Somme des termes —j— Mf z —sp —J-f MI2
 - dt2 "
 - -S
 - d2a
 - df
 - -j-ft-o,— (e,cos0—5ppfcose)cos«^^—{w0—«^cosfl—Spp!cose)sina^-
 - / • v i • \ • à1*
 - — (tr.sinfl—2p.ptsine) sin«
 - + ^2fBiCos(21+l)«.^“
 - (te sinQ —Sppi sine)cosa
 - da* dt2
 - -^S1»(2»+t)BiSin(S«+l)tI.
 - Règles pour déduire des résultats précédents les valeurs des Sommes dans les équations (26) et (27), étendues aux deux machines dont se compose la locomotive.
 - 16. Pour déduire des valeurs précédentes celles qui se rapportent à la machine située du côté des y négatifs, il suffira d’y changer « en (v désignant le rapport de la cir-
 - conférence au diamètre), et d’y changer en même temps les signes des valeurs de y. Nous supposons qu,e la manivelle située du côté des y négatifs soit en avant de celle que nous
- p.63 - vue 64/310
- - avons considérée jusqu'ici, d’un angle droit compté dans le sens de a. Nous sommes en effet autorisés à la supposer en avant, puisque le côté des y positifs restant indéterminé , on pourra toujours le choisir en sorte que cette hypothèse soit réalisée. Quant aux facteurs et , ils sont communs aux
 - termes correspondants des deux machines, à cause de la liaison des manivelles.
 - C’est ici le lieu de rappeler que nous avons admis pour les roues motrices munies de contrepoids la possibilité de déroger à la loi de symétrie du n° 2. Pour distinguer les termes dépendants des contrepoids et qui sont relatifs a la machine située du côté des y négatifs , nous écrirons p, et et à la place de p et e dans ces termes, en laissant le même p. pour deux contrepoids conjugués, à cause de la condition d’égalité des masses de ces organes, condition qui nous a permis de supprimer certains termes dans les équations générales.
 - Si nous nous reportons aux expressions des sommes dans le n° précédent, nous observerons que tous les coefficients binômes ou trinômes qui multiplient sin« et cos« peuvent être mis 3ous la forme
 - K±2,
 - en désignant par 2 la somme des termes en pp (*) $ ce sont d’ailleurs les seuls termes qui dépendent des contrepoids. Pour distinguer les termes de même forme qui se rapportent à
 - (*) Par exemple, si l’on considère le coefficient ( u0 -j- m,) cosô -f- lu. p cose,
 - K représentera ( u0 + «,) cos e, et s représentera 2p.p cose ; dans ce cas il faudra affecter 2 du signe -f-.
 - Autre exemple : considérons le coefficient
 - w\>—«p, cos<9—2//./!?cose,
 - H désignera w0— wtcos8, et 2 tiendra lieu de zy-plcose; mais alors ou devra faire précéder 2 du signe —.
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- - 65
 - la machine située du côté des y négatifs, nous désignerons ces coefficients par
 - K restant le même que dans l’expression précédente, et l’indice 1 rappelant que les lettres p et e, comprises sous les sommes 2, devront être marquées par l’indice i.
 - Occupons-nous, en premier lieu, des termes qui ne sont point affectés du facteur y, ou qui font partie des équations |>], [z] et (y).
 - 1° Les termes non affectés de facteurs trigonométriques donneront lieu, pour la machine située du côté des y négatifs, à des termes égaux, en sorte que la somme des termes étendue aux deux machines s’obtiendra en doublant les termes de cette espèce qui se trouvent dans les expressions du n° 15.
 - 2° Les termes de la forme (Krh 2) sin« devront être changés en
 - (K rh S ) sin« -f (K ±. 2,) cosa,
 - à cause de sin Ça — cosa..
 - Les termes de la forme (K:±2)cosa donneront (K ±:2)cosa — (K±;2,) sin«,
 - COSa.
 - 3° Les termes en b n 2i% C) ont pour facteurs des constantes indépendantes de y ou des contrepoids ; ces facteurs restent donc les mêmes dans les deux machines. Il s’ensuit qu’en faisant abstraction de ces mêmes facteurs, il faudra changer
 - (*) Nous avertissons que le symbole ç0ns2i« signifie sin2i« ou cos2t'«.
 - 5
- p.65 - vue 66/310
- - — de-
 - dans les expressions du n° 15, pour avoir les sommes étendues à la locomotive entière. Nous pourrions obtenir de diverses manières les valeurs simplifiées des fonctions trigonométriques que nous venons d’écrire ; pour suivre une méthode uniforme, nous ferons usage des formules qui servent à convertir les sommes de sinus et de cosinus en produits. Ces formules donnent;
 - sin2ia-J-sin2£ — 2cosi^sin ^2ia-J-i^
 - == 2cosf sin2ia cosi^-f-cosaiasini^
 - rr: 2 cos2i ~ sin2ia -j- sin iir cos2iv..
 - Mais on a sin in=.o. La somme des cosinus étant effectuée de la même manière, il viendra
 - sin2L/.-j-sin2ï + ^ =:2cos2ï^sin2î'«? cos2îx-j-cos2i^K-j-^ = 2cos2ï ~ cos2iv..
 - Or cos2i^ est nul pour i impair, et égal à -j-1 pour i pair. Afin de n’avoir point à faire cette distinction dans les sommes 2 qui portent sur les fonctions on voit qu’il suffit d’y
 - changer i en 2i, en conservant la limite inférieure des indices i égale à l’unité. De cette manière on a
 - If>Aicos2îV.-f-2:i00AiCos2« = 22f Aa,cosZii«,
 - t’Àïsin2i«-{-2*iAïsin2i j = 22 "2îÀaisintha,
 - i2Aî-cos2ïV-}-S4œ>i2AiCOs2i -f 0=22f (2i)2A2i cos hta.
 - h° Les termes en (2f-}-l)K. donneront
 - sin(2i-{-l)a-}-sin(2i-}-l) cosv2ï-f l-)«“f-eos(2î-j-l-)
 - («•+ |)=2cos(2i-f 1)sin(2i-j-l.)(«+ ^, (a-f |j~2c°s(2î-}-l)|cos(2i4-l)(«-f^).
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- - — 67
 - Le développement du facteur indépendant de « est 2cos (2i-j-l ) ^ ^cos i ^ cos ~ — sin i^ sin ^ ~ j/i^cos i ^ — sin t -
 - Cette formule donne:
 - pour i pair, 2cos(2i-j-1) ^ ~( —l)2j/§,
 - TT ?~~1 _ ’+* _
 - pour i impair, 2ces(;2f^ ——(•—!) 2 f/â — (-^-1 ) *. f/i.
 - Il en résulte îa série de valeurs suivantes :
 - I i 1 2 3 4 5 6 7 8
 - |2cos(2£-}-l)^ — 5/2 — f/2 + f/2 -Wl -f/2- —f/2 ff/2 +f/2
 - En conservant la valeur algébrique de cette quantité, on aura
 - S100Bîcos(2f+a)a + Sf BïCO<2t-H)(“-f§) ==
 - = 2f 2cos(2f-j-l)^Bt-cos(2f-}-l)
 - = 2“2cos(2i-{-l)^ (2t-f-l)Btsin(2i-j-l)
 - Passons maintenant aux termes affectés du facteur y, ou qui font partie des équations (z) et (#). (Voir le tableau du n° 15.) Nous avons dit que pour avoir les termes relatifs à la machine située du côté des y négatifs , il fallait non seulement changer a en a, mais, en outre, changer les signes des valeurs de y.
 - 1° Il résulte de ce qui précède que, s’il y avait des termes indépendants de facteurs trigonométriques, ces termes devraient être annulés dans les sommes relatives à la. locomotive
- p.67 - vue 68/310
- - 68 —
 - entière. Mais les équations (s) et ('x) ne contiennent pas de pareils termes.
 - 2° Les termes de la forme (K ±2) sina donneront pour la machine située du côté des y négatifs, des termes de la forme — (K ± 2.) sin -J~ “0 ; ceux de la forme (R±;2)cos« donneront pareillement — (K ±2.) cos (^. +0 ; en sorte que, pour avoir les sommes de ces termes étendues à la locomotive entière, il faudra, à la place de (K±2)sin«, écrire (I£ rh 2) sina—(K dfc Ss) cosa, et changer (K±:2)cos« en
 - (K ± 2)cos« + (K =h S,) Sina.
 - sin • • • ,
 - 3° Les termes en cQg2ia, ainsi que nous l’avons dit plus haut,
 - ont pour facteurs constants des quantités communes aux deux machines; en faisant abstraction de ces facteurs, il faudra donc, pour avoir les sommes étendues à la locomotive entière, changer, dans les expressions du n° 15,
 - sin2ia en sin2^a— sin2î'^a-}-^j?
 - ( 77
 - K+2
 - cos en cos2ta—cos2î^
 - En procédant comme ci-dessus, il viendra
 - sin2 i«. —
 - cos2îV.—
 - sin2t(«+0 COS2t(«-f 0
 - — 2sin2i ^ sin2ia,
 - — 2sin2i^-cos2îa.
 - A
 - Ces deux derniers résultats sont nuis pour i pair, et se réduisent respectivement à 2sin2*« et 2cos2âa pour toutes les valeurs impaires de i. Afin de n’avoir égard qu’aux valeurs impaires de i dans les sommes 2 qui portent sur les fonctions çjg 2ta, nous changerons i en 2i-f-l ; mais comme ces sommes s’étendent depuis iz=z\ jusqu’à %—ao , nous devrons, pour
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- - — 69 —
 - comprendre les termes qui répondent k ir 1, substituer la limite i = o k la limite i—\. Il viendra de cette manière
 - 2*iki sin2ta — 2 **Aisin2t 1)Aa,+I sin^i4-2«),
 - 2™i2Aicos2i*-Z?i2AiCO&i(«-\- 22f(2t+l)2A2I-+l cos(4t+2)«.
 - Les différents résultats qui viennent d’être obtenus doivent maintenant être rapprochés, afin de faciliter la formation des équations du problème. Yoici donc, sous forme de tableau, l’indication des substitutions à effectuer dans les expressions des sommes données au n° 15, lesquelles se rapportent à la machine située du côté des y positifs, pour obtenir la valeur de ces mêmes sommes étendues aux deux machines dont se compose une locomotive.
 - Au lieu des facteurs Substituer dans les Sommes inscrites au n° 15 et provenant des
 - Equations [tr], [jsJ et (y), Equations {z) et {x),
 - 1 2 »
 - (le la forme (Kd:2)sina (K ± 2) sina -j- (K dr 2,) cosa (Krb2) sina—(Krh^) cosa
 - de la forme (Kih2) cosa (K ±2) cosa—(K ±20 sina (K d=2)cosa+ (K dr 2,) sina
 - 2* A; cos 2 ta 22* ÀîiCOSflia »
 - 2* tA;sin2ta 22* îi An'sinWa 22f(2i-j-l)ÀJ;q-lsin(/ii-f-2)«
 - 2f rA;COS2t'a 22f (2t')2A,, cos'iia 22f(2t4-i)2Aai-+lC0S'vfli-f2)a
 - 2*BiC0S(2i-f-f)a 2“2cosf24-J-1)^BiCos(2i-J-l) ^a~j-^ ))
 - 2r(2t+l,B;sin(2î'-fl)a 2f 2cos(2i-j-l)^ (2t-j-1)Bjsin(2t-}-l)^a-|-^ ), (*)
 - O La comparaison des deux dernières colonnes de ce tableau avec la première montre que la combinaison des deux machines ne change pas l’ordre
 - (f’O)
- p.69 - vue 70/310
- - En opérant dans les expressions du il® 15 toutes les substitutions indiquées par le précédent tableau, on pourra former avec la plus grande facilité les seconds membres des équations (26) et (27). Seulement, pour simplifier l’écriture, nous poserons :
 - u 1= K-fu, » =<-f u, t
 - v'=/„-k.
 - Il nous reste à recueillir les éléments constitutifs des premiers membres de nos équations (26) et (27).
 - FORCES EXTÉRIEURES DIFFÉRENTES DE LA PESANTEUR , ET COORDONNÉES DE LEURS POINTS D’APPLICATION.
 - 47. Nous négligerons, dans les équations (26) et (27), la différence des pressions atmosphériques qui s’exercent sur la colonne ascendante de vapeur et de fumée d’une part, et la partie extérieure de la boîte à fumée qui répond à la projection de la section droite de la cheminée sur le plan des xy de l’autre. Nous traiterons de même la différence de pression atmosphérique sur l’ouvefture libre de la grille et sa projection sur la partie supérieure de la boîte à feu. Enfin nous négligerons pareillement la différence des pressions atmosphériques sur les faces latérales de la locomotive $ mais nous aurons égard à la composante de la résistance de l’air parallèle à la voie.
 - X, Y, Z, désignant généralement les composantes des forces
 - de grandeür dés termes principaux dans une machine isolée ; les termes principaux répondent au facteur 1 ou aux facteurs en sina ou cosa dans la première colonne.
 - Les tiennes du deuxième ordre qui répondent à i=l (voir n* 13) dans A, se changent en termes du quatrième ordre dans les équations [r], [z] et (y), avec cette circonstance que leur période est réduite à moitié. Les termes du deuxième ordre en Bi, et qui proviennent de la bielle, y conservent leur ordre et leur période; seulement cette période n’est que les deux tiers d® la période des termes en A,.
 - Lés térmes du deuxième ordre en A; conservent cet ordre et leur période dans les équations (s) et (x).
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- - extérieures différentes de la pesanteur,et x',y', les coordon-
 - nées de leurs points d’application} soient :
 - — Q la composante de la réaction exercée par le convoi, parallèlement à l’axe des æ ou à la voie 5
 - — Q' la composante de la résistance de l’air parallèle au même axe ;
 - F la somme des composantes, suivant l’axe des a?, des réactions des rails exercées sur les roues qui sont situées du côté des y positifs;
 - F, la même somme pouf le côté des y négatifs ;
 - G la somme des composantes, suivant l’axe des y, des réactions exercées par les rails sur les deux roues dont l’axe de î’êssieu a pour abscisse l mesurée parallèlement à la voie;
 - Gf G", les mêmes sommes de composantes pour les paires de roues dont les axes dut V et V pour abscisses ;
 - — H la composante, suivant l’axe des Z, de la réaction exercée sur la roue située du côté des y positifs, dont l’abscisse est l;
 - — H, la même composante pour la roue opposée;
 - — IF, —H/; —H", —H’", lés mêmes composantes relativement aux deux autres paires de roues ;
 - E la demi-largeur de la voie;
 - R le rayon des roues motrices.
 - Nous aurons le tableau suivant dés composantes et des coordonnées de leurs points d’application :
 - X y’ z’ Y rrf A3 x' Z ær y'
 - -f F -j-E +R -f G +R -f f —H -H -J-E
 - +F. —E -fR -fG' -fR -f F -H, -H — E
 - -Q 0 -R -f G" -fR + 1" —IF -f E
 - cy 0 —IF, + v — E
 - —H" +1” •~f E
 - .. -H" — E —
- p.71 - vue 72/310
- - — 72
 - ÉQUATIONS DÉVELOPPÉES DES MOUVEMENTS DE TRANSLATION ET DE ROTATION (26) ET (27).
 - 18. Le tableau qui termine le numéro précédent nous fournit tout ce qui est nécessaire pour la formation des premiers membres des équations (26) et (27). Quant aux seconds membres, nous aurons à opérer dans les expressions des sommes présentées au n° 15, les substitutions indiquées dans le tableau (50), en ayant égard en outre aux valeurs (51).
 - En nous reportant aux équations (26) et (27) et ayant le soin de passer dans les seconds membres les composantes ou moments qui ne se rapportent pas aux réactions exercées par les rails, nous aurons les équations suivantes, dans lesquelles tous les termes affectés de sina ou cosk se trouvent réunis en un seul, et le facteur 1, qui est commun aux termes embrassés par les sommes 2, est mis en dehors du signe 2.
 - Équation [œ],
 - { ~f~ [U cos0-]-lFsin0 -{-Sppcose— 2pp, sine,] sin« 1 d2«. (-j-[Ucos0 — U(sin0-j-2f/.psine'4“2f/./3lcose1]cosK ) dt2 j -j-[U cosfl -j~U,sin(5~{-2p.1ocose—Su^sin ejcosa J dx2 (—[U cos5 — U'sin0-j-Siv./3sinc-J-2p,oIcoscI]sina j dt2
 - ÆcosQ.8 cosySJ5 (2i)2A2l cos4ix.
 - Équation [y\ ,
 - G-f-G'-f —o.
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- - 73 —
 - Équation [z],
 - — [H -f H'+H"-f H,+H',+ H",] = — g cos^SM
 - ( -{-[U sin0 — IF cose — Ipp sine — Spp, cose,] sina 1 d2a ‘ ( -f-[U sine-J-lF cose-J-2pp cose —Spp, sine,] cosa ) dt2 l -{-[U sine —U' cose - Srip sine—Xpo, cose,] cosa )du2 * ( —[U sine-j-U' cose -f2ap cose—2pp,sine,] sina j dt2
 - d2OL
 - —J— 7c sinS.6 cosyS*2îA.2! sin^ua.
 - dot.2
 - -j-/csine.8 cos®2f (2i)2A2I-cos&ia. ~2-.
 - Équation (z),
 - Gl-\-Grl'-{-GrrVr—(F—F,)E=:
 - ( +[V cose —Y'sine-fASppcose-f-^Spp^ineJsina 1 ‘ { —[Ycose-j-Yrsine—),2ppsine-]-)J£pp1cose1]cosa j dt2 ( +[Vcose —Yrsine-J->2pp cose-J->2pp,sine,]cosa ) dot.2 | —j—[V cose-f-Y' sine—).£pp sine-J-XXufjCose,] sina ) dt2
 - -f-7ccoseA.ücosifS“ (2i-|-l) A2l-+, sin(7ii-J-2)a.
 - d%2
 - -j-/ecoseA.8 cosyS®(2i-}-l)2A2(+I cos(/b‘-}-2)a.
 - Équation (a:),
 - [HI+H\+ H",—(H + H'-f H")]E — (G+G'+G',)R=
 - d2 a
 - 1T2
 - \ -j-[Vsine -f-'V' cose—>Hppsine-j-)2pp,cosejcosa J du.2 ‘| -f-[V sine — V'cose—).2apcose — 72pp, sine,] sina j dt2
 - d2u
 - -|-/csineA ücosy2“(2i-[-l)A„_j-1 sin(/U'~}-2)a.
 - du2
 - -j-7csineA.8cof}'2rJ(2i-j- l)2A.t-+,cos(7»i-|-2)a. —.
 - +
 - j -]~[VsinO-f-^vcose—>2 j.asine-j-) 2 appose,]sina — FVsine —Y' cose—cos e —ÀXuo, sin e,] cosa
- p.73 - vue 74/310
- - 7 h ~
 - Équation (y),
 - (F+Fi)R+(e+e1)?+(H'4-H\)//+(e^+H^)P=
 - Qï+Q'î'+jr.sM+sS'^-ss^
 - f
 - (+!
 - <7COs<7f[U cos9 — U'sin0 -j- lippsine-j-llp^coscj fjsînÿ' — [U &iri9 -}- Ur cos 0 —{— Sfzp cos e— 2 y.p1 sin ej g cos g' [U cosô -f- U' sin 9 -f- 2gp cos e — 2g p1 sin ej
 - . , d<>'
 - [U sinS — U' cos9 — 2gp sin e — 2gpl cos c,]
 - COSk
 - +
 - g cos(#' — ô)— ^ sin^l/î. 2 cosifE“À2i- cos/uV.
 - | -f [^0 - «qcosg-}- ^sinfl—Hp-p^sinc —üp.ojcosej sin « | — [wo— cos-9 — «qsinfl — 2gpl cos e -j-2ypJ sin ej cos a
 - ( + lWo
 - — nqcostf-f-ifqsin? — 2y pl sineu—Zy.pJcoseJ cos«
 - — pc/cos^ — pi\ sinO — 2gpitose-\^2gp1ls\ne1] sin &.
 - d?a. dt2
 - dy2
 - rfT2
 - + %%?*cos(2i+l) 1 Bi cos(2i +1) (* + ï). g — É ~J' ' C0S(2*-H) ^(2s4-l)Bisin(2i-|-3)
 - .FORMATION DES ÉQUATIONS DE CONDITION RELATIVES A LA STABILITÉ, ET TRANSFORMATION DES PRÉCÉDENTES ÉQUATIONS.
 - 19. Nous allons mener de front deux opérations distinctes quant au but : comme elles se rattachent à la même analyse, on nous permettra de les confondre un instant ; nous éviterons de cette manière de reproduire certains calculs algébriques.
 - En faisant l’application des six équations du n° 18 à une locomotive munie ou non de contrepoids, on obtiendrait à chaque instant les sommes des projections des réactions exercées par les rails suivant les axes æ,y, z, et les moments de ces composantes par rapport aux mêmes axes. Ces quantités seraient données en fonctions de la résistance Q opposée par le train, de la résistance de l’air Qft puis de l’angle a de lama*
- p.74 - vue 75/310
- - nivelle avec l’axe du piston, du carré de la vitesse angulaire, et de l’accroissement de cette vitesse par unité de temps. (La quantité ~ est elle-même proportionnelle à cet accroissement en vertu de l’équation (8), lorsqu’il ne se produit pas de glissement longitudinal des roues motrices.) La variation de vitesse doit être censée donnée par des instruments appropriés à ce genre de mesure, autrement il faudrait la tirer de l’équation (22) développée, en fonction de la vitesse, et au moyen de la loi supposée fournie par d’autres instruments, suivant laquelle la pression de la vapeur agit sur les pistons dans chaque position des manivelles. Nous reprendrons la discussion de nos équations après que nous leur aurons donné une forme plus commode pour les calculs numériques.
 - Le but essentiel de notre travail consiste, d’autre part, à tirer de ces équations les conditions que doivent remplir les masses mobiles pour réaliser la plus grande stabilité possible.
 - Nous avons établi (n° 5) que les conditions relatives à l’invariabilité des réactions exercées par les rails, en ce qui concerne la constitution de la locomotive elle-même, se réduisent, lorsque l’on fait abstraction de l’élasticité, à l’invariabilité des sommes de leurs composantes et de leurs moments. En observant que ces quantités sont, pour des valeurs données de Q et Q', fonctions des seules variables a, ^ ou —, et , on est conduit à égaler à zéro, dans les seconds membres des équations du numéro précédent, la somme des coefficients des termes de même espèce (*) qui contiennent ces variables Les
 - (*) Nous désignons par termes de même espèce ceux qui sont affectes des mêmes facteurs variables. Ainsi les termes en-^ 0,1 -jp qui comprennent un coefficient de la forme
 - Asinx-l-Bcosx
 - équivalent en réalité à deux termes distincts; si Ton pose en effet Asin* -f-Beos'c<—o,
 - (Ix2
 - dans le but d’annuler un terme en ou pour toute valeur de l’angle «,
- p.75 - vue 76/310
- - 76
 - relations que l’on obtiendra ainsi serviront à déterminer certaines quantités, masses ou dimensions, qui ne seront pas fixées d’une manière absolue par des conditions d’une autre nature. Nous pourrons nous assurer si ces relationsn’indiquent aucune incompatibilité ou impossibilité, en observant tou-
 - tefois que les termes affectés de O11*- moins d’importance. En effet, la bonne distribution de la vapeur, d’une part ; d’autre part, la grandeur des masses de la locomotive et du train, ont pour résultat, lorsque les ressorts de traction sont convenablement bandés, de rendre très petite la plus grande valeur
 - de —, aussitôt que l’on a atteint la vitesse périodiquement uniforme que doit garder le convoi.
 - Nous allons du même coup écrire les notations abrégées par lesquelles nous remplacerons les coefficients des termes do même espèce pour faciliter le calcul numérique des équations du n° 18 dans les machines non équilibrées ou imparfaitement équilibrées, et les équations de condition qui résultent de ce que ces mêmes coefficients doivent être égalés à zéro. Toutefois, nous donnerons préalablement quelques explications.
 - Il se présente des conditions impossibles que nous ne ferons pas figurer dans le tableau suivant. Parexcmple, l’équation [#],
 - dv
 - ir 18, nous présente le ternie variable — ZM, dont nous ne
 - pouvons pas égaler à zéro le coefficient ZM. L’équation (y) nous offre deux termes indépendants de « que l’on pourrait réunir en un seul en vertu de l’équation (8)5 on aurait ainsi la condition
 - RS'—S=o,
 - (52)
 - il faut écrire séparément
 - A—0, B —0.
 - Ceci se prouve très aisément comme il suit : La fonction donnée, devant être nulle pour foute valeur de a, doit être nulle pour sinx — 0; dans cette hypothèse, il vient drB = o. Pareillement elle doit s’annuler pour cosx = o; on a par suite ± A<= 0 : donc la condition proposée conduit aux deux conditions distinctes A=0, B —0,
- p.76 - vue 77/310
- - 77
 - sur laquelle nous reviendrons plus loin. Nous laisserons de côté ces termes pour l’instant. (Disons seulement qu’ils auront un effet d’autant moins sensible que l’on sera parvenu à rendre plus petites les valeurs extrêmes de ~ dans le cas du mouvement périodiquement uniforme ; et aussi que les valeurs de cette quantité, nécessairement sensibles lorsque l’on veut augmenter ou diminuer la vitesse moyenne, ne produiraient aucun effet nuisible relativement à l’usé local des bandages, si l'on parvenait, au moyen d’une distribution convenable de la
 - vapeur/à rendre ^ indépendant de l’angle </., et dépendant seulement de la manœuvre du conducteur de la machine pour faire varier la vitesse.
 - Le tableau suivant présente, en regard des équations de condition, l’indication des équations qui les fournissent, l’ordre (*) de grandeur des termes qu’elles sont destinées à faire disparaître , et les coefficients de ces termes qui ne sont pas des sinus ou cosinus de l’angle « ou de ses multiples.
 - En jetant un coup d’œil sur les équations de condition que présente le même tableau , on remarquera immédiatement que ces équations sont indépendantes explicitement de l’inclinaison g’ de la voie à l’horizon ; ajoutons qu’elles en sont absolument indépendantes : c’est ce dont on s’assurera en remontant aux expressions (Z18) et (51) des quantités U, V, etc... 11 s’ensuit que les conséquences auxquelles conduira la discussion des équations de condition auront lieu quelle que soit la pente de la voie. On pouvait prévoir aisément ce résultat.
 - (*) Nous devons rappeler (voir n° 13) que les coefficients A.-, B , sont de l’ordre 2i lorsque tangy est supposé être du premier ordre par rapport à l’unité. Nos désignations ne doivent être considérées que comme s’étendant au premier des termes en A, ou B, compris sous les sommes z. Les termes indépendants des coefficients A,, B, autres que A0 et B.> seront considérés comme étant des termes principaux, dont la grandeur relative sera dans quelques cas l’objet d’une discussion spéciale.
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- - Equation
 - Ordre
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- - 79
 - 20. Avant de nous occuper de la discussion des équations de condition , nous allons transformer les équations du n° 18, en faisant usage des quantités Ccos, Csin, etc. L’état de la lo-comolive étant supposé connu, ces dernières quantités se calculeront aisément par leurs expressions ci-dessus : en les divisant deux à deux on obtiendra les tangentes des angles ,etc., et par suite ces angles eux-mêmes, qui resteront ambigus ; mais cela sera sans inconvénient, puisque les coefficients C, etc., que l’on obtiendra en divisant par cos<ï> ou sin<î>, prendront les signes qui conviennent à la valeur admise de l’angle <f>.
 - Yoici la forme que ces auxiliaires permettent de donner aux équations du n° 18.
 - (On a supprimé dans l’équation (oc) le terme du premier membre, qui s’annule en vertu de l’équation [y]).
 - Equation [x\, fdv
 - F+F,=Q+Q'+^-Ssin,'j2
 - —C SU) 0 -f !•) -^5 — C cos(« 4- <l>)
 - df~
 - d2«.
 - — kxo&O .h cos ylf 2iA2; sin M*.
 - do.“
 - —fccosfl.8cos<p2f-(2i,2A2t-cosituK.
 - Equation [y], G^G'+G"=o.
 - Equation [&],
 - ycosy^M
 - (57j
 - drj2
 - -fC'sin («+*0 +Ç.' cos(a+4-')
 - di2
 - d2x
 - -J-/csinO./icosij/2*2î'A.2i sin !\i*.
 - da2
 - -f/isin9.8cosy2“(2i)2A2icos hiv., —. J
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- - - 80
 - Equation (3),
 - Gf-f G'/'+G"F-- (F—F, E=—D cos(K + t) ~ +D sin(« -f'ï ) ^
 - rpcr
 - ~]-/ecoseA.4 cosySf (2i-j-î)A2i-+l sin(Zii-f 2)a. — -}-A:cos0À.8cosçp2f (2t-f-l)2Aa/q.t eos(/u-f-2)«. ^
 - Equation (a?),
 - [HH-H^+HV- (H+H'+H")]E=:—D'cos(«+-^') ~ -f D' sin(« +V)
 - 4-fcsineA.ticosy2*'(2i-}-l)A2{-+lsinCtii-j-2)a.^
 - rla2
 - -f-ÆsinSA. 8 cosy2f (2e-}-l;2A2/+tCO>(6i-|- 2)«. —
 - Equation (y) ,
 - (F+FJR-f (H-fHJ l'+(H"+H"1) r—
 - Qî+QV+ jr02M+ss' | -2s ^
 - -]-</ COSy'C COS(cc
 - . , de
 - 5's,nÿ: —
 - C' cos^-f-^')
 - + ^9 cos(gr— d) — ^ sin9J k.2 cos?2f A2; cosim
 - . , , , .d2a
 - +JcosO+,)Ær
 - -J sin(a -j- <t)
 - du2 dt2
 - + 2 cos(2i+l) ^ Bj cos(2i+* )(« + 5) • ÿ
 - “ B^2 cos(2t-fl) -h (8i-f 1)B<sin(2»+l) ^«+
 - Ces expressions sont rigoureusement exactes; mais dans la pratique on pourra les réduire considérablement en conservant une suffisante exactitude.
 - En faisant complètement abstraction des termes en k dans les équations [#], [s] et (y), on ne négligera que des termes du 4e ordre. (Si l’on se reporte à la note du n° 13, on y verra
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- - MÉMOIRES
 - EX
 - COMPTE-RENDU DES TRAVAUX
 - DE LA.
 - SOCIJÉT3E B^S IIGÉIŒTOS CIVILS (Avril, Mai et Juin 1851)
 - N° 13
 - Pendant ce trimestre, la Société a traité les questions suivantes :
 - 1° Théorie de l’équilibre des machines locomotives en mouvement (V. le résumé des séances, p. 57 à 67 et 105 à 106) ;
 - 2° Aérage des mines (Y. le résumé des séances, p. 67) ;
 - 3° Discussion sur la construction des ponts suspendus (Y. le résumé des séances, p. 74, 75, 77 à 82 et 129 à 13S) ;
 - 4° Drainage (Y. le résumé des séances, p. 76) ;
 - 5° Communication sur l’Exposition universelle de Londres (V. le résumé des séances, p. 85 à 92, 107 à 114);
 - 6° Electro-magnétisme appliqué aux machines locomotives (Y. le résumé des séances, p. 97 à 102 et 121 à 124) ;
 - 7° Communication sur le forage d’un puits à la houillère de Schœneck-Stiring, près Forbach (Moselle) (Y. le résumé des séances, p. 92);
 - 8° Fondations naturelles et artificielles (V. le résumé des séances, p. 139);
 - 9° Mesure de la puissance des moteurs à vapeur (V. le résumé des séances, p. 124);
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- - 10° Cristallisation du zinc (Y. le résumé des séances, p. 106) ;
 - 11° Etablissement des chemins de fer en Suisse (Y. le résumé des séances, p. 115) ;
 - PendanEce trimestre, la Société a reçu :
 - De M. Goschler, une note sur le forage d’un puits exécuté par M. Kind a la houillère do Schœneck-Stiring, près Forbach (Moselle).
 - De M. Blacher,
 - 1° Le plan général du chemin de fer d’Amiens à Londres par Boulogne ;
 - 2° Le nivellement de ce chemin dans la vallée de la Somme ;
 - > Le plan général d’Amiens à Boulogne.
 - De M. Salvetat, une note lue à l’Acadamie des sciences le 25 novembre 1850, et ayant pour titre : Recherches sur la composition des matières employées dans la fabrication et la décoration de la porcelaine en Chine, par MM. Ebelmen et Salvetat.
 - De M. Cadiat, une notice sur l’emploi de la tôle, du fer forgé et de la fonte dans les ponts.
 - De M. Piquet, un mémoire sur la construction des fours à cémenter.
 - De M. Huet, une note sur la cristallisation du zinc.
 - De M. Love, une note relative à l’application de l’éleclro-magnétisme aux machines locomotives.
 - De M. Sautter, une note sur l’établissement deg chemins de fer en Suisse.
 - De M. Benoist Duportail, une note sur le nettoyage des machines en service sur les chemins de fer.
 - De M. Jobard, un exemplaire de son ouvrage destiné a établir et à défendre les droits de chacun à la propriété des œuvres de sa création.
 - Les membres nouvellement admis sont :
 - Au mois de mai,
 - MM. De Miranda, présenté par MM. Eug. Flachat, Paul Seguin et Degousée;
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- - J1J
 - Bossu, présenté par MM. Eug, Flachat, Ch. Goschler et G. Loustau ;
 - Haussoulliek, présenté par MM. Lorentz, Limetet Alcan. Au mois de juin
 - MM. Micbelant, présenté par MM. Eug. Flachat, J. Petiet et Lorentz ;
 - Faquin, présenté par MM. La Salle, Caillet et Bonmefoy,
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- - — 81
 - que la valeur numérique du coefficient Aa, le premier de ceux que l’on néglige sous les sommes 2 n’atteint pas même trois cent-millièmes. )
 - On pourra dans les autres équations négliger les termes qui sont affectés des coefficients A3 et B2, et les sommes 2 se trouveront réduites à leurs premiers termes. Au moyen des valeurs numériques présentées dans la note du n® 13, et qui supposent la longueur de la bielle égale à cinq fois celle de la manivelle , nous avons calculé les expressions suivantes, auxquelles peuvent se réduire les termes en k et wa dans cette circonstance s
 - Equation (z),
 - Equation (#)
 - Equation (y)
 - -j- 0,040 4077 kk cos0 sin2a
 - ûPa
 - dP dv2
 - ' 0,0808154kkcos9 cos2« —
 - 4- 0,040 4077 kk sine sin2« ^ da 2
 - -f-0,080 8154 kk sin0 cos2« , — 0,007 1978 w>osin^3« + |)5
 - 7r\ de/.2
 - dp*
 - — 0,021 5934 wQ cos^3«-j- ^
 - Bans ces derniers termes, — sin ^3a-j-^j remplace cos3 * tandis que cos ^3a-f-^ remplace sin3^a-f-^
 - Si une plus grande précision était nécessaire, ce qui n’est pas présumable dans le cas des locomotives, rien ne serait plus fa»
 - elle que de calculer des tablés dés fonctions représentées par
 - 1
 - les sommes 2 associées aux facteurs cos^ et jp pour les valeurs de l’angle a, de 5 en 5 degrés par exemple.
 - Les équations qui précèdent, étant au nombre de six seulement , ne suffisent pas , si on les applique à une locomotive donnée, pour faire connaître individuellement les valeurs des
 - 6
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- - 82 —
 - onze composantes qu’elles renferment. Il faudrait , d’après ce qui a été dit au n° 5, y joindre cinq relations arbitraires, qui seraient tirées de considérations relatives : à l’élasticité ; a la répartition des pressions transmises aux rails, rendue arbitraire entre certaines limites au moyen du serrage des ressorts de suspension} et à l’inclinaison de la tangente commune à la courbe de contact des roues et des rails.
 - En supposant que l’on soit parvenu à déduire la valeur de chaque composante d’un nombre suffisant d’équations, on aura la mesure de la résistance que doivent présenter les rails dans tous les sens. Les composantes H... serviront au calcul de leur flexion dans le sens vertical. Les composantes G..., outre la flexion horizontale qu’elles détermineront, avertiront s’il doit se produire des glissements transversaux; ce qui aurait lieu si la composante G... dépassait le produit de la composante H... par le coefficient de frottement. Pareillement, il y aurait glissement dans le sens de la voie si la composante F... se trouvait être supérieure à ce même produit. Mais il ne suffit pas, avons-nous dit, que les réactions restent comprises entre leurs limites extrême^, Il faut encore que leurs variations demeurent très petites.
 - Quoiqu’il ne soit pas possible , sans avoir recours à l’élasticité, etc., d’obtenir les onze composantes des réactions des rails , on peut néanmoins former certaines combinaisons utiles à examiner. Par exemple, en combinant par addition et soustraction l’équation [z] avec l’équation (x) divisée par E, on obtiendra les valeurs séparées des sommes des réactions normales qui s’exercent sur les roues situées d’un même côté du plan méridien, et l’on pourra rechercher quelle est la valeur de l’angle « pour lequel ces sommes sont des maximum ou minimum. Si l’on élimine F-f-F, entre l’équation \oc] et l’équation (y), et que l’on suppose l== o, l'r=z — lr, on aura la différence entre les sommes des réactions normales exercées sur le système des roues d’avant et sur celui des roues d’arrière.
 - Quelles quesoientd’ailleurs les combinaisons que l’on essaie de
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- - — 83 —
 - tirer de nos équations, on doit observer que les facteurs sin« et eosades termes variables principaux passent de la valeur -f-1 à la valeur—1, pour revenir à la première, dans la période d’un tour de la roue motrice, et que l’amplitude des variations est égale au double de la valeur des coefficients de chacun de ces termes. Comme, en outre, un grand nombre d’entre eux est proportionnel au carré de la vitesse, il est aisé de voir que ces variations peuvent, en se combinant avec les actions constantes, donner des résultats qui, dans une partie de la période d’un tour de roue, soient excessifs', et dans l’autre approchent d’être nuis. Il en résulte d’un côté une fatigue extrême des rails , et de l’autre un glissement des roues motrices qui détermine rapidement leur détérioration. Nous ne nous arrêterons pas à donner des exemples numériques qui mettent en évidence des faits qu’aucun ingénieur ne révoque en doute ; chacun , du reste, y suppléera aisément. Nous allons revenir à notre but primitif, qui est la recherche des conditions à remplir pour que les variations dont nous venons de parler s’anéantissent, s’il est possible.
 - RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE CONDITION.
 - 21. Les équations de condition du n° 1!) sont au nombre de douze. Les dix premières ont pour objet d’anéantir les termes principaux ; les deux autres sont relatives à des termes du 2e ordre et du 4e ordre, et qui sont sans importance (*), mais qui
 - (*) Le degré d’importance des termes d’ordres supérieurs est encore moindre que ne l’indique leur ordre de grandeur. En effet, les termes des séries dont les coefficients sont A*;, et l’ordre 4i, ont pour fadeurs variables les sinus et cosinus des angles 4f«; les périodes dans lesquelles toutes leurs variations se réalisent répondent à î, ^.... de tour de manivelle. Les
 - termes en A21+1, et qui sont de l’ordre 4i+2, ont pour coefficients les sinus
 - 111
 - et cosinus des angles (4i-f-2)*; leurs périodes répondent à -, -g, —.... de
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- - dans certains cas pourraient disparaître avec les autres. On doit remarquer que chacune de ces équations , en faisant disparaître les termes affectésdu carré “ de la vitesse , annule
 - en même temps les termes affectés de la variation ^ de cette
 - vitesse.
 - Les équations marquées (53), au nombre de huit, étant traitées à part, se réduisent à un moindre nombre.
 - En retranchant la 4e de la lre équation (53), les quantités sous le signe 2 s’éliminent, et il reste
 - U—U'=o,
 - (60)
 - après que l’on a divisé par (cosS—sine).
 - La 2e et la 3e, étant ajoutées , reproduisent l’équation que nous venons d’écrire.
 - Les quatre autres équations (53) fournissent de même deux fois l’équation suivante :
 - y—'V' = o; (61)
 - en sorte que nos huit équations équivalent au plus à six équations distinctes.
 - Mais d’après les équations (51) on a
 - u—u'=uo— u\, y—-v'= ;
 - et, en se reportant aux expressions (48),
 - U—r, V-V'= j^M'^1 — d’où, en vertu de (49),
 - U—V—'Vf=zk^A. (62)
 - tour de manivelle. Enfin les termes en Bi, et qui sont de l’ordre 2i, ont pour coefficients les sinus et cosinus des angles (2i-j-l ) ; les périodes de
 - 111
 - ces termes sont de ^, -, de tour. Les altérations locales des bandages que pourraient produire ces divers termes ne sont donc point à redouter.
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- - 85
 - Il s’ensuit que les équations (60 ) et (61) reviennent à l’équation unique
 - h= o. (63)
 - [Notons, en passant, que cette condition coïncide avec l’équation (55).]
 - Les huit équations (53) n’équivalent donc réellement qu’à cinq équations distinctes, que l’on peut concevoir formées en prenant quatre de ces équations ne comprenant pas les mômes combinaisons des quantités affectées du signe 2, et y joignant l’équation de condition (63).
 - Nous devons présenter une conséquence importante : c’est que, de quelque manière que l’on essaie de disposer des quantités p., p, e, engagées sous les signes 2, il ne sera pas possible de satisfaire simultanément aux huit équations (53) si la condition k = o n’a pas lieu.
 - Examinons maintenant cette dernière : la valeur de k est
 - m
 - * ft=M'(B — B') + M"B.
 - B— Bf est la distance du centre de gravité de la bielle à l’axe du bouton de la manivelle; par suite M'(B—Bf) est le moment de la masse de la bielle par rapport à cet axe ; M"B est le moment de la masse du piston supposée concentrée à l’extrémité de la bielle: la'valeur de h est donc égale au moment de la bielle supposée chargée à son extrémité du poids du piston, par rapport à l’axe du bouton; il s’ensuit que la condition k=z o ne peut être remplie sans l’addition d’une certaine masse appliquée sur le prolongement de la bielle. C’estd’ailleurs ce que l’on obtiendrait en tirant de l’équation k~o la valeur de B'—B; il viendrait en effet
 - B'-B=
 - ce qui signifie que la distance du centre de gravité de la bielle à la tête du piston doit être plus grande que la longueur B de la bielle.
 - Il ne paraît pas que cette condition puisse être complètement
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- - — 86 —
 - réalisée , même dans les machines à cylindres extérieurs où l’espace permet le prolongement nécessaire, à cause de l’accroissement de rigidité qu’il faudrait donner à cette pièce et aux boutons de manivelle pour résister aux efforts énormes qui se développeraient dans les grandes vitesses. D’ailleurs ces efforts eux-mêmes donneraient naissance à des frottements qui absorberaient un travail mécanique très considérable. Cependant, entre la forme actuelle de la bielle et une modification de cette forme et de sa masse, qui serait accompagnée de fâcheux résultats, on conçoit la possibilité de modifications avantageuses au point de vue delà stabilité, et exemptes'a peu près des inconvénients que nous venons de signaler. Nous reviendrons bientôt sur ce sujet.
 - Des considérations qui précèdent il résulte qu’il n’est pas généralement possible de satisfaire à l’équation (63), et, par suite, à l’ensemble des huit équations (53); aussi regarderons-nous, pour le moment, la qualité k comme étant quelconque et donnée en fonction des masses de la bielle et du piston, de la longueur de la bielle et de la distance de son centre de gravité à la tête du piston.
 - 22. Revenons aux équations de condition (53). Il convient d’y mettre en évidence la quantité k. A cet effet, on tire des équations (62)
 - U'=U — k-, Y'=Y—
 - x5 Jt>
 - Au moyen de ces valeurs, les termes en U, W, V, V, de nos équations de condition, donnent respectivement
 - U cos 0 -j-U'sin 0=-j-U(cos © —J— sin 0)— k ^ sin0
 - T
 - U cos0—U'sin0=-{-U(cos0 — sin 0)4- k— sin0
 - 1>
 - U sin 0 — U'cos 0 ——U (cos 0 — sin 0) -f- k ~ cos 0
 - R
 - ü sin 0 -j-U 'cos 0 -f- U (cos 0 -j- sin 0) — k ~ cos B,
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- - 87
 - Ycos 0 —Y' sin 0 =# -j-V(cos 0 — sin 0) -f- k ^ Asin 0 \
 - Vcos0 -f-Vf sin0—-|-V(cos0-j-sin0)—7c ^ Asin 0 !
 - r >(65)
 - Ysin 0 -{-Y' cos 6=-f-Y(cos 0 -f-sin 0) — 7c - Acos 0 [
 - ü »
 - T 1
 - Ysin 0 —Yr cos 0 = —Y (cos 0 — sin 0) -f- 7c - Acos 0 J
 - Ces valeurs doivent actuellement être substituées dans les équations (53)5 mais nous profiterons de ce que ces équations renferment deux à deux les mêmes combinaisons des sommes 2, pour écrire les huit équations sous la forme de quatre seulement. Les premiers membres seront communs à deux équations dont les seconds membres auront deux valeurs distinctives. En divisant, en outre, les quatre dernières équations par 1, nous aurons les équations multiples que voici s
 - (A)
 - Y
 - U (cos0 -f- sin0) -j-2/^p cose—2up , sine, =: -j- ft — sin0
 - Y
 - U (cos0 — sin0)-J-2p.p sine-f 2j*p, cose, =— 7c - sin0
 - V Y \
 - — (cos0 — sin0) -|-2«p cose-}-2p.p, sine,=:— 7c — sin0 —
 - A X> A
 - V v A
 - - (cos0 -{- sin0) —2p.p sine -j~2p.p, cose, = -f- 7c - sin0 y
 - (B)
 - . r
 - ( y ) C°S0
 - Mi (y) V —-{-Je—cose
 - (*) , r A
 - r=-4- 7c— cos0 r-1 B A
 - (*) = + *gCOS6y
 - } (65 bis)
 - La signification de ces équations est facile à saisir ; en égalant les premiers membres aux termes de la colonne (A), on satisfera aux conditions de l’invariabilité des composantes parallèles à l’axe de x et des moments autour de l’axe des#, puisqu’il n’existe pas d’autres équations marquées [cc], (#) relatives à des termes principaux. Ce qui revient à dire, en employant le langage des ingénieurs, que, ccs équations étant sa-
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- - — 88
 - tisfaites, il no devra se produire aucune tendance aux mouvements de tangage et de lacet. En égalant les premiers membres aux termes compris dans la colonne (B), on satisfera pareillement aux conditions de l’invariabilité des composantes parallèles à l’axe des z et des moments autour de l’axe des x; ce qui revient à dire que les tendances aux oscillations normales à la voie et au mouvement de roulis n’existeront pas si les nouvelles équations sont satisfaites.
 - La notation (y) commune aux deux premières équations rappelle qu’on fera disparaître, dans l’un et l’autre cas, des inégalités qui affectent les mouvements autour de l’axe des y, et qui répondent a la tendance au mouvement de galop. Ces inégalités sont peu considérables, puisqu’elles ne dépendent pas du carré de la vitesse, mais seulement du poids des pièces mobiles et de la variation de vitesse. D’ailleurs, il existe d’autres conditions plus importantes relativement au mouvement de galop, ce sont les équations (5û).
 - Nous pouvons donc, en faisant abstraction de la notation (y), énoncer la proposition suivante :
 - Si Von satisfait au système des équations (A), on fera disparaître les tendances au mouvement de tangage et de lacet ; si Von satisfait au système des équations (B), on fera disparaître les tendances aux oscillations normales au plan de la voie et au mouvement de roulis 5 mais il est impossible de faire disparaître à la fois ces diverses tendances si la condition h~o n’est pas remplie.
 - La dernière partie de cette proposition est rendue de nouveau évidente par l’égalité nécessaire des termes des colonnes (A) et (B) situés sur la même ligne horizontale; les quatre équations qui en résultent ne peuvent avoir lieu que sous la condition h — o.
 - L’énoncé qui précède nous dispensera, dans ce qui va suivre, de conserver les notations [x], [z], etc; nous conserverons simplement la notation (A) et (B), qui les résume.
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- - ~~ 89 —
 - En combinant par voie d’addition et de soustraction les
 - équations (65 bis), on obtient aisément :
 - (ÂL
 - +• (u+COS0 -J- — y^ sin0 -f 22pip cos e—+^ sin0 —y^ + — y ^ cos 0 — -j-y ^ sin0 -j- sin e = — h g sin3 ^1 -J-y ^
 - + (u + ^c°8fl — (u—:!Q sinS-J-SZap^os^rr:—ft^sinS ^1—y
 - (B)
 - -(u-ï) cos0— (ü -j-y^ sîn0 "f 22PP, sin e^—A ^ sine ^ + y^
 - = -J-/cgCOS0 ^1
 - + t
 - ~-j-/CgCOS0 ^1
 - =:-f ft-cose I 1
 - B » r
 - ——k—cos9 i>
 - Ces relations nous permettent déjà de constater que l’on ne pourrait faire à la fois pour chaque couple de roues pt= p et et =—e que si l’on avait en même temps 0 = 0 et k — o.
 - La substitution de la valeur s — 0 à la place de e(47)va nous offrir le moyen de remplacer les deux systèmes (A) et (B) par un système unique (C) qui restera indéterminé. A cet effet, il faudra développer les sinus et cosinus de e — 0 et de eI— 0, en observant que sin 0 et cos0 seront des facteurs communs des sommes 2. D’autre part, nous allons changer dans les seconds membres les facteurs — y^ et ^1-J-y^*
 - Soient t et 0 des quantités auxiliaires telles que l’on ait
 - Ysin@ = ).—A,
 - ycos© = )v-|-A;
 - on aura, pour déterminer l’angle ©, l’expression
 - 1—A
 - puis
 - d’où
 - Y (cos © -f- sin 0) = 2),, 2 |/§
 - (67)
 - (68)
 - e+j
 - ). cos0-f-sin©
 - En divisant les expressions (07) par /, et substituant la valeur
 - -f)
 - l!> >M>-
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- - 90
 - précédente de -r , il vient
 - „ A
 - •--=^
 - iin (0+£f
 - 1+T=^-frÂ-
 - On doit remarquer que l’ambiguïté de l’angle 0 n’en produit pas dans les valeurs précédentes, puisque le changement de 0 en © ±7z produit un changement simultané des signes des numérateurs et des dénominateurs.
 - Posons enfin
 - r 1
 - Jc! — k
 - f/aB .
 - s,n(0 + -j ou, en vertu de l’équation (35),
 - Kz=k Si"f
 - sm(e+î)
 - nous aurons
 - *g^l + y) ^2Æ'cos@.
 - (69)
 - (70)
 - (71)
 - En effectuant ces divers changements dans les équations (66), il viendra
 - (A)
 - (B)
 - +^U+y)cos0-J-(u—yjsin0-]-2cos02ap coss -|-2sin02i*/> sim =-}-2Æ'sin0sin© sin5-{-^U—y^cose—2sin02pp cos: -f-2cos02«/o sim =—2//sinôcos© +(u-f-y)c°s0—( U—y)8*0 04_2cose-2|'JtP»COSîi-h2sin tëpPiS in^r^—2A/sin0 sin® — ^U-j-y^sine—(^U—y^cos9—2sin02«joJ,cosî1-j-2cos92t/p1sin-1,=;—2/c'sjn5cos©
 - rr-f-S/c'cosecos® \ =-j-2/£rcos0 sin®
 - =-J-2/c,cos0cos®
 - rr:—2/c'cos0 sin® ,
 - (73)
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- - — 91
 - Multipliant maintenant la première de ces équations par sin0, la deuxième par cos0, et ajoutant 5 puis, la première par cos0, et la deuxième par sin0, et retranchant j et opérant de même sur les deux autres , on aura
 - (A) (B)
 - + (u — y) + 22«/> sins —2Fsin0cos(0-f-©) -f- + y^ "h 22«.p cos % zm —J— 2krsin 0 sin(0 -j- ©) — —^-{-SSap^ine^— 2A/sin0cos(0— ©) + -f-y^ 4" 22^,008^=-!- 2/c'sin 0sin(0 — ©)
 - = -f- 27f/cos 0 sin (0 -f - 0) ' r= -}- 2/c'cos 0 cos(0 -f- ©) I
 - =-|'2^cosôsinC0~0) I
 - = -j- 2/l/C0S 0 cos(0 — ©) ,
 - (73)
 - Il est visible que, si l’on change, dans le système (A), 0 en 0rh on obtiendra le système (B). Ces deux systèmes pourront donc être représentés par un système unique (G) ayant la forme (A), pourvu que l’on y change 0 en 0-J-6'; b! désignant un angle indéterminé tel que, le faisant égal à zéro ou ±ztt, le système (C) reproduit le système (A), et, en faisant 6fr=ih^ il se change en le système (B). En effectuant ce changement dans le système (A) et tirant les valeurs des quantités 2, on obtient le système unique et indéterminé
 - (C)
 - 2f*p sin ^ = — -2pp cos ^
 - 2luPlsine1=-fjl
 - ^ 1
 - 2,[*pt COS e——-
 - — W sin (0 -j- 0A) cos(0 —{- -j- ©) -f-y ^ -j- k' sin (0 -f- 0') sin (0 + ô' + ®) —y^j — 7c'sin(0~f Or)cos(0-j-0'—©) -j- y'j -j- kf sin (0 -J- 0') sin ( 0 -j- 6r —© )
 - (76)
 - dans lequel, pour plus de généralité, nous devons regarder 6r comme affecté du double signe ±:j nous supprimons ce dou-
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- - — 92
 - ble signe afin de ne pas compliquer les notations. On remarquera que le changement de 9’ en tt-[-9' n’en apporte aucun dans ce système. Nous préciserons plus loin la signification mécanique de l’angle 9F, en étudiant le mouvement du centre de gravité de la locomotive armée de ses contrepoids.
 - De ces équations on déduit aisément les deux relations suivantes, qui peuvent être employées utilement à la vérification des calculs numériques :
 - Sup sin ssin e1—— kr sin2 (9-j- 0r) cos 0 2pp cos s — 2p.p1 cos e, — — IV sin2 (9 -J- 6') sin ©
 - Ces relations montrent que, dans le cas où le’ ou le n’est pas nul, on ne peut pas faire à la fois pour chaque paire de roue p,z=p et t1=z — e, si l’on n’a pas sin2(ô-{-&0—°> ou bien si la somme des angles 9 et 9r n’est pas égale à zéro ou à un multiple de l’angle droit.
 - En observant que le système (À) est caractérisé par &'=.o ou rb 7r dans les équations (C), et le système (B) par 9r — ±:^, nous pouvons transformer la proposition énoncée plus haut dans la suivante :
 - Si Von satisfait aux équations (C) en y faisant ôF = o ou drir, on fera disparaître les tendances aux mouvements de langage et de lacet j si Von satisfait à ces mêmes équations en y faisant
 - 9Fzzz±^-, on anéantira les tendances aux oscillations normales
 - au plan de la voie et au mouvement de roulis ; mais il sera impossible d’anéantir à la fois ces diverses tendances tant que la condition hzzzo ne sera pas remplie.
 - L’association des angles 9 et 6' sous la forme 0-J- 9' dans les formules (C) est digne de remarque. Elle montre que la disparition des deux derniers mouvements s’obtient par les conditions qui feraient disparaître les deux premiers dans une locomotive où l’axe du piston serait à angle droit avec la direction donnée de cet axe.
 - Les équations (C), quand on y fait b la fois 0 — o et 6^=0, sont
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- - équivalentes aux règles données par M. Lechatelier dans le cas des machines à cylindres horizontaux. Il est clair, dès lors* que le procédé de M. Lechatelier ne peut pas détruire les tendances aux oscillations normales et au mouvement de roulis. Ces règles sont d’ailleurs les seules que Ton trouve dans l’ouvrage de cet ingénieur; et, comme les équations de condition relatives au mouvement de galop, qu’il a entièrement négligées, établissent de nouvelles relations entre les quantités sous les sommes 2, il est à craindre que l’emploi des seules règles de M. Lechatelier n’ait souvent pour résultat de développer des tendances au mouvement de galop, qui n’auraient pas existé avant l’application de ses contrepoids.
 - En désignant par p. la masse d’une roue motrice, et p la distance de son centre de gravité à l’axe de l’essieu, notre intention était de montrer que la théorie de la stabilité aurait conduit à l’emploi des contrepoids, si ce procédé n’avait pas été déjà indiqué. En effet, les équations (C) et celles que nous obtiendrons plus bas relativement au mouvement de galop montrent que la quantité p ne saurait généralement être nulle, et que, par suite, le centre de gravité des roues motrices doit généralement être distant de l’axe, résultat qui indique évidemment la nécessité d'employer des contrepoids. La théorie nous aurait donc conduit à ce résultat, comme elle nous a fait connaître la nécessité de prolonger la bielle.
 - Le produit gp se compose de deux termes, l’un relatif à la roue supposée centrée , et l’autre au contrepoids dont elle est armée. Le premier de ces termes est évidemment nul : en sorte que nous pouvons, dans nos équations de condition, supposer que jx désigne la masse d’un contrepoids, et p la distance de son centre de gravité à l’axe de l’essieu. C’est ce que nous ferons dorénavant.
 - Avant d’employer les équations (C) à la détermination des contrepoids et de nous occuper des équations (54), il est convenable de rechercher ce que deviennent les auxiliaires Ccos$>, Csim>, etc. (53), lorsque les contrepoids sont calculés de ma-
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- - 9 4
 - nière a satisfaire aux équations (C) : l’analogie des calculs à effectuer avec ceux que nous venons de présenter nous en fait une obligation.
 - CALCUL DES VALEURS QUE PRENNENT LES COEFFICIENTS CcOSÎ>, G Sin<t>5 ETC., LORSQUE LES CONTREPOIDS SATISFONT AUX ÉQUATIONS (74).
 - 25. Les valeurs (53) contiennent sous les sommes 2 les angles e et ex. Nous avons à déduire les valeurs de ces sommes des expressions (74) qui contiennent s ou sl sous les signes 2. A cet effet, l’on aura
 - 2f/.p sin e=cos 0 2,ap sin s — sin 0 Upp cos s, 2wp cos e — sin 0 2p.p sin s -f~ cos ® -2pp cos £ J
 - on aurait deux autres formules toutes pareilles en affectant de l’indice t les lettres e et s. En y substituant pour les sommes en e et leurs valeurs (74), et réduisant, il viendra 1 IV
 - 2pp sine =—-U(cos0—sinO)-|-— (cos5-}"sinô)~-• 7f/sin (0-{-6') cos (0'-{-©),
 - Ces quantités étant actuellement transportées dans les équations (53), et les valeurs (64) et (65) mises à la place des deux premiers termes des seconds membres, les quatre premiers coefficients deviendront, toutes réductions faites,
 - G cos$ =—& ~ sin0-f/c'sin (0-j-0') [sin (0f-}-©)-]-cos (0f— ©)] C sin<t> = + &gsin0 — sin(0 + 60 [cos(6'-{-©) —sin(0'—©)] C' cos$'=-j- k g cos0 -f kl sin (0 -f- 0') [cos (©' -J-©)—sin (6r—©)]
 - (76)
 - G' sin<tr =—k^ cos0 -j- k'sin(0-J-0r)[sin (0'©)-]-cos(0r—©)]
 - /
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- - - 95
 - Les quatre autres coefficients, étant pour plus de simplicité divisés par),, deviendront de même
 - (77)
 - Les coefficients de ft'sin(e-j-e') dans ces expressions, étant développés, donnent
 - sin(e'-f-©)-f-cos(e'—©)== +(cos©-j-sin©) (cosG'-f-sine') \ cos(G'-j-©) — sin(e'—©)—-J-(cos©-}-siu©XcosG'— sine'’) I sin(e'-{-0) — cos(G'— ©)= —(cos©—sin©)(cos &'— sin 0') l cos(0'-}-©)-}>-sin(6'—©):=-}-(cos0—sin ©)(cose'-{~sin0') J
 - D’un autre côté, en ajoutant et retranchant les équations (71), puis divisant par 2 , il vient
 - Si nous subsifcuons les deüx premières valeurs (78) dans les équations (76), et que nous ayons égard à la première équation (79), nous aurons
 - C cos<ï> — -j-/c-[—sin 0-j~ sin (0-j-G')(cosef-|-sine')]
 - y»
 - C sin = — /c-[—sin0-f-sin(0-{-6')(cose'—sine')] C'éos $'=-}*- & g [-{- cos e -{-sin(0 -f- 0')(cos e'— sin 0'j) G'sin ¥=z—h g [-J- cos 6 — sin(e -\-6r) (cos 0'-f-sin 0')]
 - (80)
 - A l’aide des dernières valeurs (78), et de la deuxième équa-
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- - — 96 —
 - tion (79), les équations (77) donneront, en supprimant le facteur commun
 - D sin y =:—fc^-A[—sin 0-4-sin(e4-ô>)(cos0f—sin6')] \
 - Br
 - D cosy =4-Air AT—sin04sin(04O(cos0'4sin0'T| f
 - 1(81)
 - Il reste à opérer ici des réductions. On a d’abord sin (0 4 0')=r sin 0 cos 0'-}- cos 0 sin 0',
 - d’où
 - sin(0 4 6r)cos 0'rr:sin 0 cos2 0'-j-cos 0 sin 0' cos 0', sin(0 4 0') sin cos 0 sin26'4 sin 0 sin 0'cos 0' $
 - puis
 - sin(0 -J- 0')(cos0'4‘ sin 0')=sin 0 cos20'4 cos 0 sin20'4 (cos 0 4- sin 0) sin 0'cos 0f, sin(0 4 e')( cos 0'-— sin 0') = sin 0 cos20'— cos 0 sin20'4 (cos 0 — sin 0) sin 0'cos 0'.
 - Soient, pour abréger,
 - (a) — sin 0 4 sin(0 4 G')(cos 0'4 sin 0O
 - (6) —— sin 0 4 sin(0 4 0O(cos 0f—,sin0O (c) =4 cos 04 sin(0 4 0')(cos ^— sin 0,J
 - (d) z=4 cos 0 —sin(0 40,)(cos &4s*n 0O
 - nous aurons, en faisant usage des deux précédentes relations,
 - («)==— sin 0 sin20r4 cos 0 sin204 (cos 0 4 s*n 0)sin 0,cos0'
 - (h) ==— sin 0 sin20'— cos 0 sin204(cos 0 — sin 0)sin 0'cos 0'
 - (c) =4 sin 0 cos20'4cos 0 cos20'4 (cos 0—sin 0)sin 0'cos 0'
 - (d)=—sin 0 cos20'4 cos 0 cos20'— (cos 04 sin 0)sin 0'cos 0'
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- - — 97 —
 - mis, en mettant les facteurs communs en évidence,
 - (a) — sin 0'[cos 0'(cos0 -f- sin 0) -J~sin 6'(cos0 — sin0)] (&) — sin 0'[cos0'(cos0 — sin0) — sin6'(cos0-|-sin0)]
 - (c) = cos 0'[cos 6'(cos 0 -J- sin 0) + sin 0'(cos 0 — sin 0 ;]
 - (d) — cos 0'[cos 0'(cos 0 — sin 0) — sin 0'(eos 0 -j- sin 0)]
 - mais on a
 - s0-}-sin0 = j/2sin^0-]-^ ,
 - l+i);
 - cos 0 — sin0~[/2cos( 0
 - substituant, il vient
 - *
 - () = [/isin0,j^cos0'sin^0-]-^-{-sin0''cos^0-f-^J
 - () = j/jj sin br j^cos 0'cos^0 -J- — sin ^ sin ^0-j-20 J
 - (c) =: j/i cos 6' j^cos 6r sin ^0 -j- -}- sin 0'cos^0 ^ J
 - (d) = j/2 cos 0' £cos 0'cos^0 -j- — sin 67 sin^0 + J
 - ou (à)= |/isin0f sîn^0-|-0:-|-^Nj
 - (b) — j/2 sin0'cos^0-{-0'-{- ^
 - (c) — j/2cos0'sin^0-{-0'-{- 0
 - (d) “ f/2COS0ACOS^0-j-0f-j- ^
 - Au moyen de ces valeurs, les équations (80) et (81) deviennent finalement
 - C cos$ :rr-J-/e^ f/2sin0,sin^0~F6f_F^
 - C sin<î> =—f/2sin0'cos( S+^-Ft)
 - r ; { > C82)
 - C'cos<î^—|/2cos0'sin(0-|-0f-}-^J
 - C/sini/= — 7c g |/2cos0rcos^0-j-0r-j-^
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- - — 98
 - D sinY= — k1- j/aAsine'cos^e-j-G'-f-
 - D CQSVF — D'sinY^zr
 - Wcosy'—
 - + /c^^/2 Asinr/sin^0-|“&,+
 - — h g j/â A cos 6^cos ^0 -{- h!-\~ ^ -f-/e g J/2 A cos G'sin ^9^
 - (88)
 - (En vertu de l’équation (35), on pourrait remplacer le fac-
 - f *
 - leur 7e- j/2, par 2Æsin<p.)
 - a
 - Les équations précédentes donnent facilement
 - *1. = Y = Y*— 0 4- 0'— £ , (84)
 - G = + A;^ |/2 sin 6' \(
 - G'=4-7c^ j/2 cos6? I
 - v > (85>
 - D — + |/2 sin /A i
 - D,~-]-/î ^ j/jj cos 6'A y
 - Les seconds membres des équations (82) et (83) s’annulent avec 7c, comme nous savions déjà que cela devait être. En outre, h étant supposé ne pas être nul, les quantités C et D , qui sont les coefficients des principales inégalités dans les équations [a?] et (je) du n° 20, 9’anéantissent lorsque 04= o ourtîT, tandis que G' et D?, qui se rapportent aux équations [2] et (a?), ne disparaissent que pour 6'= Ces déductions offrent une confirmation de nos calculs.
 - Puisque les coefficients G, D, C', D', représentent les demi-amplitudes des variations des réactions et de leurs moments, qui correspondent, d’une part aux mouvements de tangage et de îaeet, de l’autre aux oscillations normales et aw
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- - 99
 - mouvement de roulis, i\ est facile d’apprécier l’efficacité d’un système donné de contrepoids établi d’après les formules (74), au point de vue de la tendance à ces divers mouvements.
 - On y parviendra en calculant le rapport des coefficients (85) aux valeurs des coefficients C, C\ D, D', avant que la machine soit munie de ses contrepoids; on aura, si l’on peut s’exprimer ainsi, le rapport des perturbations restantes, après l’application des contrepoids, à celles qu’il s’agissait de détruire.
 - Désignons par C0, (70, D0,D'0, les valeurs absolues de C, C7, D, D', avant l’application des contrepoids. On obtiendra C0, etc., en égalant à zéro les quantités p, p1} dans les équations (53), et faisant la somme des carrés de ces équations prises deux à deux; il viendra de cette manière
 - C02 = 2 (U2cos2ô -f- IPsin2 0)
 - Do2 = 2 (V2cos20 -f- Y'2sin2 6)
 - G'02— 2(XJ2sin2 0 -f- tF2cos20)
 - D7~2(Y2sin20 + Vf2cos20),
 - et les rapports cherchés seront, en ne considérant que leur valeur absolue,
 - C k r ,
 - TT :• Sin 6 '
 - C0 -K |/ u ^ —j—
 - D k Ar . rf
 - D0 B |/y2 cos^e -)- Vf2sin26
 - - —-............. r .........EPS 8'
 - C'o B |/y2 sin2Q _[_
 - Df 1c A r ,,
 - iv = ~ — ..— cos 6r
 - D J/V2sin2ô-1-V,2cos20
 - \
 - (86)
 - 24. Pour montrer une application simple de ces formules, nous supposerons qu’il s’agisse d’une machine à cylindres horizontaux , ce qui réduira les radicaux à U, Y, IP, Vr, (51). En
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- - — 100 —
 - remontant aux formules (48) et (49), on aura dans ce cas
 - k B'>
 - B:
 - C __k sinô'
 - "R Cr,t
 - D___Æ
 - C'o-B
 - D' /c
 - sinô'
 - r/n a'"
 - M'-{-M"+2±Wn~ ~
 - COS6'
 - B' C'"
 - M'ÎH-SdiM'" — B 1 r
 - cos 6'
 - 1)'—« B' C'A"'
 - B 1 r A
 - (87)
 - Prenons pour exemple une machine à roues indépendantes, que M. Lechatelier étudie dans son ouvrage. En substituant, dans les précédentes équations, les poids aux masses, ce qui ne change pas les résultats, nous aurons (voir pages 52 et 54 de cet ouvrage),
 - rnr
 - M'=77*a, M" = 107^1, M"'^- = 60*h.
 - ? r
 - La quantité représente le poids du bouton de la ma-
 - nivelle, augmenté de ce que l’auteur appelle 'poids de la manivelle rapportée à son boulon ; nous prenons le signe -j-, attendu que les rayons qui aboutissent au centre de gravité de ces masses sont de même sens que le rayon r de la manivelle j ce terme est d’ailleurs le seul que comprenne ici la somme 2. La quantité À"' doit différer très peu de A dans la machine dont s’occupe
 - M. Lechatelier: pour plus de simplicité, nous pouvons, sans A”'
 - erreur sensible, supposer ~~1.
 - La situation du centre de gravité de la bielle n’est pas don-
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- - — 101
 - née; mais nous avons lieu de croire que M. Lechatelier désigne par poids de la bielle afférent à la manivelle ce que nous désignons par M' 5- : nous poserons donc
 - M'g-=&0k»;
 - d’où nous tirons :
 - B'
 - £- = 0,52,
 - | = 0,48X77 + 107 = 144,
 - ritr
 - M'" — = 77 + 107 + 60 = 244,
 - B' Cf"
 - Mr - + Wfr — = 0,52X77 + 60= 100.
 - Il s’ensuit
 - C D 144
 - C„==î); = 244Sine °’69sine'’
 - Cf Dr 144
 - i?rür=ïô»cos9 =i’wco86 •
 - Or, nous avons dit que les règles de M. Lechatelier, relativement aux machines à cylindres horizontaux, se tirent denoséqua-tions (74) en y faisant er=o. Introduisons cette valeur de 6r dans les expressions précédentes, et nous reconnaîtrons que, dans le cas actuelles contrepoids deM. Lechatelier, tout en détruisant à très peu près les tendances au mouvement de tangage et de lacet, augmentent de 44 pour 100 les coefficients qui mesurent les tendances aux oscillations normales et au mouvement de roulis. Si les contrepoids étaient calculés avec une valeur de ces dernières seraient sensiblement détruites, et les premières se trouveraient réduites à 0,59 de leur intensité primitive.
 - Enfin, si l’on appliquait ici des contrepoids calculés avec une valeur de 0r moyenne entre les deux précédentes, c’est-
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- - 102 —
 - à-dire en faisant ôr=z±^, il viendrait, abstraction faite des signes,
 - C D
 - ——
 - a_
 - C'
 - 5L-4 09. jj' ~1,1
 - En d’autres termes, les tendances aux mouvements de tangage et de lacet seraient réduites aux U dizièmes environ de ce qu’elles étaient avant l’application des contrepoids, tandis que les tendances aux oscillations normales et au mouvement de roulis ne subiraient pas de modifications sensibles.
 - Les valeurs numériques des quantités (86) et (87) doivent nécessairement varier dans les différents systèmes de locomotives. Il est facile de voir que ces nombres, seront moindres dans les machines à roues accouplées où les bielles et manivelles d’accouplement seraient de même sens que les manivelles principales ; les inconvénients inhérents à la valeur 6’—o y seront moindres que dans les machines à roues indépendantes.
 - Sans pousser plus loin les recherches numériques, on peut présumer, d’après les nombres précédents, que le mode d’application des contrepoids en usage aujourd’hui n’est pas étranger aux dégradations qu’éprouvent par places les bandages des roues motrices.
 - Quoi qu’il en soit, on ne doit pas raisonnablement préférer à priori un système qui détruit à peu près certains inconvénients et qui en aggrave d’autres. Nous venons de voir que le système — anéantit ceux que le premier aggrave, et réduit en même temps les autres. Ce ne serait cependant pas un motif suffisant de préférer ce système, attendu que le tangageq t le lacet sont plus à redouter que les oscillations normales et le roulis, à cause des glissements qu’ils peuvent déterminer. Toutefois, on conçoit qu’il existe entre ô'=o et = Z une valeur in-
 - A
 - termé.diaire de cette indéterminée qui fournisse les résultats
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- - — 103
 - les plus avantageux pour un système donné de locomotive. Mais la mécanique expérimentale ne nous fournit pas actuel-ment de données qui nous permettent d’apprécier la propor^ tion dans laquelle les sommes des composantes et des moments des réactions exercées par les rails concourent à la détérioration locale des bandages. D’un autre côté, l’on ignore à peu près la liaison qui existe entre le travail du frottement et l’usé des tourillons et des glissières. Ce travail lui-même ne saurait être déterminé d’une manière générale , à cause de la variété des appareils de distribution de la vapeur. S’il en était autrement, le calcul des inconvénients inhérents à un système donné de contrepoids serait accessible à l’analyse mathématique. On sera donc obligé d’avoir recours à l’expérience pour fixer la valeur la plus convenable de l’angle 6r, et aussi pour déterminer la modification la plus avantageuse à apporter dans la distribution de la masse de la bielle, lorsque l’on consentira à modifier la forme et la masse de cet organe. En présence de l’impossibilité de satisfaire à l’ensemble des équations de condition provenant de o, et qui permettait d’y déroger d’une infinité de manières différentes, nous sommes heureux d’avoir réussi à introduire l’indéterminée 6r qui réduit considérablement le champ ouvert aux tâtonnements et systématise les recherches expérimentales , comme on le verra plus loin.
 - SUITE DE LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE CONDITION.
 - 25. Au point où nous en sommes, il devient nécessaire de développer les sommes 2 dans les équations (74) ; nous rappellerons que leur définition est comprise dans la formule
 - s>«
 - cos 7
 - nous isolerons le premier terme du second nombre, qui se rap^ porte à la roue dont l’axe a pour abscisse l, et nous poserons
 - VV Wf
 - sin /.
 - cose
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- - — 106
 - en sorte que cette dernière somme ne contienne que les termes relatifs aux roues dont les abscisses des axes sont V et l". On aurait des expressions toutes pareilles en affectant de l’indice , les quantités p et s, pour transformer les sommes 2 qui sont relatives aux roues situées du côté des y négatifs.
 - En effectuant ces changements dans les équations (76), il viendra
 - PP sin s -f-2prpr sin t' —
 - 1
 - 2
 - — 7</sin(0 -j-0r) cos(0 -f- G'-f- ©)
 - pp COS s -\-2p/pr COSsf —
 - PP, sin g,-f 2/p(singr,=
 - Pp,COS g,-f- Zp/p'jCOS g( ==
 - — t)~^~ fc,sin('0 sin(0+0'+ ©)
 - +^U — — ft'sin (0 -J-6')cos (0 -J- 0'— ©)
 - — l(u+ 2)+Wn(I +6') sin(6 + 6©)
 - (88)
 - Ces formules feront connaître pp, g et pp,, g,, lorsque les quantités 2, qui sont relatives aux roues dont les abscisses sont V et 1", seront connues.
 - Les équations (75) destinées aux vérifications numériques deviennent de la même manière
 - ppsin g -j- pp,sin g,4- 2p'/si n g'-f- 2pfp(sin —Â/sin 2 (0 -J- 0') cos © 1 p.pcos g—pp,cos gj-f-Sp'p'cos g'— Tp'p^cos g(=r:—/^sin 2(0 -f - 6') sin © j
 - Il ne sera pas sans intérêt de présenter la remarque suivante concernant l’emploi des équations (88). Le sens des x positifs pour lequel nous avons pris celui du mouvement de la machine, est arbitraire, puisqu’on peut toujours supposer à ce mouvement un sens contraire à celui que l’on aura choisi d’abord. Il faut donc que les équations (88) assignent les mêmes masses et les mêmes positions absolues aux contrepoids montés sur les mêmes roues, lorsque l’on applique les équations en partant d’un sens du mouvement opposé au sens primitif. Il est facile de vérifier qu’il en sera effectivement ainsi} en effet, cette inversion aura pour résultat de changer les p, g, t' en p,, —g, et —g',; l’inclinaison 0 des cylindres se changera en 7r~0; et, comme l'angle 0' est
 - (89)
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- - 105 —
 - censé affecté du double signe, l’angle 0-\-Br peut toujours se changer en %—'(0-J-6'). Les quantités p, U,— , ¥ et @ conser-
 - À
 - veront d’ailleurs les mêmes valeurs. Or, il est facile de vérifier qu’en effectuant ces changements dans la lre et la 2e équation (88), on retombera sur la 3e et la 4e, et réciproquement.
 - Nous allons maintenant nous occuper des équations de condition (54). Ces équations, au nombre de deux seulement, sont destinées à faire disparaître les principales inégalités dans l’équation (y), qui est celle des moments autour de l’axe horizontal perpendiculaire à la voie. Elles répondent au mouvement de galop. (Les équations (53) comprennent bien quatre équations relatives à des inégalités du même genre; mais nous avons déjà fait remarquer qu’elles ne se rapportent qu’au poids des pièces et àJa variation de vitesse, en sorte que les équations (54) peuvent être considérées comme les principales équations de condition relatives à la destruction de la tendance au mouvement de galop.)
 - Multiplions la lre équation (54) par cos 0 , et la 2e par sin 0, puis ajoutons; d’autre part, multiplions la lre par sin0, et la 2e par cos0, puis retranchons la lre de la 2e; il viendra, en vertu de tz=ze-\-B, £, = ^-[-0 [voir (45)],
 - <vo(cosô4-sin0) — çol—2pplsm£ — 2ppllcos£1~o 1 w0(cos B — sin 0)—iPi—2p.plcoso-f Dp-p^sin £,=0 j
 - (90)
 - Cette substitution de l’angle s à l’angle e ne suffit pas ; il convient de séparer ici, comme nous l’avons fait plus haut, les termes qui se rapportent aux roues dont l’abscisse est l, en posant
 - 2p.pl
 - sin
 - cos£
 - — ppl
 - sin
 - cos
 - C + lp'p'l'
 - sin
 - cos
 - et de même pour les sommes qui contiennent l’indice 1, et cela afin d’éliminer les termes en l. Il vient de la sorte
 - ^O(cos0-j-sin0)—— pplsim—ppj coss,—2pr p'lr sine'—2p,p\V coss\ fco(cos0 — sin0)—wy—pplcoss-{-ppJ,&inst—S/^cosc-'-j-IfV/sins',
 - Ajoutons la 1re et la 4e équation (88), puis retranchons la 3e
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 - de la 2e ; il viendra, en ayant égard aux relations (78) qui sont encore vraies lorsqu’on y change b' enb-\~b', et aux équations (79),
 - posin e-fpojCoss^Spysin n'-f-Sy/p^coss^ ppCOSe —pp[sinel-J-2u.rprC0Se'—2p'//,sin sr,
 - Multiplions maintenant ces deux équations pari, et ajou-tons-les respectivement à la lre et la 2e des précédentes, nous aurons
 - =—U— k—sin(0-j-0r)[cos(0-]-0')— sin(0-J-0')] =—U-|— sin(0—}—©^jtcosC©-}-©^)—J—sin(©—j-0f)]
 - wo(cos0-fsin0)—ivt—2p!p!(V—i)sins'—Zp’p'^l’—tycosz'zz—J]l—ft^Zsin(0-fô(/[cos(0+0')—sin(6+0r)] *eo(cos0—sin0)— w— 2'j.'p\lr—l)cosz'-\-Zlu.rp'l(l'—l)sim'p=:~ UH-&gtein(0+0f)[c°s(0+0f)+sin(0+0'J
 - Ces équations ne contiennent plus les inconnues pp, s, ni p.p1, et, qui se rapportent aux contrepoids de la roue dont l’abscisse est l. Les inconnues sont au nombre de deux pour chaque contrepoids : si les six roues sont accouplées, les inconnues que renferment nos deux équations sont au nombre de huit; si deux paires de roues seulement sont accouplées, il reste encore quatre inconnues. On peut donc , dans les deux cas, y satisfaire d’une infinité de manières différentes. Nous profiterons de cette indétermination pour introduire une simplification, qui consistera à faire
 - py-pV, (92)
 - de sorte que les contrepoids appliqués à deux roues montées sur le même essieu, autre que celui dont l’abscisse est l, seront identiques et disposés de même par rapport aux manivelles situées du même côté. Il n’en résultera aucune impossibilité physique de satisfaire aux équations (88), puisque leurs racines ppsine, ppcoss, pp^insj et p/3 jCosîj, seront toujours des quantités réelles, ces équations étant du premier degré; et que les va-
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 - leurs f/p, p.p,, pourront toujours être prises positivement moyennant un choix convenable des angles s et e,.
 - Les conditions (92) étant introduites dans les équations (91), on en tirera par soustraction et addition, puis transposant,
 - 2{jLrpr(J,f— Zjsin zr— fe0sin 0-{-Lky sin(0 -f-0') cos(0 -f- 0')
 - | (93)
 - 2y.rp\lr~-i)(ioser=zi(’0co&6 — w1-\-L[lJ — k^ sïn2(0 —6»')] \
 - a j
 - Telles sont les équations qu’il s’agissait d’obtenir. Les termes en l qu’elles renferment aux seconds membres disparaîtront partout ailleurs que dans les machines employées au chemin de fer du Nord, dont nous avons parlé en commençant; car on pourra toujours faire l=o en prenant pour abscisse l, l’abscisse de l’axe de l’essieu moteur principal, lequel coïncide avec l’origine des coordonnées.
 - La remarque que nous avons présentée à l’occasion des équations (88) se reproduit à l’égard des équations (93) ; seulement les indices 1 ayant disparu, ces équations doivent donner les mêmes valeurs de p.y, et des valeurs égales et de signe contraire des angles s', lorsque l’on intervertit le sens primitif de l’axe des x ; de sorte que, dans les deux cas, il en résulte pour chaque roue un même contrepoids occupant une situation identique. Lorsque le sens primitif est interverti, les abscisses l, V et F, changent de signe, ainsi que les angles 0 et 0-f-0' se changent en %—0 et n—((00^) comme ci-dessus,
 - T
 - tandis que U, iva et Je— conservent leurs signes. Il est facile de iS
 - voir que ces changements opérés dans les équations (93) n’ont pour résultat que de changer les signes des comme cela doit être.
 - Les équations (93) serviront au calcul des contrepoids autres que ceux des roues motrices principales; puis les équations (88), simplifiées par les conditions (92), fourniront les éléments des contrepoids des roues motrices principales elles-mêmes. La solution générale du problème de la détermination des contrepoids fournie par ces équations serait complète, s’il ne restait
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 - à fixer convenablement la valeur de l’indéterminée 6f, et la limite du décroissement de la fonction Tt, faute de pouvoir annuler cette dernière.
 - 26. Les équations (93) suffiront, dans les machines h quatre roues accouplées, pour calculer les éléments des contrepoids identiques des deux roues portées sur l’essieu dont l’abscisse est lr, au moyen de cette abscisse et des quantités w0 et «v Dans le cas des six roues accouplées, il faudra joindre à ces équations deux conditions arbitraires, sur lesquelles nous reviendrons plus loin.
 - S’il s’agit de machines à roues indépendantes, les masses / et seront nulles, ainsi que l’abscisse l de l’essieu moteur j d’un autre côté, la fonction (48) sera également nulle, parce qu’elle se réduit aux termes relatifs à la manivelle principale et à son bouton, et que l’abscisse L"r, qui leur est commune, est égale à zéro. Les deux équations (93) se réduisent alors à l’équation de condition unique ^O=o.
 - Pour interpréter cette condition et préciser en même temps la fonction w0 (48), nous la mettrons sous la forme
 - En vertu d’un théorème connu sur les moments d’inertie, la quantité M'B,2-j-M,F2 est égale au moment d’inertie de la bielle par rapport à un axe perpendiculaire au plan du mouvement et passant par le point d’articulation de la bielle et de la tête du piston. Soit B" la longueur du pendule simple qui accomplit ses oscillations dans le même temps que la bielle autour de cet axe, on aura
 - D„_M'B'2-fM'F2 M'B' 5
 - T désignant la durée des oscillations simples de ce pendule, B" se détermine en fonction de T, par la formule
 - (94)
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 - et la valeur de w0 deviendra
 - (95)
 - B
 - expression dans laquelle le facteur —- peut être remplacé par
 - cos
 - sa valeur très approchée -7=. • v f/cosf
 - La condition w0~o se traduit donc simplement par
 - B"=B
 - (96)
 - c’est-à-dire que la longueur du pendule simple équivalent à la bielle devrait être égale à la longueur de celle-ci. En d’autres termes , les points où l’axe de la bielle coupe les axes du bouton de la manivelle et de la tête du piston doivent être des centres d’oscillation ou de percussion réciproques. Cette condition peut être remplie au moyen de formes très diverses données à la bielle ; mais on ne parvient à aucune forme admissible dans la pratiqua sans prolonger cetorgane. Dans le cas idéal où la bielle se réduirait à une simple ligne droite sans dimensions transversales, on sait que le centre d’oscillation serait situé aux deux tiers de sa longueur. Il faudrait donc, pour le faire coïncider avec le bouton de la manivelle, prolonger cette bielle idéale de moitié.
 - Nous allons faire voir que la condition w0~ 0 est incompatible avec la condition ft=o (63), sans laquelle il est impossible de détruire simultanément les tendances aux mouvements de tangage, de lacet, aux oscillations normales et au mouvement de roulis. En effet, la condition w0~o donne
 - M'I'2— M'B'(B—B') = o,
 - l’autre condition est
 - M"B + M'(B—B') = o,
 - et ne peut être satisfaite que par une valeur positive de B' ; multipliant cette équation par B' et ajoutant à la précédente,
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 - il vient 1
 - MT2-fM"BB' — o,
 - condition incompatible avec une valeur positive de BL
 - L’incompatibilité que nous rencontrons ici est la seule que présente la question de la stabilité des machines locomotives envisagée au point de vue purement théorique. En supposant possible de satisfaire pratiquement à la condition 7c—o, on se trouverait obligé, dans le cas des machines à roues indépendantes, de décider laquelle de celle-ci ou de rco—o doit être sacrifiée à l’autre, ou mieux quelle serait la manière la plus avantageuse de déroger à toutes deux h la fois. D’après les motifs exposés plus haut, on devrait encore recourir à l’expérience.
 - Il est toutefois digne de remarque que ces deux conditions conduisent l’une et l’autre à prolonger la bielle; et l’on peut voir que, si l’on applique sur le plongement delà bielle, du côté de la manivelle, des masses successivement croissantes en un point donné, ou des masses constantes à des distances variables , on arrivera à obtenir le résultat rc0—o avant que la fonction 7c ne s’annule; en sorte que la première condition satisfaite peut être considérée comme un acheminement vers la seconde.
 - Ces considérations nous amènent tout naturellement à dire ici quelques mots des recherches auxquelles nous nous sommes livré à l’égard des inconvénients que peuvent, en général, entraîner les deux conditions dont il s’agit.
 - . V : : . . * -
 - DES AVANTAGES ET INCONVÉNIENTS DU PBOLONGÈMENT DE LÀ BIELLE A UN POINT DE VUE AUTBE QUE CELUI DE LA STABILITÉ.
 - 27.. Notre théorie de la stabilité suppose une rigidité des pièces toujours suffisante,. et ne tient aucun compte de l’action des ressorts de suspension. On conçoit que la rigidité soit réalisable à la rigueur, et que les mouvements du bâtis soient maintenus dans des limites données, par un serrage assez puis-
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- - — lit —
 - sant des ressorts de suspension ; mais la rigidité et le serrage ont des limites qu’on ne saurait dépasser. D’un autre côté, en supposant que par un fort serrage on puisse rendre insignifiantes les oscillations des glissières, celles-ci n’en seraient pas moins soumises à des pressions qui pourraient croître énormément avec la vitesse, et donner lieu à un travail de frottement et à une détérioration des diverses pièces de la machine, dont il est impossible de faire abstraction. Les boutons de manivelle devraient pouvoir aussi résister à des efforts considérables.
 - Ce nouveau point de vue m’a conduit à examiner particulièrement l’effet du mouvement de la bielle et du piston sur les glissières et le bouton de la manivelle. Dans cette recherche, j’ai dû admettre, sauf vérification ultérieure , que les dimensions des pièces présentaient une résistance suffisante, et laisser de côté le travail du frottement dans l’articulation de la bielle et de la tête du piston, comme sans importance vis-à-vis de celui des glissières.
 - Le système formé par la bielle et le piston, indépendamment des poids de ces deux organes et de la pression de la vapeur, est soumis à des forces extérieures qui sont : 1° l’action du bouton de la manivelle sur la bielle j 2° l’action des glissières j 3° les actions moins facilement déterminables exercées sur la tige du piston par le collet du cylindre , et celles que le cylindre lui-même exerce sur le piston. J’ai omis ces dernières comme peu importantes dans ta question qui nous occupe. En appliquant à ce système les équations du mouvement de transr lation parallèlement et perpendiculairement à l’axe du cylindre , et l’équation des moments autour d’un axe perpendiculaire au plan du mouvement, en tout trois équations, nous avons pu déterminer la valeur de la pression produite par les glissières et lesdeux composantes de l’action exercée parlebou-ton de la manivelle. Yoici maintenant ce qui ressort des résultats obtenus. i
 - La pression de la vapeur transmise par le piston donne lieu à une action normale aux glissières, et toujours de même sens,
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 - lorsque les tiroirs n’ont pas d’avance. Le poids de la bielle et du piston donne aussi lieu à des composantes normales aux glissières dans les cylindres inclinés, et à des composantes tan-gentielles qui se combinent avec le frottement des glissières. Ces diverses composantes pourraient être appelées composantes statiques, en ce sens que ce sont celles que l’on obtiendrait en les calculant comme si la bielle et le piston étaient au repos. Mais le mouvement de la bielle et du piston produisent en outre des actions normales aux glissières, qui varient avec la position de la manivelle, la vitesse angulaire et la variation de cette vitesse par unité de temps.
 - Les termes principaux des expressions analytiques des composantes normales aux glissières sont proportionnels au carré de la vitesse, et au nombre de deux. Le premier, et le plus important, a pour facteur la fonction »e0 ; sa période est un tour de la roue motrice, en sorte qu’il augmente et diminue alternativement la pression statique. Le second terme a pour facteur la fonction k, et la période de son action est d’un demi-tour de la roue motrice j il augmente et diminue deux fois alternativement la pression due à la composante statique et au précédent terme, et pour cette raison devient moins important à considérer.
 - Si le sens de l’action de la vapeur sur les glissières n’était pas sensiblement constant, il y aurait quelque intérêt à disposer de la masse de la bielle de manière que le terme en ce0 fût constamment de signe contraire à la pression statique de la vapeur transmise aux glissières. Mais il n’en est pas ainsi. Il convient donc d’annuler le facteur wa.
 - Quant au terme en k, il serait convenable aussi, mais moins important, de l’annuler, au point de vue de l’action normale transmise aux glissières. Or nous avons vu, n° 26, que les conditions w0=o et k — o sont incompatibles, et qu’en satisfaisant à la première, qui est d’ailleurs exigée dans les machines à roues indépendantes, pour détruire la tendance au mouvement de galop, par un prolongement de la bielle du côté de la manivelle, on est cependant moins éloigné de satisfaire à la seconde
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- - — lis
 - qu’avec la forme actuelle des bielles. Si l’on fait m0~o dans les machines a roues accouplées, les termes provenant de la bielle dans les équations de condition relatives au mouvement de galop seront détruits; et il n’y aura à équilibrer sous ce rapport que les masses des bielles et manivelles d’accouplement, au moyen de contrepoids appliqués aux roues autres que les roues motrices principales.
 - Il y a donc incontestablement avantage à faire mo”0, c’est-à-dire à prolonger la bielle en sorte que la longueur du pendule simple équivalent soit égale à longueur B, l’orsqu’on se propose de diminuer les variations des actions que la tête du piston transmet aux glissières et les oscillations qui en sont la conséquence.
 - Maintenant, il reste à savoir quelle pourra être l’influence de la condition m0~o sur les pressions auxquelles est soumis le bouton de la manivelle. J’ai calculé à cet effet la valeur maximum .de ces pressions dans la machine citée n° 2ô, pour une vitesse de k tours par seconde; d’un autre côté, substituant
 - au poids 77k de la bielle un poids de 125k, à cause du prolonge
 - gement, et supposant 0,6 , puis faisant B" = B pour satis-faire à l’équation w0—.o, j’ai calculé de môme la pression maximum exercée sur le bouton de la manivelle, avec la vitesse de h tours par seconde, et le résultat, comparé au précédent, s’est trouvé être une augmentation de pression tout à fait insignifiante. En sorte qu’il n’y aurait pas nécessité dans ce cas de renforcer le bouton de la manivelle, et que le travail du frottement sur ce bouton ne serait que faiblement augmenté.
 - Après avoir examiné les principales conséquences delà condition m0r=:o, je n’aurai que peu de mots à dire de celles qu’entraînerait la condition k=zo. Les pressions sur les glissières le bouton de la manivelle deviendraient énormes pour les grandes vitesses, et nécessiteraient un grand accroissement de la résistance des pièces, en produisant un travail de frottement considérable. Ces inconvénients, qui tiennent à la grandeur des
 - 8
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- - masses, ne peuvent être atténués que par une réduction de certaines parties des masses en mouvement. Ce serait le cas d’examiner s’il n’y aurait pas lieu de construire en acier le piston et ses accessoires, puis la partie de la bielle comprise entre le bouton de la manivelle et la tête du piston, le prolongement de la bielle pouvant être construit en fer. Tous les inconvénients inhérents à la difficulté d’annuler k se trouveraient notablement réduits.
 - De l’ensemble de ce qui vient d’être exposé il résulte évidemment que le prolongement de la bielle peut être avantageusement pratiqué jusqu’au point où l’équation w0-= o (*) est satisfaite, et qu’il est nécessaire d’examiner jusqu’où ce prolongement pourrait s’étendre utilement au-dela, dans le but de diminuer la valeur de k. L’expérience doit être consultée à cet égard.
 - ÉQUATIONS DE TRANSLATION ET DE ROTATION, EN AVANT ÉGARD AUX ÉQUATIONS DE CONDITION RELAUVES A LA DÉTERMINATION DES CONTREPOIDS.
 - 28. Nous avons trouvé, n° 23, que, les équations (7é) étant supposées satisfaites, les quatre angles , <!>', y et y' acquièrent
 - une valeur commune égale à — ~, alors que les coefficients C, CD, D', se réduisentaux expressions (85). D’un autre côté, les équations (90), ou leurs équivalentes (93), qui sont relatives au mouvement de galop, étant pareillement satis»
 - (*) On pourrait encore se proposer d’annuler <^0 dans le cas des machines à cylindres intérieurs, où la bielle ne peut pas être prolongée, au moyen d’une masse additionnelle fixée à la bielle près du bouton de la manivelle, ou même ayant son centre de gravite en ce point; mais je n’ai pas examiné rin-fluence de cette masse relativement au frottement qu’elle produirait sur le bouton. Si cette disposition était impraticable, et si, d’ailleurs, le mode d’application des contrepoids qui résulte de notre théorie présentait des avantages marqués dans la pratique, on serait conduit à préférer les machines h cylindres extérieurs, qui se prêtent sans difficulté à des modifications pKm on moins considérables de la forme de la bielle..
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 - faites, annulent la valeur de J, équations (54). Nous allons substituer ces diverses valeurs dans les équations du n° 20, en remplaçant, pour plus de simplicité, dans celles-ci, les termes du 2e ordre par leurs valeurs (59) (*), et négligeant les termes des ordres supérieurs. Le résultat de ces substitutions est :
 - Équation [a?],
 - F+F.^Q + Q'+^-jsin+M
 - — 2/:sin?sinf/sin(a?-|-0-|-6f—
 - \ 4J dll
 - 2/c sin © sin 6'cos~
 - Équation [y],
 - G-f G'-f G'7=o
 - Equation [«],
 - .(H+H'-fH")—(H+H'+H'^rr:—flcosgf'SM
 - —}- 2Æ sin <j) cos G>/rsin^c< -}- G —^^3
 - + 2/c sin <p cos 6'cos-f- 0 -f- 0'—^ ~ Equation (z)f
 - G l -f- GT-j- G" l"—(F - F,) E=—2 k sin © sin O1 Acos ^ -f- e -f e' - £) ~
 - -}-27£sin<psin(5'Àsin^K-}-0 -\-0r—
 - -j-0,040 4077./£Acos0sin2«
 - dtl
 - d*?
 - + 0,0808154.A:Acos0cos2k -j-
 - (*) Il ne faut pas perdre de vue que ces valeurs sont calculées pour les
 - machines dans lesquelles oua^ = -. Dans le cas où ^ en difîférerait nota-B 5 B
 - blement, il faudrait calculer les coefficients des premiers termes des séries par les formules données dans la note du n« 13.
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 - Équation (s&),
 - -(H+H' + IF)E =
 - 4~0,080 8154./cAsin0cos2a -7-5
 - Équation (y),
 - Ces équations donnent les valeurs des inégalités qui subsistent dans les locomotives armées de contrepoids calculés suivant les formules (7Zi) et (93) en fonction de l’indéterminée 0r. Or, avons-nous dit, la quantité 0l doit être considérée comme affectée du signe ±. Il est facile de voir actuellement le résultat du changement de signe de cette indéterminée. En effet, les termes où entre B’ ont pour facteurs des fonctions de l’une ou de l’autre forme
 - (*} Pour appliquer ces équations aux machines équilibrées en suivant les. règles de M. Lechatelier, il faudrait y faire 0’ — o ou et rétablir dans l’équation (y) Ses termes
 - + J CO.S (tc-f ®) ^2 ~ J SÎO («+ a)
 - qui sont devenus nuis avec notre système de contrepoids. Les valeurs de X et a sont données par les équations (54).
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 - le changement de eJ en — 0' a pour résultat de changer le signe du facteur sinG', tandis que la valeur absolue du coefficient reste la même; et de changer la valeur de a pour laquelle le terme correspondant acquiert une valeur donnée. Quant au terme en cos G', la valeur « qui répond à la valeur donnée est seule modifiée.
 - Il en résulte que deux systèmes de contrepoids calculés au moyen de valeurs égales et de signes contraires de l’indéterminée G7 peuvent être considérés comme présentant un même degré de stabilité, et que la différence de leur action ne se manifeste que par la différence des positions des manivelles auxquelles répondent les actions perturbatrices de même intensité. Ce ne serait donc que dans des considérations étrangères à celles que nous fournit l’examen des équations précédentes, que l’on pourrait puiser des motifs de préférence entre deux valeurs égales et de signes contraires de Qr.
 - Les équations [ad, etc., se prêtent à quelques combinaisons intéressantes.
 - Eliminons F-j-F, entre la première et la dernière, nous aurons, à cause de ^ = dans l’hypothèse où il n’y a pas
 - ill j\ az
 - de glissement,
 - (H -f H,) l + (H'-f- E\) V -f (H"-f H",) lr,=z
 - Q(’? - R) 4- Q'(î'- R)+0(T.+R *in $')2M
 - ~j- 2/csin
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 - Les équations [z] et (æ), en divisant la 2e par Ë, vont nous donner aisément les sommes séparées des réactions normales à la voie, qui se produisent sur les roues situées d’un côté et de l’autre du plan méridien. Posons, pour plus de commodité,
 - E
 - tangv = ~;
 - (98)
 - l’on trouvera aisément
 - H+Hf+H"=!,cos9'^
 - , . cos4 / . . , 7r\d2a.
 - + /csin <o —;-COS I cc —1— (5 —f— 6^—j— u-—- J ~j-r
 - 1 1 sinu V U) dt2
 - 7 • COS 0f . ( . . , , 7T\dv? (
 - -ism^Sin(“+S + 6+ü-î)rf?) O!»
 - 0,020 2038 k S‘n ° sin 2«
 - tang u ar
 - sin 0 dry.2
 - - 0,040 4077 h-------cos 2«
 - tang u
 - dt2
 - SM
 - —
 - 7 • COs5 ( i „ . ,, 7r\rf2«
 - ' /csin ep—;- COS K-f-0-4-6' u-------r-r
 - ' Sinu \ J 4/dZ2
 - cosô'
 - +Æsin<p~—- sin «+ 0 + 6'—v — Ç 1 T sin u ‘ 1 1 >'
 - d.È.
 - àllF2
 - (100)
 - + 0,020 2038Je S'°? sin2a ^ K ‘ tans u
 - + 0,040 4077 k^~ cos 2a 1 tang v
 - dt2 dt??
 - 7t?
 - 29. Ges équations et les précédentes contiennent encore d’autrqs termes variables que les termes en Je et v.
 - Nous trouvons dans l’équation [x] la force de traction Q et le terme 2M. Les variations de ces termes ne peuvent disparaître que par l’emploi d’appareils de distribution de vapeur capables de maintenir la vitesse de rotation constante pour toute position de la manivelle-
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 - La quantité Q se trouve multipliée par q dans l’équation (y)-, d’où il suit que, pour éviter l’effet de ses variations dans le mouvement de galop, il faudrait que la barre d’attelage, dont q est l’ordonnée, fût placée à la hauteur des essieux des roues motrices.
 - L’équation (y) contient encore deux termes variables, l’un en S, l’autre en S?, qui nous ont fourni déjà l’équation de condition (52)
 - Pour l’interpréter, il suffit d’observer , en remontant aux équations (Û9 bis), que les pièces tournantes dont les moments d’inertie entrent dans la valeur de S sont une faible partie de la masse M/’des pièces fixes. Considérant l’ordonnée N/-du centre de gravité de M/- comme inconnue, l’équation précédente fournirait évidemment une valeur positive et très petite de Nf. Il faudrait donc, pour annuler l’influence de la masse des pièces fixes et des moments d’inertie des pièces tournantes, dans le mouvement de galop, que le centre de gravité dés pièces fixes, ou le centre de gravité général, fût placé un peu au dessous du plan parallèle à la voie, qui passe par l’essieu moteur.
 - On arrive à des conséquences très différentes en posant d’autres conditions que permet d’établir l’équation (97). Cette dernière et les équations (99) et (100) sont les seules qui renferment les forces H, sans contenir les forces F ou G.
 - Les deux dernières équations ne renferment pas Q; cette quantité se trouve seulement dans l’équation (97) affectée du facteur q— R. Il s’ensuit que la condition relative à l’invariabilité des actions normales au plan de la voie qui peuvent provenir de la variation de l’effort de traction est q~R - ce qui signifie que la barre d’attelage devrait être attachée au niveau des rails. Enfin cette même équation donne, pour condition de l’invariabilité des mêmes actions provenant de la variation de la vitesse, cette autre équation
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- - On en tire, en vertu des équations (49 bis), et observant que 3
 - ~2iVI est un peu plus grand que Mf, cette conséquence , que le centre de gravité des pièces fixes devrait être un peu au dessous du niveau des rails,
 - Une pareille situation du centre de gravité est plus impossible encore que la précédente, et l’on voit qu’il n’y a d'autre moyen d’éliminer l’inlluence de la hauteur du centre de gravité que de faire disparaître les variations de la vitesse.
 - Les deux conditions que nous avons trouvées pour la hauteur du point d’attache delà barre d’attelage ne sont pas plus concordantes. Cependant l’équation (97) peut nous offrir d’utiles renseignements. Au lieu de chercher à rendre les réactions H indépendantes de la charge remorquée, il peut y avoir, au contraire, de l’intérêt à faire croître les pressions H avec la charge Q, afin que l’adhérence qui leur est proportionnelle croisse en même temps.
 - L’abscisse l est nulle ailleurs que dans les machines du chemin du Rord déjà citées. Laissons de côté ces machines pour le moment. Le premier membre de (97; se réduit alors à deux termes. Dans le cas de machines accouplées dont les cylindres sont à l’arrière, les abscisses V et ln étant positives, il est visible que les pressions exercées sur les roues correspondantes croîtront avec la valeur algébrique du facteur q—R.
 - Dans les machines où les roues motrices principales sont au milieu, l’une des abscises V et l" est négative, l’autre est positive, et ces deux quantités sont a peu près égales d’ailleurs. Admettons, pour fixer les idées, que V se rapporte aux roues d’arrière et l" aux roues d’avant, le premier membre de l’équation (97) sera à peu près proportionnel à l’excès des pressions des roues d’avant sur les pressions des roues d’arrière : cette différence diminue donc, ou bien les roues d’avant sont soulagées relativement aux roues d’arrière, lorsque q diminue ou que l’on élève le point d’aitache. C’est, d’ailleurs, ce que l’on aperçoit aisément sans calcul. Pourtant il est bon de remarquer que, la quantité q étant toujours plus petite que R et
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- - produisant par cela même un accroissement de pression sur les roues d’arrière proportionnel à Q ou à la charge remorquée ? il paraîtrait à cet égard préférable, lorsque l’on ne veut accoupler que deux paires de roues, d’accoupler celles d’arrière plutôt que celles d’avant.
 - Dans ces divers cas , il est visible qu’on se réserverait un moyen d’augmenter l’adhérence dans des circonstances assez graves, comme celles où , fortuitement, un fort courant d’air opposé au sens du mouvement ou une grande humidité des rails empêcheraient un train d’avancer, en disposant le mode d’attelage de manière à faire varier à volonté la hauteur du point d’attache de la barre (*).
 - 50. Enfin l’équation (97) peut servir a déterminer la position du centre de gravité d’une locomotive équilibrée. En supposant cette machine placée sur une bascule, on aura la mesure des forces H ; et l’équation (97), en y faisant Q etQ' nuis, ainsi que la pente g', puis la vitesse et sa première dérivée, donnera
 - (H+H1)Z + (H'+HgZ'-KH"+H"1) ln=g£j.M-{-'2gksitt? sine' cos ( « -fe -f 6r
 - Or il est évident que le deuxième membre de cette équation est égal au moment du poids total glM de la locomotive autour de l’axe des y. La quantité F0, dans laquelle on a fait gr=o, peut donc être considérée comme l’abscisse moyenne du centre de gravité de la locomotive : l’abscisse variable du centre de gravité s’obtiendrait donc en ajoutant à Te la quantité
 - (*) Nous avons admis dans nos équations que la force Q était horizontale. Les conséquences que nous venons de présenter ne sont rigoureuses que dans cette hypothèse : il serait donc convenable d’examiner les limites de l’obliquité que l’on pourrait admettre sans inconvénients dans la pratique; mai» cette discussion ne peut trouver place dans ce mémoire.
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- - qui serait nulle dans les machines équilibrées suivant les régies de M. Lechatelier, attendu qu’elles rentrent dans nos for-mules (74) lorsqu’on y fait 6'=o*
 - On parviendra à cette expression d’une autre manière , en observant que 2Moc a pour facteur g cos g? dans l’équation (20) désignée depuis par (y), et recherchant l’ensemble des termes en gmos^dans l’équation (y) du n° 20 , à l’aide des équations (49 bis).
 - Si l’on se propose de déterminer le mouvement du centre de gravité perpendiculairement au plan de la voie, on observera que son ordonnée est or, d’après l’équation (20), qui est désignée plus loin par (y), la quantité 2ù\z est le facteur de (c^7—#silE7^) dans ces éditions. Il vient donc d’après les équations (y), n° 20, et (49 bis),
 - 2 [M/-N/--j-SMvNv] — 2 (M" a-fAa7ccos?) sin 9 — GfCOS (a —j— i,r ) -,
 - ou, en vertu de (84) et (85),
 - 2Ms_0M/N,4-2MTNv
 - 2M
 - 2
 - M^a-f-Ag/ccostp
 - _
 - sin S
 - 2/c . , f . . . ttN
 - —?^s,n?cos& cos ( K_r0 -f- 6— -)•
 - Les deux premiers termes du 26 membre de cette équation donnent l’ordonnée moyenne du centre de gravité, et le 3e est la valeur qu’il faut joindre à cette ordonnée moyenne pour avoir l’ordonnée vraie de ce même point. En faisant 0r=zo, on aura pour amplitude de l’excursion du centre de gravité perpendiculairement au plan de la voie* dans les machines équilibrées suivant les règles de M. Lechatelier, le double de la quantité
 - 2/c .
 - ^sin®.
 - Soient £c,#0, ^es coordonnées du centre de gravité rap-
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- - 123 —
 - portées à des axes passant par sa position moyenne t on aura^ aux quantités près du 4e ordre ,
 - — — ÿjji SHlçpCOSô'cOS ( a-|“0*T0 —-J
 - ,2/c. .. ( . . , tt\
 - — -J- sin srncosl u-\-Q-j-Qr — -J
 - d’où par division,
 - <101)
 - _cotOr;
 - équation qui est celle d’une ligne droite.
 - On voit donc que, dans les machines équilibrées conformé-ment aux équations (74), le centre de gravité décrit, dans son mouvement relatif, une ligne droite qui fait avec l’axe des æ un angle égal h~-\-9e7 mesuré dans le sens du mouvement de la manivelle motrice; et que les systèmes de contrepoids caractérisés par des valeurs égales et de signes contraires de 6' donnent lieu à deux trajectoires rectilignes du centre de gravité, qui sont symétriques par rapport à une droite parallèle à l’axe des z et passant par la position moyenne de ce centre de gravité* Les équations (101) montrent d’ailleurs que cette ligne se réduirait à un point; et que, par suite, le centre de gravité n’aurait aucun mouvement relatif, si la quantité 7c pouvait être rendue nulle.
 - Notons que ces résultats, obtenus en négligeant les quantités du 4e ordre, deviendront rigoureux dans le cas où la somme des angles 9 et 9r serait égale à un multiple impair de î’angle droit ; la trajectoire du centre de gravité serait alors parallèle aux axes des cylindres. Ce qui vient d’être dit précise nettement la signification mécanique de l’indéterminée 9\
 - 51. Les équations (99) et (100), qui donnent les valeurs séparées des sommes des réactions normales pour les roues situées d’un côté et de l’autre du plan méridien, seront utilement employées pour déterminer une limite inférieure des
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- - réactions normales H auxquelles une roue en particulier soit exposée dans une machine équilibrée. En effet, cette moindre valeur sera égale à la moyenne des valeurs maximum des trois quantités H, W, H", pour un côté, et H,, Hr„ H",, pour l’autre côté. Cette moyenne se composera, dans les deux cas, du sixième de la composante normale du poids de la machine, augmenté, si l’on n’a égard qu’aux termes principaux * de la quantité
 - -k sin«p
 - O
 - COS f)r da? sinu di* l ^
 - dans laquelle nous supposons k positif, d’après la construction actuelle des locomotives; et le rapport également positif. (Cette hypothèse est toujours possible, puisque, l’angle v n’étant donné que par sa tangente (98), on pourra le prendre tel quô son sinus ait le signe de coseC)
 - Observons toutefois que ces valeurs maximum n’ont pas lieu simultanément : du côté des y positifs, le maximum a lieu pour la valeur de «, qui satisfait à la relation
 - «+•+*'+—;=-ii
 - du côté des y négatifs le maximum a lieu lorsque l’on a a+e + e'—u—1 = +
 - On peut se proposer de rechercher quels sont les points des
 - (*) Si l’on calcule la valeur de cette expression au moyen des données du ü° 24, complétées par les suivantes f=0m,28, B = lm,375, A == 0m,944, Ë = 0m,75, 6’=0, et que l’on désigne par n le nombre de tours par seconde, on trouvera
 - 1 , . cos 6’ dx2 3
 - 7- Asm® -r-----3-s=i=61,7.nski
 - 3 • sinu dtz '
 - ce qui donne 987 kil. pour 4 tours par seconde: ainsi, la moindre va^ dation de charge à laquelle l’une des roues se trouve exposée à chaque tour s’élève à près de 1000 kilogrammes. Tel est le résultat auquel conduit l’emploi de6 règles de M. Lcchatelier.
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- - — 125 —
 - circonférences des roues en contact avec les rails aux instants où la somme des réactions normales est un maximum. Soient, pour le côté des y positifs, S l’angle du rayon passant par le point de contact avec la manivelle motrice, mesuré dans le sens de k j et pour le côté des y négatifs, l’angle correspondant au point de contact, mesuré à partir de la manivelle située de ce côté et dans le même sens que «. On aura, dans le pre-mier cas,
 - k — 9-]-w
 - et dans le second
 - « — 9 —j— gj'j zz, O.
 - De ces équations, jointes aux précédentes, on tire
 - ou' — 29 -J— 6> —{— u —j— 3 —, S',zzz20 -j- 0r — u — 3
 - (102)
 - (u étant pris de manière que son sinus ait le signe de cosô').
 - Il paraît assez admissible que dans les machines munies de contrepoids calculés pour faire disparaître les tendances au mouvement de galop, les points où se produiraient les pressions maximum seraient sensiblement placés de la même manière, par rapport aux manivelles, pour les trois roues situées d’un même côté. On peut présumer aussi que, dans les machines où la tendance au mouvement de galop n’est pas détruite par des contrepoids convenablement calculés, les roues du milieu doivent à peu près échapper aux effets de cette tendance. S’il en était réellement ainsi, l’application des équations (102) aux roues du milieu faciliterait l’étude de l’influence des réactions normales au plan de la voie relativement à l’usé local des bandages des roues motrices. En effet, lorsque les contrepoids sont calculés en attribuant à ôf la valeur zéro, il ne subsiste de tendances aux glissements dans le sens de la voie et dans le gens transversal que celles qui proviennent des variations de
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 - vitesse, et d’autres qui sont représentées par des termes du deuxième ordre dans l’équation {z) relative au mouvement de lacet. Or la variation de vitesse provenant du mode de distribution de la vapeur est une quantité périodique : en un tour de roue elle présente deux maximum et deux minimum ; il en est de même des termes de deuxième ordre. Si donc l’usé local des bandages pouvait être attribué à ces deux causes, il devrait se manifester par quatre plats sur la circonférence des roues motrices, qui se confondraient en deux,si les maxima des deux actions que nous considérons coïncidaient : dans ce cas, les deux plats seraient situés aux extrémités d’un même diamètre et différeraient peu de profondeur, la matière de la roue étant d’ailleurs supposée homogène. Mais il parait que le plus souvent il ne se produit qu’un seul plat assez profond sur chaque roue. On est donc conduit à attribuer cette dégradation à d’autres causes que les variations de vitesse ou aux termes de deuxième ordre dans les machines dont il s’agit.
 - Si, au contraire, on doit les attribuer aux variations des réactions normales H, la situation des plats ou flaehes devra coïncider à peu près avec les points des circonférences des roues motrices du milieu, que déterminent les valeurs de z? et
 - (102) (*). Nous livrons cet aperçu à l’appréciation des ingénieurs de chemins de fer, et particulièrement des ingénieurs du chemin du Nord, qui ont entrepris de relever avec soin
 - (*) L’application des formules (102) aux machines équilibrées d’après les règles de M. Lechatelier exige une précaution particulière. Nous avons dit que nos équations (74) coïncident avec les règles de M. Lechatelier dans le cas des cylindres horizontaux lorsqu’on y fait 6r = o ou *. Mais comme cet ingénieur n’a point indiqué les règles à suivre dans le cas des cylindres inclinés, il est possible que l’on ait déterminé les contrepoids dans tous les cas comme s’il s’agissait de cylindres horizontaux. Dans cette hypothèse, il faudra faire 6'r=>—0ou«--0,en choisissant celle de ces deux valeurs qui rend cos0' positif, afin que v puisse toujours être un angle aigu positif. En effet, les formules de M. Lechatelier reviennent à nos équations (74), dans lesquelles on supprimerait les termes en k<. Or cette suppression équivaut à 8-\-6i = o ou ff. Il faudrait donc alors remplacer les valeurs de 77 et par
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- - les profils des roues de leurs locomotives, lorsqu’elles rentrent dans les ateliers après un service prolongé.
 - PROPOSITION SUBSIDIAIRE DEVANT SERVIR A RÉGLER LA DISTRIBUTION DES CONTREPOIDS ET LE MODE D’ACCOUPLEMENT DES ROUES MOTRICES DANS LES CAS INDÉTERMINÉS.
 - 52. Les équations (93), qui sont au nombre de deux seulement, contiennent encore les quatre inconnues p'p'sins', u!P* cos t! j y.”p" sins"”, p"y? cose'L Une considération fort importante dans la pratique nous fournira un moyen de lever l’indétermination. — Les masses des contrepoids peuvent devenir assez considérables pour que l’on ait de la peine à les loger dans les intervalles compris entre les rayons des roues. Il convient donc de faire en sorte que la somme des masses soit aussi petite que possible. Pour ne pas accumuler les difficultés analytiques, nous substituerons à cette condition celle du minimum de la somme des quantités pp, y'p1, etc. Les 2e et h0 équations (88) vont nous faire connaître les circonstances favorables à ce résultat. En les ajoutant, et ayant égard aux équations (92), il vient
 - ppcosâ -f- pp, cos s, -f- 22pVcosg',:zr—f U -j- y \ -j- 2/c; cosa sin2 3 4(0
 - les suivantes, qui supposent les cylindres placés à Pavant,
 - "u? — 0 —{— v —J— 3 ,
 - 4
 - 3 *
 - 4
 - Jlansles machines où les cylindres sont à l’arrière, à cause que 0 est voisin de 180°, on aurait, en faisant & =ir — 0,
 - u? == O-f-U — Z 4
 - ^ = 0 — v “b J ‘
 - On peut remarquer que, 0> n’étant plus nul ou égal à «, les machines dont il s’agit conservent, à cause de l’inclinaison des cylindres, des tendances aux mouvements de tangage et de lacet.
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- - — 128 —
 - ou, en vertu de la 2' équation (71),
 - fip cosî -j- nplC0S:i-|— 22 uJprcos-j^ ^ ^1 ~J—: J sin2 (0 —}-6;). (103)
 - Le premier membre de cette équation est la somme des produits de la forme ftpcoss étendue à l’ensemble des contrepoids.
 - Nous allons faire voir que la valeur de cette somme pourra généralement être considérée comme négative dans les machines actuelles où k est toujours positif.
 - Le second terme du 2e membre étant positif et le facteur sin2(e-f-60<‘1? il suffit d’établir que la fonction
 - peut être regardée comme généralement négative.
 - D’une part les équations (59) et (48) donnent
 - D’un autre côté, on a par l’équation (49),
 - k s (‘ +f )=(1+7 ) - M'r 5- (* + 7) ’
 - il s’ensuit
 - (u + y) + '• 5 (1 + ^) =- +1) - 2 ± (l + Ç). ( 10i)
 - Il est clair que cette expression sera négative toutes les fois que les quantités sous le signe 2 devront être prises avec le signe -j-j c’est ce qui a lieu pour les machines à cylindres extérieurs, où les rayons C'fr sont toujours de même sens que les manivelles principales, et que l’on accouple plus particulièrement. Dans les machines a cylindres intérieurs, les manivelles et bielles d’accouplement sont disposées de manière que les rayons des cercles décrits par leurs centres de gravité soient de sens opposés'aux rayons des manivelles motrices 5 il en résulte des termes négatifs sous le signe 2, ou positifs dans l’ex-
 - U + Y = (M'r+M"r) (d +
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 - pression (104); en sorte que l’on ne peut prévoir à priori si cette expression restera négative. Mais en observant que le terme relatif a la manivelle principale détruira, sous le signe S, une certaine partie des termes négatifs , et comparant les termes restants à la quantité
 - il nous parait hors de doute que l’expression (lOft) ne reste négative. Au surplus , nous pourrions subordonner nos déductions à la vérification à posteriori du signe négatif de la somme des quantités p-pcose. Nous admettrons donc que, dans tous les cas possibles, cette somme, étendue à l’ensemble des contrepoids, est une quantité constamment négative.
 - Voici maintenant la conséquence à tirer de ce résultat : la somme des produits de la forme pp cos s étant égale à une quantité négative donnée, tandis que les facteurs pp,..~ sont essentiellement positifs, il suit que, pour rendre un minimum la somme des quantités pp, il faut faire en sorte, autant que possible , que tous les cosinus des angles s soient négatifs et peu différents de la limite —1 j puis, dans le cas où quelques uns des termes pp cos s se trouveraient être inévitablement positifs, chercher à les rendre aussi petits que possible.
 - Le raisonnement qui précède ne pourrait pas être appliqué à la somme des quantités pp&ine, attendu que, d’après la lre et la 3e équation (88), cette somme est égale à un produit dont l’un des facteurs sin2(0-f-ô') est de signe indéterminé.
 - A l’aide de la proposition que nous venons d’établir, il nous sera facile de discuter les circonstances que présente l’application des contrepoids aux machines locomotives -, mais, pour faciliter cette discussion et les applications que l’on pourra se proposer de faire dans la suite, il nous paraît indispensable de résumer les notations que nous avons employées dans la théorie des contrepoids et les diverses équations qui ressortent fina-ment de cette théorie.
 - 9
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- - RÉSUMÉ
 - DES
 - FORMULES GÉNÉRALES
 - RELATIVES A L’ÉTABLISSEMENT DES CONTREPOIDS,
 - Notations,
 - 55. Sens des abscisses positives, et origine des coordonnées. — Pour fixer les idées, concevons que la locomotive s’avance dans un sens déterminé, mais cependant entièrement arbitraire. Les abscisses positives seront comptées dans le sens du mouvement de translation et à partir du milieu de la droite qui joint les centres des cercles décrits par les extrémités des bielles motrices. Dans toutes les machines , excepté celles employées au chemin du Word, dont il a été question plusieurs fois, cette origine des coordonnées coïncidera avec le milieu de l’axe de l’essieu moteur principal.
 - Sens de Vinclinaison des axes des cxjlindres. —- L’inclinaison est l’angle formé par l’axe des abscisses avec l’axe du piston, mesuré dans le sens des abscisses positives aux abscisses négatives, en passant par le zénith ; en sorte que cette inclinaison sera de 180° pour les cylindres horizontaux placés à l’arrière [voir fig. (1) et (3)].
 - 6 désigne l’inclinaison ainsi définie.
 - Manivelle principale.
 - r rayon de la manivelle principale.
 - Bielle.
 - Mf mass©de la bielle;
 - B longueur de la bielle ou distance des axes du bouton de la manivelle et de la tête du piston ;
 - B' distance du centre de gravité de la bielle à l’axe commun de la tête du piston et de la bielle , comptée de cet axe vers le bouton de la manivelle;
 - B'? distance du centre de percussion relatif à l’axe commun de la tête du piston et de la bielle, ou longueur du pendule
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 - simple qui accomplit ses très petites oscillations autour de cet axe dans le même temps que la bielle ;
 - T durée des petites oscillations de la bielle autour de Taxe de la tête du piston.
 - Piston.
 - Wf masse du piston ;
 - A distance de l’axe du piston au plan méridien , ou demi-écartement des axes des cylindres.
 - Manivelles, principale ou d’accouplement ; boutons de manivelle ; bielles d’accouplement. — Ces pièces sont supposées symétriques par rapport au plan parallèle au plan méridien qui passe par leur centre de gravité ; s’il en était autrement, il faudrait les décomposer en parties distinctes qui satisfassent à cette condition :
 - W!r masse de l’une quelconque de ces pièces ou parties distinctes d’une même pièce ;
 - C^rayon du cercle décrit par son centre de gravité;
 - L"! abscisse du centre de ce cercle ;
 - A'" distance du centre de gravité au plan méridien. Contrepoids des roues motrices principales.
 - Notations communes aux deux roues : pt masse d’un contrepoids ;
 - l abscisse de l’axe de l’essieu moteur principal ? quantité qui sera nulle dans toutes les machines, excepté celles du chemin du Nord rappelées plus haut; l distance du plan du centre de gravité des contrepoids au plan méridien, valeur commune aux contrepoids portés sur toutes les roues.
 - Notations particulières :
 - 1°. Contrepoids de la roue située du côté de la maniv elleui est le moins avancée dans le sens du mouvement de rotation ;
 - P distance du centre de gravité du contrepoids à l’axe de l’essieu ;
 - e angle du rayon qui aboutit à ce centre de gravité , avec le rayon de la manivelle principale située du même côté,
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- - 132
 - mesuré dans le sens du mouvement de rotation ;
 - 2°. Contrepoids de la roue située du côté de la manivelle qui est le plus avancée dans le sens du mouvement de rotation;. p1 rayon aboutissant au centre de gravité du contrepoids; angle de ce rayon avec la manivelle située du même côté* Contrepoids des roues portées par l’un des deux autres essieux.
 - Notations communes aux deux contrepoids ; pi masse du contrepoids ; pf rayon ;
 - s' angle de pf avec la manivelle située du même côté ;
 - V abscisse de l’essieu.
 - Contrepoids de l’autre paire de roues. — Mêmes notations que les précédentes^ avec deux accents au lieu d’un seul. Indéterminée 0r.
 - 0' angle qui jouit de la propriété de faire disparaître les tendances aux mouvements de tangage et de lacet, lorsqu’on lui donne la valeur o ou ±:.7r, et de détruire les tendances aux oscillations normales au plan de la voie et au mouvement de roulis quand on le fait égal à±^.
 - En négligeant les termes du 4e ordre, on trouve que le mouvement relatif du centre de gravité d’une locomotive munie de contrepoids calculés suivant nos formules est rectiligne. L’angle se trouve être l’angle que fait la trajectoire rectiligne de ce centre de gravité avec le côté inférieur de la perpendiculaire au plan de la voie, mesuré de ce côté vers l’arrière.
 - Deux systèmes de contrepoids calculés avec des valeurs égales et de signes contraires de B1 présentent le même degré de stabilité ; il n’y a de différence entre eux que les positions du système pour lesquelles des actions pertubatrices de même intensité se développent.
 - A défaut d’expériences qui fixent la valeur la plus convena-bie de cette indéterminée dans chaque cas donné, il paraîtrait préférable de lui attribuer une valeurentre ±30°et ±45°, plutôt que de la prendre égale à zéro. Cet angle serait indifférent si l’en pouvait rendre nulle la quantité h ci-dessous.
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- - Valeurs auxiliaires.
 - TT rapport de la circonférence au diamètre, ou 180 degrés sexagésimaux sous les signes sin et cos; g accélération produite par la pesanteur par unité de temps;
 - (a)
 - l’angle f doit être pris entre zéro et c’est l’angl0 aigu de la bielle et de Taxe du piston , pour un angle de la manivelle
 - TT T7* 1T \
 - avec cet axe, égal à -ou 3 f; dans le cas de on a
 - 4 4 ü &
 - f = logsinç—9,150 515.
 - \ — A
 - tang0_x+A, l’ambiguïté de l’angle © est indifférente.
 - hr=h
 - sm?
 - Sin(e+I)
 - (f)
 - («)
 - «0
 - 0)
 - U—M'V -1- M”r -f 2 rfc M'"C"f, V=(M'r+M"r)A+2±:M,"CmA'".
 - Dans ces deux formules et l’une des suivantes, les sommes S s’étendent à toutes les masses situées d’un côté seulement du plan méridien, et les signes -{-ou — doivent être employés suivant que le rayon G,fr est de même sens que le rayon r de la manivelle située du même côté, ou de sens opposé.
 - B"=S(Ï)\
 - V B' B t (f)
 - wo—Wr^-^- (B"—B).
 - 0 B cos if v
 - B
 - La quantité peut être remplacée par sa valeur très ap*
 - 1 T i B
 - prochée —7= : dans le cas où — m-, on a—-=1,005 077.. cos f ' B 5? cos?
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- - — 134
 - Formules générales.
 - Les formules suivantes, qui sont relatives au mouvement de galop , suffiront au calcul des contrepoids de masses p' dans le cas de quatre roues couplées seulement; autrement il faudra joindre deux relations arbitraires 'a ces équations :
 - f—l) sine'+f*"p"(7"—l) sim" = tco sin9 -J-4/c~ sin(9 6f ) cos(ô + 0') p-’ p'(V—7)coss'-f-p"p"(7"—7) cose"= wQ cosO — Tü—/e^sin2 (0-J-5')
 - (h)
 - Nous avons dit que le plus généralement l sera nul, ce qui apportera des simplifications.
 - Les éléments des deux contrepoids des roues motrices principales s’obtiendront ensuite par les formules
 - fip sine =-
 - pp COSe = PP,sin£l=: pp,COSs-,=
 - -(pVSine' -f p"p" Sine") — î (iJ—y) —/c'sin(0 + 6') cos (fl -f- 0' -f ©) J
 - - (p'p' COSe' •-}- p"p" COSe") — | "f" Y) “f* ^ sin O9 "f O sin (0 + ^ + ©)
 - — (p'p' sin e' +p"p" sin «") -j- y — ¥ sin (0 -f- 6') cos (0 -f- — ©)
 - — (p'p' COSe' -f - p"p" COSe") -- +/t' sin (© -{- 6r) sin (6 9 ' — ©)
 - (<)
 - 00
 - et les calculs pourront être vérifiés par les relations pp sine-j-pp,sine,™—7c'sin2(ô-{-ô'j cos© — 2(p'p'sins' -j-p"p"sine") ppcose—pp,cose,~—/£'sin2(fl’-|-6') sine.
 - Disons un mot de la résolution des équations (h), (’i), (j). Si le nombre des roues accouplées était de quatre seulement, l’une des quantités p" ou p' serait nulle, et en divisant les équations (4) par V—7 ou 7"—7, les premiers membres prendraient la forme de ceux des équations (i) ou (j). Dans le «as ou les six roues seront accouplées, on pourra toujours en pratique disposer de deux relations arbitraires pour ramener les premiers membres des équations (h) à cette forme. La résolution des équations (i) s’effectuera en divisant la première par la seconde, ce qui donnera la valeur de fange; d’où l’angle e lui-même, avec
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- - üne ambiguïté que l’on fera disparaître par la considération que, up étant essentiellement positif, £ devra être pris de manière que son sinus et son cosinus aient respectivement les signes des seconds membres des équations (i). L’une ou l’autre de ces équations donnera ensuite pp en divisant par sin s ou cos £. Les équations (j) feront connaître de même s, et ppy. Quant aux valeurs séparées de p, p et plt elles se déduiront de la considération de l’espace disponible entre les rayons des roues ; toutefois, en ce qui concerne les roues motrices principales, il ne suffira pas que les produits po et pp, satisfassent aux équations précédentes, il faudra encore disposer des distances p et pi de manière que les valeurs de p. soient égales (*)»
 - Enfin, nous ferons remarquer que, B,fr tenant lieu du moment d’inertie de la bielle , les équations précédentes sont homogènes par rapport aux masses , et que dès lors on y peut rempla-eer les masses par les poids ; on peut également y remplacer les distances A, A'"' et)>, au plan méridien, par le double de ces quantités ou les distances qui séparent les plans qui contiennent les centres de gravité des organes correspondants dans les deux machines dont se compose la locomotive.
 - (*) Si l’on ne suppose pas les masses des contrepoids appartenant à un même essieu assujetties à être égales, l’une étant l’autre pL, on trouve que 7.my' étendu à toutes les masses de la locomotive n’est plus nul; et le deuxième membre de l’équatiou (18) devrait alors être augmenté de ^gsingr — 'zrmj',ou, en ayant égard aux notationsdu tableau du n° 15, de
 - ( gsing’ — — \ (/*—aOL quantité variable avec mais très petite»
 - \ (it j
 - Le deuxième terme de l’équation (19) devrait, par la même raison, être augmenté de —gcosg* (/*—/*,)! , quantité constante»
 - Donc, en négligeant les variations de ™ (/*—/*,)! dans le mouvement de lacet, et se rappelant que y.p, entre dans toutes nos équations comme une quantité unique, on pourra écrire ^p, à la place de fip,, et disposer arbitrairement du rapport de y. et de //., pour faciliter l’application des contrepoids.
 - Si i* et /j.t sont inégaux, le mouvement du centre de gravité général, au lieu de se faire dans le plan méridien, aura lieu dans un plan parallèle à celui-ci et sera le même du reste»
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 - DÉTERMINATION DES CONTREPOIDS DANS LES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE MACHINES LOCOMOTIVES.
 - 54. Nous laisserons de côté dans ces applications les machines duc hemin de fer du Nord, où l est différent de zéro. Pour les autres machines, les termes en l disparaîtront des seconds membres des équations (h), et les abscisses seront comptées de l’axe de l’essieu moteur principal. A l’aide des données particulières à chaque machine, on pourra dans tous les ca’s effectuer le calcul des quantités auxiliaires dun° précédent à l’aide des mêmes équations (a), {b)..., (/*), (g).
 - La résolution, des équations (A) fera le principal objet de la discussion. L’emploi des équations (i) et (j) nécessitera l’adoption d’une valeur de l’indéterminé 6' ; or, avons-nous dit, l’expérience seule peut prononcer à l’égard du choix de cette quantité. Cependant, lorsqu’on entreprendra d’expérimenter, il sera nécessaire de faire l’application de nos formules : nous procéderons donc comme si 6' était une quantité donnée.
 - Machines à six roues accouplées.
 - Machines dont les cylindres sont à l’arrière. La quantité w0 est généralement négative avec la forme que l’on donne actuellement aux bielles des machines locomotives, et la valeur absolue de cette fonction est d’autant plus petite [2e équation (/*)] que la masse de la bielle est plus accumulée autour du bouton de la manivelle. D’après nos conventions relatives à l’inclinaison, 0 est peu différent de 180°, ce qui rend cosô négatif, et par suite positif le produit «>ocos0, avec la forme ordinaire des bielles. Les machines dont il s’agit étant à cylindres extérieurs , les rayons C" sont de même sens que le rayon de la manivelle principale; les abscisses L"r sont d’ailleurs toutes positives: il s’ensuit que la fonction wx est nécessairement positive. Le signe de la quantité wjiosB — ic, ne saurait donc être généralement prévu que dans le cas où la forme de la bielle satisferait à la condition oyrro,
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 - 11 se présente un cas remarquable, c’est celui où les cylindres étant horizontaux, on pourra disposer des masses des ma-nivelles et des bielles d’accouplement de manière que l’on ait wj=.—-w0. Bans ce cas, on aura la faculté de ne point appliquer de contrepoids aux quatre roues de devant, car, l étant nul, les équations (A) seront satisfaites en y faisant p'—o, p"z=.o. On y pourrait satisfaire d’autres manières ; mais le 2e membre de la 2e équation (A) étant nul, et les facteurs de coss' et cos s" étant positifs dans les premiers membres , il faudrait que l’un de ces cosinus fût positif, ce qui est défavorable à la réduction de la somme des quantités pp, d’après notre énoncé du n° 32.
 - 1° Soit w0cosô — w\>o.
 - On pourrait joindre aux deux équations (A) des conditions telles que celles-ci r
 - prpf sms'—p.rrprf sine"', prpf cos i' — p!*pn cos s"; (105)
 - et les équations (A) deviendraient
 - (V-\-l")p.rp'smsr — wosine,
 - (V -f-1") pi p1 cossr = (v0cos 9—«v
 - Les contrepoids des h roues autres que les roues motrices principales seraient identiques. Les abscisses V et l” étant positives, ainsi que le 2e membre de la 2e équation, il s’ensuit que cose' sera positif, circonstance défavorable à la diminution de la somme des quantités pp. L’angle 9 étant voisin de deux droits, simf sera très petit, et coss' voisin de l’unité : d’où il suit que la somme des quatre quantités p'pr serait sensiblement égale à
 - Mais on réduira la somme des masses des contrepoids si l’oii supprime ceux des roues du milieu, se bornant à en adapter aux roues de devant et d’arrière. Supposons que F, prrpff et zn se rapportenfaux roues d’avant; en faisant pi—o il viendra s l'hp{'p"sin s" = n^sin 9 ,
 - Fu/Y'eosF=te,5cos'9 -
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 - et la somme des deux quantités pr'pf' sera sensiblement 2
 - jp(vv0cos6—
 - quantité moindre que la précédente à cause de V<V!.
 - Il conviendra donc dans ce cas de ne point adapter de contrepoids aux roues du milieu, et de calculer ceux des roues d’avant par les formules (107).
 - Les contrepoids des roues d’arrière se calculeront ensuite par les formules (i) et (j) en y faisant pf —o.
 - 2° Soit êp0cos 8 “— wl <( o.
 - (Cette circonstance aurait lieu nécessairement si l’on prolongeait la bielle de manière à avoir wo~o.)
 - Le 2e membre de la 2e équation (h) étant négatif, les deux cosinus pourront être négatifs 5 et, si l’on veut profiter de cette circonstance pour diminuer la masse des contrepoids des roues d’arrière, il y aura avantage à conserver des contrepoids aux roues du milieu, et simplicité à employer les équations (105) et (106). Les contrepoids des roues d’arrière dépendront des équations (i) et (j), dans lesquelles on remplacera
 - , f sm
 - p V e
 - r r COS
 - sn
 - 1 r r COS
 - par
 - sin f cos£ °
 - 3° Soit <coCOS0 —
 - En faisant les deux hypothèses qui conduisent aux équations (106) et (107) , on voit que les angles s! et erf seraient égaux à rh ^ , et que les contrepoids ainsi déterminés n’auraient aucune influence sur la somme des quantités pp cose étendue à l’ensemble des contrepoids5 or il y a de l’avantage à réduire la somme p/p'-j-p/'p". On y parviendra en supprimant les contrepoids des roues du milieu et faisant usage des équations (107), puis achevant le calcul au moyen des équations (i) et (j), privées de leurs termes en p/.
 - Roues motrices 'principales au milieu, cylindres à Vavant „—Dans l’état actuel des choses w0 est négatif ; mais ici cosû est positif,
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 - ce qui rend négatif le terme ^Ocos0. Quant à wif les abscisses Un relatives aux bielles d’accouplement, étant désignés contraires si l’on a affaire à deux bielles distinctes, donneront lieu à des termes qui se détruiront à peu près, et à un résultat voisin d’être nul s’il n’existe qu’une seule bielle équivalente; les termes relatifs aux manivelles donneront des résultats variables, suivant que les machines seront à cylindres intérieurs ou extérieurs, en sorte qu’on ne saurait fixer généralement le signe de wocoae—wx.
 - 1° Soit «\>cos B — > o.
 - Les abscisses V et l" étant de signes contraires, et presque égales d’ailleurs, il est visible qu’il sera avantageux de supprimer les contrepoids des roues d’avant. En convenant queV, p/, pr et er, se rapportent aux roues d’arrière, il est évident que cos / deviendra négatif, résultat important à obtenir. On aura donc pour calculer ces quantités :
 - l'pfp' sinef sine,
 - Vpjp’ coser =: w0 cos B—wj
 - et les contre-poids du milieu se tireront des équations (é) et (/), dans lesquelles on fera p/rz=zo.
 - 2° Soit m0cos B — < o.
 - On sera conduit dans ce cas à supprimer les contrepoids des roues d’arrière, et l’on se servira des équations (107) pour calculer les éléments des contrepoids des roues d’avant. Les équations (%) et (j), en y faisant p' = o, feront connaître les contrepoids des roues motrices principales.
 - 3° Soit w0cos6 — w.—o.
 - Dans cette circonstance on peut à volonté choisir Tune ou l’autre des deux solutions précédentes, ce qui est évident ; les contre poids de masses p. ou p." seront d’ailleurs très faibles, à cause que sine est une faible fraction.
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 - Machines à quatre roues accouplées,
 - SS. Roues motrices principales à l’arrière. — Il est clair qu’il ne peut être question que de l’accouplement avec les roues du milieu. Les quantités V, p/,/, s', se rapportant à ces roues, les équations (h) deviendront
 - J'f/p,sine':=M'0sinô,
 - Z'p/p' COS Zr = tt^COS 0 — .
 - et l’on en tirera ef et prp'. Ce mode d’accouplement ne sera avantageux, au point de vue de la réduction des masses des contrepoids, que si la fonction fv0cosQ— wx se trouve être né^ gative; dans le cas contraire on serait obligé d’admettre une valeur positive de cose', ce qui nécessiterait un accroissement des masses des contrepoids des roues motrices principales. Quoiqu’il en arrive, les équations (i)et (j), en y faisant p"z=zo, serviront à déterminer ces derniers.
 - Roues motrices principales au milieu. — Les abscisses V et ln sont de signes contraires : nous emploierons les accents ' pour les roues d’arrière, et les accents u pour les roues d’avant.
 - 1° Accouplement à Varrière. On fera usage des formules (108) ; et l’on observera que cos s' ne sera négatif qu’autant que l’on aura w^eosQ—«\>o; dans le cas contraire ce mode d’accouplement serait désavantageux.
 - 2° Accouplement à l'avant.—On se servira des formules (107), qui ne donneront coss" négatif, que si l’on a k'0cosô—jw», <o.
 - Il s’ensuit qu’en l’absence de motifs étrangers qui conduisent à préférer l’un des deux modes d’accouplement à l’autre, il faudrait accoupler les roues à l’arrière ou à l’avant, suivant que la fonction correspondante w0cosd — çvx est positive ou négative (*).
 - (*) Je profiterai de la circonstance pour justifier une assertion que j’ai émise devant la Société des ingénieurs civils. C’est que, si l’on ne se préoccupe
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 - Les équations (i) et (J), en y supprimant les termes affectés de p/' dans le premier cas, et de y.' dans le second, feront connaître les éléments des contrepoids des roues motrices principales.
 - Machines à roues indépendantes.
 - 56. Pans ces machines, le seul terme que contienne la somme 2±.WnÇInU” est relatif à la manivelle principale^ mais ce terme est nul, attendu que l’abscisse correspondante U" est égale à zéro : on a donc o. Les masses y! et y" étant nulles aussi, les équations (h) n’admettent d’autre solution que
 - Wo=o, (110)
 - laquelle se réduit en vertu de la 2e équation if) h
 - B" = B. (111)
 - Nous avons déjà dit que cette condition ne peut être avantageusement remplie que par un prolongement de la bielle différent de celui qu’exigerait la condition h — o, relative à la destruction simultanée des tendances aux mouvements de tangage, lacet, oscillations normales et mouvement de roulis. Il faut donc renoncer, dans les machines à roues indépendantes, à détruire les tendances au mouvement de galop, si l’on ne consent pas à prolonger la bielle de manière à satisfaire à l’équation (111), et, dans tous les cas, renoncer à faire disparaître simultanément les tendances aux divers mouvements qu’on peut redouter dans une machine locomotive. La facilité qu’offrentles machines
 - que du mouvement de galop, et que l’on suppose ïr—— l", et la variation de w», à peu près insignifiante par rapport à «'Ocos0 lorsque l’on passe de Pun des modes d’accouplement à l’autre, il est indifférent d’accoupler à l’avant ou à l’arrière ; mais que, dans cette inversion, les contrepoids des roues extrêmes doivent être disposés en sens contraires. Cela résulte en effet de la comparaison des équations (107) et 108), où, les seconds membres restant les mêmes, les coefficients V' et l’ des premiers deviennent égaux et de signes contraires et conduisent nécessairement aux relations e"—e'=±«, p!ip'<=>p'pK
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 - à cylindres extérieurs de prolonger la bielle ne serait-elle pas une raison de les préférer aux machines à cylindres intérieurs ?
 - Le calcul des contrepoids s’effectuera au moyen des équations (i) et (j), privées des termes qui ont pour facteurs les masses p/ et p/L
 - Machines employées au chemin du Nord.
 - 57. Nous voulons parler des machines qui présentent cela de particulier, que le centre du cercle décrit par l’extrémité de la bielle ne se trouve pas sur l’axe des roues motrices principales.
 - On appliquera à ces machines le mode de discussion dont nous avons fait usage dans les nos 3h et 35 ; seulement? I n’étant pas nul, on pourra considérer comme essieu moteur principal celui qui est le plus voisin de la droite qui joint les centres des cercles décrits par les extrémités des bielles, et prendre Z pour l’abscisse de cet essieu. Il faudra donc? dans la discussion et les applications, conserver les derniers termes des seconds membres des équations {h}. À cela près, le calcul des contrepoids s’effectuera, pour ces machines, de la même manière que pour les machines étudiées plus haut qui présentent le même mode d’accouplement.
 - BASES d’un PROJET RATIONNEL D’EXPÉRIENCES A ENTREPRENDRE POUR
 - RÉSOUDRE LES QUESTIONS ACTUELLEMENT INACCESSIBLES A L’ANA-
 - LVSE MATHÉMATIQUE DANS LA THÉORIE DE LA STABILITÉ DES
 - MACHINES LOCOMOTIVES EN MOUVEMENT.
 - 5.8. Les expériences que nous proposerons aux ingénieurs ont leur point de départ dans la théorie exposée dans ce mémoire.» Il se pourrait cependant que l’on trouvât utile de vérifier expérimentalement l’exactitude de la théorie elle-même. Nous commencerons donc par dire quelques mots des procédés à employer pour effectuer cette vérification. Une opinion très
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- - généralement répandue consiste en ce que les résultats obtenus au moyen d’expériences faites en petit ne prouvent rien lorsqu’il s’agit des applications en grand. La question qui nous occupe offre un exemple où, au contraire, une expérience en petit peut être rendue plus démonstrative qu’une expérience en grand. Les expériences faites jusqu’ici sur la stabilité des locomotives ont consisté à suspendre une telle machine munie successivement de divers systèmes de contrepoids et à mettre en mouvement l’appareil moteur j puis on constatait plus ou moins imparfaitement les oscillations du bâtis de la machine. Or il est clair que les effets provenant du mouvement de l’appareil moteur devaient être d’autant moins sensibles, que la masse entière de la locomotive était plus considérable par rapport aux masses des pièces mobiles, et que ces effets se seraient trouvés considérablement augmentés s’il avait été possible de réduire la masse des pièces fixes au seul bâtis de la locomotive. Ce mode d’expérimenter, impraticable avec une locomotive, peut au contraire s’appliquer avec la plus grande facilité à un petit modèle. Imaginons un châssis très léger et aussi très résistant, sur lequel on établirait trois paires de roues pouvant être accoupléesde diverses manières, et deux systèmes de manivelles, bielles et piston, dont les masses seraient considérables par rapport à celles du châssis et des roues. Quant à la mise en mouvement de ces pièces, elle serait obtenue, soit au moyen de la vapeur, soit plus simplement à l’aide d’un mouvement d’horlogerie communiquant directement avec l’axe de l’essieu moteur principal. Cet appareil serait suspendu à des lames élastiques, dont les flexions mesureraient les excursions verticales des points de suspension. Des indicateurs, ou tout autre mode d’observation, donneraient la mesure des excursions du bâtis, tant dans le sens longitudinal que dans le sens latéral. Les premières expériences auraient pour objet de constater les divers mouvements du bâtis, lorsque les roues motrices non munies de contrepoids seraient animées de vitesses moyennes de rotation déterminées. Voici ensuite les vérifications de la théorie
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- - que l’on pourrait se proposer à l’aide de cet appareil : 1° on appliquerait aux roues autres que les roues motrices principales des contrepoids calculés à l’aide des formules (h) n° 33, et l’on constaterait que le mouvement de galop a disparu ; 2° on armerait en outre les roues motrices principales de contrepoids calculés d’après les formules (i) et (j) en y faisant 6{—o, et l’expérience montrerait que les mouvements de tangage et de lacet sont supprimés, tandis que les oscillations verticales et le mouvement de roulis subsistent ; 3° ces derniers contrepoids seraient remplacés par d’autres calculés suivant les mêmes formules, mais en y faisant 0'—±i ^, et l’on trouverait que les oscillations verticales et le mouvement de roulis ont cessé de se produire, tandis que le tangage et le mouvement de lacet se sont manifestés de nouveau ; k° on pourrait comparer les effets de deux systèmes de contrepoids des roues motrices principales calculés avec des valeurs égales et de signes contraires de 0r, mais différentes de zéro ou et s’assurer que, pour des vitesses égales, les mouvements qui subsistent acquièrent des amplitudes égales respectivement; 5° enfin, l’appareil étant supposé avoir au moins quatre roues accouplées, il y aurait à changer la bielle en y substituant une bielle prolongée du côté du bouton de la manivelle, et munie, de ce côté , d’un contrepoids capable de faire équilibre au poids de la bielle et du piston autour du bouton de la manivelle; en d’autres termes, la bielle devrait être disposée de manière à satisfaire à la condition k—o ou Wz=z o, la valeur de k étant donnée par l’équation (c) n° 33. Dans cette circonstance, tous les contrepoids seraient changés et calculés d’après les équations (h), (i) et (j). L’expérience montrerait alors que tous les mouvements ont sensiblement disparu ; il ne devrait subsister que ceux qui répondent aux termes du 2eordre et des ordres supérieurs, que nous avons négligés, et aux termes dépendants des variations de vitesse, dont nous n'avons pu réduire les coefficients à zéro. (Voir équations du n° 28.)
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 - Dans cette dernière expérience, il serait nécessaire d’employer un ressort moteur plus fort , ou une plus haute pression si l’on employait la vapeur, pour vaincre les frottements qui se développeraient, par des vitesses un peu considérables, sur les glissières et les boutons des manivelles motrices ; les sections des bielles , les boutons de manivelles et les glissières elles-mêmes devraient, d’ailleurs, présenter une résistance suffisante aux elTorts qui répondent aux variations de la vitesse angulaire des bielles et au carré de cette vitesse.
 - Telles sont les expériences qu’il y aurait lieu de faire préalablement si l’on avait quelques doutes sur l’exactitude de notre théorie, et qui seraient de nature à en vérifier les points fondamentaux j mais les expériences que nous avons plus particulièrement en vue sont d’une tout autre nature et doivent être faites, non avec des modèles en petit, mais bien sur des locomotives faisant un service assez régulier pour qu’il soit possible de constater sûrement les inconvénients que peut présenter un système donné de bielle et de contrepoids.
 - 59. Nous avons vu que toutes les conditions théoriques do la stabilité seraient remplies dans les machines accouplées si l’on prolongeait la bielle de manière à satisfaire a l'équation o, ce qui rendrait les autres équations de condition indépendantes de l’indéterminée 6'; nous avons dit aussi , n° 27 , quels inconvénients entraînerait la réalisation de cette condition. Quant aux machines à roues indépendantes, il n’est pas possible , même théoriquement, de satisfaire à l’ensemble des.conditions de la stabilité. Mais il résulte de ce qui a été exposé au n° 27 que, dans tous les cas, il ne naîtrait d’inconvénients sensibles d’un prolongement de la bielle qu a partir du point où l’on aurait w0 — o ou en sorte qu’il sera toujours avan-
 - tageux de prolonger la bielle au moins jusqu’à ce point. La quantité h ne pouvant généralement être rendue nulle dans la pratique , et les conditions k =o et w0~o se trouvant incompatibles dans les machines à roues indépendantes, la détermination des
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- - contrepoids dépend à la fois des quantités k et w0 relatives à îa bielle , et de l’indéterminée V (on pourrait ici substituer à 0r la somme 0-{- 0\ considérée comme une seule variable, mais d’autres considérations vont nous conduire à conserver la variable 0'). Le problème général qu’il nous reste à aborder consiste à déterminer la distribution de la masse de la bielle et la valeur de 6!, qui, dans un système donné de locomotive, entraînent la moindre somme d’inconvénients.
 - Les inconvénients relatifs à l’accroissement des pressions exercées sur les glissières et les boutons des manivelles ont été examinés n° 27 , et l’on a vu que cet accroissement dépend particulièrement de w0 et à un moindre degré de k. En se reportant aux équations du n° 28, qui donnent les variations des sommes des composantes des actions exercées par les rails et de leurs moments, on reconnaît que les variations restantes après l’application des contrepoids dépendent principalement de k et 0r, tandis que w0 n’exerce qu’une assez faible influence. (L’indéterminée O' se présente, dans ces équations, isolée de l’angle G.) Admettons que l’on puisse assigner numériquement la somme des inconvénients à redouter, et soit^ cette somme: la quantité ^ est une fonction des trois variables k, w>0, G?, lorsque la forme de la bielle est indéterminée, et de la seule variable 0' lorsque l’état de la bielle est fixé d’une manière définitive. La recherche du minimum d’une fonction de trois variables par voie expérimentale étant à peu près impraticable , il convient de réduire ce nombre à deux , si cela se peut. On y parviendra de la manière suivante : dans le but d’accroître le moins possible la masse de la bielle, et par suite celle dés contrepoids, supposons que l’on prolonge la bielle au moyen d’une tige prismatique, suffisamment résistante, d’une quantité telle que l’équation wQ~o soit satisfaite, et admettons d’ailleurs qu’aücun obstacle ne s’y oppose j puis adaptons à l’extrémité de ce prolongeaient une masse de forme soit lenticulaire, soit sphérique , ou mieux un'simple disque. Si l’on fait croître cette masse en changeant seulement Fuite de ses dimensions,
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- - parexemple lerayonde la lentille, delà sphère oüdudisque,il est clair quem0 augmentera, tandis que h diminuera : les deux variables se trouveront ainsi remplacées par une variable unique, qui sera ce même rayon. Désignons cette nouvelle variable par <R; % ne sera plus fonction que de «SR. et Br. Ajoutons que, si quelque obstacle s’opposait à ce que l’on prolongeât la bielle*au moyen d’une tige prismatique capable de satisfaire à l’équation wo—0 sans addition de masse à l’extrémité, le prolongement serait restreint dans les limites assignées par les obstacles, et l’on ajouterait une masse telle que l’on eûtre2r=:o. Dans les expériences, on ferait croître successivement le rayon il, le centre étant assujetti àse trouver sur un point constant du prolongement.
 - Quant à la variable 6r, il convient de fixer les limites entre lesquelles on devra en étudier les variations.
 - Nous avons fait remarquer, n° 22, que le changement de Br en k-^-B' dans les formules (7â) n’apporte aucun changement dans les expressions qui servent à calculer les contrepoids : d’où il suit que les valeurs des inégalités qui subsistent dans les équations de translation et de rotation appliquées à des systèmes de contrepoids calculés avec les valeurs B1 et7r + ôf sont identiques, ce dont on peut s’assurer d’ailleurs en constatant que les équations du n° 28 ne subissent aucun changement lorsque l’on y met nr-J-6' à la place de Br.
 - On voit déjà qu'il suffirait d’étudier les variations de l’angle B’ dans un espace angulaire égal à une demi-circonférence. Mais il a été établi,'11° 28, que deux systèmes de contrepoids calculés avec des valeurs égales et de signes contraires de Br, présentent le même degré de stabilité. Dans l'un iet l'autre, les inégalités des réactions des rails se succèdent dans le même ordre et avec la même intensité, à la seule différence près que les situations de la manivelle correspondantes à des effets égaux'ne sont plus les mêmes. Quant aux inconvénients qui se rattachent aux variations de pression des extrémités dé la bielle sur les glissières et les boutons de manivelle, ils ne dépendent
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- - que de wa et ît. Il paraît donc très naturel d’admettre que les inconvénients relatifs à des valeurs égales et de signes contraires de B' sont égaux. Au reste, l’expérience pourrait être utilement invoquée pour confirmer cette prévision. De ceci il résulte que généralement il suffira d’étudier les effets de la variation de 6? dans l’intervalle angulaire d’un angle droit.
 - 40. Examinons d’abord le cas le plus simple, celui dans lequel la forme de la bielle sera donnée d’une manière invariable, comme dans les machines à cylindres intérieurs : la quantité % représentant la somme des inconvénients sera une fonction de la seule variable B’. Les contrepoids des roues, autres que les roues motrices principales, destinés à faire disparaître les tendances au mouvement de galop, seront calculés conformément aux prescriptions des nos 33 et suivants, et resteront les mêmes pendant toute la série des expériences. On adaptera successivement aux roues motrices principales des systèmes do contrepoids calculés avec des valeurs diverses de Gf, telles que 0°, 30°, 60% 90°. Chaque valeur de B' fournira une valeur de /v, et l’on construira une courbe en prenant B' pour abscisse et x pour ordonnée; il est clair que l’ordonnée x présentera un minimum entre les abscisses G' — o° et 0'~ 90°. On n’aura plus qu’à déterminer la valeur de 0' qui répond à ce minimum. Or, comme, dans le voisinage d’un maximum ou d’un minimum, les ordonnées varient très peu, on pourra prendre, non pas précisément la valeur de B’ qui correspond au minimum , et que d’ailleurs il serait difficile de déterminer exactement, mais une valeur de B' correspondante à une ordonnée X peu différente de ce minimum. Il s’en trouvera généralement doux qui répondent à une même valeur on sera donc libre de choisir celle qui présente le plus d’avantages à d’autres égards.
 - Si la machine est à cylindres intérieurs, et que la distribution de la masse de la bielle ait été faite de manière que la quantité rc3 approche le plus possible d’être nulle, les expé-
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 - riences seront terminées pour cette machine, et l’on n’aura plus qu’à appliquer aux roues motrices principales le système de contrepoids correspondant à la valeur de bf que l’on aura admise.
 - Il y aurait avantage, dans une première série d’expériences, à essayer un plus grand nombre de valeurs de b'; on pourrait, par exemple, expérimenter sur les valeurs 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, en ayant le soin de prendre ces valeurs alternativement positives et négatives : la courbe des valeurs de ^ étant ensuite construite sans avoir égard aux signes de b\ e’est-à-dire en prenant toutes les abscisses positives, la continuité de la courbe ainsi obtenue confirmerait ce que nous ayons avancé sur ce qu’il y a d’indifférent à employer des valeurs égales et de signes contraires de 6'.
 - Considérons actuellement le cas général où la distribution de la masse de la bielle et la quantité 6' sont indéterminées. Une première série d’expériences, faites sans addition de masse à l’extrémité de la bielle prolongée, ou même, s’il est nécessaire pour obtenir w0—o, avec une masse additionnelle de rayon <&, fera connaître la valeur de br correspondante à une valeur nulle ou positive de Jl pour laquelle % est un minimum. Dans une seconde série d’expériences, on augmenterait le rayon Si , et l’on constaterait encore les valeurs correspondantes de b’ et du minimum de En faisant varier de la sorte le rayon tfl progressivement, on obtiendra une série de valeurs minima de £, et l’on s’arrêtera lorsque le décroissement du minimum de £ devient insensible, ou lorsque ce minimum commencera à croître. On obtiendra ainsi le minimum des minima de x, puis la valeur correspondante de b', et le problème sera résolu. Nous observerons, comme plus haut, qu’il ne sera pas nécessaire d’atteindre ce minimum, et que l’on pourra s’en tenir à un autre peu différent et qui exige une moindre masse additionnelle. Il est extrêmement probable que ce minimum absolu se présentera avant que l’on ait atteint la limite théorique k=zo, même dans les machines à marchandises, qui ne sont
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 - pas destinées aux grandes vitesses. Ayant fixé le minimum de ^ auquel on s’en tiendra, les valeurs correspondantes de <R et B' serviront à calculer le système de contrepoids qu’il faudra adopter définitivement.
 - On voit que, dans ces expériences, les contrepoids destinés à faire disparaître les tendances au mouvement de galop devront être changés chaque fois que l’on changera la valeur de <&.
 - Nous pourrions presque nous dispenser d’ajouter que, dans chaque série d’expériences, le serrage des ressorts de suspension devra être réglé de manière que les oscillations du bâtis restent sensiblement comprises entre des limites données. S’il devenait nécessaire de serrer les ressorts de telle sorte que leur élasticité ne fût plus suffisante pour parer aux actions imprévues, il faudrait rejeter le système de valeurs correspondantes de et 6’. On devrait rejeter également tous ceux qui laisseraient subsister des mouvements que la pratique ne tolère pas, bien que l’usé local des bandages et les frais de traction donnent une valeur admissible de je ; mais nous pensons que cette dernière circonstance ne se présentera guère que pour des valeurs de B’ voisines de ±:~.
 - Enfin , nous croyons devoir revenir sur les conditions de résistance, en engageant les expérimentateurs à s’assurer par le calcul1 si, pour chacune des valeurs de <A, l’étendue et la forme des sections transversales les plus exposées de la bielle présentent une garantie suffisante contre les accidents, et à faire des calculs analogues en ce qui concerne les boutons des manivelles principales* et même les glissières.
 - 41. Nous avons maintenant à dire quelques mots do l’évaluation numérique de la fonction j^, évaluation que nous avons tout d’abord supposée praticable, afin de simplifier notre exposé. A cet égard, nous croyons que les ingénieurs attachés aux services des chemins de fer seront plus compétents que nous ne le pouvons être. Néanmoins, nous allons indiquer un
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 - moyen que nous recommanderions, si le temps qu’il semble devoir exiger ne nous paraissait pas trop, considérable. Nous présenterons ce moyen comme un exemple de la possibilité d’évaluer numériquement la fonction,afin que, si l’on veut rechercher un procédé d’expérimentation, plus facile et plus rapide, on ne perde pas de vue le caractère de cette fonction.
 - Il faudrait, avons-nous dit, rejeter les expériences dans lesquelles la stabilité obtenue ne se trouverait pas suffisante: la fonction x ne doit donc plus représenter que les inconvénients qui subsistent après que la stabilité désirable aura été réalisée, inconvénients provenant tant des petits mouvements non détruits que de la tendance d’autres mouvements à se manifester; puis aussi ceux qui pourront, provenir de la stabilité obtenue.
 - Les tendances aux mouvements et les mouvements eux-mêmes déterminent, de la part des rails, des réactions qui produisent l’usé local des bandages. D’ailleurs la stabilité peut avoir été obtenue au prix d’un accroissement de l’intensité des réactions mutuelles des organes de la machine. De là un accroissement du travail des frottements, une détérioration plus rapide de quelques uns de ces organes , et la nécessité de les réparer plus fréquemment.
 - Ceci posé , voici comment la valeur numérique de x semblerait pouvoir être déterminée. On ferait fonctionner la locomotive à étudier, avec des contrepoids calculés au moyen de valeurs données de et Ql, jusqu’à ce qu’elle dût rentrer dans les ateliers pour y êlre réparée, en ayant soin que, pendant toute la durée des expériences, elle soit consacrée à un même service, qu’elle soit alimentée de la même espèce de combustible , et que la vapeur y soit produite et utilisée de la même manière. On constaterait les frais de tournage des roues efc ceux qui leur correspondent dans la détérioration des banda^ ges, puis les frais do réparation et; d’entretien des autres organes mobiles de la machine, enfin la dépense de combusti-
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 - ble. On ramènerait, ensuite, au moyen des registres de service de la machine, la somme de ces frais à la partie proportionnelle qui est relative au transport d’une tonne à un kilomètre : le résultat représenterait la valeur numérique de Il doit être entendu que l’on ne ferait pas figurer dans l’état des dépenses celles qui seraient occasionnées par l’expérience elle-même : en effet, certaines pièces, manquant d’une résistance suffisante, pourraient être brisées ou mises hors d’état de servir davantage. On devrait aussi, dans le cas d’un changement survenu, pendant la durée des expériences, dans le prix des matières premières ou de la main-d’œuvre, ramener ces prix à une unité commune, etc.
 - Telles sont les réflexions que j’ai l'honneur de soumettre à l’examen des ingénieurs. Il ne me paraît pas possible de pousser la théorie plus loin que je l’ai fait, tant que l’on négligera l’effet des ressorts de suspension, et que l’on n’aura pas tiré de l’équation des forces vives les conditions propres à faire disparaître les variations de la vitesse. Lors même que la théorie serait achevée sous ces deux points de vue , il est probable que des conditions incompatibles, comme nous en avons trouvé, exigeraient encore le recours à l’expérience.
 - CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES
 - SUR LA
 - STABILITÉ DES MACHINES.
 - 42. Nous avons fait observer, a la fin du n° 9, que nos équations ne sont pas particulières aux locomotives, et qu’elles conviennent à toute machine remplissant les conditions de symétrie que nous avons admises pour les locomotives : elles conviennent donc aux machines de bateaux à vapeur et aux machines fixes composées de deux machines remplissant les mêmes conditions de symétrie et réunies par un bâtis commun.
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 - Dans ce dernier cas, nos formules se simplifieraient par l’an-
 - ,12Xn //2V fJ27
 - nulation des termes affectés des dérivées-j-r-, , —r-^.
 - dt2 dt2 dt2
 - En écrivant ce Mémoire, nous avions particulièrement en vue les machines locomotives, et nous n’avons pas cru nécessaire d’exposer la théorie générale de la stabilité des machines fixes. Il ne sera peut-être pas inutile d’en dire actuellement quelques mots.
 - Considérons les machines dont les organes sont renfermés dans un bâtis commun, et supposons d’ailleurs que ces organes puissent prendre des mouvements quelconques, sous la seule condition qu’ils soient dépendants les uns des autres ou solidaires. Les équations de translation et des moments (3), (6), (lé) et (15), en y réduisant chaque second membre à son dernier terme , feront connaître les sommes des composantes et des moments des réactions exercées sur le bâtis par les fondations ou supports de la machine. En exprimant les seconds membres en fonctions d’une variable unique et de ses dérivées, puis égalant à zéro la somme des coefficients des termes variables de même espèce, on aura les conditions que doivent remplir les masses en mouvement pour que les réactions exercées par les supports soient constantes. Ajoutons que, si les travaux des forces qui sollicitent la machine sont susceptibles de recevoir une expression analytique déterminée en fonction de la variable que l’on aura choisie, l’équation des forces vives et sa dérivée permettront d’éliminer de9 six équations de translation et des moments, soit la variable elle-même et l’une do ses dérivées, soit plutôt ces deux dernières ; ce qui pourra donner lieu à un système de conditions différent de celui qu’on obtiendrait en faisant abstraction de l’équation des forces vives. Mais lorsque, comme dans les locomotives, l’expression du travail moteur ne peut être assignée d'une manière générale, on sera souvent obligé de se borner aux seules conditions que fournissent les équations de translation et des moments.
 - Si l’on peut employer simultanément les équations de trans-
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 - lation et des moments, puis l’équation des forces vives, la destination de la machine exigera le plus généralement que l’on se pose une nouvelle condition, qui consiste en ce que la vitesse de l’un des organes reste comprise entre des limites données ou même soit constante. Cette nouvelle condition, considérée isolément, conduirait à l’emploi des règles ordinaires que fournit la théorie des volants; mais lorsque l’on se propose en même temps de satisfaire aux conditions de la stabilité que nous avons indiquées, on comprend qu’il est généralement difficile de traiter séparément les deux problèmes. En d’autres termes, il est visible que les conditions de stabilité des machines et celle de l’uniformité de leur marche donnent lieu a un problème complexe.
 - Lorsque tous les points des organes d’une machine se meuvent dans des plans parallèles, les différents termes qui dépen-dentdes coordonnées ou des vitesses dans les équations ci-dessus peuvent s’obtenir facilement et sans qu’il soit nécessaire d’avoir recours à d’autres notions que celles exposées dans ce Mémoire ; mais, si quelques uns des organes sont susceptibles de prendre des mouvements plus variés, il sera indispensable d’avoir recours aux théorèmes généraux sur la composition des moments et des vitesses angulaires des corps solides, ce qui conduit à la notion du moment principal, de l’axe instantané de rotation, et des moments d’inertie principaux** On trouve ces diverses théories exposées dans le Traité de Mécanique de Poisson.
 - Il ne suffit pas que les réactions constantes ou variables exercées par les fondations ou supports sur le bâtis soient connues, il faut encore que le bâtis lui-même soit capable de résister aux actions intérieures qui se développent pendant le mouvement. Dans la recherche de ces actions, on devra fractionner le bâtis en diverses parties, dont chacune reçoit de celle qui l’avoisine, ou des organes mobiles, des actions égales et contraires à celles qu’elle exerce sur eux et qu’il s’agit de déterminer. Ceci suffit pour faire voir que les procédés à employer pour la détermination dés effets auxquels sont soumises
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 - les différentes parties du bâtis fractionné de la sorte s’appliqueraient également aux supports isolés des machines qui ne seraient pas enfermées dans un bâtis commun ; à cela près que, pour ces machines, il n’y aura pas lieu de rechercher à priori les conditions de- stabilité auxquelles on peut vouloir assujettir les machines que nous avons envisagées d’abord : il faut alors chercher à satisfaire à ces conditions pour chaque support en, particulier, si cela est possible.
 - Ceci posé, en appliquant l'équation des forces vives à l’en-semble d’une machine, et négligeant dans une première approximation les parties actuellement inconnues du travail du frottement, on obtiendra, à l’aide des équations qui expriment, les liaisons du système, la vitesse de chacun des points mobiles pour toute situation de la machine,,et, par suite,la variation, de vitesse par unité de temps ; en sorte que l’état de mouvement, de chacun des organes sera complètement défini. On écrira, alors, pour chacun des organes séparément, les six équations de translation et des moments, dans lesquelles on connaît déjà les forces qui proviennent de l’action de la pesanteur, puis les forces motrices et résistantes qui répondent au travail moteur et à l’effet utile de la machine. On y joindra, suivant le besoin , des équations en nombre suffisant pour lever Pindéter-mination qui naîtrait de l’hypothèse de la rigidité absolue des, pièces (ces équations seraient fondées sur la considération de leur élasticité). La résolution de l’ensemble des équations, en ayant; égard au principe de l’égalité de l’action et de la réaction, fera* connaître chacune des composantes, des actions mutuelles des organes mobiles et de celles qu’ils reçoivent des supports ,ou; des .parties fractionnées du bâtis. Lorsque chaque organe mobile ne communiquera pas . directement; avec plps de- deux; OTr * ganes.de.ee genre, la résolution des équations; aéra considéra*-, bîement simplifiée : elle pourra s’effectuer de prochefqn proche.,
 - Les actionSimutuelles,étant ainsi déterminées, il sera possir. ble de procéder à une seconde approximation, dans laquelle on; complétera ou rectifiera le travail du frottement dans l’équation.
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 - des forces vives : pour obtenir une expression de ce travail suf fisamment exacte , il était nécessaire, en effet, de déterminer au moins approximativement les actions mutuelles au contact des organes mobiles. On pourra, si cela est jugé nécessaire, déterminer de nouveau ces actions, en recommençant les calculs à l’aide des nouvelles valeurs de la vitesse et de la variation de vitesse que fournira l’équation des forces vives, lorsqu’on y aura substitué une valeur plus approchée du travail du frottement.
 - Les réactions des organes mobiles sur les supports étant connues pour toute position du système, on devra appliquer aces supports les six équations de l’équilibre d’un corps solide , en introduisant dans ces équations les actions que ces supports reçoivent du sol ou des supports voisins. On examinera jusqu’à quel point il est possible et nécessaire de les rendre constantes, et, dans tous les cas, si elles sont compatibles avec la résistance du sol et des supports.
 - Pour donner une idée de la manière dont il convient d’étudier la résistance des organes mobiles eux-mêmes, nous considérerons le cas des bielles.
 - Imaginons une section faite par un plan perpendiculaire à l’axe de figure, et menons par le centre de gravité de la section un axe perpendiculairé au plan du mouvement; considérons l’une des deux parties ainsi séparées de la bielle, et dont le mouvement est censé connu par ce qui précède , ainsi que toutes les forces qui la sollicitent, à l’exception des forces moléculaires développées dans le voisinage de la section par les molécules appartenant a l’autre partie de la bielle. En appliquant deux équations de translation et une équation des moments à la partie de la bielle que nous considérons, on obtiendrais somnhes dés composantes parallèles et perpendiculaires a l’axe de là bielle dans lé plan du mouvement, et la somme des moments de ces actions moléculaires autour de l’axe passant par le centre de gravité de la section. A l’aide de ces quantités et de la forme de la section, la théorie ordinaire de
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 - la résistance des matériaux fera connaître l’effort auquel est soumise la fibre la plus exposée à la contraction ou à l’allongement: le coefficient d’élasticité indiquera ensuite si cet effort est compatible avec la substance dont la bielle est construite.
 - La question serait résolue s’il s’agissait seulement d’étudier la résistancd que présente la bielle en une section déterminée; mais le problème est plus compliqué. Ayant obtenu l’expression du plus grand effort auquel soit exposée une fibre d?une section donnée, il restera à rechercher quelles sont la section et la position de la bielle pour lesquelles ce plus grand effort est un maximum, et si ce maximum est compatible avec la résistance de la matière de la bielle.
 - Le cas relatif à la résistance des jantes de roues ou de volants est assez familier aux ingénieurs pour que nous nous dispensions de l’examiner ici.
 - Quant à la résistance des arbres aux efforts de torsion, les notions les plus exactes que l’on possède sur cette matière délicate ont été exposées par M. Barré de Saint-Venant.
 - L’étendue déjà considérable de ce Mémoire nous empêche d’entrer dans plus de détails pour le moment.
 - ADDITION
 - Relative au prolongement de la bielle.
 - Tout en indiquant la possibilité d’obtenir aisément certains résultats par une autre voie, nous avons dit au commencement du Mémoire, n° 2, que nous suivrions la méthode analytique comme offrant plus de sécurité. La confusion qui règne dans les idées de beaucoup do personnes sur certains points de la mécanique nous en faisait une obligation, sous peine d’entreprendre la tâche difficile de rectifier les idées fausses. A l’aide des deux principes qui nous ont servi de point de départ, et qui sont admis par tout le monde, il nous a été possible de réduire nos recherches à un travail d’analyse pure. Nous aurions manqué notre but en intercalant des démonstrations
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 - géométriques. Il était d’ailleurs utile d’obtenir les expressions calculables des composantes et des moments des réactions des rails, puisque les expressions dun°28 qui se rapportent à notre système de contrepoids conservent encore des parties variables, lorsque les quantités Je et w0 ne sont point annulées. Les relations (86) et (87), qui donnent jusqu’à un certain point la mesure de l’efficacité de ce système, étaient également utiles à former.
 - Nous pensons qu’on ne nous saura pas mauvais gré d’éclaircir, par quelques considérations très simples, ce que pourrait avoir d’obscur pour quelques ingénieurs la nécessité de prolonger la bielle de manière à satisfaire à la condition lirrro.
 - Sans qu’il soit nécessaire de rentrer au fond dans la question de la stabilité des locomotives en mbuvement, on admettra aisément que les conditions générales doivent comprendre celle-ci : que le centre de gravité des organes en mouvement doit rester fixe relativement au bâtis de la machine. Nous allons vérifier qu’effeetivement nos équations satisfont à cette condition, dans le cas simple des machines à roues indépendantes, où l’on supposerait que les centres de gravité du piston, de la bielle, de la manivelle et du contrepoids, sontsitués dans un même plan.
 - En admettant que le centre de gravité de ces diverses masses puisse se déplacer, il est aisé de voir que le déplacement de ce centre de gravité sera le même que celui d’un autre système de masses différent du précédent en cela seulement que damasse entière du piston!sera concentrée au point d'articulation de la bielle et de la têteffiii piston : ce point et le centre 'de gravité du piston sont effectivement animés^dès mêmes vitesses.
 - Nous avons établi n° 21 que la quantité k est le moment de 4a masse de la bielle èt'de eélle du piston concentrée à l'extrémité de la bielle, par rapport au bouton de la manivelle. La condition 7cir=o revient donc à ëe que le centre de gravité de ces masses passé pàr l’axe du bouton. On voit déjà que lé mouvement du centre de gravité général sera celui du système formé
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 - par le contrepoids, la manivelle, et les masses de la bielle et du piston concentrées au bouton de la manivelle. Ï1 est évident que ce centre de gravité général ne restera immobile dans toutes les positions du système qu’autant qu’il passera par l’axe de l’essieu j ce qui exige que le centre de gravité du contrepoids soit situé sur le prolongement de la manivelle, et que la somme des moments àutour de l’axe de l’essieu soit nulle, ou que le contrepoids fasse équilibre aux autres masses autour de cet axe.
 - Examinons comment nos équations (i) et (j) du n° 33 s’accordent avec ces résultats. L’hypothèse faite sur la situation des centres de gravité dans un plan unique entraîne Légalité des coordonnées 1, A et knr : d’où, en vertu des éq. (e)n° 33,
 - la condition /«'== o annule W, éq. (d) j et les équations(f) donnent J7.psill£ = 0, ftpCOSe— — U.
 - (Les équations (j) donnent des résultats tout pareils.)
 - On en tire s=180°, à cause de U positif} et pp=U. Or, en vertu de la première équation (e), U n’est autre chose qùe la somme des moments autour de l’axe de l’essieu, de la rdasse de la manivelle et des masses de la bielle et du piston concentrées au bouton de la manivelle. En ayant égard à la signiûcatièn de s et «p, on voit que nos équations (33) fournissent des résultats qui s’accordent effectivement avec les précédents.
 - L’explication que nous venons de présenter ne prouve pas, il est vrai, qu’aucune autre disposition des masses ne remplirait la condition de l’immobilité relative’du centre de gravité général; mais nous avons démontré assez simplement (séance du 7 mars 1851), en nous fondant sur la définition des (Coordonnées du centre de gravité, que le prolongement de la bielle offre la solution unique (nous avons évité, par un tour particulier de démonstration, la réduction en séries du radical qui exprime la valbur de cos/3).
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- - — 160 — ERRATA.
 - Page Ligne Au lieu de Lisez 1
 - 25 lîg. (1) horizontal * horizontale
 - 37 9 d2z d2z îr
 - 0 dt2 ' dt2
 - 45 d2z , . ^d2z
 - 3 en remontant -f-sinQ M — 1 dt2 4-sin O 2M -7-5 1 dt2
 - 52 4 en remontant (note) B* Bi
 - 53 6 en remontant (note) |(C,+ c) ?2(C.+C.)
 - 54 3 de la note .A
 - 55 s d\. d2v.
 - dt2 ’ dt2
 - 59 / col. éq. (Y), dern. lig. d2« dv2
 - —/xp). sine sin « — —u P/. si ne si n«-7-7 1 1 dt2
 - Tableau éq. (x), 3e lig. (bieile) dv2 rf2«
 - du sinîia.-j^ ' dt1 sin 2ia. —-dt2
 - n° 15 | éq.(y),lre col.jder.îig. +(S9_si"5') +(Æ-Jsin5')
 - 62 4 en remontant | T02M 5 r.2M
 - 63 1 T.
 - 69 o O sin(4i-l-2'/) sin (L\i -J- 2)«
 - 73 éq. (^), dern. ligne -{-/c eos 0 A -f-/ccos0A
 - 77 1 de la note B B*
 - 96 4e équation (81) T +v V +'“iA
 - 103 dernière IF II fff U. 0 ' S 1 1 cos
 - 123 6 Zg Z G
 - X XG
 - 131 6 en remontant maniv elleui manivelle qui
 - 136 4 duc hemin du chemin
 - Page 124, ligne 2 en remontant, après 1000 kilogr., ajoutez : par rapport à la charge moyenne, en sorte que l'amplitude de celte variation atteint presque 2000 kilogrammes.
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- - ilMoieis
 - EX
 - . COMPTE-RENDU DES TRAVAUX
 - DE EA
 - SOCIÉTÉ IMOÉIIEMS CÏVÎ3LS
 - (Juillet, Août et Septembre 1851)
 - N° 14.
 - Pendant le trimestre, on a traité les questions suivantes ?
 - 1° Discussion de la construction des ponts suspendus (V. le résumé des séances, p. 145) ;
 - 2® Construction des grilles de foyer (Y. le résumé des séances, p. 153);
 - 3° Travaux de sondage (V. le résumé des séances, p. 155);
 - 4® Application du calcul aux ressorts (Y. le résumé des séances, p. 156); .
 - 5° Echappement variable à orifice annulaire (Y. le résumé des séanoés, p. 171) ;
 - 6° Alimentation de la ville de Constantinople (Y» le résumé des séances, p. 183) ;
 - 7° Exposition de Londres , machines de bateaux à vapeur (Y. le résumé des séances, p. 186);
 - 8° Balance de sûreté pour les machines à vapeur (Y. le résumé des séances, p, |95);
 - 9° Discussion sur la désincrustation des chaudières des machines à vapeur (V. le résumé des séances, p. 196 à 203).
 - Pendant ce trimestre, la Société a reçu :
 - De M. Benoist Duportail, un exemplaire de son ouvrage sur
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 - la réception du matériel des chemins de fer et des appareils mécaniques en général.
 - De M. Léon Yvert, un exemplaire de sa Notice sur les ponts avec poujtres tubulaires en tôle.
 - De M. Guibal, un exemplaire d’un rapport fait en 1844 sur un voyage en Angleterre, adressé à la Société de commerce de Bruxelles et àM. Rainbeaux, administrateur et propriétaire du carbonnage du Grand-Hornn, par MM. Guibal, Boty et Glepin.
 - De M. Bridel, une note sur l’emploi de la tourbe à l’usine d’Undreveillers, dans le canton de Berne, en Suisse, pour la fabrication du fer.
 - De M. Polonceau, une note sur une nouvelle balance de sûreté à échappement instantané.
 - Pendant ce trimestre, on a admis comme membre sociétaire M. Petitga.nd, présenté par MM. Eug. Flachat, A. Barrault et E. Lorentz.
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- - MEMOIRE ]T XXVII.
 - Résistaaiee du fer et de la foute , feasée gseluei-l>alement sur Ses a»eeïiea*elaes exgséviBBBeutales Ses gslus recelâtes faites eu Angleterre*
 - Par M. LOVE,
 - OBSERVATIONS PRELIMINAIRES.
 - 1. Depuis plus de vingt ans, il n’a été presque rien ajouté, en France, aux données pratiques de la résistance du fer et de la fonte fournies par Duleau et Tredgold. Pendant cette môme période, au contraire, l’emploi de plus en plus fréquent de ces métaux dans les constructions de chemins de fer et dans les usines, en Angleterre, a bientôt démontré la rigoureuse nécessité de se livrer à de nouvelles-expériences, plus multipliées, plus complètes, afin de donner aux anciennes formules une nouvelle sanction, si elles devaient être conservées, ou d’y apporter les changements convenables pour mieux les adapter aux faits, si elles étaient insuffisantes. Les formules alors en usage dans ce pays avaienLélé établies en vue de donner directement le poids qu’une pièce pouvait supporter sans danger, celui que l’on supposait incapable de faire franchir la limite d’élasticité ; et les expériences dont ces formules avaient été déduiies n’avaient eu naturellement pour objet que la détermination de cette limite d’élasticité. Mais, aujourd’hui, M. Hodgkinson a établi d’une manière incontestable, par les résultats d’une longue pratique et d’une grande habileté dans l’art expérimental, que l’on s’était fait illusion en croyant pouvoir fixer par l’observation le point où l’élasticité du métal commençait à s’altérer; il a démontré qu’il faut en toutes circonstances pousser les épreuves jusqu’à la rupture, et que cette phase de la résistance des solides est le seul point d’où l’on puisse partir avec sécurité pour établir des formules pratiques de résistance.
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- - Les expériences d’où ressort, comme une conséquence nécessaire, le résultat général qui vient d’être énoncé, ont été faites dans trois circonstances différentes, et ont donné lieu, à des époques diverses, à trois publications du plus haut intérêt.
 - 2. En 1846, M. Hodgkinson résuma dans un ouvrage trop peu connu en France les expériences qui avaient été faites depuis une quinzaine d’années, en grande partie par lui-même, et en partie aussi parM.W. Fairbairn,un des plus habiles praticiens anglais. Dans ce volume, qui faisait suite à une nouvelle édition de l’Essai de Tredgold sur la résistance de la fonte, il relevait déjà les erreurs commises par cet auteur et ses adhérents sur la question de Yélasticité. Ce travail se distinguait en outre par de nouvelles expériences, plus complètes, plus étendues que toutes celles qui avaient paru jusque alors sur la résistance do la fonte à la traction, à la compression, à l’effort transversal, et surtout sur la résistance des piliers ou colonnes. Cette question des piliers, que tous les auteurs avant lui avaient négligée sous le rapport expérimental, est devenue aujourd’hui, grâces aux recherches de M. Hodgkinson, une des questions les plus importantes de la résistance des matériaux, si ce n’est peut-être la plus importante de toutes : car on n'a plus simplement à considérer les piliers au point de vue du rôle qu’ils jouent dans les constructions sous la forme et dans la position d’une colonne ordinaire ; mais il faut reconnaître qu’ils deviennent, dans beaucoup de cas, l’élément principal de la résistance des solides à un effort transversal. En effet, l’on verra qu’il existe des solides dont on ne peut connaître la résistance transversale qu’après avoir déterminé préalablement le taux de résistance de leur partie supérieure, considérée comme résistant à la manière d’un pilier.
 - 5. En 1847, un accident grave étant survenu par la rupture d’une poutre en fonte d’un pont de chemin de fer, l’opinion publique s’en émut. Pour ramener la tranquillité dans les esprits, pour édifier l’administration Anglaise sur les mesures à prendre à l’égard des constructions en métal, et enfin pour
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 - mettre à la disposition des ingénieurs des documents pratiques qui leur permissent à l’avenir d’atteindre plus sûrement cette condition essentielle de toute construction, la sécurité, une commission d’enquête fut instituée par ordonnance royale, à la fin de la même année , ayant pour mission de chercher à éclairer la question par tous les moyens possibles. A cet effet, une instruction fut poursuivie, dans laquelle on réunit les avis des ingénieurs et des praticiens les plus distingués de l’Angleterre sur toutes les questions de fabrication et d’emploi du fer et de la fonte. En outre, des expériences nombreuses furent entreprises, en prenant à peu près ce point de départ : que l’on me savait rien sur la résistance du fer et de la fonte. La commission d’enquête termina ses travaux vers le milieu de l’année 3 849, et les consigna dans deux volumes, qui, bien que destinés aux Chambres, furent mis en vente, afin que les ingénieurs , qui avaient plus d’intérêt que qui que ce fût à en prendre connaissance, pussent se les procurer (1).
 - 4. Aux résultats importants obtenus par la commission d’enquête vinrent bientôt s’ajouter ceux qui résultaient des nombreuses expériences par lesquelles M. R. Stephenson préluda à la construction de ses ponts tubulaires. Tous ces documents réunis forment une mine précieuse dans laquelle les savants, pour peu qu’ils cherchent,trouveront des faits capables de redresser leurs théories, et les praticiens un ensemble de renseignements pratiques qui les mettront à même de faire de nouvelles constructions mieux entendues, et dans lesquelles ils
 - (l) Il y a eu aussi, en France, une enquête administrative à la suite du déplorable accident du pont suspendu d’Angers. Mais quel en a été le résultat? On l’ignore ; tout ce que le public a pu en voir sortir, ce sont des mesures de précautions à l’égard des ponts suspendus, qui, loin de le rassurer, sont plutôt de nature à lui inspirer de nouvelles appréhensions. On verra plus loin que l’ingénieur a quelque raison de les partager, et qu’il y a beaucoup à faire pour prouver qu’un pont suspendu, surtout en fil de fer, présente le degré de sécurité convenable.
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 - pourront, ce qui no s’est peut-être jamais rencontré, satisfaire à la fois à ces deux conditions, que l’on ne devrait jamais perdre de vue ni séparer l’une de l’autre : la sécurité, l’économie.
 - S. Telleest, du moins, la situation nouvelle que fait aux ingénieurs anglais la publication des documents qui viennent d’être passés en revue. En est-il de même en France ? On ne peut l’affirmer. Nous avons dans ce pays peu de goût pour les langues étrangères, et nous sommes tellement persuadés que nous marchons sur tous les points à la tête de la civilisation, bien qu’il en soit tout autrement en maintes occasions, que nous montrons, en général, un dédain superbe pour tout ce qui se fait chez nos voisins. Ainsi, par exemple, il y a plus de dix ans que M. Hodgkinson a fait faire un pas considérable à la Science expérimentale et à l’art des constructions en fonte en Angleterre, et le nom de cet habile expérimentateur commence seulement à être connu dans notre pays.
 - Cependant il importe bien plus aux Français qu’aux Anglais de connaître les résultats des dernières expériences ; car ces derniers ont à peu près terminé leur réseau de chemins de fer, tandis que les premiers ont fait à peine la moitié de leur tâche, s’ils veulent, dans cette voie, marcher de front avec leurs voisins, même les plus humbles. On ne peut donc méconnaître qu’il est urgent que les résultats pratiques obtenus en Angleterre soient au plus vite répandus parmi les ingénieurs français. Pour remplir ce but, autant que mes faibles moyens le permettaient , je m’étais proposé de publier un travail dans lequel j’avais réuni et analysé les expériences les plus intéressantes faites dans les circonstances diverses qui viennent d’être énumérées, en les accompagnant des formules qui en dérivaient. Mais tous ces documents rassemblés formaient un ouvragé assez volumineux5 et, réfléchissant que je m’adressais principalement à des hommes pratiques qui n’ont pas le temps d’entrer dans les détails de toutes les expériences et des procédés à l’aide desquels les formules avaient été obtenues, j’aï cru utile de réduire mon travail à sa plus simple exprès-
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- - 810n, et de le présenter à la Société des ingénieurs civils sous Sa forme d’un Mémoire, dans lequel je me borne, en général, à rapporter succinctement les principaux résultats, et à donner les formules applicables aux divers genres d’efforts , aux diverses formes de solides, en les appuyant par des applications à des cas d’expériences. Pour ceux qui ont le temps de pousser leurs investigations plus loin, je cite les ouvrages auxquels j’ai eu recours ; et, comme ils sont assez dispendieux, il n’est peut-être pas hors do propos que je dise ici qu’on les trouve presque tous à la bibliothèque du Conservatoire des arts et métiers (1).
 - Il me reste à dire, pour terminer ces observations préliminaires, qu’outre les expériences particulières auxquelles M. Hodgkinson s’est livré, et qu’il a résumées dans son ouvrage, on lui doit le plus grand nombre de celles qui ont été faites tant lors de l’enquête anglaise qu’à propos de la construction des ponts tubulaires. Ces expériences ont été accomplies avec un soin, une habileté, qui appellent sur les résultats une confiance sans réserve.Les formules de M. Hodgkinson s’adaptent aussi très bien à ses expériences; seulement, on pourrait peut-être faire le reproche à quelques unes d’entre elles, celles des piliers, par exemple, de n’avoir pas une forme assez pratique. Tout en traduisant fidèlement ces dernières, j’en ai donné d’autres, que les praticiens trouveront, je l’espère , plus commodes. En général , je me suis péu attaché à conserver les formules anglaises , qui sont établies dans un esprit différent de celles en usagé dans notre pays. Ces formules sont trop spéciales et exigeraient
 - (1) Je saisis cette occasion pour recommander cette bibliothèque aux ingénieurs, tant pour les ouvrages excellents que l’on y trouve et qui concernent particulièrement notre art, qu’en raison du bon accueil et dé l’extrême complaisance des employés. Ce sont là deux avantages que l’on ne voit pas souvent réunis dans ces sortes d’établissements; et il n’est que juste d’en signaler les trop rares exemples.
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 - souvent de nouvelles expériences pour être appliquées. Or, ïe# expériences coûtent cher en France, et il y avait un grand intérêt à tirer de celles faites en Angleterre un parti tel, que l’on pût, dans la plupart des cas, se dispenser d’en faire de nouvelles : c’est ce que j’ai tenté. C’est aussi dans ce but que j’ai essayé de soumettre à des règles fixes la résistance des piliers creux,, carrés ou rectangulaires, des poutres creuses en tôle, etc.,, que les expérimentateurs anglais avaient cru n’être soumise à aucune loi. La lecture de ce mémoire montrera jusqu’à quel point j’ai réussi dans cette entreprise; et peut-être, au moins,, fera-t-elle naître dans l’esprit d’autres ingénieurs, poursuivant le même but, l’idée de suppléer à ce que mon travail peut présenter de défectueux et d’imparfait.
 - CHAPITRE L
 - BU FER ET DE Ï.A FONTE SOUMIS A DES EFFORTS DE TRACTION*
 - G. Afin d’établir nettement la part de lumières nouvelles que les expérimentateurs anglais ont apportée dans la question de la résistance du fer et de la fonte, je rappellerai en quelques mots où en était cette question à l’époque où ils ont commencé' leurs expériences. Je ferai d’abord remarquer, en termes généraux , qu’il n’existait, à proprement parler, aucune expérience capable de soulager le praticien de la crainte bien fondée que lui inspiraient les formules théoriques; et, en ce qui concerne le paragraphe actuel, on peut dire qu’il était généralement admis par les ingénieurs s
 - 1° Que dans certaines limites le fer et la fonte, sous l’action de charges croissantes, s’allongeaient régulièrement et proportionnellement à la charge ; c
 - 2° Qu’il existait un point appelé limite d’élasticité où cette ïoi cessait d’exister, et où l’allongement s'effectuait dans une proportion plus rapide que la charge; en outre , à partir de c©
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 - pointj le métal conservait un allongement permanent, c’est-à-dire que, la charge étant enlevée, il ne revenait pas à sa longueur primitive j
 - 3° Que, sous la même charge, le fer s’allongeait plus que la fonte (1) 5
 - h° Sans que cela fût parfaitement reconnu, j’ajouterai qu’il y avait une tendance générale à croire que dans la deuxième phase de l’élasticité du métal il existait un point, encore assez éloigné de celui où se produit la rupture instantanée, où Faction de la charge, prolongée pendant un certain temps, augmentait sans cesse l’allongement primitivement observé, et finissait par provoquer la rupture ;
 - 5° Enfin, on admettait que la résistance du fer et de la fonte dans des échantillons du même calibre, mais de provenances diverses, variait assez peu pour adopter une moyenne de résistance.
 - Aujourd’hui, un grand nombre d’expériences concluantes permettent de rectifier la plupart des formules fournies par la théorie et de les suppléer au besoin ; en outre elles modifient, comme il suit, les idées que l’on s’était formées sur l’allongement du fer et de la fonte :
 - Premièrement. — La proportionnalité entre l’allongement et la charge n’existe pas. (Je dois dire, cependant, qu’en pratique on peut, sans erreur sensible, affirmer cette loi pour le fer pour des charges comprises entre 0 et la moitié de celle qui produirait la rupture instantanée).
 - (1) On trouve dans les divers auteurs qui ont traité de la résistance des matériaux que, le module d’élasticité du fer étant représenté par 20 000, celui de la fonte l’est par 12 000 seulement. Ce qui signifie, pour les savants, que la fonte sous le même poids s’allonge environ une fois et demie plus que le fer. Malheureusement cette expression, module d'élasticité, est si vague, et souvent traduite en termes si peu compréhensibles, que, malgré les résultats que je viens de rapporter dans cette note, une opinion contraire au fait qu’ils indiquent s’est généralement accréditée chez les praticiens.
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 - Secondement. — Un allongement permanent se manifeste sous les plus petites charges : par conséquent il n’y a pas de limite d'élasticité, et les formules qui fixent celte limite sont nécessairement fausses.
 - Troisièmement. — Sous la même charge, la fonte s’allonge beaucoup plus que le fer.
 - Quatrièmement. — Le fer et la fonte, soustraits aux chocs ou aux vibrations, supportent indéfiniment les charges les plus voisines de celles capables de produire la rupture instantanée.
 - Cinquièmement. — Les écarts considérables de résistance observés sur les échantillons de fer ou de fonte de même calibre, mais de provenances diverses, ne permettent en aucune façon de compter sur une moyenne de résistance. Il en résulte que, lorsqu’on ne connaît pas la résistance particulière du métal dont on dispose, la prudence conseille d’adopter le taux minimum de résistance fourni par l’observation.
 - Enfin j’ajouterai, en ce qui concerne le fer, que, suivant l’opinion d’ingénieurs très distingués, au nombre desquels figure M. Brunei fils, la structure cristalline ou fibreuse de la Cassure ne serait pas un indice certain, absolu, de la qualité et de la force du métal. M. Brunei a, en effet, entretenu la commission d’enquête d’expériences fort intéressantes dans lesquelles il avait produit à volonté dans la même barre une cassure présentant tour à tour l’aspect cristallin on fibreux.
 - Allongement du fer et de la fonte.
 - 7. M. Hodgkinson a déduit de ses expériences (1) sur des fontes diverses, mais dont la résistance par cent. q. s’éloigne
 - (1) Pour rendre les allongements plus sensibles, M. H. a opéré sur des barres de 50 pieds de longueur, en trois parties, assemblées par deux manchons filetés. Ces barres étaient suspendues au comble d’un bangar fort élevé, et portaient, fixé à leur partie supérieure seulement, un appareil fort simplécet destiné à mesurer les allongements obtenus sous des charges croissantes jusqu’à la rupture.
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 - peu de 1100 kil., une formule reliant l’allongement à la charge qui le produit et à la longueur de la barre. Cette formule, transformée de manière à ce que le poids soit exprimé en kilogrammes et la longueur en centimètres, est la suivante :
 - P = 969 568 ^- 188 500 268^. (4)
 - L L»
 - On en tire la valeur de l’allongement, connaissant le poids : a=L(0.002 571 794—1^0.000 006 614 12— 0.000 000 005 305 Ü5P). (2)
 - 8. Pour l’allongement du fer, le résultat obtenu par M. Hodg-kinson s’écarte peu de celui fourni par Duleau. Voici quelle est la formule qui exprime l’allongement a produit dans une barre de longueur L par un poids P :
 - PL
 - 1934 565’
 - (3)
 - D’après Duleau, pour un fer doux de bonne qualité, le dénominateur serait 2000000.
 - Les barres de fer expérimentées par M. Hodgkinson avaient, comme pour la fonte, 2 cent. 1/2 de côté en section et 50 pieds de longueur. En janvier 1835, M. Bornet avait fait, à l’usine de Guôrigny, des expériences semblables sur des barres de 6 m. de longueur, mais d’un calibre beaucoup plus fort. Ces barres avaient en effet 5 à 6 cent, de côté en section. Les expériences de M. Bornet, quoique incomplètes, confirment une partie dès résultats trouvés par M. Hodgkinson. Les barres de 'l'expérimentateur français se sont allongées beaucoup moins* Ainsi la formule qui, dans ce cas, donnerait l’allongement en fonction du poids et de la longueur serait
 - PL
 - 2 851 404
 - (4).
 - On ne peut cependant déduire de là, d’une manière absolue, que les gros fers s’allongent moins que les fers moyens; il faudrait pour cela que les expériences de MM. Bornet et Hodgkinson eussent été faites sur des barres d’une même pro-
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 - venance. Cependant l’allongement du fil de fer, qui est encore plus grand que celui du fer d’un calibre moyen, vient appuyer cette opinion que l’allongement pour un même poids est en sens inverse du calibre; car la formule de l’allongement que j’ai tirée des expériences de M. Leblanc , ingénieur en chef des ponts et chaussées, est :
 - _ PL ,kN
 - a 1158 240* ^
 - Il s’ensuivrait que le fil de fer s’allongerait deux fois autant que le fer d’un calibre moyen , et près de trois fois autant que le gros fer carré de 5 à 6 cent, de côté.
 - Je ferai remarquer que cette dernière formule est celle qui donne l’allongement du fil de fer à partir d’une charge égale à 0, comme’pour le fer en barres (1). Or, la longueur du fil de fer correspondant à une charge nulle n’est pas connue directement. On part toujours , en pratique, d’une longueur l, qui est celle qui résulte d’une tension initiale Pr, sous laquelle le câble est formé. L’allongement ar, correspondant à cette tension, est donné d’abord par la formule :
 - ,,_F(l-aQ r , Fi
 - “1158 240 dou a ~ H5S 240 + P'*
 - Remplaçant alors, dans la formule (5), L par sa valeur l—a', on en tire finalement l’allongement réel du câble et par suite sa longueur totale, L-j-a, sous la charge permanente P par cent. q. qu’il serait appelé à supporter.
 - 9. Si, au moyen des formules (2) et (3), et pour mieux juger de la différence qui existe dans les quantités dont le fer en barres et la fonte s’allongent pour un même poids, on recherche les allongements qu’éprouveraient deux barres de ces métaux
 - (1) C’est afin de rendre comparables les allongements du fer sous une mê* me charge, quel que soit le calibre sous lequel il se présente.
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 - ayant 10 m. de longueur et 1 cent, carré de section sous une charge de 1000 kil., on trouve :
 - l
 - Pour la fonte amie.373 ou de la longueur de la barre ,
 - 4
 - Pour le fer amO .516 ou — id id. :
 - 193u
 - d’où l’on voit que la fonte , près de la limite de sa résistance , s’allonge près de trois fois autant que le fer sous la même charge.
 - Résistance finale du fer et de la fonte à la rupture par traction.
 - f O. La résistance de la fonte à la rupture par traction varie dans des limites extrêmement étendues. Ainsi, dans les expériences (1) de M. Hodgkinson sur les dix-sept espèces de fontes dont il est question dans le rapport de la commission d’enquête anglaise, le plus faible échantillon s’est rompu sous une charge de 777 kilog. par cent, quarré; le plus fort, sous une charge de 1811 kilog. Un écart à peu près semblable avait été observé antérieurement par le même expérimentateur sur onze autres espèces de fonte. La moyenne générale delà résistance de toutes ces fontes est d’environ 1100 kilog. Il est probable qu’en France, où une grande quantité de fonte est encore obtenue au combustible végétal, l’écart entre les résistances maxima et minima est encore plus grand. Quant à la résistance moyenne, autant que l’on peut en juger d’après les seules expériences un peu étendues qui aient été faites, par MM. Minard et Desormes en 1815, il ne paraît pas qu’elle soit supérieure à
 - (1) Ces expériences ont été faites sur des barreaux de 60 cent, de longueur et de 7 cent, quarrés de section, présentant diverses formes de section. Il ne paraît pas que cette forme ait aucune influence sur la résistance. En outre, en comparant les résultats de ces expériences à ceux obtenus accidentellement dans les expériences sur rallongement (barres de 15m»45 do longueur', on ne trouve pas non plus que la longueur ait pour effet de diminuer la résistance.
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- - Mk —
 - celle obtenue par M. Hodgkinson sur les fontes anglaises (1).
 - 11. On voit donc que l’on ne peut guère, en pratique, compter sur une moyenne générale de résistance pour toutes les fontes d’un pays. 11 serait donc fort à désirer que l’on profitât en France du corps si distingué des ingénieurs des mines, et de la protection accordée à l’industrie du fer par l’état, pour déterminer, aux frais des maîtres de forges, la résistance des fontes produites dans chaque usine, ou tout au moins dans chaque district où le minerai, le combustible et les circonstances de la fabrication seraient les mêmes (2). Pour répondre à l’objection, que l’on pourrait me faire, que ce travail serait sans utilité, par la raison qu’il existe aussi de grandes variations dans les résistances offertes par des échantillons d’une même fonte et provenant de la même coulée, je dirai : qu’ayant examiné le détail des expériences de M. Hodgkinson sur la traction et la compression, et dans lesquelles trois à six échantillons d’une même fonte avaient été rompus , j’ai trouvé que le plus grand écart entre les résistances de divers échantillons d’une même qualité de fonte n’était au maximum que du cinquième environ du plus faible échantillon, et au minimum du trentième; ce qui est bien loin de la différence du simple au triple que l’on a dû remarquer dans les résultats extrêmes de M. Hodgkinson rapportés tout à l’heure et qui ont été obtenus sur des fontes de provenances diverses.
 - (lj II est question dans le rapport de la commission anglaise d’un mélange d’un fer malléable et de fonte imaginé par M. Stirling, et dont la résistance moyenne l’emporterait de 50 à 60 p. 400 sur celle des fontes ordinaires. Ainsi la meilleure qualité de ce mélange a fourni une résistance moyenne à la traction de 1840k, les résultats extrêmes étant 4600 et 2100 kilogrammes. Ce métal mixte conserve cet avantage sur la fonte ordinaire sous le rapport de ses résistances à la compression et à l’effort transversal.
 - (2) Je donne à la fin de ce Mémoire le modèle d’un tableau qu’il s’agirait de remplir pour arriver à connaître d’une manière aussi complète qu’il est utile la résistance des diverses fontes du pays, et les circonstances capables d’influer sur cette résistance.
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 - Pour clore cette analyse, je ferai remarquer que l’observation relative à la variation de résistance entre divers échantillons d’une même espèce de fonte est très importante, à mon avis, en ce qu’elle donne la mesure du degré d’approximation que l’on est en droit d’attendre d’une formule pratique.
 - la. J’ajouterai encore, sur la résistance de la fonte à la traction, une dernière observation : c’est que l’on trouve dans les traités français les plus récents sur la matière (Mécanique industrielle de M. Poncelet ; Aide-Mémoire deM. Claudel) deux espèces de résistance à la traction : celle déterminée par l’expérience directe, que l’on trouve cotée à 1300 kil. en moyenne, et qui n’entre dans aucune formule; celle de 2800 k par cent, q , déterminée par Navier d’une manière indirecte, par la rupture de barreaux par effort transversal, et qui représente la valeur de T
 - | ____
 - dans la formule connue PL - TEH2.
 - o
 - Il n’est fait mention de cette contradiction dans aucun des traités mentionnés ci-dessus, comme si c’était la chose du monde la plus naturelle. Cela tient-il à ce qu’il aurait fallu pour cela modifier la formule théorique et reconnaître en quelque sorte que la théorie générale de la résistance des matériaux, telle qu’elle existe aujourd’hui, est impuissante à rendre un compte exact des faits? Il faut pourtant bien en prendre son parti et avouer que le plus souvent la théorie, avec les hypothèses régulières et irréalisables sur lesquelles elle s’appuie, n’a pas d’autre avantage que de dispenser les savants d’étudier à fond, par l’observation, les propriétés réelles des matériaux ; mais qu’elle a, en revanche, le funeste inconvénient d’exposer les praticiens aux plus graves mécomptes.
 - 15. Le fer n’offre pas plus de régularité que la fonte dans sa résistance finale. D’après Rondelet et Soufllot, cette résistance varierait entre 1810v et 9230* par cent. q. On ne connaît aujourd’hui que le meilleur fil de fer qui atteigne cette dernière limite , et je ne pense pas que le meilleur fer en barres obtenu au charbon de bois dépasse 6000 kil. En prenant ce'dernier chiffre
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 - comme la limite supérieure du fer en barres, on voit que l’écart entre les résistances maæima et minima du fer serait encore plus grand que pour la fonte. Mais si la résistance maximum du fer au charbon de bois est tombée de nos jours à 6000 kil., les procédés chimiques de la fabrication étant restés les mêmes, ne semble-t-il pas, à moins que les résultats fournis par Rondelet et Soufflot n’aient été exagérés, que les nouveaux procédés mécaniques, plus expéditifs et plus économiques, ont pour effet d’énerver le métal? D’un autre côté, l’introduction dans les hauts fourneaux du coke à la place du charbon végétal paraît encore avoir aggravé l’état des choses, puisqu’il résulterait d’un mémoire de M. Em. Martin (Annales des Ponts-et-Chaussées) que la résistance moyenne des meilleurs fers à câbles laminés fabriqués au coke n’excéderait pas 3300 kil. Je ne sais si cette double observation a déjà été faite, mais elle me paraît, dans tous les cas, de nature à mériter l’attention des hommes pratiques.
 - 14. M. Stephenson a trouvé comme Navier une différence notable entre les résistances présentées par la même tôle, selon qu'elle est tirée dans le sens de ses fibres ou dans le sens perpendiculaire. Ainsi les résultats obtenus sur des tôles de Ie.27 à 1e.64 employées dans les ponts tubulaires ont été
 - de 3137 kil. par c. q. dans le sens du laminage,
 - de 2640 id. dans le sens perpendiculaire.
 - Quelques unes des tôles expérimentées ont offert une cassure cristalline, d’autres une cassure fibreuse; et, malgré ces aspects divers, les tôles ont présenté dans leur résistance une égalité remarquable.
 - Les résultats obtenus par Navier sont plus élevés (4100 et 3600); mais on ne sait pas sur quelles épaisseurs de tôle il a opéré.
 - Dans un mémoire récent adressé à l’Académie des sciences, M. Fairbairn prétend que ces différences ne s’observent que dans les tôles fabriquées par un procédé défectueux. Il rapporte
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 - à l’appui de son assertion, des expériences sur des tôles qui ont donné les mêmes résultats dans les doux sens.
 - Traction oblique. M. Hodgkinson a trouvé par expérience que, si l’on tirait une pièce de fonte de manière à ce que la direction de la force, au lieu d’être dans l’axe de la pièce, fût suivant l’une des faces du solide, la résistance était diminuée des deux tiers.
 - De la résistance à la rupture par traction du fil de fer simple et sous la forme de câbles.
 - 16. Le fil de fer de 3mtu à 1/2 de diamètre employé dans les ponts suspendus présente une résistance qui, de même que le fer en barres, varie aussi beaucoup suivant les usines dont il provient. A l’origine de la construction des ponts suspendus, quand aucune prescription administrative ne limitait l'effort maximum qu’ildevait supporter, on ne fabriquait guères et l’on n’employait que du fil d’une qualité Supérieure et offrant une résistance variant de 78 à 90 kil. par millimètre carré. Plus tard, des accidents étant survenus, et ces accidents ayant été attribués h ce que l’on avait fait supporter aux fils une charge trop forte, l’administration supérieure crut y mettre un terme en limitant à 18 kil. l’effort maximum que l’on pourrait imposer au fil de fer. Mais il est évident qu’une pareille prescription, qui ne tenait nul compte de la qualité du métal, devait avoir pour effet d’encourager la fabrication et l’emploi de fils d’une qualité inférieure, et c’est ce qui arriva. M. Vui-gnier, dans son rapport à la Société des ingénieurs civils sur la chute du pont d’Angers, mentionne en effet ce fait important: c’est que, depuis l’adoptidn officielle du chiffre de 18 kil., on n’emploie généralement dans la construction des ponts suspendus que du fil de qualité médiocre et pouvant à peine supporter 50 kil. par mil. q. Ce fil a le double avantage, pour le spéculateur, de satisfaire d’abord à la prescription administrative tout aussi bien que le meilleur fil de for, et ensuite de
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 - lui coûter io à 20 francs de moins par quintal. Il est clair que, dans cette circonstance, la sécurité publique est sacrifiée à l’avidité des spéculateurs, et que l’administration ne saurait revenir trop tôt sur une mesure qui conduit à un but diamétralement opposé à celui qu’elle s’était proposé d’atteindre.
 - 17. À part les variations derésistancequitiennentà la qualité du métal, les fils de fer d’une même provenance, mais de calibres différents, présentent une particularité extrêmement curieuse et qui a été signalée pour la première fois par M. Seguin aîné. Je veux parler de l’existence de plusieurs maæima de résistance offerts par des fils variant en diamètre depuis un demi millimètre environ jusqu’à six. Cette particularité est fort connue de tous les ingénieurs ; mais je crois devoir entrer dans quelques détails à son sujet, parce que je ne l’envisage pas de la même manière que l’expérimentateur.
 - Yoici d’abord lo tableau des expériences de M. Seguin sur des fils de fer de la manufacture de la veuve Fleur de Besançon :
 - b fl æ 3 4 fl * 3 4
 - No* des fils. Diamètre Poids total soutenu. Ténacité par millim. quarré. Observations. Nos des fils. Diamètre Poids total soutenu. Ténacité par millim. quarré. Observations.
 - kil. kii. kil. kil.
 - 1 0.6188 25.96 86.ll Doux. 13 1.800 145.50 57.18
 - 2 5 0.7078 0.7527 54.25 34.12 86.98 80.84 Doux. Cassant. 14 2.072 166.60 49.52 Très doux, sans ressort.
 - 4 0,8580 42.30 76.61 Cassant. 15 2.226 202.00 51.86
 - S 0.9115 47.25 72.34 Très cassant. 16 2.489 511.00 63.87 Très doux.
 - 17 2.695 È 389.00 68.15 Pailleux.
 - 6 1.022 62.56 76.08
 - 7 1.080 65.25 71.21 18 5.087 617.00 84.00
 - 8 1.123 66.75 67.28 Trèscassant. 19 3.492 750.00 78.23
 - 20 4.140 874.75 65.74
 - 9 1 293 91.74 69.77 Assez cassant 21 4.812 1138,00 62.52
 - 10 1.455 105.00 64.81 Très doux.
 - 11 1.476 100.25 58.56 Très doux. 22 5.449 1579.00 67.66 Trèscassant.
 - 12 1.691 121.80 55.52 23 5.942 1738.50 62.63 Doux.
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 - 18. En examinant attentivement les résultats ci-dessu9(4*eo-îonne), on voit qu’ils peuvent se diviser par groupes de 2, 3 ou h, offrant tous, un seul excepté, le même caractère. Ainsi, dans chacun, la ténacité du fil de fer va en diminuant du pre-
 - mier au dernier, et le dernier de chaque groupe est inférieur au premier du groupe suivant; de sorte que, si l’on veut représenter par une courbe ces diverses évolutions, en portant en abscisses les sections des fils, en ordonnées les résistances correspondantes, on obtient une ligne d’une forme ondulée (fig. ci-dessus) passant par les points a, b, c, d, qui correspondent à autant de maxima dans la résistance des fils de fer.
 - Mais, à partir du fil n° 15, cette forme ondulée cesse, et la ligne remonte régulièrement vers le n° 18, appartenant à un nouveau maximum qui se rapproche beaucoup du premier, inférieur à celui-là, mais supérieur à tous les autres. Il est digne de remarque que, si l’on joint entre eux les divers maxima, comme l’indique la ligne ponctuée’, on obtient une courbe générale abcdefgh, ayant sensiblement la même forme que les courbes amb, bmc, etc., qui se produisent entre les maxima intermédiaires. J’ajouterai qu’au delà du n° 18, une grande courbe, comme celle qui réunit tous les waa?ma|intermédiai-res, mais plus allongée, se reproduit de nouveau. On peut en
 - ffhM
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- - tirer cette induction : qu’il y a quelque probabilité que, si l’on expérimentait sur une série de fils allant en grossissant jusqu’à la dimension des fers marchands, on obtiendrait une série de courbes générales analogues à la courbe abcdefgh et à la suivante, possédant chacune un grand maximum, comme les fils noS 2, 18 et 62, et entre ceux-là un certain nombre de maxima intermédiaires.
 - Cette succession de courbes représenterait la loi de la résistance du fer à la traction suivant le calibre; et l’on conçoit que, si une telle loi existe réellement, il appartient surtout au fil de fer do la révéler, puisque c’est sous cette forme que le fer possède au plus haut degré les qualités qui lui sont propres. On voit que cette loi consacrerait ce fait général, qui a été pressenti plutôt que démontré : que la résistance du fer diminue à mesure que le calibre augmente , mais d’une manière qui ne ressemble en rien aux lois connues jusqu’ici.
 - Cette allure particulière de la résistance du fer pourrait s’expliquer par le nombre et la forme des molécules, et la disposition qu’elles devraient affecter pour former telle ou telle section. Ainsi, par exemple, les maxima correspondraient aux cas où les molécules entreraient en contact ou rapprochement par leurs faces les plus larges , d’où résulterait naturellement une force adhésive plus considérable.
 - D’après M. Seguin, le dernier terme de chaque groupe serait une anomalie. II appartiendrait à un fil trop étiré sans recuit, ou à un fil recuit qui n’aurait pas éprouvé un étirage suffisant. Il me semble que c’est attribuer au hasard une série dé faits trop réguliers, trop bien caractérisés. D’ailleurs, cette hypothèse ne rend pas compte de la physionomie du cinquième groupe , qui est toute différente des autres, et laisse sans explication les maxima généraux des noa 2, 18 et 2*2. Or, si l’on admet, ce qui me paraît incontestable, car les expériences de M. Seguin ont été confirmées par celles de M. Dufour, à Genève, que les maxima généraux sont les signes d’une loi générale et régulière de la résistance du fil de fer, il n’en coûte pas
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 - plus d’admettre, et cela paraît à la fois plus naturel et plus raisonnable, qu’il en est de même des maxima intermédiaires.
 - 19. Dans un mémoire destiné à mettre succinctement sous les yeux du praticien tous les faits, tant anciens que nouveaux, qui peuvent l’intéresser, je ne puis omettre de dire quelques mots de l’action prolongée de la charge sur le fil de fer. En ceci, le fil de fer diffère complètement du fer en barres. On a vu, en effet, que ce dernier, soustrait aux chocs et aux vibrations, supportait indéfiniment les charges les plus voisines de celles capables de produire la rupture instantanée, sans s’allonger plus qu’il ne l’avait fait peu de temps après l’application de la charge. Il résulte, au contraire, d’expériences de M. Vi-cal, prolongées pendant trois ans , que le fil de fer chargé au delà du quart de son poids de rupture instantanée, s’allonge indéfiniment et doit par conséquent finir par se rompre. Ce fait seul constituerait le fil de fer dans un état d’infériorité très grand relativement au fer en barres, si M. Leblanc, ingénieur en chef des ponts et chaussées, n’avait montré, par dos expériences continuées pendant trois mois, que, s’il est vrai de dire que le fil de fer s’allonge indéfiniment sous une certaine charge, d’un autre côté il ne perd absolument rien de sa ténacité par l’action prolongée pendant plusieurs jours d’une charge même voisine de celle de rupture. Or, comme le fait justement remarquer cet ingénieur, cette propriété est équivalente , en pratique, à celle qui permettrait au fil de fer de supporter ladite charge indéfiniment, parce que la charge maximum d’un pont suspendu n'est que momentanée , et que la charge permanente, qui ne se compose guère que du poids de la construction elle-même, n’atteint jamais le quart de la charge de rupture. Il s’ensuit que , dans la comparaison que Ton peut avoir à faire sur les avantages respectifs du fil de fer et du fer en barres, on peut négliger la question de l’action prolongée de la charge et n’avoir égard qu’à leurs résistances momentanées.
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 - 20. Il me reste maintenant à parler de la résistance des fils de fer sous la forme de câbles. Il y a sur ce sujet deux questions à résoudre : premièrement, la résistance d’un câble fabriqué et tiré en ligne droite est-elle égale à la somme des résistances des brins dont il se compose? et secondement, quelle portion de sa résistance peut perdre un câble fabriqué en ligne droite par la forme curviligne qu’il prend lorsqu’il est mis en place et par la manière dont la charge transmet l'effort de traction? Sur la première question, si l’on s’en rapporte à l’expérience faite par M. Seguin aîné , on répond affirmativement. Malheureusement celte expérience n’a pas été faite dans les conditions ordinaires de la fabrication d’un câble et ne prouve absolument rien. M. Leblanc a comblé cette lacune, en expérimentant sur onze câbles de 20 mètres de longueur, fabriqués par les diverses méthodes qui ont été mises en pratique par MM. Seguin, Yicat et Leblanc, et il a tiré de ses expériences les conclusions suivantes :
 - 1° Il y a avantage à multiplier les ligatures et à les faire ser-ées; il vaut même mieux les faire continues.
 - 2° Les différentes méthodes que l’on peut employer pour fabriquer les câbles ne font gagner que peu de chose sur la quantité de force que perdent les fils quand ils sont réunis en câbles.
 - 3° Cependant, il y a avantage à régler la tension au moyen d’un poids et à prendre les autres précautions indiquées par M. Yicat.
 - 4° Il y a plus d’avantage encore à [ajouter à ces soins une tension préalable, surtout d’environ 500 kilogrammes pour le fil de 3 à 3 mill. 1 /2.
 - La perte de résistance est de 15 à 20 p. 100 , suivant que l’on emploie l’une ou l’autre méthode. En somme, les avantages que l’on retire des précautions indiquées par MM. Vicat et Leblanc sont si faibles, qu’il me paraît plus sage d’employer la méthode la plus simple, celle de M. Seguin, et de compter sur une perte de 20 p. 100.
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 - 21. Dans son rapport sur les ponts suspendus du Rhône (An-nales des ponts-et-chaussées, 1831), M. Yicat cite trois ponts, ceux de Fourques, de Ferrières et de Tarascon, dans lesquels la différence du parcours des brins due h la forme curviligne des câbles est telle que, d’après son calcul, la perte de résistance qui en résulte doit s’élever à 20 p.100. Mais je ferai remarquer que ce calcul est fondé en partie sur une hypothèse qui peut très bien ne pas se réaliser; et l’on est d’autant plus fondé à le craindre , que les démentis donnés par l’expérimentation pure à la théorie sont nombreux. On pourrait peut-être s’en tenir à l’estimation ci-dessus, si l’on avait quelque bonne raison de croire que la perte en question est négligeable, ou peut le devenir à l’aide de quelque artifice de construction ; mais il s’en faut de beaucoup qu’il en soit ainsi. Pour ma part, je ne serais nullement étonné que l’expérience vînt un jour démontrer qu'un câble en place n’a pas la moitié ou même le tiers de la résistance qu’on lui attribue; car il me paraît être dans les choses possibles, et même probables, que l’inégalité de tension qui doit résulter à la fois, et de la forme curviligne du câble, et de la manière dont la charge s’y rattache, place ce câble dans la position de la barre expérimentée par M. Hod-gkinsou (§ 15). S'il en était ainsi, et avec les fils de qualité inférieure que la spéculation privée a été conduite à adopter par la réglementation administrative, il s’ensuivrait qu’un pont suspendu supportant sa charge maximum serait bien près de rompre, et devrait rompre infailliblement pour peu que cette charge fût animée d’un mouvement oscillatoire vertical, comme celui qui se produit par le passage des troupes.
 - M. Vuignier a dit, h propos du pont d’Angers, que la rupture du câble avait été accompagnée d’un bruit sourd, tout à fait analogue à un feu de peloton ?nal nourri. Cette expression estextrêmementsignificative; elle indique clairementla grande inégalité de tension qui régnait dans les fils du câble ; et ce fait, joint aux raisons qui précèdent, démontre combien il est
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 - important, indispensable, de recourir à l'expérience pour résoudre la question dont il s’agit.
 - L’importance de cette question est encore démontrée par la manière toute particulière dont s’en sont préoccupés presque tous les ingénieurs qui ont construit des ponts suspendus. Ainsi M. Yicat, après avoir indiqué des moyens qui, selon lui, devaient parer à l’inégalité de tension, n’en poursuit pas moins la recherche de moyens plus efficaces; ce qui prouve que sa confiance dans ceux qu’il avait d’abord indiqués n’était pas bien grande; et il propose de faire des câbles carrés, composés de nappes indépendantes, dont les longueurs seraient calculées suivant la place qu’elles devraient occuper. M. Chaley, l’ingénieur du pont de Fribourg , imagine de fabriquer les câbles à la place même qu’ils doivent occuper. Les ingénieurs des ponts de la Roche-Bernard , de Saint-Christophe, suivent cet exemple. Mais il n’est pas du tout démontré que ces moyens indiqués, ou employés, assurent l’égalité de tension qu’ils sont destinés à obtenir; et ils ne peuvent, en aucune façon, dispenser d’avoir recours à l’expérimentation.
 - 22. Dans les ponts suspendus dont les chaînes sont en fer en barres, il n’existe aucune incertitude du genre de celle dont il vient d’être question pour le fil de fer. Dans ces ponts, la charge se rattache à la chaîne par un goujon qui est exactement dans l’axe du chaînon; de sorte que l’on est assuré que ce chaînon est tiré bien régulièrement, et par conséquent que toutes les parties de sa section concourent également à sa résistance. Mais ces ponts ne peuvent être regardés comme meilleurs que . ceux en fil de fer qu’à la condition que les chaînons ne soient pas, comme dans le pont des Invalides, composés de plusieurs pièces rapportées et soudées. On peut signaler comme la meilleure disposition qui ait été adoptée jusqu’ici celle des chaînons plats des ponts suspendus de Pesth et de Hungerford , dans lesquels les têtes et la tige ont été formées d’une seule pièce au laminoir et les trous faits à la machine à percer.
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 - De la résistance à la traction du fer assemblé par des boulons ou des rivets, et accessoirement de la résistance au cisaillement
 - 25. Lorsquedeux pièces de tôle sont assemblées au moyen d’un boulon suffisamment serré, comme l’indique le croquis ci-contre, ee boulon n’est pas, comme on l’a cru long-temps, dans le cas d’un solide encastré par une extrémité et sollicité en un point de sa longueur par un effort transversal ; car le contact parfait des deux tôles l’em-péche complètement de fléchir comme un solide placé dans cette condition. Il est évident qu’il ne peut céder que par le glissement l’une sur l’autre des deux tranches de molécules séparées par le plan de contact des deux tôles; et que, par conséquent, les deux feuilles de tôle jouent à.l’égard du boulon le rôle d’une cisaille. Il est donc assez naturel d’appeler résistance au cisaillement le genre de résistance que le boulon oppose à l’effort auquel il est soumis dans cette circonstance.
 - On a cherché pour la première fois, en Angleterre, à l’occasion des ponts tubulaires de M. Sîeplicnson, à déterminer par expérience la valeur de la résistance au cisaillement. Les expériences qui ont été faites laissent beaucoup à désirer ; cependant on peut, avec sécurité, en tirer les conclusions suivantes :
 - 1° La résistance au cisaillement d’un boulon ou d’un rivet est égale environ aux trois quarts de sa résistance à la traction.
 - 2° Cette résistance est proportionnelle au nombre de sections offertes au cisaillement.
 - A ] •{
 - 1 [
 - ][
 - D’après cela,-si l’on désigne par R la résistance totalo d’un boulon au cisaillement, T sa résistance à la ] traction par cent, quarré, S sa section , n le nombre d’épaisseurs de métal traversées, il est facile de se
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 - rendre compte que, dans les différentes combinaisons représentées dans les croquis ci-dessus, la résistance du boulon est :
 - R=0.75 ST(n—1).
 - 24. Lorsque la tôle, au lieu d’être assemblée par des boulons, l’estau moyen de rivets, ces rivets, en se refroidissant, produisent un serrage assez énergique, et le frottement qui en résulte s’ajoute naturellement à la résistance du rivet au cisaillement, puisque ce cisaillement ne peut s’effectuer sans que les deux surfaces de tôle en contact glissent l’une sur l’autre. D’après les expériences rapportées par M. Edwin Clark , le surcroît de résistance qui en résulterait serait d’environ 230 k. par cent, quarré de section de rivet. On a fort exagéré l’influence de ce serrage sur la résistance d’un assemblage. Ainsi, M. Clark affirme, a la page 396 de son ouvrage, que l’on peut arriver dans beaucoup de cas, par une rivure judicieuse et bien faite, à compenser complètement, par le frottement dû à la contraction des rivets, la perte occasionnée par le percement des trous dans la tôle. Mais on peut s’assurer, au moyen du chiffre de 230 k. que je viens de rapporter, qu’il faudrait, pour obtenir un pareil résultat, que la tôle fût extrêmement mince par rapport au diamètre du rivet, et ce rivet aurait alors un surcroît de résistance au cisaillement très grand. Je crois qu’il est plus simple et plus sûr de ne pas compter sur le frottement, et de proportionner l’épaisseur de la tôle et le diamètre du rivet comme s’il n’existait aucun serrage.
 - 25. Partant de là, jesuppose qu’il s’agisse de déterminer le diamètre d qu’il convient d’adopter pour deux rivets réunissant deux plaques de tôle A et B, dont l’épaisseur e et la largeur l sont connues. Pour cela, on remarquera d’abord que, pour que l’assemblage soit dans les meilleures conditions possibles, il faut qu’il soit prêt à céder en même temps par le
 - A
 - .O-
 - .O-
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- - 187 —
 - cisaillement des deux rivets et par la rupture des feuilles dans les sections mn, mrn', où elles sont affaiblies par des trous de rivets. Si l’on désigne par R et Rr ces deux résistances respectivement, par T et V les résistances à la traction par cent, quarré du rivet et de la tôle, par N le nombre de rivets à couper, par S et d la section et le diamètre du rivet, on a :
 - R = 0,75.S.T.N,
 - W=zTe(l—d)j
 - d’où l’on tire, en posant R=R/,
 - formule (*) dans laquelleD = 0,58875 TN. La désignation D n’a été introduite dans la formule que pour la rendre plus simple à écrire.
 - Au lieu de N, il faudrait mettre 2N, 3N, si, par la nature de l’assemblage adopté, chaque rivet offrait au cisaillement deux ou trois sections au lieu d’une.
 - Il peut arriver qu’au lieu de se donner le nombre de rivets, on en fixe le diamètre. On tire alors des deux mêmes équations ci-dessus le nombre convenable de rivets à adopter pour satisfaire a la condition d’égale résistance entre les rivets et les feuilles de tôle, et l’on a :
 - Ve(l — d)
 - U.58 875 Toi2 ’
 - (8)
 - O
 - 26. Toutes les dispositions que l’on peut adopter pour assembler deux feuilles de tôle simples au moyen de rivets peuvent se rapporter aux deux cas représentés dans les croquis ci-contre. Dans le premier cas, on superpose d’une certaine quantité les deux feuilles à
 - O
 - O
 - (*) C’est au moyen de cette formule que l’on peut déterminer le diamètre de la goupille qui joint les chaînons d’une chaîne de pont suspendu, comme celles des ponts de Pesth et de Hungerford.
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 - assembler, et on les fixe au moyen d’un rivet ; dans le second, les feuilles sont rapprochées bout à bout et fixées au moyen de deux couvre-joints et de deux rivets. Ce dernier système est préférable au premier, parce que, d’abord, il transmet l’effort de traction d’une feuille à l’autre, de manière à assurer l’égalité de tension dans toute la section de chaque feuille ; ce qui n’est pas le cas dans le premier assemblage. En second lieu, il provoque nécessairement le double cisaillement des rivets, et permet de leur donner un diamètre plus petit, et par conséquent de moins affaiblir la tôle.
 - En principe, au lieu d’un seul rivet dans les deux assemblages qui précèdent, il y a avantage à en augmenter le nombre le plus possible; car on voit par la formule (7) que le diamètre des rivets est d’autant plus petit que leur nombre est plus grand. Mais, d’un autre côté, si l’on diminuait par trop le diamètre des rivets, il serait à craindre qu’il ne s’établît dans les fibres du métal, de la ligne centrale des rivets vers les bords, une certaine inégalité de tension dont l’effet serait de diminuer notablement la résistance du système. On ne sait pas jusqu’où l’on peut pousser cette augmentation du nombre des rivets et la réduction de leur diamètre. II faudrait, pour cela, une longue série d’expériences, dans laquelle on romprait des assemblages dont le nombre de rivets irait toujours en croissant. On verrait ainsi où s’arrête le gain de résistance obtenu par la diminution des trous de rivets. En attendant que l’expérience ait prononcé, il faut se résoudre à se donner l’un ou l’autre des deux termes N ou d, et déterminer l’autre au moyen de la formule.
 - 27. Il n’y a rien à changer aux formules et observations qui précédent pour le cas le plus fréquent, celui ou la tôle est assez large pour demander plusieurs rangées longitudinales de rivets. Mais il se présente alors une nouvelle question ù résoudre, celle de savoir s’il vaut mieux disposer les rivets en files longitudinales et parallèles, comme l’a proposé et exécuté M. Fair-bairn, ou s’il est préférable d’adopter la disposition en quinconce recommandée par M. Ed. Clark. M. Fairbuirn donne quelques
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 - bonnes raisons à l’appui de son système. M. Clark prétend que
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 - l’on a reconnu, par expérience, que l’autre valait mieux; mais comme je n’ai trouvé nulle part de trace d’expériences sur ce sujet, j’ai cherché à me former une opinion par la comparaison suivante :
 - Il faut se rappeler d’abord que les deux assemblages ei-dessus ne peuvent céder que par la rupture de la feuille A en mn, ou celle des couvre-joints en m'nr, ou enfin par le cisaillement de tous les rivets entre mn et oo’. Cela posé, si le deuxième assemblage a trois rivets de moins que le premier, et que ces rivets aient le même diamètre, il est évident que sa résistance au cisaillement sera moindre, et que la feuille A et les couvre-joints présenteront sur les rivets un excès de résistance inutile. Si l’on veut égaliser ces résistances, il faudra augmenter le diamètre des rivets, et alors le deuxième assemblage sera encore plus faible que le premier par ses sections mn et m'n', aussi bien que par ses rivets. Je ne conçois qu’un cas où la disposition en quinconce l’emporterait sur la première : c’est celui où l’on conserverait le même nombre de rivets et où on les disposerait comme dans la figure ci-contre; car on pourrait alors augmenter le diamètre des rivets et augmenter en conséquence la résistance au cisaillement, sans que pour cela
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 - la résistance de la feuille A, ou des couvre-joints dans les sections extrêmes mn et m’n', cessât d’être supérieure à celle du premier assemblage. Il est douteux cependant que l’avantage soit bien grand; et je crois que la première disposition fournit une compensation bien suffisante, par la facilité extrême avec laquelle on peut y adapter les moyens mécaniques pour le percement des trous et la pose des rivets, et par ce fait qu’elle exige des couvre-joints plus courts.
 - 28. Il n’a été question dans tout ce qui précède que de l’assemblage de simples feuilles de tôle. Il peut arriver, soit parce que l’épaisseur de tôle nécessaire à la partie inférieure d’un pont serait trop forte pour être d’une seule pièce, soit pour diminuer les chances de rupture, que l’on forme la partie d’un pont qui résiste à la traction de plusieurs feuilles de tôle superposées. Quelle que soit la disposition d’assemblage que l’on adopte, il ne faut pas perdre de vue qu’elle est soumise aux mêmes conditions que celles dont il vient d’être question, et que, par conséquent, pour tirer le meilleur parti de chaque combinaison il faut dans chaque cas déterminer par le calcul, le diamètre ou le nombre des rivets à adopter.
 - Je fais cette observation, principalement, parce que les ingénieurs anglais qui ont donné la description des assemblages qui ont été successivement appliqués aux ponts tubulaires se sont figuré qu’il suffisait de substituer un mode d’assemblage à un autre, sans avoir égard au nombre et au diamètre des rivets, pour tirer de la nouvelle disposition tous les avantages qu’elle promettait. C’est là une erreur sur laquelle je n’ai pas besoin de m’appesantir davantage, après ce que j’ai déjà dit sur ce sujet.
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 - CHAPITRE IL
 - DU FEa ET DE LA FONTE SQÜMIS A DES EFFORTS DE COMPRESSION.
 - Raccourcissement du fer et de la fonte.
 - 29. Les observations qui ont été faites au commencement du chapitre précédent sur la manière dont on envisageait les faits relatifs à la traction et celle qui résulte des dernières expériences s’appliquent également à la résistance du fer et de la fonte à la compression. Il suffit d’y mettre à la place des termes allongement, traction, les deux termes raccourcissement et compression.
 - Les formules qui relient les quantités dont le fer et la fonte se compriment aux charges qui les produisent et à la longueur des barres ont aussi la même forme que celles relatives à la traction. Ainsi, pour la fonte, le poids P capable de produire un raccourcissement r dans une barre de longueur L est exprimé par :
 - =909 218 j-
 - 40 598 628
 - L2’
 - (9)
 - d’où l’on tire
 - r = L(0,0119 —Kü,000 125 387 — 0,0000 000 24t>P). (10) Pour le fer, la formule est
 - PL
 - 1621 231
 - (U)
 - 50. En appliquant ces formules, comme précédemment, à deux barres de 1 cent, quarré de section et de 10 mètres de longueur sollicitées par une charge de 1000 k., on trouve, contrairement à l’opinion généralement accréditée, que la fonte se comprime beaucoup plus que le fer sous une même charge. J’ai rapproché ces résultats de ceux obtenus précédemment
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 - sur l’allongement pour permettre de les comparer entre eux d’un seul coup d’œil.
 - Désignation Allongf ?ments Raccourci issements
 - des enf onction en fonction
 - métaux. en centimètres de la longueur de la barre. en centimètre. de la longueur de la barre.
 - | Fonte. 1.373 1 1.160 1
 - 730° 860e |
 - Fer. 0.575 1 0.678 1 1
 - 1740e 1460e S
 - On peut voir par là s’il est avantageux d’associer le fer à la fonte pour résister à un même effort de traction ou de compression.
 - Résistance du fer et de la fonte à la rupture par compression.
 - Résistance de la fonte à la compression.
 - 5!. Ilfaut distinguer deux cas : celui oùle prismeou cylindre en fonte se rompt en un grand nombre de morceaux irréguliers, ce qui se rencontre lorsque la plus petite dimension horizontale de l’échantillon est plus grande que la hauteur. La résistance, dans ce cas, peut s’appeler résistance à l’écrasement. La connaissance de cette espèce de résistance, très variable d’ailleurs, suivant le nombre et la forme des morceaux du prisme rompu, n’est d’aucune utilité en pratique. Le deuxième cas est celui où l’échantillon se sépare en deux morceaux réguliers ayant la forme de coins dont l’angle est toujours le même pour divers échantillons d’une même fonte. Ce mode de fracture a lieu toutes les fois que la hauteur de la pièce est comprise entre 1 fois 1/2 et 3 ou h fois le diamètre ou la plus petite dimension horizontale. La résistance du métal obtenue dans ces circonstances est celle dont on part pour établir les formules
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 - relatives aux piliers ou colonnes. C’est la résistance maximum à la. compression de la fonte considérée comme piliers.
 - Les expériences de M. Hodgkinson sur 17 espèces de fonte assignent à la fonte une résistance moyenne'par cent. q. de 6067 k. Ce chiffre est, comme on voit, fort au dessous de celui de 10 000 que l’on trouve dans tous les traités français. De même que dans la résistance à la traction , la différence entre l’échantillon le moins résistant et le plus fort est considérable ; ainsi la meilleure fonte n’a cédé que sous une charge de 8467 k. par cent, q., tandis que la plus faible n’a présenté qu’une résistance de 3886 k.
 - Cependant, de même aussi que pour la traction, la différence entre divers échantillons d’une même espèce de fonte est beaucoup moindre, et permet l’emploi de formules de résistance capables de donner le degré d’approximation déterminé précédemment.
 - Résistance du fer à la compression.
 - 52. Sous le rapport des phénomènes extérieurs, le fer paraîtrait se comporter d’une manière toute différente de la fonte sous des efforts de compression. Au lieu de se briser en morceaux, quelques auteurs rapportent, sans entrer dans aucun détail sur le nombre et l’importance des expériences faites, qu’il s’aplatit en se gonflant vers le milieu de sa hauteur, puis se gerce. De sorte qu’il serait fort difficile de déterminer sa résistance à l’écrasement, ce qui du reste importe peu, comme on vient de le voir. La résistance maximum à la compression dans le sens qui a été adopté tout h l’heure pour la fonte n’est pas non plus d’une détermination facile, et l’on compte fort peu d’expériences d’où l’on puisse tirer, comme pour la fonte, le chiffre nécessaire à l’établissement des formules de résistance de piliers ou colonnes. Cependant je crois que l’on peut, d’après les expériences de M. Hodgkinson, fixer à 4000 k. par cent. c. la résistance du bon fer en barres laminé ; et à 3800 environ celle des tôles de bonne qualité à cassure fibreuse ou cristalline et
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- - présentant des épaisseurs variant depuis 1/2 millimètre jusqu’à 15 millimètres.
 - Résistance des 'piliers ou colonnes.
 - 55. Je passerai d’abord rapidement en revue les formules et renseignements que les auteurs français mettent à la disposition des praticiens sur le sujet actuel.
 - Je ne m’arrêterai pas aux formules d’Euler ou de Navierj elles n’ont jamais été confirmées par l’expérience et n’ont jamais été appliquées. Mais j’appellerai l’attention sur le tableau suivant, auquel tout le monde recourt encore aujourd’hui faute de mieux.
 - 1 II. Désignation |j Rapport de la longueur de la pièce à la plus petite dimension transversale
 - |j clés Densité. —•-—
 - 1 métaux. i! au dessous do 12 12 24 48 60
 - | Fonte. 7.21 10000k 8333 5000 1666 833
 - j Fer. 7.79 4900 4084 2450 816 408
 - Je me bornerai à dire ici que ce tableau est faux de tous points, en me réservant d’en donner la preuve un peu plus loin.
 - Tredgold a déduit d’une théorie fort contestable sur la résistance des piliers les formules suivantes dans lesquelles, pour les rendre pratiques, il a introduit des coefficients numériques tirés d’expériences sur la résistance du fer et de la fonte à un effort transversal ;
 - Résistance d’un pilier en fonte,
 - 230 D4
 - p ——-----------------
 - 1..2ûD2-f 0,00039 L2'
 - Résistance d’un pilier en fer,
 - 267 Dl
 - p— ------------------
 - 1.240*40,00030/'
 - (13)
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 - 1) et L désignant respectivement le diamètre et la longueur du pilier, et P le poids qu;il peut supporter.
 - 54. Il peut être bon de faire remarquer que ces formules sont en désaccord avec le tableau ci-dessus, et qu’on les trouve côte à côte dans les mêmes auteurs, comme s’ils donnaient des résultats concordants. — On peut encore faire à ces auteurs le reproche d’avoir rapporté ces formules sans prendre la précaution d'informer le lecteur :
 - 1° Que, d’après l’intention de Trodgold, elles ne doivent s’appliquer qu’à des piliers dont la longueur serait égale à 30 fois au moins le diamètre;
 - 2° Qu’elles ne donnent que le tiers du poids de rupture, correspondant, suivant l’auteur précité, au point où l’élasticité du métal est encore intacte;
 - 3° Qu’elles supposent le pilier pressé suivant une génératrice, au lieu de l’être dans la direction de son axe.
 - Or, d’après l’estimation de ïredgold lui-même, un pilier pressé comme il le suppose perd environ la moitié de sa résistance (*); de sorte que P, dans les formules en question ne représente que le sixième à peu près de la résistance du pilier pressé suivant l’axe.Il suit de là qu’un ingénieur habitué à des formules qui donnent la résistance finale à la rupture et ignorant les diverses circonstances que je viens d enumérer multiplierait par le coefficient de sécurité 3 ou 4 le poids P , et se trouverait ainsi, à son insu, avoir déterminé le diamètre d’une colonne capable de supporter 18 ou 24 fois la charge permanente qui lui serait destinée. Cela peut être fort rassurant; mais, à coup sûr, ce n’est, pas économique.
 - Si les formules de Tredgold sont d’accord avec l’expérience dans les conditions qu’il a lui-même assignées, c’est un hasard; car la méthode au moyen de laquelle il les a obtenues était inexacte. Elles ne m’ont paru, du reste, susceptibles d’être con-
 - (*) D'après les expériences de M. Ilodgkinson, celte perte est des deux tiers.
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- - Armées par l'expérience, que dans l’hypothèse où il existerai! une fonte offrant une résistance maximum à la compression de iO 000 kilogrammes; ce qui est fort au dessus de la résistance maximum trouvée par M. Hodgkinson. Dans tous les cas, ces formules doivent être rejetées, parce qu’elles ne sont pas disposées pour s’adapter aux résistances variables présentées par les fers ou les fontes de provenances diverses.
 - 5o. Les formules de M. Hodgkinson que je vais rapporter ne satisfont pas davantage à cette dernière condition ; mais elles ont sur les autres le grand avantage d’avoir été établies d’après des expériences nombreuses sur les piliers. Ces formules, transformées de manière à ce que les dimensions des piliers soient en centimètres et les poids en kilogrammes, sont les suivantes :
 - Résistance à la rupture d’un pilier plein en fonte à section quarrée ou circulaire de côté ou diamètre D à bases planes et perpendiculaires à l'axe.
 - 1)0.69
 - P = 521-67ï_-o- (U)
 - Résistance à la rupture d’un pilier creux en fonte à bases planes ; D et d étant respectivement le diamètre intérieur et extérieur.
 - P—523.33
 - ___^5.60
 - JL1-70
 - (16)
 - Ces formules, comme celles de Tredgold, ne s'appliquent qu’à des piliers dont la longueur n’est pas moins de trente fois le diamètre. Pour des piliers plus courts,. M. Hodgkinson donne la formule :
 - II
 - BC
 - (16)
 - dans laquelle B est la résistance du pilier court calculé par la formule précédente comme s’il était long, et C la résistance maximum à la compression d’un cylindre en fonte d’une section égale à celui du pilier proposé, mais dont la hauteur serait égale à une fois et demie le diamètre seulement.
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- - — 197
 - Ces formules concordent d’nne manière satisfaisante avec les nombreux résultats d’expérience de M. Hodgkinson; mais les coefficients numériques dont elles sont affectées n’appartiennent qu’à une fonte offrant une résistance maximum de 8133 kil. par cent, quarré, qui est celle des expériences de M. Hodgkinson. En outre, on ne peut se dissimuler que les exposants fractionnaires les rendent d’un usage incommode dans la pratique. En suivant une méthode différente, j’en ai trouvé d’autres qui, non seulement sont affranchies des inconvénients que je viens de signaler, mais qui, en outre, ont l’avantage d’être générales, c’esh à-dire de s’appliquer (avec autant d’exactitude que celle de l’expérimentateur) à des piliers de toutes dimensions.
 - Nouvelles formules de la résistance de piliers pleins en fonte et en fer à bases planes et perpendiculaires à Vaxe.
 - 36. Résistance de piliers en fonte pour des hauteurs comprises entre L\ fois et 120 fois leur diamètre.
 - J{ =-------rr—(17)
 - 1 -hi -j-0.00337
 - LY
 - Ü
 - Résistance de piliers en fer pour des hauteurs comprises entre 10 fois et 180 fois leur diamètre.
 - C
 - R:
 - 1.55 + 0.0005 (J
 - cm
 - Outre ces formules générales, j’en ai trouvé d’autres un peu plus simples s’appliquant aux cas désignés par MM. Tredgold et Hodgkinson sous le nom de piliers courts, qui sont ceux dont la hauteur est comprise entre 5 fois et 30 fois le diamètre. Ces formules sont :
 - Pour la fonte,
 - 0.G8 + 0.1 —
 - (««)
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- - — \ 98
 - P oui' le fer,
 - r=—-—p (20)
 - 0.85-4-0.04 —
 - 1)
 - Dans ces formules, G représente le produit de la section du pilier par la résistance maximum à la compression par cent, quarré du fer ou de la fonte dont on dispose.
 - 57. Si l’on applique ces formules, qui ont la sanctionne l’expérience (comme on le verra plus loin), à deux séries de pitiers de 1 cent, quarré de section; la première en fonte présentant une résistance maximum à la compression de 8000 k. par cent, quarré; la seconde en fer offrant une résistance de 4000, les hauteurs des piliers étant comprises entre 10 et 100 fois le diamètre , on trouve :
 - Désignât. Rapport de la longueur de la pièce à la plus petite dimension ^ _ transversale.
 - métaux. Au dessous de S 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
 - Fonte. 8000 4476 2889 1784 1168 1013 S88 445 551 277 230
 - : Fer. 4000 2800 2285 2000 1702 1428 1194 1000 842 714 610
 - D’après le tableau du § 53, qui sert actuellement de guide aux praticiens , il résulterait que, tant que la longueur du pilier n’atteint pas 12 fois son diamètre, ce pilier conserve sa résistance maximum ; et l’on voit, au contraire, d’après le dernier, que cette résistance n’est plus que la moitié environ de la résistance maximum lorsque la longueur du pilier n’est encore égale qu’à dix fois le diamètre seulement En outre, il suivrait encore du premier tableau que la fonte conserve pour toutes les longueurs la supériorité qu’elle a sur le fer dès le commencement. Il est hors de doute, au contraire , que , lorsque la hauteur du pilier atteint trente fois le diamètre, le fer
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 - i’cmporto sur la fonte Ce fait est de la plus grande importance, et justifie, dans un grand nombre de cas, la préférence donnée au fer par les ingénieurs anglais dans leurs constructions récentes.
 - 58. Afin de montrer le degré d’approximation que les formules précédentes peuvent donner, je les ai appliquées dans le tableau suivant aux expériences de M. Hodgkinson, et j’ai mis les résultats obtenus en regard de ceux fournis par l’expérimentation. En outre, pour ne laisser, à leur sujet, aucun nuage dans l’esprit de personne, j’entrerai dans quelques détails sur la méthode que j’ai suivie pour les obtenir. Je suis d’autant mieux porté à décrire cette méthode que je la crois propre à rendre quelques services dans d’autres questions de mécanique expérimentale.
 - Voici le tableau des expériences de M. Hodgkinson, que j’ai tiré de son ouvrage sur la fonte, p. 354. J’ai dû en changer la disposition pour satisfaire au but que je m’étais proposé. Mais j’ai pris le soin d’indiquer les numéros d’ordre de l’expérimen» tateur, afin que l’on pût au besoin recourir à son tableau et le comparer au mien.
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- - Observation. — Les lettres a, b, c, d, etc., qui accompagnent les nombres inscrits dans la 7<= colonne, in-
 - liquent dans la planche les points où se terminent ces nombres portés en abscisses sur l’axe des x.
 - 1
 - k©
 - k©
 - l©
 - S
 - LO
 - O
 - | N°s d’ordre du tableau de M. H.
 - k©
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 - k©
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 - N,is d’ordre du tableau actuel.
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 - O
 - Longueur des piliers. v
 - -te — k© -te ©1 fte tete ©1 k© k© te- — t© -te -te te-
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 - 06 05 k© 0 Ci ©5 05 1© 05 05 ©1 O O 05 00 O O O ©4 O O O
 - -te ©1 05 -te 00 -te ©1 tete k© 05 -te ©1 «» tete 05 ©4 ©4 05 te» k© ©1 te» te- te-
 - ©4 O O k© «te ©1 O 00 -te ©1 b k© k© 1© b -te b t© b b k© ©1 ©I
 - O O ©1 Ci k© O O k© Ci O 05 Ci Ci ce ©j ** Ci Ci 00 ©5 Ci Ci Ci
 - - 4 Ci Ci fc» «» ©1 ©t 1© k© t© k© k© —te -te -te te- te»
 - 00 00 O O Ci O CD GO CD CD 06 te*' O CD CD 05 05 «te ©1 CD 4 ©1 “
 - *4 -te -4 05 CD ©1 ©1 00 CD Ci CO -te b 05 tete ©4 -te k© 05 00 CD
 - «te ©1 k© ©J t© ©1 Ci Ci Ci CD O ©4 4 O «te k© ©4 >© 05 w*î L©
 - Diamètre des piliers.
 - c/3 Sections des piliers.
 - ^ Rapports de la longueur ^ au diamètre.
 - -- •4 Ci
 - OO 00 © Ci
 - •4 Ci b
 - «te «te k© ©1
 - I©
 - l©
 - hi Moyennes des rapports - ^
 - te- k© «te te» Ci — k© O «te t© -te «te t© k© «te- »te t© l©
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 - ©1 CD CD •4 O ©< CD CO Ci ©l 06 -4 •4 k© ©4 ©1 ©1 4 Ci 05
 - O
 - ci
 - Produit de la section du pilier o par la résistance maximum » de la Conte à la compression.
 - k©
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 - k© ©c
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 - k© Ci 05 00 Ci «te k© b 0 t© l© CD
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 - p=-Ï - Résistance des piliers à la ” rupture trouvée par expér.
 - «te -4 1© «te ©4 CD Ci Ci •4 «> ©1 ©1 ©1 k© k© k© k© L© 1© 1© «» - -
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 - . _ Rapport des deux dernières ^ n résistances. °
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 - « Moyenne des rapports
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 - CD
 - Résistance des piliers calculée par
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 - la formule R=--------------j—^ -
 - 1,45+0,00357(
 - ©1 ©1 Ci CD — 00 «te t© 05
 - ©k 00 ©l ©I -4 00
 - O O oê CD 05 ©5 05 00
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 - CO
 - Résistance des piliers calculée par
 - C
 - la formule R=-----------
 - 0.68-KM jj
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 - CD l© CD 05 ©1 O -1
 - Ci 1© 00 *© ©1 ©1 -1
 - c/i o o - oo o
 - O — *4 — ©1 —
 - Résistance despiliers calculcepar la formule de M. H. R=
 - B+°^
 - 4
 - Piliers pleins en fonte à bases planes et perpendiculaires à l'axe.
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- - 59. En examinant le tableau qui précède, on remarque queles rapports - ont été rangés dans l’ordre de leur grandeur ; et
 - C
 - l’on trouve que, par suite de cette disposition, les rapports
 - R
 - sont disposés dans le même ordre, à quelques anomalies près. Mais ces anomalies disparaissent si, au lieu de s’arrêter aux premiers rapports obtenus, on groupe en une seule moyenne tous ceux qui s’écartent peu l’un de l’autre. On forme ainsi les colonnes 7 et H. du tableau. Arrivé à ce point, il ne reste plus pour reconnaître si ces deux espèces de rapports sont liés par une loi régulière, qu’à prendre deux axes rectangulaires et à y
 - porter comme abcisses et ordonnées d’un même point les rapports correspondants. C’est ce que j’ai fait, et j’ai obtenu ainsi une courbe abc d’une grande régularité et qui m’a paru appartenir à la forme parabolique dont l’équation gé-nérale est y = aæm -\-b. Dans cette équation, deux choses étaient à déterminer : la valeur du coefficient a et celle de l’exposant m de x. On ne pouvait évidemment y arriver que par tâtonnements, en prêtant â m diverses valeurs entières ou fractionnaires, plus grandes ou plus petites que l’unité5 car l’exposant 1 ferait de l’équation ci-dessus celle d’une droite rencontrant l’axe des Y à une hauteur b. J’ai d’abord supposé m = 2, et, après avoir fait l’épure do la courbe et prolongé cette courbe jusqu’à sa rencontre avec l’axe des Y, j’ai trouvé pour b une valeur de 1.45. J’ai alors écrit les équations correspondant aux ordonnées suivantes, à peu près équidistantes :
 - yr— 2.25, y" = 14.03, y'" = 47.62,
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- - — 202 —
 - et j’en ai tiré les valeurs suivantes de a:
 - «' = 0,00 343, «" = 0,00 342, «'" = 0,00 327.
 - On ne peut s’attendre en pratique à trouver des valeurs plus concordantes de a. J’ai donc pris la moyenne de ces trois valeurs et je me suis arrêté à l’équation :
 - y==0,00 337«;2 + 1.45,
 - comme représentant aussi exactement que possible la loi qui L G
 - lie les rapports g et—j et en y introduisant ces rapports à la place de y et de x, j’en ai tiré finalement :
 - R =------------5------r—;•
 - l.« + 0,00 337('^')
 - Si l’on applique à cette formule les données numériques de tous les piliers expérimentés par M. Hodgkinson, on trouve les valeurs inscrites dans la 12e colonne du tableau précédent, et qui s’approchent dans les limites voulues de celles données par l’expérience.
 - J’ai mis en regard les résultats obtenus par la formule de M. Hodgkinson, et l’on peut s’assurer que cette formule ne donne pas une plus grande approximation que la mienne.
 - Dans une certaine limite , on peut trouver une ligne droite AB qui répond aussi bien que la courbe aux coordonnées — c
 - et —j alors l’équation générale ci-dessus devient :
 - y=«a? + 6,
 - et b étant trouvé par l’épure égal à 0,68, on arive à la formule :
 - t>__ G
 - -----------
 - 0,68+ 0,1 ^
 - qui est d’un usage plus commode pour les piliers courts que la formule générale.
 - Les formules applicables au fer ont été obtenues par le même procédé.
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- - 203 —
 - Afin de ne pas trop sortir du cadre habituel d’un mémoire, je me dispenserai à l’avenir de m’étendre aussi longuement que je viens de le faire sur les procédés au moyen desquels j’ai obtenu les autres formules qui suivent. Je me bornerai à transcrire ces formules et à mettre autant que possible les résultats qu’elles donnent en présence de ceux fournis par l’expérimentation , afin de montrer au praticien le degré de confiance qu’il peut leur accorder.
 - Piliers creux cylindriques.
 - 40. La faible différence qui existe entre les coefficients numériques des formules de M. Hodgkinson (lé et 15) sur les piliers pleins et les piliers creux permet d’affirmer que :
 - La résistance d’un pilier creux cylindrique est égale à la différence des résistances de deux piliers pleins ayant pour diamètres, le premier le diamètre extérieur, le second le diamètre intérieur dit pilier creux proposé.
 - Cetle loi est confirmée par son application aux expériences de M. Hodgkinson sur les piliers creux en fonte et en fer. Dans un petit nombre d’expériences sur le fer, j’ai trouvé quelques anomalies; mais on peut dire que les deux tiers des cas satisfont à la loi ; et les anomalies s’expliquent soit par les circonstances mêmes de l’expérimentation , soit par lé mode dé construction des tubes expérimentés.
 - Piliers creux quarrés ou rectangulaires.
 - 41. M- Hodgkinson s’ëst livré aussi à un assez grand nombre d'expériences sur des piliers de cette espèce (on en trouve le détail dans l’ouvrage de M. Ed. Clark ou dans le rapport de la commission d’enquête, p. Ié9). Malheureusement il n’en a tiré aucun parti ; car, d’abord, il a cru que cette sorte de piliers n'était assujettie à aucune loi; et dans une autre occasion, je pourrai faire voir que les conséquences qu’il en a déduites sont ou inexactes, ou sans utilité pour les praticiens. Je me
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- - — 204
 - suis efforcé de combler la lacune regrettable laissée par M. Hodgkinson, et j’ai trouvé la formule suivante, qui rend compte avec le degré d’approximation ordinaire des cas d’expérience :
 - R =
 - A + B' 2
 - + B.
 - (H)
 - dans laquelle R désigne la résistance totale du pilier proposé; A celle des parois hachées calculée par la formule
 - Section d’un pilier
 - creux. c a
 - 1.55 -f- 0,0005
 - * D' fZx
 - JL V ’ D,
 - . . Va
 - £
 - 1
 - vl
 - comme si elles appartenaient à un pilier plein ayant les dimensions extérieures du pilier proposé ;
 - Bf la résistance de ces mêmes parois calculée par la formule
 - /JD'v
 - 1.55 + 0,0005 f —J
 - comme si elles appartenaient à deux piliers rectangulaires pleins de section abcd, d’épaisseur e , et de hauteur égale à la dimension extérieure et transversale D' du pilier creux ;
 - Enfin, B la résistance des parois non hachées calculée par la formule
 - /1)\2’
 - 1.55 + 0,0005 UJ
 - comme si elles formaient deux piliers rectangulaires d’épaisseur er} de largeur D—2e, et de hauteur égale à l’autre dimension transversale D du pilier creux proposé.
 - Lorsque le tube est quarré et l’épaisseur de la tôle uni-
 - jy d D
 - forme, — et -f sont la même chose que -, mais Gf est toujours 6 6 6
 - plus petit que C.
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- - 205 —
 - N. B. Bien que cette règle paraisse compliquée au premier abord, elle est néanmoins d’un emploi très facile, puisqu’elle consiste purement et simplement dans trois applications successives de la formule générale des piliers pleins.
 - 42. La loi delà résistance des piliers creux quarrés étant de la plus haute importance, comme on le verra plus loin , pour le calcul des ponts tubulaires de toutes les formes, j’ai cru devoir donner ci-après le tableau des expériences de M. Hodg-kinson , et appliquer la formule a tous les cas, afin de montrer le degré d’approximation que l’on peut en tirer.
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- - Piliers en fer creux, ou tubes à sections quarrées ou rectangulaires. Expériences deM. Hoclgkinson(p. 149 du Rapport de la Commission d'enquête).
 - o>
 - jf 14 r 12 f 304.80 r 21.72 f 21.590 i 0.556 f 14 38
 - 15** 13 304 80 21 336 21 590 0 604 14 34
 - 1 461** 14 304.80 20 574 )) et 0.622 0.162 15 63=--2 e
 - ! 17 )> 152.40 d° )) d° 7 do
 - ! 18 )> 71 14 d’ » d° 4 dü
 - 1 19 IL? O 304.80 10.414 20 764 0 155 29 67
 - 1 £0 )) 233.68 d» d° d° 22 do
 - il 2i » 71.14 d° d» d® 6 do
 - qO 6 304 80 12 063 21.590 0.670 25 18
 - i 23 7 304.80 10.795 21.336 0 660 28 17
 - 24 8 304.80 10 414 20.574 0.150 29 69
 - 25 » 232.41 d° d° d° 22 d°
 - 26 )> 111.76 d° d° do 10 d°
 - 27 » 49 53 d° d» d° 5 do
 - 128**** 9 304.80 12.063 21.590 0.633 25 20
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 - 22.9676
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 - 10539
 - 11264
 - 9667
 - 89394
 - 92659
 - 19801
 - 20608
 - 18707
 - 22232
 - 94262
 - 1796 121952 91933 1
 - 1734 )> 104537 * * M. Iiodgkinson fait observer I en cet endroit qu’il n’est pas bien 1 certain que le tube ait commen- | cé à céder sous la charge de | 102393 kilog. L'expérience n’a pas I été poussée plus loin. S
 - 1385 » 31643 *** Au lieu du rapport - , il. 1 c 1
 - » )> 37800 1 D f faut ici prendre - - |
 - » )> 40300
 - 1067 i> 10378 Outre le rapport 2, il faut, pour J le calcul des tubes rectangulaires,!
 - » )) 10687 un autre élément, qui est le rap-g
 - » » 12892 port —. e
 - 1891 » 100081 <
 - 2106 » 92400
 - 1355 » 14300
 - » » 14780
 - » )> 15343
 - » » 18684
 - 1730 » 109320 **** Sous la charge do 94263 kilog., ie tube n’avait pas encore donné de signes de rupture.
 - t^s
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 - On remarquera dans ce tableau que la résistance des tubes, calculée d’après la loi des piliers cylindriques creux, s’écarte beaucoup des résultats de l’expérience pour les tubes dans lesquels l'épaisseur de la tôle est faible relativement à la dimension transversale extérieure } mais que, cependant, les résultats obtenus d’après les deux lois se rapprochent beaucoup à D
 - mesure que le rapport — diminue. Ainsi, par exemple, pour le c
 - n° lô, correspondant à un rapport ? = 38, les deux résultats inscrits dans les colonnes 13 et H ne diffèrent plus que d’un cinquième du plus faible des deux ; et l’on prévoit qu’il doit exister un point où la loi des piliers quarrés cesse d’étre exacte et doit être remplacée par celle des piliers creux cylindriques. Aussi, à partir d’un rapport — = 30 , conviendrait-il,
 - c
 - peut-être, de calculer la résistance des deux manières et de prendre le résultat le plus faible.
 - 45. La grande analogie qui existe entre les autres formules de résistance du fer et de la fonte permet de supposer que la loi des piliers creux rectangulaires ou carrés que l’on vient de tracer serait également applicable à la fonte. Seulement il est probable que la circonstance particulière qui a nécessité pour le fer l’introduction dans la formule du terme B' n’existe pas pour la fonte, et que, pour ce métal, la formule se réduirait à R = A + B. (22)
 - A et B auraient des valeurs analogues à celles décrites précédemment} mais il faudrait déterminer par expérience la hauteur du pilier rectangulaire dont B représente la résistance.
 - 44. Afin que ce mémoire présente un résumé aussi complet que possible sur les lois delà résistance des piliers en fer ou en fonte, j’ajouterai, pour terminer cet article, l'énonciation suivante des autres faits que M. Hodgkinson a tirés de ses expériences sur les piliers.
 - 1° Dans des piliers longs de même dimension, la résistance à la rupture est environ trois fois plus grande lorsque les extré-
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 - mités sont planes et solidement assises que lorsqu’elles sont rondes et capables de tourner.
 - 2° La résistance d’un pilier dont une extrémité est plane et l’autre arrondie est une moyenne arithmétique entre celles d’un pilier à extrémités arrondies et celle d’un pilier à extrémités planes. Ainsi, dans trois piliers de même hauteur, le premier ayant ses extrémités rondes, le deuxième une extrémité ronde et l’autre plate, le troisième ayant ses deux extrémités plates, les résistances sont entre elles comme 1, 2 et 3, approximativement.
 - 4° Un pilier dont une extrémité est parfaitement fixée et l’autre susceptible de prendre un mouvement, comme dans le cas où elle est arrondie, se rompt à un tiers de la longueur à partir de l’extrémité ronde : ce serait donc une bonne disposition que de renforcer un tel pilier dans la partie où la rupture tend à s’effectuer.
 - 5° Un pilier fixé irrégulièrement, de telle sorte que la pression se transmette diagonale-ment, comme dans la figure ci-contre, perd les deux tiers de sa résistance.
 - 4i>. Outre ces faits relatifs à l’influence du mode do fixation des piliers sur la résistance , on trouve encore dans l’ouvrage de M. Hodgkinson ceux qui suivent sur l’influence de la forme :
 - 1° Les piliers pleins à section circulaire, à extrémités planes ou arrondies, ne gagnent que un huitième à un septième en résistance lorsqu’on augmente graduellement leur diamètre des extrémités au milieu de la longueur.
 - 2° Les piliers creux à section circulaire renflés vers leur milieu ou vers une extrémité ne résistent pas plus que ceux de même poids et uniformément cylindriques. M. Hodgkinson penche même à croire qu'ils sont plus faibles. Mais je dois dire que les expériences de cet auteur ne sont pas décisives à cet égard, et qu’il tire plutôt cette manière de voir de l’examen de la formule théorique d’Euler sur des piliers creux en forme de cône tronqué que du fait expérimental.
 - 14
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 - 3° Un pilier plein à section circulaire ayant 'une extrémité arrondie gagne en résistance en le renforçant au tiers de sa longueur à partir de l’extrémité arrondie.
 - 4° La résistance d’un pilier ayant en section la forme ci-contre d’une bielle de machine à vapeur n’est pas la moitié de celle que présenterait la même quantité de métal sous la forme d’un pilier creux uniformément cylindrique ; le rapport trouvé dans les expériences de M. Hodgkinson pour les deux cas étant
 - de 17,578 a 39,645.
 - Il n’existe pas d’expériences sur d’autres formes qui ont été et sont encore quelquefois employées, telles que les suivantes :
 - mais il est permis do penser, d’après l’exemple qui précède et ce qui a été dit sur les piliers carrés et rectangulaires en fer, que ces diverses formes sont de beaucoup inférieures h la forme cylindrique.
 - Flexion des piliers.
 - 46. M. Hodgkinson a trouvé que les piliers commencent déjà à fléchir visiblement sous des charges beaucoup plus petites que celles qu’ils sont appelés à supporter en pratique. Il regarde même comme probable que la flexion se produit sous les plus petites charges; ce qui est entièrement différent des idées reçues avant lui. L’erreur dans laquelle sont tombés ceux qui l’ont précédé a pu venir de ce qu’ils ont opéré sur des piliers courts dans lesquels la flèche produite sous les plus fortes charges est peu sensible. Du reste, même dans les piliers les plus longs, cette flèche est peu considérable, car on trouve dans les expériences de M. Hodgkinson que celle produite par une charge égale à la moitié de la charge de rupture dans un pilier à bouts arrondis, et dont la longueur était 120 fois le diamètre n’a été que le dixième du diamètre. Cette flèche eût été beaucoup plus faible encore si les extrémités avaient été planes.
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 - fi
 - 47. En examinant attentivement les expériencesde M« Hodgkinson, j’ai trouvé le fait suivant, qui a échappé à cet expérimentateur, et qui cependant est d’une grande importance : c’est que la flèche du ‘pilier qui correspond à la charge de rup~ ture n'atteint jamais la moitié du diamètre du pilier.
 - Il résulte de là qu’au moment où le pilier atteint son maximum de résistance, aucune partie de sa section n’est encore soumise à un effort de traction, puisque la résultante des pressions, indiquée dans la figure ci-contre par la ligne ponctuée, ne sort pas encore du so-v lidej par conséquent, toutes les théories sur la résistance des piliers basées sur cette hypothèse qu’une partie de la section est, à ce moment, tirée et l’autre comprimée, sont fausses. Il est incontestable que ce phénomène finit par se produire. Mais à partir de l’instant où il commence à se manifester, la résistance du pilier va nécessairement en décroissant, jusqu’à la rupture. Il s’ensuit que l’on ne peut tirer le moindre enseignement de l’aspect présenté par la section de fracture sur le mode de résister du solide, parce que la situation de cette section au moment qui précède immédiatement celui où le solide est séparé en deux pièces est tout-à-fait différente de celle qui doit exister au moment où le maximum de résistance est atteint. J’insiste d’autant plus sur ce point, queM. Hodgkinson a l’habitude de conclure de l'aspect de la fracture d’un solide la nature des actions développées à l’intérieur sous l’influence de la charge qui produit la rupture. Ainsi, en ce qui concerne les piliers, il en tire la confirmation de l’hypothèse dont l’observation ci-dessus, tirée de> expériences de M. Hodgkinson lui-méme, démontré la fausseté. Dans un solide soumis à un effort transversal, il déterminé de la même manière, et sans plus de raison, la position de l’axe neutre.
 - 48. L’ancienne hypothèse, qui sert de base à une théorie inadmissible, a en outre le tort, non seulement de ne pas expliquer le phénomène de la flexion, mais encore de rendre toute explication impossible. On no comprend pas, eneffet, qu’un pilier de nature homogène que l’on suppose formé de
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 - tranches parallèles entre elles et perpendiculaires à l’axe, et pressé bien également entre deux surfaces planes et perpendiculaires à cet axe, puisse jamais fléchir. 11 n’y a aucune raison pour que la flexion se produise plutôt d’un côté que de l’autre. Cette flexion se conçoit très bien au contraire, si l’on admet, ce qui est à la fois plus naturel et plus conforme à l’expérience, qu’un pilier se compose de tranches parallèles inclinées sur l’axe suivant l’angle des coins de fracture que l’on obtient dans des cylindres en fonte dont la hauteur ne dépasse pas quatre fois le diamètre (§ 31). Dès lors, toutes les particularités de la flexion des solides s’expliquent en considérant ces tranches comme glissant les unes sur les autres, et, en outre, comme conséquence de ce glissement, se rapprochant davantage les unes des autres du côté opposé où le glissement s’effectue. Je n’insisterai pas sur cette nouvelle manière d’envisager la flexion des piliers , parce qu’elle n’a guère d’intérêt que pour le physicien , et que les formules de rupture que j’ai trouvées en sont tout à fait indépendantes.
 - 49. Action prolongée de la charge. --Il peut être bon de mentionner ici, en confirmation de faits semblables qui ont été rapportés, qu’il résulte d’expériences faites par M. Hodgkin-son et continuées pendant un espace de temps considérable qu’un pilier soustrait aux chocs et aux vibrations peut supporter indéfiniment les charges les plus voisines de celle de rupture.
 - CHAPITRE IH,
 - DO FER BT DE LA FONTE SOüMIS A UN EFFORT TRANSVERSAL.
 - Solides à section pleine.
 - 130. Le cas le plus simple d’un solide soumis à un effort transversal est celui d’une barre de section quarrée ou rectangulaire. La théorie donne pour la formule de la résistance d’un pareil solide, lorsqu’il repose sur deux appuis par ses extrémités :
 - - PL — - TEH2,
 - h <3 '
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- - 1% Ë, H, L, ï, désignant respectivement le poids de rupture du solide, sa dimension transversale horizontale, sa dimension verticale, sa longueur et sa résistance à la traction par cent, quarré. Si, pour obtenir la confirmation de cette formule, on l’applique à une barre de fonte qui a été rompue sous une charge de 273% et formée d’un métal présentant une résistance à la traction de l,175u et avant les dimensions suivantes :
 - L=Zi01cent.74, H = 5<=.08, E=2‘.54,
 - on trouve P—127, c’est-à-dire la moitié environ de la charge trouvée par expérience.
 - Si l’on prend une barre d'un fer présentant une résistance à îa traction par cent. q. de 3,300% ayant rompu sous une charge de 2,330% avec les dimensions suivantes,
 - L = 30°.ù8, H=2c.5A, E = 2°.54,
 - et que l’on y applique la formule ci-dessus, on ne trouve encore pour la valeur de P que i,078l, la moitié environ de la charge de rupture réelle.
 - En faisant d’autres applications à des cas d’expériences , on retrouve des résultats semblables. Il faut donc en conclure que, pour mettre la théorie d’accord avec la pratique , il devient nécessaire de substituer dans la formule ci-dessus le coef-
 - 11
 - ficient - au coefficient -, et l’on a :
 - 3 o
 - - PL = ^ TEH2 » (23)
 - 4 O
 - Ceci explique la dissidence que j’ai signalée, au § 12, entre la résistance à la traction de la fonte déduite de l’expérience directe et cette même résistance déduite de l’application de la formule théorique. On ne comprend pas que les auteurs français aient laissé subsister une discordance aussi étrange lorsqu’il était si facile de l’éviter (1). (*)
 - (*) On trouve dans l’ouvrage de M. Hodgkinson, p. 452, un tableau d’expériences par effort transversal sur des barreaux de fontes diverses, des-
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- - — 214 —
 - SI. Laformuleprécédente modifiéene s’applique qu’à des barres de fonte dont la plus petite dimension transversale n’excède pas 2 c. 1/2 environ ; au delà elle donnerait des résultats trop forts. Cela tient à ce que plus le calibre de la barre est fort et plus le taux de la résistance à la traction diminue. Pour mettre la formule en état de tenir compte de cette circonstance, j’ai trouvé, par tâtonnements, qu’il suffisait de multiplier le second nombre par le facteur (1.18—0.07D), D indiquant la plus petite dimension transversale du solide ; la formule devient donc pour la fonte;
 - EouD
 - ? ~PL = ^ TEH1 2(1.18—0.07D). (24)
 - Pour que cette formule fût bien applicable aux fontes du pays, il faudrait commencer par rompre des barreaux ayant environ 2 cent. 1 /2 de côté, et, après avoir introduit les résultats obtenus dans la formule, en déduire la valeur de T pour chaque espèce de fonte.
 - Je donne ci-après le tableau des expériences du capitaine Henry James sur un grand nombre de barreaux en fonte de la qualité désignée sous le nom de « clyde iron n° 3. » Dans des expériences préalables, M. Hodgkinson avait trouvé que la résistance de cette espèce de fonte à la traction était de l,650k par cent, quarré. C’est le chiffre qui a été mis à la place de T dans la formule.
 - 1 1
 - quelles il a déduit la valeur du coefficient n dans la formule , PL = - TEH2 , en y introduisant la valeur de T obtenue directement par l’expérience. Il en a conclu pour n une valeur moyenne égale à 2.63. En examinant ce tableau attentivement, j’ai trouvé que l’on pouvait séparer les résultats en deux catégories : la première se composant de fontes inférieures et dont la résistance à la traction variait de 944 à 1021k par cent, quarré, pour lesquelles n était égale à 2.27; la seconde se composant de fontes supérieures à la moyenne générale, variant de 1172 à 1539k par cent, quarré et pour lesquelles n était égale à 3 très approximativement.
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- - 215 —
 - 32. Tableau des expériences du capitaine Henry James.
 - N°« d’ordre. Longueur. L Haiiteur. H Epaisseur. E Poids de rupture trouvé par expérience. Poids de rupture calculé par ta formule 7PL=4tEH5. 4 3 Résultats des calculs précédents multipliés par le facteur (1.18—0,07D). Nombre de barres de même espèce expéri- mentées OBSERVATIONS.
 - c. c. C. k. k. k.
 - 1 137.24 2.54 2.54 257 262 262 3 Dans ces expé-
 - 2 68.62 2.54 2.54 505 524 524 3 riences, les dimen-
 - sions des barres
 - 3 274.50 5.08 2.54 354 531 531 5 ont été prises avec
 - 4 157.24 5.08 2.54 954 1062 1062 5 le plus grand soin,
 - 5 68.62 2.84 5.03 1013 1062 1062 5 à un centième de
 - pouce près, et les
 - 6 157.24 7.62 2.54 1988 2267 2267 2 poids de rupture
 - 7 68.62 2.54 7.62 1398 1572 1572 4 obtenus ont été ra-
 - 8 401.74 5.08 5.08 483 717 587 3 menés par le cal-
 - cul à ce qu’ils au-
 - 9 274.KO 5.03 5.08 835 1062 871 7 raient été si les
 - 10 137.24 5.08 5.08 1626 2124 1742 7 barres avaient pré-
 - 11 274.50 7.62 5.08 1829 2267 1858 9 sente les dimen-
 - sions exactes que
 - 12 137.24 5.08 7.62 2446 3186 2612 10 l’on s’était proposé
 - 13 401.74 7.62 7.62 1439 2267 1473 3 de leur donner.
 - 14 205.86 7.62 7.62 3052 4013 3073 8
 - On voit, par l’examen de ce tableau, combien l’application de la formule privée du facteur (1.18=0,07D) donne des résultats éloignés de ceux de l’expérience lorsque les barreaux atteignent une forte épaisseur, et en même temps avec quel degré d’approximation l’emploi du facteur corrige les premiers résultats obtenus.
 - Nota. Il paraît que certains mélanges de fonte, variant'suivant le calibre, ont la propriété de relever beaucoup le taux de la résistance des grosses pièces. Lorsqu’on ne peut disposer des fontes propres à ces mélanges, on peut arriver à peu près au même résultat en soumettant la première barre obtenue a une nouvelle fusion. Le gain de résistance que l’on retire de cette opération est, a ce qu’il paraît, d’environ 25 a 30 pour 100.
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- - — 216 —
 - 85. Les autres formes de section pleine que l’on peutrencon* trer en pratique sont les sections circulaire, elliptique et triangulaire. En modifiant les coefficients numériques des formules théoriques qui leur sont applicables, comme on vient de le voir pour la section rectangulaire, ces formules deviennent :
 - Pour la section circulaire
 - ipL = ÎTD’i (26)
 - Pour la section elliptique,
 - -PL=^TBD2j (26)
 - Pour la section triangulaire le solide reposant sur une arête,
 - îp,'=èTEH2i (97)
 - Pour la section triangulaire le solide reposant sur sa base ,
 - 7?L-=7TEH2. (28)
 - h h K '
 - <•-..........->
 - En comparant toutes ces formules entre elles, on trouve qu’à hauteur et section égales, la forme la plus résistante est celle du triangle reposant sur sa base, ce qui, du reste, est confirmé par l’expérience. Quoi qu’il en soit, il est utile de faire observer ici que le nombre d’expériences sur ces trois dernières formes est extrêmement restreint, et que les formules qui s’y appliquent auraient besoin d’une sanction plus décisive. Je dois dire cependant qu’elles sont confirmées jusqu’à un cer-
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- - tain point indirectement par les expériences relatives aux solides évidés qui dérivent de ces formes.
 - Solides à section évidée.
 - 54. Les solides de cette espèce dérivent des quatre formes de section pleine examinées précédemment. On obtient en effet, en les évidant symétriquement à l’intérieur on à l’extérieur, les formes suivantes :
 - 55. Je n’examinerai la première de ces formes que pour avoir l’occasion d’indiquer une particularité assez remarquable appartenant à tous les solides de section évidée.
 - Si l’on accole en-
 - .. semble deux barres
 - de fer méplat et qu’on
 - les boulonne par les extrémités, on obtiendra un solide à section rectangulaire pleine dont la résistance sera facile à déterminer d’après ce qui précède. On peut se proposer de rechercher ce que deviendra cette résistance si l’on vient à intercaler entre les deux barres des coins ou des entretoises de manière à augmenter de plus en plus la hauteur du solide. Pour cela on peut faire deux hypothèses : ou bien l’on supposera la tension en a plus petite qu’en fc, en [raison de la distance de ce point au centre de la pièce j ou bien l’on admettra que ces deux points sont
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- - 218 -
 - suffisamment éloignés du centre pour qu’il n’y ait pas d’erreur sensible à regarder les tensions en a et 6 comme étant égales. Dans le premier cas, la formule delà résistance est : lm 1 TE(H3—H'3)
 - H
 - ét l’on trouve que le rapport R entre la résistance du solide dont la hauteur est ainsi augmentée et sa résistance primitive est exprimée par
 - R
 - 3n2 — 3n-j-l
 - (29)
 - n désignant le nombre de fois que la nouvelle hauteur H contient la première. On tire de cette formule que, pour des hauteurs successivement égales à 2, U, 6, 8, 10 fois la hauteur primitive, la résistance devient égale a 3, 9, 15, 21, 27 fois la rési-
 - stance que le solide présentait lorsque les deux barres étaient accolées.
 - Dans la deuxième hypothèse, la formule de la résistance est :
 - ipL^iTE(H2—1F2),
 - 4 à
 - et le rapport R prend la forme plus simple
 - R=2w-1, (30)
 - et dans ce cas, les hauteurs augmentant comme
 - 2, é, 6, 8, 10,
 - les résistances ne sont plus respectivement que
 - 3, 7, 9, 15, 19 fois
 - la résistance primitive. Je dirai de suite que cette dernière hypothèse, qui s’éloigne le plus de la théorie, est cependant celle que confirme l’expérience ; ce qui simplifie beaucoup la recherche et l’établissement des formules relatives aux solides à sections évidéès.
 - Solides évidés en fer. Ponts tubulaires.
 - 56. Parmi les solides évidés en fer, les seules formes qui aient été employées ou qui doivent l’être sont celles qui dérivent des
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- - — 219 —
 - sections pleines quarrée ou rectangulaire et circulaire. Les formules applicables à ces divers cas sont les suivantes :
 - Formes dérivées de la section rectangulaire pleine,
 - ipL=1-F(EH'-E'H'2l, (*) (31)
 - Ef et H7 désignant respectivement la largeur et la hauteur intérieure du solide.
 - Forme dérivée de la section circulaire pleine,
 - -PL = 1 F (D3 — Df3), (32)
 - Df indiquant le diamètre intérieur du tube.
 - On remarquera qu’au lieu de la lettre habituelle T qui représente la résistance du métal à la traction, j’ai introduit dans la formule la nouvelle désignation F. C’est parce que le solide peut céder par traction ou par compression, et F représente l’une ou l’autre de ces deux résistances, suivant le cas. On voit par là. que la première chose à faire pour calculer la résistance d’un tube en fer, c’est de déterminer la valeur de F. Or,j’ai trouvéqu’il faut pourcela opérerdelamanière suivante :
 - 1° Calculer la résistance à la traction de la partie inférieure du solide en tenant ‘compte de Vaffaiblissement résultant du mode d'assemblage des parties ;
 - 2° Calculer la résistance à la compression de la partie supérieure comme si elle faisait partie d'un pilier quarré ayant pour longueur celle du tube entre ces appuis, pour côté la dimension transversale et horizontale du pilier proposé, et supposer que le tube doit céder latéralement ;
 - 3° Introduire pour F dans la formule le taux par cent, quarré de la plus petite des deux résistances trouvées.
 - Nota. Cette règle n’est applicable qu’autant que la partie
 - (*) Je ferai remarquer ici, une fois pour toutes, que les mêmes lettres, dans les diverses formules, conservent toujours la signification qui leur a été donnée dans les paragraphes précédents.
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- - — 220
 - supérieure est d’une seule pièce ou composée de plusieurs assemblées bout à bout avec couvre-joints, c’est-à-dire do la ma-nière la plus favorable à la résistance.
 - 57. Exemple. M. Steplienson a fait rompre un tube en fer soudé à section rectangulaire, présentant les dimensions suivantes :
 - L = 182°.88, H = l(k953 , H' = 1(K001,
 - E = 5'.873, E' = û.921, 6 = 0.676, ép. dô la tôlû.
 - Le poids de rupture a été de 3200 kilogrammes.
 - Le tube étant d’une seule pièce, le taux de résistance à la traction n’éprouve aucune réduction, et doit être, d’après les expériences de M. Stephenson, de 3100k par cent, quarré environ. Reste à déterminer le taux de la résistance à la compression. Or, en formant un pilier creux quarré présentant les dimensions suivantes ;
 - L = 182.88, E = 5.873, e = 0.476,
 - et calculant sa résistance par la formule,
 - on trouve
 - |=2270 t
 - donc le tube devra céder par compression, puisque les sections sont égales en haut et en bas. C’est en effet ce qui a eu lieu. Le poids de rupture calculé parla formule
 - î-PL =4 F (EH2—E'H'2)
 - M O
 - est 3500k, qui ne diffère que d’un dixième de celui de l’expérience. Il est probable que le tube aura éprouvé une perte de force par la chaude nécessaire pour la soudure.
 - Pour montrer combien l’on peut compter sur la méthode de calcul que je viens d’indiquer, je donne ci-après le tableau des expériences de M. Hodgkinson sur des tubes offrant les dimensions les plus variées. En comparant les résultats du calcul avec ceux de l’expérience, on voit que l’approximation obtenue est aussi grande qu’on peut l’espérer en pratique.
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- - d’ordre des expériences.
 - 221
 - 08. Poutres creuses ou tubes expérimentés par M. Hodgkinson
 - Q
 - 3
 - 3
 - ba
 - a
 - 1 114.50
 - 114.50 228.60
 - 228.60
 - 914.40
 - 914.40
 - 914.40
 - 8*
 - 914.40
 - 3
 - ci
 - S3
 - C
 - 7.620
 - 7.620
 - 14.752
 - 15.940
 - 60.960
 - 60.525
 - 3
 - CD
 - <50
 - ci
 - XI
 - 60.960
 - 60.525
 - C
 - 4.826
 - 4.955
 - 9.652
 - 9 906
 - 58.100
 - 59.570
 - ci
 - O.
 - M
 - C
 - 0.076 0.155 0.165
 - 0.556
 - 0.515
 - 59.570
 - 0.691
 - 1.553
 - 40.005
 - 1.110
 - | 0.691
 - Forme
 - de la section.
 - n
 - 7 .
 - 05
 - oa
 - -05 — a > 3 2
 - o £.3
 - t- hr73 « 3e ot
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 - 73-05 S
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 - T3
 - 505
 - 1119
 - 1459
 - 4547
 - 5872
 - 25780
 - 59518
 - 55709
 - 8 .
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 - |g S.tf •S 2
 - S-a <d e
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 - «5 c/3
 - -O O-
 - o; £
 - k
 - 1502
 - 1906
 - 1578
 - 1959
 - 825
 - 1396
 - 1955
 - 1810
 - CD
 - î-,
 - 3
 - O.
 - 3
 - k
 - 303
 - 878
 - 1264
 - 5896
 - 6258
 - 22181
 - 61825
 - 35740
 - 10
 - Q
 - 3
 - 3
 - 73
 - 1.96
 - 4.38
 - 16.09
 - 48.96
 - 495.56
 - 1172.04
 - 2164
 - 1322
 - 11
 - OBSERVATIONS.
 - * Ce tube est le même que le n°6, dont on a renforcé l’épaisseur à la partie supérieure.
 - En général, les résultats calcu lés dans les petits tubes sont inferieurs à ceux de l’expérience j cela doit venir de ce que je n’ai pas tenu compte du retour d’équerre donné à la tôle a la partie supérieure pour la rivure.
 - En outre, on ne peu t s’attendre à obtenir une approximation aussi grande dans des tubes de tôle mince que dans ceux de tôle forte, parce qu’on ne peut en déterminer l’épaisseur aussi exactement que dans ces derniers, et parce que la plus légère erreur dans cette détermination influe naturellement davantage sur le résultat.
 - En admettant que la rivure dans la partie inférieure des grands tubes réduise d’un cinquième environ le taux de la résistance de cette partie (ce gui n’est pas loin de la vérité), et l’abaisse par conséquent à 2500 kilogr. par centimètre quar-ré environ, on voit que dans tous les cas ces tubes ont dû céder par compression: c’est ce que l’expérience a confirmé.
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- - — 222 —
 - Remarque. — La manière de procéder est la même lorsque les parties supérieure et inférieure du tube ne sont pas d’égale épaisseur. Seulement, au lieu d’introduire pour H'dans la formule la va'eur H — (e-j-e'), e et e' désignant les épaisseurs du toit et du plancher, il faut y mettre H— 2j , s désignant l’épaisseur de la partie que les calculs préparatoires ont fait reconnaître comme la plus faible.
 - C’est de cette manière qu’a été calculé le dernier tube du tableau, dont l’épaisseur à la partie inférieure n’est que les deux tiers de celle du toit, et l’on voit que le résultat du calcul cadre on ne peut mieux avec celui de l’expérience.
 - 39. Ponts-tubes à cellules.—Cette méthode de calcul s’applique non seulement aux tubes qui précèdent, mais à ceux, quelles que soient leurs dimensions, dont le toit et le plancher sont
 - cellulaires. Yoici, en quelques mots, la marche à suivre. Soit abcd la section d’un tube à cellules : on mènera par le centre de gravité des cellules les droites horizontales a'b' et c'd' ; puis, ayant calculé la section totale du toit et du plancher, on les répartira également de chaque côté des lignes a'b', c'dde manière à substituer aux cellules une simple épaisseur de métal de même section. On obtiendra ainsi un nouveau tube ABCD de même longueur et de même poids que le précédent, mais de hauteur différente, et dont on obtiendra facilement la résistance par la méthode indiquée pour les simples tubes des expériences de M. Hodgkinson.
 - Ce procédé étant appliqué à tous les cas d’expériences sur le grand tube modèle rend parfaitement compte de tous les résultats obtenus.
 - CO. Je n’ai trouvé nulle part des cas d’expérience sur la forme de section double T, mais il paraît rationnel de supposer que
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- - 223 —
 - cette forme rentre dans la précédente et doit être calculée de la même manière.
 - Cependant, il ne faut pas perdre de vue que les calculs précédents ne s’appliquent qu’à des poutres isolées reposant sur deux appuis. Si l’on avait à calculer la résistance de poutres double T comme celles actuellement employées dans la construction des nouveaux planchers d’habitation, il faudrait substituer à F, dans la formule, la résistance du fer à la traction j car il est évident que ces poutres ne peuvent plus céder, comme des poutres isolées, par la partie supérieure, qui, dans ce cas particulier, se trouve parfaitement maintenue par les voûtes en poterie. Cette observation s’applique naturellement aussi aux pièces ou poutres de pont qui se trouveraient dans la même position par suite d’une disposition semblable ou équivalente.
 - Résistance des poutres évidées en fonte de formes diverses.
 - 61. En rassemblant tous les faits d’expérience que j’ai rencontrés dans divers auteurs , j’en ai conclu les formules suivantes pour les solides dont la section dérive :
 - De la forme quarrée ou rectangulaire pleine,
 - PL = 0,22T (EH2—E'H'2), (33)
 - De la forme circulaire pleine,
 - De la forme triangulaire,
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- - De la forme trapézoïdale
 - ipL = mT(Ell2-E'H'2).
 - (37)
 - m = (0.22 — O.Olr), r désignant le rapport des sections des renforts supérieur et inférieur.
 - Cette dernière forme a été imaginée, ou du moins préconisée par M. Hodgkinson , et » suivant cet auteur, pour qu’elle soit dans les meilleures conditions possibles, la tige verticale doit être très mince et les renforts dans le rapport de 6 1/2 à 1. Dans ce cas, le coefficient m est égal à 0,155, et la formule devient
 - PL —0.155T (EH2—E'H'2). (37)
 - Dans toutes ces formules, H'=H—2e; e désignantl’épaisseur du renfort inférieur du solide.
 - Contrairement au fer, la fonte cède toujours par traction. Cela tient à l’énorme différence qui existe entre la résistance à la traction et la résistance maximum à la compression de ce métal; différence qui est telle, que, dans la fonte résistant comme pilier, il faut que la longueur atteigne 40 ou 50 fois le diamètre ou la plus petite dimension transversale, pour que le taux de la résistance à la compression descende au-dessous du taux de la résistance à la traction. C’est pourquoi j’ai conservé dans les formules relatives à la fonte la désignation T, qui représente la résistance de la fonte à la traction par cent, quarré.
 - En comparant les formules 23, 25, et 31, 32, on voit que pour les solides évidés en fer, les coefficients numériques sont les mêmes que ceux des solides à section pleine, dont ils dérivent. Il n’en est pas de même pour la fonte, comme on peut le voir par la comparaison des formules 23, 25, 28 ,et 33, 34, 35. Les coefficients pour les solides évidés en fonte sont plus petits $ cela a été nécessaire pour mettre les formules d’accord avec
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- - — 225 —
 - l'expérience. Il est digne de remarque que, quoique ces formules aient été arrêtées indépendamment les unes des autres , les nouveaux coefficients se sont trouvés être les 0,70 des coefficients des formes pleines primitives.
 - 62. levais maintenant confirmer les formules qui précèdent par des exemples.
 - M. Stcphenson a fait rompre quatre tubes rectangulaires en fonte , dont les dimensions suivent :
 - L = 182c.8S0,
 - II = 10e.263,
 - H' = 8c. 359,
 - E = 5e. 6 07,
 - Er = 3°.703,
 - e = 0e.952.
 - Appliquant la formule, on a :
 - P —0,22
 - h X 1600(5.607 X [ 10-2G3]2 ~ 3.703 X[8-359]2 182.88
 - 25541.
 - Le poids moyen de rupture réel a été 2352 k. ; il ne diffère de l’autre que d’un douzième environ, ce qui est une approximation tout à fait suffisante.
 - Le même ingénieur a fait également expérimenter jusqu’à la rupture trois tubes circulaires présentant les dimensions suivantes :
 - L =182.88,
 - I) =9.840,
 - IL = 7.93S, e =0.952.
 - Appliquant la formule, on a :
 - tX1800([9.8>]»-[7.9»8]»)_OTW ’ 182.SS
 - L’expérience a donné pour poids de rupture 2,330 lui.
 - 15
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- - 226 —
 - Pour servir de terme de comparaison aux poutres à deux renforts inégaux, M. Hodgkinson a rompu un certain nombre de poutres à un seul renfort présentant la section ci-contre. Les six premières poutres ayant offert peu de différence dans leurs dimensions, je les ai groupées en une seule présentant en moyenne les dimensions suivantes :
 - L = 137.16, H—13.017, a = 1.3'48, IP =10.231, E=5.826, er = 1.186, Er = 4.640.
 - En appliquant la formule on trouve :
 - P= 0,175
 - A X 1600 (5-826 X[13-017]2—é.66[10.321]2) ,naE1
 - 137.16 “
 - Le poids de rupture moyen pour les six poutres a été de 3951 k. Ces résultats different bien peu de celui du calcul.
 - M. Hodgkinson fait observer que les deux premières poutres se sont voilées d’une manière sensible avant la rupture, ce qui semblerait indiquer qu’elles étaient sur le point de rompre par compression. D’où il suit qu’il ne faudrait pas, dans ces sortes de poutres, amincir la tige verticale vers le bout, mais lui donner une épaisseur uniforme j et l’on éviterait sans doute ainsi l’effet signalé par M. Hodgkinson.
 - M. Francis Bramah a fait des expériences sur des | poutrès d’une forme à peu près semblable 5 la précé-^ dente, mais d’une épaisseur uniforme. Les dimensions de C0S poutres étaient celles ci-contre :
 - L= 91 cent. H=7.62, E=3.81T
 - e = e' = 1.27, T=162Q.
 - En appliquant à ces poutres la même formule qu’à celles de M. Hodgkinson, on trouve P= 2,36F1. La moyenne de rupture des poutres expérimentées avait été de 2389*. Cette moyenne diffère peu du résultat du calcul, mais les résultats extrêmes s’en écartaient d’un sixième environ, tant au dessus qu’au dessous. Ce n’en est pas moins une confirmation de la
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- - — 227 —
 - formule; d’autant plus que j’ai quelque raison de croire que les dimensions de ces poutres n’ont pas été prises avec le soin extrême qu’y apporte toujours M. Hodgkinson, et qui est de la plus rigoureuse nécessité si l’on veut obtenir par le calcul des résultats aussi approchés que possible de ceux de l’expérience.
 - G5. Voici maintenant le tableau d’une partie des expériences de M. Hodgkinson sur les poutres à renforts inégaux dans lequel j’ai mis en regard les résultats du calcul et ceux de l’expérience. Ces documents sont extraits de son ouvrage : On tke Properties of cast fron, p. Ü26.
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- - Tableau des expériences de M. Hodghinson sur des poutres en fonte.
 - liNuméros
 - il
 - des expériences.
 - Zicjm,. uyjrs
 - Forme de la section dans
 - le milieu de la poutre.
 - Même modèle que le n° 3.
 - Renfort supérieur. Renfort inférieur. Rapport Epais- Surface Poids Poids Rési- stance Rési-
 - des seur de la par
 - sections delà tige section de la de centimè- tre stance OBSERVATIONS.
 - Largeur. Epais- Largeur. Epais- ULw) renforts ou r. verti- de quarré
 - seur. seur. cale. rupture. poutre. rupture. de seclion. calculée.
 - cent. cent. cent. cent. cent. q. kil. kil. kil. ma -a
 - •4.445 l7067 4.495 0.990 l 0.736 18.1935 16.32 5028 166.40 5027 Celle poutre a été cal- ]
 - npproxi- culée par la formule :
 - malivemt 1
 - 7PL=0.22T(EH2;—E'H'9), 4
 - T étant égal à 1600 kil.
 - On a pris ici la moyenne des largeurs et épaisseurs j des renforts. j
 - 4.419 0.660 4.521 l 597 2 0.7G2 18.5160 17.68 5541 180.038 5482 , Cette poutre et les suivantes ont été calculées par la formule :
 - • ipL= jwT(EH*—E'H'2), 4
 - m étant égal à (0.22—0.01Y)
 - •JQ 00 0.762 5.534 X 1.448 4 0.815 "9.4838 18.13 1 3749 192.32 5664
 - 5) )) )) i )) 1 )> )) )) 3746 » ))
 - IsS
 - LsT
 - GO
 - 5
 - 6
 - 13
 - WmMM
 - I
 - 2.667
 - 4.064
 - 5.662
 - S.842
 - 0.906
 - 0.800
 - 0.800
 - 0.711
 - 7.825
 - 40.666
 - 13.152
 - 16.84
 - 1.295
 - 1.546
 - 1.422
 - 4.651
 - 4.5
 - approxi-
 - mative^1
 - V*
 - O. O
 - C.î
 - 0.774
 - 0.963
 - 0.865
 - 0.851
 - 21.7418
 - 29.0322
 - 32.2580
 - 41.9151
 - 20
 - 25.84
 - 50.50
 - 34
 - 4863
 - 10541
 - 225.66
 - 225.84
 - 235.12
 - 251.28
 - 4566.
 - 6104
 - 7349
 - 9725
 - La rupture s’est effectuée par le bas à 2 cent, et demi du milieu de la poutre.
 - K9
 - o
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- - — 230
 - Les six premières poutres avaient été coulées à plat et horizontalement dans le sable; les autres l’avaient été dans une position semblable à celle qu’elles devaient occuper.
 - Toutes ces poutres avaient dans leur renfort inférieur la forme du solide d’égale résistance. C’est là en effet, bien plus que dans la hauteur, qu’il importe d’élégir les poutres de ce système , puisque c’est dans cette partie que se trouve la plus grande épaisseur de fonte. Malheureusement il arrive rarement en pratique que l’on puisse diminuer le renfort inférieur vers les extrémités ; car le plus souvent c’est par l’intermédiaire de ce renfort que la poutre supporte la charge qui lui est destinée.
 - On remarquera qu’en général les résultats du calcul sont un peu inférieurs à ceux de l’expérience. Cela tient à deux causes : d’abord à ce que je n’ai pas eu égard, dans le calcul, aux congés de raccord de la tige avec les renforts, et, en second lieu, à ce qu’en déterminant la règle pour trouver le coefficient m, j’ai préféré rester au dessous des résultats de l’expérience pour le cas des poutres expérimentées, parce que ces poutres présentent de faibles épaisseurs, et qu’en procédant ainsi, il y avait quelque probabilité que la formule donnerait des résultats plus approchés avec des poutres dont l’épaisseur serait égale à celle d’où l’on est parti pour toutes les autres expériences, c’est-à-dire 2 cent, et demi environ.
 - 64. J’ajouterai encore à ce qui précède deux applications sur deux poutres en fonte de grande portée.
 - Poutres rompues par M. Q’March de Leeds :
 - ... , Distance entre les appuis, L = 548c. 64,
 - pjj Hauteur au milieu, H— 43. 18,
 - Epaisseur de la tige, e — 1.587,
 - Epaisseur du renfort infér., e’ 3 .175, Largeur de ce renfort, E= 20.955, Largeur du renfort supér., E" = 7 . 62,
 - Epaisseur de ce renfort, en ~ 1.905.
 - ïl résulte de ces dimensions que Hrn;36,830,
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- - 231
 - et; Ef= 19,368, r = 4.50, et, par conséquent, m = 0.175.
 - La moyenne de rupture sur trois poutres pareilles, dont deux avaient été obtenues au cubilot et une au four à réverbère, a été d’environ 25 tonnes, y compris la moitié du poids de la poutre. En appliquant ia formule et. attribuant a T une valeur de 1600 kil., la fonte étant de qualité supérieure, on trouve : 4X 1600r20.955X[é3.l8]2—19.368 X[36.83]2)
 - 508.64
 - '=0.175
 - = 26,000 kil.
 - 60 yo& >
 - tonnes environ sans obtenir formule
 - Résultat suffisamment approché pour la pratique.
 - Autre exemple :
 - L = 703. 58,
 - H= 91.694,
 - E= 60.706, e— 7.925, e' = 8.585,
 - II = 75.844,
 - E' = 52.121.
 - L’épreuve de cette poutre a été poussée jusqu’à 155 rupture. L’application de la
 - ^ PL = 0,175 T (EH2—E'H'2)
 - donne pour résultat P=365 tonnes-, mais, sans aucun doute, la résistance réelle, si elle avait pu être obtenue, eût été inférieure à ce résultat, à cause de l’épaisseur considérable du renfort et de la lige, qui, d’après ce que l’on a vu précédemment, a pour effet de diminuer considérablement le taux de la résistance. Dans ce cas, les expérimentateurs anglais sont d’avis qu’il faudrait déterminer ce taux d’après une barre quar-rée dont la dimension transversale serait égale à l’épaisseur moyenne delà poutre à calculer. Il faudrait donc, ou avoir
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- - — 232 —
 - une série d'expériences sur des barres de tous les calibres, ou, dans chaque cas particulier, rompre une barre quarrée ayant l’épaisseur en question. Mais on peut se dispenser de l’un et de l’autre au moyen du facteur (1.-18 — 0,071); introduit dans la formule 24j et pour avoir, selon toute apparence, dans le cas actuel un poids de rupture peu éloigné du poids réel, il doit suffire de multiplier le premier résultat obtenu par ce facteur. D étant ici égal à 8.25, on a définitivement
 - P — 365X0-60=219 tonnes.
 - J’ai choisi ce dernier exemple à dessein, pour montrer qu’en pareille circonstance il ne faudrait pas s’en tenir au premier résultat obtenu, mais le modifier comme il vient d’être dit; ou bien, ce qui revient au même, commencer l’opération en réduisant, par l’application du même facteur, la valeur même de T.
 - De la meilleure forme à donner à une poutre en fonte.
 - 6o. Les expériences dont je viens de rapporter une partie dans le dernier tableau ont été faites uniquement en vue de déterminer la meilleure forme à donner à une poutre en fonte , c’est-à-dire celle qui présente la plus grande résistance par-rapport à sa section. M. Hodgkinson a trouvé, ou plutôt s’est cru en droit de conclure de ses expériences que la meilleure forme était celle à deux renforts inégaux dont les sections seraient dans le rapport de 5 ou 6 1 /2 à 1. Or, si l’on compare la formule qui s’adapte au cas le plus favorable des expériences de M. Hodgkinson avec celle qui s’applique à la poutre à un seul renfort, on trouve, contrairement à l’assertion de l’expérimentateur, que cette dernière doit être la plus résistante. Ce résultat était facile à prévoir, en partant de cette considération que, la section triangulaire pleine étant la plus résistante parmi les sections primitives, il était probable que, la section dérivée de celle-là serait aussi la' plus résistante parmi les formes
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- - — 253
 - évidées. Il me reste maintenant à expliquer en quelques mots où gît l'erreur de M. Hodgkinson.
 - Cet auteur est parti dans ses expériences (voir le tableau ci-dessus) de la fojme a deux renforts égaux, qui était considérée avant lui comme la meilleure. Il rompit cette poutre et lui trouva une résistance, par cent, quarrê de section, de 16G kilogrammes.
 - Il expérimenta ensuite sur une deuxième poutre de même hauteur et de même longueur dans laquelle les renforts éîaient dans le rapport de 1 à 2 , et la résistance par cent, quarré se trouva être cette fois de 180 kilog.
 - Il continua de la sorte ses expériences sur une série de poutres dont la hauteur et la longueur restaient les mêmes, et dans lesquelles le rapport des renforts allait toujours croissant, et il trouva qu’à mesure que ce rapport augmentait, la résistance par cent. q. de section augmentait aussi. Mais il importe de faire observer ici une circonstance très importante à laquelle M. Hodgkinson n’a pas pris garde : c’est que, dans la série de poutres expérimentées par lui, le rapport de la section totale du solide à celle do la tige verticale allait aussi en croissant. Ainsi, par exemple, pour la première poutre ci-dessus à renforts égaux, le rapport était égal à 2 environ ; pour la poutre n° 13, ce rapport était presque égal à 5. Or, qui ne voit qu’en opérant de la sorte, M. Hodgkinson accorde à son système de poutre un bénéfice qu’il refuse à la poutre à deux renforts égaux de Tredgold?Car il est clair que, si, dans cette dernière, on enlevait à la tige verticale la plus grande partie du métal pour la reporter sur les deux renforis et de manière à ce que la section de cette tige fût à la section totale dans le rapport de 1 à 5, rien ne prouve qu’alors la poutre de M. Hodgkinson continuerait à l’emporter sur l’autre.
 - C’est en opérant de la même manière que M. Hodgkinson a trouvé sa forme de poutre supérieure à celle à un seul renfort ; mais il est hors de doute maintenant que cette comparaison est tout aussi défectueuse que l’autre.
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- - J? par'lies. Jll
 - 3
 - CEO
 - parties,
 - V
 - Pour que la comparaison fût juste et rationnelle, voici comment il aurait fallu, a mon avis, que M. Hod-kinson opérât :
 - Il aurait dû prendre une première poutre abcd à renforts égaux et la rompre; puis, en partant de celle-là, en former une seconde dans son système en transportant en bas une partie du métal du renfort supérieur, et cela sans rien changer au rapport de la section de la tige à la section totale; puis enfin en composer une troisième en supprimant le renfort supérieur tout-à-fait. De cette manière chaque poutre n’aurait différé des autres qu’en ce qui concernait le système particulier auquel chacune d’elles appartient; et je ne fais pas de doute qu’en agissant ainsi l’on aurait obtenu la confirmation des vues que j’ai exposées plus haut.
 - Du reste, cela résulte, comme je l’ai déjà dit, de la comparaison des formules pratiques applicables à ces divers cas. Pour rendre cette comparaison plus frappante, je terminerai cet article par le calcul de 3 poutres dans les conditions que je viens de fixer : -L=e100, II —10, H' = 9,
 - [E = 9, W= 8, r—1,
 - ;L='100, II“10, H'=9,)
 - ;Er 15, E'=M, r=5, j
 - 4 rL~100, H = 10,
 - P°Utre- |e= 17,E'=16, I
 - 1’
 - rL
 - poutre. |E
 - 2e poutre.
 - on trouve P = 5453
 - — Pf=6760
 - P"=7571
 - On voit parla que la poutre de M. Hodgkinson l’emporte, en effet, sur celle de Tredgold, mais de bien peu, et qu’elle est inférieure à la forme composée d’un seul renfort.
 - Observation générale. Bien que l’on puisse trouver que cela résulte assez clairement des tableaux’et des indications qui accompagnent la plupart des formules et applications qui précèdent, je crois utile de prévenir le lecteur, pour parer aux omissions qui pourraient exister, que dans tous les cas les dimensions des solides sont supposées exprimées en* centimètres et les poids en kilogrammes.
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- - 235
 - CHAPITRE IV.
 - DE L’EFFET DES ACTIONS DYNAMIQUES SUR LA RÉSISTANCE DU FER ET DE LA FONTE.
 - 66. Toutes les formules de ce mémoire, comme on a dû le remarquer, ne donnent que la charge de rupture statique, c’est-à-dire celle qui agit au repos. Mais cela ne suffit pas pour la pratique, car il est rare de rencontrer des cas où le fer et la fonte se trouvent dans une position aussi simple. Le plus souvent une poutre est soumise à des flexions répétées dues à l’application et à l’enlèvement successif et périodique de la charge, à des chocs, au passage rapide de lourds fardeaux. S’il est vrai que, dans le premier cas, celui de l’action statique et indéfinie de la même charge, l’on pourrait, saufl’inconvénienl d’une trop grande flexion (*), charger une poutre d’un poids très voisin de celui de rupture, peut-on s’approcher autant de ce poids dans les circonstances que l’on vient d’énumérer? Ces circonstances n’ont-elles pas pour effet d’être équivalentes à un certain accroissement de la charge, capable de faire dépasser le point de rupture, même lorsqu’on en est très éloigné? Et, le cas échéant, à quelle distance faudrait-il se maintenir de la charge de rupture instantanée statique pour être certain que, dans aucun cas, elle ne puisse être atteinte? C’est là un problème dont la solution intéresse le praticien au plus haut degré et sans laquelle même tout ce qui précède ne lui serait d’aucune utilité.
 - (*) ïl est bien entendu que, dans aucun cas, en pratique, je ne recommanderai de pousser la charge aussi loin. Ce que j’en dis ici est au point de vue purement spéculatif. Dans l’application, il faut tenir compte de la flexion de la poutre, qui ne doit pas être visible à l’œil, de l’existence possible de quelques défauts cachés, de la variation de la résistance du métal ; aussi, comme on le verra plus loin, convient-il , dans le cas le plus favorable, de ne pas charger une poutre au delà de la moitié de son poids de rupture instantanée statique.
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 - Je dirai de suite qu’une solution générale, c’est-à-dire telle que l’on puisse, dans un cas donné quelconque, à l’aide de modifications introduites dans les formules précédentes, déterminer exactement les dimensions convenables à donner à une poutre, une telle solution n’existe pas et n’existera probablement jamais, tant le sujet est hérissé de difficultés. Tout ce que l’on peut faire, dans l’état actuel des résultats d’expériences et des ressources de l’analyse, c’est de se placer dans des conditions pratiques usuelles, et de déterminer d’une manière un peu large, pour ces cas exceptionnels, les limites dans lesquelles on peut trouver la sécurité. C’est ce que je vais essayer de fixer au moyen des travaux de la commission d’enquête anglaise.
 - Pour embrasser tous les cas qui peuvent se rencontrer dans les constructions, les commissaires se sont proposé de résoudre les deux questions suivantes.
 - Premièrement. Le métal qui a été long-temps exposé à des chocs et à des vibrations subit-il dans l’arrangement de ses molécules un changement capable de l’affaiblir?
 - Secondement. Quelle est la mesure de l'effet mécanique du choc et du passage rapide de lourds fardeaux surdos barres ou des poutres en métal (*) ?
 - Effets des chocs et des vibrations sur la structure et la ténacité du métal.
 - Opinions de divers ingénieurs , et en particulier de M. R. Stephenson.
 - G7. Sur cette première question, l’interrogatoire subi par les praticiens appelés devant la commission a montré parmi eux une grande divergence d’opinions. Des ingénieurs ont rapporté que des pièces de fer forgé, après avoir été long-temps exposées à des vibrations, comme des essieux de wagons, des chaînes de grues employées à soulever de grands poids, finissent souvent par se rompre et présentent dans leur cassure un aspect cris-
 - (*) Tous les faits rapportés dans ce chapitre sont le plus souvent une traduction à peu près littérale du résumé môme des commissaires.
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- - taliin, qu’ils attribuent, ainsi que l'affaiblissement delà ténacité, h un changement graduel produit par les vibrations dans la structure intérieure du métal. Au nombre des faits que les commissaires anglais regardent comme concluants en faveur de cette manière de voir, ils ont cité le suivant : Si l’on taraude l’extrémité d’un morceau de fer bien fibreux par le procédé ordinaire, qui produit une action vibratoire très marquée, et qu’on le rompe ensuite, on trouve que la partie filetée est beaucoup plus cristalline que l’autre. Quelques ingénieurs ont été d’avis que cette structure particulière du métal est le résultat d’une fabrication défectueuse , et ont môme prétendu que l’action vibratoire était incapable de la produire. D’autres ont exprimé l’opinion que l’aspect cristallin peut être communiqué au fer fibreux de diverses manières, par exemple en chauffant une barre au rouge cerise et la plongeant ensuite dans l’eau froide, et répétant plusieurs fois cette opération, ou bien en le martelant à froid pendant une demi-heure environ.
 - M. Robert Stephenson est d’avis que l’effet des vibrations sur le métal est pratiquement nul. Il a cité l’exemple d’un balancier d’une machine do Cornouailles qui, à sa connaissance, reçoit depuis vingt ans huit à dix chocs par minute équivalant à 55 tonnes, sans que rien dans la machine ait jamais indiqué le moindre changement dans la forme du balancier ; la machine ôtant bien ajustée, la plus légère augmentation dans la flèche de ce balancier serait bientôt remarquée. Il a encore donné pour exemple des fermes de 15 m. de portée sur le chemin de fer de Blackwall qui, ayant été examinées avec soin, après avoir livré passage à 120,000 trains de douze voitures, n’ont pas décélé la moindre altération. Dans tous les cas, suivant cet ingénieur, pour décider ce point d’une manière certaine, il restera toujours une question préalable assez difficile à résoudre, celle de savoir si la pièce soumise à l’expérience n’avait pas avant d’être essayée et rompue la structure cristalline qu’on lui trouve après.
 - En ce qui concerne les essieux de wagons, la question serait
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- - — 238 —
 - souvent insoluble, car M. Sfcephenson pense qu’avec les moyens dont on dispose on ne peut obtenir des pièces de 10 cent, de diamètre environ entièrement fibreuses.
 - Je ferai remarquer ici que je ne vois do bien sensé dans ce qui précède que les dernières observations de M. Stephenson. Pour le reste, j’avoue qu’il me paraît difficile de comprendre que des ingénieurs aient pu , d’après les faits rapportés ci-dessus, se former des opinions contradictoires sur la question de savoir si les chocs et les vibrations ont pour effet d’altérer la texture du métal. En effet, on voit d’un côté des ingénieurs qui ont observé ou cru observer quelques cas d’altération , conclure dans le sens affirmatif; et de l’autre des ingénieurs qui n’en connaissent pas d’exemples conclure au contraire dans le sens négatif. Or ces conclusions, en tant qu’absolues, exclusives, sont aussi irrationnelles l’une que l’autre. Loin de s’exclure elles se concilient parfaitement : car, si chaque ingénieur, au lieu de s’arrêter au fait pur et simple, s’était occupé de rechercher, de mesurer l’intensité du choc ou des vibrations, dans chaque cas, par rapport à la résistance de la pièce qui y était soumise; il aurait trouvé sans doute que les chocs ou les vibrations pouvaient altérer la texture du métal, ou ne point l’altérer du tout; que cela ne dépendait que du degré de l’intensité de l’action, et il aurait au moins vu que les faits ci-dessus ne sont contradictoires qu’en apparence.
 - Mais il paraît que je n’ai relevé dans tout ceci qu’une faute de logique; caries nouvelles expériences de M. Brunei qui suivent ne permettent même pas de s’arrêter à cette dernière conclusion.
 - Expériences de M. Brunei.
 - 68. M. Isambard Brunei ne regarde pas l’apparence cristalline que l’on a remarquée dans les barres rompues par une suite de chocs comme l’indication d’un changement dans la structure intime du métal. Suivant cet ingénieur, l’aspect de la cassure dépend k la fois de la manière dont un barreau a été
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 - rompu et des autres circonstances dans lesquelles cette rupture a été effectuée. Ainsi M. Brunei a obtenu dans une même barre de fer de qualité inférieure, d’un côté une cassure entièrement fibreuse, de l’autre une cassure moitié cristalline, moitié fibreuse. Dans le premier cas, la rupture avait été produite par un coup lent d’un lourd marteau 5 dans le second, par un coup sec et rapide d’un marteau plus léger. Dans une autre circonstance, une barre de 1 pouce et demi d’épaisseur reçut préalablement une centaine de coups à froid d’un marteau àvapeurdansle dessein de la rendre cassante etdelui communiquer la structure cristalline ; cette barre, ayant été ensuite rompue par un coup lent d’un fort marteau, a donné au contraire une très belle cassure fibreuse. Un grand nombre d’expériences du même genre confirment ces résultats.
 - La température a aussi une influence très marquée sur l’aspect de la cassure. Ainsi, à une température basse, sans martelage préalable, on obtient plus facilement l’aspect cristallin. M. Brunei conclut de là que le fer ne devient pas alternativement cristallin ou fibreux, mais qu’il possède une disposition naturelle, un état moléculaire, qui lui permettent de donner l’une ou l’autre de ces deux apparences suivant le choc qu’il reçoit et les circonstances qui l’accompagnent. D’après cet ingénieur, il se passerait dans le fer quelque chose d’analogue à ce que l’on observe dans une roche qui a ses plans de stratification et de clivage, et qui se sépare suivant l’un ou l’autre de ces deux plans, selon la manière dont le coup est appliqué.
 - En résumé, d’après les expériences de M. Brunei, il faudrait renoncer à juger le fer, et sans doute aussi la fonte, par les divers aspects qu’on lui connaît aujourd’hui; et ne pas conclure, par exemple, de l’aspect cristallin que présenterait un rail ou un essieu que le fer en était de mauvaise qualité, ou qu’ayant été originairement bon, il a fini par perdre de sa qualité et de sa ténacité. Bref, dans l’état actuel des choses, on 11e peut affirmer qu’il y ait un rapport certain entre la qualité ou la ténacité du fer et les divers aspects connus de sa cassure.
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 - Jusqu'à ce que ce point ait été éclairci par de nouvelles expériences, il n’v a donc pas lieu de rechercher si les chocs, les vibrations, les flexions, ont pour effet de changer la structure du métal. Le seul problème à résoudre, et c’est du reste celui que l’ingénieur a le plus d’intérêt à connaître, c’est celui de savoir si ces diverses actions prolongées finissent par lui faire perdre de sa ténacité. A cet égard, il y a eu encore une différence d’avis aussi peu rationnelle que celle que j’ai déjà relevée. On verra, en effet, que cette différence se résout encore par une question d'intensité de la cause d’altération. Sans aller plus loin, on conçoit aisément que dans une certaine limite les chocs, les vibrations, les flexions, etc., n’aient pas le pouvoir d’affaiblir le métal, mais qu’ils l’acquièrent dès que celte limite est dépassée. Que l’on prenne, par exemple, un morceau de fil de fer et qu’on le reploie modérément sur lui-même, et l’on pourra se livrer à cette opération indéfiniment sans l’affaiblir aucunement ; tandis qu’il est constant que c’est par une action de ce genre, mais plus prononcée, qu’on finit par le rompre. C’est de cette manière que les commissaires anglais paraissent avoir compris la question , car dans les expériences que je vais rapporter on verra qu’il ne s’est point agi pour eux de tracer le rapport qui existe entre l’affaiblissement du métal et sa structure apparente, mais bien de déterminer jusqu’à quelle limite on pouvait pousser telle ou telle action, sans rien faire perdre au métal de sa force primitive.
 - jEffets sur la résistance des poutres en fonte des flexions réitérées produites par des chocs , le mouvement d’un excentrique ou d’un poids mu avec lenteur. Résistance au choc de barres libres ou chargées. Effet des charges animées de grandes vitesses, etc. (Expériences de MM. Hodgkins on, Henry James, R. W illis, Douglas Galion.')
 - Flexions produites par des chocs long-temps répétés.
 - CO. Une barre de fonte de trois pouces d’épaisseur (7.62) étant placée dans un hangar sur dns appuis éloignés de 4m27, un
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- - — 2a —
 - lourd boulet fut suspendu au comble par un fil de fer de 5m48 de longueur, de manière à toucher la barre latéralement en son milieu. En écartant le boulet de la verticale, comme un pendule, dans un plan perpendiculaire à l’axe de la pièce, et le laissant ensuite échapper, il produisait des chocs horizontaux dont la force pouvait être variée au gré de l’expérimentateur, en changeant la dimension du boulet ou la hauteur de la chute. Un certain nombre de barres de la dimension de celle ci-dessus, quelques unes plus petites, furent soumises par le moyen de cet appareil à une suite de chocs qui, dans certains cas, furent portés jusqu’à 4,000. La force du choc variant , dans chaque série d’expériences, suivant la dimension des barres et l’effet que l’on voulait produire, on arriva de cette manière au résultat général suivant :
 - Lorsque le choc était suffisant pour faire fléchir la pièce de la moitié de sa flèche maximum (c’est-à-dire de celle qui correspond à sa rupture par l’application d’un poids mort), aucune barre ne pouvait supporter une volée de 4,000 coups. Mais toutes celles qui n’étaient pas défectueuses y résistaient très bien lorsque le choc n’avait pour effet que de produire une flèche égale au tiers seulement de la flèche maximum.
 - Flexions produites par le mouvement d’un excentrique.
 - 70. D’autres barres en fonte des mêmes dimensions furent soumises à l’action d’un excentrique mu par une machine à vapeur. Par ce moyen, elles étaient lentement infléchies par leur milieu, et revenaient avec une égale lenteur à leur position primitive. Le nombre des flexions communiquées aux barres par ce procédé était considérable ; et, pour quelques unes, il fut porté jusqu’à 100,000, à la vitesse de quatre par minute environ ; dans d’autres expériences, les barres, en même temps qu’elles étaient infléchies, étaient, en outre, soumises à de violentes trépidations. Les résultats de ces expériences furent les suivants :
 - 16
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- - — 2Û2
 - Lorsque les flexions produites n’étaient que le tiers de la flexion maximum, les barres ne perdaient rien de leur résistance , ce dont on s’assurait en les rompant par un poids placé en leur milieu ; mais il suffisait d’environ 500 flexions consécutives pour les rompre lorsque ces flexions atteignaient la moitié de celle de rupture.
 - flexions produites par un poids mu lentement.
 - 71. Bans une autre série d’expériences, des barres semblables aux précédentes furent soumises à l’action d’un poids égal à la moitié de celui de rupture, promené lentement d’une extrémité à l’autre de ces barres. Une barre saine ne parut pas visiblement affaiblie par 69,000 passages du poids.
 - Conclusions des. expériences précédentes.
 - 72. Les commissaires anglais ont tiré de ces expériences cette conclusion : que tes dimensions des poutres en fonte doivent être déterminées de manière à ce quelles ne subissent jamais de flexion excédant le tiers de celle de rupture. Et, pour donner à cette conclusion une signification plus précise, je ferai observer qu’il existe peu de poutres qui supportent le même poids d’une manière permanente, et qui, par conséquent, conservent toujours la même flèche. Le plus ordinairement, les poutres, telles que celles d’un plancher de magasin , d’une salle de réunion, d’une bibliothèque, d’un réservoir à eau, etc., reçoivent des charges qui variéiit d’un instant à l’autre, et, par conséquent,'les flèèhes qu’elles prennent Subissent des oscillations quiies placent dans l’une ou l’autre des deux dernières conditions qùi viennent d’étr© rapportées. Il s’ensuit que l’on peut admettre que, dans ces circonstances, il convient que leur flèche ne‘dépasse pas'le tiers de celle de rupture ; ce qui revient à dire à peu près que, si l’on veut donner à ces poutres lès dimensions convenables pour résister indéfiniment, il faut mettre à la place du poids de rupture, dans les formulés de ce mémoire, tréis fois la charge maximum qu’ellës peu-vent avoir a supporter dans leur milieu. Pour le cas où la
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- - charge serait invariable, comme celle d’un linteau de porte ou de croisée, il suffirait, sans doute, de porter à 2 le coefficient de sécurité ci-dessus.
 - Le fer paraît moins affecté que la fonte dans les mêmes circonstances, et permettrait d’élever un peu la charge maximum.
 - Résistance de barres en fonte à des chocs horizontaux..
 - 75. Il résulte des expériences que des barres de fonte de même longueur et de même poids frappées horizontalement par le même boulet présentent la même résistance au choc, quelle que soit la forme de leur section transversale, pourvu que l’aire de cette section ne change pas. Ainsi, des barres ayant une section rectangulaire de 15°.20 X 3e.80 , placées sur des appuis distants de 4™.27 , ont exigé le même nombre de coups pour être rompues dans les deux sens, ainsi qu’une barre quarrée de même section et de même longueur. Ces expériences ont aussi fait voir que les flèches produites sur des barres de fer étaient proportionnelles à la vitesse acquise^ dans la fonte, ces flèches croissent dans une proportion plus rapide que les vitesses.
 - R ésistance de barres libres ou chargées à des chocs verticaux.
 - 74. Si l’on charge de poids uniformément répartis des barres de fonte, elles présentent une résistance au choc vertical plus grande que cqUe qu’elles auraient étant déchargées. Ainsi, par e^erqple, dans pneexpérience, M. Hodgkinson rompit une barre qu(arrée (Je typi;s pouces d’épaisseur reposant sur des appuis distants de 14 pieds 7 pouces, au moyen d’un boulet de 303 livres tombant d’une hauteur de 33 pieds , le choc étant reçu par l’intermédiaire d’un coussin en plomb de l\ livres. Dans une autre expérience, ayant chargé une barre semblable de manière à ce que son poids fût doublé entre les supports, il fallut élever le boulet à une hauteur de 66 pieds, pour produire fa ruptpçe.
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- - Effet de charges animées de grandes vitesses.
 - 75. L’effet des charges animées de grandes vitesses est la question qui intéresse le plus les constructeurs de chemins de fer. Sur cette question, l’avis de la plupart des ingénieurs anglais était que : la flèche produite sur une poutre en fonte par un poids animé d’une grande vitesse était plus petite que celle qu’il aurait produite au repos ; et, lorsqu’ils avaient été à même d’observer un accroissement de la flèche par la charge en mouvement, ils l’avaient attribué aux secousses que le train éprouvait sur les inégalités de la voie à la jonction des rails, ou à d’autres causes du même genre.
 - Cet avis n’étant point partagé par quelques ingénieurs et par des membres de la commission , et la question étant d’ailleurs de la plus haute importance, la commission crut devoir se livrer à un grand nombre d’expériences, sinon pour la résoudre, du moins pour éclaircir tout doute à cet égard. A cet effet, elle entreprit deux séries d’expériences :
 - Dans la première, on construisit àPortsmouth, sur une assez grande échelle, un plan incliné terminé par un plan horizontal, et l’on y établit une voie de fer dont les rails étaient distants de 91 centimètres. De divers points de ce plan incliné, dont la partie supérieure était élevée de au-dessus de
 - la partie horizontale, on faisait descendre un chariot qui pouvait recevoir, au maximum, une charge de deux tonnes environ. Ce chariot était destiné à éprouver, à diverses vitesses, des barres de fonte de 2m.74 de longueur formant une partie de la voie dans le plan horizontal j la vitesse maximum pouvait atteindre U1 kilomètres à l’heure.
 - Au moyen de cet appareil, on s’assura que la flèche produite par un poids passant sur les barres était la plus grande lorsque ce poids était en mouvement. Par exempte, lorsque le chariot, chargé de 507 kilog., était placé au repos sur une paire de barres en fonte de 2m.74 de longueur, 10 cent, de largeur
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 - et 38 millim. d’épaisseur, la flèche était de. .... Ie.5 à une vitesse de 16 kilom. à l’heure, cette flèche devenait 1°.6 à une vitesse de 20 kilom. id. id. ... 8°.8
 - c’est-à-dire, dans ce dernier exemple, plus du double de la flèche statique.
 - La vitesse augmentant dans cette proportion l’effet d’un poids donné, on en conclut qu’il faudrait, pour rompre une barre avec une certaine vitesse, un poids beaucoup moindre que celui qu’elle exigerait au repos. En effet, on trouva par expérience qu’une charge de 805 kilog, à la vitesse de 48 kilom. à l’heure suffisait pour rompre les barres ayant les dimensions ci-dessus ; tandis que, pour produire le même effet sans vitesse, il fallait élever la charge à 1880 kilog.
 - 76. Malheureusement, ces expériences, en résolvant la question de principe, laissent subsister une grande incertitude à l’égard des effets que l’on obtiendrait sur des poutres en fonte de chemins de fer, aux plus grandes vitesses qui aient été employées ; et elles ne peuvent servir, en conséquence, à proportionner les dimensions des poutres à ces effets. Cela tient à deux causes : d’abord aux conditions particulières dans lesquelles on s’est placé pour obtenir des effets sensibles, conditions toutes différentes de celles que l’on rencontre dans l’application ; et en second lieu à la difficulté, voisine de l’impossibilité, que la théorie éprouve de tirer do ces expériences une loi susceptible de s’appliquer à des cas en dehors des limites dans lesquelles les expérimentateurs se sont renfermés. Ainsi, pour montrer combien les circonstances des expériences étaient loin de celles de la pratique, il suffira de dire que, pour obtenir des accroissements de flèches visibles dans le premier cas, on opérait sur des barres tellement minces que la flèche statique était d’environ un vingtième de la longueur de la barre ; tandis que, dans les poutres de chemins de fer, la flèche produite par la charge maximum n’est souvent que le centième de la précédente. En outre, le rapport de la masse des barres expérimentées au poids en mouvement variait de 3 à 14. Dans les chemins de fer, la
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 - charge peut, dans certains cas rares, atteindre cinq a six fois celle. de la portion de pont qui la supporte ; mais il arrive plus fréquemment que cette proportion est beaucoup moindre, comme de 1 1?2 à 3, par exemple, et souvent encore c’est le contraire quia lieu, c’est-à-dire que le poids du pont est beaucoup plus fort que la charge. En résumé, d’après les calculs de M. Stokes, et supposant que l’mertié du pont est très petite par rapporta celle de là charge, il résulterait que, dans le cas dés expériences, l'accroissement de flèche dû au mouvement dé la charge varierait de 0.04 à 1.46 de la flèche statique ; tandis que, dans les ponts de chemins de fer, elle varierait de 0,0017 à 0,1 de la flèche statique, suivant la charge et la vitesse. En tenant compte de l'inertie, il paraîtrait que , dans certaines limites, celle du pont;aurait pour effet d’augmenter la flèche statique; dans d’autres, elle aurait un effet cdiitraire;. Quant à la détermination de cette limite’, elle dépend de fa1 sb-lütiori de formules inàbordables pour le praticien.
 - Jéküis d’avis que les mathéniàticiens distingûés de la commission'qiirsë sont occupés de cette question l'ont abordée à un point de vUe trop* élévé et trop général. C’est là, souvent, le tort des savants théoriciens cjiii s’occupent'de recherches experimentales. Pour eux le point particulier qu’il s’agit d’élucider sè noie bientôt dans une questioh générale; et il n’est pas rare1 de voir qu’après bien des efforts et des calculs , ils arrivent à une formule qui embrasse tout.... excepté le point en vue duquel les expériences avaient été entreprises. Je ne puis croire qu’il n’y avait pas une manière beaucoup plus simple de trouver Une solution suffisamment approchée pour la pratique. Ainsi , par exemple, il est notoire qu’il existe* en Angleterre une mûltitude de ponts au dessus en fonte de toutes les dimensions. Il est certain, en outre , que les dimensions de ces! ponts ont été déterminées de manières très différentes par les divers ingénieurs (*) ; de sorte qu’en cherchant un peu, on aurait
 - [') En1 effet, lés eortmiissaires rapportent que les ingénieurs, suivant les
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 - trouvé une série de ponts de chaque espèce dans lesquels les poids de rupture calculés auraient varié entre trois et dix fois la charge maximum statique. Dès lors, en faisant passer sur ces ponts des machines aux plus grandes vitesses possibles, on aurait mesuré l’accroissement de flèche dû à l’action dynamique , et l’on aurait pu déterminer, pour les ponts de chaque portée, le coefficient de sécurité pour lequel cet accroissement était négligeable. Je suppose, par exemple, que plusieurs expériences aient fait voir que des ponts, dont le poids de rupture calculé était égal à quatre fois la charge maximum statique, prenaient, sous l’influence de cette charge en mouvement, une flèche égale à celle qui appartiendrait au tiers de la charge de rupture statique : il en serait résulté que ces ponts auraient pu être regardés comme suffisants, puisqu’il est démontré par expérience (§ 70) qu’une poutre peut éprouver indéfiniment, sans altération, des flèches de cette importance.
 - 77. Je citerai en détail les seules expériences de ce genre qui aient été faites en Angleterre; et, dussé-je passer pour profane et même pour pis, j’avouerai que je donnerais volontiers, pour vingt expériences pareilles, les quatre ou cinq cents de MM. Henry James et Willis, augmentées des savantes dissertations et analyses de ce dernier et de M. Stokes de l’Université de Cambridge. Dans ces expériences, on faisait arriver sur la voie d’un pont de chemin de fer une lourde machine et son tendèr ; on mesurait la flèche statique qui en résultait; puis on la faisait passer à des vitesses variables, et, au rrioyen d’un appareil très simple, on obtenait lës flèches dynamiques. Voici, pour chaque cas, les dimensions des poutres, les charges , les vitesses et les résultats obtenus.
 - opinions diverses qu’ils ont à l’égard de l’effet des charges eq moqÿçniënt, prennent des coefficients de sécurité qui varient de 3 à 10. On appelle coefficient de sécurité le nombre par lequel il convient de multiplier la charge maximum pour tirer de la formule les dimensions de la poutre capable de résister indéfiniment.
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- - Pont d’Ewell (Epsorn and Croydon railway').
 - Dimensions du pont, son poids, celui de la machine et du tender.
 - Vitesse? par heure en kilomètres.
 - Portée..................14.63
 - Nombre de poutres pour
 - chaque voie..........2
 - Hauteur de la poutre. . . 1.0668 Largeur du renfort infér. 0.5080 Epaisseur id. 0.0762
 - Poids de deux poutr es.......20‘
 - Poids de la plate-forme de la moitié du pont....................10
 - Total 30
 - Poids de la machiue. ....... 25l 20
 - Poids du tender...........141.00
 - 0
 - 27
 - 34
 - 36
 - 59
 - 82
 - Total 391.00
 - Flèches.
 - c.
 - 0.54
 - 0.43
 - 0-58
 - 0.57
 - 0.62
 - 0.59
 - N. B. Pour diminuer l’effet de La charge en mouvement, on avait donné aux poutres, et par suite à la voie, une convexité dans le sens opposé à celui où la flexion tend à se produire.
 - Pont de Godstone (South-Eastern railway ).
 - Dimensions du pont, son poids, celui de la machine et du tender.
 - m
 - Portée.....................9.144
 - Nombre depoutrespour2voies 3
 - Hauteur de la poutre........0.9144
 - Largeur du renfort inférieur. 0.3810 Epaisseur id. 0.0571
 - Poids de deux poutres..............15‘
 - Poids de la plate-forme entre les poutres...........................10
 - Total 25‘
 - Vitesses par heure en kilomètres.
 - 0
 - 34
 - 80
 - Poids de la machine . ...........21
 - Poids du tender..................12
 - Total 33'
 - Flèches.
 - 0.48
 - 0.58
 - 0.56
 - 0.63
 - En calculant la résistance de ces pouties d’après les tlimen-
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 - sîons ci-dessus, et en les supposant d’une épaisseur uniforme et à un seul renfort , on trouve que
 - le poids de rupture de la lre est de. . . 108 tonnes
 - celui de la 2e de...............105 »
 - Dans les deux cas, le poids de la plate-forme, de la machine et de son tender, équivaut, pour chaque poutre, aune charge placée au milieu, égale environ au sixième de la charge de rupture. Cependant l’effet produit par la charge dynamique est bien différent dans les deux expériences, puisque dans la première l’accroissement de la flèche statique, pour une vitesse de 82 k., est d’un dixième environ de cette flèche, tandis que dans la seconde cet accroissement.est de près d’un tiers de la flèche statique pour une vitesse à peu près égale.
 - Il me semble qu’il est permis d’attribuer cette différence à la manière dont la voie avait été établie sur le premier pont ; et cela démontrerait, quoi qu’en diseM. R. Willis, l’efficacité de cette disposition. On verra du reste , tout à l’heure, quelle est d’ailleurs fondée sur une raison assez plausible.
 - Il suivrait encore de ces expériences que l’accroissement de pression de la charge dû k la vitesse serait bien loin de faire atteindre aux poutres une flèche égale au tiers de celle de rupture; et que , par conséquent, elles présentent une parfaite sécurité. Il est même probable que l’on aurait pu les faire moins fortes sans le moindre danger.
 - Effet de l’application instantanée d’une charge, sans choc.
 - 78. Il y a deux manières de charger une poutre d’un certain poids. Ou bien l’on divise ce poids par parties, que l’on applique successivement et avec précaution; la poutre arrive à prendre, par ce moyen, sans oscillation, sa flèche statique ; c’est ce que l’on obtient plus facilement encore en composant la charge de sable, que l’on verse doucement. Ou bien l’on applique cette charge en masse et tout d’un coup ; dans ce cas, la charge prend une certaine vitesse, et fait dépasser à la poutre sa flèche statiqiie, pour l’y faire revenir par une série d’oscillations.
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 - M. Henry James a prouvé, par de nombreuses expériences-, que la flèche instantanée produite dans cette circonstance était le double de la flèche statique. Le moyen employé pour appliquer la charge sans choc était très ingénieux , et garantit que l’effet obtenu n’était pas dû à d’autre cause qu’à l’action instantanée de la charge.
 - Ce résultât, çwï ne paraît pas avoir attiré Vattention des commissaires , est cependant un des plus importants que l’on ait obtenus, et il trouve immédiatement son application dans lés ponts de chemins de fer. Car, quel est le principal effet, sûr ces ponts, d’une charge animée d’une vitesse horizontale plus ou moins grande? C’est celui d’une application plus ou moins ra*-pide de cette charge sans choc. Et comme, pour obtenir une application instantanée de la charge, en la faisant arriver horizontalement, il faudrait une vitesse infinie, il s’ensuit que l’effet obtenu dans les expériences de M. Henry James est la limite des effets que peuvent produire sur des ponts de chemins de fer les charges animées de vitesses variables. En d’autres termes, la flèche due à une charge animée d’une grande vitesse horizontale ne peut jamais atteindre lè double de la flèche statique. Par conséquent, si l’on calcule les dimensions des poutres d’Un Chemin de fer de manière à ce que la charge maximum ne lès fléchisse, au repos, que du sixième de la flèche de rupture statique, il est évident qu’aucune vitesse possible, quelque grande qu’elle soit, ne pourra faire atteindre à cette flèche le tiers de celle de rupture, et les poutres calculées comme il vient d’être dit présenteront une sécurité parfaite.
 - Il est vrai que l’on^peut objecter à cela qu’il se produit à la jonction des rails des chocs qui doivent avoir pour effet d’accroître là fléché ; qu’én outre, cette flèche doit encore être augmentée par l’action de la force centrifuge développée par la charge se mouvant suivant là courbe Verticale qu’elle produit dans le pont. Mais à cela l’homme pratique peut répondre que les chocs en question sont réellement de peu d'importance et parfaitement négligeables; que l’on peut d’ailleurs en atté-
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 - nuer l'effet, autant que l’on veut, eh mettant tous ses soins a la pose de la voie dans la traversée d’un pont. Quant a l’effet de la force centrifuge, il est prouvé, par l’exemple du pont d’Ewell, que l’on y pare efficacement en donnant aux poutres et à la voie une certaine convexité dans le sens opposé à celui où la flèche tend à se produire. Il n’ÿ a donc rien à retrancher à la conclusion qué j’ai tirée pluS haut des expériences de M. James sur la manière de ëalëulër lés dimensions d’une poutre dé pont de chemin de fer, ét le degré des Sécurité que l’on en retire.
 - 79. En raison de l’importance de la question actuelle, je ne puis omettre de citer, à l’appui de la manière de voir qui vient d'être formulée, les résultats théoriques obtenus par M. Cox, et dont M. Gallon a déjà donné là traduction dans nos Comptés-rendus de l’année 1848. J’ai reéoürs d’àutant plus volontiers a ce théoricien que ses résultats sont nettement posés, et que deux d?entrë eux ont été confirmés par l'expérience ; cê qui permet d’espérer que lés autres ri’en sont pas éloignés.
 - M. Cox pose d’abord en principe :
 - Premièrement, que là flexion d’un solide élastique chàrgô eiv sOn milieu1 est proportionnelle à là chàrgè1;
 - Secondement, que cette léi a lieu quelle qüë soit la forme du solide (rëctàhg'üMre, triàhgùlàirë où eh T droit où rëft-versé.)
 - D’après les expériences de M. Hodgkinson, ces principes sont confirmés pour le fer dans des limites très étendues. Dans les poutres en fonte, la flexion croît dans une proportion plus grande que la charge; mais, dans la pratique, on peut admettre, sans erreur notable, la loi de proportionnalité pour les charges comprises entre 0° et le tiers de celle de rupture.
 - Partant des principes ci-dessus, M. Cox établit que , dans le cas d’un poids unique placé àu milieu d’une poutre ou d’une charge uniformément distribuée :
 - 1° La flexion et la pression statiques sont doublées par l’ap-
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 - plication instantanée de la charge (ce qui est confirmé par l’expérience de M. Henry James , § 78) ;
 - 2° La flexion et la pression produites par une charge en mouvement est toujours inférieure à celles qui résulteraient de l’application instantanée de cette charge (ceci me paraît également établi par le raisonnement du § 78) ;
 - 3° La considération de l’inertie du pont est négligeable;
 - 4° Le surcroît de pression occasionné par la force centrifuge développée par la charge en suivant la ligne infléchie de la voie sur un pont est exprimé par
 - f étant la flèche statique produite par la charge P, et t le temps, en secondes, que cette charge met à franchir le pont ;
 - 5° On diminue considérablement la pression exercée sur des poutres en donnant à la voie qu’elles supportent une certaine convexité (ce qui est confirmé par l’exemple des ponts d’Ewell et de Godstone).
 - D’après la formule, si l’on suppose un convoi P animé d’une vitesse de 90 kilomètres à l’heure, il traversera en une seconde un pont de 25 mètres de portée. Si la flèche statique produite par le convoi est de 10 centimètres , on aura pour le surcroît de pression exercé
 - Ixo.ioxp,
 - Cet excédant de pression est très faible, et il le serait bien plus, même avec la vitesse exceptionnelle de 90 kil. à l’heure, si, au lieu de la flèche statique de 10 centimètres, on en avait supposé une de 2 1^2 seulement, ce qui serait plutôt dans les limites des flèches admises en pratique. Dans ce cas, en effet, l’accroissement de pression dû à la force centrifuge ne serait
 - plus que le ~ de la valeur de P; et l’on conçoit combien il
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 - doit être facile alors d’atténuer ou même d’annuler un pareil eiïet par la disposition adoptée dans le pont d’Ewell.
 - 80. Les résultats qui précèdent ne s’appliquent qu’à tous les systèmes de ponts dont la forme peut se rapporter à celle d’une poutre appuyée par les extrémités. Ils laissent donc le praticien dans une complète ignorance sur la question de savoir quel peut être l’effet d’une charge en mouvement sur un pont suspendu en chaînes ou en fil de fer. Dans ce cas, l’effet n’est pas seulement celui d’une chargo posée plus ou moins rapidement sur le pont; mais il s’y joint, surtout lorsque cette charge est composée d’une réunion d’hommes marchant d’un pas cadencé, un mouvement oscillatoire vertical dont l’amplitude va toujours en augmentant, et qui doit avoir pour résultat d’augmenter l’action de la charge dans une proportion énorme. Bien que ce fait soit de la plus haute gravité , et que l’on doive lui attribuer la chute de presque tous les ponts suspendus qui ont cédé, on n’a pas encore songé à l’éclaircir par des expériences. Pour toute précaution et pour parer aux accidents, on a imaginé simplement de faire rompre le pas aux troupes qui traversent les ponts suspendus, et l’on n’a pas réfléchi que, pour avoir la marche assurée, l’homme tend et revient naturellement à mettre son pas d’accord avec le mouvement du tablier. Quelques mathématiciens prétendent qu’aucun pont suspendu n’est capable de résister à l’action dont il s’agit, et qu’il suffit, pour produire un accident, d’un nombro très limité de pas cadencés consécutifs. Ce nombre varierait entre 5 et 12 suivant la portée et la flèche des câbles ou des chaînes des ponts existants. Il se peut que ces nombres soient exagérés. Us présentent d’ailleurs l’incertitude qui appartient naturellement à toute spéculation purement théorique. Mais il est néanmoins certain qu’il y a là pour tous les ponts suspendus une cause accidentelle de destruction à laquelle il paraît difficile, sinon impossible, d’obvier, à moins d’en modifier notablement la construction , en leur donnant, par exemple, la rigidité de ceux construits dans les autres systèmes.
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 - CHAPITRE Y.
 - Des diverses casses d’altération ou d’affaiblissement du fer
 - ET DE LA FONTE .ET DES MOYENS DE CONSERVATION. - Des EFFETS
 - DE LA TEMPÉRATURE.
 - Action de l’air, sec, humide, salin.
 - 81. L’air sec paraît sans action sur le fer et la fonte ; mais on peut dire que cette circonstance favorable ne se rencontre jamais en pratique. A l’air extérieur, tantôt sec, tantôt humide, le fer en barres et la fonte contractent une légère couche de rouille qui les préserve, comme un vernis, de toute oxidation ultérieure. Le fer paraît plus oxidable que la fonte, et d’autant plus qu’il est plus pur et d’un plus petit échantillon: ainsi, le
 - de fer de bonne qualité s’altère plus, vite et plus profondément que tout autre. Comme exemple de la longue durée, à Pair extérieur, du fer en barres, Rondelet cite le fer des vitraux des églises gothiques; d’anciennes grilles, qui ont plusieurs sièçles d'existence; les anciens supports de rév.erbè,res des Tui-ferfes, du Çpurs-da-Reine. Navier, dans son ouvrage sur les ponts suspendus , mentionne uné chaîne en fer tendue d’un rocher à l'autre,, entre les deux pics qui dominent la ville de IVlou^fiers (départenient des Basses-Alpes), et qui aurait plus de quatre cents ans d’existence. Il cite encore des ponts de chaîne, en Çlhine, d’une origine très ancienne, et, entre uutrç?.,. le |onft de Çfipuka, dopt l’origine remonte à une époque telle-' ment reculée que les habitants fui donnent une origine fabuleuse.
 - Le fçr et fa fonte, exposés sans çessç dans des lieux bas à l’action de Thuprudité, s’oxident de plus en plus; la rapidité de l’oxidation est souvent accrue par les émanations d’une nature corrosive qui su produisent dans cette situation.
 - 8$. Vair salin ou chargé de vapeurs d’eau dç mer a une action èminem,pient destructive sur le fer et la fonte. Aluscbenbroeck a fait la remarque que les fers exposés h cet air, en Hollande,
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 - s’oxidaient plus en huit jours qu'ils ne le faisaient en un an dans l’intérieur de l'Allemagne. Gomme preuve plus décisive encore de l’intensité de cette action, je citerai la balustrade en fer qui avait été placée au sommet de la Colonne de la Grande-Armée à Boulogne. Cette balustrade, bien que protégée par plusieurs couches de peinture, fut trouvée au bout de quinze ans oxidée jusqu’à une profondeur d’un demi-centimètre environ. Elle a été, depuis, démontée et remplacée par une autre en bronze.
 - Action de l'eau pure, de Veau de mer, etc.
 - 85. L’eau pure, ou même celle des rivières, ne paraît pas affecter beaucoup le fer et la fonte. Rondelet rapporte avoir vu des fers, provenant d’anciennes constructions hydrauliques, qui étaient restés sous l’eau pendant plus de trente ans, et qui étaient en aussi bon état que du fer neuf. Il est supposable qu’il en est à peu près de même pour la fonte (*).
 - 84. Sous l’influence de l’eau de mer, la fonte-éprouve une altération très remarquable. De nombreux exemples, rapportés dans divers ouvrages, et notamment dans les Annales des mines , font voir qu’au bout d’un séjour de plusieurs années dans l’eau de mer, la fonte se transforme en plombagine, dépourvue, comme on sait, de toute solidité. En présence de ces exemples, on ne s’explique pas l’usage qui s’est introduit récemment, en Angleterre, d’employer la fonte, sous forme de pilots pleins ou creux ou de plaques de fondation, dans des ouvrages baignés par l’eau salée y puisque, daprès ce qui vient d’être dit, il doit
 - (*) Suivant M. Thénard, la fonte, recouverte d’eau et abandonnée à elle-même, se décompose très lentement; le fer s’oxyde et se détache de la masse, qui se trouve alors transformée en une matière semblable à la plombagine, etc. Mais je ferai observer que l1 exemple que ce chimiste cite à l’appui de son assertion est relatif à-des canons en fonte qui étaient restés 50 ans au fond de la mer, c’est-à-dire dans Veau salée.
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- - arriver un temps où la fonte ne présentera plus une résistance suffisante. Cette nouvelle méthode peut se justifier lorsque, au lieu de pilots d’un petit diamètre, on emploie des tubes très grands, comme ceux d’un pont de chemin de fer construit sur la Tamise, à Windsor. Dans ce cas, on peut déblayer le tube à l’intérieur et y couler du béton ; en sorte que, si la fonte vient à manquer, il reste un noyau solide sur lequel on peut compter. Mais, encore une fois, on ne voit pas ce qui peut préserver d’une ruine plus ou moins éloignée les ouvrages assis sur simples pilots en fonte baignés par l’eau de mer. Il paraîtrait que le fer se conserve mieux que la fonte dans l’eau de mer 5 ainsi, les ancres, les organeaux, les échelles scellés aux murs de quais d’un port, les chaînes de bouées, les gonds et ferrures de portes d’écluses, présentent, relativement, une plus grande durée (*). Du reste, il est un fait assez remarquable à noter : c’est qu’un emploi de fer d’où résulte un déplacement fréquent, des frottements, des vibrations, est favorable à la conservation du métal à l’air extérieur ou dans l’eau. Ainsi, tous les ingénieurs de chemins de fer ont eu occasion de remarquer la prompte oxidation des rails empilés dans un chantier à l’air libre ou employés sur des voies peu fréquentées, comme celles des sablières5 et, au contraire, le bon état de conservation de toutes les faces de ces rails sur les voies principales. M. Fair-bairn cite à l’appui de cette thèse la durée assez longue des steamers en service actif, et leur prompte dégradation dès qu’ils sont au repos. On peut encore ajouter à cela, comme terme de comparaison aux ancres qui sont à bord des navires, celles perdues que l’on retrouve au fond des ports et qui sont généralement dans un état d’oxidation très avancé.
 - 85. Le fer au repos, employé à la mer, et alternativement mouillé et sec, paraît s’oxider plus rapidement encore que
 - (*) Quelle est cette durée? Je n’ai pu obtenir là-dessus aucun renseignement, bien que je me sois adressé pour cela à d’anciens amis attachés en qualité d’ingénieurs à des ports de mer.
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 - dans toute autre circonstance. Cela peut tenir à deux causes : d’abord à ce que l’électricité dégagée par l’évaporation décompose une partie de l’eau dont le métal est couvert et lui fournit ainsi de l’oxygène à l’état naissant ; et, en second lieu, à ce que l’oxide formé à la surface du fer est enlevé par les vagues et laisse à nu une nouvelle surface attaquable. Cependant il n’est pas certain que cette dénudation soit nécessaire pour qu’il s’effectue une oxidation rapide. Je tiens d’un constructeur de Bou. logne-sur-Mer, M. Ad. Crouy, a qui je dois aussi le renseignement que j’ai donné précédemment sur la balustrade en fer de la colonne, l'exemple suivant sur l’effet de l’alternative delà sécheresse et de l’humidité saline : une barre en fer quarré de h centimètres d’épaisseur, fixée au parement du fort de l’Heurt, tantôt sèche, tantôt humide, s’est trouvée par places, et au bout de trente-cinq ans, entièrement rongée par la rouille. Il faut dire aussi qu’aucun moyen de conservation ne lui avait été appliqué.
 - 80. L’urine et la vapeur qui se dégage des urinoirs attaquen le fer malgré la peinture. J’ai entendu dire, et cela me paraît bon à noter, que certains constructeurs de ponts suspendus se préoccupent beaucoup de mettre leurs câbles à l’abri de cette fâcheuse influence; ce qu’ils obtiennent en s’arrangeant de manière à ce quo les alentours des puits d’amarragen’offrent aucun endroit propice aux promeneurs pressés par le besoin.
 - Action du plâtre, etc.
 - 87. Le fer employé dans les planchers ou en scellement avec le plâtre se détériore rapidement. Je n’ai vu nulle part qu’il soit prouvé que le minium dont on le recouvre généralement le garantit de l’oxidation. Il se conserve au contraire très bien à l’intérieur de gros murs en maçonnerie au mortier, sans qu’il paraisse nécessaire pour cela de le recouvrir de peinture.il serait à désirer, pour les planchers en fer et poteries, dont l’usage se répand de plus en plus, que l’on eût, au lieu de plâ-
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 - tre , un ciment d'un emploi aussi facile et aussi économique. J'en ai vu un à Boulogne-sur-Mer qui admet une grande quantité de sable, et qui me semblerait assez convenable pour cet emploi.
 - Le soufre est aussi d’un mauvais usage avec le fer; on ne devrait jamais employer pour les scellements que le plomb ou le ciment.
 - Moyens employés pour garantir le fer et la fonte de Voxidation.
 - 88. Ces moyens sont nombreux. On emploie , suivant les circonstances et les localités : la chaux en badigeonnage ou en pâte molle, la graisse, le goudron , le coal tar (goudron provenant de la distillation de la houille), l’huile de lin à chaud, pure ou mêlée d’une certaine quantité de litharge et de noir de fumée ; la peinture à l'huile au minium , à la céruse, etc. ; la peinture galvanique à l’huile de M. Ledru et compagnie, la galvanisation par le procédé Sorel. Je vais examiner dans quels cas ces divers procédés sont employés et le degré d’efficacité qu’ils présentent.
 - 89. A l’intérieur des bâtiments ou à l’extérieur on emploie la plupart des moyens qui viennent d’être indiqués. Mais il est des cas où ceux que l’on peut mettre en pratique sont limités à quelques uns seulement. Ainsi, par exemple, dans des édifices importants où le métal est apparent on ne peut admettre que la peinture. Dans les ateliers, les hangars ou magasins, où l’on tient purement et simplement à conserver le métal sans lui donner une belle apparence, on a ou l’on peut avoir recours à celles des substances ci-dessus qui sont les plus économiques, telles que la chaux, le goudron, la graisse.
 - 90. La peinture ne jouit pas à l’air d’une imperméabilité parfaite; et l’on peut s’assurer, en examinant des fers peints depuis quelque temps, que l’air a pu pénétrer sous la peinture et oxider le métal, ce qui se trahit par des taches jaunâtres que l’on remarque par places et qui augmentent avec le temps. D’ailleurs l’exposition au soleil finit par faire écailler la pein-
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- - ture ; ce qui force à la renouveler de temps en temps. Mais en général on peint les gros fers, à l’air extérieur ou intérieur, plutôt pour leur donner de l’apparence que pour les conserver, puisque sans cela (§81) ils pourraient durer indéfiniment après s’être recouverts d’une légère couche protectrice de rouille.
 - 91. Cette oxidation, qui est tout à fait insignifiante sous le rapport de la portion de résistance qu’elle enlève au fer d’un fort échantillon, est loin d’être négligeable lorsqu’il s’agit du fil de fer : car la couche oxidée, si mince qu’elle soit, devient ici une portion assez notable de la section du fil. D’ailleurs, le bon fil do fer, étant généralement plus pur que le fer en barres, est plus oxidable; et comme, d’un autre côté, la peinture ne paraît pas un obstacle infranchissable pour l’air, il s’ensuit qu’un câble en fil de fer présente, à section égale, une surface attaquable beaucoup plus grande. Aussi s’efforce-t-on, avec un soin tout particulier, de le soustraire à l’action de l’air. Chaque fil est d’abord passé individuellement dans un bain d’huile de lin bouillante, rendue plus siccative par l’addition d’une certaine quantité de litharge et quelquefois aussi de noir de fumée; le câble lui-même, lorsqu’il est terminé, subit aussi cette opération, puis il est peint à la manière ordinaire. Malgré ces précautions extrêmes, il est rare de rencontrer des câbles en fil de fer qui ne présentent de nombreuses taches de rouille. Mais outre les traces apparentes d’oxidation, il peut en exister à l’intérieur dont il est impossible de surveiller le progrès (*). De sorte que par le fait seul de l’oxidation, tous les ponts suspendus en fil de fer sont menacés d’une ruine inévitable et plus ou moins rapprochée. Ce résultat est d’autant plus à craindre, que l’on a quelque raison de penser (§ 19) que les ponts suspendus en fil de fer, nouvellement établis, travaillent déjà à un taux par trop voisin de leur résistance maximum, et que, par conséquent, à mesure
 - (*) Les câbles ne sont jamais faits d’une manière assez régulière pour éviter des cavités, dans lesquelles l’eau peut s’introduire, séjourner et y entretenir une humidité favorable à l’oxidation.
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 - qu’ils vieillissent et se détériorent; il devient de plus en plus facile aux charges animées d’un mouvement oscillatoire vertical de leur faire atteindre la dernière limite et de les rompre.
 - En présence d’une pareille situation , il me paraît incontestable qu’il est du devoir d’une administration chargée de veiller à la sécurité publique, de déterminer par des essais en grand les inconnues de cet important problème. Cela fait, et supposant que les résultats soient favorables aux ponts suspendus , ce qui me semble fort douteux, il n’en sera pas moins nécessaire de soumettre ceux en fil de fer à de nouvelles épreuves de temps en temps (tous les quatre ou cinq ans par exemple), afin de s’assurer que les progrès de i’oxidation leur laissent encore une résistance suffisante.
 - En résumé, dans l’état, actuel de nos connaissances et des moyens de conservation dont on dispose, on peut dire que le système des ponts suspendus, surtout celui formé de câbles en fil de fer, est non seulement mauvais, mais qu’il présente assez de danger pour que l'administration prescrive à l’égard des ponts existants les mesures de précaution les plus sévères et les plus minutieuses, et s’oppose à ce que l’on en construise de nouveaux jusqu a ce que les praticiens soient mis en possession des éléments nécessaires pour leur donner le degré de force et de sécurité convenable.
 - 92. La chaux en pâte molle conserve bien le fer dans les lieux bas et humides comme les puits d’amarrage des ponts suspendus, pourvu que l’on s’assure de temps en temps que sa consistance ne change pas. Mais c’est ce que l’on ne fait pas, et ce moyen paraît avoir été employé avec l’idée qu’il conservait le fer indéfiniment, en déchargeant le constructeur de toute surveillance. C’est ce qui en fait le danger. Il peut arriver alors, comme au pont d’Angers, que la pâte se dessèche, se fendille et laisse pénétrer les eaux pluviales chargées d’impuretés jusqu’aux barres ou câbles de retenue, qui sont bientôt attaqués par I’oxidation.
 - 93. Dans la discussion sur les ponts suspendus qui eut lieu
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- - au sein de la Société des ingénieurs civils à Paris, un membre recommanda la galvanisation du fil de fer par le procédé Sorel comme un moyen d’une efficacité parfaite. Il lui fut répondu que le zingage avait l’inconvénient d’altérer considérablement la ténacité du métal. Or il paraît que cette dernière assertion était purement gratuite, car, d’après un mémoire fort intéressant publié par M. Dehargne dans les Annales des Ponts-et-Chaussées (1851), il résulterait d’expériences faites depuis dix ans, sur une grande échelle, dans le port de Brest, que nou seulement le procédé est en effet aussi efficace qu’on peut le désirer, mais que le fer galvanisé ne perd absolument rien de sa résistance.
 - Pour donner à ce procédé l’extension qu’il mérite par son efficacité, il reste à trouver le moyen de l’appliquer facilement au fer et à la fonte sous toutes les dimensions et dans des conditions économiques. Et cela importe d’autant plus que par le zingage, le fer et la fonte se conservent parfaitement dans toutes les positions où les autres moyens sont en défaut; à l’air salin et a la mer, par exemple. Le brevet de l’inventeur expire cette année ; il faut espérer que cette circonstance encouragera les ingénieurs à faire des essais.
 - 94. A l’air extérieur, M. Quettier, directeur des hauts-fourneaux de Marquise, recommande pour les grandes pièces en fonte l’enduit d'huile de lin fait à chaud. Il rapporte qu’une statue ayant reçu un pareil enduit, puis ayant été exposée à îa pluie dans un jardin, n’offrait après cinq ans aucune trace de rouille. Cet industriel conseille encore l’emploi de la peinture galvanique de M. Ledru , qui offre, rmivant lui, la même solidité que les autres peintures, mais qui est plus économique. Elle coûte UO centimes le kil. en poudre, et se prépare à l’huile comme le minium et la céruse.
 - 95. AV air salin des ports de mer la peinture ne protège le fer et la fonte qu’a la condition de la renouveler assez souvent (§ 81). On emploie alors préférablement, quand on le peut, la graisse ou le goudron. A Boulogne-sur-Mer, c’est au moyen du
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 - goudron que le génie militaire conserve ses pièces d’artillerie et ses boulets en fonte ; c’est encore avec du goudron que l’on avait enduit la grille située au pied de la Colonne dont il a déjà été question ; et cette grille était encore dans un état parfait de conservation lorsqu’on démonta la balustrade peinte qui était au sommet, pour la remplacer. Mais les usages de la graisse et du goudron sont restreints , à cause de la consistance de ces corps et de l’aspect désagréable qu’ils présentent.
 - 96. A la mer on emploie le coal-tar pour conserver la coque des bateaux à vapeur en fer; mais ce moyen ne fait que retarder l’oxidation, il ne l’empêche pas (1). C’est dans ce cas surtout et dans celui qui précède que l’étamage au zinc serait d’un grand service. Mais, comme je l’ai dit précédemment, l’emploi de ce procédé est subordonné à la découverte du moyen de l’appliquer en grand avec économie.
 - 97. La gutta percha, dont on s’est servi récemment dans les télégraphes électriques comme d’une substance isolante, jouit d’une imperméabilité à l’eau et à l’air qui pourrait bien étendre son emploi à la conservation du fer, dans certaines circonstances, comme dans le cas des ponts suspendus en fil de fer, par exemple; je ne pense pas que cette substance ait jamais reçu une pareille application , et je ne puis dire si elle offrirait des avantages sous le rapport économique.
 - Des effets de la température sur le fer et la fonte.
 - 98. La température la plus haute à laquelle le fer peut être élevé accidentellement est celle qui est nécessaire pour le souder. Sous l’influence de cette température et entre les mains d’un ouvrier peu exercé, il arrive souvent qu’une barre de fer est brûlée. Sa résistance est alors notablement diminuée. Si l’on surmonte cette première difficulté, on ne peut jamais être bien certain que la soudure soit complète dans toute la section
 - (1) M. Fairbairn est d’avis qu’un moyen de diminuer encore la rapidité de l’oxidation des navires serait de les faire remonter dans l’eau douce de temps en temps.
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 - de rapprochement dès barres à réunir. De sorte que l’on a tout d’abord quelque raison de craindre qu’une barre soudée ne présente pas une résistance égale dans toutes ses parties. Il y a bien quelques expériences qui tendraient h montrer que l’on peut donner à une barre ou à un fil, dans la soudure, une résistance aussi grande que celle qu’elle présente partout ailleurs. Mais il est évident que ce sont là des résultats exceptionnels obtenus par des forgerons habiles qu’on ne peut se flatter de retrouver d’une manière normale en pratique. Ce qui le prouve d’ailleurs, ce sont les expériences multipliées qui furent faites en Prusse à l’occasion d’un pont suspendu en chaînes à construire sur la Ruhr près de Mulheim. 11 résulte en effet de ces expériences qu’il faut toujours s’attendre, dans les pièces soudées, à une perte de résistance d’environ 30 p. 100.
 - Ce résultat est d’accord avec l’habitude actuelle des praticiens anglais, qui, dans leurs nouvelles constructions, évitent avec soin toutes les pièces de forge. Ils n’ont pris ce parti qu’a-près avoir reconnu qu’un système de pièces soudées était non seulement défectueux, mais dispendieux* Aussi voit-on aujourd’hui en Angleterre des ponts et des combles d’une grande portée dans lesquels il n’entre pas une seule pièce de fer soudée.
 - 99. Le fer en barres laminé ne paraît rien perdre de sa résistance par le recuit, mais il acquiert une élasticité plus parfaite.
 - Soumis à la même opération, le fil de fer perdrait, d’après les expériences de M. Vicat, la moitié de sa résistance, et prendrait sous les mêmes charges des allongements plus grands d’un cinquième environ.
 - 100. Quanta l’effet des autres températures auxquelles le fer et la fonte sont plus communément exposés, voici les renseignements que j’ai pu recueillir :
 - On trouve dans les Comptes-rendus de l’Académie des sciences (1850) ce fait assez curieux, résultant d’expériences de M. Johnson : que le fer offre une résistance plus grande à la température delà glace fondante et à 160° Réaumur qu’à la température intermédiaire de 80° R.
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 - M. Poncelet rapporte dans sa Mécanique industrielle que Tredgold, en opérant sur une barre de fer à 67° Réaumur , a trouvé une diminution de ténacité de 1 /20. — 11 ajoute, pour les températures plus élevées, que, d’après une expérience de M. Poirier de Saint-Brice, la ténacité d’une barre de fer chauffée au rouge (450° R. ou 562° C.) serait réduite de h31.45 par mill. quarré à 7k.80, c’est-à-dire à environ 0.16 de sa valeur à la température ordinaire. Suivant M. Poncelet, ce résultat se trouverait confirmé par une expérience de M. Prech-tel (tome 3 de son Encyclopédie technologique).
 - iOi. Ces faits isolés jettent peu de jour sur la question et seraient de peu d’utilité pour estimer la résistance des fers aux températures assez variées auxquelles ils peuvent être soum s dans l’industrie. Aussi, pour terminer cet article, emprunterai-je à l’ouvrage de MM. E. Flaehat, Barrault et Petiet, quelques uns des nombreux résultats obtenus en Amérique par une commission chargée de faire un rapport à l’Institut de Franklin sur la résistance des matériaux employés dans les chaudières à vapeur.
 - Extrait du tableau des expériences de la Commission.
 - Numéros des expériences. Températures observées eno° centigrades. Perte de résistance en fonction du maximum de ténacité à froid.
 - 1 271° 0,0738
 - 6 350 0,1155
 - 10 408 0,1589
 - 42 440 0,2010
 - 13 500 0,3324
 - 15 554 0,4478
 - 16 599 0,5514
 - 19 642 0,6352
 - 22 708 0,7001
 - Les résultats de ce tableau ne paraissent pas d’accord avec ceux qui précèdent. Mais on leur doit naturellement plus de crédit qu’à des expériences isolées, qui peuvent, après tout, n’être que des anomalies.
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 - Pour rendre plus sensible la loi suivant laquelle s’effectuait la perte de ténacité, on a tracé une courbe dans laquelle les températures étaient portées en abscisses et les pertes de résistance en ordonnées; et l’on a trouvé qu’elle avait la forme représentée dans le croquis ci-contre. Il s’ensuivrait qu’à partir de 500° les pertes croîtraient dans une proportion plus faible que dans les températures moyennes. Les auteurs de l’ouvrage précité font remarquer que l’expérience a aussi fait reconnaître que les dilatations que le fer éprouve sous l’influence de la chaleur présentent un changement analogue vers 500°, et que les allongements sont aussi moindres entre 500° et 1500° qu’entre 25° et 525. Ces résultats viennent confirmer les précédents, car il est naturel de supposer que le fer présente d’autant moins de résistance à la traction qu’il est plus dilaté par la chaleur.
 - 102. Aucune observation n’a mis à même de déterminer si la résistance du fer et de la fonte éprouvait quelques variations à des températures comprises dans les limites de celles que subit l’atmosphère en France. Il est probable que ces variations existent, mais qu’elles sont négligeables. Mais on s’accorde à reconnaître que la gelée rend ces métaux plus susceptibles de se rompre sous l’influence d’actions dynamiques telles que les chocs.
 - i05. Il me reste maintenant à dire quelques mots sur l’effet de la dilatation des métaux dans les constructions et à rechercher s’il est tel que l’on doive toujours s’en préoccuper et y pourvoir.
 - Pour cela, il convient d’abord que je rappelle qu’entre 0 et 100° on peut admettre que la dilatation par mètre et par degré centigrade est :
 - Pour la fonte, de............. 0m.0000111.
 - Pour le fer, de ........ 0m.0000122.
 - Or, si l’on suppose, ce qui est généralement le cas, que les
 - 500?
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 - fontes d’un pont sont mises en place au commencement ou à la fin d’une campagne, c’est-à-dire à une époque ou la température moyenne est d’environ 10°, et si, d’autre part, l’on admet qu’au cœur de l’été la température du métal peut s’élever à é0°, un mètre linéaire de fonte, s’il n’éprouve aucun obstacle, s’allongera d’une quantité exprimée par la formule
 - a—30°X 0m,0000 111 = 0m?000 333.
 - Si, au contraire, les dispositions sont prises pour empêcher cet allongement, c’est absolument comme si l’on comprimait la fonte d’une quantité égale a celle que l’on vient de trouver, et par conséquent comme si on la soumettait à un surcroît de pression donné parla formule (9}. Introduisant dans cette formule la longueur de 1 mètre et rallongement ci-dessus exprimés en centimètres, on a :
 - P=909 218 —40,598 628 = 298 kilogr.,
 - 100 \ 100 J
 - c’est-à-dire le 20e de la charge de rupture d’une fonte ordinaire, ce qui est tout à fait insignifiant. C’est donc avec raison que sir John Rennie, dans son pont de South-Wark à Londres, a adopté une forme de tympans rigide et un assemblage sans jeu avec les maçonneries, sans avoir égard à la dilatation.
 - En hiver, la température peut descendre a —20°; on peut se proposer de rechercher si des poutres en fonte dont une partie résiste à la traction doivent se contracter librement. Mais on ne connaît pas les quantités dont ce métal se contracte entre 0° et —20°. Si l’on admet que le taux soit le même que pour la dilatation, de -j-10” à —20° un mètre de longueur de fonte aura diminué de 0.000 333, et le surcroît d’effort de traction auquel le métal serait soumis si l’on s’opposait à cet effet serait (formule n° 1) :
 - P=969 568^^ — 188 500 268^^jj^y=303 kil.,
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 - c’est-à-dire environ le tiers de la résistance à la rupture. Et dans ce cas il importerait évidemment de laisser la contraction se faire en toute liberté.
 - Pour une différence de température do 30°, le fer s’allongerait de
 - a=30 X 0,0000m=0"\ft00 366.
 - Et en s’opposant à la dilatation, on le soumettrait à un surcroît de pression exprimé par (formule n° 11) :
 - lOü
 - Le fer employé étant supposé offrir, une résistance à la compression de 4,000 kil. par cent, quarré, et travailler au sixième de sa résistance maximum, le surcroît de pression dû à la dilatation serait encore d’un sixième, ce qui porterait à environ un tiers de la charge de rupture le travail entier du métal.
 - On arriverait à un résultat un peu plus fort pour une barre de fer qui ne serait pas libre de se contracter entre -j- 40° et — 20°. Il faut en conclure que, pour le fer, il y a lieu de n’adopter que des dispositions qui permettent à la dilatation et à la contraction de s’effectuer librement. En agissant autrement on exposerait le métal à travailler au delà de la limite que l’expérience a indiquée comme ne devant pas être dépassée.
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- - Nom du département. -
 - Nom de l’usine. ia
 - Nature du minerai. w
 - | Nature du fondant. *»
 - | Espèce de combustible employé, os
 - T empérature de l’air injecté dans le haut-fourneau.
 - Résistance à l’effort transversal d’un barreau en fonte de fusion de 50 cent, de longueur entre les appuis, et de 2 cent. if2 de côté.
 - Aspect de la cassure. »
 - 1 Prix de la fonte moulée J de î™ fusion prise à l’usine.
 - | Espèce de four dans lequel s’opère 1 la 2e fusion. °
 - Temps écoulé entre la sortie de la fonte en fusion du four et le E coulage dans le moule.
 - I Sable du moule (sable d’étuve | ou sable vert). ls
 - Résistance à l’effort transversal d’un barreau de 2<= fusion de 50 cent, de longueur entre les 61 appuis, et de 2 c. l[2 de côté.
 - | Aspect de la cassure. £
 - Valeur de T déduite de la formule 7 PL =i TER2 « 4 3
 - B Valeur de C dans l’hypothèse ^ 8 où le rapport de T à C est l : 5.50. 05
 - I Prix de la fonte moulée ^ j de 2» fusion prise à l’usine.
 - Produit du prix par la résistance ^ de la fonte à la traction. 00
 - Noter à quelle partie de la longueur la rupture s’effectue, etc. Observations.
 - Ci
 - g
 - CS
 - S
 - <s>.
 - SS
 - Cb
 - **
 - SS
 - •s
 - Ci.
 - Ce
 - £*
 - ***
 - Ci
 - Ci
 - Ci
 - 895
 - Appendice au Mémoire sur le fer et la fonte.
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 - En donnant ce tableau , je n’ai pas la prétention d’indiquer un modèle à suivre à la lettre ; mais le sens dans lequel il doit être fait. Beaucoup d’ingénieurs plus experts que moi en cette matière pourront sans doute le modifier avantageusement. Les têtes de colonnes s’expliquent d'elles-mêmes. Aussi me bornerai-je à faire au sujet de ce tableau deux observations. C’est que d’abord il est indispensable que les échantillons éprouvés aient deux cent. 1/2 de côté : car sans cela les résultats obtenus ne seraient pas comparables à ceux fournis par les Anglais, et ne pourraient entrer ni dans leurs formules ni dans celles qui font l’objet de ce mémoire. En outre , les barreaux doivent être parfaitement calibrés, car la plus petite différence dans la valeur de H (un quart de millimètre, par exemple) peut en donner une grande dans les résultats.
 - Enfin, je ferai observer que les épreuves que j’indique comme devant être faites de préférence sont celles par effort transversal , parce que ce sont les plus faciles, les moins dispendieuses, et celles dont on peut tirer immédiatement le meilleur parti. En effet, les épreuves par traction et par compression exigent des appareils solides et coûteux, et des poids de rupture considérables: ainsi, qu’il s’agisse, par exemple, de rompre par traction une barre quarrée de fonte de 60 cent, de longueur et de 2 centim. 1/2 d’épaisseur, cette barre pourra exiger un effort de 11 à 12,000 kilogrammes. Les épreuves par compression demanderaient des charges plus fortes encore; tandis qu’avec deux appuis faciles à obtenir éloignés de 50 cent., pour rompre cette barre par effort transversal il suffira d’une charge de 750 kil. au maximum. D’ailleurs les expériences par traction et par compression n’avaient réellement d’intérêt que lorsqu’on ne connaissait qu’imparfaitement le rapport des résistances à la traction et à la compression d’une même fonte, que l’on ignorait la modification à faire subir à la formule de la résistance à l’effort transversal pour la mettre d’accord avec la résistance réelle de la fonte à la traction (§ 12) ainsi que d’autres particularités plus ou moins importantes
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 - (§ 6, 7, 11, 31, etc.) de la résistance de la fonte. Mais aujourd’hui que ces divers points ont été éclaircis par les expériences de M. Hodgkinson, et que l’on peut, avec une approximation suffisante et au moyen de la formule (23), déduire d’expériences par effort transversal les autres résistances du fer et de la fonte, les expériences faites en vue de les déterminer directement seraient à peu près sans objet.
 - Un tableau semblable au précédent devrait être dressé pour le fer en barres, en modifiant naturellement les têtes de colonnes suivant les circonstances particulières de la réduction de la fonte en fer malléable.
 - Au moyen de ces tableaux on arriverait bientôt à connaître, outre la qualité des fontes et fers du pays, les circonstances trop peu connues ou mal appréciées qui la font varier dans des limites si étendues, et l’on pourrait seulement alors trouver les moyens de remédier au mal. Jusqu’ici il me paraît, sauf meilleur avis, que l’on ne s’est guère occupé que de rechercher les meilleurs procédés pour produire la plus grande quantité de métal au meilleur marché possible, sans se préoccuper beaucoup de la question de savoir en quoi les nouvelles méthodes mécaniques ou chimiques pouvaient affecter la qualité des produits. Or on comprendra de reste qu’il ne sert à rien de produire le double de fonte avec la même dépense, si par les moyens mis en œuvré la ténacité du métal est réduite de moitié. Qui s’est occupé, par exemple, de rechercher l’influence sur la résistance du métal de la suppression du grillage préalable du minerai? Il n’y a cependant rien d’impossible à ce que cette modification apportée dans l’ancienne méthode ait amoindri la qualité des produits.
 - Peut-on affirmer que l’emploi de l’air chaud dans les hauts-fourneaux soit un véritable progrès dans l’art métallurgique ? Il est certain qu’il y a économie à en faire usage, soit que l’on traite un bon minerai, soit que l’on y adjoigne, comme en Ecosse, une grande quantité de résidus ou de minerais qui étaient auparavant intraitables. Mais, dans ce dernier cas, il
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 - est prouvé que la foule obtenue est d’une qualité inférieure. Dans le premier, il paraîtrait, suivant quelques ingénieurs,que l’air chaud , par suite de la plus haute température à laquelle il élève les hauts-fourneaux, permettrait la combinaison du métal avec une plus grande quantité de silice et de carbone; d’où il résulterait sinon toujours une qualité inférieure, du moins une plus grande inégalité dans la résistance des produits.
 - La mesure que je propose fournirait les moyens de résoudre ces diverses questions , ou mettrait au moins sur la voie d’une solution. On peut ajouter qu’en l’adoptant, les ingénieurs connaîtraient mieux les propriétés des métaux et le parti qu’ils pourraient tirer, suivant le cas , de ceux de telle ou telle localité; ce qui contribuerait sans doute à étendre de plus en plus l’emploi du fer et de la fonte. D’ailleurs, on pourrait s’attendre encore à ce qu’elle créât une sorte d’émulation entre les maîtres de forges pour l’obtention de meilleurs produits; et l’état pourrait intervenir ici utilement en stimulant cette émula-lation par des récompenses.
 - Je termine cet appendice par une dernière observation.
 - Si les maîtres de forges français entendaient bien leurs intérêts, il est une mesure bien simple qu’ils devraient prendre de concert, et qui aurait pour effet certain, à mon avis, d’accroître en peu de temps l’usage du fer et de la fonte. Il suffirait qu’ils fissent publier à leurs frais un annuaire contenant, outre les résultats ci-dessus d’expériences obtenus par les ingénieurs des mines, la nature, la forme indiquée par des croquis, les dimensions en longueur, largeur et épaisseur, de leurs produits habituels en fer ou en fonte, avec les poids et prix moyens de vente : car il doit arriver quelquefois qu’un ingénieur emploie le bois pour un comble, un pont ou toute autre construction , parce que cette matière se trouve partout et que l’on en connaît généralement le cours; tandis qu’il aurait pu peut-être y substituer le fer ou la fonte avec avantage, et qu’il l’eût fait s’il avait été mieux renseigné sur ces métaux,
 - En Angleterre de pareilles choses existent. Il y a plus : des
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 - chefs d’usine mettent fréquemment à la disposition d'expérimentateurs connus, comme M. Hodgkinson, un nombre considérable d’échantillons de leurs produits des formes et dimensions les plus variées , parce qu’ils calculent, et avec raison, que les résultats d’expériences seront mis sous les yeux des hommes spéciaux, et qu’ils arriveront ainsi à faire mieux connaître leur établissement, à étendre leurs relations et à augmenter le chiffre de leurs affaires. Je suis persuadé que plus d’une usine a dû un accroissement notable dans sa prospérité aux expériences de M. Hodgkinson; et il est permis de croire aussi que les moyens de publicité dont il vient d’être question, et qui caractérisent si bien l’esprit éminemment industriel et mercantile de nos voisins, n’ont pas été sans influence sur l’extension rapide de l’emploi du fer et de la fonte en Angleterre.
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- - (MIRES
 - ET
 - COMPTE-RENDU DES TRAVAUX
 - DE LA
 - SOCIÉTÉS DES INGENIEURS CIVILS
 - (Octobre, Novembre et Décembre 1851)
 - N° 15
 - Pendant ce trimestre, on a traité les questions suivantes :
 - 1° Drainage employé pour assainir les voies des chemins de fer (Y. le résumé des séances, p. 207) ;
 - 2° Construction des wagons à marchandises (Y. le résumé des séances, p. 208);
 - 3° Discussion sur la désincrustation des chaudières des machines à vapeur (V. le résumé des séances , p. 214) ;
 - k° Communications sur l’Exposiiion universelle de Londres, relatives aux moteurs hydrauliques, turbines, pompes rotatives , tuyaux de distribution d’eau du Palais de Cristal, presses hydrauliques, machines à moissonner, et appareils pour chemins de fer (V. le résumé des séances, p. 219 à 253);
 - 5° Discussion sur les expériences faites au calorifère de l’église Saint-Roch (Y. le résumé des séances, p. 255).
 - Dans la séance du 26 décembre , le Trésorier a donné lecture de son rapport, qui expose la situation financière de la Société.
 - Dans cette séance, la Société a procédé aux élections des membres du Bureau et du Comité pour l’année suivante. Le résultat du scrutin a donné la composition suivante :
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- - îlemlbres «Isa Bureau.
 - Président :
 - M. E. Flachat, rue de Londres, 51.
 - Vice-présidents :
 - MM. Emile Vuignier^, rue du Faubourg-Saint-Denis, 146. Charles Gallon , rue des Vosges , 13.
 - J. Petiet^^, rue Lafayette, 34.
 - C. Polonceaü, boulevart de l’Hôpital, 4.
 - Secrétaires :
 - MM. Adolphe Bellier , rue Saint-Honoré, 83.
 - Léon Yvert, rue Bleue, 5.
 - Henri Mathieu, rue Rougemont, 10.
 - E. Gerder, rue Richer, 10.
 - Trésorier :
 - M. G. Loustau, rue Saint-Quentin, 23.
 - Meaubres si «a Conaité.
 - MM. Faure, boulevart Saint-Martin, 55.
 - Cavê$s, rue du Faubourg-Saint-Denis, 214.
 - Yvon Villarceau, rue Cassini, 14.
 - A. Salvetat, à Sèvres (Manufacture nationale).
 - Al. Nozo, place du Château-Rouge, 2, à Montmartre. Degousée, rue Chabrol, 35.
 - Houel quai de Billy, 48.
 - Bergeron, rue de Lille, 79.
 - P. Seguin, rue Louis-le-Grand, 3.
 - Knab , rue de Seine, 72.
 - Stéphane Mony#, rue d’Alger, 9.
 - Léonce Thomas^, rue des Beaux-Arts, 2.
 - Victor Bois, place du Havre, 14.
 - La Salle, rue Saint-Georges, 58.
 - Pepin-Lehalleur rue de la Victoire, 14.
 - A. Barrault, rue de Clichy, 63.
 - M. Alcan, rue d’Enghien, 28.
 - Calla#, rue Lafayette, 11.
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 - Evrard, rue Popincourt, 71.
 - Chobrzynski, me du Nord, 11.
 - Pendant ce trimestre, la Société a reçu :
 - 1° De M. Ch. Gallon , un compte-rendu fait en 1851 aux actionnaires du chemin de fer d’Anvers à Gand ;
 - 2° De M. Debonnefoy, une note sur l’emploi des moises dans la construction des wagons 5
 - 3° De M. Lefrançois , une note sur la recherche de la longueur de la courbe de l’ellipse ;
 - 4° De M.Pottier (Ferdinand), un mémoire sur les expériences faites au calorifère de l’église Saint-Roch;
 - 5° De M. Love, un mémoire sur la résistance du fer et de la fonte, basé principalement sur les recherches expérimentales les plus récentes faites en Angleterre;
 - 6° De M. Bois, une note sur la construction du Palais de cristal pour l’Exposition universelle de Londres.
 - M. Buffet, ministre de l’agriculture et du commerce, a envoyé à la Société, à titre de sympathie et d’encouragement, les ouvrages suivants :
 - 1° Rapport du jury central de l’Exposition de 1834 ;
 - 2° id. id. id. 1839 ;
 - 3° id. id. id. 1844;
 - 4° Procès-verbaux des conseils généraux do l’agriculture, des manufactures et du commerce en 1841, 1842, 1845 et 1846;
 - 5° Cours d’agriculture (de M. Gasparin) ;
 - 6° La Maison rustique duXIXe siècle;
 - 7° Les institutions de crédit foncier en Allemagne (par M. Royer) ;
 - 8° L’agriculture allemande, par le même;
 - 9° Rapport sur le crédit foncier (par Josseau) ;
 - 10° Cours de chimie industrielle (de M. Payen);
 - 11° Rapports sur les colonies agricoles (par MM. Roman et de Lurieu);
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 - 12° Agriculture française ;
 - 18° Du cheval en France (par Ch. de Boigne) ;
 - 14° De l’élève du cheval en Bretagne (par Ephrem Houel) ; 15° Stud-Book français;
 - 16° Statistique de la France en 12 volumes.
 - Pendant ce trimestre, on a admis comme membre sociétaire :
 - M. Henri Marès, présenté par MM. L. Yvert, Quetil et de Montcarville.
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 - MÉMOIRE W XXVIII.
 - Causes «les iiiondattons soutcrraiiaes qui se ma-nifes&ent dans les quartiers sioed «le Paris clans certaines circonstances déterminées 9
 - Par M. E. VüIGNER.
 - Les inondations qui ont eu lieu dans certains quartiers de Paris, par suite des pluies torrentielles du mois d’août dernier, ont appelé naturellement l’attention des ingénieurs sur les égouts de la capitale, et il a été unanimement reconnu que ces inondations de surface avaient eu pour principale cause le système suivi pour l’établissement des égouts.
 - Nous avons pensé que c’était l’occasion d’entretenir la Société des ingénieurs civils d’un autre phénomène qui se manifeste dans les quartiers nord , et auquel le système des égouts n’est pas non plus étranger. Il s’agit d’inondations souterraines qui ont lieu dans certaines circonstances déterminées et qu’on peut aujourd’hui annoncer avec autant de certitude qu’on règle la marche des éclipses et des autres phénomènes célestes.
 - Quelques détails préliminaires sont indispensables pour bien faire comprendre et les causes et les effets de ces inondations souterraines.
 - Le bassin dans lequel la ville de Paris est construite est couronné au nord par les hauteurs de Montmartre, de Belleville, de Ménilmontant et de Chaumont, tandis qu’au sud il se rattache aux collines de Montrouge, de Vanvres et de Meudon, et la Seine, qui coule du sud-est au nord-ouest, sépare la ville en deux parties à peu près égales.
 - Sur la rive gauche de la Seine le sol est assez accidenté j il est composé d’un calcaire très dense, et l'ou n’a pas remarqué
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 - jusqu’ici d’inondations souterraines dans les quartiers de cette rive.
 - Sur la rive droite, il existe une partie basse assez large, qui s’étend jusqu’au-delà du boulevard intérieur et vient se rattacher au pied des collines ci-dessus indiquées.
 - Le sol de cette plaine, exhaussé de quelques pieds seulement au-dessus du niveau de la Seine, est formé d’une couche de terre végétale recouvrant un terrain d’alluvions composé de graviers et de sable incohérent, qui laisse filtrer les eaux dans tous les sens. Ce terrain d’atterrissement, dont l’épaisseur est souvent de plusieurs mètres, repose lui-même soit sur une couche de glaise imperméable à l’eau, soit sur des marnes très compactes qui forment la base des pierres à plâtre de Montmartre et de Belleville.
 - Cette plaine n’était pas continue entre la Seine et le pied des collines; elle était traversée dans toute sa longueur par une dépression assez prononcée , parallèle au cours de la Seine, dans laquelle coulait le petit ruisseau connu sous le nom de ruisseau de Ménilmontant.
 - Antérieurement aux premiers établissements qui s’établirent sur la rive septentrionale de la Seine, et même au commencement du siècle dernier, ce ruisseau, creusé de près de deux mètres en contrebas du sol naturol, recevait toutes les eaux de surface de la vallée et celles qui descendaient des collines qui l’entourent; il portait toutes ces eaux de l’est au sud-ouest dans la Seine, au-delà de l’emplacement actuel de la Savonnerie.
 - Tous les marais du Temple , Saint-Martin, Saint-Denis et Saint-Honoré, au milieu desquels coulait ce ruisseau , étaient rarement inondés; ils se trouvaient naturellement desséchés, soit par l’effet de la perméabilité des terres formant les berges du ruisseau, soit au moyen des fossés qu’on y faisait aboutir au besoin.
 - Il n’en fut pas ainsi lorsqu’à ce simple fossé on eut substitué le grand égout, aqueduc voûté en saillie de plusieurs mètres
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 - au-dessus du terrain, et surtout lorsque les nouvelles rues dont ces marais furent entrecoupés plus tard ajoutèrent d’autres obstacles à l’écoulement des eaux pluviales. Ces eaux/lorsqu’elles tombèrent avec assez d’abondance et de continuité, furent arrêtées par toutes ces digues 5 elles durent alors rester stagnantes, pour se perdre ensuite par évaporation ou par infiltration.
 - Les marais longeant le grand égout dont le sol ne fut pas exhaussé par des décharges publiques restèrent naturellement exposés à des submersions fréquentes. Ils furent remblayés plus tard, mais ces remblais n’ont pu influer sur la nature du terrain primitif, et les eaux qui descendent des collines voisines, au lieu de se montrer à la surface du sol, sont venues plus lentement, en suivant les couches imperméables qui les arrêtent, exhausser la nappe souterraine par laquelle les puits sont entretenus, et submerger les caves formant des cavités sur leur passage.
 - On termina en 17A0 les travaux de maçonnerie du grand égout (planche 20, fig. 1), qui, comme on le sait, part de la rue des Filles-du-Calvaire, traverse la rue de Lancry, les faubourgs Saint-Martin, Saint-Denis et Poissonnière, suit les rues Neuve-Saint-Jean, des Petites-Ecuries, Richer , de Pro-vence, Saint-Nicolas, puis se jette dans la Seine à l’extrémité des Champs-Elysées, au droit du quai de Billy ; et dans le courant de cette même année, on observa la première inondation des marais et des cavés des quartiers nord de Paris.
 - Les propriétaires, attribuant cette inondation à la mauvaise construction des maçonneries, se plaignirent à l’autorité municipale, en indiquant que le grand égout perdait les eaux qu’il devait conduire à la Seine. MM. Bouache et Bonamy furent chargés, comme membres de l’Académie, d’étudier cette question; ils constatèrent que la surface des eaux d’inondation était en contreliaut de la surface des eaux dans le grand égout, et ils reconnurent que l’invasion des eaux dans les caves n’était
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 - due qu’à un exhaussement anormal des nappes d’eau souterraines déterminé par des pluies abondantes.
 - En 1788, une seconde inondation, plus forte que celle de 1760 se manifesta de nouveau dans les mêmes quartiers; les plaintes se renouvelèrent, et on l’attribua cette fois à des infiltrations existantes dans les grands réservoirs que l’on avait établis à Chaillot. Un ingénieur en chef des ponts et chaussées, M. Perronnet, adressa sur cette affaire un rapport spécial à l’administration supérieure ; il y établit que les bassins de Chaillot étaient étanches, que l’inondation s’était également manifestée dans un grand nombre de rues en dehors de l’influence de ces bassins, et qu’elle s’était même produite dans des campagnes voisines de Paris, notamment sur les hauteurs de Belle-ville et de Montfermeil. 11 conclut en attribuant cet accident à des pluies continuelles, dont le produit avait augmenté les nappes inférieures.
 - Une troisième inondation eut lieu en 1802 ; mais, comme on ne pouvait la rattacher à aucune circonstance extraordinaire, elle n’excita que des réclamations sans importance.
 - Il n’en fut pas ainsi en 1818. Toutes les caves des quartiers nord furent envahies par les eaux souterraines; les marais situés le long de la rue Grange-aux-Belles/ entre les faubourgs du Temple et Saint-Martin, furent inondés depuis le commencement de mars jusqu’à la fin de juin , et les eaux s’exhaussèrent assez dans cette localité pour qu’on pût y circuler en bateau.
 - On venait de construire le bassin de la Villette, il était rempli d’eau, et les propriétaires viciimes de l’inondation ne manquèrent pas de l’attribuer aux déperditions de ce bassin.
 - La constitution géologique du sol sur lequel est établi le bassin de la Villette ne permettait pas d’admettre qu’il fût la cause de l’inondation générale qui affectait encore comme en 1788 et en 1802 les campagnes voisines de Paris.
 - M. le préfet de la Seine fît ouvrir des tranchées à travers la
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 - rue des Marais, il fit percer le mur septentrional du grand égout, pour donner aux eaux d’inondation la possibilité de s’écouler comme anciennement, en suivant la pente naturelle du terrain. La nappe d’eau s’abaissa bientôt progressivement, et. les caves du quartier nord furent de nouveau asséchées.
 - M. Girard, membre de l’Académie des sciences et ingénieur en chef du canal de l’Ourcq, étudia avec beaucoup de soin les causes de ces inondations successives, et il lut à l’Académie, le 15 juin 1818, un mémoire fort intéressant,, dans lequel il établit que « toutes les fois que la hauteur d’eau tombée dans l’es-)> pace de deux années consécutives se sera élevée au dessus » de lm.20, et que le nombre des jours de pluie aura été dans » le même intervalle de plus de 320, les quartiers de Paris si-» tués sur la rive droite de la Seine seront exposés pour l’an-)> née suivante à une inondation, qui commencera même quel-)) quefois dans le courant de la deuxième année pluvieuse, et » qui doit être attribuée à l’effet des obstacles qu’on a successi-» vement opposés au libre écoulement des eaux pluviales dans » ce quartier, et surtout à l’élévation des murs du grand égout. »
 - M. Girard est arrivé à cette conclusion en comparant l’histoire météorologique des années qui avaient précédé les premières inondations générales, et notamment celle des années 1786, 1787, 1816 et 1817. La hauteur d’eau de pluie en 1786 et en 1787 avait été de lm.24j et elle avait été de lm.22 pendant les années 1816 et 1817.
 - Le nombre total des jours de pluie en 1786 et en 1787 fut de 32ô, et il avait été de 325 pendant les années 1816 et 1817.
 - Les inondations souterraines qui ont eu lieu depuis lors dans les quartiers nord de Paris sont venues confirmer les prévisions de M. Girard.
 - Ainsi en 1826, 1828,1830, 1832, les caves ont été généralement inondées dans les quartiers des anciens marais, et pendant les années précédentes le nombre des jours de pluie avait dépassé 320, de même que la hauteur d’eau tombée s’était élevée au chiffre de lra.20.
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 - En 1838, l’inondation fut beaucoup plus considérable, mais aussi pendant les années 1836 et 1837 le nombre des jours de pluie avait été de 331, et la hauteur d’eau tombée de lm.36 ; les eaux des sources aux environs de Paris avaient presque décuplé de volume au mois de mai, correspondant à l’inondation. Les caves de Montfermeil et de Belleville , comme toutes celles des villages situés sur le faîte séparatif des vallées de la Marne et de la Seine étaient toutes inondées à la même époque , et il en était de même sur le penchant des collines de Chaumont, de Ménilmontant, de Belleville et de Montmartre.
 - Ces inondations, qui se manifestèrent aussi au printemps et pendant l’été de 1838 dans les quartiers nord de Paris, ayant donné naissance à un grand nombre de réclamations contre l’administration de la ville, M. le Préfet delà Seine crut devoir charger une commission, composée deMM. Arago, EliedeBau-mont, Emery et Dufrénoy , de rechercher les causes de cet accident.
 - Cette commission démontra de nouveau jusqu’à l’évidence que l’inondation souterraine était due aux pluies continues de 1836 et 1837, et qu’il n’existait aucun moyen d’éviter le retour de ces inondations souterraines, car les travaux qu'il faudrait exécuter pour empêcher l’irruption des eaux intercepteraient en même temps la couche aquifère qui alimente les puits de la capitale.
 - En 1845 et surtout en 1866 l’inondation dépassa les limites des inondations précédentes, parce que les circonstances météorologiques furent plus désavantageuses encore qu’en 1836 et 1837.
 - En 1863 et 1866, en effet, le nombre des jours de pluie avait été de 332, et il dépassa 330 en 1866 et en 1865 ; la quantité d’eau tombée avait été de 1,61 pour 1863 et 1866, et de 1,356 pour 1866 et 1865 : 1866 avait donc été précédé par trois années extrêmement pluvieuses.
 - Nous avons vérifié nous même tous ces faits en compulsant les registres de l’Observatoire de Paris, où l’on tient note
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 - exacte de tous les jours de pluie et de la quantité d’eau tombée journellement dans un bassin de marbre disposé à cette effet.
 - Il est donc bien certain maintenant, comme l’a indiqué M. Girard, que toutes les fois que la hauteur d’eau tombée dans deux années consécutives se sera élevée au dessus de lm,20, et que le nombre des jours do pluie aura été dans le même laps de temps de plus de 320, les quartiers du nord de Paris seront exposés pour l’année suivante à des inondations souterraines.
 - MM. les ingénieurs qui ont à construire des établissements dans ces quartiers doivent donc se rendre un compte exacte de l’amplitude de ces inondations, et prendre les dispositions nécessaires pour mettre les caves et les cendriers des machines à vapeur de ces établissements à l’abri de l’irruption de ces eaux souterraines.
 - Il n’y a d’autre parti à prendre, à cet effet, que de se mettre au dessus de ces inondations, ou d’envelopper les caves et les cendriers des machines à vapeur de chemises imperméables en béton, si l’on a besoin de se tenir en contre-bas.
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 - MÉMOIRE W XXIX.
 - Emploi «les dans la eoBistïrtBCtiosa
 - «les wsgœffls,
 - Par M. DEBONNEFOY.
 - Lors de l’établissement des premiers chemins de fer, on a dû s’occuper de l’étude du matériel roulant, voitures et wagons. Des types ont été produits, les lignes qui se sont établies depuis ont copié ces modèles en y apportant diverses modifications qui devaient donner aux voyageurs un confortable que la vulgarisation de ce mode de transport rendait nécessaire; l’on a même été jusqu’à mettre un certain luxe dans ces constructions.
 - Mais jusqu’ici ces travaux n’ont pas été l’objet d’études suivies au point de vue des meilleures conditions dans lesquelles il est possible de se placer sous plusieurs rapports. Le matériel destiné au transport des marchandises n’a subi depuis l’origine que peu d’améliorations. L’on s’est occupé cependant de détails importants : l’on a modifié les dimensions des essieux; les roues ont été l’objet de nombreux essais ; les ressorts, dans ces derniers temps , ont été étudiés d’une manière remarquable par l'un de nos collègues, M. La Salle. Mais la charpente, dont la construction est l’âme du système, est restée en arrière, et l’on a continué à réunir des pièces de bois par tenons et mortaises, à les consolider au moyen de harpons, d'équerres et de boulons, se proposant d’arriver à une forme extérieure donnée pour la caisse et le train, sans coordonner autant qu’il est peut-être possible de le faire tous ces détails pour en former un ensemble satisfaisant au point de vue de l’art, au lieu d’appliquer à la construction des wagons les principes admis depuis un certain nombre d’années dans celle des charpentes en général.
 - 11 est facile de comprendre cependant, et l’on admettra sans
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 - doute que, si, dans des travaux qui ne sont soumis qu’à des efforts réguliers et constants, il est bon d’étudier les combinaisons des pièces qui par leur disposition même, sans le secours de ferrures nombreuses, difficiles et d’un prix élevé, puissent offrir sous le moindre poids avec la moindre dépense [de main-d’œuvre des garanties de solidité suffisantes, il est bien plus important encore de se préoccuper de cette question en présence de l’étude d’un matériel de plusieurs milliers de véhicules, qui, soumis constamment à des mouvements dont le résultat inévitable est d’apporter dans l’ensemble une très sérieuse perturbation, doit en outre présenter le rapport le plus grand possible entre le poids du véhicule lui-même et celui qu’il peut supporter.
 - On pense généralement que pour donner aux wagons une solidité suffisante en leur permettant de résister aux chocs plus ou moins intenses auxquels ils sont exposés, il est nécessaire de relier les pièces qui les composent au moyen de ferrures diverses.
 - Ce système cependant offre de graves inconvénients; ainsi :
 - Les équerres simples , quelle que soit leur forme , sont toujours des pièces lourdes et coûteuses; placées à l’extérieur, elles favorisent l’action de l’eau qui séjourne entre elles et les bois, qu’elle pourrit. Elles sont fixées à boulons ou à vis ; dans les deux cas, le bois en séchant, et il est impossible d’admettre que cet effet puisse être évité, laisse un jeu de un ou plusieurs millimètres, et dès lors le ferrement n’a plus aucune action. Les équerres doubles sont encore bien plus vicieuses, car il est impossible de ferrer trois pièces de bois par une pièce quelconque sans qu’après deux mois de marche l’assemblage soit à refaire.
 - Dans ces conditions, si les bois n’ont pas été disposés d’après certaines règles de charpente propres à s’opposer à la dislocation de l’ensemble , le wagon est à réparer, et ce travail offre des difficultés sérieuses, car il faut percer de nouveaux trous dans les bois, resserrer les assemblages et replacer les ferrures.
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 - L’on a pensé qu’il serait possible, en abandonnant ces idées, d’arriver à construire des wagons qui, tout en ne présentant pas ces inconvénients, auraient en outre l’avantage de s’opposer au mouvement des bois, qui se cintrent en tirant à cœur, et donnent, encore neufs, des flèches de 3,4, 5 ou 6 centimètres sur la longueur d’un brancard de 6 mètres; l’on a pensé de plus qu’il serait intéressant de réduire autant que possible les assemblages à tenons et mortaises, qui affaiblissent les bois aux parties qui exigent la plus grande force et qui les font rapidement pourrir : effets que ne peut détruire cependant l’emploi des harpons, qui remplacent d’ailleurs avec avantage les ferrures, dont on faisait autrefois un si grand usage. Pour y arriver, l’on a cherché à combiner les différentes pièces qui doivent entrer dans la construction d’un wagon quelconque, de telle sorte que par cette disposition même le wagon puisse être livré au service sans qu’il soit besoin de recourir aux tenons ou aux ferrures d’assemblage, en contrariant l’action des bois de certaines pièces par la rigidité de l’ensemble et en les faisant concourir toutes au même but.
 - Un train de wagons doit réunir certaines conditions principales. 11 doit d’abord ne pas se courber en longueur: la hauteur des tampons et la position des plaques de garde en dépendent. Les deux brancards doivent être parfaitement maintenus à distance; le rectangle qu’ils forment ne doit pas pouvoir se déformer, car alors les essieux , guidés par les plaques de garde, ne seraient pas perpendiculaires à l’axe de la voie. Enfin, et cette dernière observation est presque surabondante, il doit résister verticalement sur tous les points à la charge qu’il a à supporter. 11 est rare de voir un wagon un peu long sans un cintre prononcé ; les plaques de garde ont besoin d’être vérifiées et remises en place dans tout wagon qui a marché une année ; les assemblages de train sont généralement disloqués après peu de temps. Ce sont là des faits qu’il est malheureusement trop facile de constater; de plus, et par suite même de cette disposition des assemblages, il n’est pas rare de voir les bois s’altérer en
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 - ces points, alors que toutes les autres parties sont encore parfaitement saines.
 - Quant aux caisses, et nous parlons spécialement ici de celles des wagons à bestiaux ou à marchandises , bien qu’il soit possible d’appliquer ces principes à la construction des wagons a voyageurs, elles éprouvent par le fait même de leur hauteur des efforts très puissants qui tendent à les faire pivoter autour de l’une et de l’autre des faces extrêmes alternativement et qui ne tardent pas à les désassembler dans toutes leurs parties ; une cheville ou une vis fixant un tenon dans sa mortaise qui ne la comprime plus lorsque ie bois est sec est un obstacle presque nul à cette action.
 - Les bois ainsi coupés de distance en distance absorbent facilement l’eau qui les baigne et qui les réduit en peu de temps en poussière5 car les revêtements généralement placés à l’intérieur et par alaises horizontales laissent exposés tou9 les às-semblages.
 - Un brancard composé de deux pièces espacées de 0m.08 tenues à distance par d’autres pièces faisant office de tasseaux et présentant en total une hauteur de 0m.3'i0 ne se ploiera pas aussi facilement qu’un morceau de bois de 0m.27 ; il résistera à une charge beaucoup plus forte sans aucun doute. Ce sont là les brancards que l’on a adoptés (planche 20, fig. k, 5, 6, et planche 21, fig. 6, 7, 8, 9, 10 et 11); les pièces de bois qui séparent les deux pièces de chacun d’eux ne sont autre chose que les traverses qui tiennent les deux brancards à distance. Elles sont entaillées, ainsi que les brancards, de 1 à 2 centimètres, avec repos sur chaque face, pour les empêcher de se fendre.
 - Ces traverses, qui se trouvent moisées par les brancards, moi-sent elles-mêmes celui du bas et les croix de Saint-André au moyen de traverses semblables aux extrémités et en deux points intermédiaires; les deux brancards sont ainsi tenus à distance par quatre traverses doubles et trois traverses simples de plus faible dimension, qui supportent, avec les quatre autres, un plancher placé dans le sens de l’axe du wagon.
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 - Il est difficile d’admettre que dans ces conditions l'écartement des brancards puisse changer, et le châssis ne peut se courber sans entraîner avec lui le plancher placé dans le sens de l’axe du wagon vissé sur 7 traverses au niveau de la partie supérieure des brancards, qu’il relie invariablement avec elles, formant un ensemble de pièces parfaitement solidaires, et donnant ainsi une très grande rigidité au système, tandis que dans les wagons construits jusqu’à ce jour les planchers posés en travers n’ont aucune action et n’entrent pour rien dans l’ensemble de la charpente; enfin, l’on n’a que des boulons d’assemblage ; les croix de Saint-André même sont prises chacune aux extrémités et en deux points intermédiaires entre les traverses qui les moisent.
 - Des châssis ainsi construits à 7m,06, tampons compris, et portés sur des essieux écartés seulement de 2ra,700, en raison des plaques tournantes, c’est-à-dire ayant à chaque extrémité un porte à faux de 2m,12, n’ont pas fléchi, depuis près de 2 années, d’une quantité appréciable.
 - Le même principe a présidé à la construction des caisses. On a placé sur deux brancards de caisse , pris à tenons et mortaises dans les 7 traverses supérieures du train, des montants qui sont maintenus dans leur position verticale par des pièces légères de 0m.0i/0m. 07, qui les moisent au milieu de leur hauteur et à leur sommet, en les réunissant tous les uns aux autres, sans affaiblir les bois qui composent cet ensemble. Des contre-fiches prises entre ces moises soutiennent les montants contre les efforts de va et vient de la caisse, en les reportant sur la base des montants et sur les brancards de caisse.
 - Un faîtage en deux pièces moise, en les tenant à distance , les 2 montants du milieu de chacune des faces extrêmes et supporte les planches du toit placées suivant la pente.
 - Les parois sont formées d’alaises verticales réunies par des lames de zinc de 0m.Q2 et sont vissées sur les contrefiches, les brancards de caisse et les moises, en effleurant les montants à 5 millimètres près. Par cette disposition, on rend ces caisses
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 - parfaitement étanches, on se réserve de grandes facilités pour le placement des planches de pourtour, qui se brisent fréquemment, on abrite les assemblages, et l’on obtient enfin des panneaux d’un aspect agréable, toute la charpente se trouvant cachée.
 - Enfin l’on arrive à des poids très faibles relativement à la capacité des caisses : ainsi des wagons de ce modèle pouvant contenir 8 bœufs ou 10 vaches, dont les dimensions sont les suivantes, pèsent 3,632 kil. avec roues et bandages neufs. Mais il faut remarquer que dans ce poids de 3,632 kil. est compris celui de la ferrure des portes, d’un genre particulier, dont on parlera plus loin, qui n’a été adopté qu’en raison des avantages qu’il présente, et qui aurait pu être remplacé par des portes à charnières dont les ferrures ne pèseraient que 12 kil. 600, ainsi qu’il en a été posé aux wagons construits au hemi n de fer d’Alsace en 18/i7, au lieu de 108 kil., poids des ferrures des portes à galets.
 - On devra donc déduire du poids total du wagon 95 kil. 400 j représentant la différence de celui des ferrures dans les deux hypothèses, et l’on arrivera au résultat suivant :
 - Poids du wagon............................... 3536 kil.
 - Lon Caisse largeur. Hauteur C 11 Fr* nn Cnho i Podis
 - gueur. aux portes. au faîtage. vj Vil LuCv utilisable VjUIjU I utilisable Poids. par '«2 utilisable Jr OiQb par utilisable
 - 5m.290 2m.590 lm.90 2m.07 43m.711 29m.155 3536k 257k.80 121k.33
 - Tandis que les wagons de la compagnie du Centre, par exemple, qui ne peuvent contenir que 6 bœufs, pèsent jusqu’à 3,800 kil. et n’ont que :
 - 4.160 2.350
 - lm.740 2m.260
 - 9m.776
 - 19m.552 3.800k
 - 388 194k
 - Les wagons du chemin de fer de Tours à Nantes, eux-mêmes, dont les dimensions sont de 4m.38 sur 2m.50, surface 10m(t.950, pèsent de 4,300 à 4,500 ; si l’on retranche de ce poids
 - 19
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 - de 4,400, en moyenne 200 kil., représentant la différence de poids de leur mode d’attelage avec celui adopté dans le wagon dont on vient de parler, il reste toujours un poids de 383 kil. au lieu de 257 kil. par mètre de surface.
 - Ces derniers résultats ont une immense importance, dont on peut se convaincre en observant qu’un train de 45 wagons, par exemple, composé de wagons anciens contenant 270 bœufs, pesant, poidsmort, 171,000 kil., peut être remplacé par un train de 33 wagons pesant 116,688 kil.
 - Différence.............................. . 54,312 kil.
 - Si l’on ajoute à cette économie de traction celle qui doit résulter de la différence d’entretien de 45 wagons au lieu de 33, soit un entretien de près d’un quart du matériel , on reconnaîtra l’intérêt que présente ce nouveau mode de construction.
 - Gomme détail de construction :
 - Les portes à charnières ou à roulettes fixées aux parties mobiles ont été remplacées par des portes garnies d’une lame de fer de Q.m005 posée à plat sur la partie inférieure du cadre et d’une lame de 0m.007 posée sur champ intérieurement à cette partie de la porte et faisant cornière avec la précédente ; ainsi disposé, chaque battant, maintenu d’ailleurs à la partie supérieure par deux équerres à œil qui reçoivent une tringle de 25 millimètres, fixée à la moise servant de battant de pavillon, glisse sur une série de galets en fonte tenus à distance entre deux lames de fer par des entretoises aussi en fonte reliant le système aux brancards de caisse au moyen de boulons,
 - Cette disposition empêche la porte de tomber en route et donne un mouvement facile aux portes, tout en leur permettant de résister aux charges placées à l’intérieur et aux chocs qu’elles produisent en marche; tandis que, dans les wagons dont les portes sont à roulettes fixées aux parties mobiles ou simplement à charnières, ces actions ne tardent pas à détacher les équerres qui portent les roulettes ou à forcer les charnières et les loquetaux de fermeture.
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 - Les rideaux ont été suspendus par des anneaux à une tringle de 0m.015 fixée à la partie supérieure du wagon, et se manœuvrent comme des rideaux ordinaires, pour éviter les, inconvénients qui résultent du relevage sur les toits au moment du chargement des marchandises ou lorsque l’on transporte des bestiaux dont les cornes perceraient la toile. Il était utile de s’opposer h. l’action de l’eau, qui, se congelant en hiver dans les poches que forment les rideaux relevés, les détruisent rapidement. Enfin, une pente en treillis de 12 à 15 centimètres tombe du bord du toit pour prévenir l’entrée de l’eau entre le battant de pavillon et la partie supérieure des rideaux. Le toit, en sapin de 10 millimètres d’épaisseur, est recouvert de treillis cloué à joints couverts par des chanlattes.
 - Poids de diverses ferrures du wagon à bestiaux et à marchandises.
 - h ressorts de suspension de M. La Salle.
 - 2 id de traction 2 tendeurs . .
 - id
 - 20
 - k chaînes de sûreté avec pitons. ... 28
 - 2 crocs de traction avec tige. .... .35k.800
 - 2 brides de ressorts de traction. ... 8
 - 8 étriers de ressorts de suspension. . . 12
 - ferrures de portes ....... 108
 - 50 wagons de marchandises en construction vont recevoir des plaques de garde modèle anglais pesant chacune 22 kil., et présentant une résistance supérieure à celle des plaques de garde ordinaires, dont le poids est de 35 kil.
 - L’emploi des moises dans la construction des wagons remonte à l’année 1847 ; à cette époque 25 wagons à houille furent construits au chemin de fer d’Alsace; leurs dimensions étaient en longueur de 4m.l2 h la base et en largeur de 2.œ300 aussi en bas ; leur caisse était évasée ; ils étaient munis de trappes mo~
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 - biles sous le plancher pour le déchargement; les roues étaient à rayons en fer à cornière et pesaient par paire 714*, pour un wagon 1,428 kil. La caisse de ces wagons était composée de montants inclinés pris à leur sommet par des moises et appuyés sur des contrefiches.
 - Ces wagons, dont le poids total est de 3.500 kil., et chargent 7,000 kil. de houille, n’avaient pas de flèche appréciable en 1849.
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 - Note sish® Ses Hro©©®rdïs aies maeMnes loçoBnotivejs avec les teaiders,
 - Par M. C. POLONCEAU.
 - Jusqu’ici pour le raccord des machines avec leurs tenders on a employé des tuyaux en toile ou des rotules articulées.
 - Les tuyaux en toile ont l’inconvénient de s’user très vite, si l'on réchauffe l’eau du tender avec la vapeur perdue de la chaudière, et de laisser échapper beaucoup d’eau j enfin, leur inconvénient le plus grave est de laisser introduire beaucoup d’air à l’aspiration des pompes.
 - Les rotules métalliques sont fort coûteuses; elles exigent un entretien très dispendieux, et nécessitent de la part du mécanicien les soins les plus minutieux pour être toujours serrées de manière à ne pas perdre l’eau et être cependant assez libres pour permettre les mouvements en tous sens. Il arrive quelquefois qu’elles se brisent par trop de serrage ou par le grippement. En outre, les rotules métalliques exigent des garnitures en chanvre, qui, usées ou mal faites, s’introduisent dans les clapets des pompes, en entravent et en arrêtent la marche. De plus, ces appareils laissent passer des quantités d’air assez importantes qui nuisent beaucoup à l’effet utile des pompes.
 - Pour remédier a ces inconvénients, on joint la machine au tender par un tuyau continu en cuivre rouge (planche n° 20, fig. 7 et 8), faisant sous le tender, auquel il est suspendu par des chaînettes, un contour suffisamment développé pour que l’élasticité du métal permette tous les mouvements.
 - Ce moyen, très simple, est parfaitement suffisant et ne présente aucun des inconvénients des raccords adoptés jusqu’à ce jour.
 - Il a été employé pour la première fois sur le chemin de fer de Versailles (rive gauche) vers la fin de 18à0, et aujourd’hui ce raccord existe encore sans avoir né cssité de réparation.
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 - Il a été appliqué dernièrement aux cinq dernières machines construites en 1849 pour la ligne d’Orléans, et les résultats en sont très satisfaisants. L’entretien est nul et les pompes donnent avec beaucoup plus d’abondance qu’avec tout autre système de raccords.
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 - H©fe sma mbi© ia®i!awll© Emlsu»®© ale .©Barété
 - Par M. C. POLONCEAU.
 - Les chaudières à vapeur sont construites et timbrées pour marcher à une pression qui ne dépasse pas un chiffre calculé et fixé à l’avance. Or, comme d’un côté la conduite du (eu fait varier la production de vapeur et par conséquent sa tension dans la chaudière, et que, d’un autre côté, le travail qui s’opère n’est pas constant et produit des variations dans l’emploi de la vapeur, il en résulte qu’il y a souvent dans la chaudière une surabondance de vapeur à laquelle il faut donner issue dans un temps quelquefois très court.
 - C’est pour ce motif que l’on applique des soupapes de sûreté à toutes les chaudières à vapeur.
 - Dans les machines locomotives surtout les inégalités de tension de la vapeur sont fréquentes et varient dans des limites très étendues. Les chaudières de ces machines doivent produire en effet une très grande quantité de vapeur dans un temps très court; elles ont une capacité très restreinte et le travail y est excessivement irrégulier, puisqu’elles passent très souvent de leur maximum de travail h un travail nul. Il en est ainsi, par exemple, toutes les fois qu’on arrête aux stations ou qu’un accident force à un arrêt brusque pour lequel on n’a pas eu le temps de préparer la machine, c’est-à-dire de ralentir l’action du feu ou de réduire à l’avance la pression.
 - Par suite du mouvement de ces machines on a été conduit à fixer au moyen de ressorts les leviers des soupapes de sûreté. Ces ressorts sont disposés de telle sorte que chaque fraction égale de leur course correspond à une augmentation égale de pression sur la soupape. Jusqu’ici cette course de ressorts était d’environ 7 à 12 millimètres par atmosphère. Au-
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 - jourd’hui, lorsque les machines marchent à 7 atmosphères, l’administration publique exige que la levée des soupapes soit de 15 millimètres au moins par atmosphère, le rapport du bras de levier de la soupape à celui d’action du ressort étant de 1/10. On exige, en outre, qu’un intervalle au moins égal à celui du parcours de 2 atmosphères soit ménagé entre les divisions de l’échelle correspondante à 7 atmosphères et le point extrême de la course du ressort-
 - il résulte de ces diverses dispositions que dans les machines ordinaires une levée de soupape de 0m. 0007 à 0m. 0012 correspond à une augmentation de pression de 1 atmosphère, et que dans les machines timbrées à 7 atmosphères la levée de soupape de 0™.0015 correspond également à 1 atmosphère.
 - Or, avec les dimensions ordinaires des soupapes (0m.100 de diamètre), la quantité de vapeur qui peut sortir par suite de ce soulèvement est de 258 litres par seconde. De sorte que, dans presque tous les cas de surabondance de vapeur dans la chaudière, la pression s’élève d’une quantité considérable. C’est en vue de ce phénomène que l’administration publique prescrit de laisser libre, outre la course nécessaire et calculée, une course correspondante à 2 atmosphères, c’est-à-dire qu’elle admet que des chaudières timbrées à 7 atmosphères peuvent supporter instantanément une pression de 9 atmosphères.
 - 11 est évident qu’il y a là un vice grave daus les appareils do sûreté, puisque l’issue donnée à la vapeur est très petite comparativement à la puissance de production de la chaudière et que la sortie de la vapeur ne s’obtient qu’au moyen d’une augmentation très notable de la pression,
 - Un appareil qui, lorsqu’on dépasserait la pression maximum, réduirait la force du ressort, c’est-à-dire permettrait de laisser dégager l’excédant de vapeur sans que la pression de la chaudière pût augmenter, serait un perfectionnement très utile et très désirable.
 - C est celui qu’ont imaginé MM. Vallée, chef des travaux des
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 - ateliers du chemin de fer d’Orléans, et Lemonnier, contremaître do l’ajustage de ces mêmes ateliers.
 - Ce mécanisme, très simple, et qui a l’avantage de s’adapter à toutes les balances à ressort existantes, consiste (planche 21, fig. 12, 13 et 1 â) dans le déclic à un point fixe d’un levier qui joint deux parties séparées de la tige de la balance. Ces deux parties sont jointes elles-mêmes au moyen de boulons formant articulation avec une barre de fer qui forme maillon et se prolonge du côté supérieur au delà des deux points d’articulation. En abaissant ce levier on réduit la longueur de la tige de la balance de deux fois la longueur du maillon, et en le lâchant, la tige s’allonge et reprend sa dimention primitive.
 - Pour faire fonctionner l’appareil, on maintient le levier abaissé en le faisant glisser entre 2 tasseaux fixés sur le corps de la balance, de sorte que la soupape peut fonctionner comme à l’ordinaire tant que le levier glisse entre ses guidesj quand la tension du ressort force le levier à dépasser ces mêmes guides, il s’échappe, et, la tige s’allongeant de deux fois la longueur du maillon, la soupape n’est plus chargée que par %ne tension beaucoup plus faible que celle qui avait lieu avant le déclic du levier.)
 - Ee mécanicien peut remettre l’appareil dans sa position normale dès que la vapeur sortie a ramené la pression dans la chaudière au chiffre réglementaire.
 - D’après cette description sommaire de l’appareil on voit qu’il est facile de régler à volonté par la position des tasseaux la pression que le mécanicien ne peut jamais dépasser. On voit, en outre, que par la longueur du maillon qui unit les deux parties,de la tige de la balance on peut déterminer la quantité dont la soupape doit se lever pour laisser échapper la vapeur lorsque la tension dans la chaudière dépasse le maximum fixé.
 - Cet appareil, essayé sur des locomotives du chemin d’Orléans, a fonctionné d’une manière très satisfaisante, et a
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 - donné des garanties de sécurité bien suffisantes. On voit en outre qu’il peut indiquer toutes les infractions aux règlements qui défendent aux mécaniciens de dépasser la pression pour laquelle leurs chaudières sont timbrées.
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- - Hôte sur la machine à.eintirep et arrondir les
 - bandages de M, SSuddleom. et C?e, à Sotteville, et sur les bandages sans soudure de MM. i*e-tlsa et Qaudet, a Klve-de-Cier,
 - Par M. FÈVRE.
 - Dans cette machine, le bandage à cintrer ou à arrondir est pris entre deux galets agissant comme laminoirs ; au sortir de ces galets, il rencontre l’un après l’autre deux autres galets directeurs qui lui font prendre le cintre et le diamètre voulu.
 - La planche n° 21, fig. 1, 2, 3,4 et 5, gravée sur les dessins queM. Buddicom a eu l’obligeance de me communiquer, fait voir clairement les dispositions de la machine dans toutes ses parties.
 - La conduite des opérations offre les particularités suivantes :
 - Cintrage. Le bandage est employé tel qu’il vient de la forge, ses extrémités affranchies carrément : il n’est donc point refoulé comme à l’ordinaire pour faire la soudure ; seulement il est commandé un peu plus épais et aussi plus court, de manière à conserver le même poids. On le sort du four au rouge cerise ; d’un coup de masse en bois, on commence à ployer légèrement un des bouts et on l’engage entre les deux galets. Un ouvrier agissant sur les manettes exerce la pression nécessaire pour entraîner le bandage. Une révolution complète suffit pour que le cintrage soit parfait.
 - Après le cintrage, succède l’opération du soudage par coins comme à l’ordinaire. Préalablement, à l’aide d’une chaude ou deux, on prépare la place des coins en coupant à la tranche les quatre angles qui terminent les deux extrémités juxtaposées du bandage.
 - Arrondissage. On sort le bandage du four au rouge cerise. On lui fait faire dans la machine dix révolutions ou plus.
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 - On le réduit ainsi peu à peu d’épaisseur en l’allongeant jusqu’à ce qu’il ait bien le diamètre de pose. L’endroit de la soudure, qui peut être un peu amaigri, fatigue peu et finalement se trouve de la même épaisseur que le reste du bandage.!
 - Dans le cintrage comme dans l’arrondissage , la vitesse du bandage est environ de 10 centimètres par seconde, la même à peu près que dans les tours à roues.
 - Les principaux avantages que me paraît offrir cette machine, sont: 1° pour cintrer comme pour arrondir, le nombre des ouvriers nécessaires est réduit à un forgeron , un aide aux galets, et aux manœuvres pour porter le bandage; 2° les ouvriers sont moins fatigués, parce que la machine fait tout le travail, et parce que la chaleur à laquelle ils sont exposés est plus modérée ; 3° le refoulage des extrémités du bandage est supprimé, et, partant, il y a économie de main-d’œuvre et de combustible; k° le cintrage et l’arrondissage sont beaucoup mieux faits que par les procédés antérieurs. En outre, la qualité du fer ne paraît point devoir être en aucune façon altérée par ces.deux opérations ; 5° l’alésage devient superflu. Il en est à peu de chose près de même du tournage, lequel se réduit strictement à ragréer le boudin et les joues intérieures et extérieures du bandage, d’où il résulte une économie importante de main-d’œuvre et de matière. En outre, on a cet avantage, que l’on conserve à la face de roulement la croûte du fer, à laquelle on attribue généralement plus de dureté et plus de durée.
 - Depuis la rédaction de la note sur la machine à arrondir de M.Buddicom, MM. Petin et Gaudet sont parvenus à fabriquer économiquement des bandages tout cintrés sans soudure. Ces produits nouveaux sont d’une grande perfection. A la qualité précieuse d’être d’une seule pièce ou sans soudure , ils joignent à un haut degré tous les avantages que nous avons signalés ci-dessus dans les bandages préparés avec la machine de M. Buddicom. Cette dernière machine, qui nous avait paru un perfectionnement réel à côté des procédés usités antérieure-
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- - — SOI
 - ment, perd aujourd’hui une grande partie de son intérêt.
 - Nous avons vu au mois de mars 1851 la nouvelle fabrication de MM. Petin et Gaudet ; voici en peu de mots en quoi elle consiste.
 - A l’aide d’un double corroyage au laminoir, on prépare une barre de fer plat d’environ 3 centimètres d’épaisseur, 10 centimètres de largeur, et d’une longueur convenable. Au sortir de la dernière cannelure , cette barre est enroulée sur champ sur un mandrin : on obtient ainsi une bague formée d’une hélice à spires contiguës, et tel est le paquet destiné à faire un bandage.
 - Cette bague est soudée sur plat dans une étampe sous un marteau pilon de ô,000 kilogrammes tombant de 2 mètres; la bague reçoit d’ailleurs deux chaudes suantes au four h réchauffer. Une soudure faite dans de telles conditions devra être très accidentellement défectueuse; il me semble impossible qu’elle vienne à manquer sur une portion importante de spire. La bague ainsi soudée offre l’image du bandage , en petit comme diamètre, en grandeur exacte comme largeur, mais beaucoup plus fort comme épaisseur ; le boudin est d’ailleurs ébauché par l’écrasement produit par la panne du marteau.
 - Ce bandage ébauché reçoit une troisième chaude suante et est porté sur un laminoir spécial, qui, en diminuant progressivement son épaisseur, l’amène au diamètre et à la forme définitive. Au sortir de ce laminoir, le bandage encore chaud est posé sur un mandrin à segments et immergé dans une cuve d’eau froide. On aura l’idée de la machine à laminer les bagues en se représentant un laminoir ordinaire à tôle, sur le prolongement des tourillons duquel on a fait venir de fonte des galets armés de joues, comprenant entre eux une cannelure suivant la forme des bandages.
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- - TABLE DES MATIÈRES.
 - Pages
 - Compte-rendu des travaux de la Société des Ingénieurs civils.
 - (N° 12. — Janvier, février, mars, 1831.)............. 1
 - Liste générale des membres de la Société. .............. 4
 - Mémoire n° 26. — Théorie sur la stabilité des machines locomotives en mouvement, par M. Yvon Yillarceau. ... 13
 - Compte-rendu des travaux de la Société des Ingénieurs civils.
 - (N° 13. — Avril, mai, juin, 1851.)..................... i
 - Suite du mémoire n° 26........... ................* . 81
 - Compte-rendu des travaux de la Société des Ingénieurs civils.
 - (N°14.—Juillet, août, septembre, 1851.)..............161
 - Mémoire n° 27. — Résistance du fer et de la fonte, basé principalement sur les recherches expérimentales les plus récentes faites en Angleterre, par M. Love.................163
 - Suite du mémoire n° 27.................................. 241
 - Compte-rendu des travaux de la Société des Ingénieurs civils.
 - (N° 15. — Octobre, novembre, décembre, 1851.). . . . 273
 - Mémoire n° 28. — Causes des inondations souterraines qui se manifestent dans les quartiers nord de Paris dans certaines circonstances déterminées, par M. E. Yuigner.. .... 277
 - Mémoire n° 29. — Emploi des moises dans la construction des
 - wagons, par M. Debonnefoy............................284
 - Note sur les raccords des machines locomotives avec les ten-
 - ders, par M. C. Polonceau............................293
 - Note sur une nouvelle balance de sûreté employée sur les machines locomotives, par M. C. Polonceau..................295
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- - 304 —
 - Pages
 - Note sur une machine à cintrer et à arrondir les bandages établie dans les ateliers de M. Buddicom et compagnie, à Sot-teville, et sur les bandages sans soudure, de MM. Petin et
 - Gaudet, à Rive-de-Gier, par M. Fèvre....................296
 - Table des matières............... 303
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- - Errata au Mémoire sur la résistance du fer et de la fonte*
 - Page 175, § 12, au lieu dePL=^TEH2, il faut PL==^TEH2.
 - o 6
 - Page 178, § 17, en tête des colonnes n° 2 du tableau, mettez la désignation mil. pour indiquer que le diamètre des fils est exprimé en millimètres.
 - Page 226, 14 e ligne à partir du haut, au lieu de.: ces résultats diffèrent, il faut : ce résultat diffère.
 - Page 226, 15e ligne, au lieu de : amincit là tige verticale vers le bout, lisez vers le haut.
 - Page 243, § 74, au lieu de : 14 pieds 7 pouces, il faut : 13 pieds 6 pouces -, — au lieu de 33 pieds et 66 pieds, il faut : 33 pouces et 66 pouces.
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- - / ère {»/*•
 - /. oerie.
 - VOIRIE ET CHEMIN DE FER.
 - PL 20.
 - \G r a n ci
 - Raccord de Machines avec les tenders
 - Wacron à bestiaux et à marchandises
 - Elénalio/i et coupe longitudinales. Fig.
 - Machine
 - plancher. Fig. 5
 - Plan avec et san.
 - Courbe dit fer
 - Courbe de Cl fonte. Fi<r
 - er et en Fonte
 - Echelle des Fig. I à d. de of op pour mètre-
 - Société des Ingénieurs civils.
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- - / T Séries.
 - Machine à cintrer Les banda des
 - Elévation . l'i 0\ L.
 - Société des Ingénieurs civils.
 - CHEMIN DE FER.
 - Pl. 21.
 - Wagon truck à marmdottes avec hausses mobiles pour servir-au transport des marchandises.
 - A levai ton ci: Coupe long ibutina les. Pig. 6.
 - $1 m w ^ J,
 - C i fi
 - > J SJ 1 d !
 - Plan avec et sans plancher. % 7-
 - Fcheile. des Fig.3, 3, i et d de. o f'oè pour mèù'e.. —-----------------------------------------------1£------
 - Echelle des Fig. 6.J, S,g,io.etu de o^os pour' mètre.
 - é .4
 - Echelle des Fig. 12 ]3 et il/, de o"120 pour métré
 - Wagon à hausses fixes avec traverses mobiles pour servir au transport des marmoottes.
 - Plan avec et sans plancher. Fig. 10.
 - Flévation et Coupe longitudînales. Fig. 9.
 - lire de Iront et Coupe en travers. Fig. 8.
 - A
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 - Fiq
 - .Salarias de sûreté à échappement instantané.
 - Fig. l4 •
 - Fig:
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 - Ci
 - * dehout.et Coupe en-b'avers. Fig1.11.
 - lmp r!‘y'de-Gilquifi,.u r. S le Fr une. .Paris.
 - Lemaire sculp.
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